MATEMATICA_CP_3s_Vol1reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio a

3 - SÉRIE volume 1 - 2009

matemática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-188-8 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – A Geometria e o método das coordenadas Situação de Aprendizagem 2 – A reta, a inclinação e a proporcionalidade Situação de Aprendizagem 3 – Problemas lineares – máximos e mínimos

12 20 32

Situação de Aprendizagem 4 – Circunferências e cônicas: significados, equações, aplicações 42 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 58 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

FiCHA do CAdErno o plano de descartes: a parceria entre a álgebra e a geometria

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Médio 3ª1º- bimestre de 2009 Geometria Analítica Plana O plano cartesiano A equação da reta A equação da circunferência As equações das cônicas

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado nos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemáticas, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades mais ou menos do mesmo tamanho, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento dos temas escolhidos. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente

o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicará a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando a ação do professor na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também em cada Caderno, sempre que possível, materiais diversos (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros), que estejam em sintonia com a forma de abordagem proposta, e que possam ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 1º- bimestre da 3ª- série é Geometria Analítica Plana. Mesmo quando o professor dispõe de poucas aulas por semana, tal tema costuma ser contemplado nessa série. E mesmo quando ele é apenas parcialmente ensinado, a equação da reta é apresentada aos alunos. Neste Caderno, sugerimos uma abordagem da Geometria Analítica que privilegia a equação da reta, apresentada de um modo peculiar e que destaca certa classe de problemas cuja solução depende apenas de uma compreensão adequada da ideia de proporcionalidade subjacente. São os chamados problemas lineares, entre os quais estão alguns problemas de máximos e mínimos muito interessantes. De acordo com os princípios gerais que norteiam todos os Cadernos, espera-se que os demais assuntos sejam contemplados, com maior ou menor ênfase, segundo o interesse do professor e as condições efetivas da classe. Mas consideramos que a parte correspondente às retas, suas equações, suas propriedades e suas aplicações pode ser especialmente representativa do significado da Geometria Analítica como um método de abordagem dos problemas geométricos que contempla o ideal cartesiano – ou o “plano” de Descartes, que buscava uma aproximação efetiva entre a Geometria e a Álgebra. A Geometria Analítica Plana é apresentada como um método de abordagem dos problemas geométricos em que os pontos do plano são representados por coordenadas (x; y);

retas e curvas de diversos tipos são representadas por equações; e regiões do plano são representadas por inequações, possibilitando, assim, a solução de um grande número de problemas envolvendo distâncias, comprimentos, relações, áreas, etc. Para o tratamento dos temas, sugere-se uma organização dos trabalhos em oito unidades. O primeiro passo, na unidade 1, seria o da consolidação do uso do sistema de coordenadas cartesianas XOY, já iniciado em séries anteriores, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio. Tal sistema será utilizado para representar pontos do plano, determinando-se, por exemplo, a distância entre dois pontos, o ponto médio e a inclinação do segmento determinado pelos dois pontos. A ideia de inclinação de um segmento pode ser explorada de modo muito fecundo, tanto na caracterização de segmentos paralelos quanto na condição de alinhamento de três pontos, uma vez que para três pontos A, B e C estarem alinhados, as inclinações de AB, BC e AC devem ser iguais. Com base nessas noções iniciais, é possível propor e resolver uma série de problemas geométricos simples, em que a aprendizagem do método analítico situa-se no centro das atenções. Uma atividade para a sala de aula, incluindo questões cujas respostas podem depender ou não do sistema de coordenadas escolhido, será apresentada na Situação de Aprendizagem 1. O segundo passo, na unidade 2, após a exploração inicial do plano, seria a representação de curvas por equações, iniciando-se com a

reta. Os casos particulares das retas paralelas aos eixos coordenados são tratados diretamente, de modo simples. Para as retas inclinadas em relação aos eixos OX e OY, a qualidade comum a todos os seus pontos é o fato de que, qualquer que seja o par de representantes que escolhamos, a inclinação do segmento correspondente é sempre a mesma: tal inclinação constante é a inclinação da reta. Assim, facilmente se chega à equação y = mx + h, em que o coeficiente m representa a inclinação da reta, e h representa o ponto em que a reta corta o eixo OY. A caracterização de retas concorrentes e paralelas, com base nas inclinações correspondentes, é uma consequência natural. Na unidade 3, o passo seguinte a ser dado é o estudo da condição de perpendicularidade de duas retas, com base em suas inclinações m1 e m2. Uma maneira simples de compreender que se as inclinações são tais que m1 . m2 = –1 então as retas serão perpendiculares será apresentada neste Caderno. A forma geral da equação da reta, bem como a representação de regiões do plano por meio de desigualdades, servirá de conclusão dessa etapa. Uma atividade referente à equação da reta e à representação de regiões por meio de inequações será apresentada na Situação de Aprendizagem 2. Na unidade 4 poderá ser feita uma exploração dos estudos sobre as retas, tendo em vista a resolução de alguns problemas lineares, ou seja, problemas que, em última instância, envolvem apenas relações de proporcionalidade direta. Uma coleção deles, incluindo-se alguns problemas de máximos

e mínimos, será apresentada na Situação de Aprendizagem 3. Apesar de problemas como esses não serem usualmente apresentados no Ensino Médio, pedimos ao professor que os leia com atenção, pois certamente perceberá que constituem situações simples em contextos interessantes. Na unidade 5, seria apresentada a equação da circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas. O tempo disponível pelo professor deverá determinar o nível de exploração de tal equação, deixando-se à escolha do professor o estudo das translações da equação ou da forma geral da equação da circunferência, que pode ser apenas sugerido ou deslocado para o estudo das funções, no 3º- bimestre. y

P r O

C: x2 + y2 = r2

C: x2 + y2 = r2 A unidade 6 poderia ser utilizada para a apresentação de uma maneira simples de efetuar o cálculo da distância de um ponto a uma reta, baseado apenas na inclinação m da reta. Complementando tal cálculo, poderá ser feito um estudo simplificado das posições relativas entre retas e circunferências.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Na unidade 7, as cônicas são apresentadas e caracterizadas por meio de propriedades de diversas maneiras. Além de constituírem interseções de um plano com uma superfície cônica, o que lhes garante a denominação, a elipse é uma circunferência “achatada”; a hipérbole surge na representação de grandezas inversamente proporcionais; e a parábola, na representação de uma grandeza que é proporcional ao quadrado de outra. Complementarmente, as cônicas também são apresentadas pelas suas importantes propriedades características em relação aos focos.

Quadro geral de conteúdos do 1º- bimestre da 3ª- série do Ensino Médio unidade 1 – O plano cartesiano. Distância entre dois pontos. Ponto médio de um segmento. Condição de alinhamento de três pontos. unidade 2 – A equação da reta. Significado dos coeficientes. Retas paralelas.

Na unidade 8 são apresentadas as equações da elipse, da hipérbole e da parábola, em posições convenientes em relação aos eixos de coordenadas, de modo a simplificar os cálculos. Uma extensão de tal estudo, conduzindo a equações mais gerais, pode ser dispensada ou adiada para o terceiro bimestre, na parte referente a funções. Uma atividade exploratória das caracterizações das cônicas, de suas equações em situações simples e de algumas aplicações é apresentada na Situação de Aprendizagem 4.

unidade 3 – Retas perpendiculares. Regiões do plano.

Sinteticamente, as oito unidades que compõem o presente bimestre são apresentadas a seguir:

unidade 8 – Equações da elipse, da hipérbole e da parábola.

unidade 4 – Problemas lineares. unidade 5 – A equação da circunferência. unidade 6 – Distância de ponto a reta. Posições relativas entre reta e circunferência. unidade 7 – Cônicas. Apresentação e propriedades da elipse, da hipérbole e da parábola.

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: coordenadas cartesianas no plano; cálculo de distâncias, coordenadas do ponto médio, inclinação de segmentos usando coordenadas; escolha de sistemas de coordenadas convenientes para a solução de problemas geométricos. Competências e habilidades: compreensão da linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; expressão de resultados geométricos por meio da linguagem algébrica. Estratégias: retomada do uso de sistemas de coordenadas já iniciado na 6a série do Ensino Fundamental e apresentação de problemas geométricos simples, que podem ser resolvidos por meio da linguagem das coordenadas.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Na Geometria Analítica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (x; y) e fazemos cálculos relativos a

y B

figuras geométricas por meio de operações algébricas sobre os pares de coordenadas. Cálculo de distância entre dois pontos da inclinação de um segmento, por exemplo, podem ser realizados conforme as expressões indicadas a seguir:

mBC

dAB yA

A yA

xB x

d AB = distância entre A e B d AB =

√ (xB – xA)2 + (yB – yA)2

mAB

mDE

B D

1 xA

mAB = inclinação de AB

m AB =

yB – yA xB – x A

A, B, C não alinhados: mAB ≠ mBC BC paralelo a DE: mBC = mDE

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Também é possível escrever de modo simples as equações de retas paralelas aos eixos coordenados:

y h 1 m

y = mx + h (m < 0) y=h

(h > 0)

Comparando as inclinações das retas, podemos identificar as que são paralelas e as que são concorrentes, e particularmente a relação entre as inclinações de retas perpendiculares:

y=h

(h < 0)

y x=h

(h < 0)

x=h

(h > 0)

r1: y = m1x + h1

Para as retas inclinadas em relação aos eixos, lembrando dos gráficos das funções do 1o grau, temos as equações indicadas a seguir:

r2: y = m2x + h2

m1 ≠ m2

r1 e r2 concorrentes

y y = mx + h (m > 0) y2 = m2x + h2

m 1 h 0

y1 = m1x + h1 x

m1 = m2

x r1 e r2 paralelas

y y

m1 = 0

r : y = mx + h

d (P, r) yp – yr

m 1

yr = mxp+h

não existe m2

x xp

r1 e r2 perpendiculares (caso particular)

1 d( P; r ) = yp – y r 1 + m2

y r2

y2 = m2x + h2

d( P; r ) = r1

d( P; r ) =

yp – y r 1 + m2

yp – m . xr – h 1 + m2

y1 = m1x + h1 r1 e r2 perpendiculares: m1 . m2 = –1

Para calcular a distância de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta é paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhança de triângulos indicada na figura:

Para continuar nosso estudo de Geometria Analítica, três lembretes são importantes. Em primeiro lugar, trata-se de uma retomada de modo mais sistemático de um uso dos sistemas de coordenadas que, de fato, já se iniciou bem anteriormente, na solução de sistemas de equações lineares e no estudo das funções.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Em segundo lugar, o que aqui se buscará desenvolver é um novo método de abordar problemas geométricos já conhecidos, ou seja, a novidade está na forma de tratamento dos problemas, não no seu conteúdo.

unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e X’MY’, determine:

E em terceiro lugar, é importante lembrar que, muitas vezes, temos a liberdade de escolher o sistema de coordenadas que será utilizado na resolução dos problemas. Nesses casos, convém notar que, embora as coordenadas dos pontos representados dependam do sistema escolhido, existem informações relativas aos pontos que podem depender ou não do sistema. Por exemplo, fixados três pontos A, B, C, quando escolhemos um sistema de coordenadas para representá-los:

b) a inclinação dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC, FB;

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, M;

c) as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC. AD. Y’ E

C X’

f as coordenadas dos pontos A, B e C dependem do sistema XOY escolhido; f a distância entre dois desses pontos não depende do sistema escolhido;

f a inclinação do segmento AB depende do sistema escolhido;

Y E

f a área do triângulo ABC não depende do sistema escolhido; f a medida do ângulo BAC não depende do sistema escolhido, e assim por diante. Para praticar o uso das informações citadas anteriormente, são apresentadas as atividades seguintes.

Atividade 1 O hexágono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura, e cada lado tem dez

X O

Será necessário calcular a altura de um triângulo equilátero de lado 10, que é igual a 5 ∙∙∙ 3 .

h2 + 52 = 102 10 h

h2 = 75

A partir desse resultado, para o sistema XOY, temos: a) A (5; 0); B (15; 0); C (20; 5∙∙∙ 3); ∙∙∙ ∙∙∙ D (15; 10 3); E (5; 10 3); F (0; 5∙∙∙ 3); M (10; 5∙∙∙ 3). b) FE: ∙∙∙ 3; DC: –∙∙∙ 3; BC: ∙∙∙ 3; AM: ∙∙∙ 3; ∙∙∙ ∙∙∙ 3 3 ; FB: – . FA: –∙∙∙ 3; ED: 0; AC: 3 3 c) AB: (10; 0); FC: (10; 5∙∙∙ 3); FM: (5; 5∙∙∙ 3); AE: (5; 5∙∙∙ 3); ∙∙∙ 5 3 ); DC: (17,5; 7,5∙∙∙ 3); BC: (17,5; 2 AD: (10; 5∙∙∙ 3).

Professor! É importante notar que os segmentos FE e BC são paralelos, assim como também o são os segmentos FA e DC, AB e ED, AM e FE etc. Esse é o significado da igualdade das inclinações, nesses casos. Para o sistema X'MY', as coordenadas são as seguintes: a) A (–5; –5∙∙∙ 3); B (5; –5∙∙∙ 3); C (10; 0); ∙∙∙ ∙∙∙ D (5; 5 3); E (–5; 5 3); F (–10; 0); M (0; 0). b) FE: ∙∙∙ 3; DC: –∙∙∙ 3; BC: ∙∙∙ 3; AM: ∙∙∙ 3; ∙∙∙ ∙∙∙ 3 3 FA: –∙∙∙ 3; ED: 0; AC: ; FB: – . 3 3

c) AB: (0; –5∙∙∙ 3); FC: (0; 0); FM: (–5; 0); AE: (–5; 0); BC: (7,5; –2,5∙∙∙ 3); DC: (7,5; 2,5∙∙∙ 3); AD: (0; 0). Muitos outros exercícios semelhantes à Atividade 1 podem ser apresentados aos alunos, tendo em vista recordar fatos e relações da Geometria Plana, expressando-os por meio das coordenadas cartesianas. Triângulos, quadrados, losangos, retângulos, pentágonos, entre outros, poderiam ser representados no plano por meio de coordenadas, calculando-se comprimentos de lados, de medianas, baricentro, etc. O destaque a ser dado é ao reconhecimento do fato de que muitos problemas de Geometria Plana já conhecidos podem ser abordados em outra perspectiva, com a parceria entre a Álgebra e a Geometria. A escolha do sistema de coordenadas mais simples em cada situação concreta também pode ser explorada. Os exercícios seguintes ilustram o que se sugere.

Atividade 2 Em um sistema de coordenadas cartesianas, represente os pontos: A (1; 2); B (3; 8); C (–2; 8); e D (–4; 2). a) Mostre que os pontos A, B, C, D são os vértices de um paralelogramo. b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD. c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD. d) Determine as coordenadas do ponto M em que as duas diagonais de ABCD se encontram. e) Calcule a área do triângulo AMD.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Logo, a diagonal menor é AC.

y 8

∙

A -4

-2

d) Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cruzam no ponto médio de cada uma delas e achar o ponto médio de AC, que 1 é – ;5 . 2 e) Por inspeção direta, a base de AMD tem comprimento 5 e a altura mede 3; logo, a área de AMD é igual a 7,5.

Vamos representar os pontos indicados para orientar a resposta aos diversos itens. No entanto, poderíamos responder a cada uma das questões apenas com as informações do enunciado, sem qualquer figura. a) Calculando as inclinações dos segmentos AB e CD, notamos que elas são iguais: 8–2 =3 mAB = 3–1 2–8 –6 mCD = =3 = –4 – (–2) –2 Logo, AB e CD são paralelos. De modo análogo, mostramos que AD e BC também são paralelos. Resulta, então, que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. b) Calculando as distâncias entre A e B, e entre B e C, obtemos:

∙

Atividade 3 Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7), C (–2; 13) em um sistema de coordenadas. Sendo M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC: a) Determine as coordenadas de M e N. b) Calcule as inclinações dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos são paralelos. c) Calcule as distâncias dAB e dMN, verificando que dAB = 2 . dMN. Como no exercício anterior, vamos fazer um esboço da figura, para orientação da solução.

(8 – 2)2 + (3 – 1)2 = ∙∙∙ 40 ; dAB = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

(8 – 8)2 + (–2 – 3)2 = 5 dBC= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ Logo, o lado AB é maior, valendo 2∙∙∙ 10 . c) Calculando as distâncias entre A e C e entre B e D, obtemos as diagonais:

(8 – 2)2 + (–2 – 1)2 = ∙∙∙ 45; dAC = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2 – 8)2 + (–4 – 3)2 = ∙∙∙ 85 . dBD= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

A -2

a) As coordenadas de M, ponto médio de AC, são a média aritmética das coordenadas correspondentes de A e C: x + xC y + yC 13 = –1 yM = A = xM = A 2 2 2 13 1 . Analogamente, N = M = –1; ; 10 . 2 2

∙

b) Calculando a inclinação de AB, temos: y + yA 7 mAB = B = xb + xA 3 y + yN 7 = Analogamente, mMN = M xM + xN 3 Como as inclinações são iguais, concluímos que os segmentos AB e MN são paralelos. c) Calculando as distâncias entre A e B e entre M e N, obtemos: ∙∙∙ 58 58 e dMN = dAB = ∙∙∙ 2 dAB ou seja, dMN = 2

Para que três pontos A, B e C estejam alinhados, é necessário e suficiente que as inclinações dos segmentos AB, BC (e em consequência, AC) sejam iguais, ou seja, que os três pontos constituam uma única rampa ABC. y C C

yC mAB � mBC B

yB mAB = mBC = mAc

yA 0

a) Determine o valor de k para que os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k) estejam alinhados. b) Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero.

a) Devemos ter mAB = mBC ; resulta daí que 7–3 k–7 = , e, então, k = 9. 3–1 4–3 b) A área de ABC será nula quando os três pontos estiverem alinhados, ou seja, quando k = 9. É interessante aproximar essas duas informações: sempre que três pontos estão alinhados, a área do triângulo formado por eles é nula e vice-versa. c) Vamos construir uma figura para orientar a solução.

yA 0

c) Sendo k = 3, calcule a área do triângulo ABC.

Atividade 4

y yC

Por inspeção direta na figura, verificamos que a base AC mede 3 e a altura relativa mede 4; logo, a área é igual a 6.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

É interessante associar esse fato ao resultado da Atividade 3, notando que os lados do paralelogramo são os segmentos que unem os pontos médios dos lados dos triângulos em que o quadrilátero inicial se divide quando são traçadas as suas diagonais.

y B

x 1

Atividade 6

Atividade 5 Em um sistema de coordenadas qualquer, represente quatro pontos de modo a formarem um quadrilátero ABCD. Pode escolher as coordenadas à vontade. Analisando o quadrilátero formado:

Calcule a distância do ponto P de coordenadas (2; 15) à reta r nos casos indicados a seguir: a) r: y = 3

b) r: x = 9

c) y = 3x + 1

Vamos fazer uma figura para orientar a solução:

a) Calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA.

y = 3x + 1

b) Mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo. Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos médios dos quatro segmentos determinados pelos pontos escolhidos arbitrariamente, calcular as inclinações dos segmentos determinados por esses quatro pontos médios, e verificar que elas são iguais duas a duas. Converse com seus colegas e procure verificar que isso vale para qualquer quadrilátero. Em outras palavras, os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer sempre formam um paralelogramo.

 10

3 Q 1 d

B 15 – 7 = 8

 10 x=9

y2 = 3 . 2 + 1 = 7 y=3

1 C 0

a) Por inspeção direta, notamos que a distância de P até a reta y = 3 é igual a 15 – 3 = 12. b) Analogamente, notamos que a distância de P até a reta x = 9 é 9 – 2 = 7. c) Para calcular a distância d de P até a reta y = 3 . x + 1, observando na figura a semelhança entre os triângulos PAB e MNQ, tePB PA = . mos: QM QN 8 8∙∙∙ 10 d = ∙∙∙ , de onde obtemos d = . Logo, 10 10 1

Considerações sobre a avaliação Ao final desta primeira unidade, a expectativa é que a Geometria Analítica tenha sido assimilada como um método

novo para a abordagem de problemas já conhecidos, como foi registrado anteriormente. Nos exercícios apresentados, a colaboração entre a Álgebra e a Geometria pode ser notada e, a partir disso, ela deve ser ampliada continuamente. Considera-se que o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem foi bem-sucedido se os alunos consolidaram o uso do sistema de coordenadas cartesianas, tendo aprendido a determinar o ponto médio de um segmento, calcular a distância entre dois pontos e a inclinação de um segmento, bem como verificar se dois segmentos dados pelas coordenadas de seus pontos são ou não paralelos, além de outros resultados que o professor considerar viáveis no contexto de sua sala de aula, sempre associados à representação de pontos por coordenadas.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A RETA, A INCLINAçãO E A PROPORCIONALIDADE tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equação da reta: proporcionalidade, inclinação constante; relação entre as inclinações de retas paralelas e de retas perpendiculares; inequações lineares e regiões do plano cartesiano; problemas envolvendo equações da reta. Competências e habilidades: compreensão da linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; expressão de situações envolvendo proporcionalidade por meio de equações e inequações envolvendo retas. Estratégias: caracterização da reta tendo por base a inclinação constante do segmento formado por qualquer par de seus pontos; enfrentamento de situações-problema envolvendo proporcionalidade, tendo como recurso a equação da reta.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 A partir de agora, vamos procurar representar curvas por equações com base na expressão algébrica das propriedades que tais curvas apresentam. E vamos iniciar com a mais simples das "curvas", ou seja, com a reta, que é como uma "curva sem imaginação", pois segue sempre na mesma direção. Para determinar a equação de uma reta, ou seja, a relação entre as coordenadas x e y que deve satisfazer todos os seus pontos, basta estar atento ao fato de que todos os segmentos nela contidos têm a mesma inclinação. Deixemos de lado os casos particulares das retas paralelas aos eixos coordenados, cujas equações são do tipo:

y x = constante = m, ou seja, y = mx, que representa uma reta de inclinação m, pas-

sando pela origem. Se a reta não passar pela origem, mas cortar o eixo y no y–h = m. ponto de ordenada h, temos: x–0 Logo, todo ponto da reta satisfaz a equação y = mx + h, sendo: f h: ordenada do ponto em que a reta corta o eixo OY; f m: inclinação da reta, ou seja, a variação na ordenada y por unidade a mais de x.

x = constante = k, para todo y (reta paralela ao eixo OY); ou então: y = constante = h para todo x (reta paralela ao eixo OX). Consideremos agora as retas que cortam os eixos. Se uma reta corta o eixo OY no ponto P0 (0; h), tendo como inclinação comum a todos os seus segmentos o valor m, então um ponto qualquer P (x; y) da reta deve ser tal que a inclinação do segmento P0P é igual a m. A inclinação constante de todos os segmentos de uma reta pode ser associada à representação de grandezas diretamente proporcionais. De fato, se uma grandeza y é diretamente proporcional a outra grandeza x, então

Reiteramos então que, se a partir de certo valor h, y varia de modo diretamente proporcional a x, então temos: y – h = mx, ou seja, y = mx + h. A inclinação m representa a constante de proporcionalidade, e é interessante notar que m corresponde à variação no valor de y quando o valor de x aumenta de uma unidade: x ⇒ y = mx + h x’ = x + 1 ⇒ y’ = m(x + 1) + h = mx + m + h = y + m x’ – x = 1 ⇒ y’ – y = m

Ou seja, quando x aumenta de uma unidade, a variação de y será y’ – y = m.

Exemplo ilustrativo Sem qualquer necessidade de cálculo, na reta de equação y = 473,5x + 12,879, se x variar de uma unidade passando, por exemplo, de 2008 para 2009, o valor de y aumentará de 473,5 que é o coeficiente de x na equação y = mx + h.

y=h

(h < 0)

Nestes casos m = 0 x=k k<0

Muitos exemplos de retas com diferentes valores e sinais para m e h são apresentados a seguir, e é muito interessante acostumar-se a associar a cada uma das retas representadas o pequeno triângulo correspondente ao significado da inclinação.

x=k k>0

0 x

Nestes casos não existe m

Se duas retas são paralelas, então elas têm a mesma inclinação; se são concorrentes, então suas inclinações são diferentes. As figuras seguintes podem colaborar para a compreensão de tais afirmações:

y y = mx + h

(h > 0)

os sinais dos coeficientes m e h

y=h

1 y

x y = m1x + h1

Retas paralelas ao eixo OX, que têm equação do tipo y = h, podem ser consideradas retas de inclinação m = 0. Retas que passam pela origem do sistema de coordenadas têm equação do tipo y = mx, uma vez que h = 0. Para as retas paralelas ao eixo OY, não se define inclinação.

y = m2x + h2

x 0

m1 = m2

r1 e r2 paralelas

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

r1 y

–3

–2

–1

∙∙∙ 5

∙∙∙ 3

–7

– ∙∙∙ 5

6,4

–0,5

– ∙∙∙ 7

–0,8

y = m1 . x + h1

y = m2 . x + h2 r2

m1 ≠ m2

r1 e r2 concorrentes

Para a familiarização com tais fatos são apresentados a seguir alguns exercícios. As questões formuladas são simples, mas representam conhecimentos fundamentais. Com os valores de h e m, podemos escrever diretamente a equação da reta (Atividade 1). Também podemos facilmente escrever a equação da reta que passa por um ponto dado, com inclinação dada, ou que passa por dois pontos dados (Atividades 2 e 3).

Um esboço das nove retas, destacando-se os valores relativos dos coeficientes m e h, é indicado a seguir: y

r6 y = –  5 + 6,4x r9 y = – 0,8 + πx y = –1 +  5x r4

Atividade 1 Represente no plano cartesiano as retas r1 a r9 correspondentes aos valores de h e m tabelados abaixo:

r7 y=π x

h r1 r2

–2

r3 y = – 3 – 2x r2 y = 3 – 2x r1 y = 5x

r5 y =  3 – 7x y = – 0,5 –  7x r8

Atividade 2

1ª- solução

Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinação m = 3. Y

a equação é da forma y = mx + h. Substituindo as coordenadas dos pontos, temos:

Sendo a reta inclinada em relação aos eixos,

7=m.1+h 16 = m . 4 + h

3 5

Resolvendo o sistema, temos: m = 3 e h = 4.

1 2

Logo, a equação é y = 3x + 4.

2ª- solução

seja, é y = 3x + h

16 – 7 = 3. 4–1 E já sabemos que a equação é do tipo

Como o ponto (2; 5) pertence à reta, devemos

y = 3x + h.

1ª- solução A equação da reta é do tipo y = mx + h, ou

ter: 5 = 3 . 2 + h

Se ela passa pelo ponto A (1; 7), temos:

Logo, h = –1, e a equação é y = 3x –1

7=3.1+h

2ª- solução Sendo (x; y) um ponto genérico da reta, y–5 devemos ter: m = = 3. x–2 Logo, y – 5 = 3(x – 2), e segue que y = 3x –1

de onde segue que h = 4. Logo, a equação é y = 3x + 4.

Professor, uma sugestão!

Atividade 3 Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16). y 16

A inclinação da reta é m =

Apresente exercícios de fixação sobre os fatos básicos explorados nas atividades anteriores. Proponha aos alunos a determinação de diversas equações de retas a partir de diferentes informações: f Reta passando por dois pontos dados. f Reta passando por um ponto dado, sendo fornecida a inclinação.

A 7

A atividade pode ficar ainda mais interessante e significativa se forem incluídos os casos de retas paralelas aos eixos coordenados. 0

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Atividade 4

Considere o quadrado ABCD cujo lado mede cinco unidades e o triângulo equilátero EFG, cujo lado mede dez unidades. A

5 E

E 10

10 F

a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD. b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e O é o ponto médio do lado GF.

G 0

a) reta AB: y = 5 reta DC: y = 0 reta AD: x = 0 reta CB: x = 5 reta DB: y = x reta AC: y = –x + 1 b) reta FG: y = 0

Naturalmente, existem muitas respostas distintas para a questão. São indicados a seguir alguns exemplos de sistemas de coordenadas que poderiam ser escolhidos:

f calculando a altura do triângulo equilátero, obtemos h = 5∙∙∙ 3; logo, as retas EF e EG têm equações do tipo y = mx + 5∙∙∙ 3;

f como a reta EF passa pelo ponto F(5; 0), concluímos que 0 = m . 5 + 5∙∙∙ 3, ou ∙∙∙ seja, m = – 3; a equação de EF é y = – x + 5∙∙∙ 3; f analogamente, como EG passa pelo ponto (–5; 0), concluímos que sua inclinação 5∙∙∙ 3 , ou seja, é igual a ∙∙∙ 3; sua equaé 5 ção é y = ∙∙∙ 3 x + 5∙∙∙ 3; f a reta OM terá equação do tipo y = m . x, uma vez que passa pela origem. Como as coordenadas do ponto M são 3 5 5∙∙∙ , calculamos o valor de M e ob, 2 2 temos m = ∙∙∙ 3; portanto, a equação de OM ∙∙∙ é y = 3 x.

∙

a outra deverá ter inclinação negativa. Além disso, podemos mostrar que, existindo as inclinações m1 e m2 de duas retas perpendiculares, então seu produto sempre será igual a –1: Se m1 e m2 são as inclinações de r1 e r2 r1 e r2 são perpendiculares então, m1 . m2 = –1 Para justificar tal fato, basta observar a figura: y h2

y = m1x + h1

Professor: Outros sistemas de coordenadas poderiam ser escolhidos. Em sala de aula, essa diversidade possibilita algumas comparações interessantes sobre quais resultados dependem e quais não dependem de tal escolha. Nesse momento também é interessante analisar qual o sistema mais conveniente, no sentido de simplificar as equações a serem obtidas.

Atividade 5 Se duas retas inclinadas em relação aos eixos coordenados r1 e r2 são perpendiculares, então suas inclinações m1 e m2 têm sinais opostos, ou seja, m1 . m2 < 0. É possível convencer os alunos de tal fato representando retas em diferentes situações e notando que se uma tem inclinação positiva, então certamente

m1 1 h1

y = m2x + h2

Pode-se notar que, no triângulo retângulo formado pelas duas retas e pelo segmento em que estão representadas as inclinações m1 e m2, a altura relativa à hipotenusa é igual a 1; logo, o produto dos comprimentos dos segmentos representados por m1 e m2 é igual a 1, uma vez que o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre ela. Como as inclinações têm sinais opostos, concluímos que:

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–1 m1 . m2 = –1, ou seja, m1 = . m2 Um outro modo de comprovar tal relação é aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo anteriormente referido, notando que um dos catetos é ∙∙∙∙∙∙∙∙ 1 + m12, o outro é ∙∙∙∙∙∙∙∙ 1 + m22 , e a hipotenusa é m1 – m2 (lembrar que m2 é negativo; logo, o comprimento do segmento representado pelas duas inclinações é m1 – m2). Isso significa que: (m1 – m2)2 = 1 + m12 + 1 + m22, de onde segue que m1. m2 = –1. Conhecendo esse fato, vamos resolver alguns exercícios em que se escreve a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r em diversos casos, como os seguintes:

(0; 0)

y = 4 – 3x

(0; 4)

y = 2x – 5

(0; –3)

y = 0,2x + 7

(0; 7)

y = –∙∙∙ 3x+2

(1; 2)

y = 3x + 7

Em cada caso, buscamos a equação da reta que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada. Para obter a inclinação m’ da reta procurada, basta tomar a inclinação m da

reta dada, inverter e trocar o sinal, pois sabemos que o produto m.m’ deve ser igual a – 1. Assim, temos a seguinte tabela: A

(0; 0)

y = 4 – 3x

–3

1 3

(0; 4)

y = 2x – 5

(0; –3)

y = 0,2x + 7

0,2

–5

(0; 7)

3x+2 y = –∙∙

–∙∙∙ 3

1 ∙∙∙ 3 = ∙∙∙ 3 3

(1; 2)

y = 3x + 7

–

1 2

1 3

As retas perpendiculares são, portanto: y = m’ . x + h, com o m’ calculado acima e com o h calculado a partir do fato de que elas passam pelo ponto indicado. No primeiro caso, teríamos: 1 x + h; como a reta passa pela ori3 1 x. gem (0; 0), h = 0, e temos y = 3 No segundo caso: 1 x + h; como a reta passa pelo y=– 2 ponto (0; 4), temos: –1 ∙ 0 + h segue que h = 4, e temos 4= 2 1 x+4. y=– 2 Nos demais casos, temos, sucessivamente: 1 7 1 y = –5x –3 y = x+7 y= – x+ ∙∙∙ 3 3 3 y=–

Atividade 6 Já vimos que a equação y = mx + h representa os pontos de uma reta inclinada em relação aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que y

y = mx + h

se situa acima da reta, os pontos são tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx+h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y ≥ mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y ≤ mx + h para os ponto abaixo da reta ou na reta.

y = mx + h y � mx + h

y � mx + h

y � mx + h 0 0

x y � mx + h

Observação sobre a notação: y > mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta y = mx + h. y ≥ mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta, mais os pontos da reta y = mx + h. y < mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta y = mx + h. y ≤ mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta, mais os pontos da reta y = mx + h. Para exercitar a associação de regiões do plano a inequações, associe cada uma das regiões hachuradas A, B, C, D, E, F y

a uma inequação, ou a um sistema de inequações do tipo y > mx + h, ou então, y < mx + h: y

y = 3x + 5 A

y = 5 – 0,5x

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

y = 5 + 2x

D y = 7 – 0,5x x

x y = 4 – 0,9x

y y=4+x

y = π –  2x x 0

A: y ≥ 3x + 5 B: y < 5 – 0,5x C: –3 + 2x ≤ y ≤ 5 + 2x D: 4 – 0,9x ≤ y < 7 – 0,5x E: 4 ≤ y ≤ 4 + x para 0 ≤ x ≤ 7 F: π – ∙∙∙ 2 x < y ≤ π para 0 ≤ x ≤ 5 A equação da reta em sua forma geral ax + by = c não foi especialmente contemplada na apresentação das ideias neste texto. Entretanto, consideramos importante que o professor explore em alguns exercícios o fato de que tal equação sintetiza adequadamente os dois casos aqui estudados em separado: as

0 5

retas paralelas aos eixos coordenados e as retas inclinadas em relação aos eixos. Particularmente importante nesse caso é reconhecer a inclinação da reta apresentada na forma geral ax + by = c. Sendo b ≠ 0, a reta não será paralela ao eixo OY e podemos encontrar sua inclinação. Explicitando o valor de y, –a c x + e notamos que escrevemos y = b b –a a inclinação da reta é m = . Seria interesb sante praticar tal reconhecimento em variados exercícios. Para dedicar mais espaço neste Caderno à exploração de temas menos frequentemente abordados, deixamos tal tarefa a cargo do professor.

Atividade 7 Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir no mínimo 75g de proteínas por dia, servindo-se apenas de certo alimento A. a) Se cada grama de A fornece 0,15g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos por dia, no mínimo? Sendo x a quantidade de gramas de A, a ser ingerida, devemos ter x.0,15 ≥ 75. Concluímos, então, que x ≥ 500, ou seja, devem ser ingeridas no mínimo 500 g do alimento A. b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de proteínas correspondentes. A quantidade y em gramas de proteína ingerida é uma função da quantidade x em gramas ingerida do alimento A. Então, temos: y = 0,15x.

c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a prescrição da dieta é atendida. Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao atendimento à prescrição da dieta são os pontos da reta y = 0,15x, tais que x ≥ 500, ou seja, são os pontos da reta y = 0,15x à direita da reta x = 500. d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A. Os pares (x; y) que correspondem a alimentos mais ricos em proteínas do que A são tais que y > 0,15x, ou seja, ingerindo-se x gramas, a quantidade y de proteínas será maior do que 0,15x: trata-se da região acima da reta y = 0,15x; como devemos ter a ingestão de, no mínimo, 75g de proteína, então y ≥ 75, e devemos considerar, na região y > 0,15x, apenas os pontos acima da ou na reta y = 75.

x = 500

y = 0,15x

y = 75

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Atividade 8 Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a área a ser plantada de milho e de y a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar qualquer uma das culturas, responda às seguintes questões: a) Represente a relação algébrica que deve existir entre os valores de x e y. Sendo x a quantidade de alqueires plantados de milho e y a quantidade de alqueires plantados de alfafa, e sabendo-se que existe a opção de não plantar todos os 18 alqueires, devemos ter, então, a soma x + y menor ou igual a 18, ou seja, x + y ≤ 18. b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre x e y anteriormente referida. Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano abaixo da reta x + y = 18, e mais os pontos da reta x + y = 18; naturalmente, somente faz sentido no problema em questão os pares (x; y) em que temos x ≥ 0 e y ≥ 0.

região B do plano correspondente aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas? Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, temos, então, x ≥ 5; no plano, teremos a região à direita da reta x = 5, e abaixo da reta, x + y = 18. d) Sabendo-se que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas? Sabendo que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de alfafa, devemos ter, simultaneamente, x + y ≤ 18, x ≥ 5 e y ≥ 3; no plano, trata-se da região acima da, ou na reta y = 3, à direita da, ou na reta x = 5, e abaixo da, ou na reta x + y = 18 (incluindo-se os pontos das duas retas). y 18

Para obtermos a representação dos pontos da reta x + y = 18, basta escolhermos os pontos em que x = 0 (e, portanto, y = 18), e em que y = 0 (e, portanto, x = 18). c) Sabendo-se que devem ser plantados no mínimo 5 alqueires de milho, qual a

x + y = 18

Considerações sobre a avaliação

y 18

Ao final desta Situação de Aprendizagem, é fundamental que as equações de retas estejam naturalmente associadas à variação proporcional entre x e y, tanto a partir da origem quanto a partir de outros valores: y = kx, y – h = kx, ou ainda, y – y0 = k(x – x0).

x + y = 18 B

y 18

x + y = 18 C 3

Espera-se que os alunos compreendam que retas paralelas aos eixos têm equações simples, e que retas inclinadas em relação aos eixos têm equações na forma y = mx + h e ainda que saibam interpretar o significado dos coeficientes m e h. Especial atenção deve ser dada ao pequeno triângulo que determina a inclinação de cada reta, em decorrência das múltiplas informações que ele propicia. Também faz parte das expectativas de aprendizagem o reconhecimento de regiões do plano determinadas por desigualdades do tipo y < mx + h, ou y > mx + h, bem como de suas variações, envolvendo igualdade e desigualdade.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equação da reta em diferentes contextos: problemas lineares; representação de retas e regiões do plano cartesiano: problemas de máximos e mínimos. Competências e habilidades: capacidade de recorrer à linguagem da Geometria Analítica para enfrentar situações-problema em diferentes contextos; reconhecimento da importância da ideia de proporcionalidade e de sua relação direta com as equações das retas. Estratégias: apresentação de uma coleção de problemas lineares, alguns deles envolvendo situações de máximos ou mínimos, como motivação para uso das equações e inequações associadas a retas e regiões do plano.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 De maneira geral, situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais, ou cujas variações, a partir de certo valor inicial, traduzam uma proporcionalidade direta, resultam em equações de retas, quando traduzidas algebricamente. Vamos examinar, nos problemas que seguem, algumas situações concretas desse tipo. Os enunciados dos problemas podem não parecer usuais no conteúdo de Geometria Analítica, mas os requisitos para a solução de todos eles são apenas o conhecimento básico que já foi apresentado envolvendo equações de retas ou inequações correspondentes a regiões. Alguns dos problemas examinam situações de otimização, ou seja, em que se busca a solução de um problema de máximo ou de mínimo. As perguntas iniciais de cada problema são simples e servem de degraus para facilitar a compreensão e a solução das últimas questões.

Atividade 1 Em uma fábrica que produz um só tipo de produto, o custo C da produção de x unidades é a soma de um custo fixo C0 com um custo variável C1, que é proporcional a x. Se o processo de produção for tal que cada unidade produzida a mais custe sempre a mesma quantia, independentemente do valor de x, então C1 = kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto. Em uma fábrica como a descrita anteriormente, tem-se: C = 3 000 + 150x (x é o número de artigos; C é o custo da produção em reais).

a) Esboce o gráfico de C em função de x. O gráfico de C = 3 000 + 150x é uma reta de inclinação m = 150, cortando o eixo OY, em que está representado o custo C, no ponto (0; 3 000): C

150 1 3 000

C = 3 000 + 150x

b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo variável? O custo fixo é 3 000 e o custo variável é 150x; eles são iguais quando x = 20. c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da produção? O custo fixo passará a corresponder a 10% do custo total quando: 3 000 = 10% de (3 000 + 150x), ou seja, quando 3 000 = 0,1(3 000 + 150x), e então x = 180. C = 3 000 + 150x

150

C1 = 150x

3 000

20 x

Atividade 2 Uma fábrica produz dois tipos de produtos, A e B. A quantidade produzida diariamente de A é igual a x, e a quantidade diária de B é igual a y. O processo de produção é tal que cada unidade produzida de A custa sempre 5 reais, e cada unidade de B custa 8 reais, sendo, portanto, o custo da produção conjunta de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).

Sendo C = 3 200, então temos: 5x + 8y = 3 200. Os pares (x; y) correspondentes situam-se sobre a reta 5x + 8y = 3 200 (que é paralela à reta 5x + 8y = 2 400). Quando y = 0, x assume o valor máximo possível: x = 640. Quando x = 0, y assume o valor máximo possível: y = 400.

a) Sendo o valor de C, certo dia, igual a 2 400 reais, determine dois pares de valores possíveis para x e y.

y 400

Para termos 2400 = 5x + 8y, podemos ter x = 0 e y = 300, ou então, y = 0 e x = 480, ou ainda, x = 400 e y = 50. Existem infinitos pares de valores de x e de y que satisfazem a relação dada: são os correspondentes aos pontos da reta cuja equação 5x + 8y = 2 400 é representada a seguir:

300

5x + 8y = 3 200

5x + 8y = 2 400 0

480

640 x

c) Represente em um sistema de coordenadas no plano, os pares (x; y) para os quais se tem C ≤ 3 200.

y 300

Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na região do primeiro quadrante situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo dela:

5x + 8y = 2 400

y 400 50 480 0

400

5x + 8y = 3200 x

b) Sendo o máximo valor admissível para C igual a 3 200 reais, qual o valor máximo possível para x? E qual o valor máximo possível para y? (devemos ter, naturalmente, x ≥ 0, y ≥ 0).

640

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

Atividade 3 Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça pelo menos 6 mg de vitamina B2 alimentando-se exclusivamente dos alimentos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g. Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de B2, e cada pacote do alimento II fornece 0,15 mg de B2. Sendo x o número de pacotes do alimento I a ser ingeridos e y o número de pacotes do alimento II: a) Escreva a relação que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita. Como cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de vitamina B2, x pacotes de I fornecerão x . 1,2 mg de vitamina B2; se cada pacote de II fornece 0,15 mg de B2, então y pacotes de II fornecerão 0,15y mg de B2. Logo, ingerindo x pacotes de I e y pacotes de II, a quantidade ingerida de B2 será igual a 1,2x + 0,15y. Para a dieta ser satisfeita, devemos ter 1,2x + 0,15y ≥ 6. b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relação (lembrese de que devemos ter, naturalmente, x ≥ 0, y ≥ 0). y 40

Os pontos (x; y) que satisfazem a relação 1,2x + 0,15y ≥ 6 são os pontos do primeiro quadrante que se situam acima da, ou na reta 1,2x + 0,15y = 6. Essa reta corta o eixo OX no ponto (5; 0) e o eixo OY no ponto (0; 40).

Atividade 4 Retome o enunciado do exercício anterior. Considere que cada pacote de 100g do alimento I custa 5 reais, e que cada pacote do alimento II custa 2 reais. a) Expresse o custo C da alimentação, se forem utilizados x pacotes de I e y pacotes de II. Como cada pacote de I custa 5 reais, e cada pacote de II custa 2 reais, o custo C será igual a 5x + 2y, ou seja: C = 5x + 2y (C em reais). b) Represente graficamente no plano cartesiano os pares (x; y) que correspondem ao custo C1 = 40 reais, notando que eles correspondem a uma reta r1. Sendo o custo C1 = 40, os pares (x; y) que satisfazem a relação 40 = 5x + 2y são os pontos da reta r1, representada a seguir. Para representar tal reta, basta notar que quando x = 0, y = 20, e que quando y = 0, x = 8, ou seja, os pontos (0; 20) e (8; 0) pertencem a r1. y 20

1,2x + 0,15y = 6

r1 C1 = 40 5x + 2y = 40

c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C3 = 80 reais, notando que eles correspondem às retas r2 e r3, paralelas à reta r1 do item anterior. Os pontos que correspondem ao custo C2 = 60 e C3 = 80 são pontos, respectivamente, das retas r2 : 5x + 2y = 60 e r3 : 5x + 2y = 80, representadas a seguir.

e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentação o mínimo possível? y 40

1,2x + 0,15y ≥ 6

Para representar r2, basta notar que: se x = 0, então y = 30; se y = 0, então x = 12. Para representar r3, analogamente, temos: x = 0, y = 40; y = 0, x = 16.

∙As retas r

e r3 são paralelas, pois têm a

mesma inclinação m, determinada pelos co5 eficientes 5 e 2: m = – . 2

∙

d) Mostre que quanto menor o custo, menor a ordenada do ponto em que a reta que o representa corta o eixo y. Para cada valor fixado de C, a reta C = 5x + 2y C ; assim, quanto corta o eixo OY no ponto 0; 2 C menor o custo, menor o valor de . Podemos 2 observar esse fato nos exemplos dos itens anteriores, para C igual a 40, 60 e 80.

∙

C3 = 80

r2 r1

C2 = 60

Recordemos, da Atividade 3, que para a dieta ser satisfeita, os pares (x; y) devem pertencer à região do primeiro quadrante situada na reta 1,2x + 0,15y = 6, ou acima dela. Estamos, agora, procurando o par (x; y) que corresponde ao custo mínimo entre os pontos da região em que 1,2x + 0,15y ≥ 6. Vamos observar como as retas que traduzem os custos da alimentação, representadas anteriormente, situam-se na região que corresponde à satisfação da dieta. Notamos que: f para os diversos valores do custo, as retas representativas são paralelas (inclinação 5 ; igual a – 2 f quanto mais baixa for a reta que representa o custo, menor é esse custo (seu valor determina o ponto em que a reta corta C . o eixo y, que é 0; 2 f o ponto mais baixo a que se pode chegar sem sair da região que satisfaz a dieta

∙

C1 = 40

∙

16 x

∙

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

(acima ou na reta 1,2x + 0,15y = 6), é o ponto (5; 0); f nesse ponto, o custo será C = 5 . 5 + 2 . 0 = 25, que é o custo mínimo. Todos esses fatos estão reunidos na figura a seguir: y

30 20

1,2x + 0,15y ≥ 6

12,5 C = 60 C = 40 0 5 fora da região de satisfação da dieta

8 Cmínimo C = 25

a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produção? Cada alqueire de milho renderá 20 000; logo, se plantar x alqueires, o rendimento será 20 000x. Cada alqueire de cana renderá 15 000; logo, se plantar y alqueires de cana, o rendimento será 15 000y. O rendimento total será R = 20 000x + 15 000y.

C = 5x + 2y

irrigação, e cada alqueire de cana requer somente 10 000L de água, sendo que, no período correspondente, a quantidade de água disponível para tal fim é 120 000L.

C = 80

Portanto, o custo mínimo, nas condições do enunciado, ocorre com 5 pacotes do alimento I e nenhum pacote do alimento II; tal custo corresponde a 25 reais.

b) Qual a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de alqueires plantados não pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação. Sendo x a quantidade de alqueires a ser plantados de milho e y a quantidade de alqueires plantados de cana, a soma x + y não pode ultrapassar os 8 alqueires disponíveis, ou seja: x + y ≤ 8.

Atividade 5 Um pequeno fazendeiro dispõe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir quanto plantar de milho e de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total seja o maior possível. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento líquido de 20 000 reais, e cada alqueire de cana deverá render 15 000 reais. No entanto, cada alqueire de milho requer 20 000L de água para

x+y≤8

c) Qual a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado não pode superar os 120 000L? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação. Como cada alqueire de milho requer 20 000L de água, x alqueires requererão 20 000x L; da mesma forma, y alqueires de cana utilizarão 10 000y L de água. Assim, o total de litros de água utilizados será 20 000x + 10 000y, e não poderá ultrapassar o limite de 120 000, ou seja: 20 000x + 10 000y ≤ 120 000. Isso corresponde aos pontos situados abaixo da reta ou na reta 20 000x + 10 000y = 120 000. Confira a representação:

Os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as duas restrições são os pontos situados abaixo ou na reta x + y = 8, e abaixo ou na reta 2x + y = 12. Formam o quadrilátero ABCD indicado na representação a seguir.

y 12

2x + y = 12 8A

y B

x+y=8 2x + y = 12 D 0

2x + y ≤ 12

Para representar a reta, podemos simplificar os coeficientes, obtendo 2x + y = 12. f para x = 0, temos y = 12; f para y = 0, temos x = 6. d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).

C 6

e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais e os que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 reais. Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento R1 = 75 000 reais são os pontos da reta r1 de equação 75 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os coeficientes, 4x + 3y = 15. Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 são os pontos da reta r2 de equação 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou seja, simplificando os coeficientes, 24 = 4x + 3y. As duas retas são paralelas e estão representadas a seguir:

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

sem sair da região de viabilidade corresponde à reta que passa pelo ponto de interseção das retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No ponto (4; 4), portanto, o valor de R é o maior possível, respeitadas as condições de x + y ≤ 8 e 2x + y ≤ 12. Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos: R = 20 000.4 + 15 000.4, ou seja, R = 140 000 reais. Acompanhe o raciocínio que foi feito na figura abaixo:

y 12

R2 = 120 000 A

2x + y = 12

R1 = 75 000 5

B x+y=8 C

D 0

15 ___ 4

x fora da região da viabilidade Rmáximo

r1: 4x + 3y = 15 x=0⇒y=5 15 y=0⇒x= 4

r2: 4x + 3y = 24 x=0⇒y=8

R2 = 120 000

y=0⇒x=6

f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa corta o eixo OY. Para cada valor fixado do rendimento R, a reta R = 20 000x + 15 000y corta o eixo OY no ponto em que x = 0, ou seja, em que R . Isso significa que quanto maior o y= 15 000 rendimento, mais alta a ordenada do ponto em que a reta que o representa corta o eixo y. g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo. Buscamos agora o ponto da região de viabilidade do problema, ou seja, que foi determinado no item d, no qual o rendimento total R é o maior possível. O mais alto possível para a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y

y 12

2x + y = 12

R1 = 75 000 5 4

B x+y=8

D 0

4 15 ___ 4

C 6

Atividade 6 Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2 h de trabalho de M1 e 2 h de M2; cada unidade de P2 exige 1 h de trabalho de M1 e 4 h de M2. Sabese que as máquinas M1 e M2 podem trabalhar no máximo 10 h por dia e 16 h por dia, respectivamente, e que o lucro unitário, na venda de P1, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitário é de 60 reais. Representando

b) Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2 não ultrapasse as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

por x a quantidade diária a ser produzida de P1 e por y a quantidade a ser produzida de P2, responda às questões seguintes: a) Qual a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1 não ultrapasse as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

Analogamente ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2 h de M2 , e cada unidade de P2 utiliza 4 h de M2. Logo, x unidades de P1 e y unidades de P2 utilizarão 2x + 4y horas de M2, e devemos ter 2x + 4y ≤ 16. O gráfico foi está representado anteriormente.

Cada unidade de P1 utiliza 2 h de M1; cada unidade de P2 utiliza 1 h de M1; logo, produzindo-se x unidades de P1 e y unidades de P2, a máquina M1 ficará ocupada x . 2 + y . 1 horas. Como M1 poderá trabalhar no máximo 10 h, devemos ter 2x + 1y ≤ 10. Corresponde à região do plano abaixo da ou na reta 2x + y = 10 (ver a seguir).

c) Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente as duas restrições dos itens a e b. Trata-se da região do primeiro quadrante situada abaixo das ou nas retas

2x + y = 10 e 2x + 4y = 16; é o quadrilátero A de vértices (0; 0), (5; 0), (0; 4) e (4; 2).

Para encontrar o vértice (4; 2), basta achar a interseção das retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16 2x + y ≤ 10 y 5

4 2x + y ≤ 10 4 2 A

2x + 4y ≤ 16

2x + 4y ≤ 16 8

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d) Qual a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?

viabilidade para o problema. Para descobrir tal ponto, vamos relacionar o lucro L com a região A.

O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y unidades produzidas de P2, é igual a 40x + 60y, pois cada unidade de P1 gera um lucro de 40, e cada unidade de P2 gera um lucro de 60. Assim, temos L = 40x + 60y. e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais. Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem a essa relação pertencem a uma reta, representada a seguir:

Lucro crescente 10

2x + y ≤ 10 Lmáximo L = 240 L = 120 2

2x + 4y ≤ 16

2 120 = 40x + 60y

f) Qual o ponto da região do item c que corresponde ao lucro total máximo? Queremos agora encontrar o ponto da região A, indicada no item c, para o qual o lucro total L seja máximo. A região A é formada pelos pares (x; y), que obedecem às duas restrições inicialmente apresentadas, constituindo, assim, a região de

Para cada valor de L, a expressão L = 40x + 60y representa uma reta; para valores diferentes de L, as retas correspondentes são todas paralelas. Por exemplo, para L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que é uma reta que intercepta o eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y no ponto (0; 4). Para encontrar o lucro máximo, basta procurar entre as retas paralelas L = 40x + 60 . y aquela que corta o eixo y o mais alto possível, sem sair da região de viabilidade do problema. Tal reta é a que passa pelo ponto (4; 2); o valor de L correspondente é L = 40 . 4 + 60 . 2 = 280. O lucro total máximo é, portanto, 280 reais.

Considerações sobre a avaliação Nesta presente Situação de Aprendizagem, foram explorados problemas lineares, envolvendo exclusivamente equações de retas, em alguns dos quais o que estava em foco era uma questão de otimização (de máximo ou de mínimo). Tais problemas, apesar de seus enunciados relativamente longos, não são especialmente difíceis, exigindo apenas uma leitura atenta das informações apresentadas. Eles podem se prestar muito bem à realização de pequenos projetos de estudo ou de investigação sobre os temas abordados, como as dietas ou a organização do trabalho em uma fábrica, por exemplo. Os objetivos da Situação de Aprendizagem estarão garantidos se os alunos conseguirem explorar de modo analítico, com consciência,

todas as informações constantes em pelo menos um dos problemas de otimização apresentados, compreendendo o fato de que a solução do mesmo somente exige apenas conhecimentos iniciais de Geometria Analítica. Não é necessário o professor ter a preocupação de resolver todos os exercícios, mas é preciso que estabeleça como meta explorar muito bem pelo menos uma das modelagens apresentadas para problemas práticos. Sobre a forma de avaliação, consideramos que o assunto favorece uma utilização de múltiplos instrumentos, não se limitando às provas. Trabalhos de modelagem matemática e equacionamento de problemas lineares, como os apresentados, incorporando-se outras variáveis ou condições, além das referidas, podem ser realizados, explorando-se centros de interesse dos alunos.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAçÕES, APLICAçÕES tempo previsto: 2 semanas e meia. Conteúdos e temas: caracterização da circunferência e das cônicas (elipse, hipérbole e parábola) por meio de propriedades; equações da circunferência e das cônicas em situações simples, com centro na origem; utilização das equações das circunferências e das cônicas em diferentes contextos. Competências e habilidades: capacidade de expressar por meio da linguagem algébrica as propriedades características de curvas muito frequentes na natureza, como as circunferências e as cônicas; capacidade de reconhecer, em diferentes contextos, a presença das circunferências e das cônicas, expressas por meio de suas equações; capacidade de lidar com as equações das circunferências e das cônicas para resolver problemas simples, em diferentes contextos. Estratégias: apresentação de uma coleção de situações em que as circunferências e as cônicas estão presentes, explorando suas propriedades tendo em vista a representação de tais curvas por meio de equações; apresentação de alguns exercícios exemplares, para sinalizar aos professores os principais centros de interesses dos temas estudados.

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roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Nas três Situações de Aprendizagem anteriores, a ênfase foi dada à abordagem algébrica de problemas geométricos envolvendo as retas e suas equações. A partir de agora, outras curvas serão estudadas com os métodos da Geometria Analítica. Também aqui não se trata de apresentar curvas e propriedades desconhecidas, mas sim de abordar de uma

maneira nova uma série curvas e de problemas já conhecidos, aumentando dessa forma , assim, nossa capacidade de enfrentar situações-problema. As circunferências e as cônicas (elipses, hipérboles e parábolas) são as curvas cujas equações apresentaremos a seguir. A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular; a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma de duas direções perpendiculares.

circunferência

elipse circunferência

elipse

Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica.

hipérbole

circunferência

elipse

parábola

A caracterização dessas curvas pode ser feita com mais vagar pelo professor, sendo interessante, inclusive, a observação das mesmas colocando-se água em recipientes cilíndricos, cortando-se um salame, ou construindo materiais para ser usados ema aula com madeira e serrote. No que segue, buscaremos mostrar as equações de tais curvas, quando situadas em um plano cartesiano convenientemente escolhido. Começaremos com a circunferência.

y r

Circunferência A propriedade característica da circunferência é a de que seus pontos são todos equidistantes de um ponto interior chamado centro; a distância comum de cada um de seus pontos ao centro é o raio da circunferência. Assim, se o centro for a origem do sistema de coordenadas e P (x; y) um ponto de uma circunferência de raio r, a equação que relaciona as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência é: d(P; O) = r, Ou seja, ∙∙∙∙∙∙∙ x2 + y2 = r , Ou, ainda, x2 + y2 = r2. Se o centro C for o ponto (xo; yo), então da igualdade característica d(P; C) = r resultará: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (x – xo)2 + (y – yo)2 = r. Ou seja, (x – xo)2 + (y – yo)2 = r2.

y r y0

Exemplo ilustrativo a) A equação x2 + y2 = 10 representa uma circunferência com centro na origem e raio igual a ∙∙∙ 10. b) A equação (x – 3)2 + (y – 5)2 = 16 representa uma circunferência de centro no ponto (3; 5) e raio igual a 4. c) A equação x2 + (y – 1)2 = 25 representa uma circunferência de centro no ponto (0; 1) e raio igual a 5. d) A equação (x + 7)2 + y2 = 13 representa uma circunferência de centro no ponto (–7; 0) e raio igual a ∙∙∙ 13.

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Atividade 1

d) Calcule a distância entre P1 e P2.

Considere a circunferência de centro (4; 4) e de raio 4. a) Represente-a no plano cartesiano e determine sua equação. A equação da circunferência é (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16; ver figura a seguir.

Calculando a distância entre P1 e P2, encontramos 8, que é o diâmetro da circunferência. Professor: Outros exercícios poderiam ser propostos, articulando o reconhecimento da equação da circunferência e os resultados já conhecidos sobre retas. Em virtude da limitação do espaço do Caderno, deixamos tal tarefa para o discernimento e a disponibilidade do professor.

Elipse 4 P2

b) Determine a equação da reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência. A reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência tem inclinação igual a 1; logo, sua equação é y = x. c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P2, de interseção da reta s com a circunferência dada. Os pontos de interseção da reta s com a circunferência são as soluções do sistema formado pelas equações y = x e (x – 4)2 + (y – 4)2 = 16. Substituindo y por x na segunda equa2 e x2 = 4 – 2∙∙∙ 2. ção, obtemos x1 = 4 + 2∙∙∙ 2 ; 4 + 2∙∙∙ 2 ) e Logo, P1 = (4 + 2∙∙∙ 2 ; 4 – 2 ∙∙∙ 2 ). P2 = (4 – 2∙∙∙

As curvas chamadas cônicas – a elipse, a hipérbole e a parábola – ocorrem com muita frequência na natureza e no dia-a-dia. Vamos conhecer suas principais características, iniciando pela elipse. Quando inclinamos um recipiente cilíndrico aberto, de seção circular, contendo água em repouso, o contorno da superfície da água é uma elipse. Também é uma elipse a sombra projetada de uma circunferência situada em um plano vertical, quando a luz do Sol, ou outra luz qualquer, incide obliquamente.

Foi Kepler (1571-1630), em seus estudos de Astronomia, quem associou às trajetórias dos planetas ao redor do Sol não mais circunferências, mas sim elipses, ou seja, circunferências “achatadas”. Nessas elipses, Kepler destacou

a existência de dois pontos simetricamente opostos em relação ao centro, chamados focos, em um dos quais o Sol se situava.

A partir desses dois pontos, uma propriedade fundamental pode ser utilizada para caracterizar uma elipse: qualquer ponto da elipse é tal que a soma das distâncias até esses dois pontos fixados, que são os focos, é constante. Jardineiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir canteiros elípticos: fincando-se duas estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de comprimento L (maior do que a distância entre os focos) esticado, obtém-se uma elipse.

Um coador de café de plástico pode ilustrar o fato de que as elipses podem ser consideradas como curvas intermediárias entre a circunferência e o segmento de reta:

Uma elipse apresenta dois eixos de simetria: o semieixo maior costuma ser representado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos são 2a e 2b. Como já foi dito anteriormente, a elipse é como uma circunferência "achatada". Com isso em mente, vamos obter a equação da elipse com centro na origem na atividade seguinte. y �

d(P, F1) + d(P, F2) = constante

–a

Semieixos

–b

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Atividade 2

Exemplo ilustrativo

Usando o fato de que a elipse é uma circunferência “achatada”, ou seja, é a curva obtida quando reduzimos (ou ampliamos) na mesma proporção todas as cordas perpendiculares a um diâmetro dado, mostrar que a equação da elipse de centro na origem e com os semieixos x2 y2 a e b é 2 + 2 = 1. a b De fato, se os pontos (x; y’) de uma circunferência de centro na origem e raio a satisfazem a equação x2 + y´2 = a2, os pontos (x; y) da elipse obtida reduzindo todas as ordenadas na proporção de a para b (a > b > 0) são tais y' a a = , ou seja, y’ = y ∙ . que y b b

y a l

–a

(x; y’)

(x; y)

–b

x Elipse

x2 y2 + =1 a2 b2

Circunferência x2 +(y`)2 = a2

Substituindo esse valor de y’ na equação da circunferência x2 + y’2 = a2, obtemos y.a 2 2 x2 y2 = a , de onde resulta: 2 + 2 = 1, x2 + a b b que é a equação da elipse.

∙

y2 = 1 representa uma 5 elipse de semieixos 1 e ∙∙∙ 5 , com centro na origem.

b) A equação x2 +

c) A equação 4x2 + 9y2 = 36 representa uma elipse, pois pode ser escrita na forx2 y2 ma equivalente + = 1; tem cen9 4 tro na origem e semieixos 3 e 2. Professor: Aqui seria interessante apresentar muitos exercícios de identificação dos dois semieixos de elipses dadas por equações na x2 y2 forma 2 + 2 = 1, com a correspona b dente representação no plano cartesiano, bem como exercícios de escrita das equações de elipses já representadas no plano, com o centro na origem do sistema e com os valores dos semieixos indicados sobre os eixos coordenados.

Atividade 3

–a

∙

x2 y2 + = 1 representa uma 9 7 elipse de semieixos 3 e ∙∙∙ 7, com centro na origem.

a) A equação

Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; –b) distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que estão a uma distância a de (0; b) e (0; –b) têm coordenadas (c; 0) e (–c; 0). Eles são particularmente importantes, sendo chamados de focos da elipse. O valor c é chamado distância focal da elipse. Por construção, a soma das distâncias dos pontos (0; b)

e (0; –b) até os focos é igual a 2a. É possível mostrar que para todo ponto P:(x; y) do plax2 y2 no, se 2 + 2 = 1, então a soma das distâna b cias de P até os focos (c; 0) e (–c; 0) é igual a 2a. A razão c/a é chamada excentricidade da elipse e, sendo representada pela letra e. y

Observação: No caso da órbita da Terra, que Kepler concluiu ser uma elipse com o Sol em um dos focos, a excentricidade e é igual a 0,01675, ou seja, a órbita é quase uma circunferência. Os semieixos, nesse caso, são, aproximadamente, a = 153 493 000 km e b = 153 454 000 km.

b a –a

–c

Atividade 4

a c

Considere a elipse de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5.

–b

a) Mostre que, entre a, b e c, vale a relação a2 = b2 + c2.

y 5 13 F1

13 F2

Observando o triângulo retângulo formado na figura, de hipotenusa a e catetos b e c, concluímos que a2 = b2 + c2. b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de 1, e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais próximo de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero, e a elipse se aproxima de uma circunferência. Como c = ∙∙∙∙∙∙∙∙ a2 – b2 , notamos que, sendo fixado o valor de a, quanto maior for o valor de b, menor será c, e portanto, menor a excentricidade, e mais a elipse se aproxima de uma circunferência; quanto menor o valor de b, mais próximo de a é o valor de c, e portanto, maior é a excentricidade, que se aproxima do valor 1.

Determine: a) a equação da elipse, representando-a no plano cartesiano; A equação da elipse é

x2 y2 + =1 132 52

b) a excentricidade da elipse; c , sendo a c = ∙∙∙∙∙∙∙∙ 132 – 52 = 12. Calculando o valor de e, 12 temos: e = = 0,923. 13 c) os focos da elipse; A excentricidade da elipse é e =

Os focos da elipse são os pontos de coordenadas (c; 0) e (–c; 0), ou seja, são os pontos (12; 0) e (–12; 0).

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertença à elipse; Para que o ponto (5; k) pertença à elipse, 52 k2 devemos ter 2 + 2 = 1 , de onde obtemos 13 5 60 que k = ± . Sendo P do primeiro quadran13 60 te, segue que k = . 13

x.y=k

y1 x3

0 y3

x2 x

e) a soma das distâncias de P aos focos da elipse. Podemos calcular a soma das distâncias do 60 até os focos obtidos no item ponto P 5; 13 c); sabemos, no entanto, que tal valor será igual a 2a, ou seja, a 26.

∙

eixos oblíquos

x1 . y1 = x2 . y2 = x3 . y3 = constante = k

Hipérbole Quando representamos graficamente pares (x;y) de grandezas que são inversamente proporcionais, isto é, cujo produto x . y é constante, a curva obtida é uma hipérbole: y

y1 xy = k y2 x3

0 x1

Como já vimos anteriormente, a hipérbole surge, ainda, quando seccionamos um cone circular reto com um plano que forma com o plano da base um ângulo maior do que aquele formado por uma geratriz do cone com a base. Quando um avião se desloca a certa altura com velocidade maior do que a do som, um problema importante consiste em determinar a região da superfície da Terra de onde se pode escutar o barulho de seus motores. Essa região é chamada zona de audibilidade e se desloca com o avião. É possível mostrar que, em cada instante, seu contorno é uma hipérbole.

eixos perpendiculares/sistema ortogonal

Uma propriedade característica da hipérbole é a seguinte: existem dois pontos fixados F1 e F2 tais que a diferença entre as distâncias de qualquer ponto da curva até esses dois pontos é constante. A partir dessa propriedade, é possível traçar hipérboles da forma indicada na figura a seguir: P

Para escrever a equação da hipérbole, podemos partir da representação de grandezas inversamente proporcionais. No caso de um sistema XOY, em que os eixos cartesianos são ortogonais, a hipérbole é chamada equilátera e os dois ramos da curva aproximam-se indefinidamente dos eixos coordenados, nunca neles encostando. A origem é um centro de simetria, e os eixos coordenados são chamados, nesse caso, de assíntotas da hipérbole.

Exemplos ilustrativos As curvas formadas pelos pontos cujas coordenadas satisfazem as relações abaixo são hipérboles, tendo como assíntotas os eixos coordenados (ver figura). a) xy = 7

b) xy = –5

F2 y xy = 7 elipse d(P, F2) + (d(P, F1) = constante 0

F2 xy = –5

hipérbole d(P, F2) – (d(P, F1) = constante

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A equação x2 – y2 = 1 pode ser escrita (x + y).(x – y) = 1, ou seja, X.Y = 1, sendo Y = (x – y) e X = (x + y); podemos, então, verificar que os pontos (x; y) que satisfazem a equação x2 – y2 = 1 são os mesmos que satisfazem a equação X . Y = 1. Podemos reconhecê-los, no sistema cartesiano, notando que quando X = 0, ou seja, no eixo Y, temos y = x, o que significa que o eixo Y é a bissetriz dos quadrantes ímpares, y = x. Analogamente, vemos que Y = 0 quando y = – x, ou seja, o eixo X é a bissetriz dos quadrantes pares. Temos, então, a representação a seguir. Dizemos que as assíntotas da hipérbole são as retas y = x e y = – x.

Atividade 5 Obtenha a equação de uma hipérbole com centro na origem, passando pelo ponto (a; 0) b x e e tendo como assíntotas as retas y = a b y= – x. a

∙

∙ ∙

∙

Em relação ao sistema de eixos XOY, em b que o eixo Y corresponde à reta y = x e a –b o eixo X corresponde à reta y = x, a equaa ção da hipérbole seria : X.Y = K (constante). y

b x a

Y (y = x)

x 2 – y2 = 1

–a

XY = 1

0 x y= –

b x a

X (y = x)

Analogamente, a equação 4x 2 – 9y 2 = 36 pode ser vista como uma hipérbole. Basta fatorar o primeiro membro, obtendo (2x – 3y) . (2x + 3y) = 36, ou seja, X . Y = 36. Nesse caso, as assíntotas são as retas 2x – 3y = 0 e 2x + 3y = 0, conforme a representação a seguir: y Y (2x – 3y = 0)

4x2 – 9y2 = 36 x

X (2x + 3y = 0)

Em relação ao sistema ortogonal xOy, é posy = constante sível mostrar que ao produtox . X.Y = K corresb b ponde o produto yy – x ∙ y+ x = k. a a x Um indício de tal fato é a correspondência: b Y=0 corresponde a y– x=0 a (eixo X) (assíntota da hipérbole) b x =0 X=0 corresponde a y + – a (eixo Y) (assíntota da hipérbole)

∙

∙∙

∙

Calculando o produto indicado, temos: X.Y = K corresponde a

∙y –

b b x ∙ y+– x = k. a a

∙ ∙

∙

b2 Ou seja, y – 2 x2 = k. a Como a curva passa pelo ponto (a; 0), podemos calcular o valor de k: b2 02 – 2 a2 = k, ou seja, k = – b2 a Logo, a equação da hipérbole é b2 y2 – 2 x2 = – b2, de onde obtemos: a x2 y2 – =1 a2 b2 2

entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até F1 e até F2 é constante e igual a 2a. y b y= a x

b F2 –c

–a

F1 5 a c

Exemplo ilustrativo x2 y2 – = 1 é uma hi9 16 pérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como 4 4 assíntotas as retas y = xey=– x. 3 3 A curva de equação

Professor: Neste ponto, seria interessante apresentar diversos exercícios de representação no plano cartesiano de hipérboles dadas por equações na forma apresentada acima, sempre destacando as assíntotas, que podem ser obtidas pela simples fatoração da diferença de quadrados, característica da equação da hipérbole nessa forma.

–b y= a x

Para cada uma das hipérboles a seguir, determine os focos e calcule o valor constante da diferença das distâncias entre um ponto qualquer da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido fazendo os cálculos diretamente para um ponto da hipérbole arbitrariamente escolhido. a)

3 0

4 x

Atividade 6 b –b xey= x , com a e b posia a tivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa por (a; 0), os pontos F1: (c; 0) e F2: (–c; 0), tais que c2 = a2 + b2, são chamados focos da hipérbole. Na figura a seguir, são mostrados os focos da hipérbole. É possível mostrar que a diferença Sendo y =

Temos a = 4, b = 3; logo, c = ∙∙∙∙∙∙∙ a2 + b2 = 5. Os focos são os pontos (5; 0) e (–5; 0). A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é igual a 2a, ou seja, é 8.

Matemática – 3ª- série, 1o bimestre

5 5

Analogamente, a = 5, b = 12 e c = 13. Focos: (13; 0) e (–13; 0). A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é 2a = 10. Um dos sistemas utilizados para a localização de automóveis utiliza a propriedade característica da hipérbole anteriormente referida, ou seja, a diferença das distâncias de um ponto P qualquer da hipérbole a dois pontos fixados F1 e F2 , que são seus focos, é constante, ou seja, o valor absoluto da diferença PF1 – PF2 = constante. Se um auto situado no ponto P enviar um sinal para cada uma das centrais F1 e F2, considerando a diferença dos tempos de recepção dos sinais, e consequentemente, das distâncias entre P e F1 e P e F2, pode-se concluir que o ponto P situa-se em um dos ramos de uma hipérbole H12. Se outro sinal for enviado do auto para uma terceira central F3, combinando-se os dados de F2 e F3 , pode-se concluir que o ponto P situa-se sobre outra hipérbole H32. Os pontos de interseção das duas hipérboles fornecem as posições possíveis para o auto.

Neste caso, os eixos estão invertidos, e os focos estão no eixo y. Temos c = 5∙∙∙ 2 e os focos (0; 5∙∙∙ 2) e (0; –5∙∙∙ 2). A diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até os dois focos é 2a = 10.

H12

F1 P

H12

H32 F2

?? H32

Parábola Em geral, quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas tais que y é diretamente proporcional ao quadrado de x (y = kx2, k constante e k ≠ 0), a curva correspondente no plano cartesiano é uma parábola. y

A parábola tem certas propriedades características que podem ser utilizadas para defini-la. Uma delas é a existência de um ponto F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a distância de cada ponto P da parábola até F é igual à distância de P até r. F é o foco da parábola e r é sua diretriz. PII

y = kx2 P'

d(P, F) = d(P,r) d(P', F) = d(P',r) d(PII, F) = d(PII,r)

É o que ocorre, por exemplo, quando uma pedra é abandonada e registramos a relação entre a distância percorrida verticalmente e o tempo de queda livre. Também é uma parábola a trajetória de todos os projéteis lançados obliquamente em relação à superfície da Terra, desconsiderados os efeitos do ar. Além disso, quando, de um ponto fixado no solo, lançamos projéteis sempre com a mesma velocidade inicial vo, em todas as direções possíveis, em um plano vertical dado, o contorno da região determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projéteis é também uma parábola, chamada parábola de segurança. Como registramos no início desta Situação de Aprendizagem, quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um ângulo exatamente igual ao que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos também uma parábola.

Outra propriedade interessante das parábolas é a seguinte: sendo P um ponto qualquer da parábola, a reta que passa pelo foco F e por P forma com a tangente à parábola em P um ângulo igual ao formado pela tangente com a reta paralela ao eixo da parábola passando por P (ver figura).

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Isso explica a razão de os faróis dos automóveis serem envolvidos por uma superfície que é um paraboloide, ou seja, é a superfície gerada por uma parábola que dá uma volta completa em torno de seu eixo. Se a lâmpada situar-se exatamente no foco, os raios de luz formarão um feixe paralelo ao eixo, como é desejável, para uma maior concentração da luz. Na atividade seguinte, vamos procurar aproximar a parábola que resulta da proporcionalidade direta entre uma grandeza y e o quadrado de outra grandeza x com a parábola definida por meio de um foco F e de uma diretriz r, a partir da propriedade da equidistância de um ponto da parábola entre o foco e a diretriz.

Substituindo y por kx2 e efetuando os cálculos, obtemos: x2 + (kx2 – c)2 = (kx2 + c)2 x2 + k2x4 + c2 – 2kx2.c = k2x 4 + c2 + 2kcx2 x2(1 – 4kc) = 0 Daí segue que, para a igualdade valer para 1 todo x, devemos ter c = 4k 1 Logo, o foco é o ponto 0; 4k 1 é a reta y = – . 4k

∙

∙ , e a diretriz

y y = kx2

1 F (0; 4k )

Atividade 7 Determine o foco e a diretriz das parábolas. a) y = kx2

b) x = ky2 c) y = kx2 + h

1 y = – 4k

Consideremos a parábola y = kx2. Se o foco for o ponto F(0; c), então a diretriz r será a reta y = – c, pois o ponto (0; 0) pertence à parábola e a distância dele ao foco deve ser a mesma que a distância dele à diretriz. Sendo P (x; y) um ponto qualquer da parábola, a distância de P ao foco deve ser igual à distância até a diretriz, ou seja: d (P; F) = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ x2 + (y – c)2 = y + c = d(P; r). Logo, x2 + (y – c)2 = (y + c)2 .

Analogamente, se a parábola fosse x = ky2, teríamos: foco

∙

1 ;0 4k

∙

e diretriz: x = –

1 4k

Para uma parábola de equação y = kx2 + h, o foco e a diretriz seriam transladados na direção do eixo OY de um valor h, ou seja, teríamos:

1 F 0; h + 4k

∙

Considerações sobre a avaliação

1 r: y = h – 4k

Na grade de conteúdos proposta para as três séries do Ensino Médio, pressupõese que muitos dos temas se apóiam mutuamente, sendo mais fácil interessar os alunos quando se apresenta um cenário de conteúdos mais abrangente do que quando se lhes subtrai a possibilidade de contato com alguns dos temas. Na presente proposta, reservou-se apenas um bimestre para a Geometria Analítica Plana. Dependendo do número de aulas disponíveis para o professor, nem todos os temas podem ser tratados com a mesma profundidade, cabendo ao professor mesmo selecionar as ideias que serão mais ou menos contempladas.

x = ky2 0 x

1 4k

x=–

1 4k y y = kx2 + h

1 F (0; h + 4k )

1 4k

Professor: Em função do tempo disponível, exercícios de identificação do foco e da diretriz de diversas parábolas, expressas por meio de equações do tipo y = ax2 + bx + c, podem ser propostos. Para achar o foco, é fundamental antes achar o vértice; a partir daí, determina-se a equação da diretriz.

Na apresentação das circunferências e das cônicas, buscou-se destacar mais o significado e as ocorrências de cada uma delas em diferentes contextos do que as manipulações algébricas com as equações. Trata-se, naturalmente, de uma escolha, em razão das limitações do tempo disponível. Sugere-se, portanto, que a avaliação concentre-se na caracterização da circunferência, da elipse, da hipérbole e da parábola em situações simplificadas, escrevendo as equações das curvas com centro na origem, e adiando-se ou omitindose uma exploração algébrica mais detida dos casos mais gerais. Quanto à forma de avaliação, também aqui consideramos que o assunto favorece uma utilização de múltiplos instrumentos, não não devendo se limitar às provas. No caso das cônicas, o reconhecimento destas

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mesmas em situações como as indicadas no texto (seção de cones, sombras de circunferências, cortes ou inclinações de cilindros etc.) pode ser simples e motivador. A construção de instrumentos para desenhá-las no plano, como alguns sugeridos no texto, também pode ser muito interessante. A verificação da propriedade citada das parábolas nas superfí-

cies cromadas dos faróis dos automóveis, por meio da construção efetiva de uma superfície parabólica com uma lâmina de alumínio, fixada em uma tábua, com uma pequena lanterna no foco da parábola, pode ser uma atividade especialmente significativa, a ser levada em consideração no processo de avaliação (ver figura seguinte).

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO Ao término da Situação de Aprendizagem 1, caso o professor avalie que as metas estabelecidas não foram satisfatoriamente atingidas, pode optar por estendê-la por mais uma semana, propondo novos exercícios de determinação de pontos por coordenadas e novas ações simples sobre os pontos, por meio de operações algébricas sobre as coordenadas. Por exemplo, é possível estender o que foi feito na Atividade 1 com o hexágono, para outros polígonos, como, por

exemplo, o quadrado, o que seria mais simples para começar. Cada uma das atividades propostas presta-se a uma espécie de duplicação, trocando-se os polígonos envolvidos ou as propriedades indicadas. Outra estratégia para recuperação poderia ser recorrer a folhas de papel quadriculado para a representação de pontos por coordenadas e para a realização inicial de cálculos como o do ponto médio de dois pontos, da distância

entre pontos ou da inclinação de segmentos. Após tal abordagem mais simples, que certamente já foi utilizada em séries anteriores, na apresentação dos sistemas de coordenadas, o professor poderia retomar a perspectiva proposta na Situação de Aprendizagem 1. Já na Situação de Aprendizagem 2, o processo de recuperação pode concentrar-se na exploração dos fatos apresentados sobre as equações das retas em estreita sintonia com o estudo já realizado em séries anteriores da função do primeiro grau f(x) = ax + b, destacando o significado geométrico dos coeficientes, ou ainda, dos sistemas de duas equações linea-res com duas incógnitas, associando-se as posições relativas das retas às diversas possibilidades de soluções do sistema. Essa retomada pode ser interessante para destacar o fato de que, na Geometria Analítica, não estamos estudando conteúdos novos, mas apenas uma forma nova de abordar velhos conteúdos, conforme já se mencionou neste Caderno, em diferentes momentos. Caso considere que os alunos não tenham se interessado por qualquer um dos problemas propostos na Situação de Aprendizagem 3, ou

então, não tenham entendido perfeitamente as soluções apresentadas, sugerimos que o professor retome os enunciados desses mesmos problemas, escolhendo um deles e conversando mais detidamente sobre a situação examinada. Após despertar o interesse, é muito importante destacar o fato de que o problema pode ser perfeitamente resolvido apenas com os conhecimentos sobre retas, presentes na Situação de Aprendizagem. Somente um exercício de leitura atenta pode levar à compreensão plena do problema proposto e ao consequente interesse na resolução. Uma estratégia alternativa pode ser a seguinte: reunir todos os elementos de Geometria Analítica presentes no problema – as equações de retas, as inequações correspondentes a regiões, os sistemas correspondentes aos pontos de interseção de retas etc. – e propor questões envolvendo tais elementos de modo direto... ("represente a reta de equação 45 = 4x + 5y..."; “ache a interseção das retas 3x + 4y = 24 e 2x + 5y = 20...", ..."; "determine a região do plano correspondente à inequação x + y < 8..." etc., somente depois associando tais questões parciais à solução do problema maior apresentado.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Existem diversos softwares disponíveis que podem ser utilizados para a exploração dos conteúdos de Geometria Analítica Plana. CABRI e GEOMETRIA DINÂMICA são

dois deles, sendo possível recorrer a muitos outros, em uma pesquisa na internet. Consideramos, no entanto, que, em um primeiro momento, a construção efetiva por parte

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dos alunos das figuras representativas das equações estudadas é muito importante. Após esse contato inicial, a utilização de o recurso a softwares que facilitem a construção gráfica das curvas e das regiões do pla-

no é, sem dúvida, conveniente e relevante. É importante ressaltar que a não-disponibilidade de tais softwares não impede a efetivação de qualquer das atividades propostas no presente texto.

CONSIDERAçÕES FINAIS Ao final deste Caderno, podemos resumir as expectativas de aprendizagem referentes às quatro Situações de Aprendizagem apresentadas: Geometria Analítica f Usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações. f Reconhecer a equação da reta, o significado de seus coeficientes, as condições

que garantem o paralelismo e a perpendicularidade entre retas. f Representar graficamente inequações lineares por regiões do plano; resolver problemas práticos associados a equações e inequações lineares. f Identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem, bem como propriedades características das cônicas.

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ContEúdoS dE MAtEMátiCA Por SériE/biMEStrE

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

do EnSino Médio 1a série

2a série

3a série

NÚMEROS E SEQUÊNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIGONOMETRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

GEOMETRIA ANALÍTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FUNçÕES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAçÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS, COMPLEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FUNçÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

ESTUDO DAS FUNçÕES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

GEOMETRIATRIGONOMETRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATÍSTICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio-padrão. - Elementos de amostragem.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.