MATEMATICA_CP_3s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio a

3 SÉRIE

volume 3 - 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-362-2 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Grandezas, interdependência: um panorama sobre funções 12 Situação de Aprendizagem 2 – Construção de gráficos: um olhar “funcional” Situação de Aprendizagem 3 – As três formas básicas de crescimento ou decrescimento: a variação e a variação da variação 27 Situação de Aprendizagem 4 – Os fenômenos naturais e o crescimento ou decrescimento exponencial: o número ℮ 37 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 52 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA dO CAdERnO Funções como relações de interdependência: qualidades, gráficos, transformações, variações

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Médio

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

A ideia de função: um panorama de exemplos Construção e análise de gráficos de funções Análise da variação das funções: crescimento, decrescimento, taxas

ORiEntAçãO GERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As situações são independentes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo o seu interesse e da sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre em cada Situação de Aprendizagem.

Matemática – 3a série – Volume 3

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo básico do 3o bimestre da 3a série é a ideia de função, que é a tradução, em linguagem matemática, da relação de interdependência entre duas ou mais grandezas. Tal ideia já foi apresentada aos alunos anteriormente em diversas situações e seria interessante uma breve retomada de tais ocorrências por parte do professor, antes de iniciar os trabalhos deste bimestre. O fundamento dessa noção pode ser encontrado na 6a série do Ensino Fundamental, no estudo da proporcionalidade direta ou inversa: quando duas grandezas são proporcionais, o valor de uma delas é determinado pelo valor da outra, ou seja, se y é proporcional a x, para cada valor de x existe em correspondência um e somente um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso da proporcionalidade direta, expressamos tal fato escrevendo: y = kx; na proporcionalidade inversa, traduzimos a interdependência escrevendo y = xk , sendo k uma constante, nos dois casos. Na 8a série, tal noção foi explorada um pouco mais, estudando-se as funções de o 1 grau y = ax + b, que sempre traduzem uma proporcionalidade (entre y – b e x), e as funções de 2o grau y = ax2 + bx + c, que sempre traduzem uma proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra. De fato, uma vez que sempre podemos escrever o trinômio de 2o grau na forma y = k(x – u)2 + v, podemos dizer que y – v é diretamente proporcional a (x – u)2 .

Na 1a série do Ensino Médio, retomamos o estudo das funções, procurando caracterizar melhor a situação de interdependência entre duas grandezas, uma das quais pode variar livremente – é a variável independente – sendo que a outra tem o seu valor determinado pelo valor da primeira – é a variável dependente. Assim, sendo x a variável independente, se a cada valor de x corresponde um único valor da variável dependente y, então dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Nessa perspectiva, foram estudadas as funções de 1o grau f(x) = ax + b e a de 2o grau f(x) = ax2 + bx + c. Além disso, foram estudados dois tipos especiais de função, em que uma das variáveis aparece como expoente, como nos casos em que y = ax ou x = ay, sendo a uma constante positiva e diferente de 1. No primeiro caso, em que a variável independente está no expoente, temos a função exponencial f(x) = ax e, no segundo, em que a variável dependente está no expoente, escrevemos f(x) = logax, e temos a função logarítmica. Ambas as funções são especialmente importantes para representar matematicamente fenômenos que não envolvem proporcionalidade direta ou inversa entre as grandezas, mas em que uma delas cresce ou decresce exponencialmente com a outra: crescimento de populações, juros compostos, desintegração radioativa são exemplos de fenômenos desse tipo. Na 2a série do Ensino Médio, fomos apresentados a um novo tipo de função, especialmente adequada para a representação de fenômenos periódicos: as funções trigonométricas f(x) = senx, g(x) = cosx, entre outras.

Em tais funções, embora os valores de x possam variar livremente ao longo de toda a reta real, os valores correspondentes de f(x) repetem-se periodicamente, situando-se entre os extremos 1 e –1. Em todas essas situações, foram apresentadas certas qualidades das funções em questão, sobretudo as associadas aos respectivos gráficos e relativas ao crescimento ou decrescimento, bem como à eventual existência de valores máximos ou mínimos, por exemplo. A partir de agora, serão exploradas de modo um pouco mais sistematizado as qualidades / características das funções já estudadas em séries anteriores, ampliando-se as possibilidades de construção de gráficos e da compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. Com isso, a possibilidade de utilização de funções para compreensão de fenômenos da realidade concreta será ampliada, e os alunos poderão apreciar com mais nitidez a riqueza da linguagem das funções. Para a organização dos trabalhos ao longo do bimestre, propomos a seguinte estrutura: f Nas três primeiras unidades, serão apresentadas as funções já estudadas em séo o ries anteriores (funções de 1 e 2 graus, funções polinomiais, funções exponencial e logarítmica, funções trigonométricas), tendo em vista não somente a recordação de suas principais qualidades, mas

também a construção de um panorama comparativo das relações de interdependência já conhecidas (Situação de Aprendizagem 1 – Grandezas, interdependência: um panorama sobre funções). f Nas duas unidades seguintes, serão explorados especialmente os recursos para a construção de gráficos envolvendo as funções apresentadas nas três primeiras unidades, incluindo as transformações que se podem realizar sobre cada uma delas: composição, translações, etc. (Situação de Aprendizagem 2 – Construção de gráficos: um olhar “funcional”). f Nas três últimas unidades, buscar-se-á caracterizar as diferentes formas de crescimento ou decrescimento, as taxas de variação e suas relações com as concavidades (as inflexões). Ainda que a abordagem seja essencialmente qualitativa, serão calculados os valores das taxas em alguns exemplos simples (Situação de Aprendizagem 3 – As três formas básicas de crescimento ou decrescimento: a variação e a variação da variação). Será apresentada ainda uma retrospectiva das funções das unidades anteriores, tendo em vista um estudo simples do crescimento, do decrescimento e das taxas de variação, à guisa de conclusão (Situação de Aprendizagem 4 – Os fenômenos naturais e o crescimento ou decrescimento exponencial: o número ℮).

Matemática – 3a série – Volume 3

Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 3a série do Ensino Médio Unidade 1 – A ideia de função – Da proporcionalidade às funções polinomiais. Unidade 2 – Variável no expoente – Funções exponencial e logarítmica. Unidade 3 – Fenômenos periódicos e funções trigonométricas. Unidade 4 – Construção de gráficos – Em vez de “ponto a ponto”, um olhar “funcional”. Unidade 5 – Funções e transformações: composições, translações, inversões. Unidade 6 – Formas básicas de crescimento e decrescimento – Taxas de variação e concavidade; polinômios. Unidade 7 – O crescimento exponencial e a função f(x) = ℮x. Unidade 8 – Exercícios sobre funções, incluindo gráficos, taxas de variação, concavidade, crescimento exponencial.

SitUAçõES dE APREndizAGEM SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 GRANDEzAS, INTERDEPENDêNCIA: uM PANORAMA SObRE FuNçõES Muitas relações de interdependência entre grandezas já terão sido estudadas pelos alunos até o presente bimestre, desde as situações que envolviam grandezas proporcionais até aquelas que consideravam o crescimento ou o decrescimento exponencial, ou ainda as que se referiam a fenômenos periódicos, em que os valores de uma grandeza repetem-se caprichosamente a cada novo período. Nosso objetivo agora é recordar tais temas, munindo-os de uma linguagem e de recursos mais amplos, ou seja, abordando tais interdependências como funções. Ao mesmo tempo, procuraremos compor um panorama das funções até aqui estudadas, destacando suas qualidades essenciais e fazendo com que colaborem mutuamente, favorecendo uma compreensão mais ampla de múltiplos fenômenos da realidade.

As competências básicas – expressão, compreensão, contextualização, argumentação, decisão – estarão presentes continuamente ao longo das atividades previstas, uma vez que, como já se afirmou anteriormente, buscamos com as funções uma linguagem adequada para compreender e expressar fenômenos de diferentes tipos, praticando efetivamente o movimento de apreender um contexto e representá-lo por meio da linguagem matemática, tendo sempre como meta a argumentação e a tomada de decisões em situações concretas. Sugere-se ao professor que utilize duas semanas na construção do panorama sobre o estudo das funções já realizado até o presente momento nas séries anteriores.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: panorama/resumo sobre funções de 1o e 2o graus, funções exponencial e logarítmica, funções trigonométricas, com a apresentação de seus gráficos em situações simples e de suas propriedades fundamentais. Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos de diferentes tipos por meio da linguagem matemática, especificamente por meio da representação de funções; argumentar e tomar decisões na resolução de situações-problema vinculadas a fenômenos da realidade. Estratégias: apresentação, de forma sintética, dos conteúdos e temas, com destaque para a ideia de função como uma especial situação de interdependência; exploração de alguns exercícios exemplares dos vários tipos de função em estudo.

Matemática – 3a série – Volume 3

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Conteúdos e temas Seria interessante que o professor recordasse as características principais das funções referidas anteriormente, quais sejam: f Função de 1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0 Estudada na 6a série do Ensino Fundamental, na 8a série do Ensino Fundamental, na 1a série do Ensino Médio e no 1o bimestre da 3a série do Ensino Médio, essa função expressa a proporcionalidade direta entre y – b e x. O coeficiente a representa a variação de y por unidade a mais de x, a partir de qualquer ponto. f Função do 2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a ≠ 0 Estudada na 8a série do Ensino Fundamental, na 1a série do Ensino Médio e no 1o bimestre da 3a série do Ensino Médio. O sinal do coeficiente a indica a concavidade da curva que é o gráfico (parábola): quando a > 0, a concavidade é para cima e a função tem um b valor mínimo no ponto (u,v), sendo u = – 2a e v = f(u); quando a < 0, a concavidade é para

função representa a proporcionalidade inversa entre as grandezas y e x; podemos dizer que y é inversamente proporcional a x ou que x é inversamente proporcional a y. A curva que representa o gráfico é uma hipérbole. f Funções exponencial e logarítmica: y = ax e y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1 Estudadas na 1a série do Ensino Médio, as funções exponenciais e logarítmicas podem ser entendidas com base na mesma relação y = ax, a partir da qual se pode escrever x = loga y. De modo geral, representam situações em que uma variável encontra-se no expoente, caracterizando um crescimento ou decrescimento exponencial. Quando a variável independente está no expoente, temos a função exponencial; quando a variável dependente está no expoente, temos a função logarítmica. f Funções trigonométricas: y = senx, y = cosx, y = tgx, y = secx, entre outras

k , com k constante, k ≠ 0 f Função y = x

Estudadas na 2a série do Ensino Médio. Vale a pena destacar que o cosseno de um arco x é o seno do arco complementar de x, π ou seja, o seno de  – x , de modo que 2 todas as propriedades da função cosseno podem ser deduzidas a partir da função seno. Algo similar ocorre com a função cossecante de x, que é a secante do complemento de x, e cotangente de x, que é a tangente do complemento de x. Assim, as duas funções trigonométricas fundamentais são y = senx e y = tgx.

Estudada na 6a série do Ensino Fundamental e na 3a série do Ensino Médio, essa

A construção dos gráficos correspondentes na forma básica poderá ser apresentada

baixo e a função tem um valor máximo no b ponto (u,v), sendo u = – e v = f(u). 2a

ou recordada com maior ou menor ênfase, uma vez que uma ampliação nos recursos para a construção de gráficos será realizada nas unidades 4 e 5 (Situação de Aprendizagem 2). uma estratégia a ser explorada nesta Situação de Aprendizagem, para a apresentação dos conteúdos e temas acima descritos, é a seguinte: f apresentação de forma sintética dos conteúdos e temas, com destaque para a ideia de função como uma especial situação de interdependência; f exploração de alguns exercícios exemplares dos vários tipos de função em estudo.

uma grandeza pode depender dos valores atribuídos a duas outras; a área A de um retângulo depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y. Dizemos, nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independentes x e y. Na escola básica, somente estudamos funções de uma variável, mas podemos facilmente imaginar situações práticas em que uma grandeza depende simultaneamente de várias outras, sendo uma função de diversas variáveis. Alguns exemplos simples de funções são apresentados a seguir: Exemplo 1 – O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2πx

Apresentação dos conteúdos e temas uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resultado dessa medida e pode ser constante ou variável em cada situação concreta. Chamaremos uma grandeza variável (ou constante) apenas de variável (ou constante). Quando uma variável y depende de outra variável x de tal forma que a cada valor que atribuímos livremente a x corresponde um único valor para y, dizemos que y é uma função de x, e escrevemos y = f(x). Dizemos que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Naturalmente, qualquer letra pode representar as variáveis dependente e independente; quando escrevemos w = f(z), por exemplo, queremos dizer que a variável dependente w é uma função da variável independente z.

Exemplo 2 – O preço p a pagar por uma corrida de táxi de x quilômetros é uma função de x: p = f(x)

Matemática – 3a série – Volume 3

Exemplo 3 – A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2

• Exemplo 4 – A distância vertical y percorrida por um corpo em queda livre é uma função do tempo t de queda: y = f(t). (próximo à superfície da Terra temos y = 4,9t2, y em metros e t em segundos)

• Exemplo 5 – A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma função do tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo . 2–0,1t, em que mo é a massa inicial e t o tempo de decomposição em horas.

Exemplo 6 – Mantendo-se constante a temperatura, a pressão P de um gás no interior de um recipiente de volume variável V é uma k função de V: P = f(V). No caso, temos P = , V onde k é uma constante.

Exemplo 7 – uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica; afastada da posição O de equilíbrio de uma distância a, a bola oscila em torno da mola, deslocando-se em uma superfície lisa, horizontal; a distância x da bola até o ponto O depende do instante t considerado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). No caso, temos x = a . cos(kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola e da massa da bola.

Exercícios exemplares Alguns exercícios propostos a seguir poderão servir de pretexto para uma revisão do que já foi estudado sobre funções até o presente momento. Com base em cada um dos exercícios, o professor poderá sugerir ou criar outros exercícios análogos.

Atividade 1 Na figura seguinte está representada uma viga reta Ab, que sustenta um arco Ab de parábola, construído de ferro e apoiado em hastes verticais. A largura l do vão é de 40 m e a flecha f do arco de parábola tem 5 m. Sabendo que as hastes verticais são igualmente espaçadas no vão, calcule seus comprimentos y1, y2 e y3.

Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico da função f(x) = ax 2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que f(20) = 0 e então, 0 = a . 202 + 5, ou seja, 1 1 2 a=– . Logo, f(x) = – x +5 e os 80 80 valores procurados são: 75 y1 = f ( x 1 ) = f ( 5 ) = ≅ 4 , 69 m 16 15 y 2 = f (x 2 ) = f (10) = ≅ 3 ,75 m 4 35 y 3 = f (x 3 ) = f (15) = ≅ 2 ,19 m 16

Atividade 2 Entre todos os retângulos de perímetro 24 m, qual deles tem a maior área? 1m 11 m

6m Um retângulo de perímetro 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24,

Matemática – 3a série – Volume 3

a cada valor de x escolhido corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x. A área do retângulo é uma função de x e y, mas como y = 12 – x, segue que a área A é uma função de x: A = f(x) = x.(12 – x) = 12x – x2. Esta função é um trinômio de 2o grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no ponto de coordenadas (u; v), (x + x2) e v = f(u). Logo, u = 6 e sendo u = 1 2 Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro 24 m e área máxima é, pois, o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.

Atividade 3 A população n de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 . 100,1t, sendo t em anos. a) Esboce o gráfico de n como função de t. N 216 000

A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação: N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000. b) Calcule o valor da população n, 15 anos após a fundação do município. O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3

= 3 000 . 100,1.15 = 3 000 . 10 2 ≅ ≅ 94 868 habitantes c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de n atingiu 216 000 habitantes? O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja, 3 000 . 100,1t = 216 000 Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log72 Consultando uma tabela de logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log72 = 1,86; segue que t ≅ 18,6 anos.

Atividade 4 Certa substância radioativa se decompõe de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo. 2 – 0,25t, sendo mo o valor inicial da massa (t em horas). Partindo de 60 g da substância, pede-se:

94 868

a) o gráfico de m como função de t; t

3 000 0

18,6

A função m = f(t) = 60 . 2–0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor inicial 60.

m 60 m = 60 . 2 – 0,25t

? t 8 b) a massa m restante após 8 h; O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2 – 0,25 . 8 = 15 g

horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com a mola em seu comprimento normal, a bolinha fica em equilíbrio, parada. Afastando-se a bolinha 10 cm da posição de equilíbrio, a mola fica esticada; abandonando-se, então, a bolinha, ela passa a oscilar em torno da posição inicial, realizando um movimento de vai e vem. É possível mostrar que o afastamento x da bolinha em relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do tempo t, e pode ser expressa pela fórmula x = 10 . cos(kt), com x em centímetros e t em segundos. Notando que a bolinha retorna à posição em que foi abandonada (x = 10) a cada 4 segundos:

c) a expressão de t como função de m; Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m, obtemos sucessivamente: m 2 −0 ,25t = 60 . 2–0,25t = m 60 m m t = – 4 . log 2 – 0,25t = log 2   60  60  d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g? Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g podemos usar a expressão de m em função de t, ou a expressão de t em função de m obtida no item c: 12 1 t = – 4 . log 2 = – 4 . log 2 = 4 . log 2 5 60 5 Usando uma calculadora, obtemos o valor log25 ≅ 2,32; segue que t ≅ 9,28 h.

Atividade 5 uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica, apoiada em uma superfície

a) determine o valor de k; Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à posição inicial), resulta, então: 10 = 10 . cos(k . 4) Logo, cos(4k) = 1, o que implica: π 4k = 2π, ou seja, k = 2 Note que para t = 8, também temos 10cos(k . 8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos 8k = 4π (segundo retorno à posição inicial).

Matemática – 3a série – Volume 3

b) calcule o valor de x para t = 1s, t = 2s, 10 t = 3s e t = s. 3 calculemos os valores Sendo, x = 10.cos de x para os valores indicados de t:

f o número de raízes reais de uma equação polinomial (algébrica) de grau 3 é no máximo 3;

π t =1  x = 10 . cos = 0 cm 2

f em consequência, o gráfico não cortará o eixo x em outro ponto, além dos 3 já identificados;

t=2 π  x = 10 . cos  . 2 = 10 cos π = −10 cm 2  π  t = 3  x = 10 . cos  . 3  = 0 cm 2  t= s

10  3

 π 10  x = 10 . cos  ⋅  = 2 3

f a curva que representa o gráfico de uma função polinomial é contínua, suave, assumindo todos os valores intermediários entre dois valores dados;

f o valor de f(0) é (–1).(–2).(–5), ou seja, é –10. .c

Reunindo as informações anteriores, temos o esboço do gráfico:

 5π  1 = 10 . cos   = 10 . = 5 cm 2  3 

c) construa o gráfico de x como função de t. π  O gráfico da função x = f (t ) = 10 . cos  t  2  é mostrado a seguir: t

π  10 . cos  t  2 

f(x) = (x–1).(x–2).(x–5)

–10

Construindo o gráfico efetivamente, usando um software, obtemos:

Atividade 6 Esboçar o gráfico da função polinomial f(x) = (x – 1).(x – 2).(x – 5). Notamos que o gráfico corta o eixo x nos pontos (1;0), (2;0), e (5;0), ou seja, que x = 1, x = 2 e x = 5 são raízes da equação polinomial de grau 3 correspondente à igualdade f(x) = 0. Isso é suficiente para um esboço do gráfico de f(x) pelas seguintes razões:

É interessante notar que, na função polinomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, quando x assume valores muito altos, os valores de f(x)

acompanham de perto os valores absolutos de ax3, sendo muito altos, se a > 0, ou muito baixos, se a < 0. No exemplo, como a = 1, temos valores de f(x) muito altos para valores muito grandes de x e valores de f(x) muito baixos para valores muito pequenos de x.

Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos:

Atividade 7 Esboçar o gráfico da função polinomial f(x) = x.(x + 1).(x – 2).(3x – 7). De modo análogo ao que foi feito na atividade 6, temos: f as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são 7 x = 0, x = –1, x = 2 e x = ; 3 f sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às quatro raízes mencionadas; f notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é positivo e igual a 3, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x) são “dominados” pelos valores de 3x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o maior expoente de x é par; f segue o esboço do gráfico de f(x): y

–1

f(x) =x.(x+1).(x–2).(3x–7)

7 3 x

Considerações sobre a avaliação Ao final deste percurso de aprendizagem, a expectativa é que os alunos reconheçam situações de interdependência entre grandezas em contextos característicos, como o da proporcionalidade direta e inversa, o do crescimento exponencial e logarítmico e dos fenômenos periódicos, associados a funções do tipo seno ou cosseno. As características das funções polinomiais de 1o e 2o graus, estudadas já na 8a série do Ensino Fundamental, devem aqui ser consolidadas. Os gráficos das funções estudadas podem ser apresentados apenas na forma básica, sem exploração maior das transformações que podem ser realizadas sobre eles, uma vez que tal estudo será realizado mais adiante. As atividades apresentadas no roteiro desta Situação de Aprendizagem representam uma amostra da expectativa sobre o resultado final do panorama composto. Como dito inicialmente, a construção de um panorama sobre as situações de interdependência teve como estratégia a exploração de algumas atividades consideradas exemplares, que constituiriam meros pretextos para o professor, a partir deles, recordar ou apresentar as características das funções envolvidas.

Matemática – 3a série – Volume 3

SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 CONSTRuçãO DE GRáFICOS: uM OlhAR “FuNCIONAl” Convidamos o professor, nesta Situação de Aprendizagem, a explorar uma forma especial de construir o gráfico de uma função y = f(x), que pode ser muito interessante. Nosso objetivo é apresentar uma nova estratégia, que complementa a estratégia mais frequente, qual seja, a atribuição de valores à variável independente x, a determinação dos valores da variável dependente y, a construção de tabelas com os valores de x e y e a representação dos pontos (x;f(x)) no plano cartesiano. Esse procedimento “ponto a ponto” pode ser muito interessante quando já sabemos o tipo de curva que será o gráfico, mas é bem pouco efetivo quando não dispomos dessa informação.

um olhar “funcional” sobre a expressão y = f(x), procurando identificar as funções mais simples componentes da expressão f(x). Para obter o gráfico de f(x) = x2 + 5, por exemplo, basta construir o gráfico de y = x2 e deslocá-lo para cima 5 unidades, na direção do eixo y. Muitas transformações simples podem ser realizadas a partir dos gráficos das funções em sua forma básica, como foi apresentado na Situação de Aprendizagem 1.

Com os conhecimentos que já temos sobre as funções apresentadas na Situação de Aprendizagem 1, vamos agora procurar desenvolver

Sugere-se que o professor utilize duas semanas na exploração dessa nova estratégia para a construção de gráficos.

As mesmas competências básicas associadas aos conteúdos e temas da Situação de Aprendizagem 1 estarão presentes nesta Situação de Aprendizagem 2, com destaque para a expressão e compreensão.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: apresentação dos gráficos das funções recordadas na Situação de Aprendizagem anterior; construção de gráficos de situações de interdependência envolvendo composições, translações, ampliações, reduções, apresentadas de modo informal. Competências e habilidades: expressar fenômenos diversos por meio de gráficos; compreender transformações realizadas sobre eles em diferentes contextos. Estratégias: apresentação de exemplos ilustrativos da construção de gráficos segundo um olhar “funcional”; proposição e exploração de exercícios representativos das diferentes transformações referidas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Conteúdos e temas

Temos que representar os pontos (x,y) em que y = x2 – 7. Podemos imaginar o gráfico de y = x2 deslocado 7 unidades para baixo na direção do eixo y.

f Construção de gráficos em situações em que a interdependência entre grandezas envolve composições de funções, apresentada de modo informal. f Translações, ampliações, reduções e outras transformações a serem realizadas nos gráficos das funções já conhecidas em sua forma básica. Por exemplo, uma função como f(x) = (x + 5)2 pode ser interpretada como a função f(X) = X2, sendo X = (x + 5); já a função f(x) = sen(x – 5) pode ser interpretada como a composição da função f(X) = senX com a função X = (x – 5), e assim por diante. Também aqui a estratégia será a apresentação de uma série de exemplos ilustrativos da construção de gráficos segundo um olhar “funcional”, que podem servir de pretexto para o professor explicar os conteúdos propostos. A seguir, uma série de exercícios exemplares representativos dos vários tipos de transformações vistas anteriormente será proposta para a exploração por parte do professor, que poderá criar a partir deles muitos outros igualmente significativos ao tema.

Exemplos ilustrativos Para ilustrar o que se pretende explorar na presente Situação de Aprendizagem, vamos examinar a construção de alguns gráficos. Exemplo 1 – Gráfico de f(x) = x2 – 7

y=x

10 f(x) = x2–7

–6

–4

–2

x 2

–5

Exemplo 2 – Gráfico de f(x) = 2 + senx Podemos representar o gráfico de f(x) = 2 + senx deslocando o gráfico de y = senx 2 unidades para cima na direção do eixo y. 4y

f(x) = 2+senx

−15

−10

−5

0 −2

y = senx

−4

Exemplo 3 – Gráfico de f(x) = (x – 3)2 Podemos imaginar o gráfico de y = x2 deslocado 3 unidades para a direita na direção do eixo x. O gráfico de y = (x – 3)2 é como se fosse o de y = X2, sendo X = x – 3. O vértice da parábola desloca-se do ponto em que x = 0 para o ponto em que x = 3.

Matemática – 3a série – Volume 3

9 8 7 6

y =x2

8 7 6 5

f(x) = (x–3)2

–3

–2

–1

–1 –2

x 7

Exemplo 4 – Gráfico de f(x) = 3

(x+ 2)

Podemos imaginar o gráfico de y = 3x deslocado para a esquerda na direção do eixo x. O gráfico de y = 3(x+2) é como se fosse o de y = 3X, sendo X = x + 2. É como se o eixo y se deslocasse horizontalmente de tal forma que o antigo ponto em que x = 0 fosse coincidir com o novo ponto em que x = –2 (ou seja, X = 0).

f(x) = 4 + log2(x–5)

4 3 2 1 0

– 4 –3

4 3 2 1 0 –2 –1 –1 –2

y = log2x x 1

9 10 11 12 13

y = log2(x–5)

1 x +1 Para construir o gráfico de f(x) podemos começar com o de y = x2. Depois, fazemos o de y = x2 + 1, deslocando o de y = x2 uma unidade para cima, na direção do eixo y. A partir daí, para obter o gráfico de f(x), representamos os pontos (x,y) tais que o valor de y seja o inverso de x2 + 1, para cada valor de x. Exemplo 6 – Gráfico de f ( x ) =

–2

–1

23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2

y = x2+1 y = x2

f(x) = 3(x+2) f ( x) =

y = 3x –6

–5

–4

–3

1 x +1

–2

–1

x 0

É importante notar que: x 1

Exemplo 5 – Gráfico de f(x) = 4 + log2(x – 5) Para obter o gráfico de y = log2(x – 5) podemos imaginar o gráfico de y = log2 x deslocado de 5 unidades para a direita, como se estivéssemos construindo o gráfico de y = log2 X , sendo X = x – 5. Depois, deslocamos o gráfico assim obtido para cima, na direção do eixo y, 4 unidades.

f no ponto onde x = 0, x2 + 1 vale 1 e o inverso de x2 + 1 é igual a 1; f em todos os outros pontos x2 + 1 é positivo e maior do que 1, logo, seu inverso é positivo e menor do que 1; 1 situa-se f assim, o gráfico de f ( x ) = 2 x +1 sempre acima do eixo x, aproximando-se mais e mais dele à medida que o valor de x aumenta, pois quanto maior for o valor de x2 + 1, menor será o valor de seu inverso.

Resumindo, na construção do gráfico de 1 , podemos seguir os seguintes passos: f (x) = 2 x +1 f construir o gráfico de y = x2 ;

1 x –1 Podemos fazer o gráfico de y = x2, depois o de y = x2 – 1 e em seguida representar os pontos com abscissa x e ordenada o inverso de x2 – 1. Exemplo 8 – Gráfico de f ( x ) =

f construir o gráfico de y = x2 + 1; f construir o gráfico de f ( x ) =

1 . x +1

y = x2

1 x Podemos fazer o gráfico de y = x e representar, para cada valor de x, a ordenada y que é o inverso de x. Exemplo 7 – Gráfico 7de− f ( x ) =

y 1 f 4 ( x ) = x2 + 1 3 5

y = x2–1

2 1 –4

–3

–2

–1

0 –1 0

x 1

–2 –3 –4 –5

y=x

É importante notar que:

3 2

f ( x)

1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1 2 3 4

7 8

1 x 9

–1 –2

f quando x2 – 1 = 0, ou seja, quando temos x = 1 ou x = –1, então a função f(x) não está definida;

–3 –4

É importante notar que: f quando x = 0 não existe o inverso de x, ou seja, a função f(x) não está definida; f quanto mais próximo de 0 é o valor de x, maior é o valor absoluto do inverso de x, sendo que valores de x positivos têm inversos positivos, e valores de x negativos têm inversos negativos; f quanto maior é o valor absoluto de x, tanto positivo quanto negativo, mais próximo de 0 é o inverso de x, sendo o sinal de x sempre igual ao sinal de seu inverso.

f quando x assume valores próximos de 1 ou de –1, os valores absolutos dos inversos tornam-se muito grandes. Se x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes (positivos), enquanto se x se aproxima de 1 por valores menores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes em valor absoluto, mas negativos. Algo similar ocorre quando x se aproxima de –1. Exemplo 9 – Gráfico de f(x) = 3senx O gráfico é análogo ao de y = senx, com a amplitude aumentando de 1 para 3 unidades, ou seja, os valores de f(x) oscilarão entre +3 e – 3.

Matemática – 3a série – Volume 3

y 3 2 1 –3

–2

–1

0 –1

x 0

a) f(x) = x2 + 9 b) g(x) = x2 – 9 c) h(x) = 9 – x2 d) m(x) = –9 – x2

–2 g(x) = x2– 9

–3

Exemplo 10 – Gráfico de f(x) = 3x.senx

–5

Para construir o gráfico de f(x) = 3x.senx, basta imaginar o gráfico de y = A.senx, sendo que o valor de A varia de acordo com x segundo a reta y = 3x. Assim, o gráfico oscilará entre as retas y = 3x e y = –3x, conforme observamos na figura a seguir: 60 y

f (x) = 3x.senx

20 5

–5

–4

–3

h(x) = 9 – x2

Atividade 2 Esboçar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f(x) = cosx b) g(x) = 5 + cosx c) h(x) = –3 + cosx d) m(x) = 5cosx

g(x) = 5 + cosx

–20 –40

–2

20 18 y 16 f(x) = x2+9 14 12 10 8 6 4 2 –1 0 1 2 –2 –4 –6 –8 –10 m(x) = –9 – x2 –12 –14 –16

5 4

y = –3x

3 2 1

–60

Exercícios exemplares Muitos outros gráficos poderiam ser obtidos sem dependermos das conclusões a que uma representação de pontos isolados nos conduziria. Para praticar o caminho sugerido nos exemplos anteriores, o professor poderá explorar os exercícios seguintes.

Atividade 1 Esboçar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das seguintes funções:

m(x) = 5cosx

–11–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1

h(x)= –3 + cosx

f(x)=cosx

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

–2 –3 –4 –5

Atividade 3 Esboçar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f(x) = 3x b) g(x) = 3x–1 c) h(x) = 3x+1 d) m(x) = 3–x e) n(x) = 3–x+1

24 y 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

n(x) = 3–x+1

m(x) = 3

–x

–2

–1

f(x) = 3 h(x) = 3x+1

g(x) = 3x–1 h(x) = senx –7

Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual 1 a , ou seja, é o inverso do valor de f(x) 3 para x = 0, que é 3.

Atividade 4 Esboçar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f(x) = –x2 b) g(x) = 3 – x2 c) h( x ) =

1 3 − x2 y 6 4

− 3 –5

–4

–3

–2

1 h( x ) = 3 − x2 + 3

2 g(x) = 3 – x2 1

–1

x 4

–2 f(x)=–x2 –4 –6

Atividade 5 Esboçar no mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções indicadas: a) f(x) = 3x2 b) g(x) = –3x2 c) h(x) = senx d) m(x) = 3x2.senx

–6

–5

–4

26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

–3

–2

–1

–2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16 –18 –20 –22 –24 –26

f(x) = 3x2

m(x) = 3x2.senx

x 0

g(x) = –3x2

Considerações sobre a avaliação Ao final deste percurso, a expectativa é que os alunos tenham aprendido a “ler” a expressão f(x), que traduz analiticamente uma situação de interdependência funcional, sendo capazes de tomar iniciativas de decompor tal função em outras mais simples, já estudadas anteriormente. Assim, a construção do gráfico de funções mais complexas pode ser vislumbrada a partir dos gráficos das funções mais simples. As competências desenvolvidas na prática de tal interpretação/decomposição dependerão do número de exercícios realizados, em sintonia com a disponibilidade e as circunstâncias dos professores em sua realidade concreta. Naturalmente, não se pode pretender o desenvolvimento de uma competência absoluta, uma capacidade de construção de qualquer tipo de gráfico, em tal nível de ensino. Por outro lado, não se pode considerar a meta inicialmente proposta atingida se os alunos não assimilaram a nova estratégia para a construção de gráficos, isto é, se não acharem naturais transformações como deslocamentos verticais para cima e para baixo, deslocamentos horizontais para a direita e para a esquerda, inversões de sentido, por exemplo.

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SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 AS TRêS FORMAS báSICAS DE CRESCIMENTO Ou DECRESCIMENTO: A VARIAçãO E A VARIAçãO DA VARIAçãO As representações gráficas das relações de interdependência entre grandezas são importantes para a visualização das variações das grandezas representadas, como a identificação de seus sinais e valores, dos intervalos de crescimento ou de decrescimento da variável dependente, ou, ainda, o reconhecimento de pontos de máximo ou de mínimo, quando eles existirem. Isso já foi feito anteriormente, particularmente para as funo o ções de 1 e 2 graus. Agora buscaremos estender para as demais funções que compõem o panorama que estamos construindo.

variável dependente. Apesar de tal preocupação com as taxas de variação não ser muito comum no estudo das funções no Ensino Médio convidamos o professor a nos acompanhar nesta viagem. Temos certeza de que ela será muito proveitosa, tanto para o estudo das funções na escola básica, quanto para descortinar uma série de ideias simples sobre variação de funções que serão muito úteis para a compreensão de inúmeros fenômenos, naturais ou econômicos, envolvendo variações e taxas de variação, como a descrição dos movimentos, ou a compreensão das taxas de inflação, por exemplo.

Nesta Situação de Aprendizagem, vamos procurar ir além da constatação do crescimento ou do decrescimento, procurando qualificá-lo, tentando caracterizar a rapidez com que ocorre o crescimento ou decrescimento por meio da taxa de variação, ou seja, da variação da variável independente por unidade a mais da

Todas as competências básicas podem ser desenvolvidas por meio de tal tratamento qualitativo das funções: a expressão/compreensão de fenômenos, a argumentação/tomada de decisão, a contextualização/abstração de relações. Sugere-se ao professor que utilize duas semanas com o material ora apresentado.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: a ideia geral de função como interdependência, explorando-se as funções já estudadas até o presente momento na perspectiva do crescimento ou decrescimento, com a caracterização da rapidez com que crescem ou decrescem. Competências e habilidades: compreender fenômenos envolvendo crescimento ou decrescimento, bem como expressar a rapidez com que crescem ou decrescem a partir de qualidades expressas nos gráficos das funções representadas. Estratégias: inicialmente será apresentada a ideia de que existem três formas básicas de crescio mento ou decrescimento: a das funções de 1 grau, a das funções que crescem ou descrescem mais rapidamente do que ela e a das funções que crescem ou decrescem mais lentamente do que a de o 1 grau. uma lista de exemplos ilustrativos, seguidas de exercícios exemplares representativos das diversas situações apresentadas, será oferecida para exploração por parte do professor.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Conteúdos e temas f A ideia geral de função como relação de interdependência. o

f As funções de 1 e 2 graus, com suas características já conhecidas, que servirão de base para a compreensão do estudo das variações e das taxas de variação.

Fundamental, as funções de 1 grau são crescentes (a > 0) ou são decrescentes (a < 0), sendo que o coeficiente a representa a variação em f(x) quando x aumenta de 1 unidade a partir de qualquer valor inicial. O valor de a é chamado de taxa de variação unitária de f(x), ou somente taxa de variação de f(x). Naturalmente, se a = 0, ou seja, se a taxa de variação é zero, então a função f(x) é constante: f(x) = b. y

f Todas as funções já apresentadas aos alunos até o presente momento, analisadas agora sob a perspectiva do crescimento/ decrescimento e das taxas de variação. Inicialmente serão apresentadas as ideias de crescimento, decrescimento, taxa de variação, a partir das funções que expressam a proporcionalidade direta, ou seja, as associadas à função de 1o grau f(x) = ax + b (a ≠ 0). Tais funções ou são crescentes (a > 0) ou são decrescentes (a < 0), e o crescimento ou decrescimento são constantes, isto é, a variação de f(x) por unidade a mais de x é sempre a mesma, que corresponde ao coeficiente a.

Todas as outras funções podem ter seu crescimento ou decrescimento comparado com o o padrão determinado pelas funções de 1 grau, sendo possível crescer mais rapidamente do que o o padrão de 1 grau ou mais lentamente do que ele: esta é a ideia principal a ser desenvolvida. uma lista de exemplos ilustrativos acompanhará a exposição, seguindo-se uma série de exercícios exemplares representativos das diversas situações apresentadas.

A forma-padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b a

Como já foi visto desde a 8 série do Ensino

a (a > 0, função crescente) 1

f(x) = ax + b 1

a (a < 0, função decrescente)

a = 0 (função constante)

x taxa de variação = a = variação de f(x) por unidade a mais de x a = f(x + 1) – f(x) = constante

De modo geral, dizemos que uma função f(x) é crescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) também crescem. Dizemos que f(x) é decrescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) decrescem. O significado do crescimento ou do decrescimento no gráfico de f(x) é bastante expressivo: y

y f(x) crescente

y diminui

y aumenta

y1 x x1 x2 x aumenta

x aumen

Matemática – 3a série – Volume 3

f(x) cresce a taxas crescentes

f(x)a <cresce a taxas crescentes a’ < a’’ a < a’ < a”

B y

y f(x) crescente

a’’

f(x) decrescente

a’

f(x) ==ax f(x) ax++b b cresce a taxa constante cresce a taxa constante

y diminui a

1 1

a’ 1

x1 x aumenta

Consideremos uma função que não é de 1 grau, ou seja, cujo gráfico não é uma reta. A primeira constatação que ocorre é o fato de que a taxa de variação unitária de f(x), ou seja, a variação de f(x) por unidade a mais de x, não é mais constante, isto é, a diferença f(x + 1) – f(x) passa a depender do valor de x a partir do qual ela é calculada. o

f Por exemplo, se f(x) = 5x + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1) + 7 – (5x + 7) = 5, ou seja, a taxa de variação de f(x) = 5x + 7 é constante e igual a 5; f no entanto, se f(x) = 5x2 + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1)2 + 7 – (5x2 + 7) = = 10x + 5, ou seja, a taxa de variação unitária de f(x) = 5x2 + 7 é igual a 10x + 5, variando, portanto, com o valor de x para cada ponto considerado. No que segue, chamaremos de taxa de variação unitária de uma função, para cada valor de x, o valor da diferença f(x + 1) – f(x).

a’’

x x1 x2 x aumenta

f(x) cresce a taxas decrescentes a > a’ > a’’

f(x) cresce a taxas decrescentes a > a’ > a” x

Quando uma função f(x) cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento: f crescer linearmente, com taxa de variação constante; f crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima; f crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para baixo. De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modos distintos: f decrescer linearmente, com taxa de variação constante; f decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes em valor absoluto (as taxas são negativas);

f decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes em valor absoluto (as taxas são negativas).

país B

O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento: y 1

1 1

a’

f(x) decresce a taxas decrescentes (em valor absoluto)

1 1

a’’ país AB

país A

a’

P P

país C

x 1

f(x) decresce a taxas crescentes (em valor absoluto)

país A país C

f(x) decresce a taxa constante

país E

a’’ C

t t Quando uma função decresce a taxas decrescentes seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela decresce a taxas crescentes, seuP gráfico P fica encurvado para baixo. paíssempre B B Observação: no quepaís segue que fi-

P P

país paísDD

país B P

zermos menção a decrescimentos, as taxas serão consideradas em valores absolutos.

Exercícios exemplares país F

Atividade 1 Os gráficos a seguir representam o preço t médio P dos alimentos da mesma cesta básica, t em diferentes países, em função do tempo t, P ao longo de P determinado ano.

P P

país Apaís E

t país G

país E país G

país E

país C

t P

P P

país B país F

país D

país C país C

t P

Matemática – 3a série – Volume 3

país D país D

país F país H

t P

Pergunta-se:

a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano?

país G país G

país E E

No país A, os preços mantiveram-se constantes. b) Em que país os preços cresceram à taxa constante? t

t t P

No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação positiva. c) Em que país os preços cresceram a taxas crescentes?

país Fpaís F

No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa taxas crescentes.

país Hpaís H

d) Em que país os preços decresceram à taxa constante? t

No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação negativa. e) Em que país os preços cresceram a taxas decrescentes? No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo. f) Em que país os preços decresceram a taxas decrescentes?

No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima.

a) A função f(x) é positiva.

g) Em que país os preços inicialmente cresceram à taxa constante, e, posteriormente, cresceram a taxas decrescentes?

Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.

No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma curva voltada para baixo.

b) A função f(x) é negativa. Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.

h) Em que país os preços decresceram a taxas crescentes?

c) A função f(x) é constante.

No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.

A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.

i) Em que país os preços inicialmente cresceram a taxas crescentes, depois cresceram a taxas decrescentes?

d) A função f(x) é crescente. A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4 , e para x entre x9 e x12.

No país H, os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.

e) A função f(x) é decrescente. A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x 8.

j) Em que país os preços inicialmente decresceram a taxas crescentes, depois decresceram a taxas decrescentes?

f) A função f(x) cresce a taxa constante. A função f(x) cresce a taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.

No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois, segundo um gráfico voltado para cima.

g) A função f(x) decresce a taxa constante.

Atividade 2

A função f(x) decresce a taxa constante no intervalo em que o gráfico é um segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.

No gráfico a seguir identifique os intervalos nos quais:

h) A função f(x) cresce a taxas crescentes.

x1 x2

x10

A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.

x11 x12 x

i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes. A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente, mas o gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e x12.

Matemática – 3a série – Volume 3

j) A função f(x) decresce a taxas crescentes.

A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.

hmáx v=0

k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes. A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.

v = 40 m/s

1 t=0

Atividade 3 Quando uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial 40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, ela sobe com velocidade cada vez menor, até atingir uma altura máxima em relação ao solo, quando momentaneamente para. A partir daí, ela desce cada vez mais rapidamente até voltar ao solo. Sabemos que, por causa da força da gravidade (peso), que age sobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constante de aproximadamente 10 m/s a cada segundo, no movimento da subida. Podemos descrever o movimento da pedra por meio de uma função de 1o grau, que representa sua velocidade, e uma função de 2o grau, que representa sua altura em relação ao solo. Nesse caso, as funções que representam a velocidade e a altura são as seguintes: v = 40 – 10t. (a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade diminui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa de variação da velocidade –10 m/s por s, que se escreve –10 m/s2)

45 m

Pede-se: a) construir o gráfico de v como função de t. b) construir o gráfico de h como função de t. c) determinar o valor máximo de h(t). d) determinar o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posição inicial. e) calcular depois de quanto tempo a pedra atinge o solo. f) Observando os gráficos de h(t) e v(t), assinalar V (Verdadeiro) ou F (Falso) nas frases seguintes: ( ) “A velocidade decresce à taxa constante”.

h = 45 + 40t – 5t2

( ) “A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo; depois decresce cada vez mais rapidamente”.

(a partir do valor inicial 45 m, a altura aumenta até um valor máximo, diminuindo posteriormente até atingir o valor zero.)

( ) “A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a taxas crescentes”.

–10

v = 40 – 10t

a, b, c , d, e h

O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui de 10 m/s a cada segundo, após 4s a velocidade será igual a zero, ou seja, a semirreta corta o eixo x (ver figura a seguir). O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com o instante em que a velocidade é igual a zero, ou seja, ocorre para t = 4s. A altura máxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m. A pedra leva 4s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a posição de partida; logo após 8s estará de volta à posição inicial. O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da equação 0 = 45 + 40t – 5t2; resolvendo, encontramos t = 9s. Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos: v

h = 45 + 40t – 5t2

0 4

f) Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três afirmações são verdadeiras.

Atividade 4 Considere o gráfico da função de 2o grau f(x) = (x – 5).(x + 1) a seguir indicado. a) Identificar os intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0. b) Identificar os intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente. c) Qualificar o crescimento e o decrescimento de f(x), informando se eles são a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.

40 1 –10

hmáx

v = 40 – 10t

34 h hmáx h = 45 + 40t – 5t2

Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos

Matemática – 3a série – Volume 3

ainda que o vértice da parábola encontra-se no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que x = 2. Logo, temos:

–3

–2

3 y 2 1 0 –1 –1 0 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11

–2

f(x) = (x+1).(x–5) 1

5 y 4 3 2 1

g(x) = 3–x

h(x) = log3x x

0 –1 0 –2 –3 –4 –5

–1

x 5

f(x) = 3x

3 m(x) = log 1 x 3

Concluímos que: f(x) cresce a taxas crescentes; g(x) decresce a taxas decrescentes; h(x) cresce a taxas decrescentes;

Observando o gráfico, concluímos: a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1; f(x) < 0 para x entre –1 e 5; b) f(x) é crescente para x > 2; f(x) é decrescente para x < 2; c)

para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima); para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima).

m(x) decresce a taxas decrescentes.

Atividade 6 Construir o gráfico das funções f(x) = senx e g(x) = cosx entre x = 0 e x = 2π no mesmo sistema de coordenadas. y f(x) = senx

Atividade 5

π 2

x 0

b) g(x) = 3–x c) h(x) = log3 x d) m( x ) = log 1 x 3

Identificar em cada caso se a função é crescente ou decrescente, bem como se o crescimento é a taxas crescentes ou a taxas decrescentes. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso:

g(x) = cosx

Construir o gráfico das funções: a) f(x) = 3x

2π

a) Identificar os intervalos em que f(x) e g(x) são crescentes e os intervalos em que são decrescentes. No intervalo considerado, temos:

π f(x) é crescente para x entre 0 e e para x 2 π entre 3 e 2π; 2 π π f(x) é decrescente para x entre e3 ; 2 2

g(x) é crescente para x entre π e 2π; g(x) é decrescente para x entre 0 e π. b) Comparar os gráficos de f(x) e de g(x), observando que os valores máximos de uma das funções ocorrem nos pontos em que a outra se anula e vice-versa. Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre π no ponto x = , e o valor mínimo ocorre no 2 π ponto x = 3 ; nesses pontos, temos g(x) = 0. 2 Analogamente, o valor máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2π, e o valor mínimo, no ponto x = π; nesses pontos, temos f(x) = 0. c) Comparar os gráficos de f(x) e de g(x), verificando que a concavidade de f(x) muda (de gráfico encurvado para baixo para gráfico encurvado para cima ou vice-versa) nos pontos em que g(x) assume valores extremos (máximo ou mínimo) e vice-versa em relação a g(x). Notamos no gráfico que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = π, em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima π no ponto x = , que é de máximo para f(x), 2 e volta a ficar voltado para baixo no ponto π x = 3 , que é de mínimo de f(x). 2

Considerações sobre a avaliação No final deste percurso de aprendizagem, a expectativa é que os alunos tenham aprendido que, ao observar o gráfico de uma função, é possível ir muito além da simples constatação do crescimento ou do decrescimento, passando a incorporar a ideia de que a rapidez com que uma função cresce ou decresce também é importante e pode ser vislumbrada qualitativamente no gráfico. Conforme foi visto, uma indicação da rapidez com que uma função cresce ou decresce pode ser obtida por meio da taxa de variação unitária, ou seja, da variação de f(x) por unidade a mais de x, a partir de um ponto. É fundamental o reconhecimento de que existem três formas básicas de crescer ou decrescer: a taxas constantes, como as funções que traduzem algum tipo de proporcionalidade e têm como gráficos uma linha reta; a taxas crescentes, quando o gráfico é encurvado para cima; e a taxas decrescentes, quando o gráfico é encurvado para baixo. A exploração do significado de tais fatos em exemplos contextualizados e o reconhecimento do tipo de crescimento e decrescimento nas funções já apresentadas nas Situações de Aprendizagem anteriores são o conteúdo mínimo a ser aprendido.

Matemática – 3a série – Volume 3

SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 OS FENôMENOS NATuRAIS E O CRESCIMENTO Ou DECRESCIMENTO EXPONENCIAl: O NúMERO ℮ As funções são instrumentos fundamentais para a representação das relações de interdependência entre grandezas, conforme está sendo visto no presente bimestre. Já vimos que as funções de 1o grau f(x) = ax + b prestam-se muito bem para representar relações que envolvem proporcionalidade, que funções como f(x) = senx ou f(x) = cosx são interessantes na representação de fenômenos periódicos, que funções como f(x) = ax expressam crescimento ou decrescimento exponenciais, dependendo do valor do coeficiente positivo a (crescimento, se a > 1; decrescimento, se a < 1). uma característica fundamental da função exponencial é o fato de que a taxa de variação unitária, ou seja, f(x+1) – f(x) é diretamente proporcional ao valor de f(x) em cada ponto. uma função exponencial particularmente importante, que se encontra na representação de diversos fenômenos naturais, é aquela em que a base a é um número relativamente pouco conhecido no Ensino Fundamental, mas muito importante na Matemática: trata-se do número representado pela letra ℮, cujo valor é 2,718281828459045... ou seja, é aproximadamente igual a 2,7183. Tal como o número π = 3,141592... ou, aproximadamente, 3,1416, que representa a razão constante entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro, o número ℮ tem um significado especialmente importante quando se estudam as diversas formas de uma função f(x) crescer ou decrescer. Fenômenos que envolvem crescimento

ou decrescimento de populações, desintegração radioativa, juros compostos, entre outros, quando analisados de modo adequado, tornam natural o aparecimento do número ℮, o que será mostrado na presente Situação de Aprendizagem. Tal como o número π, o número ℮ é irracional e transcendente. Irracionais como 2 não são razões entre inteiros, mas são raízes de equações algébricas com coeficientes inteiros (por exemplo, x2 – 2 = 0); um irracional é transcendente quando não existe equação algébrica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz, e esse é o caso de números como π e ℮. Tais fatos, no entanto, não nos interessarão no presente momento. Interessa-nos apenas conhecer uma particular função exponencial, que vai ampliar significativamente o repertório de recursos para o tratamento matemático de diversos fenômenos em diferentes contextos. As competências básicas que podem ser desenvolvidas pela exploração de tal tema são as capacidades de expressão, de compreensão de fenômenos, de contextualização e de formulação de propostas de intervenção na realidade. A despeito de o número ℮ não ser habitualmente apresentado aos alunos do Ensino Médio, convidamos o colega professor para nos acompanhar em sua apresentação. Temos certeza de que o desafio terá como contrapartida o descortinar de uma temática que desperta muito interesse nos alunos. Sugere-se que o professor utilize duas semanas com o material ora apresentado.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: característica fundamental da função exponencial relativa ao crescimento e ao decrescimento; função exponencial de base ℮, suas características básicas, bem como da correspondente função logarítmica; significado dos logaritmos naturais em diferentes contextos. Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos envolvendo crescimento ou decrescimento exponencial; contextualizar e formular propostas de intervenção na realidade, a partir de tal compreensão. Estratégias: destaque da característica fundamental das funções exponenciais no que se refere ao modo de variar, seguida da apresentação do número ℮, bem como das funções exponencial e logarítmica em tal base; exploração de exemplos ilustrativos e exercícios representativos das funções exponencial e logarítmica.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Conteúdos e temas f uma característica fundamental de uma função exponencial, referente ao modo de crescimento e decrescimento. f A existência de uma função exponencial peculiar para representar o crescimento ou decrescimento exponencial. f O número ℮, base dessa função exponencial especial, bem como dos logaritmos correspondentes, os logaritmos naturais. f Alguns exemplos de utilização da exponencial e dos logaritmos naturais em diferentes contextos. Inicialmente, será destacada uma propriedade característica das funções exponenciais, cujo crescimento ou decrescimento difere muito das variações lineares: trata-se do fato

de que sua taxa de variação unitária, ou seja, a variação de f(x) por unidade a mais de x é diretamente proporcional ao valor de f(x) em cada ponto. A partir daí, em uma situação concreta, contextualizada, de crescimento exponencial, o número ℮ surgirá como uma ocorrência natural. Na sequência, será estudada a função exponencial de base ℮, com suas propriedades especiais, sendo apresentada, conjuntamente, a função logaritmo natural. uma lista de exercícios exemplares será apresentada para que o professor a explore com seus alunos.

A função exponencial – uma propriedade característica Já conhecemos a função f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Vamos agora destacar uma propriedade característica dessa função que poderá ter passado despercebida.

Matemática – 3a série – Volume 3

Exemplo 1 – Consideremos a função f(x) = 2x e calculemos f(x) para os valores inteiros de x, começando com x = 0. 32 y 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 –1 0

–2

f(x) = 2x

A taxa de variação unitária de f(x) = 2x é, portanto, igual a f(x). Chamaremos essa taxa de f1(x). Calculando f1(x) para um valor qualquer de x, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 2x+1 – 2x = 2x.(2 – 1) = 2x. Exemplo 2 – Analogamente, vamos calcular a taxa de variação unitária para f(x) = 3x.

8 4 2 1

x 3

f(x+1) – f(x)

6 7

–1

81 y 78 75 72 69 66 63 60 57 54 51 48 45 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

18 6 1

x 3

x 0

3x 1

f(x+1) – f(x) 2

128

...

162

243

...

Notamos que quando x aumenta 1 unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é igual, sucessivamente, a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é igual a f(x + 1) – f(x), é igual ao valor de f(x): f(1) – f(0) = f(0)

f(2) – f(1) = f(1)

f(3) – f(2) = f(2)

f(4) – f(3) = f(3)

f(5) – f(4) = f(4)

e assim por diante.

Notamos que quando x aumenta 1 unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162, ..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x):

f(1) – f(0) = 2f(0) = 2

f(2) – f(1) = 2f(1) = 6

P = f(t) = 1 000 . 2t (t em horas).

f(3) – f(2) = 2f(2) = 18

f(4) – f(3) = 2f(3) = 54

a) Calcule a taxa de variação unitária nos instantes t = 1 h e t = 2 h.

f(5) – f(4) = 2f(4) = 162 e assim por diante. A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x).

f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000; f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000;

Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para um x qualquer, temos, de fato:

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 6 h e t = 7 h é igual ao valor da população para t = 6 h.

f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x

O aumento citado é igual a f(7) – f(6)= = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) = = 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de f(6).

De modo geral, calculando a taxa unitária f1(x) para a função f(x) = ax, obtemos: f1(x) = f(x+1) – f(x) = ax+1 – ax = ax . (a – 1), ou seja, o valor de f1(x) é diretamente proporcional ao valor de f(x).

Exercícios exemplares Seguem dois exercícios para a exploração do que foi exposto.

Atividade 2 A população n de cães de certa região cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 600 . 10t (t em décadas). a) Calcule a taxa de variação unitária para t = 2 décadas. f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 – 600 . 102 =

Atividade 1 uma população P de bactérias aumenta com uma rapidez que é diretamente proporcional ao seu valor em cada instante, ou seja, quanto maior é o valor de P, mais rapidamente a população aumenta. Partindo de um valor Po = 1 000, observa-se que a população dobra a cada hora, ou seja, o valor de P pode ser expresso pela função:

= 540 000

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 7 e t = 8 é igual a 9 vezes o valor da população para t = 7. O aumento pedido é igual a f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = = 600 . 107. 9 = 9 . f(7), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7).

Matemática – 3a série – Volume 3

Fenômenos naturais e crescimento exponencial – O nascimento do número ℮ (℮ ≅ 2,71828) Quando se estuda o crescimento de uma população, seja de seres humanos, seja de animais, consideram-se as taxas porcentuais de crescimento ou decrescimento. Quando se diz, por exemplo, que certa população n cresce a uma taxa de 20% ao ano, isso significa que, considerando n uma função do tempo t em anos, a taxa de variação unitária, ou seja, o aumento de n por unidade a mais de t é igual a 0,20N. O aumento de n por ano é, portanto, diretamente proporcional ao valor de n, ou seja, n deve ser uma função exponencial do tempo t em anos. Para descobrir qual é a base dessa função exponencial, vamos examinar o significado do crescimento populacional em situações concretas. O que significaria dizer que o valor de n aumenta de 20% em um ano? Certamente não seria o caso de imaginar que a população ficaria constante ao longo do ano, aumentando em 20% tão logo se inicie o ano seguinte. Na verdade, uma pressuposição mais razoável, mais natural em todos os sentidos, é a de que o crescimento anunciado distribui-se uniformemente ao longo do ano. É justamente quando se tenta descrever matematicamente tal distribuição que surge o número ℮ de que falamos inicialmente. Vamos acompanhar o raciocínio seguinte para compreender como surge esse número na descrição de processos naturais de crescimento (ou decrescimento).

Exemplo 1 – Certa população n é uma função do tempo: N = f(t), t em anos. Os dados disponíveis informam que n cresce a uma taxa de 100% ao ano, ou seja, dobra a cada ano. Como podemos expressar o valor de n em função de t? uma primeira hipótese, bem pouco natural (na verdade, absurda), é de que n ficaria constante ao longo de cada ano, dobrando de valor ao final, na passagem para o ano seguinte. O gráfico de n em função de t seria o seguinte: N

4No

2No No t 0

uma hipótese mais razoável seria a de que o crescimento de 100% ao ano distribui-se ao longo do ano. Vamos considerar, inicialmente, que tal distribuição ocorra do modo mais simples: 50% em cada semestre. Nesse caso, após o primeiro semestre, a população seria No + 50% de No, ou seja, a população inicial se-

1 ria multiplicada pelo fator  1 +  , tornando-se

 2 1  No  1 +  ; após o segundo semestre, novamen 2 te a população inicial ficaria multiplicada por 1+

1 1 , tornando-se No 1 + 2 2

; no próximo

período, a população seria No 1 +

1 , e assim 2

por diante. O gráfico da população n em função do tempo seria o representado a seguir: No

1 1+ 2

N No 1 + 1

No 1 + 1

No 1+ 1

No 1 + 1

1 No 1 +

No 1 + 1

1 No 1 +

No 1 + 1

1 2

t 0

1 2

3 2

1 4

2 4

3 4

5 4

6 4

7 4

9 4

5 2

Para se aproximar mais ainda de uma situação concreta envolvendo crescimento, seria ainda mais razoável supor que os 100% de crescimento se distribuam ao longo do ano, sendo 25% a cada trimestre. Nesse caso, ao final do 1o trimestre, a população seria



1 4

No + 25% de No, ou seja, No  1 +    o

ao final do 2 trimestre, o valor inicial do trimestre terá sido multiplicado novamente 2

1 1 por 1 + 4 , tornando-se No 1 + 4 ; após o 3o trimestre, a população seria No 1 + 1 4

assim por diante. O gráfico da população n em função do tempo seria o representado a seguir:

Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído mês a mês, sendo o crescimen1   N 0 1 a+ de 100%, então teríamos to mensal igual  12  o valor da população: f ao final do primeiro mês igual a 2 1 No 1 + ; 12 f ao final do segundo mês igual a 2 1 No 1 + 12 ; f ao final do terceiro mês igual a 3 1 No 1 + ; 12 f e assim por diante, de modo que, ao final 12 1 o N = N 1 + . do 1 ano, teríamos: o 12

Matemática – 3a série – Volume 3

Se o ano fosse dividido em 100 partes iguais, sendo o crescimento de 100% ao ano distribuído ao longo delas, sendo de 1% em cada uma, a população, ao final do ano, seria 100

1 . igual a: N = N o 1 + 100 Como se pode observar nos gráficos, se uma população cresce a uma taxa de 100% ao ano, o valor da população ao final do 1o ano é igual a: f 2No, quando se considera que seu valor permaneceu constante ao longo do ano, dobrando ao final; 2

1 f No 1 + , ou seja, 2,25No, quando se 2 considera o crescimento distribuído, sendo 50% em cada semestre; 4

1 , ou seja, aproximadamente 4 2,44 No, quando o crescimento é distribuído ao longo dos trimestres, sendo 25% ao trimestre;

f No 1 +

1 , ou seja, aproximadamente 12 2,61 No, quando ele é uniformemente distribuído mês a mês; e assim por diante.

f No 1 +

Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído uniformemente ao longo do ano, subdividido em n partes, então o valor de n ao n

1 . final do ano será: N = No 1 + n No cálculo anterior, chama a atenção o n 1 para valores grandes de n. número 1 + n

Recorrendo a uma calculadora, podemos verificar que, quanto mais aumenta o valor n 1 se de n, mais os valores da expressão 1 + n aproximam de um número determinado: Para n = 100, temos 1+

1 100

100

= 2, 704813829...

para n = 365, temos 1 1+ 365

365

= 2, 714567485...

para n = 1 000, temos 1+

1 1000

1 000

= 2, 716923932...

para n = 3 000, temos 1 1+ 3000

3000

= 2, 717828893...

para n = 10 000, temos 1 1+ 10 000

10 000

= 2, 718145927...

para n = 100 000, temos 1 1+ 100 000

100 000

= 2, 718268237...

para n = 1 000 000, temos 1 000 100000 000

 1 1  1 + 1 +  100 000 000  1 000

718280469... = = 2, 718268237

para n = 10 000 000, temos 1+

1 10 000 000

10 000 000

= 2, 718281693...

para n = 100 000 000, temos   1  1 + 100 000 000   

100 000 000

= 2, 718281815

Dizendo de outra maneira: quanto maior é o valor de n, mais o valor da expressão n 1 1+ se aproxima do número 2,7182818... n Este número estranho é representado pela letra ℮, e escrevemos: ℮ ≅ 2,7182818. Podemos dizer, então, que se uma população no cresce a uma taxa de 100% ao ano, distribuída uniformemente ao longo do ano, seu valor ao final do ano será igual a no . ℮, ou seja, aproximadamente 2,718 . no. Raciocinando de modo análogo, podemos mostrar que, ao final de dois anos, o valor da população será igual no . ℮2, ao final de três anos será no . ℮3, e de modo geral, ao final de t anos teremos n = no . ℮t. Se a taxa k não for 100%, quer dizer, k ≠ 1, mas sim 20%, ou seja, k = 0,2, então teremos, ao final de t anos: n = no.℮0,2t . De modo geral, para uma taxa porcentual k qualquer (0 < k < 1) teremos, ao final de t anos, n = no. ℮kt. Em muitas outras situações práticas, em diferentes contextos, deparamo-nos com o número ℮. Apesar de ser um número de aparência diferente – ele é irracional (e transcendente) como o π – sua presença é muito frequente no estudo de fenômenos naturais que envolvem crescimento ou decrescimento exponencial. No cálculo de juros, por exemplo, ocorre uma situação similar à que foi descrita anteriormente. Quando um capital Co é aplicado a uma taxa de 100% ao ano, se os juros

forem incorporados ao capital apenas ao final do ano, o valor do capital, depois de um ano, será igual a 2Co; depois de dois anos, será 4Co e assim por diante. Entretanto, se os juros forem distribuídos uniformemente ao longo do ano, de n 1 modo que a cada período de 1 + do ano sejam n 100% incorporados os juros de , então, ao final n n 1 do ano, o novo capital será igual a Co . 1 + n ; se os juros forem incorporados continuamente ao capital, o valor montante, ao final de um ano, será C = Co . ℮ e, ao final de t anos, será C = Co . ℮t. Se a taxa k não for 100%, quer dizer, k ≠ 1, mas sim 10%, ou seja, k = 0,1, teremos, ao final de t anos: C = Co . ℮0,1t. De modo geral, para uma taxa k (0 < k < 1), teremos, ao final de t anos, C = Co . ℮kt. Quando se estuda o fenômeno da propagação de doenças, também se dá o fato de que a rapidez com que o número de doentes aumenta é diretamente proporcional ao número de doentes em cada instante. Na descrição matemática do fenômeno, iremos nos deparar novamente com o número ℮. Reiteramos, então: sempre que tentamos descrever matematicamente o modo como variam funções presentes em fenômenos naturais de diferentes tipos, mas que têm em comum o fato de que envolvem grandezas que crescem ou decrescem com uma rapidez que é diretamente proporcional ao valor da grandeza em cada instante, naturalmente encontramos

Matemática – 3a série – Volume 3

o número ℮. um valor aproximado de ℮ pode n 1 ser obtido a partir da expressão 1 + : n quanto maior o valor de n, mais próximos estaremos do número ℮. Para todos os fins práticos, ℮ ≅ 2,71828, ou com uma aproximação melhor, ℮ ≅ 2,718281828459045. Em consequência, em situações concretas que descrevem fenômenos naturais em que ocorre crescimento ou decrescimento exponencial, a função f(x) = ℮x, cujo gráfico apresentamos a seguir, tem uma presença marcante.

–1

36 y 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

f(x) = ℮x

y = 3x

y = 2x

14 y 12 10 8 6 x f(x)= ℮ 4 g(x) = ln x y=x 2 x 0 –22–20–18–16–14–12–10–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14

Exercícios exemplares Apresentamos a seguir alguns exercícios exemplares que poderão servir de base para o professor na exploração das ideias apresentadas anteriormente.

Atividade 3

Assim como o número ℮ serve de base para uma particular e importante função exponencial, ele também serve para a correspondente função logarítmica: se y = ℮x, então x = log℮ y. Em outras palavras, à função exponencial de base ℮ corresponde sua inversa, a função logarítmica de base ℮. A função g(x) = logex costuma ser representada por g(x) = ln x, uma abreviatura para “logaritmo natural de x”. Os gráficos de f(x) = ℮x e de sua inversa, g(x) = ln x, são adiante representados. É interessante notar que, como funções inversas, a cada ponto (a, b) do gráfico de f(x) corresponde um ponto (b, a) do gráfico de g(x), ou seja, os gráficos são simétricos em relação à reta y = x.

um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo que: a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano (juros simples); Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou seja, C1 = 1,12Co. b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao final de cada mês; Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês, temos: ao final do 10 mês: ao final do 20 mês:

1 12 2 12

= 1, 01

= (1, 01)2 .

de modo análogo, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . Co , ou seja, C1 = 1,1268 . Co

b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao longo do ano.

Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos:

Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = Co . ℮0,12t

Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co.(1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t.

Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = C o . ℮0,12, ou seja, C1 = 1,1275 . C o

Atividade 4 um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule depois de quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo que: a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano; Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos: C(t) = Co(1,12)t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t Daí segue que (1,12)t = 2, portanto, t . ln(1,12) = ln2, ou seja, t = ln 2 ln(1, 12)

Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t ≅ 6,12 anos, ou seja, o capital dobrará de valor somente após o o 6 ano. Se os juros somente são incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o o capital após completar o 7 ano.

C(t) = Co (1,01)t, com t em meses.

Daí segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t ≅ 69,66 meses ≅ 5,8 anos. Se os juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá ser resgatado após 5 anos e 10 meses. c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos). Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C(t) = Co . ℮0,12t, com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co . ℮0,12t. Daí segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t = 5,78 anos.

Atividade 5 Esboce o gráfico das funções: a) f(x) = ℮(x–5) b) g(x) = ℮–x c) h(x) = 13 . ℮(x + 1) d) m(x) = –7 . ℮(1–x) a) O gráfico de f(x) = ℮(x–5) pode ser obtido a partir do gráfico de y = ℮x, deslocando o mesmo horizontalmente para a direita 5 unidades; é como se fosse o gráfico de y = ℮z com z = x – 5.

Matemática – 3a série – Volume 3

b) O gráfico de g(x) = ℮–x pode ser obtido a partir do gráfico de y = ℮x, trocando-se os valores de x pelos de –x, ou seja, é como se fosse o gráfico de y = ℮z com z = –x. Tudo se passa como se o gráfico de y = ℮x sofresse uma rotação de 180º em torno do eixo y. c) O gráfico de h(x) = 13 . ℮(x +1) pode ser obtido deslocando-se o gráfico de y = ℮x para a esquerda em 1 unidade, e depois multiplicando cada valor de y por 13. d) O gráfico de m(x) = –7 . ℮(1–x) pode ser obtido a partir do gráfico de y = ℮x, trocando-se x por –x, ou seja, girando-o de 180º em torno do eixo y, deslocando-o no sentido positivo de x em 1 unidade e depois multiplicando cada ordenada y por –7, ou seja, multiplicando por 7 e pegando o valor simétrico na direção do eixo y. Os 4 gráficos encontram-se representados a seguir: 48

g(x) = ℮–x

45 42

h(x) = 13 ℮x+1

y = ℮x

f(x) = ℮x–5

36 33 30

21 18 15 12 9 6 3

0 –2

–1

–3

–6 –9 –12 –15 –18 –21 –24 –27

a) supondo que m(t) = mo . 2bt, determine o valor de b; Supondo m(t) = mo . 2bt, ou seja, m(t) = 60 . 2bt, e sabendo que quando t = 4 temos m = 30, resulta: 30 = 60 . 24b, ou seja, 1 . Em consequência, 4b = log2  1  .  2  2 Como log2 2 = 1, segue que 4b = –1, pois

24b =

log2  1  = log2 1 – log2 2 = –log2 2 = –1. Segue  2  que b = –0,25, e então, m(t) = 60 . 2– 0,25t. b) supondo que m(t) = mo . ℮at determine o valor de a;

ou seja, ℮4a =  1  .  2   1 Em consequência, 4a = ln   . Obtendo o  2 valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2 ≅ 0,6932, de onde segue que 4a = – 0,6932, ou seja, a = – 0,1733. Assim, a função obtida é m(t) = 60 . ℮– 0,1733t. resulta: 30 = 60 .

27 24

–3

Quando uma substância radioativa se decompõe, a rapidez com que ela se transforma é diretamente proporcional à quantidade restante, em cada instante, ou seja, seu decrescimento é exponencial. Sabendo que a massa inicial mo de certa substância radioativa é 60 g e reduz-se à metade a cada 4 h, determine a expressão de sua massa m em função do tempo t em horas:

Supondo m(t) = mo . ℮at, ou seja, m(t) = 60 . ℮at, e sabendo que quando t = 4 temos m = 30,

–4

Atividade 6

m(x) = –7℮1–x

℮4a,

c) mostre que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes; Calculando 2–0,25, usando uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos

0,8409; calculando ℮–0,1733, obtemos o mesmo valor 0,8409, o que significa que (2– 0.25)t = (℮– 0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes.

y g(x) = ℮–x m(x) = ln(–x)

f(x) = ℮x

h(x) = ln x –4

–2

d) calcule a massa restante após 8 h. –2

Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8 obtemos a massa restante após 8 h: m(8) = 60 . 2–0,25.8 = 60 . 2–2 = 15 g. e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g? Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o valor de t em qualquer uma das expressões: 12 , 12 = 60 . ℮–0,1733t, ou seja, – 0,1733t = ln 60 isto é, – 0,1733t = –ln 5. Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29h, ou seja, aproximadamente, 9h17.

Atividade 7 Faça os gráficos das quatro funções a seguir indicadas em um mesmo sistema de eixos e responda às perguntas que seguem: f(x) = ℮x h(x) = ln x

g(x) = ℮–x m(x) = ln (–x)

a) Qual das funções cresce a taxas crescentes? b) Qual das funções cresce a taxas decrescentes? c) Qual das funções decresce a taxas crescentes? d) Qual das funções decresce a taxas decrescentes?

Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os valores de f(x), quando trocamos x por –x, coincidem com os valores de g(x). Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos que para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2. Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos. a) Observando os gráficos e lembrando do significado da taxa de variação unitária, notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes. b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente, o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas decrescentes. c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente, e notamos que as taxas de variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes.

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d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente, e notamos que as taxas de variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes.

Atividade 8 Construa o gráfico da função f(x) = ℮– x

O gráfico dessa função é chamado curva normal e representa a distribuição em torno do valor médio das frequências de ocorrência de um experimento aleatório em uma população. Muitas medidas de características físicas como altura, massa, dimensões dos pés, dos colarinhos, entre outras, ao serem representadas estatisticamente, conduzem a uma curva como a normal. Para esboçar o gráfico de f(x), basta considerar o seguinte roteiro: f construir o gráfico de y = ℮x, comparando com o de y = x; quando x é positivo e aumenta, os valores de ℮x são positivos e tornam-se cada vez maiores; quando x é negativo e diminui, os valores de ℮x são positivos mas tornam-se cada vez menores; f construir o gráfico de y = x2, imaginando como ficará o de y = ℮x ; quando x é positivo 2 e se torna cada vez maior, os valores de ℮x são positivos e cada vez maiores, superando, inclusive, os correspondentes de ℮x para x > 1; quando x é negativo e se torna cada vez menor, os valores de x2 são positivos e cada vez maiores;

f calculando, para cada x, o inverso de ℮x , ou seja, “℮–x ”, percebemos, então, que quanto maior é “℮x ”, menor é seu inverso, ainda que ele seja sempre positivo; 2

f logo, o gráfico de f(x) = indicada a seguir:

y=℮

tem a forma

y=℮

y=x

f(x) = ℮–x –2

y=x 2

Adiante representamos diversas curvas do tipo Normal (ou Curva de Gauss); todas são do tipo f(x) = a . ℮–bx , com diversos valores para os parâmetros a e b. 2

f notar que o gráfico de y = ℮x é simétrico em relação ao eixo y, ou seja, que a função y = ℮x é par;

y=x

y x2

℮–x

–2

x 0

Considerações sobre a avaliação Chegamos ao final deste percurso de aprendizagem com a expectativa de que as ideias fundamentais apresentadas tenham sido compreendidas e apreciadas. Temos certeza de sua relevância e de que o esforço despendido na busca de sua compreensão

valeu a pena, uma vez que competências como capacidade de expressão, de contextualização, de argumentação e decisão certamente foram ampliadas. Apesar de algumas das noções apresentadas não serem muito frequentes no tratamento mais usual dos conteúdos e temas do bimestre, consideramos que elas contribuem decididamente para uma visão mais crítica do estudo da variação de funções. Sobre a avaliação, consideramos que o conteúdo mínimo aceitável nesta Situação de Aprendizagem é a compreensão do significado e da importância das funções exponenciais, com sua característica básica que

é o fato de que a taxa de variação unitária é diretamente proporcional ao valor da função em cada ponto. A compreensão do significado e da importância do número ℮, da função exponencial de base ℮ e da função logaritmo natural é outro objetivo fundamental da Situação de Aprendizagem. A exploração de situações contextualizadas em que o crescimento e o decrescimento exponencial estão em cena também é imprescindível. A construção e a leitura de gráficos em que a variação exponencial distingue-se de outras formas de variação é o resultado mais importante que resulta da atividade.

ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO Se as metas iniciais da Situação de Aprendizagem 1 não forem plenamente atingidas, as atividades de recuperação poderão explorar duas vertentes principais: f uma retomada das funções já estudadas nas séries/bimestres anteriores de modo mais esquemático, apresentando um resumo das propriedades mais relevantes das funções de 1o grau, funções de 2o grau, funções exponencial e logarítmica, funções trigonométricas, seguida de exercícios simples para fixação; f alternativamente, pode-se retomar a exploração dos conteúdos da Situação de Aprendizagem 1, diretamente a partir de exercícios representativos, recordando-se

ou apresentando-se os conceitos e as propriedades apenas por meio de exercícios. Em qualquer caso, o aproveitamento no bimestre não será aceitável se a incorporação da linguagem das funções e o reconhecimento das situações de interdependências típicas como as anunciadas anteriormente não tiverem efetivamente ocorrido. Da mesma forma, se os alunos apresentarem dificuldades no decorrer da Situação de Aprendizagem 2, o professor poderá apresentar os diversos tipos de transformação/decomposição não do modo panorâmico, como foi proposto, mas um por vez, seguido imediatamente de exercícios de fixação. Por exemplo, tratar apenas de translações verticais, para cima ou para baixo, praticando com vários

Matemática – 3a série – Volume 3

exemplos, antes de passar a outro tipo de transformação. Depois, translações horizontais, para a direita ou para a esquerda, seguida de exercícios, e assim por diante. Outra estratégia pode ser estudar todas as transformações em cada um dos tipos de funções já conhecidos. Por exemplo, partir da função y = senx em sua forma básica e realizar todas as transformações apresentadas: translações verticais, horizontais, etc. Em relação aos conteúdos da Situação de Aprendizagem 3, as atividades de recuperação poderão explorar o seguinte: f concentrar-se no estudo das funções de 1o e 2o graus, explorando as ideias de crescimento, decrescimento, concavidade e valores máximos ou mínimos apenas no universo dos trinômios de 2o grau, antes de fazer alguma extrapolação para outras funções; f alternativamente, o professor poderá optar por explorar as ideias expostas na Situação de Aprendizagem, analisando gráficos de diversos tipos de funções, a partir de revistas ou jornais, buscando uma compreensão empírica do significado do crescimento à taxa constante (ou “uniforme”), a taxas crescentes (ou “acelerado”) e a taxas decrescentes (ou “retardado”), antes de fazer alguma extrapolação para funções determinadas por expressões algébricas f(x).

Por fim, se o professor considerar que os resultados ao final da Situação de Aprendizagem 4 não foram plenamente satisfatórios, sugerem-se duas estratégias para a retomada dos temas: f uma primeira estratégia é a exploração apenas do fato fundamental a respeito das funções exponenciais, que é o de que a taxa de variação unitária é diretamente proporcional ao valor da função a cada ponto (se f(x) = ax, então f(x+1) – f(x) = ax(a – 1)). Praticamente todo o conteúdo da Situação de Aprendizagem pode ser explorado de modo simplificado, abordando-se apenas tal fato. Retirar-se-ia inicialmente, portanto, o peso da apresentação do número ℮, que poderia ser feita apenas a título de complemento; f uma segunda estratégia é concentrar as atenções em um tema que costuma ser um centro de interesses importante – a Matemática Financeira. Optamos por tratar do estudo dos fenômenos que envolvem variação exponencial situando o foco no crescimento de populações, em vez de fazê-lo com foco nas taxas de juros. Se o professor preferir, pode simplificar bastante o conteúdo apresentado, restringindo-se a exercícios de Matemática Financeira. Consideramos que a temática fica empobrecida, mas reconhecemos que pode ser uma alternativa para serem atingidos os objetivos da Situação de Aprendizagem.

RECuRSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AluNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Para os conteúdos e temas do presente bimestre, diversos materiais didáticos podem ser utilizados. Em princípio, qualquer livro didático pode servir de base para a construção do panorama pretendido. Os livros que têm a forma de um volume único para as três séries do Ensino Médio podem ser especialmente úteis. Para a construção dos gráficos das funções estudadas, sugerimos um software que pode ser obtido livremente na internet. Trata-se do Graphmatica (disponível em: <http://www. baixaqui.com.br>). Com ele, a rápida construção pode ajudar muito na compreensão do significado dos parâmetros envolvidos (os coeficientes a e b na função de 1o grau; a, b e c na função de 2o grau; a na função y = ax e y = logax; a e b na função y = a senbx, e assim por diante). um pequeno livro especialmente interessante para a Situação de Aprendizagem 1 é Construindo gráficos, de Shilov, da Série Matemática

– Aprendendo e ensinando, da editora Atual/ Saraiva. Trata-se de uma edição original da MIR, Moscou, da Série lições Populares de Matemática, traduzida e adaptada para o português. Não são muito comuns textos elementares que abordem a temática das taxas de variação, ou dos diferentes tipos de crescimento ou decrescimento, mas o professor pode encontrar material para motivar sua turma examinando gráficos em livros de Economia ou de Administração. A análise qualitativa de gráficos, tal como se pretendeu nas Situações de Aprendizagem, pode ser realizada com base em gráficos apresentados em tais livros, ou em jornais e revistas que apresentem gráficos referentes às matérias, o que é cada vez mais frequente. um texto que apresenta alguma sintonia com o tratamento aqui proposto é o de Elon lages lima, com o título Logaritmos, publicado na série Fundamentos da Matemática Elementar, publicada pelo Impa.

Matemática – 3a série – Volume 3

COnSidERAçõES FinAiS Neste bimestre, buscamos a retomada de um tema que vem sendo apresentado aos poucos aos alunos desde o Ensino Fundamental, quando foram estudadas as ideias de grandezas proporcionais. Na 1a série do Ensino Médio tais ideias foram reforçadas, no 2o bimestre da 1a série, com especial destaque para as funções de 1o e 2o graus. Ainda na 1a série, agora no 3o bimestre, as funções exponencial e logarítmica foram estudadas, dando-se destaque às ideias de expoentes e logaritmos. Na 2a série do Ensino Médio, o interesse pelos fenômenos periódicos conduziu ao estudo das funções seno e cosseno, realizado logo no 1o bimestre. Na 3a série do Ensino Médio, também no 1o bimestre, ao estudar as equações das retas em Geometria Analítica, novamente as funções de 1o grau tiveram um lugar de destaque, e no

2o bimestre, ao tratar das equações algébricas, os alunos tiveram contato com algumas funções polinomiais. Agora, neste 3o bimestre, a retomada de tais temas tem o sentido de uma revisão e de um complemento, apresentando-se aos alunos novos pontos de vista sobre os mesmos temas, o que favorece em muito a utilização da linguagem e dos recursos instrumentais que as funções nos propiciam no tratamento e na modelagem de fenômenos naturais em diferentes contextos. Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos, apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Médio, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos apresentados no presente bimestre.

COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

dO EnSinO MédiO

1a série

2a série

3a série

NúMEROS E SEQuêNCIAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

TRIGONOMETRIA - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

GEOMETRIA ANAlÍTICA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

FuNçõES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau, função de 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MATRIzES, DETERMINANTES E SISTEMAS lINEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQuAçõES AlGÉbRICAS, POlINôMIOS E NúMEROS COMPlEXOS - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

FuNçõES EXPONENCIAl E lOGARÍTMICA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANálISE COMbINATÓRIA E PRObAbIlIDADE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e binômio de Newton.

ESTuDO DAS FuNçõES - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

GEOMETRIA – TRIGONOMETRIA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAl - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

ESTATÍSTICA - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.