MATEMATICA_CP_3s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino médio

3ª- SÉRIE

volume 4 - 2009

matEmátIca

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-442-1 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo Faz Escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Apredizagem

Situação de Aprendizagem 1 – A apresentação de dados estatísticos: gráficos e tabelas 11 Situação de Aprendizagem 2 – Média aritmética e dispersão: qual é a relação?

Situação de Aprendizagem 3 – A curva normal e o desvio padrão: probabilidade e Estatística 24 Situação de Aprendizagem 4 – Amostras estatísticas: tipos, confiabilidade e margem de segurança dos resultados 40 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 54 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA

CURRiCUlAR PARA O EStAdO

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA dO CAdERnO Estatística

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Médio

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

A apresentação de dados estatísticos: gráficos e tabelas Medidas centrais e de dispersão: cálculo, interpretação e significados Média aritmética, mediana e moda Amplitude e desvio médio A curva normal e o desvio padrão: probabilidade e Estatística As etapas de uma pesquisa estatística: da amostragem aos resultados

ORiEntAçãO gERAl SObRE OS CAdERnOS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, principalmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor poderá explorar cada assunto com maior ou menor aprofundamento, isto é, escolher uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A seu critério, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades

contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente você, professor, em sua circunstância particular, levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno e sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, etc.) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados por você, professor, para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 3a série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre Os tópicos de Estatística selecionados para o Ensino Médio constituem um bloco de conteúdos matemáticos dos mais aplicados a situações cotidianas, levando em conta, principalmente, a faixa etária dos alunos e as condições socioeconômicas de nossa população. A correta compreensão de dados estatísticos de toda natureza é um importante pilar da base do edifício matemático e uma ferramenta indispensável no processo de construção da cidadania. São conhecidos alguns “motes” associados à análise estatística de dados, como aquele em que se afirma que “Estatística é a arte de mentir com números”, ou aquele outro sobre o “estatístico de 1,80 m de altura que morreu afogado no lago de profundidade média 1,60 m”. De fato, se os dados numéricos ou qualitativos acerca das características de alguma variável não apresentam, por si só, incoerências, o modo como são feitas as diversas relações possíveis entre eles permite o traçado de diferentes caminhos, com diferentes finais, alguns muito previsíveis. Ser capaz de compreender e criticar a forma com que são realizadas essas análises, validando-as ou não, é prerrogativa apenas daqueles que conhecem como são ou deveriam ser realizadas todas as etapas de um processo estatístico, desde a amostragem até os relatórios finais. Com base nisso, foi elaborada esta proposta de desenvolvimento metodológico para os conteúdos de Estatística, que completa a formação matemática projetada para estudantes de Ensino Médio.

Na Situação de Aprendizagem 1 apresentamos uma série de dados de diferentes tipos de variáveis, com diferentes tipos de gráficos, para que sejam interpretados corretamente. Além disso, com base em algumas situações-problema, propomos uma discussão acerca de irregularidades matemáticas frequentemente observadas em gráficos estatísticos. Essas irregularidades muitas vezes conduzem a interpretações equivocadas dos dados apresentados. Trata-se de situação comum aquela em que a média aritmética de uma distribuição de dados é utilizada como único resultado estatístico na análise. Afirmar, por exemplo, que a renda per capita do Amazonas é cerca de R$ 8 300,00 quando se conhecem as enormes disparidades de ocupação do solo e distribuição de renda nesse Estado, serve para quê? Apesar do reconhecido equívoco em fazê-lo, ainda observamos a divulgação frequente de médias em noticiários ou em falas oficiais transmitindo, muitas vezes, falsas impressões a quem as lê ou ouve. Reconhecendo a importância de, em uma análise de resultados estatísticos, associar o valor da média a valores de outros indicadores, como mediana e desvio padrão, propomos, na Situação de Aprendizagem 2, a realização de uma atividade experimental, na qual o resultado final dependerá da análise da relação entre média aritmética, mediana e desvio médio. A efervescência dos períodos pré-eleitorais fornece contexto adequado para o aprofundamento do estudo de importantes elementos da Estatística, começando, por exemplo, pela fala

recorrente de que “a pesquisa prevê 26% dos votos para o candidato X, com 5% de margem de segurança”. A compreensão desses números passa pelo estudo da relação entre média aritmética, desvio padrão e o cálculo de probabilidades associadas a faixas da curva normal. Na Situação de Aprendizagem 3, propomos ao professor que apresente a curva normal a seus alunos e que discuta com eles a relação entre o formato da curva e o valor da média e do desvio padrão da distribuição. Com base nisso, poderão ser calculadas probabilidades associadas a intervalos de valores da curva, ampliando, dessa maneira, os significados anteriormente construídos acerca do número que exprime a chance de ocorrência em fenômenos aleatórios.

Durante a realização da Situação de Aprendizagem 4, os alunos encontrarão respostas às questões acerca das características de um sistema de amostragens. O contexto escolhido, nesse caso, foi o das pesquisas de intenção de voto, que desperta a curiosidade para alguns pontos, por exemplo, para o número de pessoas entrevistadas, aparentemente pequeno para o objetivo, ou para a margem de erro, “de 5% para mais ou 5% para menos”. A preparação do trabalho do bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser organizado nas seguintes oito unidades, correspondendo, aproximadamente, a oito semanas de aulas:

Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 3a série do Ensino Médio Unidade 1 – A apresentação de dados estatísticos: gráficos e tabelas. Unidade 2 – Tabelas e gráficos de frequências e de frequências acumuladas. Unidade 3 – Medidas de posição: média aritmética, mediana e moda. Unidade 4 – Medidas de dispersão: amplitude e desvio médio. Unidade 5 – O desvio padrão e a curva normal. Unidade 6 – Probabilidades associadas a intervalos da curva normal. Unidade 7 – Probabilidades associadas a intervalos da curva normal. Unidade 8 – Sistemas de amostragens.

Matemática – 3a série – Volume 4

SitUAçõES dE APREndizAgEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A APRESENTAçãO DE DADOS ESTATíSTICOS: GRáFICOS E TABElAS A construção de gráficos e mapas insere-se no contexto que envolve a busca de conhecimento e o esclarecimento acerca de certa questão da realidade que se tem interesse em compreender. Dessa maneira, diante de uma questão colocada, seja no âmbito da sociedade ou da natureza, damos início a um trabalho de pesquisa mediante o levantamento de dados, registros das situações percebidas concretamente de forma sistemática, que podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa. Os dados de natureza qualitativa nos informam sobre as características dos objetos de estudo. Os dados quantitativos referem-se à possibilidade de efetuarem-se medidas ou contagens acerca da manifestação dos fenômenos. Nas pesquisas em Geografia, na maioria das vezes, trabalhamos com dados qualitativos ou quantitativos provenientes de fontes secundárias: as estatísticas e os documentos cartográficos. Depois de coletados, os dados são organizados em mapas, tabelas e/ou gráficos. Os mapas são objeto de estudo da Cartografia. Os gráficos não. Esses estão mais ligados à Matemática e, em particular, à Estatística. Isso porque grande parte dos gráficos tem origem nas propostas de Nicole Oresme (1323-1382) e René Descartes (1596-1650) para a descrição da posição de pontos no plano, base da geometria

analítica. A partir daí foi possível a elaboração de gráficos de relações e de funções na Matemática, explorados, depois, também na Estatística. Diante de um mapa ou gráfico, o leitor pode se interessar por um aspecto particular ou pode desejar ter conhecimento global do assunto que está sendo representado. Para tanto, ele inicia a leitura identificando do que trata o mapa, a tabela ou o gráfico. Para isso, ele fica atento ao título, que deve dizer “o quê”, “onde” e “quando” a respeito do tema, completando-se depois com outros dizeres que estarão sobre a tabela, o gráfico ou o mapa, principalmente com a respectiva legenda que explica os significados dos signos presentes. Com essa informação, o leitor entra direto no âmago da representação gráfica, que deverá ser eficaz para poder lhe revelar o conteúdo da informação que ele encerra. Uma tabela, um gráfico ou um mapa, portanto, será eficaz quando possibilitar ao usuário resposta visual e rápida às questões por ele colocadas. Diante de gráficos o leitor pode propor, principalmente, dois tipos de questões: 1. Questão sobre detalhe (quanto choveu no mês de abril na cidade X?) 2. Questão sobre conjunto (qual é o regime anual das chuvas na cidade X?)

Nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos alguns gráficos para serem interpretados de acordo com esses aspectos. A escolha dos gráficos envolveu consulta a sites especializados em

dados de diferentes naturezas1 e, principalmente, a seleção de situações de maior complexidade interpretativa, em função do público a que se destinam: alunos de 3a série de Ensino Médio.

tempo previsto: 1 semana. Conteúdo e temas: gráficos de frequências e histogramas; gráficos compostos por mais de um dos tipos clássicos conhecidos; pictogramas. Competências e habilidades: interpretar informações de diferentes naturezas representadas em gráficos estatísticos; relacionar informações veiculadas em diferentes fontes e com diferentes linguagens; utilizar o instrumental matemático para realizar análise de dados registrados em gráficos estatísticos. Estratégias: resolução de situações-problema exemplares, de natureza claramente interdisciplinar.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

O climograma ou gráfico termopluviométrico

Esta Situação de Aprendizagem será composta por três etapas, cada uma com uma série de exercícios exemplares. Sugerimos que o professor comente com seus alunos sobre o conteúdo do texto de cada atividade, citando os exemplos presentes, antes de pedir que resolvam os exercícios. As etapas são:

Muitas vezes, para uma análise comparativa de variáveis, combina-se, em um mesmo gráfico a frequência acumulada porcentual (gráfico linha) com a frequência relativa (gráfico de barras).

f climograma ou gráfico termopluviométrico; f distribuição da riqueza no Brasil; f temperatura interna da casa. 1

Uma aplicação muito comum dessa combinação é o climograma ou gráfico termopluviométrico. A temperatura, por ser contínua, é representada por uma linha. Para a precipitação, como é acumulativa, utilizam-se as colunas. Um gráfico assim construído pode mostrar contrastes entre períodos secos e úmidos e,

Ver referências adicionais para os professores, ao final do Caderno.

Matemática – 3a série – Volume 4

ainda, permitir a comparação entre vários regimes climáticos em vista de uma classificação estudada em Geografia.

principalmente aquelas que dizem respeito a uma análise detalhista, por exemplo, afirmar que a temperatura média de dezembro é 22,5 ºC.

A tabela seguinte apresenta dados baseados nas características do clima da cidade de Catalão, em Goiás. Nesta tabela, temos o índice de chuvas, em milímetro, e a temperatura média mês a mês, em grau Celsius.

Mês

Índice de chuvas (mm)

temperatura média (ºC)

Janeiro

299

Fevereiro

259

Março

223

Abril

22,5

Maio

Junho

19,5

Julho

Agosto

21,5

Setembro

Outubro

155

23,5

novembro

210

dezembro

378

22,5

No entanto, apesar de ser possível obter diversas conclusões com base nos dados registrados na tabela, um gráfico, relacionando todas as informações, permite visualizar mais facilmente variações entre elementos dos conjuntos. O gráfico seguinte, gerado a partir dos dados da tabela anterior, é o climograma da cidade pesquisada.

A observação dos dados dessa tabela permite tirar uma série de conclusões,

(mm)

Climograma de Catalão

400 23 23 23 22,5 23 23,5 23 378 25 21,5 21 350 20 19,5 22,5 299 20 300 259 250 223 15 210 200 ºC 155 10 150 96 100 58 5 50 28 7 12 7 0 0 J F M A M J J A S O N D índice de chuvas (mm)

temperatura média (ºC)

Atividade 1 A respeito desse gráfico, o professor poderá pedir aos alunos que reflitam sobre algumas questões, como estas: a) Como é possível relacionar as estações do ano ao índice de chuvas apresentado no gráfico? O gráfico mostra que chove mais nos primei ros e nos últimos meses do ano. Portanto, as estações primavera e verão são as mais chu vosas, enquanto o outono e o inverno são as menos chuvosas.

b) Quais são as temperaturas máxima e mínima anuais? Em quais meses elas ocorrem?

180

A temperatura máxima é 23,5 ºC e ocorre em outubro; a temperatura mínima é 19,5 ºC e ocorre em junho.

120

c) A amplitude de um conjunto de dados é definida como a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto. Qual é a amplitude do conjunto das temperaturas médias da cidade de Catalão?

160

(mm)

119 122

117 106

100

114

147

139

140

28,5 28,5 122

117

26,5 89

20 17

60 12,5

13,5

5 J

F M A M J

índice de chuva (mm)

A S

O N D

Temperatura média (ºC)

Amplitude = 23,5 – 19,5 = 4 ºC d) Qual é a temperatura média anual da cidade de Catalão? A média deve ser obtida pela divisão entre a soma de todos os valores de temperatura e a quantidade de parcelas dessa adição. Assim, temperatura média = (23 + 23 + 23 + 22,5 + + 21 + 19,5 + 20 + 21,5 + 23 + 23,5 + 23 + + 22,5) ÷ 12

22,1 ºC.

A respeito dos dados representados nesse gráfico, responda: a) A cidade em questão localiza-se no Hemisfério Norte ou no Hemisfério Sul? Por quê? As menores temperaturas ocorrem nos meses de dezembro e janeiro, o que mostra que esses meses são de inverno em tal cidade. Por isso, podemos supor que a ci

e) Relacionando as duas variáveis apresentadas no gráfico, responda: é verdade que chove mais nos meses mais frios? Justifique.

dade localizase no Hemisfério Norte, pois no Hemisfério Sul janeiro e dezembro são meses de verão.

Não, chove mais nos meses mais quentes. b) Nos meses de inverno chove, em média,

Atividade 2 Observe o climograma seguinte, construído com base em dados fictícios de outra cidade. Neste gráfico, como no anterior, o índice de chuvas é dado em milímetro, e a temperatura em grau Celsius.

15 10

20 0

30 25

20 20,5

80 40

167

mais ou menos do que nos meses de verão? Considerando que a cidade cujos dados são representados no gráfico situase no Hemisfério Norte, chove mais no verão (junho, julho) do que no inverno (dezembro, janeiro).

ºC

Matemática – 3a série – Volume 4

c) Qual é a temperatura média anual dessa cidade? T(média) = (12,5 + 14 + 20 + 20,5 + 24 + + 27 + 28,5 + 28,5 + 26,5 + 22 + 17 + + 13,5)÷12 21,2 ºC. d) A amplitude da variação dos valores dos índices pluviométricos (valor máximo – valor mínimo) é maior para essa cidade ou para a cidade de Catalão? Menor, pois a amplitude da dispersão em Catalão é igual a 378 – 7 e na outra cidade é de 167 – 89. e) Como as características climáticas dessa cidade diferenciam-se das características climáticas de Catalão? Apesar de as temperaturas médias anuais serem muito próximas, o nível de chuvas é bastante diferente nas duas cidades, chovendo bem mais e marcadamente em Catalão. f) O clima de Catalão é classificado como tropical semiúmido, cujas características principais são: f as temperaturas são elevadas no verão e amenas no inverno (média de 20 ºC); f a existência de duas estações: a úmida e a menos úmida; f temperaturas médias mensais altas ao longo de todo o ano; f reduzida amplitude térmica anual.

Caracterize o clima da cidade representada nesse gráfico, comentando acerca das mesmas variáveis que definiram o clima tropical semiúmido para Catalão. As respostas para essa questão podem variar e cabe ao professor destacar os principais pontos de cada uma, como: 1. As temperaturas no verão, na cidade fictí cia, são, em média, maiores do que as de Catalão, chegando perto dos 30 ºC. No en tanto, a pequena amplitude dos valores de temperaturas de verão é similar nas duas cidades. 2. A variação do índice de umidade durante o ano é maior em Catalão do que na ci dade fictícia. Dessa forma, na cidade fic tícia não parece existir claramente duas estações, sendo uma úmida e outra menos úmida. 3. As temperaturas médias mensais da ci dade fictícia não podem ser conside radas altas durante todo o ano, uma vez que variam de 12,5 ºC a 28,5 ºC. 4. Enquanto a amplitude térmica de Catalão fica em torno de 4 ºC, a amplitude térmi ca anual da cidade fictícia é igual a 16 ºC, muito maior, portanto, do que em Catalão. 5. Com base nos comentários anteriores e observadas as diferenças entre as condi ções das duas cidades, se Catalão tem clima tropical semiúmido, o mesmo não se pode dizer do clima da cidade fictícia.

A distribuição da riqueza no brasil

Atividade 3

Nosso país apresenta uma das maiores desigualdades do mundo no que se refere à distribuição da renda. Tornou-se comum comentar acerca dessa desigualdade, embora na maioria das vezes esses comentários não venham acompanhados dos números que expressam a real dimensão do problema. Nesta Situação de Aprendizagem, apresentamos um resumo dos dados acerca da distribuição de renda no Brasil por meio de um gráfico bastante elucidativo, que merece, em nossa opinião, a atenção do professor para a possibilidade de realizar com seus alunos um rico trabalho sobre interpretação e relacionamento de dados. Sugerimos que o professor apresente o gráfico a seus alunos e discuta com eles alguns exemplos, em seguida, proponha a resolução das atividades que seguem.

A observação do gráfico que representa a distribuição da riqueza em nosso país mostra, por exemplo, que os 10% mais pobres da população brasileira detêm apenas 1% da renda nacional, e que os 20% mais pobres ficam com 3,5% (1% + 2,5%). Já os 10% mais ricos (acima de 90%) detêm 46,9% da renda nacional. Supondo a população brasileira igual a 200 milhões de habitantes, e o PIB2 (Produto Interno Bruto) brasileiro igual a 2,4 trilhões de reais, responda, com base no gráfico: a) Qual é o porcentual de renda nacional destinada aos 40% mais pobres da população brasileira? 9,9% b) Qual é o PIB per capita do Brasil, isto é, em média, quanto da riqueza produzida anualmente cabe a cada brasileiro? 2,4 . 1012 ÷ 200 . 106 = 1,2 . 104 = 12 000 reais.

46,9%

c) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada aos 20% mais pobres da população? 15,7%

1% 2,5% 3%

3,4% 4,5%

5,7% 7,3%

10%

10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

Porcentual da população – crescimento da riqueza Fonte: IBGE e Atlas da Exclusão Social.

3,5% de 2,4 trilhões = 84 bilhões. d) Qual é, em reais, a parte da riqueza nacional destinada a cada um dos brasileiros situados entre os 20% mais pobres da população? 84 . 109 ÷ 40 . 106 = 2 100 reais.

O Produto Interno Bruto anual é a soma de todas as riquezas produzidas no país.

Matemática – 3a série – Volume 4

e) Complete a tabela seguinte com o total da população brasileira por faixa de

concentração de riqueza e com a renda per capita em cada faixa.

Renda per capita por faixa de riqueza Porcentual mais pobre da população

Porcentual da riqueza

Valor absoluto da riqueza (R$)

População

Renda per capita (R$)

Até 10%

1,0%

24 bilhões

20 milhões

1 200

Maior que 10% até 20%

2,5%

60 bilhões

20 milhões

3 000

Maior que 20% até 30%

3,0%

72 bilhões

20 milhões

3 600

Maior que 30% até 40%

3,4%

81,6 bilhões

20 milhões

4 080

Maior que 40% até 50%

4,5%

108 bilhões

20 milhões

5 400

f) Calcule a renda per capita dos 10% mais ricos da população brasileira e responda: quantas vezes a renda per capita dos 10% mais ricos é maior do que a renda per capita nacional? (46,9% de 2,4 trilhões) ÷ 20 milhões = = 56 280 reais. A renda per capita dos 10% mais ricos da população é 4,69 vezes maior do que a renda per capita média nacional, como indica o resultado da divisão entre R$ 56 280,00 e R$12 000,00. g) Qual é a relação entre a renda per capita dos 10% mais ricos e a renda per capita dos 10% mais pobres?

A temperatura interna da casa Uma das maneiras de se avaliar o conforto e a viabilidade de um projeto de arquitetura residencial consiste em comparar a diferença entre a temperatura externa e a temperatura interna do imóvel. Adotando limites superior e inferior para as temperaturas, correspondendo, respectivamente, às condições de conforto máximo e mínimo, os arquitetos geram um gráfico em que registram as temperaturas de hora em hora, durante certo intervalo de tempo e, a partir dele e de outros fatores, julgam o nível de conforto do imóvel. Um desses gráficos, representado a seguir, foi construído com base em dois dias, sendo um deles um dia de inverno e o outro um dia de verão.

A divisão entre R$ 56 280,00 e R$ 1 200,00 nos dá o fator desejado, igual, nesse caso, a 46,9. Portanto, a renda per capita dos 10% mais ricos da população brasileira é 46,9 vezes maior do que a dos 10% mais pobres.

temperatura

residência A

residência B

máximo conforto

temperatura interior temperatura interior

temperatura exterior

mínimo conforto

temperatura exterior

horas do dia

Atividade 4 Analisando os gráficos, responda: a) Qual dos dois gráficos, o da direita ou o da esquerda, corresponde ao período medido durante o verão? Por quê? As temperaturas interna e externa da re sidência são maiores no verão do que no inverno. Portanto, o gráfico da direita é o que corresponde ao período de verão. b) O projeto em questão é, com base no conforto interno, mais adequado para o período de verão ou para o período de inverno?

de estatística descritiva que, de certa forma, têm sido abordados desde as séries iniciais do Ensino Fundamental. Os tópicos e as atividades propostas agora constituem, ao nosso ver, um aprofundamento importante e necessário. É preciso deixar claro, no entanto, que se os conteúdos são praticamente os mesmos, assim como as habilidades e competências exigidas, a profundidade dos temas abordados exigem saltos consideráveis na análise e interpretação, quando comparados aos temas abordados nas séries anteriores. Por esse motivo, alguns alunos poderão sentir maior dificuldade do que os outros na resolução das atividades propostas.

Certamente para o período de verão, pois nenhuma vez, no gráfico à direita, as tempe raturas registradas extrapolam os limites de conforto mínimo e máximo.

Considerações sobre a avaliação Os conteúdos que se podem desenvolver por intermédio desta Situação de Aprendizagem compõem um conjunto de elementos

O professor poderá utilizar gráficos pré-selecionados para compor a avaliação do processo. Recomenda-se, nesse caso, que os alunos possam, em algum momento de avaliação, expressar suas opiniões quanto a temas de reconhecida importância para a formação de sua cidadania, como é o caso da sequência “A distribuição da riqueza no Brasil”, componente desta Situação de Aprendizagem.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 MÉDIA ARITMÉTICA E DISPERSãO: QUAl É A RElAçãO? É esperado que alunos da 3a série do Ensino Médio saibam calcular média aritmética de conjuntos de dados. É esperado também que eles saibam interpretar razoavelmente o significado

de valor médio como aquele que reflete certa tendência do conjunto de valores, no sentido de que compensa as diferenças para os demais elementos do conjunto, como no exemplo:

Matemática – 3a série – Volume 4

{1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 12} 1–5

=–4

2–5

=–3

3–5

=–2

3–5

=–2

4–5

=–1

5–5

7–5

8–5

Média aritmética = 5

+ =0

12 – 5 = 7 Assim, a soma das diferenças entre os valores do conjunto de dados e a média aritmética dá 0; desvios muito grandes para mais ou para menos são compensados. Por essa razão, a média aritmética não deve ser utilizada como único indicador na análise dos dados. Para evitar isso, agrega-se ao cálculo das médias o cálculo de outras medidas estatísticas. As primeiras delas são aquelas que, assim como

a média, são chamadas medidas de tendência central, que são a mediana e a moda. O fato de os valores dessas três medidas — média, mediana e moda — serem ou não próximos uns dos outros é um indicativo inicial do quanto de significado podemos atribuir à média aritmética. Outro valor que não pode ser desconsiderado de forma nenhuma na análise de um conjunto de dados refere-se às medidas de dispersão. Há mais de uma medida de dispersão e, nesta Situação de Aprendizagem, focalizaremos principalmente a amplitude e o desvio médio. Por intermédio de uma espécie de jogo pedagógico, os alunos poderão avaliar a baixa significância da média aritmética enquanto medida única de análise e, refinando o processo, perceber a importância de se calcular a dispersão do conjunto. Convidamos você, professor, a acompanhar a descrição da atividade e, julgando-a apropriada, a utilizá-la com seus alunos.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: gráfico de frequências e histogramas; medidas centrais: média aritmética, mediana e moda; dispersão: amplitude e desvio médio; noções de amostragem simples. Competências e habilidades: relacionar informações veiculadas em diferentes fontes e com diferentes linguagens; estabelecer critérios sobre procedimentos estatísticos e analisar a confiabilidade acerca das medidas envolvidas. Estratégia: jogo pedagógico envolvendo conceitos de Estatística.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Jogo do desvio médio 1. Material do jogo Para a composição do material, para cada grupo de trabalho são necessárias, pelo menos,

200 peças de mesmo formato, porém de cores diferentes. Bolinhas são ideais para o caso, mas podem também ser utilizadas pequenas contas ou, até mesmo, pedaços de papel-cartão em formato de quadrados congruentes. O total de peças deve ser dividido, não igualmente, entre cinco cores. Apenas o professor deve

conhecer a quantidade de peças de cada cor, mas os alunos devem ser comunicados, antes de iniciar o jogo, sobre o total geral de peças.

2. Procedimento Os alunos da turma, divididos em grupos de três ou quatro elementos cada, recebem do professor o comunicado de que serão desafiados a descobrir, apenas por amostragens, a quantidade de peças de cada cor dentre o total de peças de um saquinho. O total de peças é conhecido, e caberá aos alunos planejar, executar e explicar o procedimento que adotarão e também a sua previsão quanto à quantidade de peças de cada cor. Cada grupo recebe um saquinho contendo as peças coloridas e passam a retirar amostras durante certo intervalo de tempo estipulado pelo professor. Cerca de 20 minutos é suficiente para essa operação. Os grupos precisam estar cientes de que devem repor as peças no saquinho após cada amostragem, antes de darem continuidade à atividade. De fato, no caso de um trabalho estatístico realizado sobre uma população de muitos elementos, não há necessidade dessa reposição, como o professor poderá comentar com seus alunos, exemplificando com o caso de uma pesquisa prévia eleitoral. No entanto, como o total de elementos da população em questão é bastante reduzido, convém repor as peças para que o universo possa ser considerado constante. Supondo, por exemplo, o caso de um grupo que resolva sortear 12 peças a cada vez, o

trabalho será contar quantas, dentre essas 12, são de cada cor. Supondo ainda que 4 delas sejam brancas, e que o total geral seja igual a 200 peças, uma proporção simples calculará o “provável” total de peças brancas dentre o total, da seguinte maneira: 4 x = 12 200 Depois de algumas amostragens, dentro do prazo estabelecido, os grupos poderão calcular a média entre os resultados obtidos a cada vez para, então, considerar esse valor médio como o definitivo para sua “previsão” acerca do total de peças de cada cor no saquinho. Para apresentar os resultados obtidos, os grupos poderão utilizar-se de um gráfico de barras, semelhante ao seguinte, em que as cores supostas para a atividade foram amarelo, vermelho, branco, azul e verde.

Apenas quando os gráficos de todos os grupos estiverem desenhados, o professor informará a quantidade real de peças de cada cor nos saquinhos. Os alunos comparam sua previsão com os valores reais e assinalam no

Matemática – 3a série – Volume 4

gráfico o “erro” que obtiveram, isto é, a quantidade de peças a mais ou a menos em relação aos valores esperados. O gráfico, então, deve ficar semelhante a este:

–1

+3 +2 –4

O desafio seguinte é pedir que a classe verifique qual grupo conseguiu o melhor resultado. Uma das possibilidades de critério, nesse caso, é a média aritmética. Se todos fizeram direito o trabalho, a média aritmética será igual a zero para todos os grupos, visto que o total dos positivos será igual ao total dos negativos. O que fazer, então, para escolher o melhor? O professor sugere o cálculo do desvio médio, que consiste em somar os valores absolutos das diferenças (sem o sinal) e dividir pelo total de elementos somados. No exemplo representado no gráfico anterior, o desvio médio (DM) seria assim calculado: DM = 1 + 3 + 2 + 4 + 0 = 2

3. Conclusão Espera-se que os alunos da classe avaliem que a melhor previsão foi aquela que teve

o menor desvio médio, visto serem as médias todas iguais. Pode ser também que os alunos comentem sobre a amplitude de cada conjunto, isto é, sobre a diferença, em valor absoluto, entre o maior e o menor erro, que, nesse caso, pode servir também para avaliar a qualidade dos resultados do experimento. De qualquer maneira, caberá a você, professor, encerrar a atividade, comentando sobre o fato de a média ser neste, assim como na maioria dos casos, um elemento insuficiente para analisar os resultados de um procedimento estatístico. Complementando a Situação de Aprendizagem, solicite aos alunos que resolvam as atividades que seguem. Enfatizamos que essas atividades podem servir de referência para o trabalho do professor, mas que de nenhuma maneira imaginamos que elas esgotam todas as possibilidades de reconhecimento para os significados conceituais. Dessa forma, julgando necessário maior aprofundamento, sugerimos ao professor que selecione situações-problema semelhantes de outros materiais didáticos, ou então que elabore questões com base em contextos que considere apropriado para suas turmas.

Atividade 1 Observe o alvo desenhado a seguir, sobre o qual duas pessoas, A e b, atiraram 20 dardos cada uma. Os resultados obtidos por esses atiradores foram registrados na tabela.

Portanto, o atirador A foi mais regular, uma vez que o desvio médio de seus tiros foi menor do que do atirador B.

Atividade 2

10 20

O gráfico a seguir foi construído pelo síndico de um condomínio para analisar o consumo de energia dos proprietários. Consumo por residência (kWh)

Atirador A B

Resultados 50

a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos atiradores? (Atirador A) 50 . 4 + 30 . 6 + 20 . 5 + 10 . 4 + 0 . 1 Média = ________________________________ 20 Média = 26 (Atirador B) 50 . 6 + 30 . 3 + 20 . 5 + 10 . 3 + 0 . 3 Média = ________________________________ 20 Média = 26 b) Compare os desvios médios (DM) de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador com desempenho mais regular. (Atirador A) (24 . 4 + 4 . 6 + 6 . 5 + 16 . 4 + 26 . 1) DM = _________________________________ 20 DM = 12 (Atirador B) (24 . 6 + 4 . 3 + 6 . 5 + 16 . 3 + 26 . 3) DM = _________________________________ 20 DM = 15,6

80 70 60 50 40 30 20 10 0

31 20

no casas

200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 consumo (kWh)

a) Qual é o número total de residências pesquisadas? 20 + 68 + 31 + 17 + 12 + 9 + 3 + 2 = = 162 residências pesquisadas. b) Quantas residências consomem 1 400 kWh ou menos? 162 – (3 + 2) = 157 residências. c) Considere que em cada faixa o consumo de todas as residências seja igual ao ponto médio entre os extremos do intervalo. Assim, por exemplo, todas as 20 residências da primeira faixa consomem 300 kWh, que é o valor médio entre 200 e 400 kWh. Nessas condições, complete a tabela seguinte e, determine, com base nos valores tabelados, o consumo médio e o desvio médio do consumo de eletricidade das famílias do condomínio.

Matemática – 3a série – Volume 4

Faixa de consumo (kWh)

[200, 400[

[400, 600[

[600, 800[

Frequência (no de casas)

[800, 1 000[ 17

[1 000, 1 200[ 12

[1 200, 1 400[

[1 400, 1 600[

[1 600, 1 800[

Obs.: Representação de intervalo real: [a, b[ intervalo fechado à esquerda

intervalo aberto à direita

Média = (20 . 300 + 68 . 500 + 31 . 700 + 17 . 900 + 12 . 1100 + + 9 . 1300 + 3 . 1500 + 2 . 1700) ÷ 162 ≅ 678 kWh Desvio médio = (20 . 378 + 68 . 178 + 31 . 22 + 17 . 222 + 12 . 422 + + 9 . 622 + 3 . 822 + 2 . 1022) ÷ 162 = 242,5 kWh

Atividade 3 Em duas empresas, A e b, a distribuição dos salários pagos aos funcionários é representada na tabela seguinte: Salários (R$) 1 000,00

número de funcionários Empresa A Empresa b 6 4

2 000,00

3 000,00

4 000,00

5 000,00

6 000,00

total

Em qual das duas empresas é maior: a) o valor médio dos salários? Quanto a mais? Média de A = (6 . 1000 + 8 . 2000 + 12 . 3000 + 16 . 4000 + + 6 . 5000 + 2 . 6000) ÷ 50 = 3 280 Média de B = (4 . 1000 + 9 . 2000 + 14 . 3000 + 11 . 4000 + + 8 . 5000 + 4 . 6000) ÷ 50 = 3 440 O salário médio da empresa B é R$ 160,00 maior do que o salário médio da empresa A.

b) o desvio médio dos salários pagos? Quantos por cento a mais? Desvio médio de A = (6 . 2 280 + 8 . 1 280 + 12 . 280 + 16 . 720 + + 6 . 1 720 + 2 . 2 720) ÷ 50 = 1 091,20 Desvio médio de B = (4 . 2 440 + 9 . 1 440 + 14 . 440 + 11 . 560 + + 8 . 1 560 + 4 . 2 560) ÷ 50 = 1 155,20 O desvio médio de B é, aproximadamente, 5,9 % maior do que o desvio médio de A, como atesta a divisão entre 1 155,20 e 1 091,20.

Considerações sobre a avaliação As considerações acerca do processo de avaliação que podemos tecer nesta Situação de Aprendizagem remetem às considerações tecidas na Situação de Aprendizagem anterior, uma vez que os tópicos de conteúdo são, em ambas as situações, muito próximos, da mesma forma que são também semelhantes as habilidades e competências exigidas. Em relação à avaliação dos conteúdos desenvolvidos no período, sugerimos que o jogo citado na Situação de Aprendizagem seja, ele próprio, um dos componentes do processo. Além disso, poderão ser utilizadas, também para avaliação, algumas das questões dos exames do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) ou do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) disponível em: <http://www.inep.gov.br>. De qualquer modo, destacamos a importância de que o quadro de avaliação seja composto pelas mais diversas formas possíveis, e não unicamente por provas objetivas.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 A CURVA NORMAl E O DESVIO PADRãO: PROBABIlIDADE E ESTATíSTICA O número que exprime uma probabilidade pode ser obtido por meio de uma especulação teórica, isto é, pela comparação entre o número de casos esperados e o número de casos possíveis. Trata-se, nesse caso, da clássica definição de probabilidade enquanto resultado da divisão do número de elementos do evento pelo número de elementos do espaço amostral n (E) P(E) = _____ , válida com base na consideran (S) ção de que todos os elementos do evento têm a mesma chance de ocorrer. Foi essa a abordagem dada ao estudo do tema “Probabilidades” no Caderno do 3o bimestre da 2a série do Ensino Médio.

No tratamento de dados obtidos com base nos levantamentos estatísticos, especulamos muitas vezes sobre os resultados esperados, mesmo sabendo que poderemos validá-los apenas dentro de certas margens de segurança. Não temos garantia, por exemplo, de que 20% das mulheres de uma cidade são loiras, se tivermos obtido essa informação de uma amostra, mesmo que representativa, de pessoas da cidade. Mas sabemos que se tivéssemos escolhido aleatoriamente n amostras, em vez de uma única e, em cada uma delas verificado a porcentagem de mulheres loiras para, no final, obter uma média dos resultados das n amostras, certamente nos aproximaríamos mais do porcentual real de loiras na cidade. Supondo que após a realização de todo esse processo tenhamos chegado à conclusão de que 19,8%

das mulheres da cidade são loiras, poderemos, nessa condição, afirmar, ainda com certa margem de erro, que a probabilidade de sortearmos uma mulher qualquer da cidade e ela ser loira é igual a 19,8%. O número que expressa a probabilidade, nesse caso, não foi obtido de uma definição teórica, mas, sim, da realização de um experimento estatístico. Quando lançamos um dado e afirmamos que a probabilidade de ocorrer face “4” é igual 1 a , isso não significa que sempre ocorrerá um 6 “4” a cada 6 lançamentos. Especulamos, todavia, que se aumentarmos indefinidamente o número de lançamentos desse dado e, ao final, computarmos o número de vezes em que ocorreu face “4”, esse número será muito próximo da sexta parte do número total. A afir1 mação inicial da probabilidade igual a para 6 a face “4” é referendada pela definição teórica, enquanto o resultado final do experimento imaginado é validado pela prática, pela experimentação; em resumo, pela Estatística. Propomos, nesta Situação de Aprendizagem, que as duas noções sobre probabilidade, teórica e experimental, sejam aproximadas por intermédio do estudo de alguns elementos de Estatística, notadamente, o desvio padrão e a curva normal. Acreditamos que tal aproximação permitirá que os estudantes compreendam, com clareza, uma série de dados divulgados diariamente pela mídia, referentes a resultados de pesquisas estatísticas, como

Matemática – 3a série – Volume 4

índices de audiência das redes de TV, porcentual de intenção de voto, ou distribuição da população em faixas de renda. Salientamos, todavia, quanto ao tema que ora propomos, que o professor deve sentir-se à vontade para encaminhar as discussões de maneira

a complementar seu planejamento pedagógico sem interrompê-lo ou substituí-lo. A procura da exata medida da abordagem conceitual, ou, em outras palavras, da escala apropriada, é tarefa sua, que conhece as necessidades e as dificuldades de suas turmas de alunos.

tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: gráfico de frequências e histogramas; curva normal; desvio padrão; probabilidades associadas às faixas da curva normal. Competências e habilidades: interpretar o resultado de uma probabilidade obtido a partir de experimento estatístico; relacionar os valores da média aritmética e do desvio padrão de uma distribuição de dados, com o objetivo de quantificar e interpretar a dispersão da variável analisada; avaliar a validade de resultados estatísticos confrontando-os com valores padrões relacionados à curva normal. Estratégias: análise de distribuições de dados registradas em tabelas e gráficos; resolução de exercícios exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3

introdução à leitura e interpretação da curva normal

Esta Situação de Aprendizagem é composta por quatro etapas, cada uma com uma série de exercícios exemplares. São elas:

Para apresentar a curva normal aos alunos, sugerimos, ao professor, que utilize um exemplo do cotidiano, como a distribuição das alturas de um grupo de homens ou do número de horas diárias de sono. Obter dados dos próprios alunos acerca dessas variáveis é, além de perfeitamente possível, uma boa maneira de motivá-los para o estudo. O gráfico seguinte, explorado nesta Situação de Aprendizagem, foi construído por um aluno a partir da altura da população feminina da escola, de 307 meninas. Nessa tarefa foram utilizados os dados dos exames biométricos dos alunos, normalmente realizados pelo professor de Educação Física, um computador e uma planilha eletrônica.

f introdução à leitura e interpretação da curva normal; f desvio padrão de uma distribuição de dados; f tratando dados e construindo o gráfico de frequências de uma variável normal; f probabilidades e curva normal.

histograma de Frequências 80

arterial de cada uma delas e desenhar um gráfico com os resultados, obteríamos, sem dúvida, algo igual ou muito parecido ao gráfico seguinte. 160

140

Frequência

120

100

0 [1,46; 1,50 [

[1,50; 1,54 [

[1,54; 1,58 [

[1,58; 1,62 [

[1,62; 1,66 [

[1,66; 1,70 [

[1,70; 1,74 [

[1,74; 1,78 [

[1,78; 1,82 [

Retomaremos a discussão sobre a possibilidade de realização dessa atividade mais adiante. Um dos bons exemplos que podemos utilizar para apresentar a curva normal a nossos alunos consiste na análise da variável “pressão sanguínea” de uma população. Trata-se de variável bastante conhecida e sobre a qual podemos facilmente conseguir informações com médicos ou com pesquisas orientadas em sites ou enciclopédias. Apresentamos a seguir um gráfico da variação da pressão sanguínea em um grupo de 900 pessoas, com alguns comentários de orientação sobre a curva normal. Sugerimos ao professor que converse com seus alunos sobre o tema e apresente a eles a proposta de trabalho descrita ao final, composta por cinco atividades. Considerando, ao acaso, 900 pessoas de uma cidade qualquer para, em seguida, medir a pressão 3

80 60 40 20 0

50 70 90 110 130 150 170 190 210 Pressão sistólica (em mmHg)

A certeza que temos, nesse caso, deve-se ao fato de que a variável “pressão arterial” é, como tantas outras, uma variável normal 3. A pressão arterial de praticamente 100% das pessoas varia em uma faixa que vai 50 a 210 milímetros de mercúrio (mmHg) ou, como é mais comum, de 5 a 21 cmHg. Mas, como ocorre com todas as variáveis normais, há poucas pessoas com pressão sanguínea próxima dos extremos, e muitas com valores próximos do valor central, no caso, igual a 13 cmHg. Observe, por meio dos pontilhados assinalados no gráfico, que, dentre as 900 pessoas, cerca de 80 têm pressão igual a 160 mmHg, enquanto 140 pessoas têm pressão 130 mmHg. Com base nos dados representados nesse gráfico, faça o que se pede:

À ação de bombear sangue dá-se o nome de sístole. A cada batimento cardíaco, o sangue corre pelas artérias e arteríolas à máxima pressão — pressão sistólica. Segue-se depois uma pausa muito breve, denominada diástole, que ocorre entre os batimentos cardíacos quando a pressão é mínima. Esse período recebe o nome de pressão diastólica. Pressão arterial sistólica (PAS) é o maior valor verificado durante a aferição de pressão arterial. Exemplo: 120 x 80; onde 120 refere-se à pressão arterial sistólica e 80 refere-se à pressão arterial diastólica, ambas medidas em milímetros de mercúrio (mmHg). (Fontes: <http://www.jakobi.com.br> e <http://pt.wikipedia.org/wiki/ Pressão_arterial_sistolica>.)

Matemática – 3a série – Volume 4

Atividade 1 Complete a tabela com os valores aproximados do número de pessoas da população representada no gráfico com cada valor de pressão.

a) moda, isto é, o valor mais frequente da distribuição de dados; A distribuição tem 3 modas: 120, 130 e 140 mmHg. b) mediana, isto é, o valor central da distribuição ordenada dos dados; A mediana corresponde ao valor médio de pressão que estiver nas posições 450a e 451a de uma escala ordenada de valores. Assim, a mediana é igual a 130 mmHg.

Pressão (mmhg)

Frequência (no de pessoas)

100

110

120

140

130

140

150

100

160

170

180

190

200

50%

210

Atividade 5

220

Atividade 2 Com a ajuda de uma calculadora e com base nos dados da tabela, determine, para a variável pressão sanguínea dessa população, o valor da:

c) média aritmética. Média = (5 . 50 + 5 . 60 + 5 . 70 + 10 . 80 + + 20 . 90 + 50 . 100 + 90 . 110 + 140 . 120 + + 140 . 130 + 140 . 140 + 100 . 150 + 75 . 160 + + 50 . 170 + 40 . 180 + 15 . 190 + 10 . 200 + + 5 . 210) ÷ 900 135 mmHg

Atividade 3 localize no gráfico os valores obtidos para moda, mediana e média aritmética e responda: há muita ou pouca diferença entre esses valores? Há pouca diferença, como se pode notar.

Atividade 4 Aproximadamente, qual porcentagem da população analisada tem pressão sanguínea maior ou igual a 130 mmHg?

Se for sorteada uma pessoa dessa população, qual é a probabilidade, de acordo com os dados da tabela, de ela possuir pressão sanguínea menor ou igual a 100 mmHg? P=

95 = 0,105 = 10,5% 900

desvio padrão de uma distribuição de dados Apresentamos na Situação de Aprendizagem anterior o cálculo do desvio médio (DM) como uma das medidas importantes para a análise da dispersão de um conjunto de dados. Esse desvio, como mostramos, pode ser facilmente calculado quando conhecido o valor médio da distribuição e também facilmente interpretado como relação direta entre seu valor e a dispersão do conjunto de dados: quanto maior o desvio médio, maior a dispersão, e vice-versa. O desvio padrão (DP), que discutiremos nesta Situação de Aprendizagem, não é simples de calcular, mesmo conhecendo-se a média aritmética. Diferentemente do desvio médio (DM), é o desvio padrão e, apenas ele, que permite atribuir um valor de probabilidade a cada intervalo de valores da distribuição. A possibilidade de nossos alunos tomarem contato com a interpretação estatística da probabilidade, a partir da curva normal, justifica apresentarmos a eles a ideia do desvio padrão, mesmo que, como sugerimos, não venham a calcular tal medida em mais do que um exemplo. Com base nisso, propomos ao professor que apresente a seus alunos alguns comentários sobre o desvio padrão e sobre sua relação, ainda superficial, com a curva normal, para, em seguida, propor a resolução de alguns exercícios exemplares, conforme as indicações seguintes. A curva normal, também conhecida por curva de Gauss, tem um formato que reflete,

visualmente, a distribuição de uma variável analisada em uma população. A maior concentração de valores da variável analisada próximos da média aritmética da população, e também a igualdade teórica entre média aritmética, mediana e moda são os responsáveis pela forma assumida pelo gráfico de frequências, quase igual a um sino, conforme podemos perceber pela figura. y

x Média aritmética, mediana e moda.

A concentração de valores em torno dos valores médios, no entanto, pode ser maior ou menor, como podemos perceber pelo gráfico seguinte, desenhado com a mesma escala.

A observação dessas curvas nos mostra que todas possuem valores médios iguais – média aritmética, moda e mediana –, mas possuem dispersões diferentes. A curva 1 é,

Matemática – 3a série – Volume 4

dentre essas, a que possui menor dispersão, enquanto a curva 3 é a que apresenta maior dispersão. Assim, é de se esperar que, se forem calculados os desvios padrão das distribuições que geraram essas curvas, o maior valor de desvio, dentre todos, será o obtido para a curva 3, e o menor, para a curva 1. Mas qual é a relação entre o formato da curva normal e o desvio padrão? Para compreender um pouco essa relação, precisamos aprender a calcular o desvio padrão de um conjunto de dados. Consideremos, por exemplo, os seguintes valores de alguma variável que estejamos analisando, e vamos obter o desvio padrão desse conjunto de dados. {1, 4, 6, 7, 12} O primeiro passo no cálculo do desvio padrão é a obtenção da média aritmética do conjunto de valores. Média aritmética

1 + 4 + 6 + 7 + 12 = 30 = 6 5 5 Em seguida, calculamos a diferença entre cada valor do conjunto e a média obtida. diferenças: 1 – 6 = – 5 4 – 6 = –2 6–6=0 7–6=1 12 – 6 = 6

Elevamos cada diferença ao quadrado, somamos todos os resultados e calculamos a média aritmética entre eles: Média da soma dos quadrados das diferenças

(–5)2 + (–2)2 + 02 + 12 + 62 = 66 7 13,2 5 5 Por fim, extraímos a raiz quadrada do valor anteriormente obtido e, determinamos o desvio padrão (DP) desse conjunto de valores. ____ DP = ®13,2 7 3,63 Podemos resumir os passos realizados na seguinte expressão, em que a média é identificada por x e cada um dos n elementos do conjunto de valores por xi: DP =

__________ n S (x– – xi)2 i=1 _________ n

O cálculo do desvio padrão de um conjunto de muitos valores é trabalhoso e exige recorrer a uma calculadora científica, em que a tecla que o calcula é, normalmente, apresentada com o símbolo σ (sigma). A preocupação de calcular o desvio padrão é, no Ensino Médio, secundária, embora sua interpretação seja revestida de inúmeros significados estatísticos importantes, principalmente no que diz respeito às inferências que poderemos fazer sobre as características de uma população. Para iniciar o estudo da relação entre o desvio padrão e a curva normal, sugerimos a resolução dos exercícios exemplares seguintes 4.

Caso os alunos se interessem, comente com eles a relação matemática entre o desvio padrão (σ) e a curva normal, (ÄÄ x – x) 1___ _____ apresentando a equação da função que gera a curva normal: f(x) = ______ e 2w ® w 2p 2

Atividade 6

Os valores do conjunto A estão mais afastados da média porque o desvio padrão dos valores dessa amostra é maior do que o valor do desvio padrão da amostra B.

Para os valores do conjunto seguinte, determine a média aritmética e o desvio padrão. {4, 5, 6, 7, 8} __ Média = 6; desvio padrão = ®2 ≅ 1,4.

Atividade 7 Comparando média aritmética e desvio padrão dos conjuntos {1, 4, 6, 7, 12}, analisado anteriormente, e {4, 5, 6, 7, 8}, da atividade anterior, discuta as diferenças e semelhanças desses resultados. O menor valor do desvio para o conjunto {4, 5, 6, 7, 8} serve para confirmar algo que, visualmente, nesse caso, é possível perceber: o conjunto {4, 5, 6, 7, 8} é menos disperso do que o conjunto {1, 4, 6, 7, 12}.

Atividade 9 As massas dos alunos de uma escola de Ensino Médio distribuem-se normalmente, com média aritmética igual a 62,5 kg e desvio padrão igual a 1,2 kg. Se no intervalo entre 62,5 kg e 62,5 + 1,2 = 63,7 kg encontramos aproximadamente 34% dos alunos da escola, qual é a porcentagem de alunos que, provavelmente, se encontram na faixa entre 62,5 kg e 62,5 – 1,2 = 61,3 kg? Por quê? Como há 34% dos elementos entre a média e um desvio padrão acima dela, devemos esperar, se a distribuição é normal, que essa mesma porcentagem de elementos se encontre entre a média e um desvio padrão abaixo dela, fato esse confirmado pela simetria da curva.

Atividade 8 Considere duas amostras de 100 pessoas cada, em que todas responderam à pergunta: “Qual é seu número de horas diárias de sono?”. Os dados obtidos com as respostas foram organizados e, em seguida, calcularam-se a média e o desvio padrão de cada amostra. Média (horas)

desvio padrão (horas)

6,5

1,2

6,9

0,8

Amostra

Em qual das duas amostras, A ou b, os valores das horas diárias de sono das pessoas estão mais afastados da média? Por quê?

Atividade 10 Observe a curva normal desenhada para a análise de uma determinada variável populacional. 3

2,5 2 1,5 1 0,5 0

100 110 120 130 140

Matemática – 3a série – Volume 4

Vamos desenhar sobre a curva um triângulo isósceles que tenha, aproximadamente, área de valor igual à da região compreendida entre a curva e o eixo horizontal.

b) a medida da área do triângulo. (80 . 2,5)÷ 2 = 100. c) a medida da área do trapézio.

[(2,5 + 1,5) . 17]÷2 = 34.

3 2,5

Atividade 11

2 1,5 1 0,5 0

100 110 120 130 140

Vamos desenhar também um trapézio que tenha altura igual ao valor estimado do desvio padrão dessa distribuição de valores. % 3 2,5

Em relação aos valores das áreas do triângulo e do trapézio, determinados na atividade anterior, avalie se seriam iguais ou diferentes caso a distribuição, mantendo-se normal, apresentasse um maior valor de desvio padrão, de maneira que o gráfico fosse mais “achatado”, semelhante a este: 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

100 110 120 130 140

Seriam iguais, pois aumentou o valor do desvio pa drão, mas se manteve a proporção entre as áreas, que, no caso, diminuíram proporcionalmente.

2 1,5 1

tratando dados e construindo o gráfico de frequências de uma variável normal

0,5 0

100 110 120 130 140

Determine, de acordo com os valores representados nos eixos horizontal e vertical: a) o valor aproximado do desvio padrão dessa distribuição. 17.

Comentamos anteriormente sobre o gráfico de frequências da altura do grupo de meninas de uma escola de Ensino Médio. A possibilidade de recolher e tabelar dados similares em qualquer escola da rede parece perfeitamente viável e, se realizada, permitirá contextualizar os cálculos das medidas de posição e do desvio padrão sobre a própria realidade dos estudantes.

Na impossibilidade de recolher dados sobre a altura das meninas ou dos meninos do Ensino Médio da escola, apresentamos, a seguir, uma tabela com medidas similares em metro e já ordenadas, que poderão ser trabalhadas pelos alunos a fim de que possam elaborar um pequeno relatório estatístico. Nessa hipótese, será importante que possam operar com uma planilha eletrônica, que lhes permitirá centralizar o foco sobre a análise dos resultados em detrimento dos exaustivos cálculos que seriam exigidos no caso da impossibilidade do recurso informático. 1,46 1,48 1,48 1,50 1,50 1,51 1,51 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,53 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54

1,57 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,59

1,60 1,60 1,60 1,60 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,61 1,62 1,62

1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64

1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67 1,67

1,69 1,69 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73 1,73

1,54 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,57 1,57

1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60 1,60

1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,62 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63 1,63

1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66

1,67 1,67 1,67 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69 1,69

1,74 1,74 1,74 1,76 1,76 1,77 1,78 1,78 1,78 1,80

De posse dos dados das tabelas fornecidas, ou de uma tabela formada por dados recolhidos por eles próprios, sugerimos que os alunos sejam orientados a percorrer as seguintes etapas de trabalho: 1. Distribuir os dados em intervalos de classes de 4 cm de amplitude cada um, isto é, o primeiro intervalo pode abranger alturas de 1,46 m a 1,49 m; o segundo intervalo pode abranger alturas de 1,50 m

Matemática – 3a série – Volume 4

a 1,53 m; o terceiro intervalo, as alturas de 1,54 m a 1,57 m; e assim por diante. 2. Construir uma tabela organizada contendo as classes, as frequências, os porcentuais de frequência, a frequência acumulada e o porcentual de frequência acumulada. 3. Construir um histograma e um polígono de frequências. 4. Calcular a média aritmética, a mediana e a moda.

até mesmo que seja prolongada com a inclusão de cálculos associados a probabilidades, conforme será discutido na próxima etapa desta Situação de Aprendizagem. População Feminina Frequência: alunas nesse intervalo de altura.

Frequência acumulada: alunas nessa classe e nas anteriores.

Frequência Frequência Frequência Acumulada (%) Acumulada (%)

Classes

Frequência

[1,46; 1,50[

1,0%

[1,50; 1,54[

5,2%

6,2%

[1,54; 1,58[

12,4%

18,6%

[1,58; 1,62[

24,8%

133

43,3%

[1,62; 1,66[

25,4%

211

68,7%

[1,66; 1,70[

19,9%

272

88,6%

Se o valor absoluto desse coeficiente for menor que 1, a assimetria é moderada, e se ele for maior que 1, a assimetria é forte.

[1,70; 1,74[

8,1%

297

96,7%

[1,74; 1,78[

2,0%

303

98,7%

7. Elaborar um pequeno relatório contendo resultados calculados, gráficos e comentários finais sobre a variável analisada.

[1,78; 1,82[

1,3%

307

100,0%

total

307

100,0%

307

100,0%

5. Calcular o desvio padrão. 6. Avaliar a possibilidade de aproximar a distribuição dos dados à distribuição normal. Como fazer isso? Calculando o coeficiente de assimetria (C.A.) da curva, da seguinte maneira:

–

3(x – mediana) C.A. = ______________ desvio padrão

Comentário sobre a atividade: caso opte por utilizar os dados apresentados na tabela, os resultados são os que apresentamos em seguida, recolhidos do trabalho realizado por um grupo de alunos. Entretanto, salientamos novamente que a utilização de dados reais, recolhidos das turmas da escola, ampliará bastante o interesse dos alunos pela atividade, enriquecendo-a naturalmente, e permitindo

Frequência porcentual: porcentual de alunas nessa classe.

Frequência porcentual acumulada: porcentual de alunas até essa classe.

Resultados obtidos, em metro Média aritmética (m)

Mediana (m)

Moda (m)

desvio padrão (m)

1,63

1,64

0,06

histograma de Frequências 80 60 40 20 x = 1,63 m

0 [1,46; 1,50 [

[1,50; 1,54 [

[1,54; 1,58 [

[1,58; 1,62 [

[1,62; 1,66 [

[1,66; 1,70 [

[1,70; 1,74 [

[1,74; 1,78 [

[1,78; 1,82 [

gráfico de frequências acumuladas 400 300 200 100 0

Probabilidades e curva normal A área compreendida entre a curva normal e o eixo horizontal pode ser associada à totalidade de elementos da população analisada, enquanto determinada porção dessa mesma área pode ser associada a uma parte da população, isto é, à quantidade de elementos da população possuidores de determinada característica. No caso, por exemplo, da atividade em que se analisou a altura de um grupo de meninas, uma porção da área sob a curva representa a quantidade de meninas com a altura situada em certo intervalo. Na figura seguinte, representativa da situação, está assinalada, por exemplo, a região sob a curva que corresponde à faixa da população com altura entre a média de 1,63 m e 1,69 m.

1,69 m

Se for possível calcular, com base no gráfico, o porcentual que a faixa assinalada representa de toda a área sob a curva, e ainda se a amostra de meninas da escola puder ser extrapolada para toda a população feminina estudantil de faixa etária semelhante, poderemos afirmar que esse porcentual será a probabili dade de encontrarmos uma menina com altura entre 1,63 m e 1,69 m em meio a todas as estudantes. É essa a ideia que abordaremos nesta Situação de Aprendizagem e para a qual convidamos você, professor, a nos acompanhar: calcular probabilidades a partir de porções de áreas sob a curva normal. Para que isso possa ser feito com qualidade, precisamos analisar e informar nossos alunos sobre a relação entre a curva e o desvio padrão. Em uma curva normal, seja ela representativa de uma população mais dispersa ou de uma população menos dispersa, isto é, seja a curva mais “achatada” ou mais “alongada para cima”, haverá sempre entre a média da população e um desvio padrão acima o mesmo porcentual da curva, igual, aproximadamente, a 34%. Aqui: aproximadamente 34% de toda a área compreendida entre a curva e o eixo horizontal

x+σ

Matemática – 3a série – Volume 4

Se na faixa entre a média e um desvio padrão acima da média há aproximadamente 34% de toda a área, podemos inferir, em razão da simetria da curva, que entre um desvio padrão abaixo da média e um desvio padrão acima da média há cerca de 68% de toda a área. Da mesma forma, nos demais intervalos de desvios acima ou abaixo da média, podemos esperar porcentuais constantes, conforme representado na figura seguinte, em que esses porcentuais aparecem registrados com maior precisão numérica. distribuição normal 99,73% 95,45% 68,27%

± 1dp ± 2dp ± 3 desvios padrão

Retomando o exemplo discutido anteriormente acerca da média da população feminina, em que a média aritmética é igual a 1,63 m e o desvio padrão é igual a 0,06 m, podemos esperar que em qualquer população feminina com características semelhantes às da pesquisada, venhamos a encontrar, aproximadamente: f 34% da população entre 1,63 m e 1,69 m (ou entre a média e um desvio padrão acima da média);

f 68% da população entre 1,57 m e 1,69 m (ou entre um desvio padrão abaixo da média e um desvio padrão acima da média); f 95% da população entre 1,51 m e 1,75 m (ou entre dois desvios padrão abaixo da média e dois desvios padrão acima da média). Aceitando os valores estabelecidos para porcentuais sob a curva normal, correspondentes a passos iguais a 1 desvio padrão, conforme representado na figura anterior, cabe agora especular sobre porcentuais referentes a faixas de frações de desvios padrão, como o porcentual da curva referente à faixa compreendida entre a média e 0,4 de desvio padrão acima dela. A justificativa matemática para a determinação dessas faixas está fora do alcance da Matemática estudada no Ensino Médio. Entretanto, podemos, e até devemos, determinar porcentuais desse tipo a partir do cálculo proporcional e da consulta a uma tabela de valores, previamente obtida e disponível em todo livro de estatística básica. Vamos utilizar uma dessas tabelas para obter, por exemplo, o porcentual de elementos de uma população que está compreendido entre a média e 0,54 de desvio padrão acima da média. Para isso, basta cruzar a linha 0,5 da tabela com a coluna 0,04. Isso feito, encontraremos o valor 0,2054, referente a 20,54% da área total sob a curva (ver ilustração na tabela seguinte). Dessa forma, podemos afirmar que a probabilidade de encontrarmos um elemento da população entre a média aritmé tica e 0,54 de desvio padrão acima da média é igual a 20,54%.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1

0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2

0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3

0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.01331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4

0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5

0.1915 0.1950 0.1985 0.2010 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6

0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7

0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8

0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9

0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0

0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1

0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2

0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3

0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4

0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5

0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6

0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7

0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8

0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9

0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0

0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1

0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2

0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3

0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4

0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5

0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6

0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7

0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8

0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9

0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0

0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Matemática – 3a série – Volume 4

No caso da população feminina, em que a média aritmética é igual a 1,63 m e o desvio padrão é igual a 0,06 m, vamos obter a probabilidade de sortearmos, de qualquer população semelhante, uma menina com altura entre 1,63 m e 1,71 m. 0,08 m 1,63 m

1,71 m

A primeira providência é verificar que a faixa solicitada compreende 0,08 m e que está entre a média e uma fração de desvio padrão acima da média. A segunda providência é determinar qual é essa fração e, para tanto, podemos recorrer ao cálculo proporcional, buscando resposta à questão: Se um desvio padrão, nesse caso, é igual a 0,06 m, quanto de desvio padrão é 0,08 m? O resultado buscado é o da divisão entre 0,08 e 0,06, isto é, entre a diferença da média para um valor acima dela e o desvio padrão5: Ä

0,08

≅ 1,33 = _____ 0,06

Dessa maneira, a faixa procurada corresponde a 1,33 de desvio padrão. Consultando a tabela anterior, obteremos o valor 0,4082, ali assinalado. Portanto, a probabilidade procurada é igual a 40,82%. Convém considerar mais um exemplo. No caso de uma população feminina, em que a

0,03 m

0,07 m

1,60 m 1,63 m

média

| x– x | ______

média de altura é igual a 1,63 m e o desvio padrão calculado é igual a 0,08 m, vamos determinar a probabilidade de que uma menina sorteada ao acaso tenha altura entre 1,60 m e 1,70 m.

1,70 m

média Como o eixo de simetria da curva normal é uma reta vertical passando pela média aritmética dos valores, as faixas que nos fornecem os porcentuais, com o uso da tabela, sempre são calculadas a partir da média, acima ou abaixo dela. Sendo assim, precisamos, nesse caso, separar o problema em duas partes: uma para os valores acima da média e outra para os valores abaixo dela. f de 1,63 m a 1,70 m: 1,70 – 1,63 = 0,07 m 0,07 ÷ 0,08 = 0,875 (a faixa em questão compreende 0,875 de desvio padrão) Consultando a tabela para 0,87, obtemos 0,3078, ou 30,78%. f de 1,60 m a 1,63 m 1,63 – 1,60 = 0,03 m 0,03 ÷ 0,08 = 0,375 (a faixa em questão compreende 0,375 de desvio padrão) Consultando a tabela para 0,37, obtemos 0,1443, ou 14,43%.

Se observarmos a equação da função que representa o gráfico da curva normal, citada em nota anterior, perceberemos que a divisão em questão faz parte do expoente da equação.

A probabilidade procurada corresponde à soma entre as porcentagens referentes às duas faixas obtidas a partir da média. Assim, a probabilidade de que seja sorteada uma menina com altura entre 1,60 m e 1,70 m é: P = 30,78 + 14,43 = 45,21% Enfatizamos novamente o fato de que não é necessário os alunos calcularem o valor do desvio padrão a partir da fórmula anteriormente apresentada, a não ser que o professor opte por realizar o trabalho estatístico com base nas medidas da altura dos alunos e com o uso da ferramenta informática, conforme sugerido anteriormente. No caso geral, desde que os alunos compreendam o significado do desvio padrão e sua relação com a curva normal, basta fornecer a eles, em cada situação-problema, o valor da média e do desvio para que, com o uso da tabela, determinem algumas probabilidades. Será importante considerar com os alunos que a probabilidade obtida com base no desvio e na curva normal, como sugerido nesta Situação de Aprendizagem, é sempre um valor com certa margem de erro, visto que foi obtido a partir de resultados estatísticos. Mais adiante, em nova Situação de Aprendizagem, o professor poderá introduzir o conceito de intervalo de confiança e avaliar, inclusive, os valores das margens de erro em cada caso. Após a apresentação de mais alguns casos resolvidos utilizando para isso o exemplo da distribuição da altura feminina, os alunos poderão ser solicitados a resolver os exercícios exemplares que se seguem. Como enfatizado anteriormente, esses exercícios podem servir de referência para

o seu trabalho e de forma alguma esgotam todas as possibilidades de aplicação do conceito.

Atividade 12 A média de idades da população da cidade 1 é igual à média de idades da população da cidade 2. No entanto, o desvio padrão das idades da cidade 1 é o dobro do valor do desvio padrão das idades da cidade 2. a) Qual é a porcentagem de pessoas da cidade 1 que têm idades no intervalo compreendido entre a média e dois desvios padrão acima da média? Cerca de 47,72%. b) Qual é a porcentagem de pessoas da cidade 2 que têm idades no intervalo compreendido entre a média e dois desvios padrão abaixo da média? Cerca de 47,72%. c) Supondo-se a média de 39 anos, em qual das duas cidades é mais provável sortear uma pessoa com idade entre 39 e 42 anos? Justifique. Na cidade 2, pois o menor valor de desvio pa drão nos informa que a concentração de valo res próximos à média é maior nesta cidade.

Atividade 13 A média da altura das pessoas de uma comunidade é 162,8 cm e o desvio padrão é 9,0 cm. Supondo uma distribuição normal, calcule a porcentagem de pessoas desse povoado com altura: a) entre 162,8 cm e 171,8 cm. Entre 162,8 e 171,8 existe uma diferença igual a 1 desvio padrão, isto é, igual a 9 cm.

Matemática – 3a série – Volume 4

Assim, devemos esperar que cerca de 34% das pessoas do povoado estejam compreendidas nessa faixa. b) menor que 162,8 cm. Abaixo da média, que coincide com a mediana em uma distribuição normal, podemos esperar a existência de 50% da população. c) maior que 171,8 cm. Se entre a média e 171,8 cm encontram-se 34% das pessoas, conforme calculado no item a, podemos esperar que acima de 171,8 cm encontrem-se 16% das pessoas, correspondendo à diferença entre 50% e 34%. d) entre 154 cm e 162,8 cm. Entre 154 e 162,8 há uma diferença de 8,8 cm. A quantos desvios padrão corresponde esse valor? Se 1 desvio é igual a 9 cm, 8,8 cm correspondem a 0,98 desvio padrão, resultado da divisão entre 8,8 e 9. A tabela nos informa que 0,98 desvio padrão corresponde a 33,65% da população.

Atividade 14 A altura média das pessoas que se candidataram à vaga de vigilante em uma empresa é igual a 1,71 m com um desvio padrão de 16 cm. Se for estipulado um critério de que serão aceitos somente candidatos com altura superior a 1,65 m, qual é a porcentagem de candidatos não aceitos? 1,71 – 1,65 = 0,06 m. Se um desvio padrão corresponde a 16 cm, 6 cm correspondem a 0,37 desvio padrão (6÷16 = 0,37). Assim, de acordo com a tabela, a porcentagem de

pessoas na faixa entre 1,65 m e 1,71 m é igual a 14,43%. Como é procurada a porcentagem de pessoas com altura superior a 1,65 m, devemos adicionar: 50% + 14,43% = 64,43%. Logo, a porcentagem de candidatos não aceitos é de 100% – 64,43% = 35,57%.

Atividade 15 Uma equipe de biólogos pesquisou durante 2 anos uma população de tartarugas marinhas. Entre outros dados, eles verificaram que a média de massa das fêmeas é de 4,5 kg, com desvio padrão de 0,5 kg, e que a média de massa dos machos é de 5,0 kg, com desvio padrão de 0,8 kg. Durante um mergulho de observação, um pesquisador deparou-se com uma tartaruga. Qual é a probabilidade de que a tartaruga em questão tenha massa entre 4,0 e 5,0 kg supondo se tratar de: a) uma fêmea. Como a média, nesse caso, é igual a 4,5, e a faixa pretendida é de 4 a 5, podemos calcular apenas a faixa compreendida entre 4 e 4,5 e dobrar o porcentual obtido. 4,5 – 4 = 0,5 = 1 desvio padrão Portanto, a faixa entre 4,5 e 5 compreende 2 . 34% = 68%. b) um macho. A média de massa dos machos é igual a 5,0 kg, e estamos procurando determinar o porcentual compreendido entre 4,0 e 5,0 kg. Assim, 1 5 – 4 = 1 → 0,8 = 1,25 desvio padrão A tabela nos informa que a 1,25 desvio abaixo da média corresponde ao porcentual de 39,44%.

Atividade 16 O controle de qualidade de uma indústria de alimentos seleciona amostras da produção a fim de avaliar se os produtos estão com a massa esperada. Em uma dessas amostras foi verificado que a média de massa do produto era igual a 998,8 g e o desvio padrão igual a 16 g. A massa oficial, registrada na embalagem do produto é de 1 kg, e a legislação não permite que uma embalagem vá para o mercado com 3% a menos do que a massa oficial. Supondo que a amostra analisada seja representativa de toda a produção, qual é a chance de uma consumidora pegar uma unidade do tal produto em um supermercado com massa abaixo do limite legal? Devemos determinar o porcentual de emba lagens com massa abaixo de 970 g. Calculamos, primeiramente, o porcentual de embalagens entre 997 g e o valor médio de 998,8 g. 998,8 – 970 = 28,8 g → 28,8 = 16 = 1,8 desvio padrão. A tabela nos informa que na faixa compreen dida entre a média e 1,8 desvio padrão abai xo dela encontramos 46,41% dos elementos. Assim, na faixa abaixo de 1,8 desvio padrão

encontramos 50% – 46,41% = 3,59%. Por tanto, é de 3,59% a probabilidade procurada.

Considerações sobre a avaliação A Situação de Aprendizagem 3 constitui a essência de todo o trabalho proposto para o desenvolvimento de conceitos de Estatística no 4o bimestre da 3a série do Ensino Médio, uma vez que a análise das características da curva normal exige, além da aplicação dos conceitos em situações do cotidiano, a mobilização constante da competência leitora e escritora, um dos pilares de sustentação do edifício do conhecimento de modo geral, e da competência matemática em particular. Por isso, julgamos importante que os alunos cumpram todas as etapas que a compõem, passo a passo, compreendendo-as e executando-as com o devido cuidado. O processo de avaliação, assim como nas situações anteriores, deve contemplar estratégias diferenciadas, incluindo-se aí a criação de problemas pelos próprios alunos que, nesse caso, em razão da natureza do conhecimento envolvido, permite inúmeras aplicações muito próximas da realidade do estudante de Ensino Médio.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 AMOSTRAS ESTATíSTICAS: TIPOS, CONFIABIlIDADE E MARGEM DE SEGURANçA DOS RESUlTADOS O procedimento estatístico mais comum é aquele em que uma parte da população é analisada, segundo determinados critérios, e os resultados obtidos para essa parte são extrapolados para toda a população. Um dos casos mais conhecidos, nesse sentido, é o das pesquisas de intenção de voto, realizadas

anteriormente às eleições. Em uma dessas pesquisas, o instituto contratado para realizá-la sai às ruas e pergunta às pessoas: “Qual é o candidato de sua preferência para as próximas eleições?”. As respostas obtidas são classificadas, e os resultados são divulgados sob a forma de porcentuais: “O candidato X deverá receber

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tantos por cento dos votos, dentro de uma mar gem de segurança de tantos por cento”. A realização de uma pesquisa eleitoral é precedida por um estudo detalhado da parte da população, que será objeto da pesquisa. Uma má escolha, nesse caso, pode conduzir a resultados estatísticos que não se confirmam após a apuração dos votos. Essa parte escolhida da população, de onde os índices porcentuais serão obtidos para depois serem extrapolados, é a amostra de pesquisa. Nesta Situação de Aprendizagem, comentaremos, inicialmente, as características dos principais sistemas de amostragem. Em seguida, admitindo que o conhecimento dos alunos sobre esses sistemas tenha sido construído, tentaremos responder a uma questão que sempre aparece durante a apresentação de resultados de pesquisas eleitorais: como é que uma amostra de pouco mais de 2 000 pessoas consegue representar a opinião de todo o eleitorado de um país? Para complementar o estudo dos conceitos do bloco do Tratamento da Informação, pontuado várias vezes durante os planejamentos pedagógicos, tanto no Ensino Fundamental, quanto no Médio, julgamos apropriado que os alunos tomem contato com a ideia de que

as probabilidades associadas a faixas da curva normal, estudadas na Situação de Aprendizagem anterior, permitem que sejam estabelecidos limites para a confiabilidade dos resultados obtidos a partir de uma amostra estatística. Em outras palavras, sugerimos que os alunos tomem contato com o conceito de intervalo de confiança, conforme comentaremos adiante. Repetimos que as atividades que compõem esta e também as demais Situações de Aprendizagem são sugestões de trabalho que visam ao enriquecimento do tratamento conceitual, e são norteadas, normalmente, por maneiras não tradicionais de abordagem dos conteúdos, e, frequentemente, por propostas de ampliação dos significados conceituais. No entanto, como ocorre com todas as sugestões, em qualquer nível, as propostas aqui apresentadas devem passar pelo crivo e pela aceitação daquele que, porventura, venha a utilizá-las, isto é, você, professor. Caberá ao professor, portanto, conhecer todas as características de sua escola e de suas turmas, escolher a escala apropriada para o desenvolvimento de algumas ou de todas as situações apresentadas, se assim o desejar, de maneira a complementar e aprofundar seu planejamento de trabalho.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: sistemas de amostragem; probabilidades associadas a faixas da curva normal; intervalos de confiança. Competências e habilidades: selecionar sistema de amostragem adequado aos objetivos definidos por uma pesquisa estatística; avaliar a validade de resultados estatísticos confrontando-os com valores-padrão relacionados à curva normal; compreender alguns dos critérios adotados para a execução de pesquisas eleitorais. Estratégias: análise de textos e de situações-problema exemplares.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Esta Situação de Aprendizagem é composta por três etapas, cada uma delas com uma sequência de exercícios exemplares. São elas: f tipos de amostras; f intervalos de confiança; f pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra.

tipos de amostras Para se obter um bom retrato das características de uma população, não precisamos estudar cada um de seus elementos. Selecionando uma amostra representativa da população, os resultados obtidos pela análise dos poucos elementos que compõem a amostra nos permitem especular, com boa margem de segurança, sobre as características de toda a população. Há mais de um tipo de método de amostragem, e a escolha por um ou outro é determinada pelo tipo e pela qualidade da variável que se pretende analisar. Se o desejado for, por exemplo, avaliar a aceitação do novo perfume de um tipo de desodorante, será importante perguntar sobre isso para quem já sentiu esse odor, isto é, perguntar a quem já usou o desodorante em questão; quem não usou, evidentemente, não poderá opinar sobre isso. Por outro lado, em outro exemplo, a obtenção de dados socioeconômicos, como renda familiar, capacidade de consumo ou preferências partidárias, é realizada sobre amostras nas quais todos os cidadãos têm a mesma chance de participar.

Há uma história bastante conhecida sobre um grave erro de escolha de amostragem de pesquisa, ocorrido na eleição americana de 1948, e que o professor poderá relatar a seus alunos, ou pedir que pesquisem sobre o assunto. A eleição daquele ano foi disputada por dois candidatos, um deles republicano, Dewey, e o outro democrata, Truman. A pesquisa de intenção de voto apontava vitória de Dewey sobre Truman por boa margem de votos, mas o que ocorreu foi exatamente o contrário: Truman venceu, e venceu sobrando votos. Qual foi o erro da amostragem? O erro grosseiro cometido pelo instituto de pesquisa na eleição americana de 1948 foi ter escolhido a amostra com base no catálogo de telefones da época. De acordo com o processo adotado, um número de telefone de uma residência era sorteado da lista, alguém ligava para a residência e perguntava: “em quem o sr.(a) vai votar: Truman ou Dewey?” As respostas obtidas e classificadas indicaram a vitória de Dewey que, sem dúvida, seria o presidente americano caso comparecessem às urnas apenas as pessoas que tinham telefones em sua casa em 1948. E quem não tinha telefone, que naquela época era privilégio de poucos? Esses preferiram Truman, que ganhou as eleições e governou os Estados Unidos por dois mandatos. Ao receber a notícia de sua vitória, Truman tomou em suas mãos o jornal preparado para ir às ruas no final da eleição e, sorrindo ironicamente, se deixou fotografar por toda a imprensa. Nesse jornal, era possível ler a manchete: “Dewey derrota Truman”.

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Quais são, enfim, os principais processos de amostragens? Sugerimos que o professor apresente a seus alunos pelo menos os processos a seguir:

com base em catálogos telefônicos ou sobre cadastros de consumidores, como consumidores de energia elétrica ou possuidores de cartão de crédito.

Amostra casual simples

Amostra acidental

Nesse tipo de amostragem, todos os elementos da população têm chances iguais de serem escolhidos.

Nesse tipo de amostragem, o pesquisador seleciona diretamente o tipo de elemento que possui as características determinadas pelo objeto de pesquisa. Quem já comprou um carro 0 Km sabe que algum tempo depois receberá em sua casa um formulário com algumas questões para responder sobre sua satisfação com o veículo comprado. Parece lógico que os consumidores do veículo modelo A respondam ao questionário referente a esse modelo, e não ao que se refere ao modelo b. Da mesma forma, não é esperado que o pesquisador vá à porta do clube de futebol X perguntar aos que lá entram sobre a qualidade dos jogadores do time Y. Para avaliar a preferência por determinada cor de batom para os lábios, é mais provável que um pesquisador selecione sua amostra dentre mulheres, pois elas são as que mais consomem esse tipo de produto.

Para proceder à escolha da amostra, podemos numerar todos os n elementos, de 1 a n, e sortear alguns deles, de acordo com a confiabilidade desejada para a pesquisa. Esse processo se aplica melhor a pesquisas realizadas sobre populações de pequeno porte, como os alunos de uma escola ou as donas de casa que, em algum momento do dia, estão fazendo compras em determinado supermercado. Para grandes populações, como os habitantes de uma cidade, por exemplo, amostras casuais exigiriam a escolha de muitos elementos para ter boa confiabilidade, tornando o processo muito dispendioso.

Amostra sistemática Se a variável a ser pesquisada organiza a população de alguma forma, então, uma amostra sistemática é a melhor escolha possível. Para pesquisar, por exemplo, o índice de satisfação dos moradores de uma rua com o serviço de remoção de lixo, um pesquisador pode percorrer uma rua e, a cada cinco casas, por exemplo, tocar a campainha e questionar o morador sobre a variável, objeto de sua pesquisa. Amostras sistemáticas são uma escolha comum quando a pesquisa é realizada

Uma amostra acidental não elimina a possibilidade de outros tipos de amostragem. As mulheres podem ser selecionadas para opinar sobre a cor do batom, mas, dentre elas, o sorteio pode ser realizado, por exemplo, com base em uma amostragem casual simples, ou mesmo com base em uma amostra sistemática. Os objetivos da pesquisa definirão, como sempre, as características da amostragem a ser realizada.

Amostra estratificada Para pesquisar, por exemplo, os gastos familiares com alimentação, é comum imaginar a população dividida em classes correspondentes às faixas de renda. Afinal, em relação à renda total de cada família, o porcentual de gastos com alimentação em uma família de baixa renda é, provavelmente, muito maior do que o mesmo porcentual em família da classe A. Desse modo, para se ter confiabilidade nos resultados, convém estratificar a população e a amostra de pesquisa, isto é, dividir os elementos da amostra em grupos com base em algum critério.

Aspecto importante: proporcionalidade

O tipo de amostragem que não considera a proporcionalidade costuma acarretar erros que, em muitos casos, são de fato programados e intencionais. A propaganda de determinada faculdade, veiculada pela TV, anunciava que era ela a responsável pela maior quantidade de aprovados no exame da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB). Mesmo não sendo mentira, a afirmativa escondia um importante dado: a tal universidade era recordista na quantidade de inscritos para o exame da Ordem e, portanto, é de se esperar que, quanto maior o número de inscrições, maior também é o número de prováveis aprovados. O dado bruto, sobre o número de candidatos aprovados, deveria, para uma correta e honesta conclusão, ser substituído pelo dado proporcional, isto é, pela comparação entre o número de inscritos e o número de aprovados. Se isso fosse feito, talvez o mote da propaganda exibida tivesse de ser alterado.

Suponhamos o caso inusitado de um pesquisador que adentre no estádio de futebol durante uma partida entre duas equipes, A e b, a fim de caracterizar a opinião dos torcedores sobre a atuação do árbitro da partida. Se os torcedores da equipe A constituem 80% do total presente, enquanto apenas os 20% restantes são torcedores de b, é correto o pesquisador dividir a amostra em duas partes iguais, metade formada por torcedores de A e a outra metade formada por torcedores de b? Resposta: Não! O correto será dividir a amostra

Em seguida à apresentação dos processos de amostragem descritos, solicite a seus alunos que resolvam alguns exercícios exemplares, do tipo que apresentaremos a seguir. Sobre esta série de exercícios gostaríamos de salientar, especialmente, dois aspectos. O primeiro refere-se ao fato de que a elaboração de pesquisas estatísticas não possui a exatidão que normalmente se espera de um procedimento matemático. Desse modo, é frequente que uma pesquisa com determinado objetivo possa ser realizada com base neste ou naquele sistema

Vale ressaltar, entretanto, que uma amostra estratificada permite que, em cada estrato, os elementos pesquisados possam ser escolhidos casualmente, sistematicamente ou com base em algum outro critério preestabelecido. Dessa forma, como em outros casos, podemos prever interseções entre os sistemas de amostragem aqui descritos.

proporcionalmente ao número de torcedores de cada equipe. Assim, se serão realizadas 40 pesquisas, que 32 sejam respondidas por torcedores de A, e o restante, por torcedores de b.

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de amostragem, ficando a análise posterior dos resultados condicionada à escolha adotada. Portanto, a solução por nós apresentada para cada atividade pode, e deve, passar por considerações do professor e de seus alunos sobre sua validade no caso de alteração de algumas das condições imaginadas como objetivos da pesquisa. O segundo aspecto que salientamos acerca da série de atividades que apresentamos a seguir repete argumentação realizada em outras séries acerca do fato de que pode ser necessário ampliar ou reduzir a lista apresentada, de acordo com a sua avaliação, adaptando-a às condições de cada turma, a fim de complementar os trabalhos em sala de aula.

Atividade 1 A propaganda de uma marca de veículos anunciou que 90% dos compradores do tal modelo estavam plenamente satisfeitos com a compra. Qual é o tipo de amostragem que, provavelmente, foi realizada pela indústria fabricante do veículo para que fosse obtido o índice de satisfação que divulgam? Acidental.

Atividade 2 Em um programa social da prefeitura de determinada cidade, um show foi promovido em um estádio. Ao entrar no estádio, cada pessoa doava 1 quilo de alimento não perecível e recebia um tíquete numerado para concorrer ao sorteio de cinco motos no final do evento. Qual é o tipo de amostragem que está implícito nesse processo? Casual simples.

Atividade 3 Uma indústria de café solúvel realiza um processo estatístico para o controle de qualidade da produção diária de latas. Se são produzidas 12 000 latas por hora, descreva como poderia ser realizada, para esse controle, uma amostragem do tipo: a) casual simples. É possível que os alunos criem uma resposta para este item, mas não consideramos in teressantes amostras casuais simples para processos em que a população é muito nume rosa, como é o caso em questão. De qualquer modo, é possível que algum aluno proponha numerar as latas que são produzidas e sor tear algumas delas. b) sistemática. Este parece ser o tipo de amostra mais indicado para o caso, pois a pessoa que controla o processo pode recolher certa quantidade de amostras a cada intervalo consecutivo de tempo.

Atividade 4 Observe a tabela com os porcentuais de pessoas que residem nos quatro distritos da cidade. distritos

Residentes (%)

Uma pesquisa será realizada para conhecer a opinião dos moradores da cidade a respeito das ações da prefeitura local. Pretende-se selecionar, de toda a cidade, 2 000 pessoas para serem entrevistadas. Supondo uma amostra casual simples, quantas pessoas deverão ser escolhidas para responder à pesquisa em cada distrito? 500 pessoas em A; 700 pessoas em B; 200 pessoas em C e 600 pessoas em D.

Atividade 5 Um pesquisador entrevistou 200 alunos “calouros” de uma universidade com o objetivo de saber em qual escola haviam concluído o Ensino Médio. Veja os resultados obtidos: Escola

Outras

Número de estudantes que entraram na universidade

125

a) Qual é o porcentual de entrevistados que estudaram em cada uma das escolas representadas na tabela? A:22,5%; B:62,5; C:10%; outras:5%. b) É correto afirmar que a escola b é, dentre todas, a que tem o maior número de alunos calouros nessa universidade? Por quê? Sim, pois tem 125 alunos dentre os 200 pesquisados. c) É correto afirmar que a escola b é, dentre todas, a que tem o Ensino Médio mais eficiente no que se refere à aprovação no vestibular da tal universidade? Por quê?

Não, pois não é conhecido o número de es tudantes de cada escola que prestou o exa me vestibular. Se da escola C, por exemplo, prestaram o tal exame 20 alunos, sua taxa de aprovação é igual a 100%, valor que não po deria ser ultrapassado pelas demais escolas.

Atividade 6 Uma pesquisa será realizada com moradores de um bairro da zona Sul da cidade de São Paulo para verificar a intenção de voto na próxima eleição para a prefeitura. Descreva, justificando, como poderá ser realizada essa pesquisa no caso de o método de amostragem adotado ser: As respostas desta atividade são pessoais, e cabe a você, professor, organizar a dis cussão acerca das respostas produzidas por seus alunos. a) casual simples. Uma resposta possível a este item consiste em imaginar toda a população numerada de 1 a n, e sortear alguns dos n elementos, ao acaso, para serem entrevistados. Nesse caso, correse o risco de sortear pessoas que nem sequer são eleitores. b) acidental. Uma resposta possível a este item seria fazer uma seleção prévia das pessoas eleitoras da cidade, sorteando algumas delas para a entrevista. c) acidental e casual simples. Selecionar apenas as pessoas eleitoras, enu merálas e sortear algumas delas, ao acaso.

Matemática – 3a série – Volume 4

d) estratificada. Antes do sorteio, separar a população eleitora em, por exemplo, classes sociais, sorteando, em seguida, algumas pessoas de cada classe. e) acidental e estratificada. Semelhante ao item anterior, apenas esco lhendo um número de pessoas em cada classe proporcional ao total de componentes. f) sistemática. Por exemplo, sortear uma certa quantidade de pessoas de uma rua X, outra quanti dade de outra rua Y, e assim por diante, até completar todo o bairro alvo da pesquisa.

intervalos de confiança Estudamos na Situação de Aprendizagem anterior como podemos determinar a probabilidade de ocorrência de determinados eventos a partir de áreas compreendidas entre a curva normal e o eixo horizontal. Para tanto, devemos conhecer a média e o desvio padrão da amostra analisada e, examinando a fração de desvio padrão que corresponde à faixa que nos interessa, consultar a tabela que nos fornece a probabilidade procurada. Na divulgação dos resultados de uma pesquisa que avaliou a intenção de voto para alguma eleição, os institutos de estatística sempre acrescentam uma margem de segurança aos porcentuais que preveem. Assim, é comum ouvirmos, por exemplo, que determinado candidato tem “42,5% das intenções de voto, com 5% de margem de erro para mais ou para menos”. Isso quer dizer que, nesse caso, é esperado que o

candidato em questão obtenha entre (42,5 – 5)% e (42,5 + 5)% dos votos, isto é, entre 37,5% e 47,5%. O estabelecimento dessa margem de erro de 5% está relacionado ao grau de certeza desejado pelo instituto. Pode ser que, em outros casos, essa margem seja reduzida para 2,5%, ou ampliada para 8%. Para a definição dessas margens, é preciso avaliar o intervalo de confiança do resultado. Embora os comunicados dos institutos não comentem, uma margem de erro de 2%, por exemplo, está associada a um intervalo de confiança de 95%, isto é, há 95% de certeza de que o resultado divulgado acerca das intenções de voto esteja dentro da margem de 2% para mais ou para menos. Como a certeza não é igual a 100%, e nunca será, sempre haverá uma possibilidade de a previsão não corresponder ao resultado da eleição. Isso já aconteceu algumas vezes. Como são definidos esses intervalos de confiança? Para responder, precisamos retomar a interpretação da curva normal, com a relação entre média aritmética e desvio padrão da amostra. A porcentagem esperada de elementos situados entre a média e um desvio padrão acima da média, em uma situação normal, é sempre igual a 34,13% da população amostrada. Aqui: aproximadamente 34% de toda a área compreendida entre a curva e o eixo horizontal

x+σ

A simetria da curva normal, em torno da média, permite esperar que 34,13% da população se situe também entre a média e um desvio padrão abaixo dela. Desse modo, entre um desvio padrão acima e um abaixo da média encontramos 68,26%. Outros porcentuais, correspondentes a faixas da população com limites diferentes de um desvio acima e outro abaixo da média, podem ser obtidos mediante consulta à tabela utilizada anteriormente (Situação de Aprendizagem 3). No caso, por exemplo, da faixa compreendida entre 1,45 desvio padrão acima e abaixo da média, encontraremos, de acordo com a tabela, 2 . 42,65% da população, ou seja, 85,3%.

85,3%

x – 1,72 σ

x + 1,72 σ

A leitura da tabela (Situação de Aprendizagem 3) nos mostra que o fator 1,72 corresponde a 45,73%, o que nos permite afirmar que na faixa destacada da curva encontram-se 2 . 45,73% da população, isto é, 91,46%. Dizemos, nesse caso, que temos 91,46% de certeza de que um elemento sorteado da população esteja no intervalo que vai de 1,72 desvio abaixo até 1,72 desvio acima da média. Ou, de outra forma, dizemos que o intervalo de confiança de 91,46% é definido pelo fator 1,72. Como podemos usar a ideia do intervalo de confiança em situações-problema? Vamos analisar, por exemplo, a seguinte situação:

x – 1,45 σ

x + 1,45 σ

Esse fato de que 1,45 desvio padrão corresponde a 85,3 % da população, de acordo com a tabela, permite-nos afirmar que temos 85,3% de certeza de pegar um elemento ao acaso da população e ele pertencer à faixa entre 1,45 desvio acima e 1,45 desvio abaixo da média. Dizemos também que 1,45 define um intervalo de confiança de 85,3%. Considere agora a faixa de área da curva normal compreendida entre 1,72 desvio padrão acima e abaixo da média.

A média aritmética da altura de todas as alunas da escola é igual a 1,65 m, e o desvio padrão da altura é igual a 0,07 m. Nessas condições, queremos determinar a faixa de valores da altura em que se encontram 90% das alunas da escola. Quais são os limites dessa faixa? Podemos, inicialmente, dividir na metade o porcentual fixado, de 90%, imaginando que procuramos uma faixa que compreenda 45% acima e 45% abaixo da média. Consultando a tabela no sentido oposto ao que percorremos anteriormente, vamos considerar o valor 0,4505, o mais próximo de 0,45, ou 45%.

Matemática – 3a série – Volume 4

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1

0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2

0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3

0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.01331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4

0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5

0.1915 0.1950 0.1985 0.2010 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6

0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7

0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8

0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9

0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0

0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1

0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2

0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3

0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4

0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5

0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6

0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7

0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8

0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9

0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0

0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1

0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2

0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3

0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4

0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5

0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6

0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7

0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8

0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9

0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0

0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

A leitura da tabela nos informa que o porcentual de 45,05% corresponde a 1,65 desvio padrão. Como o desvio padrão, no caso do exemplo, é igual a 0,07 m, temos: 1,65 . 0,07 = 0,1155 m Adicionando e subtraindo este valor de 0,1155 m da média dada de 1,65 m, temos: 1,65 + 0,1155 = 1,7655 ≅ 1,77 m 1,65 – 0,1155 = 1,5345 ≅ 1,53 m Portanto, é igual a 90% a probabilidade de sortearmos uma aluna qualquer da escola com altura entre 1,53 m e 1,77 m, supondo, desde sempre, que a distribuição da altura é normal. A seguir, apresentamos alguns exercícios exemplares sobre o assunto, em acordo com as justificativas apontadas anteriormente acerca de sua aplicação aos alunos.

Atividade 7 Qual é o fator que define um intervalo de confiança de 98%? 98 = 49 → tabela → 2,33 desvios. Portanto, 2 o fator que determina 98% de segurança é 2,33.

Atividade 8 Em uma população normal de focas em que a média de peso é de 102,5 kg e o desvio padrão é 4,6 kg, qual é o intervalo de valores em que encontramos 90% das focas? 90 = 45 → tabela → 1,65 desvio. 2 1,65 . 4,6 = 7,59 kg. Portanto, no intervalo compreendido entre 102,5 – 7,59 e 102,5 + 7,59

encontramos 90% das focas. Assim, o interva lo procurado tem limites 94,91kg e 110,09 kg.

Atividade 9 Defina os limites do intervalo de confiança de 88% para a altura de uma população de meninos, normalmente distribuídos, em que a média é igual a 1,71 m e o desvio padrão é igual a 0,09 m. 88 = 44 → tabela → 1,56 desvio 2 1,56 . 0,09 = 0,14 m Portanto, os limites do intervalo de confiança de 88%, nesse caso, são: 1,71 + 0,14 = 1,85 m 1,71 – 0,14 = 1,57 m

Atividade 10 Em uma amostra normal de pessoas em que a média das massas é igual a 68 kg e o desvio padrão é igual a 4 kg, qual é a faixa de valores de massas em que estão 80% das pessoas dessa amostra? 80 = 40 → tabela → 1,28 desvio 2 1,28 . 4 = 5,12 kg Portanto, a faixa de valores desejada tem os seguintes limites: 68 + 5,12 = 73,12 kg 68 – 5,12 = 62,88 kg

Atividade 11 Qual é o fator que define 95% de segurança em uma distribuição normal? 95 = 47,5 → tabela → 1,96 desvio padrão 2

Matemática – 3a série – Volume 4

Portanto, o fator que determina 95% de segurança em uma distribuição normal é 1,96.

Pesquisa eleitoral: o tamanho da amostra Um fato que costuma intrigar alunos e professores diz respeito à quantidade de pessoas entrevistadas pelos institutos para a realização de uma pesquisa de intenção de voto. É comum ouvirmos, por exemplo, que o instituto tal entrevistou duas mil e poucas pessoas em todo o Brasil durante determinado período de tempo e, com base nas respostas obtidas, vem a público divulgar que o candidato X terá tantos por cento dos votos, com uma margem de segurança de 2% para mais ou para menos. Como é que duas mil e poucas pessoas podem representar toda a população de eleitores do país? Como se definem esses 2% de margem de erro? A discussão matemática correta para esses aspectos pode ser encontrada em artigo publicado pela Revista do Professor de Matemática, indicada adiante, como material adicional. Simplificadamente, podemos apresentar a nossos alunos os seguintes comentários: f as pesquisas trabalham, normalmente, com margem de erro de 2%, em um intervalo de confiança de 95%; f um intervalo de confiança de 95% é determinado pelo fator 1,96 (ver tabela); f o cálculo da quantidade de elementos de uma amostra de pesquisa com margem de erro fixada em x% pode ser feito pela equação: x% =

1,96 _____

2®n

Resolvendo essa equação para x = 2%, obtemos para n o valor 2 401, que corresponde, portanto, ao número de pessoas que o instituto deve entrevistar para ter, em um intervalo de confiança de 95%, 98% de certeza de que as previsões se confirmarão. Caso o intervalo de confiança da previsão seja alterado para, por exemplo, 90%, o valor de n para os mesmos 2% também se alterará, tornando-se 1 681. Dessa maneira, mantendo-se constante os tais 2% de margem de erro, a confiança na resposta determinará o número de elementos amostrados: quanto maior a confiança, maior também o número de elementos que deverão compor a amostra de pesquisa. Vale salientar, no entanto, que a precisão da pesquisa não está condicionada unicamente ao número de pessoas entrevistadas, e sim ao tipo de amostra selecionada. Se as 2 401 entrevistas, ou outro número plausível, forem realizadas, por exemplo, na porta de saída do teatro em que se realizou a convenção do partido A, dificilmente os resultados apontarão vitória do candidato do partido b. Para que as pesquisas eleitorais possam, de fato, divulgar suas previsões dentro de uma margem de erro de 2%, os institutos consideram a composição da amostra de pesquisa com a maior variedade possível de indicadores, desde o estado de origem dos pesquisados, passando pelo gênero, pela idade e, principalmente, pelas condições socioeconômicas dos pesquisados. O encerramento da Situação de Aprendizagem pode se dar com os alunos resolvendo as atividades seguintes.

Atividade 12

f A cidade será ou não dividida em regiões?

Para uma pesquisa em que se pretende margem de erro de 2% e confiança de 94%, qual é o número aproximado de elementos pesquisados? 94 = 47 → tabela → 1,88 2 1,88 __ ⇒ n ≅ 2 209 elementos. 2% = _____ 2®n

f Como será o tipo de amostragem? Quantas pessoas será necessário entrevistar? f Como será o formulário de pesquisa? Quais serão as perguntas?

Atividade 13 Complete a tabela com a quantidade aproximada de pessoas a serem entrevistadas em uma pesquisa eleitoral que pretende margem de erro de 2%, de acordo com o intervalo de confiança fixado. intervalo de confiança número de entrevistados

f De que maneira os resultados da pesquisa serão organizados a fim de produzir um relatório final? Resposta pessoal.

97%

96%

92%

Considerações sobre a avaliação

2 943

2 626

1 914

A última atividade sugerida para esta Situação de Aprendizagem resume, de certa forma, os aspectos desenvolvidos nas Situações de Aprendizagem 3 e 4. Consideramos que os processos de avaliação e de recuperação para os alunos que vivenciaram esta Situação de Aprendizagem sejam realizados nos moldes que, implicitamente, destacam a atividade em questão. Sugerimos, portanto, que o professor elabore questões de avaliação e de recuperação que permitam aos alunos a livre manifestação de suas opiniões sobre o processo vivenciado, ou, em outras palavras, que as situações-problema, especialmente elaboradas para avaliação e recuperação, contemplem, principalmente, a exigência de respostas abertas que possam variar de aluno para aluno, sem que, todavia, fujam da correta conceituação discutida durante o cumprimento da Situação de Aprendizagem.

Atividade 14 Suponha que você seja a pessoa responsável pela elaboração de uma pesquisa eleitoral em que se deseja uma margem de erro de 2%. Como esse tipo de trabalho, de modo geral, é realizado por uma equipe, converse com seus colegas sobre o procedimento que julgar mais adequado para atingir a margem de erro desejada. Considere que a pesquisa tem por objetivo avaliar a intenção de voto dos eleitores para três candidatos à prefeitura de uma grande cidade brasileira. Para organizar a discussão, sugerimos que busquem respostas às seguintes questões: f A pesquisa será feita em qualquer ponto da cidade, indistintamente?

f O que será importante considerar no caso de a cidade ser dividida em regiões. Em todas elas, o número de pessoas pesquisadas será o mesmo?

Matemática – 3a série – Volume 4

ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO Para aqueles alunos que ainda sentirem dificuldade com a análise de dados representados em gráficos mais complexos, com mais de duas variáveis, sugerimos que o professor os estimule a se confrontar com outras situações semelhantes àquelas apresentadas na Situação de Aprendizagem 1. Não se trata, todavia, de repetir temas já abordados, mascarando dessa forma o cumprimento dos objetivos determinados, mas, sim, de buscar novas situações que, embora constituídas pelos mesmos conceitos, explorem contextos diferentes daqueles em que se basearam as atividades anteriores. Nesse sentido, propomos ao professor que indique a seus alunos a pesquisa de novos gráficos, de variáveis que eles conheçam o significado. Esses gráficos poderão vir a compor

de interpretação de gráficos e tabelas. Esses exercícios podem ser obtidos nos livros didáticos, ou, então, nos exames já aplicados do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) ou do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos). Questões desses exames podem ser obtidas no site do Inep, disponível em:<http://www.inep.gov.br>. Na Situação de Aprendizagem 3, para os alunos que porventura não atinjam plenamente os objetivos previstos, sugerimos ao professor que retome rapidamente o cálculo das probabilidades segundo a definição clássica, para, em seguida, propor novamente que resolvam situações-problema com base no cálculo de probabilidades associadas a faixas da curva normal. Nesse caso, uma série de problemas criados pe-

uma nova sequência de exercícios para funda-

los alunos mais bem avaliados pode servir como

mentar o processo de recuperação. Uma boa

instrumento necessário para o cumprimento da

estratégia para essa busca por novos gráficos

etapa de recuperação.

pode ser, por exemplo, a pesquisa a imagens de um site de busca. Digitando “gráficos” e selecionando “imagens”, surgirá uma série bastante grande de gráficos, de toda natureza, para que os alunos analisem as variáveis e o significado de cada um.

Alguns alunos poderão apresentar maior dificuldade na elaboração de respostas pessoais colocadas na Situação de Aprendizagem 4, e caberá ao professor orientá-los, cotidianamente, quanto à precisão da linguagem que utilizam, bem como quanto à correta aplicação

Alguns alunos podem sentir dificulda-

dos conteúdos matemáticos discutidos. Dessa

de na Situação de Aprendizagem 2, e não

forma, em razão das características especiais

atingir plenamente os objetivos traçados.

dos conceitos e das competências envolvidas,

Sugerimos que para o processo de recupe-

torna-se impraticável a separação do processo

ração seja incluída a resolução de exercícios

de avaliação do processo de recuperação.

RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Caso, o professor, julgue necessário aprofundar o estudo de alguns dos temas apresentados neste Caderno, sugerimos a leitura dos seguintes artigos da Revista do Professor de Matemática (RPM), da Sociedade Brasileira de Matemática:

O professor que desejar se municiar de gráficos interessantes para discutir e interpretar com seus alunos poderá acessar alguns sites de institutos especializados, como: IBGE. Disponível em: <http://www.ibge. gov.br/home>. Acesso em: 31 jul. 2009.

f “A curiosa Matemática eleitoral”, de Severino Toscano Melo, na RPM, nº- 36. f “Uma interpretação do algoritmo das eleições proporcionais”, de Manoel H.C. Botelho, na RPM, nº- 37. f “A estatística e as pesquisas eleitorais”, de Flávio W. Rodrigues, na RPM, nº- 40. f “Média e média das médias”, de Adilson Simonis e Cláudio Possani, na RPM, nº- 42. Esses artigos, como se pode perceber pelos títulos, tratam de elementos de Estatística associados a pesquisas eleitorais. O artigo do professor Flávio Rodrigues, em especial, merece destaque por abordar, especificamente, o tema da Situação de Aprendizagem 4 deste Caderno. A leitura desse texto permitirá ao professor ampliar seu repertório acerca da interpretação do desvio padrão, notadamente quando ele é calculado a partir das proporções observadas entre uma frequência determinada e a frequência total.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística condensa informações de toda natureza – físicas, econômicas, sociais, etc. – acerca de Estados e municípios brasileiros. Fuvest. Disponível em: <http://www.fuvest.br>. Acesso em: 31 jul. 2009. Neste site podemos encontrar estatísticas acerca das provas realizadas nos últimos anos pela Fundação para o Vestibular da USP, como a curva de distribuição das notas na primeira e na segunda fase. Havendo condições na escola, sugerimos ao professor que faça download do Objeto Virtual de Aprendizagem sobre Estatística e Probabilidade, do site da Rede Virtual Internacional de Educação (Rived), no endereço <http://rived.mec.gov.br>. A vivência com este

Objeto Virtual permitirá que os alunos simulem processos eleitorais, colocando-se na posição do estatístico que determina as condições da amostra de pesquisa.

Matemática – 3a série – Volume 4

COnSidERAçõES FinAiS O último bimestre do Ensino Médio foi o escolhido para o desenvolvimento dos conteúdos do bloco do Tratamento da Informação. De fato, desde o Ensino Fundamental, os alunos têm estado em contato com conceitos reveladores da mobilização de competências de reconhecida importância, como a leitura e a interpretação de dados registrados em tabelas ou em gráficos, e o cálculo e a interpretação de índices estatísticos expressos por intermédio de porcentuais. A conclusão de todo esse processo é realizada agora, no 4o bimestre da 3a série, com uma ampliação dos significados anteriormente discutidos acerca das medidas de posição e de dispersão. Para isso, nada é mais fecundo do que a relação entre essas medidas e a curva normal. Buscando essa continuidade de significados, propusemos o estudo da curva normal, mesmo sabendo que este não é um tema que normalmente permeia as páginas dos livros didáticos. Um processo estatístico utiliza, na grande maioria das vezes, os resultados obtidos com base em uma amostra para, com certas

margens de segurança, realizar inferências acerca de toda uma população. Somos bombardeados todos os dias por informações obtidas a partir de processos estatísticos, sejam elas de natureza política, econômica ou social. Escolhemos apresentar, neste Caderno, um desses processos, referente às pesquisas de intenção de voto, tão comuns e tão importantes em nosso país. Consideramos fundamental que o professor permita que seus alunos vivenciem as discussões propostas na Situação de Aprendizagem, porque, além da compreensão dos conceitos matemáticos, destaca-se, nesse caso explicitamente, um dos grandes objetivos da formação escolar: a construção da cidadania. Para que se tenha uma ideia mais nítida das múltiplas inter-relações entre os diversos conteúdos aqui tratados, apresentamos, a seguir, a grade curricular de Matemática com os assuntos de todas as séries do Ensino Médio, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outras séries e de outros bimestres diretamente relacionados com aqueles apresentados neste bimestre.

COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE

dO EnSinO MédiO

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

1a série

2a série

3a série

núMEROS E SEQUÊnCiAS - Conjuntos numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas; progressões geométricas.

tRigOnOMEtRiA - Fenômenos periódicos. - Funções trigonométricas. - Equações e inequações. - Adição de arcos.

gEOMEtRiA AnAlÍtiCA - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, problemas lineares. - Ponto e reta: distância. - Circunferência: equação. - Reta e circunferência: posições relativas. - Cônicas: noções e aplicações.

FUnçõES - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau. - Função de 2o grau.

MAtRizES, dEtERMinAntES E SiStEMAS linEARES - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

EQUAçõES AlgébRiCAS E núMEROS COMPlEXOS - Equações polinomiais. - Números complexos: operações e representação geométrica. - Teorema sobre as raízes de uma equação polinomial. - Relações de Girard.

FUnçõES EXPOnEnCiAl E lOgARÍtMiCA - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - logaritmos: definição e propriedades. - Função logarítmica: equações e inequações.

AnáliSE COMbinAtÓRiA E PRObAbilidAdE - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Casos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações. - Probabilidade da reunião e/ou da intersecção de eventos. - Probabilidade condicional. - Distribuição binomial de probabilidades: o triângulo de Pascal e o binômio de Newton.

EStUdO dAS FUnçõES - Qualidades das funções. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação. - Composição: translações e reflexões. - Inversão.

gEOMEtRiA/ tRigOnOMEtRiA - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição e pavimentação de superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos Senos e lei dos Cossenos.

gEOMEtRiA MétRiCA ESPACiAl - Elementos de geometria de posição. - Poliedros, prismas e pirâmides. - Cilindros, cones e esferas.

EStAtÍStiCA - Gráficos estatísticos: cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.