MATEMATICA_CP_5s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

5ª- SÉRIE

volume 3 – 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 5ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-363-9 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Ricardo

Kleber

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Ricardo

Kleber

SumáRio São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Definir e classificar experimentando Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço

Situação de Aprendizagem 3 – Geometria e frações com o geoplano ou malhas quadriculadas 30 Situação de Aprendizagem 4 – Perímetro, área e arte usando malhas geométricas Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 46 Considerações Finais

Conteúdos de matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

Ricardo

Kleber

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

Ricardo

Kleber

Ricardo

Kleber

FiChA do CAdERno Formas geométricas, perímetro e área nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Volume: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 5ª3 Formas geométricas planas Figuras geométricas espaciais Composição e decomposição de figuras Simetrias, perímetro e área

Ricardo

Kleber

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, principalmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor poderá explorar cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, poderá escolher uma escala adequada para o tratamento do assunto. Em cada situação específica, fica a critério do professor determinar o tempo necessário, por exemplo, para trabalhar cada assunto. O tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que você tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do

bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o de seus alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem seja explicitada nas mesmas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que o professor poderá utilizar para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,

Matemática – 5ª- série – Volume 3

bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas neste bimestre.

Conteúdos básicos do bimestre O estudo de Geometria na 5ª- série começa com o reconhecimento, a observação e a classificação de figuras planas e espaciais. Um desafio que se apresenta logo de início para o professor é o fato de que os alunos iniciam a série com um vocabulário geométrico bastante limitado; por exemplo, palavras como “quadrado” são usadas para designar qualquer tipo de quadrilátero. Sua ação deve centrar esforços para a implementação de estratégias que possam facilitar a incorporação significativa de vocabulário, além da compreensão dos elementos mais importantes de uma figura geométrica, da classificação de figuras de acordo com critérios diversificados e da verificação de algumas propriedades elementares das figuras geométricas. No que diz respeito ao trabalho com a classificação e o desenvolvimento de vocabulário com significado, vale dizer que as estratégias cujos resultados são, normalmente, melhores são aquelas que aproximam as etapas da aprendizagem do universo concreto. Aulas expositivas sobre classificação de triângulos quanto aos seus lados ou sobre os nomes dos quadriláteros tendem a ser pouco motivadoras para alunos de 5ª- série. Em contrapartida, aulas em que há um desafio a ser resolvido, em que existe um jogo a ser disputado ou uma atividade de manipulação concreta de figuras

geométricas são extremamente motivadoras e, ao longo do seu desenvolvimento, naturalmente surge a necessidade prática de novo vocabulário e de critérios para organizar as figuras a partir de seus elementos ou propriedades. Nessa perspectiva, a aula deve ser preparada de forma a criar situações motivadoras para o desenvolvimento de habilidades relacionadas à classificação com base na observação e na resolução de problemas. Os problemas propostos devem dar conta de dirigir, sempre baseada na experimentação, uma linha de investigação em que os alunos possam concluir, por sua conta, propriedades e formas de organizar as figuras geométricas com base em critérios. Dada a importância da experimentação no desenvolvimento do pensamento geométrico nas séries iniciais, apresentaremos nesta proposta de planejamento inúmeras atividades em que os alunos terão de construir, observar e manipular diversas figuras e aparatos. Nas Situações de Aprendizagem, sugerimos a construção de poliedros com canudos de refrigerantes e linha, e apresentamos algumas abordagens possíveis de uso do geoplano e da malha quadriculada, malha de pontos e de triângulos. A Geometria abre também as portas para o desenho geométrico que, inapropriadamente, vem sendo deixado de lado em muitas Propostas Curriculares. O trabalho com os instrumentos geométricos na 5ª- série, principalmente com régua, esquadros e compasso, é importante por vários aspectos. Citando apenas três deles, esse

tipo de trabalho desenvolve a motricidade fina, contribui para a verificação e compreensão de propriedades geométricas e exige o desenvolvimento de linguagem apropriada para os registros. Se o desenho geométrico aparece com menor ênfase do que a Geometria nesta proposta, queremos deixar claro que tal opção se deve ao grande volume de temas geométricos e estratégias de abordagem que gostaríamos de compartilhar com o professor neste momento, e não à menor importância do desenho geométrico. As oito unidades propostas no planejamento do bimestre têm apenas a função de organizar um ponto de partida para o percurso dos temas, mas, como nos planejamentos dos bimestres anteriores, sempre estará a critério do professor fazer a adaptação mais adequada, dadas as necessidades do seu projeto de curso de Geometria. Na medida do possível, as quatro Situações de Aprendizagem apresentadas neste documento percorrem as oito unidades do bimestre, direta ou indiretamente, como veremos a seguir. Na Situação de Aprendizagem 1 – definir e classificar experimentando, propomos atividades em que a compreensão das características das figuras geométricas emerge da manipulação experimental e da troca de experiências em pequenos grupos. Um bom programa de desenvolvimento do pensamento geométrico para crianças pequenas é aquele que compreende bem seus objetivos e sabe elaborar as perguntas certas capazes de desencadear ideias, articulações e sínteses por parte dos alunos. A ênfase de uma das propostas apresentadas

na Situação de Aprendizagem 1 é a do trabalho com a classificação de figuras geométricas com base em critérios estabelecidos inicialmente pelos próprios alunos e, em seguida, pelo professor. Em outra atividade, apresentamos algumas possibilidades de uso do tangram como recurso didático. Mais uma vez, a ênfase será dada ao papel da descoberta dos alunos, que deverá ser conduzida sempre por uma boa pergunta ou sequência de perguntas. Além do tangram tradicional, serão também apresentados outros tipos, bem como algumas possibilidades diferentes de uso. A Situação de Aprendizagem 1 é finalizada com a proposta de uma atividade com espelhos para a investigação de simetria de reflexão. Essa atividade tem o objetivo de auxiliar no desenvolvimento da percepção de simetrias nas figuras como meio facilitador da compreensão de suas propriedades e de suas representações. Na Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço, apresentamos diversas atividades para o estudo inicial da geometria dos sólidos. De início, apresentamos uma proposta de construção de sólidos com o uso de linha e canudos de refrigerante, que, além do trabalho com a Matemática, permite aos alunos exercitar sua motricidade. Uma alternativa para a construção dos sólidos com canudos seria a construção com papel a partir de suas planificações. Nessa direção, não trabalharemos propriamente a construção, mas serão explorados inúmeros desdobramentos do trabalho com a planificação de sólidos por meio de investigação com poliminós. O trabalho com poliminós permite investigar as várias vistas de

Matemática – 5ª- série – Volume 3

uma figura espacial, aborda o raciocínio lógico dedutivo, explora estratégias de contagem e permite o trabalho com jogos de estratégia. Na Situação de Aprendizagem 3 – geometria e frações com o geoplano ou malhas quadriculadas, nosso interesse será explorar problemas de perímetro, área, raciocínio lógico dedutivo e operações com frações, utilizando o recurso do geoplano, que é um tabuleiro com percevejos ou pregos no qual podemos desenhar figuras usando elásticos ou uma linha, ou da malha quadriculada. A riqueza do geoplano como recurso didático reside no fato de ele permitir o trabalho tanto com a Geometria quanto com a Aritmética como veremos em algumas sugestões do seu uso no ensino de soma e subtração de frações. Por fim, na Situação de Aprendizagem 4 – Perímetro, área e arte usando malhas geométricas, apontamos para a importância do uso de malhas de pontos, quadriculada ou de triângulos, na introdução ao estudo da geometria métrica. As malhas não nos permitem trabalhar com qualquer tipo de figura ou com qualquer medida, porém constituem um recurso muito valioso para a compreensão da ideia de medida associada à de comparação. Identificar medidas de perímetro e área em uma malha pela composição e pela decomposição de figuras desenvolve de forma significativa a capacidade de observação, habilidade indispensável para a aprendizagem da Geometria. Outra atividade proposta será o uso de malhas para ampliar, reduzir ou deformar figuras. A compreensão visual do que será discutido

nessas atividades mantém relação próxima com o desenvolvimento do tema transversal Cidadania, uma vez que estaremos aprimorando a competência de leitura de imagens dos alunos. A Situação de Aprendizagem 4 é finalizada com uma proposta de construção de mosaicos em malhas de pontos ou de figuras. O objetivo, aqui, é possibilitar o desenvolvimento da criatividade, da observação, do senso estético e a identificação de padrões e regularidades.

Quadro geral de conteúdos do 3º- bimestre da 5ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Observação de figuras planas: semelhanças e diferenças. unidade 2 – Observação de figuras espaciais: semelhanças e diferenças. unidade 3 – Classificação de figuras e ampliação do vocabulário geométrico. unidade 4 – Propriedades elementares dos polígonos, simetria, malhas e geoplano. unidade 5 – Investigação de padrões, regularidades, propriedades elementares de figuras geométricas e simetria. unidade 6 – Figuras espaciais: construção, planificação e representação de vistas. unidade 7 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e simetria. unidade 8 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e simetria.

SituAçõES dE APREndizAgEm SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 DEFINIR E ClASSIFICAR ExPERIMENTANDO Nesta Situação de Aprendizagem, os alunos vão classificar figuras geométricas com base em critérios estabelecidos, partindo da manipulação experimental de representações

dessas figuras. Também serão exploradas as ideias de composição e decomposição de figuras com o uso do tangram, de semelhança de figuras geométricas e de simetria de reflexão.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: elementos das figuras planas; classificação de figuras planas; propriedades elementares das figuras planas; identificação de simetria; composição e decomposição de figuras (primeiras ideias sobre perímetro e área de uma figura). Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura; resolver problemas geométricos pela experimentação; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica. Estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

apresentada uma proposta de atividade que segue essa perspectiva de abordagem.

É provável que nas séries anteriores os alunos já tenham tido uma introdução ao estudo de Geometria, porém uma atividade diagnóstica no início do trabalho é indispensável para que seja verificado o estágio de conhecimento de cada aluno sobre formas planas e espaciais. É possível que a atividade elaborada para esse propósito atinja plenamente seus objetivos se o professor utilizar recursos lúdicos que favoreçam a experimentação dos alunos com diversidade de formas planas e espaciais, sem uma classificação prévia das formas, das propriedades e da relação entre propriedades. A seguir será

Separe os alunos em pequenos grupos e peça que observem as figuras numeradas. Cada aluno do grupo deverá escolher uma das figuras ao acaso e descrever para os demais uma ou duas características dela que tenham chamado sua atenção. O momento criado pode ser muito valioso para o professor trabalhar, além da experimentação em Geometria, temas transversais como o respeito dos alunos ao ouvir com atenção a explicação dos colegas; a organização como uma regra importante para o bom funcionamento do trabalho; a tolerância como um valor, etc. Em seguida, cada aluno deve escolher ao acaso mais uma figura e indicar algumas de suas características. Solicite

Matemática – 5ª- série – Volume 3

aos alunos que registrem suas obervações. A seguir, os grupos devem escolher outra figura, um aluno deve dizer uma característica dessa figura, e o grupo deverá procurar outras figuras no conjunto que tenham a mesma característica mencionada. Como mediador da atividade, é importante que o professor esteja atento à diversidade de escolhas dos alunos acerca das características, socializando eventualmente as ideias entre os grupos. Alguns exemplos de características que, provavelmente, devem aparecer e que podem ser socializadas entre os grupos são: f figuras com três lados, quatro lados, cinco lados, etc.; f figuras com dois lados “retos” e um lado “curvado”; f figuras com três “bicos” ou com três “pontas” (referência aos vértices); f figuras com “buracos” (referência às formas não convexas); f figuras com lados paralelos ou com lados em “cruz” (referência à perpendicularidade); f figuras que podem ser “dobradas direitinho” (referência à simetria axial); f figuras com lados que têm a mesma medida. Dois aspectos são importantes para que esta Situação de Aprendizagem atinja plenamente seus objetivos: 1) o sortimento das figuras deve ser bem diversificado de forma que favoreça a identificação e a exploração de várias características diferentes; 2) em um

primeiro momento o professor deve dirigir o mínimo possível a escolha de características porque a atividade é essencialmente de experimentação e vivência com as formas geométricas (a mediação do professor será importante em um segundo momento para a socialização das ideias entre os grupos). Depois que os alunos estiverem familiarizados com um amplo repertório de características possíveis de serem mencionadas, proponha para toda a classe a atividade “Dominó das formas”. O jogo funciona da seguinte maneira: o grupo 1 apresenta uma figura para a classe e descreve uma característica dela. Se o grupo 2 tiver uma figura com aquela característica, ele a apresenta para a classe e a elimina do seu conjunto de figuras, caso contrário, passa a vez para o grupo 3 e assim por diante, até que um grupo da sequência tenha uma figura com aquela característica. O grupo que eliminou uma figura deve dizer outra característica dela para que o jogo possa continuar. As características citadas podem ser repetidas, mas não na mesma jogada, ou seja, a característica que permitiu ao grupo eliminar sua figura deve ser diferente da que será proposta pelo grupo como característica que vai dar continuidade ao jogo (o que não quer dizer que as características não possam voltar a aparecer no jogo). Como em um dominó, vencerá o jogo o grupo que conseguir eliminar primeiro todas as suas figuras. Com a prática de algumas rodadas, os alunos devem perceber que uma boa estratégia para acabar logo com suas figuras será dizer, sempre que possível, uma característica que seja comum ao maior número de figuras do seu “estoque”. Por exemplo, se o grupo 2 tem, na sua

vez, a possibilidade de colocar no dominó uma figura que atende a condição “1 lado curvado”, e se a figura colocada tem “1 par de lados paralelos”, traço comum em muitas outras figuras desse grupo, essa característica deverá ser escolhida para a sequência do jogo na expectativa de que os demais grupos passem sua vez até que volte para o grupo 2 a possibilidade de eliminar uma nova figura do seu “estoque”. As atividades propostas permitem fazer um diagnóstico dos conhecimentos geométricos da turma, bem como trabalhar o desenvolvimento de vocabulário geométrico ao convencionar com a classe algumas palavras para descrever certas características das figuras (paralelo, perpendicular, vértice, convexo, congruente, ângulo, quadrilátero, triângulo, etc.). Outra importante habilidade

que vai ser trabalhada com a turma é a de fazer a classificação. Há outro jogo interessante que também pode ser feito com figuras recortadas em papel. Nesse jogo, cada grupo escolhe uma “característica secreta” que permite determinado agrupamento de algumas das suas figuras. Em seguida, esse agrupamento é mostrado para a classe e cada grupo terá de descobrir qual foi a tal “característica secreta” pensada. Na faixa etária de alunos da 5a série, esse tipo de atividade cria um ambiente favorável de aprendizagem, porque trabalha com experimentação e com material que pode ser tocado e manipulado em um ambiente de brincadeira (lúdico). A seguir, apresentamos alguns exemplos de figuras que podem ser utilizadas nessa atividade.

Matemática – 5ª- série – Volume 3

A ideia de que uma figura pode ser composta (ou decomposta) por outras é muito rica para o desenvolvimento do pensamento geométrico e constitui uma proposta interessante de continuidade da Situação de Aprendizagem de experimentação e classificação de figuras. Nesse contexto, atividades com tangram são apropriadas para o trabalho com formas planas. Se, nas séries anteriores, os alunos não construíram um tangram, o trabalho pode ter início com esta atividade; se os alunos já construíram, propomos que seja feito algum tipo de tangram menos convencional. Apresentamos alguns tipos de tangram que podem ser confeccionados com cartolina, papel-cartão, cortiça, madeira ou outros materiais.

tradicional

geométricos. Não descreveremos aqui os procedimentos para essa construção, mas o professor poderá encontrá-los em muitos livros didáticos ou nos endereços eletrônicos sugeridos mais adiante. Além das tradicionais figuras que podem ser feitas com o uso do tangram, muitas outras atividades de investigação geométrica podem ser propostas. Vejamos algumas delas com o uso de um tangram diferente do tradicional. Material necessário para a atividade: tesoura e uma folha com o desenho do tangram abaixo para cada aluno.

triangular Corte as 15 figuras que compõem o retângulo grande e, em seguida, faça as atividades 1, 2, 3, 4 e 5 com as peças desse tangram.

quadrangular

circular

Atividade 1 Ordene as figuras de acordo com seus tamanhos.

oval O processo de construção de um tangram pode ser uma boa oportunidade para um primeiro contato com os instrumentos

Com esta atividade o professor pode discutir com os alunos uma definição mais consistente sobre o que entendemos por “tamanho” da figura. A ideia é que eles possam perceber intuitivamente a área associada ao que usualmente compreenderiam como

Matemática – 5ª- série – Volume 3

o “tamanho” da figura. Vale destacar que o percurso didático de um programa de Geometria deve levar em consideração que, para as faixas etárias menores, o significado se constrói muito mais por meio de situações concretas e aproximações experimentais do que com formalismo e definições. Mais adiante apresentaremos outras atividades específicas do uso do tangram para explorar a ideia de perímetro e área de uma figura a partir da sua decomposição.

f coloque a maior delas sobre a mesa, fique em pé com os olhos afastados da mesa. Pegue outra figura de três lados e, tapando um dos olhos, tente encontrar uma posição que faça uma sobreposição perfeita das duas figuras. Se a sobreposição acontecer, dizemos que as duas figuras são semelhantes; f repita o mesmo experimento com as figuras de quatro lados; f registre quais foram as figuras semelhantes que você encontrou.

Atividade 2

Essa atividade explora a ideia de perímetro e, como a anterior, trabalha com duas importantes habilidades: a de ordenar e a de estimar. É muito importante que os alunos de 5ª- série consigam estabelecer a ordem de grandeza entre comprimentos e entre áreas de figuras que possibilitem uma distinção clara de medidas. A habilidade e a destreza com o uso e a leitura das medidas indicadas na régua também devem ser motes desta atividade.

Atividade 3 Dizemos que duas figuras são semelhantes se têm a mesma “forma”, mas tamanhos diferentes. Faça a seguinte experiência com as figuras de três lados:

Samuel Silva

Qual figura tem o maior comprimento total? Qual delas tem o menor comprimento? Ordene as figuras pelo seu comprimento e, depois, confira se sua ordenação está correta, utilizando a régua.

Com essa atividade iniciamos a exploração de um tema central da Geometria, o estudo da semelhança de figuras. Com os experimentos propostos, os alunos deverão perceber que: f os triângulos do tangram são todos semelhantes; f alguns quadriláteros do tangram são semelhantes, outros não. Com base na primeira conclusão, o professor pode fazer o seguinte tipo de exploração. Apesar de os alunos ainda não terem a ideia formalizada de ângulo, explore o fato de que as “pontas” dos triângulos desse tangram, sejam eles grandes ou pequenos, se encaixam perfeitamente. Quando isso acontece, os triângulos são semelhantes. Note que

essa é uma oportunidade para introduzir de forma intuitiva a seguinte ideia (que só será formalizada nas séries seguintes): se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. Verificação análoga pode ser feita entre dois paralelogramos semelhantes do tangram (o maior e o menor), como se pode ver a seguir: Com a observação dos quadriláteros, o aluno deverá perceber que alguns são semelhantes, e outros não. Uma problematização interessante que pode ser feita é a seguinte: será que o mesmo critério aplicado para definir triângulos semelhantes pode ser usado para definir quadriláteros semelhantes? Os alunos devem perceber que não. O exemplo abaixo mostra dois quadriláteros do tangram com ângulos correspondentes congruentes, porém, que não são semelhantes (a percepção de que eles não são semelhantes deverá ter sido verificada a partir do experimento com um olho vedado).

Tanto no caso dos quadrados quanto no dos paralelogramos semelhantes, o tangram proposto na atividade tem a vantagem de permitir que a proporcionalidade entre os lados seja facilmente percebida pelos alunos por meio de encaixes (composição de figuras por sobreposição), uma vez que a razão de semelhança é dois. Vale observar que nem todos os paralelogramos desse tangram são semelhantes. O paralelogramo maior não é semelhante ao intermediário, que por sua vez não é semelhante ao menor.

Atividade 4 Na comparação entre quadrados, os alunos devem ter identificado figuras semelhantes. Com base nessa observação, você pode discutir que, no caso das figuras de quatro lados, além do encaixe perfeito entre as “pontas” correspondentes, também deve haver proporcionalidade entre os lados para que elas sejam semelhantes.

Separe todos os triângulos do tangram, ordene-os pelo seu perímetro, depois pela sua área e, por fim, compare essas ordenações. Registre as conclusões sobre o que você observou na comparação entre as duas ordenações. Note, inicialmente, que o enunciado dessa atividade exige compreensão do uso das palavras área e perímetro, que devem ter sido trabalhadas nas atividades anteriores. Como no tangram

Matemática – 5ª- série – Volume 3

proposto todos os triângulos são semelhantes, espera-se que os alunos percebam e concluam, pela experimentação, que se aumentamos o perímetro de um triângulo sua área também vai aumentar. De forma geral, tratando-se de triângulos semelhantes, se o perímetro for duplicado, a área será multiplicada por 4; se o perímetro for multiplicado por k, a área será multiplicada por k². Esta conclusão não precisa ser formalizada, mas pode ser compreendida por meio de recursos como a figura a seguir:

Atividade 5 Investigue a possibilidade de formar figuras quaisquer usando as peças do tangram. Essa atividade explora as abordagens tradicionais de tangram que o aproximam de um quebra-cabeças de formas e encaixes. Os alunos costumam se motivar com esse tipo de desafio, que também pode ser feito com outros tipos de tangram e com o objetivo de formação de outros tipos de figuras por composição. Com as situações propostas até aqui, trabalhamos, pela experimentação, as habilidades de classificar, comparar, generalizar e estimar medidas. Outra habilidade importante que pode ser desenvolvida com alunos dessa série é a antecipação da representação de formas pelo uso da simetria. Propomos, a seguir, uma atividade com esse objetivo. Disponibilize ou solicite aos alunos que tragam de casa um pequeno espelho retangular. Caso não haja disponibilidade de um espelho por aluno, a atividade também pode ser feita em pequenos grupos.

A atividade consiste em fazer um desenho em uma folha de papel de tal forma que, quando colocado em frente a um espelho, forme uma determinada figura. Por exemplo, para formar a letra A, basta que os alunos desenhem no papel metade da letra para que possam vê-la inteira com a fusão entre o desenho feito e a imagem no espelho.

Apresentamos a seguir alguns exemplos de atividades interessantes (6 e 7) que podem ser feitas explorando a ideia de simetria de reflexão. No entanto, essas atividades não constam no Caderno do Aluno; como elas abordam o tema eixos de simetria de uma figura, é importante que o professor aborde com a classe este assunto. Para isso, o professor poderá levar um espelho, para sala de aula, para verificar com seus alunos a existência, ou não, de eixos de simetria nas figuras apresentadas.

Atividade 6 Verifique se as letras do seu nome podem ser escritas por reflexão com o auxílio de um espelho. Com essa atividade o professor poderá explorar ideias de que nem todas as letras do alfabeto possuem simetria de reflexão.

Atividade 7 Colocando o espelho em determinada posição você pode formar, a partir dos desenhos a seguir, uma forma geométrica fechada. Encontre essa forma geométrica e, em seguida,

registre a descrição de algumas de suas características.

Respostas: um losango (4 lados congruentes); ângulos opostos congruentes; lados opostos paralelos uma pipa; ângulos opostos congruentes

hexágono convexo

Especificamente em relação aos temas geométricos explorados, espera-se que, ao final das atividades, os alunos estejam aptos a:

octógono côncavo

Essa atividade permite trabalhar investigações de simetria axial de figuras geométricas.

Considerações sobre a avaliação A Situação de Aprendizagem 1 apresenta para o professor uma proposta de trabalho com Geometria com base em materiais concretos e na experimentação. A metodologia de uso desse material que estamos propondo leva em consideração a construção do conhecimento a partir da manipulação de figuras e o desenvolvimento da habilidade de classificar a partir da negociação de ideias entre grupos de alunos. Os conhecimentos geométricos que decorrem do uso dessa proposta devem ser sistematizados pelo professor ao longo do desenvolvimento das atividades. Como estamos valorizando, nas atividades propostas, o trabalho em grupo, a negociação

de ideias e a troca de experiências entre os alunos, o professor deve buscar estratégias de avaliação que levem em consideração não só o desenvolvimento da compreensão dos temas matemáticos, mas também aspectos como a participação de todos os integrantes nas discussões do grupo, a atitude solidária e de respeito dos alunos, o respeito às regras determinadas para as atividades, etc.

f identificar visualmente, em figuras planas, paralelismo, perpendicularismo, semelhança, congruência e simetria; f saber utilizar de forma mais apropriada o vocabulário geométrico elementar; f saber agrupar figuras de acordo com determinado critério estabelecido. Tais conhecimentos e habilidades devem ser avaliados pelo professor com a utilização de instrumentos diversificados, como prova, participação nas atividades em grupo e produção de relatórios com os registros das investigações de classificação de figuras. A produção dos relatórios constitui um item importante da avaliação, porque sinaliza a importância do uso apropriado da linguagem para expressar ideias matemáticas. Por meio da avaliação dos relatórios, o professor poderá sinalizar direções para os alunos não só do ponto de vista da articulação das ideias matemáticas, como também da produção de texto.

Matemática – 5ª- série – Volume 3

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 PlANIFICANDO O ESPAçO A proposta de trabalho desta Situação de Aprendizagem é explorar os sólidos geométricos de forma concreta e por meio das suas representações. No primeiro caso, será dada

ênfase à manipulação e à construção dos sólidos e, no segundo, às representações de suas planificações e das suas vistas (frontal, superior, lateral).

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: elementos das figuras espaciais; classificação de figuras espaciais; representação de figuras espaciais; planificações e vistas de figuras espaciais. Competências e habilidades: estabelecer critérios de classificação; reconhecer elementos geométricos que podem caracterizar uma figura espacial; ler, interpretar e representar figuras tridimensionais; usar o raciocínio dedutivo para resolver problemas de natureza geométrica. Estratégias: manipulação de material concreto, trabalho em grupo e jogos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Na Situação de Aprendizagem 1, apresentamos algumas estratégias para o trabalho inaugural do estudo da Geometria das formas planas na 5a série do Ensino Fundamental. O estudo de Geometria nas séries iniciais deve buscar elementos de leitura das imagens do nosso mundo como forma de aproximar os temas investigados do concreto. Apesar de o nosso mundo ser essencialmente tridimensional, muitas vezes os programas de Geometria das séries iniciais dão excessiva ênfase à Geometria plana e quase nenhuma à espacial. Entendemos que a Geometria plana tem um papel muito importante na formação inicial dos alunos, pelo fato de desenvolver o pensamento abstrato e fornecer elementos importantes de análise para a investigação dos sólidos geométricos. Contudo, uma Proposta Curricular moderna certamente não deixaria de

fora um primeiro contato com o estudo geométrico das formas espaciais já nas primeiras séries do Ensino Fundamental. Da mesma maneira como iniciamos o trabalho com a Geometria plana por meio de uma atividade que pudesse desencadear classificações, ordenação e desenvolvimento de vocabulário geométrico, o mesmo poderia ser feito com a Geometria em três dimensões. Uma coleção de sólidos geométricos poderia ser usada no lugar da coleção de figuras planas na Situação de Aprendizagem 1 e praticamente todas as atividades propostas poderiam ser adaptadas ao ambiente tridimensional. As características que poderiam ser investigadas agora seriam: sólidos que rolam (e que não rolam); sólidos que afunilam (e que não afunilam em um ponto); sólidos formados apenas por “linhas retas” (e sólidos formados por “linhas curvas”); total de faces (muitas vezes chamadas de “lados” pelos

alunos que estão iniciando o estudo dos sólidos); total de vértices (ou “bicos”); total de arestas (“linhas”); sólido que fica de pé apoiado em qualquer face, etc. A manipulação dos sólidos geométricos também pode ser feita utilizando-se materiais simples, como canudos, linha e fita adesiva. O aluno pode ser convidado a montar alguns sólidos e a investigar alguns de seus elementos e propriedades por meio da construção, como veremos a seguir. Para a atividade, sugerimos que se disponibilizem canudos de refrigerantes em cores e diâmetros diferentes, linha (ou barbante fino) e uma agulha para passar a linha pelos canudos. Convencionaremos que seta simples (→) indicará o sentido em que a linha deve ser passada no canudo vazio, e a seta dupla (⇒) o sentido em que a linha deve ser inserida em um canudo já ocupado por uma linha. Inicialmente, vamos construir um cubo e suas diagonais. Passamos a linha por meio de quatro canudos, indicados por 1, 2, 3 e 4:

A estrutura de um cubo feita com canudos não tem a mesma rigidez que, por exemplo, a estrutura de um tetraedro feito com o mesmo material teria. Isso pode ser explorado por meio da investigação da rigidez dos triângulos e da ausência de rigidez dos quadriláteros. Uma situação de problematização interessante que pode ser proposta é a seguinte: “Como podemos tornar a estrutura do cubo de canudinhos mais rígida com a incorporação de novos canudos?”. É muito provável que os alunos proponham a colocação de canudos nas diagonais das faces. Pode-se discutir com eles que os novos canudos fixados formarão um tetraedro regular, que, por ser um sólido formado apenas por triângulos, será uma estrutura rígida. A construção de um tetraedro regular com canudos é mais simples que a do cubo, e pode ser encontrada nas referências bibliográficas listadas no final deste Caderno (além de tetraedro, é possível construir, com canudos, pirâmides de base quadrangular, icosaedro, octaedro, etc.).

4 3

A sequência a seguir descreve o complemento da construção: 17

6 7

5 2

13 4

12 1

A construção de sólidos geométricos também pode ser feita utilizando cartolina, um estoque de polígonos de mesmos lados e fita adesiva. Porém outra estratégia mais interessante para o trabalho com a construção de sólidos de papel é iniciar a discussão com investigações sobre a planificação de figuras espaciais. De posse de uma planificação da figura, estaremos com uma peça já pronta para a sua montagem.

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O trabalho com planificações é interessante porque exige dos alunos o desenvolvimento da visualização dos sólidos em perspectivas diferentes. A seguir, apresentamos uma série de atividades que trabalham diretamente com a planificação de figuras e com a representação das vistas frontal, superior e lateral de um sólido.

Atividade 1 Observe a construção de um cubo a partir da sua planificação:

As três planificações formam cubos.

Atividade 2 As planificações a seguir não formam cubos. Como você pode concluir isso rapidamente? b)

Planificação do cubo

Um cubo tem seis faces e, portanto, sua planificação deve ser formada por seis quadrados. As figuras a e c não têm seis quadrados, portanto, não formam um cubo. A figura b não forma um cubo porque, apesar de ter 6 quadrados, não há como associar as bases e as faces laterais.

Construção do cubo a partir da sua planificação

Atividade 3

Investigue em cada caso a seguir se a planificação indicada permite ou não a construção de um cubo, apenas por dobradura, sem cortar o papel. Caso você esteja com dificuldades, copie em uma folha de papel cada uma das planificações e tente montar o cubo a partir delas: a)

Quais das planificações a seguir formam cubos e quais não formam? Procure responder sem montar os cubos, mas, se isso não for possível, copie a planificação em uma folha, recorte e tente montar o cubo. a)

Apenas b e c formam cubos. Note que, nessa atividade, foi sugerida a resolução sem a construção concreta do cubo. Nem todos os alunos conseguem resolver essa questão apenas com o pensamento abstrato, porém deve ser uma meta sua, professor, fazer com que gradativamente todos possam resolver um problema semelhante a esse sem a construção física do cubo. Com as atividades anteriores, os alunos perceberam que são necessários seis quadrados compondo a planificação para que se possa fazer um cubo, contudo, nem todas as combinações dos seis quadrados podem formá-lo. Um desdobramento interessante acerca dessa investigação seria pedir aos alunos que desenhem todas as possíveis planificações de um cubo, mas, para que haja reflexão anteriormente à atividade, algumas perguntas podem facilitar o percurso, como veremos a seguir.

Atividade 4 É possível formar um cubo quando temos uma planificação com cinco quadrados alinhados e um não alinhado? Justifique sua resposta. Não é possível, porque cinco quadrados alinhados conseguem fechar apenas quatro das seis faces do cubo. O sexto quadrado da planificação fechará a quinta face do cubo, e uma face ficará aberta. Exemplos de tais planificações são:

Note que o tipo de discussão proposta por essa atividade faz com que o aluno tenha

que exercitar não só a visualização espacial como também o raciocínio lógico-dedutivo. É possível que muitos alunos encontrem explicações diferentes e, nesse caso, é importante que cada uma delas seja analisada pelo professor do ponto de vista lógico para verificar sua consistência. O exercício de compreender que uma justificativa não é correta ou é insuficiente é tão ou mais proveitoso do que apenas ver a resposta correta do problema. Uma planificação formada por quadrados de modo que eles partilhem pelo menos um lado é chamada de poliminó. Dependendo do número de quadrados envolvidos, o poliminó receberá nomes específicos como: dominó (dois quadrados), triminó (três quadrados), tetraminó (quatro quadrados), pentaminó (cinco quadrados), etc. Os exercícios de planificações de cubos trabalham com os hexaminós (seis faces quadradas). Atividades com poliminós são interessantes porque exigem o uso de várias habilidades matemáticas, como abstração espacial, raciocínio lógico-dedutivo, estratégias de contagem de possibilidades e ideias relacionadas à simetria de reflexão e de rotação. Veremos agora algumas ideias que podem ser utilizadas em atividades com poliminós.

Atividade 5 Desenhe todos os pentaminós diferentes que você conseguir encontrar. Uma dica importante para você não desenhar pentaminós repetidos é: se dois ou mais pentaminós são iguais, mas estão em posições diferentes, eles devem ser considerados o mesmo pentaminó,

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como no exemplo a seguir, em que temos quatro representações da rotação (giro) de um mesmo pentaminó e outras quatro representações do mesmo pentaminó feitas a partir de uma reflexão (espelhamento). No caso do exemplo, todos os oito pentaminós devem ser considerados equivalentes.

Atividade 6 O pentaminó apresentado no enunciado da atividade anterior possui oito representações que podem ser consideradas idênticas (quatro rotações e quatro reflexões). Investigue o número de representações idênticas (rotações e reflexões) de cada um dos 12 pentaminós. Para dar nome aos pentaminós podemos usar letras que lembrem sua forma:

primeiro pentaminó

R 1 de volta em 4 sentido horário do primeiro pentaminó

giro de

1 de volta em 2 sentido horário do primeiro pentaminó giro de

Reflexões dos pentaminós da esquerda com relação a um eixo vertical

1 giro de de volta em 4 sentido anti-horário do primeiro pentaminó

Existem 12 pentaminós diferentes, que são:

Os pentaminós L, N, P, R e Y possuem oito representações idênticas (quatro rotações e quatro reflexões). O pentaminó Z possui quatro representações idênticas (duas rotações e duas reflexões). V, U e W possuem quatro representações idênticas (todas por rotação). I possui duas representações idênticas (por rotação) e X é o único pentaminó que só possui uma representação.

Existem inúmeras atividades com pentaminós (e outros poliminós) que podem ser montadas, todas elas explorando a criatividade, o raciocínio lógico e a visualização espacial. Apresentamos a seguir um jogo com pentaminós.

Os poliminós podem também ser usados para a montagem de quebra-cabeça de preenchimento, como em alguns jogos de computador, por exemplo, o Tetris. A atividade a seguir explora essa ideia.

Forme grupos de alunos e disponibilize para cada grupo um conjunto dos 12 pentaminós diferentes. Cada grupo deverá usar todos os pentaminós para formar um campo fechado. Vencerá o grupo que conseguir formar o campo com o maior número de quadrados no seu interior. Como exemplo, apresentamos uma solução (Figura 1) que consegue deixar 11 quadrados no interior do campo (os 11 quadrados estão indicados na Figura 2 pela cor cinza).

Atividade 7 Com os 12 pentaminós, monte um retângulo 6 × 10. Esse problema apresenta várias soluções possíveis, sendo uma delas a seguinte:

Figura 1

6 × 10

Como são 12 pentaminós, temos um total de sessenta quadrados. Esse problema pode ser reformulado para outras possibilidades de retângulos, como 4 × 15, 3 × 20 e 5 × 12. Apresentamos a seguir uma solução para cada um desses casos.

Figura 2

5 × 12

4 × 15

3 × 20

Matemática – 5ª- série – Volume 3

Atividade 8

guida, agrupe-os de acordo com o seguinte

Determine o número de dominós, triminós e tetraminós distintos.

critério: completando o menor retângulo

Existem apenas um dominó, dois triminós e cinco tetraminós (temos também 12 pentaminós, que já foram vistos anteriormente).

retângulos 2 × 4, 3 × 3, 3 × 4, 2 × 5, 1 × 6

Atividade 9 Existem 35 hexaminós. Desenhe-os em uma folha de papel quadriculado e, em se-

possível em cada hexaminó formaremos e 2 × 3. Agrupe os hexaminós pelo menor retângulo que podemos formar com cada um deles. Nessa atividade você pode dar um exemplo para os alunos.

2×4

3×3

3×4

2×5

1×6

2×3

A representação de vistas de uma figura espacial no plano é uma habilidade que pode ser desenvolvida desde as primeiras séries do Ensino Fundamental. Inicialmente, o professor pode levar sólidos geométricos e outras figuras espaciais e pedir a seus alunos que façam um esboço da figura de acordo com o que estão enxergando na sua linha de visão. O desenvolvimento da habilidade para a representação de figuras por meio de suas vistas (lateral, frontal e superior) se dá a partir da observação cuidadosa de detalhes como a incidência de luz e sombra. Não é esperado que alunos de 5a série consigam fazer representações de objetos mais detalhados com precisão, porém é desejável que se inicie um trabalho para capacitá-los a representar vistas de objetos geométricos elementares, como cubos, paralelepípedos, cilindros e pirâmides simples (esse trabalho terá continuidade na 6ª- série, explorando o uso de malhas como ferramenta auxiliar ao desenho). Veremos a seguir uma atividade que trabalha a identificação de objetos a partir da representação das suas vistas.

Atividade 10 Desenhe as vistas frontal, lateral e superior de cada um dos objetos sobre a mesa. Superior 5

2 1

lateral

Frontal

Respostas: FRontAl

lAtERAl

SuPERioR

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Atividade 11 A figura a seguir representa a fotografia de uma casa. Desenhe as vistas do lado direito, do lado esquerdo, frontal, traseira e superior dessa casa.

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Respostas:

1 superior

2 frontal

4 lateral esquerda

3 lateral direita

traseira

Considerações sobre a avaliação

Em relação à avaliação, é necessário verificar se seus alunos sabem fazer planificações de sólidos e identificar sólidos por suas planificações. Deve-se também verificar se os alunos conseguem estabelecer critérios a respeito das condições para que uma planificação gere um sólido ou não. Essa verificação poderá ser feita por meio de avaliações individuais ou por meio de propostas de trabalhos em grupo, em que os alunos tenham de construir sólidos com canudos, papel ou outro material, e desenhar suas vistas e planificações.

As atividades propostas na Situação de Aprendizagem 2 – Planificando o espaço indicam ao professor a necessidade de se iniciar o estudo dos sólidos geométricos já na 5ª- série. Assim como na Situação de Aprendizagem 1, a proposta de abordagem enfatiza mais os aspectos de descobertas pela manipulação das figuras geométricas do que pelo formalismo das definições.

A atividade de construção dos poliedros com canudos e linha também pode ser avaliada. Como nem todos possuem o mesmo desenvolvimento motor e facilidade para trabalhos manuais, é importante que o professor permita que os alunos que não tenham construído os sólidos de maneira correta ou adequada possam refazer a atividade.

O desenvolvimento da competência de leitura e representação de imagens é um dos objetivos centrais das atividades propostas para este bimestre e deve ser avaliado para que se identifique com clareza a aprendizagem dos alunos. Em um primeiro momento, a representação de vistas e planificações de um sólido geométrico deve ser conduzida com a manipulação e a experimentação, porém é desejável que, com o tempo, os alunos estejam aptos a identificar um sólido por sua planificação (e vice-versa), sem precisar montá-lo ou desmontá-lo fisicamente.

Especificamente em relação aos temas geométricos explorados, espera-se que ao final das atividades os alunos estejam aptos a: f identificar elementos de um sólido geométrico (arestas, vértices, faces); f representar um sólido por meio das suas vistas e planificações; f identificar a forma de um sólido pela sua planificação; f classificar sólidos de acordo com critérios estabelecidos.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 GEOMETRIA E FRAçõES COM O GEOPlANO OU MAlHAS QUADRICUlADAS Esta Situação de Aprendizagem trata da classificação de figuras geométricas e introduz a discussão sobre área e perímetro utilizando como suporte o geoplano. Na sequência

da atividade, utilizamos o geoplano ordenado como recurso auxiliar para o estudo das frações (classificação, operação de adição e ordenação).

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: classificação de figuras; elementos de figuras planas; propriedades elementares de figuras planas; introdução às ideias de perímetro e área (composição e decomposição); adição e subtração de frações (com o geoplano); simetria. Competências e habilidades: comparar perímetros e áreas; resolver situação-problema a partir da leitura atenta do enunciado; desenvolver raciocínio lógico-dedutivo em problemas geométricos. Estratégias: manipulação de material concreto; exploração da ideia de composição e decomposição de figuras.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Um geoplano consiste em uma malha de pontos marcados em uma base qualquer, que pode ser de madeira, isopor, cortiça ou de qualquer outro material que permita a fixação nos pontos de pregos, percevejos ou alfinetes. Na construção de um geoplano, é importante que se tenha em vista que material será usado para as marcações que serão feitas. O ideal é que os pontos marcados e fixados no geoplano sejam resistentes, porque normalmente as atividades com esse material didático ficam mais interessantes quando usamos elásticos para fazer as marcações de

pontos, segmentos, polígonos, etc. Para a fixação de um elástico esticado, os pontos da malha do geoplano devem ser pregos ou percevejos e a base de madeira. Se quisermos construir um geoplano com isopor e alfinetes ou percevejos na malha de pontos, teremos de usar linha ou barbante na marcação dos pontos, segmentos e polígonos (a linha não exerce força sobre o ponto fixo como o elástico, permitindo que a fixação dos pontos na base seja menos rígida). A imagem a seguir representa um geoplano 9 × 9, que é o tamanho mínimo para a realização de atividades com esse recurso. Geoplanos maiores permitem maior flexibilidade na exploração de ideias e conceitos.

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Atividade 1 Construa no geoplano a forma dos algarismos de 0 a 9.

O geoplano é um recurso didático que permite abordagem tanto de temas da Geometria como da aritmética das frações, motivo pelo qual escolhemos essa ferramenta para apresentar algumas possibilidades de exploração de temas da Matemática na Situação de Aprendizagem 3. Para a exposição que segue, estamos admitindo um geoplano 9 × 9 feito em base de madeira e com pregos nos pontos de cruzamento da malha. Utilizaremos para a manipulação do geoplano conjuntos de elásticos, de preferência de cores diferentes. A proposta inicial de uso deve permitir que os alunos aprendam a manipular o geoplano e consigam compreender os comandos dados pelo professor. Durante os comandos, o professor pode trabalhar a construção do vocabulário geométrico dos alunos, bem como a problematização acerca da necessidade de comandos, definições e termos claros para que todos possam compreender da mesma maneira qual é o problema proposto. Vejamos um exemplo de uma primeira situação de uso do geoplano.

Devemos observar que alguns algarismos podem ser construídos de maneiras diferentes. Veja, por exemplo, que o algarismo 8 foi construído com o uso de apenas dois elásticos, mas poderia ter sido feito com sete (nesse caso, cada elástico ligaria apenas dois pontos). Alguns alunos poderão ter dificuldade para imaginar uma forma de representar alguns algarismos e, nesse caso, sugira que eles procurem em uma calculadora como o algarismo aparece no visor.

Atividade 2 Represente no geoplano as iniciais de seu nome e sobrenome. Resposta pessoal. Havendo dificuldade, os alunos podem verificar nos livros como as letras de forma maiúscula são escritas.

Atividade 3 Na impossibilidade de construir ou adquirir geoplanos, pode-se utilizar malhas quadriculadas para o desenvolvimento das atividades a seguir. No Caderno do Aluno, são propostas algumas atividades com a utilização das malhas quadriculadas.

Agora use apenas um elástico para representar uma figura no geoplano, de tal forma que o elástico esteja fixado por quatro pregos e que fique um prego na parte de dentro da figura. (Observação: os pontos de fixação não devem ser considerados parte de dentro da figura.)

Atividade 4

É provável que a maior parte dos alunos encontre como solução a que apresentamos acima. Isso permitirá que se discuta se essa solução, de fato, atende à condição do problema de que na parte de dentro da figura fique apenas um prego (na verdade, essa solução deixa cinco pregos na parte de dentro). Para resolver esse problema, basta desviar o elástico deixando quatro dos pregos que ficaram na parte de dentro para o lado de fora, como indica a solução correta apresentada à direita na ilustração acima. Na sequência, o professor pode formular a seguinte pergunta: “Por que foi colocada a observação no enunciado dizendo que os pontos de fixação não devem ser considerados parte de dentro da figura?”. Essa pergunta permite aos alunos perceber que sem essa regra o problema não teria solução. A leitura atenta do enunciado deve ser uma habilidade valorizada pelo professor. Oriente os alunos a assinalar os elementos mais importantes do texto de um enunciado, como “a pergunta”, “os dados”, “as restrições”, etc. Muitas variações dessa atividade podem ser criadas, por exemplo: “Faça uma figura que deixe dez pregos no seu exterior sem tocar nenhum elástico”; “Faça uma figura em que o elástico esteja fixado por cinco pregos, e que deixe três pregos no seu interior”, etc.

Desenhe uma figura que não seja um quadrado e que atenda à seguinte condição: a figura deve ter a mesma aparência, seja qual for o lado do geoplano que estejamos utilizando para observá-la. Os alunos devem encontrar soluções diferentes para essa atividade. É importante que possam compartilhar suas experiências, tentando ajudar uns aos outros na verificação se a solução encontrada está correta, ou se deve ser modificada. Por meio dessa atividade, pode-se explorar a ideia de simetria axial e de simetria de rotação. O comando do enunciado exige que a figura construída tenha dois eixos de simetria, sendo que a figura refletida em cada um deles deverá ser sempre a mesma. Pensando o mesmo problema sob o ponto de vista de simetria de rotação, estamos em busca de uma figura que se mantenha idêntica se girarmos o geoplano em 1 de volta, 1 de volta ou 3 de 4 2 4 volta. Neste momento do curso, os alunos ainda não estudaram formalmente ângulos, portanto, a ideia que deve ser usada quando queremos nos referir a um ângulo é a de giro correspondente à parte de uma volta toda. Apresentamos a seguir duas soluções para o problema.

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A atividade 5, apresentada a seguir, não consta no Caderno do Aluno. Todavia, se o professor julgar conveniente, deve discutí-la com os alunos, de modo que eles reconheçam que a diagonal de um quadrado possui medida maior do que a medida de seus lados.

Atividade 5

c) triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 2 e 3; d) paralelogramo com um par de lados opostos medindo 2; e) pipa com todos os lados de medida diferente de 2; f) um trapézio de bases 2 e 4.

3 Meça com a régua as distâncias no geoplano que estão representadas na figura por 1, 2, 3, 4 e 5. Em seguida, registre suas conclusões sobre a comparação entre as medidas encontradas (existem ou não medidas iguais?).

As medidas 1, 2, 3 e 4 são iguais e a medida 5 é maior que as outras. Essa atividade é importante porque, para que o trabalho com perímetro de figuras no geoplano transcorra bem, é necessário que os alunos percebam que a diagonal de um quadrado tem medida maior que os lados do quadrado. Se, por exemplo, estabelecermos como unidade de medida do geoplano o lado do menor quadrado formado por quatro pregos, a distância entre dois pregos opostos pela diagonal do quadrado será diferente da unidade de medida do geoplano.

Atividade 6 Construa as seguintes figuras no geoplano, assumindo como unidade de medida a medida do lado do menor quadrado formado com quatro pregos: a) quadrado de lado 2; b) triângulo isósceles de base 4;

Essa atividade favorece a construção de vocabulário. Ainda que não haja uma preocupação no estudo com rigor das propriedades das figuras geométricas, com base nas construções feitas, pode-se discutir, por exemplo, eixo de simetria de algumas figuras (o quadrado, o triângulo isósceles e a pipa possuem, respectivamente, 4, 1 e 1 eixos de simetria); a classificação dos triângulos quanto aos seus lados, paralelismo e perpendicularidade; a classificação dos quadriláteros (ainda que informal e sem a preocupação de explorar a ideia de inclusão nas definições dos quadriláteros notáveis), etc. a b

c e d

Outros desdobramentos que a atividade permite podem decorrer de perguntas como: É possível construir no nosso geoplano um triângulo isósceles de base 3? É possível construir no geoplano um triângulo

equilátero de lado 2? E um losango que não tenha ângulos de 1 de volta?”. 4 Pela manipulação os alunos deverão perceber que todas as figuras solicitadas não podem ser construídas no nosso geoplano. Deve ser dada especial atenção à segunda pergunta, porque muitos alunos poderão achar que o triângulo indicado abaixo é equilátero, quando na verdade é isósceles, com um lado medindo 2 e os lados congruentes medindo mais do que 2.

O geoplano também pode ser usado para o trabalho com áreas. Nos bimestres anteriores, os alunos foram apresentados à ideia de que “medir é comparar”. Na introdução ao estudo da medida de área de superfícies, inicialmente, os alunos fizeram experimentações de medida utilizando um padrão arbitrário qualquer de medida e, na sequência, foram apresentados ao metro quadrado, que corresponde à área de um quadrado de 1 m por 1 m. No caso do estudo de área com o uso do geoplano, convencionaremos que o menor quadrado que podemos formar seja definido como de área “uma unidade quadrada”, representada por 1 u². A atividade a seguir explora algumas possibilidades do trabalho com áreas no geoplano.

Atividade 7 Construa no geoplano figuras diferentes com área 4 u².

Existem muitas possibilidades diferentes e é importante que a classe possa compartilhar e discutir os resultados. A seguir, apresentamos três soluções para o problema. Note que, para compreender essas soluções, os alunos precisarão deduzir que a diagonal divide a área de um quadrado ao meio (de forma mais geral, as diagonais de quaisquer quadriláteros notáveis, exceto o trapézio, dividem sua área ao meio).

Atividade 8 Construa um quadrado de lado 2 e, depois, outro que tenha o triplo da medida do lado do anterior, isto é, que tenha lado 6. Compare a área dos dois quadrados. O quadrado de lado 2 tem área 4 u² e o de lado 6 tem área 36 u². Propondo aos alunos que repitam essa atividade com outras medidas do quadrado inicial e outros comandos para o lado no novo quadrado (“o dobro do anterior”, “o quádruplo do anterior”, “metade do anterior”, etc.), pode-se pedir a eles que formulem uma hipótese sobre o que acontece com a área de um quadrado se multiplicarmos seu lado por um certo número. Registrando e comparando o padrão dos resultados, os alunos vão perceber

Matemática – 5ª- série – Volume 3

que a área será multiplicada pelo quadrado do número. Alguns poderão também deduzir esse resultado por estratégias de contagem, verificando que o número de unidades da área de um quadrado pode ser obtido multiplicando-se o total de quadrados dispostos na base e na altura do quadrado. A ideia de proporcionalidade explorada nessa atividade será muito importante quando os alunos forem estudar semelhança de figuras nas séries seguintes.

Atividade 9 Construa no geoplano as seguintes figuras: a) retângulo de área 2 u²; b) triângulo de área 2 u² com um elástico; c) triângulo de área 2 u² com três elásticos; d) paralelogramo com área 2 u²; e) hexágono com área 4 u²; f) um retângulo e um quadrado de áreas iguais.

Além de investigações geométricas, o geoplano também pode ser usado para o estudo das operações de adição e subtração com frações, desde que se estabeleça uma orientação semelhante à de um jogo de batalha-naval (ou a do plano cartesiano), como veremos a seguir. Faz parte do programa da 5ª- série o estudo das operações de adição e subtração de frações. Se orientarmos as linhas e colunas do geoplano com números, podemos associar a cada prego um par ordenado (p,q), o que pode ser convencionado que representa a frap ção . Sem perda de generalidade, estamos q simplificando nossa análise estudando apenas as frações com numeradores e denominadores positivos e em um geoplano 9 × 9, lembrando que o estudo pode se tornar mais interessante em geoplanos maiores, como o de medida 21 × 21. Vejamos exemplos da representação de algumas frações no geoplano que passaremos a chamar de “geoplano ordenado”: q 8 7

6 a

5 d

4 3

b A

2 f

c f

1 1

8 p

Os pregos A, B, C e D representam, respecretângulo e quadrado de mesma área

tivamente, as frações

Utilizando os elásticos, podemos começar a praticar o uso do geoplano ordenado fazendo as seguintes marcações: (1) todas as frações com denominador 5;

Com essa atividade, o dispositivo permite observar que: f frações com mesmo denominador necessariamente estão alinhadas horizontalmente;

(2) todos os números naturais; (3) todas as frações equivalentes a 1 . 1)

q 8 7 6 5 4 3 2 1 0

f frações equivalentes necessariamente estão alinhadas com a origem e entre si. Agora fica fácil determinar um procedimento para fazer adição de frações utilizando o geoplano ordenado. Por exemplo, para fazer 1

8 p

q 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 2 os passos são: + 2 3 f marcamos o conjunto de frações equivalentes a 1 ;

f marcamos o conjunto de frações equiva1 a 2; lentes +

8 p

q 8 7 6 5 4 3 2 1 0

f as frações impróprias estão localizadas na diagonal que passa pela origem ou à direita dela;

8 p

f procuramos frações dos conjuntos marcados que estejam alinhadas horizontalmente e, nessa mesma linha de alinhamento, encontramos o resultado da soma adicionando os numeradores das frações. q 8 7 6 5 4 3 2 1 0

3 6

7 6

4 6

8 p

Matemática – 5ª- série – Volume 3

Outra tarefa simples que pode ser feita com o uso desse geoplano é a ordenação de um subconjunto de frações. Para ordenar duas frações distintas representadas por (m,n) e (r,s), inicialmente amarramos um barbante na origem do geoplano, que deve estar alinhado com o eixo p. Rotacionando o barbante esticado em sentido anti-horário, o primeiro par ordenado intersectado representa a maior das frações. Vejamos uma justificativa para o caso indicado na figura abaixo, em que queremos ordenar as frações m e r : n s q s'

s n barbante m

No geoplano, dois pregos que representam frações de mesmo numerador sempre estão alinhados verticalmente. Nesse caso, a maior das frações representadas será a de menor denominador, ou seja, será aquela representada pelo ponto mais próximo do eixo p. m r representada no Observando a fraçãoe n s m r geoplano, notamos que existe uma fraçãoe , n s com s’ > s, tal que (0,0), (m,n) e (r, s’) sejam colineares. Uma vez que pontos colineares a (0,0) representam frações equivalentes, comparar (m,n) com (r,s) é equivalente a comparar (r,s’) com (r,s). Como (r,s) está mais próximo do eixo p do que (r,s’), segue que

r m > . s n

A explicação anterior não deve ser utilizada com formalismo para os alunos, porque perderia totalmente seu sentido em uma 5ª- série; porém, sua ideia intuitiva pode ser explorada por meio de exemplos e da investigação experimental. O geoplano ordenado também permite o uso de narrativas para a construção de importantes conceitos matemáticos, como veremos a seguir com a exploração da ideia de frações equivalentes, enumerabilidade de conjuntos numéricos e densidade. É evidente que a viabilidade de aplicação das ideias apresentadas na sequência deve ser avaliada com critério, levando-se em consideração o interesse e o estágio de conhecimento dos alunos. Imaginemos uma situação em que o geoplano ordenado representa uma floresta, sendo que cada prego é uma árvore muito fina. Se estivéssemos localizados na origem do geoplano e olhando na direção dessa floresta, quais árvores seriam visíveis? (Essa ideia pode ser transformada em uma atividade.) 3 6 não seria visível por ter à sua frente as ár2 1 e . Nessa linha vores correspondentes a 4 2 de olhar, a única árvore visível seria aquela 2 1 correspondente à fraçãoe . Explorando essa 4 2 ideia para outras frações, pode-se dizer que um ponto (p,q) do geoplano é visível da origem se e somente se p e q são números primos entre si, o que implica dizer que as árvores visíveis são aquelas representadas por frações p irredutíveis . q Uma árvore correspondente à fração

Se considerarmos uma fração redutível 4 qualquer, como , encontramos a fração 8 irredutível correspondente ligando os pontos (4,8) e (0,0), e verificamos que (1,2) representa a árvore visível que encobre (4,8). q 8 7 6 5

Frações irredutíveis ("árvores visíveis")

4 3 2 1 0

Sabemos que o conjunto dos racionais é enumerável, o que significa dizer que podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos racionais e dos números naturais. Uma vez que a representação no geoplano ordenado das árvores visíveis com base na origem indica todas as frações irredutíveis que compõem o conjunto dos racionais, podemos utilizar o geoplano com essas frações marcadas para colocá-las “em fila”, isto é, em correspondência com os números naturais (bijeção entre Q e IN), como se vê na figura abaixo: q 8 7 6 5

Árvores visíveis a partir da origem

Caminho de ordenação de todas as 1 frações irredutíveis a partir de 1

3 2 1 0

p 1

1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5 6 5 4 Q : ... 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3 IN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...

lembre-se de que o uso do geoplano ordenado para a discussão de enumerabilidade das frações (mais especificamente dos números racionais) só se justifica no contexto de ampliação de repertório de ideias matemáticas, podendo perfeitamente ser postergado para as séries seguintes, quando serão estudados os números racionais como um conjunto numérico.

Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 3 – geometria e frações com o geoplano ou malhas quadriculadas, a proposta é que se trabalhe leitura e compreensão de enunciados, vocabulário geométrico, raciocínio lógico-dedutivo na investigação de problemas de construção de figuras no geoplano e uma introdução à ideia de área (por composição e decomposição) e perímetro. A identificação de simetria nas figuras geométricas também pode e deve ser explorada por meio do geoplano ou de malhas quadriculadas. Como vimos, além de muito útil para o trabalho com Geometria, o geoplano também permite que se explorem as operações de adição e subtração de frações, bem como que se apresentem as frações equivalentes, frações próprias e frações impróprias em um contexto de resolução de problemas. Em relação à avaliação, o professor poderá utilizar o próprio geoplano, pedindo a seus alunos que construam figuras, investiguem propriedades e resolvam problemas no dispositivo. A competência de leitura de enunciado também pode e deve ser verificada, sendo necessário, para isso, que o professor faça um trabalho cuidadoso de orientação de estratégias para a formação de um bom leitor, tais como grifar a palavra-chave, sublinhar a pergunta, separar os dados, identificar as condições-limite do problema, etc.

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SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 PERíMETRO, ÁREA E ARTE USANDO MAlHAS GEOMÉTRICAS As ideias de perímetro e área são apresentadas nesta Situação de Aprendizagem por meio da composição e da decomposição de figuras na malha

quadriculada. Também com o auxílio de malhas, serão exploradas as ideias de ampliação e redução, e de simetria de reflexão e translações no plano.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdo e temas: perímetro e área (por decomposição e composição); ampliação e redução de figuras com o auxílio de malhas; simetria. Competências e habilidades: comparação de perímetros e áreas; raciocínio lógico-dedutivo em problemas geométricos; leitura, análise e interpretação de imagens. Estratégias: manipulação de material concreto (malhas); exploração da ideia de composição e decomposição de figuras.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 O estudo da Geometria tem, entre outros objetivos, o de possibilitar uma melhor leitura do espaço em duas e três dimensões, o que certamente tem como consequência a ampliação de repertório para a apreciação estética e para a compreensão crítica da produção humana, da natureza e, de forma geral, do mundo que nos cerca. A Situação de Aprendizagem 4 tem por objetivo apresentar uma série de estratégias que, de alguma forma, favorecem o desenvolvimento de repertório para a apreciação estética da arte e da natureza. Além da dimensão estética, também será dada ênfase à aplicação de conhecimentos geométricos na leitura crítica de situações do cotidiano (comércio, embalagens, estatística, etc.).

Iniciamos propondo um trabalho de construção de mosaicos em malhas, que podem ser quadriculadas, formadas por triângulos ou por losangos. A aprendizagem de conhecimentos geométricos com o uso de malhas inicia-se na 5ª- série e tem continuidade na 6ª- série. Para a 5ª- série, o que interessa é a possibilidade de exploração das malhas e a descoberta de relações e propriedades de forma experimental. As malhas possibilitam também um ambiente adequado para se trabalhar a ampliação de vocabulário geométrico dos alunos. Por exemplo, é comum que alunos da 5ª- série nomeiem “quadrado” todo e qualquer quadrilátero e que utilizem a palavra “reta” para designar retas, semirretas e segmentos de reta. Sabe-se que aulas expositivas sobre classificações geométricas nem sempre são bem-sucedidas com os alunos menores,

porém, havendo uma atividade motivadora em que a questão da classificação e da ampliação de vocabulário apareça de forma indireta ao longo de toda a atividade, a aprendizagem e a incorporação de vocabulário se dão de forma natural. A malha quadriculada (ou papel quadriculado) constitui material muito útil para o trabalho com Geometria. Com ela, podemos fazer ampliação e redução de figuras, construir mosaicos e trabalhar ideias relacionadas à Geometria métrica com o cálculo de áreas e perímetros a partir de unidades preestabelecidas. Tão rica é a variedade de possibilidades permitida pela malha que se torna indispensável uma reflexão crítica sobre quais são os objetivos da atividade que será desenvolvida com os alunos com o uso da malha. Por exemplo, uma atividade de ampliação e redução de figuras com o uso da malha pode ter como objetivo permitir ao aluno aprender a se orientar na malha pela contagem de quadradinhos. Pode também ter objetivos subsequentes relacionados à compreensão do uso que normalmente a mídia faz de recursos de ampliação e redução de imagens para chamar mais ou menos atenção para determinada informação. As atividades propostas a seguir têm em vista o trabalho com esses dois objetivos aqui mencionados. Uma malha quadriculada pode ter apenas uma de suas dimensões alteradas ou as duas (comprimento e largura). A passagem de uma figura de uma malha para outra que teve suas dimensões alteradas representará a ampliação ou a redução da figura se ambas dimensões da malha forem alteradas pelo mesmo fator. Caso apenas uma

seja alterada, ou se as duas forem alteradas, mas não pelo mesmo fator, a transposição da figura de uma malha para a outra implicará algum tipo de deformação. Vejamos os problemas a seguir, que possibilitam a compreensão dessas ideias.

Atividade 1 Desenhe a mesma figura na malha quadriculada, cujos quadradinhos têm lados com o dobro da medida dos quadradinhos da malha original.

Atividade 2 Agora, desenhe a figura correspondente à anterior nas malhas a seguir (a da esquerda teve apenas a largura dobrada, e a da direita apenas o comprimento). Em seguida, compare as figuras com a original e descreva o tipo de distorção que você verificou.

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Respostas: Atividade 1

Atividade 3 Compare as três transformações que você fez da camisa nas atividades anteriores e responda: a) Dois segmentos de reta paralelos em uma delas se mantêm paralelos nas outras? b) Dois segmentos de reta perpendiculares em uma delas se mantêm perpendiculares nas outras?

Atividade 2

c) Na camisa original, para que a manga encoste na lateral da camisa, é 1 de volta de necessário um giro de 8 circunferência. Ocorre o mesmo com as camisas “transformadas”? Paralelismo e perpendicularidade entre segmentos são mantidos em todas as transformações, porém o ângulo de 1 de volta só será 8 mantido no caso em que ambas as dimensões da malha foram dobradas (no caso da atividade 1). No caso em que apenas a dimensão horizontal foi dobrada, o ângulo entre a manga e a lateral da camisa aumentou (a manga se afasta da lateral da camisa), e, no caso em que apenas a dimensão vertical foi dobrada, o ângulo diminuiu (a manga se aproxima da lateral da camisa).

Atividade 4 Quando o comprimento e a largura da malha foram dobrados, a camisa aumentou de tamanho com as proporções mantidas. Nos casos em que dobramos apenas a largura, ou apenas o comprimento, a camisa “estica” verticalmente ou horizontalmente.

Proponha uma malha quadriculada que faça a seguinte transformação no homem indicado na figura: ele deve parecer mais gordo e baixo, sua perna direita deve parecer mais afastada da esquerda e seus braços mais afastados do seu corpo.

A malha tem que ser ampliada horizontalmente. A seguir, apresentamos uma solução.

Atividade 5 Os três gráficos a seguir mostram a informação de que uma empresa vendeu R$ 100 000,00 no ano 2006 e R$ 110 000,00 no ano de 2007. Qual das três representações gráficas você acha que a diretoria da empresa vai utilizar para convencer os acionistas de que a empresa está em franco crescimento? Justifique sua resposta. a) (em R$)

b) (em R$) 110 000

110 000 100 000

100 000 2006

2007 2006 2007

c) (em R$) 110 000 100 000 2006

2007

O crescimento da empresa entre 2006 e 2007 foi de 10 %, informação que pode ser obtida por meio de qualquer um dos três gráficos. Contudo, como para a empresa interessa impressionar seus acionistas sobre esse crescimento, o gráfico indicado no item b deve ser o escolhido, porque trabalha com ampliação vertical da malha, acentuando a aparência do crescimento das vendas. Atividades desse tipo têm seu valor não só pelo trabalho realizado com a compreensão de temas da Matemática, como também pelo alcance na dimensão de construção da cidadania. Um bom leitor da informação deve sempre estar atento às técnicas, que, muitas vezes, são utilizadas para destacar um resultado positivo ou atenuar um resultado negativo. As malhas podem ser usadas também para a construção de mosaicos. Nesse caso, o trabalho pode ser feito em associação com o uso dos instrumentos geométricos, e podem ser discutidas e aprofundadas ideias relacionadas à simetria de reflexão (axial) e de rotação. Exemplificaremos algumas possibilidades de abordagem com o uso da malha de triângulos equiláteros.

Atividade 6 Marque um ponto na malha abaixo e, em seguida, pinte todos os triângulos ao redor desse ponto. Depois disso, responda: Qual é a fração de uma volta completa que corresponde ao ângulo interno do triângulo equilátero?

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Como são necessários seis triângulos equiláteros idênticos em torno do ponto, o ângulo interno de um triângulo tem 1 de giro 6 de uma volta completa. Não há razões formais para se retardar a apresentação do transferidor e a unidade de medida grau para os alunos, a não ser pelo excesso de temas de Geometria que já fazem parte do programa da 5ª- série. Nesta proposta de planejamento, deixamos a discussão do uso do transferidor e da apresentação da unidade de medida grau para a 6ª- série. Por esse motivo, estamos sempre trabalhando com ângulo associado a um giro de uma fração da volta completa. Caso o professor prefira antecipar a discussão sobre ângulos da 6a série para a 5a série, não há problema.

Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente: 4 u, 6 u, 6 u, 8 u, 6 u. As áreas das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, 2 u², 4 u², 4 u², 6 u² e 6 u². Essa atividade permite explorar a ideia de que podemos ter figuras de mesmo perímetro com áreas diferentes e de mesma área com perímetros diferentes. (Observação: dada a importância do trabalho com malhas no estudo de perímetro e área de figuras, é recomendável que ele seja retomado na 6ª- série.)

Atividade 8 Observe o mosaico a seguir e construa o seu. Em seguida, identifique qual seria a “peça básica” utilizada para a construção do seu mosaico.

Atividade 7 Adote o lado do triângulo da malha como unidade de comprimento (1 u) e a área do triângulo da malha como unidade de área (1 u²). Determine o perímetro e a área das figuras a seguir. 1

4 5

Peça básica Resposta pessoal. O professor deve disponibilizar a malha nessa atividade e deverá esclarecer qual é a ideia da “peça básica”, que é uma peça modelo que pode ser utilizada para a construção do mosaico (vale dizer que, nas bordas da malha, às vezes precisamos completar o preenchimento sem o uso da peça básica). Por essa atividade, também pode-se explorar a ideia de simetria. Por exemplo, no mosaico apresentado há simetria de reflexão.

Atividade 9 Construa um mosaico com a “peça básica” indicada a seguir:

mosaico, de elementos que se opõem ou que se complementam (dia e noite, pássaros e peixes, escuro e claro, felicidade e tristeza, etc.). Além do valor estético e artístico das atividades envolvendo construção de mosaicos, os alunos poderão desenvolver a habilidade de identificação e criação de padrões e regularidades.

Resposta:

A proposta dessa atividade valoriza a criatividade dos alunos, bem como desenvolve seu senso estético para a apreciação artística. Muitos desdobramentos podem ser conduzidos com base na construção de mosaicos por meio de uma “peça básica”, dentre eles a apreciação artística da obra do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972), que utilizava essa técnica em muitos dos seus trabalhos. Na indicação bibliográfica, sugerimos endereços eletrônicos com imagens da obra de Escher, que pode ser apreciada e investigada do ponto de vista de sua construção. Consiste em um exercício muito interessante observar uma gravura de Escher e tentar descobrir qual a “peça básica” utilizada nela. Escher também trabalhava muito bem com a fusão de imagens e com o uso, em um mesmo

A construção de mosaicos também pode ser feita em malhas de pontos ou malhas quadriculadas. Nas malhas, também podemos desenhar figuras no plano que simulem a percepção tridimensional, como nos exemplos a seguir.

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da competência de leitura, análise e interpretação de imagens. É importante destacar que as possibilidades de uso das malhas como recursos didáticos não se esgotam nos exemplos que foram apresentados, cabendo ao professor identificar novos caminhos possíveis dentro do seu planejamento de curso. As malhas também podem e devem ser utilizadas na continuidade dos estudos de Geometria na 6ª- série.

Considerações sobre a avaliação A Situação de Aprendizagem 4 apresenta possibilidades de uso das malhas quadriculadas, de pontos e de triângulos para o trabalho com área, perímetro, introdução ao estudo de ângulos, simetria, ampliação e redução de figuras. Além dos temas geométricos tratados diretamente nas atividades, também foi dada atenção ao desenvolvimento

Com relação à avaliação, o professor pode solicitar aos alunos que resolvam, individualmente ou em grupo, problemas geométricos selecionados nas malhas. Além disso, o professor pode propor que construam mosaicos em duas situações distintas: com liberdade total de criação e com regras predefinidas pelo professor. No primeiro caso, o professor valorizará o uso do conhecimento da aula mobilizado pela criatividade artística dos alunos e, no segundo, verificará a competência dos alunos na resolução de problemas. Exemplos de regras que você pode estabelecer para a construção dos mosaicos são: os mosaicos devem ser feitos apenas com quadriláteros; os mosaicos devem ser feitos a partir de uma peça básica que envolva losangos e triângulos equiláteros; os mosaicos devem ter simetria de 1 giro de de volta, etc. 4

ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO Uma vez identificado que os objetivos mínimos não foram atingidos plenamente por algum aluno na Situação de Aprendizagem 1, o professor pode diversificar a abordagem dos temas por meio de novos exercícios ou de novas situações-problema com o uso do material sugerido. Exercícios do livro didático sobre o assunto também podem e devem ser utilizados para sistematizar conhecimentos. Em relação aos conceitos trabalhados na Situação de Aprendizagem 2, o professor pode propor exercícios referentes ao assunto, disponíveis na maioria dos livros didáticos. Além disso, podem-se usar malhas como suporte para o desenho das representações dos sólidos. O trabalho com a manipulação de sólidos já construídos, em que os alunos têm que identificar os elementos e a relação entre os elementos dos objetos (arestas, vértices e faces), também é uma estratégia possível para recuperação.

Para a discussão sobre perímetro e área de figuras (Situação de Aprendizagem 3), bem como para o trabalho com frações, o uso de papel quadriculado pode ser um suporte alternativo. O professor poderá preparar uma lista de exercícios na qual os alunos deverão compor e decompor figuras em uma malha quadriculada para o trabalho com área e perímetro, pedindo-lhes que pintem barras no papel quadriculado para representar as frações e a operação de adição entre elas. Uma alternativa ao trabalho, na Situação de Aprendizagem 4, com malhas na recuperação envolvendo os conceitos de área e perímetro é a utilização do tangram. Atividades com esse material são bem conhecidas e exploradas na maioria dos livros didáticos e podem servir como apoio para fichas de exercícios.

RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA livros BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993. ERNEST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. São Paulo: Tashen, 1991. KAlEFF, Ana Maria et al. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Rio de Janeiro: Editora da Universidade Federal Fluminense, 2005.

KAlEFF, Ana Maria et al. Vendo e entendendo poliedros. Rio de Janeiro: Editora da Universidade Federal Fluminense, 2003. lINDQUIST, Mary Montgomery; SHUlTE, Albert P. Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1996. SOUzA, Eliane Reame et al. A Matemática das sete peças do tangram. São Paulo: Caem, 1997.

Matemática – 5ª- série – Volume 3

Sites CEMPEM. Disponível em: <http://www. cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/cursos/ el654/2001/pedro_e_fabio/El654/geoplano/ geoplano.htm>. Acesso em: 11 mar. 2008. EDUCOM – Pentaminós. Disponível em: <http://web.educom.pt/pr1305/mat_geometri_ pentaminos.htm> e <http://web.educom.pt/ pr1305/mat_pentamino_inicio.htm>. Acesso em: 11 maio 2009. EDUCOM – Tangram. Disponível em: <http://web.educom.pt/pr1305/mat_tangram. htm>. Acesso em: 11 maio 2009. FACU lDADE DE CIÊNCIAS – Escher. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/ icm2001/icm21>. Acesso em: 1°- maio 2009. UFRGS. Disponível em: <http://matematica. p s i c o. u f rg s. b r / a s s e s s o r i a s / m at 5 _ 0 5 1 / atividade_geoplano.pdf>. Acesso em: 11 maio 2009.

UFSC. Disponível em: <http://www.inf.ufsc. br/~edla/projeto/geoplano/software.htm>. Acesso em: 11 maio 2009. UNESP. Disponível em: <http://www.feg.unesp. br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoIvany. pdf>. Acesso em: 11 maio 2009. UNICAMP – Mosaicos. Disponível em: <http://austin.ime.unicamp.br/~samuel/ Extensao/TeiaSaber/PDF/Geometriados MosaicosAgosto2006.pdf>. Acesso em: 1°maio 2009. USP. Disponível em: <http://paje.fe.usp. br/~labmat/edm321/1999/material/_private/ geoplano.htm>. Acesso em: 11 mar. 2009. Como sugestão geral para o professor, válida para todos os Cadernos, indicamos a Revista do Professor de Matemática (coleção completa), editada pela Sociedade Brasileira de Matemática, disponível em: <http://www.rpm.org.br/ novo/home.htm>. Acesso em: 1°- maio 2009.

CONSIDERAçõES FINAIS O 3o bimestre da 5a série dedica esforço ao estudo introdutório de Geometria plana e espacial, privilegiando a descoberta por meio do trabalho experimental investigativo. Os conteúdos trabalhados neste bimestre mantêm

relação direta com os conteúdos do 2o bimestre da 6a série, e indireta com outros bimestres, conforme pode-se verificar na grade de conteúdo de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental apresentada a seguir.

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

4-º bimestre

3-º bimestre

2-º bimestre

1-º bimestre

5a- série

6a- série

7a- série

8a- série NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

NÚMEROS NATURAIS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

NÚMEROS NATURAIS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

NÚMEROS RACIONAIS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

NÚMEROS INTEIROS - Representação. - Operações.

POTENCIAçãO - Propriedades para expoentes inteiros.

NÚMEROS RACIONAIS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - A linguagem das potências.

NÚMEROS DECIMAIS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

GEOMETRIA/MEDIDAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

ÁlGEBRA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

ÁlGEBRA - Equações de 2º- grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1º- e 2º- graus.

NÚMEROS/ PROPORCIONAlIDADE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

ÁlGEBRA/EQUAçõES - Equações de 1º- grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1º- grau - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

GEOMETRIA/MEDIDAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SISTEMAS DE MEDIDAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. GEOMETRIA/MEDIDAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade. TRATAMENTO DA INFORMAçãO - leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

ÁlGEBRA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - Contagem indireta e probabilidade.