MATEMATICA_CP_5s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

5ª- SÉRiE

volume 4 - 2009

matEmática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 5ª- série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-436-0 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Tabelando a informação Situação de Aprendizagem 2 – A linguagem dos gráficos Situação de Aprendizagem 3 – Construção de gráficos

11 19 29

Situação de Aprendizagem 4 – Medidas de tendência central Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 46 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno tratamento da informação

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Leitura e construção de tabelas Leitura e interpretação de gráficos Construção de gráficos Medidas de centralidade: moda, média e mediana

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem, sugerida nos Cadernos correspondentes a cada um dos bimestres. Busca-se evidenciar os princípios norteadores do processo de aprendizagem, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente aquelas relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais referentes à Matemática.

somente o professor, em suas circunstâncias e levando em consideração o próprio interesse e o interesse dos alunos, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Apresentam-se quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que oferecem instrumentos para a atuação do professor em sala de aula. As atividades propostas são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo o interesse do professor e de sua classe. Naturalmente, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada naquelas oferecidas.

O conteúdo está organizado em oito unidades de extensão aproximadamente iguais, que corresponderiam a oito semanas de trabalho letivo. No entanto, tendo em vista o número de aulas disponíveis por semana, os temas serão tratados com mais ou menos aprofundamento, ou seja, o professor escolherá uma escala adequada para cada assunto a ser explorado.

Há indicações, sempre que possível, de materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados para o enriquecimento das aulas.

É desejável contemplar todas as unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma delas contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que

Considerações sobre a avaliação a ser realizada e o conteúdo indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre também fazem parte deste Caderno.

Matemática – 5-a série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre O estudo dos fenômenos científicos e sociais envolve com frequência a coleta de dados, que devem ser organizados da melhor forma possível para transmitirem adequadamente determinadas informações. O eixo do planejamento, que procura desenvolver habilidades associadas à organização, leitura, análise e apresentação desses dados, é denominado de Tratamento da Informação. Esse será o conteúdo principal deste bimestre, a ser desenvolvido com base nos seguintes tópicos: leitura e interpretação de informações estatísticas; coleta; organização; resumo e apresentação de informações; construção e análise de tabelas e gráficos; cálculo e interpretação das principais medidas de centralidade e, por fim, problemas elementares de contagem. Na Situação de Aprendizagem 1 – tabelando a informação, o aluno tomará contato com o desafio de organizar e apresentar dados estatísticos através de tabelas. Além de desenvolver as habilidades de classificar e organizar dados, a Situação de Aprendizagem também abre espaço para a discussão inicial de um importante item do programa de Matemática do Ensino Fundamental: o estudo da porcentagem. Na Situação de Aprendizagem 2 – A linguagem dos gráficos, há uma seleção de gráficos adequados ao desenvolvimento da habilidade de ler as informações. Consideramos em nossa escolha a relevância científica e/ou social dos dados informados, a diversidade da forma

usada para transmitir a informação, a riqueza de possibilidades relacionadas à leitura de elementos em destaque no gráfico e, por fim, a relevância das informações para a exploração da interdisciplinaridade e de temas transversais. Após trabalharmos as habilidades de leitura, interpretação e análise da informação estatística, transmitida por meio de tabelas e gráficos, partimos para a Situação de Aprendizagem 3 – Construção de gráficos, cujo objetivo central será investigar aspectos relacionados à construção dos gráficos de colunas, linhas, setores e outros, além de estudar fatores relevantes, como: escolha do tipo mais adequado de gráfico para informar algo, escolha da escala mais conveniente e seleção de cores e formas mais sugestivas. Nas atividades propostas, o aluno terá mais uma oportunidade de contato com o uso da régua e do compasso, e, nesse caso, o professor poderá retomar o trabalho com ênfase nos procedimentos de utilização desses instrumentos. Na Situação de Aprendizagem 4 – medidas de tendência central, iniciamos uma discussão sobre pesquisa estatística, população e amostra, o que permitirá, entre outras coisas, a retomada do tema “porcentagem”. Na sequência, apresentamos estratégias para o trabalho com as principais medidas de tendência central, que são a moda, a média e a mediana. Mais do que desenvolver a habilidade de calcular essas medidas, interessa-nos que o aluno seja competente para compreender alcances e limites de cada uma delas frente a situações reais.

Quadro geral de conteúdos do 4º- bimestre da 5ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Leitura, interpretação e construção de dados na forma de tabelas. unidade 2 – Cálculo elementar de porcentagem. unidade 3 – Gráficos de colunas e linhas – leitura, interpretação e análise. unidade 4 – Gráficos de setores e outros – leitura, interpretação e análise. unidade 5 – Plano ordenado e escalas. unidade 6 – Construção de gráficos de colunas, linhas, setores e outros. unidade 7 – População, amostra, porcentagem, pesquisa estatística. unidade 8 – Moda, média aritmética simples e ponderada, mediana.

Matemática – 5-a série – Volume 4

SituAçõES dE APREndizAgEm SITuAçãO dE APRENdIzAGEM 1 TABELANdO A INFORMAçãO tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: tabelas simples e de dupla entrada; medidas; proporcionalidade e porcen-

tagem. Competências e habilidades: organização de informações através de critérios de classificação; exploração de diferentes linguagens para apresentar informações, valorizando a leitura atenta e seletiva dos dados disponíveis em uma tabela; análise da informação para compreender um problema e propor uma solução. Estratégias: propor a apresentação de dados em tabelas de formas predefinidas, com o objeti-

vo de valorizar o pensamento lógico durante a busca de critérios de classificação e durante a seleção de atributos daqueles dados; analisar tabelas com dados de relevância social de forma que favoreçam a interdisciplinaridade e a abordagem dos temas transversais; propor perguntas que possibilitem explorar a ideia de porcentagem a partir dos dados de uma tabela ou o enunciado de um problema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Nesta Situação de Aprendizagem, o aluno praticará a habilidade de organizar dados em uma tabela; em seguida, trabalhará com a leitura da informação. Os dados aqui apresentados foram escolhidos por apresentarem relevância social da informação analisada ou alguma vinculação ao contexto de vida do aluno. Sugere-se, a partir das tarefas propostas, o início da discussão sobre porcentagem, que será explorada com outros matizes nas séries subsequentes. Ao lado de números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas, o Tratamento

da Informação também merece destaque nos Parâmetros Curriculares de Matemática do Ensino Fundamental. A relevância desse tema está diretamente associada às demandas sociais pela coleta, representação e análise de dados, o que justifica sua incorporação na presente proposta, uma vez que nos interessa a formação de cidadãos alfabetizados diante das mais diversas formas de informação e linguagem disponíveis. Além disso, o tema facilita a abordagem de conteúdos em contextos de interdisciplinaridade (a Matemática com outras áreas do conhecimento), intradisciplinaridade (relação entre as partes da Matemática) e dos temas transversais

(ética, orientação sexual, meio ambiente, pluralidade cultural, trabalho e consumo). uma habilidade importante que deve ser desenvolvida em um programa que pretenda organizar um planejamento vertical da informação no currículo é a de organizar a informação disponível. Se a proposta inicial for baseada em uma coleta de dados relacionados à própria realidade do aluno, o desenvolvimento dessa habilidade será tão significativo quanto significativas forem as perguntas formuladas pelo professor. Vejamos alguns problemas que podem ser utilizados como mote para o desenvolvimento de habilidades relacionadas à organização de dados em tabelas e leitura de informações.

Depois de ter visto um exemplo, que deverá ser explicado pelo professor, e de realizar as primeiras tentativas de solucionar o problema, esperamos que o aluno resolva com facilidade questões semelhantes. Possíveis respostas para a primeira tabela (exemplo: 1, 2 e 3) e para segunda tabela (exemplo: 4 e 5): Exemplo 1: Meus irmãos e meus primos Número de irmãos

Número de primos

Exemplo 2: Meus irmãos, meus primos e primas Irmãos e primos

Irmãs e primas

Atividade 1 Faça uma lista com os nomes de seus irmãos e de seus primos. Em seguida, use as tabelas a seguir para informar algo em relação aos dados que você listou. Coloque um título para a tabela e, na parte sombreada, um título para a informação apresentada. título da tabela:

título da tabela:

O objetivo principal da atividade é estabelecer contagens tendo por base uma forma específica de organização dos dados disponíveis.

Exemplo 3: Meus irmãos e meus primos mais velhos Irmãos e primos mais velhos que eu

Irmãos e primos da minha idade ou mais novos que eu

Exemplo 4: Meus irmãos e meus primos (por sexo) Descrição

Irmãos

Primos

Meninos

Meninas

Exemplo 5: Meus irmãos e meus primos (por idade e sexo)

Descrição

Irmãos e primos mais velhos que eu

Irmãos e primos da minha idade ou mais novos que eu

Meninos

Meninas

Matemática – 5-a série – Volume 4

Incentive os alunos a elaborar mais de uma tabela, o que os forçará a pensar em novos atributos para organizar a informação. Outra tarefa interessante é comparar tabelas: formule perguntas para favorecer a compreensão de que, dependendo do tipo de tabela, perdemos ou ganhamos informações. A seguir, sugerimos algumas questões adequadas a esse propósito: a) Se alguém quiser descobrir quantos ir-

mãos (meninos) eu tenho, precisará de qual(is) tabela(s)?

Nesse caso, os critérios de classificação para a montagem das tabelas podem ser: contagem simples dos três tipos de objeto; contagem dos objetos que escrevem e daqueles que não escrevem (se algum aluno tiver um lápis com borracha em uma das pontas, pode pensar nessa interseção, o que será bem interessante); classificação dos objetos por padrão de cores, etc. f Quantas portas e janelas há em sua casa?

As tabelas dos exemplos 1 ou 4.

Nesse caso, os critérios de classificação para a montagem das tabelas podem ser: contagem simples das duas estruturas; classificação pela forma das estruturas; quantidade de portas internas (dos quartos, por exemplo) e externas (da cozinha para o quintal, por exemplo).

c) Qual tabela informa a soma dos dados das colunas da tabela do exemplo 5?

f Qual é o time de futebol dos membros diretos da sua família (pai, mãe e irmãos)?

A tabela do exemplo 3.

Nesse caso, os critérios de classificação para a montagem das tabelas podem ser: cruzar a informação dos times com os familiares individualmente; agrupar apenas por times; indicar o número de filhos que torcem pelo mesmo time do pai e o número de filhos que torcem pelo mesmo time da mãe, etc. Com algumas dessas tabelas, é possível discutir com o aluno que a soma dos dados numéricos indicados nem sempre corresponde ao número total de familiares. Por exemplo, se o aluno torce para o São Paulo, tem um irmão palmeirense, uma irmã corinthiana e ambos os pais são corinthianos, sua família é composta (incluindo o aluno) por cinco pessoas, porém, a soma das informações numéricas da tabela a seguir não aponta para esse total:

Da tabela do exemplo 4. b) Qual(is) tabela(s) permite(m) ao leitor

da informação saber quantos irmãos eu tenho no total?

Pedir aos alunos que troquem as tabelas e tentem descobrir, analisando-as, o máximo de informações a respeito dos primos e dos irmãos do colega também pode ser um exercício interessante. Se julgar conveniente, proponha outras opções de perguntas para a coleta de dados, como estas (seja qual for a tarefa escolhida, esteja sempre atento para não propor situações que permitam algum tipo de desconforto, segregação, discriminação ou constrangimento para o aluno ao trabalhar com os dados solicitados): f Qual o número de lápis, borrachas e canetas sobre sua mesa?

membros da minha família direta que torcem pelo mesmo time do meu pai (sem incluir meu pai)

membros da minha família direta que torcem pelo mesmo time da minha mãe (sem incluir minha mãe)

Essa tabela informa corretamente a situação do problema, porém, 2 + 2 = 4 não corresponde ao total de membros da família.

A habilidade de montagem, leitura e compreensão das informações organizadas em tabelas pode ser aprimorada com a investigação de tabelas já montadas. Para isso, é interessante utilizar tabelas publicadas em jornais, revistas, bulas de remédio, embalagens de alimentos, etc. uma atividade bem elaborada pressupõe a seleção cuidadosa de tabelas e formação criteriosa de perguntas desafiadoras. Veja alguns exemplos:

Atividade 2 Faça uma leitura atenta dos dados da tabela abaixo e responda às perguntas. distribuição de água no mundo divisão da água no mundo Água salgada (mares e oceanos) Água doce está dividida em:

Quantidade (em trilhões de toneladas) 1 235 000 41 000

f Congelada nas calotas polares e geleiras

30 750

f Subsolo (de 3 750 m a 750 m)

5 652

f Subsolo (acima de 750 m)

4 424

f Lagos e lagoas

123

f Rios

f umidade do solo

f Atmosfera na forma de vapor-d’água

Fonte: uNIÁGuA (adaptado). disponível em: <http://www.uniagua.org.br>. Acesso em: 16 maio 2009.

a) A quantidade de água salgada do pla-

neta é muito maior que a de água doce. Se toda a quantidade de água doce e de água salgada da Terra fosse mensurada por dois baldes gigantes, quantos baldes com medida equivalente ao de água doce seriam necessários para esvaziar o

de água salgada? (Sua resposta deve ser aproximada.) 1 235 000 ÷ 41 000 ≅ 30. Com base na resposta dada a essa pergunta, sensibilize o aluno para o fato de que a quantidade de água salgada da Terra corresponde a cerca de

Matemática – 5-a série – Volume 4

30 vezes a quantidade de água doce. Mencione os altos custos dos processos de dessalinização da água, o que deve servir como um dos argumentos para estimular o uso racional da água doce no cotidiano. b) Numere as linhas da tabela que apre-

sentam valores numéricos (de cima para baixo). A soma dos dados presentes nas linhas 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 corresponde ao valor indicado em qual linha da tabela? Linha 2. Sugira aos alunos que obtenham a resposta sem fazer contas, analisando o significado de cada informação, e façam os cálculos para conferir. c) As águas do planeta que estão a exa-

tamente 750 m de profundidade do subsolo aparecem listadas em que linha da tabela? Linha 4. Explique aos alunos que ao dizer “entre x e y” não incluímos x e y no intervalo; quando dizemos “de x até y” incluímos x e y no intervalo e ao dizer “acima de x” ou “abaixo de x” não estamos incluindo x no intervalo. d) Como seriam indicados os dados numéri-

cos na tabela se em vez de “trilhões de toneladas” fossem “bilhões de toneladas”? E se fossem “quatrilhões de quilos”? Essa questão se coloca como boa oportunidade de transversalidade dos conteúdos, uma vez que estamos explorando, por meio da análise de dados (Tratamento da Informação), problemas relacionados aos eixos de medidas e de números.

Na primeira linha da tabela estão indicados 1 235 000 trilhões de toneladas de água. Como 1 trilhão corresponde a 1 000 bilhões, se a indicação da tabela fosse em “bilhões de toneladas”, na primeira linha estaria marcado 1 235 000 000. Portanto, os valores de todas as linhas apareceriam multiplicados por 1 000. Por outro lado, se a indicação na tabela fosse em “quatrilhões de quilos”, não haveria modificação alguma nos dados apresentados, porque para converter trilhões em quatrilhões teríamos que dividir os números por 1 000, e para converter toneladas em quilos teríamos que multiplicar por 1 000 (as operações se anulam). A ideia de porcentagem também está diretamente relacionada ao Tratamento da Informação e deve começar a ser explorada na 5-a série do Ensino Fundamental. Até o final do último bimestre, esperamos que o aluno tenha habilidade de calcular: f quanto é “tanto” porcento de um número? f um número corresponde “a quanto” porcento do outro? Explore a ideia de porcentagem através de diagramas, figuras, frações equivalentes e, nesse contexto, o trabalho com dados adaptados e preparados deve constituir a primeira etapa da aprendizagem. Na sequência, é desejável que o aluno aprenda a fazer esses cálculos mentalmente ou com a conta armada, ainda que de forma aproximada, ou com o uso da calculadora, em situações envolvendo dados reais. A tabela que apresentamos anteriormente fornece elementos interessantes para o

trabalho com porcentagem. Apresentamos uma possibilidade de abordagem partindo-se do conteúdo previamente trabalhado com a turma sobre porcentagem associada à relação entre parte e todo indicada por uma fração.

Atividade 3 Faça cálculos com os dados da tabela sobre distribuição de água no mundo para responder às seguintes perguntas. a) Qual a porcentagem de água doce na Terra? Se o aluno compreende que uma fração de denominador 100 corresponde quase diretamente a uma porcentagem, seu objetivo é o 41 000 em uma de transformar a fração 1 276 000 fração equivalente de denominador 100. 41 000 ÷ 12 760 ≅ 3,2 , ou seja, 3,2%. 1 276 000 ÷ 12 760

100

b) A água doce de aproveitamento menos custoso é a dos rios, lagos e lagoas. do total de água doce da Terra, qual a porcentagem que pode ser obtida dessa forma? Utilizando o mesmo raciocínio explorado no item anterior: 135 ÷ 410

≅ 0,3 , ou seja, 0,3%. 41 000 ÷ 410 100 c) do total de água da Terra, qual a porcentagem de água doce correspondente aos rios, lagos e lagoas? Utilizando o mesmo raciocínio explorado no item anterior: 135 ÷ 12 760

≅ 0,01 , ou seja, 0,01%. 1 276 000 ÷ 12 760 100

As porcentagens calculadas devem servir como elementos de análise para o desenvolvimento do senso crítico acerca de um uso mais racional e sustentável da água. Nesse sentido, inúmeros dados sobre a água podem ser explorados pelo professor de Matemática em parceria com o professor de Ciências. disponibilizamos alguns deles nas tabelas a seguir, todos obtidos em 29 de julho de 2009, no site <http://www.uniagua.org.br>. No Caderno do Aluno é apresentada uma sugestão de atividade com os dados apresentados nas duas tabelas a seguir.

Países com menos água per capita Kuait

10 m3

Emirados Árabes unidos

58 m3

Faixa de Gaza – território palestino

66 m3

Bahamas

94 m3

Qatar

103 m3

Maldivas

113 m3

Líbia

118 m3

Arábia Saudita

129 m3

Malta

149 m3

Cingapura

179 m3

Países com mais água per capita Guiana Francesa

812 121 m³

Islândia

609 319 m³

Guiana

316 689 m³

Suriname

292 566 m³

Congo

275 679 m³

Matemática – 5-a série – Volume 4

Papua-Nova Guiné

166 563 m³

Gabão

133 333 m³

Ilhas Salomão

100 000 m³

Canadá

94 353 m³

Nova zelândia

86 554 m³

Evolução do uso da água no mundo Ano

habitantes

uso da água m3 / hab. / ano

1940

2,3 . 109

400

1990

5,3 . 109

800

Consumo médio de água no mundo / faixa de renda grupo de renda

utilização anual m3 / habitantes

Baixa

386

Média

453

Alta

1 167

distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no brasil (em % do total do país) Região

Recursos hídricos

Superfície

População

Norte

68,50

45,30

6,98

Centro-Oeste

15,70

18,80

6,41

Sul

6,50

6,80

15,05

Sudeste

6,00

10,80

42,65

Nordeste

3,30

18,30

28,91

total

100,00

Até aqui, o cálculo de porcentagem esteve focado na relação entre parte e todo, para resolver problemas do tipo “um número corresponde a quanto por cento do outro?”. Para que o aluno seja capaz de calcular “quanto é tanto por cento de um número”, apresentamos no Caderno do Aluno atividades utilizando essas tabelas. Com a mesma finalidade também sugerimos a atividade a seguir.

Atividade 4 disponibilidade de água por habitante / região (1 000 m3) América América Europa latina do norte

Ano

áfrica

ásia

1950

20,6

9,6

105,0

5,9

37,2

178,3

1960

16,5

7,9

80,2

5,4

30,2

140,2

1970

12,7

6,1

61,7

4,9

25,2

110,6

total

1980

9,4

5,1

48,8

4,4

21,3

89,0

2000

5,1

3,3

28,3

4,1

17,5

58,3

O Brasil produz 241 614 toneladas de lixo por dia, das quais 76% são depositadas a céu aberto em lixões; 13%, em aterros controlados; 10%, em usinas; e 1% é incinerado. do total de lixo produzido por dia no Brasil, 53% correspondem a restos de comida. Pergunta-se: a) Quantas toneladas de lixo são depositadas por dia a céu aberto no Brasil? Na 5-a série, o tipo de cálculo solicitado nessa atividade normalmente é feito por decomposição. Assim sendo, o aluno faria a seguinte

conta: se 241 614 toneladas correspondem a 100%, então 1% corresponderá a 2 416,14 toneladas. Como queremos 76%, a resposta do problema será o resultado da conta 76 . 2 416,14, isto é, 183 626,64 toneladas, que podem ser aproximadas para 183 627 tonea o aluno ladas. Nas séries seguintes (6-a e 7-), deve calcular porcentagem usando números com vírgula, ou seja, obtemos 76% de 241 614 multiplicando o número por 0,76, mas, em uma 5-a série, entendemos ainda ser precipitada essa abordagem (é claro que nada impede que o professor faça esse tipo de cálculo, se julgar sua turma apta a compreendê-lo). b) Quantas toneladas de lixo produzidas por dia no Brasil não correspondem a restos de comida? Esse problema trabalha com a ideia de complementaridade relacionada à porcentagem. O enunciado fornece a porcentagem de restos de comida no total de lixo (53%), quando o que nos interessa é a porcentagem de lixo daquilo que não corresponde aos restos de comida, ou seja, (100 – 53)%. Fazendo os cálculos por decomposição, temos: se 241 614 toneladas correspondem a 100%, então 1% corresponderá a 2 416,14 toneladas e 47% corresponderão a 47 . 2 416,14 toneladas, ou seja, aproximadamente 113 559 toneladas. c) Quantas toneladas de lixo são processadas por ano em aterros controlados no Brasil? 13% de 241 614 toneladas correspondem a 31 409,82 toneladas por dia (cálculo feito

por decomposição, como nos itens anteriores). Em 365 dias de um ano teremos 365 . 31 409,82 toneladas, isto é, aproximadamente 11 464 584 toneladas.

Considerações sobre a avaliação Proponha uma série de exercícios em que o aluno seja convidado a buscar uma forma conveniente de seleção de atributos para organizar informações em uma tabela predefinida. Esse tipo de atividade pode ser desenvolvido em classe na forma de exercícios e cobrado em avaliações individuais. Na sequência, proponha a coleta e o tratamento da informação em tabelas de forma livre para verificar a capacidade de reprodução daquilo que foi praticado nas tabelas de formato definido. Obter informações e responder a perguntas sobre dados apresentados nessa forma de classificação (tabela) também são competências exigidas e devem ser avaliadas mediante exercícios propostos a partir da análise dessas tabelas. Na medida do possível, explore um trabalho transdisciplinar com os eixos de números e de medidas e trabalhe, paralelamente, o cálculo com porcentagem. Além de provas individuais sobre o assunto, proponha trabalhos nos quais a turma tenha de pesquisar dados, organizar a informação e analisá-la com o objetivo de responder a perguntas. Esses trabalhos podem ser feitos em grupo, porém, é importante estabelecer etapas intermediárias para avaliar o andamento da tarefa e sugerir correções de rumos ou ajustes nas análises.

Matemática – 5-a série – Volume 4

SITuAçãO dE APRENdIzAGEM 2 A LINGuAGEM dOS GRÁFICOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: gráficos de colunas, linhas, setores e outros; porcentagem; medidas. Competências e habilidades: ler, interpretar e analisar a informação transmitida através de um

gráfico; selecionar informação relevante, transmitida através de gráficos, para a resolução de problemas; avaliar de forma crítica a informação transmitida por um gráfico, do ponto de vista de suas limitações e alcances. Estratégias: analisar alguns gráficos selecionados através de perguntas bem formuladas que

favoreçam o desenvolvimento da competência leitora; propor situações nas quais o aluno precise de informações obtidas em um gráfico para resolver determinado problema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Além da organização dos dados em forma de tabelas, como foi investigado na Situação de Aprendizagem anterior, podemos apresentar informações por meio de gráficos. Esta Situação de Aprendizagem oferece estratégias ao desenvolvimento da competência leitora de gráficos. A leitura da informação apresentada na forma de gráfico envolve inúmeras habilidades que devem ser trabalhadas pela análise de diversos tipos de gráficos. Algumas das habilidades a serem aprimoradas ao longo desse processo são: 1. Identificação da(s) informação(ões) apresentada(s): por meio de uma leitura atenta do título do gráfico e dos títulos associados às informações presentes.

2. Identificação de escalas e/ou unidades de medida: essa informação pode ser dada no título do gráfico, nos eixos (quando o gráfico for de colunas ou linhas), em legendas, etc., e o bom leitor de um gráfico deve estar habilitado a localizá-la e compreendê-la. 3. Identificação das categorias utilizadas para cruzar informações: muitos gráficos apresentam informações agrupadas por atributos, como sexo, idade, nível de renda, nível de escolaridade, etc. O leitor de um gráfico deve ser capaz de identificar esse(s) atributo(s) para analisar com critério a informação apresentada. 4. Compreensão da linguagem pictórica utilizada no gráfico: desenhos, cores e ilustrações são muitas vezes usados como elementos constituintes da informação transmitida, e o leitor competente deve ser capaz de identificar e compreender esses elementos.

f aspecto lúdico ou curioso da informação transmitida; f relevância social da informação transmitida; f possibilidades didáticas para o aprimoramento das cinco habilidades anteriormente descritas. A seguir, analisaremos algumas possíveis abordagens da leitura de gráficos, sinalizando sempre a habilidade que pretendemos desenvolver.

Observe atentamente o gráfico a seguir e responda às questões: brasileiros que já foram ao dentista (em milhões) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

Nunca consultou

idade ignorada

65 anos ou mais

50 a 64 anos

40 a 49 anos

20 a 39 anos

Consultou

5 a 19 anos

A leitura de inúmeros gráficos diferentes permitirá ao aluno, gradativamente, compreender a forma como a informação é transmitida através dessa linguagem. A escolha dos gráficos mais adequados para esse trabalho deve ser pautada por um, ou mais, dos seguintes critérios:

Atividade 1

0 a 4 anos

5. Avaliar de forma crítica o tipo de gráfico utilizado, a escolha da escala adotada, a consistência matemática acerca da informação transmitida e fazer extrapolações a partir das informações disponíveis: essa habilidade envolve uma leitura mais refinada da informação gráfica e deverá ser desenvolvida ao longo de todo o Ensino Fundamental.

Fonte: IBGE. PNAd, 1998. disponível em: <http://www. ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/trabalhoerendimento/ pnad98/saude/analise.shtm>. Acesso em: 23 jul. 2009.

a) Qual é a principal informação transmitida por esse gráfico? A leitura do título do gráfico e a identificação das barras (azul e marrom) permitem a conclusão de que ele informa sobre os brasileiros que já foram e sobre aqueles que nunca foram ao dentista. → Esse item trabalha com a habilidade 1.

gráficos de colunas (ou barras)

b) Qual é a informação indicada na linha horizontal? E na vertical?

usualmente, os gráficos de colunas (ou barras) representam a frequência absoluta dos dados em relação à sua classe. Analisaremos, a seguir, um gráfico cuja relevância social da informação transmitida pode ser aproveitada pelo professor para a discussão de temas transversais ao currículo.

Explorando a informação do eixo horizontal, identifica-se a categoria utilizada no agrupamento das pessoas, que é a faixa etária: 0 a 4 anos, 5 a 19 anos, 20 a 39 anos, etc. No eixo vertical, a informação diz respeito ao número de brasileiros, em milhões. É importante explorar essa informação a partir da unidade

Matemática – 5-a série – Volume 4

informada no título do gráfico, de tal forma que o aluno compreenda, por exemplo, que cerca de 15 milhões de brasileiros (e não 15 brasileiros) na faixa de 50 a 64 anos consultaram o dentista até o ano de 1998. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 2. c) Por que a informação é apresentada por meio de barras duplas (azul e marrom)? Como se deseja informar o número de brasileiros que consultaram e que não consultaram o dentista, foram reservadas duas barras para retratar essa informação (a azul para “nunca consultou” e a marrom para “consultou”). → Esse item trabalha com a habilidade 1. d) Identifique sua idade nos intervalos do gráfico e responda quantos brasileiros nessa faixa de idade (aproximadamente) consultaram o dentista até o ano de 1998. Essa resposta pessoal depende da idade do aluno. Pensando em um aluno de 11 anos, a resposta seria cerca de 37 milhões de brasileiros. É importante destacar que o aluno deverá ser instrumentalizado para compreender que o intervalo no eixo vertical é marcado de 5 em 5 milhões, o que permite identificar o valor aproximado de 37 milhões de pessoas da faixa etária referida que consultaram um dentista até o ano de 1998. → Esse item trabalha com a habilidade 5. e) Em que faixa de idade o número de pessoas que nunca consultaram o dentista é maior que o número de pessoas que já consultaram o dentista? Na faixa de 0 a 4 anos de idade. Pergunte para os alunos quais são suas hipóteses

sobre essa informação. É possível que a maioria responda que nessa faixa de idade a criança ainda não tem “dor de dente”, o que pode ser o mote para a discussão sobre consultas preventivas ao dentista. → Esse item trabalha com a habilidade 5. f) Por que não foram colocadas barras na coluna referente à “idade ignorada”? Provavelmente, os alunos responderão que nenhum entrevistado desconhecia sua idade, mas é bem possível que tenham sido registradas informações provenientes de pessoas que desconhecessem a própria idade. Nesse caso, o que justificaria a ausência de barras é o fato de que o total de registros deve ter sido muito pequeno para ser apresentado em uma barra perceptível no gráfico. → Esse item trabalha com as habilidades 2, 3 e 5. g) Qual é a sua hipótese para o fato de a maior barra marrom estar na coluna “20 a 39 anos”? Adultos nessa faixa de idade possivelmente estarão mais sujeitos aos problemas dentários, por não terem feito consultas preventivas anteriormente, por práticas de higiene bucal inadequada ou ainda pelo consumo excessivo de alimentos que favorecem problemas dentários. → Esse item trabalha com a habilidade 5. h) Analisando o gráfico atentamente, é possível dizer quantos são, aproximadamente, os brasileiros na faixa de 0 a 4 anos de idade? Como é possível fazer essa estimativa, e qual é essa estimativa? Admitindo-se que a pesquisa tenha sido feita com todos os brasileiros, a soma dos brasileiros que consultaram o dentista com os

Alguns gráficos de barras podem ser de leitura mais complexa, o que exigirá do aluno outros recursos além da leitura simples e direta dos dados. Veremos a seguir um gráfico de barras interessante para explorar a ideia de porcentagem.

que não consultaram, por faixa etária, dará o total de brasileiros nessa faixa de idade. No caso da faixa solicitada, são cerca de 15 milhões de brasileiros (a soma dos valores correspondentes às duas barras). → Esse item trabalha com a habilidade 5.

Atividade 2 Observe atentamente o gráfico a seguir e responda às perguntas. Concentração do trabalho infantil de 1995 a 1999 (5 a 15 anos) 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% Centro-Oeste

1995 6,16%

1997

1998

1999

6,18%

6,12%

6,02%

4,53%

5,12%

5,60%

5,98%

Nordeste

45,41%

45,94%

50,50%

50,76%

Sudeste

26,84%

26,48%

22,91%

22,28%

Sul

16,98%

16,22%

14,80%

14,89%

Norte

Fonte: IBGE. Critério MTE: 15 horas trabalhadas na semana. disponível em: <http://www.mte.gov.br/delegacias/ms/ms_prog_gectipa.asp>. Acesso em: 24 jul. 2009.

a) Qual é a informação central transmitida pelo gráfico? É provável que o aluno tenha dificuldade para compreender corretamente as informações transmitidas por esse gráfico, porém, vale a pena trabalhar com ele pela riqueza de dados que fornece para análise. A dificuldade não deve ser tomada como

um empecilho à atividade; a orientação gradativa é necessária para que o gráfico seja explorado de maneira satisfatória. A interpretação correta apontará o fato de que dentre os jovens brasileiros de 5 até 15 anos foram selecionados apenas aqueles que trabalham, ou seja, está relacionado ao trabalho infantil durante os anos

Matemática – 5-a série – Volume 4

de 1995, 1997, 1998 e 1999. A região do Brasil onde vivem esses jovens também trata de informação relevante às diferentes análises permitidas pelo gráfico (N, NE, S, SE, CO). → Esse item trabalha com a habilidade 1. b) Quantas e quais são as categorias utilizadas para o agrupamento da informação transmitida pelo gráfico? Os dados estão agrupados por regiões do Brasil e são apresentados ao longo dos anos de 1995, 1997, 1998 e 1999. → Esse item trabalha com a habilidade 3. c) Qual é o significado da tabela apresentada abaixo do gráfico? A tabela indica os dados utilizados para a construção das colunas. Observando a primeira coluna, notamos que a soma totaliza aproximadamente 100%, já que esse total corresponde a todos os jovens brasileiros na faixa de 5 a 15 anos que trabalham (na primeira coluna, os dados correspondem ao ano de 1995). É possível discutir as razões pelas quais a soma não dá exatamente 100%, o que tem a ver com as aproximações usadas nas casas decimais de cada valor porcentual. → Este item trabalha com as habilidades 1 e 2. d) Qual é o significado da informação no eixo vertical? A informação do eixo vertical corresponde à informação tabelada. Por exemplo, em 1995, a altura das barras preta, vermelha, amarela, verde e roxa, respectivamente, são 6,16%, 4,53%, 45,41%, 26,84% e 16,98%. Se pudéssemos empilhar todas as

colunas em apenas uma, esta totalizaria cerca de 100% no eixo vertical. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 2. e) No período analisado, do total de jovens brasileiros de 5 a 15 anos que trabalham, a maior parte está concentrada em duas regiões do Brasil. Quais são essas regiões? Regiões Nordeste, em primeiro lugar, e Sudeste, em segundo. É importante que o aluno compreenda que não podemos afirmar através do gráfico que a região Nordeste apresenta maior proporção de jovens de 5 a 15 anos que trabalham em relação aos que não trabalham. A única coisa que podemos afirmar é que do total de jovens brasileiros de 5 a 15 anos que trabalham, a maioria está na região Nordeste. Um exemplo numérico simples pode ser muito esclarecedor sobre essa questão, como veremos a seguir. Imagine que existam 100 jovens brasileiros de 5 a 15 anos que trabalham, distribuídos da seguinte forma: N: 5; S: 10; NE: 45; SE: 35; CO: 5 Agora, imagine todos os jovens brasileiros de 5 a 15 anos que não trabalham, distribuídos por regiões da seguinte forma: N: 3; S: 15; NE: 45; SE: 30; CO: 7 A primeira tabela nos diz que 45% dos jovens brasileiros que trabalham estão no NE. Porém, se analisarmos o total de jovens (que trabalham e que não trabalham) por região do Brasil, o NE tem 50% deles trabalhando (45 em 90), e o N tem 62,5% nessa mesma condição (5 sobre 8), o que indica uma porcentagem maior de trabalho infantil nessa região.

(Atenção, professor, todos os dados utilizados nesse exemplo são meramente ilustrativos, sem vínculo efetivo com a realidade.) → Esse item trabalha com a habilidade 5.

veremos alguns exemplos de atividades com pictogramas.

f) O fato de as barras vermelhas, correspondentes à região Norte, serem menores significa que a maioria das crianças e jovens de 5 a 15 anos dessa região não trabalha? Justifique sua resposta.

Observe atentamente a imagem a seguir e responda às perguntas.

g) Em 1998, cerca de 15% dos jovens brasileiros de 5 a 15 anos que trabalhavam estavam na região Sul. A partir dessa informação, podemos afirmar que 85% dos jovens dessa faixa de idade da região Sul do Brasil não trabalham? Não. A única coisa que podemos afirmar é que dos jovens brasileiros de 5 a 15 anos que trabalham, 85% estão nas demais regiões do Brasil. A região Sul possui 15% do total. → Esse item trabalha com a habilidade 5.

Pictogramas, outra forma de representar a informação Chamaremos de pictograma um gráfico ou desenho figurativo utilizado para transmitir determinada informação. Jornais e revistas utilizam muito esse tipo de linguagem e, portanto, devem fazer parte da alfabetização gráfica do estudante, para reconhecer a informação apresentada dessa forma. Na sequência,

trabalho infantil no brasil (crianças de 5 a 17 anos)

norte 258 mil

nordeste 2,332 milhões © Conexão Editorial

Essa afirmação não pode ser feita através dos dados apresentados no gráfico, insuficientes para esse tipo de análise. No item anterior, o exemplo dado ilustra uma situação que contradiz essa afirmação. → Esse item trabalha com a habilidade 5.

Atividade 3

Centro-oeste 363 mil Sudeste 1,583 milhão total de crianças envolvidas em trabalho infantil no brasil: 5,457 milhões

Sul 921 mil

Fonte: IBGE / PNAd, 2001. disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/ populacao/condicaodevida/trabalho_infantil/trabinf2001. pdf>. Acesso em: 3 ago. 2009.

a) Qual é a informação central transmitida por essa imagem? A imagem informa a distribuição de crianças de 5 a 17 anos, envolvidas em trabalho infantil no Brasil, por regiões do país. → Esse item trabalha com a habilidade 1. b) Como as cores foram utilizadas na composição da imagem? As tonalidades de verde mais claras foram usadas para as regiões com menor número de crianças envolvidas em trabalho infantil. Conforme o tom de verde escurece, passa

Matemática – 5-a série – Volume 4

a indicar regiões com número maior de crianças envolvidas em trabalho infantil. → Esse item trabalha com a habilidade 4. c) Em relação ao Brasil, qual é a porcentagem de crianças envolvidas em trabalho infantil que vive na região Sudeste? Conforme trabalhamos porcentagem na atividade anterior, para saber quanto 1,583 milhão corresponde porcentualmente do total de 5,457 milhões, podemos trabalhar com a fração 1 583 000 1 583 000 ÷ 54 570 29,0 = 29,0% ≅ = 5 457 000 5 457 000 ÷ 54 570 100

→ Esse item trabalha com a habilidade 5.

Atividade 4 Observe atentamente a figura a seguir e responda às perguntas. gráfico – Censo 2005 do mEC

pós-graduação 122,295 mil Ensino graduação 4,45 milhões Superior 9,03 milhões Ensino alunos Médio

alunos

33,53 milhões Ensino Fundamental

alunos 7,20 milhões Educação Infantil Fonte: MEC/INEP. Censo Escolar. disponível em: <http:// www.inep.gov.br/basica/censo/Escolar/Sinopse/sinopse.asp>. Acesso em: 14 maio 2009. Sinopses Estatísticas da Educação Superior - Graduação. disponível em: <http://www.inep.gov.br/superior/ censosuperior/sinopse>. Acesso em: 14 maio 2009. Pós-Graduação. disponível em: <http://www.capes.gov.br/ servicos/sala-de-imprensa/36-noticias/1169>. Acesso em: 14 maio 2009.

a) Qual é a informação central transmitida pelo gráfico? Total de estudantes do Brasil em 2005, distribuídos pelo nível escolar em que estão matriculados. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 3.

b) As informações numéricas desse gráfico foram transmitidas por meio de polígonos. Como foram construídos esses polígonos para manter a proporcionalidade entre eles e os dados que representam? É provável que os dados representados sejam proporcionais às áreas dos polígonos correspondentes. → Esse item trabalha com a habilidade 2. c) Quantos estudantes estavam no nível superior em 2005? (Nível superior inclui estudantes na graduação e na pós-graduação.) Essa pergunta é importante porque o aluno terá que compreender corretamente o significado dos números indicados com vírgula. É possível que muitos façam, equivocadamente, a soma 122,295 + 4,45 = 126,745 e, nesse caso, alerte que o primeiro número indica 122 mil e 295 alunos, e o segundo número, 4 milhões e 450 mil alunos. Antes desse esclarecimento, problematize o erro da seguinte forma: → no item anterior, deve haver proporcionalidade entre a área dos polígonos e o total de estudantes que eles representam. Verifique se sua resposta 126,745 está coerente comparando a área do polígono que ela representa com a área dos demais polígonos. Provavelmente, o aluno perceberá que a área correspondente ao Ensino Superior é menor do que a correspondente ao Ensino Fundamental, porém, 126,745 é maior do que 33,53, o que seria incoerente em relação à resposta dada no item. A resposta correta seria: 4,45 milhões + 122,295 mil = = 4 450 000 + 122 295 = 4 572 295 ≅ 4,57 milhões. → Esse item trabalha com as habilidades 1, 2 e 5.

d) A área do polígono que representa os

Resposta: 2 vezes, porque 9,03 ÷ 4,57 ≅ 2.

estudantes no Ensino Médio é igual a

→ Esse item trabalha com as habilidades 2 e 5.

quantas vezes, aproximadamente, a área

gráfico de linhas (ou segmentos) – quando o tempo entra em jogo

do polígono que representa os estudantes no Ensino Superior? Dada nossa hipótese do item b, podemos comparar as áreas pela relação entre os dados numéricos que elas representam.

Normalmente, usamos os gráficos de linhas (ou segmentos) para representar uma grandeza, no eixo vertical, em função do tempo. No eixo horizontal, porém, também podem ser utilizadas outras categorias.

Atividade 5 Leia atentamente o gráfico e responda às perguntas. Expectativa de vida (em anos) 80 75

Países mais desenvolvidos

América Latina Brasil Mundo Países menos desenvolvidos

65 60 55 50 45 40

1950-1955 1960-1965 1970-1975 1980-1985 1990-1995 1955-1960 1965-1970 1975-1980 1985-1990 1995-2000

Gráfico produzido por Roberto Belisário. Fonte: Organização das Nações unidas. World Population Prospects: The 2000 Revision and World Urbanization Prospects: The 2001 Revision. disponível em: <http://www.comciencia.br/reportagens/envelhecimento/texto/env16.htm>. Acesso em: 24 jul. 2009.

a) Qual é a informação principal que o gráfico transmite? O gráfico mostra a evolução da expectativa de vida, em anos, da população mundial ao longo do período de 1950 a 2000. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 3. b) Cada tracejado vertical do gráfico representa um período de quantos anos? Período de 5 anos. → Esse item trabalha com a habilidade 2.

c) Ao longo dos anos descritos, a expectativa de vida do brasileiro, comparada à dos demais latino-americanos, melhorou ou piorou? Piorou. Isso pode ser constatado pelo fato de a linha da América Latina ter se afastado para cima em relação à linha correspondente ao Brasil. → Esse item trabalha com a habilidade 5.

Matemática – 5-a série – Volume 4

d) As cinco linhas apresentadas no gráfico nunca se cruzaram no período que vai de 1950 até 2000. Explique o significado dessa ocorrência.

a) Qual é o maior valor de unidade de energia

Em todo o período analisado, a ordem de classificação dos cinco blocos de países (ou país) sempre se manteve a mesma, não havendo trocas de posições. → Esse item trabalha com a habilidade 5.

um fenômeno físico-químico associado ao des-

e) dos cinco blocos de países, quantos haviam atingido a expectativa de vida de 60 anos no período de 1980 a 1985?

2 e 5.

Todos, exceto o bloco dos países menos desenvolvidos. Nesse exercício, oriente-os a posicionar uma régua perpendicularmente à marcação 1980-1985. → Esse item trabalha com a habilidade 5.

Atividade 6

unidades de energia

utilidade de um gráfico para a compreensão de gaste das baterias com o passar do tempo. A unidade de energia máxima da bateria, indicada pelo gráfico no instante zero, é igual a 5,2. → Esse item trabalha com as habilidades 1,

b) depois de quanto tempo de uso contínuo, aproximadamente, a bateria analisada apresentará 4,2 unidades de energia? Em 190 minutos, ou seja, 3 horas e 10 minutos (o gráfico não permite uma leitura precisa da informação, portanto, pequenos desvios em relação a essa resposta são per→ Esse item trabalha com as habilidades 2 e 5. c) Quanto tempo se passa, aproximadamente, para que a bateria passe de 4,8 para 4,6 unidades de energia? Nos interessa o intervalo de tempo entre os pontos B e C do gráfico, o que corresponde aproxi-

madamente a 112,5 minutos (125 + 12,5 − 25),

Curva de descarga de uma bateria

ou seja, 1 hora, 52 minutos e 30 segundos. Essa atividade será uma boa oportunidade para dis-

5,2

Esse problema é relevante porque sinaliza a

feitamente aceitos).

Você deve saber: uma bateria é capaz de gerar energia elétrica, a partir da energia química nela armazenada. Se uma bateria estiver em uso, a energia gerada por ela decai com o passar do tempo, conforme mostra o gráfico que você deverá analisar a seguir.

5,4

que a bateria analisada pode armazenar?

cutir com os alunos os sistemas decimal e sexa-

5,0

gesimal de medida do tempo.

4,8

→ Esse item trabalha com as habilidades 2 e 5.

4,6 4,4

4,2 0

75 100 125 150 tempo (em minutos)

175

200

d) Há maior queda de energia da bateria nos primeiros 25 minutos de uso ou nos 25 minutos seguintes? Justifique sua resposta.

Nos primeiros 25 minutos a queda é de 0,4 (passa de 5,2 para 4,8), e nos 25 minutos seguintes a queda é de, aproximadamente, 0,1 (passa de 4,8 para 4,7). → Esse item trabalha com as habilidades 2 e 5.

gráfico de setor, quando interessam a parte e o todo No gráfico de setores representamos valores, geralmente porcentagens, por partes de um círculo, partes de uma coroa circular ou partes de um cilindro. O trabalho com gráfico de setores pode ser iniciado na 5a série, porém, o conhecimento ainda restrito sobre ângulos condicionará a retomada do assunto na 6a série, em maiores detalhes. As atividades com gráficos de setores propostas a seguir têm como objetivo apresentar o assunto de forma significativa, porém, ainda sem os cálculos do ângulo central correspondente a cada setor.

Atividade 7 Observe atentamente os dois gráficos a seguir e responda às perguntas propostas. matrículas de alunos portadores de necessidades especiais (por região: brasil – 2005) 14%

24%

Norte

49%

Nordeste

Sudeste

Sul

Centro-Oeste

disponível em: <http://www.inep.gov.br/informativo/2007/ed_154. htm>. Acesso em: 29 jul. 2009.

matrículas de alunos portadores de necessidades especiais (por tipo de deficiência: brasil – 2005) 5%

2% 23%

38% 32%

Auditiva

Visual

Física

Múltipla

Mental

disponível em: <http://www.inep.gov.br/informativo/2007/ed_154. htm>. Acesso em: 29 jul. 2009.

a) dos alunos portadores de necessidades especiais matriculados no Brasil em 2005, qual a porcentagem dos que pertenciam às regiões Norte ou Nordeste? 9% + 4% = 13%. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 2. b) Qual é o tipo de deficiência mais frequente entre os alunos portadores de necessidades especiais matriculados no Brasil em 2005? Física, com 38%. → Esse item trabalha com as habilidades 1 e 2. c) O setor referente apenas aos portadores de deficiência mental e deficiência auditiva corresponde a que parte de uma volta completa? 1 2% + 23% = 25%, o que corresponde a 4 de volta. Caso o professor já tenha trabalhado a medida de ângulos em grau, poderá dizer que a resposta do exercício é um ângulo reto, ou seja, um ângulo de medida 90o. → Esse item trabalha com as habilidades 1, 2 e 5.

Matemática – 5-a série – Volume 4

d) Admitindo-se que as proporções dos tipos de deficiência indicados no segundo gráfico sejam mantidas para todas as regiões do Brasil, qual é a porcentagem do total de portadores de necessidades especiais do país que possuem deficiência múltipla e pertencem à região Sudeste? Queremos calcular 5% de 49%, o que pode ser feito por decomposição, da seguinte maneira: 1% de 49% corresponde a 0,49% 5% de 49% corresponde a 5 . 0,49% = 2,45%. → Esse item trabalha com as habilidades 1, 2 e 5.

Considerações sobre a avaliação Os conteúdos e habilidades a serem avaliados após o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem 2 são: habilidade de extrair informações do título, dos eixos e da legenda

de um gráfico e habilidade de identificar e compreender informações numéricas absolutas e relativas (porcentagens) apresentadas em um gráfico. A avaliação pode ser feita por meio de provas, nas quais haverá interpretação e análise de gráficos selecionados e/ou por meio de trabalhos com gráficos extraídos de jornais e revistas: o próprio aluno selecionará esses gráficos, formulará e responderá a perguntas com base nas informações presentes. A compreensão do conceito de porcentagem e seu uso em situações simples também devem ser avaliados. Nesse sentido, procure, sempre que possível, formular perguntas, a partir de um gráfico, nas quais o aluno tenha que interpretar indicações de porcentagem ou fazer cálculos porcentuais utilizando dados. Havendo alunos com dificuldade nesse tipo de cálculo, recomendamos listas de exercícios específicos sobre o assunto.

SITuAçãO dE APRENdIzAGEM 3 CONSTRuçãO dE GRÁFICOS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: construção de gráficos de barras, linhas, setores, dispersão; escalas e medi-

das; uso de régua. Competências e habilidades: expressar informações quantitativas por meio da linguagem gráfica

procurando escolher o tipo mais adequado de gráfico para expressar determinada informação ou para representar determinado problema. Estratégias: apresentar tabelas com conjuntos de dados e solicitar que o aluno construa gráfi-

cos que expressem determinada relação; fazer pesquisa em classe com os alunos para que eles elaborem tabelas e, em seguida, construam gráficos; formular perguntas que problematizem aspectos relacionados à escolha adequada de escala, à escolha adequada do tipo de gráfico, à escolha de cores, etc.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 A boa representação de um conjunto de dados por meio da linguagem gráfica pressupõe a escolha do tipo de gráfico mais conveniente àquilo que desejamos expressar, a determinação da escala mais apropriada e um tratamento adequado de cores, iconografia e legendas. Na Situação de Aprendizagem 3, indicaremos

Partindo de uma tabela contendo dados sobre determinado grupo de alunos, podemos investigar as informações indicadas e discutir com a classe qual seria o tipo de gráfico mais adequado para representá-las. A tabela a seguir serve como modelo a esse estudo.

Idade

Altura (em m)

Número de irmãos

Número de livros consultados na biblioteca em 2008

Time de futebol

Time de futebol do pai

Conceito na primeira prova de Matemática

Ana

1,54

Corinthians

Bruno

1,56

São Paulo

Corinthians

Carla

1,55

Corinthians

Diego

1,60

Palmeiras

Fábio

1,62

São Paulo

Helena

1,60

Corinthians

João

1,63

Corinthians

Santos

Júlio

1,66

Santos

Laura

1,58

São Paulo

Maria

1,52

Flamengo

Corinthians

Rita

1,60

Palmeiras

São Paulo

Nome

Os dados da tabela podem ser obtidos em sala de aula, a partir de uma pesquisa com os alunos, ou disponibilizados previamente. No primeiro caso, a vantagem é a contextualização da informação, o que possibilita uma discussão posterior acerca do perfil de cada estudante. No segundo

possibilidades para um trabalho de classe focado no desenvolvimento das habilidades necessárias à construção de um bom gráfico.

Não fez

caso, a vantagem é a chance de preparar os dados tendo em vista contemplar aspectos importantes a serem discutidos como, a escolha de uma boa escala, o agrupamento da informação em intervalos, a interpretação de determinadas informações por meio dos gráficos, etc.

f um gráfico que apresenta adequadamente a informação desejada é o de barras (ou colunas); f no eixo vertical, colocaremos a indicação das idades, escolhendo uma escala que permita representar todos os dados no espaço disponível no papel milimetrado, do qual dispomos, para a construção do gráfico; f no eixo horizontal, colocaremos o nome dos alunos.

idade dos alunos da classe

Alunos da classe

Ana Bruno Carla diego Fábio Helena João Júlio Laura Maria Rita 2

6 8 10 12 Idade (em anos)

idade dos alunos da classe

Alunos da classe

Após a construção do gráfico, formule algumas perguntas que problematizem a leitura e a análise da informação, conforme veremos na atividade a seguir.

Atividade 1 Analisando o gráfico que você construiu, responda: a) Quem é o aluno mais velho? E o mais novo do grupo analisado? Júlio é o mais velho; Maria, a mais nova. b) Existe um padrão médio relativo às idades apresentadas ou elas são muito distintas entre os alunos? Existe um padrão médio em torno de 12 anos.

As informações dos eixos horizontais e verticais podem ser trocadas.

16 14 12 10 8 6 4 2 0

An a Br un o Ca rla di ego Fá b He io len a Joã o Júl io La ura Ma ria Ri ta

depois de haver trabalhado, na Situação de Aprendizagem 2, a análise de gráficos de barras, linhas, setores e pictogramas, solicite a elaboração de alguns gráficos específicos. Estes devem ser construídos em papel milimetrado e, de forma complementar, utilizando recursos do computador, caso o equipamento esteja disponível na escola (os programas de planilha de cálculo permitem a construção de gráficos variados a partir de conjuntos de dados). Proponha, por exemplo, a construção de um gráfico que apresente como informação as idades dos alunos da classe. Nesse caso, discuta o seguinte:

Idade (em anos)

Matemática – 5-a série – Volume 4

Outra tabela interessante apresentaria como informação a altura dos alunos da classe, para posterior construção de gráfico. Explore a questão referente à escolha da escala utilizada. digamos, por exemplo, que o pedaço de papel milimetrado disponível seja retangular, de dimensões 10 cm por 15 cm. Em geral, as turmas apresentam o seguinte tipo de solução: colocamos 10 cm (100 mm) no eixo vertical, no qual iremos representar as alturas e, levando-se em consideração a maior altura, que é 166 cm, podemos usar 5 mm do gráfico para indicar

10 cm de altura da pessoa, ou seja, cada milímetro do gráfico corresponde a 2 cm de altura do aluno. Nesse caso, usaremos 83 mm na escala vertical, o que nos deixa uma margem de 17 mm de folga no papel.

Alunos da classe

RitA

lAuRA

Continuando a explorar os dados da tabela, pode-se propor aos alunos o desafio de confeccionar um gráfico que evidencie que, em média, os meninos da classe são mais altos do que as meninas. Isso exigirá que os alunos usem cores diferentes para meninos e meninas, agrupem separadamente meninos e meninas ou aproveitem ambas as estratégias. Veja a seguir uma solução possível para esse problema.

Professor, a atividade seguinte não está proposta no Caderno do Aluno. Todavia, na disponibilidade de tempo, é interessante desenvolvê-la tendo em vista o envolvimento da utilização de escalas.

Atividade 2

1,65 1,6 1,55 1,5

Alunos da classe

o Júl i

Joã o

Fá bio

ego di

un o Br

Ri ta

An a Ca rla La ura He len a

1,45 Ma ria

Possivelmente, o aluno dirá que a tarefa é impossível, porque em 10 cm de papel (100 mm) só poderíamos representar 20 cm

Altura das meninas e dos meninos da sala (em m) 1,7 Altura (em m)

A escolha da escala “1 mm para cada 2 cm de altura” fez com que todas as barras ficassem com alturas muito próximas umas das outras. Apresente uma proposta de construção do gráfico de barras, no mesmo tamanho de papel, que use escala “5 mm para cada 1 cm de altura”.

mARiA

JÚlio

João

hElEnA

Fábio

diEgo

CARlA

Por meio desse gráfico, a nova escala permite melhor diferenciação visual da altura dos alunos. É conveniente observar que o recurso de não iniciar o eixo vertical com valor zero é muito utilizado na construção de gráficos. uma atividade interessante que pode ser feita na sequência dessa atividade é propor uma pesquisa de gráficos em jornais e revistas que utilizam esse tipo de recurso.

RitA

mARiA

lAuRA

JÚlio

João

hElEnA

Fábio

diEgo

CARlA

Alunos da classe

bRuno

170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

AnA

Altura (em cm)

gráfico manuscrito em papel milimetrado

166 165 164 163 162 161 160 159 158 157 156 155 154 153 152 151 150

bRuno

Altura (em cm)

A construção do gráfico, conforme os cálculos descritos, não utiliza a escala mais adequada para apontar de maneira clara a diferença de altura entre os alunos, porém tem grande utilidade em virtude da discussão proposta, como veremos adiante por meio de uma atividade.

AnA

de altura. Sugira, porém, que se inicie, no eixo vertical, as marcações de medidas das alturas a partir de uma certa altura, que não seja o zero. Se iniciarmos, por exemplo, com 150 cm de altura em uma das marcas do eixo vertical, teremos o seguinte gráfico:

Matemática – 5-a série – Volume 4

Quando temos à nossa disposição uma quantidade muito grande de dados para representar em um gráfico, normalmente agrupamos as informações em intervalos. No caso da nossa tabela, referente aos 11 alunos de uma classe, a pequena quantidade de dados não justifica o agrupamento das informações, porém, nada nos impede de fazê-lo para desenvolver essa habilidade, como veremos na atividade a seguir.

Atividade 3 Queremos construir um gráfico de barras para representar o número de livros consultados na biblioteca pelos alunos em 2008, porém, queremos que seja feito com apenas 4 barras. Proponha uma forma de construção e, em seguida, realize-a no papel milimetrado ou no computador. Quem consultou menos livros não consultou nenhum, e quem consultou mais livros consultou 12. Dividindo-se 12 por 4, que é o número de barras que queremos fazer, determinamos o seguinte intervalo para cada uma delas: Barra 1: de 0 a 2 livros → 2 alunos Barra 2: de 3 a 5 livros → 5 alunos Barra 3: de 6 a 8 livros → 2 alunos Barra 4: 9 ou mais livros → 2 alunos

Vale observar a forma correta de escrever os intervalos, evitando que se repitam os extremos. O gráfico a seguir representa a informação desejada:

6 Quantidade de alunos

Na solução encontrada, separamos as barras das meninas (à esquerda, em cor rosa) daquelas dos meninos (à direita, em cor azul). Por meio da análise gráfica, percebemos com clareza que os meninos da classe têm altura maior ou igual à altura da menina mais alta da sala, exceto um deles, Bruno; que ainda assim tem altura maior do que três das seis meninas da classe. Esse tipo de exploração das informações de um gráfico é extremamente útil para percebermos a utilidade da linguagem gráfica diante de simples disposições dos dados em uma tabela.

Quantidade de livros consultados em 2008 pelos alunos da classe

5 4 3 2 1 0 de 0 a 2 livros

de 3 a 5 livros

de 6 a 8 livros 9 ou mais livros

Na atividade seguinte, o trabalho de construir um gráfico de setores está diretamente associado ao trabalho com medida e construção de ângulos com o transferidor, porém, se adaptarmos alguns problemas, conforme o exemplo, é possível solicitar a construção de um gráfico desse tipo antes mesmo que o aluno saiba lidar com o transferidor. A partir da tabela, represente as notas da classe na primeira prova de Matemática. Observe que a distribuição dessas notas permite entender a ideia de ângulo como “fração de giro de uma volta completa”. distribuição de notas dos alunos que fizeram a primeira prova de matemática nota

número de alunos

Porcentagem

10%

20%

50%

Meia volta

20%

1 de volta 5

total

100%

1 volta

Ângulo

1 de volta 10 1 de volta 5

distribuição de notas dos 10 alunos que fizeram a primeira prova de matemática A 10%

d 20%

B 20% C 50%

um tipo de gráfico pouco explorado na 5a série, e que pode ser boa porta de entrada para a discussão da localização de pontos em um plano, é o gráfico de dispersão. Normalmente, esse tipo de gráfico é utilizado para avaliar, por meio de

gráfico manuscrito em papel milimetrado Flamengo Santos Palmeiras São Paulo

Rita

Júlio

Laur a Maria

Torce para o mesmo time do pai

João

Hele

Fábio

dieg

Carla

Corinthians

Ana

Se o aluno ainda não sabe utilizar o transferidor, a construção do gráfico de setores deve ser feita da seguinte forma: 1) construção de uma circunferência com o compasso; 2) marcação de um diâmetro para definir um ângulo de meia volta; 3) em uma das “meias voltas” da circunferência o aluno deverá marcar cinco arcos de mesma medida (na 5a série aceitamos que as marcações sejam feitas visualmente se o uso do transferidor e/ou o uso do compasso para o traçado da bissetriz de um ângulo não foram trabalhados); 4) uma das cinco marcas corresponderá ao setor de 1 de volta, e dois pares de 10 marcas consecutivas corresponderão, cada um deles, aos setores de 1 de volta.

imagens, a existência ou não de correlação entre duas grandezas. As colunas da nossa tabela, que apresentam dados sobre o time de futebol para o qual torce o aluno ou para o qual torce seu pai, constituem dados interessantes para um gráfico como esse. Veja a seguir um modelo no qual a informação é representada por cores.

Brun

Caso você tenha colocado no planejamento a discussão sobre a unidade de medida “grau”, poderá explorar nessa atividade o cálculo dos ângulos da última coluna da tabela (36o, 72o, 180o e 72o).

Torce para time diferente do pai

No gráfico, os pontos azuis ou vermelhos indicam o time para o qual o aluno torce. Assim, as linhas correspondentes a cada time apontam o total de torcedores daquela agremiação entre os alunos da classe. Note que a linha correspondente ao Corinthians possui mais pontos (4 pontos), porque é o time com mais torcedores. Para indicar se o aluno torce ou não pelo mesmo time do pai, utilizamos elementos de cores: ponto azul para o caso de o aluno torcer pelo mesmo time do pai e ponto vermelho para o caso de torcer por um time diferente daquele do pai. Com essa opção de cores, quanto mais azul estiver o diagrama de pontos, maior será a correlação entre o time do aluno e o de seu pai. No caso do diagrama analisado, observamos mais pontos azuis do que vermelhos, o que sugere que a maior parte dos alunos torce pelo mesmo time do pai. Gráficos

Matemática – 5-a série – Volume 4

como esse exigem interpretação mais delicada, consequente de leitura atenta e compreensão de todos os elementos visuais, por isso eles são importantes em um programa cujo objetivo seja desenvolver e aprimorar a competência leitora referente à linguagem gráfica.

Os dados da tabela são interessantes por alguns motivos, que listaremos a seguir: 1. O tipo de informação transmitida tem grande relevância do ponto de vista das discussões ambientais e permite explorar a interdisciplinaridade. 2. Note que o intervalo dos anos cujas informações foram disponibilizadas não é constante, o que possibilita uma discussão interessante no momento da construção do gráfico.

O aluno também deverá saber construir e analisar um gráfico de linhas. Como discutimos na Situação de Aprendizagem 2, esses gráficos são usados, em geral, quando desejamos representar a evolução de certa informação ao longo de um período de tempo. A tabela seguinte fornece dados que permitem uma boa discussão sobre a construção de um gráfico de linhas.

3. Os dados são fornecidos em bilhões de toneladas, e isso exige do aluno uma escolha cuidadosa de escala. discuta com a classe as escolhas mais adequadas de escala, cores, legendas, atribuição de título aos eixos, etc. Apresentamos a seguir uma possibilidade de gráfico para os dados da tabela.

Cinco maiores emissores de gás estufa (em bilhões de toneladas) País

1990

1994

2006

EuA

4 500

5 300

6 000

China

2 800

3 000

5 000

Rússia

2 200

1 600

3 200

Japão

1 100

1 200

1 300

Brasil

800

1 000

1 100

Fonte: O Estado de S.Paulo (adaptado), 6 nov. 2007.

bilhões de toneladas de gás

Essa tabela consta no Caderno do Aluno, na seção Você Aprendeu?, em que é solicitada a construção de um gráfico de linhas para representá-la.

6 500 6 000 5 500 5 000 4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

Cinco maiores emissores de gás estufa 6 000 5 300

5 000

4 500 3 200 2 800 2 200 1 100 800

3 000 1 600 1 200 1 000

EuA China Rússia Japão Brasil

1 300 1 100

1990 1994 2006 Fonte: O Estado de S.Paulo (adaptado), 6 nov. 2007.

Note que utilizamos uma “descontinuidade” no eixo horizontal para representar um intervalo diferente do que vinha sendo utilizado no mesmo gráfico (de 1990 para 1994 são 4 anos, e de 1994 para 2006 são 12 anos). A rigor, boa parte dos gráficos de linhas ou segmentos deveria indicar apenas os pontos correspondentes aos pares de informações abordadas, contudo, é comum que se faça a linha cheia ligando esses pontos, mesmo sabendo que o significado matemático de tal linha não é preciso. Entendemos não haver problemas no uso de linhas ligando pontos, porém é fortemente recomendado discutir com os alunos o significado figurativo daquilo que está sendo feito.

Na Situação de Aprendizagem 3 trabalhamos com a construção de gráficos de barras (colunas), linhas (segmentos), setores e dispersão. As expectativas mínimas de aprendizagem são: f o aluno deve saber selecionar o melhor tipo de gráfico para representar determinado conjunto de dados; f o aluno deve saber escolher e calcular adequadamente a escala dos eixos para representar dados em um gráfico de barras e/ou linhas; f o aluno deverá saber utilizar cores, legendas e informações nos eixos para representar a informação de maneira clara e precisa; f o aluno deverá aprender o uso correto da régua e do papel milimetrado.

Reforçamos, mais uma vez, que o conjunto de atividades apresentadas deve ser interpretado como sugestão de abordagem do assunto, cabendo ao professor adaptá-lo às suas necessidades e ao seu planejamento anual. Por meio da proposta de construção de gráficos a partir de tabelas de dados predefinidas e/ou a partir de dados pesquisados e tabelados pelo aluno, é possível verificar-se o aprendizado dos temas desenvolvidos. um aspecto importante a ser trabalhado com alunos de 5a série diz respeito à organização e à qualidade do registro. O tema desenvolvido na Situação de Aprendizagem 3 privilegia o desenvolvimento desses aspectos procedimentais. Portanto, sempre que necessário, indique o que deve ser refeito para obter como resultado um trabalho de qualidade.

SITuAçãO dE APRENdIzAGEM 4 MEdIdAS dE TENdêNCIA CENTRAL tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: ideias intuitivas de população e amostra; medidas de tendência central: média, moda, mediana; porcentagem. Competências e habilidades: compreender e avaliar de forma crítica as principais características das medidas de tendência central, tendo como objetivo a escolha criteriosa daquela mais conveniente para representar determinada situação ou para resolver determinada situação-problema. Estratégias: trabalho em grupo (pesquisa estatística); listas de exercícios sobre medidas de

centralidade.

Matemática – 5-a série – Volume 4

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Estatística é a parte da Matemática que trata da organização dos dados e das informações, tendo em vista a realização de inferências, ou estabelecimento de conclusões a partir delas. A palavra vem do latim status, estando relacionada, inicialmente, à organização de dados numéricos (registros de nascimentos e mortes, tábuas de mortalidade) que possibilitariam conhecimento adequado do Estado. de modo geral, a Estatística fornece informações sobre o estado em que se encontra certo agrupamento de pessoas em relação à população no que se refere à escolaridade, renda, emprego, etc. uma tarefa interessante que nem sempre recebe a atenção merecida no tratamento de temas de Estatística do programa escolar é o da elaboração de questionários para uma pesquisa, que pode ser feita com a totalidade da população ou com amostras dela. um questionário mal elaborado é capaz de comprometer definitivamente uma pesquisa de estatística e, portanto, investir certo tempo na reflexão sobre o assunto contribui para a ampliação de horizontes do estudante em relação ao alcance e às formulações próprias dessa área de conhecimento. A seguir, propomos uma atividade de pesquisa. Proponha um tema ou deixe que os alunos, divididos em grupos, o escolham. O objetivo de cada grupo será compreender as características dos colegas de sala em relação ao tema escolhido e, portanto, os questionários devem dar conta de investigar tudo que se deseja saber sobre o tema. A elaboração e aplicação dos questionários, a posterior tabulação dos

dados, a representação da informação na forma de gráficos e a análise dos resultados e dos problemas encontrados no decorrer da pesquisa fazem parte da tarefa. Para que um exercício em grupo seja produtivo, é muito importante organizar bem a classe; deixe claro quais são as etapas e os objetivos e, se possível, estabeleça, ao longo do processo, momentos para avaliar a produção parcial e para sinalizar possíveis correções no direcionamento da atividade. Vejamos uma sugestão de pesquisa a ser apresentada e o esclarecimento do que deve ser realizado, além de um roteiro contendo as etapas necessárias ao trabalho.

Roteiro de trabalho em grupo para a pesquisa de Estatística Qual será a preferência musical de nossa turma? Será que em nossa classe tem mais corinthianos ou são-paulinos? Qual é a porcentagem de canhotos entre nós? Quantas horas semanais, em média, gastamos assistindo à TV? Como é a nossa alimentação? desde que formuladas adequadamente, inúmeras perguntas podem nos ajudar a conhecer o perfil de nossa classe, e esse será o objeto de estudo para o trabalho cujo tema central será a Estatística. Professor, esta atividade consta ao final do Caderno do Aluno. Se a atividade for desenvolvida após as medidas de tendência central, os alunos poderão utilizar essas medidas para analisar os resultados.

Escolhemos seis temas para pesquisar, cada grupo desenvolverá um desses temas. Veja quais são eles e alguns exemplos de perguntas pertinentes que podem auxiliar a realização da pesquisa:

1. Esporte f Qual é o time de futebol preferido na sala? f Qual é o time de futebol preferido de nossos pais? f Qual é o esporte preferido das meninas? E dos meninos? f Quantas horas semanais, em média, gastamos com a prática de atividades físicas? 2. Características físicas f Qual é a altura média dos meninos da classe? E das meninas? f Qual é a porcentagem de pessoas com cabelos claros na sala em relação àquelas que têm cabelos escuros? f Qual é o número de sapato mais frequente na classe? 3. Hobby e lazer f Qual é a porcentagem de alunos que têm bicho de estimação? f Qual é o bicho de estimação que surge mais vezes na pesquisa? f Quantos alunos da classe fazem algum tipo de coleção? Qual é o tipo de coleção mais citado? f Qual é o gênero musical preferido pelos alunos da classe? 4. Família f Qual é a média do número de irmãos dos alunos da classe? Qual é a média do número de irmãos de nossos pais?

f Quantos de nossos pais nasceram em São Paulo? f Quantos alunos têm familiares próximos (pais, avós, bisavós) nascidos em outro Estado do país? 5. Alimentação e hábitos pessoais f Qual é o alimento preferido pelos alunos da classe? f Quantas frutas, em média, comemos por semana? f Quantas horas semanais, em média, gastamos assistindo à TV? Qual é o tipo de programa mais assistido? f Quantas horas semanais dedicamos às tarefas de casa e aos estudos? f Quem usa computador com regularidade? 6. Curiosidades f Qual é a distribuição dos signos astrológicos dos alunos da classe? f Quantos livros cada um já leu na vida? Qual é a média de livros lidos por ano? 7. Conhecimentos gerais f Quantos alunos sabem em que Estado brasileiro nasceu o presidente da República? f Qual é o idioma mais falado no mundo? f Você conhece Maurício de Sousa? E Monteiro Lobato? f Qual a profissão que cada aluno da classe deseja seguir?

Matemática – 5-a série – Volume 4

Caso algum grupo tenha interesse em investigar um tema diferente desses que foram listados, deverá propor ao professor, e este avaliará a pertinência das sugestões.

Etapas do trabalho 1. Elaborar perguntas para o questionário f Essa etapa será iniciada em classe, no dia do mês , e concluída fora de classe. Recomenda-se uma ou duas reuniões do grupo para elaborar o questionário, que deverá ser entregue para o professor no dia do mês . O professor deverá devolver os questionários com comentários, sugestões e correções no dia _____ do mês _____. Em seguida, cada grupo deverá reunir-se fora do horário de aula para finalizar o questionário, levando em conta as observações feitas pelo professor. Lembre-se de que ao elaborar as perguntas para o questionário, o grupo deve ter em vista o tipo de gráfico a ser construído para a apresentação dos dados. 2. Aplicação dos questionários em classe f O questionário será aplicado no dia _____ do mês ___________. Nesse dia, cada grupo deverá trazer para a aula o questionário em número suficiente de cópias para que seja respondido por todos os alunos. Todo questionário

deve ter um espaço no final, reservado para observações feitas pelo entrevistado sobre sua dificuldade em responder alguma ou algumas das perguntas. 3. Tabulação dos dados, construção dos gráficos e análise dos resultados f Os gráficos devem ser construídos em papel milimetrado. f Elaborar cartazes para a apresentação dos resultados em classe que acontecerá no dia do mês . Além da apresentação do trabalho, o grupo deverá preparar um relatório sobre a pesquisa, que deve ser entregue no dia do mês . Esse relatório deve conter: introdução: apresentação do tema, cópia do questionário aplicado, breve descrição dos objetivos de cada pergunta. tabulação dos dados: apresentação de tabelas. Análise dos resultados: breve texto apresentando as conclusões da pesquisa. Análise das falhas ocorridas durante a pesquisa: são exemplos de falhas uma pergunta mal elaborada que tenha causado confusão na hora de o entrevistado responder ao questionário, uma pergunta cuja elaboração tenha causado dificuldades na hora de tabular os dados ou de fazer os gráficos, uma pergunta que não tenha dado conta de investigar exatamente o que era o seu objetivo, etc. Ao propor esse trabalho, o professor deverá dar instruções sobre o tipo de problema que o aluno poderá encontrar ao elaborar um

questionário. Os problemas mais frequentes são: opções de resposta que dão margem a interpretações erradas; pergunta formulada de tal maneira que não permite tabulação dos dados; pergunta envolvendo tema capaz de constranger o entrevistado, o que implicará respostas pouco confiáveis, etc.

Estatística descritiva Outro campo de estudos interessante para se iniciar na 5a série é o da estatística descritiva. Nela, realizamos cálculos numéricos com os dados de uma amostra da população para compreender melhor características do conjunto de informações. Nos programas de estatística descritiva do Ensino Fundamental tratamos basicamente de dois tipos de medidas estatísticas: as medidas de tendência central (média, moda, mediana) e as medidas de dispersão (desvio médio, desvio padrão). Na 5a série, propomos que sejam apresentadas as três medidas principais de tendência central e que sejam trabalhados problemas para que o aluno consiga compreender e avaliar de forma crítica as principais características dessas medidas, tendo como objetivo a escolha criteriosa da mais conveniente para representar determinada situação ou resolver determinada situação-problema.

média Em relação à média, recomendamos que se discuta, além da média aritmética simples, a média aritmética ponderada. Como 2008 foi um ano de olimpíada, dados do esporte podem motivar a discussão sobre o cálculo da média, como veremos na atividade 2.

É importante discutir com os alunos a questão da representatividade dos dados para o cálculo da média. Vejamos uma atividade que pode desencadear essa discussão.

Atividade 1 Calcule a média dos seguintes conjuntos de dados referentes às idades de grupos de 5 pessoas e, em seguida, responda se os resultados de cada cálculo representam apropriadamente os números por meio dos quais foram obtidos. a) 10, 11, 11, 12, 13. 11,4 b) 12, 12, 13, 45, 14. 19,2 c) 13, 10, 12, 12, 1. 9,6 No item a) a média não se afasta muito dos dados analisados e, portanto, é um indicador representativo da tendência das idades das pessoas. Nesse caso, se dissermos que a média de idade do grupo é de 11,4 anos, imaginamos que as pessoas desse grupo têm idade aproximada desse número, o que é verdade. Nos itens b) e c), ambos os números não são boas representações da tendência dos dados. No caso b), note que a maioria das idades gira em torno de 13 anos, sendo que a média apresenta cerca de 19 anos de idade. Em c), os dados estão em torno de 12, e a média é em torno de 9, ou seja, subestimou o que de fato ocorre em termos de tendência central dos dados.

Matemática – 5-a série – Volume 4

Note que em b) e em c) o que fez com que a média deixasse de ser uma boa medida de representação da tendência dos dados foi o fato de termos dados extremos muito discrepantes dos demais. Em b), 45 anos de idade é um número que está muito acima da idade dos demais integrantes do grupo, e no caso c), 1 ano de idade está muito abaixo daquelas dos demais integrantes desse grupo. Explorando outros exemplos como esse, desejamos estimular a percepção de que a média é uma medida de tendência central muito afetada por valores extremos. Sabendo-se disso, podemos dizer que se o nosso conjunto de dados possui uma distribuição de valores relativamente uniforme, a média será um bom indicador de tendência central, mas se encontrarmos nos dados valores extremos que se afastam muito do padrão dos demais, a média não será uma medida representativa dos dados. A pergunta que surge agora é: se a média não é uma boa representante da tendência central dos dados dos itens b) e c), que outro indicador poderia ser? A resposta virá na sequência da discussão, porém, antes exploraremos um pouco mais a ideia de média. Vejamos uma atividade que explora o cálculo da média aritmética ponderada. Como essa atividade envolve muitas contas, sugerimos permitir o uso de calculadora e, se possível, que se faça um trabalho com alguma planilha eletrônica de cálculo.

Atividade 2 A classificação dos países no quadro geral de medalhas de uma olimpíada é feita

considerando-se o total de medalhas de ouro; depois, de prata e de bronze. Tal critério pode gerar algumas distorções, porque um país com grande quantidade de medalhas de prata e bronze, mas sem nenhuma medalha de ouro, ficaria atrás de um país que ganhasse apenas uma medalha de ouro. A tabela mostra a classificação dos 25 primeiros colocados nas Olimpíadas de Atenas (2004), Grécia, de acordo com esse critério. Posição

Países

ouro Prata bronze total

Estados unidos

103

China

Rússia

Austrália

Japão

Alemanha

França

Itália

Coreia do Sul

Grã-Bretanha

Cuba

ucrânia

Hungria

Romênia

Grécia

Noruega

Holanda

Brasil

Suécia

Espanha

Canadá

Turquia

Polônia

Nova zelândia

Tailândia

observação: Esta atividade foi elaborada antes do término das Olimpíadas de Pequim, por esse motivo optamos por apresentar os dados das Olimpíadas de Atenas. O professor poderá adaptar essa atividade com os dados atuais da última olimpíada, que podem ser obtidos com facilidade pela internet.

a) Se fizermos uma reclassificação desses países levando em consideração, como critério de ordenação, o maior número de medalhas, quais seriam as mudanças na tabela? A Rússia assumiria a 2a colocação, no lugar da China, que cairia para 3a lugar; a Alemanha ultrapassaria o Japão, assumindo a 5a colocação; a Holanda subiria da 17a colocação para 13a, etc. O Brasil cairia uma posição segundo esse critério, ficando em 19o lugar. b) Vamos propor outro critério para estabelecer a classificação no quadro de medalhas em uma olimpíada, que será o seguinte: “Medalha de ouro vale 3 pontos; medalha de prata 2 pontos e medalha de bronze 1. Será mais bem classificado o país com maior média ponderada de pontos”. Monte a tabela estabelecendo a classificação de acordo com esse critério e compare com a classificação oficial. A tabela a seguir mostra a nova classificação, utilizando uma casa decimal de aproximação no cálculo da média ponderada. Essa tabela pode ser utilizada para discutir com

os alunos as razões pelas quais obtivemos algumas mudanças. Por exemplo, pode-se discutir que a Noruega, que ocupava a 16a colocação, caiu 6 postos, passando a ocupar a 22a. Tal fato ocorreu porque outros países com mais medalhas do que ela, porém com menos medalhas de ouro, ocuparam classificações melhores impulsionados pelo peso da medalha de prata.

Posição

Países

ouro Prata bronze média

Estados Unidos

35,3

Rússia

28,8

China

24,0

Austrália

16,5

Alemanha

15,3

Japão

13,0

França

10,7

Itália

10,5

Coreia do Sul

10,0

Grã-Bretanha

9,5

Cuba

8,7

Ucrânia

7,7

Romênia

6,7

Hungria

6,7

Holanda

6,5

Espanha

6,0

Grécia

5,7

Canadá

4,0

Matemática – 5-a série – Volume 4

Brasil

3,5

Turquia

3,2

Polônia

3,0

Noruega

2,7

Suécia

2,7

Tailândia

2,5

Nova Zelândia

2,2

mediana Se nosso conjunto de dados apresenta valores díspares, distribuídos ao acaso ou variando em torno de valores extremos, vimos que a média é enganosa. A mediana é outra medida de tendência central, calculada da seguinte maneira: f ordenamos os dados do nosso conjunto; f se tivermos um número ímpar de dados, a mediana será o termo do meio dessa ordenação; caso tenhamos um número par de dados, a mediana será a média aritmética simples dos dois termos centrais.

Atividade 3 Calcule a mediana dos conjuntos de idades apresentados nos itens b) e c) da atividade 1 e, em seguida, responda se a mediana é uma boa representante dos dados ou não. A ordenação dos dados do item b) é: 12, 12, 13, 14, 45. Como temos um número ímpar de dados, a mediana é o termo central, ou seja, é igual a 13 anos de idade.

Em relação aos dados do item c), a ordenação será 1, 10, 12, 12, 13, e a mediana, 12 anos de idade. Note que em ambos os casos a mediana é uma boa representante dos dados analisados. Vale destacar que o cálculo da mediana foi simples porque nosso conjunto de dados tinha poucos elementos. No caso de um conjunto muito grande de dados não ordenados, o cálculo manual da mediana seria extremamente desgastante, uma vez que ele envolve a ordenação dos dados. Nesses casos, os estatísticos usam o computador para fazer o cálculo (as planilhas de cálculo e as calculadoras científicas também realizam o cálculo da mediana com base em um conjunto de dados, ordenados ou não). uma das desvantagens da mediana é a seguinte: se um dos dados do centro muda ligeiramente, a mediana pode se alterar significativamente, o que já não acontece com a média, que é relativamente pouco afetada por uma pequena mudança nos números centrais. No entanto, conta a favor da mediana o fato de que se um dos valores extremos muda, mantendo-se a ordem, a mediana permanece inalterada. No caso da média, quando os valores extremos mudam ou desaparecem, essa medida pode ser significativamente alterada.

moda Chama-se moda o valor que se repete mais vezes no conjunto de dados. Por exemplo, no item c) da atividade 1 a moda é 12 anos de idade. Se todos os dados do conjunto são diferentes entre si, dizemos que não há moda. um conjunto de dados pode ter duas, três ou mais modas, como nos exemplos a seguir:

1. 20, 20, 40, 50, 50, 70, 80: esse conjunto tem duas modas, que são o 20 e o 50 (dizemos que é um conjunto bimodal); 2. 15, 23, 12, 15, 23, 23, 15, 17, 17, 17, 17, 15, 23: esse conjunto tem três modas, que são 15, 17 e 23 (dizemos que é um conjunto trimodal). Assim como as demais medidas, a moda apresenta vantagens e desvantagens. Note que em um conjunto de dados como 1, 1, 54, 76, 129, 140, a moda é 1 e não é uma boa representante dos dados. Se, por outro lado, trocarmos um valor 1 por 76, a moda altera-se totalmente, o que mostra ser um tipo de medida que pode ser muito afetado pela mudança de um único elemento do conjunto de dados. Apesar dessa desvantagem, a moda é uma medida estatística útil. Note que tanto no caso da média como da mediana, essas medidas podem ser boas representantes dos dados, mas raramente correspondem diretamente a um dos dados do conjunto (a não ser no caso da mediana de um número ímpar de termos). No caso da moda, isso não ocorre, já que ela necessariamente corresponde a um dado do conjunto. A atividade a seguir pretende caracterizar uma utilidade prática da moda.

Atividade 4 Os salários pagos aos 8 funcionários de uma empresa são: R$ 500,00, R$ 600,00, R$ 600,00, R$ 600,00, R$ 800,00, R$ 810,00, R$ 810,00, R$ 9 000,00. Calcule a média, a mediana e a moda dos salários e, em seguida, responda à seguinte pergunta: qual seria o salário mais provável de um funcionário que viesse a ocupar o cargo de um dos funcionários dessa empresa, se um desses cargos ficasse vago?

Média = R$ 1 715,00 Mediana = (600 + 800) ÷ 2 = R$ 700,00 Moda = R$ 600,00 Como há um número maior de funcionários na empresa com salário correspondente à moda, ou seja, R$ 600,00, e admitindo-se que qualquer uma das vagas seja igualmente provável, a chance maior é de que o salário do cargo seja igual a R$ 600,00. Nesse caso, a moda foi o valor mais significativo para representar o que queremos. Inúmeros problemas podem ser criados para verificar utilidades e limitações de cada uma dessas três medidas de centralidade. Nossa proposta com essa breve apresentação foi apenas a de sinalizar para o tipo de discussão que consideramos relevante no estudo da estatística descritiva na 5a série do Ensino Fundamental.

Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 4, analisamos, inicialmente, aspectos relacionados à produção de questionários, à coleta e tabulação de dados e à montagem de gráficos. Na sequência, discutimos o cálculo, as vantagens e os limites de cada uma das três principais medidas de tendência central: média, moda e mediana. Consideramos como pré-requisito mínimo de aprendizagem desses conteúdos: f a organização de registros em tabelas e gráficos; f o uso dos dados para produção de texto consistente e coerente (nos relatórios do trabalho proposto os alunos terão que

Matemática – 5-a série – Volume 4

argumentar sobre os resultados obtidos na pesquisa); f o cálculo da média, moda e mediana de um conjunto de dados; f saber escolher a melhor medida representativa da centralidade de um conjunto de dados, bem como compreender as vantagens e os limites de cada uma das medidas. A avaliação dos temas desta Situação de Aprendizagem privilegia o trabalho em grupo. Avaliar trabalho em grupo de Matemática demanda a organização de etapas de acompanhamento, todas envolvendo algum critério de avaliação. A primeira etapa pode ser a produção de questionários para aplicação em classe. Após analisar a produção dos grupos, sugira ajustes e marque uma nova data para que essa etapa do trabalho seja concluída e reavaliada. O objetivo é incentivar o progresso na produção do grupo. Outra etapa é a da tabulação dos dados e, nesse caso, o que se deve avaliar é se o aluno organiza os dados em tabelas de maneira apropriada. A construção dos gráficos com os dados da pesquisa constitui outra etapa de avaliação do trabalho em grupo. Verifique se os alunos estão escolhendo

o tipo de gráfico mais adequado para representar a informação desejada, se estão trabalhando corretamente com escalas e com o uso de outros elementos como cores, legendas, etc. O último item a ser avaliado é o tipo de análise das informações obtidas: a turma consegue estabelecer relações entre os dados obtidos? Consegue confrontar os dados com hipóteses iniciais de previsão de resultados? Consegue identificar limitações na pesquisa? Além da avaliação formal em etapas, os trabalhos em grupo também propiciam um ambiente favorável à autoavaliação. uma etapa importante da aprendizagem escolar é aquela cujo objetivo é colocar o indivíduo diante de uma avaliação crítica sobre a própria produção e participação no trabalho coletivo. Nesse aspecto, incentive sempre o espírito de cooperação entre os integrantes e a avaliação crítica da produção, o que pode ser estimulado por meio da autoavaliação, na qual o estudante atribui uma nota para si e justifica essa atribuição. Exercícios sobre medidas de tendência central são encontrados na maioria dos livros didáticos. Ressaltamos mais uma vez, no entanto, a importância de valorizar problemas que trabalhem mais com o significado dessas medidas do que com seu cálculo, isoladamente.

ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO A proposta de recuperação àqueles que não conseguirem desenvolver de maneira satisfatória as competências e habilidades esperadas na Situação de Aprendizagem 1 deve focar dificuldades específicas de cada aluno. Se a dificuldade refere-se ao cálculo com porcentagens, apresente novos exercícios e até incentive o uso da

calculadora como ferramenta de investigação. Se a dificuldade estiver na organização e análise de dados em tabelas, sugerimos a produção de um texto em que se explique a informação de uma tabela publicada em jornal ou revista. Na Situação de Aprendizagem 2, podem-se propor aos alunos pesquisas sobre gráficos

com informações a respeito de algum assunto que desperte o interesse deles (esporte, saúde, lazer, etc.). A partir desses gráficos, peça que identifiquem dados relevantes. Algumas perguntas podem favorecer certo direcionamento do olhar do aluno. duas questões que podem ser utilizadas são: qual a principal informação que esse gráfico transmite? Quais são as categorias de agrupamento de dados utilizadas nele? Refletindo sobre os conceitos estudados na Situação de Aprendizagem 3, é possível que alguns alunos encontrem dificuldades com relação aos gráficos. Recomendamos retomar

a produção de gráficos solicitando novos problemas elaborados por você ou retirados do livro didático. Outra atividade capaz de motivar o aluno refere-se ao uso de computadores para a construção de gráficos (planilhas de cálculo). Havendo disponibilidade de equipamentos na escola, você pode e deve utilizá-los como ferramenta pedagógica. Ao final da avaliação na Situação de Aprendizagem 4, aos alunos que não atingiram os pré-requisitos mínimos estabelecidos, recomendam-se novos exercícios e a construção de tabelas, gráficos e cálculos das medidas de centralidade, sempre que possível, de forma integrada.

RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA dO PROFESSOR E dO ALuNO PARA A COMPREENSãO dO TEMA Sites Estatísticas do trânsito – denatran. disponível em: <http://www2.cidades.gov.br/renaest/ listaNoticiaPublicada.do?op=noticia.publicada. listaEstatistica>. Acesso em: 29 jul. 2009.

Fundação Sistema Estadual de Análise de dados – Seade-SP. disponível em: <http:// www.seade.gov.br>. Acesso em: 29 jul. 2009.

instituto brasileiro de geografia e Estatística – ibgE. disponível em: <http://www.ibge.gov. br>. Acesso em: 29 jul. 2009. Reciclagem do lixo. disponível em: <http:// www.proartecultural.org.br/html/reciclagem. htm>. Acesso em: 29 jul. 2009. universidade da água. disponível em: <http:// www.uniagua.org.br>. Acesso em: 29 jul. 2009.

Matemática – 5-a série – Volume 4

ConSidERAçõES FinAiS Neste Caderno, abordamos o Tratamento da Informação, tema que terá continuidade nas outras séries do Ensino Fundamental. Na primeira Situação de Aprendizagem, o foco central foi a produção e análise de dados em tabelas. Na segunda, tratamos da leitura, análise e interpretação de gráficos; na terceira, cuidamos da construção desses gráficos e, na última, focamos aspectos relacionados à elaboração de uma pesquisa estatística e ao cálculo e análise das principais medidas de tendência central de um conjunto de dados. As sugestões apresentadas devem ser compreendidas como um material de apoio para que o professor prepare suas aulas com autonomia, de acordo com o seu planejamento. utilizar este Caderno e os demais como algo pronto para ser usado em sala de aula consiste em um equívoco sobre os objetivos centrais deste material.

Na grade de conteúdos do Ensino Fundamental apresentada a seguir, destacamos aqueles que mantêm relação, direta ou indireta, com os temas explorados neste Caderno. O objetivo dessas indicações é mapear algumas possibilidades concretas do currículo em espiral, no qual os temas aparecem e reaparecem, sempre tratados de uma maneira mais aprofundada ou sob novos pontos de vista. Vale lembrar que as quatro Situações de Aprendizagem propostas não esgotam as possibilidades de abordagem dos assuntos considerados, nem exploram diretamente todos aqueles listados na grade de conteúdos. A opção de não explorar diretamente problemas de contagem, que constam da grade do bimestre, não significa que esses sejam menos importante ou que não devam ser propostos, mas apenas que nossas escolhas foram condicionadas às possibilidades mais inovadoras de abordagem dos temas.

ContEÚdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série

6a série

7a série

8a série nÚmERoS REAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

nÚmERoS nAtuRAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

nÚmERoS nAtuRAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

nÚmERoS RACionAiS - Transformação de decimais finitos em fração. - dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

nÚmERoS intEiRoS - Representação. - Operações.

PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros. - Problemas de contagem

nÚmERoS dECimAiS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações. SiStEmAS dE mEdidAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. gEomEtRiA/mEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

nÚmERoS RACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - A linguagem das potências.

gEomEtRiA/mEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

EXPRESSõES AlgébRiCAS - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álgEbRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - A ideia de variação. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

nÚmERoS/ PRoPoRCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

álgEbRA/EQuAçõES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1o grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

gEomEtRiA/mEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

gEomEtRiA/mEdidAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

gEomEtRiA/mEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade. tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álgEbRA - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Contagem indireta e probabilidade.