MATEMATICA_CP_6s_Vol1reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

6 - SÉRIE volume 1 - 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-183-3 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Investigando sistemas de numeração: do Egito ao computador 13 Situação de Aprendizagem 2 – Frações e decimais: um casamento com significado 26 Situação de Aprendizagem 3 – Multiplicação e divisão com frações

Situação de Aprendizagem 4 – Números negativos: desvendando as regras de sinais Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 44 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

FiCHA do CAdErno Sistemas de numeração: da história às operações com frações, decimais e negativos

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 6ª1º- bimestre de 2009 Sistemas numéricos, frações e decimais Sistema posicional de numeração Equivalência entre frações e decimais Operações com frações (. e ÷) e decimais (.) Números negativos

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem de tais materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é a de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento dos temas. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.

São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.

É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre Um diagnóstico nas primeiras aulas deve permitir ao professor identificar com clareza o conhecimento numérico dos seus alunos. Nesta primeira avaliação, ainda de caráter informal, é importante que se verifique se os alunos conseguem resolver problemas envolvendo: 1) as quatro operações com os números naturais; 2) soma e subtração com frações; 3) soma, subtração e multiplicação com decimais1. Nesta proposta de grade curricular sugerimos que tais contextos tenham sido trabalhados até a 5ª- série, contudo, muitas vezes alguns deles não foram sistematizados a contento, o que indicará ao professor a necessidade de um período de retomada dos conteúdos. Nesta proposta de grade, o 1º- bimestre da 6ª- série será dedicado ao eixo números, com objetivos de progresso no conhecimento numérico dos alunos em duas frentes, uma delas de ordem quantitativa, a outra de ordem qualitativa. Por progresso na frente de ordem quantitativa entendemos a expansão do campo numérico dos naturais para os inteiros, sempre contextualizado em situações desafiadoras que sinalizem a insuficiência dos naturais para resolver alguns tipos de problemas como, por exemplo, aqueles relacionados à ideia de representação de dívidas, ou ainda, relacionados às escalas nas quais faça sentido o uso de números simétricos (escalas termométricas, linha do tempo, etc.). 1

Ainda referindo-nos aos progressos na frente de ordem quantitativa, no que diz respeito às operações com decimais e com frações, é desejável que o aluno aprenda na 6ª- série a dividir números com vírgula e a multiplicar e dividir fração por fração (na 5ª- série o aluno deve aprender a multiplicar fração por número inteiro). Um desafio sempre presente nesta série refere-se ao fato de que muitas vezes o professor terá de cuidar da sistematização dessas operações simultaneamente à presença de um aluno que ainda tem um conhecimento restrito da ideia de fração. A ampliação desse conhecimento será feita ao longo da série e em paralelo à discussão dos processos operatórios, apostando-se, dessa forma, na noção de que o tratamento espiralado do tema trará benefícios, tanto do ponto de vista de fixação das representações e dos algoritmos quanto de compreensão dos significados. Retomandose o tema em vários momentos do ano, e em contextos diferentes, espera-se que cada aluno aprenda no seu ritmo e pelo caminho que lhe seja o mais favorável. Quanto aos progressos na frente de ordem qualitativa, espera-se uma ampliação da ideia de fração. Na 5ª- série as frações são apresentadas como relação entre a parte (numerador) e o todo (denominador). Nesse contexto, o material concreto, os desenhos e a malha quadriculada constituem ferramentas didáticas importantes da prática docente. Na 6ª- série,

Usualmente chamamos de decimais os números escritos “com vírgula”, porém, todos os números reais poderiam ser chamados de decimais se levarmos em consideração que a palavra decimal se refere ao “sistema decimal de numeração”. Neste Caderno convencionamos chamar de decimais apenas os números escritos com vírgula, e cujas casas depois da vírgula não sejam todas iguais a zero, ou todas iguais a 9. Como 0,999...= 1 e 3,0 = 3, diremos que ambos são inteiros (essa discussão é aprofundada no Caderno do 1º- bimestre da 8ª- série).

as expectativas são as de que se amplie o conceito de fração para “algo que represente um número” e “algo que possui outras representações” (notação decimal, porcentagem). 3 , que antes era compreendida 5 como “três partes de um total de cinco partes”, agora deverá ser compreendida também como o “número obtido da divisão de 3 por 5”, ou como o decimal 0,6, ou, ainda, como uma representação de 60% de alguma coisa. A fração

Uma estratégia interessante que pode ser utilizada na preparação do terreno para a discussão das novas ideias das frações e decimais é a de discutir em mais detalhes as características principais do sistema posicional decimal de numeração. Nas séries anteriores, o trabalho com material dourado, ábaco ou outros recursos apresenta o sistema decimal de forma bastante contextualizada e operacional, porém nem sempre o foco é o de analisar em maiores detalhes algumas importantes características desse sistema, nem de compará-lo com outros sistemas de numeração. Essa forma de trabalho, muito associada às possibilidades cognitivas das crianças menores, não tem a preocupação de investigar, por exemplo, por que os agrupamentos no nosso sistema são feitos em potências de 10, e não de 5, 12 ou qualquer outro número, ou, ainda, por que só precisamos de 10 símbolos para representar números no nosso sistema. O recurso da história da Matemática, mais especificamente da história dos sistemas antigos de numeração, consiste em uma das formas mais interessantes de buscar respostas a essas perguntas.

Em relação à apresentação dos números negativos, que também está sendo sugerida nesta proposta como um tema do 1º- bimestre, especial atenção deve ser dada às operações de multiplicação e divisão. Uma vez que a faixa etária dos alunos de 6ª- série ainda demanda forte vínculo com o concreto, a utilização de estratégias variadas na apresentação dessas operações favorece a construção de ideias com significado. Mesmo sabendo que um dos objetivos centrais seja o de que o aluno finalize a série operando com destreza e agilidade com os números negativos, o percurso deve passar pela discussão de contextos, de preferência concretos, que favoreçam justificativas para as regras de sinais e para as operações formalizadas com os negativos. Em termos de organização dos conteúdos no bimestre, propomos uma divisão em oito unidades, sendo as duas primeiras dedicadas à discussão dos sistemas de numeração; a terceira e a quarta reservadas à multiplicação, à divisão e à ampliação da ideia de fração; a quinta para as operações com decimais, em especial a divisão, que é o tema novo nesse bloco; a sexta e sétima para as operações com números negativos; e a oitava para o trabalho com expressões numéricas. Em relação à metodologia, sugerimos que as Situações de Aprendizagem utilizadas no bimestre valorizem a ideia de resolução de problemas, o que inclui: 1) busca de situações desafiadoras que mobilizem o interesse do aluno; 2) valorização de estratégias diversificadas de abordagem na resolução dos problemas; 3) busca de contextos, sejam eles na história da Matemática, nas aplicações práticas da vida real ou na busca

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

de argumentos relacionados à ampliação de horizontes das ideias matemáticas. Para o trabalho específico com alguns temas das unidades, apresentaremos a seguir quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), lembrando que elas constituem uma das formas de introduzir conteúdos da grade levando-se em consideração todas as preocupações do bimestre relatadas anteriormente. É importante destacar ainda que as Situações de Aprendizagem propostas devem ser compreendidas pelo professor como uma forma de articulação dos conteúdos do bimestre, e não como uma estrutura que engesse o seu planejamento de curso. Os temas e abordagens propostos são indicações que sinalizam para um caminho que, certamente, poderá ser modificado, alterado, complementado, sintetizado ou reordenado pelo professor, de acordo com suas necessidades e interesses pedagógicos.

Situação de Aprendizagem 1 investigando sistemas de numeração: do Egito ao computador Comparamos os sistemas de numeração egípcio, mesopotâmico, maia, chinês e romano com o nosso para poder melhor apreciá-lo e compreendê-lo. A Situação de Aprendizagem propõe também a discussão sobre o sistema binário e sua aplicação na computação, o que contextualiza de forma incisiva o tema tratado em situações concretas da Matemática aplicada. Queremos que o professor esteja atento ao fato de que a decisão sobre deslocar a discussão

sobre sistemas de numeração de povos antigos da 5ª- série, que normalmente é apresentada nos livros didáticos, para a 6ª- série tem objetivos muito claros e bem definidos. Abordar sistemas de numeração de povos antigos na 5ª- série muitas vezes restringe a discussão aos aspectos históricos do tema, uma vez que o aluno ainda não tem um conhecimento numérico formalizado sobre potências. Acreditamos que discussões acerca da base de numeração de sistemas antigos, da característica posicional de alguns sistemas em comparação a outros que não são posicionais, da importância da concepção do zero para a operacionalidade e a clareza de um sistema, dos princípios aritméticos utilizados em cada sistema, dentre outras, agregam maior significado aos alunos de 6-a série do que aos alunos de 5ª- série. Se o professor julgar que em seu planejamento essa discussão pode ser feita com sua turma de 5ª- série, sugerimos que aproveite o material desta Situação de Aprendizagem deslocando-o para a 5ª- série.

Situação de Aprendizagem 2 Frações e decimais: um casamento com significado Ampliamos a ideia de fração da 5ª- série investigando a relação entre frações e números decimais por meio de representações em malhas quadriculadas e partições de figuras. O uso desses recursos torna os temas abordados mais concretos para muitos alunos, o que, na faixa etária da 6a- série, ainda é um aspecto importante a ser considerado pelo professor ao planejar suas estratégias metodológicas de tratamento dos conteúdos da grade curricular.

Situação de Aprendizagem 3 Multiplicação e divisão com frações Apresentamos estratégias com o uso de figuras para discussão dos algoritmos da multiplicação e da divisão de frações. Além disso, convencionamos a ideia de que uma fração pode representar uma divisão, sem que nos importe, nesse caso, se numerador e denominador são números inteiros ou não. A ampliação de significados da ideia de fração é um dos momentos mais importantes da 6ª- série porque, a partir dele, o aluno deve estabelecer de forma mais sistematizada a conexão entre temas que, até então, mantinham uma relação não muito evidente (relação entre números decimais e frações).

Situação de Aprendizagem 4 números negativos: desvendando as regras de sinais Apresentamos diferentes contextos e estratégias para investigar as operações com números negativos. Discutiremos alguns problemas relacionados à compreensão e ao uso dos registros das operações com números negativos, e dedicaremos especial atenção às operações de multiplicação e divisão com números negativos, que normalmente se constituem como um ponto de dificuldade para os alunos. Ao final propomos também um jogo que favorece o desenvolvimento da prática das operações com números negativos. A Situação de Aprendizagem 1 relaciona-se diretamente com os temas propostos nas

unidades 1 e 2; as Situações de Aprendizagem 2 e 3 com os temas das unidades 3, 4 e 5; e a Situação de Aprendizagem 4 com os temas das unidades 6 e 7. Todas as Situações de Aprendizagem estão direta ou indiretamente relacionadas ao tema da unidade 8, que se refere à sistematização dos assuntos do bimestre por meio do trabalho com expressões numéricas na resolução, com significado, de problemas concretos desafiadores.

Quadro geral de conteúdos do 1o- bimestre da 6a- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Avaliação diagnóstica e sistema posicional de numeração. unidade 2 – Sistemas antigos de numeração. unidade 3 – Decimais e frações/Divisão com decimais unidade 4 – Multiplicação com frações. unidade 5 – Divisão com frações. unidade 6 – Soma e subtração com negativos. unidade 7 – Multiplicação e divisão com negativos. unidade 8 – Expressões numéricas na resolução de problemas.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAçãO: DO EGITO AO COMPUTADOR tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: sistema indo-arábico posicional decimal de numeração; potências; sistemas antigos de numeração (egípcio, mesopotâmico, maia, romano e chinês); sistema binário e aplicações. Competências e habilidades: reconhecer por meio da história dos sistemas de numeração a construção de ideias e do conhecimento matemático; estabelecer comparações entre sistemas de numeração identificando semelhanças e diferenças entre eles; decodificar a estrutura lógica da escrita matemática; transpor ideias relacionadas à base de um sistema de numeração para aplicações práticas na computação (sistema binário). Estratégias: resolução de situações-problema.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Nesta Situação de Aprendizagem será proposta uma breve investigação de alguns sistemas de numeração de povos antigos, possibilitando, com isso, a comparação das suas características com as do nosso sistema. Por meio dessa comparação espera-se que o aluno investigue aspectos importantes de um sistema como, por exemplo, a operacionalidade de um sistema posicional em relação aos sistemas não posicionais, a possibilidade do uso de outras bases que não 10 em um sistema de numeração, a importância do uso de um símbolo para o zero, dentre outros. Como relatado na apresentação do Caderno, o deslocamento desse tema de discussão – que

normalmente é tratado na 5ª- série – para a 6ª- série está relacionado ao fato de as possibilidades de ampliação e aprofundamento da discussão serem maiores com alunos de 6ª- série do que com alunos de 5ª- série. Aproveitamos o tema escolhido para explorar, por exemplo, potências, o que normalmente não seria o foco de exploração na 5ª- série. Recomendamos também que o professor observe com atenção o tipo de exploração feita nos exercícios desta Situação de Aprendizagem que vão muito além de uma mera transposição da escrita numérica de um sistema de numeração para outro. Os exercícios propostos foram elaborados com a intenção de conduzirem uma discussão mais aprofundada sobre a estrutura dos sistemas de numeração em comparação com o nosso sistema posicional decimal.

Caso o professor entenda que tais temas se adaptam melhor ao seu planejamento de 5ª- série, sugerimos que aproveite a discussão explorada a seguir deslocando-a para a série anterior. Como o interesse central da discussão é o de podermos compreender melhor as características do nosso sistema de numeração, a escolha dos sistemas de povos antigos que serão aqui tratados pautou-se pela gama de possibilidades que cada um deles pode permitir na comparação com o nosso sistema. Os sistemas escolhidos, e que serão apresentados a seguir, são: egípcio, mesopotâmico, maia, romano e chinês.

O hieróglifo que representa 1 000 é uma flor de lótus, muito presente às margens do Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de 100 000 (um número grande) é um girino, que normalmente é visto em grandes quantidades nas margens dos rios. A formação de números nesse sistema é muito simples, usando-se apenas o princípio aditivo, como se pode observar pelos exemplos a seguir: 4

Sistema egípcio antigo de numeração Por volta de 3 000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a representação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo alguma referência à fauna e à flora das proximidades do Rio Nilo, local onde habitavam. A base do sistema egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que significa que os agrupamentos são feitos em potências de 10. Observe a tabela a seguir com os algarismos hieroglíficos utilizados pelos egípcios antigos2.

253

1 100

Uma vez compreendido o funcionamento do sistema egípcio, muito mais do que simplesmente transpor números do nosso sistema para o egípcio, e vice-versa, interessa-nos aproveitar suas características para comparálas com as do nosso sistema. Nesse sentido, apresentamos a seguir uma série inicial de exercícios que caminham na direção desse objetivo.

100

101

102

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104

105

106

Na tabela optamos por representar os números em potências de 10 porque fará parte desta atividade estabelecer a relação entre a escrita convencional de um número no nosso sistema de numeração e a compreensão do seu significado utilizandose uma escrita com potências de 10. Entendemos que essa pode ser uma boa porta de entrada para o início da discussão sobre potências na 6ª- série. Em particular, chamamos a atenção do professor para o fato de que tal abordagem exige que se discuta, por exemplo, a ideia que está por trás da representação de um “número elevado a zero” por 1.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

1. A posição em que os algarismos são colocados no sistema egípcio interfere na formação do número? Não, como se pode ver no número 1 100, em que a centena foi escrita à esquerda do milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é posicional, o que é uma diferença em relação ao nosso sistema. 2. Qual é o maior número que pode ser formado com os símbolos do sistema egípcio? 9 999 999. 3. A distância média entre a Terra e o Sol é de aproximadamente 150 000 000 km. Os hieróglifos egípcios não são suficientes para representar esse número. Pesquise a fauna e a flora da região do Rio Nilo e crie “novos hieróglifos” de forma que se possa representar a distância Terra-Sol no sistema egípcio de numeração. É necessário criar símbolos para 10 000 000 e 100 000 000. Se, por exemplo, os símbolos fossem X e Y, respectivamente, a distância seria o número Y XXXXX. Sistema indo-arábico

Sistema mesopotâmico

4. Com apenas dez algarismos podemos representar qualquer número no nosso sistema de numeração. Quantos hieróglifos seriam necessários no sistema egípcio para representar todos os números naturais? Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema.

Sistema mesopotâmico antigo de numeração O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia3, por volta de 2 000 a.C., também merece uma investigação detalhada pelo fato de ser um dos mais antigos sistemas posicionais – característica que o aproxima do nosso – e por ser um sistema de base 60 – característica que o diferencia do nosso. A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila com o uso de bastonetes, cunhando-se o barro, daí o nome escrita cuneiforme. Observe com atenção as cunhagens usadas para representar alguns números no sistema de numeração da Mesopotâmia4. Sistema indo-arábico

1 2 3

Sistema mesopotâmico

21 5 10 11 3

Mesopotâmia quer dizer “terras entre rios”, no caso os rios Tigre e Eufrates, localizados na região onde atualmente fica o Iraque. As marcas tracejadas vermelhas foram colocadas apenas para facilitar a leitura do número e a percepção da lógica de funcionamento do sistema, não fazendo, portanto, parte da escrita numérica mesopotâmica.

Sistema indo-arábico

Sistema mesopotâmico

Sistema indo-arábico

119

120

61 63

559

600

Analisando com atenção a tabela, percebese que só existem dois tipos de cunhagens, que são: , para o 1, e , para o 10. Essas marcas eram feitas com o mesmo bastonete, mudando-se apenas sua inclinação de vertical para horizontal. Do 1 ao 59, os números são formados usando-se apenas o princípio aditivo, e cada grupo de dez marcas da unidade () é substituído pela marca de uma dezena (), o que nos dá a falsa impressão de que se trata de um sistema decimal. Veja que o número 60 passa a ser representado novamente pela marca da unidade, sugerindo, então, que os agrupamentos são feitos em potências de 60. De fato, o sistema mesopotâmico de numeração era posicional e sexagesimal (base 60). 601

602

Sistema mesopotâmico

600

601

600

No nosso sistema de numeração, as casas, ou posições, são marcadas por potências de 10 (unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar, etc.), o que significa dizer, por exemplo, que um algarismo colocado na terceira casa da direita para a esquerda representa o total de centenas do número. Comparativamente, no sistema mesopotâmico as casas, ou posições, da direita para a esquerda representam as seguintes potências de sessenta: 600, 601, 602, 603... Seguem exemplos dos números 952, 25 704 e 43 203 escritos no sistema mesopotâmico, com potências de 60, e no indo-arábico, com potências de 10: 102

101

100

104

103

102

101

100

104

103

102

101

100

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Em uma primeira etapa da discussão, por meio da investigação da lógica de funcionamento do sistema mesopotâmico, o aluno estará desenvolvendo habilidades de observação, dedução e generalização, além de estar revendo o conteúdo de potências. Em uma segunda etapa, poderá desenvolver as habilidades de comparação e argumentação, como sugerem os exercícios a seguir. 5. No sistema mesopotâmico, o número

 pode corresponder a diferentes números do nosso sistema. Explique essa afirmação. Na posição da unidade (1 = 60o) representaria o número 11, na posição do 60 representaria 660, na posição do 60² o número 39 600, etc. Poderíamos, ainda, imaginar que cada um dos símbolos esteja ocupando uma posição diferente, o que implicaria mais possibilidades. Por exemplo, se  ocupa a casa da unidade e  a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber qual número estaria sendo representado, os mesopotâmicos levavam em consideração o contexto em que ele havia sido escrito, o que gerava muitos erros ou ambiguidades. 6. Assim como o nosso sistema de numeração, o mesopotâmico também era posicional5, porém com certa ambiguidade na escrita dos números, como você observou no exercício anterior. Essa ambiguidade 5

poderia ser eliminada com a utilização de um algarismo que era desconhecido dos mesopotâmicos. Que algarismo é esse? O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não possui algarismos na posição do 60, o que só poderia ser corretamente indicado se o sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de unidades naquela posição. É bem provável que os mesopotâmicos ignoraram o zero porque, segundo suas concepções, não fazia sentido representar o “nada” por “alguma coisa”. Uma primeira tentativa de resolver essa ambiguidade foi feita deixando-se um espaço maior entre os símbolos quando eles representavam posições diferentes, mas isso não se mostrou satisfatório porque muitas vezes um símbolo aparecia sozinho. Na prática, as ambiguidades eram resolvidas pelo contexto em que o número aparecia, identificando-se o que ele representava pela ordem de grandeza que deveria ser considerada naquele contexto. 7. Invente um símbolo para o zero e escreva os números 11, 660 e 36 001 no sistema mesopotâmico de numeração utilizando seu símbolo. Admitindo-se que o símbolo do zero seja  ,então teremos 11=  , 660=    e 36 001=  .

Na verdade, o sistema mesopotâmico torna-se posicional para além do número 59. Se fosse um sistema posicional como o nosso, o mesopotâmico teria de utilizar 60 símbolos (algarismos) diferentes, sendo um deles um símbolo para o zero. Se assim fosse, cada casa de uma potência de 60, ou seja, cada posição teria um, e apenas um, símbolo do sistema. É razoável supor que isso não tenha sido dessa forma porque demandaria inúmeros bastonetes de formatos diferentes para se fazer a escrita cuneiforme dos números.

8. Passe os números 758 e 226 para o sistema mesopotâmico e, em seguida, faça as contas armadas de soma e subtração entre esses números.

9. Identifique uma situação prática do nosso dia a dia em que utilizamos a base 60 para fazer contas. O sistema hora:minuto:segundo de medição do tempo utiliza base 60 já que 60 segundos formam 1 minuto e 60 minutos formam 1 hora. Esse é um resquício do passado distante mantido até hoje. As hipóteses sobre as razões pelas quais os mesopotâmicos estabeleceram um sistema de base 60 não estão comprovadas. Algumas delas relacionam o fato a aspectos da Astronomia (um ano tem aproximadamente 360 dias); outras admitem que tenha surgido da fusão de dois sistemas de numeração de povos antigos, um de base 10 e outro de base 6.

Para operar no sistema decimal, 10 unidades transformam-se em 1 dezena, 10 dezenas em 1 centena, e assim por diante. No sistema sexagesimal, como o mesopotâmico, o “vai um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de 10. A seguir apresentamos as contas armadas: 601 = 60

600 = 1

758

+ 226

984

601 = 60

600 = 1

758

– 226

532

10. Passe os números 498 e 279 para o sistema romano de numeração e tente efetuar a conta armada de subtração desses números. Por que é difícil fazer essa conta? No sistema romano, os símbolos usados em cada posição não necessariamente definem o valor daquela posição, o que dificulta sua praticidade para fazer contas armadas. Na verdade, os próprios romanos utilizavam seu sistema de numeração apenas para o registro numérico e não para as operações, que eram feitas com o ábaco. Com esse exercício o aluno deve perceber que fazer a conta armada DCXCVIII − CCLXXIX não é nada prático porque as “posições” de cada símbolo não marcam exatamente unidade, dezena, centena, milhar, etc. Vale lembrar que o sistema romano será tratado

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

mais adiante, podendo o professor deixar os exercícios relacionados a esse tema para outro momento.

Sistema maia antigo de numeração

tamente vigesimal (base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multiplicá-lo por 20, o que não ocorre na prática devido ao uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.

Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do ano 500 d.C. na região onde hoje se localizam o México e a América Central. Lembramos ao professor que o estudo dos sistemas de numeração de povos antigos sinaliza inúmeras possibilidades de interdisciplinaridade com as disciplinas de História e Geografia. No caso específico dos maias, tal estudo poderá valorizar o contato com seus notáveis conhecimentos sobre Astronomia, calendário

1 2 3 4 5

9 10 19

e agricultura, bem como com seu engenhoso sistema de numeração.

Da mesma forma que o sistema de numeração mesopotâmico e que o nosso, o maia também era posicional, porém de base 20. Para um sistema assim, espera-se que os algarismos multipliquem potências de 20, que são 1, 20, 400, 8 000..., porém o sistema maia operava com uma irregularidade nesse padrão: na posição de 20², em que o algarismo

Observação: As anotações das potências em vermelho não fazem parte da escrita maia, são meramente indicativas da operação que deve ser feita com os valores numéricos dos símbolos na composição do número.

deveria ser multiplicado por 400, ele era multiplicado por 360. Em virtude dessa anomalia, o sistema maia, que tinha tudo para ser tão operacional quanto o nosso, por ser posicional e ter um símbolo para representar o zero, ficou privado desse benefício. Note que, no nosso sistema, colocar zero à direita de um número natural corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estri-

Um aspecto importante que diferencia o sistema mesopotâmico do maia é o fato de que o povo pré-colombiano concebeu um símbolo para o zero. Observando atentamente alguns exemplos de números na escrita maia, o aluno poderá investigar sua lógica de funcionamento. Depois da tabela apresentamos um exercício significativo sobre o tema.

258

11. Preservada a lógica apresentada na tabela, porém utilizando 360 no lugar do 400 (que seria a próxima potência de 20), descubra qual é o seguinte número maia:

que a dificuldade operacional do sistema romano diz respeito ao fato de que as posições não marcam com clareza um agrupamento de determinada potência. Vale observar que, apesar de seu sistema não ser operacional para a realização de contas, isso não quer dizer que os romanos antigos não fizessem contas. Os calculistas romanos utilizavam o ábaco de fichas para a prática do cálculo. Tal qual o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos algarismos que compõem o número, com a dificuldade adicional de que os romanos também usavam o princípio subtrativo na composição dos números. Apresentamos a seguir uma tabela com os algarismos do sistema romano de numeração. 1

100 C 500 D (I C na origem do sistema romano)

41 453

Sistema romano antigo de numeração O sistema romano de numeração antigo, cujas marcas ainda estão presentes em nosso tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos números. Um exercício interessante que o aluno pode fazer depois que tenha aprendido a registrar alguns números no sistema romano é o de tentar realizar contas armadas de adição ou subtração com a escrita numérica desse sistema. Tal exercício deve sinalizar com clareza

1 000 M (CIC na origem do sistema romano)

Apesar de bem conhecida e explorada por boa parte dos livros didáticos, a lógica de uso do princípio subtrativo nem sempre é bem compreendida pelo aluno, o que frequentemente implica erros do seguinte tipo: Escrita correta do número 499: CDXCIX Escrita errada do número 499: ID

Normalmente o aluno associa a ideia de que todo signo numérico colocado à esquerda

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

de um algarismo de valor superior será dele

Justifique as escritas erradas dos núme-

abatido. Tal compreensão implica frequente-

ros da tabela por uma das duas regras

mente a escrita errada de números como 99 (o

e escreva corretamente os números no

aluno escreve IC quando o correto é XCIX),

sistema romano de numeração.

490 (o aluno escreve XD, quando o correto é CDXC), 45 (o aluno escreve VL, quando o correto é XLV), etc. O que deve ser esclarecido sobre o uso do princípio subtrativo na composição de números do sistema romano é a regra de que ele só pode ser utilizado entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos, e nunca devemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não pode ser escrito como ID porque do algarismo D só

Escrita errada 15

1500

DMM

999

15  XV (justificativa do erro pela regra “b”) 49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”) 1 500  MD (justificativa do erro pela regra “b”)

bolo imediatamente anterior a ele na tabela;

999  CMXCIX (justificativa do erro pela regra “a”)

45 não pode ser escrito como VL porque o al-

13. Tente fazer a conta armada indicada

podemos retirar o algarismo C, que é o sím-

garismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas, etc. 12. A regra de uso do princípio subtrativo na composição de números no sistema

adiante e, em seguida, registre as razões da dificuldade em usar o algoritmo (regras de cálculo) da subtração para fazer a conta.

romano exige que: a) o princípio subtrativo seja usado apenas entre algarismos consecutivos da tabela ordenada de algarismos;

MDXLIX – CCCXCXVIII As dificuldades no uso do algoritmo da subtração estão diretamente associadas

b) os algarismos correspondentes aos

ao fato de que nem sempre as posições são

nossos números 5, 50 e 500 (I, L e D)

marcadas com um único símbolo no sistema

não podem ser usados para fazer re-

romano, o que dificulta identificar o tipo de

tiradas na composição de um número

agrupamento que está sendo feito (unidades,

(podemos retirar deles o 1, o 10 e o

dezenas, centenas etc.). Essa observação pode

100, respectivamente, mas eles não

servir para o professor explorar/desdobrar al-

podem ser retirados do 10, do 100 e

guns aspectos na comparação entre o sistema

do 1 000, respectivamente).

romano e o nosso:

f o sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque utiliza símbolos para os números 5, 50 e 500; f o sistema romano não possui as posições dos agrupamentos muito bem marcadas, o que, dito de outra forma, significa que ele não é exatamente um sistema posicional como o nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do sistema para fazer contas); f a escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um aspecto que dificulta a praticidade nos registros numéricos.

Sistema chinês antigo de numeração A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, que podem ser encontrados na maioria dos livros de história da Matemática ou de história dos sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração na China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças particulares. Analisaremos brevemente os dois sistemas, lembrando sempre que o nosso objetivo central é o de compará-los com o nosso. Algarismos do sistema tradicional chinês de numeração:

100

1 000

O interesse do sistema chinês na comparação com o nosso reside no fato de que, como o nosso, ele também utiliza o princípio multiplicativo na composição dos números, além de também ser um sistema decimal. Veremos seu funcionamento por meio de dois exemplos:  26 2

 5 400 5

1000 +

100

O segundo sistema de numeração chinês que comentaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, sendo que cada posição é marcada por um único símbolo. A tabela a seguir indica os dez primeiros algarismos do sistema chinês de barras:

A partir dos números maiores que 9, a escrita passa a ser feita como veremos nos exemplos adiante:  8 326

 934 Note na escrita dos números anteriores que o espaçamento entre as posições de unidade, dezena, centena etc. deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver ambiguidade na leitura

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

e na compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas. As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, milhões, etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades de casas pares (dezenas, milhares, centenas de milhar, dezenas de milhões, etc.) com barras horizontais. Segue adiante a tabela de barras horizontais e alguns exemplos de números nessa nova forma de escrita:

Exemplos:  536

 98 432 É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade de significado dos símbolos, que o sistema mesopotâmico não conseguiu resolver, porém também lidava com a dificuldade de não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000, etc. Além disso, uma única barra vertical podia corresponder tanto ao 1 quanto ao 100, ao 10 000, ao 100 000, etc. A solução encontrada por alguns foi deixar um espaço vazio na posição que corresponderia ao zero, sendo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o sistema de

barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação. 14. Usando apenas três barras verticais, escreva todos os números possíveis no sistema posicional chinês de numeração (resolva este exercício utilizando a escrita apenas com barras verticais). |||  3 | ||  12 || |  21 Observação: infinitas outras possibilidades poderiam ser elaboradas se incorporássemos espaçamentos com o significado de zero na posição correspondente ao espaçamento.

Sistema binário de numeração e os computadores Uma vez tendo conhecido sistemas posicionais de base 10, 20 e 60, poderíamos nos fazer a seguinte pergunta: será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de outras bases? A resposta a essa pergunta é sim, e a aplicação está muito mais perto de nós do que podemos imaginar: os computadores. Veja em que contexto isso ocorre. Os elementos radioeletrônicos (válvulas, semicondutores) empregados nos computadores são dispositivos construídos para responder a sinais elétricos. Podemos dar dois tipos diferentes de comandos para um dispositivo com essa característica, que são: “deixe passar a corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar a corrente elétrica” (desligue). A linguagem mais adequada para programar uma máquina

como essa é a binária (sistema de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga” e 0 para “desliga”. Em um sistema binário, os algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2 para formar os números. Veja alguns exemplos em que transformamos números do sistema decimal para o binário:

1 = 1 . 20 ⇒ 1 2 = 1 . 21 + 0 . 20 ⇒ 10 3 = 1 . 21 + 1 . 20 ⇒ 11

Será um número par. 16. Se um número binário termina em 00, o que podemos afirmar sobre seu correspondente no sistema decimal? É um múltiplo de 4. 17. Faça a conta armada de adição dos números binários 1101 e 101.

4 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 ⇒ 100

10010.

19 = 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 10011

18. Na informática se diz que 1 byte corresponde a 8 bits. Sabendo que cada bit pode assumir valor 0 ou 1, calcule quantas são as possibilidades de combinações diferentes de 0 e 1 em um byte.

1024 = ··· ⇒ 10000000000

Na computação, os algarismos 0 e 1 usados no sistema binário são chamados de bits, termo que deriva do inglês “binary digits” (dígitos binários). Em geral, quando escrevemos os números no sistema binário gastamos mais bits do que o número de dígitos que gastaríamos no sistema decimal (ex.: 1 024, que é escrito com quatro dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário). Esse fato, que constituiria um enorme problema para a capacidade limitada de memória do homem, não é um problema para o computador, que possui uma enorme capacidade de armazenamento de dados. Finalizaremos a discussão sobre a Situação de Aprendizagem 1 com a apresentação de alguns exercícios para a reflexão sobre o sistema binário de numeração. Tais exercícios podem ser realizados em situação de discussão coletiva envolvendo o professor e seus alunos.

15. Se um número binário termina em zero, o que podemos dizer sobre seu correspondente no sistema decimal?

2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades. 19. Escreva o ano das Olimpíadas de Pequim (2008) no sistema binário de numeração. 11111011000. 20. (Atividade com uso de calculadora) Para quantificar a “capacidade de memória” dos computadores e dos periféricos que armazenam dados (disquetes, CDs, pen drives), costuma-se usar múltiplos do byte (B), como indica a tabela a seguir: Nome

Símbolo

Valor atribuído

Quilobyte

210 B

Megabyte

210 KB

Gigabyte

210 MB

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Quantos bytes cabem em um disquete com capacidade de 1,44 MB? E em um CD de 700 MB? Aproximadamente 1 509 949 bytes no disquete e 734 003 200 bytes no CD (o professor poderá também pedir conversões para bits).

Considerações sobre a avaliação O tema tratado nesta Situação de Aprendizagem pode ser avaliado por meio de provas, listas de exercícios ou trabalhos em grupo. Nas provas ou listas de exercícios o professor pode explorar as ideias que foram abordadas nos exercícios apresentados nesta Situação de Aprendizagem. Porém, é importante destacar que muitos desses exercícios foram elaborados e colocados neste material não com a intenção de serem diretamente transpostos para uma lista de exercícios para aluno, mas sim com o objetivo de sinalizar possibilidades de abordagem dos temas desenvolvidos. Recomendamos que os exercícios deste material sejam analisados e adaptados de forma que o professor crie seu próprio material de aula, adequado ao seu planejamento e às características particulares de suas turmas. Com relação ao trabalho em grupo, propomos que o professor divida a classe em dez grupos. Cada grupo terá de pesquisar e apresentar um sistema de numeração de algum povo antigo. Caso o professor deseje que os grupos trabalhem os mesmos sistemas que foram apresentados em classe, dois grupos se responsabilizarão pela apresentação do sistema egípcio, dois pelo sistema mesopotâmico,

dois pelo sistema maia, dois pelo sistema romano e dois pelo sistema chinês. Alguns desafios que podem ser colocados para cada grupo são: f Os grupos devem preparar uma apresentação para a classe dando conta de esclarecer o funcionamento do sistema e descrever suas características em comparação com o nosso. f Os grupos devem apresentar para a classe uma breve descrição histórica do povo antigo cujo sistema de numeração está sendo investigado. Essa descrição pode ser feita com o acompanhamento dos professores de História e Geografia. f Os grupos devem pesquisar e trazer para a classe pelo menos uma nova informação sobre o sistema de numeração investigado que não tenha sido apresentada ou comentada pelo professor na classe (exemplo de questões que podem ser apresentadas: como os romanos escreviam números muito grandes? Quais são as hipóteses sobre o uso da base 20 no sistema maia de numeração? Quais as semelhanças e diferenças entre o sistema chinês antigo e o sistema chinês atual de numeração?). Caso o professor prefira, poderá também pedir que os grupos pesquisem outros sistemas antigos de numeração, como o dos gregos e o dos hebreus. Recomendamos que os critérios de avaliação dos trabalhos incluam a capacidade do grupo de responder às dúvidas da classe em relação ao tema apresentado.

Outro trabalho individual ou em grupo que pode ser proposto é a criação de um sistema de numeração. O professor pode preestabelecer as características do sistema ou dar liberdade para que cada um crie seu próprio sistema. Caso o professor opte por não estabelecer as características do sistema, é importante que ao menos sejam estabelecidas duas regras: 1) o sistema não pode ter ambiguidade de escrita; 2) o sistema não pode permitir duplicidade de escrita dos números. Essas regras podem servir de parâmetro para o professor avaliar a compreensão dos alunos sobre como deve ser estabelecida a lógica de um sistema funcional e operacional de numeração. Outro conteúdo matemático que pode ser avaliado com base em temas apresentados nesta Situação de Aprendizagem é o trabalho com potências. Tanto na escrita dos sistemas posicionais de numeração dos povos antigos quanto no trabalho com o sistema binário e

os computadores o professor deve encontrar bom manancial para o trabalho com potências e suas propriedades operacionais. Outro aspecto que deve estar claro é que o estudo feito nesta Situação de Aprendizagem tem como objetivo central melhorar a compreensão do aluno sobre a estrutura de funcionamento do sistema indo-arábico posicional decimal de numeração. É importante, portanto, que frequentemente o professor sinalize esse caminho e avalie os resultados também sob esse ponto de vista. Como fonte de pesquisa para os trabalhos dos alunos e para a elaboração de atividades do professor, relacionamos algumas referências bibliográficas sobre o assunto ao final do Caderno. Pesquisas na internet também constituem uma valiosa ajuda para os trabalhos em grupo, uma vez que muita informação sobre sistemas de numeração de povos antigos pode ser encontrada na rede eletrônica.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 FRAçÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: potências; frações: equivalentes, relação entre fração e decimais, novos significados para fração; decimais (revisão da soma, subtração e multiplicação/aprendizagem da divisão). Competências e habilidades: estabelecer relação entre conceitos e linguagens: frações/decimais/ porcentagem; saber identificar e reconhecer informações numéricas envolvendo frações e decimais em contextos diversificados. Estratégias: resolução de situações-problema; uso de malhas quadriculadas e de figuras.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nosso sistema de numeração é posicional, de base 10, e nele conseguimos escrever qualquer número natural utilizando apenas dez símbolos, que são os algarismos de 0 a 9. O primeiro fato que nos interessa é mostrar que tal sistema pode ser estendido para a representação de números não inteiros, bastando para isso interpretar os algarismos à direita da vírgula como indicativos de divisões por potências de 10, como vemos no exemplo a seguir da representação do número 4735,8902: 4

 103

 102

 101

 100

4 milhares 7 centenas

3 partes de 1 bolo que foi dividido em 4 partes

÷ 10

8 décimos

9 centésimos

0 milésimos

2 décimos de milésimos

3 , que pode significar três partes 4 de um bolo que foi dividido em quatro partes iguais, pode também significar a divisão de três bolos igualmente por quatro crianças. No caso da segunda interpretação, um bom método para realizar a tarefa seria pegar cada um dos bolos e dividi-los em quatro partes iguais, cabendo uma parte para cada criança: A fração

3 dezenas 5 unidades

÷ 10

todo (denominador)”, cabendo nesse momento estabelecer a equivalência entre essa ideia e a de que uma fração representa também o resultado da divisão do numerador pelo denominador. Essa equivalência, apesar de motivação supostamente natural, deve ser mostrada para o aluno. Veja um caminho possível para isso.

O trabalho com potências de expoentes negativos normalmente é feito na 7ª- série, mas o exemplo anterior também pode ser utilizado para a atribuição de significado às potências de expoentes negativos, bastando para isso que se trabalhem regularidades e equivalência: ÷ 101 é equivalente a  10–1, ÷ 102 é equivalente a  10–2, etc. É provável que a concepção sobre fração que o aluno adquiriu nas séries anteriores seja a de uma “relação entre parte (numerador) e

3 bolos divididos igualmente entre 4 crianças

Se quatro crianças querem repartir igualmente três bolos, a porção de bolo que caberá a cada uma pode ser expressa por 3 ÷ 4; no caso analisado, as figuras indicam que cada 3 de um bolo. Então, as excriança receberá 4 3 e 3 ÷ 4 têm de ser equivalentes. pressões 4 Incorporar a ideia de que uma fração, como 3 , deve ser interpretada como o “resultado 4

de uma divisão” prepara o caminho para discussões na 7ª- série sobre os números racionais, já que a fração passa agora a assumir status de número. Essa não é uma ideia simples e, portanto, será compreendida e incorporada pelos alunos gradativamente ao longo do ano. Um exemplo que pode favorecer discussões a respeito da linguagem matemática e, em particular, do novo significado atribuído às frações é: 8 ou 2 . 2 são expressões 2 + 2 ou 12 ÷ 3 ou 2 simbólicas para o mesmo número, o 4. Neste momento, uma lista de exercícios focada na questão da ampliação do campo da linguagem matemática, nos novos significados dados às frações, na equivalência de significados e, ainda, na introdução de ideias que serão trabalhadas mais adiante no curso – como a divisão de números com vírgula – contribuirá para a aceleração do processo de aprendizagem. Professor, apresentamos a seguir uma lista de exercícios para sua reflexão sobre possibilidades de abordagem do assunto tratado. 1. Um professor propôs para seus alunos o seguinte problema: Cláudia tem 18 1 do arametros de arame. Ela corta 5 me para fazer uma tela que será usada na nova casa do seu cachorro. Que comprimento de arame ela vai utilizar na construção dessa tela? Justifique sua resposta. Veja a resposta dada por três estudantes: João: 3,6 metros porque 18 ÷ 5 é igual a 3,6. Ana:

1 de 15 é igual a 3. Como eu quero 5

1 de 18, e 18 = 15 + 3, então o com5 primento usado de arame será “3 mais 1 de 3”. 5 1 léo: em decimal é 0,2, então, eu mul5 tipliquei 0,2 por 18 e obtive 3,6. Qual(is) dos estudantes está(ão) certo(s)? Os três estão certos. Observação: Ana encaminhou o problema para 3 o número misto 3 . 5 2 2. Mostre, por meio de desenhos, que é 5 equivalente a 2 ÷ 5. (Para este exercício o aluno deverá ter visto antes a equivalência 3 e 3 ÷ 4 por meio de figuras.) entre 4

Cada pessoa receberá 2 ÷ 5 de uma pizza

3. Pinte nas três malhas a seguir o cor2 20 1 respondente às frações , e 10 100 5 respectivamente. Em seguida, responda: o que se pode concluir sobre essas frações?

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Com exercícios semelhantes a esse o professor pode trabalhar a ideia de frações equivalentes.

4. Em relação ao número 2,48, podemos fazer sua leitura de inúmeras maneiras diferentes como, por exemplo: a) 2 inteiros, 4 décimos e 8 centésimos; b) 2 inteiros e 48 centésimos; c) 248 centésimos. Utilizando as sequências horizontais de quadrados a seguir, pinte-as corretamente para a representação do número 2,48 de acordo com cada uma das três leituras, mostrando em seguida a equivalência entre elas. a)

Note que a área total pintada em cada sequência é a mesma. Uma convenção que deve ser feita sox bre a notação de fração é a de que y ela também pode representar uma divisão de x por y não inteiros. Sendo assim, podemos representar, por exemplo, o resultado da divisão de 2,38 por 0,4 2,38 com a fração . Ao multiplicarmos 0,4 o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número encontramos uma fração equivalente, portanto, 2,38 238 2,38 . 100 = . Esse proce= 0,4 40 0,4 . 100 dimento indica que toda divisão entre números decimais pode ser convertida em uma divisão de números inteiros, bastando para isso utilizar a ideia de frações equivalentes. No caso do exemplo, dividir 2,38 por 0,4 é equivalente a dividir 238 por 40. Note que o encaminhamento dado permite que se discuta a regra prática de armar a conta de divisão com os decimais e, em seguida, “igualar as casas depois da vírgula e desprezar as vírgulas”. A exploração dessa regra prática também pode ser feita utilizando-se apenas x como a ideia de significado da fração y

sendo o “número de vezes que y cabe em x” (nesse caso estamos considerando x e y inteiros), como veremos a seguir em cima do mesmo exemplo já trabalhado. Os decimais 2,38 e 0,4 são equivalente às 4 238 . Portanto, dividir 2,38 e frações 100 10 por 0,4 é equivalente a fazer a divisão 4 238 . Se transformarmos essas fra÷ 100 10 ções em frações de mesmo denominador, realizar a divisão se reduz a fazer uma divisão entre numeradores que, nesse caso, serão números inteiros. Assim, 40 4 238 238 é equivalente a ÷ , ÷ 100 10 100 100 que é equivalente a dividir 238 por 40, 4 cabe porque o número de vezes que 10 238 em é igual ao número de vezes que 100 40 cabe em 238. Em resumo, toda divisão entre decimais pode ser transformada em uma divisão de inteiros, sendo que o procedimento que normalmente se usa para isso na conta armada (“igualar as casas depois da vírgula e desprezar as vírgulas”) pode ser justificado por meio de discussões como as que foram apresentadas. 5. Encontre números inteiros cuja divisão dê o mesmo quociente que o das seguintes divisões: a) 4,3 ÷ 1,25; b) 0,005 ÷ 0,2; c) 12,28 ÷ 3,2. Algumas possíveis soluções são: a) 86 e 25

b) 1 e 40

c) 307 e 80

Considerações sobre a avaliação Boa parte dos temas desenvolvidos nesta Situação de Aprendizagem foi explorada utilizando-se como recurso as figuras e as malhas quadriculadas. Entendemos que tais instrumentos podem favorecer a compreensão dos alunos sobre o conceito de fração e suas diferentes representações e, dessa forma, recomendamos que o professor também os utilize em alguma das avaliações a serem propostas aos estudantes. Ao final do trabalho com a Situação de Aprendizagem apresentada, o aluno deve x compreender a fração como relação pary te-todo, como representação de um número, como representação da divisão de x por y e como porcentagem de alguma coisa. É provável que essas ideias sejam mais bem incorporadas ao longo de todo o ano letivo, porém, é importante que neste momento o professor crie instrumentos de avaliação que deem conta de identificar quais desses significados e interpretações foram apropriados pelos alunos e quais devem ser retomados. A passagem da notação de uma fração para a notação decimal (dízima ou decimal finita) é uma habilidade que deve ser verificada, bem como a habilidade de converter um decimal finito em fração irredutível. Nesta proposta de planejamento, a conversão das dízimas periódicas em frações será tema tratado na 7ª- série, contudo, o professor pode pedir que seus alunos convertam dízimas mais simples e de uso frequente em frações irredutíveis, tais 1 1 como 0,333... em , 0,111... em , 0,666... 3 19 2 em , etc. 3

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 MULTIPLICAçãO E DIVISãO COM FRAçÕES tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: frações: multiplicação e divisão; decimais. Competências e habilidades: ampliar as operações aritméticas com frações resolvendo problemas com multiplicação e divisão; fazer transferência entre linguagens e identificar operações de multiplicação e divisão com frações em contextos concretos; utilizar a ideia de equivalência como um recurso na resolução de problemas aritméticos com frações; compreender o uso do conectivo “de” na linguagem escrita/oral quando associado a uma operação com frações. Estratégias: resolução de situações-problema; uso de figuras (barras particionadas).

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Um dos objetivos da 6ª- série com o estudo das frações é o de ampliar o universo das operações para a multiplicação e a divisão. De acordo com esta proposta curricular, na 5ª- série o aluno já terá se iniciado no estudo da multiplicação de fração por número inteiro e, agora, essa ideia deve ser ampliada para a multiplicação de fração por fração. Ao final da série, é desejável que os alunos saibam que o resultado da multiplicação de duas frações será uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores das frações que estão sendo multiplicadas, e o denominador é o produto dos denominadores dessas frações. Porém, antes que se chegue à mecanização desse algoritmo, é fundamental que seja trabalhado com os alunos o seu significado. A seguir será apresentada uma proposta geométrica para o trabalho com a multiplicação de frações, mas é importante que fique claro que inúmeras outras abordagens

podem ampliar de forma significativa as possibilidades de compreensão do tema, sendo a apresentada apenas uma delas. Quando trabalhamos com multiplicação de números naturais dizemos, por exemplo, que 3 . 5 pode significar “3 grupos de 5”. O primeiro fator significa quantos grupos do segundo fator nós temos, ou queremos. Na multiplicação de número inteiro por fração podemos fazer raciocínio análogo. Por exem1 significa “4 grupos de um terço”, plo: 4 . 3 1 1 1 1 1 4 = + + + = ou seja, 4 . . 3 3 3 3 3 3 Sendo o produto comutativo, outra forma de 1 1 interpretar 4 . seria . 4 e, portanto, 3 3 1 seu significado passaria a ser “ de 4”, o 3 que é o mesmo que calcular a terça parte de 4. Note que a preposição de está diretamente associada à operação de multiplicação. 3 4 . Estendendo essa ideia, calcular 4 5 3 4 é equivalente a calcular “ de ”, ou a 4 5

4 3 de ”. Compreendidos esses 5 4 aspectos de linguagem, veremos agora como justificar um algoritmo para o produto de frações por meio de argumentos geométricos calcular “

e, para isso, usaremos como exemplo o pro3 4 ∙ . duto 4 5 Utilizaremos retângulos para representar a unidade e, em seguida, os dividiremos em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par3 4 ∙ , tes iguais (marcando 4). Se queremos 4 5 então estamos interessados em encontrar 3 4 4 “ de ”, ou seja, devemos pegar da re4 5 5 3 presentação correspondente aos , o que pode 4 ser obtido por uma intersecção, como mostra a sequência de figuras:

3 pelas linhas das colunas marcadas em 4 4 marcadas em , ou seja, pelo numerador da 5 primeira fração e o numerador da segunda. Raciocínio análogo justifica o denominador da fração resultante, 20, obtido do produto de 4 por 5. A prática de situações semelhantes a essa favorece a compreensão do algoritmo do produto de frações e deve ser trabalhada, mesmo sabendo-se que o objetivo final ao longo do ano seja a mecanização de procedimentos de cálculo sem o recurso das barrinhas. É importante ainda destacar que essa forma de abordagem também pode ser feita com frações impróprias, bastando para isso iniciar o problema separando a parte inteira da parte não inteira. Por exemplo, a 7 , que corresponde a 2 inteiros mais fração 3 1 , pode ser representada por dois retângu3 1 los inteiros mais de outro retângulo. Com 3 essa representação, basta repetir os procedimentos descritos anteriormente que pode7 por remos indicar o produto da fração 3 outra fração com o uso de figuras. Também no que diz respeito à divisão de frações, muitas estratégias podem ser utilizadas. Apresentaremos na sequência um problema que favorece a utilização de argumentos geométricos para a compreensão do algoritmo.

Na contagem final de quadradinhos para representar a fração resultante da operação, 12 , o numerador 12 foi obtido do produto 20

Problema: Se para pintar

2 de uma lata de tinta dão 3

3 de uma parede, que fração da 4

parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta?

MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32

4/16/09 4:35:29 PM

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Fazendo uma analogia com inteiros, se o problema se referisse a 2 latas de tinta dando para pintar 6 paredes, com 1 lata pintaríamos 3 paredes, o que pode ser concluído pela conta 6 ÷ 2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso do problema, nossa resposta 3 2 ÷ , que pode ser obtida com a divisão 4 3 3 4 também pode ser denotada por . 2 3 Se dividirmos a lata de tinta em 3 partes iguais, o problema nos diz que 2 delas foram utilizadas. Dividindo-se a parede em 4 partes iguais (linhas horizontais na figura a seguir), se subdividirmos cada parte da parede em 2 (pois foram utilizadas 2 partes de tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8 partes. Podemos imaginar, portanto, que cada parte de tinta permite pintar 3 dessas partes da parede. Logo, a lata inteira, que tem 3 partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das partes da parede. Então, a fração da parede pintada será igual a: 3 9 3.3 4 = , em que 4 . 2 é o número = 8 4.2 2 3 de partes em que foi dividida a parede e 3 . 3 é o total das partes que serão pintadas usando a 3 3 3.3 = . , obtivemos lata inteira. Como 4 2 4.2 uma expressão com produto de frações que é equivalente à expressão inicial de divisão de 6

frações. Essa equivalência pode ser utilizada para justificar o algoritmo de divisão de frações: “multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração”.

Outra estratégia que pode ser utilizada para justificar a regra da divisão de frações faz uso da ideia de frações equivalentes. Sabendo-se que multiplicar numerador e denominador de uma fração por um mesmo número gera uma fração

equivalente, então, no caso da fração6

3 4 2 3

para transformá-la em uma fração com numerador e denominador inteiros temos de multiplicar numerador e denominador por um número que seja simultaneamente múltiplo de 4 e de 3. Como m.m.c. (4, 3) = 12, um múltiplo7 que cumpre nosso objetivo é o 12. Note que, multiplicando-se numerador e denominador da fração por 12, a regra prática de divisão de frações também aparece naturalmente:

Lembramos mais uma vez que estamos convencionando a notação de fração como uma divisão, não necessariamente entre inteiros. O m.m.c. é o menor múltiplo que resolve nosso problema, contudo, é importante que os alunos percebam que qualquer múltiplo comum resolveria a questão.

3 4 2 3

12 . = 12 .

3 4 2 3

3 3 9 3.3 ∙ = = 4 2 8 4.2

O trabalho com exercícios de multiplicação e divisão de frações deve ser feito com dois objetivos: fixação das regras práticas e aplicação em situações-problema. Em um primeiro momento, é desejável que seja dada maior ênfase à resolução de situações-problema do que à fixação das regras, uma vez que por meio das estratégias particulares utilizadas pelos alunos a regra prática poderá ganhar significado naturalmente. A seguir apresentamos uma pequena lista de problemas interessantes no contexto desse assunto. 3 de uma 1. João colocou em uma jarra 4 garrafa de refrigerante. O conteúdo da jarra foi repartido igualmente entre 6 pessoas. Calcule a fração do refrigerante que havia inicialmente na garrafa que coube a cada uma das 6 pessoas. 1 8 1 de hora para terminar 4 suas três tarefas de casa. Se ela dividir igualmente o tempo entre as tarefas, quantas horas ela terá de dedicar a cada uma?

2. Laura tem 3

1 1 e horas, ou ainda, sabendo-se que 12 12 de 60 minutos são 5 minutos, 1h05. 1e

Este problema sinaliza a importância de trabalhar a linguagem dos números mistos.

3. Rita comprou chocolate a granel e pa3 de quilo. Qual o gou R$ 7,20 por 4 preço do quilo do chocolate que Rita comprou? R$ 9,60. Este problema sugere a importância de trabalhar contextos em que apareçam tanto números com vírgula quanto frações. 7 do tanque A usan4. Podemos encher 8 2 do da água contida no tanque B. 3 Supondo-se o tanque A completamente vazio, que fração do tanque B seria necessária para encher o tanque A? 16 21

Considerações sobre a avaliação Espera-se que ao final desta Situação de Aprendizagem o aluno esteja habilitado a operar multiplicações e divisões com frações. O reconhecimento e a interpretação dessas operações devem ser trabalhados com o uso de recursos geométricos (partições de barras), porém também é desejável que o aluno comece gradativamente a trabalhar com destreza a multiplicação e a divisão de frações. O professor pode avaliar a aprendizagem por meio de provas e também de fichas de exercícios, mas deve ter em vista que a incorporação plena das estratégias de cálculo com multiplicação e divisão de frações só se dará ao longo do ano, com a retomada do assunto em outros momentos.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Recomenda-se também que o professor trabalhe expressões numéricas com frações, mas, sempre que possível, é preferível que esse trabalho seja feito por meio de situaçõesproblema nas quais o aluno deve encontrar (e resolver) uma expressão que represente determinada situação.

operações com decimais e com frações e sai-

Ao final da 6ª- série espera-se que o aluno saiba realizar isoladamente as quatro

artigos de jornais, revistas, textos dos livros

ba resolver expressões numéricas simples envolvendo decimais e frações. Também faz parte das expectativas de aprendizagem para a série que ele saiba ler e interpretar informações na forma de frações ou decimais em textos, sejam eles problemas de Matemática, de História, Geografia, etc.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE SINAIS tempo previsto: 2 semanas e meia. Conteúdos e temas: números negativos: contextos e aplicações; números negativos: operações e representações. Competências e habilidades: identificar a insuficiência dos naturais para a resolução de novos problemas; compreender significados associados à escrita dos números negativos, bem como operações e expressões envolvendo números negativos; compreender a ideia de ordenação com números negativos; estabelecer correspondência entre situações concretas e contextos matemáticos que justifiquem o uso de números negativos. Estratégias: resolução de situações-problema; uso de jogos e recursos lúdicos.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 A apresentação dos inteiros negativos deve ser feita buscando-se contextos reais em que os números com sinais apareçam como, por exemplo, nas escalas termométricas, na linha do tempo ou na indicação dos andares “abaixo do térreo” de um edifício. Uma ideia que também deve ficar clara é a de que os inteiros negativos podem ser conceituados a partir da ideia de simetria em relação aos inteiros

positivos na reta numerada. Não por acaso chamamos os números –3 e 3 de simétricos (ou opostos, ou relativos) em relação à origem da reta ordenada. Somar números com sinais, multiplicar número positivo por negativo e dividir número negativo por positivo são operações em que a contextualização é quase que natural. Alunos de 6ª- série relatam com certa facilidade situações que possam dar significado a essas operações, como, por exemplo:

f uma dívida de R$ 10,00 e outra dívida de R$ 15,00 são equivalentes a uma dívida de R$ 25,00, portanto, (–10) + ( –15) = –25. f se tenho R$ 240,00 no banco e dou um cheque de R$ 300,00, ficarei com um saldo devedor de R$ 60,00, portanto, 240 + (–300) = –60. f três dívidas de R$ 10,00 são equivalentes a uma dívida de R$ 30,00, portanto, 3 . (–10) = –30. f descer a profundidade de 9 metros em relação ao nível do mar em três etapas iguais significa dizer que em cada etapa teremos de descer 3 metros, portanto, –9 ÷ 3 = –3. Uma importante ideia para o trabalho com números negativos é a de que toda subtração pode ser transformada em uma soma adicionando-se o primeiro número com o oposto do segundo. Vejamos alguns exemplos dessa passagem:

3 – 5 = 3 + (–5) = –2 5 e (–5) são opostos 7 – (–3) = 7 + 3 = 10 (–3) e 3 são opostos

Em todas as situações analisadas até aqui um dos maiores desafios didáticos, além da busca de contextos concretos, é o trabalho com o uso e a compreensão da linguagem. O aluno de 5ª- série tem incorporada a ideia de que o sinal de “menos” em 5 – 3 indica a operação de subtração e deverá compreender, a partir de agora, que a expressão 5 – 3 pode ser interpretada como a soma 5 + (–3). No caso dessa nova interpretação, compreender que o sinal que está à esquerda do número é o “sinal do número” que deverá ser levado em consideração na hora de juntar (adicionar) “saldos positivos” e “dívidas” é fundamental, e isso só se concretizará para o aluno por meio de exercícios ao longo de todo o ano. O trabalho com a análise e a compreensão de extratos bancários adaptados geralmente motiva os alunos e estabelece a interpretação de algumas regras práticas de operações com números negativos de forma natural. Para preparar atividades com extratos bancários, o professor deve esclarecer o significado de alguns registros, como: a) Saldo: quanto a pessoa tem na conta, ou quanto ela deve ao banco (se o valor for negativo). b) Saque: valor que a pessoa retira de sua conta, geralmente por meio de operação junto ao caixa do banco ou no caixa eletrônico.

–10 – 4 = –10 + (–4) = –14

c) Cheque: valor que será debitado (retirado) da conta do cliente em virtude de um pagamento a terceiros.

4 e (–4) são opostos

d) depósito: valor que será acrescido à conta do cliente.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Outras operações podem ser contextualizadas e, para isso, a análise de alguns extratos bancários junto com os alunos pode ser bem ilustrativa. Veremos a seguir uma atividade com extrato bancário em que o aluno deverá interpretar situações e significados das operações indicadas, além de ter de fazer contas com números negativos. 1. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados. operação Saldo Cheque 345

Saldo (em r$) 528,00 – 145,00

Cheque 346 Saldo

310,00

Depósito

295,00

Outro tipo de operação que pode ser contextualizada por meio de extratos bancários é a de “retirada de uma retirada”. Imaginemos que um banco tenha retirado indevidamente de um cliente a quantia de R$ 100,00. Esse valor deve aparecer no extrato como “–100”. Uma vez identificado que a retirada foi um equívoco, o banco deve devolver ao cliente os R$ 100,00, que do ponto de vista contábil deve ser registrado como uma correção equivalente a retirar a retirada indevida que foi feita. Admitindo a conta de um cliente com R$ 500,00 de saldo, os registros da retirada indevida e da correção seriam assim: operação

Saque Saldo

R$ 420,00, o que significa que o cheque dado foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e ainda deixar negativa a conta em R$ 420,00. Segue, portanto, que o valor do cheque foi de 605 + 420 = 1 025. Esse valor (com sinal negativo) corresponde ao que deve ser colocado no segundo espaço borrado do extrato.

– 420,00

O cliente tinha R$ 528,00 na conta, deu um cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto, com R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque de valor desconhecido e ficou com saldo de R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73, descobre-se que o valor do cheque 346 foi de R$ 73,00. Após o depósito de R$ 295,00, o cliente ficou com 310 + 295 = 605. Após efetuar um saque de valor desconhecido, seu saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em

Saldo Retirada Saldo Correção Saldo

Saldo (em r$) 500,00 –100,00 400,00 –(–100,00) 500,00

Com essa operação, o aluno deve perceber que retirar uma retirada, que foi indicado por –(–100,00), é equivalente a devolver R$ 100,00, ou seja, –(–100) = 100.

2. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados. operação

Saldo (em r$)

–250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00. Como o saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00, segue que o depósito feito foi suficiente para reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00 para um saldo negativo de R$ 80,00. Fazendo a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito indicado no segundo espaço borrado foi de R$ 90,00.

Saldo Cheque 165 Depósito Saldo Correção Cheque 166

–380,00 560,00 –250,00 –(–400,00) –320,00

Depósito Saldo

–80,00

A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo de R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um cheque de R$ 380,00 implicam uma operação de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que nos cabe responder agora é: qual é o saldo a partir do qual um acréscimo de R$ 180,00 deixa como saldo final –R$ 250,00? Certamente o saldo inicial era negativo em um valor que, quando somado com R$ 180,00, resulta em –R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode ser obtido por meio da conta 180 + 250 = 430. Segue, portanto, que o primeiro valor borrado é –R$ 430,00. Partindo agora de um saldo negativo de R$ 250,00, o banco devolveu R$ 400,00 para o cliente por meio de uma correção, e o cliente deu um cheque de R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de

Problemas de extrato bancário como esse permitem que se trabalhe operações com números negativos e que se introduza, indiretamente, a ideia de equação, que também é um tema de estudo da 6ª- série.

Sempre que possível, recomenda-se que o professor explicite aos alunos a relação intradisciplinar dos conteúdos de Matemática, ou seja, que aponte a relação dos temas estudados com outros temas da Matemática, ou com outras abordagens que não propriamente a do contexto que se está estudando. Em relação ao estudo dos números negativos, um contexto intradisciplinar que pode ser explorado é o dos gráficos. Uma vez estabelecida a compreensão sobre ordenação dos negativos e sobre as operações de adição e subtração com negativos, o professor pode apresentar para os alunos o plano ortogonal ordenado com números inteiros e problemas envolvendo situações concretas com números inteiros apresentados em gráficos de barras ou de linhas. A seguir apresentamos algumas propostas de atividades que exploram a intradisciplinaridade entre o estudo dos números negativos e a análise e interpretação de gráficos.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

3. O gráfico indica o lucro mensal da sorveteria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros meses de um ano. Analise o gráfico e responda as perguntas abaixo.

4. O gráfico indica o número de gols que um time fez e sofreu em dez partidas do Campeonato Brasileiro de Futebol. Calcule o saldo de gols desse time por partida, e o saldo geral de gols nas dez partidas.

Lucro da sorveteria Ki-Fria 10 000 5 000 0

13 400 12 000

Gols Pró

7 500

2 400 Janeiro Fevereiro Março Abril

Gols Contra

4 000 Junho Julho Agosto

Maio

Gols

15 000

–5 000 –10 000

–7 000

–15 000 –20 000

–16 500 –18 000

a) Qual o lucro total da Ki-Fria nos oito meses? –R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”, ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”. b) Qual o lucro médio mensal da sorveteria no período analisado? (−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00. c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi publicado errado e que com a correção o lucro nos oito meses analisados passa a ser de R$ 1 500,00. Determine qual seria o lucro correto de janeiro após a correção. −2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos um lucro em janeiro que liquide o saldo negativo total de R$ 14 200,00 e que ainda deixe um lucro positivo no período de R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.

0 1

Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2 Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2 Partida 7: 0 Partida 8: –3 Partida 9: 1 Partida 10: –3 Saldo geral: –8 gols Quanto à multiplicação e à divisão de números com sinais, caberá aqui uma análise mais detalhada e, de preferência, com o uso de abordagens diversificadas. Nós nos deteremos em apresentar apenas algumas propostas para a discussão sobre o “produto de números negativos” tendo como resultado “um número positivo”, porque a divisão decorre naturalmente desse resultado, levando-se em consideração que toda divisão pode ser transformada em uma multiplicação, como se pode observar nos exemplos a seguir: 3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 . 5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 .

1 2 1 6

Discutiremos três estratégias diferentes para a discussão sobre a regra de sinais na multiplicação de números negativos e, em seguida, apresentaremos uma proposta lúdica para a fixação de ideias relacionadas às operações e à ordenação de números com sinais.

1ª- estratégia: regularidades Investigando regularidades na sequência a seguir o aluno deve perceber que: a) estamos diminuindo sempre uma unidade no primeiro fator da multiplicação; b) estamos mantendo constante o segundo fator da multiplicação;

y 1 0

-a

-b

Se os segmentos são paralelos, os lados dos triângulos formados pelos segmentos e pelos eixos são proporcionais. Chamando de –a P . P o ponto verde, temos que: Multi= 1 –b plicando-se os dois membros da igualdade por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b). Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6.

c) o produto aumenta sempre 3 unidades. Com isso, espera-se que ele preencha a lacuna e possa concluir que multiplicar dois números negativos resulta em um número positivo.

y 1 –3

(–3) . (–2) = 6

–2

4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6 1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) =

2ª- estratégia: plano cartesiano e proporcionalidade8 1. Admita que os segmentos indicados em vermelho sejam paralelos. Determine a localização do ponto marcado em verde e, em seguida, repita o procedimento mostrando que –3 . (–2) = 6. 8

3ª- estratégia: busca de contexto Imagine um tanque que possa ser esvaziado por torneira de vazão –1 litro por minuto (o sinal de menos indica que o líquido é retirado do tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro por minuto. Se podemos livremente colocar nesse tanque qualquer quantidade dessas torneiras, fica evidente que, para efeito de manutenção do fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma torneira de vazão 1 l/min”.

A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo), mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

Utilizando a linguagem numérica, teremos:

que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1, essa apresentação também tem a vantagem de constituir uma reformulação numérica da demonstração formal de que (–a) . (–b) = a . b, encontrada em muitos livros.

“retirar uma torneira de vazão –1 l/min” ⇒ –(–1) “acrescentar uma torneira de vazão 1 l/min” ⇒ +1

Como dissemos anteriormente, a regra de sinais da divisão de números negativos sai automaticamente da regra de sinais do produto porque toda divisão pode ser convertida em multiplicação. Por exemplo, sabemos que –12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de um produto de números negativos).

Portanto, segue que –(–1) = 1. O fluxo de zero torneira de vazão –1, que é igual a zero, pode ser indicado da seguinte maneira: 0 . (–1) = 0. Uma vez que podemos interpretar zero torneira como colocar e retirar uma torneira, podemos representar a nova expressão por: (1–1) . (–1) = 0.

Na 6ª- série, além de ampliar seus conhecimentos numéricos, o aluno aprende uma série de novas representações de números e operações numéricas. Em particular, as frações negativas são responsáveis por algumas confusões por unirem duas novas linguagens trabalhadas na série, a das frações e a dos números negativos. a , Assim, mostrar a equivalência entre – b –a a e torna-se necessário e é uma interesb –b sante oportunidade para retomar a ideia de fração como representação do resultado de uma divisão, e das regras de sinais nas operações com inteiros. Observe como isso pode ser feito em termos numéricos:

Utilizando a propriedade distributiva no produto, sabemos que a expressão é equivalente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0. Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um negativo”9 e sabendo-se que o resultado da conta que está do lado esquerdo do sinal de igual tem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1) tem de ser igual a 1:

1 . (–1) – 1 . (–1) = 0 –1 Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1 (–1) tem que ser o simétrico de –1 para que a igualdade seja nula. Ocorre que o simétrico de –1, que pode ser representado por –1 . (–1) é 1.

−

12 12 = − −(12 = ÷ −(412 ) =÷−43) = −3 4 4

12 −12 − = −(12 ÷ 4) = −3 = −12 ÷ 4 = −3 Além4 de contextualizar o produto4de números negativos por meio da verificação de 9

−12 −12 12 12 = −12=÷−412 = ÷ −34 = −3 = 12 ÷ 4 4 −4 −4

12 = 12 ÷ (−4) = −3 −4

A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade.

Veremos a seguir uma brincadeira que pode ser feita na sala de aula para o treino de cálculo com números negativos. O professor deve dividir as carteiras da classe em pares de fileiras. Por exemplo, em uma situação com 36 alunos, arranje-os em quatro fileiras e marque no chão duas linhas numeradas de –6 a 6. O jogo será disputado entre os pares de fileiras separadas pelas linhas numeradas (veja figura).

o 0, o aluno B dá ordem “ande 2”, A vai para 2, C vai para 0, D dá ordem “ande –3”, B vai para –3, etc. Depois que o último aluno tiver se movimentado, o primeiro dá ordem para o mesmo aluno que havia dado a primeira ordem, e assim sucessivamente. Depois que os alunos ganharem prática com os movimentos, o professor poderá dificultar as coisas estabelecendo regras para os movimentos como, por exemplo, “quero movimentos que façam duplas em um mesmo número da reta”, “quero movimentos que coloquem todos os alunos em correspondência com números pares”, etc. Alguns outros jogos para fixação das operações com números negativos podem ser encontrados nos livros didáticos e, em geral, motivam os alunos para a aprendizagem.

Considerações sobre a avaliação O trabalho com números negativos certaOs primeiros alunos das filas à direita das linhas irão para a posição 0, e os primeiros alunos das filas à esquerda das linhas darão ordens para esse aluno do tipo “ande 3”, “ande 2”, “ande –5”, etc. Depois do movimento, os segundos alunos das filas à direita ocupam a posição 0 e os segundos alunos das filas à esquerda dão ordens de movimento para eles. Depois de duas ou três séries completas de ordens dos alunos das filas à esquerda, todos voltam aos seus lugares e agora os alunos das filas à direita dão ordens de movimentos para os das filas à esquerda. Exemplo de movimento: o aluno A vai para

mente deverá ser retomado pelo professor ao longo do ano em outros momentos para que haja fixação de conceitos por parte do aluno, bem como para que se desenvolva a destreza no cálculo com negativos. No momento em que o assunto é introduzido, o professor deve dar menor atenção à avaliação de extensas expressões numéricas envolvendo números negativos, e maior atenção ao reconhecimento da linguagem e uso correto da escrita. A partir da compreensão da relação existente entre a escrita das operações com negativos e o seu cálculo formal, o caminho para a aprendizagem se torna mais tranquilo.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

As duas semanas reservadas para o assunto no bimestre certamente não serão suficientes para uma aprendizagem definitiva das regras de operação com números negativos, porém, na perspectiva de currículo em espiral, insistimos para o professor que contemple em seu planejamento a retomada do assunto em diversos outros momentos do curso. A avaliação da aprendizagem de operações com números negativos pode ser feita por meio de provas, listas de exercícios e da própria observação do professor sobre a ação do aluno durante atividades lúdicas que ele aplicar em sala de aula.

Um contexto que também pode ser utilizado para avaliação nas aulas introdutórias sobre o assunto é o de trabalhos em que o aluno tenha de procurar matérias em jornais, revistas e livros em que apareçam números negativos. Para atividades dessa natureza, o aluno poderá ser orientado para: f localizar material em que apareçam números negativos; f registrar com suas palavras o que compreendeu sobre os números e a informação a que se referem.

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO De forma geral, recomenda-se, com relação à recuperação, que o professor diversifique os instrumentos e/ou as estratégias didáticas. Assim, por exemplo, caso tenha optado por trabalhos em grupo na primeira Situação de Aprendizagem, a recuperação pode centrar-se em trabalhos individuais. Por outro lado, caso tenha optado por provas, a recuperação pode ser realizada por meio de trabalhos em grupo. Utilizando-se o mesmo princípio, a recuperação para a Situação de Aprendizagem 2 pode tomar por base a inserção de um novo recurso didático, no caso a calculadora. Por meio de uma atividade experimental com esse instrumento, o professor poderá desencadear

uma situação na qual os alunos levantem suas hipóteses sobre o significado de frações como divisões, bem como sobre o significado de frações equivalentes. Com relação aos alunos que não atingiram as expectativas nas duas últimas Situações de Aprendizagem desenvolvidas para o bimestre, o professor pode propor novas listas de exercícios, diversificando estratégias de abordagem dos conceitos. Para isso, pode apoiar-se também em livros didáticos que apresentem propostas diferenciadas sobre o assunto e, portanto, possam ser utilizados como recurso para o preparo de listas de exercícios e avaliações para alunos em processo de recuperação.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA

Referências bibliográficas para aprofundamento: FOMIN, I. Sistemas de numeração. São Paulo: Atual, 1995. COSTA, E. M. da. Matemática e origami: trabalhando com frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. EXPERIêNCIAS Matemáticas 5ª- série. São Paulo: SE/CENP, 1994. GUELLI, O. Números com sinais: uma grande invenção. São Paulo: Ática, 1995. (Coleção Contando a história da Matemática, no- 7). IFRAH, Georges. Os números, a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1998.

Conteúdos Sistema de numeração na Antiguidade Frações

IMENES, L. M.; Jakubovic, J.; Lellis, M. Números negativos. São Paulo: Atual, 1996. (Coleção Para que serve a Matemática?). IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1989. IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: a numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1989. SMOOTHEY, M. Números. São Paulo: Scipione, 1995. (Coleção Investigação matemática). A tabela a seguir mostra onde estão contemplados os conteúdos do 1º- bimestre da 6ª- série, nas edições de Experiências Matemáticas:

Atividade (5a série) 1 e 2 (5a série) 23, 27, 29 (6a série) 13, 14

Números decimais

(5a série) 17, 18, 22

Números negativos

(6a série) 4, 5, 9

Página 17 e 29 225, 271, 293 159, 169 157, 165, 215 49, 63, 111

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

CONSIDERAçÕES FINAIS Os conteúdos do 1º- bimestre da 6ª- série estão todos relacionados ao eixo números, incluindo a aprendizagem de novos números, de outras operações com números já conhecidos e de uma ampliação no campo das representações. O professor deve estar atento ao fato de que a consolidação das ideias trabalhadas no bimestre só ocorrerá ao longo do ano letivo. É de esperar, por exemplo, que, ao final do 1º- bimestre, muitos alunos ainda não estejam com destreza e agilidade nos novos cálculos com números negativos, frações e decimais, o que não implica dizer que não houve aprendizagem. Diversificar os instrumentos avaliativos contribuirá não só para possibilitar ao aluno diferentes meios de expressar sua compreensão dos conceitos, como também para que o professor avalie adequadamente a distância entre a aprendizagem realizada e a aprendizagem que se espera acerca dos temas tratados. Nesse sentido, sugere-se, além das provas, que se avaliem listas de exercício, os registros feitos pelos alunos (caderno, tarefas de casa, anotações pessoais) e a produção dos grupos de trabalho. No que diz respeito às produções feitas em pequenos grupos, é importante que, a partir de objetivos bem definidos, o professor possa fazer observações sobre a participação solidária dos integrantes, a organização dos grupos, a prontidão diante das instruções dadas etc. O tema “sistemas de numeração de povos antigos” nos parece bastante apropriado para trabalhos em equipe, uma vez que os

alunos podem investigar, do ponto de vista matemático, sistemas de numeração não trabalhados em classe (gregos, hebreus, chineses). Outra atividade interessante que pode ser feita é a criação de sistemas de numeração por parte dos alunos. Para isso, é importante que o professor defina com clareza as regras para que o trabalho tenha consistência. Um exemplo de regras que podem cumprir tal objetivo é: o sistema tem de ser posicional e com uma base que não seja 10. A seguir, relacionamos os conteúdos específicos do bimestre, que devem ser avaliados segundo a grade proposta e suas respectivas expectativas de aprendizagem: f Sistema posicional de numeração: o aluno deve conseguir fazer a transposição da linguagem oral para a linguagem da escrita numérica e compreender o seu significado. Por exemplo, ele deverá saber que 23,58 são 2 dezenas, 3 unidades, 5 décimos da unidade e 8 centésimos da unidade. f Números decimais: a soma, a subtração e a multiplicação de decimais devem estar sistematizadas e a divisão deverá estar bem encaminhada. Entende-se por “bem encaminhada” a compreensão de que toda divisão de decimais pode ser feita dividindo-se números inteiros específicos. Pequenos erros no algoritmo da divisão ainda podem ser tolerados neste momento,

mas devem servir de sinalizador para o professor da necessidade ou não de retomada do assunto. f Frações: o aluno deve saber multiplicar e dividir frações. É possível que, ao sistematizar a multiplicação de frações, o professor identifique alunos que estejam errando a operação de soma de frações avaliando equivocadamente, por analogia, que somar frações é “somar numerador com numerador e denominador com denominador”. Outro equívoco frequente que também pode ocorrer neste momento é o de transformar as frações de uma multiplicação em frações de mesmo denominador. Nesse caso, o aluno está transferindo por analogia os procedimentos da adição de frações para a multiplicação. É importante que o professor sinalize que nesse caso o equívoco

não implica erro, mas dificulta desnecessariamente os cálculos. f Outro aspecto importante que deve ser avaliado refere-se à compreensão dos novos significados atribuídos às frações. f Números negativos: o aluno deverá conseguir fazer as quatro operações com inteiros de forma isolada. Ao longo do ano deseja-se que ele consiga fazer essas operações em expressões, mas, para isso, ele deverá incorporar com segurança as convenções de linguagem. Por fim, é importante que se diga que, na medida do possível, o professor deverá trabalhar os conteúdos de maneira contextualizada e desafiadora, e um bom caminho metodológico para isso é o explorar situações-problema com significado e que exijam reflexão crítica por parte do aluno.

Matemática – 6ª- série, 1o bimestre

CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE/BIMESTRE

DO ENSINO FUNDAMENTAL

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

5a- série nÚMEroS nAturAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações básicas. - Introdução às potências. FrAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

nÚMEroS dECiMAiS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

6a- série nÚMEroS nAturAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal. nÚMEroS intEiroS - Representação. - Operações. nÚMEroS rACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

7a- série nÚMEroS rACionAiS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz. PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros.

8a- série nÚMEroS rEAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

trAtAMEnto dA inForMAção - A linguagem das potências.

GEoMEtriA/MEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

álGEbrA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álGEbrA - Equações do 2º- grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1º- e 2º- graus.

GEoMEtriA/MEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

nÚMEroS/ ProPorCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: . trAtAMEnto dA inForMAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

álGEbrA/EQuAçõES - Equações de 1º- grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações do 1º- grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

GEoMEtriA/MEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métrica entre triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

trAtAMEnto dA inForMAção - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álGEbrA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

GEoMEtriA/MEdidAS - Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

GEoMEtriA/MEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SiStEMAS dE MEdidA - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal.

trAtAMEnto dA inForMAção - Contagem indireta e probabilidade.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.