MATEMATICA_CP_6s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

6ª- SÉRiE volume 4 - 2009

matEmática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6ª série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-437-7 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Investigando sequências por aritmética e álgebra Situação de Aprendizagem 2 – Equações e fórmulas

Situação de Aprendizagem 3 – Equações, perguntas e balanças

Situação de Aprendizagem 4 – Proporcionalidade, equações e a regra de três Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 47 Conteúdos de Matemática por série / bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno introdução ao estudo das equações nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Generalização de padrões e sequências Fórmulas e equações Procedimentos de resolução: equivalência e operação inversa Proporcionalidade e regra de três

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado nos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades, de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para tratá-lo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado, em menos tempo. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma delas contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor −

em sua circunstância particular, e considerando prioritariamente o seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados − pode determinar adequadamente o tempo a ser dedicado a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem. Entretanto, a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas e que sirva de modelo ou inspiração para a criação de outras atividades. Sempre que possível, são apresentados também, em cada Caderno, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.

Matemática – 6ª- série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre O Caderno do 4-o bimestre tem como objetivo principal apresentar e discutir algumas estratégias de ensino para a introdução do uso de letras na Matemática e para a resolução de equações de 1-o grau. O estudo da Álgebra no Ensino Fundamental inicia-se, de forma organizada e intencional, na 6-a série, com o uso de letras para representar valores desconhecidos, relações entre grandezas e padrões e regularidades numéricas. O aluno deve tomar contato com equações simples e saber resolvê-las usando diferentes estratégias. O conteúdo relacionado a esse tema é vasto, e não pretendemos esgotar o assunto neste Caderno. Como os livros didáticos já tratam desse assunto de maneira sistemática, pretendemos trazer algumas contribuições com relação à abordagem desse tema na 6-a série. Na Situação de Aprendizagem 1, o foco das atividades é o reconhecimento de padrões em figuras e em sequências numéricas. Um dos objetivos da Álgebra é justamente a representação de regularidades por meio da linguagem simbólica da Matemática. Apresentamos uma série de atividades envolvendo a descoberta de padrões e regularidades e sua posterior representação na forma algébrica. A Situação de Aprendizagem 2 explora a relação entre fórmulas e equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação explícita de “resolvê-las”. A fórmula possui um contexto que lhe é inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem

do aluno. Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer com que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se preocupar com técnicas e métodos de resolução. São apresentados alguns exemplos de fórmulas de diversas áreas do conhecimento, como Economia, Física, Saúde, etc. Na Situação de Aprendizagem 3, o foco do trabalho é a resolução de equações. Exploramos duas linhas principais. A primeira envolve um tipo de resolução mais imediato, ao enxergar uma equação como uma pergunta do tipo: Qual é o número que satisfaz determinadas operações aritméticas? Por meio de um raciocínio aritmético, o aluno é capaz de resolver determinado tipo de equação usando apenas operações inversas. A segunda linha de resolução está relacionada à ideia de equivalência. Faremos uso da analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança, a fim de facilitar a compreensão dos alunos com relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os lados de uma equação. Nesse caso, discutiremos as vantagens e os limites do uso dessa imagem para ajudar na compreensão dos processos de resolução de equações. Por fim, na última Situação de Aprendizagem, retomaremos algumas das noções de proporcionalidade trabalhadas anteriormente para introduzir a regra de três. No Caderno do 3-o bimestre, a abordagem dessas noções priorizou a análise de tabelas e o conceito de razão. Agora, dentro do contexto do estudo das equações, podemos introduzir o procedimento da regra de três como forma de resolução de problemas envolvendo proporcionalidade.

Consideramos que essas quatro Situações de Aprendizagem compõem um panorama de estratégias, bastante amplo e diversificado, para introduzir o uso de letras na Matemática. É preciso ter em vista que esse processo terá continuidade ao longo das séries seguintes e que, neste primeiro momento, procuramos valorizar a construção do significado para o uso de letras e para a resolução de equações. Apesar disso, o professor não deve se sentir inibido em apresentar os processos práticos para a resolução de equações, desde que os seus princípios sejam discutidos e compreendidos pelos alunos. Reiteramos que as Situações de Aprendizagem apresentadas ao longo deste Caderno são sugestões de trabalho que podem inspirar a ação do professor em sala de aula. A adoção de uma ou outra situação deve depender não apenas do projeto de ensino do professor, como também das características de cada turma. O professor pode e deve ampliar ou

modificar as atividades propostas, desde que os objetivos mínimos de aprendizagem sejam alcançados. Contamos com a leitura cuidadosa das propostas aqui apresentadas e esperamos que elas possam contribuir para uma aprendizagem efetiva dos alunos com relação à Álgebra, importante ramo da Matemática.

Quadro geral de conteúdos do 4º- bimestre da 6ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – O uso de letras na Matemática. unidade 2 – O uso de letras na Matemática. unidade 3 – Fórmulas e equações. unidade 4 – Incógnitas e variáveis. unidade 5 – Resolução de equações. unidade 6 – Resolução de equações. unidade 7 – Proporcionalidade e equações. unidade 8 – Regra de três.

Matemática – 6ª- série – Volume 4

SituAçõES dE APREndizAgEm SItUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 INvEStIGANDO SEqUêNCIAS POR ARItMÉtICA E ÁlGEBRA tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; resto da divisão; sequências numéricas; uso de letras para representar problemas. Competências e habilidades: realizar generalizações, utilizando a linguagem escrita e expressões matemáticas que envolvem o uso de letras. Estratégias: investigar sequências de figuras com a finalidade de identificar padrões e representá-los por meio da linguagem escrita; investigar sequências numéricas para aprimorar a percepção indutiva de regularidades e para iniciar um trabalho com o uso de letras para representar o padrão identificado.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Um dos objetivos centrais do processo de ensino e aprendizagem da Álgebra é generalizar regularidades. O uso de letras para representar, por exemplo, o padrão de uma determinada sequência numérica é um dos recursos que a Álgebra nos permite. Nesse caso, a generalização de uma sequência numérica com o uso de expressões algébricas pode ser útil para determinar números específicos da sequência sem recorrer a processos aritméticos. Nesta Situação de Aprendizagem, apresentamos uma proposta de trabalho com sequências, numéricas ou não, como forma de motivação para a busca de expressões algébricas. Antes do trabalho com sequências numéricas, propomos que sejam exploradas algumas sequências de padrão geométrico ou figurativo para explorar noções como:

f representação do padrão da sequência, por meio de palavras, figuras ou símbolos; f uso de recursos aritméticos para identificação de termos da sequência; f problematização da necessidade de atribuir números que identifiquem posições da sequência. Pretendemos, com as atividades apresentadas a seguir, analisar com o professor a intenção específica de cada uma dessas perguntas, bem como mostrar as possibilidades de discussão com os alunos a partir dessas atividades. O Caderno do Aluno propõe algumas destas atividades, além de outras semelhantes. Portanto, sinalizamos a importância da leitura atenta dos comentários apresentados na resolução das atividades. Problema 1 – Observe com atenção a sequência a seguir:

f identificação do padrão da sequência;

a) qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão? Em geral, os alunos identificam com facilida. Contudo, de que o próximo símbolo será é possível que alguns alunos digam que o próximo símbolo será apenas , o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência com a alternância das barras e . Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito com o seguinte tipo de pergunta: será que podemos afirmar que a sequência é formada pelas figuras e em alternância? O que nos impede de dizer que as figuras indicadas em cada ? posição da sequência são do tipo Essas perguntas têm o objetivo de problematizar a importância do uso de algum marcador claro que identifique cada uma das posições da sequência. Ao solicitar que os alunos pensem sobre como a dúvida levantada pelo professor poderia ser eliminada, é provável que apareçam respostas como: f

podemos separar os símbolos por um espaço ou por vírgula: ,

podemos numerar cada posição: 1

A vantagem da 2ª- alternativa em relação à 1ª- é que podemos nos referir de forma clara e precisa a qualquer termo da sequência. O item b da atividade já faz uso da numeração ordinal e, provavelmente, deverá induzir

naturalmente os alunos a pensarem na opção de numeração dos termos da sequência. b) qual símbolo deve ser colocado na 19-a a posição da sequência? E na 20-? O aluno poderá montar a continuação da sequência até os termos solicitados ou poderá identificar algum padrão que permita estabelecer a correspondência direta entre os elementos da sequência e suas respectivas posições.Caso a maioria dos alunos resolva a questão apenas por montagem da sequência, é importante que o professor acrescente alguma pergunta sobre um termo mais distante, como, 573ª- posição, para que, naturalmente, o aluno perceba a importância de buscar uma alternativa à simples montagem dos termos em sequência. c) Escreva uma regra que permita identificar exatamente o símbolo correspondente a cada uma das posições da sequência. A identificação e o registro escrito da regra constituem uma etapa importante da aprendizagem. Recomendamos que o professor valorize a troca de respostas entre os alunos para que todos possam conhecer, além da sua, outras maneiras de resolver o problema. Outro aspecto que o professor pode trabalhar é o do correto registro escrito do que se está querendo representar. É possível que muitos alunos consigam explicar oralmente o padrão da sequência, mas que tenham dificuldades em registrar sua conclusão em uma frase ou em um parágrafo. O trabalho com a correspondência entre a expressão oral e o registro escrito valoriza a importância do uso correto da língua materna em duas de suas dimensões mais importantes. Duas respostas possíveis para a questão são:

Matemática – 6ª- série – Volume 4

f nas posições ímpares, a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares a linha está deitada para a esquerda; f quando a posição indica um múltiplo de 2, teremos . Caso contrário, teremos . listamos a seguir outras sequências que podem ser utilizadas para atividades como a que acabamos de propor: Sequência 1

2 3 4

5 6 7

8 9

Sequência 2

Sequência 4

Na Sequência 4, deve-se perceber que o padrão de repetição ocorre de 3 em 3, permitindo identificar que, nas posições indicadas por um número que deixe resto 1 na divisão por 3, teremos uma barrinha com marca horizontal no centro do retângulo. Para a identificação das demais figuras, podem-se indicar, como nos outros casos analisados, suas posições em relação à da figura representada nas posições 1, 4, 7, etc., como no exemplo a seguir: Que figura ocupa a 344ª- posição?

Sequência 3

a essa aparecem setas idênticas com a ponta superior do lado esquerdo. Na Sequência 3, solicitar que os alunos identifiquem a forma das setas por meio de uma frase descritiva, e não por meio do desenho, consiste em um interessante desafio, pois eles deverão usar palavras como direita/esquerda, abaixo/acima, etc.

Na Sequência 1, o aluno deverá perceber que a repetição de um símbolo ocorre a cada três posições e, nesse caso, a regra de formação da sequência pode ser escrita da seguinte maneira: nas posições indicadas por múltiplos de 3 aparece o símbolo | e nas duas seguintes a ela os símbolos e , respectivamente. Padrão semelhante pode ser identificado na Sequência 3: nas posições indicadas por múltiplos de 3 aparece o símbolo da seta com ponta superior do lado direito e nas duas posições subsequentes

Como na divisão de 344 por 3 sobra resto 2, sabemos que 343 deixaria resto 1 na divisão por 3 e, portanto, seria uma posição com uma barra marcada no centro do retângulo. Assim, a 344ª- posição tem uma barra com marca na parte superior do retângulo.

Na Sequência 2, pode-se usar a identificação dos símbolos pelas posições pares e ímpares. Apresentaremos a seguir um estudo sobre o resto da divisão que poderá ser generalizado para explorar a identificação dos termos de muitas sequências. Problema 2 – Observe a sequência a seguir e responda às perguntas.

a) qual é a próxima figura da sequência?

b) Como podemos descrever com palavras as posições em que encontramos a figura ♠? Inicialmente, identificaremos as posições das figuras na sequência da seguinte forma: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Com essa correspondência, espera-se que os alunos percebam que a figura ♠ ocupa as posições 4, 8, 12, 16, ... , ou seja, posições correspondentes a um múltiplo de 4. Sugerimos que o professor diga aos alunos que outra forma de nos referirmos aos termos da sequência dos múltiplos de 4 é: números que “deixam resto zero na divisão por 4”. Essa forma de identificação será útil para a sequência do exercício. c) Como podemos descrever em palavras as posições onde encontramos as figuras , e ? As posições ocupadas por são as de número 2, 6, 10, 14, 18, ... , ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2”, ou, dizendo de outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na divisão por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3 na divisão por 4”), e as posições da figura são identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 1” (ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”). d) qual é a figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? Os dois itens anteriores servem para preparar uma estratégia de ação para resolver este item. Após a discussão feita, espera-se

que o aluno perceba, com a orientação do professor, que a nova tarefa consiste em saber se 263 é um múltiplo de 4 ( ), um múltiplo de 4 acrescido de 1 ( ), um múltiplo de 4 acrescido de 2 ( )ou um múltiplo de 4 acrescido de 3 ( ). A análise que deve ser feita fica simplificada se verificarmos o resto da divisão de 263 por 4. Se o resto for 0, a figura será ; se o resto for 1, a figura será ; se o resto for 2, ela será ; e se o resto for 3, será . Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será . Investigações sobre o resto de uma divisão podem ser utilizadas sempre que temos uma sequência em que determinado padrão aritmético se repete. Analisaremos a seguir duas situações aplicadas em que a análise do resto de uma divisão nos auxilia na resolução do problema em questão. Problema 3 – Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega: 2ª- feira

Região 1

Região 7

...

3ª- feira

Região 2

Região 8

...

4ª- feira

Região 3

Região 9

...

5ª- feira

Região 4

Região 10

...

6ª- feira

Região 5

Região 11

...

Sábado

Região 6

Região 12

...

a) Em que dia da semana a região 129 será atendida pela entrega de gás? 2ª- feira: regiões 1, 7, 13, 19, ... (números que deixam resto 1 na divisão por 6); 3ª- feira: regiões 2, 8, 14, 20, ... (números que deixam resto 2 na divisão por 6);

Matemática – 6ª- série – Volume 4

4ª- feira: regiões 3, 9, 15, 21, ... (números que deixam resto 3 na divisão por 6); 5ª- feira: regiões 4, 10, 16, 22, ... (números que deixam resto 4 na divisão por 6); 6ª- feira: regiões 5, 11, 17, 23, ... (números que deixam resto 5 na divisão por 6); Sábado: regiões 6, 12, 18, 24, ... (números que deixam resto 0 na divisão por 6). Como 129 deixa resto 3 na divisão por 6, então essa região será servida por distribuição as feiras. de gás às 4-

ou 5. Podemos dizer que estamos agrupando as regiões em classes de equivalência definidas pelos possíveis restos da divisão por 6 (a ideia de classe de equivalência será explorada em mais detalhes em uma Situação de Aprendizagem apresentada na 7-a série). Problema 4 – Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repetição do algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas: 70 = 1 71 = 7

b) Como podemos descrever, em palavras, as regiões servidas pela entrega de gás às quintas-feiras? A análise feita no item anterior deve ser suficiente para que o aluno descreva as regiões as feiras que recebem distribuição de gás às 5por meio de uma das seguintes formas: f regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6; f regiões cujo número é um múltiplo de 6 acrescido de 4. É natural que se faça a discussão sobre as razões de investigarmos a divisibilidade por 6 nessa atividade. Fazendo uma analogia com a atividade dos naipes do baralho, em que estes se repetiam de 4 em 4, no caso da distribuição de gás, temos seis dias da semana que se repetem sucessivamente ao longo da sequência dos números das regiões. Essa analogia serve para que se compreenda que, no caso do problema do gás, cada dia da semana se repete a cada seis regiões. Nesse caso, dividindo-se o número de uma região por 6, esperamos resto 0, 1, 2, 3, 4

72 = 49 = a) qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7179? Completando mais algumas potências, teremos: 70 = 1 71 =7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401 75 = 16 807 76 = 117 649 ... No item a, o aluno deve perceber que a casa das unidades das potências de 7 só poderá ser 1, 7, 9 ou 3. Começando com 1 e multiplicando o resultado por 7, obteremos um número de final 7 (porque 7 . 1 = 7). Multiplicando esse resultado por 7, obteremos um número de final 9 (porque 7 . 7 = 49). Se estamos interessados em saber apenas a

casa da unidade da multiplicação de 49 por 7, só precisamos multiplicar 7 . 9 e olhar para a casa da unidade do resultado, que é 3. Agora, multiplicando-se um número de final 3 por 7, o resultado terá final 1, e toda a sequência de finais voltará a se repetir. Organizando as informações em uma tabela, teremos: Expoente da potência de 7

Algarismos da unidade do resultado da potência

1, 5, 9, 13, ...

2, 6, 10, 14, ...

3, 7, 11, 15, ...

4, 8, 12, 16, ...

Deve-se observar agora que a sequência de expoentes que deixam algarismo 1 na casa das unidades do resultado é a sequência dos números que deixam resto 0 na divisão por 4 (ou dos múltiplos de 4). De forma análoga, as sequências de expoentes que deixam algarismos da unidade no resultado iguais a 7, 9 e 3 são, respectivamente, as dos números que deixam resto 1, 2 e 3 na divisão por 4. Essa análise é suficiente para concluir que devemos investigar o resto da divisão de 179 por 4 para descobrir a casa da unidade de 7179. Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado da potência terá o algarismo da unidade igual a 3. b) qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica 7100 + 7150 + 5? Nesse item, teremos que descobrir inicialmente a casa da unidade das potências 7100

e 7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de 150 por 4. No primeiro caso, o resto é 0, o que implica casa das unidades igual a 1. No segundo, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos, portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5. tanto no item a) como no item b), o professor deve discutir com os alunos que potências como 7179 e 7100 + 7150 + 5 são números muito grandes e que teríamos muitas dificuldades em identificar a casa das unidades fazendo diretamente a conta de cada uma das potências. A ideia de valorização do raciocínio lógico-dedutivo pode ser explorada de forma muito rica nesta atividade, em que o aluno irá empregar o conhecimento que aprendeu sobre identificação de padrões, utilizando o resto de uma divisão em uma situação típica de resolução de problemas. Na prática, a lógica dedutiva permitiu que encontrássemos o algarismo da unidade de potências grandes sem precisarmos calcular o seu resultado, o que não seria uma tarefa simples. Convidamos o professor a elaborar outras atividades com potências de outras bases para que seus alunos pratiquem o raciocínio desenvolvido na atividade que acabamos de apresentar.

usando letras na representação de padrões Nos problemas anteriores, trabalhamos com sequências figuradas e numéricas e nosso principal objetivo foi identificar regularidades

Matemática – 6ª- série – Volume 4

e representá-las com o uso da linguagem escrita ou de recursos aritméticos. Nossa próxima atividade tem o objetivo de estabelecer um ambiente favorável para o uso de letras na representação dos padrões identificados de forma indutiva. veremos, com os problemas propostos, como trabalhar com fórmulas recursivas e não recursivas na representação de regularidades. Mais uma vez, convidamos o professor a ler com atenção os comentários das atividades, porque neles estão as justificativas da proposta de trabalho, bem como as sugestões de desdobramentos que podem ser feitos. Problema 5 – Observe as sequências de bolinhas e responda às perguntas:

o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência em palavras é: somamos sempre duas bolinhas em cada etapa com relação à etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras, seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição. c) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula com essa letra que determine corretamente o número de bolinhas de cada figura. 2P – 1

a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar a posição 5.

b) Escreva em palavras o padrão de formação dessa sequência. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o padrão da sequência, há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral, podemos agrupá-las em duas categorias: a das representações chamadas recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e a das não recursivas, em que

Em um primeiro momento, tanto a forma recursiva quanto a não recursiva de representação do padrão de uma sequência devem ser aceitas e valorizadas. Contudo, é importante que o aluno perceba que as fórmulas não recursivas são mais úteis porque podemos utilizá-las diretamente para determinar o número de bolinhas de uma posição qualquer. quando trabalhamos com sequências muito difíceis em que conseguimos identificar apenas uma fórmula recursiva, se tivermos que determinar o total de bolinhas de uma posição muito distante do início da sequência, certamente precisaremos do auxílio de calculadoras ou computadores. Essa discussão permite que o aluno compreenda que as fórmulas recursivas não constituem um problema para um computador, que tem uma memória muito grande para armazenar informações, mas podem limitar significativamente nosso poder de

decisão sobre o número de bolinhas de uma sequência se não tivermos o auxílio da máquina. Nesse sentido, ao longo do trabalho com sequências, o professor deve incentivar seus alunos a identificar fórmulas não recursivas para a representação de padrões. A notação apropriada para a escrita das fórmulas é outro aspecto que também deve ser trabalhado. Nas fórmulas recursivas, devemos trabalhar com o uso de índices, enquanto nas não recursivas a escrita pode ser significativamente mais simples e concisa. Em ambos os casos, o professor terá que dedicar um tempo para que o aluno se familiarize com o uso de letras na representação das fórmulas. Nossa proposta de ação metodológica é que o professor discuta com a classe alguns exemplos para que, em seguida, os alunos possam resolver outros problemas de sequências com autonomia. No Problema 5, é muito provável que a maioria dos alunos encontre a solução recursiva, e não a outra. Uma forma de problematizarmos a necessidade de uma fórmula não recursiva seria propor que o aluno determinasse o número de bolinhas de uma posição muito distante da origem, como, a posição 437. A apresentação desse desafio faz com que o aluno perceba a necessidade de desenvolver um domínio aritmético sobre a sequência que o liberte da dependência dos termos anteriores para determinar os posteriores. Caso o aluno descubra uma forma não recursiva de cálculo, é importante que o professor solicite que ele a registre em palavras, porque a partir desse registro será feita a transposição para a linguagem matemática das expressões com letras.

Se o aluno identificou o padrão da sequência por recursividade, o professor deverá trabalhar com a classe o uso de uma linguagem clara para representar esse padrão com o uso de fórmulas. Recomendamos que, em um primeiro momento, o professor dê liberdade para que seus alunos criem seus próprios símbolos e notações e, em um segundo momento, propomos que se apresente a notação com índices. Uma maneira de representar o total de bolinhas da posição P com uma fórmula recursiva é: Chamaremos o número de bolinhas das posições da sequência de P1, P2, P3, … Na posição 1, temos P1 bolinhas (P1 = 1). Em qualquer outra posição n, teremos 2 + PN–1

Uma possível representação não recursiva para o total de bolinhas da posição P é: Na posição 1, temos 1 bolinha. Nas demais posições, temos 1 + 2 . (P – 1) bolinhas.

Dois detalhes devem ser destacados nesse momento: f é muito provável que haja dificuldades na passagem da linguagem oral (ou escrita) para as expressões com letras, sejam elas recursivas ou não recursivas, e, portanto, a mediação do professor é essencial para o êxito da atividade. Recomendamos que o professor trabalhe com alguns exemplos para que o aluno vá se familiarizando aos poucos com a notação e com a proposta da atividade e que trabalhe com uma boa sequência de exercícios;

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f o professor deverá sempre incentivar os alunos na busca de sequências não recursivas. É interessante mostrar a eles formas diferentes de trabalhar com a sequência de bolinhas na busca de uma fórmula não recursiva, como veremos nos exemplos a seguir.

Nessa figura, marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em todas as posições e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição. Com base nessa figura, o professor pode pedir a seus alunos que contem o número de pares de bolinhas marcadas pelo mesmo tom de azul em cada figura e que relacionem o total de pares com a posição P de cada figura. Note que na posição 2 temos 1 par, na posição 3 temos 2 pares, na posição 4 temos 3 pares, na 5 temos 4 pares e, de forma geral, em uma posição P qualquer teremos P – 1 pares. Segue que o total de bolinhas de cada posição será 1 + 2.(P–1). Outra maneira de trabalhar o reconhecimento da fórmula não recursiva é por meio de rearranjos das bolinhas em suas respectivas posições:

Observe que rearranjamos as bolinhas de maneira a aproximar a figura de um retângulo. Em seguida, completamos os retângulos com bolinhas vermelhas que devem ser descontadas no final, porque não fazem parte da sequência. Nesse caso, olhando para a figura da direita, o aluno pode fazer a contagem multiplicando largura e altura dos retângulos e descontando uma bolinha no final. A largura dos retângulos é dada pelo próprio número P da posição da figura, e a altura é constante e igual a 2. Segue, portanto, que a fórmula procurada pode ser escrita da seguinte maneira: 2.P–1. Outra atividade interessante é mostrar para os alunos a equivalência entre as fórmulas 1+2(P–1) e 2P–1, o que pode servir de estratégia para falar, por exemplo, da propriedade distributiva. No Caderno da 7a série, exploraremos mais detalhadamente esse tipo de abordagem, mas nada impede que o professor trabalhe com suas turmas de 6a série, se julgar conveniente. Apresentamos a seguir outras sequências que também podem ser usadas em problemas como o que acabamos de fazer. No Caderno do Aluno há uma proposta de atividade envolvendo as sequências aqui apresentadas.

Sequência 1

Sequência 4: 4P – 1 Sequência 5: 5P – 2 Sequência 6: 4P

Sequência 2

Considerações sobre a avaliação

Sequência 3

Sequência 4

Sequência 5

Sequência 6

Algumas respostas possíveis: Sequência 1: P + 4 Sequência 2: P + 2(P + 1) Sequência 3: 1 + 4(P – 1)

Nesta Situação de Aprendizagem foram propostas situações com a finalidade de trabalhar a identificação e a representação de padrões em sequências, por meio da linguagem escrita e da linguagem matemática algébrica, e o uso de recursos aritméticos para a identificação indutiva do padrão de sequências. Consideramos como pré-requisitos mínimos da atividade: que o aluno consiga representar sequências simples com o uso de letras e fórmulas não recursivas, compreendendo a noção de variável de uma fórmula; e que o aluno consiga utilizar as noções de múltiplo e de resto de uma divisão para resolver problemas. Para que da atividade se obtenha êxito no desenvolvimento, é importante que o professor prepare outras sequências com figuras ou números para que os alunos possam praticar as habilidades: a observação, a generalização e o registro algébrico. A avaliação de aprendizagem pode ser feita por meio de provas individuais ou de jogos em equipes. Se optar por jogos, o professor pode preparar e disponibilizar sequências para que os grupos de alunos descubram fórmulas recursivas e não recursivas. O sistema de pontuação pode ser determinado pelo professor ou negociado com a classe. Propomos ao professor que trabalhe e avalie os estudos com múltiplos e resto da divisão com listas de exercícios e provas individuais.

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SItUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 EqUAçõES E FóRMUlAS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: letras para representar números ou grandezas; valor numérico de uma fórmula/expressão algébrica. Competências e habilidades: ler e interpretar enunciados; transpor linguagem escrita para algébrica e vice-versa; resolver equações. Estratégias: resolução de problemas usando fórmulas relacionadas a diferentes contextos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesse contato do aluno com a Álgebra, a exploração de fórmulas constitui uma estratégia eficaz para introduzir o uso de letras em Matemática. Elas podem ser facilmente manipuladas pelos alunos, sem a preocupação explícita de “resolver” uma equação. Além disso, o contexto inerente a uma fórmula constitui uma forma de dar significado ao uso das letras, à substituição destas por valores numéricos e, também, a alguns princípios de resolução, que serão apresentados formalmente mais à frente. A ideia central que deve nortear o trabalho com fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer. Por exemplo, se escrevermos a fórmula do perímetro do quadrado como P = 4 . a, o aluno deve perceber que, substituindo a letra a por qualquer número positivo que represente a medida do lado de um quadrado, obtém-se como resultado o perímetro desse quadrado. Embora, neste caso, a letra a não possa assumir valores negativos, é possível obter o perímetro de qualquer quadrado conhecendo-se a medida de seu lado.

Essa capacidade de generalização de uma propriedade ou relação é o que caracteriza uma fórmula. Ela permite que enxerguemos a estrutura dessa relação entre diferentes grandezas. A fórmula P = 4 . a nos diz que o perímetro de um quadrado corresponde a 4 vezes a medida de seu lado. Olhando por outra perspectiva, o lado a de um quadrado corresponde à quarta parte do seu perímetro P, o que é expresso P pela fórmula a = . A distinção entre fórmula e 4 equação é sutil. Ambas são sentenças matemáticas que envolvem uma igualdade e o uso de letras. O que caracteriza uma equação é o fato de ela sempre representar uma pergunta. Por exemplo, a equação 2x + y = 5 é uma pergunta do tipo: Quais são os valores de x e y que tornam essa igualdade verdadeira? A fórmula, por sua vez, não é necessariamente uma pergunta. Ela é uma igualdade que expressa a relação entre duas ou mais grandezas. Essas grandezas são representadas por letras, como no caso da fórmula da área do círculo, A = π.r2. A fórmula será uma equação quando expressar uma pergunta. Por exemplo: Qual é a área de um círculo de raio igual a 3? Para responder a essa pergunta, resolvemos a equação A = π.32, cujo resultado é A = 9π.

Há uma gama enorme de fórmulas que podem ser exploradas em sala de aula pelo professor, desde as ligadas diretamente à Matemática até fórmulas relacionadas a outras áreas do conhecimento. A Matemática fornece inúmeras fórmulas, seja para o cálculo de áreas, perímetros e volumes de figuras geométricas, seja para a determinação de um número em uma sequência numérica, cálculo de médias, determinação das raízes de uma equação de 2o grau, etc. As ciências, em geral, principalmente a Física, possuem um vasto repertório de fórmulas que podem ser usadas. Fórmulas ligadas ao cotidiano, como o cálculo do Imposto de Renda ou do consumo de energia em uma residência, constituem exemplos bastante significativos para trabalhar com os alunos. Com o objetivo de facilitar a compreensão do aluno sobre o uso de letras na Matemática, apresentaremos, a seguir, alguns problemas que exploram o uso de fórmulas. Pretendemos, também, fornecer alguns exemplos para ampliar o repertório de fórmulas que podem ser usadas em sala de aula. Ao manipular as fórmulas, os alunos podem se deparar com situações que exijam a resolução de equações. Nesse estágio do aprendizado sobre equações, é importante deixar o aluno resolvê-las por meio de tentativas ou pelo raciocínio heurístico. A heurística é entendida, neste contexto, como um processo não formal de resolução de problemas, no qual o aluno pode chegar a um resultado usando um raciocínio não convencional. Desse modo, uma equação pode ser resolvida por estratégias diferentes daquelas que normalmente faríamos com o uso das técnicas e dos procedimentos algébricos tradicionais.

1. Fórmulas relacionadas à geometria Podemos iniciar esta atividade solicitando aos alunos que procurem no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir desta lista, o professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias, envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de resultados a partir de valores numéricos, etc. A seguir, apresentaremos exemplos de situações que podem ser desenvolvidas nesse sentido, propostas também no Caderno do Aluno com algumas alterações.

Perímetro de um retângulo Problema 1 – vamos partir de uma situação concreta de cálculo do perímetro de um retângulo. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença matemática correspondente a essa operação. 6 cm

4 cm

P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm? P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42 P = 45 + 84 P = 129

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c) E o perímetro de um retângulo de lados iguais a a e b?

P=a+a+b+b

Comente com os alunos que a sentença anterior é equivalente a escrever P = 2.a + 2.b Portanto, a fórmula do perímetro de um retângulo de lados a e b quaisquer é: P = 2a + 2b a

d) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo de modo que seu perímetro seja igual a 36 cm. Solução em aberto. Em um primeiro momento, este problema pode ser resolvido livremente pelos alunos por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar em seguida como ficaria a resolução usando a fórmula do perímetro. Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficará assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou 36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b será 10.

Área de um triângulo retângulo Problema 2 – A fórmula para o cálculo da .h , área de um triângulo qualquer é A = 2 onde A representa a medida da área, a medida de um lado e h a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c representado a seguir.

a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para um triângulo retângulo de lados a, b e c? Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao outro cateto, podemos escrever a fórmula da área como ab A = ___ . 2 É importante observar que, neste item, a interpretação das medidas do lado e da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas letras ( e h) por outras duas letras (a e b). Nos próximos itens, o objetivo é trabalhar o procedimento de substituição por números na fórmula, obtendo o resultado desejado. b) Calcule a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 3 cm e 4 cm. a.b 3.4 A = _____ = _____ = 6. Portanto, A = 6 cm2. 2 2 c) Calcule a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm. 28 . 32 a.b A = _____ = ______ = 448. 2 2 Portanto, A = 448 cm2. d) A área de um triângulo retângulo é conhecida e igual a 144 cm2. Usando a a.b fórmula A = _____ 2 , descubra quais dos

valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo. i – 12 cm e 25 cm. ii – 14 cm e 24 cm. iii – 16 cm e 18 cm. iV – 17 cm e 17 cm. O único par de valores que corresponde à área conhecida é 16 cm e 18 cm. a.b 16.18 A = ____ = ______ = 144 cm2. 2 2 e) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm2 e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto. Neste caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido e, por isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e a por 10, obtemos a 10.b seguinte igualdade: 40 = _____ . A equação 2 subsequente corresponde à seguinte pergunta: qual o valor de b que multiplicado por 10 e dividido por 2 resulta em 40? Os alunos provavelmente não terão dificuldade para concluir que b vale 8.

2. média aritmética A fórmula da média aritmética é bem conhecida pelos alunos, principalmente quando têm que calcular os resultados obtidos em diversas avaliações. Ela constitui um exemplo rico para explorar outras características de uma fórmula. No próximo exercício, vamos aproveitar uma situação cotidiana para propor aos alunos que escrevam a fórmula da média aritmética

para dois ou mais valores. Partiremos de uma situação concreta para, em seguida, solicitar a generalização com letras. a) Um aluno obteve as seguintes notas nas provas de Matemática: 6 e 7,5. Escreva a sentença matemática para calcular a média aritmética obtida por esse aluno nessa disciplina. (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75. b) tendo como base a sentença do item anterior, escreva uma fórmula para calcular a média aritmética m de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b. Generalizando a ideia de que a média aritmética entre dois valores é obtida somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode a+b ser escrita como: M( a , b ) = _____ ou M( a , b ) = 2 = (a + b) 4 2 . Neste último caso, é importante ressaltar com os alunos o significado dos parênteses na sentença matemática. c) Escreva a fórmula para calcular a média aritmética m de três valores quaisquer, representados por a, b e c. De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3. a + b + c. M( a , b, c ) = _________ 3 d) Use a fórmula encontrada no item anterior e calcule a média aritmética dos números 19, 24 e 35. 19 + 24 + 35 M( 19 , 24, 35 ) = ____________ = 26. 3

e) Um aluno obteve notas 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que a média aritmética das três provas seja igual a 6?

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A fórmula para calcular a média aritmética das notas das três provas P1, P2 e P3 é: P1 + P2 + P3 M(P , P , P ) = __________. Substituindo-se os 3 valores das provas P1 e P2, e o valor da média desejada, obtemos a seguinte expressão: 13+P3 5,5+7,5+P3 6 = ___________ ou 6 = ______ . 3 3 1

Neste caso, podemos olhar para a 2a equação como uma pergunta do tipo: qual o valor que adicionado a 13 e cuja soma dividida por 3 resulta em 6? Mesmo sem utilizar nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6a série é capaz de responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5.

3. Fórmulas relacionadas à Economia Muitas das fórmulas que são publicadas em jornais e revistas referem-se a cálculos econômicos e financeiros. Os exemplos mais conhecidos são as fórmulas de juros simples e compostos, do cálculo de impostos, taxas de câmbio, etc. Saber utilizar essas fórmulas é importante para o cidadão interpretar e atuar sobre a realidade econômico-financeira vigente. vamos explorar, como exemplo, o cálculo do Imposto de Renda mensal aplicado sobre os rendimentos de uma pessoa. Esta pode ser uma oportunidade para conversar com os alunos sobre alguns conceitos relacionados à Economia. O que são os impostos, quem arrecada, para onde vai o dinheiro, como se cobra esse tributo, o que é o Imposto de Renda, etc. Para a atividade a seguir, comente que o Imposto de Renda incide sobre os rendimentos de uma pessoa (como o salário mensal). Ele é

calculado com base em uma porcentagem (alíquota) cobrada de forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais. Analisando a tabela a seguir, mostre aos alunos que se os rendimentos forem abaixo de determinado valor não se paga imposto. Para certos valores, o imposto cobrado é de 15% sobre a remuneração mensal, menos uma parcela constante a ser deduzida. Para a faixa seguinte, a alíquota é maior (27,5%) e a parcela a deduzir, também. Antes de iniciar a atividade, procure relembrar os alunos dos principais procedimentos relacionados ao cálculo com porcentagens: f como expressar uma porcentagem na forma de fração ou na forma decimal; f como calcular a porcentagem de um valor. Nas atividades seguintes, recomenda-se o uso da calculadora para efetuar os cálculos. Dessa forma, os alunos podem se concentrar mais no uso da fórmula, que é o objetivo principal da Situação de Aprendizagem.

O cálculo do Imposto de Renda tabela progressiva para o cálculo mensal do imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2008, ano-calendário de 2007 base de cálculo mensal em R$

Alíquota %

Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1 313,69

–

De 1 313,70 até 2 625,12

15,0

197,05

Acima de 2 625,12

27,5

525,19

Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ ContribFont.htm>. Acesso em: 27 jul. 2009.

a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 1 500,00 de rendimento mensal. 1a etapa: calcular 15% de R$ 1 500,00 15 22 500 ____ . 1 500 = ______ = 225 100

100

São R$ 225,00. 2a etapa: parcela a deduzir 225 – 197,05 = 27,95 O imposto a ser retido é de R$ 27,95. b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 15%. Represente o imposto a ser pago pela letra i e a remuneração pela letra R.

Usamos comumente a palavra “peso” para nos referir à massa de uma pessoa, embora, na Física, tais termos possuam significados distintos.

A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o valor do IMC. Classificação

imC (kg/m²)

Magreza severa

Menor que 16

Abaixo do peso

Menor que 18,5

Peso normal

Entre 18,5 e 24,99

c) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%.

Sobrepeso/pré-obesidade

Entre 25,0 e 29,99

I = 27,5% . R – 525,19, ou I = 0,275 . R – 525,19

Obesidade

Entre 30,0 e 39,99

d) Use uma das fórmulas para calcular o imposto devido sobre o valor de R$ 3 000,00.

Obesidade de alto grau

Maior que 40,0

I = 15% . R – 197,05, ou I = 0,15 .R – 197,05

Neste caso, usamos a fórmula com alíquota de 27,5%. I = 0,275 . 3 000 – 525,19 = 299,81. O imposto a ser cobrado é de R$ 299,81.

4. Fórmula relacionada à saúde O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilogramas de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela Organização Mundial da Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção saudável entre massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como

p ,onde p é o peso, em a2 quilograma, e a é a altura, em metro.

mostra a fórmula I =

Fonte: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 16 jul. 2009.

Para a realização das atividades a seguir, recomenda-se que os alunos usem uma calculadora. O objetivo principal da atividade é menos a habilidade de calcular e mais a percepção das relações entre os parâmetros da fórmula. a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela? 65 I = ____2 , I ≈ 25,4. Esse valor encontra-se no 1,6 intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de sobrepeso. b) Os resultados a seguir referem-se às medidas de peso e altura de um grupo de adultos. Calcule o IMC para cada par de medidas e classifique-os conforme a tabela fornecida.

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f Pessoa A: 72 kg e 1,72 m IMC = 24,34, peso normal. f Pessoa B: 84 kg e 1,77 m IMC = 26,81, sobrepeso. f Pessoa C: 54 kg e 1,60 m IMC = 21,1, peso normal. f Pessoa D: 60 kg e 1,82 m IMC = 18,11, abaixo do peso. c) qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar dentro da categoria de peso normal segundo a tabela? (Dica para o aluno: calcular o peso para um IMC igual a 25. A pessoa deverá ter um peso menor que o obtido nesse cálculo.)

Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda livre que estejam próximos à superfície da terra, desprezando os efeitos da resistência do ar. Por meio dela, podemos determinar com relativa precisão a distância em metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, a partir do repouso, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre. vamos explorar, a seguir, algumas situações relacionadas ao movimento de um corpo em queda livre. Problema 1 – Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a água. Use a fórmula anteriormente referida para determinar a altura aproximada dessa ponte.

Substituindo-se os valores fornecidos na fórp p mula, temos: 25 = ou 25 = . 2 2, 99 1, 73 Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se reduz a saber qual o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é 75. Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg para que seu IMC se situe na categoria de peso normal.

5. Fórmulas relacionadas à Física A Física fornece um vasto repertório de fórmulas que podem ser exploradas juntamente com os alunos. Uma das fórmulas mais conhecidas é a que relaciona a distância aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda: d = 5.t2.

Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5 . 72, ou seja, d = 245. Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos. Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros. 2. Um paraquedista saltou de um avião a 3 500 metros de altura. Considerando desprezível a resistência do ar, calcule a distância percorrida pelo esportista a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores de d e de t.

O valor de t que satisfaz a igualdade acima é 20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos.

0s 1s

A situação do paraquedista pode servir de exemplo para discutir com os alunos que a distância percorrida não é diretamente proporcional ao tempo, mas, sim, ao quadrado do tempo. As razões entre o tempo e a distância calculados na tabela do item 2 não são constantes 1 3 2 , etc.). Solicite aos alunos que ≠ ( ≠ 5 20 45 montem uma tabela relacionando a distância percorrida com o quadrado do tempo e calculem a razão entre as duas grandezas. As razões obtidas, neste caso, serão constantes, o que mostra que: d ∼ t2

5s tempo t (segundos)

distância d (metros)

80 125

a) Assinale, no desenho, as distâncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de queda. Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e 3 segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45 metros. b) O paraquedista deverá abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3 500 metros de altura, determine o tempo de queda livre antes que ele acione o paraquedas. Ele deverá percorrer 3 500 – 1 500 = 2 000 metros em queda livre. Substituindo esse valor na fórmula, obtemos: 2 000 = 5.t2

125

d t2

Considerações sobre a avaliação O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é familiarizar o aluno com o uso de letras em Matemática, por meio da exploração de situações-problema envolvendo fórmulas. Entre os objetivos mínimos de aprendizagem que devem ser alcançados, destacamos os seguintes: interpretar uma fórmula; saber substituir as letras de uma fórmula pelos valores numéricos correspondentes; representar relações matemáticas simples por meio de letras; resolver equações usando o raciocínio aritmético básico. As atividades propostas constituem exemplos de situações que podem ser utilizadas para avaliar a aprendizagem dos alunos em provas. O professor também pode propor outras atividades similares, envolvendo fórmulas diferentes ligadas às mais diversas áreas do conhecimento.

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SItUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 EqUAçõES, PERGUNtAS E BAlANçAS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equações de 1o grau com uma incógnita. Competências e habilidades: transpor a linguagem escrita para a algébrica; resolver equações de 1o grau por meio de operações inversas e por equivalência. Estratégias: proposição de atividades e exercícios envolvendo equações.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 O objetivo desta Situação de Aprendizagem é introduzir alguns procedimentos para resolver equações de 1o grau com uma incógnita. Uma equação nada mais é do que uma pergunta feita em linguagem matemática, usando números, letras e o sinal de igualdade. A existência de uma letra cujo valor se quer descobrir (incógnita) é o que faz da equação

Interpretar a equação com cuidado é importante para evitar equívocos na resolução. Sendo x um número natural, a equação 2(x – 1) = 6 deve ser diferenciada da equação 2x – 1 = 6. A primeira é uma pergunta do tipo: Qual é o número natural cujo dobro de seu antecessor é igual a 6? (resposta: x = 4). A segunda é: Qual é o número natural cujo antecessor do dobro é igual a 6? (resposta: não existe tal número natural). Essa distinção é fundamental para justificar o uso dos parênteses na primeira equação.

o equivalente a uma pergunta na língua materna. Mesmo dentro de um contexto exclusivamente matemático, uma equação como 2x + 3 = 13 pode ser entendida como uma

No Caderno do Aluno são propostas situações para ser traduzidas por meio de equações.

pergunta do tipo: qual é o número cujo dobro somado com 3 resulta em 13? Por meio de um raciocínio exclusivamente aritmético, um aluno da 6a série é capaz de obter a resposta a essa pergunta. Se o dobro de um número somado com 3 resulta em 13, então o dobro desse número só pode ser igual a 10. Então, o número, cujo dobro é 10, é o 5.

Em seguida, discutiremos o uso da imagem da balança de pratos como analogia de uma equação. Essa imagem é frequentemente usada pelos professores e pelos livros didáticos para explicar os procedimentos de resolução de equações. Contudo, alguns cuidados devem ser tomados. A simples transposição dessa imagem para o mundo das equações não deve ser automática. O professor pode averiguar se

os alunos entendem o funcionamento de uma balança de pratos. Possivelmente, muitos alunos nunca tiveram a oportunidade de ver uma balança desse tipo, e um esclarecimento inicial pode ajudar a entender a analogia com as equações. Comente que a balança também pode representar uma situação de desequilíbrio, o que será explorado mais adiante quando do estudo das inequações. O uso da analogia entre balanças e equações se baseia na aproximação entre o equilíbrio na balança e a igualdade na equação. Ou seja, existe uma similaridade entre a igualdade entre os lados de uma equação e o equilíbrio de pesos entre os pratos de uma balança. Essa imagem é um recurso que facilita a compreensão das transformações que podem ser feitas em uma equação, sem alterar a relação de igualdade entre os dois lados. Por exemplo, a colocação ou a retirada de pesos iguais em ambos os pratos da balança, e a consequente manutenção do equilíbrio, é compreendida pela maioria dos alunos e pode ser usada para dar significado à adição ou à subtração de termos em ambos os lados de uma equação. Contudo, o professor deve estar ciente de que o uso da imagem da balança para representar equações possui limites. Não se pode, por exemplo, representar equações com raízes negativas ou situações que envolvem a extração de raiz quadrada de ambos os lados, porque essas operações não possuem correspondência no âmbito da medida de pesos. A discussão cuidadosa dos procedimentos de resolução, a partir da manutenção da equivalência entre os dois lados da equação, constitui uma excelente estratégia para introduzir

as técnicas algébricas com significado. Neste primeiro contato do aluno com a álgebra das equações, é importante evitar a cristalização de procedimentos automáticos e do uso de expressões como “passa para o outro lado com o sinal trocado”. Embora tais procedimentos sejam práticos, eles podem afastar o aluno do real sentido das operações nas equações, fundados na ideia de equivalência. O ideal é que sejam trabalhadas, neste momento, todas as etapas de transformação por equivalência, mesmo que tal processo seja mais demorado. Apesar disso, o professor não deve se sentir inibido em também mostrar os processos práticos para a resolução de equações, desde que a sua origem seja discutida e compreendida pelos alunos. Afinal de contas, esses processos serão apropriados na continuidade do estudo das equações nas séries seguintes. No Caderno do Aluno são apresentadas situações de equilíbrio em balanças, solicitando aos alunos o cálculo dos valores de alguns pesos desconhecidos.

1. A equação como pergunta Antes de apresentar as técnicas de resolução de equações, é importante valorizar a capacidade de resolução de problemas que os alunos já possuem. Eles são capazes de resolver uma série de equações usando somente o raciocínio lógico, sustentado pelo conhecimento aritmético adquirido nas séries anteriores. Uma equação pode ser vista como uma pergunta. A forma de se perguntar em Matemática é por meio de uma equação. Assim, a equação

Matemática – 6ª- série – Volume 4

funciona como uma pergunta do tipo: Que valor uma letra precisa assumir para que a igualdade expressa na equação seja verdadeira? Por exemplo: a equação 2x + 3 = 15 corresponde a uma pergunta do tipo: Qual é o número cujo dobro somado a 3 resulta em 15? Os alunos são capazes de dar uma resposta a essa pergunta sem a aplicação de um método prático, bastando fazer um raciocínio puramente aritmético. Partindo do resultado final, pode-se chegar ao valor procurado invertendo-se as operações da equação, do seguinte modo: se o dobro de um número somado com 3 é 15, então o dobro desse número vale 12, e o número procurado é 6. As operações aritméticas realizadas foram: 15 – 3 = 12 e 12 ÷ 2 = 6. Mentalmente, o aluno consegue realizar essa operação inversa em equações simples, com coeficientes inteiros. A ideia que está por trás do raciocínio é “desfazer” a equação por meio de operações inversas até se obter o valor da incógnita. As atividades propostas a seguir têm como objetivo desenvolver a capacidade de resolver uma equação por meio do pensamento lógico. Na primeira atividade, o aluno deverá escrever as equações na forma de uma pergunta, em língua materna. Esse tipo de “tradução” da linguagem matemática para a materna favorece uma compreensão mais precisa da equação. Contudo, é importante orientá-los em relação a dois aspectos. f notação: orientar os alunos a respeito da notação usada em multiplicações e divisões envolvendo a incógnita. Por exemplo, 2x é o mesmo que 2 . x ou x . 2; x ÷ 4 é o mesmo que x . 4

f linguagem: alguns termos facilitam a descrição de uma operação em palavras. O termo 2x pode ser escrito como o dobro de um núx mero; 3x, como o triplo de um número; , 2 x como a metade de um número; , como a 5 quinta parte de um número; x + 1, como o sucessor de um número natural; x – 1, como o antecessor de um número natural, etc. 1) Escreva uma pergunta que represente as equações a seguir: x Exemplo: __ – 5 = 20 4 qual é o número cuja quarta parte menos 5 é igual a 20? ou qual é o número que dividido por 4 e depois subtraído de 5 resulta em 20? a) 3x + 12 = 21 Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x b) __ – 4 = 6 3 Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? c) 2.(x + 1) = 12 (x é um número natural) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? d) 2x + 1 = 12 (x é um número natural) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número?

x–1

– 3 = 0 (x é um número natural)

x–1 4

– 3=0

4 A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse número?

x =13

f) 5.(2x + 4) = 30

O dobro de um número é acrescido de 4; o resultado é multiplicado por 5, obtendo-se 30. Qual é esse número?

x=1

g) 5.2x + 4 = 30 O quíntuplo do dobro de um número acrescido de 4 é igual a 30. Qual é esse número? É importante discutir com os alunos algumas sutilezas da linguagem algébrica e de sua interpretação em língua materna. A diferença entre as equações c e d, por exemplo, é significativa. O dobro do sucessor não é o mesmo que o sucessor do dobro. Na linguagem simbólica, essa diferença é contemplada por meio do uso dos parênteses. O mesmo ocorre no caso dos itens f e g, cuja expressão em língua materna difere pela colocação da vírgula. Na próxima atividade, os alunos devem resolver as mesmas equações do item anterior usando apenas o raciocínio aritmético. 2) Resolva as seguintes equações por meio do raciocínio aritmético: a) 3x + 12 = 21 x=3 x b) __ – 4 = 6 3 x = 30 c) 2(x + 1) = 12 x=5 d) 2x + 1 = 12 x = 5,5

g) 5.2x + 4 = 30 x = 2,6

Oriente os alunos a olhar para as equações como uma pergunta, cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético. Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos registrem as contas, outros façam “de cabeça” e outros tenham um tipo de notação própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma técnica específica. Por exemplo, x–1 no item e, como a diferença entre e3 4 x–1 é igual a 3, x – 1 vale 12 é zero, então 4 e, portanto, x é igual a 13.

O uso do raciocínio lógico e do pensamento aritmético é de fundamental importância na Matemática. Contudo, em muitas situações, o uso apenas do raciocínio aritmético nem sempre é um caminho fácil. Por exemplo, quando a incógnita aparece em ambos os lados da equação, o uso exclusivo do raciocínio aritmético é insuficiente para uma resolução rápida e precisa. Nesses casos, devemos apresentar aos alunos algumas técnicas de resolução, as quais irão facilitar a resolução de equações como a que segue: 5x – 1 = 2x + 17.

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2. o equilíbrio na balança e a igualdade na equação

As figuras a seguir ilustram duas situações distintas: uma pesagem em que houve desequilíbrio (um abacaxi pesa mais do que uma peça de 1 quilo) e outra em que houve equilíbrio (um abacaxi em relação a duas peças de 1 quilo). Nesse caso, conclui-se que o peso do abacaxi é equivalente a 2 quilogramas.

©Ablestock

O uso da balança como analogia para explicar o funcionamento das equações se baseia na aproximação de dois conceitos: o equilíbrio na balança e a igualdade na equação. Para que isso seja bem compreendido, é importante explicar aos alunos como funciona uma balança de pratos. talvez muitos deles nunca tenham visto uma, de modo que, se for possível, seria interessante trazer uma balança para a sala de aula para ilustrar o seu funcionamento.

ser pesado, por exemplo, um abacaxi. No outro, colocam-se peças de diferentes tamanhos com pesos padronizados. quando os pratos atingem o mesmo nível, determina-se o peso do abacaxi, comparando-o com o peso das peças padronizadas, cujo valor já é conhecido.

1 kg

1 kg 1 kg

©Ablestock

Balança de pratos

Pesos padronizados

O funcionamento da balança de pratos é simples. Em um prato, coloca-se o produto a

Pode-se usar a balança para fazer comparações entre os pesos de diversos objetos. No exemplo ilustrado a seguir, comparamos o peso de 3 cenouras ao peso de 2 bananas e uma peça de 200 gramas. vamos representar simbolicamente o peso de uma cenoura por C e o da banana por b. Se houver equilíbrio na balança, podemos escrever simbolicamente que: 3C = 2B + 200 g

200 g

5 kg 1 kg

O uso de letras e o sinal de igualdade são elementos que caracterizam uma equação. Dessa forma, é possível fazer essa aproximação entre o equilíbrio de pesos em uma balança e a igualdade numérica na equação. O pressuposto é que as letras representam números que tornam a igualdade verdadeira. Podemos usar a imagem das balanças para ilustrar alguns princípios de funcionamento das equações. Contudo, é preciso considerar que essa analogia possui limites, uma vez que a balança não pode representar adequadamente uma série de situações numéricas: os valores negativos, as operações com raízes e potências, a multiplicação por números negativos etc. Apesar desses limites, consideramos que seu uso em sala de aula na 6a série contribui para uma aprendizagem significativa do modo de operar com equações. vejamos alguns exemplos:

Em uma equação, invertendo-se os dois membros, a igualdade se mantém. 2x + 1 = 5 é o mesmo que 5 = 2x + 1 Exemplo 2 – Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilíbrio da balança não se altera: 2 kg

2 kg

Exemplo 1 – Se trocarmos os objetos de um prato para o outro de uma balança, o equilíbrio se mantém. 5 kg 1 kg

Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em ambos os membros, a igualdade se mantém. Se x = 2, então x + y = 2 + y O mesmo vale no caso da subtração. Na balança, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilíbrio permanece inalterado.

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2 kg 1 kg

1 kg 1 kg 1 kg

1 kg 1 kg

150 g 150 g

A soma de duas equações resulta em uma 3 equação, mantendo-se a igualdade. Se x = 2 000 e 2y = 300, então x + 2y = 2 000 + 300, ou x + 2y = 2 300. a

Exemplo 4 – Se aumentarmos ou diminuirmos proporcionalmente o peso de ambos os pratos de uma balança, o equilíbrio se mantém. Em termos algébricos, se x + 1 = 3, então x + 1 – 1 = 3 – 1. Portanto, x = 2. Exemplo 3 – Se juntarmos os elementos de duas balanças em equilíbrio em uma só balança, como mostra a figura, o equilíbrio se mantém. 2 kg

150 g 150 g

Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera. Podemos multiplicar ambos os lados da equação 2x + 2y = 6z por 2, obtendo uma nova equação, 4x + 4y = 12z, equivalente à primeira. Se dividirmos a mesma equação por 2, obteremos x + y = 3z.

atividade, similar a anterior, que pode favorecer a compreensão dos alunos sobre procedimentos de resolução. Descreva as etapas realizadas na resolução das equações a seguir: a) 5x + 7 = –2x – 14 Resolução

Descrição

3. Resolução de equações: procedimentos e significados vamos utilizar os princípios ilustrados nos exemplos anteriores para resolver equações com incógnitas em ambos os lados. Considere a equação 4x – 7 = x + 11. 4x – 7 = x + 11

5x + 7 = –2x – 14

5x + 7 + 2x = = –2x – 14 + 2x

Subtrair x de ambos os lados

Efetuar as subtrações: 4x – x = 3x e x – x = 0 4x – 7 – x = x + 11 – x Elimina-se o termo com x do 2o membro da equação

Somar 2x em ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação

7x + 7 = –14

3x – 7 = 11 3x – 7 + 7 = 11 + 7

Somar 7 em ambos os lados

3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6

7x + 7 –7 = –14 – 7

Subtrair 7 de ambos os lados

Dividir ambos os lados por 3 Obtemos x = 6 como resultado

7x = –21 Verificação: substituindo o valor encontrado na equação original, obtemos: 4 . (6) – 7 = 6 + 11 24 – 7 = 17

7x 21 ___ = – ___

Dividir ambos os lados por 7

x = –3

Obtemos x = – 3 como resultado

17 = 17 A igualdade se manteve, o que significa que a solução obtida satisfaz a equação original. Apresentaremos, a seguir, outra

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b) 5 x − 1 =

Procedimentos de verificação

x +8 2

Resolução

Descrição

x 5x – 1 = __ + 8 2

2 . 5x – 2 . 1 = x = 2 . __ + 2 . 8 2

Multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração

10x – 2 = x + 16

10x – 2 – x = = x + 16 – x

Subtrair x de ambos os lados para eliminar o termo com x do 2o membro da equação

9x – 2 = 16

9x – 2 + 2 = 16 + 2

Somar 2 em ambos os lados da equação

9x = 18

18 9x ___ ___ = 9

x=2

Dividir ambos os lados por 9

Obtemos x = 2 como resultado

Um dos procedimentos mais importantes que deve ser apropriado pelo aluno é o da verificação do resultado. Se uma equação é uma pergunta no âmbito da Matemática, o valor encontrado para a incógnita é sua resposta e deve ser coerente com a pergunta feita. Assim, o professor deve estimular os alunos a questionar a validade dos resultados obtidos, principalmente em função de pequenos erros que podem ser cometidos. quando a solução de uma equação é também a resposta de um problema prático, a verificação da solução remete à coerência da resposta em relação à pergunta. Por exemplo, se estamos calculando o preço de uma corrida de táxi de 30 minutos e obtivermos como resposta um número excessivamente alto (R$ 2 500,00) ou negativo (– R$ 12,00), a incompatibilidade da resposta com o contexto do problema indicará a existência de um erro, que pode tanto estar ligado aos procedimentos de resolução (algébricos e/ou aritméticos) como à formulação do problema (dados iniciais, condicionantes). Contudo, se o problema for estritamente matemático, como o exemplo que estamos resolvendo, essa adequação da resposta ao contexto fica mais diluída. Frequentemente, os alunos deixam de verificar as soluções obtidas, confiando na justa aplicação dos procedimentos de resolução. Dessa forma, o professor deve insistir na verificação das respostas. Uma atividade que pode contribuir para essa prática é a seguinte: Problema 1 – Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equações, um professor, acidentalmente, trocou as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova associando cada equação com a sua solução verdadeira.

Equação

gabarito trocado

gabarito correto

a) 5x – 12 = 2x + 27

a) x = –2

a) x = 13

3x b) x + ___ = 2x + 2 2

b) x = 5

b) x = 4

c) 2 (x – 3) = 4 + 7x

c) x = 13

c) x = –2

3x d) 4x – 3(x –1) = ___ 5 +5

d) x = 4

d) x = 5

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos sejam capazes de resolver equações simples de 1o grau com uma incógnita, seja por meio do raciocínio aritmético, envolvendo operações inversas, seja por meio dos procedimentos de equivalência. Acreditamos que o uso da imagem do equilíbrio na balança, como analogia da igualdade nas equações, ajude o aluno a se apropriar desses procedimentos com significado. Reiteramos a ideia de que, neste momento, a resolução por meio do raciocínio deve prevalecer sobre a técnica. Optamos por privilegiar a conversa com o professor sobre os procedimentos a ser utilizados e as ideias que justificam esses procedimentos. Apresentamos alguns problemas como exemplos, que podem ser ampliados e modificados pelo professor de acordo com as necessidades do grupo. Os livros didáticos

também oferecem uma vasta gama de exercícios e problemas relacionados à resolução de equações. Assim, a nossa prioridade foi enfatizar as possíveis intervenções e estratégias que o professor pode utilizar ao orientar os alunos na resolução de equações. Esse tema será retomado nas séries seguintes, com o aprofundamento do estudo das equações. Por essa razão, entendemos que o professor deve valorizar mais a compreensão dos alunos em relação aos procedimentos de resolução de equação do que a velocidade em resolvê-las. Atividades como a de número 3 são de fundamental importância para concretizar o entendimento do aluno em relação a esses procedimentos. Recomendamos que o professor faça ao menos uma avaliação individual sobre o assunto no bimestre para que possa identificar com precisão as dificuldades específicas dos alunos e os pontos que devem ser retomados.

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SItUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 PROPORCIONAlIDADE, EqUAçõES E A REGRA DE tRêS

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: razão; proporcionalidade direta e inversa; equações; regra de três simples e composta. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática das equações para modelar e resolver problemas que envolvem proporcionalidade; ler e interpretar textos. Estratégias: discussão em classe do significado das regras envolvidas no cálculo com regra de três; trabalhar com problemas interessantes e desafiadores do ponto de vista de leitura e interpretação de enunciados e do ponto de vista matemático do equacionamento.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 No Caderno do bimestre anterior, apresentamos uma Situação de Aprendizagem para o trabalho com proporcionalidade. Naquele momento, nos interessava o uso de tabelas para demonstrar a proporcionalidade entre duas grandezas. Sabemos que é comum o uso do recurso de “regra de três” para a resolução de problemas de proporcionalidade. Contudo, retardamos sua apresentação por dois motivos: 1) acreditamos que com o uso de tabelas o encaminhamento para discussão dos significados fique mais bem estabelecido; 2) faltava-nos o recurso de equações para resolver problemas de proporcionalidade por regra de três, o que já temos no 4o bimestre da 6a série. Acreditamos que a apresentação do método prático da regra de três deva ser acompanhada de uma discussão anterior, o que faremos a seguir.

quando ensinamos Matemática, frequentemente nos deparamos com alguns erros típicos que se repetem diversas vezes e com os mais diferentes alunos. Diante desses erros, a prática docente recomenda que se faça uma reflexão sobre as causas que podem ter conduzido a eles. Muitas vezes, a razão está diretamente associada à complexidade do tema tratado e, em outras, está associada à transposição de uma ideia válida em uma situação para outra situação parecida, mas em que ela não é válida. Observe o seguinte erro típico cometido por muitos alunos ao resolver uma x equação como 1 + = 3. 2 x Resolução da equação 1 + __ = 3 com erro 2 típico

1 + x = 6, de onde x = 5.

Uma hipótese bastante razoável para esse tipo de erro é a de que o aluno fez a transposição da ideia de “multiplicação em cruz” para uma situação em que isso não é válido. Ainda como hipótese, entendemos que a origem da

ideia de “multiplicação em cruz” esteja na forma automatizada como muitas vezes fazemos a resolução de problemas de regra de três com grandezas diretamente proporcionais. A nosso ver, uma forma de reduzir a incidência do erro típico descrito seria o uso de outro tipo de linguagem com os alunos ao resolx ver equações do tipo __ = 3. No lugar de dizer 2 “multiplica-se em cruz”, o que facilmente induziria ao erro em uma situação como a descrita anteriormente, recomendamos explicar o que realmente estamos fazendo: uma multiplicação por 2 nos dois lados da equação, usando o princípio da balança já descrito em outra Situação de Aprendizagem. Neste caso, x a resolução correta da equação 1 + __ = 3, 2 com os devidos comandos, seria:

A seguir, apresentaremos a regra de três como recurso prático para resolução de problemas de proporcionalidade e, na medida do possível, recomendamos que o professor dê maior atenção na 6a série à discussão de seu significado do que propriamente à mecanização de procedimentos, o que poderá ser feito gradativamente ao longo das demais séries do Ensino Fundamental. Para a discussão, partiremos de um problema prático e de sua resolução tradicional com o uso de regra de três.

x 1. 1 + __ = 3 2

João comprou 5 CDs idênticos por R$ 4,80. quanto João pagaria por uma dúzia de CDs do mesmo tipo?

2. Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2, teremos 2 + x = 6.

Resolução com regra de três:

3. Subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade, teremos x = 6 – 2 e, portanto, x = 4. Note que também no comando 3 evitamos o uso de expressões do tipo “passa para lá e muda o sinal”, que é outra fonte inesgotável de erros típicos dos alunos. Esperamos que você, professor, compreenda que essas recomendações nada têm a ver com certos purismos de linguagem. Entendemos que os termos usados normalmente podem conviver adequadamente com seus usos apropriados e corretos; contudo, reforçamos a ideia de que, para que isso aconteça de forma natural, o professor deve, sempre que possível, retomar

a estratégia da balança, que está por trás da origem de resolução dos problemas.

temos a proporcionalidade direta 5 12

4,80 x

Daí segue que: 5 ___ 12

4,80 = _____ x

logo, 5 . x = 12 . 4,80 4,80 x = 12 . _____ 5 x = 11,52. Portanto, João pagaria R$ 11,52 por uma dúzia de CDs, desde que mantida a proporcionalidade direta entre o número de CDs adquiridos e o total pago.

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A resolução do problema está correta; porém, é possível que tenha sido feita utilizando-se automaticamente a ideia da “multiplicação em cruz”, cujas dificuldades já foram discutidas anteriormente. Nossa proposta de encaminhamento para a discussão de regra de três para grandezas diretamente proporcionais, neste momento em que ela está sendo apresentada ao aluno, é a de que o professor enfatize a ideia de taxa unitária que fundamenta o método prático. De fato, se 5 CDs custam R$ 4,80, então cada CD custa 4,80 4 5, ou seja, custa R$ 0,96. Assim, o preço x correspondente a 12 CDs será igual a 12 . 0,96, ou seja, R$ 11,52. Representando por etapas as operações efetuadas, teríamos: 5 CDs 1 CD 12 CDs

4,80 4,80 _____ 5

4,80 12 . _____ 5

A resposta seria: o preço x de 12 CDs é 4,80 x = 12 . _____ 5 , x = 11,52. Ressaltamos, mais uma vez, que o professor pode usar a regra de três. Porém, em um primeiro momento, acreditamos ser mais significativas para o aluno estratégias que transfiram significado aritmético às expressões algébricas que estão sendo formuladas. O mesmo tipo de discussão pode ser feito com problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais, como veremos a seguir.

Dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora até a cidade da mãe dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mesma viagem com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo ela demoraria?

Resolução com regra de três: temos a proporcionalidade inversa 80 100

1,50 x

Daí segue que: 80 . 1,5 = 100 . x 80 . 1,5 logo, x = _______ 100 x = 1,20 h. Obtém-se, então, a solução x = 1,2 hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de hora”. Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos de 60 minutos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1 hora e 12 minutos na viagem. Duas observações devem ser feitas em relação à resolução que acabamos de indicar. Em primeiro lugar, deve-se dizer que muitos alunos que mecanizam a regra de “multiplicar em cruz” na resolução de problemas de regra de três não dão atenção à verificação inicial se as grandezas analisadas são direta ou inversamente proporcionais. Aplicar diretamente a regra de multiplicação em cruz em um problema em que estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais é fonte de frequentes erros dos alunos (observação: na resolução que apresentamos, a multiplicação

foi feita de forma correta lado a lado, e não em cruz). Uma segunda observação diz respeito à conversão da solução obtida (1,2 hora para “horas e minutos”. É comum, em problemas como o que acabamos de resolver, que o aluno conclua de forma errada que 1,2 hora corresponde a 1 hora e 20 minutos. Na resolução, apresentamos uma forma que julgamos conveniente para o tratamento e a resolução desse problema (outra forma seria trabalhar diretamente em minutos e converter o resultado final em horas e minutos). Resolveremos agora esse mesmo problema utilizando o raciocínio aritmético, como forma de conceder significado ao raciocínio algébrico utilizado na resolução apresentada. Se Mariana percorre a distância entre as duas cidades em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, podemos descobrir a distância entre as duas cidades multiplicando 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km a cada 1 hora, em 1,5 hora fará 80 . 1,5 = 120 km. Agora que temos a distância entre as cidades, o cálculo do tempo de viagem, se ela estiver a 100 km/h pode ser feito por meio de outra regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2 hora. Note que a sequência de contas que fizemos para resolver o problema foi (80 . 1,5) ÷ 100, ou seja, a mesma que aparece na resolução final por regra de três.

Além da busca de significados por meio de uma interpretação aritmética dos dados do problema, outra estratégia que pode ser utilizada é a de procurar identidades válidas a partir de uma tabela com grandezas diretamente proporcionais e outra tabela com grandezas inversamente proporcionais. Essa estratégia desloca o significado da relação entre as grandezas para a identificação de relações entre os números. Entendemos que esse tipo de abordagem pode ser utilizado em complemento ao anterior a fim de reforçar as técnicas envolvidas no uso de regra de três com grandezas diretas e com grandezas inversamente proporcionais. A seguir, veremos uma forma de uso dessa estratégia. Partiremos inicialmente de uma tabela em que as grandezas A e b são diretamente proporcionais e atribuiremos valores quaisquer à primeira linha da tabela: A

(As grandezas A e b poderiam ser, por exemplo, o número de barras de chocolate idênticas compradas e o preço total pago na compra.) A partir dos dados da primeira linha, e sabendo-se que A e b são grandezas diretamente proporcionais, podemos montar uma segunda linha multiplicando-se, por exemplo, todos os números por 2 (o professor deve retomar com o aluno que, se duas grandezas são diretamente proporcionais, quando multiplicamos uma delas por um número, a outra deve ser multiplicada pelo mesmo número para manter a proporcionalidade direta entre elas).

Matemática – 6ª- série – Volume 4

Agora, na sequência da atividade o professor pode pedir aos alunos que proponham contas com os quatro números da tabela que possam representar igualdades. Por exemplo: 5 . 16 = 8 . 10 5 8 = 10 16 8 .10 =5 16 8 .10 = 16 5 5 .16 = 10 8

Fazendo o mesmo tipo de atividade com outras tabelas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, o aluno poderá identificar de forma indutiva que uma das igualdades (que pode ser estabelecida sempre que duas grandezas A e b são diretamente proporcionais) é aquela que usamos normalmente como “multiplicação em cruz”: A

w x.w = y.z

Fazendo o mesmo para uma tabela com duas grandezas inversamente proporcionais, teremos, por exemplo:

(As grandezas A e b poderiam ser: A – o número de pedreiros necessários para construir determinado muro; e b – o tempo que a equipe levaria para construí-lo, em horas.) quando duas grandezas são inversamente proporcionais, ao multiplicarmos o valor de uma delas por certo número, o valor correspondente da outra será dividido pelo mesmo número. Dessa forma, podemos montar mais uma linha da tabela multiplicando, por exemplo, o valor de A por 2 e dividindo o valor correspondente de b por 2: A

Mais uma vez, nos interessa agora buscar igualdades que envolvam os quatro números da tabela, que podem ser: 5 . 8 = 10 . 4 5 4 = 10 8 5.8 =4 10 5.8 = 10 4 10 . 4 5= 8

Outros exemplos permitem que o aluno perceba de forma indutiva que a ordem dos cálculos

pode ser generalizada. Escolhemos uma dessas generalizações para utilizar quando estamos diante de problemas com grandezas A e b inversamente proporcionais, que é: A

w x.y=z.w

Os casos analisados podem servir como recurso para a compreensão dos mecanismos usados quando resolvemos problemas por regra de três. Porém, insistimos na necessidade de um trabalho anterior em que se discuta o significado de cada grandeza no problema analisado e seja identificado se a situação descrita trata de um problema com grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou, ainda, se não há razões para admitirmos a proporcionalidade direta ou inversa entre as grandezas.

Regra de três composta Normalmente, o estudo de regra de três com mais de duas grandezas é feito de forma mecanizada, o que não é recomendável para uma introdução ao assunto. Nossa proposta de trabalho com o tema é a de valorizar o uso de tabelas e identificar a relação de proporcionalidade entre grandezas duas a duas. veremos como isso pode ser feito por meio da resolução do seguinte problema. Um criador de cavalos possui 10 animais que consomem 800 kg de alfafa em 8 dias. Admitindo-se proporcionalidade entre as

grandezas “número de cavalos”, “quantidade de alfafa” consumida (em kg) e “número de dias de duração da alfafa para os cavalos”, determine quantos dias durariam 6 400 kg de alfafa para alimentar 16 cavalos. Organizaremos os dados em uma tabela e descreveremos passo a passo o raciocínio de resolução do problema: no de cavalos

total de alfafa (kg)

no de dias

800

Nossa meta será preencher novas linhas da tabela com o objetivo final de encontrar na última linha o número 16 na coluna dos cavalos e o número 6 400 na coluna do total de alfafa. quando atingirmos esse objetivo, o número que aparecerá na coluna dos dias é a resposta do problema. Sempre trabalharemos na tabela mantendo fixo o valor de uma das grandezas e estabelecendo a relação entre as outras duas para determinar um novo valor. Por exemplo, podemos inicialmente, ao percorrer a tabela, manter fixado o total de alfafa em 800 kg e acertar o número de cavalos em 16, relacionando essa grandeza com o número de dias. Para tanto, é importante que o aluno perceba que as grandezas “número de cavalos” e “número de dias” são inversamente proporcionais quando o total de alfafa está fixado (se, por exemplo, dobrarmos o número de cavalos, a mesma quantidade de 800 kg de alfafa será suficiente para a metade do número de dias). O cálculo para 16 cavalos pode ser feito de forma direta, com uma única conta, ou por

Matemática – 6ª- série – Volume 4

meio de duas contas buscando-se inicialmente a taxa unitária (por cavalo), que é a forma que indicaremos a seguir na tabela: no de cavalos

total de alfafa (kg)

no de dias

800

800 (mantido constante)

÷10

.16

.10

÷16

Agora que já atingimos o primeiro dos objetivos (16 cavalos), vamos em busca do segundo, que é o de obtermos o número 6 400 na coluna do total de alfafa. Para esse caso, desejamos manter constante o número de cavalos em 16 e, portanto, investigaremos a relação entre as grandezas “total de alfafa” e “número de dias”. Essas grandezas são diretamente proporcionais, porque se 1 cavalo consome 800 kg de alfafa em 80 dias, o mesmo cavalo consumiria, por exemplo, o dobro da quantidade de alfafa no dobro do número de dias. Dessa maneira, buscando um número que multiplicado por 800 resulte 6 400, encontramos o número 8. Se, portanto, multiplicarmos o total de quilos de alfafa por 8, para os mesmos 16 cavalos teremos que multiplicar por 8 o número de dias em que a nova quantidade de alfafa irá durar: no de cavalos

total de alfafa (kg)

no de dias

800

16 (mantido constante)

6 400

A resposta obtida na última coluna é o número de dias que 6 400 kg de alfafa devem durar para o consumo de 16 cavalos. O trabalho com tabelas na resolução de problemas com mais de duas grandezas tem a vantagem de não exigir a memorização de técnicas, que são rapidamente esquecidas pelos alunos, além de exigir o tempo todo uma avaliação sobre a relação de proporcionalidade mantida entre duas grandezas.

Considerações sobre a avaliação A expectativa mínima com relação à Situação de Aprendizagem apresentada é que o aluno consiga resolver problemas elementares envolvendo regra de três simples e composta, com grandezas direta e/ou inversamente proporcionais. Ao longo do Ensino Fundamental, o aluno terá inúmeras oportunidades para aplicar seus conhecimentos da técnica de regra de três na resolução de problemas de proporcionalidade. Portanto, entendemos que na 6a série, quando o assunto é introduzido, o professor deve valorizar mais a compreensão dos procedimentos utilizados para resolver problemas por regra de três do que propriamente a mecanização de regras. Recomendamos que, no bimestre, o professor faça ao menos uma avaliação individual sobre o assunto a fim de identificar com precisão as dificuldades específicas dos alunos e os pontos que devem ser retomados. A preparação para essa avaliação deve ser feita com listas de exercícios elaboradas pelo professor e com exercícios do livro didático.

ORIENtAçõES PARA RECUPERAçãO quanto aos alunos que não atingirem as expectativas de aprendizagem, sugerimos que o professor trabalhe com novos exercícios sobre o assunto, que podem ser criados ou retirados de livros didáticos. Para a Situação de Aprendizagem 1, o professor pode usar abordagens alternativas, como pedir aos alunos que identifiquem padrões e regularidades diretamente em sequências numéricas (sem o uso de figuras como fizemos no caso do exercício das bolinhas). Caso alguns alunos apresentem dificuldades na Situação de Aprendizagem 2, podem ser retomadas algumas das atividades realizadas como uma forma de recuperação. As dificuldades mais frequentes dos alunos costumam estar relacionadas à interpretação do significado da fórmula e à resolução da equação. No primeiro caso, é importante que o professor apresente alguns exemplos concretos de aplicação imediata da fórmula. Por exemplo: peça aos alunos que calculem a área de diversos retângulos usando a fórmula A = a . b, para valores conhecidos dos lados a e b. Solicite que construam os retângulos com as medidas fornecidas e coloquem os valores nos lados do mesmo. Mostre a eles que as letras a e b representam a medida dos lados do retângulo que foi construído. Para a resolução das equações, é importante valorizar a leitura da sentença como uma pergunta. Por exemplo, na equação 2 000 = 5 . t2, está sendo procurado o seguinte: qual é o valor que, elevado ao quadrado e multiplicado por 5,

resulta em 2 000? Pensando aritmeticamente do final para o começo, o quadrado desse número só pode ser 2 000 dividido por 5, ou seja, 400. Neste ponto, o aluno pode realizar tentativas até constatar que o número que multiplicado por ele mesmo resulta em 400 é 20. Já em relação aos alunos que não atingirem a expectativa mínima de aprendizagem na terceira Situação de Aprendizagem, sugerimos que você, professor, procure retomar as atividades com as balanças. Uma estratégia interessante é propor problemas como o que segue. um problema de peso – tenho seis bolinhas idênticas em aspecto. Há, porém, uma pequena diferença entre elas: uma delas tem um peso ligeiramente diferente das demais, não se sabe se para mais ou para menos. Com o auxílio de uma balança de pratos, descubra uma estratégia para identificar a bolinha diferente, usando no máximo três pesagens.

1 2 3 4 5 6

A busca pela solução deste problema pode contribuir para uma maior compreensão do funcionamento das balanças de pratos e facilitar a construção da ideia de equivalência para o aluno com mais dificuldade. Uma possível solução

Matemática – 6ª- série – Volume 4

para esse problema é a seguinte: numeramos as bolinhas de 1 a 6. Em seguida, comparamos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem diferentes, então, com mais uma pesagem, pode-se descobrir qual é a bolinha diferente. Se forem iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4. Se os pesos forem diferentes, a terceira pesagem determinará a bolinha diferente. Se forem iguais, isso significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já sabemos que as bolinhas de 1 a 4 são iguais, basta comparar

uma das duas bolas restantes (5 ou 6) com uma das bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a 4 com a 5. Se forem iguais em peso, a bolinha diferente será a 6. Se forem diferentes, a bolinha diferente será a 5, pois a 4 é igual em peso às demais. Como proposta de recuperação para a Situação de Aprendizagem 4, sugerimos que o professor diversifique a abordagem sobre o tema, propondo novos problemas para que sejam resolvidos, por exemplo, com tabelas.

RECURSOS PARA AMPlIAR A PERSPECtIvA DO PROFESSOR E DO AlUNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA BUSHAW, Donald (Org.). Aplicações da Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. COXFORD, Arthur F.; SHUltE, Albert P. (Orgs.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. DINIz, Maria I. S. v.; SOUzA, Eliane R. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM-IME/USP, 1996. lIMA, Elon l.; CARvAlHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. Temas e problemas elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

De modo geral, a Revista do Professor de Matemática é uma fonte muito fecunda de ideias para ser exploradas nas aulas de quase todos os temas tratados no Ensino Fundamental. Particularmente no que tange aos temas deste Caderno, destacamos os seguintes artigos: f AUGUStO, Celina. Com a ajuda da balança. In: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 3, 1983. f vIOttO, virgolina M. Nem só álgebra, nem só aritmética. In: Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 16, 1990.

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série

6a série

7a série

8a série númERoS REAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

númERoS nAtuRAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

númERoS nAtuRAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

númERoS RACionAiS - transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

númERoS intEiRoS - Representação. - Operações.

PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros. - Problemas de contagem.

númERoS dECimAiS - Representação. - transformação em fração decimal. - Operações. SiStEmAS dE mEdidAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. gEomEtRiA/mEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

númERoS RACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - A linguagem das potências.

gEomEtRiA/mEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

EXPRESSõES AlgébRiCAS - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álgEbRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - A ideia de variação. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

númERoS/ PRoPoRCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

álgEbRA/EQuAçõES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1o grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

gEomEtRiA/mEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

gEomEtRiA/mEdidAS - teoremas de tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - volume do prisma.

gEomEtRiA/mEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - volume e área do cilindro.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade. tRAtAmEnto dA inFoRmAção - leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álgEbRA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Contagem indireta e probabilidade.