MATEMATICA_CP_7s_Vol1reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

7 - SÉRIE volume 1 - 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-184-0 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Os racionais como mostruário das frações Situação de Aprendizagem 2 – As dízimas periódicas são previsíveis...

Situação de Aprendizagem 3 – Do googol ao angstrom, um caminho para as potências 27 Situação de Aprendizagem 4 – As potências e a memória do computador Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 45 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiCHA do CAdErno números racionais e potenciação: ampliando horizontes

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série:

Ensino Fundamental 7a

Período letivo:

1o bimestre de 2009

temas e conteúdos:

Números racionais Decimais e frações Dízimas periódicas e geratrizes Potenciação Expoentes inteiros Tratamento da informação

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem deles, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores desse currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicará a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um desses assuntos. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.

São apresentados também, em cada Caderno e sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.

É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre Os dois temas centrais do 1o bimestre da 7a série são as frações e as potências. Com relação ao estudo das frações, além da construção da ideia de número racional e da determinação de frações geratrizes, temas normalmente tratados nesta série, a natureza desses assuntos permite que sejam exploradas também duas importantes noções matemáticas: a do infinito e a de classes de equivalência. Concepções relacionadas ao infinito podem ser exploradas por meio de discussões sobre as dízimas periódicas. Quando, por exemplo, chamamos de x a dízima periódica 0,333... para, em seguida, multiplicar os dois lados da igualdade x = 0,333... por 10, produzindo a nova igualdade 10x = 3,333..., temos a intenção de usar o seguinte artifício algébrico na sequência: 10x − x = 3,333... 3 1 − 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = ⇒ x = . Ocorre 9 3 que o uso de tal artifício para a determinação da geratriz exige que se compreenda um fato importante sobre os conjuntos infinitos, o de que “um elemento a menos em um conjunto de infinitos elementos ainda assim produz um conjunto de infinitos elementos”. Esse fato foi usado quando concluímos que 3,333... −0,333... é igual a 3. Note que o primeiro fator tem infinitos algarismos 3 à direita da vírgula, ao passo que o segundo tem um algarismo 3 a menos, o que, ainda assim, garante infinitos algarismos 3 à direita da vírgula. Outra questão que também deve ser explorada no contexto das dízimas periódicas é o da dupla representação com vírgula das frações decimais finitas, uma vez que “toda fração decimal finita

pode ser escrita na forma de uma dízima periódica”. Utilizando o mesmo argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, podemos mostrar que todo decimal finito pode ser transformado em uma dízima periódica (exemplos: 0,43 = 0,42999...; −28,91 = −28,90999...; 7 = 6,999...). Com relação à discussão sobre classes de equivalência, o desafio proposto será o de compreender o conjunto dos números racionais como uma forma particular de organização das frações, em que cada número racional será um representante de uma classe de frações equivalentes. A compreensão dos racionais nesse contexto explora diretamente duas habilidades frequentemente utilizadas no pensamento matemático, a de organizar e a de classificar elementos em conjuntos de acordo com certa propriedade estabelecida. No que diz respeito ao estudo das potências, na 5a série os alunos foram apresentados ao assunto explorando-se potências de base inteira e expoente natural. No 1o bimestre da 7a série, a ideia de potência deve ser ampliada, incorporando-se o uso de expoentes inteiros negativos e discutindo-se as principais propriedades operatórias das potências. A opção de não apresentar neste Caderno uma Situação de Aprendizagem específica para o trabalho com as propriedades operatórias das potências não implica que o assunto não seja importante. Espera-se de um aluno de 7a série que ele seja capaz, ao longo do ano, de trabalhar com as propriedades operatórias das potências com razoável destreza e agilidade. As propostas de trabalho nas atividades deste Caderno exploram a ideia do uso das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos em situações práticas e aplicadas como, por

exemplo, a de investigarmos o significado das unidades de medida frequentemente usadas na informática (bits, bytes, megabytes, etc.). Na Situação de Aprendizagem 1, o objeto de estudo são as semelhanças e diferenças envolvendo as ideias de fração, razão entre números quaisquer e números racionais. Com relação ao conjunto dos números racionais, a Situação de Aprendizagem sugere a exploração do tema por meio da ideia de classes de equivalência, o que precederia a formalização tradicional apresentada na maioria dos livros. As “classes de equivalência” são apresentadas em situações de contexto e de forma intuitiva, para então serem aplicadas nas frações. Em seguida, a localização das frações na reta numérica está combinada a discussão sobre o caráter de densidade dos números racionais, isto é, o fato de entre dois números racionais existirem uma infinidade de outros números racionais. Esta propriedade marcará um passo entre o caráter discreto ou não-contínuo dos números inteiros para a continuidade representada pelos números reais. Na Situação de Aprendizagem 2, o tema central são as dízimas periódicas. Nela discutimos que toda fração irredutível possui uma representação decimal que pode ser finita ou infinita e periódica. Nessa Situação de Aprendizagem, além da discussão sobre a obtenção das frações geratrizes, também será explorado o ponto de vista da “previsão” do tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Partindo da motivação de que números muito grandes ou muito pequenos encontram nas potências um caminho adequado e prático de representação, a Situação de Aprendizagem 3 procura motivar o estudo das potências a partir

de situações práticas e desafiadoras, envolvendo notações como as do googol e do angstrom. A atividade também apresenta uma proposta de uso da calculadora no estudo das potências. Na Situação de Aprendizagem 4, exploramos a relação entre o uso das potências e a memória do computador. Termos como bits, bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemente, em terabyte, de uso corrente na informática, geram contexto e significado, pois se referem a unidades de memória dos computadores cuja compreensão e uso estão diretamente relacionados ao estudo das potências, fato que será explorado nessa Situação de Aprendizagem. As atividades propostas são sugestões que podem ser utilizadas ao longo das seguintes oito unidades que poderão compor o bimestre.

Quadro Geral de conteúdos do 1o bimestre da 7a Série do Ensino Fundamental unidade 1 – Frações e números racionais. unidade 2 – Decimais finitas e as dízimas periódicas. unidade 3 – Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível. unidade 4 – Potências: definição e contextos. unidade 5 – Potências: aplicações práticas. unidade 6 – Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias. unidade 7 – Propriedades operatórias das potências. unidade 8 – Potências e problemas de contagem.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUáRIO DAS FRAçõES tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; números racionais. Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalência, a partir de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, compreendendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racionais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações equivalentes; localizar números racionais na reta. Estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir classes de equivalência.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é a razão entre dois números inteiros, ou seja, uma fração é um número racional. Mas também podemos falar da razão entre dois segmentos, entre duas grandezas, mesmo que suas medidas não constituam números inteiros, entre duas frações ou entre dois números decimais. A igualdade entre duas razões é uma proporção. Euclides dedicou um dos volumes de seus famosos Elementos de Geometria ao estudo das razões e proporções, tratando-as como se fossem algo especial, não apenas frações. Nosso objetivo, nesta Situação de Aprendizagem, é esclarecer as seguintes questões:

f Qual é a diferença entre uma fração e a razão entre dois números quaisquer? f Qual é a diferença entre uma fração e um número racional? A primeira questão é mais simples. É muito comum associarmos a representação a/b ao resultado da divisão de a por b e chamara mos o símbolo de fração, mesmo que a e b b não sejam inteiros. Em sentido próprio, uma fração é a razão entre dois números inteiros. No entanto, quando falamos de frações como x 1, 2 , 5, ou então, , em que x e y represeny 3 tam grandezas quaisquer, estamos usando a palavra fração em sentido figurado, assim como falamos dente de um serrote ou pé de uma cadeira, e é perfeitamente compreensível tal uso.

A segunda questão exige uma conversa mais longa. Existe uma diferença conceitual importante entre uma fração e um número racional. Para esclarecer tal ponto, vamos precisar da noção de relação de equivalência.

C outros

E D

Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência. Por exemplo, o conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério. Se considerarmos apenas o fabricante de cada automóvel, tratando como equivalentes todos os automóveis produzidos pelo mesmo fabricante, o conjunto dos automóveis resultará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis produzidos pela montadora A estarão em uma mesma classe, todos os automóveis da montadora b estarão em outra, todos os fabricados pela montadora C em outra e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se e somente se têm o mesmo fabricante – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto. O mostruário caracterizará, na verdade, o conjunto dos fabricantes de automóveis.

G I

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto aos fabricantes A B C D E F G H I OUTROS Podemos olhar para o conjunto inicial dos automóveis tendo outros interesses na organização: a cor dos automóveis, por exemplo. Podemos estabelecer que dois automóveis de mesma cor são equivalentes, agrupando-os em classes homogêneas quanto à cor. O mostruário representará, então, o conjunto das cores. PRATA VERDE PRETO BRANCO CINzA AzUL OUTROS

Matemática – 7a série, 1o bimestre

redutíveis e as irredutíveis, etc. Se considerarmos equivalentes e situarmos em uma mesma classe todas as frações que representarem a mesma par1 3 5 te da unidade, como, ; ; ; 0,5; 13 ; –7 ; 2 6 10 26 (–14) 232 , ... (todas representam a metade da uni464 5 10 –15 dade), ou então ; ; ; 1,666...; 500 ; 3 6 (–9) 300 300 , ... (todas representam um inteiro mais 180 dois terços), então todas as frações podem ser organizadas em classes de equivalência. Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes.

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores Branco Azul Preto Prata Cinza Verde Outros Voltemos, agora, ao conjunto das frações, ou seja, ao conjunto de todas as razões possíveis entre dois números inteiros. Trata-se de um conjunto muito “bagunçado”, em que se encontram tanto as frações próprias quanto as impróprias, tanto as positivas quanto as negativas, tanto as ordinárias quanto as decimais, as

430 ; 2; 6 215 3

1 ; 0,142857...; 3 21 7

1,666; 5 ; –15 ; 15 3 –9 9

7 ; 2,333...; –35 –15 3

...; ...; ...

2 ; 4 ; 0,4; –6 ; 400 –15 1000 5 10

1 ; –3 ; 7 ; 15 ; 111 ; 2 3 –9 21 45 333 6

1 ; 3 ; 0,5; 13 ; 231 ; –7 ; 45 26 462 –14 90 2 6

Mostruário das frações: Conjunto dos números racionais 1 2

1 3

1 7

– 2 7

5 3

...

resumindo, podemos dizer que um número racional sempre representa uma classe de frações equivalentes. Assim como o número natural 5 representa o que há de comum entre todos os conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os dedos de uma mão, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que repre-

{

sentam a mesma parte da unidade. As frações

Atividade 2

3 9 são diferentes, embora equiva; 0,6 e 5 15 9 3 são diferentes lentes; os números ; 0,6 e 15 5 representações do mesmo número racional. Para explorar um pouco mais a ideia de relação de equivalência, vamos resolver as seguintes atividades.

Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem organizando-os em classes de equivalência, segundo o critério do número de lados. Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos, o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o conjunto dos hexágonos, etc. os quadriláteros

, etc.}

Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a relação de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se e somente se situamse à mesma distância da origem, onde está o número zero. –3

–2

–1

Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3}, {4, –4}, {5, –5}, e assim por diante. –4

–3

–2

–1

b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto do módulo dos números inteiros.

Atividade 3

triângulos pentágonos

O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.} ou

–4

Atividade 1

gon hexá

b) Qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos?

...

Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja

Matemática – 7a série, 1o bimestre

soma do numerador com o denominador dá 2 essempre o mesmo número. Por exemplo, 5 3 24 1 estaria taria na mesma classe de e de ; 4 13 6 1 7 na mesma classe de ; e assim por e de 36 30 diante. Nesse caso, a) quais seriam as classes de equivalência? As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja soma do numerador com o denominador fosse constante, começando pelo menor valor possível, que é 2, depois 3, 4, e assim por diante: 1 soma igual a 2: , ou seja, 1; 1 1 2 soma igual a 3: ; ; 2 1 1 2 3 soma igual a 4; ; ; ; 3 2 1 1 2 3 soma igual a 5: ; ; ; 4 ; 4 3 2 1 ... 1 2 3 5 6 7 ; ; ; ; ; ; Soma igual a 13: 12 11 10 8 7 6 8 9 10 11 12 ; ; ; ; ; 5 4 3 2 1 ... e assim por diante. Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência por meio do seguinte conjunto: la

a m 1 1

a igu

1, 2 2 1 so

igu

soma

igual

a 13 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12 11 10 8 7 6 5 4 10 , 11 , 12 3 2 1

...

1, 2, 3, 4 4 3 2 1 soma igual a 5

1, 2, 3 3 2 1

soma 4 igual a

Se o professor preferir, também pode propor a construção da seguinte tabela: 1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

...

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

...

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

...

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

...

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

...

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6 6

...

b) qual seria o mostruário? O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a soma numerador + denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.

A localização dos números racionais na reta A criação dos números racionais representa um momento importante do curso de Matemática no Ensino Fundamental, pois ela trata de noções que servirão de base para a construção do conjunto dos números irracionais e, portanto, dos reais, objeto de estudo da 8a série. O fato fundamental do conjunto dos números reais é a equivalência com os pontos da reta, isto é, a associação de cada número real a um ponto da reta e a sua recíproca, cada ponto da reta está associado a um número real. Esta equivalência entre pontos da reta e número real representa um passo muito importante na construção de noções geométricas e numéricas com aplicações na Matemática e nas ciências em geral, particularmente na Física.

Na 6a série, os alunos representaram os números inteiros, positivos e negativos por pontos equidistantes sobre a reta, respectivamente à direita e à esquerda em relação ao zero. Esta representação permite compreender os números inteiros como uma ampliação dos números naturais na medida em que a escala, a partir de então, necessitava, além da medida do comprimento de segmento unitário, ser orientada para a esquerda do zero negativa e para a direita do zero positiva: –4

–3

–2

–1

8 4 –2

–

Repetindo esta operação para todo denominador n inteiro, teremos para cada classe de equivalência de frações um ponto correspondente na reta:

3 6

9 12

4 4

–

3 3

–

2 4

6 8

3 3

–

2 2

–

1 2

3 4

2 2

A localização dos números racionais na reta permite fazermos algumas considera-

5 7 4 6 3 1 2 – – – – – – 4 4 4 4 4 4 4

Assim, cada fração de denominador 4 estará associada a um ponto da reta.

–

Embora cada número racional esteja associado a um ponto da reta, a recíproca aqui não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não se esgotam com os números racionais. Como sabemos, existem pontos da reta que serão associados aos números irracionais, dando ao conjunto real a qualidade de continuidade que é atribuída à reta.

–1

4 4

–1

Agora, para representar na reta um número racional com denominador n, devemos dividir cada segmento de comprimento unitário em n partes iguais, os pontos da subdivisão m representarão as frações na forma . n Por exemplo, a representação na reta de todos os números racionais cujo denominador é 4 será, portanto, da seguinte forma: ... –

–

1 4 0

2 4

3 4

4 4 1

5 4

6 4

7 4

8 ... 4 2

ções lógicas sobre algumas das propriedades fundamentais que diferem os campos numéricos: a possibilidade da determinação do sucessor de um outro número. Uma destas ideias se refere à possibilidade da determinação do sucessor de um número.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

A todo número inteiro, seja positivo, negativo ou zero, podemos determinar seu sucessor e antecessor. Agora, vamos pensar nos 1 racionais: quem é o sucessor de ou de 0,53? 2 Como vemos, não existem sucessores de números racionais. Outra ideia simples que pode ser discutida é a de que dados dois números inteiros, podemos determinar que a quantidade de números inteiros entre eles é sempre finita e determinada. Por exemplo, entre –5 e 3 existem 7 números inteiros: {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. E com os racionais, como isso se dá? Vamos tomar os 1 1 números racionais e : quantos racionais 3 2 existem entre eles? Bem, sabemos que pelo menos um existe: o número médio entre eles, 5 1 1 + 2 = 6 = 5. isto é: 3 12 2 2 1 5 Mas, tomando agora os números e 3 12 podemos novamente determinar o número 1 5 9 + 3 12 que está no meio deles: = 12 = 2 2 3 9 = . Logo, o número encontrado também 8 24 1 1 está entre e . 3 2 Pensando desta forma, podemos admitir que sempre haverá um número racional entre dois racionais, e que a este será associado um ponto na reta. Este fato permite dizer que entre dois números racionais existe uma grande quantidade de outros números racionais.

Todo conjunto em que entre dois quaisquer de seus elementos exista uma infinidade de elementos do mesmo conjunto é chamado de conjunto denso. É curioso notar que o conjunto dos números racionais é denso sem ser contínuo. Como dissemos, embora entre dois números racionais quaisquer sempre haja uma infinidade de números racionais, uma vez que ele é denso, o conjunto dos números racionais não completa a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade é uma qualidade exclusiva do conjunto dos números reais, quando cada ponto da reta – imagem associada à continuidade – corresponderá a um número real, seja racional ou irracional. Abaixo, propomos algumas atividades que representam uma possibilidade ao professor para discutir com os alunos as ideias anteriormente desenvolvidas. Nesse momento, não é necessário se deter a aspectos e termos relativos à densidade ou continuidade. O interessante agora é que os alunos percebam que com os números racionais muitos mais pontos da reta serão associados a números. As noções aqui iniciadas poderão ser mais exploradas na Situação de Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas periódicas, favorece nova oportunidade de representação de números racionais na reta.

Atividade 4 Localize na reta abaixo os seguintes núme1 5 3 ros racionais: 1, –2, , , – e –0,5. 3 2 4

0 1 3

5 2

Resposta: – 0,5 –2

3 – 4

Atividade 5 Responda às perguntas: a) qual é o número natural sucessor de 15? 16. b) qual é o número inteiro sucessor de –7? –6. c) qual é o número racional consecutivo de 1 ? 3 Não existe. d) quantos números inteiros existem entre –6 e 0? 5. e) quantos números racionais existem entre –6 e 0? Infinitos. f) quantos números racionais existem entre 0,1 e 0,2? Infinitos.

Atividade 6 No exercício anterior você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional e que entre dois números racionais sempre existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem estas propriedades são chamados de conjuntos densos.

Encontre um número racional que esteja entre: 1 3 a) e 3 4 13 1 3 + 12 13 3 4 = = 2 24 2 2 5 b) e 5 4 2 5 33 + 5 4 20 33 = = 2 2 40 c) 0,88 e 0,889 0,881. d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012 1,01001000100001132. Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média aritmética entre os números dados.

Considerações sobre a avaliação A apresentação dos racionais como o mostruário das frações, baseada na ideia de classificações, é fundamental para a compreensão do conceito em questão e pode ser muito esclarecedora no significado que as relações de equivalência desempenham na Matemática. Uma vez compreendida, tal apresentação pode servir de base para uma reorganização conceitual dos outros conjuntos numéricos já estudados ou a estudar. Na resolução das atividades propostas, a aquisição de uma linguagem mais adequada para o tratamento de tais temas é mais

Matemática – 7a série, 1o bimestre

importante do que os inúmeros cálculos que podem ser associados a ela.

seja utilizando classes que envolvem equivalências contextualizadas ou numéricas.

A expectativa ao final desta Situação de Aprendizagem é a de que os alunos tenham ampliado suas noções sobre as frações, condição essencial para a compreensão do conjunto dos números racionais. Essa ampliação está apoiada, substancialmente, ao conceito de classes de equivalência, sendo, portanto, um conceito importante para o professor avaliar,

Outra noção desenvolvida nesta unidade está associada à localização de números racionais na reta. Para esse trabalho, o professor pode sugerir algumas atividades cujo denominador seja 10, preparando, de certa forma, a discussão sobre frações decimais e periódicas que é objeto da próxima Situação de Aprendizagem.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 AS DízIMAS PERIóDICAS SãO PREVISíVEIS... tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: dízimas periódicas. Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as condições que fazem com que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador. Estratégias: análise de dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso de calculadora.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 As frações representam a razão ou a divisão entre dois números inteiros. Quando nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes o quociente obtido é um número decimal “bem-comportado”, com um número finito de casas decimais, como, por exemplo, o número 0,25 que corresponde à fração 1 ; outras 4

vezes, o resultado da divisão é um número com uma infinidade de casas decimais, das quais um grupo delas se repete periodicamente, ou seja, é uma dízima periódica, como na fração 1 , que corresponde ao número 0,3333... 3 As frações do primeiro tipo podem ser escritas com seus denominadores em potências de 10: 7 175 1 2 25 1 = , = = , 40 1 000 4 100 10 5

No caso de frações que geram dízimas pe5 1 , as frações não serão ou riódicas, como 70 3 propriamente frações decimais no sentido de ter um denominador que seja potência de 10, pois, como não existe um último algarismo no desenvolvimento decimal, não existirá uma potência adequada de 10. Assim, essas frações terão representação decimal ilimitada ou infinita. Esta primeira atividade pretende instrumentar os alunos para reconhecerem, com razoável grau de certeza, quando uma fração qualquer gerará uma dízima periódica no caso de ser efetuada a divisão entre numerador e denominador. Para responder a tal questão, basta observar o seguinte fato: Se esperamos a seja equivalente que uma fração qualquer b a uma fração decimal, ou seja, a um número a decimal finito, então devemos ter equivab lente a uma fração com denominador igual a c para uma potência de 10, ou seja, do tipo 10n algum valor de n. Logo, partindo de uma fraa ção já reduzida à sua forma mais simples, b

a c = n devemos multiplicar o b 10 a numerador e o denominador de pelos mesb mos fatores de modo a atingir uma potência de 10 no denominador. Isso significa que não podem existir em b fatores que não existam na potência de 10, ou seja, b não pode ter fatores que não sejam 2 ou 5. No caso de qualquer fator primo diferente de 2 ou 5, é certo que o resultado da divisão será uma dízima periódica. para termos

Atividade 1 Descrição Com a realização da atividade, espera-se que os alunos consigam prever se a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gerará ou não uma dízima periódica. Para refletir sobre as possíveis combinações entre numerador e denominador, propomos que o professor solicite aos alunos a construção de uma tabela de dupla entrada, e que nela sejam registrados os números de 1 a 9 em duas colunas, como neste exemplo: numerador 1

1 2 denominador

Nessa situação, as frações são transformadas de modo que seus denominadores se convertam em potências de 10, e isso é possível ser feito quando observamos que o denominador divide alguma potência de 10. Frações como estas representam uma grande vantagem prática, pois além de serem de fácil comparação, permitem, na sua forma decimal, a aplicação dos mesmos algoritmos usados para efetuar as operações aritméticas.

3 4

5 6 7 8 9

Matemática – 7a série, 1o bimestre

Cada “casa” da tabela corresponde a uma fração cujos numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assinalada na 3 tabela com a letra E corresponde à fração , 4 enquanto a “casa” assinalada com a letra M 6 corresponde à fração . Caberá ao aluno 7 dividir numerador por denominador, em cada caso, e assinalar com um X as “casas” correspondentes às frações geratrizes de dízimas periódicas. Isso feito, a tabela ficará desta maneira: numerador 1

denominador

Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida a partir da tabela, é conveniente que sejam consideradas frações com numerador e denominador maiores do que 9, 124 27 como, por exemplo, ou . 125 160 Na sequência, os alunos devem ser motivados a refletir sobre os casos de frações irredutíveis em que a divisão entre numerador e denominador geram dízimas periódicas. Para tanto, podem ser questionados: igual a 3 não gera uma dízima? Quando for possível simplificar os termos da

2 X

4 5 X

8 9

dido pelo denominador.

2. Quando uma fração com denominador 6

1 3

decimais exatos quando o numerador é divi-

Questões Observando as linhas da tabela, os alunos poderão, inicialmente, refletir sobre a seguinte questão: 1. Quando uma fração irredutível não gera uma dízima ao ser dividido numerador por denominador? É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em que o denominador é formado apenas pelos fatores primos 2 e 5, geram

fração, eliminando o fator 3 do denomina9 3 = 1,5. = dor, como, por exemplo, em 6 2 3. É verdade que todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta. Os dados observados na tabela indicam que os denominadores 3 geram dízimas periódicas, quando o numerador não é múltiplo de 3. 4. Escreva a sequência dos números primos menores do que 30. Estes números compõem o seguinte conjunto: {29, 23, 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2}. 5. Quais dos números primos encontrados no item anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?

Analisando os valores deste conjunto com os dados da tabela, observa-se que, excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os outros gerarão uma dízima periódica. Desta forma, podemos concluir que, se o denominador tiver um fator diferente destes dois, a fração irredutível gerará uma dízima. 6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas anteriormente, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador gerará uma dízima periódica. Nesse caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo denominador seja um número primo e, com certeza, o denominador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis 1 1 3 5 23 , , , , ... , soluções seriam: 11 29 11 29 17 7. Quando a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica? Quando o denominador tem fatores primos que são diferentes de 2 e 5. O encerramento dessa parte da atividade pode envolver a socialização de todas as respostas e a escrita de uma conclusão geral da classe, sob a coordenação do professor. Feito isso, o próximo passo pode ser discutir pelo menos um processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica dada.

dízimas periódicas e cíclicas Preparando a próxima etapa, pode ser comentado com os alunos que, quando uma fração corresponde a uma dízima, é interessante notar que é possível uma estimativa do

tamanho máximo do período. De fato, quando dividimos 1 por 7, por exemplo, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, sabemos que as divisões parciais não serão exatas e os restos possíveis serão menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. O resto 0 (zero) é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, se efetuarmos a divisão com sete casas decimais, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, neste caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, 6 casas decimais, o que efetivamente ocorre:

r e s t o s

1 0 3 0

0,142857... quocientes

2 0 6 0

4 0 5 0 1

Quocientes

Restos

1 4 2 8 5 7

1 3 2 6 4 5 1

Na divisão de 1 por 7, é necessário colocar um zero para produzir as casas decimais. Este zero não faz parte da dízima periódica, pois não representa a quantidade de unidades na divisão. Na tabela construída ao lado da divisão colocamos, na ordem, os quocientes decimais e os restos que aparecem na divisão. No caso da divisão de 41 por 23, podemos garantir que a repetição de um resto parcial ocorrerá no máximo até a 23a casa decimal. 41 De fato, para a fração , a dízima é a seguinte: 23

Matemática – 7a série, 1o bimestre

1,7826086956521739130434 7826086956521739130434... ou seja, ela apresenta um período enorme, formado por um “pacote” de 22 casas decimais. Portanto, ao efetuarmos a divisão da fração m irredutível , os únicos restos possíveis serão n {1, 2, 3, 4, 5, ..., n – 1}. Assim, o processo de di-

Vamos observar que nesse caso, como o denominador é 7 e o “comprimento” do período é máximo, os restos serão todos os números menores que 7, que colocados em ordem formam o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Agora, quando calculamos a expressão de2 cimal , encontramos o seguinte: 7 2 = 0,285714285714... 7

visão que gera uma dízima periódica recomeça no enésimo passo ou antes dele. O desenvolvim mento decimal de será periódico e seu períon do terá, no máximo, n – 1 algarismos. 41 tem 23 por período seu “comprimento” máximo: No caso do exemplo acima, a fração

n – 1 = 23 – 1 = 22 algarismos. Outro aspecto interessante de se investigar com os alunos é o caráter cíclico dos períodos m das razões para diferentes valores de m, n mas mesmos valores de n. Por exemplo, tome1 mos a fração = 0,142857142857 7 Com esses dados, podemos montar uma tabela que corresponda, na ordem, aos quocientes e aos restos encontrados no processo de divisão:

r e s t o s

1 0 3 0

0,142857... quocientes

2 0 6 0

4 0 5 0 1

Quocientes

Restos

1 4 2 8 5 7

1 3 2 6 4 5 1

2 0 6 0

r e s t o s

Quocientes

Restos

2 8 5 7 1 4

2 6 4 5 1 3 2

0,285714 quocientes

4 0 5 0

1 0 3 0 2

Comparando-se os períodos gerados pelas duas frações, observamos que elas possuem os mesmos algarismos ordenados de formas diferentes, respeitando contudo uma ordem 2 cocíclica. Observando que a divisão de 7 meça com resto 2, que também aparece como 1 resto na divisão de , os restos, a partir des7 te ponto, também vão coincidir em ambas as 1 divisões uma vez que o desenvolvimento de 7 tem período de comprimento “máximo”: 1 7

Quocientes

Restos

1 4 2 8 5 7

1 3 2 6 4 5 1

i n í c i o do ciclo

resto inicial

2 = 0,285714... 7

Seguindo este processo, podemos deduzir 5 que em , como o primeiro resto é 5, seu de7 5 = 0,714285... senvolvimento será: 7 1 7

Quocientes

Restos

1 4 2 8 5 7

1 3 2 6 4 5 1

i n í c i o do ciclo

1o resto

5 7

= 0,714285...

8. Tomemos agora para estudo a fração 1 = 0,076923076923... 13 13 1 00 0,076923... 9 0 r quocientes e 12 0 s 3 0 t 4 0 o 1 s

Quociente 0 7 6 9 2 3

Restos 1 10 9 12 3 4 1

Aplicando-se o método discutido anteriormente, somos capazes de encontrar o desenvolvimento de: 10 = 0,769230... 13

9 = 0,692307... 13

12 = 0,923076... 13

3 = 0,23076... 13

4 = 0,307693... 13

Contudo, observando na tabela a coluna dos restos, como ela não apresenta o resto igual a 2, ela não permite se prever o

2 1 a partir de . Portanto, 13 13 2 temos a necessidade de efetuar a divisão de . 13 desenvolvimento de

13 2 0 0,153846... 7 0 r quocientes e 5 0 s 11 0 t 6 0 o s 8 0 2

Quocientes

Restos

1 5 3 8 4 6

2 7 5 11 6 8 2

Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que não estavam presentes na primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}. Agora, de posse desse novo desenvolvimento, podemos 7 11 8 e observando o , escrever as frações 13 13 13 caráter cíclico dos quocientes: 7 11 = 0,538461... = 0,846153... 13 13 8 ou = 0,6153846... 13 A primeira e a segunda tabelas juntas formam, agora, todos os restos que podem ser numeradores ou frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. 1 Diferente da fração , em que todos os pos7 síveis restos apareceram na primeira tabela, 1 houve a necessidade de construir na fração 13 duas tabelas. O professor pode, nesta discussão, fazer o uso de calculadoras ou planilhas eletrônicas, 1 explorando outras frações como . Nesse 21 caso, também serão necessárias duas tabelas que darão como restos os valores do conjunto {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

O interessante será perceber que a quantidade de restos, igual a 12, não é máxima como com os denominadores 7 e 13. Os números {3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18} não estarão na tabela dos restos, pois podem ser simplificados com o denominador 21, isto é, não representam frações irredutíveis.

como, por exemplo, 0,4444... ou 2,5555... ou, ainda, 2,343434...

Como o professor pode observar, o trabalho com dízimas, para além da abordagem comum, pode ser feito sob uma forma investigativa que envolve conceitos simples de divisão e decomposição em fatores primos.

Em seguida, multiplicamos os dois termos da igualdade por uma potência de 10 cujo expoente é igual à quantidade de numerais do período da dízima.

Encontrando a geratriz de uma dízima periódica Todo número racional escrito na forma decimal finita se transforma facilmente em uma 5 125 = . Mas como fazemos fração: 1,25 = 4 100 quando o número racional for escrito na forma decimal periódica infinita? Combinado à análise das frações que geram dízimas, um trabalho complementar que permite o aprofundamento deste tema é o de operação recíproca, isto é, partindo de um número decimal escrito na forma de dízima periódica encontrar sua fração geratriz. Existem vários métodos para obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica, mas, para o nível de conhecimento dos alunos de 7a série, propomos o seguinte:

Obtenção da geratriz de uma dízima a) simples Em uma dízima periódica simples, o período se apresenta imediatamente após a vírgula,

Para obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos tratá-la como uma incógnita, como y, por exemplo. y = 0,4444...

y = 0,4444... 10y = (0,444...) . 10 10y = 4,444... Subtraindo uma expressão da outra, isto é, fazendo (10y – y) = 4,444... – 0,444... obtemos: 4 9 Assim, a geratriz da dízima 0,444... é a fra4 ção . 9 Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz da dízima 2,343434... 9y = 4 ⇒ y =

y = 2,343434... (Multiplicaremos os dois termos por 10² = 100) 100y = 234,343434... (Subtrairemos uma expressão da outra) 232 99y = 232 ⇒ y = 99 Assim, a geratriz da dízima 2,343434... é a 232 . fração 99

b) composta Em uma dízima periódica composta, entre o período e a vírgula há um ou mais numerais que não fazem parte do período, como, por exemplo, 0,23333... ou 1,03242424... De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, nomearemos a dízima de y. y = 0,2333... Visto que o período é formado apenas por um algarismo, multiplicaremos toda a expressão por 10¹. y = 0,2333 10y = 2,333... Subtraindo uma expressão da outra, teremos: 2,1 21 = 9y = 2,1 ⇒ y = 9 90 Dessa forma, a geratriz da dízima 0,2333... 21 é a fração . 90 Vamos, agora, acompanhar o processo para a determinação da geratriz de 0,235454...

Observe que é importante destacar que o produto por potências de 10 deve ser desenvolvido até que encontremos a parte decimal periódica igual. Nesse caso, isso foi feito para os produtos obtidos por 100 e 10 000. Nesse momento do trabalho, a atividade exemplar refere-se à capacidade do aluno de aplicar os processos desenvolvidos até aqui para encontrar a geratriz da dízima. Caso o professor considere adequado, sugerimos o uso da calculadora para a verificação do resultado. No Ensino Médio, esse assunto será retomado quando o objeto de estudo for a soma de termos infinitos de uma progressão geométrica. Neste momento, por exemplo, a dízima 2,3333... será interpretada como a soma infinita das parcelas: 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... 9. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas: b) 0,454545... a) 2,7777... 25 45 9 99

x = 0,23545454... 10x = 2,3545454... 100x = 23, 545454... 10 000x – 100x 9 900x

1 000x = 235,454545... 10 000x = 2354, 545454... 10 000x – 100x = 2 354,5 454... – 23,5454... 9 900x = 2 331 2 331 x = 9 900

259 x = 1 100

2 354,5454... – 23,5454... 2 331

Matemática – 7a série, 1o bimestre

c) 1,2343434...

números racionais é importante porque depois ela é rompida, dando origem a outro tipo de número, os irracionais.

1 222 990 d) 3,1672867286728... 316 697 99 990

Considerações sobre a avaliação A expectativa ao final desta Situação de Aprendizagem é a de que os alunos tenham compreendido o campo dos números racionais como compostos por números cuja representação decimal pode ser finita ou periódica e infinita. A marca desta qualidade dos

No caso das dízimas periódicas, a exploração das primeiras experiências com representações infinitas serviu de base para uma série de atividades com um sentido de investigação e pesquisa. Na avaliação, a exploração da curiosidade dos alunos, a prática de uma reflexão crítica diante de situações insólitas ou curiosas na escrita dos números, como são as dízimas, é muito mais importante do que a mera fixação de regras operatórias para determinar as geratrizes.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTêNCIAS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: potenciação; propriedades de potenciação; conversões de unidades de medidas. Competências e habilidades: compreender a utilidade das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos; analisar e interpretar dados escritos na forma de potências de 10; relacionar a representação decimal com a notação científica de grandezas. Estratégias: uso de calculadora; construção e leitura de tabelas; interpretação de dados.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3

de grade curricular sugere que no início da 7a série o aluno já possua conhecimentos básicos sobre as potências, sendo necessário apenas

O uso de potências na Matemática é um

uma retomada do assunto que inclua discus-

recurso útil para a representação de números

sões sobre significados, notações e linguagem.

muito grandes ou muito pequenos, e esse será o

Em seguida, a expectativa é a de que possa ser

fator motivador desta atividade. Esta proposta

desenvolvido no bimestre um trabalho para

Considerando os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos? Essa é uma pergunta motivadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso sistema de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes na atividade de sistema de numeração proposta na 6a série. Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é de aproximadamente 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 . 105 km/s ou 3 . 108 m/s. A atividade a seguir utiliza a informação da velocidade da luz em cálculos aplicados. O que se deseja mostrar com essa e outras atividades apresentadas na sequência são algumas possibilidades de cruzamento de dados contextualizados e o trabalho com potências. Tais possibilidades não devem ser interpretadas

como atividades acabadas sobre o assunto e, sim, como suporte didático ao trabalho do professor. Cabe, portanto, ao professor, articulá-las da maneira mais conveniente, de acordo com os conhecimentos sobre potências dos alunos.

Atividade 1 Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Pergunta-se: NASA and The Hubble Heritage Tea; Acknowledgment: S. Smartt (Institute of Astronomy) and D. Richstone (U. Michigan)

investigar a importância das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos, o que servirá de justificativa para o estudo mais detalhado das propriedades operatórias das potências, na sequência do curso.

a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo que a velocidade da luz é 3 . 108 m/s? Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta exigirá o seguinte cálculo: 365 . 24 . 60 . 60 . 3 . 108 = 9 460 800 000 000 000 m = 9,4608 . 1015 metros b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é de aproximadamente 150 000 000 000 metros? Para responder a essa pergunta, basta escrevermos os valores em notação científica que teremos: 1,5 . 1011 ≈ 1,58 . 10–5 = 0,0000158 9,4608 . 105 anos-luz.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

c) quanto tempo, aproximadamente, um feixe de luz leva para chegar do Sol até a Terra?

Número de moléculas em 1 grama de água

Como a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente 1,5 . 1011 metros e a velocidade da luz é de 3 . 108 m/s, um feixe de luz demo1,5 . 1011 rará para atingir a Terra = 500 3 . 108 segundos, o que é aproximadamente 8 minutos e 20 segundos. Para efeito de comparação dessa distância, o professor pode comentar que um feixe de luz, em um segundo, dá aproximadamente 7 voltas e meia em torno da Terra.

Número de átomos do corpo humano

d) o diâmetro da Via Láctea é de cerca de 100 mil anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade “tão grande” como o ano-luz para indicar distâncias? Para medir distâncias grandes é mais prático o uso de uma unidade grande; na Astronomia existem unidades menores que o ano-luz, como, por exemplo, a “unidade astronômica”, que é a distância média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km. O Parsec, que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normalmente para indicar distâncias entre estrelas ou galáxias. Números muito grandes ou muito pequenos envolvendo medidas reais podem ser utilizados em diversas atividades com potências. A seguir, apresentamos uma tabela com dados reais aproximados que podem servir de referência para que o professor elabore atividades com potências, proporcionalidade e conversões de unidades de medidas.

3 . 1022

1028 átomos

Raio da Terra em metros

6 . 106 m

Distância entre a Terra e a Lua em metros

4 . 108 m

Distância entre a Terra e o Sol em metros

1,5 . 1011 m

Massa da Terra em quilos

6 . 1024 kg

Idade da Terra

4,5 . 109 anos

Idade do Universo

1,5 . 1010 anos

Número de habitantes da Terra (estimativa em 2007)

6,7 bilhões = 6,7 . 109 pessoas

Expectativa de vida dos brasileiros em 2005, em segundos

72 anos = 2,3 . 109 segundos

PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2005, em reais

1,937 trilhão = 1,9 . 1012 reais

Número de células do corpo humano

100 bilhões = 1011

Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena

50 milhões = 5 .107

Vale a pena observar que, apesar da praticidade relacionada ao uso de potências para a representação de números muito grandes, quando temos a possibilidade de nos referir a um número dessa natureza por palavras, a compreensão do significado concreto da ordem da grandeza será favorecida. Por exemplo, dizer que o número de habitantes estimado da Terra em 2007 foi de 6,7 . 109 pessoas nos diz muito menos do que falar em 6,7 bilhões de pessoas. O exercício de procurar relacionar o uso de potências e das palavras da nossa língua que as representem deve sempre ser incentivado. Veremos a seguir uma atividade que possibilita a introdução da ideia de notação científica.

Atividade 2 Escreva cada um dos números indicados utilizando potências de 10. Procure escrever os números na forma m . 10n, com 1 ≤ m < 10. a) Número de habitantes da Terra (estimado em 2007); 6,7 . 109 pessoas. b) Expectativa de vida dos brasileiros em segundos; 2,3 . 109 segundos. c) PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2005. 1,9 . 1012 reais. Os dados e as respostas dessa atividade estão na tabela acima. Essa atividade pode ser utilizada para introduzir a ideia de notação científica que, nesta proposta de grade, é tema da 8a série, podendo ser iniciado na 7a série.

Quando falamos em números grandes para trabalhar potências, uma contextualização interessante que pode ser feita é a do número googol (lê-se “gugol”). Há, inclusive, um conhecido site de buscas na internet cujo nome foi inspirado no número googol de Edward Kasner, provavelmente porque esse site traz uma quantidade “muito grande” de informações. Em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de 9 anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pequeno Milton – qualquer coisa como guuugol – não foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100. Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto 1 googol. Para ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo. Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas ( = ˜ 10110 partículas) em um número maior que 1 googol.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

Vencida a barreira do googol, que tal pensarmos agora em um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros de 1 googolplex? A resposta exige apenas algumas contas. 100 Dizer que 1 googolplex é 10 googol = 10 10 é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1, seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0,5 . 10 100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 . 10 10 anos (ver tabela na p. 29), o que equivale aproximadamente a 4,7 . 10 17 segundos, é possível afirmar que, desde o big bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex. Em geral, cálculos semelhantes a esses permitem que se monte atividades interessantes e motivadoras, em que o trabalho com potências torna-se naturalmente necessário. Esta atividade permite ao professor que trabalhe a regra da divisão de potências de mesma base com a subtração de expoentes.

Atividade 3 Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de aproximadamente 1 385 984 610 km³ (deste total, 97,5% é de água salgada e 2,5% de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos 1 g de água (a densidade da água é 1 g/cm³),

e que o número de moléculas em 1 g de água é 3 . 1022, calcule a quantidade de moléculas na água da superfície terrestre. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Para esta atividade, desprezamos o fato de a densidade da água salgada ser maior que 1 g/cm³. Para resolver esta atividade, primeiro temos que converter km³ em cm³, o que indicará a massa de água na Terra (= ˜ 1,4 . 1024 gramas). Como sabemos que 1 g de água tem 3 . 1022 moléculas, então, o número de moléculas no total de água da Terra é de aproximadamente 4,2 . 1046. Aproximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se discutir com os alunos que esse número é muito menor que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vista, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se dividirmos 1 googol por 1050 o resultado será 1050, que é o número de vezes que o número de moléculas de água na Terra caberia dentro de 1 googol. O estudo das potências também oferece um interessante ambiente para o trabalho com a calculadora. Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a conta 370 000 . 2 100 000, contudo, com o conhecimento de potências, essa conta pode ser feita na calculadora. Sabendo-se que 370 000 = 3,7 . 105 e 2 100 000 = 2,1 . 106, o produto procurado é 2,1 . 3,7 . 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 . 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 1011 será igual a 777 000 000 000.

Havendo possibilidade de trabalhar com a calculadora científica em classe, podemos fazer a mesma conta e sugerir aos alunos que levantem hipóteses sobre o tipo de linguagem que a calculadora está usando. Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes formas, dependendo do fabricante:

7.77

E11

7.77

 As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita o seu manuseio. Em gey ou, ral, a tecla é indicada por x em alguns casos, uma tecla indicando o sinal de acento circunflexo

ˆ a que deve ser usada para elevar uma

base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 35:

E + 11

O aluno deve perceber que a calculadora científica trabalha com potências de 10. Em todos os casos citados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicado por 7,77.

II)

Três detalhes também podem ser discutidos com os alunos:  Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, em que a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38,490.35  A letra E que aparece em algumas calculadoras, refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.

O resultado que aparecerá no visor será 243

Um dos fatores fundamentais sobre potências com expoentes inteiros pode ser discutido com os alunos com base em uma situação contextualizada: Suponhamos que, em determinado país, a produção de um produto tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000, e em razão do desenvolvimento tecnológico passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir:

Matemática – 7a série, 1o bimestre

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 ... 2015 2000 + n

Produção Potência P (toneladas) correspondente 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 315 3n

1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 ... 14 348 907

ser apresentados da seguinte forma: 1 = 1 (o produto de um número dife5 rente de zero pelo seu inverso é 1). 5.

1 = 50 (qualquer número diferente de 5 zero quando elevado a zero resulta 1). 5.

1 por 5x para po5 der usar a propriedade am . an = an + m). 51 . 5x = 50 (substituímos

51+x = 50 (para que a igualdade seja verdadeira, necessariamente x = −1). 1 Conclusão: a notação adequada para 5 como potência de base 5 é 5–1.

A regularidade da multiplicação pelo fator 3 a cada ano conduz naturalmente à representação da produção correspondente de modo simplificado, por meio de uma potência de 3 ÷ n anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas.

Posteriormente, pode-se discutir com os alunos que, excluindo-se o caso em que a = 0, a notação an pode ser estendida para o an expoente 0, uma vez que: a0 = n = 1 ou, para tindo da propriedade am . an = am + n, podemos

A partir daí, algumas propriedades parecerão naturais como:

apresentar o cálculo a0 . an = a0 + n = an, o que indica que a0 = 1.

am . an = am + n e am ÷ an = am – n Para compreendê-las, basta que se conte o número de fatores resultantes ao efetuar as operações indicadas, como em: 23 . 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 28 14243

3 números 2

1442443

5 números 2

Uma vez trabalhada a propriedade a . an = an+m, os expoentes negativos podem m

Milhar Centena 1 000

103

100

102

Outro recurso que pode ser explorado na apresentação de expoentes inteiros é aquele referente à regularidade observada no quadro do Sistema Decimal Posicional. Uma vez construída a tabela, pode-se associar as potências com expoentes negativos à sua parte decimal, de modo que o Sistema Decimal possa ser interpretado em toda a sua generalidade.

dezena

unidade

décimos

Centésimos

Milésimos

0,1

0,01

100

1 1 100 = 101 10–1

1 1 100 = 102 10–2

0,001 1 1 100 = 103 10–3

101

O professor pode, então, discutir com os alunos que os expoentes negativos nos permitem representar números muito pequenos com potências. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. 1 cm 10–2 m 1 mm 10–3 m 1 µm 10–6 m 1 nanômetro 10–9 m 1 angstrom 10–10 m Massa da molécula de ˜ 3 . 10–23 g = água Diâmetro de uma célula = ˜ 15 a 350 . 10–9 m Comprimento de onda = ˜ 7 a 4 . 10–7 m da luz visível

Outra tabela1 que permite trabalhar potências de forma interdisciplinar com a área de Ciências é aquela referente ao comprimento de ondas eletromagnéticas. São exemplos de ondas eletromagnéticas as ondas de rádio, de TV, micro-ondas, radiação infravermelha, luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama. Essas radiações diferem entre si pela sua frequência e pelo seu comprimento de onda. As ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com velocidade constante, igual a 300 000 km/s (velocidade da luz).

radiação eletromagnética - comprimento de onda em metros Raios Cósmicos

Raios X

Raios Gama

10–18

10–15

10–12

Luz visível

ultravioleta

10–9

Raios Raios Raios-X Ultra-violeta Cósmicos Gama Alta Frequência (Compr. onda Curto)

infravermelho

10–6

Luz Visível

Atividade 4 O comprimento de um cordão de DNA na célula é de aproximadamente 10–7 m, o que corresponde a aproximadamente 1 000 angstrom. Com base nisso, calcule a equivalência entre angstrom e metros. 1 angstrom corresponde a 10–10 m. 1

micro-ondas radar

10–3

rádio

VLF

100

InfraMicro-ondas vermelho

103

106

109

Energia de Ondas Corrente de Rádio Alternada baixa Frequência (Compr. onda longo)

Atividade 5 O diâmetro de um fio de cabelo humano é de aproximadamente 2,54 . 10–5 m. Quantos fios de cabelo humano teriam que ser colocados lado a lado para formar 1 m? Para determinar a quantidade de fios de cabelo que correspondem a 1 metro, basta que

Disponível em: <http://www.cena.usp.br/irradiacao/principios.htm>. Acesso em: 16 jun. 2008.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

1 = 39 370 fios. 2,54 . 10–5 O professor pode ainda discutir com os aluno que como, em média, o ser humano tem 100 000 fios de cabelo, podemos concluir que todos os fios de cabelo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros, resultariam cerca de 2,54 metros (2,54 . 10 –5 . 100 000).

Considerações sobre a avaliação

Atividade 6

ta Situação de Aprendizagem ficou por conta

façamos a divisão:

Como já foi dito inicialmente, a opção de não apresentar atividades específicas sobre as operações com potências não significa que tal assunto não seja importante, mas apenas que o tratamento usualmente apresentado costuma ser suficiente. Desta forma, o destaque desdas propostas de exploração de potências por

Nossos fios de cabelo crescem à taxa de aproximadamente 1,6 . 10 –5 m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de aproximadamente 3 . 10 –2 m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em 1 hora?

meio de sua utilização na representação do

A solução deste problema exige que efetuemos os seguintes cálculos: 3 . 10–2 = 1,875 . 103 horas, o que cor1,6 . 10–5 1,875 . 103 = 78,125 dias, ou responde a 24

interessantes, bem como para a proposição de

seja, 78 dias e 3 horas.

quanto alguns criados pelos próprios alunos.

googol e do angstrom. Na próxima Situação de Aprendizagem, veremos especialmente a família dos bytes: giga, mega, tera, etc. O significado dos números contidos nas tabelas apresentadas pode servir de base para a formulação de grande número de problemas trabalhos extraclasse. O fundamental é que o trabalho com potências seja desenvolvido com base em problemas contextualizados. Tais problemas podem ser tanto os aqui apresentados

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 AS POTêNCIAS E A MEMóRIA DO COMPUTADOR tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: potências; propriedades de potências. Competências e habilidades: conhecer e operar com as propriedades das operações com potências de expoentes inteiros; reconhecer a potenciação em situações contextualizadas; transformação de unidades. Estratégias: construção de tabelas e árvores de possibilidades; construção e análise de gráficos e tabelas; uso de calculadora.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Contexto As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilograma para se referir à massa de um determinado produto. Fala-se com naturalidade em disquetes de 1,4 megabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do dia-a-dia no mundo da informática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões. Na ciência da computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de

informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado) e 1, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal. Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (Kb). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 1 000 unidades. Assim, um quilobyte (1 Kb), segundo o SI, corresponderia a 1 000 ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no

Matemática – 7a série, 1o bimestre

computador, um quilobyte corresponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte (2,4%) era pequena, não ocasionado maiores problemas na época. Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medida tiveram de ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Hoje em dia, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em pentabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o sistema internacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no sistema internacional, corresponde a 1 000 000 000 ou 109 bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega a 10%. Hoje, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias, devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o

sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais. O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do sistema internacional de medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica Internacional (IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais megabyte, que representa 106 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, onde bi é a abreviação de binário. Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal (SI.) com o sistema binário.

Si base decimal

Quantidade de bytes

iEC base binária

Quantidade de bytes

diferença (%)

quilobyte (Kb)

103 = 1 000

quibibyte (Kib)

210 = 1 024

2,4%

megabyte (Mb)

106 = 1 000 000

mebibyte (Mib)

220 = 1 048 576

4,9%

gigabyte (Gb)

109 = 1 000 000 000

gibibyte (Gib)

230 = 1 073 741 824

7,4%

terabyte (Tb)

1012 = 1 000 000 000 000

tebibyte (Tib)

240 = 1 099 511 627 776

9,9%

Tendo como base esse contexto, podem-se explorar diversas situações em que as potências são usadas para designar a capacidade de memória ou o número de informações que podem ser codificadas usando-se os bits em um computador.

Bits, bytes e as potências de dois Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela a seguir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 por meio da combinação de três bits. Configuração dos capacitores

Estado: d – desligado l – ligado

número binário (3 bits)

número correspondente no sistema decimal

D–D–D

000

D–D–L

001

D–L–D

010

D–L–L

011

L–D–D

100

L–D–L

101

L–L–D

110

L–L–L

111

Usando-se três bits foi possível armazenar oito informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5 foi representado pelo número 101 enquanto o 7 foi representado pelo número 111. Utilizando-se apenas os algarismos 0 e 1, e três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits.

Nas duas primeiras colunas da tabela, estão representados os estados dos capacitores da para desligado seguinte forma: o símbolo para li(ou não magnetizado) e o símbolo gado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e 1 para ligado. Por se tratar de três bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna, encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configuração dos capacitores e ao número binário.

Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser armazenadas com 3 bits é dado por 2 . 2 . 2 = 2³. Portanto, com 4 bits pode-se armazenar 24 ou 16 informações. Com 5 bits, 25 ou 32, e assim por diante. Com n bits, é possível armazenar 2n informações. Em uma tabela, esta situação pode ser representada da seguinte forma:

Matemática – 7a série, 1o bimestre

número de bits 1

número de informação armazenada

... n

Configuração Estado: número dos d – desligado binário letra capacitores l – ligado (4 casas)

21 22 23 24 25 ... 2n

total

16 32 ... mn

capacitor 3 capacitor 2 L capacitor 1 D

0001

0010

C D

0100

0101

F G H

1000 L–D–D–L

D–D–L–L

Professor, nesse momento sugerimos que o mesmo problema seja analisado com o auxílio de um diagrama de árvore, como se vê a seguir: L

0000

J 1010

K L

L D L

8 possibilidades

L D D L

L–L–L–D

1100

1101

N O P

Esse tipo de diagrama é um modelo representativo do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens. As atividades a seguir exploram a potenciação a partir do contexto das relações entre bits, bytes e quantidade de informação armazenada.

Atividade 1 Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis, envolvendo quatro capacitores, e depois responda:

a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual a última letra que pode ser representada com quatro bits (em ordem alfabética)? b) Qual é a letra associada ao número binário 0111? A tabela preenchida ficará da seguinte forma: 1. a) Como podemos observar, a última letra do alfabeto que pode ser representada com 4 bits é a letra P. Daí para a frente temos de acrescentar outros bits.

Configuração dos capacitores

Estado: D – desligado L – ligado

Número binário (4 casas)

Letra

D –D – D –D

0000

D–D–D–L

0001

D–D–L–D

0010

D–D–L–L

0011

D–L–D–D

0100

D – L –D – L

0101

D–L–L–D

0110

D–L–L–L

0111

L–D–D–D

1000

L–D–D–L

1001

L–D–L–D

1010

L–D–L–L

1011

L–L–D–D

1100

L–L–D–L

1101

L–L–L–D

1110

L–L–L–L

1111

b) A letra representada pelo número 0111 é a letra H.

Atividade 2 Um byte é composto por oito bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte? 28 ou 256 informações.

Atividade 3 Quantos bytes seriam necessários para armazenar 1 000 informações? Neste item o aluno deve aplicar não só o raciocínio inverso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam necessários ao

menos 10 bytes, pois 29 é igual a 512 e 210 é igual a 1 024.

Múltiplos de byte No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de dez. Assim, um quilobyte (Kb) equivale a 103 bytes, um megabyte (Mb) a 106 bytes, um gigabyte (Gb) a 109 bytes, e assim por diante.

Atividade 4 Com base no Sistema Internacional, complete a tabela a seguir fazendo as transformações pedidas. Dê a resposta na forma de potência de dez. a) 10 megabytes em bytes 10 . 106 = 107 bytes. b) 1 gigabyte em quilobytes 109 = 106 quilobytes 103 c) 100 quilobytes em gigabytes 102 . 103 = 10–4 gigabytes 109 d) 20 terabytes em megabytes 2 . 10 . 1012 = 2 . 107 megabytes 106 e) 1 megabyte em terabytes 106 = 10–6 terabytes 1012

Atividade 5 Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de dois. Um quibibyte (Kib) equivale a 210 bytes, um mebibyte (Mib) a 220 bytes, um gibibyte (Gib) a 230 bytes, e assim por diante. Faça as transformações a seguir e dê as respostas na forma de potência de dois.

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Matemática – 7a série, 1o bimestre

a) 2 mebibytes em quibibytes 21 . 220 = 211 quibibytes 210

Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 Mb.

b) 16 gibibytes em bytes

b) Qual é a capacidade real em gibibytes (Gib) de um DVD de 4,7 gigabytes?

24 . 230 = 234 bytes c) 1 quibibyte em mebibytes 210 = 2–10 mebibytes 220 d) 10 tebibytes em bytes

Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes. 4 700 000 000 47 . 108 (47 . 10–1) 109 = = 30 1 073 741 824 2 230 ˜ 4,4 gibibytes =

5 . 21 . 240 = 5 . 241 bytes e) 32 quibibytes em gibibytes

Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é de 4,4 gibibytes.

25 . 210 = 2–15 gibibytes 30 2

Atividade 7

Atividade 6 Quando um mebibyte é um megabyte? A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 Mb (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 Mib (mebibytes). Diferentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 10. Ou seja, um DVD de 4,7 Gb (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes.

Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2? a) A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potências de 2, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência escrita por extenso. Observe o exemplo e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora.

2 elevado an

número de algarismos

A partir dessas informações, proponha aos alunos as seguintes questões: a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 Mb?

Basta transformar 700 mibibytes em megabytes. (7 . 102). 220 7 . 1 048 576 7 . 220 = = = 6 10 10 000 104 734 megabytes

128

256

512

2 elevado an

número de algarismos

1 024

2 048

4 096

8 192

8 589 934 592

17 179 869 184

34 359 738 368

68 719 476 736

1 374 E+11

16 384

2 749 E+11

32 768

5 498 E+11

65 536

1 100 E+12

131 072

262 144

2 199 E+12

524 288

4 398 E+12

1 048 576

8 796 E+12

2 097 152

1 759 E+13

4 194 304

8 388 608

16 777 216

33 554 432

67 108 864

Caso o professor tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica, pode pedir aos alunos que construam a tabela para expoentes maiores que 26:

2 elevado an

número de algarismos

134 217 728

268 435 456

536 870 912

1 073 741 824

2 147 483 648

4 294 967 296

Com esses valores, observamos que, a partir do expoente 37, aparece a notação E+n, sendo que n representa o expoente da potência de base 10. Nesses casos, a contagem de algarismos da potência de 2 é facilitada, pois basta que somemos um (referente à casa da unidade) a cada expoente de 10 para determinarmos a quantidade de algarismos da potência de base 2. O mesmo deve ocorrer com o uso de calculadoras científicas. Vale observar a presença de determinado padrão nessa sequência, o que torna a atividade promotora de outras investigações como a que propomos a seguir.

Atividade 8 Construa um gráfico no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de 2 do exercício anterior com o número de

Matemática – 7a série, 1o bimestre

algarismos da escrita por extenso do resultado das potências. Da mesma forma, o professor pode utilizar o recurso gráfico das planilhas eletrônicas, encontrando, assim, um gráfico semelhante a este: número de algarismos das potências de 2 número de algarismos

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Expoente

Atividade 9 A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores permitem-nos observar determinado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 100, determine o número de algarismos da escrita por extenso de 2100. Para responder a essa pergunta, o aluno pode utilizar algumas estratégias próprias, como, por exemplo, efetuar com a contagem da quantidade de algarismos com base nos dados da tabela na sequência: 4, 3, 3, 4, ... Outra é utilizar o gráfico dos colegas, pelo menos 4 deles, e ajustar, fazendo coincidir os pontos iniciais e finais até encontrar o valor correspondente ao expoente 100. O professor pode, ainda, estimular os alunos a buscar uma forma mais simples para chegar à solução do problema. Para isso,

pode sugerir que investiguem no gráfico uma correspondência entre a variação de algarismo e do expoente. A ideia é que eles percebam que, a cada variação de 10 no expoente, há um acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de 2, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta, portanto fazermos a relação 10 para 3. Contudo, como a sequência parte do 1, devemos acrescentar uma unidade no resultado dessa relação. Assim, para encontrarmos o número de algarismos do desenvolvimento de 2 100, devemos fazer a seguinte relação: se a cada 10 no expoente acrescentamos 3 no número de algarismos, quando o expoente for 100 teremos acrescentado 30 algarismos. Como a sequência da quantidade de algarismos partiu do 1, teremos como solução 31 algarismos. Isso é o mesmo que realizar as seguintes operações: 100 = 10; 10 . 3 = 30; 30+1 = 31 algarismos 10 Agora, vamos observar o que acontece quando o expoente não é múltiplo de 10, como é o caso de 36 e 37. 36 = 3,6 3,6 . 3 = 10,8 10 10 + 1 = 11 algarismos 37 = 3,7 3,7 . 3 = 11,1 10 11 + 1 = 12 algarismos Como vemos, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignorada na determinação do número de algarismos da escrita por extenso; é o que percebemos quando ligamos por um traço os pontos do gráfico.

Considerações sobre a avaliação Nesta Situação de Aprendizagem, as unidades de medida da quantidade de informação guardada nas memórias dos computadores constituem um exemplo contextualizado do significado das potências e de sua função primordial na linguagem e no registro de números muito grandes. As atividades apresentadas abrem algumas perspectivas de abordagens, mas os caminhos para sua exploração do tema são abundantes e especialmente fecundos. Abrem-se, aí, muitas perspectivas ao professor para a proposição de trabalhos complementares às avaliações formais, envolvendo

pesquisas na rede de computadores ou pequenos projetos de investigação. Neste bimestre, a conveniência e a oportunidade do recurso a múltiplos instrumentos de avaliação, incluindo-se, além das provas, pequenos trabalhos e pequenas tarefas de pesquisa sobre temas sugeridos pelas temáticas das atividades desta Situação de Aprendizagem, são muito explícitas. Cabe ao professor, em função do equacionamento de seu tempo disponível, efetivar tais práticas avaliativas, tendo em vista a exploração dos centros de interesse criados nos alunos pelas atividades.

ORIENTAçõES PARA RECUPERAçãO Caso as expectativas de aprendizagem es-

professor pode retomar as ideias centrais dis-

tabelecidas para o bimestre não tenham sido

cutidas na tabela apresentada no início da

alcançadas, o professor pode investigar se os

Situação de Aprendizagem 2, ampliando-a

alunos têm dificuldade na divisão entre nú-

com outros valores.

meros inteiros, capacidade exigida nesse momento. Caso constate essa dificuldade, pode recuperar as ideias centrais do Sistema Decimal Posicional, discutindo com os alunos o algoritmo da divisão.

Na determinação da geratriz de uma dízima, o professor pode retomar o método trabalhado, discutindo-o passo a passo. A discussão dos dois tipos de situações exploradas, dízimas simples e compostas, por

Outra noção exigida nas discussões que propomos é a de números primos. Caso o professor identifique dificuldade referente a esse conceito, vale retomar o processo de determinação dos números primos positivos, sugerindo, por exemplo, o uso do Crivo de Eratóstenes.

meio de vários exemplos, pode favorecer

Quanto ao trabalho de identificação das frações que geram dízimas periódicas, o

for feita a diferença, sobrem somente valores

a compreensão dos alunos sobre o tema. É importante para o aluno observar que no método de obtenção das frações geratrizes o produto por potências de 10 deve ser feito até que se encontrem valores cuja parte decimal periódica seja igual, para que, quando inteiros.

Matemática – 7a série, 1o bimestre

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA Qualquer livro didático de conteúdos do Ensino Fundamental apresenta uma série de atividades envolvendo frações e razões. O professor pode selecionar alguns que julgar interessantes no sentido de ampliar a interpretação dos enunciados e permitir a aplicação das frações em situações contextualizadas. No livro Conceitos Fundamentais da Matemática, de Bento de Jesus Caraça, da Livraria Sá da Costa Editora, o professor encontrará um interessante desenvolvimento da construção dos conjuntos numéricos e uma discussão ampliada dos conceitos de densidade e continuidade. No livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon Lages Lima, da Coleção do Professor de Matemática, editado pela Sociedade Matemática Brasileira

(SBM), encontramos alguns artigos na seção conceitos e controvérsias referentes às dízimas. Na Revista do Professor de Matemática, publicada pela SBM, encontramos vários números que tratam desse tema. Particularmente no número 66 há um artigo que discute o número de algarismos do período de uma dízima periódica. No livro Matemática e imaginação, de Edward Kasner, da zahar Editora, o professor encontrará maiores subsídios para a discussão referente ao googol. O professor pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de medidas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são: bits, angstron, parsec e anos-luz.

ContEúdoS dE MAtEMátiCA Por SériE/biMEStrE

do EnSino FundAMEntAl

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série núMEroS nAturAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências. FrAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações. - Operações básicas no Caderno da 6a série. núMEroS dECiMAiS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

6a série núMEroS nAturAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal. núMEroS intEiroS - Representação. - Operações. núMEroS rACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

7a série

8a série

núMEroS rACionAiS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

núMEroS rEAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação Científica.

PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros. trAtAMEnto dA inForMAção - A linguagem das potências.

GEoMEtriA/MEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

álGEbrA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álGEbrA - Equações do 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

GEoMEtriA/MEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

núMEroS/ ProPorCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π. trAtAMEnto dA inForMAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

álGEbrA/EQuAçõES - Equações do 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações do 1o grau. - Sistemas de Coordenadas (plano cartesiano).

GEoMEtriA/MEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

trAtAMEnto dA inForMAção - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álGEbrA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

GEoMEtriA/MEdidAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - área de polígonos. - Volume do prisma.

GEoMEtriA/MEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SiStEMAS dE MEdidA - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.

trAtAMEnto dA inForMAção - Contagem indireta e probabilidade.