MATEMATICA_CP_7s_Vol2reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental a

7 - SÉRiE

volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-294-6 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Aritmética com álgebra: as letras como números 11 Situação de Aprendizagem 2 – Produtos notáveis: significados geométricos Situação de Aprendizagem 3 – Álgebra: fatoração e equações

Situação de Aprendizagem 4 – Aritmética e geometria: Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais 42 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 50 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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FiCHA do CAdErno Aritmética, Àlgebra e Geometria: linguagens que se complementam

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 7ª2º- bimestre de 2009 Aritmética e Álgebra – as letras como números Álgebra e Geometria: produtos notáveis Álgebra: fatoração e equações Aritmética e Geometria: expressão algébrica de algumas ideias fundamentais

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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos,

no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Matemática - 7a série - Volume 2

Conteúdos básicos do bimestre O estudo formal da álgebra começa no final da 6ª- série, por meio do uso de letras para representar situações e da resolução de equações simples, e tem continuidade na 7ª- série quando o enfoque volta-se para as regras de manipulação dos símbolos algébricos. Esta proposta de organização curricular não interfere diretamente na ordem tradicional de abordagem dos temas da álgebra, porém, sugere uma forma diferente de tratá-los, especialmente no que diz respeito ao cálculo algébrico que ocupará a totalidade do 2º- bimestre da 7ª- série. Normalmente, atribuímos ao estudo da álgebra as funções de generalizar a aritmética, de possibilitar um processo para a resolução de problemas, de permitir a representação da variação de grandezas e, ainda, de formalizar estruturas matemáticas. Entendemos que essas quatro funções devem ser exploradas de forma relacionada, e não como blocos isolados dentro do planejamento. Dessa forma, as atividades propostas devem ser interpretadas como uma forma de estabelecer a relação entre duas ou mais das funções do estudo da álgebra. A Situação de Aprendizagem 1 explora a investigação de padrões e regularidades em sequências numéricas sob o ponto de vista da diversidade de representações com letras. A estratégia utilizada para que a diversidade de representações possa ser trabalhada a partir da investigação dos alunos é a de associar as sequências numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas, arranjo esse que poderá ser

identificado pelo aluno de diferentes maneiras (por linhas, colunas, reagrupando bolinhas, completando bolinhas). A partir da diversidade de expressões com letras que podem ser obtidas de cada uma das sequências, o professor poderá trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a generalização de algumas propriedades como a distributiva no produto, a comutativa e a associativa, iniciadas no 1º- bimestre da 6ª- série com os números naturais. Na Situação de Aprendizagem 2, o tema central a ser desenvolvido são os produtos notáveis e a estratégia baseia-se no uso da Geometria. Muitos alunos enfrentam dificuldades no desenvolvimento dos produtos notáveis provavelmente porque aprendem o assunto como mera técnica algébrica, sem compreender o seu sentido, e porque veem o assunto de forma desvinculada de sua aplicação. O uso diversificado de linguagens – em particular da linguagem geométrica no caso dos produtos notáveis – assume papel muito importante na apropriação de significados no contexto da álgebra. Na sequência, a proposta da Situação de Aprendizagem 3 é trabalhar fatoração, produtos notáveis e frações algébricas e simplificações de forma contextualizada. Nessa direção, trabalha-se a tradução de problemas enunciados na língua materna para a linguagem da álgebra como pontapé inicial da atividade. Também será apresentada nessa Situação de Aprendizagem a distinção entre as ideias de igualdade e identidade, o que representa um importante passo para a compreensão do uso de letras no sentido de incógnita e de variável.

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Na Situação de Aprendizagem 4, propõem-se atividades nas quais, mais uma vez, o uso da linguagem escrita e das linguagens aritmética, algébrica e geométrica aparecem de forma integrada. Problemas aritméticos e algébricos que normalmente são tratados em séries posteriores, como o do número de diagonais de um polígono ou da soma dos n primeiros números ímpares, serão apresentados de forma simples permitindo o seu uso no desenvolvimento de habilidades relacionadas ao cálculo algébrico. É importante lembrar que as Situações de Aprendizagem 1, 2, 3 e 4 não esgotam nem os temas nem as possibilidades de abordagem do tema “expressões algébricas” na 7ª- série. No entanto, a metodologia proposta consiste na apresentação de uma forma integrada de exploração das diversas funções da álgebra e na valorização do uso da diversidade de linguagens como estratégia para a aprendizagem com significado, e não como simples regra. É possível que a sistematização de alguns temas do bimestre também tenha de ser trabalhada por exercícios disponíveis na maioria dos livros didáticos,

cabendo ao professor adequar esse trabalho às necessidades dos seus alunos.

Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 7ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Expressões algébricas: equivalência e transformações. unidade 2 – Expressões algébricas: operações. unidade 3 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem geométrica. unidade 4 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica. unidade 5 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica. unidade 6 – Fatoração e simplificação de frações algébricas. unidade 7 – Fatoração e simplificação de frações algébricas. unidade 8 – Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais da aritmética e da álgebra.

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Matemática - 7a série - Volume 2

SituaçõeS de aprendizagem SItuação de aPrendIzagem 1 arItmÉtICa Com ÁLgeBra: aS LetraS Como nÚmeroS tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: uso de letras representando números; operações com letras representativas de números; expressões algébricas; propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição e à subtração. Competências e habilidades: compreender o uso de letras representativas de números; generalizar padrões em sequências por meio de expressões algébricas; reconhecer equivalências entre expressões algébricas; realizar operações simples com polinômios. estratégias: proposição de sequências com diferentes padrões para serem analisadas por estratégias diversificadas de contagem, na busca da identificação de equivalências; atividades individuais e em grupo; resolução de situações-problema.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 1 a introdução ao uso de letras na representação de problemas normalmente é feita na 6ª- série como uma preparação para o estudo das equações. na 7ª- série, o desenvolvimento de novas habilidades para o cálculo algébrico pode ser iniciado a partir de uma atividade que possibilite a discussão de propriedades das operações algébricas por meio da equivalência entre expressões. nessa direção, a equivalência entre expressões como 2(x + 3) e (x + 3)+ +(x + 3) e 2x + 6, ou entre (x + 2) . (x + 3) e x² + 5x + 6, ou ainda entre x² – 4 e (x + 2) . (x – 2) pode ser trabalhada por meio de alguns recursos geométricos como, por exemplo, na seguinte atividade:

Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Qual seria uma fórmula para determinar o número de bolinhas de uma figura genérica dessa sequência, por exemplo, da figura n? 1

...

Propondo um problema como esse aos alunos, é possível que eles apresentem mais de uma solução, o que deve ser usado como recurso para se verificar a equivalência entre expressões. Veja algumas possibilidades diferentes para resolver esse problema: 1. Identificando a regularidade por linhas 1

...

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Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o número de bolinhas igual ao número que representa a e figura e, na segunda linha, o total de bolinhas será sempre um a menos que o número da figura. Usando a letra n para representar o número da figura, o total de bolinhas pode ser representado por n+(n – 1).

Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas, devemos acrescentar ainda n – 1 bolinhas. 1

5 ...

Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1). 2. Identificando a regularidade por colunas 1

5 ...

Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângulos de n linhas por 4 colunas. 1

Agora, o número de colunas é igual ao número da figura e temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas (última coluna) que terá apenas uma bolinha. Se preenchermos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando-se o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a bolinha adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas da figura n será 2n – 1. Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes, n + (n – 1) tem de ser idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que ambas expressões devem ser válidas para qualquer n. Decorre, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n. Veja agora outra sequência e algumas das soluções possíveis:

5 ...

A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser comparada com a anterior de onde se conclui que 3n + n tem de ser igual a 4n. Veremos, a seguir, um exemplo em que podemos trabalhar a multiplicação de letras: 1

4 ...

Na resolução 1, organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas, (1: 1 linha – 3 colunas; 2: 2 linhas – 4 colunas; 3: 3 linhas – 5 colunas, etc.). Já na resolução 2, a organizamo-la em quadrados com n² bolinhas, mais o dobro de n (1: 1 + 2; 2: 4 + 4; 3: 9 + 6; 4: 16 + 8, etc.).

Resolução 1 1

1 ...

4 ...

Matemática - 7a série - Volume 2

Com isso chegamos à expressão: n.(n + 2).

a mostrar a equivalência entre as expressões obtidas. A seguir, apresentamos outros exemplos de atividades que permitem esse tipo de exploração, bem como algumas possíveis estratégias de soluções.

resolução 2 1

...

Atividade 1 Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Qual seria a fórmula para determinar o número de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência?

A expressão geral agora será: n + 2n. 2

Assim, mostra-se a equivalência entre n.(n + 2) e n² + 2n.

1 A riqueza dessa atividade como instrumento didático está na busca de representações distintas, porém, equivalentes, para indicar o número de bolinhas em função do número da figura. Assim, é importante que o professor incentive seus alunos a buscar mais de uma expressão e

5 ...

Para esta atividade apresentamos quatro soluções:

Solução 1

2 4(n + 1)

São contadas 4 filas com uma bolinha a mais que o número da figura.

–4

Contudo, as bolinhas do canto são contadas duas vezes, portanto, devemos subtrair 4 do total.

4(n + 1) – 4

Expressão final.

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Solução 2 3 4(n – 1)

São contados 4 grupos com uma bolinha a menos que o número da figura.

Sobram 4 bolinhas no canto, portanto, devemos acrescentar 4 ao total.

4(n – 1) + 4

Expressão final.

Solução 3 4 4n

São contados 4 grupos com o número de bolinhas igual ao número da figura. Expressão final.

Solução 4

(n + 1)2

Completa-se a figura fechando um quadrado com a quantidade de linhas e colunas iguais ao número da figura acrescido de 1. A quantidade de bolinhas nesse quadrado será, portanto, igual ao quadrado do número da figura acrescido de uma unidade.

(n – 1)2

Devemos, contudo, subtrair do total de bolinhas as acrescentadas anteriormente. Estas formam um segundo quadrado que tem a quantidade de linhas e colunas iguais ao número da figura, menos 1. Portanto, a quantidade de bolinhas no quadrado menor é igual ao quadrado do número da figura diminuído uma unidade.

(n + 1)2 – ( n – 1)2

Expressão final.

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Numericamente, é possível se observar a validade desta fórmula:

De forma resumida, teremos: 1

1: (1 + 1)2; 2: (2 + 1)2; 3: (3 + 1)2; 4: (4 + 1)2; ...; n (n + 1)2

...

4 (n+1) – 4 4 + 4 (n–1)

Solução 2: Nesse caso, formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois retângulos de n por 1 e devemos acrescentar ainda 1 bolinha. Temos, portanto, a fórmula: n2 + 2n + 1.

(n + 1)2 – (n – 1)2

Vamos agora estudar um formato que depois se tornará muito familiar aos alunos. O enunciado será o mesmo das atividades anteriores.

Atividade 2 Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Qual seria uma fórmula para determinar o número de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência? 2

Solução 1: Numéricamente é possível observar que a cada número n da figura corresponde um quadrado de n + 1 linhas e n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2. 1

Com isso, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1. Outros exemplos podem ser utilizados como forma de motivar a busca de uma reorganização da figura que facilite a identificação de uma fórmula, como o exemplo mostrado a seguir que trabalha com a soma dos termos de uma sequência que no Ensino Médio identificarão por uma progressão aritmética.

Atividade 3 Analise a sequência a seguir e escreva uma fórmula que indique o número de bolinhas de uma figura qualquer n. 1

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Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente: 2

Agora, completando os retângulos teremos: 1

equivalências entre diferentes expressões algébricas. Para realizar essa atividade, o professor pode dividir a sala em pequenos grupos e sugerir que estes encontrem três formas equivalentes em cada item. Realizando as operações simples aprendidas até aqui, os alunos podem verificar a equivalência entre as expressões encontradas.

Atividade 4 Determine fórmulas para o cálculo do número de bolinhas de cada figura em função do número da figura (chame o número da figura de n). 1)

Observe que para formar esse último quadro necessitamos: f acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura; f acrescentar uma quantidade igual a que queremos contar em uma forma espelhada, com relação à diagonal, indicada na cor verde. Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da imagem espelhada de bolinhas que queremos contar. Assim, o total de bolinhas da figura n será (n + 1)2 – (n + 1) . dado por 2 Utilizando as regras de cálculo algébrico que foram discutidas nos outros exemplos, o aluno poderá reescrever essa fórmula como n . (n + 1) . n2+n , ou ainda, 2 2 Na atividade a seguir, propomos mais algumas situações que permitem a construção de

4 ...

3 ...

A seguir estão presentes algumas soluções para cada atividade 1) 1 2 3 4

2(n + 1) + (n – 1) 3(n + 1) – 2 3(n – 1) + 4 2) 1

n + (n + 1) + 1 3 + 2n – 1 2(n + 1)

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Atividade 6

3 ...

Encontre outras fórmulas equivalentes a cada item da atividade anterior. É possível que os alunos proponham as seguintes soluções:

2 (n + 2) + 2 (n + 1) 2 (n + 2) + 2 (n + 3) – 4 (n + 3)(n + 2) – n (n + 1) Vamos agora propor um trabalho diferente. Vamos apresentar para os alunos uma expressão e pedir que eles façam a representação em bolinhas.

Figuras 1)

Atividade 5 Dada a fórmula para o cálculo do número de bolinhas de cada figura em função do número da figura (chame o número da figura de n) faça um desenho representativo para n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4.

Fórmula

3n + 3

1) n + (n + 1) + (n + 2) Essa é uma possível solução: 1

2) (n + 2)2 Essa é uma possível solução para o problema: 1

n2 + 4n + 4

Considerações sobre a avaliação Em relação ao processo de avaliação, o professor deve escolher os tipos de instrumentos adequados que sejam compatíveis com as características do conteúdo específico ensinado e com as condições e características da classe. Ou seja, a avaliação deve ter a autoria do professor, pois

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ele é o responsável pela formação dos alunos na disciplina que ministra. Contudo, consideramos importante a reflexão sobre alguns princípios norteadores da ação avaliativa:

atuar como monitores sob a supervisão do professor. Esse processo, assim como o resultado da reelaboração da prova, também pode ser avaliado;

f os instrumentos devem ser diversificados, de forma a contemplar não apenas a diversidade de competências entre os alunos, mas também as várias dimensões do conhecimento estudado;

f a autoavaliação constitui uma ferramenta essencial na formação do aluno e deve ser considerada dentro do processo de avaliação do bimestre. É preciso ter muito cuidado para não banalizar esse instrumento. O professor deve discutir com os alunos o significado da autoavaliação e como ela pode servir como instrumento de autoconhecimento para o aluno.

f a prova é um instrumento importante no processo de avaliação, mas não pode ser o único. É possível realizar uma prova de diferentes maneiras. Por exemplo: com ou sem consulta; no tempo de uma aula ou em um tempo maior; na sala de aula, na biblioteca ou em casa; individualmente ou em grupo, etc. O formato da prova deve estar atrelado aos objetivos de aprendizagem determinados pelo professor; f os momentos que antecedem uma prova (estudo) e os que vêm depois da prova (correção e refacção) devem ser valorizados e contemplados no processo de avaliação. A elaboração de roteiros de estudo, incluindo listas de exercícios e questões norteadoras, ajudam o aluno a sistematizar seu conhecimento. O professor pode avaliar como esse estudo foi feito e também avaliar as anotações e os exercícios resolvidos pelos alunos. A correção da prova pode ser feita pelos próprios alunos, com algumas orientações de caráter geral dadas pelo professor. Alguns alunos podem

Ao final desta primeira Situação de Aprendizagem, a expectativa é a de que o aluno tenha se familiarizado com a possibilidade de expressão de um movimento quantitativo por meio de uma fórmula ou de uma expressão algébrica. Recuperando a noção de equivalência tratada no 1o bimestre da 7ª- série, agora o que se busca é a equivalência entre expressões com letras, que representam a generalização de um determinado padrão. Nas atividades apresentadas, a colaboração entre a álgebra e a geometria pode ser notada e será aprofundada no decorrer das situações seguintes. Consideramos que o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem foi satisfatório se os alunos se sentiram motivados a encontrar as expressões equivalentes e se eles conseguiram generalizar algumas propriedades como a comutativa, a associativa e a distributiva no produto.

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Matemática - 7a série - Volume 2

O professor pode observar que as atividades propostas permitem um trabalho cooperativo. À medida que alguns alunos vão encontrando soluções, o professor pode propor que estes as exponham para o grupo da sala, permitindo maior

interação entre os alunos. Muitas vezes, as linguagens que os alunos utilizam em suas explicações tornam-se mais significativas, permitindo uma maior compreensão por parte dos alunos que ainda não haviam chegado à solução do problema.

SiTuAçãO DE APrEnDizAgEM 2 PrODuTOS nOTÁVE iS: SigniFiCADOS gEOMÉTriCOS Tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: produtos notáveis; trinômio quadrado perfeito; diferença de quadrados; área e perímetro de figuras planas. Competências e habilidades: compreender a demonstração geométrica de um produto notável, de um trinômio quadrado perfeito e da diferença de dois quadrados; utilizar a linguagem algébrica para representar a área e o perímetro de uma figura plana; interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à álgebra para a geometria; generalizar e organizar dados a partir de uma certa propriedade. Estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 É importante que o aluno entenda que 2 a igualdade ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 é uma for ma simplificada de se calcular o produto ( a + b ).( a + b ) sem ter que fazer o seu desenvolvimento completo. Contudo, a simples memorização dessas expressões, desprovida de significado, não constituiu o melhor caminho para a compreensão da álgebra pelos alunos. nesse sentido, propomos que o professor explore o significado geométrico dos produtos notáveis e sua relação com o trinômio quadrado perfeito.

O uso de letras para representar as medidas dos lados de uma figura geométrica constitui recurso importante na formação algébrica dos alunos. É o passo para a generalização de determinadas propriedades relacionadas ao perímetro ou à área dessas figuras. A área de um quadrado de lado 5 é igual a 5 . 5 = 52 = 25. A área de um quadrado de lado 10 vale 102 = 100. Então, a área de um quadrado genérico de lado a vale a2. Do mesmo modo, o perímetro de um quadrado de lado a pode ser escrito como 4a. Essas noções serão aplicadas no 4º- bimestre da 7a série, quando serão estudadas demonstrações geométricas envolvendo o teorema de Tales, de Pitágoras e as deduções das fórmulas de áreas de outros polígonos.

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Para que os alunos possam fazer uso desse procedimento, é necessário que eles conheçam as fórmulas da área e do perímetro das figuras geométricas básicas, como o quadrado, o retângulo e o triângulo. Para aprofundar as ideias relativas às propriedades comutativa e distributiva, por exemplo, o professor pode sugerir aos alunos que encontrem expressões equivalentes às relativas ao cálculo de áreas de retângulos.

estabeleçam expressões algébricas com base em situações geométricas:

Atividade 1 Observe as figuras a seguir e represente a área de cada retângulo por duas expressões algébricas equivalentes: 1)

x a

Para discutir a igualdade x(a + 4) = xa + x4 = = ax + 4x , pode-se interpretar a área do retângulo com dimensões x e a + 4:

a+7+y

x a

4 y

a+4

Decompondo o comprimento nas medidas a e 4, encontramos dois retângulos de mesma área que o anterior: 2 x

O primeiro retângulo pode ser decomposto da seguinte forma:

a+4

Podemos, portanto, concluir que x(a + 4) = = ax + 4x.

1) x

x (a + 7 + y) a

A seguir, apresentamos algumas atividades que podem ser propostas aos alunos para que

a+7+y

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Matemática - 7a série - Volume 2

yx ax + 7x + yx

b a+b

a+7+y

Assim, essa situação nos permite escrever que x . (a + 7 + y) = ax + 7x + yx.

Uma expressão equivalente à dada na atividade é 3(a + b). Com isso, observamos que 3(a + b) = 3a + 3b, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição.

Na situação 2, temos a seguinte possibilidade: x+5

2) x

Atividade 3 A expressão x(y – 3) refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela.

2+y

(2 + y)(x + 5) = 2x + 10 + xy + 5y

Nesse caso, o fator comum é o x, portanto, ele será a medida do lado comum na construção do retângulo, a outra medida deve ser (y – 3). Essa situação pode ser interpretada geometricamente como:

x(y – 3)

Atividade 2 A expressão 3a + 3b refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela. Aqui devemos observar que como o 3 é um fator comum em ambas parcelas, uma das dimensões do retângulo deve ser 3, e outra, a soma de a com b. Portanto, a figura será:

y–3 y

Pensando na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que:

x(y – 3)

– x

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Portanto x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação com relação à subtração.

produto pode ser interpretado como a área de um retângulo de medidas de lados (x + a) e (x + b). Decompondo a figura pelas medidas x, a e b, encontramos: um quadrado de lado x, um retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e um retângulo de lados a e b.

A partir deste momento, o professor pode explorar a compreensão dessas propriedades utilizando outras situações como essas ou propondo aos alunos muitas das situações que encontramos em livros didáticos.

Atividade 4

x+a x

x+b

O desenvolvimento do produto da soma de dois números como (x + a) . (x + b) refere-se a uma situação geral que permite, além de sua posterior interpretação no desenvolvimento específico dos produtos notáveis como (a + b)2 e (a – b)2, a construção de noções fundamentais aplicadas tanto à fatoração de trinômios quanto à resolução de equações de segundo grau pelo método conhecido como “soma e produto das raízes”. Nas atividades a seguir, propomos uma exploração sobre esse produto, mais uma vez usando a interpretação geométrica. Vale ressaltar que essa estratégia será retomada na Situação de Aprendizagem 3, quando abordaremos a fatoração e a resolução de equações por cálculo mental.

Produtos notáveis

x+a x

Dessa forma, podemos escrever: (x + a) . (x + b) = x2 + xa + xb + ab. O aparecimento, nessa expressão, da soma xa + xb, pode ser interpretado como (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido anteriormente, podemos realocar os retângulos da seguinte forma:

xb xb

Represente geometricamente o produto (x + a) . (x + b) e, depois, encontre uma expressão equivalente a ele.

x xb

a+b

Para resolver essa situação, propomos que o professor discuta com a turma que esse

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Matemática - 7a série - Volume 2

A área do quadrado inteiro corresponde a x2, para chegarmos ao valor de (x – a) . (x – b) devemos retirar os retângulos de áreas ax e bx e acrescentar uma vez a área do retângulo de lado ab, que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na área bx). Geometricamente, temos:

Obtendo a seguinte configuração:

(a + b)x

produto dos termos

soma dos termos

Portanto, (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão, identificamos que no desenvolvimento de (x + a) . (x + b), a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a soma dos números (a + b) e o termo independente é o produto dos mesmos termos a . b.

(x – a) (x – b) =

Outra situação a ser estudada agora é a que envolve o produto da diferença de dois números, isto é: (x – a) . (x – b).

Atividade 5 ax

Represente geometricamente o produto (x – a) . (x – b) e, depois, encontre uma expressão equivalente a ele.

–

Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida de um lado será (x – a) e de outro (x – b). Isso pode ser formado a partir de um quadrado de lado x, como mostra a figura: x

x–b

x–a

(x – a).(x – b)

–ax x

–

b –bx

–

+ab

Chegamos, então, à expressão (x – a) . (x – b)= = x2 – xa – xb + ab. Vale observar que essa

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expressão é equivalente à (x – a) . (x – b)= = x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma vez, permite-nos concluir que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma (a + b) e o termo independente ao produto a . b. A partir dessas situações propostas, o professor pode destacar junto ao grupo de alunos as semelhanças e diferenças presentes no desenvolvimento algébrico de (x + a) . (x + b) e de (x – a) . (x – b). Como vimos, o termo comum x é elevado ao quadrado; se o produto for entre a soma de dois números, o coeficiente de x, isto é, o “segundo termo”, será positivo, caso seja a diferença de dois números, ele será negativo. Além disso, o coeficiente do “segundo termo” refere-se à soma (a + b) e o termo independente, ou “terceiro termo” do desenvolvimento, será igual ao produto a . b. Com tais desenvolvimentos, o professor poderá ampliar esse tipo de exploração propondo atividades como a representação de produtos (x + 2) . (x + 5) ou de (x – 3) . (x – 1). uma vez percebendo o domínio dessas ideias relativas às interpretações geométricas de fatos algébricos desses produtos notáveis, o professor pode recorrer às situações que envolvem o domínio da propriedade sem que seja feito o uso da propriedade distributiva ou do recurso geométrico. Isso é o que propomos no exercício a seguir.

Atividade 6 Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar a propriedade distributiva ou a representação geométrica:

a) (x + 3) . (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 . 5 = x2 + 8x + 15 b) (x – 7) . (x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 . 10 = x2 – 17x + 70 c) (x + 1) . (x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 . 1 = x2 + 2x + 1 d) (x – 4) . (x – 6) = x2 – (4 + 6)x + 4 . 6 = x2 – 10x + 24

os quadrados perfeitos A igualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 será discutida como um caso particular da situação estudada anteriormente. Essa particularidade reside no fato de a figura representativa ser um quadrado. A importância desses desenvolvimentos algébricos na matemática e em outras situações requer que ela seja desenvolvida de forma a permitir que os alunos atribuam significado à expressão algébrica decorrente do produto ou da potência em questão. Para isso, retomamos a demonstração geométrica a partir da decomposição de um quadrado de lado a + b que tem área igual a (a + b)2. Ele pode ser decomposto em quatro figuras: um quadrado de área a2, outro quadrado de área b2, e dois retângulos de área a . b. A soma das áreas das quatro figuras é igual à área do quadrado maior, como mostra a figura a seguir:

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Matemática - 7a série - Volume 2

a+b a a+b

a.b

(a + b)2

2ab

Atividade 7 Faça a representação geométrica dos seguintes trinômios quadrados perfeitos: a) a² + 6a + 9

b) 4x2 + 4x + 1

a+3

4x2 2x

x x2

x+2

Contudo, um trinômio como x2 – 4x – 4 não será um quadrado perfeito pois o terceiro termo – 4, está precedido do sinal menos (–).

(a – b)2 a

A igualdade (a – b)² = a² – 2ab + b² também pode ser demonstrada geometricamente partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura. a

a–b

x+2

2x 1

2x + 1

a+3

Convém salientar aos alunos que, com base nessa demonstração, qualquer trinômio quadrado perfeito pode ser representado geometricamente por um quadrado. Vejamos o seguinte exemplo: o trinômio quadrado perfeito x2 + 4x + 4 pode ser representado como um quadrado de lado (x + 2) composto pelas seguintes figuras: um quadrado de lado x e área x2, um quadrado de lado 2 e área 4, e dois retângulos de lados x e 2 e área 2x.

b b A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale a área do quadrado maior (a2),

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subtraída das áreas dos retângulos de lados a e b (a . b). Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois o mesmo foi retirado duas vezes ao

subtrairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir:

a.b a

(a – b)2

–

a.b

(a – b)2

–

O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma:

x–5

(x – 5)2

x 5 5

Atividade 8 Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis: b) 9 x2 6 x 1 a) a 2 6a 9

Outra igualdade importante na álgebra é a diferença de dois quadrados. Algebricamente, essa igualdade significa que a diferença entre o quadrado de dois números é igual ao produto da soma pela diferença entre esses dois números, isto é a2 – b2 = = (a + b).(a – b). Para apresentar esse produto notável, o professor pode propor a seguinte atividade aos alunos pedindo que eles construam as peças do modelo em papel e façam a manipulação. O professor pode pedir que cada aluno construa seu modelo com uma medida para a e b, podendo depois verificar a validade da afirmação para qualquer um desses valores, generalizando, portanto, para medidas a e b:

3x 3x – 1

a –3

2ab

(a – 3)2

9 3

(3x – 1)2 1 1

Geometricamente, iremos construir um quadrado de lado a e retirar do mesmo um quadrado de lado b, conforme a figura a seguir:

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Matemática - 7a série - Volume 2

A partir do conhecimento destes produtos notáveis, podemos explorar situações mais complexas, como a que sugerimos a seguir.

Atividade 9

Represente geometricamente a expressão algébrica 16x2 – 9y2 e, depois, encontre uma expressão equivalente a ela, como o produto de dois números.

b b

a–b

1ª- Solução Agora, o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois quadrados”, um com área 16x² e outro com área 9y². Portanto, deve concluir que o lado do quadrado maior é 4x, e o do quadrado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos encontrar como solução:

a2 – b2

A figura resultante pode ser dividida ao meio e suas partes realocadas da seguinte forma:

16x2 – 9y2 4x

b a–b

a–b

4x – 3y

3y 3y

4x – 3y

Obtemos, assim, um retângulo cuja área vale (a + b) . (a – b). Podemos concluir assim que: a2 – b2 = (a + b).(a – b) a+b

4x – 3y

4x + 3y

4x – 3y

a–b

Concluindo que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y).(4x – 3y).

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2ª- Solução Outra forma que o professor pode encontrar ou sugerir aos alunos é a que se segue. Toma-se um quadrado de lado 4x e em seu interior um quadrado de lado 3y. 4x 3y

4x – 3y

Terminada essa etapa, o professor pode sugerir outras situações similares a essa que servem como uma introdução à fatoração, tema da próxima Situação de Aprendizagem. Com o intuito de trabalhar um pouco mais com este manejo algébrico-geométrico, propomos um tipo de exercício que envolve demonstrações.

Atividade 10

4x – 3y

A figura a seguir mostra um quadrado de lado c formado por 4 triângulos retângulos e 1 quadrado menor. Mostre que c2 = a2 + b2.

Em seguida, observe que a diferença dos quadrados (16x2 – 9y2) significa a sobra do retângulo com medidas 4x e (4x – 3y) e 3y e (4x – 3y)

c a

Podemos, agora arranjar as peças de modo a construirmos um retângulo de lados (4x + 3y) e (4x – 3y).

4x – 3y

A área do quadrado de lado c vale c 2. Os triâna .b gulos de lado a, b e c têm área igual . 2 O quadrado menor, como vemos na figura, tem lados iguais a (b – a), portanto, sua área é (b – a)2. A área do quadrado maior é igual a soma das áreas dos triângulos e do quadrado menor. c a

b–a

3y 4x + 3y

Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = = (4x + 3y).(4x – 3y).

a b

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Matemática - 7a série - Volume 2

 2  + (a – b)

Portanto: c2 = 4 ∙

a .b

c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2 c2 = a2 + b2 A solução desse problema é uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que enuncia que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Nesse momento, o professor não precisa enunciar este teorema, uma vez que ele é o objeto de estudo do 4º- bimestre da 7ª- série.

uma noção do desenvolvimento de outras potências (a + b) Apoiados em noções simples como o diagrama de árvore, utilizado no 1º- bimestre da 7ª- série, propriedades de potências e nos produtos notáveis apresentados até esse momento, entendemos que é possível iniciarmos um estudo sobre as regularidades presentes no desenvolvimento de potências sucessivas do binômio (a + b)n.

(a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 Os três primeiros casos já são conhecidos. A solução de (a + b)3 pode ser encontrada aplicando-se a seguinte propriedade de potência: (a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = = (a + b) . (a2 + 2ab + b2) = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Geometricamente, seria o mesmo de pensar o volume de um cubo com arestas (a + b), no caso, (a + b)2 refere-se à área da base do cubo e (a + b) à altura do cubo:

(a + b)

(a + b)2

(a + b)

A investigação que propomos segue um modelo que vem sendo adotado ao longo dos conteúdos desta proposta curricular: identificar padrões no sentido de generalizar e organizar dados a partir de certa propriedade. Inicialmente, o professor pode propor para grupos de alunos que completem a seguinte tabela da expansão da expressão (a + b)n para n = 0, 1, 2 e 3:

desenvolvimento (a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3

= = = =

1 a+b a2 + 2ab + b2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Tendo a tabela completa, o professor pode destacar, junto aos alunos, que no desenvolvimento das potências sucessivas de (a + b)n, de

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quantos termos terá o desenvolvimento de, por exemplo, (a + b)5. Nesse caso, ao desenvolvermos a potência, encontraremos 6 termos. Mas quais são eles? Será possível encontrar esses termos sem que sejam necessários os processos de distribuição?

forma geral, o número de termos é sempre uma unidade a mais que o expoente, isto é, igual a n + 1. Esse fato é importante, pois permite ao aluno uma análise que pode fazê-lo evitar um erro muito comum que é desenvolver (a + b)2 como simplesmente a2 + b2. Assim, ao observar o expoente 2, espera-se que ele conclua que encontrará um trinômio.

Neste momento, o professor pode apresentar aos alunos a possibilidade de desenvolver potências sucessivas de (a + b)n aplicando o diagrama de árvore utilizado no bimestre anterior:

A partir desse ponto, podemos colocar como um primeiro desafio aos alunos que determinem

(a + b)0

a (a + b)1

a a

(a + b)2

a (a + b)4

b +

a4 b

a (a + b)5

(a + b)3

5a4b

b +

Com base nessa configuração triangular, o professor pode comentar com os alunos que existe um padrão o qual permite determinar os termos literais e os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n sem que seja necessário a efetuação do produto. Para isso, devemos, em um processo de análise, separar a parte literal

b +

a 3a2b

4a3b

a 2ab

b + b

3ab2

6a2b2

10a3b2

b +

4ab3 b

10a2b3

b4 b

a 5ab4

dos coeficientes. Assim, os alunos podem observar os expoentes de cada parte literal e perceber que, da esquerda para direita, o expoente de a diminui de n para 0, (o primeiro termo an pode ser escrito como an . b0) e o expoente de b aumenta de 0 a n, (o último termo bn pode ser escrito como a0 . bn).

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Matemática - 7a série - Volume 2

Com relação aos coeficientes, uma vez exposta em cartaz ou na lousa a configuração

triangular anterior, pode-se destacar os coeficientes com círculos, como ilustra a figura: 1

1 a2

1 a4 a

1 a5

5 a4b

a 4 a3b

1 b3

+ a

4 ab3

+ b

b b

6 a2b2

10 a3b2

Imaginando esses números escritos em cubos, de modo que dispostos formem uma pirâmide, como a mostrada abaixo, é possível observar que cada valor escrito na face do cubo é igual à soma dos que estão sobre ele:

1 b2

3 ab2

+ b

a 3 a2b

+ b

2 ab

1 a3 a

1b a

10 a2b3

b +

1 b4 + – a b 5 ab4

–

1 b5

Esse esquema é conhecido há muito tempo e foi amplamente utilizado pelo matemático francês Blaise Pascal (1623-1662) no desenvolvimento de sua teoria da probabilidade. A partir daí, é possível concluir que, para o desenvolvimento de (a + b)6:

1 1 1 1

1 1

1 2

3 4

f as partes literais serão a6, a5b, a4b2, a3b3, a2b4, ab5 e b6;

1 3

6 10

f o número de termos desse desenvolvimento é 7;

1 4

f os coeficientes serão 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1.

1 5

1 1

Portanto: (a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + + 15a2b4 + 6ab5 + b6

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Quanto aos coeficientes, os alunos ainda podem ser estimulados a perceber algumas propriedades na tabela, que se referem ao conhecido Triângulo de Pascal. Entre elas, podemos destacar: Coeficientes (a + b)0

(a + b)1

(a + b)2

(a + b)3

(a + b)4

(a + b)5

2) A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha será o número da linha seguinte abaixo do segundo elemento (figura 2). Coeficientes

5 10 10 5 Figura 1

1 1

1+5

10 + 5

20 15 6

1 1

O professor pode sugerir que os alunos escrevam, por exemplo, o desenvolvimento de (a + b)10.

1) Os extremos são ocupados pelo número 1 e dois termos equidistantes dos extremos são iguais (figura 1).

Coeficientes

Portanto, os coeficientes de (a + b)6 podem ser determinados a partir da linha dos coeficientes de 5, da seguinte forma:

1 +2

3 +1

4 +6

5 10 10 5

Figura 2

1 1

Estudos similares a esses são objeto de estudos do Ensino Médio, particularmente quando se trata de problemas e contagens e Binômios de Newton. Contudo, pelo uso de noções elementares de álgebra e potências, entendemos esse ser um momento oportuno de trazermos esse tipo de investigação. Fica a cargo do professor perceber as condições de aplicação dessa atividade, podendo ser proposta aos alunos como um pequeno projeto de pesquisa.

Considerações sobre a avaliação O tema dessa Situação de Aprendizagem é produto notável. O termo notável, no caso, pode indicar tanto a importância desse conhecimento para o desenvolvimento de outras noções relativas às operações algébricas, à solução de equações e à demonstração de fórmulas, quanto a possibilidade de ele ser “visualizado” rapidamente em vários contextos. Para essa rápida visualização, a abordagem adotada apoiou-se no seu significado em contextos geométricos. Dessa forma, uma

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Matemática - 7a série - Volume 2

das expectativas que se coloca nesse processo de aprendizagem diz respeito a essa capacidade de significar os produtos notáveis com interpretação geométrica. É uma prática comum associarmos o desenvolvimento de, por exemplo, (a + b)2, à citação oral “o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo”. Embora ela seja um auxiliar na memorização do desenvolvimento do quadrado da soma do binômio, e isto é importante, devemos tomar cuidado para que ela não constitua o ponto central da aprendizagem. No caso do desenvolvimento das potências sucessivas de (a + b)n, o fato importante é a investigação

sobre a presença de padrões e a possibilidade de aplicação de estratégias para generalizações de propriedades. Consideramos que o desenvolvimento da Situação de Aprendizagem foi bem sucedido se os alunos consolidaram a combinação entre Àlgebra e Geometria de modo a identificar e aplicar os produtos notáveis em várias situações. Vale ressaltar que nas próximas Situações de Aprendizagem os produtos notáveis serão retomados em outros contextos, permitindo um processo continuado de aprendizagem e avaliação.

SituAção dE AprENdizAGEm 3 ÁLGEBrA: FAtorAção E EQuAçÕES Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: valor numérico de um polinômio; operações entre polinômios; casos de fatoração algébrica; resolução de equações. Competências e habilidades: expressar um polinômio por meio de um produto de fatores mais simples; aplicar os casos de fatoração na simplificação de frações algébricas; resolver equações de 2o grau por fatoração de polinômios; compreender o significado da fatoração algébrica como recurso para a resolução de equações em diferentes contextos; resolver equações aplicando cálculo mental. Estratégias: apresentação de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 os produtos notáveis, os casos de fatoração e a simplificação de expressões envolvendo frações

algébricas são alguns dos aspectos abordados no estudo algébrico que se inicia, normalmente, na 6ª- série e continua nas demais. As dificuldades declaradas pelos alunos em navegar por esses conteúdos são reconhecidas pela grande maio-

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ria dos professores que, por sua vez, não medem esforços na busca por metodologias de trabalho cada vez mais eficientes. uma das preocupações dos docentes, nesse sentido, consiste em promover a aproximação entre tais conteúdos, a fim de que a complementaridade inerente entre eles amplie seus significados individuais. Assim, é de bom alvitre abordar concomitantemente os produtos notáveis e as fatorações, bem como também, abordar em conjunto as fatorações e as simpli-ficações de frações algébricas. As diversas etapas que compõem essa situação de aprendizagem são decorrentes desse princípio, uma vez que pretendem promover a integração entre todos esses conceitos e ainda a resolução de equações. Vale ressaltar, todavia, que não se trata de abordar em profundidade a resolução dessas equações, o que será feito adiante, nesta e na série seguinte, mas sim de atribuir significado aos importantes conceitos de valor numérico de um polinômio e de raiz de um polinômio, além de, como já citado, relacionar, desde o início, os casos de fatoração à resolução de equações. A primeira atividade relaciona, novamente, a escrita de expressões algébricas ao cálculo de áreas e de perímetros de retângulos. Vale ressaltar que tal conduta, que normalmente tem por objetivo estimular que os alunos compreendam os diversos casos de fatorações algébricas, ganha aqui um novo propósito, que diz respeito à interpretação do valor numérico de um polinômio e à igualdade entre dois polinômios. Sendo assim, julgamos fundamental que todas as etapas desse primeiro exercício sejam rigorosamente cumpridas e avaliadas.

Atribuindo significado ao valor numérico de uma expressão algébrica Atividade 1 A medida do comprimento do retângulo VASO é 3 unidades a mais do que a medida de sua largura. Responda: O V

a) Se a medida da largura for igual a 6 cm, qual será a medida do comprimento? 6 + 3 = 9 cm b) Se a medida do comprimento for igual a 60 cm, qual será a medida da largura? 60 – 3 = 57 cm c) Se a medida da largura for igual a 15 cm, qual será a medida da área do VASO? 15 . 18 = 270 cm2 d) Se a medida do comprimento for igual a 14 cm, qual será a medida da área do VASO? 11 . 14 = 154 cm2 e) Se a medida da largura for x, qual será a medida do comprimento? x+3 f) Se a medida do comprimento for m, qual será a medida da largura? m–3

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g) Se a medida de um dos lados do retângulo VASO, não se sabe qual, for igual a y, qual(is) das expressões seguintes pode(m) representar o cálculo de sua área, e quais podem representar a medida de seu perímetro? ( I ) 2 . (2y + 3)

( IV ) y2 – 3y

( II ) y . (y + 3)

( V ) y2 + 3y

( III ) (y – 3).y

( VI ) 4y – 6

Perímetro: (I) e (VI); Área (II), (III), (IV) e (V).

j) Verifique se os polinômios (II) e (III), do item g), são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para alguns valores de y. Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o mesmo valor numérico para y = 0, eles têm valores diferentes para outros valores de y, ainda que ambos os polinômios possam representar a área do mesmo retângulo VASO.

Atividade 2 Observe os seis polinômios seguintes, nomeados de A a F, e as áreas 1 e 2 dos retângulos.

h) Considere as expressões (iii) e (iV) do item anterior e calcule, em cada uma, o valor da área do retângulo VASO para y = 10. 70 i) Dois polinômios são idênticos quando possuem valores numéricos iguais para qualquer valor atribuído à variável. Os polinômios (iii) e (iV) do item h, que representam a área do retângulo VASO, são iguais ou diferentes? Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena o professor chamar a atenção para o fato de que eles obedecem à condição

A = x2 – 16

d = (x – 2)2

b = x2 – 4x + 4

E = 2x(3 + 2x)

C = (x + 4) . (x – 4)

F = 4x2 + 6x

2 Área Área11

Área 2

4 a) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área 1?

de serem iguais para qualquer valor de y que

AeC

se imaginar. Inclusive, pode-se pedir que os

b) Quais desses polinômios podem repre-

alunos calculem alguns valores numéricos positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação.

sentar o cálculo da área 2? BeD

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c) Calcule o valor da área 1 para o caso em que x = 10 cm. 84 cm2 d) Calcule o valor da área 2 para o caso em que x = 15 cm. 169 cm2 e) Verifique que os polinômios E e F são idênticos, calculando o valor numérico de cada um para, pelos menos, 4 valores diferentes de x. Nesse caso, os alunos poderão atribuir a x apenas valores positivos por tratar-se de medida de lado de retângulo. Todavia, o professor deve pedir que não sejam atribuídos apenas valores naturais.

Atividade 3

Pensei: x

O dobro d o número que você pensou é o lado de um retângulo.

É 2x. E o outro lado?

1 O outro lado do retângulo é 3 unidades a mais do que esse.

20 e 23 b) Qual é a área do retângulo de que fala Paulo no caso do número x, que João pensou, ser igual a 8? 304 c) Desenhe um retângulo e assinale nele as medidas dos lados, da forma pensada por Paulo. 2x + 3 2x

2x 2x + 3

d) Escreva um polinômio para representar o perímetro do retângulo. P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6

Leia nos quadrinhos o problema que Paulo está propondo a João. João, pense em um número positivo qualquer.

a) Quais são as medidas dos lados do retângulo de que fala Paulo no caso do número x, que João pensou, ser igual a 10?

É 2x + 3

e) O polinômio A = 4x2 + 6x pode representar a área desse retângulo? Por quê? A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3).2x, que é idêntica a 4x2 + 6x. O professor pode pedir aos alunos que verifiquem a identidade a partir de alguns valores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito de valor numérico de um polinômio.

Atribuindo significado ao valor numérico que verifica uma igualdade 2

Atividade 4 3

Leia com atenção o enunciado a seguir:

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A soma de um certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado, e o resultado final é 64. a) Descubra esse número utilizando apenas cálculo mental. 5 b) Chamando o número procurado de a, escreva uma sentença matemática que traduza o enunciado do problema. (a + 3)2 = 64 c) Em quais das seguintes sentenças podemos substituir a letra a pelo número que você descobriu “de cabeça” e, efetuando os cálculos, verificar que a igualdade final é verdadeira? I) (a + 3) . (a + 3) = 64 II) a2 + 6a + 9 = 64 III) (a + 9) . (a + 1) = 20 IV) (a – 5) . (a + 11) = 0 V) (a – 1) . (a – 2) = 12 (I), (II) , (IV) e (V). Professor! A ideia fundamental nesse item da atividade é a verificação de uma igualdade a partir do cálculo do valor numérico da expressão envolvida. Todavia, no decorrer dos demais itens, será incluída a ideia de que equações quando fatoradas mantêm os valores de suas raízes. Assim, retoma-se aqui a ideia da atividade anterior, acerca da identidade entre polinômios. Sugerimos que os alunos percorram os itens de a a d, e que, ao final, o professor destaque a equivalência entre as equações.

d) Existe um número negativo que também satisfaz à condição descrita no enunciado. Qual, entre os seguintes valores, é esse número? {– 8, – 9, –10, –11, –12} –11 e) Entre as sentenças matemáticas do item c, quais são verdadeiras quando a letra a é substituída pelo número negativo que você descobriu? (I), (II), (III) e (IV). f) Entre as sentenças matemáticas do item c, quais são verdadeiras quando a letra a é substituída pelo número positivo e também pelo número negativo? Escreva novamente essas expressões. (I), (II) e (IV). g) Considere as sentenças matemáticas (I) e (IV) do item c. Aplique a propriedade distributiva, elimine os parênteses e verifique que essas sentenças são equivalentes entre si, e que também são equivalentes à sentença (II). As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes.

Atribuindo significado às fatorações Fatorar uma expressão algébrica é decompô-la na forma de um produto. Nem todas as expressões algébricas são fatoráveis, mas quando o forem, é importante ter em mente os produtos notáveis. Particularmente, vamos estudar os tipos de fatoração que se enquadram nos

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casos estudados até agora a partir de certas “brincadeiras” que envolvem pensar em mais de um número, e realizar algumas operações. No final, “adivinharemos” o número em que você pensou.

Atividade 5 Pense em um número. Agora, faça o seguinte: f multiplique-o por 5.

O resultado final, vamos “adivinhar”, é igual a duas unidades a mais do que o número em que você pensou, certo? Isso é, se você pensou no 5, o resultado final foi 7, se você pensou no 3, o resultado final foi 5, e assim por diante. Descubra como conseguimos. Se o número é x, temos a seguinte expressão: (2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = =x+2

Atividade 7

f adicione o resultado a 15. f divida o resultado anterior pelo número adicionado a 3. O resultado final, vamos “adivinhar”, é igual a 5, certo? Descubra como conseguimos. Se o número é x, temos a seguinte expressão: (5x + 15)÷(x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5

Atividade 6 Pense em um número inteiro e positivo. Em seguida, faça o seguinte: f eleve-o ao quadrado; f multiplique o resultado por 2; f adicione o resultado anterior ao quádruplo do número; f divida o resultado anterior pelo dobro do número.

Pense em dois números inteiros consecutivos. Em seguida, faça o seguinte: f eleve cada número ao quadrado. f subtraia o menor resultado do maior. f divida o resultado anterior pela soma dos números que você pensou. O resultado final, vamos “adivinhar”, deu 1, certo? Descubra como conseguimos. Se os números são x e y, temos a seguinte expressão: (x2 – y2) ÷ (x + y) = = [(x – y) . (x + y)] ÷ (x + y) =x–y Como x e y são consecutivos, x – y = 1.

Atividade 8 Leia a história em quadrinhos a seguir:

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Lucia, pense em um número inteiro e positivo.

mental que permitirão certa agilidade no processo de fatoração de trinômios do segundo grau.

Atividade 9

Multiplique por 3 e subtraia 6.

Divida o resultado pela diferença entre o dobro do número e 4.

Aposto que o resultado deu 1, 5 não deu?

3 . 8 – 6 = 18

18 ÷ (2 . 8 – 4) = 18 ÷ 12

18 ÷ 12 = 1, 5

Pense em dois números cujo produto é 36 e a soma é 15. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 36 e a + b = 15. Embora a solução desse exercício possa ser resolvida por cálculo mental, é interessante o professor explorar alguns aspectos dessa situação: como o produto é positivo, os dois números possuirão o mesmo sinal; ou ambos são positivos, ou ambos são negativos e nenhum deles será zero, pois, senão, o produto seria zero. Estudando os possíveis números positivos, podemos decompor o 36 como: 36 . 1; 18 . 2; 12 . 3 e 9 . 4. Montando uma tabela:

Deu mesmo. Como é que ele descobriu?

Soma

Observamos que os números serão 12 e 3. O que se está calculando nessa atividade 3x – 6 3 é o resultado de , que é igual a , 2x – 4 2 de acordo com a seguinte simplificação: 3(x – 2) 3x – 6 3 = = . No entanto, con2(x – 2) 2x – 4 2 sidere junto aos alunos que 2x – 4 deve ser diferente de zero e, portanto, x não pode ser 2. O objetivo das próximas três atividades é construir com os alunos estratégias de cálculo

Atividade 10 Pense em dois números cujo produto é – 27 e a soma é – 6. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = –27 e a + b= – 6. Agora, como o produto é negativo, os números deverão ter sinais diferentes. Como a soma é negativa, o número negativo terá valor absoluto

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maior que o positivo. Estudando os possíveis números, podemos decompor o –27 como:

Soma

–27

–3

–1

–9

–6

–26

Observamos que os números serão 3 e –9.

Atividade 11

Para fatorar o trinômio x2 + 7x + 12, temos que encontrar os valores respectivos de a e b, que são os termos não comuns. Como o coeficiente de x é 7 e o termo independente é 12, temos que pensar quais são dois números cujo produto é igual a 12 (a . b = 12) e a soma igual a 7 (a + b = 7). O número 12 pode ser escrito como: 12 . 1; 4 . 3 e 6 . 2, o que nos permite montar o seguinte quadro:

Pense em dois números cujo produto é 0 e a soma é 8. Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a . b = 0 e a + b = 8. Agora, como o produto é zero, um dos números será 0 e, como a soma é 8, o outro número será 8. Portanto, os números são 0 e 8.

Fatorando um trinômio do segundo grau Na Situação de Aprendizagem 2, chegamos à conclusão que: (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + ab, e que, (x – a) . (x – b) = x2 – (a + b)x + ab

Se observamos que o coeficiente do termo comum x é a soma (a + b), e que o termo independente é o produto a . b. Se o produto for entre a soma de dois números, o coeficiente de x será positivo, caso seja a diferença de dois números, ele será negativo. Assim, se conhecermos os números a e b, poderemos fatorar o trinômio do segundo grau com coeficiente de x2 igual a unidade.

Soma

Portanto, os números são 4 e 3 e, assim, x + 7x + 12 = (x + 4).(x + 3). 2

Caso o segundo termo fosse negativo, como no caso de x2 – 7x + 12, o que mudaria seria o sinal dentro dos parênteses: x2 – 7x + 12 = = (x – 4) . (x – 3). No caso de o trinômio ser um quadrado perfeito, o raciocínio não muda. Estudemos o processo de fatoração de x2 + 8x + 16. Nesse caso, o produto dos dois números deve ser 16 e a soma 8. Investigando os fatores de 16, encontramos: 16 . 1; 8 . 2 e 4 . 4. Montando a tabela, podemos concluir que os números que satisfazem as condições são iguais a 4.

Soma

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Portanto x2 + 8x + 16 = (x + 4) . (x + 4) = (x + 4)2. Vale observar que, em casos como esses, ambos os termos, x e 4, são comuns e é isso que torna esse caso particular.

O produto de dois números é zero quando um deles é zero, ou os dois são zero.

Embora nas soluções tenhamos indicado a construção de tabelas, ela serviu unicamente para organizar um raciocínio que, espera-se, os alunos façam mentalmente. Nos exercícios a seguir, evidenciamos este propósito no próprio enunciado.

Resolvendo equações por meio de cálculo mental e fatorações Atividade 12 Utilizando apenas cálculo mental, descubra o valor do número x tal que: a) elevado ao quadrado e depois adicionado a 5 resulta 21. 4 ou – 4 b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele próprio subtraído de 1. 8 c) o dobro da adição entre x e 4 é igual a 0. –4 d) o produto entre x e a soma de x com 1 é igual a 0. 0 ou – 1

a) 3x – 4 = 20

d) 45.(x + 5) = 0

–5

b) x.(x – 5) = 0

e) (x – 4).(x + 4) = 0

0 ou 5

4 ou – 4

c) (x – 2).(x – 5) = 0

f) (x – 1).(x – 3) = 0

2 ou 5

1 ou 3

Na próxima atividade os alunos podem aplicar várias estratégias de fatoração aprendidas até o momento, entre elas recorrer às semelhanças com os produtos notáveis ou aplicar, nos casos possíveis, a ideia da Soma e Produto dos termos.

Atividade 14 Fatore e resolva as equações: a) x2 + 16x = 0 (x + 0) . (x + 16) = x(x + 16) = 0 soluções: 0 ou – 16 b) x2 – 25 = 0

Atividade 13

(x + 5).(x – 5) = 0 soluções: 5 ou – 5

Utilizando apenas cálculo mental, descubra o valor do número x que torna verdadeira a igualdade.

c) x2 – 9 = 0 (x + 3).(x – 3) = 0 soluções: 3 ou – 3

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d) 4x2 – 1 = 0 1

x + 2  .x – 2  = 0 soluções: 2 ou – 2 e) x2 – 6x + 9 = 0 (x – 3).(x – 3)=(x – 3)2 = 0 solução: 3 f) x2 + 12x + 36 = 0 (x + 6).(x + 6)=(x + 6)2 = 0 solução: – 6 g) x2 – 4x + 3 = 0 (x – 3).(x – 1) = 0 solução: 1 ou 3. h) x2 – 7x + 10 = 0 (x – 2).(x – 5)= 0 soluções: 2 ou 5.

Considerações sobre a avaliação Essa Situação de Aprendizagem abordou processos de fatoração algébrica. Para isso, desenvolvemos atividades apoiadas em

conhecimentos algébricos, geométricos e aritméticos. O foco do trabalho com produtos notáveis agora é escrevê-lo na forma de produto entre números, na forma de fatores. Junto a isso, apresentamos a identidade entre polinômios, o que nos permitiu destacar a atribuição de um valor numérico à letra, construindo uma noção de variável. Embora possamos identificar que os processos de fatoração são bem mais assimilados quando o aluno construiu os significados referentes aos produtos notáveis, percebemos que este conhecimento se dá em mão dupla, isto é, ao tratarmos da fatoração, ganham também sentido os produtos notáveis. Uma das metas traçadas no trabalho com essa situação de aprendizagem é que o aluno saiba efetuar transformações em uma expressão algébrica por meio de fatorações, simplificações e cancelamento, permitindo, de certa forma, uma generalização de procedimentos aplicados nos cálculos aritméticos.

SitUAçãO dE APrEndizAgEm 4 AritmÉtiCA E gEOmEtriA: EXPrESSãO ALgÉBriCA dE ALgUmAS idEiAS FUndAmEntAiS

Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: problemas aritméticos abordados com o auxílio da Álgebra e da geometria. Competências e habilidades: expressar por meio de letras relações entre números naturais em diversas situações concretas; integrar as linguagens algébrica e geométrica na representação de relações em diferentes contextos; resolver problemas que integram os números e as formas geométricas. Estratégias: apresentação de exercícios que permitem a integração entre as linguagens aritmética, algébrica e geométrica em diferentes contextos.

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roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4

por meio de fórmulas envolvendo n. Procedendo assim, estaremos promoveremos um diálogo interessante entre a álgebra e a aritmética. E a geometria pode ser muito sugestiva, em muitas situações, como veremos nas atividades desta Situação de Aprendizagem.

Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais, a partir do 1? Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representaria o número par de ordem n a partir de 2? E o número ímpar de ordem n a partir de 1? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a partir de 2? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número de diagonais de um polígono de n lados em termos de n?

Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, com cerca de dez anos, teria efetuado o cálculo da soma dos 100 primeiros números naturais a partir de 1 (S100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + + 99 + 100) em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da terceira com a antepenúltima, e assim por diante; cada um desses pares de parcelas tem soma igual a 101.

Podemos responder questões como essas representando um número natural genérico por n e expressando as propriedades e as operações 101 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +

...

50 + 51 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 101 101

Desse fato, ele teria concluído que a soma das 100 parcelas seria igual a 50 . 101, ou seja, S100 = 5 050. Podemos aproximar o raciocínio de Gauss da linguagem geométrica. Observe as formas triangulares indicadas ao lado. O total de bolinhas representadas em cada uma delas é a soma S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

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Se reunirmos as duas formas, temos a forma retangular:

A partir dessa forma retangular, notando que temos 7 linhas e que, em cada linha, temos 8 bolinhas (1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1). Podemos concluir que o valor de S7 é igual à metade do produto 7 . 8, ou seja, 7.8 S7 = = 28. 2 Raciocinando de modo análogo, seria pos13 . 14 27 . 28 , S27 = e sível mostrar que S13 = 2 2 n . (n + 1) , 2 fórmula já tratada na Situação de Aprendizagem 1. assim por diante, de modo que Sn =

Atividade 1 Raciocinando como Gauss, e inspirado nas formas geométricas acima, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números naturais, a partir de 1? Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 + 4 +...+ + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 + (n – 3)e, assim por diante, dão sempre 1 + n; poderíamos concluir n que as n parcelas seriam equivalentes a 2

parcelas iguais a 1 + n, disto resultando n .(1 + n), que o valor de Sn seria igual a 2 n . (n + 1) . ou seja, Sn = 2 Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n seria um número par, mas isso nem sempre ocorre. Para chegar a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer n seja ímpar, podemos raciocinar dessa outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das duas formas indicadas a seguir: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4 + 3 + 2 + 1 Disso segue que, somando os primeiros membros e os segundos membros das duas igualdades, temos: 2Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n)+ + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + + (1 + n) = n . (1 + n) n . (n + 1) , e isto independe do 2 fato de n ser par ou ímpar.

Logo, Sn =

Poderíamos imaginar uma forma triangular, como nos exemplos anteriores, representando a soma Sn ; reunindo duas formas triangulares e formando uma forma retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegando ao mesmo resultado para Sn . Como se pode verificar, a linguagem geométrica é muito sugestiva e pode contribuir para a compreensão dos procedimentos aritméticos e algébricos.

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Uma outra situação que permite o uso de procedimentos aritméticos e algébricos é o estudo dos números pares e ímpares. Para resolver as atividades a seguir, o professor pode retomar as discussões da primeira situação de aprendizagem, propondo aos alunos que identifiquem os padrões associados aos números pares (2n) e ímpares (2n – 1), utilizando mais uma vez a representação figurada dos números com o auxílio das bolinhas.

Represente o número par de ordem n a partir de 2. 2n Represente o número ímpar de ordem n a partir de 1. 2n – 1

Atividade 3 a) Observe o quadrado a seguir e verifique que a soma dos seis primeiros números ímpares, a partir de 1, é igual a 62.

Atividade 2 Represente os primeiros números pares e ímpares por meio de bolinhas e, a seguir, analise-os e responda às questões:

Qual é o quinto número par a partir de 2? 2 . 5 = 10

b) Prossiga desenhando as bolinhas conforme mostra a figura e calcule a soma dos 9 primeiros números ímpares a partir de 1. c) Verifique, com base no raciocínio sugerido pela representação geométrica ao lado, que a soma dos n primeiros números ímpares, a partir de 1, é igual a n². Na atividade, é importante o aluno perceber o seguinte padrão que poderá ser generalizado.

Qual é o centésimo número par a partir de 2? 2 . 100 = 200 Qual é o sétimo número ímpar a partir de 1? 2 . 7 – 1 = 13 Qual é o trigésimo número ímpar a partir de 1? 2 . 30 – 1 = 59

1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16 1 + 3 = 22 = 4 2 1 + 3 + 5 = 3 = 9 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36

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No 4o bimestre, essa atividade será retomada, pois servirá de base para a demonstração do Teorema de Pitágoras.

Atividade 5 Vamos chamar “soma sanfonada” dos 6 primeiros números naturais a soma:

Atividade 4 S

Como foi visto na atividade anterior, a soma dos n primeiros números ímpares, a partir de 1, é igual a n2, ou seja: S in = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2 n – 1) = n2 a) Mostre que a soma dos n primeiros números pares, a partir de 2, é igual a n2 + n. A soma Sn = 2 + 4 + 6 + ... + ( 2 n ) é igual ao dobro da soma dos n primeiros natup rais, ou seja, Sn = 2 + 4 + 6 + ... + ( 2 n) = = 2(1 + + 2 + 3 +...+ n). p

S6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 que, como podemos verificar, é igual a 62, ou seja, a 36. Observe a figura a seguir e verifique que a “soma sanfonada” dos n primeiros números naturais é igual a n2, ou seja: s

Sn = 1 + 2 + 3 + ... (n – 2) + (n – 1) + n + + (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1 = n2

Como já vimos que a soma dos n primeiros n . (n + 1) naturais é igual a , resulta que 2 n n + 2 . .( 1 ) SnP = = n.( n + 1) = n 2 + n 2 b) Calcule a soma dos 2n primeiros números naturais S2n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ + (2n – 1) + (2n) e mostre que ela é igual à soma dos n primeiros números pares a partir de 2 com os n primeiros números ímpares a partir de 1, ou seja: S2 n = S in + S Pn . Para S2n temos: 2n . (2n + 1) = 2n2 + n. 2 Somando os valores de Sni e de S np , obtemos, então, o mesmo valor que o de S2n .

S2n =

A figura anterior representa a “soma sanfonada” S7s ; temos, no caso, S7s = 72 = 49. Por analogia, podemos estender o quadrado formado pelas bolinhas para 8, 9, ..., n bolinhas em cada lado, sendo válido que o total de bolinhas será n2, ou seja, Sns = n2.

Atividade 6 Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. a) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um pentágono convexo?

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Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, um pentágono pode ser subdividido em 3 triângulos, cuja soma dos ângulos internos coincide com a soma dos ângulos internos do pentágono. Logo, a soma pedida vale 3 . 1 800, ou seja, 540º .

igual ao número de triângulos em que se pode dividir o polígono convexo multiplicado por 180º. Excetuando-se os dois lados que determinam o vértice de partida das diagonais, a cada um dos outros lados vai corresponder um triângulo; logo, o número de triângulos é n – 2. Dessa forma, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é Si = (n – 2) . 180º.

Atividade 7

b) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um octógono convexo? Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, o octógono fica dividido em 6 triângulos; a soma dos ângulos internos do octógono é 6 . 180°, ou seja, 1 080º . c) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quilógono convexo? No caso do quilógono (1 000 lados), o número de triângulos em que é possível dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos vértices, é igual a 998 (excetuando-se os dois lados cuja interseção é o vértice de onde partem as diagonais, a cada um dos outros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos internos do quilógono é igual a 998 . 180°, ou seja, 179 640º. d) Como se expressa em termos de n a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados? Analogamente, no caso de um polígono de n lados, a soma dos ângulos internos será

Sabemos que um triângulo não tem diagonais e que um quadrilátero tem duas diagonais. a) Quantas diagonais tem um pentágono? Um pentágono tem 5 diagonais.

B A

Para verificar isso, basta notar que de cada um dos vértices do pentágono, é possível traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o vértice considerado aos vértices adjacentes não temos uma diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo 5 vértices, teremos, aparentemente, um total de 10 diagonais. Na verdade, este número precisa ser dividido por dois, uma vez que cada diagonal é contada duas vezes: a diagonal AB é contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o número de diagonais do pentágono é 5.

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b) E um hexágono? Raciocinando analogamente, o número de diagonais de um hexágono pode ser calculado da seguinte forma; f de cada vértice partem 3 diagonais (descontando-se o próprio vértice e os dois adjacentes); f o número de diagonais será igual à metade de 6 . 3, ou seja, será igual a 9. c) E um quilógono? Um quilógono é um polígono com um quilo de lados, ou seja, com 1 000 lados (quilo = mil). Tal polígono tem 1 000 vértices. De cada um deles, partem 997 diagonais. O total de diagonais será igual à metade de 997 . 1 000, ou seja, 498 500. d) E um polígono de n lados? Analogamente, o número N de diagonais de um polígono de n lados será tal que: 1 . n.(n – 3) N= 2

Atividade 8 Em uma sala, existem 7 pessoas dispostas ao longo de uma circunferência. Cada uma delas deve cumprimentar todas as outras com um aperto de mãos. Quantos diferentes apertos de mãos serão realizados após todos os cumprimentos recíprocos? Aqui tratamos um problema muito comum de contagem. O entendimento do problema e a análise das condições

necessárias à sua solução devem ser o ponto de partida. No caso, devemos considerar que quando uma pessoa A aperta a mão de outra pessoa B é o mesmo que quando B aperta a mão de A. Outra condição do problema é que A não cumprimenta a si mesmo, portanto, para n pessoas, cada pessoa dará n – 1 apertos de mão. Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução desse problema é partir de um número menor de pessoas. Por exemplo, sendo duas pessoas só haverá um aperto de mão, com três pessoas esse número passa para 3 apertos, para 4 pessoas serão 6 apertos, e assim por diante. Desse modo, busca-se encontrar uma regularidade entre o número de pessoas e o núme ro de apertos de mãos. Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das 7 pessoas apertará a mão de outras 6. Serão ao todo 7 . 6 cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas todas as repetições (A – B e B – A). Portanto, o total de 7 . 6 cumprimentos deverá, então, ser dividido por 2. O total de apertos de mãos distintos é, pois, 7. 6 , ou seja, é igual a 21. 2

Atividade 9 Repita o cálculo da atividade anterior, supondo que na sala existam n pessoas. Expresse o resultado em termos de n: O número de apertos de mãos é, nesse caso, n.(n – 1) . igual a 2

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Considerações sobre a avaliação Nesta última Situação de Aprendizagem, a exploração centrou-se na possibilidade de representar um elemento genérico de um conjunto por uma variável. Com isso, atividades de demonstração marcam o início de um processo que será ampliado na demonstração de teoremas, foco da geometria no 4º- bimestre e nas noções de função, presentes na próxima série. Em alguns aspectos, podemos perceber que as atividades dessa situação recuperam noções desenvolvidas nas situações anteriores, permitindo um processo contínuo de aprendizagem e avaliação. Combinadas às atividades que o professor já tem selecionado para apresentar os assuntos desse Caderno, acreditamos ter apresentado situações novas e desafiantes que permitirão um conhecimento abrangente e a construção de habilidades necessárias ao fazer matemático e à compreensão da realidade.

Como orientação ao processo de avaliação, reiteramos a importância de que o professor diversifique os instrumentos que permitem acompanhar o processo de aprendizagem dos alunos. No caso específico desta Situação de Aprendizagem, uma estratégia interessante é a proposição de situações-problema contextualizadas, envolvendo padrões que podem ser generalizados. Além das apresentadas aqui, o professor pode criar outras e também buscálas em diferentes livros didáticos. Tais situações podem ser discutidas e resolvidas por pequenos grupos de alunos, em diferentes momentos do bimestre, favorecendo a construção coletiva de significado para as expressões algébricas decorrentes dos problemas analisados. O produto do trabalho dos grupos pode ser avaliado pelo professor na perspectiva de uma aprendizagem gradual dos alunos e, nesse sentido, os critérios de correção podem ir se adequando à exigência possível em cada momento.

OriENTAçõES pArA rECupErAçãO Se no decorrer do trabalho com alguma das Situações de Aprendizagem propostas o professor identificar que as metas sugeridas não foram satisfatoriamente atingidas, pode optar por estendê-la por mais tempo, retomando alguns exercícios já trabalhados em sala e propondo outros que façam parte de uma lista que o professor já tenha construído ou que podem ser encontrados em vários livros didáticos sobre esse assunto.

As ideias trabalhadas na Situação de Aprendizagem 1, que marca o início de um processo de aprendizagem, são aprofundadas na sequência proposta no Caderno, o que sugere um processo contínuo de avaliação. É importante a atenção do professor no sentido de perceber o domínio dos alunos no entendimento dos enunciados e na percepção das configurações geométricas. Dessa forma, uma

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estratégia para recuperação pode ser o professor recorrer ao uso de folhas de papel quadriculado, ou de construção de figuras em cartolina para a possível manipulação. No caso específico da recuperação de apren dizagem da Situação de Aprendizagem 3, propomos que o professor retome, particu larmente, os passos da primeira atividade sugerindo outras expressões como “o compri mento é 4 unidades a menos que a largura”. Os problemas de “adivinhação” podem ser

retomados em pequenos grupos na sala. Ativi dades como estas são resolvidas em tempos di ferentes pelos grupos e caberá ao professor ter em mãos outras dessas situações para ir apre sentando ao grupo que já chegou à resposta. O importante aqui, é que o aluno teste suas hi póteses, perceba seu erro e refaça a expressão. A atribuição de valores numéricos às ex pressões algébricas e a respectiva verificação dos resultados pode ser uma estratégia que oriente princípios de uma autoavaliação em meio ao processo.

RECURSOS PARA AMPLiAR A PERSPECtivA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO tEMA As abordagens aqui tratadas não estão pre sentes em muitos livros didáticos dedicados a esse assunto. O professor, contudo, pode en contrar alguns subsídios na Revista do professor de Matemática, publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio da USP <http://www.rpm.org.br>.

o professor encontrará um texto acessível aos alunos com vários conceitos matemá ticos sendo tratados de forma simples e di vertida. Nele encontrase uma possibilidade de rever potências, frações, dízimas periódi cas e algumas propriedades de sequências numéricas, particularmente a que envolve a série de Fibonacci.

Livros Uma referência de abordagem histórica o professor pode encontrar em Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra, de John K Baumgart com a tra dução do professor Hygino H. Domingues e editado pela editora Atual. No livro O diabo dos números, de Hans M. Enzensberger, da Companhia. das Letras,

Para aprofundamento das reflexões so bre o ensino e aprendizagem da álgebra destacamos, de maneira geral, as discus sões apresentadas em As ideias da álgebra cujos organizadores são Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte, editado pela Atual e Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI, de Romulo C.Lins e Joaquim Gimenez, editado pela SBEM e Papirus.

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Outros livros que permitem um aprofundamento sobre os temas tratados neste Caderno são: CARNEIRO, Vera Clotilde. Funções Elementares: 100 situações-problema de matemática. Porto Alegre: Editora da uFRGS, 1993. PERELMANN, I. Aprenda álgebra brincando. 3. ed. São Paulo: Hemus, 1994. SOuzA, Eliane Reame de; DINIz, Maria Ignez de Souza: Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM/ uSP, 1994.

Sites Na internet, os endereços a seguir são algumas referências para consultas sobre o tema: Mundo matemático. Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/ edu/telelab/mundo_mat/mud_mat.htm>. Acesso em: 15 dez. 2008. Matemática essencial. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com. br/matematica>. Acesso em: 15 dez. 2008.

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Considerações Finais apresentamos neste Caderno atividades possíveis de serem propostas aos alunos no sentido de associar o desenvolvimento de fatos fundamentais da álgebra com elementos geométricos e aritméticos.

generalizados e expressos por meio de fórmulas ou expressões algébricas; f utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área, o perímetro ou o volume de uma figura geométrica;

a seguir, relacionamos os conhecimentos essenciais de cada unidade, ou seja, aquilo que o aluno deve dominar ao final do bimestre e que servirá de base para dar continuidade à sua formação matemática nos demais bimestres e séries. esses conteúdos devem servir de parâmetro para a elaboração dos instrumentos de avaliação do bimestre.

f conhecer o significado dos seguintes termos: monômio, polinômio, coeficiente, incógnita, variável, expoente;

no caso específico da iniciação ao cálculo algébrico, é importante que o foco da avaliação esteja mais centrado no desenvolvimento do pensamento algébrico do aluno do que na técnica. em outras palavras, a técnica não deve ser um fim em si mesmo, mas um meio para que o aluno consiga modelar situações e resolver problemas.

f efetuar transformações em uma expressão algébrica por meio de fatoração, simplificação e cancelamento;

f obter o valor numérico de uma expressão algébrica; f reconhecer a equivalência entre duas expressões algébricas;

f efetuar operações entre monômios e polinômios; f compreender o significado geométrico de um produto notável;

dito isto, espera-se que o aluno de 7ª- série seja capaz de:

f saber representar um trinômio quadrado perfeito geometricamente;

f usar letras para representar situações matemáticas diversas;

f fazer uso da fatoração para simplificar e resolver equações;

f buscar padrões e regularidades numéricas ou geométricas que possam ser

f identificar equivalências entre expressões com letras;

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com

naturais por meio de seu significado geométrico.

f compreender o significado geométrico dos produtos notáveis;

Para uma ideia mais nítida das múltiplas inter-

f realizar operações polinômios;

simples

f compreender o significado e a importância da fatoração algébrica na resolução de equações e em outros contextos; f expressar relações de equivalências entre expressões envolvendo números

relações entre os diversos conteúdos aqui tratados, apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Fundamental, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outras séries e de outros bimestres diretamente relacionados aos conteúdos apresentados neste Caderno.

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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre

do ensino fundamental

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

5a- série NÚMEROS NATURAIS - múltiplos e divisores. - números primos. - operações. - introdução às potências. FRAÇÕES - representação. - Comparação e ordenação. - operações.

NÚMEROS DECIMAIS - representação. - transformação em fração decimal. - operações.

6a- série NÚMEROS NATURAIS - sistemas de numeração na antiguidade. - o sistema posicional decimal. NÚMEROS INTEIROS - representação. - operações. NÚMEROS RACIONAIS - representação fracionária e decimal. - operações com decimais e frações.

7a- série

8a- série

NÚMEROS RACIONAIS - transformação de decimais finitos em fração. - dízimas periódicas e fração geratriz.

NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos. - números irracionais. - potenciação e radiciação em ir. - notação científica.

POTENCIAÇÃO - propriedades para expoentes inteiros. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - a linguagem das potências.

GEOMETRIA/MEDIDAS - Ângulos. - polígonos. - Circunferência. - simetrias. - Construções geométricas. - poliedros.

ÁlGEbRA - equivalências e transformações de expressões algébricas. - produtos notáveis. - fatoração algébrica.

ÁlGEbRA - equações de 2º- grau: resolução e problemas. - noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1º- e 2º- graus.

GEOMETRIA/MEDIDAS - formas planas e espaciais. - noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

NÚMEROS/ PROPORCIONAlIDADE - proporcionalidade direta e inversa. - razões, proporções, porcentagem. - razões constantes na geometria: . TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Gráficos de setores. - noções de probabilidade.

ÁlGEbRA/EqUAÇÕES - equações de 1º- grau. - sistemas de equações e resolução de problemas. - inequações de 1º- grau. - sistemas de Coordenadas (plano cartesiano).

GEOMETRIA E MEDIDAS: RElAÇÕES MéTRICAS - proporcionalidade, noção de semelhança. - relações métrica entre triângulos retângulos. - razões trigonométricas.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - leitura e construção de gráficos e tabelas. - média aritmética. - problemas de contagem.

ÁlGEbRA - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - resolução de equações. - equações e problemas.

GEOMETRIA/MEDIDAS - teorema de tales e pitágoras: apresentação e aplicações. - área de polígonos. - Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS - o número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SISTEMAS DE MEDIDA - Comprimento, massa e capacidade. - sistema métrico decimal.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Contagem indireta e probabilidade.

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