MATEMATICA_CP_7s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

7 - SÉRIE

volume 3 – 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

S239c

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-365-3 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações

Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares

Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 60 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno Expandindo o mundo das equações nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Equações Representações no plano através de coordenadas Sistema de equações Equações em diversos domínios

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se às suas formas de abordagem sugeridas ao longo do Caderno de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades com extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 7a série – Volume 3

Conteúdos básicos do bimestre O planejamento do 3o bimestre da 7a série tem três objetivos centrais: contemplar o estudo mais aprofundado das equações de 1o grau, apresentar o plano cartesiano como recurso para organizar e representar informação e também apresentar a ideia de equação com mais de uma incógnita em dois contextos: o dos sistemas de equações e o das equações restritas às soluções inteiras. Na Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações, partimos de uma discussão sobre a importância do trabalho com a leitura, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica, discutindo algumas estratégias para o desenvolvimento da competência leitora do aluno. Na sequência, sugerimos a continuidade do trabalho iniciado na série anterior com equações de 1o grau por meio de estratégias para a resolução de problemas. Na situação proposta, partimos de problemas que envolvem equacionamentos mais complexos do que os trabalhados na 6a série, e sugerimos estratégias de organização de dados em tabelas, usando variações na posição da incógnita como recurso para discussão de equações mais complexas. A situação é finalizada com a apresentação de uma proposta de trabalho com equações usualmente não trabalhadas na 7a série, em um contexto de desenvolvimento dos raciocínios lógico e criativo. Na Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano, iniciamos a apresentação do recurso da

representação de figuras por meio de coordenadas. A ideia de representação da informação em um plano com eixos orientados não é nova, ela já apareceu nas séries anteriores quando foram trabalhados alguns temas relacionados aos gráficos no contexto do tratamento da informação; porém, agora, ela se desenvolverá na 7a série com novas explorações, tais como a ideia de representação através de coordenadas, usada em mapas e guias de ruas, e as transformações no plano (translação, reflexão, ampliação e redução). O trabalho com as transformações do plano também representa uma oportunidade de retomada das ideias de simetria axial e rotacional trabalhadas nas séries anteriores. Com a Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares, iniciamos a discussão sobre o significado de equações com mais de uma incógnita, e sobre as estratégias para a resolução de sistemas de equações. O uso de mais de uma incógnita para organizar as informações de um problema mais complexo é um recurso que deve ser compreendido, bem como devem ser compreendidas as estratégias de resolução de sistemas de equações lineares em uma 7a série. Além da discussão dos métodos da adição e da substituição, que será proposta por meio de uma retomada da ideia de balança desenvolvida na 6a série, dois outros importantes aspectos serão trabalhados nesta Situação de Aprendizagem: a representação de um sistema de equações no plano cartesiano e a análise e discussão de um sistema de equações lineares por meio de investigações sobre sua representação no plano.

Certamente a estratégia proposta não tem a intenção de explorar a discussão de sistemas lineares com a profundidade que será feita mais adiante no Ensino Médio, mas tem o caráter de desenvolver no aluno a compreensão do uso das linguagens algébrica e gráfica como aliadas na análise e interpretação de um problema com equações lineares. Na Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações, apresentamos uma série de problemas que, uma vez equacionados, conduzem a uma única equação com mais de uma incógnita. Equações como essas, que em domínio real seriam classificadas como indeterminadas, podem ter um número finito de soluções inteiras e positivas. Problemas dessa natureza, ou seja, problemas em que estamos interessados nas soluções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, são muito frequentes em situações do nosso dia a dia, e sua discussão, por meio da organização e análise dos dados em tabelas, trabalha com o desenvolvimento de várias habilidades matemáticas, como será descrito nesta Situação de Aprendizagem. Como se pode perceber, este Caderno apresenta inúmeras possibilidades de abordagem sobre os três objetivos centrais do 3o bimestre citados no primeiro parágrafo, porém, deve ficar a critério do professor a escolha daquelas que são mais adequadas ao

seu programa e das maneiras para explorá-las. Sabemos, evidentemente, que o bimestre apresenta uma quantidade grande de novas informações para o aluno, o que demanda um tempo maior reservado para a reflexão e a sistematização. Contamos com a leitura cuidadosa das propostas aqui apresentadas, mas entendemos como legítimo que o professor faça seus cortes e recortes de maneira a adequá-las às suas necessidades.

Quadro geral de conteúdos do 3 o bimestre da 7 a série do Ensino Fundamental unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas). unidade 2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas). unidade 3 – Sistema de coordenadas cartesianas. unidade 4 – Transformações geométricas no plano. unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição). unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição). unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica). unidade 8 – Equações com soluções inteiras.

Matemática – 7a série – Volume 3

SituAçõES dE APREndizAgEm SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 1 ExPANDINDO A lINguAgEM DAS EquAçõES Nesta Situação de Aprendizagem discutiremos aspectos relacionados com a leitura, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica.

O trabalho prossegue com resolução de problemas envolvendo equações de 1o grau, utilizando o recurso de organização das informações em tabelas.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos não algorítmicos); inequações. Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as linguagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo. Estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confrontando resultados e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de investigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

na 6a série é o da sistematização de métodos de resolução de equações simples de 1o grau.

O estudo da Álgebra no Ensino Fundamental inicia-se de forma organizada e intencional na 6a série, com o uso de letras na representação de problemas que envolvem regularidades, padrões e relação entre grandezas. Ainda na 6a série, o aluno deve tomar contato e reconhecer as equações simples como um importante recurso para organizar e representar informações. Assim, parte significativa do empenho do professor como o parceiro mais experiente do aluno deve ser o de selecionar adequadamente problemas que permitam a maior abrangência de situações passíveis de transposição da linguagem materna para a linguagem da álgebra. Outro objetivo que também deve ser atingido

De acordo com esta proposta de planejamento, o 3o bimestre da 7a série será dedicado à sequência do estudo da Álgebra, sendo, portanto, indispensável que o professor avalie, no início do curso, em que estágio encontra-se o conhecimento dos alunos no que diz respeito à transposição de problemas da língua escrita para a álgebra (e vice-versa) e ao tipo de equação que o aluno consegue resolver por um método que não seja apenas o de tentativa e erro. Feita essa avaliação, a sequência de trabalho do bimestre poderá ser planejada, tendo como objetivo a ampliação do repertório de situações de transposição entre linguagens e a ampliação de estratégias de

resolução de equações mais complexas (ainda com o foco voltado às equações de 1o grau). Na Situação de Aprendizagem 1, apresentaremos algumas possibilidades de trabalho nessa direção.

A = 6P (nesse caso, para 1 professor temos 6 alunos, para 2 professores temos 12 alunos, para 3 professores temos 18 alunos, e assim sucessivamente).

A leitura atenta de um problema é o primeiro passo no caminho da transposição para a linguagem algébrica, mas estudos indicam que apenas a boa leitura não é garantia para a transposição correta. Veja, por exemplo, a seguinte situação-problema apresentada para estudantes universitários e os seus resultados: usando as variáveis A para número de alunos e P para o de professores, escreva uma equação para representar a afirmação “há seis vezes mais alunos do que professores nesta universidade”. A resposta correta não é 6A = P, apesar de boa parte dos estudantes ter assinalado essa alternativa. Se essa fosse a resposta, para um total de 10 alunos teríamos 60 professores, exatamente o contrário do que afirma o enunciado. O correto seria A = 6P.

Veremos a seguir alguns exemplos que podem ser utilizados para o mesmo tipo de trabalho.

Aproveitando esse exemplo, uma estratégia importante que merece ser discutida pelo professor com seus alunos é a da verificação. Note que, após a transposição entre as linguagens, que conduziu equivocadamente à expressão 6A = P, caso o aluno confrontasse seu resultado com um exemplo numérico, é possível que tivesse identificado seu erro. Bastaria, nesse caso, atribuir um valor qualquer para A, como 10, obtendo em seguida 60, o que indicaria que para cada 1 aluno teríamos 6 professores. Confrontando esse resultado com as informações do texto, fica evidente que a correção a ser feita é a da troca entre A e P na expressão errada, resultando corretamente na expressão

Atividade 1 Escreva uma sentença matemática que represente a seguinte frase: “X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais”. É possível que boa parte dos estudantes responda X – Y = 40, quando o correto seria Y – X = 40. Um exemplo numérico pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais” (50 – 10 = 40).

Atividade 2 Se X operários constroem um muro em Y horas, quantas horas serão necessárias para que o triplo do número de operários construa o mesmo muro? (Naturalmente, estamos supondo que todos os operários têm rendimento igual no desempenho da tarefa de construção.) A resposta correta não é 3Y, porque o problema em questão envolve grandezas “inversamente proporcionais”, ou seja, quanto maior o número X de operários, menor o número Y de horas necessárias para levantar o muro (o dobro de X implica a metade de Y, o triplo de X implica a terça parte de Y, e assim por diante). A resposta

Matemática – 7a série – Volume 3

Y . Veja como um exemplo 3 numérico seria útil na identificação do erro correta é

da expressão 3Y: Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam o muro mais rapidamente, construiriam na terça parte do tempo, ou seja, em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas, está errada. Outro aspecto que pode ser trabalhado na verificação das estratégias de transposição de problemas para a linguagem algébrica é o uso adequado da notação, como veremos na atividade a seguir.

Atividade 3 Escreva uma expressão, com as letras indicadas na figura, para a área do retângulo. a

Alguns alunos devem escrever que a área é igual a “a . b + c”, quando o correto seria “a . (b + c)”. Nesse caso específico, a verificação com números pode conduzir a dois tipos de situação, como veremos usando os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2: Situação 1: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado para o problema, mas a partir de uma expressão escrita de forma errada para sua resolução (pela expressão formulada o resultado seria 14). Duas hipóteses

podem ser levantadas nessa situação: ele armou a expressão com letras, mas não a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a verificação apenas interpretando a figura), ou ele armou a expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de que em uma expressão com multiplicações e somas fazemos primeiro as multiplicações. Situação 2: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2, lembra-se da ordem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adição) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo está correto para a expressão, mas não é a solução do problema, porque partiu de uma expressão errada. A primeira situação evidencia a necessidade de que o professor retome com os alunos a ordem das operações, e a segunda sugere que o professor explore mais a ideia de verificação que, no caso desse problema, implicaria confrontar o resultado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na figura, como se vê a seguir: Área = 3 . 6 = 18 ≠ 14

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uma atividade importante que também deve ser praticada é a da passagem da linguagem algébrica para um problema concreto e escrito na nossa língua. As estratégias de verificação também devem ser usadas nesse tipo de problema.

Atividade 4 2x = 5 → dividindo ambos os membros por 2, 5 teremos x = . 2

Escreva por extenso uma sentença que forneça a mesma informação que a expressão x = 5Y fornece.

x Uma resposta tipicamente errada seria: + == 33 → multiplicando ambos os memxx + 2 “X = número de figurinhas de João e bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, Y = número de figurinhas de Paulo. Logo, 3x = 6. Por fim, dividindo ambos os memPaulo tem o quíntuplo do número de figuribros por 3, teremos x = 2. nhas de João.” Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo Na 6a série, a expectativa é de que o aluno aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá consiga resolver problemas que possam ser 15, que é o quíntuplo de 3, ou seja, se X = 3, traduzidos por equações simples de 1o grau, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica pela por exemplo: expressão X = 5Y indicada no enunciado do x 3x – 4 = 2 x + 6 , + 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 problema. Para corrigir a resposta do aluno, 2 bastaria trocar Paulo e João na frase que x 1 2x 1 3x – 4 = 2 x + 6 , + 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 = , – = relaciona seus números de figurinhas. 2 3 4 2 1 x 2x 1 3 Com relação aos procedimentos 3x – 4 de = 2resolução x+6 , + 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 = , – = – 2x + 3 4 2 2 de equações, esta proposta de planejamento su- 2 a 2x 1 3 1 gere que na 6 série o alunoxtome contato com , – = – 2x + 3x – 4 = 2 x + 6 , + 3x = 5 – x , – 3 2 x − 1 = os métodos de resolução por 2 operação inversa 2 3 4 2 (“desfazer operações”) e por equações equivaNa 7a série, a expectativa é de que o aluno a lentes (método da “balança”), e que na 7 série consiga resolver problemas que possam ser resolva equações mais complexas usando quaistraduzidos por qualquer tipo de equação de quer desses métodos. É claro que, com orientação 1o grau. Citamos, a seguir, alguns exemplos do professor, a prática dos alunos na resolução de equações de 1o grau mais complexas, que de equações será encaminhada para um procedinos parecem mais apropriadas de ser trabamento que incorpore ideias de ambos os métodos, lhadas em uma 7a série: porém é importante que o professor compreenda 3 3 – 3x = 3x – 1 , 2(–2x + 3) – 3 = x + 2x que frases como “muda de lado e troca o sinal” 5 2 4 2 7 2 devem ser evitadas, porque, além de sugerirem 2(–2x + 3) uma ideia errada, induzem a uma série de equí-3 3 3x – = 3x – 1 , – 3 = x + 2x 2 7 2 vocos, como o de resolver a equação 2 x = 5 como5 2 4 x x +2 x = 5 − 2 → x = 3, ou a equação x×++ = 3 2 – 3x 3 = x, x + 1= 2 x–4 5 4 x–4 como x + x = 6 → x = 3. Nos dois casos, a melhor 2 x +2 conduta do professor seria explicitar a opera2 – 3x 3 (com x ≠ 4) = x, x + 1= ção que está sendo feita: x–4 5 4 x–4 2

(

)

(

)

Matemática – 7a série – Volume 3

O estudo de equações de 1o grau constitui em um tema muito rico para o trabalho com resolução de problemas. O aluno deve reconhecer nesse estudo que as equações constituem uma ferramenta importante para a representação e resolução de problemas cujo encaminhamento por meio de recursos aritméticos seria muito complicado. Nesse sentido, o professor deve incentivar que os alunos busquem inicialmente solucionar os problemas por meio da Aritmética e que, constatada a dificuldade, saibam utilizar de maneira apropriada o recurso algébrico das equações para encontrar a resposta procurada. A seguir, veremos alguns exemplos de problemas que cumprem essa função. Inúmeros outros exemplos podem ser criados ou encontrados nos livros didáticos.

outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. Essa atividade de mudar o significado da incógnita é útil para o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discussão de que, apesar de encontrarmos valores diferentes para x dependendo de onde ele esteja na tabela, a resposta final do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de posição para x. Tabela 1 Rui

3x 4

gustavo

Cláudia

x − 10 3

3x x +x+ − 10 = 78 4 3 x = 42,24 Rui: R$ 31,68 Gustavo: R$ 42,24 Cláudia: R$ 4,08

Atividade 5 Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no restaurante AL GEBRÁ, três amigos estabeleceram que: f Rui pagaria 3 do que gustavo pagou;

4 f Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a terça parte do que gustavo pagou. que valor da conta coube a cada um dos três amigos? Em primeiro lugar, é importante que o professor oriente uma estratégia de organização das informações, que pode ser feita por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela, chamaremos de x a quantia paga por um dos três amigos e, sempre que possível, o professor deve pedir que os alunos montem

Tabela 2 Rui

9( x + 10) 4

9(x + 10) + 3(x + 10) + x = 78 4 x = 4,08

gustavo 3(x + 10) Cláudia

Rui: R$ 31,68 Gustavo: R$ 42,24

Cláudia: R$ 4,08

Tabela 3 Rui gustavo

x 4x 3

4x 4x + – 10 = 78 3 9

x = 31,68 Rui: R$ 31,68

Cláudia

4 x − 10 9

Gustavo: R$ 42,24 Cláudia: R$ 4,08

O equacionamento mais natural é o da Tabela 1 que, por sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente já conhecida de um aluno de 7a série. Partindo da Tabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encontrado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respectivamente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-se, portanto, que equacionamentos com a colocação de x como o valor da conta a ser paga por outra pessoa que não Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo montado as Tabelas 2 e 3, o aluno poderá investigar estratégias de resolução das equações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessando as estratégias de resolução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, a partir dessa informação, deverá descobrir eventuais erros no seu processo de resolução da equação, se ele não tiver conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que merece um comentário do professor, é: Ao multiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a equação: 9(x+10)+12(4x+40)+4x = 312, quando o correto seria 9(x+10)+12(x+10)+4x = 312 ou 9(x+10)+3(4x+40)+4x = 312. Uma boa estratégia que pode ser sistematizada ao final dessa discussão para evitar erros como o mencionado é: 1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.

2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtração devem ser transformadas em frações com numerador simples (apenas um número ou uma letra, ou um número multiplicando uma letra). 3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos denominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC dos denominadores. Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas: 9(x + 10) + 3(x + 10)+ x = 78 4 9x + 90 + 3x + 30 + x = 78 2) 4 9x 90 3)) + + 3x + 30 + x = 78 4 4 4) 9x + 90 + 12x + 120 + 4x = 312 255x = 102 → x = 4,08

Atividade 6 Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa , obtemos uma aproximação da frequência cardíaca máxima por minuto que essa pessoa tolera em atividade física intensa. Sabe-se que 24 a frequência cardíaca máxima de Renê é 23 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxi16 ma de Renê é igual a da idade de Bernardo, 3 determine a idade e a frequência cardíaca máxima dos dois amigos. Adotando o mesmo tipo de procedimento usado na resolução do problema anterior, equacionaremos esse problema utilizando tabelas.

Matemática – 7a série – Volume 3

Tabela 1 Idade

Renê

220 −

Frequência cardíaca máxima

24(220 − x) 24(220 − x) 220 − 23 23

220 − x

Idade

Frequência cardíaca máxima

220 − x

Bernardo

24(220 − x) 16x = 23 3

x = 36 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184

Tabela 2

Renê

23(220 – x) ⎤ 16 ⎡ 23(220 16 – x) ⎡ ⎤ 220 – 220 –x = 220 220 – –x = Bernardo ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 24 3 ⎣ 24 3 ⎣ ⎦

220 – x =

16 ⎡ 23(220 – x) ⎤ 220 – ⎥⎦ ⎢ 3 ⎣ 24

x = 28 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184

Tabela 3 Idade

Renê Bernardo

220 −

24x 23

Frequência cardíaca máxima 24x 23

220 − x

Idade

Frequência cardíaca máxima

24x 16 = (220 − x) 23 3

x = 184 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184

Tabela 4

Renê

220 − x

Bernardo

23x 220 − 24

16  23x  220 −  3  24 

x = 192 23x 220 − 24

Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente

Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 a seguinte informação do enunciado: FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência

cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos podem ser úteis. Um indivíduo de 20 anos tem frequência cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos de idade, porque 220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx. Na Tabela 3, colocamos x na frequência cardíaca máxima de Bernardo, o que implica dizer que sua idade será 220 − x. Como a frequência cardíaca máxima de Renê é 24 23 da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será 24x . A partir da FC de Renê concluímos máx 23 que sua idade tem que ser 220 – 24x . 23 Note que o caminho feito para a organização dos dados na Tabela 3 foi:

x Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:

Tabela 1

Tabela 2

x x 1

Tabela 4

Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o aluno deverá compreender que o valor de x obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a uma informação diferente da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações. um curso de equações necessariamente tem que dar atenção à técnica de resolução, mas não deve dar ênfase maior a ela do que ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável que se faça uso de técnicas em problemas de equações nos quais a solução pode ser obtida diretamente pelo uso da heurística1, como comentaremos a seguir. O ambiente de estudo das equações é extremamente adequado ao exercício da heurística, já que muitas vezes uma equação pode ser resolvida por estratégias diferentes das que normalmente faríamos com o uso das técnicas. O exercício de resolver equações por caminhos mais inventivos do que o da técnica é fundamental para o desenvolvimento do pensamento matemático e, portanto, deve sempre ser incentivado. A seguir, apresentamos uma atividade em que o aluno tem que resolver uma série de equações, mas, na maioria dos casos, as técnicas

Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição eletrônica). Rio de Janeiro: Editora objetiva, 2007.

Matemática – 7a série – Volume 3

conhecidas por ele não são suficientes para resolver os problemas, o que deve motivar a busca de soluções inventivas. O professor deve observar que na lista incluímos equações de 2o grau, de 3o grau, com frações algébricas, exponenciais, equações com radicais, equações com mais de uma solução, equações sem solução e até equações com infinitas soluções, sendo que todas podem ser resolvidas por um aluno de 7a série sem o uso da técnica.

h) 2x+1 = 16 i) 52–x = 25 j) (x + 5).(x – 3) = 0 k) x.(x + 1).(x + 2).(x + 3) = 0 l) x + 1 = x + 2 m)

5 =0 x +1

x+2 =1 3x

2x – 1 =1 x+4

Atividade 7 As técnicas aqui estudadas para resolver equações são importantes porque organizam os procedimentos algébricos, porém, nunca devemos perder de vista a heurística. Todas as equações a seguir podem ser resolvidas sem o uso das técnicas algébricas; descubra a solução de cada uma usando o método heurístico. lembre-se que uma equação pode não ter solução, pode ter apenas uma solução, pode ter mais de uma solução ou até mesmo infinitas soluções. a) 3x + 1 = 82 1 1 =– b) x +1 5 c) x2 = 25

p) (2x)3 = 64 q) (2x + 1).(3x + 3) = 0 r) s)

x + 3 = 25 81 =1 3x

t) 1 =

29 2 –3 x

u) 3x 2 + 5x 6 = –15

d) x2 + 2 = 51

v) 2 x – 1 = – 13 41 41

e) (x + 1)2 = 9

w) x3 = – 8

f) x2 = – 16

x 22 = = g) 22x

9 8

1 =0 5x

y) 0.x = 0

a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma cuja soma com 1 resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81. b) O denominador da fração do primeiro membro tem que ser igual a – 5 para que a igualdade seja verdadeira com o segundo membro. Para que x + 1 seja igual a – 5, x tem que ser igual a – 6 . c) Os números que elevados ao quadrado resultam 25 são 5 e –5. É provável que os alunos encontrem apenas a resposta positiva, e que se surpreendam com o fato de encontrarmos duas soluções para uma equação. d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica dizer que procuramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7. e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, mas como estamos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3, ou seja, x = – 4 ou x = 2. f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, portanto, a equação não possui solução (em IR). 9 9 . Então, procuramos é 8 16 um número que elevado ao quadrado resulte 9 . Resposta: 3 e − 3 . 4 4 16 g) A metade de

h) Como 24 = 16, procuramos um número que somado a 1 dê 4, que é o número 3. i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0. j) Se o produto de dois números é zero, necessariamente um deles é zero (ou ambos são 0). Segue, portanto, que x é igual a –5 ou 3.

k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3. l) Não há valor de x que torne a igualdade verdadeira, portanto, essa é uma equação “sem solução” (a solução é um conjunto vazio). m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos ter uma fração de numerador diferente de zero que seja igual a zero. Portanto, essa é outra equação de solução vazia. n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu numerador é igual ao seu denominador, o que implica dizer que estamos procurando o x que resolva a equação x + 2 = 3x. Resposta: x = 1. o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5. p) Inicialmente, procuramos um número que elevado ao cubo resulte 64, que é o número 4. Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o expoente de uma potência de 2 para que o resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício pode ser usado para discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m . n. q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k. Resposta: − 1 ou –1. 2 r) O quadrado de 25 é 625. Então, procuramos um número que somado a 3 resulte 625. Esse número é 622. s) 3x tem que ser igual a 81 para que a fração do lado esquerdo seja equivalente a 1. O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 4, que é a resposta da equação. t) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5.

Matemática – 7a série – Volume 3

u) Seja qual for o valor de x, sabemos que x 2 e x 6 serão números não negativos, portanto, a equação não possui solução (em IR). v) Uma vez que os dois membros representam equações de denominador 41, temos que ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6. w) –2 é um número que elevado ao cubo resulta – 8 (nesse exercício o professor pode comentar com os alunos que em um conjunto numérico, que será estudado no futuro, a equação do problema terá outras duas soluções além do –2). x) De modo análogo ao exercício m e ao o, o problema não tem solução (o professor deve aproveitar esse exercício para discutir que x = 0 não é uma solução do problema). y) Qualquer valor de x resolve a equação, portanto, é uma equação com infinitas soluções. Dependendo do interesse da turma, os seguintes comentários podem ser feitos ao longo da correção dessa atividade: f As equações a, h, i, p, s, t e x recebem o nome de equações exponenciais. Você consegue imaginar o porquê desse nome? Porque a incógnita se encontra em um expoente. f Na 1a série do Ensino Médio, você vai aprender técnicas para resolver equações exponenciais.

f As equações b, m, n e o recebem o nome de equações com frações algébricas. Você consegue imaginar o porquê desse nome? Porque são equações envolvendo frações escritas com incógnitas no denominador. f Na 7a e na 8a séries, você vai aprender técnicas para resolver equações com frações algébricas. f As equações c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y recebem o nome de equações algébricas (ou equações polinomiais). O grau de uma equação algébrica varia de acordo com o maior expoente que a incógnita assume quando a equação está escrita na forma mais simples possível. As estratégias de resolução das equações algébricas de 1o grau você começou a aprender na 6a série, e continua aprendendo na 7a série. Na 8a série, você aprenderá técnicas para resolução de equações algébricas de 2o grau. Na 3a série do Ensino Médio, você vai aprender técnicas para resolver algumas equações algébricas de grau maior ou igual a 3. f A equação r chama-se equação irracional (equação que possui a incógnita no radicando). f Para sua surpresa, algumas equações para as quais você não encontrou solução têm uma ou mais respostas, mas para encontrá-la(s) você terá que expandir seus conhecimentos sobre conjuntos numéricos. Por exemplo, as equações f e u têm soluções no conjunto numérico dos números complexos, que você vai aprender na 3a série do Ensino Médio.

f Existem muitos outros tipos de equação que exploram contextos matemáticos que você ainda não conhece, então, seja bem-vindo ao maravilhoso mundo das equações que você só está começando a aprender (referimo-nos, nesse caso, às equações trigonométricas, matriciais e logarítmicas). A investigação das equações, que são sentenças matemáticas em que aparece o sinal de igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, estabelece quase de forma natural uma porta de entrada para o estudo das sentenças matemáticas com uma ou mais incógnitas nas quais aparece um sinal de desigualdade (>, <,  ou ). Dois aspectos devem ser destacados na introdução ao estudo das inequações. Em primeiro lugar, é importante que o professor evite a formulação de regras como “multiplica por negativo e troca o sinal da desigualdade” sem que antes tenha sido trabalhado com segurança uma compreensão significativa de tal “regra prática”. Em segundo lugar, deve-se procurar, na medida do possível, problematizar o uso das inequações em situações concretas de resolução de problemas. A seguir, apresentamos alguns problemas que contemplam esse objetivo.

Atividade 8 A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros). x + 10

2x + 4

x x 2x + 4

A equação w, para a qual você só encontrou uma solução, possui mais duas soluções no conjunto dos números complexos. Mas fique atento, existem equações que não possuem solução, seja qual for o conjunto numérico assumido, ou seja, sua solução sempre será o conjunto vazio. São exemplos de equações com solução conjunto vazio: l, m e x.

a) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m. 2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64 x ≥ 3 metros. b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que completam o perímetro da folha. 2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x → → x < 3. Nesse caso, é importante que se observe a figura para identificar a condição de existência de x (para que a figura exista, temos que ter x > 0). Portanto, a resposta do problema deve atender simultaneamente às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser escrito, resumidamente, como 0 < x < 3, com x dado em metros.

Atividade 9 Para produzir x litros de uma substância, o custo por litro depende da quantidade produzida, ou seja, depende do valor de x. Em dada situação, o custo por litro é expresso pela relação

Matemática – 7a série – Volume 3

C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa substância desenvolveu um novo processo de produção que pode ser feito ao custo (por litro) dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se: a) Deseja-se produzir 450 litros da substância. Em qual dos dois processos o custo por litro será menor? E se a quantidade a ser produzida for 620 litros? Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 450) = R$ 325,00 por litro, e o novo, um custo de (940 – 1,4 . 450)= = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 620) = = R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de (940 − 1,4 . 620)= R$ 72,00 por litro. Portanto, para 450 litros, o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula nova, e para 620 litros a situação se inverte. b) Determine todos os valores de x para os quais o custo por litro no novo processo de produção é menor do que o custo por litro no processo antigo. Procura-se a solução da inequação 940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, que é x < 600. Devemos ainda observar que como x > 0, portanto 0 < x < 600, com x dado em litros.

Atividade 10 Para enviar uma mensagem do Brasil para os Estados unidos via fax, uma empresa cobra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por página adicional, completa ou não. Calcule o maior número de páginas possível de uma dessas mensagens para que seu preço não ultrapasse o valor de R$ 136,00.

Chamando de P o preço em R$ para enviar x páginas, temos: P = 3,4 + 2,6.(x – 1) Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse R$ 136,00, resume-se a resolver e interpretar a inequação 3,4 + 2,6.(x – 1) ≤ 136, com x inteiro. Resolvendo a inequação: 3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 → x ≤ 52. O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta do problema.

Atividade 11 Em um concurso com 20 questões, para cada questão respondida corretamente, o candidato ganha 3 pontos e, para cada questão respondida de forma errada (ou não respondida), perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado o candidato deve totalizar na prova um mínimo de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato seja aprovado no concurso. Chamaremos de x o número de questões respondidas corretamente pelo candidato e de 20 – x o número de questões respondidas erradamente ou não respondidas por ele. Se P é o total de pontos obtidos pelo candidato ao responder corretamente x questões, então a função que modela o problema é P = 3x – (20 – x), com x sendo um número inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20. O menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato totalize um mínimo de 28 pontos será o menor inteiro que atende à inequação P ≥ 28. Resolvendo:

3x – (20 – x) ≥ 28

CA < CB

3x – 20 + x ≥ 28

35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50

4x ≥ 48

CB < CC

x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, totalizando, nesse caso, exatamente 28 pontos.

Atividade 12 Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela a seguir: Plano

Custo fixo mensal

Custo adicional por minuto

R$ 35,00

R$ 0,50

R$ 20,00

R$ 0,80

R$ 0,00

R$ 1,20

a) qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês? Chamando-se de CA , CB e CC o custo total dos planos A, B e C para x minutos de uso, teremos: C A = 35 + 0,5 .x → C A = 35 + 0,5 .25 =47,5 C B = 20 + 0,8 .x → C B = 20 + 0,8 .25 =40 CC = 1,2.x → CC = 1,2 .25 =30 Portanto, para 25 minutos de uso: CC < CB < CA. b) A partir de quantos minutos, de uso mensal, o plano A se torna mais vantajoso que os outros dois? Queremos encontrar o menor valor de x para que CA < CB e CA < CC .

35 + 0,5x < 1,2x, ou seja, x > 50 Para qualquer valor de x maior do que 50 minutos, o plano A será mais barato que os planos B e C.

Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 1, discutimos a resolução de equações e inequações. No tema equações, demos continuidade à introdução feita na 6a série sobre o assunto, apresentando situações mais complexas passíveis de equacionamento, bem como equações de 1o grau de complexidade maior que as apresentadas na série anterior. No que diz respeito às desigualdades, na Proposta Curricular que está sendo apresentada, o estudo das inequações tem início na 7a série e prossegue nas séries seguintes. Na 7a série, entendemos que o assunto deve ser tratado, sempre que possível, com maior ênfase dada à resolução de problemas e não à tecnicidade, o que não quer dizer que o professor deva abandonar por completo a sistematização de alguns procedimentos de resolução de inequações. lembramos que o estudo das inequações está apenas começando na 7a série e, certamente, será retomado com aprofundamento e outros matizes nas séries seguintes. uma vez que o aluno estará aprofundando seus conhecimentos sobre equações nesse bimestre, é tarefa importante do professor prepará-los para uma boa leitura de enunciados

Matemática – 7a série – Volume 3

e para a transposição de linguagens (do texto para a álgebra, e vice-versa). A leitura e a interpretação de enunciados será melhor, quanto mais o aluno puder praticá-la com orientação do professor. O professor deve evitar concentrar o curso apenas em problemas do tipo “resolva a equação...”, “determine o valor de x...”, etc., sendo preferível que se privilegiem problemas com texto e contexto. Instrumentalizar os

alunos para uma boa leitura de enunciados significa orientá-los para que identifiquem os dados, as relações entre dados e a pergunta. Em seguida, outra etapa importante é a da transposição às informações coletadas para a linguagem da álgebra. Nesse momento, o professor deve estar atento para as dificuldades específicas dos seus alunos para que possa elaborar a estratégia certa para a condução do curso.

SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 2 COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAçõES NO PlANO Nesta Situação de Aprendizagem, iremos ampliar a noção de localização com base na exploração e na formalização do sistema de coordenadas no plano. Os alunos já trabalharam nas séries anteriores com a leitura e a representação de valores numéricos em retas e gráficos. Nesta etapa da escolaridade, pretende-se que os alunos compreendam o sistema de coordenadas cartesianas como um modo organizado e convencionado para representar objetos e relações matemáticas.

há uma ressalva a se considerar: no plano cartesiano, os pontos representados nos dois eixos correspondem a números reais. Como os alunos ainda não estudaram a formação do conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos neste momento apenas com pontos racionais. O que estamos chamando de coordenadas cartesianas é um sistema de coordenadas racionais no plano. A formalização do plano cartesiano será feita posteriormente, a partir do estudo dos números reais e das funções.

Em outras palavras, eles devem conhecer as principais características do plano cartesiano: que é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cada qual subdividido em partes iguais, representadas por números positivos e negativos; que o plano é dividido em quatro quadrantes, etc. São essas características que fazem do plano cartesiano um sistema apropriado para representar pontos, figuras geométricas, equações e funções. Contudo,

O conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas também é importante para a continuidade dos estudos em Álgebra. A representação de pares ordenados (x, y) correspondentes a uma equação com duas variáveis possibilita a análise gráfica da solução de um sistema de equações. No Ensino Médio, o gráfico cartesiano será usado para a representação de diferentes tipos de função, da linear à exponencial.

Inicialmente, propomos algumas atividades relacionadas à noção de localização antes de introduzir formalmente o sistema de coordenadas cartesianas. É importante explorar os conhecimentos prévios dos alunos em situações de localização, tais como a procura de uma rua em um guia de endereços ou a localização de uma cidade em um mapa. A partir de alguns exemplos conhecidos, discutiremos as principais características de um sistema de localização: a necessidade de um ponto de referência, as coordenadas e as dimensões envolvidas, as convenções adotadas, etc. Em seguida, destacamos os principais elementos do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto

de origem, a reta numérica, os eixos coordenados, os pares ordenados e o plano cartesiano. Feito isso, propomos uma série de atividades que têm por objetivo consolidar o conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas. As atividades 5 e 6 tratam da representação de figuras geométricas no plano cartesiano. Na atividade 7, propomos um jogo de batalha naval matemático envolvendo coordenadas cartesianas. Da atividade 8 em diante, introduzimos as transformações geométricas no plano cartesiano: por meio de operações realizadas com as coordenadas cartesianas, exploraremos movimentos e transformações de figuras geométricas simples, tais como translação, reflexão, ampliação e redução.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas. Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transformações geométricas no plano usando operações com as coordenadas cartesianas. Estratégias: análise e resolução de situações–problema; uso de um jogo para a familiarização com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 A ideia de localização um dos desafios que se colocam para o professor da 7a série é como introduzir o sistema de coordenadas cartesianas de uma forma significativa para o aluno. Sugerimos que se explorem, inicialmente, algumas situações e alguns contextos em que a noção de localização seja

familiar aos alunos. um aluno da 7a série provavelmente já se deparou com algum tipo de problema de localização, como encontrar uma rua em um guia de endereços, achar um livro em uma biblioteca ou, até mesmo, jogar batalha naval. Em todos esses exemplos, a noção de coordenada está diretamente envolvida. Nosso trabalho será fazer com que o aluno saiba reconhecer e analisar os elementos que

Matemática – 7a série – Volume 3

estão presentes em uma situação de localização. Ele deverá se apropriar dos termos próprios da Matemática usados para localizar um objeto, tais como: origem, sentido, distância, escala, coordenada, reta numerada, eixos coordenados, plano cartesiano, par ordenado, etc. As atividades propostas a seguir caminham nessa direção.

Atividade 1 – localização

3 R. João Teo

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R. Ma

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3,2 m

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um empreiteiro deve construir um ralo em uma cozinha seguindo as instruções fornecidas pelo arquiteto na planta a seguir, construída em escala. 0,3 m

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Cald

R. Monsenhor A

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R. Barão de Duprat

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en R. M R. Santa Rosa

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BRÁS

R. d R. Mig

R. Elisa Whitaker

R. Rodrigues dos Santos

Av.

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etano

ado

BOM RETIRO

R. São Ca

Est

Atividade 2 – Ponto de referência

R. São Ca

Outra ideia que deve ser destacada é que a informação sobre a localização de um objeto parte sempre de um ponto de referência escolhido. No caso do guia de ruas, o ponto de referência é o canto superior esquerdo da página, onde se iniciam as sequências de números e letras. Na próxima atividade, exploramos uma situação em que as informações sobre a localização de um objeto depende do referencial escolhido.

sômetro

R. do Ga

No mapa acima, a Rua Vadico encontra-se no quadro C4, ou seja, no cruzamento da 3a linha com a 4a coluna.

Conexão Editorial

R. Monsenhor Andrade

Conexão Editorial

Solicite aos alunos que tentem localizar o endereço de suas casas usando um guia de ruas. Eles devem consultar uma lista em ordem alfabética das ruas de sua cidade, que deve conter duas informações: a página onde se encontra o mapa da região e a localização da rua neste mapa. A localização será feita por meio de duas informações: uma referência horizontal e uma referência vertical, ambas representadas por números ou por letras.

Pode-se comentar com os alunos que, nesse caso, utilizou-se uma combinação de letras e números para dar a informação da localização de um ponto desta rua. Poderiam ser duas letras ou dois números, dependendo da convenção estabelecida pelo guia. O cruzamento das duas informações resultou na localização da região em que se encontra a rua no mapa.

Como achar a localização precisa do ralo por meio da planta fornecida? Se escolhermos

como ponto de referência o canto superior esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra a 3,2 metros na direção horizontal e a 0,7 metros na direção vertical em relação ao ponto de referência escolhido. Veja a planta a seguir. ponto de referência

ralo

Conexão Editorial

0,7 m

3,2 m

Por outro lado, se adotarmos como ponto de referência o canto superior direito, as coordenadas da localização do ralo mudam: 0,3 metros na horizontal e 0,7 metros na vertical. Embora as coordenadas variem de acordo com o referencial adotado, a posição do ralo é sempre a mesma. Tudo depende da escolha do referencial mais adequado em cada situação. ponto de referência

ralo

0,7 m

Conexão Editorial

0,3 m

Atividade 3 – localização e dimensões Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisamos saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela numeração até localizarmos a casa. Por convenção, a numeração de uma rua segue um sentido crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a aproximadamente 250 metros de seu início. Esta situação envolveu a localização de um ponto em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua. No caso do guia de endereços, para localizar uma rua foram necessárias duas informações: a primeira em relação à direção horizontal (representada por letras) e a segunda em relação à direção vertical (representada por números). O mesmo ocorre quando queremos informar a localização de um livro em uma estante. A prateleira informa a dimensão vertical, e a posição do livro na prateleira, a dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na 5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da direita para a esquerda. um mapa geográfico também envolve a localização de duas direções: a vertical, chamada de latitude, e a horizontal, que é a longitude. O sentido de cada uma dessas direções foi estabelecido por convenção: Norte e Sul a partir da linha do Equador para a latitude, e leste e Oeste a partir do meridiano de greenwich para a longitude. A cidade de Santos, por exemplo, encontra-se 23° 57´ ao

Matemática – 7a série – Volume 3

número real e cada número real a um único ponto na reta. Essa afirmação não precisa ainda ser justificada para os alunos, uma vez que eles somente vão estudar a construção e a representação dos números reais na 8a série. Neste momento, basta que eles compreendam que é possível localizar e representar números inteiros e racionais na reta numerada.

Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridiano de greenwich. As três situações descritas envolveram a localização em um espaço de duas dimensões. Já a posição de um avião em pleno voo envolve a localização em um espaço de três dimensões. Além das coordenadas geográficas (latitude e longitude), precisamos determinar a altura em que o avião está viajando, completando assim três informações. Outro exemplo é a localização de um livro em uma biblioteca com várias fileiras de estantes. Precisamos informar a fileira em que se encontra a estante, a prateleira e a posição do livro na prateleira. Três dimensões, três informações são necessárias.

Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. O número correspondente a um ponto da reta é chamado de coordenada. A coordenada nada mais é do que o endereço de um ponto na reta numerada. A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas dimensões. O modelo matemático mais utilizado para esse fim é o plano. O plano cartesiano consiste na junção de duas retas numeradas (eixos coordenados), uma horizontal e outra vertical, que se cruzam no ponto de origem.

Atividade 4 – da reta numerada ao plano O modelo matemático mais usado para localizar pontos em uma dimensão é a reta numerada (veja a figura a seguir). Para localizar um ponto com precisão em uma reta são necessários três elementos. O primeiro é um ponto de referência ou origem, a partir do qual serão feitas as comparações de distância. O segundo é um sentido de crescimento, de forma que seja possível estabelecer uma sequência crescente de numeração. E, por fim, uma unidade de medida, que servirá de parâmetro para a marcação de todos os outros pontos da reta. Parte-se do pressuposto de que é possível associar cada ponto da reta a um único

Do mesmo modo que um número representava um ponto na reta numerada, um par de números representará um ponto no plano. Cada um desses números corresponderá a um ponto em um dos eixos coordenados. Assim, o endereço de um ponto no plano corresponde a um par ordenado de números. Essa ordenação foi convencionada da seguinte forma: o primeiro número corresponde ao eixo horizontal, e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o ponto correspondente ao par ordenado (3, 2)

unidade –3

–2

–1

Sentido 1

Origem

encontra-se a 3 unidades de distância da origem na horizontal e a 2 unidades na vertical. O gráfico a seguir mostra a representação de alguns pares ordenados no plano cartesiano. y 4 3 (3, 2)

2 (–3, 1)

1 (0, 0)

–4

–3

–2

–1

–1 –2

(2, –2)

–3 (–1, – 4)

–4

Por convenção, o ponto de origem do plano corresponde ao par ordenado (0, 0), que é o ponto de interseção das duas retas numeradas. O sentido de crescimento no eixo horizontal é da esquerda para a direita, e no vertical, de baixo para cima. Os números positivos são representados à direita e acima do ponto de origem, e os negativos à esquerda e abaixo desse ponto. Os pontos do plano são representados pelos pares ordenados (x, y), no qual x representa os valores associados ao eixo horizontal, e y, os valores associados ao eixo vertical. No caso da representação de planos no espaço, acrescenta-se mais um eixo coordenado perpendicular ao plano, passando pela origem. Assim, no espaço, o endereço de um

ponto é uma coordenada composta por três pontos ordenados (x, y, z). É importante comentar com os alunos que o nome do sistema de coordenadas cartesianas é uma homenagem ao seu criador, o filósofo e matemático francês René descartes, que viveu no século xVII. A ideia de localizar pontos no plano por meio de um sistema de coordenadas representou um grande avanço no estudo da geometria. A partir da criação do sistema de coordenadas cartesianas, a geometria passou a se apoiar nas técnicas de representação algébrica, permitindo um estudo mais analítico das figuras geométricas. Além disso, a própria Álgebra se transformou, pois os valores de uma função puderam ser representados graficamente, permitindo uma análise geométrica das expressões algébricas. As atividades a seguir têm como objetivo principal familiarizar os alunos com os principais elementos do sistema de coordenadas no plano, por meio da representação de figuras geométricas e das possíveis transformações que podem ser feitas a partir de operações com suas coordenadas: translações, reflexões, ampliações e reduções. Na atividade 5, serão introduzidos os termos abscissa e ordenada para designar as coordenadas do eixo x e do eixo y, respectivamente.

Atividade 5 – Representação de figuras geométricas no plano Observe as figuras geométricas representadas no plano a seguir.

Matemática – 7a série – Volume 3

b F

d g –10

–5

J –5 m

–10

1. Determine as coordenadas de seus vértices. As coordenadas dos vértices do quadrado ABCD são A (6, 5), B (4, 7), C (2, 5) e D (4, 3). As do triângulo EFG são E (–2, 1), F (– 8, 5) e G (– 8, 1). As do retângulo HIJK são H (0, –1), I (– 6, –1), J (– 6, – 4), K (0, – 4). As do triângulo LMN são L (6, 0), M (0, – 6) e N (4, – 6). 2. quais pontos possuem a mesma abscissa? Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N possuem abscissa 4. Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os pontos I e J possuem abscissa – 6. Os pontos F e G possuem abscissa – 8.

A familiaridade com os termos abscissa e ordenada pode levar ainda algum tempo. Assim, se os alunos apresentarem dificuldade nessa atividade, o professor pode reformular a pergunta, substituindo o termo abscissa por coordenada x e ordenada por coordenada y. O importante é enfatizar a capacidade leitora dos alunos em relação às coordenadas cartesianas no plano. Outro problema que costuma aparecer é a dificuldade de leitura de pontos que estejam nos eixos coordenados. Por exemplo, o ponto l situa-se no eixo x, e possui coordenada (6, 0). O ponto H está situado no eixo y, possui coordenada (0, –1). Deve-se mostrar aos alunos que todo ponto situado no eixo x será representado por um par ordenado (x, 0), e todo ponto situado no eixo y, por um par ordenado (0, y).

Atividade 6 – desenhando polígonos Desenhe os seguintes polígonos no plano cartesiano a partir das coordenadas de seus vértices: 1. Triângulo ABC, sendo A (5, 2), B (7, 7) e C (1, 5). 2. quadrado DEFg, sendo D (–3, 2), E (–3, 7), F (– 8, 7) e g (– 8, 2).

3. quais pontos possuem ordenadas iguais a zero? Somente o ponto L possui ordenada igual a 0. Na próxima atividade, os alunos deverão fazer o caminho inverso, isto é, partindo das coordenadas para representar as figuras geométricas no plano cartesiano.

3. Hexágono HIJKlM, sendo H (–7, 0), I (–10, 0), J (–12, –3), K (–10, –6), l (–7, – 6) e M (–5, –3). 4. quadrilátero NOPq, sendo N (7, 0), O (0, –3), P (7, – 6) e q (5, –3)

A próxima atividade é uma espécie de jogo de batalha naval adaptado para o plano cartesiano. O uso de jogos como estratégia de ensino na Matemática tem se mostrado bastante proveitoso, sobretudo com alunos do Ensino Fundamental. Esse jogo tem por objetivo o conhecimento do sinal das coordenadas nos quatro quadrantes do plano cartesiano. No primeiro quadrante, ambas as coordenadas são positivas; no segundo, a abscissa é negativa e a ordenada positiva; no terceiro, ambas as coordenadas são negativas; e no quarto, a abscissa é positiva e a ordenada, negativa. Pode-se explorar com os alunos que nos quadrantes ímpares (1o e 3o) as coordenadas têm o mesmo sinal, enquanto nos quadrantes pares, (2o e 4o) elas têm sinal oposto, como mostra a figura abaixo.

1o e 2o quadrantes, e o jogador Sul no 3o e 4o quadrantes. Cada tiro é um par ordenado (x, y) que representa um ponto no plano cartesiano. Os objetos a serem descobertos são os seguintes:

adição

subtração

multiplicação

ponto

triângulo menor

quadrado

triângulo maior

Os símbolos devem ser posicionados no tabuleiro do jogo, que é um plano cartesiano. Por exemplo, o jogador Norte deve posicionar seus símbolos no 1o e 2o quadrantes, como mostra a figura a seguir. y

y o

divisão

(−, +)

(+, +)

(−, −)

(+, −)

–10

–5

x –5

4o –10

Atividade 7 – batalha naval matemática Este jogo é uma batalha naval desenvolvida em um plano coordenado. As regras são as mesmas do tradicional jogo de batalha naval. A diferença é que, em vez de navios e submarinos, os objetos a serem atingidos são símbolos e objetos matemáticos. Além disso, a batalha se desenvolve nos quatro quadrantes do plano cartesiano. O jogador Norte posiciona seus símbolos nos

O jogador Sul terá três tentativas de tiro. Cada tentativa deve ser anunciada como um par ordenado (x, y). Em seguida, o jogador Norte deverá informar se os tiros acertaram algum símbolo. Por exemplo, se os tiros forem (3, 5), (–2, 4) e (–5, 5), apenas o segundo tiro terá acertado o alvo, que é o símbolo da multiplicação. É importante que cada jogador dê os tiros com as coordenadas correspondentes ao

Matemática – 7a série – Volume 3

quadrante do adversário, caso contrário, poderá acertar a própria esquadra. O jogo termina quando um jogador acertar as coordenadas dos oito símbolos do outro jogador. As próximas atividades envolvem transformações geométricas no plano. Por meio de simples operações aritméticas realizadas com as coordenadas dos vértices de figuras geométricas, iremos explorar algumas transformações que podem ser realizadas com essas figuras. É importante destacar que esta é uma abordagem dinâmica da geometria, em contraposição à maneira usual, que é estática. Por meio dela, os alunos poderão analisar não apenas o movimento das figuras no plano (translações e reflexões) como, também, ampliações e reduções dessas figuras.

Considere o triângulo ABC. As coordenadas (x, y) de seus vértices são A (3, 2), B (7, 3) e C (4, 5). y

b A

3 2

b A

b' A'

13 x

DABC (x, y)

DA’B’C’ (x + 6, y)

(3, 2)

A’

(9, 2)

(7, 3)

B’

(13, 3)

(4, 5)

C’

(10, 5)

2. translação vertical: Somando –10 às ordenadas do triângulo ABC, obtemos o triângulo A’B’C’, cujas coordenadas dos vértices são ( x, y – 10), conforme mostram a figura e a tabela a seguir.

3 2

A tabela a seguir mostra as transformações nas coordenadas de cada vértice.

Atividade 8 – translação

unidades na direção do eixo coordenado correspondente. Por exemplo, somando 6 às abscissas dos vértices do triângulo ABC, obteremos o triângulo A’B’C’ de coordenadas (x + 6, y). Esse novo triângulo resulta da translação horizontal (segundo o eixo x) em 6 unidades do triângulo original, como mostra a figura.

1. translação horizontal: Se somarmos uma constante a às coordenadas dos três vértices, o triângulo será transladado em a

ABC (x, y)

A’B’C’ (x, y – 10)

(3, 2)

A’

(3, –8)

(7, 3)

B’

(7, –7)

(4, 5)

C’

(4, –5)

coordenadas (x + a, y + b), em que a e b são números reais quaisquer.

Atividade 9 – Reflexão

3 b

1. Reflexão em relação ao eixo y: se multiplicarmos as abscissas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação ao eixo y. Obteremos o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, y).

x 3

–5

–7

A B C

–8

3. translação combinada: Ocorre quando somamos constantes às duas coordenadas de cada vértice. Por exemplo, se quisermos transladar o triângulo ABC em 11 unidades para a esquerda e 4 unidades para cima, devemos fazer a seguinte operação em suas coordenadas: (x – 11, y + 4). ABC (x, y) (3, 2) (7, 3) (4, 5)

A B C

A’B’C’ (x – 11, y + 4) A’ (–8, 6) B’ (–4, 7) C’ (–7, 9) y

b' A'

6 5

–4

A’ B’ C’ y

C' b' A' –7

–4 –3

3 2

A 3 4

A reflexão preserva a distância dos vértices em relação ao eixo, como mostra a figura. O vértice A está à mesma distância do eixo y que o vértice A’. O mesmo vale para B e B’, C e C’. Assim, podemos afirmar que o triângulo A’B’C’ é simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo y.

b A 3 4

genericamente, temos que a translação de um ponto de coordenadas (x, y) passa a ter

A’B’C’ (–x, y) (–3, 2) (–7, 3) (– 4, 5)

2. Reflexão em relação ao eixo x: se multiplicarmos as ordenadas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação ao eixo x. Obteremos o triângulo A’B’C’, de coordenadas (x, –y).

3 2

–8 –7

ABC (x, y) (3, 2) (7, 3) (4, 5)

A B C

ABC (x, y) (3, 2) (7, 3) (4, 5)

A’ B’ C’

A’B’C’ (x, –y) (3, –2) (7, –3) (4, –5)

Matemática – 7a série – Volume 3 y

Agora, o ponto de simetria entre os triângulos é a própria origem (0, 0). Ou seja, a distância de A até a origem é igual à distância de A’ até a origem, o mesmo acontecendo em relação a B e B’ e C e C’. A reflexão por um ponto é equivalente à composição entre duas translações, uma vertical e outra horizontal, como mostra a figura.

3 A

–2

–3

–5

Atividade 10 – Ampliação e redução

Neste caso, observa-se que o triângulo A’B’C’ é simétrico ao triângulo ABC em relação ao eixo x. 3. Reflexão em relação à origem: se multiplicarmos ambas as coordenadas dos vértices por –1, a figura será refletida em relação à origem. O que é equivalente a uma composição de reflexões, uma em relação ao eixo y e outra em relação ao eixo x, ou vice-versa. Obteremos, de qualquer modo, o triângulo A’B’C’ de coordenadas (–x, –y), como mostra a figura a seguir.

1. Ampliação: para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’. ABC (x, y)

A’B’C’ (2x, 2y)

(3, 2)

A’

(6, 4)

(7, 3)

B’

(14, 6)

(4, 5)

C’

(8, 10)

y C'

ABC (x, y) A B C

(3, 2) (7, 3) (4, 5)

A’ B’ C’

A’B’C’ (–x, –y) (–3, –2) (–7, –3) (– 4, –5)

–7

3 2

b' C'

3 4 –2 –3 –5

C A'

4 3 2

–4 –3

6 5

6 7

Neste caso, ao duplicarmos as coordenadas de ABC, as distâncias até a origem também duplicam. OA’ = 2.OA OB’ = 2.OB OC’ = 2.OC

generalizando, para ampliar uma figura em n vezes, multiplicamos suas coordenadas (x, y) por n, obtendo (n.x, n.y), para n > 1. quando 0 < n < 1, obtemos uma redução da figura, como mostra o exemplo a seguir. 2. Redução: para reduzir as dimensões do triângulo ABC, tornando-as quatro vezes meno1 res, multiplicamos suas coordenadas por , 4 obtendo o triângulo A’B’C’ de coordenadas 1 1 ( x, y). 4 4

A’B’C’ 1 ( x, 1 y) 4 4

ABC (x, y) A B C

(3, 2) (7, 3) (4, 5)

A’ B’ C’

(0,75; 0,5) (1,75; 0,75) (1; 1,25)

Translação vertical: (x, y) (x, y + b) Translação horizontal e vertical: (x, y)  (x + a, y + b) Reflexão horizontal: (x, y)  (–x, y) Reflexão vertical: (x, y)  (x, –y) Reflexão pela origem: (x, y)  (–x, –y)

Redução: (x, y)  (ax, ay). Para 0 < a < 1.

b A

2 C' A' 0,75

b' 1,75

7 x

Comentários sobre a aplicação da Situação de Aprendizagem A aplicação dessas atividades pode ser menos expositiva e mais investigativa. Por exemplo: solicite aos alunos que representem uma figura geométrica qualquer no plano cartesiano.

Translação horizontal: (x, y)  (x + a, y)

Ampliação: (x, y)  (ax, ay). Para a > 1.

1,25 0,75

Em seguida, peça que analisem o que acontece com os pontos da figura quando somamos um valor constante às suas abscissas ou quando multiplicamos suas coordenadas por um valor negativo. Ao realizarem essas simples operações aritméticas, os alunos podem descobrir os diferentes tipos de transformações envolvidas. Ao professor caberá a tarefa de nomear e sistematizar os diferentes tipos de transformação, usando uma notação simbólica.

No Caderno do Aluno apresentamos atividades relativas apenas às transformações: translação (horizontal; vertical; horizontal e vertical) e reflexão (horizontal; vertical). Todavia, se houver tempo e se julgar necessário, o professor poderá propor situações envolvendo as demais transformações: reflexão pela origem, ampliação e redução. Apesar da rotação ser uma transformação, não a incluímos nas atividades anteriores. Consideramos que a inclusão desse tópico implicaria a discussão sobre ângulos, e a determinação das coordenadas ficaria mais complexa, fugindo ao objetivo principal desta Situação de Aprendizagem.

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Considerações sobre a avaliação Após a realização das atividades propostas, esperamos que os alunos estejam mais familiarizados com as coordenadas cartesianas e com as representações gráficas de pontos no plano, construindo uma base sólida para a representação de equações e resolução de sistemas, conteúdos da próxima Situação de Aprendizagem. O uso do jogo de batalha naval matemática como recurso didático constitui um excelente estímulo para o aluno se apropriar das coordenadas cartesianas e dos quadrantes do plano cartesiano. Além disso, a sequência de atividades de transformações geométricas no plano coloca tanto a geometria como o uso do plano cartesiano em outra perspectiva, diferente da usualmente adotada. Acreditamos que tal abordagem favorece a aprendizagem significativa do sistema de coordenadas cartesianas e amplia o conhecimento geométrico dos alunos, ao introduzir o movimento e a transformação nas figuras geométricas.

f conhecer as características das principais transformações geométricas no plano. uma atividade que permite avaliar se o aluno apropriou-se efetivamente do sistema de coordenadas cartesianas e dos diferentes tipos de transformação geométrica é a seguinte: solicita-se que cada aluno represente uma figura geométrica qualquer no plano cartesiano, identificando os vértices com letras e anotando suas coordenadas. Em seguida, eles devem escolher pelo menos duas transformações e aplicá-las na figura escolhida. Por exemplo, o aluno pode representar um quadrilátero ABCD e aplicar uma reflexão em relação ao eixo y e uma redução de 50%, como mostra a figura a seguir. y

A' d'' b''

5 A''

C''

–10

–5

O processo de avaliação deve ser elaborado pelo professor de acordo com as características de cada turma e com os objetivos de aprendizagem mínimos estabelecidos pela atual Proposta Curricular. Acreditamos que, ao final desse percurso, o aluno deve se apropriar dos seguintes conhecimentos, necessários para a continuidade de seus estudos:

quadrilátero ABCD: A (3, 7), B (6, 8), C (10, 6), D (6, 10)

f compreender a associação entre pontos de uma reta e números;

Redução em 50% (0,5): A’ (–1,5, 3,5), B’ (–3, 4), C’ (–5, 3), D’ (–3, 5)

f localizar e representar pontos no plano cartesiano;

Por meio desta atividade, o professor poderá avaliar se o aluno se apropriou efetivamente do sistema de coordenadas cartesianas e das transformações no plano.

f distinguir os sinais das coordenadas cartesianas em cada quadrante do plano;

Reflexão em relação ao eixo y: A’ (–3, 7), B’ (– 6, 8), C’ (–10, 6), D’ (– 6, 10)

SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 3 SISTEMAS DE EquAçõES lINEARES O assunto principal desta Situação de Aprendizagem é o estudo dos sistemas de equações de 1o grau. Os alunos já estão familiarizados com a resolução das equações de 1o grau, conteúdo que foi estudado na 6a série e aprofundado neste mesmo Caderno, na Situação de Aprendizagem 1.

o método da substituição e o da adição, o que, a nosso ver, contribui para uma melhor compreensão por parte do aluno dos procedimentos estudados. Deve-se evitar a simples memorização ou automatização dos procedimentos, pois isso acaba por gerar um aprendizado precário da Álgebra, potencializando erros e dificuldades posteriores.

Nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos alguns problemas que envolvem duas equações e duas incógnitas. São os chamados sistemas de equações lineares, pois as equações podem ser representadas no plano cartesiano por uma reta.

Depois, apresentaremos dois procedimentos de resolução de sistemas (adição e subtração), com um enfoque na escolha do método pelo aluno e na verificação dos resultados em relação à pergunta original do problema.

Inicialmente, discutiremos o significado das equações com duas incógnitas e os métodos de resolução de sistemas por meio da análise de situações-problema. Recorremos à já conhecida analogia com as balanças de prato para ilustrar

A representação gráfica de equações com duas variáveis no plano cartesiano será explorada nas últimas atividades. A construção do gráfico das equações de um sistema vai ajudar o aluno a compreender melhor quando o sistema é possível e determinado ou indeterminado e impossível.

tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodos de resolução (adição e substituição); representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis; análise das soluções de um sistema linear (algébrica e gráfica). Competências e habilidades: traduzir um problema para a linguagem algébrica na forma de um sistema; resolver sistemas de equações pelo método da adição; resolver sistemas de equações pelo método da substituição; representar uma equação com duas incógnitas no plano cartesiano; analisar e discutir as possíveis soluções de um sistema linear; interpretar graficamente a solução de um sistema. Estratégias: análise de situações-problema envolvendo sistemas de equações lineares; uso da analogia com balanças para compreender os métodos de resolução; representação gráfica das equações de um sistema.

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Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Atividade 1 – Equações e incógnitas 1. Considere o problema seguinte: A soma das idades de João e Maria é 28 anos. qual a idade de cada um deles? Transcrevendo o problema para a linguagem algébrica, temos x + y = 28. Se considerarmos apenas as idades completas de João e Maria (números naturais entre 1 e 28), teremos as seguintes possibilidades de solução, mostradas na tabela a seguir: João (x) Maria (y) João (x) Maria (y) 1

A tabela mostra que são possíveis 27 pares de soluções. Ou seja, considerando apenas as informações contidas no enunciado, o problema fica indeterminado, isto é, aceita mais de uma solução. Para que o problema tenha uma solução determinada, precisamos de mais uma informação numérica a respeito das idades de João e Maria.

Em termos algébricos, uma equação com duas incógnitas pode ter mais de uma solução. Dependendo do domínio, podem haver infinitas soluções. 2. Se o enunciado também informasse que João é 4 anos mais velho que Maria, mais uma equação seria acrescentada ao problema, delimitando o número de soluções. Essa nova informação pode ser escrita algebricamente como x = y + 4. Ou ainda, de forma equivalente, como x – y = 4, pois a diferença de idade entre João e Maria é de 4 anos. Observando a tabela, há um único par de valores que satisfaz ambas as equações: x = 16 e y = 12. Portanto, o problema passou a ter uma solução determinada. A idade de João é 16 anos e a de Maria 12 anos. 3. Se o problema nos informasse que a idade de João é o triplo da de Maria, teríamos que x = 3y. O único par de valores que satisfaz essa nova condição é 21 e 7. Portanto, João teria 21 anos e Maria 7 anos. 4. Consideremos, agora, o caso em que a idade de Maria é o dobro da idade de João. Nesse caso, observando a tabela, não há nenhum par de valores inteiros que satisfaçam essa condição. Ou seja, dentro do contexto inicial, o problema não possui solução. A não ser que considerássemos as idades não inteiras. Isso tornaria inviável a solução pela tabela, pois existem infinitos pares que satisfazem a primeira equação.

5. Podemos operar com as equações dadas para resolver o problema do item anterior. Partindo da equação inicial x + y = 28 e sabendo que a idade de Maria é o dobro da de João, podemos substituir o valor de y por 2x, obtendo uma equação com apenas uma incóg28 nita: x + 2x = 28 ou 3x = 28, portanto x = 3 1 ou x = 9,333... ou 9 . Como y = 2x, então 3 2 y = 18 . Dessa forma, dentro do contexto 3 dos números racionais, descobrimos algebricamente que João tinha 9 anos e 4 meses, e Maria 18 anos e 8 meses. Ao substituir o valor de uma incógnita pela expressão equivalente em termos da outra incógnita, obtivemos uma equação com apenas uma incógnita, tornando possível determinar sua solução. Essa forma de resolução é chamada de método da substituição, que será discutido a seguir.

Atividade 2 – As balanças e o método da substituição uma forma de introduzir o método da substituição com significado é por meio de uma analogia com a balança de pratos. Vamos explorar a seguir um exemplo de problema que pode ser resolvido tanto por meio das balanças como algebricamente pelo método da substituição. 1. Precisamos descobrir o peso de dois objetos, convenientemente denominados x e y. Para isso, foram realizadas as seguintes medidas em uma balança de pratos:

a) Primeira medida: os dois objetos pesam, conjuntamente, 2 500 gramas. Em linguagem algébrica, x + y = 2 500 2 000g

500g

b) Segunda medida: o objeto x pesa o mesmo que o objeto y mais 500 gramas. Em linguagem algébrica, x = y + 500 x

500g

c) Substituição: trocamos o objeto x pelo seu equivalente, y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas de cada lado, mantendo a equivalência. Em linguagem algébrica, (y + 500) + y = 2 500, ou y + y – 500 = 2 500 – 500 y

500g

2 000g

500g

Matemática – 7a série – Volume 3

2 000g

y 500g

500g

d) Se dois objetos y pesam 2 000 gramas, um objeto y pesará 1 000 gramas. Em linguagem algébrica, 2y = 2 000 ou, y = 1 000 2 000g

Substituindo o valor de x na primeira equação, temos: (y + 500) + y = 2 500 2y + 500 = 2 500 2y = 2 000 y = 1 000

A ideia principal desse método de resolução é que, tanto na solução pela balança como na solução algébrica, a estratégia adotada foi a substituição do valor de uma das incógnitas pelo seu equivalente em termos da outra. Isso é o que caracteriza o chamado método da substituição.

e) Como o objeto x pesa o mesmo que o objeto y mais 500 gramas, então seu peso é de 1 500 gramas. Em linguagem algébrica, x = 1 000 + 500 ou x = 1 500 Em linguagem algébrica, a resolução do problema ficaria assim:  x+ y= 2 500   x= y+500 Substituindo o valor de y na segunda equação, temos: x = 1 000 + 500 x = 1 500

As atividades anteriores foram resolvidas usando-se a imagem das balanças e a ideia de peso como analogia. Em ambos os casos, o princípio que estava subjacente era o da equivalência. É importante comentar com os alunos que esse recurso pode ser transferido para outras atividades que não envolvam necessariamente medidas de pesos, tais como: idade, preço de produtos, tempo, altura ou, simplesmente, números.

Atividade 3 – Procedimentos de resolução de sistemas lineares pelo método da substituição Consideremos os seguintes sistemas:

a) x + 2y = 5 x – y = –1

b) 3x – 2y = 8 5x + y = 9

Em termos de procedimentos gerais, para resolver um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas pelo método da substituição são necessárias as seguintes etapas:

1a etapa: escrever uma incógnita em termos da outra. Nessa etapa, devemos orientar o aluno a escolher a incógnita mais apropriada para ser isolada, de preferência com coeficiente unitário. 2a etapa: substituir a incógnita isolada pelo seu equivalente em termos da outra, obtendo uma nova equação com apenas uma incógnita. 3a etapa: resolver a nova equação e obter o valor de uma das incógnitas. 4a etapa: substituir o valor da incógnita obtido na 3a etapa em uma das equações, para obter o valor da outra incógnita. 5a etapa: verificar se a solução obtida satisfaz as equações originais. a) x+ 2y = 5 x – y = –1 1a: Nesse caso, uma escolha possível é escrever x em termos de y, por exemplo, x = 5 – 2y 2a: Substituí-lo na outra equação: (5 –2y) – y = –1 3a: Resolvendo a equação, obtemos y = 2. 4a: Substituindo esse valor na 1a equação, temos x + 2.2 = 5, ou seja, x = 1. A solução do sistema é x = 1 e y = 2. 5 : Verificação: 1 + 2.2 = 5 e 1 – 2 = –1. A solução encontrada satisfaz as duas equações. a

b) 3x – 2y = 8 5x + y = 9 1a: Nesse caso, a escolha mais apropriada é escrever y em função de x a partir da 2a equação: y = 9 – 5x. 2a: Substituindo na 1a equação, temos 3x – 2.(9 – 5x) = 8. 3a: Resolvendo a equação, obtemos x = 2. 4a: Substituindo esse valor na 2a equação, temos 5.2 + y = 9, ou seja, y = –1. 5a: Verificação: 3.2 – 2.(–1) = 8 ou 6 + 2 = 8 e 5.2 + (–1) = 9 ou 10 – 1 = 9. A solução encontrada satisfaz as duas equações.

Atividade 4 – Somando e subtraindo equivalências A ideia principal que subjaz ao chamado método da adição é a de que podemos somar ou subtrair duas equações sem comprometer o princípio de equivalência. Ou seja, a soma ou a diferença entre duas equações gera uma nova equação. Essa ideia nem sempre é discutida com profundidade, e muitos alunos simplesmente aplicam o método da adição por mero automatismo, sem perceber que a equivalência é preservada. Para ilustrar essa ideia, propomos o seguinte problema que pode ser resolvido usando-se a analogia com as balanças. 1. André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos e tomou um refrigerante, e gastou R$ 6,60. Já Júlia comeu

Matemática – 7a série – Volume 3

um misto e também tomou um refrigerante, gastando R$ 4,10. qual é o preço do misto e do refrigerante nesta lanchonete?

R$ 2,50

a) Representação do consumo e do gasto de André. Chamando o sanduíche de x e o refrigerante de y, obtemos a equação ( I ) 2x + y = 6,60 R$ 6,60

Algebricamente, subtraímos a equação II da equação I: ( I ) 2x + y = 6,60 – (II) x + y = 4,10, resultando em x = 6,60 – 4,10 ou x = 2,50. d) Se um sanduíche custa R$ 2,50 e Júlia gastou R$ 4,10, então o preço do refrigerante é o valor que falta: R$ 1,60.

b) Representação do consumo e do gasto de Júlia. Equivalente à equação (II) x + y = 4,10 R$ 4,10

Se 2,50 + y = 4,10, então y = 1,60. e) Em termos algébricos, a resolução completa ficaria assim: ��

2x + y = 6,60 – x + y = 4,10

( 2x – x ) + ( y – y ) = 6,60 – 4,10 c) Subtraindo o consumo de Júlia do consumo de André, restará apenas um sanduíche. Portanto, subtraindo os valores pagos, a diferença obtida, R$ 2,50, é o preço do sanduíche. R$ 4,10 R$ 6,60

x = 2,50 2,50 + y = 4,10 y = 1,60

O procedimento de resolução adotado nesse problema é conhecido como método da adição. Embora tenha sido feita uma diferença entre equações, deve-se comentar com os alunos que subtrair é equivalente a adicionar o oposto. Portanto, adicionando a equação I à equação II multiplicada por menos um, obteremos o mesmo resultado.

2x + y = 6,60 –x – y = – 4,10

2x + (–x) + y + (–y) = 6,60 + (– 4,10) x = 2,50

Uma ideia importante que deve ser retomada com os alunos é a de que qualquer equação pode ser transformada em outra equação equivalente quando realizamos as seguintes operações: a) adicionamos ou subtraímos um mesmo número ou expressão nos dois lados da igualdade. b) multiplicamos ou dividimos os termos de ambos os lados da igualdade por um mesmo número ou expressão, desde que diferente de zero.

Atividade 5 – Procedimentos para resolução de sistemas lineares pelo método da adição Consideremos os seguintes sistemas:

a) 2x + y = 5 x–y=4

b) 3x 3x + 5y =––66 x – 2y = –22

c) 3x + 2y = – 4 4x – 3y =23 23 Para resolver um sistema pelo método da adição é preciso que, quando somadas as equações, pelo menos uma das incógnitas seja anulada. Isso ocorre quando somamos um termo ao seu oposto. Por exemplo: 2x + (–2x) = 0 ou (–5y) + 5y = 0. Assim, precisamos proceder da seguinte maneira:

1 a etapa: decidir uma maneira de anular uma das incógnitas na soma de equações. Observar os coeficientes e sinais das incógnitas. Se houver dois termos opostos entre si, basta efetuar a soma. Caso contrário, será preciso multiplicar uma das equações para obter um termo oposto ao termo da outra equação. 2a etapa: efetuar a soma de equações que anule uma das incógnitas. 3a etapa: resolver a nova equação obtida. 4a etapa: substituir o valor da incógnita obtido na 3a etapa em uma das equações do sistema para obter o valor da outra incógnita. 5a etapa: verificar se a solução obtida satisfaz as equações originais. a) 2x+ y x–y 3x

1a: as equações possuem termos opostos (y e –y) 2a e 3a: obtemos 3x = 9. Portanto, x = 3 4a: substituindo na 2a equação, temos: 3 – y = 4, então y = –1 5a: verificação: 2.3 + (–1) = 5 ou 6 – 1 = 5 3 – (–1) = 4 ou 3 + 1 = 4 A solução satisfaz as equações.

Matemática – 7a série – Volume 3

b) 3x + 5y = –6 ⎧3x + 5y = –6 –3 + .  → ⎨  ⎩ –3x +6y = 6  x – 2y = –2 11y = 0 1a: não há termos opostos. Portanto, podemos multiplicar a 2a equação por –3, obtendo o termo oposto a 3x. 2a e 3a: obtemos 11y = 0. Portanto, y = 0. 4a: substituindo na 2a equação, temos: x – 2.0 = –2, então x = –2

A princípio, não há uma norma para se usar um ou outro método. É por meio da experiência e da reflexão sobre os procedimentos utilizados que o aluno poderá decidir qual o melhor caminho a ser percorrido. Contudo, podemos delinear algumas características que facilitam um ou outro método. Por exemplo, o método da adição se torna mais rápido quando existem termos opostos nas duas equações. Já o método da substituição é preferível quando for fácil isolar uma das incógnitas.

5a: Verificação: 3.(–2) + 5 . 0 = – 6 ou –6+0=–6

Os seguintes sistemas podem ser propostos aos alunos:

–2 – 2.0 = –2 ou –2 – 0 = –2 A solução satisfaz as equações.  9x + 6y = –12 c)⎧3x + 2y = –4 3 + ⎯..⎯ →  ⎨ 2  8x – 6y = 46 ⎩4 x – 3y = 23 17x = 34 1a: não há termos opostos. Portanto, uma estratégia é multiplicar a 2a equação por 2 e a 1a equação por 3, obtendo os termos opostos 6y e –6y. 2 e 3 : obtemos 17x = 34. Portanto, x = 2. a

4a: substituindo na 1a equação, temos:

a) 2 x – y = 7 x + 3y = –7

x = 2 e y = –3

c)  2x + 3y = 0

 6 x − 4 y = 13 3 x= e y = –1 2

b)  x + 5y = 1

 3x − y = −13

x = –4 e y = 1

d)  x = 3y − 1

 2 x + y = 12

x=5ey=2

3.2 + 2y = –4, então y = –5 5a: Verificação: 3.2 + 2.( –5) = –4 ou 6 – 10 = – 4 4.2 – 3.( –5) = 23 ou 8 + 15 = 23 A solução satisfaz as equações.

Atividade 6 – A escolha do método A ideia é que os alunos decidam qual o sistema mais apropriado em cada situação.

Atividade 7 – Equações, tabelas e gráficos A representação gráfica de uma equação linear com duas incógnitas é um recurso valioso na discussão e na análise das possíveis resoluções de um sistema. Além disso, ele prepara o aluno para o trabalho posterior com funções, que se iniciará na 8a série.

Na atividade 1, construímos uma tabela com as soluções inteiras e positivas de uma equação com duas incógnitas. Para cada valor de x, correspondia um valor de y, cuja soma era sempre 28 (x + y = 28). Podemos, então, construir um par ordenado (x, y) que configure a relação entre essas incógnitas, e representá-lo num plano cartesiano.

tipo e representar as soluções em uma tabela e, em seguida, no plano cartesiano. 1. Problema: A soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a diferença entre eles é 4. Traduzindo em linguagem algébrica, escrevemos as equações I e II:  x + y = 12 (I)   x – y = 4 (II)

A representação de uma equação linear com duas incógnitas no plano cartesiano permite a visualização de suas possíveis soluções, o tipo de relação existente entre as incógnitas, etc. Além disso, será de muita valia na análise e discussão das soluções de um sistema linear de duas equações. A seguir, vamos explorar um problema que resulta em um sistema desse

Para cada equação, constroem-se as tabelas com os valores x e y, considerando o domínio dado pelo problema, isto é, de valores entre 1 e 11. Vamos considerar também, sem perda de generalidade, que x é maior que y.

10 11

11 10

x−y 4

x + y 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 Agora, para cada par ordenado (x, y) das tabelas, localizaremos um ponto no plano

x + y = 12

x–y=4

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cartesiano, obtendo os seguintes gráficos das equações I e II:

Matemática – 7a série – Volume 3

Juntando os pontos no mesmo plano, obtemos o gráfico das duas equações. O ponto em comum aos dois gráficos (8,4) é a solução do sistema.

Pode-se solicitar aos alunos que construam o gráfico das equações e verifiquem se pontos fora do domínio do problema inicial também estão contidos na reta. Por exemplo, no gráfico da equação x + y = 12 representado abaixo, os pares ordenados (–1, 13), (7,5; 4,5) e (15, –3) pertencem à reta e satisfazem à equação x + y = 12.

11 y

x + y = 12

–3 –2 –1

1 2 –1

9 10 11 12 13 14 15 x

–2

10 11

–3

Consideremos agora que o problema não se restrinja ao domínio dos números inteiros, e possa incluir números negativos, racionais e irracionais. Então, os pontos das equações podem ser representados por uma reta. Como já foi comentado anteriormente, a formalização do conceito de reta real será feita na 8a série. Nesse momento, basta que o aluno compreenda que os pontos intermediários entre os inteiros também estão alinhados e, portanto, podem ser representados por uma reta.

Atividade 8 – Soluções de um sistema Assim que os alunos se apropriarem dos procedimentos de resolução de um sistema linear, podemos problematizar a questão das possíveis soluções de um sistema. Até agora, o repertório de soluções que os alunos conheciam era composto por números determinados. Contudo, uma particularidade dos sistemas lineares de duas equações é que eles podem gerar outros tipos de resultados. Podemos obter uma solução possível, mas indeterminada, ou uma solução impossível. Determinada

Possível Solução de um sistema linear

Indeterminada Impossível

Apresentaremos alguns exemplos de sistemas contendo os três tipos de soluções mostradas na página anterior. O professor deve estimular os alunos a investigarem os padrões nas equações dos sistemas em que a solução é indeterminada ou impossível. Além disso, será feita a representação gráfica dos sistemas para a interpretação geométrica das soluções.

Proponha aos alunos a resolução de sistemas por meio do método da adição como o que segue:

Atividade 10 – Sistema possível e indeterminado Peça aos alunos que resolvam o seguinte sistema pelo método da adição:

2x + y = 3   x–y=6 =9 3x x=3 y=–3

2x + y = 3  4 x + 2y = 6

Agora, eles devem representar as duas equações no plano cartesiano. Como para determinar uma reta são necessários ao menos dois pontos, eles devem montar a tabela com apenas dois pares ordenados para cada equação. x–y=6

–6

1,5

A partir da tabela, obtemos o gráfico a seguir, que mostra as duas retas, uma de cada equação, interceptando-se no ponto (3, –3), que é a solução do sistema.

–3

Atividade 9 – Sistema possível e determinado

2x + y = 3

Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos uma outra equação cujos termos são os opostos da 2a equação.  –4x – 2y = −6 +   4x + 2y = 6 0.x + 0.y = 0 Assim, ao tentarmos anular uma das incógnitas, a outra incógnita e o termo independente também se anularam, obtendo a igualdade 0x + 0y = 0. Como os coeficientes de ambas as incógnitas é zero, qualquer que seja o valor das incógnitas x e y o resultado sempre será igual a zero. Portanto, teremos uma sentença verdadeira (0 = 0) para qualquer valor de x e y.

Matemática – 7a série – Volume 3

Esse resultado mostra que, na verdade, as duas equações do sistema são equivalentes, ou seja, são a mesma equação. Por essa razão, trata-se de um problema que tem apenas uma equação com duas incógnitas e, portanto, infinitas soluções. Em termos gráficos, a representação das equações no plano gera duas retas coincidentes, como mostra a figura. 2x + y = 3

4x + 2y = 6

1,5

O resultado obtido, 0x + 0y = 4, não possui solução, pois quaisquer que sejam os valores de x e y, o lado esquerdo da equação será sempre igual a zero, enquanto o direito vale quatro. Assim, a sentença obtida é falsa, pois 0 ≠ 4. Em termos gráficos, as duas equações seriam representadas como mostra a figura. 2x + y = 3

4x + 2y = 10

1,5

2,5

1,5 2,5

1,5

Atividade 11 – Sistema impossível Peça aos alunos que resolvam o seguinte sistema pelo método da adição:  2x+ y = 3  4x+ 2 y = 10 Multiplicando a 1a equação por –2, obtemos uma equação em que os coeficientes das incógnitas são opostos, mas o termo independente, não. ��

− 4x − 2y = − 6 + 4x + 2y = 10 0x + 0y = 4

Como podemos ver, as duas retas que representam as equações são paralelas. Dessa forma, elas não possuem pontos de interseção, o que mostra que o sistema não possui solução.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos sejam capazes de resolver problemas envolvendo mais de uma incógnita, saibam representar esses problemas na forma de um sistema e consigam achar uma solução usando o método mais conveniente.

Além disso, eles devem analisar e compreender as possíveis soluções de um sistema linear: determinada, indeterminada e impossível. Além disso, eles devem saber representar uma equação linear com duas variáveis no plano cartesiano, além de interpretar graficamente a solução de um sistema. No decorrer das aulas, é importante que o professor alterne momentos de problematização e sistematização com atividades e exercícios relativos ao conteúdo ensinado. Consideramos que no decorrer dessas duas semanas o professor proponha algumas atividades de avaliação que contemplem os seguintes itens: a) Resolução de problemas: o foco da avaliação deve estar na tradução do problema para a linguagem algébrica (montagem do sistema).

b) Resolução de sistemas: propor exercícios visando a familiarização com os procedimentos de resolução dos sistemas estudados. Avaliar se os alunos sabem usar os dois métodos, escolhendo o melhor em cada situação e se fazem a verificação dos resultados obtidos. c) Representação gráfica: representar equações no plano cartesiano e construir tabelas com alguns valores das incógnitas. Avaliar se os alunos representam corretamente os pares (x, y) da equação no plano cartesiano. d) Análise e discussão das soluções de um sistema: propor a resolução de sistemas que tenham solução indeterminada ou impossível. Avaliar se os alunos sabem identificar quando o sistema é possível e determinado ou indeterminado ou impossível.

SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 4 EquAçõES COM SOluçõES INTEIRAS E SuAS APlICAçõES Nesta Situação de Aprendizagem, apresentamos uma série de problemas que, uma vez equacionados, conduzem a uma única equação com mais de uma incógnita. Equações como essas que, em domínio real, seriam

classificadas como indeterminadas, podem ter um número finito de soluções inteiras e positivas. Investigaremos equações dessa natureza (em domínio inteiro positivo) com o uso de tabelas e em contextos próximos de situações reais.

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: múltiplos e divisores; máximo divisor comum; equações e sistemas; contagem. Competências e habilidades: identificar regularidades e padrões; raciocínio lógico dedutivo em problemas algébricos; organizar informações em tabelas. Estratégias: utilizar tabelas para identificar padrões e regularidades; utilizar tabelas para organizar informações; investigar propriedades de divisibilidade entre inteiros e do MDC por meio de exemplos numéricos.

Matemática – 7a série – Volume 3

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 O estudo de sistemas de equações lineares na 7a série, normalmente, concentra esforços na discussão, compreensão e sistematização dos métodos de resolução (adição e substituição) de sistemas determinados. Ocorre que, em inúmeras situações de ordem prática, o que precisamos resolver são sistemas com mais incógnitas do que equações e, ainda para complicar (ou facilitar), sistemas que requerem apenas soluções inteiras positivas. Vejamos alguns exemplos adaptados de artigos da Revista do Professor de Matemática 2. Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas serão formadas de cada tipo?

R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes ele poderá receber suas notas? Exemplo 5 – Deseja-se adquirir um total de 100 peças dos tipos A, B e C, sendo que os preços unitários das peças são R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se dispomos de R$ 200,00 para a compra, quantas e quais são as possibilidades de compras que podemos fazer? Escrevendo cada um desses problemas em linguagem algébrica, encontraremos equações do tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em que nos interessam apenas as soluções inteiras e positivas do tipo (x,y) ou (x,y,z). Exemplo 1: t: número de filas com 3 ônibus.

Exemplo 2 – quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (Dado: uma partida de basquete é disputada por 5 jogadores, e uma de vôlei por 6.)

c: número de filas com 5 ônibus.

Exemplo 3 – um laboratório dispõe de duas máquinas para examinar amostras de sangue. uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2 000 amostras?

b: número de pares de times de basquete.

Exemplo 4 – um caixa eletrônico disponibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00, 2

3t + 5c = 13 Exemplo 2: v: número de pares de times de vôlei.

12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77 lembrete: usamos 12v, e não 6v, porque para haver uma partida de vôlei precisamos de dois times completos de 6 jogadores; o mesmo raciocínio se aplica a 10b no lugar de 5b.

A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cms>.

Exemplo 3: x: número de amostras examinadas pela máquina x y: número de amostras examinadas pela máquina Y 15x + 25y = 2 000 Exemplo 4: x: total de notas de R$ 20,00 y: total de notas de R$ 50,00 z: total de notas de R$ 100,00 20x + 50y + 100z = 250 Exemplo 5: a: número de peças adquiridas do tipo A b: número de peças adquiridas do tipo B c: número de peças adquiridas do tipo C a + 10b + 20c = 200 Problemas nos quais nos interessam as soluções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, normalmente, recebem o nome de equações diofantinas, em homenagem ao matemático Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por problemas dessa natureza (ver nota histórica ao final do texto).

uma equação diofantina, como acabamos de descrever, pode apresentar uma, mais de uma ou nenhuma solução. O estudo aprofundado das equações diofantinas permite-nos encaminhar a discussão para: 1. estabelecer um critério de existências de solução que envolva diretamente a noção de máximo divisor comum; 2. estabelecer um algoritmo para encontrar as soluções, quando elas existirem. Nesta Situação de Aprendizagem, investigaremos problemas envolvendo equações diofantinas com o uso de tabelas e, a partir da observação de padrões e regularidades, identificaremos suas soluções. Não investigaremos o algoritmo de resolução das equações diofantinas, no entanto, ele é uma decorrência quase que imediata da análise que faremos para determinar quando uma equação diofantina tem ou não solução. Deve ficar claro, por meio da atividade, que o recurso das tabelas, usado para a busca de soluções, torna-se muito complicado quando estamos diante de um problema em que os coeficientes da equação são números muito altos, o que certamente justificará o interesse pela busca de um algoritmo geral. Caso o professor identifique esse interesse nos alunos, deixaremos duas indicações bibliográficas nas quais o algoritmo e sua demonstração podem ser encontrados. A forma como pretendemos apresentar o estudo de problemas relacionados às

Matemática – 7a série – Volume 3

equações diofantinas, apesar de não usual na escola básica, sugere pelo menos três aspectos que justificam plenamente sua abordagem: 1) trabalha-se com a identificação de padrões e regularidades; 2) trabalha-se com a ideia de múltiplos, divisores e do máximo divisor comum; 3) trabalha-se, indiretamente, com raciocínio de contagem. A seguir, apresentaremos a resolução dos exemplos indicados no início desta proposta, contando com sua análise, professor, sobre outros desdobramentos possíveis para atividades com os alunos. Resolução do exemplo 1 Montaremos uma tabela que nos permita avaliar possibilidades para t e c, de tal forma que se atenda à restrição 3t + 5c = 13:

linha

número de número de filas com filas com 3 ônibus (t) 5 ônibus (c)

total de ônibus (3t + 5c)

Inicialmente, fixamos t = 0 e variamos o valor de c, o que permite observar que não há solução para o problema quando t = 0, porque a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo de 5 (lembre-se de que queremos 3t + 5c = 13). Note que não fizemos mais do que 4 linhas na tabela com t = 0 por dois motivos: em primeiro lugar, pode-se observar com facilidade que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que não fornece solução para o problema e, em segundo lugar, na quarta linha já atingimos soma maior do que os 13 ônibus possíveis do problema.

Da 5a linha até a 9a, fizemos o mesmo tipo de análise, só que agora com c = 0. Também concluímos, nesse caso, que não há solução possível com c = 0. Com os valores possíveis de 3t e de 5c listados na última coluna da tabela, nos interessa agora procurar somas de dois deles que totalizem 13. No caso do problema, a única soma que totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única solução do problema é 3.1 + 5.2 = 13, ou seja, (t,c) = (1,2). Deve-se observar, por meio desse exemplo, que o fato de um problema dessa natureza ter uma, mais de uma ou nenhuma solução está diretamente relacionado com os valores atribuídos aos coeficientes da equação, que no caso do exemplo 1 foram 3, 5 e 13. Outras escolhas poderiam implicar na existência de mais de uma solução (se trocássemos, por exemplo, o 13 por 15) ou de nenhuma solução (se trocássemos, por exemplo, 3 por 2).

Resolução do exemplo 2 Montaremos uma tabela que nos permita avaliar possibilidades para v e b de tal forma que se atenda à restrição 12v + 10b = 80 (na sequência, analisaremos o caso 12v + 10b = 77). no de pares no de pares total de linha de times de de times de alunos vôlei (v) basquete (b) (12v + 10b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 12 24 36 48 60 72 80

Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solução do problema, que é v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas nove primeiras linhas não foi continuado, porque na nona linha já se atingiu 80, que é o número de alunos da escola na primeira situação proposta no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha, identificamos que não há solução quando b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu para além da 15a linha, porque na linha seguinte já

ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando combinações de resultados da última coluna cuja soma seja 80, encontraremos mais uma solução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse problema apresenta, portanto, soluções do tipo (v,b), que são (0,8) e (5,2). Dando continuidade à análise desse exemplo, é fácil perceber que não existe solução para a equação 12v + 10b = 77. uma justificativa razoável para isso é a seguinte: f os múltiplos de 10 terminam sempre em 0, portanto, 10b tem algarismo das unidades igual a zero; f os múltiplos de 12 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8, portanto, 12v termina em algarismo das unidades igual a um desses números; f decorre dos itens anteriores que a soma 12v + 10b termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e, como 77 tem algarismos das unidades igual a 7, 12v + 10b nunca será igual a 77. Pode-se demonstrar que: uma equação diofantina ax + by = c tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum entre a e b for um número que divide c. O teorema que acabamos de enunciar garante a existência de soluções inteiras (inclui os negativos). lembramos que nos cinco exemplos que estamos analisando, nos interessam as soluções inteiras positivas. Ou seja, sua aplicação em problemas desse tipo exige que se faça uma análise com critério, porque pode ser que a equação tenha uma solução com inteiros negativos e, nesse caso, essa solução não interessaria para o problema em questão.

Matemática – 7a série – Volume 3

Veremos a seguir os passos da demonstração do teorema. Recordemos as seguintes propriedades de divisibilidade entre inteiros: 1. Se d divide a, então d dividirá a.m, para qualquer m inteiro. Exemplo: 7 divide 21, então 7 divide 9 . 21 (se 7 divide 21, então 21 é múltiplo de 7 e, portanto, o produto de 21 por qualquer inteiro será divisível por 7). 2. Se d divide a e divide b, então d dividirá a + b. Exemplo: 3 divide 6 e 9, então, 3 divide 6 + 9 (como

6+9 6 9 é igual a + , e como 3 3 3

3 divide 6 e 9, então 3 dividirá 6 + 9). 3. Se d é MDC(a,b), então existem inteiros r e s tais que a . r + b . s = d. Exemplo: MDC(6,9) = 3, e 6.(–1) + 9.(1) = 3 (note que –1 e 1 não são os únicos valores r e s tais que a.r + b.s = d; temos também, por exemplo, 2 e –1). Essa propriedade é uma decorrência quase imediata do algoritmo de Euclides para determinação do MDC entre dois números:

Veja que o algoritmo nos permite escrever 1) 9 = 1 . 6 + 3 e 2) 6 = 2 . 3 + 0. Da primeira igualdade temos 3) 3 = 9 – 1 . 6 e da segunda 4) 2 . 3 = 6 – 0. Substituindo 4 em 3, temos 3 = 9 − 1 . (6 – 0), ou seja, 3 = (1) . 9 + (–1) . 6. Por meio das duas primeiras propriedades listadas, sabemos que se a equação ax + by = c tiver alguma solução com x’ e y’ inteiros, e se d for um divisor comum de a e b, então d dividirá c. Em particular, como o MDC (a,b) é um divisor comum de a e b, a condição necessária para que a equação tenha solução inteira é que MDC (a,b) divida c. Já sabemos que é necessário que MDC (a,b) divida c para que a equação diofantina tenha solução inteira. Agora nos resta perguntar se essa condição também é suficiente. A resposta é sim, e decorre da terceira propriedade listada. Chamando o MDC (a,b) de d, se d dividir c, então c = d.m e, pela propriedade 3, existem inteiros r e s tais que a.r + b.s = d. Multiplicando ambos os membros da igualdade por m, temos a.(r.m) + b.(s.m) = d.m, ou seja, a.x’ + b.y’ = c. Resolução do exemplo 3 Com o resultado que acabamos de demonstrar, como o MDC(15,25) = 5 divide 2 000, o problema tem solução inteira. Com o uso de uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções do problema, que são os seguintes pares (x,y): (130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14), (105,17), (100,20), (95,23), (90,26), (85,29), (80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47), (50,50), (45,53), (40,56), (35,59), (30,62), (25,65), (20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80)

Resolução do exemplo 4 Como o MDC (20,50,100) = 10 divide 250, o problema tem solução inteira. utilizando uma tabela encontramos as seguintes soluções (x,y,z): (0,1,2), (0,3,1), (0,5,0), (5,1,1), (5,3,0), (10,1,0) Resolução do exemplo 5 uma vez que o MDC (1,10,20) = 1 divide 200, a equação possui solução inteira. utilizando uma tabela encontraremos as 91 soluções (a,b,c): (0,0,10), (0,2,9), (0,4,8), (0,6,7), (0,8,6), (0,10,5), (0,12,4), (0,14,3), (0,16,2), (0,18,1), (0,20,0) (10,19,0), (10,17,1), (10,15,2), (10,13,3), (10,11,4), (10,9,5), (10,7,6), (10,5,7), (10,3,8), (10,1,9) (20,18,0), (20,16,1), (20,14,2), (20,12,3), (20,10,4), (20,8,5), (20,6,6), (20,4,7), (20,2,8), (20,0,9) (30,17,0), (30,15,1), (30,13,2), ... , (30,3,7), (30,1,8) (40,16,0), (40,14,1), ... ,(40,0,8) (50,15,0), (50,13,1), ... , (50,1,7) (60,14,0), (60,12,1), ... , (60,0,7) (70,13,0), (70,11,1), ... , (70,1,6) (80,12,0), (80,10,1), ... , (80,0,6) (90,11,0), (90,9,1), ... , (90,1,5) (100,10,0), (100,8,1), ... , (100,0,5)

Observe que a tabela tem uma série de regularidades que, uma vez identificadas, facilitam a generalização das triplas ordenadas. Por exemplo, as primeiras 11 triplas, que começam com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e aumentando sempre uma unidade. Nas demais sequências de triplas (conforme organizamos anteriormente), a será um múltiplo de 10, b será igual a 19, 18, 17, ... , 10 (reduzindo sempre duas unidades para a tripla seguinte) e c será igual a 0, 1, 2, ... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5, dependendo da sequência).

nota histórica Diofanto viveu por volta do ano 250 d.C. e foi um matemático de trabalhos extremamente originais para sua época. A principal obra de Diofanto, chamada Arithmetica, consta ter sido escrita em 13 livros, dos quais apenas os seis primeiros chegaram até nós. Alguns consideram Diofanto o pai da Álgebra, uma vez que ele introduziu em seu trabalho a ideia de equação algébrica expressa por símbolos. Na solução de sistemas de equações, Diofanto manipulava um único símbolo para representar as incógnitas e chegava às respostas, comumente, pelo método de tentativa, que consiste em assumir para alguma das incógnitas um valor preliminar que satisfaça algumas condições. Esses valores preliminares conduziam a expressões erradas, mas que geralmente sugeriam alguma estratégia pela qual valores podiam ser obtidos de forma a atender a todas as condições do problema. Na coleção de 150 problemas que compõem sua obra, fica claro que o tratamento dado por Diofanto não é o da axiomatização, e raramente ele apresenta generalizações. Não há uma distinção clara no tratado de Diofanto entre equações determinadas e indeterminadas e,

Matemática – 7a série – Volume 3

Muitos dos problemas resolvidos por Diofanto eram da determinação de soluções inteiras (ou racionais) em equações com mais de uma incógnita, fato pelo qual esse tipo de assunto, investigado na Situação de Aprendizagem 4, é conhecido por muitos na Matemática como equações diofantinas. Veremos a seguir (em notação moderna) um problema resolvido por Diofanto para ilustrar sua forma de pensar a Matemática. “Determine dois números tais que, cada um somado com o quadrado do outro, forneça um quadrado perfeito.” Como Diofanto tentava sempre escrever os problemas usando apenas uma incógnita, em vez de chamar os números de x e y, chamou-os de x e 2x + 1. Note que, nesse caso, ao somar o segundo com o quadrado do primeiro, necessariamente teremos um quadrado perfeito, porque 2x + 1 + x² é igual a (x + 1)². Na sequência, exige-se que o primeiro somado com o quadrado do segundo seja um quadrado perfeito, ou seja, que x + (2x + 1)² seja um quadrado perfeito. Diofanto escolhe um quadrado perfeito particular, que é (2x – 2)², para igualar à expressão x + (2x + 1)², da qual decorrerá uma equação linear em x, como veremos a seguir:

Note que no lugar de (2x − 2)² poderíamos ter usado (2x − 3)² ou (2x − 4)² ou outras expressões semelhantes, o que resultaria em outros pares de respostas que atendem à condição do enunciado do problema, mas Diofanto se contentava em encontrar uma única solução para o problema. Como curiosidade final, citamos um trecho (adaptado para a linguagem moderna) de uma obra datada do século V ou VI d.C., chamada Antologia grega, em que, supostamente, revela-se com quantos anos Diofanto morreu:

1 da sua vida na infân6 1 na juventude, 1 como solteiro; 5 anos cia, 12 7 “Diofanto passou

depois de casado nasceu o seu filho, que morreu com metade da idade que Diofanto viveu, 4 anos antes da sua própria morte.” Equacionando o problema, descobriremos a suposta idade que Diofanto morreu: 5

4 → x = 84 anos

Reprodução

quando ele se ocupava desse segundo grupo, geralmente contentava-se em encontrar uma solução, e não todo o conjunto de soluções.

x + (2x + 1)² = (2x – 2)² x + 4x² + 4x + 1 = 4x² – 8x + 4 → x = Segue, portanto, que um dos números é outro, dado por 2x + 1, é

19 . 13

3 . 13

3 eo 13 Frontispício de livro de Aritmética de Diofanto, Toulouse, França, 1620.

Considerações sobre a avaliação Na Situação de Aprendizagem 4, investigamos processos de resolução de equações com mais de uma incógnita e soluções inteiras positivas. Acreditamos que a discussão de problemas desse tipo, além de aproximar o estudo da Matemática de sua contextualização, permite também a retomada de propriedades dos múltiplos e divisores de um número. Do ponto de vista das habilidades trabalhadas, a situação proposta exige que o aluno seja capaz de organizar as informações numéricas em uma tabela, observar padrões, generalizar regularidades e investigar propriedades dos múltiplos e divisores por meio da resolução de problemas. As avaliações devem verificar se o aluno está apto a:

f equacionar um problema a partir da leitura e interpretação do seu enunciado; f identificar se a equação possui ou não solução por uma análise numérica direta (com uso de tabelas), o que pode ser comprovado pelo teorema do máximo divisor comum que foi apresentado no texto; f organizar os dados em uma tabela, o que implica fazer escolhas convenientes dos números atribuídos às incógnitas de tal forma que haja um padrão que possa ser cercado na montagem da tabela; f encontrar todas as soluções da equação; f criar (e resolver) seus próprios problemas envolvendo equações com várias incógnitas e soluções inteiras positivas.

ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO A avaliação do conteúdo trabalhado na Situação de Aprendizagem 1 pode-se realizar por meio de provas individuais, o que permitirá identificar melhor as dificuldades específicas de cada aluno. Tais dificuldades podem ser classificadas em: 1) não consegue transpor a informação para a linguagem algébrica; 2) consegue transpor a informação, porém não consegue resolver a equação; 3) consegue resolver a equação, porém não interpreta e analisa as soluções no contexto do problema. Para recuperar o primeiro tipo de dificuldade, o professor pode recorrer a novos problemas, de preferência mais simples no

primeiro momento, para que o aluno possa progredir. Outra estratégia interessante é a de formar duplas de trabalho para a resolução de problemas. Nesse caso, é necessário que o professor escolha as duplas adequadamente de forma que um aluno com maior conhecimento sobre o assunto possa ajudar o que ainda não atingiu objetivos mínimos. A recuperação do segundo tipo de dificuldade implica identificar qual erro específico o aluno está cometendo e, uma vez esclarecido, o professor pode propor novos problemas em que ele tenha mais uma vez que colocar à prova esse tipo de conhecimento. um bom caminho para recuperar o terceiro tipo de dificuldade

Matemática – 7a série – Volume 3

é o de fazer perguntas para o aluno do tipo: “Sua resposta é plausível para o que está sendo perguntado?” ou “Identifique novamente a pergunta do problema no texto e confronte com a sua resposta”.

uma atividade cujo foco seja a leitura de enunciados: identificação dos verbos principais, reconhecimento dos valores a serem descobertos (incógnita), descrição da pergunta central do problema, etc.

Em relação à Situação de Aprendizagem 2, caso os objetivos de aprendizagem não forem plenamente atingidos pelos alunos, o professor poderá explorar as seguintes estratégias de recuperação:

Por fim, no que diz respeito aos conteúdos da Situação de Aprendizagem 4, se os objetivos mínimos não tiverem sido atingidos plenamente por algum aluno, o professor poderá lançar mão das seguintes estratégias de recuperação:

f a retomada da ideia de localização usando guias de endereços, mapas, plantas e outros recursos extramatemáticos; f uma sistematização das principais características do sistema de coordenadas cartesianas, seguida de exercícios similares às atividades 5 e 6 propostas neste Caderno. Essas atividades sintetizam a essência da ideia de localização no sistema de coordenadas cartesianas. Caso o professor note que os alunos não estão conseguindo resolver os sistemas propostos na Situação de Aprendizagem 3, é adequado avaliar se isso se deve à dificuldade em relação aos procedimentos de resolução de equações ou à interpretação do problema. No primeiro caso, a atividade de recuperação deve contemplar os procedimentos de resolução de equação de 1o grau: o significado da operação inversa, a ideia de equivalência, a linguagem algébrica, etc. Se a dificuldade de interpretação do problema persistir, o professor deverá preparar

f propor novos exercícios para que sejam resolvidos em duplas de trabalho, procurando sempre formar duplas em que um aluno possa, de fato, ajudar outro que esteja com dificuldades no assunto; f trabalhar com a representação das equações (com duas incógnitas) no plano cartesiano. uma equação do tipo ax + by = c terá sempre como representação uma reta e, construindo o gráfico no papel milimetrado (ou quadriculado), podemos identificar as soluções inteiras como pontos da malha de coordenadas inteiras por onde passa a reta; f trabalhar com estratégia de jogos: divida a classe em grupos, e cada um deverá elaborar um problema de equação diofantina (com sua solução). Os problemas criados pelos grupos deverão ser trocados entre eles e vencerá o jogo o grupo que conseguir resolver corretamente o maior número de problemas.

RECuRSOS PARA AMPlIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO AluNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA AlVES, Sérgio; gAlVãO, Maria E. E. l. Um estudo geométrico das transformações elementares. São Paulo: IME-uSP, 1996. BAuMgART, John K. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra. São Paulo: Atual, 2001. BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1994. CAJORI, Florian. Uma história da Matemática. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. CARNEIRO, José Paulo. Dispositivo para expressar o MDC de dois números como combinação linear deles. Revista do Professor de Matemática, no 37, São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.

gARBI, gilberto g. O Romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997. KRulIK, Stephen; REYS, Robert. E. (Org.). A resolução de problemas na Matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998. lIMA, Elon lages et. al. Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. (Coleção do Professor de Matemática.) MIlES, César Polcino; COElHO, Sônia P. Números: uma introdução à matemática. São Paulo: Edusp, 2001. PATROCÍNIO, Antônio Carlos; SATO, Sérgio Nokiani; ISNARD, Carlos Augusto Soluções inteiras. Revista do Professor de Matemática. no 8. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1986.

COIMBRA, Carlos. Coordenadas no Espaço. Ciência hoje na escola tempo e espaço, v. 7. Rio de Janeiro: Ciência Hoje, 1999.

Revista do Professor de Matemática. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, publicada desde 1982.

COxFORD, Albert F.; SHulTE, Arthur P. As ideias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

Vários números apresentam material sobre álgebra e equações.

DINIz, Maria Ignez S.; SOuzA, E. R. Álgebra: das variáveis às equações. São Paulo: CAEM, IME-uSP, 1996. Disponível em: <http://www. ime.usp.br/caem>. Acesso em: 13 maio 2009.

ROCquE, gilda Diha.; PITOMBEIRA, João Bosco. uma equação diofantina e suas resoluções.Revista do Professor de Matemática, no 19. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

Matemática – 7a série – Volume 3

ConSidERAçõES FinAiS Os três objetivos centrais do 3o bimestre da 7a série são aprofundar a discussão sobre equações de 1o grau; apresentar o plano cartesiano e suas possibilidades e introduzir a ideia de sistemas de equações e seus métodos de resolução. O professor deve compreender que muitos dos temas deste bimestre serão retomados nas séries subsequentes, seguindo uma proposta de currículo em espiral, o que deve ser usado como um balizador para a escolha da “escala” a ser adotada, no que diz respeito tanto à profundidade com que vai explorar cada assunto, como ao tempo que dedicará a cada um deles.

Reforçamos mais uma vez nossa compreensão de que o bimestre apresenta uma quantidade grande de novos temas, e que as propostas aqui apresentadas para o tratamento desses temas são sugestões para reflexão do professor, sendo perfeitamente compreensível que sejam feitos ajustes, adequações, cortes e recortes para colocá-las a serviço do seu planejamento. Apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática, de todas as séries do Ensino Fundamental, destacando com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos deste 3º- bimestre.

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série

6a série

7a série

8a série NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

NÚMEROS NATuRAIS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

NÚMEROS NATuRAIS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

NÚMEROS RACIONAIS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

NÚMEROS INTEIROS - Representação. - Operações.

POTENCIAçãO - Propriedades para expoentes inteiros.

NÚMEROS RACIONAIS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - A linguagem das potências.

NÚMEROS DECIMAIS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

gEOMETRIA/MEDIDAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

ÁlgEBRA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

ÁlgEBRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

NÚMEROS/ PROPORCIONAlIDADE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

ÁlgEBRA/EquAçõES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1o grau - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

gEOMETRIA/MEDIDAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

gEOMETRIA/MEDIDAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

gEOMETRIA/MEDIDAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SISTEMAS DE MEDIDAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. gEOMETRIA/MEDIDAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - gráficos de setores. - Noções de probabilidade. TRATAMENTO DA INFORMAçãO - leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

ÁlgEBRA - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

TRATAMENTO DA INFORMAçãO - Contagem indireta e probabilidade.