MATEMATICA_CP_7s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

7ª- SÉRiE volume 4 - 2009

matEmática

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-438-4 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Áreas de figuras planas

Situação de Aprendizagem 2 – Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria 25 Situação de Aprendizagem 3 – O teorema de Pitágoras: padrões numéricos e geométricos 39 Situação de Aprendizagem 4 – Prismas Orientações para Recuperação

Conteúdos de Matemática por série / bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno áreas, tales, Pitágoras e volumes nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Áreas de figuras planas Teorema de Tales: a proporcionalidade na Geometria Teorema de Pitágoras Prismas: área e volume

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas – especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática –, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades aproximadamente de mesma extensão, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com maior ou menor aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das

outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem. Por isso, priorizou-se explicitar a forma de abordagem dos temas nas atividades oferecidas. Em cada Caderno, sempre que possível são apresentados materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas para este bimestre, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.

Matemática – 7a série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre No 4o bimestre da 7a série, o foco da aprendizagem será a Geometria. Abordaremos temas importantes, como o cálculo de áreas, os teoremas de Tales e de Pitágoras e os prismas. Os conteúdos que foram objeto de estudo do 2o bimestre, como os processos que envolvem estimativas, o trabalho com as operações algébricas e os produtos notáveis, podem ser agora, no 4o bimestre, utilizados nas deduções das fórmulas das áreas das figuras mais comuns como o paralelogramo, o losango, o trapézio e o triângulo. Para esse trabalho, nos apoiamos na expressão da área do retângulo (produto da medida da base pela medida da altura) e no conceito de equivalência de figuras planas, isto é, figuras que, mesmo diferentes, possuem a mesma área. O uso das fórmulas como recurso de síntese de ideias é apresentado ao aluno como um modo de orientar sua leitura do enunciado e das figuras, permitindo a identificação dos termos necessários à resolução do problema. Nesse sentido, frente a uma situação que envolva a determinação da área de um trapézio, por exemplo, a fórmula pode chamar a atenção do aluno a observar os lados paralelos, que são as bases, e a distância entre eles, a altura. Em algumas situações, esses valores não são fornecidos explicitamente, e é necessária uma análise mais detalhada da figura, com necessidade de prolongar um lado, traçar uma altura ou uma diagonal, por exemplo. Situações como essas reforçam a ideia de que a compreensão do problema e a aplicação da fórmula são etapas para resolvê-los.

Em seguida, será apresentada a proporcionalidade que o teorema de Tales estabelece entre os segmentos determinados por retas paralelas traçadas sobre transversais, fortalecendo o vínculo entre a abordagem geométrica e a numérica. A partir de situações que exploram essa proporcionalidade de forma intuitiva, é sugerida uma demonstração desse teorema com o objetivo de validar as ideias adquiridas de maneira informal. Para contornar o problema de segmentos incomensuráveis que a demonstração formal exige, e que é tema do 1o bimestre da 8a série, os argumentos da demonstração encontram-se apoiados em cálculos de áreas de triângulos, o que permite aprofundar o estudo de áreas, tratado na Situação de Aprendizagem anterior. Os teoremas de Tales e de Pitágoras apresentam-se como excelentes situações para o professor abordar a Matemática a partir de uma perspectiva histórica, o que entendemos ser uma fonte de motivação e de criação de significados. Em relação ao teorema de Pitágoras, o desafio proposto foi criar, a partir de um conjunto de situações-problema, uma síntese de ideias que induzisse à equivalência entre a área do quadrado construído sobre a hipotenusa e a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo. Com o teorema de Pitágoras, os problemas geométricos ganham uma qualidade diferente. A relação entre os lados do triângulo retângulo permite explorar as figuras geométricas de novas maneiras. Vários conceitos métricos

associados a polígonos, como a determinação das medidas da altura e das diagonais, podem ser explorados de forma mais significativa. No 3o e 4o bimestres da 8a série, as noções sobre o teorema de Pitágoras são ampliadas, particularmente quando são apresentadas as relações métricas no triângulo retângulo e as razões trigonométricas. Com a compreensão do número π (pi) e o cálculo de área de círculos, proporemos uma generalização do padrão pitagórico para outras figuras além do quadrado sobre os lados do triângulo retângulo. Nós, professores, sabemos a importância dos teoremas de Tales e de Pitágoras tanto no estudo da Geometria no Ensino Fundamental como na compreensão de vários fatos que serão apresentados aos alunos no decorrer de sua escolaridade básica. O teorema de Tales é uma ideia essencial aplicada nos estudos de semelhança e de razões trigonométricas, temas do 3o bimestre da 8a série, nos estudos de colinearidade de pontos e de seções planas nos sólidos geométricos, objeto de estudo do Ensino Médio. A aplicação do teorema de Pitágoras é muito abrangente, podendo ser identificada na trigonometria, na geometria analítica, quando são estudadas a distância entre pontos e as equações das cônicas, e na geometria espacial métrica. Na sequência, dando continuidade ao trabalho iniciado na 6a série, quando foram apresentadas as formas espaciais, o foco agora será o estudo particularizado do prisma.

Algumas relações métricas e o cálculo da área da superfície e do volume tornaram o trabalho com os prismas uma síntese de toda a Geometria discutida no bimestre, constituindo uma oportunidade para o professor discutir as conexões entre as duas geometrias: plana e espacial. Na Situação de Aprendizagem 1, o trabalho com áreas de figuras planas é iniciado com o estudo sobre equivalência de polígonos, isto é, polígonos que possuem a mesma área, embora sejam de formatos diferentes. Em seguida, propomos alguns procedimentos de estimativa com o auxílio de malhas. Para o cálculo da área de polígonos, exploramos a necessidade do uso e da demonstração de fórmulas, apoiando-nos na decomposição de figuras e no cálculo da área de retângulos, procedimento que consideramos conhecido pelos alunos. Na etapa seguinte, os exercícios propostos como exemplos visaram explorar situações de análise de informações, contidas no enunciado ou na figura, para a aplicação de fórmulas. Vale ressaltar que os cálculos de áreas de polígonos estarão presentes em várias situações do bimestre, não se esgotando, portanto, nesse momento. Na Situação de Aprendizagem 2, apresentamos o teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas. Como ponto de partida, propusemos algumas situações que exploram, de forma intuitiva, a propriedade que o teorema estabelece. A demonstração do teorema de Tales, além de dar continuidade

Matemática – 7a série – Volume 4

aos processos de demonstração iniciados com as deduções das fórmulas das áreas dos polígonos, permite explorar uma habilidade frequentemente aplicada na Matemática: a capacidade de generalização e validação de fatos apoiados em situações intuitivas. Na Situação de Aprendizagem 3, o teorema de Pitágoras é foco da aprendizagem. Nela, apresentamos uma sequência de atividades que explora, em uma perspectiva histórica, a análise de fatos relacionados a padrões numéricos e geométricos que, por sua vez, tornam-se argumentos na demonstração desse teorema. Esta Situação de Aprendizagem também apresenta um conjunto de exercícios exemplares que permite a identificação e a aplicação do teorema de Pitágoras em situações contextualizadas. Vale ressaltar que neste momento privilegiamos os cálculos que envolvem raízes de quadrados perfeitos, uma vez que os números irracionais são objeto de estudo do 1o bimestre da 8a série. Caso o professor ache conveniente trabalhar com esses números no contexto do teorema de Pitágoras, pode apoiar-se em aproximações ou mesmo no uso da calculadora. Dando continuidade ao estudo iniciado na a 6 série, quando foram trabalhados os poliedros e a relação de Euler, a Situação de Aprendizagem 4 trata dos prismas e dos cálculos métricos relacionados a eles, como a medida de diagonais, área da superfície e volume. O trabalho com os prismas também visa construir um

padrão de formalização de conceitos relativos a objetos espaciais, que serão explorados na 8a série com os estudos do cilindro. Mais uma vez, vale lembrar que as situações-problema propostas aqui têm por objetivo auxiliar a prática educativa. São exercícios exemplares que devem ser combinados àqueles que o professor acumulou em seus anos de docência. Fica a critério do professor a escolha e a exploração mais detalhadas das Situações de Aprendizagem propostas.

Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 7a série do Ensino Fundamental unidade 1 – Apresentação do teorema de Tales. unidade 2 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Tales em situações de contexto. unidade 3 – Apresentação do teorema de Pitágoras. unidade 4 – Reconhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras em situações de contexto. unidade 5 – Apresentação do cálculo de áreas de figuras planas. unidade 6 – Áreas de figuras planas. unidade 7 – Prismas. unidade 8 – Problemas métricos envolvendo área e volume de prismas.

SituAçõES dE APREndizAgEm SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 ÁREAS DE FIGuRAS PlANAS tempo previsto: 10 aulas. Conteúdos e temas: áreas de figuras planas representadas em malhas, áreas de triângulos e quadriláteros. Competências e habilidades: estimar áreas de figuras regulares e irregulares; compreender diferentes processos de cálculos de áreas; aplicar fórmulas para cálculo de áreas de polígonos; identificar os termos necessários ao cálculo da área de um polígono. Estratégias: compor e decompor figuras planas, resolução de situações-problema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Nesta Situação de Aprendizagem, o foco do estudo da Geometria está no cálculo da área de figuras planas. Este estudo teve início no 3o bimestre da 5a série, quando o uso das malhas se combinou com a decomposição das figuras. Na 6a série, 2o bimestre, o trabalho de “ladrilhar o plano” possibilitou a apresentação dos polígonos regulares e algumas de suas propriedades. No 1o bimestre da 7a série, aplicamos noções de área de retângulos para o desenvolvimento das expressões algébricas e dos produtos notáveis. Dessa forma, fomos construindo a noção de que medir ou avaliar uma superfície é determinar quantas vezes ela contém outra superfície tomada por unidade. Ao mesmo tempo, foram deduzidas fórmulas para o cálculo da área de algumas figuras específicas, como o retângulo

e o quadrado. O trabalho que propomos nesta Situação de Aprendizagem tem por objetivo explorar e ampliar as ideias e os processos aprendidos para o cálculo da área de figuras, refinando o olhar do aluno sobre a identificação dos termos essenciais para esse cálculo (medidas da base, da altura e das diagonais). Para o desenvolvimento desse tema, a noção intuitiva da equivalência de polígonos apresenta-se como central, servindo de apoio às deduções das fórmulas para o cálculo das áreas do paralelogramo, do losango, do trapézio e do triângulo. Em seguida, apresentamos alguns procedimentos para o cálculo de área de figuras desenhadas sobre malhas quadriculadas. Nesta Situação de Aprendizagem, procuramos também explorar a dissociação dos conceitos de área e perímetro e a aplicação de conceitos algébricos na resolução de

Matemática – 7a série – Volume 4

problemas que envolvem o cálculo de áreas. Cabe ressaltar que nas demais Situações de Aprendizagem o cálculo da área de polígonos continuará sendo explorado. 4m

Equivalência de figuras planas 2m

Dois polígonos iguais têm, evidentemente, a mesma área. Dois polígonos diferentes, entretanto, podem ter a mesma área. Quando dois polígonos têm a mesma área, dizemos que eles são equivalentes. A noção de equivalência pode ser associada à equidecomposição de polígonos. Naturalmente, se dois polígonos são formados pelas mesmas partes, ou seja, se são equicompostos, eles têm a mesma área. Embora menos evidente, a recíproca desse teorema, isto é, que dois polígonos com a mesma área são equidecomponíveis, foi demonstrada por dois matemáticos, o húngaro F. Bolyai e o alemão P. Gerwien, e recebeu o nome de teorema de Bolyai-Gerwien. O importante, neste momento, é apresentar

Consideramos que a primeira forma é mais conveniente para introduzir esse tema por ser mais intuitiva e não exigir o uso de fórmulas ou cálculos. Pode-se iniciar a discussão apresentando a situação de equidecomposição a seguir. Tomando um cartão no formato de um retângulo ABCD, com um corte em sua diagonal AC, pode-se dividi-lo em dois triângulos (1) e (2). Promovendo um movimento no triângulo (2), de modo que o lado BC coincida com o lado AD, obtém-se uma nova figura: o triângulo EFG. A

B (2)

ao aluno, de forma intuitiva, as propriedades relativas a esses teoremas. Duas situações referentes à forma e às dimensões dos polígonos

(1)

devem ser consideradas: na primeira, a equivalência é facilmente percebida na forma, e por

isso aplica-se a decomposição do polígono (um quadrado formando um retângulo a partir de um corte feito pela metade de seus lados); na segunda, ela é percebida pelas dimensões dos (2)

polígonos (o quadrado e o retângulo têm áreas iguais):

(1) G

Atividade 1

Cortando o hexágono pela diagonal CF, obtemos dois trapézios isósceles. Coincidindo os lados CD com AF, obtemos um paralelogramo. Para provar que não há excessos nem espaços vazios nesse encaixe, podemos argumentar que os dois trapézios têm a mesma altura e que os ângulos formados no encaixe são suplementares. A

12 cm

18 cm 4 cm

Considere o hexágono regular ABCDEF. Com apenas um corte, construa um paralelogramo que seja equivalente a ele. Se desejar, com o auxílio de régua e compasso, construa um hexágono regular de papel e encontre um corte que o transforme em um paralelogramo.

Como dissemos, um segundo caso que deve ser abordado na equivalência de figuras é aquele que envolve o cálculo de suas áreas com o uso das fórmulas, isto é, sem a necessidade da decomposição. Por exemplo, estes retângulos são equivalentes porque possuem a mesma área: A = 72 cm2.

6 cm

Embora as figuras sejam diferentes, podemos dizer que o triângulo formado com as peças do retângulo possui algo em comum com o retângulo: eles ocupam a mesma porção do plano, eles têm a mesma área. Neste momento o professor pode enunciar que “quando duas figuras planas possuem áreas iguais, dizemos que elas são equivalentes”.

Vale observar que, nessa perspectiva, o professor pode explorar o fato de que figuras equivalentes (mesma área) podem possuir perímetros diferentes. No caso, o primeiro retângulo possui 36 cm de perímetro, enquanto o segundo possui 44 cm. A abordagem comum de cálculos de áreas e perímetros possibilita fixar melhor ambos os conceitos e preparar o aluno para estudar posteriormente a geometria espacial, quando observamos que prismas equivalentes, isto é, com mesmo volume, podem possuir – e isso geralmente ocorre – áreas superficiais diferentes. Esse fato permite um tipo muito interessante de investigação: o da construção de embalagens com mesma capacidade e menor custo de material.

Atividade 2 Dois retângulos são equivalentes. No primeiro, a base mede 125 cm e a altura mede 80 cm.

Matemática – 7a série – Volume 4

No segundo, a base mede 50 cm e desconhece-se a altura. a) Descreva uma forma de encontrar a altura do segundo retângulo e encontre seu valor. Como os retângulos são equivalentes, eles possuem a mesma área, que, neste caso, é o produto da base pela altura. Dividindo-se essa área pela medida da base do segundo, encontramos a altura pedida. Denominando a altura desconhecida por h, temos: A = 125 . 80 = 10 000 cm , logo 50 . h = 10 000 2

Portanto: h = 200 cm. b) Compare o perímetro dos dois retângulos. O que você observa? O perímetro do primeiro será 410 cm, enquanto o do segundo será 500 cm. Observa-se que, embora eles tenham a mesma área, seus perímetros são diferentes. A atividade a seguir explora, sob forma de investigação, uma situação que envolve medidas de áreas e perímetros.

Atividade 3 um retângulo tem base de 16 cm e altura de 4 cm. Encontre as medidas de um retângulo equivalente a este que possua o menor perímetro possível.

4 cm

16 cm

Para resolver essa atividade, o aluno pode inicialmente calcular a área do retângulo: 64 cm2. A pesquisa sobre o retângulo de menor perímetro equivalente a esse, que pode ser feita por meio de uma tabela, deve conduzi-lo a um quadrado de lado 8 cm. Trata-se de uma oportunidade para o professor retomar o conceito de que o quadrado é também um retângulo.

Fórmula de Pick: calculando áreas por contagem Às vezes, a beleza de um teorema não é associada à sua aplicação, mas à sua simplicidade. Em 1899, o matemático tcheco Georg Alexander Pick publicou um artigo que apresentava uma fórmula para cálculo de áreas de polígonos cujos vértices eram pontos de uma malha quadriculada. Observando a composição e decomposição de figuras planas na malha, Pick percebeu um padrão que associava a área de um polígono à quantidade de pontos da malha que se situavam no seu interior e sobre seu perímetro. A fórmula de Pick, para um polígono cujos vértices são pontos de uma malha quadricuB lada, é: A = + I − 1 , em que A é a área do 2 polígono, b é a quantidade de pontos da malha situados sobre a fronteira do polígono e i é o número de pontos da malha existentes no interior do polígono. O professor pode propor aos alunos a construção de polígonos sobre malhas e o cálculo de suas áreas aplicando a fórmula de

Pick. A seguir sugerimos três figuras – um quadrado, um paralelogramo e um triângulo retângulo – e nos propomos a verificar se há equivalência entre os três polígonos. O professor pode observar, pela contagem de quadradinhos, a validade intuitiva da fórmula de Pick. Figura

Valor de b

Valor de i

Quadrado

8 +1−1 2

A=4u

Paralelogramo

6 + 2 −1 2

A=4u

Triângulo retângulo

6 + 0 −1 2

A=2u

Pelo exposto observamos que o quadrado e o paralelogramo dados são polígonos equivalentes.

Atividade 4 Em uma tábua foram fixados, à mesma distância, alguns pregos formando um geoplano. Com um elástico o professor formou a figura a seguir. Aplique a fórmula de Pick para encontrar a área do polígono ABCD.

Cálculo

área

Na figura temos B = 5, I = 24, logo A = 2,5 + 24 – 1 = 25,5 u. Observe que o mesmo problema pode ser resolvido da forma indicada a seguir, pela diferença entre a área do retângulo completo e a área dos 4 triângulos retângulos que o contornam: D C

d C

 3 . 4 2 .7 5 . 1 2 . 4  A = 9.5 −  + + +  2 2 2   2

A b

A = 45 − 19, 5 = 25, 5 u .

Matemática – 7a série – Volume 4

As atividades a seguir, embora explorem o cálculo de áreas de figuras irregulares, ainda se apoiam no uso das malhas quadriculadas. O método aqui proposto permite a estimativa de áreas e é empregado em várias atividades do cotidiano.

Calculando áreas de figuras irregulares Aerofotogrametria é um conjunto de técnicas que permite a elaboração de mapeamentos com base em fotografias tiradas por câmeras instaladas em aviões ou satélites. Fotogrametristas são os profissionais que analisam as formas e as dimensões dos objetos baseando-se nessas fotografias métricas. Esses profissionais têm recursos para determinar áreas de regiões como cidades, países ou parques ambientais. A seguir, propomos um método para determinar, de forma aproximada, áreas de regiões irregulares em um mapa. Neste caso, consideramos que os mapas foram construídos por meio de um sistema de projeção que preserva a proporcionalidade entre as áreas representadas e as áreas reais (existem mapas que são construídos tendo em vista outras finalidades, como as relacionadas à navegação, e que não preservam tais proporções).

2. Conta-se o menor número de unidades da malha que envolve totalmente a região, indicada por A2. 3. Calcula-se a média aritmética entre as duas quantidades de unidades da malha contadas nos processos 1 e 2. A=

A 1 + A 2 12 + 33 = = 22,5 u 2 2

A1 = 12 u

Atividade 5 Para calcular o valor aproximado da área de uma região irregular, podemos desenhá-la sobre uma malha quadrangular, em que cada quadradinho indica uma unidade de área (1u), e utilizar o seguinte processo: 1. Conta-se o número de unidades da malha totalmente contidas na região, indicada por A1.

A2 = 33 u

4. Se a figura estiver em escala, devemos conhecer a área da unidade da malha para multiplicá-la pelo valor encontrado anteriormente. A M A PÁ

RO RA IM A

utilize o procedimento que acabamos de descrever para calcular a área aproximada do Estado de Minas Gerais destacado no mapa a seguir.

A M A ZO N A S

RIO G RA N D E CEA RÁ D O N O RTE

M A RA N H Ã O

PA RÁ

PA RA ÍBA PERN A M BU CO

PIA U Í A CRE

A LA G O A S SERG IPE

TO CA N TIN S

RO N D Ô N IA

BA H IA

M ATO G RO SSO

53 000 km 2

DF G O IÁ S M IN A S G ERA IS M ATO G RO SSO D O SU L

ESPÍRITO SA N TO SÃ O PA U LO RIO D E JA N EIRO

PA RA N Á SA N TA CATA RIN A RIO G RA N D E D O SU L

completamente a mesma região. Aplicando-se o método descrito, temos: TO CA N TIN S

BA H IA

M ATO G RO SSO TO CA N TIN S

DF G O IÁ S

M IN A S G ERA IS

DF G O IÁ S

M ATO G RO SSO D O SU L

ESPÍRITO SA N TO

M IN A S G ERA IS

SÃ O PA U LO M ATO G RO SSO D O SU L

ESPÍRITO SA N TO

RIO D E JA N EIRO PA RA N Á

SÃ O PA U LO RIO D E JA N EIRO PA RA N Á

BA H IA

M ATO G RO SSO

Contamos 4 unidades da malha totalmente interiores à região do Estado de Minas Gerais e 18 unidades como o menor número de unidades da malha que envolve

Matemática – 7a série – Volume 4

A1 + A 2 4 + 18 = = 11 u 2 2

Como cada unidade da malha corresponde a 53 000 km2, temos: A = 11 . 53 000 = 583 000 km2 . A área ocupada pelo Estado de Minas Gerais é aproximadamente 583 000 km2 . É possível explorar esse exemplo sugerindo que os alunos pesquisem sobre a “área real” que o Estado de Minas Gerais ocupa. Como resultado dessas pesquisas, o valor deve aproximar-se de 588 400 km2. A título de informação, Minas Gerais é o quarto Estado mais extenso do Brasil e representa, aproximadamente, 6,9% da área do território nacional. O professor pode sugerir, se achar oportuno, aos alunos que construam figuras irregulares sobre a malha e que determinem a área da figura aplicando as duas fórmulas e comparando os resultados.

As fórmulas das áreas de figuras planas As noções sobre áreas apresentadas até o momento envolvem os retângulos e os procedimentos de estimativa e cálculo de áreas de figuras apoiados em malhas. Inicia-se agora a etapa de exploração do cálculo da área de outros polígonos. O ponto de partida foi a primeira noção de área construída com os alunos: a área de retângulos. É necessário, portanto, que o seguinte enunciado seja significativo para os alunos: Se um retângulo tem lados de medidas a e b, então a sua área é dada por A = a . b.

Com base na fórmula da área do retângulo, chegamos facilmente à expressão que estabelece a área de um quadrado de lado a: A = a2. Para calcular a área de um triângulo, paralelogramo ou trapézio, necessitamos das medidas da base e da altura. A identificação da altura dessas figuras costuma se apresentar como uma dificuldade para os alunos. No caso do paralelogramo, cada lado pode ser considerado por base e a altura será a distância entre essa base e o lado paralelo a ela. No trapézio, as bases serão os lados paralelos, e a altura, a distância entre eles. Já no triângulo, cada lado pode ser considerado por base. Nos dois quadriláteros citados é indiferente considerar se a altura passa ou não pelos vértices, pois ela é a mesma em qualquer lugar em que se meça a distância entre as paralelas. Em geral, no triângulo, a altura será relativa ao lado que se toma por base e deve passar pelo vértice oposto ao lado tomado por base. A aplicação de uma propriedade, de um teorema ou de uma fórmula na resolução de um problema é importante porque permite chegarmos, de forma mais rápida, à solução, sem que tenhamos que proceder todos os passos da demonstração. As fórmulas podem ser entendidas como um resumo de raciocínios. Contudo, suas aplicações não podem prescindir de uma análise dos dados do problema e de uma “leitura” atenta da figura. A seguir, vamos deduzir as fórmulas das áreas das figuras geométricas mais simples: paralelogramo, trapézio, losango e triângulo. Para isso, o conceito central a ser aplicado é o da equivalência entre cada uma dessas figuras e um

retângulo. Sugerimos ao professor que apresente essas demonstrações usando figuras construídas em papelão e que discuta com o grupo de alunos cada passo, verificando se todos compreendem. uma estratégia que pode ser aplicada é solicitar, em alguns momentos, que um aluno retome os argumentos e interpretações utilizados na demonstração e que, ao final desta, cada aluno faça seu registro no caderno.

Vamos destacar o triângulo ACE e transportá-lo para o outro lado do paralelogramo, que, desse modo, vai transformar-se em um retângulo equivalente ABE’E. A

Área do paralelogramo A área do paralelogramo é obtida a partir da equivalência com a área de um retângulo de base e altura, respectivamente, congruentes à base e à altura do paralelogramo considerado. Vamos mostrar isso a partir do paralelogramo ABCD: A

C B

B h

Do vértice A, baixamos um segmento AE, perpendicular às paralelas AB e CD. Nesse caso, AE será a altura relativa às bases AB e CD. B

E’

Observando a composição, percebemos que ambos os quadriláteros possuem a mesma altura, AE, e a mesma base AB. logo, o mesmo produto da medida AE. Ab, que determina a área do retângulo, determina também a área do paralelogramo. Denotando cada dimensão por h (altura) e b (base), temos que a área do paralelogramo é: A = b · h

Área do losango

Inicialmente, o professor pode lembrar aos alunos que chamamos de losango um paralelogramo equilátero, isto é, com lados congruentes.

Matemática – 7a série – Volume 4

Como o losango é um paralelogramo, sua área pode ser obtida pelo produto da base (lado do losango) pela altura (distância entre a base e o lado paralelo a essa base). B

Área do triângulo A área do triângulo pode ser deduzida a partir da área do paralelogramo. Dado um triângulo qualquer ABC, acrescentamos a ele o triângulo AB’C, idêntico a ele, formando um paralelogramo. A

C A h

B’

A = b.h h

b D

Outra possibilidade é mostrar que o losango ABCD equivale a um retângulo ACFE em que um lado é igual a uma das diagonais do losango e o outro é metade da outra diagonal. B

C b

A área do triângulo é, portanto, igual à metade da área do paralelogramo, que é determinada pelo produto da medida da base b pela altura h. logo, a área A do triângulo é igual a: A=

d 2

d.d 2

1 b.h b . h ou A = 2 2

Área do trapézio Neste momento, consideramos que os alunos já conhecem algumas ideias e procedimentos para demonstração de fórmulas de áreas. A fórmula da área do trapézio pode ser encontrada por eles a partir de um desafio. Inicialmente, o professor divide a sala em grupos de três alunos e propõe a seguinte atividade:

Atividade 6 Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos. No trapézio GAlO, dado a seguir, b é a medida da base GA (base maior) e b é a medida da base lO (base menor). A altura do trapézio é indicada por h e representa a distância entre as bases. A área do trapézio é dada pela expres( B + b ). h são: A = . Encontre uma maneira de 2 demonstrá-la apoiando-se na figura a seguir. b

base menor

que o aluno deve reconhecer na figura os dados essenciais para o cálculo de sua área. Em um segundo momento, o professor pode explorar enunciados e deixar a construção da figura a cargo do aluno. Outra etapa é retomar o cálculo de áreas combinado aos conhecimentos de cálculos algébricos, como propomos a seguir.

Atividade 7 A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metro).

x + 10 x

h altura

Uma das possibilidades é compor um paralelogramo a partir da justaposição de um trapézio congruente ao dado, segundo a figura: base menor h altura base maior

base menor

B+b

Com ele, aplicando a fórmula da área do pa( B + b ). h . ralelogramo, encontramos: A = 2 Terminadas as deduções dessas fórmulas, o professor pode propor aos alunos uma série de exercícios que já fazem parte de sua seleção, quando trata deste tema, ou que podem ser escolhidos entre os vários encontrados na maioria dos livros didáticos de 7a série. um primeiro tipo de exercício pode ser aquele em

2x + 4

x 2x + 4

base maior

a) Se calcularmos a área da superfície da folha de latão necessária à construção da peça, ela será uma expressão que depende do valor de x. Escreva essa expressão. A área da folha pode ser calculada decompondo-a em quatro retângulos: A = x (2x + 4) + x (2x + 4) + x ( x + 10) + + (x + 10) . (2x + 4) A = 7x2 + 42x + 40. b) Encontre o valor da área dessa superfície quando x = 4 metros. Sendo x = 4, substituindo este valor na expressão anterior, temos: A = 7 . 42 + 42 . 4 + 40, A = 320 m 2.

Matemática – 7a série – Volume 4

A atividade a seguir representa outro desafio aos alunos, pois envolve o conhecimento de fórmulas e das relações entre as figuras envolvidas. Tomando este problema como modelo, o professor pode sugerir aos alunos um pequeno projeto que explore sobreposições e dobraduras de figuras. Vale ressaltar que no percurso das outras Situações de Aprendizagem, o cálculo da área é retomado, ampliando sua noção na geometria plana e espacial.

Atividade 8 Separe duas folhas de papel sulfite. Disponha uma sobre a outra como mostra a figura. Discuta com seu colega se a folha de cima cobriu a metade, mais da metade ou menos da metade da folha de baixo.

Observando a figura, constatamos que o quadrilátero que cobre a folha pode ser decomposto em dois triângulos (ABC e BCD), sendo que ABC possui como base o

lado maior do retângulo (b) e altura, o lado menor (h). Portanto, sua área equivale à metade da área do papel retangular. Como ainda resta computar a área do outro triângulo (BCD), podemos concluir que a área coberta é maior que metade da folha. A

b h

C D

Considerações sobre a avaliação Espera-se, ao final desta Situação de Aprendizagem, que os alunos tenham ampliado suas estratégias para o cálculo de áreas, combinando métodos de estimativa e uso de malhas com o uso de fórmulas. As demonstrações das fórmulas se apresentam como um recurso não só de sua compreensão, mas também de estratégia que os alunos podem adotar, decompondo figuras em outras mais simples. A fórmula, como dissemos anteriormente, deve auxiliar o pensamento do aluno na identificação dos elementos essenciais ao cálculo da área. Ela deve indicar a necessidade da determinação da base, da altura ou da diagonal e, para isso, o aluno pode aplicar várias noções métricas aprendidas anteriormente, como o conceito de perímetro e de proporcionalidade. O trabalho com áreas permite também retomar muitos casos de fatoração (produtos notáveis). Nesse sentido, vale a pena explorar alguns exercícios

em que os dados são indicados por letras. lembramos que o cálculo de área é aplicado em várias situações cotidianas e profissionais. Além do material que o professor já possui para tratar desse tema, em vários livros e vestibulares podem ser encontrados bons exercícios para adaptá-los à linguagem da 7a série. Para avaliação, sugerimos que o professor aborde problemas:

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema O professor pode encontrar um trabalho muito interessante sobre a fórmula de Pick no site: <http://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/index. html> ou no artigo “Como calcular a área de um polígono se você sabe contar” do livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon lages lima, editado pela SBM.

f que, partindo dos dados nas figuras, neces-

Se o professor achar oportuno, pode apresentar

sitem do uso direto da fórmula, o que exige a identificação dos elementos necessários

aos alunos o site <http://earth.google.com/intl/ pt>. Ele apresenta um modelo tridimensional

ao cálculo da área;

do espaço, do globo terrestre e de várias regiões,

f em que os alunos devam desenhar a figura e interpretar o enunciado; f que envolvam termos algébricos; f que permitam o uso de estratégias de estimativa.

construído a partir de fotos de satélites. Seria um interessante recurso para o professor iniciar a discussão sobre a importância da aerofotogrametria. O professor pode encontrar em vários livros didáticos demonstrações e problemas interessantes sobre áreas de figuras geométricas. O texto “Temas e problemas elementares” (SBM – Coleção do Professor de Matemática),

A avaliação, no caso, pode apontar esse

de que um dos autores é Elon lages lima,

caminho para o professor. A dificuldade em

apresenta um capítulo sobre áreas com pro-

qualquer um dos aspectos pode ser superada com exercícios que tenham maior significa-

blemas interessantes para serem resolvidos em sala de aula. Por fim, na RPM, Revista

do para os alunos. Assim, por exemplo, se for

do Professor de Matemática, no 11, há um ar-

identificada uma dificuldade no tratamento

tigo sobre polígonos equidecomponíveis, de

algébrico, o professor poderá partir de proble-

autoria de Elon lages, em que encontramos

mas com dados numéricos e ir, pouco a pou-

a demonstração do teorema que envolve a

co, acrescentando termos indicados por letras,

equidecomposição de polígonos e de sua recí-

como em um processo de generalização.

proca, denominada teorema de Bolyai-Gerwien.

Matemática – 7a série – Volume 4

SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 TEOREMA DE TAlES: A PROPORCIONAlIDADE NA GEOMETRIA tempo previsto: 10 aulas Conteúdos e temas: teorema de Tales e suas aplicações em situações contextualizadas. Competências e habilidades: perceber a Matemática como conhecimento historicamente construído; compreender o processo de demonstração; criar argumentos lógicos; explorar relações entre elementos geométricos e algébricos; desenvolver a capacidade de síntese e generalização de fatos; reconhecer situações que podem ser resolvidas pela aplicação do teorema de Tales. Estratégias: demonstração, resolução de situações-problemas contextualizadas, criação de hipóteses.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 O teorema de Tales, ou teorema dos segmentos proporcionais, geralmente é enunciado da seguinte forma: “Se um feixe de retas paralelas, indicado pelas retas a, b e c, é interceptado por duas transversais, d e e, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”. e

b c

E F

AB DE = BC EF A ideia de proporcionalidade que ele expressa é importante na combinação de elementos

geométricos e numéricos porque permite desenvolver noções matemáticas, como: o estudo da semelhança de figuras e o estudo de perspectiva. São várias as possibilidades de aplicação do teorema de Tales em situações-problema contextualizadas. A partir da noção de semelhança de figuras, em particular de triângulos, objeto de estudo do 3o bimestre da 8a série, o teorema de Tales passa a ter uma posição subsidiária, pois a proporcionalidade que a semelhança sugere é mais abrangente que a proposta pelo uso desse teorema. A apresentação da proporcionalidade expressa pelo teorema de Tales será feita, inicialmente, de forma intuitiva, explorando paralelas traçadas em um triângulo. Em seguida, propomos uma demonstração desse teorema aplicando o cálculo de áreas, recurso que evita o enfrentamento de grandezas incomensuráveis, necessárias a sua demonstração formal, e que será objeto de estudo na 8a série. uma vez demonstrado o teorema, são sugeridas algumas atividades que exploram sua aplicação e de sua recíproca.

A primeira noção a ser desenvolvida com os alunos é uma interpretação do teorema de Tales relativo aos triângulos, que pode ser expressa da seguinte forma: “Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”.

proporcionalidade geométrica que serão aprendidas, apoiando-se no conhecimento de proporcionalidade que os alunos já adquiriram.

Atividade 1 Sílvio é um jardineiro que está trabalhando no projeto de um canteiro triangular, em uma esquina da praça de seu bairro.

Isso significa que, dado um triângulo qualquer de vértices A, B e C, tomado o segmento DE paralelo à base BC, vale a proporção: AD AE = AB AC

Ou seja, de modo equivalente: AD AE = DB EC

C A

Inicialmente, ele propõe que o canteiro seja composto por dois tipos diferentes de folhagens rasteiras, e que a divisão entre elas seja feita por uma faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento DE. Desse modo, Sílvio fez as seguintes medições no canteiro: AD = 4 m, DB = 4 m e AE = 3 m. Qual deve ser a medida de EC? A 4m

Para que os alunos tenham um primeiro contato com essa proporcionalidade de segmentos em um triângulo, sugerimos que se desenvolva, de forma dialogada com a classe, a próxima atividade. A leitura da situação descrita no problema deve vir acompanhada de sua figura. No primeiro momento, o professor pode dirigir um pouco mais as noções de

C D

4m B

Neste momento, o professor pode deixar que os alunos construam algumas hipóteses sobre a medida de EC. Intuitivamente, eles podem

Matemática – 7a série – Volume 4

estabelecer o critério de que, sendo D o ponto médio de AB, E também o será de AC. Portanto, a medida de EC deve ser 3 metros.

2m D

G C

1,5 m

O segmento EG = 3,75 m e GC = 0,75 m.

1m B

Com base nessas dimensões encontre as medidas de EG e GC.

Concluída essa primeira fase, o professor pode propor o mesmo problema, mas admitindo, agora, que o ponto D não seja médio de AB.

1,5 m

Com essa atividade, buscamos evidenciar a proporcionalidade entre os segmentos determinados pela paralela nos lados do triângulo. Nesse caso, pode-se pensar de duas formas: percebe-se a proporcionalidade 2 para 1,5 ou 2 para 6. A medida encontrada para EC deve ser, portanto, 4,5 metros. Vamos aproveitar o mesmo enunciado para explorarmos outras proporções possíveis de serem construídas.

Atividade 2 Pelas dimensões encontradas no primeiro projeto, Sílvio percebeu que poderia explorar melhor o canteiro dividindo-o mais uma vez por outra faixa paralela à base BC, indicada na figura pelo segmento FG. Isso permitiria plantar outro tipo de folhagem, deixando o canteiro ainda mais bonito.

Neste momento, exigimos uma pequena generalização da proporcionalidade entre os lados do triângulo determinados pelas paralelas à base. O professor pode aproveitar para explorar as proporções entre as medidas de cada uma das partes como: AD AB

AE AC

2 1,5 ou = 6 8

AB FB

AC GC

8 6 = 1 ,

Professor, neste momento inicial é importante observar se os alunos estabelecem corretamente as posições dos termos na proporção. Nesse sentido, deve-se ressaltar a ordem dos termos que compõem a proporção.

Atividade 3 lucas queria estimar a medida mais extensa do pequeno lago que havia perto de sua casa. Pensando sobre o problema, ele inicialmente

fez um esquema da situação, indicando essa extensão por AB e imaginando dois triângulos ABD e BCE, sendo as bases AD e EC paralelas (Figura 1). Depois, foi ao local e fincou 5 estacas, cada uma correspondente a um vértice dos triângulos de seu esquema. Contou com passos as medidas correspondentes aos lados AE, BD e CD e completou seu esquema como na Figura 2.

Atividade 4

4 passos A E

9 passos

D 3 passos C Figura 2

O objetivo desta atividade é fazer o aluno explicitar, por meio de uma argumentação lógica, seu conhecimento a respeito da propriedade aprendida. No caso, o método aplicado por Lucas permite calcular a medida AB por considerar os segmentos AD e EC paralelos, determinando, nos lados do triângulo, segmentos proporcionais. Observando que a razão de proporcionalidade é 9 BD __ ____ = = 3, podemos concluir que AB = 12 DC 3 passos. Na atividade a seguir, apresentamos aos alunos a expressão do teorema de Tales relacionada ao triângulo. Posteriormente ela será ampliada para a proporção entre os segmentos determinados por paralelas nas transversais.

Figura 1

O procedimento criado por lucas permite a resolução do problema? Se sua resposta foi afirmativa, expresse os cálculos efetuados por ele e o valor, em passos, por ele encontrado para a extensão AB.

De uma praça em formato retangular saem 4 avenidas, α, β, ϕ e θ, uma de cada vértice do retângulo. ligando cada par de avenidas há três ruas, 1, 2 e 3, sempre paralelas em cada caso. Os pontos de encontro entre as ruas de mesmo número são nomeados pelas letras do alfabeto, A, B, C, D, etc. Observe na figura os pontos M e P. O ponto M está na rua “2 leste”, enquanto o ponto P está na rua “3 Norte”.

Matemática – 7a série – Volume 4

C NORTE

Avenida θ

Avenida α

A K

1 J

lESTE

Praça

OESTE

G H I Avenida ϕ

D 1 E

2 3

F Sul Avenida β

a) Considere apenas a parte Sul e as seguintes distâncias entre os pontos e verifique GH ____ DE se é válida a proporção ____ HI = EF . GH = 50 m HI = 40 m DE = 60 m EF = 48 m A solução desta atividade exige um cuidado na leitura do enunciado e das informações contidas na gravura. 50 ___ 40

60 = ___ ⇔ 50 . 48 = 60 . 40 = 2 400. 48

b) A proporção verificada no item anterior é a expressão matemática do teorema de Tales, segundo o qual “se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”. Considere

agora o lado leste da praça da figura e escreva a expressão matemática do teorema de Tales. AB DE . = BC EF c) Dado que AB = 36 m, calcule a medida BC. 36 60 = ⇒ BC = 28, 8 m . BC 48 d) Na figura, a distância entre os pontos J e K é igual a 32 m. Sendo assim, calcule as medidas de Kl a partir da proporcionalidade entre os segmentos do lado Norte e de Kl com base na proporcionalidade entre os segmentos do lado Oeste. 32 36 JK AB = ⇒ = ⇒ KL = 25, 6 m . KL BC KL 28, 8 32 50 JK GH = ⇒ = ⇒ KL = 25, 6 m. KL HI KL 40

Atividade 5

avenidas θ e ϕ encontram-se no ponto X, enquanto as avenidas α e β encontram-se no ponto Y.

Se a praça da figura da atividade anterior for retirada do mapa, observa-se que as

C NORTE

Avenida θ

Avenida α

A K

1 J

OESTE 3

lESTE

Y D

Avenida ϕ

Adotando as medidas fornecidas ou calculadas na atividade anterior, e dado que JX = 10 m e AY = 8 m, calcule:

F Sul

Avenida β

b) DY C

a) GX B

l K 32 m

OESTE

50 m H I

36 m

10 m

A X

8m Y

lESTE

2 1 D 60 m

E F

JX GX 10 GX 125 = ⇒ = ⇒ GX = = 15, 625 m JK GH 32 50 8 AY DY 8 DY 40 = ⇒ = ⇒ DY = = 13, 33... m. JX GX 10 GX 125 AB DE 36 60 3 = ⇒ = ⇒ GX = = 15, 625 m . JK GH 32 50 8

Matemática – 7a série – Volume 4

A próxima etapa do nosso estudo contemplará a demonstração do teorema de Tales. Para dar início a ela, sugerimos que o professor aproveite a situação para fazer considerações históricas sobre a vida de Tales, remetendo às formas particularmente diferentes que o conhecimento matemático tinha nas civilizações egípcia e grega.

uma perspectiva histórica: quem foi tales? Na Ciência, temos alguns exemplos de propriedades ou fórmulas vinculados a nomes de seus proponentes como: a fórmula de Bhaskara, as leis de Newton, as leis de Kepler, a geometria euclidiana e os teoremas de Tales e de Pitágoras. Esse nexo entre “autor e obra” serve, muitas vezes, como fonte de argumentação e indicação da aplicação da ideia que ele representa. Dessa forma, é comum usarmos expressões como: “aplique Tales”, “resolva por Pitágoras” ou “resolva por Bhaskara”. A noção expressa pelo teorema de Tales abre um grande espectro de novos problemas geométricos. No tema desta Situação de Aprendizagem, dois fatos devem ser destacados: quem foi Tales? O que é um teorema? Com a primeira questão, o professor tem a oportunidade de inserir a história da Matemática em seu curso. A abordagem histórica possibilita o combate à visão do conhecimento como pronto e acabado. Nesse caso, ela permitirá uma comparação entre formas diferentes de fazer Matemática. A forma empírica, do “ensaio e erro”, que caracteriza a matemática dos egípcios e babilônios, tornou-se

o fundamento da forma dedutiva empregada pelos gregos. É impossível omitir uma ou outra na construção do conhecimento geométrico. Tales é o personagem que circula entre as riquezas culturais de ambas as civilizações e que, criando seus próprios nexos, forma a base do que seria a tradição grega de fazer Matemática. Com Tales, a Geometria se transformou de conhecimento empírico, cujos resultados se deduzem diretamente da prática, em conhecimento dedutivo, baseado na aplicação das leis da lógica. Contudo, os trabalhos de Tales e Pitágoras ainda careciam de uma organização, e essa tarefa coube a outro geômetra grego, Euclides, em meados do século III a.C. Tales viveu por volta de 585 a.C. e aprendeu muito com a matemática egípcia. À sua vida estão associadas grandes façanhas, como a de prever um eclipse e a de medir a altura da pirâmide de Quéops observando sua sombra. Pelo que se sabe, é o primeiro personagem da história a quem se atribuem descobertas na Matemática desligadas da Geometria do mundo real.

Atividade 6 Inicialmente, o professor pode orientar uma pesquisa sobre a vida de Tales. É possível que haja controvérsias entre algumas informações que os alunos encontrarão. Isso, como dito anteriormente, deve-se ao fato de serem poucos os registros sobre sua vida. O professor pode ilustrar esta aula com o apoio de um mapa, localizando o Egito, a Grécia e, particularmente, a cidade de Mileto, antiga cidade grega, hoje pertencente à Turquia.

A noção de teorema A atividade prática dos povos egípcios e babilônios levou à descoberta de um grande número de fatos geométricos. Esses eram aprendidos indutivamente por meio de processos experimentais. No contato com essa produção, os geômetras gregos perceberam que alguns desses fatos podiam ser obtidos a partir de outros, por deduções lógicas. Isso lhes sugeriu que algumas verdades geométricas, tomadas como mais simples e gerais, serviriam de base para a dedução de outras propriedades geométricas. Tendo por base um pequeno número de afirmações tomadas como verdadeiras, denominadas axiomas ou postulados (do grego, digno de confiança), demonstrava-se um conjunto de proposições geométricas, ao qual se deu o nome de teoremas. Essa foi uma das maiores contribuições gregas ao conhecimento matemático e científico: o método dedutivo. Tales é considerado um dos fundadores da geometria dedutiva. Como dissemos, no início desta Situação de Aprendizagem, queremos demonstrar que “se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”. Em um processo de demonstração, o destaque fica por conta das argumentações que devem ter por base conhecimentos já adquiridos. A seguir propomos uma apresentação do teorema de Tales, cuja base da argumentação é

o conhecido cálculo da área de um triângulo. A vantagem dessa abordagem é não precisar se referir a segmentos incomensuráveis, nem à noção de semelhanças de figuras, temas da 8a série. Dando continuidade ao trabalho de demonstrações, que teve início com as áreas, o objetivo aqui é apresentar aos alunos uma forma característica de fazer Matemática, forma essa que será também abordada na Situação de Aprendizagem 3, cujo tema é o teorema de Pitágoras.

A demonstração do teorema de tales Atividade 7 Para a demonstração do teorema de Tales, iniciaremos por sua interpretação relativa aos triângulos, já explorada de forma intuitiva nas atividades anteriores. Segundo esse teorema: “Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”. Inicialmente vamos considerar um triângulo qualquer de vértices A, B e C. “Se uma reta paralela a um lado de um triângulo (considerado por base) intersecta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados”. O professor pode começar a atividade construindo com os alunos a seguinte representação: dado um triângulo qualquer de vértices A, B e C, tomado o segmento DE paralelo à base BC, queremos mostrar que é AE . AD = ____ válida a proporção ____ DB EC

Matemática – 7a série – Volume 4

Dessa forma, temos:

AE . DG = AD . EF, que é o mesmo que a proEF AE porção ____ = ____ (1) AD DG

C A

Vamos agora observar os triângulos DEC e BDE. Destacando que a base dos dois triângulos é DE e que a altura correspondente a ela é também a mesma (h), podemos concluir que possuem a mesma área. ACDE = ABDE

A G D

Começamos por estudar a área do triângulo ADE: ela pode ser calculada de duas formas distintas:

h B

A F

E h

C A F D

(h: altura relativa à base DE, ou ao vértice C, considerando o triângulo CDE; ou ao vértice B, considerando o triângulo BDE).

G E

Contudo, podemos determinar a área desses triângulos de outra forma: B

AADE = 1 . AE . DG ou AADE = 1 . AD . EF 2 2

ACDE = 1 . CE . DG e ABDE = 1 . BD . EF 2 2 EC ____ EF ____ logo, CE . DG = BD . EF e BD = (2) DG

Comparando as expressões (1) e (2), temos EC ____ AE que: ____ DB = AD AE AD ____ Ou, como preferimos: ____ DB = EC

EF ____ DG

EC ____ EF Mas, como visto em (2) ____ BD = DG, AC EC ____ logo ____ BD = AB

A AD

AC AB ____ Portanto, concluimos que: ____ DB = EC

D DB

EC C

AE ____ DB + 1 = EC + 1

AD ____

AD + DB _________ DB

AC ____ DB = EC

h B

Observando os triângulos ACD e ABE, podemos deduzir que: 1 1 AACD = __ AC . DG e AABE = __ AB . EF 2 2 Como as áreas são iguais temos que: 1 1 __ AC . DG = __ AB . EF e, portanto, 2 2 AC . DG = AB . EF, que pode ser escrito como a seguinte proporção:

AE + EC = _________ EC

AB ____

F D

Outra forma de chegarmos à mesma conclusão é por meio da adição de uma unidade em cada termo da proporção encontrada anteriormente. Assim:

A G

AC EC

ACDE + AADE = ABDE + AADE, isto é: AACD = AABE A

Como vimos, ACDE = ABDE, logo:

Com essa demonstração construímos a proporcionalidade entre as partes dos lados do triângulo obtidas por segmentos determinados por uma paralela a uma base. Outro passo nesse estudo é generalizar essa proporção quando se toma a parte e o todo dos segmentos determinados por uma paralela à base. Isso é possível por meio da adição da área do triângulo ADE às áreas dos triângulos CDE e BDE.

AC = ____ AB

Essa demonstração que fizemos, contudo, não permite uma generalização para a interpretação do teorema de Tales como: “Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”. Isto porque a demonstração feita até aqui está associada à proporcionalidade que envolve segmentos que têm uma de suas extremidades num vértice do triângulo. Para essa generalização propomos o seguinte procedimento: 1. Tomamos inicialmente o mesmo triângulo ABC e prolongamos dois de seus

Matemática – 7a série – Volume 4

lados de modo a criar uma nova base PQ, paralela à BC. A

Vale salientar que a recíproca desse teorema é verdadeira. Isto é: dado um triângulo de vértices A, B e C, tomando-se os pontos D e ÄÄÄ ÄÄÄ E sobre os lados AB e AC, respectivamente, se ÄÄÄ ÄÄÄ AD ____ AE ____ DB = EC , então BC é paralelo a DE.

2. Da mesma forma que criamos a proporAD ____ AE ção ____ DB = EC , encontraremos a proAC AB ____ porção ____ BP = QC , que pode ser escrita AC QC . como ____ = ____ AB BP AC AB ____ 3. Retomamos a proporção ____ DB = EC , AC EC que é equivalente à ____ = ____ . AB DB 4. Comparando as proporções dos itens QC ____ EC 1 e 2, podemos escrever que ____ BP = DB e, portanto, estamos aptos a concluir EC DB ____ que ____ BP = QC .

podendo ser interpretado como proporções entre segmentos obtidos por retas paralelas e transversais.

determinação da distância entre dois pontos inacessíveis O teorema de Tales é aplicado a várias situações em que se necessita determinar a distância entre dois pontos inacessíveis entre si. O objetivo das atividades propostas a seguir é colocar o aluno diante de situações-problema que envolvem, de forma prática, um método de determinação de distâncias usando o teorema de Tales.

Atividade 8 Como alternativa à crise energética, uma cidade resolveu construir uma pequena hidrelétrica aproveitando a correnteza de um rio situado nas suas proximidades. A figura a seguir representa parte do projeto da construção da barragem da hidrelétrica. Considerando DE paralelo a BC, qual deve ser o comprimento da barragem a ser construída? A

B P

24 m D

18 m E 60 m

Com essa proposição, o teorema de Tales torna-se independente da figura do triângulo,

Observando as condições da figura, podemos montar a seguinte proporção:

a) Encontre a expressão que determina a conversão da temperatura na escala Celsius para a escala Fahrenheit. ºC

18 24 24 . 42 ___ ___ , o que implica x = ______ = 56. x = 42 18 Logo, a barragem terá 56 m de comprimento.

Atividade 9 Informações sobre temperaturas são muito úteis e frequentes no nosso cotidiano. Nas previsões do tempo são comuns as informações das temperaturas máxima e mínima no decorrer de um período. Quando nos sentimos doentes, uma das primeiras providências a ser tomada é medir a temperatura do corpo, com o auxílio de um termômetro. A escala térmica mais utilizada no Brasil é a Celsius (ºC). Seu nome é uma homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701-1744), que a propôs em 1742. A escala térmica considera, como referências, o ponto de congelamento e o ponto de ebulição da água. Na escala Celsius, o ponto de congelamento é 0 ºC e o de ebulição, 100 ºC. Contudo, existem diversas escalas térmicas. Nos Estados unidos e na Inglaterra, a escala utilizada é a Fahrenheit (ºF), que considera 32 ºF o ponto de fusão (congelamento) e 212 ºF o ponto de ebulição. De posse desse conhecimento, podemos montar o seguinte diagrama: ºC

ºF

100

212

ebulição da água

fusão do gelo

ºF

100

212

ebulição da água

fusão do gelo

T f − 32 Tc − 0 = 100 − 0 212 − 32 Tc T f − 32 = 100 180 5 .(T f − 32 ) Tc = 9 b) O noticiário informa que em londres a temperatura é de 46 ºF. Converta essa temperatura em grau Celsius e responda: está frio em londres? Aplicando a expressão encontrada no item anterior, temos que: 5 (46 – 32) _____ 5 . 14 7 7,8 ºC. = Tc = __________ 9 9 Temperatura de um ambiente frio. c) Em contato com um cidadão americano, que deseja passar as férias de janeiro no Brasil, uma agente informa que, nesse período, a temperatura média em certa cidade no Nordeste brasileiro é de 32 ºC. Sem saber julgar a temperatura pela escala Celsius, o turista pede que a agente informe a temperatura na escala Fahrenheit. Qual é a medida encontrada pela agente nessa escala?

Matemática – 7a série – Volume 4

Podemos aplicar novamente a expressão dada no primeiro item ou aplicar o teorema de Tales nas escalas: T f − 32 32 − 0 = 100 − 0 212 − 32 32 T f − 32 = 100 180 32 . 180 T f − 32 = 100 T f = 57 , 6 + 32 = 89, 6 ºF ºC

ºF

100

212

ebulição da água

Caso o professor queira, pode ainda explorar uma terceira escala térmica, o Kelvin (K). O zero Kelvin, quando convertido para grau Celsius, equivale à temperatura de –273 ºC. K

ebulição da água

100

373

fusão do gelo

273

–273

Atividade 10 Para apoiar uma planta trepadeira, um jardineiro constrói, com algumas varas de bambu, uma treliça. Tomando duas varas transversais, ele fixou, com corda, outras três varas com a intenção de que elas ficassem paralelas umas às outras. Terminada a construção, ele efetuou algumas medidas que estão expressas na figura a seguir. Com base nas medidas apresentadas, é possível afirmar se ele conseguiu o paralelismo desejado? Em caso negativo, o que ele deverá fazer para consegui-lo?

fusão do gelo

A temperatura de 32 ºC corresponde a 89,6 ºF.

ºC

mais sistemática no estudo referente a funções lineares.

20 cm

26 cm

36 cm

A intenção dessa atividade é explorarmos a recíproca do teorema de Tales. No caso, aplicando as proporções dos segmentos, te20 30 . Logo, os três bambus não mos que ≠ 26 36 estão paralelos.

A atividade a seguir, embora envolva a relação entre duas unidades de medidas diferentes, também pode ser interpretada como uma situação de aplicação do teorema de Tales. Essa ideia é explorada de forma

30 cm

20 cm

26 cm

30 cm

Para resolver essa situação, ele poderá pensar de algumas formas, entre elas, ampliar o segmento de 36 cm para 39 cm, pois indicando seu segmento correspondente por x, encontramos na proporção 20 = 30 , x = 39 cm. 26 x

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham compreendido os princípios do método de demonstração em Geometria e que tenham ampliado seus conhecimentos sobre proporcionalidade, observando que a Geometria permite o enfrentamento de várias situações-problema contextualizadas. Espera-se também que a abordagem histórica tenha sido um elemento motivador do curso. É comum alguns alunos reagirem de forma negativa à perspectiva histórica da Matemática, essencialmente porque ela exige leitura e compreensão de textos. Vale lembrar que as competências leitora e escritora são preocupações permanentes deste Projeto, e que, portanto, devemos manter o firme propósito de proporcionar aos alunos Situações de Aprendizagem em que elas sejam exploradas. O reconhecimento de uma situação em que se aplica o teorema de Tales ou sua recíproca é essencial nesta etapa do trabalho. Na 8a série, quando o foco da aprendizagem for semelhança de figuras, em especial semelhança de triângulos, essa habilidade será retomada e aprofundada. Para avaliação, o professor pode incluir outros problemas que já fazem parte de sua lista de exercícios ou pesquisar, nos livros didáticos,

outras situações que permitam ao aluno aplicar, em diferentes contextos, o teorema de Tales.

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema No livro As demonstrações em Geometria, de A. I. Feitosa (Coleção Matemática Aprendendo e Ensinando, da Editora Atual e Editora Mir), encontramos um grande suporte conceitual sobre o tema “demonstrações geométricas”. O livro O teorema do papagaio, de Denis Guedj (Cia. das letras), é uma obra instigante, que nos leva a pensar sobre vários problemas matemáticos a partir de uma perspectiva histórica. Particularmente no capítulo 3, o personagem Pierre Ruche, um antigo livreiro francês, aborda a vida e as façanhas de Tales de forma simples e muito envolvente, afinal trata-se de “um thriller da história da Matemática”. É um livro para jovens repleto de enigmas e fatos importantes da história da Matemática. O livro História da Matemática, de Carl Boyer, é outra referência importante quando pensamos na abordagem histórica da Matemática. O livro Euclides, a conquista do espaço, do matemático Carlos Tomei (publicado pela Editora 34, na Coleção “Imortais da Ciência”), está escrito em linguagem acessível e apresenta os fatos essenciais do processo de axiomatização que Euclides inaugura na Ciência. Na RPM (Revista do Professor de Matemática), nos números 21 e 23, encontramos uma discussão sobre a forma como demonstramos o teorema de Tales.

Matemática – 7a série – Volume 4

SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 O TEOREMA DE PITÁGORAS: PADRõES NuMÉRICOS E GEOMÉTRICOS tempo previsto: 13 aulas. Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; demonstrações geométricas e algébricas. Competências e habilidades: justificar um resultado a partir de fatos considerados mais simples; identificar padrões numéricos e geométricos; interpretar enunciados; perceber a Matemática como conhecimento historicamente construído. Estratégias: proposição de atividades de investigação, resolução de problemas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Assim como no teorema de Tales, no ensino do teorema de Pitágoras a perspectiva histórica se justifica como elemento motivador da aprendizagem. Nesse caso, a tarefa do professor é facilitada pelo grande número de publicações sobre o tema. Aqui comentaremos as diferenças entre a matemática aplicada dos egípcios e a matemática abstrata dos gregos, destacando a importância da combinação entre elas; afinal, a abstração permite que essas noções sejam aplicadas em diferentes contextos. A formalização do conhecimento feita por Pitágoras, a partir de dados empíricos dos egípcios, fortalece tanto o papel da história como o da modelagem no ensino de Matemática. As atividades iniciais permitem a construção da lógica que servirá de referência para o professor demonstrar o teorema de Pitágoras, que pode ser enunciado como:

Em um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

a2 = b2 + c2

lembramos que o teorema de Pitágoras é retomado na 8a série em dois momentos: no

3o bimestre, quando o foco será as relações métricas no triângulo retângulo, e no 4o bimestre, quando, após os estudos relativos ao número p (pi) e à área dos círculos, o teorema é generalizado com a exploração de qualquer figura semelhante sobre os lados do triângulo retângulo.

uma perspectiva histórica Como na aprendizagem do teorema de Tales, propomos ao professor que organize, junto aos alunos, uma atividade de pesquisa sobre Pitágoras e sua visão de mundo. No debate de apresentação, o professor pode buscar paralelos entre Tales e Pitágoras, como serem gregos, terem vivido parte de suas vidas no Egito, interessarem-se por assuntos mais abstratos da Matemática e aplicarem o processo demonstrativo neste campo de conhecimento. Pitágoras de Samos (ilha do mar Egeu) foi um filósofo que exerceu, no século VI a.C., forte influência na civilização grega. Em seus trabalhos, identificamos a originalidade de construção de um sistema formal de reconhecimento, classificação e exploração de padrões numéricos e geométricos. O centro da motivação das pesquisas de Pitágoras e seus discípulos encontra-se na ideia de conceber uma ordenação matemática do cosmos. Os pitagóricos acreditavam que os segredos espirituais do universo poderiam ser desvendados por relações numéricas e, para eles, os números deixaram de ser utilizados somente para contagem e revelaram outras propriedades. Embora a motivação possa ser alvo de críticas, deve-se admitir, contudo, que ela gerou uma contribuição fantástica ao conhecimento matemático.

Consideramos os fatos relacionados às próximas três atividades como essenciais na construção lógica da demonstração do teorema de Pitágoras. O objetivo é colocar o aluno diante de situações-problema próximas às enfrentadas pelos pitagóricos. Esse resgate combina a história da Matemática e a resolução de problemas em uma só abordagem de ensino.

Atividade 1 É muito difícil estudar Geometria sem o apoio de desenhos. Os gregos, em muitas de suas demonstrações geométricas, apoiavam-se na observação de figuras. A figura é um importante veículo para a imaginação matemática. Para ilustrar o valor da figura no processo demonstrativo pode-se recorrer à história da morte de Arquimedes. uma das várias versões narra que Arquimedes encontrava-se diante de uma figura, quando sua cidade, Siracusa, foi invadida pelo exército romano. um soldado, inclinando-se sobre uma figura desenhada na areia, ordenou a Arquimedes que o acompanhasse, ao que este teria respondido: “Não perturbe meus círculos”. Sentindo-se desafiado, o soldado desembainhou a espada e o matou. um dos problemas clássicos da Antiguidade grega era o da duplicação da área do quadrado. Imagina-se que Tales tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. No entanto, esse problema não escapou também das anotações de Pitágoras. O problema consiste em, dado um quadrado, encontrar outro que tenha o dobro de sua área. Na malha a seguir construiu-se um quadrado. Encontre outro quadrado cuja área seja o dobro da dele.

Matemática – 7a série – Volume 4

uma interpretação de padrões geométricos. Naquela ocasião, o foco estava na expressão algébrica associada ao padrão numérico; agora o objetivo é utilizar a forma figurada da sequência como recurso para a compreensão de um fato numérico.

Atividade 2 Se o aluno buscar a forma algébrica para resolver este problema, ele encontrará uma raiz não inteira, que dificilmente poderá ser obtida, a não ser por aproximação. A exemplo dos antigos gregos, podemos resolver o problema evitando o incômodo do número irracional. Para isso, é preciso que nos apoiemos no método figurativo, como mostramos na solução.

Na investigação de padrões em sequências numéricas, Pitágoras apoiava-se na representação figurativa destes. Números figurados são aqueles representados por determinada configuração geométrica. A forma figurada permite observar a “anatomia” da sequência. A seguir, cada termo da sequência está representado por certa disposição de quadradinhos.

Em caso de dificuldade, o professor pode indicar alguns passos para que os alunos resolvam o problema. um deles é comentar que a área do quadrado preto é igual à de dois triângulos retângulos isósceles, obtidos pelo corte do quadrado pela sua diagonal.

a) Faça a representação figurativa dos próximos dois números da sequência.

A atividade a seguir retoma as ideias tratadas no 1o bimestre da 7a série, quando as propriedades algébricas foram resultado de

b) Associando cada figura ao número de quadradinhos que a compõem, escreva a sequência numérica que corresponde à sequência figurativa. Você reconhece os termos dessa sequência? É uma sequência de números ímpares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. c) Observando a sequência figurativa, percebemos que o primeiro elemento é um quadrado de uma unidade de lado. Quando encaixamos o segundo termo no primeiro, completamos um quadrado cujo lado tem uma unidade a mais que o primeiro termo. Numericamente encontramos a seguinte relação: 1 + 3 = 4.

nulo, pode ser obtido pela soma dos n primeiros números ímpares.

Atividade 3 A propriedade que concluímos na atividade anterior foi uma das que mais fascinaram Pitágoras. a) Aplique-a para encontrar o quadrado do número 13. 132 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + + 19 + 21 + 23 + 25 = 169. b) Como podemos aplicar esse método para determinar a raiz quadrada de um número? Aplique-o para o número 64. 64 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15. Logo, a raiz quadrada de 64 é 8, pois ele é decomposto na soma dos oito primeiros números ímpares. c) Verifique que a raiz quadrada de 72 não é um número inteiro.

1+3=4

1+3+5=9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Quando encaixamos o terceiro termo nesse quadrado, completamos um novo quadrado que tem por lado, novamente, uma unidade a mais que o anterior. Numericamente temos: 1 + 3 + 5 = 9. Em cada encaixe em um quadrado de lado x obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Repita essa operação com os outros termos da sequência. Organize suas anotações e, refletindo um pouco mais sobre as condições oferecidas no problema, expresse, em palavras, uma conclusão que relacione o quadrado dos números naturais com os números ímpares. Da sequência apresentada podemos dizer que o quadrado de um número natural n, não

O número 72 não pode ser decomposto somente pela soma de números ímpares 72 = 1 +3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 8.

Atividade 4 A civilização egípcia é notável quando o assunto é construção. Apoiada em uma matemática experimental, essa civilização construiu um conjunto arquitetônico cujo destaque são as enormes pirâmides. Grande parte do processo de construção civil se apoia na formação de ângulos retos. Para se ter uma ideia, a base da pirâmide de Quéops, construída há mais de 4 500 anos, é composta por pedras esquadrejadas e tem por base um quadrilátero muito próximo de um quadrado. O problema de traçar ângulos retos foi resolvido pelos egípcios de

Matemática – 7a série – Volume 4

13 nós distribuídos em intervalos iguais. Dobrando a corda de modo que formasse um triângulo de lados 3, 4 e 5, e emendando-a pelas extremidades (1o e 13o nós), obtinham um ângulo reto, oposto ao lado 5. © Conexão Editorial

modo tão engenhoso quanto simples. Como descobriram que todo triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento era necessariamente um triângulo retângulo, os arquitetos e construtores egípcios usavam uma corda com

Vamos fazer como os agrimensores egípcios e criar um esquadro de barbante. Tomando um pedaço de barbante, distribua 13 nós de modo que suas distâncias sejam iguais. Atenção: use do bom senso para definir essa distância. Essa etapa deve ser feita com muito capricho! uma vez construído o esquadro de barbante, vamos verificar se as paredes da sala de aula ou outra estrutura que contenha linhas horizontais e verticais estão no esquadro. Essa atividade pode ser utilizada como um pequeno projeto proposto a grupos de alunos.

Como todo projeto, o professor pode pedir um relatório em que estejam detalhados os processos envolvidos e os conhecimentos adquiridos. Atividades como essas, que envolvem circulação de alunos pela sala ou pela escola, necessitam de preparo prévio. O professor pode discutir com os alunos a melhor forma de levar a termo a execução das tarefas. O objetivo da próxima atividade é levar o aluno a construir uma relação entre os quadrados dos números do triângulo 3, 4 e 5. Esse fato se caracterizará como um caso particular do teorema de Pitágoras.

Atividade 5 Pitágoras, em sua viagem pelo Egito, tomou conhecimento da propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Seu espírito crítico logo o levaria a estabelecer uma outra relação entre esses números. Vamos acompanhar nesta atividade um suposto caminho percorrido por Pitágoras. Vamos chamar de quadrado geométrico de um segmento a construção de um quadrado que tenha esse segmento por lado. Com o segmento

b) Analisando os valores dos quadrados aritméticos, podemos concluir uma relação entre eles. Tente descobri-la. Com esta atividade experimental, esperamos que os alunos concluam que os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacionam pela expressão 32 + 42 = 52.

construímos seu quadrado geométrico

Vamos chamar de quadrado aritmético o cálculo em potência de expoente quadrado (2) do número que representa a medida daquele lado. Com o número 3 encontramos o quadrado aritmético 32 = 9. a) utilizando um papel quadriculado, construa os quadrados geométricos dos segmentos de medidas: 3, 4 e 5. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles. Calcule os quadrados aritméticos dos números 3, 4 e 5 e escreva seus resultados sobre os quadrados geométricos.

Caso isso não aconteça, o professor pode lançar mão de perguntas como: é possível estabelecer uma relação entre esses três valores, aplicando alguma operação matemática? Será que somando os dois valores menores obtemos o valor do maior?

25 9

Matemática – 7a série – Volume 4

c) Recorte os quadrados geométricos dos segmentos 3, 4 e 5. Construa no papel quadriculado um triângulo de lados 3, 4 e 5. Acomode, sem sobrepor figuras, sobre cada lado do triângulo o quadrado geométrico do segmento que lhe corresponde à medida. O lado maior do triângulo retângulo chama-se hipotenusa (do grego hypoteinousa – “esticado abaixo”, no lado dos catetos), e os outros lados são denominados catetos (do grego kathetos – “coisa perpendicular”). Formule uma sentença que combine esses termos com as descobertas feitas sobre os quadrados geométricos e aritméticos associados ao triângulo 3, 4 e 5. É desejável que as sentenças sejam formulações próximas de: “No triângulo retângulo 3, 4 e 5, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos”. Caso o professor deseje, pode explorar a demonstração geométrica da relação entre as áreas dos três quadrados. Para isso sugira que os alunos façam sobreposição de figuras, como propomos a seguir. O quadrado de lado 4 pode ser sobreposto a 16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O quadrado de lado 3 deve ser decomposto de modo a completar a área do quadrado de lado 5.

Atividade 6 Com base nos conhecimentos adquiridos até agora, vamos nos tornar discípulos de Pitágoras e buscar outros triângulos que possuam a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5, isto é, que formem um triângulo retângulo com lados de medidas inteiras e cuja área do quadrado sobre a hipotenusa seja igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. a) Desenhe um retângulo qualquer. Corte o retângulo pela diagonal. Qual foi a figura criada? Meça seus lados com o auxílio de uma régua. Esta medida resultou em um número inteiro? Professor, você pode coletar as informações e registrá-las na lousa: para quantos alunos essa medida resultou um número inteiro? De maneira geral, não lidamos sempre com triângulos retângulos cujos lados sejam números inteiros, como foi o caso do triângulo 3, 4 e 5. Contudo, o triângulo 3, 4 e 5 pode gerar uma série de outros triângulos retângulos com lados de medidas inteiras. Vamos retomar as ideias tratadas no bimestre anterior sobre as transformações geométricas, com foco especial para a ampliação.

b) Vamos construir o esquadro dos egípcios no plano cartesiano. O vértice do triângulo 3, 4 e 5, que corresponde ao ângulo de 90º, será posto na origem do sistema. Portanto, os vértices serão A(0,0), B(0,3) e C(4,0). Para ampliar as dimensões do triângulo ABC em duas vezes, multiplicamos suas coordenadas por 2, obtendo o triângulo A’B’C’, de coordenadas (2x,2y), isto é, A’(0,0), B’(0,6) e C’(8,0). Se quisermos triplicar as suas dimensões, multiplicamos suas coordenadas por 3, obtendo o triângulo de vértices (0,0), (0,9), (12,0). O resultado dessas ampliações mostra que todos os lados ampliaram seguindo a mesma razão. y

6 15 10 5 0

Dessa forma, encontramos outros triângulos de lados com medidas inteiras, que possuem a mesma propriedade do triângulo 3, 4 e 5. Outra forma de apresentar este estudo é dispondo os vértices do triângulo 3, 4 e 5 como representado nesta figura. Essa disposição é mais clara quando se evidencia a pouca frequência de triângulos retângulos de lados com medidas inteiras, como os obtidos no item a; a possibilidade de infinitos ternos numéricos, chamados de ternos pitagóricos, que

D’ (9,12)

C’

(6,8)

(3,4)

B’

x A

Com base nessa atividade, o professor pode discutir que o terno pitagórico (3, 4, 5) pode gerar outros infinitos ternos, como 6, 8, 10 e 30, 40, 50. O terno 3, 4, 5 é considerado um terno pitagórico primitivo, pois seus elementos são primos entre si.

formam triângulos retângulos; e a garantia de que a razão de ampliação também se verifica entre as hipotenusas.

O professor pode explorar, ainda, que a relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos se mantém para todos os ternos formados a partir do triângulo 3, 4 e 5, isto é, 102 = 82 + 62; 502 = 302 + 402, etc.

Atividade 7 Em Matemática, como em muitas outras atividades humanas, depois que se toma gosto é difícil parar. Embora satisfeitos por nossas façanhas matemáticas no encontro de outros ternos pitagóricos, reconhecemos sua limitação por todos serem relacionados a um único triângulo, o de lados 3, 4 e 5. Como Pitágoras, lancemo-nos em mais um desafio:

Matemática – 7a série – Volume 4

Como encontrar outros ternos de números inteiros que sejam lados de um triângulo retângulo, sem que estejam diretamente relacionados a ampliações do triângulo 3, 4 e 5? Para dar continuidade a este estudo, vamos fazer como os pitagóricos e aplicar alguns conceitos aprendidos nas atividades anteriores. Retomando as ideias da atividade 2, identificaremos os números figurados no formato de um l por gnômon, termo antigo que os gregos usavam para se referir ao esquadro de carpinteiro.

Naquela atividade, chegamos à conclusão de que, em cada encaixe de um gnômon em um quadrado de lado x, obtemos um quadrado maior, de lado x + 1. Essa constatação relaciona, portanto, a área de dois quadrados. Nas atividades anteriores, observamos que, em um terno pitagórico, a soma de dois quadrados resulta em um terceiro. Combinando essas ideias, podemos criar outra fonte de ternos pitagóricos. Para compreender isso, vamos analisar mais uma vez o triângulo 3, 4 e 5. Partindo de um quadrado de 4 unidades de lado, precisamos, para que haja encaixe, que o gnômon seja composto por 9 quadradinhos, isto é, uma unidade a mais que a soma de dois lados do quadrado dado (quadradinho que fica no cotovelo do gnômon).

Encaixando o gnômon no quadrado, produzimos um novo quadrado cujo lado mede 5 unidades (uma unidade a mais que o lado do quadrado dado) e cuja área é a soma das áreas do quadrado de lado 4 com a área do gnômon.

Geometricamente construímos um quadrado de lado 5. Como, neste caso, a quantidade de quadradinhos no gnômon é igual a 9, que é o quadrado de um número inteiro, conseguimos a relação esperada: a área de um quadrado foi gerada pela soma da área de dois quadrados, o que aritmeticamente é assim representado: 42 + 32 = 52. Aplicando o método do encaixe de um gnômon, encontre o terno primitivo tomando por base um quadrado de lado 12. Construa uma figura que represente essa situação. O gnômon terá 25 quadradinhos e no encaixe produzirá um quadrado de lado 13 unidades. Aritmeticamente constatamos que: 12 2 + 5 2 = 13 2.

problema, ela sempre deverá ser igual ao quadrado aritmético de um número ímpar, como 9, 25, 49, etc. Para pensar sobre a medida do lado do quadrado do encaixe (quadrado “abraçado” pelo gnômon), basta imaginar um quadrado que se encaixa nos lados abaixo do gnômon. Quanto ao terceiro quadrado, sua área é igual à do quadrado que tem o gnômon por lado.

Atividade 8 Encontre o terno pitagórico formado pelo gnômon composto por 49 quadradinhos. Se o gnômon tem 49 quadradinhos, o quadrado do encaixe terá 24 unidades de lado. O quadrado com os lados do gnômon terá 25 unidades de lado. Portanto, teremos: 242 + 72 = 252. O terno pitagórico é (7, 24, 25).

13 5

Assim, o terno (5, 12, 13) é um terno pitagórico e, portanto, o triângulo construído com lados dessas medidas será retângulo. Nessa atividade é importante que os alunos observem que, para obtermos ternos inteiros, a quantidade de quadradinhos do l formado – que é ímpar – deve ser o quadrado de um número ímpar. Dessa forma, para que possa haver o encaixe, o lado do quadrado dado deve ser par. Portanto, uma forma de pensarmos a criação de ternos pitagóricos pode partir de uma análise da quantidade de quadradinhos que compõem o gnômon. Na condição do

Atividade 9 O terno (7, 20, 21) é pitagórico? Justifique geométrica e aritmeticamente. Esse método, embora mais sofisticado que o anterior, era ainda empírico e só valia para triângulos retângulos em que os dois lados maiores diferiam em apenas uma unidade. uma pergunta que Pitágoras se colocou, e que provamos agora, é: A propriedade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é válida para qualquer triângulo retângulo? Apoiado nos mesmos conhecimentos que mostramos até agora, Pitágoras demonstrou a veracidade dessa propriedade para

Matemática – 7a série – Volume 4

qualquer triângulo retângulo. Vamos acompanhar o raciocínio dele, partindo de um quadrado. Encaixemos sobre ele um gnômon. O gnômon é formado por dois retângulos iguais e um quadrado, como mostra a figura:

FAKE

Comparando as duas figuras seguintes, observamos que a área azul da primeira é igual à área vermelha da segunda. A área da figura azul, como dito anteriormente, corresponde à soma da área do quadrado construído sobre o cateto menor com a área do quadrado construído sobre o cateto maior. A área vermelha corresponde à área do quadrado construído sobre a hipotenusa do mesmo triângulo retângulo (Figura 3).

Figura 1

O retângulo que forma um dos “braços” do gnômon pode ser decomposto, por uma de suas diagonais, em dois triângulos retângulos (Figura 1). Vamos analisar um desses triângulos retângulos. Seu lado menor corresponde ao quadrado do canto do gnômon. O cateto maior corresponde ao lado do quadrado abraçado pelo gnômon. E a hipotenusa, qual sua relação na figura? Para descobrir, precisamos fazer um novo desenho distribuindo outros braços do gnômon sobre a figura, de modo a surgir um novo quadrado inclinado: o quadrado da hipotenusa (Figura 2).

Figura 2

Figura 3

Assim, fica provada a generalidade da propriedade, isto é, está provado o teorema de Pitágoras: Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Para essa demonstração, o professor pode propor aos alunos uma atividade prática. Eles devem ter em mãos: f 2 retângulos congruentes quaisquer. Recorte esses retângulos por uma diagonal e obtenha 4 triângulos retângulos congruentes; f 3 quadrados. um deles deve ter lado igual à hipotenusa do triângulo retângulo anteriormente formado; os outros dois devem ter como lados cada um dos catetos do triângulo já referido;

f 1 quadrado de lado igual à soma das medidas dos catetos. Solicite aos alunos que façam, sobre o quadrado maior (o que tem lado igual à soma dos catetos), cada uma das configurações representadas na Figura 3. Assim, eles poderão concluir que as duas formas têm a mesma área e que, portanto, retirando as áreas dos triângulos retângulos, a área do quadrado da hipotenusa será igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos.

Terminada essa etapa, pode-se retomar as ideias principais estudadas até aqui e enfatizar que, em uma demonstração, é importante que os argumentos utilizados sejam verdades demonstradas ou conhecidas. Quando aplicamos o método da demonstração figurativa, como no caso do teorema de Pitágoras, apenas as figuras não bastam. É necessário um intenso trabalho para demonstrar o pensamento e raciocínio lógico. Sabemos que o mesmo teorema foi provado de outras formas. Na 8a série, quando tratarmos das relações métricas no triângulo retângulo, o foco será a demonstração proposta por Euclides em Elementos. A seguir, propomos outras duas demonstrações do teorema de Pitágoras, caso o professor considere o tempo suficiente para tratá-las.

brincando de Pitágoras Atividade 10 Nessa demonstração, aplicaremos o resultado aprendido anteriormente sobre a duplicação da área de um quadrado. Aqui são envolvidos somente triângulos isósceles, o que não permite uma generalização do teorema, que deve servir para qualquer triângulo. Contudo, essa demonstração torna-se uma etapa na generalização do teorema. Tomando por base um quadrado e a duplicação de sua área por meio da construção de um quadrado sobre a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles, precisamos construir, sobre cada cateto, um quadrado de área igual à do quadrado original. A partir de 9 triângulos isósceles idênticos, construídos a partir de quadrados, e aplicando o processo de duplicação da área de um quadrado, faça uma construção que demonstre a validade do teorema de Pitágoras para triângulos retângulos isósceles. lembre-se de que não basta construí-los. Como se trata de uma demonstração, você deve elaborar argumentos que a justifiquem. Após algumas tentativas, os alunos devem chegar à composição a seguir. Na argumentação, é importante que se apresente a justificativa de que todas as figuras são quadradas. Isso é possível porque, sendo triângulos retângulos isósceles, as medidas dos catetos, e, portanto, dos lados dos quadrados, são iguais. Quanto à medida dos ângulos, ou são ângulos retos ou são a soma de dois ângulos complementares do triângulo.

Matemática – 7a série – Volume 4

Vamos recortar as peças e tentar montar um retângulo.

1 2

Você conseguiu? Agora, conte a quantidade de quadradinhos que compõem este retângulo. A qual número você chegou? Ele corresponde à quantidade de quadradinhos iniciais? O que será que aconteceu?

3 4

Com esta atividade, construímos um absurdo:

64 = 65. A justificativa é que, precisamente, a decomposição do quadrado não forma um

A fim de darmos um salto do processo de demonstração figurativo para o algébrico, vamos colocar os alunos diante de um paradoxo que mostra os limites das demonstrações apoiadas exclusivamente nas figuras construídas sobre malhas.

se verifica a semelhança dos triângulos de

Para essa atividade os alunos precisarão de papel quadriculado e tesoura. Inicialmente vamos construir um quadrado de 64 casas no papel quadriculado (Figura 1). Depois, vamos decompor o quadrado em 4 figuras: dois triângulos retângulos (ACE e CEF) e dois trapézios retângulos (BEGH e DFGH), conforme a Figura 2. B

B A4

G H A2

D Figura 1

segmentos laranja e verde possuem inclina3 2 __ ções diferentes: __ 5 % 8). Assim, nessa composição há um espaço vazio que não permite ma de perceber esse fato é observar que não

Atividade 11

não é formada por segmentos colineares (os

o encaixe perfeito entre as peças. Outra for-

o limite da demonstração por figuração

retângulo. A suposta diagonal do retângulo

F Figura 2

área A1 e A1 + A4 . E/H

F/H A2 A3 A4

C/D

E A1

A/G

C/F

O objetivo da atividade é colocar o aluno diante do limite da demonstração apoiada na figura. O professor pode argumentar que, enquanto os fatos geométricos apoiaram as deduções de propriedades algébricas – tema do 2o bimestre –, o uso das relações algébricas agora permitirá a validação das propriedades geométricas aplicadas até aqui.

o uso dos termos algébricos nas demonstrações No 2o bimestre da 7a série, o significado das operações algébricas e dos produtos notáveis teve como suporte a visualização geométrica. De certa forma, agora faremos o contrário. Os fatos algébricos permitirão a generalização de fatos geométricos.

uma demonstração algébrica do teorema de Pitágoras

ternos pitagóricos com diferença de 1 unidade

Retome a demonstração do teorema de Pitágoras com base na figura a seguir. Com o auxílio da álgebra, prove que: a2 = b2 + c2.

Atividade 12 No 2o bimestre da 7a série, aprendemos o produto notável: a2 – b2 = (a + b) . (a – b), tomando o terno pitagórico (a,b,c), sendo c a medida da hipotenusa. logo, c é o maior lado e, portanto: c > a e c > b. Podemos concluir, pela aplicação do teorema de Pitágoras, que a2 = c2 – b2 = (c + b) . (c – b). logo, se c – b = 1, teremos a2 = c + b. Esse fato pode ser percebido em vários ternos encontrados pelo método descrito na atividade 7: Terno (3, 4, 5) 32 = 4 + 5 Terno (5, 12, 13) 52 = 12 + 13 Terno (7, 24, 25) 72 = 24 + 25 Mantendo o padrão geométrico-numérico, percebemos o seguinte diagrama: 3

4 (+1)

12 (+1)

+2 5 +2 7

24 (+1)

40 (+1)

+2 9 +2 11

Complete o terno pitágórico em que um dos elementos é 11. (11, 60, 61).

Atividade 13

c a

c–b

Na figura, a é a medida da hipotenusa; b e c são as medidas dos catetos do triângulo retângulo. Observamos que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas do quadrado interior inclinado, de lado a, com os quatro triângulos retângulos de catetos b e c. Na figura, o quadrado maior tem lados (b + c). Logo, sua área é: (b + c)2 = b2 + 2bc + c2 A área do quadrado inclinado, quadrado da hipotenusa de lado a, é: a2. Os quatro triângulos retângulos de catetos b e c formam dois retângulos de lados b e c. Logo, a soma de suas áreas é: 2bc.

Matemática – 7a série – Volume 4

Efetuemos, agora, os cálculos: (b + c)2 = a2 + 2bc

Embora a resolução do problema envolva uma simples aplicação do teorema de Pitágoras, o interessante na atividade é o procedimento criado para determinar a medida da distância inatingível entre dois pontos, semelhante ao sugerido pela aplicação do teorema de Tales. A resposta será 25 m.

b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, simplificando os termos semelhantes da expressão: b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc, temos a2 = b2 + c2.

Atividade 14 Thiago quer descobrir a medida aproximada da parte mais extensa de uma lagoa (BC). Como não sabe nadar, viu uma forma de resolver seu problema com o uso de seus conhecimentos em Geometria. lembrando dos egípcios, fixou três estacas na margem da lagoa e esticou cordas de A até b e de A até C. Como lhe interessa uma medida aproximada, fez o máximo para formar no encontro das cordas em A um ângulo reto. Medindo o comprimento dessas cordas obteve AB = 7 m e AC = 24 m. Construiu, então, em seu caderno, um esboço da situação e a resolveu. Qual é o valor encontrado por Thiago? B C

24 m A

Aqui, temos o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura. um marceneiro foi contratado para construir o corrimão dessa escada. Quantos metros lineares de madeira serão utilizados no corrimão? 30 cm

corrimão 30 cm 24 cm 24 cm 24 cm 24 cm 24 cm

90 cm

Esses exercícios exemplares exploram algumas situações contextualizadas em que se aplica o teorema de Pitágoras.

Atividade 15

90 cm

Os exercícios exemplares a seguir visam aplicar o teorema de Pitágoras em diferentes contextos. O professor pode combiná-los com aqueles que já fazem parte de seu curso ou buscar outros que estão presentes em livros didáticos da 7a série do Ensino Fundamental.

Para resolver a atividade, pode-se sugerir que os alunos usem calculadora. Observando a figura, temos um triângulo retângulo. O pedaço inclinado do corrimão, que indicaremos por c, é a hipotenusa. Um dos catetos mede 90 cm, e o outro mede o comprimento total das bases dos degraus, isto é, 24 . 5 =120 cm. Portanto, teremos: c2 = 902 + 1202 Logo, c2 = 8 100 + 14 400 = 22 500 ______ c = ®22 500 = 150 cm O comprimento total de madeira para o corrimão será 150 + 30 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.

Atividade 16 Esta figura representa a “pipa” construída por Cadu. Ele possui 1 metro de linha para reforçar a pipa, contornando sua estrutura. Encontre o comprimento da linha que contorna a estrutura da pipa e verifique se a quantidade de fio é suficiente. 33 cm

24 cm 12 cm

16 cm

O comprimento total de fio será, portanto, resultado da soma: 13 + 12 + 20 + 20 + 12 + 13 = 90 cm. Portanto, Cadu conseguirá reforçar a estrutura da pipa, pois ele tem 1 metro de fio.

Atividade 17 A figura representa a planta de um terreno com a forma de um trapézio retângulo ABCD. No momento de colocá-lo à venda, o proprietário resolveu dividi-lo em duas partes, de modo que ambas tivessem a mesma área. A divisão entre os dois terrenos foi feita com uma cerca, indicada na figura por PQ, paralela ao lado Ab. Encontre o perímetro do terreno ABPQ.

12 cm

20 m

O problema se resume em achar as medidas das hipotenusas dos triângulos retângulos, indicados pelas cores vermelho e amarelo. 33 cm

FAKE

13 cm

15 m

12 cm B

20 cm

12 cm

12 cm 20 cm

12 cm

5 cm

No vermelho aplicamos: x2 = 162 + 122, x = 20 cm. No amarelo aplicamos: y2 = 122 + 52, y = 13 cm.

29 m 24 cm

16 cm

Este tipo de atividade coloca o aluno em uma situação em que só o conhecimento da fórmula não basta para resolver o problema. Ela, contudo, serve para orientar o pensamento no sentido de buscar os termos essenciais para a resolução da atividade. No caso, o cálculo da área do trapézio indica a necessidade de determinar sua altura. O aluno deve observar que a altura pode ser traçada pelo vértice D, formando, assim, um triângulo

Matemática – 7a série – Volume 4

retângulo. No entanto, ainda faltará um dado para podermos aplicar o teorema de Pitágoras: a medida de um cateto. A partir da análise da figura, percebe-se que a medida do cateto, que não é a altura, pode ser encontrada pela diferença das medidas das bases do trapézio. Outra forma de resolver o problema é atribuir à distância BP ou AQ um valor algébrico. Contudo, a medida final dessa distância também pode ser resolvida por cálculo sem a atribuição da variável. Às vezes é difícil para os alunos encontrarem essas relações. Se o professor achar conveniente, é interessante buscar outros exercícios que, como este, explorem situações em que os dados necessários sejam encontrados como resultado de uma análise da figura. 1o passo – cálculo da área do trapézio: para determinar a altura, uma ideia é levantarmos a altura no vértice D e, com o uso do teorema de Pitágoras, encontrar o valor de h:

FAKE

15 m

20 m

29 m

152 = h2 + 92 h = 12 m Comecemos pelo cálculo da área da figura (29 + 20) . 12 total: A = _____________ = 294 m2. 2

A área do retângulo ABPQ será, portanto, A = 147 m2. Chamando BP de x, as dimensões do retângulo serão x e 12. Assim, teremos: A

12 m

h=12 m

A = 12 . x 147 = 12 . x x = 12,25 m Logo, o perímetro do quadrilátero ABPQ é 2 . 12 + 2 . 12,25 = 48,5 m.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham ampliado os princípios do método de demonstração iniciados com o teorema de Tales. Embora tenhamos focalizado os aspectos ligados à demonstração – exigindo várias habilidades relacionadas ao enfrentamento de situações-problema, ao processo de reconhecimento e generalização de propriedades e ao desenvolvimento da argumentação lógica –, é importante considerar que caberá ao professor encontrar outras situações contextualizadas em que o teorema é aplicado. O reconhecimento das situações em que se emprega o teorema de Pitágoras é um elemento essencial a ser considerado

como resultado dessa Situação de Aprendizagem. um tema que decorre da demonstração de um teorema é a validade de sua recíproca. Em outras palavras, mesmo sem demonstração, o professor pode discutir com o grupo de alunos que a recíproca do teorema de Pitágoras é válida, isto é, que, se em um triângulo o quadrado da medida do maior lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o ângulo oposto ao lado maior é reto e, portanto, o triângulo é retângulo. Essa conclusão pode nortear alguns exercícios em que o professor, oferecendo as medidas dos lados de um triângulo, pode indagar sobre ele ser ou não um triângulo retângulo. Este tema é retomado no estudo de trigonometria na 1a série do Ensino Médio, quando, na aplicação da lei dos Cossenos, podemos investigar se um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Na avaliação, o professor pode explorar alguma situação nova de demonstração figurativa. A atividade 11, por exemplo, pode ser aplicada em uma situação avaliativa no sentido de apreender como os alunos estão analisando uma situação e como argumentam em sua demonstração. O reconhecimento das situações-problema que são resolvidas pela aplicação do teorema de Pitágoras deve também ser focalizado na avaliação do professor. É importante o professor observar que em alguns exercícios, em que os dados vêm expressos nas figuras, os alunos, geralmente, cometem o erro de considerar o lado desconhecido como a hipotenusa na expressão a2 = b2 + c2. Para determinar raízes quadradas,

se o professor julgar necessário, pode propor o uso de calculadoras ou o uso do método aprendido na atividade 3, isto é, pela decomposição em uma soma de números ímpares.

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema São várias as obras que exploram a vida de Pitágoras e a demonstração de seu teorema. Contexto histórico, atividades, demonstrações e um grande número de explorações do teorema fazem do livro Descobrindo padrões pitagóricos, do professor Ruy Madsen Barbosa (Editora Atual), uma das referências mais completas. Na Coleção “Vivendo a Matemática” (Editora Scipione), o volume Descobrindo o Teorema de Pitágoras, de luiz Marcio Imenes, traz atividades e demonstrações em linguagem simples, muito acessível aos alunos. Pela editora da Sociedade Brasileira de Matemática, na Coleção do Professor de Matemática, o livro Temas e problemas elementares (Elon lages lima e outros autores) trata também da demonstração de recíproca deste teorema e sua aplicação na classificação de triângulos quanto à medida dos seus ângulos. No livro O último Teorema de Fermat, de Simon Sing (Editora Record), encontramos, além de uma abordagem histórica bastante rica em detalhes, a ligação que envolve o teorema de Pitágoras como um caso particular do teorema proposto por Fermat. uma aventura instigante pela história da Matemática é contada em 20 000 léguas Matemáticas de A. K. Dewdney (editora Jorge zahar).

Matemática – 7a série – Volume 4

SITuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 PRISMAS tempo previsto: 7 aulas. Conteúdos e temas: prismas: identificação, relações métricas, área da superfície e volume de um prisma reto. Competências e habilidades: reconhecer e nomear um prisma; explorar as relações entre elementos geométricos e algébricos; visualizar figuras espaciais no plano; sintetizar e generalizar fatos obtidos de forma concreta. Estratégias: manipulação de sólidos geométricos; planificação de prismas; leitura e interpretação de enunciados e dados; resolução de problemas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Nesta Situação de Aprendizagem seguimos no estudo de Geometria, mas agora com foco na geometria espacial. Este assunto foi iniciado no 2o bimestre da 6a série, quando o objetivo era reconhecer, classificar e nomear os poliedros por meio de atividades que envolviam planificação, montagem de sólidos e um estudo preliminar da relação de Euler. Agora, na 7a série, o foco será o reconhecimento, a planificação, a representação plana e as relações métricas dos prismas, em particular os prismas retos. No 4o bimestre da 8a série, os cilindros concluem os estudos da geometria espacial nesse segmento da escola básica. No 4o bimestre da 2a série do Ensino Médio, a geometria espacial é retomada em uma perspectiva mais ampla e formal. Neste momento serão tratadas as relações métricas de outros sólidos, como a pirâmide, o cone e a esfera.

Prismas: identificação e elementos O prisma é um formato presente em muitas situações do cotidiano dos estudantes. A palavra “prisma” deriva do grego pris, que significa “serrar”, e do sufixo -ma, que indica “resultado”. Os antigos gregos utilizavam esse termo para se referir aos pedaços de madeira que eram cortados. Nos dias de hoje, a maioria das embalagens e objetos com que tomamos contato tem essa forma. Inicialmente, propomos que o professor apresente aos alunos uma série desses objetos concretos, como caixa de fósforos, embalagens de pizzas, caixas de sapatos, e discuta com eles alguns conceitos básicos como: f as bases dos prismas retos são polígonos de mesma forma e tamanho e suas faces laterais são retangulares; f o nome do prisma é dado pela forma de sua base, que pode ser triangular, quadrangular, hexagonal, etc;

f o paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos; f se todas as faces do paralelepípedo são retangulares, ele será chamado de paralelepípedo retângulo; f se o prisma tiver todas as faces quadradas, ele formará um cubo, também chamado de hexaedro regular (grego hexa – seis, e hedros – apoiar-se, faces), o conhecido formato do dadinho. Nas embalagens, o professor pode indicar o nome dos principais elementos que formam os prismas retos. vértice

A partir do trabalho com embalagens, o professor pode distribuir aos alunos algumas planificações de prismas de diferentes bases para que eles façam as suas construções.

diagonais de um prisma A atividade a seguir explora as diagonais em um prisma quadrangular reto. Esse caso permite aplicar o teorema de Pitágoras em figuras espaciais. Esse mesmo problema pode ser proposto imaginando caixas de lápis em formato de um prisma de base triangular. Nele observa-se que o prisma não tem diagonal e que a medida do lápis coincide com a diagonal da face lateral. Outra possibilidade é supor a caixa como um cubo ou como um prisma regular de base hexagonal.

Atividade 1

face

aresta

Desmontando a embalagem, o professor pode começar a discussão sobre a planificação do prisma e sobre o cálculo de sua área.

uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura, conforme figura a seguir. Encontre a medida do segmento AB, também chamado de diagonal do prisma. A

3 4

A partir da figura, podemos construir um triângulo retângulo que tem a distância AB

Matemática – 7a série – Volume 4

como a hipotenusa e, por catetos, a altura do prisma e a diagonal da base, indicada pela letra d. A

corresponde à quantidade de cubos apoiados sobre a mesma, pela altura (H), que corresponde à quantidade de camadas de cubos que preenchem completamente o sólido. Desta forma, o volume de um paralelepípedo pode ser calculado com a expressão: V = Abase . H.

d 4

Inicialmente aplicaremos o teorema de Pitágoras para determinarmos a medida de d:

Neste momento, mesmo sem a aplicação do Princípio de Cavalieri, podemos generalizar que o volume de qualquer prisma se dá pela mesma expressão. uma imagem que pode auxiliar os alunos nessa generalização é caracterizar os prismas pela sobreposição de placas idênticas, umas sobre as outras.

Diagonal da base: d 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ d = 5 Assim, a diagonal do prisma pode ser encontrada aplicando-se mais uma vez o teorema de Pitágoras: D 2 = 144 + 25 = 169 ⇒ D = 13. Portanto, o segmento AB = 13 cm.

Volume de um prisma Para calcular o volume de um prisma determinamos quantos cubinhos de aresta de 1 unidade de comprimento cabem no mesmo. Comecemos com um paralelepípedo reto, de base retangular.

Cálculo do volume do paralelepípedo reto pela decomposição e contagem de cubinhos.

Com isso, é possível concluir que a quantidade de cubinhos que cabem no paralelepípedo reto é igual à área da base (Abase ), que

um tema que vem se tornando de relevância social, quando se trata da preservação do meio ambiente, é o referente a embalagens dos produtos. Além do tipo do material utilizado na fabricação das embalagens, como isopor, papelão ou plástico, é importante também considerar se as embalagens são bem dimensionadas, isto é, se a relação volume interno/quantidade de material utilizado é a melhor possível. Também deve-se atentar ao fato de que, para serem embaladas coletivamente, isto é, lado a lado, o formato deve satisfazer a condição de permitir o menor espaço vazio entre elas.

A atividade a seguir explora essa relação entre a área da superfície de um prisma e seu volume. O objetivo é levar o aluno a compreender que prismas equivalentes, isto é, de mesmo volume, podem possuir áreas superficiais diferentes. A atividade ainda exige a representação algébrica do volume, a resolução de uma equação e o cálculo de áreas. Configura-se, portanto, como um exercício que trabalha vários conceitos tratados na 7a série.

Atividade 2 Dizemos que dois prismas são equivalentes quando têm o mesmo volume. A seguir, são dados dois formatos diferentes que compõem o projeto de uma caixa.

8 cm 8 cm

4 cm

8 cm

(x + 10) cm

Sabendo que eles são equivalentes, determine: a) o volume das caixas. Para calcular o volume do cubo podemos aplicar a expressão geral para o volume de prismas, V = 64 . 8 = 512 cm3.

A área lateral do cubo é composta por 6 quadrados de lados iguais a 8 cm. Assim, a área da superfície total do cubo é igual a Acubo= 6 . 64 = 384 cm2. Para o cálculo da área da superfície total do paralelepípedo, necessitamos encontrar o valor de x. Como os prismas são equivalentes, eles possuem o mesmo volume. Para o paralelepípedo, vale a seguinte expressão para o volume: V = Abase . h = 8 . (x + 10) . 4 = 32x + 320 Como V = 512 cm3, podemos escrever a equação: 32x + 320 = 512 ⇒ x = 6. Assim, as dimensões do paralelepípedo serão: 8 cm, 16 cm e 4 cm. A área da sua superfície total é composta por dois retângulos de lados 16 cm e 8 cm (bases), dois retângulos de lados 8 cm e 4 cm e dois retângulos de lados 16 cm e 4 cm. Portanto, a expressão de sua área superficial será:

8 cm

FAKE

b) a caixa cuja superfície tem a menor área.

Aparalelepípedo = 2 . 8 . 16 + 2 . 8 . 4 + 2 . 4 . 16 = = 256 + 64 + 128 = 448 cm2. Logo, embora os prismas tenham o mesmo volume, o cubo representa aquele que consome menor quantidade de material para ser produzido. O professor pode acrescentar que, dentre os retângulos equivalentes, o quadrado é o de menor perímetro, ao passo que dentre os paralelepípedos equivalentes, o cubo é o de menor área superficial.

Matemática – 7a série – Volume 4

Atividade 3

A área a ser coberta pela capa é igual à soma

O uso de urnas eletrônicas nas eleições no Brasil se configura como um dos processos eleitorais mais modernos do mundo. Na figura, temos representada uma dessas urnas. Vamos considerá-la um prisma cujas bases são trapézios retângulos. Na figura estão dadas as medidas de AB, AC, CD e DE. Considere, também, a diferença entre o perímetro do retângulo BDEF e o perímetro do trapézio ABDC igual a 34 cm. 17 cm

trapézios, com as áreas dos três retângulos que são suas faces laterais, excluída a face apoiada sobre a mesa. (17 + 37) . 21 A = 2 . _____________ + 40 . 29 + 17 . 40 + 2 + 21 . 40 = 3 814 cm2. b) Encontre o volume ocupado por uma urna. Para o cálculo do volume precisamos da área da base, que é a área do trapézio e da al-

das áreas das duas bases do prisma, os dois

tura do prisma, que, no caso, é a medida da aresta DE. Portanto:

21 cm E C 37 cm

40 cm

a) Desejando-se produzir uma capa de material plástico para cobrir a urna, necessita-se calcular a área da urna a ser coberta. Encontre-a (no caso, ignora-se a área da face apoiada sobre a mesa). Para resolver esta atividade é necessário indicar a aresta BD por uma incógnita, por exemplo, x. Desse modo, podemos escrever a seguinte expressão: 40 + 40 +x + x – (21 + 37 + 17 + x) = 34 80 + 2x – 75 – x = 34 x = 29 cm Ou podemos encontrar a incógnita aplicando o teorema de Pitágoras, como segue: BD2 = 212 + 202 BD2 = 841 BD = 29 cm

( 17 + 37 ). 21 . 40 = 22 680 cm3. 2

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos tenham se apropriado dos fatos principais associados aos prismas. Inicialmente priorizamos a identificação e caracterização dos prismas para sua posterior representação plana. Junto a isso criamos um vocabulário geométrico, que permite a diferenciação entre elementos da geometria plana e da geometria espacial, como a diferenciação entre lados do polígono e arestas do poliedro. A aprendizagem dos alunos pode ser avaliada inicialmente a partir de situações que envolvam: aspectos qualitativos dos prismas, como identificação da base e da altura; nomenclatura dos prismas, a partir de objetos concretos; e suas representações planas com o uso das malhas.

Em um segundo momento, o professor pode explorar situações-problema que envolvam o cálculo de áreas e volumes de prismas. É também uma oportunidade para o professor investigar sobre a consistência do conhecimento sobre áreas de figuras planas.

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema Para o desenvolvimento deste conteúdo, vários livros didáticos de Ensino Fundamental apresentam uma série de situações-problema sobre a geometria métrica nos prismas. O professor pode selecionar alguns desses problemas

e agregá-los àqueles que já fazem parte de sua experiência no tratamento deste tema. Propomos que o professor dê preferência aos problemas que envolvem situações contextualizadas. Na Revista do Professor de Matemática, encontramos vários números que tratam dos prismas. Particularmente no número 3, do 2o semestre de 1982, encontramos uma interessante abordagem sobre a relação dos poliedros e as formas na natureza. A RPM é uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática, disponível em: <http://www.rpm.org.br/cms>. Para o trabalho com planificações de sólidos, o professor encontra modelos em vários livros didáticos ou em pesquisas em sites de busca na internet.

ORIENTAçõES PARA RECuPERAçãO Considerando que algumas metas não tenham sido alcançadas na Situação de Aprendizagem 1, o professor pode acrescentar outros tipos de problemas que o auxiliem a identificar os pontos a serem reforçados. Algumas vezes os alunos apresentam dificuldades em “montar” a proporção, trocando os termos de posição, conforme Situação de Aprendizagem 2. A atenção do professor nesse sentido é fundamental para que o aluno reconheça as partes que se colocam em razão e proporção. O apoio de figuras, para identificar o que são as paralelas e as transversais, é fundamental na superação dessas dificuldades. Caso as metas aplicadas na Situação de Aprendizagem 3 não tenham sido atingidas, sugere-se que o professor retome os aspectos essenciais do processo de demonstração do teorema e que proponha aos alunos um conjunto de exercícios de contexto que permitam

a identificação da hipotenusa e dos catetos e a aplicação do teorema na sua solução. Caso os objetivos da Situação de Aprendizagem 4 não tenham sido plenamente alcançados, sugerimos que as atividades de recuperação retomem:

f as figuras planas, particularmente o triângulo equilátero, o retângulo, o paralelogramo, o quadrado e o hexágono regular, enfatizando, de forma esquemática, suas propriedades e relações métricas; f a manipulação dos objetos sólidos em forma de prismas, identificando seus elementos, particularmente aqueles relacionados às figuras planas vistas anteriormente; f a representação plana de prismas; f o cálculo de áreas e volumes dos prismas com diferentes bases.

Matemática – 7a série – Volume 4

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

do EnSino FundAmEntAl 5a série

6a série

7a série

8a série

númERoS nAtuRAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

númERoS nAtuRAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

númERoS RACionAiS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

númERoS intEiRoS - Representação. - Operações.

PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros. - Problemas de contagem.

númERoS REAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

númERoS dECimAiS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações. SiStEmAS dE mEdidAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. gEomEtRiA/mEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

númERoS RACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - A linguagem das potências.

gEomEtRiA/mEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

EXPRESSõES AlgébRiCAS - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álgEbRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - A ideia de variação. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

númERoS/ PRoPoRCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

álgEbRA/EQuAçõES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1o grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

gEomEtRiA/mEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

gEomEtRiA/mEdidAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

gEomEtRiA/mEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

4o bimestre

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade. tRAtAmEnto dA inFoRmAção - leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álgEbRA - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Contagem indireta e probabilidade.