MATEMATICA_CP_8s_Vol1reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

8 - SÉRIE volume 1 - 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretária da Educação Maria Helena Guimarães de Castro Secretária-Adjunta Iara Gloria Areias Prado Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenadora de Ensino do Interior Aparecida Edna de Matos Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius

S239c

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-185-7 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título. CDU: 373.3:51

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009. As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado. Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos. O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas. Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem a eficácia deste trabalho. Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo! Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de Castro Secretária da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números

Situação de Aprendizagem 2 – Números Reais e as Frações Contínuas

Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, álgebra e geometria com a Reta Real

Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza

Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para compreensão do tema 50 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São Paulo Faz ESCola – uMa ProPoSta

CurriCular Para o EStado

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiCHa do CadErno Conjuntos numéricos: dos naturais aos irracionais

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 8a 1o bimestre de 2009 Conjuntos e diagramas Conjuntos numéricos Aproximações para os irracionais Reta real Notação científica

oriEntação GEral SobrE oS CadErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos

pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação na sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.

Conteúdos básicos do bimestre O tema central deste Caderno são os conjuntos numéricos e as suas características e propriedades. Os números constituem um eixo

Matemática – 8a série, 1o bimestre

importante da Matemática e, neste momento, apresentaremos propostas para que se possa estudá-los em articulação com outros eixos, como a geometria e a álgebra. Na 8a série os alunos devem sistematizar o conhecimento adquirido ao longo do Ensino Fundamental, retomando as principais ideias associadas aos conjuntos numéricos. O foco da Situação de aprendizagem 1 é a sistematização dos conjuntos numéricos, dos naturais aos irracionais. Optamos por tratar desse assunto a partir da exploração da ideia de conjunto, a qual desempenha um papel importante dentro do conhecimento matemático. Propomos a exploração de alguns problemas envolvendo conjuntos que podem ser resolvidos por meio de diagramas. A noção de inclusão, reunião, interseção, entre outras, aparece com naturalidade nas atividades propostas. Em seguida, apresentamos a ampliação dos conjuntos numéricos, partindo dos naturais e chegando aos irracionais, enfatizando não apenas as características de cada conjunto, mas a possibilidade de realização das quatro operações sem restrições. Problematizamos, também, a existência dos segmentos incomensuráveis, que deram origem ao conjunto dos números irracionais. Na Situação de aprendizagem 2 retomamos a ideia da representação dos racionais e dos irracionais e daremos um passo além com a apresentação de uma nova forma de escrita dos números reais, que são as frações contínuas. A representação dos números reais como frações contínuas permite o trabalho com a ideia de aproximação de uma forma mais natural e precisa do que aquela que poderíamos fazer por meio das representações decimais dos números.

Na Situação de aprendizagem 3 ampliamos a ideia dos conjuntos numéricos trabalhados na Situação de Aprendizagem 1, agora do ponto de vista do “preenchimento” da reta real. Essa situação constitui um momento importante de articulação entre os eixos da aritmética, da álgebra e da geometria, porque discutiremos números, suas representações e sua localização na reta real com o uso dos instrumentos clássicos de desenho, que são a régua e o compasso. Por fim, na Situação de aprendizagem 4, tratamos da notação científica e da ideia de ordem de grandeza. Retomando as propriedades das operações com potências, que foram contempladas anteriormente no Caderno da 7a série, introduzimos formalmente a notação científica e apresentamos algumas atividades envolvendo a representação e as operações com números nesse formato. Em seguida, apresentamos uma das ideias mais importantes para o trabalho com números grandes ou pequenos e na comparação entre grandezas físicas: a ideia de ordem de grandeza.

Quadro Geral de conteúdos do 1o bimestre da 8a Série do Ensino Fundamental unidade 1 – Conjuntos e diagramas. unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas. unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos. unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal. unidade 5 – Irracionais e suas aproximações. unidade 6 – Representações na reta real. unidade 7 – Construções na reta real. unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.

SituaçõES dE aPrEndizaGEM SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 CONjuNtOS E NúMEROS

tempo previsto: 2 semanas e meia. Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Eüler); operações e relações entre conjuntos; classificação dos conjuntos numéricos. Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os conjuntos: interseção, reunião, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 1 Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com diversos tipos de números: naturais, frações, decimais, negativos, etc. A 8a série é o momento ideal para se fazer uma síntese desses números, retomando seus significados e organizando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos, sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada à resolução de problemas e à representação por diagramas, e menos à linguagem simbólica, que será desenvolvida ao longo do Ensino Médio. A ideia de conjunto é uma das mais importantes na Matemática. A chamada “Matemática

Moderna” pretendeu desenvolver o ensino da Matemática a partir da teoria dos conjuntos, o que acabou gerando uma exagerada valorização da linguagem simbólica em detrimento da constituição do pensamento matemático. Essa iniciativa acabou tornando o ensino da Matemática extremamente abstrato e distante da realidade do aluno, fazendo com que essa metodologia viesse a ser gradativamente substituída por outra, mais contextualizada e voltada para a construção do significado. Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na linguagem formal e mais voltado para o desenvolvimento do pensamento lógico e a resolução de problemas. Essa é a perspectiva que queremos desenvolver nesta Situação de Aprendizagem.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Problemas envolvendo conjuntos Consideremos o seguinte problema: uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão.

Esse é um típico problema que envolve a ideia de interseção de conjuntos. Apresente o problema aos alunos e deixe que eles tentem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos podem questionar a plausibilidade das informações numéricas, uma vez que a soma das partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior que o todo (40). Como isso é possível? A ideia é fazer com que os alunos percebam que as informações sobre os resultados obtidos não são excludentes, isto é, possuem elementos em comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a primeira questão estão contemplados, também, aqueles que acertaram a segunda questão. O mesmo ocorre em relação ao número de alunos que acertou a segunda questão. Levando em consideração esse fato, o problema adquire novo significado. É importante comentar com os alunos a importância da interpretação do enunciado. Dependendo de como forem escritas, algumas informações podem ter certo grau de ambiguidade no seu significado. Afirmar que 35 alunos acertaram a primeira questão é diferente de afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a

primeira questão. Isso faz toda a diferença, e não é raro que alguns alunos optem por essa última interpretação, que acarreta a inconsistência de as partes serem maiores que o todo. No caso desse problema, o fato de um aluno poder acertar a primeira e a segunda questão da atividade implica existência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles não são mutuamente exclusivos. Contudo, em outras situações, a exclusividade dos conjuntos é subentendida pelo próprio contexto. Por exemplo, em uma classe de 40 alunos com 25 homens e 15 mulheres, não há necessidade de se afirmar que 25 dos alunos são exclusivamente homens, pois não há interseção entre os conjuntos. Dessa forma, o contexto do problema desempenha um papel central na interpretação do enunciado, pois nem sempre essa distinção é feita explicitamente. Sugerimos que o professor apresente aos alunos diferentes situações para que eles identifiquem se os conjuntos são mutuamente exclusivos ou não. Voltando ao problema inicial, os alunos podem concluir que, entre os 35 que acertaram a primeira questão, existem aqueles que acertaram somente a primeira questão e aqueles que acertaram as duas. Como essa informação foi fornecida pelo problema, conclui-se que 15 alunos acertaram somente a primeira questão. Acertaram apenas a 1a questão (15) Acertaram a 1a questão (35) Acertaram a 1a e a 2a questão (20)

Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença entre 25 e 20, ou seja, 5.

que possuem determinada propriedade a, é representado assim: A

Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:

f % de alunos que acertaram apenas a 15 = 0,375 ou 37,5%. 40 f % de alunos que acertaram apenas a primeira questão:

segunda questão:

5 = 0,125 ou 12,5%. 40

Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma questão foi de 50%. Problemas desse tipo, envolvendo relações entre conjuntos, podem ser resolvidos por meio de diagramas. Para os alunos da 8a série, os diagramas permitem uma visualização e organização dos dados do problema que podem ajudar a resolver problemas mais complexos. Assim, sugerimos que o professor apresente esse tipo de representação aos alunos e seu significado.

Conjuntos e diagramas Os diagramas podem ser usados para representar conjuntos e suas relações. Atribui-se ao famoso matemático suíço Leonhard Eüler a ideia de usar diagramas para representar relações lógicas. O diagrama de Eüler nada mais é do que uma região delimitada do plano, simbolizada por uma figura curva fechada, que representa determinado conjunto. um conjunto A, constituído de todos os elementos

Nesse caso, o elemento x possui a propriedade a e, portanto, pertence ao conjunto a. já o elemento y, que está fora do diagrama, não possui a propriedade a e, portanto, não pertence a a. A relação espacial entre as figuras (sobreposição, separação, inclusão) indica também o tipo de relação existente entre os conjuntos (interseção, inclusão, exclusão). Consideremos o conjunto a formado pelos elementos que têm a propriedade a e o conjunto b formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos os principais casos e os símbolos associados: 1. inclusão: todo a é b. Se todo elemento de a pertence a b, então a é um subconjunto de b. Dizemos que a está contido em b. Escrevemos a ⊂ b. Exemplo: todo múltiplo de dez é um número par. Os múltiplos de dez formam um subconjunto do conjunto dos números pares. Pares Múltiplos de 10

2. interseção: algum a é b. Se alguns elementos do conjunto a também pertencem ao conjunto b, então existe interseção entre

Matemática – 8a série, 1o bimestre

esses dois conjuntos. Os elementos da interseção possuem as propriedades de A e de B simultaneamente. Escrevemos A ∩ B. Exemplo: os diagramas mostram que alguns números ímpares são primos, como, por exemplo, 3, 5, 7, etc. O 9 é ímpar, mas não é primo. Ímpares

Primos

5. Complementar: caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B. C AB = B A– A B Exemplo: o complementar dos múltiplos de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ... M(5) M(10)

3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os elementos de A e de B. Escrevemos A ∪ B. Exemplo: a reunião dos múltiplos de dois e dos múltiplos de três. A interseção são os múltiplos de seis. M(2)

M(3)

6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou dijuntos: nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia. A ∩ B = ∅. Exemplo: os números pares e os números ímpares são mutuamente exclusivos, pois não possuem elemento em comum.

4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem a B. Escrevemos A – B. Exemplo: a figura representa os números pares que não são primos. Trata-se da diferença entre os conjuntos. Pares – Primos = {0, 4, 6, 8, 10, ...}. Pares

Primos

Pares

Ímpares

Para representarmos as relações entre dois ou mais conjuntos, recorremos a mais diagramas. Por exemplo: Animais

Minerais

Mamíferos

Os diagramas anteriores mostram que os mamíferos são um subconjunto dos animais, e que nenhum elemento do conjunto dos minerais pertence ao conjunto dos animais. Observando os diagramas, podemos obter as seguintes conclusões: f todo mamífero pertence ao reino dos animais. f nem todo animal é mamífero.

que os alunos se apropriem do uso de diagramas na representação das argumentações lógicas, propomos a seguinte atividade.

atividade 1 Nas figuras abaixo, determine qual dos diagramas representa melhor os argumentos dados. a) todas as pessoas nascidas em Curitiba são paranaenses. (P) joão nasceu em Curitiba. (C)

f nenhum mineral é animal.

diagramas e lógica

Logo, joão é paranaense. (j) i.

Os diagramas de Eüler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos devido à sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como “Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo filósofo britânico john Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar argumentações lógicas. Por exemplo:

P j

ii. C P

f todos os mineiros são brasileiros.

f Pedro é mineiro. f logo, Pedro é brasileiro. iii. P Brasileiros

C j Mineiros Pedro

Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta de três proposições: duas premissas e uma conclusão. Para

Apenas o diagrama III pode representar os argumentos dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II representa o contrário da premissa II, pois indica que todos os paranaenses são curitibanos.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.

ii.

um quadrado é um quadrilátero. Logo, nenhum quadrado possui cinco lados.

Poliedros regulares

tetraedros

Pirâmides

Quadriláteros

Cinco lados

iii. Pirâmides

Quadrado

tetraedros

ii. Quadrilátero

Cinco lados

Quadrado

iii. Quadrilátero

Cinco lados Quadrado

Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa. c) Alguns tetraedros são regulares.

Poliedros regulares

O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O diagrama I está errado, pois não se afirma que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III também está em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros regulares são pirâmides.

resolução de problemas por meio de diagramas Vejamos, agora, como os diagramas podem auxiliar a resolução de problemas envolvendo a relação entre as partes e o todo de determinados conjuntos. Retomaremos o problema inicial desta Situação de Aprendizagem.

todos os tetraedros são pirâmides. Logo, algumas pirâmides são regulares. i. Poliedros regulares Pirâmides

uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão.

tetraedros

Do total da classe de 40 alunos, uma parte acertou as duas questões. Assim, há interseção

entre os conjuntos dos alunos que acertaram a primeira questão e a segunda. Para completar o diagrama com as informações numéricas do problema, podemos iniciar registrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o número de alunos que acertaram as duas questões. 1 ∩2 o

É importante comentar com os alunos que, nesse caso, a soma dos elementos representados no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao total de alunos da classe, 40, o que significa que nenhum aluno errou as duas questões. Com a leitura do diagrama preenchido, podemos obter as respostas do problema, bastando calcular as porcentagens solicitadas, como já havia sido feito no início desta Situação de Aprendizagem.

Em seguida, preenchemos as regiões que representam o número de alunos que acertaram exclusivamente uma das questões. O número de alunos que acertou apenas a primeira questão é a diferença entre o número total de alunos que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas questões (20), ou seja, 15. O mesmo ocorre em relação à segunda questão. 1o – 2o

2a 15

atividade 2 uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1 200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Com base nesses dados, determine:

2o – 1o

a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas?

b) quantas pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C?

2a 15

Sugerimos que o professor proponha mais alguns problemas para os alunos, para que eles se familiarizem com esse tipo de representação. A seguir, apresentamos um exemplo de um problema envolvendo mais de dois subconjuntos.

c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa?

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Representando as informações dadas no diagrama, temos o seguinte:

O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra a figura abaixo:

Representação da interseção entre os 3 conjuntos: A ∩ B ∩ C A A

260

160 20 10

40 290 C

Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C. O problema informa que 100 famílias assistem aos programas A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três programas; portanto, o número de famílias que só assistem aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80. O mesmo vale para as outras interseções. A

80 20 10

Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a soma das partes corresponde ao total de entrevistados. Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860. Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas. Isso pode ser representado como o conjunto complementar em relação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama abaixo:

C A

Representação do número de pessoas que assistem exclusivamente a cada um dos programas. No caso do programa A, esse número será a diferença entre o total de pessoas que assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A ∩ B, A ∩ C e A ∩ B ∩ C.

260

160 20 10

40 290

t 340

A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260

Preenchidos os diagramas, podemos responder às perguntas do problema: a) 340 pessoas não assistem a nenhum dos 3 programas. b) 340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C: 260 + 80 = 340.

260

160 20 10

340

290 C

c) O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores, contra 260 do A e 160 do B.

260

160 20 10

40 290

t 340

os conjuntos numéricos Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente, a ideia de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de contagem de objetos, os números chamados naturais são suficientes para expressar resultados e efetuar determinadas operações.

Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade criaram diferentes necessidades de representação, implicando criação de outras formas de representação numérica: frações, decimais, números negativos, irracionais e imaginários. Cada tipo de número criado pelo homem ampliou não só a capacidade de representação, mas também as possibilidades de solução para diferentes problemas. Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas de representação numérica. Com os números naturais, puderam representar quantidades inteiras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações, etc. Os números racionais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como número decimal. As frações surgem para representar quantidades não inteiras, o resultado de medidas, a relação entre a parte e o todo de um determinado objeto ou conjunto. Os números negativos são estudados na 6a série, rompendo com a ideia de que os números só podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, na 8a série surgem os números irracionais, que representam as medidas de segmentos incomensuráveis, uma vez que ela não pode ser representada na forma de uma fração entre dois inteiros. Todo esse universo numérico pode ser organizado e sistematizado por meio de diagramas que representem as relações de inclusão e interseção entre os diferentes conjuntos. Apresentaremos, a seguir, a classificação mais usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de vista das características de cada número e das operações que podem ser realizadas dentro de cada conjunto.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Conjuntos numéricos e operações: dos naturais aos racionais. No conjunto dos números naturais, sempre podemos realizar as duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação. Ou seja, qualquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a . b será também um natural. Dizemos, então, que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação. Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio dos naturais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois números. Por exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natural. A subtração a – b só pode ser realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual a b. A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico para incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, além da adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro. Contudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a só pode resultar em um inteiro se a for um fator de b. Assim, de forma análoga ao que aconteceu com a subtração, a criação dos números fracionários, na b (a e b inteiros, com a ≠ 0) removeu os forma a obstáculos para a operação de divisão, com exceção da divisão por zero. Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos números racionais, que é fechado para a adição, multiplicação, subtração e divisão.

Assim, a ampliação do campo numérico dos naturais para os racionais possibilitou a criação de um conjunto onde os resultados das quatro operações aritméticas básicas podem ser obtidos sem restrições.

dos racionais aos irracionais Como vimos, os números racionais permitem expressar o resultado de um processo de medida. Se compararmos a magnitude de dois segmentos a e b, podemos obter como resultado um número inteiro, se a for um fator de b, ou seja, b = r . a. Se isso não ocorrer, então podemos dividir a unidade a em n segmentos iguais, cada a , de forma que ele caiba n um número inteiro m de vezes no segmento b. um de comprimento

m . a. n Quando for possível expressar a medida de um segmento com base em outro por meio de uma fração ou um número inteiro, dizemos que os segmentos são comensuráveis. Em termos práticos, os números racionais podem expressar a medida de quaisquer segmentos comensuráveis.

Neste caso, teríamos que b =

Em termos teóricos, contudo, a questão deve ser ampliada. Nem toda medida pode ser expressa na forma de uma razão entre números inteiros. A descoberta da existência dos segmentos incomensuráveis foi um dos fatos mais surpreendentes da história da Matemática. Um dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade é a medida da diagonal do quadrado em relação ao lado, que foi atribuída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.

Considerando um quadrado de lado unitário, podemos obter a medida da diagonal aplicando o Teorema de Pitágoras: d 2 = 12 + 12 d2 = 2

143

341

Ora, se d for comensurável em relação ao lado 1, então devem existir dois inteiros a e b, a a tal que = d. Logo, b b

= 2, ou seja,

a2 = 2. b2

Podemos escrever que a2 = 2 . b2. Decompondo o número a em fatores primos, tais fatores obviamente irão aparecer aos pares já que a2 = a . a. O mesmo acontece com o número b. Se a igualdade acima fosse verdadeira, teríamos a . a = 2 . b . b, ou seja, teríamos uma quantidade ímpar de fatores do lado direito, já que temos 2 . b . b, e uma quantidade par de fatores do lado esquerdo da igualdade, a . a. Sabemos que isso não é possível, pois todo número inteiro diferente de 0 e de 1 possui uma única decomposição em fatores primos. Consequentemente, não existe nenhuma fração a , com a e b inteiros que, elevada ao quadrado, b resulte em dois. Esse resultado, que nada mais é do que a 2 , não é um número racional. Assim, retomando a perspectiva da preservação das operações, o conjunto dos números racionais não é fechado para a radiciação. A existência de segmentos incomensuráveis implicou na criação de um conjunto comple-

mentar aos números racionais e que foi denominado irracional. Entre os números irracionais encontram-se as raízes não exatas, como 3 , 5 , 12 , 5 5 , etc. e números como PI (π) ou Fi (φ), chamados transcendentais ou transcen dentes (o conceito de número transcendental será tratado na Situação de Aprendizagem 3). De um modo geral, todos os irracionais possuem uma representação decimal infinita e não periódica. A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais deu origem ao conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma propriedade importante, que será amplamente utilizada daqui para a frente. Para cada número real, é possível associar um único ponto de uma reta numerada. Assim, a reta real constitui um modelo para a representação de todos os números reais, sejam eles racionais ou irracionais. A representação de alguns irracionais será apresentada nas Situações de Aprendizagem a seguir. É importante comentar com os alunos que, diferentemente do conjunto dos racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição e multiplicação. Por exemplo, embora 3 + 5 seja irracional, o resultado de 3 + – 3 é zero, que é racional. Do mesmo modo, 3 . 3 = 9 = 3 , que também é racional. O conjunto dos irracionais também não é fechado pela subtração e pela divisão.

(

)

representação dos conjuntos por meio de diagramas Podemos representar os conjuntos numéricos por meio de diagramas. Como vimos anteriormente, podemos ampliar os conjuntos numéricos

Matemática – 8a série, 1o bimestre

dos naturais aos racionais introduzindo novos tipos de números (frações, negativos) de modo a permitir a realização das quatro operações básicas sem restrições. Essa ampliação pode ser representada pelos seguintes diagramas:

para os números reais (IR), representado pelo diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os irracionais são o conjunto complementar aos racionais em relação aos reais. IR

Conjunto dos Naturais (IN)

2 3

f Fechado para as operações de adição e multiplicação. 0, 1, 2, 3, ...

π Ir

Com base neste diagrama, podemos escrever as seguintes relações entre os conjuntos numéricos:

1,

Ampliação dos Naturais para os Inteiros (z) f Introdução dos negativos. f Fechado para adição, multiplicação e subtração.

IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

IR = Q ∪ Ir

A seguir, propomos uma atividade para aprofundar o conhecimento sobre as relações entre os conjuntos numéricos:

atividade 3

–1, –2, –3, ... z

Classifique em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir. Re-escreva as expressões falsas tornando-as verdadeiras.

IN 1,,–

Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)

a) IN ⊂ Z

f Introdução das frações, não inteiros.

Verdadeira. Os naturais são um subconjunto dos inteiros, pois todo número natural também é inteiro.

f Fechado para adição, multiplicação, subtração e divisão.

b) IN ∪ Z = Q Falsa. A reunião dos naturais com os inteiros é o próprio conjunto dos inteiros. N ∪ Z = Z

1, – 3, 2 4 Q

1,,–,

c) IR – Ir = Q Verdadeira. Os racionais são o complementar dos irracionais em relação aos reais. d) Z ∩ Q = Q

A introdução dos números irracionais (Ir) permitiu a ampliação do campo dos racionais

Falsa. A interseção entre inteiros e racionais são o próprio conjunto dos inteiros. Z ∩ Q = Z

e) Q ∩ Ir = Q Falsa. Não há interseção entre racionais e irracionais, pois são conjuntos mutuamente exclusivos. Q ∩ Ir = ∅

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos numéricos, desde os números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para representar situações-problema envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto. Além disso, o aluno deve conhecer o significado das principais relações entre conjuntos: reunião, interseção, pertinência, inclusão e diferença. Embora o foco na 8a série não seja a formalização da linguagem simbólica matemática, o que será feito no Ensino Médio, o aluno deve conhecer o significado dos principais símbolos ligados às operações entre conjuntos: ∩, ∪, ⊂. Além das atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem, o professor poderá sugerir problemas

e exercícios complementares que estão presentes na maioria dos livros didáticos. Em relação aos problemas envolvendo conjuntos, é importante orientar os alunos em relação a alguns aspectos, tais como: f cuidado na leitura do enunciado – ambiguidade x contexto. f organização das informações. f registro das operações. f representação por meio de diagramas. tais aspectos devem ser considerados pelo professor nas atividades de avaliação. Em relação aos conjuntos numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é a ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais aos racionais com apoio nas quatro operações básicas. E o segundo, é a passagem dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos números reais. Esses dois aspectos devem ser bem trabalhados, pois constituirão uma base para o prosseguimento dos estudos no Ensino Médio, principalmente no que se refere às funções.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 NúMEROS REAIS E AS FRAçõES CONtÍNuAS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números racionais e irracionais. Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; relacionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e aproximação na representação de números racionais. Estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e analisar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 2 números racionais e sua escrita decimal Conforme vimos em uma Situação de Aprendizagem da 7a série, a representação decimal de um número racional ou é finita, como no 4 = 0,8, ou infinita e periódica, como caso de 5 7 no caso de = 1,1666... . A seguir apresenta6 remos novos contornos a essa questão com a retomada da discussão da fração geratriz de uma dízima periódica. Recuperando o processo de determinação da geratriz de uma dízima, sugerimos que a discussão seja iniciada com o seguinte problema: Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?

De acordo com o processo descrito na 7 série, escrevemos x = 0,7999... e iniciamos a busca de duas igualdades equivalentes a essa, e que tenham exatamente o mesmo período, como veremos a seguir: a

. 10 . 10

x = 0,7999... 10x = 7,999... 100x = 79,999...

. 10 . 10

(1) (2) (3)

Observe que necessitamos de duas multiplicações por 10 para encontrar duas igualdades com o mesmo período, que são as igualdades indicadas por (2) e (3). Dependendo do período da dízima investigada, o processo pode exigir mais do que duas multiplicações por 10;

porém, o processo descrito é geral uma vez que, por ele, sempre será possível encontrar duas igualdades com números de mesmo período. O passo seguinte consiste em subtrairmos, membro a membro, as igualdades de mesmo período que, no caso do exemplo, são (2) e (3). tal subtração tem por objetivo encontrar uma igualdade equivalente em que apareça um número inteiro no segundo membro. Com base nela, basta agora encontrar o valor de x, que será a fração geratriz de 0,7999... . (3) – (2): 100x – 10x = 79,999... –7,999... 90x = 72 x=

72 4 , ou seja, x = 90 5

A conclusão importante que decorre desse problema que acabamos de resolver é que tanto a dízima periódica 0,7999... quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma 4 fração . trabalhando com outros exemplos 5 o professor poderá elaborar atividades em que os alunos percebam que, pelo processo descrito, todo decimal finito poderá ser convertido em uma dízima periódica cujo período será ou 0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999..., etc. Isso se justifica pois, como veremos a seguir, podemos representar qualquer número racional como soma de infinitas frações decimais. Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve como motivação a busca de se escrever qualquer fração sob uma forma decimal.

Isso porque tanto o cálculo quanto a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre frações ordinárias. A partir da discussão desencadeada com a questão inicial sobre a fração geratriz, podemos reformular a afirmação feita no primeiro parágrafo para o seguinte enunciado: “todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”. Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, sempre será possível representar um racional como soma de infinitas frações. No caso dos racionais

Frações Contínuas A fração

4 situa-se entre os inteiros 0 e 1. 5

Dessa forma, podemos escrever sendo que x > 1. Se

4 1 como 0 + , 5 x

4 1 5 = 0 + , então x = , 5 x 4

4 7 e , essas somas seriam: 5 6

o que nos permite escrever, portanto, 4 = 0 + 1 , 5 5 4

4 = 0,8 = 0,7999... = 5

que chamaremos de igualdade (1). Repetiremos o raciocínio que acabamos de fazer,

7 9 9 9 + + + + ... 10 100 1 000 10 000

agora para a fração

7 = 1,1666... = 6 1+

1 6 6 6 + + + 10 100 1 000 10 000

Deve ficar claro para o professor que a discussão feita até o momento tem como objetivos: 1. retomar a discussão de fração geratriz iniciada na 7a série; 2. reformular definições à luz de maior rigor e generalidade; 3. recuperar ideias relacionadas com a estrutura do sistema decimal de numeração.

Se por um lado o uso da notação decimal nos permite escrever todo e qualquer número racional como uma soma de infinitas frações, há um processo que nos permite escrever todo e qualquer número racional com um número finito de frações, como veremos a seguir.

5 5 . Sabemos que é um 4 4 número entre 1 e 2 e que, portanto, pode ser escrito como 1 +

1 5 1 , com y > 1. Se = 1 + , y 4 y

então y = 4. Segue, portanto, que

5 1 =1+ , 4 4

que chamaremos de igualdade (2). Substituindo 4 1 =0+ , que será a 1 5 1+ 4 igualdade (3). Repetindo mais uma vez o mesmo (2) em (1) teremos

1 1 1 processo para a fração , teremos: = 0 + , 4 4 w com w > 1, o que implica dizer que w = 4 e que, portanto,

1 1 = 0 + . Note que essa última 4 4

Matemática – 8a série, 1o bimestre

etapa dos cálculos não implicou uma repre1 o que, em 4 última análise, quer dizer que o processo está encerrado. Na prática isso sempre ocorrerá quando x, y, w... for um número inteiro.

sentação diferente para a fração

5 , o que 4 nos fez calcular y, que por sua vez é igual a 4 ∈ z, encerrando assim o processo em y. Decorre do processo que acabamos de fazer a seguinte igualdade, que chamamos “desenNo caso do exemplo analisado, x =

volvimento do

4 em fração contínua”: 5

4 1 =0+ 1 5 1+ 4 Pode-se demonstrar que todo número racional pode ser escrito como fração contínua por meio de um desenvolvimento finito, como ocorreu no exemplo que acabamos de analisar. Vamos mostrar agora que o racional

7 , cuja 6

representação decimal era explicitamente uma dízima periódica, também pode ser escrito com fração contínua por meio de um número finito de passos. O raciocínio será o mesmo que foi 4 utilizado para o : 5 (1)

7 7 1 está entre 1 e 2, portanto, = 1 + , 6 6 x com x > 1

(2) De

7 1 = 1 + decorre que x = 6, ou 6 x

seja,

7 1 =1+ 6 6

(3) Como x = 6 ∈ z,, o processo está encerrado e a fração contínua do desenvovimento de

7 7 1 é =1+ . 6 6 6

atividade 1 16 Com relação ao número racional , per7 gunta-se: a) utilizando o algoritmo da divisão para fazer 16 ÷ 7 encontraremos um decimal finito ou uma dízima periódica? Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7 irá encontrar como resultado 2,2857142. Como não identificamos facilmente nessa divisão um período que se repete, é possível que o aluno responda que o resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem “As dízimas periódicas são previsíveis...”, do Caderno do 1o bimestre da 7a série. Naquele momento foi discutido que, ao realizarmos a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador da 16 apresenta fator primo 7, sabemos 7 que a representação decimal decorrente da conta de divisão será uma dízima periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não foram suficientes para a identificação do período, recomendamos que o professor solicite que os alunos façam a conta armada até que identifiquem com clareza o período (16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).

fração

16 como fração contínua. 7 16 Faremos agora o desenvolvimento de como 7 fração contínua: b) Escreva

16 16 1 está entre 2 e 3, portanto, = 2 + , 7 7 x com x > 1.

(1)

(2) De

16 1 7 = 2 + decorre que x = , ou 7 x 2

16 1 =2+ . 7 7 2 7 7 1 (3) está entre 3 e 4, portanto, = 3 + , 2 2 y com y > 1. seja,

(4) De

7 1 =3+ decorre que y = 2, ou 2 y

seja, 7 = 3 + 1 . 2 2 (5) Como y = 2 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é 16 1 = 2+ 1 7 3+ 2 Faremos mais um exercício para reforçar a ideia do processo.

atividade 2 Escreva

30 como fração contínua. 13

30 30 1 está entre 2 e 3, portanto, = 2 + , 13 13 x com x > 1.

(1)

(2) De

30 1 13 = 2 + decorre que x = , ou 13 x 4

seja, 30 = 2 + 1 . 13 13 4 13 13 1 (5) está entre 3 e 4, portanto, = 3 + , 4 4 y com y > 1. (6) De

13 1 = 3 + decorre que y = 4, ou 4 y

seja, 13 = 3 + 1 . 4 4 (7) Como y = 4 ∈ Z, o processo está encerrado e a fração contínua procurada é 30 1 . = 2+ 1 13 3+ 4 Em resumo, alguns dos objetivos específicos que o professor poderá levar em consideração se decidir por abordar frações contínuas para representar números racionais são: 1. as frações contínuas descrevem um processo finito (utilizando frações) para a representação de todo e qualquer número racional. Sem as frações contínuas, e restritos apenas à representação decimal dos números racionais, uma dízima periódica só poderá ser representada com a soma infinita de frações. 2. as frações contínuas são trabalhadas em um ambiente onde se faz necessária a retomada de operações e representação de frações, o que é positivo dentro da ótica de currículo em espiral. 3. o estudo das frações contínuas abre uma interessante perspectiva de interpretação e análise dos números irracionais, como veremos a seguir.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Frações contínuas e os números irracionais uma forma muito utilizada de nos referirmos aos números irracionais é a de que são os números cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vírgula. Nesse caso, ao observarmos no visor de uma calculadora de oito dígitos o resultado 1,4142135 de 2 sabemos, de antemão, que o número indicado é apenas uma aproximação de 2 , dado que 2 é um número irracional. Se fosse possível ter uma calculadora que calculasse 2 com infinitas casas, o fato de se tratar de um número irracional nos dá garantias de que as casas depois da vírgula não seriam periódicas. Se nos referirmos aos números irracionais dessa maneira – e tendo discutido antes a representação dos racionais por frações contínuas – surge quase que naturalmente a pergunta, se existe um processo para a representação dos irracionais com frações contínuas. Veremos a seguir que além de existir tal processo, surpreendentemente ele nos conduzirá a um tipo de representação periódica e, portanto, previsível. A seguir aplicaremos o mesmo processo que foi utilizado para a obtenção de frações contínuas de números racionais para o caso do número irracional 2 . 1.

1 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 = 1 + , x com x > 1.

2. De

2 =1+

2 – 1=

1 x

1 decorre que: x

1 2 –1

1 . 2 –1

2 +1 2 +1

x =1+ 2 2 =1+

temos, portanto,

1 1+ 2

3. 1 + 2 é um número entre 2 e 3, portanto, 1 + 2 = 2 + 4. De 1 + 2 = 2 +

1 , y > 1. y

1 decorre que y = 1 + 2 y

e, portanto, temos: 1+ 2 = 2 +

1 1+ 2

5. Substituindo no resultado do passo 2 o resultado obtido no passo anterior teremos: 2 =1+

1 2+

1 1+ 2

6. Note que x = y = 1 + 2 . Se fôssemos continuar o processo, partiríamos de y e encontraríamos w = 1 + 2 . Na sequência, partiríamos de w = 1 + 2 e encontraríamos z = 1 + 2 , e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue, portanto, que a fração contínua que representa 2 será: 2 =1+

1 2+

1 ...

O processo descrito nos fornece uma “fábrica” de aproximações racionais para 2 , bastando para isso parar em algum ponto da sequência infinita indicada na fração contínua. 1a aproximação:

2 1 +

2 =1+

2 1 +

1 ...

3 = 1, 5 2

1 2+

2

2 =1+

1 1 ...

1 1 2+

1 2+

1 ...

2 1 +

1 ...

1 2

2

17 12

41  1, 4138 29

1 2+

3 2

7 = 1, 4 5

, ou seja , 2 

5a aproximação:

1 2+

1 , ou seja, 2

3a aproximação:

2 =1+

2

17  1, 4167 12

1 2+

2 1 + 2a aproximação:

2

7 5

1 2+

, ou seja , 2 

2 1 1

1 2+ 2

4a aproximação:

2 =1+ 2 =1+

1 2+

1 ...

, ou seja , 2 

1 2+

41 29

1 2

Pode-se demonstrar que as sucessivas aproximações racionais que obtemos de 2 por meio da sua fração contínua formam uma sequência convergente em que seus termos são, alternadamente, aproximações por

Matemática – 8a série, 1o bimestre

falta e por excesso de 2 . A tabela a seguir resume essa informação:

aproximação de 2

1 =1 1 3 = 1,5 2 7 = 1,4 5

Erro em aproximação relação ao por valor de 2

≈ 0,4142

Falta

O segundo resultado enunciado é curioso porque, contrariamente às aproximações de 2 quando expresso por decimais (aproximações que envolvem infinitas frações não periódicas), ao expressarmos 2 por uma fração contínua sua representação será periódica. Apenas como curiosidade, apresentamos a seguir a representação com fração contínua de dois importantes números irracionais, a razão áurea

≈ 0,0858

≈ 0,0142

17 ≈ 1,4167 ≈ 0,0024 12 41 ≈ 1,4138 ≈ 0,0004 29

Excesso

Falta

1+ 5 e π: 2

1+ 5 = 2 1+

1 1+

Excesso π=3+ Falta

2. os números do tipo n (onde n é natural não quadrado perfeito) têm desenvolvimento com infinitos passos, e os passos são periódicos. 3. todo número real pode ser representado por uma fração contínua.

1 1+

1 ... 1

1 15 +

O processo de determinação das frações contínuas dos números racionais e do número irracional 2 sinaliza para os seguintes fatos, que podem ser matematicamente demonstrados: 1. todo número racional pode ser representado por uma fração contínua por meio de um número finito de passos.

1 1+

1 292 +

1 1+

1 2+

1 ...

atividade 3 Determine a fração contínua que representa o número 24 . 24 está entre 4 e 5, portanto, 1 24  4 1 , com x > 1. x 1 2) De 24  4 1 decorre que: x 1 24 – 4  x 1)

1 24 – 4

24 + 4 1  24 – 4 24 + 4

24 = 4 +

4 + 24 x= 8 Temos, portanto,

24 = 4 +

1 4 + 24 8

4 + 24 é um número entre 1 e 2, por3) 8 4 + 24 1 tanto, = 1 + , y > 1. 8 y 4) De

4 + 24 1 = 1+ 8 y

decorre

que

y = 4 + 24 e, portanto, temos: 4 + 24 1 = 1+ 8 4 + 24 Substituindo o resultado do passo 4 no resultado do passo 2, temos:

1 1+

1 8+

1 1+

1 8+

1 1+

1 8+

1 ...

Finalizada esta breve apresentação sobre o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez, que o tratamento dado nessa Situação de Aprendizagem aos números racionais e irracionais por meio de frações contínuas consiste em uma alternativa à abordagem tradicional conduzida por boa parte dos programas curriculares e livros didáticos. Deve ficar claro que a decisão sobre incorporar ou não essa abordagem (ou parte dela) caberá ao professor.

Considerações sobre a avaliação

que

uma vez que o professor se decida por trabalhar com as frações contínuas no seu curso sobre números reais, recomendamos que aproveite também a oportunidade para explorar o uso da calculadora em sala de aula. utilizar a calculadora para calcular a representação decimal de números racionais e para encontrar aproximações de raízes pode ser uma interessante porta de entrada para a expansão do conhecimento numérico de um aluno de 8a série.

4 + 24 . Como w repetiu o valor de x, 8 a partir de agora o processo começa a se repetir novamente. Segue, portanto, que a

Deve-se observar que nas séries anteriores já haviam aparecido representantes numéricos de todos os conjuntos; porém, entendemos que a 8a série seja o ambiente para organizar

24 = 4 +

1 1+

1 4 + 24

5) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos 4 + 24 = 8 + 6) w=

24 será:

fração contínua que representa

4 + 24 = 8 +

1 w

1 , com w > 1. w decorre

Matemática – 8a série, 1o bimestre

as informações numéricas, bem como conceder novos contornos à discussão feita sem grande aprofundamento sobre números racionais e irracionais na 7a série. As avaliações sobre o tema tratado nesta Situação de Aprendizagem podem ser feitas por meio de listas de exercícios em que se peça para o aluno determinar frações geratrizes,

identificar/determinar frações contínuas, e calcular aproximações racionais obtidas por frações contínuas. Identificado um interesse sobre o assunto por parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação pode ser um trabalho de pesquisa em que os alunos tenham que se aprofundar no assunto estudado.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 ARItMÉtICA, áLGEBRA E GEOMEtRIA COM A REtA REAL tempo previsto: 2 semanas e meia. Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real; teorema de tales, teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo. Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com critérios pré-estabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar proposições e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos. Estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização dos números na reta real.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 3

8a série, pode ser utilizado agora para ampliar o significado do plano cartesiano. O estudo dos gráficos, que consiste em problema importante

a reta real

no contexto da Matemática, já vem sendo rea-

O estudo da reta real na 8 série tem alguns objetivos muito bem definidos. Inicialmente, ele justifica-se pelo fato de que todo o conhecimento numérico do aluno, estabelecido a

ao longo das séries anteriores, e organizado com a Situação de Aprendizagem 1 da

lizado desde a 5a série do Ensino Fundamental, porém sempre deixando de lado discussões relacionadas ao “preenchimento” do plano. Por exemplo: ao dizer em uma 6a série que os pontos (1,1), (1,4) e (5,1) são vértices de um triângulo retângulo no plano cartesiano,

A retomada do tema em questão pode ser feita com o seguinte problema:

exemplo de ponto pertencente ao segmento AB, com coordenada y não inteira.

Construa no plano cartesiano o triângulo de vértices (1,1), (1,4) e (5,1). Em seguida, indique alguns pontos ao longo do perímetro desse triângulo em que ao menos uma de suas coordenadas não seja inteira.

Fazendo a representação do triângulo no plano poderemos investigar a questão com maior clareza:

denada x não inteira, e o par

7 3

Se, por opção do professor, o mesmo problema fosse tratado na 7a série, após a apresentação de alguns números irracionais, poderíamos “preencher” os mesmos segmen2 , 1 , que pertence tos com pontos como a AC, e 1, 6 , que pertence a AB. Após o trabalho feito com o teorema de tales na 7a série, também poderíamos encontrar pontos pertencentes a BC com ambas as coordenadas não racionais. Por exemplo, determinaremos a seguir a ordenada do ponto 6 , y pertencente ao segmento BC.

)

(

)

(

341

ponto pertencente ao segmento AC, com coor143

apenas iniciamos uma discussão que pode e deve ser retomada na 8a série com mais rigor e precisão por meio de discussão da reta real.

)

y 4

1 0

C 1

143

O par ordenado

341

Os segmentos AB, AC e BC são formados por infinitos pontos, contudo, na 6a série não se discutia especificamente quais são as coordenadas desses pontos. Se tal discussão fosse conduzida naquela ocasião, certamente preencheríamos os segmentos apenas com pontos de coordenadas racionais, já que os números irracionais ainda não haviam sido apresentados. 3 , 1 seria um exemplo de 2

y 1 0

B D E C

A 1

Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y e ED = 6 – 1 . Segue, portanto, que: BE ED 4–y 6 –1 = → → = 3 4 BA AC →y=

19 – 3 6 ∉ Q. 4

Matemática – 8a série, 1o bimestre

143

das não racionais:

341

Portanto, o ponto D tem as seguintes coordena19 – 3 6 . 4

Retomando a discussão com os alunos sobre o número π, iniciada na 6a série, é possível indicar que outro exemplo de ponto pertencente ao segmento AC, com abscissa não racional, seria o par ordenado (π,1). Essa discussão deve servir para que o professor problematize a necessidade de ampliação das ideias relacionadas sobre os eixos do plano cartesiano que, a rigor, são eixos de números reais, apesar de não ter sido definido dessa maneira até a 7a série. Poderíamos dizer que na 6a série a reta real estava preenchida apenas com os racionais, na 7a série foram incorporados a ela alguns números irracionais (caso o professor tenha optado por iniciar a discussão sobre irracionais nessa série), e na 8a série ela será completamente preenchida com os demais irracionais. Antes de prosseguirmos a proposta de trabalho com a reta real, falaremos brevemente sobre a divisão dos números irracionais entre algébricos e transcendentes. Normalmente não se comenta esse assunto no Ensino Fundamental; porém, não encontramos grandes obstáculos para que ele seja abordado, especialmente se houver interesse do professor em tratar o assunto sobre o ponto de vista da história da Matemática. Dizemos que um número real é algébrico quando ele é solução de uma equação algébrica com coeficientes inteiros.

Vejamos alguns exemplos de equações algébricas com coeficientes inteiros, bem como o respectivo grau da equação:

Equação algébrica

Grau da equação

Solução da equação

2x + 8 = 0

–4

– 6x + 4 = 0

2 3

x2 = 3

± 3

x2 + x – 2 = 0

1 ou –2

x3 + x2 – 2x – 2 = 0

– 2, 2 ou –1

usando a definição de números algébricos e a tabela, podemos dizer que os números – 4, 2 , – 3 , 3 , 1, –2, – 2 , 3 cados como algébricos.

2 e –1 são classifi-

observações: 1. uma equação do tipo

2 x – 1 = 0 não

serviria para classificar o número

2 2

como algébrico porque, apesar da equação ser algébrica, ela não possui todos seus coeficientes inteiros (o coeficiente de x é o número irracional 2 ). Para mostrar que

2 é um número algébrico 2

(e ele é!), teríamos que apresentar, por exemplo, a equação 2x2 – 1 = 0.

2. equações do tipo , x +

1 +2=0 x+1

x + 2 x + 2 = 0 , sen x =

1 não são algé2

bricas. Equações algébricas são do tipo a0xn + a1xn – 1 + ... + an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ..., an – 1, an sendo seus coeficientes, e n o seu grau. 3. um mesmo número algébrico pode ser identificado por mais de uma equação algébrica com coeficientes inteiros, mas basta apresentar uma única equação para que ele seja classificado como algébrico. Alguns exemplos de equações que permitem classificar o número 2 como algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0, x3 + x2 – 2x – 2 = 0, etc. O primeiro motivo de estabelecermos essa classificação é o de justificar para o aluno a diferença entre números irracionais como 2 e o π. Enquanto 2 é um número irracional algébrico, não há uma equação algébrica com coeficientes inteiros que tenha como solução o número π, o que o caracteriza como irracional não algébrico (irracional transcendente: quando um número real não é algébrico dizemos que ele é transcendente). todo número racional é algébrico, mas nem todo número irracional é algébrico. Existem inúmeros exemplos de irracionais transcendentes, porém, até o final do Ensino Fundamental o aluno terá contato com apenas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar matematicamente que são irracionais transcendentes números como π, log 2 e 2 2 .

Dizemos que a reta real é o conjunto que reúne os números racionais e irracionais ou, de outra forma, o conjunto que reúne os números algébricos e os números transcendentes. Por fim, afirmaremos que todo número racional é algébrico, nem todo número irracional é algébrico e que todo número transcendente é irracional.

localização de números na reta real com o uso de régua e compasso Agora que a reta real está completamente preenchida, nos debruçaremos sobre um problema que remonta à geometria da Grécia Antiga. Sabe-se que os gregos antigos se interessavam por construções geométricas feitas com o uso de dois dos instrumentos geométricos mais simples de todos: a régua sem escala e o compasso. Outros instrumentos de construção também eram utilizados na antiguidade clássica, porém, acredita-se que o problema de se encontrar os procedimentos para as construções geométricas com o uso de apenas esses dois instrumentos esteja relacionado à busca de simplicidade e elegância. A tarefa que propomos para o professor é desafiar seus alunos a encontrarem procedimentos com régua sem escala e compasso para localizar na reta real a maior quantidade de números que for possível. uma forma de organizar a exploração seria partir dos números naturais, passar pelos inteiros não naturais, depois pelos racionais não inteiros e, por fim, pelos irracionais, eventualmente dividindo-os em irracionais algébricos e transcendentes.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Começaremos por apresentar um diagrama com exemplos de números de cada conjunto numéricos e, em seguida, tentaremos localizar na reta real (com os instrumentos permitidos) alguns dos exemplos numéricos do diagrama. Q

IR – Q

1 2

2 3 3

–2 1 3

2 4

–4 7

0,25

sen 10o

mos que se comece com a localização de passando em seguida para 0,25 =

1 , e depois 4

para

–6 log 2

1 , 2

1 . Apresentamos a seguir exemplos de 3 procedimentos que permitem as construções desses números.

Os procedimentos para localização dos racionais na reta real podem variar muito e é importante que o professor dê liberdade para que os alunos pensem sobre suas estratégias próprias de localização antes que seja generalizado algum método padrão. Sugeri-

–1 IN

–3

Construção dos racionais não inteiros

2,3666...

Construção do Construção dos números naturais e dos inteiros negativos

1 2

1. Marcamos com o compasso o número 1.

Partimos de uma reta ordenada com uma marcação para o zero. Em seguida, estabelecemos uma unidade de medida arbitrária (1u) e, com a ajuda do compasso, marcamos todos os números naturais e os inteiros negativos transportando a unidade para a reta real.

2. traçamos a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 1. 3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz 1 e a reta real é o número . 2

–3

–2

–1

Construção do 0,25 =

1 4

Construção do

1 (conforme já foi descrito). 2 2. traçamos a mediatriz do segmento que 1. traçamos

1 . 2 3. O ponto de cruzamento entre a medialiga os números 0 e

triz e a reta real é o número

1 4

1 2

1 . 4

1 3

É interessante notar que muitos alunos ten1 na reta real repetindo o proce3 dimento da mediatriz, o que torna o problema muito difícil. Recomendamos, nesse caso, que o professor permita que os alunos discutam em pequenos grupos o problema da localização de

tam localizar

1 na reta real. É provável que apareçam soluções 3 criativas e diferentes entre os grupos. Apresentamos a seguir uma solução do problema que tem a vantagem de se constituir num método geral para a representação de qualquer racional do IR

1 tipo , com q ∈ z*. q 1. Marcamos D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.

Com as duas construções que acabamos de fazer, deve ficar claro para o aluno que podemos construir com régua sem escala e compasso 1 1 1 1 qualquer número da sequência , , , , ... . 2 4 8 16 De forma geral, torna-se simples a construção de qualquer número racional cujo denominador seja uma potência de 2. Por exemplo, 7 , basta 8 traçar a mediatriz do segmento de extremos se quisermos construir o racional –

1 1 , o que fará o racional . Como 4 8 7 1 – = (–1) . 7 . , com a ajuda do compasso, 8 8 1 “capturamos” e “transportamos” a medida 8 sete vezes à esquerda do zero. em 0 e

2. traçamos uma reta qualquer (diferente da reta real) passando por D, que chamaremos reta t. 3. Na reta t, com a ajuda do compasso marcamos três segmentos de mesmo comprimento a partir do ponto D (na figura são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses segmentos não precisa ser igual à unidade de medida 1u. 4. Ligamos C com E formando o triângulo DCE. D

A B C

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Se conseguirmos traçar, com régua e compasso, retas paralelas à reta que passa por E e C de forma que elas passem pelos pontos B e A, o teorema de tales (trabalhado na 7a série) nos dará garantias que a interseção dessas retas com 1 2 a reta real ocorrerá nos números e . O proce3 3 dimento do traçado da paralela a uma reta por um ponto fora dela é bem conhecido do desenho geométrico, e será ilustrado a seguir com a reta s, paralela à EC passando por B. E

D 2 3

0 A

1 z P

Q B

X s

Procedimento do traçado de s: 1. A partir de um ponto P de EC, abrimos o compasso até B e traçamos uma semicircunferência de diâmetro XZ . 2. transportamos com o compasso o segmento XB na semicircunferência para a posição indicada na figura por ZQ ( XQ e ZQ são congruentes). 3. Ligando os pontos B e Q determinamos a reta s, que será paralela à EC. 4. A interseção de s com a reta real ocor2 1 rerá em . Para traçar , basta trans3 3 portar com o compasso o segmento 2 de extremos em e 1 para a esquerda 3

2 (note que o segmento transpor3 1 tado tem medida igual a u). 3 O procedimento descrito permite a generalização da construção com régua sem escala e 1 compasso de qualquer racional , com q ∈ z* q p e, consequentemente, de qualquer fração , q com p ∈ z e q ∈ z*. de

Construção de

2e 3

uma vez que já conhecemos um procedimento para localizar todos os racionais na reta real com régua e compasso, nossa tarefa agora será investigar a localização dos números irracionais. Começando com 2, sua construção pode ser feita da seguinte forma: 1. traçamos uma perpendicular à reta real passando pelo zero. 2. Marcamos 1u na reta traçada (P), e também na reta real (Q). 3. Ligando P e Q temos um segmento de medida 2u (pelo teorema de Pitágoras). 4. transportamos com o compasso o segmento de extremos P e Q para a reta real e determinamos 2u sobre ela.

P 2 Q

Se utilizarmos agora um triângulo retângulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será 3u, o que indica que 3 também é construtível. Repetindo esse processo podemos construir qualquer número irracional do tipo n , com n natural e não quadrado perfeito. Frequentemente encontramos nos livros de Matemática essa construção associada à espiral ilustrada na figura a seguir: 1 1

ƅŊ 3 ƅŊ 2

1 ƅŊ 4

ƅŊ 5

ƅŊŊ 14

...

ƅŊ 8

ƅŊŊ 15 ƅŊŊ 13 ƅŊŊ ƅŊŊ ƅŊŊ 10 12 11

b h

ƅŊ 9

1 1

ƅŊ 7

ƅŊŊ 16

ƅŊ 6

ƅŊŊ 17

Construção de

No estudo de relações métricas do triângulo retângulo discutimos e demonstramos, por semelhança de triângulos, a seguinte relação:

opte por discuti-lo neste momento do curso (1o bimestre), deverá ter trabalhado antes as relações métricas no triângulo retângulo. Havendo interesse e motivação por parte dos alunos p na representação das raízes do tipo n com p ≠ 1 sendo uma potência de 2, o professor poderá dar início à discussão sobre semelhança de triângulos já no 1o bimestre do ano.

m a

h2 = m . n

Dispositivo de Teodoro, Cirene. a consO procedimento descrito de generaliza trução das raízes quadradas, mas nada nos diz sobre raízes com outros índices que não 2. A seguir descreveremos um procedimento geral para a construção com régua e compasso das raízes da p forma n , sendo n natural não quadrado perfeito, e p uma potência de 2 diferente de 1, ou seja, o método permitirá construir, por exemplo, 2 , 4 2 , 8 2 , 16 2 , ...

Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2, teremos h = 2 . Se aplicarmos o resultado para n = 1 e m = 2, obteremos h = 4 2 . Fazendo agora n = 1 e m = 4 2 , encontraremos h = 8 2 . Por esse processo, fica claro que podemos obter qualquer raiz do tipo p n em que p é igual a 2, 4, 8, 16,..., e n natural. Resta-nos investigar qual deve ser o procedimento, com régua e compasso, para a construção de h. Ilustraremos tal procedimento para h = 4 2 .

Vale lembrar que o método que apresentaremos será demonstrado por semelhança de triângulos, que é um tema da grade de Matemática do 3o bimestre da 8a série. Caso o professor

1. traçamos com régua e compasso os números reais 1 e 1 + 2 (os procedimentos de construção de 2 já foram discutidos anteriormente, o que não

Matemática – 8a série, 1o bimestre

deve trazer dificuldades para representar 1 + 2 na reta real).

marcamos com P sua interseção com a semicircunferência.

2. traçamos a mediatriz t do segmento de extremos em 0 e 1 + 2 para determinar M, ponto médio desse segmento.

t 1 0 1 0

2 1

1+ 2

2 1

1+ 2

3. traçamos uma semicircunferência de centro M e raio

1+ 2 . 2

5. O segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 4 2 , porque é a altura de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catetos sobre a base medindo 1 e 2 . Este ângulo é reto porque é um ângulo inscrito de um ângulo central de 180°

h2 = 1 . 2

1 0

1+ 2

h= 42 2

O procedimento descrito permite que se consp trua qualquer raiz do tipo n , em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural. 4. traçamos uma perpendicular à reta real passando pelo número 1 e, em seguida,

Refletiremos agora sobre a construção com régua e compasso dos demais números irracionais, como por exemplo 3 2 e π.

Apesar de não ser objetivo do curso da 8a série, o professor pode comentar com os alunos o seguinte resultado matemático: Os únicos números reais construtíveis com régua sem escala e compasso são os números algébricos de grau 1, 2, 4, 8, 16...

Os números algébricos de grau 1 são os números p racionais, e os demais são as raízes do tipo n , em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural. Segundo esse resultado, que está matematicamente demonstrado, números irracionais algébricos como 3 2 , e números transcendentes como π, não são construtíveis com régua sem escala e compasso. Tal fato não deve ser interpretado como sendo a indicação de que esses números não estejam na reta real.

Como V' = 2, segue que x = 3 2 e, portanto, o problema se resume na busca de um método para a construção de 3 2 com régua e compasso. Problema da quadratura da circunferência: construir com régua sem escala e compasso um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado ou, de modo equivalente, construir um círculo de área igual à de um quadrado dado.

r x

x A=π.r

A discussão que acabamos de conduzir tem relevância histórica já que está relacionada a dois antigos problemas clássicos investigados pelos gregos antigos: o problema da duplicação do cubo e o problema da quadratura da circunferência. Os enunciados desses problemas são: Problema da duplicação do cubo: construir com régua sem escala e compasso a medida x do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de um cubo de lado 1.

x = π . r2 2

Admitindo-se um círculo de raio 1, o valor procurado de x é  . Tanto o problema da duplicação do cubo quanto o da quadratura da circunferência não podem ser resolvidos. O primeiro porque 3 2 é um número algébrico de grau três e, como tal, não é construtível com régua e compasso. E o segundo não é construtível porque π é transcendente e, portanto, não construtível. Note que avaliar a construtibilidade de  se resume a avaliar a construtibilidade de π porque  seria a altura h de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catemos n = 1 e m = π.

1 x

1 1 V=1

x V' = 2V V' = x3

Encerramos a discussão dessa Situação de Aprendizagem lembrando que o tema tratado permite que se retome o estudo do desenho geométrico e que se faça uma aproximação entre os eixos da aritmética, da álgebra e da geometria. Sabemos

Matemática – 8a série, 1o bimestre

que a discussão conduzida não é usualmente feita no Ensino Fundamental, porém, não encontramos obstáculos para que o assunto seja tratado, a não ser por uma opção do professor, o que será respeitado. Esperamos, contudo, que esta Situação de Aprendizagem contribua para que se agregue conhecimento aos tópicos similares que constam do seu planejamento anual da disciplina.

O professor também deve ter clareza de que é desejável que os alunos possam trabalhar, de preferência em pequenos grupos, na busca de processos geométricos que permitam a construção dos números solicitados. uma atividade interessante que o professor pode propor é a de se determinar procedimentos diferentes de construção com régua e compasso de um mesmo número.

Considerações sobre a avaliação

Pensando na avaliação, o professor pode explorar a construção geométrica dos números, bem como ideias relacionadas à classificação de números em conjuntos já que agora podemos fazê-la de acordo com novos critérios: números construtíveis com régua e compasso e números não construtíveis; números algébricos e números transcendentes.

Nesta Situação de Aprendizagem não apresentamos explicitamente sugestões de exercícios porque toda a discussão feita pode com facilidade ser transformada em atividades para o aluno. Por exemplo: uma vez que o 1 , 2 1 1 1 a construção de , , , ... pode se transformar 4 8 16 em exercício. Da mesma forma, uma vez que se professor tenha mostrado a construção de

1 , a cons3 trução de todo e qualquer número racional pode passar a ser um exercício de classe, ou uma atividade de avaliação. Para os irracionais, se o professor optar por trabalhar apenas com as raízes quadradas, o exemplo de 2 deve ser suficiente para que o aluno possa construir como exercício qualquer raiz do tipo n , com n natural e não quadrado perfeito. No caso das demais raízes construtíveis, o exemplo de 4 2 deve permitir que os alunos construam 8 2 , 16 2 , 32 2 , ... como exercício. tenha demonstrado a construção de

uma vez que o tema explorado nessa Situação de Aprendizagem mantém forte vínculo com importantes tópicos da história antiga da Matemática, o professor pode solicitar também que seus alunos façam uma pesquisa sobre os problemas clássicos de construção. Caso se opte por essa forma de avaliação, sugerimos que a pesquisa não se restrinja apenas aos aspectos históricos, mas que se faça também Matemática com ela, principalmente no que diz respeito às construções geométricas com régua, compasso e outros instrumentos. Por exemplo: o professor pode pedir que os alunos investiguem o problema da trisseção de um ângulo ou o problema da construção do pentágono regular, que estão diretamente relacionados com a discussão de números reais.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 POtêNCIAS, NOtAçãO CIENtÍFICA E ORDEM DE GRANDEzA

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: potências de dez; operações com potências; notação científica; ordem de grandeza. Competências e habilidades: conhecer as propriedades operatórias das potências; escrever um número em notação científica; determinar a ordem de grandeza de um número; resolver problemas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos. Estratégias: revisar as propriedades de operações com potências; resolução de atividades e exercícios.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 4 O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é o aprofundamento da notação numérica na forma de potências. No Caderno da 7a série, já havíamos problematizado o uso das potências de dez para representar números muito grandes ou muito pequenos. Se o professor achar necessário, poderá fazer uma revisão sobre as principais propriedades das operações com potências. Nesta Situação de Aprendizagem, vamos formalizar o conceito de notação científica e apresentar a noção de ordem de grandeza. Esses dois conceitos são de fundamental importância, não só para a continuidade dos estudos em Matemática, mas, também, para as Ciências: Física, Biologia e Química.

das potências de dez para a notação científica O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de dez é que ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sempre são inteligíveis. Por exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede aproximadamente 0,000000005 cm; uma célula é formada por cerca de 2 000 000 000 000 de átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar informações como estas. usando a notação exponencial, é possível ter uma ideia da ordem de grandeza desses números: f raio do átomo de hidrogênio: 5 . 10–9 cm; f número de átomos em uma célula: 2 . 10 12.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Como escrever números na notação de potências de 10? Consideremos um número qualquer, por exemplo, 1 500. Esse número pode ser escrito como um produto de diversas maneiras: 1 500 . 1 = 150 . 10 = 15 . 100 = 1,5 . 1 000 = 0,15 . 10 000 = ... Em notação de potência de dez, os mesmos números seriam escritos assim: 1 500 . 100 = 150 . 101 = 15 . 102 = 1,5 . 103 = 0,15 . 104 = ... Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número com potência de dez.

nome

número por extenso

As potências de dez ajudam na leitura e na comparação de números muito grandes ou muito pequenos. Contudo, nossa percepção numérica dificilmente consegue dar sentido a esses números extremos, uma vez que não estamos acostumados a lidar com tais valores em nosso cotidiano. Para se ter uma ideia dessas magnitudes, pergunte aos alunos quanto tempo alguém levaria para contar até um milhão, na velocidade de um número por segundo. Muito provavelmente, as estimativas mais ousadas devem se situar perto de algumas horas. Na realidade, seriam necessários 12 dias para se contar até um milhão, e cerca de “32 anos” para um bilhão. A tabela abaixo mostra o tempo necessário para contar alguns desses números grandes.

Potência de dez

tempo de contagem (1 por segundo)

100

1 segundo

Mil

1 000

103

17 minutos

Milhão

1 000 000

106

12 dias

Bilhão

1 000 000 000

109

32 anos

trilhão

1 000 000 000 000

1012

32 mil anos

Quatrilhão

1 000 000 000 000 000

1015

32 milhões de anos

Quintilhão

1 000 000 000 000 000 000

1018

32 bilhões de anos

Outro recurso utilizado para facilitar a comparação e a compreensão dos números relativos a algumas medidas é os prefixos do sistema internacional. Alguns desses prefixos são bem conhecidos, como o quilo (1 000), que é usado para expressar distâncias (quilômetro = 1 000 metros), massa (quilograma = 1 000 gramas) ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte = 1 000 bytes). A tabela abaixo mostra os principais prefixos e o valor correspondente em potências de 10.

Prefixos

letra

notação científica

atto

10–18

femto

10–15

pico

10–12

nano

10–9

micro

10–6

mili

10–3

centi

deci

10–1

quilo

103

mega

106

giga

109

tera

1012

peta

1015

exa

1018

–2

Exemplos: f um elétron tem 1 femtômetro de extensão;

f a luz amarela tem comprimento de onda de 0,5 micrômetros; f o raio da terra é de aproximadamente 6 300 quilômetros; f uma montanha pode pesar cerca de 100 petagramas; f as informações digitais criadas, capturadas e replicadas no mundo em 2007 equivalem a 281 exabytes.

Escrevendo um número em notação científica um número qualquer pode ser escrito em notação científica se for transformado em um produto de um número compreendido entre um e dez (incluindo o 1) por uma potência de dez de expoente inteiro. Exemplos: 7 = 7 . 100 100 = 1 . 102 1 500 = 1,5 . 1 000 = 1,5 . 103 62 300 = 6,23 . 10 000 = 6,23 . 104 0,02 = 2 .

1 = 2 . 10–2 100

0,00058 = 5,8 .

1 = 5,8 . 10–4 10 000

uma maneira prática de se escrever a notação científica é a seguinte: 1. Para números maiores que dez: Conta-se o número de casas que a vírgula deve "se deslocar" para a esquerda até encontrar a casa da unidade. Este número será o expoente da potência de dez.

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Exemplo: 1 50 000 000 = 1,5 . 108 8 casas

Note que a vírgula "desloca-se" 8 casas decimais para a esquerda. Portanto, 8 é o expoente de 10. 2. Para números menores que um: Conta-se o número de casas que a vírgula deve "se deslocar" para a direita até encontrar a casa da unidade. Este número será o expoente negativo da potência de dez. Exemplo: 0,00081 = 8,1 . 10–4 4 casas

A vírgula "desloca-se" 4 casas decimais para a direita, e –4 é expoente de 10.

o significado da regra prática É importante comentar com os alunos que, na verdade, não é a vírgula que se desloca, mas o algarismo. Quando multiplicamos um número por um múltiplo de dez, altera-se o valor posicional de todos os seus algarismos para um valor superior, ou seja, à esquerda. Como a vírgula fica em uma posição fixa, separando a unidade dos décimos, tudo se passa como ela se deslocasse para a direita. Se multiplicarmos 2,5 por 10, as duas unidades viram dezenas, e os cinco décimos viram cinco unidades, resultando em 25.

Da mesma forma, quando dividimos um número por um múltiplo de dez, os algarismos se deslocam para um valor posicional menor, à direita. Se dividirmos 25 por 100, as duas dezenas viram dois décimos, e as cinco unidades, cinco centésimos, resultando em 0,25. Novamente, tudo se passa como se a vírgula se deslocasse para a esquerda. A seguir, propomos algumas atividades para a consolidação dos procedimentos de escrita na forma de potências de dez e em notação científica.

atividade 1 Escreva os números abaixo na forma de um produto, de quatro maneiras diferentes. Veja o exemplo: 25 300 = 2 530 . 10 = 253 . 100 = 25,3 . 1 000 = 253 000 . 0,1 a) 250 = 25 . 10 = 2,5 . 100 = 0,25 . 1 000 = 2 500 . 0,1 b) 0,004 = 4 . 0,001 = 0,4 . 0,01 = 0,04 . 0,1 = 0,0004 . 10 c) 4,73 = 47,3 . 0,1 = 0,473 . 10 = 473 . 0,01 = 0,0473 . 100

atividade 2 Escreva os números abaixo em língua corrente e em notação científica: Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos). 3,5 . 10–2

a) 7 300 000 000 Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 . 109.

b) 2 980 000 000 000 000 000

operações com potências de dez

Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou 2,98 . 1018.

uma das vantagens de escrevermos um número na forma de potências de 10 é que as operações se tornam mais simples. É um bom momento para retomar com os alunos as propriedades das operações com potências de mesma base:

c) 0,25 Vinte e cinco centésimos ou 2,5 . 10 –1. d) 0,0004 Quatro décimos de milésimos ou 4 . 10 –4 . e) 0,0000125 Cento e vinte e cinco decimilionésimo: 1,25 . 10 –5.

atividade 3 Escreva os dados numéricos das informações seguintes, em notação científica.

f na multiplicação basta fazer a soma dos expoentes. 103 . 108 = 103 + 8 = 1011; f na divisão, efetua-se a subtração dos expoentes. 108  105 = 108 – 5 = 103; f potência de uma potência resulta na multiplicação dos expoentes. (103)2 = 103 . 2 = 106; f potências com expoentes racionais: o denominador do expoente é o índice da 22 5

a) A população da China é, aproximadamente, 1,3 bilhão de habitantes. 1,3 . 109.

raiz. 333 = 5 32 . Seguem alguns exemplos envolvendo tais propriedades:

b) A Bacia Amazônica é formada pelo Rio Amazonas e seus afluentes e ocupa uma área de 7 045 000 km2, dos quais 4 750 000 km2 estão em território brasileiro.

a) 0,0021 . 30 000 000 =

7,045 . 106 km2 e 4,75 . 106 km2.

b) 350 000  0,02 = (3,5 . 105)  (2 . 10–2) =

c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km por segundo.

= (2,1 . 10–3) . (3 . 107) = = (2,1 . 3) . (10–3 . 107) = 6,3 . 104

= (3,5  2) . (105  10–2) = 1,75 . 107 c) (0,005)3 = (5 . 10–3)3 = 125 . 10–9 =

3 . 10 km/s. 5

d) A espessura da folha de papel é mais ou menos 0,0001 metros. 10 –4 m.

= 1,25 . 10–7 d)

250 000 = 2, 5 . 105 = 4

= 25 . 10 4 = 25 . 10 4 = 5 . 10 2 =5.102

Matemática – 8a série, 1o bimestre

E, no caso da adição e subtração, pode-se recorrer à fatoração, transformando as parcelas em potências de 10 com mesmo expoente. a) 6,5 . 103 + 5,4 . 103 = (6,5 + 5,4) . 103 = = 11,9 . 103 = 1,19 . 104

= (460 – 2,5) . 103 = 457,5 . 103 =

1 280 . 105 + 4 . 105 = 1 284 . 105 = 1,284 . 108.

Efetue as seguintes operações usando as propriedades da potenciação. Dê as respostas em notação científica. a) 1 200 . 500 000 = 1,2 . 10 . 5 . 10 = = 6 . 108. 3

c) 450 000 ÷ 0,009 = 4,5 . 105 ÷ 9 . 10–3 = = 0,5 . 108 = 5 . 107. d) 0,00025 ÷ 0,00000005 = = 25 . 10–5 ÷ 5 . 10–8 = 5 . 103. e) 0,34 ÷ 1 700 = 34 . 10–2 ÷ 17 . 102 = = 2 . 10–4. f) (60 000)3 = (6 . 104)3 = 216 . 1012 = = 2,16 . 1014. g) (0,0004) = (4 . 10 ) = 256 . 10 = 2,56 . 10–14. 4

0, 000027 =

–4 4

–16

16 . 10 4 = 4 . 102. 3

d) 7,54 . 107 – 3,2 . 106 = 75,4 . 106 – 3,2 . 106 = 72,2 . 106 = 7,22 . 107.

atividade 6

b) 0,00015 . 0,002 = 1,5 . 10–4 . 2 . 10–3 = = 3 . 10–7.

b) 2,5 . 107 – 500 . 104 =

c) 1,28 . 108 + 4 . 105 =

atividade 4

a) 2,5 . 105 + 7 . 103 =

2,5 . 107 – 0,5 . 107 = 2 . 107.

= 4,575 . 105

160 000 =

Efetue as operações abaixo e dê a resposta em notação científica.

103 . (2,5 . 10 2 + 7) = 10 3 . (257) = 2,57 . 105.

b) 4,6 . 105 – 2,5 . 103 = 460 . 103 – 2,5 . 103 =

atividade 5

27 . 10 – 6 = 3 . 10 –2.

Observe o quadro abaixo e complete a coluna de notação científica: Planeta

distância média ao Sol (em km)

notação científica

Mercúrio

57 900 000

5,79 . 107

Vênus

108 200 000

1,082 . 108

terra

149 600 000

1,496 . 108

Marte

227 900 000

2,279 . 108

júpiter

778 300 000

7,783 . 108

Saturno

1 427 000 000

1,427 . 109

urano

2 870 000 000

2,87 . 109

Netuno

4 497 000 000

4,497 . 109

Plutão

5 900 000 000

5,9 . 109

Atividade 7 Com base na tabela anterior, imagine o seguinte problema: Em determinado instante, Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na Terra. Neste momento, qual é a distância entre Saturno e a Terra?

Podemos resolver esse problema aplicando o Teorema de Pitágoras. 2 2 2 DSol -Sat = DSol -Terra + DTerra -Sat 2 Terra – Sat

(1,4 . 10 ) = (1,4 . 10 ) + D 9 2

8 2

2 18 16 DTerra - Sat = 1,96 . 10 – 1,96 . 10 2 16 16 DTerra - Sat = 196 . 10 – 1,96 . 10 2 16 DTerra - Sat = 194,04 . 10

DTerra - Sat = 194,04 . 10 6 � 13,9 . 10 8 = = 1,39 . 109 A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente 1 390 000 000 km.

Ordem de grandeza Em muitas situações, quando trabalhamos com medidas muito grandes ou muito pequenas, não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de um determinado valor. Essa potência é

denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida. Exemplos: a) o raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse número pode ser escrito como 7,785472 . 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 do que de 1, podemos aproximá-lo para 10, resultando no produto 10 . 108. Portanto, sua ordem de grandeza é de 109. b) a ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5. Isso porque, escrevendo o número em notação científica, 3,1 . 10–5, notamos que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, aproximamos o número para baixo, resultando em 1 . 10–5. Conhecendo as ordens de grandezas de diversas medidas, podemos facilmente distinguir qual é a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retomando a tabela da atividade 6, que informa as distâncias médias dos planetas ao Sol, podemos constatar que a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a de Júpiter é da ordem de 109 km, ou seja, é cerca de 10 vezes mais distante.

Atividade 8 Dê a ordem de grandeza das seguintes medidas: a) população mundial: aproximadamente 6,6 bilhões em 2007. 1010 b) massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg 1025 kg

Matemática – 8a série, 1o bimestre

c) massa de um: 9,11 . 10–28 g 10–27 g d) altitude do Everest: 8 848 m 104 m

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é a de que os alunos tenham consolidado seus conhecimentos sobre potências e suas operações. Além disso, eles devem saber escrever um número qualquer em notação científica, e realizar operações com ela. O conhecimento sobre as propriedades das operações com potências também é

fundamental. Outro conceito importante que deve ser considerado nas avaliações é o de ordem de grandeza. A avaliação do aprendizado dos alunos deve ser feita continuamente, tanto ao longo das atividades propostas como ao final de um ciclo ou bimestre. As atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem constituem exemplos de exercícios que podem ser utilizados para compor a avaliação, a partir das expectativas listadas no parágrafo anterior. Além disso, os livros didáticos contêm uma série de outros exercícios e problemas que podem complementar o trabalho do professor na elaboração de fichas de exercícios e provas.

ORIENtAçõES PARA RECuPERAçãO Na Situação de Aprendizagem 1, caso alguns alunos demonstrem dificuldade para compreender o significado dos conjuntos numéricos, recomendamos que se retome um pouco da história dos números, mostrando como esse tipo de representação evoluiu ao longo da história em função das necessidades do homem: o surgimento dos números naturais como uma forma de representar a contagem de objetos ou de marcar a passagem do tempo; a necessidade de medida levando ao surgimento dos números fracionários (racionais); o desenvolvimento do comércio e das finanças, que demandou a utilização de números negativos para registrar dívidas, etc. Na Situação de Aprendizagem 2, o professor poderá retomar os temas por meio de lista de

exercícios e, eventualmente, poderá propor que os alunos façam um trabalho em grupo sobre frações contínuas e aproximações de irracionais. A Situação de Aprendizagem 3 permite que o professor explore a recuperação com atividade de desenho geométrico já que parte significativa do trabalho nela apresentado diz respeito às construções geométricas. Nesse momento, o professor poderá utilizar uma lista de exercícios e poderá solicitar que o aluno prepare fichas-resumo com procedimentos elementares de construção como, por exemplo, o traçado da mediatriz de um segmento, o traçado da bissetriz de um ângulo, construção de polígonos regulares e, mais diretamente relacionado com a Situação de Aprendizagem, a construção de alguns números reais.

Em relação à Situação de Aprendizagem 4, que trata da notação científica, pode acontecer de alguns alunos demonstrarem dificuldade com algumas das operações. Caso isso ocorra, recomendamos que o professor retome os princípios que fundamentam as propriedades das operações com potências. Mais do que enunciar a propriedade, é fundamental que o professor mostre por que essa propriedade vale. Isso pode ser feito a partir de exemplos simples, no qual o aluno possa se apoiar em seus conhecimentos prévios sobre multiplicação e potências para compreender o significado da propriedade. Por exemplo: uma

das propriedades afirma que, no produto de potências de mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes. Podemos visualizar essa propriedade a partir de um exemplo numérico: 23 . 25 = 2 . 2 . 2

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 28

3 fatores 2

5 fatores 2

Generalizando para os expoentes m e n, temos: am . an = 2 . 2 . 2

2.2.2.2.2=

m fatores

n fatores

2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...= 2m + n m + n fatores

RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR E DO ALuNO PARA COMPREENSãO DO tEMA

AABOE, A. Episódios da história antiga da Matemática. 2. ed. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2000.

n. 1, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1982.

BESKIN, N. Fracções contínuas. Lisboa: ulmeiro, 2001.

COuRANt, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática? Ciência Moderna. Rio de janeiro, 2000.

CARNEIRO, j. P. Q. um processo finito para a raiz quadrada. In: Revista do Professor de Matemática, n. 34, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1997.

jAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Revisitando os três problemas clássicos insolúveis da Antiguidade. In: Revista do Professor de Matemática, n. 66, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2008.

COStA, R. O que é um número transcendente? In: Revista do Professor de Matemática,

LIMA, Elon Lages. O que significa a igualdade 1/9 = 0,111...? In: Revista do

Matemática – 8a série, 1o bimestre

Professor de Matemática, n. 2, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1983. p. 6-9.

NIVEN, I. Números: racionais e irracionais. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.

MOREIRA, C. G. Frações contínuas, representações de números e aproximações. In: Eureka, n. 3, Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998.

SAGAN, C. Bilhões e bilhões: reflexões sobre vida e morte na virada do milênio. São Paulo: Cia. das Letras, 2002.

ContEúdoS dE MatEMátiCa Por SériE/biMEStrE

do EnSino FundaMEntal

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série números naturais - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações básicas. - Introdução às potências. Frações - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

números decimais - Representação. - transformação em fração decimal. - Operações.

6a série números naturais - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal. números inteiros - Representação. - Operações. números racionais - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

7a série

8a série

números racionais - transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

números reais - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

Potenciação - Propriedades para expoentes inteiros. tratamento da informação - A linguagem das potências.

Geometria/medidas - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

álgebra - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álgebra - Equações do 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

Geometria/medidas - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

números/proporcionalidade - Proporcionalidade direta e inversa - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: . tratamento da informação - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

álgebra/equações - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações do 1o grau. - Sistemas de Coordenadas (plano cartesiano).

Geometria/medidas - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas entre triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

tratamento da informação - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álgebra - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

Geometria/medidas - teorema de tales e Pitágoras: apresentação e aplicações - área de polígonos. - Volume do prisma.

Geometria/medidas - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

Sistemas de medida - Medidas de comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.

tratamento da informação - Contagem indireta e probabilidade.