MATEMATICA_CP_8s_Vol2reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

8 - SÉRiE volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-295-3 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título. CDU: 373.3:51

Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Alguns métodos para resolver equações de 2º- grau Situação de Aprendizagem 2 – Equações de 2º- grau na resolução de problemas

12 36

Situação de Aprendizagem 3 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados e contextos. 41 Situação de Aprendizagem 4 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de algumas não proporcionais 49 Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São Paulo Faz ESCola – uMa ProPoSta

CurriCular Para o EStado

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiCHa do CadErno interdependência entre grandezas e a noção função

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 8-a 2-o bimestre de 2009 Equações de 2-o grau na resolução de problemas Grandezas proporcionais e não proporcionais: estudo funcional, significados e contextos Representação gráfica de grandezas proporcionais e algumas não proporcionais

oriEntação GEral SobrE oS CadErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Nessa abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para abordá-lo. A critério do professor, em cada Situação de Aprendizagem específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.

juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas que são oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro-

É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que,

posta, que podem ser utilizados para o enriquecimento de suas aulas.

Matemática - 8a série - Volume 2

Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no bimestre.

Conteúdos básicos do bimestre Os conteúdos básicos previstos para este bimestre são as equações de 2º- grau e a noção de função. Em relação ao primeiro tema, pretende-se que os alunos resolvam situações, inclusive geométricas, que possam ser traduzidas por meio de equação de 2º- grau, obtendo as raízes por diferentes métodos, e discutam o significado dessas raízes em confronto com a situação proposta. Em relação ao assunto funções, o aluno poderá apropriar-se dessa noção ao analisar a natureza da interdependência de duas grandezas na resolução de problemas em que elas sejam diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais – iniciando, assim, o estudo das funções afim e quadrática, que serão posteriormente desenvolvidas no Ensino Médio. As situações propostas são oportunas para que se expresse a variação das grandezas envolvidas por meio de diferentes representações: tabelas, gráficos e sentenças algébricas. Quanto à resolução da equação quadrática, sugere-se que sejam enfatizados os procedimentos que envolvam conhecimentos sobre fatoração, exponenciação e radiação, para resolução tanto de equações quadráticas como de equações exponenciais, fatoração e pesqui-

sa das raízes por soma e produto. Nesse sentido, também são exploradas equações exponenciais, quadráticas e de 3º- grau. A fórmula, usualmente conhecida como de Bhaskara, para as equações de 2º- grau também deverá ser desenvolvida, porém é fundamental que os alunos tenham uma visão mais abrangente dos processos de resolução, tendo em vista que, no Ensino Médio, eles precisarão resolver equações de grau superior a dois. A Situação de aprendizagem 1 – alguns métodos para resolver equações de 2º- grau – mostra um possível roteiro para o desenvolvimento desse trabalho. A resolução de problemas envolvendo equações de 2º- grau em diferentes contextos é enfatizada na Unidade 4. Tal trabalho está sugerido na Situação de aprendizagem 2 – Equações de 2º- grau na resolução de problemas. Além da proposição de problemas, essa unidade deve ter como objetivo a apresentação de uma síntese dos diversos procedimentos utilizados para a obtenção das raízes de uma equação quadrática. Para a Unidade 5, sugere-se a apresentação de situações envolvendo a variação de duas grandezas em que seja necessária a identificação dessa variação em relação à proporcionalidade. Ou seja, pretende-se explorar o significado das expressões “x e y são diretamente proporcionais”, “x e y são inversamente proporcionais” e “x e y não são proporcionais”, incluindo, quando for o caso, a tradução desses significados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional a x).

Às vezes, duas grandezas x e y variam de tal modo que a proporcionalidade direta ocorre não entre y e x, mas entre o quanto y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos y – h = k ou y – h = kx, ou seja, y = kx + h x (k e h constantes). Temos, então, que y – h é diretamente proporcional a x. O desenvolvimento desse trabalho está previsto na Unidade 6. A Situação de aprendizagem 3 – Grandezas proporcionais e não-proporcionais: estudo funcional, significados e contextos – contempla os aspectos destacados para as Unidades 5 e 6. Na Unidade 7, dá-se continuidade à exploração de situações-problema envolvendo a variação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, sobretudo por meio de suas representações gráficas. Com relação às funções de 2º- grau y = ax² + bx + c, as situações apresentadas pretendem explorar a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra. Essas noções serão exploradas e aprofundadas no Ensino Médio, particularmente no 2º- bimestre da 1ª- série e no 1º- e 3º- bimestres da 3ª- série. A Unidade 8 dá sequência a esse trabalho, sugerindo a leitura e construção de gráfico cartesiano que representa a variação de duas grandezas, de modo que uma seja, por exemplo, diretamente proporcional ao quadrado da outra. Para essa unidade, sugerem-se também problemas em contextos significativos, que envolvem grandezas, cuja variação é expressa por mais de uma sentença. a Situação de aprendizagem 4 – representação gráfica de grandezas proporcionais e algumas

não-proporcionais – contempla aspectos citados nas Unidades 7 e 8. Cabe ressaltar que as sugestões para a sala de aula, distribuídas nas quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), contemplam os principais aspectos dos conteúdos previstos para o 2º- bimestre e estão em um nível possível de serem desenvolvidas com alunos da 8ª- série do Ensino Fundamental. Todavia, o papel do professor é, evidentemente, fundamental para a realização desse trabalho nos seguintes aspectos: ordenação, redução ou ampliação das atividades sugeridas, seleção ou elaboração de novos problemas ou exercícios, adequação das propostas à classe e ao fato de não submeter todos os alunos ao mesmo ritmo. Convém destacar ainda que as atividades deste Caderno devem ser consideradas não como uma mera lista de exercícios ou problemas cujo objetivo é o simples uso de técnicas que devem ser transformadas em rotinas automatizadas; pelo contrário, as situações propostas têm por finalidade apresentar contextos para que as noções estudadas tenham significado para o aluno. Muitas dessas situações podem ser encaradas como pontos de partida para o estudo de determinada noção ou propriedade. Essa consideração não significa que o professor não deva propor atividades de síntese com a finalidade de organizar as conclusões e os resultados encontrados. Sinteticamente, as oito unidades que devem ser desenvolvidas no bimestre são apresentadas a seguir.

Matemática - 8a série - Volume 2

Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 8ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Alguns métodos para resolver equações de 2º- grau. unidade 2 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2º- grau. unidade 3 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2º- grau. unidade 4 – Equação de 2º- grau: relação entre coeficientes e raízes. unidade 5 – Equação de 2º- grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara – Equações de 2º- grau na resolução de problemas. unidade 6 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações. unidade 7 – Grandezas proporcionais: representações gráficas. unidade 8 – Gráficos que representam variação de grandezas não proporcionais.

SituaçõES dE aPrEndizaGEM SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2º- GRAU tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: alguns métodos particulares para resolver equações de 2º- grau; solução geral de uma equação de 2º- grau; desenvolvimento da fórmula de Bhaskara; discussão da solução: número de raízes; relação entre coeficientes e raízes de uma equação. Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; expressar situações envolvendo equações de 2º- grau na forma algébrica; resolução de equações de 2º- grau por diferentes métodos (cálculo mental, fatoração e aplicação da fórmula de Bhaskara); utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área e o perímetro de uma figura plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à álgebra para a geometria; generalização e organização de dados a partir de certa propriedade. Estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos; enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 1 Para a introdução desse tema são sugeridos, inicialmente, problemas e outros tipos de equações que podem ser “traduzidos” por meio de equações de 2º- grau, passando-se a discutir alguns modos possíveis de resolvê-las. Antes de introduzir qualquer técnica para a resolução de uma equação de 2º- grau, é importante que os alunos utilizem seus conhecimentos já construídos para encontrar as raízes da equação ou solucionar o problema em questão. Como alguns problemas poderão ficar em aberto, esse é o momento propício para iniciar o trabalho com

as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se a discussão de diversos procedimentos e métodos para resolver equações de 2º- grau, antes do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara. Para o começo desse trabalho, é conveniente a proposição de equações do tipo ax2 + c = 0, com a ≠ 0, uma vez que para obter suas raízes podem ser aplicados os procedimentos utilizados na resolução de equações de 1º- grau e conhecimentos sobre potências de números. A combinação de elementos algébricos e geométricos é também explorada dando sequência às interpretações dos produtos notáveis trabalhados na 7ª- série.

Matemática - 8a série - Volume 2

Depois, o professor pode discutir o seguinte fato: se o produto de dois números reais é zero, necessariamente um desses números é zero, ou seja: se a . b = 0, então a = 0, ou b = 0 ∀ a, b ∈ R. Dessa forma, os alunos poderão resolver equações do tipo a(x – x1).(x – x2) = 0 e ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 . As atividades a seguir sugerem uma sequência para o desenvolvimento desse trabalho.

atividade 1 1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao final do festival, fariam uma festa de encerramento, e cada um dos participantes daria uma flor de presente a cada um dos colegas também participantes do festival. Quantas flores serão distribuídas se o total de participantes for 5? E se for 6? E 7? Sendo 5 o número de participantes, cada um dará 4 flores (menos para si mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio, temos que com 6 participantes o total de flores será 6 . 5 = 30 flores e com 7 participantes, 7. 6 = 42 flores. 2. Complete a tabela a seguir: número de número de flores que cada total de flores participantes um vai receber

3. Se o total de flores distribuídas for 930, então o número de participantes será: a) 29

b) 30

c) 31

d) outro

Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os valores dados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870; 31 . 30 = 930. Logo, a alternativa correta é a c. 4. Para responder à questão anterior, um aluno de 8ª- série usou a seguinte estratégia aplicando seu conhecimento algébrico: Escreveu a expressão algéx.(x – 1) = 930 brica relativa ao problema. aplicou a propriedade distributiva. deixou todos os termos no primeiro membro da equação igualando a equação a zero.

x² – x = 930

x² – x – 930 = 0

Para resolver essa equação, o aluno substituiu a incógnita x pelos valores das alternativas e, assim, descobriu a resposta correta. Use o mesmo procedimento e, a seguir, compare o resultado com sua resposta ao item 3. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação: x = 29 292 –29 – 930 = 0

3.2=6

841 – 29 – 930 = –118 ≠ 0

4 . 3 = 12

x = 30

5 . 4 = 20

302 –30 – 930 = 0

6 . 5 = 30

900 – 30 – 930 = – 60 ≠ 0

11 . 10 = 110

x–1

x.(x –1)

312 –31 – 930 = 0

y+1

(y + 1).y

961 – 31 – 930 = 0

x = 31

5. E se as alternativas não tivessem sido dadas, como você faria para resolver esse problema? Nesse caso, os alunos podem levantar uma série de hipóteses. Entre elas pode ocorrer de proporem a construção de uma tabela sendo atribuídos vários valores positivos para x. Embora essa equação possua duas soluções, uma positiva, 31, e uma negativa, –30, o valor negativo não faz sentido no problema, sendo, portanto, ignorado nos termos da tabela. Mesmo assim é uma oportunidade para o professor iniciar uma discussão sobre a análise do conjunto universo da equação. A combinação entre a linguagem geométrica e algébrica vem sendo explorada em vários temas nessa Proposta Curricular. Particularmente no 1º- e 2º- bimestres da 7ª- série, ela permitiu a construção de significados nos produtos notáveis e nos processos de fatoração. O uso dessa abordagem no trabalho com equações de 2º- grau, além de resgatar, do ponto de vista histórico, como os matemáticos enfrentavam equações, permite estabelecer novas relações que envolvem aspectos geométricos e algébricos. Nas atividades a seguir, propõe-se essa combinação para abordar vários contextos em que aparecem equações de 2º- grau, possíveis de serem resolvidas por conhecimentos que os alunos já tenham construído por meio da resolução de equações de 1º- grau, processos de fatoração e propriedades de potências.

atividade 2 Traduza as seguintes situações por meio de uma equação. Depois, resolva a equação e dê a resposta do problema.

a) A área de um quadrado de lado x é igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado desse quadrado? Indicando a medida do lado do quadrado por x teremos: Representação geométrica

Expressão algébrica

A = 49 cm2

x2 = 49

A solução dessa equação é bastante simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado resulta em 49, isto é, 7. O professor pode também trazer para a discussão que, assim como 72 = 49, temos que (– 7)2 = 49, comentando que, embora ele satisfaça a equação, tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não deve constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm. b) Um retângulo tem área igual a 242 cm2 e seu lado maior é o dobro do menor. Qual é a medida do lado maior desse retângulo? Indicando a medida do lado do retângulo por y teremos: Representação geométrica

Expressão algébrica

2y . y = 242 y

2y2 = 242

Matemática - 8a série - Volume 2

Se 2y2= 242, então y2 = 121. Da mesma forma que na atvidade anterior, podemos admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm. c) A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm². Determine as medidas de seus catetos e da hipotenusa. Indicando a medida do cateto por a teremos: Representação geométrica

Expressão algébrica

A = 1 . base . altura 2 a

1 A = . cateto . cateto 2 a .a a2 = = 18 A= 2 2

a2 = 18 , podemos concluir que 2 a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6 satisfazem a equação, mas somente 6 é solução da equação, pois a medida do lado de um triângulo deve ser positiva. Como

Para encontrar a medida da hipotenusa, podemos aplicar o teorema de Pitágoras: h 2 = 6 2 + 6 2 → h = 6 2 . Portanto, a resposta dessa atividade será catetos de medida 6 cm e hipotenusa de medida 6 2 cm. Mais uma vez desprezamos a solução negativa.

d) A área do retângulo representado pela figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule seu perímetro. x+8 x

A área do retângulo será dada pela expressão: x(x + 8) = 65 Essa situação não permite aplicar o mesmo processo quando a sentença é igualada a zero, pois são infinitos pares de números cujo produto é 65. Contudo pode-se aplicar procedimentos de cálculo mental ou criar uma tabela como a seguinte: x

x+8

x(x+8)

Com isso chega-se à solução x = 5. Portanto, o perímetro do retângulo, indicado por P = 4x + 16, é 36 cm. O professor pode propor o desenvolvimento dessa expressão, de modo a igualá-la a zero, devendo, para isso, aplicar a propriedade distributiva e o princípio aditivo: x (x + 8) = 65 → x2 + 8x = 65 logo: x2 + 8x – 65 = 0. Dessa forma, a equação x(x + 8) = 65 é equivalente à equação x2 + 8x – 65 = 0, o que quer dizer que elas possuem as mesmas soluções. Vale observar, contudo, que, nesse formato, o recurso do cálculo mental é mais difícil de ser aplicado.

e) Um quarteirão na forma de um quadrado foi contornado por uma calçada com 2 metros de largura, o que reduziu a área reservada à construção de imóveis, conforme a figura a seguir. Com isso a área para construção passou a ser de 144 m2. Qual era a medida da área original do quarteirão? 2m

144 m2

Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de 2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros: x x–4

x2 = 49

x2 – 49 = 0

2y2 = 242

2y2 – 242 = 0

a2 = 36

a2 – 36 = 0

x(x+8) = 65

x2 + 8x – 65 = 0

(x – 4)2 = 144

x2 – 8x – 128 = 0

Quanto às semelhanças, pode-se registrar que:

144 m

Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução desta equação pode ser encontrada por meio de cálculo mental. Para isso, devemos notar que 144 é o quadrado do número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a medida da área original do quarteirão era 256 m2. Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a 144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação. Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do quadrado, a resposta a esse problema será 16 centímetros.

A partir de situações como essas, que podem complementar outras atividades que o professor já tenha selecionado para o tratamento desse assunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal das equações de 2º- grau. Para isso, sugerimos que os alunos comparem as equações construídas e apontem as semelhanças e diferenças entre elas. Para essa comparação será conveniente que todas estejam na mesma forma. Isso é possível operando algebricamente para obter que o segundo membro da equação fique igual a zero:

f diferentemente das equações de 1º- grau, essas equações possuem um termo cuja incógnita está elevada ao expoente 2. É possível que algumas das diferenças apontadas sejam: f algumas equações não têm o termo de grau 1 (x, y, a...) e outras têm; f apenas os problemas d e e apresentam uma equação de 2º- grau com três termos no primeiro membro. Explore essas observações para introduzir os termos: equação de 2º- grau completa; equação de 2º- grau incompleta; coeficientes e raízes da equação. Enfim, o momento é oportuno para apresentar a ideia de equação de 2º- grau de maneira mais formal, ou seja: chama-se equa-

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ção de 2º- grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma: ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. A consideração de que a ≠ 0 deve ser satisfeita pois, caso contrário, a equação será de 1º- grau.

investigação de fatos que podem ser generalizados a outras equações. Um fato interessante a ser considerado, nesse momento, é a possibilidade de resolver outros tipos de equações, como exponenciais, biquadradas ou de outros graus, que, embora não se apresentem textualmente como equações de 2º- grau, são a elas reduzidas por procedimentos algébricos. Assim, equações como x + 4 = 9 ou 2x2 = 16 ou, ainda, x³ – 9x = 0 podem ser tratadas já nessa Situação de Aprendizagem, possibilitando aplicar o conhecimento dos alunos em outros tipos de equações. Aqui, será muito importante a atenção do professor para verificar esses conhecimentos e mobilizá-los na resolução de equações de 2º- grau. Isso justifica a atividade a seguir.

Os exercícios exemplares, sugeridos até aqui, têm a finalidade de levar o aluno a perceber que é possível recorrer aos seus conhecimentos anteriores para iniciar uma estratégia de resolução de situações que envolvam equações de 2º- grau. Ao mesmo tempo, a intenção seria provocar uma desestabilização, para que o aluno, em algum momento, perceba a necessidade de um novo conhecimento que permita encontrar as respostas procuradas. Assim, a fim de estimular as conjecturas geradas pelos problemas, sugere-se a proposta de situações-problema que possam ser representadas por meio de equações de 2º- grau, cujo desenvolvimento esteja ao alcance dos alunos, pela utilização de técnicas já trabalhadas em séries anteriores. Assim, o objetivo dessa Situação de Aprendizagem é aplicar técnicas algébricas já aprendidas e desenvolver novas abordagens algébricas que permitam a a)

x + 4=9

Isolar a raiz

b) 2x = 16

Atividade 3 Resolva as equações a seguir e verifique se os valores encontrados satisfazem à equação. a) x + 4 = 9 c) x3 – 9x = 0 2

b) 2x = 16

c) x3 – 9x = 0

Escrever as potências na mesma base e comparar os expoentes

Colocar o x em evidência

d) x4 – 16 = 0

d) x4 – 16 = 0 Produto notável: produto da soma pela diferença

(x ) – ( 4) = 0 ( x +4 ) .( x –4 )=0 2 2

x =9– 4

22xx 2 == 22 4 2

x =5

( x)

= ( 5 )

x ( x 2 –9 ) = 0 x=0 ou

x2 = 4

x = 25

x=± 4 x=± 2

– 2 ou 2

x 2 – 9= 0

x=± 9 =± 3

0, –3 ou 3

x2 + 4 = 0 x2 = – 4 Não tem solução real ou x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = ± 4 = ±2

–2 ou 2

Embora tenhamos exposto uma resolução formal para essas atividades, é possível que seus alunos apresentem estratégias diferentes incluindo o cálculo mental ou a substituição por tentativa de valores. Nesse momento, é importante valorizar as hipóteses de resolução, pois elas representam certo grau de envolvimento com o tema. Esse espaço de hipóteses é aquele que garante, muitas vezes, a atenção do aluno a um procedimento de cálculo mais formalizado, que será proposto posteriormente. Os procedimentos aplicados nessa fase inicial do trabalho com equações de 2º- grau apontam para aspectos que permitirão a criação de um método geral de resolução de qualquer equação desse tipo. Entre essas técnicas aprendidas destacamos os processos de fatoração apresentados na 7ª- série, particularmente a diferença entre o quadrado de dois números que é igual ao produto da soma pela diferença entre esses dois números, isto é, a² – b² = (a + b) . (a – b), por se referir a um tipo simples de equação de 2º- grau incompleta. Dessa forma, equações do tipo x² = 16 podem ser retomadas e resolvidas por meio dos seguintes passos: x2 = 16, então, x2 – 16 = 0 logo, x2 – 42 = 0. x + 4 = 0 Assim, (x + 4) . (x – 4) = 0  x – 4 = 0  x = – 4 do que se conclui que  x = 4 Esse procedimento, além de confirmar o cálculo mental (levantando a questão

sobre quais são os números que elevados ao quadrado resultam em 16), permite que sintetizemos o processo de resolução observando que o valor de x é igual a mais ou menos o valor da raiz quadrada de 16: x 2 = 16 → x = ± 16 → x = ± 4 . Com essa discussão, o sinal ± deve ser entendido como uma síntese de fatos presentes na combinação da fatoração: a² – b² = (a + b) . (a – b) com a ideia de que se a . b = 0, então, a = 0 ou b = 0. Assim, equações incompletas do tipo: ax² + c = 0 podem ser resolvidas com base na análise do que temos discutido: f o domínio dos princípios multiplicativo e aditivo da igualdade; f a noção de radiciação. Desse modo, concluímos que equações incompletas do tipo: ax² + c = 0 possuem as raízes: x = ± –

c . a

Sugerimos que os alunos voltem aos problemas anteriores para obter as raízes das equações que traduzem as situações dos problemas. É importante lembrar aos alunos que a solução negativa de alguns dos problemas (b, c, d) deve ser desprezada, pois, nesse caso, o universo deve ser o conjunto dos números reais positivos, uma vez que não faz sentido utilizar um número negativo ou o zero para indicar a medida do lado de uma figura.

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É importante, agora, que os alunos apliquem as conclusões aprendidas, pois elas servirão de modelos para o tratamento das equações de 2º- grau dadas em outras formas.

i) –2x2 + 7 = 0 –

7 7 ou 2 2

j) x2 = 0

atividade 4 Obtenha as raízes reais das equações: a) x2 = 9 –3 ou 3 b) 4x2 – 36 = 0 –3 ou +3 c) 3x2 = 27 –3 ou +3 d) x2 – 4 = 12 –4 ou +4 e) 4x2 – 25 = 0 5 5 ou – 2 2 2 f) 5 x = 2 2 5 2 2 ou – 5 5

g) x2 + 1 = 0 Não há solução real, pois não há número real que, elevado ao quadrado, seja igual a –1. h) 4 = x2 –2 ou +2

0 k) 3x2 = 0 0 l) x2 + 1 = 1 0 Explore as estratégias e respostas apresentadas pelos alunos, incentivando-os a utilizar seus conhecimentos sobre radiciação na formulação de uma justificativa para o fato de não haver raízes reais para a equação apresentada na atividade anterior, item g. Essa discussão poderá auxiliar os estudantes, posteriormente, na resolução de equações completas de 2º- grau, com discriminante negativo, e, além disso, prepara o aluno para a construção da ideia de número complexo, que será desenvolvida no Ensino Médio. Vamos propor mais algumas atividades cuja solução está fundamentada em outros fatos que já podem ser conhecidos pelos alunos, expondo-os de maneira mais formal.

atividade 5 Alguns fatos conhecidos que podem nos ajudar na resolução de equações de 2º- grau são:

Se o produto de dois fatores é zero, neces sariamente um deles é igual a zero. Assim, se: (x – x1).(x – x2) = 0

então

Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2º- grau

f se ax2 + bx = 0 , então x(ax + b) = 0 →

Para esse trabalho, seria interessante pro por aos alunos a resolução da seguinte equa ção: (x – 3)2 = 16.

 x – x1 = 0  ou x – x = 0 2 

 x = x1 então  ou x = x 2 

b ; a c f se ax2 + c = 0, então x = ± – ; a x1 = 0, x2 = –

Considere essas ideias e, aplicando também o cálculo mental, obtenha as raízes reais das se guintes equações: a) (x + 2).(x – 6) = 0 S={–2, 6} 1  b) ( 3x + 2 ).  – x –  = 0  2 1 2 S= – , – 2 3

{

}

c) – x2 + 4x = 0

Se houver necessidade, ajudeos com per guntas como: f Quais são os números que elevados ao quadrado resultam em 16? f Que números podem ser colocados no lugar de x para transformar a equação em uma sentença verdadeira? Caso não haja sugestões, mostre aos alu nos que eles poderiam aplicar o método de senvolvido anteriormente. Assim:

S={0, 4}

( x – 3)2 = 16

d) x2 + x = 0

x – 3 = ± 16 x – 3 = ±4

S={–1, 0} O desenvolvimento dessa atividade auxilia o aluno na identificação da fatoração como ferramenta útil na resolução de equações de 2º grau. Com isso, o aluno já inicia a reso lução de equações completas do 2º grau, representadas na forma fatorada, o que propi cia a aplicação de conhecimentos que o aluno

começou a construir na 7ª série. Essa ideia pode ser ampliada por meio da proposição de atividades como as que seguem.

+4 77 xx==33+  x x= = logo  ou ou logo x = 3 – 4  x = –1 x=3–4 x = –1 Comprovando a resposta: (7 – 3)2 = 16

(–1 – 3)2 = 16

42 = 16

(–4)2 = 16

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Comente, então, que essa é outra maneira possível de se resolver uma equação de 2º- grau. É claro que uma equação nem sempre é dada nessa forma (fatorada), no entanto, dispomos de vários recursos para transformar qualquer equação de 2º- grau em uma equação equivalente na forma fatorada. Esse movimento conceitual de transformação de uma equação em outra equivalente, cujo processo de resolução seja conhecido, corresponde ao movimento histórico de resolução de equações de 2º- grau. Um passo nesse sentido pode ser dado explorando-se o método desenvolvido pelo matemático árabe Al-Khowarizmi. Seguindo a tradição grega de interpretar geometricamente situações algébricas, o matemático árabe Al-Khowarizmi, no século IX, desenvolveu um método geométrico para resolução de equações de 2º- grau, cujos passos transformam uma equação desse tipo em um quadrado perfeito. Nesse método, o lado do quadrado é considerado o valor da incógnita, sendo, portanto, desprezadas as soluções negativas. De certa forma, a falta de significado dos números negativos, nesse momento, é semelhante ao que os matemáticos viveram quando enfrentaram situações com raízes quadradas de números negativos. Na atividade seguinte, são iniciadas ideias que irão constituir as bases da demonstração da fórmula geral para a resolução de qualquer equação de 2º- grau: a fórmula de Bhaskara. Vamos propor aos alunos a atividade a seguir, que pode ser resolvida seguindo passo a passo a solução figurativa apresentada por Al-Khowarizmi:

atividade 6 A área de um quadrado acrescida de oito vezes o seu lado é igual a 65. Na álgebra moderna, essa sentença é dada pela expressão: x2 + 8x = 65. O método desenvolvido por Al-Khowarizmi seguia os seguintes passos: 1. As expressões x2 e 8x são interpretadas como as áreas de um quadrado e de um retângulo. A solução do problema é, então, a medida do lado do quadrado. x

2. O retângulo era dividido em dois retângulos de mesma área. A equação era interpretada como: x mais x

igual a 65

3. Cada retângulo era arranjado de modo que ficasse justaposto a dois lados do quadrado. Com essa composição, a área da figura continua sendo 65. x

4. Para completar o quadrado, acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. Com esse método, “completava-se um quadrado perfeito” de lado x + 4 e área igual a 65 + 16 = 81. x

5. Sendo a nova área 81, a medida do lado do novo quadrado é então 81 = 9 . Assim, o lado do quadrado é x + 4 = 9, portanto, x = 5 é a solução. Na linguagem algébrica moderna, transformamos a equação x2 + 8x = 65 em uma equivalente (x + 4)2 = 81. Isso foi possível aplicando-se o método chamado “completamento de quadrado”. Acompanhando o desenvolvimento algébrico, observamos que, embora apoiados no processo figurativo, são encontradas todas as raízes da equação: x2 +8 x +16 = 65+16

( x + 4)2 = 81 x + 4 = ± 81  x = +9 – 4 x = 5 logo  x + 4 = ±9  x = – 9 – 4  x = –13 Verificando: em (x + 4)2 = 81

(5 + 4)2 = 81

(–13 + 4)2 = 81

92 = 81

(–9)2 = 81

Ou em x2 + 8x = 65 52 + 8 . 5 = 65

(–13)2 + 8 . (–13) = 65

25 + 40 = 65

169 + (–104) = 65

É possível que alguns alunos sugiram que a equação x2 + 4x = 65 possa ser resolvida colocando-se o fator comum x em evidência, formando, assim, a seguinte expressão: x(x + 8) = 65 Chegando a essa forma, a aplicação de cálculo mental ou a construção de tabela é um recurso à solução da equação. Contudo, vale ressaltar que o método do “completamento do quadrado” se apresenta como um método de resolução mais geral. Com esse método podemos constatar que: f a interpretação geométrica permite traduzir a equação em um formato conhecido. No entanto, somente as soluções positivas são consideradas. E isso faz sentido. Na época em que foi desenvolvido esse método, as quantidades negativas careciam de significado. f o procedimento algébrico aplicado ao novo formato permite a determinação de todas as soluções da equação, seja ela negativa, zero, ou positiva. Apoiados nessas constatações, é possível questionar se na construção de um método de resolução de uma equação de 2º- grau devemos incorporar o que a abordagem geométrica e algébrica tem de melhor a oferecer e levar os alunos a concluir que os limites de uma são compensados pelos avanços da outra.

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A atividade a seguir tem por finalidade a aplicação desse método algébrico-geométrico. Um interesse particular nesse método é que ele servirá de base para a demonstração da fórmula de Baskhara. Seria interessante se no desenvolvimento das resoluções o professor chamasse a atenção dos alunos para o fato de que o valor acrescido a ambos os termos da equação se refere ao quadrado da metade do coeficiente do termo em x. Nessa atividade, essa propriedade é recuperada dos produtos notáveis e, caso os alunos os desconheçam, esses exercícios permitem a apresentação desse conteúdo no contexto de resolução de equações de 2º- grau, também chamadas de equações quadráticas em referência à regra aplicada de “completar quadrados”.

b) x2 + 5x = 6 x+

5 2

quadrado da metade do coeficiente de x

5 2

25 25 = 6+ 4 4 2 49 5 49 5  → x+ = ±  x +  = 4 2 4 2 5 7 x=± – 2 2 x = 1 ou x = – 6 x 2 + 5x +

Atividade 7 Encontre as raízes das equações de 2º- grau aplicando o método do “completamento do quadrado” desenvolvido por Al-Khowarizmi:

c) x2 + 2x + 1 = 0 x+1

a) x2 + 20x = 300

x + 10 x x x

10x quadrado da metade do coeficiente de x

10x

100

x2 + 20x + 100 = 300 + 100 (x + 10)2 = 400 x + 10 = ± 400 x = ± 20 – 10

quadrado da metade do coeficiente de x

x + 2x = – 1 2

Neste caso, a expressão x2 + 2x + 1 já é um quadrado perfeito:x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Logo, a equação dada é equivalente a (x + 1)2 = 0, de onde segue que x + 1 = 0, ou seja, x = –1. Logo não há solução, pois a área não pode ser negativa.

x = – 30 ou x = 10

Observe, professor, que nos itens dessa atividade, embora as soluções negativas não tenham sentido geométrico, satisfazem as equações algébricas. Mais uma vez pode-se aproveitar a oportunidade para discutir com os alunos que, enquanto o método geométrico permite a escrita da equação na forma fatorada conhecida, o método algébrico permite a determinação de todas as soluções reais da equação, quando existirem. As discussões feitas até aqui convergem para a ideia de que as equações de 2º- grau quando fatoradas podem ser resolvidas com fatos já apreendidos. Com essa abordagem entendemos que, o desenvolvimento do quadrado da soma e do quadrado da diferença de dois números e seus respectivos processos de fatoração ganham nova importância. Assim, observando o desenvolvimento de: (x + a) = x + 2 . ax + a 2

podemos concluir que: um trinômio é quadrado perfeito quando o termo que não tem x, termo independente de x, é igual à metade do coeficiente de x elevado ao quadrado. Como sugestão para abordar esse processo, propomos, a seguir, duas atividades cujo objetivo é aprimorar o olhar sobre trinômios quadrados para identificar quais são perfeitos.

Atividade 8 Quais dos seguintes trinômios da lista a seguir referem-se a quadrados perfeitos:

(x + 2) . 2

(x – 3)2 c) 4x2 + 12x + 9 (2x + 3)2 d) 25x2 + 100x + 100 (5x + 10)2

Atividade 9 Encontre o termo que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito: a) x2 + 18x + 92 = 81 b) 9x2 +

x+4

2 . 3 . 2 = 12 c) x2 – 20x +

(x – a)2 = x2 – 2 . ax + a2

a) x2 + 4x + 4

b) x2 – 6x + 9

102 = 100 d) 4x2 –

x + 49

2 . 2 . 7 = 28 Retomando as situações que envolvem a resolução de equações de 2º- grau, observamos que, algumas vezes, a equação já apresenta um trinômio quadrado perfeito como a equação: x2 + 10x + 25 = 0. Basta observar que o termo independente é igual à metade do coeficiente de x elevado ao quadrado. Portanto, ele já representa um quadrado perfeito de lado (x + 5). Então: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0 Logo: x = –5 é a resposta.

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Outras vezes, precisamos lançar mão de artifícios para fazer com que o primeiro membro da equação se torne um trinômio quadrado perfeito, mantendo a igualdade verdadeira. Exemplo: Resolver a equação 4x2 – 12x + 5 = 0 Podemos escrever a equação na forma: 4x – 12x = –5 2

Dividindo toda a expressão por 4, temos: 5 x2 – 3x = – . 4 Agora devemos procurar um número que, acrescentado a ambos os membros da equação, produza no 1º- membro um trinômio quadrado perfeito. Esse número deve ser o quadrado da 2

3 metade do termo em x, portanto,   .  2 2 2 3 5 3     x 2 – 3x +   = – +    2 4  2 2

3 5 9   x –  = – + 2 4 4 2

3 4 3   x –  = isto é; x – = ± 1 2 4 2 3 x – = ±1 2 Logo: x =

3 5 +1 = 2 2

ou x =

3 1 –1= 2 2

Agora, devemos procurar um número que, acrescentado a ambos os membros da equação, produza no 1º- membro um trinômio quadrado perfeito: 2 1 x + ... = + ... 3 3 Para encontrar esse número, vamos dividir dois terços por 2: x2 +

2 1 ÷2= 3 3 E, agora, vamos elevar um terço ao quadrado: 2

1  1   = 3 9 Assim, acrescentando um nono aos dois membros da equação teremos: 2 x2 + x + 1 = 1 + 1 3 9 3 9 Agora sim, podemos fatorar o primeiro membro, pois ele é um trinômio quadrado perfeito: 2

1 4   x +  = . 3 9 E, assim, o valor de x poderá ser facilmente encontrado: 1 2 2 1 3 x + = ± , logo x1 = – – = – = –1 3 3 3 3 3 2 1 1 ou x2 = – = 3 3 3 Proponha aos alunos que discutam com os colegas os procedimentos utilizados anteriormente e aplique-os na resolução da equação: x2 – 5x + 6 = 0. 2

2 – 5x + 6 = 0 → x 2 xx–225x –– 5x 5x + 6= +=6–0= 6→0 → x 2 x– 25x – 5x = –=6– 6 Outro exemplo: 3x2 + 2x – 1 = 0. Essa xequa2 2 2 2 2 2 2 21 1 ção pode ser escrita assim:  5  x 22 – 25x+5 5  5 = 1 – 6 +  5  5 =  2 = = – 6 + x – 5x +   = –x6 +– 5x+  =          4 2 2  2  2   2 4  2 4 2 1 2 1 x2 + x – = 0 ou, ainda, x2 + x = 5 1 5 1 5 3 3 3 x3– = ± 1 x =x2– x ou = 3 →= x S2={2, = ou 2 ou 3} x =x3 =→ 3 S →={2, S ={2, 3} 3} = ± x – =x± 2 2 2 2 2 2

Um produto notável importante a ser aplicado na resolução de equações de 2º- grau, e até mais geral que esse, é o produto de dois binômios com um termo em comum, expressos na forma (x + a).(x + b) = x2 + (a + b)x + a . b. A importância de resgatá-lo, nesse momento, se dá pelo fato de ele permitir a fatoração da equação quadrática pensando-se numericamente na soma e no produto dos termos não comuns, isto é, de a e b. Esse fato será depois explorado no estudo das relações entre as raízes da equação e seus coeficientes, isto é, se x1 e x2 são raízes de uma equação de 2º- grau na forma ax2 + bx + c = 0, b c com a ≠ 0, então x1 + x 2 = – e x1 . x 2 = . a a Geralmente, essas relações são trabalhadas após a apresentação da fórmula de Bhaskara. Contudo, se apresentadas aqui permitem uma significação prática do produto notável, o desenvolvimento de competências relativas ao cálculo mental e a possibilidade de resolução da equação sem necessidade da fórmula. Além disso, indicam um movimento de relacionar raízes aos coeficientes, que é generalizado na fórmula de Bhaskara quando as raízes se relacionam da seguinte maneira aos coeficientes:

(x + a) . (x+b) = x2 + bx + ax + ab (x + a) . (x+b) = x2 +(a + b)x + a . b Do mesmo modo, chegamos à seguinte expressão: (x – a).(x – b) = x2 – (a + b)x + ab. Por meio desse resultado geral, podemos: f calcular produtos similares a estes sem o recurso da propriedade distributiva. (x + 3) . (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 . 5 = x2 + 8x + 15 (x – 1) . (x – 7) = x2 – (1 + 7)x + 1 . 7 = x2 – 6x + 7 f fatorar trinômios em dois binômios com um termo em comum. Vejamos os seguintes exemplos: a) x2 + 7x +12 Para fatorar esse trinômio podemos fazer a seguinte pergunta:

Quais são os dois números cujo produto é 12 e a soma é 7?

Após esse trabalho, pode-se propor aos alunos o desenvolvimento algébrico de (x + a).(x + b).

Observando que o termo independente, 12, é positivo, os dois números possuirão o mesmo sinal, ou ambos são positivos, ou ambos são negativos e nenhum deles será zero, senão o produto seria zero. Estudando os possíveis números positivos, podemos decompor o 12 como: 12 . 1; 2 . 6 e 3 . 4. Montando uma tabela:

– b ± b2 – 4ac . Vale ressaltar, ainda, que 2a esse procedimento se refere às relações de Girard para equações polinomiais de 2o- grau que, posteriormente, serão ampliadas, na 3a série do Ensino Médio, para outras equações polinomiais.

Aplicando-se a propriedade distributiva e, em seguida, colocando-se o fator comum x em evidência temos:

Matemática - 8a série - Volume 2

Valores

Soma

Observamos que os números serão 3 e 4, pois sua adição resulta em 7, valor do coeficiente de x. Portanto, x2 + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4) b) x2 – 2x – 3 Nesse caso, como o termo independente, –3, é negativo, os dois números possuirão sinais diferentes, um positivo e o outro negativo. Estudando os possíveis números, podemos decompor o –3 como: (– 3).1 ou (– 1).3. Montando uma tabela, temos: Valores

–3

–1

Valores

Soma

–2

Assim, observamos que os números serão –3 e 1, pois sua adição resulta em –2, valor do coeficiente de x. Portanto, x2 – 2x – 3 = (x + 1).(x – 3) O professor pode criar outras situações, inclusive propondo trinômios quadrados perfeitos como x2 + 8x +16. Ao se pensar quais os números que, somados, resultam em 8, e cujo produto é 16, parece fácil observar que esses números são iguais a 4. Portanto, x2 + 8x + 16 = = (x + 4).(x + 4) = (x + 4)2.

atividade 10 Fatore a seguinte expressão: x2 + 8x +12

atividade 11 Um aluno, ao fatorar a expressão x2 –5x + 6, escreveu que x2 – 5x + 6 = (x – 2).(x – 3). Verifique se ele acertou. Podemos observar que (– 2).(– 3) = 6 e que (– 2 – 3) = – 5. Em casos particulares, como x2 – 9 ou x2 – 4x, também é possível aplicar o mesmo procedimento. Na primeira situação, a soma dos números é zero, o que significa que são números opostos. Como o produto é –9, os números procurados são –3 e +3. Trata-se, portanto, da fatoração em (x + 3).(x – 3). No segundo caso, o produto é zero, ou seja, um dos fatores é zero. Como a soma é – 4, uma das parcelas deve ser – 4. Trata-se da fatoração em (x – 0).(x – 4) = x( x – 4). Observamos, portanto, que no desenvolvimento desse tema, o processo de fatoração que envolve o produto de dois binômios com um termo em comum, que é a variável da expressão, engloba os processos de fatoração tratados anteriormente. Para fixar essas ideias, o professor pode propor aos alunos uma série de atividades como as que apresentamos a seguir. Mais adiante, esse processo de fatoração será aplicado à resolução de equações de 2º- grau que, como dissemos, será o momento de abordar as relações entre a soma e o produto das raízes e os coeficientes da equação.

atividade 12 As equações que completam a segunda coluna do quadro a seguir devem ser equivalentes às da primeira coluna e escritas na forma fatorada. Complete a seguir a coluna.

(x+6).(x+2)

com seus coeficientes, isto é, dada uma equação de segundo grau ax2 + bx+ c = 0, com a ≠ 0 2 x – 2x – 8 (x – 4) . (x + 2) b c e x1 e x2 suas raízes, temos x1 + x 2 = – e x1 . x 2 = 2 x – 8x + 16 (x – 4)2 a a b c x2 – 2x + 1 (x – 1)x2 1 + x 2 = – e x1 . x 2 = . A seguir sugerimos duas atividaa a x2 + 10x + 25 (x + 5)2 des. A primeira tem o objetivo de exercitar o x2 – 10x + 24 (x – 4) . (x – 6) método aprendido. A segunda permite a com2 x + 2x x(x+2) paração de processos diferentes de resolução, x2 – 49 (x+7) . (x – 7) explorando a ideia de que uma expressão pode ter diferentes expressões a ela equivalentes. Atividade 13 A atividade 15 pode ser proposta como projeUm aluno da 8ª- série fez o seguinte encamito a ser desenvolvido extrassala. nhamento para fatorar a expressão 3x2 – 6x – 24: Expressão

Forma fatorada

Atividade 14

1. Colocou o 3 em evidência: 3(x – 2x – 8) 2. Fatorou a expressão em x, pensando em quais são os números cujo produto é –8 e cuja soma é 2, encontrando que: x2 – 2x – 8 = (x – 4).(x + 2). 3. Por fim, escreveu que 3x2 – 6x – 24 = = 3(x – 4).(x + 2). a) Como podemos verificar se o procedimento aplicado pelo estudante está correto? 2

Uma das possibilidades é desenvolver o se gundo membro e verificar se a igualdade se mantém, o que veremos que ocorrerá. b) Seguindo esse procedimento, fatore essas expressões: 1) 6y2 – 12y – 144 6(y2 – 2y – 24) = 6(y – 6) . (y + 4) 2) 2y2 – 5y + 2 2(y2 – 5 y + 1) = 2(y – 1 ) . (y – 2) 2 2 Nesse momento, o professor pode sugerir algumas equações de 2º- grau para que o aluno aplique os conhecimentos trabalhados. A ideia central é agregar uma série de conhecimentos que permitam relacionar as raízes da equação

Aplique o mesmo método para resolver as equações a seguir: a) x2 –7x + 6 = 0 x2 – 7x + 6 = (x – 6).(x – 1) = 0 S = {1, 6} b) 2x2 + 3x – 2 = 0 3 x – 1) = 2 1 1 = 2(x – ).(x + 2) S = { , – 2} 2 2

2x2 + 3x – 2 = 2(x2 +

Atividade 15 Muitos dos processos de resolução de equações foram aprendidos pela leitura e análise de antigos manuscritos egípcios, gregos, hindus e árabes. Imagine que os alunos de sua 8ª- série se proponham a deixar para as turmas futuras um documento que registre e explique as formas de resolução de equações de 2º- grau. Proponha que assumam essa tarefa para a equação x2 – 10x + 24 = 0. É possível que apareçam argumentos rela cionados ao método do completamento do quadrado e à fatoração como um produto de dois binômios utilizando, inclusive, a forma figurativa. A seguir, indicamos duas pos síveis soluções para essa atividade.

Matemática - 8a série - Volume 2

1ª- Solução: Inicialmente, os alunos fatoraram a equação como um produto de dois x² – 10x + 24 = 0 binômios com um termo x em comum, observando que –6 – 4 = –10 e (x – 6) . (x – 4) = 0 que (–6).(–4) = 24

( x – 6 ) . ( x – 4 ) = 0 Depois, aplicando a ideia de que um dos produtos deve ser zero x – 6 = 0 x = 6 concluíram que:   x – 4 = 0 x = 4 E deram a solução

S = {4, 6}

2ª- Solução: x2 – 10x + 24 = 0 x2 – 10x = – 24 Aplicaram o completamento do quadrado e fatoraram a expressão em x2 – 10x + 25 = –24 +25 um produto notável. A seguir, aplicaram propriedades algébricas (x – 5)2 = 1 x – 5=± 1 x – 5 = ±1 x – 5 = +1 x = 6 x – 5 = –1 x = 4

Concluíram que: E deram a solução

S = {4, 6}

atividade 16 Sugerimos ao professor retomar algumas expressões das atividades 12 e 13, transformando cada uma em uma equação de 2º- grau Equação

e construindo uma tabela com uma nova coluna que será preenchida com as raízes da equação. Dessa forma, a tabela ficaria:

Forma fatorada

Solução

(x – 4).(x + 2) = 0

S={4, – 2}

b) x2 – 8x + 16 = 0

(x – 4)2 = 0

S={4}

c) x2 – 10x + 24 = 0

(x – 4).(x – 6) = 0

S={4, 6}

x.(x + 2) = 0

S={0, – 2}

6 (x – 6).(x + 4)

S={6, – 4}

a) x2 – 2x – 8 = 0

d) x2 + 2x = 0 e) 6x2 – 12x – 144 = 0 f) 2x2 – 5x + 2=0

2.  x – 

1  .(x – 2)  2

{ } 1 , 2 2

b) Que relação existe entre a soma dos ter mos não comuns e a soma das raízes? Justifique sua conclusão.

O professor pode agora sugerir a constru ção de uma nova tabela, como a apresentada a seguir. E com base nela, propor aos alunos o levantamento de hipóteses que permitam es tabelecer relações entre os valores dos termos não comuns e as raízes, entre a soma dos ter mos e a soma das raízes, entre o produto dos termos e o produto das raízes e a relação entre estes e os coeficientes da equação. Essa análi se dos valores da tabela pode ser considerada uma forma indutiva de encontrar um método geral de resolução de equações quadráticas.

d) Que relação existe entre a soma das raí zes e os coeficientes de a e b? Justifique sua conclusão.

Algumas perguntas que podem ser formu ladas aos alunos:

e) Que relação existe entre o produto dos termos não comuns e os coeficientes de a e c? Justifique sua conclusão.

a) Que relação existe entre os termos não comuns da forma fatorada e as raízes? Justifique sua conclusão.

f) Que relação existe entre o produto das raízes e os coeficientes de a e c? Justifique sua conclusão.

Equação

Forma fatorada

Produtos ProTermos Raízes Soma Soma dos duto não da dos das termos a das comuns equação termos raízes não raízes comuns

x2 – 2x – 8 = 0

(x – 4) . (x+2)= 0

– 4 + 2 +4 – 2

–2

–8

x2 – 8x + 16 = 0

(x – 4) 2 = 0

–4 –4 +4 +4

–8

+ 16

+ 16 1 – 8 + 16

x2 – 10x + 24 = 0

(x – 4) . (x – 6) = 0 – 4 – 6 + 4 + 6 – 10

+ 24

+ 24 1 – 10 + 24

x2 + 2x = 0

x (x+2) = 0

–2

– 24

– 24 6 – 12 – 144

5 2

6x2 – 12x –144 = 0 6 (x – 6) . (x+4)

2x2 – 5x + 2 = 0

c) Que relação existe entre o produto dos termos não comuns e o produto das raí zes? Justifique sua conclusão.

2(x – 1 ) . (x – 2) 2

0 +2 0 –2 –6 4

–

6 –4

1 –2 1 +2 5 – + 2 2 2

–8

1 –2

1 +2

–8

2 –5 +2

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Deve-se tomar cuidado quando a equação possuir uma só raiz, como (x – 4)2 = 0. Nesse caso, podemos considerar que a equação possui uma raiz dupla. É importante, mais uma vez, que os alunos façam os registros de suas conclusões. Em atividades como essa é de se esperar que eles exponham dúvidas e opiniões. Geralmente, o encontro de relações vem acompanhado de reflexões, de troca de ideias com o outro, em duplas ou em grupos. O importante a ser observado é o grau de interesse dos alunos, mesmo que isso acarrete uma aparente desorganização da sala. É no momento de exposição das conclusões individuais à classe que o professor deve garantir um nível maior de organização, pois dela depende a compreensão e participação de todos. Nessa atividade, o professor pode observar, junto aos alunos, que as soluções zeram os fatores da forma fatorada. Assim, a raiz 4 da equação x2 – 2x – 8 = (x – 4).(x+ 2) = 0 zera o fator (x – 4) e a raiz –2 zera o fator (x + 2). Dessa forma, o sinal das raízes é sempre oposto ao sinal do termo não comum na forma fatorada. Portanto, o sinal do produto das raízes é o mesmo do produto dos termos não comuns, pois como o sinal de ambos os termos se opõem (–4 fica +4, +2 fica –2), o sinal ax2 + bx + c = 0

ax 2 b c 0 + x+ = a a a a

x2 +

b c x+ = 0 a a

do produto se manterá. Contudo, na adição, a situação não é a mesma. A soma de – 4 + 2 tem sinal oposto à soma +4 –2. Podemos, assim, concluir que a soma das raízes (x1 + x2) terá sinal oposto à soma dos termos não comuns da forma fatorada (a + b).

Processo de fatoração Dada a equação x2 + 3x – 40 = 0, temos: f O produto dos termos não comuns: – 40 f A soma dos termos não comuns: 3 f Os termos não comuns: 8 e –5 f Forma fatorada: (x + 8).(x – 5) = 0 Portanto, as raízes serão: –8 e 5. Repare que o produto entre os termos comuns coincide com o produto das raízes (+8) . (–5) = (–8) . (+5) = – 40 e a soma dos termos comuns tem o sinal oposto ao da soma das raízes [8+(–5)] = – [5+(–8)]. Caso o professor sinta necessidade de demonstrar a generalidade desse fato, pode aplicar em sala o procedimento a seguir. Dada a equação quadrática ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, se a forma fatorada for a(x – x1).(x – x2), então os termos não comuns serão –x1 e –x2 e as raízes serão: x1 e x2.

Fatorando como produto de dois binômios

a (x – x1).(x – x2) = 0

Aplicação da distributiva

a(x2 – x.x2 – x.x1 + x1.x2) = 0

Colocando o fator x em evidência

a[x2 – (x1 + x2)x + x1.x2] = 0

Dividindo ambos os membros da equação por a, lembrando que a ≠ 0

x2 – (x1 + x2) x + x1.x2 = 0

Vamos observar os coeficientes dos termos de mesmo grau

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Desse desenvolvimento, concluímos que: – ( x1 + x 2 ) = e que

b b isto é: x1 + x 2 = – a a c x1.x 2 = a

Com base nessas conclusões, o professor pode sugerir algumas equações de 2º- grau para serem resolvidas pelo método da soma e do produto das raízes. Muitos livros didáticos trazem uma lista farta de exercícios que abordam esse tema.

1  2  6x² – x – 2 = 0 ou  x +  . x –  = 0.  2  3 Do mesmo modo, serão várias equações que dependem do coeficiente a. c) Observe a tabela a seguir e complete as colunas vazias: Equação

–

b a

c a

atividade 17

x² – 5x + 4 = 0

Resolvendo sem fatorar

x² + 3x – 28 = 0

–3

–28

–7

Com base em suas conclusões, descubra quais são as raízes das equações sem fatorá-la:

x² + 5x + 6 = 0

–5

–2

–3

3x² – 3 = 0

–1

x² – 4x = 0

3x² – 6x +3 = 0

a) x² – 2x – 15 = 0 5 ou –3. b) x² + 7x + 12 = 0 –3 ou –4. c) x² – 12x + 36 = 0 6 (raiz dupla).

atividade 18 Dada uma equação de 2º- grau ax2 + bx + c, com raízes, sua fatoração será a(x – x1) . (x – x2). a) Determine uma equação de 2º- grau com raízes iguais a –5 e 3. Uma possível resposta seria: 1(x + 5).(x – 3) = 0 ou x² + 2x –15 = 0. O aluno poderá encontrar outras equações dependendo do valor atribuído ao coeficiente a.

b) Construa uma equação de 2º- grau, que 1 2 tenha raízes – e . 2 3

Até o momento, privilegiamos a resolução de equações de 2º- grau pelo método da fatoração, que, por sua vez, teve grande apoio na representação geométrica. O importante, aqui, é que o aluno pôde construir uma série de habilidades algébricas e geométricas em vários assuntos da Matemática. Relate para a turma que, em meados do século XII, viveu na Índia um dos maiores matemáticos da época, conhecido como Bhaskara. Em seu tratado mais conhecido, chamado Lilavati, encontra-se uma série de estudos sobre equações lineares, quadráticas, progressões aritméticas e geométricas, entre outros assuntos matemáticos.

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A fórmula que permite a resolução de uma equação de 2º- grau foi batizada com o nome desse estudioso. Vale ressaltar que sua demonstração apoia-se em conhecimentos matemáticos anteriores, como dos babilônios e árabes. Caso seja do interesse do professor, há livros de história da Matemática, como o clássico de Carl Boyer, que apresentam citações sobre Bhaskara e sua obra, Lilavati. A seguir, trazemos uma demonstração algébrico-geométrica da fórmula resolutiva, quadrática, ou ainda de Bhaskara, que permite o encontro das raízes de uma equação de 2º- grau. Aqui, aplicaremos o método de AlKhowarizmi, isto é, o método de completar quadrados a uma equação geral de 2º- grau. Assim, obteremos uma fórmula que servirá para calcular as raízes de qualquer equação de 2º- grau. Considere, inicialmente, a possibilidade de resolução da equação geral: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, a, b e c reais) A equação geral pode ser escrita da forma: ax + bx = – c. 2

1. Dada a expressão ax2 + bx = – c, dividindo-se todos os termos por a, teremos: b c x2 + x = – a a Portanto, vamos interpretar x2 como a b c área de um quadrado de lado xx2 e+ x =como – a a b c 2 a área de um retângulo de ladosxx + e .x = – a a b a

bx a

2. Dividimos o retângulo em dois retângulos de áreas iguais e, assim, podemos escrever

a equação na seguinte forma geométrica x

mais

b 2a

3. Vamos colocar os dois retângulos ao longo dos lados dos quadrados e completar o quadrado com um quadradinho de lados b : 2a b x

 b   2a

4. A área desse novo quadrado é – 4ac 2 + b2 c b2 e seu lado mede – + = a 4a 2 4a 2 b . x+ 2a Portanto, podemos escrever a seguinte 2 b – 4ac 2 + b2  equação  x + : =   2a  4a 2 Aplicando as propriedades algébricas, temos: b – 4ac 2 + b2  x = ± +   4a 2 2a  Então, x +

b b2 – 4ac , = ± 2a 2a

b b2 – 4ac ,a = ± 2a 2a do que se conclui que os valores de x que satisfazem a equação são dados pela logo, x = –

expressão: x =

– b ± b2 – 4ac . 2a

Indicando-se as raízes da equação por x1 e x2 teremos, portanto: x1 =

– b + b – 4ac 2a

– b – b2 – 4ac . 2a Nesse momento, o professor pode propor algumas equações para os alunos resolverem, atento ao fato de que o reconhecimento dos coeficientes é parte essencial da aplicação da fórmula.

e x2 =

atividade 19

2. Diante de uma lista de equações de 2º- grau para resolver, um aluno começou calculando o valor da expressão: b2 – 4ac, para cada equação, e encontrou os seguintes valores: 1) – 4 2) 36 3) 0 25 9 5) – 4 4)

6) 81

Discussão das raízes

7) – 64

1. Discuta com seus colegas e justifique a seguinte afirmação: dependendo do valor da expressão b² – 4ac, uma equação de 2º- grau pode admitir duas raízes reais distintas, ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou então não admitir raízes reais.

8) 200

O valor da expressão b² – 4ac é tão importante para a fórmula que foi denominado discriminante. De fato, seu valor irá distinguir se uma equação de 2º- grau pode admitir duas raízes reais distintas, ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou então não admitir raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac. Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes relações: Δ=0 Δ>0 Duas raízes Duas raízes reais idênticas reais distintas. (uma raiz dupla).

Δ<0 Não admite raízes reais.

9) 100 Responda e justifique suas respostas. a) Quais das equações dadas admitem duas raízes reais distintas? 2, 4, 6, 8 e 9 b) Quais das equações dadas admitem duas raízes reais idênticas? apenas a 3 c) Quais das equações dadas não admitem raízes reais? 1, 5 e 7. As justificativas passam pelos valores e pelos sinais de Δ. Após essa discussão, o aluno pode ser convidado a resolver outras questões envolvendo equações de 2º- grau, que propiciem a aplicação, ampliação e aprofundamento das noções desenvolvidas até aqui.

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atividade 20 Resolvendo equações de 2º- grau 1. Resolva as equações a seguir pelo método que achar mais conveniente. Lembre-se de que uma equação de 2º- grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla, ou nenhuma raiz real. a) x2 – 4x + 4 = 0 x1 = x2 = 2 b) y2 + y + 1 = 0 Não existem raízes reais. c) x2 = 8x – 15 x1 = 3; x2 = 5 d) y + 2y2 = 4 y1 =

–1 – 33 –1+ 33 ; y2 = 4 4

2. Justifique o fato de as quatro equações a seguir terem as mesmas raízes: –x2 + 2x + 3 = 0; –10x2 + 20x + 30 = 0; – 0,5x2 + x + 1,5 = 0; x2 – 2x – 3 = 0 Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de zero. Assim, pelo princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso, têm as mesmas raízes. 3. Trabalhando algebricamente com as equações a seguir, todas são redutíveis a equações de 2º- grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.

x+5 2 = 3 x x1 = –6; x2 = 1 a)

10 2 9 = + x +1 x x + 2

x1 = 1; x2 = 4 2 24 = 10 + x –1 x –1 9 x 1 = – ; x 2 = 2 5

Para o professor. Com a fórmula em mãos, o professor pode demonstrar, a partir das raízes – b – b2 – 4ac – b + b2 – 4ac ,a e x2 = 2a 2a validade da ideia da soma e do produto das raízes. Esse fato está disponível na maioria dos livros didáticos destinados a esse assunto. x1 =

Considerações sobre a avaliação Os objetivos traçados para essa primeira Situação de Aprendizagem se referem ao conhecimento de situações que recaem na resolução de equações de 2º- grau, à aplicação de conhecimentos matemáticos referentes a outros contextos, como propriedades de potências, métodos de resolução de equações lineares, construção de tabelas, cálculo mental e aplicação de processos de fatoração. A grande ênfase dada às resoluções apoiadas em processo de fatoração tornou os produtos notáveis um conhecimento a ser aprendido e aplicado em novo contexto. Mais uma vez, combinando a abordagem algébrica com a geométrica, resgatamos, de forma lógica, o processo histórico que envolveu o

tratamento de equações quadráticas. Desse modo, ao final dessa Situação de Aprendizagem é desejável que os alunos tenham compreendido, além dos processos de resolução, o movimento conceitual de resolução desses tipos de equações. Quando apresentada a fórmula de Bhaskara, os alunos devem ficar totalmente à vontade para escolher o processo de resolução que preferirem. Contudo, vale a pena o professor diversificar os tipos de exercícios entre aqueles que exigem a resolução ou o uso da fórmula e aqueles em que o cálculo mental e os processos de fatoração sejam suficientes. O tema dessa Situação de Aprendizagem pode ser avaliado de forma contínua, acompanhando o desenvolvimento pessoal e coletivo da turma na resolução da atividades propostas, individualmente e em grupo. Em vários momentos, as atividades privilegiaram a

participação e o envolvimento do aluno na proposta e isso pode ser avaliado pelo professor por meio de suas observações. Nas avaliações, o professor pode explorar as ideias fundamentais abordadas nos exercícios exemplares, propondo-lhes alteração nos enunciados ou em sua forma de apresentação. Vale ressaltar a importância de que o professor, ao ler atentamente as atividades propostas neste material, possa combiná-las com as listas e metodologias construídas ao longo de sua prática docente. A próxima Situação de Aprendizagem tem como foco a aplicação da resolução de equações em diferentes contextos. Desse modo, caso fiquem pendentes algumas considerações, o professor poderá desenvolvê-las posteriormente. Da mesma forma, as atividades seguintes constituirão uma possibilidade para o professor ampliar sua avaliação sobre os conhecimentos adquiridos pelos alunos.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES DE 2º- GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações de 2º- grau. Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações que envolvem equações de 2º- grau; resolver equações de 2º- grau em problemas contextualizados Estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos de aplicações sobre o tema.

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roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 2 Os problemas propostos a seguir têm o objetivo de pôr em prática a resolução de equações de 2º- grau em problemas diretos e contextualizados. É importante lembrar aos alunos que nem sempre é necessário o uso de fórmula para resolver uma equação desse tipo, mas, quando julgarem necessário, poderão usá-la livremente.

atividade 1 A Índia foi o palco de um grande desenvolvimento da Matemática entre os séculos VII e XII. Embora não haja fato histórico que relacione a fórmula da resolução de uma equação de 2º- grau à figura do matemático hindu Bhaskara, faz-se, de certa forma, uma justiça, que é associar um importante fato matemático ao povo hindu. Importantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e babilônios. Essa atividade resgata modelos de problemas que esses povos criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque, divertindo-se com a brincadeira, enquanto os 12 restantes tagarelavam no alto de uma colina. Quantos macacos constituem o bando? Se considerarmos x o total do bando, temos 2

x que   + 12 = x . Resolvendo a equação,  8 encontramos duas possibilidades: 16 e 48.

b) Em ambas as margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente à outra. A altura de uma é 30 côvados, a da outra 20. A distância entre seus troncos é de 50 côvados. Na copa de cada palmeira está um pássaro. Subitamente, os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água. Os pássaros lançam-se sobre ele e alcançam-no no mesmo instante. A que distância do tronco da palmeira maior apareceu o peixe? A situação está descrita na figura 1:

30 30 x

50 – x

Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, devemos considerar que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os dois triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma, aplicando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 302 + x2 = 202 + (50 –x)2. Embora pareça uma equação de 2º- grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando em uma equação de 1º- grau de raiz 20. Logo, o peixe apareceu a 20 côvados da palmeira maior. c) Adicionei sete vezes o lado de meu quadrado a onze vezes a sua área e o resultado é 6,25. Qual é a medida do lado do quadrado?

A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes 11 25 da equação serão . No entanto, so e – 22 22 mente a solução positiva tem significado nessa situação: o lado do quadrado deve ser 0,5.

12 pessoas acompanharam o professor. É comum também encontrarmos a solução acompanhada de uma tabela, como essa: Nº- de pessoas

Nº- de cumprimentos

6 10

...

atividade 2 Perguntaram a um professor de Matemática qual era o número de pessoas que o acompanharam à visita a uma exposição. Como resposta, o professor criou um probleminha explicando que todas as pessoas que o acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mãos e que ele observou 66 cumprimentos. Encontre o número de pessoas. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos entre as pessoas, logo, desconsideramos os referentes a ele. Para resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá é uma unidade a menos que o número total de pessoas. Afinal, uma pessoa não se cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o cumprimento do aluno A ao aluno B é o mesmo cumprimento de B ao aluno A, esse total de cumprimentos poderá ser exx(x – 1) = 66 , isto é, presso pela equação 2 x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado, podemos concluir que

x ( x – 1) ... 2

atividade 3 Mostre que não existem dois números reais cuja soma seja igual a 5 e cujo produto seja igual a 10. Na resolução dessa questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que satisfazem as condições do problema.

atividade 4 Admita a equação de 2º- grau x2 + bx + 9 = 0, sendo b um número real. a) Substitua b por 10 e calcule as raízes da equação. –9 ou –1 b) Determine um valor de b para o qual a equação possua duas raízes reais e iguais (pode-se dizer também uma raiz real dupla). –6 ou 6 c) Determine um valor de b para o qual a equação não possua raízes reais.

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Uma possível resposta: b = 5, uma vez que essa questão não tem uma única resposta e sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante o Ensino Médio.

b) Complete a tabela: Número de lados de um polígono

Número de diagonais

...

n ( n – 3) 2

A seguir, vamos explorar algumas relações, fatos e propriedades geométricas em que se aplicam equações de 2º- grau.

Atividade 5 A diagonal de um polígono convexo é o segmento que une dois vértices não consecutivos desse polígono. Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C, D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.

c) Qual é o número de diagonais de um polígono com 15 vértices? 90

d) Sabendo que um polígono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polígono?

A D E G

Considerando essa definição, responda: a) Um retângulo tem quantas diagonais? E um pentágono? Retângulo: 2 diagonais; pentágono: 5 diagonais.

11 lados e) Utilizando seus conhecimentos sobre equações de 2º- grau, mostre que não existe um polígono com exatamente 42 diagonais. Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas

Atividade 6 O projeto de um jardim retangular prevê que se coloquem pedras ornamentais, formando, com o jardim, uma área maior também retangular.

Na figura a seguir, a região cinza representa o lugar onde as pedras deverão ser colocadas. x

15 m

indica a figura (os quatro cantos da moldura são quadrados idênticos). Sabendo que a área total da moldura é 7 m², calcule a medida x do lado dos quadrados nos cantos da moldura.

x x

Sabendo que a área ocupada pelas pedras é de 46 m², calcule a medida x, em metros. x=2m

atividade 7 Em uma peça retangular de tecido, parcialmente representada na figura abaixo, o número de fios de linha vermelha excede o número de fios de linha azul em 5, sendo o total de pontos de cruzamento entre as linhas azuis e vermelhas igual a 6 800. Calcule o número de fios de linha azul e de linha vermelha usados na confecção desse tecido. fios de linha vermelha

x x

As raízes serão –3,5 e 0,5 m. Portanto, o valor de x será 0,5 m

atividade 9 Com os procedimentos já estudados para resolver equações de 2º- grau, você pode resolver equações de outros graus. Resolva as que estão a seguir: a) x3 – 6x = 0

fios de linha azul

x3 – 6x = 0, logo x(x2 – 6) = 0 Portanto, ou x = 0 ou x 2 – 6 = 0 → x = ± 6 . Assim, a equação tem como soluções

{

S = 0, 6 , – 6 b) x = x – 1+ 3

80 fios azuis e 85 fios vermelhos

atividade 8 Um vitral retangular colorido, de dimensões 2 m por 4 m, será emoldurado conforme

}

Inicialmente, vamos isolar a raiz e depois elevar ambos os membros da equação ao quadrado: (x – 3)2 = x – 1 x2 – 6x + 9 = x – 1

Matemática - 8a série - Volume 2

x2 – 7x + 10 = 0 As soluções serão x = 2 ou x = 5. Contudo, temos que verificar a validade das soluções. Assim, teremos: x=2

x=5

2= 2 – 1+3

5= 5–1+3

2= 1+3

5= 4 +3

2 = 4 falso

5 = 5 verdadeiro

Considerações sobre a avaliação Nessa Situação de Aprendizagem, foi proposta aos alunos uma série de atividades que envolvem equações de 2º- grau e sua solução. Muitos delas já apontam para a relação entre duas grandezas, preparando noções

sobre funções, tema das próximas Situações de Aprendizagem. É fundamental que o professor observe tanto a compreensão dos enunciados como os processos de resolução das equações. Em cada problema, podem-se recuperar as estratégias aprendidas e sugerir as formas mais adequadas de resolução. Uma ideia que o professor pode desenvolver, nesse momento, é propor aos alunos a criação de problemas que envolvam a expressão e resolução de uma equação de 2º- grau. Para isso, os alunos podem fazer pesquisas sobre fenômenos que são modelados por funções quadráticas. Ao recolher os trabalhos, o professor pode observar a criatividade com que foram elaborados os problemas e o rigor das resoluções. Valorizando a produção dos alunos, o professor pode discutir uma ou outra forma mais adequada de apresentar o problema e a resolução.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: grandezas diretamente proporcionais; expressão algébrica da relação de proporcionalidade direta e inversa; noções de funções. Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade; expressar situações e problemas em linguagem algébrica; aplicar as noções de proporcionalidade em diferentes contextos. Estratégias: proposição de situações-problema envolvendo proporcionalidade.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 3 Para as atividades aqui apresentadas, considera-se a importância do desenvolvimento do raciocínio proporcional, por meio da exploração de situações que levem o estudante a observar a variação entre grandezas, estabelecer relação entre elas e construir estratégias de solução para resolver problemas que envolvam a proporcionalidade. Explorada em outros contextos, como na ampliação de figuras e na semelhança de triângulos, a proporcionalidade agora está no foco das noções básicas sobre função, ou seja, pretende-se propor situações cuja finalidade é o desenvolvimento de ideias relativas às funções, por meio de situações envolvendo a proporcionalidade. Vale lembrar que o raciocínio proporcional ocupa lugar de destaque na aprendizagem matemática e, por essa razão, está presente em várias Situações de Aprendizagem desta Proposta Curricular. Para resolver os problemas propostos, os alunos deverão identificar a natureza da variação entre duas grandezas, reconhecendo que duas grandezas x e y são diretamente proporcionais, quando a razão entre seus valores correspony dentes é constante: = constante = k e escrever, x portanto, que y = kx (k é uma constante). Para a resolução de algumas das situações seguintes, deve-se identificar a existência ou não de proporcionalidade, traduzindo-a por meio de uma relação algébrica – relação funcional – quando existir. Na caracterização dessa interdependência entre as duas grandezas, devemos identificar a que pode variar livremente, que será a variável independente, daquela que tem seu valor

determinado pelo valor da outra, que será a variável dependente. Dessa forma, sendo x a variável independente, se a cada valor de x corresponder um único valor da variável dependente y, diremos que y varia em função de x. Também são propostos problemas que tratam de duas grandezas, x e y, que variam de tal modo que a proporcionalidade direta ocorre não entre y e x, mas entre o quanto y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos y – h = kx, ou seja, y = kx + h (k e h constantes). Temos, então, que y – h é diretamente proporcional a x, uma vez que podemos y−h escrever = k . Ou seja, esses problemas x têm por finalidade explorar a variação linear entre duas grandezas e suas aplicações. Quanto às funções de 2º- grau y = ax2 + bx + c, apresentaremos algumas situações que estabelecem a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra.

atividade 1 Discuta com seus colegas a seguinte situação: Paulo foi à feira e encontrou as seguintes ofertas de maçãs:

Matemática - 8a série - Volume 2

Você acha que a oferta das 10 maçãs é vantajosa para Paulo?

São grandezas inversamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza dobra, o valor correspondente à outra se reduz à metade; quando triplica o outro se reduz a um terço etc. A razão x . y é constante e a sentença que expressa a relação entre x e y é 48 . x . y = 48 ou y = x c) x 1 2 3 4 5 6 7

Podemos dizer que o preço de 10 maçãs está relativamente barato em comparação com o preço de 5. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número de maçãs, 10 delas custariam R$ 2,00 e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era realmente boa para a compra de 10 maçãs.

Atividade 2

A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em função da grandeza x. Analise-a e, levando em conta os valores apresentados, diga se as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais, nem direta nem inversamente proporcionais. Em cada caso, procure escrever a sentença algébrica que relaciona x e y. a)

9,6

4,8

Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se obserx nem para va um mesmo valor nem para y x . y. A sentença que relaciona x e y pode ser y = 2x+1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade). d)

São grandezas proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza dobra, o valor correspondente à outra também dobra; quando triplica, o outro também triplica etc. Isto é, a x razão é constante e a sentença que expresy x sa a relação entre x e y é ou y = 10x. y b)

Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se obserx va um valor constante nem para nem para y x . y. A sentença que relaciona x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x). 0

No item c, o professor pode comentar que, embora não haja relação de proporcionalidade entre x e y, pode-se estabelecer essa relação entre y – 1 e x. Observando a tabela a seguir

y–1

y –1 é constante. percebemos que a razão x y –1 Como = 2. O valor 2 representa a consx tante de proporcionalidade. Já no item d, encontramos uma relação de proporcionalidade entre os valores de y e os de x2. Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente proporcionais ao y quadrado de x, isto é, 2 é constante e como x y = 2 , a constante de proporcionalidade é 2. x2 x

x²

atividade 3 Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Se houver, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando for possível. a) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade t? Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra, digamos, passa de 2 a 4 anos, não é verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a massa de uma pessoa aos quarenta anos...

b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preço p a pagar é diretamente proporcional a x? Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de um metro do fio pela quantidade x de metros: p = kx, onde k é o preço de um metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor pode fazer algum desconto, se a pessoa comprar uma grande quantidade e aí a proporcionalidade deixa de existir. c) O preço a ser pago por uma fotocópia é diretamente proporcional ao número de cópias? Sim. De fato, quando o número de cópias dobra, digamos, passa de 5 a 10, é verdade que o preço a ser pago também dobra. d) O perímetro p de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu lado de medida a? O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o produto da medida a do lado por 3, ou seja, p = 3a. Portanto, o perímetro é proporcional à medida do lado do triângulo equilátero. e) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao lado a do quadrado?

Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, d = 2 .a . Isso é possível de se perceber aplicando-se o teorema de Pitágoras.

Matemática - 8a série - Volume 2

f) O comprimento C de uma circunferência é diretamente proporcional a seu raio r? Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja, C = 2π r e C = 2π.r. g) A área de um círculo é diretamente proporcional à medida do raio? E ao quadrado do seu raio? Como a área de um círculo é dada pela expressão A = π.r2, observamos a seguinte A proporcionalidade 2 = π . Portanto, a área r de um círculo é proporcional ao quadrado do seu raio.

Atividade 4 Ao dirigir um automóvel, o motorista deve estar atento à distância que o veículo percorrerá quando acionar os freios. As regras de segurança nas estradas sugerem uma relação entre a distância de segurança, isto é, a distância percorrida pelo carro após acionado o sistema de freio, e a velocidade do automóvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores encontrados em uma pista de testes: Velocidade: 0 10 20 30 40 50 100 120 v (km/h) Distância de segurança: 0 1 d (metros)

9 16 25 100 144

Observando a tabela, podemos escrever que d = k . v2.

a) Qual o valor da constante de proporcionalidade k? k=

d 1 4 1 2 = 2 = 2 = v 10 20 100

b) A uma distância de 83 m, o automóvel encontra um obstáculo. Qual deve ser, aproximadamente, sua velocidade máxima para que não atinja o obstáculo? Aproximadamente 90 km/h. c) Qual a distância de segura percorrida pelo automóvel quando v = 80 km/h? 64 m

Atividade 5 Para produzir x unidades de um produto A, o custo total C é composto de uma parcela fixa de R$ 1 000,00, e uma parcela variável, que é diretamente proporcional a x. O custo total da produção de x produtos é, então, C = 1 000 + kx, sendo C em reais; a constante k representa o aumento no custo total C, quando a quantidade produzida aumenta de uma unidade. Sabendo-se que para produzir 100 unidades do produto A o custo total é igual a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões : a) Qual o valor de k na expressão: C = 1 000 + kx x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta em 5 reais.

b) De quanto aumentará o custo total se a quantidade produzida aumentar de 579 para 580? E de 2 938 para 2 939? Aumentará, em ambos os casos, R$ 5,00, pois a variação foi de uma unidade produzida. c) Para qual valor de x o custo variável será igual ao custo fixo? x = 200, pois 5 . 200 = 1 000. d) O custo total C é diretamente proporcional a x? Não, o custo total C não é diretamente proporC não é constante. cional a x, pois a razão x

Para x = 1, temos C = 1 005 e para x = 2, C 1 010 1 005 , ou seja, temos C = 1 010; ≠ x 2 1 não é constante. e) A diferença entre o custo total C e o custo fixo é diretamente proporcional a x? Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a x, ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de proporcionalidade é 5. O professor, nesse caso, pode sugerir a construção de uma tabela, como esta:

Nº- de produtos (x)

Custo total

Diferença entre o custo total e o custo fixo (custo variável)

1 000 + 5 . 1 = 1 005

1 005 – 1 000 = 5

5 =5 1

1 000 + 5 . 2 = 1 010

1 010 – 1 000 = 10

10 =5 2

1 000 + 5 . 3 = 1 015

1 015 – 1 000 = 15

15 =5 3

1 000 + 5 . 4 = 1 020

1 020 – 1 000 = 20

20 =5 4

...

1 000 + 5 . 10 = 1 050

1 050 – 1 000 = 50

Razão entre a diferença e x

50 =5 10

Matemática - 8a série - Volume 2

atividade 6

atividade 7

Uma determinada revista norte-americana apresentou duas leis que representam a relação entre o número do sapato (n) e o comprimento do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as mulheres, a lei é n = 3c – 22 e, para os homens, a lei é n = 3c – 25. Responda:

Quando mergulhamos no mar, a pressão aumenta com a profundidade. Na superfície do mar, a pressão é resultante do peso do ar atmosférico, e sua medida é igual a 1 atmosfera. Quando estamos a x metros de profundidade, a pressão p é uma soma de duas parcelas: a pressão ao nível do mar mais a pressão resultante do peso da água, que é diretamente proporcional à profundidade x, ou seja, p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros, k constante de proporcionalidade). Sabendo que a cada 10 m que descemos verticalmente no mar, a pressão aumenta em 1 atmosfera, responda às seguintes questões;

a) Qual é o número do sapato de uma mulher cujo comprimento do pé seja 13 polegadas? E o de um homem com 16 polegadas? Nº- 17 e nº- 23. b) Se um homem e uma mulher possuem o pé de mesmo comprimento, qual deles calçará o sapato de número maior? A mulher. c) Existe alguma medida de comprimento de pé que torne o número do sapato masculino igual ao feminino? A resposta será não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir, observamos que a diferença entre os números dos homens e das mulheres permanece em três unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por polegadas.

9 10 11 12 13 14 15 16 17

Nº- homem 2 5

8 11 13 15 17 20 23

Nº- mulher 5 8 11 13 15 17 20 23 26

a) Qual o valor de k na relação p = 1 + kx? Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a pressão aumenta de 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade, a pressão será 1 + 1 = 2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor poderia ser mais rapidamente calculado dividindo o acréscimo de 1 atmosfera de pressão por 10. b) De quanto aumentará a pressão, se

descermos verticalmente mais um metro na água? A cada metro que descemos a pressão aumentara de 0,1 atm. c) A qual profundidade x o valor da

pressão triplica em relação ao valor na superfície? x = 20 m

d) A pressão p é diretamente proporcional à profundidade? Não, pois a razão entre p e h não é constante. e) A diferença entre a pressão p e a pressão na superfície é diretamente proporcional à profundidade? Sim, pois a razão entre a diferença das pressões (acréscimo de pressão) e a profundidade é constante.

A não é diretamente proporcional a d d) A área a da imagem é diretamente proporcional ao quadrado da distância d ao projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionaldade? A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.

atividade 8 A área (A) de uma imagem projetada é dada em função da distância (d) que o projetor está da tela.

d=1 d=2 d=3

a) Observe a figura e complete a tabela a seguir, que relaciona a área à distância: Distância 1 (d)

Área(A)

b) Qual das expressões refere-se à relação entre a e d: A = 2d ( ) A = d2 ( )

A=d+4( ) A=d+1( )

A expressão será A = d2

c) A área a é diretamente proporcional à distância d do projetor? Se sim, quanto vale a razão de proporcionalidade?

atividade 9 Em finanças, dois conceitos muito importantes são o da oferta e o da demanda ou procura. A função oferta representa a relação entre o preço (p) necessário para que um fabricante produza certa quantidade (n) de produtos. A função procura representa a relação entre o preço (p) que os consumidores pagam pelo produto pela quantidade (n) de produtos produzidos. Supondo que a função oferta para uma determinada mercadoria seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais, responda: a) Qual o preço a ser oferecido caso a produção seja de 50 mercadorias? Atribuindo à variável independente n o valor 50, teremos o valor de p = 3 . 502 + 60 . 50 = =7 500 + 3 000 = 10 500 reais. b) O que ocorre com o preço à medida que o número de mercadorias produzidas aumenta? Podemos dizer que o preço p é proporcional ao número de mercadorias produzidas? Construa uma tabela para apoiar suas conclusões. Justifique-as.

Matemática - 8a série - Volume 2

Para construir a tabela devemos considerar somente valores naturais para n: N 0 1

100

P 0 63 132 207 288 375 468 900 36 000 Com base nessa tabela, observamos que à medida que n cresce, p também cresce. Contudo, observamos que p não é diretamente proporcional a n.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, é fundamental que os alunos reconheçam

situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio de uma expressão que relacione duas grandezas e analisem se essa relação é direta, inversamente proporcional ou nem direta nem inversamente proporcional. A familiarização com o conceito de função está associado, particularmente, às observações das variações e das relações de interdependência na expressão algébrica ou na construção de tabelas. Nesse início, o professor pode observar que não foi dada muita evidência à linguagem formal para o tratamento de funções. Vale lembrar que uma abordagem mais sistematizada sobre funções é foco do conteúdo da 1a série do Ensino Médio.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: representação gráfica de grandezas direta e inversamente proporcionais e de grandezas que não são proporcionais; representação gráfica de diversos tipos de relações de interdependência lineares e não lineares; problemas de máximo e mínimo que envolvem funções quadráticas. Competências e habilidades: compreender situações que envolvem proporcionalidade direta, inversa e não proporcionalidade; expressar graficamente situações de interdependência entre grandezas. Estratégias: exploração de diversos tipos de interdependência entre grandezas; enfrentamento de situações-problema envolvendo construção e análise de gráficos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Na Situação de Aprendizagem anterior foram propostas atividades que envolviam a variação de duas grandezas destacando as diretamente proporcionais e as inversamente proporcionais. Tais relações foram descritas verbalmente, por meio de tabelas e também algebricamente. Uma vez que os gráficos são traçados no plano cartesiano, é importante que o professor investigue os conhecimentos prévios dos alunos referentes a coordenadas, par ordenado, quadrantes, eixos e origem do sistema. Caso identifique dificuldades, o professor pode iniciar seu trabalho retomando a construção dessas noções fundamentais. Com base nisso, pode sugerir que os alunos pesquisem e tragam para discutir e analisar em sala alguns gráficos usados em jornais e revistas. As análises podem ser feitas procurando as grandezas envolvidas, as formas de crescimento ou decrescimento e pontos de máximos e mínimos. Nas primeiras atividades desta Situação de Aprendizagem, sugerimos algumas análises de fenômenos e suas representações gráficas. O objetivo aqui é explorar a ideia de que um gráfico é uma representação da variação entre duas grandezas. Essa representação, isto é, o gráfico da função, permitirá o levantamento de muitas hipóteses e de muitas conclusões. A proporcionalidade entre grandezas é uma das formas mais comuns de ocorrências físicas. Como temos demonstrado, são várias as situações-problema sobre taxas

de variações, como aquelas que encontramos em leis de movimento e de consumo. A representação geométrica da proporcionalidade, isto é, de expressões na forma algébrica y = mx, constitui uma família de retas que passam pela origem do sistema cartesiano. Quando a variação entre as grandezas é dada na forma y = mx + n, a proporcionalidade agora será entre os valores de y – n e x. Nesse último caso, o gráfico também será uma reta, de mesma declividade m. Sendo n ≠ 0, o valor de n será aquele a partir do qual a variação em y é diretamente proporcional a x. Geralmente, nas situações contextualizadas, somente o traçado das curvas no primeiro quadrante têm significado. Contudo, é importante que o aluno construa os critérios associados ao domínio da função. Deve-se estar atento também à escala a ser escolhida, quando se constroem gráficos. Nesta Situação de Aprendizagem, são propostos problemas que tratam de representações gráficas de grandezas cuja variação é diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional. Tais atividades tem por finalidade discutir: f os pontos do gráfico cartesiano que representam a variação de duas grandezas diretamente proporcionais (y = mx) pertencem a uma reta que passa pelo ponto (0, 0). Quando a função estiver expressa na forma y = mx + n, com n ≠ 0, a proporcionalidade se dará entre y – n e x;

Matemática - 8a série - Volume 2

3 2

y = mx + n

1 x –2

–1

Atividade 1

y = mx

Considere as grandezas distância de casa e tempo decorrido nas situações a seguir e indique o gráfico que melhor corresponde a cada uma:

a) distância de casa

x 0

x1 x2 x3 x4 x5

f os pontos do gráfico cartesiano que representam a variação de duas grandezas inversamente proporcionais (x . y = k) pertencem a uma curva denominada hipérbole; y

tempo 2

1 –4

–3

–2 –1 1

distância de casa

–1 –2

f os gráficos de funções quadráticas são curvas denominadas parábolas e possuem concavidades para cima ou para baixo e um ponto de máximo ou de mínimo.

tempo

atividade 2

c) distância de casa

Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade de medida de massa usada foi o grama (g) e o do volume foi expresso em centímetros cúbicos (cm3). Com os dados encontrados, construiu-se o gráfico a seguir: massa (gramas) tempo

37,5

d) 22,5

distância de casa

15 7,5

tempo

1. Paulo saiu de sua casa de automóvel para ir ao seu trabalho, mas o pneu furou. Depois de substituí-lo, ele continuou seu trajeto. Gráfico c 2. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas precisou retornar para pegar sua bolsa. Depois disso, ela foi para o banco. Gráfico d 3. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez sua velocidade para chegar mais rápido ao seu destino. Gráfico b

volume (centímetros cúbicos)

a) Qual é a massa de uma amostra de ferro cujo volume é 4 cm3? 30 g b) Qual é o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa? 2 cm3 c) Explique por que as grandezas volume e a massa de amostras de ferro representadas no gráfico são grandezas diretamente proporcionais. Por meio da leitura do gráfico, podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro tem massa 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é

Matemática - 8a série - Volume 2

15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico a partir do eixo vertical: o volume de uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é 3 cm3. Esse gráfico mostra como varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao volume. d) Qual é a constante de proporcionalidade? Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos que: 7,5 gramas 15 gramas =7,5g/cm3 =7,5g/cm3 3 3 1 cm 2 cm 22,5 gramas = 7,5g/cm3. Portanto, ao variar 3 cm 3 o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3). e) Escreva a relação entre a massa m e o volume V por meio de uma sentença. m = 7,5 ou m = 7,5V. V

atividade 3 O gráfico a seguir indica a velocidade que um automóvel precisa desenvolver em função do tempo que levará para percorrer uma distância de 120 km.

v (km/h)

120

40 30 24 20

t(h)

a) Com base no gráfico, complete a tabela a seguir: t (h)

1 1,5 2

8 12

v (km/h) 120 80 60 40 30 24 20 15 10 b) Explique por que as grandezas velocidade e tempo representadas no gráfico são inversamente proporcionais: Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente proporcionais e, sim, inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor correspondente à outra é dividido por 2. Quando um deles é dividido por 6, o correspondente à outra é multiplicado por 6, e assim por diante. Ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma pelos

correspondentes valores da outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais são denominadas hipérboles.

b) As grandezas envolvidas – preço unitário e quantidade – são inversa men te proporcionais. Explique:

c) Escreva a sentença que relaciona v e t.

Não, porque o produto de p por q não é constante. Analisando a relação existente entre as grandezas envolvidas percebemos que, quando há aumento de uma, ocorre uma diminuição da outra. Por isso, essa relação pode ser chamada decrescente. No entanto, as grandezas em questão não são inversamente proporcionais, pois quando se compra uma quantidade de camisetas duas vezes maior, o valor de cada camiseta diminui, mas não pela metade; quando a quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade diminui, mas não se reduz a um terço etc. Portanto, essas grandezas não são nem direta nem inversamente proporcionais.

v . t = 120

atividade 4 Analise o gráfico a seguir. Ele indica o preço em reais de cada camiseta que uma confecção produz de acordo com o número de camisetas compradas pelas lojas. y

(preço em reais por item)

18 16 14 12 10 8 6

c) Escreva a sentença que relaciona p em função de q.

4 2 100 200 300 400 500 600 (quantidade de itens)

O gráfico mostra que, quanto maior for a quantidade de camisetas compradas, menor será o preço de cada camiseta. Veja: se uma loja comprar 100 camisetas, o preço de cada uma será 16 reais, se comprar 200, o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e assim por diante. Agora, responda: a) As grandezas envolvidas – preço unitário p e quantidade q – são diretamente proporcionais? Explique. p não é constante. Não, porque a razão q

p = 18 – 0,02q

atividade 5 Dona Alice faz doces por encomenda. Ela fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de caixa para embalá-los e colocar a mesma quantidade de bombons em cada uma. a) As grandezas (números de bombons e números de caixas) são inversamente proporcionais? Explique. Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).

Matemática - 8a série - Volume 2

b) Preencha a tabela a seguir: nº- de bombons

nº- de caixas

lados medem x e y centímetros. Expresse a y em função de x. 2x + 2y = 22, logo y= –x + 11 d) Construa uma tabela para a função anterior abrangendo valores de x de 0 a 11. Com base nos dados dessa tabela, construa o gráfico dessa função e responda: como y varia à medida que aumentamos o valor de x? O gráfico é característico de uma variação proporcional entre x e y? Justifique.

c) Represente graficamente a situação acima em um plano cartesiano. n 36

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

12 9 6 0

atividade 6 Observe os retângulos desenhados a seguir: 8 cm

10 cm 1 cm

3 cm

5 cm

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1 –1

6 cm

a) Determine o perímetro de cada retângulo. Todos os retângulos têm como perímetro 22 cm. b) Determine a área de cada retângulo. 24 cm2, 10 cm2 e 30 cm2 c) Considere um retângulo de mesmo perímetro que os retângulos acima, cujos

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

–2

À medida que o valor de x aumenta é possível observar que o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são diretamente proporcionais nem inversamente proporcionais, pois não observamos uma constante no quociente y . x e) Indicando por A a área do retângulo do item anterior, escreva-a em função de x. A = x . y = x(–x + 11) = –x2 + 11x

f) Construa uma tabela para a função do item anterior com valores de x de 0 a 11. Com os dados dessa tabela, construa o gráfico de a em função de x e responda: como varia a área a à medida que aumentamos o valor de x? A área a é proporcional à medida de x? Justifique. A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0 y

atividade 7 Um quadrado de lado x (x > 0) tem perímetro p e área A. a) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de p e de x. p = 4x

b) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de A e de x. A = x²

c) Mostre que existe um valor de x para o qual a área e o perímetro de um quadrado são expressos pelo mesmo número. x² = 4x, logo, x = 4

x 0

5 6

10 11

5,5

A partir da tabela e do gráfico, pode-se observar que os valores de A e x não são nem diretamente nem inversamente proporcionais. É curioso observar que os valores da área para x = 5 e x = 6 são iguais. Nesse caso, os alunos podem utilizar uma calculadora para verificar quais são as áreas para x entre 5 e 6. A 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 x 30 30,09 30,16 30,21 30,24 30,25 30,24 30,21 30,16 30,09 30

g) Localize no gráfico o valor de x que torna a área máxima. A partir da tabela do item anterior, pode-se concluir que o valor médio entre 5 e 6, isto é, 5,5, representará o valor de x, que corresponderá à maior área, que se refere a um quadrado.

d) Esboce no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de p e de A em função de x e localize o ponto encontrado no item anterior. y 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Matemática - 8a série - Volume 2

atividade 8 Um grupo de alunos da 8ª- série formou uma banda e precisa determinar o preço x, em reais, do ingresso para o show de apresentação. Eles imaginaram que se o valor do ingresso for muito alto, não conseguirão vendê-los e, se for muito barato, não conseguirão nenhum lucro que permitirá investir na banda. Tomando por base os valores cobrados por outras bandas, os alunos concluíram que o lucro l de cada espetáculo, em reais, poderia ser dado pela expressão L = –x² + 12x – 20. Vale observar que L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo. y

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5

Não, nesse intervalo o grupo ainda terá lucro. Contudo, quanto mais próximo de R$ 10,00, o lucro diminui até que, nesse valor, ficará zerado, e a partir dele o projeto apresenta prejuízo. c) Observando o gráfico em qual intervalo de valores de x o lucro cresce? E em qual ele decresce? Entre R$ 0,00 e R$ 6,00, ele cresce. De R$ 6,00 até R$ 10,00, ele decresce. d) Qual o valor do ingresso para que o lucro do grupo seja máximo? Qual o valor do lucro máximo? O valor do ingresso para que o lucro seja máximo é de R$ 6,00, quando o lucro atingirá R$ 16,00. e) O que acontece quando o valor dos ingressos é inferior a R$ 2,00 ou superior a R$ 10,00? Nesses intervalos, o projeto tem prejuízo.

4 3 2 1 –2 –1 –1

b) Se o preço do ingresso for superior a R$ 6,00, podemos afirmar que o grupo teve prejuízo? Justifique.

10 11 12 x

Responda às seguintes perguntas: a) De quanto será o lucro caso eles decidam que o preço do ingresso é R$ 4,00? R$ 12,00

f) O que ocorre com o lucro quando os ingressos são vendidos a R$ 3,00 ou a R$ 9,00? Esse fenômeno ocorre com outros valores? Justifique. Com esses valores o lucro é o mesmo, isto é, R$ 7,00. Observa-se que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto de mínimo da função x = 6.

Considerações sobre a avaliação

decrescimento e coordenadas dos pontos de intersecção nos eixos. Quanto às funções qua-

Até aqui foram sugeridas algumas atividades que permitem a construção de noções básicas sobre funções lineares e quadráticas. Julgando possível, o professor pode aprofundar as formas gerais de funções cujos gráficos são retas,

pode discutir os sentidos das concavidades com

como y = mx + n, analisando crescimento,

xos coordenados.

dráticas na forma y = ax2 + bx + c, o professor relação aos sinais do coeficiente a e também as coordenadas dos pontos que interceptam os ei-

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO Caso os alunos ainda apresentem dúvidas quanto aos temas propostos na Situação de Aprendizagem 1, sugerimos que o professor identifique se as dificuldades se referem a pouco conhecimento de processos algébricos ou geométricos e ainda se os produtos notáveis foram aplicados corretamente. No último caso, sugerimos a realização de mais exercícios com o uso do material construído para a atividade 10. Na Situação de Aprendizagem 2, caso o professor identificar que os alunos apresentam dificuldades na compreensão e resolução das equações trabalhadas, sugerimos, a retomada da fórmula de Bhaskara com atenção à identificação dos coeficientes e ao valor do discriminante. Pode-se também sugerir uma lista de exercícios para aplicação da fórmula, combinada com alguns problemas simples.

Se o professor considerar que os alunos ainda apresentam um desempenho insatisfatório nos problemas abordados nas Situações de Aprendizagem 3 e 4, sugerimos que sejam exploradas outras situações semelhantes às propostas. Muitas vezes, a representação gráfica tende a representar melhor os conceitos trabalhados, permitindo ao aluno uma melhor compreensão dos mesmos. Cabendo ao professor a escolha por apresentar a análise gráfica concomitantemente ou escolher as estratégias que já vem adotando, quando trata do tema. Há uma série de problemas encontrados em livros didáticos que permitirão sanar as dificuldades dos alunos em recuperação. Vale lembrar que será no 2º- bimestre da 1a série do Ensino Médio que o assunto funções reaparecerá como tema de estudo. Na oportunidade, será feita uma construção mais significativa da forma gráfica das funções tratadas na última Situação de Aprendizagem.

Matemática - 8a série - Volume 2

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA COMPREENSÃO DO TEMA livros

A autora explora uma série de situações contextualizadas que envolvem tanto as fun-

ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e

ções lineares quanto as quadráticas.

derivadas. São Paulo: Atual. PERELMANN, J. Aprenda álgebra brinNa parte inicial do livro, encontramos um tratamento intuitivo e apoiado na representação gráfica das funções.

cando. São Paulo: Hemus, 2001.

revistas Experiências Matemáticas 5ª- série. São

BOYER, Carl. História da Matemática.

Paulo: SE/CENP, 1994.

São Paulo: Edgard Blücher, 1996. LIMA, Elon Lages. Temas e Problemas. Uma referência de abordagem histórica da Matemática. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. São Paulo: Gradiva, 1998. A obra aborda a construção da Matemática na perspectiva de um desenvolvimento lógico-histórico e é particularmente rica em

Rio de Janeiro: SBM. (Coleção do Professor de Matemática) Contém uma abordagem bastante interessante sobre o estudo de equações, além de uma pequena lista de situações-problema. SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Programa de Educação Continuada (PEC). Apostila sobre funções. São Paulo: SE/CENP, 2001.

fatos sobre a história e a didática no trato das funções.

SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

CARVALHO, Maria Cecília Costa e Silva.

Pedagógicas. Proposta curricular para o ensi-

Padrões numéricos e funções. São Paulo:

no de Matemática: 1º- grau. 3. ed. São Paulo:

Moderna, 1999.

SE/CENP, 1992.

Sites Malhatlantica Site português que apresenta uma série de problemas presentes nas tábuas babilônicas, nos papirus egípcios e em outros documentos matemáticos de outras civilizações. A pesquisa pode ser feita por povos e por temas. Trata-se de uma interessante fonte de pesquisa sobre a história da matemática. Disponível em: <http://www.malhatlantica.pt./ mathis>.

Programa Pró-universitário O site do programa Pró-Universitário apresenta materiais muito úteis para o tema do bimestre. Nele, há sugestões de atividades sobre os temas que podem ser desenvolvidas com alunos da 8ª- série do Ensino Fundamental. Disponível em: <http://naeg.prg.usp.br/puni>. Revista do professor de Matemática Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que apresenta artigos muito interessantes sobre o aprofundamento de conceitos matemáticos propondo diferentes estratégias de ensino. Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.

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ConSidEraçõES FinaiS Neste Caderno, foram apresentadas diversas situações envolvendo equações de 2º- grau e a noção de função, por meio de problemas envolvendo proporcionalidade. Foram sugeridas atividades que propiciam experiências educativas bastante ricas e consideradas essenciais para o desenvolvimento de competências relativas a esse tema. Convém ressaltar que as expectativas de aprendizagem para o 2º- bimestre da 8ª- série do Ensino Fundamental devem envolver aspectos essenciais dos temas propostos: desenvolvimento de técnicas para a resolução de equações de 2º- grau e estudo da variação de grandezas proporcionais e não proporcionais e construção e análises de tabelas e gráficos. Ou seja, foram considerados apenas os pontos fundamentais, isto é, aqueles que possibilitam ao aluno ter uma base para o desenvolvimento de outros temas correlatos, a serem desenvolvidos no Ensino Médio, e para a resolução de problemas. Mesmo assim, é possível que o professor considere extenso o que foi previsto para este bimestre. No entanto, consideramos essa extensão como “aparente”, pois é necessário compreender que cada tema é apenas um meio, um instrumento para a construção das competências básicas de leitura, escrita, compreensão, argumentação, contextualização e problematização. A grande preocupação não pode ser “esgotar os conteúdos”, mesmo porque tal esgotamento

nunca é possível, na prática, mas sim a de aproveitar as oportunidades para o crescimento pessoal de cada estudante, por meio de um contato proveitoso com algumas das ideias fundamentais da Matemática. Na avaliação, sugerimos aos colegas professores a concentração da atenção em três pontos que consideramos fundamentais. Deseja-se que o aluno ao final do 2º- bimestre: f faça uma abordagem qualitativa da equação antes de resolvê-la: relacione coeficientes e raízes ou procure fatorá-la; f determine as raízes das equações de 2º- grau por meio de fatorações ou pela fórmula de Baskhara; f resolva problemas que podem ser traduzidos por meio de equações de 2º- grau; f identifique grandezas direta ou inversamente proporcionais e não proporcionais a partir de tabela, gráfico ou por meio da sentença que as relaciona; f represente no plano cartesiano a interdependência de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Além dessas habilidades específicas, que estão relacionadas aos conteúdos que foram estudados no bimestre, o professor deverá também observar as matrizes de avaliações externas e os respectivos descritores relacionados ao tema do bimestre. Resultados de

avaliações como Saresp e Prova Brasil, entre outras, podem fornecer dados importantes sobre dificuldades apresentadas pelos alunos. Ressalte-se que a avaliação deve fornecer informações ao estudante sobre seu desenvolvimento a respeito de suas capacidades em utilizar as noções aprendidas em situações-problema. Por outro lado, a avaliação deve fornecer ao professor dados sobre a aprendizagem de seus alunos, para a adequação das situações apresentadas e a proposição de novas. O professor deve ter clareza sobre os critérios da avaliação e das limitações e possibilidades dos instrumentos que vão ser utilizados. Os instrumentos de avaliação devem também

contemplar as explicações, justificativas e argumentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocínio que, muitas vezes, não ficam explícitos nas avaliações escritas. Convém também observar que além das provas e dos trabalhos com exercícios – individuais e em grupo – os assuntos deste bimestre se prestam especialmente à realização de pequenos projetos de pesquisa histórica, como a forma com que os hindus resolviam determinadas equações de 2º- grau. Apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática de todas as séries do Ensino Fundamental, destacando-se com um sombreado os conteúdos de outros bimestres relacionados com o que aqui se apresentou.

Matemática - 8a série - Volume 2

ContEúdoS dE MatEMátiCa Por SériE/biMEStrE

do EnSino FundaMEntal 5a série

2o bimestre

1o bimestre

núMEroS naturaiS

- Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações básicas. - Introdução às potências. FraçõES

- Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

núMEroS naturaiS

- Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal. núMEroS intEiroS

- Representação. - Operações. núMEroS raCionaiS

- Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

7a série

8a série

núMEroS raCionaiS

núMEroS rEaiS

- Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

- Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

PotEnCiação

- Propriedades para expoentes inteiros.

trataMEnto da inForMação

- A linguagem das potências.

núMEroS dECiMaiS

GEoMEtria/MEdidaS

álGEbra

- Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

- Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

- Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

- Equações de 2º- grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

núMEroS/ ProPorCionalidadE

álGEbra/EQuaçõES

GEoMEtria/MEdidaS

- Equações de 1º- grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1º- grau. - Sistemas de Coordenadas (plano cartesiano).

- Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas entre triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

SiStEMaS dE MEdida

- Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. GEoMEtria/MEdidaS

3o bimestre

6a série

- Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

- Proporcionalidade direta e inversa - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: . trataMEnto da inForMação

- Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

4o bimestre

trataMEnto da inForMação

- Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álGEbra

GEoMEtria/MEdidaS

GEoMEtria/MEdidas

- Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

- Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações - Área de polígonos. - Volume do prisma.

- O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

trataMEnto da inForMação

- Contagem indireta e probabilidade.