MATEMATICA_CP_8s_Vol3reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

8a SÉRIE

volume 3 - 2009

MATEMÁTICA

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico) APOIO

CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-366-0 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor. Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno. Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para promover mais aprendizagem aos alunos. A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho. Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – Semelhança entre figuras planas

Situação de Aprendizagem 2 – Triângulos: um caso especial de semelhança

Situação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângulos; teorema de Pitágoras 30 Situação de Aprendizagem 4 – Razões trigonométricas dos ângulos agudos Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 53 Considerações finais

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta. É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado. Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu, professor! O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com bons resultados. Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.

Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno Expandindo o mundo das equações nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

Dois conceitos inseparáveis: semelhança e proporcionalidade Triângulos: um caso especial de semelhança Relações métricas nos triângulos retângulos Teorema de Pitágoras Razões trigonométricas dos ângulos agudos

oRiEntAÇão GERAl SoBRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado nos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à sua forma de abordagem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensão aproximadamente igual, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma unidade pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do bimestre e, muitas vezes, uma unidade contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto,

no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

Matemática – 8a série – Volume 3

Conteúdos básicos do bimestre O tratamento dos conteúdos de Geometria priorizados neste bimestre da 8a série é relacionado, de uma forma ou de outra, à ideia da semelhança e, portanto, à proporcionalidade. Em grandes tópicos, são estes os conteúdos destacados para o 3o bimestre: semelhança de triângulos, razões trigonométricas de um ângulo agudo, relações métricas no triângulo retângulo e teorema de Pitágoras. Na Situação de Aprendizagem 1 – Semelhança entre figuras planas, propomos a exploração da ideia de semelhança entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução da outra. Apesar de procedimentos semelhantes aos propostos na Situação de Aprendizagem serem realizados em séries anteriores do Ensino Fundamental, julgamos importante retomá-los agora, na 8a série, ampliando o rol de significados associados ao conceito, com a inclusão de situações-problema próprias desse segmento de ensino. Dessa forma, poderemos estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de proporcionalidade que exijam a realização de operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio não exigidas anteriormente. Exploramos ainda, nesta Situação, a representação de prismas semelhantes em perspectiva na malha quadriculada, bem como a relação entre o fator de ampliação linear, das medidas das arestas, e o fator de ampliação na área e no volume dos sólidos obtidos. A importância de conhecer as propriedades dos triângulos é fundamental para aqueles que

se dispõem a estudar Geometria, uma vez que, entre outros motivos, um polígono de n lados pode ser sempre visto como uma série de triângulos justapostos. Assim, de certa forma, os triângulos são polígonos elementares, pois todos os demais polígonos podem ser estudados a partir de sua decomposição em triângulos. Entre as inúmeras propriedades geométricas associadas aos triângulos, propomos, na Situação de Aprendizagem 2 – triângulos: um caso especial de semelhança, analisar, especificamente, a semelhança entre triângulos, de forma aplicada e em contextos variados. Na Situação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângulos; teorema de Pitágoras, propomos a obtenção de algumas relações métricas dos triângulos retângulos, incluído o teorema de Pitágoras, com base em dois focos diferentes: por composição de figuras e por semelhança entre triângulos. As relações obtidas poderão, em seguida, ser aplicadas na resolução de uma série de situações-problema propostas especialmente para esse objetivo. Na Situação de Aprendizagem 4 – Razões trigonométricas dos ângulos agudos, apresentamos uma proposta de tratamento das razões trigonométricas que parte da fixação da medida do ângulo agudo do triângulo retângulo e da obtenção dos valores de suas razões seno, cosseno e tangente. Trata-se, portanto, de colocar o foco sobre a medida do ângulo, destacando o fato de que as razões trigonométricas são, prioritariamente, associadas ao ângulo, e não às medidas dos lados do triângulo retângulo.

Na primeira parte da Situação de Aprendizagem 4, exploramos a intuição dos alunos a respeito de ângulos de elevação de ruas e estradas para, em seguida, estabelecer padrões de comparação com a ajuda de razões trigonométricas, nesse caso, senos e/ou tangentes. Na sequência, propomos a construção de “teodolitos” simplificados e a tomada de medida de ângulos e comprimentos com vistas a resolver situações-problema com características de

topografia simples. Por fim, recuperando um pouco a história da evolução dos conceitos matemáticos, propomos aos alunos que construam uma tabela de senos a partir do comprimento de cordas de uma circunferência. A organização do trabalho do bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser feita nas oito unidades seguintes, referentes, aproximadamente, a oito semanas.

Quadro geral de conteúdos do 3o bimestre da 8a série do Ensino Fundamental unidade 1 – Semelhança entre figuras planas: ampliação ou redução. unidade 2 – Semelhança de triângulos. unidade 3 – Semelhança de triângulos: contextos diferenciados. unidade 4 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas. unidade 5 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas. unidade 6 – Relações métricas e teorema de Pitágoras: aplicações. unidade 7 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo. unidade 8 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo: aplicações.

Matemática – 8a série – Volume 3

SituAÇõES dE APREndizAGEm SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS Duas figuras planas são consideradas semelhantes quando uma delas pode ser obtida a partir de uma ampliação ou uma redução da outra. Assim, estudar semelhança entre figuras implica retomar a ideia de escala e, por consequência, a ideia de razão entre duas medidas de mesma natureza. Quando uma figura é a ampliação da outra na razão 1 : 3, sabemos que cada medida do contorno da figura ampliada é 3 vezes maior do que a medida correspondente na figura original. Essas figuras são, portanto, semelhantes. Essa ideia da razão de semelhança basta para compreender a representação de figuras em escala, porém a análise das diversas situações de semelhança exige pensar

não apenas na medida do contorno das figuras, mas também em suas medidas angulares. Assim, devemos sempre argumentar o fato de que os ângulos correspondentes de duas figuras semelhantes, a original e a ampliada, têm a mesma medida, isto é, são congruentes. Em síntese, para que duas figuras planas sejam semelhantes, é preciso que sejam obedecidas duas condições: as medidas angulares de uma ou outra ser correspondentemente iguais e as medidas lineares correspondentes guardarem uma proporcionalidade. No caso particular dos triângulos, como veremos, uma dessas condições acarreta automaticamente a outra, e vice-versa.

tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: condições de semelhança entre figuras planas. Competências e habilidades: avaliar a existência ou não de semelhança entre duas figuras planas; avaliar elementos que se alteram quando figuras planas são ampliadas ou reduzidas; identificar a razão de semelhança entre duas figuras planas. Estratégias: resolução de sequência de exercícios exemplares, em alguns casos representados sobre malhas quadriculadas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Nesta Situação de Aprendizagem, exploramos a ideia de semelhança entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução da outra, retomando e ampliando alguns conteúdos anteriormente trabalhados. Assim, poderemos estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de proporcionalidade que exijam a realização de operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio não exigidas anteriormente. Além disso, nesta Situação de Aprendizagem, contemplaremos a representação de prismas semelhantes em perspectiva na malha quadriculada, bem como a relação entre o fator de ampliação linear, das medidas das arestas e o fator de ampliação na área e no volume dos sólidos obtidos.

Atividade 1 – Ampliação/redução: o que se altera e o que não se altera?

Assinale X ao lado do conjunto de medidas iguais nas duas figuras: ( ) Segmento AB e segmento A’B’. ( ) Segmento BC e segmento B’C’. ( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da Figura 2. ( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2. ( X ) Medida do ângulo CAB e medida do ângulo C’A’ B’. Problema 2 – Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao lado, duas outras estrelas de seis pontas, de modo que uma delas seja uma redução e a outra uma ampliação da estrela inicial, ambas de um fator 2. A F

Inicialmente, o professor poderá verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto aplicando alguns exercícios:

Problema 1 – A Figura 2 foi obtida fazendo-se uma ampliação da Figura 1:

A B

C D

A B

E Figura 1

Figura 2

Matemática – 8a série – Volume 3

Problema 3 – Observe nos desenhos que o retângulo (iii) tem o triplo da largura de (i), o retângulo (ii) tem o dobro da largura de (i) e os três têm a mesma medida de altura. (i)

B H

L' A'

(ii)

A L

(iii) A'

a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes? Por quê?

L H

U A

U' L'

Sim, pois todos são retos. b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Por quê? Não, porque as medidas dos lados não são proporcionais. Dando continuidade ao trabalho, após discutir as resoluções apresentadas pelos alunos, o professor poderá solicitar que construam figuras semelhantes, em determinada razão, utilizando régua e compasso, no processo conhecido por homotetia. Nesse caso, propomos que sejam desenhadas e analisadas mais de uma situação em que o centro de homotetia (ponto H ) se apresenta em diferentes posições em relação às figuras.

Observemos, por exemplo, o desenho, passo a passo, de dois losangos em homotetia, sendo que um deles é ampliação do outro em fator 2. 1o passo – Marcar o ponto centro de homotetia e traçar as linhas convergentes nesse ponto, passando pelos vértices A, B, C e D do losango original.

A B

D O C

A' A F H S

F' T O S'

2o passo – Marcar os segmentos OA’, OB’, OC’ e OD’, de comprimentos iguais ao dobro dos comprimentos de OA, OB, OC e OD, respectivamente.

a) Se AB = 2 cm, quanto mede A’B’?

3 cm

D O C

3o passo – Unindo os pontos A’, B’, C’ e D’ por segmentos de reta, teremos obtido uma ampliação de fator 2 do losango original. A'

b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes, e a razão de semelhança é um valor k, tal que FA’ = k.FA. Qual é a razão de semelhança nesse caso? 1,5 Problema 2 – Considere que o triângulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e suponha que AB = 2 cm. Nesse caso,

B' B

O C

C D

Atividade 2 – Razão de semelhança Após a construção de algumas figuras, o professor poderá propor aos alunos os seguintes problemas:

a) calcule a área de ABC.

Problema 1 – Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’.

b) calcule a área de A’B’C’.

— 2,25√3 cm2 c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior do que a área de ABC ?

— √3 cm2

2,25 vezes

B D

E E'

Problema 3 – Desenhe na figura um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a ABCDE, com razão de semelhança 2,0.

Matemática – 8a série – Volume 3

B C

8 cm

D E

65o B" A"

Sendo assim, quanto mede:

I G

D E

D" E"

Devemos observar que o Problema 2 da sequência anterior apresenta a ideia de que a ampliação de uma figura plana de um fator k gera uma figura com a área ampliada de um fator k2. Propomos que o professor aprofunde um pouco mais essa discussão com base em algumas situações-problema, como as da próxima etapa.

a) LI ?

b) SÂM ?

ˆ ? d) LGI

ˆ ? e) GLI

ˆ ? c) SMA

Dado que um triângulo é ampliação do outro, podemos garantir a congruência entre os ângulos correspondentes e, também, a proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes. M

88o

6 cm

Atividade 3 – Ampliações e reduções: perímetros e áreas S

65o

27o

Problema 1 – O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.

M 88o

6 cm

27o S

8 cm

4 cm

27o

65o I

SM MA 16 = ; logo, LI = cm GL LI 3 n

b) SAˆM = 65º ˆ A = 180º − (27º + 65º)= 88º c) SM

d) LGˆI = 27º b) Qual tipo de quadrilátero é NECO? e) GLˆ I = 88º Problema 2 – Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos o quadrilátero NECO. Suponha que cada quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e faça o que se pede a seguir. t

NECO é também um trapézio isósceles, assim como TUBA, visto que um é redução do outro; nesse caso, mantêm-se as características da figura inicial. c) Quanto mede a altura de TUBA? E quanto mede a altura de NECO?

A altura de TUBA mede 5 cm e a altura de NECO mede 2 cm, pois 5 ÷ 2,5 = 2.

a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o quadrilátero TUBA. A base menor de TUBA tem 5 unidades, bem como sua altura. Assim, em uma redução de fator 2,5, essa medida passará a ser igual a 2 unidades no polígono NECO, conforme representado na figura a seguir.

d) Quais são as medidas das bases de NECO? As bases de NECO medem: 5 ÷ 2,5 = 2 cm 9 ÷ 2,5 = 3,6 cm e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA? O perímetro de TUBA é 2,5 vezes maior que o perímetro de NECO, pois todas as medidas lineares de TUBA foram reduzidas 2,5 vezes a fim de que fosse obtido NECO.

Matemática – 8a série – Volume 3

f) Em relação à área de NECO, quantas vezes é maior a área de TUBA? A área de TUBA é (2,5)2 maior do que a área de NECO, conforme é possível perceber pelo cálculo seguinte: Área de trapézio = (base maior + base menor) altura 2 (9 + 5) . 5 Área (TUBA) = = 35 cm2 2 (3 ,6 ) Área (NECO) = = 5,6 cm2 2

Inicialmente, desenhamos dois paralelogramos congruentes (1). Em seguida, unimos os vértices correspondentes com segmentos de reta (2). Por fim, pintamos as “faces” do sólido representado. Realizada a etapa da representação inicial de um prisma, o professor poderá propor questões instigadoras para seus alunos, como: f Todos os prismas desse tipo são semelhantes entre si?

35 ÷ 5,6 = 6,25 = (2,5)2 A ampliação/redução de figuras é um procedimento diretamente relacionado ao conceito de semelhança, como mostram as atividades anteriores. Ressalve-se, no entanto, que se tratou até agora unicamente da semelhança entre figuras planas, com foco especial sobre os polígonos. Propomos que o professor avalie a possibilidade de extrapolar o conceito de semelhança para sólidos geométricos, notadamente os prismas, utilizando, para tanto, o artifício de representar prismas em malha quadriculada. Observemos, por exemplo, os passos para o desenho de um prisma regular de base retangular.

f Como representar, na malha quadriculada, outro prisma, semelhante a esse, em determinada razão de semelhança? A discussão acerca das respostas dos alunos deve conduzir à formalização de que a semelhança entre figuras espaciais, assim como no caso das planas, será definida a partir da proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes e da congruência entre as medidas dos ângulos das duas formas. Como representar, então, dois prismas semelhantes em perspectiva na malha quadriculada? No caso do prisma do exemplo, teríamos:

(1) (1)

(2)

(3)

(2)

O prisma (2) é uma ampliação do prisma (1) na razão 1,5. Observe que as medidas das arestas de (1) foram todas aumentadas em 1,5 vez para que fossem obtidas as arestas de (2). As medidas angulares correspondentes nos desenhos são congruentes.

Problema 2 – Desenhe na malha quadriculada: a) um prisma semelhante ao prisma (1) ampliando-o de um fator 1,5. b) um prisma semelhante ao prisma (2) reduzindo-o de um fator 2.

Em seguida, o professor poderá propor aos alunos a resolução dos seguintes problemas.

Atividade 4 – Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada

(1)

. 1,5

Problema 1 – Quais dos seguintes prismas retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são semelhantes? Em cada caso, qual é o fator de ampliação?

÷2

(2) (1)

(2) (3)

(4)

(5)

Problema 3 – Observe o prisma oblíquo representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma semelhante a ele, com razão de semelhança 1 . 3

São semelhantes 1 e 3, e são semelhantes 4 e 5. Fator de proporcionalidade: f de 1 para 3: ampliação de fator 2; 1 f de 3 para 1: redução de fator ; 2 1 f de 4 para 5: redução de fator ; 2 f de 5 para 4: ampliação de fator 2.

.1 3

Matemática – 8a série – Volume 3

Problema 4 – Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os cubos desenhados são ou não semelhantes? Por quê?

Dois cubos sempre são semelhantes! Problema 5 – Considere dois paralelepípedos retos semelhantes, na razão 1 : 4. Complete a tabela com as medidas da aresta, da área da base, da área total e do volume do maior sólido, em função de x, y, z e w. medida

da da área da área do aresta da base total volume

menor sólido

maior sólido

y 16y

z 16z

Atividade 5 – Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as ruas Alfa e Beta. Observando a planta do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de trapézios semelhantes (ABCD e EFGH), com os ângulos internos de um de mesma medida que os ângulos internos correspondentes do outro. Além disso, há uma proporcionalidade entre as medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas dependerão de desapropriações a serem realizadas no local. C D

180 m

Parque 1

A B

Alf F Rua

E Parque 2

GR ua

64w

As medidas lineares manterão a razão 1 : 4, enquanto a relação de proporcionalidade entre as áreas será de 1 : 42 e, entre os volumes, de 1 : 43. Por fim, encerrando a Situação de Aprendizagem, propomos que os alunos sejam instigados a aplicar a ideia da semelhança entre duas figuras planas em uma situação-problema contextualizada, como na próxima etapa.

60 m

Bet

Problema 1 – As medidas de CB e de FG são fixas, respectivamente 180 m e 60 m, enquanto as demais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras. Com base nisso, resolva: a) Se a medida de EH for igual a 25 m, qual será a medida de DA ? 60 25 FG EH = = ⇒ DA = 75 m ⇒ ⇒ 180 DA BC DA

b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?

trapézio ABCd

trapézio EFGh

180

c) Se EH = k, quanto medirá DA em função de k?

FG EH 60 k ⇒ ⇒ DA = 3 k = = ⇒ BC DA 180 DA

60 EH FG EH = ⇒ ⇒ ⇒ EH = 6 m = 180 18 BC DA

Problema 2 – No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF e HG serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de: a) CD ?

b) AB ?

FG FG EEH H HG HG EEFF ⇒ == == == BBCC AD AD CD CD AB AB 60 60 EEH H 18 18 15 15 == == == 180 180 AD AD CD CD AB AB

⇒ a)

60 18 ⇒ CD = 54 m = 180 CD

60 15 ⇒ AB = 45 m = 180 AB

Problema 3 – O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior. Nessas condições, adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ? O perímetro do trapézio ABCD é igual a 309 m. Como BC = 180 m, CD = 54 m e AB = 45 m, a medida de DA será igual a: 309 – (180 + 54 + 45) = 30 m. Problema 4 – Complete a tabela a seguir com as medidas dos lados de cada trapézio:

Convém observar e salientar a razão de semelhança entre ABCD e EFGH, igual a 3, nesse caso, como é possível perceber pela divisão entre dois valores de uma mesma linha da tabela.

Considerações sobre a avaliação O principal objetivo previsto para a Situação de Aprendizagem que ora se encerra é reconhecer a semelhança entre figuras planas, em razão de certas condições das medidas lineares (proporcionalidade) e angulares (congruência) correspondentes. Com base nisso, o conjunto das atividades partiu de procedimentos de ampliação e/ou redução de figuras em malhas quadriculadas e também em processo de homotetia, chegando a situações-problema contextualizadas. Ao elaborar as etapas de avaliação, o professor deve, portanto, balizar-se em um percurso semelhante, isto é, criar situações em que os alunos possam, de fato, desenhar sobre malhas quadriculadas, enfrentando também problemas que extrapolam o contexto matemático.

Matemática – 8a série – Volume 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA

situações, como em projetos de portões ou de cercados, e a ciência expandiu-o para a construção de grandes obras de engenharia.

O triângulo é um polígono “rígido”, ou seja, “não se articula”. O conhecimento popular tratou de verificar essa propriedade em inúmeras

A rigidez dos triângulos está diretamente relacionada ao fato de que a semelhança entre dois triângulos exige apenas a congruência dos ângulos correspondentes. Afinal, se as formas triangulares não se articulam, são rígidas, ou seja, não é possível alterar a medida de seus ângulos internos sem, por consequência, alterar a medida de, pelo menos, um de seus lados. Caso as medidas dos três lados sejam ampliadas ou reduzidas proporcionalmente, aí então as medidas angulares serão preservadas. O triângulo é, portanto, o único tipo de polígono para o qual

a semelhança é definida apenas a partir de uma condição: ângulos correspondentemente congruentes. A proporcionalidade entre as medidas dos lados passa a ser, nesse caso, consequência, e não exigência, como ocorre para os demais polígonos. Os comentários anteriores reforçam a proposta de abordar a semelhança entre dois triângulos com o foco na identificação da congruência entre os ângulos correspondentes, uma vez que o não cumprimento dessa etapa conduz, como normalmente se observa, à escrita de falsas proporcionalidades.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: semelhança entre triângulos. Competências e habilidades: identificar a correspondência entre ângulos congruentes de dois triângulos semelhantes; estabelecer proporcionalidade entre as medidas de lados correspondentes de triângulos semelhantes; reconhecer a semelhança de triângulos formados por cordas de uma circunferência, escrevendo a proporção entre as medidas dos lados correspondentes. Estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 Nesta Situação de Aprendizagem, propomos uma série de situações-problema elaboradas com base nas premissas apontadas, isto é, na relevância da correta identificação da correspondência entre as medidas dos lados de triângulos semelhantes, a partir, também, da correta identificação dos ângulos congruentes.

O primeiro conjunto de problemas apresentado a seguir trata especialmente do reconhecimento de pares de ângulos correspondentes congruentes em dois triângulos; aborda ainda a congruência dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais. Julgamos importante que os alunos saibam reconhecer e justificar a congruência entre ângulos com base na correta nomenclatura (correspondentes, alternos, opostos pelo vértice, etc.).

Matemática – 8a série – Volume 3

Atividade 1 – triângulos semelhantes: reconhecimento

b = d = f = 58º; a = c = g = e = 180º – 58º = 122º

Problema 1 – Utilize a malha quadriculada para desenhar dois pares de triângulos semelhantes. Um dos triângulos, de um dos pares, possui dois ângulos internos medindo 45º cada um. Outro triângulo, do outro par, tem um lado que mede 4 unidades da malha, e outro que mede 6 unidades da malha.

Problema 3 – No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os novamente, apresentando, em cada caso, a justificativa para a congruência. Pares de ângulos opostos pelo vértice: b e 58º; f e d; a e c; g e e. Pares de ângulos alternos e internos: a e g; d e 58º. Pares de ângulos alternos e externos: c e e; b e f. Pares de ângulos correspondentes: c e g; 58º e f; b e d; a e e. Problema 4 – As retas a e b são paralelas. Quais são as medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA e DEA?

As respostas podem variar. Problema 2 – Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, forma-se uma série de pares de ângulos congruentes. No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por uma transversal t, identifique as medidas dos ângulos assinalados.

C 32º 83º

D a

t fˆ

eˆ gˆ

r dˆ aˆ

58º cˆ

s bˆ

32º + 83º + BCA = 180º ⇒ BCA = 65º DEA = BCA = 65º ABC = ADE = 83º

A relação de problemas anteriores, priorizou a identificação da congruência dos ângulos correspondentes em triângulos semelhantes, fundamental para a escrita da proporção e a obtenção de medidas lineares de um ou outro triângulo. Na sequência, propomos algumas situações-problema contextualizadas para que os alunos apliquem o que aprenderam e, além disso, determinem algumas medidas desconhecidas.

Atividade 2 – triângulos semelhantes: contexto e aplicações Problema 1 – O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU.

ângulos internos de GIL também medem 100º, 58º e 22º. c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL? EU = EM ⇒ 5,2 = 2 , ou seja, IL IG 10 IG IG ≅3,8 cm Problema 2 – Observe a representação das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques têm formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro. São conhecidas as seguintes medidas:

M 100o

Parque 1

Parque 2

180

Observe as medidas assinaladas nos desenhos e responda:

a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?

2 cm E

5,2 cm

58o 10 cm

Os ângulos internos dos dois triângulos são correspondentemente congruentes. Assim, os ângulos internos de MEU medem 100º, 58º e 22º.

180 m Parque 1

b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL? Os ângulos internos dos dois triângulos são correspondentemente congruentes. Assim, os

F Rua Alfa

Parque 2

GR ua

60 m

Matemática – 8a série – Volume 3

Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentes de mesma medida e lados correspondentes, cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade. Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado DA do triângulo SAD é correspondente ao lado BC do triângulo SBC. S

triângulo SAd (m) triângulo SBC (m) SA

180

10,8

64,8

AD DS AS 30 DS AS ⇒ = = = = BC CS BS 180 DS + 54 AS + 45

As medidas DS e AS podem ser obtidas dessa dupla proporção, resultando DS = 10,8 m e AS = 9 m.

A 30 m

54 m

Convém observar e salientar a razão de semelhança entre os dois triângulos, igual, nesse caso, a 1 . 6

45 m

180 m

a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?

SD e SC; SA e SB

d) Separe da figura inicial, desenhando-os novamente, os triângulos TEH e TFG. Em seguida, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na tabela abaixo os lados correspondentes e as respectivas medidas. triângulo tEh (m) triângulo tFG (m)

b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC? AD SD SA = = BC SC SB

c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela a seguir.

3,6

21,6

E T

15 m

10 m H

T 60 m

Segmento

Medida (cm)

H 18 m G

10 TE EH TH TE TH = = ⇒ = = TF FG TG TE + 15 60 TH + 18

Segmento

Medida (cm)

13,3

12,5 16,7

⇒ TE = 3 m e TH = 3,6 m. Semelhança entre os triângulos OBE e

Problema 3 – Usando seu transferidor, um aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com régua e esquadro, traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).

OCF: OB = OE = BE OC OF CF 12 10 8 = = ⇒ OF = 12,5 15 OF CF CF = 10.

Semelhança entre os triângulos ODG e OG = OD = GD OBE: OE OB EB

F E

OG 20 GD ⇒ OG ≅ 16,7 = = 10 12 8

GD ≅ 13,3. Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB = 12 cm; BE = 8 cm, OE = 10 cm. Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC = 3 cm e CD = 5 cm. Então, percebeu que poderia determinar as medidas de todos os demais lados dos triângulos sem necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule as demais medidas dos segmentos do desenho e escreva-as na tabela seguinte.

Problema 4 – O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um triângulo em que não há dois lados de mesma medida (ABC, no desenho). A α

18 m

β 24 m

15 m

Matemática – 8a série – Volume 3

Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida dessa viga?

generalizações da proporcionalidade, e não devem ser memorizadas como fórmulas a ser aplicadas em situações semelhantes.

Atividade 3 – Semelhanças: cordas, arcos e ângulos

A α α

Problema 1 – Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” por um ângulo cujo vértice C pertence à circunferência (Figura 1).

Os triângulos ABC e ADB têm ângulos correspondentemente congruentes, sendo, portanto, semelhantes.

Figura 1 B

A α

18 m

β α

β 24 m

15 m

A θ

18 BC BA AC ⇒ 24 15 = = = = 15 BD AD BA BD AD

⇒ AD =11,25 m Portanto, a viga AD medirá 11,25 m. A semelhança de triângulos é o ponto de partida para diversas formalizações na Geometria plana. Um desses casos envolve cordas e/ou tangentes a circunferências, tópico conhecido por “potência de ponto”, que apresentamos na sequência. Justificamos o tratamento do conceito com base no reconhecimento da congruência entre medidas de arcos e de ângulos correspondentes e na proporcionalidade entre medidas lineares. Formalizações, nesse caso, são solicitadas apenas enquanto

Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “enxergado” por outro ângulo, de medida igual ao anterior, isto é, de medida igual a α (Figura 2).

Figura 2 B

A α D

Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma situação em que dois triângulos semelhantes se destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).

Problema 2 – Observe a figura em que duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P. De acordo com as medidas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?

Figura 3 B

PB PC ⇒ (PC) . (PA) = (PB) . (PD) = PA PD

P A

D C

Figura 4

8 B

P β

α D

Podemos estabelecer a seguinte proporção entre as medidas dos lados dos triângulos representados na figura: PB PC 9 12 ⇒ PA = 6 = ⇒ = PA PD PA 8 B

a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva uma proporção entre as medidas de seus lados. PB BC PC = = PA AD PD

b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da relação (PC) . (PA) = (PB) . (PD).

9 6

12 C

P 8 D

Problema 3 – Um ponto P é o encontro de duas cordas de uma mesma circunferência

Matemática – 8a série – Volume 3

(Figura 1). Unindo os pontos em que as cordas cruzam a circunferência podemos observar dois triângulos (Figura 2). Figura 1

Figura 2

D C

a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos dos triângulos PAD e PCB, atribuindo a eles letras iguais a ângulos congruentes. b) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos PAD e PCB. c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação (PA).(PB) = = (PC).(PD). Os triângulos PAD e PBC são semelhantes, pois apresentam ângulos correspondentemente congruentes, como representado na figura. Assim, podemos escrever a seguinte proporção entre as medidas de seus lados: AD PA PD = = ⇒ (PA).(PB) = (PC).(PD) CB PC PB D

α β B

10 P

P B

Problema 4 – De acordo com as medidas indicadas na figura a seguir, qual é a medida x?

De acordo com a relação obtida no problema anterior, podemos escrever: 4 . 8 = 10 . (x – 10) ⇒ x = 13,2.

Considerações sobre a avaliação A importância da aplicação da semelhança de triângulos na resolução de situações-problema de Geometria plana é muito fácil de ser percebida. De fato, seria possível escrever todo um caderno de atividades, com muitas páginas, apenas envolvendo situações que exigem o reconhecimento de triângulos semelhantes e a escrita da proporcionalidade entre as medidas de seus lados. Enfatizamos essa questão, de conhecimento do professor, para justificar as limitações do material de apoio, que, por mais completude que possa apresentar, jamais esgotaria todas as possibilidades de abordagem do tema. Traçamos aqui, apenas, um percurso de trabalho que levou em conta determinada escala de abordagem conceitual. Caberá ao professor, portanto, com base na realidade de suas turmas, reduzir ou ampliar o

foco, adotando, dessa forma, a escala que julgar mais apropriada. Todavia, voltamos a insistir que estamos diante de um dos mais fundamentais conceitos da Geometria plana,

e a qualidade da atenção que destinarmos à sua abordagem reverterá, sem dúvida, na velocidade dos passos que poderemos imprimir em estudos futuros.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS; TEOREMA DE PITÁGORAS Dentre as inúmeras possibilidades de apli-

é uma delas, e a decomposição das figuras en-

car a semelhança de triângulos na construção

volvidas é outra. Abordaremos essas duas pos-

de outros importantes conceitos da Geometria

sibilidades nesta Situação de Aprendizagem, a

plana, destacamos agora as relações métricas

partir das situações-problema propostas.

nos triângulos retângulos. O estudo das propriedades associadas a triângulos retângulos teve início em séries anteriores, de acordo com esta Proposta Curricular, inclusive com a apresentação do teorema de Pitágoras. Trata-se agora, na 8a série, de aprofundar e ampliar esse estudo a partir do reconhecimento da semelhança entre dois triângulos.

No processo de construção conceitual, é importante que o aluno trilhe um caminho que parta da observação de regularidades e, após algumas etapas e aplicações, generalize propriedades a partir do raciocínio indutivo que mobiliza nesse trajeto. A formalização, necessária e importante, acontece, nessa medida, ao final do processo, evitando que os alunos venham a considerar fórmulas prontas como os principais elementos

As relações métricas conhecidas entre

auxiliares na resolução de problemas. Esta é a

as medidas de elementos lineares de triân-

opção metodológica adotada na elaboração do

gulos retângulos podem ser obtidas a partir

conjunto de atividades que compõem a presente

de várias vertentes. A semelhança de triângulos

Situação de Aprendizagem.

Matemática – 8a série – Volume 3

tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; relações métricas nos triângulos retângulos. Competências e habilidades: reconhecer a semelhança entre os triângulos retângulos, aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de um triângulo na resolução de situações-problema; aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de situações-problema. Estratégias: resolução de problemas exemplares, contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Atividade 1 – triângulos retângulos: métrica e semelhança Problema 1 – Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, são obtidos dois novos triângulos retângulos, semelhantes entre si, como representado na figura a seguir:

A n

α a

B α h

β β

b β m

AH AB HB n h a ⇔ = = = = BH BC HC h m b

H α

β b

b) Verifique que o quadrado da medida da altura traçada é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos

a) Um dos triângulos tem lados a, n e h, enquanto o outro tem lados b, m e h. Desenhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as medidas dos lados correspondentes.

sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m . n. AH AH AB AB nn hh == ⇔ ⇔ == ⇒ h2 = m . n BH BH BC BC hh mm

Problema 2 – Determine as medidas x, y e z em cada figura: 4

a) z

a b c = = n h a

a) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos i e ii. Semelhança entre os triângulos I e II:

x2 = 4 . 9 ⇒ x = 6 — — z2 = x2 + 42 ⇒ z2 = 36 + 16 ⇒ z = √52 = 2√13 —— — y2 = x2 + 92 ⇒ y2 = 36 + 81 ⇒ y = √117 = 3√13

a ii α

n iii β

β c h

α b

6 = 2y ⇒ y = 18 —— — z2 = 62 + y2 ⇒ z2 = 36 + 324 ⇒ z = √360 = 6√10 — — x2 = 62 + 22 ⇒ x = √40 = 2√10 2

Problema 3 – Observe a figura com o triângulo retângulo maior i sendo separado em dois triângulos retângulos menores – ii e iii – pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três triângulos são semelhantes, pois possuem ângulos correspondentemente congruentes.

b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c . n. a b c ⇒ a2 = c . n = = n h a

c) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos i e iii. Semelhança entre os triângulos I e III: a b c = = h m b

β ii

α β

a ii

iii β

h β

i α b

α b

Matemática – 8a série – Volume 3

a b c = = ⇒ b2 = c . m h m b

Problema 4 – Determine as medidas x e y em cada triângulo. a)

β α

m iii

a β

i β

a2 = c . n b2 = c . m

Aplicando a relação correspondente a b2 = cm, temos: 92 = 12x ⇒ x =

27 4

Aplicando Pitágoras, temos: — — 122 = 92 + y2 ⇒ y = √63 = 3√7

Com base na semelhança entre esses pares de triângulos, foram obtidas as relações:

12 y

d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c.m.

y x

m 8

— — 82 = 42 + y2 ⇒ y = √48 = 4√3 y2 = 8m ⇒ m = 6 — — y2 = x2 + m2 ⇒ x = √12 = 2√3 Problema 5 – Considere novamente a semelhança entre os triângulos i e ii, bem como entre os triângulos i e iii, discutida no problema anterior.

Adicionando essas duas expressões, termo a termo, e, em seguida, colocando c em evidência, fazemos surgir uma expressão matemática traduzida na linguagem cotidiana da seguinte forma: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras. Faça a verificação e escreva a sentença matemática do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b). a2 = c . n b2 = c . m

a2 + b2 = cn + cm a2 + b2 = c(n + m) = c . c = c2 a2 + b2 = c2

Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

e) BC2 + CD2 = BD2 (BCD é isósceles; BC = CD) 2(BC)2 = BD2 ⇒ BC = 1250 = 25 2 m

Problema 6 – Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles, conforme representado na figura. AF é a altura relativa à hipotenusa de ABD e CE é a altura relativa à hipotenusa de BCD. Determine a medida dos segmentos:

f) BC2 = BD.BE ⇒ 1 250 = 50.BE ⇒ BE = 25 m

a) BD

e) BC

b) DF

f) BE

c) BF

g) CE

d) AF

h) FE

g) CE2 + BE2 = CB2 ⇒ CE2 + 252 = 1 250 ⇒ CE = 25 m h) FE + BF + DE = DB. Como DE2 = = DC 2 – CE 2, segue que DE = 25. Sendo BF = 18 e DE = 25, segue que FE = 7 m Problema 7 – Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a 60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se outra cidade, C. Outra ro-

dovia, também retilínea, liga as cidades B e C. Pergunta-se:

40 m 30 m D

a) Qual é a distância entre B e C?

E F

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC: BC2 = AC2 + AB2 ⇒ BC = 100 km

a) BD2 = 302 + 402 ⇒ BD = 50 m

b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?

b) DA2 = DB . DF ⇒ 402 = 50.DF ⇒ DF = 32 m A menor distância entre o ponto A e a reta BC

c) BF = DB – DF = 50 – 32 ⇒ BF = 18 m

é a altura h relativa à hipotenusa BC. Para obter h, podemos analisar a semelhança entre os

d) AF + BF = AB AF2 + 182 = 302 ⇒ AF = 24 m 2

triângulos ABC e AHC, representados na figura a seguir:

Matemática – 8a série – Volume 3

100

β A

AB BC AC = = AH AC HC 60 100 ⇒ AH = 48 km = AH 80

c) Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga B a C, devendo situar-se a igual distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?

posto

e Pitágoras fornece a distância d de A até o posto: d 2 = h2 + 142; como h = 48, segue que d = 50 km. (Como o triângulo ABC é retângulo em A, então o ponto A pertence à circunferência de centro em M e diâmetro BC, ou seja, a distância de A até M também é 50 km.) Problema 8 – Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu proprietário deseja construir uma casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o restante da área.

40 m

30 m

B a

Pergunta-se:

h 80 km 60 km A

a) Qual é a área total do terreno? A área do triângulo é: Área =

Se o posto policial deve ficar a igual distância de B e C, então ele deve ficar no ponto M, ponto médio de BC, a 50 km de ambas as cidades. Podemos calcular a distância x de B até o pé da perpendicular de A até BC: no triângulo ABC, o cateto AB ao quadrado é igual ao produto de BC por x; logo, 602 = 100 . x, ou seja,x = 36 km. Com isso, concluímos que a distância do pé da perpendicular até o posto é 14 km,

base . altura 30 . 40 = 600 m2 = 2 2

b) Qual é a área da região retangular da construção?

30 m

40 m

h1 m

A região retangular representada tem como lados as alturas h 1 e h 2 dos dois triângulos em que o triângulo dado é dividido pela altura h relativa à hipotenusa. O valor de h pode ser calculado, da mesma maneira que no exercício anterior, por: 30 . 40 = 50 . h ⇒ h = 24. As relações métricas conhecidas permitem calcular diretamente os valores de m e n: 302 = 50 . m ⇒ m = 18 402 = 50 . n ⇒ n = 32 Determinando, agora, h1 e h2: h . m = 30 . h1 ⇒ h1 = 14,4 h . n = 40 . h2 ⇒ h2 = 19,2 A área da construção será igual a: A = 14,4 . 19,2 = 276,48 m2

O teorema de Pitágoras, como vimos, pode ser obtido a partir da semelhança entre triângulos, sendo, de fato, uma das relações métricas nos triângulos retângulos. É possível, no entanto, argumentar sobre a importância desse teorema para as demais relações, à medida que o rol de suas aplicações em situações-problema é extremamente amplo. Assim, justifica-se enfocar especialmente algumas aplicações do teorema de Pitágoras, como sugere a sequência a seguir.

Atividade 2 – Pitágoras: significado, contextos O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de triângulos retângulos:

a área do quadrado construído, tendo como lado a hipotenusa a, é igual à soma das áreas dos quadrados construídos, tendo como lados os catetos b e c: a2 = b2 + c2 Nos problemas seguintes, tal fato será explorado.

b2 b

Problema 1 – O triângulo retângulo representado na figura é isósceles e está inscrito em uma circunferência de raio 4 cm. Quais são as medidas dos lados desse triângulo?

Nesse problema, exploramos a propriedade de que triângulos inscritos em semicircunferências são, sem dúvida, triângulos retângulos. A verificação de tal propriedade pode ser feita a partir da comprovação de que o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio

Matemática – 8a série – Volume 3

de sua hipotenusa. Esse ponto, denominado circuncentro, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Dessa forma, metade da medida da hipotenusa coincide com o raio dessa circunferência.

502 = 302 + a2 ⇒ a = 40 m —— — 402 = 302 + b2 ⇒ b = √700 = 10√7 m A distância entre as duas personagens, neste — caso, é igual a (40 + 10√7 )m Balão

Portanto, a hipotenusa do triângulo mede 8 cm, que é o dobro da medida do raio, e os outros lados, pelo fato de o triângulo ser isósceles, de acordo com o enunciado, medem — 4√2 cm cada um.

50 m

Maria

Ponto médio da hipotenusa e centro da circunferência

raio

Problema 2 – Um balão de propaganda flutuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e por João. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 m dele. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?

40 m

30 m

João

Problema 3 – Para dar firmeza à estrutura de um portão retangular ABCD, de lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas barras rígidas – AC e BD – ao longo das diagonais, conforme mostra a figura a seguir. Para isso, dispõe-se de uma barra de 6,5 m de comprimento, que será dividida em duas partes iguais. A barra será suficiente para as duas diagonais? 3m D

AC2 = 22 + 32 ⇒ AC ≅ 3,6 m. Para duas barras, seriam necessários 7,2 m, que é uma medida maior do que os 6,5 m disponíveis, insuficientes, portanto, para a tarefa desejada.

Problema 4 – Do centro de uma sala retangular de lados 4 m e 6 m serão feitas canalizações independentes em linha reta até os quatro cantos da sala e também até o ponto médio de cada um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo de conduíte (cano plástico flexível). Quantos metros de conduíte serão necessários?

c) o centro da face visível da caixa IX. — z2 = 252 + 252 ⇒ z = 25√2 cm

VII

VIII

III

Problema 6 – Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma hexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono da base 18 cm.

18 cm

Medida da diagonal (d) do retângulo: d 2 = 62 + 42 ⇒ d ≅ 7,2 m Quantidade necessária de conduíte: 6 + 4 + 2 . 7,2 = 24,4 m Problema 5 – Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra a figura a seguir, em vista frontal. O ponto A é o vértice inferior esquerdo da caixa I. Calcule a distância de A até: a) o vértice superior esquerdo da caixa VI; —— — x2 = 102 + 202 ⇒ x = √500 = 10√5 cm b) o vértice superior direito da caixa VIII; — —— — y2 = 402 + 202 ⇒ y = √2 000 = 20√5 cm

a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem? O raio da maior pizza que cabe na embalagem é a altura de um triângulo equilátero de lado 18 cm, uma vez que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cujo lado tem a mesma medida do lado do hexágono. Assim, a altura do — triângulo, ou o raio da pizza, mede 9√3 cm, e — o diâmetro mede 18√3 cm ≅ 31 cm.

Matemática – 8a série – Volume 3

b) Qual é a área de papelão necessária para construir a parte de baixo da caixa, em que a pizza vem acomodada? A área de um dos triângulos que formam o hexágono é

18 . 9 3 = 81 3 cm2. A área 2

do hexágono que forma a parte de baixo da caixa é 6 . 81 3 = 486 3 cm2.

b) da diagonal da caixa. O triângulo destacado em verde na figura é retângulo com catetos de 20 cm e 50 cm, e a diagonal pedida no enunciado da questão corresponde à hipotenusa desse triângulo. Assim, a diagonal d é igual a: — d 2 = 202 + 502 ⇒ d = 10√29 ≅ 54 cm

A área da parte lateral da caixa é igual a 6 vezes a área de um retângulo de dimensões 18 cm por 3 cm. Assim, a área é 6 . 18 . 3 = 324 cm 2. Portanto, a área total do papelão é 324 + 486 3 , que é igual, aproximadamente, a 1 166 cm2.

Em atividade anterior, o teorema de Pitágoras foi apresentado a partir das relações de semelhança entre os triângulos que surgem ao traçarmos a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo. Visto dessa forma, o teorema de Pitágoras é uma das relações métricas no triângulo retângulo – não apenas uma delas; talvez a mais importante.

Problema 7 – Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas as faces retangulares. Suas dimensões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Calcule o comprimento:

As relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo o teorema de Pitágoras, podem ser compreendidas com base na composição e decomposição de áreas retangulares e/ou triangulares. O conjunto de problemas seguintes explora essa ideia.

20 cm

Atividade 3 – Relações métricas em triângulos retângulos: composição e decomposição

30 cm

40 cm

a) da maior das diagonais das faces; O triângulo destacado em laranja na figura é retângulo com catetos de 30 cm e 40 cm. Logo, a hipotenusa desse triângulo mede 50 cm, que corresponde à diagonal solicitada.

Problema 1 – Na Figura 1, você já sabe que a área de CDEB é igual à soma das áreas de CAHI e de ABFG, ou seja, que a2 = b2 + c2. Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas componentes dessa figura. Para tanto, observe na Figura 2 o segmento AJ, e note que ele divide a hipotenusa em duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB em dois retângulos.

G H F

A I

b2 b

Área de ABC a partir dos catetos: (b . c) ÷ 2 Área de ABC a partir da hipotenusa e da altura h: (a . h) ÷ 2 (b . c) ÷ 2 = (a . h) ÷ 2 → bc = ah

b) Calcule a área do triângulo ABC de duas maneiras, usando os catetos b e c, bem como a hipotenusa a e a altura h. Mostre que bc = ah.

c) Mostre na figura que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo CDJK.

Figura 1 G H F

A I

b C

b m K

Área de CDJK = am

J Figura 2

a) Calcule a área do retângulo CDJK e a área do retângulo JEBK. Mostre que a soma das duas áreas é igual a a2. Área de CDJK = am Área de JEBK = an Soma das áreas = am + an = a(m + n) = = a . a = a2

Área de ACIH = b2

Uma das relações métricas já aprendidas no triângulo ABC é justamente b2 = am, que traduz o fato de as áreas serem iguais. d) Mostre que a área do retângulo JEBK é igual à área do quadrado ABFG. Área de JEBK = an Área de ABFG = c2 Uma das relações métricas já aprendidas no triângulo ABC é justamente c2 = a . n, que traduz o fato de as áreas serem iguais. Problema 2 – Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.

Matemática – 8a série – Volume 3

a) Calcule a altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo. b) A altura relativa à hipotenusa divide esse triângulo em dois triângulos retângulos menores; calcule a área de cada um deles. Cálculo da hipotenusa do triângulo: x2 = 52 + 122 ⇒ x = 13 cm Cálculo da altura relativa à hipotenusa: 5 . 12 = 13 . h ⇒ h ≅ 4,6 cm Cálculo das projeções dos catetos sobre a hipotenusa: 5 = 13 . n ⇒ n ≅ 1,9 cm 122 = 13 . m ⇒ m ≅ 11,1 cm

Os lados 3, 4 e 5 m indicam que o triângulo considerado é retângulo. A altura pedida corresponde à altura do triângulo relativamente à hipotenusa. Como o produto dos dois catetos é igual ao produto da altura pela hipotenusa (bc = ah), concluímos que 4 . 3 = 5 . h e que h = 2,4 m.

Considerações sobre a avaliação

Área de cada triângulo: A1 = (11,1 . 4,6) ÷ 2 ≅ 25,5 cm2 A2 = (1,9 . 4,6) ÷ 2 ≅ 4,4 cm2 Problema 3 – Um painel deve ser mantido na vertical com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente esticados, de 3 m e 4 m, um de cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados em um plano vertical e a distância entre os pontos de fixação dos dois cabos de aço no solo é de 5 m. A que altura do solo os cabos devem ser fixados no painel?

Chegamos ao final desta Situação de Aprendizagem considerando que o conjunto de problemas aqui apresentados constitui pequena, porém significativa amostra das aplicações das relações métricas nos triângulos retângulos e também do teorema de Pitágoras. Os professores conhecem a importância do assunto, bem como as dificuldades que geralmente são apresentadas pelos alunos no aprendizado desse conteúdo. Sendo assim, sugerimos que, caso o professor avalie como adequado, proponha novas situações-problema acerca do tema de modo que os alunos tenham novas oportunidades de se apropriarem das relações já exploradas.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS O conjunto de problemas que compõem esta Situação de Aprendizagem tem por objetivo oferecer ao professor alternativas para o trabalho de apresentação das razões

trigonométricas nos triângulos retângulos. Com o auxílio da abordagem e dos problemas aqui propostos, espera-se ampliar o espectro de significados associados ao tema.

tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: razões trigonométricas de um ângulo agudo. Competências e habilidades: determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo; utilizar a razão trigonométrica de um ângulo agudo na resolução de situações-problema; estimar a medida de ângulos de inclinação; efetuar medidas angulares com teodolito simplificado. Estratégias: construção de teodolito simplificado; realização de medidas angulares usando teodolito simplificado e fita métrica, com o objetivo de determinar medidas inacessíveis; resolução de problemas contextualizados.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Dividimos a Situação de Aprendizagem em três partes, de acordo com as descrições a seguir.

Atividade 1 – Ângulo de elevação: contexto e estimativas Em quase todas as cidades do mundo, há ruas que cortam trechos planos, mas há também ruas com percursos íngremes, subindo ou descendo. Especialmente nos casos de ruas com “fortes” subidas, se

questionarmos nossos alunos com relação à quantidade de graus que estimam para a elevação da subida, as respostas provavelmente serão valores muito mais elevados do que os reais. Nesses casos, é comum ouvirmos que esses ângulos atingem 30º, e alguns exagerados chegam a estimar 45º. Mas qual seria, de fato, a faixa de estimativa possível para ângulos dessa natureza? Propomos nesta atividade um exercício de sensibilização dos alunos para a estimativa de medidas de ângulos de elevação, visando também introduzir a importante noção de

Matemática – 8a série – Volume 3

f O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, por meio de uma medida que denomina inclinação. Por exemplo, em uma estrada com inclinação 0,15, ou 15%, sobe-se 15 m a cada 100 m de deslocamento horizontal. Inclinação 0,15, ou 15% 15 m 100 m

f Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual ao deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que em uma subida de 10% percorre-se 10 m em cada metro de subida.

f Alguns trechos de estradas podem, excepcionalmente, atingir inclinações maiores do que as recomendadas, chegando a valores da ordem de 10%. Seguindo esses comentários, os alunos poderão ser convidados a avaliar o grau de elevação de alguma rua de sua cidade, utilizando, para tanto, apenas instrumentos de medida de comprimento, como trenas ou fitas métricas. Há vários procedimentos possíveis, e os alunos poderão optar por aquele que considerarem mais adequado às condições do lugar. No entanto, será necessário que as respostas sejam traduzidas em uma única forma, de preferência por intermédio de um percentual que represente a relação entre o deslocamento vertical (b) e o deslocamento horizontal (a), e também se possível, do deslocamento real sobre a rua (c). Conexão Editorial

razão trigonométrica de um ângulo agudo. Para tanto, os alunos devem ser comunicados sobre os seguintes fatos:

Inclinação 10% 10 m 1m

f As inclinações máximas recomendadas pelo DNIT dependem do tipo de estrada, mas variam de 5%, nas estradas de maior volume de tráfego, a 9%, nas estradas com baixo volume de tráfego.

De posse dos resultados obtidos pelos alunos, o professor poderá reunir as informações e discutir a questão de que as

divisões efetuadas por eles, entre as medidas de lados de triângulos retângulos hipotéticos, conduziriam a resultados iguais no caso de qualquer outro triângulo retângulo considerado sobre a mesma rua, isto é, qualquer triângulo semelhante ao que consideraram em suas medidas. Partindo dessa discussão, o professor poderá definir as razões seno e tangente de um ângulo agudo e relacionar os valores percentuais que obtiveram para as inclinações da rua com a medida do ângulo correspondente, apresentando, para tanto, uma tabela trigonométrica com valores de 0º a 90º. Por exemplo, para uma inclinação de 12%, resultante da comparação entre b e a na figura, o ângulo correspondente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é 0,122. O importante aspecto de que a tangente e o seno são muito próximos para pequenos valores de ângulos deve ser discutido com os alunos, a fim de evitar que, futuramente, eles confundam essas razões trigonométricas. O resultado do trabalho de avaliação da inclinação das ruas deve ser concluído com o estabelecimento de uma faixa provável de valores em que inclinações de todas as ruas podem ser localizadas. Para que se tenha uma ideia, uma rua localizada na Nova Zelândia, é considerada por muitos como a mais inclinada do mundo, com inclinação de 35%, cerca de 19º. Assim, fixar uma faixa de inclinação entre 0º e 20º é bem razoável.

Terminando a atividade, o professor poderá pedir aos alunos que resolvam os seguintes problemas, consultando a tabela trigonométrica sempre que necessário. Problema 1 – Em determinada rua, um pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação percentual dessa rua? E qual é a medida do ângulo de inclinação? A inclinação é: 50 m 2m

2 . 100 = 4% 50

Quanto ao ângulo, é preciso determinar o ângulo que tem seno igual a 0,04. Uma calculadora científica nos informa que, nesse caso, ele mede aproximadamente 2,3º. Problema 2 – O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha escolhida exige que o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação? Qual é, em graus, a inclinação desse telhado? Uma inclinação de 30% significa que o telhado sobe 30 m a cada 100 m de deslocamento horizontal. 30 m 100 m

Matemática – 8a série – Volume 3

O ângulo, nesse caso, tem tangente igual a 0,3, resultado da divisão de 30 por 100. Uma calculadora nos informa que, nesse caso, ele mede aproximadamente, 16,7º. Problema 3 – Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste vertical fixado na rua e medir o ângulo entre o poste e o piso da rua ( no desenho). Se o ângulo medido pelo estudante foi de 82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?

O seno do ângulo de inclinação é igual a 8 = 0,08, que corresponde a um ângulo 100 de, aproximadamente, 4,6º. b) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y? O seno do ângulo de inclinação é igual a 20 = 0,04, que corresponde a um ângulo 500 de, aproximadamente, 2,3º. c) qual é, em metro, o deslocamento de um carro em Y enquanto desce 8 m? Podemos calcular o deslocamento do carro em y a partir da semelhança entre triângulos: 20 8 ⇒ x = 200 m = 500 x

O ângulo β da figura é o complementar do ângulo α de inclinação da rua. Assim, a rua tem inclinação de 8º. Problema 4 – Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o veículo que o percorre desloca-se 100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no qual um veículo desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é: a) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?

Atividade 2 – medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis Nesta etapa da Situação de Aprendizagem, propomos que o professor auxilie seus alunos a construir um modelo de teodolito simplificado, para, em seguida, utilizá-los na medição de alguns ângulos. Há inúmeras maneiras de construir um aparelho para medida aproximada de ângulos; apresentamos aqui um modelo que utiliza o seguinte material:

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f um transferidor de plástico; f um pedaço de tubo fino de plástico ou de outro material não transparente; f cola plástica; f pedaço de fio de nylon; f uma arruela de pesca, de ferro ou chumbo; f um pedaço de madeira ou papelão para a base.

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Depois de pronto, o “teodolito” fica com aspecto semelhante ao representado na ilustração.

Os “teodolitos” construídos poderão ser utilizados em conjunto com trenas ou fitas métricas, para tomar medidas em situações-problema que exigirão razões trigonométricas, como as seguintes. Problema 1 – Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base.

O professor que dispuser de um transferidor grande de madeira, utilizado normalmente para desenhar e medir ângulos no quadro-negro, poderá utilizá-lo em um “teodolito” maior, único para toda a classe, como o modelo apresentado na ilustração seguinte:

h α d

Mede-se a distância d e o ângulo de elevação α, e calcula-se h aplicando-se a tangente do ângulo α.

Conexão Editorial

Matemática – 8a série – Volume 3

Determine a medida de h no caso de α = 23o e d = 12 m. h h ⇒ 0 , 4422 = ⇒ h ≅ 5 ,0044 m d 12

A altura da árvore (h), neste caso, é igual a 5,04 m. Problema 2 – Medida da altura de um objeto quando não se tem acesso à base.

Conexão Editorial

t o= tg23

h β d

m Conexão Editorial

Mede-se a distância d e os ângulos α e β. Conhecendo a tangente de α e a tangente de β, pode-se calcular a medida h, por meio do sistema de equações: tg α =

h d+m

tg β =

h m

Há ainda a possibilidade de se usar “teodolitos” assim construídos para obter medidas de ângulos de abertura entre dois pontos do plano horizontal. Com o auxílio desse instrumento os alunos podem realizar medições para resolver situações-problema reais propostas pelo professor.

Exemplificamos duas situações-problema em que os “teodolitos” podem ser utilizados para a tomada de medidas de ângulos de abertura no plano horizontal e, com a ajuda de uma tabela

trigonométrica, permitir aos alunos determinar uma medida inacessível.

Conhecendo a tangente de α, é possível calcular a largura x da rua.

Determine a altura da árvore no caso em que α = 23º, β = 34º e d = 3 m.

Qual é a medida da largura da rua no caso em que α = 40o, n = 12 m e m = 4 m?

h h ⇒ 0 , 4422 = 3+ m 3+ m h h o t tg34 = ⇒ 0 , 67 = m m

tg40 o =

4+x 4+x ⇒ ⇒ 0 , 84 = 12 12 ⇒ x = 6 , 08 m

t o= tg23

40o

4 34o

A largura da rua é igual a, aproximadamente, 6 m.

Resolvendo o sistema de equações encontramos m = 5,04 e h = 3,38 m. Portanto, a altura da árvore é igual a 3,38 m.

Problema 4 – Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis. Q

Problema 3 – Determinação da largura de uma rua.

x P

α n α

β m

Na vista superior da situação, representada na figura, as medidas m e n são obtidas com a fita métrica, e as medidas do ângulo de 90º e do ângulo α são realizadas com o “teodolito”.

n B

p C

Movimentando o “teodolito” sobre a linha mais abaixo, na representação anterior, da situação vista de cima, é possível tomar as medidas m, n e p com a fita métrica. Garantindo a

Matemática – 8a série – Volume 3

perpendicularidade assinalada na figura, o “teodolito” é, em seguida, usado para realizar as medidas dos ângulos α e β. Aplicando as razões trigonométricas para os ângulos agudos medidos, e também o teorema de Pitágoras, determina-se a medida x entre os dois pontos assinalados. Determine a distância x no caso em que são conhecidos os seguintes dados: m = 3 m n = 4 m p = 4 m α = 30º β = 60º PB PB ⇒ 0 , 57 = ⇒ 3 3 ⇒ PB = RC = 1,71 m

Atividade 3 – uma tabela de cordas, ou de senos Na Grécia antiga, por volta de 150 a.C., Hiparco (190-120 a.C.) construiu a primeira tabela trigonométrica de que se tem notícia. Para tanto, Hiparco calculou a medida de cordas de uma circunferência, cordas essas “enxergadas” por ângulos centrais. Mais tarde, as medidas que Hiparco tabelou viriam a receber o nome de seno do ângulo.

tg30 o =

Uma atividade interessante que pode ser proposta aos alunos consiste em construir uma tabela de senos, utilizando processo semelhante ao de Hiparco, a partir do comprimento de cordas, conforme a descrição seguinte:

Q x P R

(corda) ÷ 2 C A

B 30o

60o 3

QC QC tg60 = ⇒ 1,73 = ⇒ 4 4 ⇒ QC = 6 , 92 m

α 2

raio

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo PQR: x = 4 +(6,92 – 1,71) ⇒ x ≅ 6,57 m 2

Portanto, a distância entre os pontos P e Q é de, aproximadamente, 6,57 m.

A corda AB da circunferência de centro O é “enxergada” pelo ângulo α. Traçando a bissetriz de α, dividimos a corda ao meio e formamos um triângulo ACO, em destaque. O seno do ângulo de medida

α no triângulo ACO é igual a: 2 1 corda α sen =2 2 raio

x α sen = 2 r 2

⇒ sen

x α = 2r 2

Assim, se forem conhecidas as medidas x e r, poderemos obter valores de senos das metades dos ângulos correspondentes à corda.

7,5

A preparação da atividade exige que os alunos desenhem uma circunferência com uma medida determinada de raio, por exemplo, 10 cm, e que a dividam em um bom número de partes iguais, como, por exemplo, 48 partes. Para essa tarefa, poderão utilizar um transferidor e/ou um compasso. Isso feito, cada divisão será “enxergada” por um ângulo igual a 360º ÷ 48 = 7,5º, ou 7º e 30’.

º 7,5

Chamando x a medida da corda do ângulo α, e de r a medida do raio, temos:

sen

75º

75º x = 2 2R

Os alunos poderão dividir-se em pequenos grupos para calcular e tabelar os senos de alguns ângulos, e, em seguida, utilizar os valores obtidos no cálculo de um elemento desconhecido de alguma situação-problema, como a seguinte: Problema 1 – Para determinar a altura de uma montanha, um topógrafo mediu o ângulo de elevação da montanha a partir de A, obtendo 45º. Em seguida, caminhou 24 m até B e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 37,5º. Com esses dados, ele conseguiu seu objetivo. Qual foi a medida da altura da montanha que o topógrafo determinou?

Unindo os pontos que assinalam as divisões na circunferência, obtém-se uma corda “enxergada” por determinado ângulo central. Medindo o tamanho da corda e dividindo-a pelo dobro da medida do raio, será encontrado o valor aproximado do seno da metade do ângulo “enxergado” pela corda. A

Matemática – 8a série – Volume 3

Considerações sobre a avaliação

45º y

tg 45º = 1 =

37,5º 24 m

x ⇒x=y y

tg 37,5º ≅ 0,77 =

x y + 24

Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, obtemos x ≅ 80,3 m.

Convém lembrar que o estudo das razões trigonométricas de um ângulo agudo apenas se inicia na 8a série, sendo complementado nos anos seguintes. Assim, conforme destacado nas atividades propostas, é importante que a construção conceitual esteja, neste momento, acoplada, mais do que nunca, a situações do cotidiano dos estudantes, evitando-se formalizações excessivas. Nessa medida, as avaliações previstas para o período de estudo devem levar em consideração as diversas atividades práticas realizadas pelos alunos, de modo que o quadro da avaliação final seja composto, em boa parte, por esse tipo de atividade.

ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO Apesar de todo o cuidado com que provavelmente os professores apresentarão os temas de estudo a seus alunos, sempre há chances de que alguns não atinjam plenamente os objetivos propostos. Caso o objetivo proposto na Situação de Aprendizagem 1 não tenha sido plenamente atingido, sugerimos que as atividades de recuperação contemplem a representação de figuras planas em malhas quadriculadas distorcidas, de maneira que o estabelecimento da contradição contribua para a construção

desejada do conhecimento acerca das semelhanças. Nesse sentido, caberia questionar os alunos sobre a existência ou não da semelhança entre duas figuras como no caso do par a seguir:

Precisamos também olhar com atenção especial para aqueles alunos que eventualmente não tenham atingido plenamente os objetivos

traçados para a Situação de Aprendizagem 2. Nesses casos, sugerimos que o professor retome a identificação de ângulos congruentes em triângulos semelhantes, abordada na atividade 1, gerando e aplicando outros problemas com triângulos representados em malhas quadriculadas. Valerá a pena, então, ampliar o rol de casos anteriormente analisados, incluindo aqueles em que é exigida a justificativa para a congruência identificada, como neste caso: M

propomos que o processo de retomada dos conceitos, promovido pelo professor, considere a possibilidade, não contemplada nesta Situação de Aprendizagem, de solicitar o cálculo de medidas lineares de triângulos retângulos representados em malhas quadriculadas, como neste exemplo, em que os alunos podem ser questionados sobre as medidas das diagonais dos quadriláteros ABCD, ECGF e FEIH, além de outras medidas de comprimento. A

B — — BC // DE A

E Q

Consideramos importante também que o professor selecione de livros didáticos, além do adotado, outros exercícios envolvendo semelhança de triângulos, visto ser necessário que os alunos em recuperação mantenham contato mais duradouro com situações-modelo. No que diz respeito aos conteúdos abordados na Situação de Aprendizagem 3,

Por fim, recomenda-se que os alunos que eventualmente não tenham atingido plenamente os objetivos propostos na Situação de Aprendizagem 4 sejam encaminhados para um trabalho de recuperação que considere principalmente a tomada de medidas de comprimento e de ângulos em situações do cotidiano. Tais medidas poderão ser utilizadas para dar significado aos cálculos de senos, cossenos e tangentes de ângulos agudos, e também na determinação de distâncias inacessíveis.

Matemática – 8a série – Volume 3

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA Alguns livros didáticos de Ensino Fundamental tratam com competência do tema “Semelhança entre figuras planas”, e o professor pode recorrer a eles para municiar-se de situações a serem propostas aos alunos, tanto para momentos voltados à aprendizagem conceitual, quanto para momentos de avaliação. Para substanciar teoricamente seu trabalho com a semelhança entre figuras, sugerimos que o professor recorra à leitura de alguns artigos da Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática, especialmente o artigo “Semelhança, pizzas e chopes”, de Eduardo Wagner, publicado na edição no 25. Nesse artigo, o autor, de forma instigante e por meio de uma linguagem simples, comenta a relação de proporcionalidade entre áreas e volumes de figuras semelhantes. Há ainda outros artigos da Revista do Professor de Matemática que tratam dos temas abordados neste Caderno, como estes: ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. RPM 2.

JUNIOR, Geraldo G. D. De São Paulo ao Rio de Janeiro com uma corda ideal. RPM 22. ROSA NETO, Ernesto. Um raro aluno. RPM 32. LIMA, Elon Lajes de. Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas. RPM 06. SILVA, Pedro F. Trigonometria na oficina mecânica. RPM 10. Dentre as publicações que abordam o estudo das razões trigonométricas, destacamos Trigonometria e números complexos, de Manfredo Perdigão, Augusto César Morgado e Eduardo Wagner, publicado pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Impa). Sugerimos ainda a leitura do interessante trabalho de Ruy Madsen Barbosa, Descobrindo padrões pitagóricos, da Editora Atual, no qual o autor analisa várias demonstrações do famoso teorema, bem como inúmeras situações em que é possível detectar padrões geométricos ou numéricos que remetem ao teorema de Pitágoras.

ConSidERAÇõES FinAiS

Os conteúdos e temas abordados no 3o bimestre da 8a série do Ensino Fundamental, que foram contemplados nas propostas das Situações de Aprendizagem aqui descritas, fazem parte do eixo de Geometria e medidas. Não é apenas circunstancial o fato de que o conteúdo desse eixo escolhido para encerrar o ciclo do Ensino Fundamental tenha sido a semelhança entre figuras planas e as razões trigonométricas do ângulo agudo. Afinal, como se pode perceber pelas situações-problema analisadas durante todas as páginas deste Caderno, o conteúdo selecionado exige relações múltiplas entre diversos conceitos geométricos, e, também, algébricos, estudados nos períodos escolares anteriores.

conceitos de Geometria ou de medidas anteriormente discutidos são, agora, na 8a série, exigidos no 3o bimestre. Assim, destacamos, por exemplo, o cálculo de áreas e de perímetros, o reconhecimento das propriedades dos polígonos, os elementos da circunferência, as transformações entre unidades de comprimento, o cálculo do volume de um prisma reto, os ângulos formados por retas que se cruzam, etc.

Em outros bimestres, de outros anos do Ensino Fundamental, detectam-se, explicitamente, conceitos que detêm relações de proximidade com os analisados nas Situações de Aprendizagem deste Caderno. De fato, praticamente todos os

Apresentamos, a seguir, a grade curricular com os conteúdos de Matemática, de todas as séries do Ensino Fundamental, destacando com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente relacionados com os conteúdos deste 3o bimestre.

A evidente integração entre os conteúdos deste 3o bimestre e os conteúdos dos demais bimestres justifica a atenção redobrada do professor para destacar as diversas relações entre significados conceituais.

Matemática – 8a série – Volume 3

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE / BimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

4o bimestre

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série

6a série

7a série

8a série NÚMEROS REAIS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

NÚMEROS NATURAIS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

NÚMEROS NATURAIS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

NÚMEROS RACIONAIS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAÇÕES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

NÚMEROS INTEIROS - Representação. - Operações.

POTENCIAÇÃO - Propriedades para expoentes inteiros.

NÚMEROS RACIONAIS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - A linguagem das potências.

NÚMEROS DECIMAIS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

GEOMETRIA/MEDIDAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

ÁLGEBRA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

ÁLGEBRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

NÚMEROS/ PROPORCIONALIDADE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

ÁLGEBRA/EQUAÇÕES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas - Inequações de 1o grau - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

GEOMETRIA/MEDIDAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

GEOMETRIA/MEDIDAS - Teoremas de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

GEOMETRIA/MEDIDAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SISTEMAS DE MEDIDAS - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. GEOMETRIA/MEDIDAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

ÁLGEBRA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO - Contagem indireta e probabilidade.