MATEMATICA_CP_8s_Vol4reduzido by Carlos Silva

caderno do

ensino fundamental

8- Sร RiE volume 4 - 2009

matEmรกtica

PROFESSOR

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira AUTORES Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Vice-Governador Alberto Goldman

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOIO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Imprensa Oficial do Estado de São Paulo

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. S239c

Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 8a série, volume 4 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-439-1 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51

Caras professoras e caros professores,

Este exemplar do Caderno do Professor completa o trabalho que fizemos de revisão para o aprimoramento da Proposta Curricular de 5-a a 8-a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Graças às análises e sugestões de todos os professores pudemos finalmente completar um dos muitos recursos criados para apoiar o trabalho em sala de aula. O conjunto dos Cadernos do Professor constitui a base estrutural das aprendizagens fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos. A riqueza, a complementaridade e a marca de cada um de vocês nessa elaboração foram decisivas para que, a partir desse currículo, seja possível promover as aprendizagens de todos os alunos.

Bom trabalho! Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

Sumário São Paulo faz escola – Uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

Orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

Situação de Aprendizagem 1 – A natureza do número Pi (π)

Situação de Aprendizagem 2 – A razão π no cálculo do perímetro e da área do círculo 19 Situação de Aprendizagem 3 – Cilindros

Situação de Aprendizagem 4 – Probabilidade e Geometria Orientações para Recuperação

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 47 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

São PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA

CuRRiCulAR PARA o EStAdo

Caros(as) professores(as), Este volume dos Cadernos do Professor completa o conjunto de documentos de apoio ao trabalho de gestão do currículo em sala de aula enviados aos professores em 2009. Com esses documentos, a Secretaria espera apoiar seus professores para que a organização dos trabalhos em sala de aula seja mais eficiente. Mesmo reconhecendo a existência de classes heterogêneas e numerosas, com alunos em diferentes estágios de aprendizagem, confiamos na capacidade de nossos professores em lidar com as diferenças e a partir delas estimular o crescimento coletivo e a cooperação entre eles. A estruturação deste volume dos Cadernos procurou mais uma vez favorecer a harmonia entre o que é necessário aprender e a maneira mais adequada, significativa e motivadora de ensinar aos alunos. Reiteramos nossa confiança no trabalho dos professores e mais uma vez ressaltamos o grande significado de sua participação na construção dos conhecimentos dos alunos. Maria Inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

FiChA do CAdERno Circunferências, círculos e cilindros

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica:

Ensino Fundamental

Série:

Volume:

temas e conteúdos:

O significado da razão π

temas e conteúdos:

A área e o perímetro do círculo e suas partes

temas e conteúdos:

Volume e área do cilindro

temas e conteúdos:

Probabilidade e Geometria

oRiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem desses temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará os assuntos com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento de cada um. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no

entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, recursos disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem ainda o Caderno algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre em cada Situação de Aprendizagem apresentada.

Matemática – 8a série – Volume 4

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo central do 4o bimestre da 8a série do Ensino Fundamental são os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. A medida do perímetro, da área e do volume de figuras circulares está diretamente ligada ao número pi, representado pela letra π do alfabeto grego. Esse número já havia sido apresentado aos alunos na 6a série do Ensino Fundamental, dentro do estudo da proporcionalidade e das razões geométricas. Naquela situação, bastava aos alunos o conhecimento de que a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro era constante e valia aproximadamente 3,14. Agora, na 8a série, o π adquire novos significados, e seu uso será ampliado para a realização de cálculos de perímetros, áreas e volumes de figuras circulares. A Situação de Aprendizagem 1 trata justamente da ampliação do significado do número π. Partindo de uma abordagem histórica que mostra o desafio intelectual que representou o cálculo dessa razão durante séculos, propomos uma reflexão abrangente sobre as características particulares desse que é um dos mais famosos números da Matemática. Nesta série, os alunos são confrontados com o fato de π ser um número irracional, ou seja, que apresenta infinitas casas decimais não periódicas. Ao final da Situação de Aprendizagem, propomos uma atividade de investigação estatística envolvendo os dígitos decimais do número π.

Na Situação de Aprendizagem 2, o foco se desloca para o uso do número π no cálculo do perímetro e da área do círculo. São propostas diversas situações, envolvendo atividades de medida de objetos circulares, demonstrações, aproximações do valor de π e problemas relacionados ao cálculo de áreas e perímetros de figuras circulares. Vale destacar dois problemas exemplares abrangendo o uso do π. O primeiro, de caráter mais prático, envolve a determinação do diâmetro da roda de um automóvel e a distância percorrida por ele. O segundo, mais teórico, refere-se a um problema milenar envolvendo o cálculo de medidas de figuras circulares, que ficaram conhecidas como lúnulas de Hipócrates. A Situação de Aprendizagem 3 aborda os cálculos métricos relacionados ao cilindro, fazendo uma analogia com a fórmula do volume do prisma reto. A demonstração formal, baseada no Princípio de Cavalieri, será feita na 2a série do Ensino Médio. Por fim, a Situação de Aprendizagem 4 trata da relação entre a Geometria e o cálculo de probabilidade. Ampliando o conceito de probabilidade para espaços amostrais contínuos, apresentamos algumas situações que envolvem a determinação da probabilidade por meio da comparação entre as áreas de figuras geométricas, em geral, circulares. Vale destacar a menção a um dos problemas

mais curiosos da história da Matemática: a agulha de Buffon. A discussão sobre esse problema traz inúmeros elementos para pensar a natureza do conhecimento matemático. Lembramos que as atividades propostas neste Caderno têm como objetivo apoiar a prática do professor. Dessa forma, elas podem e devem ser transformadas e aplicadas de acordo com a necessidade e realidade de cada turma e de cada professor. Deve ficar a critério do professor a escolha de quais atividades explorar e de como integrá-las ao seu programa. Acreditamos, contudo, que as sugestões aqui apresentadas possam contribuir efetivamente na direção de um ensino e de um aprendizado mais significativo da Matemática.

Quadro geral de conteúdos do 4o bimestre da 8-a série do Ensino Fundamental unidade 1 - O significado da razão π. unidade 2 - Perímetro da circunferência. unidade 3 - Área do círculo. unidade 4 - Área de setores circulares. unidade 5 - Problemas métricos envolvendo perímetro e área de figuras circulares. unidade 6 - Área e volume do cilindro. unidade 7 - Problemas métricos envolvendo área e volume do cilindro. unidade 8 - Probabilidade e Geometria.

Matemática – 8a série – Volume 4

SituAçõES dE APREndizAgEm SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A NAtuREzA DO NúMERO Pi (π) tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: panorama histórico do número π; cálculo do π por aproximação; números irracionais; frequência e porcentagem. Competências e habilidades: compreender o número π como produto de uma construção histórica; compreender as características que fazem do π um número irracional; construir uma tabela de frequências e calcular porcentagens. Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; pesquisa sobre o número π; atividade de investigação estatística sobre as casas decimais do π.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Poucos números são tão intrigantes como o π. Ele é um dos poucos números que têm um nome próprio, desvinculado da nomenclatura decimal. É representado por um símbolo diferente dos demais, a letra grega π. Pertence ao “estranho” conjunto dos números irracionais, e suas casas decimais crescem indefinidamente, sem aparentar nenhum tipo de padrão previsível. Além disso, está diretamente relacionado a uma das figuras mais importantes da Geometria, o círculo. Apesar de tudo isso, nossos alunos frequentemente desconhecem o significado desse número. O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é a ampliação do significado do número π. Embora ele já tenha sido

apresentado na 6a série, no estudo das razões constantes nas formas geométricas, é importante resgatar com os alunos o significado do π como a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Na 8a série, com o conhecimento dos números irracionais, o número π já pode ser apresentado como um número irracional, ou seja, um número cuja representação decimal é infinita e não periódica. Em outras palavras, uma razão que não pode ser representada por nenhuma fração entre números inteiros. O valor de π só pode ser representado numericamente por meio da aproximação por um número racional (3 ou 3,1 ou 3,14 ou 3,141, etc.). A demonstração formal da irracionalidade de π é incompatível com esse nível de ensino. Contudo, é possível apresentar

argumentos que mostrem aos alunos por que ele pode ser continuamente calculado, com uma precisão cada vez maior. Apresentaremos uma aproximação do valor de π com 260 casas decimais para ilustrar o fato de que não há nenhuma regularidade no aparecimento dos algarismos decimais. As atividades propostas a seguir constituem uma fonte de informação para o professor trabalhar o significado do π em sala de aula. Elas devem complementar o trabalho que já é feito com os alunos. Não há necessidade de abordar todas as atividades dessa Situação de Aprendizagem. Deve ficar a critério do professor a forma de explorá-las e a escolha daquelas que são mais adequadas ao seu curso. No Caderno do Aluno estão propostas atividades envolvendo os aspectos discutidos nesta Situação de Aprendizagem.

Atividade 1 – uma perspectiva histórica Ao ensinar o número π, frequentemente os alunos nos fazem perguntas bastante pertinentes: Afinal de contas, quem “inventou” o π ? Por que ele tem infinitas casas decimais? Qual valor devemos lhe atribuir? Por que se calcula o π com tantas casas decimais? Para que serve esse número? tais questões nos levam a refletir sobre a importância da construção do significado no ensino da Matemática. Apresentar o número π somente com base em sua definição formal não é suficiente para garantir um significado amplo desse conceito. É preciso ir além, trazendo para a sala de aula outras situações que ampliem tal significado.

A história constitui um excelente recurso a favor da construção do significado dos conceitos em qualquer área do conhecimento. Na Matemática, particularmente, ela é de fundamental importância para evitar visões cristalizadas ou excessivamente simplistas. Ainda que alguns livros tratem a Matemática como um conhecimento pronto e acabado, é importante que os alunos saibam que o que estudamos hoje é fruto de muito trabalho e pesquisa de pessoas que lhe dedicaram tempo e esforço no decorrer da história da humanidade. A ideia do número π não nasceu pronta, muito menos a constatação de que ele é um número formado por infinitas casas decimais. A busca pelo valor exato de π ocupou os matemáticos desde a Antiguidade. Os egípcios já sabiam que esse valor era constante para qualquer circunferência e valia um pouco mais que 3. Há menção dessa razão até mesmo na Bíblia, que considerava π igual a 3. Matemáticos de diferentes culturas e épocas debruçaram-se sobre esse número, tentando entendê-lo e calculá-lo com o máximo de precisão. Embora ele venha sendo estudado desde tempos antigos, o nome e o símbolo usados para representá-lo só surgiram posteriormente. Atribui-se a Leonard Euler, no século XVIII, a popularização do uso da letra grega π para representar a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. A letra π é a pri), meira da palavra grega peripheria ( cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno ou perímetro de um círculo. Essas e outras informações a respeito da evolução histórica do número π podem ser levadas para a sala de aula, para ampliar a cultura matemática dos alunos. Existem muitos livros

Matemática – 8a série – Volume 4

e sites que tratam desse assunto. Pode-se solicitar aos alunos que façam uma pesquisa sobre o número π. Alguns temas que podem ser propostos para orientar essa pesquisa são: o cálculo do π na Antiguidade (Egito, Grécia, Mesopotâmia, China, etc.); as aproximações do π desde a Antiguidade até hoje; o recorde mundial de cálculo dos algarismos de π; a aleatoriedade dos algarismos, etc. Alguns desses assuntos serão tratados, de forma pontual, neste Caderno. Nesse tipo de atividade, é importante que o professor oriente os alunos sobre alguns procedimentos de pesquisa: determinar o objeto a ser pesquisado; as informações a serem procuradas; como elas devem ser registradas; os cuidados que se deve ter com relação aos sites na internet, etc. Além disso, o professor pode sugerir bibliografia e sites para auxiliar a pesquisa.

Atividade 2 – o valor de π por aproximação talvez um dos grandes desafios no ensino do número π seja convencer os alunos da sua irracionalidade, ou seja, que se trata de um número cuja representação decimal é infinita e não periódica. Alguns alunos podem questionar esse fato com razão, pois não há evidência, à primeira vista, que indique que a divisão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro não seja um número racional. A constatação de que π é um número irracional demorou muito para ser construída e aceita. Muitos matemáticos, ao longo da história, trataram o π como racional, ou seja, passível de ser transformado em fração. Para os egípcios, o valor de π era equivalente a 256 , 81

que, em termos decimais, equivale a 3,16. Na Mesopotâmia, esse valor era 25, ou 3,125. 8 Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século II d.C., conseguiu calcular o valor de π como 377 , que é, apro120 ximadamente, igual a 3,1416, uma aproximação muito boa para a época. A irracionalidade de π só foi demonstrada no século XVIII. A prova desse fato, contudo, é complexa demais para ser apresentada no Ensino Fundamental. Podemos, no entanto, apresentar argumentos que mostrem que o valor de π pode ser continuamente calculado, com uma precisão cada vez maior, sem limite. O método de aproximações sucessivas, desenvolvido por Arquimedes no século III a.C., constitui um excelente exemplo para ilustrar a ideia de que π apresenta essas características. Vejamos, a seguir, as linhas gerais do raciocínio de Arquimedes.

Atividade 3 – o método de Arquimedes É atribuída a Arquimedes (287-212 a.C.) uma das primeiras tentativas de calcular rigorosamente o valor de π e o comprimento da circunferência. Em sua obra As medidas do círculo, Arquimedes desenvolveu um método de aproximação para o cálculo da medida do perímetro da circunferência. Esse método envolvia a construção de polígonos regulares inscritos e circunscritos a dada circunferência. Conhecidos os perímetros dos polígonos inscritos e circunscritos a ela, ele tentou definir um intervalo no qual estaria contida a medida do perímetro do círculo.

Perímetro Comprimento Perímetro do polígono < da < do polígono inscrito circunferência circunscrito

Para simplificar o problema, vamos considerar que a medida do diâmetro da circunferência seja unitária. Assim, o comprimento da circunferência será igual ao valor da razão π, e os números obtidos, aproximações por falta e por excesso desse valor. Valor < subestimado

Valor de π

Aumentando sucessivamente o número de lados, os erros em relação à circunferência tornam-se menores, e a aproximação em relação à circunferência, melhor. A figura a seguir mostra a aproximação por polígonos de 12 e 24 lados. Visualmente, o polígono de 24 lados assemelha-se muito à circunferência. Contudo, haverá sempre uma diferença entre a curva e o lado do polígono, mesmo que visualmente imperceptível.

Valor superestimado

l12

A primeira aproximação foi feita com dois hexágonos regulares, um inscrito e outro circunscrito à circunferência, como mostra a figura:

L12

L6 l6

3,11 < π < 3,21

l24 L24 Considerando o diâmetro da circunferência igual a 1 e, portanto, o raio igual a 0,5, obtemos o valor 3 para o perímetro do hexágono inscrito e de, aproximadamente, 3,46 para o circunscrito. Assim, aproximando por hexágonos, Arquimedes obteve o seguinte intervalo para o valor de π: 3 < π < 3,46.

3,132 < π < 3,159

Matemática – 8a série – Volume 4

Arquimedes dobrou sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Calculando o perímetro desse polígono inscrito e circunscrito, obteve um valor entre 3,1408 e 3,1428, aproximação muito boa para a época. O método de Arquimedes mostra que é possível obter aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o número de lados dos polígonos. Ptolomeu, no século II d.C., calculou o valor de π a partir de um polígono de 720 lados, e obteve um valor próximo a 3,14167. No século III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polígono de 3 072 lados. No final do século V d.C., o matemático tsu Chung-Chih, usando polígonos com 24 576 lados, obteve um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos outros matemáticos aplicaram o método de Arquimedes para obter aproximações cada vez mais precisas do valor de π. Como o número de lados dos polígonos inscrito e circunscrito pode crescer indefinidamente, com uma aproximação crescente entre seus perímetros e o comprimento da circunferência (π), podemos concluir que o valor de π pode ser calculado cada vez mais precisamente, sem que se chegue ao final dos cálculos. O método de Arquimedes, levado ao limite, pode ser um bom argumento para convencer os alunos de que π tem infinitas casas decimais.

Atividade 4 – o cálculo das casas decimais do π Como vimos anteriormente, o número π vem sendo estudado há muito tempo pelos matemáticos. Apesar disso, ele ainda é um dos

poucos números conhecidos desde a Antiguidade que continua sendo atualmente fonte de muitas pesquisas. Procura-se descobrir novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, com o maior número possível de casas decimais. O cálculo do π com o maior número possível de algarismos tem sido um desafio para os matemáticos. A evolução desse cálculo foi surpreendente a partir do momento em que o computador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avanço, em 1873, William Shanks conseguiu obter o valor de π com 707 dígitos. Fazendo os cálculos manualmente, ele levou 15 anos para realizar essa tarefa. Com o advento da computação, associado ao descobrimento de métodos de cálculo mais poderosos e eficientes, o número de dígitos de π obtidos saltou para a casa dos milhões. um dos últimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor de π com mais de um trilhão de casas decimais. A busca por novos métodos de cálculo do valor de π também é outra fonte atual de pesquisas. Quanto mais eficiente for o método, mais rapidamente será possível calcular determinada quantidade de dígitos. Outra linha de pesquisa consiste em estudar a estatística da distribuição dos dígitos de π, de modo a verificar se eles aparecem aleatoriamente ou se há algum tipo de padrão constante. Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o cálculo do π é usado para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir uma computação intensa e precisa, o cálculo de milhões de casas decimais do π pode servir de parâmetro para verificar a velocidade e a confiabilidade dos novos processadores.

É importante ressaltar, contudo, que, na prática, não precisamos conhecer o valor de π com tantas casas decimais. Na maioria das aplicações, uma aproximação do valor de π com duas casas (3,14) é bastante adequada para garantir precisão em construções, desenhos, etc. Em cálculos científicos, uma aproximação com quatro casas decimais é mais do que suficiente. Por exemplo, o valor de π com 11 casas decimais permitiria calcular a circunferência da terra com uma precisão de milímetros.

Atividade 5 – tratamento da informação: a frequência dos dígitos de π

A atividade de investigação que propomos a seguir tem como principal objetivo fazer com que o aluno verifique, na prática, a distribuição aleatória dos algarismos que compõem a parte decimal do número π. Com base na sequência dos 260 primeiros algarismos de π, eles deverão analisar a frequência de aparição de cada algarismo e calcular sua porcentagem em relação ao total. 1. Podemos iniciar a atividade questionando os alunos sobre o significado do termo aleatório. No dicionário Aurélio1, encontramos a seguinte acepção: dependente de fatores incertos, sujeitos ao acaso; casual, fortuito, acidental. No contexto do estudo do número π, a aleatoriedade está relacionada à dificuldade de prever a sequência dos algarismos que compõem a parte decimal desse número. 2. Em seguida, apresentamos aos alunos a seguinte imagem: © Conexão Editorial

O fato de π ser um número irracional, por si só, não é o fator que determina o grau de dificuldade em relação ao seu cálculo. Existem números irracionais cuja representação decimal é previsível, como o número 3,10110111011110... . Nesse caso, embora irracional, é possível identificar um padrão de crescimento nos algarismos decimais. O π, por sua vez, é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação

decimal não mostra nenhuma regularidade, pois seus algarismos se distribuem aleatoriamente.

novo dicionário Aurélio da língua Portuguesa. 3 ed. Curitiba: Positivo, 2004.

Matemática – 8a série – Volume 4

número π, em que cada algarismo foi substituído por uma cor. Por exemplo, os cinco primeiros quadrados correspondem a 3,1415, onde o 3 é representado pelo azul, o 1 pelo vermelho, o 4 pelo amarelo e o 5 pelo laranja. traduzindo as cores em números, obtemos a representação das 260 casas decimais do número π.

Solicite a eles que observem atentamente a imagem e tentem identificar algum tipo de padrão que se repete nas cores, ou se há alguma lógica na distribuição das cores ao longo da imagem. Dificilmente eles encontrarão algum padrão na sequência de cores exposta. Essa figura é, na verdade, a representação das primeiras 260 casas decimais do 3,

3. Peça a eles que construam uma tabela de frequência contendo o número de vezes em que cada algarismo aparece na parte decimal. Em seguida, devem calcular a frequência relativa, isto é, a

razão entre o número de aparições do algarismo e o total de algarismos considerados, expressa em porcentagem. A tabela obtida deve apresentar os seguintes resultados:

Algarismo

total

Frequência

260

Porcentagem

8,5% 10,0% 11,5% 9,2% 11,5% 10,0% 9,6% 6,5% 12,3% 10,8% 100%

4. A seguir, proponha que analisem os dados obtidos e respondam às seguintes questões:

b) Qual é o algarismo que menos aparece na sequência? Com que frequência relativa?

a) Qual é o algarismo que mais aparece na sequência? Com que frequência relativa?

É o 7, com frequência relativa de 6,5 %.

É o algarismo 8, com frequência relativa de 12,3%.

c) Qual a diferença entre a maior e a menor frequência? A diferença é de 5,8% pontos porcentuais.

d) Se a distribuição fosse equilibrada entre todos os algarismos, qual deveria ser a frequência relativa de cada um? Deveria ser de 10%. 5. Comentários sobre os resultados obtidos. É importante comentar que as frequências obtidas são relativas a uma amostra de 260 algarismos. Se, por exemplo, aumentássemos a amostra para 780 algarismos, o número com a maior frequência não seria mais o 8, e sim o 1 (11,4%) e, com a menor frequência, seria o 5 (9,1%). A diferença entre o número de maior frequência e o de menor frequência cairia para 2,3% pontos porcentuais. Conforme já havíamos mencionado, um dos interesses em calcular grandes quantidades de dígitos do π é verificar se a distribuição de seus dígitos é aleatória ou não. Os cálculos já realizados tendem a confirmar essa conjectura. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do π, Kanada e takahashi obtiveram a seguinte distribuição:

Algarismo

Frequência

Porcentagem

20 000 030 841

10,00002%

19 999 914 711

9,99996%

20 000 136 978

10,00007%

20 000 069 393

10,00003%

19 999 921 691

9,99996%

19 999 917 053

9,99996%

19 999 881 515

9,99994%

19 999 967 594

9,99998%

20 000 291 044

10,00015%

19 999 869 180

9,99993%

total

200 000 000 000

100%

Como é possível notar, a frequência relativa dos algarismos se aproxima muito de 10%, evidenciando um equilíbrio entre os algarismos e confirmando a aleatoriedade dos dígitos de π.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que os alunos tenham ampliado seu conhecimento sobre o número π. A perspectiva histórica, os inúmeros estudos e pesquisas realizadas, a aproximação de Arquimedes, o cálculo gigantesco dos pesquisadores japoneses, a aleatoriedade dos algarismos de π são algumas características que fazem desse número um dos objetos matemáticos mais intrigantes dentro dessa disciplina. Passar pelo Ensino Fundamental sem saber o significado do número π é ser privado de uma das heranças culturais mais valiosas da humanidade. Ainda que não seja possível tratar desse assunto de forma completa, esperamos que o professor consiga levar para a sala de aula ao menos uma das atividades desenvolvidas. Acreditamos que esse conhecimento mais detalhado do número π vai contribuir para uma aprendizagem mais significativa da Matemática. O professor poderá incluir uma ou outra questão a respeito das características do número π nas avaliações do bimestre. É importante que essas questões contemplem algumas características importantes, por exemplo: f que o número π representa uma razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro;

Matemática – 8a série – Volume 4

f que esse valor não pode ser expresso por meio de uma razão entre inteiros, ou seja, é um número irracional;

f que é possível obter aproximações cada vez melhores e com mais dígitos das casas decimais do π.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 A RAzãO π NO CÁLCuLO DO PERíMEtRO E DA ÁREA DO CíRCuLO tempo previsto: 2 semanas e meia. Conteúdos e temas: comprimento da circunferência; cálculo de área por aproximação; a área do círculo; proporcionalidade e área de setores circulares. Competências e habilidades: compreender o significado do π como razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro; resolver problemas relacionados ao comprimento da circunferência; compreender o método de aproximação para o cálculo da área do círculo; determinar a área do círculo e de setores circulares. Estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; atividade experimental para determinação da razão ; atividade prática para o cálculo da área do círculo por aproximação; problemas e exercícios envolvendo o cálculo do perímetro e da área de círculos, setores e outras figuras geométricas.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 O número π está diretamente ligado ao cálculo de medidas das figuras circulares. A determinação do perímetro da circunferência, da área do círculo e do volume do cilindro e da esfera envolvem diretamente essa razão. Assim, nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos algumas atividades relacionadas à utilização do π em cálculos de áreas e perímetros de figuras circulares. Dependendo do conhecimento prévio dos alunos, o professor pode iniciar esse estudo com o uso de uma atividade experimental envolvendo a medida de objetos circulares. O objetivo

da atividade 1 é retomar a ideia de que o π é a razão geométrica constante presente em qualquer circunferência e que relaciona a medida de seu comprimento com seu diâmetro. uma atividade similar foi proposta no Caderno da 6a série, no âmbito do estudo da proporcionalidade e das razões. Na 8a série, contudo, essa atividade resultará na determinação da fórmula do perímetro da circunferência. uma vez assegurado o conhecimento dos alunos acerca de π, podemos dar continuidade ao trabalho com a área e o perímetro do círculo. Nas atividades 1 e 2, o cálculo do perímetro da circunferência é o centro das atenções. Muitos são os problemas que constam dos livros didáticos envolvendo a utilização dessa

O cálculo da área do círculo é o foco das atividades 3, 4 e 5. Diferentemente da área dos polígonos, a determinação da área de figuras circulares foi um desafio para muitas gerações de matemáticos desde a Antiguidade. Apresentaremos três situações distintas envolvendo a determinação de uma fórmula para o cálculo da área do círculo. A primeira tem caráter histórico. A segunda, caráter experimental. E a terceira, caráter teórico. Dentro do seu programa, o professor pode escolher o desenvolvimento de uma ou mais atividades. O importante, neste caso, é que o aluno consiga se apropriar significativamente da fórmula da área do círculo.

As duas últimas atividades abrangem a resolução de problemas geométricos envolvendo o cálculo da área de círculos e setores circulares. Na atividade 7, apresentamos uma importante relação ligada ao teorema de Pitágoras e um

problema clássico da Antiguidade, que ficou conhecido como as lúnulas de Hipócrates.

Atividade 1 – π e o comprimento da circunferência: significado Sugerimos que o professor proponha, inicialmente, a seguinte atividade prática envolvendo o cálculo da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. Roteiro de trabalho – Solicite aos alunos que tragam objetos circulares de seu cotidiano para a aula, tais como moedas, CDs, discos de vinil, copos, etc. Divida a classe em grupos, distribua fitas métricas aos alunos e peça para que eles meçam o diâmetro e o contorno circular desses objetos. Oriente-os na melhor maneira de fazer isso, principalmente com relação à medida do contorno da circunferência. Desenhe uma tabela na lousa e anote os resultados obtidos pelos grupos na medição de cada objeto. Peça para que eles calculem a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro para cada objeto. Vamos, a título de ilustração, considerar as medidas obtidas a partir de três objetos: um CD, uma lata e uma moeda. Os resultados experimentais estão anotados na tabela a seguir.

F001

F002

Circunferência C

38,4 cm

20,6 cm

7,8 cm

diâmetro d

12 cm

7,1 cm

2,5 cm

C Razão ___ d

3,2

2,9

3,1

objeto

F003

fórmula. Resolvemos desenvolver um problema prático relacionado às especificações da roda de um automóvel. Empregando a fórmula do comprimento da circunferência, é possível resolver alguns problemas envolvendo o cálculo de distâncias percorridas por um automóvel em função do tamanho das suas rodas.

Observação: medidas aproximadas.

Matemática – 8a série – Volume 4

Analisando os resultados, os alunos devem perceber que, embora os objetos medidos sejam diferentes em tamanho, as razões obtidas se aproximam de um valor comum. No exemplo acima, os valores obtidos ficaram entre 2,9 e 3,2. Na média, eles se aproximaram de 3,06.

Essa razão, obtida experimentalmente, pode variar um pouco dependendo do objeto ou do processo de medida. Quanto mais preciso for o processo de medida e mais perfeita a circunferência dos objetos, mais a razão obtida se aproximará do valor constante 3,14. Para uma circunferência ideal, essa razão vale π.

Se a razão entre o comprimento C da circunferência e seu diâmetro d vale π, então C = π. podemos escrever que: D Portanto, a fórmula para o comprimento da circunferência é: C = π . D ou C = 2 . π . r, onde r é o raio da circunferência.

uma forma de interpretar esse resultado é a seguinte: quando o diâmetro de um círculo é 1, sua circunferência mede π. Essa ideia está representada na sequência de imagens a seguir, em que uma circunferência gira sobre uma reta numerada, cuja unidade é o diâmetro dessa circunferência.

3,14

Ao final de uma volta completa, a circunferência terá percorrido aproximadamente 3,14 unidades equivalentes ao seu diâmetro. Os livros didáticos geralmente trazem inúmeros problemas de aplicação da fórmula do comprimento da circunferência. Esses problemas ora trabalham com o cálculo da circunferência a partir de um raio dado, ora fazem o caminho inverso, ou seja, a partir da medida da circunferência, solicitam a determinação do raio. É importante que o professor apresente alguns problemas ligados a situações do cotidiano, para que o aluno vivencie o uso desse conhecimento em algum contexto conhecido. Existem muitas situações que podem ser exploradas: a medida da circunferência de uma praça circular, a extensão de uma pista de corrida circular ou cujas extremidades sejam circulares, etc. Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos um problema relacionado ao tamanho das rodas de um automóvel e a distância por ele percorrida. No Caderno do Aluno há situações envolvendo os aspectos aqui discutidos.

Atividade 2 – o problema da roda de um automóvel todo pneu de automóvel possui um código de identificação com informações a respeito de suas dimensões. Ele é escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que: f xxx é a medida da largura do pneu, em milímetros; f yy é a razão entre a altura e a largura do pneu, em porcentagem;

um pneu, por exemplo, identificado com o código 205/65 R15, mede 205 mm de largura. Sua altura é equivalente a 65% da largura, portanto, mede 205 . 0,65 = = 133,25 mm ou 13,325 cm. Já o diâmetro interno da roda mede 15 polegadas, ou 15 . 2,54 = 38,1 cm. Assim, o diâmetro total da roda do carro pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda interna com o dobro da altura do pneu. Diâmetro da roda + 2 . altura do pneu = = 38,1 cm + 2 . 13,325 cm = 64,75 cm.

f R é o tipo de pneu, radial; f dd é o diâmetro da roda, em polegadas (1 polegada vale aproximadamente 2,54 cm).

Conhecendo o diâmetro, é possível obter a medida da circunferência do pneu, bastando aplicar a fórmula C = π . D.

altura do pneu © Conexão Editorial

Cpneu = 3,14 . 64,75 = 203,315 cm, ou, aproximadamente, 2,03 metros. diâmetro da roda

largura do pneu

Assim, um giro de uma roda com essas especificações corresponde a uma distância percorrida de, aproximadamente, 2 metros. Com essas informações, pode-se propor alguns problemas para os alunos. Em virtude da complexidade de alguns cálculos, sugere-se o uso de calculadora nas atividades a seguir. 1. Calcule quantos metros cada uma das rodas a seguir percorre por giro: a) Roda de aro 15: 195/50 R15 Altura do pneu: 50% . 195 = 97,5 mm = 9,75 cm

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Diâmetro total = 2 . 9,75 + 38,1 = 57,6 cm

das rodas, o hodômetro é regulado para registrar a quilometragem percorrida em função do número de giros do eixo. ©Ablestock

Diâmetro da roda interna: 15 . 2,54 = 38,1 cm

Circunferência da roda: 3,14 . 57,6 = 180,86 cm 7 1,81 m A roda 195/50 R15 percorre 1,81 metro por giro. b) Roda de aro 16: 205/60 R16 Altura do pneu: 60% . 205 = 123 mm = 12,3 cm Diâmetro da roda interna: 16 . 2,54 = 40,64 cm Diâmetro total = 2 . 12,3 + 40,64 = 65,24 cm Circunferência da roda: 3,14 . 65,24 = 204,85 cm 7 2,05 m A roda 205/60 R16 percorre 2,05 metros por giro. c) Roda de aro 17: 210/65 R17 Altura do pneu: 65% . 210 = 136,5 mm = 13,65 cm Diâmetro da roda interna: 17 . 2,54 = 43,18 cm Diâmetro total = 2 . 13,65 + 43,18 = 70,48 cm Circunferência da roda: 3,14 . 70,48 = 221,31 cm 7 2,21 m A roda 210/65 R17 percorre 2,21 metros por giro. 2. O hodômetro é um instrumento usado para medir a distância percorrida por um automóvel. Ele funciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas do carro. Dependendo do tamanho

Suponhamos que um automóvel venha com uma configuração de fábrica compatível com rodas de aro 15 (item a da atividade anterior). a) Calcule quantos giros a roda deve realizar para que o hodômetro registre 1 km rodado. Da atividade anterior, sabemos que a roda de aro 15 tem uma circunferência de 1,81 metro. Portanto, para que o hodômetro registre 1 km, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 1,81 = 552,5 giros da roda. b) Determine quantos giros o eixo da roda realiza em uma viagem de 200 km. 200 . 552,5 = 110 500 giros. c) Suponha que o dono do carro trocou as rodas originais por outras, de aro 17 (item c da atividade anterior). Determine quantos quilômetros o hodômetro registrará para fazer a mesma viagem do item anterior. Com as rodas de aro maior, o número de giros por quilômetro rodado será menor. O comprimento da circunferência da roda de aro 17

é de 2,21 metros. Em um quilômetro, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 ÷ 2,21 ≅ ≅ 452,5 giros, menos do que com a roda de aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros, a roda girará 200 . 452,5 = 90 500 vezes. Contudo, o hodômetro estava regulado para registrar 1 quilômetro a cada 552,5 giros. Portanto, a quilometragem registrada na viagem será de 90 500 ÷ 552,5 = 163,8 quilômetros. Esse problema mostra que, se não forem feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as rodas de um carro por outras de diâmetros diferentes, o registro de quilometragem apresentará dados incorretos. Nesse exemplo, houve uma diferença de quase 40 km no registro da quilometragem percorrida em uma viagem de 200 km.

Atividade 3 – A área do círculo no antigo Egito Novamente, vamos recorrer à história da Matemática para dar significado à determinação da fórmula da área do círculo, em vez de apresentá-la pronta para os alunos. um dos registros mais antigos da determinação da área do círculo encontra-se no Papiro de Rhind. Esse papiro, escrito pelo escriba Ahmes no antigo Egito há mais de 3 500 anos, contém uma série de problemas matemáticos, entre eles, um que trata do cálculo da área do círculo. uma versão simplificada desse problema seria a seguinte: consideremos um círculo de raio r inscrito em um quadrado cujo lado mede 3 unidades.

O cálculo da área do círculo Determinar a área de um polígono é uma tarefa relativamente simples. Afinal, trata-se de uma figura formada por segmentos de retas. Além disso, qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos de diferentes tamanhos, e a fórmula da área de um triângulo é conhecida. Contudo, achar a área de uma figura curva é um desafio bem maior. Não conseguimos decompor um círculo em triângulos, pois os segmentos de reta não se ajustam à curva da circunferência. Por essa razão, calcular a fórmula da área de um círculo foi um dos problemas mais instigantes da história da Matemática. Apresentaremos, a seguir, algumas atividades relacionadas à determinação da área do círculo.

Dentro do quadrado, inscreve-se um octógono, como mostra a figura.

Matemática – 8a série – Volume 4

Retirando-se do quadrado os quatro triângulos situados nos seus cantos, a figura que sobra é o octógono, cuja área é uma aproximação da área do círculo.

Atividade 4 – Calculando a área de um círculo por aproximação Nesta atividade, os alunos vão calcular a área de um círculo com base em aproximações por quadrados. Para isso, devem providenciar dois tipos de papel quadriculado, um com quadrados de 1 cm de lado e outro com quadrados de 0,5 cm de lado. uma alternativa possível é o uso de papel milimetrado, que tem quadrados com ambas as medidas necessárias. Parte 1 – Solicite aos alunos que desenhem duas circunferências de raio igual a 4 cm no papel com o quadriculado maior, usando um compasso. O centro das circunferências deve coincidir com o vértice de um dos quadrados, como mostra a figura a seguir. Em seguida, os alunos deverão colorir e contar os quadrados que limitam as circunferências por dentro e por fora. No primeiro caso, será a menor aproximação da área do círculo, e no outro, a maior. Como cada quadrado tem área igual a 1 cm², a soma dos quadrados em cada caso corresponderá à área da figura colorida.

Aoctógono = Aquadrado – 4 . Atriângulo Aoctógono = 9 – 4 . 1 = 7 2 usando-se a fórmula atual para a área do círculo, o resultado seria muito próximo: Acírculo = π . r2 7 3,14 . (1,5)2 7 7,06 A diferença seria de apenas 6 centésimos. Fazendo o cálculo inverso, verificamos que os egípcios trabalhavam com um valor de π de 3,11, uma aproximação bastante precisa para a época. 7 = π (1,5)2 π 7 7 ÷ 2,25 π 7 3,11

Aproximação por falta 32 quadrados de 1 cm² Área = 32 cm²

Aproximação por falta 164 quadrados de lado 0,5 cm. A área de cada quadrado é, assim, área do quadrado anterior: 0,25 cm² Área = 164 . 0,25 = 41 cm²

1 4

Aproximação por excesso 60 quadrados de 1 cm² Área = 60 cm² Nesse caso, os alunos devem perceber que a aproximação é muito grosseira, pois a área do círculo estaria entre 32 cm² e 60 cm², que é um intervalo muito grande. Contudo, a média entre os dois valores resulta em 46 cm². Parte 2 – Os alunos devem desenhar as mesmas circunferências usando o papel com o quadriculado menor. Agora, pergunte-lhes qual é a área de cada quadrado. Eles devem perceber que, como os lados medem 0,5 cm, a área de cada quadrado será igual a 0,5 . 0,5 = 0,25 cm².

Aproximação por excesso 224 quadrados de lado 0,5 cm Área = 224 . 0,25 = 56 cm² usando o papel com o quadriculado menor, eles devem obter uma aproximação melhor para a área do círculo, situada dentro de um intervalo menor (entre 41 e 56 cm²). A média entre os dois valores resulta em uma área de 48,5 cm². A área desse círculo, calculada pela fórmula π . r2, é igual a 50,2 cm². Portanto, usando quadradinhos menores, a aproximação feita ficou mais próxima do valor real. A principal conclusão a ser tirada é de que, quanto menor for o tamanho dos quadradinhos, mais as figuras obtidas se aproximarão do círculo, e mais precisa será a aproximação em relação à área dele.

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Atividade 5 – uma maneira de calcular a área do círculo

C=2.π.r

Depois de problematizar histórica e experimentalmente o cálculo da área do círculo, vamos apresentar uma das demonstrações clássicas dessa fórmula.

Primeiro, divide-se o círculo em 48 setores circulares, como mostra a figura ao lado. Em seguida, cortam-se os setores e rearranjam-se da seguinte forma:

C = 2.π.r Reposiciona-se metade dos setores em sentido oposto, de modo a encaixá-los conforme mostram as figuras abaixo:

do círculo. Assim, no limite, para um número infinito de setores circulares, a área da figura será igual à área de um retângulo de base igual à metade do perímetro da circunferência (π . r) e altura igual ao raio r.

π.r

π.r Portanto, a área do círculo será igual a: Aretângulo = base . altura = (π . r) . r = π . r2 = Acírculo

Atividade 6 – área de setores circulares Quanto maior for o número de setores em que o círculo for dividido, mais o setor circular se aproximará de um triângulo isósceles. A base será cada vez menor, e os lados do triângulo se aproximarão da medida do raio r

Com base na fórmula da área do círculo (A = π . r²), podemos determinar a área de qualquer setor circular usando a proporcionalidade direta. Já havíamos apresentado a proporcionalidade existente entre os arcos de uma

circunferência e o ângulo central correspondente no Caderno do 3o bimestre da 6a série. Podemos ampliar essa noção, estendendo-a para os setores circulares. Se a área de um círculo é x, então x a área do semicírculo é ; do mesmo modo, um 2 setor circular correspondente a um ângulo 1 dos 360º da central de 90º, que equivale a 4 1 circunferência, terá área igual a de x. 4 Generalizando, para um setor circular correspondente a um ângulo central αº, sua área αº corresponderá a da área do círculo. 360º

αº

Asetor =

αº 360º

. π . r2

2. Determine o raio do círculo a seguir, sabendo que o setor circular correspon3 de a desse círculo e tem área igual a 4 108π cm2.

108 π cm2

Se o setor corresponde a

3 do círculo, então, 4

3 a área do setor é As = . π . r2. Logo, 4 3 2 108π = . π . r 4 r2 = 144 r = 12 O raio do círculo é de 12 cm.

3. Determine o ângulo central que corresponde ao setor circular representado a seguir. Sugerimos propor aos alunos alguns exercícios envolvendo o cálculo da área de setores circulares.

62,5 π cm2

1. Calcule a área do setor circular representado a seguir.

60º 2 cm

10 cm

Se a área do setor vale 62,5π cm2, então:

α . π . r2 As = ____ 360 α . π . 102 62,5π = ____ 360

(60º ÷ 360º) . π . 22 = A área do setor vale

2π

2π 3

3 cm2, ou 2,09 cm2

α=

62,5π . 360

= 225º 100π O ângulo central correspondente é de 225º.

Matemática – 8a série – Volume 4

Atividade 7 – Problemas envolvendo o cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras Propomos, a seguir, uma sequência de exercícios que envolvem o cálculo de áreas de círculos, setores e figuras afins. As situações exploradas utilizam o teorema de Pitágoras, que já é de conhecimento dos alunos. Os triângulos retângulos representados a seguir têm hipotenusa a e catetos b e c. A figura a seguir é uma imagem que traduz o teorema de Pitágoras, enunciado da seguinte forma: “O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Nesta figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre os catetos b e c.

B a C

c b

Assim, temos a expressão: a2 = b2 + c2 Podemos explorar essa relação em outras figuras além do quadrado. 1. Mostre que, de modo análogo ao teorema de Pitágoras, a área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos construídos sobre os dois catetos.

B a

A área do círculo correspondente à hipotea nusa é Ca 5 p. __ 2

ª º

p.a2 5 ____ 4

As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente, p.c2 p.b2 e C 5 ____ Cb 5 ____ c 4 4 Somando-se as áreas obtidas, temos: p(b2 1 c2) p.b2 p.c2 Cb 1 Cc 5 ____ 1 ____ 5 __________ 4 4 4 Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2 p(b2 1 c2) p.a2 Portanto, __________ 5 ____ 5 Ca, ou seja, 4 4 Cb +Cc = Ca . Dessa forma, verificamos que o teorema de Pitágoras vale não apenas para os quadrados formados sobre os lados de um triângulo retângulo, mas também para círculos de diâmetro igual a esses lados. 2. Mostre que esse princípio vale também para as figuras a seguir. a) Complementar do semicírculo em relação ao quadrado.

b) Setores circulares.

B a

A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado de lado igual ao lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro igual a esse lado. Assim, a área da figura relativa à a 2= a2 – π .a 1 hipotenusa é Aa = a2 – __ · π __ 8 = 2 2 2 2 a2 = 8a – πa = ___ (8 – π) 8 8

ªº

A figura colorida é um setor circular de 90º com raio igual ao lado do triângulo. Assim, a área do setor circular relativo à hipotenusa é π. a 2 1 Sa = . π . a 2 = 4 4 As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente, π.b2 π.c 2 e Sc = 4 4

As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respectivamente,

Sb =

b2 c2 ( 8 – π ) e Ac = ( 8 – π) 8 8 Somando-se as áreas obtidas, temos:

Somando-se as áreas obtidas, temos:

Ab =

Ab + Ac =

Sb + Sc =

π . b 2 π . c 2 π (b 2 + c 2 ) + = 4 4 4

b2 c2 ( 8 – π) ( 8 – π) + ( 8 – π) = .( b 2 + c 2 Mas, ) pelo teorema de Pitágoras, b2 +c2 = a2 8 8 8

c2 ( 8 – π) ( 8 – π) + ( 8 – π) = .( b 2 + c 2 ) 8 8

Portanto,

π (b 2 + c 2 ) π.a2 = = Sa , ou seja, 4 4

Sb + Sc = Sa Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2 (8 – π ) 2 ( 8 – π ) 2 Professor, a2 com seus alunos que a Portanto, Ab + Ac = .( b + c 2 ) = .a = ·( 8 – π )comente = Aa 8 8 8 área obtida neste item é igual à área referente (8 – π ) 2 (8 – π ) 2 a2 2 ao círculo de diâmetro igual ao lado do triân= .( b + c ) = .a = ·( 8 – π ) = Aa , ou seja, 8 8 8 gulo, descrito no exemplo inicial. Assim, teAb + Ac = Aa mos que:

Matemática – 8a série – Volume 4

da área do círculo de raio l é igual à área

4 do círculo de diâmetro l.

As atividades anteriores mostraram que as áreas das figuras construídas com base nos lados de um triângulo retângulo obedecem à relação de Pitágoras. É possível provar que isso vale para qualquer figura, desde que elas sejam semelhantes entre si. Vamos usar esse fato para o desenvolvimento da próxima atividade. B a C

c b

A B

As lúnulas de Hipócrates um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi a quadratura do círculo. Esse problema implica determinar um método que permita construir um quadrado de área igual à de um círculo com o diâmetro dado. Em termos práticos, o problema se reduz a encontrar uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro do círculo, o que envolverá o número π. Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, pois o π é um número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. Contudo, consta que foi Hipócrates de Chios (460 a.C.) o descobridor do primeiro caso de quadratura de figura curvilínea, quando mostrou que a soma das áreas de duas “lúnulas” era igual à área de um triângulo retângulo. Lúnulas são figuras curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência. Apresentamos a seguir a demonstração desse fato. Parte 1 – Construção das lúnulas

a C

c b

Ache os pontos médios (ma, mb e mc) dos lados do triângulo. Construa um semicírculo com centro nos pontos médios dos catetos b e c.

B Ma

a C

c b

Construa um semicírculo com centro no ponto médio da hipotenusa, voltado para o interior do triângulo.

ao teorema de Pitágoras, como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc (II) B

Ma C

As lúnulas são as figuras formadas entre os semicírculos dos catetos e o semicírculo da hipotenusa.

Sejam Lb e Lc as lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc são os segmentos circulares limitados pelos catetos b e c. SCa, SCb e SCc são os semicírculos relativos aos lados a, b e c do triângulo. Seja t a área do triângulo retângulo AbC. Então, podemos escrever que:

As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente: Lb = SCb – Rb e Lc = SCc – Rc

Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc) Considerando a relação (II), podemos escrever que Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc).

Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo retângulo. Lc

Rb A Lb Consideremos também que as áreas dos semicírculos representados a seguir obedecem

Comparando com a relação (I), concluímos que Lb + Lc = t.

t = SCa – (Rb + Rc) (I)

Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por:

Parte 2 – demonstração

Considerações sobre a avaliação Como vimos, as fórmulas para o cálculo do perímetro e da área do círculo podem ser apresentadas aos alunos com significado, dentro de um contexto experimental, histórico e prático. As atividades sugeridas nesta Situação de Aprendizagem são indicativas de uma

Matemática – 8a série – Volume 4

forma de trabalhar a Matemática com significado. O professor deve avaliar quais delas podem ser incorporadas ao seu curso, de forma a ampliar o conhecimento dos alunos. Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é que os alunos consigam resolver problemas envolvendo o perímetro e a área do círculo e de suas partes. Além disso, espera-se que tenham compreendido o significado do π como razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro. A avaliação do aprendizado dos alunos deve ser feita continuamente, ao longo das atividades

desenvolvidas. A atividade experimental 4 é importante na construção do significado do cálculo de áreas circulares por aproximação. Já as atividades 2, 6 e 7 envolvem cálculos e resolução de problemas. Nesses momentos, deve-se avaliar o aproveitamento dos alunos e suas dificuldades, verificando se conseguem realizar os cálculos envolvidos. A maioria dos livros didáticos traz uma série de problemas abrangendo o cálculo de perímetros e áreas de figuras circulares. O professor poderá selecionar alguns deles para a elaboração de fichas de exercícios e avaliações.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 CILINDROS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: área da superfície cilíndrica; volume de um prisma reto; volume do cilindro; unidades de medida de capacidade. Competências e habilidades: saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas, pirâmides e corpos redondos; conhecer o nome e o significado dos principais elementos de um prisma e de um cilindro; calcular a área total e o volume de um cilindro; realizar corretamente transformações de unidades de medida de capacidade. Estratégias: desenhar a planificação de um cilindro e construí-lo com base nessa planificação; resolver problemas envolvendo o cálculo do volume de embalagens com formato de cilindro.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Nas Situações de Aprendizagem anteriores, o foco do estudo foram as relações métricas nas figuras circulares planas.

Abordamos os métodos de cálculo do perímetro e da área do círculo e suas partes, envolvendo sempre a constante de proporcionalidade π. Agora, vamos ampliar esse estudo para as figuras espaciais, mais especificamente, o cilindro.

Iremos explorar as principais relações métricas que caracterizam um tipo particular de cilindro, o reto. Propomos uma atividade para o aluno desenhar a planificação do cilindro e construí-lo a partir dela. Desse modo, ele irá se familiarizar com os elementos e as partes que formam um cilindro, o que será de fundamental importância para chegar às fórmulas da área e do volume.

linguagem desempenha um papel fundamental na construção do conhecimento geométrico. Os alunos devem saber o que é aresta, vértice, face, plano, segmento de reta, etc.

Os cálculos da área e do volume devem ser apresentados e problematizados, de modo que o aluno seja capaz de resolver problemas básicos envolvendo formas cilíndricas. A fórmula da área da superfície do cilindro pode ser obtida com os conhecimentos já adquiridos, como a área do retângulo e a área do círculo. No caso do volume, não há necessidade de se demonstrar a fórmula a partir do Princípio de Cavalieri, o que será feito mais adiante, na 2a série do Ensino Médio. O mais importante, na 8a série, é fazer com que o aluno consiga interpretar e dar sentido a essas fórmulas, percebendo a presença da constante π e o número de dimensões envolvidas.

1. Apresente aos alunos as figuras de um cilindro e de um prisma, ambos retos.

Atividade 1 – Figuras espaciais: características Professor, antes de iniciar o estudo das relações métricas no cilindro, é fundamental retomar com os alunos alguns dos conceitos já estudados nas séries anteriores. A distinção entre prismas, pirâmides e corpos redondos deve ser relembrada para situar o cilindro dentro do conjunto dos sólidos geométricos. Além disso, é muito importante avaliar o vocabulário geométrico dos alunos. Nessa etapa, a

A atividade a seguir tem por objetivo reconhecer as principais características e elementos de um cilindro a partir da comparação com um prisma.

a) Descreva as principais semelhanças e diferenças entre os dois sólidos. O prisma é um sólido geométrico formado por polígonos, enquanto o cilindro é formado por dois círculos e uma superfície lateral. Ressaltar que o prisma reto possui faces laterais, que são retângulos, enquanto a superfície lateral do cilindro é curva. Ambos possuem duas bases congruentes, situadas em planos paralelos entre si. No caso do prisma da figura, as bases são retângulos, mas poderiam ser qualquer outro polígono. No caso do cilindro, as bases são círculos de mesmo diâmetro. Em ambos os casos, a superfície lateral é perpendicular aos planos das bases.

Matemática – 8a série – Volume 4

b) Indique na figura o nome dos principais elementos que formam esses sólidos.

2a etapa – Montagem do cilindro com base na planificação.

No caso do prisma reto, a medida da aresta lateral é a altura do sólido. No cilindro reto, é a geratriz. vértice aresta

face

geratriz

base

Atividade 2 – A planificação do cilindro e sua área Podemos introduzir a ideia da área do cilindro com base em sua planificação. Sugerimos a construção, com régua e compasso, de uma planificação do cilindro que possa ser montada em uma folha de tamanho A4.

dica: os alunos podem usar fita adesiva para juntar as partes do cilindro.

3a etapa – Cálculo da área superficial do cilindro.

f diâmetro dos círculos: 6 cm;

Nessa etapa, os alunos deverão calcular a área da superfície do cilindro usando as medidas sugeridas para a planificação (diâmetro das circunferências igual a 6 cm e altura do retângulo igual a 5 cm). A própria planificação do cilindro já sugere as etapas a serem consideradas nesse cálculo: as duas bases circulares e um retângulo.

f dimensões do retângulo: base igual a 6 . 3,14 ≅ 18,8 cm e altura de 5 cm.

dados: diâmetro do círculo = 6 cm (raio = 3 cm) e altura do retângulo = 5 cm.

1a etapa – Desenhando a planificação. As medidas sugeridas para a planificação são:

As áreas das bases correspondem às áreas dos círculos de raio 3 cm. Portanto, área das bases = 2 . área do círculo = 2 . (π . r ) ≅ ≅ 2 . 3,14 . 32 ≈ 56,5 cm2 2

Já a área lateral corresponde à área do retângulo de base igual ao comprimento da circunferência (2 . π . r) e altura igual a 5 cm. Portanto, área lateral = área do retângulo = base . altura = = (2 . π . r) . 5 ≈ 2 . 3,14 . 3 . 5 ≈ 94,2 cm2

Peça aos alunos que escrevam uma fórmula para a área de qualquer cilindro reto, a partir do raio r das bases e da altura h do cilindro. A área da base é a área do círculo, ou seja, π . r2. E a área lateral é a área de um retângulo em que um lado tem o comprimento da circunferência da base (2 . π . r) e o outro lado mede h. Abase = π . r2

A área total da superfície do cilindro corresponde à soma das áreas das bases com a área da superfície lateral:

Acilindro = 2 . Abase +Alateral

área do cilindro = área das bases + área lateral = = 56,5 + 94,2 = 150,7 cm2

Portanto, a área do cilindro vale:

Ao final, pergunte aos alunos se o resultado é compatível com o problema. Eles devem avaliar se 150 cm2 é uma medida possível para a área do cilindro. uma forma de fazer essa verificação é comparar a área obtida com a área da folha de papel onde foi feita a planificação. As dimensões de uma folha A4 são de, aproximadamente, 21 cm por 30 cm. Portanto, sua área é de 21 . 30 = 630 cm2, que é, aproximadamente, 4 vezes maior que a área obtida. Parece razoável, considerando que a planificação ocupou uma fração do papel A4. Insista com os alunos a respeito desse tipo de procedimento. Ele pode ajudar a detectar erros nos cálculos, o que é frequente acontecer. Se, por exemplo, o resultado obtido for 1 507 cm2, ao compará-lo com a área do papel, será possível identificar um erro relacionado às casas decimais.

4a etapa – Generalização

Alateral = 2 . π . r . h

Acilindro = 2 . π . r2 + 2 . π . r . h ou Acilindro = 2 . π . r (r + h)

Atividade 3 – do prisma ao cilindro: volume O volume de um prisma já foi apresentado aos alunos na 7a série. Retomaremos essa noção para introduzir o cálculo do volume do cilindro. Nesta Situação de Aprendizagem, trataremos exclusivamente de prismas e cilindros retos, ou seja, cuja superfície lateral é perpendicular aos planos das bases. A ampliação para casos de prismas e cilindros oblíquos será abordada no Caderno da 2a série do Ensino Médio. Geralmente, introduz-se a ideia de volume por meio do cálculo do volume de blocos retangulares, que são um caso particular de prisma formado por faces retangulares. Para calcular o volume de um bloco retangular, é feita uma contagem de quantos cubos unitários

Matemática – 8a série – Volume 4

são necessários para preenchê-lo. Por meio de uma multiplicação, os alunos chegam ao resultado do volume. Generalizando essa ideia, obtém-se a seguinte fórmula para o cálculo do volume do bloco retangular: V = a . b . c, onde a, b e c são as dimensões do bloco (comprimento, largura e altura, respectivamente).

É importante lembrar que, nesse caso, todos os ângulos entre as arestas são de 90º.

Essa fórmula vale para todos os prismas, com qualquer base. A prova desse fato só será apresentada formalmente aos alunos na 2a série do Ensino Médio, por meio do Princípio de Cavalieri. Neste momento, utilizaremos essa ideia para determinar o volume do cilindro. Vamos considerar um prisma cuja base é um polígono regular de n lados. À medida que aumentamos o valor de n, a área do polígono da base se aproxima da área do círculo circunscrito a ele. Esse processo de aproximação é o mesmo que foi discutido nas Situações de Aprendizagem anteriores. Portanto, podemos considerar o cilindro como um prisma cuja base é um polígono regular com infinitos lados. Assim, a fórmula do volume do prisma pode ser estendida para o cilindro, da seguinte maneira:

Se considerarmos que o produto de duas dimensões desse prisma equivale ao valor da área de uma de suas faces, podemos interpretar a fórmula da seguinte maneira: Seja a . b a área da base do prisma, e c a altura. Então, temos que: altura do prisma

V=a.b.c área da base

Chamando a altura do prisma de h, e a área da base de Abase, a fórmula do volume de um prisma retangular é dada por: Vprisma = Abase . h

Vcilindro = Abase . h = π . r2 . h h

r Pode-se solicitar aos alunos que calculem o volume do cilindro que construíram por meio da planificação sugerida na atividade 2. O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro, portanto, 3 cm de raio e altura de 5 cm. Então, considerando π ≈ 3,14, o volume será igual a: V = π . r2 . h = 3,14 . 32 . 5 = 141,3 cm3.

Atividade 4 – Comparação entre fórmulas relativas a figuras circulares (planas e espaciais) A tabela a seguir mostra as principais fórmulas usadas para cálculos métricos em figuras circulares. Incluímos a fórmula do volume da esfera para ampliar a visão dos elementos que caracterizam essas fórmulas.

Comprimento da circunferência

C = 2 .π . r

área do círculo

A = π . r2

Volume do cilindro

V = π . r2 . h

Volume da esfera

4 . π . r3 3

A maioria dos livros didáticos traz uma série de problemas envolvendo o cálculo da área e do volume do cilindro. Recomendamos dar ênfase aos problemas que envolvam objetos do cotidiano, como latas de refrigerantes, embalagens, tanques ou caixas-d’água, entre outros. uma questão importante a ser discutida é a interpretação do resultado. Ou seja, verificar se o valor obtido após os cálculos é compatível com a pergunta inicial do problema. Além disso, é preciso resgatar algumas transformações de unidades de volume, que são fundamentais em problemas práticos. Retome com seus alunos as transformações de unidades no sistema métrico decimal. Como transformar metros cúbicos em centímetros cúbicos, e vice-versa. Relembre que o litro é a milésima parte do metro cúbico, ou seja, que ele vale 1 decímetro cúbico (1 dm³ = 1l). Além disso, reveja os múltiplos e submúltiplos do litro. A seguir, apresentamos duas tabelas que podem orientar os alunos nas transformações de unidade. m³

dm³

cm³

mm³

A ideia é que os alunos percebam duas características principais:

10³

106

109

f a presença do π em todas as fórmulas relacionadas à circunferência;

10–3

10³

106

10–6

10–3

10³

10–9

10–6

10–3

f as dimensões envolvidas em cada cálculo: uma no comprimento, duas na área e três no volume.

Atividade 5 – Problemas relacionados ao cilindro

Matemática – 8a série – Volume 4

1 1

100

1 000

100

10 1

100 1

10 1

1 000

100

A seguir, propomos um problema para exemplificar o uso das unidades de volume de um cilindro. É recomendável que os alunos utilizem calculadoras nesse tipo de atividade, para agilizar os cálculos e priorizar o raciocínio de resolução.

Atividade 6 As latas de refrigerante são confeccionadas com folhas de alumínio. O Brasil é um dos países que mais reciclam esse tipo de material no mundo. Segundo a Associação Brasileira dos Fabricantes de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o Brasil produziu cerca de 10 bilhões de latas de alumínio em 2005 e reciclou cerca de 96% desse total. Considerando que o formato da lata se assemelha a um cilindro reto, determine:

12 cm

a) a capacidade em m da lata de alumínio representada; Usando π ≈ 3,1, o volume da lata é de, aproximadamente, V = 3,1 . 32.12 = 334,8 cm3. Como um centímetro cúbico equivale a 10 – 3 dm3, então, o volume pode ser expresso como 0,3348 dm 3. Um decímetro cúbico equivale a um litro, então, o volume da lata é de, aproximadamente, 0,335 litro ou 335 mililitros. V = 335 ml. b) quantos centímetros quadrados de folha de alumínio são necessários para confeccionar uma dessas latas; A área da base é Ab = 3,1 . 32 = 27,9 cm2. A área lateral é Al = 2 . 3,1 . 3 . 12 = 223,2 cm2. A área total do cilindro vale 2 . 27,9 + 223,2 = = 279 cm2. Portanto, são necessários, aproximadamente, 279 cm2 para confeccionar uma lata. c) quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa de alumínio de 1 m de comprimento por 1,72 m de largura. A área de uma chapa de alumínio é dada por 1 m . 1,72 m = 1,72 m2. Um metro quadrado equivale a 100 . 100 = 10 000 centímetros quadrados. Portanto, a área total da chapa, em centímetros quadrados, é 10 000 . 1,72 = 17 200 cm2. Para saber quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa, divide-se a área da chapa pela área da lata: 17 200 ÷ 279 = 61,65. Assim, com uma chapa de alumínio é possível confeccionar 61 latas.

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, a expectativa é de que os alunos tenham se apropriado das principais características 6 cm

relativas ao cilindro. As atividades iniciais tiveram como objetivo a ampliação e a consolidação do vocabulário geométrico. Palavras como aresta, vértice, face, base, altura, geratriz, raio da base, entre outras, constituem o pilar de um ensino consistente de Geometria. A classificação e diferenciação dos sólidos geométricos são de fundamental importância para a caracterização do cilindro.

A avaliação do aprendizado dos alunos deve ser feita continuamente, tanto ao longo das atividades propostas como ao final de um ciclo ou bimestre. Os principais objetivos de aprendizagem com relação ao estudo do cilindro que devem ser objeto de avaliação são:

Propusemos, também, uma atividade de representação geométrica da planificação do cilindro e sua construção, contemplando duas dimensões fundamentais do conhecimento geo-métrico. Essa atividade serviu de base para o cálculo da área e do volume do cilindro.

f conhecer o nome e o significado dos principais elementos de um prisma e de um cilindro;

f saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas, pirâmides e corpos redondos;

f calcular a área total e o volume de um cilindro; f realizar corretamente transformações de unidades de medida de capacidade.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMEtRIA tempo previsto: 1 semana e meia. Conteúdos e temas: história da Matemática; probabilidade; proporcionalidade; área de círculos, setores e coroas circulares. Competências e habilidades: compreender o conceito de probabilidade em espaços amostrais contínuos; calcular a área de círculos e coroas circulares. Estratégias: uso da história da Matemática para problematizar a relação entre Geometria e probabilidade; resolução de exercícios exemplares para introduzir o cálculo de probabilidade em espaços amostrais contínuos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 A probabilidade constitui um dos assuntos mais ricos de serem estudados na escola básica. Os alunos do Ensino Fundamental são

plenamente capazes de analisar situações que envolvem a comparação entre eventos. Pensar que a probabilidade só pode ser tratada no âmbito do Ensino Médio é um grande equívoco. Muitos países incluem a probabilidade como tema de estudo desde as séries iniciais.

Matemática – 8a série – Volume 4

No atual programa, o conceito de probabilidade vem sendo trabalhado desde a 5a série, juntamente aos problemas de contagem e à Estatística, constituindo o eixo denominado tratamento da Informação. Na 6a série, por exemplo, a probabilidade foi introduzida como uma razão particular em que se comparam o número de casos favoráveis de determinado evento com o número de casos possíveis. Agora, na 8a série, vamos retomar o conceito de probabilidade associado à Geometria. Contudo, antes de iniciar essas atividades, é importante retomar as principais ideias associadas ao cálculo da probabilidade. Podem-se propor, inicialmente, algumas atividades para que os alunos percebam a ideia de probabilidade por meio da experimentação. Assim, eles podem calcular experimentalmente o número de ocorrências da face “cara” em lançamentos sucessivos de uma moeda, ou a ocorrência de números pares em uma série de lançamentos de um dado. Outras situações, como a retirada de cartas do baralho ou o acerto de um alvo na batalha naval podem ser exploradas pelo professor para discutir probabilidade. O tipo de probabilidade que será explorada nesta Situação de Aprendizagem difere um pouco da estudada anteriormente. Os espaços amostrais e os eventos não serão contados, mas medidos. Em vez de determinar o número de casos favoráveis em um evento, iremos considerar a medida de áreas ou de ângulos. Essa mudança sutil implica a passagem do campo discreto dos eventos para o campo contínuo.

Apesar disso, a forma de calcular a probabilidade continua a mesma, ou seja, por meio de uma razão, que pode ser escrita na forma decimal como um número entre 0 e 1, ou, ainda, na forma de porcentagem, entre 0 e 100%. Na primeira atividade, relatamos um episódio ímpar da história da Matemática, no qual a Geometria e o cálculo de probabilidade se encontram de forma inusitada. O famoso problema da agulha de Buffon é um feliz exemplo de como a Matemática pode estar presente nas coisas mais despretensiosas e, aparentemente, “inúteis” da vida. Em seguida, exploramos duas atividades relacionadas ao cálculo de probabilidades em situações que envolvem figuras geométricas. Na atividade 2, os eventos favoráveis serão os setores circulares e os ângulos a eles associados. Na atividade 3, abordaremos as probabilidades relacionadas a um alvo de jogo de dardos, envolvendo o cálculo da área de círculos e coroas circulares.

Atividade 1 – A agulha de buffon O estudo da probabilidade aparentemente não tem ligação alguma com a Geometria, em particular com a circunferência. A probabilidade trata da razão entre eventos, enquanto a Geometria se ocupa da medida das formas. uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, dada a natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisar um problema aparentemente banal, um naturalista francês do século XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu uma curiosa ligação entre esses dois assuntos.

À primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na observação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas paralelas, o Conde de Buffon anotava quantas delas caíam sobre as retas e quantas caíam entre os espaços, sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha jogada ao acaso no tabuleiro cair sobre uma das linhas. caso favorável

caso desfavorável

Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos favoráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. usando cálculos simples

envolvendo ângulos e áreas de figuras planas, 2a . ele chegou à seguinte fórmula: P = π.d Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o comprimento da agulha e d é a distância entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais surpreendente da fórmula de Buffon é a presença da constante π. Algo que geralmente é usado no âmbito da geometria métrica aparece em um cálculo de probabilidade. Para o caso particular em que a distância entre as linhas é o dobro do comprimento da agulha (d = 2a), a fórmula de Buffon pode ser escrita como P = 1 . O que nos leva a outra π possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e calculando o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de π. De fato, essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma aproximação bastante aceitável para o valor de π. Alguns pesquisadores se dedicaram a esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximação de 3,1415929 para π após 3 408 lançamentos. Entretanto, pode-se questionar o significado prático de tais procedimentos ou fórmulas. Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de paralelas? Por que determinar o valor de π por meio do lançamento de agulhas, se ele pode ser calculado por inúmeras maneiras mais simples? De fato, à primeira vista, a fórmula de Buffon não tem utilidade prática alguma. todavia, anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenções mais importantes do século XX:

Matemática – 8a série – Volume 4

o aparelho de tomografia computadorizada. Mas, em vez de empregar linhas paralelas sobre um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiações paralelas. usando a fórmula de Buffon, é possível determinar as dimensões de um objeto utilizando um feixe desse tipo, o que, de forma bastante simplificada, está por detrás do funcionamento desse aparelho.

A área do setor II corresponde ao ângulo central de 120º. Não é necessário calcular a área, pois o raio é o mesmo para cada setor. Assim, basta comparar o ângulo correspondente ao setor II com 360º. 1 120º = = 0,3333..., P(II) = 3 360º ou aproximadamente 33,3%.

O exemplo da agulha de Buffon é bastante ilustrativo para relativizar o argumento de que alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando se começaram a estudar os fenômenos eletromagnéticos, no início do século XIX, muitos pensavam que se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum interesse prático. Hoje em dia ninguém pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo?

2. Na roleta da figura, os ângulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em sequência crescente, de 10 em 10 graus. O menor ângulo é de 10º.

Atividade 2 – Setores circulares e probabilidade Nesta atividade, os alunos deverão calcular a probabilidade de o ponteiro móvel das roletas, ao ser girado livremente, parar em determinada região do círculo. 1. Na roleta representada a seguir, qual é a probabilidade de o ponteiro parar na região II? Dados: setor I (60º), setor III (180º).

III

a) Qual é a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul? Os setores azuis correspondem aos ângulos centrais de 10º e 70º. Portanto, a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul é 80 = 0,222... ou 22,2%. de P(Azul) = 360 b) Qual cor tem a maior probabilidade de ocorrência na parada do ponteiro? É a verde, pois corresponde aos arcos de 30º e 80º, que, juntos, correspondem a 110º, e sua probabilidade de ocorrência é de, aproximadamente, 30,5%. Essas atividades podem constituir uma boa porta de entrada para o cálculo de probabilidades geométricas. Eles são relativamente simples

e envolvem apenas a razão entre ângulos. Na próxima atividade, a probabilidade envolverá o cálculo da área de setores e de coroas circulares.

Atividade 3 – Alvos, coroas e probabilidade Existem diversas maneiras de introduzir o cálculo da área de uma coroa circular. uma estratégia possível é a análise do alvo de um jogo de dardos. Nesta atividade, iremos explorar o cálculo da probabilidade em espaços amostrais contínuos associados a regiões circulares.

lançamento do projétil, vamos considerar que ele estará com os olhos vendados. Assim, podemos garantir um espaço amostral equiprovável, ou seja, em que cada ponto do alvo tenha a mesma probabilidade de ser atingido. 1. Considere o seguinte alvo em um jogo de dardos. O círculo central tem raio igual a 10 cm, e os anéis (coroas circulares) estão igualmente espaçados, de 10 em 10 cm.

Chamamos de coroa circular a região compreendida entre duas circunferências concêntricas de raios distintos. Na figura a seguir, a região hachurada é uma coroa formada pelos círculos C1 e C2, de raios r1 e r2, respectivamente. C2 r2 C1

a) Calcule a área de cada uma das regiões coloridas do alvo. Região vermelha: a área do círculo central é igual a A1 = π . r2 = π . 102 = 100π cm2. Região azul: corresponde à área da coroa circular de raios 20 cm e 10 cm.

A2 = π . 202 – π . 102 = 400π – 100π = 300π cm2.

A área de uma coroa circular é igual à diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor.

Região amarela: corresponde à área da coroa circular de raios 30 cm e 20 cm.

Ac = π . r22 – π . r21

A3 = π . 302 – π . 202 = 900π – 400π = 500π cm2.

Em jogos de dardos, os alvos geralmente são formados por um círculo central cercado por anéis (coroas circulares) externos de cores diferentes. Vamos calcular a probabilidade de acertar cada uma das regiões em um lançamento de dardo ao acaso. Para que a intencionalidade do jogador não interfira no

Região verde: corresponde à área da coroa circular de raios 40 cm e 30 cm. A4 = π . 402 – π . 302 = 1 600π – 900π = 700π cm2.

Área total: corresponde ao círculo maior de raio igual a 40 cm. AT = π . 402 = 1 600π cm2.

Matemática – 8a série – Volume 4

b) Qual é a região do alvo (cor) com a maior probabilidade de acerto, no lançamento de um dardo ao acaso? A probabilidade de acerto em cada região equivale à razão entre a área da região escolhida e a área total do alvo. Assim, temos que: P (Vermelha) = P (Azul) =

100 π 1 600 π

300 π 1 600 π

P (Amarela) = P (Verde) =

= 6,25%

= 18,75%

500 π 1 600 π

700 π 1 600 π

= 31,25%

= 43,75%

A região mais externa do alvo, a verde, possui a maior área, portanto, é a região com maior probabilidade de acerto (43,75%). 2. o alvo democrático: como seria um alvo em que as regiões coloridas tivessem a mesma probabilidade de acerto? Construa um alvo dessa forma com 4 regiões coloridas. Para que a probabilidade de acerto seja a mesma em todas as regiões é preciso que suas áreas sejam iguais: A1 = A2 = A3 = A4 Partindo de um círculo interno de raio r1, precisamos descobrir os raios dos demais círculos que satisfaçam essa condição de igualdade. Portanto, para que A1 = A2, a área do círculo central deve ser igual à área da coroa circular. Ou seja, π . r12 = π . r22 – π . r12

Então: π . r22 = 2π . r12 → r22 = 2r12 → r2 = r1 2 Analogamente, se A1 = A3, obtemos a seguinte equação: π . r12 = π . r32 – π . r22 __ Como r2 = r1 ®2, então: __ π . r12 = π . r32 – π .( r1 ®2)2 → π . r12 = = π . r32 – 2π . r12 → π . r32 = 3π . r12 → __ → r3 = r1 ®3 Resolvendo A3 = A4, obtemos que r4 = r1 4 ou r4 = 2r1 Portanto, para que as áreas de cada região sejam iguais, os valores dos raios devem estar na seguinte proporção: r1, r1 2 , r1 3 e 2r1. A probabilidade de acerto em cada 1 ou 25%. região será de 4 Construção geométrica: para construir esse alvo é preciso saber representar os irracionais razão,

3 geometricamente. A primeira

2 e

2 , é a diagonal de um quadrado de

lado unitário. A segunda,

3 , a diagonal

de um retângulo de lados iguais a 1 e 2 , respectivamente. A figura a seguir ilustra o processo de construção desses segmentos.

Constroem-se então as circunferências concêntricas de raios 1, 2 , 3 e 2, conforme mostram as figuras a seguir:

2 32

Considerações sobre a avaliação Ao final desta Situação de Aprendizagem, espera-se que os alunos consigam ampliar a noção de probabilidade, e saibam calculá-la em situações que envolvem espaços amostrais contínuos, ligadas a figuras geométricas. As atividades de avaliação devem contemplar os seguintes objetivos de aprendizagem: f determinar a área do círculo, de setores circulares e de coroas circulares; f determinar a probabilidade por meio da comparação entre áreas de figuras geométricas; f representar a probabilidade de eventos por meio de uma razão, seja na forma decimal, porcentual ou na fracionária.

ORIENtAçõES PARA RECuPERAçãO Se as metas iniciais da Situação de Aprendizagem 1 não forem plenamente atingidas, uma possibilidade de atividade de recuperação é a produção de um texto sobre as características do número π ou sobre as informações obtidas por meio da atividade de pesquisa. É possível que alguns alunos tenham dificuldade em relação ao cálculo da frequência relativa na forma de porcentagem. Nesse caso, pode-se propor uma atividade de recuperação envolvendo a retomada do conceito de porcentagem e a transformação de um número decimal em fração, e vice-versa.

Pensando-se nos conceitos estudados na Situação de Aprendizagem 2, é possível que alguns alunos apresentem dificuldade com os desenvolvimentos algébricos ou com o cálculo de potências. Nesse caso, seria interessante fazer uma pequena revisão para recuperar os procedimentos em relação a esses tópicos. uma das dificuldades mais frequentes no estudo dos sólidos geométricos refere-se às transformações de unidades propostas na Situação de Aprendizagem 3. Alguns alunos costumam se confundir ao fazerem a transformação de metro quadrado para centímetro quadrado, ou

Matemática – 8a série – Volume 4

de milímetro cúbico para decímetro cúbico, etc. Além disso, a transformação em litros e seus submúltiplos constitui outra fonte de erro na resolução de problemas. Recomendamos que os princípios de equivalência entre as unidades do sistema métrico decimal sejam retomados, em particular aqueles ligados à medida de área e volume. A interpretação das tabelas que fazem parte da atividade 4 da Situação de Aprendizagem 3 pode ser uma alternativa de recuperação para os alunos com dificuldade nesse tópico.

Caso, ao final da avaliação da Situação de Aprendizagem 4, o professor perceba que alguns alunos não se apropriaram dos objetivos propostos, poderá indicar algumas atividades de recuperação de aprendizagem. Se o problema estiver ligado ao entendimento do conceito de probabilidade, recomendamos a retomada de algumas atividades experimentais envolvendo o cálculo de probabilidades em jogos de dardos, cartas ou batalha naval.

RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA Revista do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. De modo geral, a Revista do Professor de Matemática é uma fonte muito fecunda de ideias para serem exploradas nas aulas de quase todos os temas tratados no Ensino Fundamental. Particularmente no que tange aos temas deste Caderno, destacamos os seguintes artigos: f “O que é número π”, de Elon Lages Lima, no 6. f “A área do círculo”, de Waldemar D. Bastos e Aparecida F. da Silva, no 40. f “Como calcular valores aproximados de π”, de Milton P. Garcia, no 11. f “3πr, 2π ou 4πr?”, de Luiz Márcio P. Imenes, no 9.

livros BARBOSA, Ruy M. Descobrindo padrões pitagóricos. São Paulo: Atual, 1993. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: unicamp, 1997. MILIES, Francisco C. P.; BuSSAB, José H. O. A geometria na Antiguidade clássica. São Paulo: FtD, 1999.

Sites Cálculo das constantes elementares clássicas. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs. br/~portosil/aplcom1a.html>. Acesso em: 20 ago. 2009. Wikipedia. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi>. Acesso em: 20 ago. 2009.

ContEúdoS dE mAtEmátiCA PoR SéRiE/bimEStRE

do EnSino FundAmEntAl

3o bimestre

2o bimestre

1o bimestre

5a série

6a série

7a série

8a série númERoS REAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

númERoS nAtuRAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações. - Introdução às potências.

númERoS nAtuRAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal.

númERoS RACionAiS - transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz.

FRAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

númERoS intEiRoS - Representação. - Operações.

PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros. - Problemas de contagem.

númERoS dECimAiS - Representação. - transformação em fração decimal. - Operações. SiStEmAS dE mEdidA - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal. gEomEtRiA/mEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

númERoS RACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - A linguagem das potências.

gEomEtRiA - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

EXPRESSõES AlgébRiCAS - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álgEbRA - Equações de 2o grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre funções; a ideia de interdependência. - A ideia de variação. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.

númERoS/ PRoPoRCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: π.

álgEbRA/EQuAçõES - Equações de 1o grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1o grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

gEomEtRiA/mEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métricas em triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

gEomEtRiA/mEdidAS - teoremas de tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - Área de polígonos. - Volume do prisma.

gEomEtRiA/mEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

4o bimestre

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álgEbRA - uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

tRAtAmEnto dA inFoRmAção - Contagem indireta e probabilidade.