MATRIZ03

MATRIZES 3

1. (Fuvest 2005) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3x3

tem posto 1.

2. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A£ + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível

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3. (Ita 2006) Sejam as matrizes

Determine o elemento cƒ„ da matriz C = (A + B)¢.

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4. (Uerj 2005) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento a‹Œ da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.

Determine: a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.

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5. (Uerj 2006) Três barracas de frutas, B , B‚ e Bƒ, são propriedade de uma mesma empresa.

Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento b‹Œ representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas B‹ e BŒ, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.

Calcule, para esse dia, o valor, em reais: a) arrecadado a mais pela barraca Bƒ em relação à barraca B‚; b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

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6. (Ufc 2006) As matrizes A e B s達o quadradas de ordem 4 e tais que

Determine a matriz BA.

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7. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes

Calcule: a) o determinante da matriz (B - A). b) a matriz inversa da matriz (B - A).

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8. (Fatec 2003) Seja a matriz

É verdade que a + b Ê igual a a) 0 b) 1 c) 9 d) - 1 e) - 9

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9. (Fgv 2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula tambĂŠm de ordem 3. Assinale a alternativa correta: a) Se A . B = O, entĂŁo: A = O ou B = O b) det(2 . A) = 2 det(A) c) Se A . B = A . C, entĂŁo B = C d) A. (B . C) = (A . B) . C e) det(A + B) = det(A) + det(B)

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10. (Fgv 2005) A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se

então a matriz A . B será nula para: a) x + y = -3 b) x . y = 2 c) x/y = -4 d) x . y£ = -1 e) y/x = -8

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11. (Fuvest 2004) Uma matriz real A é ortogonal se AA = I, onde I indica a matriz identidade e A indica a transposta de A. Se

é ortogonal, então x£ + y£ é igual a: a) 1/4 b) (Ë3)/4 c) 1/2 d) (Ë3)/2 e) 3/2

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12. (Pucmg 2004) Seja A a matriz A = (a‹Œ)‚Öƒ, cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:

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13. (Pucsp 2006) Considere a equação matricial

em que i é a unidade imaginária. Os números complexos x e y que satisfazem essa equação são tais que a medida do argumento principal de x + y é a) 120° b) 135° c) 225° d) 240° e) 330°

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14. (Uel 2003) Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingerida dos alimentos citados.

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

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15. (Uel 2005) Dadas as matrizes A = (a‹Œ)ƒÖ‚, definida por a‹Œ = i - j; B = (b‹Œ)‚Öƒ, definida por b‹Œ = j; C = (c‹Œ), definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c‚ƒ é: a) Igual ao elemento c ‚ b) Igual ao produto de a‚ƒ por b‚ƒ c) O inverso do elemento cƒ‚ d) Igual à soma de a ‚ com b e) Igual ao produto de a‚ por b ƒ

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16. (Uel 2006) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:

1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C ; 2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P , tal que MC = P , onde M é a matriz mensagem a ser decodificada; 3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z; 4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; 5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação; 6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M , fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m m ‚m ƒm‚ m‚‚m‚ƒmƒ mƒ‚mƒƒ

Considere as matrizes:

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Com base nos conhecimentos e nas informaçþes descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro!

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17. (Ufc 2004) O valor de a para que a igualdade matricial

seja verdadeira ĂŠ: a) 1 b) 2 c) 0 d) -2 e) -1

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18. (Uff 2004) Em uma plantação, as árvores são classificadas de acordo com seus tamanhos em três classes: pequena (P), média (M) e grande (G).

Considere, inicialmente, que havia na plantação p³ árvores da classe P, m³ da classe M e g³ da classe G. Foram cortadas árvores para venda.

A fim de manter a quantidade total de árvores que havia na floresta, foram plantadas k mudas (pertencentes à classe P).

Algum tempo após o replantio, as quantidades de árvores das classes P, M e G passaram a ser, respectivamente, p•, m• e g•, determinadas segundo a equação matricial:

Observando-se que p• + m• + g• = p³ + m³ + g³, pode-se afirmar que k é igual a: a) 5% de g³ b) 10% de g³

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c) 15% de g続 d) 20% de g続 e) 25% de g続

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19. (Uff 2005) Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito abaixo.

A senha escolhida S S‚SƒS„ deve conter quatro dígitos, representados por S , S‚, Sƒ e S„.

Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M , M‚, Mƒ e M„, da seguinte forma:

Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M = 0, M‚ = 1, Mƒ = 1 e M„ = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi: a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010 e) 1100

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20. (Ufg 2004) Seja

uma matriz quadrada de ordem n, onde a‹Œ = i + j.

Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz é a) n£ b) 2n + 2n£ c) 2n + n£ d) n£ + n e) n + 2n£

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21. (Ufpe 2005) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferência para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências: para i · j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j; para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i.

Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. (

) Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1.

(

) Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2.

(

) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.

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(

) O total de alunos transferidos ĂŠ 69.

(

) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 ĂŠ de 363 alunos.

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22. (Ufpr 2004) Considere as matrizes a seguir, onde a, b, c e • são números reais. Assim, é correto afirmar:

(01) Os valores de a e b para os quais A = B são, respectivamente, 2 e -1.

(02) Para que a matriz A seja igual à matriz B, é necessário que c seja número negativo.

(04) Se b = 0 e c = -1, então o elemento na posição "2• linha, 2• coluna" da matriz (A.B) é log•³ Ë2.

(08) Se • = 0 e c = 0, então a matriz A tem inversa, qualquer que seja o valor de b.

(16) Todos os valores de para os quais A = B são da forma 2k ™ ™/3, onde k é número inteiro.

Soma (

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)

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23. (Ufrn 2004) A matriz abaixo é 7x7 e foi formada com o número 1 em cada posição da primeira linha, um 0 e um 2, alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e um 3, também alternadamente, nas posições da terceira linha, e assim sucessivamente.

Numa matriz 100x100, construída com o mesmo critério, a quantidade de números diferentes de zero na centésima coluna é a) 8. b) 9. c) 10. d) 11.

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24. (Ufrrj 2003) Observe a tabela.

Simone e duas vizinhas se encontraram após fazerem uma pesquisa de preços em três mercados. Levando-se em conta três itens de suas listas, a saber: carne, arroz e café e os preços destes insumos em cada mercado, conforme mostra a tabela acima, é correto afirmar que a) Lisa e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam no mercado B. b) Simone e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam nos mercados A ou C. c) as três gastarão menos comprando no mercado A, do que gastariam no mercado B. d) Laura e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam nos mercados A ou B. e) Laura e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam no mercado C.

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25. (Ufrrj 2004) Dada uma matriz A (figura 1), denotamos por A¢ a matriz inversa de A. Então A+A¢ é igual a:

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26. (Ufrrj 2006) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.

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27. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1.

(02) A matriz A = (a‹Œ) Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8].

(04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2.

(08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica.

(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

(32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

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28. (Ufsc 2006) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(02) Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.

(04) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 × 7 e 7 × 5. Se R = M.P, então a matriz R£ tem 625 elementos.

(08) Chamamos "traço de L" e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L ).

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29. (Ufsm 2004) Outra medida no sentido de desafogar o trânsito é o planejamento na construção de edifícios públicos.

O diagrama a seguir representa três bairros, C , C‚, e Cƒ, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros.

Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível.

A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X = [d‹Œ] onde d‹Œ é a distância entre C‹ e CŒ, 1 ´ i ´ 3, 1 ´ j ´ 3.

A seqüência correta é a) V - V - V.

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b) V - F - V. c) F - V - F. d) V - V - F. e) F - F - V.

30. (Unesp 2003) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B)£ = A£ + 2AB + B£? a) Sempre, pois é uma expansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B.

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31. (Unesp 2005) Considere as matrizes

com x, y, z nĂşmeros reais.

Se A . B = C, a soma dos elementos da matriz A ĂŠ: a) 9. b) 40. c) 41. d) 50. e) 81.

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GABARITO

1. a = 1, b = 3 e c = 2

2. a) Se B é inversível, temos: AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì B¢ . A = A . B¢ c.q.d.

b) Como A e B comutam, tem-se: A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B) Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos: det B = det [ A (A+2B) ] Ì det B = det A . det (A+2B) Como B é inversível, det B = k, k · 0.

Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos: k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0

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O que é uma contradição, pois k· 0.

Portanto, A é inversível. c.q.d.

3. - 2/11

4. a) Na segunda medição do 4Ž dia.

b) 37,3°C.

5. a) 1.200 reais.

b) 3.400 reais.

6. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, temos:

AB = 9 . I Ì [(1/9) . A] . B = I

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Logo [(1/9) . A] e B são matrizes inversíveis.

Desse modo, B¢ = (1/9) . A Ì A = 9 . B ¢.

E, portanto, BA = B . 9 . B ¢ = 9 . (B . B ¢) = 9 . I.

7. a) 50 b)

8. [B]

9. [D]

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10. [D]

11. [E]

12. [D]

13. [C]

14. [E]

15. [E]

16. [A]

17. [B]

18. [A]

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19. [C]

20. [D]

21. V V F V F

22. 01 + 04 + 08 + 16 = 29

23. [B]

24. [D]

25. [C]

26. [D]

27. 02 + 16 = 18

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28. 01 + 08 = 09

29. [D]

30. [D]

31. [B]

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