Professores Cícero, Conrad, Ubiratan e Vera – Uniban 2011
CAPÍTULO II Construção dos Números Reais Parte I – Números Naturais 1) Prove por indução finita, para todo n
1.
a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2 i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 2
L.D. = 2 . 12 = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + [4(k + 1) – 2] = 2(k + 1)2 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + (4k + 2) = 2(k + 1)2 Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2. Substituindo, temos: 2k2 + 4k + 2 = 2(k2 + 2k + 1) = 2(k + 1)2 que é igual ao L.D. Portanto: 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2, ∀ n ≥ 1. b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1) i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 4
L.D. = 1 . (3 + 1) = 4
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + [6(k + 1) – 2] = (k + 1) [3(k + 1) + 1] 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + 6k + 4 = (k + 1) (3k + 4) Pela hipótese de indução temos que 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1). Substituindo, temos: k(3k + 1) + 6k + 4 = 3k2 + k + 6k + 4
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