Professores Cícero, Conrad, Ubiratan e Vera – Uniban 2011
CAPÍTULO II Construção dos Números Reais Parte I – Números Naturais 1) Prove por indução finita, para todo n
1.
a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2 i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 2
L.D. = 2 . 12 = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + [4(k + 1) – 2] = 2(k + 1)2 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + (4k + 2) = 2(k + 1)2 Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2. Substituindo, temos: 2k2 + 4k + 2 = 2(k2 + 2k + 1) = 2(k + 1)2 que é igual ao L.D. Portanto: 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2, ∀ n ≥ 1. b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1) i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 4
L.D. = 1 . (3 + 1) = 4
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + [6(k + 1) – 2] = (k + 1) [3(k + 1) + 1] 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + 6k + 4 = (k + 1) (3k + 4) Pela hipótese de indução temos que 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1). Substituindo, temos: k(3k + 1) + 6k + 4 = 3k2 + k + 6k + 4
1
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= 3k2 + 7k + 4 = (k + 1) (3k + 4) que é igual ao L.D. Portanto: 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1), ∀ n ≥ 1. c) 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1) i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 2
L.D. = 1 . (1 + 1) = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2 + 4 + 6 + ... + (2k) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2) Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1). Substituindo, temos: k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2) que é igual ao L.D. Portanto: 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1), ∀ n ≥ 1. d) 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1) i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 1
L.D. = 1 . (2 – 1) = 1
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + [4(k + 1) – 3] = (k + 1) [2(k + 1) – 1] 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + (4k + 1) = (k + 1) (2k + 1) Pela hipótese de indução temos que 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1). Substituindo, temos: k(2k – 1) + (4k + 1) = 2k2 – k + 4k + 1
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= 2k2 + 3k + 1 = (k + 1) (2k + 1) que é igual ao L.D. Portanto: 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1), ∀ n ≥ 1.
e) 1 + 3 + 6 + ... +
n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) = 2 6
i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 1
L.D. =
1 2 3 6 = =1 6 6
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1 + 3 + 6 + ... +
k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) = (H.I.) 2 6
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1 + 3 + 6 + ... +
k(k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) + = 2 2 6
Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 6 + ... + temos:
k(k + 1) k(k + 1)(k + 2) = . Substituindo, 2 6
k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) + = 6 2 =
k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) = = 6 6
que é igual ao L.D. Portanto: 1 + 3 + 6 + ... +
n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) = , ∀ n ≥ 1. 2 6
f) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 1
L.D. = 12 = 1
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
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1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
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(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2. Substituindo, temos: k2 + 2k + 1 = (k + 1)2, que é igual ao L.D. Portanto: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, ∀ n ≥ 1. g) 2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1) É igual ao exercício 1c. h) 1
2+2
3+3
4 + … + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2) 3
i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 1 . 2 = 2
L.D. = 1 . 2 = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1
2+2
3+3
4 + … + k(k + 1) =
k(k + 1)(k + 2) 3
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1
2+2
3+3
4 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =
Pela hipótese de indução temos que 1
2+2
3+3
(k + 1)(k + 2)(k + 3) 3 4 + … + k(k + 1) =
Substituindo, temos: k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) 3 =
k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3) = , que é igual ao L.D. 3 3
Portanto: 1
2+2
3+3
i) 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 =
4 + … + n(n + 1) = 2n(n + 1)(2n + 1) 3
n(n + 1)(n + 2) , ∀ n ≥ 1. 3
k(k + 1)(k + 2) . 3
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i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 22 = 4
L.D. =
2.2.3 3
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 22 + 42 + 62 + … + (2k)2 =
2k(k + 1)(2k + 1) 3
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 2(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1] 3 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3) 22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + 4(k + 1)2 = 3
22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + [2(k + 1)]2 =
Pela hipótese de indução temos que 22 + 42 + 62 + … + (2k)2 = temos:
2k(k + 1)(2k + 1) . Substituindo, 3
2k(k + 1)(2k + 1) + 4(k + 1)2 3 =
2k(k + 1)(2k + 1) + 12(k + 1) 2 2(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)] = = 3 3
=
2(k + 1)(2k 2 + k + 6k + 6) 2(k + 1)(2k 2 + 7k + 6) 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = 3 3 3
que é igual ao L.D. Portanto: 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 =
j) 1
2+3
4+5
2n(n + 1)(2n + 1) , ∀ n ≥ 1. 3
6 + … + (2n – 1) 2n =
n(n + 1)(4n − 1) 3
i) Provar que é verdadeira para n = 1. L.E. = 1 . 2 = 2
L.D. =
1.2.3 =2 3
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução). 1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1) 2k =
k(k + 1)(4k − 1) 3
(H.I.)
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iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1. 1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1)
2k + [2(k + 1) – 1] . 2(k + 1) =
1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1)
2k + (2k + 1) . 2(k + 1) =
Pela hipótese de indução temos que 1
2+3
4+5
(k + 1)(k + 2)[4(k + 1) − 1] 3
(k + 1)(k + 2)(4k + 3) 3
6 + … + (2k – 1) 2k =
Substituindo, temos: k(k + 1)(4k − 1) + 2(2k + 1)(k + 1) 3 =
k(k + 1)(4k − 1) + 6(2k + 1)(k + 1) (k + 1)[k(4k − 1) + 6(2k + 1)] = 3 3
=
(k + 1)(4k 2 − k + 12k + 6) (k + 1)(4k 2 + 11k + 6) (k + 1)(k + 2)(4k + 3) = = 3 3 3
que é igual ao L.D. Portanto: 1
2+3
4+5
6 + … + (2n – 1) 2n =
n(n + 1)(4n − 1) , ∀ n ≥ 1. 3
k(k + 1)(4k − 1) . 3