PadraoResp1999

V PROV O 99

MATEMA´ TICA

´ MATEMATICA

˜ DE RESPOSTA PADROES

˜ ABERTAS QUESTOES PARTE B (Quest˜oes comuns aos Formandos de Bacharelado e de Licenciatura) Questa˜ o 1 A F

G

B H

E J

I C D Sendo o penta´ gono ABCDE regular, resolva os itens abaixo. b e a) Determine os aˆ ngulos ABG b) Mostre que o triaˆ ngulo 5,0 pontos)

b . (valor: 5,0 pontos) GBH

ABH e´ iso´ sceles, e que os triaˆngulos ABC e BHC sa˜o semelhantes. (valor:

c) Mostre que a raza˜ o entre os comprimentos de uma diagonal e de um lado do penta´ gono e´ o nu´ mero p a´ ureo 1+2 5 .(valor: 10,0 pontos) Padr˜ao de Resposta Esperado

a)

b = 108± (aˆ ngulo interno do penta´ gono regular).

ABC

˜ DE RESPOSTA PADROES

1

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b = ACB b = 36± . Logo, ABG b = 36± : ¢ABC iso´ sceles ) BAC

b = DBC b = 36± : ABE b = 108± ¡ 72± = 36± .

Portanto, GBH

Analogamente,

b)

b = 72±: b = 180± ¡ 72± = 108± ) B HA BHC Assim, no triaˆ ngulo ABH , B = H = 72± , o que mostra que o triaˆ ngulo ABH e´ iso´ sceles. (1) Tambe´ m, pelo caso AAA de semelhanc¸a de triaˆ ngulos, tem-se a semelhanc¸a dos triaˆ ngulos ABC BHC , ja´ que os aˆngulos de ambos medem 36±, 36± e 108±.

c) Da semelhanc¸a entre

e

ABC e BHC : AB = AC HC BC

(2)

Representando por ` o lado e por d a diagonal do penta´ gono, temos:

AC = d AB = BC = ` HC = d ¡ AH = d ¡ ` (por (1), AH = `) Substituindo em (2), vem:

d ` d¡` = `

Como

p5 > 1, a unica soluc¸ao positiva e ´

˜

´

)

d2 ¡ d` ¡ `2 = 0 µ d ¶2 d ¡ ` ¡1=0 ` p d 1§ 5 = 2 `

p5

d = 1+ ` 2

˜ DE RESPOSTA PADROES

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Questa˜ o 2 Uma loja adota a seguinte promoc¸a˜ o: ”Nas compras acima de R$ 100,00, ganhe um desconto de 20% sobre o valor que exceder R$ 100,00”. a) Duas amigas fazem compras no valor de R$ 70,00 e R$ 50,00, respectivamente. Que economia elas fariam se reunissem suas compras em uma u´ nica conta? (valor: 5,0 pontos) b) Esboce o gra´ fico da func¸a˜ o f que associa a cada valor de compras pago pelo cliente. (valor: 5,0 pontos)

x ¸ 0 o valor f (x) efetivamente

c) Para x > 100, f (x) e´ da forma f (x) = ax + b. Calcule os valores de

a e b. (valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado a) Se elas reu´ nem suas compras, teˆ m um desconto de Logo, a economia e´ de R$ 4,00.

20%

sobre os R$ 20,00 que excedem R$ 100,00.

b)

100

100

c) Para x > 100,

f (x) = x ¡ 0; 2(x ¡ 100) = 0; 8x + 20 Logo, a = 0; 8 e b = 20.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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Questa˜ o 3 Sejam p1 ;p2 ;p3 ;:::; pn , os n primeiros primos naturais. a) Deduza que p1p2 p3 ::: pn + 1 e´ divis´ivel por um primo diferente de p1 ;p2 ;p3; :::;pn , mencionando os resultados necessa´ rios na sua deduc¸a˜ o. (valor: 10,0 pontos) b) Conclua, a partir de

(a), que existem infinitos primos. (valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado a)

p1p2p3 :: :pn + 1 e´ divis´ivel por algum primo p, pois se fatora como produto de primos. enta˜ o p divide 1, o que e´ imposs´ivel.

Pode-se, tambe´ m, argumentar que p1 p2 :: :pn + 1 deixa resto 1 quando dividido por pi .

Se

p = pi,

Os resultados utilizados sa˜ o: - Todo natural

> 1 e´ primo ou produto de primos.

- Se um natural divide dois outros, enta˜ o divide sua diferenc¸a. b) O procedimento de (a) fornece um primo p > pn . Logo, o conjunto dos primos e´ ilimitado. Como todo subconjunto ilimitado dos naturais e´ infinito, conclui-se que ha´ infinitos primos.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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Questa˜ o 4 Existe uma u´ nica reflexa˜ o (ou simetria ortogonal) S do plano que transforma o ponto (5; 0) no ponto (3; 4). a) Estabelec¸a uma equac¸a˜ o para o eixo da reflexa˜ o S . (valor: 5,0 pontos) b) Verifique que o eixo de pontos)

S

passa pela origem (portanto,

c) Calcule a matriz (em relac¸a˜ o a` base canoˆ nica de

S e´ uma transformac¸a˜ o linear).

R2 ) da reflexa˜o S.

(valor: 5,0

(valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado a) O eixo de S e´ a mediatriz do segmento de extremos A(5; 0) e B (3; 4). Esta reta passa pelo ponto ~ = (¡2; 4). Logo, sua equac¸a˜o e´ : me´ dio de AB , que e´ o ponto (4; 2), e e´ perpendicular ao vetor AB

¡2(x ¡ 4) + 4(y ¡ 2) = 0 ) x ¡ 2y = 0 b) A origem O = (0; 0) satisfaz a equac¸a˜ o acima. Logo, o eixo de S passa pela origem. Alternativamente, poder´iamos verificar que O e´ equidistante de A e B . c) Basta encontrar os transformados de (1; 0) e (0; 1) por S . Como S (5; 0) = ¡3 4¢ ˜ o sobre o eixo: 5 ; 5 . Para achar S (0; 1), primeiro encontramos sua projec¸a 8 > < > :

;

Logo, o sime´ trico de

(0 1)

Portanto, a matriz de

S e´

e´

x ¡ 2y = 0

)

x ¡ 0) + y ¡ 1 = 0

2(

¡4 5

; ¡ 35

¢

;

(3 4),

temos

S(1; 0) =

x = 25 y = 15

.

µ3 5 4 5

¡

4 5 3 5

¶

Soluc¸a˜ o alternativa: S e´ da forma: Temos

S (x;y) =

µ

a b ¶ µ x ¶ µ ax + by ¶ = c d y cx + dy

S (5; 0) = (5a; 5c) = (3; 4)

)

a = 53 e c = 54

O ponto me´ dio e´ fixo. Logo, S (4; 2) = (4; 2).

˜ DE RESPOSTA PADROES

5

V PROV O 99 Assim

MATEMA´ TICA µ

˜ DE RESPOSTA PADROES

3

4

¶

:4 + 2b; 5 :4 + 2d 5

;

= (4 2)

)

b = 54 e d = ¡ 54

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Questa˜ o 5 O valor me´ dio de uma func¸a˜ o cont´inua e positiva f em um intervalo [a;b] pode ser definido geometricamente como a altura de um retaˆ ngulo com base [a;b] e com a´ rea equivalente a` a´ rea sob a curva y = f (x) nesse intervalo. a) Esboce o gra´ fico de 10,0 pontos)

f (x) = sen x, para x 2 [0;¼], indicando seus valores ma´ ximo e m´inimo.

b) Calcule o valor me´ dio de

(valor:

f (x) =sen x no intervalo [0;¼]. (valor: 10,0 pontos)

Padr˜ao de Resposta Esperado a) f(x)

1

π/2

π

x

O valor ma´ ximo e´ 1 e o valor m´inimo e´ 0. b) O valor me´ dio e´

R¼ 0

˜ DE RESPOSTA PADROES

senx

¼

=

¡ cos x]¼0 = ¡(cos ¼ ¡ cos 0) = 2 ¼

¼

¼

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PARTE C (Quest˜oes espec´ificas para os Formandos de Bacharelado) Questa˜ o 6 Um modelo cla´ ssico para o crescimento de uma populac¸a˜ o de determinada espe´ cie esta´ descrito a seguir.

Indicando por y = y(t) o nu´ mero de indiv´iduos desta espe´ cie, o modelo admite que a taxa de crescimento relativo da populac¸a˜ o seja proporcional a` diferenc¸a M ¡ y(t), onde M > 0 e´ uma constante. Isto conduz a` equac¸a˜ o diferencial yy = k(M ¡ y), onde k > 0 e´ uma constante que depende da espe´ cie. Com base no exposto: 0

a) resolva a equac¸a˜ o diferencial acima; (valor: 10,0 pontos) b) considere o modelo apresentado para o caso particular em que M = 1000, k = 1 e y(0) = 250 e explique qualitativamente como se da´ o crescimento da populac¸a˜ o correspondente, indicando os valores de t para os quais y(t) e´ crescente, e o valor limite de y(t) quando t ! 1. (valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado a) A equac¸a˜ o pode ser escrita como

y0 = ¡k + kM : y2 y

Mudando a varia´ vel para v (t) = y (1t) , obte´ m-se

v0(t) = ¡ y(1t)2 :y0(t): Portanto, v 0(t) = k ¡ kMv, que e´ linear de grau 1. Logo

¡kMT

v(t) = M1 + ce M e, da´i,

y(t) = 1 + ceM¡kMt

b) Para os valores dados, tem-se: 250 =

Logo, c = 3. A func¸a˜ o e´ , portanto,

1000 1+

c:1

y(t) = 1 + 1000 3e¡1000t

Como f (t) = e¡1000t e´ decrescente e positiva para todo outro lado,

t ¸ 0, y(t) e´ crescente para todo t ¸ 0.

Por

1000 = 1000 lim ( ) = t!1 1+0

yt

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Soluc¸a˜ o alternativa para (a): Separando as varia´ veis, obtemos:

y0 = k; y(M ¡ y)

que e´ equivalente a

y0 + y0 = kM y M ¡y

Integrando, vem ln

jyj ¡ ln jM ¡ yj ln

onde

y

M ¡y y M ¡y y

= = = =

kMt + C kMt + C eC +kMt MeC +kMt = M M = ; C + kMt ¡ C ¡ kMt 1+e 1+e 1 + C0 e¡kMt

C0 = e¡C .

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Questa˜ o 7 Seja Z3 = Z3 .

©

ª

; ; ¡1

0 1

a) Mostre que

o corpo de inteiros mo´ dulo 3 e

Z3[x] o anel de polinoˆ mios em x com coeficientes em

x2 + x ¡ 1 e´ irredut´ivel em Z3[x]. (valor: 10,0 pontos)

b) Mostre que o anel quociente Z3 /(x2 + x ¡ 1) e´ um corpo e que tem 9 elementos. (valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado a)

x2 + x ¡ 1 na˜o tem ra´izes em Z3 e e´ quadra´ tico, logo, irredut´ivel.

Z3[x], temos que, dado p(x) 2 Z3[x], existem q(x);r(x) em Z3[x] com p(x) = (x2 + x ¡ 1)q(x)+ r(x) com @r < 2. Da´i r(x) = ax + b com a;b 2 Z3 e as classes do anel quociente conteˆ m um u´ nico representante linear. Logo, Z3 [x]/(x2 + x ¡ 1) possui 9 elementos. Todo

b) Usando o algoritmo da divisa˜ o em

x + 1 = ¡x (¡x + 1) = (x ¡ 1) (¡x + 1) = 1. Alternativamente, pode-se calcular x2 + x ¡ 1 = (ax + b)q(x) + c, onde c = 1 ou c = ¡1 e q(x) e´ o inverso de ax + b. Ainda poder-se-ia mencionar que o ideal e´ maximal em Z3 [x] e por isso o quociente elemento na˜ o nulo possui inverso multiplicativo, pois x

e´ um corpo.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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Questa˜ o 8 Considere o subconjunto ¡ do R2 dado pela equac¸a˜ o 2(x2 + y2)2 = 25(x2 ¡ y2). a) Para que valores de x existem vx , vizinhanc¸a de x, e func¸a˜ o diferencia´ vel satisfazendo 2(x2 + y2 )2 = 25(x2 ¡ y2 )? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

y = y(x) definida em vx,

b) Obtenha a reta tangente a ¡ no ponto (3; 1). (valor: 10,0 pontos)

Padr˜ao de Resposta Esperado 2 2 a) Tome-se F (x;y) = 2(x2 + y2 )2 ¡ 25(x2 ¡ y2 ) . Como @F @y (x;y) = 8(x + y ):y + 50y segue que @F (x;y) = 0 , y = 0: @y p Para y = 0 tem-se 2x4 = 25x2 e portanto x = 0 ou x = § 5 2 2 . p p Ale´ m disso, ¡ 5 2 2 · x · 5 2 2 Isto pode ser obtido de va´ rias formas: - escrevendo-se

¡

em coordenadas polares;

(Fazendo x = r cos µ e y = sen µ, a equac¸a˜ o transforma-se em 2r4 ¡ 25r2 cos 2µ = 0, que e´ equivalente a r2 =

25 cos2µ , 2

cujo gra´ fico e´ dado abaixo.)

- resolvendo-se a equac¸a˜ o (incompleta) do 4± grau em x;

- analisando-se as intersec¸o˜ es de ¡ com os eixos, seu gra´ fico no 1± quadrante, etc...

1

-3

-2

0 0

-1

1

2

3

-1

Assim

p

p

¡52 2 < x < 52 2 e x 6 = 0.

b) Diferenciando implicitamente em relac¸a˜ o a x obtemos:

x

4(

2

+

y)

2 2

¶ µ ¶ dy dy 2x + 2y dx = 25 2x ¡ 2y dx

µ

No ponto (3; 1) temos x = 3 , y(3) = 1. Ou seja: 4(32 + 12) 9 que fornece dy dx (3) = ¡ 13 .

Logo, a reta procurada e´ :

˜ DE RESPOSTA PADROES

µ

¶ µ ¶ dy dy 6+2 dx = 25 6 ¡ 2 dx ;

9 y¡1 x ¡ 3 = ¡ 13

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Questa˜ o 9 Prove que se uma func¸a˜ o f : Rn ! Rn e´ cont´inua, enta˜ o a imagem inversa f ¡1(V ) de todo subconjunto aberto V ½ Rn e´ um subconjunto aberto de Rn . (valor: 20,0 pontos) Definic¸a˜ o: Uma func¸a˜ o f : Rn ! Rn e´ cont´inua num ponto a 2 Rn quando, para todo ² > 0 existe ± > 0 tal que

jx ¡ aj < ± ) jf (x) ¡ f (a)j < ².

Padra˜ o de Resposta Esperado Suponhamos f cont´inua e tomemos V ½ Rn um aberto. Vamos mostrar que f ¡1(V ) e´ aberto em Rn . Para cada a 2 f ¡1 (V ) temos f (a) 2 V . Sendo V aberto, existe uma bola aberta B (f (a);²), de centro f (a) e raio ² > 0, tal que B(f (a);²) ½ V . Como f e´ cont´inua em a, ao ² > 0 corresponde um ± > 0 tal que jx ¡ aj < ± ) jf (x) ¡ f (a)j < ². Considere, agora, x 2 B (a;± ). Segue que jx ¡ aj < ± e, da´i, jf (x) ¡ f (a)j < ². Logo, f (x) 2 B(f (a);²). Conclu´imos que f (x) 2 V e, portanto, que x 2 f ¡1(V ). Mostramos, assim, que existe uma bola aberta B(a;±) tal que B(a; ±) ½ f ¡1(V ) e, portanto, que f ¡1 (V ) e´ aberto.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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Questa˜ o 10 Sejam F~ : D ½ R2 ! R2 um campo conservativo, Á : D ½ R2 ! R uma func¸a˜ o potencial de F~ e ° : [a;b] ! D uma curva regular de classe C 1. a) Mostre que o trabalho realizado por F~ sobre ° e´ dado por Á (° (b)) ¡ Á (° (a)). (valor: 10,0 pontos) ´ ³ b) Calcule o trabalho realizado pelo campo F~ (x;y) = x2 +x y2 ; x2 +y y 2 sobre a curva esboc¸ada abaixo. (valor: 10,0 pontos)

e

1

Definic¸o˜ es: Um campo vetorial F~ : D ½ R2 ! R2 diz-se conservativo (ou gradiente) se existe Á : D ! R, ~ Á = F~ em todo ponto de D. Uma tal Á chama-se func¸a˜ o potencial. O trabalho de classe C 1 , tal que r Rb realizado por um campo de vetores sobre uma curva ° : [a;b] ! D e´ dado por F~ (° (t)) :~° 0 (t)dt. a Padr˜ao de Resposta Esperado a ) Basta aplicar a Regra da Cadeia e o Teorema Fundamental do Ca´ lculo Zb a

b

b

Z Z ~F (°(t)):~°0(t)dt = r~ Á(°(t)):~°0(t)dt = d (Á ± °)dt = Á ± °]ba = Á(°(b)) ¡ Á(°(a)): dt a a

b) O campo F~ e´ conservativo (em R2 ¡ f(0; 0)g) e ~ Á(x;y) = F~ (x; y), ja´ que: fato, temos r

Á(x;y) = 12 ln(x2 + y2) e´ uma func¸a˜o potencial. De

@Á (x;y) = x @x x2 + y2 @Á (x;y) = y : @y x2 + y2 Em vista do item

(a): Zb a

˜ DE RESPOSTA PADROES

F~ (°(t)):~°0(t)dt

=

Á(°(b)) ¡ Á(°(a)) 13

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MATEMA´ TICA 1

=

2 1

=

2

ln(12 + 02) ln 1

¡ ln e ¡1:

= =

¡ 21 ln(e2 + 02)

¡ 21 ln e2

Outras soluc¸o˜ es poss´iveis: 1. Como o campo e´ conservativo, a integral pedida e´ igual a` integral calculada ao longo do segmento

¾ : [1; e] ! R2 ¾(t) = (e + 1 ¡ t; 0) Assim Ze

Z

F~ (°(t)):~°0(t)dt

=

°

1

1

e

e + 1 ¡ t (¡1)dt = Z ¡ 1 dt (e + 1 ¡ t)2 e+1¡t 1

¡ t)]e1 = ¡ ln e = ¡1

e

=

Ze

F~ (¾(t)):~¾0(t)dt =

ln( + 1

2. γ D

γ

2

e

1

γ

1

Em consequ¨ eˆ ncia do Teorema de Green, temos: I

°1 [°

F~ :d~r +

I

°2

F~ :d~r =

ZZ µ D

@F2 ¡ @F1 ¶ dxdy @x @y

Da´i, segue que Ze

Z1

F~ (°(t)):~°0(t)dt + F~ (°1(t)):~°10(t)dt ¡ e

1

pois Sendo

˜ DE RESPOSTA PADROES

I °2

F~ :dr = 0

@F2 = @F1 = ¡ 2xy @x @y (x2 + y2)2 °2(t) =

µ

1 2

1

¶

cost; 2 sent

;

0

· t · 2¼ 14

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MATEMA´ TICA

e

°1(t) = (e + 1 ¡ t; 0);

temos

I °2

e

F~ :d~r =

I °1

Portanto

Re 1

1

· t · e;

! µ Z 2¼ Ã 1 1 sent cos t 1 2 2

F~ :d~r =

1 4

0

Z e 1

;

1 4

¶

: ¡ 2 sent; 2 cost dt = 0 1

e + 1 ¡ t dt = Z e ¡ 1 dt = ¡1: (e + 1 ¡ t)2 e+1¡t 1

F~ (°(t)):~°0(t)dt = ¡1.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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PARTE C (Quest˜oes Espec´ificas para os Formandos de Licenciatura) Questa˜ o 11 Temos abaixo uma sequ¨ eˆ ncia de triaˆ ngulos constru´idos com palitos. ........

Foi proposto a uma turma o desafio de escrever uma expressa˜ o alge´ brica que representasse o nu´ mero P de palitos necessa´ rios para formar um nu´ mero n de triaˆ ngulos. Os alunos usaram palitos para construir alguns triaˆ ngulos e registraram os seguintes valores na tabela.

N0 Triaˆ ngulos (n) N0 Palitos (P)

1 2 3 4 3 5 7 9

Depois disso, - o aluno A disse:

”Observei a tabela e conclu´i que o nu´ mero de palitos e´ o dobro do nu´ mero de triaˆ ngulos mais 1”,

e escreveu: P = 2n + 1; - o aluno B disse:

”Ao formar os triaˆ ngulos, percebi que para o primeiro foram usados 3 palitos; a partir do segundo triaˆ ngulo, foram sempre usados 2 palitos para cada um”, e escreveu: P = 3 + 2:(n ¡ 1):

Analisando as concluso˜ es dos dois alunos, responda a` s perguntas abaixo. a) Quem observou padro˜ es de regularidade na situac¸a˜ o:

A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

b) Quem justificou satisfatoriamente as suas concluso˜ es:

A, B ou ambos? Justifique. (valor: 10,0 pontos)

Padr˜ao de Resposta Esperado a) Ambos os alunos observaram a regularidade envolvida na situac¸a˜ o. O aluno A observou uma regularidade nume´ rica no conjunto dos nu´ meros da tabela, enquanto B observou uma regularidade a partir do processo de formac¸a˜ o dos triaˆ ngulos, sem olhar tais nu´ meros. b) Em relac¸a˜ o a` s justificativas:

² A na˜ o justificou a generalizac¸a˜ o feita, porque sua conclusa˜ o se apoiou apenas em um nu´ mero finito de casos da tabela.

² B de fato justificou a generalizac¸a˜o que fez, pois sua conclusa˜o se apoiou em uma caracter´istica geral do processo, e na˜ o em um ou alguns casos particulares.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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MATEMA´ TICA

Questa˜ o 12 f (x)

100 120

x

O gra´ fico da func¸a˜ o f (x) e´ dado acima. Sabe-se que f e´ cont´inua, mas so´ se conhecem, exatamente, os seus valores nos pontos indicados. Assim sendo, perguntou-se a dois alunos o valor de f (110).

f (100) 100 - f (100) ! y = 110£100 110 y B respondeu 120 - f (120) ! y = 110£120f (120) 110 y Os alunos se surpreenderam ao encontrar resultados diferentes.

Com base em todo o exposto, atenda a` s solicitac¸o˜ es abaixo.

A respondeu

a) Algum dos dois alunos determinou o valor correto de b) Deˆ o gra´ fico de uma func¸a˜ o pontos)

f (110) ? Por queˆ ? (valor: 10,0 pontos)

f para a qual o me´ todo usado pelo aluno A estaria correto.

(valor: 10,0

Padra˜ o de Resposta Esperado a) Na˜ o, porque ambos, ao resolverem o problema usando uma regra de treˆ s, consideraramy e x proporcionais, o que na˜ o e´ o caso, uma vez que a func¸a˜ o y(x) na˜ o e´ linear. Isto pode ser afirmado porque os pontos (100;f (100)) e (120;f (120)) na˜ o esta˜ o sobre uma reta contendo a origem. b) Qualquer gra´ fico de uma func¸a˜ o tal que os pontos reta contendo a origem.

˜ DE RESPOSTA PADROES

;f (100)) e (110;f (110)) estejam sobre uma

(100

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MATEMA´ TICA

Questa˜ o 13 A um aluno foi pedido um esboc¸o da demonstrac¸a˜ o do seguinte teorema:

”Se uma reta r conte´ m a intersec¸a˜ o das diagonais de um paralelogramo, enta˜ o r divide esse paralelogramo em duas regio˜ es de mesma a´ rea.”

Observe a sua resposta.

”Considera-se o paralelogramo ABCD de diagonais AC e BD, cuja intersec¸a˜ o e´ o ponto P , e uma reta r, paralela a AB, contendo P , que corta os lados AD e BC do paralelogramo nos pontos M e N , respectivamente. Prova-se que cada um dos treˆ s triaˆ ngulos que compo˜ em o quadrila´ tero ABNM e´ congruente a um dos treˆs triaˆ ngulos que compo˜ em o quadrila´ tero DMNC. Como figuras congruentes teˆm a´ reas iguais, segue-se que a a´ rea de ABNM e´ igual a` de DMNC.” Se tivesse de corrigir esta tarefa, voceˆ a consideraria correta (sem levar em conta o seu n´i vel de detalhamento)?

Justifique. (valor: 20,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado

A resposta na˜ o esta´ correta, pois, de in´icio, o aluno considerou um caso muito particular: a reta r paralela a um dos lados do paralelogramo, e na˜ o uma reta qualquer, contendo o ponto P . Mesmo estando correto o resto do racioc´inio, ele so´ prova a afirmac¸a˜ o para este caso e na˜ o no caso geral, como afirma o teorema.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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MATEMA´ TICA

Questa˜ o 14 Estudos e experieˆ ncias evidenciam que a calculadora e´ um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matema´ tica. A justificativa para essa visa˜ o e´ o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realizac¸a˜ o de tarefas explorato´ rias e de investigac¸a˜ o.

In. Paraˆ metros Curriculares Nacionais: Matema´ tica Deˆ dois exemplos concretos de situac¸o˜ es em que, de acordo com o trecho acima, a calculadora pode ser usada como recurso dida´ tico no Ensino Fundamental ou Me´ dio da Matema´ tica. (valor: 20,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado

Exemplos positivos: resoluc¸a˜ o de problemas com dados reais, representac¸a˜ o decimal das frac¸o˜ es, uso da calculadora para verificar resultados e fazer auto-avaliac¸a˜ o, na notac¸a˜ o cient´ifica, no estudo do comportamento de sequ¨ eˆncias, na matema´ tica financeira, no estudo da trigonometria, da estat´istica, e nas aproximac¸o˜ es no ca´ lculo de a´ reas, resoluc¸a˜ o nume´ rica de equac¸o˜ es.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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V PROV O 99

MATEMA´ TICA

Questa˜ o 15 Teorema de Tales Se treˆ s retas paralelas r, s e t cortam duas transversais m e n nos pontos DE A; B;C e D;E;F , respectivamente, enta˜ o as razo˜ es AB AC e EF sa˜ o iguais (ver figura).

A B C

D E F

A demonstrac¸a˜ o do Teorema de Tales usualmente encontrada nos textos para o ensino fundamental segue duas etapas.

I - Prova-se que, se

AB = BC , enta˜ o DE = EF .

AB 6 = BC , considera-se um segmento de comprimento u tal que: AB = p:u e BC = q:u, sendo p;q 2 N, p 6 = q.

II - Supondo que

Utiliza-se, enta˜ o, o resultado da etapa I para concluir que as paralelas pelos pontos de subdivisa˜ o de AB e BC dividira˜ o tambe´ m DE e EF em partes iguais (de comprimento u0). Da´i , conclui-se que AB = p = DE .

BC q EF a) Este tipo de demonstrac¸a˜ o abrange os casos nos quais e´ natural? racional? real qualquer? Justifique. (valor: 10,0 pontos) b) Cite dois exemplos de conteu´ dos da geometria elementar cujo ensino utilize o Teorema de Tales. (valor: 10,0 pontos)

Padra˜ o de Resposta Esperado AB e´ racional que e´ , exatamente, o caso tratado na segunda parte da a) Abrange o caso em que a raza˜ o BC AB e´ inteiro sa˜ o casos particulares dos racionais, quando demonstrac¸a˜ o apresentada. Os casos em que BC AB na˜ o e´ racional, na˜ o existira´ nenhum segmento que esteja p e´ mu´ ltiplo inteiro de q. No entanto, se BC contido um nu´ mero inteiro p de vezes em AB e um nu´ mero inteiro q de vezes em BC (AB e BC sa˜ o incomensura´ veis). Assim, a demonstrac¸a˜ o dada na˜ o se aplica.

b) Exemplos: - Estudo de semelhanc¸a de figuras: demonstrac¸a˜ o dos casos de semelhanc¸a de triaˆ ngulos, teorema da base me´ dia do triaˆ ngulo, etc.

- Construc¸o˜ es com re´ gua e compasso: divisa˜ o de segmentos em partes iguais ou numa raza˜ o dada, obtenc¸a˜ o de quarta proporcional, etc.

- Demonstrac¸o˜ es dos teoremas das bissetrizes interna e externa de um triaˆ ngulo, etc.

˜ DE RESPOSTA PADROES

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