PadraoResp2000

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Questão nº 1 Padrão de Resposta Esperado: A afirmação (i) "A função f(x) = tg x ... f' (x) = sec2x" está correta.

A afirmação (ii) está errada. A afirmação correta seria "Uma função cuja derivada é positiva em um intervalo é crescente nesse intervalo."

A afirmação (iii) está errada. A afirmação correta seria "Logo, a função tangente é crescente em qualquer intervalo do seu domínio."

3π π A conclusão (iv) está evidentemente errada (−1 não é maior que 1) e, apesar de 3π > π , não se pode concluir que tg > tg 4 4 4 4

π 3π porque  ,  não é subconjunto do domínio da função tangente ( π  4 4  2 domínio da função tangente).

, que está compreendido entre

π 3π , não pertence ao e 4 4 (valor: 20,0 pontos)

Observação: Na argumentação acima, tem-se que (i) e (ii) implicam (iii) e (iv) (que são falsos). A falha do argumento se concentra em (ii).

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Questão nº 2 Padrão de Resposta Esperado: a) Se a não é divisível por 3, então a ≡ 1 ou a ≡ 2 (mod 3). Daí, a2 ≡ 1 ou a2 ≡ 4 (mod 3), ou seja, em ambos os casos, a2 ≡ 1 (mod 3). (valor: 10,0 pontos) 2 2 (a + b ), b) Suponhamos que 1º caso: 3 com a hipótese.

b . Tem-se, então, b2 ≡ 0 (mod 3) e, pela parte a), a2 ≡ 1 (mod 3); donde a2 + b2 ≡ 1(mod 3), o que é incompatível

ae

2º caso: Por simetria, não se pode ter

a e 3 b.

3º caso: Falta examinar o caso em que 3

a e 3

b. Neste caso, tem-se, pela parte a), a2 + b2 ≡ 1 + 1 (mod 3), ou seja

a 2 + b2 ≡ 2 (mod 3), o que é também incompatível com a hipótese.

Logo,

a e

b.

Alternativa: não usar congruências e escrever a = 3 k + r, onde r pode ser 0,1 ou 2, e prosseguir a argumentação. (valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 3 Padrão de Resposta Esperado: a) f não é injetora pois, por exemplo, f(1) = 3 e f(14) = 29 = 3, em Z26; logo não pode ser invertível. Pode-se também provar que f não é sobrejetora, pois 2, por exemplo, não pertence à imagem de f. (valor: 10,0 pontos) b)

1a alternativa: q = 3p + 1 ⇔ 3p = q −1 ⇔ p = 3−1. (q −1) ⇔ p = 9(q −1) ⇔ p = 9q −9, isto é, f−1(q) = 9q + 17.

2a alternativa: O estudante, se não souber inverter a função algebricamente, poderá demonstrar iniciativa construindo a tabela para a função f e daí montar a tabela para a inversa, tendo em vista que o domínio de cada uma destas funções tem 26 elementos e os cálculos não são tão complicados. (valor: 10,0 pontos)

Obs.: Serão também aceitas respostas com: − alguma pesquisa sobre valores de f e de f– 1; − a apresentação da inversa mesmo sem prova.

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Questão nº 4 Padrão de Resposta Esperado: 1ª alternativa: a)

γ

a

α

b

β

x

Contados a partir do nível dos olhos de Maria, sejam: a a altura total da estátua, incluindo o pedestal; b a altura do pedestal, x a distância dos olhos de Maria à estátua, medida na perpendicular à estátua. O ângulo γ será o ângulo sob o qual Maria vê a estátua. É preciso determinar x de modo que γ seja máximo. É claro que d = a − b, altura da estátua excluindo o pedestal, pode ser introduzido no problema em substituição a a ou a b. (valor: 10,0 pontos)

b) Tem-se: tg γ = tg (α − β) = x > 0 somente quando x =

(a − b) (ab − x 2 ) tg α − tg β (a − b ) x = 2 = f(x) , com x, a, b e a − b > 0 e f’(x) = que se anula para 1 + tg α . tg β (x 2 + ab) 2 x + ab

ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor de x, a função f(x) passa

por um máximo. Sendo a função arctg uma função crescente, para esse valor de x, tem-se que o valor de γ também será máximo. Logo o ab

valor de x procurado é x =

(valor: 10,0 pontos)

2ª alternativa: a)

(valor: 10,0 pontos) γ α

a b

β

x b) tg α =

b (a − b)(ab − x2 ) −a b b a a + 2 = 2 e tg β = . Como γ = arctg − arctg tem-se que γ' = 2 2 2 (x + a2 )(x2 + b2 ) x +a x +b x x x x

que se anula para x > 0 somente quando x =

ab , passando de valores positivos para negativos, o que confirma que, para este valor

de x, γ passa por um máximo. Logo o valor de x procurado é x =

ab

(valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 5 Padrão de Resposta Esperado: a) Não.

(valor: 5,0 pontos) ∞

b) Um exemplo de série convergente é o da série ∑ ( −1)n n=1

1 (converge porque é uma série alternada em que os valores absolutos dos n

termos formam uma seqüência decrescente tendendo a 0). Tomada, entretanto, a série só dos termos pares, tem-se: ∞

2n ∑ (−1)

n =1

∞ 1 1 1 ∞ 1 = ∑ = ∑ e esta última é divergente para ∞ , pois é a série harmônica.

2n n = 1 2n 2 n = 1 n

(valor: 15,0 pontos)

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PARTE C (BACHARELADO) Questão nº 6 Padrão de Resposta Esperado: 1a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente. O valor da integral I é igual a 2π i x ∑ Res z∈int γ

z

1 1+z2

. Calculando os resíduos da

função em seus pólos, i e −i, temos: Res i

1 1+ z2

= lim

z→i

z−i 1+ z 2

= lim

z→i

1 1 = z + i 2i

De modo análogo, calcula-se o resíduo em z = −i, que dá 1 . −2i Daí, têm-se os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem – i em seu interior, então: I = 0;

1 2. γ contém i no interior, mas não – i, então: I = 2π i x   = π  2i   1 3. γ contém −i no interior, mas não i, então: I = 2π i x  −  = − π ;  2i  1   1 + 4. γ contém i e – i, no interior, então: I = 2π i   =0 2i − 2i   Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima.

2 a alternativa: Consideremos γ orientada positivamente.

f(z) =

1 1 + z2

=

Decompondo f em frações simples, chega-se a:

i  1 1  −   .

2  z + i z − i

Têm-se novamente os 4 casos: 1. γ não contém nem i nem – i em seu interior; então a função é analítica no interior de γ e I = 0; 2. γ contém i no interior, mas não – i; então a parcela

outra parcela que, pela Fórmula de Cauchy f(z0 ) =

i 1 é analítica no interior de γ, e o valor da integral se reduz à integral da x 2 z +i

1 2π i

!∫

f (z) i dz , é: I = 2π i x ( − 1) = π ; z − z0 2

3. γ contém −i no interior, mas não i; então é a parcela i x 1 que é analítica no interior de γ, e o valor da integral será o valor da 2 z −i integral da outra parcela, que também pode ser calculada pela Fórmula de Cauchy dando:

i (1) = − π ; 2 4. γ contém i e – i, no interior, então o valor da integral é a soma dos valores de I nos casos 2 e 3, isto é: I = π − π = 0.

I = 2π i x

Se γ estiver orientada negativamente, os valores da integral serão os simétricos dos valores encontrados acima. (valor: 20,0 pontos)

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Questão nº 7 Padrão de Resposta Esperado: Se u2 é harmônica, tem-se que: ∆ u2 = 0, mas 2

∂u2 ∂u ∂ 2u2  ∂u  + 2u ∂ 2u e, analogamente : = 2u = 2 ∴ 2  ∂x ∂x ∂x ∂x 2  ∂x  2

 ∂u  + 2u ∂ 2u2 , donde : ∂ 2u2 = 2 2  ∂y ∂y 2 ∂y 



2 2  ∂u     ∂u  ∆ u = 2   +    + 2u ∆u = 0   ∂x   ∂y    2

2

 ∂u  +  ∂u  Se u é harmônica, tem-se então que      ∂x   ∂y 

2

= 0 , mas este 1º membro é o quadrado do módulo do gradiente de u. Sendo grad u = 0

no plano, que é conexo, tem-se u = constante.

Alternativas: o graduando pode trabalhar com a diferencial, ou mesmo com as derivadas parciais de u em vez do gradiente. (valor: 20,0 pontos)

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Questão nº 8 Padrão de Resposta Esperado: ∞

t

0 ( An ) 0 = 0 . Logo, Esse resultado é verdadeiro no caso em que t0 > 0 (dado não informado). Com efeito, se ∑ (An ) converge, então nlim →∞ n=0 t

t

sendo c um número fixado entre 0 e 1, existe n 0 tal que para n ≥ n 0 tem-se que 0 < An0 < c < 1. Mas, então, como a t

t

t 0 0 t/ t exponencial de base menor que 1 é decrescente, tem-se que, para todo n ≥ n 0 e t ≥ t 0 > 0 : 0 < A = ( A ) 0 ≤ A porque n n n

t ≥ 1. t0 ∞

t Isto é, a série ∑ (An ) admite uma série majorante convergente e essa majoração é a mesma para todo t. Então, (pelo critério M de n=0 ∞

t Weierstrass) a série ∑ (An ) é uniformemente convergente. n=0

Alternativa: Se t0 < 0, a tese não pode ser verdadeira, pois, neste caso, 0 ∈ [ t0 , ∞ [ e esta série não converge quando t = 0. (valor: 20,0 pontos)

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Questão nº 9 Padrão de Resposta Esperado: 1ª alternativa: Os autovalores dessa matriz são as raízes de

−λ −1 3 0 2−λ 0 =0 0 −1 3 − λ .

São, portanto, λ = 0, 2 de Jordan para A, que: A = P J P−1. onde 0 0 J = 0 2  0 0

0 0 ,  3

e

3

e os respectivos autovetores são: (x, 0, 0), (y, y, y) e (z, 0, z). Daí tem-se, tomando a Forma Canônica

 1 1 1 P =  0 1 0   0 1 1

e

P

−1

 1 0 −1 =  0 1 0   0 −1 1

Logo, An = P Jn P −1, mas:

0 0 n  J = 0 2 n 0 0

0   0  n 3 

e

0 2 n 3 n    − − PJ n P 1 = 0 2 n 0  . P 1 = n n 0 2 3  

0 2 n − 3 n 3 n    2n 0 . 0 n n n 0 2 − 3 3  

2ª alternativa: O polinômio característico é P(λ) = −λ (2 −λ) (3 −λ).

Dividindo λn por P(λ) teremos λn = P(λ) . Q (λ) + a λ2 + b λ + c.

Para calcular a, b, e c, fazemos sucessivamente λ = 0, λ = 2

e

λ = 3, obtendo 0 = c, 2n = 4a + 2b e 3n = 9a + 3b.

Daí, a = 3n −1 − 2 n −1 , b = 3 . 2 n −1 − 2 . 3 n −1, c = 0.

Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, P (A) = 0.

Daí,

 0 2n − 3n 3n   0 −5 9   0 −1 3    An = a A2 + bA. Como A 2 =  0 4 0  e A =  0 2 0  , An =  0 2n 0 .      0 −5 9   0 −1 3   0 2n − 3n 3n        3ª alternativa: Calcular A2, A3, sugerir uma expressão para An e provar por indução.

(valor: 20,0 pontos)

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Questão nº 10 Padrão de Resposta Esperado:

1ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0) Daí,

Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e

e

Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.

e

Su ∧Sv = Cu ∧Cv = R2 sen ϕ em ambas as superfícies.

2ª alternativa: Considerando as parametrizações em (θ, ϕ), S (θ, ϕ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ , R cos ϕ) para a esfera e C (θ, ϕ) = (R cos θ, R sen θ, R cos ϕ) para o cilindro, por um cálculo análogo têm-se: Sθ = (− R sen ϕ sen θ, R sen ϕ cos θ, 0) Cθ = (−R sen θ, R cos θ, 0)

e

Sϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ, − R sen ϕ) na esfera e

e

Cϕ = (0, 0, − R sen ϕ) no cilindro.

Daí, EG − F2 = R4 sen2 ϕ, em ambas as superfícies.

3ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:

S(u,v) = ( R2 − v 2 cos u, R2 − v 2 sen u, v) .

Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem pode ser calculada, em cada uma das superfícies, pela integral dupla da expressão

EG − F2 estendida ao mesmo domínio, onde E = <Su, Su> ; G = <Sv, Sv> e F = <Su, Sv> na esfera e expressões análogas para o cilindro.

2 2 Como Su = (− R − v sen u,

Cu = ( − Rsen u, R cos u, 0)

R2 − v 2 cos u, 0) e

,

Sv = (− v cos u / R2 − v2 , − v sen u /

R2 − v 2 , 1)

C v = (0, 0, 1).

tem-se que na esfera: EG − F2 = (R2 − v2) (sen2 u + cos2 u) [1 + v2 (cos2 u + sen2 u) / (R2 − v2)] − [v sen u cos u − v cos u sen u]2 = R2 e no cilindro: EG − F2 = R2 (sen2 u + cos2 u) x 1 − 0 = R2.

Logo, áreas de regiões correspondentes são iguais.

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4ª alternativa: Tomando coordenadas (u, v), o cilindro de raio R pode ser parametrizado por: C (u, v) = (R cos u, R sen u, v) e a esfera por:

S(u,v) = ( R2 − v 2 cos u, R2 − v 2 sen u, v) .

Relativamente a estas parametrizações, a projeção f corresponde à identidade em (u, v), isto é, os pontos correspondentes por f em cada uma das superfícies são imagens do mesmo par (u, v).

Assim, basta ver o que acontece com a área da imagem de uma região D no domínio das parametrizações em cada uma destas superfícies. Ora, a área de uma tal imagem na esfera pode ser calculada, pela integral dupla ∫∫ Su ∧ Sv du dv e no cilindro por D

∫∫ Cu ∧ Cv du dv , onde D

Su = (− R2 − v2 sen u, R2 − v 2 cos u, 0)

Cu = ( − R sen u, R cos u, 0)

e

,

Sv = (− v cos u / R2 − v2 , − v sen u /

R2 − v 2 , 1),

C v = (0, 0, 1).

2 2 2 2 Como Su ∧Sv = ( R − v cos u, R − v sen u,v) = R e Cu ∧Cv = (R cos u, R sen u,0) = R , tem-se que áreas de regiões correspondentes são iguais.

(valor: 20,0 pontos)

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PARTE C (LICENCIATURA) Questão nº 11 Padrão de Resposta Esperado: a)

A resposta está certa.

Melhor seria se o estudante respondesse aproximadamente 50%, de vez que ele só dispõe do desenho e não tem os dados numéricos. (valor: 10,0 pontos) b)

A resposta do aluno está errada.

A resposta certa seria afirmar que não se pode saber quem gastou mais em termos absolutos. A informação que se pode tirar do gráfico é que o estado I gastou com segurança uma porcentagem de sua arrecadação maior do que o estado II, em relação à própria arrecadação, mas, sem o dado sobre os respectivos totais de arrecadação, não se podem comparar as quantias gastas por um e por outro. (valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 12 Padrão de Resposta Esperado: a) Como y =

1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1, 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, tem-se que o gráfico solicitado é o arco da circunferência de raio 1 e

centro (0, 0), que fica no 1º quadrante.

(valor: 10,0 pontos)

b) A figura em questão pode ser decomposta em um triângulo de base

Então sua área pode ser calculada como a soma de

Ou seja, a área é:

3 π . + 8 12

1 1 x x 2 2

3 π π π 1 e altura , e um setor circular de ângulo central − = .

2 2 3 6 2

3 3 = 2 8

com

π 1 π x 12 x = .

12 2 6

(valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 13 Padrão de Resposta Esperado: a) Qualquer grandeza cuja variação seja, em cada instante, proporcional ao seu valor nesse instante pode ser modelada por uma função exponencial que é a inversa do logaritmo.

Alguns exemplos são: em Química, a quantidade de uma substância radioativa; em Economia, um capital empregado a juros; em Biologia, certas populações (de bactérias, por exemplo), etc. (valor: 10,0 pontos) b)

Sendo x(t) a medida dessa grandeza no instante t, tem-se: x’= kx e daí, se x (t0) ≠ 0, tem-se: In |x (t)/ x (t0)| = k (t − t0) ou x (t) = x (t0) exp [k (t − t0)] (e esta vale mesmo para x(t0) = 0)

(valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 14 Padrão de Resposta Esperado: a) Como a linha horizontal e o fio de prumo fazem um ângulo reto, o mesmo se dando com a borda do aparelho e o canudo, o ângulo formado pelo fio de prumo e o canudo terá por medida

p + 90° = 90° + v , logo, p = v .

(valor: 10,0 pontos)

b) Seja W o topo da árvore, X o ponto em que estão os olhos do observador, Z o ponto de encontro entre a vertical traçada do topo da árvore e a linha que parte de X no plano horizontal e que encontra essa vertical. O triângulo XZW é retângulo em Z e o observador pode medir o ângulo <X = v. Em seguida, andando na direção de Z uma distância d, o observador faz uma nova medida a partir do ponto Y, obtendo o ângulo p.

Considerando os triângulos retângulos XWZ e YWZ, tem-se que tg v1 = x/(d + YZ) e tg v2 = x/YZ Então, tg v1 = x . tg v2 / (d . tg v2 + x), de onde x (tg v2 − tg v1) = d . tg v1 . tg v2.

Como os ângulos v1 e v2 são diferentes (pois o ponto Y se encontra mais próximo de Z) e estão ambos entre 0 e 180°, tem-se que

a diferença tg v2 − tg v1 não se anula; logo, pode-se escrever: x = d . tg v1 . tg v2 / (tg v2 − tg v1), como a expressão que dá a altura pedida.

Observação: Uma simplificação interessante no processo se dá quando seja possível localizar o aparelho de forma que os valores de v1 e v2 sejam ângulos com tangente conhecida como por exemplo o caso em que v1 = 45° e v2 = 60° quando então x =

d 3 d (3 + 3 ) = .

2 3 −1 (valor: 10,0 pontos)

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Questão nº 15 Padrão de Resposta Esperado: a) 1a alternativa: P é um octaedro regular inscrito no tetraedro, pois possui quatro pares de faces paralelas. Esses pares são formados por uma face do octaedro obtida pelo corte do plano que passa pelos três pontos médios de cada um dos vértices e por uma face triangular inscrita numa face do tetraedro.

2a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura do “octaedro inscrito no tetraedro”. (valor: 5,0 pontos) b) Como as arestas de T foram divididas ao meio para se obterem as arestas de t, e como T e t são tetraedros regulares − figuras semelhantes, portanto, e com razão de semelhança igual a ½ − o volume de T é oito vezes o volume de t. (valor: 5,0 pontos)

c)

Como V(T) = 4 V(t) + V(P) e V(T) = 8 V(t), tem-se: V(P) = 8 V(t) – 4 V(t) = 4 V(t) .

(valor: 5,0 pontos)

d) 1a alternativa: O jogo poderá ser formado por 4 tetraedros regulares iguais a t (com arestas do tamanho da metade das de T) e quatro tetraedros não regulares, obtidos por cortes de P, de tal forma que cada dois desses tetraedros não regulares formem uma das pirâmides de base quadrada que compõem P. 2a alternativa: O aluno também poderá, simplesmente, apresentar um desenho dos poliedros como, por exemplo, o representado na figura anterior, onde aparece a diagonal do quadrado da base das duas pirâmides que formam o octaedro P. (valor: 5,0 pontos)

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