PIF

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA 1. (Unicamp 94) Dada uma seqüência qualquer a³.a .a‚,...,aŠ, tem-se:

#(aŒ÷ -aŒ)=(a³-a•)+(a•-a‚)+ ... +(aŠ÷ -aŠ)=a³-aŠ

No caso em que aŒ=j¤, essa identidade assume a forma:

#[(j-1)¤-j¤]=0¤-n¤=-n¤

Use esta identidade para mostrar que:

#j£=1£+2£+ ... +n£=(n¤/3)+(n£/2)+(n/6)

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2. (Unesp 95) Considere as seqüências (oŠ) e (tŠ), n=1,2,3,..., cujos termos gerais são, respectivamente:

oŠ=n(n+1) e tŠ= n(n+1)/2.

Demonstre que, para todo nµ1, t‚Š=oŠ+n£.

3. (Unesp 99) Considere a sequência (aŠ) = (3£¾ - 1), n Æ N. a) Para cada n Æ N, mostre aŠø = aŠ + 8.3£¾. b) Demonstre, por indução sobre n, que aŠ é divisível por 8, para todo n Æ N.

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4. (Ita 2001) Se f: ]0, 1[ ë IR é tal que, ¯ x Æ ]0, 1[,

então a desigualdade válida para qualquer n=1,2,3,... e 0<x<1 é:

a) |f(x)| + (1/2¾) < 1/2 b) (1/2¾) ´ |f(x)| ´ 1/2 c) 1/(2¾®¢) < |f(x)| < 1/2 d) |f(x)| > (1/2¾) e) |f(x)| < (1/2¾)

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GABARITO

1. # [(j - 1)¤ - j¤] = - n¤ e (j - 1)¤ - j¤ = -3j£ + 3j - 1

Daí: # (-3j£ + 3j - 1) = -n¤

Assim sendo, para j = 1, 2, 3, 4, ... , n temos:

(-3.1£+3.1-1) + (-3.2£+3.2-1) + (-3.3£+3.3-1) + ... ... + (-3n£+3n-1) = -n¤

-3(1£+2£+3£+...+n£) + 3(1+2+3+...+n) + + (-1-1-1... -1) = -n¤

3(1£+2£+3£+...+n£)=n¤+3(1+2+3+...+n)-n

3(1£+2£+3£+....+n£)=n¤+ [3(1+n)n/2]-n

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3(1£+2£+3£+...+n£)=n¤+(3n£/2)+(3n/2)-n

3(1£+2£+3£+...+n£)=n¤+(3n£/2)+(n/2)

1£+2£+3£+...+n£=(n¤/3)+(n£/2)+(n/6)

2. Para n = 1, 2, 3, 4, ..., temos: t‚Š = [2n(2n+1)]/2 = 2n£ + n = n£ + n£ + n = = n£ + n (n+1) = n(n+1) + n£ = oŠ + n£

3. a) aŠø = 3£ ¾®¢ - 1 = 3£¾®£ - 1 = 3£¾ . 3£ - 1 =

= 9 . 3£¾ - 1 = 3£¾ - 1 + 8 . 3£¾ = aŠ + 8 . 3£¾.

b) (I) Para n = 0, temos: a³ = 3¡ - 1 = 1 - 1 = 0 Ì a³ é divisível por 8

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(II) Supondo aŠ divisível por 8 devemos provar que aŠø também é divisível por 8.

Hipótese

ýExiste k Æ IN tal que aŠ = 8k þ ÿaŠø = aŠ + 8 . 3£¾

Tese:Existe p Æ IN tal que aŠø = 8p

Demonstração aŠø = aŠ + 8 . 3£¾ Ì aŠø = 8k + 8 . 3£¾ Ì

Ì aŠø = 8 . (k + 3 £¾)

Existe, portanto, p = k + 3£¾ Æ IN tal que aŠø =8p. Os itens (I) e (II), juntos, demonstram que aŠ é divisível por 8, para todo n Æ IN.

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4. [E]

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