COMPÊNDIO DO BLOG FATOS MATEMÁTICOS

COMPÊNDIO DO BLOG FATOS MATEMÁTICOS Diversos assuntos interessantes de matemática em vários níveis.

Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino

Volume 1,

n◦

1

Álgebra Elementar Álgebra Linear Análise Combinatória Aritmética Biogra as http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Julho de 2010

Sumário 1 Álgebra Elementar

6

1.1 Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 1) . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 2) . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Transformações de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5 Regra de Descartes e a Equação Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6 Algumas Propriedades das Equações Cúbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7 O Triângulo Mágico 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8 A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Posts de Álgebra Linear

17

2.1 Sistemas Lineares no Balanceamento de Equações Químicas . . . . . . . . . . .

17

2.2 Criptogrando Através de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3 O Método de Eliminação de Gauss para Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . .

20

2.4 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Posts de Análise Combinatória

26

3.1 O Princípio da Casa dos Pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2 Mais Sobre o Princípio da Casa dos Pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3 Coe cientes Binomiais e o Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.4 Coe cientes Binomiais e o Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4 Posts de Aritmética

34

4.1 Somando com o Soroban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2 O Quadrado Mágico da Besta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3 Uma Sequência de Quadrados Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4 A Multiplicação no Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.5 Curiosidades dos Números 1,5 e 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.6 As Barras de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

5 Posts de Biogra as

40

5.1 Grandes Matemáticos: Arquimedes de Siracusa . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2 George Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.3 Johannes Kleper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.4 George Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.5 Grandes Matemáticos: Leonhard Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3

Prefácio Esta revista foi criada com objetivo de facilitar a leitura e o arquivamento dos posts do blog Fatos Matemáticos. Atualmente, o blog possui mais de 300 posts divididos em diversas áreas da Matemática. Optei em dividir a revista em 4 volumes conforme a tabela abaixo: Volume

Áreas Abordadas

1

Álgebra Elementar Álgebra Linear Análise Combinatória Aritmética Biogra as

2

Curiosidade Matemáticas Cálculo Cálculo Avançado Equações Diferenciais Geometria Analítica

3

Geometria Espacial Geometria Plana História da Matemática Instrumentação para o Ensino da Matemática Matemática Aplicada Probabilidade

4

Poemas e Frases Matemáticas Provas sem Palavras Raciocínio Lógico Recreações Matemáticas Teoria dos Números Trigonometria

Os posts serão apresentados na ordem cronológica em que foi publicado no blog, mas os posts que foram divididos em várias partes, serão apresentados de forma consecutiva.

4

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Direitos Autorais O objetivo deste compêndio é divulgar a matemática em todos os seus níveis, buscando deste modo melhorar a Educação do país. Peço a compreensão de todos vocês, no caso de copiar qualquer post, que seja educado e cite este compêndio ou o seu autor.

As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para linnux2001@gmail.com

Atenciosamente, Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino

5

Capítulo 1

Álgebra Elementar 1.1 Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 1) Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Sabemos que a equação completa de 4o grau pode ser resolvida através de radicais através do método de Ferrari, reduzindo a equação original numa equação cúbica chamada de resolvente. Apresento aqui uma da equação quártica, diferente dos casos particulares de equação biquadrada, equação incompleta e equação simétrica. Este caso particular é dado por x4 − 2P x2 + Qx + R = 0

(1.1)

onde P é um número real positivo, Q e R são reais quaisquer que satisfazem a seguinte condição: Q2 = P 3 − 4P R

(1.2)

Para resolver a equação, procedemos do seguinte modo: x4 − 2P x2 + Qx + R = x4 − P x − P x + Qx + R = 0

completando quadrados, temos: (

P x − 2 2

)2

(

Q −P x− 2P

)2 −

P 3 − 4P R − Q2 =0 4P

Usando a condição (1.2), segue que ( ) √ P Q x − =± P x− 2 2P 2

ou seja, obtemos duas equações quadráticas e através da fórmula de Bháskara, obtemos as

6

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos raízes

√ 1 P 2Q + − 3P + √ 2 2 P √ √ P 1 2Q − − 3P + √ 2 2 P √ √ P 1 2Q + 3P − √ 2 2 P √ √ 1 P 2Q − 3P − √ 2 2 P √

x1 = x2 = x3 = x4 =

(1.3)

Exemplo 1.1 Resolva a equação quártica x4 − 10x2 + 15x − 5 = 0.

Como P = 5, Q = 15 e R = −5, a condição (1.2) está satisfeita e por (3), segue que as raízes são dadas por:

√

√ √ 4 √ 5 5 x= ± 3 5+6 2 2

e

√

√ √ 4 √ 5 5 x= ± 3 5−6 2 2

Exercício 1.1 Veri que se as equações abaixo satisfazem a condição (1.2) e em caso a rmativo, ache suas raízes.

1. x4 − 4x2 + 4x − 1 = 0; √

2. x4 − 8x2 + 8 2x − 4 = 0; √

3. x4 − 6x2 + 5 3x − 4 = 0; 4. x4 − 2x2 + 5x − 6 = 0.

Observação 1.1 É claro que existem muitas equações quárticas que não satisfazem a condição acima, mas este caso serve de motivação para o método de Ferrari.

1.2 Um Caso Particular de Equação Quártica (Parte 2) Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Considere a equação particular do quarto grau ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0

Dividindo ambos os membros por x2 , temos: ax2 + bx + c + 7

b a + 2 x x

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos De modo que

( ) ( ) 1 1 2 a x + 2 +b x+ +c=0 x x

Note que

(

1 x+ x

)2 = x2 + 2 +

(1.4)

1 =0 x2

Assim, fazendo y = x + 1/x na equação (1.4) acima, segue que a(y 2 − 2) + by + c = 0

cuja solução é dada por y=

−b ±

⇒ √

ay 2 + by + c − 2a = 0

8a2 + b2 − 4ac 2a

com esses valores de y , podemos facilmente achar os valores de x e resolver por completo a equação dada.

Exemplo 1.2 Resolva a equação quártica 2x4 + 3x3 − x2 + 3x + 2.

Nesta equação, a = 2, b = 3 e c = −1. Assim, y=

−3 ±

√

8 · 4 + 32 − 4 · 2 · (−1) 4

y1 = −

5 2

e y2 = 1

Substituindo, na expressão y = x + 1/x, obtemos as equações: x2 − x + 1 = 0 e 2x2 + 5x + 2 = 0 √ √ 1+i 3 1−i 3 A primeira equação tem x1 = e x2 = como soluções e a segunda equação 2 2 1 possui x3 = −2 e x4 = − como soluções.

2 Observação 1.2 Essa equação do quarto grau é um caso particular de um classe de equações polinomiais, chamada equações recíprocas que são dada por

a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an = 0

(1.5)

onde cada raiz α corresponde a raiz 1/α com a mesma multiplicidade. É possível mostrar que a condição sobre os coe cientes da equação (1.5) acima seja simétrica é que a0 a1 an−1 an = = ... = = an an−1 a1 a0

São, por exemplo, equações recíprocas as seguintes: 1. 2x2 − 5x + 2 = 0; 2. x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0; 3. 2x3 + 5x2 − 5x − 2 = 0.

Referência Bibliográ ca: Catunda, Omar et. alli. Matemática de lizado. Ao Livro Técnico s.a. Rio de Janeiro, GB/1972.

8

2o ciclo, ensino atua-

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1.3 Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

A fórmula muito utilizada para resolver equações quadráticas conhecida no Brasil por fórmula de Bháskara, é deduzida completando quadrados. Um modo alternativo de provar essa fórmula, vem da seguinte observação: se na equação ax2 + bx + c = 0 em que a ̸= 0, tivéssemos b = 0, a equação seria incompleta e muito fácil de ser resolvida.

Com esta idéia em mente, introduzimos uma nova variável y = x + m na equação dada e escolhemos m de modo que o

termo linear seja nulo na equação quadrática na variável y , ou seja: a(y − m)2 + b(y − m) + c = 0

Escolhemos m =

Logo,

⇒

ay 2 + (b − 2am)y + am2 − bm + c = 0

b , de modo que 2a ( )2 b b2 2 ay + a +c=0 − 2a 2a

ay 2 =

b2 − 4ac 4a

√ −b ± ∆ x= 2a

√

∆ y=± 2a

⇒

⇒

onde ∆ = b2 − 4ac é o famoso discriminante da equação.

1.4 Transformações de Radicais Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Neste post irei deduzir uma fórmula para reduzir expressões √

√

B na soma ou diferença de dois radicais sim√ ples com a hipótese de que A ± B e B são números positivos.

da forma

A±

Nestas condições, partimos da igualdade: √ A±

√

B=

√

x±

√

y

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos A±

√

√ B = x ± 2 xy + y

de modo que A=x+y

9

(1.6)

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos e B = 4xy . Elevando A ao quadrado e subtraindo B do resultado, segue que A2 − B = x2 + 2xy + y 2 − 4xy = (x − y)2

e portanto x−y =

√

A2 − B := C

(1.7)

De (1.6) e (1.7), é fácil ver que √ A±

Exemplo 1.3 Transformar

√

8+

√

√

√ B=

A+C ± 2

√

A−C 2

60 em dois radicais.

Resolução: Temos √

A = 8, B = 60, de modo que A2 − B = 64 − 60 = 4 e pela fórmula √ √ √ 8 + 60 = 5 + 3

acima, segue que

Exercício 1.2 Transforme os radicais abaixo.

1.

2.

√ √

√ 6−2 5 5+

√

R:

√

5 − 1;

3

(Este é um caso em que é desaconselhável usar a fatoração acima, descubra por que?)

3.

√

a+3−

√

12a

R:

√

a−

√

3

Referência Bibliográ ca: Sangiorgi, Oswaldo. Matemática Curso Ginasial, 54◦ ed. Companhia Ed. Nacional - São Paulo. 1963.

1.5 Regra de Descartes e a Equação Quadrática Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

René Descartes em seu trabalho La Geométrie descreveu uma regra que determina o número de raízes positivas e negativas de uma equação polinomial.

Se os termos de um polinômio com coe cientes reais são colocados em ordem decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é ou igual ao número de permutações de sinal ou menor por uma diferença par e o números de raízes negativas do polinômio é igual ao número de permanência ou menor por uma diferença par.

10

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Usaremos essa regra para ilustrar gra camente as possibilidades das raízes da equação quadrática sem usar a fórmula de Bháskara. Para isso, seja a equação ax2 + bx + c = 0

(1.8)

onde a, b e c são reais com a ̸= 0. Dividindo a equação (1.8) por a, temos: x2 + px + q = 0

(1.9)

b c e q = . O discriminante da equação (1.9) é dada por ∆ = p2 − 4q . Sabemos a a que conforme o sinal de ∆ temos duas raizes reais iguais, duas raízes reais distintas ou duas

onde p =

raízes complexas. Consideremos agora a parábola de referência q(p) =

p2 4

no plano pOq . Assim, conforme as coordenadas dos pontos (p, q) , juntamente com a regra de Descartes, teremos as informações sobre as raízes. Por exemplo, se p e q são positivos e o ponto (p, q) está abaixo da parábola de referência, teremos duas raízes negativas. O diagrama abaixo ilustra todos os possíveis casos:

Observação 1.3 Nas regiões R3 e R4 , sejam α e β as raízes reais e de sinais opostos, sendo α a raiz negativa e β a raiz positiva. A diferença entre essas regiões é a seguinte: Em R3 , temos −α maior que β e em R4 , temos −α maior que β . Além disso, os pontos sobre a curva, signi ca que a equação (1.9) possui duas raízes reais e iguais.

Exemplo 1.4 1. x2 + 2x + 3 = 0

⇒

A(2, 3) e pelo diagrama acima a equação possui duas raízes

complexas; 11

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 2. x2 − 2x + 1 = 0

⇒

B(−2, 1) e pelo diagrama acima, temos duas raízes reais e

iguais.

Os pontos C, D e E no diagrama acima são referentes as equações x2 − 4x − 1 = 0, x2 + x − 1 = 0 e x2 + 4x + 2 = 0 respectivamente e a análise ca à cargo de leitor.

Referência Bibliográ ca: Wikipédia.

1.6 Algumas Propriedades das Equações Cúbicas Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

De nição 1.1 Uma equação do 3◦ grau é uma expressão da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0

(1.10)

sendo a, b, c, d ∈ R com a ̸= 0.

Fazendo a mudança de variável x = y −

b 3a ,

obtemos a equação:

y 3 + py + q = 0

onde p=

b2 c − 2 a 3a

e q=

(1.11)

2b3 bc d − 2+ 3 27a 3a a

Assim, o estudo da equação (1.10) reduz ao estudo das equações da forma (1.11). O Teorema Fundamental da Álgebra, a rma que toda equação polinomial de grau n possui n raízes em C contando suas multiplicidades. Dessa forma, (1.11) possui 3 raízes em C.

Teorema 1.1 A equação (1.11) possui pelo menos uma raiz real.

Demonstração: Seja f (x) = x3 +px+q. Sendo limx→−∞ f (x) = −∞, limx→∞ f (x) = ∞ e f uma função contínua, existe ξ ∈ R tal que f (ξ) = 0.

Corolário 1.1 Se p > 0 a equação (1.11) possui uma única raiz real ξ de sinal contrário ao do termo independente.

Demonstração: Sendo f ′ (x) = 3x2 + p > 0, segue que f (x) é crescente para todo x ∈ R o que garante a unicidade da raiz. Seja ξ a raiz da equação x3 + px + q = 0. Assim, ξ 3 + pξ + q = 0

⇒

ξq = −ξ 2 (ξ 2 + p) < 0

ou seja, o sinal da raiz real é oposto ao sinal do termo independente.

12

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

De nição 1.2 O discriminante da equação (1.11) é dado por △=

p3 q2 + 27 4

Teorema 1.2 A equação (1.11) possui três raízes distintas se e somente se △ < 0.

Demonstração: Se q = 0, então △ < 0 se e somente se, p < 0, se e somente se, x3 +px = 0 possui 3 raízes reais distintas. Suponhamos que q ̸= 0 e a equação dada possui 3 raízes reais distintas. Assim, f (x) = x3 + px + q , então f (x) possui dois pontos críticos √

x1 = −

p − 3

√

e x2 =

−

p 3

reais tal que f (x1 ) · f (x2 ) < 0. Assim, 0 > f (x1 ) · f (x2 ) = f (x1 ) · f (−x1 ) = (x31 + px1 + q) · (−x31 − px1 + q)

ou seja,

4p3 =△ 27 Reciprocamente, se △ < 0 então 4p3 < −27q 2 < 0, pois q ̸= 0. Assim, p < 0, donde segue 0 > q 2 − (x31 + px1 )2 = q 2 +

que f ′ (x) = 0 possui dois pontos críticos dados por √

x1 = −

p − 3

e x2 =

√ −

p 3

Pelo teste da segunda derivada, x1 é um ponto de máximo local e x2 é um ponto de mínimo local. Mas, f (x1 ) · f (x2 ) = f (x1 ) · f (−x1 ) = q 2 +

4p3 = 4△ < 0 27

Logo, a equação (1.11) possui 3 raízes reais distintas.

Observação 1.4 Devido a este teorema, △ ≥ 0 se e somente se, x3 + px + q = 0 admitir apenas uma raiz real.

1.7 O Triângulo Mágico 3x3 Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Uma das recreações matemáticas que pode ser utilizado em sala de aula é a composição dos quadrados mágicos que é um arranjo retangular 3 × 3, 4 × 4 ou 5 × 5, em que os elementos das linhas, colunas e diagonais possuem soma constante.

Uma versão mais simples e introdutória do quadrado mágico que pode ser explorada numa aula de sistemas lineares é a composição do triângulo mágico, conforme a gura ao lado em que 13

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a soma dos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 dispostos adequadamente nos lados deste triângulo é igual a 10. Surgem as perguntas: 1. Será que existem outros arranjos de modo que a soma sejam outro valor além de 10?

2. Existe uma técnica para preencher esses números?

Para responder essas perguntas, fazemos um arranjo dos elementos r, s, t, u, v, x no triângulo acima, sendo esses elementos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, conforme gura abaixo:

Suponhamos que a soma dos elementos em cada uma das três linhas sejam todos iguais a k um natural que queremos determinar. Assim, temos um sistema linear com 3 equações e 6

variáveis, ou seja:

    r+s+t=k r+x+v =k    t+u+v =k

Somando estas expressões, temos: (1.12)

2(r + t + v) + (s + x + u) = 3k

Mas, (r + t + v) + (s + x + u) = 1 + . . . + 6 = 6 × 7/2 = 21

donde segue que s + x + u = 21 − (r + t + v)

(1.13)

Substituindo (1.13) em (1.12), obtém-se r + t + v = 3(k − 7)

Mas, r + t + v ≥ 1 + 2 + 3 = 6, de modo que 3(k − 7) ≥ 6 r + t + v ≤ 4 + 5 + 6 = 15 , de modo que 3(k − 7) ≤ 15 14

⇒

k ≤ 12

(1.14)

⇒

k ≥ 9. Por outro lado,

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Esses são os únicos valores possíveis para k, ou seja, existem apenas 4 triângulos mágicos, cuja soma dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} é 9, 10, 11 e 12. Substituindo (1.14) em (1.12), segue que s + x + v = 3(14 − k)

(1.15)

Fazendo k = 9 . . . , 12 em (1.14), obtém-se r + t + v igual a 6, 9, 12 e 15 respectivamente.

Analogamente, para esses mesmos valores de k na expressão (1.15), obtém-se s + x + u igual a 15, 12, 9 e 6 respectivamente. Assim, para k = 9, temos o par (6, 15), ou seja, a soma dos elementos dos vértices do triângulo é igual a 6 e dentre das escolhas possíveis a única é r = 2, t = 3 e v = 1 e a soma dos elementos interiores aos lados é igual a 15 segue que a única

escolha é s = 4, x = 6 e u = 5. Os outros casos são análogos.

1.8 A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

As vezes a relação entre assuntos de áreas distintas da Matemática nos surpreende muito.

Por exemplo, todos conhecem a Lei dos Cossenos que diz que "o quadrado de um lado qualquer de um triângulo é igual a soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles" e uma demonstração clássica segue através do Teorema de Pitágoras. É interessante observar que regra de Cramer para resolver sistemas lineares através de determinantes (veja na imagem acima um exemplo) pode ser usada para fornecer uma demonstração da Lei dos Cossenos. Para isso, considere a gura abaixo. Aplicando a de nição do cosseno nos triângulos ∆ADC e ∆BCD, segue que m = b cos A e n = a cos B , de modo que c = m + n = a cos B + b cos A

(1.16)

a = b cos C + c cos B

(1.17)

b = a cos C + c cos A

(1.18)

Analogamente,

15

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Das equações (1.16), (1.17) e (1.18), temos o sistema linear   b cos C + c cos B = a    a cos C + c cos A = b     a cos B + b cos A = c

nas variáveis cos A, cos B e cos C . Usando a regra de Cramer neste sistema linear, segue após alguns cálculos que D = 2abc e que Dc = c(a2 + b2 − c2 ). Sendo cos C =

Dc c(a2 + b2 − c2 ) = D 2abc

ou seja, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

as outras relações segue de modo análogo.

16

Capítulo 2

Posts de Álgebra Linear 2.1 Sistemas Lineares no Balanceamento de Equações Químicas Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

As reações químicas estão presentes em muitos fenômenos naturais e o químicos para compreendê-las , representam tais reações por equações químicas, sendo que algumas precisam ser balanceandas, ou seja, veri car se o número de átomos dos reagentes antes da reação é igual ao número de átomos dos produtos.

Humphry Davy, no início do século XIX , aproveitou a invenção da pilha de Alessando Volta para mostrar que a água é formada por dois gases que receberam o nome de hidrogênio e oxigênio e como o volume de Hidrogênio era duas vezes maior que o de oxigênio, Davy concluiu que 2H2 + O2 −→ 2H2 O

É claro que se os coe cientes na equação química acima fosse 4, 2 e 4 ao invés de 2, 1 e 2 a equação também estaria balanceada, mas isto seria redundante, por isso adotamos a regra

que os coe cientes na equação química devem ser os menores inteiros positivos.

Algumas reações químicas são facilmente balanceadas, por exemplo, H2 + Cl2 −→ 2HCl exibida na imagem acima encaixa nesse caso, mas algumas são um pouco mais complicadas.

Um dos métodos que os Químicos usam é o de "tentativas"onde adotam as seguintes regras práticas: 1. Começar com o elemento que aparecer apenas uma vez no lado dos reagentes e no lado dos produtos; 17

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 2. Dar preferência aos elementos que possuir maior índice.

Lembro-me vagamente dessa técnica para balancear equações químicas quando eu era estudante, mas a falta de explicação da validade desse método torna-se frustante o seu uso. O método alternativo que proponho e que funciona para todos os tipos de reações químicas e que é uma aplicação interessante dos sistemas lineares é denotar por variáveis os coe cientes de cada composto e resolver um sistem linear equivalente.

Exemplo 2.1 A queima do álcool comum é dada pela equação química abaixo. Use a técnica de sistemas lineares e faça o balanceamento esta equação.

C2 H6 O + O2 −→ CO2 + H2 O

Sejam x, y, z, w tal que xC2 H6 O + yO2 −→ zCO2 + wH2 O

Para que haja balanceamento, o número de átomos dos reagentes deve ser igual ao número de átomos dos produtos, de forma que obtemos o sistema de equações lineares:   2x = z    6x = 2w     x + 2y = 2z + w

Da primeira equação, segue que z = 2x, da segunda w = 3x e da terceira equação, após alguns cálculos simples, obtemos y = 3x. Assim, a equação química acima ca xC2 H6 O + 3xO2 −→ 2xCO2 + 3xH2 O

e para x = 1, temos a equação balanceada com os menores inteiros positivos possíveis.

Exercício 2.1 Faça o balanceamento de equações químicas abaixo 1. (FUVEST) A decomposição térmica de 1 mol de dicromato de amônio é representada pela equação (N H4 )2 Cr2 O7 −→ N2 + Crx Oy + zH2 O

Determine os valores de x, y e z na equação química acima.

2. (PUCCAMP) Num "sapato de cromo", o couro é tratado com um banho de "licor de cromo", preparado através da reação representada pela equação: N a2 Cr2 O7 + xSO2 + H2 O −→ yCr(OH)SO4 + N a2 SO4 18

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 3. Faça o balanceamento das equações químicas abaixo: (a) N a2 CO3 + HCl −→ N aCl + H2 O + CO2 (b) C6 H1 2O6 −→ C2 H6 O + CO2 (c) N H4 Cl + Ba(OH)2 −→ BaCl2 + N H3 + H2 O (d) Ca(OH)2 + H3 P O4 −→ Ca3 (P O4 )2 + H2 O

Com este post, vemos o poder da Matemática e mais uma resposta a pergunta feita por muitos principiantes dessa disciplina "Pra que serve isso?".

2.2 Criptogrando Através de Matrizes Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

A criptogra a é uma ciência muito rica e interessante que desenvolveu ao longo da história, culminando na máquina enigma usada pelos nazistas durante a Segunda Grande Guerra Mundial e aos modernos computadores. Para os interessados nessa história, recomendo o livro de Simon Singh "O Livro dos Códigos" da Editora Record.

Neste post, vejamos uma atividade interessante que pode ser desenvolvida em sala de aula, aplicando o conhecimento de produto de matrizes e de matrizes inversas, ou seja, usaremos a equação A−1 (AB) = B .

Para isto, seja A uma matriz 3 × 3 com entradas inteiras e cujo determinante é 1 e B é a matriz mensagem que possui 3 linhas e um número variável de colunas conforme o tamanho da mensagem. Existem in nitas matrizes com estas condições, eu escolhi a seguinte: 

1

 A= 1

−1

−1 0



 −1 1  0

⇒

1

A−1

  −1 1 −1    = −2 1 −1 −1 1 0

Podemos dizer que a matriz A é a "matriz de cifragem" e a matriz A−1 é a "matriz decodi cadora", pois é através dela que teremos a mensagem decodi cada.

O próximo passo é criar um alfabeto numérico correspondente ao alfabeto latino. Existem várias formas de escolher esta associação, e uma delas é a seguinte: − = 0, A = 1, B = −1, K = 6, L = −6, M = 7, N = −7, O = 8, P = −8, Q = 9, R = −9, S = 10, T = −10, U = 11, V = −11, X = 12, Y = −12, Z = 13, W = −13 19

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Vejamos como podemos criptografar a frase: "O-ELEMENTAR-PODE-SER-PROFUNDO" Usando as letras acima, a matriz B é dada por   8 −6 3 1 −8 3 3 −8 −3 −2    B= 0 3 −7 1 −9 8 0 −9 11 8   3 7 −10 0 −2 10 0 8 −7 0

A "matriz mensagem criptografada" e que pode ser pública é igual ao produto da matriz A pela matriz B acima, que possuirá no nosso caso, 3 linhas e 11 colunas. Tanto a matriz A, quanto sua inversa A−1 , deverão ser de conhecimento apenas do emissor e do receptor da mensagem.

Assim, enviando a "matriz mensagem criptograda" AB , o receptor descobre a mensagem aplicando a matriz decodi cadora A−1 , ou seja, B = A−1 (AB).

2.3 O Método de Eliminação de Gauss para Sistemas Lineares Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Um dos métodos mais e cientes para resolver sistemas lineares e achar a inversa de uma matriz é o método de eliminação de Gauss. Este método de resolver sistemas lineares é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve.

Ele consiste através de operações elementares sobre as equações do sistema Ax = b ou    a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1     a x + a x + ... + a x = b2 21 1 22 2 2n n  ... ... ...      am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

20

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos reduzí-lo após n − 1 passos a um sistema triangular superior, Bx = c ou   b11 x1 + b12 x2 + . . . +      b22 x2 + . . . +      

b1n xn

=

c1

b2n xn

=

c2

.. .

bmn xn = cm

que é equivalente ao sistema dado. Este sistema é resolvido por substituições retroativas.

Observação 2.1 Os coe cientes aij , bi , bij são todos números reais e a matriz A é chamada de matriz dos coe cientes.

Um sistema linear que envolve m equações e n variáveis pode ter uma única solução, in nitas soluções ou não ter solução. No primeiro caso, dizemos que o sistema é compatível e determinado. No segundo caso, dizemos que o sistema é compatível e indeterminado e no terceiro caso, dizemos que o sistema é incompatível. A matriz ampliada do sistema linear Ax = b é de nida por





a a12  11 a a22  21 M =  ...  am1 am2

...

a1n

b1

...

a2n

b2

...

     

. . . amn bm

e será útil no método de eliminação de Gauss.

De nição 2.1 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se eles possuem as mesmas soluções.

As soluções de um sistema linear não é alterada se permutarmos duas linhas quaisquer, ou se multiplicarmos a i-ésima linha por k1 e adicioná-la com a j-ésima linha multiplicada por outra constante k2 . Essas transformações efetuadas sobre um sistema linear são conhecidas por operações elementares.

Veremos agora os passos para aplicar o método de eliminação de Gauss. Dado um sistema linear com m equações e n variáveis, temos os seguintes passos: 1. Obter a matriz ampliada do sistema linear; 2. Escalonar a matriz ampliada usando operações elementares, isto é, transformar essa matriz em uma matriz triangular superior em que os elementos aii = 1.

De nição 2.2 Os coe cientes aij , bi , bij são todos números reais e a matriz A é chamada de matriz dos coe cientes.

21

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Um sistema linear que envolve m equações e n variáveis pode ter uma única solução, in nitas soluções ou não ter solução. No primeiro caso, dizemos que o sistema é compatível e determinado. No segundo caso, dizemos que o sistema é compatível e indeterminado e no terceiro caso, dizemos que o sistema é incompatível.

De nição 2.3 A matriz ampliada do sistema linear Ax = b é de nida por 



a11

a12

  a21 a22  M =  ...  am1 am2

...

a1n

b1

...

a2n .. .

b2 .. .

...

     

. . . amn bm

e será útil no método de eliminação de Gauss.

De nição 2.4 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se eles possuem as mesmas soluções.

As soluções de um sistema linear não é alterada se permutarmos duas linhas quaisquer, ou se multiplicarmos a i-ésima linha por k1 e adicioná-la com a j-ésima linha multiplicada por outra constante k2 . Essas transformações efetuadas sobre um sistema linear são conhecidas por operações elementares.

Veremos agora os passos para aplicar o método de eliminação de Gauss. Dado um sistema linear com m equações e n variáveis, temos os seguintes passos: 1. Obter a matriz ampliada do sistema linear; 2. Escalonar a matriz ampliada usando operações elementares, isto é, transformar essa matriz em uma matriz triangular superior em que os elementos aii = 1.

Observação 2.2 Nesta esta etapa, apresentamos o símbolo ← que signi ca recebe".

Por exemplo, para representar que "a segunda linha recebe a primeira linha adicionada da segunda" escrevemos: L2 ← L2 + L1 . É importante observar que L2 que aparece no lado direito dessa expressão refere-se a matriz ampliada na etapa anterior o L2 à esquerda

é a segunda linha renovada"Após um número nito de passos, a matriz ampliada esta escalonada. Usaremos também o símbolo ∼ para signi car "equivalente a".

De nição 2.5 Chama-se posto P de uma matriz, o número de linhas não-nulas.

3. Fazer a análise de acordo com o seguinte teorema:

Teorema 2.1 Um sistema linear com m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada (PA ) é igual ao posto (PC ) da matriz dos coe cientes. Assim, 22

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 1. Se PC = PA = n, o sistema é possível determinado; 2. Se PA = PC < n, o sistema é possível indeterminado; 3. Se PA ̸= PC , o sistema é impossível.

Exemplo 2.2 Use o método de eliminação de Gauss e estude o sistema linear: {

x + y =

5

x − y = −7

Resolução: A matriz ampliada deste sistema é dada por: [

1

1

]

5

1 −1 −7

Para escalonar este sistema, eliminamos o termo a21 , fazendo L2 ← L2 − L1 . Em seguida, dividimos a segunda linha por −2, ou seja, [

1

1

5

]

[ ∼

1 −1 −7

1

1

5

]

0 −2 −12

[ ∼

1 1 5

]

0 1 6

Note que PA = PC = 2 de modo que o sistema linear é compatível e determinado. Para achar a solução, fazemos as substituições retroativas. Assim, segue diretamente que y = 6 e x+6=5

⇒

x = −1.

Exemplo 2.3 Use o método de eliminação Gauss e estude o sistema linear: {

2x + 4y = 6 x

+ 2y = 1

Resolução: A matriz ampliada deste sistema é dada por: [

2 4 6

]

1 2 1

Permutando a primeira com a segunda linha, temos [

1 2 1

]

2 4 6

Fazendo L2 ← L2 − 2L1 , segue que [

1 2 1 2 4 6

]

[ ∼

1 2 1

]

0 0 4

Assim, analisando a última matriz, vemos que PC = 1 e PA = 2 e pelo Teor. (2.1) acima, o sistema linear é impossível.

23

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Exercício 2.2 Mostre que o sistema linear abaixo possui in nitas soluções, ou seja, é um sistema compatível indeterminado.     x +

y

+ z =

0

x − y + z = 2    x + 2y + z = −1

2.4 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Esta desigualdade conhecida também por desigualdade de Cauchy ou desigualdade de Schwarz é muito útil e aparece em vários contextos da Matemática, tais como em Álgebra Linear aplicando-se à vetores, em Análise ela surgiu nas séries in nitas e no produto de integrais, e na Teoria de Probabilidades a desigualdade de Cauchy-Schwarz aplica-se na variância e na covariância.

Esta desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888). Para ver uma prova sem palavras desta desigualdade no R2 .

Teorema 2.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Para quaisquer vetores ⃗u e ⃗v de um espaço vetorial com produto interno, temos

| ⃗u · ⃗v | ≤ || ⃗u || || ⃗v || e a igualdade é válidade se e somente se os vetores ⃗u e ⃗v são linearmente independentes.

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888).

Demonstração: Uma demonstração clássica é considerar a função f (t) =|| ⃗u − t⃗v ||2 para t ∈ R. Note que f (t) ≥ 0 para qualquer valor de t. Além disso, pela propriedade do produto

interno, temos f (t) = (⃗u − t⃗v ) · (⃗u − t⃗v ) =|| ⃗u || −2⃗u · ⃗v t+ || ⃗v || t2 ≥ 0

Sendo f uma função quadrática não-negativa, segue que o discriminante ∆ ≤ 0 ou seja, ∆ = (2⃗u · ⃗v )2 − 4 || ⃗u || || ⃗v || ≤ 0

24

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

donde segue o resultado. Da de nição de linearidade de dois vetores, a segunda parte segue os mesmos passos acima.

Vejamos algumas aplicações desta importante desigualdade.

1. Prove a desigualdade triangular: || ⃗u + ⃗v || ≤ || ⃗u || + || ⃗v ||

Demonstração: || ⃗u + ⃗v ||2 = (⃗u + ⃗v ) · (⃗u + ⃗v ) =|| ⃗u ||2 +2⃗u · ⃗v + || ⃗v ||2

Mas, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, | ⃗u · ⃗v | ≤ || ⃗u || || ⃗v ||, de modo que || ⃗u + ⃗v ||2 ≤ || ⃗u ||2 +2 || ⃗u || + || ⃗v ||2 = (|| ⃗u || + || ⃗v ||)2

donde segue o resultado.

2. Prove a desigualdade (x1 + . . . + xn )2 ≤ n(x21 + . . . + x2n )

sendo x1 , . . . xn ∈ R.

Resolução: Basta aplicar ⃗u = (x1 , . . . , xn ) e ⃗v = (1, . . . , 1) ∈ Rn na desigualdade de Cauchy-Schwarz acima. Outras aplicações serão apresentadas futuramente.

25

Capítulo 3

Posts de Análise Combinatória 3.1 O Princípio da Casa dos Pombos Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

O princípio da casa dos pombos a rma que se tivermos n casas para acomodar n + 1 pombos, então podemos a rmar que existe uma casa com 2 pombos. Este princípio matemático é devido ao matemático alemão Dirichlet que o relatou em 1834 e é também conhecido por princípio das gavetas. Com este princípio tão simples é possível resolver vários exercícios curiosos. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 3.1 Se tivermos um grupo de 13 pessoas, então com certeza duas delas fazem aniversário no mesmo mês e se grupo aumentar para 32 pessoas, podemos a rmar também que existem no mínimo duas pessoas que fazem aniversário no mesmo dia.

Solução:

Pelo princípio da casa dos pombos, se houvesse mais pessoas (13) do que meses (12)

é certo que pelo menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês e a explicação é análoga para o dia do mês.

Exemplo 3.2 Dado um cubo de lado 2, mostre que ao marcarmos 9 pontos em seu interior, a distância entre pelo menos dois deles é menor ou a Solução:

√

3.

Para cada par de faces opostas desse cubo, tomamos um plano paralelo a essas faces

e que passa pelo centro do cubo. Serão 3 planos que dividirão esse cubo em 8 cubinhos de arestas 1.

Cada um desses cubinhos será uma casa dos pombos e como temos 9 pontos, então pelo menos 2 pontos estarão no interior ou na superfície um cubo de aresta 1. Sendo a maior 26

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

distância entre dois pontos quaisquer num desses cubinhos igual ao comprimento da diagonal do cubo, ou seja,

√

3, temos o resultado desejado.

Exemplo 3.3 Todos os pontos de um plano são pintados de azul ou vermelho. Prove que podemos encontrar dois pontos da mesma cor que distam exatamente 10 cm.

Solução:

Basta imaginarmos um triângulo equilátero de lado igual a 10 cm. Como são duas

cores (casas) e três pontos (pombos). Pelo princípio da casa dos pombos teremos dois da mesma cor. Embora este princípio parece simples, mas é através dele que pode demonstrar resultados possivelmente inesperados. Por exemplo, em qualquer grande cidade (digamos com mais de 1 milhão de habitantes) existem pessoas com o mesmo número de os de cabelo.

Para nalizar, apresento a seguir outros problemas que podem ser resolvidos através do princípio da casa dos pombos, cuja solução é deixada como exercício.

1. Quantos estudantes devem ter em numa turma para garantir que pelo menos dois estudantes possuam a mesma nota no exame nal, se a nota do exame varia de 0 a 100?

2. Mostre que entre um grupo de 5 inteiros (não necessariamente consecutivos) existem dois com o mesmo resto quando divididos por 4.

3. Seja d um inteiro positivo. Mostre que entre qualquer grupo de d + 1 inteiros (não necessariamente consecutivos) existem dois com exatamente o mesmo resto quando divididos por d.

Referência Bibliográ ca: 1. Blog Cultura e Lazer; 2. Oliveira, Anjolina Grisi de. Princípio da Casa dos Pombos. Centro de Informática, UFPE.

3.2 Mais Sobre o Princípio da Casa dos Pombos Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

.5

Complementando o post publicado em julho de 2009

(post anterior), devido a grande procura sobre este assunto irei comentar o excelente artigo do João Bosco Pitombeira publicado na RPM n◦ 8 pág. 21, 1986.

Segundo João Pitombeira, a Análise Combinatória poderia ser chamada de "arte de contar", inspira em geral temor ou desagrado aos alunos do segundo grau, às voltas, mecanicamente, com combinações, permutações, arranjos, etc.

27

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

No entanto, sob o nome mais geral e abrangente de Combinatória, esta área da Matemática trata-se de diversas questões interessantes cujos enunciados são extremamente simples, mas que exigem, por vezes, para sua solução, raciocínios penetrantes e engenhosos, embora no nível de um aluno do segundo grau.

O princípio da casa dos pombos também conhecido por princípio de Dirichlet é um princípio básico da Combinatória que possui diversas aplicações. No primeiro post apresentei alguns exemplos e exercícios, vejamos mais alguns exemplos citados no artigo do João Pitombeira.

1. Escolha, dentre os inteiros 1, 2, . . . , 200, 101 números ao acaso. Mostre que, entre os números escolhidos, há dois números tais que um deles é divisível pelo outro.

Resolução: Em primeiro lugar, observer que qualquer inteiro n se escreve sob a forma n = 2k b, onde k é um número inteiro não negativo, e b é um inteiro ímpar. Por exemplo, 36 = 22 · 9, 25 = 20 · 25, 16 = 24 · 1. Assim, se n ∈ {1, 2, . . . 200}, n = 2k b, e b

é um dos números ímpares 1, 3, 5, . . . , 199. Ora, há 100 números ímpares no conjunto {1, 2, . . . , 200}. Logo, quando escolhemos 101 números deste conjunto, dois deles terão

suas partes ímpares iguais, dois deles terão suas partes ímpares iguais, pelo princípio da casa dos pombos; sejam n1 e n2 estes números. Então n1 = 2k1 b e n2 = 2k2 b . Se k1 < k2 , então n2 divide n1 , pois n2 /n1 = (2k2 b )/(2k1 b ) = 2k2 −k1 . Analogamente, se k2 < k1 então n1 dividirá n2 , o que conclui a demonstração.

2. Mostre que em um conjunto de n pessoas há duas pessoas que conhecem exatamente o mesmo número de pessoas do conjunto (Obs. se a conhece b, b conhece a, ou seja, "conhecer" é uma relação simétrica).

Resolução: Observe em primeiro lugar, que qualquer das pessoas do conjunto conhece no mínimo 0 e no máximo n − 1 das outras pessoas. Deste modo, dividiremos a demonstração em dois casos.

1◦ ) caso: Mostraremos, em primeiro lugar, que se todas as pessoas conhecem pelo menos

uma outra pessoa do conjunto, então o problema está resolvido pelo princípio da casa dos pombos. De fato, temos n pessoas no conjunto e etiquetemos as gavetas como segue: A 1a , para as pessoas que conhecem exatamente uma pessoa do conjunto {a1 , a2 , . . . , an }, a 2a , para as pessoas que conhecem exatamente duas pessoas do conjunto {a1 , a2 , . . . , an } e a (n−1)-ésima, para as pessoas que conhecem exatamente (n−1) pessoas do conjunto {a1 , a2 , . . . , an }. Temos então n pessoas a serem distribuídas por (n − 1) gavetas, e o

problema está de fato resolvido, pois, pelo princípio da casa dos pombos, duas pessoas ocuparão a mesma gaveta.

2◦ caso: Suponha agora que uma das pessoas, que chamaremos de a1 , conhece 0 pessoas,

ou seja, não conhece ninguém do conjunto. Retire a pessoa a1 do conjunto. Mostraremos 28

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

que, no conjunto resultante, {a2 , a3 , . . . an }, há duas pessoas que conhecem exatamente o mesmo número de pessoas de {a1 , a2 , . . . , an }. De fato, suponha que isso não aconteça, e etiquetemos as gavetas como segue: A 1a , para as pessoas de {a2 , a3 , . . . an } que conhecem 1 pessoa de {a1 , a2 , . . . , an }, a 2a ] para as pessoas de {a2 , a3 , . . . an } que conhecem 2 pessoas de {a1 , a2 , . . . , an } e assim por diante, de modo que a (n − 1)-ésima para as pessoas {a2 , a3 , . . . an } que conhecem n − 1 pessoas de {a1 , a2 , . . . , an }. Temos então (n − 1) gavetas e se uma das gavetas contiver mais do que uma pessoa, o problema está resolvido. Suponha, portanto, que cada gaveta tém, no máximo, uma pessoa. Então como temos (n − 1) pessoas, a2 , a3 , . . . an , cada gaveta conterá exatamente uma pessoa, ou seja, há uma pessoa que

conhece (n − 1) pessoas de {a1 , a2 , . . . , an }, o que é uma contradição, pois ela pode conhecer a1 (lembre-se de que a1 não conhece ninguém!).

Exercício 3.1 Resolva os exercícios propostos abaixo: 1. Escolha 5 pontos ao acaso sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos um dos segmentos que eles determinam tem comprimento menor do que ou igual a

√

2.

2. Mostre que, se do conjunto {1, 2, . . . , 2n} retirarmos (n + 1) números ao acaso, então dois dos números serão relativamente primos, ou seja, primos entre si.

3. Chame um ponto B(x, y, z) de R3 de bom se todas as suas coordenadas forem inteiras.

Considere 9 pontos bons de R3 . Mostre que o ponto médio de algum dos segmentos que ligam estes pontos é bom.

4. Seja x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números x, 2x, 3x, . . . , (n − 1)x

existe um cuja distância a algum inteiro é, no máximo, 1/n.

3.3 Coe cientes Binomiais e o Triângulo de Pascal Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Neste post apresentarei algumas propriedades dos coe cientes binomiais e sua relação com o triângulo de Pascal. Outras propriedades curiosas e o binômio de Newton apresentarei no post abaixo.

29

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

De nição 3.1 Chama-se coe ciente binomial e indicado por tomados k a k , ou seja:

(n) k

, a combinação de n elementos

( ) n n! = Cn,k = k k!(n − k)!

Proposição 3.1 (Binomiais Complementares) Se j + k = n, então ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = ou seja, = j k j n−j

Demonstração: Aplicação imediata da de nição.

Proposição 3.2 (Relação de Stifel) Para dois coe cientes binomiais consecutivos, temos: (

) ( ) ( ) n n n+1 + = k−1 k k

Demonstração: Usando a de nição, segue que (

) ( ) n n n! n! + = + k−1 k (k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)! ( ) n+1 kn! + (n − k + 1)n! = = k!(n − k + 1)! k

De nição 3.2 Chama-se triângulo de Pascal ao seguinte arranjo dos coe cientes binomiais: Proposição 3.3 A soma de todos os coe cientes binomiais da enésima linha é igual a enésima potência de 2, ou seja:

( ) ( ) ( ) n n n + + ... + = 2n 0 1 n

ou

n ( ) ∑ n k=0

k

= 2n

Demonstração: Usando o método de indução nita sobre n. Para n = 1, temos: ( ) ( ) 1 1 + = 1 + 1 = 2 = 21 0 1 30

(3.1)

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Suponhamos que (3.1) é válido e provaremos que n+1 ∑( k=0

n+1 k

) = 2n+1

De fato, n+1 ∑( k=0

n+1 k

)

(

) ∑ ) ( ) n ( n+1 n+1 n+1 = + + 0 k n+1 k=1 ( ) ∑ ) ( ) n ( ) n ( ∑ n n n n = + + + 0 k k−1 n k=1

k=1

onde na última igualdade, usamos a relação de Stifel. Usando (3.1), segue que n+1 ∑( k=0

) n+1 = 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1 k

Observação 3.1 Este resultado é também consequência direta do binômio de Newton que veremos no próximo post.

Proposição 3.4 (Teorema das Colunas) A soma dos coe cientes binomiais situados na pésima coluna até a linha n é igual ao co e ciente binomial situado na (n + 1)-ésima linha e

(p + 1)-ésima coluna, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( ) p p+1 n n+1 + + ... + = p p p p+1

ou

n ( ) ∑ k k=p

p

Demonstração: Usaremos indução nita sobre n. Se n = p, temos: ( ) ( ) p p+1 =1= p p+1

Suponhamos que

n ( ) ∑ k k=p

p

( =

31

n+1 p+1

)

( =

) n+1 p+1

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Assim,

n+1 ∑( k=p

k p

) =

n ( ) ∑ k

(

n+1 + p p+1

k=p

)

( =

) ( ) ( ) n+1 n+1 n+2 + = p+1 p p+1

No caso particular em que p = 1, temos n ( ) ∑ k k=1

1

=

n ∑

( k=

k=1

n+1 2

)

(n + 1)n 2

=

que é a soma dos números naturais de 1 a n.

3.4 Coe cientes Binomiais e o Binômio de Newton Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

No post anterior, vimos a de nição de coe cientes binomiais e algumas propriedades, tais como a relação de Stifel e o teorema das colunas. Antes de apresentarmos outras aplicações destes números especiais, vejamos dois corolários do teorema das colunas:

Corolário 3.1 A soma dos n primeiros números naturais ao quadrado é igual a n(n + 1)(2n + 1) 6

Demonstração: O teorema das colunas a rma que n ( ) ∑ k

p

k=p

( =

n+1 p+1

)

Fazendo p = 2 nesta expressão, segue que n ( ) ∑ k k=2

2

=

n ∑ k(k − 1)

2

k=2

ou

n ∑

( =

2

k =

k=1

) n+1 3

n ∑

k+2×

k=1

1∑ 2 1∑ k − k= 2 2

⇒

n

n

k=2

k=2

(

) n+1 3

(n + 1)n(n − 1) 3!

Sendo n(n + 1)/2 a soma dos n primeiros números naturais, obtém-se o resultado desejado após algumas manipulações algébricas.

Corolário 3.2 (Teorema das Diagonais) A soma dos coe cientes binomiais de uma diagonal do triângulo de Pascal até a enésima linha, começando p unidades do primeiro elemento é dada por Cp+n+1,n+1 = Cp+n+1,p , ou seja:

) n ( ∑ p+k k=0

k

( =

p+n+1 n+1 32

)

( =

) p+n+1 p

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Demonstração: Basta aplicar o teorema das colunas.

Proposição 3.5 (Binômio de Newton) Dados x, y ∈ R e n ∈ N, temos n

(x + y) =

n ( ) ∑ n k=0

k

xk y n−k

Demonstração: Usaremos a técnica de indução nita sobre n. Para n = 0, temos 0

(x + y) = 1 =

0 ( ) ∑ 0 k=0

0

x0 y 0−0

Suponhamos que a expressão é válida para n e provaremos sua validade para n + 1, ou seja, (x + 1)

n+1

n

= (x + y) (x + y) = (x + y) =

n ( ∑ k=0

n ( ) ∑ n k=0

)

n k+1 n−k x y + k

n ∑

k

xk y n−k (3.2)

k n+1−k

x y

k=0

Para o primeiro somatório no segundo membro, temos n ( ) ∑ n k=0

k

k+1 n−k

x

y

=

n−1 ∑( k=0

) ( ) n k+1 n−k n n+1 x y + x k n

e para segundo, temos n ( ) ∑ n k=0

k

k n+1−k

x y

( ) n ( ) n n+1 ∑ n k n+1−k = y + x y 0 k k=1

Substituindo essas expressões em (3.2) e após algumas manipulações algébricas, segue que: ( (x + y)

n+1

=

) ( )] ( ) ) n [( n + 1 n+1 ∑ n n n + 1 n+1 k n+1−k + x y + x y + k−1 k n+1 0 k=1

Usando a relação de Stifel no somatório acima e reunindo os termos, completa-se a demonstração.

Corolário 3.3 Segue imediatamente do binômio de Newton: 1.

n ( ) ∑ n k=0

2.

n ∑ k=0

k

= 2n ;

( ) n (−1) = 0; k k

( ) n ∑ k n 3. p = (p + 1)n , k

p ∈ N.

k=0

A demonstração deste corolário é deixada para o leitor.

33

Capítulo 4

Posts de Aritmética 4.1 Somando com o Soroban Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

O Soroban é composto de diversas colunas, cada uma representando uma unidade, dezena, centena, etc. Cada coluna, por sua vez, contém duas partes: uma em cima e outra embaixo. Assim, cada coluna possui uma pedra (ou conta) na parte de cima que vale cinco unidades (ou dezenas, centenas, etc.) e quatro pedras na parte de baixo, cada uma equivalendo a 1 (uma) unidade (ou dezena, centena, etc.).

Ainda hoje o Soroban é utilizado no Japão, em vez de uma calculadora, por diversos pro ssionais. Depois de dominada a técnica Shuzan, seu uso é muito mais rápido do que o de uma calculadora.

Figura 4.1: 2893 ou 28,93 e

Neste Post, pretendo apresentar de forma sucinta como re-

alizar a soma através do Soroban. O primeiro passo é saber como 32 escrever um número no Soroban. Na gura ao lado, está escrito o número 2893. É claro que se colocarmos "uma vírgula"entre a segunda e terceira coluna, o número escrito seria 28, 93 e assim por diante, de modo que podemos realizar soma e subtrações de números fracionários.

Para efetuar a soma de dois números no Soroban, por exemplo, 32 + 42, escrevemos o número 32 no ábaco (Figura ao lado) e com essa con guração, escrevemos o número 42.

Como não temos 4 dezenas para somar, adicionamos 5 dezenas (50) e subtraimos uma dezena (10). Finalmente, adicionamos duas unidades para obter o resultado 74. Veja a gura acima.

34

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Figura 4.2: Efetuando a soma 32 + 42

4.2 O Quadrado Mágico da Besta Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

No quadrado mágico abaixo, a soma dos elementos de qualquer linha, coluna e das duas diagonais é igual a 666.

4.3 Uma Sequência de Quadrados Perfeitos Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Dizemos que um número N ∈ N é quadrado perfeito se existe n ∈ N tal que n2 = N . Sabemos que 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . é

uma sequência de quadrados perfeitos. Vejamos agora a seguinte sequencia 25, 1225, 112225, 11122225, . . . em que o termo geral é dado por (k−1)

k

z }| { z }| { N (k) = 111 . . . 11 22 . . . 222 5

35

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

ou seja, N é formado por (k − 1) 1′ s e k 2′ s de modo que N possui 2k dígitos para k ≥ 1.

Provaremos que N é um quadrado perfeito: De fato, observe que 112225 = 112200+25 = 110000+2200+25 = 11×104 +22×102 +25 e no caso geral, temos (k−1)

(k−1)

z }| { z }| { N (k) = 111 . . . 11 ×10k+1 + 22 . . . 22 ×102 + 25

Mas,

(4.1)

(k−1)

z }| { 10k−1 − 1 10k−1 − 1 111 . . . 11 = = 10 − 1 9

(4.2)

Substituindo (4.2) em (4.1), segue que 10k−1 − 1 N (k) = × 10k+1 + 2 × 9

Colocando o fator

(

10k−1 − 1 9

) × 102 +

102 4

102 4(10k−1 − 1) em evidência e somando e subtraindo o termo , podemos 4 9

escrever N (k) na forma:

[ ] [ ]2 102 4(10k−1 − 1)2 4(10k−1 − 1) 2 k−1 N (k) = + + 1 = 25 (10 − 1) + 1 4 9 3 3

como queríamos demonstrar.

4.4 A Multiplicação no Egito Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Todos os escritores gregos são unânimes ao atribuir, sem inveja, aos egípcios, a prioridade da invenção das ciências matemáticas. É interessante observar que uma civilização que construiu as pirâmides, usava um curioso método de multiplicação baseado em sucessivas duplicações esquematizado em duas colunas. Vejamos como efetuar o produto 15 × 28.

Para calcular este produto, escrevemos as sucessivas duplicações de 28 na primeira coluna e na segunda, as sucessivas duplicações da unidade, ou seja: 28

1\

56

2\

112

4\

224

8\

448

16

36

Volume 1, n◦ 1

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Sendo 15 = 8+4+2+1, para achar o produto, basta somar as duplicações correspondentes a 1, 2, 4 e 8, ou seja, 15 × 28 = 28 + 56 + 112 + 224 = 420

É comum fazer marcações nas linhas em que serão usadas na soma. Este processo funciona porque todo número natural N pode ser escrito de forma única em qualquer sistema de numeração.

Observe que no processo acima, temos que procurar as parcelas cuja soma é igual a 15.

As vezes, achar tais parcelas é incômodo ou difícil mesmo; mas para contornar esse problema usamos o algoritmo das divisões sucessivas por 2 para escrever o menor número na base 2.

Por exemplo, para calcular 126 × 89 através do método egípcio, temos que 89 = 1 × 20 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24 + 0 × 25 + 1 × 26 = 1 + 8 + 16 + 64

de modo que 126

1\

252

2

504

4

1008

8\

2016

16 \

4032

32

8064

64 \

donde segue que 126 × 89 = 126 + 1008 + 2016 + 8064 = 11214.

4.5 Curiosidades dos Números 1,5 e 6 Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Olhando atentamente alguns produtos, observa que quando se multiplicam por si mesmos números que terminam por 1 ou por 5, o produto também termina respectivamente, por esses algarismos. No post "Uma Sequencia de Quadrados Perfeitos" isso também acontece. O que é de espantar é que esse fenômeno também acontece com o algarismo 6. Por exemplo, 562 = 3136, 563 = 175616. Esta curiosa propriedade dos algarismos 1, 5 e 6 pode ser fundamentada através

da Álgebra Elementar. Mostramos para o caso do seis.

37

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Para isso, note que todo número terminado em 6 pode ser decomposto do seguinte modo: 10a + 6,

10b + 6,

etc.

onde a e b são inteiros. A multiplicação de dois inteiros como os que guram acima é igual a (10a + 6) · (10b + 6) = 10(10ab + 6a + 6b) + 30 + 6 = 10(10ab + 6a + 6b + 3) + 6

O mesmo método de demonstração pode ser usado para o 1 e para o 5. Do exposto acima, pode-se a rmar que o número 3862569 termina em 6, 815781 termina em 5 e 46911972 termina em 1.

Os números 25 e 76 Existem números de dois algarismos que apresentam a mesma propriedade que os algarismos 1, 5 e 6. Um deles é o 25 e o que é mais inesperado é saber que o número 76 também possui

essa propriedade. De fato, sejam dois números terminados em 76, isto é, 100a+76 e 100b+76.

Assim, (100a + 76) · (100b + 76) = 10000ab + 7600b + 7600a + 5776

Colocando 100 em evidência, temos (100a + 76) · (100b + 76) = 100(100ab + 76b + 76a + 57) + 76

Logo, concluímos que toda potência do número terminado por 76, termina por 76 . Por exemplo, 762 = 5776, 763 = 438976, 764 = 33362176, etc.

Referência Bibliográ ca: Perelmann, I. Aprenda Álgebra Brincando. Hemus editora ltda.

4.6 As Barras de Napier Autor:

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No nal do século XV I , a Europa passava por várias transformações devido ao Renascimento. As frações decimais introduzidas por Simon Stevin (1548 − 1620) fazia grande sucesso por toda a Europa e devido ao crescente comércio e as grandes navegações, novos métodos de cálculos aritméticos tinham que ser desenvolvidos.

Um método criado nesta época, usava a fórmula abaixo e uma tabela trigonométrica 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)

para transformar produtos em somas. O método tornou-se conhecido como prostaférese, a partir de uma palavra grega que signi ca "adição e subtração".

Pouco antes de Jonh Napier inventar os logaritmos, ele aprimorou um método de multiplicação árabe, dispondo a tabuada dos algarismos de 0, 1 . . . , 9 em barras de madeira conforme a gura acima. Tais barras eram conhecidas como barras de Napier que foi descrita em seu trabalho, Rabdologiae, publicado em 1617, e conseguiu alcançar muita fama.

Para fazer o produto de número 4896 por 7 através das barras de Napier, coloca-se as barras 4, 8, 9 e 6 lado a lado conforme a gura abaixo. O produto em amarelo é obtido aplicando a

regra que os números presentes em paralelogramos são somados e se necessário faz o uso do famoso "vai um" para a próxima casa decimal. Assim, 4896 × 7 = 2(8 + 5)(6 + 6)(3 + 4)2 = (2 + 1)(3 + 1)272 = 34272

Note que com uso adequado da vírgula, o produto 48, 96 × 7 é dado por 342, 72. E ca como desa o mostrar que o produto de 4896 por 72 é dado por 352512.

Hoje em dia, o uso indiscriminado da calculadora eletrônica baniu essas curiosidades das escolas. Mas essas barras é uma excelente ferramenta a ser usada em sala de aula através de uma o cina orientada pelo professor. A confecção dessas barras pelos próprios alunos despertam a curiosidade e o gosto pela Matemática.

39

Capítulo 5

Posts de Biogra as 5.1 Grandes Matemáticos: Arquimedes de Siracusa Autor:

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Na enquete realizada no blog "Quem foi o maior matemático de todos os tempos", tivemos mais de 160 votos em menos de 2 meses e o resultado é o seguinte: Carl F. Gauss em primeiro, Isaac Newton em segundo, Leonhard Euler em terceiro e em quarto lugar, o grande matemático da antiguidade Arquimedes de Siracusa.

Na História da Matemática, tivemos outros grandes matemáticos além destes, por exemplo, Eudoxo de Cnido, Pierre de Fermat, Joseph Lagrange, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, Poincaré, Von Neumann, etc... e cada um deles acima pais de alguns métodos e ramos da Matemática, tais como o Método de Exaustão, a teoria das Probabilidade,s o Cálculo das Variações, a teoria das funções de uma variável complexa, a Geometria Riemanniana, a Topologia e a Teoria dos Jogos, mas a escolha dos matemáticos Arquimedes, Newton, Euler e Gauss foi devido a originalidade, in uência e extensão de seus trabalhos.

Publicarei em 4 posts, um resumo sobre a história desses grandes matemáticos de todos tempos e um pequeno assunto para mostrar a genialidade desses mestres. Vejamos primeiramente um pouco sobre Arquimedes.

Alguns autores consideram Arquimedes (287 − 212 a.C.), como o maior matemático grego do período helenístico. Ao contrário de Euclides, e de muitas outras guras gregas, ele não é um mero nome, mas um personagem com uma vida conhecida e sobre a qual há vários relatos históricos. Alguns autores referem que, enquanto jovem, teria visitado a cidade de Alexandria no Egito, onde teria estudado com discípulos de Euclides.

Suas contribuições matemáticas foram extensas; descobriu um modo de calcular a área de 40

Volume 1, n◦ 1

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um segmento parabólico, calculou uma aproximação para o π , deduziu corretamente a área do círculo, escreveu um livro sobre Conóides e Esferóides (Parabolóides e elipsóide), um livro sobre a Esfera e o cilindro, além de outros trabalhos não menos importantes. Além dos seus trabalhos como matemático, ele também cou conhecido pelas suas invenções mecânicas, por exemplo, desenvolveu um sistema para elevar água conhecido por parafuso de Arquimedes, aplicações das roldanas e das alavancas para multiplicar forças e a descoberta de um princípio hidráulico que leva seu nome.

Todas essas descobertas foram feitas numa época em que a Álgebra, a Geometria Analítica eram muito rudimentares e o método de Exaustão que ele atribuía a Eudoxo, era um método primitivo de calcular áreas e volumes. Para encerrar, vejamos uma das poucas construções de guras geométricas atribuídas a Arquimedes por "inserções", isto é, inserindo um ponto na régua sem graduação, violando a regra de usar régua e compasso sem nenhuma graduação, sugerida por Platão.

Para trisseccionar o ângulo θ = CAB abaixo, traça-se o arco BCD (semi-circunferência).

Então "insere-se"a distância F E igual a AB (raio da semi-circunferência), marcada sobre um segmento passando por C , e movendo-o até que os pontos E e F sejam posicionados. O ângulo EF D é a terça parte do ângulo dado CAB .

Desconheço a solução dada por Arquimedes a este problema, mas apresento na gura abaixo uma solução cujos detalhes eu omiti propositadamente.

Deixo para os leitores mostrar que θ =α+β 2

donde segue que α = θ/3.

41

e β=

α 2

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Referência Bibliográ ca: Cajori, Florian. Uma História da Matemática. Ed. Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2007.

5.2 George Pólya Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

George Pólya (1887+98 = 1985) nasceu em Budapest, Hungria, foi professor em Zurich de 1914 a 1940 e depois em Stanford, Estados Unidos, onde se aposentou em 1953 mas continuou ativo até praticamente sua morte, quase centenário. Pólya foi co-autor de um notável livro, escrito juntamente com seu compatriota Gabor Szegö, intitulado "Aufgaben und Lehrsãtze aus der Analysis" (Berlim, 1924) depois traduzido para o inglês com o título "Problems and Theorems in Analysis" (Berlim, 1972).

Neste texto, em dois alentados volumes, os autores mostram como o ensino da Análise Matemática pode ser gradativamente desenvolvido, dos fundamentos até algumas fronteiras do conhecimento, através de uma judiciosa sequência de exercícios e problemas, alguns dotados de suprema elegância.

Pólya escreveu outros livros e inúmeros artigos originais, que lhe deram sólida reputação em Análise Clássica, Combinatória e Probabilidades. Suas obras completas, em 4 volumes, foram publicadas em 1984 pela MIT Press. Nos últimos quarenta anos de sua longa carreira, passou a interessar-se pelo ensino da Matemática, dedicando-se quase inteiramente ao estudo das questões referentes à transmissão do conhecimento matemático. Aesserespeito escreveu muitos artigos e alguns livros extraordinários, como "How to Solve It" (traduzido para o português como "A Arte de Resolver Problemas" ), "Mathematics and Plausible Reasoning" (Princeton Univ. Press, 1954) e "Mathematical Discovery" (2 vols., Wiley, 1962 e 1965).

O trabalho de Pólya sobre o ensino da Matemática é maravilhoso simplesmente porque não propõe truques, fórmulas miraculosas, ou muito menos pomposas teorias pseudo-psicológicas.

O artigo que reproduzimos a seguir, de uma espontaneidade e de uma franqueza quase rudes, resume suas idéias de modo bastante claro.

Após anos de experiência como matemático de grande destaque e professor universalmente reconhecido por seus dotes de mestre, Pólya sintetiza suas conclusões em dez mandamentos e uma regra muito simples para treinar professores que saibam seguir esses mandamentos.

Para ser um bom professor de Matemática, você tem que vibrar com a sua matéria, conhecer bem o que vai ensinar, ter um bom relacionamento com os alunos para entender os problemas deles e dar a esses alunos a oportunidade de (pelo menos algumas vezes) descobrir as coisas por si mesmos. Deve ainda entender que "know-how" é mais importante do que informação.

42

Volume 1, n◦ 1

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(Pólya lhe dirá no texto o que entende por "know-how". ) E, para treinar professores a m de que possam cumprir sua tarefa, o melhor a fazer é praticar com eles a arte de resolver problemas.

Estou certo de que a leitura do artigo que se segue e, mais ainda, a releitura seguidas vezes, a meditação sobre o mesmo e a adoção dos princípios nele expostos, muito contribuirão para melhorar a qualidade das nossas aulas de Matemática.

Referência Bibliográ ca: Lima, Elon Lagens. "Dez Mandamentos para Professores".

SBM/IMPA.

5.3 Johannes Kleper Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Johannes Kepler (1571 − 1630), foi um matemático e astrônomo que formulou as três leis fundamentais da mecânica celeste: 1. Os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol situado em um dos focos; 2. Lei das Áreas: Os planetas descrevem áreas iguais em tempos iguais; 3. Terceira Lei de Kepler: A razão entre o quadrado do período e o cubo do raio médio da órbita de um planeta é constante.

Ele deduziu essas leis empiricamente analisando as observações do astrônomo Tycho Brahe durante longos anos.

Além de astrônomo, ele foi astrólogo, mas o interessante de sua obra é justamente ele ter feito a transição da superstição à ciência. Quando as observações físicas se chocaram com o dogma, Kepler optou pelos fatos cientí cos, abandonando a superstição.

Ele se desfez dos epiciclos, equantes e outros artifícios matemáticos criados no tempo de Ptolomeu - e mantidos por Nicolau Copérnico - para enquadrar as órbitas celestes ao modelo aristotélico das esferas de cristal. Segundo Aristóteles, os céus eram divinamente perfeitos, e os corpos celestes só podiam se mover segundo a mais perfeita das formas: o círculo.

Johannes Kepler estudou inicialmente para seguir carreira teológica. Na Universidade, ele leu sobre os princípios de Copérnico (proeminente cônego católico) e logo se tornou um entusiástico defensor do heliocentrismo. Em 1594, conseguiu um posto de professor de matemática e astronomia em uma escola secundária em Graz, na Áustria, mas poucos anos depois, por pressões da Igreja Católica (Kepler era protestante), foi exilado, e foi então para Praga trabalhar com Tycho Brahe. Quando Tycho morreu, Kepler herdou seu posto e seus dados, a cujo estudo 43

Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

se dedicou pelos 20 anos seguintes. Cinquenta anos mais tarde Newton viria a declarar: "Se enxerguei longe, foi porque me apoiei nos ombros de gigantes". Não declara exatamente quem seriam esses gigantes, mas Kepler certamente era um deles.

Bibliogra a: Wikipédia.

5.4 George Cantor Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 − 1918), foi um matemático de origem alemã é conhecido

por ter elaborado a moderna Teoria dos Conjuntos e foi através desta teoria que ele chegou a conceito de números trans nitos, incluindo as classes numéricas de ordinais e cardinais.

Com sua teoria, ele mostrou que os conjuntos in nitos não tem todos a mesma potência. Assim, ele fez a distinção entre os conjuntos. Os que podem ser contados , foram chamados de enumeráveis e os demais de não-enumeráveis. Além disso, ele mostrou de uma forma elegante que o conjunto dos números racionais é enumerável, usando o seu famoso método de diagonalização.

Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermediária entre os conjuntos enumeráveis e os não-enumeráveis - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese.

Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos Conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo R para representar o conjunto dos números reais.

Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade mental e o forçou a car hospitalizado várias vezes. Provavelmente, se ele fosse diagnosticado hoje em dia, os médicos diriam que ele tinha transtorno bipolar. A descoberta do Paradoxo de Russel conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de In nito Absoluto, que identi cava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.

Bibliogra a: Wikipédia.

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Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

5.5 Grandes Matemáticos: Leonhard Euler Autor:

Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

"Leia Euler, ele é nosso mestre em tudo", dizia Pierre Simon de Laplace.

Leonhard Euler (1707−1783) nasceu na cidade da Basiléia na Suiça e é considerado juntamente com Arquimedes, Isaac Newton e Carl Gauss um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Inicialmente, ele foi educado por seu pai, um ex-aluno de Jacob Bernoulli. Em 1720, iniciou seus estudos em Teologia na Universidade da Basiléia, mas tomou gosto pela Matemática, tendo como tutor o matemático Johann Bernoulli.

Aos 19 anos apresentou como tese para cátedra de Física uma memória sobre a Física do som e depois não parou mais de publicar. Para se ter uma idéia da extensão de sua obra, a Academia de Ciências de São Petesburgo continou a publicar seus trabalhos por mais 50 anos após sua morte.

Euler o primeiro a tratar seno e cosseno como funções, inventou o ciclo trigométrico.

Devemos a ele a invenção do símbolo f (x) para função de x, os símbolos e para representar a base dos logaritmos neperianos, π para a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, i para representar

√

−1 , a letra grega

∑

para representar o somatório, dn y ,

para representar a derivada de ordens superiores, além de designar os vértices de um triângulo por letras latinas maiúsculas (A, B, C, . . .) e os lados por letras latinas minúsculas (a, b, c, . . .]).

Euler trabalhou em diversas áreas da Matemática, para ele não tinha distinção entre Matemática Pura e Aplicada. Citarei alguns problemas famosos que ele estudou.

• Mostrou que o problema das 7 Pontes de Konisberg não tinha solução;

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Volume 1, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos • A relação de Euler-Descartes referente aos poliedros; • As fórmulas eiθ = cos θ + i sin θ e eπi + 1 = 0; • Estudou as EDO lineares;

• Descobriu o operador laplaciano ∆ antes mesmo de Laplace, quando estudava as pro-

priedades dos uidos; • Desenvolveu o Cálculo das Variações, mas deu todos o créditos para Lagrange que tinha

idéias semelhantes.

• Descobriu um método para achar as somas dos recíprocos dos inteiros de expoente par e

como caso particular concluiu que 1 1 1 π2 + + . . . + + . . . = 12 22 n2 6 • As funções gama e beta são devido a Euler; • Desenvolveu as equações para a dinâmica dos corpos rígidos.

• A função ϕ apresentada por ele tem destaque na Teoria dos Números.

Devido a sua obra, houve grande avanço na Matemática sem muito formalismo , mas este pensamento é alterado radicalmente pelos matemáticos do século XIX e irá dominar toda a Matemática até a atualidade. A combinação de intuicionismo com rigor lógico expande tanto este ramo do conhecimento a níveis inimagináveis na época de Euler.

46

Hall da Fama Procure identi car o maior nĂşmero de matemĂĄticos na gura abaixo.

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