1º Compêndio Blog Fatos Matemáticos (parte 3)

COMPÊNDIO DO BLOG FATOS MATEMÁTICOS Diversos assuntos interessantes de matemática em vários níveis.

Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino

Volume 3,

n◦

1

Geometria Espacial Geometria Plana História da Matemática Inst. para o Ens. da Matemática Matemática Aplicada Probabilidade http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Setembro de 2010

Sumário 1

2

3

4

5

Geometria Espacial

6

1.1 Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Um Pouco Sobre Superfícies Mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5 A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6 A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Geometria Plana

16

2.1 Introdução aos Mosaicos (Parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2 Introdução aos Mosaicos (Parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3 Desenvolva a sua Criatividade Através do Tangram . . . . . . . . . . . . . . .

18

História da Matemática

20

3.1 A História das Equações Algébricas (Parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2 A História das Equações Algébricas (Parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3 A História das Equações Algébricas (Parte 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.4 A Álgebra de Omar Khayyam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Instrumentação Para o Ensino da Matemática

28

4.1 A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2 O Quebra-Cabeça de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.3 Móbile com os Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.4 As Barras de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Matemática Aplicada

35

5.1 O Problema do Bode Faminto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2 Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre . . . . . . . . . . . .

36

5.3 Velocidade de Escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.4 Sistemas Lineares no Balanceamento de Equações Químicas . . . . . . . . . . .

41

2

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Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

6

5.5 Interação Gravitacional de Sólidos com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . .

43

Probabilidade

47

6.1 A Coincidência de Aniversários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

6.2 O Problema das Portas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3

Prefácio Esta revista foi criada com objetivo de facilitar a leitura e o arquivamento dos posts do blog Fatos Matemáticos. Atualmente, o blog possui mais de 300 posts divididos em diversas áreas da Matemática. Optei em dividir a revista em 4 volumes conforme a tabela abaixo: Volume

Áreas Abordadas

1

Álgebra Elementar Álgebra Linear Análise Combinatória Aritmética Biogra as

2

Curiosidade Matemáticas Cálculo Cálculo Avançado Equações Diferenciais Geometria Analítica

3

Geometria Espacial Geometria Plana História da Matemática Instrumentação para o Ensino da Matemática Matemática Aplicada Probabilidade

4

Poemas e Frases Matemáticas Provas sem Palavras Raciocínio Lógico Recreações Matemáticas Teoria dos Números Trigonometria

Os posts serão apresentados na ordem cronológica em que foi publicado no blog, mas os posts que foram divididos em várias partes, serão apresentados de forma consecutiva.

4

Volume 3, n◦ 1

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Direitos Autorais

O objetivo deste compêndio é divulgar a matemática em todos os seus níveis, buscando deste modo melhorar a Educação do país. Peço a compreensão de todos vocês, no caso de copiar qualquer post, que seja educado e cite este compêndio ou o seu autor.

As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para linnux2001@gmail.com

Atenciosamente, Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino

5

Capítulo 1

Geometria Espacial 1.1

Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Observamos que um elipsóide

cuja a equação cartesiana dada por x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c

(1.1)

é semelhante de certa forma a uma esfera de raio 1,

cuja equação cartesiana é x2 + y 2 + z 2 = r 2 6

(1.2)

Volume 3, n◦ 1

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ou seja, se tomarmos uma bola de borracha, podemos esticá-la de tal forma que ela se transforme num elipsóide. Na linguagem da topologia, dizemos que essas superfícies são homeomorfas.

Por outro lado, sabemos por Arquimedes que o volume da esfera de raio r é V =

4πr3 3

(1.3)

Surge então a pergunta: Como podemos calcular o volume do elipsóide a partir das fórmulas (1.2) e (1.3)?

Para responder esta pergunta, usaremos o Princípio de Cavalieri cujo enunciado é: Se todo plano π horizontal secciona os sólidos A e B tais que a área de π interseção A é k vezes a área de π interseção B , onde k é uma constante, então V (A) = kV (B).

Para usar este princípio, considere a esfera x2 + y 2 + z 2 = c2 e o elipsóide (1.1) acima.

Observe que essas equações interceptam o eixo z nos pontos (0, 0, ±c). Seja z = z0 um plano paralelo ao plano xy cuja interseção com a esfera é o círculo x2 + y 2 = c2 − z02 . A área desse círculo é S1 = π(c2 − z02 )

(1.4)

Analogamente, o plano z0 intercepta o elipsóide formando a elipse (c2 − z02 ) x2 y 2 + = a2 b2 c2 √

onde p =

⇒

x2 y2 + =1 (pa)2 (pb)2

c2 − z02 cuja área é c S2 = π(pa)(pb) =

Note que S2 /S1 =

πab(c2 − z02 ) c2

ab = k . Assim, pelo Princípio de Cavalieri, temos c2 V2 = kV1 =

4πabc ab 4πc3 × = 2 c 3 3

Para ver um post detalhado sobre esse assunto visite o blog O Baricentro da Mente (www.obaricentrodamente.blogspot.com) e leia esse excelente artigo O Princípio de Cavalieri.

1.2

Um Pouco Sobre Superfícies Mínimas

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Em Geometria Diferencial, a curvatura gaussiana ou curvatura de Gauss de um ponto sobre uma superfície é o produto das curvaturas principais, k1 e k2 do ponto dado. É uma medida intrínsica de curvatura, isto é, seu valor depende somente de como as distâncias são medidas sobre a superfície, não da maneira como estão imersas no espaço. (Fonte: Wikipédia).

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A semi-soma de k1 e k2 é chamada curvatura média da superfície neste ponto. As superfícies mínimas é de nida como sendo aquelas que possuem curvatura média nula. Fisicamente, isto signi ca que para um determinado limite uma superfície mínima não pode ser modi cada sem aumentar sua área.

Encontrar uma superfície de área mínima com borda especí ca e constante é um problema de cálculo variacional, conhecido como Problema de Plateau. As superfícies mínimas também podem ser caracterizadas como superfícies de área mínima para uma dada borda xa.

Observe que uma esfera é uma "superfície mínima"no sentido de reduzir a área da superfície em relação ao volume, o que não a quali ca como uma superfície mínima no sentido usado pelos matemáticos.

Figura 1.1: Catenóide

Historicamente, esse assunto começa com Lagrange no século XV III , que em sua famosa autobiogra a, ele apresenta um algoritmo para o cálculo variacional. Em 1740, Euler através da rotação da catenária, ele obteve uma superfície mínima e deu o nome de "allyside"que mais tarde foi renomeado por catenóide por Plateau. É interessante observar que através das bolhas de sabão é possível obter visualizações de algumas superfícies mínimas, uma vez que sua obtenção analítica é extremamente difícil envolvendo a resolução de uma EDP não-linear.

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Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Referência Bibliográ ca: Oliveira, Disney Dougla de Lima. Superfícies Mínimas Obtidas Através da Transformada de Ribaucour.

1.3

A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 1)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino O problema dos alvéolos das abelhas despertou a curiosidade dos sábios desde a mais remota antiguidade.

O primeiro a se interessar por esse estudo

parece ter sido Pappus de Alexandria, matemático grego (320 d.C). Ele chegou a estudar alvéolos em forma de prismas de seção hexagonal, triangular e quadrada e deixou transparecer que os prismas hexagonais podiam armazenar mais mel do que os outros dois.

René Antoine Ferchault de Réaumur, famoso físico francês, julgou por volta de 1700, que se tratava de um problema matemático de máximo e mínimo, que as abelhas resolviam com o intuito de economizar cêra. Por esse caminho é que deveriam ser orientados, todos os estudos matemáticos. O astrônomo francês Jean Dominique Maraldi, interessou-se vivamente pelo problema das abelhas. Maraldi fazia na época a apologia da simplicidade e facilidade da construção pelo fato de serem usados apenas dois tipos de ângulos, um de 109◦ 28′ e outro, seu suplemento, de 70◦ 32′ e enaltecia a beleza matemática.

As abelhas guiadas por instinto admirável, procuram obter para seus alvéolos uma forma que seja a mais econômica, isto é, que apresente a "menor área"ou a menor porção de cera para um volume xo. Dentro desse plano de trabalho, é preciso que a parede de um alvéolo sirva também ao alvéolo vizinho, isto é, as abelhas tiveram que recorrer as guras geométricas que se possam justapor quando encostadas umas às outras não deixando entre si espaços desperdiçados. Era preciso, pois, para o alvéolo, adotar uma forma prismática.

Os prismas (os alvéolos) devem encher totalmente o espaço sem deixar lacunas entre eles (interstícios). Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstícios são: o prisma triangular, o quadrangular e o hexagonal. Desses três prismas regulares qual será o mais econômico? Em outras palavras: Qual dos três prismas (tendo volumes iguais) apresenta área lateral mínima? Como o volume de um prisma é proporcional a área da base, para que a área lateral seja mínima basta veri car qual das guras abaixo possui o menor perímetro para uma área da base constante.

Referência Bibliográ ca: 1. TAHAN, Malba. As maravilhas da matemática, Bloch Editores S/A, 4a ed., 1976, Rio 9

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Compêndio do Blog Fatos Matemáticos de Janeiro.

2. MCLAURIN, C. On the Bases of the Cells where in the Bees Déposit their Honey, in Philosophy Transactions 42(1743), p.561.

1.4

A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 2)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Vimos na Parte 1, a história do problema dos alvéolos que é determinar o formato para que caiba o máximo de mel gastando o mínimo de material possível e com a condição de que não haveria interstícios (espaços vazios) entre eles, mais especi camente surgiu a pergunta: Qual dos três prismas (triangular, quadrangular e hexagonal), tendo volumes iguais apresenta área lateral mínima?

Como o volume de um prisma é proporcional a área da base, para que a área lateral seja mínima basta veri car qual das guras abaixo possui o menor perímetro para uma área da base constante. Sejam os polígonos regulares intercaixantes de área e lados iguais a, b e c abaixo:

√ √ 4 3 2 3 3 2 3 2 Da Geometria Plana, segue que a =b = c . Assim, b = a, de modo que 4√ 2 2 4 perímetro do quadrado é PQ = 4b = 2 3a < 3a = PT (perímetro do triângulo equilátero). √

Analogamente,

√

√ c=

2 √ b 3 3

⇒

PH = 6c = 6

2 √ b < 4b = PQ 3 3

Logo, PH < PQ < PT .

Podemos concluir que o prisma mais econômico é o hexagonal, pois é aquele que apresenta, para o mesmo volume, a menor área lateral, isto é, o menor gasto de material. Foi por esse motivo que as abelhas, para os seus alvéolos, adotaram a forma hexagonal, veja a gura abaixo: 10

Volume 3, n◦ 1

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Escolhida a forma dos favos resta encontrar a forma mais adequada para a base do prisma, que poderia ser plana e foi esta a solução que as vespas encontraram para os seus 3 favos. Mas as abelhas adotaram uma forma mais complicada, mas muito mais perfeita que veremos nos dois últimos posts desta série.

1.5

A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 3)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino As abelhas adotaram uma forma romboedral para fechar o fundo dos alvéolos, conforme a gura ao lado.

Por que, entre tantas formas possíveis elas escolheram esse formato?

As faces desta superfície são losangos, o que lhes dá mais consistência, pois encaixam uns aos outros.

Com essa forma rômbica, ao invés de um fundo plano, as abelhas economizam um alvéolo em cada cinqüenta.

Em milhões e milhões de alvéolos essa pequena economia de 1 em 50 é incalculável.

Reáumur notou que, no losango de fechamento, o ângulo agudo era constante. O fato intrigou Reáumur que mandou buscar alvéolos na Alemanha, na Suíça, na Inglaterra, no Canadá e até na Guiana e todos apresentavam o losango de fechamento com ângulo agudo igual a 70◦ 32′ . O ângulo obtuso seria o suplemento e media, portanto, 109◦ 28′ , conforme a gura

abaixo.

O ângulo de 70◦ 32′ constante em todos os alvéolos impressionou Reáumur e algum motivo tinha a abelha para adotar aquele ângulo em todos os alvéolos. Este simples problema foi na época de Reáumur de tão grande di culdade que ele consultou o notável matemático Samuel König (1712 − 1757) com intuito de conseguir uma solução teórica exata. O problema foi 11

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proposto ao eminente a König nos seguintes termos: É dado um prisma hexagonal regular de raio R. Esse prisma é fechado em uma de suas extremidades, por três losangos iguais. Sabendo que o volume do prisma é V , qual deve ser o ângulo agudo α do losango de modo que a área total seja mínima?

No próximo e último post, veremos uma solução deste intrigante problema através da Geometria Espacial, Trigonometria e Cálculo.

1.6

A Matemática na Vida das Abelhas (Parte 4)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Neste post, veremos através de uma modelagem espacial e do uso do Cálculo Diferencial como elas fecharam o fundo do álveolo economizando o material usado. Em termos matemáticos, temos o seguinte problema: É dado um prisma hexagonal regular de raio R. Esse prisma é fechado em uma de suas extremidades, por três losangos iguais. Sabendo que o volume do prisma é V , qual deve ser o ângulo agudo α do losango de modo que a área total seja mínima?

Resolução: Na gura abaixo, do triângulo retângulo OF F ′ , tan θ =

R FF′ = ′ OF OF ′

Por outro lado, MN =

donde segue que

⇒

OF ′ = R cot θ

OA + F C OF ′ + F ′ A + F C = 2 2

′ ¯ = OF + h = R cot θ + h h 2 2

12

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Por simetria,

V = Ab h, onde 3

√ 1 3 3R2 1 Ab = Ahexagono = · 3 3 2

Logo,

⇒

¯ = √2V h 3 3R2

R cot θ 2V − h= √ 2 2 3 3R

(1.5)

Além disso, do triângulo retângulo OF F ′ , sin θ =

F ′F R = OF OF

⇒

OF = Rcosecθ

sendo 0 < θ <

Da gura acima, F G = GO e α OM OF tan( ) = = 2 GM GE

⇒ 13

α Rcosec θ tan( ) = 2 BD

π 2

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Sendo BD =

√

3R, segue que

α cosec θ tan( ) = √ 2 3

(1.6)

Sejam: • S1 a área dos três losangos que fecham o fundo do alvéolo; • S2 a área de 6 triângulos F HG; • S3 a área de 6 retângulos de base R e altura h.

Assim,

√ OF GE 3Rcosec θ BD 3 3R2 cosec θ S1 = 3 · = ⇒ S1 = 2 2 2 GH F H ¯ − h) S2 = 6 · = 3(GD − HD)R = 3(M N − F C)R = 3R(h 2

donde segue que S2 =

e

( S3 = 6Rh = 6R

2V R cot θ √ − 2 2 3 3R

ou seja, Logo,

3R2 cot θ 2

(1.7)

(1.8)

)

4V =√ − 3R2 cot θ 3R

4V − 2S2 S3 = √ 3R

(1.9)

√ 3 3R2 cosec θ 4V S = S1 + S2 + S3 = + S2 + √ − 2S2 2 3R

usando as expressões (1.7), (1.8) e (1.9) obtemos a função área total do alvéolo. √ 4V 3 3R2 cosec θ 3R2 cot θ S(θ) = √ − + 2 2 3R

0<θ<

π 2

(1.10)

Derivando a expressão (1.10) e igualando a zero, temos: √ 3R2 cosec 2 θ 3 3R2 cosec θ cot θ − =0 2 2

ou seja, cosec θ =

√

3 cot θ

⇒

1 cos θ = √ 3 √

1 3

Sendo S ′′ (arccos( √ )) > 0, podemos a rmar que para θ = arccos(1/ 3), a área total do alvéolo será mínima. Usando a identidade (1.6), temos: α cosec 2 θ 1 1 1 tan2 ( ) = = = = 2 2 2 3 3(1 − cos θ) 2 3 sin θ

14

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos de modo que

α 1 tan( ) = √ 2 2

⇒

α = 70◦ 31′ 44′′ ≃ 70◦ 32′

Nota Histórica: Convém dizer a verdade: König desconhecia as pesquisas feitas por seu amigo Reáumur, e ignorava os trabalhos de Maraldi. König jamais pensara que estaria destinado a calcular alvéolo de abelha.

König encontrou o ângulo de 70◦ 34′ como o que proporcionava a maior economia, con rmando a suspeita anteriormente con rmada por Reáumur. O resultado apresentado pelo prestigioso matemático assombrou o mundo cienti co da França., pois o ângulo calculado pelo matemático é 70◦ 34′ e o ângulo calculado pelas abelhas: 70◦ 32′ .

As abelhas erravam. Mas o erro é mínimo diziam alguns teólogos. Erravam na construção de seus alvéolos porque obra perfeita só Deus poderia fazer! Além disso, o erro no ângulo, de 2′ , só poderá ser apreciado com aparelhos de precisão.

Os naturalistas a rmavam que o erro cometido pelas abelhas geômetras deveria resultar da natureza do material empregado. O matemático abordara a questão teórica, mas o pequenino inseto era obrigado a encarar o problema prático, problema da vida.

Um matemático inglês, Colin MacLaurin (1696 − 1746), quatro anos mais velho que König, informado do caso, resolveu entrar também na questão, isto é, o problema das abelhas. Retomou o problema, aplicou as fórmulas e resolveu-o com os recursos do Cálculo Diferencial, e achou que König havia errado. O ângulo agudo do losango, para o alvéolo mais econômico, deveria medir precisamente 70◦ 32′ .

A revelação de MacLaurin, publicada no artigo On the Bases of the Cells where in the Bees Deposit their Honey de 1743, causou novo escândalo no meio cienti co europeu. Novos

debates surgiram entre os cientistas.

König, o respeitável matemático, nome consagrado pela Academia de Ciências, havia errado!

A verdade estava com as abelhas. Procedeu, porém, MacLaurin dentro de uma ética impecável.

Declarou que seu colega König errara por ter utilizado em seus cálculos uma tábua de logaritmos que tinha um erro. Revelou MacLaurin qual era essa tábua e onde estava o erro, do qual resultara, para o ângulo do losango, uma pequena diferença de 2′ .

Podemos concluir que a matemática dos alvéolos é apenas uma constatação feita pelo homem de que na natureza se usa sempre a menor quantidade de material para preencher uma certa nalidade. Isto resulta diretamente de um planejamento de trabalho visando maior produtividade e maior rapidez. A economia de material é uma constante na natureza em que o custo é interpretado pelo que se poderia denominar "custo metabólico".

15

Capítulo 2

Geometria Plana 2.1

Introdução aos Mosaicos (Parte 1)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Um problema de Geometria muito interessante é o de recobrir uma superfície plana com polígonos regulares. Essa cobertura é é chamada mosaico do plano e deve ser feita de modo que não haja nem lacunas nem superposições. Seja n o número de lados de cada um os polígonos. Então cada um dos ângulos interiores α deve medir (n − 2) ·

180◦ n

De fato, observe que qualquer polígono pode ser decomposto em n − 2 triângulos e sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180◦ , temos que (n − 2) · 180◦ é a soma dos ângulos do polígono de n lados, donde segue o resultado. Para o octógono regular ao lado, temos α = 135◦ .

Impondo-se que um vértice de um polígono não possa car no interior de um lado de outro polígono, então o número de polígonos em cada vértice é dado por 2+

4 n−2

De fato, seja O um vértice comum aos vértices dos polígonos (Figura abaixo).

16

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Assim, αk = 360◦ , onde k ∈ Z, ou seja, 180◦ (n − 2) k = 360◦ n

Para n = 3 n=6

2.2

⇒

⇒

⇒

k =2+

k = 6 (triângulos equiláteros) Para n = 4

4 n−2 ⇒

k = 4 (quadrados) Para

k = 3 (hexágonos regulares) E para n > 6, k não é inteiro.

Introdução aos Mosaicos (Parte 2)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino No primeiro post apresentei os mosaicos do plano em que o triângulo equilátero, quadrado e hexágono preenche o plano. Consideremos agora, o caso em que um vértice de um polígono que no interior de um lado de outro polígono (Fig. abaixo).

Nesse caso, α · k = 360◦ , onde k ∈ Z. Assim, 180◦ (n − 2) · k = 360◦ n

donde segue que o número de polígonos acumulados em torno deste vértice é dado por k =2+

4 n−2

Para n = 3, temos k = 3, para n = 4, temos k = 4 e para n > 4, k não é inteiro. Na gura abaixo, temos alguns exemplos ilustrativos.

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Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

2.3

Desenvolva a sua Criatividade Através do Tangram

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino O Tangram é um quebra-cabeça geométrico constituído de 7 peças: 5 triângulos (de três tamanhos diferentes), 1 quadrado e 1 paralelogramo conforme a gura abaixo.

O objetivo é reproduzir uma forma dada a partir dessas peças, sem nenhum pré-requisito. É claro que o jogador deve ter dedicação, paciência e criatividade.

O Tangram pode ser confeccionado com os mais diversos materiais: madeira, cartolina, papel cartão, plástico, etc... Para quem tiver interesse, copie a gura acima, imprime, cole 18

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

sobre uma cartolina e em seguida recorte as suas peças. Na gura abaixo, apresento algumas guras que podem ser montadas com o Tangram.

Se você interessou mesmo por este quebra-cabeça que tal um estante na sua sala com os modelos do Tangram? Então veja as fotos abaixo e encomende um projeto em uma marcenaria.

19

Capítulo 3

História da Matemática 3.1

A História das Equações Algébricas (Parte 1)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Pretendo apresentar em vários episódios, a história e os métodos de resolução das equações algébricas, culminando com os trabalhos de Abel e de Galois. Neste primeiro episódio veremos o surgimento das equações lineares. Soluções das equações lineares podem ser encontradas no papiro de Ahmes e um dos problemas propostos é resolver a equação: x+

x = 19 7

A solução dada em Ahmes é a seguinte: Suponha que x = 7 é solução. Assim teremos 8 = 19 o que é um absurdo, e para corrigir isso, multiplicamos 7 por 19/8 para obter a soução

correta 7 × 19/8. De fato, 7×

19 1 19 19 19 19 +7× × =7× + =8× = 19 8 8 7 8 8 8

Este é o conhecido método da falsa posição e usado por vários matemáticos até o século XIX .

Vejamos com mais detalhes, uma variante deste método é chamada de dupla falsa posição.

Considere a equação linear ax + b = 0 e sejam x1 e x2 dois valores atribuídos a x ("duas tentativas") de modo que y1 = ax1 + b e y2 = ax2 + b

(3.1)

Subtraindo as expressões em (3.1) obtemos y1 − y2 = a(x1 − x2 )

20

(3.2)

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Além disso, multiplicando a primeira em (3.2) por x2 e a segunda expressão por x1 e subtraindo as expressões resultantes, segue que b(x2 − x1 ) = x2 y1 − x1 y2

(3.3)

De (3.2) e (3.3), temos a regra para determinar a solução da equação linear x=− Exemplo 3.1

b (x2 y1 − x1 y2 )/(x1 − x2 ) x2 y1 − x1 y2 = = a (y1 − y2 )/(x1 − x2 ) y1 − y2

Use este método da falsa posição para achar a solução da equação linear 2x +

x x + = 34 3 2

Resolução: Como temos no denominador os números 2 e 3, "chutamos" x = 6 como sendo a solução. Mas com esta escolha, temos 17 = 34 o que é um absurdo. Assim, a solução correta é obtida multiplicando a tentativa pelo ajuste, ou seja: x=6×

3.2

34 = 12 17

A História das Equações Algébricas (Parte 2)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Vimos na Parte 1, a solução das equações lineares através do método da falsa posição. Vejamos agora um pouco da história e a forma de resolução das equações quadráticas.

Smith em History of Mathematics (1925), vemos que a primeira equação quadrática aparece no Berlin Papyrus do Egito Antigo por volta de 2000 a.C. Em notação moderna, o problema pede

para achar x e y tais que x2 + y 2 = 100 e y =

3x 4

e a solução é dada aplicando o método da falsa posição. Assim, podemos supor que muitos outros problemas quadráticos podem ser encontrados nas tabletas babilônicas.

Muitos problemas nessas tabletas pedem o valor de x e y , sendo dadas as condições: x + y = b e xy = c. Geometricamente, tais problemas estão relacionados com o perímetro e a

área de retângulos. Vejamos o algoritmo usado para resolver tais problemas: b 2

1. Eleve ao quadrado a metade de b , ou seja, ( )2 = 21

b2 ; 4

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 2. Subtraia c deste valor, ou seja,

b2 − c; 4

√

3. Extraia a raiz quadrada deste valor para obter

b2 − c; 4

4. Adicionando e subtraindo este valor metade b obtemos x e y , respectivamente, isto é

√ b2 b b2 −c e y = − −c 4 2 4 ca como exercício, veri car que de fato, x e y dados acima são soluções do sistema acima e b x= + 2

√

para isso, basta resolver a equação quadrática z 2 − bz + c = 0.

Os gregos resolviam equações quadráticas da forma x2 − ax − b = 0, sendo a, b números positivos, através de construções geométricas com régua e compasso. Modernamente, podemos visualizar as duas raízes positivas como sendo a abscissa dos pontos de interseção das curvas y = x2 e y = ax + b.

Brahmagupta em (628 d.C.) apresenta a equação x2 − 10x = −9 e sua solução, mostrando que algoritmo para resolver equações quadráticas existem desde daquela época. Sridhara em 1025, fornece a regra Hindu para equações quadráticas que foi popularizada por Bháskara no

ano de 1050 e dizia o seguinte: "Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coe ciente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coe ciente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso".

Na notação algébrica atual, temos: ax2 + bx = c

⇒

4a2 x2 + 4abx = 4ac

⇒

4a2 x2 + 4abx + b2 = b2 + 4ac

Assim, (2ax + b)2 = b2 + 4ac

⇒

2ax + b =

√

b2 + 4ac

Al Khwarizmi foi um grande matemático árabe que por volta de 780−850, escreveu um livro de Álgebra cujo título era Al-kita-b al-muhtas,ar - hisa-b al-jabr wa-l-muqa-bala, ou seja, "Um breve livro sobre os cálculos de al-Jabr and al-Muqabala". O termo al-jabr pode ser traduzido como a transposição de termos de um lado ao outro da equação e al-muqabala signi ca em subtrair quantidades iguais de ambos os lados da equação.

Portanto, 4x − 1 = 3x + 2

⇒

x − 1 = 2 é al-jabr, enquanto 3x + 2 = 4

⇒

3x = 2

é al-muqabala. Além disso, ele classi cou as equações em 6 tipos dados por: ax2 = bx,

ax2 = c,

bx = c,

ax2 + bx = c,

ax2 + c = bx,

bx + c = ax2

A razão para essas seis classi cações é devido ao fato que os matemáticos árabes desconheciam os trabalhos dos matemáticos hindus que tratou dos números negativos. Em seus trabalhos, coe cientes e raízes das equações eram positivos.

22

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Figura 3.1: Al Khwarizmi

A fórmula resolvente da equação quadrática é conhecida atualmente por "fórmula de Bháskara", pois foi ele quem preencheu algumas lacunas na obra de Brahmagupta dando uma solução ao problema da divisão por zero.

Referência Bibliográ ca: Eves, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.

3.3

A História das Equações Algébricas (Parte 3)

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Por muitos séculos, desde o período áureo da Grécia antiga, matemáticos tentaram em vão deduzir um método geral de solução da equação do 3◦ grau ou equação cúbica. ax3 + bx2 + cx + d = 0

Procurava-se uma fórmula geral da solução da cúbica, isto é, uma fórmula que desse suas soluções como expressões algébricas envolvendo os coe cientes a, b, c e d.

A solução deste problema secular ocorreu na Itália no início do século XV I e os homens que aperfeiçoaram as equações cúbicas, todos constituíram um grupo de matemáticos tão interessante, a maioria deles eram autodidatas, trabalhavam em contabilidade, em problemas de juros compostos e de seguros, destacando-se por cima do simples cálculo prático.

23

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Em 1545, a forma de resolução das equaçóes cúbicas e das quárticas surgem com a publicação de Ars Magna de Girolamo Cardano, mas não foi ele o descobridor original das soluções dessas equações como ele próprio admitiu isso em seu livro.

Figura 3.2: Ars Magna de Cardano

O primeiro matemático a desenvolver um método para resolver equacões cúbicas da forma x3

+ ax + b = 0 foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, Itália. Antes de

morrer, revelou seu método, que mantivera em segredo, a Antonio Fiore.

Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, Itália, em 1499. Conta-se que era tão pobre quando criança que estudava matemática escrevendo nas lápides de um cemitério. Em 1535 foi desa ado por Antonio Fiore a uma competição matemática. Na época, disputas acadêmicas eram comuns, muitas vezes premiando o ganhador com o emprego do perdedor. Tartaglia sabia resolver as equações cúbicas de del Ferro, mas tinha descoberto também um método para resolver cúbicas da forma x3 + px2 + q = 0, de modo que ele foi o vencedor da competição.

Os últimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com Girolamo Cardano (1501 − 1576), um matemático italiano que, além de médico famoso em Milão, foi também

astrônomo. Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter escrito um horóscopo de Jesus Cristo.

Em 1539, em sua casa em Milão, Cardano persuadiu Tartaglia a contar-lhe seu método secreto de solução das cúbicas, sob o juramento de jamais divulgá-lo. Alguns anos mais tarde, porém, Cardano soube que parte do método constava de uma publicação póstuma de del Ferro.

Resolveu então publicar um estudo completo das equações cúbicas em seu tratado Ars Magna que além de explicar a solucionar as equações cúbicas, existe também um método descoberto por Ludovico Ferrari (1522 − 1565) discipulo de Cardano, para resolver equações

24

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

Em 1548, Tartaglia desa ou Cardano para uma competição matemática, a ser realizada em Milão. Cardano não compareceu, tendo enviado Ferrari para representá-lo. Parece que Ferrari venceu a disputa, o que causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza nove anos mais tarde.

Referência Bibliográ ca: Sampaio, João C. V. O Ensino da Álgebra Elementar Através de sua História. Dpto de Matemática, UFSCar.

3.4

A Álgebra de Omar Khayyam

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Omar Khayyam (1048 − 1131) é um personagem na História da Matemática que é lembrado por ser um poeta, matemático e astrônomo persa.

Ele foi um grande algebrista no século XII cujo trabalho in uenciou René Descartes no século XV II .

Seus estudos concentraram em achar as raízes positivas de equações algébricas. Em particular, veremos como ele resolveu uma equação cúbica geometricamente.

Naquela época não tinha ainda descoberto os números negativos e as equações eram subvidividas em vários tipos. O primeiro grupo de equações continham dois termos e ele as chamava de equações simples: 1. x = a; 2. x2 = a; 3. x3 = a; 4. x2 = bx; 5. x3 = cx2 ; 6. x3 = bx.

O segundo conjunto o qual era por ele chamado por ele equações compostas, dividiam em equações trinomiais (com 3 termos) ou tetranomiais (com 4 termos). As equações trinomiais dividiam nos seguintes grupos: 25

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 1. Equações trinomiais quadráticas: (a) x2 + bx = a; (b) x2 + a = bx; (c) x2 = bx + a.

2. Equações cúbicas redutíveis a equações quadráticas: (a) x3 + cx2 = bx; (b) x3 + bx = cx2 ; (c) x3 = bx + cx2 .

3. Equações cúbicas trinomiais: (a) x3 + bx = a; (b) x3 + a = bx; (c) x3 = bx + a; (d) x3 + cx2 = a; (e) x3 + a = cx2 (f) x3 = cx2 + a

4. Equações tetranomiais o qual a soma de 2 termos é igual a soma do quarto termo: (a) x3 + cx2 + bx = a; (b) x3 + cx2 + a = bx; (c) x3 + bx + a = cx2 ; (d) x3 = cx2 + bx + a.

5. Equações tetranomiais no qual a soma de 2 termos é igual a soma dos outros dois: (a) x3 + cx2 = bx + a; (b) x3 + bx = cx2 + a; (c) x3 + a = cx2 + bx; Em seu livro "Um tratado de álgebra com estudos comparativos pelo estudioso iraniano Abol Fath Omar Khayyam (o lho de Ebrahim Khayyam)", ele descreve o seu método para resolver estes 25 tipos de equações.

Isto mostra o quanto foi importante a descoberta dos números negativos, que reduziu todos estes tipos em apenas 4 grupos. Um dos métodos de Omar Khayyam, para achar uma solução positiva da equação x3 + px = q com p, q > 0 pode ser descrito usando a notação moderna.

26

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Primeiramente, multiplica-se a equação dada por x. Assim, obtemos x4 + px2 = qx e a seguir Omar considerou a parábola, x2 = circunferência.

q x +y = x p 2

2

√

p y que substituída na equação acima, obtém-se a (

ou

q x− 2p

)2

( 2

+y =

q 2p

)2

de centro em (q/2p, 0) e tangente ao eixo y . O ponto de interseção do grá co dessas duas curvas é a solução da equação cúbica.

Exercício 3.1

Use esta técnica e ache a solução positiva da cúbica x3 + 4x = 8.

27

Capítulo 4

Instrumentação Para o Ensino da Matemática 4.1

A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Por que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦ ? Uma das maneiras de provar issoa é traçar uma reta paralela ao lado AB e usar o fato que os ângulos alternos internos são iguais, para obter α + β + γ = 180◦ (Figura abaixo).

Esta demonstração é apresentada aos alunos da 7a série do Ensino Fundamental. Para auxiliar os professores proponho também uma maneira alternativa de provar este fato que é a seguinte: 1) Desenha o triângulo ABC em papel A4:

28

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 2) Rasga o triângulo a partir de um ponto interior:

3) Em seguida, basta juntar adequadamente as três partes:

4.2

O Quebra-Cabeça de Pitágoras

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Caros leitores, apresento para vocês um quebra-cabeça bem instrutivo que pode ser feito com o Teorema de Pitágoras.

O quebra-cabeça consta de um triângulo retângulo onde são construídos quadrados nos catetos e na hipotenusa que pode ser desenhado numa folha de papela cartão. Eu z o quebracabeça em madeira em que o triângulo retângulo tem as dimensões de 8 cm e 13, 8 cm para os catetos e 16 cm para a hipotenusa aproximadamente conforme gura abaixo: As peças são compostas de dois triângulos retângulos iguais ao triângulo dado, um quadrado de lado igual a diferença da medida dos catetos, ou seja, 8 cm, dois triângulos retângulos 29

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

isósceles cujos catetos é igual a medida do menor cateto do triângulo dado e dois triângulos escalenos obtusos obtidos do triângulo dado conforme o modelo abaixo:

Observe que a soma das áreas do retângulo de lados 2b e c e do quadrado de lado c − b é igual a área de um quadrado de lado a construído sobre a hipotenusa. De fato, 2b · c + (c − b)2 = 2bc + c2 − 2bc + b2 = b2 + c2 = a2

Para usar o quebra-cabeças, temos que construir com essas peças dois quadrados de lados b e c e em seguida, construir um quadrado de lado a, conforme as guras abaixo:

30

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

4.3

Móbile com os Poliedros de Platão

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número nito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices. Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de reta unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do poliedro e se diz regular, se todas as suas faces são polígonos regulares de mesma espécie.

Os sólidos Platônicos são poliedros convexos e regulares e não é difícil demonstrar que existem apenas 5 poliedros de Platão: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

Existem várias atividades interessantes que podem ser feitas com os alunos, tais como construir esses poliedros com cartolina ou com canudos, mas o que eu proponho é uma atividade que serve como uma peça decorativa, que é a construção de móbile conforme as guras ilustrativas.

Material necessário:

Tesoura, cartolinas coloridas (usei apenas a amarela), linha de costura, cola, estilete, 4 palitos de churrasco, duas réguas pequenas ou parte uma régua de 30 cm em duas partes iguais e uma folha de papel A4.

31

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Procedimento:

O primeiro passo é ter paciência, pois qualquer projeto; de um relógio a um carro é feito em várias etapas que devem ser vencidas com persistência. O segundo passo é recortar as duas folhas de cartolina no tamanho A4, colocar na impressora e imprimir o arquivo dos modelos dos sólidos que se encontra neste link www.4shared.com/ le/134175732/37904c4e/mobile.html Com a tesoura, recorte os sólidos com muito cuidado, deixando a borda para ser colada. Para adquirir prática, sugiro que comece pelo tetraedro. Coloque uma régua na linha impressa, coloque a outra régua por baixo e faça uma pequena dobra. Repita esse processo para as outras arestas. Com todas as arestas vincadas, vire a cartolina e com as marcas, volte a dobrar todas as arestas com auxílio das réguas, de modo que após a colagem, as linhas impressas que para dentro.

Aconselho fazer o móbile em etapas, ou seja, primeiro recorte todos os modelos, dobreos, cole começando pelo tetraedro, passando pelo cubo, octaedro, icosaedro e por último o dodecaedro (poliedro com faces pentagonais), lembrando de colar um pedaço de linha de costura.

No processo de colagem, observe um pequeno texto em uma das faces "last face", ou seja, essa é a última face a ser colada e nesta face, cole um pedaço de linha de costura, que será usada para amarrar nos palitos de churrasco.

Com os poliedros prontos, corte com o estilete os palitos de churrasco nos comprimentos: 9 cm, 14 cm, 15 cm e 17 cm. Pegue o tetraedro e o icosaedro e amarre suas linhas a 1, 5 cm

da borda do palito de 9 cm dando várias voltas e regulando o comprimento da linha de modo que os sólidos que na mesma altura, conforme a gura acima. Com um outro pedaço de linha, amarre no interior desse palito, levante o sistema e com calma, vai deslocando a linha até que que em equilíbrio. Com essa linha, amarre no palito de 14 cm a 1, 5 cm da borda e na outra extremidade amarre o cubo e assim por diante até amarrar o dodecaedro e a linha que irá segurar todo o sistema. Se quiser pode pintar os palitos para ter um melhor efeito. Espero que gostem e qualquer dúvida entre em contato através do e-mail que está no blog.

Referência Bibliográ ca: www.pt.wikipedia.org/ 4.4

As Barras de Napier

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino No nal do século XV I , a Europa passava por várias transformações devido ao Renascimento. As frações decimais introduzidas por Simon Stevin (1548 − 1620) fazia grande sucesso 32

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

por toda a Europa e devido ao crescente comércio e as grandes navegações, novos métodos de cálculos aritméticos tinham que ser desenvolvidos. Um método criado nesta época, usava a fórmula abaixo e uma tabela trigonométrica 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)

para transformar produtos em somas. O método tornou-se conhecido como prostaférese, a partir de uma palavra grega que signi ca "adição e subtração".

Pouco antes de Jonh Napier inventar os logaritmos, ele aprimorou um método de multiplicação árabe, dispondo a tabuada dos algarismos de 0, 1 . . . , 9 em barras de madeira conforme a gura acima. Tais barras eram conhecidas como barras de Napier que foi descrita em seu trabalho, Rabdologiae, publicado em 1617, e conseguiu alcançar muita fama.

Para fazer o produto de número 4896 por 7 através das barras de Napier, coloca-se as barras 4, 8, 9 e 6 lado a lado conforme a gura acima.

33

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

O produto em amarelo é obtido aplicando a regra que os números presentes em paralelogramos são somados e se necessário faz o uso do famoso "vai um"para a próxima casa decimal.

Assim, 4896 × 7 = 2(8 + 5)(6 + 6)(3 + 4)2 = (2 + 1)(3 + 1)272 = 34272. Note que com uso adequado da vírgula, o produto 48, 96 × 7 é dado por 342, 72. E ca como desa o mostrar que o produto de 4896 por 72 é dado por 352.512.

Uma atividade interessante que pode ser feita com os alunos é a confecção das barras de Napier com papel cartão ou cartolina, onde pode se adotado as dimensões 2, 5 cm × 1, 5 cm para cada célula.

Hoje em dia, o uso indiscriminado da calculadora eletrônica baniu essas curiosidades das escolas. Mas essas barras é uma excelente ferramenta a ser usada em sala de aula através de uma o cina orientada pelo professor. A confecção dessas barras pelos próprios alunos despertam a curiosidade e o gosto pela Matemática.

34

Capítulo 5

Matemática Aplicada 5.1

O Problema do Bode Faminto

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Um gramado tem a forma de um círculo de raio R. Uma corda de comprimento l tem um dos extremos xado na borda desse gramado e no outro extremo está amarrada num bode faminto. Qual deve ser o comprimento da corda de modo que o bode coma somente a metade da grama nesse jardim?

Resolução: Colocamos um sistema de coordenadas polares, cujo eixo polar passa pela estaca que adotaremos ser a origem do sistema de coordenadas, e pelo centro do jardim de raio R (Ver gura acima).

Em coordenadas polares (ρ, θ) a equação da circunferência R tangente a origem é dada por ρ = 2R cos α para e a equação da circunferência de centro na origem e raio l é ρ = l. Sejam A e B o ponto de interseção dessas curvas e α o ângulo que OA forma com o eixo polar.

Do Cálculo Integral, a área limitada pela curva ρ = f (θ) e pelos raios vetores θ = θ1 e 35

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos θ = θ2 é dada por: 1 S= 2

∫

θ2

ρ2 dθ

θ1

Das condições do problema, temos: 1 2

∫

α 0

1 π l2 dθ + (2R cos θ)2 dθ = R2 2 4

∫ ⇒

π/2

8R2

cos2 θdθ = πR2 − 2l2 α

α

Usando o fato que 2 cos2 θ = 1 + cos(2θ) na integral acima, segue que (∫ 4R

π/2

2

∫ dθ −

cos(2θ)dθ

α

ou seja,

)

π/2

= πR2 − 2l2 α

α

(

l2 α 1− 2R2

) + sin α cos α =

π 4

Por outro lado, no ponto A,

( ) l l 2R cos α = l ⇒ cos α = ⇒ α = arccos 2R 2R

e

√ l 4R2 − l2 sin α cos α = 4R2

Com esses dados obtemos a equação transcendente,

√ ) πR2 − l 4R2 − l2 l cos = 4R2 − 2l2 2R (

Usando algum método numérico, tais como o método de Newton ou o método da secante, obtemos l = 1, 15873R.

5.2

Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Irei apresentar neste Post, uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos sobre a superfície terrestre.

Para simpli car a fórmula que iremos obter, suponhamos que a Terra seja esférica e que conhecemos o raio terrestre e as coordenadas geográ cas (latitude e longitude) de dois pontos sobre a superfície terrestre. Assim, é possível deduzir uma fórmula para distância mínima entre esses pontos. Antes de prosseguir, vejamos alguns conceitos.

Todos os pontos da superfície terrestre são localizados pela cruzamento de duas coordenadas geográ cas: latitude e longitude. As coordenadas são linhas imaginárias, separadas em intervalos regulares 36

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

e medidas em graus. As longitudes, ou meridianos são as linhas paralelas ao meridiano de Greenwich.

• Equador: A rotação da Terra estabelece um eixo imaginário, cuja intersecção com a

superfície terrestre estabelece os dois polos. O meio do caminho entre os polos é a linha do Equador.

• Latitudes ou Paralelos: São linhas paralelas ao Equador, medidas em graus, partindo do

Equador de 0◦ a 90◦ .

• Longitudes ou Meridianos: São linhas imaginárias resultante da intersecção de um plano

que passa pelos polos com a superfície terrestre. Os meridianos são medidos em graus, partindo de Greenwich (meridiano inicial) de 0◦ até 1800 de oeste para leste.

Abaixo estão algumas coordenadas geográ cas de algumas cidades: 1. Roma: (10◦ 06′ 42′′ E, 41◦ 53′ 52′′ N ); 2. Paris: (0◦ 00′ 00′′ , 48◦ 50′ 11′′ N ); 3. São Paulo (SP): (46◦ 38′ 10′′ W, 23◦ 32◦ 51◦◦ S); 4. Porto Alegre (RS): (−51◦ 13′ 48′′ , −30◦ 01′ 59′′ ); 37

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos 5. Lavras (MG): (44◦ 59′ 59′′ W, 21◦ 14′ 43′′ S).

Note que a latitude pode ser associada a um ângulo central (α) cujo vértice está no centro da Terra . Assim, a norte desse paralelo, o ângulo medido é positivo e ao sul é negativo.

Analogamente, a longitude pode ser associada a um ângulo central (θ), de modo que a leste de Greenwich o ângulo θ é positivo e a oeste é negativo.

A seguir determina-se a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas geográ cas. Para isto, seja P (θ, α) um ponto sobre a superfície terreste, onde α e θ são as coordenadas geográ cas de P . Colocando um sistema de coordenadas cartesianas, de modo que a origem esteja no centro da Terra e o eixo x intercepta o meridiano de Greenwich (Fig. abaixo). Sendo OP = R e OM = OP cos α, segue que x = OM cos θ = R cos α cos θ y = OM sin θ = R cos α sin θ

(5.1)

z = OP sin α

Sejam P0 (x0 , y0 , z0 ) e P1 (x1 , y1 , z1 ) as coordenadas cartesianas de dois pontos sobre a superfície terrestre. Existem in nitas linhas que ligam P0 e P1 , e a que possui comprimento 38

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

mínimo é chamada de geodésica. Pelo Cálculo das Variações, prova-se que a distância mínima entre P0 e P1 é igual ao comprimento de um arco de círculo que passa por esses pontos e pelo centro da Terra, ou seja, as geodésicas sobre as esferas são círculos máximos.

Sendo o setor P0 OP1 pertencente a um círculo máximo, a distância entre os pontos P0 e P1 é dada por L = Rϕ

(5.2)

onde ϕ é o ângulo compreendido entre os vetores P⃗0 e P⃗1 medido em radianos e R é o raio terrestre, cujo valor aproximado é 6370 km. Para determinar ϕ em termos das coordenadas geográ cas de P0 e P1 usaremos a Lei dos Cossenos no triângulo △P0 OP1 , ou seja, P⃗0 · P⃗1 =| P⃗0 || P⃗1 | cos ϕ = R2 cos ϕ

pois, | P⃗0 |=| P⃗1 |= R

donde segue que x0 x1 + y0 y1 + z0 z1 = R2 cos ϕ

(5.3)

Substituindo (5.1) em (5.3), temos: R2 cos ϕ = R2 (cos α0 cos θ0 cos α1 cos θ1 + cos α0 sin θ0 cos α1 sin θ1 + sin α0 sin α1 )

ou seja, cos ϕ = cos α0 cos α1 cos(θ0 − θ1 ) + sin α0 sin α1

De (5.2), temos o resultado desejado, L = Rϕ = R arccos[cos α0 cos α1 cos(θ0 − θ1 ) + sin α0 sin α1 ] 39

(5.4)

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos

Usando a fórmula acima, é fácil ver que a distância entre Paris e Roma é L = 1102 km e entre São Paulo e Porto Alegre é L = 853 km.

Referência Bibliográ ca: 1. Spiegel, Murray R. Análise Vetorial - Resumo da Teoria. Livro Técnico e Cientí co. Rio de Janeiro, 1966.

2. Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2 - McGraw-Hill. São Paulo, 1987.

5.3

Velocidade de Escape

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Suponha que um foguete seja disparado para cima com velocidade inicial v0 e depois se mova sem posterior gasto de energia. Para valores grandes de v0 , ele sobe bastante antes de chegar ao repouso e cair de volta à Terra. Qual deve ser v0 para que o foguete jamais chegue ao repouso e por causa

disso escape da atração gravitacional da Terra?

De acordo com a Lei de Gravitação de Newton, duas partículas quaisquer de matéria no universo se atraem com uma força que é proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Considerando que toda massa da Terra está concentrada em seu centro, podemos tratá-la como se fosse uma partícula de modo que podemos aplicar a Lei da Gravitação Universal, isto é, F = −G

Mm s2

onde G é a constante universal de gravitação, M e m são asmassas da Terra e do foguete respectivamente e s é a distância do foguete ao centro da Terra. (Figura abaixo).

40

Volume 3, n◦ 1

Compêndio do Blog Fatos Matemáticos Aplicando a Segunda Lei de Newton, temos: m

Mm d2 s = −G 2 2 dt s

⇒

d2 s M = −G 2 2 dt s

(5.5)

Esta equação nos diz que o movimento do foguete não depende de sua massa. Note que ( ) d2 s d ds dv ds dv = = =v 2 dt dt dt ds dt ds

(5.6)

Substituindo (5.5) em (5.6), segue que v

dv GM =− 2 ds s

Na superfície da Terra, para s = R, a força gravitacional agindo sobre o foguete é igual ao seu próprio peso, ou seja,

GM m = mg R2

⇒

Substituindo em (5.6), temos: vdv = −gR2

donde segue que

ds s2

∫ ⇒

GM = gR2

v

∫ vdv = −gR2

v0

gR2 v2 = + 2 s

(

s

R

v02 − gR 2

ds s2

) (5.7)

Nossa conclusão nal emerge de (5.7) como se segue: para o foguete escapar da Terra, ele deve mover-se de tal modo que v 2 /2 seja sempre positivo, pois, se v 2 /2 se anula, o foguete pára e então cai de volta à Terra. Mas o primeiro termo à direita de (5.7) evidentemente tende para zero quando s cresce. Portanto, para garantir que v 2 /2 seja positivo, não importa quão grande seja s, devemos ter v02 /2 − gR ≥ 0

A quantidade ve := Sendo R = 6, 37 ×

√

106

⇒

v0 ≥

√

2gr

2gR é usualmente conhecida como a velocidade de escape da Terra. m e g = 9, 81 m/s2 , segue que ve = 11, 3 km/s.

Referência Bibliográ ca: Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. V.2. Ed. Mc Graw-Hill do Brasil. São Paulo, 1987.

5.4

Sistemas Lineares no Balanceamento de Equações Químicas

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino As reações químicas estão presentes em muitos fenômenos naturais e o químicos para compreendê-las , representam tais reações por equações químicas, sendo que algumas precisam 41

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ser balanceandas, ou seja, veri car se o número de átomos dos reagentes antes da reação é igual ao número de átomos dos produtos.

Humphry Davy, no início do século XIX , aproveitou a invenção da pilha de Alessando Volta para mostrar que a água é formada por dois gases que receberam o nome de hidrogênio e oxigênio e como o volume de Hidrogênio era duas vezes maior que o de oxigênio, Davy concluiu que 2H2 + O2 −→ 2H2 O

É claro que se os coe cientes na equação química acima fosse 4, 2 e 4 ao invés de 2, 1 e 2 a equação também estaria balanceada, mas isto seria redundante, por isso adotamos a regra que os coe cientes na equação química devem ser os menores inteiros positivos.

Algumas reações químicas são facilmente balanceadas, por exemplo a reação química H2 + Cl2 −→ 2HCl

exibida na imagem acima encaixa nesse caso, mas algumas são um pouco mais complicadas.

Um dos métodos que os Químicos usam é o de "tentativas"onde adotam as seguintes regras práticas: 1. Começar com o elemento que aparecer apenas uma vez no lado dos reagentes e no lado dos produtos; 2. Dar preferência aos elementos que possuir maior índice.

Lembro-me vagamente dessa técnica para balancear equações químicas quando eu era estudante, mas a falta de explicação da validade desse método torna-se frustante o seu uso. Para maiores detalhes sobre essa técnica veja a referência bibliográ ca abaixo. Neste link, temos através desta técnica o balanceamento da reação química devido a queima do álcool comum que é dada por C2 H6 O + O2 −→ CO2 + H2 O

O método alternativo que proponho e que funciona para todos os tipos de reações químicas e que é uma aplicação interessante dos sistemas lineares é denotar por variáveis os coe cientes de cada composto e resolver um sistem linear equivalente. No exemplo acima, sejam x, y, z, w tal que xC2 H6 O + yO2 −→ zCO2 + wH2 O

Para que haja balanceamento, o número de átomos dos reagentes deve ser igual ao número de átomos dos produtos, de forma que obtemos o sistema de equações lineares:   2x = z    6x = 2w     x + 2y = 2z + w 42

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Da primeira equação, segue que z = 2x, da segunda w = 3x e da terceira equação, após alguns cálculos simples, obtemos y = 3x. Assim, a equação química acima ca xC2 H6 O + 3xO2 −→ 2xCO2 + 3xH2 O

e para x = 1, temos a equação balanceada com os menores inteiros positivos possíveis.

Exercício 5.1

Para os leitores interessados, apresento uma lista de exercícios de balanceamento

de equações químicas.

1. (FUVEST) A decomposição térmica de 1 mol de dicromato de amônio é representada pela equação (N H4 )2 Cr2 O7 −→ N2 + Crx Oy + zH2 O

Determine os valores de x, y e z na equação química acima.

2. (PUCCAMP) Num "sapato de cromo", o couro é tratado com um banho de "licor de cromo", preparado através da reação representada pela equação: N a2 Cr2 O7 + xSO2 + H2 O −→ yCr(OH)SO4 + N a2 SO4

3. Faça o balanceamento das equações químicas abaixo: (a) N a2 CO3 + HCl −→ N aCl + H2 O + CO2 ; (b) C6 H1 2O6 −→ C2 H6 O + CO2 ; (c) N H4 Cl + Ba(OH)2 −→ BaCl2 + N H3 + H2 O; (d) Ca(OH)2 + H3 P O4 −→ Ca3 (P O4 )2 + H2 O. Com este post, vemos o poder da Matemática e mais uma resposta a pergunta feita por muitos principiantes dessa disciplina "Pra que serve isso?".

5.5

Interação Gravitacional de Sólidos com Simetria Radial

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Irei usar a Lei da Gravitação Universal e Integrais Triplas para deduzir uma fórmula que irá calcular a atração gravitacional de sólidos com simetria radial exerce sobre uma partícula de massa unitária. Para isto, serão necessários alguns conceitos matemáticos.

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Produto Escalar: Sejam ⃗u = (u1 , u2 , u3 ) e ⃗v = (v1 , v2 , v3 ) vetores do R3 . Então de nimos o produto escalar desses vetores por ⃗u · ⃗v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Usando a de nição, podemos mostrar que o produto escalar dos vetores ⃗u e ⃗v pode ser expresso na forma: ⃗u · ⃗v =| ⃗u | | ⃗v | cos θ

Coordenadas Esféricas: Um ponto P (x, y, z) em coordenadas cartesianas pode ser expresso em coordenadas esféricas, ou seja P (ρ, ϕ, θ), onde ρ é a distância da origem O a P , logo ρ ≥ 0. O ângulo ϕ é o ângulo formado pela semi-reta OP e subentende-se que ϕ está

restrito ao intervalo 0 ≤ ϕ ≤ π . Finalmente, o ângulo θ é o ângulo formado pela semi-reta OP ′ = ρ sin ϕ com o eixo x. Sendo x = OP ′ cos θ e y = OP ′ sin θ segue que x = ρ cos θ sin ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ e z = ρ cos ϕ. Além disso, multiplicando as arestas do elemento in nitesimal

na gura abaixo, segue que seu volume é dado por dV = ρ2 sin ϕdρdϕdθ

Estamos prontos para analisarmos o problema. Para isso, usaremos também as integrais triplas para calcular a atração gravitacional que um corpo de massa M de nido numa região Q ⊂ R3 exerce sobre uma partícula de massa de unitária situada na origem.

Note que se as dimensões do sólido Q são desprezíveis, pela Lei da Gravitação Universal segue que a força que esse sólido de massa M sobre uma partícula situada na origem é dada por

GM F⃗ = ⃗r ⃗ |2 |R 44

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⃗ é o vetor posição e ⃗r = R/ ⃗ |R ⃗ | é o vetor unitário com a mesma direção de F⃗ . onde R Teorema 5.1

Suponhamos agora que o corpo Q acima tenha uma simetria em relação ao

eixo z e que sua densidade em cada ponto P (x, y, z) é dada pela função [; δ(x, y, z) = δ(ρ), conforme gura abaixo: Então, o módulo da força que o sólido Q exerce sobre uma partícula

de massa unitária situada na origem do sistema de coordenadas é dada por ∫ ∫ ∫

Fz = G

cos ϕ sin ϕdρdϕdθ Q

onde G é a constante gravitacional.

Demonstração: Sendo o corpo simétrico em relação ao eixo z , de modo que a soma das forças nas direções x e y são nulas. Assim, a única força que agirá sobre a massa situada na origem é a componente Fz de F⃗ . Seja dM um elemento in nitesimal em torno do ponto P (x, y, z). Note que ⃗ = x⃗i + y⃗j + z⃗k R

Mas,

⃗ |= ⇒ |R

√

x2 + y 2 + z 2 = ρ; ]

GdM ⃗ Gδ(ρ) cos ϕdV GdM cos ϕ dFz = dF⃗ · ⃗k = = ⃗r · k = 2 ⃗ |2 ρ ρ2 |R

Sendo dV = ρ2 sin ϕdρdϕdθ, segue que o módulo do elemento in nitesimal de força na direção do eixo z é dado por dFz = Gδ(ρ) cos ϕ sin ϕdρdϕdθ

∫ ∫ ∫ ⇒

Fz = G

δ(ρ) cos ϕ sin ϕdρdϕdθ Q

Exemplo 5.1

Achar a atração gravitacional do hemisfério de raio a centrado na origem sobre

uma partícula de massa unitária também na origem se sua densidade é dada por δ(x, y) = √

x2 + y 2 .

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Resolução: Observe que o sólido é simétrico em relação ao eixo z e que δ(ρ) =

√

x2 + y 2 =

r = ρ sin ϕ. Assim, ∫

2π

∫

π/2 ∫ a

ρ sin2 ϕ cos ϕdρdϕdθ =

Fz = G 0

0

0

πa2 G 3

Referência Bibliográ ca: 1. Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2 - São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

2. Swokowski, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2 - São Paulo: McGraw-Hill, 1983.

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Capítulo 6

Probabilidade 6.1

A Coincidência de Aniversários

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Neste post iremos explorar um fato matemático muito curioso. Para isso, considere um grupo A de k pessoas e para facilitar nosso raciocínio, iremos considerar o ano com 365 dias. Temos então a seguinte pergunta: Qual a probabilidade de que pelo menos duas pessoas deste grupo façam aniversário no mesmo dia e mês?

Para responder esta pergunta, seja A o evento "pelo menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia". O evento complementar indicado por Ac é "todas as k pessoas fazem aniversário em dias diferentes"e a probalidade de ocorrer este evento é P (Ac ) =

365 · 364 · 363 . . . (365 − k + 1) A(365, k) = k 365 365k

(6.1)

onde A(365, k) o arranjo de 365 elementos tomados k a k. Sendo P (A) = 1 − P (Ac ), a probabilidade de ocorrer o evento A, então P (A) = 1 −

A(365, k) 365k

Usando a fórmula acima, construímos a seguinte tabela:

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Compêndio do Blog Fatos Matemáticos k

P (k)

3

0, 01

9

0, 09

13

0, 19

16

0, 28

19

0, 38

23

0, 51

26

0, 60

30

0, 71

34

0, 80

40

0, 89

46

0, 95

Poderíamos continuar a tabela e constatar que num grupo de 70 pessoas, a probabilidade de que pelo menos 2 pessoas façam aniversário no mesmo dia é 0, 99991, ou seja, é quase certeza!

A fórmula deduzida acima não é cômoda para calcular as probalidades na tabela acima, pois envolve o cálculo de grandes fatoriais. Pensando nisso, o matemático James Stirling em 1730, descobriu uma fórmula para aproximar o fatorial de n que é dada por ( )n √ n n! ≃ 2πn e

(6.2)

Usando a expressão (6.2) em (6.1), após alguns cálculos concluímos que −k

(

P (A) = 1 − e

365 365 − k

)365,5−k (6.3)

Para visualizar a expressão (6.3), trocamos a variável discreta k por pela variável contínua x para obter a função −x

f (x) = 1 − e

(

365 365 − x

)365,5−x

cuja imagem é o intervalo [0, 1] e cujo grá co está ilustrado abaixo:

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6.2

O Problema das Portas

Autor: Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino Este é um problema clássico de probabilidade, trata-se do jogo das três portas. Neste jogo, apresentado em programas de auditório, o concorrente tem a sua frente três portas fechadas e sabe-se que por trás de uma porta está um prêmio que pode ser um carro ou um cheque com uma quantia razoável. O jogador escolhe uma porta tendo o direito de car com o que se encontra por de trás desta e é claro que o jogador quer de alguma forma ganhar o jogo.

Suponha que o jogador escolha a porta número 1. O apresentador sabendo que o prêmio está na porta 2, por exemplo, ele abre a porta 3, no qual aparece um bode.

Para manter um suspense, ele oferece a oportunidade do jogador trocar a porta escolhida 1 pela porta 2. Será que vale a pena trocar as portas? ou manter a porta escolhida? A resposta surpreendente é que se o jogador trocar as portas, ele dobrará sua chance de ganhar o jogo.

Vejamos no quadro abaixo, as possibilidades sem a troca das portas:

Observe que neste caso, ele ganha 3 num total de 9 possibilidades, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 3/9 = 1/3. Vejamos agora o quadro de possibilidades em que o jogador opta por trocar de porta após a abertura de uma porta pelo apresentador:

Neste caso, ele ganha 6 num total de 9 possibilidades, de modo que a probabilidade de sucesso é p = 6/9 = 2/3.

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Hall da Fama Procure identi car o maior nĂşmero de matemĂĄticos na gura abaixo.

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