Sistemas de numeração by Carlos Silva

Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões;

Sistemas de Numerações. Nosso sistema de numeração é constituído por um conjunto de dez símbolos, também chamados de algarismos e um conjunto de regras que nos permite representar qualquer número desejado. Nesse sistema o valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição na representação numérica Exemplo

6 valor 6000 ou 6 . 10 3  2 7 valor 700 ou 7 . 10 No número 6742 temos:  1 4 valor 40 ou 4 . 10 2 valor 2 ou 2 . 10 0  Devido a essa característica um mesmo algarismo assume dois valores distintos; - Um absoluto: representado pela idéia expressa pelo próprio algarismo; - Outro relativo: relacionado com a posição que o número assume na representação numérica. No nosso exemplo o algarismo seis assume: Valor absoluto, que representaremos por VA., 6. Valor relativo, que representaremos por VR, 6000 ou 6 . 103. A utilização dessa forma de representação tem origens históricas e se fixou em nossa cultura por se mostrar mais prática do que outras formas de representação, como a romana. Com poucos símbolos e um conjunto de regras podemos representar qualquer número. Com essa forma de representação temos um Sistema de Numeração eficiente. Da mesma forma que o sistema formal que utilizamos podemos construir outros sistemas de representação numérica. Para construir um sistema de numeração é fundamental a definição de uma BASE, que indica a quantidade de símbolos e seu respectivo valor absoluto. Portanto o nosso sistema de numeração tem base 10, pois possui em sua estrutura 10 símbolos. Dependendo de nossas conveniências podemos criar outros sistemas de numeração como o de base 2 que utiliza apenas dois símbolos, zero e um.

1. Analisando a representação de um número no Sistema Decimal: » Base: 10 (quantidade de símbolos). » Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, podemos escrever qualquer número que nossa imaginação pode criar. Isso é possível usando um sistema de peso relacionado com a posição do algarismo, conforme o exemplo a seguir: 7546 = 7000 + 500 + 40 + 6 Dependendo de sua posição, o digito terá um peso, que denominamos de valor relativo. Observe que uma análise mais detalhada, do exemplo acima, nos revela informações importantes sobre nosso sistema de numeração 7546 = 7000 + 500 + 40 + 6 =7 x 1000 + 5 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1 = 7 x 103+ 5 x 102 + 4 x 101 + 6 x 100 O valor relativo de todos os algarismos pode ser representado pelo produto desse por uma potência de dez, por isso dizemos que esse é um sistema de base dez, que podemos associar com sua posição. Por exemplo, o algarismo sete, que ocupa quarta posição é multiplicado por dez elevado a terceira, uma unidade a menos que a de sua localização na representação numérica. 2. Sistema de numeração numa “b” base qualquer. Da observação do sistema decimal podemos generalizar: Dado um conjunto de b símbolos numéricos, a1, a2, a3, .... , ab, um número, com n algarismos, na base b pode ser representado na forma que chamaremos de decomposta por:

an . bn-1 + an-1 . bn-2 + an-3.bn-4 + …. + a1 . b0.

No exemplo anterior, o numeral representado 7546, temos: Base b = 10; Quantidade de algarismo n = 4, sendo: a4 =7; a3 = 5; a2 = 4 e a1= 6; logo sua forma decomposta é dada por: 7 . 103+ 5 . 102 + 4 . 101 + 6 ; 100, como já havíamos concluído anteriormente. Observe que desenvolvendo a expressão acima temos o numeral desejado Ou seja: 7 . 103+ 5 . 102 + 4 . 101 + 6 . 100 = 7 . 1000 + 5 . 100 + 4 . 10 + 6.1 = 7546

2.1. Sistema Binário, base 2 = (?)2:1 » Base: 2. (quantidade de símbolos) » Elementos: 0 e 1. Assim como no sistema decimal, dependendo da posição, o algarismo ou bit terá um peso, valor relativo. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema direita será o bit menos significativo.

Exemplo: (1011001)2 A forma fatorada do numeral (1011001)2, que possui 7 algarismos (bits) será: (1011001)2 = 1 . 26 + 0. 25 + 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 CUIDADO!! Na base 2 as potencias de base 2 tem os valores indicados abaixo: 26 = (1000000)2

24 = (10000)2

22 = (100)2

25 = (100000)2

23 = (1000)2

21 = (10)2

O que nos leva que o desenvolvimento da expressão acima implica em operações mais elaboradas do que estamos habituado. Na prática o resultado dessa expressão, fazendo uso das operações que estamos habituados resulta no equivalente na base 10.

Equivalência entre os números no sistema decimal e binário Base 10 Base 2

Base 10 Base 2

Base 10

Base 2

1001

10010

11011

1010

10011

11100

1011

10100

11101

1100

10101

11110

100

1101

10110

11111

101

1110

10111

100000

110

1111

11000

100001

111

10000

11001

100010

1000

10001

11010

100011

O sistema binário tem grande aplicação nas ciências da computação, pois esta na estrutura básica das linguagem de máquina. 1

Para identificar em qual base o numeral está representado escrevemos entre parênteses indicando a base a direita no índice inferior. Exemplo (1011) 2 representa o numeral 1011 na base 2;

2.2. Sistemas Octal (?)8: »

Base: 8. (quantidade de símbolos)

» Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. O Sistema Octal (base 8) é formado por 8 (oito) símbolos ou dígitos, para representação de qualquer digito em octal (de 0 a 7). São necessários três bits para representarmos de 0(000) a 7(111) em binário. O Sistema Octal é utilizado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana. Exemplo: (2456)8 Forma fatorada: (3456)8 = 2 . 83 + 4 . 82 + 5 . 81 + 6 . 80 Obs. Relembrando: 80 = (1)8

82 = (100)8

84 = (10000)8

86 = (1000000)8

81=(10)8

83 = (1000)8

85 = (100000)8

87= (10000000)8

Equivalência entre os números no sistema decimal e octal.

Base 10 Base 8

2.3. Sistemas Hexadecimal (?)16: »

Base: 16. (quantidade de símbolos)

Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. O Sistema Hexadecimal (base 16) foi criado com o mesmo propósito do Sistema

Octal, o de minimizar a representação de um número binário.

Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que se pode expressar com esses quatro dígitos é 1111, que é, em decimal 15. Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os números decimais entre 10 e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados símbolos literais: A, B, C, D, E e F.

Exemplo: (1AF3)16 Forma fatorara: (1AF3)16 = 1 . 163 + A . 162 + F . 161 + 3 . 160 O que equivale à:

1 . 163 + 10 . 162 + 15 . 161 + 3 . 160

Obs: Relembrando: 160 = (1)16

162= (100)16

164 = (10000)16

166 = (1000000)16

161 = (10)16

163= (1000)16

165 = (100000)16

167 = (10000000)16

Equivalência entre os números no sistema decimal e Hexadecimal.

Base 10 Base 8

2.4. Conversão Entre os Sistemas de Numeração. 2.4.1. Conversão Base binária, Base octal e Base hexadecimal  Base decimal. Para converter base binária, base octal e base hexadecimal em base decimal, se utiliza o Teorema fundamental da Numeração ou seja basta efetuar a expressão, na forma usual ( Base decimal), a forma fatorada. .

Exemplos: 1) Converter (100)2 na base decimal:

____

4  (100)2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 0 X 20 = (4)10 2) Converter (353)8 na base decimal:  (353)8 = 3 x 82 + 5 x 81 + 3 X 80 = (235)10 3) Converter (A2)16 na base decimal:  (A2)16 = A x 161 + 2 x 160 = 10 x 161 + 2 x 160 =(162)10 2.4.2. Conversão Base decimal  Base binária, Base octal e Base hexadecimal. Para converter da base decimal para as demais bases basta dividir, sucessivamente, pela base o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja menor que a base. O resultado é a seqüência de baixo para cima do último quociente mais todos os restos obtidos. Base decimal para base binária: Exemplo converte 10 para binário 10

2 0

2 1

Logo (10)10= (1010)2

Base decimal para base octal: Exemplo: Converter 234 para base 8 234

29 5

8 3

Logo (235)10= (353)8 Base decimal para base hexadecimal: Exemplo: converter 19294 para base 16 19294 16 14 1205 5

16 75

11 4 Logo (19294)10 = (4B5E)16* *lembrando que em hexadecimal, utilizamos a letra B para “11” e E para14. 2.4.3 Conversão Base binária  Base octal e Base hexadecimal. 2.4.3.1 Base binária para Base octal e vice-versa: Dividir o número binário de 3 em 3 bits, contando sempre da direita para esquerda e trocar pela tabela 1 (Nota: esta tabela deve ser compreendida – não poderá ser consultada na prova). Tabela 1 Decimal

Binário

Octal

0 1 2 3 4 5 6 7

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7

1) Converter (1111000111)2 na base octal:

(1111000111)2 = (001.111.000.111)2 = 001  000  = (1707)8  111  111 1

2) Fazer o retorno do resultado obtido: (1707)8 = 001  000  = (001.111.000.111)2 = (1111000111)2  111  111 1

3) Converter (010100110000)2 na base octal (010100110000)2 = (010|100|110|000)2 = (2460)8

2.4.3.2 Base binária para Base hexadecimal e vice-versa: Dividir o número binário de 4 em 4 bits, contando sempre da direita para esquerda e trocar pela tabela 2 (Nota: esta tabela deve ser compreendida – não poderá ser consultada na prova). Tabela 2 Decimal

Binário

Hexadecimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

1) Converter (1010111100110111)2 na base hexadecimal: (1010.1111.0011.0111)2 = 1010  0011  1111  0111  A

= (AF37)16

O hexadecimal AF37 torna mais fácil o acesso ao número do que o binário 1010111100110111 2) Fazer o retorno do resultado obtido: (AF37)16 = (1010|1111|0011|0111)2 = (1010111100110111)2

2.4.4. Conversão Base Octal  Base hexadecimal. » Dois passos: o Converter octal para binário. o Converter binário para hexadecimal. Exemplo Converter (5372)8 para base 16 Primeiro: Convertendo (5372)8 para binário temos: (5372)8 =(101.011.111.010)2 Segundo Convertendo (101.011.111.010)2 = (1010.1111.1010)2 para hexadecimal (1010.1111.1010)2= (AFA)16 2.4.5. Conversão Base hexadecimal  Base Octal. » Dois passos: o Converter hexadecimal para binário. o Converter binário para octal. Exemplo Converter (3C7B)16 para base octal Primeiro convertendo para binário temos: (3C7B)16 = (0011.1100.0111.1011 )2 Segundo Convertendo de binário para octal (0011.1100.0111.1011) = (001.111.000.111.1011)2= (36173)8 2.5. Aritmética em Binário

A adição em binário é muito simples. São poucas regras:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 10 (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior) 1 + 1 + 1 = 11 (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior)

Exemplo:

00011010 2  00001100 2  00100110 2 

(2610 ) 

(1210 )

 3810

11 (vai um) 00011010 00001100 00100110

Vamos ver agora a subtração em binário:

0-0=0 10 - 1 = 1 ("e empresta 2 (10)2 do próximo bit mais significante") 1-0=1 1-1=0 Exemplo:

001001012  000100012  00010100 2 

(3710 ) 

(1710 )

 (2010 )

"2" 00100101 00010001 00010100

(lembrando que 102 equivale a 210, símbolo usado no exemplo acima, para facilidade de compreensão) Exercícios 1) Escreva na forma fatorada os numerais abaixo. a) (258)10= b) (642)8= c) (6B4)16= d) (10100110)2= e) (27814)10= f) (1110111010)2 = g) (B03F)16= h) (110112112)8= 2) Converta para base dez os numerais abaixo. a) (110011)2= b) (110011)8= c) (1101)16= d) (5372)8 = 10

e) (46D3)16= f) (100011110)2= 3) Converta da base dez para a base indicada os numerais abaixo. a) (69)10 = (?)2 b) (69)10 = (?)8 c) (69)10 = (?)16 d) (278)10 = ( ? )2 e) (592)10= ( ? )2 f) (592)10= ( ? )8 g) (592)10= ( ? )16 h) (3553)10=( ? )8 i) (3553)10=( ? )16 j) (703168)10= (?)16 4) Converta da base 2 para base 8 a) (110001)2 b) (111011111101)2 c) (1001101100111)2= d) (111011101)2= 5) Converta da base 2 para base 16 a) (110001)2 b) (111011111101)2 c) (1001101100111)2= d) (111011101)2= 6) Converta da base 8 para base 16. a) (5321)8= b) (12301)8= c) (60211)8= 7) Converta da base 16 para base 8. a) (3987)16= b) (4B3F)16= c) (A73E)16= 8) Realizar as conversões entre bases numéricas que se pedem. Resultados obtidos utilizando apenas calculadora não serão aceitos. Justifiquem sempre as conversões. (Sugestão: se quiserem, utilizem a calculadora apenas para conferir o resultado final). a) (100)10 = (?)16 b) (255)10 = (?)16 c) (531)10 = (?)16 d) (1037)10 = (?)16 e) (3156)10 = (?)16 11

f) (FACADA)16 = (?)2 g) (100B0CA)16 = (?)2 h) (110000001100101011011010)2 = (?)16 i) (1111000011001010)2 = (?)16 j) (5C3)16 = (?)10 k) (D0E)16 = (?)10 l) (CA0)16 = (?)10 m) (101011010)2 = (?)8 n) (51)8 = (?)10 o) (365)10 = (?)8 p) (5107)8 = (?)2 q) (FACADAD0E)16 = (?)8 r) (305614)8 = (?)16 9) Fornecer, na base Hexadecimal, 20 números na ordem crescente, a partir de (250)10. (Nota: Tentem entender a ordem crescente de formação dos números hexadecimais). 10) Efetue as seguintes operações aritméticas:

a ) 100110 2  1110012  b) 0011012  1112  c) 100110 2  101112  d )1110010 2 101010 2  e)110000 2  0011112  f )111001010 2  1001010 2 