TRIG_ARC

TRIGONOMETRIA: ARCOS TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) Construída a toque de caixa pelo regime militar, Tucuruí inundou uma área de 2 000 km£, sem que dela se retirasse a floresta. A decomposição orgânica elevou os níveis de emissão de gases, a ponto de fazer da represa, nos anos 90, a maior emissora de poluentes do Brasil. Ganhar a vida cortando árvores submersas exige que um mergulhador desça a mais de 20 metros, com praticamente zero de visibilidade e baixas temperaturas. Amarrado ao tronco da árvore, maneja a motosserra.

(Adaptado de Veja. ano 37. n.23. ed. 1857. São Paulo: Abril. p.141)

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1. Uma vez serrada, a árvore é puxada e amarrada a pedaços de madeira seca.

No instante em que o tronco de madeira de 20 m de comprimento forma um ângulo š com a vertical de 15 m, o valor de cos 2š e igual a a) 3/2 b) 9/8 c) 9/16 d) 7/16 e) 1/8

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2. (Unicamp 2003) Considere dois triângulos retângulos T• e T‚, cada um deles com sua hipotenusa medindo 1cm. Seja ‘ a medida de um dos ângulos agudos de T e 2‘ a medida de um dos ângulos agudos de T‚.

a) Calcule a área de T‚ para ‘ = 22,5°. b) Para que valores de ‘ a área de T é menor que a área de T‚?

3. (Ufu 2001) Encontre o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x) = (cos x)§ + (sen x)§ pode assumir.

Observação:

Lembre-se de que a¤+b¤=(a+b)((a+b)£ - 3ab).

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4. (Unesp 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo ‘, conforme a figura:

a) Admitindo-se que sen(‘) = 3/5, calcule a distância x. b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo ‘ passou exatamente para 2‘, calcule a nova distância x' a que o barco se encontrará da base do farol.

5. (Ufc 99) Expresse cos 3x em função de cos x. Use esse resultado para mostrar que cos 20° não é um número racional.

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6. (Unesp 91) Na figura adiante o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz de BÂD. Se åæ=2.æè, fazendo æè=b e èî=d, então: a) d = b b) d = (5/2)b c) d = (5/3)b d) d = (6/5)b e) d = (5/4)b

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7. (Unesp 92) Determinar os valores de š, 0´š´2™, de maneira que o determinante

seja nulo.

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8. (Fgv 95) Na figura a seguir, são dados DA=Ë3cm e AB=3cm.

A área do triângulo CDB, em centímetros quadrados, é a) 8Ë3 b) 6Ë3 c) 4Ë3 d) 3Ë3 e) Ë3

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9. (Fei 97) Se cosx = 0,8 e 0 < x < ™/2 então o valor de sen2x é: a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96 d) 0,36 e) 0,49

10. (Cesgranrio 90) Resolva a equação (cos x + sen x)£ = 1/2.

11. (Uece 97) Seja p um número real positivo. Se sen(2š)=2p e senš=3p, 0 < š < ™/2, então p é igual a: a) (Ë2)/9 b) (Ë2)/8 c) (Ë2)/6 d) (2Ë2)/9

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12. (Uece 97) Se K = [(Ë3)/2] - [(Ë3)/2] cos£ 2š + [(Ë3)/4 sen[(4š + (™/2)], 0<š<™/8, então 16K£ + 9 é igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

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13. (Fuvest 99) As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s.

Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C, respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento åæ e a reta r mede ‘.

a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo ‘. b) Para que valor de ‘ a área do triângulo ABC é mínima?

14. (Ufrj 97) Seja x tal que sen x + cos x = 1 .

Determine todos os valores possíveis para sen2x+cos2x.

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15. (Mackenzie 98) Se y=4cos15°.cos75°, então y£ vale: a) 1 b) 1/4 c) 1/2 d) 3/4 e) 2

16. (Ita 99) Se x Æ [0, ™/2[ é tal que 4tg¥x = (1/cos¥x) + 4, então o valor de sen(2x)+sen(4x) é: a) (Ë15)/4 b) (Ë15)/8 c) (3Ë5)/8 d) 1/2 e) 1

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17. (Ufv 99) Sabendo-se que sen 30°=1/2, o valor de sen15° é: a) [Ë(Ë3 - 2)]/2 b) 1/4 c) 1 d) [Ë(2 - Ë3)]/2 e) 1/Ë2

18. (Ufv 99) Resolva os itens a seguir.

a) Complete as lacunas abaixo: a.1) cos é positivo no _______ e _______ quadrantes. a.2) sen é negativo no _______ e _______ quadrantes. a.3) tg é negativo no _______ e _______ quadrantes. a.4) sec é positivo no _______ e _______ quadrantes.

b) Sabendo-se que cos 30° = (Ë3)/2, calcule cos 15°.

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19. (Puccamp 2000) Se k é um número real tal que sen x = k, então a) k · 1 b) k µ 1 c) sen (2™ - x) = k d) cos (- x) = - k e) cos 2x = 1 - 2k£

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20. (Uerj 2000) Observe a figura abaixo:

Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM, em que M é o ponto médio do lado æè. Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine:

a) a distância entre o ponto B e o segmento èî;

b) o valor de tgš.

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21. (Fuvest 2001) Se tgš=2, então o valor de cos2š/(1+sen2š) é: a) -3 b) -1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/4

22. (Ita 2001) Sendo ‘ e ’ os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen£2’-2cos2’ = 0, então sen ‘ é igual a: a) (Ë2)/2 b) (¥Ë2)/2 c) (¥Ë8)/2 d) (¥Ë8)/4 e) zero

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23. (Pucmg 2001) Com base nos dados da figura, um triângulo retângulo, é CORRETO afirmar que o valor de sen2t é: a) [xË(4 - x£)]/2 b) xË(4 - x£) c) x/2 d) x

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24. (Fuvest 2001) a) Calcule cos 3š em função de sen š e de cos š.

b) Calcule sen 3š em função de sen š e de cos š.

c) Para 0 < š < ™/2, resolva a equação:

25. (Ufc 99) O lado åæ de um triângulo ABC mede 3 unidades de comprimento. Determine uma equação do lugar geométrico descrito pelo vértice C quando este se desloca de tal forma que o ângulo CïA tenha como medida o dobro da medida do ângulo CÂB.

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26. (Ufrn 2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, em um prédio vizinho, conforme esquematizado na figura abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo ‘ do triângulo QPR é igual ao ângulo ’ do triângulo RPS.

O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre P e Q é: a) 8,5 b) 8,8 c) 9,4 d) 10,2

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27. (Mackenzie 2001)

No retângulo da figura, cos ‘ vale: a) Ë2/2 b) 1/2 c) Ë3/2 d) 1/3 e) 1/4

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28. (Ufes 2001) Na figura adiante, as duas circunferências são tangentes entre si e tangentes às duas retas. Se o raio da circunferência maior é igual a quatro vezes o raio da menor e š é a medida do ângulo formado pelas duas retas, então

a) sen š = 9/25 b) sen š = 7/25 c) cos š = 16/25 d) cos š = 9/25 e) cos š = 7/25

29. (Uerj 2001) Um triângulo acutângulo ABC tem 4cm£ de área e seus lados åæ e åè medem, respectivamente, 2cm e 5cm.

Mantendo-se as medidas desses dois lados e dobrando-se o ângulo interno Â, calcule o

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aumento percentual de sua área.

30. (Fgv 2002) A função f(x) = 16 (sen x) (cos x) assume valor máximo igual a: a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 4

31. (Ita 2003) Para todo x Æ IR, a expressão [cos(2x)]£[sen (2x)]£sen x é igual a:

a) 2¥ [sen(2x) + sen (5x) + sen (7x)]. b) 2¥ [2 sen x + sen (7x) - sen (9x )]. c) 2¥ [- sen(2x) - sen (3x) + sen (7x)]. d) 2¥ [- sen x + 2 sen (5x) - sen (9x)]. e) 2¥ [sen x + 2 sen (3x) + sen (5x)].

32. (Ita 2003) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um

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ponto sobre o segmento CE tal que m(BC) + m(CF) = m(AF). Prove que cos ‘ = cos 2’, sendo os ângulos ‘=BÂF e ’=EÂD.

33. (Mackenzie 2003) No triângulo ABC temos AB = AC e sen x = 3/4. Então cos y é igual a:

a) 9/16 b) 3/4 c) 7/9 d) 1/8 e) 3/16

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34. (Ufsm 2003) Seja f(x) = (1 - tg£x)/(1 + tg£x), x · (™/2) + k™, k Æ Z. Então f(x) é igual a a) sen 2x b) - 1 + 2 sen£x c) 1 + cos 2x d) 1 + sen 2x e) cos 2x

35. (Unesp 2003) Se cos (x) = a, para x Æ (0, ™/2) e assumindo que a·0 e a·1, o valor de tg (2x) é, a) (2a£ - 1) / [2aË(1 - a£)]. b) [Ë(1 - a£)] / a. c) 2aË(1 - a£). d) [2aË(1 - a£)] / (2a£ - 1). e) 2a£ - 1.

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36. (Uerj 2004) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema abaixo.

A altura da torre, em metros, equivale a: a) 96 b) 98 c) 100 d) 102

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37. (Ufsm 2004)

Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre a qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5°. A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da margem da outra via, conforme mostra a figura, deverá ser de

Dados: tg 2š = 2tgš/(1 - tg£š) tg 45° = 1

a) 5 [(Ë2) + 1] b) (5/2) [(Ë2) - 1]

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c) (5/3) [(Ë2) + 1] d) (5/3) [(Ë3) - 1] e) (5/4) [(Ë3) + 1]

38. (Unifesp 2006) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a a) (Ë5)/5. b) 3/5. c) (1+Ë5)/5. d) 4/5. e) (Ë3)/2.

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39. (Unifesp 2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura.

a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo š. b) Calcule tg(š), dado que a distância de P a O vale 3 metros.

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40. (Uerj 2005) Alguns cálculos matemáticos ficam mais simples quando usamos identidades, tais como: a£ - b£ = (a + b)(a - b) a£ + 2ab + b£ = (a + b)£ a¤ + b¤ = (a + b) (a£ - ab + b£) Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples das expressões: a) (57,62)£ - (42,38)£; b) cos§ 15° + sen§ 15°.

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GABARITO

1. [E]

2. a) 1/4 b) 0° < ‘ < 30°

3. 1/4 ´ f(x) ´ 1

4. a) x = 48m b) x' = 10,5m.

5. Sabemos da trigonometria que: (I) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) e (II) sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

tomando a = 2x e b = x, em (I) obtemos: cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x)

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tomando a = b = x, em (I) e (II) obtemos: cos(2x) = cos£(x) - sen£(x) e sen(2x) = 2sen(x)cos(x).

Logo cos(3x) = [cos£(x) - sen£(x)]cos(x) - 2sen£(x)cos(x) = = cos¤(x) - sen£(x)cos(x) - 2sen£(x)cos(x) = = cos¤(x) - 3sen£(x)cos(x) = = cos¤(x) - 3[1 - cos£(x)]cos(x) = = cos¤(x) - 3cos(x) + 3cos¤(x) = = 4cos¤(x) - 3cos(x)

Fazendo x = 20° na igualdade acima obtemos: cos(60°) = 4cos¤(20°) - 3cos(20°) 4cos¤(20°) - 3cos(20°) - (1/2) = 0

Portanto cos(20°) é raiz da equação 4x¤-3x-(1/2)=0. Para as raízes racionais desta equação temos as seguintes possibilidades: •1; •1/2; •1/4; •1/8. Testando estes oito valores vemos que

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nenhum deles é raiz. Portanto a equação 4x¤-3x-(1/2)=0 não possui raiz racional e como cos(20°) é uma das raízes dessa equação, não pode ser racional.

6. [C]

7. š Æ {0, ™/4, 3™/4,5™/4, 7™/4, 2™}

8. [D]

9. [C]

10. x = (n™)/2 + (-1)¾®¢ . ™/12 n Æ Z

11. [D]

12. [B]

13. a) 2/sen2‘

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b) 45°

14. -1 e 1

15. [A]

16. [B]

17. [D]

18. a.1) 1Ž e 4Ž a.2) 3Ž e 4Ž a.3) 2Ž e 4Ž a.4) 1Ž e 4Ž

b) cos 15° = Ë(Ë3 + 2)/2

19. [E]

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20. a) 2

b) tgš = 3/4

21. [B]

22. [C]

23. [A]

24. a) (1 - 4 sen£ š) cos š

b) (4 cos£ š - 1) sen š

c) {™/3}

25. (x - 1)£ - y£/3 = 1

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26. [A]

27. [B]

28. [E]

29. 20 %

30. [D]

31. [B]

32.

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Sendo Ø a medida de cada lado do quadrado ABCD e x a medida do segmento GB, no triângulo retângulo GAF, tem-se: 1°) (AF)£ = (AG)£ + (GF)£ Ì (Ø + x)£ = (Ø - x)£ + Ø£ Ì 4Ø x = Ø£ Ì x = Ø/4

2°) cos ‘ = AG/AF Ì cos ‘ = (Ø - x)/(Ø + x) Ì cos ‘ = (Ø - Ø/4)/(Ø + Ø/4) Ì cos ‘ = (3Ø/4)/(5Ø/4) Ì cos ‘ = (I)

No triângulo retângulo DAE, têm-se: 1°) (AE)£ = (AD)£ + (DE)£ Ì (AE)£ = Ø£ + (Ø/2)£ Ì AE = ØË5/2

2°) cos ’ = AD/AE Ì cos ’ = Ø/(ØË5/2) Ì cos ’ = 2/Ë5

3°) cos 2 ’ = 2 cos£ ’ - 1

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Assim: cos 2 ’b = 2 . (2/Ë5)£ - 1 Ì cos 2 ’ = 3/5 (II) De (I) e (II) tem-se, finalmente: cos ‘ = cos 2 ’

33. [D]

34. [E]

35. [D]

36. [A]

37. [A]

38. [B]

39. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo š, devemos mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes.

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De fato: Como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com origem no mesmo ponto (P), PS = PT.

Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, ‘ = ’ = š/2 e, desse modo, OP é bissetriz do ângulo š.

b) tg š = (4Ë2)/7

40. a) 1.524

b) 13/16

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