TRIGONOMETRIA: CIRCUNFERÊNCIAS 1. (Fgv 2005) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90° e raio d:
Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a a) {[2(Ë3) + ™]/6} d b) [(3 + ™)/6] d c) {[4(Ë3) + ™]/12} d d) [(12 + ™)/24] d e) {[2(Ë3) + ™]/12} d
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2. (Unesp 2006) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura.
a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ. b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.
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3. (Fuvest 95) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se: a) 11/6. b) 2. c) 11/3. d) 22/3. e) 11.
4. (Ufpe 96) Três coroas circulares dentadas C , C‚ e Cƒ de raios r =10cm, r‚=2cm e rƒ=5cm respectivamente estão perfeitamente acopladas como na figura a seguir. Girando-se a coroa C• de um ângulo de 41° no sentido horário, quantos graus girará a coroa Cƒ?
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5. (Mackenzie 96) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale: a) 24/7. b) - 24/7. c) - 8/3. d) 8/3. e) - 4/3.
6. (Uel 97) Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é a) 1 b) 1/2 c) 0 d) -1/2 e) -1
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7. (Cesgranrio 97) Sendo A = [7 cos(5™ - x) - 3 cos(3™ + x)]/{8 sen [(™/2) - x)]}, com x · (™/2) + k™, k Æ Z, então: a) A = -1 b) 2A = 1 c) 2A + 1 = 0 d) 4A + 5 = 0 e) 5A - 4 = 0
8. (Fuvest 99) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo ‘ radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então ‘ é igual a a) ™/3 b) 2 c) 1 d) 2™/3 e) ™/2
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9. (Unb 98) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para determinar a posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela do radar, que apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do radar, conforme ilustra a figura abaixo.
Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a 40km do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas informações e desconsiderando as dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem.
(1) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km.
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(2) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão. (3) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio igual a 30km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40km/h então, em 10min, o navio B percorrerá um arco correspondente a (40/™)°.
10. (Ufrs 98) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é a) 45° b) 50° c) 55° d) 60° e) 65°
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11. (Ufrs 98) Considere as seguintes afirmações para arcos medidos em radianos:
I) sen 1 < sen 3 II) cos 1 < cos 3 III) cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras? a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira. d) São verdadeiras apenas I e II. e) São verdadeiras I, II e III.
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12. (Ufscar 2002) O valor de x, 0 ´ x ´ ™/2, tal que
4 . (1 - sen£ x) . (sec£ x - 1) = 3 é
a) ™/2. b) ™/3. c) ™/4. d) ™/6. e) 0.
13. (Ufscar 2000) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere ™=3,14) a) 37,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm. d) 12 cm. e) 3,14 cm.
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14. (Ufrs 2000) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ™/12 rad, o ponteiro maior percorre um arco de a) ™/6 rad. b) ™/4 rad. c) ™/3 rad. d) ™/2 rad. e) ™ rad.
15. (Ufal 99) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual a a) (™/4) - 17 b) (64/15) ™ c) (64/45) ™ d) (16/25) ™ e) (32/45) ™
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16. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo ‘ (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90° b) 112° 30' c) 82° 30' d) 120° e) 127° 30'
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17. (Uflavras 2000) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é ™/4 rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: a) 3™/4 e 5™/4 b) ™ e 3™/2 c) 3™/4 e 2 ™ d) ™/2 e 5™/4 e) 3™/4 e 5™/8
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18. (Ufc 2002) Sabendo que cosš = (Ë3)/2 e que senš = - 1/2, podemos afirmar corretamente que
cos[(š + (™/2)] + sen[š + (™/2)]
é igual a:
a) 0 b) [-(Ë3)/2] - (1/2) c) [(Ë3)/2] + (1/2) d) [(Ë3)/2] - (1/2) e) [-(Ë3)/2] + (1/2)
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19. (Ufrn 2003) No protótipo antigo de uma bicicleta, conforme figura abaixo, a roda maior tem 55 cm de raio e a roda menor tem 35 cm de raio. O número mínimo de voltas completas da roda maior para que a roda menor gire um número inteiro de vezes é
a) 5 voltas. b) 7 voltas. c) 9 voltas. d) 11 voltas.
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20. (Mackenzie 2003) Um veĂculo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais prĂłximo da medida, em graus, do arco percorrido ĂŠ: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 170
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21. (Ufscar 2003) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro åæ mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é (5™/3) cm.
O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número é a) 12000 b) 14800 c) 16000 d) 18000 e) 20800
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22. (Uff 2004) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o centro da esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude = 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30°01'59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja figura a seguir:
Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente:
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a) 2300 b) 3300 c) 4600 d) 6600 e) 9000
23. (Ufrs 2004) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é
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24. (Uerj 2005) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km. Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B. Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.
Considerando ™ igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a: a) 11.200 b) 10.800
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c) 8.800 d) 5.600
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25. (Ufg 2005) Deseja-se marcar nas trajetorias circulares concentricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem.
Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo ‘, em graus, será igual a a) 30 b) 36 c) 45 d) 60 e) 72
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26. (Ufg 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
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27. (Puccamp 2005) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de abertura de suas pernas era (Use: ™ = 3,1) a) -1 b) -(Ë3)/2 c) -(Ë2)/2 d) -1/2 e) 1/2
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28. (Unesp 2005) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a) ™ - 1. b) ™ + 1. c) 2™ - 1. d) 2™. e) 2™ + 1.
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29. (Ufscar 2005) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1.
Considerando ™ = 3,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é a) 0,74. b) 0,72. c) 0,68. d) 0,56. e) 0,34.
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30. (Ufpr 2006) Maria e seus colegas trabalham em uma empresa localizada em uma praça circular. Essa praça é circundada por uma calçada e dividida em partes iguais por 12 caminhos retos que vão da borda ao centro da praça, conforme o esquema abaixo. A empresa fica no ponto E, há um restaurante no ponto R, uma agência de correio no ponto C e uma lanchonete no ponto L. Quando saem para almoçar, as pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sempre se desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen sempre passa pelo centro da praça, vai olhar o cardápio do restaurante e, se este não estiver do seu agrado, vai almoçar na lanchonete, caminhando pela calçada; Sérgio sempre passa pelo centro da praça e pelo correio, daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou para o restaurante. Sabendo que as pessoas sempre percorrem o menor arco possível quando caminham na calçada que circunda a praça, avalie afirmativas a seguir:
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I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, ambos percorrem a mesma distância. II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, quem percorre a menor distância é Maria. III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Carmen percorre a menor distância.
Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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31. (Uerj 2006)
No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.
Considerando Ë2 = 1,4, quando um dos atletas tiver percorrido 3/4 do seu trajeto de A para B, a distância entre eles será igual a: a) 0,4 R b) 0,6 R c) 0,8 R d) 1,0 R 3
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32. (Uel 2006) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15° de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75°.
A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é: a) 5 horas. b) 9 horas. c) 12 horas. d) 17 horas. e) 21 horas.
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GABARITO
1. [A]
2. a) PQ = 4Ë3 dm sen BPQ = (Ë13)/13
b) 90° e 120 voltas
3. [C]
4. 82
5. [A]
6. [E]
7. [C]
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8. [B]
9. F F V
10. [B]
11. [C]
12. [B]
13. [B]
14. [E]
15. [E]
16. [B]
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17. [A]
18. [C]
19. [B]
20. [B]
21. [C]
22. [B]
23. [B]
24. [C]
25. [E]
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26. AB = Ë(1,49 - 1,4 . cos 36°) m
27. [D]
28. [E]
29. [C]
30. [B]
31. [B]
32. [D]
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