TRIG_FU2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 2 1. (Fuvest 94) O valor de (tg 10°+cotg 10°)sen 20° é: a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 5/2 e) 4

2. (Uel 94) Se x é tal que ™ < x < 3™/2 e sec x = -Ë5, então o valor de sen x é a) (Ë5)/5 b) (2Ë5)/5 c) -(Ë5)/5 d) -2(Ë5)/5 e) -(Ë30)/5

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3. (Mackenzie 96) Se y é um número real tal que y = Ë( - 2 + cossec x ), 0 < x < 2™, então pode-se ter: a) sen x = 0,939. b) tg x = 0,247. c) cos x = 0,374. d) cos x = -0,2. e) tg x = -1.

4. (Mackenzie 96) Os números reais y e k são tais que y = sec 2x = k£ - 3k + 1. Deste modo, k pode assumir todos os valores do: a) [0, 1]. b) [1/2, 3/2]. c) [2, 3]. d) [1, 3]. e) [7/2, 4].

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5. (Udesc 96) A expressão mais simples para 1 + [1/(cos£ x . cosec£ x) - sec£ x é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) tg x e) sec£x

6. (Mackenzie 97) O valor de tg [(arc sen (2Ë2)/3)] é: a) Ë2 b) (Ë2)/3 c) 3Ë2 d) 2Ë2 e) (3Ë2)/2

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7. (Unirio 97) O domínio máximo da função dada por f(x)=sec[2x-(™/3)] é o conjunto: a) {x Æ IR/x · (™/2) + k™}, onde k Æ Z b) {x Æ IR/x · (5™/12) + (k™/2)}, onde k Æ Z c) {x Æ IR/x = (5™/12) + (k™/2)}, onde k Æ Z d) {x Æ IR/x = (™/6) + (k™/2)}, onde k Æ Z e) {x Æ IR/x · (™/6) + (k™/2)}, onde k Æ Z

8. (Ita 98) O valor de

tg¢¡x-5tg©xsec£x+10tg§xsec¥x-10tg¥xsec§+5tg£xsec©x-sec¢¡x

para todo x Æ [0,™/2], é: a) 1 b) -sec£ x / (1 + sen£ x) c) -sec x + tg x d) -1 e) zero

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9. (Ufrj 97) Três cidades A, B e C estão representadas no mapa a seguir. Escolhendo uma cidade como origem, é possível localizar as outras duas usando um sistema de coordenadas (d,š) em que d é a distância, em quilômetros, entre a cidade considerada e a origem e š é o ângulo, em graus, que a semi-reta que une a origem à cidade considerada faz com o vetor norte N; š é medido a partir do vetor N no sentido horário.

Usando A como origem, as coordenadas de B nesse sistema são (50,120) e as coordenadas de C são (120, 21 0). a) Determine a distância entre as cidades B e C. b) Determine as coordenadas da cidade B, se escolhermos C como origem.

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10. (Fatec 98) Calculando-se o valor da expressão mostrada na figura a seguir

obtém-se a) (Ë2)/6 b) (Ë3)/3 c) - (Ë2)/6 d) - 3(Ë2)/2 e) - 2(Ë3)/3

11. (Ufsc 99) Sabendo que cosec x=5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec£x+tg£x) é:

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12. (Ita 2000) Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0, 2™[ e que o triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cosseno de x é igual a a) (Ë3)/4. b) 2/7. c) 5/13. d) 15/26. e) 13/49.

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13. (Ita 2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5cm. Sabendo que

 = arc cos 3/5 e ð = arc sen 2/Ë5,

então a área do triângulo ABC é igual a a) 5/2 cm£. b) 12 cm£. c) 15 cm£. d) 2Ë5 cm£. e) 25/2 cm£.

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14. (Ita 2003) Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo e [(-™/2), (™/2)] e [0, ™], respectivamente. Com respeito à função f: [- 1, 1] ë [(-™/2), (3™/2)], f(x) = arcsen x + arccos x, temos que: a) f é não-crescente e ímpar. b) f não é par nem ímpar. c) f é sobrejetora. d) f é injetora. e) f é constante.

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15. (Uel 2003) O jogador representado adiante vai cobrar um pênalti e decidiu chutar a bola na direção da linha central do gol. Se a altura da trave é de 2,40 m, o diâmetro da bola é de 22 cm e a distância que esta está da linha do gol é de 11 m, de quanto deve ser, no máximo, o ângulo ‘ de elevação da bola, mostrado na figura a seguir, para que o jogador tenha possibilidade de fazer o gol?

a) ‘ = arctg [(2,18)/11] b) ‘ = arctg [11/(2,18)] c) ‘ = arctg [(2,4)/11] d) ‘ = tg [11/(2,4)] e) ‘ = tg [(2,18)/11]

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16. (Ita 2004) Considerando as funções. arc sen: [- 1, + 1] ë [- ™/2, ™/2] e arc cos: [- 1, + 1] ë [0, ™], assinale o valor de cos [arcsen (3/5) + arccos (4/5)]. a) 6/25 b) 7/25 c) 1/3 d) 2/5 e) 5/12

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17. (Ita 2005) O intervalo I Å R que contém todas as soluções da inequação

arctan [(1 + x)/2] + arctan [(1 - x)/2] µ ™/6

é a) [-1, 4]. b) [-3, 1]. c) [-2, 3]. d) [0, 5]. e) [4, 6].

18. (Pucpr 2005) O conjunto domínio de f(x) = arcsen (2x - 3) está contido no intervalo: a) [2/3, 3/4] b) [-1, 1] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [-1/2, 3/2]

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19. (Ufpe 2004) Em períodos de 12 anos, o PIB do país aumenta do mesmo valor, ou seja, P(x+12) - P(x) é constante. Determine esta constante (em bilhões de dólares).

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. (Ufpe 2004) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado, em bilhões de dólares, por P(x) = 500 + 0,5x + 20cos(™x/6) onde x é um inteiro não negativo.

20. Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do país em 2004.

21. Determine o menor valor real positivo de x para o qual a função real de variável real definida por f(x) = 7 - cos[x + (™/3)] atinge seu valor máximo.

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22. (Unesp 2004) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela expressão h(t) = 11,5 + 10 sen [(™/12) . (t- 26)], onde o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos. a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0). b) Determine as alturas mínima e máxima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período).

23. (Unifesp 2003) Com base na figura, que representa o círculo trigonométrico e os eixos da tangente e da cotangente,

a) calcule a área do triângulo ABC, para ‘=™/3. b) determine a área do triângulo ABC, em função de ‘, ™/4 < ‘ < ™/2.

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24. (Unicamp 2003) Considere a função quadrática f(x)=x£+xcos‘+sen‘.

a) Resolva a equação f(x) = 0 para ‘ = 3™/2. b) Encontre os valores de ‘ para os quais o número complexo (1/2) + (Ë3/2) i é raiz da equação f(x)+1 = 0.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:

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25.

O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então a) b = (5™)/31 b) a + b = 13,9 c) a - b = ™/1,5 d) a . b = 0,12 e) b = (4™)/3

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Cesgranrio 2000) Uma quadra de tênis tem 23,7m de comprimento por 10,9m de largura. Na

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figura a seguir, está representado o momento em que um dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa por cima da rede e toca o campo adversário no ponto C, a 17m do ponto B.

26.

Tendo em vista os dados apresentados, é possível afirmar que o ângulo ‘, representado na figura, mede: a) entre 75° e 90°. b) entre 60° e 75°. c) entre 45° e 60°. d) entre 30° e 45°. e) menos de 30°.

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27. (Uff 2004) No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em cada instante t, por F(t) = M sen wt.

A pressão interpleural (pressão existente na caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela função P, definida, em cada instante t, por P(t) = L - F(t + a).

As constantes a, L, M e w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo.

(AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda. 1988.(Adaptado)

Um possível gráfico de P, em função de t, é:

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28. (Unifesp 2004) Considere a reta de equação 4x - 3y + 15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P = (™/2, 3), conforme a figura.

A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide é: a) (12 + 2™)/5 b) (13 + 2™)/5 c) (14 + 2™)/5 d) (15 + 2™)/5 e) (16 + 2™)/5

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29. (Ufv 2002) Sejam as funções reais f e g dadas por:

É CORRETO afirmar que:

a) f(™/4) < g(™/3) b) f(™/6) < g(™/4) c) f(™) . g(0) = 2 d) f(0) . g(™) = - 2 e) f(™) . g(™) = 2

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30. (Ufal 2000) O mais amplo domínio real da função definida por y=log[sen(x)] é o conjunto dos números reais x tais que, para todo k Æ Z, a) -k™ < x < k™ b) k™ < x < (k - 1)™ c) k™ < x < (k + 1)™ d) 2k™ < x < (2k - 1)™ e) 2k™ < x < (2k + 1)™

31. (Fatec 99) A diferença entre o maior e o menor valor de šÆ[0, 2™] na equação 2sen£š+3senš=2, é a) ™/3 b) 2™/3 c) 4™/3 d) 5™/3 e) 7™/3

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32. (Fgv 2005) Considere a função f(x) = 2 - [(3 cos¥x)/4]. Os valores máximo e mínimo de f (x) são, respectivamente: a) 1 e -1 b) 1 e 0 c) 2 e - 3/4 d) 2 e 0 e) 2 e 5/4

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33. (Fgv 2005) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 - 800 sen [(x . ™)/12], onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 ´ x ´ 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a a) 600. b) 800. c) 900. d) 1 500. e) 1 600.

34. (Puc-rio 2004) O valor de (cos60° + tg45°)/sen90° é: a) 3/2 b) 2 c) Ë2 d) (Ë2+1)/2 e) 0

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35. (Pucrs 2004) O conjunto-imagem da função f definida por f(x) = sen (x) + h é [ -2; 0 ]. O valor de h é a) ™ b) -2 c) -1 d) 0 e) 1

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36. (Pucsp 2006) Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de IR em IR, definida por f(x) = k.sen mx, em que k e m são reais, e cujo período é 8™/3.

O valor de f(29™/3 )é a) -Ë3 b) -Ë2 c) - 1 d) Ë2 e) Ë3

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37. (Uel 2000) Se a medida x de um arco é tal que ™/2 < x < ™, então a) sen (x + ™) > 0 b) cos (x + ™) < 0 c) tg (x + ™) > 0 d) cos (x + 2™) > 0 e) sen (x + 2™) > 0

38. (Uel 2006) Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t). a) y = 2 + 2 sen [(™/3) . t] b) y = 2 + 2 sen [(2™/3) . t] c) y = 3 + sen [(™/3) . t] d) y = 3 + sen [(2™/3) . t] e) y = - 3 + 2 sen [(™/3) . t]

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39. (Uem 2004) Considere um ponto P(x,y) sobre a circunferência trigonométrica e que não esteja sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja ‘ o ângulo determinado pelo eixo OX e pela semi-reta OP, onde O é a origem do sistema. Nessas condições, assinale o que for correto.

01) A abscissa de P é menor do que cos(‘).

02) A ordenada de P é igual a sen[‘ + (™/2)].

04) A tangente de ‘ é determinada pela razão entre a ordenada e a abscissa de P. 08) As coordenadas de P satisfazem à equação x£ + y£ = 1.

16) Se x = y, então cotg(‘) = -1.

32) ‘ = ™/4 é o menor arco positivo para o qual a equação cos£(‘ + ™) + sen£[‘ + (™/2)] = cos£[(‘ + (™/2)] + sen£(‘ + ™) é satisfeita.

64) sen(2‘) = 2y.

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40. (Ufc 99) Considere a igualdade tgx=cotgx+[P.(2-sec£x)/2tgx]. Assinale a opção que apresenta o valor de P, para o qual a igualdade acima seja válida para todo xÆR, x·k™/2, k inteiro. a) 2. b) 1. c) 0. d) -1. e) -2.

41. (Ufes 2004) O período e a imagem da função f(x) = 5 - 3 cos [(x-2)/™], x Æ R, são, respectivamente, a) 2™ e [-1, 1] b) 2™ e [2, 8] c) 2™£ e [2, 8] d) 2™ e [-3, 3] e) 2™£ e [-3, 3]

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42. (Ufrn 2003) A figura abaixo é composta por dois eixos perpendiculares entre si, X e Y, que se intersectam no centro O de um círculo de raio 1, e outro eixo Z, paralelo a Y e tangente ao círculo no ponto P. A semi-reta OQ, com Q pertencente a Z, forma um ângulo ‘ com o eixo Y.

Podemos afirmar que o valor da medida do segmento PQ é a) sec‘ b) tg‘ c) cotg‘ d) cos‘

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43. (Ufrrj 2003) Carlos propõe o seguinte exercício para seus alunos: Calcule o período da função f(x) = 2 + sen (6™x + 1/2). A resposta correta é a) 6™ b) 1/3 c) ™/3 d) ™ e) 2™

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44. (Ufrrj 2005) Observe o gráfico da função trigonométrica y = 1 + 2 sen x, a seguir.

Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo a) [-2, 1] b) [-2, 2] c) [-1, 2] d) [-1, 3] e) [-1, 4]

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45. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) sen x ´ x para todo x Æ [0, ™/2].

(02) sen x + cos x µ 1 para todo x Æ [0, ™/2].

(04) Para qualquer arco x pertencente à interseção dos domínios das funções trigonométricas vale a igualdade (cosec£x/cotg£x)=sec£x.

(08) Os gráficos das funções f (x)=sen x e f‚(x)=5sen x se interceptam numa infinidade de pontos.

(16) Os gráficos das funções g (x)=cos x e g‚(x)=3+cos x não possuem ponto em comum.

(32) Os gráficos das funções h (x)=sen x e h‚(x)=sen (x+1) se interceptam numa infinidade de pontos.

Soma (

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)

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46. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O valor de sen (9™/2) é 1.

(02) Para todo arco x para o qual as expressões: cos x / (1 + tg x) e 1 / (sen x + cos x) podem ser calculadas, elas fornecem o mesmo valor.

(04) Para todo arco x vale sen£x + cos£x = 1 e |senx| + |cosx| µ 1 e pode ocorrer senx + cosx = 0.

(08) O gráfico da função g(x) = Øn x£ é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

(16) A imagem da função y= 3 cos x é o intervalo [-3, 3].

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47. (Ufsm 2003) Se o gráfico da função f(x) = a + b (cos(2x) + sen(2x)) é dado por

então 5a£ + 3b£ vale a) 47 b) 51 c) 57 d) 72 e) 92

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48. (Ufv 2004) Considere as seguintes afirmativas: I. 2 + 5i - (1+i)£ = 2 + 7i II. 0,333... . 0,666... = 0,222...

III. 3 log 36 - 6 log 2 = 6 log 3 IV. sen (™/2) . sec (™/3) - cos (™/2) . sec (™/6) = 2 Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, obtém-se a seguinte seqüência: a) F, V, F, V. b) F, V, V, V. c) F, V, V, F. d) V, F, V, V. e) V, F, F, F.

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49. (Unesp 2003) Observe o gráfico.

Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é a) -2 cos (3x). b) -2 sen (3x). c) 2 cos (3x). d) 3 sen (2x). e) 3 cos (2x).

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50. (Unesp 2003) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x)=2-cos(x™/6) e V(x)=3(Ë2) sen (x™/12), 0´x´6.

O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é a) 500. b) 750. c) 1 000. d) 2 000. e) 3 000.

51. (Unirio 2002) Seja f: R ë R, onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida por f(x)=[3/(4+cosx)]+1. O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são: a) 1, 6 e 2 b) 1, 4 e 3 c) 1, 6 e 3 d) 1, 4 e 1,6 e) 2 e 3

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52. (Ufal 2000) Analise as afirmativas abaixo, nas quais x é um número real.

(

) sen 495° = sen (™/4)

(

) tg (8™/7) < 0

(

) sen (™/5) + sen (™/5) = sen (2™/5)

(

) A equação tgx = 1000 não tem solução

(

) Para 0 ´ x < ™/4 tem-se cos x > sen x

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53. (Ufsc 2006) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3 m de uma parede plana e vertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do poste na parede e esta sombra tem 17 m de altura. Se a altura do poste é de 20 m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é de 45°.

(02) Se sen(a) = 1/3, então sen(25™ + a) - sen(88™ - a) = 2/3.

(04) Os gráficos das funções f(x) = sen(4x) e g(x) = - (2x/3) + (™/4) têm exatamente 3 pontos em comum, para x no intervalo (0, ™/2).

(08) Para ser verdadeira a desigualdade tg(x) . sec(x) < 0, x deve estar localizado no segundo ou no quarto quadrante.

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54. (Pucpr) Se simplificarmos a expressão

{sen[(™/2)+’]tg(™-’)} ______________________________

{sec[(™/2)-’]sen(™-’)cotg[(™/2)+’]}

obteremos: a) sen’ b) tg’ c) cos’ d) -cos’ e) -sen’

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GABARITO

1. [C]

2. [D]

3. [B]

4. [E]

5. [C]

6. [D]

7. [B]

8. [D]

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9. a) 130 km b) (130, 30 + arcsen 5/13)

10. [D]

11. 41

12. [C]

13. [E]

14. [E]

15. [A]

16. [B]

17. [C]

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18. [D]

19. 6

20. 492 bilhões de dólares.

21. x = 2™/3

22. a) 6,5 m b) período: 24 segundos; altura mínima: 1,5 m; altura máxima: 21,5 m

23. a) [(2Ë3/3) - 1] b) 1/2 . (1 - cotg ‘) (tg ‘ - 1)

24. a) V = {-1; 1} b) ‘ = ™ + n . 2™, n Æ Z

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25. [A]

26. [A]

27. [D]

28. [E]

29. [A]

30. [E]

31. [B]

32. [E]

33. [E]

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34. [A]

35. [C]

36. [B]

37. [E]

38. [D]

39. itens corretos: 04, 08 e 32 itens incorretos: 01, 02, 16 e 64

40. [E]

41. [C]

42. [C]

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43. [B]

44. [D]

45. 01 + 02 + 04 + 08 + 16 + 32 = 63

46. proposições corretas: 01, 04, 08 e 16 proposições incorretas: 02

47. [C]

48. [B]

49. [B]

50. [C]

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51. [A]

52. V F F F V

53. 01 + 04 = 05

54. [C]

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