TRIG_INE

INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. (Ufsc 2000) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S):

01. Se tg x=3/4 e ™<x<3™/2, então o valor de senx-cosx é igual a 1/5.

02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressão senx=2m-5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para -™/4 ´ x ´ ™/4.

16. A medida em radianos de um arco de 225° é (11™)/(6rad).

32. Se sen x > 0, então cosec x < 0.

64. A solução da equação 2sen£x + 3sen x = 2 para 0´x´2™ é x=™/6 ou x=5™/6.

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2. (Ita 2005) O intervalo I Å R que contém todas as soluções da inequação

arctan [(1 + x)/2] + arctan [(1 - x)/2] µ ™/6

é a) [-1, 4]. b) [-3, 1]. c) [-2, 3]. d) [0, 5]. e) [4, 6].

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3. (Unicamp 94) a) Utilize a fórmula sen£‘+cos£‘=1 e a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos para deduzir as seguintes fórmulas do arco metade:

b) Especifique os intervalos de variação de ‘ nos quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais se deve usar o sinal "menos" em cada uma das fórmulas acima.

4. (Unesp 91) O conjunto solução de |cos x|<(1/2), para 0<x<2™, é definido por: a) (™/3)<x<(2™/3) ou (4™/3)<x<(5™/3) b) (™/6)<x<(5™/6) ou (7™/6)<x<(11™/6) c) (™/3)<x<(2™/3) e (4™/3)<x<(5™/3) d) (™/6)<x<(5™/6) e (7™/6)<x<(11™/6) e) (™/6)<x<(2™/3) ou (4™/3)<x<(11™/6)

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5. (Uel 96) Se x Æ [0, 2™], então cosx>1/2 se, e somente se, x satisfazer à condição a) ™/3 < x < 5™/3 b) ™/3 < x < ™/2 c) ™ < x < 2™ d) ™/2 < x < 3™/2 ou 5™/3 < x < 2™ e) 0 ´ x < ™/3 ou 5™/3 < x ´ 2™

6. (Puccamp 97) Seja f a função de IR em IR definida por f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação f(x) µ 0, no universo U=[0,2™], é a) [0, ™] b) [™/2, 3™/2] c) [™, 2™] d) [™/2, ™] » [3™/2, 2™] e) [0, ™/2] » [3™/2, 2™]

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7. (Ita 97) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação

sec {arctg [1/(1 + eÑ)] - arctg (1 - eÑ)} = (Ë5)/2.

Então a) S = ¹ b) S = |R c) S Å [1, 2] d) S Å [-1, 1] e) S = [-1, 2[

8. (Ufrs 96) No intervalo real [0, ™/2], o conjunto solução da desigualdade sen x cos x ´ 1/4 é a) [0, ™/15] b) [0, ™/12] c) [0, ™/10] d) [0, ™/8] e) [0, ™/6]

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9. (Uff 99) Determine o(s) valor(es) de x Æ IR que satisfaz(em) à desigualdade:

cos£ x µ 2(sen x + 1)

10. (Ita 2000) Para x no intervalo [0, ™/2], o conjunto de todas as soluções da inequação

sen (2x) - sen [3x + (™/2)] > 0

é o intervalo definido por

a) ™/10 < x < ™/2. b) ™/12 < x < ™/4. c) ™/6 < x < ™/3. d) ™/4 < x < ™/2. e) ™/4 < x < ™/3.

11. (Unirio 2000) Obtenha o conjunto-solução da inequação senxµ1/2, sendo 0´x´2™.

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12. (Fei 99) Se 0 < x < 2™ e sen x > cos x então: a) ™/4 < x < 5™/4 b) ™/4 < x < 7™/4 c) ™/8 < x < 7™/8 d) ™/2 < x < 3™/2 e) ™/4 < x < 3™/2

13. (Ufrn 99) Considere a função f:[0, 2™) ë IR, definida por f(š)=sen(š), na qual sen(š) representa o seno de um ângulo de š radianos.

OBS.: [0, 2™) = {š Æ IR | 0 ´ š < 2™} a) Esboce o gráfico da função f no plano cartesiano. b) Determine o conjunto solução da inequação f(š) ´ (Ë2)/2.

14. (Unirio 2002) Resolva a sentença 2 cos£ x - 3 cos x + 1 ´ 0, sendo 0´x<2™.

15. (Fuvest 2003) Determine os valores de x no intervalo ]0,2™[ para os quais cos x µ (Ë3) sen x + Ë3.

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16. (Mackenzie 2003) Quando resolvida no intervalo [0; 2™], o número de quadrantes nos quais a desigualdade 2 cos x < Ë3 apresenta soluções é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

17. (Ita 2004) O conjunto de todos os valores de ‘, ‘ Æ ]-™/2, ™/2[, tais que as soluções da equação (em x) x¥ - (¥Ë48) x£ + tg ‘ = 0 são todas reais, é a) [- ™/3, 0] b) [- ™/4, ™/4] c) [- ™/6, ™/6] d) [0, ™/3] e) [™/12, ™/3]

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18. (Ita 2006) Determine para quais valores de x Æ ( - ™/2, ™/2) vale a desigualdade

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19. (Uerj 2004) A temperatura média diária, T, para um determinado ano, em uma cidade próxima ao pólo norte é expressa pela função abaixo.

T = 50sen [ (2™/365) (t - 101) ] + 7 Nessa função, t é dado em dias, t = 0 corresponde ao dia 1° de janeiro e T é medida na escala Fahrenheit. A relação entre as temperaturas medidas na escala Fahrenheit (F) e as temperaturas medidas na escala Celsius (C), obedece, por sua vez, à seguinte equação: C = (5/9) (F - 32) Em relação a esse determinado ano, estabeleça: a) o dia no qual a temperatura será a menor possível; b) o número total de dias em que se esperam temperaturas abaixo de 0°C.

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GABARITO

1. 01 + 02 + 04 + 64 = 71

2. [C]

3. a) Como cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b e 2a = a + a temos: cos (a + a) = cos a cos a - sen a sen a Ì cos (2a) = cos£ a - sen£ a

(I)

Tomando sen£ (‘/2) + cos£ (‘/2) = 1, vem: ýsen£ (‘/2) = 1 - cos£ (‘/2)

(II)

þ ÿcos£ (‘/2) = 1 - sen£ (‘/2)

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(III)

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Fazendo a = ‘/2 e substituindo (II) e (III) em (I), encontramos: ýsen (‘/2) = Ë[(1 - cos‘)/2] þ ÿcos (‘/2) = Ë[(1 + cos‘)/2]

b) sen (‘/2) tem sinal positivo quando: 0 + 2k™ < (‘/2) < ™ + 2k™, k Æ Z Ì 4k™ < ‘ < (4k + 2)™, k Æ Z.

sen (‘/2) tem sinal negativo quando: ™ + 2k™ < (‘/2) < 2™ + 2k™, k Æ Z Ì (4k - 2)™ < ‘ < (4k + 4)™, k Æ Z.

cos (‘/2) tem sinal positivo quando: - (™/2) + 2k™ < (‘/2) < ™/2 + 2k™, k Æ Z Ì (4k - 1)™ < ‘ < (4k + 1)™, k Æ Z.

cos (‘/2) tem sinal negativo quando:

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(™/2) + 2k™ < (‘/2) < (3™/2) + 2k™, k Æ Z Ì (4k + 1)™ < ‘ < (4k + 3)™, k Æ Z.

4. [A]

5. [E]

6. [A]

7. [D]

8. [B]

9. x = 2k™ - ™/2, k Æ Z

10. [A]

11. S=[™/6, 5™/6]

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12. [A]

13. a) Observe a figura a seguir

b) V = {x Æ IR | 2k™ ´ x ´ ™/4 + 2k™ ou 3™/4 + 2k™ ´ x ´ 2™ + 2k™: k Æ z}

14. 0 ´ x ´ ™/3 ou 5 ™/3 ´ x < 2™

15. 3™/2 ´ x ´ 11™/6.

16. [E]

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17. [D]

18. S = { x Æ R | - ™/4 < x < - ™/6 ou ™/6 < x < ™/4}

19. a) 10 de janeiro b) 243 dias

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