VETOR

VETOR 1. (Cesgranrio 95) Se: |@ + «| = 7 e |@ - «| = 5, o valor do produto escalar @.« é: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

2. (Cesgranrio 94) ABCD é um quadrado. O vetor a seguir que indica a operação é igual a:

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3. (Unirio 95) São dados os pontos O (0,0,0) e A (1,0,2). O produto vetorial OAxOC, onde C é centro da esfera (x-2)£+(y-1)£+z£=10, é o vetor: a) (-2, 4,1) b) (-2, -4,1) c) (2, 0, 0) d) (1, 1, -2) e) (1, -1, 2)

4. (Cesgranrio 93) O ângulo entre os vetores u=3i+j e v=i+2j é igual a: a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°

5. (G1) Dados A={-10, 0, 1, 10} e B={100, 0, 1, 100}, determine a relação R de A em B formada pelos pares ordenados em que o 2° termo é igual ao quadrado do 1° termo.

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6. (Cesgranrio 92) O módulo do vetor 2i - 3j + 6k vale: a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

7. (Cesgranrio 98) O menor valor do parâmetro K para o qual os vetores @(2,1,0),«(1,K,4) e 3,1,-4K) são coplanares é: a) -1 b) -1/2 c) 0 d) 1/2 e) 1

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8. (Cesgranrio 97) Os vetores @ (x, 2x - 1) e « (-2, 4) são ortogonais. Então o valor de x é igual a: a) -3/2 b) -2/3 c) 2/5 d) 2/3 e) 3/2

9. (Unirio 98) O ângulo formado pelos vetores u = (3,0) e v=(-2,2Ë3) mede: a) 210° b) 150° c) 120° d) 60° e) 30°

10. (Unirio 98) Determine se os pontos A(5, -1, 0), B (0, 2, 4), C(-3, 0, 6) e D (5, 2, 6) são coplanares ou não. Justifique a sua resposta.

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11. (Uerj 98) As contas correntes de um banco são codificadas através de um número seqüencial seguido de um dígito controlador. Esse dígito controlador é calculado conforme o procedimento a seguir:

A conta 643-5, aberta na década de 80, foi cadastrada no ano de: a) 1985 b) 1986 c) 1987 d) 1988

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12. (Uerj 98) A figura do R¤ a seguir representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B (4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais.

A partir da análise dos dados fornecidos, determine: a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base; b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 72.

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13. (Unirio 99) Considere os vetores ¼=(Ë3, 5/2) e «=(-Ë3,1/2). A secante do ângulo formado pelos vetores ¼+« e ¼-« é: a) 2 b) Ë2 c) 2Ë3 / 3 d) 1 / 2 e) -2

14. (Unirio 99) Numa simulação em computador, onde o planeta Terra é representado por uma esfera de equação x£+y£+z£=100, trabalha-se com uma situação na qual um OVNI virtual explode no ponto P(10,-8,2Ë23). Nessa simulação, a altitude relativa à superfície terrestre em que o objeto voador não identificado explodiu foi de: a) 6 b) 11 c) 16 d) 20 e) 23

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15. (Uff 99) Os vetores @ = (2, 1, 0), « = (0, 1, 2) e ¼ = (x, y,z) são tais que @ x « é perpendicular a ¼.

A relação entre x, y e z é: a) 2x + y - z = 0 b) 2x - 2y + z = 0 c) x - 2y + z = 0 d) x + 2y - 2z = 0 e) x - 2y - z = 0

16. (Uff 99) Considere o retângulo ABCD de dimensões æè=3m e èî=4m.

Calcule || AB + BD + DC ||

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17. (Ufrj 2000) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5).

Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo š, o ponto P transforma-se no ponto P'.

Determine cosš.

18. (Uff 2000) Em um retângulo ABCD, M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados åæ e èî. Tem-se que o vetor BM=(Ë3,1) e o vetor BN=(2Ë3,-2).

Determine o perímetro do retângulo.

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19. (Unirio 2000)

Considere os vetores @, e ¼ anteriormente representados. O vetor « tal que «=1/2@+1/4¼ é: a) (-6, 7/4) b) (-2, 3) c) (-7/4, 6) d) (7/4, -6) e) (6, -7/4)

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20. (Unirio 2000)

Considere um vetor « anteriormente representado. Sabendo-se que o módulo de « é 4 e que š=™/3, determine:

a) as coordenadas cartesianas de «;

b) um vetor ortogonal ao vetor « e de mesmo módulo que «.

21. (Unirio 2000) Obtenha o co-seno do ângulo formado pelos planos ‘: x+2y-z+4=0 e ’: -x+3z-2=0

22. (Uff 2000) Considere os vetores @=(0, -2) e «=(-1, 0).

Determine um vetor unitário tal que os valores (@+ e («+ sejam perpendiculares.

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23. (Ufrj 2001) Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura) e os vetores «, ¼ dados por AB, «=AE, ¼=AD

Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q o ponto do segmento DB tal que QB=2DQ. Determine os números a, b e c tais que

PQ = a+ b« + c¼

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24. (Ufrj 2002) Os pontos A, B e C estão sobre uma reta r e B está entre A e C. Sendo O um ponto fora de r, considere os vetores @=OA, « = OC e ¼ = OB. Sabendo que æè = 4 åæ, determine x e y de forma que ¼ = x@ + y«.

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25. (Uerj 2001) Observe a figura abaixo.

Ela representa um cubo de aresta 2, seccionado pelo plano ABCD; B = (2,0, t) e t varia no intervalo [0, 2].

Determine a menor รกrea do quadrilรกtero ABCD.

26. (Unirio 2003) Considere os vetores u = (-1, 2, -3) e v = (x, y, 6). Determine o valor de x + y, de modo que esses vetores sejam colineares. a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 6

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27. (Uerj 2004) Para executar a rotação do vetor (figura 1) de um ângulo š no sentido anti-horário, um programa de computador multiplica-o pela matriz de rotação (figura 2). O vetor ¼ = Rš . « é o resultado desta rotação. a) Para quaisquer š e š‚, demonstre que Rš . Rš‚ = Rš +š‚. b) Determine o valor de š que torna verdadeira a igualdade R¤š = - I, na qual I é a matriz identidade 2x2.

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28. (Ufrrj 2004) Dada a transformação linear T : IR£ ë IR¤, definida por T(x,y) = (x,y,1), pode-se dizer que a sua imagem é a) um espaço vetorial. b) um disco centrado na origem de raio 1. c) uma esfera de raio 1. d) um plano. e) uma reta que passa por z = 1.

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29. (Uerj 2005)

Os planos secantes ‘ e ’ acima podem representar em IR¤ as equações ý2x - y - 4z = -1 þ ÿx+y+z=4 A interseção desses planos é uma reta r que passa por um ponto P (x, y, z).

Determine: a) as coordenadas de P, considerando z = 0; b) um vetor unitário paralelo à reta r.

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30. (Uff 2005) A Bíblia nos conta sobre a viagem de Abraão à Terra Prometida. Abraão saiu da cidade de Ur, na Mesopotâmia (atual Iraque) e caminhou até a cidade de Harã. Depois, caminhou até Canaã, a Terra prometida (atual Israel).

Fixando um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, em um mapa do Mundo Antigo, considere a cidade de Canaã localizada no ponto O = (0,0), a cidade de Harã localizada no ponto H = (2, 7/2), a cidade de Ur localizada no ponto U e o vetor UH = (- 1/2, 11/2) .

Nesse sistema de coordenadas, pode-se afirmar que o ponto U é: a) (5/2, -2) b) (2, -2/5) c) (-2, 2/5) d) (-2/5, 5/2) e) (5, 2/5)

31. (Ufrrj 2005) Um projeto bem diferente deveria ser desenvolvido pelos candidatos inscritos em um concurso para arquiteto. O vencedor dessa modalidade foi aquele que determinou a área da região triangular cujos vértices representaram-se pelos pontos A = (-2, 1, 1); B = (-1, 2, 0) e C = (1, 0, 1).

Determine a área correta encontrada pelo arquiteto.

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32. (Uerj 2006) A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os números de unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira.

A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto escalar de « = (1, 2, 3) por ¼ = (x, y, z).

Determine: a) o valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mamões, quinze abacaxis e vinte melões; b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores « e ¼, sabendo que x, y e z são respectivamente proporcionais a 3, 2 e 1.

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GABARITO

1. [C]

2. [A]

3. [A]

4. [C]

5. y = x£

6. [B]

7. [B]

8. [D]

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9. [C]

10. Para que os pontos dados sejam coplanares, os vetores AB, AC e AD devem ser coplanares. Isto é, (AB, AC, AD) = 0.

Como AB = (-5, 3, 4), AC = (-8, 1, 6), AD = (0, 3, 6) e (AB, AC, AD) = 108 · 0, os pontos A, B, C e D não são coplanares.

11. [B]

12. a) D = (-4, 4, 2). Medida de cada lado = 6 b) V = (-2, -4, 4) ou V = (2, 4, -4)

13. [A]

14. [A]

15. [C]

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16. ||AC|| = 5 m

17. cosš = 20/29

18. Perímetro = 8+4Ë3 u.c.

19. [C]

20. a) « (2, 2Ë3)

b) (-2Ë3, 2) ou (2Ë3, -2)

21. (2Ë15)/15

22. = (-3/5, 4/5) ou = (1, 0)

23. a=-1/6, b=-1/2 e c=1/6.

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24. x = 4/5 e y = 1/5

25. 2Ë6

26. [A]

27. b) š = 60° ou ™/3 rad

28. [D]

29. a) P (1, 3, 0)

b) (-1/Ë6; 2Ë6; -1/Ë6) ou (1/Ë6; - 2Ë6; 1/Ë6)

30. [A]

31. (Ë26)/2 u.a.

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32. a) 100 reais.

b) 5/7

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