Aplicacion de las derivadas by Angel

3-7-2014

Miguel Ángel Vásquez Guevara

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Aplicación de las Derivadas | Miguel Ángel Vásquez Guevara

Índice

Índice ........................................................................................................................................................................ 1 Derivadas en el Cálculo .......................................................................................................................................... 2 Derivada implícita ................................................................................................................................................. 3 Derivada de Orden Superior .................................................................................................................................. 4 Funciones Crecientes y Decrecientes .................................................................................................................... 4 Criterio de la Primera Derivada............................................................................................................................. 6 Concavidad y Criterio de la derivada Segunda…………………………………………………………………………………………………….. 7 Problemas Máximos y Mínimos…………………………………………………………………………………………………………………………..... 8 Formas Indeterminadas……………..……………………………………………………………………………………………………………………....... 9 Curiosidades……………..……………………………………………………………………………………………………………………........................10 Humor……………..……………………………………………………………………………………………………………………...................................11

Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea Recta. Velocidad.

Vimos que para precisar el concepto de velocidad instantánea tuvimos que recurrir a un límite de la velocidad promedio, el cual nos condujo a la derivada.

Definición: Sea la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta. La velocidad (instantánea) del objeto en el instante esta dada por

La velocidad es positiva o negativa según el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es 0, el objeto esta en reposo. Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación centímetros y en segundos. a. Hallar a velocidad d objeto cuando y cuando . b. Hallar la velocidad promedio en el intervalo de tiempo

, donde

se mide en

Solución: a. Tenemos que

. Luego,

b. La velocidad promedio en el intervalo

es Aceleración

Derivando la función posición de un objeto en movimiento rectilíneo obtuvimos la velocidad. Ahora, tomando la función velocidad podemos calcular la aceleración promedio y la aceleración instantánea. Definición: Sea la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta. La aceleración (instantánea) en el instante es

Ejemplo: Una pelota es lanzada hacia arriba desde la azotea de un edificio de 58,8m de altura y con una velocidad inicial de 19,6 m/seg. a. b. c. d.

¿Cuándo la pelota alcanza su máxima altura? ¿Cuál esta altura máxima (respecto al suelo)? ¿Cuándo la pelota llega al suelo? ¿Con que velocidad llega al suelo?

Solución: Tenemos que h=58,8m y

=19,6m/seg. Luego,

S=-4,9 +19,6t+58,8 y

=-9,8t+19,6

a. La pelota alcanza su máxima altura cuando: . Esto es, después de 2 segundos

b. La altura máxima es el valor de s cuando t=2. Esto es,

c. La pelota llega al suelo cuando s=0. Luego,

La pelota llega al suelo con que llega al suelo después de 6 segundos. Desechamos -2 por negativo d. La velocidad con que llega al suelo es la velocidad en el instante 6 seg. Esto es, =-9,8(6)+19,6=-39,2m/seg.

Derivada implícita Considerando la ecuación

. En esta ecuación, fácilmente podemos despejar la variable y:

Esta nueva ecuación define a y como función de x. Casos como el ejemplo anterior suceden con frecuencia. Es decir, una ecuación de la forma puede dar lugar a una función . Si esta situación ocurre diremos que la ecuación 0 define implícitamente a como función de . En cambio, diremos que una ecuación de la forma define explícitamente a como función de . No toda ecuación determina implícitamente una función (real de variable real). Tal es el caso de la ecuación , que no tiene soluciones reales. Puede suceder también que una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, la circunferencia , que no tiene soluciones reales. Puede suceder también que una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, circunferencia determina dos funciones 1. 2. Sucede con frecuencia que en funciones definidas implícitamente es difícil despejar la variable dependiente. Por este motivo, seria conveniente contar con una técnica que nos permita encontrar la derivada de una función definida implícitamente, sin la necesidad de contar con la expresión explicita de la función. Esta técnica se llama diferenciación implícita y se resume en la siguiente regla. Para derivar implícitamente, derivar la ecuación término a término, considerando a la variable dependiente como función de la independiente. Luego despejar la derivada.

Ejemplo: Hallar

Solución: Derivamos término a término.

Derivada de Orden Superior: Definición La aoperacion de dervacion toma una funcion y produce una nueva función . Si ahora derivamos , producimos otra función denotada por (léase “f biprima”) y denominada segunda derivada de . A su vez, puede derivarse, y de ahí producir , que se denomina tercera derivada de , y así sucesivamente. La cuarta derivada se denota con , la quinta derivada se denota con , etcétera. Por ejemplo, si

Entonces

Como la derivada de la función cero es cero, la cuarta derivada y todas las derivadas de orden superior de f serán cero. Funciones Crecientes y Decrecientes: Definición Sea una función continua con ecuación La siguiente es la representación gráfica de

, definida en un intervalo en el intervalo .

5 En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos 2. Decreciente en los intervalos

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos , , y , la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores. Teorema: Sea una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto 1. Si para toda x en , entonces la función es creciente en . 2. Si para toda en , entonces la función es decreciente en . Ejemplo: Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación

f: Como

, o sea si

, entonces f es creciente para

Como

, o sea si

, entonces f es decreciente para

. .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

6 Criterio de la Primera Derivada

7 Concavidad y Criterio de la derivada Segunda: Definición La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En siguiente imagen se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5).

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (i) Cóncava hacia arriba en (ii) Cóncava hacia abajo en Teorema: Si I. II.

Si Si

, entonces la gráfica de

si f’ es creciente en si f’ es decreciente en

es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo para todo x en el intervalo para todo x en el intervalo

Ejemplo: Observa que la función intervalo .

es:

, entonces:

, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en , la gráfica de f es cóncava hacia abajo en

es cóncava hacia arriba y su derivada

. . es creciente en el

8 En la figura anterior, tenemos que para tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba. Teorema: Suponga que

existe en algún intervalo

la segunda derivada es positiva, esto es

. Por

que contiene a c y que

, entonces: (i) Si (ii) Si

, ,

es un mínimo relativo es un máximo relativo

Ejemplos para discusión: Halla los máximos y mínimos relativos para cada una de las siguientes funciones: 1) 2) f(x) = Problemas Máximos y Mínimos Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor manera de hacer algo. Por ejemplo: Un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la mas apropiada para producir la mayor ganancia. Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. A fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos. Algunas veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proporcionan una herramienta poderosa para resolver el problema. Entonces suponga que se nos da una función preguntas:

y un dominio

. Ahora planteamos tres

1. ¿ tiene un valor máximo o un valor mínimo en ? 2. Si tiene un valor máximo o un valor mínimo, ¿Dónde se alcanzan? 3. Si existen, ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo? Definición: Suponga que , el dominio de , contiene el punto . Decimos que: (i) es el valor máximo de en , si para toda en ; (ii) es el valor mínimo de en , si para toda en ; (iii) es el valor extremo de en , si es un valor máximo o un valor mínimo; (iv)La función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.

Formas Indeterminadas

Un lĂmite de una funciĂłn toma una forma indeterminada en si al evaluar mediante las leyes de los lĂmites, (ley de la suma, del cociente, etc.), se obtiene una de las siguientes expresiones:

Estas expresiones se llaman formas indeterminadas. AsĂ, 1.

tiene la forma indeterminada en

tiene la forma indeterminada

3. 4.

tiene la forma indeterminada tiene la forma indeterminada

. . en en x=0.

10 Los quebrados Las fracciones se conocen también con el nombre de “quebrados”. El origen de las fracciones, o quebrados, es muy remoto. Ya eran conocidos por babilonios, egipcios y griegos. Pero el nombre de fracción se lo debemos a Juan Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de aritmética de AlJuarizmi. De Luna empleo la palabra fraccio para traducir la palabra árabe al-Kasr, que significa quebrar, romper.

Platón Platón (420-348 a.C.) ejercicio una gran influencia en el desarrollo de las ciencias exactas. Fundo en Atenas la famosa Academia. En su entrada había un rotulo que decía: “Nadie entre aquí que no sepa Geometría”. Entre otras frases características de Platón, se encuentran las siguientes: “Los números gobiernan el mundo”, “Cuando Dios ordeno el mundo lo adorno de formas y números”.