Diana Castañeda Rojas
MATEMATICAS A L
N A T U R A L
Diseño: Diana Castañeda Rojas Textos: Diana Castañeda Rojas Edición: Diana Castañeda Rojas Revisión de estilos: Patricia Medina Ilustración: Diana Castañeda Rojas
PRIMERA EDICIÓN: JUNIO DE 2018 BOGOTÁ COLOMBIA ISBN 978-987-28962-2-5 Editorial: Diana Castañeda Editorial Carrera 98 N 38 C 51 dianita0anaid@gmail.com
CONTENIDO
El valor de los números Conjuntos Fracciones Porcentajes Menor que Mayor que Operaciones combinadas Perímetro, área y volumen Áreas de triángulos y paralelogramas Promedio, moda y mediana Proporción directa e inversa Gráficas en línea Probabilidad
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
EL VALOR DE LOS NUMEROS E
l valor de los números varían según su posición si encuentras números de 6 o 7 digitos en adelante. Te preguntarás por qué cambia el valor de un número según su posición. El saber el valor posicional de los números te ayudará a realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
El valor posicion al toma un número d es el valor que e acuerd sición en o a su po el que se encuentra un númer dentro de o de 6 o 7 número mo se alt s, asi mis era el va lor total del mism o.
Para que sea más sencillo descubrir el valor de posición de un número, lo puedes hacer de la siguiente manera: Tenemos este número: 77 Unidad de Mil
Centenas
Decenas
Unidades
7
7
1 Unidad Las unidades incrementan de derecha a izquierda, ubica los números en las casillas y verás el valor de este.
10Unidades Unidades 1.000 Unida des ?
TODO NÚMERO TIENE
2 VALORES?
Uno es el valor de sí mismo y el otro es el valor posicional.
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CONJUNTOS L
os conjuntos son la colección de cosas que tienen propiedades en común, reunes dichas cosas y se convierten en un conjunto, solo si cumplen caracteristicas similares. Por ejemplo tu ropa. Tu ropa la podrías convertir en conjunto de la siguiente manera.
{zapatos, medias, camiseta, chaqueta...} isos y te pers son muy prec to un nj co s lo brar e Fíjate qu y más por nom ha do an cu “ . .. a miten poner “ njunto se llam
sario. Este co pero no es nece o. Conjunto Infinit
Existe otro tipo de conjunto. Hay cosas que son determinantes como conjunto, por ejemplo, los dedos de las manos, los colores de la bandera, los colores primarios, o las materias que ves en tu colegio.
{matemáticas, educación física, sociales, inglés, biología} Este conjunto se llama Conjunto Finito.
Puedes hacer un conjunto con todos los elementos antes mencionados, y recibe el nombre de Conjunto Uviversal.
N 2 1
3
Los conjuntos reciben nombres, normalmente verás que se nombran con letras mayusculas.
N: {1,2,3}
Pero seguro te preguntaran que especifiques qué elementos tiene el conjunto A y qué elementos no se encuentran en ese conjunto, para esto, existen estos simbolos , este sirve para nombrar los elementos que existan en el conjunto A. Este simbolo esta en negación , se utiliza para señalar que un elemento no se encuentra en dicho conjunto.
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FRACCIONARIOS U
na fracción es un número que se obtiene de la división de un número entero en partes iguales.
Verás que una fracción se representa de la siguiente manera:
2 5
NUMERADOR DENOMINADOR
El numerador representa las partes tomadas del entero. El denominador representa en cuántas partes se dividió el entero.
Te preguntarás, ¿Cómo se leen los fraccionarios?
El numerador se lee como un número natural. A continuación verás ejemplos:
3
Tres 5
6
Cinco
6
7
Siete
El denominador se lee como número partitivo.
8 1 Un medio 2 Dos medios 11 Onceavo 12 Doceavo
1
FRACCIONES PROPIAS El numerador es menor que el denominador.
2
9
Existen otros tipos de fracciones: FRACCIONES IMPROPIAS El numerador es mayor que el denominador.
LAS FRACCIONES
TE PERMITEN
facilitar las divisiones
3
FRACCIONES UNITARIAS El numerador es igual al denomiandor.
PORCENTAJES S
i encuntras un número así: 50% lo deberás leer así: 50 por ciento, la palabra ”por ciento” se representa con este simbolo % que quiere decir por cada 100. Como % quiere decir -por cada 100-, deberás tener en cuenta siempre que hay que dividir por 100.
Un por cen represe taje se pued e ntar po r medi de un o fraccio nario PORC ENTAJ E: 50%
1 2
El 100 % de cualquier número siempre será el mismo número por ejemplo, el 100% de 50% es 50.
En otro caso, también encontrarás 200%. El 200% de cualquier número es el doble del número. Ejemplo: 200% de 50 es 100/200
TE PREGUNTARÁS,
¿CÓMO SE CALCULA EL PORCENTAJE?
Presta atención al calcular el porcentaje expresado en fracción. Vamos a calcular el 80% de 90 80
de 90
100
80x90 100
= 72
Multiplicas 80x90, el resultado lo divides en 100, y obtendras el porcentaje que quieras descubrir.
NO OLVIDES REFORZAR TUS MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES POR MEDIO DE ESTAS OPERACIONES PUEDES DESCUBRIR RAPIDAMENTE LOS PORCENTAJES
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MENOR QUE MAYOR QUE E
stos simbolos te ayudarán a hacer comparaciones y a organizar los números.
El termino “mayor que” se representa así:
El termino “menor que” se representa así:
Practica con tus manos los simbolos “menor que” y “mayor que”, para que los identifiques rapidamente.
Presta atención a la siguiente tabla:
Igual
Mayor que
Menor que
5
5
= 5=5
4
6
Recuerda que el “mayor que” te indica que el número mayor se situa a la izquierda, en cambio, el número “menor que” lo sitúas a la derecha. 13
No solo se puede expresar el “mayor que” y el “menor que” con números, también lo puedes hacer con objetos.
¿ SE COMENZO A USAR HACE MAS DE 400 AÑOS
OPERACIONES COMBINADAS E
xisten problemas matemáticos que en una sola operacion combina la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para resolver estas operaciones se necesita separarlas para llegar al resultado del problema matemático.
Para que puedas resolver esta operación matemática, siempre debes resolver las multiplicaciones y las divisiones en el orden de izquierda a derecha, después solucionas la suma y la resta también de izquierda a derecha, presta atención al siguiente ejemplo:
20 - (16 ÷4)
1
Según las reglas, debes solucionar primero la division (÷).
20-16÷4
4
El resultado de tu división, lo utilizas para solucionar la operación faltante, es decir, la resta (-).
3
Ahora soluciona la resta (-).
2
20-16÷4 Tu resultado debe ser :
16
Presta atención a este otro ejemplo:
60 - 30 ÷ 3 • 5 + 7 Recuerda que debes empezar solucionando la multiplicación (•) y la division (÷) con orden de izquierda a derecha, en este caso, encontrarás primero la división.
30 ÷3: 10
la operación debe ir así: 60-10•5+7
Ahora realizas la multiplicación:
15 10•5: 50 la operación debe ir así: 60-50+7
Continúa realizando la suma y la resta, no olvides que se resuelven de izquierda a derecha, es decir, resuelves primero la resta: 60-50:10 la operación debe ir así: 10+7 Ahora realizas la suma: 10+7: 17 tu resultado final debe ser 17. PARA QUE ENTIENDAS MEJOR ESTE TEMA, DEBES PRESTAR MUCHA ATENCION A LA EXPLICACION EN CLASE.
PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN 1D
El perímetro te permite ver la figura geométrica en 1 dimensión.
E
s la suma de los lados de una figura geométrica, definiendose como el contorno de la figura.
(lado)
P: L+L+L+ L (perímetro)
Siempre se expresará en centimetros (cm).
2D
El área te permite ver la figura geométrica en 2 dimensiones.
E
s la medida del interior de una figura geométrica. El área te muestra cuantos cuadros de cierta medida caben dentro de la figura. El área es la superficie
(área)
(altura)
A: B x a Siempre se expresará en centimetros cuadrados (cm ).
(base)
E
s el espacio que la figura geométrica ocupa.
(volumen) (ancho)
V: A x a x L (altura)
(Largo)
3D
El volumen te permite ver la figura geométrica en 3 dimensiones.
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ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y PARALELOGRAMAS T
e preguntarás por qué funcionan las formulas especificamente en estas figuras planas, pues bien, debes tener muy claro el tema de conceptos; perímetro, área y volumen, te permitirán comprender y formular las áreas de triángulos y paralelogramas.
Los paralelogramas se diferencian por el tamaño de sus lados; sus lados y ángulos opuestos son iguales, la suma de sus ángulos son de 360°, entre otras caracteristicas.
¿Cómo se calcula el área de un paralelograma? La altura siempre será relativa a la base.
(Altura)
(Base)
Altura
B: x a
Base
Los triángulos al igual que los paralelogramas cumplen exactamente las mismas caracteristicas, y su formula es igual:
(Base)
B: x a
(Altura)
Entre el triángulo y un paralelogramo hay muchas similitudes, observa esta gráfica:
Altura
19
Base Podrás ver que este triángulo es complemento del paralelograma, como el triángulo es la mitad del paralelogramo, sabrás que el área del triángulo es igual a la mitad del área del paralaleogramo, entonces la formula sería la siguiente :
base x altura 2
PROMEDIO, MODA Y MEDIANA E
l promedio también se conoce como media. El promedio o la media se obtiene al sumar todos los datos en un conjunto de números y luego dividirlos entre el total de sumados, presta atención a este ejemplo:
En la tabla aparece la cantidad de goles que hizo cada niño durante el campeonato de fútbol masculino.
La conclusión es : El promedio o la media es que fueron 4 goles por jugador.
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO
Jugador
, Numero de goles
Miguel Angel Daniel Andres Nicolas Jeferson
4 3 3 5 7 2
4+3+3+5+7+2 6
(Total sumados)
24 =
6
= 4
MODA La moda es el o los números que se repiten con más frecuencia.
Siguiendo el ejemplo enterior, fíjate a cuáles jugadores se le repiten el número de goles:
Angel
3 goles
3 goles
Daniel
21
En este caso la moda es el número 3 porque es el número que con más frecuencia se repite.
Miguel Angel Daniel Andres Nicolas Jeferson
3.5
4 3 3 5 7 2
La mediana es el número que ocupa el lugar central, es decir, es el número que esta en medio de los datos que se deben organizar de menor a mayor, continuamos con el anterior ejemplo, presta atención:
2, 3, 3, 4, 5, 7
Observa que los números estan organizados de menor a mayor y el número central o la mediana es 3.5.
Ya que la mediana se la disputan 2 números en este caso el 3 y el 4, entonces harás la siguiente operación:
3+4 2
7 =
2
= 3.5
PROPORCIÓN DIRECTA E INVERSA L
a proporción es la razón entre dos números, es decir, es el resultado de la división de esos dos números. Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5 ya que:
10 2
=5
La proporción es directa cuando la relación de los números, fracciones o magnitudes, en la que si una aumenta la otra parte también aumenta y viceversa.
Imagina que vas en tu bicicleta a una velocidad de 12km/h. En una tabla escribiremos los datos de cada una (1) hora:
Distancia (km)
12 24 36 48
Horas
1 2 3 4
Observa: Se comprueba que el anterior ejemplo es de proporcionalidad directa, ya que los datos de distancia como los datos de hora aumentan, (entre más horas recorres en tu bicicleta más distancia recorrerás). Las dos magnitudes avanzan.
La proporción es inversa cuando una magnitud aumenta y la otra magnitud disminuye.
Presta atención al siguiente ejemplo:
En una construcción de un edificio en el centro de Bogotá, tienen planeado contratar 200 trabajadores para construir en 12 meses. Si trabajan 500 personas serán 16 meses de obra, en cambio, si trabajan 100 personas serán 24 meses de obra, además, si se trabaja con 50 personas se demora 48 meses la obra. Ahora estos datos debemos representarlos en una tabla.
Trabajadores
Meses de obra
200 150 100 50
PARA QUE PUEDAS IDENTIFICAR SI EL EJERCICIO ES INVERSO O DIRECTO LO DESCUBRIRAS POR MEDIO DE LA TABLA O RESOLVIENDO EL EJERCICIO CON LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES.
12 16 24 48
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Observa: Entre más trabajadores hayan, menos meses demoran en terminar el edificio. Es por eso, que este es un ejercicio de proporcion inversa.
GRÁFICAS EN LÍNEA L
as gráficas en línea se caracterizan por ser un conjunto de puntos conectados por una línea en un plano que te muestran variables. Interpretan información que procede de diferentes temas que verás en clase, casi toda la información se puede organizar en una tabla o en un gráfico como verás a continuación: Presta atención al siguiente ejemplo : Gabi fue a Boyacá para pasar vacaciones de 7 días, ella midió la temperatura del aire todos los días a las 4 pm. A continuación verás los datos obtenidos por Gabi representados por medio de una gráfica de línea: Medidas recolectadas por Gabi. ,
,
1 2 3 4 5 6 7
Temperatura (C °)
20 25 25 30 15 25 35
La temperatura en C°
BOYACA TEMPERATURA
55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0
1
2
3
4
5
6
7
Los días de vacaciones de Gabi
A partir de esto, podrás sacar conclusiones, estas fueron las conclusiones de Gabi :
El séptimo día era el más caluroso con una temperatura de 35°.El quinto día era el más fresco con una temperatura de 15°.
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PROBABILIDAD E
s la posibilidad de que algo suceda. Es el porcentaje que tiene un hecho a ocurrir.
Cuando la probabilidad se acerca al 100% quiere decir que es muy probable de que suceda, en cambio si la probabilidad es más cercana al 0% es menos probable de que pase.
A DE COLO LIC M B B Ú
1000 PESOS
IA
RE P
Veamos un ejemplo para comprender mejor:
1 2 3
Tienes una moneda y necesitas que caiga sello.
Para representar en fracción sería así: 1 2
De dos resultados posibles.
Divides ese fraccionario 1 2
= 0.50
A DE COLO LIC M B ÚB
1000 PESOS
IA
RE P
Existe otra forma para saber la probabilidad de la opción de que salga sello en la moneda, presta atención:
1 opción (cara) 2 opción (sello)
Dos opciones posibles
50% que salga cara. 50% que salga sello. 27
Presta atención a la operación matemática:
Para saber por qué del 50%, debes antes dividir el 100% en el número de las posibilidades.
100%
Diana Castañeda Rojas
MATEMATICAS A L N A T U R A L
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