TEORÍA DE GRAFOS
ESTUDIANTE: DIANA PATRICIA SANDOVAL QUIMBAYA
DOCENTE: DIANA CAROLINA TASCON HOYOS
UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS VICERRECTORIA DE UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERÍA EN INFORMÁTICA CENTRO DE ATENCIÓN UNIVERSITARIO VILLAVICENCIO
INTRODUCCIÓN
La Teoría de Grafos juega un papel importante en la fundamentación matemática de las Ciencias de la Computación. Los grafos constituyen una herramienta básica para modelar fenómenos discretos y son fundamentales para la comprensión de las estructuras de datos y el análisis de algoritmos. Son una gran herramienta en la planificación y mejoras de todo tipo de redes (transporte terrestre, aéreo, de internet, etc.) permitiendo obtener resultados óptimos y precisos.
En el presente trabajo se desarrollan temas como la identificación de grafos Eulerianos y Semi Eulerianos, se hallan circuitos en un grafo dado, se hace uso del algoritmo de Dijkstra para encontrar la ruta más corta de un nodo a otro en un grafo. Por último se analiza una red de transporte en un grafo ponderado hallando rutas críticas y rutas con mayor capacidad de circulación vehicular.
Este trabajo permite desarrollar la capacidad de análisis, creatividad e intuición ya que son estas necesarias a la hora de elaborar un grafo con sus nodos y espacios entre estos. Los grafos, sus algoritmos y aplicaciones son un tema fundamental en la carrera de ingeniería en informática ya que va estrechamente relacionado con el diseño, planificación y solución a problemas de redes.
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Identificar cuáles son grafos de Euler y cuales son grafos Semi-Eulerianos. En cada caso justifique su respuesta.
SemiEuleriano
Euleriano SemiEuleriano
SemiEuleriano
Rta/. De los anteriores grafos solamente es Euleriano el grafo G5 debido a que es el único grafo simple que posee un ciclo de Euler. Los grafos G2, G5 y G8 son Semi-Eulerianos debido a que poseen dos vértices de grado impar y por lo tanto permiten el camino Euleriano. Los demás grafos no son Eulerianos ni Semi-Eulerianos debido a que algunos no son simples, otros poseen multi-aristas, arcos y más de dos vértices de grado impar.
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Hallar un circuito Euleriano para el multígrafo de la siguiente figura.
Rta/. El anterior multígrafo posee dos vértices de grado impar, por lo tanto es imposible hallar en él, un circuito Euleriano. Permite el camino Euleriano empezando en una de sus vértices de grado impar y terminando en la otra más no el circuito.
Determinar la trayectoria más corta del nodo origen (1) al nodo terminal (13) en el siguiente grafo, empleando el algoritmo de Dijkstra.
La trayectoria más corta desde el nodo origen (1) al nodo terminal (13) en el siguiente grafo tiene dos caminos con una distancia de 130 cada uno. Estos son: Camino 1: 1- 3 – 7 – 8 – 11 - 13. Camino 2: 1 – 2 – 6 – 10 – 11 - 13.
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El siguiente grafo representa las distancias entre diferentes locaciones de una red. Emplear el algoritmo de Dijkstra para identificar la trayectoria mĂĄs corta para llegar desde el nodo đ?‘Ł1 hasta el nodo đ?‘Ł2.
Rta/. La trayectoria mĂĄs corta para llegar al nodo v2 desde el nodo v1 es: v1-v2 con una distancia mĂnima de 8.
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En la primera iteración el v3 posee la distancia más corta siendo de 4. En nuestra segunda iteración el nodo con la distancia más corta es v5 con una distancia de 7 y en nuestra tercera iteración llegamos a v2 con la mínima distancia de 8 proveniente desde el nodo v1. En la ciudad X, el tránsito está muy cogestionado. Existen avenidas que conectan diversos puntos de la ciudad. En el siguiente gráfico se muestran el número promedio de vehículos que circulan por minuto en cada avenida y las capacidades adicionales de circulación en cada una de ellas.
Con base en la información del grafo se responden las siguientes preguntas y justifican las respuestas:
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a. ¿Qué avenida tiene más capacidad de circulación? Rta/. Teniendo en cuenta que la capacidad de circulación es la capacidad del arco tenemos que CD es la avenida que tiene mayor capacidad de circulación. Veamos: AB=30 AC=17 AD=22 BC=15 BE=20 CE=24 CD=32 DE=21 CD= 32 es la avenida con mayor capacidad de circulación.
b. ¿Qué avenida está más próxima a colapsar debido al embotellamiento? Rta/. La avenida más próxima a colapsar es aquella que tiene la menor capacidad residual. En este caso CD que tiene una capacidad de 4 vehículos por minuto.
c.
¿Qué rutas entre A y E están próximas a colapsar debido al embotellamiento? Rta/.Teniendo presente que la capacidad mínima residual es igual a la capacidad de la trayectoria tenemos que toda ruta que pase por CD estará próxima a colapsar ya que CD es el arco con la mínima capacidad residual.
d. ¿Cuántos vehículos podrán circular como máximo en promedio por minuto entre A y E? Rta/. Flujo máximo/cortadura mínima BE+CE+DE= 20 + 24 +21=65 Entre A y E podrán circular en promedio 65 vehículos por minuto.
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CONCLUSIÓNES
Con el desarrollo de este se comprendió la forma como se desarrolla el algoritmo de Dijkstra entiendo la aplicación que tiene este en problemas reales y cotidianos. No se contó con un libro de apoyo por lo que el aprendizaje fue basado en lo hallado en la internet y el apoyo en videos relacionados.
WEB- GRAFÍA
Grafos Eulerianos y Semi Eulerianos. Teoría de grafos. Recuperado el 14 de mayo de 2016 de: https://www.youtube.com/watch?v=0cFRl4hRy7w
Euler
y
Hamilton.
Recuperado
el
23
de
mayo
de
2016
de:
https://cnsresteli.files.wordpress.com/2011/03/analisis-videos-euleriano-y-hamiltoniano-i-o2.pdf
Algoritmo
de
Dijkstra.
Recuperado
el
23
de
mayo
de
2016
de:
http://www.ecured.cu/Algoritmo_de_Dijkstra
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