Tarea 2. Redes de Optimización

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Redes de optimización, un enfoque aplicado.

Diana Angélica Martínez Hernández Alberto Isaac Pico Lara

25-4-2017

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Tabla de contenido Presentación ............................................................................................................................................... 2 Nota Editorial .............................................................................................................................................. 4 Tipos de problemas a las redes de optimización .......................................................................................... 5 Ruta más corta ............................................................................................................................................ 6 Árbol de peso mínimo ........................................................................................................................................ 7 Kruskal ................................................................................................................................................................. 8 Prim ..................................................................................................................................................................... 9 Ruta más corta entre dos nodos ....................................................................................................................... 10 Dijkstra............................................................................................................................................................... 10 Ruta más segura ................................................................................................................................................ 11 Arborescencia de ruta más corta con cualquier costo...................................................................................... 12 Dijkstra generalizado ......................................................................................................................................... 12 Ruta más corta entre todo par de nodo............................................................................................................ 13 Floyd .................................................................................................................................................................. 13 Flujo Máximo .............................................................................................................................................15 Corte .................................................................................................................................................................. 17 Modelo de programación lineal ....................................................................................................................... 17 Ford- Fulkerson.................................................................................................................................................. 18 Flujo a costo mínimo ..................................................................................................................................24 Modelo de programación lineal ........................................................................................................................ 25 Red marginal...................................................................................................................................................... 28 Eliminación de circuitos..................................................................................................................................... 31 Simplex para redes ............................................................................................................................................ 31 Redes de actividad......................................................................................................................................32 Representación en red ...................................................................................................................................... 36 Método de la ruta crítica (Regresión hacia delante)......................................................................................... 37 Método de la ruta crítica (Regresión hacia atrás) ............................................................................................. 37 Apéndice A. Si de métodos hablamos .........................................................................................................42 Apéndice B. Tabla de distribución normal ...................................................................................................43 Referencias ................................................................................................................................................44

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Presentación:

una introducción a las redes de optimización.

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones que se aplican a una extensa variedad de problemas de decisión, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimización que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de decisión son realmente problemas físicos, tales como el transporte, flujo de bienes materiales, las hay eléctricas, de transporte, de suministros, etc. Encontramos redes predominando en la vida diaria. La representación de redes es utilizada ampliamente en muchas actividades y áreas como producción, distribución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y hasta planeación financiera, sólo por mencionar algunas. Sin embargo, muchos problemas de redes son más que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto. De hecho, la representación como red del modelo de un sistema proporciona un panorama general y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes de éste. Así podemos usar redes de optimización en todas las áreas de actividad humana: científica, social, económica y mucho más. ¡Qué interesantes y útiles son las redes de optimización! ¿Verdad? Para hacer de ésta introducción de mayor utilidad, se enlistaron a continuación algunos conceptos claves en cuanto a redes de optimización se refiere. Red: Conjunto de puntos y líneas que unen a unos puntos con otros. Nodo: También llamado punto o vértice es el elemento representado del sistema en la red, un almacén, un instante en el tiempo, etc. Arco: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. Representan las relaciones entre los elementos del sistema. Arco dirigido: Si el flujo en el sistema sólo se permite en un sentido, la dirección de éste se verá reflejada añadiendo una flecha en la punta del arco en el nodo al que llega el flujo. Arco no dirigido: Si el flujo en el sistema puede tomar cualquier dirección, se representa el arco únicamente como una línea. Red dirigida: Una red en la que todos sus arcos son arcos dirigidos. Red no dirigida: Una red en la que todos sus arcos son arcos no dirigidos. Trayectoria: Sucesión de arcos distintos que conectan nodos. Ciclo: Trayectoria que termina en el mismo nodo en donde se originó. Red conexa: Red en la que cada par de nodos está conectado. Árbol: Red conexa que no contiene ciclos con n – 1 aristas. Árbol de expansión: Red conexa para los n nodos que contiene y sin ciclos. Arborescencia: Es un árbol con dirección y que tiene una raíz con un camino hacia cualquier nodo en la red.

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Capacidad de un arco: Cantidad máxima de flujo que puede pasar a través de un arco dirigido. Nodo origen: El flujo sale de éste nodo. Nodo destino: El flujo llega hacia éste nodo. Nodo transbordo: Satisface la conservación del flujo, el flujo que entra es igual al flujo que sale.

I LUSTRACIÓN 1 E JEMPLO DE RED DIRIGIDA

De la guerra a la vida cotidiana… El término Investigación de Operaciones se utiliza por primera vez en el año 1939 durante la 2da Guerra Mundial, específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea, ante la incorporación de un nuevo radar, en oportunidad de los ataques alemanes a Gran Bretaña. Los primeros desarrollos de esta disciplina (IO) se refirieron a problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargas de trabajo, planificación y asignación de recursos en el ámbito militar en sus inicios, diversificándose luego, y extendiéndose finalmente a organizaciones industriales, académicas y gubernamentales.

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Nota

editorial.

Por Alberto Pico Lara: La investigación de operaciones, con los métodos que ésta disciplina ha creado, es de suma utilidad en todos los campos de la actividad humana. En especial las redes de optimización son una poderosa herramienta conceptual y visual que puede contribuir a mejorar los procesos industriales, optimizar los procesos científicos y ayudar en la creación y gestión de proyectos. Así como brindar información útil sobre distintas situaciones de la vida cotidiana como son saber qué ruta de una red de transporte tomar para llegar en un menor tiempo, programarse un horario para cumplir con todas las tareas asignadas en el quehacer diario, etc. En mi opinión, es una rama sumamente importante de las matemáticas que, con conceptos realmente sencillos del álgebra lineal y de la teoría de gráficas, puede ser una de las herramientas más poderosas en el mundo de los negocios, del desarrollo de software y de cualquier aplicación que pueda ir surgiendo conforme la marcha.

Acerca del autor Estudiante del sexto semestre de la carrera en Matemáticas Aplicadas y Computación en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán de la Universidad Nacional Autónoma de México. Entusiasta en la computación y en los temas en cuanto a historia universal se refiere (por lo que cobra aún más interés el hecho de que IDO haya surgido como una técnica militar).

En el ámbito de las matemáticas aplicadas, tiene una importancia cuanto menos de suma trascendencia ya que está en contacto directo con el universo del problema y es el canal de comunicación entre dicho universo y el universo de las matemáticas puras; siendo así el puente en el que las matemáticas pasan de lo demostrativo a lo aplicativo con el surgimiento de las distintas necesidades de la vida. Acerca del autor Actualmente estudiante de sexto semestre de la carrera en Matemáticas Aplicadas y Computación en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán de la Universidad Nacional Autónoma de México. Nacida en la Ciudad de México y egresada de ENP 8 “Miguel E. Schulz”. Interesada en conocimientos matemáticos aplicados.

Por Diana Angélica Martínez Hernández: En esencia la programación lineal provee de métodos y formas de análisis de eficiencia y eficacia en cierto proceso o situación, esto es lograr el objetivo según lo planeado haciendo un uso adecuado y racional de los recursos y variables que intervienen. En algunos problemas de optimización puede ser útil representar el problema a través de una gráfica: ruteo de vehículos, distribución de producto, programa de actividades en un proyecto, redes de comunicación, etc. Los problemas de transporte, transbordo, camino más corto, flujo máximo, red de proyectos por mencionar algunos son casos especiales del modelo. que nos llevan a un problema real el cual podemos modelar por medio de redes. Por tanto, el objetivo de este artículo es demostrar la importancia de la investigación de operaciones, mencionando los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución óptima al problema.

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Tipos de problemas inherentes a las Tipo de redes de optimización Ruta

problema

más

corta

En ésta sección se muestran los problemas más comunes en donde se hace uso de redes de optimización.

Flujo máximo

Características

•Sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. •El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino. •Encontrar la cantidad máxima de flujo que puede circular desde s hasta t.

Planteamientos

Métodos de solución

•Árbol de peso mínimo

•Prim, Kruskal

•Entre dos nodos específicos

• Ciclos negativos, algoritmo de Dijkstra, Dijkstra generalizado, Floyd, M Grande, Dos fases

•Entre todo par de nodos •El problema de transbordo como problema de ruta más corta •Modelo de programación lineal

• Algoritmo de Floyd

•Ford y Fulkerson •Corte •Flujo mínimo

Flujo a costo mínimo

•El objetivo es minimizar el costo total de enviar los orígenes de los destinos considerando las capacidades de los arcos. •Su solución es muy eficiente.

•Planeación de producción con transporte. •Planeación de producción con horizonte.

•Eliminación de Circuitos Negativos (no acepta requerimientos Mínimos) •Método Basado en Rutas más cortas

•Contratación de personal.

•Método Simplex

•El método se ha usado para la planeación y control de diversas actividades que corresponden a un proyecto.

•CMP

•La red con las que se suele trabajar tienen suficientes capacidades y flujo para cubrirla oferta y demanda de los nodos iniciales y terminales.

Redes de actividad

•El costo es por unidad de flujo. •Se llama red la representación gráfica de las actividades que muestran sus eventos, secuencias, interrelaciones y el camino crítico. •Cada una de las actividades se representa por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.

•PERT

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Ruta más corta En estos planteamientos, se supone que cada arco de la red tiene una longitud asociada a él. Supongamos entonces que se empieza en un nodo particular (digamos el 1). El problema de encontrar la trayectoria más corta del nodo 1 a cualquier otro nodo en la red es un problema de ruta más corta.

¿Sabías qué… Prácticamente todos los métodos de solución para éste tipo de planteamientos son tan contemporáneos como que son de la segunda mitad del siglo pasado, ¿a diferencia de la gran mayoría de métodos analíticos de las matemáticas que tienen siglos de antigüedad?

Árbol de peso mínimo

Suponga un lago donde hay n islas denotadas por 1, 2, …, n. Y se desea construir puentes para comunicarlas; la construcción del puente ij cuentas Cij rublos. El problema cosiste en determinar en dónde construir los puentes de manera que cada par de islas quede conectado y el costo sea el mínimo. Sea G = [X, A] una gráfica no dirigida donde X = número de islas y A = puentes. El costo Cij será el de cada elemento A. La solución a éste problema será una gráfica parcial de G donde T=[X,A´] con el mismo conjunto de nodos y con menos arcos. Ésta nueva gráfica deberá cumplir con: 1. 2. 3. 4. 5.

No dirigida n – 1 aristas Es conexa No tiene ciclos No tiene bucles ni líneas paralelas

El peso será la suma de los costos asociados a los arcos. I LUSTRACIÓN 2 E JEMPLO DE UN ÁRBOL DE PESO MÍNIMO

Para el propósito de solucionar éste problema se tienen dos opciones -

Kruskal: 1. Ordenar las aristas de menos a mayor peso 2. Seleccionar la arista de menos peso sin generar ciclos 3. Se detiene cuando se tienen n – 1 aristas

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Kruskal (G) E(1)=0, E(2)= todos los Arcos del grafo G Mientras E(1) contenga menos de n-1 arcos y E(2)=0 do De los arcos de E(2) seleccionar el de menor coste -->e(ij) E(2)= E(2) - {e(ij)} Si V(i), V(j) no están en el mismo árbol entonces juntar los árboles de V(i) y de V(j) en uno sólo end Si end do Fin del algoritmo

¡El

algoritmo

de

Kruskal

siempre trabaja en función de las aristas!

Pseudo código del algoritmo de Kruskal. Y… ¿Quién lo hizo? Joseph B. Kruskal investigador del Math Center (Bell-Labs), que en 1956 descubrió su algoritmo para la resolución del problema del Árbol de coste total mínimo (minimum spanning tree - MST) también llamado árbol recubridor euclídeo mínimo.

Solución…

I LUSTRACIÓN 3 RED INICIAL G

4 NO SE REQUIERE DE LA SELECCIÓN DE NINGÚN NODO PARA LA EJECUCIÓN DEL ALGORITMO , LA REPRESENTACIÓN DEL RESULTADO SERÁ LA SIGUIENTE . D ONDE SE MUESTRA QUE EL ÁRBOL DE COSTE MÍNIMO PARA ESTE EJEMPLO TIENE UN COSTE TOTAL DE 37 UNIDADES . -

Prim: 1. Se inicia en cualquier nodo

9 2. 3.

Seleccionar la arista de menos costo adyacente al nodo Se busca la arista de menos costo de los nodos ya analizados adyacentes que no generen ciclos

Prim ( L [1..n , 1..n ]) : 'conjunto de arcos 'Inicialización: sólo el nodo 1 se encuentra en B

¡El algoritmo de PRIM siempre trabaja en función de los nodos!

T =NULL 'T contendrá los arcos del árbol de extensión mínima Distmin[1]=-1 para i=2 hasta n hacer más_próximo [ i ]=1 distmin [ i ]=L [ i , 1]

Solución…

para i=1 hasta n -1 hacer min=infinito para j=2 hasta n hacer si 0 <= distmin [ j ] < min entonces min=distmin [ j ] k=j T=T union {{mas_próximo [ k ], k }} distmin [ k ]= -1 'se añade k a B para j=2 hasta n hacer si L [ j , k ] < distmin [ j ] entonces distmin [ j ]=L [ j , k ] más_próximo [ j ]=k

I LUSTRACIÓN 5 SOLUCIÓN MEDIANTE EL ALGORITMO DE PRIM

devolver T

Pseudocódigo del algoritmo de Prim

Y… ¿Quién lo hizo? Robert Prim en 1957 descubrió un algoritmo para la resolución del problema del Árbol de coste total mínimo (minimum spanning tree - MST). Este problema es un problema típico de optimización combinatoria, que fue considerado originalmente por Otakar Boruvka en 1926 mientras estudiaba la necesidad de electrificación rural en el sur de Moravia en Checoslovaquia. Este problema también fue resuelto por Joseph B. Kruskal en 1956.

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Ruta más corta entre dos nodos Considere la situación: En una terminal de camiones se desea establecer la ruta que deberá seguir el autobús de la ciudad A a la ciudad B de manera que la distancia recorrida sea mínima. R = [x, A, d]

Donde R es una red dirigida y:

X = nodos(ciudades) A = aristas (carreteras)

La longitud de una ruta es la suma de las distancias, la mínima

D = distancia de cada arista

es la ruta más corta.

Para dar solución a éste problema, se utiliza el algoritmo de Dijkstra (etiquetas), el principal problema al que se enfrenta éste algoritmo es que no funciona si la red tiene costos negativos en sus arcos. Sirve para encontrar la arborescencia de ruta más corta y la ruta más corta entre dos nodos específicos

Y… ¿Quién lo hizo? Edsger Wybe Dijkstra nació en Rotterdam, (Holanda) en 1930. Sus padres eran ambos intelectuales y él recibió una excelente educación. Su padre era químico y su madre matemática. En 1942, cuando Dijkstra tenía 12 años, entró en Gymnasium Erasminium, una escuela para estudiantes especialmente brillantes, donde dio clases, fundamentalmente, de Griego, Latín, Francés, Alemán, Inglés, biología, matemáticas y química.

Dijkstra (G,s) Inicializar for cada v perteneciente a V[G] do d[v] = infinito p[v] = nulo d[s] = 0 S = vacio Q = V[G] mientras Q no vacio do u = nodo v con min d[v] S = S unión u 'se añade al conjunto de nodos finalizados for cada v perteneciente Adyacente u Relajación if d[v] > d[u] + w(u,v) then d[v] = d[u] + w(u,v) p(v) = u

Pseudocódigo del algoritmo de Dijkstra

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Ejemplo:

Modelo de red:

I LUSTRACIÓN 6 AQUÍ LA RED REPRESENTA LAS RUTAS CON SUS RESPECTIVAS PROBABILIDADES (MOSTRADAS EN PORCENTAJE )

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Solución

Al tratarse de probabilidades y siendo los eventos, eventos independientes, las probabilidades se multiplican en vez de sumarse (caso especial) dando como resultado que la ruta más corta es de 0 -> 2 -> 4 -> 6 con una probabilidad de 65.75% de no ser atrapado.

Arborescencia de ruta más corta con cualquier costo Una arborescencia es un árbol con dirección que tiene una raíz, siendo ésta el nodo inicial, de éste nodo al resto existe un camino a cualquier nodo en la red. Suponga que en la terminal de autobuses se busca mejorar el servicio de la ciudad S al resto de las ciudades, por tanto, se busca una arborescencia de rutas más cortas de la raíz S. Para éste fin utilizaremos el método de Dijkstra generalizado que se explica a continuación.

¿Sabías qué… Este método es ampliamente utilizado por las compañías proveedoras de internet para diseñar determinar el diseño que debe seguir su infraestructura?

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Ruta más corta entre todo par de nodos Una manera para resolver el problema de rutas más cortas entre todo par de nodos en una red conectada sería encontrar la arborescencia de rutas más cortas para la raíz X para todo el conjunto de nodos. Si la red tuviera n nodos, se tendría que aplicar el método generalizado de Dijkstra n veces. Empero, existe un algoritmo bastante potente el cual es capaz de encontrar la ruta más corta entre todo par de nodos en una sola ejecución. La ejecución de éste algoritmo puede servir para resolver el mismo tipo de problemas que los dos métodos anteriormente planteados

Floyd-Warshall (G) Inicializar D = A ' matriz de distancias = matriz de arcos si i=j o Dij= infinito entonces Pi,j = nulo sino Pi,j=i 'matriz de caminos for k = 1 to V for i = 1 to V for j = 1 to V Di,j = min(Di,j , Di,k + Dk,j ) si min = Di,k + Dk,j entonces Pi,j = Pk,j Fin Pseudocódigo del algoritmo de Floyd-Warshall

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Existen varias soluciones a este problema y los algoritmos a aplicar dependen también de la existencia de arcos con pesos o costes negativos en el grafo. En el caso de no existir pesos negativos, sería posible ejecutar V veces el algoritmo de Dijkstra para el cálculo del camino mínimo, donde V es el número de vértices o nodos del grafo. Esto conllevaría un tiempo de ejecución de O(V^3) (aunque se puede reducir). Si existen arcos con pesos negativos, se puede ejecutar también V veces el Algoritmo de Bellman-Ford, una vez para cada nodo del grafo. Para grafos densos (con muchas conexiones o arcos) esto conllevaría un tiempo de ejecución de O(V^4).

El algoritmo de Floyd-Warshall ('All-Pairs-Shortest-Path' - Todos los caminos mínimos) ideado por Floyd en 1962 basándose en un teorema de Warshall también de 1962, usa la metodología de Programación Dinámica para resolver el problema. Éste puede resolver el problema con pesos negativos y tiempos de ejecución iguales a O(V^33); sin embargo, para ciclos de peso negativo el algoritmo tiene problemas.

I LUSTRACIÓN 7RESOLVIENDO LA RED CON UN SOFTWARE SE OBTIENEN LOS SIGUIENTES RESULTADOS , DANDO TODAS LAS POSIBLES RUTAS MÁS CORTAS EN UNA SOLA EJECUCIÓN

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Flujo Máximo

En los problemas de flujo en redes, las aristas representan canales por los que puede circular cierta cosa: datos, agua, coches, corriente eléctrica, etc. Los pesos de las aristas representan la capacidad máxima de un canal: velocidad de una conexión, volumen máximo de agua, cantidad máxima de tráfico, voltaje de una línea eléctrica, etc.; aunque es posible que la cantidad real de flujo sea menor.

Un problema de flujo máximo se describe:

El problema del flujo máximo consiste en lo siguiente: dado un grafo dirigido con pesos, G = (V, A, W), que representa las capacidades máximas de los canales, un nodo de inicio s y otro de fin t en V, encontrar la cantidad máxima de flujo que puede circular desde s hasta t. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de problema y la solución. El grafo de la izquierda, G, representa las capacidades máximas; sería la entrada del problema. El grafo de la derecha, F, representado con líneas discontinuas, indica los flujos reales; es una posible solución para el problema.

1.

La solución del problema debe cumplir las siguientes propiedades:

4.

 La suma de los pesos de las aristas que salen de s debe ser igual a la suma de las aristas que llegan a t. Esta cantidad es el flujo total entre s y t.  Para cualquier nodo distinto de s y de t, la suma de las aristas que llegan al nodo debe ser igual a la suma de las aristas que salen al mismo.  Los pesos de las aristas en F no pueden superar los pesos máximos indicados en G.  El flujo es siempre positivo y con unidades enteras.  El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad. Es decir, si CG(a, b) es el peso de la arista <a, b> de G y CF (a, b) es el peso de la misma arista en F, entonces CF (a, b) ≤ CG(a, b).

2. 3.

Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo llamado “Fuente” y termina en otro llamado “Destino”. Los demás nodos se llaman nodos de paso o trasbordo. Se permite el flujo a través de un marco sólo en la dirección indicada por la flecha. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo que va del nodo Fuente al nodo Destino.

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En el caso de que el origen o el destino no existan en el problema, se aĂąaden ficticiamente utilizando arcos unidireccionales de capacidad infinita, como en grafo mostrado a continuaciĂłn:

Corte: Un corte define una serie de arcos cuya supresión de la red causa una interrupción completa del flujo entre el origen y el destino. La capacidad de corte es igual a la suma de las capacidades de los arcos asociados. Entre todos los cortes posibles en la red, el corte con la menor capacidad proporciona el flujo måximo en la red. El siguiente grafo ilustra 3 cortes: el Corte 1 con capacidad 60, el Corte 2 con capacidad 110 y el Corte 3 con capacidad 70. Todo lo que podemos obtener de los 3 cortes es que el flujo måximo en la red no excede de 60 unidades. No podemos saber cuål es el flujo måximo hasta que se hayan enumerado todos los cortes en la red: Las capacidades se identifican como sigue: por ejemplo, para el arco (3,4), el límite de flujo es de 10 unidades de 3 a 4 y de 5 unidades de 4 a 3. ¿Sabías quÊ‌ El uso de esta aplicación es mås de común de lo que parece? Este tipo de aplicación se aplica para maximizar cualquier flujo; ya sea desde el flujo de petróleo en un sistema de tuberías hasta el flujo de gente en redes de transporte.

Planteamiento‌ EL modelo de programación lineal es el siguiente:

Max v= ∑∀đ?‘— đ?‘‹đ?‘ đ?‘—

Equidad de flujo

FunciĂłn Objetivo

−đ?‘‰ đ?‘— = đ?‘ đ?‘›đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘— ≠đ?‘ đ?‘›đ?‘œđ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘œđ?‘ ∑∀đ?‘– đ?‘‹đ?‘–đ?‘— - ∑∀đ?‘˜ đ?‘‹đ?‘—đ?‘˜ = {0 đ?‘‰ đ?‘— = đ?‘Ą đ?‘›đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™

0≤ lij ≤ Xij ≤ Οij

Requerimiento mĂ­nimo

Capacidad mĂĄxima

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¿Sabías qué… Algunas aplicaciones son:  Distribución de ciertos fabricantes a sus clientes  Flujo de petróleo en un sistema de tuberías  Flujo de agua en un sistema de ductos  Flujo de autos en una red de transporte

La red se define como dirigida y conexa. Con un nodo inicial y un nodo terminal. V es la variable: R[x, A, lij, M, 0] x: Conjunto de Nodos. A: Conjunto de Arcos lij: Requerimientos Mínimos.

μ: Capacidades Máximas. Con un costo de Cero. Se origina en un nodo llamado fuente (oferta) y termina en un nodo llamado destino (demanda), los demás nodos son de transbordo. El objetivo es maximizar la cantidad de flujo total que debe de ir de destino a final. En este tipo de problema, lo podemos dividir en dos grandes clasificaciones:  Modelo clásico (pasar la mayor cantidad de un bien de un punto a otro)  Casamentero (el objetivo es que se encuentre el mayor número de parejas).

Algoritmo de Ford-Fulkerson El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo. La idea es encontrar una ruta de penetración con un flujo positivo neto que una los nodos origen y destino. Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el nodo i y el nodo j como Cij y Cji. Estas capacidades iniciales irán variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos capacidades residuales a las capacidades restantes del arco una vez pasa algún flujo por él, las representaremos como cij y cji. Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una clasificación [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j. Los pasos del algoritmo se definen como sigue: Paso 1: Inicializamos las capacidades residuales a las capacidades iniciales, hacemos (cij,cji)=(Cij,Cji) para todo arco de la red. Suponiendo el nodo 1 como el nodo origen, hacemos a1=∞ y clasificamos el nodo origen con [∞,-]. Tomamos i=1 y vamos al paso 2. Paso 2: Determinamos Si como un conjunto que contendrá los nodos a los que podemos acceder directamente desde i por medio de un arco con capacidad positiva, y que no formen parte del camino en curso. Si Si contiene algún nodo vamos al paso 3, en el caso de que el conjunto sea vacío saltamos al paso 4. Paso 3: Obtenemos kЄSi como el nodo destino del arco de mayor capacidad que salga de i hacia un nodo perteneciente a Si. Es decir, cik = max{cij} con jЄSi. Hacemos ak=cik y clasificamos el nodo k con [ak,i]. Si k es igual al nodo destino o sumidero, entonces hemos encontrado una ruta de penetración, vamos al paso 5. En caso contrario continuamos con el camino, hacemos i=k y volvemos al paso 2.

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Paso 4 (retroceso): Si i=1, estamos en el nodo origen, y como Si es vacío, entonces no podemos acceder a ningún nodo, ni encontrar algún nuevo camino, hemos terminado, vamos al paso 6. En caso contrario, i≠1, le damos al valor i el del nodo que se ha clasificado inmediatamente antes, eliminamos i del conjunto Si actual y volvemos al paso 2. Paso 5: Llegados a este paso tenemos un nuevo camino: Np={1,k1,k2,…,n}, esta será la p-ésima ruta de penetración desde el nodo origen al nodo destino. El flujo máximo a lo largo de esta ruta será la capacidad mínima de las capacidades residuales de los arcos que forman el camino, es decir: fp=min{a1,ak1,ak2,…,an}. La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de penetración se disminuye por fp en dirección del flujo y se incrementa por fp en dirección inversa, es decir, para los nodos i y j en la ruta, el flujo residual se cambia de la (cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp) si el flujo es de i a j, o (cij+fp,cji-fp) si el flujo es de j a i Inicializamos i=1 y volvemos al paso 2 para intentar una nueva ruta de penetración. Paso 6 (solución): Una vez aquí, hemos determinado m rutas de penetración. El flujo máximo en la red será la suma de los flujos máximos en cada ruta obtenida, es decir: F=f1+f2+…+fm. Teniendo en cuenta que las capacidades residuales inicial y final del arco (i, j) las dan (Cij,Cji) y (cij,cji) respectivamente, el flujo máximo para cada arco se calcula como sigue: sea (α, β)=(Cij-cij, Cji-cji), si α>0, el flujo óptimo de i a j es α, de lo contrario, si β>0, el flujo óptimo de j a i es β. Es imposible lograr que tanto α como β sean positivas.

Ejemplo…

Iteración 1:

Determinar el flujo máximo en la red siguiente:

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Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades iniciales (Cij,Cji).      

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío). Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30. Hacemos a3=c13=30 y clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3={4,5} Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,3]. Logramos la penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones empezando en el nodo 5 y terminando en el nodo 1, es decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.

Entonces la ruta es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: (c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20) (c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20) Iteración 2:

         

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20. Clasificamos el nodo 2 con [20,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3 con [40,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2 cumple ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser incluidos en S3). Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2. Paso 2: S4={5} Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4]. Logramos la penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son:

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(c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10) (c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10) (c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15) (c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)

Delbert Ray Fulkerson

Iteración 3:

  

   

  

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={2,3,4}. Paso 3: k=2 y a2=c12=max{10,10,10}=10, rompemos el empate arbitrariamente. Clasificamos el nodo 2 con [10,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,30}=30. Clasificamos el nodo 3 con [30,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3 vacío ya que c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder. Paso 4: La clasificación [30,2] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 2. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2. Paso 2: S2={5} Paso 3: k=5 y a5=c25=30. Clasificamos el nodo 5 con [30,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[30,2]→2→[10,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,2,5} y f3=min{∞,10,30}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: (c12,c21)=(10-10, 10+10)=(0,20) (c25,c52)=(30-10, 0+10)=(20,10)

Delbert Ray Fulkerson (*14 de agosto de 1924 - †10 de enero de 1976) fue un matemático estadounidense que desarrolló como co-autor, y junto con Lester Randolph Ford, Jr., el Algoritmo de FordFulkerson, uno de los algoritmos más utilizados para computar el flujo máximo en una red de flujo. Fulkerson recibió su Ph.D. en la Universidad de Wisconsin-Madison en 1951. En 1956, su importante artículo científico fue publicado.1 Desde 1979, la Sociedad de Programación Matemática (MPS) y la American Mathematical Society (AMS) otorgan cada tres años el Premio Fulkerson, para aquellos matemáticos que hayan creado artículos importantes en el área de la matemática discreta.

22

Iteración 4:

Lester Randolph Ford Jr. Nació el 23 de septiembre de 1927. L. R. Ford Sr es elogiado por su ejemplar trabajo en matemáticas al inventar una interpretación geométrica absolutamente maravillosa de la serie de Farey. También le acredita su trabajo ‘Pointwise Discontinuous Functions’ que era la base de su trabajo para un grado de M.S. del departamento de matemáticas en la universidad de Missouri-Colombia en 1912. Tal fue su contribución a las matemáticas, que en 1964 se estableció el Lester R. Ford Award para reconocer la contribución a las matemáticas de excelentes autores matemáticos publicados en The American Mathematical Monthly o Mathematics Magazine. Fue redactor de American Mathematical Monthly, de 1942-1946, y el presidente de Mathematical Association of America, 1947-1948. Ford Sr. y Ford Jr. son coautores de Automorphic Functions.

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1.  Paso 2: S1={3,4}.  Paso 3: k=3 y a3=c13=max{10,10}=10. Clasificamos el nodo 3 con [10,1]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.  Paso 2: S3={2}  Paso 3: k=2 y a2=c32=10. Clasificamos el nodo 2 con [10,3]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.  Paso 2: S2={5}  Paso 3: k=5 y a5=c25=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,2]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.  Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[20,2]→2→[10,3]→3→[10,1]→1. Entonces la ruta es N4={1,3,2,5} y f4=min{∞,10,10,20}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: (c13,c31)=(10-10, 20+10)=(0,30) (c32,c23)=(10-10, 30+10)=(0,40) (c25,c52)=(20-10, 10+10)=(10,20) Iteración 5:

23          

Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-]. Tomamos i=1. Paso 2: S1={4}. Paso 3: k=4 y a4=c14=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,1]. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2. Paso 2: S4={3,5} Paso 3: k=3 y a3=c23=max{15,10}=15. Clasificamos el nodo 3 con [15,4]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2. Paso 2: S3 vacío ya que c32=c34=c35=0. Vamos al paso 4 para retroceder. Paso 4: La clasificación [15,4] nos dice que el nodo inmediatamente precedente es el 4. Eliminamos el nodo 3 de una consideración posterior en esta iteración. Tomamos i=4 y repetimos el paso 2. Paso 2: S4={5} Paso 3: k=5 y a5=c45=10. Clasificamos el nodo 5 con [10,4]. Logramos la penetración, vamos al paso 5. Paso 5: La ruta de la penetración es: 5→[10,4]→4→[10,1]→1.

Entonces la ruta es N2={1,4,5} y f3=min{∞,10,10}=10. Las capacidades residuales a lo largo de esta ruta son: (c14,c41)=(10-10, 0+10)=(0,10) (c45,c54)=(10-10, 10+10)=(0,20) Iteración 6:

No son posibles más penetraciones, debido a que todos los arcos fuera del nodo 1 tienen residuales cero. Vayamos al paso 6 para determinar la solución. 

Paso 6: El flujo máximo en la red es F=f1+f2+…+f5=60 unidades. El flujo en los diferentes arcos se calcula restando las últimas residuales obtenidas en la última iteración de las capacidades iniciales:

24

25

Flujo A Costo MĂ­nimo Dada una red R[X, A, lij, Îźij, Cij] el problema de flujo a costo mĂ­nimo tiene una posiciĂłn medular entre los problemas de optimizaciĂłn de redes; primero, porque abarca una clase muy amplia de aplicaciones y segundo, porque su soluciĂłn es en extremo eficiente. Igual que el problema del flujo mĂĄximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta mĂĄs corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a travĂŠs de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignaciĂłn, puede manejar varios orĂ­genes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mĂ­nimo. A continuaciĂłn, se describe el problema del flujo de costo mĂ­nimo:

  

 La red es una red dirigida conexa.  Al menos uno de los nodos es nodo fuente.  Al menos uno de los nodos es nodo demanda.  El resto de los nodos son nodos de trasbordo.  Se permite el flujo a travÊs de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad måxima de flujo estå dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.) La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. El costo del flujo a travÊs del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a travÊs de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío).

Con este modelo es posible plantear un problema de transporte, de transbordo, de flujo måximo y de camino mås corto. Los mÊtodos de Solución para un problema de Flujo a Costo Mínimo son:   

EliminaciĂłn de Circuitos Negativos (no acepta requerimientos MĂ­nimos) MĂŠtodo Basado en Rutas mĂĄs cortas MĂŠtodo Simplex

El modelo de programaciĂłn lineal Min z = ∑∀đ?‘– ∑∀đ?‘— đ??śđ?‘–đ?‘— đ?‘‹đ?‘–đ?‘—

Equidad de flujo

−đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘— = đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ ∑∀đ?‘– đ?‘‹đ?‘–đ?‘—- ∑∀đ?‘˜ đ?‘‹đ?‘—đ?‘˜ = {0 đ?‘ đ?‘– đ?‘— = đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ?‘— = đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™

FunciĂłn Objetivo

26

Acerca del Modelo de Programación Lineal… •Es un modelo entero puro. •Siempre se va a minimizar. •Las variables representan unidades a transportar. •Tiene dos conjuntos de restricciones: ᴑEquidad de flujo. ᴑCapacidad de arcos.

lij ≤ Xij ≤ μij

Capacidades de los nodos

LA RED Es una red que es conexa con varios nodos iniciales, varios nodos terminales, y con un valor de V dado. Una red del tipo R:[x, A, L, μ, c] Muy importante...

Donde:

Una condición necesaria para que el modelo tenga solución factible es que:

x: Conjunto de nodos. A: Conjunto de Arcos.

∑ bi=0, es decir, que el flujo total generado en los nodos origen sea igual al flujo total absorbido por los nodos destino.

L: Requerimientos Mínimos. M: Capacidades Máximas. c: Costos

Como se puede ver este problema engloba todos los aspectos, por lo que se dice que las redes anteriores son casos particulares de este problema. Cuando esta condición no se cumple (problemas de transporte no balanceado en los que la oferta es diferente a la demanda) se generan nodos ficticios que generen o que absorban flujo. Los costos asociados a los arcos que parten o llegan a estos nodos es cero.

Ejemplo…

GrainCo abastece de maíz a tres granjas avícolas desde tres silos. Las cantidades de oferta en los tres silos son 100, 200 y 50 mil bushels(1 bushel = 35.23 litros). GrainCo usa principalmente ferrocarril para transportar su maíz a las granjas, a excepción de tres rutas, en las que se usan camiones. La siguiente figura muestra las rutas disponibles entre los silos y las granjas. Los silos se representan con los nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de suministro son [100], [200] y [50], respectivamente. Las granjas se representan con los nodos 4, 5 y 6, cuyas demandas son [-150], [-80] y [-120], respectivamente. Las rutas permiten transbordos entre los silos. Los arcos (1,4), (3,4) y (4,6) son de camiones, con capacidades mínimas y máximas. Por ejemplo, la capacidad de la ruta (1,4) es de 50 a 80 mil bushels y costo de $1. Los costos de transporte, por bushel, se indican en sus arcos respectivos. (Capacidad mínima, Capacidad máxima, Costo).

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SOLUCIÓN: Se plantea Modelo de Programación Lineal

INTERPRETACIÓN: Por el arco (1,3) pasaran 50 mil bushels con un costo de $4 Por el arco (1,4) pasaran 50 mil bushels con un costo de $1 Por el arco (2,4) pasaran 150 mil bushels con un costo de $1 Por el arco (2,5) pasaran 50 mil bushels con un costo de $6 Por el arco (3,4) pasaran 70 mil bushels con un costo de $1 Por el arco (3,5) pasaran 30 mil bushels con un costo de $2 Por el arco (4,6) pasaran 120 mil bushels con un costo de $2 Con un costo total mínimo de $1,070.00

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RED MARGINAL O INCREMENTAL Llamamos Red residual a aquella red formada a partir de A, con el mismo conjunto de nodos que ésta, y dado cada arco dirigido (i,j)que pertenecen a la red original, que no tiene arco en la dirección opuesta, tal que se mencionan a continuación. Sea R[x, A, M, C] una red dirigida y sea f un flujo factible en R. La red marginal, incremental o residual de R con respecto al flujo f es R’(f)= [x, A, uA2, M’, C’ ] donde: A1= {(i,j) ϵ A / fij < Mij } A2= {(j,i) / (i,j) ϵ A y fij > 0} donde M son capacidades M’ij = Mij - fij ∀ i,j ϵ A1 M’ji = fij ∀ j,i ϵ A2

ALGUNAS DEFINICIONES Camino incremental: se denomina camino incremental a todo camino dirigido desde el nodo fuente al nodo destino en la red incremental.

Cuello de botella: se le llama así a la menor capacidad residual de los arcos del camino incrementa.

Arco saturado: Se dice que un arco está saturado cuando llega a su capacidad máxima de flujo.

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Un ejemplo más…

30

31

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE CIRCUITOS Determina la distribución de flujo a costo mínimo de valor v en una red que tiene un conjunto de nodos, uno de arcos, capacidades y costos. Consta de los siguientes pasos: 1. Determinar un flujo factible f de valor v mediante el algoritmo de Ford y Fulkerson. 2. Construir la red marginal con respecto a f de R(f). 3. Mediante algún algoritmo de ruta más corta identificar algún circuito negativo. Si no existe circuito negativo, terminal, la distribución actual es la óptima. En otro caso: Sea C el conjunto de arcos que formen el circuito negativo, ir al siguiente paso. 4. Sea d = min {u′ij} donde (i,j)∈C Para (i,j) ∈ A tal que (i,j) ∈ A1 ∩ C: fij = fij + d Para (i,j) ∈ A tal que (j, i) ∈ A2 ∩ C: fij = fij − d Ir al paso 2.

MÉTODO SIMPLEX PARA REDES Consta de los siguientes pasos: 1. Determinar un flujo factible f de costo mínimo de valor v en R (f=0 la primera vez) 2. Construir la red marginal con respecto a R(f) 3. Determinar la ruta más corta p* desde s hasta t en la red marginal. 4. Sea d = min {uij ́} (i,j)ε p∗ I. II. III.

Si el valor del flujo f+d < v actualizar f = f+d e ir al paso 2 Si el valor de f+d = v actualizar y terminar Si f+d > v actualizar: d1 = v − f f=f+d

Y terminar.

George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un profesor, físico y matemático estadounidense, reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Un hecho real en la vida de Dantzig dio origen a una famosa leyenda en 1939, cuando era un estudiante en Berkeley. Al comienzo de una clase a la que Dantzig acudía con retraso, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos aún no resueltos. Al llegar Dantzig a clase, pensó que los dos problemas eran tarea para casa y los anotó en su cuaderno. De acuerdo con Dantzig, los problemas "le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal", pero unos pocos días después obtuvo soluciones completas para ambos, aún creyendo que estos eran tareas que debía entregar. Seis semanas después, Dantzig recibió la visita de un excitado profesor Neyman, quien había preparado una de las soluciones de Dantzig para ser publicadas en una revista matemática. Años después otro investigador, Abraham Wald, publicó un artículo en el que llegaba a la conclusión del segundo problema, y en el cual incluyó a Dantzig como coautor.

32

33

REDES DE ACTIVIDAD Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial. El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible. PROYECTOS      

Un proyecto es cualquier empresa humana con un claro principio y un claro final (Gallagher) Poseen algunas características comunes: Combinación de actividades Relación secuencial entre actividades Preocupación por el tiempo Preocupación por los recursos

PLANEACIÓN, PROGRAMACIÓN Y CONTROL La Planeación requiere desglosar el proyecto en actividades, estimar recursos, tiempo e interrelaciones entre actividades. La Programación requiere detallar fechas de inicio y terminación. El Control requiere información sobre el estado actual y analiza posibles trueques cuando surgen dificultades.

HERRAMIENTAS DE PLANEACIÓN, PROGRAMACIÓN Y CONTROL 1. 2. 3. 4.

Gráficas de Gantt Modelos de redes: Redes deterministas (CPM = Método de la ruta crítica) Redes probabilistas (PERT = Técnica de evaluación y revisión de programas)

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5.

También existen otras técnicas

Usos:

PLANEACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS PERT – CPM.

El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características:

La buena administración de proyectos a gran escala requiere planeación, programación y coordinación de muchas actividades.

Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de él, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc.

 Programas de construcción  Preparación de propuestas y presupuestos  Programación de computadoras  Planeación de mantenimiento e instalación de sistemas de cómputo.  PERT (Técnica de evaluación y revisión de programas- Program evaluationand Review technique).

Se utiliza más comúnmente para:  Determinar la probabilidad de cumplir con fechas de entrega específicas.  Identificar cuellos de botella.  Evaluar el efecto de los cambios en el programa. En este tipo de problemas, para el planteamiento, además de la red, podemos realizar el Modelo de Programación Lineal. Los Métodos de Solución son:  CPM  PERT  Método Gráfico a Escala

Inconvenientes… Su desventaja es que la interdependencia entre las diferentes actividades (la cual controla principalmente el progreso del proyecto) no puede determinarse a partir del diagrama de barras. Las complejidades crecientes de los proyectos centrales han exigido técnicas de planeación más sistemáticas y más efectivas con el objeto de optimizar la eficiencia en la ejecución del proyecto. Aquí la eficiencia implica efectuar la mayor reducción en el tiempo requerido para terminar el proyecto, mientras se toma en cuenta la factibilidad económica de la utilización de los recursos disponibles.

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Acerca de las fases: La fase de planeación se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Las estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego, y se construye un diagrama de red (o flechas), donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad. El diagrama de flechas completo da una representación gráfica de las independencias entre las actividades del proyecto. La construcción del diagrama de flechas como una fase de planeación, tiene la ventaja de estudiar los diferentes trabajos en detalle, sugiriendo quizá mejoras antes de que el proyecto realmente se ejecute. La fase de programación será construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de iniciación y terminación para cada actividad, así como en su relación con otras actividades del proyecto. Además, el programa debe señalar las actividades críticas (en función del tiempo) que requieren atención especial si el proyecto se debe terminar oportunamente. Para las actividades no críticas, el proyecto debe mostrar los tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando tales actividades se demoran o cuando deben ser usados los recursos de manera eficiente. La fase final en la administración de proyectos es el control. Esto incluye el uso del diagrama de flechas y la gráfica de tiempo para hacer reportes periódicos del progreso. La red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse y si es necesario determinar un nuevo programa para la parte restante del proyecto.Todos los sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para visualizar gráficamente. Las interrelaciones entre sus elementos. Esta representación del plan de un proyecto muestra todas las relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades.

Lo que debes saber… La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Tales son el método de ruta crítica (CPM) y la técnica de evaluación y revisión de proyectos (Pert). Las dos técnicas fueron desarrolladas por dos grupos diferentes casi simultáneamente (l956)-l958). El cpm (critical path method) fue desarrollado primero por E.I du Pont de Nemours & Company como una aplicación a los proyectos de construcción y posteriormente se extendio a un estado más avanzado por Mauchly Associates. El PERT (Project Evaluation and preview technique), por otra parte, fue desarrollado para la marina de USA por una organización consultora, con el fin de programar las actividades de investigación y desarrollo para el programa de misiles Polanis. Los métodos Pert y CPM están básicamente orientados en el tiempo, en el sentido que ambos llevan a la determinación de un programa de tiempo. Quizá la diferencia más importante es que originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se pusieron determinantes en CPM y probables en PERT. Ahora PERT y CPM comprenden realmente una técnica y las diferencias, si existe alguna, son únicamente históricas. La programación de proyectos por PERT-CPM consiste en 3 fases básicas: 1. 2. 3.

Fase de planeación Fase de programación Control.

36

Representación en red Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto. EJEMPLO: Un editor tiene un contrato con un autor, para publicar su libro de texto. Las actividades(simplificadas) relacionadas con la producción del libro se ven a continuación. formular la red asociada al proyecto.

SOLUCIÓN: La red del proyecto es la siguiente que describe las relaciones de precedencia entre las diversas actividades. Con la actividad ficticia (2,3) se obtienen nodos finales únicos para las actividades concurrentes A y B. La numeración de los nodos se hace en forma que indique el avance en el proyecto.

37

UN EJEMPLO MÁS: En la siguiente tabla se muestran las actividades a realizar, así como su tiempo esperado y la desviación estándar calculados con las formulas en la imagen de la tabla.

Revisión hacia adelante (Método de la ruta crítica) del ejemplo es: Para la actividad A: [0, 4.2, 4.2] Para la actividad B: [4.2, 2.3,6.5] Para la actividad C: [4.2, 3.5, 7.7] Para la actividad D: [4.2, 1.25, 5.45] Para la actividad Ficticia: [7.7, 0, 7.7] Para la actividad E: [7.7, 5.7, 13.4] Por lo que la duración del proyecto será de 13.4.

Revisión hacia atrás (CPM) del ejemplo es: Para la actividad E: [7.7, 0, 13.4] Para la actividad Ficticia: [7.7, 0, 7.7] Para la actividad D: [12.15, 7.95, 13.4] Para la actividad C: [4.2, 0, 7.7] Para la actividad B: [5.4, 1.2, 7.7] Para la actividad A: [0, 0, 4.2] Se puede observar que las actividades que componen la ruta crítica son: La actividad A, la actividad C y la actividad E.

38

El tiempo esperado para completar el proyecto es de 13.4 semanas con una desviación de 2.33 semanas, por lo que el intervalo estimado para el proyecto es de [11.1, 15.73] semanas.

Para la obtención de los datos anteriores, para el tiempo total del proyecto se sumió el tiempo esperado de cada actividad que compone la ruta crítica al igual que para su desviación total se sumaron las desviaciones de las actividades que componen la ruta crítica. Ahora queremos saber que tan confiable es nuestro resultado para ello calcularemos la probabilidad de que terminemos el proyecto en 15 semanas, para obtener dicha probabilidad será necesario estandarizar. Por lo que al realizarse las operaciones adecuadas llegamos a la conclusión de que terminaremos el proyecto en 15 semanas con una probabilidad de certeza del 75.17%.

A DETALLE Considere la red de proyecto para cada actividad, se dan las estimaciones de a, b y m en la tabla 18. Determine la trayectoria crítica para esta red, el tiempo libre total para cada actividad, el tiempo libre para cada actividad y la probabilidad de que el proyecto se complete en 40 días. También prepare el PL que se pueda utilizar para encontrar la trayectoria crítica. Tabla 18 ACTIVIDAD A

B

M

(1,2)

4

8

6

(1,3)

2

8

4

(2,4)

1

7

3

(3,4)

6

12

9

(3,5)

5

15

10

(3,6)

7

18

12

(4,7)

5

12

9

(5,7)

1

3

2

(6,8)

2

6

3

(7,9)

10

20

15

(8,9)

6

11

9

ACTIVIDAD A

B

M

T

Σ

(1,2)

4

8

6

6

0.7

(1,3)

2

8

4

4.3

1

39

(2,4)

1

7

3

3.3

1

(3,4)

6

12

9

9

1

(3,5)

5

15

10

10

1.7

(3,6)

7

18

12

12.2

1.8

(4,7)

5

12

9

8.8

1.2

(5,7)

1

3

2

2

0.3

(6,8)

2

6

3

3.3

0.7

(7,9)

10

20

15

15

1.7

(8,9)

6

11

9

8.8

0.8

RED

Trayectoria crítica Duración del proyecto 37.1

40

Como podemos observar la trayectoria crítica es: (1,3) (3,4) (4,7) (7,9) Con la cual se obtiene una desviación estándar de: 4.9 Por lo tanto, tenemos que la duración del proyecto se encuentra entre [32.2, 42] días ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se complete en 40 días?tenemos: μ=37.1 σ=4.9 y usando Z=x- μ/ σ Z=40- 37.1/ 4.9 Z= 0.5918 Por lo tanto, la probabilidad de que el proyecto se termine en 40 días es de 0.7224 Ahora para determinar el tiempo libre para cada actividad se utiliza el tiempo de holgura para cada una de ellas que se muestra en la siguiente tabla:

ACTIVIDAD TIEMPO LIBRE (TIEMPO DE HOLGURA) (1,2)

4

(1,3)

0

(2,4)

4

(3,4)

0

(3,5)

5.8

(3,6)

8.5

(4,7)

0

(5,7)

5.8

(6,8)

8.5

(7,9)

0

(8,9)

8.5

41

Modelo de Programación Lineal: actividad

Min z=xt-xs

(1,2)

x1+6≤x2

(1,3)

x1+4.3≤x3

(2,4)

x2+3.3≤x4

(3,4)

x3+9≤x4

(3,5)

x3+12.2≤x6

(3,6)

x3+10≤x5

(4,7)

x4+8.8≤x7

(5,7)

x5+2≤x7

(6,8)

x6+3.3≤x8

(7,9)

x7+15≤x9

(8,9)

x8+8.8≤x9 xj≥0

INTERPRETACIÓN: El proyecto tendrá una duración de 37 días, pero tomando en cuenta la desviación se dice que el proyecto a lo más puede completarse en 42 días y a lo mínimo 32 días. A continuación, se proporciona una tabla con el tiempo próximo y lejano de cada actividad.

ACTIVIDAD TIEMPO PRÓXIMO DE INICIACIÓN

TIEMPO TIEMPO TIEMPO MÁS PRÓXIMO DE MÁS LEJANO LEJANO DE TERMINACIÓN DE TERMINACIÓN INICIACIÓN

(1,2)

0

6

4

10

(1,3)

0

4.3

0

4.3

(2,4)

6

9.3

10

13.3

(3,4)

4.3

13.3

4.3

13.3

(3,5)

4.3

14.3

10.1

20.1

(3,6)

4.3

16.5

12.8

25

(4,7)

13.3

22.1

13.3

22.1

(5,7)

14.3

16.3

20.1

22.1

(6,8)

16.5

19.8

25

28.3

(7,9)

22.1

37.1

22.1

37.1

(8,9)

19.8

28.6

28.3

37.1

42

Apéndice A. Si de métodos hablamos… Método

Tipo de problema Árbol de peso mínimo Árbol de peso mínimo

Características Trabaja sobre los nodos Trabaja sobre las aristas

Dijkstra

Arborescencia de ruta más corta

Red sin negativos

Dijkstra Generalizado

Arborescencia de ruta más corta / ruta más corta entre todo par de nodos Ruta más corta entre todo par de nodos

n – 1 unidades de flujo para la arborescencia

Puede trabajar circuitos negativos

Trabaja con la matriz de incidencia, es un algoritmo de alta eficiencia Capacidades infinitas en los arcos, tiene un nodo inicial y un nodo terminal Hace usos de otros algoritmos

Con éste método se pueden resolver todos los tipos de problemas anteriores. Flexible en su solución inicial

PRIM Kruskal

Floyd

circuitos

Ventajas Fácil e intuitivo Puede trabajar con redes más grandes que PRIM Trabaja con redes conexas con

Ford Y Fulkerson

Flujo máximo

Eliminación de circuitos negativos

Flujo a costo mínimo

Rutas más cortas Simplex para redes

Flujo a costo mínimo

Hace uso de redes marginales

No hay circuitos negativos

Flujo a costo mínimo

Es el algoritmo más eficiente para problemas de flujo

No se trabaja con redes marginales, los requerimientos pueden ser mayores a 0. Se usa como base la técnica de transporte No hay otros métodos con cual compararlo

Revisión hacia adelante y hacia atrás

PERT y CPM

Encuentra el total de la duración de un proyecto

Parte de una distribución inicial de flujo, hace uso de algoritmos de rutas más cortas

Desventajas Engorroso en redes grandes Ejecutar el método a mano puede llegar a ser complicado Puede etiquetar a destiempo, falla cuando hay circuitos negativos Para encontrar la ruta más corta entre todo par de nodos, se ejecuta n veces Algoritmo de alta complejidad de ejecución a mano.

Puede extenderse la duración del algoritmo en función de las cadenas. Gráfica marginal en cada iteración, encontrar los circuitos de regreso de flujo Requiere de ejecutar primero el algoritmo de Ford y Fulkerson Requiere de elaborar la red marginal en cada iteración Método con demasiadas consideraciones. SOLUCIÓN INICIAL NO DEFINIDA No hay otros métodos con cual compararlo

43

ApĂŠndice B. Tabla de la distribuciĂłn normal

44

REFERENCIAS. Rodríguez, Guadalupe.” Redes de optimización” /[Apuntes]. Naucalpan Edo. Mex., México. Optimización II. UNAM FES Acatlán: Licenciatura en MAC. [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de www.metro.cdmx.gob.mx/ [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de www.metro.cdmx.gob.mx/ [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=7X1w1jrp6uk&NR=1. [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de arodrigu.webs.upv.es/joomla/images/stories/redes_grafos.jpg [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de http://modocharlie.com/wpcontent/uploads/2010/12/ICAROUIOB732CFD2.jpg [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de <http://arodrigu.webs.upv.es/grafos/lib/exe/fetch.php?media=delbertrayfulkerson_foto.jpg > [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de <http://www.tangrammit.com/images/INFORMS01web.jpg&gt [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de es.wikipedia.org/wiki/George_Dantzig [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Aeronaves_de_la_Fuerza_Aérea_de_los_Estados_Unidos [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de 2.bp.blogspot.com/JSoCfZbnE2M/U1HmZ6AHZuI/AAAAAAAAlGE/tnO3bgbHEoA/s1600/WPS-Patrol.jpg [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de www.thoughtco.com/john-mauchly-computer-pioneer-1992169 [Imagen] 26 de Abril de 2017. Recuperada de www.gruma.com/media/262464/carrusel4.jpg Árbol de peso mínimo, http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_recubridor_m%C3%ADnimo, 05 de octubre de 2012. Taha, Hamdy A., and Pozo Virgilio González. Investigación De Operaciones. 7a ed. México: Pearson/Educación, 2004. Scribd. Web.26 de Abril de 2017. Rodríguez Villalobos Alejandro. Grafos. Vers. 1.3.5. Valencia, España.: n.p., n.d. Computer software. Delbert Ray Fulkerson . 27 de Abril de 2017. Recuperado de es.wikipedia.org/wiki/Delbert_Ray_Fulkerson Lester Randolph Ford, Jr. 27 de Abril de 2017. Recuperado http://en.wikipedia.org/wiki/L._R._Ford,_Jr.&gp George B.Dantzig ,stanford Web, Recuperado el 16 de Abril de 2017. http://news.stanford.edu/news/2005/may25/dantzigobit-052505.html

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