Funzioni goniometriche o circolari

FUNZIONI GONIOMETRICHE http://dida.orizzontescuola.it

DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE Consideriamo un triangolo ABC rettangolo in B e sia đ?›ź l’angolo acuto di vertice A. Successivamente, consideriamo una retta parallela al cateto BC e siano D ed E, rispettivamente, i punti in cui tale retta interseca il prolungamento del cateto AB oltre B e il prolungamento dell’ipotenusa AC oltre C. Il triangolo ADE che si viene a formare è anch’esso rettangolo e l’angolo acuto in A misura, ovviamente, anch’esso đ?›ź. Di conseguenza, poichĂŠ la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°, i due angoli đ??ś e đ??¸ sono anch’essi congruenti, perchĂŠ differenza di angoli congruenti.

I due triangoli ABC e ADE sono quindi simili tra loro e di conseguenza hanno i lati opposti agli angoli congruenti, detti lati omologhi, in proporzione, cioè: đ??ľđ??ś đ??ˇđ??¸ = đ??´đ??ś đ??´đ??¸ Da ciò è possibile dedurre che: in un triangolo rettangolo, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo đ?œś e l’ipotenusa e il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo đ?œś e l’ipotenusa, non dipendono dalla misura dei lati del triangolo, !" !" ma dipendono esclusivamente dal valore di đ?œś, ovvero i due rapporti !" e !" dipendono solo dalla misura dell’angolo đ?›ź.

Definizione. Si dice seno dell’angolo đ?œś, indicato con la scrittura đ?’”đ?’Šđ?’? đ?œś, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo đ?›ź e l’ipotenusa. In formule: đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś =

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’?đ?’‘đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’?đ?’?! đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘Šđ?‘Ş = đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚ đ?‘¨đ?‘Ş

Definizione. Si dice coseno dell’angolo đ?œś, indicato con la scrittura đ?’„đ?’?đ?’” đ?œś, il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo đ?›ź e l’ipotenusa. In formule: đ??œđ??¨đ??Ź đ?œś =

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’†  đ?’‚đ?’?đ?’?! đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘¨đ?‘Š = đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚ đ?‘¨đ?‘Ş

Definizione. Si dice tangente dell’angolo đ?œś, indicato con la scrittura đ?’•đ?’‚đ?’? đ?œś, il rapporto tra il cateto opposto all’angolo đ?›ź e il cateto adiacente. In formule: đ??­đ??šđ??§ đ?œś =

E. Modica

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’?đ?’‘đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’?đ?’?! đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘Šđ?‘Ş = ! đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’†  đ?’‚đ?’?đ?’? đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘¨đ?‘Š

Definizione. Si dice cotangente dell’angolo đ?œś, indicata con la scrittura đ?’„đ?’?đ?’• đ?œś, il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo đ?›ź e il cateto opposto. In formule: đ??œđ??¨đ??­ đ?œś =

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’†  đ?’‚đ?’?đ?’?! đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘¨đ?‘Š = đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’?  đ?’?đ?’‘đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’•đ?’?  đ?’‚đ?’?đ?’?! đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’?  đ?œś đ?‘Šđ?‘Ş

Proposizione. La tangente dell’angolo đ?›ź è uguale al rapporto fra il seno e il coseno dell’angolo đ?›ź, in formule: đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś đ??­đ??šđ??§ đ?œś = đ??œđ??¨đ??Ź đ?œś Dimostrazione.

Utilizzando le precedenti definizioni si ha: đ??ľđ??ś sin đ?›ź đ??ľđ??ś = đ??´đ??ś = = tan đ?›ź cos đ?›ź đ??´đ??ľ đ??´đ??ľ đ??´đ??ś Osservazione. Dalle precedenti definizioni di tangente e cotangente emerge subito che vale la seguente relazione: đ??œđ??¨đ??­ đ?œś =

đ?&#x;? đ??­đ??šđ??§ đ?œś

Esempio. Determinare le funzioni goniometriche dell’angolo đ??´ del triangolo ABC, sapendo che đ??´đ??ľ = 5, đ??ľđ??ś = 12 e đ??´đ??ś = 13.

Dalle definizioni precedenti segue che: sin đ??´ =

đ??ľđ??ś 12 = đ??´đ??ś 13

tan đ??´ =

đ??ľđ??ś 12 = đ??´đ??ľ 13

cos đ??´ =

đ??´đ??ľ 5 = đ??´đ??ś 13

cot đ??´ =

đ??´đ??ľ 13 = đ??ľđ??ś 12

FUNZIONI GONIOMETRICHE DELL’ANGOLO DI 45° Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, avente l’angolo đ?›ź = 45°. Di conseguenza anche l’angolo đ??ś sarĂ di 45°. Il triangolo è quindi isoscele, pertanto si ha: đ??´đ??ľ = đ??ľđ??ś = đ?‘™ Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che l’ipotenusa misura: đ??´đ??ś =

E. Modica

đ??´đ??ľ! + đ??ľđ??ś ! =

đ?‘™! + đ?‘™! =

2đ?‘™ ! = đ?‘™ 2

2

Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che: sin 45° =

đ??ľđ??ś đ?‘™ 1 2 = = = ≅ 0,7 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 2 2

cos 45° =

đ??´đ??ľ đ?‘™ 1 2 = = = ≅ 0,7 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 2 2

tan 45° =

đ??ľđ??ś đ?‘™ = =1 đ??´đ??ľ đ?‘™

cot 45° =

1 =1 tan 45°

FUNZIONI GONIOMETRICHE DEGLI ANGOLI DI 30° E DI 60° Consideriamo un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in B, avente l’angolo đ??´đ??śđ??ľ = 30°. Di conseguenza l’angolo đ??ľđ??´đ??ś sarĂ di 60°. Questo triangolo è la metĂ del triangolo equilatero ACA’ e, di conseguenza, se il suo lato đ??´đ??ś = đ?‘™, il ! lato đ??´đ??ľ = ! đ?‘™.

Applicando il teorema di Pitagora, ricaviamo che il cateto đ??śđ??ľ misura:

đ??śđ??ľ =

đ??´đ??ś !

−

đ??´đ??ľ!

=

đ?‘™!

đ?‘™ − 2

!

=

đ?‘™! −

đ?‘™! = 4

3 ! 1 đ?‘™ = đ?‘™ 3 4 2

Dalle definizioni delle funzioni goniometriche discende che: 1 đ??´đ??ľ 2 đ?‘™ 1 sin 30° = = = = 0,5 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 3 đ?‘™ đ??śđ??ľ 3 2 cos 30° = = = ≅ 0,86 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 1 đ?‘™ đ??´đ??ľ 1 tan 30° = = 2 = ≅ 0,58 đ??ľđ??ś 3 3 2 đ?‘™ cot 30° =

1 = 3 ≅ 1,7 tan 30°

3 đ?‘™ đ??śđ??ľ 3 sin 60° = = 2 = ≅ 0,86 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 1 đ??´đ??ľ 2 đ?‘™ 1 cos 60° = = = = 0,5 đ??´đ??ś đ?‘™ 2 E. Modica

3

3 đ?‘™ đ??śđ??ľ tan 60° = = 2 = 3 ≅ 1,7 1 đ??´đ??ľ 2đ?‘™ cot 60° =

1 1 = ≅ 0,58 tan 60° 3

TAVOLA RIASSUNTIVA

Angolo đ?œś

đ?’”đ?’Šđ?’?  đ?œś

đ?’„đ?’?đ?’”  đ?œś

đ?’•đ?’‚đ?’?  đ?œś

0°

0

1

0

30°

1 2 2 ≅ 0,7 2 3 ≅ 0,86 2

3 ≅ 0,86 2 2 ≅ 0,7  2 1 2

90°

1

0

non definita

180°

0

-1

o

45° 60°

1 3

đ?’„đ?’?đ?’•  đ?œś non definita

≅ 0,58

3 ≅ 1,7

1  3 ≅ 1,7

1 Â 1 3

≅ 0,58 0

non definita

PRIMO E SECONDO TEOREMA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Utilizzando le definizioni date nel primo paragrafo, è possibile pervenire ai due seguenti importanti teoremi dei triangoli rettangoli.

Primo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo a esso adiacente; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo a esso opposto. đ?‘Ž = đ?‘? sin đ?›ź           đ?‘Ž = đ?‘? cos đ?›˝           đ?‘? = đ?‘? cos đ?›ź           đ?‘? = đ?‘? sin đ?›˝ E. Modica

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Secondo teorema dei triangoli rettangoli. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo a esso opposto; ovvero un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo ad esso adiacente. đ?‘Ž = đ?‘? tan đ?›ź           đ?‘Ž = đ?‘? cot đ?›˝           đ?‘? = đ?‘Ž tan đ?›˝           đ?‘? = đ?‘Ž cot đ?›ź PROBLEMI PROPOSTI P1. La scala mobile che porta dal piano terra al primo piano di un centro commerciale è lunga 6.5 m e inclinata di 30° rispetto al pavimento. Calcolare l’altezza del primo piano. [R. 3,25 m] P2. Un ruscello scende in linea retta lungo il pendio di una montagna per 205 m formando con il terreno un angolo di 50°. Calcolare l’altezza della montagna. [R. 157,04 m] P3. Un’antenna emittente ha un profilo lungo 20 m che risulta inclinato rispetto al piano di 70°.

Determinare l’altezza dell’antenna. [R. 18,8 m] P4. La discesa dalla chiesa di un paese alla piazza è lunga 115 m e inclinata, rispetto all’orizzonte della chiesa, di 20°. Determinare di quanto la chiesa è piÚ alta rispetto alla piazza. [R. 39,3 m] P5. L’ingresso in un castello medievale avviene mediante un ponte levatoio lungo 6 m. Sapendo che il ponte viene sollevato e abbassato mediante dei tiranti azionati da argani a ruota che formano, quando sono totalmente spiegati, un angolo di 32° con il ponte, determinare l’altezza della porta d’ingresso. [R. 3,75 m] P6. Una scala a pioli lunga 4.5 m permette di accedere al primo piano di uno stabile. Determinare l’altezza di tale piano rispetto al piano terra, sapendo che la scala forma con il muro un angolo di 48°. [R. 3,01 m] P7. Un bambino scende da uno scivolo di un parco giochi lungo 3 m. Determinare l’altezza del punto piÚ alto dello scivolo sapendo che la sua inclinazione rispetto al terreno è pari a 54°. [R. 2,42 m]

E. Modica

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