Vector 12 by die Keure

VECTOR OKTOBER 2021 - nummer 12

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

VERGELIJKINGEN VAN CONCREET NAAR ABSTRACT 24 HET DROSTE-EFFECT A LA ESCHER 30 DE FIETSER NIET GEZIEN

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 HET KUNSTGALERIJ-

PROBLEEM VERGELIJKINGEN VAN CONCREET NAAR ABSTRACT 6

VECTOR

WISKUNST IN VLAANDEREN: DE BEELDENDE CONSTRUCTIES VAN HUGO KAÏRET

HET DROSTE-EFFECT À LA ESCHER 26 30 ELKE DAG EEN NIEUW

WISKUNDEWEETJE DE FIETSER NIET GEZIEN… 32 38

USOLV-IT IN EXPANSIE

VECTOR 4e jaargang - nummer 12 REDACTIE Tom Harteel, Nicolas Ruys, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. COVERFOTO © Adobestock VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

HET KUNSTGALERIJPROBLEEM

UITWISKELING

IN KUNSTGALERIJEN MET DURE KUNSTVOORWERPEN IS ER PERMANENTE CAMERABEWAKING NODIG. HOEVEEL CAMERA’S ZIJN HIER MINSTENS VOOR NODIG? DIT PROBLEEM, BEKEND ALS HET KUNSTGALERIJPROBLEEM OF HET MUSEUMPROBLEEM, WERD IN 1973 VOOR HET EERST GEFORMULEERD DOOR VIKTOR KLEE. A N T O N E L L A P E R U C C A , VO O R U I T W I S K E L I N G

Bewakingscamera’s in een museum kunnen in elke richting kijken maar ze kunnen niet van positie veranderen. Om het museumprobleem te vereenvoudigen nemen we aan dat camera’s puntgroot zijn en dat ze in het kleinste hoekje van een kamer gemonteerd kunnen worden. Verder veronderstellen we dat er geen objecten of personen in het museum aanwezig zijn die het cameratoezicht

kunnen belemmeren. Het kunstgalerijprobleem mag opgevat worden als een tweedimensionaal probleem. Om het op te lossen heb je enkel een plattegrond nodig van het museum. Hoe dan ook, voor sommige musea kan het een aardig ingewikkelde taak zijn om de plattegrond te bestuderen en hieruit het minimale aantal cameraposities te bepalen.

ENKELE EENVOUDIGE RESULTATEN Als het museum bestaat uit één cirkelvormige kamer, dan volstaat één enkele camera. Hij mag om het even waar in de expositieruimte geïnstalleerd worden. Als de plattegrond van het museum bestaat uit een regelmatige vijfpuntige ster, dan volstaat één enkele camera ook. Maar hij moet ergens in het centrum geplaatst worden, niet in de uitsteeksels. Als de vorm van het museum grilliger is, bijvoorbeeld de vorm van de letter C, dan zijn er meerdere camera’s nodig. De wiskunde achter deze voorbeelden is de volgende. Indien de plattegrond van het museum convex is (bijvoorbeeld een driehoek, een rechthoek, een ellips ... maar niet een pijlvorm of een ring), dan kan elk punt met elk ander punt verbonden worden door een inwendig lijnstuk. Elk punt ziet dus elk ander punt. Eén camera volstaat dan. Hij mag op een willekeurige plaats geïnstalleerd worden.

Stervormige figuren hebben de eigenschap dat er minstens één Figuur 1 Weisman Art Museum in Minneapolis

inwendig punt bestaat dat met elk ander punt verbonden kan worden door een inwendig lijnstuk. Bij stervormige musea volstaat opnieuw één enkele bewakingscamera, maar hij moet op een zorgvuldig uitgekozen plaats geïnstalleerd worden. Alle convexe figuren zijn stervormig. En natuurlijk, ook de regelmatige n-puntige sterren zijn stervormig. Hieronder zie je voorbeelden van veelhoeken die niet stervormig zijn. Niet-stervormige veelhoeken zijn altijd concaaf (d.w.z. niet convex).

Figuur 2 Niet-stervormige veelhoeken

DE MUSEUMSTELLING Beschouw een museum vanaf nu als een veelhoek zoals we die gewoon zijn: vlak, gesloten en niet zelfdoorsnijdend. Een voldoende (en soms ook nodig) aantal bewakingscamera’s wordt dan gegeven door de museumstelling. Die stelling werd in 1975 voor het eerst bewezen door Václav Chvátal.

Museumstelling Stelling van Chvátal Elk museum met muren kan volledig bewaakt worden door camera's.

staat voor de Het symbool floor-functie die elk getal afbeeldt op het gehele getal gelijk aan het gegeven getal of op het gehele getal onmiddellijk kleiner dan het gegeven getal. We geven een voorbeeld van een museum met zes muren. Dit museum kan convex zijn. Dan volstaat het één bewakingscamera te plaatsen. Maar het kan ook uitsteeksels hebben (zie figuur 2). In dit camera’s nodig. geval zijn er BEWIJS MET GRAFEN Een visueel bewijs van de museumstelling werd in 1978 gegeven door Steve Fisk. We vatten zijn bewijs hier samen. Fisk toonde aan dat camera’s zeker volstaan voor de beveiliging van een museum met muren. Het bewijs dat dit aantal soms werkelijk nodig is, laten we over aan de lezer (zie oefening 3). De eerste stap in het bewijs is het trianguleren van de veelhoek. Door bepaalde hoekpunten te verbinden met diagonalen kunnen we elke vlakke veelhoek opsplitsen in driehoeken. Let op: de diagonalen mogen elkaar niet snijden. De trianguleerbaarheid van een vlakke veelhoek mag echter niet als een evidentie beschouwd worden. De lezer kan die per inductie bewijzen. In figuur 3 zie je een voorbeeld van een triangulatie van een museum met 11 muren. Let nog niet op de getallen in de cirkeltjes. In een tweede stap brengen we camera’s aan in de hoekpunten van elke driehoek. We beschikken over drie verschillende soorten camera’s hoewel we uiteindelijk maar één van

Figuur 3 Een getrianguleerde veelhoek met 11 knopen

deze soorten nodig zullen hebben om het hele museum te kunnen bewaken. We kleuren de hoekpunten van de driehoeken in met drie verschillende kleuren zo dat elke driehoek drie verschillend gekleurde hoekpunten heeft. Elke kleur, in figuur 3 aangeduid met 1, 2 en 3, stelt een ander type camera voor. Ook hier mag het bestaan van zo'n kleuring niet automatisch aangenomen worden. We bewijzen hier per inductie dat er een geschikte kleuring bestaat. Het is triviaal dat deze kleuring bestaat voor driehoeken en vierhoeken. We gaan nu na of er een geschikte kleuring bestaat voor -hoeken als we weten dat die bestaat voor veelhoeken met minder hoekpunten. Neem een -hoek en knip die in twee op een diagonaal. De ene helft kan getrianguleerd worden en voorzien worden van een gepaste kleuring. Ook voor de andere helft kan dit. Daarna worden de helften terug aan elkaar gekleefd op de diagonaal. Dat kan alleen als de kleuren in de eindpunten van de diagonaal overeenkomen. Daartoe moeten de

kleuren in een van de helften eventueel een permutatie ondergaan. Na het samenkleven van de twee helften is er een geschikte kleuring gevonden voor de -hoek. De derde stap in het bewijs is het kiezen van het type van de camera’s. Tel het aantal 1’en, 2’tjes en 3’tjes en neem het type waarvan er het minste camera’s zijn. In figuur 3 is dit type 3. Elke driehoek heeft een hoekpunt van dit type. Als alleen deze camera’s overgehouden worden, is het hele museum onder controle. Het kleinste aantal van de camera’s van type 1, 2 of 3 kan niet . groter zijn dan In de praktijk zou je een computerprogramma kunnen schrijven voor het vinden van de optimale cameraposities. Voor varianten op het kunstgalerijprobleem, bijvoorbeeld het langs buiten bewaken van een fort, verwijzen we door naar verdere lectuur. OEFENINGEN 1. Beschouw een kunstgalerij in de vorm van een hoofdletter H met twee kamers en een verbindingsgang. Hoeveel camera’s zijn er nodig om deze galerij te bewaken? Argumenteer dat dit een nodig en voldoende aantal is.

2. Hieronder zijn twee plattegronden van musea afgebeeld. Hoeveel camera’s heb je nodig

om deze musea te bewaken? Waar kun je ze plaatsen?

linksboven, eentje in de hoek rechtsonder en eentje in het middengedeelte. 3. Voor < 6 zegt de stelling van Chvátal dat er slechts één camera nodig is. Een voorbeeld hiervan is de regelmatige -hoek. Voor = 6 zijn er in sommige gevallen twee camera’s nodig. Je vindt hiervan een voorbeeld in figuur 2.

3. Ontwerp de plattegrond van een museum met muren waarvoor er niet minder dan camera’s nodig zijn om het volledig te bewaken. Oplossingen 1. Twee camera’s zijn voldoende voor dit museum, eentje in elke kamer. Een van de camera’s moet zo geplaatst worden dat hij de gang kan bewaken. Met één enkele camera zal het niet lukken: de hoeken van een kamer kunnen immers enkel gezien worden vanuit de kamer zelf. 2. Eerste museum Stel dat de ingang van het museum rechtsboven is. Er zijn dan twee nissen te bewaken. Om de tweede en de derde gang te bewaken zou het verstandig zijn een camera in de linkerbenedenhoek te plaatsen. Zo kun je verdergaan en telkens een camera plaatsen die twee gangen in het oog houdt. Er zijn 6 camera’s nodig. Tweede museum Hier volstaan drie camera’s. Plaats er eentje in de hoek

voor Meer algemeen, als dan tekenen we een plattegrond met t uitsteeksels zoals op de figuur hierboven. We hebben dan één camera nodig om elk van de uitsteeksels te bewaken. Eén van deze camera’s kan ook de gang nog bewaken. Als we één of twee van deze uitsteeksels aftoppen, dan vinden we een museum met of met muren camera’s voor de dat zeker beveiliging nodig heeft. BRONNEN Aigner, M., Ziegler, G. (2009). Proofs from THE BOOK. Berlin, New York: Springer Verlag. ISBN 978-3-642- 00855-9. Wikipedia. Kunstgalerijprobleem. https:// nl.wikipedia.org/wiki/Kunstgalerijprobleem. Geraadpleegd op 12 november 2018. Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 35/3. De auteur, Antonella Perucca is Associate Professor in Mathematics and its Didactics aan Université du Luxembourg. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

6 WISKUNDE & ONDERWIJS

VERGELIJKINGEN VAN CONCREET NAAR ABSTRACT UIT DE LAATSTE PEILINGSTOETS VOOR WISKUNDE IN DE A-STROOM BLIJKT DUIDELIJK DAT LEERLINGEN NIET HOOG SCOREN VOOR ‘REKENEN MET VEELTERMEN’, WAARONDER HET LEERSTOFONDERDEEL 'EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN' VALT. LEERKRACHTEN WISKUNDE STAAN VOOR DE UITDAGING OM – VOORAL IN TECHNISCHE EN ARTISTIEKE BASISOPTIES – HET PERCENTAGE VAN DE LEERLINGEN DIE DE EINDTERMEN HALEN, TE VERGROTEN. ELS COUSSEMENT,

A R T I K E L U I T W I S K U N D E & O N D E RW I J S , T I J D S C H R I F T VA N D E V V W L

DE BALANSMETHODE De meeste Vlaamse handboeken schuiven de balansmethode naar voren als goede werkwijze om het leerstofonderdeel ‘eerstegraadsvergelijkingen’ aan te brengen. Uiteraard is dit in combinatie met een stapsgewijze aanpak. Hieronder bespreken we de verschillende deelleerstappen één voor één. Een concrete uitvoering op de balans is te zien in volgende video: https:// youtu.be/34E5MzvYE_o. Als we de klassieke balans vervangen door bijvoorbeeld een balance board, dan richten we ons nog meer op de leefwereld van de jongeren. Stap 1: het begrip gelijkheid We brengen eerst het begrip gelijkheid aan aan de hand van voorbeelden op de balans. Als de balans in

Figuur 1 Het begrip gelijkheid

evenwicht is, is er een gelijkheid. Als de balans niet in evenwicht is, is er geen gelijkheid. Stap 2: eerste eigenschap van gelijkheden In een volgende stap zorgen we ervoor dat de leerlingen een eerste eigenschap van gelijkheden ontdekken. We demonstreren deze eigenschap op de balans met verschillende voorbeelden en laten de leerlingen het besluit formuleren.

Als men bij beide kanten van de balans eenzelfde massa toevoegt of wegneemt, dan blijft de balans in evenwicht. Dit vertalen we naar de eigenschap: een gelijkheid blijft behouden als men beide leden met eenzelfde getal vermindert of vermeerdert. ⇒ Stap 3: het begrip vergelijking Vervolgens brengen we de begrippen onbekende en vergelijking aan. Een vergelijking is een gelijkheid

Voorbeeld Een gelijkheid blijft behouden als men beide leden met eenzelfde getal vermindert of vermeerdert.

Figuur 2 Eerste eigenschap van gelijkheden

Figuur 3 Het begrip vergelijking

waarin een onbekend getal voorkomt. Het onbekend getal stellen we voor door een letter, bijvoorbeeld . Op de balans zien we een zakje met een ongekende massa of een ongekend aantal blokjes. We zorgen ervoor dat de massa van het zakje verwaarloosbaar is, of we leggen ook aan de andere kant een leeg zakje. Een vergelijking oplossen betekent dat we moeten zoeken naar een waarde voor de onbekende waarvoor de gelijkheid opgaat. Bij de concrete balans wil dat zeggen dat we zoeken naar de massa of het aantal blokjes in het zakje.

Stap 4: vergelijkingen van de vorm In deze stap is het de bedoeling dat we vergelijkingen van het type oplossen met behulp van de eerste eigenschap. In het onderstaande voorbeeld zoeken we de massa of het aantal blokjes in het zakje. Hiervoor nemen we links en rechts een blokje weg. ⇒ Uiteraard blijven we in deze deelleerstap niet constant werken met de balans. We maken de overstap naar het abstract werken. Heel wat vergelijkingen kunnen we zelfs niet visualiseren op de balans.

Figuur 4 Vergelijkingen van de vorm

Stap 5: tweede eigenschap van gelijkheden Om een volgende soort vergelijkingen te kunnen oplossen, moeten we een nieuwe eigenschap afleiden. Hiervoor starten we opnieuw van een concrete balans. Aan de hand van voorbeelden ontdekken de leerlingen de volgende eigenschap: een gelijkheid blijft behouden als men beide leden met eenzelfde getal vermenigvuldigt of door eenzelfde getal verschillend van nul deelt.

we gebruik van de reeds gekende eigenschappen. Eenvoudige vergelijkingen kunnen we visualiseren op de balans maar voor complexere opgaven moeten we abstract te werk gaan. CSA-MODEL De theorie Om na te gaan hoe we het leerstofonderdeel vergelijkingen voor een breder publiek toegankelijk kunnen maken, kijken we naar de artikelen Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review (Fyfe, McNeil, Son & Goldstone, 2014) en Benefits of concreteness fading for children’s mathematics understanding (Fyfe, McNeil & Borjas, 2015). Concreteness fading is een theorie van Bruner die bekijkt hoe abstract denken aangeleerd kan worden.

Figuur 5 Tweede eigenschap van gelijkheden

Figuur 6 Vergelijkingen van de vorm

Stap 6: vergelijkingen van de vorm In deze stap willen we vergelijkingen van het type oplossen. We starten met opnieuw met een concrete balans. ⇒ Uiteraard blijven we ook in deze deelleerstap niet constant werken met de balans. We maken de overstap naar het abstract werken. Ook bij dit type kunnen we heel wat vergelijkingen niet visualiseren op de balans.

Voorbeeld ⇕ Een gelijkheid blijft behouden als men beide leden met eenzelfde getal vermenigvuldigt of door eenzelfde getal verschillend van nul deelt.

Stap 7: vergelijkingen van de vorm Uiteindelijk kunnen we overgaan naar de samengestelde vorm met . Om deze vergelijkingen op te lossen maken

Als doel heeft de leerkracht voor ogen dat de leerling de concepten en het principe kent en kan toepassen op een nieuwe situatie. Hier is dus sprake van een transfer. Daarvoor moet de leerling abstract kunnen redeneren. Dat wil zeggen dat de leerling het principe begrijpt, de kern haalt uit eerder aangepakte situaties en deze opnieuw kan toepassen in nieuwe situaties, situaties die schijnbaar totaal anders zijn maar in de kern hetzelfde principe bevatten. De theorie van Bruner zegt dat we daarvoor moeten starten met concrete, fysieke problemen of situaties. De leerling krijgt bij het probleem dus de steun van de leefwereld die hij kent. Met zijn

zintuigen kan hij vinden welke redeneringen hij moet maken. Hij kan zijn denkproces controleren. Dit is de uitbeeldende of concrete fase. De theorie zegt dat die steun daarna geleidelijk moet verdwijnen totdat de leerling zuiver abstract kan redeneren. Na de uitbeeldende fase komt hiervoor een picturale of schematische fase waarin het concrete materiaal vervangen wordt door afbeeldingen op papier. De leerling moet zich de werkelijke situatie, het concrete model inbeelden. Uiteindelijk worden ook deze afbeeldingen weggelaten en krijgen we het zuiver abstracte probleem. We zitten dan in de symbolische of abstracte fase. We spreken hierbij van het CSA-model: concreet – schematisch – abstract. Bij de overgang van de concrete fase naar de abstracte fase is het belangrijk dat alle drie de fasen doorlopen worden, dat er duidelijke linken gelegd worden en dat de volgorde gerespecteerd wordt. Aan deze werkwijze zijn een aantal voordelen gekoppeld. - In de concrete fase krijgt de leerling de tijd om vertrouwd te raken met de nieuwe leerstof. - Hij ziet vanaf het begin ook toepassingen. - Abstracte symbolen krijgen een heel concrete interpretatie. - De concrete modellen dienen als back-up wanneer het abstract redeneren wat vergeten is.

Het CSA-model bij jonge kinderen Bij wijze van voorbeeld bekijken we hoe leerlingen van het kleuteronderwijs en de lagere school leren werken met (natuurlijke) getallen. Dat zijn duidelijk abstracte begrippen. In het kleuteronderwijs starten de leerkrachten met de concrete fase door concrete materialen te gebruiken: 3 appelen, 4 stiften, 3 blokjes, 2 boekentassen, … Daarna volgt de schematische fase. In deze fase tonen de juffen en meesters afbeeldingen aan de leerlingen. De concrete voorwerpen zijn niet meer aanwezig. In het begin zijn het afbeeldingen van concrete voorwerpen. Later werkt de leerling met gekleurde vakjes of bolletjes. Uiteindelijk laten de leerlingen het concrete volledig los en werken ze met de getalsymbolen op papier. Belangrijk hierbij is dat de leerkracht vanaf het begin de link legt met Concrete fase

het abstracte begrip, een getal in woorden. Tijdens het proces legt de leerkracht ook een link met het juiste getalsymbool. Het CSA-model bij eerstegraadsvergelijkingen Er is een duidelijke link tussen de drie fasen in het CSA-model en de aanpak van eerstegraadsvergelijkingen via de balansmethode. Wanneer we met een echte balans bezig zijn, dan zitten we in de concrete fase. Bij een wijziging in linker- of rechterlid ziet de leerling de balans bewegen. Als we aan het werk zijn met afbeeldingen van balansen, dan zitten we in de schematische fase. De leerling moet zich inbeelden hoe de balans beweegt. Je kan dit dus als een geheugenexperiment zien. Wanneer we vergelijkingen zonder context bekijken, zitten we in de abstracte fase.

Schematische fase

Abstracte fase

Figuur 7 Het CSA-model bij jonge kinderen

Concrete fase

Schematische fase

Figuur 8 Het CSA-model bij eerstegraadsvergelijkingen

Abstracte fase

Hoewel de huidige aanpak op basis van de balansmethode een sterke link vertoont met het CSA-model, merken we toch dat te weinig leerlingen na de eerste graad A-stroom het leerstofonderdeel eerstegraadsvergelijkingen voldoende beheersen. Waar liggen de problemen dan en hoe kunnen we de aanpak optimaliseren? DE AANPAK OPTIMALISEREN We vergelijken hieronder de stapsgewijze aanpak via de balansmethode met de realiteit in het huidige secundair onderwijs. De praktijk leert ons dat het niet altijd eenvoudig is om de theorie uit de didactiek om te zetten in goede lessen. We opperen enkele suggesties om de concrete lespraktijk te optimaliseren. De concrete fase Concreet werken maakt het gemakkelijker voor de leerling. Nochtans merken we dat niet elke leerkracht wiskunde van de eerste graad het in de lessen over vergelijkingen heeft over een balans. Een aantal leerkrachten is niet overtuigd van de meerwaarde van een concrete fase. Zij willen meer tijd om te oefenen op het oplossen van abstracte vergelijkingen. Dat druist volledig in tegen de theorie van Bruner. Deze leerlingen krijgen een soort receptenwiskunde waarin ze regeltjes moeten volgen maar zij weten niet waar die regeltjes vandaan komen. Dat is weinig motiverend voor de leerlingen en maakt het moeilijk om die regeltjes uit het hoofd te leren. Wanneer leerlingen een tijdje niet meer in contact gekomen zijn met

vergelijkingen, lossen sommigen onder hen een vergelijking bijgevolg op een heel vreemde manier op. Zo zie je dan bijvoorbeeld dat de herleid wordt vergelijking . Er was toch zoiets als tot ‘een plus wordt een min’ en ‘een vermenigvuldiging wordt een deling’? Natuurlijk zijn er ook leerkrachten die wel overtuigd zijn van de meerwaarde van een concrete fase maar die met een praktische moeilijkheid kampen. Een balans is niet meer zo gemakkelijk te vinden als vroeger. Bovendien is het niet altijd evident om die balans naar elk lokaal te verhuizen. Dat leidt ertoe dat sommige leerkrachten direct overstappen op de schematische fase en zich dus enkel baseren op afbeeldingen van balansen. Spijtig genoeg werkt dit niet zo goed bij onze huidige generatie jongeren. De balans is niet meer alomtegenwoordig in onze huidige maatschappij. Leerlingen hebben weinig voeling met een balans. Om dit probleem op te lossen, kunnen we een beroep doen op digitale mogelijkheden. We kunnen de proefjes thuis filmen en de filmpjes in de klas gebruiken. Of we kunnen gebruikmaken van applets met een digitale balans. - Zo vinden we in het GeoGebraboek https://www.geogebra. org/m/stfyturf (Coussement, 2019) enkele balansen die bewegen wanneer we massa’s wegnemen of erbij plaatsen. Let wel, veel vergelijkingen kunnen we via trial-and-error oplossen. Het is dus heel belangrijk dat we als

leerkracht zorgen (bijvoorbeeld via een onderwijsleergesprek) dat de leerling een goede oplossingswijze volgt en formuleert. - Op https://www.mathsup.be (Van Damme, 2018) vinden we het applet ‘Zelf op verkenning’ onder ‘Algebra – Werken met letters’. Een illustratie van het gebruik van deze applets is te vinden in volgende video: https://youtu.be/Eisdol-cDDI In het huidige onderwijs zien we vaak enkel de balans als concreet model verschijnen. Meerdere contexten zijn vanuit didactisch oogpunt interessanter. Zo zullen leerlingen gemakkelijker een eenvoudig probleem kunnen abstraheren. We kijken dus het best ook naar andere eenvoudige problemen uit het dagelijkse leven die leerlingen al intuïtief kunnen oplossen én die gerelateerd zijn aan eerstegraadsvergelijkingen. We vertalen hun intuïtieve oplossingsmethode naar de abstracte oplossingswijze. Op deze manier wordt uit een concreet probleem dat ze intuïtief al kunnen oplossen, de kerngedachte gehaald. Hieronder geven we een aantal voorbeelden.

Voorbeeld 1: grootte van een blok Een blokkentoren met 10 gelijke kubusvormige blokken is ongeveer 30 cm hoog. Hoe hoog is één blok? Een leerling kan dit al intuïtief oplossen. We koppelen deze probleemstelling nu aan de vergelijking

. We gebruiken hun intuïtieve oplossingswijze om hier de werkwijze bij het oplossen van de bijbehorende abstracte vergelijking te tonen. Voorbeeld 2: aantal snoepjes Op de verpakking van een doos koeken staat dat er 24 koekjes in de doos zitten. De doos is al geopend door mijn broer. We tellen na en we zien dat er nog maar 18 koekjes in de doos zitten. Hoeveel koekjes heeft mijn broer opgegeten? Ook

dit is een probleem dat een leerling gemakkelijk op rekenkundige wijze kan oplossen. We analyseren het probleem en de oplossingswijze door de bijbehorende vergelijking en de abstracte oplossingswijze ernaast te plaatsen. Voorbeeld 3: inhoud van een glas We vullen een maatbeker met 5 volle glazen water en we lezen af dat we net 1 liter water hebben. Hoeveel liter water bevat 1 glas? We koppelen hier de intuïtieve oplossingswijze van de

leerling aan de abstracte oplossings. wijze van de vergelijking Voorbeeld 4: de lift Madhu staat op een ongekende verdieping. Zij daalt 5 verdiepingen en . staat dan in de kelder Waar is zij gestart? We stellen vol. gende vergelijking op: We bekijken in het concrete probleem wat we moeten doen om het antwoord te kennen en we vertalen dit naar de oplossingsmethode voor de bijbehorende abstracte vergelijking.

De schematische fase Heel vaak is er geen schematische fase en krijgt de leerling na de concrete fase direct abstracte vergelijkingen. De overstap is daardoor heel bruusk. De leerling krijgt weinig tijd om zich geleidelijk de abstracte denkwijze eigen te maken zodat datgene wat de leerling uit het concrete probleem geleerd heeft, vaak verloren gaat. Het is dus interessant dat we regelmatig klassikaal een geheugenexperiment doen tijdens een lesinstap. In de eerste lessen is het bovendien ook sterk aan te raden om oefeningen te voorzien waarbij leerlingen bewust een koppeling moeten leggen tussen een afbeelding van een concrete situatie en abstracte vergelijkingen. We geven hierbij twee voorbeelden.

Figuur 9 Voorbeeld 1

Voorbeeld 1 Deze oefening (figuur 9) is interessant wanneer de leerlingen vergelijkingen van de vorm leren oplossen (stap 4). Zij moeten een vergelijking opstellen bij een gegeven visualisatie en deze oplossen. Voorbeeld 2 Deze oefening (figuur 10) is interessant wanneer de leerlingen vergeleren lijkingen van de vorm oplossen (stap 6). Zij moeten een visualisatie maken bij een gegeven vergelijking en deze vergelijking oplossen. De abstracte fase Veel handboeken werken met overbrengingsregels. Deze regels

Figuur 10 Voorbeeld 2

verschijnen al vaak heel snel in de lessen over vergelijkingen. Meestal gebeurt dit nog in dezelfde les als deze waarin de bijbehorende eigenschap voor de eerste keer toegepast wordt om een vergelijking op te lossen. Maar als de leerling het concrete model nog niet goed

vastgezet heeft in zijn hersens, is deze sprong veel te snel en heeft dit nefaste gevolgen. De link tussen de overbrengingsregels en het concrete model is moeilijker te leggen dan tussen de eigenschappen en het concrete model. Bijgevolg leert de leerling deze regeltjes uit het

hoofd. De leerling volgt een recept, weet niet waar hij mee bezig is, vergeet na verloop van tijd deze regeltjes en heeft niets om op terug te vallen. Het is dus interessanter om deze overbrengingsregels lang uit te stellen, of zelfs helemaal niet aan bod te laten komen. We kunnen evengoed werken met de eigenschappen van gelijkheden zelf! Op deze manier is er meer kans dat de leerlingen de link blijven leggen met het concrete model en minder fouten maken bij het oplossen van vergelijkingen. Algemene tips Het herhalingsprincipe mogen we hier ook niet vergeten. Het is niet ideaal wanneer we enkel in de eerste lessen over eerstegraadsvergelijkingen teruggrijpen naar concrete problemen die ze intuïtief al kunnen oplossen. Het is interessant om regelmatig even terug te schakelen. Dat kunnen we via concrete situaties doen of via een afbeelding. Zeker wanneer leerlingen bij het oplossen van vergelijkingen fouten maken die gelinkt zijn aan de eigenschappen van gelijkheden, moeten we de reflex hebben om een concrete situatie opnieuw boven te halen.

In de concrete en de schematische fase is het heel belangrijk dat er een duidelijke link gelegd wordt met de abstracte vergelijking en de oplossingsmethode. Pas dan kan een leerling abstract leren redeneren en de reeds verworven vaardigheid bij het eenvoudige probleem gebruiken om complexere problemen op te lossen. We merken op dat de eigenschappen van gelijkheden geen doel op zich zijn. Zij zijn de hulpmiddelen om complexere eerstegraadsvergelijkingen op te lossen. De eigenschappen halen we uit de eenvoudige concrete situaties en gebruiken we om moeilijkere situaties aan te pakken. Dat wil dus zeggen dat het essentieel is dat we de volgorde in het stappenplan respecteren. Leerlingen eerst vergelijkingen leren oplossen en daarna de eigenschappen van gelijkheden laten bestuderen, strookt dus niet met de theorie van Bruner.

met het geleidelijkheidsprincipe en bij leerlingen die moeite hebben met vergelijkingen dus langer blijven stilstaan bij de concrete fase, bij de schematische fase en bij basisvergelijkingen. GERAADPLEEGDE WERKEN Coussement, E. (2019, november 24). Opgehaald van Vergelijkingen: van concreet naar abstract: https://www.geogebra. org/m/stfyturf Fyfe, E. R., McNeil, N. M., & Borjas, S. (2015). Benefits of "concreteness fading" for children's mathematics understanding. Learning and Instruction, 35, 104-120. Fyfe, E. R., McNeil, N. M., Son, J. Y., & Goldstone, R. L. (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: a Systematic Review. Educational Psychology Review, 26(1), 9-25. Steunpunt Toetsontwikkeling en Peilingen Vlaanderen. (2019). Peiling Wiskunde eerste graad A-stroom 2018. Opgeroepen op 25 november 2019, van Kwalificaties & Curriculum: https://www. kwalificatiesencurriculum.be/peilingwiskunde-eerste-graad-a-stroom-2018 Van Damme, K. (2018). Zelf op verkenning. Opgeroepen op 24 november 2019, van MATHSup: https://www.mathsup.be

OVER DE AUTEUR De eindtermen vragen niet dat elke leerling complexe eerstegraadsvergelijkingen kan oplossen. Vergelijkingen zoals hoeven we dus niet aan elke leerling van de eerste graad voor te schotelen. We kunnen rekening houden

Els Coussement begeleidt inhoudelijke cursussen, didactische opleidingsonderdelen en stages als docent wiskunde in de opleiding Educatieve bachelor Secundair Onderwijs aan de Arteveldehogeschool (Gent). Els is ook actief bestuurslid van de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars (www.vvwl.be). E-mail: Els.Coussement@arteveldehs.be.

Wallaroe

om aad B-s tro r g te rs e e uit de en het Leerlingen er w ijs nem d n o ir a d roe. un d itie Walla uit het sec e e d in p ar o rgang tegen elka vorige jaa e d in r e er w ie Zo waren emers, ond ln e e d e ro a jes en 4 382 Wall 1 916 meis s, n e g n jo 2 424 l. 42 neutraa

Louise plakt een meetlint rond een cilinder. Welk getal hoort op de plaats van het vraagteken?

Wallaroe 2021, vraag 9

Wat is het ontbrekende stuk?

Wallaroe 2021, vraag 14

Je neemt om 07.08 uur de trein van Deinze naar De Panne. Hoe lang duurt de rit?

Wallaroe 2021, vraag 8

Enkele voorbeeldvraagjes

Wallabie

de is er vo or ie b a ll a W d A-s tro o m De e d itie ers te graa e e d it u s. Vorig leerlingen ir onder w ij a d g en n u c se t 673 leerlin uit he 0 4 r e n e nam scho o ljaar jongens, w ie 20 522 r e d n o l, traal. e de en 151 neu s je is e m 0 20 00

Benthe legt 5 vierkanten zoals in de ﬁguur. Het kleinste vierkant heeft oppervlakte 1. Hoe groot is de aangeduide lengte?

Wallabie 2021, vraag 3

We zien 3 cirkels met hetzelfde middelpunt en 4 middellijnen. Welk percentage van de ﬁguur is gekleurd?

Wallabie 2021, vraag 18

Opa kijkt naar zijn weerberichtapp. De volgende 5 dagen daalt de voorspelde temperatuur dag na dag. Welk weerbericht ziet opa?

Wallabie 2021, vraag 1

Enkele voorbeeldvraagjes

WISKUNST IN VLAANDEREN:

DE BEELDENDE CONSTRUCTIES VAN HUGO KAÏRET

Hugo Kaïret

NAAR AANLEIDING VAN HET ARTIKEL OVER POPKE BAKKER IN HET VORIGE NUMMER, VECTOR 11, LIET HUGO KAÏRET WETEN DAT HIJ KUNSTWERKEN MAAKT WAARIN ZIJN LOOPBAAN ALS WISKUNDELERAAR EN ZIJN HOBBY ALS ACTIEF MUZIKANT DUIDELIJK ZICHTBAAR ZIJN. PAS ENKELE JAREN VOOR ZIJN PENSIOEN IN 2011 IS HIJ ZICH GAAN PROFILEREN ALS HEDENDAAGS BEELDEND KUNSTENAAR. HET IS NIET VERWONDERLIJK DAT NATUUR, MUZIEK EN WISKUNDE DAARVOOR ZIJN BELANGRIJKSTE INSPIRATIEBRONNEN VORMEN. OF ZOALS HIJ DAT ZELF VERWOORDT: “MIJN BEELDENDE CONSTRUCTIES ZIJN DOORGAANS HET RESULTAAT VAN DE WISKUNDIGE ONTLEDING VAN EEN NATUURLIJK FENOMEEN, VERWERKT IN EEN HARMONIEUZE VORM.” KLAAS LAKEMAN, A R S E T M AT H E S I S

Figuur 1 Transparant

Figuur 2 Transparant

Figuur 4 Angular

Figuur 5 Piano insect

KENNISMAKING Om te beginnen tonen de figuren 1, 2, 3 en 4 werk dat direct gerelateerd is aan het ruimtelijk verstek van Popke Bakker, maar wel met een eigen originele kijk daarop.

piano verwerkt, soms gerelateerd aan natuur en wiskunde. Zo is het Piano insect van figuur 5 samengesteld uit een pedaal van een piano en andere onderdelen van dat instrument en lijkt het beeld Klavier aan het begin van dit artikel een toetsenbord omgevormd tot een grote band van Möbius, maar is bij

In zijn zo te noemen ‘pianostukken’ zijn duidelijk onderdelen van een

Figuur 3 Keltische knoop

nadere beschouwing een gewone band met een extra lus. FIBONACCI In de bekende rij van Fibonacci is elke term de som van zijn twee voorgangers. De rij begint met 0 en 1. De rij ziet er dan uit als: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Figuur 6 Spiraal van Fibonacci

Figuur 8 Hypotenusa

De spiraal van Fibonacci bestaat uit kwart cirkelbogen. Die cirkelbogen zijn ingeschreven in een samenstelling van vierkanten, die afgeleid zijn van de rij van Fibonacci (figuur 6). De zijden van de opeenvolgende vierkanten zijn steeds de som van de zijden van de twee voorgaande vierkanten. In figuur 6 is dat extra benadrukt door opeenvolgende vierkanten een andere kleur te geven. In het beeld Fibo (figuur 7) heeft Hugo Kaïret de kwart cirkelbogen met hun stralen opgedeeld in een aantal congruente gelijkbenige

Figuur 7 Fibo

Figuur 9 Wortelspiraal

Figuur 10 Deel van de wortelspiraal dat gebruikt werd bij Hypotenusa.

driehoeken zoals dat bijvoorbeeld in het groene vierkant van figuur 6 is gedaan. Die opgedeelde kwart cirkelbogen heeft hij op een iets andere manier aan elkaar bevestigd om het beeld Fibo te krijgen. Ook aan Hypotenusa (figuur 8) ligt een spiraal ten grondslag en wel de zogenoemde wortelspiraal. Neem een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1. Met de stelling van Pythagoras kan dan de lengte van de schuine zijde worden berekend. Deze wordt (figuur 9). Vervolgens komt

Figuur 11

Figuur 12 Schorpioen

Figuur 13 Media

Figuur 14

Figuur 15

Figuur 16 Ramskop

loodrecht op de schuine zijde een lijnstuk met lengte 1. In de rechthoekige driehoek die dan ontstaat is de schuine zijde met de stelling van . Zo Pythagoras te berekenen als kunnen achtereenvolgens lijnstukken worden geconstrueerd waarvan de lengtes wortels uit opeenvolgende natuurlijke getallen zijn. In Hypotenusa zijn de eerste zes delen van de wortelspiraal in spiegelbeeld aan elkaar gezet, vergelijk daarvoor de figuren 8 en 10 met elkaar. WISKUNDIGE ONTLEDING Wat Hugo Kaïret precies bedoelt met: “Mijn beeldende constructies zijn doorgaans het resultaat van de wiskundige ontleding van een natuurlijk fenomeen,” wordt duidelijk door de figuren 11 en 12, de figuren 13 en 14 en de figuren 15 en 16 twee aan twee met elkaar te vergelijken. We zullen hier de figuren 15 en 16 wat nader bekijken en nagaan hoe Hugo tot zijn Ramskop is gekomen. In principe bestaat Ramskop uit een aantal even dikke houten rechthoekige trapeziums allemaal met eenzelfde hoogte. Die zijn achtereenvolgens met een bepaalde overlap aan elkaar bevestigd. Gezien van uit het midden nemen de afmetingen van die trapeziums naar links en naar rechts af. Linker- en rechterhelft zijn daarbij spiegelsymmetrisch. Het bepalen van de afmetingen van de opeenvolgende trapeziums en hun overlap heeft enige gelijkenis met de constructie van de wortelspiraal. Net als bij de wortelspiraal wordt begonnen met een gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC (figuur 17). Daarmee wordt het eerste

en kleinste rechthoekige trapezium geconstrueerd dat aan het linker- en rechteruiteinde van Ramskop zit. Vervolgens zien we naar het midden toe de andere grotere trapeziums, waarbij telkens de langste diagonaal van een trapezium even lang is als de langste basis van het volgende trapezium. BEREKENINGEN Voor het gemak werken we van het uiterste linkse en kleinste trapezium naar het midden. Geef in figuur 17 de rechthoekszijden van ΔABC de lengte a en de schuine zijde een lengte b. Net als bij de wortelspiraal komt in hoekpunt C loodrecht op AC een lijnstuk CD met lengte a. Vervolgens wordt van uit punt C evenwijdig aan AB een lijn CE getrokken waarbij het eindpunt E op AD ligt. De aldus verkregen vierhoek ABCE is het eerste rechthoekige trapezium. Indien de lengte van a bekend is, zijn alle hoeken en zijden van dat trapezium bekend of te berekenen. Voor b geldt met de stelling van Pythagoras dan wel de eigenschappen van een gelijkbenige rechthoekige driehoek:

In ΔACD geldt voor hoek CAD

In figuur 17 geldt verder dat hoek BAC = hoek ACE =

= 45°.

Dan geldt in ΔACE voor hoek CEA hoek CEA =

en kan met de sinusregel het lijnstuk CE worden berekend: . CE/sin = b/ sin VERDERE CONSTRUCTIE Om het tweede trapezium te ontwerpen wordt tegelijk een aanzet tot het derde trapezium gemaakt. In punt D wordt loodrecht op AD een lijnstuk DF met lengte a gezet (figuur 18). Vervolgens wordt de lijn AF getrokken en komt DG evenwijdig aan AC. Vierhoek ACDG is nu het tweede rechthoekige trapezium met hoogte a. Merk op dat AC de langste diagonaal in het eerste trapezium de grootste basis is van het tweede trapezium. Net als bij het eerste trapezium zijn in dit tweede trapezium alle benodigde hoeken, zijden en de langste diagonaal met de stelling van Pythagoras en de sinusregel te berekenen. Merk ook nog op dat vanwege de overlap daarin de genoemd (hoek in hoek nu het tweede trapezium), gelijk is aan hoek in het eerste trapezium. In figuur 19 zijn de eerste twee trapeziums afzonderlijk weergegeven. De overlap door het volgende trapezium is donkerder gekleurd. Vergelijk dat met de eerste twee trapeziums op elkaar (rechts in figuur 19). Om het derde trapezium te ontwerpen moet in figuur 18 eerst in punt F een lijnstuk met lengte a loodrecht op AF worden geplaatst. Daarmee wordt tegelijk al een aanzet gemaakt tot het ontwerp van het vierde trapezium enzovoort. En steeds maar weer alle maten

Figuur 17

Figuur 18

Figuur 19 De eerste twee trapeziums, afzonderlijk en op elkaar.

van een net ontworpen trapezium doorrekenen. Dat is een hele klus. In figuur 20 is dat een stukje verder in beeld gebracht met vier trapeziums en de aanzet tot een vijfde. Daarin is

duidelijk al een soort spiraalstructuur te herkennen die veel lijkt op de wortelspiraal van figuur 9. Figuur 21 toont de eerste vier trapeziums op elkaar gestapeld, waarbij het vierde

en bovenste voor een deel donkerder is gekleurd. Daar komt het vijfde trapezium overheen.

Figuur 20

Figuur 21

Figuur 22 Ramskop in uitvoering gezien van een andere kant.

UITVOERING Het zal duidelijk zijn dat door de keuze van de maten van de gelijkbenige rechthoekige driehoek die het uitgangspunt vormde, alle maten

van Ramskop vastliggen. Hugo ging uit van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van a = 11,7 cm. Ga met de gegeven formules na dat dan in figuur 17 voor

het eerste trapezium geldt b = 16,5 cm, CE = 9,7 cm, = 35,3° en hoek CEA = 99,7°. Bereken zelf aan de hand van figuur 18 de waarden voor het tweede trapezium. Vanwege de spiegelsymmetrie moet elk trapezium bij de daadwerkelijke houtenconstructie tweemaal worden uitgevoerd. Uit de dikte van het middelste trapezium in figuur 16 is op te maken dat er gekozen werd om in het midden twee congruente trapeziums keurig tegen elkaar te bevestigen. Wanneer alle trapeziums in hout op de gewenste maat zijn uitgevoerd, kan Ramskop in elkaar worden gezet (figuur 22) door de trapeziums met elkaar te verbinden. Daarbij moet dus steeds in de goede volgorde de langste diagonaal van een kleiner trapezium samenvallen met de langste basis van het grotere trapezium om de juiste overlap te krijgen.

OEFENING 1 Aan een ronde tafel zitten acht vrouwen en een aantal mannen. De rechterbuur van precies de helft van de vrouwen is een vrouw. De rechterbuur van precies driekwart van de mannen is een man. Hoeveel personen zitten er dan aan de tafel?

OEFENING 2

OEFENING 3 Wat is de verhouding tussen de oppervlaktes van een omgeschreven en een ingeschreven vierkant van een cirkel?

We markeren een punt X1 op een cirkel. Vanuit dat punt lopen we in bogen van 50°◦ in wijzerzin langs de cirkel. Zo markeren we de punten X2, X3, X4, … Wat is het eerste punt dat samenvalt met X1?

B C D E

X36

X37

X1800

X1801

1,5

2 8

Een deel van een 3x3x3-kubus wordt blauw geschilderd in de vorm van een verpakkingslint eromheen, zoals in de figuur. Hoeveel van de 27 kleine kubusjes hebben minstens één blauw zijvlak?

OEFENING 5 Arno, Bea, Clara, Danny en Eran zitten elk in een strandcabine met de eerste letter van hun voornaam op de deur. Twee personen wisselen van cabine en daarna wisselen nog twee anderen van cabine. Hoeveel deuren moet je dan maximaal openen om zeker te weten wie nog in de oorspronkelijke cabine zit?

OEFENING 6 Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met 17 landen te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen niet dezelfde kleur hebben.

C D E

4 5 meer dan 5

OEFENING 4

26 BOEKRECENSIE

HET DROSTE-EFFECT À LA ESCHER MET HET WERK 'PRENTENTENTOONSTELLING' GEEFT ESCHER ZIJN EIGEN DRAAI AAN HET 'DROSTE-EFFECT'. IN DEEL 60 VAN DE ZEBRA-REEKS 'VERDWIJNPUNT PRENTENTENTOONSTELLING VAN M.C. ESCHER OPGELOST' DOET RICK VOOYS UIT DE DOEKEN HOE WISKUNDIGEN VAN DE UNIVERSITEIT LEIDEN DIT JAREN LATER ZICHTBAAR MAAKTEN. DOOR SJOERD MARBUS

Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) voltooide zijn werk 'Prentententoonstelling' in 1956. Het is een van de meest ingewikkelde werken uit zijn oeuvre. Hij schrijft over zijn eigen verbazing in één van zijn brieven aan zijn zoon Arthur: "Zoiets raars heb ik, geloof ik, van mijn leven nog niet gemaakt." En: "Misschien ben ik niet ver verwijderd van Einsteins gekromde heelal!" Het lukte hem niet het werk helemaal af te maken. Hij liet een witte cirkel in het midden open en gebruikte dat voor de signering. Waarom is Prentententoonstelling zo’n fascinerende voorstelling? Je ziet in figuur 1 de reconstructie (dus de complete versie) van de Universiteit Leiden uit 2002. Verplaats je eens in de jongeman links op de voorgrond. Wat ziet hij? Een schilderij van een boot en wat huizen aan het water. Aan de linkerkant is het passe-partout goed zichtbaar. Maar hé, wat gebeurt er rechts op dat schilderij? De gebouwen lijken uit het schilderij te stappen. In een van de gebouwen leunt een vrouw uit het raam. En in dat gebouw is een prentententoonstelling en staat helemaal links een bezoeker, dezelfde jongeman. Wat ziet hij? Enzovoort. In 2002 – maar liefst 56 jaar na de voltooiing van Prentententoonstelling – werd de wereld van de kunst en de wiskunde opgeschud. Het was een groep wiskundigen onder leiding van Hendrik Lenstra en Bart de Smit van de Universiteit Leiden gelukt het gat in het midden van

Figuur 1

de Prentententoonstelling in te vullen. Ze ontdekten de wiskundige afbeeldingsformule die achter de prent schuilging. Ze hebben er zo’n twee jaar aan gewerkt. Niet alleen om de formule te ontdekken, maar ook om de originele onvervormde prent te reconstrueren. Daarbij werd de hulp van illustrator Jacqueline Hofstra ingeroe-

Figuur 2

pen om ontbrekende stukken in te laten vullen. En wat staat er in dat witte gat, vraag je je natuurlijk af. Daar staat de complete voorstelling opnieuw, maar wel geroteerd en sterk verkleind. En je begrijpt het waarschijnlijk al, in dat middelpunt staat het werk nog een keer. Weer geroteerd en nog verder verkleind. Er ontstaat een soort van draaikolk, met daarin het Drosteeffect. In figuur 2 wordt steeds verder ingezoomd op het middelpunt. ZEBRA-BOEKJE NR. 60 Het inzichtelijk maken van de wiskundige principes achter de 'transformatie' is niet eenvoudig. Afgelopen

Figuur 3 Recht rooster voor normale rechte wereld

jaar – bijna 20 jaar na de ontdekking van de formule – verscheen de Zebra-uitgave 'Verdwijnpunt Prentententoonstelling van M. C. Escher opgelost'. Rick Vooys, docent wiskunde en natuurkunde, neemt je stap voor stap mee in de transformatie. In de oorspronkelijke afbeelding (die uiteindelijk door reconstructie is achterhaald) is Prentenvoorstelling getekend in een 'recht rooster' (figuur 3). Escher ontwierp voor zijn weergave een eigen rooster (zie figuur 4). Vergelijk de roosters eens. Als je de route ABCD doorloopt in het rechte rooster, doorloop je een vierkant. In het Escherrooster worden de afstanden steeds korter. Je komt bovendien niet terug bij A uit, maar bij A'. Je ziet hoe het Droste-effect optreedt.

Figuur 4 Escherrooster voor vervormde wereld

Een kopie van punt A vind je terug in het midden. Wat je misschien ook opvalt, is dat de lijnen in zowel het rechte rooster als in het Escherrooster elkaar loodrecht snijden. Hoeken worden dus niet vervormd in het Escherrooster. Dit principe heet 'conformiteit' in de wiskunde en speelt ook een belangrijke rol in de cartografie. De roosters vormen ook de basis voor het ontdekken van de formule die erachter schuil gaat. In het boekje word je daarin stap voor stap meegenomen, zodat je uiteindelijk de exacte waarden van de vergrotingsfactor en de rotatiehoek vindt. Hierbij komt vooral het afbeelden van complexe getallen van pas. De ingewikkelde stappen worden in het Zebraboekje inzichtelijk gemaakt met 'behangpapier' dat je kunt oprollen tot een koker. Ken je de formule van het rechte rooster naar het Escherrooster, dan kun je met de inverse formule de originele prent in het rechte rooster reconstrueren. Al het werk van de Universiteit Leiden uit 2002 is nog altijd te vinden op escherdroste.math.leidenuniv.nl. Je kunt er diverse animaties downloaden die het Drosteeffect van Prentententoonstelling tot leven laten komen. Een tip: zet je speler niet op 'herhalen'. Je blijft er anders eindeloos naar kijken ...

Bericht op NOS Teletekst uit 2002

Zebrareeks nr. 60 ‘Verdwijnpunt Prentententoonstelling van M.C. Escher opgelost – Rick Vooys.’ Epsilon Uitgaven in samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.

Het Drosteeffect is een klassieker uit de wereld van de vormgeving. Een dame serveert op een dienblaadje een kopje chocolademelk met een pak cacao ernaast. Met op dat pak dezelfde dame met hetzelfde dienblaadje met een kop choco en ook weer een pak Droste ernaast, enzovoort. Je ziet dat het plaatje telkens verkleind terugkomt. Na twee keer verkleinen zie je het pak al bijna niet meer.

30 PYTHAGORAS

ELKE DAG EEN NIEUW WISKUNDEWEETJE ELKE DAG EVEN AANDACHT VOOR IETS WISKUNDIGS. HET KAN VANAF 1 JANUARI 2022, DAN KUN JE DE WISKUNDEKALENDER 2022 IN GEBRUIK NEMEN. EEN SCHEURKALENDER MET ELKE DAG WEER IETS ANDERS LEUKS. De ene dag krijg je een wiskundige puzzel voorgeschoteld. Het leuke is dat je zelf kunt kiezen hoeveel je je erin wilt verdiepen. Een puzzel kun je bijvoorbeeld ’s ochtends evenals het ontbijt tot je nemen. Eventueel maak je er een foto van met je telefoon. De rest van de dag

kun je er in verloren momenten even over nadenken, of je hebt het erover tijdens de pauze met een klasgenoot of collega. Aan het eind van de dag heb je de oplossing gevonden en check je op de achterkant van het blaadje of je antwoord goed is.

Figuur 1

Figuur 2

Een andere dag krijg je een nieuwsgierig makend kalenderblaadje. Wat waren de verdiensten van André Weil (1906 – 1998) voor de wiskunde? Ook nu kun je weer zelf voor verdere verdieping kiezen. Je kunt z’n biografie op internet er bijvoorbeeld even bij zoeken en kijken wat hij nog meer voor de wiskunde heeft betekend. Op 14 februari word je aan het knutselen gezet. Dan kun je je valentijn op dezelfde dag nog verrassen. De Wiskundekalender 2022 is samengesteld door de redactie van The New Scientist in samenwerking met Pythagoras en kost € 15,99. De kalender is verkrijgbaar via de boekwinkel of op www.newscientist.nl/wiskundekalender. Als lezer van Pythagoras en Vector krijg je korting met de code ‘wiskal21’!

Figuur 3

32 UITWISKELING

DE FIETSER NIET GEZIEN… IN DIT ARTIKEL BEKIJKEN WE EEN LESACTIVITEIT IN DE CONTEXT VAN VERKEERSVEILIGHEID. DE DODE HOEK BIJ VRACHTWAGENS EN PERSONENAUTO’S IS EEN GEKEND FENOMEEN. ER ZIJN ECHTER NOG MEER ‘VERDOKEN HOEKEN’ BIJ EEN AUTO. ALS BESTUURDER OF ALS ZWAKKE WEGGEBRUIKER BUITEN DE AUTO ZIJN WE ONS HIER JAMMER GENOEG NIET ALTIJD VAN BEWUST. J O H A N D E P R E Z , H I L D E E G G E R M O N T,

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

BEGIN LESACTIVITEIT

De analyse van het probleem maakt gebruik van de stelling van Thales en gelijkvormige driehoeken en past dus bij de leerstof van het derde jaar.

Op een dag rijdt Barbara met de auto van een parking. Ze rijdt daarbij stapvoets langs een weg die loodrecht op een fietspad uitkomt (zie de schets hieronder).

Net voor ze het fietspad wil oversteken, stopt ze. Tot haar grote verbazing verschijnt plots aan haar rechterkant vóór haar wagen een fietser die haar weg kruist. Ze schrikt en beseft dat die fietser een hele tijd verborgen zat achter de rechterstijl van het koetswerk van haar auto.

rechterstijl van het koetswerk

Thuisgekomen probeert ze het probleem te analyseren. Als je achter het stuur zit van een auto, is een deel van je zicht belemmerd door de rechterstijl van het koetswerk. Barbara maakt van de situatie een schets in bovenaanzicht. (zie figuur onderaan) De punten die niet zichtbaar zijn voor Barbara, zijn diegene die achter de stijl zitten en op een kijklijn liggen die de stijl snijdt (zie het

gearceerde gebied op de schets). De fietser bevond zich dus in het gearceerde gebied. Barbara en de fietser waren allebei in beweging. Het gearceerde gebied verplaatste zich bijgevolg en de snelheid van de fietser was zo dat hij precies in het gearceerde gebied bleef hangen! Barbara vraagt zich af hoe snel die fietser dan moet gereden hebben. Zelf was ze het fietspad stapvoets genaderd met een constante snelheid van 10 km/h.

In wat volgt zullen we Barbara’s oog, de stijl en de fietser herleiden tot een punt. We noemen ze resp. B, S en F. Omdat Barbara de fietser niet zag, ligt het punt F op de rechte BS.

tijd nodig om het stukje [FF1] af te leggen. Schrijf dan ook voor de fietser het verband op tussen zijn snelheid v, de tijd t en de afstand |FF1|. Los ook hier weer de vergelijking op naar t. (Hier geldt .)

en bijgevolg

4. Laat zien dat voor de snelheid van de fietser geldt: .

Figuur 1

(Je hebt twee uitdrukkingen voor t gevonden. Door die aan elkaar gelijk te stellen, krijg je . Hieruit volgt:

5. Met de stelling van Thales kun je een verband opstellen tussen de afstanden |BB1|, |FF1|, |AB| en |AF|. Doe dit en gebruik dit om te herschrijven.

Figuur 2

1. Op de figuur (figuur 1) heeft Barbara zich verplaatst van het punt B naar het punt B1. Ondertussen verplaatst de fietser zich van F naar F1 en verplaatst de stijl zich van S naar S1 . Construeer op de figuur het punt F1 . Bedenk dat Barbara de fietser nog altijd niet ziet.

(Omdat de stijl zich samen met Barbara verplaatst, verplaatst de kijklijn zich evenwijdig. De kijklijn B1 S1 is dus evenwijdig met de vorige kijklijn BS. Het punt F1 is dus het snijpunt van de rechte

AF met de evenwijdige B1 S1 aan BS door B1. Zie ook figuur 2.) 2. Stel dat t de tijd in uren is die Barbara nodig heeft om het stukje [BB1] af te leggen. Welk verband bestaat er dan tussen de snelheid van Barbara (10 km/h), de tijd t en de afstand |BB1|? Los de vergelijking daarna op naar t.

met de afstand (Er geldt .) |BB1| in km en dus t= 3. De fietser heeft net even veel

(De stelling van Thales toepassen geeft Hieruit volgt Bijgevolg is

. . .)

Al die afstanden heeft Barbara uiteraard niet gemeten. Toch zou ze graag weten hoe snel die fietser reed. Ze meet daarvoor enkele afstanden in haar auto. Ze wil weten waar de stijl zich bevindt t.o.v. haar oog. Dit is wat ze meet (C is het fictieve punt in haar auto

zo dat CS evenwijdig is met de rijrichting en loodrecht op BC):

Deze driehoek plaatsen we in de figuur links hiernaast. Dit geeft (figuur 3):

7. Gebruik nu deze bijkomende informatie om de snelheid van de fietser te berekenen.

6. Wat kun je zeggen over de driehoek CBS?

(Uit de gelijkvormigheid volgt . dat . De fietser Bijgevolg is reed dus 20 km/h.)

(De driehoek CBS is gelijkvormig met de driehoek AFB.)

8. Hoe snel reed de fietser indien Barbara 15 km/h reed?

(In dat geval is de snelheid van . De de fietser fietser zou dus 30 km/h rijden.)

Figuur 3 EINDE LESACTIVITEIT

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 25/3 als onderdeel van een uitgebreid artikel over wiskunde en verkeer. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

OEFENING 7 Amelie is de moeder van Babette, Babette is de zus van Celine. Dagobert is de grootvader van Celine. Emile is de enige zoon van Dagobert. Emile heeft geen zussen. Welk familiaal verband kan er zijn tussen Amelie en Emile?

Amelie is de tante van Emile.

Amelie is de echtgenote van Emile.

C D E

Het onderstaande lichaam wordt verkregen door uit een 5x5x5-kubus blokjes weg te nemen. Het resultaat heeft een symmetriemiddelpunt en bevat geen holtes. Uit hoeveel blokjes bestaat het onderstaande lichaam?

Amelie is de schoonmoeder van Emile. Amelie is de zus van Emile. Amelie is de nicht van Emile.

OEFENING 9

Vier van onderstaande afbeeldingen zijn aanzichten van eenzelfde kubus met verschillend gekleurde zijvlakken. Welke afbeelding is geen aanzicht van die kubus?

100

D E A

105 115

OEFENING 10 Een wedstrijd tennis wordt gewonnen door de eerste speler die in totaal drie sets wint. An en Bo zijn evenwaardige tennissters en speelden vandaag een wedstrijd die na vijf sets eindigde op 2–3 in het voordeel van Bo. Wat is de kans dat An na twee sets 2–0 voorstond? A

OEFENING 11

OEFENING 12 Jonas, Kimberly en Lucas leggen eenzelfde toets af met tien waar-valsvragen. Ze vullen bij een vraag 0 in als ze denken dat het antwoord vals is en 1 als ze denken dat het antwoord waar is. Jonas geeft als antwoordenreeks 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0 en Kimberly 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0. Ze hebben allebei negen antwoorden correct. Lucas vult zonder veel nadenken de antwoorden 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0 in. Hoeveel correcte antwoorden geeft Lucas?

Zestien roosterpunten liggen op de omtrek van een vierkant zoals in de figuur. Hoeveel rechthoeken hebben als hoekpunten vier van die roosterpunten?

C A

C D E

24 25

D E

5 6 Dat valt niet te achter- halen met de gegevens.

USOLV-IT IN EXPANSIE • wordt het lidmaatschap van onze reeds aangesloten scholen gratis verlengd voor twee jaar. Scholen die al een lidmaatschap hebben, hoeven hiervoor niets te ondernemen; • wordt usolv-it een tool die ook via i-Learn zal worden aangeboden, en wordt er, samen met i-Learn, gewerkt aan een single-sign-on voor leerkrachten. Hierdoor kun je als leerkracht met één login op de gekoppelde digitale platformen terecht. GRATIS VOOR ALLE SCHOLEN SECUNDAIR ONDERWIJS Recent sloot usolv-it een partnerschap af met i-Learn (https://i-learn. vlaanderen). Daardoor • kunnen alle secundaire scholen in Vlaanderen gratis aansluiten. Per school is er één accountbeheerder die eenvoudig alle collega’s een persoonlijke toegang kan geven. Indien je school gedurende minstens een van de voorbije drie jaren deelnam aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade, zal het lidmaatschap automatisch toegekend worden, met als accountbeheerder de ons bekende VWOschoolverantwoordelijke. Deze verantwoordelijken ontvangen hiervoor een afzonderlijk bericht. Als je school de afgelopen drie jaar niet deelnam aan de VWO, kun je een accountbeheerder aanmelden op deze pagina;

OEFEN-, TOETS- EN INSPIRATIEPLATFORM • Usolv-it bestaat sinds 2003 en functioneert als een gebruikersgroep met gebruikers uit het secundair onderwijs (meer dan 2400 leerkrachten) en uit het hoger onderwijs. • Usolv-it biedt nu al meer dan 18000 oefeningen mét een modeloplossing. Dit aantal groeit elk jaar gestaag met o.a. continue input van alle olympiades, ijkingstoetsen en toelatingsexamens. Als leraar surf je doorheen de oefenin-

Usolv-it bevat oefeningen en ondersteunt onderwijs Vak

Voornaamste bronnen

Passend voor leerlingen in

Aardrijkskunde

Geografie Olympiade en JON

2de / 3de graad

Biologie

Biologie Olympiade, JON, Toelatingsexamens

2de / 3de graad

Chemie

Chemie Olympiade, JON, Ijkingstoetsen en Toelatingsexamens

2de / 3de graad

Fysica

Fysica Olympiade, JON, Ijkingstoetsen, Toelatingsexamens, Leerkrachten

2de / 3de graad

Economie

Basisvakken Economie Universiteit

3de graad

Wiskunde

Wiskunde Olympiade en Kangoeroe, Ijkingstoetsen, Toelatingsexamens, Basisvakken Hoger Onderwijs, Leerkrachten, Auteurs VBTL

1ste, 2de, 3de graad (Kangoeroe ook voor het basisonderwijs)

Techniek

STEM-olympiade

1ste graad

Alle oefeningen mét model-oplossingen. Vaak ook met indicatie van moeilijkheidsgraad op basis van antwoordstatistieken.

gen, bouw je er oefenreeksen mee en kun je die digitaal zowel als klassiek (op papier) aanbieden aan je leerlingen. Je kunt je ook laten inspireren. MET USOLV-IT LEERKRACHT BOUW JE O.A. • Oefenreeksen voor je leerlingen: je kiest de opgaven die je wenst, stelt een “vaste oefenreeks” zelf samen, bepaalt de volgorde van de oefeningen en biedt aan op papier dan wel digitaal online (b.v. gekoppeld aan Smartschool indien aanwezig op jullie school) (zie foto hieronder)

• Inhoudstafels: met een “inhoudstafel” breng je je favoriete oefeningen uit het platform samen, desgevallend samen met collega’s binnen de school, om er voortaan in je onderwijs mee aan de slag te gaan. Dit vergt inspanning, maar is tegelijk voor lange tijd inzetbaar. Met inhoudstafels kun je je leerlingen “lukraak samengestelde oefenreeksen” (zgn. losse oefenreeksen) aanbieden, maar je vindt natuurlijk nóg sneller de oefeningen die je graag inzet voor vaste oefenreeksen, eenmaal je een bundeling in een inhoudstafel maakte.

HULP OP DE BRUG TUSSEN SECUNDAIR EN HOGER ONDERWIJS Leerlingen uit de derde graad kijken al even vooruit naar eventueel hoger onderwijs. Misschien wensen ze zich hier ook wat op voor te bereiden; of hebben ze een doorgedreven interesse in een of ander vak. Als ze deelnemen aan een wiskunde of natuurwetenschappen olympiade, kan de schoolverantwoordelijke hen een persoonlijke toegang tot de Athena-module van usolv-it bieden. Hiermee kunnen individuele leerlingen zich doelgericht en op eigen

Om een oefenreeks samen te stellen, kun je gericht zoeken uit een rijk aanbod. Het kleine schermpje toont het begin van een oefening, zodat je meteen kunt beslissen of je die al of niet helemaal wenst te zien.

tempo oefenen, met specifieke feedback, op alle wetenschaps- en wiskundeonderdelen van ijkingstoetsen en toelatingsproeven, om maar niet te zwijgen over de olympiades zelf. COÖRDINATIE De ontwikkeling van usolv-it en de gebruikersgroep wordt gecoördineerd door prof. Paul Igodt en prof. Tinne De Laet. Je bereikt ons via usolvit@kuleuven.be . Noteer met stip: www.usolvit.be Usolv-it wordt mee gesteund door

OVER I-LEARN

Homepagina van Athena, met dashboard.

We raden jullie aan om zeker i-Learn even onder de loep te nemen (www.i-learn.be). Misschien is deelname aan dit project namelijk wel iets voor jullie school. • Via het i-Learn portaal MyWay krijg je niet alleen gratis toegang tot usolv-it, maar eveneens tot een ruim aanbod van andere kwaliteitsvolle tools voor diverse (vak)domeinen.

• Bovendien kunnen deelnemende scholen via de i-Learn Academy gratis beroep doen op een uitgebreid ondersteuningsaanbod rond digitaal leren op maat. Leerkrachten kunnen zelf kiezen uit e-learning-modules en vormingssessies, en hebben de mogelijkheid om een coachingstraject op maat van de school aan te vragen.

De ideale manier om stappen vooruit te zetten in de digitale transformatie van je school! Je school aanmelden kan eenvoudig via de website van i-Learn.

Wiskunde,

ronduit verrassend! Er zijn 36028797018963968 mogelijkheden om deze Azteekse diamant met 10 treden te betegelen met en . Je ziet een lukraak gekozen voorbeeld.

Ook benieuwd cirkel naar het pool fenomeen? Kijk op

januari 2022

ste

Vlaamse Wiskunde Olympiade www.vwo.be facebook.com/vlaamsewiskundeolympiade

VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, Rhombus, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wolfram Mathematica, Wetenschap in Beeld.

Met dank aan Antoine Doeraene en Tom Claeys. V.U. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk – 432.328.406 – RPR Gent, afdeling Kortrijk – vwo@kuleuven.be

Deze figuur toont een lukraak gekozen betegeling van een Azteekse diamant met 1000 treden.

Oplossingen

BENIEUWD NAAR DE OPLOSSINGEN VAN DE ZOEKERTJES IN DIT NUMMER? OP DEZE PAGINA BEZORGEN WE JE ALVAST DE ANTWOORDSLEUTEL. Als leraar ben je allicht ook wel eens op zoek naar goed geformuleerde modeloplossingen. Weet je dat je die allemaal terugvindt met een account voor de Leerkracht module van het usolv-it platform? Dit is bovendien het geval voor de meer dan 18000 oefeningen die je in dat platform aantreft, voor leerlingen van het eerste jaar secundair onderwijs tot en met leerlingen van het 6de jaar. Met oefeningen uit deze steeds groeiende voorraad bouw je oefenreeksen voor je leerlingen, en als feedback kun je ook je leerlingen deze modeloplossingen laten zien. Over usolv-it en de samenwerking met i-Learn vind je in dit nummer belangrijke nieuwe informatie. www.usolvit.be

Wallaroe (p. 15) 1D - 2B - 3C

Wallabie (p. 16) 1D - 2E - 3C

Zoekertjes

(p. 24-25)

1D - 2C - 3D - 4B - 5B - 6B

Zoekertjes

(p. 36-37)

7 B - 8 B - 9 A - 10 C - 11 D - 12 C

Computationeel denken in de lessen wiskunde

850001030

Technologie evolueert razendsnel en digitalisering is alomtegenwoordig. Daarom is computationeel denken uitgegroeid tot nieuwe en belangrijke leerstof om aan te brengen tijdens de lessen wiskunde. Maar hoe ga je met dat computationele denken, die basiskennis van programmeren, aan de slag in de klas? Ontdek de aanpak van onze wiskundemethodes Nando en Van Basis Tot Limiet.

ekijk (Her)b ps rksho o w e d

Nando

Wiskunde met pit

Download jo uw gratis inspiratiebo ekje