FEBRUARI 2025 - nummer 22
TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs
CONSUL, DE REKENAAP 12
UIT DE OUDE DOOS: KEGELSNEDEN 21 DE MOOISTE KAARTTRUC 33
Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras
3 MET DAK BEDEKKEN VERWEVEN VEELVLAKKEN
STATBELACADEMY
BRENG STATISTIEK NAAR DE KLAS! 10
12 CONSUL, DE REKENAAP
GESCHUD SCHAAKBORD 18
21 UIT DE OUDE DOOS: KEGELSNEDEN
M.C. ESCHER & ALBERT E. BOSMAN: EEN WISKUNDIGE VERBINTENIS 25
26 WW-CONGRES
EEN VRAAGSTUK VAN MICHIEL COIGNET AAN GALILEO GALILEÏ 28
33 DE MOOISTE KAARTTRUC
GOOCHELEN EN WISKUNDE: EEN KAART VOORSPELLEN 39
42 SPREIDINGSDIAGRAMMEN
7e jaargang - nummer 22
REDACTIE Bart Delepierre, Daphné Depape, Anke Oderij, Karel Sierens, Joke Wouters - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be
EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.
VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.
VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge
REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be
IN OKTOBER 2018 WAS ER EEN KLEINE EXPOSITIE VAN RINUS ROELOFS IN ESCHER IN HET PALEIS TE DEN HAAG. MIDDEN IN DE ZAAL STONDEN
DRIE ONGEVEER EVEN GROTE OBJECTEN IN DE KLEUREN GROEN, WIT EN BLAUW. ZE WERDEN RESPECTIEVELIJK AANGEDUID MET TETRA-CUBE, CUBE-DODECAEDER EN CUBE-RHOMBIC DODECAHEDRON. IN DE ZOMER VAN 2020 STONDEN ZE IN DE STATIONSHAL VAN ZIJN WOONPLAATS HENGELO, TERWIJL BUITEN OP HET STATIONSPLEIN EEN AANTAL GROTE BEELDEN VAN HEM STONDEN. HET LOONT ALLESZINS DE MOEITE OM DEZE DRIE OBJECTEN HIER TE ONTLEDEN.
KLAAS LAKEMAN, ARS ET MATHESIS
TETRA-CUBE
Dat een regelmatig viervlak of tetraëder precies in een kubus past zal wel niet nieuw zijn. De zes ribben of randen van het viervlak worden gevormd door zes zijvlakdiagonalen van de kubus, in elk van de zes zijvlakken één (figuur 1). Je kunt het ook omdraaien. Door op elk van de vier zijvlakken van een tetraëder een dakje in de vorm van een driezijdige piramide te plaatsen ontstaat een kubus. Het grondvlak van zo’n piramide is een regelmatig driehoek (figuur 2). De drie opstaande randen staan in de top onderling loodrecht op elkaar en vormen drie van de twaalf ribben of randen van de kubus. Als de drie opstaande randen van die piramide een lengte r hebben, dan moeten de zijden van het driehoekige grondvlak een lengte r√2 hebben.
In de zogenoemde Tetra-cube van Rinus Roelofs zijn de vlakken van kubus en tetraëder zo met elkaar vervlochten dat een totaal object ontstaat (figuur 3). Daarbij is handig gebruik gemaakt van de eigenschap dat een kubus wordt verkregen door elk zijvlak van een tetraëder met een piramide vormig dak te bedekken. Dat is heel duidelijk in de structuur te herkennen. Merk op dat een dak niet direct verbonden is met het zijvlak van de tetraëder waar het op ‘staat’. De driehoekige zijvlakken van een dak gaan er als het ware doorheen en zijn verbonden met de aanliggende zijvlakken van de tetraëder.
Trek in een kubus de vier lichaamsdiagonalen en snijdt hem vervolgens daar langs door. Dat levert zes vierzijdige piramides op (figuur 4). Zet je die vervolgens op de zes zijvlakken van eenzelfde kubus, dan ontstaat een ruitentwaalflak (figuren 5 en 6). De afmetingen van de piramidevormige dakjes die op een kubus met ribbe r moeten worden gezet om tot een ruitentwaalfvlak te komen, zijn met figuur 4 snel te bepalen. Het grondvlak is precies een zijvlak van de kubus en dus een vierkant met zijde r. De vier opstaande randen zijn gelijk aan de helft van een lichaamsdiagonaal van de kubus. Die lichaamsdiagonaal is dus is een opstaande rand
Die opstaande randen vormen de zijden van de twaalf ruiten van het ruitentwaalfvlak. Duidelijk is dat boven elk van de twaalf ribben van de kubus de opstaande zijvlakken van twee dakjes keurig in elkaars verlengde liggen en een ruitvormig zijvlak vormen van het ruitentwaalfvlak. De betreffende ribbe van de kubus is dan steeds de korte diagonaal van de ruit.
Net als bij de Tetra-cube heeft Rinus Roelofs bij zijn Cube-rhombic dodecahedron de vlakken van een ruitentwaalfvlak met die van een kubus tot één totaal object weten te verenigen (figuur 7). Opnieuw is duidelijk te zien dat de structuur ervan berust op het bedekken van de zes zijvlakken van een kubus met piramide vormige dakjes. Ook hier zijn de daken niet direct verbonden
met de zijvlakken van de kubus waar ze op ‘staan’. Ze gaan er als het ware doorheen en zijn verbonden met de
vier aanliggende zijvlakken van de kubus.
OOK DAKJES OP OCTAËDER
Een ruit heeft een korte en een lange diagonaal. Ga je uit van een
ruitentwaalfvlak zoals in figuur 8, dan spannen de twaalf korte zijvlakdiagonalen een kubus op. Juist de kubus waarbij door er dakjes op te plaatsen het ruitentwaalfvlak ontstaat (figuur 5). Figuur 9 toont dat de twaalf lange zijvlakdiagonalen een regelmatig achtvlak of octaëder opspannen en dat omgekeerd met dakjes op de acht zijvlakken van die octaëder een ruitentwaalfvlak ontstaat. Die acht dakjes hebben de vorm van driezijdige piramides. Ook daarvan zijn de afmeteingen vrij simpel te bepalen.
Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met zijden r√2 (gelijk aan een zijvlakdiagonaal van de oorspronkelijke kubus!). De drie opstaande randen van deze dakjes zijn dan even lang als de zijden van de ruiten . Ook hier liggen de driehoekige zijvlakken van twee dakjes in elkaars verlengde en vormen tegen elkaar aangelegd een ruitvormig zijvlak van het ruitentwaalfvlak.
Zo is duidelijk dat een ruitentwaalfvlak op twee verschillende manieren is op te delen. De eerste manier is in een kubus met zes dakjes op de zijvlakken waarbij die zes dakjes samen ook een kubus vormen, zoals blijkt uit figuur 4. Vervolgens een regelmatig achtvlak, waarbij elk zijvlak bedekt is met een klein dakje. Met deze acht dakjes kunnen twee congruente tetraëders worden samengesteld. Vier van die dakjes per tetraëder.
Uitgaande van de kubus is het vervlochten object van figuur 7 te maken, de Cube-rhombic dodecahedron. Uitgaande van het regelmatig achtvlak is er echter geen vervlochten totaalobject mogelijk. Het splits dan namelijk op in twee delen (figuur 10).
Door de zijvlakken van een kubus op een bepaalde manier met andere daken te bedekken wordt een regelmatig twaalfvlak of dodecaëder verkregen (figuren 11 en 12). De twaalf zijvlakken van een dodecaëder zijn regelmatige
vijfhoeken. In zijn Cube-dodecaëder heeft Rinus Roelofs ook de zijvlakken van een regelmatig twaalfvlak en die van een kubus tot één totaal object weten te verenigen (figuur 13). Uit de figuren 11 en 12 is op te maken dat de dakjes geen mooie piramides zijn. Zo’n dak is met twee regelmatige vijfhoeken met zijden met lengte z in elkaar te zetten (figuur 14). Knip van die twee regelmatige vijfhoeken langs een diagonaal met lengte r twee driehoeken af. De vier verkregen stukken zijn samen te stellen tot een dak. Het grondvlak van dat dak is een vierkant met zijden gelijk aan de diagonaal die doorgeknipt is. De opstaande ribben en de bovenrand of vorst van het dak zijn gelijk aan de zijden z van de oorspronkelijke vijfhoeken. Zo’n dak past op de zijvlakken van een kubus met ribben r. In de figuren 14 C en D is dat voor twee daken gedaan. Daaruit en uit de figuren 11 en 12 is op te maken dat na plaatsing van de andere vier daken er boven elk van de twaalf ribben van de kubus een vijfhoek komt die is samengesteld uit delen
van twee daken. Dat die twee delen keurig in elkaars verlengde liggen en dus een mooi glad vijfhoekig zijvlak van de dodecaëder vormen lijkt duidelijk, maar ligt niet direct voor de hand. Daarvoor moeten
de driehoekige en vierhoekige opstaande zijvlakken van de daken dezelfde helling hebben. Uiteraard is dat te bewijzen, maar dat is nog een aardige klus. (Zie daarvoor bijvoorbeeld het artikel Daken en
dodecaëders door Jan van de Craats in het tijdschrift Pythagoras jaargang 27 nummer 1, februari 1988).
VERBORGEN ONDER DE DAKEN
Bij de Tetra-cube heb je te maken met een tetraëder die verborgen zit in een kubus en wel zo dat de vier hoekpunten van de tetraëder ook hoekpunten van de kubus zijn. In een kubus kan nog een tweede tetraëder opgeborgen zitten. Die krijg je door in figuur 1 in alle zijvlakken de tweede zijvlakdiagonaal te trekken. Dan spannen de vier andere hoekpunten van de
kubus die tweede tetraëder op. Die twee in een kubus verborgen tetraëders doorsnijden elkaar zoals Rinus Roelofs heeft aangegeven in de figuren 15.
Bij de andere twee totaalobjecten zit daarentegen een kubus in een ruitentwaalfvlak respectievelijk in een dodecaëder verborgen. Daar zijn de acht hoekpunten van de kubus ook hoekpunten van het ruitentwaalfvlak respectievelijk de dodecaëder. Uit de figuren 5 en 8 wordt duidelijk dat in het ruitentwaalfvlak slechts één kubus
opgeborgen kan zitten. Maar daarnaast kan er ook nog een octaëder in opgeborgen zijn, zoals bijvoorbeeld figuur 9 duidelijk maakt. Die wordt opgespannen door de zes overige hoekpunten van het ruitentwaalfvlak. Dat zijn precies de toppen van de zes daken in figuur 4.
Daarnaast kan worden geconcludeerd dat een kubus verborgen zit in een dodecaëder. Die wordt opgespannen door acht van de twintig hoekpunten van dat regelmatig twaalfvlak. Er zijn dan nog twaalfhoekpunten
In de figuur hieronder zijn alle hoeken recht en hebben alle zijden lengte 1 of 2. Wat is de oppervlakte van die figuur?
over dus zeker ruimte voor nog een tweede kubus. Sterker nog, er passen zelfs vijf verschillende elkaar doorsnijdende kubussen in een dodecaëder! In elk van die kubussen passen twee tetraëders, wat maakt dat er tien verschillende elkaar doorsnijdende congruente tetraëders in een regelmatig twaalfvlak verborgen zitten!
Foto’s en illustraties: Rinus Roelofs Introductie foto, figuur 10 en figuur 15; Klaas Lakeman overige foto’s en tekeningen.
Het taartdiagram hiernaast geeft weer wat een opruimactie aan het strand opgeleverd heeft. Hoe groot is de aangeduide hoek?
Een groep toeristen maakt een daguitstap.
Wanneer iedereen € 50 zou bijdragen, heeft de groep €200 te weinig om de uitstap te betalen. Wanneer iedereen €60 zou bijdragen, heeft de groep € 200 te veel. Uit hoeveel toeristen bestaat die groep?
Tess heeft een grote hoeveelheid N&N’s.
Daarmee vormt ze de letter T zoals in stap 1. Vervolgens voegt ze aan elk van de drie uiteinden van die letter T een N&N toe en verkrijgt ze de figuur in stap 2.
1 stap 2
De oppervlakte van driehoek ABC is een natuurlijk getal. Welke uitspraak over de natuurlijke getallen a, b en c is zeker waar?
Als Tess die procedure zo verderzet, ontstaan er steeds grotere letters T. Bij de hoeveelste stap bevat de letter T precies 2025 N&N’s?
HET EDUCATIEVE AANBOD
VAN STATBEL, HET BELGISCHE
STATISTIEKBUREAU
Statbel Academy is het leerplatform van Statbel, het Belgische statistiekbureau.
Wil je statistiek behandelen in de klas en officiële statistieken beter begrijpen en onderwijzen? Dan ben je hier aan het juiste adres.
Statbel Academy is een startpunt voor het ontdekken van openbare statistieken voor het primair, secundair en hoger onderwijs in België. Een (virtueel) bezoek is een must!
NODIG EEN STATISTICUS UIT
Wil je je leerlingen kennis laten maken met de fascinerende wereld van statistieken, samen met één van de statistici van Statbel?
Dat kan!
Wij presenteren graag onze tools in je klas, in combinatie met een brede waaier aan cijfers en statistieken.
Via de website van Statbel Junior verkennen we verschillende termen en presentatiemethoden van statistieken. Daarnaast kunnen we ook ingaan op specifieke onderwerpen en bepaalde cijfers en databanken dieper onderzoeken via onze algemene website.
STATBEL ACADEMY
WWW.STATBELJUNIOR.BE
WWW.STATISTIEKOLYMPIADE.BE
WWW.STATBELACADEMY.BE
STATLITERACY@ECONOMIE.FGOV.BE
WWW.LINKEDIN.COM/SHOWCASE/ STATBELACADEMY
STATBEL
WWW.STATBEL.FGOV.BE
WWW.FACEBOOK.COM/STATBEL.NL
WWW.LINKEDIN.COM/COMPANY/STATBEL
KONING ALBERT II-LAAN 16 - 1000 BRUSSEL
NIEUWSBRIEVEN
Kom alles te weten of de Statistiekolympiade via de specifieke Olympiade-nieuwsbrief: statbel.fgov.be/nl/ Olympiade/nieuwsbrief
Wil je graag wekelijks een overzicht ontvangen de gepubliceerde statistieken? Schrijf je dan in op de algemene nieuwsbrief van Statbel: statbel.fgov.be/nl/ inschrijving-nieuwsbrief
Het volledige aanbod is gratis.
PYTHAGORAS
EEN AAP DIE KAN REKENEN? ZO WORDT HIJ WEL VERKOCHT. CONSUL IS EEN KLASSIEK BLIKKEN SPEELGOEDJE WAARVAN TEGENWOORDIG
REPLICA’S WORDEN GEMAAKT DIE WORDEN AANGEPREZEN ALS LEUK
HULPJE VOOR KINDEREN OM TE LEREN VERMENIGVULDIGEN.
GEERTJE HEK
De oorspronkelijke Consul was een chimpansee die aan het begin van de 20e eeuw optrad in Britse theaters en zo beroemd werd dat hij in 1909 per boot, als passagier, de oversteek maakte naar Amerika met zijn kunstjes. Volgens de overlevering reed hij op de boot op zijn rode fiets en op rolschaatsen, gebruikte hij een zakdoek en een servet en at hij zijn lunch met mes en vork.
Eenmaal in Amerika bezocht hij de fabriek van het National Cash Register, waar hij leerde werken met een kassa. Een ingenieur die ook speelgoed ontwierp, raakte hierdoor geïnspireerd en noemde het vermenigvuldigingsspeeltje dat hij zojuist had bedacht naar hem. Zo was Consul, the educated Monkey geboren.
Ook als je de tafels van vermenigvuldiging al lang kent, is Consul nog een interessant speelgoedje. Volgens de op het blik geprinte instructies moet je de voeten van de aap naar twee getallen laten wijzen, waarna Consul met zijn handen het product van die twee getallen zal tonen. Als je de voeten verschuift, verplaatsen de handen zich dankzij een mechanisch systeem met scharnierende punten bij de ellebogen, handen en kin. De grote vraag is hoe dit eigenlijk werkt.
Als je niet echt aandachtig kijkt, zie je een driehoek met gehele getallen waarover zijn armen en handen bewegen. De driehoek van Pascal?
Beter kijken leert meteen dat het niet de driehoek van Pascal is. Die begint immers met
terwijl Consuls driehoek begint met
Dat lijkt niet op elkaar. Het enige wat overeenkomt is de vorm, met de verspringende rijen gehele getallen.
Om te begrijpen hoe de aap de getallen bij zijn tenen vermenigvuldigt, lijkt het een goed idee om uit te zoeken of er
een structuur in de getallen op de diagonalen of de rijen in de driehoek zit. Of wellicht allebei. De linkerrand-diagonaal is makkelijk: op het bovenste cijfer na volgen de getallen van beneden naar boven een rij waarin ieder volgend getal het vorige plus één is, startend bij 2. Van onderaf geteld staat op de ne regel dus het getal 1 + n.
Op de volgende diagonaal nemen de getallen steeds met 2 toe, beginnend bij 6. De getallen vormen een zogenaamde rekenkundige rij.
Op de ne regel staat dus het getal 4 + 2n. Merk op dat ook deze formule geldt voor alle getallen behalve het bovenste.
Vraag 1: Zoek met behulp van figuur 1 uit wat het patroon is in de volgende diagonaal die vanaf het getal 12 schuin naar rechtsboven loopt. Wat is de formule voor het element op de ne regel voor deze derde diagonaal, als n = 1 correspondeert met de onderste regel in de driehoek?
Vraag 2: Probeer een algemene formule in termen van n en k te vinden voor de getallen op de ne regel in de ke diagonaal die van beneden schuin naar rechtsboven loopt.
De laatste getallen van deze diagonalen, waarvoor de gevonden formules niet gelden, vormen samen de rechterrand-diagonaal, waarin je waarschijnlijk kwadraten herkent. Van boven naar beneden zie je 1, 4, 9, 16, … , 144, ofwel 12, 22, 32, 42, … , 122
De andere diagonalen die vanaf de linkerrand schuin naar rechtsonder lopen, zijn ook heel simpel. Ze bevatten precies getallen van de tafels van vermenigvuldiging.
Zoals gezegd zijn de handen en voeten van de aap via bewegende punten met elkaar verbonden. Aan de hand van de patenttekening in figuur 1 is dit vrij duidelijk te zien. De handen zitten bij scharnierpunt L in de oorspronkelijke tekeningen, de voeten bij eindpunten E en F. Die eindpunten E en F schuiven in een horizontale sleuf van links naar rechts. En hoe dichter de voeten naar elkaar geschoven worden, des te lager de handen zitten en des te hoger de kop. Aan beide kanten vormen de benen en bovenarmen één stuk. Dat zie je duidelijk in de
linkertekening in figuur 1, maar als je goed kijkt zie je dat het voor de aap in de rechtertekening ook geldt. Als de voeten een bepaalde afstand uit elkaar staan, zitten de handen altijd op dezelfde, door de voetafstand bepaalde, hoogte.
Kijk nu eens naar de handjes van de chimpansee. Waar komen deze te staan als je 1 · 10 uitrekent? En waar als je 2 · 10 aan de aap vraagt? Is het logisch dat de tafels van boven naar beneden lopen op deze diagonalen die schuin naar beneden gaan vanaf de linkerzijde?
We keren terug naar de diagonalen uit vragen 1 en 2. Als het goed is heb je voor de getallen op de ke diagonaal de formule k2 + kn gevonden. Maar dat zijn natuurlijk veelvouden van k. Ofwel, de ke diagonaal bevat getallen uit de tafel van k. Als zijn voetjes bij twee
Figuur 1. De patentdiagrammen van ingenieur William H. Robertson. Links het algemene vermenigvuldigapparaat (patent toegekend in 1918), rechts de speelgoedaap (patent verkregen in 1916).
getallen staan, vindt de aap het product van die twee getallen dus precies op de kruising van twee diagonalen met de benodigde tafels. Om bijvoorbeeld 3 · 6 uit te rekenen, neemt hij de 3e diagonaal van linksonder naar rechtsboven, met getallen uit de tafel van 3, en de diagonaal van linksboven naar rechtsonder die de tafel van 6 bevat. Op de kruising vindt hij het getal 18. Het getal 18 komt twee keer voor in de driehoek. Kunnen we begrijpen waarom de ene 18 op de derde rij van onderen staat (dus op de rij met n = 3) en de andere op de zevende rij? Laten we daarvoor de horizontale rijen eens beter bekijken.
Met behulp van de zojuist gevonden formule k2 + kn zien we dat op de 3e rij van onderen in de ke diagonaal het getal k2 + k · 3 staat en op de 7e rij van onderen het getal k2 + k · 7.
We zeiden al eerder, dat de handen altijd op een door de voetafstand
bepaalde hoogte zitten. Omdat k2 + nk = k(k + n), kunnen we dit nu preciezer formuleren: als je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt die n verschillen, ligt het resultaat op de ne horizontale rij. Zie figuur 2.
De getallen 3 en 6 verschillen een afstand 3, dus ligt het getal 18 = 3 · 6 = 3(3 + 3) op de derde regel van onderen. Het getal 18 = 2 · 9 = 2(2 + 7) ligt op de zevende regel, omdat 2 en 9 een afstand 7 uit elkaar liggen.
De kwadraten zouden eigenlijk op de nulde rij moeten staan, dus een horizontale rij onderaan de driehoek vormen. Immers, k2 = k(k + 0), zodat n = 0 in de bovenstaande analyse. De constructie van het blikken speelgoed, met voetjes die aan de achterkant in een smalle sleuf glijden, laat echter niet toe dat de
2
voetjes op dezelfde positie staan. Daarom is er naast de 12 nog een geplaatst in de getallenrij onder de voeten. Als de rechtervoet daar staat en de linkervoet bij het getal k, geven de handen k2 aan.
Vraag 3: Kijk naar de voetafstand voor ieder kwadraat en probeer daarmee te begrijpen waarom het getal behorend bij k2 achteraan de (13 − k)e horizontale rij staat.
Nu we de rijenstructuur begrijpen kunnen we nog een vraag stellen over de werking van Consul: hoe zit hij eigenlijk in elkaar? Allereerst kun je zien dat er vier scharnierpunten zijn: op de ellebogen, net onder het vierkantje tussen de handjes, en net onder de kin. Op de ontwerptekening zijn deze scharnierpunten aangegeven met de letters J, K, L en D. Het is niet moeilijk te begrijpen dat Consuls handjes over een horizontale lijn bewegen als de voeten op een constante afstand van elkaar gehouden worden, want in feite wordt de aap in zijn geheel naar links of naar rechts getransleerd als je hem bijvoorbeeld beweegt van 1 · 4 via 2 · 5, 3 · 6, etc. naar 9 · 12. De scharnieren bij de handen, de ellebogen en het hoofd bewegen in dit geval niet.
De manier waarop de getallen in de driehoek zijn neergezet, suggereert dat de handen precies over een rechte lijn lopen als je één voet vasthoudt en de andere beweegt, dus als je bijvoorbeeld schuift van
4 · 5 via 4 · 6 en 4 · 7 naar 4 · 8. Dat dit ook echt zo is, kun je bewijzen met behulp van driehoeken. Bij Consul heeft driehoek EJD een rechte hoek in J en de lengtes JD en JE zijn gelijk. Hetzelfde geldt voor driehoek FKD. Daarmee zijn beide driehoeken gelijkbenig, en het is precies dit aspect dat belangrijk is. Een tweede belangrijke eigenschap van de aap is dat de onderarmen JL en KL ook weer dezelfde lengte hebben als JD, dus JL=KL=JD=KD. Daardoor vormen de punten DJLK een ruit en liggen de handen L en het hoofd D op een verticale lijn. Voor de stevigheid heeft het speelgoed een verticale sleuf waar het hoofd in schuift, maar in feite legt de meetkunde deze verticale beweging gewoon In figuur 3 is de situatie schematisch weergegeven. Om te laten zien dat de handjes over een rechte lijn lopen als we de linkervoet vasthouden, moeten we aantonen dat hoek
onafhankelijk is van de positie van de rechtervoet.
Laat , zoals in de figuur. Als je de linkervoet vasthoudt en de rechtervoet verschuift, verandert de hoek �. Vul op basis van wat je weet over driehoeken en ruiten de overige hoeken in de figuur in.
Vraag 4: Wat is de grootte van ? Merk op dat deze waarde niet afhangt van �.
Je antwoord op vraag 4 bevestigt dat de uitkomsten van vermenigvuldigingen van het getal k met getallen k + n precies op één rechte lijn moeten staan en dat die lijn een hoek van 45°� met de lijn EF maakt. Dit komt overeen met de manier waarop de getallen in de driehoek zijn gezet. En daarmee hebben we het functioneren van Consul de rekenaap ontrafeld.
De moderne, hernieuwde uitvoering van Consul kan alleen maar vermenigvuldigen, maar de oorspronkelijke uitvoering kwam met twee verschillende driehoeken die je onder de handjes kon stoppen. De tweede driehoek bevatte de getallen die je krijgt als je getallen k en k + n bij elkaar optelt. Je kunt zelf uitzoeken hoe die extra driehoek eruit moet zien.
Wist je dat iedere middelbare scholier mee kan doen met de Pythagoras Olympiade?
Er zijn iedere editie 2 opgaven met 1 bolletje en 2 moeilijkere opgaven met 2 bolletjes. De opgaven met 1 bolletje zijn geschikt voor wiskunde-liefhebbers vanaf het eerste middelbaar.
Iedere editie zijn er drie bol.com cadeaukaarten van €20 te winnen: één voor de beste onderbouwleerling, één voor de beste bovenbouwleerling en één voor de winnaar van de laddercompetitie.
Een abonnement op Pythagoras is niet verplicht voor deelname.
Je kunt Pythagoras Olympiade opgaven ook altijd via onze website www.pyth.eu/olympiade bekijken. Maar een groepsabonnement op tijdschrift
Pythagoras kun je via school al afsluiten vanaf €6 per persoon!
Welke figuur is congruent met de nevenstaande figuur?
Een bepaald woord wordt vijf keer doorgestuurd maar wordt slechts één keer correct ontvangen. Elke andere keer worden precies twee letters verkeerd ontvangen. Hieronder zie je de ontvangen woorden.
AREND BLOED BREED BREUK BRIEF
Welk woord probeert men door te sturen?
Van drie van de vier rechthoeken in de figuur is de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van de vierde rechthoek?
SCHUDDEN WORDT MEESTAL GEASSOCIEERD MET EEN KAARTSPEL. WAT ALS WE EEN SCHAAKBORD GAAN
SCHUDDEN? VALT DAAR DAN OOK MEE TE REKENEN?
JAAP KLOUWEN
Waarschijnlijk was het in de tijd dat ik bezig was met een puzzel over schaken. Ik droomde in ieder geval het volgende. Ik had een schaakbord in handen en hield dat een beetje schuin omhoog. Plotseling bleken alle zwarte velden 'los' te zitten. Het bord bestond eigenlijk uit 64 witte velden, waarvan er 32 met zwarte vlakjes waren belegd. Maar deze zwarte velden zaten niet geheel vast
en begonnen te schuiven. Ze zakten naar beneden, en kwamen elk op afzonderlijke witte velden terecht.
Er ontstond dus een ‘schaakbord’ met een ander dan het gebruikelijke om-en-om wit-zwart-motief. In figuur 1 staat een voorbeeld van zo'n geschud schaakbord.
Ik vroeg me toen af hoeveel verschillende van dit soort geschudde schaakborden er waren, met dus 32 witte en 32 zwarte velden. Het antwoord op die vraag liep echter uit de hand: het waren er echt te veel…
Daarna concentreerde ik me eerst maar op een kleiner schaakbordje, van drie bij drie, het principe huldigend dat je bij een te groot probleem eerst een eenvoudiger variant moet bestuderen. Uitgangspunt is een 3×3-bord met 5 zwarte en 4 witte velden.
De tweede en derde variant in figuur 2 beschouw ik als dezelfde: draai de tweede een kwartslag in wijzerrichting en spiegel hem in een verticale lijn; dan gaat de tweede variant over in de derde. De vierde variant is anders, want er liggen daar drie zwarte velden op een rij in het midden van het schaakbordje; dat is niet zo bij de tweede en derde variant (die hun drie zwarte velden op een rand hebben!).
Opgave
Hoeveel verschillende geschudde 3×3-schaakborden zijn er?
Hoeveel van de volgende vijf beweringen zijn correct?
Lotte rijdt met een constante snelheid van Erpenheim naar Merenheim. Die twee steden liggen 80 km van elkaar verwijderd. Op een bepaald moment rijdt zij voorbij een bord waarop staat dat zij nog 60 km verwijderd is van Merenheim. Precies 25 minuten later ziet zij op haar kilometerteller dat ze al 60 km verwijderd is van Erpenheim. Met welke constante snelheid, uitgedrukt in kilometer per uur, rijdt Lotte?
DE TWEEDE AUTEUR HERINNERT HET ZICH NOG GOED: ``WANNEER IK HET LICHT ZAG EN BESLISTE OM WISKUNDE TE STUDEREN? DIT MOMENT VAN ROEPING SITUEERDE ZICH ERGENS IN DE MAAND MEI VAN HET
LAATSTE JAAR SECUNDAIR ONDERWIJS. TIJDENS DE LESSEN PROJECTIEVE MEETKUNDE WERD IK VAN MIJN PAARD GEBLIKSEMD DOOR DE PURE
SCHOONHEID VAN DE KEGELSNEDEN, EN DOOR DE SACRALE WIJZE WAAROP ZE IN DE KLASSIEKE OUDHEID BESTUDEERD WERDEN DOOR GRIEKSE GODEN ZOALS EUCLIDES, ARCHIMEDES, PAPPOS, MAAR VOORAL APOLLONIUS.”
PAUL LEVRIE EN RUDI PENNE, FACULTEIT TOEGEPASTE INGENIEURSWETENSCHAPPEN, UANTWERPEN
De namen ellips, hyperbool, en parabool hebben we inderdaad te danken aan Apollonius van Perga, die zijn studie over deze krommen rond 225 v.Chr. opschreef in Konika, een van de indrukwekkendste meesterwerken uit de oudheid, een bundeling van 8 manuscripten. Het laatste deel is helaas verloren gegaan, misschien een insteek voor een nieuw Dan Brownmysterie. Uit Konika leren we ook dat Apollonius meteen het juiste inzicht had om deze krommen in een gemeenschappelijke context te bestuderen, namelijk als verschillende vlakke doorsneden van eenzelfde (circulaire) kegel, vandaar de familienaam kegelsneden. In de figuur zien we dat vanuit het standpunt van een toeschouwer die in de top van de
kegel in de richting van de as kijkt, iedere kegelsnede in wezen zich optisch voordoet als een cirkel. We komen hier later op terug.
Terzijde verwijzen we hier naar de film Agora waarin we zien
hoe Hypatia van Alexandrië gepassioneerd kegelsneden bestudeert met behulp van een houten kegelmodel. Hypatia is de eerste vrouwelijke wiskundige waarover we historisch gedocumenteerd zijn. In het jaar
415 werd ze door geradicaliseerde christenen levend gevild en verbrand toen ze wetenschappelijke documenten van de bibliotheek van Alexandrië wilde behoeden tegen verbranding. Dat ze bewust een huwelijk met de waarheid verkoos boven een echtgenoot of een god, zal haar ook niet geholpen hebben.
Voor wie niet op de hoogte is, kegelsneden is de verzamelnaam voor 3 soorten wiskundige krommen. Ellipsen worden meestal getekend met behulp van 2 brandpunten. Voor elk punt op de ellips is de som van de afstanden tot deze brandpunten hetzelfde, namelijk gelijk aan de grote as (afstand tussen de hoofdtoppen). Voor de punten van een hyperbool is het verschil van de afstanden tot de 2 brandpunten dan weer constant (ook hier gelijk aan de afstand tussen de toppen). Dan heb je nog de parabolen die in dit artikel nauwelijks een rol spelen, maar elders
Figuur 2. De ellips als meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot 2 vaste punten, de brandpunten, gelijk is.
glorieus optreden, bijvoorbeeld als projectielbanen, ruimtetelescopen of schotelantennes.
De lezer vraagt zich nu misschien (net zoals wij) af wat het verband is tussen de definitie van de ellips als doorsnede van een kegel met een vlak, en de definitie met de brandpunten. En daar komt een (halve) Belg ons ter hulp: Germinal Pierre Dandelin (1794-1847).
Dandelin werd in 1794 geboren met een Franse vader en een Belgische moeder. Hij heeft voor de Fransen gevochten onder Napoleon, diende in het Nederlandse leger onder prins Bernhard, en stond in 1830 in de frontlinie tijdens de Belgische revolutie. Zijn vriend, de Gentse wetenschapper Adolphe Quételet (1796-1874), waarmee hij samen muziek schreef, erkende zijn wiskundig talent en hielp hem aan interessantere (niet-militaire) jobs, gaande van astronoom en fysicaleraar tot mijningenieur.
Dandelin werd vooral onsterfelijk door onderstaand resultaat over bollen en kegelsneden.
Waarschijnlijk had Quételet ook een belangrijke invloed in dit resultaat, dat daarom wel eens de stelling van de Belgen genoemd wordt.
De stelling van Dandelin zegt het volgende. Stel dat je een circulaire kegel hebt die gesneden wordt door een vlak . Dan kan je zowel boven als onder dat vlak een bol inpassen die zowel aan de kegel raakt als aan het snijvlak . In figuur 3 zie je de projectie die Dandelin van deze ruimtelijke situatie maakte.
Figuur 3. Afbeelding uit het werk van Dandelin (1822).
In figuur 4 zie je een moderne perspectiefafbeelding. Op deze figuur worden de bollen met S1 en S 2 aangeduid. Deze bollen raken het snijvlak in de punten F1 en F2. We hebben dan: de snijkromme van het vlak met het kegeloppervlak is een ellips waarvan de brandpunten precies de raakpunten zijn van de bollen aan dit snijvlak.
We zullen aantonen dat de som van de afstanden van een willekeurig punt van de ellips tot de beide brandpunten constant is. Merk hiervoor op dat de beide bollen het kegeloppervlak raken volgens een cirkel. Op de figuur zijn dit de cirkels C1 en C2. Neem nu een willekeurig punt P van de snijkromme van het
wordt. Die voor de ellips zie je in figuur 5:
5. De ellips als meetkundige plaats van de punten waarvoor het quotiënt van de afstand tot een brandpunt en de afstand tot de richtlijn een constante is.
Ook dit kunnen we 'aflezen’ uit de figuur van Dandelin, en daarvoor hebben we maar één van de twee bollen nodig:
vlak met de kegel. De rechte die P verbindt met de top T van de kegel snijdt de cirkels C1 en C2 in de punten P1 en P2. De afstand tussen deze punten hangt niet af van de keuze van het punt P dus: constante. Hieruit volgt onmiddellijk wat we willen bewijzen. We hebben namelijk dat: en . Dit volgt uit de symmetrie van de bol: voor alle raaklijnen getrokken vanuit een vast punt buiten de bol aan de bol is de afstand van dit vaste punt tot het raakpunt gelijk. Uit de vorige gelijkheden volgt dus: constante.
Figuur 6. Grafische bepaling van een richtlijn voor een gegeven ellips.
We zullen aantonen dat de snijlijn van het vlak van de ellips met het vlak dat C1 bevat een richtlijn is van de ellips. De snijlijn van deze twee vlakken noemen we r.
Er zijn voor de kegelsneden ook nog andere definities die gebruik maken van een rechte, die richtlijn genoemd
We nemen opnieuw een punt P van de ellips. De verbindingslijn van dit punt met de top T van de kegel snijdt de cirkel C1 in het punt P1. We brengen een rechte aan in het vlak
van de ellips door P en loodrecht op de richtlijn r. Deze rechte snijdt r in het punt Q. Indien we kunnen bewijzen dat constante, dan zijn we klaar. Hiervoor hebben we nog twee rechten nodig. Om te beginnen een rechte door T, de top van de kegel, en evenwijdig met PQ. Deze rechte snijdt het vlak door C1 in het punt S. Het is duidelijk dat de rechten PQ, PT en TS in hetzelfde vlak liggen. De rechte die Q met P1 verbindt, ligt ook in dit vlak en snijdt de rechte TS onvermijdelijk in het punt S. Op figuur 5 zie je nu duidelijk dat gelijkvormig is met
Hieruit volgt:
De uitdrukking in het linkerlid hangt niet af van de keuze van P: de afstand van T tot P1 is constant, de afstand van T tot S ook. De breuk in het linkerlid is ook kleiner dan 1 want . Het punt S ligt immers buiten de cirkel.
Verder weten we ondertussen dat: .
We kunnen dus besluiten dat: constante Merk op dat deze constante kleiner is dan 1.
Wanneer we het internet afschuimen met als zoekterm een van de kegelsneden, ontdekken we telkens wel een nieuwe eigenschap, de bron lijkt onuitputtelijk. Dit is er zo een.
Als we goed kijken naar figuur 6, dan zien we dat dat de gevulde ellips precies de schaduw is die de Dandelinbol uit de figuur afwerpt op het vlak van de ellips indien er zich in de top T een puntvormige lichtbron bevindt. Merk op dat een bol op een vlak zowel een ellipsvormige (of cirkelvormige) schaduw kan afwerpen, als een parabolische, of een hyperbolische, afhankelijk van waar de lichtbron zich bevindt.
Als we nu in figuur 6 de bol wat kleiner maken maar ervoor zorgen dat hij blijft rusten op het vlak van de ellips in het brandpunt, dan verplaatst de top T van de kegel zich. We kunnen ons dan ook afvragen langs welke kromme de top T zich beweegt. We kunnen het ook anders bekijken. Vanuit T zien we de ellips als een cirkel. Vanuit welke andere punten van de ruimte is dat eveneens zo?
Het blijkt te gaan om de punten van een hyperbool die ligt in een vlak
dat loodrecht staat op het vlak van de ellips en dat de grote as van die ellips bevat. Zie figuren 8 en 9.
afstand van F1 tot F2 (= rood - paars). Deze laatste afstand is onafhankelijk van de grootte van de cirkel. Als we deze groter maken op zo’n manier dat de cirkel blijft rusten op het punt F2 dan verplaatst het punt T zich. De kromme waarover dit punt zich verplaatst is dan een hyperbool omdat het verschil constant is, en dat is precies de definitie van een hyperbool. De hyperbool in kwestie heeft dus de toppen van de gegeven ellips als brandpunten, en de brandpunten van de gegeven ellips als toppen. Omdat een ellips volledig bepaald is door de afstand tussen de toppen samen met die tussen de brandpunten, is het inderdaad steeds diezelfde ellips die we zien als een cirkel.
We kunnen dit opnieuw eenvoudig aantonen door gebruik te maken van een bol van Dandelin. Zie figuur 10.
Het punt T is het oogpunt. Op de figuur stellen gelijk gekleurde dubbele pijlen dezelfde afstand voor. Dat die afstanden twee aan twee aan elkaar gelijk zijn, volgt uit de symmetrie van de cirkel. We kunnen dus uit de figuur aflezen dat de afstand van T tot H1 min de afstand van T tot H2 (= rood + blauw(paars + blauw)) gelijk is aan de
De toppen van de hyperbool liggen dus in de brandpunten van de ellips, en de hoofdtoppen van de ellips in de brandpunten van de hyperbool. De punten van de hyperbool zijn exact die ruimteposities waaronder de gegeven ellips als cirkel gezien wordt.
Voor de kenners nog dit: als de vorm van de ellips bepaald wordt door excentriciteit e, dan heeft haar hyperbolische partner excentriciteit 1/e.
In de prenten van Escher spelen wiskundige principes, vormen en ideeën een belangrijke rol. In zijn werk verbindt hij wiskunde en kunst naadloos met elkaar, een gave die hem in de tweede helft van zijn carrière in contact brengt met geleerden over de hele wereld. Ook dichter bij huis vindt Escher dergelijke contacten. Een daarvan is Albert E. Bosman (1891-1961), zijn overbuurman in Baarn. Bosman is een veelzijdig ingenieur, die zich bezighoudt met het toegankelijk maken van wiskunde en geometrie. Hij is niet alleen wiskundeleraar, maar zelf ook een gepassioneerd kunstenaar die inspiratie put uit zijn vakgebied. Bosman heeft een uitzonderlijke interesse in het visualiseren van mathematische concepten, wat tot uiting komt in zijn bekendste creatie: de Boom van Pythagoras. Deze is al decennialang als poster in klaslokalen door heel Nederland te vinden.
In Escher in het Paleis in Den Haag zijn van 21 februari t/m 15 juni in de voormalige badkamer van KoninginMoeder Emma, naast prenten van Escher, ook wiskundige tekeningen van Albert E. Bosman te zien. Een opvallende overeenkomst tussen beide kunstenaars is hun zoektocht naar het verbeelden van oneindigheid op papier. Ook zijn er speciale prenten van Escher uit het familiebezit van zijn buurman te zien, die symbool staan voor Eschers persoonlijke band met de familie Bosman.
Onze wiskundemethodes vieren in 2025 een machtig jaar! De methode Nando wordt namelijk 3² jaar oud, terwijl Van Basis Tot Limiet maar liefst 3³ kaarsjes uitblaast. Die mooie gebeurtenis laten we natuurlijk niet zomaar passeren! Wij nodigen alle wiskundeleerkrachten én leerkrachten exacte wetenschappen daarom van harte uit op het WW-congres op 15 maart 2025 in het BMCC in Brugge.
• Inspirerende sprekers: gastsprekers die hun inzichten en ervaringen
• Boeiende infosessies: die je direct in de klas kunt toepassen.
• Netwerkmomenten: Wissel van over heel Vlaanderen.
Wanneer? 15 maart 2025
Waar? BMCC Brugge Prijs? 36 euro p.p.
Schrijf je in voor een dag vol inspiratie!
sprekers: Luister naar toonaangevende ervaringen delen. infosessies: Ontdek nieuwe methodes en technieken
Wissel ideeën uit met collega-leerkrachten
9u: ontvangst met ko e en boekenmarkt
9u30: sessie 1
keuze uit
• ChatGPT & Co voor wiskunde en wetenschappen – Prof. Dr. Stefaan Cottenier
• Probleemoplossend denken – Filip Cools
• Wiskundeplan: van minimumdoelen tot curriculum – Pedro Tytgat
10u30: sessie 2
keuze uit
• Transparantie en controle in AI-ondersteunende onderwijsapplicaties –Dr. Jeroen Ooge
• Vernieuwing in de 1e graad met Nando en VBTL –Björn Carreyn en Filip Geeurickx
• Informaticawetenschappen: wat en hoe? – Greet Vanderbiesen
11u20: kleine versnapering en boekenmarkt
11u40: sessie 3
keuze uit
• Tips bij evaluatie en toetsanalyse – Dr. Filip Moons
• Verband tussen logica en bewijzen – Alexander Holvoet
• Vernieuwing in de 1e graad B-stroom met Max-wiskunde – Katinka Steen
12u30: een magische afsluiter met illusionist en mentalist Gili
13u30: lunch en boekenmarkt
HET JANUARI 2024-NUMMER VAN DE STERRENWACHTER, EEN UITGAVE
VAN DE ANTWERPSE VOLKSSTERRENWACHT URANIA IS GEHEEL GEWIJD AAN MICHIEL COIGNET (1549-1623), CARTOGRAAF, INSTRUMENTENMAKER, WISKUNDIGE, WIJNROEIER. EEN ARTIKEL OVER EEN WISKUNDIG
VRAAGSTUK WEKTE DE BELANGSTELLING VAN HENK HIETBRINK. HIJ IS DOCENT WISKUNDE OP KSG DE BREUL IN ZEIST (NEDERLAND). ZIJN
WEBSITE WWW.FRANSVANSCHOOTEN.NL STAAT VOL MET 17DE EEUWSE
WISKUNDE, BIJVOORBEELD OVER VESTINGBOUW EN OVER WISKUNDIGE INSTRUMENTEN.
HENK HIETBRINK
De wiskundige belangstelling van Michiel Coignet blijkt uit een brief aan Galilei. Coignet legt hem een vraagstuk voor dat Ludolph van Ceulen publiceerde in 1584. Om verschillende redenen is het nog altijd een interessant vraagstuk. Je moet namelijk heel goed naar de tekening kijken. De gulden snede wordt genoemd. Je kan het vraagstuk op verschillende manieren oplossen: rekenkundig, meetkundig,
of exact met wortels en breuken. Ook is het een aardige aanleiding om het eens over vroeger te hebben.
Michiel Coignet is voor leerlingen van nu relevant omdat hij praktische betekenis geeft aan wiskunde. Coignet houdt zich bezig met wijnroeien. Beroepsmatig denkt hij na over hoe je de inhoud van al dan
niet volle of halfvolle vaten wijn of bier kunt berekenen als grondslag voor belastingheffing. Coignet doet aan cartografie en verstaat hoe je een bol plat slaat op een kaart. Coignet bedenkt de nautische hemisfeer, een nieuw instrument, waarbij je door meting van de zonshoogte en met gebruik van een kompas en een declinatietabel zowel de exacte zonnetijd als de noorderbreedte kan aflezen. Coignet
heeft verstand van zonnewijzers en kan als instrumentmaker een astrolabium graveren. Coignet kan rekenen aan concrete zaken. Geen onderwijs om het onderwijs, maar onderwijs om het nut. Coignet rekende zonder calculator, GeoGebra of slimme AI op het internet. Hij behielp zich met kleine stukjes papier.
Om zijn nalatenschap dwingt Michiel Coignet respect af. Onze studenten mogen trots zijn op de prestaties van onze voorvaderen. Het vraagstuk dat hieronder besproken wordt, is een mooie gelegenheid voor onze leerlingen om te laten zien dat ze net zo slim waren als Coignet toen. Uiteraard mogen onze leerlingen als kinderen van deze tijd het vraagstuk doen met de computertool GeoGebra, maar ook moeten we hen uitdagen om het
vraagstuk te voltooien met algebra en meetkunde om de prestatie van Coignet naar waarde te schatten. Ik wens ze veel succes.
Michiel Coignet beschrijft in 1588 een vraagstuk in een brief aan Galileo Galilei in het Latijn. Google Translate biedt uitkomst met een redelijke vertaling. Zou ik tien jaar terug mijn studenten beslist een Nederlandse vertaling moeten overhandigen, nu kunnen ze met hun laptop zelf een vertaling produceren van hetgeen hieronder staat.
Sit circulus bcdh, divisus duabus diametris bd et ch, sese secantibus ad rectos angulos in centro a. Diameter bd sit 8, et secetur secundum extremam et mediam rationem in g, eritque bg R 80 minus 4, gd vero 12 minus R 80. Ex g enim duces rectam gf pros orthos cum diametro bd, et sit recta gf aequqlis ac; punctum f autem coniunges recta centro a, quae secet circuli circumferantiam in puncto i, a quo tandem at punctum b recta ducenda erit: haec dirimet circuli diametrum in k. Inveniendae iam sunt quantitates rectarum bk, ki, ck et kh. Hoc problema vero absolvimus adminiculo praeceptorum et regularum artis magnae, sive algebrae: quare si huius artis speculationes tibi cordi sint, poteris, si lubet, hoc praedictum problema tuo modo investigare.
Coignet heeft het vraagstuk ontleend aan een pamflet uit 1584 met de titel “Solutie ende werckinghe op twee geometrische vraghen by Willem Goudaen inde jaeren 1580 ende 83 binnen Haerlem aenden kerckdeure ghestelt: mitsgaders propositie van twee andere geometrische vraghen.” Dit pamflet is geschreven door zijn negen jaar oudere tijdgenoot Ludolph van Ceulen (1540-1610) die bekend staat om zijn vaardigheid met breuken en wortels. Zijn meesterwerk is het berekenen van de eerste 35 decimalen van het getal pi. De laatste 35 decimalen waren kennelijk minder interessant. In 2000 is een replica van zijn grafsteen opgehangen in de Pieterskerk in Leiden.
Onbekend is, of Ludolph van Ceulen de opdracht zelf bedacht heeft of dat hij inspiratie bij anderen heeft opgedaan, bijvoorbeeld bij Jan Pauwels die mogelijk zowel leermeester was van Ludolph van Ceulen als van Michiel Coignet.
Coignet schotelt Galilei via een brief in 1588 een vraagstuk voor. De bijbehorende tekening behoeft enige toelichting. De tekening suggereert dat punt F op de cirkel ligt, maar wie de tekst aandachtig leest, stelt vast dat punt F iets buiten de cirkel ligt op een lijn door punt C evenwijdig aan diameter BD. Er staat namelijk dat en dus is . De auteur in de Sterrenwachter brengt enige magie in de opdracht want hij schrijft dat de diameter verdeeld is volgens de gulden snede. Iemand uit de 16de eeuw gebruikte andere woorden, namelijk het verdelen in “extremum et medium ratio” en dat verwijst in dit geval naar rekenen met wortels en breuken. Daarom is de opdracht typerend voor Ludolph van Ceulen die in zijn tijd een absolute rekenmeester was.
Vlaamse scholen werken graag met het gratis programma GeoGebra, net als wereldwijd vele andere middelbare scholen, hogescholen en universiteiten. Je kunt online werken met GeoGebra, maar ook kun je de software gratis downloaden. De constructie die Coignet aanreikt, kan stapsgewijs ingevoerd worden in GeoGebra. Begin met middelpunt A en punt B. Vraag in het menu om cirkel BCDH met straal r = 4. Construeer de punten C, D en H. Dat kan op vele manieren. Meetkundig als rotatie of spiegelen, met vector rekening, als snijpunten met de assen, etc. De middellijn BD wordt verdeeld volgens de gulden snede (punt G). Van daaruit wordt loodlijn GF getrokken met lengte r. Lijnstuk AF snijdt de cirkel in punt I. Rechte BI snijdt lijn AC, loodrecht op diameter BD in punt K. Vraag is om de lengtes te berekenen van BK, KI, CK en HK GeoGebra faciliteert het tekenen van cirkels en lijnen en herkent snijpunten. Met GeoGebra maakt een leerling deze constructie met kinderlijk gemak. Spijtig voor wiskundeleraars die dit vraagstuk willen aangrijpen voor een exacte constructie van de gulden snede, maar Ludolph van Ceulen verklapt in zijn tekening dat en dat . Zo kunnen studenten de denkstap van de gulden snede overslaan. Leerlingen met kennis van vectormeetkunde zijn nog sneller klaar want de positie van punt F kun je zowel meetkundig doen met cirkels en loodlijnen, of met in gedachte de
vectormeetkunde als Een voorbeeld van mijn constructie staat in het GeoGebra portaal op https://www.geogebra.org/m/ pnuz6jns.
Bij een rekenkundige benadering is het essentieel om in de juiste volgorde alle relevante driehoeken langs te lopen. De meetkunde blijft beperkt tot wat gelijkvormigheid en de stelling van Pythagoras in rechthoekige driehoeken. Kortom, de exercitie geeft als resultaat enkele imposante wortels en een aantal verhoudingen.
Lijnstuk BD = 8 wordt onderverdeeld volgens het principe van de gulden snede. Dat geeft de lengte van BG en DG en daarna van AG. Van rechthoekige driehoek AGF zijn nu de lengte van AG en FG bekend en dus kan de lengte van zijde AF berekend worden met de stelling van Pythagoras. Noem M het voetpunt van de loodlijn op BD en door I. Rechthoekige driehoek AMI is een verkleining van driehoek AGF waarbij
De verkleiningsfactor is dus die van het quotiënt van de lengtes van AI en AF. Met deze factor kunnen de lengtes van AM en IM uitgerekend worden. Hiermee kan de lengte van BM uitgerekend worden. In rechthoekige driehoek BMI kan vervolgens de lengte van BI uitgerekend worden. Rechthoekige driehoek BAK is weer een verkleining van driehoek BMI met . De verkleiningsfactor is dus het quotiënt van de lengtes van BA met BM. Met
deze factor kunnen de lengtes van AK en BK uitgerekend worden. De lengte van IK is dan weer het verschil van de lengte van BI met die van BK, evenzo is de lengte van CK het verschil van die van straal en AK. Echt spannend is het recept niet, maar het rekenen aan wortels is erg foutgevoelig.
De techniek om wortels uit de noemer weg te werken is gebaseerd op de algebra van het merkwaardig product:
Evenzo of .
Hieronder staat een voorbeeld dat
aansluit bij een van de berekeningen. Straks staat er dat een . De wortel in de noemer werk je weg door teller en noemer te vermenigvuldigen met , want nu wordt de noemer , en de teller wordt
. Zodoende en dat is precies wat er straks staat.
Ludolph van Ceulen was uitzonderlijk handig in dit soort manipulaties en dat verdient groot respect. Op bladzijde 223 geeft hij zelf toe “Cost meer arbeit”. Hij kon zijn berekeningen niet laten controleren door GeoGebra. Bij het schrijven van dit artikel heb ik bij iedere stap de tussenresultaten geverifieerd in GeoGebra om zeker te weten dat ik geen fouten heb gemaakt. Nu maar hopen dat de editor en ik geen typfouten maken. Ook had ik de beschikking over eindeloos vellen papier waar de tijdgenoten van Ludolph van Ceulen en Michiel Coignet zuinig moesten aandoen.
Zoals gezegd en zodoende is en dus
In driehoek AGF is Verder met driehoek AMI. Omdat is de verkleiningsfactor . De lengte van lijnstuk . Zodoende en
Driehoek BAK is gelijkvormig aan driehoek BMI met en zodat de verkleiningsfactor is . Omdat vanaf
nu die wortel vaak terugkeert stellen we zodat
Eerst in driehoek BMI de lengte uitrekenen van BI uit . Dat geeft , dat is
de wortel van een wortel van een wortel. In driehoek BAK is en
Nu alles substitueren in en het resultaat is
Dus Deze wortel laat zich vereenvoudigen tot Verder
en deze uitdrukking laat zich vereenvoudigen tot
Omdat . . Lezers die zelfstandig al deze wortels weg weten te werken verdienen een pluim.
Uitkomst is en dat is na het wegwerken van de wortel in de noemer weer gelijk aan .
,een grote klus om de lengte van de zijdes numeriek te benaderen. Uitdaging voor leerlingen van nu is om de opdracht te maken zonder rekenmachine.
Ceulen, L. van. Solutie ende werckinghe op twee geometrische vraghen by Willem Goudaen inde jaeren 1580 ende 83 binnen Haerlem aenden kerckdeure ghestelt: mitsgaders propositie van twee andere geometrische vraghen. Cornelis Claesz, Amsterdam, 1584. https://books.google.nl/ books?id=DwtkT15bZrYC
In een analytische aanpak wordt bijvoorbeeld de lengte van AK uitgedrukt in de lengte van AB en de gulden snede verhouding . Deze aanpak is meer abstract en vergt de nodige substituties, maar vermijdt alle tussenberekeningen. Om te beginnen, en en dus
Uit bovenstaande uitwerkingen mag duidelijk zijn dat er vooral veel algebra wordt gedaan en maar weinig meetkunde. De nadruk ligt op het vereenvoudigen van uitdrukkingen met wortels. Meetkundig gezien bestaat de constructie uit een paar simpele vergrotingen van rechthoekige driehoeken. Je hoeft ze niet ver te zoeken. Ze staan allemaal op de diameter BD. Het vraagstuk doet een beroep op het rekenen aan de vergrotingsfactoren. Daar zit de crux. Tegenwoordig heeft een rekenmachine geen enkele moeite met het vermenigvuldigen van getallen met veel cijfers achter de komma, maar zonder rekenmachine (dus alleen pen en papier) is het
Hendriks, M. Transcriptie van Ludolph van Ceulen. Solutie ende werckinghe op twee geometrische vraghen by Willem Goudaen inde jaeren 1580 ende 83 binnen Haerlem aenden kerckdeure ghestelt: mitsgaders propositie van twee andere geometrische vraghen. Cornelis Claesz, Amsterdam, 1584. https://web.science.uu.nl/ ludolphvanceulen/Documents/ Solutie.pdf
Meskens, A. Familia universalis: Coignet, een familie tussen wetenschap en kunst, Antwerpen, Koninklijk Museum voor Schone Kunsten, 1998
Wepster, S., Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen, in: Nieuw Archief voor Wiskunde, serie 5 volume 11 nr. 1 maart 2010 https://www.nieuwarchief.nl/serie5/ pdf/naw5-2010-11-1-063.pdf
ANNIKA EN BORIS PROBEREN INDRUK TE
MAKEN OP HUN GEZAMENLIJKE VRIENDIN
ISA MET DE VOLGENDE KAARTTRUC.
EERST GAAT ANNIKA DE KAMER UIT.
VERVOLGENS VRAAGT BORIS AAN ISA
EEN SPEL VAN 52 KAARTEN GOED
TE CONTROLEREN EN VERVOLGENS TE SCHUDDEN. DAN MOET ISA ER VIJF KAARTEN WILLEKEURIG UITHALEN. ZE MAG ZE BEKIJKEN
EN GEEFT ZE VERVOLGENS AAN BORIS. BORIS BEKIJKT
ZE, PAKT EEN VAN DEZE VIJF KAARTEN EN LEGT DIE GESLOTEN MIDDEN OP DE TAFEL. DE OVERIGE VIER KAARTEN LEGT HIJ OPEN NAAST ELKAAR.
DAN ROEPEN ZE ANNIKA BINNEN. ZIJ KIJKT EVEN NAAR DE VIER OPENLIGGENDE KAARTEN EN ZEGT DAN WELKE KAART GESLOTEN MIDDEN OP DE TAFEL LIGT.
DEZE TRUC IS WAARSCHIJNLIJK AFKOMSTIG VAN DE AMERIKAANSE WISKUNDIGE WILLIAM FITCH CHENEY (GEBOREN IN 1894).
JAN GUICHELAAR
Op het eerste gezicht lijkt het niet mogelijk dat Annika altijd de juiste kaart weet te noemen. Zelfs wanneer je beseft dat Boris en Annika van tevoren afspraken hebben mogen maken. Geen valse afspraak natuurlijk, waarbij Boris bijvoorbeeld door de ruiten naar buiten kijkt en in het geniep zonder dat Isa het ziet vijf vingers aan Annika toont, als het ruiten 5 is.
Om dit verwijt te voorkomen kan Boris ook via een andere deur naar een derde kamer gestuurd worden voordat Annika binnenkomt. Neen, het gaat om een echte wiskundige truc.
De eerste gedachte is de volgende. Er zijn nog 48 kaarten waaruit Annika moet kiezen. En Boris legt vier kaarten naast elkaar open op tafel. Dat kan
hij natuurlijk doen met een bepaalde volgorde van links naar rechts. Maar er zijn maar 4!=4×3×2×1=24 mogelijke volgordes. Daar kun je dus hoogstens bij een goede afspraak 24 kaarten mee aangeven en niet 48. Je kunt dus net de helft van de mogelijke kaarten aangeven.
Boris en Annika moeten dus slimmere afspraken maken dan alleen kijken
naar de volgorde van de vier kaarten die open op tafel liggen.
Boris heeft vijf kaarten van Isa gekregen en er zitten slechts vier soorten in een kaartspel: klaveren, ruiten, harten en schoppen. De eerste mooie gedachte is dan: Boris heeft van een bepaalde soort er minstens twee. Stel dat die soort klaveren is.
Dan kan hij het volgende doen: hij legt een klaveren dicht midden op de tafel. Vervolgens legt hij als eerste open kaart links ook een klaveren neer. Dit is de eerste afspraak. Als Annika dan binnenkomt, weet ze meteen dat de soort van de dichte kaart klaveren is. Met deze afspraak is het aantal mogelijkheden voor de dichte kaart teruggebracht tot 12. Er zijn namelijk 13 klaveren in het spel en de open klaveren links kan het niet zijn. Dat is natuurlijk een enorme vooruitgang.
Maar ja, elk voordeel heeft zijn nadeel: Boris heeft nu nog maar drie kaarten over om in een bepaalde volgorde naast de eerste klaveren te leggen. Die drie kaarten kan hij in 3!=3×2×1=6 mogelijke volgordes
neerleggen. Dat is maar de helft van wat hij nodig heeft. Zo zijn Boris en Annika dus nog niet veel verder gekomen. Er zal nog iets slimmers moeten worden afgesproken.
Er waren (minstens) twee klaveren in de set van vijf. Het kunnen er natuurlijk ook wel drie, vier of vijf zijn, maar dat hoeft niet. Annika kan daar geen rekening mee houden. We concentreren ons op twee klaveren (als het er meer zijn, kiest Boris er twee). De een is ‘hoger’ dan de ander. Laten we als volgorde aannemen: Aas (=1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Boer (=11), Vrouw (=12), Heer (=13).
Stel Boris heeft klaveren 4, klaveren 8, ruiten Heer, harten 6 en schoppen Boer in zijn set van vijf. Dan heeft Boris een keuze uit twee: hij kan klaveren 4 dicht op tafel leggen, of klaveren 8.
Vervolgens kan Boris met de volgorde van de drie overige kaarten aangeven hoeveel kaarten de dichte kaart hoger is dan de open kaart.
We gebruiken de volgende afkortingen: K=klaveren, R=ruiten, H=harten, S=schoppen, A=Aas, Bo=Boer, Vr=Vrouw, He=Heer. De kleuren zijn van laag naar hoog: K, R, H, S.
Laten we eerst van onderen naar boven een volgorde van alle 52 kaarten afspreken:
KA, RA, HA, SA, K2, R2, H2, S2, K3, …, KVr, RVr, HVr, SVr, KHe, RHe, HHe, SHe.
De drie kaarten die Boris naast klaveren 4 kan leggen zijn in volgorde: H6, SBo en RHe.
De volgende afspraak kent dan aan de zes volgordes de getallen 1 t/m 6 toe:
1 = H6, SBo, RHe
2 = H6, RHe, SBo
3 = SBo, H6, RHe
4 = SBo, RHe, H6
5 = RHe, H6, SBo
6 = RHe, SBo, H6
De volgende afspraak zou kunnen zijn: Boris legt de hoogste van de twee dicht op tafel (klaveren 8). Dan legt hij natuurlijk klaveren 4 als eerste links open op tafel. Annika weet dan dat klaveren de kaartsoort is en dat de gezochte kaart hoger is hoger is dan 4.
Let daarbij goed op de volgordes.
Annika kent deze volgordes natuurlijk en ziet dat Boris naast K4 de volgende kaarten neerlegt: SBo, RHe, H6. Zij herkent het getal 4 en telt dat op bij klaveren 4.
Zij zegt dan: ‘Het is klaveren 8.’
Dat lijkt allemaal prachtig, maar wat moet Boris nu doen met klaveren Aas en klaveren 8? Het verschil is dan 7 en dat kun je met drie kaarten op volgorde niet aangeven zoals boven berekend. Er zal nog een laatste slimme afspraak gemaakt moeten worden.
De laatste goede gedachte is de volgende. Zet alle klaveren op volgorde in een cirkel:
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bo, Vr, He. Na de Heer komt dan weer de Aas.
Stel nu dat je KA open hebt gelegd als laagste kaart. Dan kun je met de getallen 1 t/m 6 de kaarten K2 t/m K7 aangeven. Dus niet K8.
De oplossing is: dan noem je K8 de laagste kaart en legt die open. KA leg je nu dicht op tafel. Verder geeft je met de drie kaarten in volgorde het getal 6 aan: RHe, SBo, H6.
Annika telt dan vanaf K8 verder omhoog: K9, K10, KBo, KVr, KHe, KA en zegt: 'Het is klaveren Aas.’
Daarmee zijn alle noodzakelijke afspraken gemaakt om de truc altijd te doen slagen.
Het leuke is dat in een volledig kaartspel er van elke kleur 13 zijn. Als je er twee willekeurig uitkiest, is het verschil tussen die twee maximaal 6. Je moet dus gewoon de juiste laagste kaart bepalen.
De vier open kaarten hoef je niet te raden. Er zijn dus 52−4=48 mogelijkheden.
Met de 4 mogelijke kleuren, de twee van dezelfde kleur en de 6 van de volgorde van 3 krijg je dan 4×2×6=48 mogelijkheden.
De 52 kaarten van een volledig kaartspel zijn in zekere zin voor deze truc toevallig. Je zou je kunnen afvragen of het met meer kaarten kan? Neem bijvoorbeeld een stapel genummerde kaarten: 1, 2, 3, 4, 5, ... Tot hoever kun je doornummeren zodat je de truc met de vijf kaarten altijd kunt uitvoeren?
We hebben al gezien dat we het aantal mogelijkheden kunnen verdubbelen van 6 naar 12 door een keuze te maken uit een van de twee klaveren. Hoewel Annika niet weet welke kaart dat is, geeft de hooglaagafspraak haar toch de nodige informatie.
Zou je met het gesloten neerleggen van de eerste kaart nog meer informatie door kunnen geven? Hiervoor is natuurlijk weer een bijzondere afspraak nodig. Je kunt als eerste kaart een van de vijf kaarten in je hand dicht op tafel leggen. Daarna kun je met de 4 overige kaarten het getal 4!=4×3×2×1=24 aangeven. Dat zou theoretisch gezien leiden tot 5×24=120 mogelijkheden.
En omdat je vier kaarten open op tafel legt, hoeven die niet gezocht te worden. Dus met 5!+4=124 kaarten hebben we het theoretische maximum te pakken. De vraag is natuurlijk: kan het ook? Het antwoord op die vraag is ja. Maar eerst: welke afspraken moet je maken in de volgende scenario’s?
Scenario 1: Twee kaarten kiezen uit een stapel
In dit geval pakt Isa twee kaarten uit de stapel en geeft die aan Boris. Boris legt er een dicht op tafel en de laatste open (van een volgorde is dan geen sprake meer). In dit geval is het theoretische maximum zoals berekend in de vorige paragraaf: 2!+1=3.
Isa pakt dus willekeurig twee kaarten uit de stapel van drie en geeft die aan Boris. Die legt er één dicht en één open. Annika ziet aan die open kaart welke dicht is neergelegd. Dit probleem lijkt heel simpel, maar vergt toch nog wat nadenken.
Scenario 2: Drie kaarten kiezen uit een stapel
In dit geval pakt Isa drie kaarten uit de stapel en geeft die aan Boris. Boris legt er een dicht op tafel en de laatste twee (natuurlijk in een afgesproken volgorde) open. In dit geval is het theoretische maximum zoals berekend in de vorige paragraaf: 3!+2=8.
Isa pakt er dus willekeurig drie uit de stapel van acht en geeft die aan Boris. Die legt er een dicht en twee in volgorde open. Annika ziet aan die
open kaarten welke dicht is neergelegd. Dit probleem is al heel wat lastiger, maar het is de moeite waard een oplossing te vinden.
Zou dezelfde truc ook met een grotere stapel kaarten uitgevoerd kunnen worden? Dat kan inderdaad!
We zullen dat bewijzen, en ook uitleggen welke afspraken Boris en Annika moeten maken. Maar eerst kijken we naar een iets ander spel om wat meer inzicht te krijgen in wat het theoretische maximum aantal kaarten is.
Vijf kaarten trekken en alle vijf openleggen
Boris heeft een stapel kaarten, die aan één kant genummerd zijn: 1, 2, 3, … , n. Hij geeft de stapel aan Isa.
Zij schudt ze en trekt er vijf uit, die ze bekijkt en aan Boris geeft. Deze bekijkt ze ook en schrijft dan naar keuze een van de overige getallen uit de dichte stapel op een papiertje, dat hij omgekeerd op tafel legt.
Vervolgens legt hij de vijf kaarten in een door hem gekozen volgorde op tafel. Dan komt Annika binnen en zegt na even nadenken welk nummer op het papiertje staat. En ze kiest het juiste.
ONZE VRAAG IS NU: WAT IS HET MAXIMALE AANTAL KAARTEN WAARMEE DEZE TRUC LUKT?
Dat aantal kunnen we vinden door ons af te vragen hoeveel verschillende informaties Boris op tafel kan leggen door het kiezen van de volgorde van die vijf kaarten. Hij kan dat doen op 5!=5×4×3×2×1=120
manieren. Annika ziet als ze binnenkomt vijf kaarten met getallen erop open op tafel liggen. Deze zijn van laag naar hoog: k1, k2, k3, k4 en k5 Boris en Annika hebben vooraf voor elke volgorde van deze vijf kaarten afgesproken met welk getal tussen 1 en 120 die correspondeert. Boris heeft er dus voor gezorgd dat Annika weet welke van de getallen 1 tot en met 120 bedoeld is.
Maar nu moeten we even opletten: Annika ziet al vijf van de kaarten uit de stapel open op tafel liggen. Die vijf kunnen het dus sowieso niet zijn. Als de rest van de dichte stapel nu precies 120 kaarten bevat en ze die in gedachten op volgorde legt (waarbij ze de waardes van de open kaarten dus overslaat), kan ze met het aangeleverde getal de juiste kaart kiezen. Als er nog 121 kaarten of meer dicht liggen, kan Annika niet de juiste kaart kiezen. Het maximale aantal kaarten is dus 120+5=125.
Met dezelfde redenering kun je voor n kaarten trekken uit een grote stapel aantonen dat het maximale aantal gelijk is aan n!+n.
Dit is natuurlijk nog een redelijk simpel spel. Maar het wordt beduidend moeilijker.
Vijf kaarten trekken en een dicht en vier openleggen
Blijft het maximale aantal kaarten ook 5!+5=125 als Boris één van de vijf kaarten naar keuze dicht op tafel legt en de overige vier in een door hem gekozen volgorde open op tafel legt? Het is weliswaar zo
dat Boris vijf keuzes heeft voor de dicht te leggen kaart en hij dus samen met de 4!=24 mogelijkheden voor de volgorde van de open te leggen kaarten in totaal weer op 120 mogelijkheden komt. Maar Annika kan er maar vier zien en kan dus maar kiezen uit 4!=24 mogelijkheden. Dat lijkt onbegonnen werk, maar we zullen zien dat de keuze van de dicht te leggen kaart zó afgesproken kan worden dat Annika wel degelijk de benodigde extra informatie krijgt.
Echter, één verschil zien we wel direct. Stel je voor dat Annika wel alle informatie krijgt en dus uit de getallen 1 tot en met 120 kan kiezen. Dan moet ze dus kiezen uit de 120 kaarten die nog op de stapel liggen, én de ene kaart die dicht op tafel ligt. Ze moet dus kiezen uit 121 kaarten. En dat kan niet als je maar 120 keuzes hebt. Het uiteindelijke theoretische maximum is dus 125−1=124 kaarten waarmee dit spel gespeeld zou kunnen worden.
Met dezelfde redenering kun je voor n kaarten trekken uit een grote stapel aantonen dat het maximale aantal gelijk is aan n!+n−1.
De cruciale afspraak
De methode die we gaan gebruiken is afkomstig van de Amerikaanse wiskundige Elwyn Berlekamp.
Boris krijgt vijf genummerde kaarten met in volgorde van grootte de getallen k1, k2, k3, k4 en k5 erop.
Dus: k1<k2<k3<k4<k5. Hij telt ze op (s=k1+k2+k3+k4+k5) en deelt het antwoord door 5. De rest r is 1, 2, 3, 4
of 5 (als de som deelbaar is door 5 nemen we als rest niet 0 maar 5).
Dus r s(modulo 5). Dan legt hij de kaart k r dicht op tafel. Vervolgens legt hij de andere vier kaarten in een zodanige volgorde dat een van de getallen 1 tot en met 24 wordt aangegeven. Annika weet dit alles, want dat is wat ze afgesproken hebben.
Voor we de algemene formulering van de oplossing geven, bespreken we een voorbeeld waarmee we laten zien dat Annika nu inderdaad genoeg weet.
Voorbeeld
We nemen z1=23, z2=55, z3=89, z4=90 als openliggende (zichtbare) kaarten. Laten we eens nagaan wat Annika nu allemaal weet. Ze kan de som van de openliggende kaarten berekenen: 23+55+89+90� 2(modulo 5). Ze weet echter nog niet wat de r is die Boris bepaald heeft en dus ook niet welke vier van de vijf kaarten k1, k2, k3, k4 en k5 de zichtbare getallen z1, z2, z3 en z4 zijn.
Stel nu dat de dichte kaart k1 was. Dan heeft Boris uit zijn som modulo 5 dus een rest van 1 gekregen. En dan is k1 kleiner dan 23, want 23 is dan uiteraard k2. Welke getallen kan k1 dan zijn? Er moet gelden dat k1+23+55+89+90� 1(modulo 5) is. Dat is alleen zo als k1 gelijk is aan één van de volgende getallen: 4, 9, 14 of 19. Het volgende mogelijke getal zou 24 zijn, maar dat is groter dan 23. Zo kunnen we verder redeneren voor de andere opties. Als de dichte kaart k2 is, dan geldt k1=23, k3=55 en dan
heeft Boris r=2 gevonden. Dus dan geldt dat k �2(modulo 5) is en dat k tussen 23 en 55 ligt. De opties daarvoor zijn: 25, 30, 35, 40, 45 en 50.
Zo verder redenerend vinden we precies 24 mogelijke getallen die het zouden kunnen zijn. Zij zijn hieronder rood afgedrukt in de rij (1, … 124). De mogelijke kaarten zijn in vijftallen geordend tussen haakjes (de setjes waar een openliggende kaart tussen zit, zijn aangegeven door die getallen blauw toe te voegen, die zijn het uiteraard sowieso niet).
geordend tussen haakjes (de setjes
De gehele rij ziet er dan als volgt uit:
(1, … ,4, 5),(6, …, 9, 10), (11,…, 14, 15), (16, …, 19, 20), (21, 22, z1=23, 24, 25, 26), (27, …, 30, 31), (32, … ,35, 36), (37, … , 40, 41), (42, …, 45, 46), (47, … , 50, 51),
(52, 53, 54, z2=55, 56, 57), (58, … , 61, 62), (63, … , 66, 67), (68, …, 71, 72), (73, … , 76, 77),
(78, … , 81, 82), (83, … , 86, 87), (88,z3=89, z4 =90, 91, 92, 93, 94), (95, … , 98, 99), (100, … , 103, 104),
(105, … , 108, 109), (110, … , 113, 114), (115, … , 118, 119), (120, … , 123, 124).
In totaal zijn er dus precies 24 mogelijke kaarten die dicht op tafel kunnen liggen, niet meer en niet minder.
Het zijn: 4, 9, 14, 19, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 93, 98, 103, 108, 113, 118, 123.
We moeten natuurlijk nog beredeneren waarom er altijd precies 24 opties ontstaan, al geeft bovenstaand voorbeeld daar al wel een soort idee van. Annika denkt in het algemeen als volgt na:
Welke getallen zijn opties als de dichte kaart k1 is? De getallen waar ze dan uit kan kiezen zijn de getallen 1 t/m z1−1. Omdat Boris blijkbaar k1 gekozen heeft, weet Annika ook nog dat voor alle mogelijke getallen g geldt dat g+z1+z2+z3+z4 1(modulo 5). Het kleinste getal dat rest 1 geeft, noemen we h. Dan weten we dat h+1, h+2, h+3 en h+4 allemaal niet rest 1 geven als we ze optellen bij z1+z2+z3+z4, want zij geven dan rest 2, 3, 4 en 5, respectievelijk. Het volgende getal dat wel weer kan kloppen is h+5.
Kortom, in elk vijftal getallen kleiner dan z1 zit precies één getal dat klopt.
Er is uiteraard ook een grootste getal H kleiner dan z1 dat rest r=1 geeft. Dan bekijken we het rijtje H+1, H+2, H+3, H+4, H+5, H+6. Van dit rijtje weten we een paar dingen. Ten eerste: het getal z1 komt in dit rijtje voor, want H is kleiner dan z1 en H+5 is groter dan z1 (anders zou H+5 het grootste getal kleiner dan z1 zijn met de juiste rest). Ten tweede weten we dat H en H+5 rest 1 geven bij deling door 5. Vanaf z1 hebben we echter niet meer rest 1, maar rest 2 nodig. Als H+5 rest 1 geeft, geeft H+6 rest 2. Dat betekent dat in het vijftal dat overblijft uit het zestal H+1, H+2, H+3, H+4, H+5, H+6 als we z1 wegdenken, weer precies één mogelijk getal voorkomt. En in elk volgend vijftal zit weer zo’n getal met rest 2 (op dezelfde plek), tot we bij het grootste mogelijke getal kleiner dan z2 komen.
Zo passeren we ook de overige grenswaarden z2, z3 en z4. In elk vijftal (als we de grenswaarden z1, z2, z3 en z4 overslaan) zit dus een waarde die Boris gekozen kan hebben. We hebben dan precies (124−4)/5=24 vijftallen en dus 24 waarden die Boris dicht op tafel gelegd kan hebben. En met de volgorde van de vier
open kaarten kan Boris volgens afspraak de getallen 1 tot en met 24 aangeven en daarmee aan Annika duidelijk maken welke kaart hij dicht heeft neergelegd.
Ten slotte kan het natuurlijk zo zijn dat er heel kleine gebieden zj, … , zj+1 zijn of dat twee of meer zj’s naast elkaar liggen. In dat geval nemen we bij de overgang een groep van zeven of meer en vinden we in het volgende gebied van vijf (zonder de zj’s) het eerste getal met de juiste volgende rest. In het voorbeeld hierboven is dat ook gebeurd.
Stel nu eens voor dat Boris kaart 71 dicht heeft neergelegd, de derde kaart, want 23+55+71+89+90� 3 (modulo 5). Omdat het tussen z2=55 en z3=89 in ligt, is 71 het 14e getal in de rij mogelijkheden (want 4+13×5+2=71). Dat rekent Boris eenvoudig uit. Boris weet dus dat hij met de volgorde van de vier open te leggen kaarten 14 moet aangeven. Dat kan hij op meerdere manieren doen. Een van de mogelijkheden is: van laag naar hoog legt hij het volgende neer 55, 90, 23, 89. De betekenis die ze hebben afgesproken is:
Het laagste getal (23) staat op plaats 3. Dat betekent: 14 zit in het derde 6-tal van de 24 (dus in 13, 14, 15, 16, 17, 18).
Het volgende getal (55) staat op plaats 1 van de overige drie getallen. Dat betekent: 14 zit in het eerste 2-tal van het al aangegeven 6-tal (dus in 13, 14).
Het volgende getal (89) staat op plaats 2 van de overige twee getallen. Dat betekent 14 zit in het tweede 1-tal van het al aangeven 2-tal (dus 14).
Daarmee weet Annika dat ze het 14e getal van de 24 mogelijkheden moet kiezen. Het eerste is 4. Dus, zonder rekening te houden met de kj’s, komt ze op 4+13×5=69. Maar dan zijn er twee waarden, z1 en z2 gepasseerd. Dus het getal dat ze noemt is 69+2=71.
Met een beetje oefening kunnen Boris en Annika dus grote indruk maken op Isa en de overige vriendinnen en vrienden.
IN MIJN VRIJE TIJD
SPEEL IK TONEEL EN
OM EERLIJK TE ZIJN
DOE IK DAT EIGENLIJK
OOK WEL EEN
BEETJE ALS IK VOOR DE KLAS STA. EÉN
VAN DE LEDEN VAN
PINOKKELIJN, ONS
AMATEURTONEELGEZELSCHAP, IS
HERMAN, EEN
SEMIPROFESSIONELE GOOCHELAAR.
AAN DE TOOG NA
EEN REPETITIE
VERRAST HERMAN
ONS MEER DAN EENS MET EEN GOOCHELTRUC. HIJ IS GEPASSIONEERD
DOOR DE WISKUNDIGE PRINCIPES DIE ACHTER SOMMIGE GOOCHELTRUCS
SCHUILGAAN. WAT IS ER MEER NODIG DAN ‘MATHEMATICS, MAGIC AND MYSTERY’ OM UREN AAN DE TOOG TE BLIJVEN HANGEN...?
GILBERTE VERBEECK, REDACTIE UITWISKELING
We publiceerden in Uitwiskeling al heel wat over goochelen: in UW 17/4 verklaart de driehoek van Pascal een kaarttruc, in UW 22/2 staat een getallentruc, in UW 26/1 legt Job van de Groep de truc ‘1089’ uit, in UW 28/2 vullen we een hele loep met gegoochel, Michel schrijft enkele goocheltrucs uit in UW 31/1 en UW 31/4 en ik volg met een artikel in UW 32/2. Ondertussen hebben Herman en ik nieuwe trucs uitgepluisd.
Heel wat kaartentrucs zijn gebaseerd op het idee dat we kunnen voorspellen welke kaart zal overblijven na het systematisch verwijderen van kaarten. Eén van deze trucs presenteer ik in dit artikel. Het is een truc die Herman zelf op enkele minuten verzon. Er zijn andere trucs die op precies hetzelfde wiskundig principe gebaseerd zijn. Een truc die echter door een andere goochelaar ontwikkeld is, mogen we niet zomaar vrijgeven.
Neem een spel kaarten, maar haal hier de eventuele jokers en extra kaarten uit zodat je in totaal 52 kaarten overhoudt.
Je geeft de kaarten aan een leerling en laat ze op een willekeurige manier schudden. Hierdoor neem je het idee weg dat de kaarten in een bepaalde volgorde zitten.
Je neemt het kaartspel terug en overloopt met de leerling de beeldzijde van de kaarten. Je vertelt daarbij iets over de kaarten die je tegenkomt. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat hoe goed je ook schudt, je vaak toch speciale situaties tegenkomt, bijvoorbeeld twee dames die naast elkaar zitten of vijf kaarten van dezelfde kleur of drie opeenvolgende kaarten. Je kunt ook aan de leerling vragen of hij zelf iets speciaals opmerkt. Je praat de tijd vol. Je draait vervolgens de kaarten om en schrijft een voorspelling op een blad papier. Je verdeelt de kaarten in twee stapels door telkens één kaart
links te leggen en één kaart rechts. Je maakt zo twee stapels van 26 kaarten. Je neemt de rechtse stapel en verdeelt deze op dezelfde manier door de linkse stapel aan te vullen en een nieuwe rechtse stapel te maken. Je neemt opnieuw de rechtse stapel en blijft op deze manier de kaarten over een steeds groter wordende linkse stapel verdelen en een kleiner wordende rechtse tot daar maar 1 kaart meer overblijft. Wonder boven wonder is dit de kaart die jij op je papier voorspeld had.
Terwijl je met de leerling de beeldzijde van de kaarten overloopt, zoek jij de 22ste kaart als je van onder begint te tellen. Kaarten tellen is gemakkelijk als je ze per vast aantal telt, bijvoorbeeld per 5. Laat niet merken aan de leerling dat je kaarten aan het tellen bent. Je praat de tijd vol en leidt zo de leerling af van het feit dat jij de 22ste kaart zoekt. Je voorspelling die je op het papier schrijft is dan uiteraard de 22ste kaart.
Deze truc is gebaseerd op hetzelfde wiskundig principe als dat achter ‘de laatste drie’, een truc die je kunt lezen in UW 28/2. In die truc blijven er op het einde drie kaarten over die een leerling vooraf gekozen had. In plaats van links en rechts, leggen we in die truc kaarten met de beeldzijde naar boven of naar onder. De truc is dus enkel een beetje anders verpakt. Door op de manier die in de uitvoering beschreven staat telkens kaarten in de linkse stapel te leggen, houden we op het einde de kaart over die oorspronkelijk op positie 22 zat. In de analyse die hieronder volgt, benoemen we de kaarten volgens hun oorspronkelijke plek in de stapel.
1. Tijdens de eerste uitvoering scheiden we de kaarten op even en oneven posities. De kaarten op een even positie komen in het rechtse stapeltje terecht. Tegelijk is de volgorde omgewisseld: kaart 2 ligt onderaan, daarop ligt kaart 4 ... en bovenaan ligt kaart 52. Je neemt de kaarten in het rechtse stapeltje en verdeelt in de volgende stap dus alle kaarten die oorspronkelijk op even posities zaten.
2. De even stapel verdelen we opnieuw in twee. De kaarten die oorspronkelijk op de viervoudposities (52, 48, 44, ..., 4) zaten, komen nu bij op de linkse stapel. De kaarten waar we mee verder werken (rechtse stapel) zijn nu, van boven naar onder: 2, 6, 10, 14, 18, ... , 50. De oorspronkelijke
posities zijn even getallen die geen viervoud zijn, meer nog het zijn getallenvan de vorm 4n + 2 met n {0,1,2, … ,12}.
3. Vervolgens komen de kaarten die oorspronkelijk op positie 2, 10, 18, ... , 42, 50 zaten in de linkse stapel. Dit zijn de kaarten die oorspronkelijk op de ‘achtvouden plus 2’-posities zaten. We werken verder met de kaarten op de 'achtvouden plus 6'posities: van boven naar onder: 46, 38, ..., 14, 6.
4. In een volgende verdeling komen de kaarten die oorspronkelijk op 46, 30 en 14 (de 16-vouden plus 14) zaten, in de linkse stapel terecht. De 16-vouden plus 6 zitten in de rechtse stapel. Het zijn nog maar 3 kaarten, nl. de kaarten die oorspronkelijk op positie 6, 22 en 38 zaten.
5. Als je deze drie kaarten nogmaals verder verdeelt over links en rechts, komen 6 en 38 op de linkse stapel en houd je de kaart over die oorspronkelijk op positie 22 zat.
Deze truc past in lessen over deelbaarheid of de euclidische deling. Ondanks de moeilijkheidsgraad kun je de leerlingen uitdagen om de truc zelf te verklaren wat onderzoekscompetenties aanscherpt. Hieronder vind je een overzicht van de kaarten die per ronde weggaan of overblijven op een wiskundige manier neergeschreven. We analyseerden de getallen van de oorspronkelijke posities. Merk op dat de kaarten per ronde telkens van volgorde wisselen.
Je kunt met deze tabel dus nagaan hoelang een kaart die op een bepaalde plaats in het dek kaarten zit, het zal volhouden. De kaart op positie 22 is de enige die in ronde 5 overblijft omdat 22 telkens voldoet aan de voorwaarde om over te blijven als kaart:
22 = 2
Ook ‘De laatste drie’ uit UW28.2 kan met bovenstaande tabel nog verder geduid worden. De kaarten die oorspronkelijk op positie 6, 22 en 38 zaten blijven na ronde 4 over:
Het doorzien van gelijkenissen tussen trucs is al een eerste stap om het wiskundig principe achter een truc te herkennen. Zoals boven al gezegd, is enkel de verpakking van de truc anders. Ik daag jou of je leerlingen uit: verzin een kaartentruc die op bovenstaand wiskundig principe gebaseerd is.
Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 38/1. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.
SPREIDINGSDIAGRAMMEN EN TRENDLIJNEN ZIJN NIEUW IN DE EINDTERMEN VAN DE TWEEDE GRAAD DOORSTROOMFINALITEIT.
IN DIT ARTIKEL BESCHRIJVEN WE KORT DE PLAATS VAN DIT ONDERDEEL IN DE LEERLIJN STATISTIEK EN GAAN WE DIEPER IN OP HET CONCEPT SPREIDINGSDIAGRAM.
JOHAN DEPREZ, FILIP MOONS, REDACTIE UITWISKELING
SPREIDINGSDIAGRAMMEN IN STATISTIEK IN DE 2E GRAAD
Wie aan eerstegraadsfuncties denkt, denkt meteen aan oefeningetjes zoals:
Richard & Els geven een trouwfeest. Voor het avondfeest vraagt de trouwlocatie 1950 EUR voor het gebruik van de zaal en 89 EUR per aanwezige. Bepaal de vergelijking van de rechte die de totale prijs y uitzet tegenover het aantal aanwezigen x.
Maar wat als de vraag als volgt luidt:
Een klas van 18 leerlingen legde twee wiskundetoetsen op 10 punten af: één in september en één in december. De punten werden uitgezet op onderstaande grafiek. Op de x-as staan de scores van september, op de y-as de scores van december. Bepaal de vergelijking van een rechte die de trend in de puntenwolk beschrijft.
Twee keer dezelfde vraag (‘Bepaal de vergelijking van een rechte’), maar toch twee keer een totaal verschillend antwoord. In het voorbeeld van het trouwfeest valt de vergelijking rechtstreeks te bepalen: de opstartkost van 1950 euro komt overeen met het intercept (snijpunt y-as), de prijsstijging per extra aanwezige is de richtingscoëfficiënt. We bekomen dus y = 1950 + 89x. Elk mogelijk puntenkoppel van aantal aanwezigen en totaalprijs, bv. (100, 10850) zal ook op de rechte liggen.
Figuur 1. Spreidingsdiagram UITWISKELING
We spreken van een functionele relatie tussen de variabelen ‘aantal aanwezigen’ en ‘totaalprijs.’
In het voorbeeld van de wiskundetoetsen is het functievoorschrift van de trendlijn niet exact te bepalen. De puntenwolk suggereert wel een trend: wie hoog scoorde op de wiskundetoets in september, scoorde doorgaans ook hoog op de wiskundetoets in december. Toch geldt dat niet voor alle leerlingen: zo is er een leerling die van een 8/10 in september, naar een magere 4/10 duikelt in december. De punten zullen dus verspreid rond de trendlijn liggen. Vandaar dat
we grafieken zoals in figuur 2 spreidingsdiagrammen noemen.
De spreiding van die punten wijst erop dat er variatie bestaat in de scores op de decembertoets die niet kan geassocieerd worden met de scores op de septembertoets. Vermits de score op de wiskundetoets in december niet exact te bepalen valt op basis van de score op de wiskundetoets in september, spreken we van een statistische relatie tussen de variabelen ‘score september’ en ‘score december’. Excel levert als vergelijking van de trendlijn y = 0,69x + 1,60. Wie een 5 haalde op de wiskundetoets in september, kan volgens dit model een 0,69 . 5 + 1,60 = 5,05 verwachten in december.
Spreidingsdiagrammen en trendlijnen zijn een stukje bivariate statistiek: je legt het verband tussen twee variabelen, zoals bv. de wiskundescores in september en december. Dit is nieuw in de eindtermen van de tweede graad doorstroomfinaliteit. Univariate beschrijvende statistiek, waarbij je frequentietabellen, histogrammen en boxplots opstelt en gemiddeldes/ standaardafwijkingen berekent van één variabele (bv. de schoenmaten in de klas), waren al langer vaste prik in de tweede graad.
Het onderwerp zit op de grens tussen statistiek en functieleer en het vormt een uitstekende gelegenheid om in te gaan op het gebruik van functies als wiskundig model voor fenomenen uit de realiteit. Hierdoor sluit het mooi aan bij de eerstegraadsfuncties in de tweede graad en bij de wetenschapsvakken. Vermits leerlingen al een inleiding op univariate beschrijvende statistiek achter de kiezen hebben in de hervormde eerste graad en het stuk steekproef versus populatie naar de derde graad is verschoven, was er ook ruimte voor. De eindterm rond spreidingsdiagrammen en trendlijnen legt daarnaast de link met de veelvoorkomende misvatting dat een correlatie een causaal verband impliceert. Door een uitstapje naar niet-lineaire trendlijnen aan te bieden, wil de eindterm ook vermijden dat leerlingen opgezadeld zitten met het misconcept dat alle statistische verbanden tussen twee variabelen lineair zijn.
Belangrijk om in het achterhoofd te houden, is dat alle statistiek tot en met de tweede graad uitsluitend beschrijvend van aard is. Dat is ook de reden waarom het stukje ‘steekproef versus populatie’ bewust naar de derde graad is verschoven: het is de noodzakelijke inleiding op ‘inferentiële statistiek’, waarbij je op basis van data van een steekproef, uitspraken wil doen voor de volledige populatie en dit hoort dus helemaal niet bij beschrijvende statistiek. In wetenschappelijk onderzoek zijn de puntenwolken waarbij je een trendlijn bepaalt, bijna altijd data uit een steekproef. De trendlijn die je bekomt, moet representatief zijn voor de populatie. De waarden van het intercept en de richtingscoëfficiënt zijn schattingen van de populatiewaarden op basis van die steekproefdata. Door die onzekerheid worden ze vaak samen met hun betrouwbaarheidsintervallen gerapporteerd. Daarnaast bestaan er significantietoetsen om na te gaan of de richtingscoëfficiënt significant verschilt van nul of niet (m.a.w.: blijkt uit de data een significante trend of niet?). Dit valt echter ver buiten het bestek van de tweede graad. Zelfs in de derde graad zou dit uitbreidingsleerstof zijn: betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetoetsen zijn verplicht voor sommige richtingen, maar niet in de context van lineaire regressie. Dit duidt wel mooi hoe de leerlijn statistiek is opgevat in de volledige doorstroomfinaliteit.
Een spreidingsdiagram is een grafiek die in de vorm van een puntenwolk de samenhang tussen twee variabelen x en y weergeeft. Elk koppel uit een verzameling van waarnemingswaarden (x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn ) wordt gepresenteerd door een punt in een assenstelsel en de dataset geeft zo een puntenwolk die bestaat uit n observaties. De verspreiding of samenklontering van de punten geeft weer of en hoe de variabelen x en y samenhangen. Door deze puntenwolk te bestuderen, kun je vaststellen of er een verband bestaat tussen deze twee variabelen, en als er een verband is, kun je ook de aard ervan bepalen (recht evenredig, omgekeerd evenredig, lineair, kwadratisch …).
Een voorbeeld van zo’n spreidingsdiagram vinden we in figuur 3, afkomstig uit The Economist (12 december 2011) over de uitgaven aan kerstcadeaus in verschillende landen. Op de x-as vinden we de verwachte uitgave aan kerstcadeaus terug in dollar, op de y-as het BBP (Bruto Binnenlands Product) per persoon. Het BBP per persoon geeft aan hoe rijk een land is. Elk punt in de puntenwolk stelt een land voor. Naarmate een land hoger ligt, is het rijker. Naarmate een land meer naar rechts ligt, geven mensen gemiddeld meer uit aan kerstcadeaus.
We merken op dat inwoners van rijkere landen (VS, Ierland, Zwitserland ...) doorgaans meer uitgeven aan kerstcadeaus dan inwoners in armere landen (Oekraïne, Zuid-Afrika, Polen …). Er lijkt globaal genomen sprake van een recht evenredig verband.
Daarnaast vallen twee punten op die afwijken van het patroon: Nederland en Luxemburg. Zij gedragen zich anders dan de andere landen en volgen niet dezelfde trend. Nederlanders lijken minder uit te geven aan kerstcadeaus dan ze volgens hun rijkdom gemiddeld zouden kunnen. Luxemburgers geven het meest uit aan kerstcadeaus, maar het punt volgt niet dezelfde trend dan de andere punten: in vergelijking met hun rijkdom geven Luxemburgers weinig uit aan kerstcadeaus. Deze punten roepen vragen op: wat is er met deze landen aan de hand? Klopt het cliché dat Nederlanders gieriger zijn? Is er bij Luxemburgers ergens een ‘psychologische’ uitgavelimiet die men niet wil overschrijden ondanks dat de gemiddelde Luxemburger zich best wel duurdere kerstcadeaus kan permitteren?
Uit voorgaand voorbeeld blijkt meteen het nut van een spreidingsdiagram: het is meestal de eerste stap om samenhang tussen twee variabelen te bestuderen waarbij een mogelijke samenhang, de aard van het verband en punten die het patroon niet volgen, meteen allerlei vragen oproepen. Het spreidingsdiagram geeft alleen een eerste, beschrijvend idee en geen verklaringen: de grafiek roept op tot nader onderzoek.
In het begin van de lessenreeks moet de focus vooral op het correct interpreteren van spreidingsdiagramman liggen.
Keuze en schaling van de assen
Om te bepalen welke variabele op de x-as hoort en welke op de y-as bij een spreidingsdiagram, is het doorgaans gebruikelijk om de ‘verklarende variabele’ (= onafhankelijke variabele) op de x-as te plaatsen en de ‘responsvariabele’ (= afhankelijke variabele) op de y-as. Bij het voorbeeld met de wiskundetoetsen in figuur 2 willen we de score in december (responsvariabele,
y-as) bepalen aan de hand van de score in september (verklarende variabele, x-as).
Merk op dat het voorbeeld over de uitgaven aan kerstcadeaus in figuur 3 deze conventie niet volgt: de meeste mensen gaan immers de uitgaven aan kerstcadeaus willen verklaren aan de hand van het BBP/ persoon, waardoor het logischer zou zijn om de uitgave aan kerstcadeaus als responsvariabele op de y-as te plaatsen en het BBP als verklarende variabele op de x-as. Dit levert een spreidingsdiagram op zoals in figuur 4 waarbij de punten gespiegeld zijn tegenover de eerste bissectrice (let op: de x- en y-as zijn niet gelijk geschaald). Deze figuur maakt duidelijk dat de redactie van The Economist allicht bewust de conventie niet volgde omdat de lay-out zo mooier uitviel. Hoewel het voor een spreidingsdiagram bij een lineaire trend louter een conventie betreft wat op de x-as en wat op de y-as komt, is het wel een belangrijke keuze om de trendlijn te bepalen.
De schaling van de assen op een spreidingsdiagram zijn doorgaans verschillend. Meestal neemt men als schaling het waardenbereik van de gegevens (met een klein beetje extra ruimte aan de uiteinden, zodanig dat er geen punten tegen de randen plakken). Als een variabele een natuurlijk nulpunt heeft, dan hoort de as te beginnen bij dat nulpunt. Beginnen bij een waarde groter dan 0 kan een vertekend beeld opleveren, al is het soms wel nodig om een trend te kunnen zien. Een valide, niet-misleidende schaling hangt altijd af van de context van het probleem. Wie grafieken plot met een spreadsheetprogramma, krijgt standaard meestal meteen een goede schaling van de assen voorgesteld.
Naamgeving
De naam ‘spreidingsdiagram’ is in het Nederlands een beetje ongelukkig gekozen. De spreiding duidt immers op de verspreiding van de punten op de grafiek en rond de trendlijn (indien die getekend is). Die verspreiding heeft niets te maken met de spreidingsmaten (standaardafwijking, variatiebreedte, interkwartielafstand …) die leerlingen bij één veranderlijke bestudeerden in de tweede graad. In het Engels heeft men twee verschillende woorden voor dat betekenisverschil en spreekt men dan ook van een scatterplot en niet van een spreadplot. Ook het Nederlands heeft een aantal minder verwarrende synoniemen: zo wordt een spreidingsdiagram ook wel een strooiingsdiagram, een puntenwolk, een puntdiagram of correlatiediagram genoemd. Sommigen noemen een histogram/staafdiagram onterecht een spreidingsdiagram in de zin van een ‘diagram dat toont hoe de gegevens gespreid zijn.’ Dat klopt niet: histogrammen en staafdiagrammen beschrijven de verdeling van gegevens van één veranderlijke (= univariaat) en heeft dus niets te maken met een spreidingsdiagram (= bivariaat).
Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 38/1 en is een kort stuk uit een uitgebreid artikel rond spreidingsdiagrammen en trendlijnen. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.
BRONNEN
Bethlehem, J. (2019). Het spreidingsdiagram opnieuw bekeken.
Deprez, J., Eggermont, H., Van Emelen, E. (2007). Met de krant in de hand. Uitwiskeling 23/4, 14-49.
Deprez, J., Op de Beeck, R., Van den Broeck, L. (2011). Leren modelleren. Uitwiskeling 27/3, 15-51.
Deprez, J., Roels, J., Tytgat, P. (2005). Lineaire regressie. Uitwiskeling 21/2, 10-47.
Deprez, J., Vanlommel, E. (2020). Eerstegraadsfuncties. Uitwiskeling 36/1, 21-49.
Neter J., Kutner, M., Nachtsheim, C., Wasserman, W. (1996). Applied Linear Statistical Models. Fourth Edition. WCB/McGraw-Hill.
The Economist. (2020). The embarrassment of riches. Which nation is the most generous giver of Christmas presents? The Economist, 12 dec. 2011.
wiskunde-wetenschappen
Uitgeverij die Keure nodigt alle wiskundeleerkrachten én leerkrachten exacte wetenschappen van harte uit op het WW-congres op 15 maart 2025 in het BMCC in Brugge voor een dag vol workshops en inspirerende sessies!
