Étude historique de la quadrature du cercle by Dieu Anh Le Vu

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Sommaire. Introduction……………………………………………………………………………...…......4 I) L’Antiquité…………………………………………………………………………………..5 A) Le problème posé par les Babyloniens et les Egyptiens……………………………5 1) Une toute première approximation de ……………………………………..5 2) Les Egyptiens posent le problème de la quadrature du cercle………………6 B) Le début de la recherche grecque…………………………………………………...9 1) Anaxagore et Antiphon……………………………………………………...9 2) Aristophane rend le problème célèbre……………………………………...10 C) La seconde partie de la recherche grecque………………………………………...12 1) Les lunules d’Hippocrate de Chios………………………………………...12 2) Dinostrate et la quadratrice d’Hippias……………………………………...13 3) Les travaux d’Archimède…………………………………………………..14 II) Du moyen Âge au XIIIème siècle…………………………………………………………..16 A) Le XVème siècle…………….....……………………………………………………16 B) Les XVIème et XVIIème siècle………………………………………………………21 C) Le XVIIIème siècle ou siècle des Lumières………………………………………...28 III) Du XIXème siècle à nos jours……………………………………………………………..32 A) Les tentatives de construction……………………………………………………..32 1) Quadrature du cercle par rectification de la circonférence………………...32 a) Principe……………………………………………………………..32 b) Rectification de la circonférence du cercle………………………...33 2) Quadrature par détermination d’un côté du carré équivalent……………....34 B) L’impossibilité de la quadrature du cercle………………………………………...35 C) Résolution dans la géométrie non-euclidienne…………………………………….39 1) Géométries non euclidiennes………………………………………………39 2) Résolution de la quadrature du cercle dans la géométrie hyperbolique……45 IV) Annexes…………………………………………………………………………………..44 1) La détermination babylonienne de ……………………………………………….44 2) La quadrature égyptienne…………………………………………………………..46 3) La démonstration de Dinostrate……………………………………………………48 4) Proposition I d’Archimède…………………………………………………………49 5) Proposition III d’Archimède……………………………………………………….50

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6) Proposition II d’Archimède………………………………………………………..54 7) Les démonstrations de Nicolas de Cues……………………………………………55 8) La démonstration de Grégoire de Saint Vincent…………………………………...60 9) La construction de Basselin………………………………………………………..62 10) La construction d’Ancelot………………………………………………………...64 11) L’irrationalité de

……………………………………………………………….65

12) Les tentatives de construction aux XIXème et XXème siècles……………………...66 13) e et

: deux nombres transcendants……………………………………………...75

Conclusion……………………………………………………………………………………78 Bibliographie………………………………………………………………………………….79 Résumés personnels du travail………………………………………………………………..80

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Introduction.

La quadrature du cercle est l’un des trois grands problèmes mathématiques posés par les grecs, à savoir la duplication du cube, la trisection de l’angle et bien sûr la quadrature du cercle. Les origines de ces problèmes sont souvent peu claires, par exemple, pour la duplication du cube, la légende raconte que l’oracle de Delphes avait prédit à Athènes, alors frappée par la peste, que le fléau cesserait si elle doublait l’autel d’Apollon (autel qui n’était alors autre qu’un cube). Dans le cas de la trisection de l’angle, aucune légende n’est à l’origine du problème mathématique et tout porte à croire que la recherche scientifique fut la cause initiale du problème. Quant au problème de la quadrature du cercle, on sait de source sûre que les babyloniens s’interrogeaient déjà sur la question, ce qui peut laisser penser qu’ils y associaient peut-être une application concrète (par exemple dans l’agriculture ou encore dans l’artisanat). Lorsque l’on parle du problème de la quadrature du cercle, on englobe généralement deux problèmes très voisins ; le premier est celui de la quadrature proprement dite : il s’agit de construire, à partir d’un cercle donné, un carré ayant la même aire que ce cercle, et ce avec la seule aide d’une règle et d’un compas. Le second problème, dit de la rectification de la circonférence du cercle consiste en la construction – ou le calcul – d’un segment ayant la même longueur que le périmètre d’un cercle donné. Ces deux problèmes réunis sous le même nom sont donc depuis l’époque babylonienne à l’origine de nombreuses recherches mathématiques, et parfois même de grandes avancées dans ce domaine, depuis l’antiquité jusqu’à une époque plus récente. Mais pour aboutir à de tel résultats, il a fallu que bien des scientifiques, mathématiciens ou non, proposent de nombreuses tentatives de constructions qui essaieraient de résoudre ce problème de la quadrature du cercle, et ce tout d’abord au cours de l’Antiquité, puis du Moyen Âge jusqu’au XVIIIème siècle et enfin tout au long du XIXème siècle qui semble marquer un point final au problème même et de nombreuses ouvertures apparaissent aux yeux des savants.

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L’Antiquité.

A) Le problème posé par les Babyloniens et les Egyptiens.

1) Une toute première approximation de . Babylone, du mot babylonien Bab-ilim ou Babil qui signifie « porte du dieu » était l’une des plus grandes villes de l’Antiquité dont il ne reste aujourd’hui qu’un vaste champ de ruines à l’est de l’Euphrate, à 90 km au Sud de Bagdad en Irak. Babylone fut la capitale de la Babylonie aux IIe et Ie millénaires avant J.C. Les connaissances des Babyloniens nous proviennent de nombreuses tablettes d’argile gravées en écriture cunéiforme (en forme de coins ou de clous) relatant leur vie sociale, commerciale, religieuse, culturelle et scientifique. Les Babyloniens étaient de brillants astronomes et de grands calculateurs. Ce sont les premiers à avoir étudié le cercle, trouvant ainsi une valeur approchée de . Pendant de nombreuses années, on a cru que les Babyloniens prenaient une valeur de égale à 3. Mais, en 1936, des archéologues on trouvé une tablette cunéiforme vieille de 4000 ans, celle-ci donnant la preuve que les Babyloniens avaient trouvé une valeur plus précise de 1 : = 3 + (La méthode utilisée par les Babyloniens est exposée en ANNEXE 1). 8

Tablette babylonienne cunéiforme trouvée en 1936

Les babyloniens, connus comme la civilisation fondatrice des bases des mathématiques, nous permettent ainsi une connaissance de la circonférence du cercle même si celle-ci est approximative. Ils ont fait avancer les recherches et les égyptiens reprennent une partie de leurs résultats et cherchent une plus grande précision.

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2) Les Egyptiens posent le problème de la quadrature du cercle.

La civilisation égyptienne s’est développée dans la vallée creusée par le Nil il y a plus de 4000 ans, et ne fut que très tardivement découverte par l’occident. Nos connaissances proviennent essentiellement des inscriptions en hiéroglyphes gravées sur les monuments. Ces inscriptions relatent leur vie sociale et leur culture. De nombreux monument, comme les temples d’Abu Simbel, Karnak, Philae, Louxor, ou encore les trois pyramides de Gizeh construites par Kheops, Khephren et Mykérinos, témoignent de la grandeur de l’Egypte ancienne.

Légende d'une scène de chasse en hiéroglyphes dans la tombe d'Amenemhat à Thèbes.

Temple de Karnak dédié au dieu Amon.

Le Papyrus Rhind, véritable mine des connaissances mathématiques des égyptiens, a été découvert en 1855 à Thèbes, qui fut durant plusieurs siècles capitale de l’Egypte antique et située sur les deux rives du Nil à environ 720 km au Sud du Caire. Actuellement conservé au British Museum de Londres, il contient sur plus de 5 m de longueur et 32 cm de large, 87 problèmes. Il traite entre autres de la décomposition des fractions en fractions unitaires, de l’arithmétique, de la résolution d’équation et de la géométrie. C’est dans cette partie géométrie que pour la première fois le problème de la quadrature du cercle est posé. Le papyrus Rhind a été rédigé par le scribe Ahmes vers 1650 avant J.C. De ce personnage, qui est un des rares mathématiciens de l’Ancienne Egypte et le seul dont il nous reste des traces, on ne sait que très peu de choses. Il était le scribe du pharaon Apophis Ier de la dynastie Hyksos. Les Hyksos, terme signifiant « chefs d’un pays étranger », sont des envahisseurs qui ont dominé l’Egypte de 1730 avant J.-C. à 1580 avant J.-C. fondant les XVème et XVIème dynasties. Le papyrus Rhind est le document le plus important nous informant sur les connaissances mathématiques des anciens égyptiens, son contenu étant extrêmement riche et varié. Il n’est pas le seul, il y a aussi le papyrus dit de « Golenischev »

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conservé au musée des Beaux Arts de Moscou qui contient 25 problèmes d’arithmétique et de géométrie.

Photo du papyrus Rhind.

La méthode énoncée par Ahmes consiste en deux opérations : - Enlever un neuvième au diamètre. - Multiplier le résultat par lui-même. (Cette méthode est exposée en ANNEXE 2.) Ainsi il obtient un résultat approximatif de la quadrature du cercle : M N

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8 AM 9 On trace la droite ME puis la droite parallèle à ME passant par N. D’après le théorème de Thalès dans le triangle AME on a : AN AB 8 = = AM AE 9 MN =

Il suffit donc de tracer le carré ABCD dont le coté AB représente les

8 du diamètre 9

AE.

Les égyptiens ont dont été les premiers à se poser le problème de la quadrature du cercle. Ils ont trouvé une approximation de la solution mais nous ne savons pas si ils en étaient conscients ou s’ils pensaient avoir trouvé une solution exacte. Néanmoins, cette solution est d’une grande ingéniosité et nous apporte une valeur plus précise de que celle trouvée par les Babyloniens.

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B) Le début de la recherche grecque. 1) Anaxagore et Antiphon. Dans la Grèce Antique, les recherches sur la quadrature du cercle sont très importantes mais elles n’aboutissent pas à une résolution du problème. En revanche, les grecs prennent conscience de la grande difficulté de ce problème et trouvent des méthodes permettant de trouver des approximations de la solution, méthodes utilisées jusqu’à dix siècles après pour rendre ces approximations toujours plus précises. Anaxagore de Clazomènes est le premier grec à poser le problème. Anaxagore fut le premier philosophe à s’établir à Athènes en 480 avant J.C., ville qui deviendra un centre très important de philosophie. Ses idées étaient, curieusement, un mélange de conceptions révolutionnaires et de notions dépassées. Par exemple, il pensait que la Terre était plate mais avait compris le mécanisme des éclipses de soleil. Pour lui, la Lune n’était qu’une grosse pierre lancée dans le ciel. Mettre des pierres dans le ciel était inacceptable pour les Athéniens et Anaxagore est arrêté et parait devant le tribunal. En vain il fit allusion à la météorite tombée du ciel à Aégos Potamos, essayant de justifier ses idées. Mais tout le monde ne voulait y voir qu’un acte divin et Anaxagore fut condamné à mort malgré le soutient de son ami Périclès. Il réussit à s’évader mais il est contraint à l’exil, ce qui était un châtiment presque pire que la mort pour un athénien. Anaxagore était un grand philosophe présocratique, qui eut d’ailleurs comme élèves Périclès, Euripide et sans doute Socrate. Il expose sa philosophie dans Péri physeos (De la nature) dont seuls subsistent quelques fragments. Il est l’auteur de la phrase reprise deux siècles plus tard par Lavoisier : « Rien ne se détruit, rien ne se crée … il n’y a que des transformations ». Pour Anaxagore, la Création est le passage d’un état où les choses sont mélangées et indiscernables à un état où elles se distinguent sous l’action d’une « Intelligence », le « Noûs », cause simple existant en soi, extérieure et supérieure aux éléments. C’est dans sa prison qu’il travaille à la quadrature du cercle. Malheureusement nous ne disposons que de très peu d’élément sur ses travaux et nous ne savons pas si il croyait avoir réussit ou s’il informait seulement les mathématiciens des difficultés de ce problème, difficultés qui s’étaient présentées à lui dans sa recherche. La deuxième option est tout de même plus probable si l’on croit les éloges que Platon lui donnait sur sa grande habileté en géométrie. Après Anaxagore, Antiphon d’Athènes, sophiste du Vème siècle avant J.-C. propose de quarrer le cercle en construisant des polygones ayant un nombre de côtés de plus en plus grand : on appelle cette méthode le principe d’exhaustion. En prenant un nombre de côtés assez grand on construit un polygone qui se confond avec le cercle et on a donc exhaustivement recouvert le cercle. Le cercle est ainsi confondu avec un polygone d’un nombre infini de côtés. Mais cette idée n’est pas acceptée par les anciens car il est trop tôt pour envisager l’idée de l’infini.

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2) Aristophane rend le problème célèbre.

Aristophane, qui vécu au IVème siècle avant J.-C., était un auteur dramatique athénien reconnu comme le fondateur de la comédie et comme l’un des plus grands auteurs comiques de la littérature. Il écrivit quarante-quatre pièces de théâtre dont onze seulement nous sont parvenues. Il défendait toujours des idées philosophiques et théologiques traditionnelles telles que la paix, la franchise, la sagesse. Il critiqua de nombreuses personnes, les tournant en dérision dans ses pièces. Par exemple dans Les nuées en 423 avant J.-C. il s’attaque à Socrate dont il jugeait l’attitude contraire aux intérêts de l’Etat. Le théâtre avait une très grande importance dans la Grèce Antique. Socrate accusera d’ailleurs Aristophane d’avoir aidé à sa condamnation avec sa pièce. Les pièces étaient jouées dans de très grands théâtres pouvant accueillir un nombre impressionnant de personnes.

Théâtre d’Epidaure pouvant contenir jusqu’à 14 000 personnes.

Aristophane rend le problème de la quadrature du cercle célèbre en se moquant des géomètres qui l’ont essayé sans aboutir à une solution. Pour cela il met en scène le géomètre Méton dans Les oiseaux (414 avant J.-C.) : Méton : Me voici venu à vous. […] Je veux procéder au métrage de votre air, et le diviser en arpents. Ralliecopain : (citoyen d’Athènes) Pour l’amour du ciel, qui es-tu donc ? Méton : Qui je suis ? Moi ? Méton, bien connu dans la Grèce et dans mon quartier. Ralliecopain : Dis-moi, qu’est-ce que c’est que cet attirail que tu as ?

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Méton : Des équerres aérométriques. Pars de l’idée que l’air, dans la globalité de son contour, offre à peu près l’image d’un éteignoir. Adonc, moi en y appliquant par en haut l’équerre courbe que voici, après insertion d’un compas… Ralliecopain : Non, je n’y suis pas ! Méton : … je ferai mes mensurations, par application d’une équerre droite, en sorte que, tu vois, le cercle devienne quadrangulaire, et qu’au centre il y ait un rond-point, où aboutiraient des rues rectilignes, exactement centripètes, et de l’exacte circularité duquel, comment d’une étoile, irradieront dans tous les azimuts des rayons rectilignes. Ralliecopain : Quel puits de science, ce type là ! Dis, Méton … Méton : Quoi ? Ralliecopain : Je t’aime bien tu peux te le dire ! Alors, crois-moi : tire-toi du chemin en douce ! Extrait de la pièce Les oiseaux d’Aristophane

Les traducteurs ne sont pas tous d’accord pour ce passage et particulièrement pour la phrase : « je ferai mes mensurations, par application d’une équerre droite, en sorte que, tu vois, le cercle devienne quadrangulaire ». Dans son ouvrage sur la quadrature du cercle, Montucla mentionne une autre formule : « Je vais, la règle et l’équerre en main, vous faire un cercle carré ». Cette traduction accentue le ridicule de la scène par l’opposition entre les deux termes cercle et carré. Mais nous pouvons faire la même remarque à l’expression ci-dessus : en effet le géomètre veut que le cercle devienne quadrangulaire, c’est-à-dire qu’il possède quatre angles, ce qui parait ridicule. Ainsi, par un maniement très habile de l’expression, Aristophane tourne en dérision les géomètres qui ont « osé » s’attaquer à ce problème très complexe de la quadrature du cercle. En faisant ceci il rend le problème célèbre et on le mentionne dans les écoles philosophiques. De grands philosophes et mathématiciens grecs s’y essayent et ils vont permettre une grande avancée dans les connaissances non seulement du cercle mais de bien d’autres notions mathématiques comme celle de l’infini qui leur apparaît de plus en plus.

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C) La seconde partie de la recherche grecque. 1) Les lunules d’Hippocrate de Chios.

Hippocrate de Chios enseignait à Athènes. De sa vie on sait très peu de choses et les historiens ont des avis différents. Mais si on en croit Aristote, il était excellent géomètre. Par contre, dans sa vie quotidienne il se serait révélé particulièrement « naïf ». Selon certains historiens il était un négociant qui aurait perdu toute sa fortune à la suite d’une attaque de son bateau par des pirates. Se rendant à Athènes pour faire engager des poursuites contre eux, il profita de son séjour dans la ville pour donner des « conférences » qui prouvèrent ses compétences, en particulier dans le domaine de la Géométrie. Ceci l’aurait amené à s’intéresser au problème de la quadrature du cercle. Ses recherches sur la quadrature du cercle le conduisirent à une découverte qu’il n’imaginait même pas faire : il réussit la quadrature des lunules, figures limitées par des arcs de cercle :

L’aire des deux lunules est égale à l’aire du triangle rectangle sur cette figure.

En effet il est possible de quarrer ces portions de cercle. Hippocrate essaya d’appliquer les mêmes considérations au cercle mais constata que celles-ci ne lui permettaient pas de quarrer le cercle. Malgré cet échec Hippocrate fut d’une grande ingéniosité et les lunules fascinèrent bien d’autres géomètres comme Léonard de Vinci qui en construisit plus d’une centaine.

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2) Dinostrate et la quadratrice d’Hippias. Dinostrate vécu au IVème siècle avant J.-C. et, avec son frère et un des disciples de Platon, il décida de perfectionner la géométrie. Dinostrate s'intéressa plus particulièrement à la quadrature du cercle en proposant une solution approchée d'une grande subtilité, basée sur des calculs de proportions et de moyennes proportionnelles, conduisant à la construction d'une courbe, point par point, appelée aujourd'hui « quadratrice » de Dinostrate mais empruntée en fait à Hippias d'Élis qui l’aurait définie et utilisée pour résoudre le problème de la trisection de l’angle.

Figure représentant la quadratrice d’Hippias

Sur la figure ci-dessus, la quadratrice (en rouge) permettrait, selon Dinostrate, une résolution exacte de la quadrature du cercle. Mais Dinostrate fait une erreur liée à la notion de l’infini alors très obscure : (Les détails du raisonnement de Dinostrate sont présentés en ANNEXE 3). AB = OQ Or ceci est faux car ce serait seulement vrai quand le point M tend vers Q, le point Q n’étant pas constructible à la règle et au compas en un nombre fini d’étapes. Cette approche du problème, bien que très ingénieuse, ne permet pas sa résolution. Selon lui on a :

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3) Les travaux d’Archimède.

Le grand Archimède de Syracuse, fondateur de l’hydrostatique, auteur de travaux en mécanique et géométrie, fut sans aucune doute le grec qui fit le plus avancer les recherches sur la quadrature.

Archimède menacé par un soldat romain. Mosaïque d'Herculanum, ancienne ville romaine, proche de Naples qui fut ensevelie, ainsi que Pompéi, lors d'une éruption du Vésuve en 79 après J.-C.

Il démontra deux propositions très importantes dans sont texte intitulé De la mesure du cercle. Ses calculs sont très impressionnants car aucune notation algébrique n’était disponible ; sa méthode géométrique fait appel à de purs calculs abstraits, elle repose donc sur la seule hypothèse que notre monde est Euclidien. C’est la première méthode jamais proposée permettant le calcul de avec une précision aussi grande qu’on le souhaite.

Extrait de l’ouvrage De la mesure du cercle d’Archimède

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Dans sa première proposition il démontre l’équivalence du problème de la quadrature du cercle et de la mesure du cercle (c’est-à-dire sa mesure). En effet, grâce à une démonstration par l’absurde (exposée en ANNEXE 4) il montre qu’un cercle est équivalent à un triangle dont l’un des côté de l’angle droit équivaut à son rayon et l’autre à sa circonférence :

Triangle dont l’aire est équivalente à un cercle de rayon r.

Après cette démonstration les recherches se tourneront vers la rectification du cercle pour résoudre la quadrature de celui-ci. La deuxième proposition d’Archimède est sans doute sa plus brillante démonstration. En considérant des polygones inscrits et circonscrits il parvient à donner un encadrement de qui restera le plus précis pendant plus de seize siècles. Sa méthode (exposée en ANNEXE 5) sera réutilisée car elle permet une approximation de aussi précise qu’on le souhaite. Archimède, dernier mathématicien à s’intéresser à la quadrature du cercle dans l’antiquité, nous donne une méthode d’une grande ingéniosité : la preuve en est que ses travaux serviront et servent toujours.

Ainsi les recherches de l’antiquité sont très importantes ; elles mettent en place les bases pour la résolution de ce problème. Les géomètres grecs ont pris conscience de la difficulté de ce problème et ont trouvé des solutions, approximatives certes, mais tout de même d’une précision relativement grande au regard des instruments et des notions dont ils disposaient. Archimède est un des précurseurs des recherches futures car un grand nombre de mathématiciens prendront exemple sur ses travaux.

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II) Du Moyen Âge au XIIIème siècle. A) Le XVème siècle. Le problème de la quadrature du cercle n’a pas été réétudié en Europe avant le XVème siècle. On a cependant retrouvé des traces de recherche sur le sujet chez les Chinois et les Arabes. On peut par exemple citer Liu Hui, qui comme Archimède présente une approximation de la quadrature du cercle. Il présente la figure suivante :

Liu Hui considère que chaque partie du cercle dont l’aire qui n’est pas recouverte par le polygone, peut être elle-même recouverte par un rectangle, ce qui permet de majorer l’aire globale restante. On peut même évaluer le rapport existant entre le diamètre et l’aire restante, avec la relation suivante : Si l’on appelle A l’aire restante, d le diamètre et C une circonférence, on a :

A = dxC Cependant le problème dans le rapport donné par Liu Hui est le fait que cette circonférence soit donnée et considérée comme approchant celle du cercle. Le problème de la quadrature reste alors entier puisqu’il faut trouver cette circonférence. Comme nous l’avons dit, ce n’est qu’au XVème siècle que les recherches reprennent en Europe : en effet, les romains, d’une manière générale se sont peu intéressés aux sciences et encore moins aux mathématiques. Puis, l’Europe a connu une période d’instabilité politique très peu favorable à la recherche mathématique. C’est Nicolas de Cues qui réintroduisit le problème mathématique en Europe. Né en 1401 à Cusa, ville située sur les bords de la Moselle en Allemagne, Nicolas de Cues suit tout d’abord des études de droit canonique. En 1434, après avoir perdu un procès, il se tourne vers le pape et débute une carrière religieuse. Après quelques missions Nicolas de Cusa commence à écrire des uvres mathématiques : son uvre De Conjecturis, traite déjà des conjectures et propose quelques applications pratiques de ces conjectures, en particulier celle de la « figure P » qui traduit l’unité et l’altérité de Dieu et du monde.

Nicolas de Cues (1401-1464)

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Nicolas de Cues remplira de nombreuses fonctions au sein de l’Eglise ; il aura par exemple pour tâche de rallier les électeurs de Frankfurt et d’Aschaffenburg au parti du pape, ce qui lui vaudra de nombreuses faveurs. C’est en 1445 qu’il débute ses recherches à proprement parler sur la quadrature du cercle et en l’espace de quatorze ans, il publie douze traités sur le sujet. Les sources utilisées par Nicolas de Cues sont peu claires : il semble pourtant qu’elles soient toutes latines – on ne retrouve aucune trace arabe –, et qu’elles se composent principalement de quatre mathématiciens : Euclide, Campanus de Novare, Thomas Bradwardine, Jean de Murs. Nicolas de Cues se serait cependant peu inspiré d’Euclide, puisque des références à l’ uvre maîtresse du mathématicien, ses Eléments, n’apparaissent qu’au cours d’une seconde étude portant sur la quadrature, datée de 1450. D’autre part, il apparaît comme certain que le Cusain se serait plus aidé de la nouvelle traduction d’Archimède que de l’ uvre d’Euclide. L’influence de Campanus de Novare apparaît aussi modeste que celle d’Euclide ; cela peut cependant s’expliquer par la proximité existant entre l’ uvre de Campanus de Novare et celle de Bradwardine. Le texte de ce dernier étant cependant plus complet que celle de Campanus de Novare, tout laisse à penser que Nicolas de Cues a porté un intérêt plus grand à ce texte plus récent. On peut tout d’abord noter la parenté lexicale existant entre le texte de Bradwardine et celui de Nicolas de Cusa : la question de l’irrationalité de π est évoquée dans les mêmes termes chez les deux auteurs. Le Cusain rapproche le problème de l’irrationalité de π de celui de l’incommensurabilité de la diagonale et du carré. On peut également noter que le terme de « diamètre », qu’utilise Nicolas de Cues pour désigner la diagonale, est lui aussi emprunté à Bradwardine qui avait écrit : « Il est évident qu’une ligne moyenne en proportion entre le côté et le diamètre leur est incommensurable à la fois en longueur et en puissance ». Lorsque Nicolas de Cusa tentera de donner une solution à la quadrature du cercle par la méthode de la moyenne proportionnelle, cette démonstration sera également issue d’une étude de l’ uvre de Bradwardine. Il apparaît donc que Thomas Bradwardine est une source majeure pour Nicolas de Cues. Le dernier mathématicien qui a grandement influencé le Cusain est Jean de Murs, professeur à la Sorbonne au XIVème siècle. Il semblerait que ce soit sa principale uvre, De arte mesurandi, que Nicolas de Cues utilise lors de ses recherches. C’est par la lecture de ce texte qu’il aurait découvert les grands principes du raisonnement archimédien et ses principales propositions sur la mesure du cercle. C’est à partir de toutes ces recherches que Nicolas de Cues propose deux manières de résoudre la quadrature du cercle, en construisant un cercle et un carré de même aire : - la première est celle de la moyenne proportionnelle, empruntée à Bradwardine - la seconde est celle des isopérimètres, sur la base des recherches d’Archimède et de Jean de Murs. (Le travail de Nicolas de Cues est présenté en ANNEXE 1) Avec la méthode de la moyenne proportionnelle, Nicolas de Cues présente la figure suivante : u z q

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Cependant cette démonstration présente une faille qui est de taille et qui, rend « inachevée » la démonstration de Nicolas de Cusa ; en effet, le Cusain suppose alors que la circonférence du cercle initial est donnée, or c’est ici que se trouve le principal problème posé par la construction de la quadrature du cercle. Pour la méthode des isopérimètres, Nicolas présente dans un traité de 1450 la construction suivante : a

b h

k d

o p

a a n

s bb r

l e

Mais Nicolas de Cues ne prend en compte qu’un seul type de proportion entre les différents rayons qu’il présente : la proportion droite, c’est-à-dire qu’il considère que les rayons croissent de manière proportionnelle tout au long de son étude, alors qu’en réalité, cette croissance progresse selon une fonction asymptotique qui tend vers l’infini (et par conséquent la différence entre les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un polygone donné ne diminue pas de manière proportionnelle). Cette erreur est détectée par un ami de Nicolas de Cues, le florentin Paolo Toscanelli, en 1453, qui lui écrit dans une lettre : « Mais s’il n’est pas vrai que la droite passe ainsi, mais que, d’aventure, une courbe de quelque courbure passe de la première du triangle par les premières de tous les polygones jusqu’à la première du cercle, alors cette invention n’est pas suffisante ». Cependant Nicolas de Cues ne considérera pas cette remarque comme importante et croira que cette méthode permet la construction d’un carré ayant la même aire qu’un cercle donné. Même si l’étude mathématique que présente Nicolas de Cues est relativement peu intéressante puisque ne présentant que des méthodes fausses, le Cusain propose tout de même une interprétation très intéressante du problème de la quadrature du cercle. On suppose que Nicolas de Cues s’est très largement basé sur l’étude de Proclus, mathématicien grec qui voit dans le cercle, la première, la plus simple et la plus parfaite des formes géométriques. Le cercle correspond au fini, à l’unité – en particulier grâce au caractère extrêmement régulier de sa forme – . C’est pourquoi Proclus l’attribue au ciel, alors que les formes géométriques plus « rectilignes » sont attribuées à la génération. Même si Nicolas de Cues ne voit pas dans le cercle, comme Proclus, l’image du fini, il le considère néanmoins comme celui de l’éternité. Au Moyen Âge, le cercle est à l’origine du changement de considération de l’infini, qui jusqu’alors était perçu de manière négative : en effet, la ligne circulaire devient l’image de l’être parfait, l’image de Dieu. Cela va être très important pour Nicolas de Cues qui essaie d’appliquer cela à la quadrature du cercle. Si l’on se rapporte au contexte historique, on peut remarquer que vers 1450, Nicolas de Cues commence une lutte acharnée contre les religieux

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qui se servent du pouvoir qu’ils exercent sur leurs fidèles pour en tirer un profit financier ou pour mener une vie de repos. C’est à cause de cela qu’en 1452, Nicolas de Cues entre en grave conflit avec les religieuses de Sonnenburg – dont l’abbesse est Verena de Stuben – les accusant de mener une vie des plus libres, sous le couvert de l’austérité religieuse. Ce conflit s’intensifie très largement et aboutit rapidement à un procès devant le pape, procès qui nuit fortement à la « popularité » de Nicolas de Cues. C’est pourquoi il se sert de ses recherches mathématiques pour souligner le bien fondé de ses dires et l’importance de son jugement face à celui de l’abbesse Verena de Stuben. En 1453 il propose donc dans un écrit, Complementem Theologicum, une interprétation religieuse du problème de la quadrature du cercle. Si l’on reconsidère la figure que nous présente Nicolas de Cues avec la méthode des isopérimètres, on peut constater que le point q représente le point de jonction entre le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit. Le Cusain parle de « coïncidence du minimum et du maximum ». La ligne ne serait pour Nicolas de Cues que le prolongement du point, prolongement continu et régulier que l’on pourrait qualifier de « parfait ». D’autre part, Nicolas considère que la coïncidence entre ce maximum et ce minimum correspond à Dieu et que par conséquent, le point q, point de jonction, n’est autre que Dieu. La résolution de la quadrature du cercle, construction de ce point q, serait donc l’accès à Dieu – d’après Nicolas de Cues – et par-là même au Paradis. Cette interprétation paraît d’autant plus vraie aux yeux de Nicolas de Cues qu’il la seconde d’une autre forme d’interprétation aboutissant au même résultat. Le cercle représenterait le ciel et le carré, la terre. La quadrature du cercle est donc le passage de la terre au ciel, et donc la montée au Paradis. C’est en partie pour cette raison que Nicolas de Cues n’accepte pas l’erreur que Toscanelli lui pointe du doigt, puisqu’elle remet totalement en question cette démonstration des isopérimètres (démonstration qui apparaît comme la plus proche du résultat et la plus fiable) et donc la montée au Paradis. Ainsi, Nicolas de Cues présente une recherche tout à fait nouvelle tant par son côté mathématique, qui même s’il n’aboutit à aucun résultat, présente une nouvelle approche des mathématiques (pour la première fois, un mathématicien s’intéresse au comportement de courbes et de fonctions lorsqu’elles tendent vers l’infini), que par son côté théologique puisque Nicolas de Cues tente de donner une explication à ce problème mathématique. C’est pour cette raison que d’autres religieux, tels que Grégoire de Saint-Vincent, chercheront à leur tour à résoudre le problème de la quadrature du cercle, dans le but de prouver l’existence de Dieu. Il est également intéressant de noter qu’à la fin du XVème siècle, début du XVIème, Oronce Fine (1494 – 1555) présente dans son uvre De quadratura circuli une construction de la quadrature du cercle, assez fidèle à la « réalité », à l’aide de ce qu’il appelle « la dimension parfaite ». Cette « dimension parfaite » n’est en réalité qu’une extension du nombre d’or, définit de la sorte : Si l’on suppose que x et y sont deux grandeurs (avec x < y ), on a : y x = y x+y Pour trouver la proportion reliant x à y il suffit de donner à x une valeur particulière (par exemple 1) et de résoudre l’équation qui en découle : y 1 = y 1+y

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soit : y² - y - 1 = 0 √5 + 1 , qui est le nombre d’or. 2

dont la seule solution est y =

Dans sa démonstration, Oronce Fine considère un rectangle ABCD construit selon la proportion du nombre d’or. On construit dans ce rectangle un carré ABEF. A côté de ce carré reste un rectangle CDEF, ayant les mêmes proportions que le rectangle initial. On réitère cette démarche une infinité de fois, en obtenant toujours des rectangles qui sont alors dits semblables. D’où la figure : √5 + 1 2 F

A 1 B

A partir de ce principe, Oronce Fine définit le carré « parfait » et le cercle « parfait » et en déduit que les deux figures présentent des aires proportionnelles (à partir desquelles on peut construire le carré et le cercle ayant la même aire). La construction présentée se révèlera toutefois n’être qu’une approximation des valeurs exactes, et les autres mathématiciens du XVIème siècle chercheront à résoudre ce problème de la quadrature du cercle, pour lequel on n’avait jusqu’alors trouvé qu’une approximation (qui même si elle était très précise n’était pas la valeur exacte).

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B) Les XVI & XVIIème siècle. Au XVIème siècle, l’Europe connaît un total renouveau ; en effet on voit apparaître un courant d’idées tout à fait nouveau: on parle alors d’Humanisme. Ce courant préconise le retour aux valeurs anciennes, en particulier à celles de l’Antiquité. Cela s’exprime sous différentes formes : art, architecture, littérature (on peut par exemple constater un retour aux grandes tragédies sur le modèle grec). Le domaine des mathématiques est touché autant que les autres. C’est pourquoi les scientifiques perçoivent le problème de la quadrature du cercle sous un angle différent de celui présenté par Nicolas le Cusain. On s’attache de nouveau aux démonstrations grecques (alors que certaines avaient été jusqu’à présent remises en cause au XVème siècle) et en particulier à celle d’Archimède. Ainsi, en 1586, Ludolph à l’aide d’une démonstration très proche de celle du Syracusain présente un encadrement des valeurs du rapport entre le cercle et le carré qui permettrait la résolution de la quadrature du cercle. Le rapport devait être supérieur à 3,141557587 et inférieur à 3,141662746. Il ne s’agissait en réalité que d’un encadrement de la valeur de π. Cependant ses recherches aboutiront à une plus grande précision du rapport de la circonférence au diamètre qui sera de 34 chiffres exacts. Les premières valeurs trouvées par Ludolph seront reprises peu de temps après par Adriaan Anthonitz qui, sûrement à l’aide de l’algorithme d’Euclide, en déduisit un encadrement rationnel : Si l’on nomme R ce rapport entre la circonférence et le diamètre, on a : 15 3+

106

17 <R<3+ 120

Il déduisit de cet encadrement une valeur moyenne, sans dévoiler sa démarche pour arriver au résultat suivant : R= 3 +

15+17 120+106

Soit R =

355 113

Cette approximation fut désormais appelée approximation de Metius, qui propose une approximation de la valeur exacte à 10-6 près, présentée par Adrien Métius, dans sa Géométrie Pratique (1611) ; il écrit : « ad suam diametrum esse minorem quam 3(17/120) hoc est (377/120), vero quam 3(15/106) hoc est (333/106), quarum proportionum intermedia existit 3(16/113) sive (355/113). Quae quidem intermedia proportio aliquantulum existit major, quam ea, quam inventit M Ludolph a Collen, cujus tamen differentia est minor quam (1/1000000) ». Dans ce texte latin, Metius ne fait que rappeler la démarche ci-dessus en minorant et majorant le rapport. Puis, en 1593, partant d’une figure d’Euclide, Viète donne le premier algorithme infini connu, établissant le rapport du carré au cercle circonscrit qui correspond au produit suivant :

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1 2

Où chaque facteur fn est déduit du précédent par la récurrence :

fn =

1 1 + fn-1 2 2

Les autres mathématiciens du XVIème siècle s’inspirent – tout comme Ludolph – de l’ uvre d’Archimède mais n’obtiennent aucun résultat. Ils arrivent cependant à la déduction que tout le problème est basé sur la valeur de π : si l’on arrive à trouver cette valeur (on ne sait pas encore que π est irrationnel), le problème de la quadrature du cercle sera résolu. A la fin du XVIème siècle (début du XVIIème), Grégoire de Saint-Vincent propose une résolution de la quadrature du cercle. Né le 8 septembre 1584 à Bruges, il fait ses premières études à Douai (entre 1601 et1605) puis entre au noviciat de Rome le 21 octobre 1605, où il deviendra en 1607, l’élève de Clavius. Grégoire de Saint-Vincent ne cessera pas, tout au long de sa vie, de voyager à travers l’Europe ; ainsi, entre 1608 et 1613, il enseigne les mathématiques à Louvain, puis en 1613, le grec à Bruxelles, il devient surveillant au Collège de Bois le Duc au cours de l’année 1614 et arrive enfin à Anvers le 15 avril 1615 où il enseigne les mathématiques. En 1617, année de la mort du Père François d’Aguillon – grand professeur de mathématiques et architecte – Grégoire de Saint-Vincent le remplace en tant que professeur et même en tant qu’architecte.

Grégoire de Saint-Vincent

Il ne reste cependant pas longtemps à Anvers puisque de 1621 à 1624, il est professeur de mathématiques à Louvain, où il fait défendre plusieurs thèses de mathématiques ; à la même époque, il commence à se consacrer à ce qui sera son uvre maîtresse, l’Opus geometricum. C’est d’ailleurs au sujet de cette uvre qu’il effectue un voyage à Rome en 1625, pour en discuter avec un autre mathématicien, Grienberger, où il restera jusqu’en 1628, date à laquelle il part pour Prague. A Prague, Grégoire de Saint-Vincent enseigne les mathématiques au Collège Saint-Clément jusqu’en 1631. Cependant son uvre en tant qu’architecte crée de nombreuses discussions, et, en 1632, il quitte Prague pour Gand où il restera jusqu’à la fin de sa vie. Quant au problème de la quadrature du cercle, il expose des résultats très détaillés dès 1625, en s’aidant beaucoup des recherches antiques. Malheureusement, il perd de nombreux documents lors de l’incendie qui ravagea Prague. Ce n’est donc qu’en 1647 qu’il présente la plupart de ses recherches, dans une uvre intitulée Opus geometricum quadraturae circuli et

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sectionum coni. Grégoire de Saint-Vincent démontre tout d’abord la quadrature de l’hyperbole et essaie ensuite d’appliquer ses résultats au problème de la quadrature du cercle. (La démonstration de Grégoire de Saint-Vincent est en ANNEXE 2). Malgré une erreur dans sa démonstration, Grégoire de Saint-Vincent marquera beaucoup les esprits des mathématiciens du XVIIème siècle qui n’hésiteront pas à reprendre ses recherches. Il est d’ailleurs intéressant de noter qu’à partir de 1650, Grégoire de SaintVincent entretient une importante correspondance avec Huygens, ce qui peut laisser supposer un échange de démonstrations entre les deux mathématiciens C’est sur ces dernières découvertes que débutent les recherches du XVIIème siècle. La plupart des mathématiciens chercheront, comme nous l’avons dit, une valeur de plus en plus proche de la valeur de π – puisqu’ils considéraient que π était rationnel – mais pas de constructions particulières liées au problème en lui-même. Ce n’est qu’en 1645 que Roberval propose une approche différente, en présentant une nouvelle quadratrice. Cette découverte établit un lien fondamental entre la détermination des tangentes et le calcul des aires. On a la figure suivante :

x’

Roberval écrit: « Soit une courbe convexe AC, et un axe x’Ax. En un point courant M on mène une tangente MT qui rencontre l’axe en T. La perpendiculaire à l ’axe en T et sa parallèle issue de M se coupent en N. Soit AΓ la courbe lieu de N: les aires comprises entre la courbe AC, l’ordonnée Mm, et la portion Am de l’axe d ’une part la courbe AC, la parallèle NM à l’axe et la courbe AΓ d’autre part sont équivalentes. » Ainsi, on peut obtenir une bonne approximation de la quadrature du cercle, si l’on construit un carré dont l’aire soit égale à la partie hachurée en rouge et un cercle dont l’aire soit la même que celle de la partie hachurée en bleu, soit comme la figure suivante : Γ

x’

Roberval présente sa proposition le 1er janvier 1646 à Torricelli qui en trouve immédiatement une démonstration, qui facilite la réalisation des quadratures d’hyperboles.

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Cette « quadratrice de Roberval » est utilisée plus tard par James Gregory, puis reprise par Leibniz qui en déduit la relation suivante :

π 4

= 1-

1 1 … + 3 5

Quelques années plus tard, en 1655, John Wallis propose un autre produit infini dans Arithmetica Infinitorum, qui restera célèbre :

π = 2 . 2 . 4 .4 . 6 . 6 . 8 . 8 … 2

Il applique sa formule au problème de la quadrature du cercle sous la forme suivante : En appelant R le rapport de l’aire du carré circonscrit à celle du cercle (qui est 4 équivalent au rapport ), il écrit :

{

minor quam

major quam

3 x3 x5 x5 x7 x7 x9 x9 x11 x11 x13 x 13 2 x4 x4 x6 x6 x8 x8 x10 x10 x12 x12 x 14 3 x3 x5 x5 x7 x7 x9 x9 x11 x11 x13 x 13 2 x4 x4 x6 x6 x8 x8 x10 x10 x12 x12 x 14

1 1 1 13

1 1 14

On peut expliquer cette formule de la manière suivante : Si, pour calculer le rapport R on décide de s’arrêter lorsque les deux derniers facteurs du produit seront : 2n - 1 2n - 2

en multipliant le résultat par :

2n - 1 2n

1 soit par 2n - 1

2n 2n - 1

on aura une valeur majorant le nombre recherché, car chez Wallis, les rapports s’identifient aux nombres, et en multipliant ce même résultat par :

1 2n

soit par

2n + 1 2n

on aura au contraire une valeur minorant le nombre cherché. On peut déceler ici une volonté d’encadrer la valeur cherchée le plus précisément possible, proche de celle d’Archimède. Si l’on nomme P 2n le produit tel qu’il est à la valeur 2n - 1 on a donc : 2n - 2 P2n x

2n + 1 <R 2n

P2n x 24

2n 2n - 1

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On obtient ici une marge d’erreur inférieure à la différence de deux bornes, soit à :

P2n

_ R ~

2n (2n - 1)

Ainsi, le produit infini de Wallis ne tend vers sa limite que d’une manière très lente. L’exactitude de cette formule sera cependant très souvent contestée par les contemporains de Wallis, c’est pourquoi, un ami de Wallis, Lord Brouncker décide de prouver la justesse du calcul. Il constate tout d’abord que cette méthode permet de donner une approximation du rapport de la circonférence sur le diamètre telle qu’il soit : - majoré par 3.141592653569… - minoré par 3.141592653696… un résultat présentant une valeur approchée de π très satisfaisante. On peut déduire de ce résultat la figure suivante, présentant une construction approchée de la quadrature du cercle : a Γ A B

}

Si l’on prend une valeur moyenne du rapport présenté par Lord Brouncker (rapport entre la circonférence C du cercle Γ et son diamètre d, C ) , 3,1415926536275, on obtient : d C = 3,1415926536275. d en prenant C = 1 u.a. (unité arbitraire) on a d = 0,31830988618 u.a. et A = 0,0795774711545 u.a., d ’où a, longueur d ’un côté du carré ABCD : a = A= 0,2820947917722 u.a. (la figure ci-dessus a été agrandie en respectant les proportions, afin de paraître plus claire) A côté de cette approximation, Lord Brouncker trouva une expression infinie de R, à savoir :

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R= 1+

soit cet encadrement de R :

1 2+

9 2 + 25 2 + 49 2 + 81 2+ …

<R<

1 2+

2 + 25 2 + 49 9

9 2 + 25 7

D’autres mathématiciens tentèrent de trouver une approximation de π, parmi lesquels Mercator, Newton et Leibniz : la plupart de leurs recherches utilisent les propriétés du sinus et de la tangente, et aboutissent au résultat suivant :

= 1-

1 1 1 1 1 + - + … = Arc tan + Arc tan 3 5 7 2 3

Huygens est le dernier mathématicien à obtenir des résultats basés uniquement sur les procédés des grecs. Son premier ouvrage, publié en 1651, Theoremata de quadratura hyperboles, ellipseos et circuli ex data portionum gravitatis centro, reflète beaucoup l’influence de sa correspondance avec Grégoire de Saint-Vincent (puisqu’il avait lui-même proposé un résultat pour la quadrature des hyperboles). Mais c’est en 1654, lors de la parution de son petit traité, De circuli magnitudine inventa, qu’est très fortement mise en avant de l’importance accordée aux grecs au XVIIème siècle : ce traité est l’une des meilleures illustrations de l’influence des mathématiques grecques sur la science moderne. Enfin, en 1685, le jésuite polonais Kochansky – ou Koskansky – propose une construction de la quadrature du cercle qui est la suivante : B

30 ° A

Pour laquelle il propose : AB = AC = 1 BAD = 30°

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CE = 3 ED = =

BC² + (CE - BD)² 4 + (3 - 1/√3 )²

40/3- 6/√3 Son erreur est faible puisque l’on aboutit à une approximation à 1,8 x 10-5 = 3,141533 ≈ π Telles sont les principales études faites au XVIIème siècle. D’autre part, on peut souligner le fait qu’en 1667, James Gregory pressent l’impossibilité de la quadrature du cercle, en essayant de démontrer que π est un nombre transcendant (que l’on ne peut pas construire), mais cette éventualité est très vite écartée par les mathématiciens du XVIIIème siècle car aucun ne continuera – ni même envisagera – des recherches dans ce sens.

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C) Le XVIIIème siècle ou siècle des Lumières. Au XVIIIème siècle, le problème de la quadrature du cercle n’est toujours pas résolu et ce siècle voit s’attaquer au problème, bon nombre de personnages, plus ou moins mathématiciens voire scientifiques. Ce siècle présente de nouveau un tournant dans la perception de ce problème ; il n’est plus désormais considéré comme la continuation du problème posé par les Grecs, mais seulement comme un défi : réussir là où les mathématiciens, pendant plus de trois millénaires ont échoué. C’est pourquoi ce problème de la quadrature envahit tant les esprits – même s’il ne s’agit que d’un nombre restreint d’« initiés » – comme le souligne Jean Etienne Montucla dans un livre publié en 1754, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, dans lequel il présente d’une manière particulièrement critique ses contemporains. Le XVIIIème siècle présente plusieurs innovations par rapport aux siècles précédents : on peut tout d’abord noter l’élargissement du nombre de personnes intéressées par le problème de la quadrature du cercle : il ne s’agit plus seulement de mathématiciens mais aussi de nobles, voire de valets de chambre ou de simples commis. Il est fort probable que ce changement soit dû à la publication de plus en plus fréquente des tentatives de quadrature : alors qu’avant seuls les mathématiciens particulièrement sûrs de leurs constructions s’aventuraient à les publier, et le plus souvent les accompagnaient d’autres recherches mathématiques, désormais, quiconque a une idée de construction dévoile celle-ci aux yeux d’un public plus large (n’incluant pas que des mathématiciens), cherchant parfois plus son approbation que celle de l’Académie des Sciences. Ces innovations sont l’expression même des principes des Lumières : apporter le savoir à une plus grande catégorie de personnes (l’Encyclopédie en est la preuve) grâce à l’impression de petits journaux scientifiques. Il est tout de même important de souligner que lorsque l’on parle d’une ouverture des sciences, celle-ci reste cependant très relative : la majorité de la population n’y a pas accès. On peut enfin noter une importance grandissante de l’argent dans les recherches : beaucoup demandent des subventions pour financer leurs recherches qu’ils considèrent comme importantes, d’autres mettent de l’argent en jeu pour que l’on trouve l’erreur – inexistante selon eux – qui anéantirait leur démonstration (on peut reconnaître encore une fois une marque du XVIIIème siècle, siècle décadent au cours duquel la France se ruine dans les guerres d’Amérique et dans un luxe impressionnant). C’est pour toutes ces raisons que l’on compte au XVIIIème siècle plus de 150 faux quadrateurs (on entend par faux quadrateurs tous ceux qui ont présenté une tentative de construction, le plus souvent en passant outre les règles mathématiques). Nous étudierons les cas de quelques-uns de ces faux quadrateurs, en particulier les plus représentatifs de l’état d’esprit de cette époque. Le premier faux quadrateur auquel nous allons nous intéresser est Jacques Mathulon, médecin, qui publie en 1726 deux brochures présentant des démonstrations de la quadrature du cercle, à savoir Essai de géométrie et de physique et Réponses aux objections faites sur divers endroits d’une brochure qui a pour titre « Explications nouvelles » (la brochure dont il est question est une uvre de ce même Mathulon, publiée en 1624, présentant une théorie sur la circulation du sang chez les animaux ou autres phénomènes biologiques et physiques). Ces deux brochures ont très peu d’écho à leur publication, c’est pourquoi Mathulon propose la somme de 3125 louis d’or à quiconque démontrera que ses démonstrations sont fausses. Ce « défi » produit, comme l’espérait le médecin, une forte réaction dans les lecteurs du Mercure de France (petit journal dans lequel fut publiée cette proposition de Mathulon), et en 1727 François Nicole démontre dans le Journal des Savants que les démonstrations de Mathulon sont fausses ; cependant le médecin ne reconnaît pas immédiatement l’article de Nicole comme valable puisque ce dernier de souligne pas de manière précise l’erreur commise ; il en 28

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résulte que la somme est versée aux pauvres. Cependant ce « défi » marque la début d’une perception de la quadrature du cercle tout à fait nouvelle : en effet, la publication est désormais chose courante et l’argent devient la plus grande motivation de bon nombre des quadrateurs. Mathulon, malgré son premier échec, n’abandonne pas pour autant ses recherches sur la quadrature : il envoie un troisième mémoire à l’Académie Royale des Sciences en 1732, et refuse de reconnaître ses erreurs ; le mathématicien nommé par l’Académie est l’abbé Camus, qui écrit à ce sujet : « Nous avons premièrement examiné ses prétendues démonstrations où nous n’avons rien trouvé de solide ni de suivi, nous n’y avons trouvé que des contradictions manifestes dont il n’a point voulu convenir, et qui plus est, il a prétendu que toutes ses démonstrations subsisteraient toujours à moins qu’on ne lui donna la valeur de sa ligne et qu’on lui fit voir qu’elle est plus grande ou plus petite que l’arc de 45° » Lorsque plus tard, l’abbé Camus prouve que la ligne en question (censée être égale au quart de cercle) conduit à une valeur de π = 3,1579959 – valeur très éloignée de celle trouvée par Archimède – Mathulon acceptera son erreur et cessera toute recherche à ce propos. Même si au point de vue mathématique, ses recherches furent peu fructueuses, Mathulon de par la somme considérable mise en jeu instaure une nouvelle conception de la science, illustration du contexte historique où l’argent joue un rôle fondamental dans une société cupide et dépensière outre mesure. Les recherches de Robert Basselin sont également extrêmement intéressantes. Ce professeur de philosophie à la Sorbonne contestera pendant près de dix ans le jugement donné par l’Académie des Sciences au sujet de sa quadrature publiée en 1735. Sa démarche est la suivante : à partir d’hexagones inscrits et circonscrits au cercle initial, il définit différentes figures rectilignes ou mixtilignes, ainsi que des lunules dont il tente dévaluer les aires. Même si elle peut paraître fort intéressante, sa démonstration n’en reste pas moins complexe et l’académicien Clairaut, chargé de l’étude, le souligne en ces termes : « Il serait extrêmement difficile de rendre compte du chemin de la solution parce qu’elle est fort enveloppée, que l’auteur emploie un langage tout particulier qui ne nous est pas assez familier pour en faire part à la compagnie » 1 D’autre part, il apparaît que Basselin aurait considéré à tort 4 + 9 comme la valeur exacte de 17. Mais cette erreur est considérée par Basselin comme marginale et ce dernier continue ses recherches dans ce sens. Ainsi selon lui, quatre surfaces sont en progression arithmétique – alors qu’en réalité trois seulement vérifient cette progression – à partir de laquelle on peut trouver un rapport entre ces surfaces. De plus la valeur de π trouvée par Basselin reste plausible (π = 3,1416), c’est pourquoi celui-ci proteste lourdement contre les décisions de l’Académie, à un point tel que celle-ci décide de porter l’affaire sur la place publique. Cette affaire est analysée par Grante dont la conclusion se rapproche beaucoup de celle de Clairaut. Cependant Basselin poursuit dans son erreur et envoie de nouveau un texte à l’Académie en 1742, mais celle-ci, lassée ne répondra pas. (La figure de Robert Basselin est en ANNEXE 3). Peu de temps après, Ancelot, curé du Laonnais et maître ès arts à l’Université de Paris commence lui aussi à s’intéresser au problème de la quadrature du cercle. Il enverra plus de dix mémoires à l’Académie des Sciences entre le 10 janvier 1742 et le 3 juillet 1745. Les différents rapports de l’Académie au sujet de ses recherches dénotent clairement son erreur. Cependant Ancelot continue à croire que sa méthode est la bonne et assaille l’Académie de mémoires, c’est pourquoi en 1743, celle-ci décide de ne plus étudier les rapports d’Ancelot, mais elle continuera cependant à répondre au maître ès arts. Après de nombreux essais, Ancelot arrête toute étude du problème en 1745, lassé de la réponse toujours négative de l’Académie des Sciences. (La construction d’Ancelot est présentée en ANNEXE 4)

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Puis, en 1743, alors que l’Académie refuse les travaux d’Ancelot, Pierre Liger, commis au bureau de la guerre, se lance dans l’étude du problème mathématique. Pierre Liger conteste dès le début de son étude les recherches grecques, en particulier celles d’Euclide. D’une manière générale, Pierre Liger aura peu de relations avec l’Académie – sans doute car sa fortune trop modeste ne lui permet pas de publier toutes ses recherches – . Liger affirme tout d’abord que « la diagonale, une fois reconnue pour être commensurable avec le côté, le chapitre tout entier de l’incommensurabilité n’est que vanité et illusion » (référence au reproche que lui a fait Nicole, académicien chargé de l’étude du premier mémoire de Liger, publié en 1743). En fait Pierre Liger considère que si l’on utilise deux sortes d’unités, alors on peut en déduire que dans ce cas – et dans ce seul cas – la diagonale est commensurable au côté du carré. Pierre Liger ne s’intéressera pas à la quadrature du cercle par goût particulier pour le problème, mais parce qu’étant au fait de tous les problèmes de son époque, il a par conséquent connaissance des recherches de Basselin et de la polémique qui s’est dégagée de son étude. C’est pourquoi pendant dix ans Pierre Liger tentera de trouver une construction qui pourrait résoudre le problème, sans toutefois obtenir de résultat satisfaisant. Montucla dira de lui qu’il « a rempli de Mercure de France de folies semblables sur la quadrature du cercle » (le Mercure de France est alors le journal scientifique de l’époque). Les différentes publications ne paraîtront pas seulement en France, puisqu’en 1745, le suisse Jean Defauré, prétendant être « docteur enseignant les mathématiques », débute des recherches sur la quadrature du cercle qui dureront pendant près de vingt ans. Alors qu’il est âgé d’environ cinquante ans, Jean Defauré grâce à l’ uvre d’Euclide, envoie une première quadrature à l’Académie. N’obtenant pas de réponse, il en présente une seconde, dans laquelle il suppose que « pour trouver la quadrature de tout cercle donné, il faut savoir partager un triangle inconnu en deux parties égales ». L’Académie ne réagissant toujours pas, Defauré se résigne alors à publier deux fascicules proposant ses démonstrations. Dans ces fascicules, J. Defauré propose également une application « pratique » de la quadrature du cercle puisque selon lui elle permettrait de trouver les longitudes. Mais ses publications ne vont pas plus loin, faute d’argent ; c’est pourquoi il s’adresse de nouveau à l’Académie, demandant une subvention pour faciliter ses recherches qui prennent désormais une seconde proportion. Peu de temps après J. Defauré pense démontrer qu’Archimède a commis une erreur dans sa démonstration, de la manière suivante : en partageant le diamètre en 7 parties égales, il porte ensuite 22 fois cette division sur la circonférence du cercle en définissant 22 cordes sur le pourtour du cercle. Il pense établir ainsi que le rapport du cercle au carré du rayon est supérieur à 22/7 et qu’Archimède s’est trompé. Mais tous ses mémoires restent ignorés par l’Académie, c’est pourquoi, en novembre 1757, il fait appel à des personnes qui seraient prêtes à verser la somme de deux mille Louis neufs d’argent de France pour financer ses recherches, en échange de quoi, il s’engage à publier toutes ses recherches ; d’autre part, si l’Académie prouve que son résultat est correct, elle devra lui verser cette même somme. L’Académie désigne Bezout pour répondre négativement à le demande de Defauré. La dernière uvre publiée par Defauré est une nouvelle épreuve de son ouvrage d’origine : Le cercle primitif, en 1768, en présentant le rapport du diamètre au cercle comme étant (7/22) + (10/81). Pendant que Defauré tente de se faire entendre de l’Académie, le Chevalier de Causans, dont la noblesse remonte au XIème siècle, lieutenant du Roi, commence à s’intéresser à la quadrature alors qu’il faisait couper une pièce circulaire de gazon. Dès 1753 et pendant sept ans, jusqu’à son mariage en 1760, il inondera l’Académie de mémoires et publiera bon nombre de prospectus pour « forcer » l’Académie à regarder ses documents.

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Illustration issue du mémoire du Chevalier de Causans

Lors de la première publication, le Chevalier de Causans propose 4000 souscriptions de 1000 livres chacune pour le soutenir dans sa démonstration et s’engage à restituer 1500 livres à chaque souscripteur de 1000 livres, en cas de réfutation de sa démonstration. Ne recevant aucune réponse de l’Académie – qui refuse de se prononcer sans autorisation royale – il envoie de nombreuses lettres demandant l’examen des ses mémoires. En 1754, de Causans publie sa première quadrature, puis une seconde qui conduit à π = 4. Aucun savant ne s’intéressant au travail du chevalier de Causans, celui-ci fait poser des affiches dans Paris annonçant qu’il offrait mille livres à tout savant qui pointerait du doigt l’erreur – si erreur il y avait – qui empêcherait la résolution du problème. Cette fois, les réactions sont nombreuses : on peut citer parmi les mathématiciens Pierre Estève, et même Louise Angélique Lemire. L’erreur est rapidement trouvée et le chevalier ne pouvant payer la somme fait appel au Roi, qui déclare que les actions en justice à ce propos sont annulées et les paris déclarés nuls. Mais non content de cette première « défaite », le chevalier assaille de nouveau l’Académie en 1755 ; toutes ses recherches sont de nouveau déclarées non valables, c’est pourquoi il cessera toute recherche pendant deux ans. Mais en 1757, il présente une nouvelle valeur de π (π = 3,125). Cette succession d’erreurs fait comprendre au Chevalier de Causans qu’il a besoin d’un professionnel, c’est pourquoi il s’adresse à Vaussenville, qui fait apparaître l’intérêt financier de ces recherches. La dernière trace écrite du Chevalier de Causans est datée du 17 mai 1760 où il demande encore une fois à l’Académie de se prononcer à propos d’une nouvelle quadrature. Son mariage avec Marie-Madeleine de Villeneuve-Martignan marque un terme définitif dans ses recherches mathématiques. Le dernier faux quadrateur que nous allons étudier est Dufe Delafrenaye, valet de chambre du Duc d’Orléans, dont les textes seront présentés à l’Académie entre 1772 et 1775. Il part d’une nouvelle définition de la racine carrée, puisqu’il la présente comme la huitième partie d’un nombre quelconque : ainsi la racine carrée de huit est un, celle de 16 est 2. Il s’agit alors de trouver un carré dont la surface soit la même que celle d’un cercle. Il suppose comme admis le fait que le rectangle dont la largeur est le quart du périmètre d’un cercle et dont la longueur est le diamètre a la même aire que ce cercle. Il arrive ainsi à une valeur de π = 3,16. Malgré cette erreur il présente une autre quadrature à l’Académie des Sciences en 1775, à l’occasion de laquelle celle-ci décide de ne plus étudier de mémoire se rapportant au problème de la quadrature du cercle. Ainsi ce siècle des Lumières voit un nouveau jour dans la recherche scientifique qui est désormais bien plus ouverte (même si l’exemple du Chevalier de Causans souligne l’avantage de la noblesse sur les autres « chercheurs »). Malgré le peu de résultats cette époque est fertile en échanges d’opinions et même en recherche mathématiques puisqu’en 1761, Lambert démontre l’irrationalité de π (démonstration présentée en ANNEXE 5), ce qui met un terme à bien des recherches en ce sens, c’est pourquoi, au XIXème siècle, les mathématiciens chercheront des constructions directes de la quadrature du cercle (car π n’en est pas pour autant non constructible) ou à partir d’approximations de π.

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III) Du XIXème siècle à nos jours.

A) Les tentatives de construction. Au XIXème siècle, la plupart des constructions proposées se fondent sur les valeurs approchées de Pi. A cette époque, on ne se proposait plus de trouver une quadrature « exacte » du cercle, mais on exigeait une construction aussi précise que possible. Plusieurs géomètres ont présenté des constructions pour la rectification approchée de la circonférence, et la quadrature du cercle. Nous allons présenter ici les constructions les plus célèbres et relativement simples.

1. Quadrature du cercle par rectification de la circonférence : a) Principe : Soit (O) le cercle à quarrer. AB étant son diamètre. Supposons que AD est égale à la circonférence du cercle. On a : AD= 2AD’. Ainsi, AD’ est égale à la demi-circonférence du cercle.

La perpendiculaire à AD’ passant par O coupe le cercle de diamètre AD’ en F. AF est donc un côté du carré AFGH de même aire que le cercle (O). En effet : AD’= π.R D’après les relations métriques dans un triangle rectangle, on a : AF²=AO.AD’ ainsi AF²=π.R² c’est à dire l’aire du cercle (O) D’où la rectification de la circonférence permet de quarrer le cercle.

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b) Rectification de la circonférence du cercle: •

Construction de Specht : indiquée dans le Journal de Crelle (T.III, p.83-1836)

Construction: (O,R) : AO=R AB=2R 1 BC= R 5 2 CD= R 5 AE= OC (EF)//(OD) Conclusion: AF≈ 2πR Démonstration: OC =

146 11² 1+  5  alors AE =   5

AF AD 13 = d’où AF = AE. AE AO 5

AF = 3,1415919 2

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2. Quadrature par détermination d’un côté du carré équivalent : •

Construction de Ramanujan RAMANUJAN, Srinivasa (1887-1920) Grand mathématicien indien, génie du 20ème siècle. Ramanujan a montré de grandes aptitudes pour les maths durant sa scolarité. Il est également un passionné de π. Il est l’auteur des nombreuses formules, fractions continues de π (dont il ne donne pas de démonstrations) et de nombreuses quadratures approchées du cercle. On va proposer ici la construction considérée comme « la plus 355 simple » fondée sur une valeur approchée de π : π= 113 Construction: (O) de diamètre AB AB = 2

1 1 AM = ; BT = 2 3 PT ⊥ AB ; P∈ (O) BQ=PT; Q∈ (O) (OS)//(BQ) ; (TS)//(BQ) (AC)⊥(AB) et AC= RS AD=AS ; D∈(O) BE=BM; (EX)//(CD) Conclusion: BX ≈ π Démonstration: 5 PT= (d’après les relations 3 métriques dans un triangle rectangle : ∆APB rectangle en P) 31 31 31 AQ= ; AS= et SR= 3 6 9 31 31 AD= et AC= 6 9 355 113 3 BC= et BD= ; BE= 9 6 2 BC.BE BX = BD 355 BX= = 1.772453926 113

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B) L’impossibilité de la quadrature du cercle.

Pourquoi un problème qui paraît simple : construire un carré dont la surface est égale à celle d’un cercle donné, a présenté autant de difficultés aux mathématiciens durant plus de 2000 ans ? La réponse est simple : une telle construction est impossible à la règle et au compas. L’idée de l’incommensurabilité du nombre π a été soupçonnée depuis très longtemps, mais elle n’est démontrée qu’en 1882. Nous allons retracer le chemin qui mène à l’impossibilité de la quadrature du cercle, histoire de retracer les progrès mathématiques depuis le 17ème siècle concernant le nombre π et l’arithmétique en général. •

GREGORY, James (1638-1675)

Astronome et mathématicien écossais, professeur à St. Andrews et Edimbourg, l’inventeur du télescope à réflexion qui portera son nom. On lui doit d’importantes contributions portant sur le calcul intégral et les développements en série des fonctions (notamment celui de la fonction arc tangente). L’impossibilité de la quadrature du cercle a été ressentie par James Gregory, qui avait tenté de la démontrer géométriquement dans Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura. D’abord, il démontre que le rapport de la surface d’un secteur quelconque à celle du polygone inscrit ou circonscrit ne peut être exprimé par un nombre fini de termes algébriques pour ensuite, en déduire que la quadrature du cercle est impossible. Cette démonstration est conçue comme valable pour Montucla (auteur de Histoire des recherches sur la quadrature du cercle), mais elle n’est certainement pas concluante. En effet, il est possible de former un carré dont la surface soit égale à celle d’un certain secteur particulier, et ce secteur particulier peut être le cercle entier. •

LEIBNIZ, Gottfried Wilhelm (1646-1716) Philosophe, savant, juriste et diplomate allemand, fondateur, en 1700, de l’Académie des sciences de Berlin. Il s’agit d’un des premiers mathématiciens qui inventent le calcul différentiel et intégral (cf. Nova methodus pro maximis et minimis, 16841686). Il se consacrera également au développement en série des fonctions, notamment celui des fonctions trigonométriques. Il obtient la relation suivante (1683): x3 x5 x7 sinx = x – + – ...... 3! 5! 7!

Ainsi, l’équation naturelle sinx = 0 dont π est racine est de degré infini. Leibniz se convaincra de l’impossibilité de la quadrature du cercle en en déduisant qu’il est impossible de représenter par une équation de degré déterminé la relation entre un arc et le sinus.

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LAMBERT, Johann (1728-1777) Mathématicien allemand. Ses principales contributions mathématiques se portent sur l’irrationalité du nombre π et les fonctions hyperboliques. Dans son livre Die Theorie der Parallellinen (1786), il prévoit la découverte des géométries noneuclidiennes. Quand Frederick II lui demanda dans quelle science il était le plus compétent, Lambert répondit modestement «Tout ». La démonstration de l’irrationalité de π ne permet pas de démontrer l’impossibilité de la quadrature du cercle, car il est possible de construire certains nombres irrationnels à l’aide d’une règle et d’un compas ( 2 par exemple).

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WANTZEL, Pierre-Laurent (1814-1848)

Mathématicien français, professeur à l’Ecole Polytechnique. Il s’est particulièrement intéressé aux problèmes de constructibilité au sens d’Euclide. En s’appuyant sur les résultats d’Abel relatifs aux équations algébriques, Wantzel réussit à prouver (1837) dans un mémoire intitulé Recherche sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas, le théorème suivant : Tout nombre constructible x est racine d’un polynôme à coefficients entiers et le degré du polynôme minimal admettant x comme zéro est une puissance de 2. Ainsi, tout nombre constructible est algébrique. Une conséquence du théorème de Wantzel est que, si π n’est pas algébrique (dit transcendant par Liouville), la quadrature du cercle sera impossible. En effet, la rectification de la circonférence et la construction du côté du carré équivalent sont impossibles car π et π ne sont pas algébriques. Par contre, le théorème de Wantzel n’énonce qu’une condition nécessaire pour qu’un nombre soit constructible. Cette condition n’est pas suffisante. •

LIOUVILLE, Joseph (1809-1882) Mathématicien français, Liouville est le premier qui a explicité l’existence des nombres non algébriques (dits transcendants). Un nombre est algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers et qu’il est dit transcendant dans le cas contraire. Il a également prouvé que la somme :

était transcendante pour n, réel et plus grand que 1. Pour n=10, la somme obtenue est appelée « constante de Liouville ».

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HERMITE, Charles (1822-1901) Grand mathématicien français, polytechnicien, professeur à l’Ecole polytechnique et à la faculté des sciences de Paris. Ses travaux portent sur la théorie des nombres et la théorie des fonctions elliptiques. En 1858, Hermite propose une méthode de résolution de l’équation du 5e degré. Il précise également les méthodes de réduction des formes quadratiques lorsque le corps de scalaires est C. En 1873, dans un mémoire intitulé Sur la fonction exponentielle, Hermite prouve la transcendance du nombre e. La transcendance de π, prouvée une décennie plus tard, sera étroitement liée à celle du nombre e.

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LINDEMANN Ferdinand (1852-1939) Mathématicien allemand, professeur à l’université de Freiburg puis de Königsberg, après les études à Göttingen, haut lieu des mathématiques allemandes. C’est en tant que professeur à l’université de Freiburg qu’il propose en 1882 la démonstration de la transcendance de π dans un article des Annales Mathématiques. Une conséquence immédiate de la transcendance de π est l’impossibilité de la quadrature du cercle. Lindemann va consacrer tout le reste de sa vie à démontrer le grand théorème de Fermat, sans trouver de solution. Transcendance de π

La démonstration de la transcendance de π est étroitement liée à celle du nombre e. Lindemann raisonne par l’absurde en supposant π algébrique. D’après la relation d’Euler : eiπ + 1= 0, et les propriétés symétriques des racines d’un polynôme, il aboutit à la relation suivante : q+eα1+...+eαn= 0 α1, ...,αn, sont des nombres algébriques, q est supérieur ou égal à 1. Cette égalité conduit à une contradiction. Ainsi, π n’est pas algébrique, donc il est transcendant. La démonstration complète de la transcendance de π ainsi que celle du nombre e seront présentées dans la partie Annexe. L’impossibilité de la quadrature du cercle La quadrature du cercle, comme on a dit précédemment, revient à construire à la règle et au compas un segment de longueur π ou π. Si π était constructible, d’après le théorème de Wantzel, π serait algébrique, ce qui contredit la transcendance de π prouvée par Lindemann. Ainsi, π n’est pas constructible.

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De même, π n’est pas constructible. Il est impossible de déterminer à la règle et au compas un carré dont la surface est égal à celle d’un cercle donné. Le fameux problème qui hante les esprits mathématiques depuis plus de 2000 ans a été enfin résolu. Aujourd’hui, l’expression « réaliser la quadrature du cercle » est passée dans le langage courant pour désigner quelque chose qu’on n’a aucune chance de réussir.

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C) Résolution dans la géométrie non-euclidienne. 1) Géométries non-euclidiennes : Les géométries non-euclidiennes sont des théories géométriques remettant en cause les axiomes postulés par Euclide dans les Eléments, en particulier le 5e postulat, connu sous le nom de « l’axiome d’Euclide » : Par un point il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Le 5e postulat d'Euclide

Depuis l’antiquité, on a essayé de démontrer ce postulat. Certains ont cru y être parvenus, mais en fait, ils proposaient des démonstrations qui tournaient en rond (c’est à dire qu’ils se servaient de l’axiome d’Euclide pour le démontrer). C’est également en cherchant la preuve du 5e postulat que certains mathématiciens tels que Saccheri, Lambert et Legendre ont obtenu des résultats intéressants qui pourraient aboutir à la construction de la géométrie non-euclidienne. A cette époque, ils ne distinguaient pas la géométrie physique de la géométrie mathématique. Saccheri même disait que ses résultats étaient « bizarres » parce qu’ils ne correspondaient pas à la réalité.... De même, Lambert avait du mal à croire à l’existence des géométries non-euclidiennes. Gauss (1777 - 1855)

C’est au début du 19ème siècle (entre 1831-1834) que Gauss, Bolyai et Lobatchevsky ont commencé indépendamment la construction d’une nouvelle géométrie, dite «non-euclidienne ». Contrairement à Gauss (qui n’a rien publié et qui n’en parle que dans sa correspondance) et à Bolyai (qui n’a publié qu’une petite partie de ses travaux en latin), Lobatchevsky a beaucoup publié en russe, en allemand et en français, afin de convaincre ses contemporains, et ceci avec beaucoup de difficulté. Bolyai (1802 – 1862)

En effet, la naissance des premières géométries non-euclidiennes a provoqué certains acharnements venant des mathématiciens tels que During, Frege... Ils affirmaient qu’une telle géométrie ne pouvait exister, car non conforme au réel.

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Lobatchevsky (1793-1856)

Pourtant, le « réel » est plus conforme aux géométries noneuclidiennes qu’à la géométrie euclidienne. Gauss a mesuré sur le terrain les angles d’un triangle formé par trois sommets de montagne et a trouvé la somme de 180 degrés 14,86 secondes..., ce qui contredit le caractère euclidien de l’espace physique. Plus tard (1854), Riemann propose une autre géométrie noneuclidienne : la géométrie elliptique.

Riemann (1826 - 1866)

La géométrie dans laquelle les axiomes d’Euclide s’appliquent est appelée Géométrie parabolique ou Géométrie Euclidienne. Les autres géométries sont dites « non-euclidiennes ». On distingue deux sortes de géométries non-euclidiennes : la géométrie hyperbolique (celle de Lobachevsky-Bolyai-Gauss) et la géométrie elliptique (celle de Riemann).

Dans la géométrie hyperbolique, par un point donné il passe plusieurs droites parallèles à une droite donnée. A gauche : la géométrie hyperbolique A droite : les droites dans la géométrie elliptique

Au contraire, dans la géométrie elliptique de Riemann, par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle.

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On peut représenter un rectangle dans les trois géométries :

et montrer comment l’espace est conçu dans ces trois géométries :

La courbure de l’espace est nulle dans la géométrie euclidienne, négative chez Lobatchevsky et positive chez Riemann. Dans la géométrie hyperbolique, la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180° et supérieure à 180° dans la géométrie elliptique. Maintenant, les géométries euclidiennes sont unifiées à travers la géométrie projective (cf. les travaux des Klein sur ce sujet). Klein en déduit que les géométries non-euclidiennes ne nient pas celle d’Euclide, mais la généralisent. En 1916, Einstein a construit la théorie de la relativité en s’appuyant sur la conception non-euclidienne de l’espace : un rayon lumineux suit le plus court chemin, mais, si l’espace est courbe, celui-ci n’est plus nécessairement une droite.

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Résolution de la quadrature du cercle dans la géométrie hyperbolique.

50 ans avant que Lindemann ne prouve l’impossibilité de la quadrature du cercle (dans la géométrie euclidienne), Bolyai propose dans son Appendice Scientiam, une solution de la quadrature du cercle dans la géométrie hyperbolique. Voici la solution de Bolyai présentée dans La géométrie non-euclidienne de Barbarin Il remarque, en effet, que l’aire du cercle plan de rayon r :

A=4πsh²

r 2

peut aussi s’exprimer par la formule: A=πtan²z z étant un certain angle construit de la façon suivante : Soient AB=r, sa médiatrice Ox, puis AA’ et BB’ parallèles à Ox On tire AB perpendiculaire sur BB’ et AD perpendiculaire sur AB. L’angle A’AO représente z.

En particulier, quand z égale demi-droit, l’aire du cercle qui vaut π est égale à celle du trilatère formé par trois lignes deux à deux parallèles (triangle maximum) ou à celle du carré d’angle égal à demi-droit. (...) Bolyai suppose que z est donné par la figure pour en déduire le moyen de construire r, de sorte que sa solution consiste, et dans ce cas particulier seulement, à tracer un cercle équivalent à un certain carré »

La quadrature en Géométrie générale « En Métagéométrie, le problème se présente de la façon suivante : µ Appelons ω= π l’angle du carré mesuré en radian, ρ sa demi-diagonale ou rayon m+µ du cercle circonscrit et r le rayon du cercle équivalent. Sur le plan de Riemann, µ et m étant entiers, µ < m, et l’on a : µ π cosρ = tan m+µ 2

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2m m+µ tandis que sur celui de Lobatschevsky-Bolyai, il faut mettre chρ et chr en supposant µ supérieur à m (...) 2m a. Tout carré dont l’angle ω a la forme d’angle droit peut être transformé en m+µ cercle équivalent b. Si de plus m+µ est un des nombres de Gauss pour l’inscription des polygones m-µ réguliers, tout cercle dont l’aire égale ± 2π peut être transformé en carré, m+µ car dans ce cas on sait construire ρ et r » cosr =

Barbarin montre ensuite que si on peut quarrer un cercle particulier, on pourra faire de même avec un cercle de rayon quelconque. Il souligne ensuite que, hors l’espace euclidien, la quadrature du cercle et la rectification de la circonférence diffèrent en général.

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IV) Annexes. ANNEXE 1 : LA DETERMINATION BABYLONIENNE DE . La valeur de donnée par la tablette cunéïforme semble avoir été trouvée de la manière suivante : tout d’abord les babylonniens savaient que le périmètre d’un hexagone vaut trois fois la diamètre de ce même hexagone, comme le montre la figure ce dessous : Hexagone inscrit de périmètre P dans un cercle de diamètre d :

O M1

Un hexagone est composé de 6 triangles équilatéraux. Ainsi, dans le triangle OM1M2, on a l’égalité : OM1 = OM2 = M1M2. On retrouve le même résultat dans les 6 triangles équilatéraux ce qui nous permet d’écrire : P = 3 x M1M4

P=3xd

Ensuite, ils estimaient le rapport entre le périmètre d’un cercle de rayon 1 et celui de 57 36 l’hexagone inscrit à + . Cette valeur fut sans doute obtenue par une mesure 60 (60)² approchée, exprimée dans le système de numération en base 60 alors en usage. En effet les babyloniens étaient adeptes de puissants calculs fractionnaires et l’usage d’une telle base leur

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permettat d’exprimer simplement de nombreuses fractions usuelles grâce à ses nombreux diviseurs : 60 = 2² x 31 x 51. De ceci on en déduit que :

3xd

3x2

57 36 + 60 (60)² 36  57 = 3/ 60 + 3600   =

=3+

1 8

3.125

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ANNEXE 2 : LA QUADRATURE EGYPTIENNE. La méthode énoncée par Ahmes consiste, comme nous l’avons dit, en deux opérations : - Enlever un neuvième au diamètre. - Multiplier le résultat par lui-même.

La formule proposée est donc : (S est la surface du cercle et d son diamètre) d²  S = d - 9   8d² S=9   d 16² S = 2 x 9    d² 16² S = 2 x  9      d² La formule exacte de l’aire d’un cercle est : S = 2   On en déduit que les égyptiens considéraient implicitement :

16² =  9  = 3.16049…  

La formule de l’aire d’un carré vaut (c étant le coté du carré) : A = c² Comme l’aire du carré doit être égale à l’aire du cercle on a : 8d² A=9   8 Ceci revient à construire un carré dont le coté vaut les du diamètre. Nous pouvons 9 8 évaluer la précision de ce résultat, en regardant si était le meilleur rapport : 9 d² c² = x 4 Ce qui équivaut à : c 1 = d 2 Aujourd’hui on sait que : = 1.77245… D’où : c = 0.88623… d

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On calcule divers rapport 1-

1 6 = = 0.857 … 7 7

1 7 = = 0.875 8 8

1 8 = = 0.8888… 9 9

9 1 = = 0.9 10 10

c : d

De toutes ces valeurs la meilleure est celle choisie par Ahmes :

c 8. = d 9

8 plus précise que toutes les autres envisagées 9 plus haut ? Nous ne le saurons sans doute jamais avec certitude mais un autre problème du papyrus Rhind suggère une piste. Comment ont-ils trouvé cette valeur

On considère un octogone irrégulier construit dans un carré de 9 unités de coté (voir figure ci-dessous). L’aire de cet octogone, que l’on trouve en comptant le nombre de carrés et de demi carrés de coté 3, vaut 63. L’aire du disque, qui apparaît très proche de celle de l’octogone, quoique un peu plus grande est égale à : 9² S = 2   On remplace l’aire de l’octogone, 63, par 64 ce qui simplifie les calculs et compense l’aire qui semble manquer à l’octogone. Ceci nous donne : 9² 2 = 64   9² = 8² x 2   16² =9  

Octogone inscrit sans un carré de 9 unités de coté.

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ANNEXE 3 : LA DEMONSTRATION DE DINOSTRATE. On imagine un point L parcourant à vitesse constante l’arc de cercle AP, tandis qu’une droite d perpendiculaire à AB se déplace dans le même temps, à vitesse constance de A en O. Le lieu de l’intersection du rayon OL avec d (l’ensemble des points M) est la quadratrice d’Hippias. Le point Q, à l’intersection de la quadratrice et de OP, n’est pas constructible mais il est obtenu comme limite lorsque L tend vers P.

Dinostrate montra le rapport

AB comme égale à . OQ

Par définition on a, r étant le rayon du cerle,

AL’ 2

On a également : AL’ = r – OMsin =

qui est un rapport constant ; il vaut

  2r 2 -   

  r - OM sin = 2r2 - 2r   OM sin = 2r sin  OM   = 2r   Or : lim sin →0

Donc : lim 2r/OQ = →0

r 2

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ANNEXE 4 : PROPOSITION I D’ARCHIMEDE. Un cercle quelconque est équivalent à un triangle rectangle dont l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et l’autre côté la circonférence du cercle.

On désigne par AT l’aire de ce triangle, par AC l’aire du cercle C, par c la circonférence du cercle et par r son rayon. Dans un premier temps on suppose que : AC > AT : On pose : AC – AT = A On inscrit dans le cercle un polygone régulier d’apothème m’ (l’apothème est la distance du centre du polygone au milieu d’un des côté), de périmètre p’ et d’aire AP’ tel que l’on ait : AC – AP’ < A ce qui est toujours possible d’après Les Eléments d’Euclide. On a alors AP’ > AT ou

p’m’ cr > ce qui est absurde car p’< c (principe admis par 2 2

Archimède) et m’ < r. Puisque l’on obtient une contradiction l’aire du triangle ne peut être plus petite que celle du cercle. On suppose maintenant que : AC < AT : On pose AT – AC = A . On circonscrit au cercle un polygone régulier d’apothème r, de périmètre p et d’aire AP tel que l’on ait : AP – AC < A. On a alors AP < AT ou

pr cr < ce qui est absurde puis p >c. 2 2

Puisque l’on obtient une contradiction l’aire du triangle ne peut être plus grande que celle du cercle. On en déduit nécessairement AC = AT .

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ANNEXE 5 : PROPOSITION II D’ARCHIMEDE. La circonférence d’un cercle est égale au triple du diamètre réuni à une certaine 1 10 portion du diamètre qui est plus petite que les de ce diamètre et plus grande que les de 7 71 ce même diamètre. 10 1   Autrement dit on doit avoir : 3 + 71 d < c < 3 + 7 d     1  1ère partie : c < 3 + 7 d   Soient un cercle de centre E et de rayon α CE, et le triangle ECB rectangle en C où CEB vaut 30°. On mène successivement les α EH deCED, α EK deCEH, α bissectrices ED deCEB,

α En désignant par a le demi côté du EL de ECK. n polygone régulier circonscrit de n côtés, on a : CB = a6 CD = a12 CH = a24 CK = a48 CL = a96

CE 265 r 265 > ou > CB 153 a6 153 BC 1 En effet dans triangle ECB : = sin 30° = sin = donc BE = 2.BC BE 6 2

Archimède donne sans le justifier l’égalité :

1  BE² - 4 BE² ² ² ² CE BE - BC   Dans le triangle rectangle ECB : = = =3 1BE² CB² CB² 4    265² 70 225 2 CE² 265² CE 265 = =3– d’où : >   et donc > 153 CB 153 153² 153² CB² 153 α donne ensuite : BE = CE La bissectrice ED de CEB BD CD BE + EC  1 (BE + EC) 1 BD.EC + EC EC BD + CD EC BC CE = BC = x =  =  = BC   BC  CD  BC  CD  BC CD CD EB 306 CE 265 On a : =2= et > CB 153 CB 153

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BE + EC  1 (BE + EC) = BC  BC   BE + EC 1 306 x BC + 265 x BC >   153 BC BC 153  BE + EC 306 265 > + BC 153 153 donc

BE + EC 571 CE 571 r 571 > ce qui équivaut à > ou > BC 153 CD 153 a12 153

En considérant le triangle rectangle CED et en utilisant l’inégalité précédente, on peut écrire : DE² CE² + CD² CE² = = +1 CD² CD² CD² CE² 571² +1> +1 CD² 153² CE² 349 450 +1> CD² 153² En prenant la racine carré par défaut de 349 450 au moyen de la méthode d’Héron (Le carré le 1²  plus proche de 349 450 est 591² et 349 450 est à peut près égal à 591 + 8 on obtient :   591 + 1  8 DE  > CD 153 α nous permettent alors d’écrire : DE = CE Les propriétés de la bissectrice EH de CED DH CH DE+CE DE CE CE et ou + qui est égale à . DH+CH CD CD CH DE CE On remplace et par les valeurs trouvées avant et on obtient : CD CD 1162 + 1  8 CE  > ou CH 153

De la même manière on obtient :

1162 + 1  8 r  > a24 153

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2334 + 1 2334 + 1    4 4 r  CE  > ou > a48 CK 153 153 4673 + 1 4673 + 1    2 2 CE  r  > ou > CL a96 153 153 On déduit de cette dernière inégalité : 4673 + 1  p96 2 r 14 688 1  > et < =3+ p96 153 x (96 x 2) d  5 1 7+ 4673 + 2 1335   c 1 Donc : < 3 + d 7

10  2ème partie : c > 3 + 71 d   Soient une demi circonférence de diamètre AC, le triangle inscrit CBA rectangle en B et où α = 30°. On mène successivement les bissectrices AD de CAB

α AH de CAD, α AK de CAH α et AL de CAK. α En désignant CAB, par a’n le coté du polygone régulier inscrit de n cotés, on a : CB = a’6, CD = a’12, CH = a’24, CK = a’48 CL = a’96 Archimède pose l’inégalité :

AB 1351 < CB 780

AB² CE² - CB² = = 3. CB² CB² 1351² 1 AB² 1351² Or  780  = 3 + on en déduit donc : <  et par la suite la relation du début.   780 CB²  780 

Le triangle rectangle CBA permet en effet d’écrire :

On a d’ailleurs :

CA 1560 d = ou = 2. CB 780 a’6

D’autre part si l’on désigne par F le point de rencontre de AD et de CB, les triangles α = DCB α = DAC. α rectangles CDA et FDC sont semblables, car BAD

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Donc :

AD CD CA = = DC FD CF

Mais la bissectrice AF donne :

Donc

CA AB CA + AB CA + AB = = = CF BF CF + BF CB

AD CA + AB CA AB 2911 = = + < CD CB CB CB 780

Il en résulte

AD² 8 473 921 < CD² 780² AD² + CD² CA² 9 082 321 = < CD² CD² 780²

3013 + 3  4 CA  < ou CD 780

3013 + 3  4 d  < a’12 780

On trouverait de même : 1838 + 9   11 d  < a’24 240

1009 + 1  6 d  < a’48 66

On déduit de cette dernière inégalité : 2017 + 1  p’96 25 344 4 d  < et > =3+ p’96 (66 x 96) d 8 069

Donc

10 71 –

37 1137

2017 +1  4 d  < a’96 66

>3+

10 71

c 10 >3+ d 71

Si on prend le rayon comme égale à 1 on obtient un encadrement de 3+

10 < 71

<3+

1 7

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ANNEXE 6 : PROPOSITION II D’ARCHIMEDE. Un cercle est au carré construit sur le diamètre à très peu de choses près comme 11 est à 14. C’est une conséquence de la proposition précédente et de le suivante. cr On a d’après I : AC = 2 D’après III on a approximativement : c =

En remplaçant on obtient : AC = d² x

22 d 7

11 14

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ANNEXE 7 : LES DEMONSTRATIONS DE NICOLAS DE CUES •

La méthode de la moyenne proportionnelle Dans son uvre De Arithmeticis complementis (achevé en 1445), Nicolas de Cues cherche à déterminer une approximation de π : le terme d’arithmétique désigne ici le nombre – une constante – permettant de calculer le rapport du diamètre à la circonférence du cercle. D’après lui, quel que soit le polygone, on obtient toujours le même rapport de proportionnalité entre les cordes et les arcs, et donc une valeur précise du rayon du cercle isopérimétrique (ayant le même périmètre) aux polygones.

Pour comparer les rayons des cercles inscrits et circonscrits à des polygones réguliers, Nicolas de Cues invente un instrument visuel : il s’agit d’un quadrant qui permet de mesurer les proportions entre les polygones. On appellera cet instrument « tableau de proportions » qui se représente de cette façon :

g f f

k e

On peut interpréter cette figure de cette façon : on reporte sur le côté vertical les différents rayons : dg est le rayon du cercle circonscrit au triangle ge est le rayon du cercle inscrit au triangle ef est le demi-côté du triangle cf est le rayon du cercle circonscrit à l’hexagone ef est le rayon du cercle inscrit à l’hexagone et :

ce = cf – ef

A partir de ce tableau, on peut tracer d’autres lignes permettant d’établir des proportions.

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C’est grâce à ces tableaux de proportions que Nicolas de Cues présente dans le De Mathematicis complementis la moyenne proportionnelle entre deux segments de droite pour obtenir un carré isopérimétrique à un cercle donné, à l’aide d’un demi cercle. Nicolas de Cues présente la figure suivante :

Sa démarche est la suivante : il part d’un cercle donné et construit le rectangle dont la longueur est la même que celle du demi périmètre du cercle. Puis à l’aide du demi cercle il cherche le moyenne proportionnelle, et obtient la longueur du côté du carré ayant le même périmètre que le cercle initial. Pour aboutir à un tel résultat, Nicolas de Cues s’est servi des textes d’Archimède et de Bradwardine. Chez Archimède, la proposition est la suivante : « tout cercle est équivalent à un triangle rectangle dans lequel un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base égale au périmètre du cercle ». D’où le schéma :

b a

avec a = rayon du cercle b = circonférence du cercle A partir de cette proposition, Nicolas de Cues fait un rapprochement avec le problème de la quadrature du cercle en considérant, à la place d’un triangle rectangle, un rectangle ayant une longueur égale à celle du demi périmètre du cercle de départ, soit la figure suivante :

a b

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Il écrit lui-même dans son uvre De Mathematicis complementis : « La surface d’un cercle est égale à celle du rectangle formé par le demi diamètre du cercle et la demi circonférence ». Le problème ne résiderait plus que dans la manière de trouver la longueur du côté c du carré ayant la même aire que le rectangle donné, et par-là même celle du cercle d’origine. C’est pour résoudre ce problème que Nicolas de Cues se sert des écrits de Bradwardine ; il écrit qu’il s’agit de « trouver comment entre deux lignes droites se tiennent deus moyennes en proportion continue ». Il propose alors la construction suivante :

Si l’on considère un demi cercle sur le diamètre duquel passe une demi-corde à angle droit (représentée ici par la longueur b). On a la relation suivante qui relie la demi-corde, la grande partie du diamètre (a) et la petite partie du diamètre (c) : a b = b c Cela permet de construire le carré de même aire qu’un rectangle donné, et ce en introduisant son côté dans une proportion continue entre la largeur et la longueur du rectangle. Cette succession de démarches est résumée par cette figure : u

On retrouve bien ici la figure de départ, que l’on peut expliquer de cette façon : - rq est le demi diamètre du cercle d’origine - rs la demi circonférence de ce cercle - qrst le rectangle ayant le même périmètre que le cercle de départ - sx vérifiant sx = rq - y est le milieu de sx et le centre du demi cercle ryx - su la moyenne proportionnelle entre rs et sx - suzw le carré de même aire que le rectangle qrst et par-là même que le cercle initial, soit la relation : (su)² = rq*rs, en construisant su à l’aide de la propriété de Bradwardine énoncée ci-dessus, établissant la proportion continue entre rs et sx.

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Telle est la démonstration que présente Nicolas de Cues dans son écrit de 1450, De Quadratura Circuli, pour construire, à partir d’un cercle donné, un carré dont l’aire est la même que celle du cercle initial. Cependant cette démonstration présente une faille qui est de taille et qui, rend « inachevée » la démonstration de Nicolas de Cusa ; en effet, le cusain suppose alors que la circonférence du cercle initial est donnée, or c’est ici que se trouve le principal problème posé par la construction de la quadrature du cercle. •

La méthode des isopérimètres

La seconde démonstration présentée par Nicolas de Cues est basée sur une influence mathématique plus tardive, celle de Jean de Murs. Il s’agit de la méthode la plus proche du résultat espéré et celle qui pourrait être considérée comme la plus fiable. La démarche de Nicolas de Cues est la suivante : il part d’un triangle équilatéral, considéré à juste titre comme le polygone régulier le plus simple. Puis, en augmentant le nombre de côtés, il trace progressivement les autres polygones réguliers suivants, ayant tous le même périmètre, et ce jusqu’au cercle –dont on peut obtenir une approximation – pour en déterminer le rayon. Pour chacun des polygones, il trace leur cercle inscrit et leur cercle circonscrit. Nicolas de Cues fait le raisonnement que, même si pour le triangle, la différence entre le cercle inscrit et le cercle circonscrit est grande, elle de cesse que diminuer au fur et à mesure que le nombre de côtés que polygone augmente ; pour le cercle, défini alors comme le polygone ayant un nombre infini de côtés, cette différence est nulle. Le Cusain fait l’hypothèse qu’en déterminant la proportion entre ces deux cercles – inscrit et circonscrit – à l’aide de leurs rayons, il serait possible d’en déduire le rapport entre l’aire d’un cercle et celle d’un carré. Les démonstrations de Nicolas de Cues ne sont basées que sur les connaissances qu’il a des mathématiques antiques – puisque d’une manière générale, on compte peu de mathématiciens entre l’Antiquité et le XIVème siècle – et se sert le plus souvent de rapports proportionnels entre certaines longueurs. La méthode des isopérimètres se réduit surtout à établir une proportion entre les différents rayons. Nicolas présente dans un traité de 1450 la construction suivante : a b h t s h o p g k d c i bb g a a f f n r

m e

Il explique cette figure par le texte ci-dessous : Faciemus autem hanc partem tibi hoc modo clariorem. Nous allons te rendre cette partie plus claire de la façon suivante. Ex ab linea in tres partes divisa, cde triangulus designetur. A partir de la ligne ab divisée en trois parties, on dessine le triangle cde. In ejus latere cd signetur pars quarta ab quae fit ik, quae quadretur, et fit iklm Sur son côté cd, on reporte un quart de la droite ab en traçant ik et on construit iklm

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Describantur inscripti et circumscripti circuli ; On dessine les cercles inscrits et circonscrits ; Et fit inscripti trigono semidiameter fg, et circumscripti fh, Soit fg le demi-diamètre du cercle inscrit au triangle, fh celui du cercle circonscrit et inscripti tetragono ng, circumscripti no. soit ng celui du cercle inscrit dans le carré et no celui du cercle circonscrit. Signetur deinde linea fh et in ejus mejo g. Puis on trace la ligne fh et on place en son milieu le point g. Lineis de f,g,h tractis quantumlibet, On trace à partir de f,g,h de lignes de longueur quelconque, trahatur ad fh aequidistans tn, cujus medium fit aa, puis on tire fh à équidistance de tn, dont le milieu est aa, et signetur semidiameter inscripti alicujus polygoniae isoperimetrae, et on marque le demi-diamètre du cercle inscrit à un polygone isopérimètrique, puta tetragonae, np – un carré par exemple – que l’on appellera np et semidiameter circumscripti, quae fit no, et le demi-diamètre du cercle circonscrit que l’on appellera no, et trahe de g per p in infinitum, et similiter de h per o lineam in infinitum puis on tire de g passant par p une ligne à l’infini, et de même de h passant par p et ubi ille concurrunt signa q, , et on note q le point où elles concourent, trahe per q aeaquidistantem ad fh, quae fit sr in cujus medio signa bb. puis on tire par q à équidistance de fh la ligne sr, dont la milieu est bb. Dicimus rq esse semidiametrum circuli quaesiti, Nous affirmons que rq est le demi-diamètre du cercle cherché, et ejus circumferentiam aequalem ab linea rectae. Dont la circonférence est égale à la droite ab. De Quadratura Circuli, 1450.

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ANNEXE 8 : LA DEMONSTRATION DE GREGOIRE DE SAINTVINCENT Grégoire de Saint-Vincent démontre tout d’abord la quadrature de l’hyperbole et essaie ensuite d’appliquer ses résultats au problème de la quadrature du cercle. Ainsi il apparaît intéressant d’étudier tout d’abord ses travaux à propos de la quadrature de l’hyperbole ; il considère une hyperbole d’équation : xy = 1 Soit L(x) l’aire sous l’hyperbole limitée par l’axe Ox ; on trace les droites verticales passant pas les point de coordonnées (1, 0) et (x, 0). On a alors la relation pour deux réels a et b: L(ab) = L(a) + L(b) Soit sur la représentation suivante : 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

L(x)

0 1

9 11 13 15 17 19

Le travail de Grégoire de Saint-Vincent est en réalité très voisin de celui de Pierre Fermat qui en 1636 étudia la quadrature de la parabole : selon Grégoire de Saint-Vincent, l’hyperbole n’est autre qu’une parabole ayant un exposant négatif. Pour un exposant négatif, on a une courbe d’équation y=

1 xm

avec m positif distinct de 1. Si l’on appelle A l’aire située sous l’hyperbole et limitée par les verticales passant par les points d’abscisse x, on notera Sn et Tn la somme des aires des rectangles situés respectivement sous l’hyperbole et au dessus d’elle . 1 En prenant par exemple, m = 2 on obtient l’hyperbole d’équation y = 2 x y

S S2 1

x 60

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On obtient alors l’encadrement : Sn < An < Tn Dans le cas général, pour calculer Sn, on la formule suivante, on a (pour les abscisses variant de x à qnx) : q-1 ( q - 1)x q -m × (q - 1) = = S1 = qmxm - 1 (qx)m xm- 1 q[(1 - m ) × 0 - m ] × (q - 1) xm - 1

soit S1 =

De même pour S2, on a : qx( q - 1) q(q - 1) q 1 - 2m × (q - 1) = m m-1 = S2 = q x (qx)m xm- 1 q[(1 - m ) × 1 - m ] × (q - 1) soit : S2 = xm - 1 En réitérant ce calcul pour toutes les valeurs on obtient : Sn = S1 + S2 + S3 + … + Sn - 1 n -1

Avec

Sn =

q[(1 - m) × k - m] × (q - 1) k=0 xm - 1

De la même manière, on obtient pour Tn la relation suivante : n -1

Tn = et donc le rapport : Sn =

Tn qm

Si l’on effectue le rapport

q[(1 - m) × k] × (q - 1) k=0 xm - 1 Sn Sn - 1

on peut remarquer que pour obtenir la limite de Sn

( )

1 ( ou Tn) on a une suite géométrique de raison R = q pour Tn, le premier terme est q). Lorsque n tend vers l’infini, Sn a pour limite

q-1

m-1 × (1 - R)xm - 1 = q

m-1

et de premier terme

1 m-1

l: q-1

(qm - 1 - 1)xm - 1

1 =

(qm - 2 + … + q + 1)xm - 1

(ou

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et Tn a pour limite

l‘

qm (qm - 2 + … + q + 1)xm - 1

En faisant tendre q vers 1 on obtient une valeur commune à Sn et Tn à savoir A : A=

1 (m - 1)xm - 1

-m + 1 En considérant la primitive de f(x) = x-m, à savoir x on a 1-m

Ainsi on retrouve avec la méthode des intégrales les résultats précédents, ce qui termine la quadrature de l’hyperbole, puisque l’on obtient une valeur de l’aire située entre l’axe Ox et la courbe. Il ne s’agit plus alors que de tracer le carré ayant la même aire. Telle est la démonstration de Grégoire de Saint-Vincent qui à partir de ce résultat, considère le cercle comme un ensemble d’hyperboles (dont on peut déterminer l’aire), et construit un carré ayant la même aire que ces hyperboles : cependant ce raisonnement ne peut convenir car cet ensemble d’hyperboles n’apporte qu’une approximation de la valeur du cercle.

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ANNEXE 9 : LA CONSTRUCTION DE BASSELIN Basselin considère que la partie située entre l’hexagone inscrit et le cercle peut être assimilée à un fragment de lunule. A partir de cette considération et grâce à l’ uvre d’Hippocrate de Chios (qui démontra la quadrature des lunules) Robert Basselin propose la construction suivante :

On retrouve ici la même aire hachurée en rouge qui représente la différence entre l’hexagone et le cercle. Comme la méthode d’Hippocrate de Chios permet de déterminer l’aire de cette lunule, Basselin suppose qu’il est également possible de déterminer celle d’un fragment de lunule.

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ANNEXE 10 : LA CONSTRUCTION D’ANCELOT Ancelot se sert également des études d’Hippocrate de Chios et de ses lunules. Il propose le raisonnement suivant : Si a + b = c + d alors a = c et b = d et ce en supposant que a, b, c, d vérifient la a b relation suivante : = ce qui assurerait la véracité de la relation précédente. c d Malheureusement, ce rapport n’est pas vérifié par Ancelot qui présente l’étude à l’aide de cette figure :

Soit par cette figure :

KHL

DEG B Que l’on peut expliquer de la manière suivante : si BK + DGE = BD + KHL, alors BK = KHL et BD = DGE. Ancelot propose ici une sorte de tableau de proportionnalité qui pour lui apparaît comme une démonstration suffisante, ce qui, malheureusement ne sera pas le cas de l’Académie Royale des Sciences.

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ANNEXE 11 : L’IRRATIONALITE DE π L’irrationalité de π a été démontrée par Lambert en 1761. Cette démonstration s’inspire grandement de celle d’Euler (en 1744) pour démontrer que e (fonction exponentielle, dont la valeur approchée est 2,171828) est irrationnel. Un nombre est dit irrationnel s’il ne peut pas s’écrire sous la forme p/q (avec p et q deux nombres entiers). Pour démontrer que π ne peut s’écrire sous cette forme, Lambert utilise un raisonnement par l’absurde. En se servant des résultats déjà établis par Lord Brouncker, Lambert considère que tout nombre pouvant s’écrire sous la forme de la fraction continue suivante : a0 a1

b0 +

b1 + …+

… an bn + …

pour laquelle les suites ai et bi vérifient certaines conditions, alors ce nombre est irrationnel. Puis Lambert utilise le fait que pour tout x tel que tan(x) est défini, tan(x) peut s’écrire sous la forme suivante : x² tan(x) =

x²

1 3 -

5 -

x² x² 7 - …

Il termine son raisonnement en considérant que si p est rationnel, alors, à partir d’un certain rang j, x² = (π/4)² est inférieur à bj = 2j + 1 ; donc tan(π/4) serait irrationnel, ce qui est absurde car tan(π/4) = 1. Lambert en déduit donc que c’est π lui-même qui est irrationnel.

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ANNEXE 12 : LES TENTATIVES DE CONSTRUCTIONS AUX XIXème ET XXème SIECLES. 1. Rectification de la circonférence : •

Construction de Terquem : indiquée dans Manuel d’applications mathématiques

Construction : OA diamètre du (O). On trace la tangente indéfinie en B. RS = R = 1. La droite (OS) coupe la tangente en B en T. TD= 3R Conclusion : DA≈ π.R 1 Démonstration : TB= tan30°.BO = 3 (le triangle RSO est équilatéral) 3 1 BD= 3 3 alors AD= 4+BD² 3 AD= 3,141533339

•

Construction de D’Ocagne :

Construction : (O) de diamètre AA’. L’angle A’OB est égal à 45° (BC)//(AA’). C appartient à la tangente indéfinie en A. La bissectrice de l’angle COA coupe cette tangente en D. Conclusion : A’D ≈ π

π α Démonstration: A’D = - tan  4 +  2 

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tanα = tanA’OC =

2 2

π α -1 tan  4 + 2  =   α tan 2 α 2tan 2 2 or = α 2 1 – tan²  2    π α 3–2 α α tan = - 2 + 3 ( car tan > 0) d’où tan  4 + 2  = = - ( 2 + 3) 2 2   3- 2 Alors A’D = 3,14626437 •

Construction de Jacob de Gelder (1849) :

Construction: (O,R) ; OA=OB=R=1 7 1 OE = ; AF= ; (FG)//(OB) ; (FH)//(EG) 8 2 Conclusion: AH= π - 3 AH AF = AG AE AF.AG AF² AH = = AE AE² AF (AG = car AO = 1) AE 1² 2 4² Ainsi AH= = 8² + 7² 7² 1 + 8   AH= 0,14159292 ≈ π - 3

Démonstration:

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Construction de Bioche :

Construction : AO= 2 BO= 3 Conclusion : CD ≈ π Démonstration : CD= 2 + 3 (d’après le théorème de Pythagore) CD= 3.14616437 •

Construction de Longchamps :

Construction: (O) de diamètre AB ; AB= 10 ; AC=11 ; AD= 13 (OE)⊥(AB), deux tangentes indéfinies en A et en E du cercle se coupent en M. (M, MC) coupe (AM) en R. On construit le rectangle MAFD Conclusion : MS = 10π (la construction de π à partir de MS ne pose aucun problème. On peut utiliser le théorème de Thalès) MR MS 11² + 5² MS MS Démonstration : = d’où = = MA MF 5 MF 13 13 d’où MS = 11² + 5² 5 MS = 31.41591953 ≈ 10π

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Construction de Hobbes

Construction : (O) de rayon AO AB = 2R = 1 3 AH= 5 6 CH = et (CH)⊥(AB) 5 Conclusion: AC + AH + CH ≈ π Démonstration: AC² = AH² + CH² 3² 6² 3 5 AC= 5 + 5 =     5 9 3 5 AC + AH + CH = + 5 5 AC + AH + CH = 3.141640787 ≈ π

•

Construction de Goodhue (1974) : Construction: OA = OB =

1 3 ; OD= ; 2 10

BOC = 30° DE= EC Conclusion: ED = π - 3 1 2 ED= 0,1415912 ≈ π - 3 Démonstration: ED =

 3 3 ² 1 –  +   4 10 16

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Construction dont l’auteur est inconnu :

Construction : AB est un côté d’un triangle équilatéral inscrit au cercle (O) de diamètre AC. AB= 2BM MD = 2AB DP= 2R PP’= 2PB Conclusion: PP’≈ π Démonstration: MB = DB =

1 2

MB² + DM² =

3 ; DM= 2AM = 2 3 3 1 +12 = 51 4 2

PB= DB – 2 PP’ = 3,141428429 •

Une autre rectification :

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Construction: OA = OE = R = 1 1 BD’ = 1 + AE 10 Conclusion : AD’ ≈ π ; AD= 2AD’ = 2π On peut facilement construire le côté du carré AFGH à partir de AD’. Démonstration: AE = 2 ; AD’ = AB + BD’ AD’ = 3.141421356 ≈ π 2. Détermination d’un côté du carré équivalent •

Construction Willich: (cf. Nouvelles Annales Tome XV, p.224)

Construction : (O) de rayon R ; R= 1 AB= R ; C milieu de l’arc BA ; E milieu de la corde AB A partir de C on porte deux fois le rayon de C en D. (DE) coupe (O) en F. Conclusion : DF ≈ π Démonstration : On abaisse la perpendiculaire AH sur BD 1 AH= AD 2 3 1 3+1 DB= AD + AD = AD 2 2 2 3+1 π AOD = d’où AD= 2 et BD = 2 2 2 DE est une médiane du triangle ADB, alors : AD² + BD² AB² DE² = – 2 4 3 1 7 3 DE² = 1 + 1 + – = + ainsi on pourra calculer DE 2 4 4 2 Or la puissance du point E au cercle (O) est égale à: 1 DE.EF = AE² = (car AE=EB) ainsi, on pourra calculer EF connaissant DE 4 Alors DF= DE + EF DF = 1.771980984

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Constructions dites de Sonnet :

1ère construction : (O) de rayon R. AB étant le diamètre. 1 OC = R 6 CD= 4R; D se trouve sur la tangente indéfinie en A. (DB) coupe (O) en E. Conclusion : AE représente approximativement le carré cherché. Démonstration : AC=7/6R AD= 16 – 49 36

côté du

AD.AB= AE.BD BD= AD²+AB² AD.AB BD AE= 1.7724502 au lieu de 1,7724538 AE =

2ème 5 5 5 5 R ; OB = R ; OC = R OD = R 4 4 4 4 Conclusion : S ≈ S(O) ABCD 5 2 = 1,7677 au lieu de 1,7724 Démonstration: AB = 4 construction : OA =

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Construction de Périgal : (cf. The Messenger of mathematics, vol.IV, 1875, p.71) Périgal (1801-1898)

Construction: AB un côté de l’hexagone régulier inscrit dans le cercle O de rayon R. (CE) ⊥ (AB); Le cercle de centre A de rayon égal au côté du carré inscrit coupe [OE) en D. Le cercle de centre D de rayon DA coupe [OE] en G. Conclusion: CG ≈ π Démonstration: OE = 1 3 ; ED = 1 7 2 2 CG = 1 + 1 ( 3 + 7 – 2 2) 2 CG = 1.774687497 ≈ π •

Construction de Hobson (1913):

Construction: OD = 3 R; OF = 3 R; E milieu de [OB] 5 2 On construit (O’,DE) et (O”,AF). 2 2

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Le diamètre du cercle de centre O, élevé perpendiculairement à AB, coupe ces demicirconférences des cercles (O’) et (O’’) en G et H. Conclusion: GH ≈ π Démonstration: OE= 1 ; OG² = OE.OD = 3 2 10 3 ; OH² = OA.OF = 3 OG = 10 2 3 OH = 2 GH= 30 + 150 10 GH = 1.772467429 ≈ π •

Construction de Lelong Bonnaric (1999):

Construction: (O, OL) ; OL= 1; OK= 2 OKML rectangle H: projeté orthogonal de K sur MO MJ= MH KQJ triangle équilatéral KN= NJ; NQ=NP Conclusion: QP= π Démonstration: MO = 5 (théorème de Pythagore) MH = 1 en effet: KH.MO= KM.KO= KH. 5 = 2 d’où KH= 2 5 5 1 D’après le théorème de Pythagore: MH= 5 1  3  KJ= 1 + 1 ; NQ= NP = 1+ (KQJ triangle équilatéral)  5 2  5 1  3  QP = 1+ 2  5 2  QP = 1.772467429 ≈ π

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ANNEXE 13 : e ET π DEUX NOMBRES TRANSCENDANTS. Les démonstrations de la transcendance du nombre e et de π, proposées par Hermite et Lindemann sont très longues et compliquées. Elles ont été simplifiées par Weierstrass en 1885, puis par Hilbert, Hurwitz et Gordan en 1893 et enfin par Klein en 1955. Nous allons présenter ici les deux démonstrations de la transcendance de π et de e à la méthode de ceux-ci. La transcendance du nombre e : Si f(x) est un polynôme à coefficients réels de degré m, et si : t t-u I(t) = ⌠ ⌡0 e f(u)du (t est un nombre complexe quelconque) Par intégration par parties successives, on a : m m t (j) I(t) = e ∑f (0) - ∑f(j)(t) j=0 j=0 j

⌠0tet-u f(u)du = [- et-u f(u) ] 0 + ⌡ ⌠0tet-uf’(u)du (intégration par parties) En effet : I(t) = ⌡ j

t-u t t t-u t t-u I(t) = -f(t) + etf(0) + ⌠ ⌡0 e f’’(u)du ⌡0 e f’(u)du = -f(t) + e f(0) + [-e f’(u)] 0 + ⌠

t t-u I(t) = -f(t) +-etf(0) – f’(t) + etf’’(0) + ⌠ ⌡0 e f’’(u)du

m-1 m-1 t t-u (m) I(t)= - ∑f(j)(t) + et ∑f(j)(0) + ⌠ ⌡0 e f (u)du j=0 j=0 m-1 m-1 j t-u (m) t t-u (m+1)(u)du I(t)= - ∑f(j)(t) + et ∑f(j)(0) +[-e f (u)du] 0 + ⌠ ⌡0 e f j=0 j=0 m-1 m-1 (j) t (j) (m) t (m) I(t)= - ∑f (t) + e ∑f (0) - f (t) +e f (0) + 0 j=0 j=0 m m I(t)= et ∑f(j)(0) - ∑f(j)(t) (i) j=0 j=0 Si f (x) indique le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient de f par sa valeur absolue, on a : t-u |t| |t| |t| | I(t)|≤ ⌠ t | e f(u)|du ≤ e ⌠ t |f(u)|du ≤ e ⌠ t f (u)du ≤ |t|e f (|t|) (ii) ⌡0 ⌡0 ⌡0 Supposons que e est algébrique, c’est à dire qu’il existe des entiers n>0, q0 ≠ 0 et q1, ...qn tels que : q0+q1e +...+qne = 0 (iii) Posons : J = q0I(0) + q1I(1) +...+qnI(n) avec f(x)=xp-1(x-1)p...(x-n)p où p est un nombre premier suffisamment grand Deg(f)= p – 1 + np = n(p+1) – 1 = m m m De (i) et (iii), on peut déduire que : J = – ∑. ∑q kf(j)(k) j=0k=0 (j) Si j<p, k>0, on a f (k) = 0 Si j<p – 1, k=0, on a aussi f(j)(k) = 0 Ainsi pour tout j, k autres que j=p-1, k=0, f(j)(k) est un entier divisible par p ! 75

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De plus, nous avons f(x) = xp-1(x-1)p...(x-n)p F(p-1)(0)= (p-1)!(-1)np(n!)p d’où, si p>n, f(p-1)(0) est un entier divisible par (p-1)! Mais pas par p! Ceci implique que, si p> |q0| alors J est un entier non nul divisible par (p-1) ! d’où |J| ≥ (p-1) ! Or f (k) ≤ (2n)m et (ii) impliquent: |J| ≤ |q1|e f (t) +...+|qn|nen f (n) ≤ cp ( c est une constante indépendante de p) Les deux inégalités obtenues sont incompatibles si p choisi est assez grand. Ainsi, on a montré la transcendance de e. Transcendance de π Démonstration par l’absurde : On suppose que π est algébrique. Alors θ = iπ est aussi algébrique. En effet, i est algébrique puisqu’il est racine de l’équation : x²=1 On suppose que l’équation dont θ est la solution est de degré d. Notons θ2,....,θd les autres solutions de l’équation θ = θ1 Notons aussi L le coefficient du terme de plus haut degré du polynôme minimal θ (polynôme non décomposable en facteurs, et dont les coefficients sont premiers entre eux). L’équation d’Euler permet d’écrire : eiπ = –1 Ainsi, on obtient : (1+eiθ1) (1+eiθ2) (1+eiθ3).... (1+eiθd)= 0 Si on développe cette dernière expression, on obtient la somme de 2d termes ex, où x est un ensemble de valeurs: x= ε1θ1 + ε2θ2 + ... +εdθd Avec εi = 0 ou 1 Supposons que n des nombres x sont nuls, et notons-les α1,... αn, on aura : q+eα1+...+eαn= 0 (i) d où q = 2 – n J = I(α1) +....Iαn ⌠0tet-u f(u)du Avec I(t) = ⌡ Par intégration par parties successives, on a : m m (ii) I(t) = et ∑f(j)(0) – ∑f(j)(t) j=0 j=0 m est le degré de f(x) définie par : f(x)= Lnpxp-1(x-α1)p...(x-αn)p m= (n+1)p - 1 p est un nombre premier suffisamment grand. Si f (x) désigne le polynôme f dans lequel on a remplacé chaque coefficient par sa valeur absolue, alors : t-u |t| |t| |t| | I(t)|≤ ⌡ (iii) ⌠0t | e f(u)|du ≤ e ⌡ ⌠0t |f(u)|du ≤ e ⌡ ⌠0t f (u)du ≤ |t|e f (|t|) De (i) et (ii) on a : m m m J= –q ∑f(j)(0) - ∑. ∑f(j)(αk) j=0k=1 j=0

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La somme sur k est un polynôme symétrique en Lα1,....Lαn à coefficients entiers. Il résulte alors du théorème d’algèbre sur les polynômes symétriques que la somme sur k est un nombre entier. En outre, puisque f(j)(αk)= 0 quand j<p, ce nombre est divisible par p! On remarque que f(j)(0) est aussi un rationnel divisible par p! quand j ≠ p-1 et que f(p-1)(0) = (p-1)!(-Lnp)(α1....αk)p est divisible par (p-1)! mais pas par p! Si on prend un p assez grand, il en résulte que si p>q, |J| ≥ (p-1)! Or de (iii), on a : |J| ≤ |α1|e|α1| f (|αn|) +...+|αn|ne|αn| f (|αn|) ≤ cp ( c est une constante indépendante de p) Les deux inégalités sont incompatibles quand p choisi est assez grand, alors π est transcendant La transcendance de π peut être prouvée d’une autre manière, utilisant le théorème de Baker : Si un nombre complexe z est tel que z et ex sont algébriques, alors z=0, c’est à dire que si z≠0, alors z et ex ne peuvent être tous deux algébriques. Posons z = iπ ≠ 0, on a ex = eiπ = – 1, qui est algébrique. Ainsi, z est transcendant (d’après le théorème de Baker), c’est à dire que iπ est transcendant. Si π était algébrique, iπ serait également algébrique (car i, étant la racine du polynôme x²+1= 0, est algébrique). On aboutit ainsi à une contradiction. De ce fait, π est transcendant.

Théorème d’Hermite-Lindemann : Si α1, ...., αn sont des nombres algébriques non nuls, et A1,...,An des nombres algébriques distincts alors l’égalité : α1eA1+ α2eA2 +...+αneAn = 0 ne peut avoir lieu. Cette formule généralise celle qu’avait prouvée Hermite en 1872, limitée à des coefficients entiers.

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Conclusion. Ainsi, après plus de 4000 ans de recherches, le problème de la quadrature du cercle est enfin résolu : il est impossible de construire dans la géométrie euclidienne avec une règle et un compas, un carré ayant la même aire qu’un cercle donné. On peut penser que cela met fin aux recherches des mathématiciens, mais au contraire ils sont nombreux à essayer de réfuter les travaux de Lindemann car ils refusent l’impossibilité de ce problème. En effet ce problème fascine depuis très longtemps, et ceci sûrement à cause de son aspect philosophique et religieux : le carré représentant dans toutes les religions la Terre et le cercle le Ciel, la résolution du problème symboliserait que le Ciel est accessible à l’homme. Ce problème nous montre ainsi l’évolution des mathématiques, la découverte de nouvelles notions. Il reflète aussi les contextes historiques car les courants d’idées se répandant à diverses époques se retrouvent dans les travaux mathématiques. Le problème de la quadrature du cercle, tout de même possible dans la géométrie noneuclidienne, n’arrêtera pas de fasciner les scientifiques. Beaucoup au XXIème siècle s’y essayent en se servant même d’aspects physiques, jusqu’ici encore inexplorés. On peut imaginer que dans quelques années, voir quelques siècles, on trouvera une autre solution à la quadrature du cercle, mais ceci est très improbable dans la géométrie euclidienne, car depuis 122 ans personne n’a réussit à réfuter la démonstration de Lindemann. Enfin, un problème peut paraître simple en l’énonçant, mais il ne faut pas perdre de vue que 4000 ans ont été nécessaire pour montrer l’impossibilité de la quadrature du cercle et même après tant d’années, les mathématiciens n’ont pas encore exploré toutes les ouvertures des solutions proposées. Ce problème, d’une très grande difficulté, peut être considéré comme celui qui, de toute l’histoire des mathématiques, a intéressé le plus de mathématiciens.

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Bibliographie. Aristophane, Théâtre complet II, Edition de Victor-henry Debidour, Folio 1987. Ball, Walter William Rouse, Récréation mathématiques et problèmes des temps anciens et modernes, traduction de Mathematical recreations and problems of past and present times, Sceaux : J. Gabay, 1992 Reprod. En fac-sim. De l’éd. De Paris : A. Hermann, 1907-1909. Barbarin, Paul, La géométrie non euclidienne, Paris : J. Gabay, 1990, reprod. En fac-sim. De l’éd. de Paris : Gauthier-Villars, 1928, Coll. Les Grands Classiques Gauthiers-Villars, ISSN 0989-0602. Carrega, Jean-Claude, Théorie des corps : la règle et le compas, Nouvelle édition en richie d’exercices, Paris : Hermann, 1989, Coll. Formation des enseignants et formation continue, 1402. Delahaye, Jean Paul, Le fascinant nombre Pi, Paris : « Pour la science » : diff. Belin, 1997, Coll Bibliothèque pour la science, ISSN 0224-5159. Fourrey, Emile, Curiosités Géométriques, éditions Vuibert. Thèse de Marie Jacob : De la quadrature du cercle au siècle des Lumières Montucla, Jean-Etienne, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris, Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques de l’Université de Paris VII, 1986. Reproduction des textes anciens, nouvelle série, 1. Rouché, Eugène, Traité de géométrie élémentaire, Paris : gauthier-Villars, 1929-1931. Ozanam, Jacques, Récréations mathématiques et physiques, Num. BNF de l’éd. de aris : C. A. Jombert 1778.

Adresses Internet : http://perso.wanadoo.fr/jm.nicolle/cusa http://www.apmep-aix-mrs.org/bulletin/num07/bonnet.html http://membres.lycos.fr/villemingerard/Geometri/PiHistor.htm http://www.sciences-en-ligne.com http://www.nombrepi.com http://coll-ferry-montlucon.pays-allier.com/gdscient.htm Encyclopédie encarta 2002

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Résumés personnels du travail. Florence BOVET : Le sujet nous a interpellé presque tout de suite. En effet nous voulions traiter de l’évolution des mathématiques dans l’histoire et le reflet des contextes historiques dans les travaux des mathématiciens. La quadrature du cercle semblait être le sujet parfait car il remplissait toutes nos attentes. Le travail s’est bien passé. Dans un premier temps nous avons fait des recherches en commun, celles-ci nous permettant une vue d’ensemble assez complète du sujet. Dans un second temps nous nous sommes partagées le travail. Ce partage ne nous a pas empêché de travailler sur les autres parties car les aspects mathématiques n’étaient pas toujours très simples et beaucoup de mathématiciens reprenaient des travaux d’autres époques.

Marie-Anne Lafon : Notre travail s’est divisé en deux étapes : une première qui consistait en une recherche globale pour nous imprégner du sujet, une seconde qui était plus individuelle puisqu’il s’agissait d’une recherche plus approfondie sur une époque, dans le but de préparer cette époque. La première étape était très agréable puisque chacune a essayer de connaître d’une manière générale les principaux événements se rapportant au sujet, et ce pour chaque époque, ce qui nous a permis une vue d’ensemble assez complète. La seconde étape étant plus individuelle nous nous sommes plus penchées sur la présentation du document lorsque nous travaillons ensemble, tout en restant prêtes à aider celle qui en aurait besoin (et donc tout en restant proche de chaque époque).

Dieu Anh LE VU : Je pense que le sujet a été bien choisi, il n'est ni trop difficile ni trop familier, du point de vue mathématique ainsi qu'au point de vue historique. Le partage du travail et l'élaboration du plan étaient précis et rapides. Cela dit, il s'agit bien d'un travail en équipe puisque la recherche de la quadrature exacte du cercle se fait de siècles en siècles et il arrive que certains mathématiciens se servent des résultats des mathématiciens d'autres époques (notamment ceux d'Archimède). La recherche des documents concernant la quadrature du cercle a été simplifiée par la permission d'accès à la bibliothèque scientifique d'Henri-Poincaré et les livres consultables à la bibliothèque Sainte-Geneviève.

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