MINI DICIONÁRIO DO CAOS by Polly Monteiro

MINI-DICIONÁRIO DO CAOS Se que,

acreditarmos ao elaborar uma teoria que "funcione", tenhamos atingido a realidade, estamos imersos na ilusão. ]Henri Atlan[

mini dicionário do caos ** [*] > têrmo objeto de definição ulterior A algoritmo Sequência de números. Informática>escrita não compreensível das etapas de um programa. [ Essa é a pior definição que já ví de algoritmo. Pode ser que CB não compreenda a sequência, mas isso não tem nada a ver com um algoritmo...Procure outra definição melhor ]

analógia a analogia opera por semelhança ou por uma certa continuidade mimética. Ex. uma foto para identificar um homem. ( Pode-se identificá-lo também através de dígitos...) arcos** (= arestas, linhas ) [ >grafo G] aresta(s)** [> grafo G ] pares ordenados de um Grafo G. aresta incidente** aresta que é dita incidente com os vértices que ela liga. [> laço**] arestas paralelas** se ei = ( v, w ) e ej = ( v, w ), logo ei e ej são paralelas . [ > multigrafo, grafo simples ]

articulação Dupla. Princípio de economia da linguagem: articulamos. 1a. sequências de fonemas ( uns trinta para cada língua no máximo ) para obtermos vocábulos ( morfemas ) 2a que combinamos em uma infinidade frases ou seja , sequências de segunda articulação. *atrator em sist. dissipativo* > o conjunto limite* que não esteja contido em nenhum conjunto limite maior e do qual nenhuma órbita* emana. *atrator estranho

um atrator com uma estrutura fractal; aqule cuja intersecção com uma variedade* apropriada é um conjunto de Cantor*

auto referência .

*bacia de atração o conjunto* que consiste em todos os pontos* que estão em órbitas* que se aproximam de ou tendem a um dado atrator* *bifurcação em uma família* de sistemas* dinâmicos*> uma mudança abrupta no comportamento a longo prazo de um sistema, quando o valor de uma constante* é mudado de algum valor crítico baixo para um outro alto. *bifurcação duplicadora de período 1 bifurcação* de um sistema* no qual as órbitas* típicas periódicas* simples convertemse em órbitas também periódicas, porém com um período* dias vêzes maior. 2 uma sequência infinita de bifurcações duplicadoras de período, como definido acima, culminando em comportamento caótico* C *caos *c. completo> propriedade que caracteriza um sistema dinâmico* no qual a maioria das órbitas exibe dependência sensível* *c.limitado> propriedade que caracteriza um sistema dinâmico no qual algumas órbitas especiais são não-periódicas* mas a maioria é periódica* ou quase-periódica* *capacidade medida particular da dimensão* de um conjunto*, baseada na taxa de incremento no número de cubos ou esferas necessárias para cobrir um conjunto à medida que o diâmetro de cada cubo ou esfera diminui.

catarse: zz *completamente ramdômico > randômico *condições iniciais o estado* do sistema*, no início de qualquer intervalo de tempo, que possa ser de interesse para um pesquisador. *conjunto (de pontos)> qualquer coleção de pontos, geralmente uma curva, uma superfície ou alguma outra estrutura desde que tratada como um agregado de pontos. *conjunto atrator em um sistema dissipativo*>

o conjunto que se constitui dos conjuntos limite* de todas as órbitas* junto com todos os pontos nas órbitas que emanam deste conjunto. *conjunto auto-similar um conjunto* no qual, se for ampliada uma parte, esta se tornará idêntica ao conjunto original. *conjunto de Cantor 1. um conjunto de pontos em uma linha ou curva de maneira que , entre quaisquer dois pontos, haja outros pontos nas órbitas que emanam deste conjunto 2. a generalização de um conjunto de Cantor, como definido acima, para mais de uma dimensão. *conjunto estatisticamente auto-similar um conjunto* do qual, se for ampliada uma parte, esta terá a mesma estrutura típica que o conjunto original. *conjunto invariante um conjunto de pontos* que é idêntico à sua própria imagem. *conjunto limite ( de uma órbita) um conjunto* que é aproximado por uma órbita e nào contém um conjunto menor aproximado pela órbita. Isso é: o conjunto que consiste de todos os pntos dos quais a órbita passa bastante perto repetidas vêzes.

conotação: *constante ( de um sistema)> uma característica que não varia à medida que o tempo passa. *coordenada ( de um ponto)> a distância da origem*, em um eixo* particular, ao ponto dadao.

corte de kritein ( cortar) > cratera, critério, crítica corte semiótico: o signo não é a coisa e por vêzes afasta-se totalmente dela.. "A palavra cão não morde..." O interessante é que a posição deste exemplo a que nos empurra mais em direção ao nomilnalismo e Ockam... Por quê? se há o corte ( da imotivação, do arbitrário), se cães ditos, escritos, desenhados não mordem, e se nosso conhecimento só se transmite ( portanto se estabelece) através da linguagem, nós não conhecemos o mundo, o real, a natureza, a não ser convencionalmente, arbitrariamente... Sed contra: Há teorias artisticas por outro lado que supõem que cães desenhados mordam. De outra maneira a passagem do autismo para a oralidade e desta para a escritura, não teria outro

efeito que o de divertir a humanidade... essa tese acredita que a arte, a linguagem tenham fôrça impositória... O caminho está em Ockam. É exatamente por vivermos a linguagem ( e nada mais, nada mais....) é que cães desenhados mordem. Pois são os únicos cães possíveis próximos a nós. Tudo o que conhecemos é exercício de linguagem , nada tendo a ver com os objetos reais, físicos etc... Isso não é nenhum personalismo, pois o centro não está no homem, no sujeito conhecedor ou falante, mas no instrumento de mediação. A física quando opera por quanta, basicamente afirma o mesmo: que o "garantidor", o "fiador" é a linguagem ( no caso da física: as matemáticas). parece que os teóricos mais recentes ( da teoria quântica, exatamente...) colocaram as coisas no devido lugar. Falta sair tirando todas as conclusões possíveis. Viu aonde pode nos levar um mero corte? [ Que também é tomein, daí o infinito movimento da física em tirar pedacinhos da natureza com sua lingua afiada, em busca do a-tomo. É sempre possível cortar mais, já que o que fazemos é exercer nossa linguagem, parece...]

cratilismo Nos diálogos de Platão, Crátilo afirma que as palavras existem "por natureza" e não por convenção. defendeu a tese da continuidade analógica entreas apalvras e as coisas ( contra a idéia do corte semiótico e do arbitrário ou imotivado do signo ). Essa tese é fecunda em poesia ( remotivação) e em publicidade. D

digital [Bateson e Watzlawick] Dois grandes tipos de comunicação, duas formas de ser do signo. A ordem digital procede por oposições binárias e segundo uma lógica de tudo ou nada. Ex.> nome ou dígitos da carteira de identidade para designar alguém. [ > analógico ] *dependência sensível a propriedade que caracteriza uma órbita* se a maioria das outras órbitas que passam próximas a ela, em algum ponto*, não permanecerem próximas como o passasr do tempo. dígrafo** (= grafo dirigido ) Se suas arestas possuem direção Se não = grafo não dirigido

diégese Nível ou modalidade de representação. A diégese , ou narração, relata, na terceira pessoa sob o modo indireto, acontecimentos aos quais pose-se mesclar a referência das afirmações. Ëx.: "Ele entrou no quarto e gritou-lhe que saisse..." (Andretti) *dimensão

qualquer medida de um conjunto* de pontos que concorda com o conceito clássico de dimensão quando o conjunto é um ponto, uma curva, uma superfície ou outra variedade, mas também é definida, geralmente como uma fração, para conjuntos mais gerais. E *efeito borboleta o fenômeno no qual uma pequena alteração no estado* de um sistema dinâmico fará copm que os estados subsequentes sejam bastante diferentes dos estados que teriam se seguido sem essa alteração específica . *> dependência sensível *eixo qualquer linha de um conjunto particular de linhas mutuamente perpendiculares pasasndo pela origem*, usadas como linmhas de referência. *emanar de aproximar ( ou tender), caso se perdora na direção inversa ao longo de uma órbita*. *enunciação o fato, ato ou acontecimento de proferir um enunciado. Se este diz os fatos e constitui , portanto um signo, a enunciação é, por sua vez um fato e se encontra do lado das coisas. (CB) A enunciação é sempre um fato, está sempre do lado das coisas, independente deste se ("se este diz fatos e constitui signo....") Apenas Saussure vai explicar que este fato social, corresponde ao uso da linguagem . E vai, logicamente , suprimí-lo de seu projeto científico de constituir uma ciência da linguagem. Deram-se muitas voltas, mas este paradoxo de Saussure continua aí: como fazer ciência de "usos"? Poderia ser talvez uma antropologia, que por isso mesmo foi, por muito tempo, o ramo mais aventureiro, menos "científico" da sociologia. Com as novas teorias matemáticas talvez se possa chegar lá, admitindo-se a possibilidade de se "rastrear"o movimento... Cfra mapeamentos , bacias, atratores etc. na teoria do caos. É tarefa a se fazer. Com os reduzido aparato da teoria matemática das funções ( vide > funcionalismo em linguística> vide modelos de " elocução"... ) vai se gastar tinta e neurônios a tôa. *entropia Degradação de uma organização, crescimento da desordem. Como a entropia constitui aquilo que mais se pode esperar, isso é a morte, ela se opõe portanto à vida, ou seja a uma informação em geral.(CB) Sed Contra: Essa é uma velha "ilação" que está para cair. Em verdade nenhum procedimento lógico permite, ou pelo menos assegura a modalização: "como a entropia constitui aquilo que mais se pode esperar, isso é a morte....". Vejamos: 1) o que mais se pode esperar é a entropia, apenas em sistemas instáveis. Onde se define o equilíbrio como minstável... 2) O que mais se espera nào é a morte, mas a vida. A morte é o que mais se teme. Em sistemas neuróticos (instáveis) ainda é assim. Em sistemas psicóticos (totalmente instáveis, caóticos) é que a afirmação vale.

Mas porque psicologia? Porque essa ilação entre morte e vida é da antopologia,do estruturalismo, jamais da física. A física não tem nada a dizer sobrte vida / morte de sistemas. Ela fala de mudanças, de movimento, isso sim. *equação de diferenças uma equação que expressa o valor de uma variável* de um sitema*, em um instante seguinte a um dado instante, em termos dos valores de todas as variáveis no instante dado. *equação diferencial uma equação que expressa a taxa na qual uma variável de um sistema está variando em um dado instante, em termos dos valores de todas as variáveis naquele instante *equação logística uma equação de diferenças* quadráticas particular, com uma variável. *equilíbrio um ponto fixo*, ou ainda uma órbita periódica* *equilíbrio estável um ponto fixo*, ou uma órbita periódica*, do qual não emana* órbita* nenhuma. *equilíbrio instável um ponto fixo ou uma órbita periódica da qual emana pelo menos uma órbita = um equilíbrio que não é estável E.I > [economia/ sociologia ] definido por Michelotto (1980) como o ponto das relações estáveis de dependência [ = equilíbrios sócio-econômicos ] do qual emana nova órbita, ou emanam órbitas de independência. >Pontos críticos de sistemas socio-econômicos. *espaço de fase um espaço hipotético que tem, tantas dimensões quantas forem as variáveis* necessárias para especificar um estado de um dado sistema dinâmico*. As coordenadas de um ponto no espaço da fase são um conjunto de valores simultâneos das variáveis.

especular *estado a condição de um sistema em um instante. um conjunto de valores simultâneos das variáveis de um sistema* *expoentes de Lyupanov os logaritmos dos números* de Lyupanov* /E/ = m [ >grafo G] cardinal sem designação específica [ > /V/=n ] F

*família um conjunto de sistenas dinâmicos que são semelhantes, exceto pelos valores de uma ou mais de suas constantes

fática f. de contato> uma das 6 funções da linguagem [ Jakobson ].Operador de abertura de relações entre parceiros de uma interlocução. Por expansão> comunicação fática> aquela que serve para manter seu canal, ocupar o espaço disponível. Ex.:>Manter seu interlocutor sob olhar fixo, falar por falar, publicar um livro a cada ano, lançar um disco a cada ano > =É o mesmo que "alô, alô " para testar microfones... A fala dos políticos, suas aparições na Mídia, as aparições repetidas na telinha> a função é ocupar espaço / para impedir o dos outros, claro.... Video-show/ Faustão como programas "contato" > Já que os concorrentes não falam desse Mídia, ele fala de si, ocupa seu próprio espaço... para não falar dos concorrentes. [ Vide> solipsismo, mônadas ]. *ferradura um tipo particular de mapeamento* bidimensional, no qual um quadrado ou alguma outra área é mapeado em uma área distorcida que instersecta a área original, em duas partes separadas. *fluxo um sistema dinâmico cujas variáveis são definidas para valores de tempo que estão mudando continuamente. >geralmente um fluxo é governado por um conjunto de equações diferenciais *fractal >um conjunto de pontos cuja dimensão* não é um número inteiro, >um conjunto de estruturas similares cuja dimensão "acontece ser" um número inteiro. G grafos**aplicação pert, análise de caminho crítico,tática & logística, sistemas de comunicaçào, transmissão de informações, rota ótima, fluxo em redes, genética,economia, física, química, engenharia, computação, antropologia, linguística etc... grafo bi-partite (Kr,s) Se que e toda aresta tem-se

que e

G ( V1 União V2 , E ) é tal V1 intersecção V2 = 0 ( vi , vj ) pertence a E, vi pertence a V1 vj pertence a V2

Então é denominado grafo bi-partite,

onde e

/ V1 / = r / V2 / = s

grafo completo** ( = Clique, Kn ) É um grafo simples** em que, cada par distinto de vértices, é adjacente. Todo grafo completo de n vértices possui m= { n / 2 } arestas. grafo dirigido** [> dígrafo] grafos isomorfos** Se for possível coincidir respectivamente os vértices de suas representações gráficas, preservando as adjacências das arestas.

formalmente: Se e tal que

G1 ( V1, E1 ) e G2 ( V2 , E2 ) i) / V1 / = / V2 / = n ii) existe uma função bi-unívoca f: V1 > V2 (v, w) pertence a E1 <=> ( f (v), f (w) pertence a

E2 V v,

w pertence a E1 grafo G** é um par ordenado ( V,E) Onde, V= um conjunto; E= relação binária. e, Elementos de V = vértices, ou pontos ou nós Pares ordenados de E = arestas, linhas, arcos de grafo. __ grafo G ** Grafo complementar de G, Se possui a mesma ordem de G e Se uma aresta ( vi , vj ) E (não pertence a) G então

_ ( v i , v j ) E ( não pertence a) G

grafos**mini-história XVIII Euler. >Pontes de Königsberg XIX Kirchhof e Cayley > teoria das árvores Hamilton > jogo do dodecaedro XX Appel e Haken (1977) > problema das 4 cores problemas de programação (computadores) grafo não dirigido** representação de um conjunto e uma representaçào simétrica binária sobre esse conjunto.

Uma aresta ligando dois vértices v e w pode ser representada por ( v,w) ou ( w,v ) indistintamente ( o que não ocorre no dígrafo ). g. rotulado** Se

vértices e/ou arestas são distinguidos uns dos outros por rótulos.

g. não rotulado** Se

vérties e/ou arestas não são distinguidos uns dos outros por rótulos.

grafos**teoria a teoria dos grafos proporciona ferramenta simples, acessível e podrosa para consrtruçào de modêlos e resoluçào de problemas relacionados com arranjos de objetos discretos. [ >Sistemas complexos**]. grau** [ gr (v) ] ( de um vértice v pertence a V ) é o númeo de arestas incidentes** a v. grau r** ( grafo regular de grau r** ) Se todos seus vértices possuem grau r. Se não > grafo regular de grau zero, ou nulo. H

holística <olon > tudo. Abordagem que se opõe à análise de cada elemento, considerado isoladamente. homeostase equilíbrio de um sistema, estado de menor tensão do organismo. I iconoclasta destruidor de ídolos ou imagens em geral idioleto : de idion = privado: língua ou palavra singular, particu lar. Idiota: aquele que privatiza tudo, até a linguagem ...( Vide> nehemnhemnhem etc... (extremo do idioleto). *imagem o conjunto de pontos que resulta de um dado conjunto mediante um número específico de interações para um fluxo> uma interação, a menos que de outra forma explicitado, para o mapeamento* ou mediante o decurso de um intervalo de tempo especificado. *imagem inversa o conjunto de pontos cuja imagem consiste de um dado conjunto. isomorfia** é a propriedade de um grafo poder ser desenhado de diferentes formas. [ > grafos isomorfos ]

isotopia espaço tornado homogêneo por igualização das diferenças qualitativas. Semântica > camada ou família de sentidos de um vocábulo. Crítica literária> determinar ou construir isotopias > busca de "temas"de um texto. O kitsch definido abaixo por CB deve ser espaço de isotopias... J *janela periódica em uma família de sistemas dinâmicos> um conjunto contínuo de valôres de um parâmetro* para o qual o sistema correspondente não é caótico, separando dels os valores para os quais os sistemas é caótico. K K r, s Grafo bi-partite e

Onde / V1 / = r / V2 / = s

[> Grafo bi-partite ]

kitsch representação eufórica de um mundo pleno, sem negativo nem violência. [ Segundo a definição só pode ser um mundo monádico...]. Corações de jesus, pinguins de geladeira, hebes camargos, adrianas [Cfra Lula]> são kitsch plenos= pleonásticos>> coração>local do coração //pinguin> gelo// hebe> mobília de cenário// adriana> lugar da beleza... L laço** aresta incidente a um único vértice M m= {n / 2 } ** Cálculo de arestas de qualquer grafo completo** de n vértices. *mapeamento um sistema dinâmico* cujas variáveis são definidas apenas para valores discretos do tempo. Um mapeamento é geralmente regido por um conjunto de equações de diferenças* *mapeamento de Poincaré um mapeamento cujo espaço de fase é uma secção de Poincaré* do espaço da fase de um fluxo*, e onde as imagens sucessivas de um ponto são intersecções de uma órbita* no fluxo com a secçào de Poincaré *mar caótico o conjunto ao qual tende uma órbita caótica em, um sistema hamiltoniano*.

metáfora/ metonimia .maneira de associar idéias ou fazer comparações.[>retórica] Vide: "Esmaga a articulação simbólica" ( CB :320). Sed Contra: Isso é articulação simbólica! ( não pode se esmagar...) [AM) As posições de CB sobre metonimia e metáfora são francamente fracas e mesmo contraditórias. Mas sempre vale conferir... Cfra A&M: Oficina de Dramaturgia, BD #231. Recife: Banco de Dados, 1994. metáfora: aglutina através de um predicado comum [ Jakobson] . É um processo de condensação. "Os rubis do champanhe"> ambos são avermelhados, ambos caros. "Arraes é uma raposa política" > ambos são ladinos[>ambos, ladrões de galinha]? metonimia: se manifesta pela contiguidade empírica e espaço-temporal. É um processo de deslizamento, brincadeira de esconde-esconde. Ex.: "Entrar num Café e beber um copo". Substitue o continente pelo conteúdo ( bebida /local onde se serve) e um conteúdo por um continente ( local onde se bebe/ bebida). mônada o ser sobre si mesmo,"sem portas nem janelas", que apenas mantém relações internas. [ Leibnitz]. Por extensão, estado de autarcia e completude [> a regressão monádiaca do sono (CB)] . mímesis teatro> encarrega-se das vozes e ações que dá a ver e ouvir em estilo direto, distribuido por diferentes personagens. Ex. "Saia daqui! " [ > Diégese ] Mais identidficatória. a mímese embaralha o corte semiótico e condiciona a catarse. . *modelo um sistema projetado para possuir algumas das propriedades de outro sistema, geralmente mais complicado. multigrafo** Se o grafo possui laços e /ou arestas paralelas. Se não > grafo simples. [ >Grafo completo ] N *números de Lyupanov os fatores de média, a longo prazo, pelos quais os cumprimentos dos eixos de uma elipsóide infinitesimal em um espaço de fase são multiplicados, quando o elipsóide é substituido por suas imagens sucessivas.

onto- / filogênese

formação do indivíduo verus formação da espécie. Diz-se da primeira volta a passar por, ou mostra, algumas etapas da segunda. operando o objeto, domínio ou coisa sobre os quais agimos. *órbita a representaçào em um espaço de fase* de uma sequência cronológica contínua ou discreta de estados. *órbita assintótica uma órbita transiente* que tende a um ponto fixo* ou a uma órbita periódica* ou quaseperiódica*. *órbita duplamente assintótica uma órbita que é assintótica a um ponto fixo ou uma órbita periódica e também que emana* de um ponto fixo ou de uma órbita periódica. *órbita homoclínica uma órbita que é assintótica a um ponto fixo >ou: uma órbita periódica que emana do mesmo ponto ou órbita. *órbita não-periódica uma órbita em que qualquer repetição suficientemente próxima de um estado passado* tem duração temporária. > uma órbita que não é periódica nem quase-periódica. *órbita periódica uma órbita que repete exatamente seu comportamento passado depois de transcorrido um intervalo de tempo fixo. *órbita quase-periódica uma órbita que está cada vez mais próxima de repetir toda sua história passada, após o decurso de intervalos fixos, de tempo cada vez mais longos. > Compare com órbita periódica*. *órbita transiente uma órbita* que não tem pontos* em comum com seu conjunto limite* *origem um ponto particular no espaço de fase* ou no espaço comum, usado como um ponto de referência.

oxímoro associação de duas palavras contraditórias como "silêncio eloquente" etc. palimpsesto

pergaminho ou papel já escrito que é raspado para acolher um novo texto. O suporte conserva vestígios das primeiras camadas de escrita, permitindo sua decifração.

paradigma Modelo. Por extensão, quadro geral de explicação, ou família de raciocínios [ "o paradigma digital"] *parâmetro uma constante cujo valor pode diferir de um membro de uma família de sistemas dinâmicos* para outra.

performático enunciado ou expressão que não se contenta em descrever o mundo, mas acrescenta-lhe um estado. A distinção controversaentre performático e constativo ( descritivo ) devida principalmente a Austin, engendrou a abundante problemática dos "atos da linguagem" [ speech acts, em Austin ] *período o número de interações ou o intervalo de tempo entre as repetições sucessivas em uma órbita periódica* *ponto a representação de um estado de um sistema dinâmico* em um espaço de fase* *ponto fixo um ponto* que é idêntido à sua própria imagem* *ponto homoclínico o ponto fixo* no qual uma órbita homoclínica* emana* e ao qual subsequentemente ela tende* ( ou se aproxima). pontos** (= nós, vértices) [ >grafo G>] processo primário / secundário p. secundário: as representações em estado de vigília são articu ladas, separadas, oponentes e submetidas ao princípio de realidade, identidade, linearidade. p.primário: as representações em estado de sono. Tende a fusionar e identificar o que o "secundá rio" distingue. Desconhece o corte semiótico. R rede** empregado no lugar de grafo, onde características quantitativas são concedidas aos pontos e linhas, em acréscimo ao carater puramente estrutural que está definido nas características de um grafo.

[ rede elétrica, projetos de rede, fluxos de rede> onde medidadas quanttt de energia e fluxo, respectivamente, estão associadas com pontos e arestas.

redundância repetição para garantir a existência de uma mensagem contra a entropia ou perda inevitável de informação no momento de sua transmissão. S *seção de Poincaré uma secção transversal do espaço da fase* de um fluxo* que é intersectado por muitas órbitas* ou pela maioria delas. *separatriz uma fronteira separando duas bacias de atração* *sistema uma entidade que pode sofrer variações de algum tipo no decorrer do tempo. *sistema compacto um sistema dinâmico* no qual toda órbita* possui um conjunto limite* *sistema conservativo sistema dinâmico no qual alguma grandeza, aparentemente, variável, na verdade permanece constante à medida que o tempo passa. *sistema determinístico sistema no qual os últimos estados* se desenvolvem a partir dos estados anteriores, de acordo com uma lei fixa. *sistema dinâmico stricto sensu> um sistema determinístico. lato sensu > um sistema com uma pequena quantidade de randomicidade, desde que o comportamento qualitativo não seja apreciavelmente modificado se a randomicidade, de alguma forma, dor retirada. *sistema dissipativo um sistema dinâmico* no qual a imagem de qualquer conjunto de pontos* de volume finito em um espaço de fase* é um conjunto menor *sistema hamiltoniano um certo sistema conservativo* que conserva o volume *sistema inversível um sistema dinâmico * no qual cada ponto* tem uma, e apenas uma, imagem inversa. *sistema linear

um sistema no qual as alterações em um estado inicial* resultarão em alterações proporcionais em qualquer estado subsequente. *sistema não-inversível um sistema dinâmico no qual alguns pontos têm várias imagens inversas* ou nenhuma > um sistema que não é inversível* *sistema não-linear um sistema no qual as alterações em um estado inicial* não necessitam produzir alterações proporcionais em estados subsequentes. > aquele que não é linear. *sistema periódico um sistema no qual todas as órbitas, excepcionalmente algumas poucas, são periódicas* ou quase-periódicas* ou são assintóticas* a órbitas periódicas ou quase-periódicas. *sistema preservativo de volume um sistema dinâmico no qual a imagem de qualquer conjunto de pontos no espaço de fase é um conjunto que tem o mesmo volume. *sistema randômico 1. sistema no qual a progressão dos estados anteriores para posteriores não é completamente determinada por lei alguma > um sistema que não é determinístico. 2. sistema no qual os estados posteriores ocorrem completanenbte independentes dos estados anteriores > um sistema completamente randômico. > [random, em inglês significa um álea.] subgrafo de G ( V, E ) ** Um grafo G' ( V', E' ) é um subgrafo de G ( V, E ) Se V' for sub-conjunto de V e Se E' for sub-conjunto de E' [> grafo G ] *superfície de seção uma seção de Poincaré.

solipsimo doutrina filosófica segundo a qual sou o único ser no mundo; aliás, esse "mundo" não é mais do que o filme de minhas representações. sinestesias sistema de sensações cruzadas ou fusionadas. Por ex.: as "correspondências" de Baudelaire. tautologia

enunciado que aparentemente não traz qualquer informação na medida em que em seu desenvolvimento ou predicado já se encontram claramente contidos em seu ponto de partida. Os políticos servem-se bastante desse procedimento: "ele é ele, eu sou eu"( de Gaulle), ou "A França será sempre a França" ( de Gaulle). As equações formais das leis lógico-matemáticas são tautologias. [ Exemplifique o caso da matemática: ] *tender ( um ponto ou um conjunto)> aproximar-se e , finalmente, permanecer próximo, dentro de um grau de proximidade préescolhido. >Ficar cada vez mais perto. *tender ao infinito tornar-se cada vez maior e, finalmente, permanecer maior do que qualquer quantidade escolhida de antemão.

token / type [ Peirce] termos para distinguir o exemplar indicidual do gênero, uma enunciação (=singular) de seu enunciado ( genérico= sequência de signos, por definição abstratos, portanto repetíveis ). Token-reflexivos > todos os vocábulos-index ou dêiticos ( cfr. deixis: eu, aqui, ontem) que reenviam às circunstâncias de sua enunciação ou administram diretamente sua relação. transicional [objeto ] conceito para qualificar os primeiros objetos da criança de peito ( pano, brinquedo ) fortemente solidários da relação mãe\criança. [ Winnincott ] Nem objeto nem sujeito , esse "objôgo" ( diria Ponge ), permite a pasagem de um para outro e sua recíproca liberaçào; a pelúcia prolonga o corpo da criança e faz com que esta venha a abrir-se para um exterior, a aprtir da esfera monádica ou do emaranhamento originário. *triviais Segundo von Foester, as relações triviais são vínculos mecânicos entre um efeito e sua causa. As relações pragmáticas, flutuantes ou vivas em geral, esacpama a este determinismo rígido: um ser que perde sua autonomia relativa, ou sua capacidade para responder de outro modo a certos estímulos, encontra-se à beira da morte. V *variável de um sistema uma característica que pode variar no decorrer do tempo. *variedade

um ponto, uma curva, uma superfície, um volume, ou sua generalização no espaço multidimensional *variedade estável uma variedade* composta pelo conjunto de órbitas que tendem a ( ou se aproximam de) um dado ponto fixo* ou órbita periódica* *variedade instável uma variedade que consiste de todos os pontos* nas órbitas*que emanam de um dado ponto fixo* ou órbita periódica*. vértice** (= pontos, nós ) [>grafo G] elementos de V. vértice adjacente** Se dois vértices são ligados por uma aresta. vértice isolado** ( = vértice de grau 0 ] Se não existe aresta incidindo sobre ele. [ > v. pendente] vértice pendente** (= vértice de grau 1 ) Se existe aresta incidindo sobre ele [ > v. isolado] vërtices**teoremas dos teorema 1: Leia-se:

gr(v) = 2m a soma dos vértices em u grafo ( dirigido ou não) é igual a duas vêzes o número das arestas

PROVA: Cada aresta contando como um no grau de cada dois vértices com os quais ela é incidente, será sempre contada duas vêzes... teorema 2 de grau

Em qualquer grafo existe sempre um número par de vértices ímpar.

PROVA: Vamos supor que exista um grafo G ( V , E ) onde todos os vértices possuam grau impar. Logo: gr ( v1 ) = número par, se n for par número ímpar , se n for ímpar

Pelo teorema 1 a soma dos graus dops vértices é par, portanto n obrigatoriamente é par. / V / = n ** (=cardinal) ordem de G

Códigos

crise

bibliografia básica

Attali, Jacques Bruits Paris,Grasset,1979

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L'Órdre cannibale Paris: Fayard, 1981

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Les Trois Mondes Paris: Fayard, 1981

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Histoires du Temps Paris: Fayard, 1982

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La Figure de Fraser Paris: Fayard, 1984

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Lignes d'Horizon

Paris: Fayard, 1990 organização

Atlan, Henri L'Organisation Biologique et la Théorie de l'Information. Paris: Hermann,1972

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Entre le Cristal et la Fumée Paris: Le Seuil, 1979

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A Tort et à Raison - Intercritique de la Science et du Mythe Paris: Le Seuil, 1986

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Tout, Non, Peut-être - Éducation et Vérité Paris: Le Seuil, 1991 Les Théories de la Complexité. Autour de l'oeuvre de Henri Atlan. Les Actes du Colloque de Cerisy-la-Salle Paris: Le Seuil, 1991

algoritmo in Bougnoux, Daniel Introdução às ciências da comunicação e da informação Petrópolis: Vozes, 1994] oriente/ocidente Capra, Fritjof Le Tao de la Physique Paris: Tchou, 1979 +++++++++++

neurônios

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Le Temps du Changement - Science, Société, Nouvelle CultureParis: Editions du Rocher,1983 Changeux, J.-P. L'Homme Neuronal Paris: Fayard, 1983 Matière à Pensée Paris: ed. Odile Jacob,1989

realidade-an-sich D'espagnat, Bernard A la recherche du Réel Paris: Gauthier-Villars, 1980

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Un Atome de Sagesse Paris: Le Seuil, 1982 Une Incertaine Réalité Paris: Dunod, 1990

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inteligência

Dreyfus, Hubert Michel Foucault: um Parcours Philosophique - Au-delà de l'Objectivité e de la SubjectivitéParis: Gallimard, 1984

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Dreyfus S. Mind over Machine MacMillan, 1984

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5a geração

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La Cinquième Génération: -le Pari de l'Intelligence Artificielle à l'Aube du XXI Siècle Paris: Interéditions, 1984 Barr, A. Le Manuel de l'Intelligence Artificielle Paris: Eyrolles, 1986

anarquismo

Feyerabend, Paul Contre la Méthode. - Esquisse d'une Théorie Anarchiste de la Connaissance.Paris: Le Seuil, 1989

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von Foerster, Heinz Observing Systems EUA: Intersystems Publications, 1981

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Au Péril de la Science Paris: Le Seuil, 1982

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Voici le temps du Monde Fini Paris: Le Seuil, 1991

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L'Idéographie Dynamique Paris: La Découverte, 1991

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caos*

tartaruga

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Pousière d'Étoiles Paris: Le Seuil, 1984

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L'Heure de s'Énivrer Paris: Le Seuil, 1986

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Aux Confins de l'Univers - faut-il croire ao Big-Bang Paris: Fayard / Fondation Diderot, 1987

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Le Nouveau Management: la Décision par les Ordinateurs Paris: Economica, 1980

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Administration et Processus de Décision Paris: economica, 1983

catástrofe

Thom, René Modèles mathématiques de la Morphogenèse. Paris: Christian Bourgois, 1980

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Paraboles et catastrophes. Paris: Flammarion,1983

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Apologie du Logos Paris: Hachette, 1990

shrdll

Winograd, Terry & Flores, F L'Intelligence en Question Paris: PUF, 1990

MODELOS MATEMÁTICOS DO CAOS ( INCONCLUSOS POIS PERDI AS OUTRAS PÁGINAS, EKA!)

caos modelos matemáticos >integração numérica >310 borboletas >320 rampas de esqui > 330 ilhas periódicas, mares caóticos >340 corpos de Hill > 350 Mandelbrot >360 Lyupanov > 370 ferraduras > > >

00 objetivo Para os que se interessam em aprofundar suas pesquisas em teoria do caos aqui vão alguns modelos matemáticos. São dados e explicados diretamente pelo inventor da teoria, Ed. N. Lorentz. 01 definições Mapeamentos > equações de diferença expressam diretamente os estados futuros em termos de estados presentes; a obtenção cronológica de pontos não traz problemas . Fluxos> as equações diferenciais devem ser primeiro resolvidas. Soluções caóticas> as soluções gerais cujas soluções particulares são caóticas não podem ser comumente encontradas. As aproximações são geralmente determinadas por métodos numéricos. 02 procedimentos Há vários procedimentos para integração numérica. O esquema clássico de quarta ordem de Runge-Kutta é especialmente popular e quando usado apropriadamente pode dar excelentes resultados. integração numérica

dX/dt= F(X,Y) dY/dt= G(X,Y) Para resolver um sistema típico como este, escolha um incremento de tempo ∆t, e então, para encontrar X(t+∆t) e Y (t+∆t), quando X(t) e Y(t) são em algum instante t, faça:

conhecidos

= x(t) X1 = X0 + F ( X0,Y0 ) ∆t/2 X2 = X0 + F ( X1,Y1 ) ∆t/2 X3 = X0 + F ( X2,Y2 ) ∆ t/2 X4 = X0 + F ( X3,Y3 ) ∆t/2 X ( t + ∆t ) = ( X1 + 2 X2 + X3 - X4 ) / 3 Y ( t + ∆t ) = ( Y1 +2 Y2 + Y3 - Y4 ) / 3 X

11>

X i - 1 e Yi - 1 devem ser encontrados antes que Xi e Yi sejam avaliados...

12>

O procedimento pode ser interagido quantas vêzes se queira, com o antigo valor de

13>

t +∆ t

usado como o novo valor de

O método dá resultados bastante precisos quando ∆t

em cada interação.

é suficientemente

pequeno, mas se ∆t for muito grande acontecem coisas bizarras. Por exemplo: o sistema definido pelas equações diferenciais:

dX/dt = X - Y - X3 dY/dt = X - X2 Y tem como atrator um círculo...

Com ∆t= 0,5 o atrator calculado é difícil de ser distinguido de um círculo exato.

Com ∆t= 1,65 14

o círculo dá lugar a um atrator estranho como dobras de asas de borboletas

A aplicação de um esquema de segunda ordem de Ramge- Kutta ao mesmo conjunto de equações dá um resultado quase semelhante para o atrator, sendo:

X0 e Y0 definidos como antes e X ( t + ∆t ) = X0 + F ( X1 , Y1 ) ∆t 20 ` Geralmente desejamos interpolar entre interações. Por exemplo para construir uma seção transversal de Poincaré, podemos precisar saber o

Y no instante em que X= 0 Para 0 <c<1, uma fórmula adequada é a aproximação polinomial de quarto grau: X ( t + c∆t) = X0 +2 ( X1 - X0 ) c + 2 ( X2 - X1) c2 + 2 (X3 - 2X2 + X0 ) c3 valor de

/3( X4 + X3 - X1 - X0 ) c4 / 3 e Y ( t + c∆t ) = Y0 +2 ( Y1-Y0 ) c + 2 ( Y2 - Y1 ) c2 + 2 ( Y3 - 2Y2 + Y0 ) c3 / 3 (Y4 +Y3 -Y1 -Y0 ) c4 / 3 21 Se observarmos que X tem um zero cruzando entre t e t + Dt, podemos definir a ex pressão para X ( t +c ∆t )= 0 , solucionar a equação do quarto grau resultante para c e então avaliar Y ( t + c∆t) 22

A equação para Façamos:

é facilmente resolvida pelo método de Newton. C0= X( t ) / ( X( t ) = X ( t+∆t ),

e então, para

n = 0, 1, 2, ...,

seja

cn+1 = cn - X ( t + cn ∆t ) / D ( cn )

onde

D( c ) = 2( X1-X0 ) + 4( X2-X1 )c + 2( X3-X2+X0 )c2- 4( X4+X3-X1-X0 )c3 / 3 é a derivada da expresão para X ( t + c ∆ t ).

Quando cn + 1 ficar muito próximo de cn, pare e deixe que c = cn + 1. Para alguns fins c0 pode ser uma aproximação bastante boa para c.

Comportamentos caóticos 30

Comportamentos Caóticos 31

310

borboletas

Essas são as equações que produzem a figura em forma de borboleta, usada como exemplo de comportamento caótico.[ Cfr Loretnz: Fluxo não -periódico determinístico ]: dx/dt=σ x+σ y dy/dt=-xz+rx-y dz/dt=xy-bz

311

As 3 constantes, b, σ e r determinam o comportamento do sistema.

312

A estrutura que tem sido muitas vezes chamada de atrator , é na verdade um segmento extensivo de uma solução particular contida no atrator.

313

Para obter uma borboleta igual a do desenho 01 [anexo 1] façamos: b = 8/3, σ = 10 e r = 28 Escolha um intervalo de tempo adequado ∆t, valores iniciais apropriados de x, y e z e resolva as equações por algunsprocedimentos matemáticos apropriados, tais como o esquema da quarta ordem de Runge-Kutta. Pare após alguns milhares de passos e marque os valores de z em função dos valores correspondentes de x, omitindo os primeiros pontos se eles aprecerem representar condições transitórias.

314

Muitas vezes a borboleta tem sido desenhada com pontos sucessivos conectados por segmentos de linha, de forma que ela pareça com uma longa curva contínua. O mesmo efeito pode ser obtido com intervalos de tempo muito pequenos.

Eu originalmente encontrei a nova espécie de borboleta quando quis fazer ∆ t = 0,002, mas coloquei o ponto decimal no lugar errado. Mutações como essa podem, às vezes, produzir criaturas superiores, porém mais frequentemente produzem lixo. 315

As equações de Rössler, têm apenas um em vez de dois termos não-lineares. Os valores que usou produzem o caos. dx/dt = -y -z, dy/dt = x+α y, dz/dt= α +xz-µ z Onde α = 0,2 e µ = 5,7 [Rössler]

trenós e rampas de esqui

321

As equações para o movimento de um esqui ou de um trenó sobre uma rampa de neve são simples expressões da lei de Newton: elas igualam a aceleração com a força dividida pela massa unitária.

322

Se e

X, Y, Z forem distâncias U, V, W forem componentes de velocidade em direção ao sul, leste e para cima, respectivamente e H ( X, Y ) for a altura da rampa sobre alguma referência plana horizontal, as equações são:

323

d X / d t = U, d Y / d t = V, d Z / d t= W d U / d t= - F HX - c U, d V / d t=- F HY - c V d W / d t= - g + F - c W, Onde

324

g é a aceleração da gravidade, F é o componente vertical da força da rampa contra o esqui ou trenó c é um coeficiente de atrito e os índices denotam a diferenciação parcial.

Uma vez que segue-se que e

Z = H ( X,Y ) sobre a rampa W = H XU + H YV d W / d t = - H X( F H X+ c U ) - H Y( F H Y+ c V ) +( H X X U 2 + 2 H X Y U V + H Y Y V 2 )

Eliminando achamos e, 325

W e dW/dt F = ( g + H X X U2 + 2HX

U V + H Y Y V2 ) / ( 1+H2X+H2Y )

com este valor de F as equações para X, Y, U e Z descrevem o movimento.

No caso do esqui, c foi uma constante pré-escolhida, apesar de que, como observado antes, ela poderia ter sido proporcional a F (1 + HX2 + HY2 ) ,a força da rampa contra o esqui. No caso do trenó, U foi uma constante pré-estabelecida, e c foi escolhido para zerar d U / d t ; assim: c = FHX / U.

326

Em todos os exemplos, H = -aX - b cos ( pX ) cos ( qY ), de modo que, além de g e c ou U, os valores de a, b, p e q devem ser escolhidos antes que os cálculos possam ser efetuados. Em cada exemplo, 2 p / p = 10 metros ; 2 p / q = 4, 0 metros e α = 0,25 exceto no sistema hamiltoniano,. onde α = 0 Geralmente b = 0,5 metros, exceto em casos específicos onde b = 0,25, e na discussão da difurcação, onde b varia entre 0,0 e 0,6 metros. Sendo h = altura de um monte de neve sobre uma depressão vizinha Note-se

que

327 independente nos casos em que excluidos que são

h= 2b e que e que e que

c1 = 2 segundos, como velocidade do esqui U = 3,5 metros por segundo, para o trenó. X pode ser usado no lugar de t como variável esqui ou trenó desçam continuamente a rampa o sistema conservativo e quando ficam presos em depressão.

328 As expressões para as derivadas de Y, V e U em função do tempo, são divididas por U ( para o esqui ) Resta-nos um sistema de duas [ para o trenó ] ou três equações [ para o esqui ], com depen dência periódica da variável independente em cada caso, uma vez que cos ( pX ) e sen ( pX ) aparecem nas equações. 329

Apesar de seu comportamento geral ser caótico, há dois caminhos simples que ele pode seguir: Seguirá de perto um deles durante algum tempo, se esperarmos o tempo suficiente. Nestes caminhos o trenó se move exatamente dois metros a leste ou a oeste, para cada 5 metros que ele se desloca rampa abaixo. Em um mapeamento de Poincaré de V m função de y produzido pela observação do trenó em intervalos de cinco metros, esses caminhos aparecem como pontos fixos.

33 ilhas periódicas, mares caóticos

330

Quando um esquema de Runge-Kutta, ou qualquer outro esquema é usado para resolver um sistema de equações diferenciais, produz-se geralmente uma pequena, porém persistente, injeção ou remoção de energia, além de quaisquer aumentos ou diminuições que sejam realmente demandados pelas equações.

331

Consequências: Se o sistema for dissipativo > causa leve alteração na taxa de dissipação Se não o procedimento pode > transformá-lo em dissipativo, com propriedades de longo prazo bastante diferentes. LOGO (para evitar tal comportamento) > intervalos de tempo bem pequenos.

332

Para se explorar as numerosas ilhas periódicas que podem pontilhar um mar caótico, recomenda-se: uso de um sistema de equações de diferenças, para o qual não é necessário nenhum esquema especial de integração. ( Dados os problemas acima )

333

Um dos mais populares desses sistemas é o Mapa Padrão , proposto por Boris Chirikov, como um paradigma para os sistemas hamiltonianos. Paradigma dado em coordenadas polares por: r + 1 = r + a sen Θ n , n

Θ 334

+1 = Θ n n

+ r

n+1

O sistema mais simples ( de meu conhecimento) porém é a equação de diferenças de terceira ordem: X n+1 = Xn X n -1 - X n -2 dados tres termos sucessivos, uma única multiplicação e uma única subdivisão darão o próximo termo.

Onde,

A equação preserva a quantidade: Q = xn2 + x n-12 + x n-22 - x n x n-1 x n-2 Assim, mesmo que não possua constantes explícitas, ela efetivamente define uma família de sistemas dinâmicos - um para cada valor de Q. As superfícies de quando quando quando 335

Q constante, parecem muito com esferas, Q é próximo de zero, parecem-se muito com esferas. Q > 0 tornam-se distorcidas Q < 0 extendem-se ao infinito.

Para se observar a estrutura de um sistema: faça:

observação:

escolha um valor de Q

[ entre 1,0 e 2,0

escolha os valores de x1 e x2 trate a expressão para Q com n = 3 e resolva-a

[ não devem ser grandes ] [ como equação quadrática em x3 ] [ qualquer das duas raizes como x 3 , a outra será x 0

] Os pontos ( x n - 1 , x n ) ocuparão a projeção da superfície Q em um plano. Para evitar que o desenho do lado próximo e do lado distante se superponham, voce pode desenhar x em função de x , n

apenas quando

n-1

> x

n-2

Agora voce está apto a colher novos pontos mil vezes mais rápido do que no modelo da rampa conservativa de volume . Com alta resolução voce pode estar apto a descobrir cadeias de voltas, e cadeias de voltas ainda menores, circundando cada uma dessas voltas. E talvez descubra algo inesperado.

340

]

os tres corpos de Hill

Na forma reduzida de Hill do problema dos 3 corpos, todos os 3 corpos se movem em um mesmo plano. Um deles, o "satélite" tem uma massa desprezivelmente menor e os outros dois, os "planetas", viajam em torno do centro de massa combinado em trajetórias circulares.

341

342

Se se

m 1 e m 2 forem as massas dos planetas e ( x , y ) e ( x , y ) suas posições em sistema de coordenadas 1

cartesianas

x 12 = x 2- x1 e y 12 = y 2 - y 1 e r 1 22 = x 122 + y 122 ,

e se

As equações que regem seus movimentos são:

m 1 d2 m2 d2 m1 d2 m1 d2

x1 / dt2 = cm1 m2 x1 2 / r12 2 x2 / dt2 = - cm1 m2 x1 2 / r1 22 y1 / dt2 = cm1 m2 y12 / r122 y2 / dt2 = - cm1 m2 y12 / r122

Uma vez que os planetas se movimentam em órbitas circulares,

343

r12 é uma constante

e as unidades de massa , distância e tempo podem ser escolhidas de modo que: m1 + m2 = 1 ; r12 = 1 e c=1 assim se de forma que

de onde

d1 x12 / /dt2 = -x12

;

d2y12 / dt2 = - y12

o tempo inicial for escolhido

y12 = 0 e x12 = 0 , x12= cos t e y12 = sen t x1 = m2 cos t ; y1 = - m2 sen t x 2 = m1 cos t ; y2 = m1 cos t

334 Se se

( x , y ) for a posição do satélite r12 = ( x - x1 )2 + ( y - y1 )2

as equações que regem o movimento são:

d2 x / dt2 = - m1 ( x - x1 ) / r31 - m2 ( x - x2 ) / r32 , d2 y / dt2 = - m1 ( y - y1 ) / r31 - m2 ( y - y2 ) / r 32 345

x cos t + y sen t

[ nova coordenada ]

e Y = - x sen t + y cos t [ nova coordenada ] de forma que o satélite seja em um sistema coordenado que gira com a revolução dos planetas, com o eixo X passando sempre pelos planetas, as equações podem ser escritas: dX / dt = U ; dY / dt = V dU / dt = X+2V - m1 X / r13 - m2 X / r23 - m1m2 / r13 + r13 + m1m2 / r23 3

dV / dt = Y - 2U - m1 Y / r1 - m2 Y / r2 com

r12 = ( X + m2 )2 + Y2

r22 = ( X - m1 )2 + Y2

de modo que , apesar das equações não terem sido simplificadas pela rotação, t não mais aparece explicitamente nos termos da direita. As equações preservam o valor da integral de Jacobi : J = ( U2 + V 2 - m1 / r1 - m2 / r 2 ) / 2 e assim temos uma família de sistemas dinâmicos de 3 variáveis, uma para cada valor de J, em vez de um único sistema de 4 variáveis. Neste aspecto o sistema é semelhante ao modelo conservativo da rampa de esqui. 346

A fim de preservar J quando

r1 ou r2 se tornam muito pequenos, U ou V devem se tornar grandes,

e um procedimento de computação como o esquema de Runge-Kutta que funcionará bem quase todo o tempo poderá falhar de repente quando o satélite passar muito próximo a um dos planetas. Para se resguardar contra tal possibilidade, é aconselhável deixar que a extensão do intervalo de tempo varie passo a passo, tornando-a bem pequena quando tanto

r1 quanto r2 forem muito

pequenos. Um valor inicial negativo de J assegura-nos que o satélite não pode escapar para o infinito. Com alguns valores de

m1, m2

e J o satélite pod ficar preso nos arredores de um ou outro planeta,

enquanto que com outros valores, ele pode ficar em movimento de vai e vem entre os planetas. 347

Uma seção de Poincaré, digamos uma aonde Y = 0 e V > 0, Com os valores fixo de

produzirá um mapeamento bidimensional.

m1, m2 e J e vários conjuntos de condições iniciais, você poderá produzir

um diagrama com ilhas em um mar caótico.

350

Mandelbrot

A equação logística é mais comumente escrita sob a forma: X + 1 = AX ( 1 - X ) n

A escolha dos símbolos varia.

Para 0>A>=4 ela define uma família de mapeamentos não-reversíveis no intervalo de 0 a 1 par dentro de si mesma. É a equação mais facilmente obtenível para se estudar a bifurcação de duplicação de período, com a sequência principal iniciando com uma bifurcação do período 1 para o período 2, quando A=3 e do período 2 para o período 4 quando A = 1 + rq(=raiz quadrada) de 6 = 3,45 [ Cfra.: Devaney, Robert, Uma introdução aos sistemas caóticos dinâmicos. ] 351

Os valores de A para os quais o comportamento é periódico formam um número infinito de intervalos finitos, enquanto os valores para os aquais ele é caótico ficam entre 3,57 e 4,0 e formam um conjunto de Cantor cuja dimensão parece ser 1,0.

352

Se substituirmos e

c = A / 2 - A2 / 4 z = A ( 1 - 2X ) / 2

a equação se torna

n+1

= z

2 n

+ c que é uma outra forma conveniente.

As duas primeiras bifurcações de duplicação de período ocorrem em c = - 3 /4 e c=-5/4 i-1 Os valores ci onde ocorrem as bifurcações do período 2 até o período 2 i convergem para c

infinito

1,4012 enquanto as relações

infinito

i-1

) / (c

infinito

- ci )

convergem para 4,6692. Mitchell Feigenbaum descobriu esse número como sendo característico de bifurcações ocorrendo em uma ampla classe de mapeamentos e fluxos. Em c=-7/4 as soluções para o período 3 aparecem primeiro em uma bifurcação de nó de sela. 353

Observe que a equação é equivalente ao sistema conservativo de segunda ordem, 2 2 z =z +z -w ; W =Z n

n+1

onde não entra nenhuma constante explicitamente, mas onde z - w retém seu valor inicial. 354

Quando c e z são tomados como complexos, a equação de primeira ordem se torna: 2 2 x =x +y +a n+1

onde

c = a + ib

z = x + iy

n+1

=2x y +b n n

Essas equações geram o conjunto de Mandelbrot. O ponto ( a, b ) está no conjunto se

a sequência ( x

, yn )

partindo de ( 0 , 0 )

não se aproximam do infinito.

Diferentes cores são atribuidas a diferentes números de passos necessários para que x ou y se torne muito grande, digamos

x2 + y2 = 10 6.

Qualquer outro número grande pode ser usado, desde que ele caiba no computador, pois, uma vez que x e y tenham se tornado grandes eles aumentam com muita rapidez. A escolha das cores requer olhos mais de artista do que de matemático.

360 361

Lyupanov Independente do sistema ser dissipativo ou não , o caos ocorrerá Se λ >0 1

362

Imagine uma caixa n-dimensional que encerre o atrator. A soma λ 1+ ... + λ k dos primeiros expoentes k indica a proporção na qual o volume ( comprimento ou área se k = 1 ou k = 2 ) da projeção de um elipsóide infinitesimal sobre uma face k-dimensional da caixa continuará a crescer até quando vários pontos agora sobre o elipsóide altamente distorcido se projetem sobre o mesmo ponto, isto é, até que a projeção se dobre sobre si mesma. Ademais, se λ 1 + λ 2 < 0, a projeção sobre uma face bidimensional irá se encolher. pode-se esperar então que o atrator seja composto de um complexo de curvas, sem nenhuma superfície presente. Se λ1 + λ 2 > 0 independente de ser ou não λ 2 > 0

e se λ1 + λ 2 > 0 A área de projeção sobre uma face bidimensional continuará a crescer até que aconteça a dobradura, enquanto o volume da projeção continuará a encolher , podendo-se esperar que o atrator seja composto de um complexo de superfícies. De maneira geral, se λ 1= ...+ λ > 0 λ 1+...+ λ

k+1

o atrator deve ser composto de um complexo de variedades k-dimensionais. 363

Para se obter a dimensão fracionária de um atrator em termos dos expoentes associados de Lyupanov James Kaplan e James York propuseram uma fórmula. Se λ 1+...+λ k >=0

λ 1+...+ λ

k-1

<0 ,

implicando que

a dimensão é

d = k+( λ 1 +...+ λ k ) / | λ

<0 k+1

k+1

Em caso de alguns sistemas simples, pode-se mostrar que d = à capacidade. Para sistemas mais desenvolvidos ( em que a igualdade não pode ser estabelecida ) pode-se aceitar d como uma definção alternativa de dimensão. 364

Para o mapeamento de Poincaré do modelo do trenó, se a unidade de tempo for o tempo necessário para descer cinco metros então λ 1 = 0,72, de modo que o eixo mais longo do elipsóide duplicará exatamente após 5 metros de descida e λ 2 = -1,53 , resultando d = 1,47. Para o fluxo completo, os expoentes são: 0,72 e - 1,54 Como geralmente é o caso dos fluxos para os quais o atrator não é um ponto fixo, um dos expoentes será igual a zero.

365

Para o mapeamento de Poincaré do modelo de esqui, λ = 0,67, de forma que novamente um eixo duplica seu cumprimento em cerca de uma unidade de tempo, enquanto λ 2 = - 0,70 e λ 3 = 1,36 resultando d = 1,96 Esse valor é quase suficientemente grande para que o atrator seja composto de superficies em vez de curvas. Relembre, então, que a dimensionalidade é definida em termos de limitação do comportamento à medida que as distâncias no espaço de fase se aproximem de zero. É então mais uma medida de estrutura fina que de estrutura grossa. Geralmente pressupõe-se que o atrator seja auto-semelhante, e que a estrutura fina não seja sequer examinada. Há casos, porém em que as estruturas grossas são semelhantes e as finas diferentes. No atrator do trenó ( dos exemplos dados ) , os pontos tendem a ficar concentrados em curvas, en quanto que no do esqui tendem a se espalhar e preencher áreas.

366

Os fatores médios de longo prazo pelos quais as extensões dos eixos das elipsóides são multiplicados durante uma interação para um mapeamento, ou uma unidade de tempo para um fluxo, são chamados números de Lyupanov e seus logaritmos , expoentes de Lyupanov e denotados: λ. Isso é, se a longo prazo um eixo aumenta ou diminue tão rapidamente quanto exp ( λt ), o expoente de Lyupanov correspondente é λ . Comumente são numerados em, ordem decrescente, com λ >= ... >= λ 1

367

Tome um sistema de n variáveis. escolha um ponto e considere uma pequena esfera n-dimensional centralizada no ponto. À medida que o tempo aumenta, a esfera será deformada para um elipsóide aproximado. No limite, quando o diâmetro inicial da esfera se aproxima de zero, o tempo durante o qual a imagem permanecerá indistinguível de um elipsóide se aproximará do infinito. Os expoentes de Lyupanov são o logaritmo dos fatores médios de longo prazo pelos quais as exten sões dos eixos de elipsóides são multiplicados durante uma interação para um mapeamento, ou uma unidade de tempo para um fluxo.

370

ferraduras Variedade instável do ponto fixo. Voltemos ao trenó e a sua observação em intervalos de 5 metros, em que os pontos parecem fixos. Imagine um pequeno círculo circundando um desses pontos. Suas sucessivas imagens no mapeamento serão curvas fechadas também circundando o ponto fixo, e as primeiras imagens se parecerão com elipses. Os eixos maiores crescerão continuamente, uma vez que o ponto fixo é instável, enquanto as áreas abrangidas - e consequentemente os eixos menores - diminuirão continuamente, uma vez que o sistema é dissipativo.

A curva infinitamente longa da qual as sucessivas imagens se aproximarão cada vez mais é chamada de variedade instável do ponto fixo, e será indicada por U. Qualquer um de seus pontos é mapeado como ponto que esteja mais distante do ponto fixo quando a distância for medida ao longo de U, apesar de sua distância em linha reta ser geralmente menor. Neste mapeamento em particular, U é graficamente indistinguível do atrator. 371

Variedade estável do ponto fixo Podemos construir, da mesma forma, a variedade estável como a forma limitante de sucessivas imagens inversas do círculo. Os pontos sobre S são mapeados como pontos mais próximos do ponto fixo, e por fim suas imagens dianteiras convergem para o ponto fixo. Da mesma forma, os pontos sobre U emanam do ponto fixo,isto é, suas imagens inversas convergem para o ponto fixo. Os sistemas mais gerais a mais variáveis podem ter variedades multidimensionais estáveis e instáveis.

372

Tenha um sistema de coordenadas em que U e S intersectem-se transversalmente no ponto indicado pela letra C ( cfr anexo, 13 ). Qualquer sequência de imagens sucessivas de ambas as variedades é uma das soluções assintóticas de Poincaré. Uma vez que a sequência da qual C é um ponto, insere-se nas duas variedades, ela é duplamente assintótica, e O é um dos pontos homoclínicos de Poincaré. Aqui estamos interessados apenas nas interseções das variedades. Para analisar a significância total da homoclinicidade o mais conveniente é voltarmos para a ferradura de Smale.

373

Construa sua ferradura por si próprio: Desenhe um quadrado, onde os lados verticais fiquem nas linhas x = 0 e x = 1 e os lados horizontais nas linhas y = 0 e y = 1. 3732 Divida o quadrado em 5 secções, desenhando as linhas verticais com os valores x = 0,3; 0,4 ; 0,6; 0,7 3733 Comprima o quadrado verticalmente, dividindo a sua altura por dez, produzindo assim um retângulo alongado abaixo da figura principal 3734 Estique horizontalmente a segunda e a quarta secção - que agora devem ter-se tornado peque nos quadrados - multiplicando sua altura pelo fator igual a dez. 3735 Estique ainda mais a seção do meio 3736 Comprima as seções das extremidades 3737 Dobre a seção do meio estendida e, 3738 Encaixe, finalmente, toda a estrutura no quadrado original. 3731

O que eram a segunda e quarta faixas verticais, são agora a segunda e quarta faixas horizontais, que ficam entre as linhas y = 0,3 e 0,4 e y = 0,6 e 0,7. 374

As equações do mapeamento para aquela parte do quadrado que permanece no quadrado, que é a única parte que importará para nós, são: Se 0,3 < x < 0,4 n

então

10x - 3

( y + 3 ) / 10

0,6 < x < 0,7

então

= 10x - 6

= ( y + 6 ) / 10

n+1 n+1

375

Para o mapeamento inverso: Se

0,3 < Y

então

( x + 3 ) / 10

10y - 3

0,6 < Y

então

n+1 n+1 n

< 0,7 =

n+1 n+1

< 0,4

( x + 6 ) / 10 n

10y - 6 n

376

O mapeamento possui dois pontos fixos ( em 1/3 ,1/3 e 2/3 , 2/3 ) A variedade instável de cada ponto se estende horizontalmente, tornando-se curva quando deixa o quadrado, enquanto as variedades estáveis se estendem verticalmente.

377

Se tomarmos qualquer ponto originalmente na segunda ou na quarta seção vertical e escrevermos suas coordenadas na forma decimal, sua imagem será obtida removendo de x o dígito principal, que deve ser 3 ou 6 e juntando-o a y. Assim , por exemplo a imagem de ( 0,3207 ; 0,549 ) é ( 0,207 ; 0,3549 ) .

378

Obtem-se, também, uma imagem inversa de um ponto elegível transferindo um dígito de ypara x. Esse tipo de mapeamento, que transfere simplesmente um dígito principal e muda as posições dos outros, chama-se deslocamento de Bernouilli.

379

Os pontos ( x,y ) dos quais todas as imagens diretas e inversas estão no quadrado, são aqueles onde as expressões decimais tanto para x quanto para y contêm nada mais que 3s e 6s. Esses pontos obviamente formam um conjunto de Cantor bidimensional.

3791

Os pontos na variedade estável de O são aqueles onde há apenas um número finito de 6S na expressão para x, de modo que após um número finito de iterações diretas, todos os dígitos de x serão 3s, isto é, x = 1/3; e, depois de algumas interações diretas, cada vez mais os dígitos principais de y serão 3s, isto é, y se aproxima de 1/3.

3792

Os pontos na variedade instável de O são aqueles onde y contém apenas um número finito de 6s. Os pontos onde tanto x quanto y comtêm um número finito de 6s são, então, os pontos onde as variedades se intersectam, e há claramente um número infinito destes.

3793

Se formam

os dígitos de y precedidos pelos dígitos de x arrumados em ordem inversa, uma sequência periódica, repetindo depois de, digamos n dígitos, a enésima imagem direta ou inversa de ( x , y ), será novamente ( x,

y ), e Assim, 3794

( x, y ) estará em uma solução periódica. o número de soluções periódicas é infinito.

As sequências infinitas de 3s e 6s aleatoriamente escolhiddas, geralmente não serão periódicas, de forma que o número de soluções não-periódicas também é infinito.

3795

Estamos claramente nos deparando com o caos, pelo menos no seu sentido estrito.

3796 Podemos encontrar soluções com propriedades especiais e talvez peculiares , construindo sequências incomuns de 3s e 6s. Por exemplo, seja o enésimo dígito de x e também de y : 6, quando n é um quadrado perfeito, quando não seja o enésimo dígito de x e também de y : 6 3797

Podemos escrever expressões explícitas para os pontos sobre as variedades instáveis e estáveis e em soluções periódicas, porque o mapeamento foi linear em uma parte do quadrado. Ainda poderia ser assim se tivéssemos usado uma ferradura mais simples, onde o quadrado comprimido, estendido e dobrado, simplesmente sairia do quadrado original no lado direito, e entraria novamente no mesmo lado, apesar de que o mapeamento, neste caso, envolveria alguns intercâmbios de 3s e 6s bem como deslocamentos. O resultado qualitativo porém é topológico: ele teria permanecido inalterado por uma deformação contínua do mapeamento. Se uma ferradura tiver uma forma consideravelmente distorcida, segue-se ( ainda assim ) que o número das interseções das variedades e o número das soluçães periódicas e também não periódicas distintas será infinito.