A Base da Geometria 1. Introdução Existem indícios de que os primeiros conhecimentos de Geometria foram desenvolvidos por volta de 2000 a.C. pelos babilônios, e cerca de 1300 anos a.C. pelos egípcios, na tentativa de resolver problemas do cotidiano, como a demarcação de terras ou a construção de edifícios. No entanto, foram os gregos, por volta de 600 a.C., os primeiros a sistematizar e organizar tudo que se conhecia sobre o assunto até sua época. O principal trabalho dos gregos foi feito por Euclides, por volta de 300 a.C., que escreveu um tratado de Geometria, chamado Elementos. A preocupação central de Euclides em sua obra é a demonstração de propriedades geométricas com o auxílio da Lógica. Da mesma forma que Euclides, iniciamos este livro apresentando neste capítulo os conceitos primitivos, definições, postulados e teoremas, que serão básicos para o desenvolvimento da Geometria, aqui chamada euclidiana, em homenagem ao seu principal organizador. 2. Conceitos Primitivos, Definições e Notações Por que nem tudo pode ser definido em uma teoria? Sempre que definimos algum elemento em uma teoria, usamos, como ferramenta de linguagem, outros elementos já definidos anteriormente.
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Exemplo “Triângulo é a reunião de três segmentos consecutivos determinados por três pontos não colineares”. Essa definição só pode ser apresentada após o conhecimento dos conceitos de: reunião, segmentos consecutivos e pontos não colineares; e esses conceitos só podem ser apresentados a partir de outros, e assim por diante. Porém, essa seqüência de conceitos previamente apresentados não pode ser prolongada indefinidamente. É necessário estabelecer um ponto de partida, isto é, alguns conceitos devem ser adotados sem definição (conceitos primitivos), para que todos os demais possam ser apresentados a partir deles. São conceitos primitivos na Geometria euclidiana: • Ponto (indicado por letra maiúscula latina) Exemplos
Reta (indicada por letra minúscula latina). Exemplos
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Plano (indicado por letra minúscula grega)
Exemplos
Estar entre: um Conceito Primitivo
A noção de estar entre é um conceito primitivo que obedece às seguintes condições:
1o) Se P está entre A e B, então A, B e P são distintos dois a dois. 2o) Se P está entre A e B, então A, B e P são colineares (estão na mesma reta). 3o)Se P está entre A e B então A não está entre B e P, e B não está entre A e P. 4o) Se A e B são dois pontos distintos, então existe um ponto P que está entre A e B.
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Exemplos
Definição de Segmento de Reta
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*) constituĂda por eles e por todos os pontos que estĂŁo entre eles. Exemplo O segmento de reta determinado por A e B ĂŠ representado por đ??´đ??ľ , dizemos que A e B sĂŁo suas extremidades, e representamos por AB a medida de đ??´đ??ľ ,.
đ??´đ??ľ = đ??´, đ??ľ âˆŞ {đ?‘ƒ đ?‘ƒ đ?‘’đ?‘ĄĂĄ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ đ??´ đ?‘’ đ??ľ} (*) Para apresentarmos a teoria da Geometria de modo mais sucinto, admitiremos alguns conceitos como conhecidos, como o de figura (conjunto de pontos nĂŁo vazio).
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Segmentos Congruentes
Definição – Dois segmentos de reta sĂŁo chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade. Exemplo Os segmentos de reta đ??´đ??ľ e đ??śđ??ˇ, da figura, tĂŞm medida 4 cm, portanto sĂŁo congruentes.
Indica-se: đ??´đ??ľ ≅ đ??śđ??ˇ
DivisĂŁo de Segmento Definição 1 – Se P ĂŠ um ponto que estĂĄ entre A e B, dizemos que P đ?‘ƒđ??´ divide interiormente đ??´đ??ľ numa razĂŁođ?‘˜ = đ?‘ƒđ??ľ .
Exemplo Na figura abaixo AP = 5 cm e PB = 6 cm, entĂŁo:
đ?‘ƒđ??´
5
P divide đ??´đ??ľ na razĂŁo đ?‘˜ = đ?‘ƒđ??ľ = 6.
6
Observação No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta đ??ľđ??´ na đ?‘ƒđ??ľ 6 razĂŁo đ?‘˜â€˛ = đ?‘ƒđ??´ = 5. Definição 2 – Se A ĂŠ um ponto entre P e B, ou B ĂŠ um ponto entre A e P, dizemos que o ponto P divide exteriormente đ??´đ??ľ na razĂŁo đ?‘ƒđ??´ đ?‘˜ = đ?‘ƒđ??ľ .
Exemplo Na figura abaixo PA = 3 cm e AB = 5 cm, entĂŁo:
đ?‘ƒđ??´
3
P divide đ??´đ??ľ na razĂŁo đ?‘˜ = đ?‘ƒđ??ľ = 8. Observação No exemplo acima, o ponto P divide o segmento de reta đ??ľđ??´ na đ?‘ƒđ??ľ 8 razĂŁo đ?‘˜â€˛ = đ?‘ƒđ??´ = 3
Ponto MĂŠdio de Segmento de Reta
Definição – Ponto mĂŠdio de um segmento de reta ĂŠ o ponto que divide o segmento interiormente na razĂŁo 1. Exemplo Na figura đ??´đ?‘ƒ ≅ đ?‘ƒđ??ľ, entĂŁo P ĂŠ o ponto mĂŠdio de đ??´đ??ľ, pois P divide đ?‘ƒđ??´ đ??´đ??ľ na razĂŁo đ?‘˜ = đ?‘ƒđ??ľ = 1.
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