Determinante

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DETERMINANTES

Seja A uma matriz de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, o número obtido a partir de operaçþes entre os elementos de A.

DETERMINANTES DE 1ÂŞ ORDEM Dada a matriz quadrada de 1° ordem M= [a11], seu determinante ĂŠ o nĂşmero real a11: Det M = ď‚˝a11ď‚˝ = a11 Por exemplo: M = [5] ďƒž det M = 5 ou ď‚˝5ď‚˝ = 5 M = [-3] ďƒž det M = - 3 ou ď‚˝- 3ď‚˝ = - 3

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

DETERMINANTES DE 2ª ORDEM O determinante da matriz de 2° ordem Ê dado pelo produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundåria. Exemplo1:

đ??´=

4 2

2 3

Det A = 4.3 – 2.2 = 12 – 4 = 8

3

Exemplo2: Calcule o determinante da matriz đ??´ = đ??´=

5 1

3 2

5 1

3 2

detA = = 5.2 – 3.1 = 10 – 3 = 7

DETERMINANTES DE 3ÂŞ ORDEM

REGRA DE SARRUS A regra de Sarrus ĂŠ utilizada para calcular o determinante de matrizes de 3° ordem. É um processo bem simples, que possui o seguinte procedimento: Dada uma matriz A de 3° ordem, temos: a) Copiamos ao lado da matriz A as duas primeiras colunas. b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente os elementos das outras duas “diagonaisâ€?. c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundĂĄria de A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundĂĄria, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais, tambĂŠm trocando o sinal dos produtos. Somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c.

4

Ex.: Calcular o determinante da matriz A. 3 đ??´= 2 −1 3 det đ??´ = 2 −1

1 0 4

1 0 4

5 −2 −3

3 5 −2 2 −3 −1

1 0 4

det đ??´ = 3 ∙ 0 ∙ −2 + 1 ∙ −2 ∙ −1 + 5 ∙ 4 ∙ 2 − 5 ∙ 0 ∙ −1 + −2 ∙ 4 ∙ 3 + −3 ∙ 2 ∙ 1 det đ??´ = 0 + 2 + 20 ∙ − 0 − 24 − 6 = 22 − −30 det đ??´ = 22 + 30 = 52

PROPRIEDADES

1ÂŞ Propriedade: FILA DE ZEROS Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante serĂĄ nulo, ou seja, det M = 0. 1 Ex: Seja a matriz đ?‘€ = 0 −2 serĂĄ: det

1 đ?‘€= 0 −2

3 0 5

3 0 5

8 0 , o seu determinante −3

8 0 −3

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = 1 ∙ 0 ∙ −3 + 3 ∙ 0 ∙ −2 + 8 ∙ 5 ∙ 0 − [8 ∙ 0 ∙ −2 + 0 ∙ 5 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 ∙ 3 = 0

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2ÂŞ Propriedade: FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante serĂĄ nulo, isto ĂŠ det M=0 Seja đ??´ =

đ?‘Ž đ?‘˜đ?‘Ž

EntĂŁo det đ??´ =

đ?‘? đ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž đ?‘˜đ?‘Ž

đ?‘? = đ?‘˜đ?‘Žđ?‘? − đ?‘˜đ?‘Žđ?‘? = 0 đ?‘˜đ?‘?

Observação: Se k=1, teremos duas linhas (ou duas colunas) iguais. Logo, filas iguais representam determinante nulo

3ÂŞ Propriedade: TROCA DE FILA PARALELAS Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida serĂĄ o oposto da determinante da matriz anterior. Ex: 1 Sejam as matrizes đ??´ = 4 7

−đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;–

3 −2 6 eđ??´= 5 −9 8

1 4 7

3 6 −9

Veja que nelas estĂŁo trocadas as posiçþes da 1ÂŞ e 2ÂŞ colunas. đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = −45 − 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = −458 đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = 72 + 48 + 105 − 96 + 84 + 45 = 458

6

4ÂŞ Propriedade: MULTIPLICAĂ‡ĂƒO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE Se todos os elementos de uma linha (ou colunas) de uma matriz quadrada sĂŁo multiplicados por um mesmo nĂşmero real k, entĂŁo seu determinante fica multiplicado por k. Ex: 1 2 , se multiplicarmos a 2ÂŞ linha por 3 −2 1 2 3 obteremos a matriz đ??ľ = , agora iremos calcular 9 −6 os determinantes dessas matrizes. Seja a Matriz đ??´ =

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ

1 2 = −2 − 6 = −8 3 −2

đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘“đ?‘–đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = 3 ∙ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´

1 2 = −6 − 18 = −24 9 −6

Observação: Se uma matriz quadrada M de ordem n ĂŠ multiplicada por um nĂşmero real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto ĂŠ: det đ?‘˜đ?‘€đ?‘› = đ?‘˜ đ?‘› đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ?‘€đ?‘›

5ÂŞ Propriedade: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA O determinante de uma matriz quadrada M ĂŠ igual ao determinante da sua transposta, isto ĂŠ, detA=detAt 2 3 , −1 7 2 logo sua transposta serĂĄ đ??´đ?‘Ą = 3

Ex:Seja a matriz đ??´ =

7

−1 7

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´đ?‘Ą =

2 −1

3 = 14 + 3 = 17 7

2 3

−1 = 14 + 3 = 17 7

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´đ?‘Ą

6ÂŞ Propriedade: DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR O determinante de uma matriz triangular ĂŠ igual ao produto da diagonal principal. −1 Ex: Sejam as matrizes đ??´ = 0 seus determinantes sĂŁo: đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ =

−1 0

1 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = 2 3

1 2 eđ??ľ= 2 3 3

0 2 −1

0 0 os 3

2 = −3 + 0 = −3 3 0 2 −1

0 0 =6+0+0− 0+0+0 =6 3

7ÂŞ Propriedade: TEOREMA DE BINET Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, entĂŁo đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ??´đ??ľ = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ ∙ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ Sendo as matrizes đ??´ = đ??´âˆ™đ??ľ =

1∙2+2∙1 4∙2+3∙1

1 4

2 2 −1 e B= temos: 3 1 0 1 ∙ −1 + 2 ∙ 0 4 −1 = 4 ∙ −1 + 3 ∙ 0 11 −4

8

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ =

1 4

2 = 3 − 8 = −5 3

2 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = 1

−1 = 0 − −1 = 1 0

det đ??´đ??ľ =

4 11

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ ∙ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´đ??ľ) −5 ∙ 1 = −5

−1 = −16 − −11 = −5 −4

8ÂŞ Propriedade: TEOREMA DE JACOBI Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo nĂşmero e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, entĂŁo det A = det B Ex: đ??´=

1 4

5 â&#x;š đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = 9 − 20 = −11 9

Multiplicando a 1ÂŞ linha por (– 2 ) e somando os resultados Ă 2ÂŞ linha obtemos: đ??ľ=

1 2

5 â&#x;š đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ = −1 − 10 = −11, đ?‘œđ?‘˘ đ?‘ đ?‘’đ?‘—đ?‘Ž −1 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ − đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ľ

Vamos indicar assim: ∙ −2 ↳ +

1 4

5 1 = 9 2

9

5 = −11 −1

9ÂŞ Propriedade: DETERMINANTE DA INVERSA Se A ĂŠ uma matriz quadrada invertĂ­vel e A-1 sua inversa. EntĂŁo: 1 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´âˆ’1 = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ Seja A uma matriz quadrada com determinante nĂŁo nulo e A-1 a sua inversa, logo sabemos que: đ??´ Ă— đ??´âˆ’1 = đ??ź, desta forma det đ??´đ??´âˆ’1 = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??ź ⇒ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ ∙ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´âˆ’1 = 1 Teorema de Binet DaĂ­, ConcluĂ­mos que: đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´âˆ’1 =

1 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´

10ÂŞ Propriedade: COMBINAĂ‡ĂƒO LINEAR Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada for uma combinação linear das outras, o determinante serĂĄ nulo. −1 2 1 Ex: Veja a matriz đ??´ = −2 3 5 , observe que os 1 −1 −4 elementos da 3ÂŞ linha ĂŠ o resultado da subtração entre os elementos da 1ÂŞ com a 2ÂŞ linha. Vamos calcular o seu determinante −1 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ąđ??´ = −2 1

2 3 −1

1 5 = 12 + 10 + 2 − 3 + 16 + 5 = 0 −4

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EXERCĂ?CIOS 01.(UNITAU) Sendo B=(bij)2x2, onde, 1, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– = đ?‘— đ?‘?đ??źđ??˝ = −2đ?‘–đ?‘—, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– < đ?‘— 3đ?‘—, đ?‘ đ?‘’ đ?‘– > đ?‘— Calcule o det Bt : a) 13. b) - 25. c) 25. d) 20. e) - 10. 02. (FEI) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversĂ­veis: đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

đ?‘’

−2đ?‘Ž −3đ?‘?

2đ?‘? 3đ?‘‘

podemos afirmar que x/y vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6 03. (PUCAMP) Se A e B sĂŁo matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A ď‚š 0 e det B ď‚š 0, entĂŁo ĂŠ correto afirmar que a) B = A-1 ď‚Ž det B = det A b) B = A ď‚Ž det B = det A c) det A2 = det B2 ď‚Ž det A = det B d) det (A+B) = det A + det B e) det (3A) = 3.det A

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04. (UNESP) Considere as matrizes reais đ?‘Ľ2 đ??´= 2 đ?‘Ľ đ?‘§ 4

0 �+�

đ?‘’đ??ľ=

4 đ?‘Ś

đ?‘§ −đ?‘Ľ

Se A=Bt (transposta de B), o determinante da matriz đ?‘Ś −1 1 1 ĂŠ igual a: 5 2

a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3. 05. (UEG) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

đ?‘’

−4đ?‘Ž 5đ?‘?

−4đ?‘? 3đ?‘‘

Ê verdade que y/x Ê igual a a) 1/20 b) - 1/20 c) 20 d) – 20 e) 3/20 06. (UFSM) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B  0, então det [(1/2) . A . B-1] Ê igual a a) 1/(2n) b) 1/2 n d) [1/(2 )] . det A

c) (1/2) . det A e) 2n

07. (PUCMG) A matriz A Ê de quarta ordem, e seu determinante Ê -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x Ê: a) 11

b) 16

c) 43

d) 67

12

08. (MACKENZIE) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A-1 a sua inversa. Se 16 . det A-1 = det (2A), entĂŁo o determinante de A vale: a) 4

b) 6

c) 8

d) 2

e) 16

09. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 Ă— 3 tais que detA = 3 e detB = 4. EntĂŁo det(A Ă— 2B) ĂŠ igual a: a) 32

b) 48

c) 64

d) 80

e) 96

10. (UFES) Se A ĂŠ uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k ĂŠ um nĂşmero real tal que det(kA)=192, entĂŁo o valor de k ĂŠ a) 4

b) 8

c) 32

d) 64

e) 96

11. (FGV) A Ê uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condiçþes, det(3A) e det(A-1) valem respectivamente: a) 7 e -7 d) 63 e -7

b) 21 e 1/7 e) 63 e 1/7

c) 21 e -7

12. (UFSM) Sejam A, B e C matrizes reais 3 Ă— 3, tais que A.B=C-1 , B=2A e det C= 8. EntĂŁo o valor do |det A| ĂŠ: a) 1/16

b) 1/8

c) 1

d) 8

e) 16

13. (UNESP) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante đ??´=

1 2

−1 3 đ?‘’ đ??ľ= 4 3

o determinante da matriz A . B ĂŠ a) -1. b) 6. c) 10. d) 12.

13

2 1

e) 14.

14. (FUVEST) Se A ĂŠ uma matriz 2Ă—2 inversĂ­vel que satisfaz A2=2A, entĂŁo o determinante de A serĂĄ: a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

15. (UNIOEST) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula ĂŠ: 14 −1 28 GABARITO [1] A [2]E [3]B [4]B [10]A [11]E [12]B [13]E

32 2 đ?‘Ž

42 0 84

[5]D [6]A [7]A [14]E [15]64

14

[8]D [9] E

15

16

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