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Exercícios sobre MATRIZES
01. (UFC) O valor 2.A2 + 4.B2, quando as matrizes A e B são conforme vistas na figura a seguir, é igual a:
02. (CESUPA) Aproveitando o recesso do mês de julho, o CESUPA pretende alterar parte do sistema de refrigeração em 3 de seus prédios, num período de uma semana. Para tanto, convida 3 firmas para submeter orçamentos para o trabalho envolvido em cada um dos prédios. As propostas recebidas estão representadas na matriz abaixo:
53 96 37 A 47 87 41 60 92 36 onde aij é o orçamento em unidades de mil reais da firma i para o prédio j. Como cada firma, no período previsto de uma semana, só consegue fazer o serviço em um dos prédios, será preciso então contratar uma firma diferente para cada prédio. A contratação firma/prédio, dentre as abaixo apresentadas, que levará o CESUPA à uma despesa mínima é: a) a11, a22, a33 b) a11, a23, a32 c) a12, a23, a31 Professor Dionisio Sá
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d) a13, a22, a31 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar insetos daninhos. No entanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos por herbívoros quando eles comem as plantas que foram pulverizadas. Para determinar a quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, procedemos como segue. Suponha que temos três pesticidas e quatro plantas. Seja aij a quantidade de pesticida i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j. Esta informação pode ser representada pela matriz. 03. (BERNARD KOLMAN)
Suponha agora que temos três herbívoros, e seja bij o número de plantas do tipo i que um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação pode ser representada pela matriz:
O (i, j)-ésimo elemento de A . B fornece a quantidade de pesticida do tipo i que o animal j absorveu. Assim, se i = 2 e j = 3, então o (2, 3)-ésimo coeficiente de A. B é:
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04. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura. a) Calcule a matriz C = AB. b) Explique o significado de c23 o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
05. (UFF) Nos processos de digitalização, imagens podem ser representadas por matrizes cujos elementos são os algarismos 0 e 1. Considere que a matriz linha L = (1 0 1 0 0 1) representa a figura P, onde 1 representa "quadrinho" escuro e 0 representa "quadrinho" branco. Seja X a matriz linha dada por X = LM, onde M é a matriz M = (mij) com
1, se i j 7 mij 0, se i j 7 Dessa forma, a matriz X representa a figura da opção: Professor Dionisio Sá
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06. (PUCMG) Considere as matrizes de elementos reais
Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que o produto dos elementos de A é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 07. (PUCRS) O valor de x + y, para que o produto das matrizes
seja a matriz nula, é a) - 1 b) 0 c) 1 d) 2 Professor Dionisio Sá
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e) 4 08. (UFU) Por recomendação médica, João está cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades fornecidas na seguinte tabela (fig. 1). De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de vitamina B. Considere nesta dieta: x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas. y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
09. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é a) -23 b) -11 Professor Dionisio Sá
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c) -1 d) 11 e) 23 10. (UEL) Dadas as matrizes A = (aij)3x2‚, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é: a) Igual ao elemento c12 b) Igual ao produto de a23 por b23 c) O inverso do elemento c32 d) Igual à soma de a12 com b11 e) Igual ao produto de a21 por b13 11. (FGV) A e B são matrizes e A t é a matriz transposta de A. Se
então a matriz At . B será nula para: a) x + y = -3 b) x . y = 2 c) x/y = -4 d) x . y2 = -1 e) y/x = -8 12. (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferência para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências: Professor Dionisio Sá
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para i · j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j; para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i.
Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. ( ) Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1. ( ) Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2. (
) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.
(
) O total de alunos transferidos é 69.
(
) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.
13. A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.
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Determine: a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação. 14. (UFSM) Outra medida no sentido de desafogar o trânsito é o planejamento na construção de edifícios públicos. O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2, e C3, com as respectivas populações de alunos e as distâncias entre eles, em quilômetros. Deseja-se construir uma escola em um desses bairros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível. A matriz X que representa as distâncias entre as localidades é dada por X = [dij] onde dij é a distância entre Ci e Cj, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3.
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A seqüência correta é a) V - V - V. b) V - F - V. c) F - V - F. d) V - V - F. e) F - F - V. 15. (PUCMG) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:
16. (UFF) Alessandra, Joana e Sônia vendem saladas prontas, contendo porções de tomate, pimentão e repolho. A matriz M
fornece o número de porções de
tomates, pimentões e repolhos usados na composição das saladas. A matriz N fornece, em real, o custo das saladas:
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Sabendo-se que o determinante de M é não-nulo, obtém-se a matriz que fornece, em real, o custo de cada porção de tomate, pimentão e repolho, efetuando-se a operação: a) MN
b) NM-1
c) MN-1
e) N-1M
d) M-1N
17. (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6cal, 143,9mg de vitamina C e 93mg de cálcio.
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Considerando que as matrizes inversas de A e B são A-1 e B-1, o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, é determinado pelas seguintes operações: a) B . A-1 . C c) A-1 . B-1 . C
b) C . A-1 . B d) B-1 . A-1 . C
18. (MACKENZIE) Sejam as matrizes a seguir
Se C = A.B, então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258 Professor Dionisio Sá
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19. (PUCCAMP) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5g de A, 8g de B e 10g de C e o Luciax é fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de
GABARITO 1- B 2- A 3- 174 4- (Feita sala) 5- B 6- C 7- D 8- C 9- C Professor Dionisio Sá
em
10- E 11- D 12- V V F V F 13- a) Na 2ª medição do 4º dia
b) 37,3 oC D D A A
141516171819- D 20- B
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