Matemática Fina NÚMEROS BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL
Introdução Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 4 Se quisermos calcular a b , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3).(a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo n geral, obter o desenvolvimento da potência a b a partir da anterior, ou seja, de
a bn1 .
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso. Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal. Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais (n p) , chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número
n , que indicamos por p!n p !
n (lê p
se: n sobre p). Podemos escrever:
n n (n, p e n p) p p!n p ! O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:
n C n, p p
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
n
n!
n
n!
n!
1 Se p=n temos: n n! n n ! n! 0! n.n 1!
Se p=1 temos: n 1 1! n 1! 1.n 1!
n
n!
n!
Se p=0 temos: 1 0 0! n 0! 1. n! Números Binomiais Complementares Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados de complementares quando a soma dos denominadores for igual ao numerador. Assim, são exemplos de números binomiais complementares:
9
9
a) e , pois 4+5=9 4 5
12 e 10
12 , pois 10+2=12 2
n
n
b)
, pois p n p n c) e p n p Propriedade Dois números binomiais complementares são iguais:
n n p n p Exemplos:
9 9 2 7
14 14 8 6
Obs: Dois números binomiais que possuam o mesmo numerador são iguais quando os seus denominadores são iguais ou quando eles são números binomiais complementares.
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina Triângulo de Pascal: A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela abaixo, recebe o nome de Triângulo de Pascal Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesa linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna. 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 . . . n 0
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 . . . n 1
2 2 3 2 4 2 5 2 . . . n 2
3 3 4 3 5 3 . . . n 3
4 4 5 4 . . . n 4
5 5 . . . n 5
. .. .
n n
3 3 3 3
Por exemplo, os números binomiais , , e 0 1 2 3
estão numa mesma
1 2 3 4 n linha e os números binomiais , , , , ..., estão numa mesma coluna. 1 1 2 3 1 Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina Propriedades do triângulo de Pascal
n
1ª) Como 1 , todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1. 0
n
2ª) Como 1 , o último elemento de cada linha é igual a 1. n
3ª) A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado abaixo do segundo elemento somado. Observe os passos: Essa propriedade é chamada relação de Stifel, e pode ser generalizada por:
n 1 n 1 n p 1 p p
4ª) Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.
De fato, esses binomiais são complementares.
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina 5ª) Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é
.
6ª) Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo
7ª) Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina Exercícios: 1- Simplifique as expressões a)
7!9! 6!8!
b)
2n 2! 2n ! n
n!
2- Lembrando que : p !n p ! p
6
a) Calcule 4
12 4 Simplifique a fração 12 5
b)
n n n p p 1 p 2 c) Determine os inteiros n e p de modo que 1 2 3
n! n 2 1 3- Sabendo que an , calcule: n 1! a) a10 b) a1990 4- Ache o conjunto solução da equação:
n 1! 1 n 1! 4n m 2 6 m 4
5- Determine m na igualdade 6- Resolva as equações:
9 9 3x 2 2 x 1
a)
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina 11 11 2 x 3 x 1
b)
7- Calcule p, p>3, sendo dado:
p 1 p 1 2 3 5 3 p p 1 2 1
n n 1
n 2
e , n , nesta ordem, estão em 8- Os números binomiais , 0 1 2 progressão aritmética. Calcule n 9- Calcule p na equação:
14 14 3 p p 6
10- Calcule E, sendo E =
11- Calcule 12- Resolver a equação: 13- Resolver a equação:
14- Resolver a equação:
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina 15- Determine as somas indicadas:
16- Calcule
17- Calcule
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá
Matemática Fina
Números Binomiais e Triângulo de Pascal - Professor Dionisio Sá