A Base da Geometria
Álgebra - Produtos Notáveis Introdução Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.
O quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = (a + b).(a + b) (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Daí, concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto o primeiro com o segundo termo mais o quadrado do segundo termo
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Veja alguns exemplos: (2x +9)2 = (2x)2 + 2.(2x).(9) + 92 = 4x2 + 36x + 81 (x +3x2)2 = (x)2 + 2.(x).(3x2) + (3x2)2 = x2 + 6x3 + 9x4
O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 = (a –b).(a – b) (a – b)2 = a2 – ab + ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 DaĂ, concluĂmos que o quadrado da soma de dois termos ĂŠ igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto o primeiro com o segundo termo mais o quadrado do segundo termo Veja alguns exemplos: (3a – ab)2 = (3a)2 – 2.(3a).(ab) + (ab)2 = 9a2 + 6a2b + a2b2 1 đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Ľ
2
1 1 = đ?‘Ľ − 2. đ?‘Ľ. + đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2
2
= đ?‘Ľ2 − 2 +
3
1 đ?‘Ľ2
O produto da soma pela diferença de dois termos
(x + y).(x – y) = x2 – xy + xy – y2 (x + y).(x – y) = x2 – y2 Daí, concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Veja alguns exemplos: (2a – 3b).(2a + 3b) = (2a)2 – (3b)2 = 4a2 – 9b2 (ab2 + a2b).(a2b – ab2) = (a2b + ab2) .(a2b – ab2) = (a2b )2 – (ab2)2 = a4b2 – a2b4
O produto da forma (x+p).(x+q) Sendo dois números reais p e q temos: (x + p).(x + q) = x2 + px + qx + pq (x + p).(x + q) = x2 + (p + q)x + pq fazendo S = p + q (Soma dos números p e q) e P = pq (Produto dos números p e q), teremos: (x + p).(x + q) = x2 + Sx + P
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Veja alguns exemplos: (x + 3).(x +4) = x2 + (3 + 4)x + 3.4 = x2 + 7x +12 (x – 3).(x +6) = x2 + (– 3 + 6)x +(– 3).6 = x2 – 3x – 18
O Cubo da soma de dois termos
(x + y)3 = (x + y).(x + y)2 (x + y)3 = (x + y).(x2 + 2xy + y2) (x + y)3 = x3 +2x2y +xy2 + x2y + 2xy2 + y3 (x + y)3 = x3 +3x2y + 3xy2 + y3 O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo termo mais três vezes o produto do primeiro com o quadrado o segundo termo mais o cubo do segundo termo. Veja o exemplo: (2a + b)3 = (2a)3 + 3.(2a)2.b +3.(2a).b2 + b3 = 8a3+ 12a2b + 6ab2 +b3
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O cubo da diferença de dois termos (x – y)3 = (x – y).(x – y)2 (x –y)3 = (x – y).(x2 – 2xy + y2) (x – y)3 = x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo termo mais três vezes o produto do primeiro com o quadrado o segundo termo menos o cubo do segundo termo. Veja o exemplo: (a – 3b)3 = (a)3 – 3.(a)2.3b +3.(a).(3b)2 – b3 = a3 – 9a2b + 27ab2 – 27b3
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