MÓDULO 1: NÚMEROS REALES Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.1 Expresiones Algebraicas
6
1.2 Términos semejantes
7
1.3 Tipos de Expresiones Algebraicas:
7
• Enteras y Polinómicas.
7
• Racionales
8
• Radicales
9
• Combinadas
9
1.4 Operaciones con Expresiones Algebraicas • Adición de Polinomios • Sustracción de Polinomios • Multiplicación de Polinomios • División de Polinomios 1.5 Productos Notables
9 10 11 11 14 15 19
Programa de Apoyo Didáctico Ma atemáttica MO OTIVAC CIÓN
¿ ¿Para q qué las expresio e ones alg gebraic cas? A Ahora, ¿có ómo ayuda ar a calcular la edad del anciano?
Justificcación El programa de Repa aso Mate emático ess de suma impo ortancia para el apre endizaje; el mismo va a a contribuir a mejorar su proc ceso de form mación y log grar así, una educac ción adecua ada a sus intereses y necesidades. Está á concebido como un proc ceso dinámic co que no es un fin f en sí mismo, m sino un eslab bón que le es permittirá alcan nzar nuevass metas en el marc co integral del desarro ollo de una u experiencia educattiva nove edosa. Asim mismo, este programa tiene e como norte el afian nzamiento, desarrollo de cono ocimientos y habilidad des en el e área de matemática, m las cuale es serán reforzadas en n la búsq queda de la excelen ncia acad démica.
Veam mos cuantaas frases componen esa expressión: ‐ El doble de mi edad. Si la edad la represeentamos po or X, el doble serría 2X ‐ Lee quitas. Esto nos ind dica que deebemos reestarle ‐ ‐ El triple. serría 3 por ‐ Laa edad quee tenía hacce 40 años. Si la edad d actual es X entonces la edad hace e cuarentaa años es quitarle a laa actual, cuarrenta. X ‐ 4 40 ‐ Obtendrás O mi edad acctual. Eso ees igual al vvalor de X.. Finalmente: El doble de mi edad
Le quitas
El triple
2 por X
menos
3 por
La edad qu ue tenía hacee 40 años X menos 4 40
Obten ndrás mi ed dad actu ual Iguall a X
2X – 3(X ‐ 40) = = X 2X – 3X + 120 = X
Por aplica ación de la a distributtiva
3 ( X – 40 ) = 3X - 3 . 40 - X + 120 = X 120 = X + X
120 = 2X X = 120/2 ento onces
Como 2X – 3X = -X Pasamos –X al otro o extrem mo (pasa positivo)
Hacem mos X + X = 2X Pasamo os el 2 qu ue está multiplicando a dividir X = 60 que es la eda ad del anciano
Objetivo
Instrucciones
Aplicar las operaciones matemáticas que se presentan entre expresiones algebraicas en los números reales.
Queremos facilitarle la mayor comprensión de los contenidos tratados, para ello te recomendamos lo siguiente:
Para el logro de este objetivo se contemplan los siguientes temas:
• Realiza la lectura del tema presentado y analiza cada paso cumplido para solucionar los ejercicios. No continúes al paso siguiente si no has comprendido el previo. Para esto tienes varias opciones de ayuda.
Contenido Números Reales y Expresiones Algebraicas • El conjunto de los Números Reales. • Terminología. • Tipos de expresiones algebraicas. • Operaciones con expresiones algebraicas. • Productos Notables‐ • Factorización.
• Familiarízate con toda la información que se te presenta en esta página y no ignore ningún aspecto. • Tenga claro lo que se aspira lograr con cada tema y los conocimientos previos que el mismo exige.
• Descarga la lectura que complementa el tema y léela con carácter analítico. • Resuelve nuevamente cada ejemplo por tu cuenta y compara los resultados. • A medida que estés resolviendo los ejemplos, analiza el procedimiento aplicado en cada paso. • Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados. • Intercambia ideas, procedimientos y soluciones con otros estudiantes.
CONOCIMIENTOS PREVIOS Prerrequisitos Números Enteros: ‐ Operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación) ‐ Suma algebraica. ‐ Ley de los signos. Números Racionales: ‐ Adición con igual y diferente denominador. ‐ Multiplicación. ‐ Divisón.
Comprobación Una expresión algebraica puede venir dada de la siguiente forma:
· Para resolver una expresión de este tipo debemos dominar: 1) Leyes de la potenciación, observamos que existen tres casos en este ejercicio: ‐
(x ⋅ 3x 2 ) 2 En este caso debemos aplicar potencia de un producto.
‐
(x )2 (3x 2 )2 Ahora
necesitamos aplicar potencia de
una potencia. ‐
También nos queda un producto de potencias de igual base y a la vez aplicamos la propiedad asociativa de la multiplicación: x 2 ⋅ 9 x 4
2) Por otra parte debemos saber aplicar la propiedad distributiva entre: x(9x6 − 9 3) Finalmente es necesario conocer los racionales para resolver el cociente:
9
9 3
con el que podemos simplificar parte de las x
1-
Instrucciiones
VER RIFICACIÓ ÓN
Veriffique el dom minio de loss prerrrequisitos.
Cu uál es el resultado r a al calcularr:
Resuelve cada uno u de loss siguieentes planteamientoss hacieendo clic en n la opción n correecta.
1) – 8 + 3
2) – 2 – 5
3)
a)
11
b)
-5 5
a)
-7
b)
7
c)
-11 1
d)
11 1
c)
3
d) -33
8 . (-3) )
a)
24
b))
-24
c)
5
d))
-5
Llevaa control en tu cuaderno o sobree los resultados de cadaa ejercicio.
4) (--4) · (-7)
Resuélvelo manuaalmente antess de daar la respuestaa.
a)
11
b)
-28
a)
6
b)
9
a)
16
b))
-16
c)
-3
d)
28 8
c)
8
d)
5
c)
64
d))
-64
5) 23
7) -4 43
-82
6)
8) 53 · 54
(x · y)3
9)
a)
64
b)
-6 64
a)
51
b)
57
a)
x3y3
b))
3xy
c)
-12 2
d)
12 2
c)
512
d)
55
c)
x3y
d))
xy3
10) (x3)5
12 2)
11)
a)
15x x
b)
X8
a)
Y3
b)
Y7
c)
X15
d)
X2
c)
Y10
d)
Y17
14)
13) a)
4 0
b)
4 18
a)
b))
6 7
6 14
15 5)
a) 114 1 12
b) 13 12
a)
c)
d)
c)
b))
6 5
4 7
Verifica las respuestas en la págiina 27
c)
9 45 5
16) a)
d)
4 9
221 4
5 1
3 10
d))
3x(1+2x x)
4x + 5x
b)
3 + 2x2
c)
3 3x + 6x2
d)
9x x2
11 10
DESARROLLO Expresiones Algebraicas Concepto: Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Un ejemplo de expresión algebraica es:
4
6
Está compuesta por términos Variable de un término: es aquella (letra) sobre la cual se define el término o expresión algebraica e indica que su valor va variando. Exponente: Es el número que se encuentra en la parte superior derecha de la variable. Signo: Es el que precede al término, puede ser positivo (+) o negativo (-), si éste no aparece, el signo del término es positivo. Coeficiente: Es el factor que acompaña a la parte variable, y su valor no cambia, es constante.
y cada término consta de: Variable
-
4x2
Signo
Exponente Coeficiente
Términos semejantes Son términos cuya parte variable son iguales y además tienen Son términos semejantes ya que todos
el mismo exponente. Observa los siguientes ejemplos:
contienen
a) 3x2 , 5x2 , 1/2x2 , -4x2
Son términos semejantes ya que todos
b) 3xy, 2xy, -(3/4)xy
contienen No son términos semejantes ya que
c) X2 y , 3xy2
Son términos semejantes ya que todos contienen
d)
4x2y
3x2y
X+y
X+y
Son términos semejantes ya que todos contienen √3
9
e) √3
9 , 5√3
9
Es de suma importancia reconocer términos semejantes cuando se quiere reducir una expresión algebraica, ya que estos pueden sumarse (o restarse) y, por consiguiente reducirla. Si dos o más términos no son semejantes, éstos no pueden sumarse ni restarse. También es de utilidad para calcular el mínimo común denominador entre expresiones racionales.
Ejemplo 1: Observe que los términos son semejantes ya 2 que todos contienen x , El primer término (
P(x) = x2 – 2x2 + 5x2
) tiene como coeficiente
1, el coeficiente del segundo término es el del tercero es
Reducir la expresión algebraica
P(x) = ( 1 - 2 + 5 ) x2
2y
5. Se agrupan estos sacando
como factor común la variable
P(x) = 4x2
El resultado de la suma de los coeficientes 1
2
5 es 4.
Observe que contiene dos grupos de términos y otro con
semejantes, uno con
Agrupamos los términos que contienen aparte los que contienen
.
Ejemplo 2:
Reducir la expresión algebraica.
P(x) = 5x2 – xy + 2xy – 3x2 y
.
Agrupamos los coeficientes de los términos semejantes y los sumamos para obtener dos
= (5x – 3x) + (-xy + 2xy) = (5 – 3)x + (-1 + 2)xy = 2x2 + xy
términos como resultado.
Tipos de Expresiones Algebraicas:
ENTERAS O POLINÓMICAS
Se definen como toda expresión algebraica en donde las potencias son números enteros positivos. 2 3 2 Ejemplo: 3 x + 5 y , 4 x y ,
2 ( z + x) 3 b 3
Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en: 2 Monomios, cuando consta de un solo término, por ejemplo: 3 x ,
Polinomio, cuando consta de más de un término, como: también se llama binomio por tener dos términos. también se llama trinomio por tener tres términos.
2 2 a b 3
Características de los Polinomios P ( x ) = x5 − 5x 4 + 3x3 + x 2 − x + 6 P ( x ) es de grado 5.
1- Todo polinomio es una expresión algebraica. 2- El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable.
En P ( x ) es 6.
el término independiente
Los términos dependientes de P ( x ) son
, 5
,3
,
,
3- Los términos de un polinomio se clasifican en: Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Término Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable.
Así, el polinomio: P ( x ) = es completo con respecto a su variable x , porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo (0), ( 6 = 6 x 0 ).
Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos los exponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. 4- Polinomio ordenado, cuando los exponentes de la variable están en orden ascendente o descendente.
Ejercicio 5 4 6 2 Determinar las características del polinomio P ( y ) = 2 y − 4 y + 2 y + 3 y . 5 4 6 2 a) Términos dependientes: 2 y , − 4 y , 2 y , 3 y
b) Variable: y c) Grado: 6 5 4 6 2 3 d) Coeficientes: 2 (de y ), -4 (de y ), 2 (de y ), 3 (de y ), 0 (de y ), 0 (de y )
e) Término independiente: 0 f) Polinomio Ordenado: No 3 g) Polinomio Completo: No, (los coeficientes, de y y de y , son iguales a cero.
Ejercicio Determinar las características del polinomio P ( x ) =
a) Términos dependientes: b) Variable:
2 3 x , 3
−
4 2 x , 5
2x ;
x.
e)Término independiente: F)
c) Grado: 3; d) Coeficientes:
2 3 4 2 3 x − x + 2x + . 3 5 4
Polinomio Ordenado: Si
g) Polinomio Completo: Si 2 4 (de x3), − (de x2), 2 (de x), 3 5
3 4
Tipos de Expresiones Algebraicas:
RACIONALES
Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferente de cero. 4x 2 + y 5y + x
5y3 , Ejemplos: 7 xy + y 2
Tipos de Expresiones Algebraicas:
RADICALES
Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz. Ejemplos:
5
3 x 2 + 2 x , 53 y 2 + 3 ,
Tipos de Expresiones Algebraicas: Son
2 2 z +y 3
COMBINADAS
expresiones
algebraicas
que
contienen
expresiones
racionales y/o radicales. Ejemplos:
3x 5 + 5 x 3 + 9 ; 2x 2 4
y2 + 3 +
5x ; 1− x
4 x3 − 3x 2 + 1 + x3 − 4 y 2 + 5 x+3
x2 +
3x3 + 5 ; 2x + 1
enteras,
Operaciones con Expresiones Algebraicas VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Calcular el valor numérico de una expresión algebraica consiste en sustituir la variable por un valor específico y realizar las operaciones indicadas para hallar un valor real. Ejemplo 1: Hallar
Sea P(x) = 2x + 4
el valor numérico de P(x) para x=2 .
Solución: En
donde
sustituimos por
esté
X
la
2.
Como 2x = 2.(x) = 2.2 = 4 Respuesta:
Ejemplo 2:
Sea Q(y) = y5 – 3y4 + 5y3 + 7y2 – 5y + 4 ,
Hallar el valor numérico de Q(y) para y = -1. Solución: Sustituimos el valor de x por -1 en toda la expresión. Como la potencia de un número negativo elevado a exponente par es positiva y si el exponente es impar, es negativa: Efectuando los productos y teniendo en cuenta la ley de los signos (signos iguales el producto es positivo y si signos diferentes el producto es negativo)
Q(-1) = (-1)5 - 3 (-1)4 + 5 (-1)3 + 7 (-1)2 - 5 (-1) + 4
Q(-1) = -1 - 3(1) + 5(-1) + 7(-1) - 5(-1) + 4 Como: - 3.( 1 ) = - 3 7 . (- 1 ) = -7
Resolvemos la suma algebraica agrupando positivos
Q(-1) = -1 - 3 - 5 +7 + 5 + 4
por un lado y negativos por el otro.
Como: -1 - 3 - 5 = - 9
Finalmente los sumamos tomando en cuenta que signos diferentes se restan y el resultado conserva el signo del mayor.
7 + 5 + 4 = 16 Q(-1) = - 9 + 16 Respuesta: Q(-1) = 7
5 . (- 1 ) = - 5 -5 . (- 1 ) = 5
Observemos ahora un ejemplo donde se trabaje con dos variables a la vez.
Ejemplo 3:
Sea P ( x , y ) =
x 2 + 2 xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2
Hallar el valor numérico de P ( x , y ) para x = 3 , y = 2 Solución: Sustituimos los valores de x = 3 y y = 2 en la expresión P(x,y).
,
. . . .
Resolvemos las potencias y el producto indicado.
,
Efectuamos la suma algebraica
, , Respuesta:
P(3,2) = 25
Adición de Polinomios Ejemplo 4:
Dados y
, hallar P(x) + Q(x)
Escribimos los polinomios en orden descendente
Solución:
Los ordenamos uno bajo el otro haciendo coincidir los términos semejantes.
Agrupamos los términos semejantes de acuerdo al símbolo y el coeficiente: • - 5 + 2 = - 3 (signos diferentes, se resta y conserva el signo del mayor) • x – 3x = - 2x (como el coeficiente del primer término es +1 y el del segundo es 3,entonces +1 – 3 = - 2 y se copia la misma variable x). 2 2 2 • - 2 x + 4 x = 2 x . (porque – 2 + 4 = 2). 2 • El 3 x queda igual.
Sustracción de Polinomios En la sustracción de polinomios se puede utilizar el mismo método que en la adición, pero procederemos de manera lineal.
Ejemplo 5:
Dados los siguientes polinomios 2
, y . Hallar P(x) – Q(x)
Recuerde un dato importante: el menos (-) que indica la sustracción afecta a todo el polinomio Q(x).
P(x) – Q(x) =
2
-
P(x) – Q(x) =
2
-
P(x) – Q(x) =
2
Observe que todos los signos de los términos de Q(x) cambian porque:
Ahora agrupamos los términos semejantes (recuerde que esto ocurre si tienen la misma variable con el mismo exponente) Se realizan las operaciones indicadas entre los coeficientes de los términos semejantes:
2
P(x) – Q(x) = .
.
1 2
2
Entonces: P(x) – Q(x) =
Multiplicación de Polinomios Multiplique (2x3) por (4x4-2x2+x-2)
Ejemplo 6: Se multiplica (2x3) por cada uno de los
=[(2x3).(4x)]4 + [(2x3).(-2x)2] + [(2x3).(x)] + [(2x3).(-2)]
términos del polinomio. En cada término multiplicamos los coeficientes y multiplicamos las variables. Se debe estar pendiente de los signos (+·+=+ / + · - = - / - · + = - / - · - = +)
=(2.4).(x3.x4)+(2.(-2)).(x3.x2)+(2.1).(x3.x)+(2.(-2)).x3
Cuando multiplicamos potencias de igual
=(8).(x3+4)+(-4).(x3+2)+(2).(x3+1)+(-4).x3
base, se copia la misma base y se suman los exponentes.
=(8).(x7)+(-4).(x5)+(2).(x4)+(-4).x3 Solución: (2x3)·(4x4-2x2+x-2) = 8x - 4x5 + 2x4 - 4x3
Ordenamos un polinomio bajo el otro como lo hacemos con una multiplicación regular. Se multiplica el último término del multiplicador (5) por cada término del multiplicando: + 5 · ( - 2 ) = - 10 + 5 · 3 x = 15 x + 5 · 4 x2 = 20x2 Hacemos lo mismo con el otro término del multiplicador, ordenando los productos debajo de su término semejante: + 2x · ( - 2 ) = - 4x + 2x · (+3 x) = 6 x2 + 2x · (+ 4 x2) = 8x3 Y finalmente agrupamos los términos semejantes sumando o restando según sus signos.
Ejemplo 7: Dados los polinomios P(x)=4x2+3x-2 y Q(x)=2x+5, hallar P(x) · Q(x). Solución: 4x2 + 3x – 2
Multiplicando Multiplicador
2x + 5 2
20x + 15x – 10 3
8x + 6x2 – 4x 8x3 + 26x2 + 11x - 10 Solución: P(x) · Q(x)=
8x3 + 26x2 + 11x - 10
Ejemplo 8: Dados los polinomios 2
3
y
Lo resolveremos aplicando la propiedad distributiva, es decir, multiplicamos cada término de P(x) por Q(x).
hallar: P8x) · Q(x)
Resolvemos separado:
Aplicamos la propiedad distributiva multiplicando cada término de
cada
producto
por
Indicamos el producto de los polinomios de la siguiente manera: 2
P(x) por Q(x):
3
3
.
3
2
I
II
3 III
Cada producto indicado nos representa otra propiedad distributiva Multiplicamos los coeficientes y las variables también. Como:
que resolveremos por separado: . 3
3
I)
Ahora efectuando el producto:
como el producto de potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes:: por
otra
coeficientes
parte y
. 3
agrupamos
befectuamos
3
el 3
producto de fracciones:
5
entonces
igualmente, juntamos coeficientes: 2
1 4
2
II) 2
3
1 4
• Completamos y multiplicamos fracciones y aplicamos producto de potencias de igual base: • Simplificando nos queda………… En el otro término sólo multiplicamos los coeficientes 2 · 3
2
2
2 1 1 4
2 4 1 2
III)
.
3
. 3
y 3 10
Así nos queda:
los
tres
subproductos: • Agrupamos términos semejantes: Efectuando la suma de fracciones indicada:
6
. 3
dos productos de fracciones:
uniendo
Así la segunda parte nos queda
Para la tercera parte resolvemos los
• Ahora
3
18 5
5 12
5
1 2
5 12
1 2
6
5 12
1 2
63 10
3 10
6
18 5 18 5
3 10
5
7 5
Solución: 5 12
1 2
63 10
7 5
Ahora resolveremos un producto donde se utilicen dos variables:
Multiplique P(xy)=(4xy2) por Q(xy)=(xy-
Ejemplo 9: 2xy2+3y3+x3)
Ordenamos el polinomio considerando la variable y.
Q(xy)
Q(xy)=(xy-2xy2+3y3+x3)
=
(3y3-2xy2+xy+x3)
Indicamos el productoAplicamos la propiedad distributiva multiplicando (4xy2) por cada término de Q(xy).
P(xy) · Q(xy)=(4xy2) · (3y3-2xy2+x2y+x3) = (4xy2)( 3y3) + (4xy2)(-2xy2) + (4xy2)( x2y) + (4xy2)(x3) Observe como efectuar el producto en cada término:
Multiplicamos coeficiente con coeficiente, variable y con variable y, variable x con variable x (en este caso está sólo una vez)
(4xy2)( 3y3) = (4·3)·(x)·(y2·y3) = 12
x
y2+3 = 12 x y5
Hacemos lo mismo con los otros términos: (4xy2)(-2xy2)=(4 · (-2)) · (x · x) · (y2 · y2) =(-8) · (x1+1) · (y2+2) = -8 x2 y4
En el tercer término
(4xy2)( x2y)=(4·1) · (x·x2) · (y2·y) =(4) · (x1+2) · (y2+1) = 4 x3 y3
Y en el último
(4xy2)(x3)= )=(4·1) · (x·x3) · (y2) =(4) · (x1+3) · (y2) = 4 x4 y2 Uniendo los cuatro productos obtenemos: P(xy) · Q(xy)= 12 x y5 - 8 x2 y4 + 4 x3 y3 + 4 x4 y2
División de Polinomios Sea P(x)=12x5-10x4+4x3
Ejemplo 10:
y
2
Q(x)=2x
Hallar P(x) ÷ Q(x) Solución: Cuando el Divisor (denominador) es un monomio, se separa la fracción original en tres fracciones con igual denominador, y obtenemos:
Como:
Agrupamos coeficientes y variables. Efectuamos la operación: 12 ÷ 2 = 6, y X5 ÷ x2 = x5-2 = x3 Hacemos lo mismo con los demás términos.
Ahora procedemos a calcular cada cociente por separado:
= (6)(x3) = 6x3
5
5
2
2
2
Uniendo todos los cocientes, nos queda: 6
Tanto el dividendo como el divisor deben
3
5
Ejemplo 11:
2
Hallar
ordenarse y completarse, antes de comenzar Completamos con el coeficiente CERO los
la división.
términos que faltan, como es en este caso x4 y el término independiente. Dividimos 4x5 entre 2x usando el procedimiento de los ejercicios anteriores 2
4
0 2
6 1
3
y colocamos este valor en el Lo escribimos en forma de división y
cociente Multiplicamos ese cociente (2x4) por el divisor (2x-1)
procedemos a dividir:
0
(2x4) · (2x-1) = 4x5 – 2x4
y lo colocamos bajo el dividendo, cambiando el signo del resultado: - 4x5 + 2x4
4x 5+ 0x4 - x3 + 6x2 - 3x + 0
2x – 1
- 4x5 + 2x4
Sumamos verticalmente, observe que el primer término 4x 5 se repite con diferente signo por lo que al sumarlo, el resultado es cero (0).
2x4
2x4- x3 + 6x2 - 3x + 0
El resultado obtenido 2x4 se denomina residuo parcial, bajamos los demás términos al lado de este: Repetimos el mismo procedimiento, ahora dividiendo 2x4 ÷ 2x = x3 Colocamos este nuevo cociente a la derecha del cociente anterior. Multiplicamos el último cociente por el divisor: (x3) · (2x-1) = 2x4 – x3 Cambiamos los signos de este producto y lo colocamos debajo del dividendo haciendo coincidir los términos semejantes para sumar. Ahora dividimos 6x2 entre 2x 6x2 ÷ 2x = 3x Lo ubicamos a la derecha de los cocientes anteriores, multiplicamos por 2x-1 (3x) · (2x – 1) = 6x2 – 3x Le cambiamos signos y ubicamos debajo del dividendo para sumar o restar.
4x 5+ 0x4 - x3 + 6x2 - 3x + 0 5
2x4 + x3
- 4x + 2x
2x4- x3 + 6x2 - 3x + 0 - 2x4+ x3 0
4x 5+ 0x4 - x3 + 6x2 - 3x + 0 5
2x – 1 2x4 + x3 + 3x
4
- 4x + 2x
2x4- x3 + 6x2 - 3x + 0 - 2x4+ x3 6x2 - 3x + 0 -6x2 + 3x 0
4 Y ASÍ EL COCIENTE ES:
2x – 1
4
2
6 1
3
2 4
x3
3x
PROD DUCTOS S NOTA ABLES Dentro de las operacionees elementtales, com mo la adiciión, la multip plicación, lla potencia ación, entree otras, ap plicables en n todas las ra amas de llas matem máticas, a través de propiedad des de compo osición bieen definid das, se deerivan pro ocedimiento os que permiiten simpllificar con n mayor facilidad las opera aciones
indica adas. Procedimientos ccomo el Pr roducto o notab ble y la Fa actoriza ación soon herramiientas muyy prácticas ppara la agiliza ación en la búsqueda de un resulltado concrreto.
El
h hombre,
en
su u
inme ensa nece esidad de e organizarse socie edad,
en n poco
(55+3)2=52+2·(5·3)+32 = 25+30+ +9
un n
Si see realiza la multiiplicación aplicando o la prop piedad
simbólico s o de e
distrib butiva, quee es el procceso norma al, el procedimiento se s hace más la argo; obserrva:
las s
(5+3)2= =(5+3)·(5+ +3)=(5·5)+ +(5·3)+(3·55)+(3·3)
imple ementan ndo que
le
siirvió
instr rumento
en
activ vidades
= 25+155+15+9=225+30+9
cotid dianas, ta anto para a comu unicarse para
como o
dema arcar
y
estab blecer no ormas de e conv vivencia.
notable, pero sse puede ejemplificar e r un ejerccicio para hacer sencilllas demosttraciones, d de la siguien nte manera a:
fue e
poco o, lengu uaje
a
Cuand do se realiiza un producto nota able se esttá aplicand do una multip plicación, p pero se hacce de una fforma direccta reducieendo la operación a un n mínimo de pasos posibles, por ejemp plo en aritmé ética no es e muy frecuente enccontrarse con c un pro oducto
Ahora a bien, si trrabajamos dentro del álgebra, el mismo prroducto notable puede ap plicarse de la siguientte manera:
(3x + 5y)2 = (3xx + 5y)· (3xx + 5y) = (3xx)·(3x) + (3x)·(5y) ( + (5y)·(3x) + (5y)·(5y)) 2 = (3xx) + 2·(3xx · 5y) + (55y)2 = 9xx2 + 30xy + 25y2
EL L CUADRAD DO DE UNA SUMA DE D DOS TÉRMIINOS Necesitamos con nocer el áreea del cuadrado.
Ejemp plo 12: Supó óngase que tenemos un na región d de forma cuaadrada, cuyas dimensionees son las siguientes: d de largo y d de ancho miide x+7 unidad des. Sabem mos que parra calcular eel área de un n cuadrado,, sólo tenem mos que multip plicar lo quee mide de an ncho por lo que mide d de largo, Es decir:
Área d del Cuadrad do = Larrgo x Ancho o Área = (Lado) 2 x+7
x+7
Enton nces; aplicam mos la fórm mula: Área = (x + 7)· (x + 7)= (x + 7)2 Ancho ·· largo Si apliicamos la prropiedad distributiva n nos quedaríaa: (x + 7)) . (x + 7) = xx2 + x.7 + 7.xx + 72 = x2 + 2(7.x)+ 72 Luego o: Área = = (x + 7)2 Desarrrollamos essta potenciaa de la siguieente manera: (x + 7 7)2 = x2 + 2(7.x)+ 72
49 Simplificando el rresultado, teenemos quee: ( x + 7) 2 = x 2 + 14x + 4 De estta manera o obtenemos eel área de laa región cuaadrada: Área
= x 2 + 14 x + 49
Ejemp plo 13: Vam mos a desarrrollar el Prroducto Nottable: (5+y) y)2 El resultado r o es un n polin nomio de tre es térm minos: “E EL prime er térm mino al cuadrado c o, más el do oble de el prod ducto de el prime er térm mino por p e el segu undo, m más e el segu undo tér rmino al a cuad drado”
(5 + y)2 = (5)2 + (2)··(5).y + (y))2
Cuaadrado del 1err Término
El Doblee del producto: del 1er término por el 2do términ no
Simp plificando queda: q
(5 + y) y 2 =25 +110y +y2
Cuadrado del 2do Término
EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS
Se resuelve de la misma forma que el caso del cuadrado de la suma de dos términos; sólo que para desarrollar este caso hay que tomar en cuenta el signo de los términos.
Ejemplo 14: (x – 3)2 (x – 3)2=(x – 3)·(x – 3)
El
cuadrado
de
una
diferencia es igual a: El cuadrado
del
primer
término, menos el doble producto del primero por el
segundo,
más
cuadrado del segundo
el
=(x)·(x)+(x)·(3)+(3)·(x)+(3)·(3) = x2 – 3x – 3x + 32 = x2 – 6x + 32
EL PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN
Ejemplo 15: Tenemos una región de forma rectangular cuyas
Se necesita conocer el
dimensiones ya conocemos:
área de la región.
Sabemos que el área de x−5
X 5
x+7 un rectángulo se calcula
multiplicando lo que
X + 7
mide de largo por el
Entonces:
ancho.
Desarrollamos este producto de la siguiente manera:
El resultado de este
(x + 7)·(x – 5) = x2 +x·(75)+7·(5)
producto notable es un
trinomio: “El término
común al cuadrado más
Simplificando el resultado, queda:
el producto del término
(x + 7) · (x – 5) = x2 + x(‐2) – 35
común con la suma
= x2 ‐ 2x – 35
algebraica
de
los
Área = (x + 7)·(x – 5)
Término Común
Términos no comunes
Cuadradi del Término común
Término común por la suma de términos no comunes
Producto de términos no comunes
Trinomio
términos no comunes
De esta manera se obtiene el área de la región rectangular:
más el producto de los
Área = x2 ‐ 2x – 35
términos no comunes”.
Ejemplo 16: Desarrolla el producto: (3x – 9) · (3x + 2)
Como:
(3x – 9) · (3x + 2)= (3x)2 + (3x)·(9 + 2) + (9) · 2
(3x)2 = 3x · 3x = 9x2 (3x)·(9+2)=(3x)·(7) = 21x
Término Común
Términos no comunes
y;
(‐9) · 2 = ‐18
Entonces …………………
(3x – 9) · (3x + 2)= 9x2 – 21x 18
El producto de los términos no comunes
Producto del término común con la
suma de los no comunes El cuadrado del término común
LA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA
Ejemplo17: Se conocen las dimensiones de una región rectangular:
x ‐ 6
x + 6
Área = (x + 6) · (x – 6)
Se necesita conocer el
Para desarrollar este producto procedemos de la siguiente forma:
área de la región.
(x + 6) · (x – 6) = x2 ‐ 62
Sabemos que el área x − de 5
x+7
un rectángulo se calcula
multiplicando
lo
que
Suma
Largo = x + 6 y Ancho = x 6
Diferencia
do
er
1 Término al cuadrado
mide de largo por el
Luego:
ancho.
El área de la región rectangular es: x 2 − 6 2
2 Término al cuadrado
LA CUBO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS Ejemplo 18:
x +5
Se debe determinar el volumen de un
tanque que tiene forma de cubo, conociendo sus dimensiones:
x +5 Largo = x + 5, Para
hallar
Ancho = x + 5
y Alto = x + 5
el
volumen de un cubo
Como las tres medidas son iguales entonces
aplicamos
Volumen = (Lado)3
la
fórmula: Volumen = Largo x
Entonces: Volumen = (x + 5)3
Ancho x Alto Por Ley de Potenciación: Esto por ley potenciación
(x + 5)·(x + 5)·(x + 5) = (x + 5)3
de Luego:
Volumen = (x + 5)3 Para desarrollar esta potencia procedemos así: (x + 5)3 = (x + 5)2 . (x + 5) como ya sabemos calcular el Esto multiplicación polinomios
por de
resultado
producto primer triple
de
notable
polinomio:
“El
término, del
este es
un
cubo
del
más
producto
el
el
segundo
término,
más el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el
cubo
término”.
del
= (x2 + 10.x + 25) . (x + 5)
(x + 5)3 = x3 + 15.x2 + 75.x + 125 (x + 5)3 = x3 + 3 . 5. x2 + 3. 52.x + 53 Triple
(x + 5)3 =
Primer Término
x3 + 3· (x2 · 5) + 3·(x · 52) + 53
Segundo Término
Primer Término
Segundo Término
del
primer término al cuadrado, por
(x + 5)3
(x + 5)3 = x3 + 5.x2 + 10.x2 + 50.x + 25.x + 125
Esto por agrupación de términos semejantes El
cuadrado de una suma, tenemos que:
segundo
Luego; efectuando las operaciones en cada término: 3· (x2 · 5) = 15 x2 3·(x · 52) = 3 · x · 25 = 75x De esta manera tenemos que: (x + 5)3 =
x3 + 15 x2 + 75x + 125
53 = 5 · 5 · 5 = 125
Ejemplo 19:
Desarrollar el producto notable: (2x + 1)3
Si aplicamos el procedimiento anterior;
El cubo del primer término……………………….(2x)
Obtenemos: Como:
segundo
(2x)3=(2x)·(2x)·(2x)=8 x3 3·(2x)2 ·1=3·4x2·1=12x2 2
3·2x·1 =3·2x·1=6x Y,
3
1 =1·1·1=1
3
El triple del producto del primer término al cuadrado por el cuadrado
por
término…………………………………………….
el
segundo
2
3 · (2x) · 1
El triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo………………………………………………. 3 · 2x · 12 El cubo del segundo término…………… 13 (2x + 1)3= (2x)3 + 3 · (2x)2 · 1 + 3 · 2x · 12 + 13 Luego, el polinomio se reduce a: (2x + 1)3= 8x3 + 12x2 + 6x + 1
LA CUBO DE LA A DIFER RENCIA DE DOS S TÉRMINOS E CUBO DE LA DI EL IFERENCIA DE DO OS TÉRMI INOS Se desarrolla a aplicand do el mis smo proc cedimiento o de “el cubo de la su uma de dos términ nos”, sólo que en e este caso se debe d toma ar en cuen nta el signo de los términos. Ejem mplo 17: Desarrollla el pro oducto no otable: (Y – 2 2)3 Primer Término
En
resumen,
obte enemos
como
resu ultado: El cubo del prim mer
término,
men nos el triple t del prod ducto
del
Efec ctuando
las
operraciones
cuadrado segundo, cubo
del
térm mino.
el
= −8
el del
m menos
en
* 3⋅ (y)⋅ ( −2 ) 2 = 3y⋅ ( 4 )
* ( −2 )3 = ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 )
por
término o
* 3⋅ (y)2 ⋅ ( 2 ) = −6y 2
por el segun ndo, más primero
cada
* (yy)3 = y 3
= 12 y
del
de
resu ultado:
cuadrado dell primero el triple t del producto
Segundo Término
el
Lueg go de efe ectuar las s operacio ones en cada térm mino, el polin nomio resultante es s:
segundo
(y − 2 ) 3 = y 3 − 6yy 2 +12 y − 8
VERIFICACIÓN Cuál es el resultado al calcular: 1- b
2– a
Signos diferentes se restan y se coloca el signo de la cantidad de mayor valor absoluto.
Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo.
4- d 4 · 7 = 28 y -·-=+ entonces = 28
5- c 2 =2·2·2=8
7- c -4 =(-4)·(-4)·(-4) Como 4 · 4 · 4 = 64 y 3
-
·
-
·
-
=
-
entonces es -64 10-
c
Potencia de una potencia, se multiplican los exponentes.
13-
d
La resta de fracciones de igual denominador se copia el mismo denominador y se restan los numeradores.
16)
3
8- b
b
Cociente de potencias se restan los exponentes dejando la misma base.
14-
6- c -8 = (-8) · (-8) Como 8 · 8 = 64 Y-·-=+ Entonces es 64 2
9- a
Producto de potencias de igual base se copia la misma base y se suman los exponentes.
11-
3- b 8 · 3 = 24 y +·-=entonces = -24
b
Un método es usar como denominador el producto de los denominadores y como numerador la diferencia de las multiplicaciones en cruz.
Potencia de un producto el exponente de cada factor se multiplica por el índice de la potencia.
12-
a
La suma de fracciones de igual denominador se copia el mismo denominador y se suman los numeradores.
15-
c
En el producto de fracciones se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.
c
Se aplica la propiedad distributiva: el 3x se multiplica por 1 y el 3x se multiplica también por 2x.