3.- ECUACIONES Resolver problemas donde se determine su solu ción por medio de ecuaciones en el conjunto de los números reales
3.1-
Ecuación: Definiciones preliminares, Clases de Ecuaciones, Solución de una ecuación, Tipos de Ecuaciones, Ecuaciones Lineales, Ecuaciones Racionales y Resolución de problemas.
3.2-
Ecuación de 2do. Grado: Solución y Aplicaciones directas.
3.3-
Ecuación Radical: Definición y Solución.
3.4-
Ecuación con Valor Absoluto: Definición, Propiedades y Solución.
26
3.5-
Sistema de Ecuaciones. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.
2 16 23
Ecuaciones
Progr rama de Ap poyo Didáct D tico Mattemátiicas
EC CUA ACIO ONE ES MOT TIVACIIÓN
Mu uchas situaciiones de nueestro entorn no profesional, la‐
borral o cotidiano, presentaan relacioness entre diferrentes
vallores, los cuaales pueden expresarse p por medio d de una
fórrmula, expressión o ecuaciión. Algunas veces, esta rrepre‐
sen ntación perm mite facilitar la comprenssión de la missma y ofrrece la posibiilidad de darle una respu uesta. En nuestro casso nos ocupaaremos de problemas o situa‐ cio ones simples y necesitarremos manejar eficientem mente un conjunto dee herramienttas fundamentales de lass apli‐ cacciones matem máticas, las cuales nos permiten p ob btener
unaa solución paarticular de lla misma.
Con nsideremos la siguientee situación (con ( los núm meros quee utilizamos para contarr): se trata deel juego o accertijo
Ecuaciones
“Piensa un número”:
1‐ Piensa un número
2‐ Multiplícalo por 2 3‐ Agrégale a lo obtenido 5 4‐ Multiplica el resultado anterior por 5 5‐ Súmale 10 a la cantidad obtenida 6‐ Multiplica el nuevo resultado por 10 7‐ Dime el resultado y te daré el número que pensaste ¿Cómo funciona el truco? Para ver qué hay detrás de este acertijo, basta transfor‐ mar las frases anteriores en su equivalente simbólico; es decir, construir las expresiones matemáticas que las re‐ presentan. Lo primero que haremos es simbolizar el número desco‐ nocido (el que piensa nuestro adversario) con una letra.
“R” es el resultado que nos dan. Una
Pongamos por caso n. A continuación convertimos todas
vez escogido n el valor R queda
las instrucciones a expresiones matemáticas:
determinado por las operaciones especificadas mediante la fórmula; R se denomina variable depen diente en razón de que su valor depende del valor n. La variable n es el número pen‐
R(n)=100n + 350 Esta dependencia se indica por R(n) y es lo que en ma‐ temática se denomina una función.
sado. Como la variable n es de
Tomado con fines instruccionales:
libre escogencia, ella se llama va
Fundación Polar. El Mundo de la Matemática. Fascículo 6.
riable independiente.
Ecuaciones, pp.56. Caracas: Últimas Noticias.
Ecuaciones
Objetivo Resolver
INSTRUCCIONES:
problemas
donde se determine su solución por medio de ecuaciones en el con junto de los números reales Para el logro de este objeti‐ vo se contemplan los si‐ guientes temas: Contenido Terminología: Definición, igualdad, variable, grado de una ecuación. Solución de una ecuación: Lineal, Cuadrática, Radical, Valor absoluto.
Queremos facilitarle la mayor comprensión de los contenidos tratados, para ello te recomendamos lo siguiente: • Familiarízate con toda la información que se te presenta en esta página y no ignore ningún aspecto. • Tenga claro lo que se aspira lograr con cada tema y los conocimientos previos que el mismo exige. • Realiza la lectura del tema presentado y analiza cada paso cumplido para solucionar los ejercicios. No continúes al paso siguiente si no has comprendido el previo. • Resuelve nuevamente cada ejemplo por tu cuenta y compara los resultados. • A medida que estés resolviendo los ejemplos, analiza el procedimiento aplicado en cada paso. • Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentados. • Intercambia ideas, procedimientos y soluciones con otros estudiantes. • Puedes acceder a uno de los temas, haciendo link en el título.
Planteamiento y resolu ción de problemas.
Ecuaciones
CONOCIMIENTOS PREVIOS Pre requisitos Números Racionales Operaciones
con
números fraccionarios: Adición
‐
y
sustracción
Comprobación Vamos a resolver las siguientes expresiones : 5 x 5 3x − 2⎛⎜ x − 4 ⎞⎟ + 4⎛⎜ − ⎞⎟ , i. ⎝4 ⎠ ⎝ 3 6⎠ Aplicamos la propiedad distributiva a los términos que están entre paréntesis:
con
3x −
igual o diferente denominador, Multiplicación
‐
división número
de
y un
entero
10 4 20 x +8+ x − 4 3 6 ,
Simplificamos aquellas fracciones no simples. 5 4 10 3x − x + 8 + x − 2 3 3 , Ahora agrupamos términos semejantes: ⎛ 3x − 5 x + 4 x ⎞ + ⎛ 8 − 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 ⎠ 2 3 ⎠ ⎝ ⎝
por un número fraccionado.
18x − 15x + 8 x ⎛ 24 − 10 ⎞ +⎜ ⎟⇒ 6 ⎝ 3 ⎠
11 14 x+ 6 3
Expresiones Algebrai ii.
cas: ‐
Términos semejan‐ tes
‐
Agrupación de términos semejan‐ tes, para sumar y restar.
8 3⎞ ⎛ 3 8 5⎞ ⎛4 2⎜ x − y + ⎟ + 5⎜ x + y − ⎟ , 3 8⎠ ⎝ 2 5 3⎠ ⎝5
Aplicamos la propiedad distributiva a los términos que están entre paréntesis: 8 16 6 15 40 25 x− y+ + x+ y− 5 3 8 2 5 3 ,
Simplificamos aquellas fracciones no simples: 8 16 3 15 25 x − y + + x +8y − 5 3 4 2 3 , Ahora agrupamos términos semejantes y resolvemos: ⎛ 8 x + 15 x ⎞ + ⎛ 8 y − 16 y ⎞ + ⎛ 3 − 25 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠ ⎝5 ⎛16x + 75x ⎞ + ⎛ 24y −16y ⎞ + ⎛ 9 − 25⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 10 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎛ 91x ⎞ + ⎛ 8 y ⎞ + ⎛ −16⎞ = 91x + 8 y − 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 10 3 3
Ecuaciones
DESARROLLO
ECUACIONES: Definiciones Preliminares Una de las grandes diferencias entre Ecuación e Identidad, es que las identidades se demues tran, mientras que las ecuacio nes se resuelven.
Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos: 5 = 3 + 2 ; a = b ‐ c; 3x + 7 = 16. Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valo‐ res particulares de las variables contenidas en ellas. Ejemplos: a) 8x + 9 = 25 b) t 2 − 9t + 1 = t + 3 c) x + y = 2 y − 5 . Identidad: es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables. Así tenemos por ejemplo que estas son identidades: ( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 Producto notable
Sen 2α + Cos 2α = 1
la trigonometría
− 3(2 x + 1) = −6 x − 3
Identidad fundamental de
Propiedad Distributiva
Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor desconocemos y generalmente se denotan por las últimas letras del alfabeto x, y , z , w, etc.
Ecuaciones Miembros de una ecuación: son las dos expresio‐ nes algebraicas que forman la ecuación. El primer miembro está al lado izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se encuentra al lado derecho. Así la ecuación:
8 x + 9 = 25
Lado izquierdo
Lado Derecho
Clases de Ecuaciones:
•
Ecuación Numérica: es una ecuación donde las
únicas letras son las variables o incógnitas.
Así tenemos que 8x + 9 = 25 , y 2 − y − 3 = 1 son
ecuaciones numéricas. •
de las incógnitas tiene otras letras, llamadas
parámetros, que representan cantidades cono‐
En esta unidad trataremos estas ecuaciones pero de una variable.
Ecuación literal: Es una ecuación que además
cidas. Así las ecuaciones: ax 2 + bx + c = 0 , ax + dy = c + b son ecuaciones literales donde los parámetros son a, b, c, d y x es la variable.
Solución o Raíz de una Ecuación:
En este caso se dice que x = 2 es
Son los valores que atribuidos o sustituidos en las
la solución o raíz de la ecuación.
variables o incógnitas, producen una igualdad entre
Si le damos a la variable x un va‐
los dos miembros de la ecuación. Así para:
lor diferente de 2, la igualdad no
8 x + 9 = 25 , el valor de x = 2 hace la ecuación ver‐
se cumple.
dadera, es decir, se cumple la igualdad:
8(2) + 9 = 16 + 9 = 25 .
Ecuaciones
Resolución de una Ecuación
Resolver una ecuación, consiste
Es hallar la o las soluciones o raíces que satisfacen la
en hallar el valor de la incógnita
ecuación. A continuación vamos a enunciar las reglas
de tal manera que, al sustituirla
básicas para resolver una ecuación.
en la ecuación, se cumpla la
Regla 1: Si a los dos miembros de una ecuación se le
igualdad. Para hacer esto, utili‐ zamos el proceso descrito a la derecha de este texto.
suma o resta una misma cantidad (positiva o negativa), la igualdad no se altera. Regla 2: Si los dos miembros de una ecuación se multi‐ plican o se dividen por una misma cantidad diferente de cero ( positiva o negativa), la igualdad no se altera.
Regla 3: Si los dos miembros de una ecuación se elevan
a una misma potencia, la igualdad no se altera. Regla 4: Si los dos miembros de una ecuación se le ex‐ trae una misma raíz, la igualdad no se altera. Regla 5: Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro, cambiándole el signo. Esta regla se llama transposición de términos.
Cambio de Signo en una Ecuación: Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, pues equivale a multiplicar los dos lados o miembros de la ecuación por (‐1). Así la ecuación: 5 x − 3 = 8 es equivalente a: (−1)(5 x − 3) = (−1)8 , es decir , la ecua‐ ción 5 x − 3 = 8 es equivalente a la ecuación
− 5 x + 3 = −8 Tipos de ecuaciones: Los tipos de ecuaciones de uso más frecuente son: a) Polinomiales: las cuales pueden ser de una o varias variables. El grado del polinomio representa el grado de la
Ecuaciones ecuación, este es el mayor exponente que tiene la incógnita. Por ejemplo:
2 x − 18 = 0 es de primer grado ( x )
( ) + 2 y − y − 2 = 0 es de tercer grado ( y ) − 4 = 0 es de cuarto grado (n )
x 2 − 4 x + 3 = 0 es de segundo grado x 2
y3 n4
3
2
4
b) Racionales: son aquellas que contienen expre‐ siones algebraicas racionales, tales como: b.1.‐
x−2 x−4 = ; x+2 x+4
3x 2 + 4x = 2x b.2.‐ 5x − 3 c) Radicales: son aquellas ecuaciones que tienen la variable o incógnita dentro de una o más expresio‐ nes radicales, también son llamadas ecuaciones ra‐ dicales. Así, tenemos: c.1.‐
x+7 +
x −1 = 2
x+2
c.2.‐ 3 5x2 + 1 = x + 3
d) Ecuaciones con Valor Absoluto: son aquellas ecuaciones donde las variables o incógnitas están dentro de un valor absoluto, tales como:
2 d.1.‐ 3x − 1 = 5 x + 4 d.2.‐ 5x3 − 3 − = 0 3
Ecuaciones El objetivo es despejar la incógni‐ ta “x”, hasta encontrar el valor de dicha incógnita.
Ecuaciones Lineales: Ejemplo 1. : Resuelva la ecuación 2 x + 3 = 0 , y simplifica el resultado si es posible. 2 x + 3 = 0
2x = 0 − 3
2 x = −3
−3 x= 2
Pasamos el 3 para el otro lado de la ecuación restando y resolve mos el lado derecho
Pasamos el factor 2 que está multiplicando para el otro lado de la ecuación dividien
Respuesta: la solución de 2 x + 3 = 0 es x = − Ejemplo 2. Resuelva la ecuación
Llevamos la ecuación a la forma general. Como es una ecuación
igual a cero.
7x − 2 = 0 , 4
y simplifica el resultado si es posible. ⇒ 7x − 2 = 0 ⇒ 7x = 0 + 2 ⇒ x =
racional igualada a cero, ésta se cumple sólo si el numerador es
3 2
Respuesta: La solución de
2 7
7x − 2 2 = 0 es x = . 4 7
Ejemplo 3. : Resuelva la ecuación
Observa que el denominador 3
8x − 3 5 = 3 x − , y simplifique el resultado si 2 3
en el lado derecho no puede pa‐
es posible.
sar a multiplicar al lado izquierdo
8x − 3 5 8 x − 3 3x 5 = 3x − ⇒ = − 2 1 3 2 3
porque no es denominador de todos los términos. Por eso te sugerimos sacar el m.c.m. de am‐ bos lados de la ecuación y resol‐ ver.
3.(8x − 3) 6 ⋅ 3x − 2 ⋅ 5 = ⇒ 24 x − 9 = 18x − 10 6 6 Respuesta: La solución de 1 x=− 6
8x − 3 5 = 3x − es 2 3
Ecuaciones
Ecuaciones Racionales:
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación
Ambos lados de la igualdad tie‐
5 7 , = 2x + 1 2x −1
y simplifica el resultado si es posible.
nen una fracción, por lo tanto,
5 7 = 2x + 1 2x − 1
pasamos lo que está dividiendo en un lado a multiplicar en el
⇒ 5 ( 2 x − 1) = 7 ( 2 x + 1)
otro lado
10 x − 5 = 14 x + 7 ⇒ 10 x − 14 x = 7 + 5
10 x − 14 x = 7 + 5 ⇒ −4 x = 12 ⇒ x =
12 −4
Finalmente simplificamos 12/‐4 = ‐3 Respuesta: La solución de
5 7 es = 2x + 1 2x −1
x = −3 ax 2 = 3ax − , y 2 3 simplifica el resultado si es posible.
Puedes observar que en este ejem‐
Ejemplo 5.
plo se presenta una ecuación literal de primer grado. Para resolverla, aplicaremos las mismas reglas que usamos en las ecuaciones numéricas de los ejemplos anteriores. Para despejar la variable x de la ecuación, debemos tomar en cuenta que el coeficiente del mismo 15a, pasa para el otro lado de la ecuación dividiendo, por lo tanto, el literal a tiene que ser diferente de cero (
a ≠ 0 ).
Resuelve la ecuación
ax 2 = 3ax − 2 3 3.(ax ) 6 ⋅ 3ax − 2 ⋅ 2 Se calcula el m.c.m. ⇒ = 6 6 ⇒ 3ax = 18ax − 4 ⇒ 4 = 18ax − 3ax 4 4 ⇒ 4 = 15ax ⇒ 4 = 15ax ⇒ = x , es decir x = 15a 15a si a ≠ 0 . ax 2 Respuesta: La solución de = 3ax − es 2 3 x=
4 si a ≠ 0 15a
Ecuaciones
R Resolució ón de P Problem mas Co omo estudia ante de nivell superior, ssabemos quee eres ca apaz de enco ontrar la so olución a loss ejercicios o o pro bllemas plantteados, utillizando los procedimiientos ad decuados. N No obstante, te brindam mos aquí, alg gunas su ugerencias que q pueden servirte dee guía para a que pu uedas resolvver este tipo de problem mas o modelo os. 1. Lee “cuid dadosamentee” el enuncciado del prroble ma. 2. Vuelve a leer el enu unciado tan ntas veces sean necesaria as, hasta comprender p perfectamente los datos quee ofrece el problema p y lo que te piden p encontrarr. 3. De ser neccesario, acosstúmbrate a a realizar un n bosquejo d de la situaciión plantead da, en forma a gráfica o een un planteeamiento inicial 4. Identifica con varia ables (letrass) los dattos e incógnitass del problem ma. 5. Ubica los datos del en nunciado y relaciónaloss ma temáticam mente mediante ecuaciiones o fórm mulas (algunos datos o fórrmulas no se s dan en forma f explícita en e los problemas, se su upone que debes d conocerla as. Ej.: área,, volumen, velocidad, v a acele ración gra avitacional, etc.). 6. Resuelve llas ecuacion nes para obttener un ressulta do. Utiliza a el método correspond diente. en estte ca so, ecuación de primeer grado. 7. Verifica que el resulta ado obtenido o en el paso 6, correspon nda a las preemisas y solluciones del pro blema 8. Analiza sii la respuestta es razonable. 9. Responde exactamente lo que te han solicitado
Ecuaciones
Ejemplo 6. Un hombre de 1,92 mts. de altura
camina hacia un poste de luz que mide 6,4
m. de altura. ¿Cuál es la longitud de la som
bra del hombre en el piso, cuando él está a
3,5 m. de distancia del poste?
Hacemos una representación
gráfica de la situación
Hemos llamado x a la longitud de la sombra del
hombre.
Observamos que los triángulos Δ LOP y Δ AOB son
triángulos semejantes, esto implica que sus lados
son proporcionales, es decir:
L
6,4 m
A 1,92 O
x
B
3,5 m.
P
1,92 6,4 AB LP = = , entonces x x + 3,5 OB OP despejando tenemos: 1,92( x + 3,5) = (6,4 )x ⇒ 1,92 x + 6,72 = 6,4 x 6,72 = 6,4 x − 1,92 x ⇒ 6,72 = 4,48 x
4,48x = 6,72 6,72 x= ⇒ x = 1,5 4,48
Respuesta: La sombra mide 1,5 m. cuando el hom‐ bre está a 3,5 m. del poste.
Ecuaciones
Ejemplo 7. José Luís quiere salir a cenar con su
novia Lisbeth, quien estudia en la UNEFA. Para
evitar sorpresas, ella le pregunta: "¿cuánto di‐
Damos por sentado que el estu‐
nero tienes?", y José Luis en vez de dar una
diante ha seguido los pasos 1 y 2.
respuesta directa, decide probar la habilidad
El paso 3 no es necesario, pues no
de Lisbeth y responde: "Si tuviera 50 Bs.F. más
se requiere ningún esquema
de lo que tengo y después duplicara esa canti‐
gráfico. Debemos traducir esta
dad, tendría 350 Bs.F. más de lo que tengo".
"mal intencionada" descripción
Lisbeth, después de pensarlo, decide demos‐
del problema en símbolos ma‐
trarle que sí puede calcular cuánto dinero tie‐
temáticos.
ne José Luis, con el siguiente procedimiento:
Paso 4: Identificar el objetivo del problema. Cantidad de dinero que tiene José Luis: x Paso 5: Obtener datos y relacionarlos matemática‐ mente.
Si tuviera 5Bs.F. más de lo que tengo: x + 50
y después duplicara esa cantidad: 2( x + 50 )
tendría 35 más de lo que tengo : x + 350 Paso 6: Procesamos los datos matemáticamente y resolviendo: Comprobamos lo que José Luis dice: 2( x + 50 ) y x + 350 son equivalentes. Es importante no continuar el ejercicio, si no ha comprendido la relación de estos datos. Luego, tenemos que: 2(x + 50 ) = x + 350
Ecuaciones Y resolvemos la ecuación 2( x + 50 ) = x + 350 ⇒ 2 ⋅ x + (2 ) ⋅ 50 = x + 350 2 x − x = 350 − 100 ⇒ x = 250
Es decir, la cantidad de dinero que tiene José Luis es de 250 Bs.F. Paso 7: Verificamos: Si tuviera 50 Bs.F. más de lo que tengo: 300
y después duplicara esa cantidad : 600 tendría 350 más de lo que tengo: 350 250 600 Paso 8: Analizamos el resultado. Este resultado es lógico y cumple con las condicio‐ nes del enunciado. Paso 9: Aquí tenemos la respuesta. Respuesta: José Luis tiene Bs.F. 250 lo cual él cree que es suficiente para una cena con Lisbeth .
Ecuaciones
ECU UAC CIÓN N DE SEG S GUND NDO GR RAD DO
Es una ecuacióón polinómicca cuyo graddo es dos (el mayorr exponente de d la variablle es 2). Porr ejemplo a) x 2 − 2 x + 3 = 0 1 2 1 c) x + = 2x 2 4
b) 3yy 2 − y = 2
En los ejemploos propuestoos, (a) está ordenada o e iggualadda a cero; (b)) está ordennada pero noo está igualaada a cerro; y (c) no está e ordenadaa ni igualadaa a cero. Sollución de un na ecuación de segundoo grado Parra hallar la solución s de una u ecuaciónn cuadrática (segunndo grado) es recomenndable ordeenarla en foorma desscendente e igualarla i a ceero, así tenddremos: a) x 2 − 2 x + 3 = 0 1 2 1 c) x − 2x + = 0 2 4
b) 3y 2 − y - 2 = 0
Ressolver una ecuación cuuadrática im mplica enconntrar los valores de la variable que al reem mplazarla satiisfagann la ecuación. No todass las ecuacioones cuadrátticas tiennen soluciónn dentro del conjunto de los núm meros reales; para alggunas ecuacciones la sollución pertennece al conjunto c de los númeroos imaginariios (lo cual está fueera del objetiivo de esta unidad). u
La ecuación general dee segundo grado con una incógnita, se exxpresa comoo:
axx 2 + bx + c = 0 , donnde:
Ecuaciones
“ a ” es el coeficiente de x 2 , a ≠ 0 “ b ” es el coeficiente de x “ c ” es el término independiente. La solución (si existe) de una ecuación de segundo grado, se obtiene mediante la fórmula cuadrática o resolvente:
Tenga presente que el denominador
x=
“ 2a ” divide a toda la expresión y no sólo a la raíz cuadrada.
La expresión “ b nante
2
− b ± b 2 − 4bc 2a
− 4ac ” se denomina el discrimi-
(Δ ) de la ecuación cuadrática y determina la
naturaleza de las soluciones de la ecuación. Se nos
pueden presentar tres casos: •
Si
Δ = b 2 − 4ac es positivo, la ecuación
tiene dos soluciones reales.
•
Si
Δ = b 2 − 4ac es cero, la ecuación tiene
sólo una solución real.
•
Si
Δ = b 2 − 4ac es negativo, la ecuación no
tiene solución en los números reales.
Ecuaciones
Ej Ejemplo 1.
2 x 2 + 3x − 2 = 0
Deeterminamo os los valorees de a, b y c .
Como ell discrimin nante resulltó positivo, la ecuació ón tiene dos solucionees reales.
Hallar la solución de d la ecua ación
a = 2
el signo positivo dee la raíz cu ua‐ drada. Para la 2d da. solución n tomamos el signo neggativo de laa raíz cuadrra‐ da.
c = ‐2 2
Lu uego calculaamos el valor del discrim minante: Δ = b 2 − 4ac = (3) − 4( 2)((−2) ⇒ Δ = 9 + 16 ⇒ Δ = 25 2
Reeemplazand do en la “resolvente”, tenemos: x=
Para la 1era. 1 soluciión tomamos
b = 3
− 3 ± 25 ; 2(2)
Prrimera solu ución −3+5 2 1 = = x1 = 4 4 2 Se egunda solu ución: −3−5 −8 x2 = = = −2 4 4 Laas solucionees de la ecu uación son
1 y − 2 , pues al 2
reeemplazar estos valorees en la ecuación origginal,
éstta se cumple.
Re espuesta: L Las solucion nes de 2 x 2 + 3 x − 2 = 0 son
x=
1 y x = 2 2
Ej Ejemplo 2.
5 : Resuelva a x 2 − x -1 = 0 6
Deeterminamo os los valorees de a, b y c .
a = 1 1
b=−
5 6
c = ‐1
Lu uego calculaamos el valor del discrim minante:
Ecuaciones
2
positivo, la ecuación tiene dos
25 169 ⎛ 5⎞ Δ = b − 4ac = ⎜ − ⎟ − 4(1)(−1) ⇒ Δ = +4⇒Δ= 36 36 ⎝ 6⎠
soluciones reales.
Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
2
Como el discriminante resultó
169 ⎛ −5⎞ 5 13 −⎜ ⎟± ± 36 6 ⎠ ⇒x= 6 6 x= ⎝ 2(1) 2
5 13 + 6 6 = 18 = 3 x1 = 2 12 2
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, obtenemos la primera solución
5 13 8 − − 8 2 x2 = 6 6 = 6 = − = − 2 2 12 3
Considerando el signo negativo de la raíz cuadrada, obtenemos la segunda solución.
Respuesta: Las soluciones de x 2 − x=
5 x- 1 = 0 son 6
3 2 y x = − 2 3
Ejemplo 3.
Determinamos los valores de a, b y c. Luego calculamos el valor del discri‐
Resuelve 9 x 2 + 12 x + 4 = 0 a = 9
b = 12
c = 4
Δ = b 2 − 4ac = (12 ) − 4(9)( 4) → Δ = 144 − 144 ⇒ Δ = 0 2
minante: Como el discriminante es igual a cero, la ecuación tiene
una solución real.
x=
2 − b ± b 2 − 4bc - 12 − 12 ; x = ; x = − = 2a 3 2 (9 ) 18
2 , pues al reempla‐ 3
zar este valor en la ecuación original, ésta se cum‐
ple. Compruébalo.
La solución de la ecuación es −
Ecuaciones
Ejemplo 4.
Resuelve la ecuación 2 x 2 − 3 x + 5 = 0
Determinamos los valores de a, b y c .
a = 2
b = ‐3
c = 5
Luego calculamos el valor del discriminante:
Δ = b 2 − 4ac = (− 3) − 4( 2)(5) ⇒ Δ = 9 − 40 ⇒ Δ = −31
2
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tie ne solución real. Respuesta: la ecuación 2 x 2 − 3 x + 5 = 0 , no tiene so lución en los números reales.
Aplicaciones directas de la ecuación de segundo grado La solución de una ecuación de segundo grado es una de las herramientas más útiles en matemática, pues con mucha frecuencia se presenta en ejercicios de diferente índole. En este apartado estudiaremos algunas aplicaciones directas.
Ejemplo 5.
:Factorice
la
ecuación
2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = 0 En este tipo de ecuaciones (con dos o más variables) debemos elegir una de las variables como básica y determinar su valor en función de las otras. Digamos que “ x ” es nuestra variable base, entonces reescribimos la ecuación: 2 x 2 − (5 y ) x − 3 y 2 = 0 , donde a = −2, b = −5 y c = −3 y 2
Ecuaciones
Calculamos el valor del discriminante: Δ = b 2 − 4ac = (− 5 y ) − 4( 2)(−3 y 2 ) ⇒ Δ = 25 y 2 + 24 y 2 2
⇒ Δ = 49 y 2 Como el discriminante resultó positivo, para cualquier
valor de y , la ecuación tiene dos soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
5 y ± 49 y 2 5y ± 7 y x= ⇒x= 2(2) 4 Donde x1 = x2 =
5 y + 7 y 12 y = = 3y 4 4
5y − 7 y − 2y 1 = =− y . 4 4 2
Luego las soluciones son x = 3 y y x = −
1 y . Por lo 2
tanto, la factorización queda de la siguiente forma: 1 ⎞ ⎛ 2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = 2( x − 3 y )⎜ x + y ⎟ = (x − 3 y )(2x + y ) 2 ⎠ ⎝
Respuesta: 2 x 2 − 5 xy − 3 y 2 = ( x − 3 y )(2 x + y ) De la definición del discriminante, sabe‐
Ejemplo 6.
Encuentra los valores de “ x ”, tal que
x + dx + 3 − d = 0 , tenga sólo una raíz. 2
mos que cuando b 2 − 4ac es igual a cero (0), la ecuación tiene una sola raíz. Por lo tanto, el primer paso es determinar los
Solución:
a = 1 , b = d y c = 3 − d
valores de a, b y c
Luego se sustituyen en el discriminante e iguala éste a cero.
Δ = 0 ⇒ b 2 − 4ac = 0 ⇒ (d ) − 4 (1)(3 − d ) = 0 2
⇒ d 2 − 4 (3 − d ) = 0 ⇒ d 2 − 12 + 4d = 0 ⇒ d 2 + 4d − 12 = 0
Resolvemos esta ecuación resultante, utilizando la fórmula cuadrática,
d 2 + 4d − 12 = 0 , donde a = 1 b = 4 c = −12
Ecuaciones Δ = b 2 − 4ac = (4 ) − 4(1)( −12) ⇒ Δ = 16 + 48 ⇒ Δ = 64
Ahora calculamos el valor del discri‐ minante
2
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tie‐ ne dos soluciones o raíces reales. Reemplazando en la “resolvente”, tenemos
d=
−4±8 − (4) ± 64 ⇒d = 2(1) 2
Considerando el signo positivo de la raíz cuadrada, ob‐ tenemos la primera solución:
d1 =
−4+8 4 = = 2 2 2
Ahora, considerando el signo negativo de la raíz cua‐ drada, obtenemos la segunda solución: − 4 − 8 − 12 d2 = = = −6 2 2 Las soluciones de la ecuación son d = 2,
d = −6 , es
decir, que los valores de “ d ” que hacen que la ecuación en
x , x 2 + dx + 3 − d = 0 tenga una sola solución, son
d = 2,
d = −6 y las ecuaciones resultantes de sustituir los
valores de d , son:
x 2 + 2 x + 1 = 0 y x 2 − 6 x + 9 = 0 .
Ecuaciones
Ecuaciones Radicales
Una ecuación radical es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo el signo radical. Son ejemplos de ecua‐ ciones radicales: 4
4 + 2. x − 2 = 2. 3
2 x +1 = 1 − 3x + 7 +
x x+6 = 0
Para resolver una ecuación radical se debe tener en cuen‐
ta lo siguiente: Si A y B son dos expresiones algebraicas,
entonces A = B es una ecuación algebraica, y su conjunto
de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación
An = Bn donde n es cualquier entero positivo.
Ejemplo 1.
Aunque la ecuación no es cuadrática, puede transformar‐
se de la siguiente manera:
Resuelva 3x − 6 = x − 2
(
Para eliminar la raíz cua‐ drada, elevamos al cuadra‐ do ambos lados de la igualdad.
3x − 6
)
2
= (x − 2 ) 2
Desarrollamos el producto notable (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 2
del lado derecho
Despejamos los valores de
3x − 6 = x 2 − 4 x + 4
x , para igualar la ecuación
0 = x 2 − 4 x + 4 − 3x + 6
a cero. Entonces nos queda
x 2 − 7 x + 10 = 0 , donde
a = 1, b = −7 y c = 10
una ecuación cuadrática.
Ahora calculamos el valor del discriminante:
Δ = b 2 − 4ac = (− 7 ) − 4(1)(10) ⇒ Δ = 49 − 40 ⇒ Δ = 9
Como el discriminante resultó positivo, la ecuación tiene
dos soluciones reales. Reemplazando en la “resolvente”,
tenemos
2
Ecuaciones Recuerda
la
fórmula
cuadrática o resolvente:
x=
x=
− b ± b 2 − 4bc 2a
− (−7) ± 9 7±3 ⇒x= 2(1) 2
Donde x1 =
7 + 3 10 = = 5 y 2 2
x2 =
7−3 4 = = 2 2 2
Como se hicieron operaciones algebraicas para convertir‐
la en una ecuación cuadrática, debemos comprobar am‐
bos valores de x en la ecuación original, por sustitución.
Para x = 5 la igualdad se cumple
3 (5) − 6 = 5 − 2 ⇒ 15 − 6 = 3 ⇒ 9 = 3
Para x = 2 la igualdad también se cumple
3(2) − 6 = 2 − 2 ⇒
0=0
(cierto)
(cierto)
Respuesta: Las soluciones de la ecuación 3x − 6 = x − 2 , son x = 5 y x = 2 . : Resuelva 5 x + 1 = 2 x + 3 + 1
Ejemplo 2.
Primero elevamos al cuadrado ambos miembros de la
igualdad, para no alterar el valor de la expresión.
(
) ( 2
5x + 1 =
)
2
2x + 3 + 1
Nuevamente, elevamos al
En el lado izquierdo de la ecuación, tenemos una raíz
cuadrado ambos miembros
cuadrada elevada al cuadrado, la cual da como resultado
de la igualdad
la expresión sub‐radical. En el lado derecho de la ecua‐
ción tenemos un binomio al cuadrado (producto notable):
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 donde a =
2 x + 3 y b = 1 .
Desarrollando, simultáneamente ambos lados de la ecua‐ ción, tenemos 5x + 1 =
(
)
2
2x + 3 + 2
(
)
2 x + 3 (1) + (1) 2
⇒ 5x + 1 = 2 x + 3 + 2 2 x + 3 + 1
Despejamos la raíz cuadrada resultante
Ecuaciones
5 x + 1 − 2 x − 3 − 1 = 2 2 x + 3 ⇒ 3x − 3 = 2 2 x + 3
(3 x − 3)2
(
)
2
= 2 2x + 3
Desarrollamos el producto notable del lado izquierdo y el
cuadrado del lado derecho.
(
)
2
(3 x ) 2 − 2(3 x )(3) + (3) 2 = (2) 2 2 x + 3 9 x 2 − 18 x + 9 = 8 x + 12 ⇒ 9 x 2 − 18 x + 9 − 8 x − 12 = 0
9 x 2 − 26 x − 3
Ahora la ecuación puede resolverse mediante la fórmula
cuadrática, donde: a = 9 , b = −26 y c = −3
− b ± b 2 − 4ac − (− 26) ± x= = 2a
=
Comprueba que ambos
valores de x son solución
=
de la ecuación original.
5 x + 1 = 2 x + 3 + 1 .
26 ± 784 18 =
26 ± 28 18
(− 26)2 − 4 (9)(− 3) 2 (9)
26 ± 676 + 108 18 26+ 28 54 x1 = = =3 18 18
Ejemplo 3.
Multiplica por el m.c.m
x2 =
que es
x
, resuelve y
simplifica
•
26− 28 − 2 1 = =− 18 18 9
: Resuelva la ecuación
x. x −
x −
2 = 1 x
2 . x = 1. x x−2 = x ;
( x − 2 )2 = (
x
x
) 2
Eleva al cuadrado am‐
x 2 − 4 x + 4 = x ⇒ x 2 − 5x + 4 = 0
bos lados de la igualdad
( x − 4)( x − 1) = 0
y factoriza.
Por consiguiente x = 4 y x = 1 . Verifica si cada una de ellas son soluciones de la ecuación.
Ecuaciones
Ecuaciones con Valor Absoluto El valor absoluto de f se define:
⎧ f si f ≥ 0 ⎪ f =⎨ o ⎪− f si f < 0 ⎩
Cuando trabajamos con cantidades, éstas se pueden tomar en dos sentidos, cantidades positivas o cantidades negativas. Así, en contabilidad el haber o crédito se denota con
Donde “ f ” puede ser un número,
el signo + y el debe o deuda se denota con signo −.
una variable o una expresión alge-
Para expresar que una persona tiene 100 Bs.F. en su
braica.
haber, diremos que tiene + 100Bs.F. mientras que para expresar que tiene una deuda de 100 Bs.F. diremos
El Valor Absoluto de una cantidad
que tiene – 100 Bs.F.
es el número que representa la
Otro ejemplo donde se utilizan los sentidos de las can-
cantidad, sin tomar en cuenta el
tidades es en los grados de un termómetro, los grados
signo de la cantidad.
sobre cero se denotan con signo + y los grados bajo cero se denotan con signo –. Así, para indicar que el
El Valor Relativo de una cantidad
termómetro marca 10º sobre cero, escribimos +10º y
es el signo de la misma, represen-
para indicar que marca 10º bajo cero, escribiremos –
tado por más (+) o menos (-).
10º. Entonces en una cantidad cualquiera, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el valor absoluto o magnitud de la cantidad y el valor relativo o signo de la cantidad. Ejemplo 1.
: Hallar el valor absoluto de las si-
guientes cantidades.
Ejemplo 1.
Para f = 8, tenemos que
+8 =8 b) Para f = - 5, tenemos que NOTA: Observa que el valor abso-
− 5 = −(− 5) = 5
luto de una expresión denotado por c) Para f = x, tenemos que
Ecuaciones
⎧ x si x ≥ 0 ⎪ x =⎨ o ⎪− x si x < 0 ⎩
f , depende del signo de la expresión que se encuentra entre las barras y no de la variable, a menos que la expresión sea igual a la variable.
d)
f = x2 − 2 ,
Para
tenemos
que
⎧ x 2 − 2 si x 2 − 2 ≥ 0 ⎪ x2 − 2 = ⎨ o ⎪− x 2 − 2 si x 2 − 2 < 0 ⎩
(
)
Propiedades del Valor Absoluto
Propiedad 1: f ≥ 0 , para cualquier f ∈ ℜ
Observa que las propiedades del 1
Propiedad 2: f = − f
al 5 se refieren a igualdades, mientras que las propiedades 6 y 7 se
Propiedad 3: f =
refieren a desigualdades.
Propiedad 4: f ⋅ g = f ⋅ g
f2
Propiedad 5: Si g ≠ 0 entonces
f f = g g
f +g ≤ f + g
Propiedad 6:
(Desigualdad
triangular) Propiedad 7: f − g ≥ f − g
Sea a > 0 ,
Propiedad 8:
f = a es equiva-
lente a resolver las siguientes ecuaciones: a) Es decir,
f =a
ó
f =a
b)
si y sólo si,
f = −a f =a ó
f = −a
Propiedad 9: Sea a > 0 ,
a) f ≤ a
y
f ≤ a es equivalente a:
b) f ≥ − a
Es decir, f ≤ a si y sólo si − a ≤ f ≤ a f ≥ a es equivalente a:
Propiedad 10:
a) f ≥ a
ó
b) f ≤ − a
Ecuaciones
Es decir, f ≥ a si y sólo si f ≥ a ó f ≤ − a En muchas ocasiones se nos presentan ecuaciones donde está involucrado el valor absoluto de una expresión algebraica, como por ejemplo: ⎛ 8x − 9 ⎞ ⎜ ⎟ = 625 ⎝ 1− x ⎠ 8x − 9 ⇒ =5 1− x 4
Ejemplo 2. Veamos
a
continuación
varios
3x = 5
ejemplos de resolución de ecuacio-
⎛ 8x − 9 ⎞ ⇒4 ⎜ ⎟ = ⎝ 1− x ⎠ 4
Resolver
la
4
625
siguiente
ecuación:
.
nes con valor absoluto, aplicando las
Aplicando la propiedad “8” de valor absoluto, tene-
propiedades.
mos que para f = 3 x nos queda: 3 x = 5 ⇒ 31 x2 =35 ó 31 x2 =4 −5 . 4 3 Ec .1
Ec .2
Resolvemos cada una de las ecuaciones:
Ec.1: 3x = 5 ⇒ x =
5 3
Ec.2 : 3 x = −5 ⇒ x =
Entonces
la
solución
3 x = 5 es
x=
Respuesta:
⎧5 5 ⎫ S = ⎨ ,− ⎬ ⎩3 3⎭
Ejemplo 3.
Resolver
de
y −5 3
la
ecuación
5 5 ó x=− 3 3
8x =9 x +1
Aplicando la propiedad “8” tenemos que: 8x 8x 8x =9⇒ =9 ó = −9 x 1 x +1 x 1 + + 1 424 3 1424 3 Ec.1
Ec.2
Resolvamos cada una de las ecuaciones:
Ecuaciones 8x = 9 ⇒ 8 x = 9( x + 1) ⇒ 8 x = 9 x + 9 x +1
Ec.1 :
8x − 9 x = 9 ⇒ − x = 9 Multiplicamos por (-1), la ecuación nos queda
− 1 ⋅ (− x ) = −1 ⋅ (9) ⇒ x = −9 Ec.2 :
8x = −9 ⇒ 8 x = −9( x + 1) ⇒ 8 x = −9 x − 9 x +1 8 x + 9 x = −9 ⇒ 17 x = −9 ⇒ x = −
Respuesta: la solución de la ecuación
9 17
8x = 9 es x +1
9⎫ ⎧ S = ⎨− 9,− ⎬ 17 ⎭ . ⎩
Nota:
Ejemplo 4.
No siempre una ecuación tiene
Resolver
4x = −8 1+ x
solución en los números reales. En
Si observamos el lado derecho de la ecuación, nota-
el siguiente ejemplo analizamos
mos que el valor es negativo, y por la propiedad 1
este caso
del valor absoluto, f ≥ 0 , es decir el valor absoluto de una expresión algebraica o aritmética siempre es
La propiedad 8 de valor absoluto nos dice que el valor de a, tiene que
positivo o igual a cero. Por lo tanto, la ecuación 4x = −8 no tiene solución en los números reales, 1+ x
ser estrictamente mayor que cero. así la solución es vacía, es decir
S =φ .
Respuesta: la solución de la ecuación
4x = −8 es 1+ x
S =φ
Ecuaciones
Ejemplo 5.
Resolver 3x − 2 = 2 x − 4
Para darle forma al ejemplo 19, pasamos el término x − 4 a dividir; sin embargo, observa que
3x − 2
= 2 no admite
x−4
el valor de x = 4, pues el denominador se anularía, por lo tanto si en la ecuación original x = 4, tendremos que 10 = 0 (lo cual es falso), esto quiere decir que x ≠ 4, entonces 3x − 2 =2 , x − 4 puede pasar a dividir y resolvemos: x−4 utilizando la propiedad 5 del valor absoluto
3x − 2 x−4
=
3x − 2 3x − 2 , así la ecuación queda: =2 x−4 x−4
Usando la propiedad “8” de valor absoluto tenemos entonces que
3x − 2 3x − 2 = −2 =2 ó 4 4 x − x − 14243 14243 Ec.1
Ec.2
Resolvamos cada una de las ecuaciones Ec.1 :
3x − 2 = 2 ⇒ 3 x − 2 = 2(x − 4 ) x−4 3 x − 2 = 2 x − 8 ⇒ 3 x − 2 x = −8 + 2 ⇒ x = −6
3x − 2 = −2 ⇒ 3 x − 2 = −2 ( x − 4 ) x−4 ⇒ 3 x + 2 = −2 x + 8 Ec.2 :
,
Agrupamos términos semejantes ⇒ 3 x + 2 x = 8 + 2 ⇒ 5 x = 10 ⇒ x =
10 ⇒x=2 5
Respuesta: Entonces la solución 3x − 2 = 2 x − 4 es S = {− 6 , 2}
de
la
ecuación