Dinamica Estructural Aplicada al diseño sismico by Alberto Zaldivar Cabanillas

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Por:

Luis Enrique García Reyes Profesor de Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil Bogotá, Colombia 1998

\.172

Garcla Reyes, Luis Enrique. Dinámica estructu-

ral aplicadñ al

riseñ~

Sismico.

, --

Carrera 2O N 84-14 Piso 7, Bogotá, Colombia

ISBN: 958-33-0768-8 Impreso en Colombia Segunda Impresión, Octubre de 199~).

Printed in Colombia

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Contenido Contenido Prefacio Prólogo

ix :

SECCION - I - SISTEMAS DINAlIDCOS DE UN GRADO DE LIBERTAD Cnl'Uuro 1 (;(;lV{;El~OS B ...lSffCOS lJI!) DIJ.VJ.l1'UC...1

1.1 1.2 1.3 lA 1.5 1.6 1.7

1.8

Introducción Leyes de Newton Grados de libertad Masa, peso y sistema de unidades Rigidez Traba] o y energía Amortiguamiento 1.7.1 Generalidades 1.7.2 Amortiguamiento viscoso 1.7.3 Amornguarníer,.o de Coulomb 1.7A Amortiguamiento histerético Tipos de excitación dinámica

3 -+ :i 6 8

10 11 lJ 1I 12 12 13

CUJ)ítulo 2

.SIS'l'El'LlS DIJ.VLUTICflS DE lIN GBlllJII DE 1..I BERTAlJ 2.1 2.2

2.3 2.-+ 2.5 2.6

Vibración libre no amortiguada Vibración libre amortiguada 2.2.1 Amortiguamiento crítico 2.2.2 Amortiguamiento mayor que el crítico 2.2.3 Amortiguamiento menor que el crítico 2.2A Decremento logarítmico Vibraciones forzadas armónicas _ Vibraciones transitorias 2.-+.1 Respuesta a un impulso 2.-+.2 Excitación arbitraria Excitación en la base La energía en la respuesta dinámica

1S 20 2L 23 23 2:i 27 31 32 33 35 38

CUJ)ít.ub.) 8

OIITEN{;ION m: lA lrnSI~UEST.i:llJI..lVA...."ICA 3.1 3.2 3.3 :j.-+

·~--

Introducción Integral de convolución Método de la aceleración lineal Método Beta de Newrnark

-+3 -+3 -+8 51

'inál1l1ca esrruc(.(UUI UP"L"""

3.5 3.6 3.7 3.8

...

_~_

Otros métodos Sistemas no lineales Solución en el dominio de la frecuencia Uso del computador

55 55 59 63

CA."itnlo 4 SIS~IOS~ SI:S~"OGRi-ULlS y ~1(;ELEROGlliU1AS

4.1 4.2

4.3 4.4 4.5

4.6 4.7

4.8

4.9 4.10

Introducción 65 Causas de los temblores 65 4.2.1 Tectónica y sisrnicidad global 65 4.2.2 Failas geológicas 67 4.2.3 Mecanismo focal 68 4.2.-4 Premonitorios y réplicas 68 Ondas sísmicas 69 Sismogramas 69 Magnitud del sismo 69 4.5.1 Definición de la magnitud de Richter 69 70 4.5.2 Tipos de magnitud 4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes 71 Intensidad del sismo 72 4.6.1 Escala de intensidades de Mercalli Modificada (ltvIJv1) 72 4.0.2 Mapas de isosistas 73 Tectónica y sismicidad colombiana 74 74 4.7.1 Emplazamiento tectónico 74 4.7.2 Sistemas de f'allamiento 75 4.7.3 Sísmícidad colombiana Acelerogramas 77 4.8.1 Acelerógrafos de movimiento fuerte 77 4.8.2 Registros acelerográficos 77 4.8.3 Definición de los movimientos máximos del terreno 79 4.8A Efecto de las condiciones locales del suelo 80 4.8.S Variación v atenuación de los movimientos sísmicos con la distancia 81 4.8.6 Tipos de temblores según el aceierograrna 83 Estudios de amenaza sísmica 85 4.9.1 Metodología 85 4.9.2 Amenaza sísmica en Colombia 87 Predicción de sismos 96

Cnl,itnlo ;; ESPECTBfJS DE llESPlJESTA 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Introducción Obtención del espectro de respuesta Relación entre Sal Sv y Sd Representación tripartita Influencia de los movimientos máximos del terreno Relación entre las diferentes componentes Espectros de algunos sismos Espectros de Fourier Programas para el calculo de espectros

97 98 101 102 104 105 109 114 116

(;nlJiíul() 6

SlSTE61l-lS l1\TEL1STIC()S I)EUlV GBAl)() DE LIBERT.lU) 6. I G.2

6.3

6.5 6.6

6.7 6.8

Introducción Respuesta histereríca 6.2.1 Materiales y elementos estructurales elásticos e ínelásrícos G.2.2 Concreto estructural 6.2.3 Acero estructural 6.2.-4 Mampostería estructural Modelos matemáticos de histéresis 6.3.1 Generalidades 6:3.2 Elastoplástico 6.3.3 Modelo de Rarnberg-Osgood 6.3A Modelos con degradación de la rigidez Conceptos de ductilidad, tenacidad y capacidad de disipación de energía Respuesta elástica equivalente él inelástica Efecto de la respuesta ínelástica en el espectro 6.G.1 Sistemas elastoplásticos Espectro de desplazamientos totales Espectro de aceleraciones máximas 6.6.2 Sistemas con rigidez degradante Principio de las deformaciones iguales Programa de computador "RESDIN" para la obtención de la de la respuesta dinámica elástica e inelástica

I 17 I 18 1I 8 123 128 131 13-1: 13-4 135 139 1-43 148 152 154 1,3-1: 156 159 1GO 16-4 169

CCIIJUul() 7 .6J.JJl'DHEl\.TOS SIS6HCOS DE DISEÑO

7.1 7.2

Introducción , Espectros elásticos de diseño 7.2.1 Espectros promedio de Housner 7.2.2 Método de Newmark-Hall 7.2.3 Método de Newrnark-Blurne-Kapur 7.2A Método de Shibata-Sozen 7.2.5 Comparación de resultados Espectros inelásticos de diseño 7.3.1 Introducción 7.3.2 Método de Newmark-Hall 7.3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark 7.3.-1: Procedimiento de Shíbata-Sozcn Efecto en la forma del espectro de la magnitud distancia, duración y tipo de suelo en el sitio 7A.l Efecto de la magnitud y la distancia a la falla 7A.2 Efecto de la duración del sismo 7A.3 Efecto de las condiciones geotécnicas locales Procedimiento del ATC-3 Procedimiento del Uniform Building Code Procedimiento del NEHRP-94 Estudios de amplificación de onda Familias de acelerogramas Espectros de diseño de los códigos sísmicos 7.7.1 Desarrollo histórico del espectro en los códigos sismicos 7.7.2 Forma del espectro del ATC-:1 7.7.3 Forma del espectro de las nuevas normas sísmicas colombianas 0

7.3

7.5 7.6 7.7

iii

173 I 7-1: 17-4 176 179 182 18-4 187 187 188 190 192 1~)-I: 19-1: 196 197 198 199 200 20-1: 208 210 210 211 2 [{i

7.8

7.7A Forma del espectro del Código de Ciudad de México de 1993 7.7.5 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-94) 7.7.6 Forma del espectro del NEHRP-94 7.7.7 Forma del espectro del Eurocódigo-S Comentarios sobre la selección de los movímíentos sísmicos de diseño

219 221 223 225 228

SECCI@N - II - SISTEMAS DINAMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD ClI.j,Uulo S

11\TIlODUCCION Al.l ANALlSlS 1tl¡-tTI~IClAL DE ESTRUC'J.'lI1lAJ...~

8.1

8.2 8.3 8A 8.5 8.6 8.7 8.8

Definiciones 8.1.1 Introducción 8.1.2 Algebra lineal 8.1.3 Operaciones con matrices 8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores Sistemas de coordenadas y su transformación Matriz de rigidez de un elemento de pórtico plano Principio de contragradiente Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura Apoyos de la estructura Solución para fuerzas estáticas por el método de rigidez

232 233 234 235 238 239 244 252 253 255 258 260

Cl1l,itulo !-)

illVAl..llSlt9 J.1lilTillCLU AVil.LVZill~{' 1'" lELE¡~1El\.TOS PINITOS 9. ~ 9.2 9.3 9.4 9.5

9.G

9.7

Introducción 273 Igualación de grados de libertad 273 Condensación de grados de libertad 278 Subesrructuración 281 Casos especiales 282 ~1.5.1 Articulaciones y liberación de grados de libertad en los elementos. 282 9.5.2 Nudos rígidos ~86 9.5.3 Deformaciones por cortante 289 9.5A Efecto de la variación por temperatura 290 Otros tipos de elemento 295 9.6.1 Definiciones 295 9.6.2 Elemento de cercha plana 297 9.6.3 Elemento de cercha espacial 298 9.6.-! Elemento de pórtico plano 299 ~J.6.5 Elemento de parrilla 301 9.6.6 Elemento de pórtico espacial 302 Elementos finitos 304 ~).7.1 Introducción 304 ~l. 7.2 Procedimiento de análisis utilizando elementos finitos 305

-.:-------------------

9.7.3 9.7.-l 9.7.5 9.7.6

Tipos de elementos Formulación de la matriz de rigidez de] elemento Ejemplo de análisis utilizando elementos finitos Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos

306 307 312 :1] 7

C~ll)Uul()1 (J ECU11ClflNES IIE Ef~UlLI11IU(lllnv111'UCflEN SISTEl'L~~ IIl~ l~tl='I(IS Gl=.rWOS DE LIIIEI=.TAD

10.1 10.2 10.3 JOA

1O.,)

Introducción Vibración libre Ecuaciones de equilibrio para excitación arbitraria Ecuaciones de equilibrio para excitación en la base Ecuación de Lagrange

321 321 323 32·"¡'

326

(;(fIJilulo 11 lIJl~ill""ZA(;ION',l1V1U.lIC.ll DE L-l ES'J'l='VCTIJB.il

11.1 11.2 11.3

11.-l 11.5 11.6

Introducción Masa distribuida y masa concentrada 11.2.1 Masa distribuida 11.2.2 Masa concentrada Idealización de la rigidez 11.3.1 Diafragma rígido 11.3.l(a) Se genera la matriz de ruiidez de cada pórtico 11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto de diafragma rígido 1l.3.1(c) Se ajustan los grados de libertad verticales 11.3.l(d) Se condensan los grados de libertad , rotacionales de los nudos 11.3.l(e) Transformación de los grados de libertad del pórtico, de un despiazarniento por piso a las tres qrudos de libertad por piso de cada diafragma 11.3.l(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez de toda la estructura ] 1.3.1 (g) Se determina la matriz de masa de toda la estructura ] 1.3.l(h) Ecuaciones de equilibrio dinámico de toda la estructura ] 1.3. 1(i) Obtención de las fuerzas en los elementos una vez se conocen los desplazamientos de los grados de libertad de los diafragmas 11.3.1U) Algunas observaciones acerca de la idealizacion de diafragma rígido toda la estructura 11.3.2 Diafragma flexible 11.3.3 Diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles Sistemas sin diafragma Excitación en varios apoyos Acople estático y acople dinámico

329 329 330 333 339 3-W 34-l 345 346 347

:H8 351 :3 SI :3 SI 353 35-l 36-l 372 373 373 380

Inic(I estructuren lIjJlI( (n«. ,u .u..... "

._.~

Cnl,itulol2

SOLlJCION DE LA BESl·UESTA lJI1Vl1l'HCA PARA. SISTE~JAS CON tr¡-UUOS GllAlJOS DE LIBEIITAD 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

Introducción Solución modal para el caso no amortiguado Ortogonalidad de los modos naturales Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento Vibración libre con condiciones iniciales Análisis me '::'dl con amortiguamiento Solución integrando las ecuaciones de movimiento

385 385 392 394 396 401 404

Cl41,ituW 18

bmTOIJ(JS AT(;~mlUCOS EN EL ANALISIS l'IODAL 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Introducción Método directo Metodo del barrido Merodo de Iacobí Método de iteración en un subespacio Cociente de Rayleigh

405 405 406 410 419 420

Cnl,itulo 14

ANALISlS ¡JIOD..\L CRONOl-,OGl(;O 14.1

Introducción Vibración forzada armónica 14.3 Vibraciones transitorias 14.4 Excitación en la base 14.5 Análisis modal planar para excitación en la base 14.6 Análisis modal tridimensional para excitación en la base de sistemas con diafragma rígido 14.7 Análisis modal para excitación en la base de sistemas con diafragma flexible 14.8 Excitación en varios apoyos y sistemas sin. diafragma 1~.2

423 424 432 438 441 450 469 490

Cnl,itulo 1 s

ANIU"ISIS .L"OIJJ.tL ESPECTlfAL 15.1 15.2 15.3

15.4 15.5

Introducción Formulación del análisis modal espectral Métodos de combinación de la respuesta modal ]5.3.1 Generalidades 15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) 15.3.3 Método de la combinación cuadrática completa (CCC) 15.3A Combinación de componentes horizontales Número de modos a emplear El método de la fuerza horizontal equivalente

505 505 519 519 519 528 53] 547 548

~----------------------~ . pi 11

-------"'=

A la pri,nera lectlu-a de la Dinámica de Garcia He aquí un libro que no sufre de los pecados de sus predecesores; un libro que empieza en el principio y termina en el final sin trazar meandros entre los dos extremos. No está escrito como un catálogo y tampoco pretende incluirlo todo. Significa más bien un compromiso. La dinámica es una ciencia madura. Entretanto, el diseño sísmico no es ni una ciencia ni ha alcanzado su madurez. La aplicación de la dinámica a la ingeniería fue forzada inicialmente por la necesidad de entender el comportamiento de las máquinas. En este sentido, la dinámica aplicada contiene todo un arsenal de algoritmos creadores y brillantes introspecciones aplicables a mecanismos bien definidos, excitados por movímientos bien definidos, así mismo cuando no de carácter invariante. Ahora bien, aplicrr la dínárnica a estructuras cuyas características de rigidez y resistencia no se conocen plenamente y tampoco están excitadas por movimientos agudamente descritos - antes o incluso después del evento sísmico - requiere una perspectiva diferente y muy diferentes aptitudes. La tarea que se impuso el autor de preparar un texto referente a las estructuras, es ante todo una de resistir la tentación de parafrasear los textos consagrados, tales como aquellos escritos por Den Hartog y por .lacobseu-Ayre, antes de acometer el asunto de las estructuras. Decir que el autor de este libro, Luis E. García, ha alcanzado la proeza de mantener el objetivo en las estructuras es un dictamen que requiere el concurso de muchos lectores durante un período largo del tiempo. Pero es innegable que se las ha ingeniado para trazar un camino recto. Y es a este respecto que el libro representa una rara adición a la literatura sobre dinámica estructural. Quizás su descripción correcta sea expresar que es el segundo texto que se mantiene fiel a las estructuras siendo el primero el tomo escrito por Biggs y publicado hace más de tres décadas. Ahora, afirmar que el alcance, la certeza y la cohesión del texto de García es remíníscente del clásico de Biggs es un elogio a ambos tratados. En la misma vena, puede decirse que la "Dinámica Estructural" de García es un digno compañero de la "Ingeniería Sísmica" de Sarria. ¿Quién hubiera pensado que Colombia abriría las más amplias "puertas a la percepción" de la ingeniería sísmica? El encaminamiento del texto no sorprende puesto que el autor García, a la manera de Tiresias en el mito antiguo, ha experimentado íntimamente el mundo desde dos puntos de vista diametralmente opuestos: el académico y el pragmático en su caso. El suma años de ejemplar profesorado y posee la reputación de haber pisado la frontera donde se desarrolla el diseño automatizado de estructuras; esto simultáneamente con desempeñarse como socio principal de una muy productiva firma dedicada al diseño estructural. El ha enseñado. El ha diseñado. El texto muestra las huellas típicas de las dos experiencias. La erudición es inmaculada. Las explicaciones son completas; comienzan en la ciencia y culminan en la ingeniería práctica. Es este un libro que pertenece igu almente bien a la mesa de trabajo del estudiante y a la biblioteca del profesional. Se puede aprender de él, así como utilizarlo como referencia fácil para problemas de diseño, y para lograr una mejor compresión de las bases de los procedimientos de análisis. Quizás el logro fundamental del libro es su Capítulo 5 dedicado a los espectros lineales de respuesta, aspecto esencial para entender los problemas del diseño, que el

1 El Profesor Sozen ha dejado saber que el título de este prólogo es un préstamo deliberado ek john Keats en su poema titulado "On Iirst looking ihto Chapmans Horner".

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autor no considera íníra-dígrutarem explicar hasta en los detalles más simples. Su paciencia y experticía con la materia tratada son admirables. Se ha dicho que nada grande ha sido logrado sin entusiasmo. Este libro ha sido escrito con entusiasmo. Ha sido escrito con base en la doble experiencia de la clase y de la práctica. Debe perdurar.

METE A. SaZEN

Profesor de Ingeniería Civil Purdue Uníversity Lafayette, Indiana, USA Enero de 1998

~-_._-----------------------

Prólogo Estas notas sobre dinámica estructural, están enfocadas primordialmente al análisis y diseño de estructuras, dentro del ámbito de ingeniería civil, y con el énfasis principal en las solicitaciones sísmicas. Aunque los principios de la dinámica estructural datan de mucho tiempo atrás, su aplicación a la ingeniería sísmica se remonta a solo algunas décadas. El presente trabajo nace como unas notas de clase del curso de pregrado del mismo nombre, el cual se dictó por primera vez en el segundo semestre de 1973 en la Universidad de los Andes en Bogotá. A través de los años se han mantenido dentro del contexto eminentemente práctico que ha tenido el curso. La intención es que sirva de libro de texto para un curso de un semestre en el tema, aunque el material en algunos apartes es más extenso de lo que se alcanza a cubrir durante las horas de clase. El tema se ha dividido en dos grandes secciones: una correspondiente a sistemas dinámicos elásticos e inelástícos de un grado de libertad (Capítulos 1 a 7) y la segunda correspondiente a sistemas dinámicos de varios grados de libertad (Capítulos 8 a 17). En la primera sección se inicia, Capítulo 1, con las Leyes de Newton y los fundamentos de la rigidez, la masa y el amortiguamiento. El Capítulo 2 trata los sistemas lineales de un grado de libertad para los casos de vibración libre, no amortiguada y amortiguada, vibraciones forzadas armónicas, vibraciones transitorias y el tema de excitación causada por movírníentos en la base del sistema, el cual se emplea directamente en el estudio de estos sistemas ante excitaciones sísmicas. Por último se discute el tema de la transferencia e intercambio de energía en la respuesta dinámica. El Capítulo 3 se dedica a los métodos matemáticos y numéricos para obtener la respuesta dinámica de sistemas lineales de un grado de libertad. El Capítulo ..J: consiste en una breve introducción a la sismología y a la evaluación de la amenaza sísmica. El Capítulo 5 trata los espectros elásticos de respuesta de los sismos. El Capítulo (j discute los sistemas ineIásticos dinámicos de un grado de libertad. Por último el Capítulo 7 trata los movírníentos sísmicos de diseño, sus características y los procedimientos para obtenerlos. La segunda sección sobre sistemas de varios grados de libertad, se inicia con una introducción al análisis matricial de estructuras (Capítulos 8 y 9) con un enfoque directo a su empleo en la dinámica estructural, En el Capítulo 10 se plantean las ecuaciones de equilibrio para sistemas dinámicos de varios grados de libertad. El Capítulo 11 trata la idealización dinámica de la estructura, y los diferentes enfoques y conceptos que deben tenerse en cuenta al idealizar dinámicamente las construcciones. En el Capítulo 12 se plantea la solución de las ecuaciones dinámicas de equilibrio para el caso linealmente elástico. El Capítulo 13 resume los métodos más empleados en la actualidad para la obtención de los modos y frecuencia de vibración de las estructuras. El Capítulo 1..J: trata el análisis cronológico de la respuesta dinámica de sistemas lineales de varios grados de libertad y el Capítulo 15 la solución espectral de la respuesta de sistemas lineales de varios grados de libertad. Se ha escogido en la presentación el sistema internacional de medidas (SI), el cual por ser un sistema consistente de unidades, es el más apropiado para el trabajo en dinámica estructural, además de ser el sistema de uso obligatorio en las nuevas normas sismo resistentes colombianas. Las referencias se indican por medio de [autor, año] dentro del texto y el final en la Bibliografía se listan los diferentes trabajos empleados

ix ~_.,"--_.:"':"':~-..!..." --~--------------

como referencia en orden alfabético por apellido del autor, seguido por el año de publicación. Los ejemplos se desarrollaron empleando diferentes programas de computador, pero en general están realizados utilizando hojas electrónicas de cálculo, principalmente Excel" de Microsoft", el programa Mathlab" producido por The Math Works Ine. ©, el programa CAL91, desarrollado por el profesor E. Wilson de la Universidad de California, Berkeley. Además muchos de los ejemplos se realizaron empleando los programas RESDIN, y ESPECTRO, desarrollados por el autor. El programa CAL91 se puede obtener a través de NISEE (National Information Servíce for Earthquake Engineering - Davis Hall, University of California, Berkeley). Los programas RESDlN y ESPECTRO se pueden obtener en la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (Carrera 20 N 8-1-1-1, Oficina 502, Bogotá, Colombia - Teléfono 530-0826 - Fax 530-0827), o solicitar por emaiI a: <aisrli"uniandes.edu.co>. Para estudiantes, previa presentación del carnet vigente, el programa CAL91 puede obtenerse gracias a una generosa autorización de su creador -- el profesor E. Wilsoo -- al costo de reproducción del material, en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes en Bogotá (Carrera 1a N 18A-lO - Bloque \IV - 2 Piso, Apartado Aéreo -1976 Bogotá, Colombia - Teléfonos 281-51-18 o 28-1-9911 Ext.2811 y 2812). El autor agradece cualquier observación o comentario que pueda mejorar el contenido o la presentación del presente trabajo. Estos comentarios pueden ser enviados al siguiente emai1: -clugarciaauniandes.edu.co>, o al Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, Bogotá. Luis E. García Bogotá, Febrero de 19~)8

~----------------------x

Capitulo 1

Conceptos básicos de dinénnica

1.1 Introducción La dinámica, dentro del contexto de la mecaruca, es el estudio de los cuerpos, o conjuntos de partículas, en movimiento. La dinámica se divide en dos campos: la cinemática, la cual estudia la geometría del movímiento, relacionando el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a las causas del movimiento: y la cinética, la cual estudia la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su movímiento, permitiendo predecir los movtmíentos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas necesarias para producir un movimiento dado. Cuando un cuerpo se desplaza de una posición de equilibno estable, el cuerpo tiende a volver a esta posición al verse afectado por la acción de fuerzas que tienden a restaolecer la situación de equilibrio; este puede ser el car., de las fuerzas gravitacionales en UT;. péndulo, o de las fuerzas elásticas impuestas por un resorte en el caso de una masa apoyada en él. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su posición de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva más allá de esa posición, presentándose una oscilación alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en el campo de la mecánica se denominan vibraciones mecánicas. Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas entre sus diferentes partes se aplican los principios de la dinámica de cuerpos rígidos. Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes partes del cuerpo, se aplican los principios de la dinámica de cuerpos flexibles. La dinámica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos casos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden de magnitud tan pequeño, que pueden aplicarse los principios de la dinámica de cuerpos rígidos en algunas porciones de la estructura. La dinámica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la apancion del computador digital. Sus fundamentos se remontan más de dos siglos y medio atrás, pero puede decirse que el enfoque moderno proviene de las últimas cuatro décadas. No sobra advertir que en la actualidad existen numerosos textos de dinámica estructural que cubren con mayor profundidad muchos de los temas tratados aquí, algunos son las referencias [Berg, 1989), [Biggs, 1964], [Boiton, 1994], [Clough y Penzien, 19931, [Chopra, 1980], [Chopra, 1995], [Craig, 1981), [Fertis, 1995], [Humar, 1990], [Hurty y Rubinstein, 1964], [Meirovitch, 19671, [Meirovitch, 1975], [Paz, 1991], iShabana, 19891, [Thomson, 1972], y [Timoshenko, Young y Weaver, 1974J.

2 Leyes de Newton El problema del movimiento y sus causas fue durante siglos uno de los temas centrales de la filosofía. Solo hasta la época de Galileo y Newton fue posible, gracias a ellos, un gran avance en su entendimiento. Isaac Newton (1642-1727), nacido en Inglaterra en el mismo año de la muerte de Galileo, fue el arquitecto de lo que actualmente se conoce con el nombre de mecánica clásica. Newton llevó a la madurez las ideas de Galileo y de otros que le precedieron. Las conclusiones a que llegó Newton sobre el tema están resumidas en sus tres leyes, las cuales son el fundamento de la estática y de la dinámica, tanto de cuerpos rígidos como de cuerpos flexibles: 1 a Ley de Newton: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento

uniforme rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicación de cualquier tipo de fuerzas." Esta primera ley de Newton se conoce también con el nombre de Ley de Inercia. Los marcos de referencia sobre los cuales se aplica son conocidos con el nombre de marcos inerciales. Estos marcos de referencia están fijos con respecto a una estrella distante, o se mueven a velocidad constante con respecto a ella. Es importante anotar también que la 1 a ley de Newton es válida tanto para cuerpos sobre los cuales no actúa ninguna fuerza, como para aquellos sobre los cuales actúan varias fuerzas cuya resultante es nula. 2 a Ley de Newton: "La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual

a la tasa de cambio del momentum del cuerpo. " Dado que el momenturn Q, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad, se puede expresar matemáticamente como: dx

(1-1)

Q=rnv=rn-=mX

donde: Q rn v x

momentum del cuerpo masa del cuerpo velocidad del cuerpo desplazamiento del cuerpo o coordenada de localización del mismo

De acuerdo con la 2 a ley de Newton y baio el supuesto de que la masa del cuerpo permanece constante, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son iguales a la tasa de cambio del momentum: dQ dt

d dt

dv dt

F=-=-(rnv)=rn-=rn-=rnx=rna

(1-2)

donde: F

resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aceleración del cuerpo

Por lo tanto la 2 d ley de Newton puede expresarse también como: La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración.

k-o- - - - - - - - - 4

Es importante anotar que la 1<1 ley de Newton es un caso especial de la segunda ley, Ya que si la aceleración es cero, entonces la resultante de las fuerzas también es igual a cero. En este caso el cuerpo está en reposo, o se mueve a una velocidad constante. La aceleración cero conduce a lo que llamamos estática, mientras que los casos de aceleración diferente de cero nos lleva al campo de la dinámica. Con posterioridad a Newton, D'Alernberr (1717-1783) sugirió que la ecuación (1-2) se escribiera de una manera similar a la ecuación de equilibrio en estática (F = O), en la forma que se conoce como principio de D'Alembert:

0-3)

F-ma=O

El principio de D'Alernbert hace evidente que la denominada fuerza inercial (ma) actúa en la dirección opuesta a la dirección de la aceleración del cuerpo. 3<1 Ley de Newron: "A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud; o las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestas. " La 3<1 ley de Newton permite extender las dos leyes anteriores a cuerpos compuestos por varios componentes o, cuando se fracciona un cuerpo en varias partes, a definir las fuerzas que obran sobre éstas. Este procedimiento se conoce como cuerpo libre, donde una fracción de un cuerpo se aísla de las otras partes y de esta manera se obtienen las fuerzas sobre los componentes. En el punto de aislamiento del cuerpo libre se tiene una fuerza de igual magnitud, pero opuesta en dirección, aplicada a cada una de las partes. Las tres leyes de Newton son las bases sobre las cuales se desarrolla la dinámica de cuerpos rígidos y la dinámica estructural y se aplican repetidamente durante el desarrollo de la teoría de la dinámica estructural.

1.3 Grados de libertad I El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición en el espacio y en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema. Cuando se trata de sistemas rígidos, en los cuales no puede haber desplazamiento relativo entre las partículas de masa, las propiedades de la masa se pueden describir referidas a su centro de masa. Esto conduce a lo que se conoce como sistemas de masa concentrada. Cuando la masa hace parte de un elemento flexible tenemos un sistema de masa distribuida y por consiguiente se puede hablar de un número ínñníro de grados de libertad.

-------

~--------::::.~~

Ii.

..:::-_==~-:-

_~ 7171m

(a) viga vibrando transversalmente

dx (b) tmsa ástribuida con infinito número de grados de libertad

777T777

(e) masa concentrada con número finito de grados de libertad

Figura 1-1 - Grados de libertad

Para aclarar estos conceptos, por ejemplo en una' 'iga simplemente apoyada que está vibrando transversalmente, como indica la Figura 1-1(a), la masa proviene de la masa propia del material de la viga. Si se toma una longitud diferencial de la viga, Figura l-l(b), esta longitud diferencial también tiene una masa diferencial. Para describir la posición de cada uno de estos elementos diferenciales de masa se necesita un número

,,·"~-'2".-------------

iluí111icCl est ructurol aplicada al (lISí'l/u :"'''",''"

infinito de grados de libertad. Esto se resuelve por medio de una función matemática continua. Este mismo caso se puede visualizar acumulando porciones de la masa en algunos puntos escogidos y tratándolas allí como varias masas concentradas, tal como se muestra en la Figura l-l(c). La cantidad de lugares donde se concentre la masa va a depender de la precisión que se requiera en la solución del problema y de otros factores que se harán evidentes más adelante. Los sistemas de masa concentrada, en la medida que el número de puntos donde ésta se concentre se haga mayor, tienden en el límite a convertirse en sistemas

contínuos,

1.4 Masa, peso y sistema de unidades La masa, m, es una medida de la cantidad de materia. El peso, W, es una medida de la fuerza necesaria para impartir una aceleración dada a una masa. En la tierra, al nivel del mar, la aceleración que impone la gravedad del planeta se denomina g y tiene un valor aproximado de 9.81 m/s- (= 9806.65 rnm/s-, por acuerdo internacional, para ser exactos). Por lo tanto el peso W que tiene una masa ID en la tierra, al nivel del mar, es igual al producto W =mg. Se ha escogido en la presentación el sistema internacional de medidas (S1), el cual por ser un sistema consistente de unidades, es el más apropiado para el trabajo en dinámica. Los ingenieros por muchos años utilizaron el sistema métrico tradicional, o sistema mks (metro-kilogramo-segundo), cuyas unidades son distancia, fuerza y ríempo. En este úírirno sistema el kilogramo es una unidad de peso, correspondiente al peso de m, litro de agua al nivel del mar, por esta razón es una unidad de fuerza que muchas veces se denomina kilogramo-fuerza (kgf), La tonelada dentro de este sistema corresponde también a una unidad de fuerza y tiene un valor de 1000 kgf. En el sistema SI las unidades son distancia, masa y tiempo. Como unidad de distancia se utiliza el metro (m), como unidad de masa el kilogramo (kg) y como unidad de tiempo el segundo (s). Dentro de este sistema la unidad de fuerza es el Newton (N), definido como la fuerza que impone una aceleración de 1 m/s? a una masa de 1 kg. El sistema SI se estableció en la Decimoprimera Conferencia Mundial de Pesos y Medidas, que tuvo lugar en Sevres, Francia, en 1960. El sistema está basado en siete unidades básicas, que son para longitud el metro (m), para masa el kilogramo (kg), para tiempo el segundo (s), para corriente eléctrica el amperio (A), para temperatura el kelvin (K), para intensidad luminosa el candela (cd) y para cantidad de substancia el mol (mol). Estas unidades tienen definiciones físicas. Por ejemplo el metro (m) es la longitud de la trayectoria que viaja la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo equivalente a 1/299 792 -158 de segundo; y el kilogramo (kg) es igual a la masa de un prototípo internacional de iridio-platino, que conserva la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, Francia. A continuación se presentan algunos conceptos básicos del sistema SI y se dan algunas conversiones que serán útiles para aquellas personas que no estén familiarizadas con él. Las unidades que se utilizan en el texto son las siguientes:

Unidades básicas: distancia: masa: tiempo:

el metro (m). el kilogramo (kg), el segundo (s).

Unidades suplementarías: ángulo plano:

el radian (rad)

Unidades derivadas: frecuencia: fuerza: esfuerzo:

el hertz (Hz)

l Hz = 1 s 1 el newron (N) l N == l kg· mis" el pascal (Pa)

1 Pa = 1 N/m 2

•

energía, trabajo

joule (J)

IJ=lNom

El sistema SI utiliza los siguientes prefijos: exa, E, (1018); peta, P, (1015); tera, T, (10 12 ) ; giga, G, (10 9); mega, 1\1, (lOG); kilo, k, (10 3 ) ; mili, m, (10 3) ; micro, ¡J., (10 6 ) ; nano, n, (lO9); pico, p, (lO 12); femto, f, (1015); Yatto, a, (10 18). El sistema SI requiere que se diferencie claramente entre masa y peso, en lo cual se distingue de los sistemas de unidades "gravítacionales". La masa de un cuerpo es independiente de su localización. Puede estar en el ecuador o en el polo, sumergido en agua, o en la Luna, y esto no afecta su masa pues la masa es la cantidad de materia que posee el cuerpo. La unidad de masa es el kilogramo (kg), la cual es igual a la del prototipo internacional (el cual tiene aproximadamente una masa igual a la de un decímetro cúbico, o sea un litro, de agua al nivel del mar). La atracción gravitacional de la tierra impone a un cuerpo en caída libre una aceleración g, cuyo valor varía aproximadamente del orden 0.5 por ciento sobre la superficie de la tierra, pero que se le ha dado un valor fijo estándar de 9.80() G')O m/s". Por lo tanto se requiere una fuerza de 9.80G G:)U N para sostener una masa de 1 kg sobre la superficie de la tierra, esto se conoce como el peso del cuerpo. Generalmente la masa de un cuerpo se obtiene pesándolo, o sea comparando la atracción graviracional de la masa con la de otra conocida por medio de una balanza; de ahí la confusión común entre masa y peso. En el sistema métrico original se definió una unidad de fuerza equivalente a la que obtendría una masa unitaria al ser acelerada un g. Esta unidad se conoce como el kilogramo-fuerza (kgf) o kilopondio, y corresponde a 9.806 65 N. Análogamente, para efectos de medir presión, o esfuerzo, en el sistema SI se utiliza el pascal (1 Pa = 1 N/m 2 ) , lo cual corresponde a valores relativamente pequeños, por esto se emplea el megapascal (1 MPa = 10" Nzrn"), el cual corresponde a 10.197 kgf'/crn". Con el fin de evitar confusión en el uso del sistema SI, existen las siguientes reglas aceptadas internacionalmente respecto a la sintaxis que debe emplearse: • • • • • • •

Nunca se intercambian minúsculas y mayúsculas: mm y no 1v1M, o kg y no KG. Los símbolos no se alteran en el plural: kg, y no kgs, No se deja espacio entre el prefijo y el símbolo: ¡\IPa y no M Pa. No se agrega punto al final del símbolo, a menos que sea el punto final de una oración. Los símbolos no son abreviaturas, por lo tanto: Pa y no Pase, m y no mts. En los productos de símbolos se utiliza un punto levantado: kN . m. En los cocientes se utiliza un solo simbolo de división, o pueden utilizarse potencias negativas: kg/(m s), o kg m 10 SI, pero no kg/rn/s. Puede utilizarse punto, o coma, para indicar los decimales. dependiendo de la' costumbre local. Esto significa que ninguno de los dos se debe utilizar para separar grupos de dígitos, para esto se utiliza un blanco. Eiemplo: g = 9.806 650 m/s", Para números menores que la unidad, no se omite el cero inicial: 0.123 y no .123. Debe haber siempre un espacio entre el número y las unidades: 12.3 rrr/s, excepto cuando se trata de grados celsius: 12C. Las unidades cuyo nombre es el apellido de un científico, se emplean con mayúscula: N, Pa, etc., pero cuando se refiere a ellas no se utiliza la mayúscula: pascales, etc. o

• • • •

Nota: Para facilitar la solución de problemas de dinámica estructural, cuando se utiliza

el sistema internacional de unidades (5J), se recomiendan dos alternativas: (a) emplear masas en I\Ig (rnegagramos = 1000 kg) Y rigideces en kN/m donde kN/m = J 000 kg m/s- l/m = 1000 ' kg/s 2 , o sea que son totalmente equivalentes pues las masas se van a multiplicar por aceleraciones en m/s- y las rigideces por m; o (b) emplear masas en kg y rigideces en Nyrn, caso en el cual dado que 1 N = I kg mis", las cuales también son equivalentes. o

7 ._._--

->--~", - -. . . .- - - - - - - - - - - - - -

s Rigidez Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o dinámicas, sufre una deformación. .1a,~e_define como la relación entre estas fuerzas externas y las_deforn:Hl.J:iOllg::Lqu~ ellas inducen en el cuerpo, ÉICasomassimple corresponde a un resorte helícoídal, como el que-semüéstra esquemáticamente en la Figura 1-2(a). P

,,--",,,_P

(a)

(b)

Figura 1-2 - Relación fuerza-deplazamiento para un resorte

Cuando el resorte se estira debido a la aplicación de una fuerza P en uno de sus extremos, estando el otro extremo adherido a un apoyo, las deformaciones son resistidas por medio de un trabajo interno que está asociado con la magnitud de la deformación del extremo libre. La relación entre la fuerza que resiste el resorte y la deformación entre sus extremos tiene la forma mostrada en la Figura 1-2(b). En general esta relación no es totalmente lineal, pero cuando las deformaciones son pequeñas se puede idealizar como una linea recta.

rígidez.es;porlo -tanto, la relación entre las ,.fuerz.as ylos desplazamientos y La -, )---- - ' usualmente se._d_e.:gomina.pQr, medio de la letra k. Matemáticamente se expresa por medio de la siguiente relación: ,.' -

---

k=P

(1--1:)

El mismo concepto se puede extender a cuerpos elásticos que tienen otras formas. Es el caso, por ejemplo, mostrado en la Figura 1-3, en la cual se aplica una fuerza en la punta de una viga en voladizo, lo cual causa en su extremo libre un desplazamiento, u, en la dirección de la fuerza.

Figura 1-3 - Relación fuerza-deplazamiento para un voladizo

Utilizando los principios de la resistencia de materiales es posible demostrar que para el voladizo presentado en la Figura 1-3, la deflexíón u, está dada por: PL3 3EI

u='--

donde L es la luz de la viga, E es el módulo de elasticidad del material de la viga, e 1 es el momento de inercia de la sección de la viga. En este caso la rigidez k, está dada por: k = P = 3EI U L3

k-o- - - - - - - - - - - - - 8

---~-,-------

La rigidez puede también definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema para obtener una deformación unitaria en la misma dirección y sentido de la carga. .-\ continuación se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas: Tabla 1-1- Rigidez de algunos sistemas elásticos Resortes en serie:

k= k2

k¡

1 1 1 -+k k¡ 2

Resortes en paralelo: k¡

k=k¡+k 2 k2

Barra sometida a fuerza axial: ~

k=L

1--..

i--L---j

Barra sometida a torsión:

k= JG L

@ ¿G}

Barra en voladizo:

k = 3EI

t=L~

-,~"._,~"

Barra simplemente apoyada, fuerza transversal en el centro de la luz:

l·

·1

Barra empotrada-empotrada, fuerza transversal en el centro de la luz:

F ~ 1L

k =!?2EI . L3

Barra empotrada-simplemenie apoyada, fuerza transversal en el centro de la luz:

FU::¿j l·

,,;

k = 768E! 7L3

-1

Barra simplemente apoyada, fuerza transversal en el cualquier punto:

l;=1

_....-~,

, :;111, .

~\\ ·1

k = 3EII~

a 2b2

~,-~

.. ,--

.6 Trabajo y energía El trabajo realizado por una fuerza al recorrer una distancia, Figura 1-4(a), está dado por la siguiente expresión: L

(l-S)

w= fFdl=FL

Dibujando un gráfico, como el mostrado en la Figura 1-4(b), en el cual se presenta el valor de la fuerza P, contra la distancia recorrida L, es evidente a partir de la ecuación (I-S), que el trabajo realizado por la fuerza es igual al área bajo la curva que describe el valor de la fuerza, con respecto a su variación con la distancia recorrida, en este caso una línea recta horizontal, F~ I p

(a)

(b)

Figura 1-4 - Trabajo realizado por una fuerza

En el caso de una fuerza que se aplica en el extremo de un resorte, el valor de la fuerza es cero cuando se inicia el desplazamiento, y al final su valor es igual al producto ku. F P t----,

".--0)_0 inicio

---

,.-"""'Q)_P fin

(a)

(b)

Figura 1-5 - Trabajo realizado por una fuerza que deforma un resorte

En este caso, que se muestra en la Figura loS, el área bajo la curva corresponde al trabajo realizado por la fuerza, el cual es equivalente a la energía de deformación acumulada en el resorte. x

[1]X =-kx 1

w= fPdu= fkudu= -ku 2

(1-6)

La energía de deformación, o energía potencial, acumulada en un resorte que es mantenido en un estado de deformación por una fuerza, es igual a: 1

E p =-kx 2

(1-7)

donde x es la deformación relativa entre los extremos del resorte.

k--------10

Cuando una masa m se encuentra en movimiento, la energía cinética que lleva la masa es: 1

E C =-rnv

(1-8)

donde v es la velocidad de la masa. En todo sistema conservativo la energía total es invariante, por esta razón la suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a una constante: (1-9)

y la derivada contra el tiempo de la energía es: (1-10)

1.7 Amortiguamiento 1.7.1 Generalidades

En general en todo cuerpo en movimiento, este último tiende a disminuir con el tiempo. La razón de esta disminución está asociada con una. perdida de la energía presente en el sistema. Esta pérdida de energía es producida por fuerzas de amortiguamiento o de fricción que obran sobre el sistema. La energía, ya sea cinética o potencial, se transforma en otras formas de energía tales como calor o ruido. Estos mecanismos de transformación de energía son complejos y no están totalmente entendidos, aún hoy en día. No obstante, existen varias formas de describir estos fenómenos que en alguna medida se ajustan a la observación. A continuación se presentan algunas de las formas más utilizadas para describir los fenómenos de amortiguamiento. 1.7.2 Amortiguamiento viscoso

Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energía cinética debido a que la viscosidad del fluido se opone al movímíenro. Esta pérdida de energía cinética está directamente asociada con la velocidad de] movimiento. La descripción matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso es la siguiente: (1-11)

donde: Fa e x

fuerza producida por el amortiguador constante del amortiguador velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador

En general se representa por medio del diagrama de la Figura 1-6(a), el cual recuerda los amortiguadores utilizados en los automóviles, los cuales son amortiguadores viscosos pues producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso a través de unos orificios en el émbolo de un pistón de acción doble.

~-.

.'I.(Uluca eSl,rUCI.lU(U U1J(I'LU-UU

(a)

(b)

Figura 1-6 - Relación fuerza-velocidad para un amortiguador viscoso

El amortiguamiento víscoso se presta para una descripción matemática simple, lo cual permite resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema dinámico sin mayor problema. Por esta razón se utiliza aún en casos en los cuales la descripción matemática no corresponde exactamente al fenómeno físico.

'.7.3 Amortiguamiento de Coulomb Este amortiguamiento corresponde al fenómeno físico de fricción entre superficies secas. La fuerza de fricción es igual al producto de la fuerza normal a la superficie N, y el coeficiente de fricción, /.l. Se supone que el amortiguamiento de Coulomb es independiente de la velocidad del movimíento, una vez éste se inicia. Siempre se opone al movimiento, por lo tanto tiene el signo contrario al de la velocidad. Matemáticamente se puede expresar por medio de la ecuación (1-12):

J.LN Figura 1-7 - Amortiguamiento de Coulomb

(I -1

donde: Fa 11 N

fuerza producida por el amortiguamiento coeficiente de fricción dinámica (adimensional) fuerza normal a la superficie de fricción

Su tratamiento matemático no puede realizarse por medio de funciones continuas, debido a que depende del signo de la velocidad, lo que introduce complejidad a la solución.

1.7.4 Amortiguamiento histeréttco La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Este tipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometido a inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del elemento se encuentra en el rango inelástico o no lineal. El hecho de que la curva de carga tenga una trayectoria diferente a la curva de descarga conduce a que no toda la energía de deformación acumulada en el elemento se convierta en energía cinética en el ciclo de descarga. Dependiendo del tipo de material la forma tanto de la curva de carga como la de descarga varia. A modo íh.stratívo, en la Figura 1-8 se muestra el comportamiento, en términos de fuerza-deformación, de un elemento estructural construido con un

~--------------------12

material inelastíco durante unos ciclos de carga y descarga, incluyendo reversión del sentido de las fuerzas aplicadas, En la figura se ha marcado la fuerza de fluencia Fy , a partir de la cual hay deformación sin que se presente un aumento en la fuerza. Una vez se invierte el movimiento, se inicia el ciclo de descarga, y el material reacciona de una manera diferente a cuando fue cargado, hasta cuando llega a la fluencia en el lado opuesto, -F y •

La acumulación de energía de deformación corresponde al área bajo la curva de carga, Figura 1-9(a). Cuando el sistema descarga la -~=----+-- -F;, energía que el sistema transfiere para convertirse en energía cinética corresponde al Figura 1-8 - Curva fuerza-deformación área bajo la curva de descarga, Fígura 1-9(b). para un material inelástico La diferencia entre las dos áreas corresponde a energía disipada por el sistema y que se convierte en calor, ruido u otros tipos de energía, Figura 1-9(c).

Ft Fy-r------==-......,

I (a) ciclo de carga

(b) ciclo de descarga

Figura 1-9 - Disipación de energía en un sistema inelástico

Aunque en algunos casos el comportamiento histerético de los elementos estructurales puede describirse por medio de modelos relativamente simples como modelo elasto-plástico, en la gran. mayoría de los casos hay necesidad de recurrir a modelos matemáticos más complejos. En el Capítulo ti se hace una descripción detallada de estos fenómenos para diferentes materiales estructurales.

1.8 Tipos de excitación dinámica Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinámicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad. Dentro de los tipos de excitación dinámica que pueden afectar una estructura, o un elemento estructural, se cuenta (véase la Figura 1-10) entre otros:

Causada por equipos mecánicos - Dentro de este grupo están los efectos causados por maquinarias y equipos que tengan componentes que roten o se desplacen periódicamente.

Causada por impacto - El hecho de que una masa sufra una colisión con otra, induce una fuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual induce vibraciones.

Causada por explosiones - Una explosión produce ondas de presión en el aire, o movímienros del terreno. -\mbos efectos afectan estructuras localizadas cerca del lugar de la explosión.

Causada por el viento - La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las estructuras varía en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas. Causada por olas - En las estructuras hidráulicas las olas inducen efectos dinámicos correspondientes a las variaciones del empuje hidráulico sobre ellas. Causada por sismos - El efecto sobre las estructuras de los movímíentos del terreno producidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes de la estructura. fuerza

equipos mecánicos

~Í\ . ~V~-, I

impacto

[1_

tiempo

•

explosiones

viento

t---------t-'--------------t--------------t olas

.~~~'-'" ""' '?"::~ .....•......•...•.•..•..•..••.....•...

Í\

tiempo

VV~

aceleración

sismos

~ •. .AhA

'~VV

.H Uempo

"V'

Figura 1-10 - Tipos d~ excitación dinámica

Capitulo 2

Sisie"UUj dinán.icos de un grado ele libertad

2.1 Vibración libre no amortiguada En la Figura 2-l(a) se muestra un sistema elástico de un grado de libertad compuesto por una masa m, la cual puede deslizar sin fricción sobre una superficie horizontal y cuya posición se describe por medio de la coordenada x, y por un resorte-que conecta la masa con un apoyo inmóvil, _mX

kx_

(a)

(b)

Figura 2-1 - Sistema elástico de un grado de Iibf'!rtad

Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tensión o en compresión, es proporcional a la deformación y siendo k la Oí),; ante de proporcionalidad, o rigidez, podernos determinar la fuerza que ejerce el resorte por medio de: (2-1)

donde: Fr k

fuerza ejercida por el resorte (N) rigidez del resorte (N/m) desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)

La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido a la aceleración a, está dada, según la segunda ley de Newron, por: F¡ =-mx

(2·2)

donde: F¡

m x

fuerza inercial que obra sobre la masa (N) masa (kg) aceleración de la masa (m/5 2 )

inámica estructural ajJunlUlI ((( u ..,,, •• ~ " . __..

Esta fuerza inercial obra en la dirección contraria a la dirección de la aceleración. Aplicando el procedimiento de "cuerpo Libre" en la masa, Figura 2-l(b), se obtienen las dos fuerzas que obran sobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por el resorte y la fuerza inercial. Por lo tanto, aplicando el principio de D'Alernbert: Fr - F¡ = k x + m x = O

(2-3)

Así se obtiene la siguiente ecuaClOn de equilibrio, correspondiente a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: m x s-k x e

(2-4)

Dividiendo por m y llamando cJ- la constante klm, se obtiene: (2-5)

y la solución de esta ecuación diferencial (2-5) es: (2-6)

x(t) = Asen(rot)+ B cos(rot)

donde A Y B dependen de lascondiciones iniciales que indujeron el movtmíentoPor lo tanto, si se define x, como el desplazamiento que tenía la masa en el momento t=O y Vo como su velocidad también en el tiempo t=O, se obtiene: (2-7)

X o = Asen(roO)+Bcos(roO)=B

Ahora derivando la ecuación (2-6):

x = Arocos(rot) - B rosen(rot)

(2-8)

que al tiempo t=O es igual a: Vo

= Arocos(mO)-Broscn(roQ) = Aro

(2-9)

y entonces

A=~

(2-10)

Por lo tanto la solución de la ecuación (2-5) se convierte en: x(t) = (

~ )sen(rot) + X o cos(rot)

(2-11)

donde: Vo

x, ro

velocidad de la masa en el instante t=O (m/s) desplazamiento de la masa en el instante t=O (m) frecuencia natural del sistema (rad/s)

El haber introducido un desplazamiento y una velocidad iniciales a la masa hace que ésta oscile con un movimiento periódico: a partir del momento (1=0) en que se introdujeron estas condiciones iniciales. En la Figura 2-2 se presenta el gráfico del desplazamiento de la masa con respecto al tiempo, correspondiente a la solución de la ecuación (2-11).

~-~----~-i6

x . -...

- ' - ..:..

penodo T

b:~;~i~;~.:.c;:.!.;.;.¡.-.i¡~~;iF,lt ~':> ro-o: "'.~J ..

Figura 2-2 - Desplazamiento de la masa en .el tiempo ante condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

. ", "'''',.,-.,~~_

Puede verse que se trata de un movimiento periódico. Esta periodicidad hace que el valor de x sea el mismo cada (21t1ro) segundos. Por lo tanto, es posible definir los siguientes términos: ro =

¡g;

frecuencia natural del sistema en radianes por segundo (rad/s)

ro = frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz ó L/s) 21t

f =-

2It

T =-

=-1 = período natural del sistema en segundos (s) f

Estas relaciones se han enmarcado para resaltar su importancia.

============================================ Eiemplo 2-1

UItCiL CCiLjCiL qlH' tiene IH'LCiL f'l'LCiLSCiL 1Itr. 1000 kg es soltCiLlltCiL lItesllte 1 metro lite CiLLtluu soine eL centro lite LCiL LllZ lite I1HCiL VigCiL sif'npLef'lte/tte CiLYJ0I:1UlltCiL. de m(A,sa ~tcspreciabLe. La VigCiL tievLe IU'La L,u L de 10 ID 1:1 SIl, secciólt tielte 0.20 m de CiL/tdw p(lr 0.50 m de CiLLto_ Estri constrtÜdCiL de IU'L I'ltCiLteriCiLL (HijO f'ltódlÚO de eLasiicidallt E es 25 000 MPa. Elt La Fig/UCiL 2-3 se mlH'strCiL eL sistel1tCiL. masa 1000 kg - 0.2 m -t-t

O•S m

sección

10m .Figura 2-3 - Viga sobre la cual se deja caer una masa

SILIJOIticltdo (,j1H' LCiL CUjCiL (,jlted(A. toLuLI1te/tLe udlwrid(A, U Lu vigCiL a pwtir deL flwlnel1Jo deL CCillt(A,clo LfticiaL detlf' en('()l1trarse I1HU dcscriYJCión deL l'ltovimiel'Lto OSCiLlA-torio ql1t' se genera.

17 ~-

.; __ ._,._.'c_.... ,--·",,,,,,,~·

rílnicH est r!IClUnll <lJllIllHl" u . . . . ,,~ •• ~ __ ,_,

L14 vvuixil1tU cüjlexiém. vertiml ¡/lIte tiene L14 vig14 I:J l14sJw'Yl14S vnrixÜ1tlA's tljlte se iVLdli'(~ft ev¡, L14 vig14. EL rrimfr f'l14S0 elt L14 soLI·tción consiste eltjormltLrítr el I1wdeLo de 1m sistem14 de H,vl- grÓl.do de líl'iertcu;t íjlte tWS remtit14 descritlir el I1wvü'ltieJtto osciL14torio Cj'~.e se geltem. Es evidev¡,te íjlte IUt14 vez L14 C14jrít se w;ULÍere rít Lrít vigrít se tiene IUt síste mrít dil1út1tico elt el (I1.rítL LiA. 11t14Srít r¡roviev\,(' solamente de tiA. C14j14 drítdo CjH.e l14 vigrít tiene VltiA.SiA. deswecirítble. L14 rigidez del sistem14 es L14 rigic;{,ez de L14 vigrít. Como LiA. mj14 me verucaünenre L14s dcjtexiovl-es de L14 vig14 serúvltrcutsversrítLes a Sil lli2. p¡.:Hrít obtener lrít rigidez se etebe deLermiVLrítr L14 dEflexiém de l14 vigrít elt eL ceutro de L14 LHZ (sitio etd imr1f,1,cto) rl14m ,uta carga ,utitaria colometiA. aLLí. taL COl11.O se 1'ltltCstm en Lrít FiglH14 2-4.

Figura 2-4 - Deflexión de la viga ante una carga unitaria

UtiLiZlA.Itdo Clt14Lqlüem ete Los tnétoetos cLúsicos de resistettcirít de materiaLes ¡·mm mLc,üar dejlexiOltes en vigas (úrea momento. vigrít col1:Íllga(,1.rít. etc.) es yJosibLe obtener (véase La seccíón 1.5) la siglüeVLte eXf'lresiólt yJam la dEflexiólt CI1, el centro de Lrít L/lZ de la viga:

0=48EI

dOltdc L

E I

LHZ de La vigrít = 10 m l1wd,tLo cte eLasticid14d del mrítlerirítL de lrít vigrít = 25000.MPa VlWl1telttO de inercirít de liA. sección de liA. viga = 0.53 . 0.2/12 = 0.002 ()83 m 1

Dado íjltC P =k () . entonces k = P = P 48 El = 48 El PU L3

I:J /'lar Lo tanto

k = 48·25000· 0.002083/10 = 2.S MPa' ID = 2.5 '10 Nlm

[a l'ltaS14 ID [-'te lct mja es 1000 kg. r10r lo tanto lrítJrec'teltü{~. 11,14tltml del sistema (viga + mjrít). elt mdiaites rJor seglutdo. se obtíene de:

ro= {k =

V;¡

2.5.10 N/m = 2.5.103 kg·m·s- 1m =50 rctd/s 1000 kg kg

slljreCltelt(Íct en ciclos por segl-tlteto f = roI21t = SO/21t = 7.96 Hz

lj SIl, f'leriodo elt segl1.netos

T = l/f = 117.96 = 0.126 s

~-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ...

b [ •

Cavi, tJase CI1 ío wtt.erior. se rJl1.ede p~aVl-tear ~a ecnaciólt d.ífere¡·u:ia~ de eqlúLíbrío segt'ut la eW.a(ÍóVl- (2-4-). en la Cltal se ~"a tOlnlA.ÚO COVVLO niveL úe reJerevu:ia (x=O). et niveL al C/HA.L se el.lLCOvLtraría LIA. vigu con Lu caja coLocaliLa lelttaVlteltte. o sea aL l'tÍveL liLe La liLeJLexíón estútica oe' de Luviga evt eL centro liLe S11. L,1Z (oe = WIk = rnglk): mx+kx=O

o ividieJtliLo por m :

La soLnciém. de uCIi.Crdo con Lu emaciém (2-11). es: x(t) = ( :; )sen(cot) + X o cos(cot)

Alwra. eli. f'i f1UH11.f'-I1.W deL ÍfnrJlA.uo úe La caja con LIA. vigu. eL cl1.aL se dCJÍlte conto t=O. eL desrJLazalniento de Lu VHIA.Sa es cero. por Lo tanto Xo=O. Para OtJtcfter LIA. veLociúlA.d qlv~ tievlf La VltaSU, eJt eL 11WI1tfltW deL impacto se debe obte/ter La vefoci(;{.llÍ.d qttf Lielte La caju riesfJl1·rs rie I"utl('r ({A.íIAG. 1m Inetrn. La energí(;j, cÍltéticcl (mv2/ 2) ¡;jltf tiene Lu cuja en eL num1eltlo del lmplA.ClO es uJlüA.L lA. La ellergf",¡, rJotevtciaL qli.C líe/te av"tes de soLtarLa (wh). Por Lo tWtto: mv2/2 = wh Ij dado qlle rn = w/g. sc.ohtíene v2 = 2gh. v2 = 2gh = 2 . 9.8 . 1 = 19.6 m 2/s2

Lu vcLoddad de La caja el1. eL V11CHnenlO deL Íln!',acto es. entonces. v =4.43 mis

Por lo taltlo V o es 4.43 mis Ij La rieJkxiém CI1 el cel11ro de /IJ. LIE en CltlA.Lqlúer instr;uHe úesyntés rieL ilnr,acto se fJllede o!'ltener de: x(t) = (vJro) sen(cot) + x, cos(rot) =(4.43/50) sen(50t) + (O) cos(50t) =: 0.0886 sen(50t)

x(t) (m)

0.10 0.08 0.06 / 0.04 I 0.02 1/ 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 0.00

..---... /

\ i\ ,\ ! \ ¡ i

/ i

I \

\..

:/ 0.10

I /

"-'f 0.05

/b",

0:15

,\... _ ./ -l

0.20

tiempo t (s) Figura 2-5 - Deflexión de la viga en el centro de la luz

0.25

~{¡l1UC(J eSITU("((U «' "pi" I n n l U '

La f'l'táxünu cieflexLól'L ciLnávvüca 0We tiene Lu viga eVL SIl, centro de La LHz se ,presel1ta evi, d il1stul'Lte Cltul'LCÍO 50t = rrJ2, o sea CI{,w1cio t = rrJ100 = 0.0314 s. lJ esta citjLexióvL tiene IH'L valor de 0.0886 ID, igltaL u La uvnpLitltci de LujlH1Ción SÜ11150iciaL.

LG1, máximujlterza ü'Lt'rciu[ lijlte impCH'Le el VlwvilnLento (/\, LCA viga es iglÜAJ a Lajlterzu estáUcu Gjlte ILUI'lrfu l'Lecesiciuci de colocar /"lrMa ohtener LIA l'l'LisH'La oLeflexiól'L de 0.0886 ro, o se«. 0.0886 k = 0.0886' 2.5' 106 = 221500 N A esta vl1Lsmü Jlterzu se J1aecie LLegur cuLwJw'LoLo Lü l'l'Láximu üceLerüció~'L Id Vl11üüYlLicál1oLoLa

por Lu Vl'Lüsü. Lü emudóv\' de La aceLerüciól'L se ouuene derivando dos veces COI'Ltrü el tiempo La eCltució\'L cid aesYJLcuamie~tto Gj/U' se obtuvo (/\'1'Lterioff'J'LCf'Lte. La cltüL se presenta ae rtltevo (/\, cm'Lti~'L1 t(/\,dÓi'l: x(t)

=0.0886 sentcot)

aerLVÜi'LoLo IU'LÜ vez se ohtíerte [ü eC/tadól'L de LuveLoda(/\,d: x(t)

=0.0886 ro cosúot)

x(t) = -0.0886 (f)2 sen(rot) = -221.5 sen(rot)

Lu Vl'Láxiina üceLerüdól'L se r1reSel'Lta C/ttimao 50t =rr/2. o sea Cltünclo t =rr/l00 = 0.0314 s. o sea Clt(/\'i'1d.O el despLcuamiel'LLo t(/\,m~)Lél'L es máxLvno. 11 tiene ai1 vaíor de -221.5 mls2 . Por Lo t(/\,l'Lto Lü máxLm(/\,jaerzü üterciuL correspol'Lae ü: F¡ =-m x = -1000, -221.5 = 221500 N

Opte es el mismo valor oL! te~üdo unte rioff'J'Lel'Lte. vaLe L(/\, pei'LÜ (esaLt(/\,r Lvl eltCrVlte aifert:ftCirA lijltf se ()LJtev~drí~l. si [CA. mja se c.o!üu,,,- sin dejarLu caer. caso en el clt(/\,L La cargü SO~'lYe Lu vLgu sería 1000 kg x 9.8 mls2 = 9800 N 11 La máxLVl'L(/\, atjLexiÓi'L verticaL Gjlte tel'LoLrfu Lu vigü serfu oe = PIk = 9800/2.5 . 106 = 0.004 ro = 4 mm. Debe üavertirse qlte Lüs oLeJLexim'Lt's o~lte~'Littas correSpm'Laef'L It~ticamef'Lte ü Lu YItMte DiLl'LáVltlca. !j (;jIte La vLga tiene IU'L(/\' agLexLÓi'L e'trÁlLca. COi'L 1m valor Lg/taL a 4 mm. o seu Gjlte Las osciLacimtes oLil'Lávl'LLc.as SOi'L aeJLexLmtes reLatwas COVi, respecto a esta atjLexLÓf'L estática.

•

2.2 Vibración libre amortiquada Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se disipe. Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos dentro de los cuales se puede contar la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movírníenro, la no linealidad del material del resorte, entre otros. Existen numerosas maneras de describir matemáticamente el efecto de fricción. Dentro de estos modelos, uno de los más utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso (véase la Sección 1.7). E~ el amortiguamiento viscoso la

l . : - - - - . - - - - - - -20- - - - - - - - - - - - - -

~_.L

fuerza de amortiguamiento es directamenteproporcional a la velocidad relativa entre los-e:~r~ill-os-del ~lmortlguaaor, lo cual sé puede descriºiJ;:_p_or!lH~di9j;ie.lasiguiente ecuación: (2 -12)

donde: Fa e X

fuerza producida por el amortiguador (N) constante del amortiguador (N· s/rn) velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (mis)

En la Figura 2-6 se muestra un sistema lineal amortiguado de un grado de libertad. El grado de libertad está descrito por la ordenada x, la cual indica la posición de la masa m. A esta masa, colocada sobre una superficie sin fricción, están conectados un resorte con constante de rigidez k y un amortiguador cuya constante es c. -mX° kxID

cx(a)

(b)

Figura 2-6 - Sistema tlneel amortiguado de un grado de libertad

De la aplicación del procedimiento de cuerpo libre sobre la masa, se obtienen las tres fuerzas que obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte F" descrita por la ecuación (2-1); la fuerza inercial producida por la aceleración de la masa, dada por la ecuación (2-2) y por la fuerza ejercida por el amortiguador dada en la ecuación ('2-12). Utilizando el principio de D'Alembert puede plantearse la siguiente eruación: (2-13)

y al reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas: (2 -14)

kx-t-cx>- (-mi) = O

lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: (2 -15)

mx t-cx-t kx e Il

La ecuación característica de la ecuación anterior es: (2-16) cuyas raíces son: -4mk A= -C+~C2 -

(2-17)

o sea -c+Jc 2 -4mk

A1 = - - - - - 2m

(2-17a)

~Dillánlica eszruceur«r ({Pll~UUu <.. ".~_.

"'"

.",

_C_~C2 -4mk A2 = - - - - - 2m

(2-17b)

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema (2-1 S), es: (2 -18)

donde: constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento base de los logaritmos neperianos .

A B

Existen tres casos de solución para la ecuación anterior dependiendo del valor del radical de la ecuación (2-17), los cuales se presentan a continuación.

2.2.1 Amortiguamiento critico Cuando el radical de la ecuación (2-17) es igual a cero la cantidad de amortiguamiento e, se denomina amortiguamiento crítico y se define como Ce Y se obtiene así: C~ -4mk= O

(2-19)

por lo tanto (2-20)

Ce = 2-Jmk = 2.Jmk(m I m) = 2moo

Definiendo é. como el coeficiente de amortiguamiento crítico, igual al cociente ele¿ entonces: c=2~moo

(2-21)

que al ser reemplazado en las ecuaciones (2-17a) y (2-17b) se obtiene:

=[-~+ ~~2 -1 Joo

(2-22)

A2=[-~-J~2-1Joo

(2-23)

Al y

Ahora, los tres casos de interés se han convertido en ~ = 1, ~ > 1 y ~ < 1, que se denominan amortiguamiento igual, mayor y menor del crítico, respectivamente. Para el caso de amortiguamiento igual al crítico (~= 1): (2-24)

Debido a la doble raíz la solución para el movimiento x, es del tipo: (2-25)

~-----Reemplazando las condiciones iniciales se obtiene:

(2-26)

donde x, Y V o son el desplazamiento y la velocidad iniciales respecttvamente.

X.., i

------------=~~""""""---->- t

Figura 2-7 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento igual al crítico

Este es un movimiento aperiódico pues no hay oscilación, como puede verse en la Figura c¿-7. Este es el caso en el cual el sistema regresa de la manera más rápida a su condición de reposo.

2.2.2 Amortiguamiento mayor que el critico ,...

En este caso ~ > 1. Tomando los valores de 11.1 y 11.2 de las ecuaciones (2-22) y (2-23) e introduciéndolos en la ecuación (2-18), (2-18) se obtiene: x(t) = e-~cot[ A e ~~2-lcot + B e _~~2_l cot]

(2-27)

A Y B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este caso

el movímíenro también es aperiódico como en el caso de amortiguarníento critico, con leí diferencia que el movimiento decrece más lentamente que cuando se tiene amortiguamiento igual al crítico, .

2.2.3 Amortiguamiento menor que el critico Corresponde a la posibilidad de mayor interés por cuanto se presenta vibración. La gran mayoría de aplicaciones prácticas en vibraciones están regidas por este caso debido al hecho de que la gran mayoría de los sistemas estructurales tiene valores de amortiguamiento bajos. En este caso ~_..'S._!:_ Tomando los valores de 11.1 y A2 de las ecuaciones (2-22) y (2-23) puede verse que la parte interna de los radicales es negativa, por lo tanto la solución es imaginaria: (2-28) Aplicando la transformación de Euler, la cual se expresa como: e iy = cos(y)+isen(y)

(2-29a)

e -iy = cos(y) - i sen(y)

(2-29b)

I.JIIUlIIU\, \.t:

'-,~,H. . . . "' ...... ,~. ~ __

se obtiene una forma no imaginaria de la ecuación (2-28): (2-30) Al resolver las constantes e y D para las condiciones iniciales de desplazamiento inicial Xo, y velocidad inicial vo , se obtiene:

(2-31)

donde COa se conoce como la frecuencia amortiguada y está definida por: (2-32) El movimiento disminuye de amplitud exponencialmente como se muestra en la Figura 2-8. La porción oscilatoria tiene un período un poco mayor que el que tendría un sistema no amortiguado con la misma rigidez y masa:

= 21t =

roa

21t

(2-33)

Jl- ~2 ro

Xo -f------+----I-------\----I---~--.~~t

Figura 2-8 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento menor del crítico

Ejemplo 2-2 UtiLlZCJtVLcto los dlíttos ctel Ejeml'llo 2-1, e~t el Cltlítl se ctejó caer IUtlil. Clil.jeA. COV11UteA. mlil.slít cte 1000 kg sobre ItVLeA. vigeA.1j UptE' el sistemlít CO~1jIUttO ttene IHtlítjrecl,te¡teieA. It¡;ültml cte 50 rad/s. se cteseeA. enrontrar leA. ~n(;ixúltlít lítnt~litltct cteL v¡lOvif'nie~tto ctlítcto (~HR el sistemlít eA.hom tíeVlR It~t lítI11Ortigltlil.mie¡tto e cte 5000 N • slm.

EL coejtcteate cte eA.f'lwrtiglteA.mieltto crítico, ~, se obtie¡te cte: e 2mro

~=--=

5000

2·1000,50

=0.05=5%

Dlil.uto qlH' el co\ficie¡tte cte tJLf11.ortiglleA.f11.ÍeVl,to crítico c.'> I1tCVWI' ql{e llil. luüalil.u1. el 111OVÚ1ÜCVltO estú aescrilO por:

ll--- - - ~ - - - - - ~----

AL rcel1wLazar Los vaLores ay¡roynados, tol·nuvLus ud ejel1ty¡Lo ).-1, se ov,UeI1e:

U;¿-'/;):,; ".i F;){:(H<n~\ ur: 0;;::::,,<

roa =

x(t) (m)

Jl- ~2 ro = Jl- (0.05)2 50 = 49.94 rad/s

0.10 - , - - - - - - - - , - - - - - - - - - - , - - - - - - , - - - - - - - , - - - - - - - - - , 0.08 t----~-~-+----------t 0,06 r---;'--------Cl~-----T--~-_r~-o;;T""--_¡_----.:.--,-_j , 0,04 +---cr----~--,-0.02 +-F-----++----r-------u----+------'li~___1--------I O.00 -f--+--+--+---+---+-~..___._--+----+___1-r--+_;+----+---+----+--+~-+---+-t--+---+-----;! -0.02 t--------+---\\;----t------¡'I----+-----"'~----_fF1 -0,04 t--------+------'\~--t---.H----+-.----~ "",,=--,-~~ -0,06 +-------+-----v''''-::----"1c/-cf-------+-------f'<-0.08 +-------+-----~---"1c/_0,10.L--------"------'---------L.-------'--0.00

0,05

0.10

0.15

0.20

0.25

t (s) Figura 2-9 - Deflexión de la viga en el centro de la luz

EL In6tximo vl1ovimieltto ocnrre rara sen(ro"t) = 1. o sea rara ro"t = rrJ2 = rrJ(2ro,,) =0.0315 s. La Ul11rLitl1.u en este i/1stcmtc es:

_ -2.5'0.a31S[ _ 4.43 x-e _ 1] _ U.~243· 4.43 - O082 m o

49.94

- .

49.94

F¡ =0.082 k =205 000 N

EstajI1.cI'Za es mClwr CjI1.C Lu I/jltC se Otlt/1VO eH eL Fjcl1ly¡Ln 2-1 sü'\. ctI1wrtigl1cu1ÜeJ1to. En Ju Fígltra 2-9 se ml1.cstra tu resrJt1k'sta ae Lu vigu el'\. eL CUSO u/1wrtigltudo L) 0 1'10 l á 1w rtign a d o (Ejf'f11rJLo 7.-1),

•

2.2.4 Decremento logarítmico

Existen diferentes métodos para obtener el coeficiente de amortiguamiento crítico, S. SI se conocen las amplitudes de los picos de oscilaciones sucesivas, xn , Xn+1< Xn+2, ... , tal como se muestra en la Figura 2-10, es posible ver que el intervalo de tiempo entre picos sucesivos es el período amortiguado Ta .

liílllicu estructural ajJIICU(UI (Ir ({.:,ellll .7"."",,_

Tomando el cociente entre la amplitud de dos picos sucesivos XJX¡+l Y por medio de la ecuación (2-31), es posible obtener: Xi -~Ol(t·-t. ¡) --=e .. + =e"~01fa

(2-]-l)

Xi+l

El logaritmo natural de este cociente se conoce con el nombre de decremento logarítmico: (2-35)

a partir del cual es posible calcular ~:

(2-36)

Figura 2-10 - Cálculo del decremento logarítmico

El valor del decremento logarítmico para valores pequeños de b se convierte en: (2-37)

Por lo tanto, disponiendo de un registro de las oscilaciones es posible entonces determinar el coeficiente de amortiguamiento crítico con facilidad. Cuando el movimiento decrece muy poco, debido a que el amortiguamiento es pequeño, el valor del decremento logarítmico puede obtenerse comparando las amplitudes localizadas n ciclos aparte por medio de:

(X.)

1 b=-ln -'n Xi+o

(2-38)

L...- - - - - - - - - - - -26- - - - - - - - - - - - -

_ _ _ _di

•

lIIl

------------_.-----

Ejemplo 2-3 EL 11wvLvvLÍevLtCl CVL vLbmdéll1 LLbre áe IU1 sLstel1tu áecredó áe Juta am¡r¡LLtliá áe 0.155 ID a 0.006 ID aL cMJO ác 22 cíctos. Se áescu saber wúL es eí corjiúcnte áe af1Wrügl1W1ÜelttcJ críüco áe1

sLsLema. S. Lu soL/telón es: 1 (0.155) b = -In - - = 0.1478 Y 2~

0.006

(0.~:78)

s= -;====== 0.0235 = 2.35% 1+(0.~:78r

• 2.3 Vibraciones forzadas armónicas En la Figura 2 -11 se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le aplica una fuerza que varía en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza periódica puede describirse por medio de Fosen(Qt), de la cual podemos decir que su máximo valor es F o Y que tiene una frecuencia de Q rad/s. Del cuerpo libre es posible plantear la siguiente ecuación de equilibrio: mx + ex + kx = Fosen(Qt)

(2-39)

_mx

ex (al

(hJ

Figura 2-11 - Sistema de un grado de libertad sometido a excitación armónica

La solución de esta ecuación diferencial no homogénea de segundo orden se divide en dos partes: una solución homogénea y una solución particular. La soluciónhomogénea corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales, la cualse rige por la ecuación (2-1~) Y dependiendo del valor del coeficiente del amortiguamiento crítico tiene las diferentes soluciones planteadas anteriormente. La solución particular depende de la fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la respuesta correspondiente a la solución homogénea desaparece pasado algún tiempo pues el amortiguamiento la diminuye; por lo tanto, sólo la solución particular es de interés cuando ha transcurrido algún tiempo después de iniciado el movimiento. Puede suponerse que la solución particular tiene la siguiente forma: x = Xsen(Qt - <1»

(2-40)

donde: X <1>

es la amplitud del movimiento (m) es el desfase de la respuesta con respecto ¿: Iél excitación (rad)

9_1

En la Figura '2~1::¡)se muestra la amplificación dinámi~~_en ~'unci~n del coc~en~e en:re la:" frecuencias, (Q/ro). Es importante anotar que la arnpliñcación esta dada en función del

:CIJillálllica est rllC(llr(l1 (I[>ucuczu Ul "''''''·HU .'-......_" .-----------"'----------------------

Al derivar contra el tiempo la ecuación (2-40) se llega a:

x = XQcos(Qt- <ji)

(2-41)

y derivando nuevamente:

x=_XQ2 sen(Qt-<jI)

(2-42)

Reemplazando (2-40), (2-41) Y (2-42) en (2-39), y pasando todos los términos al lado derecho de la ecuación, se obtiene: Fosen(Qt) + mXQ2 sen(Qt - <1» - cXQcos(Qt - <ji) - kXsen(Qt - <1» = O

(2-43)

Para describir el movimiento puede utilizarse un sistema cartesiano en el cual alrededor de su origen rotan unos vectores correspondientes a cada uno de los términos de la ecuación (2-43). El eje de las abcisas corresponde a la línea de referencia sobre la cual se mide el ángulo Qt. La ecuación de equilibrio (2-43) se representa por medio de la proyección de sus términos sobre el eje vertical. Los vectores correspondientes a cada uno de los términos de la ecuación rotan con respecto al origen, y su posición se describe por medio del ángulo apropiado. En la Figura 2-12 se presenta de esta manera la ecuación (2-43).

XcQ

Figura 2-12 - Respuesta a la excitación armónica como vectores que rotan

El conjunto de vectores que rotan está en equilibrio, pues su suma vectorial conduce nuevamente al inicio del primer vector. Al sumar los vectores correspondientes a {k X} y {XmQ2} se obtiene la representación mostrada en la Figura 2-13.

xcn eje de referencia

Figura 2-13 - Respuesta a la excitación armónica como vectores que rotan

Allí es posible, utilizando el teorema de Pitágoras, encontrar: (2-44) de donde podemos calcular la magnitud de X (2-45)

~----- , 28

---- .

y el ángulo de desfase ~ con respecto a la excitación: eQ

(2-46)

tau<!l=--k_mQ2

Realizando las transformaciones apropiadas, las ecuaciones anteriores se convierten en:

(;)

(2-45a)

[I-(~rr +H~)J tan =

2~(~)

1-(~)

(2-46a)

La ecuación (2-45) describe un fenómeno clásico de resonancia. Cuando el coeficiente de amortiguamiento crítico ;, es igual a cero y la relación entre frecuencias (Q/ro), es igual a la unidad, el denominador de la ecuación (2-45) es cero y por lo tanto la amplificación se convierte en infinito. 3.0,------,-----rr-.,.-..,.,------r----,------¡-----,

\-----t- 1; = 0.0 2.5 +--------j---H-~""'k_----'H---+----__t----_+_---__J

U-------t-1; = 0.1 2.0 +-------j---IJ'-I---+-+---\t---+--------j----

-l

\-\\---t-1; =0.2 Fo /k

1.5 +------!---/>~--__+_--+\\_-+___,,____~:_+----+_

0.5 +--------j--------="""i-=-=""-=----?"l--;;:~"""'-_+---

0.0·c¡:·----1------4-----+----4----i-------j 0.0

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

3.(J

QjO)

Figura 2-14 - Amplificación dinámica

El hecho de que el amorríguamíento no sea cero indica que este denominador es diferente de cero y por lo tanto la amplificación, aunque de magnitud importante, tiene un valor finito. Es posible demostrar que el máximo valor de X se obtiene cuando: (2-47) ..... ~"" "

En la Figura 2-14)se muestra la amplificación dinámica en función del cociente entre las frecuencias, (Q/ro). Es importante anotar que la amplificación está dada en función del

~1D;.1JIlIUIHIlU Il:·~"·.u""",u,."" "~r'-,-

;;.."

.. 1,.

desplazamiento estático del sistema (F.,Ik), el cual corresponde a la deflexión que tendría el sistema si la fuerza F, se aplica muy lentamente. En algunos casos es conveniente expresar la ecuación (2-40) como una suma de un seno y un coseno, en vez de un seno más un ángulo de desfase. Definiendo ~ = Q/ro y utilizando sen(a - y) =sella cosy - cosa seny, obtenemos:

(2-48) y

Fo k 2

x(t)=

(2-49)

[(1-132)sen(Qt)-21;13cos(Qt)]

[1-/32] + [21;/3]2

Ejemplo 2-4 UV\, taltCjlte ete l/l.glta con It,ftl/l. sección I10 rizoIttl/l.L etc 1 ID 2 etc árca está colocarte eit Ll/l. plll.ltc ';Itperior ete luta COLIHitlta ttdJ/ül/l.r ete 8 ID ete aLtiva cltlja secció.: tiOte IUt cHárnetro d = 0.25 ID con 1~.ltl/l. rJured t = 0.01 ID ae espesor Ij COltstnüal/l. de /Ut rnateril/l.L COV\, 1m fiWdltLO de e Lus ticidaet E = 200000 MPa.

área = 1 m 2

no D

0.25m

EVI. Ll/l. rJwte iviferior eteL tWtCjlie ILl/l.1j Ime-{. bmi1vlu (,1(' (.\.gl~.a Wtf ejerce liVl.a Jlterzl/l. horizol1.taL l/l.Yf1w!'LÍm ete Fo = 100 N con lutl/l.jrecltevLcLl/l. Q = 5 rad/s. EL tlll.ltCj/{.(' Vl/l.(ÍO ÍI'LCLtiljcltdo Ll/l. coL/u1tltl/l.. tievLf IUtU rnl/l.Sl/l. de 500 kg. EL l/l.vJtOrtiglil/l.I1Úeltto ctcL sistenll/l. es ~ =2% de t crítico.

0001 m

seccion de la columna

Figura 2-15 - Tanque de agua

Elt Ll/l. Fígltxu 2-15 se rnlteSUu corno está etiSpl1.eStO el sistenua. Se desea Sl/l.lJCr Ll/l. aLluyu deL ugltiA. cieL tl/l.ltCj/1.e rJl/l.YU Ll/l. CltiA.L se preseJll,t.aVl. Las Incixilnl/l.sjlterziA.S horizoVl.tl/l.Les illal1.cietl/l.S r10r LiA. bornlll/l.1j el VJtOl1tefltojLector (¡111.e proetlM:nl estasJ'terzlíLS en Ll/l. lIase ete La coLIUnltl/l.. EL sisterna p/1.ede ideaLizarse corno lUla coLlunltiA. ea voLctetizo COI'L IUliA. Inl/l.sa ell La purte saperior. AL upLimr Ima Jlterza horizol'LtaL P el'L La piA.rte s¡tperior ete La coLt.trnVl.a es posibLe obtener por cltl/l.LCj/üer rnét.odo de resistenci« de li1.ateril/l.Les (véiA.sf La Secciólt 1.5) La sigl1.Íel'Lt.e

reLacLóVl.: P= k S = 3EI 8

_-1-.

E = 200 000 MPa

1 = 1t t d3/S = n- 0.01 . (0.25)3/ 8 = 6.14 . 10-5 m"

L=Sm

entonces k = 3'200000'6.14.10-5/8 3 = 72 000 N/m

La ntL1SL1 corresrlO/tae L1 LIA, mL1SL1 deL t.UltqIH? U LL1 coL/tf'ltVLL1, mús LL1 deL L1g/1Ü U¡I1.e cont.e/tgL1

eL t.Wtu¡ /1,e 2

m = mtan+col + magua = 500+ h- 1 m ,1000 kg / m:' = 500+ 1000h (kg)

LL1jreutcnci(A, ItL1w,mL deL sistentL1 es:

I 72000

ro = V-;;; = ~ 500+1000h

rad/seg

Ui Inúxi¡'1114 jl1.e/7.l1 I wrizcllttuL se y¡rodltcC' cl1.wtdo se ticlte LL1 múxintL1 w1tpLitI1.&t () scu cl1,wldo sc preselt1.l1L rcsOltL1ltciL1. Esto OrJ1rrc' c/t,L1ltdo eL cociente fJjro es igl1.L1L L1: Q = ~l- 2V = ~1- 2(0.02)2 = 0.9996 == 1.0

ro =

72000 = Q = 5 rad / seg 500+1000h

2-500 h= 72000/5 =2.38 m 1000

C/1wtdo eL ug/tU til'/'lC' /HtL1 L1LUuu ig/~,14L 14 2.3~ m se preseltt14 L14 múxiln14 Lv0Llí.t'ltciu 'de Lu Vi~JmCiém CUl15Uíi14 por Lu tJo/'ÜJ14 í,tl' L1gt~,L1, LL1 múx¿mn, 14mpLit/~,d de L14 defiexiált lLOriZ0I1tuL

se obtie/'Lt' por nteaio {¡Le Lu eCl1,uciólL (2-45):

(~ )

( 100 ) l72000

[l-(~rr +s(~)r LL1 múxim,L1jI1.erZU es por Lo tWtto, P = k X = 72 000 . 0.035 = 2520 N

U et InúxÍlno ''lWI1telttO en Lu b14se de LL1 COLl1./'lUtU es M = P L = 2520 . 8 = 20 160 N . m

i ------------------

.".'----~-,

.........

• :31

Dinámica estructural aplicada a/ (/Isellu '')'''''''nv

2.4 Vibraciones transitorias La determinación de la respuesta de un sistema de un grado de libertad que se ve afectado por una excitación que no es ni periódica ni armónica presenta un grado de complejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemático de su solución es relativamente sencillo. En muchos casos prácticos donde se tienen excitaciones que no se prestan a una descripción matemática hay necesidad de recurrir a métodos numéricos para obtener la solución. Desde la aparición del computador la alternativa de utilizar soluciones por medio de métodos numéricos ha cobrado mayor popularidad y puede afirmarse que aún en muchos casos para los cuales existe solución trascendental, se recurre al computador. A continuación se presentan los fundamentos matemáticos del problema, y posteriormente en el Capítulo 3, la solución por medio de métodos numéricos. 2.4.1 Respuesta a un impulso

Un impulso es una fuerza de gran magnitud que actúa durante un tiempo muy corto.

fuerza

El efecto del impulso está definido por dos parámetros, el valor de la fuerza y su duración. En la Figura 2-16 se muestra un impulso cuya fuerza tiene una magnitud F y que obra por un instante de tiempo At. La magnitud del impulso F está definida por:

tiempo, t ~t

Figura 2-16 -Impulso

t+t.t

F = fFdt

(2-50)

Utilizando la segunda ley de Newton, ecuación (1-2), la cual se puede expresar corno: dv

F=ma=mdt

(2- 51)

Aceptando que la derivada de la velocidad es expresable corno un diferencial se obtendría: F=m

(2-52)

y al reordenar: F .M=mAv

(2-53)

por lo tanto la magnitud del impulso F = FM, es equivalente a la masa multiplicada por U;} cambio en velocidad, m Av. Al aplicar lo anterior a un sistema elástico de un grado de libertad imponiendo un impulso a la masa del sistema, o sea una fuerza de magnitud definida por en intervalo

~------...;.---

de tiempo muy corto, se le está produciendo un cambio de velocidad Llv, que es equivalente a: Llv = F M

(2-54)

Por lo tanto, el sistema sufre un cambio de velocidad pero no de desplazamiento. Esto es totalmente equivalente a imponer una condición inicial de velocidad vo , mientras que la condición inicial de desplazamiento Xo, es nula. La condición inicial de velocidad es: F

v=o m

(2 - 55)

Entonces para un sistema no amortiguado en vibración libre con condiciones iniciales, ecuación (2-11), la respuesta al impulso para cualquier tiempo t después de su aplicación es:

[ F 1

(

x(t)= ( ;; )sen(rot)= mro Fen~rot) V

(2-56)

y análogamente para el sistema amortiguado, ecuación (2-31), se obtiene:

(2-57)

que al incluir la definición de ro" se convierte en: 58)

Es evidente que esta ecuacion adolece de la claridad que requiere la definición de impulso: "Es una fuerza de gran magnitud que actúa durante UD tiempo muy corto". Desde el punto de vista de ingeniería "gran" y "corto" no pasan de ser apreciaciones imperfectas sobre un fenómeno. Lo anterior se aclara en el numeral siguiente, donde esta definición se utiliza para plantear una integración clásica. Basta recordar que el término F = FM provino de expresar como diferencias las derivadas de la 2 a Ley de Newton y que por lo tanto al expresarla nuevamente en términos diferenciales F = F dt, Y para un impulso aplicado en cualquier tiempo r las ecuaciones (2-56) y (2-58) se pueden expresar diferencíalmente como:

F('t) mro

{

}

dx = --sen ro(t - 't) d't

(2-59)

y para el caso con amortiguamiento:

! I

dx e

F('t)

mro~

e-~0l(t-'t){sen[~1_~2 ro(t-'t)]}d't

(2-60)

. jJillallllca eSI Hll(((llll ..1'.. " ..... '"

.....

2.4.2 Excitación arbitraria Cuando un sistema como el mostrado en la Figura 2-17 se somete a una excitación arbitraria expresada en términos de fuerza, como la indicada en la Figura 2-18, es posible dividirla en una serie de impulsos que se aplican en el tiempo 't y que tienen una duración dt. F

F(t}

d1: 1:

Figura 2-17 - Sistema lineal amortiguado

Figura 2-18 - Excitación Arbitraria

Al integrar el efecto de cada uno de estos impulsos diferenciales variando r; se obtiene para el caso sin amortiguamiento: t

x(t) = di =

l' -f F('t)sen{ro(t- 't)}d't meo o

(2-61)

y para el caso con amortiguamiento: ,

(2-62)

Estas integrales se conocen como integrales de convolución o de Duhamel, y corresponden a la solución particular del sistema. Si hay condiciones iniciales hay necesidad de adícíonarles la solución homogénea, ecuaciones (2-11) Y (2-31) respectivamente,

Ejemplo 2-5 Uv\, SlStt'I1tl/l. ae IUt gmao ae LLbertC/ta siv¡, l/l.VVWrÜUIIW'lÜenlo 1;=0. es sometido l/l. Ll/l. jlterzC/t VltOstmal/l. en Ll/l. Fig/tm 2-19. covwcLdC/t con eL ItOVl"tLlre aeJlutCiéHt escl/l.Lón. Debe encontrarse Ll/l. res¡m,estC/t eVI, aeSpLlil.Zl/l.VlÜeJtlO rJl/l.m c/tGlLCj/üer tleVl1po t.

Figura 2-19 - Ejemplo 2-4 Excitación con una función escalón

UtLLiZl/l.ltao Ll/l. eCI1-l/l.cLóv¡, (2-61) se obuene. •

x(t)

=-J.-f F('t)sen{ro(t- 't)}d't =

f sen{ID(t- 't)}d't mIDo

mro o

p 0 [ .!.COS{ID(t- 't)} ]' = -º-(lp =_ cosrot)

meo ro

--~._---_.

__ .-

---- -- ---

[Ii, Lu Fignm 2-20 se I1tl1-estm eL gráfico de Lu resYJI1-estu. Los f1táxil1wS valores de La resYJI1-estu se otJtieVLeVL CltGUi,GLO cos(rot) es ig/taL a -1.0. Lo CIt.uL ocurre pum valores GLe rot = 1t, 31t, 57t, ...... , etc. FL vuíor fltW<i'·lt(J DjH.e tiene La resYJltesta es:

2.0

1/ 'J

1.8 1.4 1.2

1.0

0.8

0.6

i I

0.2

I I

/ I

0.4 0.0

f\ 1\

I 1/

1.6

1/ "\

1\../ 21t

31t

rot Figura 2-20 - Ejemplo 2-5 - Respuesta a la función escalón

2.5 Excitación en la. base El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es muy importante en la dinámica estructural, pues la excitación sísmíca este tipo de respuesta del sistema. En la Figura 2-21 se presenta la idealización de un sistema dinámico de un grado de libertad para este caso. ,;<'nada x La ordenada x, describe el movirníento de la base de la estru: corresponde a la posición de la masa. Los otros parámetros son los mismos de los sistemas estudiados anteriormente.

amor#guador

elemento

estrucusrst

(a)

Figura 2-21 - Sistema sometido a excitación en su base

Al hacer cuerpo libre de la masa del sistema puede verse que la fuerza inercial, ecuación (2-2), está dada por: F¡ =-mx

(2-G3)

La fuerza en el resorte, o elemento estructural, está descrita por la constante del resorte multiplicada por el desplazamiento relativo entre sus extremos, ecuación (2 -1): (2-64) De igual manera la fuerza ejercida por el amortiguador, ecuación (2-12), se determina por medio de la constante del amortiguador multiplicada por la velocidad relativa entre sus extremos: (2-65) Al aplicar el principio de D'Alembert se obtiene: (2-66) Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial de equilibrio: (2-67) Si se define la variable u para describir el desplazamiento relativo entre la masa y la base de apoyo del sistema, entonces: (2-68) que al derivarla contra el tiempo conduce a: (2-69) y al derivarla nuevamente: " ., u= x-x o "

(2-70)

Reemplazando (2-6P», ('2-69) y (2-70) en la ecuación (2-67) se obtiene la siguiente ecuación: mu-s cú-e ku « -mxo

(2-71)

La cual indica que un sistema al que se le introduce movímiento en su base es equivalente a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masa del sistema multiplicada por el negativo de la aceleración del terreno. Utilizando la ecuación (2-62) se obtiene la siguiente solución para la respuesta del sistema: (2-72)

Ejemplo 2-6 1;: como I:'l mo:.tmGÍo en llít Figlulít 2-22, es sometirto lít IHtlít lítcelemcióvl, en SIl, blítse tlítl corno se maestm en lu FigIWA, 2-23(í~). Llít Cltlítl correspoVLde lít lu SltVlllít (,1e dos JIUtCiOlteS eSClítLÓVL COVltO ml1,eslm llít Figlulít 2-23(l-I), Llít lítcelemciélll del terreno :lo, es 0.20g Ij el tiemr}o t, de C{,IH'ucióft de lu lítceLemdém es de 10 s.

UVI, sistevl1lít de Itl1 grlítdo de lil-wrtlítd COl1lítmortigH,lítVltiel1to

3f)

! 1

, ! I!

Debe eVlcmtlmrse ~u resYJltestu e~t ténninos de des/'l~CílZwniento YJum w,u~qlúer tievn/'lo t. /'lum de 5%.

IHt sistelnu con IUt /'leríot'to T, t'te 2 s l:1 1m coeJiciente t'te íHltortig/twniento crítico~,

--1--X

(a)

301--------t -30'-(b) Figura 2-23 - Ejemplo 2-6 Aceleración en la base

Figura 2-22 - Ejemplo 2-6 - Sistema sometido a excitación en su base

utiLizultdo ~iIL e(/.üAÚÓ~t (2-72) se olltievle YJum O~ t < t,.:

Por medio t'te Lu sig/üente soLltción de L¡;l integmL:

f e sen(\3y)dy = ay

e 2

a +\3

2 [asen(\3y) -

í3 cos(\3y)]

AL reuLizur Lus ütteWilLLes corres/'l0ltdiCltU's se LLegr~ YJum t z t,., u:

:37

~., lJitUl/lllCa eSIJ"U("HUHI "JJ"~l"'"

«, « ... "

.. "

".".

,--"

Pam 11,v\, sistema COVL 11,11. perroeto T. etc 2 s U I1YL cotJieievLte ete a¡1tortigljwnie~tto crítico ~. etc 5%, con ¡uta aeeLemciÓlt eteL terreno ao. etc O.20g U 11,11. tiCfltpO t, ete et¡uació¡t etc La aecLcm.cióvl. etc 10 s. se obtiene La respl1.esta f1tostmeta en La FLglua 2-24. 0.2

0.1

u(t)

I 0.0

(ro) -0.1 -0.2 -0.3

-004

t (s) Figura 2-24 - Respuesta

•

2.6 La energía en la respuesta dinámica En la Sección 1.6 8e discutió el trabajo asociado con la deformación de un elemento estructural elástico, representado por medio de un resorte, y la energía de deformación que se tiene, mientras el elemento se mantenga deformado, ecuación (l-7). Así mísrno, se presentó la energía cinética asociada con una masa que esté desplazándose dinámicamente con una velocidad, ecuación (l-8). Por tratarse de un sistema conservativo, el cual no recibe ni disipa energía, ésta última se mantiene constante.

Energía Cinética

Energía Potencial

I ,

Figura 2-25 - Energía durante la vibración libre

En la Figura 2-25 se muestran los estados de energía de un sistema dinámico, no amortiguado, durante dos ciclos de vibración inducida por el desplazamiento inicial forzado de una masa apoyada elásticamente. Se le impone a la masa una deformación inicial, correspondiente a "o. En ese instante la única energía que existe en el sistema es la energía potencial, acumulada como energía de deformación en el resorte. Esta energía corresponde a: - 1 kx 2 E P-"2 o

(2-73)

como se dedujo en la ecuacion (1-7). El sistema no tiene ninguna fuente de energía diferente a ésta. Al soltar la masa, esta tiende a volver a su posición de equilibrio, donde el resorte no tiene ninguna distensión; y por lo tanto no tiene ninguna energía acumulada que le impida estar en un estado de reposo. Al iniciar su búsqueda del estado de reposo se desplaza hacia su posición de equilibrio adquiriendo una velocidad, como resultado de su tendencia intrínseca de mantener la energía constante dentro del sistema. La adquisición de velocidad hace que la masa, o el sistema, adquiera una energía cinética, que se expresa a través de su velocidad instantánea, dada por la ecuación (1-8): (2-7-!)

donde v, es esa velocidad instantánea. En el punto en que el resorte llega a su situación de cero distensión, expresada a través de un desplazamiento x = O en la gráfica 2-25, toda la energía potencial que tenia el resorte se ha <onvertidc en energía cinética. Dado que este sistema no tiene amortiguamiento, la energía dentro de él se mantiene constante; y se produce una situación perpetua de intercambio de energía potencial y cinética que produce, a su vez, un estado perpetuo de oscilación pues la energía no disminuye, ni escapa del sistema. Esto simplemente prueba, de una manera intuítíva, lo postulado en la Sección l.G. Anteriormente se presentó la forma como puede evaluarse la respuesta dinámica de un sistema amortiguado sometido a vibración libre, en la cual se imponen unas condiciones iniciales de deformación, velocidad, o ambos; o vibración forzada donde Se impone una fuerza periódica que actúa sobre la masa; o una excitación en su base por medio de la imposición de unos movimíentos en su base. En las secciones 2.2 a 2.;), se presentaron las diferentes soluciones al problema del movimiento en este tipo de sistemas, a través de una formulación en una ecuación diferencial de equilibrio dinámico. mx s- cx + kx = P(t)

(2 -7 S)

Al reemplazar cada uno de 10s términos, por su denominación, obtenemos (2-76)

fuerza inercial fuerza en el amortiguador fuerza én el resorte fuerza externa aplicada

35)

---------------------_._--_.

__ ....

_-_.

':;:. - - - - - - - - - - - " - - - - - - - - - - -

Si imponemos un desplazamiento diferencial dx, y se integra, se obtiene el trabajo que hacen todas estas fuerzas durante un desplazamiento x. x

dx+ J c-dx+ Jkxdx= fFEdx fo ID-idt o dt o o

(2-77)

o (2-78)

Esta última ecuación nos da el balance de energía del sistema en cualquier instante t, siendo EA la energía disipada por el amortiguador y EE la energía que aporta la excitación al sistema. Para el trabajo de la fuerza inercial, reemplazando: d 2x dx . d 2x dx . .2 dx ee x dt y - = se obtiene --dx=-xdt=1. x dt 2 2 dt' dt dt 2 dt

(2-79)

que en (2-77), conduce a x d2 t E c = J ID ~ dx = ID o dt o

f t x2dt

(2-80)

Por lo tanto la energía cinética en cualquier instante t, es: (2 -81)

Para el trabajo de la fuerza del amortiguador: x

EA =

2dt Jo c~dx= f cx dt o

(2-82)

Para el trabajo de la fuerza del resorte: x

E p = fkxdx = o

t lu2

{2-83}

Por lo tanto la energía potencial acumulada en el resorte en cualquier instante tes: (2-8-l)

El lado derecho de la ecuación (2-77) corresponde al trabajo realizado por la fuerza que induce la excitación. Por lo tanto, para cualquier instante t la energía está distribuida de acuerdo con:

t IDx2 + cx 2dt+t k x2 = fFE(t)xdt

(2-8 S)

Tomemos el caso de excitación armónica de una fuerza de amplitud F o Y frecuencia a, donde FE(t)=Fo sen(at). En la Sección 2.3 se dedujo que la respuesta del sistema se puede describir por medio de la siguiente ecuación: (2-86a)

x=Xsen(Qt-<jI)

y la velocidad: (2-8Gb)

x = X a cos(at - <ji)

donde X está dado por: (2-87) y

(2-88)

Reemplazando la ecuación (2-8Gb) en la ecuación (2-82) correspondiente a la energía disipada por el amortiguador, obtenemos: EA =

f cJi:: 2 dt = f c[X.Qcos(Qt-<jI)tdt = cX 2Q2f cos2(Qt - <jI)dt cX 2Q2

(2-89)

[t-sen(Qt-<jI)ocos(Qt-<jI)]

Aplicando la anterior ecuación a un ciclo de respuesta correspondiente a t =21ÚQ, obtenemos: (2-90)

¡ !

De igual manera, para la energía que impone la excitación durante un ciclo: 2~/Q

EE= fFE(t)xdt=

2~/Q

fFosen(Qt)XQcos(Qt-<\l)dt=1tFoXsen<\l

(2-91)

Utilizando seno = Xd2/Fo (véase la Figura 2 -13), Y c = 29000, obtenemos:

(2-92) Que es exactamente igual a la energía que disipa el amortiguador durante el mismo ciclo. En ambos casos la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de respuesta, x', La variación en la energía cinética, Ec , durante un ciclo completo es cero, pues la velocidad al inicio y a la terminación del ciclo es la misma. De igual manera la energía potencial en el resorte, E p , es la misma al comienzo y al final del ciclo, pues el desplazamiento es el mismo en los dos instantes. Esto quiere decir que el intercambio de energía, en este caso entre la que entra y la que se disipa, ocurre solamente entre la excitación y el amortiguador.

Para el caso de excitación en la base, la ecuación diferencial que rige la respuesta se obtuvo en la Sección 2.5, y está dada por: (2-93)

mü+ cu-í- ku = -mxo

donde u es el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura, pues u =x-xs, Este caso es exactamente igual al planteado en la ecuación (2-75), solo que en la energía que entra al sistema debido a la excitación, hay necesidad de reemplazar: (2-94) y t

EE = (-mxo)du= o

-mf Xo udt

(2-95)

Esta energía está medida con respecto a la velocidad relativa entre la masa y su base. Si tomamos el caso no amortiguado, la solución de la respuesta del sistema es: _lt

u(t) =

-f xo('t)sen[ro(t - 't)]d't ro o

(2-96)

y derivando contra t y haciendo las transformaciones trigonométricas apropiadas: t

=-f Xo('t)co.;~ro(t-'t)]d't

úít)

o t

(2-97)

= - cos(rot) Xo('t)cos(ro't)d't - sen(rot) Xo( 't)sen(ro't)d't

Ahora reemplazando (2-97) en la ecuación (2-95), y dividiendo por m: 2E __ E =

J xo(t)cos(rot)dt· Jxo('t)cos(o}t)d:t-r Jxo(t}sen(wt)dt· f xoCt)gen(on)d.'!: o

(2-98)

Cambiando la variable 't por t, obtenemos la siguiente expresión para la energía medida con respecto a la base de la estructura, que induce el acelerograma a un sistema sin amortiguamiento:

(2-99)

Posteriormente, en la Sección 5.8, se verá que el lado derecho de la ecuación (2-99) corresponde al espectro de Fourier del acelerograma.

l. -------,------

~. f

II ,

•

Capitulo 4

SisJJ1OS, sislnogrcu.UJS y acererogranJaS

4.1 Introducción El presente texto no pretende cubrir temas tan amplios y especializados como son la sismología y la ingeniería sísmica. No obstante para efectos de poder explicar algunos aspectos fundamentales de la respuesta sismica de estructuras se requieren algunos conocimientos básicos sobre estas disciplinas. Las personas interesadas en ampliar sus conocimientos sobre el tema deben dirigirse a publicaciones especializadas como la referencia [Sarria, 1995al.

4.2 Causas de los temblores 4.2.1 Tectónica y sismicidad global

Al aceptar la comunidad científica el hecho de que la corteza terrestre está en un estado permanente de cambio, la explicación sobre las causas de los sismos fue adquiriendo connotaciones cada vez más realistas. La corteza terrestre es relarívarnent. )~"da. Se extiende hasta profundidades de 70 km en los océanos y 150 km bajo los continentes. Es muy válida la analogía, I Gere y Shah, 19841. de que al comparar la Tierra con un huevo duro, la corteza tendría un espesor semejante a la cáscara y ésta estaría fracturada en una serie de fragmentos que en la Tierra se conocen con el nombre de placas tectónicas.

Figura 4-1 - Placas tectónicas de la Tierra

6.5

1 ¡ t

Figura 4-3 - Zona de subducción

En general las fronteras entre placas tectónicas no son superficies de fallamiento simples y únicas. El movimiento relativo entre las dos placas se extiende a grupos de fallas paralelas a la subducción y los sismos no solo ocurren en estas fallas sino también en fallas transversales a las fronteras entre placas, formadas también por los movírníenros entre ellas. 4.2.2 Fallas geológicas

Las fallas geológicas que son capaces de producir sismos se conocen con el nombre de fallas activas. Los esfuerzos que induce en la corteza terrestre el movimiento entre placas en la subducción producen fallamientos dentro de la placa, algunas veces alejados de la zona de subducción. En razón de lo anterior, la acumulación de energía causada por la imposición de movímíento puede conducir a deslizamientos pequeños, pero permanentes. En este caso no se presentan sismos. Cuando la fricción entre las superficies del fallamíento es alta se produce lo que se llama un engatillamiento de la falla. Cuando la energía acumulada vence esta fricción se presenta un deslizamiento súbito de la falla, asociado con la liberación de la energía acumulada, lo cual produce el sismo.

(a) Falla transeurrente de desplazamiento izquierdo

(b) Faifa transeurrente de desplazamiento derecho

(e) Faifa de desplazamiento normal

(d) Falla de desplazamiento inverso

Figura 4-4 - Tipos de movimiento en las fallas geológicas

En la Figura -l--l se muestran los típos de fallamiento de acuerdo con el movimiento en la falla. La distancia de A a B corresponde al desplazamiento de la falla. En los casos mostrados en las Figuras +4 (a) y (b), la falla presenta desplazamiento lateral, con la dirección del movímienro identificado como derecho o izquierdo. Nótese que la dirección del movimíenro es independiente del lado que se tome como referencia. Las fallas de desplazamiento normal, Figura 4-4(c) presentan movimiento normal a la falla pero no hay desplazamiento lateral. En los casos de desplazamiento inverso, Figura

Dinámica estructural aplicada al diseño SISllllCO

4-4(d), el movimiento también es normal a la falla sin desplazamiento lateral, presentándose compresión entre dos puntos opuestos localizados a través de la falla. Las tasas de desplazamiento relativo en las fallas varían entre unos milímetros por año hasta un máximo cercano a 100 mm/año. El desplazamiento súbito que se presenta al ocurrir un sismo en la falla puede variar entre menos de 100 mm y hasta 10 metros. Hay evidencia de grandes desplazamientos ocurridos durante sismos importantes. Por ejemplo el sismo de San Francisco, California, ocurrido el 18 de Abril de 1906, involucró 430 km de la falla de San Andrés. El movimiento en la falla fue principalmente horizontal alcanzando un máximo de 6 metros al norte de San Francisco. El máximo desplazamiento vertical observado fue del orden de un metro. 4.2.3 Mecanismo focal

-\Al ocurrir un sismo, el punto donde se inicia la ruptura es el punto donde comienza la liberación de energía del sismo, y se conoce con el nombre de hipocentro o foco del sismo. Para un sismo pequeño es razonable considerar el hípocentro como el punto donde se libera la energía. En un sismo grande donde la ruptura puede involucrar cientos de kilómetros cuadrados de superficie de falla, el punto de inicio de la liberación de energía sigue siendo el hipocentro del temblor, pero en general no es descriptivo de la zona de fallarniento. El epicentro es la proyección sobre la superficie de la Tierra del hipocentro y la profundidad focal es la profundidad del hipocentro, medida desde el epicentro. La distancia focal es la distancia al hipocentro desde un punto cualquiera de referencia. Dado que la superficie de la roca en la falla no es lisa ni uniforme, la propagación de la ruptura a través de ella no ocurre a una velocidad constante, sino a través de una serie de movimientos súbitos. Esto explica, en alguna manera, la forma irregular y aleatoria de las ondas que produce el sismo. La zona de ruptura se extiende a partir del foco en todas las direcciones, llegando hasta la superficie en algunos casos. En la medida que el foco es más profundo, las características de la roca allí son diferentes, debido a la mayor presión y temperatura a que se encuentran sometidas comparativamente con las de la roca en la superficie; esto conduce a que la forma como ocurre la ruptura sea diferente. La explicación prevaleciente en la actualidad esta asociada con cambios en el volumen de la roca, como consecuencia de cambios en el estado de fase del material que las compone, algo similar al cambio de volumen que le ocurre al agua cuando la temperatura baja de 4' C, [Bolt, 1993b], aunque existen diversas teorías al respecto. En general los sismos se dividen en: superficiales, cuando ocurren a profundidades menores de 70 km, de foco intermedio, entre 70 y 300 km, Y profundos cuando su profundidad es mayor de 300 km. Existen registros de sismos hasta profundidades de 700 km. Desde el punto de vista de los efectos del Sismo, definitivamente, entre más superficial, mayor su predisposición de producir daños. En aquellas regiones de la Tierra donde existen cadenas montañosas importantes, suelen presentarse sismos dentro de toda la gama de profundidades, mientras en aquellas regiones donde la corteza terrestre es delgada, hay una mayor preponderancia de los sismos superficiales. 4.2.4 Premonitorios y réplicas

En algunos casos se presentan uno o varios sismos pequeños, antes de la ocurrencia del evento prin-;:lP~l. Estos eventos se conocen con el nombre de ~prf!monitQdQs. De igual con posterioridad a un sismo importante, se presentan temblores de menor magnitud, a los que se les conoce con el nombre de riP-Jicas. Sólo los sismos superficiales y de profundidad moderada producen réplicas, las cuales son de gran importancia para determinar el plano de falla, y esta es la razón por la cual se instalan redes sismológicas móviles con posterioridad a un sismo de importancia.

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4.3 Ondas sísmicas La energía liberada por el sismo se propaga por medio de varíos típos de ondas sísmicas. Las ondas de cuerpo que se generan en el punto de ruptura incluyen ondas P (primarias u ondas de dílatgdónt las cuales manifiestan desplazamientos de las partículas en la misma dirección de la propagación de la onda, y º!1Jlª~S (~gcunclliJ::ü.1§ u ondas dé cortante) que manifiestan desplazamientos de las partículas en la dirección perpendicular a la dirección de propagación. Cuando las ondas llegan a la superficie, se reflejan pero al mismo tiempo inducen ondas.de super{jcie¡ entre las cuales se cuentan las olH:l~~_ª~_R..ª-l'..lejfLh Y las º-l'Jdas de Love--(Ondas R y L respectivamente). Las ondas de Love producen movímíenios horizontales transversales a la dirección de propagación. Las ondas de Rayleigh producen rnovimíentos circulares semejantes al de las olas en el mar. La amplitud de estas ondas decrece marcadamente con la profundidad medida desde la superficie.

4.4 Sismoqramas Uno de los instrumentos empleados en sismología es el sismógrafo, el cual es adecuado para registrar sismos que ocurren a distancias apreciables, inclusive de miles de kilómetros. Los sismógrafos, en general, se salen de rango de medición cuando el sismo ocurre cerca a su localización. El registro obtenido por este instrumento se denomina sismoqrama. En la Figura 4-5 se muestra un sismograma.

Figura 4-5· Sismograma

Allí puede identificarse la llegada en el tiempo de las ondas P y de las ondas S. Dado que la velocidad de propagación de las dos ondas es dif'erente, siendo mayor la de la onda P; utilizando la diferencia en tiempo entre las llegadas de las dos ondas, es posible determinar la distancia a que ocurrió el sismo. Conociendo los sismogramas de varias estaciones es posible localizar el hipocenrro del sismo con base en las distancias determinadas de los tiempos entre llegadas de las ondas.

J 4.5 Magnitud del sismo I

4.5.1 Definición de la magnitud de Richter 1

La_magnitud del sismo es una medida de la. energíaJ!b~rªdapor~L Es una medición instlJ:!l]le:ltal y se calcula.a.oamr.del.sísmograma. Fue definida por C. Richter en 193:) de-ahí su'nom6iéde magnitud de Richter. Su definición original era para sismos locales, o cercanos, como el logaritmo en base la de la amplitud de la máxima onda sísmica (véase la Figura 4-5), expresada en milésimos de milímetro, registrada en un sismógrafo marca Wood-Anderson, localizado a 100 km del epicentro. Existe un procedimiento para ajustar la medición cuando el registro se toma a distancias diferentes de 100 km. En general todo sismógrafo tiene definidas las relaciones correspondientes para ajustar los valores medidos a los del sismógrafo wood-Anderson. La definición original de la magnitud de Richter, también conocida como magnitud local (Md, no especificaba el tipo de ondas a utilizar en la determinación de la amplitud,

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pues simplemente indicaba que debía ser la mayor amplitud. La magnitud local es muy sensitiva al tipo de instrumento empleado y a la distancia a la cual se realizó el registro. No obstante estas limitaciones la magnitud local correlaciona de una manera bastante buena con el daño que produce el sismo a las edificaciones, por esta razón se sigue calculando su valor en muchos casos. La definición de la magnitud se ha extendido posteriormente, para ser utilizada en diferentes métodos para calcular la distancia epicentral, los cuales dependen de la escogencia de la amplitud de la onda sísmica apropiada. La magnitud es una escala que no tiene ni mínimo ni máximo aunque en alguna medida debe existir un límíje superior impuesto por las características mecánicas de las rocas que componen la corteza terrestre, lo cual se aprecia en los gráficos de número de eventos contra magnírud, en los cuales se puede apreciar un cruce en la curva, volviéndose asintótica a un valor cercano a 9. La magnitud máxima registrada hasta la actualidad ha sido del orden de 8.g.

4.5.2 Tipos de magnitud La práctica actual en los observatorios sismológicos es utilizar dos procedimientos para el cálculo de la magnitud, los cuales difieren de la definición original de Richter. La necesidad de disponer de dos escalas proviene del hecho de que los temblores profundos producen sismogramas de tipología diferente a los de sismos superficiales. En general los sísmogramas de temblores profundos no manifiestan trenes de ondas superficiales mientras que éstos si se manifiestan en un sismograma de un temblor superficial. Dado que en ambos tipos de sismos se presentan ondas P la magnitud se evalúa utilizando estas ondas y se conoce con el nombre de magnitud de ondas de cuerpo (mb) (o magnitud de onda P). El período de vibración al cual se realiza la medición de la magnitud m, es generalmente de 1 s, dado que la mayoría de los instrumentos de la red sismológica mundial son sisn..:'grafos de período corto del orden de un segundo. Algunas veces se empleen instrumentos de período largo, con respuestas predominantes en el rango de :> a 15 s, en la determinación de la magnitud de ondas de cuerpo, y en estos casos la magnitud así determinada se denomina mB. En los sismos superficiales el sismograma generalmente presenta trenes de ondas dé superficie por lo tanto es práctica común utilizar la amplitud máxima dentro del tren de ondas superficiales. La magnitud calculada de esta manera se llama magnitud de ondas de superficie CM.). Existen correlaciones locales que permiten convertir la magnitud de una escala a la otra, las cuales provienen de aquellos casos en que es posible definir las dos, debido a que se presentan ondas de superficie en el sismograma. En general los valores de ITIb obtenidos para el mismo sismo son menores que los valores de MsExisten además otras definiciones de magnitud, como puede ser ta magnitud de momento sísmico (Mw) la cual se evalúa utilizando el momento sísmico que se calcula multiplicando la rigidez de la roca por el área de fallamiento y por el desplazamiento en la falla, lo cual tiene unidades de momento (fuerza por distancia). La energía liberada por el sismo se ha correlacionado con la magnitud por medio de la. siguiente ecuación: loglO E = 4.8 + 105M s

(4-1)

con la energía E expresada en joules. Esto indica que por cada cambio de una unidad en la magnitud 12. energía liberada aumenta en 10 1 5 = 32 joules por lo tanto un sismo de magnitud 8 libera aproximadamente 32 veces la energía de un sismo de magnitud 7. Desde el punto de vista de los efectos del sismo en las estructuras, se considera que una magnitud 5 es el límite inferior de los sismos que causan daños.

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.tJ aceleroqra

4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes

A continuación se relacionan las características de algunos sismos importantes en el mundo y en Colombia, para los cuales hay un cálculo de la magnitud.

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Tabla 4-1- Magnitud y víctimas de algunos sismos importantes en el mundo

Año 1906 190G 1!.)06 1906 1908 1920 1922 1923 1927 1935 E)3~)

1939 19-16 19-19

1057 19CiO 1960 196-4 19G~

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1965 1970 1971 1972 1976 1976 1977 1980 1985 1985 1986 1987 1988 1989 ]990

Mes Ene Mar Abr Ago

Die Die Nov Sep ¡\lay May Ene Die NO\ \go Jul Feb l\lay Mar ¡un Mar May Feb Die Feb .fuI Mar

Día 31 16 18 17

28 16 11 J

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28 29 21 28 16 28 31 \)

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Ene

23 -4 27 -4 23 3 19 10 6 7 17 16 28 17

1995

Ene

Nov

Mar Sep Oct Mar Die Ocr juí

Localización Costa Pacífica de Colombia cerca a Tumaco Kagí, Formosa San Francisco, USA. Valparaiso. Chile Messína Italia Kansu, China

.xtacama. Perú kwanto, Japón "Jan Chan. China Quetta. Pakistán Chillán. Chile Frztncan. Turquía Ancash, Perú .xmbato, Ecuador \léxico Agadír. Marruecos

Sur de Chile Alaska, US.-\ Níígata, Japón Valparaiso. Chile Perú San Fernando. California. lISA Managua. Nicaragua Guatemala Tangshan, China Vracea, Rumania Sur de Italia Valparalso, Chile l\lichoacán. México San Salvador. El Salvador Ecuador. frontera con Colombia Spitak..Armenia Loma Prieta. California. USA l.uzón. Filipinas t.ar.clers. California. ¡Si\. Northrídge, California. USA Kobe, Japón

M,= /.5

M,= 6.8 M,= 7.2

Muertos ~OO

1300 700 2 O 000 120000 180 000 600 143000 200000 30000 30000 30000 1 -lOO 6000 S5 1-4 000 5700 131 36 (-i00 66000 65 S (lOO 22 ooo 2SO 000 2 000 3000 177 9 SOO 1 000 ] 000 250UO 63 1 7(10 1 60 5000

Tabla 4-2 - Magnitud y profundidad de algunos sismos colombianos

Año 1900 1907 1907 1979 1979 1983 1992 199-l 1995 1995

Mes Ene Feb

Día 31

lul

29 23

Nov

Dic

Mar

31 18 6 19 8

Oct [un Ene Feb

Localización Costa Pacífica cerca a Tumaco Huila Santander Quindío. Risaralda y Caldas Costa Pacifica cerca a Tumaco

Popayán Murindó. límite Antíoquia Chocó Páez, límite Cauca Huila Tauramena. Casanare Calima. Valle

Magnitud m= 8.9 M,= 7.1 M,=8.2 M,= 8.6 M,= 7.5 M,= 8.5 M,=8A M,= 8.2 M,= 8,3 M,= 7.5 M,= 7.7 M,= 7.9 M,= 73 M,= 6.8 M,= 7.8 M,= 5.9 M,= 8.5 M,= 8.6 M,= 7A M,= 7.5 M,= 7.8 M,= 6.5 M,= 6.2 M,= 7.9 M,= 7.6 M,= 7.2 M,= 7.2 M,= 7.8 M,= 7.9 M,= S.-l M,= 7.0 M,= 7.0 M,= 7.0 M,= 7.8

Magnitud m = 8.9 mb= 6.3 mb= 6.0 M,=6A M,= 7.8 ms > 5.5 M,= 7.2 M,=6A

mb= 6.5 mb= 6.-4

Prof, (km) !' 60 160 80 40 12 15 < 20 15 90

Muertos -lOO 98 ;¡

500 300 30 500-1000 10 S

tituünica estructural apticada al diseñ«» sísmico

1.6 Intensidad del sismo l.6.1 Escala de intensidades de Mercalti modificada (IMM)

La intensidad de un sismo es por otro lado una lTledi9ªJQtalm~nte subjeti\"a de los efectos que.elsismo causa en un lugar determinado, la cual se realiza por medio de observadores, que se desplazan a ~las --aIfereJlfesionas afectadas por el sismo y allí asignan la intensidad para cada sitio, de acuerdo con los efectos observados. Por lo tanto no es una medida única para un sismo, dado que el efecto producido en diferentes lugares por el mismo sismo es distinto y que en la medida que el lugar se encuentre más alejado de la zona epicentral menores serán los efectos. La escala más utilizada en el ámbito mundial para describirla es la escala de intensidades de Mercalli modificada (If\H\f). En esta escala de acuerdo con los efectos en el sitio se asigna la intensidad dentro de valores que van de uno (I-!\Hvf) a doce (XII-MM). Es importante tener en cuenta que los periodistas al reportar los sismos tienden a confundir magnitud con intensidad y es muy claro que se trata de dos medidas totalmente diferentes y que se utilizan para describir efectos totalmente distintos. A continuación se presenta la escala de intensidades de Mercalli modificada: ESCAIA DE Il\T"fENSIDADES DE MERCALLI MODIFICADA

Tipos de Mampostería Mampostería tipo A . Buen diseño. ejecución y morteros. Reforzada. especialmente para cargas laterales y amarrada por medio de acero y concreto. Diseñada para cargas laterales. Mampostería tipo B - Buena ejecución y morteros. Reforzada. pero no diseñada especialmente para resistir cargas laterales. Mampostería tipo C . Ejec:ución y morteros ordinarios. Con buenas trabas en las esquinas de los muros. pero ni diseñada ni reforzada para resistir cargas laterales. Mampostería tipo D - Materiales débiles. como adobe. morteros pobres. bajo nivel de calidad de la mano de obra. Débil para resistir cargas laterales. Valor de la

Descripción

Intensidad I II III

VIl

No es sentido. Sentido por personas quietas. en pisos altos o favorablemente localizadas. Sentido dentro de las edificaciones. Objetos colgantes se balancean. Se siente vibración similar a la del paso de un camión liviano. Es posible estimar la duración. Puede no ser reconocido como un .emblor. Objetos colgantes se balancean. Se siente vibración similar a la del paso de un camión pesado. o sensación de que un objeto pesado está sacudiendo las paredes. Los automóviles estacionados se balancean. Las ventanas. platos y puertas vibran produciendo sonido. Los vidrios tintinean. La loza colocada en aparadores se golpetea. En el rango superior de IV. las paredes de madera y sus marcos crujen. Sentido afuera. es posible estimar la dirección. Se despiertan las personas durmiendo. Los líquidos se mueven y algunos se derraman. Objetos pequeños inestables se desplazan o vuelcan. Las puertas se balancean. abren o cierran. Persianas y cuadros se mueven. Los relojes de péndulo se detienen o cambian de ritmo. Sentido por todos. Muchos se asustan y corren hacia afuera. Hay dificultad para caminar. Se rompen ventanas. loza y cristal. Objetos y libros se caen de los aparadores. Los cuadros se caen de las paredes. Los muebles se mueven o vuelcan. Pañetes débiles y mampostería tipo D se agrietan. Campanas pequeñas tañen (iglesias y escuelas). Los árboles y arbustos se mueven visiblemente. o producen ruido. Dificultad para permanecer parado. Es notado por los conductores de vehículos. Objetos colgantes se mecen. Daño a mampostería tipo D, incluyendo grietas. Chimeneas débiles se rompen en el punto en que sobresalen del tejado. Caida de pañetes. ladrillos sueltos. enchapes en piedra. baldosines. cornisas. parapetos no arriostrados y decoraciones arquítectórucas. Algunas grietas en mampostería tipo C. Ondas en los charcos. el agua se enturbia con barro. Pequeños deslizamíentos y hundimientos en los taludes de arena o grava. Las campanas grandes tañen. Se dañan canales de irrigación de concreto.

VIII

1 t 1

I I I

XI XII

Se afecta la conducción de vehículos. Daños a mampostería tipo C. con colapso parcial. Algún daño a mampostería tipo B. ningún daño en mampostería tipo A. Caída del estucado y de algunas paredes de mampostería. Desplazamiento y caída de chimeneas. silos en las fábricas. monumentos. torres. tanques elevados. Casas de madera movidas sobre sus cimientos cuando no están ancladas a ellos. paneles sueltos de las paredes caen hacia afuera. Pilotes de madera en mal estado se parten. Se caen ramas de los árboles. Cambios en el flujo y temperatura de fuentes. aljibes y pozos. Grietas en terrenos húmedos y en taludes inclinados. Pánico general. Mampostería tipo D destruida. mampostería tipo C apreciablemente dañada. inclusive con colapso total. mampostería tipo B seriamente dañada. Daño general a las fundaciones. Casas de madera que no estén ancladas se salen de sus cimientos. y sus marcos se mueven. Daños graves en represas. Rotura de tubos enterrados. Agrietamientos evidentes en el suelo. En zonas aluviales brota arena y barro. aparecen fuentes y se forman cráteres de arena. La gran mayoría de las casas de mampostería y madera destruidas. incluyendo sus cimentaciones. Algunas estructuras y puentes de madera bien construidos destruidos. Daños graves a presas. diques y terraplenes. Deslizamientos grandes. El agua se sale en las orillas de canales. ríos. lagos. etc. Arena y barro se mueve horizontalmente en las playas y en terreno plano. Los rieles de ferrocarril alcanzan a doblarse algo. Los rieles de ferrocarril se doblan totalmente. Tuberías enterradas totalmente fuera de servicio. Destrucción casi total. Grandes masas de roca desplazadas Las líneas de visión y nivel distorsionadas durante el movimiento, Se presentan objetos lanzados al aire.

Es importante anotar que las prácticas constructivas locales afectan la manera como se asignan las intensidades, por esta razón muchos países han desarrollado sus propias escalas de intensidad. Otro aspecto está asociado con la influencia que tiene la frecuencia con que ocurran sismos dañinos, pues entre más infrecuentes hay tendencia, por parte de los observadores locales, a asignar intensidades mayores, y entre más frecuentes, menores. 4.6.2 Mapas de isosistas

Una vez se ha determinado la intensidad en diferentes lugares, es posible definir un mapa de isosistas en el cual se dibujan contornos de áreas afectadas por la misma intensidad. Rutinariamente estos mapas se evalúan con posterioridad a la ocurrencia de sismos importantes. A modo de ejemplo, en la Figura 4-6 se presenta el mapa de isosistas del sismo de Murindó, del 18 de Octubre de 1992, el cual tuvo una magnitud Ms = 7.2 Yuna profundidad de 15 km [Martínez, et al., 1994J.

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Figura 4-6 - Mapa de isosistas del sismo del 18 de Octubre de 1992

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L7 Tectónica y sismicidad colombiana 1.7.1 Emplazamiento tectónico

El emplazamiento tectónico de Colombia es complejo pues en su territorio convergen la placa de Nazca, la placa Suramericana y la placa Caribe, como se ve en la Figura -1-1. El límite entre las placas Suramericana y Caribe está aún indefinido. La geología estructural del país ha sido estudiada con diferentes grados de detalle. En general los sistemas principales de fallamíento han sido identificados gracias a estudios mineros y de exploración petrolera. Además se han realizado exploraciones geológicas detalladas para los grandes proyectos hidroeléctricos. También existen numerosos trabajos sobre tectónica colombiana realizados por el Ingeominas.

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Figura 4-7 - Principales sistemas de fallamiento en Colombia

4.7.2 Sistemas de fallamiento El fallamiento predominante en el país tiene dirección norte sur, coincidiendo con la dirección de las tres cordilleras. El principal accidente sismorectóníco es la zona de subduccion en el Océano Pacífico. Es causada por el doblamiento de la placa de Nazca

cuando subduce bajo la placa Suramericana. Hay evidencia de su existencia en la costa colombiana del Pacifico desde los 8° de latitud norte hasta un punto al sur de la línea ecuatorial. Su capacidad de producir sismos extremadamente fuertes ha sido conocida de tiempo atrás. El sismo del 12 de Diciembre de 1979 definitivamente fue producido por ella. Con base en la graficación de los eventos sísmicos en cortes E\V en la zona, es posible establecer que se desarrolla una zona de Benioff(la zona de Benioff es el plano que conforman los hípocentros de estos eventos) con actividad variable y con capacidad de producir sismos hasta profundidades de 120 a 130 km. Además de la zona de subducción existen en el territorio nacional un gran número de fallas geológicas sísmícamente activas. En la Figura -1:-7 se muestran los principales sistemas de Iallamíento, [Carcía, et al., 1996]. 4.7.3 Sismicidad colombiana

¡ 1 1 I,

El primer evento sísmico en el país, del cual se tiene registro escrito ocurrió en l3GG causando daños graves en las recientemente fundadas ciudades de Popayan y CdU. Existen registros de numerosos sismos históricos desde la colonia y hasta 1922 en que se instaló el primer sismógrafo en el país. Este grupo de sismos del catálogo consiste en 293 eventos. La información sobre ellos es de calidad variada, algunos están muy bien documentados, de otros simplemente se menciona la fecha. En [Ramirez, 1975] se hace una descripción de ellos. A partir de 1922 se dispone de información obtenida instrumentalmente, sobre lo que se denomina sismos instrumentales. Desde 1957 hasta 1992 estuvieron en funcionamiento siete estaciones sismológicas permanentes en el país, las cuales fueron operadas por el Instituto Geofísico de los Andes Colombianos, adscrito a la Universidad javeriana de Bogotá. A partir de 1993 la R5NC - Red Sismológica Nacional de Colombia ha sido operada por el Departamento de Geofísica del Ingeominas, existiendo además el Observatorio Sismológico del Sur Occidente, operado por la Universidad del Valle en Cali. El sistema de la red sismológica nacional fue inaugurado en 1993. Actualmente cuenta con veinte estaciones, con capacidad de procesamiento remoto de vía satélite. El procesamiento en tiempo real se realiza en la ciudad de Bogotá. Hay en operación en la actualidad más de ciento cincuenta acelerógrafos .autónomos digitales de movimiento fuerte, los cuales cubren la mayoría del territorio nacíonal. Las fechas presentadas en la Tabla -1:-3, son importantes para efectos de la hísroría sísmica del país: Tabla 4-3 - Fechas importantes en la sismología colombiana

Año b66 192:! 1957 19!13

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Evento Primer sismo del uue se tiene rezístro escrito Instalación de! nrimcr sísmózrafo en el oaís Red sufícíentement« densa nara ooder calcular profundidad Entra en operación la red sismológica nacional

Durante 1969 Y 1970 se formó el primer catálogo de sismos colombianos en la Universidad de los Andes en Bogotá bajo la dirección del Profesor Alberto Sarria. En 1979 Interconexión Eléctrica S.A., ISA, auspició la formación de un catálogo más completo, en el cual se procesaron la gran mayoría de los sismogramas existentes. Este trabajo fue realizado por el Profesor Sarria en asocio con el Instituto Geofísico de los Andes. Este catálogo contenia 3886 eventos entre históricos e instrumentales. En 1982 se realizó una nueva actualización del catálogo dentro del proyecto SISRA del Centro Regional de Sismología para América del Sur, CERESIS. Esta actualización llevó el número de eventos procesados a -4 78-4. En 1~)88 Interconexión Eléctrica S. A., IS-'\, realizó una nueva actualización, con la cual el número de eventos llegó a ;) ,")37. Actualmente este catálogo se amplía día a día con los datos de la red simológica. 75

-._------------------

)inámica estructural aplicada al diseno sismico

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-74

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Figura 4--8- LocalizacIón epicentral de los sismos con M, ~ 4 (1566-1995)

Para la elaboración de los mapas de amenaza sísmica de la nueva versión de la Normas Sismo Resistentes Colombianas, NSR-98, [AIS, 1998], se actualizó nuevamente el catálogo, utilizando información de los catálogos anteriores, además de nuevos datos suministrados por la Red Sismológica Nacional, el Observatorio Sismológico del Sur Occidente de la Universidad del Valle, y el Instituto de Geofísica de la Universidad Iaveriana. Contiene 11 088 eventos, [Carcía et al., 1996J. A continuación se dan algunas estadísticas de este catálogo. Tabla 4--4- Características del catálogo sísmico colombiano

Características Contenido total de eventos (1566-1995) Sismos no instrumentales (1566-1922) Sismos instrumentales (1922-1995) Sismos de 1957 a 1995 Sismos de 1957 a 1995 con M, > 3.00 Sismos de 1957 a 1995 con M, > ·-LOO

N' Sismos 11088 293 10796 10 546 3255 1 18j

En la Figura 4-8 se dibujaron los epicentros de todos los sismos con magnitud M, mayor que cuatro del catálogo anterior. Además se dibujaron los alineamientos de los 32 sistemas de fallamiento principales del país. Es notorio que los accidentes tectónicos más importantes del país, por el número de sismos generados, son la Lona de subducción en la costa del Pacífico, el nido de Bucaramanga, donde se presentan gran

subducción en la costa del Pacifico, el nido de Bucaramanga, donde se presenta gran cantidad de sismos en la misma localización y a la misma profundidad, la zona del antiguo departamento de Caldas, y el sistema de fallas frontal de la Cordillera Oriental, e! cual recorre todo e! píedemonte de los Llanos Orientales.

4.8 Aceleroqramas 4.8.1 Aceleroqratos de movimiento fuerte

Para efectos de ingeniería la información producida por los sismogramas tiene poco interés fuera de su utilización en estudios de amenaza sísmica, pues permiten definir la localización y magnitud de los eventos sísmicos que se incluyen en los catálogos. Por está razón se desarrolló otro tipo de instrumentos llamados acelerógrafos de movimiento fuerte, como el mostrado en la Figura -!-9(a). Existen diversas clases de ellos. Hay instalados en el mundo una gran cantidad del tipo mostrado en la Figura -!-9(a), el cual registra sobre papel fotográfico. Recientemente se han popularizado instrumentos que registran digitalmente la señal recibida, como el mostrado en la Figura -!-9(b).

! 1

(a)

(b) Figura 4--9- Aceleróyrafos de mcvimiento fuerte

En general el acelerógrafo consta de una serie de componentes dentro de los que se cuentan: un disparador que activa el instrumento al detectar que está ocurriendo un movimiento con aceleraciones mayores de un valor determinado o umbral de disparo, un grupo de tres péndulos que pueden oscilar el' dos direcciones horizontales ortogonales y en dirección vertical. un medio de registro de las oscilaciones de los péndulos, ya sea fotográfico o digital y por último un reloj que marca de una manera precisa el tiempo que transcurre durante el registro de la señal. A diferencia de los sismógrafos, los acelerógrafos están diseñados para registrar aceleraciones muy altas. Por esta razón son los instrumentos adecuados para registrar las aceleraciones del terreno durante la ocurrencia de un sismo fuerte.

4.8.2 Registros aceleroqráficos El registro obtenido por el acelerógraf'o se denomina aceleroqrama y corresponde a los valores de aceleración horizontal del terreno medidos en dos direcciones horizontales ortogonales y los valores de la aceleración vertical. El acelerograma se digitaliza cuando se registra en papel fotográfico y se corrige para una serie de errores producidos por la misma digitalización así como para tener en cuenta el hecho de que se pierde parte de la información inicial mientras e! mecanismo de disparo de! acelerógraf'o activa su

Dinámica estructural aplicada al atseno SISrt/U;u

funcionamiento. En [Hudson, 1979] corrección. OAg

se describen en detalle estos procesos de Acel. máx. del terreno = 0.348g

Temblor del Imperial Va/ley, cal. - Registro "El Centro" - Mayo 18140- Comp. SOOE

, ''''1 r'l'"""". ...."'..,¡•.¡¡... • ... ~'~"!fI"\" rr~.

.~.

.(lAg

Acel. máx. del terreno = 0.316g

< s,

OAg

0.4g

Acel. máx. del terreno = O.~

blor de Loma Prieta, cal. - Registro "Corralllos" - Octubre 17189- Comp. N-S

f Temblor de Chíle - Regist~.~~i;~

Acel. máx. dellerreno = 0.363g

Mar" - Marzo 3185- Comp. N-S

"~!·~W~~~~A(fII#o.·W.NAP,/'l¡~¡P'/'1i'lPtV~I/l{l~of'Iirt\I,I\\rv.,""'Il\""""~"''fl/\''·M¡•• _ _""""",-----~---------.(l.4g _ 4g

.(l.4g

r Temblor de Mlyag~Ken-Old, Japón - Registro "Toho/CUUniverslty, Sendai" - Junio 12/78 - Comp. N-S

Ace/. mlÍX. del terreno =: O.263g

f:4~f~~i~

o 4g ( Temblor de México· Registro "Sen - secretaria de Transporte" • 5ep'~9/85

l 4~, O

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E~W

AceL máx. del terrenD = U.171g

..,

......

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T~~W 5

Figura 4-10 - ."celerogramas de algunos sismos importantes

En la Figura 4-10 se muestran los acelerogramas de seis sismos importantes, cuya descripción es la siguiente: El Centro - Corresponde a la componente N-S del registro tomado en El Centro, California, del temblor del Imperial Valley, de Mayo 18 de 1940. Tiene una aceleración horizontal máxima del :H.8% de la gravedad. Fue por muchos años el registro acelerográfico más fuerte, tomado cerca de la falla que lo causó, de que se disponía en el mundo. Está registrado en un sitio donde hay cerca de 300 m de aluvión denso entre la superficie del suelo y la roca. Castaic - Componente N21E del registro tomado en Castaic Old Ridge Route, del temblor de San Fernando, California, del 9 de Febrero de 1971. Tiene una aceleración horizontal máxima del 31.6% de la gravedad. Corralitos - Registro tomado en Corralitos, localizado en el Eureka Canyon, del temblor de Loma Prieta, California, del 17 de Octubre de 1989. Tiene una aceleración horizontal máxima del 62.9% de la gravedad. Viña del Mar - Registro tomado en Viña del Mar del temblor de Chile de Marzo 3 de 1985. Tiene una aceleración horizontal máxima del 36.3% de la gravedad. Corresponde e un registro típico de la zona de subducción de la costa del Pacífico de Suramérica. Miyagi - Registro tomado en Sendai, Japón, del sismo de Miyagi-Ken-Oki, Japón, del 12 de Junio de 1978. Tiene una aceleración horizontal máxima del 26.3% de la gravedad. México - Registro tomado en la Secretaría de Transporte de la ciudad de México D. F., del temblor de México del 19 de Septiembre de 108:1. El temblor se originó en el Océano Pacífico cerca al estado de Michoacán, a más de 400 km de distancia de la Ciudad de

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...... ::., .......

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Mexíco. Tiene una aceleración horizontal rnaxima del 16.1% de la gravedad. Corresponde a un registro tomado en la superficie de un valle donde hay depósitos de arcilla entre la roca y la superficie, los cuales amplificaron la onda sísmica. Es importante hacer notar las características aleatorias de los movimientos registrados, así como las diferencias importantes entre los acelerogramas registrados en suelo blando, como son el de Míyagí y el de Ciudad de México, en comparación con los registrados en roca o aluvión, como son El Centro, Castaic, Corralítos y Viña del Mar.

4.8.3 Definición de los movimientos máximos del terreno Si un acelcrograma se integra contra el tiempo, se obtiene el registro de las velocidades que describió el terreno durante el sismo; y si se integra nuevamente se determinan los desplazamientos del terreno. En la Figura 4·11 se muestra para el temblor de El Centro de Mayo 18 de 1940, el registro original de aceleraciones, el de velocidades del terreno, que se obtuvo al integrar el de aceleraciones y el de desplazamientos del terreno, que a su vez proviene de integrar el de velocidades del terreno. En los gráficos se han marcado los máximos para la aceleración del terreno (Ate = 3.417 rn/s-, equivalente a O.348g), la velocidad del terreno (Vte = 0334 mis), y el desplazamiento del terreno (D¿ = 0.109 m). 4,------,-----------,------,---------,-----..--------¡ 3

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A celeraci6 n del terreno

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0.3 0.2

Velocidad del terreno

0.1

(mis)

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-<J. 15

tiempo (s)

Figura 4-11 - Temblor del Imperial Valley, "E: Centro'" - Mayo 18 de 1940 - Movimientos máximos del terreno: Ale 3.417m1s 2 , V,. 0.334 mis y Ole 0.109 m

La relación que puede existir entre estos tres parámetros ha sido estudiada desde hace algún tiempo. En [Newmark, 1968] y /Newmark, 1969], N. M. Newmark indicaba que la siguiente relación era siempre válida;

(-4-2)

y que en general:

Dinámica estructural aplicada al diseño sismico

(-l-3)

Estudios posteriores realizados por B. Mohraz, [Mohraz, 1976], para diferentes tipos de suelo, indican las relaciones entre los diferentes movimientos máximos del terreno, evaluadas en la media estadística, dadas en la Tabla 4--5. Tabla 4-5 - Relaciones entre los movimientos máximos del terreno

Tipo de suelo

V.JAte (l1l/s)/~

At.D.J(V te )l

Roca

0.61

5.3

Menos de 9 m de aluvión sobre la roca De l¡ a (iO m ele aluvión sobre la roca Mas de 60 m de aluvión

0.76 0.76 1.22

.r.s 5.1

3.9

D.JAte (mi!!)

0.20 0.28 030 0.58

B. Seed, fSeed y Idriss, 1982], indica que a pesar de que los valores de Vw/A te varían con la distancia al lugar de ocurrencia del sismo, para distancias menores de aproximadamente 50 km, los siguientes valores, en (m/sl/g son representativos: 0.55 para roca, 1.10 para depósitos de suelos rígidos de profundidad menor a 60 m, y 1.35 para depósitos de suelos rígidos con mas de 60 m de profundidad.

Más adelante, en los Capítulos 6 y 7 se verá que los movi .entos sís c s de diseñ_o/$e e ti ativos de los movímí . ximos el terreno. 4.8.4 Efecto de las condiciones locales del suelo

El efecto de los sismos se ve Influenciado enormemente por las características locales del suelo, en la zona afectada. Dentro de estos efectos se cuentan grandes avalanchas o deslizamientos, corno la que produjo el sismo de Páez en Colombia, del 6 de Junio de 1994-, en el cañón del río Páez en el Huila. En aquellos casos en los cuales el suelo consiste en material granular suelto, el movírniento cíclico del sismo tiende a compactarlo, lo cual conduce al desarrollo de exceso de presión de poros lo cual, a su vez, puede causar licuación del suelo. Este fenómeno se observó en los márgenes de los ríos cercanos al epicentro, durante el sismo de Murindó el18 de Octubre de 1992. Por otro lado, desde hace mucho tiempo se sabe que la estratigrafía del suelo en el lugar tiene una influencia importante en los daños observados. Solo en la medida que se tuvo mayor cantidad de acelerógrafos en lugares cercanos al epicentro, fue posible observar las variaciones en los acelerogramas, dependiendo de las condiciones del suelo subyacente en el sitio del acelerógrafo. ¡¡a rigidez del suelo y sus características de amortiguamiento, así como la magnitud del sismo y su distancia hipocentral, tienen gran influencia. Un caso clásico de este tipo de fenómenos es la enorme amplificación de las ondas sísmicas en el valle donde se encuentra localizada Ciudad de México, corno se muestra en la Figura 4-10, en el registro del sismo del 19 de Septiembre de 1985. Las variaciones que se presentan, a partir de los movimientos registrados en roca, consisten en una amplificación de las ondas sísmicas con frecuencias de víbracíón similares a las dominantes del depósito de suelo; un aumento en la duración del sismo; y un aumento de las aceleraciones, velocidades y desplazamientos observados. A modo de ejemplo de las variaciones que se pueden obtener, en la Figura 4--12 se muestran tres registros del sismo de Tauramena, Casanare, del 19 de Enero de 1995, todos ellos obtenidos por la Red Simológica Nacional de Colombia. El sismo de

Taurarnena tuvo una magnitud m, de 6.5, fue localizado en las coordenadas 5.01 N Y 7.. 1:.08 W, y tuvo una profundidad de alrededor de 15 km. Presa San Rafael - La Calera (Cund.) 0.075 0.050 0.025

Acel(~)ción 0.000

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-0.025 1

-0.050 -0.075

El Rosal (Cund.) 0.075

0.050 0.025

Aceleración O000 ! (g)

-0.025 -0.050 -0.075

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Bogotá O. C. - Sede Ingeominas - Carrera 30 x Calle 53 0.075 I 0.050 0.025

Aceleración I (g) 0.000

-0.025 -0.050 -0.075

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maxO.06 9 20

tiempo (s) Figura 4-12 - Registros acelerográficos del sismo de Tauramena de Enero 19 de 1995.

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El primer registro fue obtenido en la población de La Calera, al oriente de Bogotá. El acelerógrafo está instalado en roca en uno de los túneles de la presa de San Rafael. La distancia del instrumento al epicentro es de 134 km. El segundo registro, se obtuvo en la población de El Rosal, localizada en el costado occidental de la Sabana de Bogotá. El instrumento está instalado también en roca y su distancia al epicentro es de 156 km. El tercer registro se obtuvo en la sede de lngeominas en la ciudad de Bogotá (Carrera 10 con Calle 53). En este lugar el suelo está caracterizado por un depósito de arcilla de un poco más de 180 m de espesor. La capa superficial está preconsolídada en su primeros 3 a S m, con resistencias relativamente buenas, debajo de la cual se encuentra la arcilla normalmente consolidada de muy baja resistencia en la parte superior, pero con aumento de la resistencia con la profundidad. Es importante anotar la amplificación de las aceleraciones máximas del terreno, y el cambio en el contenido frecuencial de los registros. En [YamÍn y Ojeda, 1995], [Espinosa, 1995j se presenta información para el caso especifico de Bogotá, respecto a la amplificación sísmica que producen sus suelos. Recientemente se concluyó la micro zonificación de la ciudad de Bogotá [Ingeominas y Universidad de los Andes, 19971, en la cual se tipifican desde este punto de vista los suelos de la ciudad, y se dan espectros de diseño para las diferentes zonas.

4.8.5 Variación y atenuación de los movimientos sismicos con la distancia La variación de la intensidad de los movimientos sísmicos con respecto a la distancia del lugar al sitio donde se inició la liberación de la energía ha sido estudiada por muchos años. En general el tratamiento inicial que se le dio estuvo basado en mapas de isosistas como el presentado en la Figura 4-6. En la medida que aumentó la cantidad de 81

Dinámica estructural apticaaa U/ atserto :>I:>/lll<"v

instrumentos en diferentes regiones del mundo, se obtuvieron registros acelerográficos que permitieron realizar correlaciones entre alguno de los parámetros de movimiento máximo del terreno, con respecto a la distancia recorrida por las ondas sísmicas. Estas correlaciones se ajustan con respecto a la magnitud del sismo. La definición de la distancia es de gran importancia, pues hay necesidad de distinguir entre la distancia epícentral, la distancia hipocentral y la menor distancia a la falla que causó el sismo. Las relaciones de atenuación, en general tienen la forma: (q- ..!)

Donde a es la aceleración máxima horizontal del acelerograma, en cm/s": ID es la magnitud Ms del sismo; r es la distancia más cercana a la falla que genera el sismo en km, y CI a C4 son constantes obtenidas por medio de regresiones. En los estudios de amenaza sísmica que se han realizado en el país, [Sarria, 1995a], fGarcia et al., 1996], se han utilizado tradicionalmente tres ecuaciones, y el promedio aritmético de los coeficientes de ella. Estas ecuaciones son las dos ecuaciones de Donovan, fDonovan, 1973] y la ecuación de MacGuire, [MacGuire, 1974J Estas son las ecuaciones que se dan a continuación y que se grafican logarítmícamente en la Figura 4-13.

Donovan 1

a = 1320 e 0.580m (r + 25) -1.520

(-l-S)

Donovan 2

a = 1080 eO. 5OOm (r + 25)-1.320

(q-6)

MacGuire

a = 472.3 eO.640m (r + 25) -1.301

(-lo. 7)

Promedio

a = 957.43 e 0.573m (r + 25)-1.380

(-l-8 )

10 - , - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - ,

--01-M5 ....... 01-M6 ....... 01-M7 ....... 01-MB _ _ 02-M5 _ _ D2-M6 _ _ 02-M7 _ _ 02-MB _ _ MG-M5 _ _ MG-M6 _ _ MG-M7 _ _ MG-MB -e-PR-M5 -e-PR-M6 -e-PR-M7 -e-PR-MB

100

1000

Distancia (km)

Figura 4-13 .. Efecto de la distancia y la magnitud en varias ecuaciones de atenuación

I11l.'.

En la Figura -1:-1-1: se muestra la primera ecuación de Donovan en un gráfico aritmético. El que la aceleración no varíe demasiado en el campo lejano es consistente con la información que se dispone en la actualidad. Indudablemente, los efectos en el campo cercano tienen grandes variaciones, mayores en proporción, que en el campo lejano.

1.2

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0.8

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0.4

0.2

C.O

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100

150

200

250

300

Distancia (km)

Figura 4-14 - Variación con la distancia y la magnitud para la ecuación DOIl!(Jv;;m 1

4.8.6 Tipos de temblores según el aceleroqrama Los registros acelerograficos, varían para eventos producido» .tes sismogénicas, e inclusive para sismos producidos por la misma falla. Un ejemplo de esto es el caso de "El Centro" en California, allí se tienen registros acelerogr.iñcos de eventos ocurridos en 193-l, EHO y 1919. Aunque los tres eventos fueron producidos por la misma falla, los tres tienen aceleraciones máximas del terreno diferentes y duraciones diferentes. Newmark y Rosenblueth, INewmark y Rosenblueth, 1971], clasíñcan los temblores de la siguiente manera, según su acelerograma:

Tipo 1 - El acelei ograma prácticamente consiste en un pulso único. En la Figura -l-13 se muestra un registro acelerográñco de este tipo de sismo. Registros de este tipo sólo se obtienen a distancias cercanas al epicentro, sólo en terreno firme, y únicamente durante sismos superficiales. Cuando estas condiciones no se cumplen, las múltiples reflexiones y difracciones de las ondas sísmicas cambian la naturaleza del movímíenro. Este tipo de sismos se ha presentado en Agadír en 1960, Libia en 1963, Skopio en 1963 y San Salvador en 1965. Muy seguramente el sismo de Popayán de Marzo 31 de 1983 fue de este tipo. Este tipo de registros se obtienen en temblores de magnitud moderada (3.-1 a 6.2), con foco superficial (menos de 30 km), y los efectos se sienten como un pulso unidireccional, más fuerte en una dirección que en la opuesta. Excita períodos de vibración cortos, del orden de 0.2 segundos.

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nnamica estructuren UpllL'UUU Ul UI.)Cf/u .)l">"""~ 0.10

0.05

Aceleración 0.00

(g) -0.05

-0.10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

tiempo (s)

Figura 4-15 - Acelerograma del temblor de Port Hueneme de Marzo 18 de 1958

4. Tipo 2 -

Están representados por un movímiento extremadamente irregular de duración moderada. El sismo de "El Centro" de 19-10, es el ejemplo clásico de este tipo de registros (Figura 4-16). Está asociado con distancias focales moderadas y ocurren únicamente en suelo firme. La gran mayoría de los sismos que se generan en el Anillo Circumpacífico son de este tipo. Excitan un amplio rango de períodos de vibración (con un mínimo entre 0.05 y 0.5 segundos, y un máximo entre 2.5 y 6 segundos). Generalmente tienen la misma forma en las tres direcciones principales. 0.4

0.3 0.2

Acelención 0.1 O (g) -0.1 -0.2 -0.3 -0.4

.,1

~ ~.' .1

\Ill

-O.34Bn

1111" 1

Figura 4-16 - Acelerograma del temblor de "El Centro" Mayo 18 de 1940

Tipo 3 - Un movimiento del terreno de mucha duración y que manifiesta períodos de vibración muy definidos. En la Figura 4-17 se muestra el acelerograma registrado en suelo blando del sismo de Ciudad de México de Septiembre 19 de 1985, el cual es un ejemplo clásico de este tipo de sismos. Esta es la consecuencia de sismos de los tipas anteriores que son filtrados a través de estratos de suelo blando, en los cuales las ondas sísmícas sufren reflexiones sucesivas en las fronteras entre estratos.

100

120

140

160

lBO

Tiempo (s)

Figura 4-17 - Acelerograma del temblor de México de sep. 19 de 1985, comp. EW

Tipo 4 - Este tipo de movimiento comprende aquellos casos en los cuales se presentan deformaciones permanentes a gran escala del terreno. En los lugares de interés se puede presentar licuación o grandes deslizamientos. El temblor de Alaska de 1964 es un ejemplo clásico de este tipo de movimientos. así como el temblor de Nígata, Japón, del mismo año.

J i

tiempo (s)

I I 10

In" W TI"lIlI

JH.

Esta clasificación de sismos fue postulada hace más de 25 años, y sigue siendo vigente. Newmark y Rosenblueth planteaban que las técnicas analíticas prevalecientes en ese entonces permitían el estudio de los primeros tres tipos de registros, quejándose de la falta de registros del primer tipo. Colombia perdió en ese aspecto una gran oportunidad debido a la ausencia de un acelerógrafo en Popayán en 1983. Con respecto al cuarto tipo, Newmark y Rosenblueth, indicaban que los conocimientos del momento no permitían la construcción de una estructura sobre un suelo que sufriera deformaciones del tipo indicado allí. Esto sigue siendo válido en la actualidad.

4.9 Estudios de amenaza sísmica 4.9.1 Metodología

En la actualidad existen diversas tipologías de estudios de amenaza sísmica, dependiendo del fin para el cual se realizan. Un tipo de estudios de amenaza sísmica, son aquellos que se realizan para obras de gran importancia, cuya falla debido a un sismo puede ser catastrófica, y que se realizan para fijar parámetros de diseño, los cuales sólo son utilizables para diseño de la obra propuesta. Otro tipo, corresponde a aquellos que se realizan dentro del contexto de una reglamentación de construcción sismo resistente, con el fin de fijar parámetros comparativos dentro del territorio de aplicabilidad de la norma, conduciendo a mapas de zonificación sísmica. Un tercer tipo corresponde a los estudios de micro zonificación, en los cuales una ciudad, o una región relativamente pequeña, se estudia con respecto a la respuesta sísmica esperada en diferentes lugares, agrupando en microzonas aquellos sitios que tienen características similares. La metodología a emplear varía según el típo de estudio, pero existen caracreristícas comunes, y en algunos casos sólo se diferencian por el alcance mismo de los estudios que se realizan. A continuación se presenta la metodología general, indicando en qué casos se utiliza ese paso, dentro de los tipos de estudios anunciados anteriormente. La presentación está basada en [Bolt, 1989], adaptada a lo que ha sído práctica en el país.

Tabla 4-6 - Metodología en los estnaios d~ ame,.,aza sísmicll

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Etapas mínimas a realizar

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Consideraciones aeoloaicas Obtención de la información geológica existente sobre la región, con especial interés en la neotectónica regional. incluyendo identificación de los movímíentos recientes en la corteza causados por sismos. Compilación de las fallas activas en la región. con la definición del tipo de movimiento (lateral, normal. etc). En algunos casos hay necesidad de realizar trabajo de campo. Es de particular ímportancia definir el tipo de movímíentos que han ocurrido en el Holoceno (últimos 10 000 años). por medio de evaluación de los desplazamientos de la capa de suelo. dataciones por medio de Carbono 14 de materiales orgánicos obtenidos ele trincheras de exploración de las fallas. v otros métodos.

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amenaza sismica

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en un estudio de

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Jínámica estructural aplicada al diseno SISI1lICV

6. 7.

Elaboración de mapas de la geología estructural en una zona suficientemente amplia para cubrir las fuentes sismogénicas cuyos eventos puedan afectar el sitio de interés. prestando especial atención a los escarpes en la roca. los efectos díferenciales de la erosión. y los desplazamientos de las capas superftctales de materiales sedimentarios. Este tipo de mapas debe mostrar los tipos de roca. las estructuras de superficie. y las fallas locales. incluyendo estimativos acerca de su longitud. continuidad v tino de movimiento Que han sufrido. En el caso de fallas que estén localizadas inmediatamente debajo del sitio de interés. deben llevarse a cabo exploraciones por métodos geofísicos. con el fin de determinar la localización de rupturas recientes de las fallas y ~"ros lineamientos. Dentro de los métodos geofísicos que SE utilizan están las mediciones de resistividad eléctrica y de gravirnetria, a lo largo de un perfil perpendicular a la falla. Otro tipo de información que es de importancia. consiste en la búsqueda de evidencia de segmentación de la longitud total de la falla. tales como superposición de alineamientos. o cambios en el altneamíento zeneral Descripción de deslizamientos, asentamientos. doblamientos de estratos. inundaciones Dar avenidas o tsunamis en el lugar. Verificación de los niveles de agua freátíca, con el fin de determinar si existen barreras dentro de la tabla de agua. las cuales pueden ser asociadas con fallas. o afectar la respuesta del suelo durante un sismo. Información sismolóqica Documentación detallada de la historia sísmíca de la región. Se deben preparar catálogos sísmicos de los eventos que se han sentido en el sitio. ESlOS catálogos deben contener la fecha. la localización. la profundidad. la magnitud y la intensidad de Mercallí, para cada sismo. Esta información elebe ilustrarse nor medio de manas regionales. Elaboración. donde la información lo permita, de curvas de recurrencia de la frecuencia de sismos regionales. incluyendo magnitudes pequeñas. El estimativo de la frecuencia de ocurrencia de sismos dañinos se puede estimar de e",,,s estadísticas. Estudio de los registros acelerográficos disponibles, de los reportes de daños y toda la información de intensidades locales existente sobre la rezíón donde está localizado el sitio de interés. Elaboración de estimativos de la máxima intensidad de Mercalli en terreno firme. cercano al sitio. que debe haberse sentido con los sismos irnnortantes que han afectado el sitio. Dettntctán de los sismos de diseño Por medio de modelos probabilisticos apropiados. utilizando la información geológica y sismológica. se definen curvas de recurrencia de los parámetros relevantes del sismo de diseño. Estos parámetros generalmente son la aceleración máxima en roca del sismo de diseño. 013 intensidad de Mercallí en roca o suelo firme. La interpretación de estas curvas de recurrencia requiere la introducción de valores correctivos provenientes ele las incertidumbres asociadas con la información y la defirlición de un período de retorno promedio del sismo de diseño. En muchos casos se definen diferentes sismos de diseño. correspondientes a diferentes estados límites (Estado Limite Ultimo o de colapso. o Estado Límite de Servicio o umbral de daño). En lo posible. deben definirse las fallas geológicas cuya ruptura pueda ocurrir. indicando el tipo de mecanismo de desplazamiento (lateral normal. etc.). A pesar de las numerosas incertidumbres asociadas con ello. debe estimarse la profundidad focal. la longitud de ruptura y el desplaz arníento esperado. nara los eventos de diseño. Cuando se trata de una zonífícacíón. deben elaborarse mapas donde se agrupan aquellas regiones o sitios donde los parámetros de los sismos de diseño tienen valores semejantes. conformando así zonas de amenaza sísmica similar. Estudios qeotécnicos Identificación y estudio de aspectos geotécnicos y geológicos locales. referentes a la posición y espesores de la estratificación dominante y la nrofundidad de la roca de base. Estudio de las propiedades. desde el punto de vista de ingeniería de los suelos superficiales que afecten la decisión del tipo de fundaciones a emplear. Dentro de esta etapa deben detectarse. utilizando sondeos. apiques, etc., estratos de arenas sueltas y saturadas que puedan sufrir licuación: también denósít os prol undos de arcillas blandas

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Definición de las propiedades del suelo tales como: peso específico, contenido de humedad, resistencia al cortante, comportamiento bajo cargas cíclicas a través del módulo dinámico de cortante. valores de la capacidad de amortiguamiento h.isterético. Estas propiedades deben establecerse utilizando mediciones en el sitio. o ensayos de laboratorio sobre muestras obtenidas de los sondeos. Determinación de las velocidades de las anclas P y S. utilizando correlaciones o por medio de procedimientos de medición en el sitio (técnicas cross-hole o down-hole). Deflnicíón de unas curvas de transferencia de los suelos localizados entre roca y la superficie, las cuales permiten deflnir las variaciones. de amplificación o deamplífícacíón, de las ondas sísmicas para los diferentes períodos de vi-º~ación de interés. Estudio de los efec¡,~=, d.' 3f'"1l'lificarión generados por accidentes tonozráfícos como nueden ser las ¡"J..:':-a.:- v cOJinas aisladas. Síntesis de los resultados agrupando en zonas de característícas de amplificación o deamplíficación similares. Definición de los criterios a emplear en zonas de transición entre un tipo ele comportamiento de! suelo v otro.

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4.9.2 Amenaza sísmica en Colombia

En el país desde hace más de tres décadas se han venido haciendo trabajos de evaluación de amenaza sísrnica de diferentes tipos, dentro de los cuales se cuentan

estudios para obras y edificios de importancia, evaluaciones de amenaza sísmica de ciudades y de todo el país, así como estudios de rnicrozoníficación de algunas ciudades del país, I1ngeominas y Comunidad Económica Europea, 1992] e [Ingeominas y Universidad de Los Andes, 19921. Para las primeras normas sismo resistentes nacionales, aparecidas en 198~, se elaboró un estudio general de amenaza sísrníca de Colombia, ¡Carcía et al., 1984]. Para la nueva versión de las normas NSR-98, [AIS, 7998] se elaboró, en E)95, un nuevo estudio de amenaza sísmica del país, [Carcía et al., 1996). Este trabajo fue elaborado en conjunto por la Asociación Colombiana de Ingeníería Sísrnica, la Universidad de los Andes y el Ingeominas. La información geológica y tectóníca provino de numerosas fuentes, [París, 1993J, lo cual condujo a la definición de 32 macrosistemas de fallamientos, los cuales se presentan en las Figuras ~-7 y ~-8. La información sismológica empleada está descrita en la Sección ~.7.3, con una graficación de parte de los datos del catálogo en la Figura ~-8. Con base en la ínformacíón tectónica y sismológica descrita se realizaron las labores que se describen a continuación. El análisis se dividió en dos etapas, una de asignación de eventos y otra de evaluación de la amenaza sísrnica. El análisis de asignación de eventos depende de la tectónica, de la información sísmica utilizada y del ancho del corredor de asignación. La profundidad promedio de los eventos de cada fuente se determinó por medio de un promedio ponderado que utiliza el exponente de distancia de la ecuación de atenuación, aunque su influencia es muy menor; por lo tanto, las asignaciones son utilizables con las diferentes ecuaciones de atenuación. En resumen el análisis de asignación es único para una tectónica, una base de eventos sísmicos y un ancho de corredor de asignación. Del proceso de asignación se obtuvieron para cada fuente los siguientes parámetros para los tres lapsos de la información sísrnica; 1566-1995 (primer sismo histórico), 1922-1995 (llegada del primer sismógrafo al país) y 1957-1995 (red sísmica suficientemente densa para poder calcular la profundidad del sismo); y para dos magnitudes mínimas (Ms=3 Y M, = -l) utilizadas: l. Frecuencia - el número de sismos por año con magnítud mayor que la míníma. 2. Beta - pendiente de la regresión logarítmica de magnitudes.

3. Profundidad promedio - El promedio de la profundidad de los sismos que reportaron profundidad.

.....

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-riámica estructural apucaaa al UI;)~/lU ~l.)llllLU

En la Tabla --l-7 se resumen los datos obtenidos para las diferentes fuentes sismogenicas contempladas en el estudio. Tabla 4-7 - Parámetros de las regresiones para la informacIón de asignación de eventos utilizando un corredor de 60 km y una magnitud mínima de 3.0

N 1

M, Frecuen. M, mínima máxima sis.zaño 3.00 6.::>0 0.578

3.00

7:J0

Beta 1.043c)

Profun. FALlA Prom. Arco de Dabeiba 30.0

1.342

0.9886

27.9

Bahía Solano

3.00

S.OO

1.973

0.9458

72A

3.00

7.50

17.447

1.6434

165.1

Beníoff - Intermedia Beníoir - Profunda

3.00

s.oo

0.078

0.7707

38.3

Boconó

300

6.00

0.078

0.4648

16.5

31)0

0.394

1.7329

28.9

Bolívar Bucaramanga - Santa Marta - Norte

1---

e.so

3. oo

6.50

1131

1.4747

39A

:).00

7.(lO

03-12

1.7097

26.3

BUcaramanga - Santa Marta - Sur Cauca

3.00

6.:JO

lU31

1.6373

16.0

Cimitarra

3.00

6.00

0.3-12

21883

26.9

3.00

6.00

0131

1.2098

27.-1

3.00

7.00

0.263

1.2749

23.8

Compresión Sur Caribe - Este Compresión Sur Caribe - Oeste Cuíza

3.00

6.50

0.105

1.3395

31.8

3.00

7.00

0.394

1.8524

18.8

3.00

8.00

2.657

0.9887

21.4

3.00

6.50

0.105

2.1238

30.4

3.00

6.50

0.394

2.6979

31.1

Espiritu Santo Fallas del Magdalena Frontal Cordillera Oriental Garrapatas

3.0G

7.00

0.052

1.3847

33.0

3.00

7.50

1.500

l.0567

18.0

Ibagué Iunín - Sam'narnbí Muríndó - Atrato

3.00

7.00

0.473

1.5830

24.2

Normal Panamá Paciflco OCd

3.00

7.-10

0.184

1.1131

22.7

3.00

G.:JO

0.289

1.3443

21.0

Palestína

2-1

3.00

6.JO

0.1 57

1.4150

2-1.1

3.00

<).50

(dOS

0.61Cl

18.5

3.00

7.60

0.815

1.0379

28.1

3.00

6.50

0052

0.8495

-10.0

Perijá Puerto Rondón Romeral Romeral - Norte

1.9970

3.00

6.50

1.763

29.8

Salinas

3.00

6.00

0.210

0.5312

22.6

:,0

3.00

6.50

0.500

1.6869

33.3

3.00

8.60

lCi.18-1

1.3938

25.8

300

7.00

0.236

0.7::,78

18.1

Sinú Súarez Subducción Uríbante - Caparo

En todos los casos de evaluación de la amenaza se utilizaron los resultados del lapso 1957-1995, para las dos magnitudes mínimas. Eh algunos casos hubo necesidad de ajustar los resultados obtenidos porque no había información suficiente para obtener los parámetros, y se utilizó la del lapso siguiente (1922-1995). Como resultado del análisis de asignación, se ajustaron las coordenadas que definen la falla a la localización en superficie de la proyección de la línea de profundidad promedio de los eventos asignados a la falla. Esta modificación solo se realizó para aquellas fallas que tienen buzamiento diferente de 90. Se evaluaron diferentes casos de asignación de eventos a las fuentes sismogenícas, utilizando diferentes alternativas del ancho del corredor de asignación (-lO, GO, 80 Y 100 km), para las ecuaciones de atenuación mencionadas en la Sección --l.8.:> y para las dos

magnitudes mínimas empleadas en las regresiones (M, = 3 Y M, = 4). En la Figura 4-18 se muestra la regresión de magnitudes (distribución de Ríchter), para la falla frontal de la cordillera oriental. Este tipo de regresión se realizó para todas las 32 fuentes sismogénicas. FALLA FRONTAL DE LA CORDILLERA ORIENTAL

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1566-1995 Mmin3

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1566-1995 Mmin4

1957-1995 Mmin3

•

1957-1995 Mmin4

Magnitud (M,)

--........

Beta (3) =0.9887 1922-1995 Mmin3

--REGR. Mmin3

Beta (4) =0.9705 _ -

1922-1995 Mmin4

-REGR. Mmin4

Figura 4-18 - ReiJresión de magnitudes de la falla frontal de la cordillera oriental

La evaluación de amenaza depende primariamente de los datos obtenidos de la asignación ce sismos '/ del análisis estadístico que se realice con la información de cada una de las fuentes sismogénicas. Del modelo probabilístico de línea fuente empleado, [Der Kiureqhian y Ang, 19751. se utilizan las fuentes Tipo 1 (fallas conocidas) y la Fuente Tipo 3 (proceso sismogénico desconocído). por lo tanto todas las fallas corresponden a fuentes tipo 1 y los eventos no asignados generan la información para las fuentes tipo 3. En este caso se realizaron estudios de sensibilidad a los diferentes parámetros que intervienen en la evaluación de la amenaza sísmica. Se manejaron como variables los siguientes parámetros:

•

La magnitud mínima a que se haya recortado la información sísmica en la determinación de las regresiones que producen los diferentes parámetros.

•

La magnitud máxima que se puede esperar de la falla. En general los valores utilizados provinieron de numerosos estudios anteriores y acerca de los cuales hay, más o menos, concordancia entre diferentes especialistas.

•

Las ecuaciones de atenuación. Se emplearon las presentadas en la Sección 4.8.5.

La ecuación de longitud de ruptura la cual indica para una magnitud dada el segmento de falla que se rompe. Se utilizan las ecuaciones desarrolladas por Arnbrasseys:

8.9

Jínámica estructural aplicada al diseño stsnnco

Mejor ajuste

Límite inferior

Límite superior

=e(1.S96m-7.56)

= e(1.61Sm-8.58) L = e(l.1S0m-3.3S) r r

(4-9)

(4-10) (4-11 )

donde L, es la longitud de ruptura en km y m es la magnitud M s•

Los parámetros provenientes de la estadística de los sismos de cada una (le las fuentes sísmogenícas influyen notablemente en la amenaza que se obtenga. En general para cada falla se deben dar los siguientes parámetros: magnitudes máxima y mínima, como se mencionó anteriormente; frecuencia de ocurrencia, en sismos por año; profundidad promedio de la fuente; y la pendiente de la regresión de magnitud (Beta), la cual es utilizada dentro del análisis probabilístico, para definir la probabilidad de que el sismo tenga una magnitud determinada.

•

El nivel de corrección por incertidumbre. Se realizaron ajustes al 50%, al 90% y al 99%. Se consideró que es lícito utilizar como valores finales de los resultados aquellos que estén dentro del rango de los producidos por los diferentes niveles de corrección. Esta es la manera más simple de incluir aspectos subjetivos tales como: apreciaciones sobre la sismicidad histórica, resultados de evaluaciones realizadas en algunos lugares donde se dispone de información más detallada y consideraciones regionales que sería difícil, si no imposible, incluir dentro de los modelos matemáticos. Estas consideraciones son relativamente fáciles de incluir dentro de los valores que se le asigna a una ciudad determinada, pero entrañan una mayor dificultad cuando se trata de elaborar mapas para todo el pais.

Con el fin de evaluar la sensibilidad de los resultados a las diferentes variables involucradas, se determinó la aceleración horizontal máxima de diseño en cada una de las capitales de departamento, para una probabilidad de excedencia del 10% en 50 años, o sea un período promedio de retorno de --175 años. La evaluación se realizó dividiendo la información en dos grupos, uno con la magnitud mínima M. = 3 y otro con la magnitud mínima M. = 4. PClTa cada una de las capitales de departamento se obtuvieron gráficas de recurrencia de aceleración horizontal. En cada una de ellas se presentan líneas para tres correcciones por incertidumbre (50%, 90% Y 99%) Y para una magnitud mínima del recorte de la información sísmica igual a M. = 3 Y a M. = 4 Y se indica el período de retorno exigido por las normas si smo resistentes. En las Figuras 4-19 a 4-21 se presentan estos gráficos para Barranquilla, Bogotá, y Cúcuta, respectivamente.

Los valores para ser incluidos en los mapas de zonificación de las normas pueden estar dentro de todo el rango dado, pero la mejor tnterpretacíón corresponde a los valores contenidos dentro de las dos líneas de corrección por incertidumbre de 90% (líneas centrales). Otra manera de interpretar lo que requieren las normas sismo resistentes, es utilizar el valor con corrección por incertidumbre del 50% multiplicado por un coeficiente igual a lA. Puede argumentarse que el valor al 50% de corrección corresponde al nivel de solicitación sísmica para materiales que se diseñan utilizando el método de los esfuerzos de trabajo y el coeficiente 1.4 es el mismo que utilizan las normas sismo resistentes para convertir de esfuerzos de trabajo a valores al nivel de resistencia, [Carcía et al., 19841.

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1000

0.00

0.05

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0.30

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0.5D

Aceleración horizontal (~) _ _ _ INCEAT. '" 90%· Mrnil'l3 - € I - INCERT." 90% Mm",,,,

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'" 50%· Mmin4

- I N C E R T . _ 99% . Mmin3 -..o-INCEAT. = 99% - Mmin4

--COQIGO (475 años)

Figura 4-19 - Curvas de recurrencia de aceleración máxima horizontal para la ciudad de Barranquilla

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Aceleración horizontal (g)

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e INCERT - 90%· Mm'l'l3 _ _ _ INCERT = 90% Mm",4

INCERT. = 99%. Mmin3

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Figura 4-20 - Curvas de recurrencia de aceleración máxima horizontal para la ciudad de Bogotá

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Aceleración horizontal (g)

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Figura 4-21 - Curvas de recurrencia de aceleración máxima horizontal para la ciudad de Cúcuta

Además se obtuvieron gráficos de influencia de las fallas en la amenaza de cada una de las ciudades capitales. Estos gráficos se calcularon para el nivel de aceleración de O.OSg. En la Figura 4-22 se presenta el gráfico correspondiente a la ciudad de Bogotá y en la Figura 4-23 el de la ciudad de Medellín.

nannca esrrUClUrUf UV"l-U. ...... ~. ~w_

FALLAS DEL MAGDALENA

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•.

0.0%

FRONTAL CORDILLERA ORIENTAL

IBAGUE

SALINAS

TIP03 LO=-74.0 LA= 5.0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1f(l de contribución de cada falla en el rango de O.05g de aceleración horizontal

Figura 4-22 • Influencia de las diferentes fallas en la amenaza sísmica de Bogotá

I I

43.3

BENIOFF·INTERM EDIA

"AUCA

MURINDO·ATRATO

43.5

ROMERAL

SUBDUCCION

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

% de contetb uctén de cada falla en el ra ugo de O.OSg de :lc.elrf'lJf'1ó'l] horizontal

Figura 4-23 • Influencia de las diferentes fallas en la amenaza sísmica de Medellín

Con base en los resultados obtenidos para las ciudades y utilizando valores de la amenaza sísmica calculados para una cuadrícula de meridianos y paralelos trazados cada medio grado, se dibujaron tres mapas: uno de Zonificación Sísmica, otro de valores de A, Y un tercero de valores de Ad • Estos mapas se presentan en las Figuras 4-24, 4-2:) Y4-26 respectivamente.

•

-80 13

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Figura 4-24 - Mapa de zor.ificación de amenaza sísmica de Co'ombia

El mapa de la Figura 4-24 corresponde a una distinción cualitativa del tipo de sismos que pueden presentarse en el país, y divide la amenaza sísmica en tres grados 01 niveles: baja, intermedia y alta. Dentro de un mapa de esta naturaleza se conjugan la información sobre sismos históricos e instrumentales. Además toma en cuenta el potencial sismogénico de cada región, así como la posibilidad de que una región se pueda ver afectada por sismos que ocurren en otra región colindante. Los diferentes materiales estructurales contemplados en las normas _ sismo resistentes, tienen limitaciones en su empleo en las diferentes zonas de amenaza sísmica según se definen en el anterior mapa.

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Figura 4-25 - Mapa de valores de Aa

El mapa de la Figura 4-25 corresponde a los valores de la aceleración horizontal máxima del terreno, la cual se ha denominado en las normas sismo resistentes Aa, Y es equivalente al valor de Ate de los sismos de diseño esperados en todo el territorio nacional. Estos valores, de acuerdo con la definición dada por las normas sismo resistentes, tienen una probabilidad de excedencia de tan solo el 10% en un lapso de 50 años, lo cual corresponde a un período de retorno promedio de 475 años. No sobra insistir aquí, que estos valores corresponden a aceleraciones en la roca, sin que se haya incluido el efecto local de amplificación de las ondas causada por el suelo subyacente.

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Figura 4-26 - Mapa de valores de A.i

El mapa de la Figura 4-26 corresponde a los valores de la aceleración horizontal máxima del terreno, Ad • equivalente a un valor de Ate que tienen una probabilidad de excedencia de 80% en un lapso de J 5 años, lo cual conduce a un período de retorno promedio de 10 años. Estos movimientos sísmicos se utilizan para verificar el Estado Límite de Servicio de la estructura. para lo que se ha denominado el Umbral de Daño, o sea el punto a partir del cual puede presentarse daño en los elementos estructurales y no estructurales de la edificación.

-.10 Predicción de sismos La pregunta acerca de sí se pueden predecir los sismos se presenta con mucha frecuencia, por esta razón se ha incluido esta Sección donde se presentan algunos comentarios al respecto. Quien desee profundizar sobre el tema, debe consultar las referencias [Bolt, 1989, 1993a, y 1993bj, [Sarria, 1995a], [Olson, Podesta y Niqq, 19891, Y [Lomnitz, 1994]. Una predicción sísmica, para que cumpla su cometido, debe indicar cuándo, en qué lugar y de qué tamaño es el sismo que va a ocurrir. Con respecto a la predicción en el tiempo, se distingue entre predicciones: a largo plazo, cuando se realiza con años de anticipación; de plazo intermedio, cuando se realiza con semanas de anticipación; y a corto plazo, cuando se hace con horas o días de anticipación. Desafortunadamente, en el estado del arte actu.al de la ingeniería sísmica, esta pregunta no se puede responder adecuadamente.

Dentro de la comunidad científica la predicción sísmica no tiene la mejor de las reputaciones. Existen numerosos casos en los cuales se han pronosticado eventos que no ocurrieron, produciendo graves consecuencias socioeconómicas, [Olson, Podesta y Nigg, 19891. Así mismo existen algunos casos especiales en los cuales se han realizado predicciones exitosas, [Lomnitz, 1994]. Desde tiempo ancestral, la humanidad ha tratado de pronosticar la ocurrencia de sismos. Existen numerosos prejuicios populares respecto a que cierto tipo de tiempo, en términos meteorológicos, precede la ocurrencia de sismos; o que ciertos cambios en el comportamiento de los animales también están asociados con la ocurrencia de sismos fuertes. A pesar de que hace algunos años se ínvírtieron fondos y tiempo de científicos serios en la exploración de este tipo de correlaciones, especialmente en China, los resultados fueron totalmente ínconcluyentes y se demostró que la probabilidad de realizar una predicción seria con base en este tipo de información no era mayor que la que se obtenia de hacer predicciones totalmente al azar. En algunos casos, científicos serios han desarrollado teorías respecto a la correlación de ciertos hechos con la ocurrencia de sismos fuertes. Dentro de estas han sido populares, tan solo por un corto tiempo: una aparecida en la década de 1950, basada en la atracción gravíracional del planeta Urano, otra aparecida a mediados de la década de 1970 asignaba la ocurrencia al alineamiento de los planetas del sistema solar, solo pof mencionar algunas de estas teorías, En 1976 das científicos del USGS (Servicio Geológico de los Estados Unidos) predijeron que un sismo de magnitud 8.-t ocurriría en la costa peruana en las cercanias de Lima a finales de Julio de 1981. Esta predicción, se hizo pública tanto en los Estados Unidos como en el Perú, donde fue tomada seriamente, dadas las calificaciones de los científicos que la realizaron. La fecha indicada pasó sin que ocurriera ningún sismo, no obstante hubo graves consecuencias socíoeconómícas producidas por el temor de la población a medida que se acercaba la fecha de la predicción. En [Olson, Podesta y Nigg, 1989] se hace una descripción detallada de este proceso de predicción y sus consecuencias. En el ambiente científico formal moderno, la predicción se soporta principalmente en el. estudio de los procesos tectónicos que están ocurriendo, de los movírníentos de la corteza, de los precursores y réplicas de eventos importantes, de los patrones de energía liberada a través de sismos, de cambios en los patrones de velocidad de las ondas sísmicas, del aumento del contenido de gas radón en las aguas subterráneas, del cambio en les niveles de los pozos, y otros. Tanto China como Japón, tienen programas formales de predicción sísmica, y otros países de manera un poco más incipiente. En el caso de China, el 4 de Febrero de 1974 se dio el anuncio de un sismo inminente que debería ocurrir en las próximas 24 horas. La ciudad de Haicheng fue evacuada y efectivamente un sismo de gran intensidad ocurrió en las horas de la tarde del mismo día. No obstante, en China y otros países, se han hecho predicciones de sismos que no ocurrieron en realidad y también han ocurrido sismos importantes sin que se haya hecho ninguna predicción al respecto, causando numerosas \ictimas.

Inica eSCrllC1UnU UjJll<llllU 'H .... H

.. .,

... "

...

constante m corresponde a la masa; e a la constante del amortiguador; y k la rigidez del elemento estructural, o resorte, que da apoyo a la masa. La solución de esta ecuación diferencial de equilibrio se puede obtener por medio de alguno de los métodos presentados en el Capítulo 3, tal como el método de la aceleración lineal, o el método Beta de Newmark. Suponiendo que un sistema de un grado de libertad, como el mostrado en la Figura 5-1, con un período de vibración de 1 segundo y un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, es sometido en su base a los 25 primeros segundos del acelerograma del temblor de El Centro, se obtendría una respuesta en el tiempo del sistema como la indicada en la Figura 5-2. Esta respuesta se obtuvo matemáticamente utilizando el método Beta de Newmark. 60

0.0+ T

-6.0-'-

1'\

RESPUESTA EN ACELERACION ABSOLUTA (mis')

vJ'V\!\il¡cAvv''''~nJV~d''v'''V v

"'J' O'o"JVv'"

/ 1 , - - máxima aceleración 5.075 mis'

1.0

máxima velocidad 0.904 mis 1t---máximo desplazamiento 0.128 m

f\ 1\

I I

RESPUESTA EN DESPLAZAMIENTO RELATIVO (m) f\

\: '\'1 \1 1I J J v

-0.2

4.0

ACELERACION EN LA BASE (mis') Registro "El Centro" N-S ~.

-4.4

15 Tiempo (s)

Figura 5-2 - Cálculo de la respuesta para los 25 primeros segundos del TemblC'r cíe El Centra de un sistema úe un grado de ubenea con un período de vibración de 1 segundo y ~

=5%

Es importante anotar que la respuesta presentada en la Figura 5-2 se ha expresado contra el tiempo en función del desplazamiento relativo entre la masa y la base, u; de la velocidad relativa entre la masa y la base, u; y de la aceleración absoluta de la masa, x == ü+x o ' Se utiliza la aceleración absoluta dado que la 2 3 ley de Newton está postulada con respecto a una aceleración absoluta y por lo tanto la fuerza inercial sobre la masa es igual al producto de la masa por la aceleración absoluta.

>.2 Obtención del espectro de respuesta En la Figura 5-2 se han marcado los valores máximos del desplazamiento relativo, de la velocidad relativa y de la aceleración absoluta. El máximo desplazamiento relativo multiplicado por la constante del resorte, k, conduce a la máxima fuerza que se ejerce sobre el resorte durante todo el movimiento estudiado. La máxima velocidad relativa multiplicada por la constante del amortiguador, e, define la máxima fuerza en el amortiguador. La máxima aceleración absoluta multiplicada por la masa, m, da la máxima fuerza inercial. Es evidente que desde el punto de vista de ingeniería estos máximos son los parámetros de mayor interés.

Capitulo 6

SístenUlS tnetasüeo» de un grado de libertad

I f

6.1 Introducción El limitar el estudio de la dinámica estructural a sistemas linealmente elásticos reduciría su rango de aplicación enormemente; pues la gran mayoría de los materiales estructurales muestran dentro del rango de esfuerzos utilizados en la práctica, en alguna medida, características inelástícas. Mas aún, algunos materiales como el concreto son inelásticos en casi todo el rango útil de esfuerzos. Además, en la respuesta de estructuras sometidas a los efectos de sismos fuertes, muy seguramente éstas actuarán más allá del rango elástico: permitiendo que parte de la energía que impone el movimiento sísmico se pierda como energía disipada; reduciendo la energía que se convierte en energía cinética; y disminuyendo las fuerzas inerciales a que se ve sometida la estructura. En principio, en el análisis de la respuesta dinámica de una estructura, hay necesidad de disponer de una relación fuerza-desplazamiento que describa lo que ocurre en ia estructura, para cualquier nivel de desplazamiento y a cualquier velocidad de deformación, durante una serie de solicitaciones alternantes. La formulación de un modelo matemático que permita estudiar la respuesta inelástica de sistemas dinámicos, depende fundamentalmente de cómo actúa cada material estructural en particular. Un aspecto importante en la capacidad de un material de responder dinámicamente en el rango inelástico está asociado con la ausencia de modos frágiles de falla. Cuando se presenta una falla frágil, se viola la premisa básica de que el sistema estructural sobreviva la excitación dinámica. Por esta razón se buscan maneras de disponer y diseñar los materiales estructurales para que respondan dinámicamente en el rango Inelásrico, sin pérdida grave de la resistencia y estabilidad del sistema estructural. Esta particularidad de los materiales de resistir deformaciones en el rango inelástico sin falla, se ha enmarcado dentro de términos tales como ductilidad y tenacidad. Por lo tanto es deseable que los materiales estructurales se diseñen y detallen de tal manera que tengan una ductilidad y tenacidad apropiada, con el fin de que puedan tener respuestas dinámicas inelástícas adecuadas. Desafortunadamente, no existe una manera única de describir, a diferencia de los sistemas elásticos, el comportamiento inelástico de todos los materiales estructurales. Por esta razón hay modelos matemáticos apropiados para cada uno de ellos, y en algunos casos para algunos tipos particulares de elementos estructurales construidos con uno de los materiales. -\ continuación se discute, de una manera resumida, el comportamiento en el rango inelástico de varios materiales estructurales, y de elementos construidos con ellos, para poder formular modelos matemáticos que lo describan analíticamente. Posteriormente, se tratará de una manera más detallada el comportamiento estructural inelástico del concreto, el acero estructural y la mampostería. respectívamenre. 117

Dinámica estructural (IpIíC(I((¡ (ti (lIsellu :>1:>/lU'"

6.2 Respuesta histerética 6.2.1 Materiales y elementos estructurales elásticos e inelásticos Desde el punto de vista técnico IPopov, 1968], la elasticidad de un material se define como la capacidad de éste de volver a sus dimensiones originales, después de que se haya retirado una fuerza impuesta, recobrando totalmente la forma que tenia antes de imponer la fuerza. Por lo tanto, el comportamiento elástico implica la ausencia de cualquier deformación permanente debido a que se haya aplicado y retirado la fuerza. Algunos materiales exhiben una relación esencialmente lineal entre esfuerzos y deformaciones, como muestra la Figura 6-l(a), y se denominan materiales lineaunente elásticos. Otros materiales muestran alguna curvatura en sus relaciones esfuerzodeformación, como se muestra en la Figura 6-1(b); y se denominan materiales no linealmente elásticos. En ambos casos la curva de carga y de descarga es la misma. Un tercer caso es el materiaí in elástico, en el cual la descarga no ocurre siguiendo la misma trayectoria de la carga y se presenta deformación permanente, como muestra la Figura G-I{c).

esfuerzo

esfuelZo

esfuerzo

deformación

permanente deformación unitaria

deformación unitaria

(a)

(b)

(c)

Figura 6-1 - Material: (a) linealmente elástico, (b) no linealmentt:! elástico, y (e) inelástico

Esta distinción entre materiales elásticos e inelásticos es algo ambigua; debido a que prácticamente todos los materiales presentan las dos características cuando se observan las relaciones esfuerzo-deformación en todo el rango de esfuerzos posibles, hasta llevarlos a la falla. En general la clasificación anterior hace referencia al comportamiento del material en el rango inicial de carga, cuando los esfuerzos y las deformaciones son pequeñas. r, esfuerzo

zona de endurecimiento por deformación

I resistencia a la f1uencia I

Es' 1

elongación máXima/: deformación de f1uencia

, ~

deformación unitaria

Figura 6-2(a) - Curva esfuerzo-deformación del acero de refuerzo

118

En la Figura 6-2(a) se muestra la curva esfuerzo-deformación para el acero de refuerzo y en la Figura 6-2(b) la del concreto no confinado. Allí puede verse que el acero es linealmente elástico hasta que llega al punto de fluencía, mientras que el concreto no es propiamente linealmente elástico en ningún momento. t;, esfuerzo

módulo tangente inicial

Etan

módulo tangente al 20% de la resistencia máxima

1 lEc

módulo secante al 45% de la resistencia máxima

O.45fc •

O.20fc•

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

E, deformación unitoria

Figura 6-2(b) - Curva esfuerzo-deformación del concreto no confinado

El área bajo la curva esfuerzo-deformación de cualquier material que se lleva hasta la faiia, es una medida de la capacidad del material para absorber energía por unidad de volumen, y se denomina tenacidad del material (toughness, en inglés). Entre mayor sea el área bajo la curva, el material tiene mayor tenacidad. Los materiales inelásticos muestran características especiales cuando la carga no se aumenta monotonicamente hasta la falla. Se entiende por ensayo monotónico aquel en que se carga el material sin que haya inversión en el sentido de las fuerzas aplicadas. En la Figura 6-3, basada en [Popov, 1968], se muestra un material que fue cargado desde O hasta el punto A; luego fue descargado, y tomó la rrayectoria AB. Tanto en la parte inicial de la carga como en la descarga, el material tuvo una respuesta esencialmente elástica con el módulo de elasticidad inicial del material. A pesar de esto, debido a que entró en el rango inelástico antes de llegar al punto A, se presenta una deformación permanente, Además, la energía de deformación que había acumulado hasta el punto A, no fue liberada totalmente en la descarga; por lo tanto, el material disipó la energía correspondiente al área sombreada, tal como se explicó en la Sección 1.7.4. En el rango Inelástíco, sólo una parte pequeña de la energía absorbida por el material se recupera al descargarlo. En la Figura 6-3 puede observarse que al cargar nuevamente el material a partir del punto B; éste se comporta como un material elástico, hasta que encuentra la curva original en el punto C; y que al seguirlo cargando sigue la curva original. Si en el punto O se retira nuevamente la carga, el material llega al punto E de cero esfuerzo aplicado. Cargándolo nuevamente en el sentido contrario a partir del punto E, desde F el material comienza a comportarse inelásticamente. Vale la pena anotar que el esfuerzo f h en el punto f es menor que el que tuvo al descargarlo, fa, en el punto D. Esto se conoce como efecto de Bauschinqer, quien fue el primero en observarlo, y por esto lleva su nombre.

1l!J

IJilllÍl1lÍl(l l'strllctllra( (lj>IIC(I(L(l (11 lU"Wllv .:>tJ""~v

-------------------

deformación unitaria

Figura 6-3 - Efecto de carga y descarga, con inversión del sentido de la fuerza

Cuando al material se le imponen una serie de ciclos de carga, descarga, y carga en el sentido opuesto; en los cuales los esfuerzos sobrepasan el límite elástico del material, se obtiene el comportamiento que se mostró en la Figura 1-8. Este comportamiento se conoce con el nombre de respuesta histerétíca. Tal como se indicó en la Sección 1.7A, la histeresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Por lo tanto, hace referencia al comportamiento de los materiales estructurales cuando se ven sometidos a deformaciones o esfuerzos alternantes que están fuera del rango de respuesta lineal, o elástica, ante una solicitación; ya sea de fuerza o de deformación impuesta. Una gran parte de la energía que es capaz de disipar el material estructural en el rango ínelástíco de respuesta se asocia con el área comprendida dentro de los ciclos de histéresis. Desde el punto de vista del elemento estructural construido con un material elástico, o inelástíco, es conveniente ver cómo se manifiesta la inelasticidad en comparación con el elemento construido con un material elástico. Vale la pena, en este momento, repasar el proceso matemático que se emplea para determinar la línea elástica, o curva de deflexiones de una barra prismática, sometida a flexión transversal en su sección. Con base en la teoría matemática de la elasticidad (Timoshenko y Younq, 1962] es posible demostrar que la siguiente ecuación diferencial describe la línea elástica y = f{x) del elemento estructural: (6-1)

Donde y corresponde a la deflexión transversal de la línea elástica, x es la variable que describe la posición a lo largo del eje longitudinal del elemento, E es el módulo de elasticidad del material, 1 el momento de inercia de la sección, y p(x) es la función que describe las cargas transversales al eje del elemento. La solución de esta ecuación diferencial se obtiene integrando cuatro veces y resolviendo las constantes de integración por medio de las condiciones de apoyo. La Tabla 6-1 muestra este proceso de una manera esquemática. La relación de momento-curvatura (M-cj», mostrada en la etapa (d) de la Tabla 6-1, supone que las deformaciones son linealmente proporcionales a los esfuerzos, a través de la rigidez, El, de la sección del elemento. Por lo tanto, la ecuación es válida para

120

1 I

-elementos cuyo material no llega a esfuerzos que superen el límite elástico, o sea materiales linealmente elásticos. Tabla 6-1 - De carga a deflexión

p(x)

(a) Carga

p(x)

(b) Cortante

V(x) = J p(x)dx

M(x) = V(x)dx

PJIJJJ=Q r

V(x)

JIDrrrm.~

M(x)

~ ep(x)

(d) Curvatura

q>(x) = M(x)

8(x)

(e) Rotación

9(x) = q>(x)dx

~'%1ill

(f) Deflexión

S(x) = 9(x)dx

Cuando el elemento estructural responde inelásticamente, conociendo t,: rclación momento curvatura, es posible llegar a determinar las deflexiciD,·c,liz, Ido el proceso de integración, probablemente utilizando técnicas matemáticas algo más elaboradas. A modo ilustrativo, en la Figura 6-4 se presenta la relación omentocurvatura (M-$) de la sección de una viga de concreto reforzado, que Sé carga monotónicamente a flexión. Allí es importante anotar, que la sección se comporta de una manera linealmente elástica hasta el punto en el cual se fisura el concreto en tensión en la parte inferior de la viga. Este punto se denomina punto de agrietamiento, y le corresponden un momento de agrietamiento, Me.. una curvatura de agrietamiento, q>cn y la rigidez hasta este punto se puede describir por medio de EI g , donde I g es la inercia de la sección no físurada. En la medida que se aumenta el momento se incrementa la fisuración en la parte inferior de la viga; el eje neutro de la sección sube; y los esfuerzos, tanto en el concreto como en el acero, se incrementan. En el momento en que el acero de refuerzo llega a su resistencia de fluencía f y (véase la Figura 6-2a), hay un cambio en el comportamiento de la sección, que es consecuencia del cambio en el comportamiento del acero. Allí es posible definir un momento de fluencia, M y , una curvatura de fluencia, <!>Y, y una rigidez, Ele.. que se denomina rigidez fisurada. Esta rigidez, describe aproximadamente el comportamiento de la sección entre el punto de fisuración y el de fluencia. A partir de ese punto hay un aumento en la curvatura de la sección, sin que se presente un mayor aumento en el momento, presentándose disminución en la rigidez de la sección. Esta situación se mantiene hasta el punto en que se empieza a presentar un aumento de la resistencia del acero debida al fenómeno de endurecimiento por deformación (straín-hardeníng en inglés), allí puede definirse una curvatura para endurecimiento por deformación, q>s' La resistencia a momento se incrementa hasta llegar al punto de máxima resistencia del acero, fu, obteniéndose así la máxima resistencia de la sección, M¿ El momento empieza a disminuir en la medida

~--_

............

121

_-------------------~.

-ináinica esrrucr ural aplicada al (//seIlOSISIIIIC(J

que la resistencia del acero baja, hasta que éste falla a la tensión. Allí se obtiene la máxima curvatura en la sección, <1>0. M -falla

.<.---.. .

: '-..Iniciación del endurecimidnto : por deformación del ecero fluye acero

el,

6.2

,, ,, ,, ,

punto d~agrietamiento

,, ,,

,, ,, , ,,

, $cr

Sección del elemento

Figura 6-4 - Relación momento curvatura típica de una viga de concreto reforzado

El comportamiento mostrado en la figura anterior se presenta cuando la cuantía de acero longitudinal es relativamente baja, permitiendo que el acero de refuerzo llegue a fluencia, antes de que se presente una falla por compresión en el concreto. O sea es válido para cuantías menores que la cuantía balanceada, Pb' Así mismo, la sección debe tener una resistencia a esfuerzos cortantes adecuada, para que la falla sea por flexión y no por cortante, la cual es una falla frágil. De igual manera, debe garantizarse que no haya una falla por adherencia del acero de refuerzo con el concreto.

sección del elemento

<P u

L I

4's

r-r-

I T -iI I I I t- _1_

<P y

4'cr

ep Figura 6-5 - Distribución de la curvatura en una viga en voladizo que se lleva a la falla

Supongamos, ahora, una viga en voladizo que tiene una sección similar a la estudiada. A esta viga se le coloca una carga en el extremo libre. En la Figura G-S se presentan las curvaturas correspondientes a la aplicación de una carga tal que se presente en la base del voladizo respectivamente el momento de agrietamiento, el de fluencia y el momento último. Allí puede observarse que cuando se llega al momento último hay una concentración de cambio en curvatura en la base del voladizo. y esto corresponde a un incremento local de la rotación, ep . Generalmente este lugar donde Sl' presenta la

concentración de cambio en curvatura se denOminaJj!!LculaciátLvltIstica:)a distancia en la cual se presenta se llama la longitud de plastificáción,-ep. . --- _. - . El caso presentado en la Figura 6-5 corresponde, nuevamente, a un ensayo monotónico, en el cual no hay reversión de las cargas. A continuación se presenta cualitativamente el comportamiento histerético, obtenido de ensayos experimentales, de los principales materiales estructurales: concreto reforzado, acero estructural y mampostería estructural, cuando hay reversión de las cargas aplicadas.

6.2.2 Concreto estructural El concreto reforzado puede decirse que es el matrimonio de dos materiales con propiedades mecánicas totalmente diferentes, como puede comprobarse de la simple observación de la Figura 6-2. Para solicitaciones estáticas, las características de los dos materiales han obligado a respaldar los criterios de diseño con investigaciones experimentales. Para solicitaciones dinámicas, especialmente cuando se esperan respuestas en el rango inelástico, la experimentación adquiere un carácter aún más importante. Todo lo que se conoce actualmente acerca del comportamiento dinámico en el rango inelastico del concreto reforzado se ha obtenido de amplios y costosos programas experimentales.

Con el fin de ilustrar el comportamiento histerético de elementos de concreto reforzado; en la Figura 6-6, adaptada de lSozen, 1974], se presenta la respuesta ante cargas alternantes de una viga en voladizo, con refuerzo longitudinal simétrico. La viga se somete a un programa de deformaciones consistente en dos ciclos completos de deflexiones verticales iguales en las dos direcciones. Las deformaciones se logran por medio de fuerzas verticales aplicadas en el extremo libre del voladizo. Se supone que el refuerzo longitudinal de la viga está adecuadamente anclado de tal manera que no haya problemas de adherencia del refuerzo. Igualmente se supone que dispone de sufícíente refuerzo transversal. En la Figura 6-6(a) se muestra la viga, su sección y el programa de deformaciones. En la Figura 6-6(b) se muestra el primer ciclo de respuesta en términos ele id íuerz.a aplicada y del desplazamiento vertical en el extremo libre del voladizo. El primer cuarto de ciclo de respuesta muestra tres etapas bastante bien definidas: AR, Be v GJ La etapa AB representa la respuesta de la viga antes de que ocurra fisuración del concreto en tensión en la parte superior de la sección. La aparición de la primera fisura, usualmente en la base del voladizo, reduce apreciablemente la rigidez de la viga, Esta reducción es mayor al comienzo, cerca a B, y luego va disminuyendo gradualmente en la medida que se acerca al punto C; y es consecuencia de la mayor ftsuracíón, de la aparición de deformaciones en el rango inelástico del concreto, de la reducción de la zona de compresión al subir la localización del eje neutro de la sección, y del resbalamiento del acero de refuerzo debido a la disminución de su adherencia al concreto. La reducción en rigidez puede verse a través de la diferencia entre k g y kcn correspondiendo la primera a la sección no fisurada y la segunda a la sección fisurada, cuando el refuerzo en tensión está llegando al punto de fluencia. En el punto e el acero superior de la viga, el cual está en tensión, fluye llegando a f y ; véase la Figura 6-2(a). En este punto, la viga típicamente tiene una serie de microfisuras de diferente longitud vertical, como muestra la Figura 6-6(c), con su trayectoria dictada por el estado de esfuerzos principales que existen en una viga no fisurada. Hasta este momento la distribución de la curvatura de las secciones de la viga es directamente proporcional al diagrama de momentos, con la excepción de pequeñas desviacíones causadas por la separación finita entre microfisuras. Estas desviaciones son mayores para vigas con muy poco refuerzo longitudinal. A medida que la deformación se aumenta más allá del punto C, hay un aumento importante de la deformación causado por un pequeño aumento de la carga; con un cambio apreciable en la distribución de 123

)ill(UllíClI eSlTlLCllLrlll UJl"ClHIll III .tI'He"" .H.,,"""

curvatura a lo largo de la viga. El aumento en dcflexión se debe principalmente a un aumento en rotación, o concentración de curvatura, en la vecindad del apoyo. El elemento no falla necesariamente en este punto. La deformación que el elemento admite más allá del punto de fluencia se denomina capacidad de deformación inelástica IAbrams, 1991]. Sección

Voladizo cargado en el extremo

Programa de deflexiones

~ D'

(a)

Final del ciclo 1 Final del ciclo 2 Máxima Deflexión

(f)

(b)

Figura 6-6 - Respuesta histerética de una viga de concreto reforzado en voladizo

En el punto D las fisuras son mayores dentro de una distancia del apoyo igual a la altura del elemento, que en el resto de él, como muestra la Figura G-G(d). Se presenta, generalmente, un descascaramiento del concreto en la fibra extrema en compresión, cerca a la cara del apoyo. El cambio en rigidez es mucho más marcado entre el tramo CD, que en el tramo Be. La rigidez del tramo CD está descrita por medio de k._ Esta pendiente está dictada por la capacidad de endurecimiento por deformación que tenga el acero de refuerzo, la cual se muestra en la Figura 6-2(a). Además influyen en su magnitud: el espesor del recubrimiento en comparación con las dimensiones de la sección confinada por el refuerzo transversal, y la cuantía de este último. La deformación impuesta se invierte arbitrariamente en el punto D. Al ir de D hacia E, disminuyen los esfuerzos en el acero de refuerzo y en el concreto, reduciéndose la carga y la deflexíón. El acero de refuerzo tiende a volver a su posición original. El agrietamiento que se presentó durante la etapa anterior no cierra en su totalidad. La pendiente del tramo DE tiende a reducirse en la medida que la curva se acerca al punto E, de cero carga. En el punto E la viga tiene una deflexión permanente. Las fisuras son visibles, pero tienen un espesor muy pequeño, si es que no se han cerrado totalmente. La variación en la rigidez, está descrita a través de la pendiente k u • En el punto E, de inversión de la carga, la viga es casi tan rígida como en el punto inicial A. Esto se debe a que el concreto en la zona de abajo (ahora tensión) está todavía intacto, aunque haya fisuras de la zona de arriba (antes tensión) sin cerrar en su totalidad. Por esta razón, la curva procede hacia el punto F con una pendiente

124

aproximadamente igual a la inicial (pendiente del tramo AH). En F se produce la fisuración por tensión de la parte inferior de la víga. En los ciclos de carga subsiguientes, esta parte de la respuesta histerética es diferente, como puede verse en la Figura 6-6(0 correspondiente al segundo ciclo de carga y donde el primer ciclo se ha dibujado punteado.

I t

La forma de la curva entre los puntos F y G depende de una interacción compleja entre las propiedades esfuerzo-deformación del acero de refuerzo, la cuantía de refuerzo longitudinal, y la distribución y ancho de las fisuras existentes. Generalmente la curva procede hacia G con una pendiente que se va reduciendo gradualmente. No obstante, diferentes combinaciones de las variables mencionadas pueden producir cambios locales en la pendiente de la curva entre F y G. Por ejemplo, si las fisuras de la parte superior de la viga no se han cerrado totalmente en el momento que el acero de refuerzo superior fluye en compresión, puede producirse un cambio brusco de la pendiente, acompañado por una rigidización cuando las fisuras efectivamente se cierren. Aparecen fisuras causadas por tensión en la parte inferior de la viga (zona de compresión durante la parte inicial del ciclo carga), obteniéndose un comportamiento análogo al de CD. Las deflexiones son producidas por los esfuerzos de compresión en el concreto y de tensión en el acero de la zona de tensión; así como por resbalamiento del refuerzo debido a la disminución de su adherencia con el concreto. Acercándose al punto G, el acero en tensión fluye con el consecuente aumento en la detlexión. El punto de fluencia no se presenta de una manera tan definida como en C. Esto se debe a que el refuerzo de tensión puede haber fluido en compresión en el ciclo anterior, antes de que ocurriera la inversión en la dirección de la carga; presentándose un efecto de Bauschinger. La tendencia general en esta zona está descrita a través de la pendiente k., En el punto G el patrón de fisuración es similar al de D, solo que ahora se presenta en la parte inferior de la viga, como muestra la Figura 6-6(g). En el punto G ocurre una nueva inversión arbitraria en el sentido de las deformaciones. La porción GH es similar a DE. En H hay nuevamente una deformación permanente, similar a la del punto E; pero ahora en la dirección inversa. La magnitud de esta deformación depende de la degradación de la rigidez que haya ocurrido anteriormente (Abrams, 1991]. En la medida que la carga aumenta a partir de H hacia D', se pasa por el punto 1, el cual marca el fin del primer ciclo. A partir de H se presenta un pequeño aumento de la rigidez causado por las fisuras que se cierran en la nueva zona de compresión. A diferencia del tramo FG, este comportamiento se extiende más allá del punto de cero deflexíón, Las fisuras existentes no se han cerrado totalmente en el punto de cero deflexíón: Esto se debe a que algunas fisuras se abren antes de que las anteriores se cierren. Pueden existir fisuras abiertas en ambas caras del elemento..-\1 presentarse deflexíón más allá del punto de cero carga, se aumenta la rigidez debido a que las fisuras en la zona de compresión se cierran totalmente. En muchos casos los esfuerzos de compresión en esta etapa son resistidos casi en su totalidad por el refuerzo de la zona en compresión. El segundo ciclo se muestra en la Figura 6-6(f), donde el primer ciclo se ha dibujado como referencia, por medio de una línea punteada. Entre I y D' el miembro resiste la carga con una respuesta que manifiesta mucho menor rigidez que la observada durante el ciclo de carga inicial. Esto se debe: a un ablandamiento del acero de refuerzo causado por haberlo deformado cíclicamente en tensión y en compresión; a una degradación del módulo de elasticidad original del concreto; y a un deterioro del mismo concreto con menor adherencia del refuerzo. En este caso la fluencia del acero de refuerzo no es una característica sobresaliente, debido al ablandamiento del acero. La porción D'E' del nuevo ciclo es muy similar a la porción GH del primer ciclo, debido a que la viga se descarga bajo condiciones similares. Idealmente, un número moderado de ciclos con los mismos límites de deflexíón no debe producir un cambio en el tipo de respuesta; produciéndose ciclos de hístercsis subsiguientes con las mismas características del segundo ciclo ISozen, ] 9741.

lJl1UllllrCU (-"'~('-({Clltl{l( Hl.'IH.. l H H . l 'l1.. U h

-.........

• .J

I Figura 6-7 - Rigidez durante los ciclos de histéresis de elementos de concreto reforzado

Cuando se presentan nuevos ciclos de carga con deflexiones mayores que las impuestas anteriormente, como se muestra en la Figura 6-7, adaptada de [RiddelI y Newmark, 1979]; se presenta una degradación de la rigidez, la cual se manifiesta con un corrimiento del punto D hacia la derecha y del punto G hacia la izquierda. La deflexión a la cual se presenta el aumento de la rigidez en H'D' o en E'G', aumenta progresivamente de ciclo en ciclo debido a la acumulación de deformación inelástica en el refuerzo y al resbalamiento del refuerzo en compresión. La pendiente general de la curva carga-deflexíón, representada por la línea que une los dos extremos del ciclo, DG; se reduce en la medida que ocurren más ciclos de carga. En la Figura 6-7, además, se resumen las rigideces asociadas a diferentes etapas de los ciclos de hístéresis, donde: kg k., k,

k, k,

rigidez con la sección no fisurada, antes de que se presente cualquier solicitación rigidez con la sección fisurada, y evaluada al nivel de fluencia del acero en tensión pendiente, expresada en términos de rigidez, del incremento en resistencia producido por el acero de refuerzo longitudinal sometido a deformaciones en la zona de endurecimiento por deformación pendiente, expresada en términos de rigidez, de la curva que se obtiene cuando el elemento se descarga después de que el acero de tensión ha fluido pendiente, expresada en términos de rigidez, de la curva que se observa cuando el elemento se carga en el sentido contrario al de un ciclo de carga que acaba de terminar. También se conoce como rigidez de recarga, o de nueva carga.

Es importante anotar que el comportamiento descrito corresponde al de un elemento que disipa energía por flexión. Para lograr este comportamiento debe garantizarse que el elemento no falle por esfuerzos cortantes o por ausencia de un refuerzo transversal de confinamiento adecuado, Figura 6-8(a) adaptada de [Wight y Sozen, 1973]; ni el refuerzo longitudinal falle por adherencia, Figura 6-8(b), adaptada de [Higashi y Takeda, 19721. Allí se muestran los efectos de degradación de la resistencia y de degradación de la rigidez, respectivamente. 126

Degradación de la rigidez

Fuerza

(a)

(b)

Figura 6-8 - Falla por falta de refuerzo transversal adecuado y falla por adherencia del refuerzo longitudinal

Dentro de los factores que influyen en la forma de los ciclos de hísteresís de elementos de concreto reforzado ISozen, 1974] y [Abrams, 1991], se cuentan los siguientes: • • • • • • • • •

cuantía de refuerzo longitudinal y las propiedades esfuerzo-deformación del acero de refuerzo, carga axial sobre el elemento, nivel de fisuracion en función de la distribución y espesor de las grietas, eficacia de la adherencia entre el refuerzo y el concreto, distribución del refuerzo en la sección (generalmente ~(simétrica en \igas), esfuerzos cortantes y cantidad de refuerzo transversal, distorsiones generales y locales de los nudos de los extremos del elemento, forma de la sección del elemento (viga T diferente a viga rectangular), y estabilidad lateral de las barras de refuerzo.

En algunos tipos de elementos de concreto reforzado, a pesar de que se presentan ci,,:iOS de histeresís estables, la cantidad de energía que se disipa puede verse afectada por el estranqulamiento (pinching, en inglés), que se presenta en los ciclos de histercsís debido a que no se cierran las fisuras de los ciclos de carga anteriores; llegándose él tener una fisura abierta que pasa por toda la sección del elemento. Esto produce un alargamiento del elemento, el cual ha sido observado experimentalmente [Fenwick y Davidson, 19951. La rigidez en la zona de reversión de la carga (tramos EG y HD en las Figuras 6-6 y 6-7), se limita a la que aporta el refuerzo longitudinal, sin contribución del concreto. El cortante que necesariamente acompaña el momento aplicado, es resistido en la base del elemento tan solo por efecto de espigo del acero longitudinal; y en algunos casos se presenta resbalamiento en la base del elemento, lo cual contribuye a que se presente el estrangulamiento. La energía disipada y el estrangulamiento de los cíclos de hísreresís se muestran en la Figura 6-9, adaptada de [Rertero y Popov, 1977[.

127

Fuerza

Estrangulamiento "'"

Deflexión

Energía disipada en el tercer ciclo

Energía disipada en el primer ciclo

Figura 6-9 - Energía disipada y estrangulamiento de los ciclos de histéresis.

6.2.3 Acero estructural El comportamiento histerético de elementos de acero laminados en caliente es mucho más simple que el de concreto reforzado, dado que se trata de elementos hechos de un solo material. Las bondades del comportamiento del acero como material se trasladan a los elementos construidos con él. No obstante, todos los problemas asociados con estabilidad local de las alas y el alma, estabilidad general del elemento, alabeo, fractura frágil, etc.; se agravan dado que el elemento va a trabajar en el rango inelástico. Los problemas de comportamiento histerético del acero estructural se relacionan principalmente con la necesidad de proveer secciones estables en el rango inelástico, lo que se denomina secciones compactas; y la forma como se realicen las conexiones entre elementos, especialmente cuando se requiere que éstas sean resistentes a momentos. Viga 8 WF 48 Ensayada

I Fuerza CIClO 11/"47

Ciclo N° 36 CieloN°27 Ciclo N" 10

Ciclo N° 1 (;lelo N" 2

(e) Conexión pernada (atornillada)

(b) Conexión soldada

Figura 6-10 - Respuesta hisferética de vigas de acero estructural en voladizo

En la Figura 6-10, basada en [Popov y Bertero, 19731. se ilustra cualitativamente el comportamiento histerético de una viga en voladizo de acero estructural. En la Figura 6-10(a) se muestra la viga ensayada y la columna de apoyo, de mayor sección, la cual tiene atíezadores soldados para evitar distorsiones y falla dentro del panel de la conexión. En la Figura 6-10(b), se muestra la respuesta de la viga cuando su conexión a la columna de apoyo es soldada; al no haber problemas en la junta; los ciclos de 128

hísteresís son totalmente estables, aún después de un número muy alto de ellos. En la Figura 6-10(c) se muestra el ensayo de una conexión pernada. Las porciones relativamente planas de los ciclos de histeresis están relacionadas con resbalamiento de los conectores. La rigidización posterior está asociada con el asiento sobre los tornillos. En la Figura 6-11 se muestra cualitativamente la respuesta histerética de una columna de acero sometida a fuerza axial constante, ya una fuerza horizontal alternante.

" 6

Figura 6-11 - Respuesta histerética de una columna de acero estructural sometida a fuerza axial y horizontal

Debido al temblor de Northridge, Caliiornia, USA, suburbio de la ciudad de Los Angeles, ocurrido el 17 de Enero de 199-4, (SAC [oint Venture, 1995J; se presentaron daños graves en más de 100 edificios de acero cuyo sistema estructural consistía <'Jl pórticos soldados resistentes a momento, sin diagonales de arríostramiento, Los daños estuvieron concentrados en las conexiones de viga con columna. SI" pre3e: itaron problemas en edificios de un piso hasta de 26 pisos; incluyendo dl":.:e que estaban en construcción, hasta edificios con más de 30 años de construidos, Hubo daños graves en lugares donde las aceleraciones registradas localmente fueron relattvamente moderadas. Los edífícíos que estaban localízados en las zonas que fueran afectadas por las mayores aceleraciones, tuvieron daños muy graves, cercanos al colapso. Lo indicado en (SAC Ioint Venture, 1995], que se transcribe a continuación, habla por sí solo: "Los pórticos resistentes a momentos de acero soldado se utilizan ampliamente en todos los Estados Unidos y en el resto del mundo, especialmente en edificios en altura. Con anterioridad al temblor de Northridqe.este tipo de construcción era considerado uno de los mejores sistemas estructurales sismo resistentes; debido a que existían muy pocos casos de daños graves a este tipo de estructuras en sismos ocurridos anteriormente, y no existe evidencia de que se hayan producido colapsos de este tipo de edificios construidas de acuerdo con la práctica actual dentro de los Estados Unidos. No obstante, el daño grave generalizado dentro de este tipo de estructuras, ocurrido a raíz del temblor de Northridqe; exige que esta premisa se revise". En la Figura 6-12(a), basada en (SAC joint Venture, 1995], se muestran algunos de los problemas que fueron detectados en vigas y columnas, en las cercanías de la conexión. En la Figura 6-12(b) se muestran algunos de los problemas que fueron detectados dentro del panel de las conexiones. Estos hechos condujeron a cambios de emergencia en los requisitos de acero estructural de los códigos de construcción, los cuales limitaron el uso de este tipo de 12fJ

estructuras mientras se realizan amplias investigaciones experimentales que permitan establecer los criterios de diseño y construcción que deben emplearse para evitarles. Estas investigaciones todavía están en curso. Por esta razón, deben esperarse próximamente cambios importantes en la normativa de este tipo de estructuras.

~ ~

pandeo ala viga

pandeo alma viga

desgarramiento ala columna fractura ala columna fractura laminar ala columna

fractura alma viga fractura ala fuera zona soldadura ' - - - - - pandeo ala columna

fluencia ala viga

' - - - - - pandeo alma columna fractura zona soldadura (a)

fractura soldaduras atiezador ~ fractura atiezador pandeo alma columna fluencia y deforma:;ión dúctil alma columna fractura alma columna pandeo del stiezedo«

(b)

Figura 6-12 - Tipo de problemas en la zona del nudo en estructuras de acero

El tipo de problemas detectados se limitó a estructuras aporticadas resistentes a momentos. En las estructuras de acero cuyo sistema de resistencia sísmica consistía en pórticos arriostrados con diagonales, no se manifestaron problemas y su comportamiento fue satisfactorio. En la Figura 6-13, adaptada de [Wakabayashi, 1986], se muestran los ciclos de hi stéresís típicos de un elemento de diagonal en acero; obtenidos de cargar cíclicamente un elemento de acero estructural a diferentes amplitudes de deformación. Como puede verse, se forma una articulación plástica debido al pandeo en compresión y a la elongación inelástica que sucede a la fluencia del material. En la medida que el elemento tenga una relación de esbeltez menor, la capacidad de disipación de energía se vuelve menor. Para el caso de estructuras compuesta de acero y concreto, deben distinguirse dos casos: aquellas estructuras en las cuales un perfil de acero estructural se rodea de concreto; y un segundo caso en el cual se coloca concreto por dentro de una sección tubular. En el primer caso, de acero rodeado de concreto, hay evidencia de buen 1:30

~---------~-------------------------....:.;...-------

comportamiento ante solicitaciones sísmicas, dado que por muchos años este tipo de solución se utilizó como protección para incendio. La observación acerca de problemas con las conexiones es aquí también válida. Para el segundo caso de concreto rodeado de acero, existe muy poca información experimental, y no es extrapolable la información de otros tipos de construcción. El comportamiento sísmico de este tipo de estructuras debe manejarse con cuidado; hasta tanto no se realicen programas experimentales que perrnitan fijar criterios de diseño adecuados. Fuerza axial

.......-------e..... OA

€Ir = 45

Desplazamiento axial

ctcio sr zo Ciclo N·15

------- g~:~ z: ~~

......------_li.....

Cic/oN<>9

CicloN"S

ctao«:«

C/CION'2 ---------- C/c/o N· 1

Figura 6-13 - Ciclos de histéresis para un elemento de diagonal de arriostramiento de acero

Respecto al comportamiento de elementos de celosía utilizados dentro de estructuras resistentes a momentos, debe tenerse especial CUidado, pues hay evidencia ap muy mal comportamiento sísmico. Durante el sismo de México de 1985 se presentó el colapso de un edificio de 21 pisos, cuyas vigas eran elementos en celosía, construidas con án):ulos, y ángulos soldados para conformar secciones tubulares; y las columnas secciones tubulares construidas con platina soldada en las aristas de la sección, con algunos atiezadores internos. El informe [ASeE, 1987), pone en duda que las especificaciones de acero estructural de la AISC sean aplicables a este tipo de estructuras. Esta situación no ha cambiado con las nuevas especifrcaciones [AISC, 1994]. No sobra insistir sobre tres aspectos que conforman la mayor fuente de problemas desde el punto de vista del comportamiento sísmico del acero estructural: (a) el uso de estructuras aporticadas resistentes a momentos, con conexiones soldadas; (b) el uso de estructuras construidas con perfiles ensamblados utilizando platina soldada, debido a estas soldaduras y a que los perfiles resultantes no conformen secciones compactas; y (e), el uso de elementos en celosía dentro de estructuras que conformen pórticos resistentes a momentos. 6.2.4 Mampostería estructural

Dentro del contexto de lo que se presenta a continuación, la mampostería estructural hace referencia a mampostería reforzada; ya sea por medio de barras de acero de refuerzo colocadas dentro de celdas que posteriormente se inyectan con mortero, o dentro del mortero de pega, como es el caso de la mamposteria de bLoque de perforación vertical; o bien dentro de elementos de concreto reforzado de sección pequeña, que rodean el muro, como puede ser el caso de la mampostería confinada. Se hace referencia, cualitativamente, al comportamiento histeretico de muros de mampostería de bloque de perforación vertical y de mampostería confinada.

131

uuirnica estrrLClllral (1[111('(1(1(1 (// (l1:-WI/U :>t;')ftll'lJ

Al igual que el concreto reforzado, la mampostería estructural es un sistema constructivo que combina materiales de diferentes características mecánicas, solo que en mayor número; pues intervienen: las unidades de mampostería, que a su vez pueden ser de concreto, de arcilla, o de silical; el acero de refuerzo; el mortero de pega; el mortero de inyección; y, aunque no sea un material, la calidad de la mano de obra de ejecución, la cual generalmente tiene una influencia determinante en el comportamiento de la mampostería. Como resultado se tiene una mayor dificultad que en los otros materiales estructurales generales, para poder definir unos patrones de comportamiento inelástico; pero al igual que ellos, este comportamiento tiene que estar sustentado en trabajos investigativos experimentales.

Figura 6-14 - Muros de mampostería de bloque de perforación vertical con diferentes cantidades de refuerzo horizontal

Para efectos ilustrativos, en la Figura 6-1-l, adaptada de [Chen et al., 1978], se muestran parte de los ciclos de histéresis de una serie de ensayos sobre muros de mampostería de bloque de perforación vertical de concreto; sometidos a cargas horizontales; sin carga vertical; con la misma cuantía (0.0017) Y disposición de refuerzo vertical, pero con diferentes cantidades de refuerzo horizontal. El muro de la Figura 6-14(a), no tiene refuerzo horizontal; el muro de la Figura 6-14(b), tiene una cuantía de refuerzo horizontal de 0.008; y el muro de la Figura 6-14(c), tiene una cuantía de 0.0034, La escala relativa de las tres gráficas es la misma. La forma de los ciclos de histeresís, es muy similar a los ciclos correspondientes a concreto reforzado, respecto a la degradación de la rigidez e inclusive a la presentación de estrangulamiento en ellos. La presencia de refuerzo horizontal permite niveles de deformación mucho más altos sin mayor degradación de la resistencia del muro, pero a niveles de deformación altos, se presenta degradación de la resistencia de todas maneras. Indicando que a la larga la falla por esfuerzos cortantes domina el comportamiento del material. La relación de esbeltez del muro afecta enormemente el modo de falla prevaleciente, llevándolo a fallas iniciales por esfuerzos cortantes para muros bajos y largos; y a fallas iniciales por flexión en muros esbeltos, altos y de longitud relativamente menor. Aquí nuevamente hay similitud con lo que ocurre en muros de concreto reforzado. Este último aspecto es de fundamental importancia, dado que cuando hay aberturas en los muros, debido a vanos de puertas o ventanas, se presentan elementos dentro del muro, con relaciones de esbeltez diferentes y con la consecuente variación en los mecanismos de falla y disipación de energía. Dentro de los múltiples aspectos que afectan la forma de la respuesta histerética [Paulay y Priestley, 19921, se cuentan especialmente: la presencia de carga axial; las cuantías de refuerzo, tanto vertical como horizontal, las características mecánicas del acero de refuerzo; la relación de esbeltez del muro; la resistencia de la mampostería en conjunto, obtenida por medio de prismas; y la distribución del refuerzo vertical dentro de la sección del muro.

En el caso de mampostería confinada, se han ensayado numerosos muros, especialmente en latinoamérica [ACI, 1994]. los ensayos en general se han realizado por medio de marcos de prueba, como el mostrado en la Figura 6-15 [UA, 19941.

Gato

cetda

de carga

Marco de pruebas

FigUla 6-15 - Marco de ensayo para muros de mampostería

En la Figura G-]6 [Carda y Yamin, 1994] se muestran los resultados de un muro de mampostería de bloque de arcilla de perforación horizontal, confinado por elementos de concreto reforzado de sección pequeñaAllí pueden observarse los efectos de una falla por esfuerzos cortantes en un ensayo de pocos ciclos, no controlado por deformación. Fuerza

Deformación

Figura 6-16 - Muro de mampostería confinada fallando a estuerzos cortantes

La presencia y ausencia de carga axial en un ensayo con deformación controlada, para muros similares de mampostería confinada de ladrillo macizo de arcilla, se muestra en la Figura 6-17 [Yamín y Garcia, 1993]. En el caso (a) no hay carga vertical. y el caso (b) hay una carga vertical alta, para un muro de este tipo (170 kN). F,.erza (kN)

-20

Fuerza (kN) ~

300

Deformación (mm) carga axial = O kN

~20

-'5

carga axial = 170 kN

(a) (b) Figura 6-17 - Muro de mampostería confinada con diferentes cargas axiales

Deformación (mm)

flllll1UCli eSlTUCl lU tU ltl"t 1\. u.

~, .

La mampostería simple o mampostería no reforzada, en la cual no se coloca acero de refuerzo, o las cuantías utilizadas son muy pequeñas; tiene un modo de falla totalmente frágil ante solicitaciones sísmicas, como lo han venido demostrando los sismos desde tiempo inmemorial: [ACl, 1994], [Coburn y Spence, 1992], [EERI, 1994], [Cae y Shah, 19841 y [Sarria, 1995a]. Este tipo de mampostería es considerado en la actualidad una de las mayores fuentes de vulnerabilidad y peligrosidad sísmica, y está prácticamente prohibida en todas las regiones sísmicas del mundo.

>.3 Modelos matemáticos de histéresis ).3.1 Generalidades

La gran conclusión que se deriva de la Sección anterior, es que el comportamiento inelástico de elementos estructurales construidos con diferentes materiales es complejo y sensitivo a un gran número de variables. En general, dentro del alcance de toda investigacíón experimental, se formula un modelo matemático que permita describir, lo más fielmente posible, el fenómeno investigado. Por está razón el número de modelos matemáticos de hisreresis ha aumentado al ritmo de la creciente investigación en el tema. Muchos de ellos son derivaciones y refinamientos de modelos anteriores. Un aspecto que debe tenerse en cuenta es el aumento de capacidad numérica que se ha logrado en las últimas tres décadas, gracias al computador digital. Por esta razón, modelos matemáticos que fueron grandes avances hace algunas décadas; hoy se juzgan simplistas. Pero al mismo tiempo se debe ser cuidadoso de no caer en la falacia de pretender obtener mayor precisión que la que permiten los datos o suposiciones iniciales. En el resto de la presente Sección se describen detalladamente tres modelos de histéresis: el elastoplástico, el de Rarnberg-Osgood, y a un modelo de rigidez degradante; los cuales se muestran en la Figura 6-18. El modelo elastoplástico se incluyó principalmente por razones didácticas, debido a su simplicidad; la cual se presta, inclusive, para soluciones realizadas manualmente. Se conoce desde hace "arias décadas, que el modelo de Ramberg-Osgood se presta para la descripción de la histéresis de muchos de los tipos de elementos de acero estructural, [Jennings, 19631 y [Sozen, 19741. El modelo de rigidez degradante sirve para describir muchos de los casos de concreto reforzado y mampostería estructural. Fuerza

Fuerza

(a)

(b)

(e)

Elasto-plástieo

Ramberg-Osgood

Rigidez degradante

Figura 6-18 - Modelos de histéresis

Como se dijo anteriormente, no existe en la actualidad un modelo de histeresís único que describa adecuadamente para todos los materiales estructurales las peculiaridades encontradas en los resultados experimentales. Por lo tanto lo presentado aquí no pretende ser más que una introducción al tema. No obstante quien desee hacer un seguimiento histórico y estudiar en detalle los modelos de histéresis existentes en la actualidad, puede consultar las siguientes referencias: [Newmark, 19591. [jennings,

6. .

1963], [Clough y }ohnson, 1966], [Takeda, Sozen y Níelsen, 1970], [Sozen, 1974], [Riddell y Newmark, 1979], iSaiidi y Sozen, 1979,1981], [Saatcioglu, 1991], [ACI, 1991bj,

entre otras.

6.3.2 Elastoplástico El modelo más simple para describir la histéresis de curvas fuerza-desplazamiento es el modelo elastoplástico mostrado en la Figura 6-19. El modelo elastoplástico tiene una descripción matemática relativamente simple y su implementación dentro de algunos de los métodos de solución contra el tiempo presentados en el Capítulo 3 es relativamente sencilla. Basta reemplazar el término ku de las ecuaciones de equilibrio dinámico por la fuerza que efectivamente lleva el resorte, la cual ya no depende directamente de la deformación u del sistema, dado que se presentan deformaciones inelásticas.

1J;~<~~:~i~kJ

Figura 6-19 - Curva fuerza-deformación para un material elastoplástico

Dentro del modelo elastoplástico el material se comporta como un material totalmente elástico, con rigidez k, hasta que llega al nivel de la fuerza de fluencía JF;¡, a de este punto hay deformación sin que se presente un aumento en la fvc;,,;:;. TJr 'el se invierte el movimiento, el material nuevamente reacciona como un material iotalmenre elástico hasta que se llega a la fuerza de fluencia en el lado opuesto, ·1" c

La acumulación de energía de deformación corresponde al área bajo la curva de carga, Figura 6-20(a). Cuando hay descarga la energía de deformación que el sistema transfiere a energía cinética corresponde al área bajo la cun-a de descarga, Figura 6(b). La diferencia entre las dos áreas corresponde a energía disipada por el sistema y que se comierte en calor, ruido u otros tipos de energía. FA I i Fy+-i---,...-----,¡

1.Iy (a) ciclo de carga

lIy

(e) energía disipada

Figura 6-20 - Disipación de energía en un sistema elastoplástico

En la aplicación del modelo elastoplástico por medio de un método numérico, existen dos aspectos en los cuales debe tenerse especial cuidado: la determinación del instante en que se presenta la plastificación y la determinación del momento en que ocurre una reversión en la carga, iniciándose la descarga. En el caso de la plastíficacíón, dado que

""!Iioo.

Duvunica eSI,r!LClllrfll UjJlIUIUtt tt. '''<J' "" "'

o ••

este punto puede presentarse entre dos puntos de evaluación en el tiempo, hay necesidad de reducir el incremento de tiempo ~t, de tal manera que se determine el instante en el tiempo en que ocurre la plastificación de la manera más precisa posible. El segundo caso, correspondiente al inicio de la descarga, el cual también debe corresponder a un punto de evaluación en el tiempo. Dado que el punto de descarga corresponde siempre a un punto de cero velocidad, una vez se detecta un cambio en el signo de velocidad, se debe iniciar, también, una reducción del incremento de tiempo ~t hasta que se encuentre el punto con una tolerancia en velocidad adecuada. El no tomar estas precauciones conduce a una acumulación de errores que lleva a respuestas erradas o imprecisas.

FtI

Fy~I-----~ I

Error en le energia disipada al

no detectar oportunamente el inicio de la descarga

Figura 6-21 - Diferencia en la energía disipada causada por la no detección oportuna de los cambios en las relaciones fuerza desplazamiento

En la Figura 6-L 1 se ilustra, desde el punto de vista de la energía disipada, el error en que se incurre al localizarse en un nivel de fuerza algo mayor, para el primer caso; o en un punto de mayor desplazamiento, por no detectar oportunamente el cambio en velocidad, para el segundo caso. La solución del problema se realiza utilizando la metodología presentada en la Sección 3.6, por medio de la formulación incremental del método de la aceleración lineal. Cuando el método se quiere implementar dentro de un programa de computador, la manera más sencilla de obtener en cada incremento de tiempo la fuerza en el resorte apropiada consiste en generar un sistema de ejes de coordenadas auxiliares cuyo origen se coloca en el punto donde se inicia una descarga.

Figura 6-22 - Ejes de coordenadas auxiliares para manejar cada ciclo de descarga en el modelo elastoplástico

En la Figura (-)-22 se presentan los ejes de coordenadas auxiliares que se utilizan para determinar la fuerza en el resorte. Una vez se detecta el inicio de la descarga a través de un cambio en el signo de la velocidad, los valores de la fuerza y la deformación en ese punto de denominan Ym y Xm respectivamente, y allí se coloca el origen de un sistema de coordenadas, en el cual se describen las coordenadas del punto A de

laG

fluencía, como Ya Y x". De esta manera se dispone de la información para poder calcular la fuerza real en el resorte. Este sistema de coordenadas es fijo hasta que se presenta un nuevo cambio de signo en la velocidad, anunciando un ciclo de descarga. Estudiemos ahora, la respuesta elasto-plásríca de sistemas de un grado de libertad sometidos a una excitación dinámica en su base. Para el efecto utilizamos el sistema mostrado en la Figura 6-23. El sistema consiste en una masa soportada por un elemento estructural cuyas relaciones fuerza-deformación son conocidas, y además tiene un amortiguador viscoso. La variable Xo describe los movimientos de la base de la estructura, y la variable x describe la posición de la masa con respecto a la base de la estructura.

1 I

En la Sección 2.5 se encontró la ecuación diferencial de equilibrio, ecuación (2-71), que rige la respuesta dinámica de sistemas linealmente elásticos ante una excitación en su base. Por comodidad, a continuación, se transcribe la ecuación (2-71); llamándola (6-2). (6-2)

mü + en + ku= -mxo

En esta ecuación u = x - X o , u = x- ;';0 ,y Ü o == x- xo ' La aceleración que tiene el terreno corresponde a xo ' o sea que un acelerograma estaría representado por esta variable. La constante rn corresponde a la masa; e a la constante del amortiguador; y el producto ku debe convertirse en la función Fr(x), la cual está descrita por las relaciones fuerzadeformación del elemento estructural, en este caso las del modelo elastoplástico.

t---t--:x

amortiguador

elemento estructural

(a)

~ (b)

Figura 6-23 - Sistema de un grado de libertad sometido a un acelerograma en su base

Con el fin de mostrar los resultados que se obtienen utilizando un modelo elastoplástico, se somete a los primeros -t segundos del acelerograma de El Centro el sistema dinámico mostrado en la Figura 6-23, el cual tiene un período de vibración T, igual a 1 segundo; y en este caso sin amortiguamiento. Se prescribe que el nivel de fluencia del elemento estructural de soporte es de 20% del peso del sistema. O sea: F, = 0.2 mg =0.2W, siendo W el peso del sistema, igual a mg. El sistema tiene resistencia simétrica, por lo tanto para el lado negativo de la resistencia se tiene el mismo valor: -F, = 0.2 rng = 0.2W. De acuerdo con el Capítulo 2, el período de vibración está definido como:

¡;; VI;

T = 21t =21t ro

y la rigidez es, entonces:

Dado que se tiene un período T de un segundo, y suponiendo una masa unitaria de ID = 1 kg, la rigidez inicial del sistema es k:::: 4'¿ :::: 39.5 N/m. El valor de la fuerza de fluencia del sistema es: F, :::: 0.2 ID g :::: 0.2 . 1 ·9.8:::: 1.96 N (W es por lo tanto 9.8 N). El valor de la deflexión de fluencia Uy, tal como se define en la Figura 6-19; es entonces, igual a: U y :::: Fy 1k :::: 1.961 39.5 :::: 0.050 m :::: 50 mm. La respuesta se obtiene utilizando el método incremental de aceleración lineal presentado en la Sección 3.6, el cual está implementado en el programa R~SDlN, como se explicará en la Sección 6.5. Acelerograma de El Centro, 1940

DA 0.2

(g)

Ciclos de histéresis

0.0

,....,..~¿-f\-l---+-+Ql-I--~7H-'~

Tiempo (s)

Fuerza (1/ W)

-0.2

-DA

0.2

(a)

Desplazamiento 100

(mm)

O +--=-'F---~\-t-J'-----'\---\-~\-I-- Tiempo (s) 50 ' -100

-100

100

Desplazamiento (mm)

(b) e b

Fuerza

DA 0.2

-50

d e

(d)

(11 W) 0.0 -¡.......=-4--....>.L\+/-h-+--+-1- Tiempo (s) ·0.2 -0.4

Figura 6-24 - Respuesta de un sistema elastoplástico con T = 1 s y F y = O.20W al ace;erograma de El Centro

En la Figura 6-24 se presenta la respuesta de los 4 primeros segundos. En (a) está el aceler ograma, con las aceleraciones expresadas como fracción de g; en (b) se muestran los desplazamientos relativos u, que tiene el sistema, en mm; en (e) la historia de las fuerzas, expresadas como fracción del peso del sistema, W; y en (d) los ciclos de histéresis en términos de fuerza-desplazamiento. En todas estas gráficas están marcados los puntos donde hubo cambios en la relación fuerza desplazamiento del elemento estructural. Vale la pena resaltar que nunca se excede la fuerza de fluencia, hecho concordante con el modelo elastoplástico de histéresis. Los puntos de inicio de descarga están localizados siempre en un valor máximo del desplazamiento, el cual corresponde siempre a un punto de velocidad cero, dado que la velocidad es la derivada contra el tiempo del desplazamiento. También debe notarse que el punto de primera fluencia, en este caso en la dirección negativa, punto b; efectivamente ocurrió un desplazamiento de 50 mm, como se muestra en 6-24(b) y (d). En la Figura 6-2::; se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 1940 (el acelerograrna tiene una duración de 53 s y se muestra completo en la Figura 4-10). En la misma Figura (-)-25 se dibujó la respuesta de un sistema con Fy :::: 0.4 IDg:::: 0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. 188

En 6-25(a) se muestran los ciclos de histeresis del sistema con F, = O.2W, y en (b) los del sistema con F, = O.4W; en (e) se muestra la respuesta en desplazamiento de los tres sistemas; en (d) la historia de las fuerzas en el elemento estructural; y en (e) las localizaciones en donde hubo fluencía para los dos sistemas inelásticos. Ciclos de histéresis Fuerza (11 W)

Fuerza (11 W)

0.5

Fy = 0.2 W

-150

0.5

0.4

Fy = 0.4 W

0.3

0.4

0.3

-lOO

-ISO

-lOO

·0.3 -0.4

(a)

-0.4

-0.5

250 200

T t

(b)

-0.5

Elástico

Desplazamiento

150 100

(mm)

O +-~~""""'~--Ilc+1llf--1r+:1L.....jI"+A'----!,.--+¡""'-'r~\-+Nt-+t---\-tF'\-ic+-''f---tI-\-~-iI-\,..ff--+l-''-1L-<

·50 t

-lOO

:: t 1 -250

l.°f

Elástico

Fuerza

0.8

0.6

(1/ W) 0.0 -0.2

!\ ...

O.4t

+--J--~t-l---1M-11--\-+J-\-+JI--~¡..q..c4C~---IA.~~.cv:-~-II4..J,..i-.:~ . . \ ~l\V 1.1.

11, í ' 5

-0.4

-0.6

Tiempo (s)

(d)

-0.8 -1.0

0.4

F y= O.4W

Fluencia

tF y=O.2W 0.2

0+----f---+--..----.......----+---4-----+--...I+-.--+----+----<----IL-,.--~_,_+_____< 9

-0.2

(e)

Tiempo (s)

-0.4

Figure 6-25 - Respuesta efesistemas e,'asioplásticos con T

189

= 1 s, al acelerograma de Ei Centro

nómica es! ructural aplicada (1/ diseño SISI1lIC()

.3.3 Modelo de Ramberq-Osqood Un modelo de hisreresís que se ajusta a las curvas fuerza-deformación de varios materiales, fue desarrollado por W. Ramberg y \V. R. Osgood en 1943 [Ramberg y Osqood, 1943]. El modelo está descrito por la siguiente ecuación:

(6-3)

:, t

Rigidez curve esqueleto

Rigidez Origina/1

.6--/

FlF y

/-6,

-4-

1.L

~~_-w

Rigidez en el punto de fluencia

i I

"}'

Curva esqueleto

deformación permanente

Figura 6-26(b) - Definición de las rigideces dentro del modelo de Ramberg-Osgood

Figura 6-26(a) - Definición de F y Y u y dentro del modelo de RaMberg-Osgood

La definición de F, y Uy. está basada en la medición del limite proporcional en el ensayo de un material inelástico por el método del corrimiento, como se muestra en la Figura 6-26(a). El parámetro a define la rigidez de la curva esqueleto, k Cfl véase la Figura G-26(b); y está relacionada de la siguiente manera con la rigidez original k g ; como se muestra en la Figura 6-7: k

cr -

( +a1)

-- k

F Fy

(6-4)

o.= 0.8

0.=0 t

o.=I 1.0 I

2 Figura 6-27 - Influencia del valor del parámetro a

El exponente r, en conjunto con a, define la rigidez en el punto de fluencia, k., de la siguiente manera: 140

(6-5)

y (6-6)

r=8

r=2 a=O.O

a=O.2

a=O.O

=16 a=O.O

1.5,-----,-----¡_-¡---.,-_,---, a=O.8 a=O.2 a=OA a=O.8

a=1.6 1.0 +---+----,H--A--AI-7"-Jr<SoIa=2.0

a=O.2 a=OA a=O.8

a=1.2

a=2.0 I.Ot-I~~~~~4a=1.6

1.0 .J---t-1~~~~F' a=1.2 I a=1.6

a=2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 ~---I----'--I----J-_¡_--1 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

u/u y

ulu y

Figura 6-28 - Influencia del valor del exponente r en el modelo de Ramberg-Osgood

En las Figuras 6-27 y 6-28 se muestra la influencia de los parámetros ex y r en la forma de la curva de histéresis. En la medida que r se vuelve mayor, la forma de la curva se hace similar a la de un modelo elastoplástico; al cual es igual, teóricamente, cuando r =oo. La solución del problema se realiza de una manera análoga a la del modelo elastoplástico, utilizando la formulación incremental del método de la aceleración lineal de la Sección 3.6. Al implementar el modelo dentro de un programa de computador, para describir en cada incremento de tiempo la fuerza en el .resorte apropiada, hay necesidad de generar un sistema de ejes de coordenadas auxiliares cuyo' origen se coloca en el punto donde se inicia una descarga. F~

Ya u

punto donde se ; ' !"=---;;------,;;>¡ inicia :a descarga

Figura 6-29 - Ejes de coordenadas auxiliares para manejar cada ciclo de d13scarga en el modelo de Ramberg-Osgood

En la Figura 6-29 se presentan los ejes de coordenadas auxiliares que se utilizan para determinar la fuerza en el resorte. Una vez se detecta el inicio de la descarga a través de un cambio en el signo de la velocidad, los valores de la fuerza y la deformación en ese punto de denominan Ym y X m respectivamente, y allí se coloca el origen de un sistema de coordenadas, en el cual se describen las coordenadas del punto A de

141

lJill(¡¡Il/c(/ eSlrltClIlHII IlJlIIUH'U ' " 'lO'" " " "._. __

fluencia, como Ya Y Xa. De esta manera se dispone de la información para poder calcular la fuerza real en el resorte. Este sistema de coordenadas es fijo hasta que se presenta un nuevo cambio de signo en la velocidad, anunciando un ciclo de descarga. Allí se indica la rigidez original elástica del sistema, k g; la rigidez de la curva esqueleto, k cr ; Y la rigidez en el punto de fluencia, ks. Esta última corresponde generalmente, al aumento en resistencia generado por endurecimiento por deformación del materiaL Fs importante anotar que el modelo coloca como rigidez en la descarga una rigidez igual a k g , por lo tanto para niveles pequeños de fuerza la rigidez es igual a la del sistema elástico originaL Utilizando el mismo sistema que se empleó para describir el modelo elastoplástico, o sea un sistema con un período de vibración T, de 1 segundo, y sin amortiguamiento viscoso. En la Sección 6.3.2 se mostró que la rigidez de un sistema con período T, es: k = 4 -¡¿ m rr 2 • Tomando m = 1 kg, entonces k g =4 -¡¿ = 39.48 N/m. Para efectos de la aplicación del modelo de Ramberg-Osgood, tomamos un sistema con una fuerza de fluencia igual al 20% del peso de la masa del sistema: F, = 0.2 ro g =0.2 ·1·9.8 =1.96 N (W es por lo tanto 9.8 N). El valor de la de flexión de fluencia Uy, tal como se define en la Figura 6-26; es entonces, igual a Uy =Fy / k =1.96/39.5 = 0.050 m = SO mm. Definimos que la rigidez de la curva esqueleto es igual al 75% de la rigidez inicial, o sea: kcr =0.75 k g , lo cual implica que 1/ (1+eL) =0.75 Y eL = 0.333. La rigidez en el punto de fluencia la definimos como el 15% de la rigidez inicial, por lo tanto: k., =0.15 kg , Y = 0.15, Y r = (1 / e) (1Iy - 1) = 17.017. En la Figura 6-30 se muestran los primeros -l segundos de la respuesta de este sistema al acelerograma de El Centro. 0.40j

Acelerograma de El Centro, 1940

I 0.20\ i

(g) 0.00 i:!""'V'\----+l"-+---\o,jI-\-l-f;\HI<-:-tl-'\tr< tiempo (s) -0.201

Ciclos de histéresis

i -0.40 1

(a)

100

Desplazamiento e

Fuerza (1/ W) 0.3

0.2

(mm) O","",=~~-\-7.t--t-"""----\-4tiempo (s)

-100

-50

-100 0.4

100

Desplazamiento (mm)

Fuerza

0.2

(11 W) O"'"""=A-::--=-~f--\---;.-I--\--<4 tiempo (s) -0.2 -0.4

Figura 6-30 - Respuesta de un sistema con T = 1 s y F y = O.2W con un modelo dE Ramberg-Osgood a los primeros 4 s del temblor de El Centro

142

En la Figura 6-31 se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 19~O (el acelerograma tiene una duración de 53 s y se muestra completo en la Figura -l-Ll ), En la misma Figura 6-31 se dibujó la respuesta de un sistema con F y = 0.4 mg = 0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. En 6-32(a) se muestran los ciclos de histéresis del sistema con F, = 0.2W, y en 6-32(b) los del sistema con Fy = 0.4W. Desplazamiento

250 Elástico -----,~.

200

Fy=O.4W 150

F y=O.2W 100

50 (mm)

tiempo (s) O-+-...-l'-"'-\+t-+H/l-Hf----1JK-+-J'~-1'I-'~~HA__lf'J'~jL\\H_II_'W__H_!I'H__\__\f__j

-50 O -100

-150! -200

-250

Figura 6-31 - Respuesta de un sistema con T= 1 s con un modelo de Ramberg-Osgood a los primeros 15 s del temblor de El Centro

Fuerza (11 W)

Fuerza (11 W) 0.4 T

F y = 0.2 W

0.4

F y = 0.4 W

0.3

>----+----+-/---.....Jf¡I-;(fI-#--+---+-.--.....-j ·100

-1;'9

100

¡"50

Jrkspl:¡,¡tamlenw (mm)

-0.3

-0.3 -0.4

-0.4

(a)

(b)

Figura 6-32 - Ciclos de histéresis de la respuesta mostrada en la Figura 6-31 6-2~ y 6-31 puede observarse que no existen grandes diferencias en las respuestas obtenidas, expresadas en términos de desplazamiento, entre el modelo elastoplásrico y el modelo de Ramberg-Osgood. Esto es de esperarse dado que la diferencia en la energía disipada en un modelo y el otro está dada por la forma como se llega a la fluencia, la cual en el modelo de Ramberg-Osgood es más gradual. Esta es una de las razones de la popularidad del modelo elastoplástico, pues se obtienen resultados relativamente iguales con mucho menos esfuerzo numérico. Estos dos modelos no pueden simular degradación de rigidez ni de resistencia, por lo tanto su aplicación en estructuras de concreto reforzado está limitada a elementos que no tienen ninguna de las dos. En la siguiente Sección se presentan modelos que pueden simular la degradación de la rigidez, pero con mucho más trabajo numérico.

,-\1 comparar las Figuras

6.3.4 Modelos con deqradacion de la riqidez

Con base en ensayos experimentales realizados en mesas vibratorias, fue posible plantear y luego verificar modelos de histéresis que se ajustaran de una manera mejor a lo que se observaba experimentalmente. El primer modelo que logró describir de una

14:-3

manera adecuada, dentro de una precisión aceptable, la respuesta de estructuras de concreto reforzado con características de degradación de la rigidez fue el modelo de Takeda [Takeda, Sozen y Nitsen, 1970]. En este modelo la respuesta se describe por medio de segmentos rectos. La parte matemática del modelo es algo compleja dada la gran cantidad de posibilidades de rigidez durante la recarga y la descarga del elemento. Posteriormente se han realizado numerosos estudios donde se han evaluado las bondades de diferentes modelos, muchos de los cuales permiten realizar simplificaciones importantes que reducen el trabajo numérico. Algunos de estos estudios se presentan en las siguientes referencias: [Otani y Sozen, 1972], [Riddell y Newmark, 19791. [Saiídi y Sozen, 19791, [Abrams, 19851. [Abrams, 19911, y [Saatciog/u, 1991]. Ha sido tradicional manejar los modelos de hísteresís por medio de una descripción consistente en segmentos rectos, que se encuentran en el punto donde ocurre un cambio abrupto en la curvatura. Estos cambios de curvatura conducen dentro del algoritmo de respuesta dinámica a la necesidad de introducir reducciones en el incremento de tiempo, tales como la descrita en la Sección 3.(). Fl X ma x

ks 7 /

Xab

Yl punta donde se / inicia la descarga

Figura 6-33 - Descripción del modelo de histéresis con degradación de la rigidez

Con base en lo presentado por Abrams [Abrams, 19851, es posible implementar un modelo en el cual la formé'. del ciclo de histérests se define por medio de segmentos cúbicos y lineales. Se emplean cuatro segmentos para describir un ciclo de carga Que se inicia como descarga del ciclo anterior, tal como se utilizó en la descripción de los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood. Estos segmentos, de acuerdo con las rigideces definidas en la Figura 6-7, se presentan en la Figura 6-33 y describen lo siguiente: a) descarga lineal, con una rigidez k, b) estrangulamiento causado por la inversión de la fuei za, con una rigidez igual a la rigidez de recarga o de nueva carga, k, c) rigidización gradual debida a que se cierran las fisuras, seguida por una degradación a niveles altos de carga d) resistencia en fluencía, con una rigidez igual a k sLa curva cúbica describe el segmento el, La curvatura se hace más pronunciada en la medida que la separación entre los puntos B y C se hace mayor. Esto reflej a adecuadamente el fenómeno físico, en un elemento de concreto reforzado, causado por el hecho de que las fisuras se cierran a niveles bajos de carga; y al efecto de Bauschinger en el acero de refuerzo a niveles de carga mayores. En el caso de un elemento en que se presente deterioro de la adherencia, cuando se inicia el ciclo de descarga, las fisuras se tienden a cerrar y las barras de refuerzo tienden a volver a su posición original, lo cual produce una reducción importante en la

144

t I

rigidez. Cuando las fisuras están totalmente cerradas, y el refuerzo ha desarrollado un anclaje adecuado para la nueva dirección de la fuerza, se aprecia un aumento en la rigidez. Inicialmente la rigidez entre los puntos A y B es la equivalente a una sección compuesta únicamente por el refuerzo, correspondiente a k., Esto se simula en el modelo utilizando una rigidez ~k.. con el parámetro ~ = 1. En la medida que se aumenta la amplitud de los ciclos y la adherencia se deteriora el valor de ~kr se disminuye en función de la máxima deformación obtenida en la misma dirección de carga en un ciclo previo, xmax . A un valor prescrito de la deformación A.Uy, el cual es función de la deformación de fluencia, UY' se supone que toda la adherencia ha desaparecido y la rigidez Bk, se convierte en cero, utilizando ~ = O. El parámetro A. toma valores entre 4 y 10, dependiendo del tipo de elemento. La deformación en el inicio de la rigidización, <XXab, está relacionada así mismo con la máxima deformación obtenida en la misma dirección de carga en un ciclo previo, x max . Esta deformación aumenta en la medida que no se abran nuevas fisuras antes de que se cierren las preexistentes. Con el deterioro de la adherencia del refuerzo esta deformación también se aumenta, variando el valor de a desde O hasta 1 en función de 11.. El modelo supone una interacción lineal entre A. y a; y con un exponente igual a 1.5 entre A. y ~, respectivamente. En la Figura 6-34 se muestran los valores que toman a y ~ en función del parámetro 11..

L-

--'=-.....

_~_

o Figura 6-34 - Idealización del efecto de deterioro de la aciherencia del acero de refuerzo

En elementos de concreto reforzado donde no se presente un deterioro apreciable de la adherencia, como ocurre en muros estructurales solicitados prírnordíalmente el: flexión y cuyo refuerzo esté adecuadamente anclado, la rigidez entre A y B no tiene la degradación descrita anteriormente y debe modelarse utilizando la misma rigidez del ciclo de descarga k g , o un valor algo menor para describir algún efecto de cerrado de las fisuras. En caso de que se prescriba una rigidez ~kr mayor que la rigidez promedio entre A y C, el modelo elimina el segmento AB del modelo. En este caso, el modelo de histéresis resultante se asemeja al modelo de Rarnberg-Osgood. La dimensión F, corresponde a la resistencia al inicio de la fluencia, como se obtendría de la curva primaria de carga, por ejemplo del diagrama momento-curvatura de la sección. Así mismo la pendiente k, está relacionada con el efecto de endurecimiento por deformación en el acero de refuerzo. Debido a que durante la respuesta a un movimiento sísmico se presentan varias reversiones de dirección dentro del mismo ciclo de carga, el algoritmo toma en cuenta estas descargas dentro de cualquier tramo de la curva. Se supone comportamiento lineal si se presenta descarga antes de que se presente un cambio en el signo de la fuerza, Figura 6-35(a). De igual manera, si se presenta recarga después de que haya cambiado el signo de la fuerza, pero sin que se presente un cambio de signo de la deformación, el modelo supone un ciclo de recarga sin aplicar degradación de la rigidez debida a la disminución de la adherencia, Figura 6. 35(b).

14.'5

X max

punto donde se

Inicia la descarga

X ma x

Antes de que cambie el signo de la fuerza

Antes de que cambie el signo de la deflexión

(a)

(b)

Figura 6-35 - Procedimiento para manejar reversiones en la recarga

El procedimiento para detectar los cambio de velocidad dentro del algoritmo puede ser el mismo descrito en la Sección 3.6. Utilizando el mismo sistema que se empleó para describir los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood, o sea un sistema con un período de vibración T. de 1 segundo, y sin amortiguamiento viscoso: se puede encontrar la respuesta ante el mismo acelerograma de El Centro, pero empleando el modelo de rigidez degradante descrito anteriormente. Al igual que para los dos modelos de histéresis anteriores, la rigidez del sistema con período T, es: k = 4 .,¿ m rt', y tomando m = 1 kg, entonces la rigidez es k =4"¿ = 39.48 N/m. Se toma, de igual manera, un sistema con una fuerza de fluencía igual al 20% del peso de la masa del sistema: F, =0.2 m g =0.2 . 1 ·9.8 =1.96 N. Se supone, para efectos de esta presentación, que la rigidez del sistema con período dí' 1 s, corresponde a la rigidez fisurada, k cr . 0.4

Aeelerograma de El Centro, 1940

(g)

tiempo (s)

Ciclos de histéresis

-0.2 -0.4 150

Fuerza (1 / W)

o,¡

(a)

100

0.1

(mm) O

tiempo (s) -150

-50

-100

100 150 Desplazamiento (mm)

-100 -150 0.4

0.2

Desplazamiento

(b)

0.2

-0.3

(d)

(lIW) O

tiempo (s)

-0.2 -0.4

(e) Figura 6-36 - Respuesta de un sistema con T= 1 s y F y = O.2W con un modelo de rigidez degradante a los primeros 4 s del temblor de El Centro

]4fj

0.2

La rigidez de descarga, se supone igual a la rigidez fisurada, por lo tanto k, = k.or. La rigidez en el punto de fluencia, k., la definimos como el 15% de la rigidez inicial, por lo tanto: k, =0.15 kcr . La rigidez de recarga, k" se define como el 40% de la rigidez fisurada, entonces: k, = 0.40 kcr • El número de ciclos de deformación inelástica que se requieren para que se degrade totalmente la adherencia del refuerzo se fija en 8, por lo tanto A = 8. En la Figura 6-36 se muestran los primeros 4 segundos de la respuesta de este sistema a! acelerograma de El Centro. En la Figura 6-37 se muestra la respuesta hasta los 15 segundos del temblor de El Centro de 1940. En la misma figura se dibujó la respuesta de un sistema con F, =0.4 mg =0.4W, y la del sistema elástico correspondiente. En la Figura 6-38(a) se muestran los ciclos de histeresís del sistema con Fy = 0.2W, yen (b) los del sistema con F, = O.4W. Desplazamiento 250f 200 150

100

Elástico

50 (mm)

AM~l-+l-l--\--\H-l-1\--N+-\lJH-\,ft-.4~HP\--1o\..,¿.¡¿+~~+,.;bU\+_Il_~__tV_I:..t\\i

-504-

::tt

-200 -250 _L

Figura 6-37 - Respuesta de un sistema con T= 1 s con UII modelo de rigidez degradante a los primeros 15 s del temblor de El Centro

Fuerza (1/ W)

-; I

Fy=O.2W

Fy=O.4 W

-200

100

150

200

-200

Desplazamiento (mm) -0.3

-0.3

-0.4

-0.5

too

150

200

Desplazamiento (mm)

-0.5

(a)

(b)

Figura 6-38 - Ciclos de histéresis de la respuesta mostrada en la Figura 6-37

--\1 comparar la respuesta del sistema histeretico de rigidez degradante, con la obtenida para los modelos elastoplástico y de Ramberg-Osgood, puede observarse que hay diferencias importantes entre estos dos y el modelo que toma en cuenta el estrangulamiento de los ciclos de histeresís y la degradación de la rigidez. Esto se debe a que el último modelo hísterétíco presentado disipa menos energía que los otros dos. Las dos diferencias más importantes son: mayores desplazamientos en el caso del modelo histeretíco con degradación de la rigidez, para los dos casos de resistencia a la fluencia; y variación en el período de la respuesta, pues en el caso del modelo con degradación de la rigidez el período de vibración se hace mayor en la

147

Dinámica estructural apuccuui UI ({I:>l'/IV .."J..... "

medida que se presenta más degradación. Este último efecto es más notorio para el sistema con menor resistencia a la fluencia.

6.4 Conceptos de ductilidad, tenacidad y capacidad de disipación de energía En este momento es conveniente introducir algunos términos asociados con la respuesta inelástica de elementos estructurales, los cuales se emplean posteriormente para definir y calificar diferentes patrones de ccmportamiento. Iniciamos con el concepto de ductilidad. Si tenemos un sistema elastoplástíco, en la Figura 6-39, se muestra la carga y posterior descarga del sistema. El sistema responde elásticamente al inicio de la carga, hasta que llega a la fuerza de fluencia, Fy . En este sitio hay un desplazamiento asociado, Uy, el cual se puede obtener de U y = F y I k. Si el sistema se sigue cargando, la respuesta es totalmente plástica. En el punto de desplazamiento Um se descarga el sistema. Esta descarga en el sistema elastoplástico ocurre en una línea que tiene la misma pendiente, k, de la curva de carga original.

falla

,..-----r------/

1\ i

Uro

u u desplazamiento

Figura 6-39 - Curva fuerza-desplazamiento material e/astoplástico

La ductilidad de desplazamiento que alcanza el sistema se puede definir como: (6-7) Esta ductilidad se denomina ductilidad solicitada, o demanda de ductilidad; pues corresponde a la máxima ductilidad que se le solicita al sistema. La capacidad de ductilidad. corresponde a la máxima ductilidad que se le puede exigir al sistema, y se determina con la misma ecuación (6-7), pero empleando u.. Cuando se tiene una respuesta hísteretíca elastoplástica, como la mostrada en la Figura 6--10, la ductilidad solicitada en el sentido positivo se determina utilizando:

F+

=--¡-, donde u"y =_Yk uy

(6-8)

y el sentido negativo: (6-9)

148

Desplazamiento

Figura 6-40 - Ductilidad dentro de los ciclos de histéresis, material elastoplástico

Esta definición de ductilidad sólo es estrictamente exacta para un material elastoplástico. Cuando el material responde de una manera diferente al sistema el isroplástico, el concepto es extensible; pero debe manejarse con algo de cautela, pues muchas veces el desplazamiento de fluencia no está tan claramente definido..Algunas veces, cuando se trata de sistemas que responden de una manera diferente al sistema elastoplastico, el mismo parámetro se denomina coeficiente de daño, y se utiliza el mismo símbolo, ¡.t, para denominarlo. Siempre debe indicarse el parámetro que se utilizó para determinar la ductilidad, pues el no hacerlo puede conducir él interpretaciones erradas. Cuando la ductilidad se determina en el diagrama esfuerzo-deformación de un material, la ductilidad se denomina ductilidad de deformación. Cuando la ductilidad se 'mide utilizando curvatura, como puede ser el caso en un diagrama M-~, Figura 6--!, se denomina ductilidad de curvatura. Si se utiliza la rotación, e, sobre la elástica, como es el caso de la-iutaciÓ~-que-ocurre una articulación plástica (veanse la Tabla 6-1 y la Figura 6-5) se denomina ductílídaiL.tfe......l1lliJc.ián,,-SLse utiliza la deflexíón, o desplazamiento Ó, como muestra la Fígura 6-5; se denomina ductilidad de desf!lazamientQ.: Los diferentes valores de ductilidad no son directamente co~bles. En general en elementos de concreto reforzado, las ductilidades de deformación, ¡.t,< medidas en el material en una fibra de la sección tienen valores mucho mayores que las ductilidades de curvatura, J.4; las cuales a su vez son mayores que las ductilidades de rotación, f..4¡; las cuales por último son, a su vez, mayores que las ductilidades de desplazamiento, ¡.Lo; él pesar de que describan el mismo fenómeno. Las siguientes definiciones dadas en la norma ATS 100-97 [AIS, 19971 y en las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98 [AI~~ 1998], resumen lo anterior:

-en

Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural más allá del límite elástico, o límite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada. (Véase capacidad de disipación de energía, pues muchas veces estos términos son confundidos.) Dependiendo del parámetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a: (a) ductilidad de curvatura - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la sección del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la sección, (b) ductilidad de rotación - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotación que tiene un sector longltudinal del elemento estructural. La rotación se define como la pendiente de la línea elástica del elemento medida con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento, (e) ductilidad de desplazamiento - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexión que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posición original del eje longitudinal del elemento, y

149

(d) ductilidad de deformación - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformación unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la sección.

El término tenacidad, (toughness en inglés) fue definido en la Sección 6.2.1, para un material, como el área bajo la curva esfuerzo-deformación de cualquier material que se lleva hasta la falla, y es una medida de la capacidad del material para absorber energía por unidad de volumen. Este concepto ha sido extendido en la ingeniería sísmica a los elementos estructurales. donde se define como la capacidad de resistir una seríe de oscilaciones en eL rango inelástico de respuesta sín que se presente una disminución crítica de su resístencia. En muchas situaciones se prefiere al término ductilidad, dado que no se presta a equívocos. Para efectos de ilustrar la posibilidad de que se presenten interpretaciones erradas con el término ductilidad, en la Figura 6-41 se muestra la respuesta de dos elementos estructurales, que se llevan monotónicamente a la falla por flexión. Los dos sistemas tienen la misma resistencia a la fluencia, M", y tienen la misma capacidad de ductilidad de rotación, que se ha fijado arbitrariamente para esta presentación en ¡.li¡ = 6. El sistema A, tiene una rigidez cuatro veces mayor que la rigidez del sistema B.

Figura 6-41 - Elementos con la misma ductilidad ¡.li¡

=6 Y kA =4kB

Es evidente a partir de la figura que aunque los dos sistemas tienen la misma ductilidad, su tenacidad, expresada en un sentido estricto como el área bajo la curva, es mucho mayor para el elemento B. Debe, por lo tanto, tratarse con cuidado el termino ductilidad, pues muchas veces el comportamiento de dos elementos con la misma ductilidad ante cargas similares, es totalmente diferente. -\hora se explicará qué se entiende por capacidad de disipación de energía. Supongamos que tenemos dos sistemas dinámicos compuestos por elementos estructurales que tienen la misma rigidez; uno de ellos es totalmente elástico, y el otro tiene posibilidad de responder inelásticamente. Al someterlos a una excitación dinámica, como puede ser el registro acelerográfíco de El Centro de 1940; se obtienen respuestas en desplazamiento, cuyo desplazamiento máximo es diferente si al sistema inelástico se le exigió más allá del límite elástico. En la Figura 6-42 se muestran dentro de un diagrama de fuerza-desplazamiento, los dos sistemas. El valor de De corresponde al nivel máximo de desplazamiento a que llega el sistema elástico. A este nivel de desplazamiento le corresponde un nivel de fuerza en el elemento, F•. Puede decirse que este nivel de fuerza es el nivel de resistencia mínimo que se requiere del sistema para que éste responda en el rango elástico, ante la solicitación dada.

ISO

. s;

Fuerza

inelástico

Desplazamiento

Figura 6-42 - Definición de la capacidad de disipación de energía

Ahora definimos el coeficiente de reducción de resistencia, Ro, por medio de: (6-10)

De la ecuación anterior, puede verse que: (6-11)

(6-12) Con base en lo anterior puede decirse que la capacidad de disipación de enerqia de un sistema inelástico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza solicitada de un valor que tendría el sistema si permaneciera elástico, Fe, a un valor de fluencia, F y • Esta capacidad de dísípecíón de energía se mide por medio del coeficiente de reducción de resistencia, Rv. Se ha utilizado el subíndice o para enfatizar que se trata de un coeficiente de reducción de resistencia para sistemas de un grado de libertad. Este coeficiente está asociado con el coeficiente de reducción de resistencia R que emplean los códigos de diseño sísmico, pero para sistemas de varios grados de libertad. Por ejemplo, para los sistemas utilizados en la presentación de los sistemas inelásticos de la Sección anterior, se emplearon sistemas con F:. = 0.20W y F, = 0.40 W. El sistema elástico, tal como se indicó allí, tenía una rigidez k = 39.-178 N/m, un período T = 1 s, y una masa m = 1 kg. La respuesta máxima elástica que tiene un sistema con un período de un segundo al acelerograma de El Centro es de 205 mm o 0.205 m, como lo muestran las Figuras 6-2-l, 6-:)0 y 6-36. Para el caso con. r, = 0.20W = íl).20+9.8 = 1.96 N, uJ = FyIk = 1.96/39.478 = 0.050 m. Entonces, Ro = uJu j = 0.205/0.050 = 4.1. Para el caso con F y = 0.40W = 0.40+9.8 = 3.92 N, u, = FyIk = 3.92/39.478 = 0.099 m, y, Ro = uJUy = 0.205/0.099 = 2.07.

Las siguientes definiciones dadas en la norma AIS 100-97 [A/S, 1997] Y en las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98 lA/S, 1998], resumen lo anterior y enfatizan el hecho de que R, sin subíndice, hace referencia a sistemas de varios grados de libertad: Capacidad de disipación de energía - Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una sección de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelástico de respuesta sin perder su resistencia, Se cuantifica

151

.JIIlUIIUC«( l--':.". )l, l(ll t I U \ U uf"

'L.

por medio de la energía de deformación que el sistema, elemento o sección es capaz de disipar en ciclos histeréticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia sísmica de la edificación como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipación de energía R. El grado de capacidad de disipación de energía se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mínimo (DM~.

Coeficiente de capacidad de disipación de energía, R - Coeficiente que se prescribe para cada sistema estructural de resistencia sísmica, cuyo valor depende del tipo de sistema estructural y de las características de capacidad de disipación de energía propias del material estructural que se utiliza en el sistema. Es una medida de la capacidad de disipación de energía general del sistema de resistencia sísmica cuando los movimientos sísmicos hacen que responda inelásticamente.

6.5 Respuesta elástica equivalente a inetástica Gulkan y Sozen, [Gulkan y Sozen, 19741 y lShibata y Sozen, 1976], demostraron experimentalmente, que la respuesta de un sistema de concreto reforzado de un solo grado de libertad, cuando se ve sometido a excursiones en el rango inelásrico puede ser aproximada por medio del análisis elástico de un sistema substituto, lineal y elástico, con rigidez reducida y amortiguamiento substituto. La rigidez a flexión del elemento del sistema de un grado de libertad en la estructura substituto se relaciona con la rigidez del elemento real de la siguiente manera:

(El) = (El), s

(6-13)

Donde (EI)s es la rigidez a flexión del elemento de la estructura substituto, (EI)r es la rigidez a flexión del elemento en la estructura real y 11 es un factor de daño aceptable para el elemento de concreto reforzado.

J 6~.JEI)r6fL

M a o Mb

(EI)g

/ 0= M a x L

~I. Ma(~Mb

$e(;ción_ No-Fisurada

/ /

~~ I~-'"

L/2

/ /

Figura 6-43 - Elemento en flexión

/' /'

Sección Fisurada

./"""-- Estructura Substituto

~EI) ~= (EI)r ~ "r, ~ L /' /'

Figura 6-44 - Diagrama Momento-Rotación

De acuerdo con lo presentado en las Figuras 6-43 y 6-44, donde se ve un elemento sometido a flexión, debido a una carga horizontal aplicada sobre la estructura, el valor (EI)r corresponde aproximadamente a la pendiente de una línea en un diagrama momento-rotación, M-O, que va del origen al punto de fluencia. La interpretación física del factor de daño 11 para una situación particular como puede ser una viga moderadamente reforzada sometida a flexión, con momentos en sus extremos como muestra la Figura 6-44, se representa estudiando la relación entre los momentos en los extremos y el giro en ellos. En la Figura 6-44 la línea continua representa la relación entre los momentos aplicados M, y el giro e, en el extremo causado por la deformación a flexión dentro de la luz de la viga. El valor de (EI)r se 152

calcula utilizando la sección totalmente fisurada (relaciones esfuerzo-deformación lineales y sin resistencia a la tensión del concreto). La relación M-e basada en (EI)r corresponde aproximadamente a la línea recta dibujada del origen al punto de fluencia de la sección bajo la condición de que tenga refuerzo simétrico y el acero de refuerzo disponga de una zona de fluencia definida. El factor de daño impone una rigidez menor, a través de la ecuación (6-13), e implica que hay una rotación inelástica aproximadamente igual a Iley en el extremo de la viga, siempre y cuando la rigidez a flexión promedio de la viga dentro de la luz cambie como lo indica el diagrama M-O. Al respecto es importante anotar que el factor de daño Il es comparable, pero no es exactamente igual a la ductilidad obtenida como el cociente entre el giro máximo y el giro al nivel de fluencia. Sólo para sistemas elastoplásticos la ductilidad es exactamente igual al factor de daño. Debe hacerse énfasis sobre el hecho de que un factor de daño corresponde a una ductilidad mayor si ésta se calcula con base en curvatura, por medio de un diagrama M-<j>. El amortiguamiento substituto, ~, depende del factor de daño, por medio de la siguiente relación: (6-1~)

El coeficiente /;. es una aproximación a la disipación de energía que ocurre durante la respuesta hísterénca de un elemento de concreto reforzado sometido <'1 un sismo. Por lo tanto la respuesta no lineal histerética de un sistema que alcanza un factor de daño ~ es "quivalente a la respuesta lineal calculada utilizando un coefícienre de amortiguamiento igual a /;.. A modo de ejemplo del tipo de respuesta que se obtiene bajo este procedimiento del sistema substituto equivalente, en la Fígui a 6-~5 se muestra la respuesta en términos de desplazamiento relativo entre la masa y el terreno, para un sistema que se somete a los primeros quince segundos del acelerograma de El Centro. Allí se presentan la respuesta de un sistema elástico con período T de 1 s y amortiguamiento de 2% del crítico, y la de un sistema substituto con un coeficíenre de daño, ~t, de 6. 200 100

u (mm)

-100 -200

Figura 6-45 - Respuesta en desplazamiento para un sistema elástico y un sistema substituto con Il 6, al temblor de El Centro

Puede demostrase fácilmente que el período de vibración del sistema substituto, Ts , se obtiene en función del período de la estructura real, T.. así: Ts = T, . ~ = T; . 2A5 = 2.45 s

Aplicando la ecuación (6-1~), obtenemos el amortiguamiento substituto así:

I;s = 0.2{1- ~} + 0.02 = 0.138 En la Figura 6-46 se muestra la fuerza que se ejerce en el elemento estructural del sistema. 0.8 »> elástico

0.6 0.4

fuerza (11W)

0.2

tiempo (s)

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8

Figura 6-46 - Respuesta en términos de la fuerza ejercida en el elemento estructural para un sistema elástico y un sistema substituto con ~ = 6, al temblor de El Centro

Si se desea extender este concepto de la estructura substituto a la respuesta de diferentes sistemas estructurales a un temblor real, esto se puede llevar a cabo utilizando el espectro de respuesta del sismo. El efecto en el espectro de la respuesta inelástica, se obtiene entrando al espectro con el período correspondiente a la rigidez substituto, ecuación (6-13), y leyendo la ordenada espectral correspondiente al amortiguamiento substituto dado en la ecuación (6-14).

6.6 Efecto de la respuesta inelástica en el espectro Qué ocurre con el espectro cuando el sistema no es elástico y el elemento estructural tiene la posibilidad de cambiar de rigidez durante la respuesta es una pregunta importante dado que los sistemas estructurales utilizados en general emplean materiales que son capaces de responder en el rango inelástico. A continuación se presenta la teoría clásica para sistemas elastoplásricos, y posteriormente las diferencias cuando se trata de sistemas inelásticos con otras características diferentes al elastoplástico.

6.6.1 Sistemas elastoplústicos Newmark, en las referencias [Newmark y Hall, 1972], [Newmark, Blume y Kapur, 1973], y [Newmark y Hall, 1982], describe la respuesta en el rango inelástico para sistemas elastoplástícos con base en un sistema de un grado de libertad sometido a excitación en su base, como el mostrado en la Figura 6-47. Al querer dibujar en papel tripartita el espectro obtenido, se tiene la dificultad de que al salir el sistema del rango elástico, las relaciones que permiten dibujar el espectro en este papel, ecuación (5-11), dejan de ser válidas. Debido a esto, debe decidirse si el espectro muestra las aceleraciones, o fuerzas, a que se ve sometido el sistema, caso en el cual los desplazamientos leídos en este espectro corresponden a la porción elástica de la deformación; o si el espectro muestra las deformaciones totales, y en este último caso las aceleraciones que se leen en el espectro no corresponden a las aceleraciones verdaderas a que se ve sometida la masa del sistema.

154

---r---X

...

~-_

...

Figura 6-47 - Si:,ema sometido a excitación en su base

En la Figura 6-48 se muestra el espectro de aceleraciones del temblor de El Centro para diferentes valores de ductilidad alcanzada por sistemas elastoplástícos. El espectro se calculó para un coeficiente de amortiguamiento de 2% del crítico. Las deformaciones mostradas en este gráfico corresponden únicamente a la componente elástica de la deformación y no es la deformación total, la cual es la suma de la parte elástica más la porción ínelástíca,

Los "al ores de aceleración son los correctos. Los valores de velocidad leídos no corresponden a las velocidades verdaderas. La figura se dibujó para ductilidades, Il, de 1, 1.25, 1.S, 2, 3, S Y 10. Este espectro se denomina espectro de aceleraciones máximas.

X /K v/ ~ k0 ~~

0.5

'fí

1/ /T,

0,2

0.1

0.04

/i/

'IJ. V 1/ / -' ......

/ s.>, JI>< t\

'A' 3~ 1-- '"\ "\ ~~

~ u ti ~(¡~""

0,1

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~ Ir -,\ \'"

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0,5

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~ ::..... 'f\;

"'''''''I"~\ ~ I"\..~

-. ''''

Período, T (s)

0.2

0,1

Figura 6-48 - Espectro de aceleraciones máximas para sistemas elastoplásticos, ~ = 2%, Temblor de El Centro

Si se grafica el espectro colocando las deformaciones totales; conformadas por la componente elástica más la componente ínelástica; se obtiene el espectro mostrado en la Figura 6-49. Este espectro se conoce con el nombre de espectro de desplazamientos totales. Debe tenerse en cuenta que los desplazamientos que se leen en el espectro de la Figura 6-49, son los desplazamientos totales verdaderos, mientras que tanto las velocidades como las aceleraciones que se Icen en este espectro no son las verdaderas. En los dos espectros de las Figuras 6-48 y 6-49, el correspondiente a ductilidad Il = 1, es el espectro elástico y por lo tanto es igual en ambos gráficos.

155

inámica estructural apticada 01 diseño SIS111lCU

3 2

0.5

I~~ / X '.: ,. ~~Xli/ r\ / ¿.,-

-\~" /./1 / It- >\~ J\;~ ~~,.),.."- . -"l~ J/}¡j

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0.5

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0.3 0.2

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lr5

11 i

D.1

I I i

I~:

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Ii i I! i

0.5

Período, T (s) Figura 6-49 - Espectro de desplazamientos totales para sistemas elastoplásticos, ~ = 2'}1o, Temblor de El Centro

Del estudio de gráficos similares a los dos anteriores, para numerosos temblores, Newmark y Hall obtuvieron las siguientes conclusiones: (a) Para períodos altos los desplazamientos totales máxírnos para cualquier demanda de ductilidad j..l son prácticamente los mismos. (b) Para períodos cortos la máxima aceleración es la misma para cualquier demanda de ductilidad p, lo cual quiere decir que las fuerzas ejercidas por los resortes son las mismas. (e) E,1 el ranga de períodos intermedios la energía que absorbe el sistema elástico y el inelástico es la misma. Las zonas son las mismas que se definieron en la Sección 5.5. Los valores del período de vibración que limitan estas tres zonas varían para cada acelerograma en particular. Este aspecto será discutido con mayor detalle en las Secciones 6.6.2 y 6.7. Según Newmark, es posible encontrar la relación entre el espectro elástico y el inelástico. Partiendo de que se dispone de un espectro elástico (j..l = 1), el cual para cualquier período T, tiene como valores De, Ve Y A; donde se ha colocado el subíndice e para enfatizar que se trata de valores del espectro elástico; y se quiere relacionar con un espectro inelástico donde para el mismo período se tienen unos valores máximos Dm , Vm y A m en cada una de las regiones del espectro (sensitiva al desplazamiento, a lo velocidad y a la aceleración respectivamente) donde se ha colocado el subíndice m para indicar que se trata de valores provenientes del espectro inelástico, la relación entre los dos se puede obtener de la siguiente manera:

Espectro de desplazamientos totales Para el espectro de desplazamientos totales, en la zona de períodos altos, de acuerdo con la conclusión (a), el desplazamiento ínelástico es igual al elástico: (6-1 S)

156

II I

Para el rango de períodos intermedios, partiendo de que la conclusión (e) es válida; la energía en el sistema elástico es igual a la energía en el sistema inelástico. Por lo tanto: (6-16) La energía cinética máxima en el sistema elástico, de acuerdo con la ecuación (I -8); es igual a: (6-17) y para el sistema inelástico esta energía es igual a la energía de deformación acumulada

en el resorte, la cual corresponde al área bajo la curva de fuerza-deformación presentada en la Figura 6-50. (6-18) fuerza

FY~

Fy=ku y

I I u desplazamiento

Figura 6-50 - Cálculo de la energía de deformación en el resorte inelástico

por lo tanto al reemplazar (6-17) y (G-18) en la ecuación (6-1G) se obtiene:

(6-19) y reordenando:

(G-20) Utilizando Fy = k u y y k/rn = ro 2 (6-20) se convierte en: (6-21) y (6-22)

pero (6-23) que al ser reemplazada en (6-22), produce:

157

ve = ro D11m ~2~ - 1

(6-24)

y de sp ej ando el valor para el es pec tro de d esplaz amientos totales se obtiene: (6-2 5)

Dad o qu e V..IID=Dm , entonces para el sis te m a inelástico, en la zona de períodos intermedios, el espe ctro 0 '2 .des plazarnientos totales es igual al espectro elástico multip licad o por 11/~2~ - 1 . Para la zona de períodos cortos, de acuerdo con la conclusión (b): (6-26)

y en térmi nos de fuerza: u

(6-2 7)

mA =u .k=--.!!.k=-1!!..k ~

por lo tanto, al re or de nar los términos de (6-27): (6 -28)

Esta última ec uación tiene en su lado derecho una acele ración. Esto quier e decir qu e en el es pectro de despl azamien to s to rales la zona de aceleraci ones cons ta ntes, local íz.ada en la fra nja de períodos cortos es tá definida por: (6-29) log s, ,+.... ¡

'-----------------------------::)-~ log T

Figura 6-51 - Espec~ro inelástico de desplazamientos totales

158

Se ha utilizado el símbolo Aro para enfatizar que esta aceleración no es la verdadera. Entonces el espectro donde es posible leer los desplazamientos totales queda de la forma mostrada en la Figura 6-51. Los desplazamientos que se leen allí corresponden a la suma del desplazamiento elástico y el inelástico. La aceleración que se lee allí no es la verdadera, ésta se obtiene dividiendo la aceleración leída del espectro por ~.

Espectro de aceleraciones máximas Ahora, para determinar el efecto de la respuesta inelástica elastoplástica en el espectro de aceleraciones máximas, se utiliza un procedimiento similar. Para períodos cortos se tiene: (6-30) Para el rango de períodos intermedio la energía en el sistema elástico es igual a la energía en el sistema inelástico, por :0 tanto: (G-3l)

De la ecuación (6-22) se tiene: Ve = ro uy~2~ -1

(6-32)

mAro = ku y

(G-33)

pero

por lo tanto,

que al ser reemplazada en (6-32), produce: A ~V = -'!L 2~-1 e

(6·35)

Esta última ecuación es equivalente a: =

(6-36)

~2~-1

Esto quiere decir que para el sistema inelástico el espectro de aceleraciones máximas en la zona de períodos intermedios es igual al espectro elástico multiplicado por 1/ ~2~ -1 . Para la zona de períodos largos: (6-37) y en términos de fuerza:

159

IDA

u D =ku =k-!!..=k-l!!... ¡.L

(6-38)

¡.L

por lo tanto: 2

= ro D e

A m

(6-39)

¡.L

Esto quiere decir que en el espectro de aceleraciones máximas la zona de desplazamientos constantes, localizada en la franja de períodos largos está definida por:

D=~ ID ¡.L

(6-40)

Se ha utilizado el símbolo Dro para enfatizar que este desplazamiento no es el desplazamiento total. Simplemente corresponde a la componente elástica del desplazamiento total. log s,

Ve V. - - - ; = = = m- ~2¡.L-l

A nI= A e

inelástico

~--------------------------J~-

log T

Figura 6-52 - Espectro inf'/ástico de aceleraciones máximas

Entonces, el espectro donde es posible leer las aceleraciones máximas queda de la forma mostrada en la Figura 6-52. Las aceleraciones que se leen allí corresponden a las aceleraciones verdaderas a que se ve sometido el sistema inelástíco y los desplazamientos que se leen en este espectro corresponden a la componente elástica del desplazamiento, o sea sólo hasta U y • Por lo tanto para obtener de este espectro los desplazamientos totales hay que multiplicar el desplazamiento leído por ¡.L.

6.6.2 Sistemas con rigidez degradante El trabajo realizado por Riddell y Newrnark, presentado en la referencia [Riddell y Newmark, 1979\, amplió la encontrado solamente para sistemas elastoplásticos en los trabajos de Newmark y Hall, a sistemas bilineales y a sistemas con rigidez degradante. Esta metodología, nuevamente se sustenta en que "El método está basado en la aproximación de que los efectos no lineales pueden tenerse en cuenta gracias a un análisis linealmente elástico de la estructura utilizando coeficientes de diseño determinados de un espectro inelástico para sistemas de un grado de libertad."

160

En él se estudian los efectos combinados del amortiguamiento y el efecto inelástíco. Las conclusiones del estudio fueron posteriormente reestudiadas en trabajos como el de Elghadamsi y Mohraz [Mohraz y Elghadamsi, 1989], que fundamentalmente las validan. Tabla 6-2 - Registros empleados por Riddell y Newmark Registro El CentroEW Olimoia N86°E Golden Gate, S800E Cholame, N85°E Castaie, N21°E Paeoima, S16°E Lima, Perú, N82°W sanüaoo, Chile, N100W Manaqua, Nícaraqua, EW San Juan, Aroentína, EW

Fecha Mav 18/40 Abr 13/49 Mar 22157 Jun 27/66 Feb 9171 Feb 9171 Mav 31170 Jul8171 Die 23172 Nov 23177

Profun. (km)

6.3 7.1 5.3 5.6 6.6 6.6 7.75 7.5 6.2 7.4

? 9 5-10 Oa 13 Oa 13 56 58 5 101

Ate

V te

D te

vu«;

(g)

(mis)

(m)

(mI!Jg]

Vt~

0.214 0.280 0.105 0.434 0.316 1.171 0.107 0.159 0.383 0.193

0.369 0.171 0.046 0.255 0.172 1.132 0.047 0.232 0.403 0.206

0.201 0.094 0.012 0.069 0.051 0.419 0.035 0.129 0.216 0.064

1.727 0.610 0.432 0.584 0.533 0.965 0.432 1.473 1.041 1.067

3.1 8.8 5.6 4.5 5.3 3.8

AteD te.

16.4 3.7 5.0 2.8

Desde el punto de vista general se observaron los siguientes aspectos: (a) La respuesta de sistemas con períodos de vibración muy largos es independiente del tipo de relación fuerza-deformación del elemento estructural. (b) Se observan diferencias para sistemas con períodos cortos menores de 0.1 s, pero estas diferencias son despreciables para demandas de ductilidad menores de 5, e insustanciales para demandas de ductilidad mayores. "

(e) Para períodos intermedios, la respuesta de sístc.nas bilineales con demandas de ductilidad menores e iguales a 2 son prácticamente iguales a la de sistemas elastoplásticos con demandas de ductilidad similares. Para demandas de ductilidad mayores; la respuesta máxima de sistemas bilineales es, en general, más pequeña que la de sistemas elastoplásticos. (d) Para todos los períodos considerados, las ordenadas espectrales de sistemas elastoplásticos son, en promedio, mayores que las ordenadas espectrales de sistemas con rigidez degradante.

(e) Los espectros de sistemas con rigidez degradante no tienen los picos y variaciones abruptas que se presentan en los sistemas elastoplásticos. Se encontró que los sistemas con rigidez degradante eran los más eficientes con respecto a la capacidad de disipación de energía. Además, se pudo observar que los sistemas con rigidez degradante eran mucho más eficientes en su recuperación después de una excursión inelástica. Esto último se traduce en que las deformacíones permanentes de los sistemas con rigidez degradante fueron siempre menores que las de sistemas elastoplásticos y bilineales. Es razonable suponer que el comportamiento de sistemas degradantes está dominado por los efectos de ablandamíento producido por la degradación de rigidez, más que por el efecto de resistencia adicional causada por el endurecimiento por deformación del material. Los sistemas con rigidez degradante empleados no incluyeron sistemas con degradación de la resistencia, ni ablandamiento de la rigidez de descarga; lo cual debe tenerse en cuenta al interpretar las conclusiones del estudio. Además, es importante tener en cuenta que existen numerosas situaciones en las cuales no es posible predecir la respuesta de un sistema en particular a un acelerograma dado. En muchos casos sistemas con el mismo tipo de relaciones fuerza-deformación, el mismo nivel de amortiguamiento, y sometidos al mismo acelerograma, se comportan en formas totalmente diferentes, dependiendo de los valores particulares de la fuerza de fluencia. 161

;II(¡/HIC(I eSrnlClllnll UjJU< ",uu ......." "" "''-''' __

Una conclusión muy importante del estudio realizado, es la aseveración de que en la gran mayoría de los casos, los resultados obtenidos para sistemas con relaciones fuerza-deformación elastoplástica, consistentemente conducen a valores conservadores de la máxima respuesta, lo cual valida el empleo de este tipo de modelos en un gran número de aplicaciones. El estudio de Riddell y Newmark introdujo el concepto de coeficientes de deamplifícacián in elástica, cl\t> los cuales permiten reducir las ordenadas espectrales elásticas a valores asociados con un nivel de demanda de ductilidad dado, para cada una de las zonas del espectro sensitivas a la aceleración, a la velocidad o al desplazamiento. Estos coeficientes se estudiaron estadísticamente para los acelerogramas empleados. Se obtuvieron valores medios y valores en la media más una desviación estándar. El inverso del coeficiente de deamplificación corresponde a un coeficiente de disipación de energía. En este caso se denominan oRa, R, Y R,¡, según correspondan a la zona del espectro sensitiva a aceleración, a velocidad, o a desplazamiento, respectivamente. Estos coeficientes son sensitivos, además, al nivel de amortiguamiento empleado, a las condiciones locales del suelo en el sitio donde se obtuvo el registro, y al período de vibración del sistema. Además se encontró que los períodos de vibración que dividen las zonas del espectro en regiones de aceleración, velocidad ji desplazamiento aproximadamente constantes, varían para los diferentes niveles de ductilidad. Zona de Desplazamiento Aproxim. Constante

u= 10 13 -1---~......r='--+12 -1---......".,===-+---' 11

10 -1------11----+-

9 +------:;-;;---+11= 10

8a~~~~ =5

7 -1--tt-----t6 -1--±-----t11=5

5-1-----:1....- - -...11 = 10

Zona de Aceleración Aproxim. Constante

11 = 5

11 = 3 11=2 11 = 1.5 elástico

Período T, (s) Figura 6-53 - Coeficientes de reducción de resistencia para sistemas con degradación de rigidez. ~ = 5%

En la Figura 6-53 se muestran los coeficientes de reducción de resistencia, para sistemas con rigidez degradante y para un coeficiente de amortiguamiento crítico de 5%. Las zonas sombradas corresponden a los valores donde se encuentran los períodos de vibración de la transición entre las diferentes zonas del espectro. Debe notarse que los valores de los períodos de transición se hacen más cortos en la medida que la demanda de ductilidad es mayor. Además puede verse que la reducción de resistencia ]62

que se debe emplear para lograr una demanda de ductilidad dada varía entre zonas del espectro y especialmente para sistemas con períodos de vibración muy cortos en la zona de sensibilidad a las aceleraciones. 4

~ j.l= l(

/;V

j.l=5

j.l=3

t ¡

~ ~-

j.l=15 u-l

""e

I o

j.lF2

,,/

0.05

0.1

0.15

0.2

'¡istico

0.25

0.3

0.35

0.4

Período T (s) Figura 6-54 - Coeficientes de reducción de resistencia para sistemas con degradación de rigidez, zona de períodos cortos de amplificación de aceleración. ~

=5%

En la Figura G-S"! se amplía la escala de la zona sensitiva a aceleraciones. Es muy importante notar que la reducción de resistencia que se puede lograr para todas las demandas de ductilidad tiende a la unidad en la medida que el período tiende a cero. El sistema sufre la aceleración máxima del terreno, independientemente dé los desplazamientos relativos, y por ende de la ductilidad. Esto quiere decir que en los sistemas inelásticos con periodos cortos, no es posible ejercer la ductilid"td y las reducciones que se realicen a la resistencia, pondrían en peligro la estabilidad del sistema, pues no se produciría una demanda de ductilidad compatible con la reducción de resistencia. Como consecuencia, muy importante de este fenómeno, las estructuras muy rígidas deben diseñarse para las fuerzas que se derivan de aplicar la máxima aceleración del terreno, Ate, a la masa de la estructura. logSv

-------------i»o~

log T

Figura 6-55 - Espectro inetestico de aceleraciones máximas para rigidez degradante

1(;8 .._._.

. "-1. . .

El empleo de estos coeficientes de reducción de resistencia, dentro de un espectro de aceleraciones máximas se muestra en la Figura 6-55. No sobra insistir que los desplazamientos que se leen en el espectro ínelástíco, corresponden únicamente a la componente elástica del desplazamiento, por lo tanto para obtener el desplazamiento total hay necesidad de multiplicar el desplazamiento leído del espectro de aceleraciones máximas, por el factor de ductilidad, ~.

.7 Principio de las deformaciones iguales De la discusión anterior sobre la respuesta de sistemas ínelásticos, basada en los trabajos de Newmark, es evidente que en la zona del espectro sensitiva a los desplazamientos, o sea la zona de períodos largos, los desplazamientos totales que se obtienen en la respuesta ínelástica, son aproximadamente iguales a los que tendría un sistema elástico con la misma rigidez y sometido al mismo acelerograma, En la Figura 6-56, se indica esta característica, la cual se ha denominado tradícionalmente como el principio de las deformaciones iguales [Park y Paulay, 1975], [Paulay y Priestley, 1992]. Fuerzaf-

resp.uesta elástica

Desplazamiento uy

u ID=u e

Figura 6-56 - Principio de las deformaciones iguales

Este aspecto tiene implicaciones muy importantes en diseño sísmico, dado que una de las verificaciones que deben realizarse consiste en comprobar que las deformaciones de la estructura no sean excesivas, y dado que la estructura en general se sale del rango elástico de respuesta ante la ocurrencia de los movírníentos sísmicos de diseño, estas deformaciones se deben estimar en el rango in elástico de la manera más precisa posible. Por otro lado si el daño, a elementos estructurales y no estructurales, está asociado con las deformaciones inelásticas que se tengan, la rigidez inicial del sistema y su degradación son parámetros muy importantes en el buen comportamiento de la estructura {Qi y Moehle, 1991]. El problema de estimar las deformaciones en el rango inelástico se vuelve especialmente complejo cuando se tiene degradación de la rigidez, pues el periodo de vibración del sistema cambia durante la respuesta de la estructura a la excitación sísmica. En los trabajos de Shimazaki y Sozen [Shimazaki y Sozen, 1985], [Shimazaki, 1988] y {Shimazaki y Sozen, 1993], utilizando un enfoque diferente al de Newmark, consistente en el estudio de un gran número de casos de respuesta del sistema inelástico en términos de energía y de desplazamiento, se encontró que cuando el período de la estructura era mayor que un valor característico T g del acelerograma, la energía que entraba al sistema era constante o disminuía, independientemente de la resistencia del sistema, F y • Además se encontró, que cuando el período del sistema era mayor que el período característico, T > T g , independientemente de la resistencia del sistema F y ; el desplazamiento máximo inelástico Um, tendería a ser igual al del espectro elástico de desplazamientos, confirmando el principio de desplazamientos iguales. 164

Shimazaki y Sozen explican cualitativamente este fenómeno indicando que la energía que entra al sistema se mantiene constante cuando el sistema tiene un período de vibración inicial mayor que T g , pues la degradación de la rigidez alarga este período y entonces no se presenta un aumento en la energía que entra al sistema y no la hay suficiente para producir un aumento de la deformación inelástica. Por otro lado, si el sistema tiene un período de vibración T < T g , un aumento en el período del sistema causado por la degradación de rigidez, conduce a un aumento de la energía que entra al sistema y entonces se presenta una deformación inelástica máxima mayor que la máxima elástica.

Otro aspecto muy importante encontrado en estos estudios consistió en identificar que bajo ciertas condiciones del período de la estructura y su resísrencía en la base, para períodos iniciales del sistema T < T g , también las deformaciones inelásticas se mantenían iguales o menores que las elásticas. La condición anterior fue formulada por Shimazaki y Sozen de la siguiente manera para sistemas estructurales cuya respuesta histerética es similar a la de elementos de concreto reforzado:

(6-41)

RD:::;1.0

es válida sí: RR+RT~ 1.0

(G-42)

donde:

(Relación de desplazamientos)

(6-43)

(Relación de resistencias)

(Relación de períodos)

(G-45)

En las relaciones anteriores, T es el período inicial del sistema calculado utilizando secciones no fisuradas, T g es el período característico del acelerograma, Fy es la resistencia a la fluencia del sistema y Fe es la respuesta elástica, en términos de fuerza en el elemento estructural, que se obtendría del espectro de desplazamientos con un amortiguamiento ~ = 2%, para un período de víbracíon efectivo (Ter = T • ..,J2), calculado utilizando unas secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la de las secciones no fisuradas. Aunque las expresiones anteriores son una gran ayuda en la determinación de los desplazamientos inelásticos, su aplicación es limitada pues no cubre estructuras con períodos cortos o cuya resistencia F, sea baja. Esta situación fue estudiada posteriormente por Qi y Moehle [Qi y Moehle, 19911, quienes encontraron que en la respuesta inelástíca, para periodos del sistema, T, menores que T g , en esa región del espectro era aplicable la siguiente relación entre desplazamientos elásticos, Ue, y desplazamientos inelásticos, 11m: u m

= u e . (~)1.6" T

(6-46)

donde: 165

'IJlLlllUCU (:'~';( I ({Ll UI I I I ul'" ( ' - . H U \ . " \ . H

........."

•

_.~

(6-47)

T\=-_Ym A¿

y F, es la resistencia a la fluencia del elemento estructural del sistema, m es su masa, y Ate es la aceleración máxima del terreno del registro acelerográfico. Posteriormente Lepage [Lepage, 1996], demostró que era posible aplicar un procedimiento general que es válido en todos los casos, aun cuando no se cumple la ecuación (6-42). Este procedimiento está sustentado en investígaciones analíticas, experimentales y en la respuesta de estructuras instrumentadas ante sismos reales. De acuerdo con esta investigación el máximo desplazamiento ínelástíco para estructuras con rigidez degradante se puede determinar por medio de: u ro

= Fa ·o.·g·T ~.T 2 (21t)

(G-48)

la cual es válida si se cumple la siguiente relación: (6-49) En las ecuaciones anteriores: 11m

g a.

Tg Ter

C, RT

máximo desplazamiento obtenido en la respuesta coeficiente de amplificación de la aceleración en un espectro de aceleraciones (un valor de 3.75 es representativo para sistemas con un coeficiente de amortiguamiento, ~, de 2% del crítico) aceleración de la gravedad máxima aceleración del terreno del acelerograma, expresada como una fracción de la gravedad (a. =Arefg) período característico del movimiento sísmico, puede definirse como el período en el cual termina la región de aceleraciones constantes período efectivo de vibración de la estructura, el cual puede calcularse como el período de la estructura con secciones fisuradas con una rigidez igual a la mitad de la rigidez de las secciones no fisuradas (Ter =T .>12) coeficiente de resistencia en la base (C, =F/W) relación de periodos (RT =TerIT g)

De esta manera es posible encontrar el desplazamiento máximo para cualquier sistema inelástico con rigidez degradante, con base siempre en un análisis elástico. La validación de las relaciones anteriores se realizó [Lepage, 1996] empleando procedimientos analíticos para sistemas de uno y varios grados de libertad, elásticos e ínelásncos, utilizando movímientos sísmicos con diferentes períodos característicos, como se muestra en la Tabla 6-3, y diferentes características inelásticas, incluyendo relaciones de resistencia, RR, con valores que variaron entre el 6% y el 100%. Los resultados analíticos fueron confrontados con ensayos experimentales realizados previamente en mesa vibratoria, los cuales incluyeron 22 ensayos diferentes de sistemas de un grado de libertad cuya respuesta estaba dentro de la zona de aceleraciones aproximadamente constantes (períodos cortos). La media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analíticamente utilizando el procedimiento fueron de 0.72 con una desviación estándar deO.n. lf;(i

Tabla 6-3 - Registros empleados por Lepage

Sismo

Fecha \

Feb 09,1971 Ene01,1994 Mar 03,1985 Ma 18,1940 Ene 17,1995 Ju121,1952 Abr 13,1949 Jun 12, 1978 Ju121,1952 Ma 16,1968

Compon.

Registro Castaic Tarzana L1olleo El Centro Kobe Taft Seattle Sendai Santa Barbara Hachinohe

N21E NS N10E NS NS N21E S02W NS S48E EW

Ate

Duración

(g)

(s)

0.32 0.99 0.71 0.35 0.83 0.16 0.07 0.26 0.13 0.19

30 30 75 45 30 45 65 40 60 35

0.35 0.44 0.50 0.55 0.70 0.72 0.89 0.95 1.03 1.14

Para verificar la aplicabilidad de la metodología a sistemas de varios grados de libertad, se realizaron estudios analíticos de estructuras con diferentes alturas y características, sometidas a movímientos sísmicos de diferentes intensidades y contenidos frecuenciales, para un total de 120 casos. Además se utilizaron los resultados experimentales de 87 ensayos de estructuras a escala en mesa vibratoria, con alturas entre 3 y 10 pisos, representativas de diferentes sistemas estructurales, incluyendo pórticos, pórticos combinados con muros, muros acoplados, pórticos donde las vigas plastifican primero que las columnas, y pórticos donde las columnas plastifican primero que las vigas. Para estos casos la media de las relaciones entre los desplazamientos medidos experimentalmente y los estimados analíticamente utilizando el procedimiento fueron d~ 0.80 con una desviación estándar de 0.13. Por último la metodología fue confrontada con las mediciones obtenidas en un edificio de 9 pisos localizado en la ciudad de Los Angeles, California, USA, del cual se tienen registros durante los sismos de San Fernando de 1971, de Whittier de 1987 y de Northrídge de 1994. Con respecto a la obtención del valor de Tg , Shimazaki y Sozen, y Lepage, utilizan un procedimiento algo diferente al empleado por Oí y Moehle, pero ambos conducen a resultados similares. Ambos procedimientos están basados en el empleo de espectros de energía. El espectro de energía está relacionado con la máxima energía que le introduce al sistema el sismo, expresada como una velocidad equivalente, dada por:

v eq =

J2'E

(6- 50)

donde EE está dada por la Ecuación (2-95), que se reproduce aquí por conveniencia: t

EE = -mf Xo ' u-dt

(6-51 )

La energía debida a la excitación, EE, es igual al valor maximo de la suma, evaluada hasta un tiempo t, de la energía cinética, de la energía disipada y de la energía de deformación. La velocidad equivalente, Veq , corresponde a la máxima velocidad que puede tener el sistema si no se disipara energía a través del amortiguamiento VISCOSO. Shimazaki y Sozen obtuvieron T g al dibujar un espectro de la energía suministrada por el sismo en papel tripartita, y tomando el valor máximo, como muestra la. Figura 6-57. Qi Y Moehle lo obtuvieron también de un espectro de energía, pero tomándolo como el primer pico significativo del espectro de respuesta de energía, como muestra la Figura 6-58. Como puede verse los dos procedimientos conducen prácticamente a los mismos "al ores. En arribos gráficos mostrados los espectros de energía se obtuvieron con un amortiguamiento S= 10%. 167

lin/nnica estructural apliccuic: (11 diseño SíSlIllCO

r"r

-1

r--

h"-...... y a. . ,

"'. <,

'U·

V./ Energía

JE/m

0.1

(mis) /

V 0.01

<" /'

0.001 0.1

0.01

Período T, (s) Figura 6-57(a) - Obtención de T g - Shimazaki-Sozen, y Lepage 10

~ /,'l

A .//-

Energía

JE/m

,,..

'l l/

Aiex ctllfiM

b(. <,

0.1

(mis)

!:V

0.01

0.001 0.01

0.1

Período T, (s) Figura 6-57(b) - Obtención de T g - Shimazar-i-Sozen, y Lepage

168

6,-----~-------,--------.----,------.----~

s-J--------J...-----+----I----!--I---\c---+-------j

4+---------;1------+-----+---+---1-----+---+-----'

Energía

JE/m 3 -I----l----+---~,,___I_-_+_---+---_.j (mis) 2+----+---1~7"'-__,f__'I!_-----f,L----'l.._----+--------j

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

3.0

Período T, (s)

Figura 6-58(a) - Obtención de Tg - Qi Y Moehle

3 ,--------,-,--::-----;---.----~------.----------,---~.

2.5 +--

-----+--------+---+\------+-----+--+_.- . _-

+---+--+-++-~...--+---+----+-'---~

Energía

.[E/m 1.5 +---+H-----'-f---\-.;-4---..-.:>f.<-----+----+_ (mis)

0.5 -J---!JL..f--+--,-/----I----+-----f----.....¡===--=_'

0+""=----+----+-----+----+-----+---0.0

0.5

1.5

1.0

2.0

Período T, (s)

Figura 6-58(b) - Obtención de T g - Qi Y Moehle

I 1(-}9

..._.__ ....--oIlI!.....

2.5

3.0

lJíll(OlllCU eSI.n({CUIHU UF"ll"'" '" ''''''''~ . , 0 . " 0 0 · · .

rroqrama de computador RE5DIN para la obtención de la respuesta dinámica elástica e inelástica Dentro del disquete que se suministra con el libro se incluye el programa de computador RESDlN, el cual permite encontrar la respuesta en el tiempo de sistemas dinámicos de un grado de libertad, en los cuales su elemento de resistencia puede tener características elásticas e inelásticas. El modelo está formulado para sistemas consistentes en una masa, un amortiguador viscoso y un elemento de resistencia, o resorte, los cuales se pueden someter, ya sea a unas condiciones iniciales de desplazamiento, o velocidad, o ambas, a una fuerza variante en el tiempo para estudios de excitación armónica, o a un acelerograma para excitación en la base. El programa está escrito en lenguaje QuickBasic -l.5 de Miscrosofr y utiliza la metodología presentada anteriormente. El programa emplea unidades de distancia en metros y de tiempo en segundos, pues utiliza como valor de la aceleración de la gravedad g = 9.80 m/s", La unidad de masa debe ser el kg. . Propiedades del sistema dinámico de un grado de libertad

El sistema dinámico se describe por medio de sus propiedades de masa, rigidez y amortiguamiento. Esta descripción puede hacerse por medio de la definición de los parámetros de masa m, en kg dado que se emplea el sistema SI, de rigidez k en N/m, y el amortiguamiento e en Nvs/m, Alternativamente el programa permite definir el sistema por medio de su período de vibración T (= 21t~m/k ) en s y el coeficiente de amortiguamiento crítico ~ =d(2mro) (donde ro = ~k/m). Estas definiciones son válidas tanto para el sistema elástico como para el inelástico. Propiedades de inelasticidad

Con el fin de poder definir internamente el manejo de los ciclos de histéresis, el programa opera con tres modelos de inelasticidad: elasroplástíco, de Ramberg-Osgood y de rigidez degradante. En todos los casos los modelos pueden ser simétricos o asíménícos. Modelo Elastoptústico

En el caso de! modelo elastoplástico la rigidez tanto para los ciclos de carga como de descarga es la misma del sistema elástico k. El punto en el cual se inicia la plastíficacíón (F y ) , se define en términos del peso (W = m g) del sistema y se indica por medio de la fracción del peso a que corresponde la fuerza de plastificación. En la literatura esta fuerza se denomina el corte basal resistente del sistema. El programa acepta valores diferentes para las direcciones positiva (+F y ) y negativa (-Fy) del movimiento. En caso simétrico los dos valores son iguales. Modelo de Ramber-Osqood

En el modelo de Ramberg-Osgood el programa requiere los siguientes datos: (a) el valor del corte basal resistente del sistema F y , expresado como una fracción de su peso W. (b) la rigidez de la curva esqueleto, k cn tal como se indica la Figura 6-26. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k., la cual corresponde a la rigidez del sistema en respuesta elástica con la cual se calculó el período de vibración T. Generalmente esta rigidez corresponde a la rigidez fisurada del sistema km como la indica la Figura ()-29. 170

(e) la rigidez en fluencia ks , tal como la indica la Figura 6-29. Esta rigidez se expresa, también, como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k, y depende de la capacidad de endurecimiento por deformación del acero de refuerzo longitudinal. Si el acero tuviere una curva esfuerzo-deformación totalmente elasto-plástíca, el valor de k, sería cero. Con los datos anteriores el programa determina los valores de los parámetros 'Y y r, con lo cual define el modelo de Ramberg-Osgood, Modelo con rigidez degradante

En el modelo histeretico con degradación de rigidez hay necesidad de definir los siguientes parámetros, tanto para la respuesta en el sentido positivo como para el negativo: (a) el valor del corte basal resistente del sistema F y , expresado como una fracción de su peso w. (b) la rigidez en descarga k u , tal como se indica la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k., la cual corresponde a la rigidez del sistema en respuesta elástica con la cual se calculó el periodo de vibración T. Generalmente esta rigidez corresponde a la rigidez fisurada del sistema k cn como la indica la Figura 6-7. (e) la rigidez en recarga kn tal como se indica en la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k. Corresponde a la fase inicial de un ciclo de nueva carga y su valor depende de la cantidad de fisuras abiertas en un ciclo anterior que haya necesidad de cerrar en el nuevo ciclo de carga. En muchos casos se calcula como la rigidez de la sección compuesta por la armadura longitudinal sola, sin tener en cuenta el concreto. (d) la rigidez en fluencia k., tal come la indica la Figura 6-7. Esta rigidez se expresa, también, como una fracción de la rigidez inicial del sistema, k, y depende de la capacidad de endurecimiento por deformación del acero de refuerzo longítudínal. Si el acero tuviere una cuna esfuerzo-deformación totalmente elasto-plásríca, el valor de k, sería cero. Debe tenerse en cuenta que los aceros requeridas por ((Jdigos de diseño sismo resistente deben tener una zona de endurecimiento por úeú';¡Jló.\.ión, pues en general se exige que la resistencia última real sea más de 1.25 veces la resistencia a la fluencia real. (Norma ASTM A706 V NTC 2289 4 a revisión), y (e) el valor del parámetro A, indicado en la Figura G-34, el cual describe el número de excursiones en el rango de fluencia para que desaparezca la adherencia del acero de refuerzo. Con los datos anteriores el programa formula un modelo de histéresis que incluye características de degradación de la rigidez y de la adherencia del refuerzo con el concreto. Condiciones iniciales

El programa acepta casos de condiciones iniciales, ya sean de desplazamiento, en m, o de velocidad, en mis; o ambos. Vibración forzada

Es pesible dar una excitación armomca con frecuencia Q y amplitud en fuerza, dada como una fracción del peso vv. Se pueden dar formas sinusoidales, triangulares o de escalones a la excitación.

171

Aceleración en la base El registro de las aceleraciones que se imponen en la base del sistema, o acelerograma, puede definirse en el programa de cuatro maneras diferentes: (a) por medio de una aceleración expresada en intervalos de tiempo constantes. La aceleración se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad g. (b) por medio de una aceleración expresada en intervalos de tiempo variables. La aceleración también se expresa como fracción de la aceleración de la gravedad g. (c) leyendo cualquier archivo acelerográfico que esté en ASCn, y (d) por medio de registros de aceleración de temblores reales. El disquete del programa contiene los acelerogramas reales presentados en la Tabla 6--1. Tabla 6-4 - Acelerogramas utilizados en el programa RESDIN No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ~1 12 13 14

Temblor Imperial Valley, CA San Fernando, CA San Fernando, CA San Fernando, CA Parkfield, CA Kern County, CA Parkfield, CA Miyagi-Ken-Oki, Japón Tokachi-Oki, Japón Ciudad de México Chile Loma Prieta, CA Loma Prieta, CA Loma Prieta, CA

Fecha May 18/40 Feb9n1 Feb 9171 Feb 9fl1 Jun 27/66 Jul21/52 Jun 27/66 Jun 12178 May 16/68 Sep 19/85 Mar 3/85 Oct 17/89 Oct 17/89 Oct 17/89

Registro El Centro Pacoima Darn Castaic Old Ridge Rd 3710 Wilshire Blvd. 10° piso Temblor Santa Barbara Courthouse Cholame, Shandon Miyagi Hachinohe Harbar SCT1- Secretaría de Transp. Viña del Mar Santa Cruz-UCSC Lick Lab. Capitola Fire Station Corralitos - Eureka Canyon

Direc. N-S S16°E N21°E N900E S25°W S48°E N85°E N-S E-W E-W N-S N-S N-S N-S

A",

0.35 g 1.17 g 0.32 g 0.35 g 0.35 g 0.13 g 0.43g 0.26g 0.19 g 0.17g 0.36 g O.44g 0.47 g 0.G3g

El programa permite utilizar parte del acelerograma indicando el tiempo maximo. El acelerograma se puede escalar dando una aceleración máxima diferente a la original, con lo cual todos los demás puntos se amplifican o reducen en la misma proporción. Además es posible variar la escala del tiempo, comprimiéndolo o extendiéndolo, lo cual se emplea algunas veces para simular condiciones de suelo blando.

Respuesta del sistema El programa utiliza en la solución de la respuesta dinámica en el tiempo el método Beta de Newmark, descrito anteriormente. La respuesta se presenta gráficamente en la medida que se va obteniendo la solución. Se presenta el acelerograma utilizado Ko ' como fracción de g, la respuesta en términos de desplazamiento relativo entre la base y la masa, u, en m; la velocidad relativa entre la masa y la base ti, en mis, y la aceleración I absoluta de la masa (ü + Ko ), corno fracción de g. Además, el programa conserva los datos de la respuesta, lo cual permite graficar posteriormente la historia de la fuerza sobre el resorte, consultar la respuesta para un tiempo específico, o sus máxírnos en el tiempo y grabados en un archivo que puede ser leído después por medio de una hoja electrónica, como Excel o Lotus. El programa puede calcular el intercambio de energía durante la respuesta y presentar gráficos de la energía en cada instante y de la energía acumulada también en cada instante.

172

1 i

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Capitulo 7

FACULT/J.íl BE '{Wil)WG~.' to[ lJl '()N!:~'I;;j'I()N

CENTRO Dí: rJOCUi;:ltNl':A.~;mN _~'7U-'~~1!:"J!'!:t;¡,WI::l;'::;~::"'7~i>J.W"

Movin.ientos sísJnicos de diseño

7.1 Introducción Para el diseño sísmico de una estructura se utiliza lo que se denominan movimientos sísmicos de diseño, los cuales se definen a través de un espectro suavizado de diseño, o bien mediante familias de aceleroqramas. Los picos que ocurren en el espectro de respuesta son característicos de cada temblor en particular, por lo tanto no tiene sentido en un espectro de diseño tener grandes variaciones dentro de un rango pequeño de períodos, más bien se utilizan tendencias generales en rangos de períodos. Por esta razón su forma es suavizada y de ahí su denominación.

Dado que es imposible estimar en detalle las características de los movímíentos sísmicos que se presentan en el futuro, al menos en el estado del conocimiento actual, la gran mayoría de los métodos para definir un espectro de diseño se sustentan en el estudio estadístico de espectros de respuesta de registros acelerográfícos que tienen algunas características en común. El hecho de que compongan de líneas suavizadas o rectas, inclusive, se justifica debido a las dificultades que se tiene al estimar los períodos de vibración de estructuras que van, con seguridad, a responder en el rango ínelásríco, durante un sismo fuerte. Por otro lado hay gran influencia de los efectos de campo cercano, tales como el tipo de fuente sismogénica, la forma en que se propaga la ruptura, las características de los materiales que se encuentran en la trayectoria de las ondas sísmicas y las condiciones locales del suelo [Mohraz y Elqhadamsi, 1989]. Existen diferentes métodos para estimar el espectro de diseño dado que se conocen ciertas características de los mov imientos sísmicos esperados en el sitio. En general cuando se habla de un espectro de diseño éste se define en suelo duro o roca y por lo tanto no incluye el efecto que puede tener la estratigrafía del suelo en el lugar. En aquellos casos en que hay depósitos profundos de suelos blandos, en general se realiza un estudio de amplificación de onda, por medio del cual es posible incluir estos parámetros totalmente locales en el espectro de diseño. Dado que en general los espectros de diseño se obtienen del estudio estadístico de registros que por su naturaleza propia no pueden ser iguales, esto conduce a que se tengan que normalizar de alguna manera, para lo cual existen diferentes procedimientos, dentro de los que se destacan la normalización con respecto a una intensidad espectral y la normalización con respecto a algunos de los parámetros máximos del terreno, ya sea aceleración, velocidad o desplazamiento: Ate, Vte o Dte. A continuación se presentan, en el orden hístórico de su desarrollo, algunos de los métodos más utilizados para definir el espectro de diseño en roca. Posteriormente se tratan las familias de acelerograrnas, los efectos de amplificación de onda causados por el suelo subyacente y otros factores que influyen en la selección y utilización de los diferentes tipos de movimientos sísmicos de diseño.

.2 Espectros elásticos de diseño .2.1 Espectros promedio de Housner

Tal vez el primer espectro de diseño, dentro del sentido actual, fue desarrollado por Housner a comienzos de la década de 1950 [Housner, 1952], [Housner, 1959] y [Housner y Hudson,1961]. Housner desarrolló el concepto del espectro promedio, el cual fue el antecesor del espectro suavizado, Es importante hacer la advertencia de que el espectro promedio de Housner se desarrolló para una situación tectónica específica, como es el estado de California en Estados Unidos, por esta razón su aplicación a otras . situaciones debe ajustarse cuidadosamente, en principio utilizando registros locales. Tabla 7-1 - Registros empleados por Housner para obtener los espectros promedio Registro El Centro May 18/40 El Centro Die 30/34 Olympia Abr 13/49 Taft Jul21/52

Comp. NS EW NS EW S800W S100E N21°E S69°E

A..

Vte

S1(O)

SI(0.2)

(g)

(mis)

0.31 0.22 0.26 0.18 0.30 0.19 0.18 0.16

0.325 0.315 0.250 0.206 0.223 0.171 0.158 0.196

0.320

0.823

0.297

1.15

0.228

0.579

0.197

1.16

0.197

0.579

0.197

1.00

0.1n

0.488

0.166

1.07

Vte

81(0.2)

Los espectros se desarrollaron utilizando los registros acelerográficos que se listan en la Tabla 7-1. En el trabajo estadístico se emplearon las dos componentes horizontales de los registros, todos los cuales tienen magnitudes mayores de 6.5.

1.5

r-..

(/ <, 1.0

i'--

/1 / ~

0.5

......... f--

1//;::~

<; =0%

I 0.5

I 2%

11' ·,oot. ¡...-~

20%

40%

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-1 - Espectro promedio de velocidades de Housner (escala arbitraria)

Con el fin de poder tener en cuenta los efectos de distancia a la falla y de la magnitud de los sismos, Housner normalizó los registros utilizando un parámetro definido para el estudio, al que denominó intensidad espectral. La intensidad espectral es la integral de área bajo el espectro de velocidades, dentro de los dos límites anotados, como lo indica la ecuación (7-1). Los límites de integración, T min = 0.1 s V Tmax = 2.5 s, los definió para lo que él consideró era el rango normal de los períodos de vibración de la mayoría de las edificaciones.

174

2.5s

81(1;) =

f s, (T, 1;)dT

(7-1)

T=O.ls

En la Tabla 7-1 se dan los valores de intensidad espectral para ~ = 0% Y ~ = 20%. Para obtener los espectros promedio, Housner primero los normalizó para que tuvieran el mismo valor de 81(0). Esto es equivalente a normalizarlos para que tengan la misma velocidad máxima del terreno, V te. Una vez normalizados se calcularon los promedios de los valores para cada período y para los diferentes valores de amortiguamiento. Luego se dibujaron líneas suaves uniendo los puntos obtenidos para cada nivel de amortiguamiento para obtener el espectro promedio de velocidades mostrado en la Figura 7-1. 0.7

0.5 i

s, (mis)

0.3

~-O%

.u·. _

i-: O

..........

/í <,

0.2

1'<-:=

.7-4Skm del epicen ro

0.4

0.1

,-......

0.6

"··U

.> <M= 7.7

~=O%

1DSkmd I epicentro

1.0

0.5

1.5

2.5

2.0

3.0

Período T (s)

Figura 7-2 - Influencia de la magnitud y la distancia en el espectro de velocidades

En los espectros promedio, para valores del periodo de vibración, entre 1 s y 3 s el espectro se mantiene constante para diferentes niveles de amortiguamiento. El valor del período para el cual se presenta el valor máximo es aproximadamente 0.5 s. La distancia a que se registra el sismo influye en la localización de este valor máximo.

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

S.O

Período T (s)

Figura 7-3 - Espectro promedio de aceleraciones de Housner (escala arbitraria)

En la Figura 7-2 se presentan tres espectros calculados para 1; = 0%.; para dos sismos, uno de ellos con magnitud 7.7 Y el otro con magnitud 5.3. Para el evento con magnitud grande se muestra el espectro de su registro a -45 y a lOS km del epicentro. Para el evento pequeño el registro se obtuvo a 12 km del epicentro. Allí puede verse que la cercania a la falla que causa el evento, acentúa el contenido de ondas con períodos 175

r JI1H.111UCU (~,.·jl·llU·1 {ti tU HIn H . . l l t . l l ( . u

cortos de vibración. La velocidad de la onda de cortante en el sitio también influye en la localización del pico, para velocidades altas, correspondientes a suelos duros, éste se corre hacia la izquierda, y para suelos blandos, con velocidades de la onda de cortante bajas, el pico se corre hacia la derecha. La Figura 7-3 muestra el espectro promedio de aceleraciones. Allí puede verse que para períodos cortos el espectro de aceleraciones tiende a la aceleración máxima del terreno, A",. Este espectro fue derivado utilizando la relación S, =(21tI T) S; Para efectos de su utilización Housner [Housner, 197Gb] advierte que los espectros promedio de velocidades y ar:..leraciones estaban basados en los cuatro registros norteamericanos más fuertes de que se disponía en ese entonces, y que eran consistentes con ellos, pero su forma no era consistente con movimíentos sísmicos registrados en ciudad de México, y en Lima, Perú. Así mismo, no los consideraba apropiados para sismos de magnitud pequeña. 7.2.2 Método de Newmark-Hall

A mediados de la década de 1960, Newrnark y Hall iniciaron una serie de investigaciones sobre las formas espectrales, principalmente para ser empleadas en el diseño de plantas nucleares. Con base en estos estudios, recomendaron que era posible describir el espectro por medio de líneas rectas dibujadas en un papel tripartita (véase la Sección 5.-l), En las referencias [Newmark y Hall, 1969, 1972 Y 1982] se presenta la metodología para construir un espectro de diseño, que se presenta a continuación. E método se basa en el supuesto de que sea posible estimar independientemente, por medio de procedimientos como los presentados en la Sección 4.9, la máxima aceleración horizontal del terreno, A",. la máxima velocidad horizontal del terreno, V"" Y el máximo desplazamiento horizontal del terreno, D"" para el temblor de diseño. Con base en el estudio de numerosos temblores los autores encontraron que dentro de las tres zonas del espectro en las cuales la aceleración es aproximadamente constante, la velocidad es aproximadamente constante y el desplazamiento es aproximadamente constante, era posible definir coeficientes de amplificación que permiten dibujar un espectro normalizado. En la Tabla 7-2 se presentan los coeficientes de amplificación para varios valores del coeficiente de amortiguamiento, los cuales corresponden a dos niveles diferentes de probabilidad de que las ordenadas del espectro de diseño no sean excedidas cuando se presente un evento que tenga los mismos movimientos máximos del terreno. Tábla 7-2 - Coeficientes espectrales de amplificación para respuesta horizontal elástica

Amortig. ~

Media más una desviación estándar (84.1%)

Media (50%)

(%)

<lA

0.5 1 2 3 S 7 10 20

s.io

3.84 3.38 2.92 2.64 2.30 2.08 1.84 137

3.04 2.73 2.42 2.24 2.01 1.85 1.69 1.38

3.68 3.21 2.74 2.4G 2.12 1.89 1.64 1.17

2.59 2.31 2.03 1.86 1.65 1.51 1.37 1.08

z.oi

4.38 3.66 3.24 2.71 2.36 1.99 1.26

1.82 1.63 1.j2 1.39 1.29 1.20 i.oi

Los valores dados en la Tabla 7-2, se pueden expresar en forma de ecuación así: para un nivel de probabilidad del 84.1% (media más una desviación estándar) de que no sean excedidas las ordenadas espectrales: ex A = 4.38 -l.041n(~ %)

(7-2)

17()

a v = 3.38 - O.67In(~ %)

(7-3) (7-4)

a n = 2.73- O.45In(~%)

Para un nivel de probabilidad del 50% (media) de que no sean excedidas las ordenadas espectrales: a A = 3.21-0.68In(~%)

(7-S)

a v = 2.31- O.41ln(~%)

(7-G)

a n = 1.82- O.27In(~%)

(7-7)

El espectro se construye como se muestra esquemáticamente en la Figura 7-4. En papel espectral logarítmico tripartita se dibujan las líneas correspondientes a los máximos valores del terreno: máxima aceleración, Ate,' máxima velocidad, Vte, y máximo desplazamiento, D te , de los movimientos sísmicos de diseño. Estos valores provienen en general de un estudio de amenaza sísmica, como el presentado en la Sección 4-9 1Garcia et al., 1984 y 1996].

El procedimiento de definición del espectro es el siguiente: para un valor del coeficiente de amortiguamiento, ~, dado se buscan en la Tabla 7-2 los valores de los coeficientes de amplificación correspondientes a la zona del espectro con aceleración aproximadamente constante, aA, con velocidad aproximadamente constante, av, y con desplazamiento aproximadamente constante, an, para el nivel de probabilidad deseado. Luego se trazan líneas paralelas a las correspondientes a los valores máximos de los mm imientos del terreno con los valores amplificados, o sea multiplicando el valor de movtrníento máximo del terreno por el coeficiente a apropiado. En la zona de períodos cortos, a un valor de frecuencia de aproxímadar.iente 8 Hz (período de 0.125 s) se inicia la transición hacia la aceleración del terreno, a la cual se debe llegar a un valor de frecuencia del orden de 33Hz (período igual a 0.03 s) y a partir de este punto hacia la izquierda la aceleración espectral cs igual a la del terreno.

Velocidad (mis) movimientos máximos I del terreno I Aceleración I

(g)

T=O.03 S T=O.125 S f=33 Hz f=8 Hz

Periodo T (s)

Figura 7-4 - Procedimiento esquemático para la obtención del espectro elástico de Newmark-Hall

Para efectos de seleccionar el valor del coeficiente de amortíguarníento crítico para el cual se debe construír el espectro, Newmark y Hall recomiendan los valores que se muestran en la Tabla 7-3. .

...

._----_ ~ ...

Cuando no se dispone sino del 'alar de la aceleración rnaxima del terreno, Ate, hay necesidad de estimar los valores de Vte y Dte. Para el efecto pueden emplearse las relaciones Vt./Ate, DufAte y AteDt.l(V te )2, presentadas en la Sección -1-.8.3. En INewmark y

177

_----------------_

Hall, 1982), se indica que en ausencia de una mejor información puede utilizarse Vtr!Ate m/ts g) para aluvión firme y 0.91 m/Is g) para roca. Además para que el

= 1.22

espectro cubra una franja adecuada de períodos, allí también se recomienda que AteDt./(Vte)2 se tome como 6.0.

Es importante tener en cuenta que los cocientes Vt./Ate y AteDtr!(Vte )2 tienen relación directa con la forma del espectro IRiddell y Newmark, 1979]. El cociente Vt./Ate determina la localización del espectro en la escala de períodos de vibración. Una reducción de este cociente mueve la zona de amplificación de la velocidad hacia la izquierda. El cociente AteDtr!(Vte)l es una medida de qué tan plano, o puntudo es el espectro. Valores grandes de este cociente corresponden a espectros aplanados, mientras que valores' pequeños corresponden a zonas de amplificación de velocidad angostas, las cuales se manifiestan en espectros de banda angosta. Otras recomendaciones dadas por Newmark y Hall tienen que ver con ajustes debidos a las condiciones geológicas del lugar. Aunque en este campo se han presentado enormes avances, con posterioridad a la aparición del método, como se verá en la Sección 7.6; no dejan de ser lineamientos generales que permiten interpretar la metodología para condiciones diferentes a la de la obtención de un espectro en roca. Newmark y Hall recomiendan que el espectro se multiplique por las siguientes constantes de proporcionalidad: (a) para roca competente, 0.67, (b) roca meteorizada o blanda, o suelos sedimentarios firmesIaluvión), 1.0, (c) suelos sedimentarios blandos, 1.5. Respecto a la construcción de un espectro de aceleraciones verticales, indican que pueden emplearse 2/3 de las ordenadas espectrales para lugares donde los movímíenros de la falla son transcurrentes horizontales, e iguales a la horizontal cuando los movimientos de la falla puedan tener componentes verticales grandes. Tabla 7-3 - Coeficientes de amortiguamiento recomendados por Newmark-HaU, para diferentes materiales estructurales y estados de esfuerzos Nivel de esfuerzo 1. B!3.jo, menor aue p.1 limite proporcional, esfuerzos menores que O.5fv 2. Nivel de esfuerzos de trabajo, menores que O.Sf,

3. Justo al nivel de fluencia

4. Más allá del nivel de fluencia; con deformación permanente, mayor que la deformación unitaria del punto de fluencia 5. Para todos los rangos (Vs = velocidad de la onda de cortante)

Tipo y condición de la estructura a. tuberfas vitales b. acero, concreto reforzado o preesíorzado, madera, sin aqrietamiento, sin deslizamiento en las juntas a. tuberías vitales b. acero soldado, concreto preesforzado, concreto reforzado con cuantías altas (fisuración muy menar) c. concreto reforzado con bastante fisuración d. acero estructural pernado o remachado, estructuras de madera con uniones clavadas o atornilladas 11. tuberías vitales b. acero soldado, concreto preesforzado (sin pérdida total del preesfuerzo) c. concreto reforzado y concreto preesforzado d. acero estructural pernado o remachado, estructuras de madera con uniones atornilladas e. estructuras de madera con uniones clavadas a. tuberías b. acero soldado c. concreto reforzado y preesforzado d. acero pernado o remachado v estructuras de madera Balanceo de toda la estructura: a. sobre roca tv, > 1800 mIs)

Amortig. ~ 0.5% 0.5a 1 % 0.5 a 1 % 2% 3a5% 5a7% 2% 5% 7 a 10% 10 a 15 % 15 a20 % 5% 7a 10% 10 a 15 % 20% 2a5%

b. suelo firme (Vs > 600 mIs)

5a7%

c. suelo blando (v s < 600 mIs)

7 a 10%

178

Ejemplo 7-1

se desea o~ltevLer eL espectro de disePLo. para sistevvLas con liVL cogicieltte de m'l'wrtig/.tVLmiento crítico. ~, deL 5%. en 1m Lagar en eL CltuL se ILa estilnado qlte Lu mrixivna aceLeración deL terreno (Ate) rJLUU Los 111.OvÍlnie/1.los sísvnicos de disePLo es de 0.3g. La vlt~Ílna veLocidad del terreno (Vte) es de 0.20 vn/s 1j eL mriximo despLuzamiel1.to deL terreno (DIe) es de 0.30·m. Se desea 11Jt nível de prokla~JiLidad de 11,0 exceder Las ordenadas esnecnutes deL 84.1 %. Elt La Figara 7-5 se ILal1. dilJlijado en et r1apeL tripartita Los l1tovimientos Inrixivnos deL terre11,0. pura di~Jlijar eL espectro de disePLo en La zona de aceLeracimte~; constuates el valor de Sa se O~Jtl.elte de mltLtipLicur 0.3 g x 2.71 = 0.81 g. Para La zona de veLocidades coastaates eL valor de S, se olJtie/te de )lw,LtipLicar 0.2 mis x 2.30 = 0.46 mis !:j para La Zm1.&1 de despLuzmnieltLos constantes eL valor de Sd se obttene de mlútirlLicur 0.3 in x 2.01 = 0.60 m. Elt La zona de rwríodos cortos eL espectro de disei'W se ivLicia con La aceLeraciól1. deL terreno Iw.sta 11Jt período de 0.03 s (freCltencílA. de 33 HZ) lj IA.LLí cmnienzu LIA. tmmidó/1. a LIA. zona de aceLemcimtes COltstm'Ltes con La CltaL evnpata a Itn t'Jeríodo de 0.125 s (freClte/teia de 8 Hz). 10

0.5 Velocidad (mis)

0.1

0.05 0.01

0'005~". 0.0 1 0.01

0.03 S

0.05

0.5

0.125 s

Periodo T (s)

Figura 7-5 - Ejemplo 7-1 - Espectro elástico de diseño de Newmark-Hall para Ate = 0.3 g, V te = 0.2 mis y D¿ = 0.3 m para amortiguamiento, ~, de 5% y probabilidad de 84.1%

•

7.2.3 Método de Newmurk-Blume-Kapur

A comienzos de la década de 1970, la Comisión de Energía Atómica de Estados Unidos, contrató una serie de estudios para la definición de espectros de diseño sísmico de plantas nucleares. Como resultado de estos estudios, en la referencia [Newmark, Blume y Kapur, 1973] se presentó una metodología para obtención de espectros elásticos de diseño. El estudio inicial se realizó independientemente por parte de ]. A. Blume y N. 1\1. Newmark. En esta fase se emplearon -12 y 33 acelerograrnas respectivamente. La forma del espectro en ambos casos fue determinada estadísticamente utilizando 17.9

distribuciones log-normales, Con base en estos estudios preliminares se desarrolló como definitiva la metodología que se presenta a continuación. Los espectros se definieron para tres niveles de probabilidad de no excedencia en sus ordenadas: media (50%), media más una desviación estándar (8-+'1%) y medía más dos desviaciones estándar (97.7%). El estudio definió cuatro períodos de control: el período A, que define el punto a partir de la cual se inicia la amplificación de la aceleración con respecto a la aceleración máxima del terreno, Ate, se fijo en T = 0.03 s (f = 33 Hz); el período B, marca el final de la transición entre la aceleración del terreno, Ale, y el valor amplificado de la aceleración, fue fijado en T = 0.11 s (f = 9 Hz); el período C marca el punto de transición entre la zona de amplificación de la aceleración y la de amplificación de la velocidad, fue fijado en T = 0.4 s (f = 2.5 Hz); por último, el período D define el punto de transición entre la zona de amplificación de velocidades y la zona de amplificación de desplazamientos, y fue fijado en T = -LO s (f = 0.25 Hz). Para cada uno de los períodos A, B Y C se fijaron coeficientes de amplificación que afectan la aceleración máxima del terreno, Ale, y que dependen del coeficiente de amortiguamiento crítico. Para el período de control D, se prescribe un coeficiente de amplificación de desplazamiento, también en función del amortiguamiento, el cual afecta el desplazamiento máximo del terreno, D te. El desplazamiento máximo del terreno, Die, se estima en función de la aceleración máxima del terreno, Ale, por medio de la siguiente relación: (7-8) En la Figura 7-6 se muestran los coeficientes de amplificación para cada uno de los períodos de control, en función del coeficiente de amortiguamiento crítico, ~, a que se desee producir el espectro. Los coeficientes de amplificación definen un espectro cuyas ordenadas espectrales tienen una probabilidad de no ser excedidas del 8-1.1% (media más una desviacíón estándar). Todos amplifican con respecto a la aceleración máxima del terreno, Ale, excepto el correspondiente al período de control D, que amplifica con respecto al desplazamiento máximo del terreno, Die' 10 \

1\ \ \

"_ _ l _ _

\ '\

\ \ \[\.

(%)

D\ ~ I\~

0.5 004 0.3

\ 6

a.,coeficiente de amplificación Figura 7-6 - Coeficientes de amplificación para los períodos de control A, a, C y D

Las ecuaciones que describen estos coeficientes de amplificación, para un nivel de probabilidad del 8-1.1% (media más una desviación estándar), son las siguientes, las cuales son validas para valores del amortiguamiento menores o iguales al 10%:

ISO

aTA = 1.0

T A = 0.03 S

(7-9)

a TB = 4.25 -1.0210(1; %)

TB=O.lls

(7-10)

aTe = 5.1- 1.22410(~%)

Te = 0.4 S

(7-11)

a Tn = 2.85- 0.510(1;%)

TD = 4 S

(7-12)

El espectro se construye dibujando, primero, en papel espectral tripartita las líneas correspondientes a la aceleración máxima del terreno, Ate, Y al desplazamiento máximo del terreno, Die, de los movimientos sísmicos de diseño. Estos valores provienen en general de un estudio de amenaza sísmica, como el presentado en la Sección 4-9 [Carcía et al., 1984 y 1996]. Luego, para un valor del coeficiente de amortiguamiento, ~, dado se buscan en la Figura 7-6 los valores de los coeficientes de amplificación correspondientes a los períodos de control A, B, e y D. Luego en cada uno de estos períodos de control se colocan punto al valor amplificado de la aceleración, excepto para el período D, donde se amplifica el desplazamiento. A partir del período D el espectro presenta un desplazamiento constante. Luego se unen estos puntos amplificados y las líneas que se obtienen definen el espectro. Los autores hacen la salvedad de que para lugares donde haya una gran preponderancia a amplificaciones para las componentes del terreno con períodos mayores de O.S s, los espectros deben ajustarse apropiadamente. Este caso se presenta generalmente con situaciones donde haya suelos blandos. Para el espectro vertical sugieren tomar 2/3 del espectro de efectos horizontales, hasta el período de control C. En este punto el espectro vertical debe prolongarse hacia la derecha hasta que toque la línea del espectro de efectos horizontales que une los períodos de control e y D, Y a partir de este punto los dos espectros son iguales.

Ejemplo 7-2 Se ctesevL okltE'ner eL espectro cte ctiseí1ü pGW~ LeA.s f1tiSVVLeA.S coVLcticiOf1eS cteL ejemrJI.o 71 rJero alwra por eL l1tétocta ete Newmark BL'tf1-te !j KarJlu. Los ¡Jar~l1-tetros relevantes son: ~ 5%, ti Ale = 0.3g. o-

EL valor cte Los ctespLlAZavltieVLtos m6lximos cteL terreno. Die = 0.91 . 0.3 = 0.273 m. Para IHt eA.f11OrtigtieA.lltievLto ctel 5%. Los valores cte Los coejicie/ttes cte ampLifimciólt. Leíctos cte LeA. Figlua 7-6 son. aTA = 1.0, a TB = 2.Ó, aTe = 3.t. !j a Tn = 2.0.

Por Lo tanto LeA.s orcteVLeA.ctas espectrates evt ceA.cta 1.0(,/10 cte Los rJerío(;Los cte control son: Períocto A - S, = 1.0· O.3g = O.3g Períacto B- Sa = 2.6' 0.3g = 0.78g Períocto e-sa = J.1·0.3g = O.93g

Períocto O - Sd = 2.0·0.273 m = 0.55 m E/t La FigareA. 7-7 se heA.n ctikJl-ijacto en el peA.pel tripartitu Los vl·tovil1tiefttos m6lxivVLos cteL terreno. Ate !j D te. Laega se LocaLizarOft Los p,.u1Jas correspOltC'LieVLtes lA. cacta ¡-LItO cte íos rJeríoctos ete control. lj por t'tLtil11O se lutieroVL estos rJlHttos para okltelter el espectro.

181

lento 0.5

Velocidad

0.1

(mis)

0.05

0.01

0.005

0.001 0.01

I 0.05 A

o.~

10 5

Periodo T (s)

Figura 7-7 - Ejemplo 7-2 - Espectro elástico de diseño de Newmark-Blume-Kapur para Ale = 0.3 S con amortiguamiento, 1;, de 5% y probabilidad de no excedencia de 84.1%

•

7.2.4 Método de Shtbata-Sozen

En la referencia Shibata y Sozen (Shibata y Sozen, 1976] presentan una metodología para el diseño de estructuras de concreto reforzado ante acciones sísmicas. A pesar que los autores indican que el propósito de la metodología no es presentar un espectro de diseño, dentro de la investigaclón que condujo a la validación del método se utilizaron tres tipos de espectro que fueron calculados de los siguientes temblores normalizados para una aceleración máxima del terreno Ate de 0.5 g: Tabla 7-4· Acelerogramas utilizados para plantear el espectro de Shibata-Sozen No.

Acelerograma

Ate(g)

1 2 3 4 5 6 7 8

El Centro, CA, 1940, Comoonente NS El Centro, CA, 1940, Componente EV'1 Taft, CA, 1952, Componente N21°E Taft, CA, 1952, Componente S69°E Managua, Nicaragua, 1972, Comp. EW ManaQua, Nicaraqua, 1972, Comp. NS San Fernando, CA, 1971,8344 Orlon, Comp. NS San Fernando CA, 1971, Castaic, corno. N21°E

0.31 0.22 0.18 0.16 0.38 0.38 0.26 0.32

Los autores encontraron que los seis primeros registros se pueden describir por medio de un mismo espectro, mientras que los otros dos requieren descripciones diferentes. Además se supone que la aceleración de diseño, leída del espectro de aceleraciones, para cualquier coeficiente de amortiguamiento crítico S, puede relacionarse con el valor del espectro de respuesta para un coeficiente de amortiguamiento crítico de 2% (1; = 0.(2), utilizando:

182

(7-13)

La compatibilidad del espectro suavizado de diseño con los espectros que le sirvieron de base es mejor para coeficientes de amortiguamiento crítico ~ de 10% que para ~ de 2% debido a que valores dentro del rango cercano a 10% son típicos para estructuras de concreto reforzado para las cuales se dispuso la metodología. En la Figura 7-8 se muestra el espectro suavizado de diseño para ~ de 2%. Este espectro es compatibl ~ con movimientos sísmicos del tipo de los seis primeros de la tabla anterior. El espectro consta de tres zonas: para períodos cortos el espectro es directamente proporcional a la aceleración máxima del terreno, luego viene una zona de amplificación constante, y por último hay una zona en que la amplificación es proporcional al inverso del período. ,.\1 igualar los valores de amplificación de las zonas contiguas, se determina que la zona de amplificación constante está entre períodos de 0.15 y 0.4 s.

s, (g)

25 Ate T

Para ~ =2%

3.75 Ate

I I 0.15 s

Período T (s)

Figura 7-8 - Espectro elástico suavizado de diseño de 5hibata-Sozen para amortiguamiento, ¡;, de 2%

Ejemp!o 7-3 Se deseU obteller eL espectro de disóio pum Lus I1"Lislnus cOItciicioVLes de Los ejempLos 7-1 IJ 7-2 pero uhom por eL I'1tétodo de shil''JULu-Sozen Los r¡urcil1tetros retevaates SOlt:~, = 5%, IJ Al, = 0,3g. Príl'1tero se o~ltieJten Lu constante cte prorJOrciOltClLLictuct pum 14,/t UfltOrtígltUlnieltto~, = 5%:

Por Lo tunto Lus orde/tudus deL esuectro pum 1m umortigltcuniento ~ ~ 5% SO/t eqf.üvuLelttes uL 72.7% cte Lus deL espectro COlt~ = 2%. EIt Lu FigItm 7-9 se hu di!:Jl4jetcto eL espectro petYl/t lUtOS fltOvimielttos deL terreno con Ate = 0.3 g IJ pum ~ = 2%, IJ ~ = 5%,

188

1.2

1.0

0.8

Sa (g)

0.6

."<

0.4

__ ~=2%

E. = 5%

~~ r-...

0.2

0.0 0.0

2.0

1.0

5.0

4.0

3.0

Período T (s) Figura 7-9 - Ejemplo 7-3 - Espectro elástico suavizado de diseño de Shibata-Sozen para Ate = 0.3g, 1;=2% Y 1;=5 %

•

7.2.5 Comparación de resultados

En la Figura 7-10 se comparan los espectros obtenidos en los ejemplos 7-1 a 7-3. 10

0.5

Velocidad

0.1

(mis) 0.05

0.01

0.005

0.001 0.01

0.05

0.1

0.5

Período T (s)

Figura 7-10 - Espectro elástico de diseño por diferentes métodos, Ate = 0.3 g, V"

y D¿ = 0.3 m para amortiguamiento, 1;, de 5% y probabilidad de 84.1%

184

=0.2 mis

Al dibujar en escala aritmética el espectro de aceleraciones de diseño de los tres ejemplo, se obtiene la Figura 7-11. 10 9

I '.\

\v /

s. 5 I I

Newm rk-Blun e-Kapu -

:>nI ara-:>o

~ Newma k-Hall

\)/ / / '\ /'

(m/s')

4 I

- --

- -- - --

o 0,0

0.5

1,5

1.0

2.5

2.0

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Período T (s) Figura 7-11 - Espectro elástico de diseño de aceleraciones por diferentes métodos, Ate = 0.3 g,

V,. = 0.2 mis y D,. = 0.3 m para amortiguamiento, S, de 5% y probabilidad de 84.1%

Como puede verse, se ob.ienen diferencias importantes en algunas zonas del espectro, especialmente en el obtenido por el método de Newmark-Blume-Kapur, con respecto a los otros dos. La razón que pesa en mayor forma en estas diferencias está con el período de control C del método de Newrnark-Blurne-Kapur, la cual aumenta la forma espectral especialmente en la zona de amplificación de velocidades. 2,5 . - - - - - - , - - - - - - - - , - - - - r - - - , - - - - - - , - - - ,

2.0 -j-----jfh--t----t----j----+---t------j

1.5

s, (g)

1.0.'if-P--

0.5 iJ---+-~mlJil.:=

0.0 -1----\----1-----+----+----+-----1 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Periodo T (s)

Figura 7-12 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros Gel registro de Corra/itos

.-'\ continuación se muestran las diferencias que se obtienen entre el espectro de respuesta de un registro real, y el de diseño evaluado utilizando los parámetros máximos del terreno correspondientes al acelerograma real. Para el efecto se utilizan la componente NS del registro de Corralitos, del temblor de Loma Prieta del 17 de Octubre 185

JIll(lllftl(.(

C~"'(lll\.I.1.l.fll.l ll.l.H

~~_

de 1989, Y la componente N21E del registro de Castaic Old Ridge, del temblor de San Fernando del 9 de Febrero de 1971. Para el registro de Corralitos, los parámetros máximos del terreno fueron; Ate = 0.629 g, Vte = 0.552 mis y Dte = 0.120 m. Los métodos de obtención del espectro de diseño se aplicaron tal como se explicó en los ejemplos anteriores, utilizando solo la aceleración máxima del terreno para el caso de Shibata-Sozen y Newmark-Blume-Kapur, y los tres parámetros máximos del terreno para el método de Newmark-Hall. En este último caso se obtuvieron los espectros para la media (59%), y la media más una desviación estándar (S-l.l%). En la Figura 7-12 se muestra en escala aritmética los espectros de aceleraciones, tanto de respuesta como de diseño; y en la Figura 7-13, pl espectro de velocidades en escala lag-lag, lo cual corresponde a un papel tripartita.

r--t-t-rttHt\---t-tiHiitt----:::-r-r1c'tiTffi'k-Btume-Ka pur Shibata-Sozen

Sv (mis)

0.1

O. o1 '--'-,f'--l---'-.J...L.u..u_-'----'---'-L.-LJ.-ll.L_--'--'----'-'--U..LD 10

0.1

0.01

Período T (s)

Figura 7-13 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Corralitos

Para el registro de Castaic, los parámetros máximos del terreno fueron; Ate = 0.316 g, Vte = 0.1 T¿ m/» y Dte = 0.051 m. Se aplicó la misma metodología que se empleó en el caso

del registro de Corralitos. En la Figura 7-14 se muestra en escala aritmética los espectros de aceleraciones, tanto de respuesta como de diseño; y en la Figura 7-15, el espectro de velocidades en escala log-log. 1.0 , . - - - - , - , , - , . - - - - , . - - - - , . - - - - , . - - - - , . - - - - - ¡ 0.9

+--+-!H'+---+---+---+---+----j

0.8

0.7

0.6 S. 0.5 (g) 0.4 +if----'tI-

0.31V---j-'

0.2 +ll---f----" 0.1

0.5

1.0

1.5

2.J

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-14 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Castaic

186

1;=5%

Sv (mis)

__l1li11

ShlbBta-Sozon

'-+-++-1+1+1" ".- Newmark-BJume-Kspur

O.l~mBmII ~ Newmtlrk~all(B4.1%) +H1f----+-+-+-1+H++-_ --+-++-1-+++1 Newmark-Hall (50%)

0.01 0.01

10 Perfodo T (s)

Figura 7-15 - Espectros de diseño correspondientes a los parámetros del registro de Castaic

Vale la pena resaltar, que para los dos casos, el espectro de respuesta está prácticamente cubierto en su totalidad por los espectros de diseño. El que más se ajusta a los valores del espectro, excepto en los picos de máxima aceleración, es el espectro de diseño obtenido por el método de Newmark-Hall, para la media (50%). Estudios posteriores al de Newmark-Blume-Kapur, realizados por Macfiuire [MacGuíre, 1974], indican que en vez del coeficiente 0.01 a utilizar en la obtención de D¿ con base en Ate, debe utilizarse 0.665. Este cambio hace que el método de Ncwrnark-Blume-Kapur produzca resultados muy similares al de Newmark-Hall, en el rango de períodos altos. En el mismo trabajo, Macfiuíre define una manera de obtener la- ordenadas del espectro, independientemente para cada rango de períodos de vibración, con base en la distancia a la fuente sismogénica. Este procedimiento, a diferencia de los estudios típicos de amenaza sísmica, permite llegar al espectro, sin necesidad de definir la aceleración máxima del terreno como un paso intermedio. Aunque es un procedimiento que podría tener ciertas ventajas, no se tiene experiencia con su aplicación.

7.3 Espectros inelásticos de diseño 7.3.1 Introducción En la Sección 6.6 se discutió el efecto de la respuesta inelástica en las formas espectrales de sismos registrados en roca o suelo duro, y se explicó por qué, dependiendo del parámetro que se desee, se pueden encontrar espectros en donde se describen las aceleraciones máximas del sistema inelástico y se puede leer la componente elástica del desplazamiento, y espectros donde se pueden leer los desplazamientos totales del sistema, incluyendo la parte elástica e ínelástíca. Además se describió el tipo de disminución (dearnplíñcacíón) de la respuesta en términos de aceleración y el aumento en la respuesta en términos de desplazamiento, dependiendo de la zona del espectro donde se encuentre el sistema. Además se profundizó en la diferencia en la respuesta para sistemas cuya rigidez permanece constante durante la respuesta inelástica, como la que se obtiene en sistemas elastoplástícos, y la de sistemas con rigidez degradante. Con base en las observaciones descritas allí, es posible, entonces, afectar un espectro elástico de diseño, para obtener un espectro inelástico de diseño. Dado que hay diferencia para sistemas con rigidez inelástica constante y sistemas con rigidez in elástica degradante, la presentación sigue los mismos lineamientos, aunque se mantiene el orden histórico y se denorninan con el nombre de los autores que ._.

-..01IIII. . .

187

desarrollaron la metodología. No obstante, existen otras maneras diferentes, pero en alguna medida soportadas sobre los mismos principios, para plantear y obtener un espectro inelástico que se deriva de un espectro elástico de diseño. Las personas interesadas en el tema, pueden consultar los trabajos de [MacGuíre, 1974], [Mohraz, 19761. [Mohraz y E/ghadamsí, 1989], [Laí y Biggs, 1980], y otros. Muy seguramente en la medida que se disponga de mejores metodologías numéricas e información experimental, es presumible que harán aparición métodos de evaluación de la respuesta inelástica de elementos estructurales, y estructuras en su totalidad. .3.2 Método de Newmark-Hall

Si se dispone de un espectro elástico de diseño, de acuerdo con lo presentado en la , Sección 6.6.1, se puede obtener el espectro elastoplástico de diseño aplicando los coeficientes de reducción y de amplificación presentados ailí. En esto se basa la metodología de Newmark-Hall [Newmark y Hall, 1972] {Newmark y Hall, 19821. para obtener un espectro de diseño elastoplástico.El procedimiento consiste en afectar el espectro elástico de diseño, obtenido como se explicó en la Sección 7.2.2 y dibujado en papel tripartita, por medio de una demanda la ductilidad prefijada, 11, como se muestra en la Figura 7-16. Allí se ha marcado por medio de las líneas A.,AVD, el espectro elástico de diseño para un coeficiente de amortiguamiento dado. Los puntos donde se intersectan las líneas rectas del espectro elástico permanecen constantes al trazar los espectros inelásticos. log S v

desplazamientos inelásticos totales

',o'

~/' A

elástico

j~~--v-;---~"

A"o/ / /

ti' ,

...

i\'~ ~

\ aceleraciones

inelásticas

D " \ "

D' "

" 101; "1'

Figura 7-16 - Espectro inelástico

La línea punteada A.,A 'V'D' muestra el espectro melástico de aceleraciones máximas, y la línea punteada A:A"VD el de desplazamientos totales. Los dos espectros inelásticos difieren en un valor constante igual a 11, pero A yA' difieren en ~21l-1 . Los coeficientes a aplicar se resumen en la Tabla 7-5 Tabla 7-5 - Relaciones del espectro de diseño elastoplástico al espectro de diseño elástico, para diferentes regiones del espectro

Zona del espectro

Elastoplástico + Elástico Aceleraciones Desplazamientos Totales

Fuerza o aceleración

Energía o velocidad

Desplazamiento

_ A"_

A -

J21l- 1

-=-=1

188

Ejemplo 7-4 Se deseu ObrevLcr eL eS/1cctro iVLeLástico de diseño pum IHtU dcmuvLdu de dw:tiLidud Ji = 6, pum Lus ¡niS11tUS co¡tdicio;tes Cjlie se eln/1LeurovL en et E~e/nrJLo 7-1 pum siste/nus con /UL coeJLcievLte de u/nortig/iumieltto crítico, ~, deL 5%, en/m Lngur en eL m,uL se luA. estilnudo Cj/H:' Lu vnáxil'ltu uceLemció/t deL terreno (Ate) pum Los /lwvivnie/ttos sís/nicos de diseño es de 0.3~j, Lu máxivvLu veLocidud deL terreno (Vle) es de 0.20 mis 0 eL vnáxivJw despLuzuvniento deL terre/w (Dte) es de 0.30 m. Se deseu IUt vLiveL de probutliLidad de 84.1 % de qtte VLO se excedan Las ordenudus espectraLes. Pri/nero se detle ohtener eL espectro eLástico de diseño, Lo CliaL se hizo en eL ejewLpLo 7-1. ALLí. se encontró ql~,e: aA Ate = 2.71 Ate = 0.810 av V te = J..30 V te = 0.46 mis aD D te = 2.01 D te = 0.60 In

AILOm se mLm.Lu Lu q.feetuci{m /1or eL gecto ilteLástico: A" 1l==6

=:}

_ 0 ==6

=:}

A lID'

- == - == 0.167

=:}

1 1 -===== - - == 0.302 21l- 1 3.317

== -

== 0.167

A' =:} -

== 0.302

A~==0.30·6==1.80

DI = 0.60·0.167 = 0.10 m

=:}

VI = 0.4·6·0.167 =0.077 mis

=:}

Al = 0.302.0.810 = 0.24·50

Il == - - == 1.81 == 1.81 J21l3.317 A 1

A" = 0.810' 1.81 = 1.4 70

=:}

10~

lente O.S

de Velocidad

0.1

(m/s) 0.05

0.01

0.005

0.007

0.01

I 0.05 0.03 s

0.1,

0.125 s

0.5

Período T (s)

Figura 7-17 - Ejemplo 7-4 - Espectro inelástico de diseño para f.l = 6, sistemas elastoplásticos, método de Newmark-Hall, ~=5 %

lB!} ~--------------------_ _---..

•

ICt,t-"t·t'-'l~·

,- ..,,~II."

11..11. ....,... ' .. \. ..... <0.. . . . . .1' ... ~·~·~~~~~

3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark

Con base en los resultados de la investigación sobre respuesta de sistemas elastoplásticos y de rigidez degradante presentado en la Sección 6.6.2, Riddell y Newmark [Riddell y Newmark, 1979J proponen una metodología para definir un espectro ínelástíco: para una demanda de ductilidad dada, u, Por lo tanto, en el estudio se definieron coeficiente de deamplificación ínelástíca, $¡.t, para sistemas inelásticos elastoplásrícos, bilineales y de rigidez degradante. Debe recordarse (Sección 6.6.2), que estos coeficientes de deamplificación corresponden al inverso de los coeficientes de reducción de resistencia Ra , R, Y R,¡, correspondientes a las zonas del espectro donde respectivamente la aceleración, o la velocidad, o el desplazamiento son aproximadamente constantes. Se encontró. que estos coeficientes eran prácticamente independientes del nivel de probabilidad de excedencia de las ordenadas espectrales del espectro elástico, por lo tanto son aplicables, en teoría, a cualquier espectro elástico. Para sistemas elastoplásticos se desarrollaron las siguientes expresiones para los coeficientes de reducción de resistencia, para valores de 1; entre 2% y ] 0%, Y valores de J.l entre 1.5 y ]0: para la región de desplazamiento aproximadamente constante, (7-14)

para la región de velocidad a..roxímadamente constante, (7-15)

donde: (7-16)

qv = 2.7 (1; % )-0.4

(7 -t 7)

(7-18)

y para la región de aceleración aproximadamente constante, (7-19)

donde: (7-20) qa = 3.0 (1; %) -0.3

(7-21)

(7-22)

Para sistemas con rigidez degradante no se desarrollaron expresiones como las anteriores, pero en la Tabla 7-G se presentan los valores obtenidos, para diferentes

190

-valores de demanda de ductilidad, lJ-, y para un coeficiente de amortiguamiento crítico ~ 5%. No obstante RiddelJ y Newmark demostraron que para los casos estudiados, la respuesta elastoplástica era conservadora al compararla con la respuesta para rigidez degradante, por lo tanto se pueden utilizar los valores para sistemas elastoplásticos en la gran mayoría de los casos prácticos.

Tabla 7-6 - Valores de R a, R v, y R,¡ para sistemas con rigidez degradante y ~

=5%

Región espectral Ductilidad

1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0

I i

Aceleración

Velocidad

Desplazamiento

R,¡

1.00 1.49 1.85 2.28 2.86 3.75

1.00 1.65 2.32 3.44 5.08 8.33

1.00 1.68

2.38 3.73 6.62 14.3

El procedimiento sugerido por Riddell y Newmark es el siguiente. Partiendo de un espectro elástico, como puede ser el de Newmark-Hall, en la zona de períodos cortos, menores de 0.03 s se sugiere tomarla igual a Ate' En caso de que se deseen hacer ajustes en esta zona, puede consultarse lo indicado al respecto en la Sección 6.6.2. En la zona central del espectro, entre períodos del orden de 0.125 s y lOs se tiene amplificación de la aceleración, luego de la velocidad y por último del desplazamiento. En la zona cercana a períodos del orden de 0.125 s, se tiene amplificación de la aceleración. Allí se toma la aceleración del espectro elástico y se divide por el R, correspondiente a la demanda de ductilidad lJ-, deseada. En la zona central se reduce la velocidad del espectro elástico, dividiéndola por Rv ; Y en la Zulla anterior al período de 10 s se tiene amplificación del desplazamiento, allí se divide el desplazamiento del espectro elástico por R,¡. Las intersecciones entre estas líneas definen el espectro en la zona central. En la zona de períodos largos, más de 33 s, se obtiene dividíendo la ordenada de desplazamiento del espectro elástico por el valor de la demanda de ductilidad ¡J,. Una vez se tiene dibujada esta zona se procede a dibujar las zonas de transición. La de períodos cortos se dibuja entre los períodos de 0.03 s y 0.125 s, y la de períodos largos, entre 10 s y 33 s.

'EjemPlO 7-5 Se ¡;{,esea oatener el espectro inelristico ¡;{,l" ¡;{'iseFw IttitilGl.lt¡;{,O el proce¡;{,in'LÍenlo ¡;{,e Ri¡;{,¡;{,l"ll 0 NewmCMk rara sistemas COVI, rigi¡;{,el ¡;{,egra¡;{,ante. para (tita ¡;{,ef'ltGl.lt¡;{,a ¡;{,e ¡;{"Ktili¡;{,ad lJ- = 5. Ij rJara las mismas con¡;{,iciOl1Cs qliC se elnplearon en el ejemplo 7-1 ",ara sistemas C(Ht 11.1'1, coeJicLevl,te de Gl.Inortigl1.awüevtto crítico. ~, ¡;{,el 5%. ett 1m l/1.gcu en el Cl1.al se hIA- estimadü Cjlte la mlixintu aceleraciótt ¡;{,eL terreno (Ate) rara los f'ltOvimíe/ttos sísmícos de ¡;{,íseFto es ¡;{,e O.3g. lu mlixima velocidad del terreno (Vte) es ¡;{,e 0.20 mis Ij el ,nlixímo ¡;{,esplazamiettto ¡;{,el terreno (Dte) es ¡;{,e 0.30 m. Se ¡;{,esea 11.It ltiveL de prob0LuiLidad del 84.1% de q11.e no se excedalt las ordena¡;{,as espectrales. En el ejemrlo 7-1 se outltvierO/t los siglüelttes valores para lus oretefta¡;{,as ¡;{,el espectro elristico en las zonas ¡;{,e amplificación ¡;{,e aceteración, velocL¡;{,a¡;{, Ij ¡;{,esplazamie/tto. res pectivalne ate: A = 2.71 Ate = 0.81g. V = 2.30 Vte = 0.46 mis. 0 D = 2.01 D¿ = 0.60 m

Los valores ¡;{,e los coeJicievLtes ¡;{,e re¡;{,11.cción ¡;{,e resistencia. cmnputibles con lu ¡;{,ema~u etc etactilieta¡;{, lJ- = 5. se ()~)tieltelt ete la Tubla 7-6. colno: R, = 2.86. R, = 5.08 Ij R,¡ = 6.62. Nllicaft¡;{,O estos corJ¡,cientes se obtirftl"n:

191

Dinámica est ructural apliccul« (1/ diseño SiSllllCO

A m = AIRa = 0.81/2.86 = 0.283 g V m = V IR v = 0.46 / 5.08 = 0.091 vvtls Dm = DI R, = 0.60 / 6.62 = 0.091 m. PiA-YrA. l1erí.odos miA-lJores de 33 s. D m = D/fl = 0.60 / 5 = 0.12 vVI. 10

0.5

Velocidad (mis)

0.1

0.05

0.01

0.005

0.01

I 0.05 0.03 s

0.5

0.125 e

Período T (s)

Figura 7-18 - Ejemplo 7-5 - Espectro inelástico de diseño para !1

=5,

sistl'lmas elastoplásticos, método de Riddel/ y Newmark, S=5%

•

7.3.4 Procedimiento de Shibata-Sozen Con base en las investigaciones de Shibata y Sozen [Shibata y Sozen, 1976] como se indicó en la Sección 6.S, es posible dibujar un espectro inelástico de aceleraciones. Se toma como base un espectro elástico como se indicó en la Sección 7.2.4. Luego se dibuja un espectro de aceleraciones no lineal que tome en cuenta el comportamiento histeretico del sistema de concreto reforzado utilizando un amortiguamiento substituto utilizando la ecuación (6-14). El procedimiento es el siguiente: se define UIl nivel de amortiguamiento substituto correspondiente al coeficiente de daño seleccionado, ¡.t, por medio de la ecuación (6-14), la cual se reproduce aquí por comodidad como la ecuación (7-23).

(7-23)

La reducción en el espectro, con respecto al espectro elástico dibujado para un amortiguamiento de 2% del critico, debida a este amortiguamiento substituto se puede calcular utilizando la ecuación (7-13), la cual se reproduce aquí por comodidad como la ecuación (7-24):

----------------------------------------8

s, (T,~) = s, (T,~ = 0.02). 6+100~

(7-24)

El espectro que describe corresponde al espectro inelástico deseado. Debe tenerse en cuenta que para entrar al espectro se debe emplear la rigidez substituto definida por la ecuación (6-13), que se reproduce aquí como (7-25):

= (EI)r

(Ei) s

(7-25)

J..l

Ejemplo 7-6 Se desea ohtener eL esrJectro üteLásüro de ¡;tiseftO IttiLizavLdo eL rJrocectirniento iJ'LfLástico de s/dbata-SozevL pUYI/L iuta ucE'Lemción ,núxiJ'na deL tennto. Ate = O.4g (3 nn coeficiente de v/.ufío. J..l = 4 (3 tUt coejí.ciertte ue ul11Clrtig/twnieVLlo crítico. ~ = 2%. Prir1'Lfro se dikJl1ju et espectro eLástico uc slUbuta-Sozen ¡Juru ~ = 2%. EVL La ZOVLa de ¡1críodos cortos. r11eVWreS de 0.15 s este espectro está regido ¡Jor (véase La Sección 7.2.4):

Pam períDGtos entre 0.15 s (3 0.4 s. está regirlo rJor:

(3 rJa ru ¡Jerí.odos rltal:Jores de 0.4 s:

1.5A 0.6 S (~=2%)= _ _ te = - g a

EL esjiectro ü1R.Lástico se oht.ierte arJLirwtdo el IM11.o:'ligH.afnienlo sttbstittuo (}J espectro dá\¡ico. EL wnortig/~.amiertto slttlsLititto pam J..l = 4 es:

1;, = 0.+ -

~} + 0.02 =o.z{1- }.}+0.02 = 0.12

(3 este Uf1iDrtigttlM1üeVLlo stüJstílJÜO irnrJLiw. IUtU reuncciór1. ert eL espectro eLástico COVL ~ = 2%

de.

En La Figt1.ra 7-19 se l11.ttestraft tanto eL esnectro eLtistico COl1iD eL ine!ásüco. No sokJYU iVLsistir (;jIte para er1.tmr a este eS¡Jectro debe lttiLizcMse et ¡Jerí.ouo v/.e vikJYaciór1. correspcwLdievl.te a La rigidez sltklStitl1.tO. En este caso tuta rigiuez rev/.IH.:iv/.a aL 25% (1/J..l = 1/4=0.25) v/.e Lu rigiuez origirtaL eLtistica. Dav/.o (;jl1.e et períov/.o escá rlfj'iJüuo por:

T=21t~ 1.98

Dinámica estructural opticaaa (ti (lI.'W/llJ o •..,,, ... ,,

el YJerío¡;(o SIÜJStltI1JO, con eL qlte se ev\,lm aL espectro il'],('Ltistico es:

uor Lo tanto en el espectro ü'],('Ltistico de S/üimta- Sozev\, se ddJe el'lt/"lLear eL período de vibmclóv\' de La estrltctlua s¡üJstittito, q/te pam 1m Jactar de daCio, l-! = 4, corresjionzte aL dobLe deL YJeríodo etc vibmciólt de La estntct/tm eLtistica origil%ü, 1.60

1.40

1,20

r-\

L 1

1\,/ \

\ 1.00

0,80

(g)

rrr>;

0.60

0.40

I I

elástico 1;=2%

-. -, ~ <, ~

0.20

I inelástico

----~=4

t---

0.00 0.0

0,5

1,5

1.0

2.0

2.5

3.0

?eríodo T (s) Figura 7-19 - Ejemplo 7-6 - Espectro inelástico de diseño de Shibata-Sozen para Ate de O.4g y para un factor de daño ~ = 4.

•

7.4 Efecto en la forma del espectro de la magnitud, distancia, duración y tipo de suelo en el sitio Como se ha vísro en la presentación anterior, la forma espectral de diseño se ha derivado del estudio de acelerogramas reales obtenidos durante sismos fuertes. No obstante, en el momento que el espectro hace tránsito de un espectro de respuesta a un espectro de diseño, obviamente surgen las dudas de cómo manejar, en el de diseño, variables que por el hecho de tratarse de acelerogramas van incluidas dentro de elles, e inhiben su estudio como una variable independiente. Dentro de estas variables se cuentan, entre otras, la magnitud del sismo, la distancia a la falla que lo causa, su duración, y tal vez, la que puede llevar a diferencias mayores entre lo que se estima y la realidad: el efecto de las condiciones locales del suelo en el sitio de interés. A continuación se tratan, de una manera resumida, los efectos de estas variables. 7.4.1 Efecto de la magnitud y la distancia a la falla

La magnitud es una medida de la energía que libera súbitamente la corteza terrestre en el momento en que se presenta el sismo, como se indicó en la Sección 4.5.2. La forma como se libera esta energía es compleja y lo poco que se conoce en la actualidad se agrupa dentro de los que se llama efectos de campo cercano. En la medida que han ocurrido sismos fuertes en zonas urbanas con densidad importante de instrumentación, como han sido los sismos de Northridge en enero de ] 994 Y de Kobe en enero de 1995, se ha incrementado el conocimiento sobre estos efectos de campo 1!)4

cercano, de una manera notoria. La influencia, entonces, de la cantidad de energía que se libera, y la distancia de un observador a este punto de liberación, juegan un papel muy importante dentro de los aspectos que se deben tener en cuenta al plantear un espectro de diseño. Indudablemente, en la misma metodología de formulación del espectro de diseño se toman en cuenta estos efectos dado que los movimientos máximos del terreno, Ate, Vto y Dto, se estiman para un .sítío en particular, teniendo en cuenta la distancia y la magnitud, a través de los efectos de atenuación que se describen por medio de las ecuaciones de atenuación presentadas en la Sección 4.8.5. Desafortunadamente, estas ecuaciones no describen la variación en el contenido frecuencial de las ondas del sismo, ni el efecto que ésta tiene en la forma del espectro, sino de una manera indirecta por medio del efecto de cada uno de los parámetros máximos del terreno en su correspondiente zona de influencia en el espectro. En la Figura 7-2, tomada de [Housner, 19591 se evidencia, que la forma del espectro de velocidades de un sismo varía de una manera importante con la distancia, no solo en su amplitud, sino en el efecto en los diferentes períodos de vibración. Allí puede verse que el pico para el registro cercano se presenta para un período similar a 0.7 s, mientras que en el registro lejano este pico ha desaparecido y pueden leerse en el espectro valores mayores para períodos más largos. Este fenómeno no es algo particular de las ondas sísmicas, pues se presenta en todo proceso ondulatorio. Toda persona que haya tenido un vecino molesto que oye música con un volumen alto, con seguridad ha sentido con mucha mayor intensidad las notas bajas (frecuencias bajas = período altos) de la música que las notas altas (frecuencias altas = períodos bajos). La razón detrás de estos dos fenómenos es la misma: la atenuación de una onda que tenga algún amortiguamiento es proporcional al número de ciclos que ocurran entre dos puntos de observación; dado que la onda de frecuencia alta tiene un mayor número de ciclos, sufre proporcionalmente una mayor atenuación. Para ilustrar este punto, en la Figura 7·20 se muestra una señal, que está compuesta por la superposición de 12 ondas sinusoidales de igual amplitud y con periodos que van desde 0.25 s hasta 3.00 s en incrementos discretos de 0.25 s. El medio en que se transmiten tiene un amortiguamiento í-.)% del crítico. Los registros se tomaron en la fuente, el segundo a una distan, C¡.(' las ondas tardaron 9 segundos en llegar allí, y el tercero en un lugar donde transcurríeron 36 segundos para que llegaran.

Amplitud arbitraria

-0.8n

Amplitud arbitraria

(s)

ijNH~~ -0.8

Amplitud arbitraria

--L

----'--

---'---_ _

:ijt*-J -1

1--

-0.8

(s)

~ -11

(s)

Figura 7-20 - Superposición de ondas sinusoidales de igual amplitud con períodos de 0.25 s hasta 3.00 s a intervalos de 0.25 s, La primera se mide al inicio, la segunda a los 9 s y la última a los 36 s,

195

En la Figura 7-21(a) se muestra el espectro de Fourier de los tres registros, y en la Figura 7-2l(b) el espectro de aceleraciones inducidas por la señal. ¡ini lo

7.4

0.0

0.5

1.5

2.0

2.5

0.5 3.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Periodo T (s)

Período T (s)

Figura 7-21 (a) - Espectro de Fourier

Figura 7-21 (b) - Espectro de Aceleraciones

De este ejemplo muy simplista pueden describirse algunas características que son comunes entre diferentes fenómenos ondulatorios. La primera indica que a pesar de que la energía en la fuente esté uniformemente distribuida entre las distintas componentes, como indica el espectro de Fourier, el amortiguamiento hace que en las señales registradas después de que las ondas han viajado por algún tiempo los períodos cortos han perdido preponderancia dentro de la señal. En el espectro de aceleraciones puede verse que no sólo la amplitud disminuye en general, sino que además proporcionalmente se presenta mayor disminución en las ondas de período corto. En el caso de las ondas sísmicas se presenta una situación similar, mucho más compleja dada la distribución de la energía dentro de la gama de períodos de vibración, y las reflexiones » refracciones que afectan el tren ondulatorio en la medida que se transmite dentro de la corteza terrestre. Desde el punto de vista cualitativo, la magnitud, que es una medida de la energía que se libera en la fuente, afecta directamente la amplitud de las ondas sísmicas, por lo tanto a mayor magnitud en la fuente se presentan proporcionalmente mayores aceleraciones. En la medida que las ondas sísmicas viajan, los registros que se obtienen van a presentar en sus espectros un decrecimiento en la región de períodos cortos, lo cual se manifiesta en un corrimiento del pico del espectro hacia la derecha, o sea hacia la zona de períodos largos. Mirado desde el punto de vista de las tres regiones del espectro, puede decirse que, en la medida que el registro se obtenga a mayor distancia, la zona de mayores valores dentro del espectro pasa de la zona con aceleraciones aproximadamente constantes, a la región con velocidades aproximadamente constantes y posteriormente a la zona con desplazamientos aproximadamente constantes. 7.4.2 Etecto de la duración del sismo

Desde hace tiempo se sabe que dos movímíentos sísmicos con espectros símilares pero duraciones diferentes, causan diferentes niveles de daño a las edificaciones, siendo menor el daño para los movimientos sísmicos de menor duración. Especialmente, hay muchos casos en los cuales movimientos sísmicos de corta duración, aún con aceleraciones muy altas, causan muy poco daño. Esto indica que el espectro no necesariamente describe todos los parámetros relevantes del movimiento sísmico. Entre mayor sea el período de vibración de la estructura, se necesita una mayor duración para llegar a la máxima respuesta. Esto se manifiesta en el hecho de que entre más grande sea la duración del acelerograma, mayor es la probabilidad de que contenga ondas de períodos intermedios y" largos. En la actualidad no existe una manera establecida para definir el efecto de la duración del sismo dentro del espectro de 196

diseño, más allá de correcciones totalmente cualitativas que se deben manejar con el mayor criterio. En general lo anterior indica que en caso de duda al respecto, debe en alguna medida incrementarse el grado de conservatismo en la zona de períodos largos del espectro. En la referencia [Peng et al., 1989] se discuten los efectos de la duración del sismo en los espectros de diseño, y su relación con los otros parámetros de construcción del espectro. 7.4.3 Efecto de las condiciones qeotécnicas locales

A pesar de que desde tiempos de los romanos se sabía que el daño producido por los sismos se incrementaba en 'as zonas de suelos blandos y pantanosos, sólo hasta tiempos relativamente recientes la importancia de los efectos locales ha adquirido la trascendencia que amerita. La primera gran evídencia interpretada científicamente de que las características locales habían jugado un papel muy importante en la concentración de daño observada, se tuvo con el temblor de Caracas en 1967. Posteriormente, puede afirmarse, que prácticamente no ha habido un sismo fuerte en el cual deje de presentarse algún tipo de manifestación al respecto. Tal vez la mayor evidencia de la importancia, y gravedad, de este fenómeno se presentó con el sismo de Ciudad de México de 1985, en el cual se evídenció una correlación directa entre el daño observado y las características del suelo en el lugar. La Figura 7-22 muestra esquemáticamente la problemática asociada con el fenómeno. En el sitio A, cercano a la falla que causa el sismo, se obtienen un registro en roca que tiene un alto contenido de períodos cortos, y altas aceleraciones en esa franja del espectro. Las ondas viajan por la corteza terrestre, donde sufren reflexiones y refracciones. A alguna distancia, sitio E, la amplitud de las ondas se ha atenuado, lo cual se manifiesta en una reducción de las aceleraciones, y el contenido frecuencial del sismo ha variado, pues se ha perdido parte de las ondas, especialmente en la zona de períodos cortos del espectro. Al viajar las ondas a través de suelos blandos y profundos, desde el sitio E hasta la superficie, C. las ondas se amplifican, especialmente en la zona de períodos largos.

11\

¡...I'-

,.,/1 , r--.....

'"'-

2 3 4 Período, T (5)

02345 Período, T (5)

Figura 7-22 - Efecto de las condiciones geotécnicas locales

Los avances que han ocurrido, y están ocurriendo permanentemente, acerca de los criterios que deben emplearse para tener en cuenta estos efectos dentro de un espectro de diseño, indican que con un tratamiento cuidadoso de las diferentes variables que

-------------

197 --~----~---

intervienen es posible, hoy en día, definir las regiones del espectro que se ven afectadas y el orden de magnitud de estas afectaciones. Con base en los estudios elaborados bajo la dirección de H. B. Seed, presentados en las referencias [Seed, Ugas y Lysmer, 1976] Y [Seed y Idriss, 1982], de los cuales hace parte la Figura 7-23 fue posible identificar la influencia que tiene en el espectro el tipo de suelo subyacente. En este caso se muestra el efecto en la forma espectral de diferentes tipos de suelo. 3

Arcillas blandas a medianas con arenas Suelos no cohesivos profundos Suelos duros

Sa Ate

1 Amortiguamiento 5%

o 00

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

Período, T (seg)

Figura 7-23 - Espectro promedio de aceleraciones para diferentes condiciones de suelo

La Figura 7-23 muestra que para períodos mayores que aproximadamente 0...1-0.5 s, las ordenadas espectrales para los registros obtenidos en roca son substancialmente menores que aquellas registradas en suelos con estratificaciones que contienen arcillas blandas y de dureza media, o depósitos aluviales profundos de suelos no cohesivos. Las curvas mostradas corresponden a espectros normalizados a la aceleración máxima del terreno y promediados estadísticamente en cada ordenada espectral. En el caso de suelos compuestos por arcillas de dureza medianil a blanda se utilizaron 15 registros, de los suelos no cohesivos en estratos profundos se utilizaron 30 registros, de suelos duros 31 registros y en roca 28 registros. Procedimiento del ATC-3

Con base en lo anterior SE' establecieron unas recomendaciones generales para incluir la ampliñcacíón del suelo en el sitio, dentro del espectro de diseño, las cuales fueron plasmadas en el ATC-3 [ATe, 1978]. Los cuatro tipos de suelo del estudio original se redujeron a tres tipos de la manera siguiente: Perfil Tipo SI - Corresponde a roca de cualquier clase, cristalina o lutítica, con una velocidad de la onda de cortante mayor de 750 mis, o sitios de suelos rígidos, donde hay menos de 60 metros de depósitos estables de arcillas duras, arenas o gravas. En este tipo de suelo no se consideró ninguna modificación al espectro de diseño, por lo tanto el coeficiente de amplificación por efectos del suelo se propuso como S = 1.0. Perfil Tipo S2 - Corresponde a perfiles donde entre la roca y la superficie hay depósitos profundos de suelos no cohesivos o arcillas duras, donde hay más de 60 metros de depósitos estables de arcillas duras, arenas o gravas. En este tipo de suelo se propuso un coeficiente de amplíficación por efectos del suelo en el sitio, S = 1.2. Este coeficiente sólo se aplica en la zona del espectro con períodos mayores de aproximadamente 0.5 s.

198

Perfil Tipo S3 - Entre la roca y la superficie hay más de 10 metros de arcillas de dureza mediana a blanda, con o sin estratos intercalados de arena u otros suelos no cohesivos, En este tipo de suelo se propuso un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.5. Este coeficiente sólo se aplica en la zona del espectro con periodos mayores de aproximadamente 0.5 s. Procedimiento del Uniform Building Code hasta la versión de 1994 (UBC-94)

Posteriormente, a finales de la década de 1980, con base en los estudios realizados después de la ocurrencia del sismo de México de 1985, se propuso una reorganización de los tipos de suelo. con un tipo adicional, S4, para depósitos de suelo blando. Esta clasificación aparecio con la versión de 1988 del URe [fCBO, 1988], siendo ajustada en la versión de 1991 del UBe debido a las experiencias obtenidas con el temblor de Loma Prieta de 1989, cambiando los perfiles S3 y S4, y fue modificada nuevamente en la versión de 199-l: del UBC, con variaciones en los perfiles SI(b), S2 y S3' La versión del UBe de 1997 IICBO, 1997J se desvía del procedimiento explicado aquí; no obstante, debido él que todavía se emplea en muchas normas de diseño sismo resistente se incluye su descripción aquí. La clasificación de tipos de perfil de suelo está basada en que el coeficiente de sitio S, debe determinarse con base en información geotecníca apropiadamente obtenida. En aquellos lugares donde no se conocen las propiedades del suelo con suficiente detalle para determinar el tipo de suelo, debe emplearse un perfil de suelo tipo S3. No debe suponerse un perfil de suelo S4, a menos que la reglamentación de la ciudad indique un perfil de estas características puede existir en el lugar, o la información geotécnica lo establezca así. La clasificación de suelos del UBe-9-l: es la siguiente: Perfil Tipo SI - Es un perfil donde se presenta: (a) Roca o material rocoso caracterizados por una velocidad de la ondeo de cortante mayor de 760 mis, o por otro método de clasificación, o (b) Presencia de espesores de suelo menores de 60 m que contienen suelos medianamente densos a densos, o medianamente rígidos a rígidos. A este tipo de perfil de suelo se le da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.0. ' Perfil Tipo S2 - Es un perfil en que predominan los suelos medianamente rígidos a rígidos, o medianamente densos a densos, con un espesor mayor a 60 m. En este tipo de perfil se da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.2. Perfil Tipo S3 - Es un perfil que contiene más de 6 m de arcillas blandas a medianamente rígidas, pero no más de 12 m de arcillas blandas. En este tipo de perfil se da un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 1.5. Perfil Tipo S4 - Es un perfil que contiene más de 12 m de arcillas blandas caracterizadas por una velocidad de la onda de cortante menor de 150 mis. En este tipo de perfil se debe emplear un coeficiente de amplificación por efectos del suelo en el sitio S = 2,0. Esta tipología, y sus correspondientes coeficientes de amplificación por efectos de sitio, fue adoptada por varios códigos de diseño sismo resistente, iniciando con la versión de 1988 del Uniform Building Code I fCBO, 1988], e inclusive con algunas variaciones en las nuevas normas sísmicas colombianas, NSR -98 IAIS, 1998].

199

Diiuunica estrucCIlHII UPUCUUll , .. , ... " •• ~

Procedimiento del NEHRP-94, del UBC-97 y alterno de N5R-98

Gracias a los numerosos registros que se obtuvieron durante el sismo de Loma Prieta de Octubre de 1989, fue posible re evaluar los efectos de sitio a la luz de información acelerográfica real. Esta información sumada a la de otros sismos, inclusive evaluaciones más profundas sobre el sismo de México de 1985, llevaron, alrededor del año 1992, a que se propusiera una clasificación mucho más detallada, y a su vez basada en información más fidedigna [Borcherdt, 1994], I Whitman, 1992]. Esta clasificación fue plasmada en la versión de 1994 de las recomendaciones de NEHRP [FEMA, 1994bl Y fue adoptada por el UBC-97 IICBO, 1997] y por las nuevas normas sísmicas colombianas, N5R-98 [AIS, 1998], como procedimiento alterno. A gran diferencia de todas las anteriores, estas nuevas recomendaciones dan coeficientes de amplificación para la zona de períodos cortos del espectro, además de las recomendaciones para períodos largos. El espectro en roca está definido en función de dos parámetros, A, Y Av, los cuales provienen del ATC 3, como se explica más adelante, en la Sección 7.7.2. El procedimiento prescribe dos factores de amplificación del espectro por efectos de sitio, Fa Y Fv, los cuales afectan la zona del espectro definida por Aa Y Av, respectivamente. En principio la metodología es aplicable a períodos de vibración que estén dentro del rango de 0.2 a 3.0 s. Explícitamente se indica que no debe utilizarse para períodos en entre O y 0.2 s. El método define los cinco tipos de perfil de suelo presentados en la Tabla 7-7. Los parámetros utilizados en la clasificación son los correspondientes a los 30 m superiores del perfil. Aquellos perfiles que tengan estratos claramente díferenciables deben subdividirse, asignándoles un subíndice i que va desde 1 en la superficie, hasta n en la parte inferior de los 30 m superiores del perfil. Los parámetros se definen así: Para la velocidad de la onda de cortante en el perfil: n

I,d¡ V =-.i=.!......s n d

(7-26)

I,._i ;=1 V si

donde: Vsi

velocidad de la onda de cortante del suelo del estrato í, en mis espesor del estrato í, localizado dentro de los 30 m superiores del perfil

I,. di

30 m siempre

i=1

Para el número medio de golpes del ensayo de penetración estándar:

(7-27)

donde: Ni

número de golpes por píe obtenidos en ei ensayo de penetración estándar, realizado in situ de acuerdo con la norma A5TM D1586-84, sin hacerle corrección alguna. El valor de Ni a emplear para obtener el valor medio, no debe exceder 100.

En los estratos de suelos no cohesivos localizados en los 30 m superiores del perfil debe emplearse, la siguiente relación, la cual se aplica únicamente a los ID estratos de suelos no cohesivos: 20()

I I

-. ~n:v~~:,!~~ 1¡,iI)J~i~M, ~E!II(if~¡¡MJ~,-'-"- .

fAtliL¡~:lliE a,~~~~~ fii}~A ~v!¡~:rJi.;¡tJ,ím .

CENTRO DE OOCIMJ!~NtA~¡~~M"! wer"'7VE&'

(7-28)

T',pa"'2'~ryi~;~L~~v~~l

donde: es la suma de los espesores de los ID estratos de suelos no cohesivos localizados dentro de los 30 m superiores del perfil.

Para la resistencia al corte obtenida del ensayo no drenado en los estratos de suelos cohesivos localizados en los 30 m superiores del perfil debe emplearse, la siguiente relación, la cual se aplica únicamente a los k estratos de suelos cohesívos: d s = -c u k d.

I I•

(7-29)

I,_L ;=1 su;

donde: de Sui

es la suma de los espesores de los k estratos de suelos cohesivos localizados dentro de los 30 m superiores del perfil. es la resistencia al corte no drenado en kPa del estrato i, la cual no debe exceder 250 kPA (2.5 kgf'/cm") para realizar el promedio ponderado. Esta resistencia se mide cumpliendo la norma ASTrvl D 2166-91 o la norma ASTI\l D2850-87.

Además se emplea el Indice de Plasticidad (IP), el cual se obtienen cumpliendo la norma AST1\! D-I:3 18-93, Y el contenido de humedad en porcentaje, w, el cual se determina por medio de la norma ASTM D2216-92. El procedimiento para defihir el perfil es el siguiente: l. Deben primero verificarse las categorías de suelo tipo F. Si el suelo cae dentro de la clasificación de suelo tipo F, debe realizarse una clasificación en el sitio, por parte de un ingeniero geotecnista.

2. Debe verificarse la existencia de un espesor total de estratos de arcilla blanda, La arcilla blanda se define como aquella que tiene una resistencia JI corte no drenado menor de 25 kPa (0.25 kgf'/crn"), un contenido de humedad, w, mayor de140%, y un índice de plasticidad, IP, mayor de 20. Si hay un espesor total de 3 m o más de estratos de arcilla que cumplan estas condiciones el perfil se clasifica como tipo E. 3. Utilizando uno de los tres criterios: vs ' N, o Su' se clasifica el perfil. En caso de que se utilice el criterio basado en Su y el criterio Nch indica otro perfil, en ese caso se debe utilizar el perfil de suelos más blandos, por ejemplo asignando un perfil tipo E en vez de tipo D. En la Tabla 7-8 se resumen los tres criterios para clasiñcar suelos tipo C, D o E. Los tres criterios se aplican así: (a) Vs en los 30 m superiores del perfil, (b) N en los 30 m superiores del perfil, o (e) N ch para los estratos de suelos existentes en los 30 m superiores que se clasifican como no cohesivos cuando IP < 20, o el promedio ponderado Su en los estratos de' suelos cohesivos existentes en los 30 m superiores del perfil, que tienen IP > 20.

201

Diruunica esr rucr U/"(1/ U p " l Ultl • •

...

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Tabla 7-7 Clasificación de los perfiles de suelo (NEHRP-94, UBC-97 y procedimiento alterno de NSR-98) Tipo de perfil

Definición

Descripción Perfil de roca competente

Vs > 1500 mIs

Perfil de roca de cualquier espesor

1500 rn/s » Vs > 760 mIs

Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, de cualquier espesor que cumpla con el criterio de velocidad de la onda de cortante Perfiles de suelos muy densos o roca blanda, de cualquier espesor que cumpla con cualquiera de Josdos criterios Perfiles de suelos rigidos de cualquier espesor que cumpla con el criterio de velocidad de la onda de cortante, o perfiles de suelos rígidos de cualquier espesor que cumpla cualquiera de las dos condiciones

I D

760 rn/s» Vs > 360 mIs

N >50, o Su> 100 kPa (z1 kgf/cm 2 )

360 m/s » Vs > 180 mIs 50> N >15,0 100 kPa (=1 kgf/cm 2 ) > Su> 50 kPa (zO.5 kgf/cm 2 )

Perfil de cualquier espesor que cumpla el criterio de velocidad de la onda de cortante. o

180 mis> Vs

IP>20 perfil que contiene un espesor total H mayor de 3m de arcillas blandas

W~40%

25 kPA (zO.25 kgf/cm 2 ) > Su

Los suelos tipo F requieren una evaluación realizada explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista. Se contemplan las siguientes subclases.

F1 - Suelos vulnerables a la falla o colapso causado por la excitación sísmica, tales como: suelos licuablas, arcillas sensitivas, suelos dlspersrvos o débilmente cementados. etc.

F 2 - Turba y arcillas org3.nicas y muy orgánicas (H > 3 m para turba o arcillas orgánicas y muy orgánicas).

F 3 - Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con Indice de Plasticidad IP > 75) F 4 - Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda (H > 36 m)

Tabla 7-8 - Criterios para clasificar suelos dentro de los tipos C, D o E (NEHRP-94, UBC-97 y procedimiento ettomo de las NSR-98) Tipo de perfil

-V

N o N ch

entre 360 y 760 mIs

mayor que 50

mayor que 100 kPa (= 1 kgf/cm 2 )

D E

entre 180 y 360 mis

entre 15 y 50

entre 100 Y 50 kPa (0.5 a 1 kgf/cm 2 )

menor de 180 mis

menor de 15

menor de 50 kPa (zO.5 kgf/cm 2 )

En la Tabla 7-9 se dan los valores de del coeficiente Fa que amplifica las ordenadas del espectro en roca para tener en cuenta los efectos de sitio en el rango de períodos cortos del orden de 0.3 5, como muestra la Figura 7-24. Tabla 7-9 - Valores del coeficiente Fa, para la zona de periodos cortos del espectro (NEHRP-94) Tipo de perfil A

Intensidad de los movimientos sísmicos Aa SO.1 0.8

I I

Aa = 0.2 0.8

I I :JO:J

Aa = 0.3 0.8

I I

Aa=OA 0.8

I 1

Aa ~0.5 0.8

'j¡'¡úl1uca eS1TllClltHll ({PIl~U"" u, u ..,. .. " ...

OJ • • • • •

-....... ~

Sue pTipoE --7f

:--............

...............

I I

Suel p TipoD

Suele

I I

Suelo TipoS

l----7'

Suelo Tipo A

i---/'

------

-........

r--....

0.05

0.10

0.00

noo c 1-----/

! I I

~ ........

L-! 0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

DAD

0045

0.50

Av Figura 7-25 - Coeficiente de amplificación F. del suelo para la zona de períodos intermedios del espectro (NEHRP-94)

Estos valores son mayores que los que se han tenido tradicionalmente en los códigos sísmicos. Es evidente, al hacer un seguimiento histórico de los valores contenidos en los códigos, que éstos han venido en aumento en la medida que han ocurrido sismos que han resaltado condiciones locales no sospechadas, o amplificaciones de onda que excedieron las expectativas más conservadoras que se tenian. Indudablemente este refinamiento de las recomendaciones para tomar en cuenta los efectos de sitio he sido, también, consecuencia de un avance importante en las metodologías analíticas y experimentales empleadas.

7.5 Estudios de amplificación de onda En muchos casos, para obras importante'> de infraestructura, edificios altos, y otros casos, se desea tener una idea muy detallada de los posibles efectos de amplificación que puedan presentarse en el sitio para el sismo de diseño. En estos casos se realiza un estudio de amplificación de onda. Este tipo de estudios hace parte, también, de los estudios de mícrozoniñcacíón, donde se agrupan en microzonas sectores de una población donde los efectos de amplificación estimados son similares. El proceso de propagación del tren ondulatorio generado por el sismo, a través de los estratos de suelo, es complejo y para efectos de la presentación solo se mencionarán los aspectos más importantes. Quien desee profundizar en el tema debe dirigirse a publicaciones especializadas sobre el tema tales como [Seed, Ugas y Lysmer, 1976], [Seed y lddris, 19821. [Zeevaert, 1983], [Dobry y Vu ce tic, 1987], [Whitman, 1992], [Sarria, 1995b] entre otras. El tren ondulatorio se propaga en dirección vertical con una velocidad igual a la velocidad de la onda de cortante, V S (ASCE, 1985]. La velocidad de la onda de cortante se obtiene de la relación:

204

1.0

1.2

1.1

1.0

D E F

1.6

1.4

1.2

1.1

2.5

1.7

1.2

0.9

nota

.. .. nota: debe realizarse una tnvestiqacion geotecnlca para el lugar especifico y debe llevarse a cabo un análisis de arnpüñcaclón de onda.

3.5

3.0

II I

2.5

, 2.0

Suelo TiooE

I~~ !

1.5

I Suelo TipoD- 1----/--' I

! --.::IIiIo

0.30

0.35

0.5

I 1

0.20

0.25

0.0 0.00

Suelo TipoB- l----7' Suelo jTipoA -

.r-,

!------J'f

Suelo TipoC 1.0

~! ! I I

0.05

0.10

0.15

0.40

0.45

0.50

Figura 7-24 - Coeficiente de amplificación Fa del suelo para la zona de períodos cortos del espectro (NEHRP-94)

En la Tabla 7-10 se dan los valores de del coeficiente F, que amplifica las ordenadas del espectro en roca nara tener en cuenta los efectos de sitio en el rango de períodos intermedios del orden de 1 s. Estos coeficientes se presentan también en la Figura 7-25. Tabla 7-10 - Valores del coeficiente FVJ para la zona de periodos largos del espectro (INEHRP-S4) Tipo de perfil

Intensidad de los movimientos sísmicos

Av ~0.1

Av = 0.2

Av = 0.3

Av = 0.4

A v <: 0.5

A B

0.8

1.0

1.7

1.6

1.5

1.4

l.3

2.<1

2.0

1.8

1.6

1.5

3.5

3.2

2.8

2.4

nota

nota: debe realizarse una investigación geotécnica para el lugar específico y debe llevarse a cabo un análisis de amplificación de onda.

208

~------------------------------------------

v = r§ s

&i~~~;}f::'" "",..". ~~"

(7-30)

._""J~.,,~

donde G es el módulo dinámico de cortante y p es-la densidad de masa del suelo. Dado el rango relativamente pequeño de variación de la densidad de masa de los suelos conduce a que la variable que más afecta el valor de la velocidad de la onda de cortante sea el módulo dinámico de cortante G. Sin embargo, el valor de G depende del nivel de deformación, pues la relación entre esfuerzos cortantes, 't, y deformación angular, y, del suelo no es lineal, como muestra la Figura 7-26(b). Además cuando el suelo se somete a esfuerzos de cortante cíclicos, se presenta un fenómeno histerético muy similar a los presentados en el Capítulo 6. Además haciendo referencia a lo presentado allí, puede observarse que un modelo de Ramberg-Osgood describe bastante bien el proceso hísterético.

/ 1:

G=y

/ ./

(a)

(b)

(e)

Definición de G

Relación er:úerzo-deformaeión

Ciclos de histéresis

Figura 7-26 - Deformación del suelo ante esfuerzos cortantes

El amortiguamiento que se produce durante la respuesta dinámica del asociado, lo mismo que para otros materiales, con el área dentro de los hístéresis.

está de

uUJS

El módulo secante a valores bajos de deformación, G max , corresponde al valor del módulo de cortante que define la velocidad de la onda de cortante "'s. dado que las mediciones que se hacen de esta velocidad en el sitio por métodos geofísicos, siempre corresponden al rango de deformaciones pequeñas. Cuando el suelo se deforma en cortante más allá de este rango de deformaciones pequeñas, se presenta el fenómeno de histeresis, entrando en juego el módulo de cortante G para este nivel de deformación, y. La energía que se disipa por ciclo M, por unidad de volumen, puede relacionarse con un coeficiente de amortiguamiento 15COSO A, por medio de la relación: (7-31)

Por medio de ensayos de laboratorio es posible establecer relaciones entre G/G ma x Y el nivel de deformación, y, y entre el coeficiente de amortiguamiento, A, y el nivel de deformación, y, como se muestra esquemáticamente en las Figuras 7-27 y 7-28.

205

,/(¡mica estructural apucaaa (/1 (I1~!c'IIU ~I"''''''V

1.0

......... r-,

0.8

G G max

r-..... ..............

"\. <,

~ 0.6

'\ .....-: ~\ ~

1nealidac

004

\ \ \..\ \.

0.2

'-........ ~

0.0 0.0001

0.001

0.1

0.01

Y (%) Figura 7-27 - Relación entre módulos

/1_'

/ /

').

(%)

:11 i

T' ::::--...

~/j

/ 1/

// ~ ./

tinee! ~ad

Ji JII

rl ¡ I I

e:---

0.0001

0.001

0.01

0.1

y(%) Figura 7-28 - Amortiguamiento

En las figuras anteriores, los suelos que manifiestan más linealidad están a la derecha y los localizados hacia la izquierda corresponden a los suelos que manifiestan mayor nolinealidad. En el caso de las relaciones entre los módulos, Figura 7-27, entre más lineal, más largo es el rango de deformaciones en el cual el módulo de cortante es igual al módulo inicial. En el caso del amortíguamíento, entre más lineal sea el suelo, presenta menos amortiguamiento, y el rango en el cual éste es bajo se extiende hacia deformaciones mayores. Si se supone que el suelo no tiene amortiguamiento, y que el módulo de cortante G, no se desvía mucho del módulo secante inicial, Gmax , es posible resolver el problema ondulatorio, y determinar el valor del período de vibración fundamental y todos sus armónicos, por medio de la siguiente ecuación: T=

(2i-l)vs

(7-32)

Donde H es el espesor de suelo en el estrato. Por lo tanto, para el período fundamental del perfil, con i = 1, T, = 4H1vs ' Ahora, en el caso de que se tengan varios estratos con diferentes espesores y valores de la velocidad de la onda de cortante, es posible determinar el período de vibración fundamental del estrato, por medio de:

206

--------------------------------------,-----------(7-33)

A pesar de que estas fórmulas tienen la limitación de que son aplicables sólo cuando las deformaciones impuestas por el sismo no inducen deformaciones grandes, permiten realizar aproximaciones útiles a falta de una mejor información. Debe tenerse en cuenta que los períodos estimados por medio de estas ecuaciones son consistentemente menores que los que habría con deformaciones grandes. Tabla 7-11 - Valores típicos de la velocidad de la onda de cortante en mis adaptada de [Dowrick, 1987] Material

3-20 m 60-120 60-120 60-120 60-120 60-120 80-100 50-80 100-150 100-150 110-150 100-150 130-200 140-180 90-150 160-220 160-220 170-220 180-220 190-220 190-220 200-220 220-260 220-260 220-260 240-260 ?t30-280

Arena suelta, saturada Arena de origen aluvial Arcilla Limo Limo arcilloso Suelo de pantano Zonas recientemente recuoeradas por desecación Arcilla arenosa Gravilla suelta Arena fina, saturada Arena media, uniformemente gradada Arcillolita del terciario húmeda Arcilla y arena Tierra veoetai Arena densa Arena media sa': -ada Arena acillosa Grava con cantos rodados Arcilla saturada Arena fina limo arcillosa Arena arcillosa con gravas Arena media in situ Marga Arcilla desecada Terraolén de arcilla compactada Loess secos Arcilla amasada, severamente comoactada Grava aruesa comoacta Grava media Arenisca cuarzosa Siena atlántico, fango Areniscas duras (Mesozoico) Hielo, glaciares Arena tobácea Concreto Lutitas (Mesozoico) Granito (intacto) Caliza COI11 pacta Pizarra arcillosa (Paleozóico)

420-480 -

Profundidad del depósito 21-50 m >50m 100-160 125-180 200-250 300-350 240-280 100-130 250-280 300-350 600-650

140-180

200-220 -

220-280

320-380 330-400

780 1000-1500 1200 1600 20UO 2200 2350 2700 3350 3600

La siguiente pregunta es la cantidad de amplificación que se presentaría. Al respecto existen relaciones aproximadas como las propuestas por Dobry [Dobry y Vucetic, 1987], otras provienen de valores empíricos provenientes del temblor de Loma Prieta [Borcherdt, 19941, y han sido aplicadas por algunos autores, por ejemplo al caso de Bogotá [Espinosa, 1995]. Pero en general en los estudios de amplificación de onda se prefiere la utilización de modelos matemáticos implementados en el computador. De estos modelos existen tridimensionales, de gran complejidad en su aplicación [Sarria, 1995bl y unidimensionales, como el que emplea el programa de computador SHA~E lSchnabe/, Lysmer y Seed, 19721. El programa permite, dado un acelerograma en roca, --..iiiI. . .

.. _ _._ _

207 ~

determinar el acelerograma modificado que se obtendría en superficie. Utilizando los espectros de respuesta de los dos acelerogramas, es posible definir coeficientes de amplificación para cada período dentro del espectro. No sobra insistir, como es normal en el uso de cualquier programa de computador, en el cuidado y criterio en la definición de los valores a emplear, especialmente en aquellos datos sobre la relación de módulos de cortante y el amortiguamiento apropiado para cada nivel de deformación.

.6 Familias de aceleroqramas En algunos casos, especialmente cuando se trata de evaluación de la respuesta en el rango inelástico, no basta con definir los movímíenros sísmicos de diseño por medio de un espectro de diseño. En los estudios de amplificación de onda por medio de modelos matemáticos en el computador, en general hay necesidad de trabajar con acelerogramas. Por esta razón cada día es más común el empleo de acelerogramas en la evaluación de efectos de sitio, y en la validación del diseño de estructura'> importantes, especialmente si se desea estudiar la respuesta en el rango inelástico. Dentro de los tipos de acelerogramas que se emplean, se encuentran: (a) acelerogramas de sismos reales escalados a alguno de los parámetros relevantes, (b) acelerogramas derivados de acelerogramas en roca filtrados a través de un perfil de suelo por medio de un estudio de amplificación de onda, (c) acelerogramas artificiales o sintéticos. Cada una de estas metodologías es aplicable en algunos casos particulares y no necesariamente son apropiadas para otros casos, por esta razón cada una tiene sus defensores y sus enemigos. La discusión de las bondades y desventajas del uso de acelerogramas provenientes del filtrado el' estudios de amplificación de onda y de acelerogramas sintéticos, se sale del alcance de lo que se puede discutir en una presentación introductoria. Por esta razón el lector interesado debe referirse a publicaciones especializadas. La introducción al tema está tratada en [Sarria, 1995a] y en [Clough y Penzien, 19931. Debe hacerse una advertencia respecto al empleo de acelerogramas, no importa su origen, la cual tiene que ver con las particularidades propias de un registro. El uso de un solo acelerograma en el diseño entraña el peligro de que el registro en particular no resalte lo que se desea estudiar durante el diseño. Por esta razón se habla de [amilias de aceleroqramas, pues el diseño debe fundamentarse en un número plural de ellos. Cuando se emplean acelerogr amas de sismos reales, en general se desea que se aproximen lo más posible al acelerograma que se espera en el lugar respecto a la magnitud del sismo, la distancia epicentral, la profundidad focal, el mecanismo focal, y el perfil de suelo. Dado que muchas veces no es posible identificar adecuadamente todos estos parámetros para el sismo de diseño, y además, en aquellos casos en los cuales se conocen, no siempre es posible encontrar acelerogramas que cumplan todas las condiciones deseadas. Por esta razón hay necesidad de realizar algunas manipulaciones del registro original con el fin de ajustarlo a lo que se desea. Dentro de los parámetros que comúnmente se afectan para producir una familia de acelerogramas de diseño están:

Aceleración - Consiste en cambiar la escala de aceleraciones de tal manera que el valor de aceleración pico, o de un conjunto de las mayores aceleraciones se acerque a un valor prefijado. Esta es tal vez la más común de las afectaciones que se realizan a los acelerogramas, pues en general de los estudios de amenaza sísmica se obtiene un valor de la aceleración máxima del terreno, Ale, y este valor se emplea, en vez del valor original de Ale del acelerograma. Este procedimiento conduce a una ampliación, o 208

reducción, de las ordenadas del espectro de aceleraciones en la misma proporción en que se modifique Ate, o sea que es consistente con emplear un espectro de un sismo real, pero reducido o ampliado a un valor diferente de la aceleración máxima del terreno.

Velocidad - Consiste en cambiar la escala ajustando el acelerograrna a un valor prefijado de la velocidad máxima del terreno, Vte . Para lograr esto se amplia o reduce la escala de aceleraciones en la misma proporción que se requiera entre las velocidades máximas del terreno. Este procedimiento se emplea cuando se desea estudiar estructuras cuyos períodos de vibración están en el rango de amplificación de la velocidad en el espectro. A modo de ejemplo, supongamos que se desea un acelerograrna con la tipología de El Centro, pero para una velocidad máxima del terreno Vte , igual a 0.5 mis. El registro original tiene un valor de Vte igual a 0.33~ mis. El cociente entre los dos valores es aproximadamente 1.5. Por lo tanto el acelerograma debe emplearse con una aceleración máxima del terreno 1.5 veces mayor. Dado que el valor de Ate en el registro original es de O.3-:l:2g, debe utilizarse en el acelerograma modificado un valor de 0.3~2 g . 1.5 = 0.513g. Repeticum parcial - Cuando se están estudiando estructuras de período largo, y el

acelerograma de que se dispone es demasiado corto para excitar la respuesta de estos períodos largos a su valor máximo, simplemente se agrega parte o todo el acelerograma nuevamente al final del primero. Esta técnica se utiliza también cuando, en estructuras que responden en el rango inelástico, se desea estudiar el efecto sobre la estructura de nuevos sismos y se quiere permitir la acumulación de daño, para que el segundo evento encuentre la estructura con la reducción de rigidez que dejo el primer sismo. Una variante de esta metodología es dejar una zona con aceleraciones muy bajas entre registro y registro. Compresión y expansión - En aquellos casos en los cuales no se dispone de un

acelerograma que tenga un contenido importante de energía en el rango de frecuencias que se desea estudiar, el acelerograma se puede comprimir o expandir, lo cual consiste en modificar el intervalo de digitalización, introduciendo un valor que alargue o acorte los períodos predominantes del registro. Esta técnica se utiliza algunas veces para simular efectos de amplificación de onda por el suelo, pues al comprimir o expandir la escala de tiempo se varía la escala de periodos en el espectro, en la misma proporción en que se cambie el intervalo de digitalización. A modo de ejemplo, supongamos que se desea un registro similar al de ciudad de México de 1985, pero con el pico del espectro de aceleraciones en un período de 1.5 s, en vez del valor de 2.1 s del registro original. El intervalo de digitalización del acelerograma original es de 0.02 s, Por lo tanto cebe utilizarse el acelerograrna con un intervalo de digitalización igual a 0.02·1.5 / 2.1 = 0.01~ s. Ordenada espectral prefijada - Cuando se quiere que el espectro tenga un valor prefijado en una de sus ordenadas espectrales, se varía Ate del registro en la misma proporción en que se quiere variar la ordenada espectral, pues el espectro es totalmente proporcional al valor de la aceleración máxima del terreno.

En resumen, los criterios a emplear al definir familias de acelerogramas a utilizar con procedimientos de análisis dinámico consistentes en evaluaciones cronológicas, obtenidas integrando paso a paso la ecuación de movimiento, debe tratarse de cumplir los siguientes criterios respecto los acelerogramas que se utilicen: (a) deben utilizarse, para efectos de diseño, la respuesta ante un rrurumo de tres acelerograrnas diferentes, todos ellos representativos de los movimientos esperados del terreno, pero que cumplan la mayor gama de frecuencias y amplificaciones posible.

209

(b) los espectros de respuesta de los acelerogramas empleados no pueden tener individualmente ordenadas espectrales, para cualquier período de vibración, menores que un porcentaje prefijado, del orden del 60 al 80% de las ordenadas espectrales de los movímíentos esperado del terreno definidos a través de un espectro de diseño. (e) La envolvente de los espectros de respuesta de los acelerogramas empleados no debe variar, hacia arriba o hacia abajo, en más de un porcentaje prefijado, del orden del 25 al 30% con respecto a las ordenadas del espectro de diseño.

.7 Espectros d: diseño de las normas de diseño sísmico En la presente Sección se hace referencia al desarrollo histórico del espectro de diseño que se incluye en las normas de diseño sismo resistente. Además se presentan las formas del espectro de diseño de algunas normas modernas y se discuten sus fundamentos a la luz de lo presentado anteriormente.

'.7.1 Desarrollo histórico del espectro en las normas sísmicas Los primeros requisitos de diseño sísmico obligaban a tratar el sismo como una fuerza horizontal análoga al viento. La ciudad de San Francisco fue reconstruida después del terremoto de 1906 utilizando como fuerzas de diseño para el sismo una presión de viento igual a 1.') kPa (1--16 kgf'/rn", ó 30 libras por pie cuadrado), A finales de la década de 1920 se iniciaron los primeros códigos sísmicos propiamente dichos. En ellos se introdujo el concepto de coeficiente sísmico, el cual corresponde a la fracción del peso de la estructura que debe utilizarse como fuerza horizontal sísmica de diseño.

En la versión de 1::)27 del Uniform Building Code (UBC). el cual todavía es el código más utilizado en la costa oeste de los Estados Unidos, se prescnbía un coeficiente sísmico, C, que variaba entre el 7.5 y el 10%. El Código de la ciudad de Los Angeles exigía en 1933 un C de 8%. En 19--13 el Código de esta misma ciudad introdujo el primer coeficiente sísmico que involucraba de alguna manera un espectro de diseño. La fórmula para evaluación del coeficiente en ese Código era la siguiente: C=

0.60 N+4.S

(7-3--1)

Donde N era el número de pisos de la estructura. Este número estaba restringido a un máximo de 13 pisos. Restricción que existió en otras ciudades importantes localizadas en zonas sísmicas como es la ciudad de Tokio, en la cual la restricción de altura se mantuvo hasta la década de 1960. Este desarrollo de los códigos sísmicos en norteameríca fue tomado a mediados de la década de 1950 por la Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SE~OC), la cual publicó en 1959 unas disposiciones para diseño sísmico que involucraban el concepto de período de víbración del edificio. La ecuación para el cálculo del coeficiente sísmico dada por este código, la cual corresponde realmente un espectro simplificado de diseño: (7-35) Donde T correspondía al período fundamental del edificio y se indicaba que para edificios aporticados el período fundamental, en segundos, era un décimo del número de pisos. La fuerza horizontal de diseño en la base de la estructura, V, debida al sismo se determinaba como: 210

~---------------~-~------..,..-..,..--..,..-------------'---

(7-36)

V=KCW

Allí K dependía del tipo de estructura y los requisitos de detallado y despiece, en el caso de concreto reforzado, que se siguieran y W correspondía al peso de carga muerta de la estructura y su contenido. Estas fuerzas sísmicas de diseño estaban prescritas al nivel de esfuerzos de trabajo, por lo tanto para ser utilizadas con procedimientos de diseño por el método de la resistencia, o rotura, debía usarse un factor de carga que en esa época se fijó en lA para concreto reforzado. La ecuación para el cálculo del coeficiente sísmico, ecuación (7-36), se mantuvo en las versiones de SEAOC y UBC hasta finales de la década de 1980. No obstante la ecuación para el cálculo del corte basal fue modificada en la versión de 197-l de SEAOC y de 1976 de UBC a la siguiente forma: (7-37)

V =ZIKCSW

donde se incluyeron los siguientes términos nuevos: Z es un coeficiente de zona sísmica que toma en cuenta el nivel de amenaza sísmica del sitio, 1 es un coeficiente de importancia que obliga a fuerzas de diseño sísmico mayores para estructuras indispensables para La recuperación de la ciudad con posterioridad a la ocurrencia de un temblor y S es un coeficiente de sitio que toma en cuenta la posibilidad de amplificación de los efectos sísmicos debido a la presencia de suelos blandos en los estratos subyacentes en el sitio. En 1978 se publicó [ATC, 1978J por parte del Applíed Technology Council (ATC) un código sísmico modelo al que denominó ATe3, el cual puede decirse que corresponde a la primera normativa sismo resistente verdaderamente moderna, pues involucró los grandes avances en ingeniería sísmica que han ocurrido con posterioridad a la Segunda Guerra Mundial. El ATC-3 es la base de los requisitos sísmicos de las normas sismo resistentes colombianas, y lo fue especialmente de su primera versión, Código Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes CCCSR-8-l, [MOPT, 1984J. En 1985 la SEAOC involucró gran parte del ATC-3, con algunas modificaciones en su versión [SEAOC, 1985J de ese año y el UBC en su versión de 1988 [JCBO, 1988] hizo lo mismo. Dentro del medio norteamericano El ATe-3 fue adoptado por el programa NEHi\P (National Earthquake Hazards Reduction Program) del Building Safery Council como los requisitos recomendados [FEMA, 1986J para diseño sísmico en Estados Unidos, programa dentro del cual se han realizado revísiones periódicas al documento [FEMA, 1991,1994hl. Recientemente, todas las entidades que desarrollan los códigos modelos dentro de los Estados Unidos se unieron en una sola institución denominada International Code Council para producir un código modelo único el cual se denominará International Building Code - IBC, cuya primera versión aparecerá en el año 2000, para la cual ya existe un borrador (ICC, 1997]. El borrador existente es un compromiso entre los requisitos que contiene el NEHRP-9-l [FEMA, 1994b] Yel UBC-97 (ICBO, 1997]. A continuación se hace una descripción de la forma de los espectros de diseño del ATC-3, siguiendo con las versiones más modernas de algunas de las normas de diseño sismo resistente mencionadas, incluyendo las nuevas normas sismo resistentes colombianas NSR-98, el Reglamento de la Ciudad de México el cual trata de una manera especial el efecto de suelo blando, el cual tiene interés por tener la ciudad de Bogotá una situación similar, y el Eurocode 8. 7.7.2 Forma del espectro del A TC-3

211

unámica estructural aplicada a/ diseno SISI1lICU

En el ATC-3 [ATe, 1978J al desarrollar las disposiciones de diseño se utilizaron dos parámetros para caracterizar la intensidad del movimiento de diseño del terreno. Estos parámetros se denominan Aceleración Pico Efectiva (APE), A¿ Y la Velocidad Pico Efectiva (VPE), que expresada en términos de la aceleración se denomina Av. Por definición estos parámetros se prescriben de tal manera que tengan una probabilidad de sólo 10% de ser excedidos en un lapso de 50 años. Para entender mejor el significado de APE y VPE, éstos deben considerarse como factores de normalización en la obtención de espectros suavizados de respuesta elástica para movimientos de terreno de duración normal. Al dibujar el espectro de respuesta de un sismo fuerte en papel logarítmico tripartita, en el cual es posible describir simultáneamente los espectros de aceleraciones, de velocidades y de desplazamientos como se explicó en la Sección 5.4, se puede observar que en algunos rangos de período, la aceleración espectral,. o la velocidad espectral varían muy poco. En general, para espectros de sismos registrados en roca, en el rango de períodos entre 0.1 y 0.5 segundos, la aceleración espectral permanece casi constante. Igualmente para el rango entre 0.5 y 2.S segundos la velocidad permanece constante. 10

i '/

0.1

""8,.

i 0.01

I 0.1

0.5

Período T (s) Figura 7-29 - Representación de cómo se obtienen APE y VPE de un espectro de respuesta con 1; = 5%

Basado en lo anterior, la APE se define en el ATC-3 proporcional a las ordenadas del espectro para períodos en el rango entre 0.1 y 0.5 s, mientras que la VPE se define proporcional a las ordenadas del espectro para un período aproximadamente de un segundo. La constante de proporcionalidad para un espectro con cinco por ciento de amortiguamiento, ~ = 5%, se fijó en un valor de 2.5 en ambos casos, constante que proviene del estudio estadístico de espectros de respuesta, especialmente los trabajos de Newmark y Hall. Entonces: S APE=_3 2.5

(7-38)

VPE=~

(7-39)

y 2.5

Para un mmimiento específico y real del terreno la ArE y VPE se pueden estimar así: se dibuja en papel logarítmico tripartita el espectro de respuesta para un amortiguamiento 212

del 5% para el movimiento real y se trazan líneas rectas entre las ordenadas correspondientes a los períodos mencionados anteriormente donde estas ordenadas permanecen casi constantes. Estas rectas corresponden a una regresión lineal y están trazadas en una media más una des,iación estándar de los puntos. El valor leído de aceleración y de velocidad en estas líneas rectas se divide por 2.5 para obtener la APE y VPE respectívamente. La APE y VPE así obtenidas se relacionan con la aceleración pico del terreno, Ate, Y la velocidad pico del terreno, Vto, pero no son necesariamente las mismas, ni incluso proporcionales a la aceleración y velocidad pico pues involucran aspectos adicionales, como se describe a continuación.

Cuando existen frecuencias muy altas en el movimiento del terreno la APE puede ser bastante menor que la aceleración pico. Esto es consistente con el hecho de que recortar el pico más grande de un acelerograma tiene poco efecto en el espectro de respuesta, excepto para períodos más cortos' que aquellos que corresponden a estructuras normales. Además las cimentaciones rígidas tienden a evitar el paso de los períodos extremadamente cortos del movimiento de campo abierto. Por otra parte la \PE generalmente será mayor que la velocidad pico a distancias considerables de un temblor de gran intensidad. Con la distancia los movímíentos aumentan de duración y se vuelven más periódicos. Estos factores tienden a producir aumentos proporcionalmente mayores en esa parte del espectro de respuesta representado por VPE. Si un temblor es de muy corta o muy larga duración es necesario corregir APE y VPE para que sean más representativos del evento. Hay evidencia que demuestra que movimientos sísmicos que tienen diferente duración pero espectros de respuesta semejantes causan daños diferentes, siendo menor el daño en el de menor duración. En cualquier lugar el diseño puede estar regido ya sea por APE o por VPE. Sin embargo, es conveniente conocer ambos valores. Para efectos de determinar las fuerzas a que se debe someter la estructura para efectos de diseño APE y VPE se reemplazan por A, Y Av respectivamente, donde ambos están expresados como un porcentaje de la aceleración de la gravedad. Para convertir VPE en Av se utiliza la siguiente tabla: Tabla 7-12 - Relación entre VPE y Av

Velocidad Picu Efectiva VPE (rn/s)

( )

0.30ll 0.150 0.075 O.03S

OAO 0.20 0.10 (JOS

De acuerdo con la tabla anterior puede fijarse la siguiente conversión: VPE 0.75

A =-v

Donde Av se expresa como fracción de la gravedad y Vi'E esta expresada en mis. Las ecuaciones que definen el espectro se obtienen de la siguiente manera: para la zona de amplificación de aceleraciones el espectro está definido como 2.5 veces la APE, por lo tanto el espectro de aceleraciones como fracción, de g es: (7 -41)

Para la zona de amplificación de velocidades el espectro está definido como 2.:3 veces la VPE, por lo tanto: S, = 2.5VPE

Dinrunic« eSlrllCllCnll UjJIIClIUl{ " . " " " o . v " . " .• _._

cohesivos que van desde blandos hasta medianamente rígidos, caracterizados por valores de V s inferiores a 200 mis en los 20 m superiores. Tabla 7-27 - Valores de los parámetros que definen el espectro elástico Clase de perfil de suelo

1.0 1.0 0.9

130 2.5 2.5 2.5

k1 1.0 1.0 1.0

k2 2.0 2.0 2.0

(s)

(s) OAO

(s)

0.10 0.15 0.20

3.0 3.0 3.0

0.60 0.80

o Periodo T, (s)

Figura 7-40 - Espectro elástico del Eurocódigo 8

Cuando el perfil de suelo incluye estratos superficiales de origen aluvial con espesores que varían entre 5 y 20 m, localizados sobre materiales más rígidos como los del perfil clase A, puede utilizarse la forma del espectro para perfiles clase B, utilizando un valor de S igual a 1 A, a menos que se realice un estudio especial. El valor del coeficiente de corrección para el amortiguamíento, se puede determinar por medio de: T\ =

~ 2+~ 7 2: 0.7

(7-68)

donde ~ es el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso de la estructura expresado en porcentaje. El valor del desplazamiento máximo del terreno, d g , se puede determinar por medio de la siguiente expresión: (7-69)

El Eurocódigo 8 trae un espectro de diseño reducido por efectos de respuesta en el rango inelástico, al que denomina espectro de diseño para análisis lineal. El espectro se reduce por medio de un coeficiente de comportamiento q. B coeficiente de comportamiento q corresponde al cociente entre las fuerzas sísmicas que la estructura experimentaría si su respuesta fuera totalmente elástica, con un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, y las fuerzas sísmicas minimas de diseño, cuando éste se realiza utilizando un modelo matemático elástico. Este espectro de diseño está definido de la siguiente manera: Para O~ T ~ TB

280

úll1ica eslructural HpllClIlIU u, l t ""u." .'<.- •.•• ~"

valores de los parámetros Na Y N v. El UBC-97 establece que la localización y tipo de las fuentes sismogénicas para ser empleadas debe sustentarse en información geotécnica y geológica aprobada, por ejemplo datos del USGS (United States Geological Survey) o del CDMG (California Division of Mines and Geology). Tabla 7-24 - Tipos de fuentes sismogénicas del UBC-97

Definición de la fuente sismo énica Magnitud de Tasa de actividad SR Momento M w (aun/año) máxima

Tipo de fuente sismogénica

Descripción de la fuente sismogénica

Fallas que son capaces de producir eventos de magnitud grande y que tienen una tasa alta de activídad sísmica

M;:: 7.0

SR;:: 5

fallas diferentes a las de tipo A o e

M;:: 7.0 M< 7.0 M;:: 6.5

SR< 5 SR> 2 SR< 2

Fallas que no son capaces de producir sismos de magnitud grande y que tienen una tasa de actividad relativamente bala

M< 6.5

SR~2

Los dos criterios de magnitud de momento sísmico, M w , Y de tasa de actividad, SR, deben cumplirse simultáneamente para efectos de determinar el tipo de fuente sismogénica. La magnitud de momento sísmico, Mw , está definida en la Sección -1.52. Además se indica en el UBC-97 que las fuentes sismogenicas de subducción deben evaluarse en cada caso con base en criterios apropiados. Tab!1 7-25 - Coeficiente de campo cerceno Na del UBC-97

Distancia más corta a la fuente sísmoaeníca conocida km ;:: 10 km ~2km 5km 1.5 l.U 1.2 1.3 lO LO 1.0 1.0 1.0

Tipo de fuente sismogénica A B

Tabla 7-26 - Coeficiente de campo cercano N, del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A

<2km 2.0

1.6

Distancia más corta a la fuente sísmozéníca conocida km 10 k 111 Jkm 1.2 1.6 1.0 1.2 l.0 1.0

I I

> l.) km

1.0

l.0

Se permite interpolar entre los valores dados en las Tablas 7-25 y 7-26. La distancia más corta a la fuente sismogénica debe ser la mínima distancia entre el lugar de interés y el área correspondiente a la proyección del plano de la fuente en un plano horizontal localizado al nivel de la superficie del terreno. No hay necesidad de incluir dentro del plano de la fuente partes de él localizadas a profundidades mayores de 10 km. Deben tomarse los valores de los coeficientes de campo cercano mayores, de los calculados para todas las fuentes sismogenícas que puedan afectar el lugar de interés. 7.7.S Forma del espectro del Eurocodiqo-B

Dentro del grupo de Códigos producidos por el Comité Europeo de Normalización (CEN), el Eurocódigo 8 corresponde a los requisitos sísmicos ICEN, 19941. Dentro de 228

donde tanto S, como VPE están en mis. Ahora utilizando la relación dada en la ecuación (5-11) obtenemos:

s = roSv = ro2.5VPE a

convirtiendo la frecuencia ro en período T y aplicando la ecuación (7-40):

s = 21t 2.5· 0.75 Av = 1.2 Av a

(7-44)

Este espectro está definido entonces para un coeficiente de amortiguamiento, ~, de 5% del crítico. El comentario del ATC-3 indica que si se quiere obtener el espectro para S de 2% las ecuaciones dadas, (7-41) Y (7-44), deben multiplicarse por 1.25; Igualmente indica que el espectro de aceleraciones verticales puede obtenerse con una precisión aceptable multiplicando las ordenadas del espectro por un factor de 0.67. El espectro definido por el ATC-3 es además afectado por las siguientes causas: Con base en los estudios de Seed, discutidos en la Sección 7.4.3 se fijaron los tres tipos de suelo presentados alli. Para cada uno de estos tipos de perfil de suelo se propuso un coeficiente de amplificación por efecto del suelo, S, dado a continuación: Tabla 7-13 - Coeficiente de sitio del ATC-3

Tipo de Perfil de suelo S

1.0

S2 1.2

Además se incluyó un coeficiente de modificación de respuesta, R, el cual tiene en cuenta tanto el amortiguamiento del sistema estructural como su ductilidad cuando la estructura trabaja más allá del límite elástico y llega cerca a su resistencia última. Por lo tanto para un sistema estructural conformado por un material con poco amortiguamiento y frágil, con poca capacidad de resistir deformaciones más allá del límite elástico, el valor del coeficiente de modificación de respuesta sería muy cercano él. la unidad. En el otro extremo un sistema estructural con amortiguamiento alto y conformado por un material con gran ductilidad sería capaz de resistir deformaciones muy superiores al límite elástico, por lo tanto se justificaría el uso de un coeficiente de modificación de respuesta alto. En el ATC-3 los valores de R van desde 1.25 para sistemas compuestos por muros de carga de mampostería no reforzada hasta un máximo de 8 para pórticos dúctiles especiales de acero y sistemas duales compuestos por pórticos y muros de cortante de concreto reforzado, los cuales deben cumplir requisitos especiales que van más allá de lo que prescriben normalmente las normas que rigen el diseño de cada material estructural en zonas no sísmicas. Además con ei fin de dar un mayor grado de conservatismo en el diseño de edificios altos con períodos de vibración largos, se introdujo un exponente de 2/3 al período de vibración en la ecuación (7-44) al convertirla de espectro de aceleraciones a coeficiente sísmico. Entonces, el coeficiente sísmico tal como lo prescribe el ATC-3 está dado por la siguiente ecuación: (7-45) Cuando se trata de perfiles de suelos tipo S3 y Aa es mayor o igual a 0.30 el factor 2.5 que multiplica a Aa en la ecuación (7-45) se convierte en 2.0. El coeficiente sísmico es 214

corresponde entonces a un espectro inelástíco de aceleraciones expresadas como una fracción de la aceleración de la gravedad, g, y definido al nivel de resistencia. El ATC-3 incluye mapas de Aa Y Av con valores de 0.00, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.30 Y0.40, para las diferentes regiones de los Estados Unidos. Estos espectros tienen entonces la forma mostrada en la Figura 7-30. 3.0

2.5

2.0

.es

1.5

1.0

0.5

0.0 0.0

0.5

1.5

1.0

2.0

2.5

3.0

Perfodo T, (s)

Figura 7-30 - Coeficiente sísmico normalizado del A TC-3 ;Jara Aa

=Av =R =1.0

Es evidente que el espectro del ATC-3 es un espectro inelástico de aceleraciones máximas dentro de la teoría de Newmark-Hall. Las ordenadas espectrales del espectro elástico corresponden a un nivel de probabilidad de la media más una desviación estándar (véase la Tabla 7-2) para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico. La introducción del efecto inelástico se logra a través del coeficiente de modificación de respuesta R el cual en alguna medida corresponde a la capacidad de disipación de energía de la estructura como un todo, por lo tanto no corresponde a una ductilidad en el sentido estricto que se aplica a sistemas elastoplásticos, como se explicó en la Sección 6.4. Es importante hacer notar que el espectro del ATC-3 se mantiene constante en la zona de períodos cortos, en vez de tender a la aceleración del terreno como ocurre en un espectro de respuesta o aún en los espectros de diseño conformados de acuerdo con la teoría de Newmark-Hall. Existen dos razones para adoptar esta política. La primera tiene que ver con el hecho de que los sistemas estructurales al verse sometidos a los efectos del sismo y responder en el rango inelástico sufren un descenso en su rigidez, con un correspondiente alargamiento de su período de vibración. Por lo tanto es de esperarse que durante un temblor fuerte el período se desplace hacia la derecha en el espectro. Para estructuras rígidas, de períodos cortos, si el diseño se hiciera para aceleraciones cercanas a las del terreno es muy probable que al alargarse el período se vieran sometidas a aceleraciones mayores y esta es una de las razones para mantener el espectro constante en la zona de períodos cortos. La segunda razón tiene que ver con la posibilidad de ejercer la ductilidad a. niveles bajos del período. En la Figura 6-48 es evidente que en la zona de períodos cortos, para sistema'> elastoplásticos la diferencia entre el espectro inelástico de aceleraciones máximas y el espectro elástico corresponde a un factor variable que va desde 1 para períodos muy cortos, hasta ~2¡.¡. -1 en la zona de amplificación de aceleración y solo cuando se llega a la zona de amplificación de velocidad la diferencia con el espectro elástico está regida por ¡.¡.. Esto implicaría tener que definir un coeficiente de modificación de respuesta, R, variable. Desde el punto de vista práctico se prefirió por 215

náinica esérucl ural apliccu/a (H (/I:;ellu """'/t" v

estas dos razones dejar el espectro constante e igual al valor máximo en la zona de períodos cortos, y en consecuencia, el ATC-3 se prefirió dejar el valor de R constante. .7.3 Forma del espectro de las nuevas normas sísmicas colombianas

Los requisitos de las primeras normas sismo resistentes colombianas, el Código Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes (CCCSR-84 - Decreto 1400 de 1984) [MOPT, 1984], provienen de una adaptación del ATC-3 [ATC, 1978] realizada en la Norma AIS 100-81 de la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica [AIS, 1981, 1983, 19971. Para la elaboración de la Norma AIS 100-81 se contó con el aporte de algunos de los expertos norteamericanos que desarrollaron el ATC-3, permitiendo variarlo para atender de una manera adecuada algunos parámetros de índole local, propios del país. El CCCSR-8-1: fue adoptado por el Gobierno Colombiano en 198-1:, con posterioridad a la ocurrencia del sismo de Popayán de Marzo 31 de 1983 Y como consecuencia de él. En 1993 se inició la discusión para una actualización del CCCSR-8-1:. .-\ raíz de esto la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, desarrolló a través de su Comité J 00, una nueva versión de la norma, ahora denominada AIS 100-97 [AIS, 19971. Esta versión corresponde al contenido técnico de las nuevas normas sismo resistentes colombianas, NSR-98 [AIS, 1998], las cuales comprenden los requisitos de la Ley -lOO de 1997 y del Decreto 33 de 1998. En las NSR-98 los movinuentos sísmicos de diseño están definidos en función únicamente del parámetro A, el cual tienen una probabilidad de ser excedido de solo 10% en un lapso de 50 años. En la nueva versión de la norma, se suprimió el parámetro Av, que contenia el A TC-3 Y el CCCSR-84. La razón de esto fue la conciencia de que en el país no se dispone de información sismológica, tectónica, ni de registros acelerográficos de movimíentos fuertes que permitan distinguir entre los dos parámetros. El Código divide el país en tres zonas de amenaza sísmica, las cuales son función del valor de Aa. En la Figura 4-25 se presentó el mapa de valores de Aa, yen la Figura 4-24 las zonas de amenaza sísmica. Estos valores fueron definidos por medio del estudio de la referencia [Carda et al., 1996]. Las zonas de amenaza sísmica tienen las siguientes definiciones: Zona de Amenaza Sismica Baja - Es aquella zona donde A, es menor o igual a 0.10. Zona de Amenaza Sísmica Intermedia - Es aquella zona donde Aa es mayor de 0.10, sin exceder 0.20. Zona de Amenaza Sísmica Alta - Es aquella zona donde Aa es mayor que 0.20. La definíción del espectro elástico de diseño de NSR-98, para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, es la siguiente:

s = 1.2A aSI a

(7-4G)

Para períodos de vibración menores de Te, calculado de acuerdo con la ecuación (7-47), el valor de s. puede limitarse al obtenido de la ecuación (7-48). (7-47)

Te =0.48 S y

(7-48)

Para períodos de vibración mayores que T L , calculados de acuerdo con la ecuación (7-49), el valor de Sa no puede ser menor que el dado por la ecuación (7-50). (7-49) y

216

s = Aa 1 a

(7-50)

¡Sa=2.SAa 1

S. (g)

Nota: Este espectro está definido para

,1,1 ,

un coeficiente de amortiguamiento igual al 5 por ciento del crítico

1 1 1

I I

' ! ,\ I

1 I

Para análisis dinámico, .soto modos diferentes al fundamental en cada dirección principal en planta

To =0.3s

TI.

Tc = 0.48 S

TL=2.4S

T(s)

Figura 7-31 - Espectro elástico de diseño, normas sismicas colombianas N5R-98

Cuando se utilice el análisis dinámico de sistemas de varios grados de libertad, para períodos de vibración diferentes del fundamental, en la dirección en estudio, menores que To (T; = 0.3 s), el espectro de diseño puede obtenerse de la ecuación (7-51). (7-51)

Por definición S, es la máxima aceleración horízontal, expresada como porcentaje de la gravedad, a que se ve sometido un sistema de un grado de libertad con un período de vibración T cuando se ve expuesto a los movimientos sísmicos de diseño. Este espectro está definido al nivel de resistencia. El coeficiente de Importancia 1 se define en función del uso de la edificación, la cual debe clasificarse dentro de uno de los siguientes grupos de uso: Grupo de Uso IV - Edificaciones Indispensables - Este grupo comprende aquellas ediñcacíones que deben funcionar durante y después del sismo y que son indispensables después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas y que además su operación no puede ser trasladada rápidamente a otra edificación. Este grupo debe incluir hospitales, clínicas, centros ele salud, centrales telefónicas y de telecomunicación. Grupo de Uso III - Edificaciones de atención a la comunidad - Este grupo comprende aquellas edificaciones que son indispensables después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud y la seguridad de las personas, exceptuando las del Grupo IV. Este grupo debe incluir estaciones de bomberos, estaciones de policía, garajes de vehículos de emergencia, etc. Grupo de Uso 11 - Estructuras de ocupación especial - Incluye cualquier edificación donde pueden reunirse más de 200 personas en un mismo salón, graderías al aire libre donde pueda haber más de 2000 personas a la vez, escuelas, universidades, almacenes con más de 500 m- por piso, edificaciones donde residan o trabajen más de 3000 personas, y todas aquellas edificaciones en donde sus ocupantes estén restringidos en su movimiento o donde pueda presentarse pánico general. Grupo de Uso 1 - Estructuras de ocupación normal - Todas las otras edificaciones no cubiertas por los grupos anteriores. 217

El coeficiente de importancia, J, toma los valores siguientes, según el Grupo de Uso: Tabla 7-14 - Coeficiente de importancia en las NSR-98

IV l.3

I I

Gruno ele Uso n III I 1.2 I 1.1

I I

I 1.0

NSR-98 requiere que los efectos locales de respuesta sísmica deben evaluarse con base en los perfiles de suelo que se muestran en la Figura 7-32, permitiéndose el empleo de un procedimiento alterno, derivado de los requisitos del NEHRP-94, como se presentó en la Sección 7.4.3. Además las NSR-98 permiten el empleo de espectros provenientes de estudios de micro zonificación, los cuales existen en la actualidad para las ciudades de Popayán [Ingeominas y Comunidad Económica Europea, 1992] y Bogotá [Ingeominas y Universidad de los Andes, 1997], y están en desarrollo en otras ciudades. . Perfil 51 - 5 = 1.0

SUPERFICIE

Material rocoso con velocidad de la onda de cortante (Vs)

mayorde 750 mis

Perfil 52 - S = 1.2

SUPERFICIE

Perfil 53 - 5 = 1.5

SUPERFICIE

Perfil 54 - 5 = 2.0

SUPERFICIE

218

Figura 7-32 - Tipos de perfil de suelo y coeficiente de sitio N5R-98 lA15, 1998J Tabla 7-15 - Coeficiente de sitio en las N5R-98

Tipo de Perfil de suelo SI i.o

I I

S2 1.2

I I

S, l.5

2.0

En la Figura 7-33 se muestran los espectros elásticos de diseño para las principales ciudades del país. 1.0

0.9

/cúcuta" ~ocoa, Neiva, Pasto, Quib ó, Víllavicen io, Aa = 0.30

0.8

0.7

ji'- /Armeni¡; Bucaraman ~a, Cali, Man zales, Pereir: , PopayánA =0.25

~ \ / / B09

jX0. /

0.6

s, 0.5

~tá D. C., FIOrncia, Ibagu , Medellín, TL nja, Yopal, A'iJ =0.20

Arauca, Morjtería, Riohac a, Sta Marta Sincelejo, A =0.15

\'A~

(g) 004

Barra:quitla, ceru gena, SanA drés, San Jos é del Guaviare, Valledupar, Aa

0.2

~~K .:" ,~~ ~

0.1

....

0.3

~ t:::-===;2: ..::::::::::..:

---

0.0

0.5

1.0

1.5

icía, Mitú, pt ~ Carreño, pt ~ Inírida, Aa

=0.10

=0.05

2.0

2.5

3.0

Período, T (s) Figura 7-33 - Espectros elásticos de diseño de las principales ciudades colombianas, para S,," La re

"" 1.0

En las N5R-98 el espectro inelástico se obtiene dividiendo las ordenadas espectro elástico por el coeficiente de reducción de resistencia R = n~. 4>a y % corresponde a coeficientes menores que la unidad, que representan el grado de irregularidad en altura y en planta, respectivamente, que tiene la edificación. El coeflciente de modificación de respuesta básico, Ro, está basado en los mismos principios que en el ATC-3. En las NSR-~)8 va desde un valor de 1.0 para estructuras de mampostería no reforzada hasta un máximo de 8.0 para sistemas duales. Las N5R 98 definen además un espectro que se debe emplear en la verificación de edilicaciones indispensables del Grupo de uso IV. Este espectro corresponde a unos movimientos sísmicos que se han denominado del umbral de daño. La aceleración máxima del terreno de estos movimientos sísmicos de denomina Ad , y se muestran en le mapa de la Figura 4-24. 7.7.4 Formas espectrales de la microzanittcacián sísmica de Bogotá

El Ingeominas y la Universidad de los Andes entre 1994 y 1997 realizaron una serie de estudios tendientes a determinar las características de la respuesta sísmica local dentro del casco urbano de la ciudad de Bogotá [Ingeominas y Universidad de Jos Andes, 19971. Los estudios comprendieron investigaciones en tectónica, neotectónica y sísmología. El objetivo principal fue identificar y caracterizar la actividad reciente de las principales fallas geológicas situadas dentro de un radio de 200 km alrededor de la ciudad, establecer los sismos asociados a ellas y determinar mediante técnicas de probabilísticas, los sismos máximos que pueden afectar la ciudad. Se formuló un modelo sismotectónico preliminar para la región, se actualizó el catálogo de eventos

21D

sísmicos históricos e instrumentales de la región, se realizó un análisis probabilístico de la aceleración horizontal máxima para la ciudad, y se definieron acelerogramas de diseño para los tres sistemas de fallas activas más importantes. Los sistemas de fallas que pueden afectar la ciudad se muestran en la Figura 4-7.

-Zona 1 Zona 2

Zona5B Zona5A

O 11 Zona 1 - Cerros

~ Zona 2 - Piedemonte Zona ~~ - Lacustre A

4 G 8 Escala

1Dkm

Zona 4 - Lacustre B Zona 5A - Terrazas y Conos Zona 58 - Terrazas y Conos Potencialmente Licuables Figura 7-34 - Mapa de zonificación sísmica de Bogotá

Dentro de estas fallas, las más importante'> son: la falla frontal de la Cordillera Oriental, las fallas del río Magdalena, y numerosas fallas locales. Aunque la zona de Subducción de la costa del Océano Pacífico se encuentra a más de 300 km de la ciudad, la zona de Benioff que se presenta tiene capacidad de producir sismos que pueden afectar la ciudad. El valor esperado de la aceleración máxima en roca obtenido en el estudio coincide con el valor de 0.20g obtenido en el estudio de amenaza sísmica realizado para las nuevas normas sismo resistentes, NSR-98. Se realizaron estudios de geología, hídrogeología, geofísica y geotécnia en la zona urbana de la ciudad, necesarios para determinar la geometría, la caracterización geomecánica y la respuesta dinámica del subsuelo, constituido por un depósito 220

cuaternario de origen lacustre cuyo espesor total puede alcanzar en algunos lugares hasta 500 m de profundidad. La investigación geofísica comprendió sondeos eléctricos verticales, reflexión y refracción sísmica, gravírnetría, microtrepidaciones, y ensayos tipo "down hole". La exploración geotécnica directa comprendió más de 2500 m de sondeos repartidos en 38 perforaciones que llegaron en algunos casos hasta 250 m de profundidad. Se realizaron ensayos de laboratorio sobre las muestras para determinar las propiedades índice, de resistencia y deformabilidad bajo cargas estáticas, y de propiedades dinámicas en ensayos triaxiales cíclicos y del tipo "bender element",

La respuesta sísmica del subsuelo se estableció a partir de modelos unidimensionales de propagación de onda de cortante y modelos bidimensionales dinámicos de elementos finitos. Se identificaron cinco zonas de comportamiento homogéneo frente a varias familias de acelerogramas, lo cual permitió determinar un espectro típico para cada zona. En la Figura 7-3-1 se muestra la zonificación obtenida, yen la Figura 7-35 las formas espectrales suavizadas correspondientes a cada zona.

0.8 -,-----,---,-----,---,-----,---¡------,-----¡------,----,

0.7 +-t---+--+--\------j;,.L--+---+--t----j---t----j-------j Zona 3 - Lacustre A

0.6 +-Ie--fto--~-----\---+---+---I\----j---t----j-------j

0.5 +I:IH-J---Hr--+....lo¡:-+....;;-+---+~¡_j--_+_-_+-__I

Sa 0.4 -tII--I--Jy.--'¡"'--llr--'¡"'~"*--~-+-I-'~-t-

(g)

0.2 -fI---t---¡----¡---t--+---==""""=---j-----"~-"'!i~~~ 0.1 i - - - + - - i - - - + - - i - - - - t - - - - j - - - - - t - - - - j - - - - t _

0.0 +---+--+---+--+---+--+---+--+---+------j 0.0 0.5 3.5 4.0 5.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.5

T (s) Figura 7-35 - Espectros de diseño para las zonas sísmicas de Bogotá

7.7.5 Forma del espectro del Código de Ciudad de México de 1993

Las formas del espectro del Código de Ciudad de México corresponden a una manera de atender un problema totalmente local de amplificación de onda causada por los estratos profundos de arcillas blandas que conforman el suelo del valle donde está localizada la ciudad. Este problema fue identificado por los investigadores locales hace varias décadas y fue plasmado en el reglamento desde ese entonces. La última versión existente antes de la ocurrencia del sismo de septiembre de 1985 [UNAM, 1986b] fue modificada a raíz del sismo por medio de unas normas de emergencia [UNAM, 1986a] que hoy en día se encuentran incorporadas al reglamento vigente [DFM, 1993].

221

Para efectos de determinar el espectro la ciudad está dividida en cuatro zonas que se definen de la siguiente manera:

Zona 1 - Colinas - Roca o suelos rígidos depositados fuera del antiguo lago, con posibilidad de existencia de lentes de arenas sueltas o arcilla relativamente blandas. Zona II - Transición -- Arenas y arenas limosas con espesores de menos de 20 m e intercaladas con estratos de arcillas de deposición lacustre de espesores que varían entre unos centímetros y varios metros. Zona III - Lacustre - Estratos de arcillas de deposición lacustre altamente compresibles, localizados entre estratos de arenas limosas y arcillosas, puede haber depósitos de arcilla hasta de 50 m y el espesor de los estratos de arenas puede variar desde unos centímetros hasta varios metros. El espectro elástico se define por medio de las siguientes ecuaciones: Para T menor que T a :

( 3T)

s, = 1+ T ¡e

(7-52)

Para T entre 'r, Y 'r, : (7-53)

Para T mayor de T b : (7 -5-1)

Los valores apropiados para cada zona de suelo son los siguientes: Tabla 7-16 - Coeficientes pa:-a el espectro de' Código ée Ciudad dE' México

ZONA

1 II III

0.16 0.32 (J-l

0.2 tU OC;

0.6

15 3.9

r i/2 2/3 1

El Código exige para edificaciones indispensables que el espectro se incremente en un 50%. Otra diferencia importante con respecto a otros códigos es que en el cálculo de la masa de la estructura se exige incluir una parte importante de la carga viva,

222

0.5v

DA5

Sa (g)

0.25

r-,

0.35 0.3'v

Zonal

I I

'"<, ~J1

0.2v 0.1 5

0.1 v

0.05

Zonal

-......

I¿onal

/ .....

2.0

2,5

------ I

0.0'v

0.0

0.5

1.0

1.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Período T (s) Figura 7-36 - Espectros elásticos de diseño del Código de Ciudad de México

Para obtener el espectro inelástico de diseño al igual que en los otros códigos, se hace una reducción por ductilidad, utilizando un factor de ductilidad, Q, totalmente equivalente al R del ATC-3 y de AIS 100-97 y NSR-98. En este caso hay dos diferencias importantes: la primera tiene que ver con los valores admisibles para Q los cuales eran muy similares a los del ATC-3 y delAlf 100-97 y NSR-98, pero que a partir del sismo de 1985 fueron reducidos substancialmente. En la actualidad los valores van desde 1.5 para mampostería confinada o reforzada y un máximo de 4.0 para estructuras dúctiles de concreto reforzado o acero. Para el caso de losas de reticular celulado, donde la losa hace el papel de viga el valor de Q permitido es de 3. El otro aspecto importante tiene que ver con el hecho de que dado que el pico del espectro está muy corrido hacia la derecha y el espectro tiende al valor de la aceleración máxima del terreno para períodos cortos, hay necesidad de hacer una corrección en el "alar de Q en esta zona del espectro. Esta corrección se realiza utilizando un valor de Q' para dív idir el espectro elástico y obtener el espectro inelástico de diseño. El valor de Q' se obtiene así: Para períodos T mayores que Ta : (7- 55)

Q'=Q

Para períodos T menores que T a :

Q'=l+(Q-l)~ Ta

(7-56)

7.7.5 Forma del espectro del NEHRP-94

Los requisitos contenidos en las recomendaciones del National Earthquake Hazard Reduction Program - NEHRP, son en general actualizaciones del ATC-3. Su primera versión, aparecida en 1986 IFEMA, 1986] recogía el texto del ATC-3 casi en SI] totalidad y sin mayores variaciones. Luego fueron actualizados en 1991 [rEMA, 1991] y posteriormente en 1994.

La versión de 1994 lFEMA, 1994b] trae variaciones importantes con respecto a las versiones anteriores, especialmente en el espectro y particularmente en la forma como se toman en cuenta los efectos de sitio. En la Sección 7.-!.3 se explicó en detalle la manera como se toman en cuenta, dentro del NEHRP-94, los efectos de sitio y los coeficientes de amplificación que se deben emplear para los diferentes tipos de perfil. En la forma del espectro se mantiene la del ATC-3, pero la manera como se llega a él es algo diferente. El espectro está definido de la siguiente manera: (7-57) Los valores de Ca Y C, se obtienen al realizar los siguientes productos:

(7-58)

(7-59) donde los valores de Fa Y F, son los que se presentaron en las Tablas 7-9 y 7-10 respectivamente, aunque la norma no los usa directamente, pues sólo emplea los coeficientes Ca Y C; e incluye Fa Y F, simplemente como una guía. La norma trae tablas para los valores de los parámetros Ca Y C v, así: Tabla 7-17 - Valores del coeficiente Ca Perfil de Suelo

Aa <0.05

Aa = 0.05

A a = 0.10

Aa =0.20

Aa = 0.30

Aa = 0.40

A B C D

Aa Aa Aa Aa Aa

0.04

0.08

0.16

0.24

0.32

0.05

0.10

0.20

0.30

0.40

0.06

0.12

0.24

0.33

0.40

008

0.16

0.28

0.36

0.44

0.13

0.25

0.34

u.313

0.36

Av = 0.30

Av = 0.40

Tabla 7-18 - Valores dp/ coeficiente C, Perfil de Suelo

Av <0.05

Av = 0.05

Av = 0.10

Av = 0.20

Av Av Av Av Av

0.04

0.08

0.16

0.24

0.32

0.05

0.10

0.20

0.30

0.40

0.09

0.17

0.32

0.45

0.56

0.12

0.24

0.40

0.54

0.64

0.18

0.35

0.64

0.84

0.96

C D E

A continuación se presentan los espectros que se obtienen para valores de Aa = Av = 0.10,0.20 Y 0.30.

224

0.7 , - - - - - , - - - - - - , - - - - - - - , - - - - - - , - - - - - , - - - - ,

0.6 +----~r_--+----+---+----+---_I

0.5 +_---+-~..____+----r_---+---_+---__I

0.4

+----+....---\"""':----+----+----\-----1

0.3

+----+.__-~..r----+=-_.;;::-+---_+---_I

Sa (g)

0.2 +---..-'''i----~_:----t-='''--=+----\----'=''-l

Suelo Tipo A

0.0 t-----+------+----j-----+------+------i

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-37 - Espectro de aceleraciones Aa = Av = 0.10, NEHRP-94 0.90 .------,----,---~r_---,-------,----,

0.80

+----+-----'\-J-------jf----+----+----i

0.70 +----+~----+~~---cf----+----+----i 0.60 +----....¡.,-~--+-----"""-----+-----+---

s, 0.50 (g) 0.40 +_-.......~d_----"o,d--

~'o;;:_-7'P""""'-'-"""-_'q_---_t="'""""'"'~_I

0.30 +_---~c_""o--+_--~.....::_--""";_=---_+_---__I 0.20 r_----+-----""....,¡.::--""_;;;;d-=='-==t-----='T"-_==:J 0.10

L----t----L-=:=t=::::;t;;;;;;;;;:i::==d

0.00 +-------!-----+-------+----+-------!------I 0.0

0.5

1.0

1.5

Período T (s)

Figura 7-38 - Espectro_ de aceleraciones Aa

2.0

2.5

3.0

=Av = 0.20, NEHRP-94

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

(g) 0.5 0.4

0.3 0.2 0.1 0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Período T (s)

Figura 7-39 - Espectro de eceterectones Aa = Av = 0.30, NEHRP-94

225

----------------

- - - - - - ._---~----

7.7.7 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-97)

El Uniform Building Code en su versión de 1997 [ICBO, 1997] adoptó los requisitos del NEHRP-94 con algunas variaciones. La manera de plantear el espectro es similar a la de versiones anteriores definiendo primero el cortante de diseño en la base, V, en función del peso de la edificación W, lo cual conduce al siguiente espectro elástico implícito, expresado como fracción de la aceleración de la gravedad: C" 1 S a =--::;;2.5 Ca 1

(7-60)

El valor de S, debe cumplir la siguiente relación: (7 -61)

Además, en las zonas de amenaza sísmica N 4, el valor del espectro debe cumplir. (7-62)

El cortante de diseño en la base V se obtiene por medio de la siguiente expresión:

V=~W

(7-63)

A diferencia de las versiones anteriores del UBe, en el UBC-97 las fuerzas sísmicas están prescritas al nivel de resistencia, como en las normas sísmicas colombianas. R es un coeficiente de modificación de respuesta con valores similares a los del ATC-3, que en este caso van desde un valor minimo de 2.8 hasta un máximo de 8.5. El territorio de los Estados Unidos está dividido en las siguientes zonas de amenaza sísmica, a cada una de ellas se le asigna un valor del parámetro Z, como se define a continuación:

TaNa 7-19 - Coefic:p.nte de zonificación sísmica del UBC-97

1 es un coeficiente de importancia que depende del tipo de ocupación que tenga la edificación de la siguiente manera: Tabla 7-20 - Coeficiente de importancia del UBC·97

Tipo de Ocupación

1. Instalaciones Indispensables

1.25

11. Instalaciones peligrosas IlI. Estructuras de ocupación especial 1\ Estructuras de ocupación normal

l.OO

125 l.UO

Los efectos de amplificación de la onda sísmica se toman en cuenta por medio de un procedimiento totalmente análogo al del NEHRP-94, presentado en la Sección 7.4.3. Además, el UBC-97 introduce para las zonas de amenaza sísmica N 4, unos coeficientes especiales dictados por la presencia de fallas activas en las cercanías de la edificación. Esta es la primera vez que se lleva este tipo de requisitos a una norma de diseño sismo resistente. Los coeficientes correspondientes a estos dos efectos son los siguientes: 22(;

Tabla 7-21 - Tipos de perfil de suelo del UBC-97

I ;¡

Propiedades promedio del suelo en los 30 m suneríores del nerfíl Ensayo de penetración estándar. N Velocidad de la Resistencia al onda de cortante no (o Nchpara cortante. V s drenado. Su estratos de en kl'a en m/s suelos no cohesivos) en golpes/pié

Tipo de perfil de suelo

Nombre del tipo de perfil de suelo. Descripción genérica

SA SR Se So SE Sf

Roca competente

> 1500

Roca

760 - 1500

Suelo muy denso. o roca blanda

360 - 760

> 50

> 100

Perfil de suelo duro

180 - 360

] 5 - 50

SO - 100

Perfil de suelo blando

< 180

< 15

< 50

Perfil ele suelo que requiere una evaluación especial en el sitio

Los valores de los promedios ponderados de vs ' N, Nch y Su se calculan de la misma forma que en el NEHRP-9-1:, tal como se indico en la Sección 7.4.3. Tabla 7-22 - Coeficiente Ca del UBC-97 -

Tipo de perfil de suelo

Z = 0.20

Z = 0.30

Z~OAO

0.12

0.16

0.2-1

0.32 Na

0.15

0.20

0.30

OAO Na

0.09

0.18

0.2-1

0.33

OAU Na

U.12

0.22

0.28

0.36

0.-1-1 Na

0.19

0.30

0.3-1

0.36

ü.3G N d

Debe realizarse una investigación geotécnica en el sitio y un análisis dinámico de respuesta para las propiedades dinámicas del suelo encontradas

SA SB Se SO

Coeficiente sismico de zona, Z Z = 0.075

Z = 0.1 5

0.06 0.08

Tabla 7-23 - Coeficiente C, del UBC-97

Tipo de perfil de suelo

SA SB Se So SE SF

Coeficiente sísmico de zona, Z Z = 0.075

Z = 0.15

Z = 0.20

Z = 0.30

Z = ClAO

0.06

0.12

o.ie

0.2-1

0.32

0.08

0.15

0.20

0.30

OAO~v

0.13

0.25

0.32

OA5

0.56 N v

0.18

0.32

OAO

0.5-1

0.6-1 N v

0.26

0.50

0.64

0.84

0.96 N v

Debe realizarse una investigación geotécníca en el sitio y un análisis dinámico de respuesta para las propiedades dinámicas del suelo encontradas

Para efectos de tener en cuenta los efectos de campo cercano en la proximidad de fuentes sismogenicas activas en las zonas de amenaza sísmica N -1:, primero estas se clasifican dentro de tres tipos, A, B o C, y dependiendo de la cercanía a ellas, se fijan

227

úll1ica eslructural HIJIICUIIU u, l t l ' K " " .'<.- •.•• ~"

valores de los parámetros Na Y x.. El UBC-97 establece que la localización y tipo de las fuentes sismogenicas para ser empleadas debe sustentarse en información geotécnica y geológica aprobada, por ejemplo datos del USGS (United States Geological Survey) o del CDMG (California Dívision of Mines and Geology). Tabla 7-24 - Tipos de fuentes sismogénicas del UBC-97

Definición de la fuente sismo énica Magnitud de Tasa de actividad SR Momento Mw (..nm/año)_ máxima

Tipo de fuente sismogénica

Descripción de la fuente sismogénica

Fallas que son capaces de producir eventos de magnitud grande y que tienen una tasa alta de actividad sisrnica

M;:: 7.0

SR;:: S

Fallas diferentes a las de tipo A o e

M;:: z.o M < z.o M;:: 6.5

SR< S SR> 2 SR< 2

Fallas que no son capaces de producir sismos de magnitud grande y que tienen una tasa de actividad relativamente bala

M< 6.5

SR52

Los dos criterios de magnitud de momento sísmico, M w , Y de tasa de actividad, SR, deben cumplirse simultáneamente para efectos de determinar el tipo de fuente sismogénica. La magnitud de momento sísmico, M w , está definida en la Sección -1.52. Además se indica en el UBC-97 que las fuentes sismogénicas de subducción deben evaluarse en cada caso con base en criterios apropiados. Tab!1 7-25 - Coeficiente de campo cerceno Na del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A

Distancia más corta a la fuente sísmoaéníca conocida km ;:: 10 km 52km 5km 1.5 l.U 1.2 1.3 1.0 LO 1.0 1.0 1.0

Tabla 7-26 - Coeficiente de campo cercano N, del UBC-97

Tipo de fuente sismogénica A B

Distancia más corta a la fuente sísmozeníca conocida km <2km 2.0 1.6 1.0

10 k 111 1.2

1.6

1.0

1.2

1.0

l.0

: I

1.0 1.0

5km

> l.) km

Se permite interpolar entre los valores dados en las Tablas 7-25 y 7-26. La distancia más corta a la fuente sismogénica debe ser la mínima distancia entre el lugar de interés y el área correspondiente a la proyección del plano de la fuente en un plano horizontal localizado al nivel de la superficie del terreno. No hay necesidad de incluir dentro del plano de la fuente partes de él localizadas a profundidades mayores de 10 km. Deben tomarse los valores de los coeficientes de campo cercano mayores, de los calculados para todas las fuentes sismogénicas que puedan afectar el lugar de interés. 7.7.S Forma del espectro del Eurocodiqo-B

Dentro del grupo de Códigos producidos por el Comité Europeo de Normalización (CEN), el Eurocódigo 8 corresponde a los requisitos sísmicos ICEN, 19941. Dentro de

228

este Código se plantea el espectro elástico para un período de retorno de 475 años de la siguiente manera: Para O:S:: T:S:: TB S e (T) = ag' S . [ 1+

~ . (TI . ~

o -

1)]

(7-64)

(7-65)

r ]kl

T S e (T) = a g . S . TI'1 • Po A • ~ T

(7-66)

(7-67)

donde: Se(T)

s TI

ordenada del espectro elástico período de vibración de un sistema lineal de un grado de libertad aceleración del terreno de diseño, para el período de retorno de referencia coeficiente de amplificación de la aceleración espectral para un amortiguamiento de 5% del crítico límites de la zona de aceleraciones espectrales constantes valor del período que define el comienzo del rango de desplazamientos constantes del espectro exponentes que afectan la forma del espectro para períodos de vibración mayores que Te Y T n respectivamente. parámetro del suelo coeficiente de corrección del amortiguamiento, con un valor de referencia TI = 1 para un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico

Los tipos de estratigrafía del suelo se clasífícan de la siguiente manera: Perfil Clase A - Es un perfil que tiene las siguientes propiedades: (a) roca u otra formación geológica caracterizada por una velocidad de la onda de cortante, V S , mayor o igual a 800 mis, incluyendo máximo 5 m de material menos competente en la superficie, o (b) Perfiles rígidos conformados por arenas, gravas o arcillas sobreconsolídadas de un espesor de varias decenas de metros, caracterizados por un incremento gradual de las propiedades mecánicas con la profundidad y por valores de V s al menos de 400 mis a una profundidad de 10 m. Perfil Clase B - Depósitos profundos de arenas medianamente densas, gravas o arcillas de rigidez mediana, con una profundidad de va desde varias decenas de metros hasta muchas centenas de metros, caracterizadas por valores de Vs de al menos 200 mis a una profundidad de la m, y que aumentas a valores de al menos 350 mis a una profundidad de 50 m. Perfil Clase e - Es un perfil que tiene las siguientes propiedades: (a) depósitos de suelos no cohesivos sueltos, con e sin algunos estratos de suelos cohesivos blandos caracterizados por valores de la velocidad de la onda de cortante, VSI menor de 200 mis en los 20 m superiores, o (b) Depósitos que contienen predominantemente suelos

-------------

229 ~

Dinánuc« eSlnlC1ICnll UjJIIClIUU " . " " "

o . v " . " .• _._

cohesivos que van desde blandos hasta medianamente rígidos, caracterizados por valores de Vs inferiores a 200 mis en los 20 m superiores. Tabla 7-27 - Valores de los parámetros que definen el espectro elástico Clase de perfil de suelo

A B

1.0 1.0 0.9

~o 2.5 2.5 2.5

1.0 1.0 1.0

2.0 2.0 2.0

(s)

0.10 0.15 0.20

0040

3.0 3.0 3.0

0.60 0.80

I )

o Período T, (s)

Figura 7-40 - Espectro elástico del Eurocódigo 8

Cuando el perfil de suelo incluye estratos superficiales de origen aluvial con espesores que varían entre 5 y 20 m, localizados sobre materiales más rígidos como los del perfil clase A, puede utilizarse la forma del espectro para perfiles clase B, utilizando un valor de S igual a lA, a menos que se realice un estudio especial. El valor del coeficiente de corrección para el amortiguamíento, se puede determinar por medio de: T\ =

~ 2+~ 7 2: 0.7

(7-68)

El Eurocódigo 8 trae un espectro de diseño reducido por efectos de respuesta en el rango inelástico, al que denomina espectro de diseño para análisis lineal. El espectro se reduce por medio de un coeficiente de comportamiento q. El coeficiente de comportamiento q corresponde al cociente entre las fuerzas sísmicas que la estructura experimentaría si su respuesta fuera totalmente elástica, con un coeficiente de amortiguamiento de 5% del crítico, y las fuerzas sísmicas mínimas de diseño, cuando éste se realiza utilizando un modelo matemático elástico. Este espectro de diseño está definido de la siguiente manera: Para O~ T ~ TB

280

s, (T) = a . S·

[1 ~ ~; -1)] +

(7 -70)

---..,

Para TB :=:; T:=:;; Te

'--'~.~' VNIVEASIOA~~!¡CI(lNt!1. n~ INGENIEflIA

Sd(T)= a.s.~

fACULTAP PE 1tC~j)lOGiA ~E I.A CON5TNUCIO~

(7-71)

CENTRO DE OOCUíf.ENTA.CION

Para Te :=:; T :=:; Tn

S (T) = a . S . ----!!... ~]k

Para TD:=:;;T

~ 0.20· a

[T ]k [T I"

(7-72)

/3 T: Sd(T)=a'S'qº-'

~0.20·a

(7-73)

donde: Sd(T)

ordenada del espectro de diseño como fracción de la aceleración de la gravedad coeficiente de aceleración, igual al cociente entre la aceleración del terreno de diseño, a g, y la aceleración de gravedad, g (a = ag/g) coeficiente de comportamiento exponentes que afectan la forma del espectro para períodos de vibración mayores que Te YT D respectivamente. Tabla 7-28 - Valores de k d 1 y k d2

Clase de suelo

k d1

k d2

213

5/3

213

5/3

213

5/3

7,8 Comentarios sobre la selección de los movimientos sísmicos de diseño Es evidente de la presentación realizada a través del Capítulo que existen numerosas maneras de enfocar la definición de los movimientos sísmicos de diseño, y que dentro del proceso intervienen numerosos aspectos, estudiados, a su vez, por diferentes disciplinas de la ciencia y la ingeniería. Es por lo tanto de vital importancia que el objetivo de definir unos movimientos sísmicos de diseño, en el sentido amplio general de producir una respuesta adecuada de la edificación ante la excitación sísmica, no se pierda de vista. El criterio y experiencia en el tema de todos y cada uno de los profesionales que participen en la selección y justificación de los movimíentos sísmicos de diseño, es un aspecto sin el cual es imposible obtener resultados adecuados.

281

L.J"I!.lIltf( l·( ..__.~l' U., , l l U l l '

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0,5

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~,-"'\-~ 0V':x /!)<, k

Velocidad (mis)

! )(~':-~ '"

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X\~ &v/¡/

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0VYV~

0,005

~~~

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) 0.11Q, 1 9 <,

0.001 0.01

0.05

0.1

0.5

Período T (s)

Figura 7-41 - Papel tripartita espectral

SECCION-H

SISTEMAS DINAMICOS DE VAlnOS GBllDOS DE LIBERTAD • S

Introducci/m al análisis matricial de estructuras • 9 Análisis matricial avanzado y elementos finitos • 10 Ecuaciones de equilibrio "',¡n,ir,,,i;,-o • 11 Idealización dinámica de la estructura • 12 Formulación del análisis modal • 13 Métodos numéricos en el análisis modal • 14 .A.nálisis modal cronoloqico • 15 Análisis modal espectral

--------------_ _ - - - ..

Capitulo S

Introducción al análisis matricial de estructuras

8.1 Definiciones 8.1.1 Introducción

Con el fin de plantear un lenguaje propio para manejar sistemas dinámicos de varios grados de libertad se ha incluido el presente capítulo introductorio al análisis matricial de estructuras. Este tema está cubierto en excelentes textos de análisis estructural a los cuales se remite al lector que quiera profundizar sobre él. Dentro de los textos que pueden consultarse, se recomiendan los siguientes: [Cook, Malkus y Plesha, 1989], [Gerstle, 1974] , [Ghalí y Neville, 1989], [Harrison.1973], [Holzer, 19851, iLaursen, 1978], [Livesley, 1964], [McGuire y Gallagher, 1979], [Norris, Wilbur y Otku, 19761. [Prezemienniecki, 1968], ISack, 1984 y 1989], [Schoidek, 1980], [Schueller, 1990), [Sttaford-Smith, 1991[, i'Taranath, 1988], [Timoshenko y Young, 19651. [Uribe, 1991], [Vanderbilt, 1974], y [Weaver y Gere, 1990J. El análisis matricial de estructuras no es nuevo a la ingeniería estructural, sus primeros desarrollos tuvieron lugar durante el siglo pasado pero realmente su aplicación práctica ocurrió con la aparición del computador digital, a partir de finales de la década de 19 SO. Hace algunos años se consideró novedoso, pero dado la popularidad que adquirieron algunos programas de computador que utilizaban esta metodología, tales como STRESS [Fenves et at., 1964] y ~TRUDL [Logcher, ei at., 1968]; su utilización se convirtió en rutinaria, y puede afirmarse que hoy en día prácticamente no se realiza un análisis estructural sin emplearla, no con estos programas, pero sí con sus descendientes directos. Este aspecto refuerza el énfasis de que el ingeniero debe conocer sus fundamentos del análisis matricial, y especialmente sus limitaciones. Se ha resistido aquí la tentación de denominar el presente capítulo "Análisis por el Método de Elementos Finitos", del cual el análisis matricial es un subconjunto. El desarrollo del método de los elementos finitos se inició en la década de 1960 y cada día ocurren mayores avances en él, no obstante en su aplicación en casos prácticos del día a día en ingeniería estructural, muy pocas veces se puede ejercer el criterio que deben aplicar los ingenieros en todas las labores que adelanten, pues se confunde muchas veces el comportamiento de la estructura propiamente dicha con el comportamiento que describe el modelo matemático de ella, llevando al ingeniero a tomar decisiones erradas que muchas veces se habrían podido evitar utilizando sentido común. En el Capítulo siguiente se presentan los fundamentos del método de los elementos finitos y sus aplicaciones prácticas en el análisis de estructuras de edificaciones. Para facilitar el uso del análisis matricial en casos de ejemplos y ejercicios que exceden lo que es posible realizar manualmente, se recomienda el uso del programa de computador CAL91 [Wilson, 79911 el cual fue desarrollado por el profesor E. L. Wilson de la Universidad de California en Berkelcy, para la enseñanza del análisis matricial y la dinámica estructural. 286

uunic« estructural aplicada al diseño sísmico 1.2 Alqebra lineal Matriz - Es una tabla o arreglo rectangular de cantidades numencas o expresiones

matemáticas que se pueden representar por medio de un solo símbolo. Por lo tanto: a 11

a 12

a 13

a 21

a 22

a 23

[A] m,n = a 31

a 32

.. , ...

alo a 20

...

a 33

a 30

: amI

a m2

(8-1)

;

a m3

...

amo

Esto significa que se ha escogido [A] como el símbolo para representar el arreglo o tabla de ID por n elementos donde aij es el elemento localizado en la fila i y en la columna j. Los subíndices ID y n en [A]m,n indican que la matriz [A] tiene ID filas y n columnas. En general los subíndices de tamaño se omiten y el hecho de que el nombre aparezca entre corchetes rectangulares indica que se trata de una matriz. Matriz cuadrada - Es una matriz donde ID = n. Matriz diagonal - Es una matriz cuadrada donde los términos que estén fuera de la

diagonal son cero: O

b 22 O

...

b 33

.,.

(8-2)

: '"

b mo

Matriz unitaria - Es una matriz diagonal donde todos los términos de la diagonal son iguales 2. la unidad. Se describe como [ 1 ] o matriz identidad. 1 O O .oo O O 1 O oo. O

[1] 0,0 = O O 1 ... O :

(8-3)

;

O O O

... 1

Matriz simétrica - Es una matriz donde aij :..= aji' Matriz nula - Es una matriz donde todo los términos son cero. Vector - Es una matriz donde ID o n son uno. El hecho de que el nombre del vector aparezca entre corchetes, {A}, indica que es un vector.

(8--0

8 • Introducción al análisis matricial de estruct II

Determinante - Es una tabla o arreglo cuadrado de elementos o expresiones. El hecho de que el nombre aparezca entre líneas verticales, IAI, indica que se trata de un determinante. La diferencia fundamental entre un determinante y una matriz es que el determinante al expandirlo tiene un valor numérico, mientras que las matrices no pueden ser reducidas a un valor único. Cuando una matriz [A] es cuadrada se puede hablar de su determinante como IAI.

I I

a l2

a 13

a 14

a 21

a 22

a 23

a 24

a 31

a 32

a 33

a 34

a 41

a 42

a 43

a 44

(S-5)

El menor de un elemento, aij. de un determinante IAI de tamaño n es el determinante de tamaño n-l obtenido al tachar la fila i y la columna j del determinante original. El cofactor de un elemento, aij, de un determinante IAI de tamaño n es el determinante de tamaño n-I obtenido al tachar la fila i y la columna J del determinante original, multiplicado por el término (_l)i+j .

8.1.3 Operaciones con matrices Suma - Se realiza sumando los términos correspondientes en cada matriz, entonces: (S-G)

implica que: (8-7)

por lo tanto es evidente que para poder realizar una suma entre matrices tienen que ser del mismo orden m por n. Por ejemplo:

[B]=[mJ [Cl=[;~]

[B] y [C]

~S-8)

entonces para

Resta - Se realiza restando los términos correspondientes en cada matriz, entonces: [A]

= [B] • [C]

(S-lO)

implica que: (8-11 )

por lo tanto es evidente, también, que para poder realizar una resta entre matrices [A], [B] Y [C] tienen que ser del mismo orden m por n.

Transposición - La transpuesta de [A] es [A]T donde T indica que se transpuso [A]. Entonces para cualquier i y j:

--------------------------

hruunica estructural aplicada al diseño sísmico

(8-12)

a!. =a·· 1,.) .1,1

por ejemplo:

[A]"

=[~] . . [AK, =lmJ

(8-13)

Multiplicación de matrices - El producto de [A] por [B] es [C] donde:

x [B] o,p [c]m,p = [A]m,o..

(8-14)

donde cada termino de [C] está dado por: n

e, . = "'(a. k.J

1, k "

I,J

(8-1 S)

b k d.)

k=l

El número de columnas n en [A]m,n debe ser igual al número de filas en [B]n,p. Por ejemplo

[C]2,3 = [A]2,3 [B]3,3

[H*JxlHffiJ

=[1, 1- 3· 2 + 5 . 3 1· 7 - 3· 5 + 5· 1 1· 2 - 3· 3 + 5 . O] 2·1+J·2+0·3 2·7+1·5+0·1 2·2+1·3+0·0

=[~] 4 1191 7 En el caso anterior se dice que [Al premultiplica a [B] y que [B] postmultipíica a [Al

El producto de la matriz [A] por el escalar k es una nueva matriz [B] donde cada término de [B] es el término correspondiente de [A] multiplicado por k

Multiplicación de una matriz por un escalar

Inversion - La división como tal no está definida como una de las operaciones de álgebra lineal. Pero una alternativa, cuando se trata de matrices cuadradas, es multiplicar por el inverso. Si denominamos el inverso de una matriz [A] como [Ar 1 entonces planteando el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:

[A][x] = [c]

(8-16)

Para obtener [x] podemos premultiplicar la ecuación (8-16) por [Ar 1 obteniendo: (8-17)

288

R • Introduccion al análisis motricial de estructuras

que se COll\ ierte en: (8-18)

Por lo tanto la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene multiplicando la inversa de la matriz de coeficientes de las incógnitas por la matriz de términos libres. Existen numerosos métodos de inversión de matrices, cuya descripción se sale del alcance de esta breve introducción al álgebra lineal. La persona interesada en el tema puede remitirse a numerosas referencias, dentro de las cuales se cuentan: [Akivis y Goldberq, 1972], [Bathe y Wilson, 1976], [Bathe, 1982, 19961, [Bradley, 1975], [Carnaham, Luther, y Wilkes, 19691, [Crandall, 1956], [Deif, 1982], rFaddeeva, 1959], [Froberg, 1965], [Hammiong, 1962], [Hildebrand, 1965 y 1974], [james, Srnith, y Waldorf, 1985], [jensen y Rowland, 1975], [jennings y McKeown, 1992], [Kreyszig, 19931, [Marcus y Mine, 1972], [Mostrow y Sampson, 1965], [Nicholson, 19861, [Shílov, 19771, [Strang, 1988], y otros. Cuando una matriz no tiene inverso se dice que es singular. Que el valor del determinante de la matriz sea cero es prueba de que la matriz es singular. Existe un caso especial en el cual la transpuesta de la matriz es su inversa, en este caso se dice que la matriz es ortogonal. Para una matriz ortogonal: (8-19)

Partición de matrices - Consiste en dividir la matriz en submatríces para asi poderlas tratar como elementos independientes en operaciones de álgebra lineal. Para poder realizar operaciones con submatrices debe tenerse cuidado que éstas sean conforrnales, o sea que tengan dimensiones compatibles. Se procede de la siguiente manera:

[A][B]=[C]

(8-20)

Particionando [A] Y [B] así:

[Á][li] = [Al ~ A2][~~]

= ([A¡)[Bd) + ([A 2][B 2 ])

(8- 2l)

= [C l]+[C2 ] = [c]

Por ejemplo:

1-1] )

2:39

Iinárnica estruct ural aplicada al diseño sismico

Leyes y propiedades: Ley conmutativa - La suma de matrices es conmutativa, pero no la resta: [B] + [e] = [e] + [B]

(8-22)

[D] • [E] "# [E] - [D]

(8-23)

y la multiplicación de matrices tampoco lo es: [B] [e]

'* [e] [B]

(8-24)

Ley asociativa - La ley asociativa es valida tanto para suma o resta como para multiplicación:

[A]+([B]+[e]) = ([ A]+[B])+[e]

(8-25)

[A] ([B] [e]) = ((A] (B]) (e]

(8-26)

Ley distributiva - La ley distributiva es valida:

[A] ([B]+ [e]) =[A][B]+ [A][e]

(8-27)

Las siguientes propiedades de las operaciones entre matrices son útiles: (8-28)

(8-29)

(8-30)

(8- 31 )

En las dos últimas expresiones debe notarse que el orden de las matrices cambia en el lado derecho,

8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores Para efecto de algunas de las deducciones que se presentan es conveniente presentar algunas propiedades de los vectores y los espacios vectoriales. Un punto en el espacio es un objeto geométrico, que al existir un sistema de coordenadas espacial, se puede describir por medio de sus coordenadas. Un vector es un segmento dirigido de línea el cual tiene un punto inicial y un punto final. Si

240

8 • Introducción al análisis matricial de estructuras

disponemos de un sistema de coordenadas cuyos ejes son mutuamente perpendiculares esto se conoce como un sistema de coordenadas cartesiano. Si tenemos un vector {a} obtenido de dirigir un segmento de línea del punto inicial p al punto final q, y las coordenadas, en el espacio de p son (Xp, Yp, zp) y las de q son (Xq, Yq, Zq), entonces las componentes de {a} con respecto al sistema de coordenadas cartesiano son: (8-32)

Por definición la longitud del vector {a} se representa como lal y corresponde a la distancia entre p y q, la cual se obtiene por medio 'del teorema de Pitágoras como: (8-33)

El producto punto de dos vectores se define como: (8- 3-1)

donde 'Y es el ángulo entre los dos vectores medido cuando sus dos puntos iniciales coinciden. De aquí se deriva la propiedad de que dos vectores son perpendiculares u ortogonales si su producto punto es cero. El producto cruz de dos vectores se define como:

(8-3 S)

y el vector {e} es un vector perpendicular al plano que conforman los vectores {a] y [b} Y

sigue la regla de la mano derecha con respecto al orden de la operación, o sea que al colocar la parte inferior de la mano derecha sobre el plano que conforman los dos vectores y girar la mano del primero al segundo, la dirección positiva de {e} es la que tiene el dedo pulgar. Además la magnitud del vector {e} es igual al área del paralelogramo que conforman los vectores {a} y {b} al ser utilizados como lados adyacentes del paralelogramo.

8.2 Sistemas de coordenadas y su transformación Para efectos del análisis matricial, se definen dos sistemas de dirección positiva de las fuerzas y de los desplazamientos de la estructura. Estos sistemas los denominaremos sistema de coordenadas local cuando se trata de fuerzas y deformaciones referidas con respecto a los ejes propios del elemento y sistema de coordenadas global cuando están referidas a ejes de la estructura como un conjunto. En las presentes notas se utilizarán letras minúsculas para referirse a propiedades expresadas en el sistema local y letras t-.IAYUSCUL-\S para referirse él propiedades expresadas en el sistema GLOBAL. Para entender mejor estos conceptos supongamos el pórtico mostrado en la Figura 8-lo Este pórtico esta sometido a unas fuerzas externas. Si realizamos un análisis de la estructura, por cualquier método convencional, encontraremos los desplazamíentos de

241

tinámica estructural aplicada al diseño sísmico

los nudos de la estructura y las fuerzas internas en los elementos. Si hacemos cuerpo libre de los elementos, encontramos que cada uno de ellos tiene en sus extremos unas fuerzas axiales, unas fuerzas cortantes y unos momentos flectores. Estas fuerzas deben estar, y están, en equilibrio con las fuerzas externas que obran sobre el elemento. De igual manera si hacemos cuerpo libre de los nudos de la estructura encontraremos que también están en equilibrio y que las fuerzas que les llegan son iguales, pero se signo opuesto a las de los extremos de los elementos.

0~~

-<h

Figura 8-1 - Fuerzas externas y fuerzas internas en una estructura

Es evidente que para poder comprobar el equilibrio de los nudos debemos transformar las fuerzas que les llegan de los elementos en sus componentes horizontales y verticales (con los momentos no se presenta este problema pues están referidos al mismo eje perpendicular al plano del pórtico tanto en los elementos como en los nudos) para poderlas sumar. En este caso las fuerzas, tal como se expresan en los extremos de los elementos, están en cada uno de ellos en un sistema de coordenadas propio, que es el sistema local. En los nudos hemos utilizado un sistema de coordenadas que es el mismo en todos los nudos y este sistema corresponde al sistema global de coordenadas. fy

! sistema local

~\y

(e)

(a)

(d) Figura 8-2 - Sistemas de coordenadas local y globtil

En la figura 8-2(a) se muestra uno de los elementos de la estructura con su sistema local de coordenadas y sus fuerzas en los extremos expresadas en este sistema. En la Figura 8-2(b) se muestra el mismo elemento con el sistema global de coordenadas y sus fuerzas en los extremos expresadas en el sistema global. En la Figura 8-2(c) se muestra el nudo del centro de la estructura cuando le llegan las fuerzas en el sistema local de

242

8 • introducción al análisis riatriciaí de estructuras

cada elemento y en la Figura 8-2(d) el mismo nudo con las fuerzas llegando en el sistema global. Es evidente que el equilibrio del nudo se puede comprobar de una manera sistemática cuando las fuerzas están expresadas en el sistema global. Por otro lado el diseñador en general requiere que las fuerzas en los elementos estén expresadas en términos de fuerzas axiales, fuerzas cortantes, momentos torsores y momentos flectores, y todas ellas están definidas en el sistema local. Debe quedar claro además que no se trata de sistemas de coordenadas en un sentido estricto, pues realmente lo que nos indican es la dirección positiva de las fuerzas y deformaciones dentro de los elementos o en toda la estructura. Aunque en la discusión anterior se utilizó un pórtico plano como ejemplo, lo presentado es válido también para estructuras tridimensionales. La presentación inicial se realizará para pórticos planos y posteriormente se in u oducírán los otros tipos de estructuras no planares. En resumen es evidente que es necesario disponer de una manera de transformar de un sistema de coordenadas al otro de una forma sistemática. En la Figura 8-3 se muestra un elemento de pórtico plano con los dos sistemas de coordenadas y su relación entre ellos. y

z ~ sistema local

sistema global

z~~

- ; t : -X'

---- ----

::)

----

Figura 8-3 - Elemento de pórtico plano en coordensdas locales

Los dos sistemas de coordenadas, local y global, son sistemas de mano derecha. El sistema local siempre se define con el eje x a lo largo del eje longitudinal del elemento, En el elemento se han denominado sus extremos como a y b (véase la Figura 8-3). El sentido positivo del eje x local es el sentido que se tiene al ir del nudo a al nudo D, por esta razón se ha marcado una flecha en el centro del elemento que apunta en esa dirección. Posteriormente se verá que esta es la única definición que se necesita para describir el sistema local en estructuras planares. El eje y local siempre tiene su sentido positivo hacia la izquierda al ir en la dirección positiva de x. El eje z local se obtiene con la regla de la mano derecha y es perpendicular al plano que conforman x y y. El eje z es positivo saliendo del plano del papel hacia el observador. En el sistema global el ~je X puede tener cualquier orientación en el plano del papel, pero lo usual es que sea horizontal. Los ejes Y y Z globales se definen a partir del eje X de la misma manera que sus homólogos locales. El ángulo ex (véase la Figura 8-3) se define como el ángulo que se describe al ir del eje x local al eje X global, y es positivo en esa dirección. sistem~ global

sistema local

;fysen ex fycosex

fxcos ex Figura 8-4 - Transformación de local a global

Tenemos las fuerzas f r, Y r, en el sistema local mostrado en la Figura 8--1:. Utilizando el ángulo ex podernos encontrar las componentes de las tres fuerzas sobre los ejes del sistema global, las cuales también se muestran en la figura. Por lo tanto: Xl

248

-----------------

Jillámica estructural aplicada al diseño sísmico

+ f y sen a -fx sena + f y cosa f x cosa

(8-36)

si definimos:

(8-37)

y buscamos una matriz [A] tal que: ".

{F}=[A]{f}

(8-38)

de las expresiones en (8-36) podemos ver que:

~ l}

(8-39)

por lo tanto cos a

sena

[1.,]= ~na

cosa

[

(8-40)

Además podemos probar que la matriz [A] tiene la propiedad de que es ortogonal, o sea que su transpuesta es su inversa: (8-41 )

Esto quiere decir que si premultiplicamos ambos lados de la ecuación (8-38) por [A]T obtenemos: (8-42) entonces: (8-43)

o sea que por medio de la matriz [A] podemos transformar las fuerzas que se encuentran en el sistema local a fuerzas en el sistema global, ecuación (8-38), e igualmente por medio de la matriz [A]T podemos transformar las fuerzas del sistema global al sistema local, ecuación (8-43).

244

('j •

1IIfrO(lIlCC/O/l (ti U1UlIIS/S l/1ll/.r1CHI/ (1(' escruccuru»

Ejemplo 8-1 TeV1ef1tOS eL eLenteVl,to ete IUt rJórtico pLl/l.vw f1tOstmclo en LI/l. FiglUCíL 8-5, con LI/l.SjI1.erZI/l.S etl/l.etl/l.S ef't SItS extremos a 0 b. !:1 qlterenws trDUtsjonnar Las jlterlas en s/tS extremos eteL sistelnl/l. LocaL f1tOStTI/l.etO u Itl1, sistcvHa gLobl/l.L q/1.C nene SIl. eje X lLOrizmttaL

3m y

N~t~GIObal

Figura 8-5 - Ejemplo 8-1 - Elemento con sus fuerzas en coordenadas locales

Los vectores (;ir JI1,CrLI/l.S íocates eIt Los extre mos a !:1 b son:

EL Úftlj¡ÜO a se oüuene deL arcoscno de 3/5 0 es 36.870. EL áltg/üo es negativo rJl1.es Ylor dgivLiciólt a vu ete LOCl/l.L u gLobl/l.L. Por Lo ta/tto: cos a= 4/5 = 0.8 L! "en a = -3/5 = -{).6 0 La ml/l.triz [A.] es: 0.8 -0.6 0] 0.8

[A.] = 0.6 [

° ° 1

Ll/l.sJIH:'rlaS eVL coorvLe/tl/l.vLl/l.s gLobaLes cteL extremo a eteL cLemeltto son:

0.8 -0.6 0] { SO ] {-20] 0.8 100 = 110

{Fa} = [A. ]{fa} = 0.6 [

500

o LasJ/1.erll/l.s en coorvLeltl/l.vLas gLo~JaLes vLeL extremo b vLcL eLCI1'U'ltto SOl1.:

J 20kN

Figura 8-6 - Ejemplo 8-1 - Fuerzas del elemento en coordenadas globales

111

245

Dináinicu estrud ural aptlcadu al diseño sísmico

B.3 Matriz de rigidez de un elemento de pórtico plano Primero determinaremos la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales y posteriormente la transformaremos del sistema de coordenadas local a global. Para establecer las relaciones entre las fuerzas en los extremos el el elemento y los desplazamientos también en sus extremos utilizaremos la ecuación de pendientedeformación, la cual indica que para un elemento en estado de deformación, los momentos en los extremos que mantienen esta deformación están dados por las siguientes ecuaciones:

. (8-4-1)

II i

I Donde: M, momento en el extremo a del elemento. Positivo en el sentido contra horario. M, momento en el extremo b del elemento. Positivo en el sentido contra horario. E módulo de elasticidad del material del elemento. 1 momento de inercia de la sección del elemento. L luz del elemento. ea giro del extremo a del elemento. Positivo en el sentido contra horario. eb giro del extremo b del elemento. Positivo en el sentido contra horario. <p pendiente de la línea que une los extremos a y b del elemento, medida con respecto a su situación original indeformada. Positiva en el sentido contra horario. M~ y M~ son los momentos de empotramiento de las cargas externas dentro del elemento en los extremos a y b respectivamente.

•

situación original del elemento

L Figura 8-7 - Parámetros de la er-uación de pendiente deformación

Cuando a un elemento, que está en un estado inicial sin esfuerzos, se le aplican unas fuerzas en sus extremos, estas fuerzas producen una situación de deformación interna del elemento y desplazamientos en sus extremos con respecto a su situación inicial. Esta situación de deformación del elemento se mantiene mientras permanezcan las fuerzas que se aplicaron en sus extremos. Si estas se retiran el elemento vuelve a su situación original. El elemento de pórtico plano tiene la posibilidad de recibir en cada uno de sus extremos una fuerza axial colineal con el eje del elemento, una fuerza cortante transversal al elemento y un momento flector. Esto nos conduce a un total de seis fuerzas externas que se pueden aplicar. Si estas seis fuerzas se conocen, es posible determinar las 246

•

R • Introduccion al análisis matricial de es(rllc(llrw

fuerzas internas del elemento en cualquier punto con ellas, pues al disponer de ellas es como tener un elemento isostático. Por otro lado la situación de deformación interna del elemento se puede describir por medio de tres tipos de desplazamiento en cada uno de sus extremos, a saber: una deformación colineal con el eje longitudinal del elemento, una deformación transversal a este eje y un giro con respecto a la posición original del eje. Esto nos lleva a un total de seis posibles desplazamientos en los extremos del elemento. Todos los desplazamientos y deformaciones internas del elemento se pueden describir con base en estos seis desplazamientus.

En la Figura 8-8 se muestra un elemento de pórtico plano en su posición original indeformada y en la posición deformada. Además se muestran las fuerzas que producen y mantienen este estado deformado. Tanto las fuerzas como los desplazamientos tienen la misma nomenclatura, donde la primera letra del subíndice hace referencia al extremo del elemento (a o b) y la segunda letra a la dirección en el sistema local de coordenadas (x, y o z), /'

a desplazamientos

fuerzas

Figura 8-8 - Fuerzas y desplazamientos en los extremos de un elemento de pórtico plano

Estamos interesados en buscar la relación que exista entre las seis fuerzas y los seis desplazamientos. Esta tiene la siguiente forma:

donde [k] es la matriz de rigidez del elemento. Uno de los procedimientos de obtención de la matriz de rigidez consiste en imponer una deformación unitaria a uno de sus grados de libertad, manteniendo restringidos los desplazamientos de los otros grados de libertad. Las fuerzas que se generan en los grados de libertad restringidos son los términos correspondientes de la matriz de rigidez. Los desplazamientos se miden a partir de la situación sin esfuerzos del elemento. La ecuación (8--45) queda entonces así: k axax

k axay

k axa z : k axbx

k axby

k axbz

U ax

k ayax

k ayay

k aya z : k aybx

k ayby

k aybz

u ay

k azax

k azay

k azaz : k azbx

k azby

k azbz

u az

k bxax

k bx ay

k bx bz

U bx

k byax

k byay

k bxaz : k bxbx k by az : k bybx

k b x by k by by

k by bz

u by

k bzax

k bzay

k bzaz

k b zby

k bzbz

U bz

-----1------

bzbx

(8-46)

donde los subíndices de cada término de la matriz de rigidez se refieren el primero al terrníno de fuerza y el segundo al desplazamiento que lo genera. Así por ejemplo el término k bxay indica que está relacionando la fuerza en el nudo b dirección x, f bx • generada por un desplazamiento del nudo a en la dirección y, lL.y • Por lo tanto:

247

'Jillálllica estructural aplicada al diseño sísmico

(a) Definimos así las fuerzas cuando llax = l, teniendo en cuenta que todos los demás desplazamientos son cero. situación original

L <,

A, E, 1

,.------...,.-p

p.~..

Figura 8-9 - Desplazamiento unitario en el grado de libertad u ax

Si se induce un desplazamiento A en el grado de libertad Uax hay necesidad de imponer las fuerzas P mostradas en la Figura 8-9 para poder mantener esta deformación. El esfuerzo en el elemento es: P

(8-47)

0"=-

y la deformación unitaria que induce este esfuerzo es: O"

(8-48)

E=-

por lo tanto la deformación axial total del elemento se calcula así: O"

A= fEdx=EL=-L~o E AE

(8-49)

P= AE_A L

(8- 50)

dado que A es una deformación unitaria, tenemos: k axax = P =

k bxax = - P = -

(8-51)

Como la deformación axial no induce reacciones en los otros grados de libertad, todos los demás términos de la primera columna de [k] son cero. La matriz mostrada en (8-46) hasta este momento va así: AE

L O O

--ÁE-

-L O

I I

k axay

k axaz : k axbx

k ax by

k axbz

k ayay

k aybz

~_aE'L

k ayaz : k aybx k ayby k azaz LI _____ k azb x _____

k bxay

k bxaz :I k bxbx

k bxby

k bx bz

k byay

k byaz : k bybx

k by by

k by bz

I k bzay

k bzaz : k bzbx

k bzby

k bzbz

z ~~~Iry- -k-azb ---

(b) Ahora hacemos lla y = 1 Ytodos los demás desplazamientos son cero.

248

(8-52)

8 • Int roduccion al análisis matricial de estructuras L a+----~---"'+b f ay

situación original

Figura 8-10 - Desplazamiento unitario en el grado de libertad llay

Tenemos, entonces, la siguiente situación expresada en términos de las variables de la ecuación de pendiente deformación:

~b Mb Figura 8-11 - Fuerza en los extremos

De acuerdo con la anterior:

(8-53)

Pero <p =-ML Y L\=1 por io tanto <p = -11L Yentonces:

Tomando momentos en a obtenemos: (8-5;))

Sumando fuerzas verticales: (8-56) Entonces los coeficientes de la segunda columna de la matriz de rigidez son: k bxay = O

12EI

k ayay = - - u

kbyay=---u

6EI

k azay = L 2

k bzay = L 2

La matriz mostrada en (8--16) hasta este momento "a así: 249

'Hnámica estruct ural aplicada al diseño sísmico I

k axaz I k a xbx

12EI

k azaz : k a zb x

-----

__IL_

---

k bxaz : k bxbx

12EI

_____ .1 _____

6EI

k a yby

k a ybZ

6EI

k a xb z

k a yaz : k a ybx

k a xby

k byaz : k by bx

k azb y k a zb z ----- ----k bxby k bxbz k by by

k bybz

k bzby

k bzbz

(8-57)

k bzaz : k bzbx

(e) Ahora hacemos Uaz = 1 Ytodos los demás desplazamientos son cero. situación original

fax

Figura 8-12 - Desplazamiento unitario en el grado de libertad Uaz

Tenemos la siguiente situación expresada en términos de la nomenclatura de la ecuación de pendiente deformación:

Figura 8-13 - Fuerza en los extremos

Por lo tanto: M = 2EI(W +0 -3 ) = 4EI a L a b <P L ~•

(8-58)

2EI ("a + Oa - 3) <P =2EI --

lVl b = - - ~b

Tomando momentos en a obtenemos: (8- 59)

Sumando fuerzas verticales: v =v =6E! a b L2

(8-GO)

Entonces los coeficientes de la tercera columna de la matriz de rigidez son: k axaz = O

k bxaz = O

250

8 • lntroduccion a! análisis matricial de estruct l/ros

6EI

k aya z = L2

k azaz

k byaz = - L2

= 4EI

_ 2EI L

bzaz -

La matriz mostrada en (8-46) hasta este momento va así:

AE L

1 1 1

k a xbz

k a xbx

k aybz

4EI : k L

azbx _

: k bxbx

1 ______ J...

[k]=

k a zby (8-61)

k bxbz

_ 6EI : k

6EI

2EI 1

bybx

i k bzbx

k byby

k bybz

k bzby

k bzbz

Si hacemos el mismo ejercicio presentado en (a), (b) y (e) para desplazamientos unitarios en Ubx, Üby y Übz obtenemos la matriz de rigidez, en coordenadas locales, de un elemento de pórtico plano:

AE L

o : AE L

1-1

12EI

2EI

o =

__ .k_

2EI L

que utilizando la partición mostrada, se puede expresar como: (8-63) donde {fa}, {fb}, {Ua} y {Üb} son vectores de 3 filas y 1 columna y [kaa], [kab] , [k fila ] y [k bb] son matrices de 3 filas y 3 columnas. Al expandir la ecuación (8-63) obtenemos: (8-64) y

{f b } = [kba ] { u a } + [kbb ] { u b } = {fba} + {fbb}

251

(8-65}

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Estas ecuaciones indican que las fuerzas en un extremo del elemento están compuestas por dos partes, una proveniente de los desplazamientos en el propio extremo, y la otra de los desplazamientos en el otro extremo. Por esta razón: (8-66) y

(8-67)

donde {faa } son las fuerzas en el nudo a causadas por los desplazamientos del nudo a, y análogamente {fab } son las fuerzas en el mismo nudo a causadas por los desplazamientos del nudo b. Entonces como regla general {fjj } son las fuerzas en el nudo i causadas por desplazamientos en el nudo j y se obtienen por medio de la submatriz [kjj ] , así: (8-68)

Ejemplo 8-2 Detem'LÍftar La InatrLz (~P rigidez de Itlta viga COVL Las siglüevLtes rJrGpiedades: L = 3 VVI, U E = 25 GP(}v (25 giuapasmLes = 25000 MPa = 250 000 kgJ/CVV1/ = 2 500000 tovL/m2) . SI1- sección tielte 0.4· m de alulLO U 0.3 m de aLto. Se ddw detennittar SIl, fl'Latriz de rigidez eu coordeftadiA.s

InmLes.

Los térmÍJws de La matriz se mLuüavL así.: A =0.4' 0.3 =0.12 m1 =0.4· 0.3 112 = 0.0009 m 3

AE = u.12 m

• 25 GPa = 1 (GN 1m) = 1000000 kN 1m

12EI L

12 . 25 GPa . 0.0009 m 4 27 m 3

0.01 {GN 1 m) -= 10000 kN / m

6EI = 6·25GPa·0.0009m =0.015(GN/m)=15000kN/m L2 9m 3 4

4EI = 4·25 GPa· 0.0009 m = 0.03 (GN . m / rad) =30000 kN . m / rad L 3m 4

2EI = 2· 25 GPa . 0.0009 m = 0.015 (GN . m / rad) = 15000 kN . m / rad L 3m

Por Lo tunto La mutriz de rigLt~.ez es:

252

8 • Introduccián al análisis matricial de estructuras kN/m O : -1000 O O I kN/m -10 15 15 I O O I -15 15 kN· mirad 30 I O O ---- ------- ---- ---·-r----O I 1000 kN/m O -1000 O O kN/m -15 : -15 -10 O 10 O I 15 1 O -15 30 kN -mirad 15 O

O 10 15

1000

•

Ejemplo 8-3

EL deJ11eltto deL EjentpLo 8-2 se LLevu u Lu posiciÓlt d(jonnudu vVLostmdu en Lu FigltrU 8-14. Detrr!l1ÚtUr Lusjaerzus necesarias pum J11UIÜeVLer Lu posiciÓlt deJonnudu.

posición original

0.0001 rad

Figura 8-14 - Ejemplo 8-3 - Deformaciones en los extremos del elemento

lC'llfl1WS entonces !íJli.e: 0.0002 0.002

{u}= {~~} = -----_. 0.0004 0.0001

_ .~

_~-~~~

UNi\ltil~WAD t:~C/(iN;'¡' DF.lNGfWi'x:lI

,- rl~cüLU.~ UF. T::CtWtOG!ii UE LA C{}NS-rm:CION

L~~~!:~~~."r:oG!1~~tNTAC'ON

-0.002 -0.0001

AL IU/l.cer eL prodlt.eto {f}6,1 = [k J6,6{U}6,1 otJtenevltos Los siglüentes resli-Ltudos Cl1.ij(,tS luüdudes

SOVL kN Ij kN'Vlt: -200 40 61.5 200 -40 l58.5

es 40kN

200 k.N 4

58.5 kN'm

~ 200kN

61.5 kN'm

40kN

Figura 8-15 - Ejemplo 8-3 - Fuerzas del elemento

•

Dinámica estructural aplicada al diseño .,;smico

8.4 Principio de contraqradiente Supongamos que tenemos unas fuerzas aplicadas a un elemento en sus extremos, estas fuerzas están descritas por medio de un vector que está expresado en un sistema de coordenadas local. A este vector lo llamamos {f}. Ahora expresamos estas mismas fuerzas en un sistema de coordenadas global y a este vector lo llamamos {F}. Además conocemos una matriz que nos permite transformar las fuerzas de un sistema al otro. A esta matriz la llamamos [T], y la siguiente operación es válida: (8-69) Por otro lado existe un estado de deformaciones del elemento asociado con las fuerzas que se aplicaron en sus extremos dadas en el vector {f}. Este estado de deformaciones lo podemos describir por medio de los desplazamientos en los nudos del elemento por medio del vector {u}, donde las componentes de los desplazamientos están expresadas en el sistema local. Análogamente existe un vector de desplazamientos, expresado en el sistema global, {U} asociado con {F}. Las fuerzas y desplazamientos están asociados a través de unas relaciones de rigidez, las cuales se pueden expresar para el sistema local así:

{f}=[k]{u}

(8-70)

y para el sistema global de la siguiente manera:

{F}= [K]{U}

(8-71)

Hasta ahora disponemos de relaciones entre {f} y {F}, entre {f} y {u} y entre {F} y {U}. Pero no disponemos de una manera de relacionar {U} con {u}. Esta última relación la podemos buscar de la siguiente manera: sabemos que el trabajo que han realizado las fuerzas a través del desplazamiento realizado puede expresarse como (véase la Sección 1.6):

W,",,~{Ur {Ff

(8-72) If¡

y análogamente como:

w=.!{uV{f}

(8-73)

Estas ecuaciones de trabajo son válidas siempre que los sistemas de coordenadas tengan componentes ortogonales, de tal manera que cada componente de fuerza sólo puede hacer trabajo con UD desplazamiento colineal, o sea en la dirección de su propio eje de coordenadas. Además el trabajo es invariante con respecto a los sistemas de coordenadas, pues observar el elemento estructural con un sistema o con el otro no varía el trabajo total que se realiza al deformarlo. Por lo tanto W = w y: (8-74)

Ahora substituyendo la ecuación (8-69) en la ecuación anterior y eliminando los términos iguales a ambos lados obtenemos:

254

o • tntroauccion ((1 ((IIallSIS l/laCncw.{ (/e estructuras (8-75)

o (8-76)

que al aplicar ([A] [B])T = [B]T [A]T conduce a: (8-77)

I I

o sea que hemos probado que la misma matriz de transformación [T] que se utiliza para cambiar el sistema de coordenadas de las fuerzas, opera para transformar desplazamientos, pero a través de [T]T. Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de contraqradienre.

8.5 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales En la Sección 8.3 se dedujo la relación entre fuerzas y deformaciones para el sistema de coordenadas local del elemento, como:

{f}=[k]{u}

(8-78)

ahora queremos obtener la relación análoga en coordenadas globales:

•

{F} =[K]{U}

(8-79)

Por medio de la ecuación (8-38) podemos convertir los vectores de fuerzas de un sistema de coordenadas al otro,

{F} = [1. ]{f}

(8-80)

y gracias al principio de contragradiente sabemos que:

(8-81)

Reemplazando (8-81) en (8-78) obtenemos: (8-82) y (8-82) en (8-80):

{F} = [1. ][k ][1. {U}

(8-83)

que es igual a la ecuación (8-79) y por lo tanto:

[K] = [1.] [k][1. Y

(8-84)

Aplicando la anterior a la ecuación (8-68) y haciendo las transformaciones apropiadas obtenemos:

255

mímica estructural aplicada al diseño sísmico (8-85)

Esto quiere decir que la matriz de rigidez del demento en coordenadas globales es:

(8-86)

Haciendo las operaciones apropiadas obtenemos la siguiente forma de la matriz de rigidez para un elemento de pórtico plano en coordenadas globales: I3c 2 + 12s2 sc(12-13) 6Ls

sc(12-13)

6Ls : -l3c 2 -115 2

sc(13 -12) 6Ls

-l3s 2 -12c 2 6Lc

6Ls sc(13 -12) 2 2 6Lc 6Lc sc(13 -12) -l3s _12c I3s + 12c 2 I -6Lc 2L2 6Lc 4L I -6Ls -----------------,------------------[K]=p ---------sc(12-13) -6Ls -l3c 2 -12s 2 sc(13 -12) -6Ls : I3c 2 + 12s 2 2

I I

I3s 2 + 12c -6Lc

-6Lc: sc(12-I3) -6Ls 2L2 I 1

(8-87)

-6Lc

4I!

donde El P =- 3 L

AL 2 13 =-- s = sen a 1

c = cos a

a = ángulo entre el eje x local y el eje X global

Ejemplo 8-4 DetervvLÍHilLr Lct I'ltcttúz ac rigiaez Cl1 cooraeltw,tctS gloLJuLes ael etemento f1tostmdo ev\, Lu Figlirct 8-16. el Citt1l tiene tus siglüflttes rrorJieactaes: L = 4 rn. E = 20 GPct. áreCl. A = 0.01 fW e iV1ercLct 1 =

01 f'j.t'. a

SiSIe .. ie tocst

¡*Y Z

global X \ -~X

local X~Pa:=900

b Figura 8-16 - Elemento del Ejemplo 8-4

Se culcltlWl tctS constantes ctsLp =20 GP&-;.· O 1 In 1 (4 In)' = 0.03125 GPct/ln' =31 250 kN . In 13 =0.01 m:· 4: fn'l 0.1 Vii\," = 1.6 sen a = SC/l (90 0 ) = 10 cos a = cos (90 0 ) = 0.0

25fi

8 • lntroduccion al análisis 111(/( ricial de estruct ltr 1:1 tu mutriz de rigidez eft coordeftudus gto~Jutes es:

24 : -12 O O II O -1.6

O O 1.6 --- ----- ----,---- ---24 64 : -24 O 32 O [k]= 31250 ---- ----- ----,---- ----12 O -24 I 12 O -24 ___ o

___ o

-1.6

I I

O 32 : -24

1.6

• 8.6 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura

Tenemos una estructura compuesta por elementos del tipo mostrado en la Figura 8-17. b,,,- extremo b

del elemento número dal elemento

~ extremo a del elemento Figura 8-17 - Elemento de la estructura

El elemento i tiene la siguiente relación entre las fuerzas en sus extremos y los desplazamientos allí: (8-88)

Supongamos una estructura de la siguiente forma:

fuerzas externas Iludo n

{Po}

---------------

J Figura So 18 • Estructura

Ahora planteamos el equilibrio de nudo n:

257

elementos nudos

Iinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Figura 8-19 - Equilibrio nudo n

De la Figura 8-19: (8-89) pero a su vez

{F~ } = [K ~a ] {U m} + [K~b {U n} ]

{F;} = [K;a] {U n}+ [K;b] [u.] {F;} = [K;a] {Un}+ [K;b] {U q}

(8-90)

reemplazando (8-90) en (8-89) y tomando en cuenta que {U m} = tUs} =Oobtenemos: (8-91)

Figura 8-20 - Equilibrio nudo q

De la Figura 8-20: (8-92) pero a su vez

{F;} = [K~a] {U n}+ [K~b] {U

a } =

[K: ]{U }+[K: HU a

(8-93)

reemplazando (8-93) en (8-92) y tomando en cuenta que {Ur } =Oobtenemos: 258

--------------------- 8 • Introducción al análisis matricial de es' rucéllr<ls (8-94) reordenando (8-91) Y(8-94) en una sóla expresión:

(8-95)

y este es el planteamiento del equilibrio de la estructura en su totalidad, el cual se puede expresar de la siguiente manera general:

(8-96) donde {P} son las fuerzas externas a la estructura aplicadas en los nudos libres de desplazarse, o sea aquellos diferentes de los apoyos, [KEJ es la matriz de rigidez asociada con los nudos libres de la estructura y {U} son los desplazamientos de estos nudos libres. Si en la matriz de rigidez de toda la estructura, tal como se presenta en la ecuación (8-95), a cada submatriz de rigidez de los elementos le reemplazamos la nomenclatura de a y b por la de los nombres de los nudos donde incide el elemento, por ejemplo al elemento 3 se le reemplaza a por n y b por q, podemos ver que cada submatriz está localizada en la fila o columna correspondiente a cada nudo n o q. Lo mismo es válido para los otros elementos. Por lo tanto, el proceso sistemático de obtener la matriz de rigidez de la ('strucíUl(1 [KEJ es el siguiente: Primero debemos obtener las matrices de rigidez de todos los elemento s de la estructura en coordenadas globales. Para e! caso de pórtico plano, si la estructura tiene n nudos, la matriz de rigidez total, incluyendo los grados de libertad de los apoyos, tiene dimensiones de 3n x 3n. Sobre esta matriz de toda la estructura se coloca la contribución de rigidez de cada uno de los elementos. Para el efecto podemos trabajar con subrnatrices de 3 x 3 en cada uno de los nudos. El elemento i como el mostrado en la Figura 8-17 va del extremo a al extremo b. Supongamos que el extremo a llega al nudo ID de li' estructura y el extremo b al nudo q de la estructura. Entonces la ecuación (8-88) se convierte en: (8-97)

Entonces cada una de las submatrices de (8-97) aporta su rigidez sumando a la rigidez existente en el nudo correspondiente, por ejemplo [Kqml se suma a lo que exista en la submatríz localizada en la fila q con la columna ID como muestra la ecuación (8-98).

259

--------------

tiuámica estructural aplicada al diseño sísmico 1 2 ...

...

... n

J, f - nudos

.,.

1 2

[K~m 1

fK~ql

(8-98)

rK~q]

[K~m 1 ...

q oo.

Ejemplo 8-5 Ddwvvws encontrar Lu Jonnu (;le eftsuvlt!o'JLuje ete Lu fit{'Ltr~z ¡,(e vVLostrudu elt Lu FLgnr¡;;t 8-21.

rLg~¡,{ez

de Lu estrltctlUU

Figura 8-21 - Estructura del Ejemplo 8-5

OeA.eto líjli-E' eVL pórüco I"lLeA.ltO heA.lj tres gruetos etc Li¡',crtu¡,{ por ItI1.do. LeA. estmct/ueA. nene elt toteA.L 6 x 3 = 18 gmdos de LiberteA.d. Trub:A.jeA.Vldo con SliI:'JWIoí1.trLct's vtt' tres Yior tres. ~)odefitos dpscrLbir LIA. /!l1.eA.trLz de rigLdez COHtO ltltlA. fitlA.triz ete 6 JLLlA.S por 6 COLltfitftlA.S. dO/tde mdlA. JHu lj mdlA. COLW·1UtIJlo represeltw. tres gruetos etc Li¡',ertlítet. K 4ha

K~a

K;b

o o

K: b

K;b

K;' + K;' + K:' + K~b

K;b

K~a

o o o

K~a

K~b + K~b + K:'

K;b

o o

K~a

K 6aa

K~a

K~b

1 K~a + K: b K~b K~b + K~b + K;' K~a

8.7 Apoyos de la estructura La solución de lID problema estático consiste en resolver el sistema:

{F} = [K]{X}

(8-99)

2fW

• l/UTU(lllCCIU/1 (11

UIIUII~l~

IIIUlTlCl(l1 (I~ ~~ln{(;lllnl."

en donde se conocen las fuerzas externas aplicadas a la estructura, {F}, la matriz de rigidez de toda la estructura [K] y se desconocen los desplazamientos de los nudos de la estructura {X}. Si se intenta resolver el sistema de ecuaciones simultáneas presentado por la ecuación (8-99) se encontraría que la matriz [K] es singular (no tiene inverso) debido a que la

estructura no está apoyada y por lo tanto hay necesidad de introducir las restricciones de los apoyos, los cuales deben conducir a que la estructura sea estable, pues en caso contrario la inestabilidad de la estructura por apoyos inadecuados conduce a singularidad de la matriz de rigidez nuevamente. Los apoyos se introducen al sistema simplemente tachando, en el sistema de ecuaciones, las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad que están restringidos, con lo cual el sistema de la ecuación (8-99) se convierte en:

I 1 I

(8-100)

Ejemplo 8-6 En Lu estntctJuu ad ejel'vLjlJLo 8-5, sl1voner 1Ij11,e Los ¡'LltaOS 5 lj 6 estrin eI'VLjIJ o truaos , Evu::cllttrur LIAwLutriz ae rigiaez de Lu estmcUuu tntievLdo eVL w,ev¡,tu estos utJoljos, Sil'npLmtevLte se Q1ÚtCU'L deL sistel'VLU LlA-sJiLus corresnonrüeares u Los 1'LltaOS 5 lj 6, lj de LIA- Inutriz de rigidez Lus dos (ütimus COLli1'lU'Ll/tS, Por Lo tanto eL sisternu de eC/tUCiOlteS IIjl1,edu usí:

Si observamos en detalle el sistema de ecuaciones que representa la ecuación matricial (3-99), veremos que en el vector {X} todos los términos que correspondan a apoyos

tienen un valor de cero, por lo tanto en la matriz de rigidez las columnas correspondientes a estos apoyos siempre van a ser multiplicadas por cero y por lo tanto no tiene ningún sentido mantenerlas en la matriz de rigidez de la estructura. Igualmente no se justificaría mantener los ceros de los apoyos dentro del vector de desplazamientos, por lo tanto las filas correspondientes a los apoyos en el vector {X} pueden quitarse del vector, comirtiéndolo en el vector {U}. Estas mismas filas en el vector de fuerzas {F} corresponden a las reacciones de los apoyos {R}, las cuales son importantes para quien realiza el análisis de la estructura y además permiten verificar el equilibrio de la estructura y obtener las fuerzas en la cimentación. Por lo tanto podemos replantear el sistema mustrado en la ecuación (8-99) así: (8-101)

Las matrices [KEOl Y [KROl no son de mterés pues van a ser multiplicadas por 0, igualmente en el vector de desplazamientos podemos eliminar las filas que son cero. Haciendo estas dos operaciones obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

261 -----------------~ .~

sinámica estructural ap{;Nula al diseño sísmico

(8-102)

que al expandirlo nos conduce a: (8-103) y

(8-104) Con respecto a la ecuación (8-103) se debe hacer énfasis en que el vector {P} corresponde a las fuerzas externas aplicadas en los nudos libres de la estructura, [KEl es la matriz de rigidez de los grados de libertad libres de desplazarse de la estructura, y {U} corresponde a los desplazamientos de los grados de libertad libres. Es importante insistir que este es el sistema de ecuaciones simultáneas que se resuelve para determinar los desplazamientos de la estructura ante .as fuerzas externas. Una vez obtenidos los desplazamientos {U} utilizando la ecuación (8-1 (3); por medio de la ecuación (8-104) es posible obtener las reacciones de la estructura en sus apoyos {R}.

8.8 Solución para fuerzas estáticas por el método de rigidez El análisis de una estructura utilizando análisis matricial por el método de la rigidez consiste en resolver el sistema de ecuaciones simultáneas representado en la ecuación (8-103). En este sistema las incógnitas son los desplazamientos de los grados de libertad no apoyados de la estructura {U}. Una vez se conocen estos desplazamientos, es posible encontrar las reacciones de la estructura por medio de la ecuación (8-104) y las fuerzas en los elementos, multiplicando estos desplazamientos por las matrices de rigidez de los elementos. En el disquete que se suministra se ha incluido el programa ivlATRIQB que realiza este análisis para estructuras de pórtico plano con fuerzas en sus nudos.

Ejemplo 8-7 Se qlúere DLnDLLizDLr por el f'Ytétodo de rigideL: lU'tDL VigDL ae líLiez metros de Lt~z. mtpotmau en S/lS dos extremos Ij con IlVLDL JlterzDL covu:elttmaDL de 100 kN evl, eL centro ae LDL L/u, LDL Cli.DLL se ml1,estm en LDL Fig/w/t 8-22(DL). LDLS propieciDLaes de LDL seccíóa ue LDL VigDL son Lus sigtúCJ'Ltes:

IlterciDL 1 = 0.005 m'. AreDL A = 0.25 vn} Ij E = 25 GPDL. PDLm efectos del wuíLisis se dtf¡.ltelt tres Itlldos COVI1.Q In/testm Lu Figl1rvt 8-22(b). Lo CIlDLL geltem aos elementos ete 5 111, al' LOVLgitl1,a cactDL liHO. PDLrDL el DLVLl.ÍLisis se /ttiLizDL LDL ItOmevI.dDLtli.m f'11.Qstmdu elt Lu mismDLJig/~,m. Pril1tero se CDLLmLDLIt LDLS mDLtrices al' rigiaez ae Los elenteIttOS, LDLS mules SOIt ignDLLl's aDLdo qnl' Los elementos tielten LDLS f'Y'LÍSf'YtDLS propiedDLaes Ij orielttDLción. EL sistef'1tDL ae cooraeltDLdDLs íocales de Los ctementos coivu:ide con el sistemDL gLobDLL rJor Lo tanto a es cero.

Entonces.

p = EIIL3 = 1000 kN/I1t 13 = AV/I = 1250 e = cos a = 1.0

s = sen a = 0.0

262

I I

•.,

(i • 11l(rO(/ltCCI0l1 ~tl U.'lUIISIS I1WrrlCut/ (te eStntClltrus

lOOkN

<i. ti

Dirección x del sistema local

/~ o fITJ

(b)

Figura 8-22 - Estructura del Ejemplo 8-7

Id Lvt VVLvttriz de rigiaez ete Los eLef1teHtos es (cooretef'lvtetvtS LomLes = cooretenvtdvts gLo!'lvtLes): 1250

O : -1250

12 30

I I

O 100 : ----- ---[Kele ] = 1000 x --1250 O

-12 -30 : 50 II 30

O O

Dirección X del sistema global

-o--ri2:50-

-12 -30

30 50 ---- ---O O 12 -30 -30 100

Ahom tll15CVLfltClS LvtJonnvt eteL eftSvtf1ÜlLvtje de [tl- f1tvttriz ete rigidez de Lvt estractam:

Lvt fnvttriz de rigidez de Los gmdos de Liv¡ertvtd Libres [KE] se obtíeae tlítclLvtftdo LIJLS JiLvts Id coLttf1tftvtS correspOftdieHtes vt Los gmc{os de Libertad restrü'Lgidos por Los upoldoS

EL inverso [KEr 1 de esta f1tvttriz es ig/tvtL uL uwerso de S/tS elementos. dvtdo qli,(' es divtgü:tuL

X10 -'

O] O

4.167 X 10-5 O

Sx10-G

Lvt f1tvttriz [KRl pvtm ohtener Lus reVLCTioHes e/t Los vtPOldoS se ov,Ue/te tvtc!Lrli.ndo Lus COLltm/~VLS de [K] corresr1OHdie ntes vt Los gmdos ac Libe rtvtd vtY¡OId vtetos Id Lus JiLus corresYIOltCÜe ntes lJl Los g mdos de Livw rtvtet Liv' res:

26'8

11á mica estructural aplicada al diseño sísmico

-1250

O O

-12 -30

30 50

-1250

----- ----

O O

___ o

-12 -30 30 50

EL vector dej/terzGts eVL et VLltdo Lillre {P} es:

AlLOYGt resolvemos el sistef11,Gt YJGtYGt OtltevLer Los des/'lLDlZGtf1tielttos {U} deL vutdo Litlre:

Por Lo tGtVLLLJ LGt vigGt se cieJLectGt en eL centro cie LGt Lr1Z 4.167 l11,nt ¡~Gtcir,¡, GtlIGtjO. Lus reGtccim¡,es Clt Lo: GtI'JOljOS se outieltelt de Lelo sig/üeftte o/'leYGtciólt:

R lx

O I

R 1y Rlz

50 125

R 3x

R 3l

51)

R 3z

-125

EJt LGt Fig/tYGt 8-23 se m/testmvl IGts reucctones outeltidGts: 125 kN-m

kN~;--

f t

~125kN'm ---3-150 kN

10m

Figura 8-23 - Reacciones obtenidas, Ejemplo 8-7

LGtsjlterzGts en Los elementos se olltíelte~ ntfütiYJLicGt~da LGt mGttriz de rigidez de mdGt etemento /"lar eL vector de desI'JLDlZW11,ic~t.os de Los It/tcias Gt "1l1.e LLegGt el eLemeltto. [It este caso dGtda "111-(' eL siStCfltGt LOL:GtL coÍltcide COH eL gLollGtL. /'laqemos IttiLizGtr LGts I1'lGttrices de Los elementos OlltCHidGts rJGtrGt eltsGtnülLGtr LGt estr/v:t/i.YGt elt LGt ohtención de LGts jlterzGts en coordeltGtdGts locales. P:/tYGt et eLeVlteltto 1. tenemos.

264

o • lntroduccián al análisis matricial de estructuran o

50 125

=[kl{ ~~} =[kl{ ~~} =[kl ----------O O

-4.167 X 10O

-50 125

EVL La FLglua8-24 se Vl1JtestravL LasJ/terzas ot'tevüdas: UNlm~~[l~D N~C\(iNAL DE !NGfN!t~IA fl\CtJLIA~ O~ m:kCW(¡[Z: DE LA cm,ST~UCION

CENTRO DE ¡¡'OCUMErlTACWN SOkN Sm Figura 8-24 - Fuerzas en los extremos del elemento 1, Ejemplo 8-7 P1Ml;t eL eLel'l'U'vLto 2. tOteVl'Los:

-50 -125 O

50 -125

EI'L La F~g/tra 8-25 se Vl'Ll1estral'L LasJ/terzas obtel'Lidas:

Figura 8-25 - Fuerzas en los extremos del elemento 2, Ejemplo 8-7

Es evíaente ql1e Los res/ütados col'LC/lerdw'L ¡'JetfectaVltel'Lte COI'L Los reslútacios cLlIl:)~cos de La res~stel'LC~a de mater~aLes. Cjl1e ~1'LdLcaI1. q/le eL 11Wlnento en et a¡'Jo/jo ¡'Jara Ima v~ga empotrada en ~/tS extremos. COI'L Ima JH.erza concentrada en et centro de La Lf1Z es PLl8 = 100 x 10 / 8 = 125 /j Las reaccíones en Los a¡'Jo/jos son P/2 = 50.

Un aspecto que se deduce del ejemplo anterior es la necesidad de disponer de una manera de obtener las fuerzas en los extremos del elemento en coordenadas locales a partir de los desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Si miramos la deducción de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales, Sección 8.5, vemos que la ecuación (8-82) precisamente nos produce ese resultado: (8-105) Por lo tanto el primer paso de la transformación nos da ese resultado. Si denominamos

---------------

265

'Jinámica estructural aplicada al diseño sísmico (8-10G)

y utilizando la misma nomenclatura de la ecuación (8-87), para elementos de pórtico

plano tenemos la siguiente matriz: O 11 -~c O ~s 115 6L : -12s -12c 6L 12c 1 4I! : -6Ls -6Lc 2L2 6Ls 6Lc - - - - - 1 - - - - - ----- ------------[KT] = P O 11 ~c O -~c -~s ~s -12s -12c -6L 1 12s -6L 12c 2 6Ls 6Lc 2L : -6Ls -6Lc 4L2 -~s

(8-107)

donde El

P=-L3

AL 2

~=-I-

s e sen a

c=cosa

a = ángulo entre el eje x local y el eje X global

Otro aspecto importante que no se ha resuelto es el tratamiento de las fuerzas externas localizadas dentro del elemento. El procedimiento para tratarlas es el siguiente. Primero se calculan las fuerzas de empotramiento en cada uno de los elementos independientemente. Este sistema de fuerzas lo denominamos Sistema E pues se obtiene al fijar o empotrar todos los nudos. Luego tomamos todas las fuerzas externas aplicadas en los nudos que actúen sobre la estructura y a estas fuerzas le restamos en cada nudo la suma algebraica de las fuerzas producidas por el sistema E en ese nudo. A este sistema de fuerzas lo denominamos Sistema L, pr-rque en él los nudos están libres para desplazarse al aplicar las fuerzas. La estructura se analiza por el método de la rigidez para las fuerzas del sistema L. La Figura 8-26, adaptada de [McGuire y Gallaqher, 1979], aclara estos conceptos.

l·

bi!¡",,¡¡¡¡I!~

(

Figura 8-26 - Sistemas de fuerza para análisis estático por el método de rigidez

Por último luego que se hayan determinado las fuerzas en los elementos con base en las deformaciones que tuvo la estructura analizada con las fuerzas del sistema L se les adicionan las fuerzas correspondientes del sistema E. Por lo tanto las fuerzas realmente aplicadas sobre la estructura son la suma del sistema E más el sistema L. Las deformaciones en los nudos obtenidas del análisis del sistema L son las deformaciones de la estructura, pero sólo en los nudos. Para obtener las deformaciones dentro del elemento hay necesidad de sumar las producidas por los dos sistemas de fuerza E y L. En resumen las etapas necesarias para llevar a cabo el análisis de una estructura por el método de la rigidez son las siguientes: 26(j

('j •

llHrO(/IlCCIOII (U WI(I/lSIS llUllTlCU/l (le estructuras

(a) Se dividen las fuerzas aplicadas a la estructura en dos sistemas de fuerzas, cuya suma es igual a las fuerzas aplicadas. Estos sistemas son: • Sistema E - Son las reacciones que se obtienen en los extremos de los elementos al suponerlos empotrados • Sistema L - Son las fuerzas en los nudos que se obtienen al restarle a las fuerzas externas aplicadas en los nudos, las resultantes en los nudos de las fuerzas del sistema E. Una vez definidos los sistemas, para cada elemento i se calcula del sistema E.

{f¡E}

(b) Se evalúan las matrices de transformación de coordenadas [1.;] para cada miembro de la estructura y con ellas se convierten las reacciones de empotramiento en los nudos, sistema E, de coordenadas locales a coordenadas globales: (8-108) (e) Se suman algebraicamente en cada nudo j los {FiE } de cada elemento i que llegue a ese nudo, para obtener las fuerzas sobre el nudo del sistema E,

{PjE} .

(d) Se encuentra en cada nudo j el vector de fuerzas del sistema L, así: (8-109) donde

{Pt} corresponde las fuerzas concentradas externas aplicadas en el nudo j. 3.

(e) Se encuentran para cada elemento i la matriz de rigidez [K¡] en coordenadas globales y la matriz [KT¡], ecuación (8-10?). (f) Se ensambla la matriz de rigidez [K] de toda la estructura utilizando los [K¡]

correspondientes, obtenidos en el paso anterior. (g) Se fracciona [K] en las matrices [KE ] de grados de libertad libres y la matriz [KR ] para obtener las reacciones en los apoyos. (h) Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas para las fuerzas de: sistema L, siendo {U} las incógnitas, (8-110) (i) Se encuentran las fuerzas en cada elemento i en coordenadas locales con base en los

desplazamientos obtenidos en el paso anterior. (8-111) (j) Se encuentran las fuerzas reales en cada elemento

utilizando

en coordenadas locales

{fiEl del paso (a) y {f¡L} del paso anterior. (8-112)

267

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

(k) Se calculan las reacciones en los apoyos utilizando: (8-113)

a estas reacciones hay necesidad de sumarle las fuerzas en los nudos de apoyo provenientes del sistema E, para obtener las reacciones totales {RT } , así: (8-114)

Ejemplo 8-8 Se Cj¡üere UltlA.LizlM V!0r el Inétodo de rigidez llA. estntctltrlA. n'LOstreA.dlA. en llA. Figl1,r1A. 8-27. Los cLe/'Vlel'Ltos Üef1PVl. L¡;ts sig¡üelttes prorJie&11l.-ítes: El = lOO MN·m' = 100000 I<N·/,!'t' e l/A = 10/144In'. PureA. eL Ultt.UisLS se /t{úizlA. llA. l'lOfl1.fvuJUlJUIA. 11~)sLmd(,o[. en !ítJigHJIA.

SO~ ~

12m

Dirección X del sistema global

Figura 8-27 - Estructura del Ejemplo 8-8

Se mlC/üa el sisLevVla deJItt'rllA.S E como llA.s reuccíones de en'l.j'Jotramieltto de lasjf.terllA.s en tos e1elnef'l.tos el'l. el sisteH'l.1A. LomL. f~20kN'm 3

SOkN

---+

10 kN/m

(::JIo¡-31-'.I-I..¡.....I..,o¡....¡......,¡"".¡-!-b~~O kN"I1l

120 kN'm

40kN

+--

60kN

J20kN'm

Figura 8-28 - Ejemplo 8-8 - Reacciones de empotramiento en coordenadas locales de los elementos Elemento (1)

Elemento

{ff..}={~O} {f~}=J~o} -120

{f2~ } =~ :O} {fií,} ={ :0 }

l120

-120

Se o!oLievl.elt LlA.s /'VllA.trices [A,¡] de travl.~fom'l.lA.cióf'L íÜ' coordeltlA.dus de mda elemento:

2f58

---------------

8 • Introducción al análisis mal ricial de estruct uras !'1y

!'1y

tz;o. ';ocal

global

y local

global

LL.- .i ;

-.~ X

Elemento 2

Elemento 1

O 1 O]

OO] 1 O

[11,1]= -1 OO

[O O 1

O 1

Se tnutsforvncu'l Lasjnerzas deL s~stevna E de LomL a gLobaL

{Fl~}= [A 1]{ ~O-} ={_~O}

-120

00} {Ff¡.} =[A 2]{ 6 = 6:}

-120

120

{Fl~}= [Al]{~O} ={~O}

120

Se cuLuúwt Las jlterLas elt Los Itltdos del sístel'Ha E COn liase elt Las jlterzas (,;jIte LLegwt de Los eLel1tentos uL Itltdo, Nltc/,o 1

f-40}

O} r-401

{P:}={F:t}+{F2~}=~ O + 60 =i 60) l120

120

l240

Nltdo 3

{P E}={F: 3

b}={

6: }

-120

Alwra se cULC/Ú(it el s~stel''Ha dejlwlLas L restando a Lasjlterzus concentradas ('1'1 Los Itl1,dos Las j11.erzUS en Los Itluios cieL s~stevJta E:

N/uio 1

_{~O :O} m-{:} {~}

{P1 ={pt }_{PIE} =¡~} L

}

N/tdo 2

{p,L} = {P{}-{P,'} =

}={

-120

120

26!)

Dinumica estructural aplicada al disería sísmico

N/teto 3

Por Lo tanto el sistevnu eteJH.erzus L (íj/teetu usí: 40kN-fIrri 120 kN'm [!]

40 kN

----d::4.~----~O~~ o 0!JOkN

60 kN

Figura 8-29 - Ejemplo 8-8 - Fuerzas del sistema L

/\ILOru se cuLCt1-LUlt Lus 11tutricesde rigilliez lIie Los eleme utos. Esto se reuLizu lIie /Htu vez m coorllienudus 0loll(:ües: ELe 111R 11 lO 1 P = EIIL3 = 57.87 ¡,N/m ~ = AVII = 2073.6 c=cosa=O.O s = sen a= 1.0

o Lu Inutriz ete rigilliez lIieL elemento es:

r694.44

120000

: -694.44 I 4166.7--r--

4166.71

1 I

-120000

1 1]

4166.7 O 33333 : -4166.7 16667 O I ---- --- ------- -------1------- -------- ------ = ~'!!1_~~'!!l_ 1 I 1 -4166.7 ¡ 694.44 -4166.7 -694.44 O O K ba ! K bb I I -120000 O 120000 O O O

[

4166.7

1666i : -4166.7

I 33333

o Lu ¡nutriz [KT] es: O

-120000

694.44

4166.7 O ------- ------120000 O

4166.7 : -694.44

33333 : -4166.7

120000

4166.7

16667

-120000

--------,------- -------- -----O

-694.44

-4166.7 : 694.44

O -4166.7

4166.7

16667

33333

: -4166.7

Uef'}tenlo 2 P = EIIL 3 = 57.87 I<N/vn ~ = AVII = 2073.ü 270

Jt.

.A ,1:11..-, 'lJ'lllll-'"-_'-·

.... .>'

\..11.'

-7 .. 0.....7 "11.'1.11.'"''

'\._"

Il.'- .1,.4-.,

'll'

·o.},ll' 11.11.'- 1l'1l1l1 'I.._II.__}'

e = cos ex = 1.0 s = sen ex =0.0 La vVl,ulriz de rigidez deL eterncnro es: 120000

694.44

: -120000 O I 4166.7 I O -694.44 O

4166.7

O 4166.7 O -4166.7 16667 33333 I ------- ------- -------1-------------- ------120000 O I 120000 O O O O -694.44 -4166.7 : O 694.44 -416t;.7 I O 4166.7 O -4166.7 33333 16667 I I

IJ Lu vnatriz [KT] es: 120000

694.44

4166.7

I I

O 4166.7 ------- -------

33333

-120000

: -120000

-694.44

O 120000

-4166.7

4166.7 16667

694.44

O -4166.7

-4166.7

33333

I ------- ------------1--------

O -694.44 -4166.7 :

4166.7

16667

I I

Alwm Intscan1.os LiA.Jonna cid e¡tsiA.nüJLaje lile La !nutriz cie rigidez cie La estrnct/uu: 1

3 J, ~ nudos

K~b [K:. K~b + K;a K;b 2 [K]= K;a

°r

K~a

K~b 3

La f'ltiA.triz cie rigidez de todiA. ia estmctlua [K] es.'

e o o o 4166.7 o 33333 : -4166.7 o 16667 o o ------- -------- --------r------- -------- --------r-------- ------- ------- 694.44 - 4166.7 120694 - 4166.7 -120000 o o o o o -120000 120694 4166.7 o o o -694.44 4166.7 4166.7 16667 : -4166.7 4166.7 o o - 4166.7 16666.7 66667 ------- --------------- --------r-------- ------- ------o o o o : -120000 o 120000 o o o o o -694.44 -4166.7 : o 694.44 -4166.7 o o o 4166.7 16667 -4166.7 o o o 33333 694.44

120000

4166.7

-120000

4166.7 : - 694.44

I I

I I I

I I

o o o

I I

--------~-------

I I

I I I

La fltlA.triz de rigidez de Los gmdos de W'Jertad Lik¡res [KE ] se obtiene tlA.c1I,iA.ltdo LiA.S JiJas IJ coLnfltftlA.s correspondievl,tes a Los gmdos de Libertaci restrUtgicios por Los lA.¡JolJos. JiLCl.s IJ coLlmUtlA.5 1. 2.3.5. 7 IJ 8. correspm1.dientes a Los gmcios de Liklertad [JLokJlA.Les U lx . U 1y . U lz . Uzy , U3x IJ U 3y . Por Lo ta1tto Los gmcios de LikJertaci Libres son, U 2x ' U 2z Ij U 3z .

271

) Ul1lúmica estructural aplicada al diseiio sísmico

r12M~ -4166.7 66667 16667

[ 0.83059 x 10-'

0.59328 X 10--(i 0.17185xl0- 4

- 0.85926 X 10-5 LIA. f'vllA.triz [KRl r'lA.rlA. obtener LlA.s reaccíones en Los IA.po!Jos se obtiene. tlA.clLlA.l1,riO LlA.s COLI1YltVllA.S ae [K] correSrlCHtriiel1,tes lA. Los gmrios rie LibertlA.ri IA.pOljlA.rios Ij LlA.sJiLlA.s corresYlonriiel1Jes lA. Los grurios efe Li¡"wrLuc{ /ü¡rcs:

-694.44

4166.7

-4166.7

16667

•I

O ------- ------- ------O 4166.7 4166.7 ---"---- ------- -------120000 O O O

-4166.7 -4166.7

EL vector riej/H:'I'ZUS eIt Los gmrios ric LitlertlA.ri Libres {P} es:

f {~l {p} = 1P J= =- 240 P 2X

,P3z

20.

Ahom resoLvemos eL sistemlA. r'lA.rlA. obtener Los riesYlLIA.ZIA.f'ltievltos {U} rieL Vl/1,riO Litlre:

Evu:mttrUf1Ws LlA.s J¡1,erzlA.s en coorrienlA.rilA.s íocaíes rie ClA.rilA. eLev¡,teltto CUI1,slA.riIA.S por Las riespLlíLZlA.mievltos {U}: ELef1teltto 1 O

-17.93

-------

17.93

- 0.42726 X 10- 2

-143.18

0.18392 X 10-

272

-71.98

-------------3

R • Introducción al análisis. mut ricial de estructuras

E.Lel'ltCftto 2 r;x

U 2x

0.18392 X 10-3

22.07

f;y

U 2y

O -0.42726 X 10- 2

-6.4

!~z_ U3

r;x

-------------

U 3x

r;y r;z

3y U 3z

O 0.27363 X 10- 2

-96.81 -22.07 6.4 20

Ahom se SIO'ltIlUt Lasj/i.crzas wtterLores (cm Lasj/lerzas COrreSrJCHtGÜefttes deL sLstcma E. eft LocaL

de cada etemento. plA-rlIL olrtener as( Lasjt1,erzasjLltaLes: ELCfltt'ltto 1

-17.93 -71.98

-40

-57.93 -191.98

-----O

-120

17.93 -143.18

= -----O

-40

-22.07

120

-23.18

1 I

~ 191.98 kN'm

_-----57.93kN

SOkN --(f

t Ib~k_N_·

\...-/ 23.18kN·m

22.07 kN

Cuerpo libre

23.18kN·m

Cortante

Momento

Figura 8-30 - Ejemplo 8-8 - Fuerzas finales, elemento 1

E.LcmCltto 2

22.07 -6.4

22.07

60 120

-120

-100

-96.81

53.6 23.19

{r }={rt}+{rn= -----+ ---= ------22.07 -22.07 O 2

-6.4 -20

66.4

Dinámica estruct ural aplicada al diseño sísmico 10kN/m

-E:~9la - b1 100 kN'm

22.07kN 23.19 kN'm

22.07kN

53.6 kN

66.4 kN Cuerpo libre

53.6kN

66.4kN

lOOkN'm 23.19kN·m

Figura 8-31 - Ejemplo 8-8 - Fuerzas finales, elemento 2

LiA-S reiA-CCLOItes en Los upo/dos se obtiertev¡, así

R Ix R 1y

-17.93 O

-72 -6.4

{R}= R 1z

------

R 3x

-22.07

------

R 3y

6.40

-17.93

-40

-72

-120

-6.4

-22.07

6.4

66.4

------ + --------

-57.93

---

-192

53.6

Ut LiA-Jig/tm sig/úenLe se vltl1.esLn¡¡,¡t LiA-s reiA-cciOltes LotiA-Les otlterÜcliA-s.

r>. 57.93kN [!] 1+-t"i92 kN'm

80~ ~ 10 kN/m

100 kN'm 22.07 kN

53.6 kN Figura 8-32 - Ejemplo 8-8 - Cargas aplicadas y reacciones

274

•

Capitulo 9 Análisis nudricial cwanzado y elententos jinitos

I 9.1 Introducción El Capítulo anterior se dedicó a una introducción al análisis matricial de estructuras, más con el fin de familiarizar al lector en el tema, en aquellos casos en que lo desconozca, o generar una nomenclatura que se utiliza en todo el tratamiento de los sistemas dinámicos de varios grados de libertad, para aquellos que lo conocen. El objetivo del presente Capítulo es familiarizar al lector con algunas metodologías que permiten modificar, según se requiera, el modelo matemático contenido dentro del análisis matricial. Estas modificaciones obedecen a una serie de razones, que se harán e\ identes en lo presentado aquí y en el empleo de las metodologías expuestas en el planteamiento y solución de problemas de varios grados de libertad en los capítulos siguientes.

Se han incluido las deducciones de las matrices de rigidez de algunos elementos diferentes al pórtico plano empleado como vehículo de introducción en el Capítulo anterior, con el fin de ampliar la aplicabilidad de lo presentado. Así mismo se incluye una breve introducción al método de los elementos finitos, con el fin de sente las bases de dos tipos de elementos finitos de gran aplicación en el diseño sísmico: los diafragmas de entrepiso, y los muros estructurales, los cuales por ser elementos que ríeuen una de- sus dímensíones sensíblemente menor que las otras dos. defieren en su tratamiento de todos los otros presentados que tienen dos dimensiones menores que la otra.

9.2 Igualación de grados de libertad Algunas veces conocemos algunas propiedades de la estructura que no se reflejan en la manera como se plantean las ecuaciones de equilibrio en el análisis matricial convencional. En general estas propiedades especiales de la estructura se pueden describir en función de relaciones lineales entre sus diferentes grados de libertad. Supongamos que tenemos una estructura con p grados de libertad, la cual tiene k ecuaciones de ligadura que relacionan linealmente los p grados de libertad entre ellos, así: alJU 1 +a 12U Z +

+a1pUp=O

aZ1U 1 +azzU z +

+azpUp=O

(9-1 )

275

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

donde los coeficientes aij son números reales. Este sistema de ecuaciones puede expresarse matricialmente como: (9-2)

Por cada ecuación de ligadura generamos una dependencia entre un grado de libertad y otro, por lo tanto el sistema de ecuaciones anterior nos indica que existen k grados de libertad que dependen de los n = p - k grados de libertad independientes. Particionando {U}p,l en {Unh,l con los grados de libertad dependientes y {UI}o,l con los grados de libertad independientes, y análogamente particionando [A~K,p en [Anlk,k Y [Atlk,Dl obtenemos:

(9-3) y (9-4)

Despejando {Un} de la ecuación anterior se obtiene: (9-5)

Reemplazando: (9-6)

(9-7) Lo anterior quiere decir que podemos expresar todos los p lGS grados de libertad de le estructura, {V}, sólo en función de los n grados de libertad independientes, {VI}' Por otro lado sabemos, ecuación (8-~'6), que: (9-8) y al aplicar el principio de contragradiente a la ecuación (9-7) tenemos:

(9-9) Ahora, reemplazando la ecuación (9-8) en (9-9), obtenemos: (9-10)

y al reemplazar (9-7) en (9-10):

(9-1 1) y

276

(9-12)

Hemos expresado la matriz de rigidez de la estructura en función únicamente de los n grados de libertad independientes. Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas planteado en la ecuación (9-11) Y se obtienen los desplazamientos de los grados de libertad independientes {VI}; es posible determinar los desplazamientos de todos los grados de libertad Ialtantes, dependientes, utilizando la ecuación (9-7).

I I I

Este procedimiento tiene un sin número de aplicaciones. A continuación se presenta un ejemplo en el cual se utiliza para modificar la matriz de rigidez de una estructura, de tal i.ianera que no haya deformaciones axiales en los elementos, o sea que éstos sean infinitamente rígidos axíalmente. Este procedimiento, en general, se denomina igualación de grados de libertad.

Ejemplo 9-1 Lu estni,ctlUU I')wstmdu elt Lu FilJluu 9-1 tiene Lus s~g,üelttes t"ror)~edudes: L = 1,1 = 1, E = 1 [j A = \ji. AuemrÁ.s Lu tUftlJente deL úv¡,glüo e es 3/4,. L

FigLlra 9-1 - Estructura del ejemplo 9-1

DuGio DJI1.e Lu estrnctluu está elnrJotmdu eVL S/tS upO[jos, VLO se d~ó vLOfneftcLutl~,m u estos ftl1.dos [j sóLo se ftlunemrovl, Los fti·1.dos Libres. LuJonHu de eltSumbLuje de L(,j, mutr~z de r~g~dez de Lu estr/utltru es Lu s~g lúevLte: 1

[K = [K~~~ K;a E]

A/LOmJonnwnos Lus 1')'Lutr~ces de r~g~dez de Los eLemefttos, SóLo se preselttuf1. Lus s/th1tatr~ces qlte se f'LeCes~tun pam el eftSw')t~ILuje de Lu mutr~z de r~g~dez de La estmctlua. ELevVl,eltto 1 p = EIII} = 1.0

13 = AVII = \ji e = cos a= 3/5 s = sen a -4/5

192

25 \ji + 25

12 ) --(12-\jI 25 24 5

----

--(12-\jI) 25 16 108 25 \ji + 25 18 -5

24 -

5 18 -5 4

277 - - - ' - - .. --

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico Ele I1'Lf' VLto 2

p = EIJL 3 = 1.0 . 13 = AVII = '" ' e = cos a =1.0 !:1 s = sen a =0.0

'" -'"

:-'"

6 1 O -12 6 4 II O -6 2 --- ---- ---r------ -O O O O:", O -12 -61 O 12 -6

O O

12 6

2 I1 O

-6

UCI1'LCVLto -"3

p = EIJL 3 = 1.0 I3=AVII=", e = cos a = 3/5 s = sen a= 4-1')

192 12 9 24 -(12-",) 25 \ji + 25 25 5 12 lOS lS 16 -(12-"') 25'" + 25 25 5 24 lS 4 5 5

]

Evtsr.-tfnk! Ll/Uteto LíL<; vHr.-ttrLces etc Los eleVl1,Cf'LtOS se O~J tíene Lr.-t mr.-ttrLz etc rLg ~etez ete toet{A. Lr.-t estmct/l.m: O 34", + 192 12",-144 120 I1 - 25", O 1 12", -144 16", + 40S -300 O 60 I 150 1

-150 120 60 200 O 50 [K p,1=251- ----------------------1---------- ---------- ---1 O -12'1f;" 144 I

- 25'1'

-300

O O

150

3 I 34", + 191 -150 : - 12", + 144 I 50 I 120

120

16", + 40S -60

-60 200

Pr.-tm rJoetcr sltprLV11ú Lr.-ts eteJannr.-tcLOItCS GlXir.-t!es etc Los elel1tevLtos ¡~r.-tlj ftecesietr.-tet ete estr.-tk!Leccr Lr.-ts eCI~r.-tdo/teS ete LLgr.-t&i./1.m correspo/t&ÜevLtes. Esto se hr.-tcc P{Mr.-t cr.-tetr.-t 11.110 ete Los etementos. Uel~'Leltto 1

Heme/tto 2

278

.<J • Análisis matricial arcuizculo y elementos [iiutos

ELelnevLto 3 -U

-U 2 y

2x= - --

I II

La ec[tución:

[A] {u}= {O} &jlteeta entonces. O

3 4

[

O ' O 10

1 O O -1

0,0 O

-4 O

TO/'l1.al1.eto COVVLO variubLes U1.etepn1.etiel'Ltes U lx . U I. Ij U 2z reorgrM'Lizwiws {U} cwnloianeto eL oreten t1.e Lus fiLas. l:J [A] cumt'iw1.eto eL oretet1. ete Las COL,·Hi1.l1.aS; r'ara rl:'flejar Los CIA¡·i1.tlios eVl. {U}:

U lx Ulz U 2z

4 I O

[A D ]= 0.-1

U 1y

[

U 2x

01 O .-4

U 2y

Ulx

O O

1 O U1z

O O 1 U 2z ----- --3/4 O O U1y 1 O O U 2x

3/4

O O U 1x

-3/4 O O U 1y O

1 O Ulz O O U 2x

3/4

O O U2 y

O 1

-- -' [R]= ----1

O O U 2y

U2z

SI:' caLenLó [R] Ij Lltego se reorgcu1.izaron SltS JiLus para r(jl.ejw el oretef1. ete {U} ori.giltv;.L. Ahora

rloetemos CI/tLw.Lar [KrJ COfiW.

[K 1 ] =[R ]T [K E ]

['6'25 -- 37.5 ' - 37,5] 200

200

279

Dinámica estruct ural aplicado o] diseño sísmico

Ha!:j dos rA.Spectos if'VLportaf'Ltes tíjlte resaLtar deL I~Jtil1'LO resnLtado. el rrivvLE:ro es VJI1.e G.FeetivW11C¡tte desapareció eL térmüw '1'. Lo C/1.aL indim tíjlH'c desapareció eL ténnif'W de úre¡1!. de La Inatriz de rigidez de La estn1.ct/ua. !:j et segltltdo es tíj/1.e aL ILacer esta aYJroxLJIltació¡t /lJ/tdú1'WS redl1.dr es sistelna de seis eC/taCim1Cs simltLtc:üterA.S a tres. Lo C/1.al pl1.ede a¡wrrar tiempo !:j traklajo d,ua¡tte la soütcíón ¡tlunérica del y¡rov'Lema.

9.3 Condensación de grados de libertad

Supongamos que tenemos una estructura sobre la cual podemos plantear la siguiente relación de rigidez: (9-13)

Si algunas de las fuerzas externas aplicadas sobre la estructura, representadas en el vector {P} son nulas, podemos particionar el vector {P} de la siguiente manera:

{p}= {~}

(9-14)

donde {Pe} corresponde a las fuerzas externas aplicadas en los nudos que no son cero. Análogamente podemos particionar el 'lector {V} de la siguiente manera: (9-15) donde {De} son los desplazamientos de los grados de libertad donde hay fuerzas externas aplicadas, y {Vol son los desplazamientos de los grados de libertad donde las fuerzas son cero, estos últimos desplazamientos no son nulos. La matriz [KEl puede particionarse de la siguiente manera para reflejar la partición de los vectores: (9-16) Expandiendo la última ecuación obtenemos: (9-17) y

(9-18) De la ecuación (9-18) obtenemos: (9-19) que al reemplazar en la ecuación (9-17) conduce a: (9-20)

280

I I I

y • Análisis mat ricial arcuizado y elementos finitos

Por lo tanto hemos reducido el sistema únicamente a los grados de libertad donde hay fuerzas externas aplicadas, y la matriz de rigidez de la estructura se ha reducido a: (9-21) Una vez se resuelve el sistema determinando {Ve}, es posible obtener los valores de {Vol utilizando la ecuación (9-19). El procedimiento anterior se denomina condensación.

Ejemplo 9-2 Ll~ estrl1,fÜtm deL (~enti'JLo 9-1, despnés de Cjne se ILGut s/tprifnido Las drJonitaciovLes w<iaLes de Los cLente/ttos, tiene tres Wados de Libertad donele halj posibiLidad ele apLicarJ/terzas externas. taL corno Lo Vlt/1.eS tm La Fig IUU 9-2 .

Figura 9-2 - Estructura del ejemplo 9-1

A Lct estnu:tluCL sóLo se Le VCLVL CL CLpLicCLr J/1.erzCLS horizov1.tCLLes. lj 11.0 hCLlj I1tOVltevLtos externos ar,Liw.dos en Los It/tdos 1 Ij 2. EL vector deJI1.erzas {P} tiene entonces Lct sig/üe/tteJonna:

La vnatriz de rigidez de La estntcttua. silt positliLidCLd de defonnctcion.es w<iaLes en Sl15 eLementos es La sig¡üente. deL ejempLo 9-1: , [16::'2.5 - 37.5 200 25 - 37.5 50

[K 1 ]= ~ - 37.5

37.5] 50 200

Si LCL r,articioltanws de amerdo con La partición de {P}. obtenemos:

AlLam:

[K 3

= [ 0.1333

-0.0333

-0.0333] 0.1333

IJ ¡:Jor Lo tanto:

281

iúámica estructural aplicada al diseño sísmico

tu u/'lUmciólt sucesíva del procedivltiellto de igltuluciólt de gmdos de W'Jertud, mcís eL de coltdeltsuciólt, nos hu LLevudo ~i('sdc lHl sistevltu con seis grudos dc Ubertud fA, I1,It sistel1llA. de lHt gmdo de Libcrtud. EL 1'1v:xic1o mutemc5ttico reS¡ütultte, IW tíene /'losi!}íLidt;¡.d de dt1ormucimte5 lAXiuLes ell SI1,S eLel1teltlO5, lj udcmc5ts está limiLudo uL Cl'ltrJLeo de Jltcrzu~ I torizontates.

•

La ('ondensación puede utilizarse aún en aquellos casos er que las fuerzas aplicadas en algunos grados de libertad no sea cero. La forma general de la condensación es la siguiente: . Supongamos que tenemos una estructura sobre la cual podemos plantear la siguiente relación de rigidez: (9-22)

Ahora particionamos el vector {P} de la siguiente manera: (9-23)

donde {Pe} corresponde a las fuerzas aplicadas en los grados de libertad que permanecen uespues de la condensación y {Po} las fuerzas externas aplicadas en los grados de libertad que desaparecen debido a la condensación. Análogamente podemos particionar el vector {V} de la siguiente manera: (9-24)

donde {Ve} son los desplazamientos de los grados de libertad que permanecen V {Vol son los desplazamientos de los grados de libertad que desaparecen debido a la condensación. La matriz [KEl puede particionarse de la siguiente manera para reflejar la partición de los vectores: (9-25)

Expandiendo la última ecuación obtenemos: (9-26)

y (9-27)

De la ecuación (9- 27) obtenemos: (9-28)

que al reemplazar en la ecuación (9-26) conduce a:

282

y • Anausis nuuricuu (ll'<U1Z(l(to .'J etemetuos JIIIIIOS

(9-29)

Factorizando: (9-30) y el análisis se realiza para:

(9-31) Por lo tanto hemos reducido el sistema a los grados de libertad que se desee. La matriz de rigidez del sistema reducido es: (9-32) Al resolver el sistema debe tenerse en cuenta que el vector de fuerzas tiene una componente de las fuerzas aplicadas en los grados de libertad que se condensaron. Una vez se resuelve el sistema determinando {Del, es posible obtener los valores de {Dol utilizando la ecuación (9-28).

9.4 Subestructuracion Un subproducto directo de la condensación es la subestructuración. La condensación permite describir la rigidez de un conjunto de elementos utilizando únicamente aquellos grados de libertad que se desee. Extendiendo este concepto a grupos de elementos seleccionados apropiadamente, es posible desarrollar algo que algunos autores han denominado superelernentos. Para aclarar este punto, SUfymg"mos que tenemos una estructura definible como pórtico plano, con tres grados .rtad por nudo, como la mostrada en la Figura 9-3(b). Al observar la estructura puede verse que hay un conjunto de elementos que se repite tres veces dentro de ella. Este conjunto de elementos se muestra en la Figura 9-3(a).

(b)

Figura 9-3 - Aplicación del procedimiento de subestructuración

El procedimiento de subestructuración consiste en obtener la matriz de rigidez del conjunto de elementos que se repite tres veces, el cual en este caso ilustrativo tiene seis nudos (A a F) y 18 grados de libertad, como se muestra en la Figura 9-3(a). Estos conjuntos de elementos se conectan entre sí a través de sus nudos A o F, y nunca a través de los nudos B, e, D, o E. La matriz de rigidez de este conjunto se condensa de tal manera que únicamente queden como grados de libertad los correspondientes a los 28B

Dinámica est rl{ct ural upliccula uf diseño sísmico

nudos A Y F. Esta matriz condensada tiene seis grados de libertad, y define un superelemcnto. Utilizando la matriz de este superelemento se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura, conectando estos superelementos en los nudos marcados como 1 a 4 en la Figura 9-3(b). Esto nos conduce a una matriz de rigidez de la estructura con 12 grados de libertad, en vez de 48 que se tendrían si no se utiliza el procedimiento. Los desplazamientos de los grados de libertad ínternos, una vez se realiza el análisis de la estructura, se obtienen utilizando la ecuación (9-28).

9.5 Casos especiales A continuación se presentan dos aspectos especiales del análisis matricial, los cuales

son de utilidad en muchos problemas de la vida real.

9.5.1 Articulaciones y liberación de grados de libertad en los elementos Aigunos tipos de estructura, como puede ser el caso de estructuras metálicas, tienen elementos que en sus extremos tienen articulaciones, manteniendo las propiedades de flexión dentro del interior del elemento. En otros casos se desea liberar algún grado de libertad del elemento, ya sea en sus extremos, o dentro de él. Una posibilidad de atender este problema es deducir la matriz de rigidez del elemento teniendo en cuenta el caso particular que se desee. Otra manera de resolver el problema, la cual es más general, consiste en utilizar la condensación vista en la Sección 9.3. Este último procedimiento es el que se presenta a continuación.

Supongamos que disponemos de la matriz de rigidez del elemento, ya sea en coordenadas locales o en globales, como lo indica la siguiente relación: (9-33)

{f}=[k]{u}

Ahora queremos liberar un grado de libertad, por ejemplo colocar una articulación en uno de sus extremos. Sabemos que al liberar el grado de libertad la fuerza asociada con ese grado de libertad se convierte en cero. Por lo tanto es aplicable la condensación estática sobre este grado de libertad:

y tal como se demostró en la Sección 9.3, al expandir la matriz particionada obtenemos:

(9-35) y

(9-36) De (9-36) obtenemos: (9-37) Reemplazando (9-37) en (9-35) se obtiene: (~F18)

284

..-o-oo----o"'-.-.---

_-----------------------~-~.-

oC' - -_-0--0---_-. ,.0

y esta es la matriz de rigidez del elemento con la articulación. Dado que se quiere conservar una matriz del mismo tamaño de la matriz original, se debe introducir una fila de ceros y una columna de ceros en el lugar del grado de libertad que se condensó. Una manera de lograr la condensación y al mismo tiempo no variar el tamaño de la matriz se logra a través de la siguiente ecuación. (9-39)

Donde:

[k'tn

matriz de rigidez con el grado de libertad liberado. Es del mismo tamaño de la matriz original. matriz de rigidez original. vector formado por la columna de la matriz de rigidez original correspondiente al grado de libertad que se quiere liberar. inverso del término de la diagonal de la matriz de rigidez original correspondiente al grado de libertad que se quiere liberar. vector

formado

por

fila

matriz

rigidez

original

correspondiente al grado de libertad que se quiere liberar. Cuando se desea liberar varios grados de libertad simplemente se debe aplicar este procedimiento consecutivamente a cada uno de los grados de libertad que se quiere liberar. Para modificar los momentos de empotramiento de acuerdo con la liberación de grados de libertad se puede suponer que el elemento es una estructura que está apoyada en todos sus grados de libertad, excepto aquel que se desea liberar. Entonces la estructura tiene un sólo grado de libertad y entonces es posible encontrar el desplazamiento que se obtiene en el grado de libertad liberado. El nuevo vector de fuerzas de empotramiento corresponde al vector de fuerzas de empotramiento para el elemento empotrado en todos sus grados de libertad, menos el efecto del dcsplazamíento producido por la liberación en todos los grados de libertad.

Ejemplo 9-3 EVllU1 etemento de r¡órüco pLIA.VlO se Gj/üere cotocar /U'],u IA.rÜuülA.dón en el extremo iZGj/üerdo. EL elemento tiene EUtlA. mrglA. distnt"üdlA. I1Hiforl'lte sobre todlA. Sti LO/1gillul de Vl-t1A.gltit/tvL w. EltCOvltmr LIA. f'ltlA.triz de rigidez correspondiente Ij el vector de 111üf'ltentos de emr¡otmlnieftto.

Figura 9-4 - Viga con articulación en el extremo izquierdo

IlticilA.fltOS COl1 Lu vltlA.triz COftveVlcioftlA.L (te eLnneftto de rJórüco rLlA.ltO Ij LlA.s JI1.erLIA.S de flnpotmfltifftlo r¡um ItI'], eLemevl10 ('(lIt CeA.rtj(A. etistJi¡,,,üettA. EU1ifomte ete mlA.gltiLl1,d w con Los extremos elnpotruetos. 286

Dinámica estructural aplicad« a/ diseño sísmico

AE L

12EI

6EI

4EI

AE L

: :

o o

I _______ L

i AE I

6E!

2EI

___L:_ -----_. L o o

2EI

6EI

4EI

Se Cjlüere LiLJerur eL grudo ae LiLJertua Uaz corresl1onaiente lA, Lu terceraJiLl,i lJ tercera COL!·1YVLVI,/J!, de Lt f1'\,Uc,-iz. PUl'íJ. uy1Licur:

teV1J~ VitO s: 4EI

6EI

_ 4EI k 3L

4EI L O

6EI L2

2EI L

O :1

9EI

6EI

4EI:

-_!-:_-

_____ J1

o o o

o 1 3EI

o : o 1

6EII

-_1

2EI _

2EI

286

El L

y • Aiuüisis matricicü urcuizcuto y etemeutos )IIIHOS

3EI

I I

1-1

I 1 1

3EI

I I I

----- -----(k'] = --AE ------ _____ ...J ______ AE I

-L

3EI IJ 3EI

I I I

I I

3EI

1_ 3EI2

3EI

-L

fj resoLvievLdo rlíLrlit el grudo

1 i

de Libertad Libemdo:

_2_

wL2

4EI

=--

--=--u

wL {M E }= __U._

i I I

wIJ

48EI

wL2 12

{M~}= {M E}-(k] {uo}

I o

AE L

12EI L3 6EI L2

6EI: L2 : 4EI: L:

12EI L3 6EI - L2

6EI L 2EI L

12EI

6EI

1:3

O O

--------------¡--AE-- ------wL _ 2_ wL2 12

O O

I I

6EI :

2EI

o o

4EI L

3wL _8_

o o O

5wL _8_ wL2 8

Estas SO/1 Las jl1.erzas de CVJityJotmvvLieVLto de ItVLa viga sovvLeUda a lüta Clítrga distritJlúda IlY'"ifon~'l,(' CO/1 Sil- extremo iZL-jlüei'do simrLel1'LevLte aYJofjado ij el exLreVVLO derecho el1tpotrcHtO.

• 287

Dinámica esrructural aplicudu u! diseño sismico

9.5.2 Nudos rígidos En las estructuras de concreto reforzado y mampostería estructural, los nudos de interconexión de los elementos tienen dimensiones que pueden influir en el análisis debido a que el elemento es más rígido en la zona dentro del nudo que dentro de la luz. Es práctica común suponer que el elemento es infinitamente rígido dentro del nudo. En la Figura 9-5 se muestra esta situación para una viga que llega a columnas de dimensión apreciable.

Figura 9-5 - Viga con zonas rígidas

Para determinar la matriz de rigidez de un elemento con zonas infinitamente rígidas en sus extremos, partimos de la matriz de rigidez de la porción flexible del elemento en coordenadas locales, Esta está dada en la ecuación (8-62), con la única diferencia de que la longitud del elemento es D en el presente caso.

1: z;l·

-¡·zb:1

ay Mi

Ji V.

~dP-

M<I

f bx

Figura 9-6 - Elemento con zonas rígidas en coordenadas locales

Las fuerzas de los extremos de la porción libre del elemento las denominamos haciendo referencia a su extremo izquierdo con el subíndice i y al derecho con el subíndice d. Debemos encontrar las fuerzas en los extremos a y b del elemento, los cuales corresponden a los nudos reales de interconexión. Para el efecto, de acuerdo con la Figura 9-6 encontramos las fuerzas en los extremos a y b en función de las fuerzas en los extremos de la porción libre. Esto nos permitirá definir una matriz de transformación de fuerzas, a la cual denominaremos [T], y (9-40)

Entonces de acuerdo con la Figura 9-(1 obtenemos:

288 ---------

~------

= Pi

f bx = Pd

f ay = Vi

f by = Vd

faz = Mi + Za Vi

f bz = M d - z, Vd

fax

(9-41)

Lo cual nos permite definir la matriz de transformación de fuerzas [T]: O

I I

O ---O

1 0

I I

-Zb I

I I

---- --------r---11

(9-42)

Si la porcion libre tiene la siguiente relación entre fuerzas y deformaciones en sus extremos: (9-43) Que al ser reemplazada en la ecuación (9-40) produce: (9-44) y al aplicar el principio de contragradiente, que en este caso tiene la siguiente relación: (9-45) y reemplazarla en la ecuacion (9-44), se obtiene la expresión para la matriz de rigidez

del elemento con las zonas rígidas en sus extremos:

{f} = [T] [k L ] [TY {u}= [k] {u}

(91(3)

Después de realizar las operaciones apropiadas se obtiene la siguiente matriz de rigidez en coordenadas locales:

~E I o o

12EI

6EI_(1 + 2Z.) D2

6EI_(1+ 2Z b )

,, o

12EI D'

_ 6EI (1 + 2Z. )

3Z. 3Z-b + 6Z.Z 2EI1 ( + b) -+ -2 -

~-~1------~------

4EI( 3Z. 3z~1 1+ -+ 2

[6EI ( + 2Z. - 21 -) D

-1)3

_ 6EI_(1+ 2Z.)

b) 16E1( 2Z- 21 +

2EI(I+ 3Z. + 3Z b + 6Z.Z b)

--------------------------~-A-E-

12EI

~-D

D2 D

D D

-------------- --------------------------

: D2

12EI

_ 6EI_(1 +

1)3

¡ o 1_ ~I ( 1+ 2~b ) ¡

2Zbl D

3~T-

-tEI( 3Z-b + 1+ 2 D

(9-47) En general los códigos de diseño de concreto reforzado permiten diseñar el elemento utilizando las fuerzas en la cara del nudo, por esto la siguiente relación permite determinar estas fuerzas con base en los desplazamientos en los nudos de interconexión:

2sg

Diuámicu estructural aplicada al diseño sísmico

(9-48) La conversión de la matriz de rigidez del elemento de coordenadas locales a coordenadas globales se realiza por el mismo procedimiento presentado anteriormente en la Sección 8.5. Cuando haya cargas sobre el elemento debe tenerse cuidado en el hecho de que en general existe carga también sobre la zona rígida, como lo muestra la Figura 9-7. En este caso hay necesidad de corregir las fuerzas de empotramiento del sector libre, transladándolas a los nudos de interconexión y agregando el efecto de las cargas que actúan sobre la zona rígida.

I I

Figura 9-7 - Carga vertical sobre una viga con zonas rígidas

Para el caso dé carga vertical uniforme sobre la viga de acuerdo con la Figura 9-8 obtenemos:

I I

Figura 9-8 - Carga vertical uniforme sobre la viga con zonas rígidas

Entonces, para el extremo izquierdo, nudo a, obtenemos: (9-49) (9-50)

290

y • "'lll(¡(ISIS IIwlnClU1 (WWIZuao y CIGIIU!/HOS }1I/1l(J.~

y para el extremo derecho, nudo b: ME = wD + wDZ b + wZ~ b 12 2 2

(9- 51)

E wD V b =-+wZ b

(9-52)

Para otros tipos de carga se deben hacer correcciones similares.

9.5.3 Deformaciones por cortante La presentación que se ha realizado hasta ahora, para el elemento de pórtico plano, no ha incluido las deformaciones por esfuerzos cortantes en el elemento. Las deformaciones por esfuerzos cortantes en una viga, están descritas por la siguiente ecuación: dyv dx

-V(x)

(9-53)

GA v

donde Yv es la deflexíón adicional a la de flexión transversal al eje de la viga causada por los esfuerzos cortantes, que se suma a la causada por la flexión; V(x) es la fuerza cortante; G (= E/[2+2v]) es el módulo de cortante y Aves el área de la sección que es efectiva para cortante (generalmente es el área del alma de la viga). Si se utiliza esta deformación adicional en las deducciones realizadas en la Sección 8.3, y definiendo el término: 12EI

~ = GA L2 v

la matriz de rigidez [k], en coordenadas locales, de un elemento incluyendo las deformaciones por cortante; toma la siguiente forma:

plano,

igdl AE L

o o ----AE---

-L o o

12EI

6EI

(1 + Il)L 3 6EI

(1+ Il)L2

(4+ Il)EI (1 + Il)L

12EI

6EI

(1 + Il)L3 6EI

(1+ Il)L 2 (2-Il)EI (1+ Il)L

_(.1_~}!-2!:-: __ --------- ,----A:If--- __i!:':"llJ.!L ----------

,, 6EI ,, (1+Il)L2 : (2-Il)EI ,, , (1 + Il)L o

DEI (1 + Il)L 3 6EI (1 + Il)L 2

L o

6EI

Ul!ay

6az U bx

(1 + Il)L2 (4+ Il)EI

U by

6EI (1+ Il)L2

(1+ Il)L

6 bz

(1+ Il)L3

12EI

1lI..

Utilizando el radio de giro de la sección, r 2 = l/A, Yla definición de G, es posible hacer la siguiente conversión:

= 12EI 2 = 24(I+V)~(E-12 GA v L

(9-56)

donde v es la relación de Poisson del material. En la ecuacion (9-5() es posible identificar que para elementos esbeltos, con rlL pequeños, con respecto a la unidad, el 2fJl

-----------------

titt/unica estructural aplicada al diseño sísmico

valor de II se puede tomar como cero, con lo cual la matriz de rigidez revierte a la matriz en la cual no se toman en cuenta los efectos de deformaciones por cortante. J.5.4 Efecto de la variación de temperatura

Cuando los elementos de la estructura están sometidos a una variación en la temperatura, este efecto puede tenerse en cuenta formulando unas fuerzas de empotramiento derivadas de restringir totalmente los elementos a la expansión causada por la variación de temperatura. Estas fuerzas derivadas de la restricción se tratan de igual manera que las reacciones de empotramiento que se utilizan en el sistema E para el caso de cargas estáticas, tal como se explicó en la Sección 8.8. Si definimos las fuerzas de restricción térmica como {PT} en coordenadas locales para el elemento, o como {P T } en coordenadas globales cuando se han sumado algebraicamente en los nudos; la condición de equilibrio de la estructura está dada por:

': = (9-57)

Donde {Pj} corresponde a las fuerzas del sistema L (Sección 8.8), [K¡J es la matriz de rigidez de toda la estructura incluyendo sólo los grados de libertad que pueden desplazarse, {Ud es el vector 'de desplazamientos de los grados de libertad libres de desplazarse. La determinación de {PT} en coordenadas locales del elemento se realiza para un gradiente de temperatura T(y), donde la función describe la temperatura con respecto a una distancia y al eje neutro de la sección. Siendo A el área de la sección, podemos definir: (9-58)

e IT =

JyT(y) dA

(9-59)

Puede determinarse, [Przemieniecki, 19681 y [McGuire y Gallaqher, 1979], que el efecto de restricción axial está dado por: (9-60)

donde E es el módulo de elasticidad del material, y a el coeficiente de expansión tcrmica, dado en términos de deformación unitaria por grado Celsius (m/rn "C), f T está dado en unidades de fuerza (kN) y es importante anotar que es independiente de la longitud del elemento. Análogamente el momento que se induce debido a la restricción a la rotación en el extremo del elemento, se obtienen de la curvatura que produce en el elemento el gradiente de temperatura: (9-G1)

mT está expresado en unidades de momento (kN "m), y también es independiente de la longitud del elemento. El vector {PT} en coordenadas locales para un elemento de pórtico plano, está dado por:

2D2

.<J • ~1J1álisis mutricial (WWlz(ulo y elemelltos JOII( os

-----------------------

(9-62)

La conversión a coordenadas globales se realiza utilizando {PT} = [A] {PT}' Por lo tanto el efecto de la temperatura se convierte en unas fuerzas nodales, equivalentes a unas fuerzas de empotramiento, y su tratamiento es totalmente análogo al de las fuerzas de empotramiento causada por fuerzas aplicadas sobre el elemento.

Ejemplo 9-4 UJtu vigu sünrlclnclttc urOljuctt;t con L = 10 m. mlju sección tiene b =0.5 m de uvu:ho lj h = 1.0 m de ulto. collstnúdu de 1m wl.uleriul con E::: 25 GPa, (j a = 8.10-6 mlm·°c, üüdulvneltte está u

tenl.rerutltru ul11.biev\,te, de 20°c' es sometidl4 u I lit cULel1.tufnieftto de 20°C en 511. ~Jurte iv!ferior lj 4·0°C: en SIl. Ylurtc sl1,perior. odJe encontrarse el estuelo de e~/1.erzos ql1.e esto geltefi4. OeVlen

considerurse dos casos ev\, S/1.S upo/jos: A - dejul1.do (,.j/1.e el upoljo derecho YJl1.edu desYlluzurse Iwrizontulmente lj B- silt DI/1.e I\,ulju YJOSiLlilictud de desrluzumiento horizOIltuL evl. I1.Íl1.gli./'\.o ete los aos upo(jos, Ul y

UZy

~U¡x

~Uzx

t 12z

tPtz

temperatura ambiente inicid/20'C

tempereturr SO'C

_----------te~:r:tura 4O'C/@ c-L

5.00 m

12 ' l~

Figura 9-9 - Viga sometida a un gradiente de temperatura

Lu vigu se aivide en dos elelnentos ac cuico In de longitl1.ct ca/no /nl1.estr¡;¡. /.(.1, Fi.gli,r¡;¡, 9-9, EL gmdiellte de teVJl.rerutluu se aeJilte rol' Vltedio de 11,v1. valor de (40°-20°) ~ 20"C: el'\. tu Ylurte iv!ferior (j de (60°-20°)= 40°C ell. lu rlute s/1pnior. Por lo tanto:

A1LOru:

I = IyT(y)dA = .IJJ:ooy, + 300y}lx}Y = I~(200y' + 300y ~Y T

= b[20

+ 15oyZJh/2 = 5° b h 3 = 0.833

-----------_

.... _-~

-h/2

298

0C.

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico i:1 tus jl1erzus de CI1trJotrULf11Ú'Itto gC~teYULdus por tu restricción ut cOftsideYULr cmpotrudos tos elementos son.

Entonces el vector {PT}' 1'11, coordevLudus tOCULtes. i:1 gtolJutes dudo I/jlle coi~tcidCft tos ejes gtOtJut I:J tOCULL es.

~l O

3000

---

-m T

-166.7 - ------

-umT

O--

166.7

Ahoru gelterwnos tu mutriz de rigidez de tos elementos. tu CIi.Ut es igl1.ut elt cooretenudus locales I:J gLot)uLes. ¡Jura Lo C/l.uL ltecesitwnos Los si0,üevLtcs coejícientes: L=Sm E = 2SGPa = 2S000000kPa A = 0.5 m ·1.0m = 0.5m 2 1= 0.5.1.03/12 = 0.04166m 4 AE/L = 0.5m 2 • 25GPa/5m = 2500.103 kN 1m 12EI I L3 == 11· 25GPa· C.0416!irr. 4 .' 125m 3 =lOO·lO3 kN 1m 6EI IL2 = 6· 25GPa· 0.04166m 4 125m 2 = 250.103 kN I rad 4EIIL = 4· 25GPa·0.04166m 4 15m = 833.3 ·10 3kN· mirad 2EI I L = 2· 2SGPa· 0.04166m 4 I S.n = 416.6.103 kN· mirad

EVLtoVLces Lu ntatriz de rigidez de c,~.utwüeYUL ae Los aos elementos. en cooraeltuaus locales I:J gLotJutes es: 2500

: -2500

100

250

I I

-100

O 250

250

833.3

I I

-250

416.6

-2500 O

O -100

2500

-250 I

100

-250

I I

-250

833.3

------ ------

250

------¡------- ------ ----_. O

416.6

LuJonnu ete fltSUl11.t 1tUjc ac tu 11tlA.triz ac LIA. estnl.ctltYUL es: 294

9 • Análisis matricial ananzado y elementos [init. 1

K~a K~a

K~b K~b + K~a

J, ~ nudos

K;a K;b

K~b

LIA InlAtriz ete rig ietez ete toetlA LIA estmctliXlA [KEl es: J, gdl 2500

I I

Ulx

I I

U 1y

-100

-250

-2500 O O I 5000 -100 -250 : O O

O 200

1-2500

O U 1z O ----- - - - - O U 2x O

I I

-100

416.6 : O O : -2500

1666.6 :

-250 II 416.6 II

J~O

250

833.3 :.

------

250 416.6 I

-----1------ - - - - - ------f-------

------ -----

: -2500

I I

250

I I

-100

I I

250

U Zy

O 2500

-250 416.6 U 2z U 3x O O

100 -250 U 3 y -250 833.3 U 3 z

---------+------- ----- ------1------I

-----

250

____ o

lj el vector etc ljectos ete tentrJemtliXlA sobre toetlA LIA estntctltm, otJWtietos por vaeetio etc ellllúLiLlrio Y'lArlA Los Inisvnos gmetos ete Lil-JertlAet, es: 3000 O

-166.7 O {PT}E =

O O

-3000 O

166.7

PI,UIA eL CIASO A en el u{,IAL LIA estntctttm es Lil-Jre ete etljonnlArse fwrizOfttlALvne/tte en S/1 IApOljO derecho, Los IArJoljos corres/Jonetclt lA Los gmetos de LibertlAet UIx ' UI y ' lj U3y , Se tlAdUIIJt LiA.sJiLlAs lj COLltVltltUS corrcspOltetielttes lA estos gmetos etl' LitlfrtucL tWtlü elt [KEl corno en {PTlE. De esta VnlAlterlA se ohtíene LIA VltlAtriz ete rigietez de Los gmdos de Libcrtud Li/ilrcs rJlArlA despLazlArse lj LIAS J/1erzlAS upLiclAdlAs correspOltdievl.tes l'vl. Los It/tdos, EL sisteVltlA de eCI1,lAciOlteS es:

166.7 O

-3~OO-166.7

833.3 :

-250

5000

416.6 II O O : -2500

- - - - - ------1-----------+------I

____ o

Ulz U Zx

200 250 U 2 y O II O -250 : O 416.6:L______ O O _____ ~~~~:-6_L __ ~___ 416.6 U 2z _._--____ o

: -2500

I I

250

I I

2500

U 3x

416.6

I I

833.3

U 3z

c.úmica estructural apliccula al diseño sísmico

USI{, solución: 0.0008 rad

Ulz

----------

U 2x

0.0012 m

U 2y U 2z

0.0020 m O

----------

U 3x

0.0024 m

U 3z

-0.0008 rad

Lf..tsJI,¡,erzas en Los elementos se Otltiefteft del prod,l,cto de estos des¡r¡LlAZf..tf'lÜefttos rJor La Vltatrlz de r[glDLez del etemento. A estas Jlterlf..tS detlelt f..tlüclOJtarSe Las JI1.erZf..tS de emrJotntvltle¡tlo (Seccióf18.8). Los res/1.Ltf..tdos son:

I.¡ i

UevncfHu 1

---

O ---

{iH = [K

e1em

-0.0008 ----_. 0.0012 -0.0020

f-3:00

3000

3:00

J-!~~?- + -1 ~-j:¿l~ ---

O O O -

¡ ¡

-166.7

+ ------ -3000

3000

O ---

166.7

E!emcJtto 2 0.0012

l-1:6.7

-3000 -O --

0.0020

- 3000 -O --

-166.7 166.7 1 ---~--- + -----= ------ + - 3000

0.0024 O

-0.0008

3000

---

[

-1:6.7 J

16:.7

1 O-O

166.7

I 1

3000

-166.7

166.7

= O -3000

Lo unterlor lJ~dlW_ líj/te IW se iJtlrod/u:eJt e~lterzos ¿VI, Lf..t v[gv{., dvl.do ~l/H~ ¡1/i.ede des¡1Lf..tzf..trs~ Htlrevneftte. No oustante. Lf..t Vlgf..t se defOrf'ltf..t. estircütdose en s/t extremo derecho 0.0024 m. Ó 2.4 mm. U LeVf..tfttciftdo.':>e 0.0020 m. Ó 2 mm. en et centro de Lf..t LHZ. Lf..t eXr¡f..tltSlÓlt corres¡1mtde f..t L~T

=10 m·8·1O-6·30°C =0.0024 m =2.4 mm. Pf..tyu et Cmo B. elt el C:Lf..tL Lf..t estr/.i.(Utm se restrlftge horlZmttf..tLmeltte eft SIl. f..tr¡oljo deredw. Los urJOljos correspolt(ieft f..t Los gmdos de Llbertf..td U I x . U I y ' U 3x . U U 3y . Se tuchwt Lf..ts ji'us Ij COLI1.I1tftf..tS corres¡101~dientes f..t estos gvf..tdos de Lil-wrtud. tanto en [KEl como eft {PTlE. De estf..t f'ltf..tfteVf..t se obtieftf Lf..t f'ltf..ttriz de rlgidez de cuico grf..tdos de Llbertf..td Llt¡reS ¡1f..tVf..t desr¡Lwf..trsc Ij LasJ/,¡,erzas f..t¡r¡Hmdf..ts corres¡r¡mtDÜeJ1tes en Los vLlHios. EL slstevna de eC/1.aclOJtfS es:

166.7 O

- 250

: 5000

------,----O: O

200 O

O : 250 1666.6 : 416.6

250

416.6: 833.3

833.3:

-----j----O

=10 3 X - 250:

416.6: _____ L

-166.7

O O_

O : O

416.6:

------------~-----

y • .Ancüisrs I/HnnCHlI Ul'U/I/,uuu y '-." " " ... ,," l ..... " "

~:~·l

0.0008 rad

U 2 y r=

0.0020 ro

~:~'J

----------

-0.0008 rad

LtiLSjlteVzus en los elCVllC¡tlOs se o~ltielte¡t (;(el ¡Jro(;(,tcto (;(e estos desplw¡;unLelttos r10v Le;¡, vne;¡,ULz de rLgLdez dd eLemcltto. A estas jll.efle;¡,s ddlelt e;¡,dLcLmte;¡,vse Le;¡,s jH.erze;¡,S de el11 r¡otn;u1-üe¡tto (SeccLó¡t 8.8). Los veslülw;{.os SOVL: ELelnnttCJ 1

{iH = [K

-OO -0.0008

elem

-----

J~~~l

-0.0020 ---

l-~OO

Q O

---

r 3000 O

3000

---

+ -----= ------3000 O

------

166.7

--O ---

166.7

---

---166.7

-166.7

--O --166.7

-3000

-O -O

ELf'mPltlo 2 0.0020

{ii} = [K

e1em }

O -------

-0.~008J

3000

-166.7

O -O ---

3000

---

166.7

-166.7

O -O ---

-3000

+ ------ = -------- + ------3000

--O --166.7

-166.7

166.7

3000 -O -O = ----_. -3000 -O -O

Lo anterior LlteÜcu Gjlte se LltUo(;('l,(elt C8'ltCrzOS w<~e;¡,Les elt le;¡, vLge;¡,. dueto Gjll,c VLO ¡tJ/.tcde deStllvlb/i.(SC l~LleVl\.C'11te elt fl Sf:'IHü;lvO iwvL7.oVllnJ No oj,¡stuvLt.e. LcA. vLge;¡, se d~formu leve;¡,lttciltdose 0.0020 ro. Ó 2 mm. en eL centro de lu LHl. correspmtdLe¡ttes e;¡,l mLSVltO valor del Ce;¡,SO A.

•

9.6 Otros tipos de elemento A continuación se presentan las matrices de rigidez y transformación de coordenadas de varios tipos de elementos de uso común. 9.6.1 Definiciones

Los términos de la matriz de rigidez en coordenadas locales se dedujeron utilizando técnicas similares a las utilizadas en la deducción de la matriz de rigidez del elemento de pórtico plano (Sección 8.3), pero aquí no se presentan. Todas las matrices muestran la partición propia para poder ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura por medio de las submatrices [Kaa] , [Kab], [K ba] Y [KbbJ. Para la deducción de las matrices de transformación de coordenadas se utilizó el mismo procedimiento en todos los casos, el cual consiste en definir un vector a lo largo del elemento, el cual al ser dividido por

297

iámica estructural <tplicadu at diseño sísmico

su longitud, corresponde a un vector unitario a lo largo del eje x local. Este eje en todos los casos coincide con el eje longitudinal del elemento y va del nudo a al nudo b. Por esta razón las matrices de transformación se expresan en función de las coordenadas de los extremos de los elementos. Se conserva la misma convención utilizada en las deducciones anteriores, en la cual las letras minúsculas corresponden a parámetros expresados en coordenadas locales y las letras mayúsculas a coordenadas globales. La matriz [R] corresponde a la matriz de transformación de coordenadas de todos los grados de libertad del elemento y está compuesta por submatrices [A]. La matriz [KT] permite encontrar las fuerzas del elemento en coordenadas locales, en función de los desplazamientos de la estructura en coordenadas globales.

Iniciamos con la matriz de rigidez en coordenadas locales, donde:

{f}=[k]{u}

(9-63)

Luego utilizando la definición de vector en el espacio dada en la Sección 8.1.2, obtenemos el vector {ah} el cual va del punto a al punto b y cuyas componentes en cada uno de los ejes del sistema global son (Xb-Xa), (Yb-Ya) Y (Zb-Za) respectivamente. Al dividir el vector {ab} por su longitud labl se obtiene un vector unitario en la dirección del eje x local del elemento, expresado en coordenadas globales. La longitud labl es:

i j

1 i i ! ,! I f

I r

(9-6-!)

y si definimos:

e = x b - xl!.. x

9.(

(9-65)

(9-66)

(9-67)

Los cuales corresponden a los cosenos directrices de un vector de longitud unitaria, localizado en el eje longitudinal del elemento, que por definición es el eje local x.

(9-68)

Definiendo el plano en que se encuentra el elemento, es posihle determinar, utilizando el producto cruz de vectores, los vectores unitarios {y} y {z} localizados en los otros ejes locales del elemento. Entonces la matriz de transformación de coordenadas [A] es:

{A} =[{x} I {y} I {z}]

(9-69)

y la matriz para todos los grados de libertad del elemento, [R]: (9-70)

298

¡ 1

1, I •

y • j,lll(~lísis nuuricuu (/l'{/IIXU(/O y eWIIWIIl(J.'; jlllIlU..,

Entonces las fuerzas en coordenadas globales, se obtienen de:

{F} = [R]{f}

(9-71)

y por principio de contragradiente:

{U}=[Rf{u}

(9-72)

Al reemplazar (9-72) en (9-63), obtenemos:

{f} =[k][Rf{U} =[KT] {U}

(9-73)

y esta matriz [KT] posteriormente permite encontrar las fuerzas en el elemento en

coordenadas locales, a partir de los desplazamientos en coordenadas globales de la estructura. Ahora al reemplazar la ecuación (9-73) en (9-71) se obtiene la matriz de rigidez del elemento, [K], en coordenadas globales: '

{F} = [R] [k] [RY {U} = [K] {U}

(9-?-·1)

9.6.2 Elemento de cercha plana

La matriz de rigidez [k] en coordenadas locales es la siguiente:

(9-75)

Dado que sólo es relevante el eje x para la transformación íe . ,'<ia de un elemento en el plano XV, que no tiene componentes en '1.., la matriz de transformación de coordenadas [A] es: (9·76)

.. X

Figura 9-10 - Elemento de cercha plana en coordenadas locales

y la matriz [R] es:

299

ámicaéstrücturaí aplicada al diseño sismico

(9-77)

Al hacer las operaciones apropiadas obtenemos:

(9-78)

y la matriz de rigidez en coordenadas globales:

J, gdl

cx 2

CxC y

1 1 1

_C 2

-CXC y

2 _e 2L CxC y __ ~.L __ ~=-_~~~.L ____ [K] = AE --=' :-C2 - 2

CX -CXC y I x 1 2 _C y ,1 CxC y -CxC y

U ax

(9-79)

U ay

CxC y

U bx

C 2y

U by

6.3 Elemento de cercha espacial La matriz de rigidez [k] en coordenadas locales es la siguiente:

AE : AE] {~~} =[--XE~~A~- {~~~} b

__ 1

(9-80)

9.6.'

La matriz de transformación de coordenadas [A] es:

(9-81)

Figura 9-11 - Elemento de cercha espacial en coordenadas locales

aoo

y la matriz [R] es:

[R]=

C O o-riO] = ---T--O :C "

[

z :

(9-82)

O :C I y O : e,

Al hacer las operaciones apropiadas obtenemos:

(9-83)

y la matriz de rigidez en coordenadas globales:

L gdl

c x2

CXC y

CxC z

CXCy

ClC z

CxC z _~l~_z__ [K]= AE -~-C2--

-c.c, -CxC z

1 1 1

_C 2

X 1 -CXC y I

-CXC y _C 2y

-CxC z

v.,

-CyC Z

D ay

_c e; : -Cxc _-=~~c::~ ------2 z

o.,

CxC y

CxC z

U bx

CyC Z

_______1_______ z 1

-CxC y _c 2y

-CxC z 1

-C YC 3

r2 ~x

-CyC Z 1 CXC y

_c 2z

! CxC z

(9-84)

u., 1[J b"

9.6.4 Elemento de pórtico plano

La matriz de rigidez [k] en coordenadas locales es la siguiente: -l-gdl

-13

I 1 I 1 1

6L O -12 6L 12 -6L 2L2 6L 4L2 O ----1----- ---- ---[k]= P ---- ----O O I1 13 O O -13 O O

O O

-12 6L

-6L 1

1 1

12 -6L -6L 4L2

donde El P=3

El eje local z es perpendicular al plano XY por lo tanto su vector es:

801

(9-85)

tiuámica estructural apliccu!« al diselío sísmico

{Z}=m

(9-86)

El vector del eje local y se obtiene con el producto cruz de los vectores z y x:

(y} = {z}x{x} =

h'}

(9-87) (

Figura 9-12 - Elemento de pórtico plano en coordenadas locales

y la matriz de transformación de coordenadas [A] es:

(9-88)

v la matriz [R] es: Cx

-C y

I I

O -C y

Cx O

O 1

I I

-----t-----O I C x O II C y O I, O I

m-89)

Al hacer las operaciones apropiadas obtenemos:

ec, -12C y -6LC

~Cy

12C x

6LC

I I I

-~Cx

-~Cy

12C y

-12C x

6LC

-6LC

2L2

~Cx

I3C y

12C x

-6L 4L2

y -----_.x ---x _____ L_._____ [KT] = P _____ 1- ----_.-~Cx

-~Cy

12C y

-12C x -6L: -12C y

-6LC y

6LC x

! 6LC y

y la matriz de rigidez en coordenadas globales:

802

-6LC x

(9-90)

I I

!J • L,'lnúlisis matricial al'ul/uulo .IJ elementos Jínilos

13C; +12C;

c,c, (13 -12)

-6LC y : -13C 2x -12C 2y

C xC y(f:l-12)

13c; +12C;

6LC x : C.C y (12-13)

-6LC y

6LC.

4L 2

I I

6LC y

C xC y(12-13) -13c; -12C;

6LC y

-6LC y 6LC. 2L 2

-6LC.

(9-91)

[K]= P =--~c2--=-i2Cr ----------- -------~----------------------- ------13 2 2 y C.C y (12-13) C.C¡(12-13) -13C; -12C; -6LC y 6LC.

2L'

13c; +12C;

6LC y -6LC.

-6LC.

4L '

C.C y(13- 12)

C. +12C y -6LC. : C.Cy(13-12)

6LC y

9.6.5 Elemento de parrilla

La matriz de rigidez [k] en coordenadas locales es la siguiente:

-J,gdl

~ O

12 6L

O 6L 4L2

-~ O

I I

O -12 -6L

-12 -6L 1 O

-6L

4L2

I I

6L 2L2

(9-92)

[k] = P ---- ----- ----1----- ---- ---O O

donde El

P = L3

El eje local y es perpendicular al plano XZ por lo tanto su vector es:

(9-93)

X Xb

f ay

---- ----

f by

---b/

L¿: fbz

/' Zb

Z Figura 9-13 - Elemento de parrilla en coordenadas locales

El vector del eje local z se obtiene con el producto cruz de los vectores x y y:

80:3

'inámica estructural aplicada al diseño sísmico

(9-94)

y la matriz de transformación de coordenadas [A] es:

(9-95)

y la. matriz [R] es:

A O]

-C z II

Cx O

O I-C z

----[R]= [o-r~ = ---O O O o I

-----1-----

! I

(9-96)

----- ----

: O

Al hacer las operaciones apropiadas obtenemos:

t gdl pC x

O PC z I -I3C x I 6LC x I -6LC z -12 4L2C x 1I -2L2C z -6L

-PCz 6LC x

8 ax

-6LC z 12 6L -4L2C 2L2C ---- -----.![KT] = P ------~ ---- -------;-------O O pC z -l3c z II se, -13 C x I 12 -6LC x 6LC z -12 -6LC x I 6LC z 2C 2C 2C -2L z 6L 2L x II -4L Z -6L I 4L 2C X

U ay

(9-97)

8 az 8 bx

u by

8 bz

y la matriz de rigidez en coordenadas globales:

+4r:C;

-6LC z

I3C; -6LC z

4r:C;

-6LC z - (13 + 2r:)CxC z: I3C; + I -12 -6LC x 6LCz 6LC z I 2)C 2C; - (13 + 2L : (13 - 413}CxCz xCz 6LCx I -I3C;+ 2L z

2}Cx

-(13 + 2L 6LC x

z 2L2 )C C ~_?!:C;~ I3C 2+4L2C2 I -(13+ ~ ______~_~--___ ----J-J~.!:<::L ____

(13 - 4r:)CxCz _ [Kj=p --=~C2-~2i2C2x

t gdl

, (13 - 4L")C xCz I -l3c; +2r:C; I 6LC z ,I -6LC -12 6LC

6LC z

Elax

v, 2C;

-I3C; +2L _ ------------(13 - 4L2)C xCz

El.. El b x

-6LC x

U by

12 -6LC x

zC; I3C;+4L

(9-98)

Elbz

9.6.6 Elemento de pórtico espacial

Definiendo

La matriz de rigidez [k] para el elemento de pórtico espacial, en coordenadas locales es la siguiente: 304

J, gdl

o 12

o O

o :-\3

U ax

-12

u ay

-12lC

-6LlC

Uaz

-y

e ax

12lC

- 6LlC

I I

Y O

I I

O O II O 6LlC O 2L 2lC O O -6L 4L 2 I ___ 6L O O 2L 2 O O O O O _____L ---- ------ --- ------ ---[k] = P --- ---- ------ --- -----I O O O O I \3 O O O O O -\3 O O

-6LlC

-12

-12lC

-"(

- 6LlC

4L 2lC

-6L: O

l2lC

6LlC

Ubz

'Y O

e bx

4L 2lC

e by

6LlC

I I

2L2lC

6LlC

! O

Ubx

I I

-6L

(9-99)

eaz

-6L

eay

Uby

e bz

z Fiyura 9-14 - E'em~ntc de p:5rtico espacia!

Se define un nudo auxiliar e el cual conforma con a y b un plano dentro del cual está el eje local y, y su dirección es positiva alejándose del punto c. El eje local z es perpendicular al plano conformado por abe y forma un sistema de mano derecha con x y y. Utilizando un vector unitario colineal con la línea ae al cual llamamos {w} y cuya longitud es: (9-100) y por lo tanto (9-101)

(9-102)

805

Dinámica estructural aplicada e' dtseño sísmico (9-103)

Los cuales corresponden a los cosenos directrices de un eje de longitud unitaria, colincal con la línea ac:

(9-10-l)

El eje {z} se obtiene por medio del producto cruz de los vectores {w} y [x]:

i¡ (9-105)

Dado que es un sistema de mano derecha el eje {y} se obtiene del siguiente producto cruz:

I I¡ ,

rDzCxCz - Dx(C; +C;)+ DYCXCY}

{Y} = {z} x{x} == lDXCYC

X -

Dy(C; + C;)+ DZCyC Z

(9-106)

DyCZC y - Dz(C y + C x)+ n,c,c,

y la matriz de transformación de coordenadas [A] es:

DXCyC X- Dy(C; + C; + DZCyC z

DzC x - DxC z

DyCzCy-Dz(C;+C; +DxCzC x

DxC y - DyC X

(9-107)

y la matriz [R] es:

A O:Q O O A:O O -- - - r - - O OlA O O O !O A

(9-108)

Haciendo las operaciones apropiadas se obtienen [KT] y [K].

9.7 Elementos finitos 9.7.1 Introducción En general el análisis estructural tiene como objetivo determinar un campo de esfuerzos o de deformaciones de una estructura y sus elementos. En muchos casos se dispone de una ecuación que describe la solución del problema; como es por ejemplo la ecuación (J = My/I, la cual define los esfuerzos dentro de la sección de un elemento sometido a flexión. Desafortunadamente existen numerosos casos en los cuales no 806

1 :

.<J •• 'ln(l(is.is matricial (I/'w/x(ul0.'l etemeut.os [uut os

existe este tipo de soluciones, o estas son muy complejas matemáticamente, lo cual las hace poco prácticas. Hace unos treinta años se inició el estudio de procedimientos para obtener la solución numérica de casos particulares en los cuales no existía una solución analítica. El desarrollo de estas metodologías condujo a lo que se conoce hoy en día como el método de los elementos finitos. El cual consiste en dividir la estructura en una serie de elementos, describiendo el comportamiento del elemento por medio de ecuaciones constitutivas elementales. Estos elementos se interconectan en nudos donde al aplicar 21 principio de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones simultáneas. Indudablemente, lo anterior corresponde al mismo procedimiento que se emplea en el análisis matricial, y esta es la razón por la cual este último se considera un subconjunto del método de los elementos finitos.

I 1

Otra descripción del método de los elementos finitos, algo más sofisticada, lo define como un procedimiento para realizar interpolaciones polinómicas, por medio del cual un campo de desplazamientos es interpolado en sus valores en los nudos de interconexión de los elementos. El método de los elementos finitos no debe confundirse con el método de diferencias finitas 1Ghali y Neville, 1989], en el cual se resuelven numéricamente las ecuaciones diferenciales de equilibrio en algunos puntos seleccionados de la estructura. En el método de las diferencias finitas las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del medio elástico se aproximan por medio de segmentos lineales evaluados reemplazando la ecuación diferencial válida en el límite, por diferenciales finitos (dy/dx vs, /!"y/b.x). A continuación se exponen los principios del método de los elementos finitos. El objetivo de la presentación esta orientado a ayudar al lector en su empleo en la solución de determinados problemas de dinámica estructural. El lector que desee profundizar sobre los fundamentos del método de los elementos finitos debe dírigtrse a publicaciones especializadas tales como [Bathe, 19821. [Bumett, 19871. [Chandrupatta y Belequndu, 1991], [Cook, 1995], [Cook, Molkus, y PIesha, 1989], [Gallagher, 1975], lLivesley, 1983], y [Zienklewicz y Taylor, 1989]. 9.7.2 Procedimiento de análisis utilizando elementos finitos El proccdímíento del analísís por medie de dementas finitos es muy similar al empleado en el análisis matricial presentado en el Capítulo 8. A continuación se presentan los diferentes pasos que componen el análisis utilizando el método: fuerzas externas nodales ~

=:1

esfuerzo aPlicado/

'nudo

grados de libertad del elemento estado de esfuerzos en el punto Odel elemento

-O~ ~

Figura 9-15 - Platina sometida a un esfuerzo de tensión y su idealización por medio de elemento finitos

307

Dinámica estructurcd aplicada al diseño sísmico

División de la estructura en elementos - La estructura, que en este caso es un sistema elástico continuo o discreto, se dívide en una serie de elementos de tamaño finito. La disposición y tamaño de los elementos a emplear requiere criterio y algún entendimiento previo del problema, pues en aquellos lugares donde los esfuerzos o las deformaciones dentro de la estructura cambian en una distancia corta, la densidad de la red de elementos debe aumentarse. Los puntos de interconexión de los elementos se denominan nudos. En la Figura 9-15 se muestra la división de una platina de espesor constante, con un hueco, sometida a tensión. Formulación de la matriz de rigidez del elemento - Utilizando la teoría matemática de la elasticidad se definen relaciones entre las deformaciones unitarias a que se somete el material y los esfuerzos que se generan dentro de él debido a estas deformaciones. Luego se definen unas funciones de interpolación que describan los desplazamientos de cualquier punto del elemento en función de los desplazamientos en sus nudos y su posición dentro del elemento. En general estas funciones son polinomios cuyo grado depende de la forma que tienen los desplazamientos, de la cantidad de nudos y del número de grados de libertad por nudo. Entonces para cualquier punto dentro del elemento es posible describir su estado de deformaciones unitarias en función de los desplazamientos de los nudos de interconexión del elemento. Integrando los esfuerzos que inducen estas deformaciones unitarias para todo el volumen del elemento, se obtiene una relación entre los desplazamientos de los nudos del elemento y las fuerzas que se inducen allí, lo cual corresponde a una relación entre fuerzas y desplazamientos en los nudos, o sea la matriz de rigidez del elemento. Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura - Utilizando el procedimiento presentado en el análisis matricial (Sección 8.6), se ensambla una matriz de rigidez de la estructura, adictonando los términos apropiados de las matrices de rigidez de los elementos en cada uno de los grados de libertad. Aplicación de las condiciones de frontera o apoyo - Dependiendo del tipo de apoyo que tenga la estructura, se afectan los grados de libertad correspondientes, utilizando el mismo procedimiento que se empleo en la Sección 8.7 en el análisis matricial.

Determinación de los efectos de las fuerzas externas - Las fuerzas y esfuerzos externos aplicados a la estructura, apropiadamente transformados, se colocan como fuerzas nodales en los nudos de interconexión entre elementos. SolUCión del sistema de ecuaciones simultáneas - El sistema compuesto por la matriz de rigidez de la estructura y las fuerzas nodales aplicadas se resuelve para obtener los desplazamientos de la estructura. Evaluación de los esfuerzos dentro de los elementos - Conociendo los desplazamientos de los nudos de interconexión entre los elementos, se determina el estado de deformación y de esfuerzos dentro de los elementos. 9.7.3 Tipos de elementos Dependiendo del tipo de grados de libertad que se definan en los nudos de interconexión entre elementos y del tipo de funciones descriptivas del estado de deformaciones dentro de ellos, se pueden plantear diferentes tipos de elementos con propiedades y características apropiadas para determinados problemas. En la Figura 9-16 se muestran algunos elementos con diferentes características.

808

y • Aiuuisis matricial (l/'W/'l.(U/U y etel1le1ll0S }/I//lOS

(a) Elementos de pórtico (e) Elementos de losa plana

Uy:X-

y~y

(b) EsfuelZos planos y deformaciones ptenes

(f) Membranas axisimétricas

Uz (e) Elementos sólidos

~,.,~ ---Z

0"'\,

(g) Membranas con cualquier curvatura

(d) Sólido axisimétrico

Figura 9-16 - Diferentes tipos de elementos finitos

9.7.4 Formulación de la matriz de rigidez del elemento

En el método de los elementos finitos existen diferentes procedimientos para obtener la matriz de rigidez de los elementos. Uno de los procedimientos más utilizados se basa en la utilización de la siguiente integral:

[k] = [Br[E][B]dV

(9-109)

donde [B] es una matriz que relaciona desplazamientos de los nudos de interconexión de los elementos con las deformaciones unitarias dentro del elemento, [E] es la matriz de propiedades del material, y dV es un diferencial del volumen V del elemento. Esta ecuación se deduce [Cook, 1996] de la definición de la energía de deformación que se acumula en el elemento cuando se aplican fuerzas en los nodos de interconexión entre elementos, las cuales causan desplazamientos y deformaciones. Si, para efectos de la presentación, nos limitamos a elementos que pueden contenerse dentro de un plano xy, las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones para un material elástico e isotrópico están descritas por:

30!)

Dinámica est ruc; ural aplicada uf diseño sísmico.

2} { cy

[l/E -v/E -v/E l/E

"i xy

(9-110)

donde E es el módulo de elasticidad, v es el módulo de Poisson, y G es el módulo de cortante [G = 0.5 El (l+v)]. Si la ecuación anterior se resuelve en función del vector de esfuerzos {a}, se obtiene la matriz [E] que nos relaciona los esfuerzos en función de las deformaciones unitarias. Para esfuerzos planos [E] es:

[1 v 1

ax} ay =

--2 V

l'txy

l-v

- x O O ]{ce }

O I O (1-v)/2

(9-111)

,"ixy

y para deformaciones planas [E] es:

(9-112)

I I ~

La situación de esfuerzos planos se presenta cuando se tienen elementos delgados, con la dimensión en la dirección z pequeña, y su espesar puede aumentar o disminuir debido a los esfuerzos en el plano A'Y- Por lo tanto a z = 'tvz = 'tzx = O. En la condición de deformaciones planas, el espesor del elemento no puede <:~:mentar o disminuir, como es el caso en secciones de elementos con una dimensión longitudinal muy grande. No obstante, debe tenerse en cuenta que todas las estructuras son en esencia tridimensionales, por lo tanto la idealización de definirlos en un plano, o como una barra,de por sí implica una simplificación. Las relaciones entre desplazamientos de los Dudas de interconexión entre elementos y las deformaciones unitarias dentro del elemento, [B], se utilizan para obtener las deformaciones unitarias que se presentan en el material del elemento debido a los desplazamientos en sus nudos. Las deformaciones unitarias normales se definen como el cambio en longitud dividido por la longitud original, y las deformaciones unitarias de cortante como la variación angular con respecto a un ángulo recto. En la Figura 9-16 se definen estas deformaciones unitarias. . t:.x 1• ~u . ¡oC I

Figura 9-16 - Rectángulo de tamaño diferencial sometido a diferentes deformaciones unitarias

Entonces:

Au c x =Sx '

(9-113)

yen el límite, los cocientes de diferenciales se convierten en derivadas parciales, debido a que los desplazamientos en la dirección x, u, y y, v, son funciones de las coordenadas x y y: u

=u(x, y) y v =v(x, y):

810

_---------------------~-)-·-.L-1-n-(I-JI-S-íS-·_1I_U_.II_r_U_OI_{/I_ (U'{/lIZ{/(lO y erelll(!lIl()~ l"l/(.(J~

que en notación matricial es:

(9-115)

Estas deformaciones unitarias son válidas siempre y cuando se cumpla la teoría de deformaciones pequeñas. Los desplazamientos (u, v) para cualquier punto con coordenadas (x, y) dentro del elemento finito plano están definidos por medio de funciones u = uíx, y) y v = vtx, y), las cuales se obtienen por medio de interpolaciones de los valores de los desplazamientos de los nudos del elemento, U¡ y Vi por medio de:

, o {u}=[N]{d}

(9-116)

donde las Ni corresponden a n funciones de interpolación que describen la forma de las deformaciones, y en conjunto conforman la matriz de funciones de forma, [N]. Es importante notar que u depende únicamente de los diferentes U¡ y v depende de los diferentes Vi, y que u y V utilizan los mismo polinomios de interpolación Ni.

De las ecuaciones (9-11 S) Y (9-116) se obtiene:

{E} =[a][N]{d}, o {E} =[B]{d} , donde [B]=[a][N]

(9-117)

De esta manera se han definido todos los términos requeridos por la ecuación (9-109) para determinar la matriz de rigidez del elemento. Puede verse que para unas propiedades de elasticidad, descritas a través de [E], la matriz de rigidez [k], depende totalmente de la matriz [B], que a su vez se determina a partir de [N] por diferenciación. Por lo tanto el comportamiento del elemento finito depende de las funciones de forma que se prescriban.

Ejemplo 9-5 Se aeselll. obtener LlIl. 11tlll.tríz ae rígíaez ae tut etemento trílll.ltgltJl;¡.r, como el mostmao en LlIl. FígH,m 9-17, el:- el c/tlll.L LlIl.s a¡Jomtlll.cíOltes ttvLitlll.rílll.s sewt constantes aev¡,tro aeL elemento, PlIl.rlll. este f'~emeltto se comíarm q/le LlIl.s Lív¡,clIl.S (;jIte íltícílll.LvnevlJe son rectas. pemtlll.ltecen rectas aeSrJl1.és ae deJomtlll.rse rL eLemeltto, rJor Lo tanto LlIl.s aeJomtlll.cíCHtes lutítlll.rílll.s aefttro aeL eLenteltio SOIt coastnutcs 11 Los esJ/l,erzos en Los tlorars del eLe¡·neltCO tlll.l·nhír'f·t SOIt consrurues. Los aespLlIl.zul'l'Lwntos ae Los ¡t/taos se lIl.proxímwt por: 811

náinica estructural upliccula al disciu» sísmico

uíx. y) = u¡ +a] x+a 2 y

(9-118)

v( x, y) 0= Vi + a 3 x + a 4 y

(9-119)

-=~-:-+----+--~~x,

Y¡ =0

Figura 9-17 - Ejemplo 9-5 - Elemento finito triangular de deformación unitaria constante

wlv¡,de u(x,y) corresrm'Lde uL des¡IJLcuCIYHicHto en Lu dirección x de cH,uLqlüer ¡lJ/,u'Lto con coordenw,{us x,y deHtro ad cLeVI'LCf'Lln U¡ corresrov¡,de u Lu tmsLuci{H'L ef1 Lu dirección, x deL f'Li1-do L ~ a] u a, SOf'L constantes. AL uy¡Licur Lu CU1-UCiÓf'L (9-114) OtiWteVVLOS

1! ¡

ax = a] av E =-=a4 y ay dU av y xy = ay + ax = a 2 + a 3 Ex =

(9-120) (9-121)

I 1

(9-122)

cov!fim'Lundo qlte Lus deJonnucimtes ,utíturius SOVL constantes del'Ltro deL eLeVI'¡,ef'Lto, Los valores de Los des¡IJLcuGunieVLtos MdaLes son Los 5ig/üef'Ltes:

N/1-do

u¡=u¡

Vi = Vi

Uj = U¡ + u] Xj + a2 Yj

Vj =. Vi + a3 Xj + a, Yj

Ük = U¡ + a] Xk + a2 Yk

Vk = Vi + a3 Xk + a, Yk

u(x,y)

v(x,y)

Esto HOS cof'Ldl1-ce :4 dos sistevl'LaS de ecltl4ciCHtes SiVlt/tLtvÍJ'Lf'lILS (9-123)

Los (/1,a!rs se resuelve» para a] ~ a2' ~ a3 Y aa. respectivllLmente. P/tede verse q/te Los dos sistevHas SOH igl1-aLes ~ ql1e ~JOr Lo tanto a] = a3 ~ a2 = aa, Invirtieftdo La rnatriz de coeficientes:

(9-124)

(9-125)

812 ---.--.-_. - - -

(9-126)

NI = _1_{(y. -Yk)U,X+(X k -X')U.y}

Nz =

2~ {YkUjX-XkUjY}

N :A 3=

(9-127) (9-128)

{-YjUkX+XjU"Y}

Se YJlw;j,e dfj'LvLir alLom [N]:

{u} = [N]{d}

(9-129) u¡

U¡

_YjXO+XjY] V· .1 Uk

(9-130)

DiJere/tda/tdo:

aN I

aN z

-1

- -I= - ( x k -x.)v. ay 2A .1 I

~ = 2A (Y¡ - y k )U¡

~= 2A YkUj

z -xkv. --= a~ 2A .1

aN 3 -1 y ~= 2A j u k

3 --=-11:." ay 2A r,; j

Uttoltces:

[e] = [a][N]{d} =[B]{d}

(9-131)

Yj -Yk

O x k -x j

k -x j

-X

Yj - Yk

-X k

-Yj

uj ]

(9-132)

;~j Vk

Id la ¡natriz de rLgLdez se oünene e/1.tOltCcs de la eCl1.adól1. (9-109):

[k] = f[nt[E][B] dV

(9-133)

La l11.atrLz [El pltCde ser la de esf'~Rrzos pla/tos, ew,adó/1. (9-111). o las deJonnadol1.es pla/tus, eCl1.adó/t (9-112). seg(u1. se desee. Dado (;jIte las ¡natrLces solo Üel1C11. COI1.stDU1.tes. lu Ílttegmdól1. es UivLGl.L 11 se o~'tLC¡1R li.I1a ml1.strM1.te LgH,ala tAo dm1.de t es el espesor ctel etemento.

[k] = f[Bt[E][B]dV =[B]T[EJ[B]tA v

(9-134)

inámica estruct ural aplicada al diseño sísmico =-=

Lu VLltf1terució~t de Los 't/tdos es Gul-Jitruria, rJeyo ijk detle coLocarse en eL seVltido coVltrurio a Las VltUltecíLLus deL reloj si se descu qlH' eL área sea positivu. Puru IU'\. estudo de e'ifli,erzos externos urJLieudos uL e Lef1te VltO, es posil-lLe exf'lyesuy Lets JH,erzUS l'lOduLes eqlúvaLelttes tttiLizultdo eL sig/i.Íeltte f'lrocedivnieVlto: wifnero se nbtielte Lu S/tf1'\.U de Lus Jtterzets sol-m' el Ludo del ele»icnro. exrJresudus el'\. eL centro deL Letdo corno J'l'\./testru La FigttYl..t 9-18. L/1ego se etsigl'\.a Let f1'\.Ítud de Lu Jlterzet u cadet Imo de Los Ititt/Í.OS. Id se SH,ma con Lus rJrovel'\.iCl'ltes del otro lado lil'te LLegu uL Itltdo.

(a) esfuerzos uniformes en los bordes

(b) fuerzas equivalentes en la I Jitad del lado

(e) fuerzas nada/es equivalentes

I ¡

, I (d) esfuerzos uniformes en los bordes

(e) fuerzas equivalentes en la mitad del fado

(f) fuerzas nodales equivalentes

't(-Xj)

't(Yj) (g) esfuerzas cortantes en Ics bordes

(h) fuerzas equivalentes en la mitad del lado (i) fuerzas nadales equivalentes Figura ~10 - Esfuerzos y sus fuerzas nodales equlvetentes. para el elemento finito triangular de deformación unitaria constante 11

El elemento del ejemplo 9-5 fue uno de los primeros que se desarrollaron. Este demento produce resultados aceptables cuando no hay variaciones grandes de las deformaciones en una distancia pequeña, Si el elemento se intenta utilizar en elementos planos sometidos a flexión sobre un eje perpendicular al plano de los elementos, el elemento no representa adecuadamente la situación de deformaciones, dado que en este caso la deformación unitaria varía linealmente con la distancia al eje neutro de la sección. A pesar de estos defectos, el elemento fíníto triangular de deformación unitaria constante produce resultados aceptables cuando la malla de elementos se refina y se vuelve más densa. J. 7.5 Ejemplo de análisis utilizando elementos finitos

A continuación se presenta el análisis de una estructura muy simple, utilizando elementos triangulares de esfuerzos planos. La similitud con el análisis matricial se hace evidente, dado que los pasos requeridos para realizar el análisis son los mismos.

314

.L"'I.(,t:tl...7I~,:J

"~,t.(Il·'

('l..

.\."-·.~"'III t.,t·"Il""

(\.,(1-

tJ ,

'•••.'-..•" ....,

./111 •• ''",' ....

Ejemplo 9-6 Se etesect obtener Los e~/tel'Zos eVL Lct pLcttivLct áe 1 Vlt por 1 vn 11 ete 0.1 In áe espesor. Lct c/tctL está sOIltetietct ct 110ft e~Jnel'Zo etc te~tsión e/t /1.ItO etc sns extremos etc 2 MPa. tctL como se fn/1.estm e/t Lu Figl-uct 9-19. Lct /'lLcttinct es ete acero con I1H Inóet,tLo etc eLIA.stidáctá E = 2· 105 MPa = 2· 108 kPa. EL VltoetltLO áe Poisson se tOlnct COl1tO y =o.

~----->+I \ esfuerzo 1m

2 MPa = 2000 kPa

Figura 9-19 - Estructura dei ejemplo 9-6

Figura 9-20 - Idealización de la estructura

Privvu~ro se ietcctLizct Lct estrltcU-uct áiviáiéftáoLct e/t etementcs jiltitoS. es este cuso ror Vlteáio áe

triáltgnLos áe e8/i.el'Zo /'lLctVLO. Se I1JiLizct Lu IWI1telteLcttltm áe vUi.áos 11 eternenros áctáct en el Figltm 9-20.

Lcts fncttrices áe rigietez ete Los etemeatos se CULUtLctll áe Lu sigl1.iente fnctltem: ELerne/tto 1 PctmJctciLitctr el cáLutLo se comtml1e Lu sig/iÍente tctbLct. ..:."".~ "

o ••

l-tnáo LocuL

1l/teto gLo~¡uL

i j k

O O

'-=T

- 11

-'=...:J

UtiLiZGtftdo Lct em.ctdón (9-132) se áetcnninct Lct Vltcttriz [B].

[B]=~[ 2A

U¡

V¡

U·.1

Yj - Yk

-y.

x k -x j

-x k

x·.1

-1 :

O: O O: O

x k -x j

Yj -Yk

-x k

-y..1

-1 :

l'I

Ul .1

Lct fniJ,criz [E] se o~JtieVl.e. y.Jctm esjuerzos r¡Lct/'lDs. áe Lct ecuación (9-111):

[E]=~[:-O ~ 1- y

:]= 2'108kPa[~ OO]

+-0+-(I---Y-)/-2

O O 0.5

Alwm 0~Jtl'¡leI1l0s [k] ál' Lct l'mu(Íón (9-134):

815

"0/ 3

'V2

~]~

-ámica es( ruc(llral aplica(/a al (/iseílo sismico

1.5

0.5

1.5

-1.0 -0.5 -0.5 -0.5

-1.0

0.5

-0.5 -0.5

0.5

O -1.0

1.0

O -0.5

1.0

-0.5 -0.5

-1.0

150

-100

-50

150

-50

-50 -100

-100

1GO

-50

O -100

O 100

Uf l11,e Itto 2

1 ,

PuruJuciLitur eL cr5tLuúo SE' COltstntlJE' Lu siglüe/tte tcü'Lu:

I'llt!-tO Lou;ti

Itlteto g LobuL

i j

()

O 1

-1

()

¡ !

uttLtzwt!-to Lu emuciém (9-132) SE' etE'Len11,iHu Lu f'lt(;Ltriz [B]. V2

°i

[B]=~[ 2A

-y .

x k - xi

-x k

Yj -Yk

-x k

x'.J

-y..J

Yj -Yk

O x k -x j

°4

O: O O: 1 O', O -1 : O O,, 1 -1:-1

o1 O] O [E]=~[~: ~]= 2'108kPa[~ v 1-

-O+--O-+-(-l---V-)/-2

Alwru otJtm.emos [k] eie Lu eCltuciém (9-134)'

[k]= tA[Bf[E][B]= O.lm·0.5m 2 .2'108kPa~. m

0.5

O 0.5

O O -1.0 O -0.5 -0.5

0.5

O -0.5 -0.5

O O

O O O -1.0 -0.5 -0.5

O -0.5 -0.5

316

I I 1

O O 0.5

1.0

:]~

1.0 O -1.0

O -1.0

1.5

0.5

1.5

y • ~ll1a"S!,<; I/Wlr¡CWI (lI'WlZ(UIO y elelllelllOS ¡1II1/0S

100 O O O

O 50 50

-100

-50 -50

O -100 O -50 -50 O -50 O -50 O 100 O -100 -50 O 150 50 150 -50 I -100 50 O 50 50

Mutriz de ri(3 idez de todclt Lu estrttctltru Lu f'vUttriz de rigidez se e¡tsunüJLu IttiLizu¡tdo el miSf'VLO ¡r¡rocedivvLievLto ex¡r¡Licudo eVL Lu SeccióVL 8.6. S/U1tuVlCLO Los ténnütos de Los grudos de Litlertud carres~JOftdie¡ttes: 150 I

50 150

-50

-50 -50 O -100 -100 O -50

150 O

O -100 I -50 -50 -100 O -50

O 150 50

150

-SO

O O

50 O -100 O O

-50 -50

50 -100 O -50 O -50

150

-50 O -50 -100

-50

-50 O -100 150 50 50 150

i\fjOljOS de Lu estr'~ctJuu LCJ. estmctltnlt está ul"01:1udu e¡t Los ¡tltdos 1 1:1 2. con Los dos grudos de Lit'ertud restriYlfJí,dos. Pr7./'U üttrodltcir el ejecto de Los U~101:10S se tuchwt Lus jiLus 1:1 coLI·¡,nutCA.5 corresl"ov~d¿ev1Xes v., Los grudos de LitJCrtud de estos VLI1,dos 1:1 u.sí se OtJtieVLe Lu mutriz de rigidez o/, Los grudos de Libertud Libres de LuestrttctlUU:

150

-50 O -50 -100

-SO

-50

O -100

150 50

50 150

tr·«~·····,

.... "=.,,

~i~:~'~~~iJ;~;,~~~kJ

EL f'sJlterzO c/l.~ILicud() eVL eL Ludo derecho de Lu eStmctluu es ete 2 MPa Ó 2000 kPa. Este esJ/terzo ltllaj/l,erzu total ¡~uciu Lu deredLct igttuL u 0.1 m· 1 m· 2 000 kPa = 200 kN. Por Lo fC,Htto u cudu mteto (3 1:1 4) se Le ul"Licu Itltujaerzct ig/tuL u Lct mituet ete Lctjlterzu totuL o seu 100 kN hudu Lu deredlu. EL vector de curgus ctl"Licuetu eVl Los gmdos ete Libertuet Litlres {Pd es eL sig lúe¡tte: ~I/'(XÜtce

P3xj ¡lOO)

{pd= P3y = ~ kN P4x

P4y

100

317

Yinámica estructural aplicada 01 diseño sismico

Solliúóvl riel sLstelnu rie ecw;¡úmtes

El eqtüLibrio de Li4 estnu:tIWA. está descrito por el sigtüeltte sistem()t rie eC/t()tcimtes sim¡ütálte()ts:

11 S/1, SOL/1ÚÓlt es:

0.85714

0.28571

0.14286

0.42857

0.28571

1.42860

-0.28571

1.14290

0.14286 -0.28571

0.85714

-0.42857

1.14290 -0.42857

1.71430

0.42857

]

Los cLesYJL¡;,¡z()tlnientos rie l()t eSlJI·tCtIU()t SOVl entonces.

Esftl,erzos devLtro de Los eLemeHtos

Pi4m obtener Las e~ft1,erzas delttro de Las elementos. privnero delJef11Ds mLcltl()tr Li4s deJann()tcicmes lutilurius ()t q/{e l'H' scmtetido el eLevnenta. Esto se Logm ~1or medio de L()t futuciém (9-11 7):

{E} = (B]{d}

ctOltde {d} son Los c,ÍesYJL¡;,¡zw'nifnlos c,Íe Los gmdos c,Íe Liberti4d del eLevne/tlo. Los e~/terzos se OVItiC'lte11, por rnedio de lu emw:[ólt (9-111):

{a} = (E]{E} Elttoltces p()tm eL eLel'lteltto 1, lenernos:

-1

O -1 O -1 -1

1 O O

O O 1

]10-;

1m~10-;m 0

11 los e~/{erzas S0l1:

818

.. f

....

,&_........ , ... , • _ •.__ ._

---------~----------------

y rVtrVt el elerne nto 2:

o -1 O

O -1

O -1 -1

]w, l¿O m~w;m

1.0

O lj Los e~/{,E'rzos SOIt:

fax}

{a} = ~ ay = [E]{E} = 10 8 kPa[2O O 2 O] O .10- 5{1} ~ = {2000} O kPa

l't xy

_O O 1

Los res¡ütae:tos oLltevüe:tos rIH~e:telt verif~clítrsejácHmE'VIJE', yutes eL esJH,erzo eJt Los etementos es el ntisJno e-'JHerzo lítYJL~Clíte:to lj Llít e:tejomtlítüólt oLltelÜe:tllL se Y"1.ee:te verif~cllLr Ylor nte(üo e:te: E

= a = 2000kPa = 1.10-5 '% E

2, 10 8 kPa

9.7.6 Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos A continuación se discuten algunos aspectos relacionados con la utilización método de los elementos ñnitos en situaciones similares a las presentadas para '..'1 análisis matricial. Los elementos finitos tienen innumerables aplicaciones dentro del campo de la dinámica estructural y el diseño sísmico. Cuando se trata de edificaciones y puentes su mayor empleo está en la definición de las propiedades de rigidez de los diafragmas y los muros estructurales. Por esta razón la discusión se ha enfocado con estos elementos en mente.

Aproximación en los resultados - La compatibilidad existe en una solución por el método de elementos finitos si se cumplen las condiciones de frontera y el material no se agrieta o se superpone a sí mismo. Los esfuerzos, son en general funciones de las coordenadas, por lo tanto cambian con respecto a x y a y. En un problema plano las tasas de cambio satisfacen las ecuaciones de equilibrio: (9-135)

Si las ecuaciones anteriores se cumplen en toda la estructura, todo elemento' diferencial está en equilibrio y la estructura misma lo está. La teoría matemática de la elasticidad postula que si los campos de desplazamientos y esfuerzos cumplen simultáneamente las condiciones de equilibrio, compatibilidad y los esfuerzos en las fronteras, la solución obtenida es exacta. Dentro de una solución por el método de elementos finitos 319

uunica est ructural aplicada al diseño sísmico

esto no se cumple estrictamente debido a que en general se utilizan campos de desplazamiento expresados por medio de polinomios, lo cual implica que la condición de compatibilidad se cumple estrictamente dentro del elemento. No obstante, las condiciones de equilibrio y de esfuerzos en las fronteras, no se cumplen en la mayoría de los puntos del modelo de elementos finitos, dado que su cumplimiento ocurre en promedio. Esto quiere decir que, por ejemplo, los esfuerzos en una frontera que no tiene carga externa, pueden tener valores que al ser integrados a lo largo de toda la frontera conduzcan a un valor igual a cero, pero en algunos puntos tienen valores negativos o positivos que se anulan mutuamente al integrar dentro del elemento. Estas variaciones tienden a anularse en la medida que la red de elementos se refina y éstos se hacen más pequeños.

Esfuerzos parásitos - En el empleo del método de los elementos finltos debe tenerse especial cuidado con respecto al tipo de campo de desplazamientos que se utilice dentro del elemento. A modo de ejemplo, en la Figura SJ-2l(a) se muestra una viga en voladizo con una carga en su extremo libre, la cual se modela empleando elementos cuadrados con dos grados de libertad por nudo, mostrado en la Figura 9-21(b). Este elemento tiene posibilidad de tener deformaciones lineales, las cuales son función de las coordenadas x y y. Al someter este elemento a un campo de esfuerzos causados por un momento flector, la deformación que tiene el elemento tiene la forma mostrada en la Figura 9-2l(c), mientras que la deformación correcta es la mostrada en la Figura 9-2l(d). Esto indica que este elemento finito no modela adecuadamente el problema, a pesar de que tiene deformaciones que varían linealmente en la dirección y. De la teoría de elasticidad se sabe que las secciones planas permanecen planas, y que los bordes superior e inferior de la viga se deforman formando arcos con el mismo radio de curvatura, los cuales están ausentes en el elemento finito. Esto hace que aparezcan esfuerzos cortantes en todo el elemento, excepto a lo largo del eje y. Esto conduce a que el elemento es un modelo más rígido que la realidad, debido a que la flexión es resistida por esfuerzos de flexión y por esfuerzos parásitus de cortante, mientras que en la realidad solo son resistidos por los esfuerzos causados por la flexión.

(a)

(b)

(d)

(e)

Figura 9-21 - Viga modelada por medio de elementos bilineales de cuatro lados

Rotación en los nudos - En muchos casos el elemento finito debe describir una rotación en el nudo. Este el caso cuando se utilizan elementos finitos para modelar muros estructurales. En la Figura 9-22(a) se muestra un muro estructural modelado por medio de elementos rectangulares bílíneales. Allí se muestra el caso de que a este muro le 820

1 I

II I I

¡¡ 1

t 1

..J..~I(·

JI" .7 1,

·,

.. ~ _,-,,,.

,_~.

"_ .. _._

''''

lleguen vigas que enlazan el muro con un pórtico. Dado que el elemento finito no tiene capacidad de describir la rotación del nudo, los momentos flectores en la viga en su conexión con el muro son cero, como muestra la' Figura 9':22(b). Esto por ejemplo ocurría en las primeras versiones del programa ETABS [Wilson, HoIlíngs, y Dovey, 1975). Versiones posteriores del programa y otros programas como COlvIBAT [Computech, 1983], corrigieron este problema introduciendo un grado de libertad rotacional en el nudo, como se muestra en la Figura 9-22(c).

I I

(e)

(b)

Figura 9-22 - Uso de elementos finitos en muros estructurales

Cálculo de los esfuerzos - Después oc que se determinan los desplazamientos de los nudos, en un análisis pOI el método de los elementos finitos, los esfuerzos del elemento deben calcularse empleando la siguiente ecuación:

la cual se utiliza elemento por elemento, y no globalmente. En general [8] es función de las coordenadas, por lo tanto debe decidirse en que punto se calculan los esfuerzos. Los esfuerzos tienden a ser más exactos dentro del elemento que en sus borde", lo cual es grave pues en general los esfuerzos tienden a ser mayores en los bordes. Por lo tanto es recomendable calcular los esfuerzos dentro del elemento y luego extrapolar los valores a los bordes [Cook, 1995]. Muchos programas de computador promedian los esfuerzos en los nudos, a partir de los esfuerzos de los diferentes elementos que llegan al nudo. Aunque esto permite una buena visualización, en algunos casos no es lo más apropiado, por ejemplo cuando los dos elementos tienen módulos de elasticidad diferentes. Cuando no se emplean promedios, las líneas de esfuerzos constantes tienden a ser discontinuas en los bordes de los elementos; lo cual indica el grado de imprecisión en el análisis. Cuando los esfuerzos se promedian no es posible visualizar este tipo de problemas.

Esfuerzos en secciones fisuradas - El empleo de elementos finitos en estructuras de concreto reforzado debe hacerse con el mayor criterio dado que usualmente la estructura está fisurada y los esfuerzos de tensión a través de la fisura sen resistidos por la armadura, por lo tanto los esfuerzos de tensión obtenidos como variaciones graduales son en realidad fuerzas de tensión discretas. Aunque se han desarrollado

/onica estructural apltccuia al diseño sísmico

elementos finitos que simulan adecuadamente este tipo de efectos [Sittipunt y Wood, 1993], estos no han trascendido del mundo académico.

Verificación del software - Antes de emplear un programa comercial de elementos finitos el usuario debe familiarizarse con los principios en los cuales se fundamenta, y debe realizar pruebas con ejemplos cuyos resultados puedan ser obtenidos por métodos alternos. Una vez haya certeza de que el programa produce resultados adecuados si puede procederse a estudiar otros tipos de estructuras. ¡Criterio! - Debe insistirse que el ingeniero debe utilizar su mejor criterio al emplear el método de los elementos finitos. Los resultados deben ser verificados y estudiados detenidamente con el fin de decidir si el análisis es adecuado.

i 1

I I¡

Capitulo 10

Ecuaciones de equilibrio dinálnico en sistelJUlS de varios grados de libertad

10.1 Introducción En el Capítulo 2 vimos como un sistema amortiguado de un grado de libertad, como el mostrado en la Figura 10-1, estaba regido por la ecuación (10-1) de equilibrio dinámico. -mX

(a)

(b)

Figura 10-1 • Sistema lineal amortiguado de un grado de libertad

m x-i-c x j- k x e

.xhora debemos extender esto mismo él. sistemas de varios grados de líb ert <.,(1, para lo cual seguiremos el mismo tipo de planteamiento utilizando masas concentradas y resortes, para luego entrar dentro del problema de la idealización dinámica de sistemas estructurales complejos, como puede ser un edificio de varios pisos, en los capítulos siguientes. Vale la pena aclarar que el manejo del amortiguamiento en sistemas de varios grados de libertad es mucho más complejo que las simplificaciones introducidas en los sistemas de un grado de libertad y por esta razón la presentación que sigue se hará para sistemas no amortiguados y la introducción del amortiguamiento se realizará posteriormente, una vez se haya definido la solución de la respuesta de los sistemas de varios grados de libertad.

10.2 Vibración libre Supongamos que tenemos un sistema de tres grados de libertad como el mostrado en la Figura 10-2. Allí podemos ver el cuerpo libre de cada una de las tres masas y las fuerzas que actúan sobre ellas. Al plantear ecuaciones de equilibrio, y utilizando el principio de D'Alernbert, para cada una de las masas obtenemos:

náinica estructural aplicada al diseño sisnüco

- - . . . m¡x¡

k¡x¡

m 2

k 2(X 2-X¡)

Figura 10-2 - Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad

Masa m.:

',~

. (,:

(10-2)

1 !

j (l0-3)

I 1 J

(10-4)

Reorganizando y factorizando los términos en las tres ecuaciones anteriores obtenemos: m t ;'\ + (k l + k 2 ) X I - k 2x 2 = O

m 2 2 - k 2 x 1 + (k 2 + k 3 ) X 2 - k 3 x 3 = O ID 3 X3 -

k 3x 2 + k 3x 3 = O

Las ecuaciones simultáneas presentadas en (lO-S) pueden expresarse matricialmente de la siguiente manera:

(10-6)

que es, a su vez:

[M]{x} + [K]{x} ={O}

(10-7)

Hemos planteado el equilibrio dinámico del conjunto de masas y resortes por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. Este planteamiento es válido para sistemas de cualquier número de grados de libertad. Debe tenerse en cuenta que cada línea de este sistema de ecuaciones simultáneas corresponde a una ecuación de equilibrio para un grado de libertad de la estructura.

:)24 ~....~

10.3 Ecuaciones de equilibrio para excitación arbitraría Ahora supongamos que en el sistema presentado en la Figura 10-2 se aplica una fuerza que varía en el tiempo, p¡(t), a cada una de las masas i de la estructura, o sea en cada uno de los grados de libertad de la estructura hay una fuerza dinámica aplicada, como lo muestra la Figura 10-3.

_ _ m¡x¡

~m2x2

__ m 3

P3(t)

Figura 10-3 - Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad sometido a unas fuerzas dinámicas en sus masas

~j plantear ecuaciones de equilibrio, y utilizando el principio de D'Alernbert, para cada una de las masas obtenemos:

Masa m.: (1

(l0-9)

(lO-lO)

Reorganizando y factorizando los términos en las tres ecuaciones anteriores obtenemos:

)xt - k 2 x2 =PI(f) m 2 x2 -k 2 x t +(k 2 +k 3 )X2 -k 3 x 3 = P2 ( t ) m 3 x3 - k 3 x 2 + k 3 x 3 = P3 (t)

mlx l +(k l +k 2

nO-11)

Las ecuaciones simultáneas presentadas en (10-11) pueden expresarse matrícialmente de la siguiente manera:

325

tinámica estructural aplíccuta al diseño sísmico

(10-12)

que es, a su vez:

[M]{x}+[K] {x}= {P(t)}

(10-13)

Este planteamiento es válido para sistemas de cualquier número de grados de libertad. Al igual que para vibración libre, debe tenerse en cuenta que cada línea de este sistema

de ecuaciones simultáneas corresponde a una ecuación de equilibrio para un grado de libertad de la estructura, por lo tanto la fuerza aplicada al sistema debe ser colineal con el grado de libertad.

1004 Ecuaciones de equilibrio para excitación en la base Ahora supongamos que al sistema presentado en la Figura 10-2 se le somete a una excitación en su base, como lo muestra la Figura 10--4: o

Figura 10-4 - Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad sometido a excitación en su base

Si definimos: U l = Xl - X o

(10-1-4)

u2 = x2 - X o "3

= X3 -X o

o matricialmente:

{::} ={::} - {::} ={::}-

{¡} {xol

(10-15)

que es equivalente a: (10-16)

La matriz [y], que en este caso es un vector con elementos unitarios, indica que el grado de libertad expresado en la línea del sistema de ecuaciones simultáneas es colineal con la aceleración del terreno. La utilización de la matriz [y] en sistemas que emplean más de una componente de la aceleración del terreno se aclara en el capítulo siguiente y además, posteriormente, en la Sección 1..1:.8.

1 U • l'.CIWCIO/WS (le cquuumo (//1WI1UCO e1l SISI·eI1WS (le ('lIriOS fJru(lOs (le /werrm

--------------------' Al despejar {x}, se obtiene:

(10-17) Si derivarnos la ecuación (l 0-17) contra el tiempo obtenemos: (10-18)

y si la derivamos nuevamente contra el tiempo se obtiene: (10-19)

Los cuerpos libres de las masas son ahora los siguientes:

Figura 10-5 - Cuerpos libres de las masas del sistema excitado en su base

Es evidente que: Xl -x o

X2 -

= UI

x, =-= U 2 - U I

X3 - X 2

00-20)

= U 3 - U2

Entonces las ecuaciones de equilibrio quedan como:

que es, a su vez:

[M] {x}+[K] {u}= {o}

(10-22)

Al reemplazar la ecuación (10-19) en la anterior, se obtiene:

[M] {ü}+ [K] {U} = -[M] [y] {xo}

00-23)

Esta última ecuación corresponde a las ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico de un sistema de varios grados de libertad sometidos a una excitación en su base. Un aspecto muy importante que se deriva de la presentación para vibración libre, excitación arbitraria y excitación en la base, consiste en que las matrices de masa [M], y de rigidez [K], son las mismas en los tres casos, y sólo varia el lado derecho de la ecuación matricial de equilibrio, dependiendo del tipo de excitación. El capitulo siguiente se dedica a ampliar este tema y a definir como se encuentran las matrices [M], [K] Y [y], para diferentes casos e idealizaciones dinámicas de la estructura.

Dinámica estructural cipticud« al diseño sísmico

10.5 Ecuación de Laqranqe En lo presentado anteriormente las ecuaciones de equilibrio dinámico se obtuvieron por medio de la aplicación del principio de equilibrio. Desafortunadamente existen numerosas situaciones en las cuales no es tan simple plantear el equilibrio, especialmente cuando existe interacción entre dos o más grados de libertad. Aunque este punto se aclarará en la presentación del capítulo siguiente, vale la pena introducir un procedimiento que permite encontrar las ecuaciones de equilibrio dinámico utilizando principios de energía, las cuales se convierten en un recurso importante en muchos casos en que no es evidente la forma en que el principio de equilibrio se aplica. Aunque la deducción formal de la ecuación de Lagrange se sale del alcance de una simple introducción al tema, no sobra indicar los principios sobre los cuales se fundamenta. La deducción completa puede consultarse en [Clough y Penzien, 19931, o [Meirovitch, J 967j.

Con base en la segunda ley de Newton: (10-2-!)

D'Alamberr (Sección 1.2) concluyó que si la aplicación de unas fuerzas a una masa introducía en el cuerpo una aceleración, entonces la aplicación de una fuerza equivalente a la masa del cuerpo por esta aceleración, conduciría a una situación de equilibrio; lo que constituye el principio de D'Alambert: rp¡(t)+rf/O-m

x=O

(10-2 S)

donde p¡(t) son las fuerzas aplicadas a la masa, y f¡(t) son las fuerzas correspondientes a las restricciones al desplazamiento de la masa. Posteriormente aplicando el principio de D'Alambert, y utilizando trabajo virtual, Hamilton definió lo -que se conoce como principio de Hamiiton: t2

f Ó(E c + s, )dt =O

00-26)

donde, para un sistema conservativo de la energía (Sección 1.6), Ec es la energía cinética en el sistema, E p es la energía potencial y tI Y t2 son dos tiempos cualesquiera. Aplicando los dos principios, Lagrange logró demostrar lo que se conoce con el nombre de ecuación de Laqranqe: (10-27)

donde: energía cinética energía potencial dx¡ derivada contra el tiempo del desplazamiento del grado de libertad l. dt

fuerzas externas aplicadas sobre la masa

828

1() • Ecuaciones ((e eqltllllJnO (/l/l(l1l1lCO en SISlell1as (1(' 1'111 ((1."> Y' Ut<lJ~ e tv- • IV'" n,,,

A modo de ejemplo se utilizará la ecuación de Lagrange para determinar las ecuaciones dinámicas de equilibrio del sistema mostrado en la Figura 10-6.

¡ I

Figura 10-6 - Sistema lineal no amortiguado de tres grados de libertad sometido a unas fuerzas dinámicas en sus masas

Primero calculamos la energía cinética del sistema utilizando la ecuación (1-9):

( 1O-28)

Luego determinamos la energía potencial utilizando la ecuación (1-7):

(l0-29)

Se obtienen los términos de le ecuación de Lagrange: . aE c -a. = m¡x¡ ==> x¡

c m -.-= 2x 2 aX 2

==>

r".

c -.-.;:: m 3 "3

dX 3

aEc = o ax¡

aE c = o

(l 0-31)

aX 2

dEc = o aX 3

(10-32)

Ahora, aplicando la ecuación de Lagrange:

829

Dinámica estructural aplicuda a! diseño sísmico

grado de libertad Xl: (10-33) grado de libertad X2: 00-3-1)

grado de libertad X3: 00-35)

Las ecuaciones simultáneas representadas por (10-33), (10-3-1) Y (10-35), pueden expresarse ma.ricialmentc de la siguiente manera:

1J (10-36)

que es, a su vez: (l0-37)

(M] {x}+ (K] {x}= {P(t)} Que son las mismas ecuaciones determinadas en (10-12) y 00-13).

880

CUJ,itulo 11

idealización dinWnica de 'a estructura

I•

11.1 Introducción Al realizar un análisis estructural, implícitamente se está describiendo por medio de un modelo matemático el comportamiento de la estructura ante unas solicitaciones preestablecidas. La selección del modelo a emplear en el análisis, es un aspecto fundamental en la bondad de los resultados obtenidos; si el modelo no describe el comportamiento adecuadamente, todo el esfuerzo realizado en el análisis puede ser inútil. Este aspecto que de por si es importante en el caso de solicitaciones estáticas, se \ uelve crítico en el caso de solicitaciones dinámicas. El presente capítulo describe algunas de las alternativas más utilizadas en el modelaje matemático de la estructura ante las solicitaciones dinámicas, empleando los recursos descriptivos, o herramientas, presentados en los tres capítulos anteriores. No sobra insistir acerca de que el objetivo último del análisis estructural es pronosticar el comportamiento de la estructura, antes de su construcción, con el fin de garantizar que ésta sea capaz de cumplir durante su vida útil, una serie de criterios de desempeño preestablecidos. Estos criterios de desempeño incluyen: resistencia, rigidez para evitar deflexíones excesivas, durabilidad y funcionamiento, entre otros. A pesar de que suena simple, la complejidad inherente al cumplimiento de los objetivos contenidos en los criterios de desempeño puede su enorme, aún para una estructura simple. Paro que esta tarea sea factible, deben realizarse numerosas simplificaciones, tanto en lo que se requiere de la estructura, expresado en términos de cargas y deflexiones aceptables, como en la descripción del compcrtamíento de la estructura a través del análisis. Por lo tanto, es obligación del ingeniero entender cabalmente las metodologías tanto de análisis como de diseño; sus fundamentos y especialmente sus limitaciones. Por las razones anteriores, la insistencia en el presente capítulo se centra en los objetivos que se deben tener en mente respecto a tipo de modelo a emplear, más que en el aspecto numérico de la solución; muy importante de por sí, pero secundario desde el punto de vista de la calidad de los resultados que se obtienen.

11.2 Masa distribuida y masa concentrada. En la Sección 1.3 se discutieron someramente las implicaciones de tener la masa concentrada en unos pocos grados de libertad, o distribuida en un infinito número de grados de libertad. Dentro de las estructuras típicas de ingeniería c1\'11, tales como edificios y puentes, en general se presentan ambos casos, o sea estructuras donde la masa es la proveniente de los mismos elementos estructurales y otros casos en los cuales la masa se puede tratar como masa concentrada, dado que la masa de la estructura, en si, es muy pequeña en comparación con la del contenido de la edificación.

Dinámica escrllcl liral aplicw/a al (/lse/IO :;1:>/IlHV

~----------------------

Veamos, pues, primero el tratamiento de aquellos casos en que la masa proviene del mismo elemento estructural y luego algunos casos comunes de masa concentrada. 11.2.1 Masa distribuida

Los sistemas donde tanto la masa como la rigidez se consideran como propiedades asignables a un infinito número de grados de libertad se denominan sistemas con propiedades distribuidas y no van a ser tratados. En muchos de los textos de dinámica estructural mencionados en la Sección 1.1, se trata el tema en detalle. Las aplicaciones de esta metodología están limitadas por la posibilidad de trabajar el problema dinámico por medio de funciones trascendentales y su utilidad en casos prácticos de ingeniería civil es limitada. No obstante existe una alternativa para definir un procedimiento que permita disponer de las propiedades de masa distribuida, pero concentrar los efectos en los extremos de los elementos, como se hizo con las propiedades de rigidez en el análisis matricial, La matriz de masa del elemento, denominada matriz consistente de masa, se ensambla y opera de una manera totalmente r.náloga a la de la matriz de rigidez del elemento. :\ continuación se realiza la deducción de la forma y términos de la mencionada matriz. Supongamos que tenemos un elemento de pórtico plano el cual es sometido a unas aceleraciones en sus extremos representadas en el vector {ü}. Estas aceleraciones inducen dentro del elemento aceleraciones transversales, y(x) , y longitudinales, x(x) , en todos sus puntos intermedios entre los extremos. En cualquier diferencial de longitud del elemento, dx, con su correspondiente masa diferencial, dm, se presentan unas fuerzas inerciales diferenciales que según la 2 3 ley de Newton son iguales a:

1 I I

(11-1)

dfy == y(x)dm

para aceleraciones transversales y a: (11-2)

dfx == x(x)dm

para aceleraciones longitudinales. Estas aceleraciones corresponden a la segunda derivada contra el tiempo de las deformaciones de la elástica del elemento y son totalmente proporcionales a estas deformaciones. Si determinamos el efecto que tienen todas estas fuerzas inerciales diferenciales en los apoyos del elemento, podríamos plantear la siguiente ecuación matricial de equilibrio dinámico: m aXJI x

m aXJIy

m axaz : m a xb x

m a xby

m a xb z

ID a yax

m a ya y

m a ya Z : m a yb x

m a yb y

m a ybz

m a zax ID azay m a zaz : m azb x m azby m azb z ----- ------ ------¡------ ------ ----m bxax m bxay m bxaz : m bxhx m bxby m bxbz m byax

m bza x

m byay m b za y

m byaz \ m bybx

m byby

m by bz

m bzaz ~ m bz bx

m bzby

m bzbz

(11-3)

Donde los términos están definidos en la Figura 11-5. El procedimiento para encontrar los términos de la matriz de la ecuación (11-3) es el siguiente: se fijan todos los grados de libertad de los extremos del elemento, excepto uno de ellos, y a este grado de libertad se le impone una aceleración unitaria. La forma de la elástica del elemento es consistente con las deformaciones cuando están restringidos les grados de libertad de los extremos, excepto uno de ellos que es precisamente el que se libera. Las aceleraciones internas del elemento son proporcionales a esta forma de la elástica. Por

, 11 • ldeulixacion dinámica <le tu estructura

lo tanto en cada diferencial de masa las fuerzas inerciales diferenciales que se generan son las dadas por las ecuaciones (11-1) Y(11-2).

d.f.:)b~' ~

.. ti

Uax

aceleraciones

sistema local

i Lj-x fuerzas

Figura 11-5 - Aceleraciones y fuerzas en los extremos de un elemento de pórtico plano

Para encontrar el efecto de estas fuerzas diferenciales inerciales en los extremos utilizamos el principio de Muller-Bresíau que dice:

"Las ordenadas de la línea de influencia de cualquier elemento de fuerza (axial, cortante, momento o reacción) de cualquier estructura son proporcionales a la curva de la elástica que se obtiene al remover la restricción correspondiente al elemento de fuerza y reemplazarla por una deformación correspondiente en la estructura que se obtiene al remover la restricción ",

Entonces la contribución de cualquiera de los dos df en la fuerza fij en el extremo para una deformación de la elástica del elemento Yj(x) es: (i r-n

Dado que la viga tiene sección uniforme, su masa por unidad de longitud es mIL donde es

ro es la masa total y L la longitud del elemento. Además la aceleración

totalmente proporcional a Yj(x). Entonces la ecuación (11-4) se convierte en:

n i» El término de fuerza f ij es: (11-6)

Las formas de la elástica para una carga axial en cada uno de sus extremos cuando el otro está fijo, dado que la deformación se supone lineal, son: x

x (x)=l--

x xbx(x) = -

01-7) 01-8)

01-9)

Para las otras formas de la elástica se utiliza su ecuación diferencial,

Dinámica estructural aplicada al diseño sismico (11-10)

Con p(x) =0 se obtienen las siguientes ecuaciones para la elástica del elemento:

Ya/X)=1-3(~J+2(~r

(ll-ll)

x2 L

(11-12)

x3 L

y (x)=x-2-+2

YbY'(X) = 3(

-{~J

;~~

01-13) I

x2 x3 y (x)=--+bz L L2

(11-14)

Yax(x)= Ybx(X) = O

01-15)

Calculando las integrales de acuerdo con la ecuación (11-5), por ejemplo, obtenemos: m axax = (ro)S xax(x)xax(x)dx = (ro

IS(1-~)(1-~)dX = ro3 L L

L)o

(11-16)

Los otros "'':'rminos se evalúan de una manera análoga y asi se obtiene la siguiente matriz consistente de masa: 140

I I

70 O O 54 -13L 156 22L I O O I 2 1 4L I O 13L _3L2 22L O --- ----- -----T------- ----[m] = 4~0 70 O O I 140 O O 54 13L: O -22L O 156 ------+---- O -13L -3L2 : O -22L 4L2 J O

01-17)

Esta matriz esta definida en coordenadas locales del elemento y es posible transformarla a coordenadas globales por el mismo procedimiento empleado para la matriz de rigidez del elemento en la Sección 8.5. La manera de ensamblar la matriz de masa de la estructura es la misma que se utiliza para ensamblar la matriz de rigidez de la estructura.

Ejemplo 11-1 DeteFVI1ÚHítr la matr~z tíLe masa tíLe IU'La v~ga COI'l las s~gIÜeJ'Ltes rror~etíLactes: L= 7 ro Ij Sil seccíón tiene b = 0.25 ro tíLe af'lCho Ij h = 0.4 ro cie alto coa IU'L mater~al Cjlte tiene lH'La tíLen,s~tíLalit (masa por IU'L~tíLalit lite vouoneu) y= 2 400 kg/m'. Deten1'1ÍJ'LlA-r SIl fnatr~z lite masa ev¡, coa rtíLe vLatíLas íocues. ro = b h L 'Y = 0.25 ro . 0.4 ro . 7 m . 2 400 kglro3 = 1 680 kg

11 • Hle(UIZaCIO/l (1I1UlII1ICll (l(' /a eSI ruc: un

560

624

616 O [m] = ---- ----280 O

784 :

O -364

364

-588

624

-616

O -616

784

----OT560- -----O -_._--O I

216

364 I

O -364

I I

216

O : 280

616 II

-588

• Para transformar a coordenadas globales la matriz de masa consistente se emplea la siguiente ecuación: 01-18)

Que al realizar las operaciones apropiadas se convierte en: 140e 2 + 156s 2 16sc 22Ls

16se 2

140s + 156e 22Le

----------[M] - ~ -----------2 2 420

donde:

70e + 54s -16se -13Ls

-16se

70s 2 + 54e 2 -13L~

22Ls I 70e 2 + 54s 2 I -16se 22Lc I

-16se 2

70s + 54c .. 13Le

-13Ls --13Lc

I I

13Ls

------r-------~----

13Ls : 140e 2 + 156s 2 13Le I 16se _3L2 -22Ls

-3L -----_. (11-19) ----------16se - 22lLs "_.,-

140s 2 + 156c 2 -22Le

-22Lc 4L2

s = sen ex c = cos ex m s- masa total del elemento ex = ángulo entre el eje x local y el eje X global ============·-,·~·c."'·, .."'·=-=====

Ejemplo 11-2 EVLcontmr Las eCltaciOlteS cü¡trivnLcas áe elíjlúW:Jrio de l1.VLa viga evnjllolro.áa eVL S/1.S dos extremos. La viga (véuse eL ejempLo 8-7) tiene Lus siglúeVLtes propLedades: Iltercia ][ = 0.005 m". rirm A = 0.25 m 2 , E = 25 GPa 0 áeltsidad y= 2 400 kg/m"

Pura \.teetos de resolver el rlroLILemu se d\.túten tres Itndos, corno 11tH.estm La Figlua 11-6, Lo cnaL geVLera dos etementos 5 vn áe LCHtgitli-á caáa ItltO. Se li-tiLiza La ltOf1teltduUuu Inostraáa eVL Lu 11t.eltciOltaáuJiglua.

En el ejempLo 8-7 se caLuüurolt Lus matrices áe rigiáez áe Los elel1te VLtOS , ¿as C/l,aLes son ig/1,uLes áuáo qlte Los elementos tieltelt Lus Inismus propieáuáes 0 oneatacíón, EL sistemu áe cooráeVLaáus locales ete Los eLel1t.eVLtos coú1ciáe con eL sistema gLobaL. 110r 1.0 {¡¡¡.liJO 1()(, es cero. La vnatriz &te rigidez áe Los etemeatos (cooráeltuáus tocates = cooráel1uáus gLobr.ües) eVL 1i-11idades áe I~N 0 kN ' In. es LGl l1tOstmdGl desp't.és de LGl Figluu 11-6.

'Hnámica est ruct ural aplicada uf diseño sísmico

¡.¡

·r

10m

Dirección x del sistema local

Dirección X del sistema global

f---~--:f- ~. f

~)01~ CD ..

---

Figura 11-6 - Estructura del ejemplo 11-2

1250

O : -1250

30 II

-12

1---

30 100 II O -30 50 K aa : K ab] ---- ---- = ----j..---[K] = 1000x ------ ---- ----T-----[K O I 1250 -1250 O O O ba : K bb I I O -12 -30 O 12 -30 O

-30

100

Lt-iJonna ¡teL eVLSlA.fn~lLaje de La Inat.riz de rigiaez de La estnl,ct/tm es: 1

K;a

K;b

K~a O

K~b +K;a

K;b

K~a

K~b

-1- f - nudos

La /natl'iz de rigidez de Los gmdos de Libertad LitJr('s [Kd se obtiene tadLavLdo Las JiLas !J coL,tvJilJtas corresYJondieltt.es a Los grauos de mwrtad restriltgidos YJOr Les aY¡0ljos.

r250~

[KL]=[K~b+K;a]=1000xl O O

O 24 O

O] O 200

Dada Lu ideaLización en dos eterncntos de 5 vn de Lll2- Sll.5 vnatrices de Inasa son i0'taLes. La Inasa totnt ete cada elernenro de vigtíL es: m = A L Y = 0.25 m 2 • 5.00 m . 2 400 kg/m' = 3 000 kg = 3 Mg

Dado IIjlte eL éUtglüo a = O°. e = 1.0 0 s = 0.0. Ij LvL vnatriz de IntíLsa consistente de cada segnteltto de viga es (elt Mg): 1.000

1.114

0.786: O

0.386

-0.464

0.714: O

0.464

-0.536

: 0.500

0.786

0.500

0.386

0.464: O

1.114

-0.7&6

-0.464 -0.536: O

-0.786

0.714

------ ----_. [M]= ----- ------ ------,----O 1.00(\ I

336

.:.1.:.1_·--.:.:/(~I::e(~tl~;z~·,(~I(~·I~·ól1 dinámica de [(( estrllC( I

UtiLizando La l1'Lisf'l'\.ajonnGl. ete ef'\.sGl.lnLILuje 11.tiLizuda de La nVJl.lrLz de rígíGtez. oLJlef'Lel'lws:

Por Lo ta/tto Las ecnuciov\.{'s de eqniLibrio etivutl'lüCO ete La estntctH.ruson Las si0l üefttes:

[ML] {Ü,.}+ [K L ] {UL}~ {al

~oOO ~28: 1{t::)+l_250000:+---+---:j{~::}={~} o

24000

Il.428J ü 2 Z

o 200000

U 2z

Es i¡nrJOrt¡;utte fA.fwtar 1Il11.e eL resl1.Ltado obteltido Íf1tf'JLicu lIl'1.e elt reaLidad se tiev\.en tres sistcI1taS Íftdereltdientes de IHl grado df Libertad. dlJl.do qH.e tus uos fnutrLces son GtíafjCHtrA.Les.

•

11.2.2 Masa concentrada

Dentro de un estricto rigor las masas concentradas sólo pueden ser utilizadas en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, no obstante cuando la rigidez de algunos elementos e8 grande en comparación con la de otros, se realiza la aproximación de considerarlos infinitamente rígidos. Esta aproximación muchas veces puede simplificar la solución del problema dinámico enormemente. En un cuerpo rígido no existe posibilidad de deformación interna alguna, lo cual implica que las propiedades inerciales se pueden expresar en el centro de masa del cuerpo, Para poder explicar este hecho supongamos que tenemos un cuerpo rígido de espesor despreciable, como el que muestra la Figura 11-7. z y

origen del sistema de coordenadas

centroide

Fipura 11-7 - Cuerpo rígido de espesor despreciable

Ahora queremos determinar las fuerzas inerciales que se producirían en el cuerpo rígido si lo sometemos a unas aceleraciones en la dirección de cada uno de los ejes en planta, en el plano del cuerpo, y a una aceleración rotacional con respecto al eje vertical perpendicular al mismo plano. Integrando los efectos que estas aceleraciones producen en cada uno de los elementos diferenciales de masa que componen el cuerpo y tomando en cuenta que por ser un cuerpo rígido estas fuerzas inerciales no producen deformaciones internas del cuerpo; es posible encontrar las siguientes ecuaciones de

inámica estructural apliccul« al diseño sísmico

equilibrio donde se presentan las fuerzas resultantes en el origen del sistema de coordenadas. z

origen del sistema

de coordenadas

centroide

Figura 11-8 - Aceleraciones impuestas al cuerpo rígido

Las resultantes de las fuerzas inerciales que generan las aceleraciones se evalúan en el origen del sistema de coordenadas y tiene los siguientes valores: Fx =roÜx -rnyÜ z

(11-20)

Fy =mÜy +mx~z

(11-21)

r, =-m"yüx +mx~y +[: Jo+m(x 2 +y2)]Üz

01-22)

Donde ro es la masa total del cuerpo, A su área, x y y son las distancias al centroíde o centro de masa del cuerpo, medidas desde el origen del sistema de coordenadas, y Jo es el momento polar de inercia del cuerpo, con respecto a su centro de masa o centroíde, el cual a su vez es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos ejes, paralelos a x y y que pasan por el centroide del cuerpo. Este mismo sistema de ecuaciones, expresado en forma matricial, es el siguiente:

o ro

(11-23)

Lo cual es equivalente a:

{F}= [M]{Ü}

(11-24)

Además es evidente que cuando el origen del sistema de coordenadas se coloca en el centroide del cuerpo, la matriz de masa toma la siguiente forma:

(11-25)

En esta última matriz de masa, cuando el origen del sistema de coordenadas coincide con el centroide del cuerpo rígido, es importante resaltar que las aceleraciones sólo inducen fuerzas inerciales en la dirección y sentido de la misma aceleración. El hecho

•

l(¡eaUy.H("[O/l UIIIUIfIlCU Uf' " ! ('::>llll~(lll"

de que la matriz sea diagonal indica esto, lo cual no ocurre cuando se selecciona un origen en un lugar diferente del centroide. Cuando se tiene un conjunto de cuerpos rígidos unidos entre si por medio de conexiones totalmente rígidas, es posible sumar los efectos de cada uno de ellos, y la forma de la matriz de masa del conjunto es la siguiente: í

Im¡

( 11-26)

J O¡ ¡ + m¡ (-Z ~-Z) -ICy¡m¡) L(x¡m¡) "lm¡ ,L.; X¡ + y i

A¡

Ejemplo 11-3 Oetennlllf¡U Lu, 111utrlZ riLe Inusu riLe IH1U Losu lvifüütCAlltfnte rígiriLu el1 SIl, wopio pLulto, riLe dimel1SlUI1eS 30 111 por 20 111 ij S11, 11tI/LSU es 1 000 I<g por metro Cll,uctruriLo (= 1 I\I1g/111' J, EL origcn deL sisLemu de rooniel1udus estú en eL centroiriLe riLe Lu losu. z

Figura 11-9 - Losa del ~íemplo 11-3

m = 30 m . 20 m . 1 Mg/m- = 600 Mg A z: 30m·20m=600m2

Jo = lxx + lyy = 203 30112 + 20 303112 = 20000 + 45000 = 65000 m"

x = 51=0 600

[M]= [ :

• Ejemplo 11-4 íosu rectUJ1glüur iv!fivLitulltfltte rígiriLu, riLe riLimemioltfs a x b ij vnusu m.. UClle ef1 S/t eSl/jIÚI1U sltyJerior iZl/jlúerriLu IU1U meA.Su colU:entruriLu m2' Oeten'ltiI11/Lr Lu I,nl/Ltriz de I11USU del conjlmtu, tuL COI110 se mw:~stm el1 LeA. Figluu 11-10,

U11-U

389

Dinámica est ructural aplicada al diseño sísmico z

Figura 11-10 - Conjunto del ejemplo 11-4

Para La Vltasa m.:

m v m¡

A = ab Jo = I xx + I yy = b 3a/12 + ba3/12 = (ab/12)(b Z + aZ) X = Y =0

m m, A=O v

Jo = O

x = -a/2 ~ Y = b/2

[M] =

mI +m 2

m 1+m2

b --m 2 2

a --m 2 2

b --m 2 2 a --m 2 2 2 2 7~ (a + b ) + :2 (a 2 + b 2)

• Ejemplo 11-5 Debe encontrarse La matriz cie masa cid mismo CO¡ijIU1JO cie clterrlos rrgicios {¡leL ejernrLo 11-4 Ahoru dekl(' colocarse el origot deL sisterna lite coordcrtadas en el cCVltroivLe deL cmijltrtto. corno Lo 1itltesLru LIA. Figlua 11-11. z

Figura 11-11 - Conjunto del ejemplo 11-5

;-j40

Pr1l1tero se Ctüettia ta tocatizaciéH1 ¡;I,el Cef1trm¡;{,e LoI11alt¡;{,O VVI,OI11enLos en tu eSIIj¡ünu iviferior

iZliJlüer¡;{,u:

Para la masa m2:

Para la masa m.: ID¡

= mi

m¡=m2 A¡=O

A¡=ab ba

Jo =I xx +lyy =1i+12= 12 (a

+b )

mi =m t A¡ ab m.

m¡ J = m t (a 2 +b 2 ) A¡ o 12

_IJ =0 A.

a m 2a x· = - - r = ---:--"'----:I 2 2(m l+m2 ) b m 2b y. =--5=I 2 2(m t +m 2 )

m.(x~ + -y~)= m tm;(a +b 2

[M] =

4( mI +m 2 )2

)

mi +m 2

mI +m 2

(mi - - - + - -m - - - a + b1 \ 12 4(m +m mI

}

De los dos ejemplos anteriores es evidente que al haber colocado el origen del sistema de coordenadas en un lugar que no corresponde con el centroide del conjunto de masas conduce a que la matriz de masa tiene términos fuera de la diagonal, mientras que sí se coloca en el centroide la matriz de masa resultante es diagonal.

11.3 Idealización de la rigidez En la Sección anterior se mostró cómo la idealización de la masa, en el caso de cuerpos infinitamente rígidos, se puede referenciar con respecto a diferentes localizaciones del sistema de coordenadas y que un cambio en esta localización influye en la forma de las ecuaciones de equilibrio dinámico. En el caso de la rigidez se presenta una situación similar pues la escogencia de la localización de los grados de libertad influye enormemente en la forma de las ecuaciones de equilibrio estático. El aspecto fundamental que se debe tener muy claro es el hecho de que los grados de libertad que se utilicen en el análisis dinámico de la estructura deben ser comunes a las

(341

'iuunica estructural aplicada al diseño sísmico componentes estáticas, reflejadas a través de la matriz de rigidez, y a las componentes dinámicas reflejadas a través de la matriz de masas, e inclusive el amortiguamiento. En principio, en este momento de la presentación, disponemos de todas las herramientas necesarias para lograr describir dinámicamente la estructura a través de unos grados de libertad adecuados. Existen diferentes enfoques acerca de como definir los grados de libertad de la estructura para realizar el análisis dinámico; a continuación se describen en detalle algunos de ellos.

1.3.1 Diafragma Rígido Una losa de entrepiso de la estructura de una edificación, como es por ejemplo una losa maciza de espesor adecuado para las luces que salva, es mucho más rígida en su propio plano que transversalmente, como se muestra en la Figura 11-12.

I, 1

Losa cargada en su propio plano

Losa cargada trensversalmente

Figura 11-12 - Deformaciones internas de una losa ante dife¡ cintes tipos de carga

Exagerando podemos pensar que se trata de un cuerpo infinitamente rígido para desplazamientos en su propio plano. Si esta aproximación se considera válida, siempre es posible describir la posición horizontal de cualquier punto dentro de la losa, o diafragma, a partir de dos desplazamientos horizontales ortogonales, x y y, y un giro alrededor de un eje perpendicular al plano del diafragma, z.

y --

Equivalentes

I t

---

Figura 11-13 - Diafragma como cuerpo infinitamente rígido en su propio plano

Es usual tomar el origen del eje vertical rotacional en el centro de masa del diafragma, como se discutió en la Sección anterior, pero es válido localizarlo en cualquier punto arbitrario, siempre y cuando se tomen en cuenta las implicaciones que esto trae en la formulación de las ecuaciones de equilibrio dinámico. En la Figura 11-13 se hace la equivalencia entre los grados de libertad de un diafragma infinitamente rígido en su propio plano y un cuerpo rígido propiamente dicho que tiene translaciones y giros en un plano horizontal.

11 .. j(U"({·"ZlH H.ltl ( l I l l { ( I I t H u

\(1,.,

11..,(

'on, tu. l n. \\

Si el diafragma tiene un desplazamiento que incluya componentes de translación horizontal y rotación alrededor de un eje vertical, estos desplazamientos siempre pueden ser expresados en función de las tres variables x, y y z.

localización del centro de masa después de que ocurre el desplazamiento X, y, z

a' localización original del centro de masa

a Figura 11-14 - Cualquier desplazamiento se expresa en función de x, y y Z

La idealización de diafragma infinitamente rigido en su propio plano sólo hace referencia a los tres grados de libertad mencionados, por lo tanto los desplazamientos verticales, dirección en la cual el diafragma, o losa, es definitivamente flexible, son posibles. Igualmente las rotaciones alrededor de los ejes horizontales no hacen parte de la consideración de diafragma infinitamente rígido.

Figura 11-15 - Deformaciones en los elementos de una estructura de un piso, con diafragma rígido en su propio plano, ante un desplazamiento en la dirección x

Para ilustrar este punto en la Figura 11-15 se presenta una estructura de un piso compuesta por cuatro pórticos localizados en cada uno de los cuatro bordes de la losa. Si realizamos una translación en el sentido x, en la figura pueden verse las deformaciones de los diferentes elementos. Es evidente que hay desplazamientos verticales dentro de las vigas y la losa, y giros alrededor de los ejes horizontales dentro de los elementos y en los nudos de interconexión entre ellos. Así mismo en la figura se ve claramente que la parte superior de las cuatro columnas, en el punto en que tocan la losa, tienen el mismo desplazamiento horizontal, lo cual es totalmente compatible con la hipótesis de diafragma rígido. Pero al mismo tiempo, todas ellas han tenido un giro en este mismo nudo, giro que ocurre alrededor de un eje paralelo al eje y. Además estos nudos tienen unos pequeños desplazamientos verticales, los cuales no son notorios en la gráfica, pero los nudos superiores de las columnas del lado izquierdo tienen un desplazamiento vertical hacia arriba, y los de las columnas del lado derecho hacia abajo. ASl mismo, la flexión que ocurre en la losa alrededor de ejes horizontales que están en su propio plano, no es incompatible con la 843

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

hipótesis de diafragma rígido. En resumen: dos puntos cualesquiera, que hagan parte de la losa de entrepiso que se supuso como diafragma rígido, están inhabilitados para tener

desplazamientos relativos que se puedan contener dentro del plano horizontal, no obstante, pueden tener desplazamientos relativos en la dirección vertical y giros con respecto a cualquier eje horizontal.

I Figura 11-16 - Edificio en altura con un diafragma rígido con tres grados de libertad por piso

Esta idealización es extensible a edificios en altura, donde cada entrepiso es un diafragma independiente que tiene tres grados de libertad, dos posibilidades de desplazamientos horizontales ortogonales y giros con respecto a un eje vertical. Véase la Figura 11- I 6. Desde el punto de vista dinámico la idealización de rigidez infiuita del diafragma en su plano, permite expresar las propiedades inerciales de su masa de una manera sencilla como se presentó en la Sección 11.2.2. Debe anotarse que al expresar las propiedades de masa de la edificación en su entrepiso de fondo se está afirmando que no hay masa en lugares diferentes de la losa y las masas adheridas a ella. Esta afírmación no es muy lejana de la realidad en estructuras aporticadas, donde la masa de las columnas es muy menor en comparación con la del entrepiso, incluyendo lo que soporte. No obstante en edificios donde los muros estructurales sean un porcentaje apreciable de la masa de la estructura, puede en algunos casos introducir errores importantes que deben ser evaluados y corregidos utilizando otro tipo de idealizaciones. La inquietud de fondo con respecto a la acción de diafragma rígido consiste en definir si es válida con todo tipo de entrepisos. Cuando no hay suficiente rigidez dentro del diafragma la compatibilidad de las deformaciones horizontales de los elementos verticales de la estructura deja de ser válida y por lo tanto al utilizarla se estaría cometiendo en el análisis un error grave de idealización. La respuesta a esta pregunta no es sencilla pues intervienen varios factores entre los que se cuentan principalmente:

844

.J. L

•

• •

Ltt\-·LI·I.IJ.\C.

·IVI.

,.I.I.

'., .. II.'L

'·_1

La relación entre la rigidez del diafragma y la rigidez de los elementos del sistema de resistencia ante cargas horizontales. El mismo diafragma puede ser rígido si esta soportado sobre pórticos, y flexible si está soportados sobre muros. La rigidez misma de los elementos que conforman el diafragma. Este puede ser el caso de entrepisos de madera; o cuando los elementos verticales de soporte tienen rigideces comparables con las del diafragma, como puede presentarse en edificios alargados sobre muros estructurales. muy rígidos colocados en la dirección del sentido corto del diafragma; o bien, en cubiertas de teja liviana sobre estructura metálica. Tipo de unión entre los elementos que conforman el diafragma. Puede ser el caso de entrepisos construidos con base en elementos prefabricados donde las conexiones entre ellos sean incapaces de proveer un vínculo suficientemente rígido, aunque tengan resistencia adecuada. Forma del diafragma. Cuando el diafragma tiene zonas menos rígidas. Este caso es común cuando hay grandes vacíos dentro de la losa o diafragmas demasiado alargados. Magnitud de las fuerzas que debe transferir el diafragma. Las fuerzas que se inducen dentro del diafragma propiamente dicho deben estudiarse, pero existen casos en los cuales deben resistir fuerzas mayores que éstas. Los diafragmas de transferencia en edificaciones en altura con plataforma y torre en general deben transferir fuerzas mayores que los otros diafragmas de la edificación especialmente cuando aparecen elementos muy rigidos como muros de contención en el piso del diafragma de transferencia (Véase la Figura 11-17).

')¡

diafragmas normales

oiafragma de transferer.cia

diafragma normal

Figura 11-17 - Edificio con diafragma de transferencia

Ahora procedemos a formular las relaciones de rigidez de una estructura teniendo en cuenta la idealización de diafragma rígido. En la presentación del procedimiento general para idealización del diafragma rígido que se hace a continuación se emplean pórticos planos que en conjunto producen estructuras tridimensionales. Se ha escogido esta forma de presentación debido a que es la más sencilla de comprender en prime-a instancia. El procedimiento es general y por lo tanto su formulación con base en :J45

,._

,~.

Dinámica estructura! apliccuia al diseño sísmico

pórticos tridimensionales es una simple extensión del procedimiento con pórticos planos.

Piso 3

Piso 2

Piso 1

Figure 11-18 - Edificio al cual se le va a aplicar la idealización de diafragma rígido

Supongamos, para efectos de la presentación, que debemos encontrar la matriz de rigidez de toda la estructura para la idealización de diafragma rígido de un edificio de tres pisos como el mostrado en la Figura 11-18. Allí se tiene dos tipos de pórticos, los que van en la dirección x, los cuales tienen dos vanos y los que van en la dirección y, los cuales tienen un solo vano. Los grados de libertad del diafragma se localizan en su centro de masa, o centroide de la losa. En cada piso i hay tres grados de libertad, dos traslaciones horizontales ortogonales, Uix y Uiy , y una rotación con respe.cto a un eje vertical que pasa por el centro de masa, Uiz, para un total de nueve grados de libertad para toda la estructura. Existen dos tipos de pórtico, el Tipo-L, que está orientado en la dirección x y del cual hay dos iguales y el Tipo-A, que está orientado en la dirección y y del cual hay tres iguales. A continuación se descríben los pasos a seguir para poder generar la matriz de rigidez de todo el edificio, expresada en los grados de libertad de los diafragmas. 11.3. 1 (a) Se genera la matriz de rigidez de cada pórtico

En cada uno de sus nudos, los pórticos tienen tres grados de libertad: un desplazamiento horizontal, un desplazamiento vertical y un giro con respecto a un eje perpendicular al plano del pórtico. En la Figura 11-1~) se muestran los dos tipos de pórtico con los grados de libertad que tienen en sus nudos. Por los procedimientos presentados en el Capítulo 8 podemos determinar la matriz de rigidez de cada uno de los tipos de pórtico. Dado que están empotrados en su base no se designaron grados de libertad allí. Para el pórtico Tipo-l íe matriz de rigidez, [k~], tiene dimensiones de 27 x 27. Para el pórtico Tipo-A,

-....

[k:], tiene dimensiones de 18 x 18.

84fJ

1. .1

.... l(H"U"/.(llH.Jt1 UUHlIICl(.U

({\,"

fU t~'4"(,llltlUll

~-~~......,~

.....,....-~---14r.

Pórtico Tipo-A

Pórtico TifJO"1

Figura 11-19 - Tipos de pórtico con sus grados de libertad modelados como pórticos planos

11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto de diafragma rígido

Debido a que el diafragma es infinitamente rígido, las vigas no pueden tener deformaciones axiales. Esto quiere decir que para cada pórtico, en cada piso basta con un grado de libertad horizontal. Por lo tanto se define un grado de libertad horizontal independiente por piso (por ejemplo el del eje izquierdo en cada piso), y los restantes grados de libertad horizontales del piso se convierten en grados de libertad dependientes. Esto permite formular unas ecuaciones de ligadura dentro del procedimiento presentado en la Sección 9.2. Los grados de libertad de )<1 estructura quedan como lo muestra la Figura 11-20. Con las ecuaciones de ligadura se generan las matrices [Rd y [RA ] , Y aplicando la ecuación (9-12) que aquí llamamos (11-27): (11-27)

llegamos a las siguientes matrices para cada tipo de pórtico: Para el pórtico Tipo-] la matriz de rigidez, Para el pórtico Tipo-A,

[kn, tiene dimensiones de 21 x 21.

[kt], tiene dimensiones de 15 x 15.

~-~---1~ 1-"---+--I----1~

------~

~----f~ -----f~

............

Pórtico Tipo-A

Pórtico Tipo-l

Figura 11-20 - Grados de libertad tje~pués de eliminar las deformaciones axiales de las vigas

347

ámica estructural aplicada al diseño sísmico

Queda además para cada tipo de pórtico planteada la ecuación (11-28), la cual permitirá determinar la totalidad de los grados de libertad {u} a partir de los grados de libertad {u¡}:

(11-28)

3.l(c) Se ajustan los grados de libertad verticales Desde el punto de vista del análisis dinámico ha sido tradicional, para solicitaciones sísmicas, sólo tener en cuenta las excitaciones horizontales del sismo. El tratamiento dinámico de los efectos verticales del sismo en las estructuras es complejo y poco entendido aún en la actualidad, y de todas formas demandaria una idealización de la estructura diferente a la que se está planteando. No obstante la influencia de las deformaciones axiales de las columnas es importante en la respuesta de la estructura ante cargas horizontales. Esta influencia depende de la esbeltez de la estructura. Cuando se trata de pórticos poco esbeltos, bajos y largos, pueden eliminarse con un procedimiento similar al utilizado para las vigas, o simplemente tachando las filas y columnas de la matriz de rigidez del pórtico correspondientes a los grados de libertad verticales. Si el pórtico es esbelto es más adecuado condensar estos grados de libertad verticales. Ha sido tradicional seguir la siguiente recomendación respecto a los grados de libertad verticales: Si: (i) HIB > 5 deben condensarse

(ií) [¡JB ~ 5 pueden eliminarse

Para el caso (i) se aplica el procedimiento presentado en la Sección 9.3: Se reordena la matriz [kIl de tal manen, que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontales y rotacionales, y en las filas inferiores y columnas a la derecha queden los grados de libertad verticales. Esta nueva matriz así particionada tiene la siguiente forma: (11-29)

La matriz del pórtico con sus efectos verticales condensados se obtiene por medio de la siguiente ecuación: (11-30)

Los valores de los grados de libertad verticales condensados se pueden obtener posteriormente por medio de la siguiente ecuación: 01-31)

348

Para el caso (ii) se tachan las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad verticales de la matriz [kIl, y esta nueva matriz se denomina [ksv]. De esta manera los grados de libertad verticales se hacen iguales a cero:

{uV}={o}

(11-32)

Por cualquiera de los dos procedimientos que se siga, los grados de libertad de los pórticos quedan como lo muestra la Figura 11-21. Así llegamos a las siguientes matrices para cada tipo de pórtico: Para el pórtico Tipo-lla matriz de rigidez, [k~v]' tiene dimensiones de 12 x 12.

Para el pórtico Tipo-A, [k~v], tiene dimensiones de 9 x 9.

)

-;..

)

'"47

Pórtico Tipo-1

~ ~ ) 7777

Pórtico Tipo-A

Figura 11-21 - Grados de libertad después de eliminar o condensar las deformaciones verticales

11.3.l(d) Se condensan los grados de libertad rotacionales de los nudos

Tal como se vio anteriormente en la explicación de la idealización de rigído, los grados de libertad correspondientes a giros alrededor de ejes (11.1\ (( níl'nidos en el plano del diafragma no están restringidos por la idealización, pero ¡11 mismo tiempo solamente hay un efecto inercial muy menor asociado con estas rotactcnes, por lo tanto es lícito condensarlas. La matriz de rigidez [ksvl Se reordena de tal manera que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertad horizontales del pórtico y en las filas inferiores y en las columnas del lado derecho de la matriz los grados de libertad rotacionales. Se reorganiza y particiona la matriz así: o I 1 ] [ k sv ].= ~§~-~~§~ [ k2 I k 3

(11-33)

sv! sv

luego se condensa: (11-3-1)

Los valores de los grados de libertad rotacionales condensados se pueden obtener posteriormente por medio de la siguiente ecuación: 01-35)

Así llegamos a las siguientes matrices para cada tipo de pórtico: 849

linámica estructural aplicada al diseño sisnuco

Para el pórtico TÍpo-l la matriz de rigidez, [k~], tiene dimensiones de 3 x 3. Para el pórtico TÍpo-A, [k~], tiene dimensiones de 3 x 3. La matriz que se obtiene para cada pórtico al final de este paso corresponde a la matriz de efectos horizontales pues sólo contiene la rigidez de cada uno de ellos para desplazamientos horizontales, uno por piso. Vale la pena resaltar la reducción que se ha realizado del número de grados de libertad de cada pórtico, por ejemplo en el pórtico Tipo-I se ha reducido de 27 grados de libertad a 3, y para el pórtico Tipo-A de 18 a 3.

7)77

TJ 7T

TJ77

TJ7T

Pórtico Tipo-A

Pórtico Tipo- f

Figura 11-22 - Grados de libertad después de condensar las rotaciones. Sólo se tienen grados de IilJertad horizontales, uno por piso en cada pórtico

En este punto si se quisiera realizar un análisis planar de la estructura en su totalidad, independiente para la dirección x y para la dirección y, sólo bastaría sumar las matrices de los pórticos que actúan en cada una de las direcciones. Estás matrices tiene un grado de libertad por piso y se estaría tomando en cuenta el efecto de diafragma pues sus desplazamientos en la dirección del pórtico serían compatibles para todos ellos. 1l.3.1(e) Transformación de los grados de libertad del pórtico de un desplazamiento por piso a los tres grados de libertad POy piso de cada diafragma

En la Figura 11-23 se muestra en planta uno de los entrepisos de la estructura. Allí se indican los grados de libertad del diafragma y los de cada uno de los pórticos. Además se ha indicado un sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen está en el cruce de los ejes 1 y C. Este sistema de coordenadas nos permitirá encontrar las relaciones de transformación entre los diferentes grados de libertad. y

Figura 11-23 - Grados de libertad del diafragma y de los pórticos en el piso i

850

lllelUlkUCiUIl UlIlU/HH u

(le

(_-.." ")(, H \ l l U \

En este caso se colocaron los grados de libertad del diafragma en el centro de masa, pero esta localización puede ser en cualquier punto arbitrario, siempre y cuando al generar la matriz de masa del diafragma se tomen en cuenta todos los efectos de la masa cuando no están los grados de libertad en el centro de masa. Ahora planteamos el equilibrio entre la fuerza que actúa en el pórtico en el piso y las resultantes en el centro de masa del diafragma. Para el efecto vamos a tratar la fuerza que actúa en el piso del pórtico como una fuerza local y las del centroide del diafragma como globales, de ahí la nomenclatura de mayúsculas y minúsculas que se ha venido utilizando. En la Figura 11-24 se presentan los diferentes datos para establecer el equilibrio. El pórtico se ha orientado arbitrariamente para hacer más general la deducción. y

~ ~%FiY~ ~ 1~

F. ~

e.m,

F·

Á. I

)

l i d

sistema de coordenadas de referencia ~----

Figura 11-24 - Equilibrio entre la fuerza del pórtico en el piso y las resultantes en el diafragma, para el piso í

Los puntos a y b definen la dirección positiva de la fuerza, al ir de a a b. La única restricción en la localización de estos dos punto es que deben estar en la línea acción del pórtico. De la figura podemos establecer que: (1

(11-37)

(11-38)

Mientras la fuerza f¡ se mantenga en su línea de acción no importa la localización que tenga a lo largo de esta línea, por lo tanto arbitrariamente se coloca en el punto a. y

Figura 11-25 - Fuerza del pórtico localizada en a y resuelta en componentes

De equilibrio, en la Figura 11 2 S, obtenemos la siguiente relación:

851

Din Dillámica estrucl ILral aplicada al diseiio sísmico

(11-39)

de donde: (11-40)

Debido a que el centro de masa puede tener una localización diferente en cada piso, definimus para cada piso i: 01-41) l y entonces:

F3x

cosa

F3y

sena

F3z

r3 O O --------- -----

F2x

F2y = F2z

Flx

cosa sena

O O

01-42)

r2 O --------- -----

cosa

F¡y

I O

sena

F!z

I O

o sea: 01-43)

La matriz [Tp ] está compuesta por las siguientes submatrices de tres por uno:

(11-44)

el tamaño de la matriz [Tp ] para cada pórtico tiene dimensiones 3n filas por n columnas, donde n es el número de pisos. Para cada uno de los pórticos tenemos:

{f = [kc]{u

(11-45)

{Fp} = [Tp]{fp}

(11-46)

Aplicando el principio de contragradiente: (11-47)

8.52

Reemplazando (l1--l:7) en (11--l:5): (1l--l:8) y ahora (11--l:8) en (11--l:6):

(1l--l:9) donde [Kp ] corresponde a la matriz de rigidez del pórtico expresada en función de los grados de libertad de toda la estructura. En nuestro caso estas matrices para cualquiera de los pórticos tienen dimensiones de 9 por 9. 11.3.1(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez de toda la estructura

La matriz de rigidez de toda la estructura, [KE] , es simplemente la suma de todas lr s matrices [Kp ] de todos los pórticos. Para un total de q pórticos: (11-50)

11.3.1(g) Se determina la matriz de masa de toda la estructura

La matriz de masa, (mi], del diafragma del piso i se obtiene por medio de los procedimientos presentados en la Sección 11.2.2. Esta matriz tiene dimensiones de :3 filas por :3 columnas. La matriz de masa de toda la estructura se obtiene de la siguiente consideración de equilibrio de las fuerzas inerciales, expresada por medio de submatrices de dimensiones 3 filas por 3 columnas:

(11-5I)

Entonces:

[M E ] 9X9 -

3 ] 3: [m O : O ----~~-~-------~------

: [m¡Lx3

[m 2 3x3 I

(U-52)

-------~-------~------

11.3.1(h) Ecuaciones de equilibrio dinámico de toda la estructura

Podemos entonces plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico de toda la estructura, las cuales tienen la siguiente forma para vibración libre: (11-53)

El número de filas del sistema es 3D, donde o es el número de pisos de la estructura. Para el ejemplo que se utilizó en la deducción, y expresadas por medio de submatrices de 3 por 3, también para vibración libre, tenemos:

:158

Dinámica estructural aplicada a! (Use/jo SISI11lCO

(11-54)

Para el caso de excitación en la base, se utiliza la ecuación 00-23), la cual en este caso tiene la forma: (11-53)

Donde [y]{xo}corresponde a {üo}el cual describe las aceleraciones en los grados de libertad de la estructura, causadas por las aceleraciones del terreno. En el caso presentado en la Sección 10.4, el sistema vibra en un plano y la matriz [y] era un vector colurnnar con un número de filas igual al número de grados de libertad de la estructura y con todos sus términos iguales a la unidad. Las aceleraciones del terreno provienen de registros acelerográficos los cuales contienen tres componentes, dos horizontales ortogonales y una vertical. No existen registros de las componentes rotacionales de la aceleración. Por lo tanto en nuestro caso no hay manera de dar una excitación a los grados de libertad de rotación del diafragma. En el caso que nos atañe, de idealización de diafragma rígido, ya se mencionó en la Sección 11.3.l(c) que no incluye los efectos verticales de la aceleración sísmica. z

______

Figura 11-26 - Dirección de las aceleraciones de los grados de libertad de los diafragmas y de las excitaciones del terreno

Entonces, el vector de aceleraciones del terreno tiene dos componentes horizontales ortogonales, las cuales no necesariamente son colíneales con los grados de libertad x y y de los desplazamientos de los diafragmas, como muestra la Figura 11-26. De la mencionada figura podemos obtener las siguientes expresiones:

xox = Xns cosf - xew senñ xoy = Xos senjl + xew cosñ

01-56)

No sobra advertir que muchas veces los acelerógrafos no se orientan con el norte exactamente, por lo tanto se han utilizado las direcciones NS y EW simplemente para ilustrar el manejo de las componentes del acelerograma. Otra alternativa utilizada con frecuencia es el uso de una sola componente del acelerograma colocada con un ángulo ~ con respecto al eje principal x de la estructura. En este caso las componentes colineales se obtienen por medio de: Xox = Xo cos~

(U-57)

XOY =xosen~ 854

11 • Idealizacton <IIIIU/ll1(,(/ (le tu eS/rllel ((iU

Una vez se obtienen las aceleraciones del terreno colineales con las direcciones principales en la estructura podemos generar la matriz [r] donde: (11-58)

Para nuestro caso de tres pisos [r] se obtiene de la siguiente manera, la cual es extensible a cualquier número de pisos. '03x ..

I I

{üo}=

O 1

'03y .. '0 3z .. '02x .. '02y

=O 1

'02z ..

-- --

'Oh

l~::

O O -- -1 O O O

O 1 O O

'02x

1 O

'0 3z

{~:~}

'03x .. '03y

{Ü o}= '0..2y = O 1- {~~:~~~} xosenl3 ..

'02z ..

O O

1 O

'Oh

1 O

O 1

'0 1y .. '0 1z

O 1

O O

(11-59)

O O

o sea se coloca un 1 si la aceleración del terreno es colineal con la aceleración del grado de libertad que representa la matriz. Si no es colíneal se coloca un cero, o la componente correspondiente. En la Sección 11.5 se explica como generar [r] para el caso general, inclusive cuando la excitación en un apoyo es diferente de la de otro.

11.3.1(i) Obtención de las fuerzas en los elementos una vez se conocen los desplazamientos de los grados de libertad de los diafragmas La solución de la respuesta dinámica de la estructura se presenta en el Capítulo siguiente, para las ecuaciones de equilibrio dinámico (1l-53) o (1l-55), y la misma matriz de rigidez utilizada en estas ecuaciones puede ser empleada para analizar la estructura ante fuerzas horizontales estáticas como las que prescriben para diseño sísmico los códigos en el método de la fuerza horizontal equivalente. En este caso ~(' resuelve es sistema estático de ecuaciones simultáneas siguiente: ( 11-(0)

Donde {P} corresponde a las cargas horizontales estáticas, ya sea de viento o de sismo, que se aplican a la estructura. El vector de desplazamientos de los grados de libertad del diafragma {U} se obtiene solucionando el sistema planteado en (11-GO). Una vez se dispone del vector de desplazamientos {U} ya sea proveniente de un análisis dinámico o estático, obtenemos los desplazamientos del pórtico en cada uno de los pisos utilizando la ecuación (11-47), la cual se reproduce aquí por conveniencia: (l1-G1)

Este vector {Up} corresponde a los desplazamientos que tienen cada piso del pórtico, compatibles con los desplazamientos del diafragma en el piso. Estas deflexiones horizontales del pórtico son las mismas que se utilizan para verificar las derivas (deflexíones horizontales relativas) tal como exigen los códigos sísmicos.

855

Dinámica est ructural aplicadii (1/ diseño sísmico

Una vez se dispone de las deflexiones horizontales, coplanares del pórtico, se procede a determinar los valores de las rotaciones de los nudos, las cuales se habían condensado en la Sección 11.3.l(d) utilizando la ecuación (11-35), la cual también se reproduce aquí por conveniencia: (11-62) Es evidente que al particionar la matriz de rigidez [ksvl en la Sección 11.3.l(d) la misma operación se realizó con el vector de desplazamientos {usv} ji por lo tanto:

{Usv}= {-~~} u

(11-63)

rot

Ahora obtenemos los desplazamientos de los grados de libertad verticales, dependiendo del tipo de procedimiento utilizado en la Sección 11.3.1(c). Si se utilizó el procedimiento (i) de la Sección 11.3.1(c), se utiliza la ecuación (11-3l), reproducida a continuación: (11-64) Si se utilizó el procedimiento (ii) de la Sección 11.3.l(c), simplemente se usa (11-32): (11-65) Entonces: (11-66) Por último obtenemos los desplazamientos de la totalidad de los grados de libertad del pórtico, {u}, por medio de la ecuación (11-28): (11-67) El vector de desplazamientos {u} está en coordenadas globales del pórtico. Se ha utilizado la nomenclatura de minúsculas para insistir de que hay unas grandes coordenadas globales que son las de toda la estructura, por medio de los grados de libertad en los diafragmas y que para efectos de ellas, las coordenadas de los grados de libertad del pórtico son unas coordenadas locales. Con el vector de desplazamientos del pórtico {u} se determinan las fuerzas en los elementos de la estructura y si se desea, las reacciones en los apoyos. Este procedimiento se realiza para cada uno de los pórticos independientemente. 11.3.1(j) Algunas observaciones acerca de la idealización de diafragma rígido

La idealización de diafragma rígido tiene las siguientes ventajas respecto a otras idealizaciones para el análisis de estructuras de edifícios ante cargas horizontales y solicitaciones dinámicas. Dentro de estas ventajas no sobra resaltar las siguientes: •

Permite realizar el análisis de la estructura como un todo, tal como es el enfoque moderno de análisis estructural. Esto permite tener resultados mucho más confiables que cuando se realiza el análisis utilizando pórticos independientes.

85(5

1 J • la('ully.UcIO/1 (Il1/UlIlIUt ue tU e:,lI'H • Hit

•

La matriz de la estructura [KE ] tiene un número de filas y columnas igual al número de pisos multiplicado por tres, sensiblemente menor que el de la gran mayoría de los pórticos que la componen, o que el de la matriz de rigidez tridimensional de la estructura con seis grados de libertad por nudo. Esto redunda en menores tiempos de proceso y menores demandas de memoria en los programas de computador que utilizan esta idealización.

•

Distribuye automáticamente las fuerzas horizontales a los diferentes elementos verticales de resistencia en proporción a sus rigideces.

•

Toma en cuenta el efecto de torsión de toda la estructura, lo cual es especialmente importante en estructuras con resistencia vertical irregular o con plant:.o irregulares. La formulación matemática describe adecuadamente el hecho de que las fuerzas horizontales se aplican en el centro de masa del diafragma y que la estructura tiene a girar con respecto a su centro de rigidez, el cual se define como el punto en el diafragma en el cual a! aplicar una fuerza horizontal no se presenta rotación del diafragma. Por lo tanto en estructuras donde los dos centros, el de masa y el de rigidez no coinciden, el procedimiento toma en cuenta automáticamente la torsión que genera la aplicación de fuerzas horizontales en lugares diferentes del centro de rigidez.

•

Es posible realizar simultáneamente el análisis para las cargas verticales que contenga la estructura. Utilizando el procedimiento de condensación general, presentado en la Sección 9.3 y especialmente en la ecuación (9-21) puede verse que el proceso de las cargas verticales es un subproducto de las condensaciones que se lleven a cabo para obtener la matriz de efectos horizontales del pórtico, evitándose de esta manera tener que realizar un análisis para estas cargas. Esta metodología es la utilizada por programas dé computador tales como TABS [Wilson y Dovey, 197 ¿j, ETABS I Wilson, Ho/lings y Dovey, 1975] Y COMBAT [e omputech, 1983] en los cuales se utilizan además técnicas de subestructuracion y solución frontal de las ecuaciones simultáneas.

•

El análisis de efectos de segundo orden (efecto P-Delta) de toda la estructura se puede llevar a cabo fácilmente pues las fuerzas horizontales de la estructura pueden ser corregidas y tan solo hay necesidad de volver a solucionar el sistema de ecuaciones U l-bO).

I t 1

A contínuacíón se presenta un ejemplo de idealización de diafragma rígido en una estructura aportícada de dos pisos, similar a Id utilizada para hacer el planteamiento de la teoría. Antes de emprender la solución del ejemplo es importante hacer algunas observaciones acerca de algunas de las operaciones numéricas que hay que realizar, las cuales en muchos casos ahorran algún tiempo en la realización del trabajo numérico, especialmente cuando éste se realiza manualmente. Cuando se utiliza la técnica de igualación de grados de libertad y se está aplicando la operación de la ecuación (9-12), o 01-27): (11-68)

realmente lo que se está haciendo con el primero producto de la operación, [Rf[k p] es multiplicar toda una fila por una constante y luego otra por otra constante y así sucesivamente, para luego sumarlas. La segunda parte de la operación es totalmente análoga, pero con columnas de la matriz. Cuando se trata de estructuras ortogonales,

Dinámica estructural aplicnrla al diseño sísmico

como son los pórticos, estas operaciones de igualación de grados de libertad tiene coeficiente igual a la unidad en las ecuaciones de ligadura. Por esta razón cuando se trata de una estructura ortogonal y se están igualando grados de libertad, basta sumar las filas y luego las columnas correspondientes a los grados de libertad que se igualan. Más aún, esta operación se puede evitar si desde un comienzo el ensamblaje de todos los grados de libertad se realiza sobre un solo grado de libertad, y de esta forma la matriz ensamblada de una vez tiene las ecuaciones de ligadura implantadas. Esta última metodología implica que no se puede utilizar la técnica de ensamblaje por medio de submatrices de 3 por 3 que se explicó en el Capítulo 9, pero la diferencia es sutil, pues no se ensamblan submatrices de tres por tres sino términos independientes, pero la tecníca sigue siendo la misma. Una ventaja adicional de esta última metodología es que la matriz de rigidez se puede generar de una vez con los grados de libertad ordenados de una manera que permita realizar las operaciones de condensación posteriores sin tener que reordenar la matriz. Otro aspecto tiene que ver con la condensación, tal como la muestra la ecuación (9-20), o (11-30), allí aparentemente hay necesidad de invertir una matriz cuyo tamaño muchas veces es grande. No obstante está operación se puede realizar condensando solo un grado de libertad a la vez, y este caso sólo hay que invertir un término, pues la matriz [k 3l tiene dimensiones de 1 por 1. O sea que su inversa es el inverso del término, o l1k 3 . Otra manera de ahorrar trabajo numérico en estas operaciones es aprovechar la simetría de la estructura. Cuando dos grados de libertad producen resultados totalmente iguales, porque son simétricos, se pueden tratar como un solo grado de libertad, ensamblándolos como uno solo, o bien sumando las filas y las columnas correspondientes en la matriz de rigidez. En el ejemplo que se presenta a continuación se utilizan algunas de estas técnicas, con el fin de ahorrar trabajo numérico.

Ejemplo 11-6 Debev¡, eltCOfttrcuse Las eCll,a(ÍaVlt's ae f11,Ovünienta ae La estrl4,ctlua ae concreto reJarzaaa f11,OstriA,aa elt LiA, FiglUiA, 11-27. Debe 11,tiLimrse LiA, iaeiA,LiziA,cióv¡, ete aiaJmgmiA, rí.giaa. por Lo tanto 11,0 hiA,tj ct~farVJtuciOltes axiuLes en ías vigus. Duaa vllte se tmtu ae IUtiA, estni,c.tliXiA, biA,jiA, Los gruaas a.e LibertiA,d verticales se VUVL u eLiminur igll,iA,LáltdaLas u cero. Los giros en Los vutdos ae Los y¡órticos se de/rJevL connensar.

I @ Sm

® Sm

o Figura 11-27 - Edificio del ejemplo 11-6

Los eLemelttas tielten Lus sig/üelttes rropieaudes. toaus LiA,s vigus tieltelt sección con h =0.50 ro de atto tj b = 0.30 ro de aJ-tClw. LiA, resistel-tCiu deL cLlhcreto es de 30 MPa. Toaus Lus COLI1-1nltiA,S tieneu srccióll [ir h = 0.30 ro YJo'~ b = 0.30 ro tj resisteltciiA, deL concreto c{.e 30 MPa. LiA,S losas 858

11 • taeauzacion (lllIUl1l1CIl (le IU (':;, n l u ![(,

ÜCVLCH Itl1f4 mf4Sf4 por ftl1idf4l/Í, l/Í,e circf4 l/Í,e 0.8 Mg/m- = 800 kg/m'. 1'11f4SCJl corresl1ov1,cücntc CJl llA, cf4rgf4 InlH'rtf4 ir1cl/tf:1eltl/Í,0 el /1eso proYJio de lf4 estn1,cUUf4 Ineis lOS f4mtJtiLUOS (w = 7.84 kN/m2) , Los gml/Í,os cie litJertwl cie lOS ciif4Jmgmf4s estlÁH lOmlizf4cios en SI1,S cel1tros cie meiLSU como Ht/1,eS tm lf4 Fig/Uf4 11-27, Privnero '::f4LCIÜliLlnos Lf4s l'Itf4trices cie rigiciez ue Los elevne IttOS, Lf4S coLIt/'Itlw.s 5011, igltliLLes ('11 todos Los y,órücos, ig f1,f4L:nente lf4S VigliLS tocif4s uene LíA. miSlnf4 sección. SÓlO mmLlif4 SI1, tltZ, ror eso se geltem H.11f4 mf4triz cie rigiciez YJf4rf4 vigu cie 5 m cie Ltu f:1 otra purf4 vigu de 6 m ue LHZ.

II I

h =0.3m b =0.3m I = bh3/12 = 0.3 m· 0.3 3 m3 /12 = 0.000675 m" A = bh = 0.3 m • 0.3 m = 0.09 m2 E = 4000 ...Jr e (MPa) = 4000 ...J30 MPa = 22 000 MPa = 22 GPa L=3m

U sistemu de COOrcieHf4Uf4S local estei oriel1tw{o COIt SI1, eje x en direccióH lLucÍfiL f4tlf4JO, por lo tWttCJ el lÁJtg /üo a es 9()O e = cos a =0.0 s =sen a = 1.0 P = EIIL3 = 22 GPa ·0.000675 m" /3 3 m 3 = 550 kN/m ~ = Ae/l = 0.09 m

• 3

2 m 2 / 0.000675 m 4 = 1200

Ij Lf4 vnf4triz eLe rigiciez cieL ete-nento ue COL/Hit/tU, el1 kN/vn Ij kN . 1'It/meL es Lu Sig¡ÜCHtc

6.6

9.9 : -6.6

9.9

660

-660

9.9

19.8 : -9.9 O -9.9 I 6.6 I -660 O I O

9.9

I I

---- ----- ----T---- ----- ----6.6 O

9.9

O -9.9

660

9.9 : -9.9 I

O 11~.8

VigliLS cie ') /'11 cie LfU h=0.5 m b=0.3m I = bh3/12 = 0.3 m . 0.5 3 m 3 /12 = 0.003125 m" A = bh = 0.3 ro . 0.5 m = 0.15 m 2 E = 4000 ...Jr e (MPa) = 4000 ...J30 MPa = 22 000 MPa = 22 GPa L=5m

EL sistel1tf4 cie coorcieltf4cius LomL coilteicJe con el gLobaL rJor Lo tanto a es 0 e =cos a =1.0

s = sen a= 0.0 p = EIIL3 = 22 GPa • 0.003125 m" / 53 1TI3 = 550 kN/m 2 ~ = AL 2II = 0.15 m • 52 m 2 / 0.003125 m" = 1200 Ij Lu l'ItliLtril UC rigietc! eteL elewLcvL!o vic vigf4 ele 5 In ele LHZ, elt kNlrn f:1 kN . In/YlILU, es tu sig/HeH((:',

Dinámica est rflct ural aplicada al diseño sísmico 660

O : -660

O O

6.6 16.5

16.5 :

O -6.6

16.5

27.5 O -16.5 55.0 : ----- ---- -----T----- ----- ----O I 660 -660 O O O O -6.6 -16.5 :

O -16.5

16.5

27.5 :

6.6 -16.5 55.0

Vigas ete 6 vn ete LI12 h=0.5 m b=0.3 m I = bh3/12 = 0.3 m' 0.5 3 m 3 /12 = 0.003125 m 4 2 A = bh = 0.3 m' 0.5 m = 0.15 m E = 4000 ...Jr e (MPa) = 4000 ...J30 MPa = 22 000 MPa = 22 GPa L=6m

EL sistevvLa de cooretevLadas LocaL coüteLete COVL el gLol)(ü r¡or Lo tanto a. es O°. e =cos a. = 1.0 s =sen a. =0.0 p =EIIL3 = 22 GPa • 0.003125 m" /6 3 m 3 = 318.3 kN/m

13 = AL 2I¡ = 0.15 m 2 • 62 m 2 / C.003125 m" = 1728

/.j La fltatrLz ete rígietez deL etemento ete viga de 6 VJiL de Ltl.z. en l<N/m Ij /<N . vn/met. es La sLg¡Üe/1te:

550

3.82

O 11.46 ----- -----

-550

11.46

3J~2

-11.46

O I -11.46

45.83

O 11.46 : 22.92 O -11.46 45.83 : ------ ----_. ------,----O I 550 O O

O -3.82 -11.46 : O

-3.82

: -550

11.46

22.~2 :

Alwm etdleVltOS elteOlttmr La vnatriz ete ejectos IwrizOlttaLes r¡am meta tir¡O ete pórtico IvLicLUf1WS LOVL eL ~Jó:'tJCO cid eje 1\. La :10/lJo'U?VlCLtt:~x~ lÍE' v.I~.dos U eLe!11~ntns es IIA sig¡ÜeJ1te

PÓrtico TilQo - A Lajonna de t'ltsUlnlILajE' E'S La sig¡ÜeI1te:

Pórtico Tipo A /.j La matriz dE' rig i¡;tez deL pórtico.

1-gdl

556.6

663.82

9.9

11.46

------ ------550.0 O

9.9 : -550.0

11.46:

-3.82

11.46

65.64 :

-11.46

22.92

--O---:--S56X

-3.82 -11.46:

11.46

22.92:

9.9 O 663.82 -11.46 9.9 -11.46 65.64

860

Ahom el~rnÍft&U11,()S Lus dejorrnuciOJtes lIlX~uLes ae Lu v~gu, Lo C/{,uL se reuL~zu COVL Lu ecl~,ucióVL de L~gudlUU Ulx = U2x. Esto Lo YlodeWLOs luacer nüL~zuVLdo eL proced~vl1.~evLto presevl.tudo eVL Lu SeccLóvL 11.3.1(tl) . Otm 11tUVLem ete Itevarlo u caho. es SIHnur LusfLLus Ij LUS coLlunVLUS de Los etos gmdos de L~tlCrtud. Cf~,uLlil/üem de Los dos proced~rn~evLtos COlta/tCe u LI/L s~glüel'Lte vnutr~z de r~g~dcz: tgdl 13.2

9.9

I I

9.9

11.46 11.46 : -3.82 9.9 11.46 65.64 : -11.46 22.92 - - - - - - - - - - ------,------- - - - - - O -3.82 -11.46 I 663.82 -11.46

663.82

9.9

11.46

22.92 ! -11.46

65.64

Ahom eL~rnÍftUltJws Los desYJLuzUvlüentos lIlX~uLes de Los l'LI~,dos. Dudo lil'te eL pórtico es tlUjO esto VLO coruuccc u ItVL error up recic::ül Le. Pum YlórtLcos esbeltos estos gmdns de Liklertud ddJen coltdel'LsL-\.Yse. b ~rnYJOrtuVLte eJ'Lteltder (/jIte uL eUrnÍJtur Los gn.tdos de L~tJertud ¡;t través de eClt!J\.cioVLCS de L~gud/1.ru se está ~rnp~diendo muLCj/üer t~po de dfj'orvnuciém reLutLvu eut«: Los gmdos de L~bertuct qlH~ Lu eCIHlciólt (,I'\.LUZU, o sea CjIH' el VlwdeLo Vltuternáüco cte Lu estnl,etltru se huce rnás ríg~do. No oc/me Lo rn~svlw c/tundo se /tüLQU Lu coVLetel'Lsuc~ém, p11.eS Lu ri.gietez ete Los gmetos ete L~llertud Cjlte se coI'LeteJtsGut se Llte.orpom lA. Lu ete Los Wte y¡emt(ltlteCelt Ij Ylor Lo tanto Lu rig~etez del vnoeteLo vI'Lutemáüco ItO CUI'll'¡'I~U. Lus eteJormudoVLes qH,e se o¡'ltiel'tel'L UlIt Lu mutriz etc r~g~etez COJtt;leltSuetlA SOVL exuctuVlteltLc ~gltuLes u Los q/te se o¡'ltieltelt COI'L LIA. mutr~z orig~l'LuL. silny¡Lemeltte se hC/Lce másJáciL eL rnultejo 1'Lll.f'ltér~co yutes hUIj menos rérvvioÍ,I'lDS CI'L Lí/!. rnutriz. Elt este caso es Lícito eLil'lÜltUr!os. Esto se reuLizo. sirnYILemevtte tudLUltetO Lus fLLcA,s Ij wL/trnl'Lus de Los gmetos (te Li.¡'wrtuet

verncaíes. corno se explicó en Lu Secciólt 11.3.1 (c)ií

AltOm debernos cOJteteltsur Los gruetos de Lil-Jert&id etl' rotacíón elt Los 1'LltetOS. LGt W.G1.tnz anrertor se YlurÜciOJtu ete Lu siglúel'Lte rnUl'Lem pum Logrur esto: 13200 : 9900

9;100]

9900 : 22920

65640

k kl [ktv] = [ -990oT656aO -----22920 = [-1Y- t- - {.Y.] O

k sv ! k sv

LuiVLversuete [k~v] es: k3 [

]-1

4 -.60582XI0-S]

.l7350xl0-.60582 x lO-s

.17350 X 10-4

uáiuica estructural aplicada al diseño sísmico -l.gdl

[k~]=[10986]

u lx

Id eslu 11JtÍlitU mulriz. LDL c/tuL en este CDLSO tiel1R CÜf'l1.('v1.siovu:,s ete 1 /101' 1. corres/10v1.ete u Lu vv¡,uf.riz Uf efectos hOf'izmttuLes deL rJórtico Tipo A EL Vl1.iSf1W rlroceetimicltto se reULiZIA. rJuru el /1órtico TirJo B. corresrJmtetieltte uL eje Bete LDL estrH,{:t1uDL.

Pórtico TirIO - B

ITJ

0 [TI

\1m

k ab

k;b

k~a k~a

k~b + k:'

k~b

k;b

k:"

k;"+k~b+k;' k~a

k~ +k;"

LDLJormu ete e~tsumbLqje es Lu siglüe~ttc:

[TI

k~b + k~b + k:"

" '"

Pórtico Tipo B

Id LDL f1tDLlriz ete rig ietez eteL Ylórtico: 556.6

663.82

9.9 ------ 550.0

9.9 : - 550.0

I I

-6.6

9.9

I I

-,-

o I o

o o o o -660.0 o II 11.46 : o o 9.9 II o o 1l.46 22.92 : -9.9 65.64 : ------- -------1------ . ----- -------r------ -------- -----o 9.9 o I - 6.6 o 9.9 I o o o I 556.6 o ------.------o -660.0 o - 3.82 -1l.46 : o 663.82 -11.46 I o o II o -11A6 9.9 9.9 1l.46 22.92 : 65.64 : o o o II -9.9 o 11.46 :

o o

-3.82 -11A6

o o ------ -------- -------+------- ------- -------t------- ------- ------- ------ -------- ------6.6 o o o o o -9.9 o 563.2 o o : - 550.0 o - 3.82 11.46 o -660.0 o o o o o 1323.82 11.46 : o .J_______ o 9.9 .1_______ o -------11.46 22.92 o _ _____ 11.46 9.9 o ______ ------- __ .!l~:~_L __'!._ 563.2 o o o -6.6 o -9.9 : - 550.0 o o o o o 1323.li2 -11.46 u.y o o o o - 3.82 -11.46 : o o - 660.0 o -11.46 85.44 u., 22.92 ¡ o 9.9 11.46 o o 9.9 o o Por comoetidud en este Cl/LSO ~Jrif'nero eLimiftDLf'lWS Los 0"udos ete W'Jertuet vertícales tuclLulLcio las fLLDLS lj coL/tmltDLS corres/1ov1.dielttes DL Uly' U2y. U3y lj Ü4y. LH.egO rJDLrDL eLinünur LDLS etG.fonitucimtps lAXiuLcs etc LDLS VigDLS. SIU1tUmoS LDL jiLDL lj Lltego LDL COLIlYltVLU U2x sohre Ulx Id eteSr){~.és reuLizw1WS Lu mismu orerDLciórt Sll.litDLltcio LufLLu Id LDL COL/H1tftU ccwcsy¡onetieftte DL Ü4x· sobre U3x Por (tLti'·1W. reoreteltuf'ltCls Lu mDLtriz &ie tDLL mDLI1RrDL Dj/~.e Los grDLetos ete Lit'ertDLd LDLterDLLes Dj/teetev¡, 01. LDLS /1rimerDLs fLLus U coLtU1tltDLS U Los rotacíoriales elt Lus /1LtÚitUS JiLus Id COLIU1'l1tDLS. rJUrDL rJOder cCHtdeltsur con juciLidud desp/~.és. EL reslütDLuo de todus estus operDLciones es Lu siglüe~tte fnutriz. Clt LDL CltuL se fnli.estrDL LDL pDLrticiólt puru cmtdeltsur Los wucios de LitlertDLd rotacíonates de Los ItH.etOS. I I

I I

I I I

....

I I

9.9 13.2 -13.2 : 9.9 9.9 9.9 -13.28 O 26.4 : -9.9 -9.9 O ------ -----r----- ----- ----- ----9.9 O -9.9 : 65.64 22.92 9.9 -9.9 122.92 65.64 O 9.9 9.9 I O I 9.9 85.44 22.92 9.9 O I 9.9 9.9 22.92 85.44 O I O

862

------------------------ 11 • ld(>alizuC/o/1

(1111(//111("(/ (le ((( e:;¡ rHU!lI;,

COftliel15U1tlio los grados de Wwrl.ad J'otaciolt¡,.ües, C/'lCCmtJaf11DS la sig/úottc fnatriz de geetos honzoruutcs paru ese tirJO de pórtico: 9544.4 -11168.0] [k cB] = [-11168.0 24163.0

PÓrtico TitJO - 1

El nóruco TirJo 1, carresrJOI1diente al eje 1 de la estntctlua, DesrJltés de llevar a catlO lus opemciOfteS uWn)'Jiudus eVLCO/tlrW1tOS la siglticltte matriz de efecto:> horízontates rJaru ese tirJO de rJórtico:

[2] ......- .....- -...... [2]

, I

\ltTI

\\\\

Pórtico Tipo 1

-1!"33] [k el] = [10124 -112"3 29696 /\lwyu proeCítemos u trulvJomtur lus 11tutriees de Los r¡Órticos u los grados Ii!' Lilrwrtuli lite lfA

estmct/W4. elt Los liiuJragmus, Pura euda 1,1.ItO de Los r¡órttcos rtelJemos eVLcovLLrur Lu matriz vlii,e aos pennita reuLizur lu tYUJt'~Jonnaciólt,

Trw!:0Ómtuciém :.te coordcnalias de l1órtico a coordenalias de toliu Lu estntctJua

Pum eudu y¡órüco se liefLltelt lios plH1tCJS a 1:1 b Los C/taLes en este caso se escogierc)f1, en los extremos lid nóruro. COIt lus coorlieftulias lie los lios p/1,l1tOS se calC/tlu d lie aCH,erdo con 11A. eCltuciém (11-36); 1:1 con este valor se calC/tla el Vfj!lor liel sen a LJ cos a 1:1 con las cooyc,{el1alitAS lic Los (elttros de vnusu elt cadu YJiso el valor de r. Lus coordeltalius del centro ¡te fnusu son:

PtMa el piso 1

Pum el rJiso 2

Xl =5 m

x2 =2.5m

YI = 3m

YI =3m

Per Lo tanto. Los siglüelttes son los liutos para enconrrur cada Imu de lus mutrices lie trw1sformacióvL liel pórtico lie IUt grado (te libertali PC)f' r¡iso. u tres grudos lie litJertali r¡or piso, lie am,erdo con tos gralios de !itJertali lie los liiaJragmas. UF

Tipo

1 1 /\ B B

O O 10 5

O 6 O

10 10 10

2 /\

d 10 10 6 6

(¡

6 6 6

()

868

cosa

sena

O O 90° 90" <JO"

1 1

O O

3,0

-3.0

3.0 -3.0

O O O

1 1

) .o

2.')

0.0

-2.5

-S.O

Dinámica esiructural aplicada aldiseño sísmico y LlAs f'tllAtrices de trrítvL8'onnlAdón son LlAs siglüentes:

1 :0 O:O -.3 :O ~

[TI] = o-ii ~

O :O

l0t3

1 O O O -3 I O [T2 ] = ---1---O II 1 I O II O O :-3

O O O [TA ]= -O 1 5

O :0 1 :0 --.--2.5 : O [TB ]= ---1-O I O ---lO :1 --l-O :0

O 1

O O

- 2.5:

--r--

[Te] = ----1---O O I I

O :I 1 O :-5

LIA C/1,lAJ YJor ejevnr' Lo, rIlAn;¡, el pórtico deL eje 1 Vj,()S wv¡,d,1,ce lA LIA sig/üente f'ttlAtriz de rigidez deL t'Jórtico rlt.Ma eJectos horizolllrües, expresarLa efl ténnüws de Los gnlLdos de LibertlAd uLe Los uLilAjruglnas de LIA estrHctluu. 10124 O 30371 : -11233 O -33698 O O O O O O II 30371 O 91112 : -33698 O -101090 ------- -- ---------r------- -- ------89087 -11233 O -33698 I 29696 O I e O OI O O O I -33698 O -101090 I 89087 O 267260

U Ix

U Iy

v., U 2x

U 2y U 2z

M(J,triz de rigidez de toda LIA estniCtlMa

SlunlAltdo LlAs cinco vHlAtrices lij/H' se ohtíenen de los t'!órücos, enccmtrUf'lWS La matriz uLe rigidez uLe lIA estntctlUIA, J-gdl

20247

19089

O :

o O ------- -------

301530 :

O -22336

55839

-341790 :

UIx

UI y

55839 O -341790

U lz

------- -------O O O ------oT-59391

-22465

O -22336

O : -22465

O 59313 O -65886

-65886 1413300

U 2x U 2y U 2z

AhOrrA ddleV1tOs encontrar la mlAtriz de mlAsa, D(/tdo lijne Los grndos de Ebert(/td de Los dilAjrag f'l'J,IAS se colocaron en Los centros de mas lA, LIA matriz de masa es diagonal. Los datos necesraríos son Los sigt,üev¡,tes: piso 1

/vea Al = 10 rn • 6 rn = 60 rn 2

M lASlA m¡ =60 rn 2 • 0.800 Mglm2 =48 Mg M aSIA RotlAdOftlAL = (rnl/AI)Jo = (48 Mg /60 rn 2). (63.10/12 + 103 • 6/12)' rn 4 = 554 Mg- rn2

-------L864

Piso 2 Areu A2 = 5 m . 6 m = 30 m 2 M usu m, = 30 m2 • 0.800 Mg/nr' = 24 Mg Musu Rotuciof'Lul = (mI/AI)J o = (24 Mg 130 m 2) • (63·5112 + 53.6/12). m 4 = 122 Mg· m 2 Lj lu Inutriz c{c InlA.5U tiene Lc"l sig /tienteJonnu:

O O 24

O 1I O

U 1x

___ o

U Iy U 1z

O I O

O 122 : O

O O

--- ----1--- --[M]= --O 148 O O

--L

¡ L

U 2x

O O 1 O 48 O : O O 1 554

U 2y U 2z

tcH,{tL(Íones de IJ1,OVill'lÍevlio plMU vitll'uciCHt Libre

tus ec/tUCWlles ({e InovÍflüento puru viLlrucióft Libre son lus sigtüentes:

o , o o o o U lx 20247 o o : -22465 o o o o 24 o o o o o 19089 o -22336 55839 r o o 122 o o o {]U IyIz o o -341790 o 301530 : o + ------- --------- --- --0-:48- --------- -------o o o ------OT-59391 o o Ü 2x -22465 o o o: o Ü 2y o 59313 -65886 o o o o 48 o -22336 o -65886 141:'>.1)() • o o o: o o 555 U 2z o 55839 -341790 : I I

o o

I I

___ o

o o o

I I

EUl,u(Ím1es de fl'LOvÍfl'Lief'\,to I'luru excituciéH'\, el'\, lu Lluse Puru excituciÓft eVl Lu tluse ctebelnos d~fil'Lir lu mutriz [y] primero:

I I I

241 O

I I

r6 24 O 1 O O O I

--¡

O O 122: O O -- --- ----1--- --- --O O O 148 O O O O O

O O

O O I O O

O O 555

Lus ec/tuciovH's cte 11tCviWliclttO ruru excituciÓlt en lu tllí\.se son.

o o: o o o o 24 o: o o o o ----o o o 122 : o ----- --- ----r--o o o 48 o o o o o : o 48 o o o o: o o 555 24

o o o : -22465 o U Ix o 19089 55839 U l y o -22336 o: o 301530 : o -341790 V l z o o ------- ------- ------oT-59391 ------- -------o o o V 2x -22465 o: o -22336 o 59313 -65886 V 2y o 55839 -341790 : o -65886 1413300 V 2 z 20247

-24x o x -24x OY

-0-

--48x O X -48x OY

-0-

•

365

iiuu, .ica estructural aplicada al diseño sísmico

1.3.2 Diafragma Flexible

En la Sección anterior se discutieron los factores que intervienen en la decisión de si un diafragma es rígido o no. Además se elaboró ampliamente sobre el procedimiento para formular las ecuaciones de equilibrio dinámico en el caso de diafragma rígido. Desafortunadamente para el caso en el cual el diafragma se considera flexible no existe un procedimiento general para implantar la idealización de diafragma flexible, como sí ocurre con el de diafragma rígido. Esto conlleva mayor criterio del ingeniero que utiliza estas técnicas con el fin de lograr idealizaciones adecuadas. En general [Carcía, 1985] existen diferentes enfoques para clasificar los diafragmas flexibles. Los tres más conocidos son: diafragmas flexibles uniformes, diafragmas con huecos e irregularidades y por último diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles. '

h z: 1.0 ID b O:UlJ

= I=bh" A =bl, -=

L==6 ID E=4 I(J

El siseen e == co x s= sen o: p=E~~

~=A

Figura 11-28 - Diafragma flexible de un puente continuo

Dentro de lo que se puede clasificar como diafragmas flexibles uniformes hay un caso muy común que es un puente continuo, como el mostrado en la Figura 11-28. En general un puente recto como el mostrado, en el sentido longitudinal de la vía se puede considerar como una estructura de diafragma rígido. La losa del tablero del puente es alargada, a un punto que cuando se le solicita por parte de una carga horizontal en el sentido transversal del puente, la hipótesis de diafragma rígido no es válida, por lo tanto esta flexibilidad del diafragma debe tenerse en cuenta. Una manera de enfocar la solución del planteamiento de las ecuaciones de movimiento de una estructura de diafragma flexible, tal como el puente mostrado en la Figura 11-28, puede ser el siguiente procedimiento: A cada uno de los elementos de soporte del puente, pórticos y estribos, se les calcula su rigidez ante cargas horizontales en el sentido mostrado en la Figura 11-28. Los grados de libertad generales de la estructura se plantean tal como se muestra en la figura, como un desplazamiento transversal y una posibilidad de giro, en todos los puntos de interconexión entre el diafragma y los elementos de soporte. Para tener en cuenta la rigidez del diafragma, este se supone compuesto por vigas colocadas de tal manera que el alto, h, de su sección esté colocado horizontalmente y el ancho, b, verticalmente, como muestra la figura. La masa puede concentrarse en los grados de libertad traslacionales tomando la masa aferente, o bien generarla por medio de la matriz consistente de masa de la Sección 11.2.1. El siguiente ejemplo presenta estos conceptos.

866

AholIvüci t

:/]

1.1 • 1 (U.:'.(U IJ.ll\.. U/H· u ............~ • . .

Ejemplo 11-7 Q/teref'VWs /"lLancmr Las ecuacíoues de ¡novimie~tCO, en se~tCido transversaí. de fU1 /"lItCl1t(, CClIttÜtIW. Se trata de IUt /"l/tente de c/w.tro Iuces de 12 f'n, CClIt Itna caLzada de 6 f'lt de avu:ho U 0.5 m de espesor manzo,

I Figula 11-29 - Estru~ura del ejemplo 11-7

Elt S/1.S extremos halj lUtOS estribos lijli,e (-tan soporte a Las cargas verncales por medio ae 1tI1 aYJ0l10 eLastol'l;Ri'ico eL C/t,aL remüte aespLazamiel1tos tOftgitltdü'LaLes fj rotacíones con res~l('clo u /tn eje verticaL rJeYO rescrÜtge~1 maLlij/úer Cipo de despLazamiel1co tramversaL. Los pórticos vil' apoljo, de Los Cli,fí¡Je~; ¡LCtfj tres espadados cada 12 m, ÜeftCI1 6 m de Lltl con riLas drclüures vil' 1 m I;{~ diGÍvVl,etro Ij 6 m de aLt/ua, Las vigas deL nóruco tiene Iuta sección de 1 m de atto 1:1 OJO In de a~tdw, Todos Los eLentelttos estGÍlt constYlüdos COf1 concreto de reststeucí« 30 ."v1P(;j., EI1. !(~ Fíg/tra 11-29 se mltestra eL plt,evLte. Prunero de/)ef1tOs eI1,W¡ttrr;tr Lu ri0i¡;¡~z a:r"L~ ccwJ¡~S horizmttaLes de Los pórticos de apoljo vid r"te~1.Ce, Se determÍltalt Las matrices de rigidez de Los eLemelttos en coordef'Ludus gLotluLcs W')

pórtico.

$= 1.0 m

1 =mjl4 /32 = 0.0982 m" 2 A = nllll4 =0.7854 m L=6m E = 4000 ...Jr e = 22 000 MPa = 22 GPa

EL sistema de coori-tel1adas LocaL está orientado con Slt, eje x en i-tirección ¡Lacia al-Jajo, por w tanto eL GÍltglt,Lo ex es 90", e = cos ex = 0.0 s = sen ex = 1.0 P = EIIL3 = 22 GPa . 0.0982 m" I 63 m3 = 0.01 GPa . m = 10 MPa . m = 10 000 kN/m 13 = AL 2/I = 0.7854 m2 • 62 m2 10.0982 m" = 288

86'7

mica estructural aplicado al diseño sísmico

120

2880

360

O -2880

360: -120 0

1 I

1440: -360 -120 O -360 I 120 O -2880 O: o 360 O no: -360

----- ------ -----,----- ------

no = [~;~_L~;~]

____

O -360

2880 O

k col I k col ba!

O 1440

h= 1.0 m b= 0.70 m 4 3/12 1 bh 0.0583 m 2 A=bh = 0.7 m L=6m

E =4000...Jr e =22 000 MPa =22 GPa

El sistelna de coorcievLadas locaL wU1Cicic con el global por lo U;tv¡,to a es 0° e =cos a = 1.0 s= sen a= 0.0 3 3 0= EIII} = 22 GPa . 0.0583 m" / 6 m = 5.94 MPa . m = 5 940 kN/m 2 2 21 2 ~ = AL 1 = 0.7 m • 6 m 10.0583 m" = 432

¡ U llJL Inatriz de rigidez del ctemento de vi01JL de 6 vn de 1Hz es llJL siglúeltte·

2566.7

71.3

O : - 2566.7 213.8 :

- 71.3

213.8

[kVi~] = 10 Xl=--i5-66~i -~!~.~----8.?.?:}t--i566~i -~~!~.~- 427~

O -71.3 -213.8: _ _ _-+-_ _+--1O I 213.8

427.5 :

O O

71.3 -213.8_

1- 213.~ I 855.1

AlLOrlJL delJ('wws encontrar la V1tlJLtriz de efectos horízontníes plJLra cadlJL ti~,o de VJórtico. 'Iüciamos con el ~Jórtico del eje A. La IWf1~~v\'dlJLtltra de It/1~~tc)S Lj clevneltLos es l{;t si0/Üelttc: )

Pórtico Tipo A

UllJL matriz de ri0idez del pórtico desptú's de l\,tüler eUmiltado llJLs deJonnacimtes !AXiales al' los elementos es.

_-------------------------------------86R

' ..............

Alwru ctchefltOS coltdeV1sur Los grudos ae Libertud ae rotueic'm en Los VL/idos. Lu Vltutriz ultterior se rJurticLoltu ae Lu siglüelt(e mUlteru puru Logrur esto: - /'l1i('ltte

240.0 : 360.0

Vu.:!to ~ [k sv

]=103 x

[

360~-:22953 360.0: 427.s

_ ae Itl1 'S¡H'c1.o lCOS ¡,te

ares ¡,te Lj 0.70

lit ilA

1.10 :,te! Les &icl

Figura 11-30 - Grados de libertad del diafragma, Ejemplo 11-7

Lu i:wersu ele [k~v] es:

[ k ~ ]-1 •

.45132 X 10-6 -.84065 X 10 -7

[k c] = [[ k~v

l- [k~v ][k~v

-.S4065 X 10- ] .45132 X ¡0-6

r[k~v ]]

= [240000]- [95213] = [144820]

-l- gdl [k~ ] = [144820]

U esta líLtiVltU vnutriz. Lu e/tuL en este (Uso tiel le dimeitsimtes ae 1 ~;or 1. correspmtae u Lu

/'lor Lo

vitutriz ete efectos horizontales de Los ¡1órticos del rJlteltte. eH et selttido cid ¡1LUV10 cieL ¡1órtico. Los grucios de Libertad deL diajrugl'lta se disrJoltelt como Vltliestru Lu Figlua 11-30. Pril1tem detemlÚtaflWs Lu matriz de rigiciez ete Las vLgus del dLujl'agma:

h = 6.0 m b = 0.50 m 3/12 1 = bh = 9.0 m4

869

Dinámica est rrtct Ilra I aplicada al diseño sísmico A = bh= 3.0m2 L= 12.0 m E = 4 000 ...Jrc = 22 000 MPa = 22 GPa

EL sistefnu eLe cooreLevLueLus LocuL coivLcLeLe COVL eL gLolcluL ror Lo tanto a es O°. e = cos a = 1.0 s::. sen a= 0.0 p = EIIL3 = 22 GPa' 9 m 4/123 m" = 0.115 GN/m =114583 kN/m 13 =AL 2I¡ =3 m 2 • 12 2 m 2/9 m" =48 Ij Lu Vf'tutriz eLe rigieLez eLeL eLevVleftto de vigu de 12 111, de Llll es Lu sig¡üevLte:

5500

1375

O -1375

8250

O: -5500

8250 :

----- = [~;~-~~;:_] ----0-:--5500- -----k vid k vid O O ba !

O -- 8250

8250 66000 : O ------ ------5500 O

33000

O -1375

-8250 :

8250

33000 :

O -8250

1375 -8250 66000

EL eSl/jIl.cvvLt~ eLe eftSul·'j'lJJLuje es eL sig,üevlte:

-l- nudos k~b O

k~a k;a + k~b k~b

k~a k;a + k~b

k;b

k~a k;a + k: b k: a

k:a

O O

k: b

Dcsr'~,és eLe eLil1'1útur Lus eLejorVf'tucLcmes uxiuLes de Los f'LcfnCfttos eLeL diuJmgvnu Ij Los grudos de Li/cJertueL eLe Los U~Joljos de Los vtltdos 1 Ij 5. se ohuene Lu sigiúmte I1tutriz ete rigieLez de Lus v~gus de diuJrugmu:

-l-gdl 2750

-1375

2750

O -1375

8250

-1375

O -8250

U",y

8250

U 3y

8250

U 4y

2750

66000

33000

U 1z

O -8250

33000 132000

33000

U 2z

33000 132000

33000

U 3z

33000 132000

33000

U 4z

33000 66000

U sz

-8250 8250

O -8250

8250

Alwm hUIj lII'te ilteL,ür et efecto (.te Los rórticos. Esto se Logm S/1.Vf'tUftetO Lu rigidez de curgus LutemLes de cudu pórtico elt Los grudos ete LillCrtud U 2y ' U 3y Ij U 4y . [fttOfteeS Lu Vf'tutriz de rigidez de Lu estmctl1.m en S/1. totuLidud es:

870

11 • }<IeaUZ(lcJ()Il (/lIlUIIUC(l (le IU eStrHUI{rU

J-gdl

2894.8 -1375

8250

U 2y

O -8250

8250

O -8250

8250

U3 y U4y

O 66000 33000 O -8250 O 33000 132000 33000 8250 O -8250 O 33000 132000

O O

-1375

O -8250

2894.8 -1375 2894.8

O -1375

-8250

8250

O 8250

O O

U 2z

33000

U 3z

33000

U 4z U sz

O 33000 132000 33000 ')

U 1z

66000

Pum ge¡temr Lu vnutr~z de Htusu de Lu estnl,ctltm se /iJ~L~zu Lu ¡'l'tutr~z cons.sreure de HtIA,sU Lu Inasu total deL cLevl'u~nt.o es:

iJI'uU cuda eLemeltto l;:ieL d~aJragvna.

m = L h b Y= 12 m • 6 m • 0.5 m • 2.4 Mg/nr' = 86.4 Mg

m1420 =0.206 Mg lj Lu Inutr~z de masa couststeute deL eLnnento es:

[m] =

32.14

54.38 :

14.42 O

11.12

32.14 :

O 32.14 -54.38 O - 34.38 118.fi6

11.12 -32.14 54.38 118.66 : O 32.14 -88.99 ------- ------,------- ._--_._-- _._---14.42 01 28.84 O O O

l------

o -32.14 - 88.99 :

Se I1,tWzu eL m;5vno esqttelnu de ensaHü,Ll/Lje q/te r)l/Lra La matriz de ;'~g~(;tez Ij se tl/LdLU¡t Lus f~Lus Ij coL,u1-utuS corresI'Jmtd~e~ttes l/L Los aI'Joljos Ij el l!/l.s musus corresponzuentes u Los grados de libertad ux~uLes de Los eLe¡J1.e uros. Lo e/tuL nos COlt(;Ütce u Lu s~gtüe~tte ml/Ltr~z de musus de Lu

estrw:t/ua. .J.-gdl

1, I

64.28 11.12

11.12 64.28

11.12

32.14 O

32.14

11.12

64.28

32.14

O -32.14 O O

O -32.14

U 2y

O -32.14

U 3y

O - 32.14

U 4y

O O 118.66 - 88.99 O O O () 32.14 O -88.99 237.32 -88.99 O O 32.14 O -88.99 237.32 -88.99 O -32.14 O O O -88.99 237.32 -88.99 O - 32.14 O O O -88.99 118.66

Ulz

Lu mu¡r~z [y] es Lu s~g/üe/tte.

871

32.14

U 2z

U 3z U 4z U sz

iinúmica estructural aplicada al diseño sismico

[y]=

-75.40

- 86.52

-75.40

-32.14

32.14

o L~s eClt~Cio¡teS ae vltOvLf1Üento tr~¡tsvers~L aeL rJl1,e¡tte son: 64.28

11.12 I

11.12

O -32.14

32.14

64.28

11.12

64.28

32.14

118.66

- 88.99

32.14

O - 88.99

237.32

- 88.99

- 32.14

32.14

O - 32.14

O - 88.99

O - 32.14 ,

2894.8

-1375

O -8250

-1375

2894.8

O -1375

O -32.14 32.14

O - 88.99

O -32.14 O

O 237.32 -88.99

237.32

O - 88.99

- 88.99J 118.66

8250

O U 2y

- 75.40

-1375

O -8250

8250

O U 3y

[ - 86.52

2894.8

O -8250

8250

U 4y

-75.40

66000

33000

u1z

O - 8251)

33000 132000

33000

O U 2z

- 32.14 {x } _ 32.14 o

33000 132000

33000

O U 3z

-8250 8250

O -8250

8250

33000

8250

33000

U 4z

32.14

33000 166000

U sz

32.14

132000

E¡t caso ae (;jIte (;j/tCmVltOs ItÜHzur 1m VltoaeLo ae mus~ COltce¡ttrua~ p~m excitacíones trunsversaíes ~L eje aeL P/1,e¡tte, te¡taríaf1tOs (;jIte h~cer Los sLgIÜe¡ttes ~jl{5tes. Se cmt(,i.e¡ts~¡t Los 0f~aos ae LLtJertC¡J,a rot~cLOIt~Les ae LCJI vnatrLz ae rLgLaez ae La estntct/tm. Pum eL efecto, se rJ~rüdonu L~ vnutrLZ ae Lu sLgH,Lenre vn~¡tem: J,gdl 2894.8 -1375 o 8250 o o: -8250 o -1375 2894.8 -1375 : o -8250 o 8250 o o 8250 o -1375 2894.8 : o -8250 o ------ ------ ------T------ ------ ------- ------ ----01 66000 33000 -8250 o O o O 33000 -8250 o: o 33000 132000 o o 8250 o -8250 : O 33000 132000 33000 O o 33000 132000 33000 o 8250 o o: O 8250 : O O O 33000 66000 O

U 2y

U 3y U 4y

Ulz U 2z

U 3z U 4z U sz

ose h~ce La sLglüeltte orJemdó¡t ae coJtaensacLón. oVJteJüe¡tao Los sLg/Üe¡ttes resltLtCl],aos:

872

1.1

-HleUl/Y;UCIUIl (lIllUI/UUI ue '(( e.'>tlln I H/«

-l-gdl 442,0] 1274.3 -1080.4 [K c ] = 10 3 x -1080.4 1716.2 -1080.4 [ 442.0 -1080.4 1274.3 eOlitO l1tt/LSt,L COltrpV1Jrudt/t se ItttLizu

I ¡

U2Y U 3Y

U 4y

Lt/t f1tt/tSt/t uJerevLte t/t cudt/t gmdo de LLLJertt/td trt/tsLudoI'Lt/tL.

[slt/t 1'JiLt/tSt/t qfercv¡,te es m = L h b Y= 12 m . 6 m . 0.5 m 2.4 Mg/nr' = 86.4 Mg

y las ecuaciones de movimiento: -1080.4 3 O 86.: ! :l{~:: ')1 +10 X[_-_~~_~:_~-+-__ 1716.2-+----_I_::_~_::]{~::} [=::::]{X

\86.4

,¡ j

l O

O 86.4

442.0 -1080.4

1274.3

U 4y

86.4

•

I j

1 ¡

I i

La solución del caso presentado en el ejemplo anterior se facilita por el hecho de que el diafragma tienen forma alargada y se puede idealizar como una viga acostada. Desafortunadamente este no es el caso en muchas estructuras. En la Figura 11-3 l se muestran dos casos de diafragmas flexibles, los cuales no son idealizables por medio de vigas.

Figura 11-31- Diafragmas flexibles irregulares y con huecos

En estos casos, probablemente, lo más conveniente es simular la rigidez de la losa por medio de elementos finitos, de tal manera que se dispone un pórtico tridimensional que modela las vigas y columnas de la estructura. La losa en si se simula por medio de los elementos finitos. Debe tenerse especial cuidado con los grados de libertad de los elementos finitos, pues la interacción CO!l los elementos de pórtico solo se realiza en los nudos de interconexión y es probable que haya necesidad de generar nudos intermedios dentro de las vigas, con el fin de que haya transferencias de cortante en el plano del diafragma entre los distintos elementos en puntos diferentes a los nudos de interconexión del pórtico. Además, el ingeniero debe estudiar cuidadosamente el flujo de tuerzas dentro de la estructura con el fin de definir que fuerzas internas del diafragma deben ser resistidas por los elementos de pórtico y cuales por la losa. La masa del diafragma debe asignarse a cada nudo de acuerdo con su aferencia. Nuevamente se hace un llamado de atención al criterio que debe emplear el ingeniero al realizar modelajes de diafragmas flexibles por medio del método de los elementos finitos.

in/unica estructural aplicada al diseiu» sísmico

1.3.3 Diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles En muchos casos partes del diafragma de una edificación se pueden considerarse como diafragmas rígidos parciales, que están unidos con otros diafragmas rígidos contenidos en el mismo entrepiso. En la Figura 11-32 se muestra un ejemplo de este tipo de edificaciones.

I Figura 11-32 - Diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles

En este caso el procedimiento para generar las matrices de rigidez y de masa es similar al presentado en la Sección 11.3.1, con las siguientes diferencias: lo indicado en la Sección 11.3.l(a) se realiza de una manera similar. En la Sección 1l.3.l(b) para los pórticos de los ejes 2 y 3, entre ejes B y e, la viga no debe hacerse inextensible, pues los dos diafragmas no pueden estar unidos a través de una viga infinitamente rígida para deformaciones axiales. En todos los otros pórticos las vigas son inextensibles. Esto quiere decir que para los pórticos 2 y 3 hay dos grados de libertad horizontales por piso. Uno de ellos se ensamblará en los grados de libertad del diafragma a y el otro en los del diafragma b. Lo indicado en las Secciones 11.3.l(c) y (d) se lleva a cabo de una manera similar a lo presentado allí. En este punto se tienen los tipos de pórtico mostrados en la Figura 11-33, con sus correspondientes grados de libertad horizontales indicados. vl~s flexlb#e$ axlalmente

I----i-

-----

-1-

.".". .,L..

",:" ..~:,'

Pórticos ejes 1 y 4

Pórticos ejes 2 y 3

Pórticos ejes A a D

(cuatro en total)

(dos en total)

(cuatro en total)

Figura 11-33 - Grados de libertad horizontales de los pórticos de la edificación de /a Fig;.¡ra 11-32

La estructura tiene en total diez diafragmas (dos por piso), donde cada uno de ellos tiene tres grados de libertad (dos traslacionales horizontales y uno de giro con respecto a un eje vertical). Esto conduce a un total de treinta grados de libertad para toda la

874

estructura. Para efectos de lo indicado en la Sección 11.3.1 (e), deben determinarse unas matrices de transformación de coordenadas [Tpl que relacionen los cinco, o diez grados de libertad tras1acionales horizontales de los pórticos, con los de la estructura. Los coeficientes que contienen estas matrices se calculan de la misma manera que se indicó en 11.3.l(e), teniendo cuidado que en todos los pórticos, excepto los de los ejes 2 y 3, solo hay conexión a uno de los diafragmas del piso. Para los pórticos de los ejes 2 y 3 los grados de libertad del lado de los ejes A y B se conectan a los diafragmas tipo a y los del lado de los ejes e y D a los del diafragma tipo b. El ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura se realiza de la misma manera que se indica en la Sección 11.3.1(f).

I !

Para determinar la matriz de masa, se trabaja de una manera similar a lo indicado en la Sección 11. 3.1 (g). La masa correspondiente a la zona entre los dos diafragmas debe asignarse por área aferente a cada uno de los diafragmas, teniendo en cuenta que esto produce una pequeña excentricidad de masa, la cual se puede ajustar colocando las coordenadas del centro de masa desplazadas hacia el centro de la edificación la distancia apropiada para la masa del ala de la edificación más la masa aferente de la zona central. El resto del proceso para obtener las ecuaciones de equilibrio dinámico de la edificación, es el mismo indicado en la Sección 11.3.1.

11.4 Sistemas sin diafragma En muchos casos la edificación no tiene un diafragma claramente definido. Este caso se presenta con frecuencia cuando se emplean cubiertas lívianas. Es común en estos casos dejar un entramado de vigas que sostienen los elementos de cubierta, pero que no conforman un diafragma. En este caso la masa aferente a cada nudo de interconexión entre vigas se coloca allí, dándole posibilidad de tener desplazamientos en las dos direcciones horizontales ortogonales. Debe tenerse en cuenta que en estos casos las ecuaciones de equilibrio dinámico tienen un número mucho mayor de grados de libertad que las correspondientes cuando hay un solo diafragma, pues cada grado de libertad de cada una de las masas corresponde a una ecuación de equilibrio. Este hecho ha-=e mucho más dispendiosa la S01UclÓl1 del sistema.

11.5 Excitación en varios apoyos Supongamos una estructura, como la mostrada en la Figura 11-3-1-, a la cual se le introducen unos desplazamientos, {Xo}, en sus apoyos, sm que se aplique ninguna carga en los nudos libres de la estructura, que no corresponden a apoyos, pero los cuales tienen debido al desplazamiento de los apoyos unos desplazamientos {XEO } . De acuerdo con lo presentado en la Sección 8.7, se tiene es este caso: (11-69)

Expandiendo la ecuación anterior obtenemos: (11-70)

'Rnámica estructural aplicada ,,; diseño sísmico

01-71)

De la ecuación (11-70) podemos despejar {XEO} por medio de:

(11-72)

} contiene los desplazamientos de los nudos no apoyados de la estructura, El vector {X EO debido a los desplazamientos de los apoyos, y [y] corresponde a la misma matriz presentada en la Sección 11.3.1(h), como se verá más adelante.

°--+--~':1»1 ' x r o

~;<

~~"""-~I~=.

.L -

nudos libres de la estructura

~~': J

-~------

apoyos de la estructura

Figura 11-34 - Estructura someüa« a desplazamientos en sus apoyos

Ahora estudiemos la respuesta dinámíca de la estructura para el caso de una excitación dinámica en los nudos de apoyo de la estructura. Al plantear el equilibrio dinámico de la estructura, empleando la segunda ley de Newton y el principio de D'Alambert, obtenemos para todos los grados de libertad:

[Ml{X} + [K]{X} = {o}

(11-73)

Que puede ser particionada de la siguiente manera, separando los movimientos de los grados de libertad no apoyados de la estructura de los de los apoyos: (11-74)

Expandiendo la ecuación anterior, y trasladando al lado derecho los efectos de los apoyos, obtenemos:

[M E ] { XE} + [KE]{X E }= -[MEO]{X O} - [KEO]{X O}

(11-75)

De acuerdo con la Figura 11-34, {U} corresponde a los desplazamientos relativos entre la estructura y su base, y se pueden expresar, utilizando la ecuación (11-72) como: (1l-76)

Por lo tanto: (11-77) Que al ser derivada contra el tiempo conduce a: 87f;

11 • taeauxacion ((I/U/IIlICa (le /(/ eSI nlCllll"U

(11-78) y al ser derivada nuevamente, a:

, I

I1 j 1

{ü}+ [y ]{xo}

(11-79)

Reemplazando (11-77) Y(11-79) en (11-75), obtenemos:

Pero de acuerdo con la ecuación (11-72): ( 1]-81)

y entonces parte de la ecuación (11-80) se convierte en:

01-82)

Lo cual prueba que el desplazamiento como cuerpo rígido de la estructura, no induce esfuerzos internos estáticos dentro de ella. De acuerdo con esto, entonces, la ecuación (11-80) se convierte en:

[ME]{Ü}+ [KE]{U} = -[[ME][Y]+ [MEO]]{X O}

(11-83)

En la gran mayoría de los casos las masas asociadas con los grados de libertad de los apoyos son cero. No obstante, cuando se emplea la matriz consistente de masa, los elementos que llegan a los apoyos tienen términos de masa en los grados de libertad de apoyo.

Ejemplo 11-8 QIH:'reI1Ws eltcolttrur Las eCltaciov¡,es cünávl'ücas de 11wvirniev¡,to panA- difemttes COltdicic1/tcs de excitación elt S/15 ay,ol1os, de IUta estrHcttua cmtsistcltte en IU1 y¡órtico r¡L¡AyuJ, corno et HwstruC{O en la r-ig/ua 11-35. Todos Los etementos tieltel1 Ith ntód,üc¡ de elasticidaeL E = 22 GPa. Lus vigas tielten sccciém con h =0.50 m eLe alto l1 b = 0.30 m vte vutdw, l1 Las COlI1/1t1W"S tieltelt sección de h = U.30 m y,or b = 0.31) m, Las musas de 10 Mg solo ticlten proyJiedades truslaciollules. tanto horizOlttules corno verticales .

.t.t.tL

aPQYQ/1

/ ' "":">: [TI

[[]

[]J

[ID

[l]

.t- }m .t.t- 3m

1 m

apQYQ

Figura 11-35 - Estructúra del ejemplo 11-8

í) _ _

011

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Debevl, forvvL/üarse ~as ew,acíovu~s de litOvíl/vÜeltto ¡'Jara tos síglúmtes casos: A - excítacíólt IwrizontaL !:j verticaL diferCVIJC e¡t cada uno de Los ap0!:jos, B - Lu wLÍsmu excítacíón horizm'LtaL m Los dos a¡'Joljos lj La vnísma excítacíó¡t verucaí en Los dos arJoljOS, lj C - no halj excitacíó¡t verticaL lj Los dos apoljos nene La VJ'LÍsVJ1-a excítació¡t horizmttaL. Caso A

La estntctl1,ra se iaeaLiza como Itl1- YJórtico pLalW, con SltS elementos aeJormat,Les lJIXiuLmc ¡'L te, Lus rotaciones ae Los VL/taOS se conaC¡tSU¡'L, exceYJto Lus de Los upo!:jos, qw~ son cero. En Lu Figlj,ru 11-35 se vnnestran Los grados de Libertad asocíudos con cada lt/tdo.

La matriz de I'igiaez de La estYltctltra [Kh2x22' La w,aL Íltdl~,lje Los upoljos, se gmera sig/üe¡tdo Los rJrocedimielttos convenctonzues de cmambLaje. lI~-cgo se ordCftalt sl1-sfLLas 0 coLiHitnas, de ta~ vnancra l.íjl1,e Los graaos de Lit¡crtavi. corresYJo¡'Lcüe¡ttes a Los giros ete Los n/taOS l.íjI1,eae¡t en Lus fiLas de Ut)ujo Lj Las coLluiu'Las de Lu dcred~u. Se reuLiza /tI'La cmtdensación de Los gruaos ac ~itJertud de Los giros. Asíse ohuene Lu matriz ae rigiaez con giros COI'Lae¡tsudos:

1 aOltde:

1 554.04 -549.28

-549.28 - <\~5A8 I - Q.55504 I 1.0512 -0.23254 554.04 -0.55504 - 4.9548 1 - 0.23254 1.0512

- 495.48

560.26 - 549.07 i -6.5293 -549.07 560.26 -0.05191 -6.5293 - ~.o5191 561.90

-0.55504 -0.55504 -4.9548 1.0512 -0.23254 -0.23254 -1.1751 1.1'/51

1.0512 -0.05191 -1.1751 1.2835 lJ751

-6.5293 -549.63 1.2835 -0.11926

-1.2835

-1.1751 I -1.1751

1.1751 -0.94749

- 0.05191

1.2835

- 6.5293 -549.63

1.2835 -0.11926

- 1.2835 -0.02180 -1.2835 -0.02180 0.11926 1.0668

561.9u -0.11926

-0.11926 0.11926 660.82 - 0.82317

-1.2835

0.11926

0.11926 - 0.82317

-0.94749 -0.94749 -0.02180 - 0.02180 0.94749 0.94749 0.02180 0.02180

1.0668 -1.0668

1.0668 -659.72 -1.0668 -0.27608 ·0.09747 -0.02523

0.08657

-1.0450

-0.08657

1.0450

v-,

-0.13904 0.064243

0.064243

-0.13904

o o

1.2256 -0.32274 - 0.32274 1.2256 -6A256 -0.09020 -0.09020 -6.4256 0.01090 0.01090

-1.0450 -0.09747 1.0450

-0.01090 -0.01090 - 0.09747 -0.09747 0.09747 0.09747 1.0559

-660.00

o o o

-1.0559

-660.00

0.02523

0.94749 I 0.08657 0.94749 0.08657 0.02180

-1.0450 -1.0A50 0.02180 -1.0668 - 0.09747

-0.08657 - 0.08657 1.0450 1.0450 0.09747

1.0668 -1.0668 -0.09747 0.09747 - 659.72 -0.27608 -0.02523 0.02523 660.82 -0'¡7608 -659.72 0.02523 -0.02523

-0.27608 -659.72 0.02523

1321.4 -1.3501

-1.3501

-659.77 -0.22563 -659.77

1321.4 -0.22563 - 659.77 -0.22563 1321.4 -659.77 - 0.02523 i - 0.22563 -1.3753

-1.3753 1321.4

II I

I I

o o o

1.0559 -1.0559

0.09747

o o o o o o

0.09747

1.1751 -0.94749

o o

Por Lo tcUtto es posit,Le caLmLar:

lj se ob uene:

878

11. • la('(//lZ(/C10II HI/HI/lr/e(l (1(' lit ('.'illlHllU ((

(y] =

0.5000

1.2154 -1.2154

U 1x

0.5000

1.2154 -1.2154

U 2x

0.5000

0.7168 -0.7168

0.5000 0.5000 0.5000

0.7168 -0.7168 0.2340 - 0.2340 0.2340 - 0.2340

U 3x U4 x

U sx

U6x

0.0004

0.9996 0.0004

0.9996

0.0004

U 1y U 2y U 3y

0.0004

0.9996

U4 y

O O

0.0004 0.9996

U Sy

0.9996 0.0004

0.9'J96

U 6y

tu f1tGtlriz de VJtusGts Iiefte LGt siglüenteJomtGt: 10 10 10 10

10 10

10 10 10 10 10 10

/j LGts eCli-Gtcimtes íte vVLOvivvLieltlo son LGts sig¡üelltes:

El vector íte LGt íteredLGt en LGt eC/Ü;¡ÜÓll wlterior corresrmtíte Gt LGts aceLemcicmes íteL terreVuJ eft Los etro/jos de Lu estntWtm eVL el nltdo /j ítireccióft iltíticaítos uor eL sl1,perínítice. C¡¡so B

tu estntCI/1,/(A se ideGtLizu de IHtU f1tGtftem igltuL Cíj11,e en el (Uso /\, pero Los gmítos de LitlCrlw;{ de Los UPO/jos se ig 11,GtLuft pum LGt ctirecciált x [.j rJGtm Lu ítireccióvL /j. Por Lo tanto LGt excitGtción corresYJCmde Gt Ü o x /j Ü Oy elt Los Itltc\os l1(unero 7 lj R

Dinámica estruct ural aplicada a! diseño sísmico

EL wocediwLievLto es totalmeure altcilo00 al del Caso A. La vHatriz de rigidez de la estntctlua [Kh2x22' la C/j,al iltdl1,~e Los ¡;l,rJO~OS, se gevLera siglúevLdo Los ¡JrocedimievLtos cov¡,ve/tCiovLaLes de e/tsUlnbLuje. Litego se ordeftavL sus JiLus ~ COLI1.f'H/taS, de tuL mav¡,era Gj11.e los grados de Libertad com.'s¡JOItdielttes a Los giros de Los V\,Itdos Gj/tcdev¡, ev¡, lasJiLas de alJajo ~ Las COLI1,Jl)tltaS (,ú' La aercc/uA.. i/tcgo se igltuLwt Los des¡Jlazwnientos ~LOrizOlttaLes de Los V\,Iutos 7 ~ 8, ~ los veruccues af' Los vltislnos It/taos. COftdl1.c:icltdo a IUta I·natriz [Khox20' Lw~go se realiza luta coltdeVLSación de Los grados de Libertad de Los giros. Así se obtielte la matriz de rigidez con giros cOltde Itsudos.

-0.07480

0.90285

- 6.5158

-6.5158

0.02180

- 0.19494

0.19494

2.1117

-660.00

-2.1117

-660.00

Por lo ta:llo es r'osikJLe caLutlar:

1.0

U lx

1.0

U 2x

1.0

U 3x

1.0

U 4x

1.0

U sx

1.0

U 6x

O 1.0

U ty

O 1.0

U 2y

O 1.0

U 3y

O 1.0

U 4y

O 1.0

U SY

O 1.0

U 6y

La mutriz vif' Inasus es La Vltisma deL Caso A. I::f Las eClVlÚO/teS c;{,e 11wvil'llÍClltO son. ev¡, tonces, Lus su:) lúe ntes 8S0

.,.

EL vector etc ~IA, etcrccl~1A, evl, ~IA, eCI1,lA,cLóvl, IA,ltterLor corresuonde lA, ~lA,s aceíeracícnes etcl terreno en los IA,YJo!jos etc ~IA, estntctltm en ~IA, etirecdém ¡wrizontlA,~ Ij en ~IA, etirecdóf1 verttcat. CCtSoC

LIA, eslntctJuu se ietelA,~izlA, ete t,UtU MtlA,11erlA, igltlA,~ lIjlte en el CIA,SO A pero tos gmetos ete ~LbertlA,et ete íos IA,YJoljos se ig/tlA,~wt YJlA,m ~IA, etirecdóJt x Ij se c~ilniltlA,Jt plA,m llA, etirección Ij ete ~(ít vltLslnlA, jomtlA, lIjlte se eLLmil1uroJ1 tos gLros elt los IA,poljos, Por lo tanto ~IA, excülA,dón correspcmete 11,ftLcuf11ev~te Ü Ox eJ1 Los 11l{,etOS n/ünero 7 Ij 8,

I i

Fl proceetilniento es totaímente 1A,v¡,~.Logo IA,~ ete los casos 1A,/1teriores, LIA, f11lA,triz ete rigietez ete ~IA, estntcttuu [Kh6x16' ~u CltlA,~ ütdltlje tos IA,YJOljos, se geJtem sigtüeJtdo los proceetivnLeJttos COJtvCJ'U:iovtD!.les (;/,e cJtslA,lnbllA,je. eLilniltlA,luio llA,s (;/,ejomtIA,CiOf1.CS (A,XilA,~es ete ~lA,s viglA,s, Lttego se oYíieJtwtmsji~DI.s Ij CO~I{.J'ltVLIA,S, ete tlA,l MtlA,ltem qltC los gmetos etc LitlertlA,et corresYJ0rtetielttes lA, los etesYJ~lA,zlA,lnieJttos verticales Ij lA, tos giros (;/,e los It/{,("ios Wteetev~ en ~IA,S Ji~IA,S ete IA,tJlA,jo Ij lus collunv~lA,s ete llA, etercd~lA" Lttego se igltlA,llA,ltlos etespluzUfniCJ'ttos IwrizmttlA,[es I.le los 11ltetoS 7 lJ 8. Uwgo sr relA,~LzlA, IUtU COltetCJ1SlA,dórt etc los grlA,etos etc [it¡crtlA,et 1.1e tos giros. Así se obtierte lu lnlA,[riz ete rigietez con giros Ij etespllA,Z(A,f'!Ürfttos verucutes cmtetenslA,etos:

1 etmtete U Sx

U 3x

-10965

16~]

22337

-13177

24537

U Ox

[K EO] =

- 128,29] 1804.5 [ -13040

Por lo tanto es YJosible mlclülA,Y:

llA, V!1lA,triz ete V!1IA,SUS es llA, sig lúertte

881

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

lj LeAS eClteAÜOltfS "le IttOvívVLieltto SCWL entonces.

[MEKÜ}+[KE]{U} =-[M][y]{Ü ox } EL vector de La derecha elt La ec/tacLón anteríor correspmtde a Las uceíeracioues deL terreno en Los apoljos de La estntet/ua en LadíreccLóft horizonta].

•

11.6 Acople estático y acople dinámico En los ejemplos que se han presentado en el presente Capítulo hemos visto que algunas veces una de las matrices, de rigidez o de masa, o ambas, son diagonales. Vale la pena hacer algunas observaciones sobre esta situación. Para el efecto supongamos una estructura, como la mostrada en la Figura 11-36. Se trata de una estructura de un piso con un diafragma rígido rectangular sostenido sobre cuatro pórticos que hemos denominado A, B, C y O. Además la losa tiene una zona con una densidad de masa y otra con otra densidad..Ahora se generan las matrices de rigidez y de masa de toda la estructura, con respecto al centro geométrico del diafragma. Iniciemos primero con la matriz de rigidez, para el efecto conocemos las matrices de rigidez de efectos horizontales de cada uno de los pórticos, las cuales se determinan por los procedimientos presentados en este Capítulo.

Densidad masa

f.l.l

Figura t 1-36 - Estructura de un piso

Las siguientes relaciones de rigidez son válidas para cada uno de los pórticos:

{f a}= [ka]{u a} {f b}= [kb]{U b}

(11-8-!)

(1]-85)

,'382 11'1

11 • lfl('llllXUCHJlI UIfHI·IIU{ (1 U(' fU C4-'1, ll"ll(.l U

{fJ= [kc]{u c} {f d }= [kd]{U d}

01-86) (11-87)

Estas relaciones pueden ser expresadas como:

I ¡

¡~l[

ka O

l¡~ l

(l! -88)

{f}=[k]{u}

(11-89)

-xhora se plantea el equilibrio entre las fuerzas en los pórticos y las fuerzas en el centro del diafragma: Suma de fuerzas en el sentido x: ( 11-90)

Suma de fuerzas en el sentido y: 01-91 )

Suma de momentos con respecto a un punto de coordenadas x y y: (11-92)

Que expresada rnatrtcialmente es:

L~ __~1{:a1 l' O 11 ~ 1F:J ly (a- x) (y - b) - xJ:: j [Fxl

F=O

{F} = [T]{f}

01-94)

y debido al principio de contragradiente sabemos que:

( 11<)5)

Reemplazando (11-95) en (11-89) (11-96) y 01-96) en (11-94):

{F} = [T] [k] [T]T {u} = [K] {u}

(11-97)

Utilizando las matrices [k] y [T], obtenemos:

888

Lnnanucu . s: rllclllrctl apticaaa al diseño sísmico

o (11-98)

(a-x)kb-xk d YZk a +(a -x)zk b +(y- b)zk c +xZk d

Ahora generemos la matriz de masa también con respecto a un punto de coordenadas x y y:

Centroide de todas las masas: a s s 1l1ab"2-1l1sr"2+ Ilz sr tot X =

z_1l1 a zb- (llz s-1l1a)sr

/l-¡(ab-sr)+llzsr

- 2[1lIab+(Il¡-/l-z)sr]

Z ll¡ab +(Ilz r-Il¡b)sr Ytot =

2(1l1 ab+ (111 -Ilz)sr]

Centroide de cada masa:

ab Z -sr z 2(ab-sr)

Distancia desde x hasta el centroide del área 1

Distancia desde x hasta el centroide del área 2

Distancia desde y hasta el centroide del área 1

Distancia desde y hasta el centroide del área 2

b r _ 2 2 2aby - 2sry - ab Z+ sr Z 2(ab-sr) y¡ = y- (ab-sr) =

~b--sr-

Inercias rotacionales:

Términos de la matriz de masas:

yz =y-2

11 • 1(/eU{Iy.UCIOIl (/1/I(1/1/1('U (1(' IU e.'ilf{¡('illnl

LID¡

=(ab-sr) 111 + sr 112

Por lo tanto la matriz de masa es la siguiente:

1 o [M] =

O - I,(m¡y¡)

""t

I,(m¡x¡)

,¿,.. - ¡ J

A.I

(11-99)

o¡ +m¡(-2 Xi +Y¡ -2) ..J

Es evidente de la deducción de las anteriores matrices que para un origen arbitrario del sistema de coordenadas (x y y) las dos matrices, [K] y [M], no son diagonales. Ahora veamos la forma de las matrices cuando se escogen diferentes lugares para definir el lugar donde se coloca el origen del sistema de coordenadas que define los grados de libertad generales de la estructura.

(a) Para orientarnos veamos que sucede si los pórticos tienen la misma rigidez y las densidades de masa son iguales en los dos sectores. El origen del sistema de coordenadas que define los grados de libertad generales de la estructura se coloca en x = aJ2 Y Y = h/2. Tenemos para vibración libre el siguiente sistema de ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del sistema, siendo k la rigidez para cargas laterales del pórtico:

Las dos matrices son diagonales, lo cual quiere decir que las tres ecuaciones que definen el sistema son independientes y en realidad tenemos tres sistemas de un grado de libertad totalmente separados, o sea: 1l1abÜx+2kUx=O 1l1abÜy +2kU y = O h(a 2 + b 2)Ü +~(a2 + b 2)U = O 12 z 2 y (b)-\hora dejemos los pórticos iguales, pero tengamos en cuenta las dos densidades de

masa. El origen del sistema de COOI donadas que define los grados de libertad generales de la estructura también se coloca en x = aJ2 Y Y = b/2. Tenemos para vibración libre el :385

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

siguiente sistema de ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del sistema siendo k la rigidez para cargas laterales del pórtico: '

o o

- s; (¡.L2 -¡.Ll)(b-r) Donde:

rn r = ~(ab- sr)(a 2 + b2) + h sr (S2 + r 2)+ sr [¡.L2 ab- (¡.L2 - ¡.Ll)sr][(a _ S)2 + [b _ r)2J 12 12 4 ab- sr S~lo, la matriz de rigidez es diagonal. En este caso se dice que el sist~ma tiene acople diná mICO, dado que los grados de libertad están relacionados a través de la matriz de masas. (~). Ahora hagamos iguales las dos densidades de masa y dejemos todos los pórticos diferentes. El origen del sistema de coordenadas que define los grados de libertad generales de la estructura se coloca en el centroíde de masas x = al2 Y Y = b/2. Tenemos para vibración libre el siguiente sistema de ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del sistema:

I, I j

I 1

o .!!.(ka+kJ ~(kb+kd) 2 2

Solo la matriz de masa es diagonal. En este caso se dice que el sistema tiene acople estático, dado que los grados de libertad están relacionados a través de la matriz de rigidez. Le, conclusión más importante del ejercicio anterior es que el sistema se puede plantear definiendo sus grados de libertad arbitrariamente en cualquier punto, pero el hecho de que los grados de libertad se seleccionen adecuadamente facilita la solución del sistema pues en algunos casos puede llegar a desacoplar totalmente las ecuaciones de tal manera que no haya ni acople dinámico ni acople estático, y en ese caso el sistema de n ecuaciones diferenciales simultáneas se convierte en n ecuaciones diferenciales independientes. Otra manera de enfocar los conceptos que se han presentado en esta Sección es a través de los centros de masa y de rigidez. El centro de masa es, como se ha indicado anteriormente, es el lugar en el cual actúan las fuerzas ínercíaíes dentro de un cuerpo rígido. El centro de rigidez, para una estructura que contiene diafragmas rígidos, puede definirse como el lugar dentro del diafragma en el cual al aplicar cualquier fuerza horizontal, no se presenta rotación del diafragma. Utilizando estos dos conceptos, puede decirse que el acople dinámico se presenta cuando los grados de libertad del diafragma no se colocan en el centro de masa, y análogamente, el acople estático se presenta cuando los grados de libertad del diafragma no se colocan en el centro de rigidez.

dIliD-..__

8S6

Capitul? 12

Solución de la respuesta diruUnica para sisiemns con varios grados de libertad 1 1

l I

12.1 Introducción En el Capítulo lOse plantearon las ecuaciones de equilibrio dinámico de sistemas con varios grados de libertad y en el Capítulo 11 se presentaron diferentes metodologías para poder determinar estas ecuaciones de equilibrio dinámico en casos prácticos. La siguiente etapa es la solución de estas ecuaciones de equilibrio, con el fin de obtener las deformaciones de los sistemas descritos, ante solicitaciones dinámicas. Ese es el tema del presente capítulo. La solución se puede enfocar de dos maneras diferentes: la solución modal, o la .solución por medio de la integración de las ecuaciones de equilibrio. El primer método consiste en convertir el sísrem.; de ecuaciones simultáneas diferenciales, que describe la condición de equilibrio de cada uno de los grados de libertad, en un conjunto de ecuaciones de equilibrio independientes. El segundo procedimiento de integración de las ecuaciones de equilibrio dinámico es análogo al empleado para sistemas de un grado de libertad. Este procedimiento tiene su aplicación principalmente en sistemas con características no lineales, por lo cual su presentación formal se limita a la breve introducción de la Sección 12.7. No sobra hacer la advertencia de que la primera metodología, () sea la solución modal, es aplicable, en general, sólo a sistemas que permanecen en el rango lineal de respuesta.

12.2 Solución modal para el caso no amoniquado Tenemos, para vibración libre, el siguiente sistema de n ecuaciones simultáneas diferenciales, de equilibrio:

[M]{Ü} + [K]{U} ={o}

(12-1)

donde las matrices [M] y [K] son las matrices de masa y de rigidez respectivamente, y además ambas son positivamente definidas, lo cual quiere decir que para la posición de equilibrio, la energía potencial del sistema es cero. Se postula que la solución del sistema anterior de ecuaciones diferenciales simultáneas es del tipo: (12-2)

887

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

lo cual corresponde a una solución separable en un vector de amplitudes, {tj>(i)}, y una función del tiempo, fj(t). Al derivar dos veces contra el tiempo la ecuación (12-2) se obtiene la siguiente ecuación de aceleraciones:

nÍ!

ven

(12-3)

Té'

din Reemplazando las dos últimas ecuaciones en (12-1), obtenemos: (12-4)

o sea que tenemos n ecuaciones del tipo:

(s:" j=l

I ("

O) --

' " m"A-,

.J'I' J

(I)

f. (t).+ '" A-. 4J k .. 1.1'1' J

j=l

) = f., (t)

Lo frl'

(12-5)

que es equivalente, para cualquier ecuación i, a la solución clásica de ecuaciones diferenciales por el método de separación de variables: n

'" k ..A-~j)

(

4J 1.1'1'J fj(t) j=l ---=--"-----n fj(t) ' " m .• A-~¡) 4J 'J'I'.1

(12-6)

ro i

j=l

En esta última ecuación podemos ver que el lado derecho no depende del tiempo, mientras que el izquierdo si. Esto quiere decir que ambos lados son iguales a una constante, que denominamos arbitrariamente como ro~. Por lo tanto la ecuación (12-6) se convierte en dos ecuaciones, una para la parte que depende del tiempo, y otra para la parte que no:

(12 -7) y

~( 4J k ij -ro i m ij <l>j(i) = O

(12-8)

j=l

La solución de la ecuación (12 -7) es del tipo: (12-9)

como se vió para sistemas de un grado de libertad en la ecuación (2-6) de la Sección 2.1; donde A¡ y Bj son constantes que dependen de las condiciones iniciales y representan la amplitud del movimiento oscilatorio, y O)¡ es la frecuencia natural en radianes por segundo. Los valores que puede tomar O)¡ se pueden determinar por medio de la ecuación (12 -8), que expresada en forma matricial es: (12-10)

888

1:::: • Sotucton (le la respuesui ({//IUI1UCU puru .")I:>((<IH(.{.')

lUff

"'(1

'<.J.') .'}f((HJ':>

••

Esta última ecuación corresponde a un sistema de ecuaciones simultáneas homogéneo, el cual por definición sólo tiene solución no trivial si el determinante de la matriz de coeficientes es cero: (12-11)

A se denomina, entonces, el determinante caractensttco del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. Al expandir este determinante encontramos un polinomio de orden 20, con potencias pares únicamente, y con ro2 como variable. Esta ecuación se llama ecuación característica o ecuación de frecuencias. Las o raíces de esta ecuación son las frecuencias naturales del sistema que se denominan valores característicos o valores propios, o "eiqenvalues". Debido a que las matrices [M] y [K] son positivamente definidas, se puede probar que las raíces de la ecuación característica son siempre reales y positivas. Estas raíces se ordenan de menor a mayor así: (12-12) y las raíces cuadradas de estos términos son las llamadas frecuencias naturales d~l sistema, en radianes por segundo. A la frecuencia más pequeña, o>¡, se le denomina

frecuencia fundamental. Ahora debemos determinar los valores de las amplitudes de este movimiento armónico {<!>(i)}, reemplazando los valores de ro~en la ecuación (12-10), para obtener así o sistemas de ecuaciones del tipo: \

[[K]- ro; [M]]{<!>(f) } = {o} r = 1, 2, "', o

(12-13)

Donde para cada valor ro. existe un vector {$(f)} que es una solución no trivial del sistema de ecuaciones simultáneas implícito en (12-13). {$(f)} es un vector característico o modo de vibración o "eiqenvector". Este vector está compuesto por elementos $\f), los cuales son números reales y no tienen un valor determinado en el sentido estricto, pues para cualquier escalar real e,., a,.{<!>(f)} también es una solución del sistema de ecuaciones simultáneas homogéneo de la ecuación (12-13); Lo anterior quiere decir que la relación entre los diferentes términos del vector es fija y determinada. Por lo tanto para cada frecuencia ro. tenemos un vector {$(f)} que tiene una forma definida pero una amplitud arbitraria. Como hay la posibilidad de que dos o más frecuencias sean iguales, en ese caso cualquier combinación lineal de los modos correspondientes, también es un modo. Si a uno de los elementos del vector se le asigna un valor definido cualquiera, como' por ejemplo la unidad, los restantes 0-1 términos quedan determinados de una forma única. Este proceso se denomina normalización y los vectores resultantes se denominan modos normales. Una normalización muy utilizada es la siguiente: (12-14)

Otras veces es conveniente normalizar los modos con respecto a la matriz de masa, [M], así: (12-15)

8&9

. (Í11licu <'si nlC( Ilrul ap/icuda al diseiío síSIIl ico

Esta última normalización, denominada ortonormal, se hace por comodidad y no tiene ninguna importancia especial desde el punto de vista de su sentido físico, aunque trae \'cntajas que se harán evidentes más adelante.

También es costumbre organizar todos los modos en una sola matriz modal [<1>] de dimensiones n por n, en la cual cada columna corresponde a un modo:

(12-16)

LoS modos de \ibración del sistema son propiedades del mismo tal como lo son las •f frecuencias naturales, y dependen de las propiedades de rigidez y de masa del sistema.

¡ 1 I

Cada uno de los modos puede ser excitado independientemente de los otros. Si las (ondicionés iniciales, o las excitaciones del sistema, se disponen de tal manera que se oxcitc exclusivamente el modo {cj>(rl}, el movimiento del conjunto de masas se asemejará totalmente a la forma del modo y el sistema se moverá con una oscilación armónica sincrónoma con una frecuencia de <.0,., en radianes/segundo, la cual es la frecuencia natural asociada con ese modo en particular. Con base en lo anterior, el movimiento general de un sistema de n grados de libertad puede representarse por medio de la superposición de los modos del sistema multiplicados cada uno de ellos por unas constantes que dependen de.las condiciones iniciales del movimiento, o de las excitaciones si se trata de movimiento forzado. Estas constantes indican el grado de participación de cada modo en el movimlenro total. El movimiento total para el caso de vibración libre SI' describe, entonces, por medio de unos nUeH)S grados de libertad T\¡, de tal manera que:

[urn] = []{T\(t)}

(12 -17)

y los términos del vector {T\(t)} tienen la siguiente forma:

11¡ (t) = A¡ senúo¡ t) + B¡ cos(co¡ t)

La ecuación (12-17) se puede transformar en:

(12-18)

{U(t)} = []{T\rt)} (12-19)

= [<t>]{A¡ sen(co¡t)+B¡ cos(co¡t)}

= ~({cj>(il}A¡ sen(co¡t»)+ ~({cj>(il}B¡ COS(co¡t») .=1

.=1

Derivando contra el tiempo la ecuación anterior, obtenemos las velocidades de los grados de libertad: {V(t)} = ~ ({cj>(i l }AiCO¡ cos(co¡t»)- ~ ({cj>(i l }B¡co¡ sen(co;t)) 1=1

Definiendo

unas

(12-20)

.=1

condiciones

iniciales

desplazamiento

{Uo }

velocidad

{V o} obtenemos: -------------------------------------------

12 • Sotucion de fu respuesta dinámica pura sistel1las COII ,'arios grullos ae tuieruut (12-21)

:mes

es posible, entonces, definir dos sistemas de ecuaciones simultáneas que tienen como incógnitas los valores de B¡ y A¡ ú.)¡ con lo cual se obtiene la solución del problema de vibración libre. Más adelante se verá que no hay necesidad de resolver formalmente estas ecuaciones simultáneas.

o de n Se

Ejemplo 12-1

ción os o

ente

npre

del nina

ruco mas

I I

SlipOltgUl'ltOS fll1.e tenernos lü'l edificio CCWVUJ eL vJtostmdo ea La Figlua 1;'::-1. [slw')1,oS ilHeresados E'I'l Lf/l. resYJliestf/l. del edificio en Lf/l. direc(Íóa x (UÜCf/l.vJteltte. III rigidez de mdf/l. lUtO de Los ¡-¡[SOS es iglif/l.L lj se dCltovl1.ivta k. Lf/l. l'ltf/l.Scl de Los dos VJisos iviferiorcs es el dOtlle. rf/l.rf/l. C¡;U{,f/l. IUW. liI'ie Lf/l. ¡ie Lu C/üliertf/l.. Lu CIU/t! se del1.()lniltcJ!, m.

Piso 3

Piso 2

Piso f

ema IOdo

Figura 12-1 • Edificio del ejemplo 12-1

ales Lf/l. VJtf/l.triz ae fnf/l.Sf/l.S de Lf/l. estm.cUuf/l. es Lu siglüeate:

nara

mes cíón ~:ada

itud

ese Ido. por uca.

J..gdl

2m :] ~3 [MJ=l:o-f---+U: O

Lj lf/l. I'Jilf/l.triz de rigidez. obtevLidf/l. por vltedio de Lf/l. eUi,aciólt de Lf/l.grf/l.ltge (Secciólt 10.5) es:

odos

[M],

Por Lo tanto Lf/l.s eCli,f/l.cio¡tes de :novimieltto S()V\,:

~: _Ok]{~:} {~}O [ ~O2~O : ]{~:} +[~kO -k =

'námica estructural aplicada al diseño sísmico A¡wm procedevJ!ws lA eVLCOfttmr LIA soLI1-CÍóft de LIA respw~stIA GteL sístemIA ¡JlArIA GtiJerevL[es cm1,didones iftidlALes. De LIA eCI.tlAdóVL (12-11) tenemos:

ij Ite IAL reeln¡J LculAr LlAs f'l'LlAtrices [K] lj [M]. coJ1,altce lA 1m dete rwLiI1,(/tJ1,te:

/1=

k_0)2 m

-k

2k -ro 22m

-k

2k -0)72m

lj LIA em.lA(Íón clAmcterístim.,otJte¡üdlA ue LIA explAl'LsióJ'L deL detennil'LDI.J'Lte es:

AL dividir LIA eC/-{'lAciól'L antenor por 4m 3 ohtencmos: 6 k 4 9 k2 2 1 k3 ro -3-0) +--0) - - - = 0 m 4 m2 4 m3

Uf1,IA simpLe iVLSpec(Íón. de LIA CUI,IA(ÍÓI'L anteríor nos Í,VLdicIA ijlte 0)2 = klm es IU1,IA rlAíz de LIA eCf-{.lAcióJ1,. lj Cjl1e IArlLiml'Ldo divisióJ'L síntética se obtiene:

LJ resoLviendo LIA eCltlit(Íól1, de seglutdo grlAdo aeL seg/H'Ldo térmÍltO

ElttovLces LlAsJreCltfVL(ÍIAS 1'LlAt/tmles aeL sistemlA, aetJialAl11.CVLte Orael'LlAaIAS, son: 2

k m

0)2 = -

rol = 0.134m

0)3 =

k 1.866m

Ahom IttiLizlAJ"Ldo LIA ecrtlA(ÍÓI1, (12-13) poaemos mLm,LlAr Los I1tOaos de vitJmciól"L.

ReempLculAltdo LlAs 11tlAtrices ue mlAslA lj rigiaez. se tiel1.C: k_0)2 m

-k

2k -ro;2m

-k

2k - ro;2m

392

lfJ • Solucion ae Iu respuesta (I/IUl/IUCU para S/SleIIIUS ("UII 1'(III().'i .(J/lll/U•., (1(' 11l}('lll/1l

kl\>~) (k - ro 2r m)<b.3cr) - kl\>~r) + (2k - ro; 2m)I\>~r)

= O kl\>~r)

+ (2k - ro; 2m )I\>~r)

kl\>~r)

= O

Dc tIA. !ereerrA. ecttlA.cíón cVl.covl.trrA.vnos tIA. re!lA.(Íóvl. entre d seglH'l.cto ténnü1.o ctd f11.Odo Id et térmü1.o ív!fcrior:

L1 rremYltwlA./1.do LIA. !crefrrA. eU1,lA.cíéll1. e/'\. tí'> se~Jlu1.(I{u. o!:'¡ntcl·nos Lu S~01Ürl1.tf rduüól1. Clttrf el !énnivl.o sl1YJrr~or Id et primer ténnuw:

I t 1

AllOrrA. rCCfn¡JtcAZUl1.do Los valores de ro;. 11.11.0 u tIA. vez. ol'!tcI'l.fm.()') Lm sigli.ÍcJ1.!es valores.

ro 21

ro 22

ro 32

1.732

-1.732

-1

1\>2 1\>1 1\>3 1\>1

1)(,J.ndo 1m valor de tIA. luüdud ut tém1.~/w i¡yerior de! modo. entonces Los f1wdos de v~LJrrA.e~ém son:

Modo 1

Modo 2

Modo 3

-1

TT 2

rol = 0.134m

k m

ro 2 = -

ro 3 = 1.866m

Dinámica estructural aplicada al ;!:<;elio sísmico AlLOra vtOmtlA.L~zlA.vLao Los flwaos ae v~lnlA.ciÓft ae taL VI1tít1tera líJ I~,e se CI,tmrLa La w1,acióvL (12-15):

lA.Sí obtenemos Lo s~glüeVLtes moaos ortoaormates: Moao 1 O

{21 J3 Il{:

r} r

Jr}

13 = O.5000/~ O 131 =12m ~{<\>(l)}= 2~ 4//ID} 3m 1 02887/~

O 2m

Moao2

{-llO Il}[:

O 2m O

r} r 4//ID} 577

OJrl}O1 =3m ~{<1>(2)}= k3m O1 =

O 2m

{21-J3l l{: 2m O

O 0.5774/ ~

Moao 3 O

I J

S77

O]{ {-J321 = -o.SOOo//ID 4//ID¡ O -13'} =12m =>{~")}= 2~ 3m

0.2887/ .,¡;;;

o LIA. fnlA.tr~z flWUIA.L

rO.5774 -0.5774 -] 1 U -O.S003J le = "m 'l9.500l) -0.-28-S-7-+------¡--0.2887 0.5774 11

12.3 Ortogonalidad de los modos naturales Cada modo independientemente se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones simultáneas dado en la ecuación (12-13) (12-13) la cual es equivalente, para cualquier modo, por ejemplo el número r, a : (12-22) Ahora si premultiplicamos por otro modo transpuesto, por ejemplo el número s, obtenemos:

894

1;:;;; .,

-,(JlU(-U.J11 (u

I \.~·-:ll~u_

:H.u

,•• -.

------"'----------_....:.:...-_----(12-23)

Ahora, si hubiéramos iniciado el proceso anterior con el modo s y luego hubiéramos premultiplicando por el modo r, tendríamos: (12-24)

Aplicando en la última ecuación el principio de ([A][B][C])T = [C]T[B]T[A]T y sabiendo que [K] =[K]T Y [M] =[Mf debido a que son simétricas, obtenemos:

(12-25)

: ;,

Restando la ecuación (12-25) de la ecuación (12-23), llegamos a: (12-26)

1 1 1

Pero sabemos que en la gran mayoría de los casos las frecuencias son diferentes y por lo tanto: (12-27)

entonces, lo siguiente es válido:

La misma prueba puede iniciarse con la ecuación (12-22) expresada como:

{l~2 [K]{<1>(r)}'= [M]{<1>(r)}

(12-2C))

y llegar a: (12-30)

Entonces, en resumen, el principio de ortogonalidad dice que si los modos se normalizaron utilizando la ecuación (12-1 ::i), o sea son ortonormales, entonces: s=r

(12-3])

s:;t;r

y (12-32)

Con respecto a su sentido físico, este se basa en el hecho de que al existir la propiedad de ortogonalidad a través de las matrices de masa [M] y de rigidez [K], esto indica que

:395

Dinámicu estructural apiicculo al diseño sísmico

los vectores modales componen un conjunto de vectores linealmente independientes. Esto quiere decir que un vector con cualquier configuración siempre puede expresarse como una combinación lineal de los modos; y por ende éstos pueden emplearse para describir cualquier movimiento posible del sistema.

12.4 Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento Si después de normalizar los modos de acuerdo con la ecuación (12-15), construimos la matriz [<1>] de acuerdo con la ecuación (12-16), y utilizamos esta última matriz para una rransform ación de coordenadas así: (12-33) Al derivar esta transformación dos veces contra el tiempo obtenemos: (12-3-1) La ecuación (12-13) que define el problema de valores propios se convierte en: (12-35) donde [ei] es una matriz diagonal. Si premultiplícamos ambos lados de la ecuación anterior por [<1>]T tenemos: (12-36) Pero por definición de la normalización: y de aplicar el principio de ortogonalidad:

[<1> f[M][] = [1]

(12-37)

y de aplicar el principio de ortogonalidad:

(12-38) Ahora si reemplazamos las ecuaciones (12-33) y (12-34) en (12-1):

[M] [<1>]{ii}+ [K][<1>]{T"l} ={O}

(12-39)

Premultiplicando por [<1>]T obtenemos: (12-40)

y entonces:

(12-41)

1:3 • Solllción de la reSpllesta (1l11(Ulllca para sistemas con l'UrlOS ynlWJS (le IIV('/I(!<,

Dado que tanto [1] como rol] son matrices diagonales, se ha logrado desacoplar totalmente el sistema y se ha pasado de un sistema de n ecuaciones diferenciales simultáneas a n ecuaciones diferenciales independientes de un grado de libertad del tipo: ..

r¡¡ + ro¡ r¡¡ = O

(12--1:2)

en cuya solución se aplican todas las metodologias presentadas en el Capítulo 2 para sistemas de un grado de libertad. Una vez se obtiene la respuesta en el tiempo de cada uno de los grajos de libertad generalizados r¡¡, puede verse que la respuesta es la superposición de la contribución de cada uno de los modos:

¡ ~

{u} = [<1>]{ r¡} = i({<l>(¡) }r¡¡(t)) = {<l>(l) }r¡1 (t) + {<l>(2) }r¡2 (t) +

(12--1:3)

;=1

I I

Por lo tanto se ha obtenido una transformación de coordenadas del sistema de coordenadas empleado para plantear el equilibrio, {U}, a un sistema de coordenadas generalizadas {r¡}, donde cada una de ellas obra independientemente como si fuera un grado de libertad único que a su vez afecta todos los grados de libertad originales de una forma tal que todos ellos se mueven armónicamente en la forma descrita por su modo correspondiente.

Ejemplo 12-2 UliLimJtdo Lct mcttriz [Q] desuco/1Lur eL sistemct J,eL ejem/1 Lo 12-1. Lu muLriz de moaos es: [0.5774 - 0.5774

0.5774]

o -0.5000

0.5774 i

0.28&":

Utljct mcttriz {;{e mctsa es. deL Ejev'"t/1Lo 12-1: tgdl

[~O

o 2m

~] ~ 2- U:

[M] = -+--f- O

lj Lct vltatriz de rigidez es. tctntlrJién deL FJem/1Lo 12-1

Las eCltctcioVl-fS ete movifnie¡:Jo SOVL

8,97

inámica estructural aplicada al diseño sísmico

Se reíALiZGut LíAS siglüelttes oYJcrlA-címtes.

[f[M][] =

[] =

0.5774

0.5000

~~~~:][-~--+---/-:-1.k [-::-::-:-:-+-----+---

O -0.5774 [ m 0.5774 -0.5000 0.2887

- 0.5774

0.5774]

O -0.5000

m 0.2887

0.5774

0.2887

1 O0] [O 011 O 1 O

.k m[

0.5774 0.5774 0.5774

-k O ] [0.5774 - 0.57741 0.5774] 0.5000 0.2887][ k - 0.5000 2k O 0.5774 _-_k+---t_-_k _1_ _0.5_0_00-+-_ _O--+-_ _ _ 0.5000 I 0.2887 . O -k 2k .¡;;; 0.2887 0.5774 0.2887

1.:00 1.:66

o vistas COVfW tres ecnucíones cijJereltÜíALes iltrA.erertlítie¡ttes ..

ro k

111 +0.134

. fO.134

1h = O

112 + 1.000-112 = O 113 + 1.866-113 = O m

•

12.5 Vibración libre con condiciones iniciales Al obtener la solución general para víbracíón libre de sistemas de varios grados de libertad en la Sección 12.2, se víó que el movimiento total era pasible describirlo por medio de unos nuevos grados de libertad 11b obtenidos de las ecuaciones dinámicas desacopladas, de tal manera que la transformación de coordenadas necesaria para pasar de los grados de libertad empleados para plantear el equilibrio de la estructura, a los grados de libertad generalizados correspondientes en la estructura desacoplada era:

898

1 t

12 • Solucion de l« respuesta dinámica pura sislemus COlI oarios gnulos (le tinerta

{U(t)} = [<1l]{r¡(t)}

(12-44)

Los términos del vector {r¡(t)} tienen la siguiente forma cuando no hay amortiguamiento, (12-45) por lo cual la ecuación (12 -44) se convierte en:

{U(t)} =[<1l]{r¡(t)} = [<1l]{Asenwt} + [<1l]{B coswt}

Derivando contra el tiempo la ecuación (12-45), obtenemos:

(12-47)

(12-46)

{u (t)} ~ [<1l]{1l( t)} = [e]{roA cos wt} + [~ ]{- wB senwt}

(12-48)

Si tenemos unas condiciones iniciales de desplazamiento {U o}, y velocidad

entonces:

Premultiplicando las ecuaciones anteriores por [<1lf[M], obtenemos:

{U o}= [<1l]{r¡(O)}= [<1l]{B}

(12-49)

{iJ o} = [<1l]{ll(O)} =[<1l]{wA}

(12-50)

[u o},

(12-5 i ) y

(12-52)

entonces la solución de la respuesta en el tiempo de los desplazamientos de un sistema no amortiguado en vibración libre con condiciones iniciales es:

[uru] =[<1l]{r¡(t)} =[<1l][<1lY[M]{u o}{ ~ senwt} + [<1l][<1l l' [M]{U.Hcosrot]

(12-53)

Otra manera de ver la respuesta del sistema, en la cual es evidente que ésta es la superposición de la respuesta de los modos individuales, es la siguiente: (12-54) Donde: 02-55a) y

02-55b)

nániica estructural. aplicada al diseño sísmico

La misma deducción anterior puede realizarse para sistemas amortiguados, simplemente hay que tomar en cuenta el amortiguamiento como se indicó en la Sección

2.2.3.

Ejemplo 12-3 PrMa La estntctlua c;{,eL ejelnpLo 12-1 delJE' encoutrarse La resp/testa de vilJmciólt Libre YJam difereVttes casos de cov¡,diciOftes ilticiaLes de dtjormacióv¡, de Lu estntct/ua.

C/A.SO (lit) - SH,yJov¡,gumos lut desYJLGUlíwtieJtto lutitario en cada luto de Los risos como coltdicióH ilticiaL de desrLfIlZal'ltieltto. süt líjlte fLa¡ja coltdiciólt üticiaL de veLocidad. EL vector de despLfIlZw'ltiefttos ~vüciaLes es:

{B} ={::} = b3

k[_ ~:~~~: OSOO~ ~:~~~:][_:-t---+-~-j{~} = ¡;;;{~:~~~:} 2m

0.5774 - OSOOO 0.2887

0.1548

Por Lo ta:tto La resjiaest« deL sistCf'l'\.u está descrita por La sig¡üeVtte ecuación, {OS7741 r-OS774} r 0.5774} irU3} U 2 = OSOOO (2.1547 cosco¡ t + i O 0.5774 cos co2t + i- 0.5000 0.1547 cosco 3t

lUI

0.2887 J

L 0.5774

L 0.2887

{

{-0.3333} { 0.0893} U } {1.2441} O cosco 2t+ -0.0774 cosrojt U 2 = 1.0774 coscoIt+ U1

0.6221

0.3333

0.0447

Es evideltte líjl1C La resp/testa es La Sluna o sl1perposicióft de Las respH,cstas de cada fitoc;{,O iVtderJeJtdiev¡,tCf'ltef1Le. El'\. La Figltm 12-2 se ml·¡,estra La respH,csta en el tiempo para cada lUtO de Los l'ltOdos ¡j La resYJ/l,csta total. SI~.poltieVtdo líj/te

todas Las respH,cstas se s/tperpoVtgaVt el'\. aLg/~.1t J1tol'ltefttO elt eL tiempo. el

62.2% sería co/ttril"üda por el pril'lter f'ltodo. el 33.1 % r10r el sewu'\.do 1:1 eL 4.5% por eL tercero.

C/A.SO (tI) - sl~Y'oV'.ga'nos IUt despLGUamief'\.to COI'\. LaJorma deL primer f'ltOdo. sil'\. líjlte f¡,a¡ja coltdicióft ilticiaL de veLocidad.

400

I 1

Primer modo

2 1

I Segundo medo

•

-1 -2

0.0 A

-2.0

0.0

1.0

2.0

1.0

2.0

-1.0

~1 p...........vt'V.. . . . 'd/'"''"''''~'OOl t

A 1

1I 1 l' /1 :

1 1

! 1

-20.0

!; j~~--- H;J i I\ HI +=-r----="'=", I

1\' 11/

o+-'~r-t--:7'<L-.--r~-+--,.04-~

-2.0

Tercer modo

~t -t

0+---<:....--

I~I

1'1

-1.0

0.0

.........--.

I I

-1

-2

I I

Ot--.-<;>-----------.

-1 -2

0.0

I -2.0

Respuesta total

-1.0

¡~C\,

-2

0.0

1.0

2.0

~~'

_~~~t I

-2

:\ ¡/I 1\V

0.0

I -2.0

-1.0

0.0

Figura 12-2 - Respuesta para condiciones iniciales de desplazamiento. Caso (a)

401

1.0

2.0

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico EL vector de ciesrLcuGU11,ientos ilticic-tLes es:

Las constanres b¡ se obtieneVL cie:

{B} = [Y[M]{U o }

o b !} [ 0.5774 {B}= b 0~500: ~~~~:][_:+--t--2-:m]{Al} .¡;;{2¿o3} { k -0.5774 0.5774 - 0.5000 0.2887 O O 2

b3~

Por lo tanto Lv. resjlmesta deL sisteH1ü está descrLta /"lar la sLqrtLent.e emacióvL

Sólo el prLI1ter :Twdo covitri¡'u1ue u la respu,esta con el 100% IJ Los otros no aportan ItW;l,cl. Caso (e) - SI1,jlJOltgaww, 1m desjI¡lcuaf1tiento COH laJormu del scgWtliÍo Inocio. sLft VjtH' ~u;¡,ua coftliÍiciólt Lflicial de veLocidad. EL vector de despLcuamiefttos ifliciaLes es:

Lus ronsrunres b, se obtieftelt liÍe:

{B} = [Y[M]{U o } bl } {B} = b 2 := { b3

0.5774 -0.5774 0.5774

2m O

Sólo rL seglHlliÍo f1wdo COlttriblt/jC u la res¡;JIlcstu COVi el 100% 1:1 los otros no Gt¡;Jortr;m HGtciGt.

!J.02

12 • Solucion de [u respllestu (//lUlI1ll('a para SISlel1l(/8 ('011 /'uno::; !JIUUU:'

--------------

((l'

"un ,u ..

Cuso (tt) - S¡qJOItgeu1ws IUt des¡lJlcAZcA.lníenco con la Jonna del tercer f1wdo. SÜt (;jIte hlA.¡ja COftdicióf'L ivüciuL cte veLocidud. El vector v/.e desplazufllticfttos iV\.Íciules es:

U (O)} {U (O) 3

1-2}

{U o}= U 2(O) = -..f3

Lus constantes L¡ se 010 tíene11. ete:

b1}

{B} = b2 {

0.5774 = };;; - 0.5774 0.5774 [

2m O

Por lo tal'Lto lu resYJl1.esta del sislcH'La estti v/.escritIA. y¡or La siglücftte cC/1.UCiÓvL

ru 3 1 { 0.57741

{_2}

0.2887

ju1J

u 2 } = -o.5000f2..f3cosffi3t= -..f3 CCS())3 t

sóLo el tercer vvu:;do cm'Ltri\tJlt¡je lA. la respltesta con eL 100% 0 Los otros VLO t;tYlortlA.l1. ¡'\.(Jeda. ~

12.6 Análisis modal con amortiguamiento Cuando se trataron los sistemas de un grado de libertad se discutieron los diferentes tipos de amortiguamiento y su tratamiento matemático. Desde este punto de vista hay razones poderosas para adoptar la idealización de amortiguamiento viscoso dado que la solución de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico es la más sencilla de tratar. Cuando intentamos extender estos conceptos a sistemas de varios grados de libertad nos encontramos que en aras de obtener una solución matemática expedita, la relación entre el modelo matemático y el fenómeno físico es más imperfecta. Un sistema de varios grados de libertad donde hay amortiguamiento viscoso tendría el siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio el: vibración libre:

[M]{x}+[C]{X}+ [K]{x} = {O}

(12-56)

El procedimiento para obtener las matrices de masa [M] y de rigidez [K] ha sido tratado en los capítulos anteriores. El procedimiento para definir los coeficientes de la matriz de amortiguamiento [C] consiste, desde un punto de vista análogo al empleado para determinar las matrices de masa y rigidez, en imponer una velocidad unitaria a uno de los grados de libertad, mientras que la velocidad de los otros grados de libertad se mantiene como cero. De esta forma se obtienen unas fuerzas internas de amortiguamiento en todos los grados de libertad, las cuales provienen de la velocidad del grado de libertad seleccionado. Esas fuerzas corresponden a las constantes de la columna de la matriz de amortiguamiento del grado de libertad seleccionado.

4!Jr:J, >

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Realizando esta operación sistemáticamente para cada uno de los grados de libertad, se obtiene la matriz de amortiguamiento [e] del sistema estructural:

[c._.

C 1,2

[c]= C~'l

C 2,2

Cn,l

C n,2

... ...

c._.] c 2, n

(12-57)

I <i

cn,n

En general lo que se conoce acerca del amortiguamiento de los materiales estructurales, o de los elementos estructurales construidos con estos materiales, hace que el procedimiento descrito sea difícil de aplicar en los casos prácticos, dado el gran número de incógnitas que existen alrededor del tema. Usualmente se emplean procedimientos por medio de los cuales se realizan aproximaciones basadas en casos de estructuras similares en las cuales se conoce el amortiguamiento debido a mediciones o ensayos experimentales. Estos procedimientos, en general, utilizan el concepto de amortiguamiento modal que se presenta a continuación. Si la matriz [C] es desacoplada por los modos de vibración, tendíamos entonces que: (12-58) donde la matriz [2~00¡] es una matriz diagonal y ~. es el amortiguamiento viscoso asociado con el modo i. Este tipo de amortíguamícnto en el cual la matriz de amortiguamiento [e] es desacoplable por los modos de vibración obtenidos de las matrices de masa [M] y rigidez [K], únicamente; se conoce con el nombre de amortiguamiento clásico. En este momento se estaría planteando una matriz de amortiguamiento cuya única 'virtud es que es posible desacoplarla, pero que tiene poca relación con el fenómeno físico que trata de describir. Dadas las imprecisiones en que se incurriría en esta situación, no tiene mucho sentido tratar de obtener la matriz [e] de la manera descrita y no se comete un error grave, dados los órdenes de magnitud de los errores, si este amortíguamíento se introduce en la ecuación desacoplada del sistema. Por lo tanto el procedimiento comúnmente empleado consiste en definir un amortiguamiento modal; el cual es propio del modo en su ecuación diferencial desacoplada, por lo tanto la ecuación (12-42) se convierte en: 1

(12-59) la cual puede ser resuelta aplicando las metodologías descritas para sistemas amortiguados de un grado de libertad. En cada ecuación desacoplada el coeficiente ele amortiguamiento critico ~ sería el propio del modo i. El problema re. dica en definir jos valores de los coeficientes de amortiguamiento aplicables a cada modo. Al respecto pueden emplearse los valores recomendados por Newmark y Hall, presentados en la Tabla 7-3 de la Sección 7.2.2. Si suponemos, ahora, que la matriz de amortiguamiento tiene una forma tal que sea una combinación lineal de las matrices de masa [M] y de rigidez [K], de la siguiente manera:

[C]=a[M]+l3(K]

(12-60)

donde a y 13 son constantes. Es posible probar que esta matriz es desacoplable por medio de los modos de vibración de la estructura como se indico en la Sección 12.4:

404

i í

! ¡ I

12 • Solllción de la respuesta dillálllicapara sistelllas con ¡'arios yrculos (fe Iiúerteu

donde la matriz

[a + ~ron es una matriz diagonal. Dado que cada uno de los términos

de la diagonal de esta matriz corresponde a 21;00;, entonces el amortiguamiento 1; en cada una de las ecuaciones desacopladas es:

~. =~+ ~roi 1

• ¡

1 J

2ro¡

(12-61)

Este tipo de amortiguamiento se conoce con el nombre de amortiguamiento de Rayleigh, quien fue el primero en plantearlo, y es uno de los casos de amortiguamiento clásico. Es importante notar que en este caso el amortiguamiento es función de la frecuencia del modo, y por lo tanto es diferente para cada modo, lo cual en alguna medida contradice la evidencia experimental que indica que no hay grandes variaciones en el amortiguamiento de los diferentes modos [Chopra, 1995]. En el caso de que se disponga del valor del amortiguamiento de dos modos, por ejemplo r y s, es posible plantear el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas, de las cuales se puede despejar a y B: (12-62)

En el caso de que los dos amortiguamientos tengan el mismo valor (~ = ~ = l;.), la solución del sisrema de ecuaciones simultáneas conduce a: (12-63)

La Figura 12-3 muestra la relación entre el amortiguamiento y la frecuencia y la forma que tiene este amortiguamiento cuando es proporcional a la rigidez únicamente, o a la masa únicamente, o cuando se combinan.

combinado

proporcional a la masa

13=0 +""'-----+-------+----------__ 00

Figura 12-3 - R~lación entre amortiguamiento y frecuencia, para amortiguamiento de Rayleigh

Es conveniente tomar ro,. como el valor de la frecuencia fundamental, y ro. como el valor de la frecuencia correspondiente al último de los modos que contribuye significativamente a la respuesta. De esta manera el primer modo y el modo s tendrán exactamente los valores de amortiguamiento asignado y los modos entre estos dos

405

Dinámica estructural aplicad« al diseño sísmico

tendrán valores similares algo menores, y los modos superiores al modo s, tendrán valores mayores del amortiguamiento, disminuyendo su contribución a la respuesta. Existen otras metodologías para formular la matriz de amortiguamiento [C], dentro del contexto del amortiguamiento clásico. Al respecto pueden consultarse [Clough y Penzien, 1993], [Chopra, 1995], [Hurty y Rubinstein, 1964J, entre otros. No obstante, la necesidad de disponer de una matriz de amortiguamiento clásico cuando se emplean técnicas de solución modales no es muy evidente, pues es posible asignar el amortiguamiento a la ecuación desacoplada, como se indica en la ecuación (12-59), lo que hace pensar que la determinación de la matriz [C] es inoficiosa. No obstante, cuando se desea obtener la respuesta dinámica de la estructura utilizando técnicas ce integración de las ecuaciones de movimiento, la única manera de poder introducir amortiguamíento a la respuesta es a través del empleo de la matriz [C]. En aquellos casos en los cuales el amortiguamiento clásico no es aplicable debido a que existen diferencias apreciables en los valores de los coeftcientes de amortiguamiento de diferentes zonas de la estructura, o del sistema estructural. Este es el caso de la interacción suelo-estructura, donde los coeficientes de amortiguamiento son mucho más altos para el suelo que para la estructura, o cuando se combinan materiales estructurales con coeficientes de amortiguamiento muy diferentes. En estos casos es común determinar las matrices de amortiguamiento clásico para cada subsistema independientemente, y luego combinarlas, [Chopra, 1995J y fClough y Penzien, 1993J. Es posible que el sistema así obtenido no cumpla la condición de que el amortiguamiento del conjunto sea desacoplable por los modos de vibración y, entonces, hay necesidad de recurrir a técnicas de integración de las ecuaciones de mmimiento como las presentadas en la siguiente sección.

12.7 Solución integrando las ecuaciones de movimiento La solución por medio de procedimientos modales no es posible en el caso de amortiguamiento no clásico, o cuando la estructura responde en el rango inelástico. En estos casos se debe recurrir a soluciones por medio de la integración de las ecuaciones de movimiento, o equilibrio dinámico. No obstante, esta alternativa puede emplearse también en los casos en Jos cuales la solución modal es factible. Por esta razón se presenta esta somera introducción. En general debe encontrase la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas:

[M]{Ü} + [C]{Ú} + [K]{U} = {o}

(12 -6-1:)

el cual tiene unas condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad: {u o} Y {iJ o}, y deben encontrarse los valores de {Ü(t)} , {úct)} , y {U(t)} , para cualquier tiempo t. Los procedimientos que se emplean son totalmente análogos a los presentados en el Capítulo 3, con la diferencia de que las operaciones son ahora matriciales. En general todos los procedimientos empleados dividen la escala del tiempo en una serie de intervalos ilt, generalmente de duración constante. Con base en los valores conocidos de las aceleraciones, las velocidades y los desplazamientos al comienzo, se estiman sus valores al final del intervalo ilt. Estos valores estimados se verifican y ajustan hasta que se cumpla el equilibrio, expresado por medio de la ecuación (12-6-1:), con un error aceptable. Con estos nuevos valores en el tiempo t = l·ilt, se repite el proceso para el final del intervalo que lleva a t = 2·M, Y así sucesivamente. Dentro de los métodos empleados están el de la aceleración lineal, el método Beta de Newmark y el método Teta de Wilson, entre otros. .!J.06

Capitulo 18 J

Métodos nJUnéricos en el análisis IROdal

I t

¡ I

13.1 Introducción En los Capítulos lO y 11 se vio como se plantean las ecuaciones de movimienro para diferentes sistemas de varios grados de libertad y en el Capítulo 12 se presentó la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas que describen el movimiento. El método presentado, en el capítulo anterior, en la deducción de la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas cumple la función de que es diáfano desde el punto de vista matemático, pero no necesariamente es el más eficiente desde el punto de vísta numérico o algorítmico. Existen numerosos métodos para determinar los modos y frecuencias de un sistema dinámico, referencias [Akivis y Goldberq, 1972], [Bathe y Wilson, 1976], [Bathe, 1982, 1996\, [Brad/ey, 1975], [Carnahan, Luther, y Wilkes, 1969], [Crandaff, 19561, [Del{, 1982], [Faddeeva, 1959], [Froberg, 1965], [Hammiong, 1962], IHildebrand, 1971], [james, Smith, y Wo/ford, 1985], [jennings y MeKeown, 1992], [jensen y Rowland, 1975], [Kreyszig, 1993], [Mareus y Mine, 1965], [Mostrow y Sampson, 1969], [Nicho/son, 19861, [Shilov, 1977\, y [Strang, 1988] entre otras. A continuación se hace una descripción de los métodos más utilizados y se discuten sus ventajas y desventajas.

13.2 Método directo Corresponde al método presentado en la Sección 12.2. En resumen el procedimiento consiste en resolver el problema de valores propios dado por la ecuación (12-10), la cual se repite aquí por comodidad: (13-1)

Este sistema de ecuaciones simultáneas tiene una solución no trtvial cuando el determinante de los coeficientes del sistema es igual a cero, tal como lo indicó en la ecuación (12-11):

(13-2) Expandiendo este determinante obtenemos la ecuacion caracterisnca del sistema o ecuación de frecuencias. Esta ecuación es UD polinomio de grado 2n, con potencias pares únicamente, donde n es el número de grados de libertad del sistema. Las raíces del polinomio son las frecuencias naturales del sistema, elevadas al cuadrado. Por lo tanto la ecuación característica tiene la forma:

4()7 _ .. _ .. _ . . ._ ....

_-------

LJII

Dinámlca estructural aplicad« al diseño sismico (13-3)

Esta ecuación tiene o raíces. Un método clásico para determinar las raíces es el método de Newton-Rampson (Véanse las referencias [Camahan, Luther y Wilkes, 1969], rCrandalL, 1956j, [Faddeeva, 19591 y [}ennings y McKeown, 1992], entre otras). La determinación del polinomio en si no es una tarea fácil pues implica expandir un determinante de grado o. Existen varios métodos para realizar esta labor como el método de Hessenberg, [Crandall, 1956], o el de los coeficier:tes de Newton, [Fróberg, 1965]. Una vez se determinan las frecuencias, debe resolverse el sistema de p,::uaciones simultáneas, implícito en la ecuación (13-2). Dando un valor a cualquiera de los términos del modo, se reduce a un sistema de 0-1 ecuaciones. En el ejemplo 12-1 se aplicó esta metodología para resolver el problema de valores propios.

13.3 Método del barrido Partiendo nuevamente de la ecuación (13-1), podemos convertirla en: [Ml{<1>(i)}= :~ [Kl{<1>(i)}

(13-4)

Si prernultíplicamos a ambos lados por [Kr1 y llamando [A¡]=[Kr1[M] obtenemos: (13-5)

El procedimiento consiste en suponer un vector [<1>(i)] y reemplazarlo en el lado Izquierdo de la ecuación (13-5), dando como resultado una mejor aprcximación. Realizando esta operación sucesivamente, se llega a un punto en el cual no hay variación en el vector y este es el primer modo, o modo fundamental.

Ejemplo 13-1 UtiLiz¡;utct.o Las vv\'atrices ct.e ll'Lasa Lj rigict.ez ct.eL ejevl'L¡1io 12-1. F0f¡1/1,ct.o k = m = L obte/tE'vl'Los:

1 'O [M]= O 2 [

O O

Alwra:

[A,J=[Hffi] 408

1 -1 O] [

[K] = -1

-1

1 a • l\lé(o(/os numéricos el! e/ atuüisis I/U)(!

SnYJOVI,el1tos IHt vector:

I j,

LJ allLaccr lu oYJeraciéHt.

(A :&>(1) }=

i¡ I

[H* lH} {~) 5{:~:} ~~(l) ~Jll = = 5J

}

AhorrA.:

[A¡1&'"

J=[ffiBJrn =r~} =7F:~:}= ~¡~(I) J

Ij así SliCeswamcnte:

1.9961

7.4 1.7297 =_1_~(l)} 0)2 {

1.9995} { 2 } 7.4555 1.7317 =~_~(1)} 7.46298 1.732 =~~(1)} { 1 001 1 001

por lo tanto: 2

00 1 ""

7.46298

=0.134

~(¡)J=F32) l 1

Los siguientes modos pueden ser calculados de la manera que se explica él continuación. Si los modos se normalizan de tal manera que el elemento inferior del vector es la unidad, entonces siempre es cierto que para un vector raí} que corresponde él la última fila de [A¡], se cumplen las siguientes relaciones: (13-6)

Después de que hemos obtenido el primer modo {lj>(l)} , definiendo una matriz [Az] así: (13-7)

Dado que {lj>(l)} está normalizado con el elemento inferior igual a la unidad, entonces la última fila de [Az] tiene ceros. Ahora, multiplicando [Az] por un vector columnar igual a 40.9

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico {cl>(1)}_{cl>(2)}, donde {cl>(2)} también está normalizado con su elemento inferior igual a la

unidad, se obtiene:

(13-8)

Por lo tanto de la ecuación anterior ID.2 es una frecuencia del sistema [A2] y ({cl>(l)H cl>(2)}) es un modo. El vector ({cl>(l)H cl>(2)}) tiene su elemento inferior igual a cero, por lo tanto la última columna de [A2] es irrelevante y sólo hay necesidad de considerar una submatriz de n-I por n-l que se obtiene de quitar la última fila y la última columna. Este procedimiento puede aplicarse n-I veces para obtener todos lo modos y frecuencias. El vector propio que se obtiene de cada matriz [A¡] lo llamamos {z.] y tiene n-l elementos, entonces aumentando a {z¡} un elemento abajo con valor de cero, se obtiene:

03-9) ahora prernulríplicando por {a¡.¡}, y aplicando la ecuación (13-6): L ti} f. }J. (i-1)}-)<1i-1"'El> L }J, c i )<1i-lJlzi =llli-l lJ>

(i)}=-2---2 1 1 OOi-1

03-10)

OOi

entonces 1

03-11)

Ejemplo 13-2 oLltt'lU'r eL segluttio !j tercer fi'wdo de las vrlcürLces de~ ejem¡:¡Lo 13-1.

Aituru (tl.y¡LlCUI1tos eL vnétoc!.o de~ LJurrLc!.o u esLu vVl,utrlz

410

18· Métodos numéricos en el (lI/(l/isls mocuu

[A 2]{z2J= [ 0.268 0.536

1, ¡

LA 2

]{1.24378} = {1.24378} = 0.86933{1.4307} = ~ L } 0.268 0.536 1 0.86933 1 1.L 2

]{z L [1 2F

]{!}1 = {_l_} = 0.804{1.243788} = ~{z2} 0.804 1 roi

roi

Lj usí S/tCCsLVUI1'1.enLc:

j ¡ i

1.55607} 1 0.91942{ - - = -z {zzl 1

0.985{

0.95

roz

1.70182} =-lLz]; 1 L 1 1 roi

0.99876 {

1.728874}

roi

rJOr Lo tanto:

0>; • 1.000, {z,}= {1.:32}ro 2

e, =

ro 2

1.632766} =-z 1 f. 1 lZzft

~1.67707} 1 J: } 0.9735 - - =-z lZz 1 ro z

ro z

1 {z zJo 1 0.992{1.71539} - - =-z 1 ro z

1 J: 1 =-lZz];

~_~J

1 L } 0.9957{1.722751 --~=-lLz 1 J roi

1.732} 0.999 {- =1- {z z }

roi

trJ 1

-- ---

~, " = ft°l':~ 2~~l3~} -1.732

~"'}. ~,,) }-c,{z,}- {I·H -1.732rn-{-~I} AILCm Y¡¡;WA. eL tercer wwDLo:

[A 3]= [A z ]- {zz}{az}=[_l-+-_0_]_ {1.732}{0.268 10.536} 0.268 0.536 1

O] [0.464 0.928] 0.268 0.536

= [ 0.268 0.536

=[0.:36 - 0:28]

411

1 Dinámica estrllctllral aplicada al dise/lo sísmico

[A3]= [0.536]

Ahora urLieCíU110s eL métoao deL j'l(/trrido u est« ,·nutriz.'Lo C/1,uL nos covLd,H:e u Lu sig/üevLte solación triviaL

!J aL Iuacer Lu oreracióvl.:

[A 3 ]{z 3 }= [0.536]{1}= ~.536}= 0.536{t}= ~2 {z 3 } ro3

rJor Lo tr/utto:

ro~ "'" _1_ =1.866, {z3}"'" {l}= {-Ol} 0.536

• En este método la convergencia al primer modo siempre es buena, no obstante la convergencia a los modos superiores depende de la precisión con que se lleve a cabo la extracción de los modos obtenidos anteriormente. Por esta razón algunas veces después de numerosas iteraciones, se vuelve a obtener un modo que ya había sido determinado. Esto hace que el método no sea muy confiable en muchos casos.

13.4 Método de [acobi El método de Iacobi se debe al matemático alemán Carlos Gustavo jacobi (1804-185 J). Antes de presentar formalmente el método es conveniente mencionar la interpretación geométrica que tiene el problema de valores propios. Consideremos un problema de valores propios del tipo: 412

1:1 • Mét ocios 11l11/1{~rICOS ('/1 ('1 (l/IUtlSIS 1110(/(/1

[A]{x} = A[I]{x} = A{X}

I 1 t

(13-12)

donde [A] es una matriz simétrica de dimensiones n por n y {x} es un vector de dimensiones n por 1. El vector propio {x} puede obtenerse por cualquiera de los métodos presentados anteriormente. Si premultiplicamos ambos lados de la ecuación (13-12) por {X}T obtenemos:

{xV[A]{x} = A{XV {x}

(13-13)

Elvector {x} puede normalizarse de tal manera que:

{X}T{X} = Ir¡2 = r2= 1

03-1-1:)'

lo cual es equivalente a decir que la longitud del vector {x} es la unidad. Es evidente que:

1 I

(13-13)

lo cual corresponde a una forma cuadrática en las coordenadas Xl, X2, ..... , xn • Si hacemos n = 2 la ecuación anterior se conv ierte en: (13-16)

lo cual corresponde él la ecuación de una cónica con su centro en el origen del sistema de ejes. La cónica puede ser una elipse, una parábola o una hipérbola, dependiendo de los valores que tomen los términos aij (un circulo puede considerarse como una elipse con excentricidad cero). Es posible probar que dado que se trata de oscilaciones dentro de la hipótesis de deformaciones pequeñas, la cónica necesariamente es una elipse. En la Figura 13-1 se muestra la elipse, donde x¡ y X2 representan un sistema de ejes cartesianos. El vector normal {n} a la elipse en cualquier punto (XI, X2), al ser escrito en forma matricial es proporcional al vector [A]{x}. Por lo tanto el problema de los vectores propios puede ser interpretado como el problema de encontrar las direcciones para las cuales el vector {r} y el vector {n} son paralelos. Estas direcciones definen un sistema de coordenadas ~l y ~ los cuales corresponden a los ejes principales de la cónica.

--~I-------;o*",,:.....L_-f------~_ Xl

Figura 13-1

Si denominamos a ~l y ~ como las direcciones de los ejes principales y el ángulo e como el ángulo entre estos ejes y los ejes Xl y X2 respectivamente. Para expresar la ecuación de

418

Dinúmica estructural apliccuí«: al diseño sísmico

la elipse en términos de las coordenadas 1;1 y transformación: Xl

= ~l cose - ~2 senü

podemos utilizar la siguiente

(13-17)

x 2 = ~1 sene + ~2 cose

la cual puede ser escrita en forma matricial así:

{x} =[R]{1;}

(13-18)

donde la matriz de rotación es:

[R] =[cose senü

- sene] cose

(13-19)

Esta matriz de rotación es ortogonal, o sea que su transpuesta es la inversa. Ahora reemplazando la ecuación (13-18) en la ecuación (1]-16), obtenemos: (13-20) Si denominamos (13-21) donde los elementos de la matriz [B] son: bu = a 11 cos2 e + 2a 12 sens cos e + a 22 sen 2e bu = b 21 =-( a 11 - a 22) sení) cos e + a 12 ( cos e - sen 2

2e)

(13-22)

b 22 = a 11 sen 2e - 2a 12 senü cos O+ a 22 cos 2 e

Ahora la matriz [B] puede convertirse en una matriz diagonal si b11 = b21 = O Y esto ocurre para un valor de e igual a: 13n2e =

2a 12 a 11 - a 22

(13-23)

Existen dos valores del ángulo e que satisfacen la ecuación anterior y sus valores difieren en 1rf2, correspondiendo a las direcciones 1;1 y ~ respectivamente. Si e satisface la ecuación (13-23), la ecuación (13-20) se reduce a: (13-24) la cual es la ecuación canónica de una elipse, con sus ejes principales coincidiendo con los ejes ~1 y ~. Reemplazando la ecuación (13-18) en la ecuación (13-10) y premultiplicando por [R]T obtenemos: (13-25)

414

I t

I j

18 • Métodos IIlIJ1lCnCOS ell Cl WWIlSIS lllOUW

donde dado que [B] es una matriz diagonal, la ecuación (13-25) corresponde él un sistema de ecuaciones desacoplado. Por lo tanto la ecuación (13-2 S) es en efecto la solución del problema de valores propios, la cual puede escribirse como:

{~(l)}= {~}

{~(2)}=

{i}

{X(l)} = [R H~(l)} ={::::} {X(2)}= [Rl{~(2)}= {-::::} (13-26)

¡ ¡

donde Al Y Az son los valores propios o frecuencias del problema y {x(l)} y {X(2)} son los modos. En el caso de dos dimensiones la matriz de modos [x] es idéntica a la matriz de rotaciones [R]. Por lo tanto en general la solución del problema de valores propios consiste en determinar los ejes principales de una sección cónica, lo cual es consistente con la reducción de la expresión cuadrática presentada en la ecuación 03-20) a su forma canónica:

j .1

(13-27) debe además notarse que los valores propios son inversamente proporcionales a los cuadrados del semieje mayor y menor respectivamente. Para el caso de n = 3 la ecuación (13-15) representa una superficie cuadrática, con su centro en el origen. Esta superficie es un elipsoide, por lo tanto el problema de valores propios consiste en encontrar los ejes principales del elipsoide. Para el efecto se utiliza la transformación lineal: {x}=[U]{~}

(13-28)

donde la matriz de transformación [U] es tal que: (13-29) donde [A] es la matriz diagonal que contiene los valores propios Ah Az Y A3. La ecuación del elipsoide en su forma canónica se convierte en: 03-30)

donde ~h ~ Y ~ representan un sistema de ejes mutuamente ortogonales los cuales coinciden con los ejes principales del elipsoide. Para los casos donde n > 3 la ecuación 03-25) representa también una superficie cuadrática, con su centro en el origen. Se puede suponer que esta superficie tiene n ejes principales, ortogonales entre si mismos. El estudio de las ideas que se presentan aquí llevó a ]acobi a proponer su método de solución del problema de valores propios, el cual en esencia consiste en realizar rotaciones sucesivas hasta lograr diagonalizar la matriz [A] de la ecuación (13-12). En este caso el problema de valores propios se formula de la siguiente manera: (13-31)

415

Dinámica estructural aplicada u( diseño sísmico

Donde la matriz [A] es una matriz simétrica y [ol] es una matriz diagonal. Si premultiplicamos por []T la ecuación anterior obtenemos: (13-32)

dado que hemos normalizado los modos de tal manera que: (13-33)

El método de jacobi consiste en determinar la matriz [<1>] que diagonaliza la matriz [A]o Para lograr esto se debe seleccionar una secuencia de matrices [Ti] que operan de la siguiente manera:

[A] =[A o] [T1r[Ao][Td =[Ad [T2f[A t][T2 ] =[A 2 ]

(13-3-1)

Por lo tanto la secuencia: (13-:i S) y si las matrices de transformación se seleccionan adecuadamente:

(13-36) y

(13-37)

La matriz [Ti] debe tener la siguiente forma: j

rl O O

O O

O 1 O

{)

O O 1

O O

O O O

e O oo. O O 1 O

O O O

O O

-8

O O O O

---

O O O

O O

O O O O O O

O O

- - -Q

O O

000

1 O -- -O e

O O

1 O

41(j

(13-38)

Esta transformación convierte en ceros los dos términos aij Y aji cuando se utilizan los siguientes valores: (13-39)

t = -------,========

I J

!¡

1 ;

e=--=== ~1+t2

(13--W)

s= te

(13--ll)

En realidad e = eos e y s = sen e. Entonces [T¡J puede considerarse como una rotación con un ángulo e de los ejes del sistema de coordenadas en el plano i-j, Esta rotación es ortogonal, pues la transpuesta de [Ti] es su inversa. La transformación se realiza con todos los elementos de [A] que no sean cero ni pertenezcan a la diagonal. Existen dos procedimientos para realizar estas operaciones, el primero consiste en escoger el elemento más grande de los términos que no pertenecen a la diagonal e ¡¡lOS convirtiendo en cero uno a uno, el otro procedimiento consiste en barrer sistemáticamente todas las filas del triángulo superior de la matriz.· Debe tenerse en cuenta que al realizar una transformación que convierte en cero los dos términos simétricos de fuera de la diagonal, se afectan todos los términos de la matriz que pertenezcan a las filas i y j, por lo tanto no es suficiente el transformar todos los términos una sola vez, pues cada rotación afecta términos que ya se habian convertido en ceros. No obstante cada vez estos términos son menores y por ]0 tanto hay necesidad de transformar varias veces el mismo término hasta hacerlo muy pequeño. El método tiene la limitación de que sólo se puede emplear en matrices simétricas, por lo tanto en nuestro caso en que debemos resolver el siguiente problema de valores propios:

¡¡

(l3--l2)

1 si premultiplicamos por [Mj"l obtenernos:

(l3--l3 ) pero la matriz [M]"l[K] no es simétrica, por esta razón debe utilizarse el procedimiento que se presenta a continuación. Primero debemos resolver el siguiente problema de valores propios:

[M] [y] = [11 ][y]

(l3--l-l)

el cual diagonaliza la matriz [M]. En este caso podemos aplicar el método de jacobi dado que [M] es simétrica. La matriz [11] es diagonal y corresponde a los valores propios del sistema de la ecuación (13--l-l). Los vectores propios están normalizados de tal manera que: (l3--l5) Ahora si definimos la raíz cuadrada de una matriz como:

417

Dir Dinámica estructural aplicada al diseiio sísmico

Dado que se conozcan los vectores y valores propios de una matriz, la siguiente operación es válida:

y dado que [Il] es diagonal, entonces:

V~i

1[01] =

s: j

03-48)

Además, las siguientes operaciones son igualmente válidas: ( 13-49)

[M]2 = [Y][1l 2][y]T

(13-50)

[Mr = [y][~] [yY

(13-51)

Ahora reemplazando [M] por [M]1/2[M]1I2 en la ecuación (13-42), obtenemos: (13-52) y además podemos modificarla a:

(13-53) premultiplicando por [M]"1I2 y utilizando la siguiente definición: (13-54)

la ecuación (13-53) se convierte en: (13-55) y la matriz [M]"II2[K][Mr 1l2 si es simétrica y por lo tanto podemos aplicar el método de jacobi. Después de resolver el sistema los modos se obtienen de: (13-56)

418

¡:j • A}(>' orlos 11l11I1érico.-; ell el (I/W/lSIS 11101/(1/

Ejemplo 13-3

DebeVL c¡;üuücme Los VJwlíÍos 0 JrpcltevLdas cieL stsLeJna cieL ejevvlvLo 12-1 11JiLizavLcio el VJtél:Ocio cie JacoLJi. FUaJtcio k = ID = 1. ot¡tenemos:

1 o O] [M] = O 2 O .

[O O 2

AlLOm:

O] 1 -11 -0.5

[Mr [K] = -0.5

[ O - 0.5

~)or Lo tUJttCl VLO se YJltecie resolver ciircctaVJtente rlor el Vltétocio cie J().coV¡i lj cidwl11.os reclurir u Lc.-\. tnA./t'Jofl11.¡4.CiÓI1. preseJ1.tuciu eJ1. LueC¡tución. (13-55)

PrÍfltero resolvernos eL prot¡Le¡nu cie valores prorJios de Lu Jnutriz ci(' vnusu sol«. tuL COI!J1.ü Lo pLUJ1.teu Lu emución (13-44). Es evidente opte ciudo 0l/te La mutriz [M] es ciLugOl1.aL ('nUmees'

[1 OO]

[Il]= O 2 O

1 !

O O 2 lj

[VHl~[: O ;] O 1

ElttOJUcs:

[Mr''' =

[Y][~ -U'][vJ' =[:....,

o.LJ

0.7071 -t--O

0.~_1

-0.7071

[A.]= [Mr''' [K][Mr'" =[__ 0_71-l-_1_-+-_ -0.5

tu C/1.(,.¡J ,)miemos ver(..jIte si es luta Jitutriz sivnétricu. j

419

-----------------

Dinámica estructural aplicada al disc.:» sísmico

Ahora delJevvws resolver eL YJrobLef1'ta de valores propios pL0-nteado por medio de La eutaCiÓVL (13-55). Esto Lo hacevl-tos arLic¡;u1,do s/l,cesivavvLevLte el vVLétodo de JacolJi a Los tém1Útos deJltera de La diagonaL Para eL ténnilw de La rrimemJiLa, segltl-tciaCOL,tntf1,a de [Ao] tel1-evl-t(ls: t =

2( -0.7071) =1 1-1- ~(1_1)2 +4(-(}.7071)2

= 0.7071

~1+ (1)2

s = 1(0.7071) =- 0.7071 I.j YJor Lo tanto La matriz [T¡J es:

[0.7071 - 0.7071 01

° -0.35355] - 0.35355

[ 0.2929

1.7071

-0.35355 I

Ahora ~J'.ira el ténnifw de La rrifneraJiLa. tercera coLIH1tf1,a de [A¡J olJW1,ev¡ws t =

2(-0.35355) = 0.414214 0.29290 -1- ~ (0.29290 _1)2 + 4(-0.35355)2 1

~1 + (0.414214)2

= 0.9238795

s = C.414214(O.9238195) =-: 0.382683M I.j por Lo tanto La rnatriz [T 2] es:

0.9238795

[T,] =

[

O - 0.38268384]

0.38268384 O

O 0.9238795

420

t =

2(-0.32665) = 2.1758091 1.7071-1.14646 - J(1.7071-1.14646)2 + 4(-0.32665)2 1

= 0.417605

JI + (2.1758091)2

s = 0.417605(2.1758091) = 0.9086287

O] 1 0.417605 O -0.9086287 [O 0.9086287 0.417605

[T3 ]= O

[0~4646

- 0.056498 1.8571 J

con Lo cl1,uL hevvLos reiA,LLzíuio el ~JrLf11Rr ciclo de rotauoaes. Como ¡J/tede verse LiA, VltiA,trLz tiene ténnÜ10s J/t.em ue Lu dLlitgOVLUl 111,cVL()reS íjl1,e Los ÜÜCLiA,LeS, rero se ILlitCe Il,cceSlitrLO reulizlitr rotaciones litdLcLO/tlitles ILlitStlit obtener 111ü11eyos Jltem de llit dLiA,gOf1Ul SI"ÍLdcl1teVVLeftte peíjlt.efíos. Des/fll1,és de reUlLZlitr vanos ciclos dr YOtítCLOf1RS udLcLol1uLes, lu mutrLz [A] se hu cCHwer¡Ldo en:

[0,13398

1:1 el VJYOíÜt.ctO iA,CIHnlÜudo de LiA,S ntutrLces [T¡] es:

0.57735 -0.57735

---

0.57735 ]

0.81650

0.40825

[z] =[T¡][T2}··[T,,] = _0.7_0_71_1t - -O- - --0.70711 t--[

0.40825

lJ Los f1Wdos se o¡'JÜeltel1 de' r 0 .57735

- 057735 057735] O -0.5 [<1>] = [Mr 112 [z] = l-0.5-----1---+--0.28868

0.57735

0.28868

Lo CliiA,L corres¡Jonde iA, Los modos deL sistem«, 110nniA,lLZiA,dos COl1W []T[M][ <1>]=[1].

•

En el disquete que se suministra se ha incluido el programa JACOBI que realiza el cálculo de los modos y frecuencias utilizando el método de ]acobi para sistemas con matriz de masa diagonal. El mismo programa se puede utilizar para matrices de masa no diagonales, usándolo primero para la matriz de masas y luego para la matriz dinámica calculada de acuerdo con la ecuación (13-SS).

421

'in Dillámica estrrlctural apliccula al díseiio sísmico

13.5 Método de iteración en un subespacio Este procedimiento, también conocido como método de Wilson [Bathe y Wilson, 1976], pues fue planteado por el Profesor E. L. \Vilson, permite calcular los primeros modos de un sistema, sin necesidad de calcular la totalidad de ellos. Su aplicación por lo tanto es de gran utilidad cuando debemos encontrar los modos de un sistema muy grande en el cual la influencia de los modos altos en la respuesta no es muy grande. En esencia el método consiste en lo siguiente. Para un problema de valores propios del tipo: (13-57)

de dimensiones n por n y del cual tan solo queremos obtener los p primeros modos, donde p-cn, Para obtener una convergencia más rápida, tomamos q modos, donde q<p. Primero suponemos una matriz [Vo] que tiene dimensiones n por q. Ahora buscamos una matriz [V il donde:

13 (13-58)

Luego calculamos: (13-59) y

(13-60) donde t.mto [K1] y [~tl tienen dimensiones q por q. Ahora resolvemos el problema de valores propios:

(13-61) para lo cual utilizamos el método de jacobi y así obtenemos la matriz de vectores propios [p¡) de dimensiones tI por q. Ahora calculamos la matriz rV 2] por medio de:

(13-62) Este proceso se repite hasta que no haya variación en la matriz de transformación [Vk ] entre una iteración y la siguiente. En este momento

(13-S3) La convergencia del método es sensitiva a la selección de la primera matriz de transformación [Vo]. En la referencia [Bathe, 19821 se presenta el método detalladamente e inclusive se encuentra un programa de computador que realiza las operaciones necesarias.

13.6 Cociente de Rayleiqh Supongamos que tenemos un problema de "al ores propios del tipo:

03-64)

-~-

...\1 premultiplicar por {$(i)}T obtenemos:

(13-65) y

(13-66)

Esta última ecuacion es lo que conoce como el cociente de Rayl-iigh. Ahora si suponemos un vector {q} que sea una combinación lineal de todos los modos:

{q}= fa¡{<l>(i)}

(13-67)

i=l

,..\1 reemplazar este último vector en la ecuación (13-66) obtenemos:

(13-68)

Ahora al hacer todos los a¡ iguales a cero excepto uno, obtenemos: ro~a~

R=_J_.1 =ro~

(13-69)

Si la ecuación (13-68) la factorizamos de la siguiente manera:

f¡ t

dado que los valores de ro¡ se ordenan de menor a mayor, tenemos:

y fJ. siempre será positiva. Por lo tanto siempre el cociente Rayleígh calculado para

(13-71)

cualquier vector: (13-72) Si realizamos la misma factorización de la ecuación (13-70), pero para ro~, podemos probar que: (13-73) y además que: (13-7-1:)

428

Jill(ílllica est ruct ura! aplicada a! diseño sísmico

Esto quiere decir que no importa que vector se introduce como modo en el cociente de Rayleigh, la frecuencia que se obtiene está dentro del rango de frecuencias posibles del sistema. En la medida que el vector que se introduzca al cociente de Rayleigh se acerque a un vector modal real, la frecuencia será cercana al valor de la frecuencia asociada con el modo. Este procedimiento es utilizado por los códigos de diseño sismo resistente para obtener el período fundamental de vibración de una estructura. Está basado en que se dispone de una buena aproximación a las fuerzas horizontales inerciales que tendría la estructura al vibrar en el modo de vibración fundamental, o primer modo. En general el método de la fuerza horizontal equivalente, prescrito por la mayoría de los códigos de diseño sismo resistente, permite determinar el vector de fuerzas inerciales correspondientes al primer modo {f}, cuyos términos f¡, corresponden a cada uno de los pisos i en los cuales se genera la fuerza inercial correspondiente al modo fundamental en la dirección bajo estudio. Estas fuerzas se determinan en función de la masa traslacíonal que tiene 'cada piso de la edificación, mi' En general se utiliza el peso W¡ (=m¡xg) correspondiente al piso. Realizando un análisis de la estructura para las fuerzas {f}, es posible determinar las deflexiones horizontales {o} de la edificación en la dirección bajo estudio correspondientes a cada uno de los pisos, como la deflexión horizontal 8¡ del piso i. Por lo tanto, se está realizando la siguiente aproximación: 03-75) Además es e\ idente que: (13-76) y

[M]= ![W]

(13-77)

donde [W] es una matriz diagonal, donde sus términos corresponden al peso W¡ de cada piso, y g es la aceleración de la gravedad. Introduciendo lo indicado en las ecuaciones (13-75) a (13-77) en la ecuación (i3-66), aplicada al primer modo o modo fundamental, obtenemos:

(13-78)

y convírtíendo 00t en 21rll\, se obtiene la ecuacion para el período fundamental que presentan los códigos de diseño sismo resistente:

f(wiOn

TI = 21t l ....i_=I'-_ _

(13-79)

~ g~(f¡ 0i)

1 1 1

4-24

Capitulo 14 Análisis Inodal cronológico

14.1 Introducción En el Capítulo 1¿ se determinó la solución de la respuesta dinámica por medio de) desacoplaje de las ecuaciones de mü"imiento.:\llí se demostró que el procedimiento para obtener la respuesta en el caso de vibración libre con condiciones iniciales consistía en la superposición de la respuesta de los diferentes modos de vibración. El caso de vibración libre corresponde a la solución homogénea del sistema de ecuaciones de equilibrio dinámico. Ahora nos interesa la solución particular del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas, o sea el caso de una estructura de varios grados de libertad que está sometida a unas fuerzas que varían en el tiempo. Estamos hablando de una estructura cuyas ecuaciones de equilibrio pueden ser descritas matrícíalmente de la siguiente manera: 1

[M]{x} + [K]{ x} = {P(t)}

(lA-l)

Dado que podemos obtener los modos y frecuencias de la estructura para el caso de vibración libre, podemos aplicar la siguiente transformación de coordenadas:

{x} = []{'rl}

(l ~-2)

y deri- 'ando dos veces contra el tiempo:

{x} = [<1>]{ft}

(1~-3)

Reemplazando (l~-2) Y (1~-3) en (1~-l), y premultiplicando por []T obtenemos:

Donde [1] Y [002] son matrices diagonales. Lo mostrado en la ecuación (l~-~) Implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: (l~-5)

y si se aplica amortiguamiento modal: ¡

(H-G)

425

----------------------

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Ahora estudiaremos la respuesta ante diferentes tipos de excitación, de una manera análoga, y muy ligada con lo que se presentó para sistemas de un grado de libertad en el Capítulo 2.

14.2 Vibración forzada armónica En este caso tenemos una excitación representada por medio de unas fuerzas que varían en el tiempo con una periodicidad constante. Se trata de una extensión a sistemas de varios grados de libertad, de lo presentado para sistemas de un grado de libertad en la Sección 2.3. A modo de ilustración, supongamos una estructura industrial que tiene equipos mecánicos que trabajan a diferentes frecuencias en sus diferentes pisos, como la mostrada en la Figura 14-1.

--'X n V

./l

--'X¡

--'X3

"-'X2

F 1senQ1t

fuerzas ermomces

---+

---.... XI

grados de libertad

Figura 14-1- Estructura sometida a varias fuerzas armónicas

El vector de fuerzas en el tiempo tiene la forma: FUsenOnt}

{P(t)} = {F¡ senO;t}=

: F sen0

(14-7)

2t { -2 - - F] senO]t

donde F¡ corresponde a la amplitud de la fuerza armónica que se impone en el grado de libertad i, y Oi es h frecuencia, en radianes por segundo de esta fuerza armónica. Al desacoplar el sistema, como se indica en la ecuación (14-4); se llega a n ecuaciones desacopladas de acuerdo con lo planteado en la ecuación (14-6): (14-8)

La solución para el tipo de ecuación de un grado de libertad, como (14-9) según se indicó en la Sección 2.3, la solución es del tipo: x(t) = 'JI sen(nt - <p)

(14-10)

donde: 426

F / ro 2

o 'P = ----;============

(1-1-- 11)

[1-(n/ro)2f +[2~(n/ro)Y

(1-1--12) La única diferencia de la ecuación (1-1--8) con respecto a la (1-1--9), es que en la primera el lado derecho es la suma de las diferentes fuerzas armónicas aplicadas a la estructura, afectada, término a término, por los valores apropiados de los modos de vibración. Como el sistema es elástico, el principio de superposición es válido, y la respuesta puede considerarse como la superposición de las diferentes respuestas. Entonces, la respuesta en el tiempo para el grado de libertad desacoplado 11;, es:

l1¡(t)= t(<\l~¡)'Pjsen(njt-<pj))

(14-13)

J=l

donde:

'P. = J

F. / ro~

(14-14)

~[l- (n j/ro¡ y +[2~¡ (nj/ro¡)f

y (14-15)

en estas ecuaciones i corresponde al índice de la ecuación desacoplada, y J al índice del grado de libertad donde se aplica la fuerza armónica. Una vez se determina 11¡, los valores de los desplazamientos de los grados de libertad utilizados para plantear el equilibrio son: (14-16)

Debe tenerse en cuenta el hecho de que la respuesta obtenida según el procedimiento anterior corresponde a la solución particular del sistema de ecuaciones diferenciales, por lo tanto la parte correspondiente a las condiciones iniciales tanto de desplazamiento como de velocidad, deben evaluarse independientemente y superponerse a la respuesta obtenida según lo indicado anteriormente. Puede decirse que la solución particular dada es aplicable para lo que se denomina estado invariante (steady sta;e en inglés), en el cual no existe influencia de la solución homogénea correspondiente a las condiciones iniciales. Dado lo anterior, realmente no tiene mucha importancia la definición del tiempo de inicio de la excitación en los diferentes grados de libertad, pues dado un tiempo de estudio suficientemente amplio, llegará un momento en el cual la respuesta se combina de la manera más desfavorable, por lo tanto es lícito sumar el máximo de las diferentes funciones de respuesta, para definir de esta manera un máximo posible de la respuesta totaL Lo anterior conduce a que la máxima respuesta para cada uno de los grados de libertad generalizados es la suma de los valores absolutos de las amplitudes: n

(l1¡)max = LI<\l~i)'Pjl

0-1--17)

J=l

427

Dinámica estructllral aplicada al diseño sísmico

Ejemplo 14-1 EVL HYL teatro se rJiCVLSCIL colocar Itf1 gCfterCIL(;j,or eléctrico qlte uene IUtlll JIItasCIL ete 2000 kg =2 Mg. OeVJe Cf1contrCILrse La Ü'!:ftfi.eVLciCIL líjfi.e proetl~.ceft LClLs vitlmcímtes ütetH.cietCILS rJOr el generaetor en LCIL 11tUlíjliÍltU etc prouecciÓft ete cuie. CltGHtetO ambos estéa o¡,¡ercuteto. Lu fnciGjltÜta ete prouecciólt tamtJiéft nene ¡U1a vnasa ete 2000 kg = 2 Mg. L¡;¡, rJordón ete L¡;¡, estni.ctltm etOf1ete estcil1 cotocaaos cunbos eWiÍpos tiene L¡;¡,Jomt¡;¡, etescrit¡;¡, en L¡;¡, Figll.ru 14-2. Toetos Los etemenros etet pórtico ete soporte tíeuen ¡;¡,ndw b = 0.4 m U alto h = 0.8 m. ete fU\, m¡;¡,teri¡;¡,L con fU\, vnóetfüo ete dCILSticiet¡;¡,et E = 25 GPa U Sl~, etisposiciól1 es LCIL mostr¡;¡,eta Cf1 L¡;¡, jigluu. 40m

] i

t proyector

generador

3m Figura 14-2 - Ejempfo 14-1

EL gelterrA.ctor est¡;¡, mont¡;¡,do sobre Itf1¡;¡' t¡¡;¡,se líjlte sólo tml1Smite víhracíones verticales U estas Íftd,tCeft IU\,ujli.erzrA. sobre L¡;¡, estrltCtltm C¡tUCIL ¡;¡,mpLitltet es 3 kN con lut¡;¡,jrew.eJtda ete Q = 25 Hz I'Jos i:'Lte(cs¡;¡, Lo" ~1'!JL!1.i~ftC~Vt el L¡;¡, imo,gen ~¡rolje(.t¡;¡,et¡;¡, en L¡;¡, pcu1t¡;¡,LLCIL dd teatro. L¡;¡, cli.¡;¡,L se eftCltelttm rA. 40 f11etros de dist¡;¡'11Ci¡;¡, eteL elíjliÍpo ue rJroljeCCióH. EL ¡;¡,lnortiWt¡;¡,ll.. . ienro de! sistem¡;¡, en todos Los moctos es S = 1% del crítico. Pltede despred¡;¡,rse L¡;¡, colttritJl~.cié)ft de L¡;¡, 11t¡;¡,S¡;¡' de LrA. estm.ctlu¡;¡,.

® ®

3m Figura 14-3 - Ejemplo 14-1

Los VHutoS U elementos de L¡;¡, estmetltm se ftH,f11.emlt Wf1tO mftestm LCIL ngf~,m 14-3. EL di¡;¡,jnHjm¡;¡, es iv\flnitum,clttc rígido el1 Slt vJr()~1io r¡L¡;¡'ltO. por Lo t¡;¡'ltto Los gr¡;¡,dos "te Lik¡ert¡;¡,et ILOrizcJlLLuLes ete Los IlItUOS 2. :3 U4 se igli.uLun ¡;¡,L grudo de Libclt¡;¡,d Ilorizmtt¡;¡,L deL ItltUO 1. Los

428

14 • ,'111(/{1.'>/8 11/0(/(/1 (TOI/()/O,(j/CO

gmuos ue Líbert(/tu vertícales uc Los VLltUOS 1 Ij 4,. IA.sí como toet(/ts lcA.s rotudoues etc los 1111.ÚOS se covLÚeVLSW1..

L=3m E = 25GPa = 25000000kPa A = 0.4m· 0.8m = 0.32m 2 1 = 0.4· 0.8 3/12 = 0.017067m 4 2666.7

O: -2666.7

189.63 O 284.45 : O -189.63 284.45 284.45 284.45 O 568.89: O -284.45 ------- -------- -------,-------- ------- ------01 2666.7 -2666.7 O O O O -189.63 -284.45 : O 189.63 -284.45 01

284.45

284.45 :

O - 284.45

568.89

»., v., v., U bx U by

U bz

ELCf11,CI1.lo etc COlIU11.11.a: L=5m E=-' 25GPa = 25000000kPa A = 0.4m· 0.8m = 0.32m 2 1 = 0.4· 0.8 3/12 = 0.017067m 4 tgdl

102.40

v.,

O -1600.0 O O: 170.67 O 341.33 : - 102.40 O ------- -------- -------,-------- ------- ------O -102.40 -40.960 O -102.40 I 40.960

U ay

40.960

O 102.40

1600.0

O - !600.0

102.40

102.40 : - 40.960

Uaz U bx

1600.3

U by

170.67 : -102.40

341.33

U bz

La 111.(/ttriz etc rigiuez etc toet(/t la cstmctlua. s/1.¡JriI1ÜCI1.eto los témüvUls ete Los apoljos, Ij elilnil1.al1.eto las cteJonn(/t(ÍOItCs axiales etc las vigas Ij orgal1.izuet(/t ~Jara COf1.ÚeI1.Sur. es: I gdl

o 102.4 o o 102.4 o o o: o 284.45 o o o 379.26 - 189.63 : - 189.63 - 284.45 o o - 284.45 -189.63 284.45 -189.63 o o 379.26 : ------- -------- -------,-------- ------- ------- -------- ------- -------i) o 1 1789.6 284.45 284.45 o o o -189.63 o: 284.45 910.22 284.45 102.4 - 284.45 o o o o o o - 284.45 : 284.45 284.45 1137.8 284.45 o o o 284.45 1137.8 - 284.45 284.45 o 284.45 o: o o o - 284.45 1789.6 - 284.45 o -189.63 : o 102.4 o o o 284.45 - 284.45 910.22 o 284.45 : 81.92

Des~,,{.és ete ccmdel1.slA.r se ohuene l(.l, siglüevLtc :nlA.triz etc rigiuez. en /{'Jüctuetes ue /<N/vH.

429

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico J.,gdl

56.452 38.421

[K] = 103 X

[

38.421 - 38.4211 U Ix 205.08 -155.92 U2y

- 38.421 -155.92

205.08

U 3y

La ¡nasa tanto eteL gevl,eraetor como eteL WOl:jector es ete 2 Mg. /'l0r Lo taVLto La I1tatr(z ete masa ele ne La s (g lúe nte Jorma'

lj Las eCI1,acloVl,es.de eqlúLilrJr(o son Lus sig¡üentes,

~1{~ [ffib

::} + 10 U 3y

x[_5_3:_::~_~-+--_-+_=_::_~~_~~1{~ {3sen~nt)} 38.421 205.08

::} = 205.08. U 3y

38.421 -155.92

Para este s(stclna, Los modos íi,e vilrJrvtción SOVL J., gdl

0.496780

[] = - 0.056611 [

0.056611

0.000000 0.0566111 U l x 0.500000 0.496780 U 2y 0.500060 - 0.496780 U 3y

Moeto 1

Moeto 2

Moeto 3

TI = 0.058 s

TI = 0,04·0 s

T 3 = 0.015 s

Figura 14-4 - Ejemplo 14-1- Modos y períodos de vibración de la estrt'ctura COVI, Las s(glúelttesJrec/te¡tclas I:j /'leríoctos:

Modo

1 2 3

ro2 (radls)2 11924 24578 182690

ro (radls) 109.20 156.78 427.43

- O.16983senQt 1.50000senQt { 1.49034senQt

Ahora mLw,Lumos. [ {P(t)} =

4:30

(Hertz) 17.38 24.95 68.03

(s) 0.0575 0.0401 0.0147

J...-:1:" -

--i..JJ ({-C.·.·I..JI

' •. "

"",.

"''''0

Por lo tvUtto, YJodevnos revIJu:ir et sistemu de ew,ucimtcs u Lus sig/üel-ttes eCltucimtes dcsucoriudus uL ir'Ltrodltcir el ufnortig/tUf1ücl-tto InoduL T11 + 21;001T\¡ + OOiTll = -o.16983sen(Qt) T12 + 2/;00 2112 + OOiTl2 =1.50000sen(Qt) T13 + 2/;00 3113 + OOiTl3 = 1.49034sen(Qt) Alwru cr;ÜC¡ÜUf11DS:

'P = _ _.

-==p=J=oo=f======

F(Q/ro¡)2f

+[2~(Q/OOJr

Elt ftlH'Stro cuso LuJreCltenciu de Lu excituciém es, Q = 25 Hertz x 21t = 157.08 rud / s

YJor lo tanto. ecuación

Pi (kN)

1 2 3

-0.1"983 1.50000 1.49034

Q/ro.

1.43846 1.00191 0.36750

(m)

-1..3316x10·5 2.9915xl0·3 9.4312x10-6

tan e¡> -0.02691 -5.23099 0.00850

Tll = -1.3316 x 10-5 sen(Qt - e¡>1) Tl2 = 2.9915 X 10-3 sen(Qt - e¡> 2) Tl3 = 9.4312 X 10-6 sen(Qt - e¡> 3) AlwrcL Ittiiizuftdo sen (Qt - e¡» = sen (.Q tj cos o - cos(Qt) sen e¡> ecuación J 2 3

(j)

COS (j)

-0.02690 -1.38191 0.00850

0.99964 0.18777 0.99996

con Lo mui Lus eCltuCiOf'LCS desucortudus se coftviertel'L en. 11 1 = -1.3311 X 10-5 senfst - 3.8616 x 10-7 cos Ot

Tl2 = 5.6171 x 10-4senUt + 2.9383 x 10-3 cos Qt Tl3 = 9.4308 x 10-6senQt-8.0165 x 10-s cosQt lj dudo UJlte los desYJluzw1üevttos se olrlUeneft de

481

sen (j) -0.02690 -0.98221 0.00850

e¡> (rad)

-0.02690 -1.38191 0.00850

;¡ .."'- '

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Los dcspLuzGtHÜe¡ttos e/t Los grctdos de LLlJerLGtd se rl~,edeft cXjlJresGtr como.' U

Ix} {- 6.0788 10-64sen(Qt) sen(Qt) -1.9637 x 10- COS(Qt)} 3

U 2y

{

U 3y

2.8629 x 10+ 1.4691 x 10- cos(o.t) 2.7542 X 10- 4sen(o.t) + 1.4692 x 10-3 cos(o.t)

EL valor Mtw<ifno de despLuzcunLeJ1to PGtrct el gmdo de LLberlGtd U 1x se OllLlcVlf derLvcu1do coatru

eL LlClnpo LGt fCll.Gtdóft: U Ix = -6.0788 x 10-6 sen(Qt) -1.9637 x 10-7 cos(Qt)

U l x = -6.0788 X 10-6 Q cos(Qt) + 1.9637 x 10-7 Q sen(Qt) HucLcI1do estGt (ÜtLf1tGt eCltGtcLón Lgl1,GtL u cero lj etespejuneto o.t, obtenemcs i/jlte Llene fU1 valor etc 1.5385 rctviiuJ'1cs. EI1 ese inslul'1te Los acsrlLuzGtM1LeJ1!Os son.

rU lx} {- 6.08225 10-6} X

~ U 2y

lU 3y

1.72709 x 10-: 3.18732 x 10-

':1 aesrJltés etc reuLlzGtr L(;f,s ojIJerctcLones GtprorlL(;f,etus jlJGtrct obtener Los etesj1LuzGtf11Lea!Os (.jite se ¡Lullíw'1 Cm'1etel'lsueto, ohtenemos:

~l U lz U 2z

U 3z U 4y

0.96814 x 10-41 0.49554 X 10- 3 0.4672«; X 10-4

j- - 0.46054 10-4 j

U 4z

- 0.33960 X 10-

0.34387 X 10-5

,4JLOrCL el vator f1'1W<lfl'tO etc rl,espLuzGtf11Le¡'1!o rlGtm el gmeto dc LLlwrtCLet U 2y se obtiene eterivunao CCH'1Lrct el t.lef11¡'JO LaeU1,aclÓlt. U 2y =2.8629 X 10-4sen(Qt) + 1.4691 x 10-3 cos(o.t) U2y =2.8629 x 10-4Q cos(Qt) -1.4691x 10-3Q sen(Qt)

hCLdeJ1do esta ,;¡,LtLVl'1CL ecuactón igltGtL (;f, cero lj etespcjGtneto Qt obtenemos Wte nene 1m valor

de 0.19246 rctdi(;f,/tCs. Eft ese iftst(;f,ate Los despLuzGtf11Lel1tos son:

Ix) ={-1.34000 x ~O:} 1.49610 x .LO

U U 2y {U 3y

1.49610xl0-3

482

14 o ./t/l(íliSiS 1110(/((/ crVI/O/O.</lCO lj desYJltés al' rculizur lus cWJerucimtes uy¡roriuaus YJuru ohtener los aeSYJlfAZWnie~ttos CIJ/{,C se j UIL~líwt cOItaemUtto, eVLcovltl'UI'l'UJS:

U 1y

0.45943 x 10-41' 0.33741 x 10-3

Ulz

U 2z

u 3z

0.37094 X 10-3 - 0.37099 X 10-3

U 4y

0.45987 X 10-4

u 4z

- 0.33707 X 10-3

Por (Ütil'lW, el valor mcixiVlto c{(:, desy¡luzwniento puru el grGldo al' Li~¡ertGld l!3y se oütíeue dcrivul'],(,Lo COlttm el tievltyJCJ LlIt ewuciólt: U 3y = 2.7542 x 10-4sen(Qt) + 1.4692 x 10-3 cos(Qt)

U 3y = 2.7542 X 10-4 Q cos(Qt) -1.4692 x 10-3 Q sen(Qt) lLGlciendo est« I1WmGl eC/{GlcióJt ig/tlltl u cero lj desprjllLvLdo Qt, o~Jtntemos ClJ/1.e tienc 11.11. vulor eLe 0.18531 rudiultes, Elt ese ütstmttr los ttespLGlZlItl'ltiel1tos son.

IX] {-1.29752 x lO:}

U U 2y U 3y

1.49606 x 10 1.49606 X 10-3

lj desYJltés de reGlLizGlr lGls opemcioltcs GlYJropiGlttGls pGlm obtener los liteSVií,V,Z(/!Y11tefl1

¡UILt, íwt caItde l1.sGldo, (lbtenemos: 0.45942 X 10-4 0.33739 X 10-3 Q.37í)93 X 10- 3 - 0.37098 X 10-3 0.45985 X 10-4 - 0.33707 X 10-3

PIUGl detrrmiltlA.r eL efecto e~t LlIt imugelt r¡roljectlltdu eJ1. el tetórt deL teatro drbeVl1,()S ideJttifLmr Los HtovimievLtos ClJH.E' ocurren elt Lu clÁ.lnwlA. de r¡roljección lj SH, efecto elt LIA. il'l1ugeH elt el tetón. Los movilnielttos horizCJlttlltLes del proljectol' carrespmttten lA. los movuruentos mciximos del gmdo de LibertGld U lx el c/tGlL expresllt~los en metros es: Ui, = 6.08225x10-6 m = 0.006 mm

EL cltGlL es 10t despLfAZGll'ltiel1.to HtH,lj 11teJtOr IJj/l.E' J1,() IA.Ject&u1. LIA. imlA.í:Jelt.

Los VltOvimielttos vertícates del y¡ro0ector corresYJlmdevL lA. Los rnovímíentcs mcixil1ws del gmdo tte LibertlA.d U 3y . Estos son. expreslA.ttos elt VltetroS: U3y = 1.4961x10·6 m = 1.5 IHln

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Los VltOvíJ!1tíentos verticales de Lct Íf'ltctgen eft et tetón del teatro son ctdemcís CctltSctaOS por Lct rotacióu del ~Jro~ector elt el grctdo de Lítwrtctd U 3z .

AL InlütípLíClA-r estas rotauones. expresudcts e VI. rctdívutes. por Los Cltctrev\,tct metros V]lte Los sepctrct. obtenemos el síglüeVl.te despLlílZctlníeftto vertical de Lct ímctgen ef, el telón: 0.46054xlO· 3 retd x 40 = 0.0184 In = 18.4 l'ltm

Este J!1tOvímíeftto ctLcctfl,zct ct ctJectctr L~l ímctgeVl.. DetJen tomarse fltedídcts correctivas pctrct rcdH.cír Lct vílrJrctcíóvl. CctltSctvLct nor el gefterctdór.

14.3 Vibraciones transitorias En el caso de que se tenga una excitación arbitraria, la solución planteada en la Sección 14.1 es la misma hasta el punto en el cual se obtienen las ecuaciones desacopladas como se indica en las ecuaciones (14- 5) Y (l-l-G). La solución de la respuesta para cada una de las ecuaciones desacopladas se realiza por medio del procedimiento descrito en la Sección 2.4 para sistemas de un grado de libertad por medio de la integral de convolución, o de Duhamel: (14-18)

donde: ~(<\lj(i) Pj(t) ) Pi(t)=~

(14-19)

j=l

en estas dos ecuaciones el subíndice i hace referencia a la ecuacion desacoplada correspondiente al modo i y el subíndice j al grado de libertad número j de los grados de libertad empleados para plantear el equilibrio dinámico de la estructura. En aquellos casos en que la solución de la integral de convolución sea muy elaborada matemáticamente, o las fuerzas transitorias aplicadas a la estructura no se presten para ser tratadas por medio de funciones matemáticas trascendentales, puede emplearse en la solución cualquiera de los métodos numéricos presentados en el Capítulo 3.

Ejemplo 14-2 EL edifl.cío de C/1,cttro pisos mostrctdo en Lct FígIUct 14-5(ct). sltfre Los efectos de H.Hct ex¡r¡ tostón. Lct Oftdct de rresíón efi. el aire vctr[ct ete LctJormct J!1tOstrctdct en Lct Fígrtrct 14-5(h). TelteJ!1tOs iftterés en Lct res¡r¡itestct de Lct estructura en SIl, seVl.tído corto en ¡r¡Lctntct. COJ!1tO f'ltltestrct Lct JigH.rct. EL ctmortígltctJ!1tíeftto /'lctrct este (í~JO vl.e víbrvlÚOVI.eS se esLillJtct e;"-~ ~ =2% deL crítico.Todcts Lcts vigcts de Lct estnl.c(¡.trct tiene lUt ctftcho b = 0.40 m ~ Itn atto h =0.50 m. Lcts coLIU1tVl.cts tíefteft secctón Cltctarctdct con h = 0.40 m. EL IIJtctterictL de Lct estnu:tfUct tiene fUt vnódnLo ae eLctstícítictd E = 25 GPa. LíA. eaifíClA-cíÓlt nene tUtct f'l1.ctSct de 1000 kg/m2

484

1-.

Se s/~,yJmte (!jIte LIA- OJ1Gi(;\. expLosivlA- ¡10 ríene vlA-rilA-ciém m LIA- IA-LuulA- Ij se c;\.VJLim sobre eL árcIA- Gie JlA-dLIA-GiIA- GieL eeLificio. Por Lo LunLo el úreIA- IA-Jerel1.te sobre LIA- c/l.IA-L se upLiclíL LIA- v¡resiéwl en eL Cltwto piso es Gie 10m· 1.5 m = 15 m 2 I::J V'IA-YIA- Los otros V,isos es Gie 10m· 3 m = 30 m 2 .

presión (kPa)

t (s)

(a)

(b)

Figura 14-5 - Ejemplo 14-2

Privnero Gietennütwnos LlA-s clA-YlA-cterístims Gie rigiGiez Gie LIA. cstnu:l.IiYIA- ef1. el scntiGio corto. DIA-Gio (!jite Los tres pórticos sm1 ig Il.IA-LeS. se eVU:II.(' fttnt V' rivne ro LI;\. f1tlA.triz de rig idez VJIA-YIíL ~fCCloS LlA-teYlA-Les de lUtO ete Los uórucos I::J GiIA-Gio (!jIte el ¡ÚIA-JrlA.gf111A- GieL eetlficiu se slqlol'1.e ÍI'!:filti.tc,.J,nteftLf' rígido en S/t rnopio pLlA.no. Lltego simpLeVl1f'ltte se VI'lltLtipLimll SH.s ténnivlüs por tres pwu tCJVl1IA-r en CH.('fttIA- LIA- rigidez de Los tres pórticos. ELef11.eltto ete viglA.: L=6m E = 25GPa = 25000000kPa

A = 0.4m· 0.5 m = 0.20m 2 1 = 0.4· 0.5 3 112 = 0.004167 m 4 O

17.363 :

O -5.7875

17.363

U ay

69.450 : 01

O -17.363

34.725

U ax

833.33

u.,

O -5.7875

-17.363 :

5.7875

-17.363

U by

17.363

34.725 :

O -17.363

69.450

u.,

833.33

5.7875

17.363 O ------- --------833.33 O O

O: -833.33

-------1-------- ------- - - - - - - -

ELel1teltto eLe coLltlnnlA-.· L=3m E = 25GPa = 25000000kPa A = O.4m·O.4m = O.l6m 2 1 = 0.4 4 112 = O.002133m 4

0 1

485

Dinánuca estructural aplicado al diseño sísmico

J, gdl 35.550

v.,

O -1333.3 O O: 35.550 71.100 : - 35.550 O ------- -------- -------,------- -------- -------23.700 O -35.550 I 23.700 O - 35.550 O: 1333.3 O O -1333.3 O

«., «.,

23.700

O 35.550

35.550

35.550 : - 23.700

1333.3 O

35.550 : - 35.550

71.100

U bx U by

U bz

DesYJI1,és de er'Ls¡;u1ttILGtr ¡Gts rigideces de Los etemenros. eLin'LÍf'LGtr LGts deJorntGtciortes axiGtLes de LGts vígGts. ¡j coltdertsGtr Los gmllÍos ¡;(e mJertGta. verucates U rotadonates. se otltíeVLelt LGt sig¡üeltte mGttriz de rigi¡;(ez ¡;(e ejectos IwrizorttGtLes ¡;(eL pórtico 25.623 - 33.230 8.5278 -33.230 69.713 -45.338 8.5278 -45.338 -1.1582

-1.1582 10.369

]

73.919 -47.371

10.369 -47.371

84.035

AL InltLtiplicGtr por tres tonos Los ténnílws ete LGt InGttriz Gtltterior se otJtime lGt InGttriz de rigiGi.ez de toaos LGt estractHm elt el seltti¡;(o corto. LGt CltGtL cs. en kN/11t·

J, gdl

iK.]~10'X[

] ~~ =

EL áreGt ele metGt IMtGt ele LGts tosas es 10 m . 6 m 60 m2 . Por Lo tanto LGt VI'LGtsu por YJiso es m m2• 1000 kg/m" = 60 Mg. Por Lo tauro LGt vl'LGttriz al' 11tGtSGtS es LGt siglüente:

=60

J, gdl 60

O 60

O O 60

LGts eUtGtcioltes ae eqrúLitlrio dÍllámico son LGts sig/üelttes: O

76.869

-99.691

O 60

-99.691

209.14

-136.02

31.108

O O 60

25.583

-136.02

221.76

-142.11

O 60

-3.4747

31.108

-142.11

252.10

[

25.583 - 3.4747

¡;(mtde Los térmÍlws deL LGt¡;(o ¡;(erecho corresporlllÍen GtL vector de áreGts qferelttes GtSigVLGttlles Gt LGt presióH ell cGtdGt IUW de Los ¡1isos. eVL metro:; CltGt¡;(mdos. IJ q(t) es LGt jirestórt. wJ r.ol1W está descrita el1 LGt FigltrGt 14-5(tl). EL áreGt en metros cl1,Gtctmdos. mltLtiYlLiw.etGt por ¡tllGt presiólt eVL kpGt. COl1í:ÜtCe a juerzus eH kN. lo cltGtl es ccmsisteltte COH lGts ImiaGtetes Cj/t,e se obtienen Lu m/t.Ltíy¡Limr VllGtSGtS en Mg rlor GtceLeYlil.cicmes CH m/s 2 • Lo clt.GtL corlel/tee Gt kN lj rigideces eH kN/m. Wlr 11l. Lo ClIGtL tGtmklicll colláltCe lA. kN.

4:36

14 • JlJl(¡(¡sIS 1110(/(// cro/lolOywo

/ü resolver el rrovllefna de valores YJYOrLOS YJlaftteaeLo rJor la aVLtcrLor cCltacLóvL eLe cDjlúlLtlrLo, se OLJtiCI1CVL lrAS sig/üel1tesJrCU1.Cf1CirAs lj YJeríocLos:

Modo

00 (rad/s) 10.i34 34.300 61.808 86.906

(rad/s)"

1 2 3 4

115.22 1176.5 3820.2 7552.6

T (s) 0.58535 0.18319 0.10166 0.07229

(Hertz) 1.70838 5.45881 9.83671 13.83145

Los vnocLos eLe ViVlrrAciÓlt corresYJm'LeLicl1Les SOI1:

0.089374 0.075047

-0.074828 0.050226 -0.023604 0.014665 -0.081059 0.065184

0.050937

0.083904 -0.004977 - 0.083710 0.061745 0.086883 0.069665

0.021268

MocLa 1 TI = 0,585 s

]

MacLa 3 T 3=0.102 s

MacLa '2 T z = 0.183 s

MocLo4 TI = 0.072 s

Figura 14-6 - Ejp.mplo 14-2 - Mod'Js y períodos de vibración de la estructura

UtiliZVLJ1eLO eJ1 lriLe; ecltaciones íA.e eCj/ülibria las trrAl1'i.famtrAcím1eS eLe coarcLel1acL¡;fs

rr~vnl{,ltirliCrAllcLo

VLJnVIOS

lrtf.tos

por

[]T.

oLltel1en1as

las

sig/úcI1tes

CU1.aCi011es

dcsrAcor lrAcLas:

TlI + 2~100I"1 + ooiTl I = 5.7582q(t) Tl2 + 2~2002"2 + OOiTl2 = 3.6870q(t) Tl3 + 2~3003"3 + 00;Tl 3 = 0.77879q(t) Tl4 + 2~4004"4 + 00~Tl4 = 1.1801q(t) [J1 LrAS C/lrAtro fCl1.rAciCH1eS ¡; = 0.02. Lu reSIIJ11Rsta YICUrA crAcLa tU'LrA eLe estas eC/1.rAcícH1es Clr's/A,coplrAdtJls, se oVILiel'LC IttililUltlto el mrtcnto BeLrA eLe Ncwmarl< Los rrivneros '25 s de yeSYJltcsLu YJl,1l'rA erArta fUtrA de ellas se 11t/1.estrrA l'11 llA, FigHrrA 14-7.

Htuunicü estructural aplicada al diseño sísmico Th(t) - (1\ = 0.585 s) 0.4 T 0.3

0.2

111 (m)

0.1

0.0 ¡-<---.........;~--+----+---+-~-\--¡--...-.-.........;-~t (S) .5

-0.1

-0.2 -0.3 -0.4

Th(t) - (f2 = 0.183 s) 0.03

11 2 (m)

-0.02 -0.03

Th(t) • (f3 = 0.102 s).

0.0010 0.0005 0.0000 -j'---1.---I-r----+----+-----t------l 0.5

1.5

t {S)

2.5

-0.0005 -0.0010 -0.0015

0.0010 T

0.0005

0.0000 +------'1r---.rMW'V\;MN\,..,.--+----.¡....--~t (S) 1.5

2.5

-0.0005

-0.0010

Figura 14-7 - Ejemplo 14-2 - Respuesta en el tiempo para las coordenadas desacopladas

14 • ."lll(¡(¡S¡S 1ll0(WI (TOIIOIO!JICO

-------------------------------_. /\ coftLütrUAúón se r¡reselttu Lu respH.estuelt ULglHWS L1tslcuttes: t

TlI

Tl3

Tl2

Tl4

(111)

00000 00234 O.O'lb8 0.0702 0.0937

0000000 0000607 0.004810 0015963 0.03b972

0.000000 0000392 0.002748 0.007780 0.014603

0.000000 0.000074 0.000425 0.00084·b 0.001025

0.000000 0000097 0000419 0000563 0000656

0.1000 0.123'1 0.1468 01702

0044673

0016511 0022223 0.02294b 0.017S56

0.001037

0.000724 0.000891 0.000548 0.000481

0.1937

0.222M9 0.2b70n 0302S 16 0.325557 O.:l3:H35 0324369 0.13:)337

(5)

0080485 0.125033 o 174003

0.2171 0.240.', 0.2639 0.7.873 0.3107 0.4000

0.001025 0.0008"0 0.000657 0.000613

0.008559 0000513 '0.0024·88 0.000139 OO(JS794

0.000612 0000491 0.000300 0.000206 0.000200 0000213

0010167 0009842

(111)

0.000648 0.000357 0.00024° 0OOO40t) 0.000170 0.000022 -00000')7

Los (iespLwumien.tos tlie Lu estJI·j,(tlUu se OtJtieltelt rJor l'!tetliio tlie:

Por ejclnrlLo. r¡uyu eL imtuftte t={).2873 s. Los desrJLv.zUinLCvdm. eft metros. con La contril1l1Ciólt ~ie cuctu f1WlitO. son:

j~~H

0.089374 -0.074828 ú.050226 -0.023604 jO'333435] 0.075047 0.065184 0.005794 0.014665 -0.081059

0.051J937 0.021268

0.U509371 0.021268J

O '0298OO] 0.025023

0,074828] 0.014665

0.000206 a.000170

0.050226t - 0.081059

¡-

0.0236041 0.065184

x 0.333435 + - - - - x 0.005794 + x 0.000206 + x 0.000170 0.083904 - G.3C4977 I - \).083710 0.061745 0.086883J 0.069665

= 0.016984 + 0.007992

¡-

O'0893741

0.075047

0.083904 -0.004977 -0.083710 0.086883 0.069665 0.061745

0,000434] 0.000085 0.000486 0.000358

{ 0,0000103] - Of)()(}0167 - 0.0000010 0.0000179

{- 0,0000040] 0.0000111 - 0.0000142 0.0000118

O '029373] 0.025103

0.017455 --0.007479

Puru cteterntiltUY Lusjlterzus opte Lu exr¡LosióJt urJLicu u Lu estYlj,ftltru en el 11·ÜSf11.G il1,stwlte se f1tlÜÜr¡Licu Lu mutriz lite rigitliez tlie toctu La estrltct/tru rol' estos tliespLwuf'l-üeJttos:

Estu orcYUciÓJ1 rr;.etlie rcuLLzursc ,JUra Los aCSrLUZIM1-ÜenlOS (!jIte LlnYJiHte cuctu J·')tOaO Id al' CSU InUllcn;.¡, ohLclter LUsJ,l,crzas rm)VcltienJes a(' culit(.{ /titO lite eLLos:

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Para los sígaícl'ttes lítesrlazamícl'ttos vltOlítales. correspovtlítíevttes al ü1.stal'tte t=O.2873 s. 0.029800! - 0.000434! 0.0000103! - 0.00000401 0.000085 : - 0.0000167: 0.0000111 0.025023 :

¡- 0.0000010 ¡- 0.0000142

0.000486

0.007992 :

0.000358:

0.016984

0.0000179:

0.0000118

La col1tríbllfÍó/1 el1.Jaerza &te mlíta 11tOlítO. en kN. /'lara el Íf1stal1.te t=O.2873 s. es: 206.02 : - 39.60 : - K ]{U mod}_[ - F {F múd}_[

(1)

1F (2) I F (3) I F(4)]_ ·-

172.99 I 117.41:

49.03:

2:37 :

5.02 6.00:I -3.83 I -1. 34:32: -0.24: -6.45 I i 5.37 25.25: 4.10 :

U lasJllCUUS totales. tw·nlJiél1. e/1 kN. ~)am el íl'tstal1.tc t=O.2873 s. SO/1 175'97] {F} = [K

Hu} = 180.18 E

145.05

83.75

• 14.4 Excitación en la base Nos interesa ahora la solución de sistemas de "arios grados de libertad cuando se les somete a una excitación en su base, el cual corresponde a la respuesta de una estructura que se ve sometida a un sismo. De acuerdo con lo presentado en la Sección 10..t, las ecuaciones de movimiento para un sistema sometido a una excitación en su base tienen la forma dada en la ecuación (10-23), la cual se reproduce a continuación: (14-20) Las matrices de masa [M] y rigidez [K] de la estructura S2 obtienen de acuerdo con lo presentado en el Capítulo 11. La obtención de la matriz [y] se realiza de acuerdo con lo presentado en la Sección 11.3.l(h) y su forma depende de si la estructura se ve afectada por una, dos o tres componentes del acelerograma, dependiendo de si el vector {io} tiene dimensiones 1 x 1, 2 x 1 3 x 1. Casos en los cuales [y] tiene dimensiones n x 1, n x 2 ó n x 3 respectivamente, siendo n el número de grados de libertad de la estructura. En la Sección 14.8 se amplían los conceptos de la obtención de la matriz [y]. ó

Dado que podemos obtener los modos y frecuencias de la estructura, podemos aplicar la siguiente transformación de coordenadas:

{u} = [<t>]{TI} y derivando dos veces contra el tiempo:

(14-21)

~ ~" .A

1.-l- • . / lHOUSIS f!tU(U{f (,.' UH\.IIU~/f\. ' "

(14-22) Reemplazando (14-21) Y(14-22) en (14-20), y premultiplicando por [<l>]T obtenemos: il

1 ¿

1 ¡

(14-23)

Lo cual implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:

! .. 11; + (O¡2 l1i =- {a¡} {X.. o }

(14-24)

y si se aplica amortiguamiento modal: .. "lO 11; + """' :>;(O¡l1. + (O¡2 11¡ =- {}r·· a¡ lX o }

(14-25)

donde {C(.¡} corresponde a la fila i de la matriz [a] obtenida por medio de: (14-26) La solución para las ecuaciones (14-24) o (14-25) se puede llevar a cabo por medio de la integral de convolución (véase la Sección 2.4.2) o por medio de algún método numérico como el método Beta de Newrnark. Una vez se obtienen los valores de {l1(t)}, para cualquier tiempo t, por medio de la ecuación (14-21) se pueden obtener los desplazamientos de la estructura para ese instante. Debe notarse que la ecuación (14-21) realiza la superposición de las respuestas indiv 'iduales de uno de los modos:

{u} =[et>]{11} =

i {<\>(i) }11;

(t)

;=1

= {<\>(1) }111 (r) + {<\>(2) }112 (t) + ..,+ {<\><n) }Iln(t)

04-27)

= {U<I) }+{U(2)}+... +{u<n)}

Las fuerzas dinámicas inerciales que se presentan en la estructura, correspondientes a cada modo, pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura: (14-28) Definiendo:

(14-29)

441

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

(14-30)

donde h, es la altura sobre la base de la estructura del piso i. /

F.' -r-o

F?) Fji)

fuerzas modales

--+

~Xn

.--

J["

~X¡

-4

~X3

Fii) ~

~X2

F~i)

--+ .i->

corte basal »>:

~Xl

~ grados de libertad

v. __..--I

Figura 14-8 - Fuerzas modales (Modo i)

Ahora podemos definir el corte basal del modo i en el instante t, como: (1-1-31) y el momento de vuelco del modo i en el instante t, como:

(1-1-32) Ahora si tomamos la definición de la matriz [a}, dada en la ecuación (1-1-26) Y la premultiplicamos por []T, obtenemos: (1-1-33) aplicando el principio de ([A][B])T = [B]T[A]T a []T[M], obtenemos [Mf[] = [M][], dado que [M] es simétrica. Con lo cual la ecuación (14-33) se convierte en: []T [a]

=[I' [M][]['Y] =[y]

(1-1-34)

La masa total de la estructura en cualquier dirección principal de los grados de libertad, corresponde a la suma de las masas aplicables en la dirección principal. La influencia de cada masa indívidual se expresa a través de la matriz [y], por lo tanto:

[M 101] == [y ]T [M] [y]

(1-1-35)

y utilizando la ecuación (1-1-3-1) para reemplazar [y] en la ecuación anterior, obtenemos:

442

14 • Á'illúIISIS 11I0(l(1( ('rOll()WYI("()

(14-36)

1 ¡ i

(14-37)

Esto quiere decir que la masa total en cada dirección principal corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación modal, a¡, en esa dirección. El valor de a? de cada modo se conoce con el nombre de masa efectiva modal y puede interpretarse como la fracción de la masa total que se activa en ese modo al vibrar debido a la excitación en la base. Este concepto se emplea para definir el número mínimo de modos necesarios para describir la respuesta, cuando en sistemas con muchos grados de libertad la contribución de los modos superiores se hace muy pequeña. En aquellos casos en los cuales los modos de vibración no son ortonormales, o sea que no cumplen la normalización []T[M][] = [1], la determinación de los coeficientes de participación se logra por medio de la siguiente ecuación:

(14-38)

y la masa efectiva modal en este caso se obtiene, para cada modo, por medio de:

(14-39)

En las Secciones siguientes Se presentan ejemplos de la obtención de la respuesta cronológica de la excitación en la base para sistemas con diferentes características.

14.5 Análisis modal planar para excitación en la base En este caso ocurre una simplificación de lo presentado en la Sección anterior, pues la matriz [y] corresponde a un vector {1} dado que todos los grados de libertad de la estructura actúan colinealmente con la aceleración en la base xo '

Ejemplo 14-3

EL ea¡jicio ae seis pisos vnostmao en La Figltm 14·-9 pertenecteare a IUta Íl1staLaciólt ÍltaltstriaL es sovneüao a Los efectos ae La COntpOVlel1te N-S aeL tembLor ae EL Centro. CaLifornia, al' Maijo 18 ae 1940. TCI1ev¡wS interés eVl La reswtfsta ae La estntctlixa en eL sentiao nwstmao en La JLgltra, EL ¡;j,f'}tortigltantieltto /1Gua este tipo ae vitJmcimtes se estimó el1 1; = 5% aeL crítico. Toaas Las vigíAS ac La estrw:tltra uene 11.11. alufLo b = 0.40 m ij 11.VL atto h = 0.50 m. Las coL/tmnas tieltelt secciém Cll&'.¡;{rw;ta con h = 0.50 m. El Inatcrial ae La esLmctltra tiene 11.11. 11tÓaldo (;te eLasücifla¡;{, E = 25 GPa. La eslntcltua nene luta masa de 780 kglm2 . !j Los eqlüpos iltcütstriaLes LiCIten 11ItU musu ¡;{,(' 1000 kglm 2 . VU..UfA. 1111 totuL al' 1780 kglm2

[JI

Dinámica estructural aplicada al dise{¡o sismico

Figura 14-9 - Ejemplo 14-3

PrÍl'l'1eYü GÍeteYVI1ÚtG{.f'l1OS Las caracterísücas GÍe rigi&iez GÍe Lv. estructura en el sertüGÍo GÍe La aceLeraciim GÍeL terre110. DaGÍo qlte se snpoVLe qlte Las Losas GÍe er'ltrepiso cov¡Jonnan 1m GÍiaJragma rí.giGÍo en el sentiGÍo klajo est/tGÍio. lj Los tres pórticos el'\. esa GÍirecciéll1. son ig/1.aLes. se ertC/teVltra primero La vnatriz GÍe rigiGÍez para eJectos lateraLes GÍe W1D GÍe Los ~)órticos lj GÍaGÍo q/1.e el GÍiaJmgma GÍeL eGÍificio se S/t~)OI'1e iv¡Jinitamente rígiGÍo en S/t propio I"'LwtO. Lltego siml"'Lel'nel'lte se m/i-Ltil"'lical'\. srcs térnunos por tres para tom.ar en utel'lta La rigiGÍez GÍe Los tres

uórtícos. ELeVvt.el'\.to GÍe viga: L=6m E = 25GPa = 25000000kPa A = 0.4m· 0.5 m = 0.20m 2

1 = 0.4.0.5 3 /12 = 0.004167 m 4 833.33

5.7875

17.363

U ax

O -5.7875

17.363 34.725

U ay

O: -833.33

17.363 :

O -17.363

U ax

69.450 : 01

833.33

O -5.7875

-17.363 :

5.7875

O -17.363

U bx

17.363

34.725 :

O -17.363

69.450

u.,

-------

--------

-833.33 O

Etemeltto GÍe COLltmn17.: L=3m E = 25 GPa = 25000000 kPa A = 0.5 m . 0.5 m = 0.25m 2

-------1-------- - - - - - - - -------

U by

1 = 0.5 4 112 = 0.005208 m 4 ..l-gdl

57.867

86.800 : - 57.867

O 2083.3 t) 86.800 ------- -------- 57.867 O

86.800

O O: 173.600 : - 86.800 O 86.800 ------- ------:867O -86.800

='-86.800 r -57 O:

2083.3

86.800 : - 86.800

173.600

O - 2083.3 86.800

O - 2083.3

Desrll1-és cie eVlseA.lnbLcv LeA.s rigicieces cie Los etemeatos. eLimivteA.r las ci¡fonneA.ciOltes ¡;¡xieA.Les cie LeA.s vigeA.s, I::J cov¡,cieI1SeA.r Los gmcios cie LikJerta.ci verucates I::J rotacíonales, se obtiel1ev¡, La siglüevtte IneA.trLz cie rigiciez cie ejectos ltortzontaíes cieL pórtico: 72.253 -102.26

-102.26 222.75

35.165 -158.38

-6.5202 45.980

1.4274 -0.17029 -9.7917 1.7952

35.165 - 6.5202

-158.38 45.980

243.79 -164.41

-164.41 249.67

53.199 -164.82

-9.7755

1.4274

-9.7917 1.7952

53.199 -9.7755

-164.82 48.570

246.04 -171.97

-171.97

-0.17029

48.570 296.65

qlH' eA.L ser 111.ltLtirJLicacios por tres tocios S/1-S térnunos prociw:e LeA. /neA.triz cie rigiciez de torios LeA. eslnU:Cltm eH el sev¡,ücio corto, evt kNlnt:

..l-gdl

U6 Us U4

216.76

-306.77

105.49

-19.561

-306.77 105.49

668.24 -475.14

-475.14 731.37

137.94 -493.23

-29.375 159.60

- 29.327

-19.561

137.94

749.02 -494.47

- 494.47 738.11

- 29.375

-493.23 159.60

145.i1

4.2822

-515.90

-0.510881

5.3857

-29.327

145.71 1 -515.90

&8().94

4.2822 -0.510S111 5.3857

EL ~reeA. cie mcia /HteA. cie las losas es 12 m . 12 m = 144 m Z. Por Lo tanto La mrA.Sa nor riso es m = 144 m Z' 1780 b..glm2 = 256 Mg. Por Lo tanto LeA. matriz cie Vl1.eA.sas es la sig/üel1.te:

O O

O O 256 O O 256

o o

O O

O 256 O 256

[M] =

o o

256

o 256

La matriz [y] correspOl1.cie u 11,11. vector cie IM1.a colH.mlteA. I::J seisJüas C/{,l::Jos térmillOs sor. tocios LO/tuLes u1. Lus eC/1,aciol1.eS cie eq/üLibrio ciÍlt~VltiCO cie La estrltclJua son las sig¡üevttes:

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico 256

256

216.76

- 306.77

105.49

-19.561

-306.77

668.24

- 475.14

137.94

105.49

-475.14

731.37

-19.561

137.94

4.2822 - 0.51088

4.2822 -0.51088

5.3857

- 493.23

- 29.375 159.60

- 29.327

-493.23

749.02

.- 494.47

145.71

- 29.375

159.60

- 494.47

738.11

- 515.90

5.3857

- 29.327

145.71

- 515.90

889.94

=-(M] - Xo 1

1 1

AL resolver el probLevvl.r.1 cte valores prol'1íos YJLavl.teacto por La anrenor emacíóvl. cte eqtülíbrio. se OtJ tiene VI. las síg,üevl.tes jremevu:ias IJ perí.actos:

(ji

(radls)2

(rad/s)

24 108 301.81

5.3952 17.373

973.78 2494.3 '1·686.5 7113 .8

31205 '14943 68.'158 84.344

Modo 1

2 3 4 5 6

f (Hertz)

(s)

0.85RÓó

1.16'1·6

2.76495 4.96647

0.3616 0.2013 0.'1258 0.0918 00745

7.94849 1089550 1342372

Los Vll.LlctOS cte "iklradóvl. correspOvl.ctíeVLtes SOVI.: 0.036721 -0.032775 0.029168 -0.020667 00033690 -0.011592 -0.014245 0.032483 0.028524 0.020961

0.014524 0.033322

0.01224~

0.033525 0.015888

0.004460 6

000

Modo 1 (T 1 = 1.165 s)

i\ ) V

000

Modo 2 (Tl = 0.362 s)

1'-., 2

¡--.... <,

/ "'- '"'-... ¡--....,

V OM 4M o 000

1/ 000

000

v V

r- r- <, v ./ 2 ....v "'r- <, 3

r--... r---- r-, V V

"1\

j r-

l,.... V

,/ ..........

) o

0.005317 3.328533 -·0.029103 0.033609 -0.005049 -0.034504 -0.003317 0.006893 -0.024392 -0.031454 0.031633 0.035774 0.02~711 0.025184 0.034025

/' /'

1/1I o

0.013049 -0.005955 -0.032188 0.018512

-0.034529

)

000

Modo 3

Modo 4

Modos

MOcto6

(T3 = 0.201 s)

(T4 = 0.126 s)

(T, = (}092 ~)

(T6 = 0.075 S)

Figura 14-10 - Ejemplo 14-3 - Modos y períodos de vibración de la estructura

446'

1 I

14 • Análisis modal (TOIIO/Ó.(Iico

VJrClnltlti~LLcaltcio cunbos Lc;{,cios ror []T o/rJ(e¡tevnos LGts s Lgrúe ft tes eUtl/tCiOVLes uesl/tCOV' Ll/tcias, en Las CltGtLes Los c()f'JLdef'Ltes de particLVJl;{,cióVL se caLctÚarOft corno:

34.970 13.540 {a } = [<1>] T [M] [y] = 8.2331 6.0279 4.4695 2.3861 J

La ntasGt f'J-wciaL eJectivGt se cGtLuüGt como a¡ a~1

% M tot

13.540 8.2331

1222901 183.332 67./84·

7962% 1'i .93% 4.41%

607.19

36.33f)

237%

44Ú()S

19.976

1.30%

99.c<l')1,

2.3861

5.h()J

037%

100.00%

Modo

3"r() 70

1 2 3

(X¡

% M tot

(;{'CHI'Jt/úacio 79.62% 91.550/0 CJ5.96% CJ8.33%

111 + 2~lrol'Íh + roi111 = -34.970x O 112 + 2~2ro2'Í12 + roi112 = -13.540x O Tl3 + 2~3ro3'Í13 + roi113 = -8.2331 Xo

~4 +2~4ro4'Í14 +ro;114 =-6.0279x O 11 5 + 2~5ro5'Í15 + ro~115 = -4.4695 Xo 116 + ~6ro6'Í16 + ro~Tl6 = -2.3861X O

lit Las seis eC/taCiOfteS ~ = 0.05. La reSr/1.csta ram cGtcia l.Hta de estas eC/taciolteS &iesacorLadas, se ohtíene HtiLizcu'¡,(íi.o et métocio Beta cie Newntark. Los primeros 10 s (.ie resVJI{,esta VJGtra cwíi.Gt I1.VLGt de eLLClts se m/.{,estra elt Los sig/.{.ieVLtes grúJicos: 5r

0.3

0.2

2 1

11, ~

o ~c:::*---\-';;/----b;;-j~7f--+.o--+--'.l-l-to-1r---+o-+--+---+-; () r ~s -1 -2

-3 -4

-0.2

mln

-5

-0.3l

(a) respuesta paraTlI (TI = 1165 s)

mln

(b) respuesta paraTlz (Tz = 0.362 s)

Figura 14-11 - Ejemplo 14-3 - Respuesta de las coordenadas desacopladas

447

inámica estructural aplicada (1/ diseño sísmico 0.06

0.020 m. .

0.015

0.04

0.010

0.02

0.005

:;) 0.00 J.-rrP.-IH#-

t(s)

114 0.000 (m)

-0.005

-0.02

-0.010 -0.04

-0.015 mln

mln

-0.06

-0.020

(e) respuesta paraT\3 (T 3 = 0.201

(d) respuesta para T\4 (T 4 = O.126 s)

0.005

0.0015

mex

0.004 0.0010

0.003 0.00.

0.0005

0.001 ~5

(m) 0.000 '-!1l"YiH.--f,-

1 (5) O

~. 0.0000 1.ooI'oR1H*

(m)

-0.001 -0.0005

-0.002 -0.003

·{JOO10

-0.004 -0.005

-o.D015

min

mln

{f} respuesta para 1'11, (T6 = 0.075 S)

{e}respuestaparaT\s (Ts = 0.01)2 s)

Figura 14-11 (cont.) - Ejemplo 14-3 - Respuesta de las coordenadas desacopladas

A CO~ttiVl.IH;¡.cif¡l'l se ¡JresevltrA LrA resYlliestrA en aLfjlHws iI'lstrA~ttes, etOl'1de ocurren Los 11ttixin'UJs de Las resYlIU'strAS iI'ldivietli,aLes en Los privneros 10 s: t

T\l

T\2

(5)

(111)

(m)

2 i2

2 .00~)52'

2. it,

-1.454167

2.2Z

-0.313050

(11157~:\

0009855

-0.005804

0.0

224

0.044580

0.071039

-0.01074-8

-001284-3 I

-G.OO49i9

-0.0C1187

2.52

25974-08

O 17HbO

-0054570

·G012759

0.000935

0.000215

258

2.305620

0.0443t>4

0.008234-

V,V'VJO

00014·9i

00004-39

2.b4

167873'1

·0155214-

0022238

"9017115

-0.001112

-0000662

;:5.6646441

·0169206

0038901

·0001547

0000665

0000280

-3.545S~;()

0153292

0.00,900

0003579

0001228

0.000-'57

3.04

30S

T\3

T\4

(nl)

00074D5

0.003448

0001047

0.009887

(f1:)

() '10653

0022R84

0.131596

0020979

116

1)5 (111)

(111.)

3.22

187, b72

0.183567

0005055

000,766

0.000137

4-.58

2.84014-7

-0.284971

·0010291

0001032

-0001448

0000172

4-.7b

1448789

0,29519i

0005745

-0002603

0000228

0000605

59C

4.049463

0.020068

0022552

0.001531

-0000257

-0.000036

l1I·fW

4.049463 -3.664644

0.295191 -0.284971

00'~7073

0010581 -0.017115

0003448 -0004919

0001150 -0.001495

:lli.n

0047073

0.054570

Los desI'JL!AZm'ltievLtos cal~.sadas por CllLeta nwda. para cnaLqlúer tiel11.pa t. se obtie~1.elt de:

{V(i)} = {$(i) }lli (t) lj Los ¡,lesYJLazmnicvltas de La cstntctH.ra I1UYU eL misl1w il1stGmte 1. se atltieftelt corno La SI-tVl'la

cie Las colttribljúovl.es etc tocios Los macias. por f1teciia cie:

{U} =[<t>]{T\(t)}

Por ejeI1ty¡lo, plAnA- el imlwtte t =3.08 s. las aesYJlUZW'1ÜeVLtos, Clt metros. COIt lu cov¡,lritJltÜÓVL de cudu i1'UltiO, 5011,: 0.029168 -0.020667

0.036721

-0.032775

0.033690

-0.011592 -0.014245

0.032483

-0.034529

0.005317

- 0.005955

-3.5459

- 0.032188

0.013049

0.018512

-0.15329

0.028524

0.014524

0.028533

-0.029103

-0.001903

0.020961

0.033322 -0.005049 -0.034504 - 0.003317

0.033609

0.0035796

0.012243

0.033525

0.031633

0.006893

-0.024392 - 0.031454

-0.0012279

0.004460

0.015888

0.025184

0.034025

0.035774

0.023711

-0130210\ -0.119460

0.0050242

- 0.000055427

- 0.000073981

- 0.000016023

0.0017770

0,1'':3027070

0.000116280

0.000039525

- 0.101140

-0.0022265

0.000065614

0.000019033

- 0.000035037

-0.074326 - 0.043414 l-O.015815

-0.0051079 - 0.0051391 -0.0024355

0.000009595

- 0.000060111 - 0.000047856

- 0.000123510

- 0.00035675

0.000004073

0.000024673

0.000029951

0.000121800

- 0.000043928

0.0000021241

- 0.000006604 0.000010383

- 0.000011990 0.000011221J - 0.000008459

- 0.12533 -0.11751 - 0.10331 -0.07956 -0.04855 -0.01823

PUnA- detcrmiltlAr llAsJlterLlAS iVLercilALcs (;j11,e ünYJOIte el sislno sobre Lu f'stni.ctIWA. Clt el misl1to ÍltstWttc, t = 3.08 s, se Inlütiplim LlA I,nutriz de riljiaez al' toalA llA CS1.rWJII,rlA rol' estos aesYJ LlAllAlnie IttOS:

Estu oYJenA-ciólt fllteete relAlizlArsc plAnA- Los etespLrA,ZCU11ú'lttos (;jli.e iI1tY¡OVLC metlA moeto LJ {;Lc eSlA mwtenA- ohrener LlAsJlterLCíl.S provclticlttes de ClAetlA IÜ'.O de ellos:

LlA colttribltCiém eltJIi.etZCíl. ete metCíl. I1Wcío, elt kN, rCíl.nA- el iitstWtte i = 3.08 s, es: 3.87 388.19 -13.82 -47.24 -19.22 137.30 6.75 47.42 -12.03 -890.19 74.25 -753.69 -172.02 16.36 12.15 - 42.04 18.91 2.39 -78.87 4.89 -21.84 -553.86 -394.65 -323.51 -397.07 -14.99 15.76 35.93 20.44 -117.85 -188.18 -11.93 77.77 -52.70 -15.41 -970.27

11 LCíl.sJIi.etZCíl.S totales. tCíl.mtliélt elt kN, pCíl.rCíl. el iltstCíl.ltte t =3.08 s. sen.

- 658.49 - 636.50 - 920.33 -1041.90 - 663.43 - 308.29

449

Dinámica estrucuirai aplicada al diseño sisiuico

EL corte ¡'IDLSCÜ col1.JriLI/Údo uor meta JiJiweto, tambiéJiL eJiL kN, ~Jara el iVLstcmte t = 3.08 s. se ob ttene ~lor l11.edio de:

- 970.27 - 890.19 -753.69

388.19 -13.82 - 47.24 6.75 74.25 137.30 -172.02

= {11 1 11 11 11 JI} - 553.86 - 394.65

12.15 - 42.04 18.91 16.36 4.89 - 21.84 2.39 -78.87

- 323.51 - 397.07 - JJ.99 -117.85 -188.18 -11.93 = {- 3609.37

-19.22 3.87 47.42 -12.03

15.76 35.93 20.44 77.77 - 52.70 -15.41

I - 626.43 I -15.24 I 53.82\ - 25.72 1- 6.06}

EL wlte llasuL total. eJiL !<N, para eL instDUtLe t =3.08 s, se OllÜe¡1.e por l11.edio !íie: - 658.49 - 636.50 -920.33 =-4229.0 V={IV {F}={11111111111} -1041.90 - 663.43 - 308.29

el VltOlnCl1.to de vadeo cmttrill/údo por mda ¡nodo, e~t kN . In, pura el ütsta~tte t = 3.08 s. se obtiene Ilor Vl1.e(ÜO de {M}={h}T

m od

}

3.87 388.19 -13.82 -47.24 -19.22 47.42 -12.03 6.75 74.25 137.39 18.91 -753.69 -172.02 16.36 12.15 -42.04 ~ {is 115 ! 12 1 9 I 6 I 3} - 553.86 -394.65 2.39 -78.87 4.89 - 21.84 -- 970.27 - 890.19

- 323.51 - 397.07 -117.85 -188.18

-14.99 -11.93

15.76 35.93 20.44 77.77 - 52.70 -15.41

={- 47141 1483.7 I - 55.4127.3 1- 37.7 1- 4.0} EL VI'Lmlteloto de vuelco total. elt I<N . m, I,ara eL Í11st¡':Utte t =3.08 s. se oLltíe¡te por ~ltedio etc: -658.49 -636.50 -920.33 =-46727 M={hV {F}={18115112\916\3} -1041.90 -663.43 -308.29

I ¡

Utilizando el wocedimiel1.to il1dicudo es ¡10SillLe obtener la res/'lw~stu en m,aLqaier instanre. E~t la Fi@ltra 14-12 se mltestra la reSr/testa de desr'Jlazamie¡1to del IÜÜJiHO piso deL edificio, Se I¡rese¡ttu lu res/l/testa Í11dividH,ul prodltcida ¡1or cada modo IJ la res¡1lt.esta total. Es evideVlte aLLí tiJltf:' la eontrilll1.Ción iln¡Jortaltte a Lu reSr"l,esta touu rlrovLe¡tC msi cxc!ltsivameltte (te Los dos IlI'ivltems l1lodos.

450

L JI

14 • Análisis modal cronotoqico

0.15

m.nx ~ 0.14870 111

0.10

U~) 0.05

0.00 (ID)-0.05f

-0. 10

-0.15

0.15T

mil1 o

·0.13456 111

010+ ,\10110

d 2) O.OS+ 6

Xl/o----...¡.... . . -..-------~

o.oo+-I---+-t/.N\IV.....

(ro)-0.05f

...... , . _ . . .

11 12 13

IIlr:lX ~ 0.0093399 111

t (S) lllin ~ -0.0096749 III

14 15

-0.10r

-0.151

O. I S

0·1Or

\'10110 3

d 0.05+ 3)

Il'lflX ~ 00013730 III

o.oot

6 (ro) -0.05

Gmin

¡0'"f'

10 11 12 13

t (S) mi.11 ~ -0.0015917 111

14 15

-0·1Ot -0.151. 0.15T 0. 10 (4

t 1

05 U6 ) 0.00 0. --+---+--e-~_+_--+-+--+-+___+_---+---+___+____; I í i I fj~ I t (s) mm (ro) -0.05 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5 6

IIIr:lX ~ 0.00035371 111

111111 ~ -0.00021R67 111

-0·1Ot -0.15.J.. 0. 15 ,\1 J!l~)

0.10¡ .15) 0.05 """'1' U 6 O.OO+--+---+~;&-.....¡..--+--+---+--+I---+-------+--.....¡..--,---l Vmm (ro) -0.05

234

III.m'

OOOOOl500 III

t (s) m.i.1l ~ -0.00006419111

10 11 12 13 14 15

-0.10 -0.15 0.15¡ 0.10 \10110 6

d6) 0 .OS

,max 6 O.OO+--+---+A::ir--+--+I---+--+-+---+---+--........-+-+--.... <imtn

(ro)-0.05

123456

111r:lX ~ 0.0000089 111

t (s) mili ~ -0.0000068 III

10 11 12 13 14 15

-0.10 -0.15 0.15

-:-otn/

1I1.'~X ~ 0.148729

0.10 U6 O.OS

0.00 (ro)_O.OS

t (s)

-0. 10 -0.15

IVlil'! =

·0.128367 111

Figura 14-12 - Ejemplo 14-3 - Desplazamientos de la cubierta para cada modo y respuesta total

451

Dinámica estructural apticculci al diseño sísmico El'], Lu FLgluet 14--13 se mltestru Lu VetriUcLól'], deL corte tlusuL de Lu ed,lficuclóv¡, ~Jetm Los YJrivl1RYOS 15 s d,e resYJltestet· 5000 2500

V (kN)

11"1/lX ~ 4355.8 kN

t (s) 5

-2500

Il1in ~ -4229.1 kN

-50001-

Figura 14-13 - Ejemplo 14-3 - Corte basal de la estructura

EVi La Fígltret 14--14 se 11tll,cstm La variaciém cteL I1Wl1te11'cO '!ie vuctco l/te Lu e¡;.l,lficaciólt petm Los

YJ rune ros 15 s l/te resYlltes ta:

¡\/lOI1lelttCJ al' vacieo IIII1X ~ 54406 kN

Hlin ~ -4-703 7 kN . HI

Figura 14-14 - Ejemplo 14-3 - Momento de vuelco de la estructura

• 14.6 Análisis modal tridimensional para excitación en la base de sistemas con diafragma rígido En la Sección 11.3.1 se discutió ampliamente la formulación de las ecuaciones de equilibrio dinámico de sistemas idealizables a través del empleo de diafragmas rígidos en las losas de entrepiso. En general, el uso de la idealización de diafragma rígido conduce a una reducción sustantiva dei número de grados de libertad la cual corresponde directamente con el empleo de criterios asociados con el orden de magnitud de las deformaciones que ocurren dentro de la estructura, conduciendo a un ahorro importante en trabajo numérico. Dado que la idealiz.ación de diafragma rígido parte de la premisa de que algunas de las deformaciones son tan pequeñas que no es justificable su manejo como variables independientes y que por ende pueden ser agrupadas como algo de un orden de magnitud tan menor que es despreciable, no sobra insistir aquí que esta premisa debe Ser revisada rutmariarnente con el fin de justificar su validez, a riesgo de que se esté empleando una idealización inconsistente con el comportamiento real de la estructura. Al igual que en la Sección 14.5 el empleo de la idealización de diafragma rígido para el caso de excitación en la base solo afecta la formulación de la matriz [1] dentro de lo expuesto en la Sección 14.4. Este aspecto fue tratado, en detalle, en la Sección 11.3.l(h) donde se explicó la necesidad de cumplir el principio de equilibrio a través de las fuerzas tr-erciales colineales con las aceleraciones del terreno, y las diferentes maneras de adaptar las ecuaciones de equilibrio a las diferentes componentes del acelerograma que se desea emplear. Estos conceptos se presentan para en caso general en la Sección 11.5. El siguiente ejemplo aclara la forma de uso de la matriz [11 y las peculiaridades de la respuesta dinámica de los diafragmas rígidos ante movímíento sísmicos en la base.

452

L 4- • ,'11Uítisis lllOliu{ C/"OIIO{Ófjico

Ejemplo 14-4

EL edificio de tres pLsos /itostrado e/t La FLgttm 14-15, es so/netLdo a Los ejectos de 1m sLsvvw elt SIl, blit5e. EL w'ltOrtLgltal'lüenta rJam este tíjro de vLbmcLol1fs se eSÜI'lta ert ~ = 5% del crítLco. Toc/'c,ts L(,ts vLgas de La estrt1cf/1Ja Üe/te Itn andw b = 0.30 m lj IHt alto h = 0.50 m. Las coL,WtltaS Ücne/t seccíóa cltadmda con h = 0.30 m, EL materiaL de La estmctlua tiene tUt l'ltódltLO LÚ' eLasüddad E = 22 GPa. La esLrttctlua Üene IUta masa tíLe 700 kg/m". La LdeaLizcA-ClÓVl matef1tlitica de La est:nH:tltm estli regida por Los sigtúclttes pW'limeLros' 1.

2. 3. 4. 5.

Los diajragl'ltas (Losas) de La estntctlua se p/1,cde/t considerar inji¡ütlMnenLC rígidos e/t s/t l'Jfopio rlLcutO. Se coltSideralt tres gn:tdos tíLe Libertad por piso (diajm.gvna) consísteatcs eu dos grados de WJertlAd IwrLzOIttales ortoqonzues lj 'Uta rotadém IALrededor de IUt eje vertical Los pórticos se coltsiderwt pLIA/tOs, El f1todeLo l'ltlAtelncÜLco (;ir La estrttctI1JIA se coltSieter(). (JidimeVl5LCHtlAL lA tnA.vés de LIA acciém de~ dLajraglna de llA L05C1.. Las vigas se co/tsideran corno iv\:fifütlAl'ltfltte rígidlAs rlara ejectos de dejonnw:icmes fí!Xiales. dIAdo Cjlte !LIAW1. r'lArte de Los dilAjragmas. LIAS coLlunnas p/tedelt dejon'ltarse fí!XLaLI'ltfltte lj r'or Lo tanto Los grat/Íos de WltTl(,i(;/, verucales de Los /t/tdos del:JevL condensarse. DIAdo 1.1'11:' no lLa!j masa LLsodada, /'Jara ejectos del liwdeLo matemLüico. a Los gra{;/'os tÚ' Li¡'JertlAd rotlAcionlALes de Los /t/tdos. estas d¡jonnaciovLes tíLekwlt ccHtdeVlsurse.

y ~(E-W)

2.5 m

'-'--""

2.5 m

3.0 m

F~um1~15-E~mpw1~4

ExistevL tres tiros de pórticos pLcA.vws: eL Tir'o - A rIlAra Los ejes A lj B; el Tir)(l - B, para Los ejes 1 lj 2; lj el Tipo - e para eL eje 3. Primero se debe caLuülAr La mlAtriz de rigidez de eJectas hortzoataíes de cada tipo de pórtico. Estose LogrlAJljando Itnas coorde/tadas gLoklaLes para eL /'Jórtico. Las utaLes a SIl, vez posteriormente serlilt tfaLlAdas como Itnas coordel1adas tocates para La estmct/1ra en geneml. En La Figlua 14-16 se ml1,cstralt Los grados de Libertad de cadIA uno de Los pórticos antes de reaLillAr vLiVLg l1,na operación dictada por LtJ. ideaLizacióJt de La estntctltra en generaL. Dado 1.1,1,e halj dos tipos [le viglA. IUta de 6 lit ae L,u lj otras de J 111 ete LI12. lj Las col/1.ln¡tas tiene¡t 3 m DLe Lcmgit/1DL en el wimer r,iso lj 2.5 m en eL 5eglHtDLo lj tercer piso; se CULCltLWL elt coorde¡·tadas gloL'I{;Lles deL ¡·;órtico. Ll,iS matrices de rLgLdez de estos Clloutro tiros (te eLeme¡ttos. r'arIA desrll1.és re(,iLizar el e¡tsw1üJluje tíLl' Lu l'lt(A.triz ete rigidez de lodlJ!. LIA eslmallom lj iA:feCLcA-rLas (;/,ebiDLo u Lc;t 1.L1.eaLizc,tcLóVl ete tortlA LIA eSlrtloCUwA..

Dinámica est ructural aplicada al diseño sísmico ~;

"'~~

~ ~

c.L

pórücoTiro - A

Pórtico Tipo - B

1 1

Pórtico Tipo - e

Figura 14-16 - Ejemplo 14-4 - Grados de libertad de los pórticos individuales

Ei efecto ae ailltjrlltg Vltllt en clltallt pórtico iltaiviali-lItL se rljiej lit lit trnvés ae q Ite no ILlIt~ rosibiLialltd cie dgormlltciolteS lAXilltLes en LlIts vigllts. Esto se Logm lItr¡LiClltltcio eL ryocedivnieltto qllR se exr¡LiCGt aetlltLLlItcilltl1teltte en LiA. Sección 11.3.1 (/tl). Los gmdos cie Lillertlltci qlw rennc-Htecen son los mostmdos elt LlIt Fig/tm 1'/--17.

1 ~

~,....,-~ ~I-~I----;" ~""'.....IIl.II---I.II Pórtico TiY10 - A

PórticoTipo - B

Pórtico Ti/10 - e

Figura 14-17 - Ejemplo 14-4 - Grados de libertad que permanecen después de hacer las vigas inextensibles

LilfgO Illlt~ ltecesiaud de coltdmslltr Los gmcios de LilJertlltci verucuíes. Esto se Logm uy¡Licwtdo el pyoceciivnimto q/~R se expLicu cietuLLualltVlteltte en LlIt Sección 11.3.1 (e). Los gmdos de Lillertud o, ae J'lemtGUteCelt son Los mostm.aos en LlIt FiglMlIt 14-18.

~r-""':"

C' -~--~

(?-. ....

e ~t--..Iaof!--Aot Pórtico Tipo - A

Pórtico Tipo - B

Pórtico TiYlo - e

Figura 14-18 - Ejemplo 14-4 - Grados de !ibertad que permanecen después de condensar los grados de Iit'ertad verticales

Al 10m ILlItlj ltece.'>icilltd de coltcienslltr Los gmdos de Li/tlertlltd rotlltciOltlltLes ae CGtdllt ltltdo. Esto se LogrGL lItpliCGtftdo eL YlyoceaimÍE'l:to (/jIte se expLicllt cietlltLLlItc;{w1teH.te en LlIt Secciém 11.J.1(ci), Los gmdos de Liloertlltd {/jIte remtGLfteCen son Los mostruaos en LlIt Figltm 14-19. Los ütlltLes SOH los correspOltdiefttes lit Los efectos horizontates de Los pórticos.

Pórtico Tipo - A

Pórtico Tipo - B

Pórtico TirIo - e

Figura 14-19 - Ejemr10 14-4 - Grados de libertad que permanecen después de condensar los grados de libertad rotacionales

&-.

454

Ij -

1-'1:-· IUIUUSlS IIlUUU/ ( / U I I U / U Y " U

Desr)/~,és de reetLizetr Lets ol"cmcimtes etrJYorJietdets. se ohuenen Lets sigtüefttes vvulLtrices ae rigiacz ete Los rórticos rJlA.Yet ejectos IwrizontuLes, evl. kN/I11,:

Pórtico Tipo - A tgdl u 3A n59] u A [KA] = -18068 45140 -30276 2 2359 -30276 48363 uf

[ 15842 -18068

Pórtico TirJo - B

tgdl [

148~

[K B ] = -17929

-17929 3299] u~ 36692 -21507 u 2B

3299 -21507

u ¡B

31954

PÓrtico TirIo - e .1-gdl [ 14854 [K c ] == -17271

C -1727~] u 2

u e¡

30936

A¡wm etetlevVLos trW1.8'orvVLetr Los grlA.aOS ete lÜlertlA.et plJl.ret cte.<>pLtJl.ZlA.vvüentos IwrizofttlJl.Les de CtJI.dlA. lULO ete Los rlórücos IJI. Los grlJl.dos de LitJertl!.et gLotllJl.Les eLe LIJI. esCfH,cl/1.ret total. Los CI1.IJI.Les se ml1.estrw1. eft Let Figl1,m 14-15. EL rJyoceliLmiento pam reetLi?Jcr esta opemción se ·preseftta eVL etetlJl.LLe en LIJI. Sección 11.3.1 (e). Los etlJl.tos geovnétricos de CtJI.dlJl. 11.11.0 de Los rJórticos se presef1.tcut Cf1. LIJI.s sig/úefttes tLlLbLIJI.s. Los rlMrimetros Xa, Ya X¡,. Yb. d. a. r¡. rz !:1 r3 estrivL defu1.ietos en LIJI. Sección 11.3.1 (e). pis~)s 1 ij 2

EL cevLtroLlú' Let iO'>et de dL0JmgvftlJl. es:ú Cft Lti\.s cocJI'dm!ILdlJl.s x = 6.00m !J y = 3.50m

Eje A

Tiro

0.00

12.00

0.00

1 3

0.00 0.00 6.nO 12.00

12.00 0.00 6.00 1200

7.00 7.00

B B

0.00 7.00 0.00

O.()() 0.00

7.00 7.00

d 12.00 12.00 7.00 7.00 7.00

cosa.

sena.

r¡

0° 0° 90 90° 90°

1.00 1.00 000 0.00

0.00 0.00 1.00 1.00 1.00

3.50 -3.50 -6.00 0.00 6.00

3.50 -3.50

0.00

EL centyoide Let Loset de etilJl.Jmgma está eVL LIJI.s coordef1.lJI.dlJl.s x = 3.00m Ij y = 3.S0m Eje

TiWJ

A B 1 2 :3

A A B B

Xa 0.00 0.00 0.00

cosa.

sena.

6.00 6.00

d 6.00 6.00 7.00 700

0.00

0° 0 90 90

1.00 1.00 0.00 0.00

0.00 1.00

3.50 -3.50 -3.00

1.00

3.00

7.00 0.00

0.00

6.00

000

(y.OO

0.00 7.00 7.00 7.00

455

0.00

-(¡.OO (lOO

(¡.OO

Dinámica estructural aplicada a! diseño sísmico

uWizctvu;to Los etcttos ctvLteriores, se /'ll1,eeteVL etetermiVLctr Lcts mcttrices ete tmvL8'ormctcióft [T p ] de metIA. IM1.OS ete Los fJórticos, cm11.O se vn/1.eslmv¡, ct cov\'tÍltltctció~t:

o o

3.S

O -3.5

-3.0

O O O

O O

3.0 O O

O 1 6.0

O O

3.5

-3.5

O O O

-6.0 O

O O

O O O O

O 1

O ,3.S

-6.0

O O

Pórtico eje A

-U

Pórtico eje B

Pórtico eje 1

O O O

O O

Pórtico eje 2

1 6.0

Pórtico eje 3

Des/'l Ités ~ie reaLizar Las 0f)('mcíovLes iVLeticaGtas en Lcts SecCiOfteS 11,1 .3(e) a se oLi tiene La siglüeftte Inatriz (¡te rigictez de toGta Lct estnu:t/tm, en IHtidaGtes ete kN/vn Ij kN . vnlm,et: J, gdl

O o: o: - 36.135 o - 35.858 107.57 : o 6.598 -19.794 o o o 117.18 o 656.04 : o -765.38 : -------- -------1-------- ------- --------,------- -------- ------- 36.135 01 90.279 01 - 60.553 o o o O o: o - 35.858 o - 60.286 25.418 o 88.239 -131.03 : o 107.57 - 765.38 : -131.03 2961.6 : o 25.418 - 2137.8 o ------------- -------- --------;---------------+-------- -------- ------o o 4.718 o O: - 60.553 o o: 96.725 o 94.845 - 6.107 Ú 6.598 O', o - 60.286 25.418 : 3449.0 o -19.794 117.18 : o 25.418 - 2137.8 : 01 - 6.107

[__':8;

29.767

4.718

O',

Eft La matriz ete rigietez ete toGtct LlJ, estmct/tm 1'J11.eGte notarse Cj/te 11.0 existe acopte estático (véaJtse La SCCCiÓVL 11 ,5) eVIJre Los g metos ete LiLJC rt(il,et eJt Lct Gtirecciólt x Ij tos de Lcts direccioVLes y Ij z: vnielttms Cjll.e si Lo existe entre Los etesl'JLctlavniel1.tos ete Lcts etirecciOfteS y Ij z. Esto Cjlüere etecír W¡.e si se artiClH1.J/{erzVl,S It La estrrtct/i.m (l.vLÍcct~1teltte en la etirecciól1. x. La estr/{.ctlua 11.0 tiene ftÚtg/Út despLazwl}tieltto en L(il, ciirecciólt y, fti I1.Íltl:JIHtct rot(¡lciólt ete S!1.5 etiaJmgl1·t¡,.l,S, EH COl1.tmposiciólt, si se colocan JI l.erzctS eft La direcciéHt y ,Üticctl1teftte. Los dictJmg mct tíeVLelt lH1.ct rotncíó 11., EL circct ete t(il, los« eteL tercer fiiso es 6 m • 7 m =42 m 2 Por Lo tanto La masa tmsLctciovLctl etc este fJiso es m = 42 m2 • 700 kg/nr' = 29.4 Mg. La vnctSct rot(il,ciolt(il,1 se obtíenen. l'Jara gmGtos ete LiLJert(il,d rotacionules coLow.dos en el centrotde etel eti(il,jragvn(il, (Vf'(il,Se L(il, Secciólt 11.2.2) por 11teetio ete rujo/A. aOltete m es L(il, 11t(il,S(il, trC/l,SLctcimt(il,L Jo es el momento l'JoLctr ete inerci(il, eteL di(il,Jragm(il, Ij A el cirect Gtel ~üaJmgma. Por Lo tanto. La 11t(il,Sa rotacímtctl GteL tercer l'Jiso es:

I 1

I I¡ t

m ab-) =m- (a2 +b 2) = 29.4( m =-J =m - (1 +1 ) =ID- [a --+ - 6 2 +7 2) =208.25 Mg·m2 r A o ab xx YY ab 12 12 12 12

1 ¡

El. cirra Gte l(il,s Losas {¡id primero Ij segltlteto /'liso es 12 m . 7 m = 84 m 2 . Por Lo tanto L(il, InctSIA. rms/.(il,cíolt(il,l (¡ie estos pisos es ID =84 m2 • 700 kg/m2 =58.8 Mg. La In(il,S(il, rot(il,ciol1.ctL es:

2 2) =58.8 - - (122+7 2) = 945.7 Mg·m2

m m =-J =m( - 1 +1 ) =m(a - - - +ab - - =m( - a +b r A o ab xx YY ab 12 12 12

1 1

14 • .111lÍlísís lIlO([U/ cronotoqicct

lu Inutriz de vnusus es la sig/üeVlte: J-gdl 29.40

U 3x

29.40

0 11

0 1'

U 3y

O O 208.25 : ------ --_._-- r - - - e O

u 3z u 2x

' ----------- ------.1_----O: O O O OT-S8.S0

_____ 0

o o O O ,- o o 945.70 : o o o: o ------ ------ ----- ,------ ------ -------t------ ------ ----_. O:

58.80

u lx

58.80

o' o',

O'1 O,,

U lx U lx

o 945.70

U 2y

TJ 2z

Lus ecIl,aciDV¡'CS de eClj/l,üí/tJI'ío dívuivl'LÍco de la estYllftHYU son las síglüerttes:

29.40

O 29.40

O O

O O O

O O: O O 208.25 : ------ -----O O

O: O'I

O O O O O O o O'I ------ ------T------ ------ -----(¡ O O o' O o: o o o 58.80 o

----OT-58.80

O O O o 945.70 : O O O o: ------ ------ -------1------ ------ -------t------ ------ -----o o O o 58.80 o o o: o:

o o

o'1

0 ,1

31.685

o o

0 I'

o: - 36.135

o o O

o o 945.70

58.80

4.71lS

Ol U 3

o 6.598 -19.794 o -35.858 107.57 : 29.767 o: 117.18 O O O O -765.38 1 O O 656.04 : ------- -------- -------1-------- ------- --------t------- -------- ------01 O, (;0.553 -36.135 o O 90.279 O o o: o - 60.286 25.418 o 88.239 -131.03 : o - 35.858 O 25.418 -2137.8 o 107.57 -765.38 : o -131.03 2961.6 : ------- -------- -------~-------- ------- --------r------- -------- ------4.718 O: - 60.553 o o o O o: 96.725

O 6.598 O -19.794

O', 117.18 :

O -60.286

25.418

l: )

U 3y U 3z U 2x U 2y

U 2z U 1X

25.418 :

94.845

- 6.107

UIx

-2137.8 :

- 6.107

3449.0

U Ix

Les ntodos lj pcrí.()ctos de víbrucíólt son ilt(l/,epeltctíelttes cíe la parte cíerecha cíe las ew,acimtes cíe e0l'úli/tJrío, rJ/teS correspoltcíelt a lus cuYOveterísticus cíe la estmet.JuiA, en vi~Jraciém Líbre. Al resolver el pro¡',lel'nu de valores prorJios rl(J!y¡,tcudo rJOr l/A, a~tterior ('c/,¡,acíó~t cíe CCIj/1.üíbrLO, se o~,tiev¡,e~'j, lasJrecHem.ias lj períoc,(,os mostrados ell la tu/clla sLglücVlLe:

457

Dinámica estructural aplicad« al diseño sísmico Modo

(ji

1 2 :3 4 5 6 7 8 9

(rad/sj> 12S.4 147.8 339.9 1214..5 1234.1 2862.6 2895.7 3085.9 6404.1

(rad/s) 11.33 12.16 18.44 34.85 35.13 53.50 53.81 55.55 80.03

(Hertz) 1.803 1.935 2.934 5.547 5.591 8.515 8.565 8.841 12.736

T (s) 0.5545 0.5168 0.34·08 0.1803 0.1789 0.1174 0.1168 01131 ClO785

Los f11.ocLas ete vikJrrA,cióft corresrJOftetientes son: o

0.10863

0.11752

O - 0.13227

O -0.06870 I

O -0.04630

O - 0.11453

-0.06572

O - 0.01350

O - 0.01316

-0.00026

O -0.05594

-·~21~1

-0.00397

0.02647

0.08946

0.02609

0.09123

0.08491

0.03929

0.01692

0.08644

0.01596

0.01553

-0.00357

0.02234

O - 0.00806

-0.00149

0.00182

- 0.02180

0.05571

0.08706

O - 0.07952

0.05065

0.02926

-0.00620

-0.00201

0.01372

O - 0.01289 O 0.01825

0.02799

-------- --------- -------- -------- --------- -------- --------- -------- --------

-------- --------- -------- -------- --------- -------- --------- -------- -------O

0.08673 O -0.00782

-0.07654 -0.00960

0.01946

Mac.ia 1 (T¡ = 0.555 s)

MacLa 2 (T 2 = 0.517 s)

Macta J (T3 = 0.341 s)

Macto 4 (T4 = 0.180 s)

MacLa 5 (T, = 0.179 s)

MacLa 6 (T6 = 0.117 s)

Moc.io 7 (T7 = 0.117 s)

Macla 8 (Tg = 0.113 s)

Mocto9 (T9 = 0.079 s)

Figura 14-20 - Ejemplo 14-4 - Modos y períodos de vibración de la estructura

458

14 • Análisis modal cronoláqic Para y¡oder idev\Jifical' La preYJmtdeVlA.vu:ia ae caaa VltOao Ilacia caaa U,lta ac Las aLrecciOltes r'rútcipaLes, plwA.e IttiLizarse La masa activa en cada vvuldo, eVl euda IÚrceciéllt. PaVIA. eL gccto se S/tyJOlte Cj/tC ha[j acderacicmes deL terreno en cada U,fta de Las aireecicmes. Au,ltCju.c ItO se disr'OJte de aceLeraciO/tes mtl;Lcio/taLl's deL terreno: 11,0 obstante. al' esta mU/tera YJl1.eue verse La iv\:fL/1.('llfia !OI'siCHtaL de cadu VltocLo IHiLizal1.do luta I·natriz [Yo] Cl1.[juJonnu es: 19d1

1 O O

U 3x

O 1

U 3y

O O 1 --

U 3z

1 O O

U 2x

O 1 O O O 1 - -- _. 1 O O -- - 1-O 1 O -- - rO 01 1 J

U 2y

U 2z

Ulx U 1y U 1z

POI' 111ClÚO de y¡rodltcto siglüe/tte, obtenernos Los valores de [<Xo], Cj/tC (:ú ser etevnnos aL cltadrado ccmesr'cJ/1,delt a La masa activa de cada modo eH esa dirección: O

11.426

- 6.1031

11.730

O 2.6698 39.614 ------- ---------------2.7644 O O

2.7244 -17.754

O -1.3502 -10.541 ------- -------- --------1.3312 O O

O -0.2167

7.3305

0 1-0.0689

3.6123

D irecció 11. y

Dirección X Modo

1II1151t ncti.v<I

()

,3759

4 i

O 7.6419

'1'0

11111511

% II/.nSII

lI/.n5n

% i1IIISn

0j¡,

I1Cl.l 11'\.

nctiv'l

toru!

I1Cl.lIH.

nciiv¡,

torn!

nCHl1I

88.82%

37;>,17

77 e;,-;)

., 77SJ.,

93.ÜO%

93.60"/0

93.67%

O 1569.3

74.74%

76.5i %

O 3 i5.21 11111

15.01'% 5.29%

91.52%

99.37% 10000%

i30.50 (j

4-.85%

71278

O 7.4386

1.8230

1.7721

8 iJ

Dirección z (rotI1ci.oltf.ll)

% 11111511 totn!

5.20%

1.21 %

9880%

100.0%

5.06'10

98.73%

1.24%

99.97%

O 00470 0.0047

)

9t).82%J

0.03% 0.003%

99.99%1

53.736

;>.5ü%

10000%

13.049

0.63%

De esta InlA-lteVIA. 11.e/ltOS covifmnado, Lo qlte es evide/tte de La Figu,va 14-20, dOltde se I1tl.J.estvalt tos 111Ddos; Cj/te La CS[V1teU,¡,vr7. ~Sl¿¡' (lesuco¡'iLl/tcl.a en eL se l1.tido x !:1 1íJ'.J.e Los tres modos en esta direcciólt corresr'oltde/t aL r, 4.° !j 7". E/t Los otros 111Ddos Ila!j tl1.teraceiéllt eutre Los despLazamielttos elt La direcciólt y [j Las rotaciones de Los diaJra01n1A-S, alUtCjI1.e Los modos 1". ')" !j 6° tie/tevl wepoltderal1.cia Ilaciu Los desYJLazw1üelttos en Lu direecLém y. mientras líjltC los 111.0UOS T, ¡.j" !j 9° son csc/tciaLmelttc torsioaates

4'5.9

Dinámica estructural apticcuía al diseño sísmico

Ahom SltrmtgGU'Y\,()s Cj/H~ La estrttctltm es SOfltetUia a Las dos cmnrlmtefttes (N5 11 EW) deL reg~stro ¡;:(,e CorraLLtos. cieL tembLor de Loma Prieta, caLifomia ¡;:(,eL 17 de octubre ¡;:(,e 1989 (véase La Figlua 5-13). PrLfl1ero ddlemos ccüc/üar Los coeJidefttes ¡;:(,e ¡Jartidpacióft modaL pam ¡;:(,os COVJctrlOltt'lttes aceLerogrr5tji.cas. SH.pm1eVVLOS Cj11.e La cmnpOlteltte NS del reg~stro es coLLvteaL con La direcciéHt x eIt r,Lanta de La estrrtetltra. lj La cof'ltponcntc EW con. Lct d~recdéHt y elt pLaltta de La estr/tetlira. Los coejicicntes de participaciólt se olJtielteJ1. de:

!J el vector cle (íl.ceLemC~mtes del terreno tiene La siglüeltleJorma:

fxox} == {x. NS}

{X..o}2xl == l"

,-X Oy

X EW

ri.cHtde XNS corresrJOltde a Las aceLemciovLes Cll Lu direcciólt N5 ¡;:(,eL registro del tembLor de LOlnu Prietu en eL sitio de cormLUus.!J GUtúLogameJtle xEW corresr'OItClt' u Las aceLemdcHtes elt Lu direccicHt EW deL mismo reg~stro. Alwwv Lu mutrlZ [y] se JorvvLli.Lu Uf' uCH.erdo con Lo rlresentudo en La Sección 11.3.1(11.) r¡aro.. este (Uso. coLocal1.do 1m lUtO (1) si Lu ecuucíón de eCj/úLik1rio es coLüteaL con La aceLemciéwL !J 1m cero (O) si ItO Lo es. Por Lo lUltto. [y] !J [0.] SCHt.· o

11.426

O 1 O O

11.730

~ ~ {:NS}. ~

[a] == [~ y[M][ y] ==

O 1 ....., a 6'!l-'" L . ,~,

O 2.6698 ------- --------2.7644 O O

2.7274

O -------1.3312

---------O

-0.21669

".'"

;).,

-1.3502

O -0.068858

Lo C1i.uL condw:e a Lus sig/üelttes 11./i.eve 2CH.ucimteS con SIl. amortig/tumieftto 11tOdaL (<;. == 0.05):

TlI + 2<;t(OtTh + (Oi11t == -IL426x EW li 2 + 2~2(02ih + (Oi112 == -11.730x N S li3 + 2~3(O3 'Íl3 + (O~113 == -2.6698 x EW li 4 + 2~4(04'Íl4 + (0;114 == -2.7644x Ns lis + 2<;s(Os'Íls + (0;115 == - 2.7274 x EW li 6 + 2~6(06'Íl6 + (O~116 == 1.3502x EW li 7 + 2~7(07'Íl7 + (0;117 == 1.3312x Ns lis + 2<;s(O s'Íls + (O~r¡s == 0.21669x Ew 119 + 2<;9(0 9'Íl9 + (O~r¡9 == 0.068858x EW 460

......

14 • .":!JU/IISIS 11IOUUI (TOIIOI().{fIClI

LCl- respH-estCl- rCl-m m(;tu 1'¡,v¡,U (;te estas eutCl-(Ícm-es (;tesCl-cor¡lCl-(;tCl-s. se obtiene IttULZUVl.(.i,o eL métouo Beta ~te Newvnark, COH IH'\. Cl-Vlwrtigttanüev¡,to (;te ~ = 0,05, EH los grcijlcos sLgtÜelltes se mttestmll ios r¡rLI11NOs 10 s (;te resrJltCS tU. (;tCI1.tro Uf los Cl1.cües SE' rreSCI1.taH los l11.cixivlWS (;teL proceso pum to(;tala extensión (;td aceLerogruma, El'\. los griÁ:ficos se I'IlH,estmVl, eL valor vl1.ciximo fj el valor l11.íHLVVW. 111 (TI =0.555 s) EW I.Sr

1.0

10t

os! (m)

113 (T, = 0.341 s) EW

11! (T2 = 0.517 s) NS I.ST

max

0.5

0.0

(m)

o. O +--'----mHlttttTI't'ft-M-t-"\-1fi-H 1

(m)

.(J,s! ~1.0

-1.0+ _1.5

min

-1.5

114 (T. =0.180 s) NS 003 0.02

O·03

115 rr, =0.179 s) EW

116 (Y. = 0.117 s) EW O.ooST

0.002~

0.02

max

0.01

0.001+

0.01 (m)

0.0

(m)

:::1

min

.(J.002+

118 (T. = 0.113 s) EW

O.()(16

119 (T. =0.079 s) EW

0.00009

max

maJe

0.00006+ o.ooOO3

m;n

.(Joosl

-o.es

117 (T7 = 0.117 s) NS

0.0t""t/1II'fIIF1\I1t1tU'i1i'

.(J.OOlf

(:~:t 00006 .(J 1 .(J.OOOO9

min

·(J.C·04~

min

Figura 14-21- Ejemplo 14-4 - Respuesta de las coordenadas desacopladas

EVI, lu tubia sLgtÜellte se (;tWl los valores ue 11' a 119 CH Vil Cltall(;to OClwell los vHcixU1WS el1, vulor a~Jsolt1.to (;te m(;ta ItVl,U ue dlas: t

(s)

111(t) (m)

2.640 02285578

112(t) (m) 0,0729153

113(t) (m)

2.760 01852514 1;1

2.785 0.2434·763 -1.0183550 -0.0533956 00112332

0.0266987

116(t) (m) 00004254

117(t) (m)

118(t) (m)

00027737 0.0005412

119(t) (m) 00000150

00184281 -0.0005117 -0.0009770 -00015222 -0.0024423 -0.0000589

0.2158750 -1.0413480 -0.0511719 00157783

2.900 02855131

11s(t) (m)

0.0546183 l-o.UL'i' I 'pul 00016393

i,Q4-ZS1001 -0.042999"

2773

114(t) (m)

00075103 -o 0018455 -O 0009713 00140843

00021428

0000537

~OO406~ 00000549

0.0215214 00096880 -O 0147099 -O 0019276

O 0042290 00000008

2974 0.1480720 0.5666564 1°,0611317 -00013865 00180907 0.0009771

00006867 0.0013859 00000105

3160 -0.104-3359

02773'~99 -0.0315602

-00182827 n ,y,,,

4040 -61575692

0.3952467 -0.0253885

0.0101300 -00070(,98 I (" 0(17 ~470 -0.0004550 0.0040880 0.OOOOb84

4-. ;.sO 1,2171360

0.2550215

00270()18

O.OO'lü:H7 ·00026897

461

-00008871

O.OOO1~)21

0.0011468 -0.0006383 -00000373

-00005726 0.0009453

o ()000013

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Des nLílZ(;ut'Üe11,(0S:

[VL LCt F~gli,m 14--22 se m/l,estmvL Los privvLeros 10 s ete resp/l,estCt. etel1.tro ete Los c/l,CtLes se preselttw1. Los 111.r.búnos eteL rlrCJceso rCtm toetCt LCt extcnsiórt eteL CtcelerogrmHu

oosl (m)

o.os -o"

,~.,,-~~, \Í V Y V/lO

I "." 2V

0.0

V'6

0.002

0.05 0.0 +--""".,j-j+lJlI++-H+~I+J-1H-\-+i+fil+H<

(m)

-o.o:»

:(s)

-0.10

trad¡ O.O~~"'c+tIW't-H-/-ll-I+Mm-'t+'1j'¡-f1rftH 1 2 -0002 1

-0.15 1

-0004 -0.006

min

max

0.10

0.002

0.0 +-"""""'''''"i+V'H+t+/I-t+IlH+"\l-Mcif-tflrf-1-I'

(.attIO.O

-oosf -0.

(m)

1 004

-0.15

-0 -0006

0.15

0.006¡

0.10

0.004

l(lO)

min

0.002

0.0 +----..q+IArl+H+\+\-JW¡-f'>.;AfId-'h'l

(m)

t(s)

002

0.05

0.0 t-..;.-.-Iod-mAA+W'r-N'd-'-''rA-N\;y>.,Ad

-0.05

min

0004

0.05 (m)

'-¡ .Ji~J~\i\tV\f.!\

0.15

~::~¡

max

0.004

-0.15

0.006

max

~:::I

(.att) O.Ot--.-...d+Mf\+1r1+-i~+\-li~'l',flwtA.

-o.OS

min

tes)

-0.002

-0.10

-0.004

-0.15

-0.006

Figura 14-22 - Ejemplo 14-4 - Respuesta para cada uno de los gradl.ls d~ ;i¡'~rtad dE: la estr::c:tura

[11. LCt t:Ct~,LCt siglüel1.te se etcm Los valores ete Los etespLCtzCtltüelttos. en m o el1. metiCtVI.eS. Se etCtl1. rCtrCt Los valores ete ten s. en Los c/l,CtLes ocurren Vl1.W<ivll.()" ete LCts cooreteltCtetCts geltemLLzCtetus. Se ~LCt coLoCCtcio Ctetemtis Los valores mw<~mo posóvo lj mW<if'Y\.o ltegCtÜVO prMCt muCt grrlteto ete Libe rtCtet. t

U3x

U3y

U3z

U2x

U2y

U2z

u.,

'Jiz

(s)

(ro)

(rad)

(lTI)

(ro)

(rad)

(ro)

(m)

(rad)

2.64-0

0010978

-0029612

0.002301

0.00614-5

0017187

0002023

0.001737

-0.009877

0.001202

2 760

-0116124

0023918

-0.0017311

78.0933971

0.013907

-0.0016191 -8.05663°1

0008188

-0.000995

2.773

-0.115142

0027056

-0.002084

-0.092835

0.016220

-0001977

-0.056564-

0.010283

-0.001253

2785

-0.112073

0.029675

'0.002315

-0.090857

0018556

-0.002179

-0055713

0.012214-

-0.001394

2.900

0.003972

0.034426

-0.000133

0.002415

0.024605

-0.000425

0.000401

0.014-018

-0.000222

2.974

0.061786

0012416

0.000715

0.050594

0015388

0000692

0.031503

0.010765

0.000416

3.160

0.032468

-0013040

-0.000651

0.024439

-0.009846

-0.0004°4

0.013769

-0.004385

0.000385

4.040

0044307

-0.016737

0.OG018 I

0035053

-0.014236

0000055

0.021174

-0009562

0.000078 -0.002038

'1480

-0028342

O 14-2070

-0004·130

-0.022799

0104392

000371?

-OO~:; 7'))

0.062186

111<lX

0087518

01'11070

000+tJ46

0.OtJSS9'1-

0.104392

0.0041+4-

0.0+3003

0.06218b

0.002393

~IH¡1

-O.; ":b12¡1

-o ¡ 29924

0.00+409

-OO'J~n67

Q,()\)!)()70

0003°("\',

-OOStJb32

-OO~) 7696

·000218')

14 • ~'l.ll(l/ISIS 1110(/(// (TO//O/U!J/{"f)

Para uetervvüvLar Las Jlterzas UterciaLes I/jI1,e iVttrOlte eL sisvvw sohre La estrl1,ct/aa eVL CltaLl/jlüer iltst.avLte se vltlÜÜr1Lica La Inatriz de rigidez de touu La estrttct/ua por Los uesrlLazwnievtlos:

Elt La FiglUU 14-23 se fnl1Cstrwt los primeras 10 s de res rlltesta, LieHtra cie Los CltuLes se prE'SC/ttwt Los valores de lasj/tE'uas ilterciales,

BOO 600 400 200 (kN) O -200 -400 -600 -BOO

600T

800T 600t 400t 200·

f 1

max

,400 200

(kNJO!

(kN"IIl)O

-2000 -400+ -600, -BOO"

-200

I(s)

min

F 2y

max

F 2z

max

800, 600, 400' 200t

(kN)o

2('0

-400 -BOO

min

F 1z

F 1y BOO, 600t 400, 200~

max

(kN)O

IkN)O'

-200 -400 -BaO -800

-200 0 -400+ -600+ -800'

-200

F Ix 800 600 400 200

(kN'm)o

-2000 -400, -SOO'. -800·

min

max

600 400

(kN)0

-200 -400 ·600 -BOO

mtn

0 -40 -600

min

F 2x BOOT 600 400 200

F 3z

F3y

F3x

'!ll

min

Figura 14-23 - Ejemplo 14-4 - Fuerzas inerciales

EH La tabLa sig/üevtte se dwt los valores cie lv'.s jll-erzus Íltcrciales, en kN o eVl I<N·ln. Se preselltafl paru Los valores cie t eH s. en los C/tales OClurCH máxil1tos ete Las coordcHadl,'.s gCfteraLizacias, CCll1l0 Los valores máxiwLos rJara La resrlltesta Otile/licia. t

F 3x

F3y

F3z

F2x

F2y

F2z

FIx

Fl y

(s)

(kN) -;36.5

(kN-m) 102.

(kN)

2.640

(kN) 132.4

(kN) -~_{3 .8

(kN-m) 475.2

(kN) -; '126

(kN) -5':.9

(kN-m) :~Oj .3

2.760

-572.7

112.8

-: 2.7

-803.

62.8

38'1.7

372.0

60.9

-')IJ '1 u ,) t I . J

2.773

560.5

103.7

-oe-

795.3

68.4

-535.7

-392.CJ

133.3

~?/1.8

2.785

-530.8

9; .7

-;43

779.1

87.0

-629.4

·415.9

188.7

2900

40.5

193.6

50.2

141.6

154.0

-88.7

63.9

2.974

278 ;

44.9

I 212.1o I

I -61=:.7 I

427.3

1835

206.'1

2750

1904

-365.5

5.1

5L~". 7

15.t:,

3.160

210.6

-109.5

-94.5

199.4

S1.9

81.4·

; 18.0 -312 ()

4.040

237. ;

-46.5

-15 -;./

28; .3

-84./

-438

134.5

1582

; <s.s

44S0

-139.2

536.5

iO:::.]

-19(jO

803.4

305.2

-87.2

4600

106.6

mux

:l4S l'

S36.:1

2;2

(ji:) .6

SOC,.s

666.4

S03.0

460.0

447/

VYtlVt.

S72/

496./

2~(, ..·,~

",en

-70(,Q

('·90L)

-.'191-.7

4n.9

6;;.>

1'1 I 1.-,

4f¡a

Iiuámica estructural aplicada al diseño sísmico Corte basaL eJ1 cada cÜreCcLÓJ1 ¡;¡rÜ'LC.i¡%tL 11 VVLOll1ento torsionaL eJ1 La base: Para detenninar Las reaccLol1es ef1 La base f/jlte ind/~,cen Las J/~,erzas iJ'LCrcLaLes f/jH,e ivn¡JOf'LC el sismo sobre La estn«:tH,ra eJ1 (f1,aLqlüer ínstanre se SI1,/·nal1 Las Jlterzas eJ1 eL seJILtido x. el1 el senuuo y. IJ Los J11OIneJ1tos torsioJlLaLes de toda La estrl1,ctlua. Los res/tLtados, para Los rJ1'ivneros 10 s deL SíSJ'l10 se mllestraJ1 el1 La Fiwtra 14-24. 2000} 1500

Corte

BasaL Smtido x (NS)

max

1000 500

(kN)

-500 -1000 -1500

min

-2000

max

2000l 1500

Corte BasaL

1000 500

(kN)

Scatido y

-500

(EW)

-1000

-1500

-zooo

~~~~ I

0rf

Momeftto

TorsioJlLaL IftCrcLaL

max

1000

500

~'m) -500

-1000 -1500

min

-2000

Figura 14-24 - Ejamplo 14-4 - Fuerz3S e~ 13base de 19estructure

Ef1 La sig aieJtte

tabLa se vltllestral1 Los vatores

o~¡tevüdos (.H,aJ1do

Las coordeJtadas

gelteraLizudas tíeJ1CI1 11.11 vutor InlÁXímo. IJ Los JnlÁXíVl10s ot¡tevüdos, d.llraf1te toda La resp/testa:

(kN)

(kN'm)

34.6 -1748.4

-282.3 236.5

878.6 -740.3

2.773

-1748,8

305.4

-1061.1

2.785 2.900 2.974 3.160 4.040

-1725.8

367.5 399.2 328.9 -110.0 -289.4·

-1256.4

2.0 980.5 415.1 (S).O

4.480

-4·25.4·

1799.9

-515.1

max

134·0.8 (=3.60 s -1750.0 {=2 78 s

1799.9 (=4-.48 s

1262.1 t=4.70 s -1368.2 t=2.80 s

(s)

2.640 2.760

milt

-1676.3 {='l18 s

-'1!;4

350.5 312.6 -772.9 -37.0

14 • -,,'ll1((/lSIS IIIU/IIII (TlJ/IlJllJYIUJ

Des;') Lazcunintlos 1wrizontaLes ae Los kJÓrticos Los eteSpLazw1Üelttos ae caeta nvLO ae Los pórticos se obLieVLelt a partir etc Los etespLazaVlüentos de taaa La estntctlua. por Ineaio ete:

Por ejeVl1-pLo. para eL pórtico eteL eje A se obtielteVL Los aespLazavltielttos honzontaíes elt maa !tllO ete Los rJisos. rJara Los privneros 10 s ae respl1.esta. mostrarlos el1- La Figltra 14-25, Pórtico eje A

Tercer pi.so nA 3

::~

0.05

.:+

(m)

-0.10 -0.15

-~~ ~ 1

w Cl

2'.1

max

1\ 1\ I\:!' '" V~ .4\f\V ?"ia V

3~('J

\/"6

9 V

us) 10

min

0,15

rórt ico eje A Se el lA ¡¡de raso

u 2A

0.10 0.05

f\ I\:i'-~ t(s)

0.0 -0.05

(m)

\{j V g>J 10

-0.10 -0.15

Pórtico eje A rrilller piso

~max

nA 1

(m)

Figura 14-25 - Ejemplo 14-4 - Desplllzamientos horizontales del pórtico del eje A

Los valores máximos ete Los etespLazamiel1-tos IwrizOIttlJtLes obtnüetos son Los sig¡tientes: u 3A (ro)

nA 2

nA 1

(ro)

(ro) I = 3(¡ü s

004708¡) ell [ = 3,uO <

277 ,

00612b3 ell I ·-2./75

111.lAX

0,09052b eH t ~ .3lJO s

O.07Su7~; ell

mi¡t

O ,223t", eH t = 277 s

-OO,?oOSO el¡ t

Derivas ete Los nisos COH bDLse en Los etespLazaVltiel1-tos IwrizcmJaLes ae Los pisos eteL rórUco es rlOsibLe mLmLar LlJts cierivas ae mvta uno vte Los pisos vteL pórtico. COf1W el desrJLazDLmiel1-to retutívo entre /1.11- rJiso lj eL q/te está il1.l1tediDLtDLl1tel1-te ddJlJtjo. dividido por LIJt aLU-t.ra deL riso Así se o~JtielteVL Los sig/tientes valores máximos. lj LDL vDLrilJtció¡1- en el tiemro mostradlJt en La Figl~.rIJt 14-26.

InlAX

mi~'\

(%h)

e/1.t=3.60s -0.93% ej1- L= 2.77 s

1 .14%el'\!=3óOs -1.56% ('11 t = 2.77 s

-2.04% eH t = 2.77 s

0.61%

1.57% eHt=3.60s

Dinámica estructural aplicada al diseño sismico 2% 1%

Derivus Pórtico eje A

(%h)

2 -1% -2%

Figura 14-26 - Ejemplo 14-4 - Derivas del pórtico del eje A

Flterzus eVl tos etevvlelttos CovlOcie¡tdo tos desy,tuZ&llltieHtos horizontutes tiet Ylórüco es YJosi!"te tietennÍftur tos vuíores tic tos uesptuzumielttos (,{e toaos tos gmtios tic titJertud lIjlH' se hut,íGut cOfttieltS&Ltio. Esto se togm y'or metiio tic tl.l siglüevlte oYJerucióH:

Ultu vez se tiCltelt tos tiesYJtuZ&Lll'tÍelttos de torios tos gruttos de titlert(~d etet /'lórtico. es /'lOSitlte uetennilt&Lr t&LsjH.erZ&LS eH tos etevnentos. /ltlt!tiYJLimntio tos desYltuz&Lmientos (~y'roy,i&Lrios YJOr tu In&Ltriz ue rigiriez rieL etemento. o Htílizcutrio pi y,yorrriÍlnielttn eXYJLime,(,o elt t(~ Secciólt 8.8. en el CJ1.&Lt se empte&L t(~ vn&Ltriz [KT], tu CtHlt YJervvüte encontrar tus jtterZ&Ls elt Los etementos en roonienuu&Ls tomtes IHitizwtrio tos riesYJtuzmnicltWs cn coorrielt&Lti&Ls gtob&Ltes det y¡órüco. uütiZ&LltuO este líttimo rrocedivnieltto rum t&LS JI i.e rzus de tu vig(,t det rrimer riso det Ylórtico uet eje A. toc&Ltiz&Ld&L entre tos ejes 1 1:1 2. se eltCitentrWt tos siglüev.tes valores /'l&Lm L&LsjH.erzus en el elemento en coordelturi&Ls locales. 600 T

rórtico eje A Vl<ln entre ejes 1 Ij 2 pnll'er piso

Momentos (kN-m)

extremo izquierdo Fextremo derecho

400 I

200

o +----'\-"=;--.....-200

MA~\-Alfvj\ f1!Vvv.,'

~ ~ V~ sV

7 \j

-400

-600 200

r<',rtl.m cie A Vliln cutre ejes 1 112.

pnlller piso

Fuerza cortante (kN)

100

o +--"f"",.-...¡.L-\--+-l+-/-+-,H--H-+t\-!--'\N++---,.J'-\-+-\+\-+!\-f-'\d-l t(s) 10

2 -100

-200

Figura 14-27 - Ejemplo 14-4 - Fuerzas en la viga del primer piso entre ejes 1 y 2 del pórtico del eje A

No tiene jtterzu lA.Xi&Lt ri&Lrio lijlte huce /'l&Lrte riet rii&Ljm.g¡na. Los valores 11tW<il·1WS rum tus jlterzas ri.e t&L vigu entre ejes 1 1:1 2 det rrimer YJiso tieL rórtico deL eje A son tos siglúentes:

mlA.X 111,1.11

Momento izquierda (kN'm)

Momento derecha (kN'm)

Fuerza axial (kN)

Fuerza cortante (kN)

599.5. t =2.78 S -454.6. t =3.60 S

452.7. t =2.78 S -343.1. t =] .60 S

0.0 0.0

175.4. t =2.78 S -133.0. t. =3.60 S

utiHzcutao el I1ÜSVVU¡ rlroceaLf'lÜeltto pum Lusjll,erz(/l,S ae LfA, coLH,j,n~t(/l, aeL eje 1 aeL printer rlisO aeL rlórtico aeL eje A se e/tCf{,('/'ttrcut Los siglüentes valores p(/l,m L(/l,s jl~,erl(/l,S evl, el eLC/1teltto en coorae/'\,(/l,am Loc(/l,Les, 500

rórllCU ele A Col.lA 11\.lln eje 1

250

prllller pi.so

O+-......,.-.;!d=-"""k;:+--Ht-l-+-H-+-+-+--tf--\:-+"~-+-''"''tr+-\-+++-+tf-++''t-J

Momentos (kN'm)

-2 50

-500

500,

rórtico ej e A Col.lA 11'11111 eje 1

250+ I

11fI·lIlér r·HSO

Fuerza axial (kN)

()

250 -

-500 J500 T

rórtl-cu eje /\ COl.lAIII.IICl eje 1 p ruuer jnso

250 I

Fuerza cortante (kN)

-250

~ +

-500 Figura 14-28 - Ejemplo 14-4 - Fuerzas en la columna del primer piso de; eje 1 del pórtico del eje A

Los vatores fltrixitnos YJlítm LusJ,f,erzas ae La COL1U'ltltlít aeL eje 1 deL primer ¡:lLSO aeL pórtico de!

rje A ~()It Los sigJJ,Íefttes:

1'ltW<

vnÍlt

Momento arriba

Momento abajo

(kN'm)

301.6, t =3.60 S -389,4, t =2,78 S

Fuerza axial

Fuerza cortante (kN)

---.!kN)

38],9, t =3,60 S --497,9, t =2.78 S

256.6, t =3,óQ s -358.3, t=2,78s

228.5, L ~J,6C S -295,8, t~2,78s

Fuerza axial P (kN) 400 300

300 400 500 Momento M (kN'm)

P Figura 14-29 - Ejemplo 14-4 - M vs. P en la columna del primer piso del eje 1 del pórtico del eje A

ser

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

LtA. JnerztA. U el Vl1DVvtevtto se pttedevl grtA.Jlcar de La VVÚSVYla mavtcrtA. COVlW se tüLL~ztA. partA. eL d~seVtü de COLttVV1J1JlS de concreto r~OI'zado rJOI' med~o de 1m d~agrama de interacción. EVl LtA. Figlua 14-29 se 11tI1,cStrtA.Vt Los valores de f1WVl1eVttO Ij SI1. COrreSflOl'Ld~evLteJI1.eYla w<~aL flartA. La COLW11.itIA- tteL prü'ltrr YJiso. eje 1. del y¡órüco deL eje A. Se dibl1jarovt IW'Lto partA. et VVtOVl1eVLtO l.uri~lu COI'ltO YJum eL i'ltOf1tCfttO IA-tJujo. A LusJIl,cYlIA.S !/j/1,c se preseVltai'L elt La Figl1,ya 14-29 se Le ddJel'L acüciOl'LlA.r LasJIl,crztA.S !/jll.e estéft tA.ctltwtdo sobre itA. estm,ctltYa el'L el 11Wll1el'LtO !/jIte se u'LLda La respll,csta IA.L SiSf11D. EVl este caso. se CtA-LmLu IUttA.JI terztA. W<LaL detJidIA. lít La VI'LasIA. de La estn1octltrtA.. Il.tLLLzUi'Ldo eL áretA. aJerel'Lte tA. LtA. COLI1.i11.ltlA.. Es ItA. JI te rzIA. W<LaL es 0.700 kg/m" • 6/2 m • 7/2 m • 9.8 m/s 2= 72 kN/piso. Lo cl1otA.L nos coVldltce a IU'LtA.jlterztA. W<LaL de P 216 kN en el YJrimer rLSO. EL f1Wf11eI'LtO se estLmtA. ll.tiL~z¡;mdo Los procedimielttos LltdiCtA.dos el'L [Carcía, 1991]. Lo CIl.uL coVldltCC tA. 11.I'L valor de M 8.7 kN·m. E/t LIA. Fígll.rtA. 14-30 se fllít aU·nYlítdo el diagrw11.a de Íf'LtertA.CCiÓVl de resLsteJ'Lda vu:m'LÍftaL (SÜ'L <1». NIn vs, Po, P17.rtA. tu. COLLU11.i'L(;\' de 0.3 m ror 0.3 m úe sección. COVl IHttA. cl1.aVltía de rejll.erzo Lm'Lg~wain.uL PI = 0.023 Ij COV!. JH'LtA. resisteltCLIA. del concreto de = 28.6 MPa 0 I·m IA.cero COI'L resistCllcLIA- lít LtA.ftl1.('ncLtA. f y =430 MPa.

Fuerza axial P (kN) 3000

Diagrama de interacción

Momento debido a la masa (B.7kN.m)

Mvs.P

arriba

F:Jerza axial

Mvs.P

debida a la masa (216 kN)

abajo

-500

-400

-300

-200

200

300

400

500

Momento M (kN'm) -1000

Figura 14-30 - Ejemplo 14-4 - M vs. P en la columna del primer piso del eje 1 del pórtico del eje A

EL f1WCl.eLlJ HtlA.tewuiüco empLelA.c/.o eVL este ejempLo nene LIA. desveVltlA.jlA- de líJlte no fllA.lj COf11.YJtA.titJiLidlA.d de L(A.s dtj'oYf1'LlA.cumes verucates de Los Vlltdos de Los y¡órÜcos líJlte LLegtA.i'L orto00f'LIA.Lf11.Cltte aL mLsm.o i'Lltdo. Por ejei1'LrLo. LtA. COLI1oml'Llít estltdiadu uitteriormeittc ILtA.ce fiarte del pórtico del eje A. yJero a SI1. vez tam~~éf1. hlA.ce YJarte del pórtico del eje 1. LasJ/u'Ylas iVltentlítS íjH,c se ohuenen. proviel1eft de Los resl,1,Ltados eVl CCtdtA. uistante rara cadtA. H.I1D de Los pórticos Íltde~'ei1.diel1.temel1.te, C0111D JlV\.ltestra La Figl10ra 14-31.

L;· · ~

De LCts seis COmflOI1eI1.tes c/.e jiterza LVLtemas Q11.e pl1,cde tener IUt eLeVVLCI'Lto tridÍl11.Ci'LSLOI'LaL La 11.I'LLca CjlteJIA.LtlA. es LIA. torsión con respecto aLeje LOft0~t11odÍltCtL deL eLe meato. Los dos mementos ]Lectores están dfj1Vl.Ldos con resfleci:o lA. ejes 111.11.ClttA.lnente perpe Vld LCltLtA.res. ror Lo taltto son ÍftdqJeftdLefttes, f:1 corresuonaen lít Los dos Vl1.Of11.Cf1.toS ííjH.e t:.iel.-:Jei1. eJlV\.flLearse el1. el c/.LseVtü tJiw<LtA.L de tIA. coLIH1tlta. LtA.s dosJ11,crZCtS W<LuLes SOVl covlcordal1.tes Ij t¿eltel'L valores diferel'Ltes de~Ldo tA. LIA. IA.ltSeltCLu de complA.tibLLLdwi de dtj'ormlítcLOI1.CS verucales en el ft/tdo. Lv!. Jl1.erza w<itA.L u em~¡LelA.r en eL cüseVtü c/.e La COLltml1.1A. c/.dJe O~JtefterSe COJlJto La Sltl11.tA. c/.e íus dosJlterztA.S w<LtA.Les ~JroveitLelttes de cada pórtico LI1.de¡rJe~'Lc/.ieVlte. o sea tomanc/.o P = PI + P A .

468

1..:J.. • .lilUUISIS IlIUU(,{C t. ' V I n'H'~Jn. ..,

(E-W")-

Columna Eje1xEjeA Piso 1

Columna

Eje A x Eje 1 Piso 1

Figura 14-31- Ejemplo 14-4 - Fuerzas en columnas comunes a dos pórticos

Lv. dE1ideI1üiA- iA-vtOtiA-diA- del VfwdeLo VVLiA-tevvlúÜCO rJ/1,cde corregirse evvlpLe(A-'t¡;to /1.lt vvwdeLo de rórüco espuduL ev\, el UtuL si existe esta co¡nrJiA-tibiLidud lj udemlis se ohtiene Lu torsión

UltSei1te eJIL el modeLo emrJLeudo.

Del Ejemplo 14-4 pueden derivarse algunas conclusiones que son importantes para entender los resultados de este tipo de análisis cronológicos y que serán de mucha utilidad en la interpretación del análisis modal espectral que se presenta en el Capítulo 15. Los acelerogramas empleados en el ejemplo se muestran en la Figura 5-13. El! la Figura 5-14 se presentan las aceleraciones que produce el registro en el plano Tontal. E8 evidente allí la gran irregularidad de los movimientos. Indudablemente esta irregularidad se manifiesta en la respuesta que se obtienen para la estructura empleada. Un aspecto importante de notar, en la Figura 14-21 del Ejemplo 14-4, es que los máximos de la respuesta para las coordenadas desacopladas {r¡}, OCUlTen en los primeros 5 s del acelerograma. Para estructuras con períodos más largos, es muy probable que la respuesta máxima se presente más tarde. En la tabla que acompaña la Figura 14-21 puede verse que las respuestas máximas para cada coordenada desacoplada, y por ende para cada modo de vibración se presentan a los 2.64 s y a los 4.48 s de iniciada la respuesta. En esta tabla solo se han colocado los tiempos para los valores máximos de la respuesta en valor absoluto, aunque se ha conservado su signo. Sólo se presentan los máximos en valor absoluto dado que estos valores corresponden a los valores que se leerían de un espectro de desplazamientos, como lo indica la definición de espectro de respuesta dada en la ecuación (5-2). Cuando se realiza la transformación de las coordenadas desacopladas {r¡}, a los grados de libertad de la estructura {U}, es evidente en la Figura 14-22, que los valores máximos para los desplazamientos en la dirección x y en la dirección y siguen presentándose en el mismo instante en que ocurrió el máximo para el primero y el segundo modo respectivamente (t = 4.48 s y t = 2.76 s), Para los grados de libertad rotacionales, los máximos no coinciden con ninguno de los tiempos a que se presentó un máximo de las coordenadas desacopladas.

469

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Cuando se obtienen las fuerzas inerciales {F}, Figura 14-23, puede verse en la tabla que acompaña la figura, que algunos valores de las fuerzas inerciales tienen su valor máximo en el momento en que ocurre un máximo en las coordenadas desacopladas {11}, pero no para todas ellas. No obstante, al calcular el corte basal en cada dirección y el momento torsional de toda la estructura, el valor máximo del corte basal en la dirección y coincide (t = 4.48 s) con la ocurrencia del máximo valor para la coordenada desacoplada del primer modo, y en la dirección x está muy cerca del instante (t = 2.76 s) en que ocurre el máximo de la coordenada desacoplada del segundo modo. Cuando se calculan los desplazamientos del pórtico del eje A, puede verse en la Figura 14-25 que el valor máximo corresponde a los valores negativos, y que estos ocurren para t = 2.78 s, un instante después de que ocurre el máximo de la coordenada generalizada correspondiente al segundo modo, el cual es un modo con tendencia a desplazamiento en el sentido x. Los valores máximos positivos ocurren a un tiempo t = 3.60 s, el cual coincide con el máximo corte basal positivo en el sentido x. Los máximos valores de deriva para este pórtico, ocurren simultáneamente con los máximos desplazamientos, como muestra la Figura 14-26 y la tabla que la acompaña. Lo mismo se presenta con los valores de las fuerzas en la viga del primer piso, entre ejes 1 y 2, del pórtico del eje A, como muestra la Figura 14-27 y su tabla acompañante. La misma situación ocurre con los valores de las fuerzas en la columna del primer piso, en el eje 1, del pórtico del eje A, como muestra la Figura 14-28 y su tabla acompañante. En resumen, los valores máximos de los diferentes parámetros estudiados tienden a ocurrir simultáneamente, o un pequeño tiempo después, de que ocurre un máximo de la coordenada generalizada cuyo modo domina la respuesta del parámetro bajo estudio. No sobra hacer un último comentario, el registro de Corralitos es un registro muy fuerte, con aceleraciones máximas del terreno del orden de 0.63g en el sentido NS y 0.48g en el sentido E\V, lo cual explica los valores tan altos para las derivas y las fuerzas en los elementos, aun para una estructura respondiendo elásticamente al sismo. El modelo matemático de la estructura que se empleó en el ejemplo se seleccionó en aras de una mayor claridad en la presentación. Este modelo es análogo al que emplea el programa de computador TAES [Wilson y Dovey, 1972]. Este programa fue uno de los primeros programas de análisis estructural con modelacíón de diafragma rígido de aplicación práctica, e intruduju un aspecto muy Importante en 13. íngeníeria estructural moderna, consistente en poder analizar la estructura como un todo y no como una serie de elementos independientes que solo se estudiaban en conjunto de una manera muy simplista. Además introdujo unas técnicas de solución algorítmica muy eficientes en computadores con poca memoria principal, las cuales aún hoy en día son empleadas por gran número de prugramas. Desde esa época había conciencia acerca de la deficiencia del modelo matemático empleado debida a la falta de compatibilidad de las deformaciones verticales entre diferentes pórticos. El programa ETAES [Wilson, Hollinqs y Dovey, 1975], aparecido poco tiempo después, corregía esta deficiencia empleando pórticos tridimensionales, lo cual se ha mantenido en las versiones subsiguientes del mismo programa, [Maison y Neuss, 1983] y [Habibullah, 1994]. De igual manera, otros programas tales como COMBAT [Computech, 1983] y SAP90 [Wilson y Haaibullah, 19921, emplean también pórticos tridimensionales para tomar en cuenta la compatibilidad de deformaciones verticales en las columnas. Todos los programas mencionados permiten realizar un análisis cronológico de la estructura, simplemente varía de uno a otro la forma comu se presentan los resultados del análisis.

470

1-± • . . { -11IL{II .,I ~ 11(·'-JI.t.\.,l.·1

r '-"

14.7 Análisis modal para excitación en la base de sistemas con diafragma flexible El procedimiento de solución en este caso sigue los mismos lineamientos presentados en la Sección 1-lA. En el planteamiento de las ecuaciones diferenciales de movimiento para sistemas con diafragma flexible hay dos diferencias importantes con respecto al caso de estructuras con diafragma rígido: el manejo de la rigidez del diafragma y la manera como se modele la masa de la estructura. En la Sección 11.3.2 se discutieron las implicaciones más importantes al respecto. Ahora se presentan tres ejemplos, los cuales son continuación del Ejemplo U-l. En el primero, Ejemplo 1-1-5, se modela la masa del diafragma utilizando la matriz consistente de masa presentada en la Sección 11.2.1. El segundo, Ejemplo 14-6, amplia el uso de la matriz consistente de masas; y el tercero, utiliza masas concentradas en los nudos, cuyo valor corresponde a la masa aferente. Las ecuaciones de movimiento en todos los casos fueron determinadas en el Ejemplo 11-1.

Ejemplo 14·5 Q/terentClS encovLtrar l(,it reSfJliest(,it c{útrivvüm ante L(,it W~1trOVLevLte N-S del registro de Corralítos deL TemtlLor de Lomu Prietu deL 17 de Octlülre de 1989. en et se~ttído transversa! det ¡JltevLte CO~tLíltliO flreSe~ttudo en el EjemfJLo 11-7. el c.li.(,itL se H1./1.estra eVl Lu Figluu 14--32.

12m 12m 12m 12m

Figura 14-32 - Estructura del ejemplo 14-5

Se tratu de 11.11. rHDtte de W.utro L/tces de 12 In. COlt Imu c(,itLzudu de 6 m de Uf1.dw Ij 0.5 m de esnesor mucízo. EH S/tS extremos hUIj IHtOS estribos {/jIU' d(,itn soporte (,it Lus mrgus verttcates rol' medio de 1m (,it~)oljo eL(,itstmnérico el c/i.uL permite despLuzumie~ttos Lm'Lgit/tdiHuLes Ij rotaciones con respecto u tul. eje vertícaí. pero restrÍltge~t c/1.(,itLwüer tiro (lÍe desrLc/llumiento trunsversut. Los pórticos de upoljo. (te Los u1.uLes ¡lUIj tres eSYluciudos m(IÍu 12 m. tie~'LCVL 6 m (lÍe LHZ con YJiLus ciruüures de 1 m de dilÁ.melJO Ij 6 m (lÍe flcLtl1.nl.. Lus vigus (lÍeL y/órtico tiene lH1U secCiéHt dr 1 m de atto L1 0.70 VIl (te uttdlO. TODlOS Los ftenlf'ilLos rst~Jl consLnüdos con concreto de I'f'sislevu:iu 3D lv1 F'u

.~.

471

'-}

Dinámica estructural aplicada ..t diseño sísmico

E/1 eL EjemrlLo 11-7. La rigidez trunsversal deL flJlte/1te se wwdeLó corno se /nH.estra en La Fig/ua 14-33. el ta!JLero flJor 111edio de elementos de viga. el1 Los ClmLes La aLtlMa estmctluaL h esta coLocada horizol1taLvnente. Ij La dimensió/1 b vertícalrnente. Esto Cj/üere decir qH.e La.fiexión en el tatJLero ca/lsada fIJar Las soüdtadones sísmicas oc/UYe COl1 respecto a H,/1 eje vertíca! (.j esta descrita en Los n/tdos de interCOl1fXiól1 fIJar medio de Los grados de Litlertad U1z a USz . Los despLazamiel1tos horízontaíes trunsversates deL tabLero estril1 restrÍl1gidos en Los n/tdos 1 (.j 5 por Los estribos deL fIJ/w1te (.j eI1 Los 11Rdos 2. 3 (.j 4 por La rigidez ante efectos horiz0l1taLes de Los rJórticos de vlpOljO. kp . en Los grados de Libertad U2y ' U3y lj U4y . EI1 el EjevI1pLo 11-7 se flJrese/1ta La obtevLciól1 de La vnatriz de rigidez de La estmctlua [KEJ para Las características descritas.

® Figura 14-33 - Ejemplo 14-5 - Grados de libertad del tablero

La ,·nasa de La estmct/ua se S/tfIJ'~50 Cj/te woveaía (¡,nicaliteI1te deL t~ülLero. Se vnodeLó YJor medio de matrices cc.iststenres de masa SecciÓI1 11.2.1. EI1 el EjelnpLo 11-7 se li1/testra La Inalt.era corno se oütnvo La matriz de masa de La estmctH.ra [ME].

1 1

-75.40 - 86.52

---

-75.40 -32.14

---

[Y]= -O O O O

--[ME][y]= -32.14 ---

O 32.14 --32.14 ---

472

14 • . /i.n(III~I:S IfUJ(llU \..-, ""',nn vN

CCHt Viuse Clt Lo lIUtterior- elt el EjevltpLo 11-7, se obtlwo et sistevna de ecnuctones de eqltiLibrio dútóunico, rJaru descrivlir Los vVl.ovimielttos horiZCHtLlIÜes transversaLes aeL pl,¡,eltte:

[MEHü}+ [KE]{U}= -[ME][y]{x o } (,jIte tiene Los sig¡üeltles valores:

O - 32.14

O -32.14

64.28

11.12

32.14

11.12

64.28

11.12

32.14

11.12

64.28

32.14

118.66

- 88.99

32.14

237.32 - 88.99

- 32.14

32.14

237.32 -88.99

O -32.14

O - 88.99

O -32.14

2894.8

-1375

O -8250

8250

O U 2y

-75.40

-1375

2894.8

-1375

O -8250

8250

O U 3y

O -1375

2894.8

O -8250

66000

33000

O -8:'.50

33000 132000

33000

O - 88.99

-8250 8250

O - 88.99

O -8250

O -32.14

237.32 - 88.99

O -88.99

118.66

8250

U 4y

86.52

-75.40

= - 32.14 {x }

O U 1z O U2z

132000

33000

O U 3z

132001) 33000

U 4z

32.14

33000

U sz

32.14

8250

33000

8250

66000

32.14

Como YJltede verse, elt este caso, a ctiferenciu cte Los 2jcvnYlLos untertores del preseltte CUpÍ-tltLO, Lu Inutriz de masllts Ita es dtlltgmtlltL Esto se adle u Cj/1,e se elnr,Leuroll matrices consistentes ae l'ltUSU r'uru moeteLlItr Lu 11taSU cteL tablero cte La estmetltru, Los moetos 1:1 perÍ-ocl.os ete vibruciÓlt son inetepeltetielttes ete Lu y,urte lík'reclLlIt ete Lus CCltucicmes (te eCjlúLibrio, pItes correspOJtetevl u Lus curucterísüms ete Lu estmctltra t'lt ViVlruciÓlt Livlre. AL resoLver el rroltlLema ete valores nroptos pLlItllteueto rOl' Lu lIUtterioy eutuciém ete eCjlúLibrio, se olt,tieltcll LusJreClteVlCillts lj reríactos 11",8strudos elt LlIt tuv,Lu sigtúeftte:

Modo 1 2 3 4 5 6

7 R

(radls)2 2 179 9824 44 119 158920 403 OSO 1 005500 2251200 3 3:HJ 700

(rad/s) 46.68 99.11 210.04 398.65 634.86 1 002.70 1 501.40 1 826,70

(Hertz) 7.429 15.873 33,426 63.44·0 101.031 159.574 238.931 290.689

T (s) O 13461 0.06340 0.02992 0,01576 0.00990 0.00627 Cl.00419 0.00:H1

1'.. V

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

0.053765 -0.076513 0.055686 0.076035 O -0.078752 0.053765 0.076513 0.055686

O -0.052262

-0.069381

0.034296

0.073909 O -0.052262

0.048502 0.034296

O O

0.052795 - 0.076242

0.064908

O -0.053911

0.064908

0.069381

--------- --------- ---------- --------- --------- ---------- --------- --------0.005014 -0.010109 0.036306 0.015536 -0.024535 0.003546 O -0.010985 0.024535 -0.025672

[<1>]=

0.010109 O -0.024535 O -0.052795 -0.003546 O 0.010985 0.024535 0.025672 O -0.005014 -0.010109 -0.015536 -0.024535 -0.036306 0.052795

0,064908

0.053911 0.076242

0.064908 0.064908

LlIl.s priVlteras tresjUlIl.s de La vvu;Ltriz [<P] corres/1ovuíev\. a Los gmdos de Libertwi tmsLlIl.ciov\.lIl.Les el'L La direcció¡'L transversaL de! p/tente. Las J~Las restantes corres~Jo¡'Lden lIl. Los gmdos ete Lilrlcrtlll.d rotacionaLes.

En La Figlua 14-34- se presfJ'Ltan Las vt('Jonnaciovu~s deL tabLero correspov\.die¡ttes lIl. mda ¡noeto de vibración. vistas eVL pLlIl.I'Lta. Debe recordarse qne soLo Los valores reLativos entre Los térvnínos de Los Inmlos tielten sel1tido. Ylor Lo tanto LlIl. esmLa empLeaeta en La gráJica es La misma de Los valores ete Los térvninos etc La vHlIl.triz [(}>].

-- --

0.10

0.05 0.0

.",-

....."

............

""""

-0.05 r-0.10

-0.10

0.10

0.05

o Modo 3 (T3 = (l0299 s)

0.05 0.0

/ \.

-0.10

0.05

-0.10

0.05

-'"

0.0

1\ I 1\ / V -G.10

-0.05

......./

0.05

\..

\. \. \.

/ .....-

\. \.

BCD

I I

\. I

I-

/'\.

\. I I

'-V

\. I \.. J

BCD

0.0

0.10

II \. \. \

Macia 6 (T6 = 0.0063 s) ......

"- . /

I I il

Moeto 5 (T, = 0.0099 s) 0.10

B e o Moeto 4 (T4 = O.CJ158 s)

-0.05

\..

0.0

"- . /

0.10

\. \. \

-0.05

-0.10

/, / \.

-0.05

0.10

. / <,

./ /

0.0

"' e

-o. la - - - - - ' - - A B

0.05

"\.

-0.05

"'"\."\.

0.0

Moeto 2 (T2 = 0.06345)

0.10

......

---

Moeto 1 (TI = 0.1346 s) ./

i./

-0.05

0.0

...........

0.05

-0.10

Modo 7 (T7 = 0.0042 s)

J \/

-0.05

r>; \. \. \. \.

\. \. \. \. I \.1

'"\.\.

\.1

\. I \1

BCD

Moeto 8 (Ts = 0.0034 s)

Figura 14-34 - Ejemplo 14-5 - Modos (vistos en planta) y períodos de vibración de la estructura

PanA. /1oeter ietentificar LiA. rJYeYlC)¡l,ueraJtCiiA. de mda rnouo Ilucia mdiA. l1y¡,a de Las uireccim'Lcs rJYinárlaLes. rll1.edc IHLLizurse La Inasu activa frl, cr4ua 111.Clí10. e¡'L cadlll. dirección. Para eL \J'eetCJ se sttpmte (;pte IlUIj lIl.ceLeracimtes etel {('rrcv\.o en cuetiA. lULa etc Las direccLm'Les. AIHtqtte 1'\.0 se

474

l 1

14 • ./tlla/l.';lS I 11()(I U ( (TU/H)(U.</IU

aiSYlmte ae eA.ceLeraCWltes YOLucimteA.Les dd terreno. 1t0 OVlstcUtte, de esta malteYa ¡Jlicde verse la il1j1lteltciu torsionuL ae CeA.cLeA. moao litiLizunao IUtU vneA.triz [Yo] Cl1-IjeA.Jonnu es: J, gdl 1 O

U 2y

1 O

U 3y

1 O

U 4y

O 1

[ro]= O 1

Ulz U 2z

O 1

U 3z

O 1

U 4z

0Ti

U sx

-- --

Por mecüo ae proc/'II.CLo siglüeltle, ohtcnemos Los valores ae [~l qlw eA.L ser elevueios uL ClI.eA.ctntaO conespovu1('1t eA. Lu meA.SeA. eA.r.LiveA. ae cueteA. f1tOaO elt es(,l, airecciéllt: 15.236

1.8763

-0.8029

1.0020

15.406

------- -------

Mo¡;(o 1

2 3

1l'l-nSt-l

nctwlI 232 136 ~) . ~)2 1

()

O.64S

6 7 8

0;0 nn~J11

97.82%

148%

99.31%

ü27%

99.58%

()

100.0ü%

o o

() () ()

()

1.0ü4

O irecció It z (rotf~ciOltl1l) % i1lnSII % l1Cv{ll1 nctivn lotnl /1-1(15-(\

'?7.82'Yo

Oireccwn Ij % Jn.n5rl totnl

O,/l2 í ró

?37.345

100 0,{

100%

De LeA. tutlLeA. eA.ftterior es eviaevl-t.e CjIH' el primer moao VeA. eA. controlar LeA. respltesteA. DeA.l;lo &l'ie I I1tOvimielttos aeL terreno son Los miSf1tOS en toaos Los eA.YJoljos, en uCjl1dLos moaos en Los C1I.U Los pórticos de los ejes B lj O se aesYllvlZlítlt en airecdoftes oyniesteA.S VLO üeftelt positJiLiaeA.C1 ae ' exciteA.aos lj por esta reA.zém S11, meA.SeA. eA.ctiVeA. es cero. Esto ocurre en los mortos 2 lj 6, De IU meA.ltera UltlÁJOgeA., elt lítql1dlos 11/\,CJaos en los C1ilítLes IW hlítlj acsy¡LuzeA.mieltto ae Los pórticos f) lj O ItO se preselttu resYJltestu; pIteS VLO ILeA.11 y¡osibilidlíteL ae qliC selítlt exciLudos por movinuentos eLd terreno. esto oClure en los moaas 4 lj 8, Con blítse en lo unrertor. es eVlael CjliC leA. resyJl1,cstlít ae leA. estructura peA.ra los 111DvivniClttos sísmicos Cjll,c se pleA.lttelítn solo oClun través ae los I1tOaOS 1, :3 5 lj 7, con IHtu colttriVJl1,ciÓlt m11.1J ¡JcCjI1,eftlít de los tres itlül'ltos, e resy1('cto eA. los ejectos roteA.cimtuLes en d aieA.jraglnlít, se YIYH.cblít en llít teA.tllu Ultteriol lJjl1l' SOIHCiéllt f11.oaeA.1 eA.ctiVeA. toau 114 muslít, Dlítao Cjlie YJeA.m aetermÜteA.r llít IneA.SeA. eA.cliveA. rotucim se emYILceA.YOIt lUtOS f1tovimleltLos Jicticios íiiHC exciLlítfL tonos los gmaos roteA.clOlteA.lc' el1

475

inámica estructural aplicado (ti diseño sísmico

11tLSma ciirecCÜl/1, s imltLttÁJteaf'lte ate. atiJlt.Í ocnrre aLgo simiLar a íos ejectos traslacim1.ales; C/taltcio la resl1'1.esta es elt ciirecciOltes Orll1.Cstas. se avutLa la masa activa. La (utiCtA. exccl1r.iólt es el vaorto 8. en el c/1.tA.l tocios los giros SOn eVL el vnismo seltLicio. !j por est« razólt activaft la tottA.llr;{.ad de la mlA,sa. Ahora SltrJongw'Itos tiJl1.C la estrl1.ctltra es someti¡;{.a a la COl1trOlteltte N5 ¡;{.eL registro de Corralitos. del temkJLor de Loma Prieta. Califontia aeL 17 ae ocncbre ae 1989 (véase la Figlua 5-13). La mal va a acW.ar en la ¡;üreccióI1. transversa! acL rll1.eltte. Los coejLci<'lttes al' p tA.rticip ación se o btiene It ae:

lj el vector ¡;{e (l.ceLeracicHtes ael tcrrel1.0 uene la siglúelttejomttA.:

dclltae xNS corresrJOnvLe a ltA.s aceleraciones elt la airecciól1. NoS ael registro del temblor de Loma PI'icLtA. CI1 el sitio ae CorraLitos. AlLOm la matriz [y] se Jonmtla dé awcYv{o con lo j1reseltlw!o eu tu xecdón 11.3.1(IL) para estc caso. cotocuruto /1.11.11ItO (1) si lu eC/\.uciólt cic eVjlúl¿lJYLo es colll1ea! cmt'ilA, tA.cclcraciól1.. !j 1m cero (O) si Ita lo es. Por Lo tanto. [1] lj [a) SCHt: 15.236

1 1

O 1.~763

-------

OxNS '

-0.8029

1.002

Lus eUH-l.cimtes desacopladas ctel sistema se okJtieftel1. por l'Itectio cte:

lo c/tal coV\.d./tCc a las siglúel1.tes ocho ecnacíones con SI1. umortigl1.w11.ieltlo modul Pura llA, resYI/1.estu se ¡la coltsictcraci.o uj1rorJiacio 1111. coeJicieJtte de amortigltalltiel1.to de ,)<Y<, ({e! crítico ~ = 0.05):

111 + 21;1 00 1T\I + ooiT\1 = -15.236 XNS 112 + 2S 2OO 2T\2 + OOiT\2 = O 113 + 2S 3OO 3T\3 + 00~T\3 = -1.8763x NS '~4 + 2S4(Jl4114 + ro;rt 4 = O

115 + 2~5005T\5 + 00~T\5 = 0.8029x Ns

116 + 2~6006T\6 + 00~T\6 = O 11 7 + 2S7 00 7Th + 00~T\7 = -1.002x NS 11s + 2~S008 T\s + ooiT\s = O 476

1-1 • ,'1I1al/8/8 1/I0(/UI (TOIIOl0.CJ/('O

Ota.tro de La.s ocho eC/1,a.c~ovu'.s ctesa.co¡'lLa.da.s 11,0 l.iCVU:'VL ~v!:fI,H,eVLcia. a.LgnvLa. e¡t La. rcs¡'l11,esta. da.cto qli.C a¡ = O. Esto ocrvre ¡'la.ra. Los n1Ddos 2. 4. 6 Ij 8. Por otro La.do es ün¡'lort.r.,u1.te tener CIt UtCVL[r/i [jIte La. estrltclJw:{ es VltH,1j r[gídlA. tntVLSVCrsuLr1tC¡1.tc, YH·ü1.C~rJa.LmCltte dcb~do a. LrA. r~gidez a.¡ttc a.ccim1.es trunsverscdes deL tuvJlem YJlH'S se tnttlA. de ¡·Ul.a. viga. con h = 6 m qw' sa.Lva. Lnees de 12 m. Ij La. iVlftli.eVLcia. de Los nórucos es ml1.lj /11.eltOr. u Y'esa.r de ser tla.StWl.tc rCltlli,stOS. Esto ¡'ÜÜ/11D ym,ede detennivLa.rse ohservunzto COVL uüctueto en eL EjcmrLo 11-7 ql1.e Lu CCH1.tdJli.dólt de rigidez ante desrLuzwnier1.tos trul1.sversuLes ete Los pórticos es k, = 144.2 MN/m, Inie/l.trus qli.e Los ténnüws dc r~g~dez trw1.svcrsa.L cteL tutlLcro U1. Los m~sl'}tos grudos de Líl/lertuet es de :2 750 MN/rn. Lo C/1.a.L ütíÜCtA. [,jli,f LlA. colttrivl/i.cióVL etc Los Ylórücos lA. Lu r~gietez transversa! ete Lu estmctluu es mltlj t1uju, deL ordcll. del 5% dc Lu r~g~dez t.rumversa.L tota], Lo a.ltter~or coltdnce a. ql1e Los rer[odos ete vitJYrA.ciól1. ele Lu estntcUua. seult /nl1.1j cortos, W1Jt en el l'}tCJdOJ'1,I1.etumclttul (TI = 0.135 s). e¡t esU;\. ZOItu lus rA.ce/emdml.cs ill1¡Jltestus a. /1.11 s~stelnu et~lttÁ.11t~CO t~ClteteVL u ser ~gllaLe a las /nis¡na.s r;id terreno. SilL íjli,e se presulte ¡ÜIl.glu1a a.H1YI10:iu¡ciéHt por eJcctos de reSOltíHtC~a.. C0111D se cxy,L~co e¡1. LaSecdólt 5.S.

S~ a.ctevnrÁ.s se Lie/te ell. Cli,el1.La. [,jiU' el ü1.tervlA.lo de íügdlA.L~zuc~ÓVL de Los reg~stros

uce!croWrÁ.ji.cos ge¡temLlnerttc es elE' 0.02 s, lu ¡'lrecisiólt lI¡IH' se oVJlicnc C¡1. LeJ. rcsjIJli.estu diVLrÁ.mica pa.m rJer[odos íLe v~¡"mdólt cercanos o meVLores a. este valor. es In/llj viaja.. Esto ocurre ¡Ja.m La. resYJI1.estrA. de Los H1.odos diferel1.tes u los dos primeros. Ccm t1a.sc e¡t Lo altter~or. La. resYl/i,estas e/1. etespLUZ{iLm~e¡tLo y'um Lus coordel1.udu gevLem!izue:{riL corresYJOltíÜClllC (iLl priJ.nero modo (TI = 0.135 s) se obtuvo con el método Beta. de Newmud~. COIl. IUt wnortlg'i.um~eltto de ~ = 0.05. Ij pa.m Lus corresYlmtd~cr1.tes a. Los modos 3 (T3 = 0.03 s). 5 (Ts = 0.01 s). !J 7 (T, = 0.0043 s). se etetennüta.ron Sltt'IOlÜe¡teto (/lIi.e La vte:eLemción elt Lu musu es Lgltul u la deL terreno. YJor Lo tanto LuJliCrLa Cf1 el resortE del s~s Le ma cte 1m gmdo eLe L~t1(' rLud con perí.oeto 11111.lj corto es F, = m- Xo Ij e l'l.tcHtces F

el des¡'lLuzrA.ln~c¡tto 11¡ = _ r = k

m,u, . X ~

T2 = __ 1 -2 U ';,[0' i 4.1[

Elt Los grriJ~ros s~gli,~ef1.tes se 111.1i.estrtA.11 los rJrimeros 10 s de res Y" tes [l.-!.. pL'Ja. Lus CltUtro coordena.da.s etesuco¡'lLudus pUrtA. las C/1,ales ¡LUIj respltesta.. ¡;j,c¡ttro de Los clta.Les se YJreSelttw1 tos l1"'vt7,X~V110S ri.('~ y!rJce<:o I'nmll tod.f} lel. e\(tem~ól1 del wderogrtA.lna.. E/t Los grrÁ.ji.cos se 11tl1,estrWt el vator meixinto Ij et valor m[¡ümo. 111 (T, =0.135 s)

113 (T 3 =0.03 s)

0.06 maJe

0.03 (m)

0.0 ~,...ar -0.03 min

-0.06

11, (T'I = 0.0043 s)

11s (Ts = 0.01 s) 0.0002

0.000050 maJe

maJe

0.000025

0.0001

(m)

ao~~~

~""'l ' -0.0002 1

(m)

O.o-jo'loj~~

-0.000025 min min

-0.000050

Figura 14-35 - Ejemplo 14-5 - Respuesta de las coordenadas desacopladas

477

'Yinámica estruct ural upliccula (11 diseño sísmico Ev¡, La tal" la sig/üev¡,te se ciaVl, los valores cic 1'\1 a 1'\9 ev¡, vv¡, C/taf1,cio oCluren Los ntcixinws ef1, valor a~)soL/tto cie cacia luta cie eLLas, Lo u,taL oCltrre eft el mis VitO instaure U rara Los ricos cieL aceLerogral1ta, lj así miSHW se rreSefttalt otros valores. los Cltales se verc:í mc:ís aliteLaV1te corres¡101tcielt a los Utstafttes en los (I1,aLes se rreselttwt mW<Íl1ws valores cie L¡A,s Jlterzas ÍlterciaLes: t (s)

T\1(t) (m)

T\z(t) (m)

T\3(t) (m)

T\4(t) (m)

T\s(t) (m)

T\6(t) (m)

T\7(t) (m)

T\s(t) (m)

2.62

~0.05 793479

0.0

0.004000739

0.0

-0.000187395

0.0

0.000041814

0.0

2.86

~0.008325999

0.001872934

0.0

-0.000087728

0.000019575

0.0

3.04

0.045615120

0.0

-0.003172009

0.0

0.000148577

0.0

~0.000033153

0.0

4'.00

~0.03620421 O

0.001281017

0.0

~0.000060003

0.0

0.000013389

0.0

596

-0001900246

0.0

0.001078563

0.0

0.000050520

~0.000011273

0.0

6.38

0027t)4!,640

0.0

-0.000801521

0.000037543

.0.0

-0.000008377

0.0

H\.'~X

0045615120

0.0

0.004000739

0.000148577

0.000041814

0.0

1\1.(.11.

0057934790

0003172009

~OOO0187395

0.0

-0.000033153

0.0

Desrl Luzal1Üe lttoS:

{u} = []{1'\(t)} El'. La Fig/ua 14-22 se f1tW'StrcAH Los ¡1rimeros 10 s cie resYlItesta, pura Los grucios cie LikJertuci tras LucioVluLes.

0.0050

0. 005

°T

t (m)o.o~

0025

9 1~ t (s)

-o.002sI"

-O.OOSO

Figura 14-36 - Ejemplo 14-5 - Respuesta para los grados de libertad traslacionales de I~ estructura

Elt La t(;:tllla sig/üellte se ciuft Los valores cie Los litesrLazantielttos, en m U ralitialtes, Se cialt ¡1uralos vatores cie t elt s. en Cjlte se rresev¡,turOlt valores cie las coonteftacias gelteraLizucius. t

uzy

U3y

U4y

Utz

UZZ

U3z

U4z

Usz

(s)

(m)

(rad)

2.62

~00028809

~0.0047320

-0.0028809

~00002383

~00002468

00000000

0.0002468

0.0002383

2.86

-00003381

-00007861

-0.0003381

~0.0000173

~0.0000489

0.0000000

0.0000489

00000173

3.04

00022670

0.0037275

0.0022670

0.0001874

0.0001945

00000000

~00001945

~0.0001874

4'.00

-00018716

~0.0028575

~0.0018716

~00a01M8

~0.000141b

O.OCCOOOO

0.0001416

0.0001648

5.96

-0.0001653

-0.0000564

~0.0001653

~0.0000236

00000044

0.0000000

-00000044

0.0000236

6.38

')0014395

00021675

0.0014395

0.0001282

00001063

0.0000000

-00001063

~O.0001282

H\.IlX

00022670

00037275

00022670

00001874

0.0001945

00000000

00002468

0.0002383

111il I

1) 0028809

00047320

-0.0028809

-00002383

-00002468

00000000

00001945

0.0001874

478

14 • Análisis I1W(/U( cronotoou:o

F/tf'I7eA-S LVlercieA-Lf's: PeA-rGt detem1ÚleA-r LeA-sJ/terzeA-S ü'tercieA-Les qne imrorte el sisvltO sobre L¡;t estntctlUeA- ev¡, clieA-Lqlüer i¡tsteA-vLte se vltltLtLrLim LeA- vlteA-triz de rigidez de LadeA- Lu esLni.clJuu ror Los desrJLammíeltLos:

E/t La Fig/ua 14-23 se Vlt/testrav¡, Los rJrimeros 10 s de resr/testa. Flz (kN'm) 1500 1000 500

oi---"""",'W'~-"""""'''--''''''''''''''' 2

-500

10 1 (s]

·100(' -1500

200;;

-¡

1000

F2z (kN'm) 1500 1000

.. o --.d"tI""'''''''~WW1~~'''''~'''''''''-",¡ +i

~ 2

1000 -

500

o i"""'WN"'II'\:t'

-500

l(s)

-1000

-2000

-1500

2000 TI

1500 T

1000

500 -50: l(s)

1000

-1500

1000

1000 -2000

t t

1--.. . . - -.. . . - -.. . .

- --+-..---.,

10 t Is}

1500

O +-b-

F3z (kN'm)

2000

10 [(5)

1000

500 I

'-~"f(ftI

O .¡..I"'-N~...,q.-

1 .........~~.....".,.,...-~~.-..-

10 1 (s)

-500 1 (s}

-1000 _1500 1

f'sz (kN'm) 1500 1000

1 ":1

-500

2345678910

-1000

1 (s)

-1500

Figura 14-37 - Ejemplo 14-5 - Fuerzas inerciales

f::Jt La tuliLu sig/üeltte se dcut Los valores de las JIi,crzeA-S iVlercLeA-Les. en kN o en kN·¡n. Se Inese¡ttan rJeA-rGt Los vatores de t en s. eVl Los clteA-Les OClurelt máxíl'ltOs de esteA-sJ/terzeA-s ¡¡terciuLes. usí COl'ltO Los valores l11.c5!ximos rum Lu resrli,csteA- oli¡-e¡tidu

47D

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico t

F zy

F3y

F4y

F.,

(s) 2.62

(kN) 133.2

(kN) 1703.5

(kN) 133.2

(kN-m)

F zz (kN-m)

F3 z

F 4z

F sz

(kN-m) 0.0

(kN-m) 1403.6

(kN-m) 10ó.9

~1069

~1403.6

2.86

245.1

-539.0

245.1

32.1

-54.().9

0.0

540.9

~32.1

3.04

-1087

134(,:\

-108.7

83.4

1110.9

0.0

-1110.9

-834

4.00

-1290

~788.2

-129.0

-111.4

~5586

0.0

558.6

1114

5.96

~20ó.3

218.3

-206.3

-47.7

270.1

0.0

-270.1

47.7

6.38

1293

561.9

129.3

91.5

3804

0.0

~380.4

~915

Illnx

245.1

1346.3

245.1

91.5

11109

0.0

1';.03.ó

111.4

nlil1

~206.3

-1703.5

~206.3

-111.4

~1403ó

0.0

11109

~91.5

Pam. detennivlar Las reacciones eVl La ¡'w.se í-j/tC iVldltccn LúsJI1.erzt,ls iVlcrciuLes tIl1i-e impmte eL sismo sobre La estr/1.ctlua en CltaLtíliÜer it1,stante se Sltfltatt LUSJfi-erzuS en el setttido trattsversaL Los res/útudos. r)urú Los printeros 10 s del sisf'JtO se Inltestrun ett La Figl1.ra 14--38.

Corte Bas¡,.ü

Figura 14-38 - Ejemplo 14-5 - Fuerzas en la base de la estructura

Ett La siglüettte tu¡'ILu se mnestratt Los valores o¡',tettidos (H.undo Lus coordenudus 0etteruLiztA.dus tielten IHt valor mlixivvw. 11 Los vltlixivttOS o¡'ltenidos. dltrante todtA. Lu respl1-esttA. t

(s)

(kN)

2.62

1437.2

286

~48.8

3.04

1128.9

400

1046.3

596

-94.2

6.38

820.4

IHllX

11289 t=3.04 s

IHil1

1427.7 t=2.62 s

F/1.t~rztA.S !LOrizoltttA.Les en Los ¡;Jórtícos

LtA.s Jl1.erztA.s ho rizoVlttA.Les en mdtA. lUtO de Los r'(1 rucos se olJtíenelt tA. ptA.rtír de Los d.espLClltA.tnientos U 2y ' U 3y i1 U4y ' m/útípLíct.ÍndoLos por Lu rigidez horizonttA.L deL pórtico [kp ) :

480

[J1, lu Fig11,rU 14·-39 se 11t/lestrult lvtsJltel"Zus horLzm1,tules eVL los r¡órtLcos, r¡uru los rrivlteros 10 s áe reSrJltCstu. 800 400

~lAel'zn IlOnzolltnl.

PÓl'tí.cos eles B IJ D

-400

FlAel'Zn lrortzontu! Pórtl.cu eje e

t (s)

O ~f'A/t~Wf,cl--'H-ttWtl~ur\-#;H-flAd\t/---\.r.-Pr-:

(kN)

-400

-800

t (s)

Figura 14-39 - Ejemplo 14-5 - Fuerzas horizontales en los pórticos

Los vulores tnlÁXimos vle lusJl1.erzlxs honzontales Ot los rórücos son las siglüe~1,tes: VB

(kN)

4172

-685.3

(kN) -417.2.

t (s) 2.62 2.86

490

113.8

49.0

3.04

328.3

539.8

'28.3

4·00

.271.0

413.8

271,0

5.96

-23.9

-8.2

23.9

6.38

208.5

313.9

208.')

W\.&iX

328.3 t=3Q.4s

539.8 t= 304 S

328.3 t= 3,O~~ S

-417,2

-685.3

t= 2.62 S

t= 2.62 s

V'll-lVi

-417.2 t= 2.62 s

• El cálculo de las fuerzas internas en los elementos el'} el análisis cronológico de sistemas de diafragma flexible es totalmente análogo al de sistemas de diafragma rígido presentado en la Sección 1-1:.6, con la excepción de los elementos cuyo análisis se realizo empleando el modelo de matriz de masa consistente. En este caso se presentan fuerzas inerciales dentro del elemento y ocurre una situación muy similar a la de fuerzas externas localizadas dentro del elemento, en el análisis estático presentado en la Sección 8.8. La matriz consistente de masa de un elemento en coordenadas locales, Sección 11.2.1, tiene la siguiente forma: O

I I

156

22L

I I

-13L

O 70

22L

13L

-3L2

54 13L -13L -3L2 II

156 -22L -22L 4L2

140 O

[ro] = 4;0

----- ------

I I

------ ---------f-----O 140 O I I I I

481

(1-1:--1:0)

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

donde: m

masa total del elemento = A L Y luz del elemento

Esta matriz se deduce utilizando el principio de Müller-Breslau por medio de la ecuación de la elástica del elemento para una deformación impuesta en cada uno de los seis grados de libertad de sus extremos, mientras los otros cinco son cero. En el caso de deformaciones axiales, ecuaciones: (1l-7) y (11-8), su derivada corresponde a la deformación unitaria, que al ser multiplicada por AE corresponde a los esfuerzos axiales, y al ser derivados nuevamente corresponden a la fuerza axial aplicada en cada punto dentro de la luz, la cual es cero. Para efectos de desplazamiento transversal y rotación en los extremos se emplean las ecuaciones (11-11) a (11-15), que al ser derivadas corresponden a la pendiente de la elástica, al derivar nuevamente y multiplicar por El conducen al momento flector, y al derivar nuevamente a la fuerza cortante, y derivando a la carga externa aplicada, la cual es cero en todos los casos. A continuación se muestran las ecuaciones que describen independientemente la

deformación dentro del elemento para cada uno de los grados de libertad en sus extremos, así como sus derivadas, las cuales corresponden, respectivamente a: Para oax = Uax Y llay = llaz = U¡,X = Uby = Ubz = O: Xax(X) = u ax· ( 1E

x\ LJ

(1)

dx ax (x)=--=u '-dx ax L

(l-l--l2 )

Para Oay = llay Y llax = llaz = U¡,x = U¡,y = U¡,z = O: 0-l--l3 )

(1-l--l5 )

(1-l--l6)

Para eaz = llaz Y llax = llay = U¡,x = U¡,y = Ubz = O:

2x2 x 3 Yaz(x) = u az' ( x-T+ L 2 )

(1-l--l7)

dydxaz az . (4X eaz(X)=--=U 1 - - +3x - -) L L2 2

(1-l--l8 )

2Yaz (x)=EI· d =u 'EI'(-'!+ 6xI az dx2 az L L2) 3

V (x)= El· d y az = u az

dx 3

'EI'(~ I L2 )

(1-l--l9) (l-l- 3~»)

482

14 • .:lJliílisis modal cronoioqico

Para Ot,x = Ubx Y llax = llay = llaz = tlby = Ubz = O: (1-1-51) (1-1-52) Para Ot,y = Uby Y Uax = llay = llaz = tlbx = Ubz = O: (1-1-53) (l-l- 5-1)

(1-1-55) (1-1-56) Para ebz = tlbz Y Uax = llay = tlbx = tlbx = Uby = O: 3

Ybz(X)= u bz ·

) - x2 - +x2 (

(1-1-57)

dYbz (2X+ 3X:!) ebz (x)=--=u -L2b . -dx L

(1-i-58)

6X)

2 +bz (x)= E Id· -Y = u ·EI· ( - bz dx2 bz L L2

( ~\

3Ybz

d -- = u V (x) = El· bz

dx 3

. E!· I \ L2 )

(1-1-59) (14-60)

Utilizando las ecuaciones anteriores es posible determinar, con base en los desplazamientos dinámicos en los extremos del elemento, las fuerzas internas dentro de él, compatibles con estos desplazamientos. Pero, el procedimiento de la matriz consistente de masa, expresa en los grados de libertad de interconexión de los elementos, los efectos inerciales internos del elemento; por lo tanto hay necesidad de adicionar estos efectos para determinar las fuerzas inerciales totales. Algo muy similar a lo que ocurre con los momentos de empotramiento en el análisis estático con fuerzas aplicadas dentro del elemento y no en sus extremos. Para efectos de entender el procedimiento que es necesario aplicar, supongamos una estructura que se analiza dinámicamente empleando matrices de masa consistente, por lo tanto las ecuaciones de equilibrio dinámico tienen la siguiente forma:

[M]{Ü} + [K]{U} = -[M][y]{x o }

(1-1-61)

Luego se obtienen los modos [<1>] y frecuencias [0)2] del sistema en vibración libre para [M] y [K] por medio de uno de los procedimientos presentados en el Capítulo 13. Al realizar la transformación a coordenadas generalizadas,

linámica estructural aplicada a/ diseño sísmico

{u} = [<l>]{TI}

(14-62)

{ü} =[<l>]{ ti}

(14-63)

y premultiplicar por [<l>]T, se obtienen las ecuaciones dinámicas desacopladas de la estructura, las cuales son del tipo: "" 2 "" TI¡ + (O¡ Tli = -cx.¡X o

(14-64)

Los desplazamientos de la estructura, expresados en los nudos de interconexión entre elementos, son:

{U(t)} = i{<v¡h¡(t)

04-(5)

i=1

y las aceleraciones:

{Ü(t)} =

i {<vi }1i¡

(14-66)

(t)

i=1

Para cualquier elemento de la estructura, en particular, se transforman los desplazamientos y las aceleraciones de los extremos del elemento a coordenadas locales de él por medio de: (14-67) En este momento, por medio de las ecuaciones de la forma de la elástica, pueden obtenerse las fuerzas inerciales dentro del elemento: Por ejemplo, para ü ax ' utilizando la ecuación (14-41): (14-68) donde 11 es la masa por unidad de longitud del elemento. Análogamente, por ejemplo, para ü ay ' utilizando la ecuación (14-43): 2

"" . ( 1 3x 2X-) f ay (x)=Il'u --+ ay L2 L 3

(14-69)

La analogía con el análisis estático se hace aquí más evidente, pues el análisis dinámico se está haciendo para una fuerza dinámica aplicada al elemento dentro de su longitud, pero expresada en sus nudos de interconexión (Sistema L), y que esta fuerza tiene la forma descnta por la superposición de las fuerzas inerciales obtenidas por medio de ecuaciones similares a (14-68) o (14-69), para las diferentes aceleraciones en los extremos del elemento. Estas fuerzas inerciales inducen unas acciones en los extremos del elemento (Sistema E), las cuales son totalmente equivalentes a momentos de empotramiento, y que a su vez son las mismas fuerzas inerciales que se obtienen al multiplicar la matriz de masa consistente por las aceleraciones en los extremos.

1-'1- • ,'lIUllISIS II/(JU(!! u

IJlllJllJY¡UJ

Para determinar estas fuerzas inerciales de empotramiento (sistema E), por ejemplo, en el caso de la ecuación (l-l-G8), se procede de la siguiente manera: (l-l-70) (l-l-71)

Pero sabemos, que dado que el elemento está empotrado en sus extremos, x~x (O) = x~x (L) = O; por lo tanto, despejando en (1-l-77), C l =-L/3 Y C 2 =o. Entonces,

(l-l-72)

11 __ ( x2 ax xax(x)= AE "u E

xL \

"lz- 6L --3")

(l-l-73)

De la misma forma, por ejemplo, para el caso de la ecuación (l-l-69), se procede así: V~(x) =

f fa/x)dx __

=Il- U

" ay

(l-l-7-l)

x3 x4 ) x--+-+ Cl [ L2 2L3

(l-l-7,'))

(l-l-76)

Y~y (X) = =

f e~y (x)dx 11·)ü -

( El

. [x4 ay

3 7 2 6 x Cx Cx + _x _ +_1_+_2_+C x+C ) 120L2 420L3 6 2 3 4

(1-l-77)

Pero sabemos, que dado que el elemento está empotrado en sus extremos, y~/O) = y~/L) = e~/x) = e~y(L) = O; por lo tanto, despejando en (l-l-76) y (l-l-77), obtenemos las constantes de integración: C¡ =-13L/35, C 2 = llL21210, C 3 =OY C 4 =O. Utilizando estos procedimientos se llega a las siguientes ecuaciones que describen los efectos de las fuerzas inerciales de empotramiento en los elementos (Sistema E), los cuales deben ser superpuestos a los que se obtienen en las ecuaciones (14-41) a (1-l-60) (Sistema L). Se ha colocado un índice superior E para indicar que se trata de efectos de empotramiento inerciales, o sea que pertenecen al Sistema E:

48.

Dinámica estructural aplicada al diseiio sísmico

Para Ü ax : fax (x) = f.L' Ü ax . ( 1-

0-1:-78)

2 E f.L.. . ( X X (X)=-·U --ax . AE ax 2L 3

"E ax

( 1-1:-79)

(x)=~.Ü .(~_~_ xLI AE

(1-1:-80)

Para Ü ay : 0-1:-81)

(1-1:-82)

(1-1:-83)

(l-l:-8-1:) (1-1:-85)

(1-1:-86)

(1-1:-87)

(1-1:-88)

(1-1:-89) (1-1:-90)

Para Ü bx : f bx (x) = u Ü bx . ( f:E bx

(1-1:-91)

(x)=~.ü .(~_ L 1 AE bx 2L 6)

(1-1:-92)

(x6L XL) 6

(1-1:-93)

f.L.. x E ( x)=_·U bx

. ---

486

14 • "l11UllslS 1110(1(// CrOIlOI0,(fICU

Para Ü by : (x)=f..l'ü

f by

2 3) . [_3X_ __ 2X_ by IJ L3

(14-94)

. [x - - X- -9L) by L2 2L3 70

(l4-95)

4 5 2) E " [x X 9Lx 13L M by (x) = u Uby · -4-L-2 - -10-L-3 - -7-0- + -4-20-

(14-96)

E . V.(X)=f..l·U b}

eE (x)=~.ü ~

f..l ,_ y E (X)=-·U by

.[~_~_ 9Lx + 13IJX)

~,wIJ 6

(14-97)

x- + -x' . (- - -9Lx - + 13L - -x- ) by 120L2 420 L3 420 840

(14-98)

Para ü bz : (14-99)

04-100)

04-101)

(14-102)

04-1(3)

El procedimiento a seguir En la dctermínacíón de la respuesta dentro del elemento que se ha modelado utilizando la matriz de masa consistente, para cualquier instante se inicia con la determinación de las fuerzas inerciales por unidad de longitud dentro del elemento sumando los resultados de las ecuaciones (14-78) Y (14-Sn) para efectos longitudinales, y las ecuaciones (14-81), 04-86), (14-94) Y 0-1--99) para efectos transversales al eje del elemento. El producto de la matriz de masa consistente del elemento por las aceleraciones en sus grados de libertad de los extremos es exactamente igual a la suma de los efectos de las fuerzas inerciales en el elemento. La deformación dentro del elemento se obtienen de sumar los efectos de los resultados de las ecuaciones 0-l--l1), u-i-s n (1-1--80) y (14-93) para el sentido longitudinal, y los resultados de las ecuaciones (1":1:-,-!3), (1":1:-":1:7), (1":1:-S3), 0":1:-57), (l":l:-85), (14-90), 0":1:-98) Y (1-1--103) para deformaciones transversales al eje del elemento. De igual manera, para obtener la pendiente de la elástica del elemento, se suman los resultados de las ecuaciones (14-":1:":1:), (1+":1:8), (14-5":1:), (l-l-58), (1-1--84), (14-89), (14-97) Y (H-102l. Los momentos flectores dentro del elementos corresponden a la suma de los resultados de las ecuaciones (1-1--45), (14--1-9), (1-1--55), (14-58), (1":1:-83),04-88),0":1:-96) Y (14-101). Las fuerzas cortantes dentro del elementos corresponden a la suma de los resultados de las ecuaciones (14--1-G), (14-50), (14-56), (14-60), (1-1--82), (1":1:-87), 04-95) Y (14-100).

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Ejemplo 14-6 QH,ereI1WS encontrur el estado de deJonTLadóvL ~ e~/terzos del'Ltro deL tal'iLero del t"nevLte deL eJev1tt"Lo 14-5 a Los 2.62 s de ifüdarse La rest",wsta iUtte La com~10lteHte N-S deL registro de CormLitm deL Tel1ttJLor de Loma Prieta deL 17 de octlAJlre de 1989. eft eL senlirio trunsversu! deL t"'i,eftte. Dario qlte La Inasa iíLe Los eLel1tefttos rieL tabLero se I1wrieLó t"0r 11wiíLio rie La matriz rie l11,asa consistente. se at"Lica eL procedimieltto presentado aftteriomteltte en esta Sección. EL sistema iíLe coordeltadas LocaL de Los etementos coÍ/te.ide COH eL sistema gLotHA.L. rJcJr Lo tanto no ILalj HecesiiíLad rie reaLizar ltiltg/1.lta tmltsJomtacLÓlt ete Cüordenari(lts. Los desr¡L(Itlal1üeltlOS lj aceleracioaes !ie Los gr¡;¡.iíLos iíLe LibertaiíL de L(It estni.ctlu(lt se OtltLeHeVl. ror VV1.C(.üo rie Las trr,utsformacioltes:

{urn} =

i {<l>i }T\¡(t) y ;=1

Los rcs/üt¡;¡.iíLos rJam el instante qli,e se rcqlüere son Los si01Úefttes t

U2y

U3y

U4y

U ZZ

U3z

U4z

USZ

(m)

(rad) 00002383

(rad) -0.0002468

(rad) 00000000

(rad) 00002'16R

(rad) 0.0002383

Üiz

Ü zz

Ü 3z

Ü 4z

Üs z

(s)

(m)

2.ó2

-OO02R809

Ü ZY

Ü 3Y

Ü 4Y

(s)

2.62

0.0047320 -00028809

(rad/s'')

(mls )

10.2188

-24.5050

10.2188

(rad/s )

(radls )

-5.5279

7.8178

(rad/s 2)

(rad/s )

0.0000

5.5279

7.8178

Tomemos. t"(ltm ejectos iLt1.stmtivos eL (ltt"oljo izqtüeriíLo iíLeL tabLero en eL eje A en eL iVl.st(ltltte t = 2.62 s. ~ iíLeterminemos eL momentojtector aLLí. 1.. "" 12 ID El = 198 • 106 kN . m2 ~=7.2Mglm

obtenemos Los siglüefttes valores:

M ay

tCl,{Clcióvt

PCHGlVnetro

(14-45)

u ay

0.0000000

Cort x = O u ay

M az M by

(14-49)

(14-55)

U az

U by

-D.OOO2383 u

-{).0028809 U by

M bz

(14-59)

U bz

'EI'(-~) EI'( _i)

0.0

15729.6

'EI'(~) L

-23767.0

EI'( -~-)

8144.4

-D.OO02468 U bz .

S¡ÜJtot¡;!.L

488

M (kN·m)

107.0

14 • Análisis modal cronotoqico ECIA-1M:ió VI-

PCir?imetro

(14-83)

ü ay

M~y

u 0.0000

COVl- x =

(14--88)

-7.8178

u az

(llL

(14--96)

(14-1(1)

328.0

-5.5279

u bz

)

.(13L

!J.' ü by

M bz

-92lJ.S

. (L105 !J.'

10.2188

"by

(kN·m) 0.0

21G )

"az'

M~y

!J. . ü ay '

M;z

)

420

4·91.3

. ( 140 L

!J.' u bz '

)

S/lbtotuL

-107.¿ I

TotuL

-{).2

Fuerza inercial (k.N 1m) 150

150

100

lOO I----..."""j------+---

'SO p@'---t--'%± -lOO I-----+---"é -150 .200 L..-_ _--'---_ _---'-_ _--L_ _---.J 24

1-----,1i!+4'<----+----f

-50 -100

1-----+---" 12

,-------,------,-----,------,

!'8'-------iY I-----+--

-150 +-----+--200 '----_ _--'-12

---'-_ _---'-_ _--.J 24

Fuerza cortante (k.N) 1200 BOO

1200

r------j-----+---t------j

400 1-----*-=,..---

-400 -BOC

1-----+--1-----+---+---+----1

-1200'------'------'------L------' O 12 24 36

m :d¿---i;=¿

J O

·400

BOOO~; 24

8000 , - - - - - , - - - - - r

4000 2000

+ 12

Pendiente de la elástica (rad) 00003

~¿I

-0.0003

i 12

I I 1+ 24

•. 1 '

-2000 L..-_ _-'---_ _-'--_ _---l.-_ _---' 12

;=~-i= j ! ;:=~_

(a) Sistema E

1+ .1

0.0003 ~--,--------,----__, 0.0002

---j-----,---z

f-¡

0.00011-----1-----'""77#

= -0.0001

-0.0001

-0.0002

-0.0003 -'----_ _-'---- _ _-'---_ _-'---_--.-1

-0.0003 ' - - - - - ' - - - - - - - ' - - - - - - - ' - - - - - - - ' O 12 24 36

0.0000

-0.0010

-0.0020 I -0_0030 -0.0040 I-----j--~-

-0.0050 - - - - - ' - - 12 O

0.0010,-----,-----,-----,--__,

0.0010 , - - - - - , - - - , - - - , - - - - - - - ,

j-------I7

Deflexión (m)

~:~j

6000 t---f-----:

-2000 ' - - - - - - - ' - - - - - ' - - - - - ' - - - - - - - '

Momento (kN . m) flooa

1-----+---+-4

-BOO t---t---t-----" -1200 L..._ _.L.._ _--'--- _ _---'-_ _--'

-0.0020

-0.0030 -0.0040

j----+_

-0.0050

'------'-------==--

(b) Sistema L Figura 14-40 - Ejemplo 14-6 - Fuerzas en el diafragma

(e) Estruc;tura

Dinámica estructural aplicada al diseño sis.s.ico

Elt La Fig/ua 14-40 se presentan Lasj/terzas internas cientro cid eHafmgvna cieL p/w'1te ante acciones sísmicas traltsversaLes aL eje cieL IIJ/tente elt eL instante t = 2.62 s. En La tallLa sig/úente se dan Los vatores lIJara Los ciíferelttes lIJarál1tetros en Los lAlIJo13os. F/tUla InerciaL B(-)

C(-)

B(+)

D(-)

C(+)

D(+)

pE (k.N/m)

0.0

73.b

73.6

-176.5

73.6

0.0

pL (k.N/m)

0.0

pT (k.N/m)

0.0

73.6

73.t>

-1765

-176.5

73.6

0.0

Cortiutle D(-)

D(+)

37735

24-451

-850.46

850.46

-244.51

-377.35

·1]3.66

B(-)

B(+)

C(-)

C(+)

VE (k.N)

133.66

v- (k1'ij v" {liN)

4112

-41.12

509.18

50918

41.12

'11 12

925'1-

330.2]

753.70

1"1-12~

34 -:.28

753 JO

336 ?3

92.S4

i\I1 oIne11 ro C(-)

C(+)

D(-)

ME (k.N'm)

107.12

515.35

886.57

-149'1-.'1-4

-149444

-886.57

515.35

-10712

ML (k.N'm)

106.93

-380.50

1017.08

7127.29

1017.08

-386.50

10(.>.9:J

MT (k.N'm)

-019

128.84

130.51

563285

5b32.85

13051

128.84

-0.19

C(-)

C(+)

B(-)

B(+)

D(+)

Peltdieltte l~e La eLásti.ca A

B(-)

B(+)

e (rad)

0.0000000

eL (rad) T e (rad)

0.0002383

-0.000241)8

-00002468

00000000

0.0000000

-00002383

-0.000)468

-0.OO024b8

0.0000000

D(-)

D(+)

00000000

0.0000000

000024-68

00002468

0.0002383

0.00024-68

0.0002468

0.0002383

oejLexió 11 A

B(-)

B(+)

C(-)

C(+)

D(-)

D(+)

0.0000000

00000000

0.0000000

yL (m)

0.0000000

-0.0028809

00028809

-0.0047370

-00047320

-00028809

-0.0028809

0.0000000

yl (m)

00000000

-0,(J028809

-0.002R809

-0.0047320

00047320

-00028809

-0.0028809

0.0000000

y (m)

Es ivnportaltte notar ql1e, 1IJ0r ejempLo, eL cortante horizontaL ql1e toma eL pórtico cieL eje A corresllJol1.de a La díferellCia en cortante entre Las vigas cie ciit;¡jmglna qlte LLegan aLLí (753.7033ü.2J = 417.47 kN). el ut.aL es eL cortan.te en el rJórtico B obtenido en eL EjempLo 14-5 en ei instante t = 2.62 s. con Itn peqlw1.o error de redcmdeo (VB = -417.2 kN). De ig/taLjonna. p[ /lwmev¡,to arJLicacio en eL eje H en ese imtante, (F2z = -1403.6 kN' m) obtelticio en et EjempLo 14.-5, corresrJoncie II LiA.ciífere/tCia elt InOllteltto pl~m eL Sistema L en ese P/Utto (-386.5 - 1017.08 = -1403.58 kN '11'1..).

• Ejemplo 14-7

Q/t.Cremos encontrar LiA.s jrec/wlCiiA.s niA.t/traLes 13 Los modos cie vibmción en eL seVLticio tmnsversiA.L deL 1IJ14ente cmttüt/w /lJYeselttalíl.o en Los ejempLos 11-7, 1'1.-5 13 14-6, pero en este caso eL eHiA.jmgmiA. se mocieLiA. 1IJ0r meciio de miA.SiA. COVLCentmciiA.s, tiA.L como se iJtdicó elt eL EjemrJLo 11-7.

En eL EJeln/i/Lo 11-7, se oütuvo eL sistemiA. líI.e eCl1.iA.ciOltes de eqlúLil1rio cj,iltcünico, piA.m ciescriLlir los 11lOviI1w'n[os horízontates tmmversl~Les drL pl1el1le. e 1'1.. eL caso de In'lS(~ coltCelttmdiA.s:

4!)()

[ME]{Ü}+ [KE]{U} = -(M E][Y ]{x o } ¡"jl~,e tíenc Los siglüeVLtes vatores:

- 1080.4 442'0]¡U 2y } 86.4] 1716.2 -1080.4 U 3y = -86.4 {x o }

86.4

-1080.4

1274.3 U 4y

86.4

Los f1Iw¡,(,os ~ períaetos rie vibmcíóvL correspoVLeteft a Las camcterísticus :ie Lu estrltctluu ('VL VilJmcíóVL Libre. AL resolver et prolJLema ete vatores WOYJios YJLuvLteueto YJor Lu uftterior cmuciém ete elíjlüLi~Jrio. se obuenen LasJrem,eVLCias ~ rerractos mastn4etos en Lu ta~,Lu siglüef1.te:

al-

(rad/s)2 2 180.4 9633.3 3754·7.0

(rad/s) 46.695 98.149 193.770

(Hertz) 7.4\ 1 15.620 30.836

Modo '1

2 :3

T (s) 0.13457 0.064-02 0.03243

Los Vl1.oetos ete villmcióft corresponetíel1.tes SOf1.:

[<1>] =

[

0.053791 - 0.076073 - 0.053791] 0.076073 O 0.076073 0.053791 0.076073 - 0.053791

El'\, Lu Fígluu 14-34 se rreSel1.taft Lus etfjOrVJtucíOf1.eS cteL tU~JLero corrcspovLetíefttes u catiu f1-l{nio ete vibmcíóf1.. vistas en pLuvlta. DekJe recoretarse líjH.f' soto Los valores relanvos entre Los ténnütos ete Los fno¡,(,OS tiel1.en Sef1.tiao. por io tanto La escaLa empLeuctu el1. Lu grMica es Lu qÜsv¡1.a ete Los vatores cLe Los térVl1.ÍVLüs tie Lu fnutriz [cI>].

0.10 005

0.0

.-'

--I

BCD

~---../"

- - l ........... I

...........

-0.05 -0.10

Moeto 1 (TI = 0.134·6 s) 0.10

0.05 I 0.0 -0.05 -0.10

BCD

" ..........

./ ./'

Mocto 2 (T2 = 0.064-02 s) 0.10

0.05 0.0 -0.05 -0.10

'\.

/ 1\.

i A

'\.

.........

/ '\.

....

.JI'

BCD

/ ./ E

Mo¡,(,o 3 (T3 = 0.03243 s) Figura 14-41 - Ejemplo 14-7 - Modos (vistos en planta) y períodos de vibración de la estructura

491

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Por JlVLectio de prodlir:to siglüeVLte. obtenemos Los valores de [<X()]. (/jIte tÚ ser etevaaos aL cltadrado corresrovLdeVL a ~a fnasa activa de mda vvwdo eft esa direccióvI.:

Direcciólt Ij Modo 1 2 3

IH'¡:ISI~

O/o IHnsn

nctivn

totnl

nCIA .n

97 14%

97. 14-°;()

:2.86%

10000%

251.703

o 7.,112

De ~a U;ülla ()J.ftterior es evideVLte (/j/l.e eL prilner /litado va a cof1.troLar La reSrJll.esta. Dado 011e Los vVLovilnielltos deL terreno son Los ntismos en Lcntos Los ap000s. eVL a(/j/teLLos moti/.os en Los C/1.aLes Los r¡órticos de Los ejes B0 D se desp~al()J.n en direcciOl1Cs orJli.estas no tieftelt posit1iLidc;¡,d de ser excitados lj r'or esta razón 5/1. fnasa activa es cero. Esto OClure en eL modo 2. COIt base eft ío wtterior. es eviuente (/j/1.e La respltcsLa de La estnlr:tcua r)(A.ra Los f1tOvilnielttos sísmicos (/jIte se rl~antean solo oClme a través ae Los moaos 1 0 3. con I·uta ccmtritJll.ciól1. mluj rJetlj/l.eV1.a deL 1~.Ltivno. Pl1cde verse. además. tlj/1.e en este caso. eL período de vibraciólt de Los dos prilneros VI/Lodos vcuía In11.0 poco COI'\. respecto a Los caLu1.Lados 11.tiLizaltdo La matriz consistente ue masa.

•

14.8 Excitación en varios apoyos y sistemas sin diafragma En la Sección 11..5 se dedujo la forma como deben plantearse las ecuaciones de movímíenro para el caso en que la excitación inducida por los rnovímientos del terreno sea diferente en los distintos apoyo"> de la estructura. Este planteamtenro es el mismo que puede emplearse en sistemas que no tienen diafragma. Las ecuaciones de movimiento tienen la siguiente forma, presentada en la ecuación (11-83), la cual se reproduce aquí: (14-104) y

(14-105) En las ecuaciones anteriores, los términos tienen el siguiente significado:

[Md [M o] [K E ] [K EO] {u}

matriz de masa de los grados de libertad que no corresponden a apoyos matriz de masa asociada con los grados de libertad de los apoyos matriz de rigidez de la estructura sin incluir sus apoyos matriz de efectos en la estructura causados por desplazamientos de sus apoyos desplazamientos relativos de la estructura con respecto a sus apoyos

4f)~

14 ·.,lllólisis modal cronoloqico

{ü}

aceleraciones relativas de la estructura con respecto a sus apoyos

{X}

aceleraciones del terreno en cada uno de los grados de libertad de los apoyos

A continuación se presenta un ejemplo de análisis cronológico de un sistema estructural en el cual se presenta una excitación sísmica diferente en cada uno de sus apoyos.

Ejemplo 14·8 Qlterel'JtCIS eVlCOlttmr LeA. resYJltesteA. r(ílnA.. eJectos tmltsverseA.Les c:te IUt trliuno c:te r/1.eltte Locu!izeA.c:to entre jlu1.las c:te exYIUl1,siól1. EL tmllW ~1eA.jo estI1,c:tio covlJonna 11.11, YJl1.ente CCHttivlIW Gie dos 1l1ces c:te 150 m, corno se vvw,estru el1. Ln Figluu 14-42. EL ta~)Lero c:teL r'H~11.te ucne 11.11. UllrlW lotaL c:te 20 m Ij COltsi<;!f' elt fUtU viga cn,jéll1 Gie tres ceLGias Clt~1a ¿¡tercia con resnecto a 1111 eje verticaL es 1 = 1 040 m4 , 0 el tireu ue La sección es A = 25 m 2 . Las rilas eLd r'·1.CI1.tC. c:te 30 m GÚ' (J.ltas, estúl1 vivluúac:tas aL tabLero covgonl1.u11.Gio 11,11. jiórtico. Ij t.ieltel1. SCCciÓI1. Ui-Ul;traGta 2 tUH'C!)v con il'l,erci(,Áo 1 = 530 m". lJ área A = 20 m Ij '>11 rigictez (íL tomóJ1. se c:tesrreciu. EL vl1.aterial de! t(ilJlLero Ij Lus piLus tiene 11.11, móulüo c:tc eLustíciuud E = 22 GPa. Pam ejectos del Ul1.úLisis (,til'ltJ.mico LIA.. m(A..sa c:te Lu est.rt1.ctl1,ru nrovtene totaLmeltt.c del peso rrorio de La estmctlua. EL (A..Y'OIJO eLe Las rilas en SI1. tlaSe ~JI1.Cc:te coJ1.sic:temrsc 11.11. emYJOtmmiento. El SHeLO dClI1.c:te se eltcw'I'lt.m La JltI1.dación deL r'1.eltte comiste en 11.lt Limo arcWoso COI:\, Ima veLocilíLac:t de bl OI1.CÜl. de cortante Vs = 100 mis. Debe cnconrrarsc La resYJl1.esta pura Lu cOInrOlteltte N-S c:tel registro del eL CeJttro de 194-0, con 11.11. cogicicf'lte de amortigl1,al1tiento ~ = O.OS.

sentido de la exitación sísmica

30m

eje paTS el cálculo de la inercia

__-.......1

. 150m

sección pila

sección tablero

Prilnero dekleli1.OS cnconrnar Lu rigidez ante curg~.s ltorfzontates c:te Las riLas c:te IA..YIOIjO ~tc1 YJI1.Cllte. Se c:tetem1.ÍnaJ1. Lm mutrices de rigidez c:te Los elementos el'\, coorueJtadas glo~'aLes.

1 =530 m" A

=20 m

EL sistemu de coOríÚ'I1.(A..CÜl.S locaL estú Orief1.taeLo COI1 SIl. eje Lo m! x CVl uin'CciéHllluciu urri~la. YJOI' lo tunto el állljlllo a es _')()O.

L=30m

4D3

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico E= 22GPa

e = cos a= 0.0 s=sena=-l.O p = EIIL3 = 22 GPa • 530 m" I 303 m 3 = 0.431852 GPa . m = 431.852 MPa . ro = 432 852 kN/ro P= AelI = 20 ro2 • 302 ro2/530 m" = 33.96

Ij La l'ltatriz ete rigietez eteL eLemevlto ete t'JiLa. en kN/I'lt Ij kN . VVl/met. es La sigtÜevlte:

5182.2 O

O - 77733 : - 5182.2

O - '77733

O',

14667

O -14667 O -77733 O 1554700: 77733 O 777330 ------- --------------- -------r- 5182.2 O ~--77i33;--5i8i.2 O 77733 O -14667 14667 O O -77733 O 777330 : 77733 O 1554700

Ahom ete!-¡el·'VlOs eltCovltmr Lu ¡1tutriz ete ejectos horizovltaLes ete La t'liLu. Lu VLOfi1.evtCLatlHu ete nltetos es La siglüel1.te: lj Lv'. VHllttriz ete rigietez ete La t'JiLu. eteSVJlH~S etc hU[:ler eLimivlueto Lt/l.S et\jorVVlUcLm1.CS lAXiuLes eteL eLCI'l1.evtto Ij ei

eVVlVJotmmiento en La [:Juse es: Pila puente

AllOm. deklffiw) COltvüJV'lSur d 0muo ete Lil~lertuet ue rotacionaL eteL n/túo 2, U2z Lu iVlVersu ete

[k~sv] es:

[k 3psv ]-1 == [6.43211 x 10-l0] Ij uL COI1.etevlsar:

[kpcJ ==

[[k~sv ]- [k~sv][k~svr[k~sv]J

== [

5182200 - 51822001_ [_3_88_6_5_50-r- 3886550] _ - 5182200 5182200J - 3886550 3886550 -Lgdl

r, ] 3 [ 12'15.6 -1295_6] TJ Ix Lkpc = 10 x - - - - - t - - - -

-1295.6

1295.6 U 2x

eslu (i,Ltimu mutriz. Lu CltaL elt este caso tiene etül1.Cl1.siol1.eS etc 2 por 2, corresponde u La matriz (tc efectos Itonzontates ¡;Le tus piLlítS eteL t'J'i.eltte. en. el seuuao IrUl1.sv~'rsuL eteL t'JH.ente. Los gmuos úe Libertuet úeL (üaJrugmu se (ÜstJm1.el1. corno VVllt,estm La Figltm 14-43. Primero eteten1tLVlUl'ltclS La matriz etc rigietez ete Las vigus úeL úiaJmgVVla:

. \

i))l'"

l/JJ-i

14 • Análisis modal crOlw/rJ.(jico

sentido de la exitación sísmica

Vigus ctcl teÜ'Lero I =1040 m 2 A =25 m L =150 m E =22 GPa

EL sístel1tu de coorr;ieftudus LocotL coütcíctc COH el gLOtl(,ü /"lar Lo ¡Wtto ex es O°.

e cos <X 1.0 s= sen <X= 0.0

p:.: EIIL3 ::. 22 GPa ·1040 m~ / 150 3 m" = 0.115 GN/m = 6 7'19.3 kN/m ~ = AL 2II = 25 m 2 • 150 2 m 2 / 1040 m" = 540.9

o LUI·H¡ltriz de rigidez deL dCVltcl'Lto de vigu de 150 In de Ll1z es Le'. sig/üeltte: r 3666.7

81.35

O 6101.3 ------- -------

- 3666.7

O : -3666.7

- 81.35

6101.3

O - 6101.3 3666.7 O

305070

6101.3 :

610130 : OI

-------T-------- -------- -------

O -81.35 - 6101.3 : O

6101.3

305070 :

81.35 -6101.3

O - 6101.3

EL esqllelHu de eltsuflüJLuje es eL sig¡üeltte: J, ejes

k~a k~a O

k;b

k~b + k;a , k~a

k;b k 2bb

495

610130

"Iinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Despltés de eI'LsC{.mbLar, se eLin'LÍnw1 LI"tS dgom1C{.ciol1es VlXiC{.Les deL tC{.tlLero !J se oüuene LC{. siglúente ntC{.triz de rigidez deL tC{.bLero pC{.rC{. efectos rrunsversuíes: J, gdl

81.35

6101.3 : - 81.35

6101.3 :

6101.3

610130 : - 6101.3

305070 :

O V Az -------

------- --------,-- ------

-------,--------

V Ax

6101.3

V Bx

O _______ 1220260 ...1' ________ - 6101.3 305070 ------- --------,---_ .. _--------

V Bz

-81.35 -6101.3 : 305070 I 6101.3

162.7

0 1I - 81.35

O: - 81.35 -6101.3 : 81.35 -6101.3 O: 6101.3 305070 : 6101.3 610130

V ex Vez

Alwm reordc/1mnos Los grC{.dos de LitlertC{.d de tC{.L fnC{.l1em [,.111,(' Los vtesr¡LC{.zmnieI1tos trunsversC{.Le s [,.llt,cdel'1 C{.g YltpC{.dos C{.L COI,)'LÍC ¡1ZO !J LC{.s rotaciones C{.LJÍltC{.L: J,gdl

81.35

- 81.35 162.7

- 81.35

6101.3

O: 6101.3 - 81.35 : - 6101.3

6101.3

81.35 : O - 81.35 O - 6101.3 - 6101.3 -------- ------6101.3 -~6ioL3--------0:-6ioi30 305070 O

-------

6101.3 O

O - 6101.3: 305070

1220260

305070

61 0 1 '1 0

6101.3 - 6101.3 :

..a.V.J...,,}V

Alwm ILC{.!J tijlte il'LCLlür eL efecto vte LC{.s piLC{.s. pC{.m Lo (Ii,C{.L !LC{.!J Wlf' C{.mYILiC{.r LC{. mC{.triz rum indlür Los grudos de LivJertC{.d de Los C{.YJo!Jos !J Lltego eltswnbLC{.r LC{.s rigideces de LI"tS YliLC{.s en SltS corresp0l1dief1tes gi'ados de LitlCrtad. Entonces LC{. VltC{.triz de rigidez de LC{. estnt.cUuC{. en Slt, totaLidC{.d es. igdl

o: 6101.3

6101.3

- 81.35 : - 6101.3

o: -1295.6 o o v., o -1295.6 o U R• o -1295.6 U e • o o o 1376.9 : ------- -------- -------T-------- ------- -------,-------- ------- ------6101.3 - 6101.3 o :~10!~~ ~O~?-~ ___lU_____ ~ I - - - -o- T - - - -o u Az 3 o 6101.3 U 6101.3: 305070 1220260 1 3050"10: o o U Rz [K ES l- 10 X o 6101.3 - 6101.3 : o 305070 610130 : o -------o -------o u., ------- -------- -------+-------- -------1295.6 o o o o o U Ao o: 1295.6 o: o o o 1295.6 o URO o -1295.6 O' o', o o U eo o 0 , -1295.6 : o, 1295.6 o o' PC{.m 0cl1emr LC{. mC{.triz de mC{.sC{. vtc LC{. estYlt.ctltm se ntiLizC{. LC{. 1'ltC{.triz coasístenre de masa pC{.m mdC{. etemento de LC{.s YJiLC{.s !J deL tC{.tlLero 1376.9

- 81.35

- 81.35 1458.3 - 81.35

6101.3 : - 6101.3 - 6101.3 :

-------~--------

A= 20 m

L=30m 'Y =2.4 Mg/nr'

EL sistemC{. de coordenC{.dC{.s Iocat está oriel'1tC{.do COl1 Slt eje LocaL x en dirección hC{.ciC{. C{.rribC{., por Lo tanto eL ril'1gltLo a es -éJOO. e =cos a= 0.0 s =sen a =-1.0 m = L A 'Y = 30 m' 20 m 2 • 2.4 Mglm3 = 1440 Mg ml420 = 3.429 Mg

!J LC{. v¡·tC{.triz de VltC{.Sc{' consistente deL eternento de ~1iLC{. es:

496

14 • Análisis modal crOllOf<Ígíco 534.9 O

-2262.9

O -2262.9 : 480.0 O'I

185.1 O

O 240.0

1337.1 O

O -9257.1 ------O 2262.9

12342.9 : - 1337.1

------- - - - - - - - - ~-------T------- - - - - - - - -

185.1

O -1337.1 I

534.9

O 1337.1

240.0 O -9257.1 :

O 2262.9

480.0 O

O 12342.9

Ij LlIt fnllttriz cie li1,lItStíL cie LtíL VJiLlIt, desrJltés de IltíL~Jer eLil11Ú'LlItcio LlIts dcjbnnuciovtfs lAXilltLes cie! eiemCI'Lto lj el elnrotmn'Li,eVLLo eVL !lIt ~illtSe es:

-l-gdl

AtLOm cicUevvLos cof'Lcief'LS1/l,Y eL grw,:{o de LU'leYt¡A.¡{ cie rotuci,cmu! cteL f'L/tdo 2, U 2z , Lu ilwersu IÚ'

[m~sv ] es: [m

psv]-1 = [8.10182 x 10 -5]

[m pc ]= [[m~sv j-[m~sv ][mtsv f[mtsv]] _ [534.9 185.1] l-144.91 245.1] 185.1 534.9 245.1 I 414.9

]

= 103 x [39G.O - 60.0J _ 60.0

120.0

lj esta (ütÍlnu IntíLtriz, Lcl muL e¡ 1 este cuso tiCIU' cúvncmiovLcs de 2 por 2, correSrJOflCÜ' lA 1(/1 vnl/ttriz (ie vnUS1/t r1um ejcctos IwrizCH'Ltllt!es de LI/ts VJUUS cieL r/Wf'Lte, en el sel'Lticio tJrAf'Lsv"rsul cld rJltente. Los gmclos de LivJertuct cle! dLI/lfw.gl1lt,l se cHSrOftef'L co-no IHllestm LlIt Hgli/'{.l 14-.<·1-3 PrLmero detervnÍl'Lw11os Lu vVLlItLrLz rAe rLgU,:{ez ct~' LI,"{,s vLgus eteL dLI~frugfnu

A= 25 m L= 150m

'Y =2.4 Mg/m3

EL sistemu de coorciel1,ucilJ.s LomL coivLCicie COI'L el gLobtíLL rol' Lo tanto eL eÍf'Lg¡üo a es 0° e =cos a = LO s = sen a = 0.0 m =L A Y= 150 m. 25 m2 • 2.4 Mglm3 = 9000 Mg m1420 = 21.429 Mg

Ij [lA. I1'LIAtrLz {tC mlJl,SIA. CCH1sistcnle det elemento I Ir l.lJJiLcro es:

I(¡mica estructural aplicada al diseño sísmico

3000.0

1500.0

3342.9

70714.3 :

1157.1

- 41785.7

70714.3

-O

41785.7

-1446428

1500.0

192857.1 : 01

3000.0

1157.1

41785.7 :

3342.9

-70714.3

-41785.7 -1446428 :

-70714.3

1928571

--------- -------- ---------T--------- --------- --------

í)

DesYJIl,és ete ensaf1tbLar. se eLil'nüta¡t Las eteJemnadmtes VlXiaLes etd tablero lj se obtiene La sú:l,úe¡tl.e matriz ete ¡nasas vid l.a~llero YJara efectos transversales: -J, gdl 3342.9

70714.3 :

11571

-41785.7 :

70714.3

19~857.1 :

41785.7

-1446428 :

O O

--------- --------,--------- ---------r--------- --------

O', O _________ - 41785.7 385714.2:L _________ 41785.7 -1446428 ---------------- --------~--------O: 41785.7 : 3342.9 -70714.3 O 1157.1 1157.1

41785.7 : -1446428:

1157.1

6685.8

O: -41785.7 -1446428 : -70714.3

-41785.7

1928571

V Ax V Az U Bx U Bz

Ucx

Vez

Ahora reorete¡tavnos Los graetos ete LitlCrtaet ete taL I'na¡tera q/H' Los (;{.esYILazamiev:.tos transversales (/j11.eelen agm¡-Juúos ul conuenzo lj Las rotaciones (:{lJiI1(4!' -J, gdl O

V Ax

O -41785.7

U Bx

-41785.7

3342.9

1157.1

6685.8

1157.1

70714.3

41785.7

-·41785.7

3342.9:

41785.7

-79714.3

U ex

-1446428

U f.z U Bz

--------- -------- --------O:-192857J- --------- -------O -41785.7

385714.2 -1446428

41785.7 : - 1446428 -70714.3 :

AtWrt7. ¡calj 1.1'1l' LH.;:U¡Ú el efecto ete Las yJi~rAS

O -1446428

192857.1J

U ez

reva 1.0 cl4.Gl.I ¡Hl.lj Wte aVltyJliur ID\. Inatriz y'ara

iltd,ür Los gruetos ete litlCrtaet ete los a¡-Joljos lj Iltt~go el1,sumblur los ejectos de IIItasu cíe las pilas en S/l,S corresy¡onetie¡tl.es graetos cie Litlertaci. Entonces la vVlatriz ete masas cie La estmctl1.ra ef1 SIl, totalUi.aci es

o o o -60.0 o o -41785.7 : 1157.1 : -60.0 o 1157.1 o 41785.7 -70714.31 o o 3462.9 : -------- -------- ---------T-------- -------- ---------T--------- -------- --------o o o o 70714.3 41785.7 o' 192857.1 -1446428 -41785.7 41785.7: -1446428 -1446428 : o o o o 385714.2 o o --------41785.7 -70714.3 : 192857.1 : o o o -1446428 ----------------~--------- -------- ---------+--------~ -------- ---------60.0 o o o o o 390.0 o: o: -60.0 o o o o 390.0 o o' o' o o 390.0 o o -60.0 : o o o', 3462.9

1157.1

6805.8

70714.3

-41785.7

-60.0

41785.7

Las maLrice~ cie musu lj cie rigidez se ¡-JarticioJ1a¡t etc taL vl1wtera (/jIte:

La mutriz [y] se obtie¡tc de La eC/tació¡t (11-81)

14 • "Análisis modal cronoláqi,

lj eLcsYJltés eLe Iiucer la opcmdóvL íftdícadu:

X AO

X BO

x.,

+- J, gdl

0.9925000

0.0149920

-0.0074960

U Ax

0.0149920

0.9700200

0.0149920

U Bx

-0.0074960

0.0149920

0.9925000

U cx

-0.0081085

0.0095502

-0.0014418

U Az

-0.0033333

0.0033333

U Bz

0.0014418

-0.0095502

0.0081085

U ez

Lj las celluciolteS de fnOVLVI'LíeVLto ¡rultSversc:ll del r'lf'ltte tienen lfA Jonnu iftdícuau CVL lo, eCltucíÓll (11-83):

(M E]{ ü} +(KE]{U} = -[(ME](y]+ (M EO]]{ Xo}

3020.20

1849.70

-249.85

842.72

7434.60

842.72

O -60

-249.85

1849.7

3020.20

O -60

59994.00

60011.00

-7505.60

-45000.00 O 45000.00 7505.60 -60011.00 -59994.00

O O

2960.20 842.72 -249.85 59994.00

-60

1849.~ 7374.60

-249.85 842.72

1849.7

2960.20 -7505.60

60011.00

-4500Ó.00 G 45000.00 7505.60 - 60011.00 -59994.00

Lj lus eCltucíovu's de 11tDvíI1'LÍeVLto:

34629

1157.1

70714.3

-41785.7

1157.1

1157.1 33429

41785.7

6805.8 1157.1

41785.7

70714.3

41785.7

192857.1

-1446428

-41785.7

41785.7

-1446428

o -41785.7

-70714.3

-1446428 ü Bz -1446428 192857.1 Üez

1376.9

-81.35

1458.3

o o

o Ü Ax I -41785.7 -70714.3

ü Bx ü Cx

o ÜAz

385714.2

2960.2

1849.7 - 249.85

-81.35 -6101.3 o 6101.3 1376.9 o -6101.3 -610L3

842.72

7374.6

842.72

- 249.85 59994

1849.7

2960.2

o 305070 610130

-45000 7505.6

-81.35 610L3 -6101.3 o 610L3 o -6101.3 o 6101.3 -610L3

6101.3

610L3

610130 o 305070 1220260 o 305070

499

60011 -7505.6

o -60011

45000 - 59994

iinámica estructural aplicada al diseño sísmico

Los vVLOdos Ij rJeríodos de vibmcLó¡t correspOltdev\' a Las características de La estntctlua en vitJmción Litlre. AL resolver el wotlLema de vatores propios pLanteado por La CHtterior ew.ación de eq/úLit1rio, se otltieV\.Cv\, Lasjrew,e/tCi&l.s Ij períodos mostmdos en La tabLa sigltiente: Modo 1 2

ro (rad/s) 8.897410,499 21.796 29.595 51.107 66.724-

79.164 110,24· 475,08 875,89 2611,9

()

4·452.1

3 4-

(Ji (rad/s)"

0.0019089

0.0020174

0.0081093

f (Hertz) 1,41607 1.67105 3,46899 4.71026 8,13389 10.61946

T (s) 0.70618 0.59843 0.28827 0.21230 0,1229,4 0,09417

0.0139890

0.0233460

0.0222400

0.0069936

0.0020174

0.0019089

0.0081093

- 0.0139890

0.0233460

-0.0222400

-0.0002257

0.0002077

0.0001619

-0.0000736 - 0.0011239

0.0002485

0.0004464

- 0.0002257

- 0.0002077 I - \1.0001619

- 0.0000736

0.0074089 - 0.0105000

-0.0014312 O -0.0006746 -0.0014312

0.0011239

Lit La Figllrcl. 14-4-4- se wesc/tlwt Las deJonnacioltCs del tatlLcrn correspol1die/ttes a cada vVl.odo liLe vit¡müón, vistas en pLwtta. Detl(' recordarse VI/te soto Los valores reLativos entre Los términos liLe Los V¡'uxtos tienen se/trido. r¡or Lo tanto La escala emrJLeada en La gráflCU es La misf'l1-a de Los valores de Los térmilws de La matriz [<1>].

OX' E Jj :::~ 0.000

-0.025 1

-0.025

ItE B

Modo 1 (TI = 0.706 s)

Modo 2 (T 2 = 0.598 s)

0.025" , ------¡--,--------,-------,---,--------,

::~

I 0,000 1- ----t-----'~+----+---+_7""_~+----1 i 1

-0.025

- , - - - i_ - - - ' -_

.L-...._-'-----_~_ _ B

-0.025

L---______'

Modo 3 (T 3 = 0.288 s)

Modo 4 (T 4 = 0.212 s)

0.025 r----,-------,-------,----,---...,-----,

0.025 r---...,---,------,r---.,----------,-----.,

0.000 +---"o.---+--~.-::---1----""".,¡,----+-_/___---1

-0.025

L1_----'-__

.L.-_---"--_---'-_----,------'-----_....J

Modo 5 rr, = 0,123 s)

-0.025 -'-----_-'-----_-----L_ _' - - _ - - ' - _ - . L . _ - '

Figura 14-44 - Ejemplo 14-8 - Modos (vistos en planta) y períodos de vibración de la estructura

500

14 • Análisis modal cronoloqicoLCA-s eCltCA-ciOVLCS desw~or)lCA-dCA-s se O~J{iCVLCVL dc reel1'WJluzur {u} = []{ Tl} Y{ü} = []{ li} en lCA-s eutUCioVLCS de InoviI1'LiCVLtO. U ll1,cgo prevnlütir¡licur CA- W1'LtJOS lCA-dos por []T:

Los cocjicicvLtcs de purticipCA-ci{m SOVL: O

32.8941

22.319 86.672 21.628 - 28.004

22.319

-32.894

[a]= [<1> Y[MEly,]+ [M EO ] =

19.852

21.628

10.178

O -19.852 3.0491 10.178

5.1365

O -5.1365

U Ius cW,CA-ciovu's desucopludus: 111 + 21;lrolrh +roiTll = 32.894x AO -o.ooox BO -32.894x co Tl2 + 2~2ro2 112 + roiTl2 = -22.319x AO - 86.672x BO - 22.319x c o Tl 3 + 2~ 3ro3113 + ro~ Tl3 = - 21.628X A o + 28.004x 80 - 21.628x co Tl4 +2~4ro41l4 +ro~T\4 =-19.852x AO -O.OOOx BO + 19.852x c o 115 + 2~5ro51l5 + ro~Tl5 = -10.178x A O - 3.049x 8 0 -10.178x c o Tl6 + 2~6ro61l6 + ro¿Tl6 = -5.137x AO - O.OOOx BO + 5.137xco

Es evil:tente en lCA-s eUtCA-cioncs mtteriores l/j/~e en lu resp/testCA- rJrA,YCA- C/tCA-lwüer instmtte 1. ete CCA-du IUtu dc lus f'C1tucioncs dcsucorJludus itttrrviel'LCI'L los rrgistros (A,ceLC'rográjicos (J~lte;'Lidos en lCA- ~)use de cudu IH'lCA- de lCA-s pilCA-s (;Lel pHeltte en eL 11'liS11W íVLstCA-I'lte. UVLl/i mCA-Hem de eVl:fomr el r,vob~elnCA- rie tlK.OILtrrli.r [rIi. vmi(7.ciólt de l(1. ílce[2yacióVL CV'. cudrA/1.I'lo ie [o,; CA-p0[jos rnnsiste pf1 hucer lus síg/üel'ltes sif1'Lplij'icCA-ciOl'lCs.·

(CA-) los CA-ceLerogmlnCA-s l/jlie se regist:'CA-ríw'l en [CA- buse de cudu IU'lCA- de lCA-s y¡ilCA-s son idéftticos tUVL solo están de~usudos eVL el tielnpo. (~I) e[ ÍI'ltervulo de tiempo correspOltdiel'lte CA-l (;{e.'¡.fáse es ig/tCA-l CA-l tiempo (;jIte tCA-rdCA- eVL viujur llA. Oltdu sísmicu de lu ~JCA-se de /1,/tU pilCA- CA- lCA- otra. (c) tus oltdus sísmícus eslúvL rcpresCI'ltudCA-s prif1wrdi.ulmevLte rlClY OI'ldCA-s de cortCA-lttc. LJ ~)uj(J esta ideulizuciólt seríCA- válido detcnnÍltCA-r Los ilttervCA-los entre llegCA-dCA- de lCA-s oltdrA.s 1{,tilizCA-ndo [CA- vclocidr/td de [r/t OItaCA- de cortante V en el suelo de lCA-jH,I'Ldr/tción de lCA-s pilus. (d) YJCA-rCA- determÍltr/tr lr/t longitltd de lr/t ondr/t de cortante A,., se "'Hede rf1tpleCA-r IHtCA-jrwwtciCAf s en Hertz q/te esté dentro del mltgo de jreclteltcirAS nr/ttlur/tles de lCA- estractura pr/trCA- LOS primeros moaos de vibmciólt. por medio de lu relr/tción V s =fsA... S'

Si toma/nos H,!1CA-JreClteltciu 11.íWaul !!LeL Otde!t de 0.085 Hertz. correspondie!tte r/tl YJY0I1'lCdio de LusjreweVLCius ItCA-!Jtmlcs de los tres r;rimeros modos. obtenemos. empleCA-nao lu veLocidud al' Lr/t oltdu de cortante VS ' de 100 mis 11'lCltcionr/tdCA- en el cn/~,ItcLr/tdo el ejempLo. Imr/t lOl'lgit/td de OI'ld.lA. A,. = vJfs = 100/0.()85 =1180 m. Elt LCA- Figluu 14-45 se 11t/testm lu relCA-ción de est« LOllgilltd de OItdu con resy¡ecto r/tl tCA-m(úio del YJlwtte

501

14 • Análisis modal cronológico. Las eCIt.aclOVU?S desacopladas se obÜevl.evL de reef11.plcuar {U}=[<1>]{r¡}y{Ü}=[<1>]{il}evL las eCltaclOl'LCS de vVLovil·11.Íevl.Lo. Lj lli.egO prem.lütirllicar a aml)os lados por [<l>]T:

[<1> [ME 1<1>]{ii}+ [<1> [KE1<1>]{r¡}= -[<1> [ME h]+ [MEO]]{xo}

[~l

Los coejiciel'Lt.cs de participaciéJI'L SCJI'L:

["J~

[YilMEIY,J+[MEO]=1

-32.894 O 32.8941 86.672 22.319 22.319 21.628 21.628 - 28.004 19.852 O -19.852 3.0491 10.178 10.178 5.1365 O -5.1365

Lj las cC/1.aclCJl'LeS desaCOrlLu&ias:

111 + 2~1 ro11'h + roir¡1 = 32.894x AO - O.OOOx BO - 32.894x CO 112 + 2~2ro2'Í12 + roir¡2 = -22.319x AO- 86.672x BO- 22.319x co 113 + 2~3ro3'Í13 + ro~r¡3 = -21.628x AO+ 28.004x BO- 21.628x co 114 +2~4ro4'Í14 +ro¡r¡4 =-19.852x AO-O.OOOx BO+ 19.852x co 11s + 2Ssros'Í1 s + ro;r¡s = -10.178x AO- 3.049xBO-10.178x co 116 + 2S6ro6'Í16 + ro~r¡6 = -5.137;': AO - O.OOO;':BO + 5.137x co Es evidcvLte eVL las cw.acim'Lcs aVl.teriores Cifli.e en la respl1.esta plArU cl1.alCiflüer iVL5tlA.i'Lte t. de cuda II.I'LU uc las eCltaclmtes desucopladus Ü'Ltervieltel'L los registros acelerográJicos OtlW1.ÍetoS el'L la tlase ete cada /tlta de las pilas uel pl1.el'Lte el'L eL mismo iVL5taVlte. Una maVU?m de ev!focar el r'fobLel1'La de UtCOILtrCíi.r LCíi. vari17.cióVl etc l17. aceteradól'L eV'v cadrA. /t.I'LCJ xe [oc, apoljos consiste F'll hueer las siglücl'Ltes simpl¡ficacimtes: (a) los aceLerogY!A.lnas &l/i.e se regist:'aríal'L en lu huse ete cada ItI'la de Las rilas SOVL idél'Ltlcos tUVL solo CStLÍI'L ue1usaetos en el tielnpo. (ki) el iVl.tervalo de tiempo corresrJovLdievLte al &i.e1ase es ig/tal al tief11.po Cifli.e tardu eVL viajcu la ol'LdlA. sísl'l1.Íea de la base de IU'La rila a la otra. (e) las ol'Letas sísmicus estAI'L rerrcsel'Ltadas pril1wrdiulmevLte rJor m'Ldus de cortante. Lj tlujo esta ideulizaciól'L sería vLÍliao aetenninur los ü'Ltervalos entre LLegaua ete las m'Let(A.S l1.tilizul'Ldo lu velocidud de ltíL OVletu de cortante vs- en eL suelo de lujlu'LdtíLclón de lus pilas. (et) pura aetermüttíLr Lu Lmtgitltd de LtíL m'Lc.itíL de cortante A... se ¡·mec.ie eI1tpleur 1~.VltíLjrCCli.eltcitíL f. eVl Hertz q/te esté dentro c.ieL Y!A.VlgO dejreCltel'LCitíLs l'LtíLtli.mles ae La estmct/tY!A. ptíLY!A. lOS wimeros I1waos de vibmclón. por medio de la reLtíLcióVl v. =fsA... Si tornarnos :t!1.uJremeltciu l'Latli.rul del mdelt de 0.085 Hertz. corresuonzüente tíLl promec.iio de lasjreCl1.eltcius l'LuCitmles de Los tres rJrilneros I1wdos. ohte ItCf1WS. emplelA.itdo la velocidaet ae lu ol'Ldu de cortante v s- de 100 mis mel'LCionuda elt el eVllu1ütíLdo el ejemplo. 11.Itu Lm'Lgitl1.et ae OIt&ia A.. = vJf. = 100/0.085 =1180 m. EVL lu FigltY!A. 14-45 se m/·i.estm la reLtíLclém de estu longitJtd de OItetU COl'L respecto ul tlA.inuVí.o del r1l1.eltte.

501

Dinámico estructural aplicada al diseño sísmico

~1""

-11--

sentido de las aceleraciones horizontales

1 t --

150m

-150m~

A/2=590m

A= 1180 m Figura 14-45 - Ejemplo 14-8 - Sentido de las aceleraciones horizontales en un instante t

EVL La FigllYa 14-46 se VVL/test.ra eL sevLt.ido de Las aceteracíones ILorizoltttües eu /1IL iVLstaV\,[c t Id ItltO Id &ios segItVLaos &iesrJltés. e sentido de las aceleraciones 150m horizontales ~-"'"""':t--_

150m tiempo = t

Figura 14--46- Ejemplo 14--8 - Esquema de como varian las aceleraciones horizontales en cada apoyo

Los f.apsos entre LLegadas de La olLda entre La rJiLa deL eje A Id La del eje Bes' 150m

~tAIi

= 100m/s = 1.5 s

~tAC

300m = 3.0s 100 mIs

En.t.OILCes La sotucíón de Las ecuaciones desacopLadas se obtiene ariLizwLdo eL aceLerograVlta de EL CeJttro para La aceíeración en La piLa deL eje A. Para La piLa c/.d eje B se IttiLiza eL misvHo aceLerograma. j1ero iniciaVLc/.o 1.5 s desp'1,és Id para La piLa c/.el eje C et misVlto aceLerograma ilLiciwtcto 3.0 s despltés del de La /'JiLa A. Ge1LeraLf11RVLte el /'Jrocedimieltt.o ql{c se emy,Lea comiste eVL IttiLlzar 1J..lt aceLerognuna Cí1,te sume aLgd1raical1LelLte Los aceLerogramcl.-I:;. r,reviavneVLte mltLtir¡Llcac/.os por el coeñcíente ue alitpLifí.cacióIL. en Los ÍltstalLtes aprorJiados. Esta orleraciólL deIJe reaLizarse para caeta ,·uta ete Las eCltaciolLeS desacopLa&ias. tl.ado qH.e Los cotjicieVLtes ete particirllA.ciólt son et~fereltt.es eVL mdlA. IlIllA. ete eLLas. Cmt mda ItVLO áe estos aceLerowamlil.s se ohuene LIA. reSrlltesta áe La cmlil.ciélll deslil.copLaua carrespolLdielLle.

uuunica estructural aplicada al diseño sísmico Des 11 LazaHÜe ¡'ttos: Eft La Figltra 14-48 se ml·testraf't Los prLfneros 20 s de Lu respltestG{, eft despLrA,ZG{,miCftto de cada lUtO de Los seis grados de tillertG{,Gt de Lu estYl1Ltara.

UAx 0.05

0.001

max

0.001 0.02 0.000 1 (s)

(l8d) 0.000 -0.000

-0.02 -0.001 -0.05

0. 0.

UBx

05 02

min

-0.001

O'OOI~

max

0.001 0.000

(m) 0.00'oj--"J~;fffitttlffijtltItf\N1ttI"tJtttt\'ftt\ttfffij1!\M 1 (s)

(rad) 0.000

-0.000

-o.J2

-0.001 -0.05

min

-0.001

Ue x

Ue z 0.001~

max

0.001q0.000 1 (s)

1(s)

(l8d) 0.000 20

-0.000 -0.001

mln

-0.001

Figura 14-48·· Efsrr.plo 14-8 - Respuf:sta para cada uno de los grados de libertad de la estructura

flt La tabLG{, sigli.iel1.te se r'resff'ttlíLl't tos vatores máxÍf1tOS !.j mí-ltLfnos obtel'tidos para mda IUW de tos graGtos (l/,e Uberta(l/, ue La estn~ctli.ra.

t (s)

UD.

UA>

UOz

u-,

(m)

(rad)

3.70

-0.0+1$31

-0.0012C

000007

0.00103

3.72

0000091

0.00104-J

4.04-

-0.00005

-0.00082

4-.94-

0.00057

0.00005

5.26

0.00095

530

0.00121

5.66

{

--::-:-::-:-::-~==;;~~

-0.00096

0.00038

-----'1 0.00055

-0.00086

5.72

-0.00996

-0.00070

-0.00111

5.74-

-0.0079~

-0.00060

-0.00111j

6.04

0.00372

0.00054-

0.00093

1l\(·IX

0.011340.01 ~ 79

0.00130 -0.00123

-0.00111

1111.1 \

0.00104

14 • Análisis modal cronológico

EH La Figl1,ra 14·-49 se VVll1-estrav\, Los rJril11Rros 20 s de La respl1-esta de cCida fj,v\,a de Las sets J/lel'Zas iHerciaLes (,{,pLimdas eH Los grados de Libertad de La estr/.tcltua, 50000

6°OOOOT

max

4oooo0t 25000

200000 (k") O +--.,j\-f"-lmlq¡fmf-/t¡l\tt.MtI\I-H-tJ4-tliflf1rtWWv\¡M I (s) 20 -25000 -50000

m/n

500001

maJe

6°OOOOT

maJe

400000

25000 T

200000 (leN)O -¡--'..l\fljl,Qtf'tjItttlIV'lHIitt1fuf"oflrttfilft:j'tH~tt1¡ftflt\ttf\¡¡1VIJ I (s) 20

(kN.m) O

t-''Vl'Itttf\JitttfttJiffilttlitttltittfttf1i-Mlf\itl\lIffiN I (s) 20

-20000

-25000

-40000 -[jODon

min

-600

m/n

Fex

M ez 600000

50000

maJe

400000 25000

maJe

200000 (kN.m) O

I (s)

-200 m/n

-50000

Fiyura 14-49 - Ejemplo 14-8 - Fuerzas inerciales en cada uno de los grados de libertad de la estructura

El1- La tabLa siglüeHte se rJreseHtW1- Los vatores rncixil1ws lj rníni"lws obtenidos rara mdu '·{-I'w. de LasJ,{,c/Zas inerciaLes, lj rara el corte tJasa l total. t (s)

:3 70

FA.

FB•

Fe.

MAz

M B,

Me,

(kN)

(kN-m)

(kN)

'182931

458831

-1'1·145

·519952

17680

44314-8

78322

'191981

-4-~)3 71

-5356421

39151

460727

80065

530345

64018 1

46131 61

772'.9

4-33S27

1323 7 1

-4334-781

6323/

3.74-

19133

41806

1549S1 16J; -:

3.98

15753

31053

16432

372

400

14342

35'.17

15237

420415

-25976

417488

64991

404

10352\

399961

10304-

347150

-35474·

-336148

60652

5,]0

15690

5827

379

4517061

-61261bl

86786

21139

5.64

-9666

-10331

8170

329322\

58 9 7 23 1

-218896

11828

5.72 6.0 /}

-13181

-267277

430169

-412831

1S4-'l1

672 lll-{IX IIILIl

11180!1

174-42

3829

25471

.19432

122305

·370620

4·15105

13057

172171

26051

475752

-22014-0

-254667

52629

17217 19198

3999b

936f: 17442

4757~)2

-19432

·535b42

589723 ()1)blO

461316

4~)883

·''33478

64997 800V)

505

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

80000 40000

-40000

-80000

min

Figura 14-50 - Ejemplo 14-8 - Corte basal de la estructura

COVL el JUt de iLnstmr LilLs diferevu:illLS lipte se Otltel'LI;iríiILVL si se SltpOVLe lij11-f LiIL excitación. es LiIL VVLiSf'YLiIL ('VI, LliL tlliLse de todliLs LlAs rliLlAs, eVL este ClILSCJ Los coejícientes de pliLrtidpliLdóvL SOVL:

o 131.94 15.595

O 26.629 O

EI1 este CIASO el corte tlliLSilLL lijlte se oütíene se vnltestm ('VI, LiIL Figl1-YiIL 14-51. 150000 T 100000 50000

v, (leN) o

t(s)

-50000 -100000 -150000

m;n

Figura 14-51 - Ejemplo 14-8 - Corte basal de la estructura con la misma excitación en todos los apoyos

EI1 este CliLSO LIA reSrJl1-fstiIL se liLl1,VVLel1tiIL IApreciiILbLel11.CVLte ilLL covlsicterliLr lij/1-f lliL excitliLción es ig/tul en LiIL tllASe de todliLs LlAs piLlAS. Este tipo de liLI1tiUsis es difí.ciL de r¡LliLftteliLr Ij existe /UtIA gmlt ClILVLÜdlAd de il:cerÜd'WltlreS respecto lA LiIL JorHtiIL como se detle escoger LIA. excitiILcióI1 en CliLdliL /1,110 de Los upolJos (Ü' lIA es tructt trliL. EL ejevnpLo preselttilLdo tliLlt solo iLltstm Lu JOYl'l1iIL como se trliLtiIL eL protlLeVJ1IA de excitadoaes diferentes elt Los liLtJOlJOS, por lo tUltto seríIA IAVefttltruc1.0 SIACCM conclustones ucerm deL COfnportliuniento c1.e este tipo c1.e estrttctltms tUft soLo con lo presel1tliLc1.o.

•

Capitulo 15

15.1 Introducción Aunque la capacidad de los computadores, tanto en tamaño de la memoria como en velocidad, ha venido en aumento en los últimos años, a niveles nunca sospechados; la obtención de la respuesta dinámica por medio de técnicas de análisis cronológico, como las presentadas en el Capitulo anterior, sigue siendo dispendiosa y de difícil interpretación para efectos de diseño. Dado que los valores que se leen de un espectro, ya sea de respuesta o de diseño, corresponden al valor máximo que puede tener la respuesta de un sistema dinámico de un grado de libertad -- en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración -- es evidente que conociendo el espectro se puede determinar ti valor máximo de la respuesta .:;ae puede tener un grado de libertad desacoplado, y por ende se podría utilizar estos valores para determinar la máxima respuesta que tendría un sistema de , arios grados de libertad. El presente Capítulo se dedica a la formulación del análisis dinámico de sistemas de varios grados de libertad utilizando espectros, ya sean de respuesta ante sismos registrados, o de diseño para movimientos sísmicos futuros. Las metodologías presentadas en el presente Capítulo, al igual que en el anterior, solo pueden emplearse en sistema que permanecen dentro del rango elástico y donde es aplicable el principio de superposición.

15.2 Formulación del análisis modal espectral De acuerdo con lo presentado en las Secciones lCA y l-lA, las ecuaciones de moximiento para un sistema sometido a una excitación en su base tienen la forma dada en la siguiente ecuación: (l S-1)

Las matrices de masa [M] y rigidez [K] de la estructura se obtienen de acuerdo con lo presentado en el Capítulo 11. La obtención de la matriz [y] se realiza de acuerdo con lo presentado en las Secciones 11.3.1(h), 11.5 Y 14.8, Y su forma depende de si la estructura se ve afectada por una, dos o tres componentes del acelerograma, representadas en un vector {x o } columnar con 1, 2 o 3 términos, casos en los cuales [y] tiene dimensiones n x 1, n x 2 ó n x 3 respectivamente, siendo n el número de grados de libertad de la estructura. Dado que podemos obtener los modos y frecuencias, [] y [ol], de la estructura con base en sus propiedades para vibración libre representadas en el lado derecho igual a B07

Dinámica est ruct Ilra I aplicada al diseño sísmico

cero en la ecuación (15-1); la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas se obtiene desacoplando el sistema por medio de la aplicación de la siguiente transformación de coordenadas: (15-2)

{u} = []{TI} y derivando dos veces contra el tiempo:

{ü} = []{ il}

(15-3)

Reemplazando (15-2) Y(15-3) en (I 5-1), Y premultiplicando por []T obtenemos: (15-4)

Tanto [1] como rol], son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla, lo cual implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: ..

05-5)

Tli + m¡ Tli = -a i X o y si se aplica amortiguamiento modal:

(15-6) La solución para las ecuaciones (15-5) o (15-6) se puede llevar a cabo por medio de cualquiera de las metodologías presentadas en los Capítulos 2 y 3 para sístemas de un grado de libertad. Una vez se obtienen los valores de {TI(t)}, para cualquier tiempo t, por medio de la ecuación (15-2) se pueden obtener los desplazamientos de la estructura para ese instante. La diferencia fundamental entre el análisis modal cronológico y el análisis modal espectral se presenta aquí, pues de acuerdo con la definición de espectro de respuesta de desplazamiento (Sección 5.2): el máximo valor que puede tener el desplazamiento relativo u, entre la base y la masa de un sistema de un grado de libertad sometido a un acelerograma en su base xo(t) , es precisamente el valor que se lee del espectro de desplazamiento Sd(T,S), calculado para el mismo acelerograma, utilizando lo valores del período T, y el amortiguamiento S, del mismo sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el máximo valor de puede tener Tli en las Ecuaciones (15-5) o (15-6) corresponde al valor leído del espectro de desplazamientos de la excitación amplificado por el coeficiente de partícípación <X.¡. Entonces: (15-7) Donde Ti = 21Úffi¡ Y ~ corresponde al valor del amortiguamiento modal con las limitaciones expresadas al respecto en la Sección 12.6. Cuando se dispone es del espectro de aceleraciones, puede utilizarse la transformación indicada en la ecuación (5-11), también tomando en cuenta las limitaciones impuestas por las premisas empleadas en su deducción, entonces el valor máximo de TI¡ se puede determinar, alternativamente, por medio de:

508

15 • Aná.lisis modal espoct re . ) ( 11 '1, max

= la. ._12 . S a (T.,,.", )1 = la.. 4T¡22 . S a (T., 1;. )1 j:: •

O)¡

(15-8)

Dado que, por medio de cualquiera de los dos procedimientos alternos, se dispone de unos valores máximos de los grados de libertad desacoplados 11¡; en principio, bastaría con aplicar la transformación de coordenadas implícita en la ecuación 05-2) para obtener los valores máximos de los desplazamientos de los grados de líbertad de la estructura {U}. Desafortunadamente, este procedimiento es errado debido a que los valores máximos de los desplazamientos, o aceleraciones, que se coleccionan en el espectro de respuesta no ocurren en el mísm.. mstante en el tiempo. En la Figura 15-1 , tomada de la Figura 5-3 se muestra cómo en el calculo del espectro de desplazamientos las respuestas para los diferentes períodos de víbracíón ocurren en instantes diferentes. RESPUESTA EN TERMINOS DE DESPLAZAMIENTO (mi PARA SISTEMAS CON DIFERENTE PERIODO

PERIODO

T=3.0s

0.3

j i

T=2.5 s

o f.d-"\-il-+-i-+-+--I;-+-\c-:~.p..-~f"'ocr

T=2.0s

I T=1.5s

~ Vv'J~ V........ «ioe»;

f\(\l\lIfll\~_

AA'""

Desplazamiento

V \TU 1T\T~v

,0.31 0.3

'ji. VVI[V /) 11-;:-"" t

m2ximo 0.128 'ti

H' "

T= 1.0s

VOl) IT

T=0.5s

(m)

0.30 0.25

Imi

020

7.5

2.0

'1 3.0

J\fvo------::r-~1 I ~~J--_l_-l__

-0.3

0.3

I I

0.00

0.0

o \ •./to..

'(~i;;;o 0./51

0.5

1.0

Periodo T (s)

ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTOS TEMBLOR DE EL CENTRO

-0.3 ,

Amorliguamiento 5%

2 I l'

o -2 -4

t (s)

Figura 15-1- Cálculo del espectro de respuesta de desplazamientos del Temblor de El Centro. Debe observarse que los valores que se coleccionan en el espectro no ocurren en el mismo instante

Además, debe notarse que el signo, positivo o negativo, de la respuesta también se pierde, debido a que al espectro se lleva el valor absoluto de ella.

Dado que la ecuación (15-2), implícitamente, realiza la superposicíón de las respuestas individuales de cada uno de los modos:

SOD

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

{u} = []{ TI} =

i {Ij>(i) }TI¡

(t)

¡=l

= {Ij>(l) }Tll (t) +{1j>(2) }Tl2 (t) + ... +{Ij>(n) }Tl n(t)

(l 5-9)

= {U(l)}+{U(2)} + '" +{u(n)}

su utilización directa, tal como se presenta en la ecuación (15-9) es errada pues suma valores de desplazamientos modales que no ocurren en el mismo instante y además no toma en cuenta su signo al sumar algebraícamente, En principio, las respuestas modales individuales son correctas y corresponden a los . máximos valores que tendrían cada una de ellas, simplemente hay que tener en cuenta que pueden ser tanto positivas como negativas. La dificultad radica en determinar una manera apropiada de combinarlas para obtener una. respuesta apropiada. Esto se logra por medio de lo que se conoce con el nombre de métodos de combinación modal espectral. La presentación de estos métodos se hace más adelante en la Sección 15.3, la cual se dedica a discutir sus fundamentos y la forma como deben emplearse; no obstante, es importante dejar establecidas las diferentes formas que pueden tener las respuestas modales Indívíduales, pero sin llegar a combinarlas. Los desplazamientos dinámicos modales máximos que se presentan en la estructura, correspondientes a cada modo individual, por ejemplo el modo O), pueden obtenerse por medio de: (15-10) En la ecuación anterior debe tenerse en cuenta que el resultado multiplicado por (-1) también es factible, dado que se trata de un movimiento alternante derivado de un fenómeno ondulatorio. Esta posibilidad de un cambio de signo se manifiesta en todas las diferentes formas de la respuesta modal.

Para cada modo individual (í), las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas que se presentan en la estructura pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos modales máximos por la matriz de rigidez de la estructura: (15-11) Cada una de estas fuerzas modales máximas pueden utilizarse como un conjunto de fuerzas estáticas y con ellas, independientemente, por medie de un análisis estático convencional, llegar a encontrar las fuerzas internas causadas por el modo (i) en cada uno de los elementos de la estructura. Estas fuerzas internas modales máximas pueden obtenerse, también, utilizando los desplazamientos modales máximos obtenidos por medio de la ecuación (15-10). Las dos alternativas conducen a resultados idénticos. En este punto se tendría la respuesta máxima, individual por modo, de los diferentes parámetros relevantes causados por unas fuerzas inerciales aplicadas a la estructura como si fueran fuerzas estáticas externas. Estos parámetros comprenden las fuerzas internas en los elementos de la estructura, las derivas de piso, el corte basal y el momento de vuelco, entre otros. Habrá tantos conjuntos independientes de parámetros como modos tenga la estructura. Tan solo bastaría combinarlos.

510

· 15 • Análisis modal espect ral

Ejemplo 15-1 Se desect ev¡,colttmr Los valores de Lct respH,{'stct deL eetiJicío elnpLectdo en eí EjempLo 14-3 ete Lct Secciém 14.5, ctL ser sOI,'}teLido ct Lct CüVltr10Jteltte N-S del twttlLor de EL Centro. CctLifomict, de MctljO 18 de 1940, emrILe(;utdo témims CSYlcctmLes, Lcts rJroYJiedades de mctsct lj de rigidez eseria descritcts CI1 eL Ejentplo 14-3, EL edificio se Inll,{'stm, Itl1.eVctVlteltte elt Lct rigl1,m 15-2, Halj iVl.terés en Lct reSrll1.('stct de Lct estmctluct en Lct direcciólt mostmetct en LctJigl1.m,

Figura 15-2 - Ejemplo 15-1

256

-306.77

105.49

- 306.77

668.24

- 475.14

137.94

- 29.375

5.3857

105.49

- 475.14

731.37

- 493.23

159.60

- 21J.327

-19.561

137.94

- 493.23

-494.47

145.71

4.2822

- 29.375

159.60

749.02 -494.47

738.11

- 515.90

- 0.51088

5.3857

- 29.327

145.71

- 515.90

889.94

216.76

.Al

-19.561

4.2822 - 0.51088

511 ...

--'

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico AL resolver el prolJLevvLa de valores propios pLa/1,teado por La al-tterior emació/t de eq¡úLilJrio, se olJtie¡-te1t tas sig/tie/ltesjreutevu:ias Ij períDdos:

1 ¡ .~

Modo 1 2 3 4 5 6

(ji

(rad/s)2

(rad/s)

29.108 301,81 973.78 2494,3

5.3952 17.373 31.205 49,943

4686.5 7113.8

68.458 84-.344

f (Hertz)

(s) 1.1646 03616 0.2013

085866 2.76495 4.96647 7.94849 10,89550

0.1258 0.0918 0.0745

13.42372

Los f1wdos ci..e vi~)m.ciólt correStl0/1ci..ie¡1tes son. ~

0.036721 -0.032775 0.029168 -0.020667 0.033690 -0.011592 -0.014245 0.032483 -0.034529

0.028533

-0.029103

0.020961

0.033322

-0.005049 -0.034504 -0.003317

0.033609

0.012243 L 0.004460

0.033525

0.031633

0.015888

0.025184

I I!

0.00

0.04

Modo 1

(TI = 1.165 s)

o 000

004

Modo 2 (T 1 = 0.362 s)

~04

¡--......

r-,

Moci..o3 (T3 = 0.201 s)

¡--......

o 004

~04

0.035774

000

.......

r-. r-....

1"'-......

000

004

Moci..o4

Modos

(T4 = 0,126 s)

(Ts = 0,092 s)

Figur¡:. 15-3 - Ejemplo 15-1- Modos y períodos de vibración de la estructura

Los cotjkielltes de rJarticirlació¡i. S(1I1: 34.970 13.540 8.2331 6.0279 4.4695 2.3861

512

...v

r-....

r--..... r-.... ~04

o 004

0.023711

VI-'"

./'

......

/ 000

r-,

)

-0.04

"- <,

-0.024392 -0.031454

0.006893 0.034025

0.005317

-: ./

0.018512

0.014524

-0.005955

0.028524

[<1>] =

0.013049 - 0.032188

o ~04

;,v V .......

<, ,/

r-.... r-, 1/ 000

004

M oci..o 6 (T6 = 0.075 s)

Dinámica estructural aplicada (/1 diseño sísmico Tabla 15-2 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para los grados de libertad desacoplados

Moeto

<X¡

34-.9700 13.54-00 8.2331 6.0279 4.4695 2.3861

1 2 3 4 5 6

SiT;,~)

(l1¡}max =a¡ xSd(T¡,l;¡)

(m) 0.1158

(m)

1 i .0:

4.0495 0.29571 0.055458 0.017155 0.0050639 0.0017170

0.02184 OJJ06736 0.002846 0.001133 C).0007196

DestJ LazGunic VLtOS fntixi/!VWs l11DetuLe s (In) Los desYILazGunieVl.tos I1tW<ivvl.OS ('VL cuetu I1tOetO. se o~ltieVln1. ete:

Esto Vl1.iSfl1D se YJIi.eete Logrur fl1.Gl.tricit.ú¡·1tC/1.te. COLOCGl.f1.etO Los vGl.Lores etc (ll¡)max ('/1. Lu etiGl.gOl1.Gl.L ete IH1.U f11.Gl.triz w.Gl.etrGl.etGl. [Trnod] U reGl.LizGl.Vl.eto LGl. operucióVl.:

LVI. eL wesevLte rr;j,SO. LGl. 111.Gl.triz [Trnod] tiene LuJoYf11.Gl. siglüeVl.te:

(TlILx

[r mocI]=

o o o o o

o o

I (Tlz)max

o o o o

o o o

(Tl3)max

o o o

o o o o

I (114)max

o o

(l1 s)max

o o o o o (116)ma.

U Gl.L reel11.pLazGl.r Los vatores Gl.proy'iGl.etos.

o o o o o o o o 0.29571 o o o o 0.0055458 o o o o o o 0.015155 o o o o o o 0.0050639 o o o o o o 0.001717

4.0495

{U~~}

} { U (2) mod

{

U (3 ) } mod

{U::~}

0.148703

-0.009692

0.001618

-0.000355

0.136429

-0.003428 -0.000790

0.000557

{U~} -0.000163

0.115519

0.004295

-0.001915

-0.000280 -0.000592 -0.000017

0.000091

0.084882

0.009854

0.049588

0.009914

0.001754

0.000118

0.018061

0.004698

0.001397

0.000584

514

{U~ld}

0.000066 -0.000010 0.000032

0.000144 -0.000050

,J.gdl

U6 Us U4

0.000058

-0.000124 -0.000054

Uz UI

0.000181

0.000041

T\2 + 2~2OO2"2 + OO;lh = -13.540x O 113 + 2~3OO3"3 + 00;1'\3 = -8.233lX O T\4 + 2~4OO4"4 + 00:1'\4 = -6.0279x O 11 5 + 2~5OO5"5 + 00;1'\5 = -4.4695x O 116 + ~6OO6"6 + OO~1'\6 = -2.386lX O

EJl Lus seis eu{,uciones, de uCI1,erdo con el eV1fHuiudo deL rrobLevl1u, ~ =0.05 tu rest'!ltestu t'!um mdu IH1.U de estus eC/tUciOf1.eS desucorLudus, se obUei1.e /ttWzundo el espectro de desrJLlIlZuvlüel1tos de Lu COVVLt'!OfteJ1.te N-S del tel·nt,Lor tA.e EL Cel1.lro. EI1. Lu Figlua 15-4 se mlH'stru et esnectro 0 La Inal1.eru de obtener Los vuíores corresponzüentes el1.J,Huióf1. de Los (,:tLferelttes rJeríü(,:tos de vitlración correspOfltA.ielttes u wvciu lUtO tA.e Los vVLocios de vik¡mciól1.. Amortiguamiento

.;= 0.05

0,20

0.15

0.1158 m

Sd (m)

0.10

-t I

0.05 I

0.02184m _. 0.006736 m. 0,002846 m0.001133 m 0.0007196 m'

¡¡¡;

;

,0.'00 0.0

1, • ,:

•

0.5

1.5

1.0 Período T (s):

2.0

Figura 15-4 - Ejemplo 15-1 - Espectro de desplazamientos de El Centro Tabla 15-1 - Ejemplo 15-1- Valores leídos del espectro de desplazamiento

Mo~to

Ti (s)

1.1646 0.3616 0,2013 0,1258 0.0918 0.0745

3 4 5 6

Sd(Th~)

(m)

0.1158 0.02184 0.006736 0,002846 0.001133 (HlOO7196

CClI1. La iVl:fon11.aciól1. anterior pOClel1"LOS obtener Los valores mcixifnos Cij/te rl1,edel1. tener [os 01'w,tos <te Litlertcu:t desacop Lucios

518

~ 6

1'" -, "'

0.10

0.15

4f\----t---+__--t_-_j

3 I-----t--~d----t_-_j

2 I----+---+----+-~__i

o 0.05

5r-----1.~-+__--t_-_j

0.00

.(}.02

.(}.01

0.00

0.01

0.02

.(}.001

0.000

0.001

Deflexión(m)

Dcflexión (m)

Deflexión (m)

I1Wci.O 1

modo 2

modo 3

0.002

r----,----,-~--r---,

5 r----+---j----f\---j

5 f---'~--t---+__-

5r----+----I---+-+----j

4 r-----t----J7"'----t---j

r----+---j----j-~r_-j

4r-------io::---I-----t-----j

3 f---t+---1---t----i I

3 r----+-------7'9----j----j

3r----+---t----H'----1

2 ¡-------"...r----t--

Ir---r--___I~___I,--___I

o 1------!---_---1-----1

f----+---~-__+--_j

.(}.0010

'(}.0005

0.0000

0.0005

0.0010

.(}.0002

.(}.0001

Deflexión (m)

0.0000

0.0001

0.0002

.(}.00010 .(}.00005

0.00000

0.00005

Deflexión (m)

Dcflexión (m)

VlWci.o ')

Inoci.06

0.00010

Figura 15-5 - Ejemplo 15-1- Desplazamientos máximos horizontales de cada modo

Derivu ci.e YJiSO ¡n6txÍfnu (%IL) utiLiZlíLItci.o Lo.'". ci.espLlíLlumie/ttos u/tteriores es positlLe ClíLLmLur rntrlíl. ClíLci.u modo Lu derivu miÁXimu Ll'i.e plte&tE' tevIN cuci.u VJiso de Lu estmctttr~: como eL despLlíLlumie/tto reLutivo entre piso !1 piso. Es costtunkJrc expresur estu derivI/L corno Vlorce/ttuje de Lu uLtluu de cuciu YJiso: Tabla 15-3 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para la deriva de piso como porcentaje de su etture

YJiso

IYU)l.ÍO 1

VI'wdo 2

¡nodo 3

I1wdo 4

Vltoeto 5

Inod06

0.409%

-{).209%

0.080%

-{).030%

0.008%

-<1.001%

t: .J

0.697%

-{l257%

0.037%

0.016%

-o.o 10%

1.021%

0.023% -{).024-%

0.003% -{).004-%

1.177%

-{).054-% -{).068%

0.005%

-0.185% -{).002%

1.051 %

0.174%

-{1.016%

0.004-% -{).()10%

0.004% -{).O03%

0.602%

0.157%

0.012% 0.()47%

0.019%,

0.006%

0.001%

E/'l LI/L Jigarlíl. siglüe/'lte se mrv'sLrlíLlt Lf/LS cterivus in6tximus cte piso PUrDl. cuctu lUtO cte Los ',UJctos:

Dinámica est rHC( HrU[ aplicada uf diseño sísmico 6

0.00

1.00 Deriva ('Joh)

11 0.50

1.50

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

O -0.10

-0.05

0.00

Deriva ('!'oh)

n'lOdo 1

0.05

V.l0

Deriva (%h)

Inocto 2 6

51--L..---"---+--~+---:

31--~---+----U--~

21--~_,_--+--+_--

of------!---+----I-----i

-0.04

-0.015 -0.010 -0.005

0.002

0.004

-0.02

0.00 0.02 Deriva ('!'oh)

0.04

I I 0.000 0.005 Deriva ('!'oh)

111Octo 4

o 0.010

-0.004

-0.002

0.000

Deriva (%h)

ftWUO 6

ftwdo 5

Figura 15-6 - Ejemplo 15-1- Deriva de piso (%h) máxima de cada modo

FI1,frza<, iHerciaLes f1tw<Ünas (l<N) Para ctetenniltar Las Jlterzas ifterciaLes mlAX01tas YJor modo qlle if'l'LY¡OftE' eL sismo s(lb,ve La estrttct/ua. se fl'L/útirJLica La matriz de rigidez de todrA- LtJl. estntctllXrA- YJor Los desy¡LrA-zwnieHtos mlÁ.xivlws corresy)oltdielttes a crA-da f11Odo. el res¡.útado está en kN: ¡

te.)

{F(l) } {F(2)} {F(Jl} {F(4l} {F(Sl} {F(6l} mod

mod

-18.61

1108.3

-748.9

403.3

-226.4

79.3

1016.2

-264.8

-1%.9

355.8

-195.6

57.9

860.2

331.8

-477.4

58.2

173.4

-91.0

632.9

761.5

-69.8 -378.0

-20.2

369.4

765.9

437.3

75.5

-148.2

-98.4

135.1

363.0

348.2

372.7

217.3

74.1

,J.gdl

105.1

j------51fj

'W .~

1 6

·1

SOO

1000

IS00

-soo

1000

IS00

o sao

-1000

) /

/..

17 -soo

-. <,

-1000

-SOO

1000

sao

Fuerzas Modales

(kN)

IS00

f1wcto 1 6

)

o -soo

\ ~

sao

1000

IS00

-1000

-soo

.\ 7

I I

(

i I I

o '---..

(

\ 1/

--1

)

-1000

sao

1000

IS00

-1000

-SOO

sao

1000

Fuerzas Modales

Fuerzas Modates

(kN)

f1weto 4

111DetO 5

Wl.Or;tO 6

Figura 15-7 - Ejemplo 15-1 - Fuerzas inerciales máximas de cada modo

CurCcutCe In&tXlVVtO 1110etaL etc !1lS0 (I<N) n

EL cortnnte InélXLlTLO f1waaL etl' rJlSO se atf~ne COf1W v~i) = ~ F~i) .1 k,¡ k=j

Tabla 15-4 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el cortante de piso

rnsCJ

V(l) mod

V(3)

mod

V(4) mod

V(S) mod

V(6) mod

(kN)

1108.3

748.9

4D:U

-226.4

79.3

18.6

2124.6

10137

206.3

129.4

116.3

3<).3

2984.8

681.9

-271.0

187.7

57.1

3617.6

79.6

3409

-190.3

369

53.4

3987.U

8455

96.5

111.3

450

-t

4122.1

1208.5

444.6

114.8 2')7<)

4-1/2.1

120S.5

444.6

257.9

10ó.1 ¡ 0(..-;

291

()

517

2q1

ISeO

-Dillá;llica est ructural aplicada al diseño sísmico 6

I I

-750

-250

250

(kN)

I'JWGio 1

11tOGÍÓ 2 6

I 5

I I

-150

150

300

-150

500

I -75

I I

o -300

-500

(kN)

I I

1500

Cortante de piso

1I 3

750

Cortante de piso

-1500

Cortante de piso

4500

3000

o 1500

o o

oI 150

-60

-30

Cortante de piso

(kN)

Hwdo 4

InodoS

I'Jwdo 6

Figura 15-8 - Ejemplo 15-1- Cortante máximo de piso para cada modo

Corte /rlasal (kN\ El cortante eIt La LIase del edificio, C/IL kN, de cada Hwdo se ¡:Jltcde oL¡te/ILer r,or Inedia de: 403.3 -226.4 1108.3 -748.9 1016.2 - 264.8 -196.9 355.8 860.2 331.8 -477.4 58.2 765.9

-98.4

363.0

348.2

372.7

74.1

135.1 = {4122.l11208.5 1 444.61 257.9 I 106.11

29.1}

mod

V(4) mod

ViS)

-18.6 57.9

173.4 -69.8 -378.0 -20.2 437.3 75.5 -148.¡

632.9 369.4

Vil)

79.3 -195.6

761.5

217.3

-91.0 105.1

V(6) mod

mod

Pactie verse &jIte este valor corresrJov¡,de al cortante oLlteltido ¡:Jara el ¡:Jrimer y,iso ev¡, cada IOta de los Inodos. n¡, el paso altterior.

518

......,(l.{l(((("~I":>

1 U

Ilt\.." .•

,.I.' "JI"'''' , ..~

Movvtel'tto eLe v/trLco (kN . va) n

L (h

EL momento eLe vuelco en CliI.eLcJt ~)iso se obCio'\,(' por vneeLio eLe M~i) =

k -

hj ) '

FP)

k=j+1

Tabla 15-5 - Ejemplo 15-1 - Valores máximos para el momento de vuelco de piso M(l) mod

M(2)

M(3)

mod

M(4) mod

M(S) mod

M(Ó) mod

(kN -m) 0.0

(kN -m) 00 -679.2

(kN -m) 00

3324.9

(kN - m) 0.0 ; 2D9.8

(kN- m) 0.0

(kN' m) 0.0 -224óJ

237.8

9698.6 18652.9 7.950')8 4H66.8

-')287.8

18287

-290.9

73336 70'-)1./

~C)~5.6

272.2 298.7

. -4558J

-937. 7

282.4-;é,-;ó.]

:>5.9 61.9 -933 h6.8 68.2

5]833 ;

n1.0 60.2 170.9 162.9 155.3

piSO

., 0

7. ~

6.9

ó43.1

130./

19.;2

6,----.,----,-------,

6r---r------,--~

s-l-\---+_--+_-----1

sl------i----'--...4---!-

4+-~-+---+----j

4t-----h;C-----t---!-

4 I------t--t-----t---+--+--J

3+----'\1-----+_-----1

sf--l--'--i------t---!-

sf-----t--+-~=--+_--1

2+---.,---'<--+---------1

2 f---l~-j-----+----+

2 r---l'---t-----t---+---j

ol------!--t-----t---""""----J 20000

40000

60000

-6000

-4000

-2000

-SOO

SOO

1000

1500 2000

Momento de vuelco (kN . m)

Momento de vuelco (kN • m)

Momento de vuelco (kN . ro)

11tOdo 1

VltOctO 2

11wao 3

sl------.~I----!___----1

sl----'I,t-----l----j-----J

4r----j--"""'-!___----1

4r---+---+----j¿--------1

sl-Ec-+_--+---+---1

2f----h~-f------I

21------1----",1-1------1

f---+_--+----+-7--1

01------1------f""--------1 ·1000

-SOO

SOO

Momento de vuelco (kN • ro)

200

Momento de vuelco (kN . m)

4Q()

-so

100

Momento de vuelco (1lN . m)

mocto 4 Figura 15-9 - Ejemplo 15-1- Momento de vuelco para cada modo

Et 11V)111,e¡tlo eLe vuelco eH tu l'!CLse. elt kN . In. covtCrivl/ücto r10r cuctcJt morto. se rJltecte ohtcner rJ or mectio ele

519

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

= {53833I -933 I 16161

M~~d

M~ld

131 I

403.3 -22M 1108.3 -748.9 355.8 1016.2 -264.8 -196.9 58.2 331.8 -477A 860.2

79.3 -195.6 173.4

-18.6 57.9 -91.0

632.9

761.5

-69.8 -378.0

-20.2

105.1

369.4

765.9

437.3

75.5

-148.2

-98.4

135.1

363.0

348.2

372.7

217.3

74.1

155 I

19}

M~~d M~~d M~ld M:::~d

Octdo IIjI1R eVL ejevl1pLo 14-3 se encontró Lct reSpl1Rstct crmlOLógim de Lct mismct estrttctlUct wtte el I'lÜSVllO ctceLerogrctmct de EL Cefltro. Cf1,!jO espectro se emrJLeó e11 el prese11te ejevnpLo, pl1,edell hctcerse ctLgl1Hcts compctrctcio11es acerca de Los valores mcixifnos o!:ltefüdos en el ejempLo 14-3 l::J Los valores modctLes Hlciximos o!:ltellidos en eL presente ejempLo, Ell Lct tctbLct 15-6 se COI'ltpctrctlt Los valores obteltidos flctrct Los grctdos de Libertctd desctcopLctdos en el ejelnpLo 14-3, con Los valores de estos miSf'ltoS gmdos de Hbertctd efnpLeLLdos en el I'Jrescnte cjcf'ltpLo Tabla 15-6 - Ejemplo 15-1- ComparDción de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3 y 15-1

Gntc;{o de L,iJertlMi desv,copLl/t.do 111 112 113 114 115 116

Ele~nrLo 15-1

EjemrLo 14-3

mi,x,wlO mivüww W\.Vlx, m.o mi m VYto V'M'X'V'/I.o

mímwlo VVlÚX,WW mí ru ww mitX,WW miVLLV'(\.() vvu,',xiww mí v', 1w..o

(11¡)max =a¡ x Sd(T¡,~¡)

11¡ (ro)

(s)

4.049463 -3,664644

5.90 3,04

4.0495

0.295191 -0284971

4.76

029571

0,047073 -0,054570

3.22

(ro)

4.58

0,055458

2.52

0,010581

2,51'

-OO1711S

2.64

0.003448 -0,004919

2.24

0,001150

2.16

-O.OO"4q~

2./?

2,12

0,017155 0,0050639 0,0017170

COI'110 p/lRde verse Los vctLores son ese11cictLW\.C/ltc ig/{"ctLes, !j LlA.s diferencicts o!:wdeCeft ct errores uc r¡recisiólt lj redCHtdeo dlA.do IIjI1R ellA.Lgoritmo ef'l1.pLectdo plA.m eflCOf1trctr LlA. resp/lRsta en eL cjempLo 14-3 es diferente del IttiLimdo /:'lctrct cctLuüm el espectro empLectdo eft el presef1.te ejentpLo, odIe notarse. tctnt!:liéft, el hecfLO de GjI1R lüng/HIO de Los valores VVlcixÍlno o l'l-tíl1.í1no ocurre en eí miSf'110 iltStwlte, EL mciximo ues~JLWctVlüeftto ILOriLmttctL de Lct c¡ü¡iertu ueL edificio, tctL como se obtltvo en el ejempLo 14-3, Jite de 0,148729 m, La S/H'llct ctLgebruim de Los valores de Los despLwamientos nlOdctLes IncixinlOs en eL /:'liso 6 ojr,tenidos en el presenLc ejempLo, es 0,140330 1'l'L !j Lct SH,mct de S/tS valores ctbsoLtttos es 0,160443 m, Cm'110 pltede verse La S/M'l-ta ctLgejrJruicct slüJestimct eL valor obteflido eVL La resp/testa crmlOLógim, lj La sltma de Los valores a!:lsoLlttos Lasobrestima,

J'¡

EL mciximo valor deL cortante ell Lct bctse deL edificio. taL como se obtuvo en el ejempLo 14-3.JIlR de 4355,8 /<N. La Sltmct de Los vaLores de Los cortantes wlÁ.JdaLes mcixivllos ell La !:¡ase obtevl.idos eft el weseflte ejempLo es 6168.4 /<N. COVllO p/tede verse La s/tma sobrestimct et valor obteftido en La resp/lRstct crovlDLógim, tsto se debe a t/l/lR CIl La res~Jltestct crmlOLógim eL vctLor deL cortante en La !:Iase está controLado por La resYJltesta deL primer modo lj Los otros VllOdos wtictiml'l'U'flte no cmttri!:J1t!jefl u SIl. vuLur c/tu~ldo oCluye eL Vllcixil'llO, EL mcixi~'}lO valor del ~'llOI11('ItID CI: Lu jr'lA.Se ueL edificio, tuL como se obtlwo ('11 eL ejem~JLo 14-3.JH.e ue 54406 kN . m,

f-------------------520

~.~-

1 b • ,'Ulal/SI.'; 1I1(}(HII e~jJeC( n l l

La SI1,f1il,a aLgebraica ete Los valores ete los IWll11RlttoS modcües Vl1tÁXÚ1WS en la base otJtevüctos en et presente ejempLo es 54822 kN . f1il" U La S/tlna ete Los valores a~)soLI1,tos es 56687 kN . lit. Como piteete verse Las S/iVl1IAS sotlrestiman eL valor obtel1ieto en Lu respHesta crorwLógica. EL valor meixif1w cteL 1110/'11('/tto elt La blAse pIAra Los f'11OetOS i-tíJermtes ctd Jlutciavltentul es peVjlteilo comrJaraÜvame/tle al del JI Htciame vLt(;tL el1 el preSCltte ejempLo. Lj el1 Lu resrw~sta crorwLóg ica ocurre ¡;ügo simiLar. 11

15.3 Métodos de combinación de la respuesta modal 15.3.1 Generalidades

En la Sección anterior, con su ejemplo, se presentó la forma como se puede llegar a encontrar la respuesta máxima para cada uno de los modos para diferentes parámetros de la respuesta estructural ante un sismo. Así mísmo en el ejemplo 15-1 se realizó al final una corta discusión acerca de las diferencias que se obtendrían para algunos de estos parámetros al comparar la respuesta cronológica con los resultados espectrales. Es evidente de la presentación que la suma de los valores absolutos de la respuesta espectral siempre conduce a valores mayores que los obtenidos por medio de la respuesta cronológica debido a la no simultaneidad de los valores máximos de las respuestas modales. En general cuando un modo llega a su máximo; las otras respuestas modales, en ese instante, son menores que sus máximos índíviduales, Es obvio, entonces, que el límite superior de la respuesta combinada f , de los diferentes valores modales r¡, es la suma de los ro valores absolutos, siendo ro el número de modo": m

r~IJd

(15-12)

¡=1

El grado de conservatismo que se introduce por medio de la suma de los maximos valores absolutos varía de un parámetro a otro. Por esta razón se recurre a técnicas de combinación de la respuesta modal basadas en análisis estadístico y conceptos de \ibraciones aleatorias, las cuales permiten determinar un valor máximo factible de la respuesta. En [Cupta, 19901 se deducen y discuten diferentes métodos de combinación de la respuesta modal. A continuación se presentan las metodologías más empleadas en la actualidad. 15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de les cuadrados (ReSO

El método más conocido de combinación modal espectral es el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (ResC). Este método fue desarrollado por E. Rosenblueth en su tesis doctoral [Rosenblueth, 1951) y postula que para cualquier parámetro modal respuesta r, el valor máximo factible del parámetro r, al tomar en cuenta las diferentes componentes modales máximas r., se obtiene a través de: (15-13)

.-\ la luz de la teoría moderna de confiabilidad [Ang y Tanq, 19841. la respuesta de un grado de libertad desacoplado TI¡(t), ante una excitación sísmica puede considerarse una variable aleatoria con una media ~, y una desviación estándar O'j. La transformación de estos grados de libertad desacoplados en los grados de libertad de la estructura se realiza por medio de la ecuación (15-2). Dado que esta transformación es lineal y suponiendo que los diferentes grados de libertad desacoplados son estadísticamente 521

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

independientes, utilizando la teoría de probabilidad, es posible demostrar que el resultado de la transformación también es una variable aleatoria, cuya media es igual a emplear la transformación utilizando los valores medios

{u} =[<1>]{~} = i {<jl(il}~i

(15-1-4)

i=1

y su desviación estándar [Ang y Tanq, 1984], es: (15-15) Si el sismo es suficientemente largo puede decirse que la respuesta lineal a él está la mitad del tiempo del lado positivo y la otra mitad del lado negativo, por lo tanto en este caso, la media del valor de 11¡(t) es cero (~ = O); y cualquier parámetro de respuesta r, que se transforme linealmente, desde el punto de vista estadístico, tendrá un valor r , igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores modales individuales máximos del parámetro fj, que es precisamente lo que indica el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados a través de la ecuación (15-13). No sobra insistir que se partió de la premisa de que las respuestas modales son independientes estadísticamente entre si. Cuando se viola esta premisa el método conduce a resultados no conservadores. Si existen modos de víbracíón CO:l períodos de vibración con valores cercanos, en alguna medida, hay correlación entre sus respuestas y el método no es aplicable. El método RCSC:, raíz cuadrarla de la suma de los cuadrados debe emplearse sobre los resultados máximos modales del parámetro bajo estudio fjo Debe tenerse en cuenta que para cualquier parámetro obtenido aplicando el método RCSC de combinación modal, el resultado siempre será positivo, pero en realidad puede ser positivo o negativo pues es una representación de un movimíento oscilatorio. Este aspecto debe tenerse en cuenta en la combinación de estas fuerzas de origen sísmico con otras fuerzas de origen gravítacíonal, como pueden ser las cargas vivas o muertas. La manera de aplicar el método rle la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) a los diferentes parámetros de respuesta es la siguiente, donde la estructura bajo estudio tiene jl pisos y ID modos: (a) Desplazamientos horizontales maximos de la estructura - Por medio de la ecuación (15-10) se obtienen los desplazamientos de máximos de cada piso, por ejemplo el piso j, para el modo i: U~il Luego, por medio de la aplicación del método o

RCSC,

Uj" = ~(U~i)f = (U~ll)2 +(U~2lf +o.o+(ujmlr

(15-16)

1=1

se determina el valor máximo factible del desplazamiento del piso j. (b) Derivas máximas de piso - Utilizando los valores de los desplazamientos de máximos de cada piso obtenidos al comienzo del paso anterior, por ejemplo para el piso j, en el modo i: U~il. Se determina primero la máxima deriva inducida por el modo i en el piso J. así:

J-------59.')

15 • Análisis modal espectro A(i) _ U(i) _ U(i) ti j

j+1

(15-17)

Luego, aplicando el método RCSC, (15-18) se determina el valor máximo factible de la deriva del piso j. Es importante tener en cuenta que es errado calcular la deriva de piso utilizando valores de los desplazamientos ya combinados, por lo tanto no es lícito, dentro de la metodología, emplear los desplazamientos máximos obtenidos por medio de la ecuación (15-1 G) para obtener las derivas máximas factibles. (e) Cortantes máximos de piso - Por medio de la ecuación (15-10) se obtienen las fuerzas modales máximas de cada piso, por ejemplo el piso k, para el modo i: F~i). Luego se determina el máximo cortante inducido por el modo i en el piso J. así: (15-19)

y aplicando el método RCSC,

Vmax= f(V.lilf = (V.ll)r +(vYlr +... +(v.¡mlr j

(15-20)

i~1

se determina el valor máximo factible del cortante del piso j. Debe hacerse la misma advertencia que en al caso de la deriva, pues es errado calcular el cortante de piso utilizando valores de las fuerzas ya combinadas. (d) Cortante basal máximo - Primero se obtiene la fuerza cortante máxima para cada uno de los modos sumando algebraícamente todas las fuerzas modales máximas del modo en los diferentes pisos, F~i): p

V(i)

= I, F~il

(15-21)

k=l

y aplicando,

O) )1. +(V(2modl )2 +.. +(v(m) Vmax= f(V~¿dr = (Vmod mod )2 o

(15-22)

i=1

se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otros casos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzas horizontales ya combinadas. (e) Momentos de vuelco máximos de piso - Con las fuerzas modales de piso para el modo I: F~i), se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i en el piso j, así:

Jinámicn estructural opliccul« al diseño sísmico

M~i) =

±[(h h F~i)] k -

(15-23)

) .

k=j+l

donde h, Y h j son las alturas, medidas desde la base, de los .pisos k y j, respectívamente, Aplicando el método RCSC,

Mjax = f(M~i)r = (M~l)r +(M~2)r +".+(M~m)r i=l

(15-24)

se determina el valor máximo factible' del momento de vuelco del piso j. Debe hacerse la misma advertencia, pues es errado calcular el momento de vuelco de piso utilizando valores de las fuerzas ya combinadas. (e) Momento de vuelco máximo en la base - Con las fuerzas modales de piso para el modo i: F~i}, se determina el máximo momento de vuelco inducido por el modo i en la base así: (15-25) y aplicando,

Mmax= f(M~~dr = (M~~d)2 +(M~~r +... +(M~~r i=l

(15-26)

se determina el valor máximo factible del cortante en la base. Igual que en los otros casos, es errado calcular el cortante basal utilizando valores de las fuerzas horizontales ya combinadas. (f)

Fuerzas horizontales estáticas correspondientes a las fuerzas máximas modales Con en fin de obtener las fuerzas internas en los elementos de la estructura es conveniente disponer de un conjunto de fuerzas horizontales estáticas que representen las fuerzas máximas factibles que puede desarrollar el sismo. De esta manera las fuerzas estáticas correspondientes se pueden emplear en un análisis estático convencional y así determinar las fuerzas internas de los elementos utilizando la misma metodología que se emplee para las demás fuerzas estáticas. Las fuerzas estáticas correspondientes se determinan a partir de las fuerzas cortantes máximas factibles de piso obtenidas en el paso (e). La fuerza correspondiente de cualquier piso se obtiene como la diferencia entre la fuerza cortante del piso y la del piso inmediatamente por encima. En el piso superior es igual al cortante de ese piso. Entonces, para cualquier piso j, la fuerza estática correspondiente es: FE _ j

ax vjm

V max _ V max j

j+1

para

J> p

para

j:;t: p

(15-27)

Lo anterior se presentó teniendo en mente un análisis modal planar. Al aplicar el método RCSC a sistemas tridimensionales hay que tener en cuenta algunos aspectos adicionales que serán discutidos más adelante en el presente Capítulo.

15 • Análisis modal especti

Ejemplo 15-2 Se ueselit eVftrJLeliLr eL método de Lu míz cltlitdmdlit de LIit SIHnlit de Los CluAdmdos (RCSC) lit Los resl1Ltlituos deL ejefnpLo 15-1. EL emf'JLeo de rJrocedUnimto COftdltce lit Los sigaientes resl1.Ltlitdos: DesnLliLZlitvvtientos horizcHttlitLes f1tcixil11OS (m) Los desr¡LliLZumiefttos múxil1tOS en. ml.Í1it 11tOUO, se okJltwierovL de:

litsí: {

{U~~d}

U (3) } mod

{U::~}

-0.009692

0.001618

-0.000355

0.136429

-0.003428

-0.000790

0.000557

-0.000163

0.000032

U6 Us

0.115519

0.004295

-0.001915

0.000091

0.000144

-0.000050

-0.000592 -0.000017

0.000058

U (I ) } mod

{

0.148703

U (Z ) } mod

{

U (S ) } mod

0.000066 -0.000010

J, gdl

0.084882

0.009854

-0.000280

0.049588

0.009914

0.001754

0.000118

-0.000124

-0.000054

U3 U2

0.018061

0.004698

0.001397

0.000584

0.000181

0.000041

AlwrlA. Iitr¡Liml1tOs et procedilnieltto de RC')C lit mdu IUtlit de LlitsJiLlits de LIit fnlittriz IiLftterio:'. ASÍ, lit f1tOl.ÍO iLltstmtivo, rJlitm el sexto riso: 2

U;¡"'x = J(0.148703)2 +(-0.009692)2 + {0.OCI618)2 + {-0.000355/ + (0.000066) + {-0.00001O)2 = 0.14903 m

Este valor se compum kJustultle bien, COVI. eL valor de 0.14873 In obtenido rJOr vftedio (le llA resfJl1.estu crOftOlógim reuLizudu evl. el ejef11.pLo 14-]. El resl1.Ltlitdo, eVl. m. pun/l.lodos los piSOS es: ,J.,gdl

rO.14903 o.13M 8 {U

ma x

0.11560 }=±-0.08545

0.05059 0.01872

Se hu cotocaao el sín1.kJolo ± plitm ütsistir qli.e los reslütudos vltl.~ximos obU'-Itidos rJOr /11.fdio dc RCSC rJltcl.Íelt ser positivos o neglittivos. Derivlits múxime/l.s de tJiso

El valor de LIit derivu f'Jum mdu modo en ml.Íu piso se mlwJu IttiLizliLf1.do los vatores mosirul.Íos en fUmad]. EmrJteuvLdo tu eCltlitciólt (15-17) se OkJtielteft los siglúeVl.tes resltltudos:

525

'lámica estructural aplicada al diseño sísmico {

/!,( 2 ) } mod

{

/:;.( 3 ) } mod

{

/:;.(4 ) } mod

{

/:;.(S) } mod

{/:;.<;~d } t piso

0.012274

-0.006264

0.002408 -0.000912

0.000229

-0.000042

0.020920

-0.007723

0.001125

0.000466

-0.000307

0.000082

0.030627

-0.005559

-0.001635

0.000683

0.000161

-0.000108

0.035304

-0.000060

-0.002034

-0.000710

0.000107

0.000112

0.031517

0.005216

0.000358

-0.000465

-0.000305

-0.000095

0.018061

0.004698

0.001397

0.000584

0.000181

0.000,,41

AhorcA. ar)L~cavJws eL woced~f1t~eftto RCSC por ejemplo. aL tercer piso: /:;.';,'" = J(0.035304)2 + {_0.00006O)2 +(-0.0~2034)2 +(_0.000710)2 +(0.000107)2 + {0.0(0112)2

= 0.03537 ID IJ para todos Los r~S05. -ipiso 0.01402

0.467%h'

0.0223.t

0.744%h

0.03118

1.039%h

1.179%h

0.03195

1.065%h

o.ousn

0.624%h

j 21

0.03537

ID=

Ahora, s~ las derivas se ¡~It¡"'~esell ClíLLcltL1A.do, E'YrcA.dlíLlne~tte. a ~1ayt~y de Los vaLores de {U'?"}. los yeslütados seYiavl, Los s~glüelltes, COVJW rDrcentaje de La aLtlHa de r)Lso (%h): ..l.piso 0.418%h' 0.696%h

---

1.005%h -1.162%h -l.06~%h --

0.624%h J

<= resutado errado <= resutado errado 4 <= resutado errado 3 <= resutado errado 6

FI1,erzas Ú1.eyclales 11uH;l.ales (kN) Las Jl1.erzus inerciales mrix~mlíLs rlOY v11.odo tijltc ivnpmte eL S~SI1W sobre la estmcU1XlíL. se obtHN~eYmt eri el ejemr)la 15-1 mlüt~/1l~ClíLndo llíL mlíLtr~z de Y~g~del ¡;(e ta¡;(a La cstntctlulA. VIOY Los

¡;(eSr)LlíLZlíLInie~ltas Inrix~f1ws carreSrlOflCÜf'fttes líL ClíLíilíl. f1wdo. el yeslütlíl.¡;(o estti elt kN:

{F(l)} {F(2)} {F(3)} {F(4)} {F(S)} {F(6) 1J mod

mod

1108.3

mod

moti

mod

-748.9

403.3

-226.4

79.3

1016.2 -264.8

-196.9

355.8

-195.6

57.9

86a.2

331.8

-47'7.4

58.2

173.4

- 91.0

tgdl

-18.6

632.9

761.5

-69.8

-378.0

-20.2

105.1

369.4

765.9

437.3

75.5

-148.2

-98.4

135.1

363.0

348.2

372.7

217.3

74.1

Debe evitarse combÚtlíLY estlíLsJIH'17líl.S I1w¡;(aLes líL truvés de RCSC. pites COlt¡;(,tclyilíl. a reslütlíl.aos CYYlíL¡;(as posteYiaYvllCflte elt el ctiLutLa ¡;(e Los cortlíLfltes de piso lJ f1wlnenlos (M vaetco.

15 • Análisis modal espectr.

Cortcutte Inrixilno vnoduL de t'Jiso (kN)

EL cortante vnrixüno de r¡iso rJum mdu ¡nodo se ohtiene r¡or vftedio de iu ec/{,ucióft (15-19): p

vii) = LF~i) k=j

Tabla 15-7 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del cortante modal de piso

rnso

y(l) mod

y(2) mod

y(3) mod

y(4) mod

y(5) mod

y(6) mod

(kN) 403.3

(kN)

(kN) 79.3

(kN)

~226.4

129.4 1877 ~ 190.3

116.3 57.1 369

(kN)

110S.:J

~748.9

2124.6 2984.8 J()':76

10"13.7 681.9 79(,

200.3 271.0 '340.9

3987.0

84';.'1

Q¿'.5

-11'18

'1 .., 1 '1 - • 1 t .~)

--1-5.0

4122.1

1208.'1

444.6

257.9

106.1

29.1

2 1

~18.6

39.3 C"1 - ,)

1. /

S:L4-

Alwm Ur¡Licwnos eL Y¡Y(Jcecü,nien((J RC<.;C. por ejemy¡Lo. uL scg/1.ndo r¡iso:

y~x = ~(3987.0)2 +(845.5)2 +(96.5)2 +(_114.8)2 +(_1ll.3)2 +(-45.0)2 = 4080.2

El resH.Ltucio. eft kN. rlCua tocios Los rJisos es: J.piso

{

1417.6

2369.8

y max } = ± 3080.3 3640.1

4080.2

4327.6

Corte LJusaL ,nrixiww EL cortante en Lu ¡.,use deL edificio ('VL ki'-J. se OtltliViJ en eL cjevvLpLo 15-1 r¡ara mda nVJ(.io así 1108.3

-748.9

403.3

-226.4

79.3

1016.2

- 264.8

-196.9

355.8

-195.6

57.9

331.8 -477.4

58.2

173.4

-91.0

860.2

-18.6

632.9

761.5

-69.8

-378.0

-20.2

105.1

369.4

765.9

437.3

75.5

-148.2

-98.4

135.1

363.0

348.2

372.7

217.3

74.1

= {4122.l 11208.5 I 444.6 I 257.9 I 106.11

29.1}

y(l)

y(6)

mod

Alwm upLLCI;tvnos eL y¡rocedimiell.t.o RCSC ymax = ~(4122.1)2 +(1208.5)2 +(444.6)2 +(257.9)2 +(106.1)2 +(29.1)2 = 4327.6

--------------

'iruunica estructural aplicada al diseño sísmico

MOlneV\,to de VlteLco

EL VVWVVlCV\,to de vuelco en cadlíl piso se obtiene por Inedia de Llíl eCl-LlílcióVl (15-23):

±[(h -h')'F~i)lJ

M~i) = .1

k=j+1

Tabla 15-8 - Ejemplo 15-2 - Valores máximos del momento de vuelco modal de piso

riso

M(l) mod

M(2) mod

M(3) mod

M mod

(4)

M(S) mod

M(6) mod

(.kN' m)

(kN 'm)

(kN' m)

(kN 'm)

(k.~. ro)

0.0 3324-.9

00 -224-67 -5287.8

00 1209.8 1828./

0.0 -679.2 290.9

0.0 237.8

0.0 -55.9

i 11 .0

6~9

-7333.6 -7094.7

1015.6 -6.9

60.2 170.9

-93.3

-4-558.2 -932.7

282.4 1616.3

272.2 -298.7 -6431

1(l2.Y

66.8 68.)

130.7

~ 55.3

19.2

él

5 4

9698.6

3 2 1

18652.9 29505.8 414-66.8

()

53833 1

Altorn apLiclílfnos el procedivI-tiCf1to RCSC por ejevl1rLo. aL marta r1iso:

M:"X = ~(9698.6)2 +(-5287.7)2 +(1828.7)2 +(_290.9)2 +(-111.0)2 +(61.9)2 = 4080.2 kN

EL resltLtado. en I<N . m. pam todos Los rJisos es' .~ piso

0.01 5

4252.9

{l\l

ma x}=

11201.3

~OO70.6

3 2

30348.81 41722.9 53865.8

MOVI-1CfttO de vHdco el1 Llíl tJlílse EL ;nOVl1Cftto de vuelco en La tJlílse. eVl, I<N . In. cmttrib,údo rlor cada litado. se rJl1.ede obtener rol' medio de: 1108.3 -748.9

403.3

- 226.4

79.3

1016.2 - 264.8 -196.9 860.2 331.8 -477A

355.8

-195.6

-18.6 57.9

173.4

-91.0

{M_l" {h}'[F_l" {"lIS 1121916131 632.9

761.5

58.2 -69.8 -378.0

369.4

765.9

437.3

75.5

-20.2 -148.2

-98A

135.1

363.0

348.2

372.7

217.3

74.1

= {53833I -933 \ 1616\

1311

155 1

19}

M(4) mod

M max = ~(53833.1)2 +(-932.7)2 +(1616.3)2 +(130.7)2 +(155.3)2 +(19.2)2

= 53865.8

kN· m

105.1

15 • Análisis modal espect

r Iterzas lLorizont.uLes estlÁ.t:icus corresroVLcÜefttes Est.usJ/terzus, en kN, se cr;lJu1.Laft por vVLeGiio Gie La ew,aciÓft (15-27), con base en Los cortantes fnoGiaLes Gie piso vVLeixilnos: J.piso r1417.6 2369.8-1417.6

1417.6

951.9

3080.3 - 2369.8

710.5 =+-- 559.8

4080.2 - 3640.1

440.3

4327.6- 4080.2

247.6

3640.1- 3080.3

EL VltÓfneftt.o Gie V/teLCO eft La base, eft kN . flt c(;¡Juüacto rJara est.asJI1.erzas corresr)()/'ldie/'l{:fs es: 1417.6 951.9 ME={hf[FE]={18115112191613}

710.5 =56742.1 559.8 440.3

kN.m

247.6

Este ¡1'!ülnento ~1.e vnctco es. e/t este caso, Ugeramenle s/tperior aL q14.e se obt.nvo w],teriorme/'l{e a/'lLicanúio RC5;C cte Los flWV!tentCJs de vuetco flwdaLes. Dado qH,e e/t eJE' 111fJ Lo 14--3 "e encontró Lu resp/testa umwLógim de La misvna estrttctH.ra aftte eL misvlw acderograma de El Ce/ttro, mijo eSrJectro se empLeó en et presente ejempLo, 11/.¡.eden ILacerse aLg/utas comrJaraciones ucerca Gie Los vatores 1·1teixÍflWS o~JtevLidos en eL ejenwLo 14-3 Ij Los valores meixÍflws rro~lalJLes cubüudos Itt.Uizal1I1.o RCSC en et presente ejempLo. Tabla 15-9 - Ejemplo 15-2 - Comparación de los valores obtenidos en los ejemplos 14-3, 15-1 Y 15-2

Pvm'imetro DesplViZVimieVl.to de L¡;'i cuhierw

E¡em¡olo 14-3 AVl.6tlisis CroVl.ológico

EJempLo 15-1 Espectml MOviv¡[ Vvilor íl.hsoluto

Ejemplo ¡52 EspectmllV1o¡;{vil

0.14873 m

0.16044 m

O. i~9OJ m

RCSC

Corte BViS¡;,il

4355.8 kN

6168.4 kN

~327.6 k,"'~

rv10VVUeVl.I"() ¡;fe vuelco

51'r 40tJ kN . m

56687 kN, m

5:l866 kN· m

COVV\.() rJlteGie verse Los vaLores o~lteftidos por meGiio deL I1roceGiimiento RC';C soto varialt con resl1ecto aL fl'leixÍfI'lO valor crmtoLógico ef'l Lu terceru ciJra decimaL

•

Con el fin de aclarar un paco más aquellos casos en los cuales no es lícito utilizar el método RCSC, los dos errores más comunes en su aplicación consisten aplicar el procedimiento a los desplazamientos modales [Umod ] , o a las fuerzas modales [Fmod ] , obteniendo un vector de desplazamientos, o de fuerzas horizontales, de los pisos; para luego ser empleado directamente en un análisis de la estructura por procedimientos convencionales. El error se introduce en aquellos pisos en los cuales los desplazamientos o las fuerzas cambian de signo, con respecto al piso inmediatamente superior, pues tanto la deriva como el cortante de piso se calcula dentro del modo como la diferencia algebraica, tomando en cuenta el signo; pero si esta diferencia se calcula a partir de desplazamientos, o tuer-zas, que se obtuvieron sacando raíz cuadrada de los cuadrados de los valores de cada modo, los valores pierden su signo al elevar al cuadrado, y la diferencia es en consecuencia menor.

529

uunica estructural aplicada al diseño sísmico

.3.3 Método de la combinación cuadrática completa (CCC) El método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados parte de la premisa de las respuestas de los grados de libertad desacoplados son estadísticamente independientes. En aquellos casos en los cuales existe interacción modal debe recurrirse a otros procedimientos. El más utilizado de ellos se conoce como el método de la combinación cuadrática completa (Cce). La forma de combinar la respuesta de los diferentes parámetros modales, r, se expresa así: (15-28)

donde r, y rj corresponden a las respuestas modales máximas del parámetro, para los modos i y j respectivamente, y ru corresponde al coeficiente de correlación entre los dos modos, el cual varía entre cero y uno, siendo uno para el modo con si mismo. Por esta última razón, los términos de las dos sumatorias para el mismo modo pueden sacarse del producto, lo cual conduce a la siguiente expresión:

r ""

m m

i=l

i=lj=l ;*jj*i

L r¡2 +L L. (ri . r j . P\i)

(15-29)

Es evidente aquí que la primera sumatoría corresponde al método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC), el cual el un caso particular del método CCC cuando los coeficientes de correlación entre modos son cero, lo cual solo ocurre cuando hay independencia estadística entre ellos, confirmando la base del método RCSC. El método fue planteado por primera vez por Rosenblueth [Rosenblueth y Elorduy, 1969], y posteriormente Der Kíureghían [Der Kiureqhian, 1981] propuso una manera diferente de calcular los coeficientes de correlación, la cual es la más empleada hoy en día, y es la que se presenta a continuación. En [Cupta, 1990] se introducen otros métodos y se comparan con los dos mencionados. Todos ellos se fundamentan en la teoría de \ ibraciones aleatorias y su deducción se sale del alcance de una presentación introductoria. De acuerdo con el procedimiento de Der Kíureghían los coeficientes de correlación se calculan por medio de:

(15-30)

donde ~ y Si son los coeficientes de amortiguamiento de los modos i y j, respectivamente, y ~ij = (j},/ffij, siendo 0\ y ffij las frecuencia naturales, en radianes por segundo de los modos i y J. respectivamente. Cuando el coeficiente de amortiguamiento crítico es el mismo para los dos modos, la ecuación anterior se convierte en:

(15-31)

Un aspecto que se deduce de la ecuación anterior, es que la ausencia de amortiguamiento hace que el coeficiente de correlación se convierta en cero. En la

15 • Análisis modal espect i Figura 15-10 se grafíca la ecuación (15-31) anterior. Allí es evidente que el coeficiente de correlación se hace mayor en la medida que las dos frecuencias se acercan, y que este efecto es más pronunciado cuando el amortiguamiento es mayor. 1_0

0_9 0_8

O] 0_6

~ 1\ /~ =0.0

0.4 0.3

0.0

¡}' \/ ~=O 02

0.2 0.1

~=( .15

/~= 0.10

0.5

-,=0. O

p\'\V~= 0.01

~'/ I

'\ K' ,"-...ro-

pJJ~ I~ r-:' 0.0

0.5

1.0

1.5

--- -r--

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Figura 15-10 - Coeficiente de correlación para el método CCC

La gráfica anterior demuestra que aun para amortiguamientos hasta de 10% del crítico, para frecuencias que difieran por UJ"l factor de 2 o más (0.5 > ~ij o ~ij> 2), el coeficiente de . correlación Pij, se mantiene por debajo de 0.10. La importancia del método eee se hace manifiesta cuando existen frecuencias naturales cercanas, de resto los resultados obtenidos son prácticamente los mismos que se obtendrían con el método ReSc. Desde el punto de vista de la utilización del método debe realizarse de la misma manera que para el ReSe, la diferencia estriba en la manera como se realizan las sumas antes de extraer la raíz cuadrada. La manera más simple de realizar la operación implícita en 1,,1 ecuación (! 5-28) es realizar el siguiente producto de rnarnces: (15-32)

Ejemplo 15-3 Se deseCA. eVftpLeCA.r eL ntétodo de LCA. covnbinCA.(Íó¡t cltCA.vtráticCA. compLetCA. (cce) CA. Los resltLtCA.dos deL ejcvltpLo 15-1. eL CH.CA.LJlte eL VniSf1!1O empLcCA.do PWCA. el vl"Létodo RCSC m el ejempLo 15-2. LCA.s JrcCH.enciCA.s lJ períodos ltCA.tI1.YCA.Les deL siste/1tCA.. se dCA.lt en LCA. tCA.bLCA. 15-10. Tabla 15-10 - Ejemplo 15-3 - Valores de las frecuencias y períodos naturales

(radls)2

(rad/s)

f (Hertz)

2'! 108

5.3Y52

0.85866

1.1646

:>0-; .81

17.373

2.76495

0.3616

973.78 2494.3

3 ~ .205

4.96647

0.2013

49.943

7.94849

0.1258

4tJ~Ó.5

68.458

0.09~8

7: :38

84.344

1089550 :]42372

Modo

5al

T (s)

00745

uámica estructural aplicada al diseño sísmico

uüLiZCU1-do Los valores de La jremel'u:ia 0), el'L rad/s constnu-nos La sigfüel'Lte tabLa con Los

cocientes !3ij = o>'/OOj: Tabla 15-11- Ejemplo 15-3 - Valores del cociente de frecuencias !3ij

V'IW¡;;(O ~

=o>'/OOj 6

5.3952

17.373

31205

4·9.943

68.458

84.344

5.3952

100000

0.31055

0.17290

O 10803

007881

0.06397

2 3 4

~ 7.373 .1; .205 49.943 68.458 84·.344

322008 5.78384· 9.25693'

1.00000 '1.7%18

0.55674 1.00000 1.60048

0.34786

0.2"378

0.20598

0.62481 1.00000 1.37072

045583 0.72954 1.00000

036997 0.59213 0.81165

1.68881

1.23205

100000

WU)¡¡jo.1

5 f)

(rad/s)

2.87475 3.94048 4.85489

12.68869 15.6331 Ó

2.19382 2.70290

W.ego se caLcIÚalt Los coe]i.cievttes de corretación, H.üLizlil.It¡;;{o La eCl1.aciólt (15-31) IJ con IHt coef~cil.'lttl' etl.' (M11OrUgl1.amil'ltlD cnuco etl' ~ = 0.05, iglHitL (itL cmr Leado CIt Los ejemrLos 14-3. 151 IJ 15-2 para La misma estn1.cUua. Los coejiciel1-tes ete correLaciém se presl.'Jttlil.lt l.'VI. La sig¡üente ta~,La. Tabla 15-12 - Ejemplo 15-3 - Valores del coeficiente de correlación Pij

.1 VVln¡¡jo ~

;

100üüO 000552

n00552

2 3

0.00179

0.00080 0.00048 000035

0.02641 0.00710 0.00365 0.00245

5 (,

1.00000 0.04135

0.00080 000710 0.04135 1.00000

0.00048 000365 0.01406

0.01406 0.00820

0.08958 003322

1.00000 O: ><519

0.0017') 0.02641

100000

()

0.08958

0.00035 0.m245 0.00320 003322 0.18519 .100000

I:J empLeu (tE pmceetiínief1tc co:ti!1.ce lit Los sigLúrntes reslútados. elt el uiLc,üo ete Los etespLCitZamielttos vHw<únos del sexto riso ¡;2 "" { 0.148703 I - 0.009692 I

0.001618 I - 0.000355 I 0.00179

0.00080

0.00048

0.00035

0.148703

0.00552

1.00000 0.02641

0.00710

0.00365

0.00245

-0.009692

0.00179 0.00080

0.02641 0.00710

1.00000 0.04135

0.04135 0.01406 1.00000 0.08958

0.001618 0.00820 x -0.000355 0.03322

0.00048

0.00365

0.00035

0.00245

0.01406 0.00820

0.08958 0.03322

0.18519 1.00000

1.00000 0.00552

0.000066 I- 0.000010}

1.00000 0.18519

0.000066 -0.000010

= 0.022193

u~ax = Ji2 = ~0.022193 = U.l48974 ID Este valor se comrura ~1líl.Staf1,tc ~,iel'L COI1- el valor etr 0.14873 m o~jWtido rJor Inecüo de La resplH'stDL crDlloLógicDL reDLLizDLaDL el1- el cjev¡trJLo 14-3.

•

15 • . A nálisis modal especu 15.3.4 Combinación de componentes horizontales

En una estructura modelada tridímensionalmente se puede llegar a tener seis direcciones globales para plantear el equilibrio; consistentes en dos desplazamientos horizontales ortogonales en planta, un desplazamiento vertical, y tres rotaciones alrededor de estos mismos ejes. Dado que los registros acelerográficos que se obtienen de sismos reales solo contienen tres componentes de desplazamiento, dos horizontales ortogonales y una vertical; los registros sísmicos, o sus espectros, que se emplean en el estudio de la respuesta de la estructura están limitados a estas tres componentes, y se desconocen las componentes rotacionales. Por otro lado, el estudio de la respuesta de una estructura ante aceleraciones verticales es elaborado en la formulación del modelo de la estructura y en la manera como se determinan los elementos críticos de la respuesta. Aspectos tales como la excitación vertical en los diferentes apoyos y su interacción con las componentes horizontales del movímíento juegan un papel fundamental. La importancia de la respuesta ante aceleraciones verticales de estructuras convencionales ha sido motivo de debate desde hace mucho tiempo, pero tradicionalmente ha prevalecido el criterio de que es secundaria al ser comparada con la respuesta ante aceleraciones horizontales. Estos aspectos se salen del alcance de estas notas y por esta razón la discusión aquí se limita a la respuesta ante aceleraciones horizontales. En la Sección 11.3.I(h), al plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico se distinguía entre la dirección en que actúan las aceleraciones del terreno y la airección en que actúan las fuerzas inerciales de la estructura, En la Figura 15-11 se muestran las direcciones x-y-z que describen las direcciones en las cuales actúan las fuerzas inerciales de un diafragma de la estructura, y las direcciones de las dos componentes horízontale., de un acelerograma, que en este casa se han denominado 1·2. z

Figura 15-11- Dirección de las aceleraciones de los grados de libertad de una estructura modeladz por medio de diafragmas rígidos y la dirección de las excitaciones horizontales del terreno

Al plantear las ecuaciones de equilibrio de la estructura, las aceleraciones horizontales del terreno deben ser colíneales con las aceleraciones inerciales de las direcciones principales de la estructura. Entonces en las ecuaciones de equilibrio, tenemos:

[ME]{Ü}+ [KE]{U} = -[ME][y]{x o}

(15-33)

Dado que existen tres grados de libertad por diafragma, las ecuaciones simultáneas de equilibrio dadas en la ecuación 05-33) tendrian la forma que se da a continuación, donde m~ es la masa translacional del nivel i, y m~ es la masa rotacional, con respecto a un eje vertical localizado en el centro de masa del diafragma.

inámica estructural apliccula al diseño sísmico

o 1 : o o \"': o

o o o

m:: : O

____L- __ l. I I

o o o

O: : o

---~-- ....

o o o

---

: O

o o

k pyp•

k pxpy k pypy

o o

: O

;

mi:

r I I ---,.-;--1----

___ -+I __. -fI

k p xp x

: O

----:---t---

O: : m: O: I

I I

kpl'P'

o'.

kpx.iy

k pyix

o o

: O

k p xix

o o o

o :... : O

k p x pz II

o o ÜPy o

I I

---"t--""1----

l ... I

o o

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o : ... : o O: : o

I I

___ .l __ ..J

I I

----r--"t'---

o o o

o o

k p y jy

k pxiz

I 1

k px1 x

k px1 y

k px1z

kp)'iz

I I

k pyIx

kp)'oly

k pyIz

, , , kpzj~ k ~.!'~i!_ k pziz ~-"~'- _k_~~,,- ------I-.--r-----

pzpz I I I k~zlx ~-~~y- _~~z~~ ----'""1---t-----I I I I : I I I I --------------j---r-------------1--r--------- ----s, I

l\. ixpx

k ixpy

k¡ypx

k iypy

~-~P!- -~~~-

k¡xpz:

: k ixix

k iyix : k : k izix _____ a pz -l ___ L. _____ k¡yPZ

I I

k ix iy

k ixiz :

k¡yiy

k i:r :z

~_iz.!~_

:L- _____ k izh : iziz -l_.__ _k ___

: k ix h 1

k Iy1x

I I

k ix 1 y

k ix1z

k¡yly

k iy tz

kizIz -~~:>- -----

I .... ----- ----- --------- ----- ------j---r--------- -----;--, I I I

k Ix p•

k Ix Py

k lx pz

l yp•

k l yPy

k l ypz

k l ZP'

k I ZPy

k lzpz

k 1xíx

k Ixty

k lxiz

... , k t yix I

k l yiy

k l yiz

I I

, k 1zi x

k 1ziy

k 1ziz ,I

m tP

k Ix Ix

k Ixly

k lx1z

... I k l ylx

k lyl y

k Iylz

k Izly

klzlz

k lzlx

I I

I l'"

I I

.~ ~ O ... ,"1 1 O O O ___ O O O O -O ___ O ..1.I __ -1I____ m::-l- __ :....., ___ O --I I I , I I --- ---- ----¡--- .I. . --;- --- ----r---,---, --- ---- - -I I O

mP t

... I

O O

O I O

\ m~

O , ... 1 O

I I

O I O I

I I

O ,

I I

I I --- ---- ----'---r--I , ..... --- -- -- ----:--, --- --I

O , ...

I I

---1"7--1---I

--- ....I ---1---O , II mIt

, O ...

I I

--¡¡

__ o

O I1- O O 1O- f -1 O O O - -

{:::}

___ o

mI t

mi r

- -

I-r-j 1 O

O 1

I-f-

O O

(15-34)

Al desacoplar las ecuaciones simultáneas indicadas en la ecuación (15-34) por medio de las transformaciones de coordenadas: y

{u} = []{l1}

(15-35)

y premultiplicar por []T a ambos lados de la ecuación, se obtiene n ecuaciones del tipo:

(15-36) y si suponemos, por ahora, que disponemos de un espectro de desplazamientos para la

dirección x, Sdx, el cual es diferente del que se tienen para la dirección y, S<ly' Entonces tenemos, por analogía con la ecuación (15-7):

n 5-37)

16 • Análisis modal espectr,

pero en la combinación de las componentes indicada en la ecuación anterior los valores espectrales no necesariamente ocurrieron en le mismo instante, ni reflejan el ángulo de ataque ~ más desfavorable, indicado en la Figura 15-11. En realidad, lo único que podemos decir con certeza es que el valor máximo que se puede asignar al grado de libertad desacoplado 11; si el sismo actúa únicamente en la dirección x, es: 05-38) y que el valor máximo que se puede asignar al grado de libertad desacoplado 11i si el sismo actúa únicamente en la dirección y, es:

(15-39)

Los desplazamientos dinámicos modales máximos que se presentan en la estructura, correspondientes a cada modo individual, por ejemplo el modo (i), cuando el sismo actúa únicamente en la dirección x, son: (15-40) y si el sismo actúa únicamente en la dirección y, son:

{U~i)} = {<l>(i)}. (11¡ )max = {tj>(i) }·Iu¡y .Sdy (Ti '~i)1

(15-41)

De una manera análoga, para cada modo individual (í), las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas que se presentan en la estructura cuando el sismo actúa en la dirección x, pueden obtenerse multiplicando los desplazamientos modales máximos en la dirección x, por la matriz de rigidez de la estructura:

(15-42)

y si el sismo actúa únicamente en la dirección y, son:

{F;i)} = [KHu~i)} = [~H<l>(i)}. (~¡ )ma~

(15-43)

= [K]{<l>(i'Hu¡y 'Sdy(T¡'~i)1

Lo mismo ocurre para cualquier parámetro de respuesta r, pues se tiene un valor para cada modo cuando el sismo actúa en la dirección x, y otro cuando actúa únicamente en la dirección y. Utilizando cualquiera de los métodos de combinación modal, RCSC o CCC, obtendríamos el valor máximo factible del parámetro, independientemente para las direcciones x y y, como r x y r y , respectivamente. Ahora solo nos resta determinar la forma como se combinan estos resultados de las dos direcciones principales. En el análisis dinámico modal espectral de estructuras tridimensionales lo usual es emplear el mismo espectro en las dos direcciones principales, pues no existen elementos de juicio, en el estado actual del conocimiento, para afectar los dos espectros y hacerlos diferentes. En la Sección 5.6 se discutió la variación entre los espectros obtenidos para las dos componentes horizontales de un mismo sismo. En general la correlación entre las dos componentes horizontales de un registro 685

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico

ace!erográfico es baja [Clough y Penrien, 1993], y es recomendable realizar una reducción de una de las dos componentes multiplicándola por un coeficiente 'A que oscila entre O y l. Entonces, de acuerdo con lo indicado en la Figura 15-12 se tendría un espectro actuando en la dirección 1 y el mismo espectro, afectado por el coeficiente 'A, actuando en la dirección 2.

r max y 1

-x

Figura 15-12· Direcciones en que actúan las dos componentes horizontales del sismo

Entonces los valores máximos probables del parámetro r en las direcciones 1 y 2 son:

r1 :::: rx cos 13 + rysenf r2 :::: -'A rx sen~ + 'A r y cos 13

(lS-44)

El máximo probable r max ' se obtiene por medio de: (15-45)

Reemplazando (15-44) en (15-45): _ . ." 1/2 2r;)sen213 + 2r ry (1- 'A2)sen13 cos13] =[(r;'I'lr"''A2.~;).cos~ 13 + (r; + ' A x max .

(15-46)

.,~

--:. :,y derivando con respect~' al ~ñ~tllo 13:

drmax == - 2cos 13 sen13(r; +),,2 r:) +2sen13 cos /3(r; +),,2 r:) +(- sen213 +cos 213 )2rJy(1_),,2) (l 5-47) d13

2. [(1'; +),,2 r:) CQS213+(r; + A?r;~en2/3 + 2rxry(1+ ),,2)sen13cos13t2

El valor del ángulo 13 que conduce al máximo valor de r max se obtiene igualando la derivada anterior a cero:

Reordenando: (15-49)

Pero: (15-50)

lB • ...'lllálisís modal espectral Entonces: (15-51)

Solo nos resta definir valores para el parámetro A. Clough y Penzien rClough y Penzien, 1993], indican que la reducción de la componente menor con respecto a la mayor debe ser del orden del quince por ciento, convírtíendola en el 85 por ciento de la otra, lo cual lleva a un valor de A = 0.85.

Ejemplo 15-4 Se ¡iene IH'L nu[ficio de Cilt(() ¡'Jisos ue ,i{{¡utll;!. c/1.(,uArudLl lj .d,c)1'Lde todos 1m rJÓrticos SO/t igltcües. con coLIU1tltas ae 0.5 por 0.5 m ae secáón lj Vig(A5 ae 0.4 m al' altdw 1'101' 0.5 m al' alto. Ft InCLtenaL al' todos Los eLevlte/tlos liCIte I1Jt módlüo de dasticidctd de 25 GPa. Llit cslYlv:tJtm tiene IUt 11tlUO eSlrt1.c.UuaL que cltCierm eL vacío del ascemor. con 111 = 0.6279 m". 122 = 0.5761 m" 2 lj E = 25 GPa . La IVLaSC'L de Lct eslnuL!tru es 1 Mg/m de Losa. Las dimnlsio/tes de [os vanos. Las n.LtlUas de Los pisos. lj La LocctLizcLciém del mitro eslntctluuL se Inl·1estrun elt Lu Fig/ua 15-13. EL diaJrugmu se comideru iv!futital1tCnle rígido en s/t rJrorJio pLalw lj tievL<' tres grudos de Libertad: IHtct rolucióll con resrJecCO u IUt eje verticaL lj dos desp(uzctl1tieltlos horizOIt1ctLes ortogonaLes elt La ¡,ürección de Los ejes x-y.

@-~

-,I

I I

-J¡I

Figura 15-13 - Ejemplo 15-4

Se desea bltscar La direcciém ae La reSpl1esta Inlixívna ¡10r el ¡1yocedímíeltto Íltdícado en La ¡1resettte sección. Se co/tsídem qlie el ejecto mris Jlterte deL sismo pltede actltctr elt cltaLqlúer díreccíó/t en rJL(,LntlA-, lj lljlte La aíreccíólt l11eltOsJ,terte corresrlonde a L(7. contr¡Oltflttc ortogo/1.IA-L a LIA- CLnteríor lj tiene l1.It v(,Ltor del 85% de La deL selttidoJlterte. Los ejectos deL síSI1W se descríbclt lA- través de 11.ít esnectro de ShitJIA-!(,L-SOZeVl (Sección 7.2.4) con /uta aceLeraciólt mlixímu deL lnreno ígl1.aL IA-I 30% de La de uf gruvedud (Ate = 0.3g). Se cottsíderu que IUt cocJícít'ntc dt' IA-I;lOrtig/1.wnintW de 5% del crítico (S = 0.05) es reweselttlA-tivo para Lu res¡1l1esLu de la estn1.ctluR

«mica estructural aplicada al diseño sísmico

El espectro ete SfLitJtA-tlíL-Sozev\, estti etrfil1,ieto ~JlíLm IHt tA-fnortig/~.tA-miel1,to ete 2% por f'lteetio ete:

25A te T = 7.5T

ptA-rtA-

T :::; 0.15s

Sa(g}= 3.75A te=1.125 ~JtA,rtA- 0.15s < T :::; l.5A te =__ 0.45 ptA-m 0.4s < T __

O.4s

PtA-m convertírlo tA- JCt LU1wrtigJl,líLf'ltieftto ettA-eto se f1tJÜti~JLiclíLlt LtA-s oretefttA-ettA-S espectmLes por 8 6+100~

(/jIte en este ClíLSO corres~)OItete tA8

----=0.727 6+100·0.05

EL esncctro etc ctespL1JLZVllnielttos se otJtielte rJor f1'leetio etc:

E/ttoltCes. pur!..\. Ate =0.3g Ij ~ =5%: 7.5 . T· 0.727· 9.8 .T 2 -

13 = 1.354· T 2

T :::; 0.15s

41t

2 1 2 1.125· 0.727· 9.8·T - 2 = 0.203· T plíLm 0.15s < T :::; 41t u.45 2 1 -·0.727·9.8·T -=0.081·T plíLm O.4s < T 2

O.4s

41t

0.25

0.20

1;=5%

C.15

Sd (m) 0.10

0.05

0.00 O

1.5

0.5

2.5

Período T (s) Figura 15-14 - Espectro de diseño de desplazamiento

Lu musu tn..\.sLuriollt..\.L ete cudtA, lUtO de Los rJisos corres¡101tete u m, = 12m· 12m . 1Mg/~ = 144 Mg. Lv. mn.su rot[).cicmuL ete CltuL(/jlüer rJiso correspmtcte U m, = (mI/A) . (1"" + lyy) = (l44Mg cno

15 • Análisis modal espectral !144m2 ) • (12 4/12+124/12) = 3456 Mg . m 2 . Con estos valores se COvlstntlje /~.ft~ m~triz de m~sCA. de tod~ L~ esl.Ylv:t/WA. [ME).

Se /'lLwtte~n dos casos. eVl eL C~SO (~) Los ejes /'lriVLCi/'l~Les de L~ estn1.ctlu~ SOVl coLine~Les con Los ejes x-y. Elt el C~so (t,) L~ estnl.cUi.Y~ está LocaLizCA.d~ elt rJL~ftL~ de t~L Vlt~VU'm q/te S/I'<; ejes prÍltci/'l~Les. x'-y'. están rot~dos 45° con resuecto ~ Los ejes x-y Cft Los utr.ües ~ctl1.l/L eL SiSVltO. COVll.O Lo mEteS tm Le;{. Fig IUl/L 15-15. Y y

y.'

@-J.I

-r I

@---

- t t - - -__-

'r ~ I 2V I

-----'----.---x

I I

G)-~ -"11

"-..

@ Caso (a)

Caso (b) Figura 15-15 - Ejemplo 15-4

AL resolver et pYOtJLeVltl/L de valores /'lropios pLl/Llttee;{.do r¡or Ll/LS ecuacíones de VltOvÍll'lÍento. se ObÜel1.CI1 Ll/LS siglüel1.tesJreCIWtci¡;¡s 1:1 y¡erfodos. 0 eL valor l/j/1.e se obtiene en eL esnectro ~te ¡Úsefíü de despLCíLZl/Lf11iClttos' Tabla 15-13 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Frecuencias naturales y períodos, y valor leído del espectro de desplazamiento

Modo

(ji

(radls)

(Hertz)

(rad/s)? 109.160

10.448

156.380

12.505

3 4 5 6 7

241.850 1236.0 3139.5 4335.9

15.551 35.157 56.032 65.848 71.044 103.920 136.950

-t

9 10 11 12 13 14 H' '-'

50472 10800 n~755

21016 33310 7460:' 118670 162130 2S8330

144.970 182.510 273.140 344.480 402.650 S08.270

Sd (m)

1.6627 19900

0.6014

0.0487

05025

0.0407

2.4748 5.5948 8.9168 10.4790

0.4-D40 0.1787

O.OJ27 0.ClO6.)

0.09543

00012

11.3060 16.5380

0.08845 0.06047

217940

0.04588

000094 O.OOOJO 0.00013

23.0700 29.0440 43.4660 54.8210 64.077CJ

0.04335 0.03443 0.(J2301

000011 0.00005S 0.(JOO016

001824 CJ.01561 0.01236

0.000008 OOOOOOS 0.000003

80.8:'140

Los f1'l.odos de vitJmciól1. correspof 1,Üefttes son:

.<1.

T (s)

589

o... I

..,~)

r z,

0.00 "J')

-ámica estructural aplicada al diseño sísmico Tabla 15-14 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Modos de vibración q(.j[

Inrlllo 1

Hwdo 2

IIlOll0 3

Illorio 4

111.01105

IllOdo 6

m.orto 7

Hlorio 8

USx USy USx U4x

-0033311 0.033311 0005540

004-2534-

0.009bt.'J

0022609 0.022609 -0007175

-0.032388 -0032388 O

-0.024-708 0.024-708 0002056

0.013084-0.0130840.008384-

-0.0104-18

00'~2534

0.025075 -0025075

-0.0278740.027874 0.005084-

0.032357 0.032357 O

0.016789 -0016789 0.007967

0.0004-4-6 -0.0004-4-6 0001331

0.007299 0.007299 O

0.019361 -0.019361 -0.004-4-41

0.001824-0001824-0.003315

0.024-005 -0.024-005 -0.00724-0

0020737

0.021730

-0020702

0032788

-0.014-171

0.021730

0.020702

0.03278d

0.024-919 -0.024-919

-0.013297

0020737 0.004104-

0009392 -0009392

0.005863

0.004799

-0.001°52

0.013297 -0.008509

0.014-171 000434-3

-00124-72

0011501

0003630

-0.02e-323

-0.027158

-0.003630 00034-87

0020323 0006892

0.005500 0.007282

0.027158 0.004-410

-0.011185 0.011185

0011501 O

0033133 0.033133

-0.005500

00124-72 0002680

U tx

-0.00;~4b8

0.003411

00004-39

0.0135W~

00n039

-0.0174-82

0.004-4-68 0001054-

0003411

0000'U9 0001228

0.013588 0.003758

0.014039

-001'1671 0.01 St)7~

0.0 ~ 74·82

002+371 -0024-371

0.007192

-0.000016

·0007951

u; u., U3x U3y U3x U' x U' y

u., UIx

0.0104-18 0.0034-13

0003081

<lril

IllO{:{O 9

IIlu¡Ú,10

Ill(Hin 11

III<JriíJ 1;!

IIt.Urlo 13

1I·l(xiu 1't

IIHltÚ¡ iS

VSx Vsv V sz V4x V4v

-0.004634

0.021089

0.014876

-0.011999

-0008721

-0.005035

-0003695

0.004-63'1-

0021089

0014876

-0.011999

0.008721

0005035

0.003095

0001571

0004299

-0.002308

-0.000983

V4z

U3x V3v

().01469~

0014-t9"

" n')"n"~ • __

() W70/7

0.032870

0024-051

0.01815

1 )

0.013389

-0.031013

0.022027

0032870

-0.024-051

0.018159

-0013389

V.vJ,~

0004587

0006315

()

0.OOt,460

000:'5:'3

-0~";!OO2

-0016135

001174-4

-0.026995

-0.01984-2

·0030~)(n

·0.022606

0022002

-C016135

001174-4-

0026995

0.01984-2

0030593

0.022600

0.006828

-0.003158

O.0052'Y'

-0.00594-t,

V2x

0022590

0.031187

0.022670

-0.008385

-0.00614-3

0.034-630

0.025606

V2y

-0022590

0.031187

-0.022670

-0.008385

0.006143

0.03'1-630

-0.025600

V3z

V2z

-0.007354-

0006207

-0001628

0.006730

V Ix

-0.018507

0/128857

0021255

0038063

0.028084-

-0031336

-0023222

u.,

0018507

0.028857

-0021255

0.038063

-0_028084-

ü.031J36

0.023222

Vi<

0005827

0.005626

0.007421

-0.OO60H4-

Tabla 15-15 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Coeficientes de participación modal V'/IOJo

<Xx

1'1.236 16.061

3 4

7.967

14.236 16.061 -7.967

5.408

7.901

790~

0230

0.230 -6.196

1.815

9 10 /1

-1132

4.894 3.604 3.392

13 14

2.510

1.516

2.04~

6.196 -1.815 1.132 4894 -3.604 3.392 2_510 2.041 ¡ .S1ó

Los eteSr)Lazuvvü('~trOS paru cuda grado ete Li~Jertad Cfll1tVuio el SLsI1tO acU1,a fÜÜCaf'f1l'ltte elt La aírecciónx se olrJtie~tevl deL proa/laO {V~i)}:= {cj>(i)}.(u x ,Sd) ':J tAJtáLoguf'ftf'lttc, CflWtdo eL SiSf1'lO

15 • Allálisis modal espectrc

uctl1,U 111LÍcuvvU'Itte en Lu direc(Íólt y IIJor Vltedio de {U~i)}={(i)}'(ay 'Sd)' COlt Los wodl1,ctos {F~i)}=[KE]{(i)}'(aX'Sd) I:J {F~i)}=[KE]{(i)}'(aY'Sd)' obteVLeVJtOS LasJH-etzas horizoVLtaLes elt Lus direccímtes x 11 y reSr¡ecüvameltte. IIJUnA. cada Inodo. I:J Las col11pmteVLtes deL corte busuL Cpi.<' se l1UteslnA.it u conlÍftltuciÓlt. en lutidudes de kN I:J kN . m: Tabla 15-16 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y D(jl

Inodo

HlOriO

IllOdo

fl'lOdo

I'/lodo

Si.(,:110 x

,iSlllO 'I

Si.slllOX

si.s:no 11

Si.SIIlO x

Si.sHlO If

Si.slllO x

Si.SIVlO Ij

sismo x

Si.SfllO ~I

3630

-363.0

6261

227.5

-227.5

-14·1.~)

¡4-1.5

-2198

-219.8 -219.8

Fsx Fsy Msz F4x F4v

-363.0

363.0

6261

626.1

-227.5

227.5

14-1.5

-1'1-1.5

-219.8

14-4-9.0

1449.0

2105,4

21054

1077.4-

3038

-303.8

4-76:,

476.3

152.3

-152.3

-2.8

4-9.5

-3038

30377

476.3

4·76.3

-152.3

152.3

2.8

-2.8

49.5

:329.8

1329.8

1734.7

1734-7

1999

-199.9

F3x F3v M3z F2x F2y M2z Flx F¡y Miz Vx Vv Mz

226.0

319.9

85.2

-852

129.5

-129.5

222.5

22tJ.O

226.0

3199

-85.2

85.2

1295

129.5 .

222.5

1U73,4

1073.4

1276.7

'1276.7

-7200

720.6

135.9

-;35.9

169.3

léJ9.9

32.9

-329

164-.7

-164-70

224-9

135.9

169.3

169.9

-32.9

32.9

-164.7

164.7

224.9

7009

700.9

759.3

-759.3

-103'1.9

1034-.9

4-8.7

'18.7

502

50.2

4.0

-4-.0

85.0

85.02

95.3

9°J.C>.,

-4-8 7

4-8.7

502

-34-.0

4-.0

-85.0

85.0

953

9[' ., . ,:),,)

-2757

275.66

267.3

-267.3

-S64.4

564-.4-

10774

1077.4

164-1 7

164-1.7

502.0

-502.0

235.0

372.4

372,4

1077.4-

164-1.7

1641.7

-502.0

502.0

-2350

235.0

372.4-

372.4

+8287

4828.7

614-3.3

-bI4-3.3

-10425

104-2.~

Tabla 15-16 (cont.) - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y $010 en y 1IIll

Fsx li';v Msz F4x F4v M4z F3. F3v M3z F2x F2y M2z FIx Flv Miz Vx Vv Mz

IllO(Ú'

HlOC:1cJ

SISI\l.O x

SiSHlO Ij

si.smox

IVI.odo

S¡SHlO '.1

si.snlO x

HlOdo

Si.s1l1O II

IHodo

Si.SHlO x

SiSlIlO Ij

sisuio x

Si.sIIIO 1I

4-.3

-4-3

-55.4

55.4-

-8.8

8.8

1.8

-1.8

3 l1-.4

34.4

-4-.::

4-3

55. f }

-554-

-8.8

-1.8

:>4.4-

34-.4-

8.5

851.8

69.3

-69.3

15.0

-3.3

3.3

-7.7

203

-20.3

-58

5.8

50.5

-50.5 -50.5

---- 851.8 7.7

-3.3

7.7

-7.7

-20.3

203

5.8

-5.1'

-50.5

18.4-

-184-

336.8

-336.8

14-7. ;

14-71

437

-4-3.7

-/1-.3

4-.3

56.3

-56.3

-1200

12.0

8 .,f

-8.7

-2b.3

-26.3

4'.3

-4-.3

-56.3

563

12.00

-12.0

-8.7

8.7

-263

-2b.3

8.1

-8.1

864.5

-8645

88.3

-88.3

65.1

(,5.1

1.0

-1.0

115.0

-115.0

9.5

9" .C>

-9.0

9.0

50.8

50.8 508

1.0

-115.0

114-5.0

9.5

-9.5

890

-9.0

50.8

-301

30.1

4-4-80

-4-41'.0

62.6

-62.(,

70.1

-70.1

-2.7

74-.0

·74-.0

20.6

-20.u

7.4-

4-7.0

4-70

- 1.7

-74-.0

74-0

-20.6

20.6

-7.4-

7.4-

4-7.0

-1.7

161.6

-55.6

55.6

-2.7

2.7

-29.8

29.8

0.3

-0.3

1822

-182.2

10.7

-10.7

3.1

-3.1

55.4-

-0.3

0.3

-182.:.'

182.2

-10.7

10.7

-31

3.1

55.4-

55,4

7'J9?

-799.2

-885

88.5

21.8

-4-20

-4?O

Tabla 15-16 (con t.) - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y <>010 en y

<Id!.

Ilwdo

1'1

1\'1"ri u

541

Hln{{u

lIámica estructural aplicada al diseño sísmico x

~i~ ino Ij

~i~fl-¡'O x

~1:~1I10 IJ

SiSlIlO x

S~IIW 11

~i~lIlO X

-14.2

-70

7.0

-3.0

3.0

1.2

0.6

-14-2

14.2

-7.0

3.0

-3.0

1.2

-0.6

98.1

-98.1

-19.5

19.5

4-.0

-4-0

sísrno X

~1$1Ij.()

14.2

Fsx Fsv Msz F4x F4v M4z F3x F3v M3z F2x F2v M2z FIx

~i~H-¡'(l

~1~f1-¡'O

-0.6

-21.0

21.0

19.2

-8.3

-4.3

21.0

-210

19.2

192

-8.3

8' .C>

-4-.3

-2.3 2 ...).,

-23

14-4.1

14-4-.1

53.2

-53.2

-14.4·

14-.4

-112

1¡.2

-15.7

-15 7

-6.8

6.8

7.3

-3.8

112

-11.2

-15.7

6.8

-6.8

7.3

-3.8

-72.1

72.1

-4-3.6

43.6

24.2

-2 f t .::

2.3

;! ~.Ó

n.6

-4.9

-2.1

2. I

-8.3

·-4.3

4-3

-21.6

21.6

-4-.9

-49

2.1

-2.1

-8.3

-83

4-.3

-/L3

1417

·141.7

-13.4

13.4-

-27.3

27.3

20.2

-, _L.L

222

9.6

7.5

3,9

-3.9

Flv

20.~

20.:!

~~ 2

122

-9.b

9.6

7_5

-39

3_9

Miz Vx VV Mz

128.4

-1284-

61.1

-b1.1

24-·(,

-24-_7

738 2J.¡;

-23.8

137

13.7

6.0

3.;~

3.4

1.8

238

., ..., I

13.7

-6.0

3.4-

-18

;1<>"0

-1 ~)2.0

:Fíi

-37.8

11.2

-11.2

t ,»,»

Pum el'1tYJLeur el, vVLéwclO eee de COI1"tk¡iftuciólt moduL se emYJLeuv¡, Los sig¡üelttes coejicíentcs ete correLucióq Pij clA-LCliJucios pum ¡·ti1, U11wrüg/tumiel1,to crítico de ~ =5%. Tabla 15-17 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Coeficientes de correlación entre modos para el método cce .1I,~otio

7 8

1.000 0.235 0.058 0005 0.002 0.002 0.001 0001

o.ooo

10 11 12

0.000 0.000 0.000 0000 0000 0.000

0.235 1.000 0.172 0.007 0003 0002 0.002 0001 COO1 0001 0.000

2 3 45 b

13 14

,-,

0000 0.000 0.000 0.000

;)

0.058 0.172 1.000 0.013 0.004 0003 0.003 0.001 OC01 0.001 0001 0000 0.000 0000 0.000

0.005 0007 0013 1.000 0.04-2 0023 0018 0.007 00040003 0.002 0001 0001 0001 0000

0002 0003 0.004 0.04-2 1.000 0276 0149 0.02;} tJ.O ~ 1 0.009 0.005 0002 O.OC/'> 0.001 0.OLi1

Í)

0.002 0002 0003 0.023 0.276 1000 0.634OC4-40016 00140008 0.003 0.002 0002 0.001

0.001 0002 0003 0018 0.149 0.634 1000 0063 0.021 0.017 OJJ09 0.0040002 0.002 0.001

0.001 0001 0.001 0.007 00240.04-4 0063 1.000 0.1140.081 0029 0.009 0.005

0.000 0.001 0.001 0.0040.011 0.016 0.021 0.1141.000 0.755 0.106 0.019 0.010 O.OO;~ 0.007 0.002 0.004

0.000 0000 0.001 0.000 0.001 0.001 0.003 0002 0.009 0.005 0014- 0.008 0.017 0.009 0.081 0.029 0.755 0.106 1.000 0.157 0157 1.000 0.022 0.05b 0.011 0.022 0008 "00140.005 0008

14-

-v t '.'

0000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 O.OM 0.009 0019 0.022 0.056 1.000 0.155 0060 0023

0.000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.002 0002 0.005 0.010 0.011 0.022 0.155 1000 0290 0.060

0.000 0000 0.000 0.00 1 0.001 0.002 0002 0.0040007 OOOI:-! 0.014 0.060 n290

0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.001 0001 0.OC2 0004U.005 OOOíi 0.023 O.OtiO

1.000 0.1S.:1 1000

0.154

Ahoru estitCÜef1WS Los ejectos direcdc)ltuLes deL siSf11,o ete disel10 empLeuyoltos et corte ~lusaL ele Lu estrl1,ctluu. Los valores deL corte ~msaL por n·wdo se reSlmteft iA-sL con Los resYJeetivos valores de La COf1-ttli!tiA-cióVL moduL uu sea eL método eee o el RCC;C

Tabla 15-18 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Corte y momento modal basal y combinación con los métodos CCC y RCSC SiSIII.O eux IllOIÚ)

V""

Vyx

1077.4-0 1M1.70 5019S 23S.00 372.41

-1077.4-0 164-1.70

3 4 :,

o 7

50'¡ .95

O.2B

23500 372.41 028

182.16

11'2.16

Si.sl-\IO ell 1.1

M", -4-828.70 000 6143.30 -1CH2S0 000 -41.9(}

799.17

Vxy

Vyy

Mzy

-1077.4-0

1077.4-0 1M1 70 501.95 23500

4-828.70 000 -r..14:l.30 10/12.50

16;~1.70

-501.9:' 235.00 37241 02A -1¡;2.1 o

3 7) .'~-i

O.(J(J

028 182.1éJ

.:i"19él

-790

15 • Análisis modal espect n 8 9 10 11 12

10.67 3.12 SS.37 23.80 13.73

5.98

3.38

1.78

eee ReSe

·10.t!7 -3.12 55.37 -23.80

0.00 151.96

137:3 -5.98

000 37.77

3.38 -1.78

; 1.16

·88.''1-6

-2179

-1067 -3.12

10.67 3.12

55.37 23.80 11.73

55.37

-5.98

0.00

884[)

2380

21.79 000 1 :11.96

1373 ')98

<>7.77

0.00

3.38

3.38 -1 78

000 -11.16

178

235984-

1805.37

7695.64

1805.37

2359.84-

7695.64-

2083.0:;

2083.03

N25.70

2083.03

7925.70

DetJeI11ClS encontrar el vIJ1.Lor cJjH,e tiene cada lUto de los partimetros, V X ' V y U M" tlll,sCCA-l1.do el c5tvlfjHJO ~ de atacJjlte del SiSl11ü cJjl1,e col1.d/1,ce al S/t valor vncí.ximo, pam el efecto se IH.iliza lcl, emaCiór1. (15-51), cJj/1,e eVL este CCA-SO se al11ica. ~}or ejevlwlo ~)am el ¡'Jwc5tmetro v ue l(lv sig/üer1.te mal1-e ra: X'

V_xy ~ = !2 arctan[_2_V_xx_ =--J V V 2

xx _

UVLr/t vez Sp detennina el c5tltg¡ÜO ~. se otltieltelt las COVI1.pOltClttes VI Ij V 2 ' petra este CCA-SO, YJOr I1tedio de: Vi = Vxx cosñ + VXy senf V2 = -A,Vxx senf + A,VXy cosjí

El mcí.xivno valor protlal1k tJam el parc5tl1tetro VX' v,:nax, se olinene entonces YJOr VVLe(ÜO de: V,:nax = ~vi + vi

A CO/1.tilt/tación se preselttalt los res/ütados, para Vx IHiLiza/'Ldo difere/1.tes valores de A" YJara el 1~'1étodo cee Ij i'!euí/t d RC~C Tabla 15-19 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para V x calculado utilizando los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro A,

Hléto(10

;).00

eee eee cee cee ece RCSe RCSe RCSe RCSe ReSC

0.30 OSO

0.85 1.00 0.00 0.30 0.50 0.85 ~ .00

V""

VX)'

13°

2359.8'. 235984 2359.84 2359.84-

180537 180537 180537

7.6'

7.0' 76'

2100.98 2100.98 2100.98 2100.98

:>30.29 1050.49

7.6'

2100.98 2083.03 2083.03 208303

104-1.52

2328.90

2083.03 208303

1770.58 2083.03

273385 294-585

235984-

180537 1805.37

7.6'

2083CJ:\ 208303 2083.03

208:303 2083.03

208303

208303 208303

2083.03 2083.03

v xma x O

1785.83 2100.98 O

624-.91

210098 2193.48 234896 275741 297123 208303 2174-.75

LOS res¡ütados, YJam V y Itrilizartci.o ci.U'ere/1.tes valores de A" con el métoci.o ci.e comf:'iltaciól1. modal eee Ij con el 111.2todo ci.c colnf:'iltaciólt Inodal RCSC son:

548

...

Hnámica estructural aplicada al diseño sísmico Tabla 15-20- Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para Vy calculado utilizando los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro 'A Vyy

[30

CCC CCC

1f.05.3 7 180).37

cec cee ece ReSe RCSe RCSe RCSe ReSe

1805.37 1805.37 1805.37

235984 2359.842359.842359.84235984-

7.6' 76' ·7.6'

210098 210098 2100.98 2100.98 2100.98

630.7.9 1050.49 1785.83 2100.98

2083.03 2083.03 2083.03 2083.03

208303 2083.03 2083.03 208303

2083.03

1770.58

2083.03

2.083.03

2083.03

método

0.00 0.30 0.50 0.85 100 0.00 0.30 0.50 0.85 1.00

vyma •

Vyx

16' -7.6'

208303 208303 2083.03

O' O'

62"'l.91 104-1.52

2100.98 2193.4-8 234-896 27574- ' 2971.23 2083.03 2174-.75 2328.90 2733.85 294585

EL l11,¡iX~VIi.0 valor vieL curte busuL Vrna x . se ohtíene por l11kt.ÜO vil': max max vmax = ./(v VX )2+(vY)\2

Vy COVL diferentes vntores de 'A. rum eL l1-tétodo eee lj ruru eL RCSC. SOI1: Tabla 15-21- Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores de V y calculado utilizando los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro 'A

fllé/orlo

v ma •

vymax

V ma •

000 0.30 0.50

cee cee cee cee cee Rese RC\e RCSe {<ce Rese

210098 2193.4-8 234-8.96 2757.4-1 297123

210098 21934-8 234-8.96 2757.4-1 2971.23

297123 3102.06 3321.94 3899.56 4201.-95

20iU.03 2174.75 2328.90

208303 2174.75 232890

294-585 30755¡,

27'33.3~)

:: 733 .85

3293.56 3cloé,.25

2945.85

294-:,85

4·1oo.Oó

0.85 1.00 0.00 0.30 0.50 l1.85 1.00

Los resltLtudos. pum Mz ItWLZUl1do diferentes vaícres de 'A. COl1 eL Iltétodo cee lj COl1 eL RC';;C. son: Tabla 15-22 - Ejemplo 15-4 - Caso (a) - Valores probables para M, calculado utilizando los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro 'A

iflé/orlo

0.00 0.30 0.50 0.85 1.00

cee cee cee cee cee ReSe RCSe RLSe RCSC ReSe

0.00 0.30 0.50 085 100

Mzx

Mzy

[30

7695.647695.647695.647695.647695.64-

7695.647695647695647695.b47695.64-

7925647925.647925.647925.64-

7925.647925.647925.64 7925.64792564

O' O'

79¿S.6-4-

Cuso (ti)

544

O' O'

7925.647925047925.647925647925e-4

M ma•

2308.69 384-7.82 654-1.29 7695.64-

-- O

237771 3962.85 6736.847()25.b4

7695.648034-.48 8603.98 10100.0 10883.3 7925.648274-.67 8861.20 104·02 .0 112086

lB • Análisis modal espectral AL resolver et prollLevvLa de valores propios pLaltteacto por Las ecuaciones de VVLOvifniento. se okltievLelt Los IniSVl'LOS valores parvt LasJrecl-telteias Id perí.odos. qlte en eL CVLSO (a); covljirVltando qw' Las cnracterísucas vilm:HorilA.s ete LlA. estnu:t/trvt son ÍftsensitivlA.s lA. LlA. orientlA.cíón de Los ejes prÍJtcíplA.Lcs. Los ¡nodos de vilJmcíón correSpOltdielttes son: Tabla 15-23 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Modos de vibración

nd l USx USy Us•

u, u, U•• U3x U,y U,. U 2x U2y U2• D lx Dly U¡,

IIlodo 2

1I10do 3

IllOdo 4

modo S

1I10do 6

1110(:107

11101:10 8

0.060152

O O

O -0.031973 -0.007175

-0.045804

0.047109 000554{)

O -0.035461 0.009669

O 0.034942 0.002056

O -0018504 0.008384

O 0.014733 0.003413

0045760

0.010322

-0023743

0.0079tJ7

-0.000631 -0.00133-;

O -0.027380

0.039419 0.005084

-0.004441

-0.002579 -0.003315

O -0.033948 -0.007240

O 0029327

0.030731 O O

O -0.013283

0.005803

0.029278 0.004799

0.046369 O O

O -0.035241 -0.001952

O 0018805 -0.008509

O 0.020041 000434-3

0016264 O

O -0.005134 0.003487

O 0.037226 0.000892

0.046857 O

O 0.007779 0.007282

O 0.038408 -0.004-410

O 0015818 0.003081

O 0.019217 0.003758

0019854 O O

O 0.022161 0007192

O 0.024723 -0.000016

O -0.034466 -0007951

IllOdo 1

0004-104 O

0017638 0.002680 O 0.006318 0.001054

O 0.004824 O O

-0.000621 0.001228

O O

~1(:1 I

IlkJ(:/c) 9

IIl011rJ 10

IIlodo 11

IIlcJ(:10 12

IllOdo 13

IIlono 14

USx Usv Us, U4x U4v U4, U3x U3v U3, UZx Uzv

002982',

0.016969

0.007120

0.00t553

0.021038

0.012334

-0005225

0.001571

-0.004299

-0.002368

0.000983

0043859

0046485

-0.025681

-0.020781

-0.031151

-0.034014-

0018934

-0.004-587

0.006315

0006460

0.003533

-0.022818

-0.038170

0,043265

0.03'1116

'0,016609

0,028061

-0,031970

0-C)06828

0,003158

-0.005299

0,00594i!

0,044-105

-0011858

-0.048974

-0.031947

0,032061

0008688

0036213

--~

1110(:10 15

- - - - - ------0 -------=C~006730-' -0,001628 O

us,

-0007354-

Ulx Uly Ulz

-0,006207

0040809

0053830

0,044316

002617'1-

0030059

-0,039717

-0,032841

0005827

-0,005620

0,007421

OOOéJ084

Los coeficíenres de purticipaciólt son: Tabla 15-24 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Ce eficientes de participación modal

1!'lodo

2 3 4 5

<Xx

O 22.713 O O 11 174

20,133 O -11,267 7,649

O O

O 0.326 8,763

256(, 1,601

~;097

·1 71~7

()

o 7 8 ')

-12

O t>.92·;

545

Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico o

-3.550

13 14

2.887

-2.144

Las J/{,erzas ltorizontates en Las tiireccimtcs x Id y res¡'Jcctiva/ltcnte. ¡'Jara cutia fl'Lcnto. wtitiades de kN Id kN . In. son:

eVL

í.

Tabla 15-25 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y

gn'

/11.0(10 sjsrno x

F sx F sv Msz F4x F4v M4z F3x F3v M3z F 2x F2v M 2z F\x Flv Miz _Vx Vv Mz

Illor/o

SiSllW 101

HlUl10 sisruo x

4550

29775

morto

sisruo '1

sismo x

sisuto Ij

sismo x

12522

72b.1

20492

si.SIIw 101

/1101:/0 SiSHlO x

sisnlO /1

-4-39./

-282.9

-1523 7

952.6

991

b07.5

304tJ

-s.e

1880.ti

-2453.2

()

·282.7

639.7

()

l~ll-5.1

4-S2.0

1704

2~J9.1

()

,é; 180

-1805.:)

1019.0

338.b

449.8

277.9

65.9

329.4

99; .2

·10737

1463.ti

1004

190.b

97.4

170.0

31<98

-3780

798.1

()

,,283.4

744.8

2154.8

1003.9

4700

()

b828.9

-86880

14-74.3

Tabla 15-25 (cont.} - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y ~11:H

IHodo sismo x

.I<'sx Fsv Msz F 4x F 4v M4z F3x F3v M3z F2x F 2v M2z FIx F lv Miz Vx Vv Mz

IIlodo

o SiSIHO !J

Si.slllO x

1llano

SiSlllO lj

sismo x

sisn1.O IJ

n1.Ol:/o SiSlllO x

11'1-0(/0

SiSlllO If

sismo x

sisrno /1

()

687

-110.8

-17.6

()

12.0

1204.7

-98.1

212

-1011

()

-c.:

-15.4

'.0.7

O -117

26.0

-476.3

2081

-61.9

o o

-sz.o

17.5

o o o o

R. u

112.6

240

-1222.6

124.8

92.1

101.6

2299

-189

o o

-180

-633.6

-88.5

-99.12

1.9

o o o o

42.6

94.0

5.4

148.0

41.3

14.7

42.1

-2.4

228.5

78.6

()

110.7

o o

O.b

3M3

21.3

()

6.3

5Q.:~

1130.2

1251

30.8

--; ~.4

546

15 . Análisis modal e8J)(>( Tabla 15-25 (cont.} - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Fuerzas modales, sismo actuando solo en x y solo en y (I/H

1I10do stsuio x

Fsx Fsv Ms z F4x F4v M4z F3x 1<'3v M3z Fzx F2v M2z FIx F", Miz Vx Vv Mz

morto

13 sisllto IJ

sísiuo X

14 S¡.sIIIO IJ

SiSIlIOx

2.'1

6.0

-5.6

-87

-4.5

20.3

()

·34.2

1I1odo SiSllIOX

11 sislllo IJ

1I1.011<J Si.s 111 o x

-140

28.3

()

138.7

27.6

()

38.3

-419

16.5

203.8

-75.2

"1 .~) e -..)

14.0

-22.3

()

-1~.6

()

101.9

61.7

12 siSlIlO IJ

IIlOdo

15 S¡.sIlIO IJ O

-9.8

-165

43.1

-4.2

200.3

190

3R.7

44-,11-

14.9

()

'10 ") i ,.' .. )

()

"1-0.4 -181.t,

()

8óA

()

34.9

()

27:,

()

6.8

()

47.0

120

3.6

214.9

()

-53.4

158

Los coeJLciel1tcs de correLlIl-ClÓVl Pij' ¡;¡um eL Inétodo eee SOI1 íos VlÜSVlWS t/jltC ~Jl.Me eL caso (u). Ahoru estlü.üel11os Los ejcctos dLrecciol1uLes dC'~ SLSl1'k'1 de dLseíiD CV;111Learewlos eL corte lnlS17.lde LrA. estYlt.clf.ua. Los valores deL corte lJusaL por mOl-to se reSIt.Vl1el1 así. con Los res~J("ctivos vatores de La COVl1t,LilUL~511 vl-1odaL. lja sea et método eee o et RCC;C Tabla 15-26 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Corte y momento modal basal y combinación con los métodos CCC y RCSC

SiStllo en 11

SiSlllO en x 1I10lio

2 .)

4 5

o 7 8 9 10 11 12 ,., ,j

Mzx

Vyx

V""

Vxy

Vyy

Mzy

2154;80

6828.90 O

321U.40

()

10C\3.')O

470.01

74482 O O

O O

O 0.55 364-.31

-113020

()

21.34

12:~.1

o o o

()

(J.2 s

110. ¡ j

b.7tJ

eee

3371.1ó

o o o o o o

RCSC

3368.7tJ

()

27.46

o o o O

-'l',?8.()f) _._---

1474.30

O 59.J':~

30.81

o o o

4760

-2'1 rl.c)O

-: 1.9b

-53.41

()

o o o

3.56

-15.78

2508.33

10883.3 7

2451.03

11208.73

BIt.scal11Os eL Ó\.l1gltLn ~ de atal/jlt.e del sismo. t/jIt.e col1dlt.ce aL corte !JasaL In6t.x~I'lto. atWzando Lu wtaciól1 (15-51). Cjac el1 este caso se apLLca de La sLg aíel1te mUl1em. de amerdo C0l1 Lu.fig 11.YItl. 15-16:

547

ünámica estructural aplicada al diseño sísmico 1 ( zv¿ V ] (3 = -arctan 2 2 yy

V xx

V yy

----"--......---..·x Figura 15-16 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Direcciones en que actúan las dos componentes horizontales del sismo y corte basal máximo

UV¡,u vez se cietervvlúta eL ciltgltLo (3. se oléltie/teH Las COVVl.pOVLelttes VI Ij V 2 por vHedio de: VI = Vxx cos(3 + V yy senp

V 2 = -AVxx senl3 + AVyy cos 13

EL l1"tcixivvtO valor YJrobabLe. V max se ov¡tiel1J? por vnecüo de:

A covt!útl1.aciÓlt se r'rese~ttWt Los reslülacios. rJam ciifere/ttes valores ete A. Tabla 15-27 - Ejemplo 15-4 - Caso (b) - Valores de V max calculado utilizando los métodos CCC y RCSC, para diferentes valores del parámetro A

¡;létotl"

0.00 030 0.50 085 1.00

CCC

000 030 0.50 0.85 100

-- -- cee ececee

V""

Vyy

1)0

Vma •

3371 16 3371.16

250833 250833 2508.33 2508.33 250833

8 .,)o' 8 .oo'

2971.23 297123

O 891.37

IL)'

2)l~ .23

~·~S"'.62

8 .,)."

2971.23 2971.7.3

2525.55 2971.23

2971.23 3102.06 33'11.')4 3899.56 420195

3371.1b

cee

3371 16 3371 16

RCSC RCSC RCSC RCSC RCSC

3368.76 3368.7ó 3:168 76 3368.76 :13(¡S76

2451.03 245103 245103 24-~j 1.03

245 ' o ]

8.3'

'lO' 'lO' 90' 9.0' 'la'

294585 '!945.85 294-5.85

294585 :~945.~S

o 883.75 1472.92 2503.97 294585

294535 3075.56 329356 3866.25 4166.0(,

COVVI.O YJltecie verse Los resltLtacios SO/t exactaV¡1J?/1le Los vnismos rljlte se obt/tvierOlt en el Ca:-,o (a). ejes principaLes cie La estmctltra rotaaos 45° COH respecto a Los cie este caso, Lo anterior ütciim. ql1.e sig/üeltdo este proceciimie/tto. no es intportavl.te La orientació/t cie Los ejes priftCipaLes. rm.es Los reslútados Ita son sensitivos a La orielttacióvt de Loa ejes privtcipaLes cie La estnl.ct/1.m,

(011, Los

Otro asrJecto rljl1.e ciebe tenerse nI. w.e/tta es La gm/t ciifereltCia rlj/1.e existe aL variar Los valores cie La cmnpovtC/tte orientacia en La ciireccióft 2. a través cieL coeJiciCltte A. Elt eL presente ejempLo halj Itita variacióvt eL,:, a/élroximaeLameltte 1m treütta /'lar ciento entre eL valor aL tovnar A =O Ij el valor de A=0.85 reco/1'U'ltciado /élor cLo/1'0¡~ Ij Pe Itzie11,.

•

548

1;) •

1'l1IUII:;/8 I//U(,," ( ' ' ' ) " 'Cl I ,

Los conceptos presentados en esta Sección, han sido extendidos a los códigos de diseño sismo resistente de la siguiente manera. Si r, y r y corresponden al efecto de las respuestas máximas del parámetro r para el sismo actuando en la dirección x y en la dirección y, respectivamente, como la correlación entre las dos componentes del mismo acelerograma es baja, el empleo del método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) sería apropiado, pues prácticamente no hay correlación entre las dos componentes. Entonces: (1S-52)

De aquí viene el requisito de combinación entre componentes a 90 que prescriben los códigos de diseño sismo resistente en el cual se exige que se combine el 100% de la respuesta en una dirección principal con el 30% de la respuesta en la dirección principal ortogonal, lo que algunas veces se denomina efectos ortogonales.

15.4 Número de modos a emplear La respuesta dinámica exacta obtenida por medio de superposicion modal de una estructura en el rango elástico, solo se obtiene si se incluyen todos los modos de vibración. No obstante, en muchos casos la contribución a la respuesta producida por los modos superiores es despreciable, por esta razón es válido utilizar un número de modos menor. Dado que existen metodologías que permiten calcular, con una precisión adecuada, un número de modos menor que el número de grados de libertad, como el método de iteración en el subespacio presentado en la Sección 13.5, la decisión de cuántos modos incluir se presenta con mucha frecuencia. Históricamente han existido toda clase de recomendaciones al respecto, pero desde hace algún tiempo, para el caso de respuesta sísmica de estructuras, se ha recomendado incluir un número de modos tal que la masa que se excita a través de estos modos sea al menos el noventa por ciento de la masa total de la edificación. En la Sección I-lA se probó que la masa activa corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participación de los modos que se incluyan. Muchos códigos de diseño sismo resistente modernos fijan un límite inferior a la masa activa en un valor igual al 90% de la masa de la estructura; lo cual se traduce en que debe incluirse un número de modos tal que se active el 90% de la masa en cada dirección principal en la cual se presente excitación. No obstante, el número de modos que se requiere para obtener una respuesta que no se desvíe de la respuesta obtenida utilizando todos los modos; en un valor de error prefijado, por ejemplo un cinco por ciento, no es el mismo para la respuesta de diferentes parámetros. En general, en edificios en altura, los modos superiores tienen una mayor influencia en el corte basal que en los desplazamientos horizontales del último piso, indicando en alguna medida que los modos superiores afectan más las fuerzas que las deformaciones [Chopra, 1995J. Además, el orden de magnitud de la respuesta espectral de cualquier parámetro depende fundamentalmente del producto del coeficiente de participación del modo por el valor leído del espectro para el período de vibración del modo. <X; • Sd(T¡). En general en los espectros de desplazamientos de los sismos (véase la Sección S.7), el desplazamiento decrece en la medida que el período de vibración se hace menor; por lo tanto la influencia de los modos superiores, con períodos cada vez menores, va a ser menor. Lo anterior sugiere que la decisión de fijar el número de modos a emplear se tome cuidadosamente, aún en los casos convencionales.

•

inámica estructural aplicada al diseño sísmico

5.5 El método de la fuerza horizontal equivalente Prácticamente todos los códigos de diseño sismo resistente incluyen un procedimiento aproximado que permite determinar unas fuerzas sísmicas horizontales de diseño sin que haya necesidad de realizar un análisis dinámico de la estructura, este procedimiento se denomina el método de la fuerza horizontal equivalente. A continuación se presentan sus fundamentos. Partiendo de las ecuaciones de equilibrio dinámico de la estructura: OS-53) y obteniendo los ID modos y frecuencias, [cI>] y [al], con base en sus propiedades para

vibración libre, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas se ·obt{ene desacoplando el sistema por medio d~ la aplicación de la transformación de coordenadas:

{u} = [<r>]{T\}

05-54)

OS-55) Esta transformación desacopla el sistema de ecuaciones de equilibrio, conduciendo a: OS-56)

Tanto [1] como [002] , son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla, obteniendo n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: ..

T\¡ + oo¡ T\¡ = -U¡ x"

(15-57)

Nos limitamos a sistemas planares, con p pisos, en los cuales {y}={l}, donde {l} es un vector con todos sus términos iguales a la unidad. Además, en este caso la matriz de masa [M], es diagonal. Si los modos son ortonormales, o sea que se normalizaron utilizando [<P]T[M][<P]=[I], entonces: (1 S-58)

o con cualquier tipo de normalización:

(15-59)

De acuerdo con lo presentado en la Sección 15.2, el máximo valor de puede tener T\¡ corresponde al valor leído del espectro de desplazamientos amplificado por el coeficiente de participación (l¡. Entonces: (15-GO) 550

1,5 • A.J1iilisís 11I0([al espectral

(15-61)

Donde Ti =2rrJro. y S. corresponde al valor del amortiguamiento. Ahora, de acuerdo con la transformación dada en la ecuación (15-5~), los desplazamientos máximos que puede tener la estructura, causados por el modo i, son: (15-62) y las aceleraciones máximas, son:

(15-63) Las máximas fuerzas inerciales a que se ve sometido el sistema son entonces: (l5-6~)

y el máximo cortante en la base, para el modo i:

v~~x ={1} T{F~~x} = [Ml{Ü~~x} ={1}T[Ml{<1>(jJ}<xj .s, (Tj'~i)

(15-65)

Ahora, expandiendo las operaciones matriciales de la ecuación (15-65), y reemplazando ex; por su definición en términos de sumatorias dada en la ecuación (15-59), obtenemos la siguiente expresión para el cortante máximo en la base causado por el modo i:

05-(6)

Debe notarse que el término m~~J es precisamente la masa efectiva modal definida anteriormente en la Sección 1 ~.4. Si ahora estudiamos en detalle el caso del primero modo de vibración, o modo fundamental, para sistemas planares en general se puede decir que sus términos, para cualquier piso j, pueden expresarse por medio de: (15-67)

donde h j es la altura del piso j medida desde la base de la estructura, y k es un exponente que se relaciona con lo flexible que sea la estructura, siendo cercano a la unidad (k = 1), para estructuras bajas y rígidas y cercano a dos (k = 2), para estructuras flexibles y altas. En la Figura 15-17 se presenta la forma de calcular la masa efectiva para estructuras con masa uniforme por piso, m, y entrepisos con la misma altura, para un número de pisos igual a p.

<1> .J~lJ 551

masa efectiva - m~}J

'Hnámica estructural aplicada al diseño sísmico

P p-I

k =1

/ <1>~1) J

1: V PI

p-I

(p+ 1)· p 4 m(l) ef (2p+ 1)· (p+ 1)· p = 2p+l m6 6

=h.J

= 1.5. (p + 1) . P.m (2p+ 1)

[m. (2 P+l)'¿P+l),pT

<l>~l) =(hj )2 m~~) =

k=2

[m. (p+;),p

hjl I I

(3p 2+ 3p-l)· (2p+ 1)· (p+ Ij-p 30

= 0.833. (2p+l)·(p+.l),p.m (3p 2+ 3p-l)

_f~ O p p-I

Piso blando

TI 2

<1>~1)

m(~) =

[m·p]2

m.p

= m·p

h·lJI

~~~ Figura 15-17 - Cálculo de la masa efectiva modal para el primer modo

En la tabla 15-28 se utilizan las fórmulas anteriores para calcular la masa efectiva modal del primer modo en los casos mostrados y para diferentes números de pisos. La masa efectiva se expresa allí como fracción de la masa total de la edificación (Mlot =mp). Tabia 15-28 - Masa etectiv« para el primer modo como fracción de ia masa total

número de pisos

1 3 5

8 10 15 20 30 100

masa efectiva del primer modo

(m~~) ¡M tot ) k=1

k=2

Piso blando

1.000 0.857 0.818 0.794 0.786 0.774 0.768 0.762 0.754

1.000 0.666 0.618 0.593 0.585 0.575 0.570 0.565 0.558

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Para los casos típicos de estructuras regulares, la masa efectiva oscila entre el 55% y el 9()% de la masa total de la estructura. En el caso del edificio con un primer piso blando, el primer modo siempre tiene una masa efectiva igual a la masa total. Esta situación se presenta en edificios con muros que no llegan a la cimentación y están apoyados en una losa de transferencia que a su vez está sostenida por una estructura aporticada. En el método de la fuerza horizontal equivalente se realizan las siguientes 552

15 • ilJ1(ílisis I1w(l(/1 espect

aproximaciones, las cuales siguen la forma como está planteado en el ATe-3 IATe, 1978] yen las normas sísmicas colombianas [AIS, 1981,1983,1997,1998]. Las dos aproximaciones fundamentales del método consisten en: limitar la respuesta sísmica al primer modo, e igualar la masa efectiva del primer modo a la masa total de la estructura, para compensar por la ausencia de los otros modos. Estas aproximaciones son generalmente conservadoras, pero existen casos en los cuales no los son; como es el edificio con un primer piso muy flexible, como el caso de piso blando mostrado anteriormente. El grado de conservatismo de los casos de estructuras sin irregularidades se puede determinar de los resultados mostrados en la tabla 15-28. Al limitarnos al primer modo, la ecuación (15-66) se convierte en: (15-68)

El espectro de aceleraciones que se emplea en las normas por lo general incluye un coeficiente de amortiguamiento crítico del 5% (~=0.05) Y además está expresado como fracción de la aceleración de la gravedad, g. Dado esto, habría necesidad de multiplicar lo resultados por g. Tradicionalmente, esto se ha obviado en las normas dejando el espectro como fracción de la gravedad y utilizando el valor de g para multiplicar la masa, convírtíendola en fuerzas gravítacíonales, o peso, W. En el caso de las normas sismo resistentes colombianas, se ha dejado en función de la masa, así: (15-69)

Es evidente que la ecuación anterior corresponde a la 2 a Ley de Newton. La siguiente aproximación del método consiste en estimar un período de vibración fundamental de la estructura Ta , Ycon él determinar las ordenadas espectrales: Ta = C t . h 3n/ 4

(l5-70)

Donde C, es un coeficiente que depende del sistema y material estructural (para pórticos resistentes a momento, de concreto reforzado Cl = 0.08 Y de acero C, = 0.09), Y h, es la altura en metros medida desde la base del piso más alto del edificio. Históricamente, dentro de la terminología de las normas de diseño sismo resistente, el espectro de aceleraciones, Sa, expresado en unidades de fracción de la gravedad (g), ha sido llamado coeficiente sísmico, utilizando el término C, para denominarlo. Dado que las fuerzas de diseño que prescriben los códigos incluyen una reducción a las ordenadas espectrales por medio de un coeficiente de reduccicn de resistencia, R, debido a que se espera que la estructura responda en el rango inelástico (véase la Sección 6.4). Entonces el coeficiente sísmico, C, = Sa, si las fuerzas sísmicas están prescritas al nivel de respuesta elástica, e igual a C. =SalR, si incluyen el efecto ínelástíco descrito a través del coeficiente R. Entonces, el cortante en la base que impone el sismo a la estructura, incluyendo los efectos inelásticos, si se desea, se obtiene modificando la ecuación (1568) así: (15-71)

Es importante notar aquí que el coeficiente sísmico corresponde a la fracción del peso de la estructura que se emplea como cortante basal de diseño corresponde al coeficiente sísmico, Cs = V,/(Mlot · g) = V,/W, El cortante basal, Vs , corresponde a la suma de unas fuerzas horizontales localizadas en cada uno de los pisos de la estructura. Estas fuerzas varían en la altura con la forma del primero modo, o modo fundamental. La norma define la forma del primer modo así: 558

nnánüca estructural aplicada al diseño sísmico

LO 4> j = hf

donde

k = 0.75+ 0.5· Ta

{

2.0

para

T a < 0.5 s

para

0.5 s <Ta < 2.5 s

para

2.5 s <Ta

(15-72)

Las fuerzas horizontales se obtienen a partir de la ecuación (15-64): (15-73) Pero de acuerdo con las simplificaciones realizadas, al hacer la masa efectiva igual a la masa total y aplicar la definición de los términos modales dada en la ecuación (15-72), entonces: (15-74) ;=1

y al modificar el espectro de aceleraciones a un espectro, elástico o ínelástíco, expresado como fracción de la gravedad: (15-75) Reemplazando las ecuaciones (15-74) y (15-75) en la ecuación (l 5-73), obtenemos: (15-76) ij=1

i=l

Entonces, para cualquier pisa j, la fuerza horizontal está dada por: F. = J

m .. h~ P

I,P"i .h~

] • V s =e YJ.. V s

CS-77)

;=1

El coeficiente Cyj indica la fracción del corte basal que se aplica en cada piso de la estructura. El método de la fuerza horizontal equivalente ha sido históricamente el procedimiento de determinación de las fuerzas sísmicas de diseño de prácticamente todos los códigos sísmicos del mundo. El procedimiento es indudablemente una manera de realizar un análisis dinámico aproximado sin complejidad matemática, pero con limitaciones en su aplicación, especialmente a estructuras irregulares, ya sea en planta o en alzado.

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~. )J

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Iiulice de .iuiores

Indice de autores Abrams 124, 125, 127, 144 Akivis 239, 407 American Concrete lnstitute (ACI) 133, 134, 135 American Instírute of Steel Construction C-i.ISC) 131 Ang 89, 521, 522 Applied Technology Couneil (ATC) 198, 211,212,216,553 ASCE 131, 204 Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (AIS) 76,87,149,199,200, 2lG,219,S53 . llathe 239, 307,407,422 Belegundu 307 Berg 3 Bertero 127, 128 Biggs 3, ] 88 Blume 179 Bolt 6G, 68, 85, 96

, "

Bolton 3

...

Borcherdr 200, 207 -adlev 739, 407 urnett 307 -":arnaham 239,407,408 Chandrupatla 307 Chen 132 Chopra 3, 99, 405, 406, 549 Clough 3,114, 135,208.328,406, 536, 537 Coburn 134 Cornputech 321,357, 470 Comunidad Económica Europea (CEE) 87, 218 Cook 235, 307, 309, 321 Craig 3 Crandall 239,407,408 D'Alernbert 5 Davídson 127 Deif 239, ..l07 Departamento del Distrito Federal de México (OFl\'O 222 Del' Kiureghian 89, 530 Dobry 204,207,470 Oonovan 82 Dovey 321, 357 Dowríck 207 Earthquake Engineeríng Research Institute (EERO 134 Elghadamsi IGl, 1 n, 188 Elorduy 5:19 Espinosa 81,207

European Committee for Standardization (CEN) 229 Faddeeva 239, 407, 408 Federal Emergency Management Agency (FEl\IA) 200, 211, 223, 224 Fenves 235 Fenwick 127 Fertis 3 Früberg 239, 407, 408 Gallagher235, 266, 292, 307 García 75, 76,82,87,90,133, 177, 181, 216,366,468 Gere 65, LH, 235 Gerstle 235 Ghali 235,307 Goldberg 239,407 Gupta 52 1, 530 Habibullah 470 Hall 176, 178, 188 Hammiong 239, 407 Harrison 235 Higashi 127 Hildebrand 23~), 407 Hollíngs 32], 357,470 Holzer 235 Housner 174, 17G, 195 Hudson 78, 174 Humar 3 Hurty 3, 406 Idriss 80, 198, 204 lngeominas 81, 87, 218,220 Intenational Code Council (ICC) 211 james 239,407 Iennlngs, A. n9 jenníngs, P. C. 134, 4(J7, 408 jensen 239, 407 johnson 13;) Kapur 179 Kreyszlg 114,239,407 Lai 188 Laursen 235 Lepage 1G6, 168 Livesley 235,307 Logcher 235 Lomnítz 96 Luther 239, 407, 408 Lysmer 198, 2CH, 208 MacGuire, R. L 82,187,188 Maison 470 l\lalkus 235, 307 l\larcus 239, 407 Martínez 73 f\lcGuire, w. 235, 266, 292 f\Icl(cown 239,407,408 Meirovirch 3, 328 l\linc23~), 407

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Mínlsterio de Obras Públicas y Transporte (MOPT) 211, 216 Moehle 164, 165, 169 Mohraz 80, 161, 173, 188 Mostrow 239, 407 Neuss 470 Nevílle 235, 307 Newmark 51, 79,83,126, 134, 135, 144,160,176,177,178,179,188, 190 Newtor; -! Nicholson 239, 407 Nielsen 135, 144 Nigg 96 Norris 235 Ojeda 81 Olson 96 Osgood 140 Otaní 144 Otku 235 París 87' Park 164 • Paulay 132,'164 Paz 114 Paz 3 Peng 197 Penzien 3, 114,208,328,406,536, 537 Plesha 235, 307 Podesta 96 .. Popov 118, 119, 1 ~7, 128 Prezemienniecki 235,292 Príestley 132, 164 Qi 164, 165, 169 Ramberg 140 Ramírez 75 Riddell 126, 135, 144, 160, 178, 190 Rosenblueth 83, 521, 530 Rowland 239, 407 Rubinstein 3, 406 Saatcioglu 135, 144 SAC ]oint Venture 129 Sack 235 Saiidi 135, 144 Sampson 239, 407 Sarria 65, 82, C)6, 134, 204, 207, 208 Schnabel 203 Schoidek 235 Schueller 235 Seed 80, 198, 204, 208 Shabana 3 Shah 65,134 Shibata 182, 192 Shilov 239, 407 Shimazaki 1G4, 168 Sittipunt 322 Smith 239, -HJ7

Sozen 123, ,126,127,134, 135, 144, 16-l, 168, 182, 192 Spence 134 Strang 239, 407 Structural Engíneers Assocíatíon of California (SEAOC) 211 Sttaford-Smíth 235 Takeda 127, 135, 144 Tang 521, 522 Taranath 235 Taylor 307 Thomson 3 Timoshenko 3, 120,235 Ugas 198,204 Uniform Building Code (UBC) 199, 200, 211,226 Universidad de los Andes (UA) 81, 87, 133,218,220 Universidad Nacional Autónoma de México (UNAl\1) 222 Uribe 235 Vanderbilt 235 Vucetic 204, 207 Wakabayashí 130 weaver 3, 235 Whitman 200, 204 Wight 127 Wilbur 235 Wilkes 239,407,408 Wilson 235,239,321,357,407,422, 470 Woldorf 239, 407 Wood 322 Yamín 81,133 Young 3, l2f:, 235 Zeevaert 204 Zienkiewicz 307

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