Manual de dibujo proyectual by FARUSAC DIVULGACION

MANUAL DE DIBUJO PROYECTUAL AUTOR

ARQ. EVERTO SANDOVAL DAVILA

ÍNDICE Introducción

Antecedentes

Objetivos

Marco Teórico

07 08

Teoría de proyecciones Sistema diédrico Vistas ortogonales Vistas auxiliares y oblícuas Perspectivas

09 12 13 15 17 19

Visualización Visibilidad Aristas, posiciones espaciales y características para su visualización Caras, posiciones espaciales y características para su visualización

20 22 23 28 33

Cambio de planos y vistas relacionadas Verdadera Longitud aristas Forma verdadera planos Verdadera magnitud de ángulo diedro

34 35 37 41 45

Conceptos y propiedades de la proyección de sombras Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados

Bibliografía

46 48 52 61

INTRODUCCIÓN

El presente manual tiene como objetivo principal, ser un documento de consulta rápida del curso de Dibujo Proyectual, correspondiente al segundo ciclo de la carrera de Arquitectura en la Universidad de San Carlos de Guatemala, y facilitar al estudiante el acceso a la información que le permita un mejor entendimiento de los procedimientos que se utilizan en el curso. En él se explican los procedimientos gráficos que permiten comprender de mejor manera el espacio tridimensional. Para el efecto se desarrollan los cuatro temas de que comprende la asignatura. En el primer tema se aborda el Sistema Diédrico y las vistas encadenadas que dan la oportunidad de ver desde diferentes ángulos los objetos y con ello

lograr una buena comprensión de sus características. El segundo tema trata de ejercitar la capacidad de comprender el objeto al observarlo en sus vistas ortogonales, es decir, analizarlo y observar sus elementos constitutivos así como sus relaciones espaciales. En el tercer tema se proporcionan herramientas para que el estudiante pueda resolver gráficamente problemas de indeterminación espacial, tales como: Verdaderas longitudes, formas verdaderas y verdadera magnitud de ángulos diedros. Adicionalmente se aborda el tema de la pendiente y su dirección en el espacio tridimensional, tanto de rectas como de planos.

Finalmente se aborda el tema de la proyección de sombras sobre vistas planas, donde la visualización de los objetos es condición indispensable.

ANTECEDENTES

Es preciso iniciar haciendo una somera revisión de cómo nace éste curso en la Facultad de Arquitectura. Antes de la Reforma Curricular de 1995, el curso se llamaba GEOMETRIA DESCRIPTIVA, y conjuntamente con el curso de GEOMETRIA, estaban ubicados en el área de construcción; de alguna manera, dado su ubicación en el pensum, estos cursos se consideraban como cursos teóricos, es decir, se impartían en salones de escritorios de paletas. Cuando se hicieron los primeros planteamientos de que estos cursos son eminentemente prácticos, se trasladaron al área de Medios de Comunicación (Dibujo) y de esa manera impartirlos

en mesas de dibujo. Al parecer a los protagonistas de la Reestructura, se les dificultaba incluirlo allí como Geometría Descriptiva y decidieron ubicarlo como Dibujo Proyectual, a partir de allí empezamos a enseñarlo como Proyecciones del tercer cuadrante (Método Directo) y que pudiera ser base para los cursos de DIBUJO TECNICO Y DIBUJO CONSTRUCTIVO. En un principio el programa del curso abarcaba una temática más amplia, la cual incluía, desarrollo de cuerpos geométricos, así como, intersecciones en sus 6 casos, es decir, intersección recta-recta, recta-plano, recta-volumen, plano-plano, plano-volumen y volumenvolumen. En el paso de los años, el curso ha ido

sufriendo modificaciones tomando en consideración la complejidad del curso, por ejemplo, hace algunos años se pensó que podía ser interesante para el estudiante, realizar los desarrollos de los cuerpos utilizando únicamente abatimiento de planos. Toda esta temática mencionada, consideramos hacía muy cargado el curso y fuimos eliminando los temas mencionados anteriormente, pues las experiencias nos fueron orientando a un programa más corto y más enfocado hacia lograr el objetivo más importante del curso que es la visualización espacial.

ANTECEDENTES

Este manual básicamente pretende ser una síntesis de los contenidos actuales del curso, que de alguna manera pueda permitirle al estudiante, revisar los temas y subtemas que se dan en la asignatura, con la misma secuencia y dosificación que se hace en el desarrollo de cada semestre. Durante ese tiempo hemos podido observar, que aunque existe una gran variedad de libros de Geometría Descriptiva, los estudiantes tienen dificultades para comprenderlos, primero porque la mayoría de ellos están fundamentados en proyecciones del primer cuadrante, Sistema Europeo, mientras que en Guatemala, todo lo relacionado se trabaja con proyecciones del tercer cuadrante.

Es importante señalar que desde hace algunos años, he estado preparando y compartiendo este material con los estudiantes haciendo uso del campus virtual que ofrece la Facultad, el cual es un sitio en la red, con acceso restringido para los estudiantes asignados al curso cada semestre. La idea de imprimirlo como manual nace por la oportunidad de tenerlo físicamente con la esperanza de hacerlo accesible a todos los estudiantes que tengan interés en el tema. Es importante resaltar que el curso de Dibujo Proyectual desde sus inicios como tal, utiliza el Método directo, es decir, Proyecciones del tercer cuadrante, y probablemente allí radique la importancia de este documento, ya que

a pesar de haber una gran cantidad de libros de Geometría Descriptiva, muy pocos están trabajados con este método.

OBJETIVOS

1. Presentar un documento de fácil manejo y acceso a los estudiantes del curso de Dibujo Proyectual y estudiantes interesados en el tema.

2. Promover la difusión de documentos de apoyo a la docencia, que testifiquen la labor docente y sean documentos base para nuevos docentes.

3. Aportar documentos de discusión de conocimientos que permitan analizar nuevos enfoques en la enseñanza de la Geometría Descriptiva

MARCO TEÓRICO

Como hemos podido observar en los antecedentes, la base conceptual del curso es la ciencia de la GEOMETRIA DESCRIPTIVA, la cual tiene como fundamento la teoría de las proyecciones. La Geometría Descriptiva es la ciencia que tiene por objeto la representación de figuras y objetos tridimensionales en el plano (espacio bidimensional).(1) Por su definición y contenido, dentro de nuestra tradición docente, la Geometría Descriptiva se concibe como soporte del lenguaje gráfico, posibilitando el uso del dibujo como expresión y representación del espacio arquitectónico, por lo que es considerada como una materia

imprescindible en el primer ciclo de la carrera de arquitectura y de todas las carreras técnicas.(2) La Geometría Descriptiva tiene tres objetivos fundamentales: 1. La representación exacta de los objetos del espacio tridimensional sobre planos bidimensionales llamadas por ello vistas planas. 2. La resolución gráfica de problemas derivados de esa representación bidimensional y 3. La ejercitación de la capacidad de visión espacial

Es por ello que el curso de Dibujo Proyectual, trata en su temática: El Sistema Diédrico: Fundamento de la representación bidimensional. La Visualización: Que trata de ejercitar esa capacidad de visión espacial a través del análisis de las vistas planas de los objetos. Características reales de los Objetos: Que enseña los procedimientos gráficos para resolver problemas del espacio tridimensional en las vistas planas y finalmente. Proyección de Sombras sobre Vistas Planas: Es el último tema del curso y trata de englobar los tres objetivos de la Geometría Descriptiva.

TEMA 1

SISTEMA DIÉDRICO El Sistema Diédrico es uno de los cinco sistemas de representación de la ciencia del dibujo llamada Geometría Descriptiva (Véase Gyesecke) y es en el que fundamentamos el curso de DIBUJO PROYECTUAL o Dibujo con proyecciones. El Sistema Diédrico como su nombre lo indica, se basa en dos proyecciones o vistas perpendiculares entre sí,DI es dos y

EDROS es plano, y es a partir de ello que se logra la representación exacta de los objetos del espacio tridimensional, iremos paso a paso conociendo cada uno de los principios y procedimientos que nos permiten, no solo representar gráficamente la tridimensionalidad, sino también comprenderla e interpretarla correctamente. Por ello nos atrevemos a decir que el conocimiento de la teoría de proyecciones es un conocimiento fundamental para la

formación del Arquitecto, pues él será un “Proyectista” en todas las dimensiones de la palabra.

CONTENIDO Teoría de proyecciones

Sistema diédrico

Vistas auxiliares y oblícuas

Perspectivas

Vistas ortogonales

Teoría de proyecciones Proyectar, de acuerdo con los diccionarios del idioma español, es la acción de lanzar imágenes, a la imagen que se obtiene también se le llama proyección. En el caso de la representación gráfica, se trata de proyectar imágenes o representaciones de los objetos tridimensionales, reales.

fuente de proyección. Pero también pueden ser lanzadas o intersectadas, según sea la ubicación del plano de proyección (ver Figuras 1 y 2 respectivamente).

Los elementos necesarios para realizar las proyecciones son:

Figura 1. PROYECCION LANZADA

Fuente u origen de proyección, el cual puede ser una fuente lumínica o el ojo del observador. Rayos proyectantes, que pueden ser lumínicos o visuales. El objeto del cual se necesita obtener determinada imagen o representación y, Plano de proyección o de representación Las proyecciones pueden ser cónicas o radiales y paralelas o cilíndricas. Si las juzgamos por la ubicación del origen o

Figura 2. PROYECCION INTERSECTADA

Teoría de proyecciones En América lo que se utiliza es la representación fundada en proyecciones intersectadas y el método que utilizamos es llamado Proyecciones del Tercer cuadrante o método de la caja de cristal. Vale mencionar que en Europa se utilizan Proyecciones del primer cuadrante, es decir, se fundamentan en proyecciones lanzadas. Se les conoce como cónicas o radiales (Fig. 3), cuando debido a la cercanía del origen de proyección los rayos proyectantes se perciben divergentes y por lo mismo, las imágenes que se obtienen van a ser más grandes o más pequeñas que el objeto del cual se obtienen dichas imágenes.

Figura 3. PROYECCION CONICA O RADIAL

Teoría de proyecciones En tanto que las paralelas o cilíndricas (Véanse figuras 4 y 5), al considerarse que la fuente de proyección se encuentra en el infinito, entonces los rayos proyectantes se perciben paralelos y tienen la gran ventaja que las imágenes obtenidas resultan ser del mismo tamaño que el objeto, pero además muestra las caras del objeto que son paralelas al plano de proyección con su forma verdadera. Las proyecciones paralelas pueden ser ortogonales pero también este tipo de proyecciones también pueden ser paralelas oblicuas.

Figura 4. PROYECCION PARALELA ORTOGONAL

Figura 5. PROYECCION PARALELA OBLÍCUA

Sistema Diédrico Se le llama así al sistema de representación en el cual se utilizan proyecciones paralelas ortogonales sobre dos planos perpendiculares entre sí, también se le denomina Doble proyección ortogonal. Al realizar las dos proyecciones se obtiene una representación que permite mostrar la tridimensionalidad del objeto, ya que se obtienen representaciones bidimensionales, pero al ser perpendiculares entre sí muestran las tres dimensiones, X, Y & Z. Las proyecciones obtenidas se llaman también vistas, y se necesitan al menos dos vistas para ver la tridimensionalidad, a estas dos vistas se le llaman vistas fundamentales o diédro base. (Fig. 6)

Figura 6. VISTAS FUNDAMENTALES

Vistas ortogonales Vistas ortogonales: Son las que se proyectan perpendiculares al diedro base y nos permite ver el objeto en sus seis vistas. Como proyectar vistas ortogonales: Vamos a utilizar un objeto muy simple para que se pueda comprender bien los procedimientos, siempre partimos de un diedro. Para proyectar una nueva vista ortogonal, se deben dibujar los nuevos proyectantes, de manera que estén perpendiculares a los proyectantes del diedro original. Lo que obtenemos se denomina también Triedro trirectangulo, ya que las tres vistas están perpendiculares entre sí. El que mostramos en la figura 7, es el más comúnmente utilizado, aunque es preciso decir que podría formarse con diferentes vistas de la caja de cristal.

Figura 7. TRIEDRO TRIRRECTANGULO

Vistas ortogonales Arreglo de las vistas: Recordemos que en América utilizamos proyecciones intersectadas, entonces cuando queremos realizar la representación diédrica de un objeto, imaginamos dicho objeto como si estuviera dentro de una caja de cristal, sabemos que todas las caras de una caja son perpendiculares entre sí, por lo que al desdoblar las caras de la misma obtendremos un hexaedro hexarrectangulo, es decir, seis vistas perpendiculares entre sí. Vemos fácilmente que obtendremos obtendremos ocho diedros, pero en realidad son solamente 6 vistas ortogonales. El sistema tiene una gran cualidad, y es que las vistas se ubican exactamente en el lugar desde donde las estaríamos viendo al estar el objeto dentro de la caja y al abrirla por completo, es decir, haciéndola coincidir con un solo plano, tenemos arregladas las vistas de tal manera que se facilita la comprensión del objeto, ya que la vista superior

(planta) queda arriba, las vistas de lado (elevaciones) se alinean en el centro y lógicamente al mismo nivel de piso y por último la inferior queda abajo en el arreglo (ver Fig. 8) Esto que acabamos de explicar no ocurre con las proyecciones lanzadas

(Sistema Europeo), ya que las vistas no se ubican desde donde las observamos, más bien quedan en el lado opuesto, lo que de acuerdo a nuestra opinión complica la comprensión del objeto.

Figura 8. ARREGLO DE LAS VISTAS 14

Vistas auxiliares y oblicuas Vistas auxiliares y oblicuas: Las vistas auxiliares y oblicuas, nos permiten ver las características reales de los objetos, cuando tienen partes que no son paralelas a los ejes tridimensionales, tales como verdaderas longitudes, formas verdaderas y ángulos verdaderos. Como proyectar vistas auxiliares: En este caso, los nuevos rayos proyectantes deben estar inclinados en relación a los proyectantes del diedro original, la vista desde donde no se proyecta (en este caso elevación) se llama vista anterior y para generar la vista auxiliar se trasladan las medidas de la vista anterior, las cuales se miden siempre paralelas a los proyectantes, tanto del diedro original como del nuevo diedro que forma la vista auxiliar (Fig. 9). La referencia para trasladar las medidas en este caso será el piso, note que el piso está perpendicular a los proyectantes del diedro de base.

Figura 9. VISTA AUXILIAR

Vistas auxiliares y oblicuas Las vistas auxiliares se proyectan desde una vista ortogonal, en tanto que las oblicuas solo se pueden obtener a partir de una vista auxiliar. Como proyectar vistas oblícuas: Ahora se proyecta a partir de la vista auxiliar, siempre cuidando que los nuevos rayos proyectantes estén inclinados con relación al diedro anterior, en este caso el de la vista auxiliar y para esta nueva vista la vista anterior será la planta, de la cual habrá que trasladar las medidas para obtener la vista oblícua (Fig. 10), para ello será necesario utilizar una nueva referencia, la cual como sabemos tiene que estar perpendicular a los proyectantes del diedro de la vista auxiliar. Figura 10. VISTA AUXILIAR Y VISTA OBLICUA

Perspectivas Perspectivas: Son proyecciones que nos permiten representar los objetos tal como se ven desde diferentes ángulos. Existen tres tipos de perspectivas: 1. Perspectiva central, de un punto de fuga 2. Perspectiva angular, de dos puntos de fuga 3. Perspectiva oblicua, de tres puntos de fuga. Como proyectar perspectivas centrales: Cuando proyectamos perspectivas, los rayos proyectantes no son paralelos, sino que convergen en unos puntos que se denominan puntos de vista y puntos de fuga, se le llaman puntos de vista a las proyecciones ortogonales de los mismos y pueden ser horizontales y verticales.

En tanto que los puntos de fuga se localizan en la perspectiva propiamente dicha y dependen del tipo de perspectiva, en este caso será únicamente un punto de fuga. Es necesario notar que en las perspectivas, al plano de proyección se le llama plano del cuadro. Para trazar una perspectiva ahora utilizaremos la planta y la elevación lateral, en base de estas dos podríamos proyectar la elevación si utilizaramos proyecciones paralelas ortogonales, pero cuando utilizamos proyecciones cónicas, lo que obtenemos en vez de la elevación es la perspectiva (Ver Fig.11). Para ello lo que debemos hacer primero es ubicar al observador, es decir, el punto de vista, el cual para que la perspectiva no se deforme lo ubicamos una distancia de una vez y media el ancho de la vista de planta. Note que lo que está en el plano del cuadro no se proyecta al punto de vista porque se mantiene de la misma forma y tamaño.

Figura 11. PERSPECTIVA CENTRAL

Perspectivas Como proyectar perspectivas angulares: Esta perspectiva también es llamada de planta girada, de manera que para poder proyectarla lo primero que haremos será girar la planta, generalmente al igual que los isométricos giramos de manera que el eje X quede a la izquierda. Luego proyectamos la vista lateral obviamente desde la planta girada y posteriormente seguimos los procedimientos anteriores, es decir, primero ubicar al observador tanto en planta como en elevación lateral, en este caso el punto de vista deberá estar exactamente en la dirección de la línea de la planta girada que pasa por el punto que está en el plano del cuadro. Note que a la altura que ubicamos en la elevación el punto de vista, allí estará la línea de horizonte donde a su vez se ubicarán los puntos de fuga correspondientes a los ejes X y Y previamente girados. Obviamente así como en el ejemplo anterior debido a que es una proyección cónica, al proyectar no obtenemos otra elevación

sino en este caso la vista en perspectiva desde el ángulo que nos interesa, del objeto planteado. La perspectiva oblicua, es un poco más compleja y dada su poca aplicación no la explicaremos en este tema.

Figura 12. PERSPECTIVA ANGULAR

TEMA 2

VISUALIZACIÓN Y VISIBILIDAD En este tema intentaremos proporcionar herramientas para ejercitar la capacidad de ver el espacio tridimensional en representaciones de dos dimensiones, también llamadas vistas. Para ello nos valdremos de la discriminación de aristas y caras de los objetos. También puede lograrse la ejercitación deduciendo la posición y/o relaciones espaciales de los diferentes elementos constitutivos

del objeto, tales como, vértices, aristas y caras. Este tema de visualización, requiere de un gran esfuerzo de parte del estudiante, tomando en cuenta que será probablemente la primera vez que lo intente hacer y también es de hacer notar, que esta capacidad de visualizar no todos la tenemos desarrollada, ya que algunos desarrollamos más alguna otra de las diferentes inteligencias con que hemos sido dotados.

CONTENIDO Visualización

Aristas

Visibilidad

Caras

Visualización o visualización espacial Ta m b i é n s e l e c o n o c e c o m o “percepción espacial”, “imaginación espacial” o “visión espacial” y se trata de la comprensión de la representación bidimensional de los objetos tridimensionales. (Véase Angel Gutierrez) Estamos hablando de la llamada inteligencia espacial, la que consiste en la capacidad de pensar en tres dimensiones. Cuando hablamos de visualización debemos ser capaces de ver en tres dimensiones lo que se nos muestra en dos dimensiones, y si bien es una capacidad que tenemos a veces es necesario ejercitarla para poder llegar a dominarla. Es por ello que creemos que una buena ejercitación de los diferentes procesos para lograrlo es necesaria. Podemos explicarlo gráficamente en

las siguientes imágenes: En la figura 13 se presenta un objeto del espacio tridimensional por medio de tres vistas, llamadas ortogonales.

Figura 13. VISTAS ORTOGONALES

Visualización o visualización espacial A partir de analizarlas, nuestra mente debería comprenderlo o visualizarlo como se muestra en la Fig. 14

Aunque para el efecto de visualizar se dan varias habilidades, en este curso nos interesa desarrollar por lo menos cuatro de ellas; a saber: 1. Identificación de las direcciones del espacio tridimensional (adelante, atrás, izquierda, derecha, arriba y abajo) . 2. Reconocimiento de posiciones en el espacio. 3. Reconocimiento de relaciones espaciales. 4. Discriminación visual, como se ven las aristas en las 3 vistas.

Figura 14. ISOMÉTRICO

Visibilidad Se refiere a discriminar en una imagen lo que estรก oculto a nuestra vista, obviamente por su posiciรณn espacial, es decir, atrรกs o abajo del objeto. Se trata de la habilidad de utilizar nuestra mente para convertir los objetos opacos en transparentes para de esa manera imaginar las partes ocultas del objeto.

Figura 15. OBJETO TRANSPARENTE

Figura 15. OBJETO OPACO

Nosotros ejercitaremos esta habilidad sobre todo al comprender las vistas planas de objetos tridimensionales. Y no tendremos que necesitar que el objeto sea transparente para visualizarlo o imaginar sus partes ocultas. 22

Aristas Aristas (rectas): Para los efectos de la visualización espacial, trataremos de identificar en las vistas planas el número de aristas que tiene el objeto, considerando las aristas como rectas de intersección de dos caras de un poliedro. También la podemos concebir como el lugar de encuentro de dos caras de un objeto sólido. Generalmente trabajamos con objetos poliédricos y por lo mismo sus aristas siempre serán líneas rectas. Posiciones espaciales de las aristas: En Geometría del Espacio, distinguimos tres posiciones que las rectas pueden tener en el espacio tridimensional, y son: Horizontal, vertical e inclinada. Generalmente para definir las posiciones antes descritas, se toma como referencia el plano horizontal.

En Geometría Descriptiva, también veremos que las rectas pueden tener tres posiciones en el espacio, aunque aquí la referencia ya no es solo el plano horizontal, sino los tres planos del triedro y en este caso las posiciones corresponden a rectas paralelas, perpendiculares o inclinadas, como ya dijimos en relación a cualquiera de los planos de proyección, vale decir, horizontal, frontal o lateral. Para ejemplificar mejor cada una de las posiciones espaciales de las aristas, utilizaremos el objeto que hemos estado mostrando en las figuras de la 13 a la 16, obviamente la ejercitación debe hacerse al analizar las vistas de la figura 13 y que son nombradas en el siguiente párrafo.

Cuando las rectas son paralelas a los planos de proyección se les denomina Principales, (BH, CE, DF Y AC) Fig. 13 cuando son perpendiculares a los planos de proyección, se les llama De Punta (AB, DE, BC, GF,GH Y FE) Fig. 13 y cuando están inclinadas, siempre a los planos de proyección se les conoce como Oblicuas (AD,CD, DH Y DG) Fig.13.

Aristas Como discriminarlas en las vistas planas: Para discriminar una recta Principal, serรก suficiente ver que solo aparece inclinada en una de las vistas del triedro; en las otras dos vistas aparece invariablemente perpendicular a los proyectantes.

HORIZONTAL

FRONTAL

Figura 17. Por favor comparar con figura 13

LATERAL

Aristas La recta De Punta es la mรกs fรกcil de discriminar, ya que aparece como punto en una de las vistas del triedro.

VERTICAL

DE PUNTA

Figura 18. Por favor corroborar con figura 13

FRONTHORIZONTAL

Aristas En tanto que la recta Oblicua, la reconoceremos fácilmente ya que no aparece como punto, ni como recta perpendicular a los proyectantes en ninguna de las vistas del triedro; es decir, se ve inclinada en todas las vistas.

OBLÍCUA

Figura 19. Véase también figura 13 Note que los ejemplos de cada posición espacial de las aristas han sido extraídas del objeto que estamos analizando. Fig. 13

Aristas Características de las aristas: Las aristas llamadas Principales muestran su verdadera longitud (VL) en una sola vista del triedro y es donde no está paralela ni perpendicular a los proyectantes. Muestran su VL en el caso del objeto mostrado, BH y CE en la planta, DF en la elevación frontal y AC en la elevación lateral. Las aristas llamadas De Punta aparecen como punto en una sola vista del triedro y va a mostrar su verdadera longitud (VL) en las vistas adyacentes.

Ahora bien, las aristas llamadas Oblicuas, su característica mas importante es que no aparece ni paralela, ni perpendicular a los proyectantes en ninguna de las vistas ortogonales y es por ello que no muestra su verdadera longitud (VL) en ninguna de ellas. Para poder ver su VL, será necesario proyectar una vista auxiliar, la cual deberá tener sus proyectantes perpendiculares a una de las vistas de la recta. En el siguiente capítulo explicaremos paso a paso a los procedimientos para obtenerla.

Las que aparecen como punto en planta (AB y DE), muestran su verdadera longitud en las elevaciones, las que aparecen como punto en elevación frontal (BC y GF) muestran su VL en planta y Elev. Lateral, mientras que las que aparecen como punto en elevación lateral (GH y FE), la muestran en planta y Elev. Frontal.

Caras Caras (planos): Superficie que puede contener rectas en todas las direcciones, conforma la envolvente de los objetos poliédricos. Es importante enfatizar que para visualizarlas solo nos van a interesar los planos que delimitan el exterior del interior de los objetos, por eso les denominamos caras. Posiciones espaciales de las caras: Al igual que las aristas, los planos (caras) también adoptan tres posiciones, así: Principales, cuando son paralelas a los planos del triedro (BCEFGH, DEF Y ABC), De Canto o De Filo, cuando son perpendiculares (CDE,ABHD, DGF Y DGH) y oblicuas (os), cuando no son paralelas (os) ni perpendiculares (ACD) en el objeto presentado como Figura 13, la que colocamos de nuevo para comodidad del lector

Figura 13. VISTAS ORTOGONALES 28

Caras Como discriminarlas en las vistas planas: Para discriminar una cara Principal, serรก suficiente con ver que en dos de las vistas del triedro, aparecerรก la vista de filo de la cara y que estas vistas de filo serรกn perpendiculares a los proyectantes.

HORIZONTAL

FRONTAL

Figura 20. Por favor localizarlas en figura 13

LATERAL

Caras La cara De Canto o De Filo serรก la mรกs sencilla de discriminar, ya que aparecerรก proyectada como recta en una de las vistas del triedro y ademรกs esta recta no serรก ni paralela, ni perpendicular a los rayos proyectantes.

PLANO VERTICAL

PLANO DE CANTO

Figura 21. Trate de verlas en las vistas de la figura 13

PLANO DE PLANTA

Caras Finalmente, para discriminar una cara Oblicua, serĂĄ suficiente con ver que no aparece como recta en ninguna de las vistas ortogonales, es decir, aparece como figura plana en todas vistas del triedro.

PLANO OBLICUO (el Ăşnico en este objeto) Figura 22. Constatar en figura 13

Caras Características de las caras: Las caras Principales, muestran su forma verdadera (FV) en la vista correspondiente al plano que son paralelas y se llaman principales porque su FV se ve solamente en las vistas ortogonales del triedro. En nuestro caso, es decir, el objeto que estamos utilizando, son BCEFG, DEF y ABC.

debe presentar el filo del plano. Una vez obtenida la vista de filo del plano, la vista oblicua debe proyectarse perpendicular a esta vista de filo, pero esto es tema del siguiente capítulo.

Las caras De Canto o De Filo, solamente muestran su forma verdadera (FV) en una vista auxiliar, obviamente esta vista auxiliar deberá proyectarse perpendicular a la recta que muestra el filo del plano. En este caso ABDH, DFG y DGH. Mientras que para ver la forma verdadera (FV) de las caras Oblicuas, En este caso solo una ACD, será necesario proyectar una vista oblicua. Como sabemos, para proyectar una vista oblicua, es necesario tener una vista auxiliar, y en este caso la vista auxiliar que necesitamos para ver la forma verdadera del plano oblicuo,

TEMA 3

CARACTERISTICAS REALES DE LOS OBJETOS En este capítulo veremos los procedimientos gráficos para resolver problemas del espacio tridimensional, básicamente utilizando vistas auxiliares y vistas oblicuas. Vale la pena mencionar que existen otros procedimientos gráficos como son los Giros y los Abatimientos, pero no serán objeto de relación en el presente manual.

El objetivo es proyectar verdaderas longitudes, formas verdaderas, así como verdadera magnitud de ángulos diedros. Así mismo revisaremos los procedimientos para calcular la pendiente e indicar la dirección de la misma en las diferentes vistas de cada cara de los objetos.

CONTENIDO Cambio de planos y vistas relacionadas

Verdadera Longitud aristas

Forma verdadera planos

Verdadera magnitud de ángulo diedro 33

Cambio de planos y vistas relacionadas Cambio de planos y vistas relacionadas: El cambio de plano de proyección, consiste en elegir un plano vertical u horizontal diferente al que se tiene en el diedro. Es preciso tener en cuenta que cuando se aplica el cambio de plano, se está cambiando uno sólo de los planos del diedro, por lo tanto habrá cambio de plano vertical y/o cambio de plano horizontal.

Ahora bien se pueden realizar cambios de planos sucesivos, es decir, cada vez que se realiza, básicamente se está construyendo un nuevo diedro, teniendo cuidado como se dijo anteriormente de cambiar uno sólo de los planos, cuando se obtiene el nuevo diedro, luego del primer cambio de plano se le denomina VISTA OBLÍCUA.

La representación que resulta de aplicar el cambio de plano se denomina VISTA AUXILIAR; es decir que podrán obtenerse vistas auxiliares horizontales al proyectarse desde la elevación del diedro y vistas auxiliares verticales si se proyectaren desde la planta del diedro, a estas últimas las que identificaremos como Elevaciones Auxiliares.

Verdadera Longitud aristas Ve rd a d e ra Lon g itu d a rista s y pendiente: Para proyectar la verdadera longitud (VL) de aristas oblicuas, siempre ser谩 necesario dibujar una vista auxiliar, la cual debe ser perpendicular a cualquiera de las proyecciones ortogonales de la recta y siempre que queramos visualizar la pendiente, debemos proyectar una elevaci贸n auxiliar. Fig. 23

Figura 23. VERDADERA LONGITUD POR MEDIO DE UNA VISTA AUXILIAR

Verdadera Longitud aristas Luego para calcular la pendiente, tal como lo hicimos en Geometría, se divide la distancia vertical (DV) entre la distancia horizontal (DH) y luego se multiplica por cien, ya que utilizamos la pendiente en porcentaje que dicho sea de paso es más fácil de entender. Finalmente debemos indicar la dirección, la cual como sabemos siempre es hacia abajo, en este caso hacia el punto A. Es importante agregar que si solamente queremos ver la VL de cualquier arista oblícua, esta se puede proyectar indistintamente desde cualquier vista ortogonal, pero debe tener siempre presente que podrá visualizar la pendiente solo si la proyecta desde la planta.

Forma verdadera planos Forma verdadera planos: Como ya se mencionó en el capítulo anterior, la forma verdadera (FV) de planos principales está en la vista ortogonal donde no aparece como filo. Es decir, en la vista donde aparecen como figura plana, esto porque es en esa vista en donde los estamos viendo perpendicularmente. La forma verdadera (FV) de planos de canto o filo, se obtiene proyectando una vista auxiliar, la cual debe ser perpendicular a la única vista de filo del plano, Fig. 24

Figura 24. FORMA VERDADERA DEL PLANO A TRAVES DE UNA VISTA AUXILIAR

Forma verdadera planos También mencionamos que la FV de un plano oblicuo, se obtiene proyectando una vista oblicua y que toda vista oblicua se obtiene de una auxiliar, en el caso de la FV del plano oblicuo, la vista auxiliar se proyectará de manera que muestre el filo del plano, para luego proyectar la vista oblicua perpendicular al filo obtenido en la vista auxiliar, tal y como se muestra en la Fig. 25

Figura 25. FORMA VERDADERA DEL PLANO OBLÍCUO, EN VISTA OBLICUA

Forma verdadera planos Adición de rectas y vista de filo del plano: En el caso anterior se realizó directamente la vista de filo del plano, ya que el plano contiene una recta principal. Existen algunos casos donde el plano oblicuo no contiene rectas en verdadera longitud por lo que será necesario adicionar una (en este caso la recta CH) para poder proyectar el filo del plano, el procedimiento se muestra en la figura 26. Recta de máxima pendiente: Esta es la posición de una recta contenida en el plano y es necesario saber como se dibuja, ya que es una recta contenida en el plano que nos indica la dirección de la pendiente del mismo, además por medio de ella podemos calcular su pendiente, primero tenemos que saber que la recta de máxima pendiente es siempre perpendicular a una recta horizontal del plano, por lo que para poder dibujar la recta de máxima pendiente tendremos

Figura 26. VISTA DE FILO DEL PLANO USANDO UNA RECTA PRINCIPAL COMO GUÍA.

Forma verdadera planos siempre que partir de una recta horizontal, ahora bien, ya sabemos que una recta horizontal es aquella que es paralela al piso, por lo tanto, si el plano no tuviera una recta horizontal, fácilmente podemos dibujar una a partir de la elevación, solamante teniendo el cuidado que esté contenida en el plan o que nos interesa. Ya definida la recta horizontal, procedemos a trazar la recta de máxima pendiente como ya se mencionó, perpendicular a la proyección horizontal de la recta horizontal. En la Fig. 27 se muestra el procedimiento:

Para calcular la pendiente de este plano ya sabemos que será la misma de la recta de máxima pendiente, sabemos que la pendiente de la recta es distancia vertical dv, dividido dh y multiplicado por 100, lo cual será 3.68/4.63X100= 79.48%

Figura 27. TRAZO DE RECTA DE MAXIMA PENDIENTE A PARTIR DE UNA HORIZONTAL DEL PLANO, TAMBIÉN ADICIONADA COMO EL EJEMPLO ANTERIOR (Fig. 26)

Verdadera magnitud de ángulo diedro Verdadera magnitud de Ángulo Diedro: Ángulo diedro es la abertura de dos planos que se intersectan, en nuestro caso de dos caras del volumen que tiene una arista en común, para poder medirlo será necesario ver dichas caras de filo. Por ejemplo cuando tenemos un cubo, podemos ver las caras del mismo como filo en todas las vistas ortogonales y por lo mismo, sabemos que todas las caras forman el mismo ángulo, que en este caso es de 90°. Eso lo podemos ver porque las aristas comunes a dos caras, las estamos viendo en todas las vistas ortogonales de punta, de allí deducimos que para medir un ángulo diedro, lo que se necesita es ver la arista común a las caras como punto y de esa manera podremos ver los dos planos en filo.

Decimos que son dos procedimientos, porque como se mencionó anteriormente si la arista común es de punta, no es necesario hacer un procedimiento adicional.

Tendremos entonces dos procedimientos auxiliares para medir un ángulo diedro y estos son: 1. Cuando la arista común es principal 2. Cuando la arista común es oblícua.

Mostraremos los dos procedimientos con el objeto que hemos estado trabajando, figura 13, primero recordemos que para poder ver una recta de punta, ésta debe presentar su verdadera longitud en alguna de las vistas del objeto.

Figura 13. VISTAS ORTOGONALES 41

Verdadera magnitud de ángulo diedro Las rectas principales son (AC, DF, CE y BH) recordemos que ellas muestran su verdadera longitud, ya que solamente aparecen inclinadas en una vista. Para ejemplificar el procedimiento, vamos a suponer que queremos medir la verdadera magnitud del ángulo que forman las caras ACD y ABC, observemos que la arista común es AC entonces necesitamos ver esa arista como punto. Si revisamos las vistas encontraremos que muestra su verdadera longitud en la vista lateral, ya que como dijimos antes solo allí aparece inclinada con relación a los proyectantes, en este caso del triedro. Entonces lo que nos conviene es proyectar una vista auxiliar paralela a AC en la vista lateral, en esa vista auxiliar AC aparece como punto y por lo mismo los dos planos que nos interesan como filo, lo que nos permitirá medir allí el ángulo que forman las dos caras previstas.

Figura 28. ANGULO DIEDRO PROYECTADO DE UNA RECTA PRINCIPAL

Verdadera magnitud de ángulo diedro Ahora veamos cómo se procede cuando la arista común es oblicua, mediremos el ángulo que formas las caras DGH y DFG, la arista común es obviamente DG, primero proyectaremos una vista auxiliar perpendicular a DG para que muestre su verdadera longitud.

Figura 29. VISTA AUXILIAR MOSTRANDO LOS PLANOS DGH Y DFG

Verdadera magnitud de ángulo diedro En esta vista auxiliar, como se ve en la figura 29, solo trazamos los dos planos que nos interesan. Ahora proyectamos una vista oblícua paralela a la verdadera longitud (Fig. 30), donde veremos DG como punto y también los planos como filo y ya podremos medir el ángulo diedro que necesitábamos.

Figura 30. ANGULO DIEDRO OBTENIDO EN UNA VISTA OBLÍCUA

TEMA 4

PROYECCIÓN DE SOMBRAS Aquí veremos los procedimientos para proyectar sombras en las vistas planas, basadas en la normalización de la dirección de la luz. (diagonal del cubo) y basados en el método de las intersecciones. Para ampliación de los diferentes métodos de proyección de sombras ver el libro de Charles Rowe, Engineering Descriptive Geometry.

Para nuestro caso iniciaremos con proyectar sombras de ortoedros, luego de y sobre planos inclinados, para luego aplicarlos a la proyección de sombras de objetos arquitectónicos.

CONTENIDO Conceptos y propiedades de la proyección de sombras Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados 45

Conceptos y propiedades de la proyección de sombras Conceptos y propiedades de la proyección de sombras: Sombra es la proyección oscura que un cuerpo produce, por la acción de la luz, en dirección opuesta a aquella por donde la recibe.(ver Charles Rowe) Podemos fácilmente notar que el elemento indispensable para que se den sombras, es la existencia de la luz. Las sombras pueden ser propias y arrojadas, las llamamos sombras propias cuando se oscurecen las caras del objeto por estar en el lado contrario a la dirección de la luz. Y son sombras arrojadas aquellas que ocurren fuera del plano que aparezca en sombra propia, es decir, que las sombras arrojadas solamente pueden ocurrir sobre planos iluminados. Vale la pena aclarar que nunca pueden darse sombras arrojadas sobre planos que están en sombra propia.

Fuente lumínica:

Rayos de luz o rayos lumínicos:

Origen de los rayos lumínicos De la misma manera como se explicó en la Teoría de Proyecciones (Capítulo 1), si la fuente lumínica está cerca del objeto, decimos que la proyección de la sombra será Cónica o Radial. Si por el contrario, la fuente lumínica esta en el infinito, la proyección de la sombra será Paralela, y este es el caso que nos ocupa, pues se supone que la intensidad y dirección de la luz son constantes, es decir, que no hay mas luz que la que produce el sol, considerado en el infinito de modo que todos los rayos de luz son paralelos entre si, y llegan al objeto en un sentido y con una dirección de ángulo constante, en este caso se dice, que la sombra es la proyección paralela oblícua del objeto del espacio tridimensional.

Son los proyectantes a 45° que pasan por cada uno de los vértices, y como su nombre lo indica tienen una sola dirección. Son todos los rayos provenientes de la fuente de luz.

Sombra propia: Se le da este nombre a la sombra que se produce en las caras o planos del objeto que están contrarios a la dirección de los rayos de luz o fuente lumínica. Estas sombras se dibujan en tonalidades de color gris para diferenciarlas de las sombras arrojadas.

Conceptos y propiedades de la proyección de sombras Sombras arrojadas: Son todas las sombras que produce un cuerpo cualquiera al interponerse a los rayos de luz, tales sombras, se producen fuera del objeto o cara que tenga sombra propia, y siempre será sobre superficies o caras iluminadas. Este tipo de sombra se dibuja en color negro. Se dice que la sombra arrojada de un objeto, es la proyección oblicua del mismo.

Esta poligonal, es la que al proyectarse sobre una superficie iluminada, forma el contorno de la sombra arrojada.

Separatriz: Todos los objetos poliédricos cuando se interponen ante una fuente lumínica, presentan caras iluminadas, aquellas que quedan directamente expuestas ante la luz y caras en penumbra (sombra propia), las que están contrarias a la dirección de la luz. Las caras iluminadas se separan de las no iluminadas por una poligonal llamada Separatriz.

Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros: Una buena cantidad de objetos están formados o pueden descomponerse en partes que son justamente ortoedros, entonces para proyectar su sombra, lo primero es dividir la forma compleja en sus componentes geométricos más simples (ortoedros). Luego conociendo la dirección de la luz, se deben discriminar las separatrices, por medio de reconocer que caras están iluminadas y cuales no. Ya definida la separatiz trace líneas guías a 45º que pasen por los puntos vértices de las separatrices en planta y en elevación, las cuales nos indicaran la dirección que tomara la sombra, y dado que en elevación vemos el piso como filo, allí veremos donde se intersectan con el mismo. Figura 31. Donde todas estas líneas guías (rayos luminícos) corten el plano del piso, proyectarlos hacia la planta hasta que corten al rayo lumínico correspondiente,

lo que nos dará el límite de la sombra sobre el piso. Note que el piso se ve como filo tanto en la vista frontal como en la lateral.

Una vez encontrados todos estos puntos en la planta y elevación, unir los puntos y definir la sombra arrojada, la cual ocurrirá en la planta.

Figura 31. PROYECCION DE SOMBRA DE ORTOEDRO EN EL PISO

Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros El mismo proceso se sigue para proyectar sombras en planos verticales, note la diferencia cuando el objeto no toca la superficie donde se proyecta, en este caso la vista de filo no es el piso sino la cara vertical de otro objeto.Figura 32. Note que el filo de la cara frontal aparece en planta y en elevaci贸n lateral.

Figura 32. PROYECCION DE SOMBRA EN UN PLANO FRONTAL

Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros En la figura 33, Veremos c贸mo se obtiene la sombra en un plano lateral, para ello utilizamos el mismo procedimiento, notemos que ahora ya proyecci贸n de la sombra no ser谩 en el piso ni una cara vertical, como es una cara lateral, su filo aparece en planta y en elevaci贸n frontal.

Figura 33. PROYECCION DE SOMBRAS EN EL PISO Y UN PLANO LATERAL

Procedimiento para proyectar sombras de ortoedros Puede notar además que por la posición del objeto, algunas intersecciones ocurren abajo del piso por lo que podemos apreciar que además de proyectar sombra en la cara lateral, también lo hace en el piso (vea en la figura anterior en la esquina superior derecha. Por supuesto en objetos complejos, es decir, compuestos por varios ortoedros, habrá que hacer el procedimiento discriminando sobre que planos opacos se produce la sombra, ya que no siempre recaerá solo sobre el piso, es decir, puede haber otros objetos o elementos que se interpongan en la trayectoria. Y de allí la importancia de visualizar con que planos de filo se encuentra el rayo lumínico en su trayectoria, los que como mostramos en los ejemplos anteriores, pueden ser horizontales, frontales y laterales. Recordemos que la sombra se proyecta sobre el primer plano opaco que el rayo lumínico encuentra, para ver esto

debemos tener presente que en planta los planos que están más arriba serán los que el rayo lumínico toque primer, en elevación los planos que están más adelante y al observar la vista lateral, serán los planos que están más a la derecha.

En la figura 34 vemos como se producen sombras en el piso y sobre la cara superior del objeto que está debajo, y también como la sombra del objeto que está arriba no alcanza el piso en la parte frontal sino proyecta su sombra sobre cara vertical del objeto que lo sostiene.

Figura 34. PROYECCION DE SOMBRA EN EL PISO Y CARAS DEL OBJETO

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados: En el caso de la sombra de planos inclinados, es fundamental, el poder visualizar la vista de filo de los planos, tanto para definir si estรกn en sombra propia, como para proyectar la sombra. Vease figura 35.

Figura 35. SOMBRA PROPIA CONTRASTANDO EL FILO DEL PLANO CON LA LUZ

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Podemos ver si un plano inclinado está en sombra propia, al contrastar el filo del mismo con la dirección de la luz y al estar el filo paralelo a la dirección de la luz, (en vistas ortogonales a 45° o más), entonces el plano estará en sombra propia. Igualmente para definir como se proyecta la sombra sobre planos inclinados, será necesario ver el plano como filo para ver donde los rayos lumínicos lo alcanzan. A partir de ello se realizan las proyecciones a las demás vistas.

Figura 36. SOMBRA DE UNA RECTA UTILIZANDO EL FILO DEL PLANO QUE RECIBE LA SOMBRA

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Para realizar la proyección de las sombras de un objeto, será necesario visualizar las separatices, luego de haber definido cuales caras del objeto tienen sombra propia y cuáles están iluminadas. Como sabemos, cada segmento de separatriz, proyecta sombra como línea recta, por lo que para definir en donde ocurre, será necesario proyectar dos puntos de la misma recta los cuales deberán recaer en un mismo plano.

Figura 37. SOMBRA DE OTRO SEGMENTO DE LA SEPARATRIZ

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Así sucesivamente, es decir, habrá que proyectar cada segmento de separatriz sobre cada plano opaco.

Figura 38. PROYECTO COMPLETO DE SOMBRAS DE Y SOBRE OBJETOS

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Veamos paso a paso un ejemplo de proyección de sombras sobre un objeto arquitectónico. Figuras de la 39 a la 42. Primero proyectamos sombras en el piso siguiendo los procedimientos de discriminación de separatrices y llevando los rayos lumínicos que pasan pos sus vértices al piso.

Figura 39. SOMBRA DE CASA EN EL PISO

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Ahora completamos la planta con la sombra que proyecta la chimenea sobre el techo, aquí tenemos que tomar en consideración que la sombra caerá sobre dos planos inclinados distintos.

Figura 40. SOMBRA DE CHIMENEA EN LOS PLANOS DEL TECHO

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados En el siguiente plano trabajaremos la elevaci贸n y lo que tendremos que tener en cuenta es que el alero del techo proyectara sombra sobre cada uno de los planos que conforman la fachada.

Figura 41. SOMBRA DE ALEROS EN PLANOS DE FACHADA

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Igualmente procedemos con la sombra sobre la elevaci贸n lateral, la cual es mas sencilla, ya que hab铆amos proyectados la sombra de la chimenea sobre el techo y ahora solo nos falta la de los aleros sobre los los planos de la fachada.

Figura 42. SOMBRA EN PLANOS LATERALES

Procedimiento para proyectar sombras de y sobre planos inclinados Y el proyecto terminado se verá así: Finalmente concluimos en que para proyectar sombras en vistas planas habrá que tener siempre presente que lo primero que debemos discriminar es que proyecta sombra (arista separatriz) y segundo donde la proyecta (plano opaco iluminado

Figura 43. PROYECTO COMPLETO DE SOMBRAS EN LAS TRES VISTAS

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA: Diaz Zuñiga, Julio César (2012) GEOMETRIA DESCRIPTIVA I. Ed. Red Tercer Milenio. México Holliday-Darr, Kathryn (2000) GEOMETRIA DESCRIPTIVA. International Thomson Editors. México Perez G. Alberto M. (1997) GEOMETRIA DESCRIPTIVA. Universidad de los Andes, Trujillo Venezuela BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA: Fernandez, Silvestre (2007) GEOMETRIA DECRIPTIVA APLICADA AL DIBUJO TECNICO ARQUITECTÓNICO. Ed. Trillas México Rowe, Charles (1976) GEOMETRIA DESCRIPTIVA PARA INGENIERÍA