O S I H LU AC M Sistemas de Ecuaciones A C
Método de Cramer La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de
un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introducción à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1 La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión
explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
RESOLVER EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES USANDO LA REGLA DE CRAMER
PARA APLICAR EL METODO DE CRAMER LO PRIMERO QUE HAY QUE HACER ES SACAR LA MATRIZ A QUE ES LA MATRIZ FORMADA POR LOS COEFICIENTES DE x,y,z DEL SISTEMA DE ECUACIONES
PARA SACAR LA MATRIZ Ax SE SUSTITUYE LAS COLUMNAS DE LAS X EN A POR LAS COLUMNAS DE LAS SOLUCIONES DEL SISTEMA Y DE MANERA SIMILAR PARA Ay Y Az . LUEGO SE CALCULA LAS 4 DETERMINANTES EN ESTE CASO POR EL METODO DE SARRUS YA QUE SON MATRICES 3X3
16-3+6+4-12+6=5
POR ULTIMO AL TENER YA LAS 4 DETERMINANTES Y SABIENDO QUE det(A)≠0 SE APLICA EL METODO DE CRAMER QUE CONSISTE PARA X SE DIVIDE det(Ax) ENTRE det(A) y DE MANERA SIMILAR PARA YyZ
DE MANERA SIMILAR QUE EL EJERCICIO ANTERIOR PRIMERO SE SACAN LAS MATRICES A,Ax,Ay,Az
SE CALCULAN LAS 4 DETERMINANTES
POR EL METODO DE SARRUS
-
34+12-28+42-4+68=56
4-68-126+28+102-12=-72
AL DETERMINAR LAS 4 DETERMINANTES
y ES ≠ DE CERO SE DICIDE DEL (Ay)Y ENTRE LA PARA OBTENER x,y,z RESPECTIVAMENTE
DISCUTIR Y RESOLVER EL SISTEMA CUANDO SEA COMPATIBLE
PARA QUE EL SISTEMA SEA COMPATIBLE DEBE TENER SOLUCION BIEN SEA UNA O INFINITA POR LO QUE HAY QUE SACAR LA MATRIZ AUMENTADA DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y
APLICAR EL METODO DE GAUSS
PRIMERO SE HACE EL PRIMER UNO DE LA FILA UNOY COLUMNA UNO
LUEGO SE HACE CERO DEBAJO DE ESTE
AHOEA SE HACE EL UNO DE LA SEGUNDA FILA
LUEGO SE HACE EL CERO DEBAJO DEL ULTIMO . UNO
PARA QUE EL SISTEMA SEA COMPATIBLE A-2≠0→A≠2 A€ℝ-
RESOLVER EL SISTEMA HOMOGENEO
SE SABE QUE EL SISTEMA ES HOMOGENEO PORQUE TODAS SUS ECUACIONES ESTAN IGUALES A CERO PRIMERO SE SACA LA AUMENTADA DEL SISTEMA PARA LUEGO APLICAR EL METODO DE GAUSS JORDANDE APARICIONES GENERALIZADAS DE FILAS Y COLUMNAS
SE INTERCAMBIAN LAS FILAS PARA COLOCAR EL PRIMER 1
LUEGO SE HACEN LOS CEROS. POR DEBAJO DL PRIMER UNO
AHORA HACEMOS EL PRIMER CERO EN LA SEGUNDA .. COLUMNA
LUEGOS LOS CEROS POR
ARRIBA Y POR DEBAJO DE LA SEGUNDA ..
COLUMNA
EL SIGUIENTE PASO ES HACER EL UNO LA ULTIMA .. …. COLUMNA
POR ULTIMO HACEMOS . . LOS CEROS DE LA ULTIMA COLUMNA Homogéneo
COMO EL SISTEMA SE PUDIERON COLOCAR UN UNO POR CADA COLUMNA EL SISTEMA HOMOGENEO ES COMPATIBLE Y DETERMINADO