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Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ENSEÑAR ▸ Conceptos de valor posicional para la suma y la resta

Módulo 1

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas? En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris. Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado? En la portada Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969 Frank Stella, American, born 1936 Acrylic on canvas Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York

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Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ▸ 4 ENSEÑAR Módulo

Module

1 2 3 4 5 6

Conceptos de valor posicional para la suma y la resta

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división

Multiplicación y división de números de varios dígitos

Fundamentos para las operaciones con fracciones

Medidas angulares y figuras planas

Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales

Antes de este módulo

Contenido general

Módulo 1 de 3.er grado

Conceptos de valor posicional para la suma y la resta

En el módulo 1 de 3. grado, la clase desarrolla una comprensión conceptual de la multiplicación como un número de grupos iguales (p. ej., 4 × 3 = 12 se puede interpretar como 4 grupos de 3 es 12). er

Módulo 2 de 3.er grado En el módulo 2 de 3.er grado, la clase compone y descompone unidades de medida del sistema métrico y las relaciona con unidades de valor posicional hasta 10 millares. Utilizan su comprensión del valor posicional y la recta numérica vertical para redondear números de dos y tres dígitos. La clase también suma y resta este tipo de números usando distintas estrategias, incluyendo el algoritmo convencional.

Tema A La multiplicación como comparación multiplicativa La clase identifica, representa 4 e interpreta comparaciones 28 es 7 veces 4. 28 = 7 × 4 multiplicativas en patrones, diagramas de cinta, ecuaciones 28 de multiplicación, medidas y unidades de dinero. Describen la relación entre cantidades como tantas veces una cantidad u otros términos aplicables dependiendo del contexto dado (p. ej., veces, veces tan largo como y veces tan pesado como). Usan la multiplicación o la división para hallar una cantidad desconocida en una comparación.

Tema B Valor posicional y comparación hasta 1,000,000 La clase nombra las siguientes unidades 56,348 de valor posicional: centenas de millar y millones. Reconocen la relación multiplicativa 50,000 + 6,000 + 300 + 40 + 8 que existe entre las unidades de valor Cincuenta y seis mil trescientos cuarenta y ocho posicional: el valor de un dígito en una posición es diez veces el valor del mismo 56 millares, 3 centenas, 4 decenas y 8 unidades dígito en la posición a su derecha. Escriben y comparan números de hasta 6 dígitos en forma estándar, desarrollada, verbal y unitaria.

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Tema C

Después de este módulo

Redondear números enteros de varios dígitos La clase expresa números de varios dígitos en forma unitaria de diversas maneras usando unidades más pequeñas (p. ej., 245,000 como 24 decenas de millar y 5 millares o 245 millares), y hallan 1 más o 1 menos de una unidad dada como preparación para redondear en una recta numérica vertical. Además, redondean números de cuatro, cinco y seis dígitos al millar, a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas. Determinan una estrategia de redondeo adecuada para hacer estimaciones útiles en un contexto dado.

Módulos 1 y 4 de 5.o grado 700,000 = 7 centenas de millar

En los módulos 1 y 4 de 5.o grado, la clase continúa el trabajo de 4.o grado mediante la

650,000 = 6 centenas de millar y 5 decenas de millar

634,243

suma, la resta, el redondeo y la comparación de números de varios dígitos con dígitos hasta la posición de las milésimas. La clase reconoce

600,000 = 6 centenas de millar

que el valor de un dígito en una posición es   1 de lo que representa en la posición a 10 su izquierda.

634,243 ≈ 600,000

Tema D Suma y resta de números enteros de varios dígitos La clase adquiere fluidez con la suma y la resta de números de hasta 6 dígitos usando el algoritmo convencional. Resuelven problemas verbales de dos pasos y de varios pasos mediante la suma y la resta. El proceso Lee-Dibuja-Escribe les ayuda a entender un problema e identificar una estrategia para hallar la solución. A lo largo del tema, la clase redondea para estimar la suma o la diferencia y comprueba si sus respuestas son razonables.

800,000 - 500,000 = 300,000 7 10 2

13 3 11

8 03 ,4 1 5

- 4 6 1 ,9 7 3

3 4 1 ,4 4 2

4 6 1 ,9 7 3

+ 3 4 1 ,4 4 2 1

803 , 4 1 5

Tema E Tablas de conversión de medidas del sistema métrico La clase usa comparaciones multiplicativas 1 kilómetro es 1,000 veces tan largo como 1 metro. para describir los tamaños relativos de las unidades métricas de longitud (kilómetros, 1 km = 1,000 × 1 m metros, centímetros), masa (kilogramos, gramos) y volumen líquido (litros, mililitros). Expresan las 1 kilómetro = 1,000 metros unidades más grandes en función de unidades más pequeñas y completan tablas de conversión. Suman y restan unidades mixtas de medida. © Great Minds PBC

Contenido Conceptos de valor posicional para la suma y la resta ¿Por qué?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Criterios de logro académico: Contenido general . . . . . . . 10 Tema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 La multiplicación como comparación multiplicativa Lección 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Interpretar la multiplicación como una comparación multiplicativa

Lección 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Resolver problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones

Lección 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Describir las relaciones entre medidas usando la comparación multiplicativa

Lección 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Representar la composición de unidades de dinero más grandes usando la comparación multiplicativa

Tema B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Valor posicional y comparación hasta 1,000,000

Lección 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Organizar, contar y representar una colección de objetos

Lección 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Demostrar que un dígito representa 10 veces el valor de lo que representa en la posición a su derecha

Lección 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Escribir números hasta 1,000,000 en forma unitaria y en forma desarrollada usando la estructura de valor posicional

Lección 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Escribir números hasta 1,000,000 en forma estándar y en forma escrita

Lección 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Comparar números hasta 1,000,000 usando >, = y <

Tema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Redondear números enteros de varios dígitos Lección 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Expresar números usando la comprensión del valor posicional

Lección 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más que y menos que un número dado

Lección 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Redondear al millar más cercano

Lección 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Redondear a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas

Lección 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Redondear números de varios dígitos a cualquier posición

Lección 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Aplicar la estimación a situaciones del mundo real usando el redondeo

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Tema D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

Tema E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Suma y resta de números enteros de varios dígitos

Tablas de conversión de medidas del sistema métrico

Lección 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Lección 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Sumar usando el algoritmo convencional

Expresar medidas de longitud del sistema métrico en términos de unidades más pequeñas

Lección 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Resolver problemas verbales de suma de varios pasos usando el algoritmo convencional

Lección 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes una vez

Lección 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes hasta 3 veces

Lección 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes varias veces

Lección 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Lección 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 Expresar medidas de masa y de volumen líquido del sistema métrico en términos de unidades más pequeñas

Recursos Estándares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Criterios de logro académico: Indicadores de competencias . . . . . . 510 Vocabulario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Las matemáticas en el pasado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

Resolver problemas verbales de dos pasos usando la suma y la resta

Obras citadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Lección 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Créditos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Resolver problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

¿Por qué? Conceptos de valor posicional para la suma y la resta ¿Por qué el módulo de valor posicional comienza con un tema sobre las comparaciones multiplicativas? Comenzar con la comparación multiplicativa permite a la clase valerse de sus conocimientos previos del 3.er grado acerca de la multiplicación y sienta las bases para que puedan explorar las relaciones entre números y unidades de valor posicional. También permite que la clase active su conocimiento del 3.er grado acerca de las operaciones de multiplicación y división hasta el 100, y les proporciona oportunidades para continuar adquiriendo fluidez con las operaciones como preparación para la multiplicación y la división en los módulos 2 y 3.

Figura A

Figura L

Figura B

Figura M

Figura C

Figura N

Figura D

Figura O

La clase ya conoce la comparación de suma: relacionar números en términos de cuántos más o cuántos menos. La comparación multiplicativa (relacionar números como tantas veces una cantidad) es una nueva forma de comparar números. A lo largo del año, se usa la comparación multiplicativa para relacionar unidades de medida, números enteros y fracciones. Esta importante relación entre factores, en la que uno de ellos expresa cuánto más grande es el producto en comparación con el otro factor, es fundamental para poder abordar las razones y relaciones proporcionales en grados superiores. Dedicar tiempo al desarrollo de esta comprensión a lo largo de los módulos de 4.o grado prepara a la clase para interpretar la multiplicación con dibujos a escala en 5.o grado y aplicar o hallar un factor de escala en dibujos a escala, dilataciones y figuras semejantes.

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¿Por qué se usa la recta numérica vertical para redondear números? La recta numérica vertical se usa para apoyar la comprensión conceptual del redondeo. En 3.er grado, la clase ve por primera vez la recta numérica vertical como una extensión de la lectura de la escala de medición vertical. Utilizando el contexto de la temperatura, la clase identifica las decenas (es decir, puntos de referencia) entre las que se encuentra una temperatura, la marca del punto medio entre las temperaturas de referencia y cuál de ellas se acerca más a la temperatura real. Luego, generalizan para redondear números a la decena y la centena más cercanas.

740,000 = 740 millares 739,625 739,500 = 739 millares y 5 centenas

739,000 = 739 millares

En 4.o grado, la clase redondea números de hasta 6 dígitos a cualquier posición. Continúan usando la recta 739,625 ≈ 740,000 numérica vertical como modelo de apoyo. Rotular los números de referencia y la marca del punto medio tanto en forma estándar como unitaria permite hacer énfasis en la unidad de valor posicional a la cual se redondea un número. De esta manera, los valores posicionales se alinean de forma vertical, lo que ayuda a la clase a visualizar la relación entre los números. Con el tiempo, se retira el apoyo pictórico de la recta numérica vertical para redondear, pero la comprensión conceptual del valor posicional persiste cuando la clase redondea mentalmente. Estas experiencias con la recta numérica vertical preparan a la clase para representar razones con rectas numéricas verticales dobles y representar pares de valores en el plano de coordenadas.

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4 ▸ M1

¿Por qué se tratan las unidades métricas en este módulo? ¿Cuándo se abordan las unidades del sistema inglés? El tema E brinda a la clase la oportunidad de aplicar su comprensión del valor posicional en un contexto de medidas a través del trabajo con las unidades métricas de longitud, masa y volumen líquido. La clase convierte unidades métricas que incluyen relaciones con las centenas (p. ej., metros a centímetros) y con los millares (p. ej., kilogramos a gramos). Aplican estrategias de suma y resta de varios dígitos, como el algoritmo convencional, para sumar y restar unidades mixtas de medida. La introducción de las unidades métricas en el módulo 1 también brinda la oportunidad de usar dichas unidades en el contexto de problemas verbales a lo largo del resto del año.

Kilogramos

Gramos

1,000

2,000

5,000

12,000

583

583,000

Las unidades del sistema inglés se incluyen en los módulos 2 y 3, ya que sus tamaños relativos de medición no se alinean con la estructura de las unidades de valor posicional. Las unidades del sistema inglés de longitud se abordan en el módulo 2, cuando la clase trabaja con la multiplicación de números de dos dígitos, el área y el perímetro. Asimismo, las unidades de tiempo y las unidades del sistema inglés de peso y volumen líquido se abordan en el módulo 3 junto con la multiplicación y la resolución de problemas.

Criterios de logro académico: Contenido general Conceptos de valor posicional para la suma y la resta Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo. Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar. Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de: • observaciones informales en el salón de clases; • los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones; • Boletos de salida; • Pruebas cortas de los temas y • Evaluaciones de los módulos. Este módulo contiene los trece CLA que se indican.

4.Mód1.CLA1

4.Mód1.CLA2

4.Mód1.CLA3

Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación.

Escriben enunciados de comparación multiplicativa como ecuaciones de multiplicación.

Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación o la división hasta el 100.

NY-4.OA.1

NY-4.OA.2

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1

4.Mód1.CLA4

4.Mód1.CLA5

4.Mód1.CLA6

Evalúan si las estimaciones son razonables cuando se usa el redondeo como estrategia de estimación.

Resuelven problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta, representan estos problemas usando ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables.

Explican la relación entre un dígito en un número entero de varios dígitos y el mismo dígito en la posición a su derecha.

NY-4.OA.3b

NY-4.OA.3, NY-4.OA.3a, NY-4.OA.3b

NY-4.NBT.1

4.Mód1.CLA7

4.Mód1.CLA8

4.Mód1.CLA9

Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada.

Comparan dos números enteros usando >, = o <.

Redondean números enteros de varios dígitos.

NY-4.NBT.2a

NY-4.NBT.2b

NY-4.NBT.3

4.Mód1.CLA10

4.Mód1.CLA11

4.Mód1.CLA12

Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.

Expresan, en una tabla, unidades más grandes del sistema métrico en términos de una unidad más pequeña.

Resuelven problemas verbales de suma y resta que requieren expresar medidas de unidades más grandes en términos de unidades dadas más pequeñas.

NY-4.NBT.4

NY-4.MD.1

NY-4.MD.2, NY-4.MD.2a

4.Mód1.CLA13 Representan un problema verbal que incluye una comparación multiplicativa usando dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido. NY-4.OA.2

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4 ▸ M1

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias. Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes: • Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo, y luego presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 4.o grado se codifica como 4.Mód1.CLA1. • Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará. • Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada. • Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares de aprendizaje de Matemáticas para la próxima generación del estado de Nueva York (NGMLS, por sus siglas en inglés) que el criterio aborda. del CLA Código del CLA: Grado.Mód#.CLA# Criterios de logro académico: IndicadoresTexto de competencias

4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. NGMLS RELACIONADO

NY-4.OA.1 Interpretan una ecuación de multiplicación como una comparación. Representan enunciados verbales de comparaciones multiplicativas como ecuaciones de multiplicación.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Crean un enunciado de comparación, dada una ecuación de multiplicación.

Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación.

Completa los espacios para crear un enunciado que represente la ecuación 35 = 5 × 7.

Completa los espacios para crear dos enunciados que representen la ecuación 35 = 5 × 7.

veces

Estándar relacionado

veces

Indicadores del CLA

Tema A La multiplicación como comparación multiplicativa En el tema A, la clase usa modelos y lenguaje de comparación multiplicativa para representar relaciones multiplicativas. En grados anteriores, la clase compara cantidades a través de la comparación de suma, en la que una cantidad es mayor o menor que otra, y usan la suma o la resta para hallar la cantidad desconocida o la diferencia. La comparación multiplicativa presenta una nueva forma de relacionar cantidades. La clase reconoce que un patrón numérico o de figuras no aumenta cada vez por la misma cantidad. Más bien, el aumento es el resultado de multiplicar por el mismo factor cada vez. La clase usa modelos visuales, incluyendo los diagramas de cinta, como herramientas para demostrar la relación multiplicativa entre distintas cantidades. Una vez que comprenden la relación multiplicativa, hallan una cantidad desconocida usando la multiplicación o la división. La comparación multiplicativa proporciona a la clase otra forma de interpretar la multiplicación. Por ejemplo, ven 15 = 3 × 5 como 15 es 3 veces 5. Esta interpretación de la multiplicación es fundamental a lo largo de 4.o grado, ya que la clase describe las relaciones de valor posicional, identifica los múltiplos de números enteros y fracciones y convierte las unidades de medida. También les sirve como preparación para usar la multiplicación para hacer una escala en 5.o grado. La clase aplica la comparación multiplicativa a los contextos de medidas y unidades de dinero. Interpretan y representan una variedad de comparaciones de medidas y usan un lenguaje específico para los contextos, como veces tan largo como, veces tan pesado como y veces la cantidad de. También comparan unidades de dinero, como pennies, dimes y dólares, usando relaciones de tantas veces una cantidad. Reconocen las semejanzas entre las unidades de valor posicional y la relación entre unidades de dinero cada vez más grandes (es decir, cada unidad que aumenta de pennies a dimes y de dimes a dólares es 10 veces la cantidad de la unidad anterior). En el tema B, la clase usa comparaciones multiplicativas para relacionar las unidades de valor posicional hasta 1,000,000.

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4 ▸ M1 ▸ TA

Progresión de las lecciones Lección 3

Interpretar la multiplicación como una comparación multiplicativa

Resolver problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones

Describir las relaciones entre medidas usando la comparación multiplicativa 15 14 13 12 11 8

15 14 13 12 11

10 9 8

7 4

7 6 5 4 3

2 0 CM 1

Torre de Amy

Puedo usar la relación entre la multiplicación y la división como ayuda para resolver un problema de comparación multiplicativa en el que se desconoce el factor o el producto. Puedo dibujar un diagrama de cinta para identificar la información conocida y desconocida y, luego, usar la multiplicación o la división para hallar el número desconocido.

Observo que algunos patrones de figuras y números tienen reglas que usan la suma y otros tienen reglas que usan la multiplicación. Puedo describir los patrones de multiplicación usando tantas veces una cantidad. Por ejemplo, puedo leer una ecuación de multiplicación como 16 = 2 × 8 como 16 es 2 veces 8.

? veces

...

Lección 2

Lección 1

Torre de Gabe

Puedo usar frases como veces tan largo como y veces tan pesado como para describir cómo se relacionan las medidas. Los diagramas de cinta y las imágenes de objetos con herramientas de medición, como balanzas, reglas y vasos de precipitados, pueden mostrar la relación entre diferentes medidas. Puedo describir las relaciones usando palabras y ecuaciones.

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Lección 4 Representar la composición de unidades de dinero más grandes usando la comparación multiplicativa Dólares

Dimes

Pennies

10¢

La relación entre pennies, dimes y dólares es como la relación entre las unidades de valor posicional. Puedo usar la comparación multiplicativa para relacionar las unidades de dinero. Por ejemplo, 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny.

LECCIÓN 1

Interpretar la multiplicación como una comparación multiplicativa

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

Dibuja un modelo para representar el enunciado. Luego, completa la ecuación.

15 es 3 veces 5.

Vistazo a la lección La clase crea un patrón usando una regla de multiplicación. Aprenden a usar el lenguaje de tantas veces una cantidad para describir la relación entre el número de objetos en figuras consecutivas en un patrón multiplicativo. También escriben ecuaciones de multiplicación y dibujan diagramas de cinta para representar situaciones de comparación multiplicativa.

Ejemplo:

Preguntas clave

• ¿Cómo pueden describir una relación multiplicativa entre números? 5

• ¿De qué manera las ecuaciones de multiplicación y los diagramas de cinta pueden representar situaciones de tantas veces una cantidad ?

15 15 =

Criterios de logro académico

4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA2 Escriben enunciados de comparación multiplicativa como ecuaciones de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA3 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación o la división hasta el 100. (NY-4.OA.2) 4.Mód1.CLA13 Representan un problema verbal que incluye una comparación multiplicativa usando dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido. (NY-4.OA.2)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• notas adhesivas (5)

Imprima o copie y recorte las Tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas.

Aprender 35 min • La multiplicación y tantas veces una cantidad

• Tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas (en la edición para la enseñanza)

• La comparación multiplicativa y los diagramas de cinta

• computadora o dispositivo*

• Emparejamiento de comparaciones multiplicativas

• libro Enseñar*

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

• proyector*

Estudiantes • notas adhesivas (5 por pareja de estudiantes) • marcador de borrado en seco* • libro Aprender* • lápiz* • pizarra blanca individual* • borrador para la pizarra blanca individual* *E stos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

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Fluidez

Nota para la enseñanza

Respuesta a coro: Multiplicar y dividir números enteros La clase halla un producto o cociente como preparación para los patrones multiplicativos y las comparaciones multiplicativas. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre la ecuación de multiplicación y la pregunta. ¿Cuánto es 2 grupos de 5?

10 Muestre el producto.

=2×5

Utilice señales con las manos para presentar un procedimiento para responder las preguntas de la actividad Respuesta a coro. Por ejemplo, coloque la mano alrededor de la oreja para escuchar, lleve un dedo hacia la sien para pensar y levante la mano para recordar a sus estudiantes que deben levantar las suyas. Enseñe el procedimiento usando preguntas de conocimiento general.

¿Cuánto es 2 grupos de 5?

• ¿En qué grado están?

=8×5

Nota para la enseñanza

• ¿Cuál es el nombre de nuestra escuela? • ¿Cómo se llama su maestro o maestra?

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

=2×9

=3×7

=4×8

=6×7

6÷2=

Muestre la ecuación de división y la pregunta.

¿6 es 2 grupos de cuánto? 3

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

15 ÷ 3 =

27 ÷ 3 =

¿6 es 2 grupos de cuánto?

Muestre el cociente.

14 ÷ 2 =

=7×9

24 ÷ 4 =

45 ÷ 5 =

48 ÷ 6 =

Establezca una señal (p. ej., Muéstrenme sus pizarras) para presentar un procedimiento para mostrar las respuestas en la actividad Intercambio con la pizarra blanca. Practiquen con cálculos básicos hasta que sus estudiantes se acostumbren al procedimiento. • ¿Cuánto es 2 × 3? • ¿Cuánto es 10 ÷ 5? Determine un procedimiento para ofrecer retroalimentación sobre los intercambios con las pizarras blancas. Considere recorrer el salón de clases y dar señales de aprobación o para que lo intenten de nuevo.

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Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe y completa una ecuación para representar un diagrama de cinta como preparación para resolver problemas similares con comparaciones multiplicativas. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta. ¿Qué muestra el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

El total es desconocido. Hay 2 partes iguales. Cada parte tiene un valor de 6.

Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.

Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.

? 9

3 × 9 = 27

? 3 × 7 = 21

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, sus estudiantes pueden escribir 12 = 2 × 6 como ecuación correcta para representar el diagrama de cinta.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

2 × 6 = 12

Escriban y completen una ecuación de multiplicación para representar el diagrama de cinta.

Nota para la enseñanza

? 4 × 8 = 32

? 4 × 6 = 24

5 × 8 = 40

• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes. De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan el mismo idioma materno.

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Presentar

La clase examina y describe patrones de suma y multiplicativos con figuras. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 de sus libros y lean a coro las instrucciones. Escribe una regla para cada patrón. 1.

Figura A

Nota para la enseñanza En 3.er grado, se usa el término patrón para describir la relación entre los números en las tablas de entrada y salida. Patrón: dividir la entrada entre 8

Figura B

Figura C

Entrada

Salida

En esta lección, patrón hace referencia a un conjunto de figuras que siguen una regla. Una regla describe la relación entre las figuras consecutivas del patrón.

Figura D

Regla:

sumar 3

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del patrón y a intentar identificar en qué se diferencia cada figura de la anterior. ¿Cuál es la relación entre el número de cuadrados de la figura B y el número de cuadrados de la figura A? La figura B tiene 3 cuadrados más que la figura A. En la figura B, hay dos veces la cantidad de cuadrados que hay en la figura A. ¿Esa misma relación también se da entre el número de cuadrados de la figura C y el de la figura B? ¿Y entre la figura D y la figura C? ¿Cómo lo saben? Sí, en la figura C, hay 3 cuadrados más que en la figura B, y en la figura D, hay 3 cuadrados más que en la figura C. No, en la figura C no hay dos veces la cantidad de cuadrados que hay en la figura B, ni en la figura D comparada con la figura C.

DUA: Representación Considere incluir comentarios en las figuras para enfatizar los patrones mientras la clase describe cómo se diferencia cada figura de la anterior.

Figura A

Se suman 3 cuadrados cada vez.

Figura B

Figura M

x2 4

Figura C

¿Qué relación les indica cómo cambia de la misma manera cada figura del patrón? Cada figura tiene 3 cuadrados más que la figura anterior.

Figura L

Figura N

9 Figura D

Figura O

Sumar una columna de 3 cuadrados La regla para el patrón es sumar 3. Si conocen la regla, pueden formar más figuras en el patrón. La regla indica cómo se puede formar la siguiente figura. Pida a sus estudiantes que escriban en sus libros la regla para el patrón del problema 1. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil conocer la regla para calcular cuántos cuadrados habría en la figura E. Si el patrón continúa, ¿cuántos cuadrados habrá en la figura E? ¿Cómo lo saben? Habrá 15 cuadrados en la figura E. Seguí la regla. Sumé 3 más al número de cuadrados de la figura D.

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Pida a sus estudiantes que observen el patrón del problema 2. 2.

Figura L Figura M Figura N Figura O Regla: multiplicar por 2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del patrón y a intentar identificar en qué se diferencia cada figura de la anterior. ¿Cuál es la relación entre el número de círculos de la figura M y el número de círculos de la figura L?

Apoyo para la comprensión del lenguaje El término figura tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. En esta lección, figura se refiere a una colección de objetos en un patrón. Considere usar imágenes para resaltar algunos de los diferentes significados del término figura. • Las figuras A, B y C forman parte de un patrón.

Figura A

Figura B

Figura C

• Un cubo y un triángulo son ejemplos de figuras geométricas.

La figura M tiene 2 círculos más que la figura L. Es el doble. La figura M tiene el doble de círculos que la figura L. ¿Esa misma relación también se da entre el número de círculos de la figura N y el de la figura M? ¿Cómo lo saben?

• Gabe imagina, o se figura, cuál podría ser la respuesta correcta del problema.

No, no se da porque la figura N tiene 4 círculos más que la figura M, no 2 más. Sí, el número de círculos de la figura N es el doble que el de la figura M, por lo que 2 × 4 = 8. La relación es diferente a la del problema 1, por lo que la regla no puede ser sumar 2. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la regla. Es multiplicar por 2, así que 2 × 2 = 4. Es el doble, así que 2 × 2 = 4.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 ¿Esa misma relación también se da entre el número de círculos de la figura O y el de la figura N? ¿Cómo lo saben? Sí. 2 × 8 = 16. ¿Cuál es la regla para este patrón? Multiplicar por 2 Pida a sus estudiantes que escriban la regla para el patrón del problema 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo conocer la regla puede ser útil para calcular cuántos cuadrados habrá en la siguiente figura. Si el patrón continúa, ¿cuántos círculos habrá en la siguiente figura? ¿Cómo lo saben? Habrá 32 círculos en la siguiente figura porque multiplico el número de círculos de la figura O por 2.

2 × 16 = 32. Puedo pensarlo como 16 + 16 = 32. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos a describir una relación entre números usando la multiplicación.

Nota para la enseñanza

Aprender

La multiplicación y tantas veces una cantidad Materiales: M/E) Notas adhesivas

La clase usa notas adhesivas y patrones multiplicativos para relacionar la multiplicación con la expresión tantas veces una cantidad. Forme parejas de estudiantes y dé cinco notas adhesivas a cada pareja.

En esta lección, la ecuación de multiplicación siempre se escribe con el total primero, seguido del signo igual y la expresión de comparación multiplicativa. El primer factor indica cuántos del segundo factor están representados en la relación. Este orden permite que sus estudiantes vean la conexión entre el lenguaje de tantas veces una cantidad y la ecuación de multiplicación.

3=3×1 3 es 3 veces 1.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Estudiante A: debe colocar una nota adhesiva en su pizarra blanca. Estudiante B: debe colocar 2 notas adhesivas debajo de la nota adhesiva de su pareja de trabajo. ¿Cuántas notas adhesivas tiene la estudiante A? ¿Y la estudiante B? ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre las notas adhesivas de cada estudiante?

Estudiante A

Estudiante B

2=2×1 Escriba la ecuación 2 = 2 × 1. Señale cada número mientras hace las siguientes preguntas. ¿Qué representa el producto, 2? Es el número de notas adhesivas que tiene la estudiante B.

2=2x1

¿Qué representa el primer factor, 2? Es el número por el que multiplicamos las notas adhesivas de la estudiante A para obtener el número de notas adhesivas que tiene la estudiante B. ¿Qué representa el segundo factor, 1? Es el número de notas adhesivas que tiene la estudiante A. Podemos decir que la estudiante B tiene 2 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A. 2 es 2 veces 1.

2=2×1 La estudiante B tiene 2 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A. 2 es 2 veces 1.

Escriba los enunciados debajo de la ecuación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la ecuación y los enunciados representan la relación entre las notas adhesivas de cada estudiante B y A.

Estudiante A

Use un procedimiento similar para que las notas adhesivas de la estudiante B representen 3 y 4 veces la cantidad de notas adhesivas de la estudiante A.

3=3×1 La estudiante B tiene 3 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A. 3 es 3 veces 1.

Estudiante B

Nota para la enseñanza Ayude a sus estudiantes a observar que, cuando los dos números de una comparación están presentes, no es necesario usar la cantidad de, dado que esa cantidad ya está representada por uno de los números. Señale que en esos casos se usa solo el término veces. Use los enunciados de esta página como ejemplo: • 4=4×1 • La estudiante B tiene 4 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A. • 4 es 4 veces 1.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 en sus libros y que lean las instrucciones a coro. Invite a sus estudiantes a completar el problema 3 con sus parejas registrando cómo representaron 4 veces la cantidad. Dibuja notas adhesivas para representar 4 veces la cantidad. Luego, completa los espacios. 3. Estudiante A

DUA: Representación Considere usar marcadores fluorescentes de diferentes colores en la ecuación y los enunciados para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las distintas representaciones. Estudiante A

Estudiante B

pr im se er gu fa nd cto of r ac to r

Estudiante B

La estudiante B tiene

Producto 3 = 3 × 1

1 4

veces

veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A.

La estudiante B tiene 3 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A. 3 es 3 veces 1.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuándo usamos el término veces y cuándo veces una cantidad para describir la relación entre el número de notas adhesivas que tienen las estudiantes A y B. Cuando leemos una ecuación de multiplicación, decimos 4 veces. Usar la palabra veces es otra manera de mostrar la multiplicación. Para obtener el número de notas adhesivas que tiene la estudiante B, multiplicamos el número de notas adhesivas de la estudiante A por 4. Cuando multiplicamos, usamos la palabra veces, por lo que podemos decir 4 veces para mostrar la relación. Si, cuando comparamos las notas adhesivas, no están presentes los dos números de la comparación, usamos la cantidad de. Por ejemplo, decimos que la estudiante B tiene 4 veces la cantidad de notas adhesivas que la estudiante A.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Pida a las parejas que escriban el número 4 en cada nota adhesiva. ¿Cuál es el valor total de los números de la nota adhesiva de la estudiante A? ¿Y el de la estudiante B? ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el valor total de los números de las notas adhesivas de la estudiante B y el valor del número de la nota adhesiva de la estudiante A?

Estudiante A

Estudiante B

16 = 4 x 4

16 = 4 × 4 Escriba la ecuación.

¿De qué manera reemplazar el valor de cada nota adhesiva por 4 cambió la ecuación 4 = 4 × 1? Sigue siendo 4 veces, pero empezamos con 4 en lugar de 1 y el total es 16 en lugar de 4. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 4 a 6. Invite a la clase a completar los problemas 4 a 6 con sus parejas. Usa las imágenes para completar los espacios. 4.

Estudiante A

Estudiante B

veces

4 4

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 5.

Estudiante A

Estudiante B

veces

Estudiante A

Estudiante B

veces

7 7

9 9 9

¿Qué observan en la relación que hay entre el valor total de las notas adhesivas de la estudiante B y las notas adhesivas de la estudiante A en los problemas 3 a 6? La relación es la misma en todos los problemas. La relación es 4 veces la cantidad. El valor total de los números de las notas adhesivas de la estudiante B es siempre 4 veces el valor de la nota adhesiva de la estudiante A. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relacionan la multiplicación y la expresión tantas veces una cantidad.

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La comparación multiplicativa y los diagramas de cinta La clase dibuja e interpreta diagramas de cinta que representan comparaciones multiplicativas. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 7 y lean a coro las instrucciones. 7. Dibuja un diagrama de cinta para representar que 36 es 4 veces 9. Luego, completa la ecuación.

9 A

Nota para la enseñanza En 3.er grado, se usa una variación de las llaves para dibujar diagramas de cinta. Esta variación permite rotular la cinta sin la complejidad añadida de dibujar las llaves. En 4.o grado, se ven los diagramas de cinta rotulados con llaves, pero se siguen dibujando ramas. La clase puede comenzar a dibujar llaves cuando esté preparada. Se podrían dibujar los siguientes diagramas de cinta para representar las relaciones multiplicativas.

36 36

Podemos dibujar 1 unidad de 9.

9 36

La imagen muestra que 36 es 4 veces 9.

¿Qué podemos dibujar para representar la nota adhesiva de la estudiante A?

¿Cómo podemos usar la imagen del problema 6 como ayuda para dibujar un diagrama de cinta para representar que 36 es 4 veces 9? Podemos usar el valor de las notas adhesivas de las estudiantes A y B como ayuda para dibujar un diagrama de cinta.

Muestre cómo dibujar y rotular una cinta con 1 unidad de 9. Rotule la cinta con la letra A. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Qué podemos dibujar para representar las notas adhesivas de la estudiante B? Podemos dibujar 4 unidades de 9.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre cómo dibujar una cinta con 4 unidades de 9 y póngale como rótulo la letra B. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuál es el total de 4 unidades de 9?

36 Muestre cómo rotular 36 como el total de B. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cómo pueden saber que cada unidad en B tiene un valor de 9 aunque no haya rotulado cada unidad? Sabemos que A tiene un valor de 9 y que cada unidad en B es del mismo tamaño que la unidad en A, por lo que cada unidad en B tiene el mismo valor que la unidad en A. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo el diagrama de cinta muestra que 36 es 4 veces 9. Hay 1 unidad de 9 en A, y B muestra que 4 unidades de 9 forman 36. En B, hay 4 veces la cantidad de unidades de 9 que hay en A, y el total de B es 36. Invite a la clase a completar la ecuación en sus libros. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 8 a 10. Lean a coro las instrucciones. Usa el diagrama de cinta para completar los espacios. Luego, completa la ecuación y el enunciado. 8.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y usa las estructuras (MP7) cuando ve que el diagrama de cinta está compuesto por unidades y relaciona esto con una ecuación de multiplicación y una situación de comparación multiplicativa. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca del diagrama de cinta como ayuda para escribir una ecuación de multiplicación usando 30 y 6?

30 30

veces

6 6

• ¿Cómo se relacionan el diagrama de cinta y el enunciado de tantas veces una cantidad ? ¿Cómo pueden usar esto como ayuda para escribir una ecuación de multiplicación?

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 ¿Qué observan en el diagrama de cinta del problema 8? Hay 1 unidad de 6 y 5 unidades de 6. El total para las 5 unidades de 6 es 30. ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre 30 y 6?

30 = 5 × 6 ¿Cómo pueden usar el término veces para describir la relación entre 6 y 30?

30 es 5 veces 6. Invite a sus estudiantes a completar el problema 8. Use un proceso similar para completar los problemas 9 y 10. 9.

veces

8 8

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 10.

42 42

veces

7 7

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se pueden usar los diagramas de cinta y las ecuaciones de multiplicación para representar las relaciones de tantas veces una cantidad.

Emparejamiento de comparaciones multiplicativas Materiales: M) Tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas

La clase empareja distintas representaciones de situaciones de comparación multiplicativa. Distribuya a cada estudiante una tarjeta para emparejar de comparaciones multiplicativas. Pida a sus estudiantes que recorran el salón de clases para encontrar a alguien que tenga tarjetas que se puedan emparejar con la situación multiplicativa de las suyas. Cada estudiante debe buscar un diagrama de cinta, un enunciado que use la frase tantas veces una cantidad y una ecuación de multiplicación que representen la misma comparación multiplicativa.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 Ejemplos de tarjetas para emparejar:

Nota para la enseñanza

4 28 es 7 veces 4.

28 = 7 × 4

28 La clase debe dividirse en grupos de tres una vez que cada estudiante haya emparejado sus tarjetas. Use las siguientes preguntas para que los grupos conversen acerca de las tarjetas que emparejaron: • ¿Cómo saben que cada tarjeta representa la misma situación? • ¿En qué se parecen las representaciones de cada tarjeta? • ¿En qué se diferencian las representaciones de cada tarjeta? Si hay tiempo suficiente, mezcle las tarjetas, vuelva a distribuirlas e invite a la clase a repetir la actividad con una nueva tarjeta.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Las 24 tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas están diseñadas para que haya ocho grupos con tres emparejamientos en cada uno. Cada grupo debe contener un diagrama de cinta, un enunciado de tantas veces una cantidad y una ecuación de multiplicación. Si tiene más o menos de 24 estudiantes en su clase, considere la posibilidad de usar una de las siguientes modificaciones para garantizar que cada estudiante tenga al menos un emparejamiento. • Reduzca el número de tarjetas usadas eliminando de los conjuntos de tarjetas un diagrama de cinta, un enunciado de tantas veces una cantidad o una ecuación. • Reduzca el número de tarjetas usadas eliminando juegos enteros de emparejamiento. • Dé más de una tarjeta a una parte de la clase, pero asegúrese de que las tarjetas pertenezcan a un juego de emparejamiento. • Cree una tarjeta de patrón para cada juego de manera que puedan participar más de 24 estudiantes. El siguiente es un ejemplo de patrón para 28 = 7 × 4:

Figura R

Figura S

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Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Interpretar la multiplicación como una comparación multiplicativa Muestre el patrón que contiene las figuras L a O y guíe una conversación acerca del uso de la expresión tantas veces una cantidad para describir la multiplicación. Antes, determinamos que la regla para este patrón era multiplicar por 2. ¿Cómo pueden describir la relación entre el número de círculos de la figura M y el número de círculos de la figura L? Podemos decir que hay 2 veces la cantidad de círculos en la figura M que en la figura L.

Figura L

Nota para la enseñanza

Figura M

La clase podría describir la relación entre el número de círculos de cada figura del patrón como el doble en lugar de 2 veces la cantidad de círculos. Reconozca que esta es una forma válida de describir la relación, pero guíe una conversación acerca de la convención de usar el lenguaje de tantas veces una cantidad.

Figura N Figura O

¿Cómo pueden usar una ecuación de multiplicación para representar la relación entre el número de círculos de la figura N y el de la figura M?

8=2×4

¿Cómo pueden usar un modelo para representar la relación entre el número de círculos de la figura N y el de la figura M? Podría dibujar un diagrama de cinta que muestre 1 unidad de 4 para representar el número de círculos de la figura M. Luego, podría dibujar 2 unidades de 4 para representar el número de círculos de la figura N. Podría dibujar un diagrama de cinta con 1 unidad de 4 y 2 unidades de 4 para mostrar que 8 es 2 veces 4.

M N

Boleto de salida 5 min Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

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Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase. EUREKA MATH2 New York Next Gen

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Nombre

Fecha

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Completa el enunciado y la ecuación para que coincidan con el diagrama de cinta. 2.

1. Liz dibuja círculos usando esta regla: multiplicar el número de círculos por 2.

5 5

20 es

veces 5.

veces 2.

×5

Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

a. ¿Cuántos círculos debe dibujar Liz para la figura D? ¿Cómo lo sabes? 3.

Liz debe dibujar 40 círculos porque 2 × 20 = 40.

6 b. Completa los enunciados y la ecuación para que coincidan con las figuras. En la figura B, hay 2 veces la cantidad de círculos que hay en la figura A.

En la figura C, hay 2 veces la cantidad de círculos que hay en la figura B.

veces 5.

veces 10.

veces

×5

× 10

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1

7. 5 veces 3 es 15.

Dibuja diagramas de cinta para representar cada enunciado. Luego, completa la ecuación. 5. 12 es 3 veces 4.

15 5

12 12 =

×4 8. 6 veces 8 es 48.

6. 28 es 4 veces 7.

48 6

9. Hay 9 mesas en la cafetería. La cantidad de sillas es 8 veces la cantidad de mesas. ¿Cuántas sillas hay en la cafetería?

28 28 =

Hay 72 sillas en la cafetería.

GRUPO DE PROBLEMAS

4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 ▸ Tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas

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10es 2 veces 5 .

10 = 2 × 5

18es 3 veces 6 .

18 = 3 × 6

20es 4 veces 5 .

20 = 4 × 5

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15es 5 veces 3 .

15 = 5 × 3

28es 7 veces 4 .

28 = 7 × 4

56es 8 veces 7 .

56 = 8 × 7

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 1 ▸ Tarjetas para emparejar de comparaciones multiplicativas

EUREKA MATH2 New York Next Gen

54es 9 veces 6 .

54 = 9 × 6

70es 1 0veces 7 .

70 = 10 × 7

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LECCIÓN 2

Resolver problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones

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Nombre

4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2

Fecha

Completa los espacios para que los enunciados sean verdaderos. Escribe una ecuación para mostrar cómo hallaste cada número desconocido. 1.

es 4 veces 8.

32 = 4 × 8

2. 30 es

La clase usa notas adhesivas, ecuaciones y diagramas de cinta para representar problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones. Toman decisiones acerca de cuándo y cómo usar la multiplicación o la división para resolver problemas de comparación multiplicativa. Al resolver problemas de comparación multiplicativa, relacionan la multiplicación con un factor desconocido con la división.

Preguntas clave

veces 6.

• ¿Cómo deciden cuándo multiplicar o dividir para resolver problemas de tantas veces una cantidad?

30 = 5 × 6

3. 63 es 9 veces

Vistazo a la lección

• ¿De qué manera les ayuda pensar en la multiplicación con un factor desconocido a resolver problemas de tantas veces una cantidad?

63 = 9 × 7

Criterios de logro académico 4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA2 Escriben enunciados de comparación multiplicativa como ecuaciones de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA3 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación o la división hasta el 100. (NY-4.OA.2)

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Representar problemas de comparación multiplicativa

• notas adhesivas (15 por pareja de estudiantes)

• Hallar una manera • La comparación multiplicativa en contexto • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2

Fluidez

Contar de unidad en unidad con el método matemático La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta para familiarizarse con el conteo con el método matemático. Vamos a contar con el método matemático. Ubíquese de frente a la clase y pida a sus estudiantes que copien los movimientos. Muestre el puño de la mano derecha con la palma hacia la clase. Muéstrenme la mano izquierda. Formen un puño como el mío. Eso es 0 (ver imagen debajo). Ahora, levante el meñique derecho. Muéstrenme el meñique izquierdo. Eso es 1.

Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase

Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva

Nota para la enseñanza En todo el mundo, los números se representan con las manos de muchas maneras. Contar con el método matemático tiene la ventaja matemática de progresar de izquierda a derecha sin interrupción, al igual que la recta numérica. También demuestra la magnitud del número, ya que la clase observa y siente que la cantidad aumenta a medida que cuentan hacia delante. Tanto si miran sus propias manos como las de usted, sus estudiantes verán una progresión de izquierda a derecha. La progresión de un dedo a otro imita la recta numérica. Para usted, la progresión aparecerá al revés. Sus estudiantes comienzan a usar este método en kindergarten y seguirán usándolo hasta 5.o grado para representar conceptos de valor posicional y realizar operaciones con números enteros y fracciones decimales.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 Levantemos el dedo que sigue. Levante el dedo anular derecho; la clase levanta el anular izquierdo (ver imagen). Eso es 2. Levanten el dedo que sigue. 3 ¡Cierren las manos! (Cierran las manos). Contemos hasta el 5 con el método matemático. Pida a sus estudiantes que cuenten hasta el 5 con el método matemático, mientras usted representa el método con los dedos. Muéstrenme 6. Demuestre extendiendo el pulgar izquierdo. Contemos hasta el 10 con el método matemático. Pida a sus estudiantes que cuenten hasta el 10 con el método matemático, mientras usted representa el método con los dedos.

Facilite más práctica para contar con el método matemático hasta el 10. Muestre el método matemático con los dedos, pero no cuente en voz alta.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2

Respuesta a coro: Multiplicar y dividir números enteros La clase halla un producto o cociente como preparación para las comparaciones multiplicativas con valores desconocidos en distintas posiciones. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre la ecuación de multiplicación y la pregunta.

¿Cuánto es 2 veces 8?

Muestre el producto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

=3×6

=4×9

=5×6

¿Cuántos doses hay en 8?

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Ecuaciones de multiplicación • •

= 2 × 8 → ¿Cuánto es 2 grupos de 8?

= 2 × 8 → ¿Cuánto es 2 veces 8?

Ecuaciones de división

• 8÷2=

→ ¿8 equivale a 2 grupos de cuánto?

→ ¿Cuántos doses hay en 8?

¿Cuántos doses hay en 8?

Muestre el cociente.

20 ÷ 4 =

Las ecuaciones de multiplicación y división de esta actividad usan preguntas diferentes a las planteadas en la misma actividad de la lección 1. El uso de una variedad de preguntas permite a sus estudiantes descubrir diferentes maneras de pensar en las ecuaciones.

• 8÷2=

=6×9 8÷2=

Muestre la ecuación de división y la pregunta.

24 ÷ 3 =

=2×8

Nota para la enseñanza

28 ÷ 4 =

35 ÷ 5 =

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Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe y completa una ecuación para representar un diagrama de cinta como preparación para resolver problemas similares con comparaciones multiplicativas. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el diagrama de cinta. ¿Cuál es el total?

12 12 ÷ 3 = 4

¿El diagrama de cinta muestra el número de grupos o el tamaño de cada grupo? El número de grupos

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Escriban y completen una ecuación de división para representar un diagrama de cinta en el que el cociente es el tamaño de cada grupo.

Nota para la enseñanza

Muestre la ecuación. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

45 6

24 24 ÷ 4 = 6

35 35 ÷ 5 = 7

... ? grupos 45 ÷ 5 = 9

56 7

...

Durante la secuencia en la que se conoce el tamaño de cada grupo, pida a la clase lo siguiente: “Escriban y completen una ecuación de división para representar el diagrama de cinta en el que el cociente es el número de grupos”.

? grupos 56 ÷ 7 = 8

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Presentar

DUA: Acción y expresión

La clase describe patrones multiplicativos usando ecuaciones y enunciados de tantas veces una cantidad. Muestre la imagen de la figura A y el rótulo de la figura B. La figura A es la primera figura de un patrón. Cada figura del patrón tiene 3 veces la cantidad de rectángulos que tiene la figura anterior.

Figura A

Figura B

Considere proporcionar fichas cuadradas u otros materiales didácticos para que la clase construya los patrones multiplicativos. A medida que usan los materiales didácticos para construir la figura B, pida a sus estudiantes que usen el lenguaje de tantas veces una cantidad para describir la relación entre el número de rectángulos de las figuras A y B.

Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar cuántos rectángulos debería haber en la figura B. ¿Cuántos rectángulos debería haber en la figura B? ¿Cómo lo saben? Debería haber 6 rectángulos en la figura B. La figura A tiene 2 rectángulos y 6 es 3 veces 2. ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el número de rectángulos de las figuras A y B?

Figura A

Figura B

2 es 1 vez 2.

6=3×2 Muestre la imagen de las figuras A y B. Pida a la clase que confirme que hay 6 rectángulos en la figura B.

Figura A

Figura B

Figura A

Figura B

4 es 2 veces 2.

Figura A

Figura B

6 es 3 veces 2.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre el rótulo de la figura E y la imagen de la figura F. La figura F es la segunda figura de un patrón. Cada figura del patrón tiene 4 veces la cantidad de hexágonos que tiene la figura anterior. Pida a las parejas de estudiantes que determinen cuántos hexágonos debería haber en la figura E. ¿Cuántos hexágonos debería haber en la figura E? ¿Cómo lo saben? Debería haber 2 hexágonos en la figura E. La figura F tiene 8 hexágonos, que es 4 veces la cantidad de hexágonos que hay en la figura E. Pensamos en qué número multiplicado 4 veces es igual a 8 y 4 × 2 = 8. La figura E debería tener 2 hexágonos. Dividimos el número de hexágonos de la figura F entre 4, y 8 ÷ 4 = 2. Muestre la imagen de las figuras E y F.

Figura E

Figura F

Pida a la clase que confirme que hay 2 hexágonos en la figura E.

En esta lección, la clase aprende que el lenguaje de tantas veces una cantidad puede representar la multiplicación o la división, según cuál sea la información desconocida. Es posible que haya estudiantes que quieran representar un problema de total desconocido como

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar las semejanzas y diferencias entre sus estrategias para hallar el número de rectángulos de la figura B y el número de hexágonos de la figura E. Los dos patrones tienen una regla de tantas veces una cantidad, por lo que usamos la multiplicación para pensar en el número de figuras de cada figura geométrica.

5 veces 8 es

Figura E

Figura F

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la multiplicación y la división para resolver problemas y practicaremos el uso del lenguaje de tantas veces una cantidad.

en lugar de

Aunque los dos patrones tienen una regla de tantas veces una cantidad, usamos la multiplicación para el patrón de los rectángulos y la división para el patrón de los hexágonos. Tenemos que pensar en la información que conocemos y en la que desconocemos para determinar si debemos multiplicar o dividir cuando pensamos en el lenguaje de tantas veces una cantidad.

Nota para la enseñanza

es 5 veces 8.

Aunque esto no es incorrecto, el lenguaje de comparación multiplicativa se presenta sistemáticamente en la lección como es

veces

Esta coherencia permite a la clase comprender lo que representa cada número del enunciado. También les ayuda a determinar si deben multiplicar o dividir para hallar el número desconocido.

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Aprender

Diferenciación: Apoyo

Representar problemas de comparación multiplicativa Materiales: E) Notas adhesivas

Es posible que sus estudiantes calculen rápidamente que el número desconocido es 40 y pidan más notas adhesivas para representar el problema. Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes mientras representan el problema:

La clase representa distintas situaciones de comparación multiplicativa con notas adhesivas, diagramas de cinta y ecuaciones. Forme parejas de estudiantes y distribuya las notas adhesivas. Escriba el problema:

es 5 veces 8.

Invite a las parejas de estudiantes a usar las notas adhesivas para representar el problema en sus pizarras blancas. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático: • ¿Qué unidad se multiplica? ¿Por cuánto? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden representar unidades de 8 con las notas adhesivas? • ¿Cuál es el número desconocido? • ¿Cómo pueden mostrar la relación entre 8 y el número desconocido? • ¿Cómo usaron las notas adhesivas para representar el problema? Usamos 1 nota adhesiva para representar 8. Luego, usamos 5 notas adhesivas rotuladas con 8 para mostrar que el número desconocido es 5 veces 8.

DUA: Representación Considere hacer un afiche con los tres enunciados del problema de comparación multiplicativa. Incluya el formato escrito con las ecuaciones correspondientes y agréguelas al afiche mientras la clase comenta el problema.

Invite a las parejas de estudiantes a dibujar un diagrama de cinta y a escribir una ecuación para representar el problema. ¿Cómo muestran en sus diagramas de cinta la unidad que se repite?

8 es la unidad que se repite porque hay 5 unidades de 8.

? ?=5×8

• ¿Cuántas veces se repite? (Pida a la clase que use el lenguaje de tantas veces una cantidad a medida que colocan cada una de las 5 notas adhesivas). • ¿Dónde ven el valor del número desconocido? (Ayude a la clase a ver que 40 es igual a 5 unidades de 8).

8 8

• ¿Cuál es la unidad? (Pida a la clase que represente la unidad de 8 en 1 nota adhesiva).

es 5 veces 8.

18 es 3 veces 28 es

?=5x8 . 18 ÷ 3 = ? 18 = 3 x ?

veces 7. 28 ÷ 7 = ? 28 = ? x 7

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 ¿Cómo muestran en sus diagramas de cinta el número de veces que se repite la unidad?

Nota para la enseñanza

La unidad se repite 5 veces porque hay 5 unidades de 8. ¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Cómo lo saben?

40 porque 40 = 5 × 8. Usen el término veces para describir la relación entre 40 y 8.

40 es 5 veces 8. Pida a la clase que use notas adhesivas, un diagrama de cinta y una ecuación para representar el problema:

18 es 3 veces

¿Cómo muestran sus diagramas de cinta la información que desconocemos? Escribimos un signo de interrogación en cada unidad del diagrama de cinta para mostrar que no sabemos qué unidad se repite.

? ?

¿Cómo muestran sus diagramas de cinta el número de veces que se repite la unidad? La unidad se repite 3 veces porque hay 3 unidades del número desconocido que forman 18.

¿Qué ecuación escribieron para representar el problema? ¿Por qué?

Podríamos usar 18 = 3 × ? para pensar el problema.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, sus estudiantes usan puntos suspensivos en los diagramas de cinta para representar un número de grupos desconocido. Dibujan y rotulan 1 unidad. Luego, dibujan las ramas y escriben n grupos para indicar que el número de grupos es desconocido.

Escribimos 18 ÷ 3 = ? porque nuestro diagrama de cinta muestra que conocemos el total y el número de unidades, pero no sabemos el valor de cada unidad. ¿Cómo pueden usar una ecuación de multiplicación con un factor desconocido para pensar este problema?

En 3.er grado, la clase representa la división como una multiplicación con un factor desconocido. Esta comprensión puede ayudar a sus estudiantes a interpretar los enunciados de comparación multiplicativa como una división. Es posible que sus estudiantes no sepan automáticamente que 18 ÷ 3 = 6. Pensar el problema como 18 = 3 × puede ayudarles a hallar el valor del número desconocido.

n grupos

18 18 ÷ 3 = ? 18 = 3 × ?

. . .

Sin los puntos suspensivos, el número desconocido es una parte desconocida en lugar de un número de grupos desconocido.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 ¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Cómo lo saben?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

El valor es 6 porque 18 = 3 × 6. El valor es 6 porque 18 ÷ 3 = 6. Usen el término veces para describir la relación entre 18 y 6.

18 es 3 veces 6. Escriba el problema:

28 es

veces 7.

Invite a las parejas de estudiantes a usar las notas adhesivas para representar el problema. Reúna a la clase cuando escuche que empiezan a preguntarse cómo usar las notas adhesivas para representar el problema.

Considere rotular una ecuación de división, una ecuación de multiplicación con un factor desconocido y un enunciado de comparación multiplicativa para aclarar el significado de cada número. Señale o rotule el factor desconocido en cada ejemplo.

28 ÷ 7 =

¿Qué observaron cuando intentaron usar las notas adhesivas para representar el problema? La relación de tantas veces una cantidad es la información desconocida. Podemos usar una nota adhesiva rotulada con 7, pero no sabemos cuántas notas adhesivas usar para representar 28. Veamos cómo podemos usar un diagrama de cinta para representar este problema. Dibuje una cinta para mostrar la unidad conocida, 7, y el total conocido, 28. Luego, dibuje 1 unidad de 7 en la cinta que representa 28. Escriba unos puntos suspensivos para indicar que la unidad se repite. Dibuje una llave y escriba ? veces para indicar que el factor desconocido es tantas veces las unidades que equivalen a 28. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus pizarras blancas.

en cada cinta. ¿Cómo muestran en sus diagramas de cinta que no sabemos el número de veces que se repite la unidad? Solo hay 1 unidad de 7 en la cinta que representa 28. El signo de interrogación representa que no sabemos cuántas unidades de 7 hay.

Unidad Veces que se que se repite la repite unidad 28 =

...

? veces 28 ÷ 7 = ?

×7

Unidad que se repite Veces que se repite la unidad

Total

¿Cómo muestran en sus diagramas de cinta la unidad que se repite?

7 es la unidad que se repite porque hay una unidad de 7

Total

28 = ? x 7

28 is

veces 7.

Total Veces que Unidad que se repite se repite la unidad

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 Invite a las parejas de estudiantes a escribir una ecuación y hallar el número desconocido.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Qué ecuación escribieron para representar el problema? ¿Por qué? Escribí 28 ÷ 7 = ? porque el diagrama de cinta muestra que conocemos el total y la unidad que se repite, pero no sabemos cuántas veces se repite la unidad.

Cada estudiante usa las estructuras (MP7) cuando usa diagramas de cinta y escribe ecuaciones para representar situaciones de comparación multiplicativa con un número desconocido en diferentes posiciones y observa semejanzas entre los diagramas de cinta y las ecuaciones.

¿Cómo pueden usar una ecuación de multiplicación con un factor desconocido para pensar este problema?

28 = ? × 7 ¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Cómo lo saben? El valor es 4 porque 28 ÷ 7 = 4. El valor es 4 porque hay 4 sietes en 28.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

El valor es 4 porque 28 = 4 × 7.

• ¿Cómo pueden usar lo que tienen en común el diagrama de cinta y la ecuación como ayuda para hallar el número desconocido en un problema de comparación multiplicativa?

Usen el término veces para describir la relación entre 28 y 7.

28 es 4 veces 7. Muestre los enunciados de comparación multiplicativa. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los tres tipos de problemas de tantas veces una cantidad. Todos son problemas de tantas veces una cantidad, pero el número desconocido es diferente en cada enunciado.

es 5 veces 8.

b. 18 es 3 veces c. 28 es

En el problema (a), el número desconocido es el total. En el problema (b), el número desconocido es la unidad que se repite.

? veces 7.

• ¿Cómo se relacionan los siguientes enunciados de comparación multiplicativa?

18 es 3 veces

28 es

veces 7.

• ¿Cómo pueden usar lo que tienen en común estos enunciados para hallar los números desconocidos?

En el problema (c), el número desconocido es cuántas veces se repite la unidad.

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Hallar una manera La clase decide cómo resolver problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones. Vamos a completar una actividad llamada Multiplicar o dividir. Muestre el problema:

35 es 5 veces

Pida a la clase que decida si usarán la multiplicación o la división para hallar el número desconocido. Pida a sus estudiantes que escriban un signo de multiplicación o de división en sus pizarras blancas y que las coloquen bocabajo. Use una señal para indicar cuándo deben dar vuelta las pizarras blancas para mostrar sus elecciones. Invite a alguien que haya elegido la división y a otra persona que haya elegido la multiplicación a compartir sus razonamientos. Elegí la división porque sé que el total es 35, que es 5 veces el número desconocido. 35 ÷ 5 = ? es una manera de pensar el problema. Elegí la multiplicación porque sé que el total es 35, que es 5 veces el número desconocido. Puedo pensar el problema como 35 = 5 × ?. Invite a sus estudiantes a hallar el valor del número desconocido y a comparar las respuestas en parejas.

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Nota para la enseñanza Ya sea interpretando los enunciados como una multiplicación o una división, sus estudiantes pueden usar diversas estrategias para hallar el valor del número desconocido. Las estrategias son las siguientes: • Usar la suma repetida • Contar salteado • Pensar en el enunciado de comparación multiplicativa: ¿Cuántos/as hay en ? • Usar una operación conocida que les ayude con una operación desconocida: hallar el producto de 6 y 7, por ejemplo, partiendo de que 5 sietes es igual a 35 y sumando 1 siete más para formar 42.

Repita el proceso con los siguientes problemas:

? 36 es

es 6 veces 7.

veces 4.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo deciden cuándo usar la multiplicación o la división para resolver problemas de tantas veces una cantidad.

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La comparación multiplicativa en contexto La clase representa y resuelve un problema verbal de comparación multiplicativa con un número desconocido más pequeño. Muestre el problema: Jayla lee 4 veces la cantidad de libros que lee Ray. Jayla lee 24 libros. ¿Cuántos libros lee Ray? Lea el problema a coro con la clase. Usemos el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. ¿Cuál es la información que conocemos? El número de libros que lee Jayla La relación entre el número de libros que lee Jayla y el número de libros que lee Ray es de 4 veces la cantidad. ¿Cuál es el número desconocido? El número de libros que lee Ray

¿Quién lee más libros? ¿Cómo lo saben? Jayla lee más porque lee 4 veces la cantidad de libros que lee Ray. Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente el problema. Pida a sus estudiantes que usen una letra para representar el número desconocido.

Puedo ver que el número total de libros que lee Jayla es 24 y hay 4 partes iguales, así que puedo pensar qué número multiplicado 4 veces es igual a 24.

Lean el problema completo. Luego, vuelvan a leer una parte a la vez. A medida que leen, pregúntense: “¿Puedo dibujar algo?”. Luego, pregúntense: “¿Qué puedo dibujar?”. Dibujen para representar el problema mientras lo leen por segunda vez. Agreguen detalles a sus dibujos o corríjanlos a medida que van descubriendo información nueva o hallan la información desconocida. Rotulen lo que conocen y lo que no conocen mientras dibujan. Cuando terminen de releer y dibujar, pregúntense: “¿Qué me muestra mi dibujo?”. El dibujo les puede servir como ayuda para hallar una manera de resolver. Escriban oraciones numéricas o ecuaciones para representar el razonamiento. Resuelvan.

Ray

Luego, usen su solución para escribir un enunciado que responda la pregunta original.

Jayla

¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta a pensar en cómo podrían resolver el problema? El diagrama de cinta muestra que el número total de libros que lee Jayla es 24 y que hay 4 partes iguales. Puedo dividir 24 entre 4 para saber cuántos libros lee Ray.

Lee-Dibuja-Escribe (LDE)

24 24 ÷ 4 = l

24 = 4 × l

l=6 Ray lee 6 libros.

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Invite a la clase a trabajar en parejas para • escribir una ecuación con una letra que represente el número desconocido; • hallar el número desconocido y • escribir un enunciado con la solución. ¿Cuántos libros lee Ray? Ray lee 6 libros. Dijimos que Jayla lee más libros. ¿Tiene sentido su respuesta acerca de cuántos libros lee Ray? ¿Cómo lo saben? Sí, tiene sentido. Ray lee 6 libros, y 4 veces esa cantidad es 24, así que Jayla lee 24 libros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el uso de diagramas de cinta para representar problemas de tantas veces una cantidad puede ayudarles a elegir una estrategia para determinar el número desconocido.

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Concluir

Reflexión final 5 min

DUA: Acción y expresión

Objetivo: Resolver problemas de comparación multiplicativa con valores desconocidos en distintas posiciones Muestre los enunciados de comparación multiplicativa.

a. 35 es 5 veces

Guíe una conversación acerca de cuándo usar la multiplicación o la división para resolver problemas de comparación multiplicativa.

c. 36 es

es 6 veces 7.

veces 4.

Cuando completamos Multiplicar o dividir, la actividad con problemas de tantas veces una cantidad, ¿cómo decidieron cuándo multiplicar y cuándo dividir? Pensé en la información desconocida. Cuando no sé el total, multiplico. Cuando no sé la unidad que se repite o cuántas veces se repite, divido. ¿Pueden usar la multiplicación para resolver todos los problemas de tantas veces una cantidad de Multiplicar o dividir? ¿Por qué?

Considere reservar tiempo para que cada estudiante evalúe su propio aprendizaje. Haga preguntas para animar a la clase a reflexionar acerca de las estrategias que usan para resolver problemas de comparación multiplicativa. • Cuando resuelven problemas de tantas veces una cantidad, ¿qué estrategias usan para hallar el número desconocido? • ¿Hay alguna estrategia diferente que les gustaría probar y que creen que funcionaría? ¿Por qué?

Sí, se puede usar la multiplicación con un factor desconocido para pensar los problemas (a) y (c) en lugar de usar la división. ¿Pueden usar la división para resolver todos los problemas de tantas veces una cantidad de Multiplicar o dividir? ¿Por qué? Se puede usar la división para resolver los problemas (a) y (c), pero para resolver el problema (b) con la división, habría que pensar qué número dividido entre 6 es igual a 7. Usaría la división para resolver los problemas (a) y (c), pero no el problema (b). Simplemente multiplicaría 6 por 7.

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Nombre

Fecha

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Dibuja un diagrama de cinta para representar cada enunciado. Luego, escribe una ecuación para hallar el número desconocido y completa el enunciado.

Usa los diagramas de cinta para completar el enunciado y las ecuaciones. 1.

es 3 veces 6.

=3×6

es 2 veces 8.

20 es 4 veces 20 ÷ 4 =

16 = 2 × 8

5. 27 es 3 veces

27 ÷ 3 = 9

5 20 = 4 ×

6. 35 es

veces 7.

35 3.

72 es 72 ÷ 9 = 72

...

veces 9.

... ? veces

72 =

35 ÷ 7 = 5

×9

? veces © Great Minds PBC

GRUPO DE PROBLEMAS

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Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

7. Iván dibuja un diagrama de cinta para representar un enunciado con un número desconocido.

8. Mía anota 3 veces la cantidad de puntos que anota Shen durante un partido de basquetbol. Mía anota 21 puntos. ¿Cuántos puntos anota Shen?

21 ÷ 3 = 7 Shen anota 7 puntos.

48 a. Encierra en un círculo el enunciado que representa el diagrama de cinta de Iván.

48 es ?

veces 8.

es 6 veces 8.

48 es 6 veces

b. Explica por qué el diagrama de cinta de Iván representa el enunciado que encerraste en un círculo en la parte (a).

9. Adam recoge 9 manzanas. Su mamá recoge 54 manzanas. Adam dice: “Mi mamá recogió 7 veces la cantidad de manzanas que recogí yo”. ¿Estás de acuerdo con Adam? ¿Por qué? No, no estoy de acuerdo con Adam. 7 veces 9 es 63. La mamá de Adam no recogió 63 manzanas.

48 es el producto. Hay 6 unidades o 6 veces un número para llegar al producto, 48.

c. Escribe una ecuación para representar el diagrama de cinta de Iván.

48 ÷ 6 = 8

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 3

Describir las relaciones entre medidas usando la comparación multiplicativa

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. El perro de Casey es 3 veces tan pesado como la perra de Luke. La perra de Luke pesa 8 kilogramos. ¿Cuánto pesa el perro de Casey?

4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. (NY-4.OA.1)

3 × 8 kg = 24 kg 24

Pregunta clave

Criterios de logro académico

El perro de Casey pesa

La clase usa una variedad de contextos de medición conocidos para determinar la relación multiplicativa entre dos medidas. Describen la comparación multiplicativa entre las medidas usando un lenguaje adecuado para el contexto.

• ¿Cómo pueden describir la relación entre distintas medidas usando la multiplicación?

Perra de Luke Perro de Casey

Vistazo a la lección

kilogramos.

4.Mód1.CLA2 Escriben enunciados de comparación multiplicativa como ecuaciones de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA3 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación o la división hasta el 100. (NY-4.OA.2) 4.Mód1.CLA13 Representan un problema verbal que incluye una comparación multiplicativa usando dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido. (NY-4.OA.2)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Veces tan pesado y tantas veces una cantidad

• ninguno

• Veces tan alto, veces tan largo, veces tan ancho • La medición multiplicativa en contexto • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

Contar de unidad en unidad y de decena en decena con el método matemático La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta y representan composiciones como preparación para los conceptos de valor posicional que comienzan en la lección 5. Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta. Vamos a contar con el método matemático. Cada dedo representa 1. Pida a la clase que cuente de unidad en unidad desde el 0 hasta el 10 con el método matemático. Podemos agrupar 10 unidades para formar 1 decena. (Una las manos). Pida a la clase que represente la agrupación de 10 unidades para formar 1 decena uniendo las manos. Ahora, contemos de decena en decena con el método matemático. Cada dedo representa 10. Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase

Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva

Pida a la clase que cuente de decena en decena desde el 0 hasta el 100 con el método matemático. Podemos agrupar 10 decenas para formar 1 centena. (Una las manos). Pida a la clase que represente la agrupación de 10 decenas para formar 1 centena uniendo las manos.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Respuesta a coro: Leer las escalas de medición La clase lee una escala de medición para determinar el peso o el volumen líquido como preparación para relacionar las comparaciones multiplicativas y las unidades de medida. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre la imagen de la rana sobre una balanza de plato. Lean la balanza. ¿Cuál es el peso de la rana en gramos?

18 gramos Muestre la respuesta.

30 g

18 g

¿Cuál es el peso de la oruga en gramos?

3 gramos Muestre la respuesta.

Nota para la enseñanza Durante la secuencia en la que cambia la herramienta de medición, ajuste las preguntas para que se adapten al contexto. Por ejemplo, haga las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es el volumen líquido del recipiente A en mililitros?

Repita el proceso con la siguiente secuencia: 14 13 12 11

12 11

10 8

10 9

40 mL

7 5 4 2 0 CM 1

2 0 CM 1

3 cm

9 mL

45 mL

0 mL

10 mL

50 mL

Recipiente B 50 mL

Recipiente A

• ¿Cuál es la altura del borrador en centímetros?

12 cm 61

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Respuesta a coro: Multiplicar por múltiplos de 10 La clase multiplica un número de un dígito por un múltiplo de 10 en forma unitaria y estándar para conservar la fluidez con la destreza de 3.er grado. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 2 × 2 decenas =

decenas.

¿2 veces 2 decenas es igual a cuántas decenas? 4 decenas Muestre el producto: 4 decenas. Muestre la ecuación: 2 × 20 =

2 × 2 decenas = 4 decenas

2 × 20 = 40

Digan el producto. Muestre el producto: 40. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 × 4 decenas = 8 decenas

3 × 4 decenas = 12 decenas

3 × 6 decenas = 18 decenas

6 decenas × 4 = 24 decenas

2 decenas × 5 = 10 decenas

7 decenas × 5 = 35 decenas

2 × 40 = 80

60 × 4 = 240

3 × 40 = 120

20 × 5 = 100

3 × 60 = 180

4 decenas × 4 = 16 decenas 40 × 4 = 160

70 × 5 = 350

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Presentar

La clase usa la multiplicación para comparar el peso de dos objetos y el volumen líquido de dos recipientes. Muestre la imagen de las tijeras y el lápiz sobre la balanza. Invite a la clase a trabajar en parejas para leer y registrar el peso de cada objeto. ¿Cuánto pesan las tijeras? ¿Y el lápiz?

42 gramos 7 gramos

50 g

DUA: Representación Considere usar elementos reales a lo largo de la lección en lugar de las imágenes proporcionadas. Por ejemplo, use balanzas y objetos del salón de clases para demostrar la relación multiplicativa entre el peso de dos objetos. Asegúrese de pesar los objetos con anticipación para garantizar que los pesos tengan una relación multiplicativa.

Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente la relación entre el peso de las tijeras y el del lápiz. ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el peso de las tijeras y el peso del lápiz?

42 = 6 × 7 Muestre la imagen de los recipientes A y B. Invite a la clase a trabajar en parejas para leer y registrar el volumen líquido del agua de cada recipiente. ¿Cuál es el volumen líquido del agua del recipiente A? ¿Y del recipiente B?

42 mililitros 7 mililitros

Recipiente A 50 mL 40

Recipiente B 50 mL

40 mL

50 mL 40

10 mL

0 mL

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3 Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente la relación entre el volumen líquido del agua de los recipientes A y B. ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el volumen líquido del agua de los recipientes A y B?

42 = 6 × 7

42 es 6 veces 7.

Muestre el enunciado de comparación multiplicativa junto con las balanzas, los recipientes y las ecuaciones de multiplicación. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué contexto de medición se representa con el enunciado 42 es 6 veces 7. Podría ser tanto el peso como el volumen líquido porque las ecuaciones de multiplicación son iguales.

50 g 10 40 30

50 g 10 40

Recipiente A 50 mL 40

42 = 6 × 7

Recipiente B 50 mL

40 mL

50 mL 40

No sabemos cuál 10 representa el enunciado porque no hay unidades de medida ni ninguna otra forma de saber si se habla del peso o del volumen líquido.

42 = 6 × 7 10 mL

10 0 mL

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos a describir medidas que se relacionan mediante la multiplicación.

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Aprender

Veces tan pesado y tantas veces una cantidad La clase determina y describe relaciones multiplicativas de peso, volumen líquido y capacidad. Muestre la imagen de las balanzas con la ecuación de multiplicación. Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir otra ecuación de multiplicación que represente la relación entre el peso de las tijeras y el peso del lápiz. Pida a sus estudiantes que incluyan los gramos en las ecuaciones.

50 g 10 40 30

50 g

42 = 6 × 7

¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el peso de las tijeras y el peso del lápiz?

42 g = 6 × 7 g Muestre la ecuación 42 = 6 × 7, el enunciado de comparación multiplicativa y la ecuación de multiplicación con los gramos.

42 = 6 × 7 42 g = 6 × 7 g 42 es 6 veces 7.

¿En qué se parecen las ecuaciones? ¿En qué se diferencian? Las dos tienen los mismos números. Las dos muestran cómo 42 está relacionado con 7. Una tiene la unidad de gramos y la otra solo tiene números.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3 Para representar la relación entre el peso de las tijeras y el peso del lápiz, decimos que las tijeras son 6 veces tan pesadas como el lápiz. Muestre el enunciado de comparación multiplicativa. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los dos enunciados.

42 = 6 × 7

42 g = 6 × 7 g

42 es 6 veces 7.

Las tijeras son 6 veces tan pesadas como el lápiz.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Ambos dicen 6 veces. Uno usa solo números y el otro usa un número y los nombres de los objetos. Uno dice cuántas veces y el otro dice cuántas veces tan pesadas. El que dice cuántas veces tan pesadas nos ayuda a saber que se mide el peso. Cree un afiche de referencia que tenga el contexto de medición en una columna y el lenguaje de comparación multiplicativa en otra columna. Agregue al afiche peso y veces tan pesado o pesada. Siga agregando información al afiche a medida que la clase trabaja con distintos contextos de medición.

Medida

Comparación

peso volumen líquido capacidad altura longitud ancho distancia

veces tan pesado o pesada veces la cantidad veces la cantidad veces tan alto o alta veces tan largo o larga veces tan ancho o ancha veces la cantidad

Muestre la imagen de los recipientes A y B.

Recipiente A

42 mL = 6 × 7 mL

Medida

Comparación

Peso

veces tan pesado o pesada

50 g 10 30

Volumen líquido

Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir otra ecuación de multiplicación que represente la relación entre el volumen líquido del agua de los recipientes A y B. Pida a sus estudiantes que incluyan los mililitros en las ecuaciones. ¿Qué ecuación de multiplicación representa la relación entre el volumen líquido del agua de los recipientes A y B?

Para ayudar a sus estudiantes con los distintos contextos de medición, considere incluir una imagen de cada contexto en el afiche de referencia.

50 mL 40

Recipiente B

50 mL

40 mL

veces la cantidad

50 mL 40 30 20

50 mL

42 = 6 × 7 10 mL

0 mL

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3 Escriba el esquema de oración de la comparación multiplicativa: El recipiente A tiene

veces

de agua que el recipiente B.

Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el esquema de oración. Dé tiempo para que sus estudiantes intenten averiguar qué palabras completan el segundo espacio.

Nota para la enseñanza

Reúna de nuevo a la clase y complete el esquema de oración con 6 y la cantidad. ¿Por qué creen que decimos veces la cantidad en lugar de decir solamente veces, como en 42 es 6 veces 7? No diríamos que el recipiente A es 6 veces el recipiente B. Eso no nos dice qué estamos midiendo. Cuando decimos que el recipiente A tiene 6 veces la cantidad de agua que el recipiente B, sabemos que estamos midiendo el volumen líquido. Agregue volumen líquido y veces la cantidad al afiche de referencia. Use un proceso similar para comparar las capacidades de los recipientes Y y Z.

100 mL = 2 × 50 mL El recipiente Y puede contener del recipiente Z.

veces la cantidad

Agregue capacidad y veces la cantidad al afiche de referencia. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo usarían veces tan pesado y cuándo usarían tantas veces una cantidad para describir la relación entre medidas.

En 3.er grado, la clase formaliza su comprensión del volumen líquido y la capacidad. Aprenden que el volumen líquido es la cantidad de espacio que ocupa un líquido y que la capacidad es la cantidad de líquido que puede contener un recipiente. Considere usar las imágenes de los recipientes A, B, Y y Z para repasar la diferencia entre volumen líquido y capacidad.

Recipiente Y 100 mL 90 80

Nota para la enseñanza

Recipiente Z

60 50 30 20 10

50 mL 30 20

Otra opción igualmente válida para las comparaciones multiplicativas con medidas de capacidad es usar la frase la capacidad de: El recipiente A tiene 6 veces la capacidad de agua que el recipiente B. En el ejercicio se ha preferido el uso de la cantidad de debido a que es una fórmula que se puede aplicar con distintas medidas.

Nota para la enseñanza Recuerde a sus estudiantes que, cuando los dos números de la comparación están presentes, no es necesario usar la cantidad de, dado que esa cantidad ya está representada por uno de los números. Señale que en esos casos se usa solo el término veces.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Veces tan alto, veces tan largo, veces tan ancho La clase determina y describe relaciones multiplicativas de altura, longitud y ancho.

1 15 14 13 12 11 9 8

15 14 13 12 11

10 9 8

• ¿Qué les indica la relación entre distintas medidas acerca de la ecuación de multiplicación?

7 6 3

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

10 11

Torre de Amy cm = La torre de Amy es torre de Gabe.

0 CM 1

• ¿Qué les indica el primer factor de la ecuación 15 cm = 3 × 5 cm acerca de la relación entre las medidas?

0 CM 1

No diríamos: “La torre de Amy es 3 veces la torre de Gabe”. Eso no nos dice qué estamos midiendo. Cuando decimos veces tan alta, sabemos que medimos la altura.

¿Por qué creen que decimos veces tan alta en lugar de decir solamente veces?

La torre de Amy es 3 veces tan alta como la torre de Gabe.

15 cm = 3 × 5 cm

Diga un número, del 1 al 3. Pida a quien se le haya asignado ese número que comparta las conclusiones de su grupo.

• ¿Cómo representa un diagrama de cinta la relación entre distintas medidas?

Torre de Gabe ×

cm veces tan

Agregue altura y veces tan alto o alta al afiche de referencia. Repita la rutina Cabezas numeradas para los ejemplos de longitud y ancho.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de manera abstracta y cuantitativa (MP2) cuando conversa con sus compañeros y compañeras sobre el esquema de oración y la ecuación de multiplicación, y establece relaciones con aquello que mide. Hacen lo mismo cuando usan un diagrama de cinta para representar una relación entre medidas.

Dé a la clase 1 minuto para completar la ecuación de multiplicación y el esquema de oración. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.

Muestre la imagen de las torres, las reglas, la ecuación de multiplicación y el esquema de oración.

Use la rutina Cabezas numeradas. Pida a la clase que forme grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.

como la

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a la clase que use la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación mientras se preparan para compartir las conclusiones de los grupos con la clase.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3 Diga un número, del 1 al 3. Pida a quien se le haya asignado ese número que comparta las conclusiones de su grupo.

28 cm = 4 × 7 cm

28 cm

7 cm Rectángulo L

cm = Rectángulo K

El rectángulo K es

cm veces tan

como el rectángulo L.

El rectángulo K es 4 veces tan largo como el rectángulo L. ¿Por qué creen que decimos veces tan largo en lugar de decir solamente veces? “El rectángulo K es 4 veces el rectángulo L” no nos dice qué estamos midiendo. Cuando decimos veces tan largo, sabemos que medimos la longitud. Diga un número, del 1 al 3. Pida a quien se le haya asignado ese número que comparta las conclusiones de su grupo.

3 cm Rectángulo L 21 cm cm = Rectángulo K

El rectángulo K es

cm veces tan

como el rectángulo L.

21 cm = 7 × 3 cm El rectángulo K es 7 veces tan ancho como el rectángulo L. ¿Por qué creen que decimos veces tan ancho en lugar de decir solamente veces? “El rectángulo K es 7 veces el rectángulo L” no nos dice qué estamos midiendo. Cuando decimos veces tan ancho, sabemos que medimos el ancho. Agregue longitud y veces tan largo o larga, y ancho y veces tan ancho o ancha al afiche de referencia. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo usarían veces tan alto, largo o ancho para describir la relación entre medidas.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

La medición multiplicativa en contexto La clase resuelve un problema verbal de comparación multiplicativa con una relación multiplicativa desconocida. Muestre el problema: Esta semana, Casey corre 8 kilómetros y Robin corre 40 kilómetros. ¿Cuántas veces corre Robin la cantidad de kilómetros que corre Casey? ¿Cuál es la información que conocemos? Cuánto corre Casey. Cuánto corre Robin. ¿Cuál es la información que desconocemos? La relación entre las distancias que corren Robin y Casey Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta y escribir una ecuación para representar el problema. Pida a sus estudiantes que usen una letra para representar el número desconocido. Escoja estudiantes para que compartan su trabajo. ¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta a pensar en cómo podrían resolver el problema?

8 Casey 40 Robin

...

Diferenciación: Desafío

Nos dice la relación entre las distancias que corren Robin y Casey.

Desafíe a sus estudiantes a pensar en otros contextos de comparación multiplicativa que se describan mejor con un enunciado que haga referencia a la medida. Anime a sus estudiantes a pensar en cómo el contexto ayuda a definir el lenguaje de comparación multiplicativa. Considere agregar estos contextos al afiche de referencia. Algunos ejemplos de contextos de medición y comparación que pueden proponer sus estudiantes son:

Indica que Robin corre 5 veces la cantidad de kilómetros que corre Casey.

• tiempo: veces la cantidad

El diagrama de cinta muestra que Robin corre 40 kilómetros y Casey corre 8 kilómetros. Debo calcular cuántos ochos hay en 40. Puedo dividir 40 entre 8. ¿Cuánto es 40 ÷ 8?

5 ¿Qué representa el 5 en este problema?

c veces la cantidad c = 40 ÷ 8 c=5

• área: veces tan grande como • dinero: veces la cantidad

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3 Escriba el enunciado con la solución e invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación con unidades que represente el enunciado. ¿Qué ecuación de multiplicación representa el enunciado veces la cantidad?

Robin corre 5 veces la cantidad de kilómetros que corre Casey. 40 km = 5 x 8 km

40 km = 5 × 8 km Agregue distancia y veces la cantidad al afiche de referencia. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo usarían veces la cantidad de para describir la relación entre medidas.

Concluir

DUA: Acción y expresión Considere mostrar el afiche de referencia para que sus estudiantes lo consulten mientras trabajan en el Grupo de problemas. Invite a la clase a usar el afiche de referencia como un banco de palabras para completar los enunciados de comparación multiplicativa en el Grupo de problemas.

Reflexión final 5 min Objetivo: Describir las relaciones entre medidas usando la comparación multiplicativa Muestre los enunciados de comparación multiplicativa de las dos lecciones anteriores y de la lección de hoy.

12 es 3 veces 4. La torre de Amy es 3 veces tan alta como la torre de Gabe. 40 es 5 veces 8. Las tijeras son 6 veces tan pesadas como el lápiz. 18 es 3 veces 6. El rectángulo K es 4 veces tan largo como el rectángulo L.

4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

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Guíe una conversación de la clase acerca del uso del contexto para determinar cómo describir la comparación multiplicativa. ¿En qué se parecen estos enunciados? ¿En qué se diferencian? En todos los enunciados se muestra que los números o las medidas se relacionan por medio de la multiplicación. Los enunciados con números nos dan más información porque podemos ver los tres números de la multiplicación. Los enunciados veces tan alto, tan pesado y tan largo solo nos indican cómo se relacionan las medidas por medio de la multiplicación. No sabemos la altura, el peso o la longitud de los objetos. ¿Es útil usar solo la palabra veces para describir medidas que se relacionan mediante la multiplicación? Expliquen sus respuestas. Nos muestra cómo se relacionan los números por medio de la multiplicación, pero no sabemos qué era lo que se medía. No, no es útil usar solo la palabra veces porque no nos da información sobre las medidas. No podemos saber qué era lo que se medía. ¿Cómo pueden determinar la forma de describir las medidas que se relacionan por medio de la multiplicación? Hay que pensar en lo que se está midiendo y en lo que tiene sentido para esa medición. Pienso en las medidas y veces (espacio) . Pienso qué palabra se relacionaría con las medidas.

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Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

20 21

Inch

20 21

Inch

centímetros

gramos

0 CM 1

Inch

0 50 g

0 CM 1

Registra las medidas. Luego, completa el enunciado y la ecuación.

Fecha

Nombre

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Inch

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centímetros

La pintura es 5 veces tan pesada como el marcador.

g=5×

La oruga es 3 veces tan

cm =

larga

GRUPO DE PROBLEMAS

como la hormiga.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

Recipiente A

50 mL

40 mL

30 mL

20 mL

10 mL

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Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Recipiente B

50 mL

4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 3

5. Carla y Luke dibujan rectángulos. El rectángulo de Luke mide 3 centímetros de ancho. El rectángulo de Carla es 4 veces tan ancho como el rectángulo de Luke. ¿Cuál es el ancho del rectángulo de Carla?

30 mL

4 × 3 = 12 El rectángulo de Carla mide 12 centímetros de ancho.

20 mL

10 mL 0 mL

mililitros

El recipiente B tiene

mL =

veces

mililitros

la cantidad

6. La pecera A tiene 6 veces la cantidad de agua que tiene la pecera B. Hay 42 litros de agua en la pecera A. ¿Cuántos litros de agua hay en la pecera B?

de agua que el recipiente A.

42 ÷ 6 = 7 Hay 7 litros de agua en la pecera B.

4. El diagrama de cinta representa la altura de la biblioteca y de la escuela.

5m Biblioteca

15 m Escuela

7. Eva pesa su perro y su gata. Su perro pesa 32 kilogramos y su gata pesa 4 kilogramos. ¿Cuántas veces tan pesado como la gata es el perro?

...

32 ÷ 4 = 8

? veces tan alta

El perro de Eva es 8 veces tan pesado como su gata.

¿Cuántas veces es la escuela tan alta como la biblioteca? Completa la ecuación y el enunciado de comparación.

15 ÷ 5 =

La escuela es

veces

tan alta

como la biblioteca.

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 4

Representar la composición de unidades de dinero más grandes usando la comparación multiplicativa

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

Jayla y la maestra Díaz dibujan en tablas para mostrar la relación entre los valores de un dime y un penny. Usa las tablas como ayuda para responder las partes (a) y (b). La tabla de Jayla Dólares

Dimes

Pennies

10¢ 10 ¢

Vistazo a la lección La clase agrupa monedas para formar unidades de dinero más grandes usando una tabla similar a la tabla de valor posicional. Representan la composición de unidades de dinero más grandes con enunciados de comparación multiplicativa y ecuaciones de multiplicación. Dibujan diagramas de cinta para representar problemas verbales de comparación multiplicativa.

La tabla de la maestra Díaz Dólares

Dimes

Preguntas clave

Pennies

• ¿En qué se parece componer unidades de dinero a componer unidades de valor posicional? • ¿Cómo podemos usar la multiplicación para describir la relación entre las diferentes unidades de dinero?

a. ¿En qué se parecen las tablas?

Criterios de logro académico

Las dos muestran que 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny. b. ¿En qué se diferencian las tablas?

4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. (NY-4.OA.1)

La tabla de Jayla muestra las monedas. La tabla de la maestra Díaz usa puntos y multiplicaciones para representar la relación entre los valores de las monedas.

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Componer nuevas unidades

• ninguno

• Representar nuevas unidades con un diagrama de cinta • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

Fluidez

Contar de unidad en unidad, de decena en decena y de centena en centena con el método matemático La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta y representan composiciones como preparación para los conceptos de valor posicional. Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta. Vamos a contar con el método matemático. Cada dedo representa 1. Vista de sus manos desde la perspectiva de la clase

Vista de las manos de cada estudiante desde su propia perspectiva

Pida a la clase que cuente de unidad en unidad desde el 0 hasta el 10 con el método matemático. ¿Qué unidad más grande podemos formar con estas 10 unidades?

1 decena Podemos agrupar 10 unidades para formar 1 decena. (Una las manos). Pida a la clase que represente la agrupación de 10 unidades uniendo las manos. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Contar de decena en decena desde el 0 hasta el 100 con el método matemático, agrupando 10 decenas para formar 1 centena.

Contar de centena en centena desde el 0 hasta el 1,000 con el método matemático, agrupando 10 centenas para formar 1 millar.

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Respuesta a coro: Leer las escalas de medición La clase lee una escala de medición para determinar el peso o el volumen líquido y completa un enunciado multiplicativo para desarrollar la comprensión de las comparaciones multiplicativas y las unidades de medida. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el silbato y el foco en las balanzas de plato. Lean la balanza. ¿Cuál es el peso del silbato en gramos?

10 gramos

50 g

10 g El foco es

50 g

30 g veces tan pesado como el silbato.

Muestre la respuesta. ¿Cuál es el peso del foco en gramos?

30 gramos

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Muestre la respuesta y, luego, el esquema de oración. ¿Cómo completarían el enunciado para representar la relación entre los pesos del silbato y del foco? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. Cuando dé la señal, completen el enunciado mientras lo leen en voz alta. El foco es 3 veces tan pesado como el silbato. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

80 mL

10 mL

El recipiente A tiene

veces la cantidad de mililitros de agua que el recipiente B.

0 CM 1

7 cm

0 CM 1

100 mL

100 mL 90

Recipiente B

Recipiente A

14 cm

El marcador es

2 veces tan largo como el protector labial.

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Respuesta a coro: Multiplicar por múltiplos de 10 La clase multiplica un número de un dígito por un múltiplo de 10 para conservar la fluidez con la destreza de 3.er grado. Muestre 2 × 30 =

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

2 × 30 =

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Muestre el producto: 60. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 × 30 = 90

4 × 50 = 200

5 × 50 = 250

120 = 60 × 2

150 = 50 × 3

320 = 80 × 4

300 = 60 × 5

70 × 2 = 140

210 = 3 × 70

80 × 2 = 160

270 = 3 × 90

90 × 5 = 450

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

Presentar

La clase ve la relación entre las unidades de valor posicional y los valores de los pennies, los dimes y los dólares. Muestre la imagen del conjunto mezclado de dólares, dimes y pennies. Amy saca todo el dinero de su alcancía. ¿Qué observan? El dinero está todo mezclado. Tiene dólares, dimes y pennies. ¿Qué se preguntan? Me pregunto cuántos dólares, dimes y pennies tiene. Me pregunto cuánto dinero tiene en total. Amy usa una tabla para organizar su dinero. Muestre la imagen de la tabla de dólares, dimes y pennies.

Dólares

Dimes

Pennies

100¢

10¢

1¢

Dólares

Dimes

Pennies

¿Cuál es el valor de cada penny? ¿Y de cada dime? ¿Y de cada dólar en centavos?

1 centavo 10 centavos 100 centavos Muestre la imagen de la tabla con el valor sobre cada encabezado. Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar cuánto dinero tiene Amy. Pida a sus estudiantes que registren la cantidad total en centavos. En centavos, ¿cuánto dinero tiene Amy?

386 centavos

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con la tabla de Amy. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre la tabla de Amy y la tabla de valor posicional.

100¢

10¢

1¢

Dólares

Dimes

Pennies

Las situaciones relacionadas con el dinero se usan a lo largo de la lección, junto con el término de vocabulario valor. Considere crear un afiche que muestre una imagen de un penny, un dime y un billete de un dólar junto con sus nombres y valores.

Ambas muestran grupos de 5. La tabla de Amy muestra las imágenes del dinero, pero la tabla de valor posicional muestra puntos. Muestran cantidades similares. Las unidades tienen un valor de 1 y los pennies tienen un valor de 1¢. Las decenas tienen un valor de 10 y los dimes tienen un valor de 10¢. Las centenas tienen un valor de 100 y los dólares tienen un valor de 100¢. Las unidades son diferentes.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Centenas

Decenas

Unidades

Ambas muestran 386, pero la tabla de Amy muestra 386 centavos. ¿Cuándo pueden componer, o formar, una unidad más grande en la tabla de valor posicional?

Imagen

Nombre

penny dime

dólar

Valor

1 centavo 1¢ 10 centavos 10¢ 100 centavos 100¢ 1 dólar $1

Cuando hay 10 unidades, puedes formar 1 decena. Cuando hay 10 decenas, puedes formar 1 centena. Cuando tienes 10 de una unidad más pequeña, puedes formar 1 de la siguiente unidad más grande. En la tabla de valor posicional, una unidad más grande se compone cuando se agrupan 10 de una unidad para formar 1 de la siguiente unidad. Invite a sus estudiantes a que se reúnan y conversen en parejas acerca de si creen que las nuevas unidades están compuestas de la misma manera en la tabla de Amy. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, compondremos unidades de dinero más grandes y usaremos la multiplicación para mostrar cómo se relacionan las unidades.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

Aprender

Componer nuevas unidades La clase usa la comparación multiplicativa para representar la relación entre unidades de dinero.

Diferenciación: Apoyo

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase.

Si sus estudiantes necesitan ayuda para relacionar el valor de 10 pennies y el valor de 1 dime, pídales que rotulen las imágenes de los pennies con su valor.

1. Agrupa los pennies para mostrar cómo componer una unidad más grande.

Dólares

Dimes

Pennies

Dólares

Dimes

1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢ 1¢

10¢

¿Cuántos pennies ven en la tabla?

Pennies

DUA: Acción y expresión

10 ¿Cuál es el valor de 10 pennies?

10 centavos ¿Podemos agrupar los pennies para componer una unidad más grande? ¿Cómo lo saben? Sí. Sé que podemos agrupar 10 pennies para formar 1 dime porque sé que el valor de 10 pennies es el mismo que el valor de 1 dime.

Considere proporcionar pennies, dimes y billetes de dólar reales para ayudar a la clase a la hora de componer para formar unidades más grandes. Sus estudiantes pueden intercambiar físicamente 10 pennies por 1 dime y 10 dimes por 1 dólar.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Encierre en un círculo los 10 pennies, dibuje una flecha hacia la columna de los dimes y dibuje un dime en la columna de los dimes. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.

Dólares

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo componer 10 pennies para formar 1 dime es similar a componer 10 unidades para formar 1 decena.

Dimes

Pennies

Usemos la multiplicación para mostrar la relación entre los valores de 1 penny y 1 dime. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase.

Nota para la enseñanza Al dibujar dimes y billetes de 1 dólar en la tabla, sus estudiantes incluyen el número y la unidad. Para representar un dime, escriben 10¢ y para representar un billete de 1 dólar, escriben $1. Si registraron el número sin la unidad, podría cambiar el valor total de la representación, especialmente con los dimes. Por ejemplo, si sus estudiantes escriben 10 en la columna de los dimes sin el símbolo del centavo, podría interpretarse como 10 dimes.

2. Completa la tabla para mostrar cómo usar la multiplicación para componer una unidad más grande.

DUA: Representación

Dólares

Dimes

Pennies

Completa el enunciado y las ecuaciones de multiplicación para mostrar cómo compusiste una unidad más grande.

1 dime vale 1 dime = 10¢ =

10 10

veces la cantidad que vale 1 penny.

× 1 penny

En 3.er grado, se usa × 10 con una flecha en la tabla de valor posicional para representar la multiplicación por múltiplos de 10. En esta lección, se usa una notación similar para representar la multiplicación por 10. Las indicaciones explícitas ayudan a la clase a centrarse en la información importante, que es la relación entre las unidades.

Decenas

Unidades

× 1¢

¿En qué se diferencia la tabla del problema 2 de la tabla del problema 1?

× 10

Solo muestra 1 penny. Hay un punto en lugar de la imagen de un penny. Hay una flecha con un signo de multiplicación y un espacio en blanco encima.

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 La tabla del problema 2 muestra que podemos usar la multiplicación para componer una unidad más grande. ¿Por cuánto podemos multiplicar el valor de 1 penny para que sea igual al valor de 1 dime? Podemos multiplicar por 10 porque 10 pennies tienen el mismo valor que 1 dime. Tenemos 1 penny y 10 pennies tienen el mismo valor que 1 dime, así que podemos multiplicar por 10 porque 10 × 1 = 10. Pida a sus estudiantes que completen la tabla escribiendo 10 en el espacio en blanco y dibujando un punto en la columna de los dimes. ¿Cómo muestra la tabla la manera en que los valores de 1 penny y 1 dime se relacionan por medio de la multiplicación?

Nota para la enseñanza En la sección Presentar, la clase se refiere al valor de un billete de 1 dólar como 100¢. Esto ayuda a que vean la conexión entre las unidades de dinero y las unidades de valor posicional. En la sección Aprender y en el Grupo de problemas, la clase registra el valor de un billete de 1 dólar como $1. Esto sirve para que vean que, a veces, cuando se multiplica por 10, se puede componer una unidad más grande.

Muestra que 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny. La tabla muestra que 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny. Vamos a completar el enunciado y las ecuaciones que describen esta relación. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Use un proceso similar para los problemas 3 y 4. 3. Agrupa los dimes para mostrar cómo componer una unidad más grande.

Dólares $1

Dimes

Pennies

Cada estudiante usa las estructuras (MP7) cuando usa la tabla de Amy (de dinero) y la relaciona con la tabla de valor posicional. Hacen lo mismo cuando agrupan unidades para formar una unidad más grande y relacionan estas unidades con un enunciado de comparación multiplicativa y una ecuación de multiplicación. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan la tabla de dinero y la tabla de valor posicional? ¿De qué manera esto puede ayudarles a escribir una ecuación de multiplicación para mostrar la relación entre los valores de 1 penny y 1 dime? • ¿Cómo se puede usar lo que tienen en común la tabla de dinero y la tabla de valor posicional para hallar el número desconocido en la ecuación

1 dólar =

× 1 dime? © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 4. Completa la tabla para mostrar cómo usar la multiplicación para componer una unidad más grande.

Dólares

Dimes

Pennies

Completa el enunciado y las ecuaciones de multiplicación para mostrar cómo compusiste una unidad más grande.

1 dólar vale

veces la cantidad que vale 1 dime.

1 dólar =

$1 =

× 10¢

× 1 dime

Escriba las ecuaciones de los problemas 2 y 4.

1 dime = 10 × 1 penny 1 dólar = 10 × 1 dime Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las ecuaciones. Ambas muestran 10 veces. Los números son los mismos en las dos ecuaciones, pero las unidades son diferentes. Ambas muestran cómo usar la multiplicación para componer nuevas unidades.

Representar nuevas unidades con un diagrama de cinta La clase dibuja diagramas de cinta para representar las relaciones multiplicativas entre unidades de dinero. Lea el problema 5 a coro con la clase.

Diferenciación: Desafío Pida a sus estudiantes que piensen en las relaciones multiplicativas entre otras monedas y billetes. Incluya ejemplos de composición de 10 para formar unidades más grandes y crear ejemplos erróneos en los que la composición de 10 no forma una unidad más grande. Esto les permitirá ver la conexión entre los valores de ciertas unidades de dinero (1¢, 10¢, $1, $10, $100) y las unidades de valor posicional (unidades, decenas, centenas). Los ejemplos erróneos permiten ver que los patrones del sistema de valor posicional en base diez no se aplican en todos los contextos. • ¿Puede el valor de 10 nickels representar una unidad de dinero diferente? ¿Y el de 10 quarters? • ¿Qué billete vale 10 veces la cantidad que vale $1? ¿Y $10?

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 5. Iván y Zara participan de un juego con dinero. Iván esconde 2 monedas y le da a Zara las siguientes pistas. Una de las monedas es un penny. La otra moneda vale 10 veces la cantidad que vale el penny. ¿Cuál es la otra moneda?

1¢ o 1 penny

m m = 10 × 1¢ 10¢ = 10 × 1¢ m = 10¢ La otra moneda es un dime. ¿De qué trata el problema? De un juego con monedas ¿Qué información se da en el problema? Iván tiene 1 penny. También sabemos que el valor de la otra moneda es 10 veces la cantidad del valor del penny. ¿Cuál es la información que desconocemos?

1¢ o 1 penny

No sabemos cuál es la otra moneda que esconde Iván. Dibujemos un diagrama de cinta para representar las monedas. ¿Qué podemos dibujar para representar el penny? Podemos dibujar 1 unidad de 1¢.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Dibuje 1 unidad de 1¢ y póngale como rótulo 1¢ o 1 penny. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros. ¿Qué podemos dibujar para representar la otra moneda? Podemos dibujar 10 unidades de 1¢. Dibuje 10 unidades de 1¢ y rotule el valor desconocido con la letra m. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el diagrama de cinta. Pida a sus estudiantes que escriban el número desconocido al comienzo de la ecuación. ¿Qué ecuación de multiplicación representa el diagrama de cinta?

m = 10 × 1¢ ¿Cuál es el valor total de 10 unidades de 1¢? ¿Cómo lo saben? El valor total es 10 centavos porque 10¢ = 10 × 1¢. ¿Es el valor del número desconocido, 10¢, la respuesta a la pregunta del problema? ¿Cómo lo saben? No, la pregunta es cuál es la otra moneda, no el valor de la moneda. ¿Cómo nos ayuda a identificar la otra moneda el hecho de conocer su valor? Podemos pensar en una moneda que vale 10¢. ¿Qué otra moneda esconde Iván? ¿Cómo lo saben? Es un dime porque el valor total de la otra moneda es 10¢ y un dime vale 10¢. Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado para responder la pregunta. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta y la ecuación de multiplicación muestran que 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny. Use un proceso similar para el problema 6.

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4 Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 6. Eva y Gabe hallan dinero. Eva halla 1 dime. Gabe dice: “El billete que hallé vale 10 veces la cantidad que vale tu dime”. ¿Qué billete halló Gabe?

10¢ o 1 dime

p p = 10 × 10¢ 100¢ = 10 × 10¢ p = 100¢ $1 = 10 × 10¢ Gabe halló un billete de 1 dólar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta y la ecuación de multiplicación muestran que 1 dólar vale 10 veces la cantidad que vale 1 dime.

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Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Representar la composición de unidades de dinero más grandes usando la comparación multiplicativa Guíe una conversación de la clase acerca de la comparación multiplicativa y la composición de nuevas unidades de dinero. ¿De qué manera se pueden componer los pennies, los dimes y los dólares como unidades de valor posicional de unidades, decenas y centenas? Cuando tienes 10 pennies, puedes formar 1 dime. Es lo mismo que cuando tienes 10 unidades y puedes formar 1 decena. Cuando tienes 10 dimes, puedes formar $1. Es lo mismo que cuando tienes 10 decenas y puedes formar 1 centena. ¿Cómo podemos usar la multiplicación para describir la relación entre las diferentes unidades de dinero?

1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny. 10¢ = 10 × 1¢ 1 dólar vale 10 veces la cantidad que vale 1 dime. $1 = 10 × 10¢

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Fecha

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Rotula los diagramas de cinta. Luego, completa los enunciados y las ecuaciones.

¢o

penny

Agrupa las monedas para formar una nueva unidad. Luego, completa el enunciado y las ecuaciones. 1.

Dólares

Dimes

Pennies

Dólares

Dimes

Pennies

10¢

10 1 dime vale 1 dime = 1 dime vale 10 vale 1 penny. 1 dime = 10¢ =

1 dólar vale vale 1 dime.

veces la cantidad que

× 1 penny

× 1¢

veces la cantidad que

1 dólar =

$1 =

× 10¢

× 1 dime

10 10

dime

dólar

veces la cantidad que vale 1 penny .

× 1 penny

10¢ =

× 1¢

¢o

¢ tiene el mismo valor que

dime

Completa las tablas para mostrar cómo formar una nueva unidad. Luego, completa los enunciados y las ecuaciones. 3.

Dólares

1 dime vale vale 1 penny. 1 dime = 10

¢=

Dimes

Pennies

veces la cantidad que

Dólares

1 dólar vale vale 1 dime.

Dimes

× 1 penny

1 dólar =

× 1 dime

× 1¢

× 10¢

100

veces la cantidad que

Pennies

¢ tiene el mismo valor que

dólar

vale 10 veces la cantidad que vale 1 dime .

dólar

= 10 × 1 dime

= 10 ×

GRUPO DE PROBLEMAS

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4 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

7. James dice que, como 1 dime vale 10 veces la cantidad que vale 1 penny, 3 dimes deben valer 10 veces la cantidad que valen 3 pennies. ¿Estás de acuerdo con James? ¿Por qué? Sí, estoy de acuerdo con James. 10 = 10 × 1 y 30 = 10 × 3.

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema B Valor posicional y comparación hasta 1,000,000 En el tema B, la clase relaciona experiencias previas con el valor posicional hasta el 10,000 como ayuda para expresar y comparar números hasta 1,000,000 en formas diferentes. Al comienzo del tema, la clase cuenta una colección de billetes con denominaciones desde $1 hasta $100,000, cuyos totales se expresan principalmente en centenas de millar. Contar grandes cantidades de dinero es una manera de presentar las unidades de valor posicional más allá de las decenas de millar en un contexto conocido y sirve como una evaluación formativa de la comprensión de cada estudiante de las unidades de valor posicional más grandes y de la aplicación de los patrones de valor posicional. La clase nombra las unidades de centenas de millar y millones, y usa la tabla de valor posicional como ayuda para organizar y contar sus colecciones. Siguen usando la tabla de valor posicional como herramienta a lo largo del tema. La clase aplica lo aprendido en el tema A para reconocer la relación multiplicativa entre las unidades de valor posicional. Escriben enunciados y ecuaciones para representar el valor de un dígito en una posición como diez veces el valor del mismo dígito en la posición a su derecha. La clase usa discos de valor posicional para representar números de hasta seis dígitos. Usan el valor de cada dígito para expresar los números en forma unitaria y en forma desarrollada. También usan los patrones de la tabla de valor posicional para ver que las centenas, las decenas y las unidades se repiten. Siguiendo lo que se aprendió en 3.er grado, enfocarse en cada agrupación de valor posicional (es decir, periodo) y colocar comas para separar cada agrupación ayuda a sus estudiantes a expresar los números en forma estándar y a expresarlos en forma escrita. Todo el trabajo con el valor posicional les permite luego comparar números hasta 1,000,000 en cualquier forma. En el tema C, la clase aplica su comprensión del valor posicional y la comparación para redondear números a cualquier valor posicional.

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4 ▸ M1 ▸ TB

Progresión de las lecciones Lección 5

Lección 6

Lección 7

Organizar, contar y representar una colección de objetos

Demostrar que un dígito representa 10 veces el valor de lo que representa en la posición a su derecha

Escribir números hasta 1,000,000 en forma unitaria y en forma desarrollada usando la estructura de valor posicional

100,000

10,000

Millares 1,000

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

Centenas

Decenas

9 Puedo usar lo que ya sé acerca del valor posicional como ayuda para contar una colección con valores mayores que 1 millar. Puedo agrupar unidades semejantes, hacer grupos de 10 y usar una tabla de valor posicional para organizarlos. Los patrones en las unidades de valor posicional me ayudan a nombrar las decenas de millar, las centenas de millar y los millones.

Unidades

x 10

Puedo describir la relación entre dos unidades de valor posicional usando tantas veces una cantidad. Por ejemplo, 1 decena es 10 veces 1 unidad. Eso me ayuda a ver que el valor de un dígito en una posición de la tabla de valor posicional es 10 veces el valor del dígito si estuviera en la posición a su derecha. Puedo representar la relación usando una tabla de valor posicional.

521,380 500,000 + 20,000 + 1,000 + 300 + 80 (5 × 100,000) + (2 x 10,000) + ( 1 × 1,000) + (3 x 100) + (8 x 10)

Puedo representar números usando discos de valor posicional y organizándolos en columnas. La disposición de los discos me ayuda a expresar los números en forma unitaria y en forma desarrollada, y me ayuda a ver el valor de cada dígito. Puedo nombrar las unidades de valor posicional en un número hasta 1,000,000.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB

Lección 8

Lección 9

Escribir números hasta 1,000,000 en forma estándar y en forma escrita

Comparar números hasta 1,000,000 usando >, = y <

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

315,642 Trescientos quince mil seiscientos cuarenta y dos

Puedo representar números usando una tabla de valor posicional. Los patrones repetitivos en la tabla de valor posicional me ayudan a agrupar las unidades de valor posicional por periodos y a escribir los números en forma estándar con comas. Los patrones también me ayudan a decir y escribir los números en forma escrita.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

6, 3 1, 6

Decenas

Unidades

0 0 5 0

16 ,300 > 1,650

Puedo comparar y ordenar números hasta 1,000,000 observando el valor de los dígitos de cada número. Si la unidad de valor posicional más grande es diferente, el número con la unidad más grande es mayor. Si la unidad de valor posicional más grande es la misma, los valores de los dígitos en esa posición me ayudan a comparar los números. Si el valor de los dígitos en esa posición también es el mismo, debo comparar más unidades.

LECCIÓN 5

Organizar, contar y representar una colección de objetos

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Nombre

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Fecha

1. ¿Qué estrategia usaste para contar? ¿Cómo te ayudó? Usamos una tabla de valor posicional. Nos ayudó a tener todo organizado y a contar cuántos había de cada valor posicional.

Vistazo a la lección Al comenzar su trabajo con los valores posicionales más allá de los millares, la clase cuenta una colección de objetos. Deciden cómo organizar, contar y representar los objetos. Luego, examinan el trabajo de sus pares y comentan las estrategias eficientes de organización y conteo. En esta lección, se formalizan los términos centena de millar y millón. Use las observaciones y el trabajo en clase para analizar el razonamiento de sus estudiantes después de la lección. El Boleto de salida de esta lección sirve para que la clase reflexione acerca de sus estrategias para contar.

Preguntas clave • ¿Qué estrategias pueden usar como ayuda para contar su colección? • ¿Qué patrones de valor posicional les ayudan a nombrar unidades más grandes?

2. Explica la estrategia de alguien más. ¿Qué te gustó de esta estrategia? Amy y Luke agruparon y luego usaron la multiplicación y la suma. Me gustó que hallaron un patrón en la multiplicación como ayuda.

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA7 Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada. (NY-4.NBT.2a)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Colección de conteo de dinero (en la edición para la enseñanza)

• Imprima o copie la Colección de conteo de dinero y recorte el dinero. Prepare suficientes colecciones para tener una por cada pareja de estudiantes y una para usted.

Aprender 40 min • Organizar, contar y registrar • Compartir, comparar y conectar • Nombrar unidades de valor posicional más grandes • Grupo de problemas

Concluir 10 min

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los millones parcialmente completada (en el libro para estudiantes) • herramientas de organización

• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones parcialmente completada de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección. • Brinde a sus estudiantes herramientas que les ayuden a organizar sus conteos. Las herramientas pueden ser vasos, clips, pizarras blancas, bolsas, bandas elásticas o papel cuadriculado.

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Fluidez

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número de dos o tres dígitos que se representa con discos de valor posicional y expresan las unidades y las decenas con otro nombre para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los 10 discos de una unidad en la tabla. ¿Cuántas unidades hay en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 unidades = 1 decena

10 unidades Muestre 10 unidades =

Nota para la enseñanza

decena.

¿10 unidades es igual a cuántas decenas?

Considere tener disponibles discos de valor posicional para la clase durante esta actividad.

1 decena Muestre la respuesta y los discos agrupados como una decena en la tabla. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

11 unidades = 1 decena 1 unidad

14 unidades = 1 decena 4 unidades

15 unidades = 1 decena 5 unidades

13 decenas = 1 centena 3 decenas

15 decenas = 1 centena 5 decenas

19 decenas = 1 centena 9 decenas

18 unidades = 1 decena 8 unidades

100

10 decenas = 1 centena

11 decenas = 1 centena 1 decena

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Presentar

La clase examina las tablas y comenta cómo se componen las unidades de valor posicional. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de las cuatro tablas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

B 100

Millares

Centenas

Decenas

Unidades Expresar con otro nombre, agrupar y cambiar son términos conocidos de grados anteriores. Estos términos se usan para describir la composición y descomposición de una unidad en relación con otra.

D Centenas

Decenas

Unidades

Invite a la clase a estudiar la imagen de las tablas. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no. Cuando se acabe el tiempo, invite a la clase a explicar las categorías que eligieron y a defender por qué un elemento no pertenece al grupo. Destaque las respuestas que enfatizan el razonamiento acerca de las unidades de valor posicional, la composición de las unidades y las representaciones del valor posicional. Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer preguntas.

Si bien se pueden usar de manera flexible y a menudo es posible reemplazar uno por otro, generalmente se usa expresar con otro nombre para indicar que un número se describe con diferentes unidades. Los términos desagrupar y agrupar ayudan a la clase a pensar en lo que sucede cuando se cambia una unidad de valor posicional más grande por unidades más pequeñas (es decir, se desagrupan) o se cambian unidades más pequeñas por una unidad más grande (es decir, se agrupan). El término cambiar suele usarse cuando la clase utiliza algo concreto, como discos de valor posicional, y se cambia físicamente 1 de una unidad más grande por 10 de una unidad más pequeña, o 10 de una unidad más pequeña por 1 de una unidad más grande. También se usa como una señal auditiva para recordar a las y los estudiantes que se están quitando y colocando unidades. Considere escribir ejemplos con los rótulos expresar con otro nombre y agrupar cuando estos términos aparezcan en la lección.

101

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Preguntas de ejemplo: ¿Cuál no pertenece al grupo? La tabla A no pertenece al grupo porque las unidades están escritas con números en lugar de palabras. La tabla C no pertenece al grupo porque el resto de las tablas están rotuladas con las unidades y esa no. Los discos están rotulados con un 1. La tabla B no pertenece al grupo porque tiene millares y el resto de las tablas solo tienen centenas. La tabla D no pertenece al grupo porque hay menos de 10 centenas y el resto de las tablas tienen más de 10 de una unidad. ¿Cuántas centenas más se necesitan en la tabla D para poder expresar con otro nombre la siguiente unidad más grande? ¿Cómo lo saben?

1 más porque así serían 10 centenas, y se podría expresar como 1 millar. ¿Qué unidad más grande se puede componer con 10 unidades? ¿Y con 10 decenas?

1 decena

Nota para la enseñanza Considere ayudar a sus estudiantes a comprender cómo expresar con otro nombre usando su caso particular para establecer una analogía. Podría contar algo como: “Me llamo Carla Díaz. Mis estudiantes me llaman maestra Díaz. Mis amigos me llaman Carla. Todos estos nombres me representan, pero se usa una versión diferente de mi nombre en distintos momentos, según la situación”. Otro ejemplo es que se puede expresar 13 decenas como 1 centena y 3 decenas o 130 unidades, según la situación, pero los tres representan la misma cantidad.

1 centena ¿Cómo se pueden expresar las unidades de la tabla C como decenas y unidades? Se pueden expresar como 1 decena y 5 unidades. ¿Cómo se pueden expresar las decenas de la tabla A como centenas y decenas? Se pueden expresar como 1 centena y 3 decenas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo creen que se puede expresar con otro nombre los millares de la tabla B. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy contaremos usando nuestra comprensión del valor posicional para hallar la cantidad de dinero en una colección cuando la cantidad total es mayor que 1 millar y, luego, registraremos las formas en que organizamos y contamos el dinero.

102

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Aprender

Organizar, contar y registrar Materiales: E) Colección de conteo de dinero, herramientas de organización, Tabla de valor posicional hasta los millones parcialmente completada

Nota para la enseñanza Los niveles de complejidad de las colecciones de conteo varían. Forme parejas de estudiantes y asigne deliberadamente a cada pareja una colección de conteo.

• Las parejas llevarán sus propios registros para mostrar cómo han hecho el conteo.

• La colección de conteo 1 no requiere componer unidades. • Las colecciones de conteo 2 y 3 requieren componer unidades en 1 valor posicional. • La colección de conteo 4 requiere componer unidades en 2 valores posicionales. • La colección de conteo 5 requiere componer unidades en 3 valores posicionales. • La colección de conteo 6 requiere componer unidades en 3 valores posicionales para formar un número en la posición de los millones.

• Las parejas pueden usar la tabla de valor posicional y otras herramientas de organización. Las herramientas de organización pueden incluir elementos disponibles en el salón de clases, como vasos, clips y pizarras blancas.

DUA: Acción y expresión

Cada estudiante usa sus propias estrategias para organizar y contar una colección y registrar el proceso. Forme parejas de estudiantes y distribuya una colección de conteo a cada pareja. Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase sobre los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo: • Las parejas colaborarán para contar una colección.

Antes de comenzar a contar, invite a las parejas de estudiantes a trabajar en equipo para estimar cuántos dólares hay en su colección. Pídales que escriban sus estimaciones. Luego, anime a las parejas a conversar acerca de cómo organizarán su colección para contarla. Invite a la clase a seleccionar las herramientas de organización que les gustaría usar, teniendo en cuenta que pueden intercambiar las herramientas a medida que perfeccionan sus planes. Pida a las parejas que empiecen a contar sus colecciones. Recorra el salón y observe cómo realizan las siguientes actividades: Organizar: las estrategias pueden incluir agrupar billetes de la misma unidad, hacer grupos de 10 de la misma unidad, organizar los billetes en la tabla de valor posicional y escribir expresiones o ecuaciones. Es posible que las parejas organicen sus colecciones usando atributos que no permitan contar de forma eficiente, como mezclar unidades para hacer grupos iguales de billetes.

Considere usar notas adhesivas para crear una tabla de valor posicional flexible. Esto permitirá a la clase organizar sus billetes sin las limitaciones espaciales de una tabla de valor posicional tradicional. Otra manera de ayudar a sus estudiantes es usar una fotocopiadora para ampliar las imágenes de los billetes de cada colección de conteo. Millones 1,000,000

Centenas de millar 100,000

Decenas de millar 10,000

Millares 1,000

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

Contar: las parejas pueden contar los subgrupos y, luego, sumar para hallar el total, o pueden usar una tabla de valor posicional y escribir los dígitos que representan el número de cada unidad. Otras pueden usar una combinación de multiplicación y suma para hallar el total.

103

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Registrar: los registros pueden incluir dibujos, números, expresiones, ecuaciones y explicaciones escritas. Recorra el salón y use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento matemático: • Muestren y expliquen lo que hicieron. • ¿Cómo pueden organizar sus colecciones para que les resulte más fácil contarlas? • ¿Por qué la forma en que organizaron sus colecciones les hizo más fácil contar? • ¿Cómo llevaron la cuenta de lo que ya habían contado y de lo que les faltaba contar? • ¿Cómo nombraron las unidades más grandes? ¿Por qué? • ¿Cómo supieron cómo debían escribir los totales? • ¿Cuánto se aproximaron sus estimaciones al conteo real? Seleccione dos o tres parejas de estudiantes para que compartan su trabajo de conteo en el siguiente segmento de la lección. Además, si es posible, tome fotos para mostrar a la clase en el siguiente segmento. Cuando las parejas compartan, considere la posibilidad de que muestren sus registros junto a las colecciones de conteo para que puedan ver la representación escrita que corresponde a cada colección.

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante usa las herramientas apropiadas de manera estratégica (MP5) cuando elige las estrategias de organización y conteo para contar una colección de dinero. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Pueden usar una tabla de valor posicional como ayuda para organizar su colección y luego contarla? • ¿Cómo pueden estimar el total de su colección? ¿Les parece razonable su estimación?

Diga a la clase que los ejemplos reflejan posibles estrategias y explique que demuestran cómo: • organizar los billetes por unidades en la tabla de valor posicional y dibujar una tabla de valor posicional para registrar la cantidad total de la colección 1; • organizar los billetes en la tabla de valor posicional y agrupar y expresar con otro nombre las unidades con la colección 6 y • organizar los billetes por unidades para agrupar y expresar con otro nombre grupos de 10 de una unidad y usar la multiplicación y la suma con la colección 4.

104

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Usar una tabla de valor posicional para organizar los billetes y registrar el total 100,000

10,000

Millares 1,000

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

100,000

10,000

1,000

100

Organizar en una tabla de valor posicional para agrupar y expresar con otro nombre las unidades 1,000,000

Centenas 100

Decenas 10

100,000

10,000

Millares 1,000

1,000,000

100,000

10,000

1,000

100

13 3

5 6

15 5

3 4

12 2

Unidades 1

1,365,427

105

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Agrupar y expresar con otro nombre las unidades y, luego, multiplicar y sumar

6 de 100,000 6 X 100,000 = 600,000 4 de 10,000 4 X 10,000 = 40,000 3 de 1,000 3 X 1,000 = 3,000 3 de 100 3 X 100 = 300 1 de 10 1 X 10 = 10 2 de 1 2 X 1 = 2

106

6 0 0 , 00 000 0 4 0 , 00 000 0 3 , 00 000 0 300 30 0 10 2 + 64 3, 3 1 2

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Para esta colección de conteo, mi pareja es Estamos contando

. .

Creemos que tienen un valor de

Nota para la enseñanza Elabore un plan que establezca qué deberán hacer sus estudiantes al finalizar de contar sus colecciones y registrarlas:

Así es como organizamos y contamos la colección:

• Probar otra manera de organizar y contar • Intercambiar las colecciones con otra pareja de estudiantes y contar para confirmar el total • Explicar a otra pareja de estudiantes el método que usaron para registrar las colecciones • Guardar la colección usada y buscar otra

Nota para la enseñanza Contamos

en total.

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

Reflexión Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó. Agrupar cuando teníamos 10 de una unidad fue útil porque luego pudimos expresar con otro nombre la

Considere dar tiempo a las parejas que trabajaron con la misma colección de conteo para que comparen informalmente las estrategias antes de la conversación con toda la clase. Invite a quienes terminen antes a contar otra colección y a registrar sus estrategias.

DUA: Acción y expresión

siguiente unidad más grande. Eso nos ayudó a hallar el total. Escribe un desafío que hayan tenido. ¿Cómo lo superaron? No sabíamos con seguridad cuáles eran algunas de las unidades de valor posicional. Usamos los números de los billetes como ayuda para rotular la tabla de valor posicional.

Considere reservar tiempo para llevar a cabo una conversación con toda la clase después de que las parejas hayan completado las preguntas para reflexionar. El desarrollo de estrategias metacognitivas puede ayudarles a comprender de qué forma aprenden mejor y a evaluar su propio progreso.

107

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Compartir, comparar y conectar

Nota para la enseñanza

La clase comenta las estrategias de organización y compara su eficiencia. Reúna a la clase para ver los ejemplos de trabajo seleccionados y dirija una conversación. Invite a las parejas seleccionadas a compartir sus procesos de conteo. El siguiente diálogo es un modelo de conversación.

La colocación de comas en números grandes aparece formalmente en la lección 8. Considere mostrar el uso correcto de la coma. No es necesario que la clase use la coma en esta lección.

Usar una tabla de valor posicional para organizar los billetes y registrar el total (método de Liz y Pablo) EUREKA MATH2 New York Next Gen

100,000

10,000

Millares 1,000

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Liz Nombre

Fecha

Para esta colección de conteo, mi pareja es Pablo Estamos contando billetes 100,000

10,000

Creemos que tienen un valor de $700,000

Millares 1,000

Apoyo para la comprensión del lenguaje

. Centenas . Decenas 100 10

Unidades 1

Así es como organizamos y contamos la colección:

100,000 100,000

10,000 10,000

1,000 1,000

100 100

10 10

100,000

10,000

1,000

100

Examinen el trabajo de Liz y Pablo. ¿Cómo organizaron sus billetes? Usaron una tabla de valor posicional. Organizaron sus billetes en grupos de 5. Liz y Pablo, ¿por qué decidieron usar una tabla de valor posicional?

Contamos $642,537

en total.

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

600,000 + 40,000 + 2,000 + 500 + 30 + 7 = 642,537 © Great Minds PBC

Es posible que las parejas registren el valor total de sus colecciones de conteo sin decir correctamente el número. Considere la posibilidad de dejar que la sección Compartir, comparar y conectar fluya de forma natural sin hacer énfasis en la forma correcta de nombrar las unidades de valor posicional más grandes. En el siguiente segmento, la clase aprenderá a decir cada unidad de valor posicional, a rotular las unidades en una tabla de valor posicional y a relacionar los valores posicionales entre sí.

Vimos que las cantidades de dólares eran como los valores posicionales. La tabla nos ayudó a organizar y contar cuántas unidades de cada valor posicional teníamos. ¿Pueden decirnos cómo supieron qué escribir en las partes sin rotular de la tabla de valor posicional?

Nota para la enseñanza

Usamos los billetes como ayuda. Conocíamos los valores hasta la posición de los millares y, luego, copiamos los números de los otros billetes para rotular las otras posiciones.

La identificación del valor de un dígito a partir de su valor posicional aparece formalmente en la lección 9. No es necesario que la clase identifique el valor de los dígitos individuales en esta lección.

¿Cómo determinaron el valor total de los billetes? Dibujamos una tabla de valor posicional y los puntos para representar el número de billetes en cada posición. Luego, escribimos el número debajo de cada valor posicional. ¿Liz y Pablo tenían que agrupar alguna unidad? ¿Cómo lo saben? No. No tenían 10 o más en ningún valor posicional.

108

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Liz y Pablo y el suyo. Organizar en una tabla de valor posicional para agrupar y expresar con otro nombre las unidades (método de David y Eva) EUREKA MATH2 New York Next Gen

1,000,000

100,000

10,000

Millares 1,000

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

David Nombre

Fecha 1,000,000

100,000

10,000

Millares 1,000

Para esta colección de conteo, mi pareja es Eva

Centenas 100

Decenas 10

Unidades 1

Estamos contando billetes

Creemos que tienen un valor de 1,000,000 dólares

Así es como organizamos y contamos la colección:

1,000,000 1,000,000

100,000 100,000

10,000 10,000

1,000,000

100,000

13 3

1,000 Millares 1,000

100 Centenas 100

10 Decenas 10

10,000

1,000

100

5 6

15 5

3 4

12 2

1 Unidades 1

1,365,427

1,000,000 100,000 10,000 100 hay 10 decenas 1 Examinen el trabajo de David y Eva.1,000 ¿Por qué en la 1 centenas? 13 5 15 3 12 7 posición de las 3

Agruparon 10 decenas para formar 1 centena.

Contamos 1,365,427 dólares

en total.

Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

1,000,000 + 300,000 + 60,000 + 5,000 + 400 + 20 + 7 = 1,365,427 © Great Minds PBC

1,365,427 David y Eva, ¿pueden contarnos cómo usaron la tabla de valor posicional para organizar sus billetes?

Pusimos unidades semejantes en cada valor posicional y, cuando tuvimos 10 de una unidad, sabíamos que podíamos agrupar para expresar como 1 de la siguiente unidad más grande. ¿Cómo hallaron el total? Dibujamos cada billete y, luego, escribimos el número total que teníamos de cada uno. Mostramos la agrupación tachando cuando había más de 10 de una unidad y sumando 1 más a la siguiente unidad más grande. Luego, escribimos cuántas unidades teníamos de cada valor posicional para hallar el total. ¿Cómo completaron los rótulos de la tabla de valor posicional? Vimos un patrón. Era 1, 10 y 100. Luego, pensamos que se repite en los millares: 1 millar, 10 millares y 100 millares. Miren la tabla de valor posicional de David y Eva. ¿Cuál creen que es la relación entre los millares y las decenas de millar? Puedes agrupar 10 millares para componer 1 decena de millar. Es parecido a la relación entre unidades y decenas. Se necesitan 10 unidades para componer 1 decena. © Great Minds PBC

109

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de David y Eva y el suyo. Agrupar y expresar con otro nombre las unidades y, luego, multiplicar y sumar (método de Amy y Luke) EUREKA MATH2 New York Next Gen

Examinen el trabajo de Amy y Luke. ¿Cómo organizaron sus billetes? Pusieron juntas las unidades semejantes. Parece que agruparon 10 de una unidad más pequeña para expresar como 1 de una unidad más grande. Amy y Luke, ¿pueden contarnos cómo hallaron el total?

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

6 de 100,000 5 6 X 100,000 = 600,000 Amy

Nombre

Fecha

Para esta colección de conteo, mi pareja es Luke

Estamos contando billetes

4 de 10,000 4 X 10,000 = 40,000 Creemos que tienen un valor de $650,000

Así es como organizamos y contamos la colección:

6 de 100,000 6 X 100,000 = 600,000 4 de 10,000 4 X 10,000 = 40,000

3 de 1,000 3 X 1,000 = 3,000 3 de 1,000 3 X 1,000 = 3,000

3 de 100 3 X 100 = 300 6 0 0 , 00 000 0 4 0 , 00 000 10 de 10 3 , 00 000 0 300 30 0 1 X 10 = 10 10 22 de 1 + 64 3, 3 1 2 2 X 1 = 2

3 de 100 3 X 100 = 300 Contamos $643,312

1 de 10 1 X 10 = 10 Esta es una ecuación que describe cómo contamos.

600,000 + 40,000 + 3,000 + 300 + 10 + 2 = 643,312 © Great Minds PBC

6 0 0 , 00 000 0 4 0 , 00 000 0 3 , 00 000 0 300 30 0 10 2 + 64 3, 3 1 2

en total.

6 0 0 , 00 000 0 4 0 , 00 000 0 3 , 00 000 0 300 30 0 10 2 + 64 3, 3 1 2 41

Contamos cuántos 2 de 1 billetes de cada unidad 2 X 1 = 2 teníamos. Luego, multiplicamos para hallar la cantidad de cada unidad. Sumamos las cantidades de cada unidad para hallar el total. ¿Cómo multiplicaron las unidades más grandes?

Empezamos con las unidades y las decenas porque sabemos multiplicar esas unidades. Luego, usamos el conteo salteado para las centenas y los millares. Después, vimos un patrón y lo usamos como ayuda para multiplicar las otras unidades. 4 × 10 millares es como 4 × 10, pero con diferentes unidades. ¿Por qué el trabajo de Amy y Luke muestra 3 × 100 cuando en realidad tenían 13 billetes de cien dólares? Agruparon 10 centenas y lo expresaron como 1 millar. Entonces, había 3 centenas. Invite a las parejas de estudiantes a que se reúnan y conversen acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Amy y Luke y el suyo.

110

Nota para la enseñanza Durante el conteo, cada estudiante exhibe diferentes niveles de complejidad en sus estrategias de contar. Seleccione estudiantes para que compartan su trabajo, de modo que quienes usen estrategias de contar más simples tengan la oportunidad de escuchar ideas nuevas. Si hay tiempo suficiente, anime a la clase a contar sus colecciones por segunda vez usando una estrategia que haya escuchado de otro grupo.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Nombrar unidades de valor posicional más grandes Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los millones parcialmente completada

La clase usa lo que sabe acerca de las unidades, las decenas, las centenas y los millares para nombrar unidades de valor posicional más grandes. Pida a sus estudiantes que vayan a la Tabla de valor posicional hasta los millones parcialmente completada. Invite a la clase a comenzar en la posición de las unidades y a continuar con los patrones de nombres y números para completar los encabezamientos en la tabla de valor posicional. Considere una secuencia como la siguiente. ¿Cuántas unidades agrupamos para componer 1 decena? ¿Cuántas decenas agrupamos para componer 1 centena? ¿Cuántas centenas agrupamos para componer 1 millar?

DUA: Representación Considere usar marcadores fluorescentes para remarcar los patrones en la tabla de valor posicional. Use diferentes colores para demostrar la repetición de unidades, decenas y centenas. Aunque en 4.o grado se trabaja con números hasta 1,000,000, ampliar la tabla de valor posicional puede ayudar a que la clase vea que el patrón continúa. Millones

Centenas Decenas Millones de millón de millón 100,000,000 10,000,000 1,000,000

Milllares

Centenas de millar 100,000

Decenas de millar 10,000

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

1,000

100

Muestre un grupo de diez billetes de $1,000 y un billete de $10,000. Cuando agrupamos 10 millares, ¿cómo se llama la unidad de valor posicional?

1 decena de millar Se pueden agrupar 10 millares y expresarlo como 1 decena de millar. Pida a sus estudiantes que rotulen sus tablas de valor posicional en forma escrita y estándar para las decenas de millar. Muestre un grupo de diez billetes de $10,000 y un billete de $100,000. Cuando agrupamos 10 decenas, componemos 1 centena. ¿Cómo se llama la unidad de valor posicional cuando agrupamos 10 decenas de millar?

1 centena de millar Se pueden agrupar 10 decenas de millar y expresarlo como 1 centena de millar. Pida a sus estudiantes que rotulen la tabla de valor posicional en forma escrita y estándar para las centenas de millar.

Apoyo para la comprensión del lenguaje A medida que la clase comienza a escribir y decir números más grandes, considere establecer conexiones entre las unidades conocidas y las unidades más grandes no conocidas. Escriba 13 y pida que digan el número. Luego, escriba 13,000 y pida que digan el número. Repita el proceso con los números de las centenas y de las centenas de millar.

111

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 Muestre un grupo de 10 billetes de cien mil dólares e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la posición que creen que viene después de las centenas de millar. Se pueden agrupar 10 centenas de millar y expresarlo como 1 millón.

Millones 1,000,000

Centenas de millar 100,000

Decenas de millar 10,000

Nota para la enseñanza

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

1,000

100

Pida a sus estudiantes que rotulen la tabla de valor posicional en forma escrita y estándar para los millones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que ven que se repiten en la tabla de valor posicional y si creen que esos patrones continuarán.

Grupo de problemas

En 3.er grado, la clase amplía su comprensión del valor posicional de los números hasta el 10,000, pero trabaja principalmente con números hasta el 1,000. Una lección opcional al final de 3.er grado amplía el valor posicional a los millones. En 4.o grado, la clase trabaja con números hasta 1,000,000. Anime a sus estudiantes a usar los patrones en los nombres del valor posicional y en la forma estándar de los números como ayuda para nombrar los números más grandes mientras cuentan.

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Organizar, contar y representar una colección de objetos Use las preguntas que figuran a continuación para guiar una conversación acerca de cómo la organización de una colección ayuda a hallar el total. ¿Con qué tuvieron éxito a la hora de contar? ¿Qué estrategias fueron de ayuda para contar su colección? Pensar en unidades, decenas y centenas me ayudó a contar de millar en millar, de decena de millar en decena de millar y de centena de millar en centena de millar. Agrupar 10 de una unidad de valor posicional para obtener 1 de la siguiente unidad más grande me ayudó a hallar el total. Busqué patrones y, luego, usé los patrones como ayuda para contar las unidades más grandes.

112

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ¿Qué les resultó difícil a la hora de contar? Fue difícil combinar diferentes valores posicionales en un valor total. Los números eran muy grandes y tenían muchos valores posicionales. Nunca antes había usado números tan grandes. Al representar su colección, ¿descubrieron una nueva relación entre las unidades de valor posicional? No, la relación es la misma. 10 de una unidad más pequeña forma 1 de la siguiente unidad, así que usé la relación de unidades, decenas y centenas para nombrar nuevas unidades de valor posicional, como decenas de millar y centenas de millar. No, la relación sigue siendo que 10 de una unidad más pequeña forma 1 de la siguiente unidad más grande. ¿Qué patrones de valor posicional les ayudan a nombrar unidades más grandes? Uno, diez y cien se repiten en cada grupo: unidades, decenas, centenas y, luego, millares, decenas de millar y centenas de millar. Los millares, las decenas de millar y las centenas de millar tienen todos “millar” en sus nombres. Ese patrón es el mismo para los millones. Serían millones, decenas de millón y centenas de millón.

113

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

7. Escribe los nombres correctos de las unidades en la tabla de valor posicional.

Millones

Usa los discos de valor posicional como ayuda para completar la ecuación. 1.

1,000

100,000

100

1 4.

1,000

100

1,000

100

1,000

100

1,000

10,000

= 10 centenas

100,000

10,000

100,000

10,000

100,000

10,000

1,000,000

= 10 decenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

decena de millar = 10 millares

100,000

10,000

Centenas de millar

centena = 10 decenas

100

centena de millar

114

millar

decena = 10 unidades

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5

millón

= 10 centenas de millar

GRUPO DE PROBLEMAS

Colección 1

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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115

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Colección 1

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 1

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117

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Colección 2

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 2

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EUREKA MATH2 New York Next Gen

Colección 2

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 3

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EUREKA MATH2 New York Next Gen

Colección 3

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 3

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Colección 4

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 4

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Colección 4

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 4

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Colección 5

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 5

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Colección 5

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 5

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Colección 5

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 6

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Colección 6

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 6

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Colección 6

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 5 ▸ Colección de conteo de dinero

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Colección 6

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Colección 6

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LECCIÓN 6

Demostrar que un dígito representa 10 veces el valor de lo que representa en la posición a su derecha

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

a. Completa el espacio para que el enunciado sea verdadero.

1 decena de millar es

veces 1 millar.

b. Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.

Vistazo a la lección La clase usa una tabla de valor posicional para identificar los patrones en los valores cuando las unidades se multiplican por diez o dividen entre diez. Describen con palabras o ecuaciones la relación de 10 veces una cantidad que existe entre el valor de una unidad de valor posicional y la unidad a su derecha.

Preguntas clave

Puedo reagrupar 10 millares en 1 decena de millar, lo que significa que 1 decena de millar es 10 veces 1 millar.

• ¿Cómo se relaciona una unidad de valor posicional con la unidad a su derecha? • ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre multiplicar unidades por diez y dividir unidades entre diez?

Criterios de logro académico 4.Mód1.CLA1 Crean dos enunciados de comparación, dada una ecuación de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA2 Escriben enunciados de comparación multiplicativa como ecuaciones de multiplicación. (NY-4.OA.1) 4.Mód1.CLA6 Explican la relación entre un dígito en un número entero de varios dígitos y el mismo dígito en la posición a su derecha. (NY-4.NBT.1)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tabla de 10 veces la cantidad (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla de 10 veces la cantidad de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Usar palabras para describir las relaciones de valor posicional • Usar la multiplicación para describir las relaciones de valor posicional

Estudiantes • notas adhesivas • Tabla de 10 veces la cantidad (en el libro para estudiantes)

• Usar la división para describir las relaciones de valor posicional • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

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Contar de millar en millar y de decena de millar en decena de millar con el método matemático La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta y representan composiciones para desarrollar la fluidez con el conteo hasta el 100,000. Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta. Vamos a contar de millar en millar con el método matemático. Cada dedo representa 1,000. Pida a la clase que cuente de millar en millar del 0 al 10,000 con el método matemático. ¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 millares?

Nota para la enseñanza Mantenga un ritmo de conteo lento pero sostenido. Recuerde prestar atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación. Si es necesario, ajuste el ritmo o la secuencia de números.

1 decena de millar Podemos agrupar 10 millares para formar 1 decena de millar. (Una las manos). Pida a la clase que represente la agrupación de 10 millares uniendo las manos. Repita el proceso y pida a la clase que cuente de decena de millar en decena de millar del 0 al 100,000 con el método matemático. Agrupe las 10 decenas de millar para formar 1 centena de millar uniendo las manos.

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número de tres o cuatro dígitos que se representa con discos de valor posicional y expresan las decenas o las centenas con otro nombre para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

142

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los 10 discos de una decena en la tabla.

10 decenas = 1 centena

¿Cuántas decenas hay en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 decenas Muestre 10 decenas =

centena

¿10 decenas es igual a cuántas centenas?

1 centena Muestre la respuesta y los discos agrupados como una centena en la tabla. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

12 decenas = 1 centena 2 decenas

14 decenas = 1 centena 4 decenas

16 decenas = 1 centena 6 decenas

18 decenas = 1 centena 8 decenas

10 centenas = 1 millar

11 centenas = 1 millar 1 centena

13 centenas = 1 millar 3 centenas

15 centenas = 1 millar 5 centenas

19 centenas = 1 millar 9 centenas

143

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

Respuesta a coro: 10 veces una cantidad La clase halla un producto y luego describe una ecuación de multiplicación usando 10 veces una cantidad como preparación para el uso de la tabla de valor posicional para identificar patrones. Muestre 10 × 2 =

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

10 × 2 = 20

Muestre el producto y el esquema de oración. Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

10 veces 2 es 20.

10 veces 2 es 20 .

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

10 × 3

10 × 5

Presentar

10 × 10

10 × 9

10 × 1

10 × 8

10 × 6

10 × 4

10 × 7

Materiales: E) Notas adhesivas

La clase aplica el razonamiento de 10 veces una cantidad al dibujar puntos para reconocer la magnitud de 1 millón. Muestre la imagen de los 10,000 puntos. ¿Qué observan? Hay 10 filas de 10 cuadrados pequeños, o 100 cuadrados. Cada cuadrado pequeño tiene puntos. Hay 10 filas de 10 puntos en cada cuadrado pequeño.

144

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 ¿Qué se preguntan? ¿Cuántos puntos hay? ¿Por qué están organizados como una cuadrícula? Vamos a recrear la imagen y a averiguar cuántos puntos hay. Dé a cada estudiante una nota adhesiva y pídales que dibujen un punto en la esquina superior izquierda. Hay un patrón de decenas en la imagen. Ya dibujamos 1 punto. ¿Cómo podríamos hacer una fila con 10 veces 1 punto?

Diferenciación: Apoyo

Dibujamos una fila de 10 puntos. Pida a sus estudiantes que dibujen 9 puntos más para formar una fila de 10 puntos equidistantes, es decir, a la misma distancia los unos de los otros, a lo largo de la parte superior de la nota adhesiva. Tenemos 1 fila de 10 puntos. ¿Cómo podríamos mostrar 10 veces 10 puntos? Dibujamos 10 filas totales de 10 puntos. Pida a sus estudiantes que dibujen 9 filas más de puntos equidistantes en la nota adhesiva para formar 10 filas totales.

Como 1 punto ya está en la nota adhesiva y sus estudiantes dibujan 9 puntos más, pueden necesitar apoyo para ver 10 veces la cantidad original. Considere la posibilidad de que sus estudiantes participen en una actividad de tocar y contar. Toque cada punto de la primera fila mientras recita a coro: “1 vez, 2 veces, 3 veces, etc.”. Repita para cada fila de 10 puntos.

¿Cuántos puntos hay en la nota adhesiva?

100 puntos Pida a sus estudiantes que miren nuevamente la imagen de los 10,000 puntos y que se concentren en un cuadrado de 100 puntos. ¿Qué relación tiene la nota adhesiva con la imagen? La nota adhesiva es 1 cuadrado pequeño en la imagen. Hay 100 puntos en cada cuadrado pequeño y 100 puntos en nuestra nota adhesiva.

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes invitándoles a registrar una ecuación cada vez que dibujen 10 veces la cantidad de puntos.

10 × 1 = 10 10 × 10 = 100

145

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Demuestre el uso de la frase tantas veces una cantidad para comparar el número de puntos con un enunciado como el siguiente.

10 veces 1 punto es 10 puntos. Y 10 veces 10 puntos es 100 puntos. Todos tenemos una nota adhesiva con 100 puntos. ¿Cómo podríamos usar nuestras notas adhesivas para mostrar 10 veces 100 puntos? Podríamos agrupar 10 notas adhesivas. Reúna las notas adhesivas de la clase y muestre 10 en una fila.

La fila es 10 veces 100 puntos. ¿Cuántos puntos hay en total?

10 centenas o 1,000 puntos ¿Cómo podríamos mostrar 10 veces 1,000 puntos? Podríamos formar 10 filas de 10 notas adhesivas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuántos puntos habría en 10 filas de notas adhesivas. Habría 10 filas de 1 millar, o 10 millares. Habría 10,000 puntos. Pida a sus estudiantes que vuelvan a la imagen de los puntos. ¿Cuántos puntos hay en la imagen?

10,000 puntos Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se vería 10 veces la cantidad de puntos que hay en la imagen y qué cantidad sería. Se necesitarían muchas notas adhesivas para seguir hallando 10 veces una cantidad de puntos. Los números aumentan rápidamente y necesitamos una forma más eficiente de mostrarlos.

146

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy identificaremos patrones con números en una tabla de valor posicional y usaremos 10 veces una cantidad para describir la relación.

Aprender

Usar palabras para describir las relaciones de valor posicional Materiales: M/E) Tabla de 10 veces la cantidad

La clase usa 10 veces una cantidad para describir la relación entre las unidades de valor posicional. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de 10 veces la cantidad de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Veamos qué sucede en la tabla de valor posicional cuando hallamos 10 veces una unidad de valor posicional. Dibuje 1 unidad representada por 1 punto en la posición de las unidades. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cómo podemos mostrar 10 veces 1 unidad? Dibujando un total de 10 unidades. Dibuje 9 puntos más para representar un total de 10 unidades en la tabla de valor posicional mientras la clase hace lo mismo. ¿Qué nueva unidad de valor posicional podemos formar con 10 unidades?

1 decena

Diferenciación: Apoyo Antes de dibujar puntos en la tabla de valor posicional para representar discos de valor posicional, considere hacer una demostración con discos de valor posicional reales. Muestre 1 unidad en una tabla sin rotular y luego construya 10 veces 1 unidad. Agrupe y exprese las 10 unidades como 1 decena. Repita para demostrar valores posicionales más grandes.

147

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Exprese las 10 unidades como 1 decena encerrándolas en un círculo, o agrupando las 10 unidades y dibujando una flecha hacia la posición de las decenas. Dibuje un punto para representar 1 decena y diga lo siguiente. Agrupamos y expresamos las 10 unidades como 1 decena. Invite a la clase a mostrar cómo agrupar y expresar con otro nombre en sus tablas y a completar el primer esquema de oración.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

10 veces 1 unidad es 1

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

decena

10 veces 1 decena es 1

10 veces 1 centena es 1

10 veces 1 millar es 1

10 veces 1 decena de millar es 1

10 veces 1 centena de millar es 1

¿10 veces 1 unidad es 1...? ¿Cómo podemos verlo en la tabla de valor posicional? Es 1 decena. 10 veces 1 unidad es 10 unidades, que es igual a 1 decena. Borre las 10 unidades para que solo quede 1 decena en la tabla de valor posicional.

Nota para la enseñanza

Vamos a hallar 10 veces 1 decena. ¿Cómo podemos mostrar 10 veces 1 decena? Mostrando 10 puntos en la posición de las decenas

El proceso de dibujar repetidamente 10 de una unidad de valor posicional y agruparlas para formar 1 de la siguiente unidad más grande es intencional para ayudar a la clase a ver que el patrón con unidades, decenas y centenas, es decir, con unidades de valor posicional conocidas, continúa a medida que avanzamos hacia los millares. Según sea necesario, consulte este proceso para ayudar a quienes necesitan una experiencia más pictórica que el desplazamiento de los dígitos en la tabla de valor posicional.

Dibuje 9 puntos más para representar un total de 10 decenas en la tabla de valor posicional. Invite a la clase a mostrar 10 decenas en sus tablas de valor posicional. ¿Qué nueva unidad de valor posicional podemos formar con 10 decenas?

1 centena Exprese las 10 decenas como 1 centena encerrándolas en un círculo, o agrupando las 10 decenas y dibujando una flecha hacia la posición de las centenas. Dibuje un punto para representar 1 centena y diga lo siguiente. Agrupamos y expresamos las 10 decenas como 1 centena. Invite a la clase a mostrar cómo agrupar y expresar con otro nombre en sus tablas y a completar el segundo esquema de oración. ¿10 veces 1 decena es 1...? ¿Cómo podemos verlo en la tabla de valor posicional?

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

decena 10 veces 1 decena es 1 centena 10 veces 1 unidad es 1

Unidades

. .

10 veces 1 centena es 1

10 veces 1 millar es 1

10 veces 1 decena de millar es 1

10 veces 1 centena de millar es 1

Es 1 centena. 10 veces 1 decena es 10 decenas. Veo que 10 decenas se pueden agrupar para formar 1 centena.

148

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Borre las decenas agrupadas y repita el proceso para cada unidad de valor posicional hasta 1 millón.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que sucede al hallar 10 veces una unidad de valor posicional cualquiera. Cada vez que tengamos 10 veces una unidad de valor posicional, podemos expresarlo como 1 de la siguiente unidad más grande.

Considere mostrar esquemas de oraciones para que la clase los consulte cuando describan las relaciones de valor posicional. Una ecuación correspondiente también puede ayudar a la clase con el significado y el orden del enunciado.

Nos desplazamos una posición a la izquierda en la tabla de valor posicional.

Usar la multiplicación para describir las relaciones de valor posicional

10 veces 10 ×

Materiales: M) Tabla de 10 veces la cantidad

La clase usa la multiplicación en la tabla de valor posicional, la forma unitaria y la forma estándar para demostrar las relaciones de valor posicional. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Escriba el enunciado: 10 veces 1 unidad. Dibuja y registra 10 veces la cantidad. 1.

Decenas de millar

× 10

Millares

Centenas

× 10

Decenas

× 10

Unidades

es 10 veces

= 10 ×

Nota para la enseñanza En 3.er grado, la clase usó × 10 con una flecha en la tabla de valor posicional para representar la multiplicación por múltiplos de 10. En esta lección, usan una notación similar para representar la multiplicación por diez.

10 × 1 millar = 1 decena de millar

10 × 1 centena = 1 millar

10 × 1 decena = 1 centena

10 × 1 unidad = 1 decena

10 × 1,000 = 10,000

10 × 100 = 1,000

10 × 10 = 100

10 × 1 = 10

Una flecha con ÷ 10 en la dirección opuesta en la tabla de valor posicional se usa para representar la división entre diez.

Representar números para mostrar 10 veces una cantidad dibujando puntos y luego agrupando y expresando con otro nombre puede llevar mucho tiempo. Podemos representar el proceso de forma más eficiente dibujando 1 punto y luego rotulando la flecha para representar la multiplicación.

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Dibuje una unidad de valor posicional de 1 y use una flecha con × 10 para mostrar el desplazamiento de la unidad al siguiente valor posicional en la tabla mientras pregunta lo siguiente.

Centenas

Decenas

Unidades

x 10

¿Cuánto es 10 veces 1 unidad?

Nota para la enseñanza La actividad digital interactiva de Multiplicador de valor posicional ayuda a la clase a usar una tabla de valor posicional para multiplicar por diez.

1 decena Invite a sus estudiantes a buscar la hoja de registro en sus libros. Vamos a registrar nuestro razonamiento usando una ecuación en forma unitaria. ¿Qué unidad de valor posicional es 10 veces 1 unidad?

10 × 1 unidad = 1 decena

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Ahora vamos a registrar nuestro razonamiento usando una ecuación en forma estándar. ¿Cuánto es 10 × 1?

10 × 1 = 10

DUA: Representación

Repita el proceso para cada unidad de valor posicional. Dibuje para representar la multiplicación en la tabla de valor posicional y regístrela en forma unitaria y en forma estándar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relaciona una unidad de valor posicional con la unidad a su derecha. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. 2.

Decenas de millar

× 10

Millares

Centenas

× 10

Decenas

× 10

Unidades

Al multiplicar 2 unidades por diez, considere representar con un dibujo cómo se reagrupan los 2 grupos de 10 en la tabla de valor posicional. Comience con 2 unidades y, luego, dentro de la columna de las unidades, muestre 10 veces 2 unidades. Agrupe y exprese con otro nombre cada grupo de 10 unidades para enfatizar el movimiento en la tabla de valor posicional.

Decenas Unidades

10 × 2 millares = 2 decenas de millar

10 × 2 centenas = 2 millares

10 × 2 decenas = 2 centenas

10 × 2 unidades = 2 decenas

10 × 2,000 = 20,000

10 × 200 = 2,000

10 × 20 = 200

10 × 2 = 20

¿En qué se diferencia el problema 2 del problema 1? Estamos hallando 10 veces 2 de una unidad de valor posicional en lugar de 1.

150

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué hallar 10 veces 2 unidades puede ser parecido o diferente a hallar 10 veces 1 unidad. Creo que es parecido porque si separas ambas unidades, cada una se convierte en una decena.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Es un poco diferente porque hallarías 10 veces 1 unidad dos veces. Creo que formará 2 decenas porque si lo pienso en forma estándar es 10 × 2 = 20. Guíe a sus estudiantes para que completen el dibujo y las ecuaciones y así demostrar que 10 veces 2 unidades es 2 decenas.

Centenas Decenas Unidades

x 10

Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la tabla y las ecuaciones.

¿En qué se parece y en qué se diferencia 10 veces 2 unidades de valor posicional de 10 veces 1 unidad de valor posicional? Hay 2 unidades en cada valor posicional en lugar de 1. Las 2 unidades se siguen desplazando un valor posicional a la izquierda cada vez que se multiplica por 10. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. 3.

Decenas de millar

Millares

× 10 9 10 × 9,000 = 90,000

Centenas

× 10

10 × 900 = 9,000

Decenas

× 10

10 × 90 = 900

Unidades

× 10

10 × 9 = 90

Vamos a usar el dígito 9 en lugar de dibujar puntos. Registre 10 veces 9 unidades con un dígito en la posición de las unidades y una flecha con × 10 mientras la clase hace lo mismo.

Centenas Decenas Unidades

Considere pedir a sus estudiantes que vayan a la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a comentar las semejanzas y diferencias de hallar 10 veces una cantidad con su pareja de trabajo y la clase.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando multiplica varias veces por 10 y reconoce que un dígito representa 10 veces el valor en la posición a su derecha. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿Qué patrones observan cuando multiplican un número de unidades de valor posicional por 10? ¿De qué manera eso puede ayudarles a hallar 10 × 6 millares o 10 × 6 decenas de millar? • ¿En qué se parecen la relación entre el valor en una posición cualquiera y el valor de la posición a su derecha?

x 10 9

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar la tabla y las ecuaciones. ¿Qué observaron mientras trabajaban? Cada vez que multiplicamos por 10, el 9 se desplaza a la izquierda en la tabla de valor posicional. El valor del 9 va aumentando a medida que se desplaza en la tabla de valor posicional y en el número. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que sucede cuando se multiplican unidades de valor posicional por diez.

Nota para la enseñanza Al multiplicar por diez, evite enseñar trucos como agregar un cero al producto. Esta idea errónea no favorece la comprensión profunda del valor posicional y no es sostenible en grados posteriores, cuando la clase multiplica números decimales por diez.

9 × 10 = 90 0.9 × 10 = 9 0.09 × 10 = 0.9

Usar la división para describir las relaciones de valor posicional La clase usa ecuaciones de factores desconocidos para dividir unidades de valor posicional entre 10. Invite a la clase a consultar el problema 3 a lo largo de la siguiente secuencia para hallar el factor desconocido. Escriba el esquema de oración y la ecuación:

9 millares es 10 veces 9

En 3.er grado, la clase aprendió que, cuando un número se multiplica por diez, los dígitos del número se desplazan un lugar a la izquierda en la tabla de valor posicional. Esta comprensión se aplica a los números enteros y decimales.

9,000 = 10 × ¿Cómo podríamos aplicar lo que acabamos de hacer para hallar el factor desconocido? El factor desconocido es 900 porque sabemos que 10 × 900 = 9,000. Puedo ver en la tabla que 9,000 es 10 veces 900. Complete el enunciado y la ecuación escribiendo 9 centenas en el enunciado y 900 en la ecuación. ¿Qué operación podemos usar para hallar un factor desconocido? La división

Nota para la enseñanza En 5.o grado, la clase amplía su comprensión de dividir entre diez y el desplazamiento de unidades en la tabla de valor posicional para 1 reconocer el valor de un dígito como   de lo 10 que representa en la unidad de valor posicional

a la izquierda.

¿Qué ecuación de división podemos escribir para representar cómo hemos hallado el factor desconocido?

9,000 ÷ 10 = 900 Escriba 9,000 ÷ 10 = 900.

152

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. 4.

Decenas de millar

÷ 10

Millares

÷ 10

Centenas

Decenas

÷ 10

Unidades

÷ 10

90,000 = 10 × 9,000

9,000 = 10 ×

900

900 = 10 ×

90 = 10 ×

90,000 ÷ 10 = 9,000

9,000 ÷ 10 =

900

900 ÷ 10 =

90 ÷ 10 =

Decenas de millar

Millares

Centenas

Veamos cómo se representa la división en la tabla de valor posicional. Invite a la clase a mostrar 90,000 con un 9 en la posición de las decenas de millar. ¿Cuánto es 9 decenas de millar ÷ 10? ¿90,000 es 10 veces qué número?

9 ÷ 10

9,000 Cuando dividimos 9 decenas de millar entre diez, ¿a qué valor posicional se desplaza el 9? A la posición de los millares Dibuje el desplazamiento del 9 con una flecha y ÷ 10. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros y que completen las ecuaciones. Si comenzamos con 9 decenas de millar, ¿cómo se desplaza el 9 en la tabla de valor posicional al hallar el factor desconocido, o el cociente? Se desplaza un valor posicional a la derecha. Se desplaza a la posición de los millares. En el problema 3, cada vez que hallábamos 10 veces una unidad más pequeña, el 9 se desplazaba una posición a la izquierda en la tabla de valor posicional. Cuando hallamos 90,000 ÷ 10, el 9 se desplazó una posición a la derecha en la tabla de valor posicional. Me pregunto si esto sucede cada vez que dividimos entre diez.

153

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

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Para hallar 9,000 ÷ 10, pensemos en un factor desconocido. ¿9,000 es diez veces qué número?

900 Pida a sus estudiantes que completen la ecuación: 9,000 = 10 × 900. ¿Cuál es la ecuación de división relacionada?

9,000 ÷ 10 = 900 Pida a sus estudiantes que completen la ecuación: 9,000 ÷ 10 = 900. ¿A qué valor posicional se desplaza el 9 cuando se dividen los 9 millares entre diez? El 9 se desplaza a la posición de las centenas. Dibuje una flecha con el rótulo ÷ 10 y un 9 en la posición de las centenas. Invite a la clase a hacer lo mismo. Repita el proceso. Use la ecuación de factor desconocido para completar la ecuación de división y para mostrar el dígito que se desplaza a la derecha una unidad de valor posicional cada vez. ¿Qué observaron cada vez que dividimos entre diez? Cada vez que dividimos entre diez, el 9 se desplaza a la derecha una unidad de valor posicional. El valor del 9 va disminuyendo a medida que se desplaza en la tabla de valor posicional y en el número. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parecen y en qué se diferencian la multiplicación de unidades por diez y la división de unidades entre diez.

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Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Demostrar que un dígito representa 10 veces el valor de lo que representa en la posición a su derecha. Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación con toda la clase. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. ¿Cómo se relaciona una unidad de valor posicional con la unidad a su derecha? Cualquier unidad de valor posicional tiene un valor de 10 veces la unidad a su derecha. ¿Cuánto creen que es 10 veces 10 millares? ¿Cómo lo saben? Creo que es 1 centena de millar. Hay un patrón. 10 veces 1 es 1 decena. 10 veces 1 millar es 1 decena de millar. Así que 10 veces 1 decena de millar es 1 centena de millar. ¿Cuánto creen que es 10 veces 1 millón? ¿Cómo lo saben?

10 veces 1 millón es 10 millones. Podemos expresar con otro nombre 1 decena de millón.

DUA: Representación Considere brindar apoyo a la clase con una experiencia multisensorial cuando reflexionen acerca de cómo 10 veces una cantidad se relaciona con las unidades de valor posicional. Ponga los discos de valor posicional a disposición de sus estudiantes para que puedan representar sus interpretaciones de la frase tantas veces una cantidad. Durante la conversación de la clase, ilustre el razonamiento de sus estudiantes en una tabla de valor posicional. Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Podemos usar el patrón y desplazar 1 millón una posición a la izquierda para obtener 1 decena de millón.

x 10

Cuando multiplicamos 6 decenas por 10, ¿qué sucede con el valor del 6?

10 veces 6 decenas es 6 centenas. Si representamos la multiplicación en la tabla de valor posicional, el dígito 6 se desplazaría una posición a la izquierda, de las decenas a las centenas. ¿Cuáles son las semejanzas y las diferencias entre multiplicar unidades por diez y dividir unidades entre diez? Multiplicar una unidad de valor posicional por diez desplaza el valor del dígito a la izquierda un valor posicional. Dividir entre diez hace lo contrario y desplaza el valor del dígito una posición a la derecha.

1 decena = 10 unidades 1 decena es 10 veces 1 unidad 10 = 10 X 1 Diez veces la cantidad Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

10 X 1 decena de millar = 1 centena de millar

155

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Nombre

Fecha

Usa la tabla de valor posicional para completar los enunciados y las ecuaciones. 5.

Millares Centenas Decenas Unidades

10 veces 1 unidad es

10 × 1 unidad =

decena

10 × 1 =

decena.

1,000

10 × 1 centena = 10 × 100 = 1,000

156

10 veces 1 decena es

10 × 1 decena =

centena

centena.

100

millar

× 10

10 veces 1 unidad es 1 decena.

10 veces 1 decena es 1

10 × 1 =

10 × 10 =

10 × 1 millar =

10 × 1,000 =

10,000

decena de millar

centena .

100

1 decena es 10 veces 1 unidad.

1 centena es 10 veces 1 decena.

10 = 10 ×

100 = 10 ×

Millares Centenas Decenas Unidades

× 10

10,000

10 veces 1 millar es 1 decena de millar.

10 veces 1 centena es 1 millar.

Millares Centenas Decenas Unidades

100

10 × 10 =

× 10

Agrupa 10 discos para formar una nueva unidad. Luego, completa el enunciado y las ecuaciones. 1.

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Millares

Centenas Decenas Unidades

× 10

10 veces 3 decenas es 3 centenas .

10 veces 8 centenas es 8

10 × 30 =

10 × 800 = 8,000

300

millares .

3 centenas es 10 veces 3 decenas.

8 millares es 10 veces 8 centenas .

300 = 10 ×

8,000 = 10 ×

GRUPO DE PROBLEMAS

800

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Completa cada enunciado trazando una línea hasta el valor correcto.

Usa la tabla de valor posicional para completar la ecuación. 9.

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

10.

Decenas de millar

10 ÷ 10 =

11.

Decenas de millar

Millares

10,000 ÷ 10 =

Centenas

Decenas

Unidades

÷ 10

50 ÷ 10 =

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

÷ 10

12.

Decenas de millar

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

Millares

1,000

Centenas

Decenas

13.

2 millares es 10 veces

14.

2 decenas ÷ 10 =

15.

10 veces 2 unidades es

16.

10 × 4 unidades =

17.

4 decenas es 10 veces

18.

4,000 ÷ 10 =

2 unidades

2 decenas

2 centenas

Unidades

÷ 10

70,000 ÷ 10 =

4 unidades

7,000

GRUPO DE PROBLEMAS

4 decenas

4 centenas

157

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 19. Por la mañana, hay $700 en la caja registradora. Al final del día, hay 10 veces esa cantidad de dinero. a. ¿Cuánto dinero hay en la caja registradora al final del día?

10 × 700 = 7,000 Al final del día, hay $7,000 en la caja registradora.

b. Explica tu razonamiento.

10 veces 7 centenas es 7 millares.

158

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 6 ▸ Tabla de 10 veces la cantidad

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

10 veces 1 unidad es 1

10 veces 1 decena es 1

10 veces 1 centena es 1

10 veces 1 millar es 1

10 veces 1 decena de millar es 1

10 veces 1 centena de millar es 1

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159

LECCIÓN 7

Escribir números hasta 1,000,000 en forma unitaria y en forma desarrollada usando la estructura de valor posicional

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Fecha

Escribe el número 26,518 en su forma desarrollada de dos maneras diferentes.

20,000 + 6,000 + 500 + 10 + 8 (2 × 10,000) + (6 × 1,000) + (5 × 100) + (1 × 10) + (8 × 1)

Vistazo a la lección La clase usa la forma unitaria para expresar números que se representan con discos de valor posicional y se dibujan en la tabla de valor posicional. Examinan y registran los números en forma desarrollada de dos maneras diferentes. En esta lección se presenta el término expresar.

Preguntas clave • ¿Cuál es la diferencia entre representar números usando discos de valor posicional y representarlos en forma unitaria? • ¿En qué se parecen las formas unitaria y desarrollada a la forma estándar y en qué se diferencian?

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA7 Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada. (NY-4.NBT.2a)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

• Prepare 6 marcadores de diferentes colores.

Presentar 5 min

• marcadores (6)

• Prepare al menos 4 discos de una centena de millar, 3 discos de una decena de millar, 6 discos de un millar, 4 discos de una centena, 3 discos de una decena y 7 discos de una unidad para cada estudiante y usted.

Aprender 35 min • Números hasta 1 millón en forma unitaria • Números hasta 1 millón en forma desarrollada

• set de discos de valor posicional

Estudiantes • set de discos de valor posicional

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

161

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Fluidez

¿Cuál es el factor desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

2 Muestre el factor desconocido y el esquema de oración. Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

20 = 10 × 20

es 10 veces

20 es 10 veces 2. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

162

30 = 10 ×

50 = 10 ×

90 = 10 ×

60 = 10 ×

70 = 10 ×

80 = 10 ×

100 = 10 ×

10 = 10 ×

40 = 10 ×

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Contar de decena de millar en decena de millar y de centena de millar en centena de millar con el método matemático La clase hace una recta numérica con los dedos mientras cuentan en voz alta y representan composiciones para desarrollar la fluidez con el conteo hasta 1,000,000. Cada vez que cuenten salteado, muestre el método matemático con los dedos mientras la clase cuenta, pero no cuente en voz alta. Vamos a contar de decena de millar en decena de millar con el método matemático. Cada dedo representa 10,000. Pida a la clase que cuente de decena de millar en decena de millar del 0 al 100,000 con el método matemático. ¿Qué unidad más grande podemos formar con 10 decenas de millar?

1 centena de millar Podemos agrupar 10 decenas de millar para formar 1 centena de millar. (Una las manos). Pida a la clase que represente la acción de agrupar 10 decenas de millar uniendo las manos. Repita el proceso y pida a la clase que cuente de centena de millar en centena de millar del 0 a 1,000,000 con el método matemático. Agrupe las 10 centenas de millar para formar 1 millón uniendo las manos.

163

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Intercambio con la pizarra blanca: De forma unitaria a forma estándar Dado un número de dos o tres dígitos en forma unitaria, la clase lo escribe en forma estándar como preparación para escribir números hasta 1,000,000. Muestre 1 decena y 7 unidades =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma unitaria. ¿Comenzamos?

1 decena y 7 unidades

1 decena y 7 unidades =

Escriban el número en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

9 decenas y 1 unidad = 91

8 decenas = 80

10 decenas = 100

1 centena, 5 decenas y 2 unidades = 152

3 centenas, 7 decenas y 4 unidades = 374

4 centenas y 3 decenas = 430

5 centenas y 5 decenas = 550

2 centenas y 7 unidades = 207

6 centenas y 1 unidad = 601

164

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Presentar

Materiales: M) Marcadores

La clase cuenta salteado y usa el lenguaje de valor posicional para describir los patrones de conteo. Reúna a la clase para contar a coro. Dígales que van a contar salteado de dos millares en dos millares, empezando en 80,000. Invite a la clase a pensar en silencio cuál es el número que le sigue a 80,000 y a hacer una señal silenciosa para indicar que terminaron y que ya pueden empezar a contar en voz alta. Empiece a contar en 80,000. 80,000 90,000 Pida a sus estudiantes que cuenten a coro lentamente. 82,000 92,000 A medida que cuentan, registre el conteo 84,000 94,000 verticalmente, escribiendo cada nuevo múltiplo 86,000 96,000 de 10,000 en una columna diferente. Deje espacio entre 88,000 98,000 los números para registrar los patrones y las conexiones que sus estudiantes observen después de contar.

100,000

110,000

120,000

102,000

112,000

122,000

104,000

114,000

106,000

116,000

108,000

118,000

Nota para la enseñanza Planificar el modo de registrar el conteo a coro es fundamental para que la clase extraiga patrones e ideas importantes. El conteo a coro puede registrarse de diferentes maneras para proporcionar apoyo a sus estudiantes de modo que adquieran un razonamiento flexible de los patrones repetitivos y para destacar conceptos específicos. A medida que la clase cuenta y explica los patrones en los números, use marcadores de diferentes colores para hacer anotaciones y resaltar las observaciones que hacen.

Haga una pausa después de 94,000. Dibuje un recuadro con un marcador de color para delimitar el espacio donde escribirá el último número de la columna. ¿Cuál creen que es el último número que escribiremos en esta columna? ¿Cómo lo saben? Es 98,000, porque el número que escribimos en la columna anterior fue 88,000. Ahora estamos contando en la columna de los 90 millares. Siga contando. Haga una pausa después de 98,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué número será el siguiente, y a hacer una señal silenciosa para indicar que terminaron y que ya pueden continuar con el conteo. Siga contando. Haga una pausa después de 102,000. © Great Minds PBC

165

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 ¿Cómo cambiaron los números que contamos? ¿Cómo supieron que tenían que hacer ese cambio?

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nota para la enseñanza

Ahora, estamos contando números en las centenas de millar. Si estuviéramos contando de dos en dos, contaríamos 98, 100, 102. Este caso es parecido, pero contamos millares. Termine el conteo en 122,000. Guíe una conversación con +10,000 preguntas como las siguientes, para obtener observaciones 80,000 90,000 100,000 110,000 120,000 sobre los números. Anime a la clase a usar el lenguaje 82,000 92,000 102,000 112,000 122,000 de valor posicional cuando compartan sus ideas. Espere 84,000 94,000 104,000 114,000 a que sus estudiantes digan los patrones y las conexiones que 86,000 96,000 106,000 116,000 observan entre los números de una misma columna y de 88,000 98,000 108,000 118,000 columnas diferentes. A medida que la clase comparte sus observaciones, registre los patrones y las conexiones en la lista de números para mostrar todo lo que observaron. Para diferenciar las observaciones, considere usar colores y símbolos diferentes, como subrayados, círculos o flechas. • ¿Qué patrones observaron? • ¿Qué se repite en el conteo? ¿Qué permanece igual? • ¿Por qué los números de millares son todos pares? • ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos de contar de dos millares en dos millares y contar de dos en dos? Contar de dos millares en dos millares es como contar de dos en dos, pero con una unidad de valor posicional diferente. Me pregunto si lo que sabemos acerca de los números pequeños nos puede ayudar a representar números más grandes de diferentes maneras.

Considere hacer preguntas adicionales a la clase acerca de sus procesos y estrategias de conteo. • ¿Cómo les ayudan los patrones a calcular qué número es el que sigue? • ¿Hay alguna otra estrategia para hallar qué número es el que sigue? • ¿Alguno de ustedes cambió de opinión acerca de qué número es el que seguiría? Expliquen su razonamiento al resto de la clase.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar esquemas de oración como los siguientes para brindar apoyo a sus estudiantes a medida que observan patrones en el conteo. • Observé que el dígito en la posición de los millares . • Observé que los números de cada columna . • Observé que el primer número de cada columna . • Observé que todos los números de la misma fila .

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy vamos a usar lo que sabemos acerca del valor posicional para representar números en forma unitaria y en forma desarrollada.

166

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Aprender

Números hasta 1 millón en forma unitaria Materiales: M/E) Discos

Nota para la enseñanza

La clase representa números con discos de valor posicional y, luego, escribe y dice los números en forma unitaria. Escriba 35,427. Invite a la clase a clasificar los discos de valor posicional en grupos de una misma unidad y a que se reúna y converse en parejas acerca del valor de cada unidad. Luego, pídales que trabajen en parejas para representar 35,427 usando los discos y ubicándolos sobre sus escritorios. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:

El uso de discos de valor posicional y de puntos dibujados para representar números de hasta tres dígitos, así como el uso de las formas estándar, unitaria y desarrollada para expresar números, son estrategias que sus estudiantes ya conocen y aplicaron en grados anteriores. En esta lección se representan números de hasta siete dígitos para profundizar ese trabajo.

• ¿Cuál es el valor posicional más grande en este número? ¿Cómo lo saben? • ¿Cuántas decenas de millar hay? ¿Y millares? ¿Y centenas? ¿Y decenas? ¿Y unidades?

Nota para la enseñanza

• ¿Cómo organizaron los discos? ¿Por qué? Una vez que sus estudiantes terminen, pídales que usen marcadores de borrado en seco para escribir los dígitos que representan el número de discos de valor posicional de cada valor posicional. ¿Qué relación hay entre el número de discos de cada valor posicional y el número de dígitos que escribieron? Es el mismo número. Por ejemplo, hay 3 discos de una decena de millar y el número tiene 3 decenas de millar.

5 , 4

Digamos el número en forma unitaria. Ayúdense con los discos. Pida a sus estudiantes que señalen cada dígito, empezando en 3 decenas de millar y que digan a coro el número en forma unitaria.

3 decenas de millar, 5 millares, 4 centenas, 2 decenas y 7 unidades Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ayuda usar discos de valor posicional para decir la forma unitaria de un número.

Si la clase necesita apoyo para decir la forma unitaria de un número, considere preguntar cuántas unidades de valor posicional hay de cada tipo y, luego, diga todo el número en forma unitaria. Use una secuencia de preguntas e instrucciones como la siguiente. • ¿Cuántas decenas de millar hay? (3 decenas de millar) • ¿Cuántos millares hay? (5 millares) • ¿Cuántas centenas hay? (4 centenas) • ¿Cuántas decenas hay? (2 decenas) • ¿Cuántas unidades hay? (7 unidades) • Luego, pida a sus estudiantes que señalen cada dígito y que digan a coro el número en forma unitaria.

167

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 Escriba 416,034. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para representar 416,034 usando los discos. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Observe a las parejas para detectar a quienes hacen una pausa cuando ven el 0 en la posición de las centenas. Además de las preguntas planteadas anteriormente, considere hacer las siguientes preguntas:

Diferenciación: Apoyo

6, 0

• ¿Cómo se representan 0 centenas? ¿Por qué? Anime a la clase a dejar un espacio entre los discos de un millar y los discos de una decena para representar las centenas.

Presente un ejemplo con unidades conocidas para ayudar a sus estudiantes a comprender por qué es importante representar cada uno de los valores posicionales con un dígito cuando se escribe un número. Por ejemplo, muestre 2 centenas y 3 unidades. Pregunte a la clase cuál es el número que está representado con los discos. Escriba el número 203. Pregunte a la clase qué representa el 0 en el número. Luego, pregunte qué sucede con el número si las 0 decenas no se representan.

Pida a sus estudiantes que usen marcadores de borrado en seco para escribir los dígitos que representan el número de discos de valor posicional de cada valor posicional. Cuando representamos un número usando dígitos, debemos representar cada valor posicional con un dígito. ¿Qué dígito usamos para representar el número de centenas? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre lo que pasaría con el número si no se representaran las 0 centenas. El número cambiaría. Faltaría un dígito. En lugar de ser 416,034, sería 41,634. El número no tendría sentido. Digamos el número en forma unitaria. Ayúdense con los discos. Pida a sus estudiantes que señalen cada dígito, empezando por las 4 centenas de millar, y que digan a coro el número en forma unitaria.

4 centenas de millar, 1 decena de millar, 6 millares, 0 centenas, 3 decenas y 4 unidades Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea a coro el problema con la clase.

168

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 Dibuja puntos en la tabla de valor posicional para representar el número. Luego, completa los espacios para identificar cuántas unidades hay en cada valor posicional. 1. 270,364

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

centenas de millar

decenas de millar

millares

centenas

decenas

unidades

Cuando se expresa un número en forma estándar, cada dígito representa una cantidad (un valor) basada en su lugar o posición, pero en la forma unitaria, la cantidad de cada unidad se indica con el nombre correspondiente y con cuántas unidades de ese valor hay. Por esta razón, en la forma unitaria no es necesario decir que hay 0 de una unidad en particular; no obstante, sí es necesario incluir el 0 como marcador de posición en la forma estándar. Esta sutil diferencia puede plantear un desafío para sus estudiantes. Considere incluir todos los valores posicionales cuando exprese la forma unitaria de un número incluso si hubiera 0 de algún valor posicional. A medida que sus estudiantes se familiaricen con la expresión de números más grandes en forma unitaria y en forma desarrollada, reflexione con la clase sobre si es necesario que el 0 esté incluido.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

2. 1,056,230

Millones

Nota para la enseñanza

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Cada estudiante reconoce y usa las estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de la relación entre el valor posicional, la forma estándar, la forma unitaria y la forma desarrollada para expresar números usando la forma unitaria y la forma desarrollada. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

millón

centenas de millar

decenas de millar

millares

centenas

decenas

unidades

• ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca del valor posicional para expresar 270,364 en forma unitaria? • ¿Cómo se relacionan la forma unitaria y la forma desarrollada? ¿De qué manera eso les ayuda a expresar 270,364 en forma desarrollada?

169

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar puntos en la tabla de valor posicional para representar 270,364. Luego, pídales que completen los espacios para identificar el número de unidades que hay para cada valor posicional.

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Apoyo para la comprensión del lenguaje

Escriba 270,364. Este número está expresado, o escrito, en forma estándar. Pensemos en las unidades de valor posicional que hay para cada dígito y expresemos el número en forma unitaria. Vamos a empezar por la unidad más grande. Invite a la clase a decir a coro la forma unitaria del número.

2 centenas de millar, 7 decenas de millar, 0 millares, 3 centenas, 6 decenas y 4 unidades Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2. Invite a la clase a decir a coro la forma unitaria del número.

1 millón, 0 centenas de millar, 5 decenas de millar, 6 millares, 2 centenas, 3 decenas y 0 unidades Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo ayuda la forma unitaria a mostrar el valor de cada dígito de un número. La forma unitaria nos ayuda a saber cuántas unidades de valor posicional de cada tipo tiene un número.

En este segmento, se presenta el término expresar. La clase ya ha utilizado, en el contexto del valor posicional, el término expresar con otro nombre, que implica cambiar el nombre de una cantidad (p. ej., expresar 1 centena como 10 decenas). Considere enseñar por adelantado el significado del término en este otro contexto, anticipándose al momento en el que sus estudiantes deben expresar un número en forma unitaria. Explique que, en matemáticas, podemos expresar o representar números de maneras diferentes. Considere activar los conocimientos previos de la clase preguntando qué formas usaron ya para representar números (p. ej., unitaria, desarrollada, estándar o escrita).

La forma unitaria nos ayuda a usar el nombre correcto de cada dígito. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comparar la forma unitaria y la forma estándar.

170

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Números hasta 1 millón en forma desarrollada La clase compara dos maneras diferentes de expresar un número en forma desarrollada y las relaciona con el valor posicional. Muestre la imagen 270,364 con 270,364 escrito Método de Shen: 200,000 + 70,000 + 300 + 60 + 4 en forma desarrollada de dos maneras Método de Carla: (2 × 100,000) + (7 × 10,000) + (3 × 100) + (6 × 10) + (4 × 1) diferentes. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar los dos ejemplos.

Observar y preguntarse En el problema 1, representamos 270,364 en forma unitaria. Shen y Carla representaron 270,364 de otra manera. Escribieron el número usando la forma desarrollada. ¿Qué observan en el trabajo que hicieron? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? En el método de Shen, veo sumas. En el método de Carla, veo multiplicaciones y sumas. Tanto Carla como Shen usaron los dígitos 2, 7, 3, 6, 4 y 0. Carla también usó el dígito 1. Me pregunto por qué Carla usó la multiplicación. Me pregunto si estos dos métodos diferentes representan el mismo número.

Organizar ¿Qué pasos siguieron Shen y Carla? ¿Cómo lo saben? Shen empezó con la unidad de valor posicional más grande. Es lo mismo que hacemos cuando usamos la forma unitaria. Hay 2 centenas de millar, pero lo escribió con dígitos, 200,000. Luego, escribió 7 decenas de millar con dígitos, 70,000. Siguió haciendo lo mismo con todas las unidades de valor posicional excepto con los 0 millares. Sumó todos los números. Carla empezó con la unidad de valor posicional más grande. Hay 2 centenas de millar, pero lo escribió con multiplicaciones. Es lo mismo que hacemos cuando usamos discos de valor posicional. Serían 2 discos de 100,000 o 2 × 100,000. Hizo lo mismo con todas las unidades de valor posicional excepto con los 0 millares. Usó paréntesis para mostrar cada valor posicional y los sumó. Guíe la conversación para enfocarse en la forma desarrollada y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones entre la forma desarrollada y el valor posicional.

171

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Mostrar Vamos a enfocarnos en estas dos formas desarrolladas para ver cómo están escritas. ¿En qué se parecen las dos formas? ¿En qué se diferencian? Los productos de las expresiones de Carla son los mismos números que escribió Shen con el método que usó. 2 grupos de 100,000 es lo mismo que 200,000. El método que usó Shen muestra la cantidad total para cada unidad. El método que usó Carla muestra cuántas unidades de cada valor posicional hay. Veo que ni Shen ni Carla incluyeron millares en la forma desarrollada. ¿Por qué creen que no lo hicieron? Hay 0 millares en la posición de los millares. Sumaron todos los números. Si escribieran 0 millares, es como si sumaran 0, lo que no cambia el número. El número sigue siendo el mismo. Entonces, quizás no haga falta escribir 0 millares. El valor de 0 millares es 0. No es necesario incluir que hay 0 unidades de cualquier posición en la forma desarrollada porque el valor del número no cambia. ¿Que nos indica esa conclusión en cuanto a incluir 0 unidades en la forma unitaria? No es necesario incluir que hay 0 unidades de cualquier posición en la forma unitaria tampoco porque el valor del número no cambia.

Sintetizar ¿Cómo se relaciona la forma desarrollada con el número escrito en forma estándar? En las dos formas desarrolladas están representados todos los dígitos de la forma estándar, excepto el 0. Hay un 0 en la posición de los millares en la forma estándar. No hay millares en el método de Shen y no hay grupos de millares en el método de Carla.

Comprender ¿Para qué nos sirve comprender los valores posicionales cuando escribimos un número en forma desarrollada? Puedo pensar que un número está compuesto de unidades de valor posicional. La forma desarrollada me ayuda a mostrar las partes del número.

172

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca del valor posicional de cada dígito del número. Expresa los números en su forma desarrollada de dos maneras diferentes. 3.

83,015 80,000 +

3,000

(

× 10,000) + (

+ 3

5 × 1,000) + (

× 10) + (

× 1)

620,409 600,000 (

20,000

× 100,000 ) + (

400

× 10,000 ) + (

9 4

100

)+(

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar una tabla de valor posicional. Anime a la clase a escribir todos los dígitos del número en su valor posicional correspondiente en la tabla antes de expresar el número en forma desarrollada. Luego, haga una pregunta como: “¿Qué número representa el 8 que está en la posición de las decenas de millar?”.

) Nota para la enseñanza

Guíe a sus estudiantes para que usen el razonamiento del valor posicional mientras completan el problema 3, en el que deberán expresar 83,015 en forma desarrollada y en forma desarrollada con multiplicaciones. Considere usar el siguiente ejemplo de secuencia. Escriba 83,015. Haga las siguientes preguntas. A medida que la clase las responde, escriba el valor de cada dígito. Cuando expresamos un número en forma desarrollada, en general empezamos con el dígito de mayor valor posicional. ¿Con qué dígito debemos empezar? ¿Cuántas decenas de millar hay? Con el 8, porque está en la posición de las decenas de millar. Representa 8 decenas de millar, u 80,000. ¿Cuál es la unidad de valor posicional que sigue? ¿Cuántos millares hay? La siguiente unidad de valor posicional son los millares. Hay 3 millares, o 3,000. ¿Cuál es la unidad de valor posicional que sigue? ¿Cuántas centenas hay?

Los paréntesis en la forma desarrollada ayudan a visualizar cada agrupación. Sin embargo, no son necesarios para registrar la expresión correctamente.

Diferenciación: Apoyo Para ayudar a sus estudiantes a escribir la forma desarrollada, considere pedirles que usen los discos de valor posicional. Puede serles útil representar el número con discos para ver cómo se compone en cada unidad.

La siguiente unidad de valor posicional son las centenas. Hay 0 centenas. ¿Qué unidades de valor posicional quedan? ¿Cuántas unidades de cada valor posicional hay? Las unidades de valor posicional que quedan son las decenas y las unidades. Hay 1 decena, o 10, y 5 unidades, o 5. ¿Cómo podemos mostrar que las partes se unen para formar el número total? Podemos sumarlas.

173

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 Pida a sus estudiantes que vuelvan al problema 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la expresión que empieza con 80,000 y que piensen por qué hay solo tres espacios en lugar de cuatro. Espere a que la clase diga que hay 0 centenas y que 0 centenas tiene un valor de 0, por lo que la suma no cambiará.

0 centenas tiene un valor de 0. No es necesario incluir que hay 0 unidades de cualquier posición en la forma desarrollada porque el valor del número no cambia.

Invite a sus estudiantes a escribir 3,000, 10 y 5 en cada espacio para completar la expresión. Luego, pídales que trabajen en parejas para completar los espacios y expresar los sumandos mediante la multiplicación. Pida a sus estudiantes que completen el problema 4. Recorra el salón y proporcione apoyo según sea necesario. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre la forma desarrollada y la estándar.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Escribir números hasta 1,000,000 en forma unitaria y en forma desarrollada usando la estructura de valor posicional Guíe una conversación enfatizando la importancia del valor posicional en los números grandes y las formas unitaria y desarrollada. ¿En qué se parece usar discos de valor posicional a usar la forma unitaria? Ambos muestran lo que representa cada dígito de un número. Nos permiten ver las partes que lo forman.

174

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7 ¿Cuál es la diferencia entre representar números usando discos de valor posicional y representarlos en forma unitaria? Los discos de valor posicional muestran cuántas unidades de cada valor posicional hay en un número. Puedo verlas y contarlas. La forma unitaria es diferente porque solo muestra lo que cada dígito representa en el número. Por ejemplo, en 234,067, el dígito 4 representa 4 millares. ¿En qué se parecen las formas unitaria y desarrollada a la forma estándar y en qué se diferencian? Las tres formas muestran lo que representa cada dígito de un número. La forma unitaria usa dígitos y palabras. La forma desarrollada muestra cómo las partes componen el total. La forma estándar muestra los dígitos de un número en su valor posicional. Tanto la forma unitaria como la desarrollada descomponen el número en unidades de valor posicional separadas. Cuando hay 0 unidades para un valor posicional dado en un número, ¿en cuál de las formas debemos representar el 0? Expliquen. Debemos representarlo en la forma estándar, porque todos los dígitos de un número tienen un valor posicional. Si no incluimos el 0, el número cambia porque el valor posicional de los otros dígitos cambia.

175

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Cuenta el número de discos de valor posicional que hay en cada columna de la tabla.

100,000

10,000

1,000

100

100,000

10,000

1,000

100

10,000

1,000

Escribe el número al final de cada columna. Luego, completa los espacios para escribir la forma unitaria del número representado en la tabla. El primero ya está empezado como ejemplo. 1.

1,000

100

1,000

100

1,000

100

1,000

100

1,000

100

centenas de millar,

decenas de millar,

millares,

decenas y

1,000,000

100,000

centenas,

unidades

3 3

5 2

millares,

centenas,

decenas y

10,000

1,000

100

10,000

1,000

100

100,000

100

100,000

100

100,000

100

1,000

unidades

100 10,000

10,000

4 4 © Great Minds PBC

176

2 decenas de millar,

2 2

6 millares,

1 2

centenas,

decenas y

millón,

centenas,

100

centenas de millar,

decenas de millar,

decenas y

2 1

8 millar,

unidades

unidad 63

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Usa los números de la tabla de valor posicional para completar la forma desarrollada. 5.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

200,000 + 40,000 + 600 + 2

Forma desarrollada: Forma desarrollada: 3,000 +

100 +

Completa los espacios para escribir la forma desarrollada de los números de dos maneras. 6.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Forma desarrollada: 40,000 + 9,000 +

Forma estándar 9. 4,923

Forma desarrollada

4,000 + (4 ×

10. 63,485

Millones

11. 10,604

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Forma desarrollada: 700,000 +

2,000

900

GRUPO DE PROBLEMAS

) + (9 × 100) + (2 × 10) + (

× 1)

+ 3,000 + 400 +

× 10,000) + (3 ×

1,000

+ (4 × 100) + (8 × 10) + (5 ×

10,000 + (1 ×

12. 871,507

1,000

+ 20 +

60,000 (

900

600

10,000 ) + (

)

+4 6

× 100) + (4 ×

)

800,000 + 70,000 + 1,000 + 500 + 7 (8 × 100,000) + (7 × 10,000) + (1 × 1,000) + (5 × 100) + (7 × 1)

GRUPO DE PROBLEMAS

177

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2 New York Next Gen

13. La Sra. Díaz quiere comprar un barco de pesca. La imagen muestra cuánto cuesta el barco. Pablo dice que el número del precio en dólares es 30,000 + 5,000 + 40. Amy dice que el número del precio en dólares es 30 decenas de millar, 5 centenas y 4 decenas.

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 7

$10,000 $10,000 $10,000

$100 $10 $100 $10 $100 $10 $100 $10 $100

¿Quién está en lo correcto? ¿Quién cometió un error? Explica tu razonamiento. Tanto Pablo como Amy cometieron un error. El barco de la Sra. Díaz cuesta $30,540. Pablo debería decir 30,000 + 500 + 40. Amy debería decir 3 decenas de millar, 5 centenas y 4 decenas.

178

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 8

Escribir números hasta 1,000,000 en forma estándar y en forma escrita

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

Completa la tabla. Usa comas en la forma estándar y en la forma unitaria.

Vistazo a la lección La clase relaciona los patrones de la tabla de valor posicional con el uso de las comas en la forma estándar. Luego, escriben números en forma estándar y en forma escrita. Dados ciertos números escritos en forma desarrollada, la clase escribe los números en forma estándar y en forma escrita. En esta lección se presenta el término billón.

Forma estándar

Forma unitaria

Forma escrita

9,304

9 millares, 3 centenas y 4 unidades

Nueve mil trescientos cuatro

Preguntas clave

62,789

6 decenas de millar, 2 millares, 7 centenas, 8 decenas y 9 unidades

Sesenta y dos mil setecientos ochenta y nueve

• ¿Por qué representamos los números de diferentes maneras? • ¿Cómo nos ayudan los patrones de la tabla de valor posicional a representar números de diferentes maneras?

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA7 Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada. (NY-4.NBT.2a)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 10 min

• tarjetas de valor posicional hasta los millones

• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado.

Aprender 30 min • Las comas en la forma estándar • Escribir números en forma estándar y en forma escrita • De forma desarrollada a forma estándar y a forma escrita

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si las preparará con la clase durante la lección.

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma escrita a forma estándar Dado un número de dos o tres dígitos en forma escrita, la clase lo escribe en forma estándar como preparación para escribir números. Muestre veintisiete =

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma escrita. ¿Comenzamos? Veintisiete Escriban el número en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

veintisiete =

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

cincuenta y uno

ciento sesenta y dos

setecientos cuarenta

182

setenta

noventa

trescientos dieciocho cuatrocientos treinta

doscientos cinco

novecientos nueve

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Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional La clase identifica un valor posicional y el valor de un dígito en un número de tres o cuatro dígitos y, luego, escriben el número en forma desarrollada para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 137. Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

137

100 + 30 + 7

¿Qué dígito está en la posición de las decenas?

3 Muestre el 3 subrayado. ¿Qué valor tiene el 3 en este número?

30 Escriban 137 en forma desarrollada. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el número en forma desarrollada: 100 + 30 + 7. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1,274

3,482

7,860

5,902

183

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

Presentar

Materiales: M) Tarjetas

La clase relaciona los números expresados en jeroglíficos egipcios con los números expresados en forma desarrollada. Muestre los numerales de los jeroglíficos egipcios. Explique que los antiguos egipcios usaban jeroglíficos para escribir los números, y que cada uno de ellos tiene el valor que se muestra.

1,000,000

100,000 10,000 1,000

100 10 1

Las matemáticas en el pasado El recurso Las matemáticas en el pasado incluye una explicación más detallada de cada jeroglífico y más información acerca de cómo los antiguos egipcios los usaban para representar números.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los numerales egipcios y los que usamos en la actualidad. Ahora, usamos dígitos. Los egipcios usaban diferentes símbolos. Algunos parecen dibujos. Los egipcios tenían un símbolo con el que representaban un número grande, como 100,000. Hoy usamos más dígitos para los números más grandes. Muestre el número 3,152 usando los jeroglíficos egipcios junto con la leyenda que indica el valor de cada símbolo. Dé a las parejas de estudiantes 1 minuto para hallar el valor del número que representan los jeroglíficos.

1,000,000 100,000 10,000 1,000 100 10 1

Recorra el salón mientras la clase trabaja y observe quiénes registran expresiones de suma similares a la forma desarrollada.

184

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 Guíe una conversación de toda la clase. 1,000 + 1,000 + 1,000 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 Invite a una pareja de estudiantes a compartir 3,000 + 100 + 50 + 2 su trabajo con el resto de la clase. Haga preguntas como las siguientes para destacar 3,152 el razonamiento que relacione su trabajo con la forma desarrollada: • ¿Dónde ven unidades diferentes en su trabajo? ¿Cómo lo podemos relacionar con los jeroglíficos egipcios que representan el número? • ¿Dónde ven expresiones parecidas a la forma desarrollada en su trabajo? • ¿Cómo escribiríamos 3,152 en forma desarrollada? ¿En qué se parece y en qué se diferencia de la manera en que los antiguos egipcios escribían un número? Invite a cuatro estudiantes a sostener tarjetas de valor posicional que representen 8,425 en forma desarrollada. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo las tarjetas muestran un número de manera diferente a la que usarían los egipcios.

8,000

400

Las tarjetas usan ceros para mostrar el valor posicional de cada dígito. Los antiguos egipcios usaban un símbolo diferente para cada valor posicional. Con solo 4 dígitos se expresa 8,000. Los egipcios mostrarían 8 símbolos de 1,000. Pida a sus estudiantes que sostengan las tarjetas, una junto a la otra, para mostrar el número en forma estándar. ¿Qué número se muestra?

8,425

185

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 Pida al grupo de estudiantes que separen las tarjetas para volver a mostrar la forma desarrollada y que se ubiquen en otras posiciones para mostrar las tarjetas en un orden diferente. Los símbolos egipcios tienen el mismo significado sin importar cuál sea el orden en el que están escritos. Si escribimos la forma desarrollada en un orden diferente, ¿seguimos teniendo la misma cantidad? ¿Cómo lo saben?

400

8,000

Seguimos teniendo la misma cantidad. Son los mismos valores, solo que están ordenados de diferente manera. ¿Qué sucede si escribimos los dígitos en un orden diferente? En ese caso el valor cambiaría porque los dígitos estarían ubicados en valores posicionales diferentes. Cuando expresamos números en forma estándar, el orden de los dígitos es importante. La posición de cada dígito nos dice su valor. Esa información nos ayuda a expresar y decir el número. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy vamos a expresar números de formas diferentes para expresarlos y escribirlos correctamente.

Aprender

Nota para la enseñanza 30

Las comas en la forma estándar La clase relaciona el uso de la coma con los patrones observados en la tabla de valor posicional e identifican el rol de la coma en la forma estándar. Muestre el número 1000000000 sin comas. Invite a sus estudiantes a observar el número y preguntarse cómo se dice.

186

1000000000

El nombre de un número está conformado por la palabra o las palabras que se usan para leerlo y decirlo. Por ejemplo, el nombre del número 214 es doscientos catorce. Cuando expresamos un número, generalmente significa que lo leemos en silencio, lo leemos en voz alta o lo escribimos con palabras (es decir, usando la forma escrita). En esta lección, leer, decir y escribir se usan para especificar cómo expresar un número.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Qué observan? Es un número grande, con muchos ceros. El número no tiene ninguna coma. El único dígito que no es un cero es un 1. ¿Qué se preguntan? ¿Qué número es ese? ¿Cómo se dice? ¿Cómo se llaman todos esos valores posicionales? ¿Podemos colocarle comas al número en algún lado? ¿Cómo leerían el número usando palabras? Si tienen dudas, ¿qué más necesitan saber? No lo sé. Hay muchos ceros. El número es 1 de alguna unidad. Necesito saber el valor posicional del 1. Muestre el número 1,000,000,000 en una tabla de valor posicional hasta los billones sombreada.

Millares de millón

Centenas de millón

Decenas de millón

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan con respecto al número y a la tabla de valor posicional. ¿De qué manera representar el número en la tabla de valor posicional nos puede ayudar a leerlo? El 1 está en la posición de los billones y los ceros están en las demás posiciones. Sé que es 1 billón. Si el 1 estuviera en la posición de los millones y el resto de las posiciones fueran ceros, leería el número como 1 millón. Entonces, este número debe ser 1 billón. El número es 1 billón. La posición de los billones es el valor posicional de la tabla que se ubica a la izquierda de la posición de las centenas de millón. ¿Qué patrones observan en los nombres de las unidades de la tabla de valor posicional? La palabra millar se repite en un grupo de 3. La palabra millón también se repite. Cada grupo de 3 tiene las palabras decena y centena.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Existen dos sistemas, o escalas numéricas, para nombrar los números que son mayores que el millón: la escala larga y la escala corta. En Hispanoamérica y Europa continental se utiliza la escala larga, y en los Estados Unidos se utiliza la escala corta. En esta lección, y en las lecciones de los próximos grados, se utilizan los nombres de la escala corta. Considere dedicar tiempo de la clase a conversar sobre las diferencias entre ambos sistemas numéricos. En esta lección se presenta el término billón para ayudar a la clase a observar patrones y reconocer periodos en la tabla de valor posicional. En Estados Unidos, billón significa la unidad seguida de 9 ceros: 109. En Hispanoamérica, 109 se conoce como mil millones y la palabra billón significa 1012, es decir, un millón de millones. Las expectativas para 4.° grado incluyen el trabajo con números hasta 1 millón.

187

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 La agrupación de 3 valores posicionales que se repiten se conoce como periodo. En esta tabla de valor posicional, el sombreado muestra el periodo de las unidades, el periodo de los millares, el periodo de los millones y el principio del periodo de los billones. Muestre la tabla de valor posicional con el periodo de las unidades, el periodo de los millares y el periodo de los millones rotulados.

Periodo de millones

Periodo de millares

Periodo de unidades

Millares de millón

Centenas de millón

Decenas de millón

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Apoyo para la comprensión del lenguaje Es posible que la clase necesite apoyo para explorar las distintas acepciones de la palabra periodo. Un periodo es una agrupación de 3 unidades de valor posicional que se repiten. Contraste el uso matemático de periodo con el uso temporal de la palabra, referido a un espacio de tiempo determinado.

¿Qué observan acerca de la posición de las comas en la tabla de valor posicional? Las comas separan los grupos de 3 dígitos. Separan los periodos. Las comas coinciden con el sombreado. Se ubican entre los periodos de las unidades y de los millares, entre los periodos de los millares y de los millones, y entre los periodos de los millones y de los billones. Busquemos patrones y relaciones parecidos en otro número. Muestre la imagen de 315,642 representado en la tabla de valor posicional y escrito en forma estándar y en forma escrita. Este número está dibujado en la tabla de valor posicional y está escrito en forma estándar y en forma escrita. Lea la forma escrita del número a coro con la clase.

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Nota para la enseñanza El valor de un dígito en la forma estándar de un número a veces se menciona haciendo referencia a la unidad (p. ej., millones) y, en otras ocasiones, a su posición (p. ej., posición de los millones).

Nota para la enseñanza 315,642 trescientos quince mil seiscientos cuarenta y dos

¿En qué se parecen y en qué se diferencian las tres formas de expresar el número?

Ayude a sus estudiantes a observar que hasta el veintinueve los números se escriben como una sola palabra y que, a partir de treinta y uno, se separan las decenas y las unidades.

Las tres formas representan la misma cantidad: una está en la tabla de valor posicional, la segunda está escrita en forma estándar y la tercera está en forma escrita. El número de puntos que se muestra en la tabla de valor posicional coincide con los dígitos del número. La forma estándar incluye una coma para separar los periodos, pero la forma escrita no.

188

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Dónde se ubica la coma en la forma estándar? ¿Por qué es útil saberlo para identificar el número? La coma se ubica entre el periodo de las unidades y el periodo de los millares del número. La coma nos ayuda a separar los periodos. En la forma estándar, vemos 315 en el periodo de los millares, a la izquierda de la coma. En la forma escrita, decimos trescientos quince mil. La coma nos recuerda el valor posicional de cada dígito. En la forma estándar, vemos 642 a la derecha de la coma. En la forma escrita, decimos seiscientos cuarenta y dos. La coma de la forma estándar nos ayuda a separar el número en dos grupos. ¿Podríamos decir que la forma escrita de este número es trescientos quince seiscientos cuarenta y dos? ¿Por qué? No podemos escribirlo así porque no se menciona la palabra mil. A la izquierda de la coma no hay solo 315, sino 315 millares, es decir, 315,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las maneras en que la coma de la forma estándar les ayuda a decir el número en forma escrita.

Escribir números en forma estándar y en forma escrita

DUA: Representación Considere presentar la información en otro formato. Use las tarjetas de valor posicional para mostrar que 315 tiene un valor de 300,000 + 10,000 + 5,000, y no de 300 + 10 + 5.

300,000

10,000 5,000 600 40 2

Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase agrupa millares para escribir números en forma escrita y en forma estándar. Escriba el número 1894 en la Tabla de valor posicional hasta los millones.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble 1 8 9 de Tabla de valor posicional hasta los millones de sus libros, insertarla en las pizarras blancas y registrar 1894. Luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas acerca de los lugares del número donde habría que ubicar alguna coma.

Unidades

Nota para la enseñanza Para ayudar a la clase a escribir números en forma estándar, use una tabla de valor posicional a lo largo de toda la lección. La clase expresa un número en forma estándar escribiendo los dígitos en la tabla de valor posicional. Este soporte al aprendizaje ayuda a sus estudiantes a llevar la cuenta del valor posicional de cada dígito, a visualizar dónde ubicar las comas correctamente y a leer el número. Cuando la clase esté preparada, considere retirar el soporte que proporciona la tabla de valor posicional.

189

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Dónde ubicaron la coma en el número? ¿Cómo saben que ese es el lugar correcto? La coma se ubica entre el 1 y el 8 porque el 1 está en la posición de los millares. La coma separa los millares de las centenas, las decenas y las unidades. ¿Cómo leemos este número? Mil ochocientos noventa y cuatro Registre el número en forma escrita debajo de la tabla de valor posicional mientras la clase comparte sus respuestas.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

La manera en que leemos o decimos un número en voz alta coincide con las palabras que usamos en la forma escrita.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

mil ochocientos noventa y cuatro

Invite a la clase a escribir el número en forma escrita debajo de la tabla de valor posicional con la que están trabajando. Vamos a cambiar el número escribiendo un 6 en la posición de las decenas de millar. Invite a la clase a registrar 6 decenas de millar en la tabla de valor posicional y, luego, a que se reúna y converse en parejas acerca del nuevo número en forma escrita. Vemos que 61 está agrupado en el periodo de los millares y 894 está agrupado en el periodo de las unidades. La coma nos ayuda a separar los periodos. Pida a sus estudiantes que señalen los dígitos del periodo de los millares y los dígitos del periodo de las unidades, y que se aseguren de que haya una coma que separe los periodos. Cuando leemos este número, ¿decimos sesenta mil, mil ochocientos noventa y cuatro? ¿O decimos sesenta y un mil ochocientos noventa y cuatro? ¿Cómo lo saben? No decimos sesenta mil y mil. Decir mil dos veces suena raro.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere hacer un afiche de referencia para ayudar a sus estudiantes a usar la ortografía correcta al expresar los números en forma escrita. Ubique el afiche donde toda la clase pueda verlo para consultarlo mientras trabajan. Algunas palabras útiles son:

Unidades

• unidad, decena, centena, millar

• dos, tres…, nueve • once, doce…, diecinueve

sesenta y un mil ochocientos noventa y cuatro

• veinte, treinta…, noventa

Decimos sesenta y un mil porque esos son los millares que hay en el periodo de los millares, a la izquierda de la coma.

190

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 Cuando leemos un número en forma escrita, miramos cada periodo, o agrupación de valor posicional. En este número, agrupamos todos los millares y los decimos como un número total de millares. Escriba la forma escrita de 61,894 cambiando el mil por sesenta y un mil e invite a la clase a hacer lo mismo. Lea la forma escrita del número a coro con la clase. Vamos a volver a cambiar este número. Esta vez, vamos a cambiar la forma escrita primero. Cambie la forma escrita de sesenta y un mil a doscientos sesenta y un mil. Señale la forma escrita mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cuál es el número nuevo? Doscientos sesenta y un mil ochocientos noventa y cuatro ¿Cómo tendríamos que cambiar el número representado en la tabla de valor posicional para que coincida con la forma escrita? ¿Cómo lo saben? Escriba 2 en la posición de las centenas de millar. La forma escrita dice que hay doscientos sesenta y un mil, entonces debemos escribir 261 en el periodo de los millares.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

doscientos sesenta y un mil ochocientos noventa y cuatro

Invite a sus estudiantes a escribir 261,894 en forma estándar y en forma escrita. Luego, lea el número a coro con la clase. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las partes del número que no cambiaron y de las que sí cambiaron cuando lo modificaron. Escriba el número 10367 sin ninguna coma. Dé a las parejas 1 minuto para que ubiquen la coma y escriban el número en forma estándar en la tabla de valor posicional y en forma escrita.

10367

Diferenciación: Desafío Invite a sus estudiantes a seleccionar 12 discos de valor posicional al azar para crear un número. Pídales que organicen los discos según las unidades de valor posicional y que, luego, escriban los números correspondientes en forma estándar y en forma escrita.

191

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Cómo leemos este número? Diez mil trescientos sesenta y siete Escriba 103,67, ubicando la coma en el lugar equivocado. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el error que cometió el o la estudiante cuando escribió el número.

103,67

La coma está entre las centenas y las decenas. Debería estar entre las centenas y los millares. Esa coma me hace pensar que el número debería leerse como 103 mil, cuando en realidad hay 10 mil.

Nota para la enseñanza El uso de comas para separar las agrupaciones de valores posicionales de un número es una convención que se sigue en algunos países, entre ellos, los Estados Unidos, para que los números sean más sencillos de leer. Otros países utilizan un punto o un espacio en lugar de una coma.

La coma formó un grupo de 3 dígitos contando a partir del lado izquierdo del número. Debemos empezar por el lado derecho del número para agrupar primero las unidades, las decenas y las centenas. Las comas se ubican en el número para que nos ayuden a leerlo. Es importante que las comas estén ubicadas en el número en el lugar correcto. Si las comas están ubicadas en el lugar equivocado, no nos ayudan. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo escribir números en forma escrita.

De forma desarrollada a forma estándar y a forma escrita La clase usa el valor posicional para escribir números expresados en forma desarrollada y en forma estándar. Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre la imagen de la forma escrita y la tabla. Pida a sus estudiantes que observen la forma escrita y las tres formas en las que está expresado el número en la tabla. Dé a la clase 1 minuto para que identifique la forma de expresar el número que es incorrecta. Invite a la clase a compartir sus respuestas.

192

trescientos un mil veinticinco Forma desarrollada

Forma estándar

300,000 + 1,000 + 20 + 5

3,125

Discos de valor posicional

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere aclarar el significado de los términos que se usan en las diferentes formas de expresar los números. Cree un afiche con las diferentes formas y muéstrelo a medida que la clase las empieza a usar. Forma estándar: 23,511 Forma escrita: veintitrés mil quinientos once Forma unitaria: 2 decenas de millar, 3 millares, 5 centenas, 1 decena y 1 unidad Forma desarrollada: 20,000 + 3,000 + 500 + 10 + 1 (2 x 10,000) + (3 x 1,000) + (5 x 100) + (1 x 10) + (1 x 1)

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 La forma estándar tiene los dígitos correctos, pero algunos están en la posición equivocada. El 3 de la forma estándar no debería estar en la posición de los millares.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

El 1 de la forma estándar no debería estar en la posición de las centenas. Dé a la clase 1 minuto para que exprese 301,025 en la forma estándar correctamente basándose en lo que hayan comprendido. Anime a la clase a usar la tabla de valor posicional. Recorra el salón e identifique a un o una estudiante para que comparta su razonamiento con la clase. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del valor posicional.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Cada estudiante elabora argumentos viables y analiza el razonamiento de otras personas (MP3) cuando identifica un error cometido en un ejemplo de respuesta y corrige el error tras escuchar las explicaciones de sus compañeras y compañeros. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a un o una estudiante que comparta su respuesta con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta errónea. En lugar de ubicar al 3 en la posición de los millares, debería estar ubicado en la posición de las centenas de millar. El 1 debería estar en la posición de los millares, no en la de las centenas.

• ¿Eligieron la forma incorrecta como una suposición? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad? • ¿Hay alguien que haya corregido la forma? ¿Cómo lo saben?

Al número le faltan ceros. Debería haber un 0 en la posición de las decenas de millar porque no hay decenas de millar en la forma desarrollada. Y va un 0 en la posición de las centenas porque no hay centenas en la forma desarrollada. La coma debería estar a la derecha del 1, entre los millares y las centenas. Escriba 40,000 + 800 + 1 debajo de la tabla de valor posicional y pida a la clase que haga lo mismo. Dé a las parejas 1 minuto para que usen la tabla de valor posicional para representar el número en forma estándar en la tabla y registrarlo en forma escrita.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

40,000 + 800 + 1

cuarenta mil ochocientos uno

¿Cómo supieron de qué manera escribir el número en forma estándar? Empezamos con los números escritos en forma desarrollada: 4 en la posición de las decenas de millar, 8 en la posición de las centenas y 1 en la posición de las unidades. Escribimos un 0 en la posición de los millares y de las decenas para completar el número.

Diferenciación: Apoyo Considere usar la forma desarrollada y la forma unitaria para proporcionar apoyo a sus estudiantes cuando escriben números en forma escrita. Para destacar la agrupación de los millares en la forma escrita, dé a sus estudiantes una cantidad expresada en forma desarrollada y pídales que usen solo millares y la escriban en forma unitaria (p. ej., 300,000 + 40,000 + 2,000 = 300 millares + 40 millares + 2 millares). Luego, pueden combinar los millares y ver 342 millares, es decir, 342 mil.

193

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Cómo les ayudó la coma a expresar el número en forma escrita? La coma nos ayudó a ver que había 40 millares, entonces pudimos escribir cuarenta mil ochocientos uno. Dé a la clase otro número expresado en forma desarrollada y pídales que lo escriban en forma estándar y en forma escrita sin usar la tabla de valor posicional. Considere dar a la clase números como:

Diferenciación: Apoyo

• 800,000 + 10,000 + 5,000 • 60,000 + 20 + 4 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la manera en que pueden usar la forma desarrollada de un número para escribirlo en forma estándar y en forma escrita.

Grupo de problemas

Considere pedir a sus estudiantes que representen el número usando tarjetas de valor posicional antes de escribir el número en forma estándar. Si lo necesitan, también pueden seguir usando la forma desarrollada para escribir los dígitos en la tabla de valor posicional antes de escribir el número en forma estándar.

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Escribir números hasta 1,000,000 en forma estándar y en forma escrita Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo representar números de distintas formas. Muestre el número expresado de formas diferentes. Invite a la clase a consultar las representaciones para apoyar sus respuestas a las siguientes preguntas:

194

56,348 50,000 + 6,000 + 300 + 40 + 8 cincuenta y seis mil trescientos cuarenta y ocho

56 millares, 3 centenas, 4 decenas y 8 unidades

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Por qué representamos los números de diferentes maneras? Usamos la forma estándar cuando queremos expresar un número de la manera en que generalmente lo vemos escrito. La forma desarrollada nos ayuda a ver el valor de cada dígito del número. También nos ayuda a descomponer el número en cada unidad. La forma escrita es útil para quien no sabe cómo se lee o se dice un número. Podemos expresar el número en forma escrita para ayudarle. La forma unitaria es algo parecida a la forma desarrollada. La usamos para ver el valor de cada unidad. Podemos usar la forma unitaria de diferentes maneras para mostrar que podemos expresar con otro nombre los números. Esto es útil cuando queremos redondear números. ¿Cómo nos ayudan los patrones de la tabla de valor posicional a representar números de diferentes maneras? Los patrones que se repiten en cada periodo, como las unidades, las decenas y las centenas, nos ayudan a leer el número y ubicar la coma correctamente en la forma estándar. La coma que incluimos entre el periodo de los millares y las unidades en la forma estándar nos ayuda a leer correctamente el número. Podemos decir los millares en grupo.

195

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

Completa el espacio para que la oración numérica sea verdadera. 8. 1,000 + 400 + 60 + 2 =

Expresa los siguientes números en forma estándar usando comas. 1. 4168

4,168

2. 72035

72,035

3. 183119

183,119

4. 6455007

6,455,007

5. 29301248

29,301,248

9. 400,000 + 10.

35,061

7,000

1,462 + 900 + 8 = 407, 908

= 35 millares + 6 decenas + 1 unidad

11. 920,902 = 900,000 + 900 + 2 +

20,000

Expresa los números en forma estándar. 12. 1 decena de millar, 4 millares y 8 decenas

14,080

13. 2 centenas de millar, 6 millares, 9 centenas y 3 unidades

206,903

14. Sesenta y un mil cuarenta y ocho

61,048

15. Quinientos mil quinientos cinco

500,505

Usa discos de valor posicional para completar la tabla. Tabla

Forma desarrollada

Forma estándar

1,000 + 400 + 50 + 3

1,453 Expresa los números en forma escrita. 16. 3,627

Tres mil seiscientos veintisiete

17. 84,100

Ochenta y cuatro mil cien

30,000 + 5,000 + 40 + 1

196

35,041

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8

18. 570,016

Quinientos setenta mil dieciséis

19. 900,509

Ochenta y cuatro mil cien

20. El Sr. Smith ve una casa que se vende. Usa imágenes, números o palabras para expresar el costo de la casa de dos maneras diferentes. Ejemplo: Trescientos noventa y seis mil dólares

300,000 + 90,000 + 6,000

VENTA $396,000

GRUPO DE PROBLEMAS

197

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 8 ▸ Tabla de valor posicional hasta los millones

Millones

198

Centenas de millar

Decenas de millar

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Millares

Centenas

Decenas

Unidades

LECCIÓN 9

Comparar números hasta 1,000,000 usando >, = y <

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Fecha

Compara los números usando >, = o <. Explica cómo lo sabes.

510,304

501,304

Vistazo a la lección La clase razona acerca de las unidades de valor posicional y el valor de los dígitos de dos números para comparar números hasta 1,000,000. Comparan números expresados en formas diferentes y ordenan más de dos números.

Preguntas clave

Ambos números tienen 5 centenas de millar. 510,304 tiene 1 decena de millar. 501,304 tiene 0 decenas de millares, así que 510,304 > 501,304.

• ¿Por qué son importantes las unidades de valor posicional cuando comparamos números? • ¿Por qué son importantes los dígitos cuando comparamos números?

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA8 Comparan dos números enteros usando >, = o <. (NY-4.NBT.2b)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales o si las preparará con la clase durante la lección.

Aprender 30 min • Comparar unidades • Comparar los valores de los dígitos • Comparar números que están expresados en diferentes formas

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

• Ordenar números • Grupo de problemas

Concluir 10 min

201

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Fluidez

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional La clase usa la forma unitaria para identificar un número de varios dígitos que se representa con discos de valor posicional y expresan las unidades con otro nombre para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta 1,000,000. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre los 10 discos de una centena en la tabla. ¿Cuántas centenas hay en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 centenas = 1 millar

10 centenas Muestre 10 centenas =

millar.

¿A cuántos millares equivalen 10 centenas? A 1 millar Muestre la respuesta y los discos agrupados como un millar en la tabla.

202

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

12 centenas = 1 millar y 2 centenas

10 millares = 1 decena de millar

13 millares = 1 decena de millar y 3 millares

10 decenas de millar = 1 centena de millar

14 decenas de millar = 1 centena de millar y 4 decenas de millar

10 centenas de millar = 1 millón

15 centenas de millar = 1 millón y 5 centenas de millar

203

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional La clase identifica un valor posicional y el valor de un dígito en un número de varios dígitos y, luego, escriben el número en forma desarrollada para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 3,249. Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

3,249 ¿Qué dígito está en la posición de los millares?

3 Muestre el 3 subrayado.

3,249

3,000 + 200 + 40 + 9

¿Qué valor tiene el 3 en este número?

3,000 Escriban 3,249 en forma desarrollada. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el número en forma desarrollada: 3,000 + 200 + 40 + 9.

204

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

27,536

41,782

64,810

590,904

Intercambio con la pizarra blanca: De forma unitaria a forma estándar Dado un número de varios dígitos en forma unitaria, la clase lo escribe en forma estándar para familiarizarse con la escritura de números. Muestre 1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades = Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma unitaria. ¿Comenzamos?

1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades Escriban el número en forma estándar.

1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades = 1,943

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 millares, 5 centenas, 3 decenas y 1 unidad = 2,531

7 millares, 3 centenas y 8 decenas = 7,380

3 millares, 6 centenas y 1 decena = 3,610

4 millares, 8 centenas y 5 unidades = 4,805

5 millares, 7 centenas y 2 unidades = 5,702

9 millares, 4 decenas y 6 unidades = 9,046

6 millares, 1 decena y 4 unidades = 6,014

8 millares y 8 unidades = 8,008

9 millares y 6 decenas = 9,060

205

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Presentar

La clase identifica situaciones del mundo real que requieren comparar números. Haga las siguientes preguntas y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. ¿Hace más frío donde vivo yo o donde vive mi amiga? ¿Qué debemos saber para poder responder la pregunta? La temperatura que hace donde vivo yo La temperatura que hace donde vive mi amiga Qué número es el menor ¿Qué valores posicionales son los que probablemente tendrán los números que nos ayudan a responder esta pregunta? Decenas y unidades Repita el proceso con las siguientes preguntas: • ¿Qué tienda tiene el mejor precio de computadoras nuevas? • ¿Qué equipo ganó el partido? • ¿Hubo más personas que asistieron al partido de futbol americano o al partido de basquetbol? Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio otras preguntas que requieran comparar números para hallar la respuesta. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de comparar y ordenar números que aparecen en situaciones del mundo real. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y anímeles a hacer preguntas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy vamos a comparar números hasta 1,000,000.

206

Nota para la enseñanza Las estrategias que se usan en esta lección para comparar números también pueden aplicarse a números más grandes o más pequeños. Considere cambiar los ejemplos que aparecen en la sección Aprender en caso de que los estándares matemáticos de su clase no limiten el trabajo con números hasta 1,000,000, o en caso de que quiera diferenciar la práctica para estudiantes que se beneficiarían trabajando con números más pequeños.

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Aprender

Comparar unidades

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase compara dos números usando las unidades de valor posicional. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones y que la inserten en sus pizarras blancas. Escriba 16,300 y 1,650.

•

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué número es mayor.

16,300 es mayor porque 16,300 tiene 1 decena de millar. Esa es una unidad más grande que 1 millar, la unidad más grande en 1,650. ¿Para qué nos serviría usar la tabla de valor posicional para comparar estos números? La tabla de valor posicional nos ayuda a alinear los dígitos según el valor posicional que tienen para comparar las unidades. Nos permite ver que 16,300 es el único número que llega hasta la posición de las decenas de millar. Escriba 16,300 y 1,650 en la tabla de valor posicional y pida a la clase que haga lo mismo. Escriba esquemas de oración para que la clase los complete. Pídales que completen las oraciones. A medida que dicen cada oración, registre la comparación usando el signo mayor que o menor que. Dirija la atención de la clase al signo de comparación y la frase que representa.

Millones

Decenas de millar

Millares

Centenas

porque

es mayor que .

porque

es menor que .

•

16,300 es mayor porque 16 millares es más que 1 millar.

Centenas de millar

Considere proporcionar esquemas de oración para que la clase los consulte cuando haga enunciados comparativos.

Incluya los signos de comparación sobre las palabras mayor que y menor que de modo que sus estudiantes establezcan una conexión entre el signo y su significado.

Nota para la enseñanza Decenas

Unidades

1 6, 3 0 0 1, 6 5 0

es mayor que

. 16,300 > 1,650

es menor que

. 1,650 < 16,300

16,300 es mayor que 1,650.

Destaque la diferencia del valor de los dígitos en lugar del número de dígitos cuando comparan números como 16,300 y 1,650. Esto evitará que sus estudiantes arrastren un concepto erróneo y cometan errores cuando comiencen a comparar números decimales, dado que, por ejemplo, 0.01 no es mayor que 0.1 aunque tenga más dígitos.

1,650 es menor que 16,300. Pida a sus estudiantes que escriban dos enunciados para los números 16,300 y 1,650 en los que usen signos de comparación debajo de la tabla de valor posicional. Escriba 41,000 y 5,000. © Great Minds PBC

207

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 ¿Podemos pensar en las unidades de valor posicional que tienen los números y compararlas sin usar la tabla de valor posicional? ¿Cómo podemos comparar 41,000 y 5,000?

41,000 es mayor que 5,000 porque 5,000 no tiene ninguna decena de millar. El 4 en 41,000 está en la posición de las decenas de millar. El 5 en 5,000 está en la posición de los millares. Diez millares es mayor que un millar, por lo tanto 41,000 es mayor que 5,000.

41,000 > 5,000 5,000 < 41,000

Pida a sus estudiantes que escriban dos enunciados para los números 41,000 y 5,000 en los que usen signos de comparación. Repita el proceso con 72,399 y 811,004.

72,399 < 811,004 811,004 > 72,399

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ayudan las unidades de valor posicional a comparar el tamaño de los números.

Comparar los valores de los dígitos La clase compara dos números usando el valor de los dígitos. Escriba 32,084 y 41,063 en la tabla de valor posicional. ¿Podemos comparar estos números a simple vista para determinar cuál es el que tiene la unidad más grande? ¿Por qué? No. Ambos números tienen la misma unidad más grande: las decenas de millar.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

3 4

2, 1,

0 0

8 6

4 3

32,084 < 41,063

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar otra manera de comparar los números. Pienso en todos los millares que tiene el número. Veo 32 millares y 41 millares. Sé que 32 es menor que 41, entonces 32 millares es menor que 41 millares. La tabla de valor posicional me ayuda a ver el dígito de cada número que está en la posición de las decenas de millar a simple vista. Veo 3 decenas de millar y 4 decenas de millar. Sé que 4 decenas de millar es mayor.

208

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 Cuando la unidad mayor de dos números es la misma, podemos comparar el valor de los dígitos que tienen la unidad más grande. Pida a las parejas que expresen en voz alta enunciados de comparación usando las expresiones mayor que o menor que. Pida a sus estudiantes que usen un signo para completar el enunciado debajo de la tabla de valor posicional: 32,084 41,063. ¿Cómo se comparan los valores de los millares, las centenas, las decenas y las unidades de los números?

2,084 es mayor que 1,063. Las centenas tienen el mismo valor, 0, pero las demás unidades de 32,084 tienen un valor mayor. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué 41,063 es mayor que 32,084, a pesar de que los valores de los dígitos de los millares, las decenas y las unidades de 32,084 son mayores que en 41,063.

32,084 no es mayor porque 3 decenas de millar sigue siendo menor que 4 decenas de millar. 32,084 no es mayor porque las decenas y las unidades son menores que las decenas de millar, y el

Diferenciación: Desafío

otro número tiene más decenas de millar. ¿Hay algún dígito que podríamos cambiar en los millares, las centenas, las decenas o las unidades de 32,084 para hacer que sea un número mayor que 41,063? ¿Cómo lo saben? No. Las decenas de millar son la unidad más grande. No hay ningún dígito de una unidad más pequeña que logre tener mayor valor que un dígito en las decenas de millar.

Desafíe a sus estudiantes a reordenar los dígitos de 32,084 para crear un número mayor que 41,063.

No, la única manera de hacer que 32,084 sea mayor que 41,063 es sumarle más decenas de millar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del valor de las unidades y cómo les ayuda a comparar números.

209

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 Escriba 461,003 436,100 debajo de la tabla de valor posicional. Pida a la clase que haga lo mismo.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

¿Cuál es la diferencia entre estos números y los otros números que ya comparamos? Ambos números tienen centenas de millar. El dígito del valor posicional más grande es el mismo en los dos números.

461,003_____ 436,100

¿Nos sirve mirar la unidad más grande para comparar estos dos números? ¿Por qué? No, porque los dos números tienen el mismo dígito en la posición de las centenas de millar.

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes acerca de las comparaciones agrupando los millares en la forma unitaria para que hagan la comparación. Por ejemplo, pueden usar sus conocimientos previos acerca de las comparaciones de números de tres dígitos para comparar los millares de cada número cuando están expresados de la siguiente forma:

Dado que la unidad más grande es la misma para ambos, ¿qué números debemos comparar a continuación?

461 millares y 3 unidades

La unidad con el valor más grande que sigue: las decenas de millar

436 millares y 1 centena

Comparemos el valor de los dígitos que vemos en las decenas de millar. ¿Qué número tiene el mayor valor en las decenas de millar?

461,003 ¿Qué enunciados de comparación podemos hacer usando las frases mayor que y menor que?

461,003 es mayor que 436,100. 436,100 es menor que 461,003. Pida a sus estudiantes que usen un signo para completar el enunciado: 461,003

436,100.

¿Usaron la tabla de valor posicional como ayuda para comparar los números? ¿Por qué? No usé la tabla de valor posicional para comparar los números. Pude comparar el valor de los dígitos de las centenas de millar y de las decenas de millar sin escribir los números en la tabla de valor posicional. Escribí los números en la tabla de valor posicional. Me ayudó a ver los valores posicionales de cada dígito e hizo que fuera más fácil comparar los números porque estaban unos arriba de otro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la manera de comparar números cuando el valor del dígito del valor posicional mayor es el mismo para ambos números.

210

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Comparar números que están expresados en diferentes formas La clase compara dos números expresados en diferentes formas. Escriba 300,000 + 20,000 + 500 + 7

325,017.

¿En qué se diferencia esta comparación de las comparaciones que hicimos antes? Uno de los números está expresado en forma desarrollada. Parece que podría ser más difícil comparar estos números, dado que están expresados en diferentes formas. Los números se ven diferentes, por lo que no es tan fácil compararlos a simple vista. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo simplificar el problema y poder comparar los números. Podemos escribir los dígitos de cada número en la tabla de valor posicional. Podemos tomar el número que está expresado en forma desarrollada y escribirlo en forma estándar. Podemos tomar el número que está expresado en forma estándar y escribirlo en forma desarrollada. Dé a las parejas 1 minuto para elegir una estrategia y comparar los dos números. ¿Qué número es mayor? ¿Cómo lo saben?

325,017 es mayor. Escribí ambos números en la tabla de valor posicional y observé que los dos tienen 3 centenas de millar y 2 decenas de millar. 325,017 tiene 5 millares, que es mayor que 0 millares que hay en el otro número. Escribí ambos números en forma estándar. Observé que los dígitos de las centenas de millar y las decenas de millar son los mismos, pero el número de millares es diferente. 325,017 es mayor que 320,507. ¿En qué les ayudó la estrategia que usaron para simplificar el problema? La tabla de valor posicional me ayudó a organizar ambos números y comparar cada dígito. Escribí ambos números en forma estándar. Eso me ayudó a comparar las unidades de valor posicional y los dígitos de cada número sin tener que pensar en dos formas diferentes.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da importancia a la precisión (MP6) cuando compara los números expresados en diferentes formas. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Qué detalles debemos considerar cuando comparamos 406 millares y 135 unidades con 406,135? • ¿Cuándo podrían cometer errores al comparar un número expresado en forma desarrollada con un número expresado en forma estándar?

Nota para la enseñanza Ayude a sus estudiantes para que comprendan que cuando dos números tienen los mismos dígitos y esos dígitos tienen el mismo valor, entonces los números son iguales.

406 millares y 135 unidades = 406,135

Repita el proceso con 406 millares y 135 unidades y 406,135. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo comparar dos números expresados en cualquiera de las formas.

211

4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9

Ordenar números La clase compara y ordena cuatro números. Escriba los dígitos: 3, 9, 1, 4, 2. Invite a la clase a trabajar en parejas para usar los dígitos y crear cuatro números diferentes de cinco dígitos. Cada número debe incluir todos los dígitos. Luego, pida a las parejas que hagan una lista con los números y los ordenen de menor a mayor. Recorra el salón mientras la clase trabaja. Proporcione apoyo según sea necesario y observe las estrategias de sus estudiantes. Observe quiénes comparan escribiendo los números en la tabla de valor posicional, quiénes comparan empezando con las unidades más grandes y quiénes comparan pares de números a la vez. Considere hacer preguntas como las siguientes para ayudar a sus estudiantes mientras trabajan: • ¿Cuál es el valor posicional más grande en cada número? • Si miramos los dígitos del valor posicional más grande y los dos son los mismos, ¿qué podemos comparar a continuación? Guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan las listas de los números que ordenaron. A medida que las comparten, haga las siguientes preguntas:

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Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar apoyo a sus estudiantes enseñando con anticipación la frase de menor a mayor. Invíteles a definir el significado de las palabras menor y mayor. Luego, muestre una lista de números que estén ordenados de menor a mayor. Pídales que describan los números. Considere hacer las siguientes preguntas: • ¿Qué palabra describe al primer número de la lista? • ¿Qué palabra describe al último número de la lista? • ¿Cómo podemos comparar cada número con el que aparece antes en la lista? ¿Y con el que aparece después?

• ¿Qué número de la lista es el más pequeño? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué número de la lista es el más grande? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué estrategia usaron para ordenar los números? Repita el proceso con otra lista de dígitos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre ordenar más de dos números y comparar dos números.

212

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Concluir

Reflexión final 5 min

Diferenciación: Desafío

Objetivo: Comparar números hasta 1,000,000 usando >, = y < Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del valor posicional y la comparación de números. Escriba 51,034 y 510,034 alineando el 5 y el 1 como se muestra. Casey dice que estos dos números son iguales porque ambos empiezan con 51 y la mayoría de los dígitos son iguales. ¿Están de acuerdo o en desacuerdo con Casey? ¿Por qué?

51,034 510,034

No estoy de acuerdo. El 5 tiene un valor diferente en estos números. 5 centenas de millar es mayor que 5 decenas de millar, así que 510,034 > 51,034.

510,034 tiene unidades de valor posicional más grandes que 51,034. ¿Cómo pueden usar diez veces para comparar el valor del 5 en los dos números? ¿Y el valor del 1?

5 centenas de millar es igual a diez veces 5 decenas de millar. 1 decena de millar es igual a diez veces 1 millar. ¿Por qué son importantes las unidades de valor posicional cuando comparamos números? Puedo observar las unidades de valor posicional cuando comparo dos números. El número que tiene la unidad más grande es el número más grande. Por ejemplo, si un número tiene centenas de millar, será mayor que un número que solo tiene decenas de millar.

Pida a las parejas de estudiantes que participen de un juego en el que el objetivo sea formar un número de seis dígitos mayor o menor que el que piense su compañero o compañera usando los números que obtienen al lanzar un dado o usando tarjetas numéricas. Deben elegir el objetivo antes de empezar a jugar. Para jugar, cada estudiante se turna para lanzar el dado o para tomar una tarjeta numérica. Cuando sea su turno, cada estudiante primero lanza el dado o toma una tarjeta y, luego, decide qué posición ocupa el dígito obtenido en el número que están formando. Pueden pasar de turno una vez si obtienen un dígito que no quieren usar. Una vez que ubican el dígito en una posición, no pueden moverlo. El juego continúa hasta que cada estudiante completa su número de seis dígitos. Por último, comparan los números para determinar cuál es mayor y cuál es menor.

¿Por qué son importantes los dígitos cuando comparamos números? Si ambos números tienen la misma unidad de valor posicional, entonces debo pensar en el valor de los dígitos. Por ejemplo, la unidad más grande en 51,047 y 43,972 son las decenas de millar, pero 51,047 tiene 5 decenas de millar y 43,972 solo tiene 4 decenas de millar, por lo que 51,047 es mayor.

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Nombre

Fecha

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Escribe el valor de cada dígito. 6.

Escribe el valor del dígito 8 en cada número.

1. 5,813

800

58,267

8,000

80 3. 12,984

839,415

800,000

100

2,000

5,000

70,000 5. Usa los problemas 1 a 4 para resolver las partes (a) y (b). a. ¿En qué número el valor del 8 es diez veces el valor del 8 en 368? Encierra en un círculo la respuesta.

5,813

58,267

12,984

Completa los espacios para que el enunciado sea verdadero.

839,415

8. En 6,274, el valor del dígito 6 es

6,000

b. Explica tu razonamiento.

80 es diez veces 8.

9. En 91,307, el dígito

está en la posición de las decenas de millar.

10. En 520,841, el dígito en la posición de las centenas es de millar es

y el dígito en las centenas

GRUPO DE PROBLEMAS

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15. 17,209

Escribe los dígitos para representar cada número en la tabla de valor posicional. Luego, encierra en un círculo el número mayor. 11.

12.

13.

Centenas de millar

Millones

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

3,685

4,162

17,200

El valor de los dígitos de los dos números es el mismo a excepción de las unidades. 9 unidades es más que 0 unidades, entonces 17,209 es mayor que 17,200.

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

500,273

59,372

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

840,790

840,970

Usa >, = o < para comparar los números. Explica tu razonamiento. 14. 5,813

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Usa >, = o < para comparar los números. 16. 7,613

8,210

17. 2,351

2,513

18. 49,071

9,999

19. 38,014

38,104

20. 635,240

635,090

21. 500,661

501,007

22. 5 millares, 9 decenas y

3 unidades

10,300

5,093

23. 20,000 + 8,000 + 40 + 6

20,846

5 millares es menor que 10 millares. Entonces, 5,813 es menor que 10,300. 24. 910,091

216

GRUPO DE PROBLEMAS

noventa y un mil noventa y uno

GRUPO DE PROBLEMAS

25. 170,052

170 millares y 52 decenas

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Ordena los números de menor a mayor. 26. 16,832, 26,081, 26,108, 16,283

16,283 ,

16,832 ,

26,081 ,

26,108

27. 704,129, 710,009, 800,100, 704,219

704,129 , 704,219 , 710,009 , 800,100

28. Robin tiene $8,615 en el banco. Deepa tiene $8,061 en el banco. ¿Quién tiene más dinero en el banco? Explica cómo lo sabes. Robin tiene más dinero en el banco. Hay 8 millares en ambas cuentas, entonces comparé las centenas. 6 centenas es más que 0 centenas, así que 8,615 es mayor que 8,061.

29. La maestra Wong pidió a sus estudiantes que comparen 37,605 y 37,065. Jayla dice que 37,605 es menor que 37,065. Ray dice que 37,065 es menor que 37,605. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes. Ray está en lo correcto. Hay 37 millares en ambos números, así que podrían comparar las centenas. 0 centenas es menor que 6 centenas. Entonces, 37,065 es menor que 37,605.

GRUPO DE PROBLEMAS

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4 ▸ M1 ▸ TB ▸ Lección 9 ▸ Tabla de valor posicional hasta los millones

Millones

218

Centenas de millar

Decenas de millar

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Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Tema C Redondear números enteros de varios dígitos En el tema C, la clase usa la comprensión del valor posicional para redondear números de hasta seis dígitos a cualquier valor posicional y aplica la estimación en situaciones del mundo real. El tema comienza con lecciones que apoyan la comprensión conceptual del redondeo. La clase expresa números de varios dígitos en forma unitaria de diferentes maneras mediante el uso de unidades de valor posicional más pequeñas, y halla 1 millar, 10 millares y 100 millares más que o menos que un número. Expresar números de diferentes maneras les permite aislar el valor posicional al que están redondeando y expresar un número en términos de esa unidad de valor posicional. Hallar 1 más de la unidad de valor posicional les ayuda a identificar los dos puntos de referencia entre los que se ubica un número en la recta numérica. Por ejemplo, expresar 15,300 como 15 millares y 3 centenas sirve de apoyo para redondear al millar más cercano. La clase ve que 15,300 tiene 15 millares y, por lo tanto, se ubica entre 15 millares y 16 millares. Redondean números de cuatro, cinco y seis dígitos, según corresponda, al millar, la decena de millar y la centena de millar más cercanos usando una recta numérica vertical. Rotulan dos números de referencia en la recta numérica, así como también el número que es el punto medio entre ellos. Comparar el número que están redondeando con una marca del punto medio les ayuda a ubicar el número en la recta e identificar el punto de referencia más cercano. La clase ve que el mismo razonamiento que usaron en 3.er grado para redondear números a la decena y la centena más cercanas puede aplicarse a números más grandes y sirve para redondear a cualquier valor posicional. El tema finaliza con la aplicación del redondeo a diferentes situaciones. La clase decide a qué valor posicional redondear y determina si es preferible redondear al punto de referencia más cercano o al siguiente. Redondear al siguiente punto de referencia puede dar como resultado una estimación mayor que la cantidad real, lo que puede ser útil en situaciones en las que se requiere estimar costos. Por otro lado, redondear al punto de referencia más cercano puede servir en situaciones en las que la estimación no afecta otros resultados; por ejemplo, decir que una ciudad con 26,100 habitantes tiene una población de unas 26,000 personas. En el tema D, la clase redondea para evaluar si sus respuestas son razonables cuando suman o restan y cuando resuelven problemas verbales.

219

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4 ▸ M1 ▸ TC

Progresión de las lecciones Lección 10

Lección 11

Lección 12

Expresar números usando la comprensión del valor posicional

Hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más que y menos que un número dado

Redondear al millar más cercano

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

421

Decenas

Unidades

Centenas

4,215 Puedo usar la forma unitaria para expresar números de diferentes formas. La tabla de valor posicional me ayuda a ver el valor de los dígitos y a entender cómo puedo expresar un número usando diferentes unidades de valor posicional.

220

Patrón B

25,617

26,617

27,617

28,617 29,617

Puedo expresar 1 millar, 1 decena de millar o 1 centena de millar más que o menos que un número usando discos en una tabla de valor posicional, la forma unitaria, una ecuación o escribiendo un enunciado. Puedo reconocer y completar patrones de números en una secuencia al determinar qué unidad de valor posicional cambia y si esta aumenta o disminuye.

18,000 = 18 millares

17,500 = 17 millares y 5 centenas 17,423

17,000 = 17 millares 17,423 ≈ 17,000

Las rectas numéricas verticales me ayudan a ver cómo redondear los números. Cuando redondeo un número al millar más cercano, rotulo el número de millares del número, 1 millar más y el punto medio entre ellos. Uso la marca del punto medio como ayuda para ubicar el número y, luego, identifico el número de referencia que está más cerca.

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Lección 13

Lección 14

Lección 15

Redondear a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas

Redondear números de varios dígitos a cualquier posición

Aplicar la estimación a situaciones del mundo real usando el redondeo

190,000 = 19 decenas de millar 186,045 185,000 = 18 decenas de millar y 5 millares

180,000 = 18 decenas de millar 186,045 ≈ 190,000 El razonamiento que uso para redondear números al millar más cercano puede ayudarme a redondear números a la decena de millar o a la centena de millar más cercana. Puedo marcar un número entre 2 decenas de millar o 2 centenas de millar en una recta numérica vertical y, luego, identificar el número de referencia más cercano.

28,173 ≈ 30,000 28,173 ≈ 28,000 28,173 ≈ 28,200 28,173 ≈ 28,170 Puedo usar la comprensión del valor posicional como ayuda para redondear un número a cualquier valor posicional sin usar una recta numérica. Redondeo números a valores posicionales que sean útiles para el contexto y fáciles de comprender. Por ejemplo, si asistieron 19,798 personas a un juego de basquetbol, podría decir que fueron al juego unas 20,000 personas en lugar de decir que asistieron 19,800 personas.

45 44

21 20

62 60

21 ≈ 20

44 ≈ 40

62 ≈ 60

20 + 40 + 60 = 120 20 + 50 + 60 = 130 Para aplicar la estimación a una situación, decido a qué valor posicional es más útil redondear según el contexto. En algunas situaciones, como cuando se trata de dinero, redondeo al siguiente punto de referencia en lugar de redondear al punto de referencia más cercano.

221

LECCIÓN 10

Expresar números usando la comprensión del valor posicional

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Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Fecha

Piensa en el número 2,437. a. ¿Qué opción no representa 2,437?

A. 2 millares, 4 centenas, 3 decenas y 7 unidades

Vistazo a la lección La clase usa una tabla de valor posicional y patrones para expresar un número con otro nombre en forma unitaria de varias formas. También usan la forma unitaria para expresar un número dado con otro nombre de varias maneras.

Preguntas clave

B. 24 centenas, 3 decenas y 7 unidades C. 24 decenas y 37 unidades

• ¿Cómo nos ayuda una tabla de valor posicional a expresar los números con otro nombre?

D. 2,437 unidades

• ¿Qué estrategia podemos usar para expresar los números en forma unitaria?

b. Explica cómo lo sabes. La opción C dice 24 decenas y 37 unidades, entonces representa el número 277. Hay 24 centenas y 37 unidades en 2,437.

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA7 Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada. (NY-4.NBT.2a)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Colección de dinero (en la edición para la enseñanza)

• Imprima o haga una copia de la Colección de dinero para que la clase use en la sección Presentar.

Aprender 35 min

• sobres (6)

• Usar la tabla de valor posicional para expresar el número con otro nombre

Estudiantes

• Usar la forma unitaria para expresar el número con otro nombre

• sobre con billetes (1 por grupo de estudiantes)

• Prepare la Colección de dinero recortando el dinero para los grupos A a F y poniendo el dinero de cada grupo en un sobre. Prepare un sobre para cada uno de los grupos de 4 estudiantes.

• ¿De cuántas maneras? • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: 1, 10 y 100 más La clase identifica un número que se representa con discos de valor posicional y determina 1, 10 y 100 más como preparación para hallar 1, 10 y 100 millares más que un número dado a partir de la lección 11. Muestre el número 136 representado con discos de valor posicional en la tabla. ¿Qué número se representa con los discos de valor posicional? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

1 más que 136

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

137 .

136 + 1 = 137

136 Muestre el enunciado 1 más que

Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

1 más que 136 es 137. Muestre el enunciado completo y, luego, un disco de una unidad adicional. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 1 más que 136. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

224

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Muestre la ecuación de ejemplo y, luego, muestre 136 con discos de valor posicional. Muestre el enunciado 10 más que

10 más que es

136 es

146 .

136 + 10 = 146

Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

100

10 más que 136 es 146. Muestre el enunciado completo y, luego, un disco de una decena adicional. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 10 más que 136. Muestre la ecuación de ejemplo y, luego, muestre 136 con discos de valor posicional. Muestre el enunciado 100 más que

Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

100 más que 136 es 236.

100 más que 136 es

236 .

136 + 100 = 236

Muestre el enunciado completo y, luego, un disco de una centena adicional. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 100 más que 136. Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con 279 y 491.

225

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Respuesta a coro: Redondear a la decena más cercana La clase redondea un número de dos o tres dígitos a la decena más cercana como preparación para redondear números de varios dígitos a partir de la lección 12. Muestre 19 ≈

¿Cuánto es 19 redondeado a la decena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

19 ≈

DUA: Representación Para apoyar a sus estudiantes y reforzar la comprensión de 3.er grado, considere usar la siguiente serie de preguntas mientras traza una recta numérica vertical:

Muestre el número redondeado. 10

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

126

155

703

• ¿Cuántas decenas hay en 19? • ¿Cuánto es 1 decena más? • ¿Cuál es el punto medio entre 1 decena y 2 decenas? • ¿Es 19 mayor o menor que el punto medio? • ¿De qué decena está más cerca el 19?

226

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Conteo bip de centena en centena La clase completa un patrón como preparación para hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más y menos que un número dado a partir de la lección 11. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención a medida que cuento hacia delante y hacia atrás de centena en centena. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 100, 200,

Nota para la enseñanza

100, 200, bip Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

100, 200,

300 Muestre la respuesta.

300

Considere sumar un número adicional a la secuencia o escribir la secuencia de números de forma vertical para reforzar las conexiones sobre el valor posicional.

100

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

200

143,

243 , 343

300, 200,

100

8, 108, 208

245,

288, 188,

145 , 45

101 , 201

207,

107 , 7

227

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Presentar

Materiales: E) Sobre con billetes

La clase usa dinero para comprender que representaciones diferentes pueden dar como resultado totales iguales. Organice a sus estudiantes en grupos de cuatro y distribuya un sobre de dinero a cada grupo. Dé a cada grupo 2 minutos para calcular cuánto dinero y cuántos billetes de cada tipo tienen. Invite a cada grupo a compartir sus conclusiones. A medida que los grupos comparten sus conclusiones, registre la cantidad total de dinero y el número de billetes de cada tipo.

Nota para la enseñanza Considere dar a cada grupo una tabla para que puedan registrar su total y los totales de los otros grupos mientras comparten sus respuestas.

Grupo

Total

Número de billetes de $100

Número de billetes de $10

Número de billetes de $1

$215

Grupo

$215

Total

Número Número Número de billetes de billetes de billetes de $100 de $10 de $1

B C

$215

D E F

¿Qué observan? Todos los grupos tienen $215. En cada grupo tenemos la misma cantidad de dinero, pero tenemos diferentes billetes. Existen muchas formas diferentes de formar $215.

228

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Use los billetes del grupo D para contar a coro y hallar el total con la clase. Comience a contar por la unidad más grande y coloque cada unidad en una pila diferente. Cuenten conmigo. (Coloque cada billete en la pila correspondiente mientras cuentan).

$100, $110, $120, $130, $140, $150, $160, $170, $180, $190, $200 Cuando tenga suficientes billetes para componer una unidad más grande, forme una pila de 10 y haga una pausa para enfatizar esa unidad. Coloque el billete restante de $10 en una nueva pila cuando siga contando. Luego, cree otra pila a medida que cuentan los billetes de $1.

$210, $211, $212, $213, $214, $215 ¿Por qué piensan que hay dos pilas diferentes para los billetes de $10? Mientras contábamos, hizo una nueva pila cuando dijimos $200. Teníamos suficientes billetes de $10 para formar otra centena. Hizo otra pila con el billete de $10 que sobraba. Las pilas muestran que los billetes de $10 forman $100 y $10. Puedo expresar el valor de diez billetes de $10 como $100. ¿En qué se parece eso a expresar 10 decenas como 1 centena? Se necesitan diez billetes de $10 para componer una unidad más grande, al igual que 10 decenas forman una unidad de valor posicional más grande. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas sobre si es posible expresar el número 215 con otro nombre de diferentes maneras, como lo hicieron con $215. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos lo que sabemos sobre el valor posicional para expresar los números con otro nombre.

229

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Aprender

Usar la tabla de valor posicional para expresar con otro nombre La clase usa una tabla de valor posicional y la forma unitaria para expresar con otro nombre un número de cuatro dígitos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léalo a coro con la clase. 1. Expresa 4,215 con otro nombrede diferentes maneras.

a. b. c. d.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

millares,

centenas,

decena y

unidades

centenas,

decena y

unidades

421

decenas y

unidades

4,215 unidades

Expresemos 4,215 en forma unitaria, comenzando por la unidad de valor posicional más grande. ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en 4,215? Los millares Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 1(a). Escoja estudiantes para que compartan sus respuestas.

230

Nota para la enseñanza Cada estudiante tiene la oportunidad de expresar los números con otro nombre de muchas maneras. La lección se concentra en expresar números de forma flexible como apoyo para el redondeo. Por ejemplo, expresar 4,215 como 42 centenas, 1 decena y 5 unidades proporciona apoyo a la clase para redondear a la centena más cercana (es decir, cada estudiante identifica que hay 42 centenas en 4,215). Valide todas las formas correctas en que se puede expresar 4,215 con otro nombre y, luego, guíe a la clase para que usen una forma que les sirva de preparación para el redondeo. Por ejemplo, si expresan 4,215 como 41 centenas, 10 decenas y 15 unidades, valide la respuesta como una forma correcta de expresar 4,215 con otro nombre Luego, haga las siguientes preguntas: • ¿Cómo pueden expresar 4,215 con otro nombre usando el mayor número de centenas? (42 centenas) • Si hay 42 centenas en 4,215, ¿cuántas decenas hay? (1 decena) • Si hay 42 centenas y 1 decena en 4,215, ¿cuántas unidades hay? (5 unidades)

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(b).

Diferenciación: Apoyo

¿Qué observan sobre la forma unitaria en el problema 1(b)? No hay millares. Tiene unidades, decenas y centenas, como el problema 1(a), pero no hay millares. El número de centenas es diferente en el problema 1(a) y el 1(b). ¿Cuántas centenas hay en la posición de las centenas en 4,215?

2 ¿Esto significa que solo hay 2 centenas en el número 4,215? ¿Cómo lo saben? Sí. Hay solo 2 centenas en la posición de las centenas. Si expresamos los millares, las centenas, las decenas y las unidades por separado, solo hay 2 centenas. No. Si no indicamos los millares, tenemos que pensar en los millares como centenas. ¿Cuántas centenas hay en 1 millar? ¿Y en 4 millares?

Considere mostrar cómo expresar con otro nombre en una tabla de valor posicional con números más pequeños. Muestre 123 con discos en una tabla de valor posicional usando 1 centena, 2 decenas y 3 unidades, y usando 12 decenas y 3 unidades. Ayude a sus estudiantes a observar que el dígito de la unidad más grande se une a la siguiente unidad más pequeña. Luego, muestre los números con dígitos y pídales que observen que su descomposición es parecida. Centenas Decenas

Unidades

10 centenas

Centenas Decenas 1

Unidades 3

40 centenas Cuando expresamos 4 millares como 40 centenas, ¿cuántas centenas podemos decir que hay en 4,215?

Centenas Decenas

Unidades

Centenas Decenas 12

Unidades 3

42 centenas porque ya hay 2 centenas en la posición de las centenas. 42 centenas porque 40 centenas + 2 centenas = 42 centenas Usemos la tabla de valor posicional para pensar cuántas centenas hay en 4,215. Muestre la tabla de valor posicional con 42 centenas, 1 decena y 5 unidades. ¿Qué pueden observar sobre esta tabla de valor posicional en comparación con la tabla de valor posicional en sus libros? Muestra que expresamos 4 millares como 40 centenas. Esta tabla de valor posicional muestra que podemos expresar 4 millares y 2 centenas como 42 centenas.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

231

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del valor del número que se representa en la tabla de valor posicional. Expresamos millares como centenas. Ahora, el dígito 4 representa 40 centenas, que es la misma cantidad que 4 millares. Entonces, el valor del número sigue siendo 4,215. Pida a sus estudiantes que completen el problema 1(b). Escoja estudiantes para que compartan sus respuestas. Use un proceso similar para completar los problemas 1(c) y 1(d).

Millares

Centenas Decenas Unidades

421

Millares

Centenas Decenas Unidades

4,215

Las instrucciones del problema 1 nos pedían expresar 4,215 con otro nombre de diferentes maneras. ¿Cómo saben que todas las formas unitarias en los problemas 1(a) a 1(d) representan 4,215? Usamos la tabla de valor posicional en cada uno y siempre comenzamos con 4,215. Pensamos en ese número como si fueran unidades diferentes. Descompusimos unidades más grandes en unidades más pequeñas, pero el valor del número siguió siendo el mismo. Si componemos las unidades más pequeñas en unidades más grandes, obtenemos 4 millares, 2 centenas, 1 decena y 5 unidades. Se parece a lo que hicimos con el dinero antes. Teníamos diferentes billetes, pero todos sumaban la misma cantidad. Ahora tenemos diferentes cantidades de cada unidad de valor posicional, pero todas suman 4,215. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre los patrones que observaron mientras expresaban 4,215 con otro nombre usando cada vez menos unidades de valor posicional.

DUA: Representación Considere resaltar la unidad de valor posicional mayor que se usa para expresar el número con otro nombre. Encierre en un círculo todos los dígitos, comenzando desde la izquierda, hasta llegar al dígito que se encuentra en la unidad de valor posicional resaltada. Invite a la clase a leer los dígitos encerrados seguidos de la unidad resaltada. Continúe leyendo los números restantes en forma unitaria. Esto enfatiza que se puede expresar 4,215 de diferentes maneras, pero su valor es siempre el mismo.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

42 centenas, 1 decena y 5 unidades Millares

Centenas

Decenas

Unidades

421 decenas y 5 unidades Millares

Centenas

Decenas

Unidades

4,215 unidades

En el problema 1(a), comenzamos con la unidad de valor posicional más grande, los millares. Hay un dígito en cada columna. Es como escribir el número en forma estándar. A medida que usamos menos unidades de valor posicional, tuvimos que desagrupar más unidades. Cuando representamos 4,215 comenzando con las centenas, desagrupamos los millares en centenas. Cambiamos el nombre del número a 42 centenas, 1 decena y 5 unidades.

232

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Cuando representamos 4,215 comenzando con las decenas, desagrupamos los millares y las centenas en decenas. Expresamos el número como 421 decenas y 5 unidades. Cuando representamos 4,215 solo con unidades, desagrupamos los millares, las centenas y las decenas en unidades. Expresamos el número como 4,215 unidades.

Usar la forma unitaria para expresar con otro nombre La clase usa la comprensión sobre el valor posicional para expresar números de cinco y seis dígitos en forma unitaria. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase. 2. Expresa 23,048 con otro nombre de diferentes maneras. a.

decenas de millar,

b. c.

millares,

centenas,

decenas y

unidades

millares,

centenas,

decenas y

unidades

230

centenas,

decenas y

unidades

2,304 decenas y

unidades

d. e.

23,048 unidades

Nota para la enseñanza Pida a la clase que piense acerca de cómo expresar los números con otro nombre usando una tabla de valor posicional y preste atención a los siguientes conceptos erróneos: • Expresar 4 millares y 2 centenas como 42 millares en lugar de 42 centenas, debido a la composición errónea de unidades más pequeñas en unidades más grandes. • Expresar 4 millares y 2 centenas como 6 centenas en lugar de 42 centenas, debido a que sumaron los dígitos 4 y 2. Cuando la clase no exprese números con otro nombre correctamente, considere dirigir su atención nuevamente al número original usando dígitos o discos de valor posicional. Pregunte: “¿Cambia el valor del número según la manera que eligieron para expresar con otro nombre?”. Es importante que la clase comprenda que cuando se expresa un número con otro nombre se lo descompone de unidades más grandes en unidades más pequeñas, sin cambiar su valor.

¿En qué se diferencia el problema 2 del problema 1? El número tiene un valor en las decenas de millar en lugar de los millares. No hay tabla de valor posicional. Expresamos este número con otro nombre de cinco maneras en lugar de cuatro. ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en 23,048? Las decenas de millar

Diferenciación: Apoyo Proporcione a sus estudiantes una tabla de valor posicional para usar cuando expresan los números con otro nombre, según sea necesario.

233

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2(a). ¿Cuál es la unidad más grande que usamos para expresar 23,048 con otro nombre en el problema 2(b)? Los millares ¿Cómo podemos expresar el número con otro nombre sin usar una tabla de valor posicional? Puedo descomponer y expresar 2 decenas de millar como 20 millares.

20 millares + 3 millares = 23 millares

A veces, decir el número nos ayuda a expresarlo con otro nombre. Cuando digo veintitrés mil cuarenta y ocho, oigo 23 mil, es decir, veintitrés millares. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2(b). Escoja estudiantes para que compartan sus respuestas. Use un proceso similar para completar los problemas 2(c) a 2(e). Escriba 23,048 y, luego, debajo, escriba 230 millares y 48 unidades. ¿Tiene 230 millares y 48 unidades el mismo valor que 23,048? ¿Cómo lo saben?

23,048 230 millares y 48 unidades

No tienen el mismo valor. 230 millares tiene el mismo valor que 230,000. Eso es mayor que el número original, por lo que no es correcto. No, no es correcto cómo se expresaron los millares con otro nombre. Hay solo 23 millares en 23,048.

234

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y léalo a coro con la clase. 3. Expresa 847,520 con otro nombrede diferentes maneras. Ejemplo: a.

decenas de millar,

millares,

centenas,

decenas y

unidades

decenas de millar,

millares,

centenas,

decenas y

unidades

847

millares,

centenas,

decenas y

unidades

846

millares,

centenas,

decenas y

unidades

¿Qué observan acerca de los problemas 3(a) y 3(b)? Uno de los números está dado. Tienen las mismas unidades de valor posicional. ¿Cuál es el número total de decenas de millar en 847,520?

84 decenas de millar ¿Es el mismo número de decenas de millar que en el problema 3(b)? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo se puede expresar 847,520 con otro nombre usando 83 decenas de millar en lugar de 84 decenas de millar. Podemos descomponer 1 decena de millar en 10 millares. Eso sería igual a 83 decenas de millar y 17 millares. Se puede expresar 84 decenas de millar como 83 decenas de millar y 10 millares.

235

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Invite a las parejas de estudiantes a completar los problemas 3(a) a 3(d). Recorra el salón mientras las parejas trabajan y use las siguientes preguntas para guiar su razonamiento: • ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en 847,520? ¿Cuál es la unidad más grande que usan para expresar 847,520 con otro nombre? • ¿Cómo les ayuda decir el número a pensar acerca de cuántos millares, o miles, hay en 847,520? • ¿Cuántos millares hay en la posición de los millares? ¿Cuántos millares hay en 847,520?

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a expresar con otro nombre 1,000,000 en lugar de expresar con otro nombre el número dado en el problema 4.

• ¿Cómo pueden expresar un número con otro nombre usando menos que 847 millares? • ¿Se puede descomponer a otras unidades de valor posicional? ¿Cuáles? ¿Cómo lo pueden descomponer? • ¿Cómo saben que la forma que usaron para expresarlo con otro número no cambia el valor del número?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para expresar los números en forma unitaria.

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando expresa un número con otro nombre varias veces de diferentes maneras.

¿De cuántas maneras?

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

La clase usa la forma unitaria para expresar un número dado con otro nombre de tantas maneras como sea posible.

• ¿Qué es igual en su razonamiento cuando expresan 905,438 con otro nombre de diferentes maneras?

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y léalo a coro con la clase. 4. Usa la forma unitaria para expresar 905,438 con otro nombre de diferentes maneras.

• ¿Qué patrones observan a medida que expresan 905,438 con otro nombre varias veces usando menos unidades de valor posicional?

Ejemplo:

9 centenas de millar, 5 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 90 decenas de millar, 5 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 905 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 9,054 centenas, 3 decenas y 8 unidades 90,543 decenas y 8 unidades 905,438 unidades ¿En qué se diferencia este problema de los problemas que completamos hoy? Nos pide que expresemos el número con otro nombre. No dice qué unidades debemos usar.

Nota para la enseñanza • Los ejemplos de respuestas al problema 4 expresan 905,438 con otro nombre usando cada vez menos unidades, lo que sigue el formato de los problemas 1 a 3. Otras posibles respuestas, aunque no las únicas, son las siguientes: • 900 millares, 54 centenas, 3 decenas y 8 unidades • 905 millares, 4 centenas y 38 unidades • 905 millares, 43 decenas y 8 unidades

236

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 Invite a la clase a trabajar en parejas para usar la forma unitaria para expresar 905,438 con otro nombre de tantas maneras como puedan. Dé a las parejas 2 minutos para trabajar. Recorra el salón e identifique estudiantes que quieran compartir su trabajo con la clase. Seleccione trabajos que sigan los patrones de la forma unitaria que la clase usó hoy y también trabajos que muestren otras maneras de usar la forma unitaria para representar 905,438. Muestre ejemplos de trabajo que demuestren varias formas de expresar 905,438 con otro nombre. Usar patrones de forma unitaria (método de David) 9 centenas de millar, 5 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 90 decenas de millar, 5 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 905 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 9,054 centenas, 3 decenas y 8 unidades 90,543 decenas y 8 unidades 905,438 unidades

Expresar con otro nombre de diferentes maneras (método de Amy) 905 millares, 4 centenas, 3 decenas y 8 unidades 905 millares, 4 centenas y 38 unidades 905 millares, 43 decenas y 8 unidades 905 millares y 438 unidades 905 millares, 4 centenas, 2 decenas y 18 unidades 905 millares, 3 centenas, 13 decenas y 8 unidades

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los ejemplos de trabajo. • ¿En qué se parecen los ejemplos de trabajo? ¿En qué se diferencian? • ¿Qué ejemplo de trabajo sigue los patrones que vimos hoy para expresar los números con otro nombre? ¿Cómo lo saben? • ¿Todas las representaciones en forma unitaria en los ejemplos de trabajo son iguales a 905,438? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué preguntas tienen acerca de cada ejemplo de trabajo?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere invitar a la clase a usar la Herramienta para la conversación mientras trabajan en parejas para expresar 905,438 con otro nombre. • La sección Compartir tu razonamiento puede ayudar a sus estudiantes a compartir sus ideas acerca de cómo expresar los números con otro nombre. • La sección Preguntar por el razonamiento puede ayudarles a hacer preguntas a sus parejas de trabajo para aclarar su razonamiento.

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra cómo expresar 905,438 con otro nombre usando patrones de forma unitaria (es decir, el método de David) y usando la forma unitaria para expresar con otro nombre de diferentes maneras (como el método de Amy). Busque trabajos similares en la clase. Considere mostrar el trabajo de sus estudiantes, uno al lado del otro, para que puedan comparar los ejemplos de trabajo. Si la clase no produjo ningún trabajo similar al método de Amy, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, muestre los ejemplos de trabajo proporcionados en la lección. Considere presentar el trabajo diciendo: “Esta es otra manera de expresar 905,438 con otro nombre”.

237

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Concluir

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Reflexión final 5 min Objetivo: Expresar números usando la comprensión del valor posicional Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de usar la forma unitaria para expresar un número con otro nombre. ¿Cómo nos ayuda una tabla de valor posicional a expresar los números con otro nombre? Podemos representar el número en una tabla de valor posicional y ver el valor posicional de cada dígito. Luego, podemos pensar acerca de las unidades de valor posicional que queremos usar para expresar el número con otro nombre. Podemos usar una tabla de valor posicional para mostrar cómo podemos descomponer y expresar unidades más grandes como unidades más pequeñas. ¿Qué estrategias pueden usar para expresar los números con otro nombre? Puedo pensar en cómo descomponer unidades más grandes en unidades más pequeñas. A veces, decir el número me ayuda a escuchar las unidades de valor posicional. Puedo expresar 1 o más unidades más grandes como unidades más pequeñas. Puedo expresar varias unidades de valor posicional como unidades más pequeñas. Puedo expresar centenas y decenas como unidades. Puedo expresar con otro nombre de diferentes maneras siempre que el valor del número siga siendo el mismo.

238

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

3. Expresa 73,905 con otro nombre de diferentes maneras.

decenas de millar,

1. Representa 1,315 en la tabla de valor posicional para que coincida con la forma unitaria dada.

millares,

centenas,

decenas y

unidades

millares,

centenas,

decenas y

unidades

739

centenas,

decenas y

unidades

decenas y

unidades

73,905

unidades

a. 1 millar, 3 centenas, 1 decena y 5 unidades Millares

Centenas

Decenas

Unidades

7,390

Escribe la respuesta para cada pregunta.

b. 13 centenas, 1 decena y 5 unidades Millares

Centenas

4. ¿Cuántos millares hay en la posición de los millares en 83,106? Decenas

Unidades

millares

5. ¿Cuántos millares hay en 83,106?

2. Expresa 4,628 con otro nombre de diferentes maneras.

millares,

centenas,

decenas y

unidades

centenas,

decenas y

unidades

462

decenas y

unidades

4,628

6. ¿Cuántas decenas de millar hay en la posición de las decenas de millar en 251,472?

unidades

decenas de millar

7. ¿Cuántas decenas de millar hay en 251,472?

millares

decenas de millar

GRUPO DE PROBLEMAS

239

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10

8. Oka quiere representar 12,751 en una tabla de valor posicional. Escribe dos formas distintas en que Oka puede mostrar el número. Ejemplo:

1 decena de millar, 2 millares, 7 centenas, 5 decenas y 1 unidad 12 millares, 7 centenas, 5 decenas y 1 unidad

Halla el número misterioso y escríbelo en forma estándar. Explica tu razonamiento con imágenes, números o palabras. 9. Tengo 6 unidades, 550 millares y 12 centenas. ¿Qué número soy?

551,206 6 + 550,000 + 1,200 = 551,206

10. Tengo 11 millares, 8 decenas de millar, 36 unidades y 9 centenas. ¿Qué número soy?

91,936 11,000 + 80,000 + 36 + 900 = 91,936

240

GRUPO DE PROBLEMAS

Grupo A

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

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241

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Grupo B

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

242

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Grupo B

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243

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Grupo B

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

244

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Grupo C

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245

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Grupo C

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

246

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Grupo D

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247

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Grupo D

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

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Grupo E

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249

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Grupo E

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 10 ▸ Colección de dinero

250

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Grupo E

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Grupo F

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Grupo F

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EUREKA MATH2 New York Next Gen

Grupo F

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254

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LECCIÓN 11

Hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más que y menos que un número dado

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

Completa cada enunciado. 1. 1,000 más que 341,268 es

342,268

2. 100,000 menos que 753,722 es

653,722

La clase usa una tabla de valor posicional y la forma unitaria para hallar mil o 1 millar, 10 mil o 10 millares y 100 mil o 100 millares más y menos que un número. Escriben enunciados y ecuaciones para representar más que y menos que. También determinan la regla para un patrón de números y la usan para hallar los números desconocidos en el patrón.

Preguntas clave • ¿Qué estrategias pueden usar para hallar mil, 10 mil y 100 mil más que o menos que un número?

Usa la regla para completar cada patrón de números. 3. Regla: sumar 1,000

23,500

Vistazo a la lección

24,500

25,500

26,500

27,500

639,015

629,015

619,015

609,015

• ¿Cómo pueden determinar las reglas de los patrones de números y aplicarlas?

4. Regla: restar 10,000

649,015

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA7 Leen y escriben números enteros de varios dígitos en formas unitaria, estándar, escrita y desarrollada. (NY-4.NBT.2a)

103

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

Presentar 5 min

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

• Prepare una tabla de siete columnas lo suficientemente grande para ubicar los discos de valor posicional. Considere usar una hoja de papel grande, trazar líneas con un marcador de borrado en seco sobre el escritorio o usar un espacio sin líneas.

Aprender 35 min • Más que un número dado • Menos que un número dado • Patrones de números • Grupo de problemas

Concluir 10 min

• set de discos de valor posicional

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

• Prepare al menos 9 discos de una centena de millar, 10 discos de una decena de millar, 5 discos de un millar, 5 discos de una centena, 8 discos de una decena y 2 discos de una unidad. • Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si las preparará con la clase durante la lección.

257

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: 1, 10 y 100 menos La clase identifica un número que se representa con discos de valor posicional y determina 1, 10 y 100 menos como preparación para hallar 1,000, 10,000 y 100,000 menos que un número dado. Muestre el número 792 representado con discos de valor posicional en la tabla. ¿Qué número está representado con los discos de valor posicional? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

792 Muestre el enunciado 1 menos que

1 menos que

792

791

792 − 1 = 791

Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

1 menos que 792 es 791. Muestre el enunciado completo y, luego, quite un disco de una unidad. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 1 menos que 792. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

258

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Muestre la ecuación de ejemplo y, luego, muestre 792 con discos de valor posicional. Muestre el enunciado 10 menos que es .

10 menos que

100

10 menos que 792 es 782.

100

Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 10 menos que 792.

782

692

792 − 10 = 782

Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

Muestre el enunciado completo y, luego, quite un disco de una decena.

792

100 100

100

Muestre la ecuación de ejemplo y, luego, muestre 792 con discos de valor posicional. Muestre el enunciado 100 menos que es . Cuando dé la señal, digan el enunciado completo. ¿Comenzamos?

100 menos que

792

792 − 100 = 692

100 menos que 792 es 692. Muestre el enunciado completo y, luego, quite un disco de una centena. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 100 menos que 792. Repita el proceso con 604 y 110.

259

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Respuesta a coro: Redondear a la centena más cercana La clase redondea un número de tres o cuatro dígitos a la centena más cercana como preparación para redondear números de varios dígitos a partir de la lección 12. Muestre 361 ≈

¿Cuánto es 361 cuando redondeamos a la centena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

400

361 ≈

400

Muestre el número redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

128

750

1,509

1,667

1,835

Conteo bip de centena en centena La clase completa un patrón como preparación para hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más y menos que un número dado. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención a medida que cuento hacia delante o hacia atrás de centena en centena. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 400, 500,

400, 500,

600

400, 500, bip Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

600

260

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

543,

643 , 743

900, 800,

108 , 208, 308

700

Presentar

545,

445 , 345

, 105, 205

288 , 188, 88

207 , 107, 7

La clase examina tablas de valor posicional para determinar relaciones entre los números. Muestre la tabla de valor posicional que muestra 8 centenas.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

¿Qué número está representado en la tabla de valor posicional?

800

261

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Muestre la imagen de las tablas de valor posicional A, B y C Estas tablas de valor posicional muestran cómo otros números se relacionan con el 800.

Tabla de valor posicional A Millares

Centenas

Decenas

Unidades

× 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los números que están representados en las tablas de valor posicional A, B y C. Muestre los tres enunciados que muestran cómo 800 se relaciona con los números en las tablas de valor posicional.

Tabla de valor posicional B Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Pida a las parejas que determinen qué enunciado se relaciona con cada tabla de valor posicional. Escoja estudiantes para que compartan cómo emparejaron cada enunciado con una tabla. La tabla de valor posicional A muestra que 8,000 es 10 veces 800. Muestra 8 centenas multiplicadas por 10, lo que es igual a 8,000. La tabla de valor posicional B muestra que 1 centena menos que 800 es 700. Hay 8 centenas y 1 centena está tachada. Quedan 7 centenas.

Considere usar la siguiente secuencia para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones entre las unidades conocidas.

Tabla de valor posicional C Millares

Centenas

Decenas

Unidades

La tabla de valor posicional C muestra que 1 centena más que 800 es 900. Hay 8 centenas y 1 centena más. Hay 9 centenas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias entre representar tantas veces un número, más que un número o menos que un número en la tabla de valor posicional.

Diferenciación: Apoyo

Coloque un disco para mostrar 100. Agregue 1 disco de una centena. Pida a sus estudiantes que completen estos esquemas de oración: es

más que

menos que

. .

Escriban una ecuación que se relacione. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1 centena menos que 800 es 700. 8,000 es 10 veces 800. 1 centena más que 800 es 900.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos lo que sabemos acerca del valor posicional para hallar números que son una cantidad dada más o menos que un número.

• Muestren 100 y sumen 1 centena. • Muestren 400 y sumen 1 centena. • Muestren 420 y sumen 1 centena. • Muestren 429 y sumen 1 centena. • Muestren 400 millares y sumen 1 millar. • Muestren 420 millares y sumen 1 millar. • Muestren 429 millares y sumen 1 millar.

262

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Aprender

Más que un número dado Materiales: M) Discos

La clase escribe enunciados y ecuaciones para representar 100 mil o 100 millares, 10 mil o 10 millares y mil o 1 millar más que un número dado. Muestre los discos de valor posicional en la tabla para mostrar 7 centenas de millar, 9 decenas de millar, 4 millares, 5 centenas, 8 decenas y 2 unidades. Invite a la clase a nombrar el número que está representado. Escriba el número en forma estándar y pídales que hagan lo mismo. Agregue otro disco de una centena de millar en la tabla. Invite a la clase a nombrar el nuevo número que está representado. Escriba el número en forma estándar y pídales que hagan lo mismo.

794,582

¿Cómo cambiamos 794,582 para formar 894,582? Agregamos un disco de una centena de millar. Escriba el enunciado 100 millares más que 794,582 es 894,582.

894,582

¿Cómo describe este enunciado lo que sucede con los discos de valor posicional? Comenzamos con 794,582 y sumamos 100 millares para hacer 894,582. Escriban una ecuación que represente el enunciado.

263

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para escribir una ecuación que represente el enunciado. Recorra el salón de clases mientras trabajan y seleccione parejas para que compartan sus trabajos. Seleccione ecuaciones que usen la suma para representar 100 millares más que 794,582. Invite a las parejas seleccionadas a compartir 100 millares más que 794,582 es 894,582. su trabajo. A medida que comparten sus 794,582 + 100,000 = 894,582 trabajos, pídales que expliquen por qué usaron una ecuación de suma para representar el enunciado. Escriba la ecuación. Subraye 794,582 y 894,582. Señale los números mientras dice la siguiente secuencia. Miren el número original y el número nuevo. ¿Qué observan? Los dígitos son los mismos en ambos números, salvo por el dígito en las centenas de millar. Nuestros discos ahora representan 894,582. ¿Cómo podemos mostrar 10 mil o 10 millares más? Ponemos otro disco de una decena de millar en la posición de las decenas de millar. Agregue otro disco de una decena de millar en la tabla de valor posicional. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el número representado.

904,582. Hay 10 decenas de millar, que las podemos componer para formar 1 centena de millar.

904,582. Los millares, las decenas, las centenas y las unidades quedan igual. Las decenas de millar y las centenas de millar son diferentes.

8 centenas de millar y 10 decenas de millar tiene el mismo valor que 9 centenas de millar y 0 decenas de millar. Podemos componer 1 centena de millar porque ahora hay 10 decenas de millar.

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Diferenciación: Apoyo Considere usar las siguientes preguntas para guiar a las parejas de estudiantes a escribir una ecuación que represente 100,000 más que 794,582 es 894,582. • ¿Desde qué número empezamos? • ¿Qué sucedió para cambiar ese número a un número diferente? • ¿Debemos representar ese cambio mediante la suma o la resta? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué nuevo número está representado?

Nota para la enseñanza Si hay parejas de estudiantes que escriben la ecuación 100,000 + 794,582 = 894,582, guíe una conversación breve sobre las ecuaciones. Debido a que la suma es conmutativa, ambas ecuaciones son correctas. Sin embargo, 794,582 + 100,000 = 894,582 se relaciona de forma más directa con la situación. Si no escriben la ecuación en este orden, considere presentar la ecuación y guiar una conversación al respecto.

Cambie los 10 discos de una decena de millar por 1 disco de una decena de millar. ¿Cómo cambiamos 894,582 para formar 904,582? Agregamos otro disco de una decena de millar. Luego, compusimos una nueva unidad de valor posicional porque teníamos 10 decenas de millar.

264

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Escriba el esquema de oración y la ecuación. millares más que 894,582 es

DUA: Representación

+ 10,000 = Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el esquema de oración y la ecuación. Invite a algunas parejas a compartir cómo completaron 10 millares más que 894,582 es 904,582. el enunciado y la ecuación. Escriba el enunciado 894,582 + 10,000 = 904,582 y la ecuación completos.

Considere resaltar las decenas de millar en cada número. Esto puede ser útil para la clase a medida que usan la forma unitaria para representar las decenas de millar en los números.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántas decenas de millar hay en 894,582. Escriba 89 decenas de millar.

89 894,582 89 decenas de millar

89 decenas de millar 90 decenas de millar

¿Cuánto es 1 decena de millar más?

90 decenas de millar

90 904,582 90 decenas de millar

Escriba 90 decenas de millar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se pueden usar los discos de valor posicional y la forma unitaria para hallar 10 mil o 10 millares más que un número. Usemos los discos de valor posicional para hallar mil o 1 millar más que 904,582.

100

Agregue otro disco de un millar a la tabla.

millar más que .

• Escriban una ecuación que represente el enunciado. • Comenten las semejanzas y diferencias entre los dígitos de los números. • Usen la forma unitaria para describir los millares en cada número.

Considere proveer soportes para el uso de esquemas de oración. • Brinde toda la información conocida:

1 millar más que 904,582 es

Invite a las parejas de estudiantes a que hagan lo siguiente. • Completen el esquema de oración:

Diferenciación: Apoyo

• Brinde parte de la información conocida:

1 millar más que 904,582 es 905,582.

1 millar más que

904,582 + 1,000 = 905,582 904 millares

millar(es) más que 904,582 es

• No proporcione información conocida:

905 millares

millar(es) más que es

265

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Muestre las ecuaciones que representan 100 mil o 100 millares, 10 mil o 10 millares y mil o 1 millar más.

794,582 + 100,000 = 894,582 79 89

894 + 10,000 = 90 904,582 894,582 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar qué dígitos cambiarán cuando hallen 100 mil o 100 millares, 10 mil o 10 millares y mil 904,582 04, + 1,000 = 905,582 05, o 1 millar más que un número. Recorra el salón y escuche las conversaciones. Preste atención a razonamientos como los siguientes: • Salvo que el dígito sea 9, solo el dígito en el valor posicional al que estamos sumando 1 más aumenta en 1.

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a hallar 100 mil o 100 millares más que 905,582. Invíteles a escribir un enunciado y una ecuación que representen 100 mil o 100 millares más que 905,582. Anímeles a usar la forma unitaria para pensar acerca de cómo el sumar 1 centena de millar cambia el número.

• Cuando sumamos 1 más a una unidad de valor posicional que ya tiene 9, podemos componer una nueva unidad. Cuando componemos una nueva unidad, cambian más dígitos. • Usar la forma unitaria me ayuda a pensar acerca de qué dígitos cambian. 89 decenas de millar y 1 decena de millar más es igual a 90 decenas de millar. 904 millares y 1 millar más es igual a 905 millares.

Menos que un número dado Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase usa tablas de valor posicional, enunciados y ecuaciones para representar 100 mil o 100 millares, 10 mil o 10 millares y mil o 1 millar menos que un número dado. Pida a sus estudiantes que inserten la Tabla de valor posicional hasta los millones en sus pizarras blancas.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Dibuje en la tabla de valor posicional para representar 310,793. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Centenas

Decenas

Unidades

Nota para la enseñanza Cuando reste en una tabla de valor posicional dibujada, represente la resta tachando los discos dibujados en lugar de borrándolos. Al tachar los discos, se conserva el número original como registro del trabajo. Es posible que parte de la clase se beneficie de la transición de quitar discos concretos a borrar discos dibujados y, luego, tacharlos.

¿Cómo podemos usar la tabla de valor posicional para mostrar 100 millares menos que 310,793? Podemos tachar 1 centena de millar.

266

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Tache 1 centena de millar. Invite a la clase a hacer lo mismo y a nombrar el nuevo número que se representa. Escriba el número en forma estándar. Muestre el esquema de oración millar menos que es .

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

210,793

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el esquema de oración. Invite a algunas parejas a compartir el enunciado completo. Escriba el enunciado completo.

100 millares menos que 310,793 es 210,793.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación que represente el enunciado. Recorra el salón de clases mientras trabajan y seleccione parejas para compartir sus trabajos. Preste atención a las ecuaciones que usen la resta para representar 100 millares menos que 310,793. Invite a las parejas seleccionadas a compartir su trabajo. Mientras comparten, pídales que expliquen por qué usaron una ecuación de resta para representar el enunciado. Escriba la ecuación. Subraye 310,793 y 210,793. Señale los números mientras dice lo siguiente.

310,793 – 100,000 = 210,793

Decenas de millar

310,793 • ¿Qué número en el enunciado representa lo que estamos restando?

310,793 − 100,000 • ¿Qué número en el enunciado representa la diferencia?

Los dígitos son los mismos en ambos números, salvo por los dígitos en las centenas de millar. Centenas de millar

Comiencen a escribir la ecuación:

Continúen con la ecuación:

Miren el número original y el número nuevo. ¿Qué observan?

Millones

Cuando la clase lee el enunciado 100 millares menos que 310,793 es 210,793, puede que escriban erróneamente la ecuación como 100,000 − 310,793 = 210,793. Intente establecer una conexión con el lenguaje de números más pequeños, como 1 menos que 3 o 100 menos que 300. Luego, use esta secuencia para ayudarles a escribir la ecuación correcta: • ¿Qué número en el enunciado representa el total?

Escriban una ecuación que represente el enunciado.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 10 millares menos que 210,793.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Completen la ecuación:

310,793 − 100,000 = 210,793

Pida a sus estudiantes que hagan lo siguiente: • Borren la centena de millar tachada para que la tabla de valor posicional muestre 210,793.

267

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 • Usen la tabla de valor posicional para representar 10 mil o 10 millares menos.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

• Completen el esquema de oración millares menos que es . • Escriban una ecuación que represente el enunciado. • Comenten las semejanzas y diferencias entre los dígitos de los números. • Usen la forma unitaria para describir las decenas de millar en cada número. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se pueden usar la tabla de valor posicional y la forma unitaria para hallar 10 millares menos que un número. Pida a sus estudiantes que borren la decena de millar tachada.

Millones

10 millares menos que 210,793 es 200,793 200,793.. 210,793 – 10,000 = 200,793 21 decenas de millar 20 decenas de millar Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Nuestra tabla de valor posicional ahora muestra 200,793. Invite a la clase a usar la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para analizar cómo mostrar 1 millar menos. Hay 0 millares en la posición de los millares. Necesitamos descomponer para tener millares en la posición de los millares. Necesitamos descomponer 1 centena de millar en 10 decenas de millar. Luego, podemos descomponer 1 decena de millar en 10 millares. Debemos expresar 1 centena de millar como 9 decenas de millar y 10 millares.

268

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Descomponga 1 centena de millar en 10 decenas de millar y, luego, descomponga 1 decena de millar en 10 millares. Tache 1 millar. Pida a sus estudiantes que muestren la reagrupación en sus tablas e indiquen el número que se representa. Escriba 199,793 y pídales que hagan lo mismo.

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Muestre el esquema de oración y la ecuación. millares menos que

−

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el esquema de oración y la ecuación. Escoja estudiantes para que compartan el enunciado completo y la ecuación. Escriba el enunciado y la ecuación completos.

1 millar menos que 200,793 es 199,793. 200,793 - 1,000 = 199,793

Miren el número original y el número nuevo. ¿Qué observan? Los dígitos son los mismos en ambos números, salvo por los dígitos en las centenas de millar, las decenas de millar y los millares. ¿Qué unidad restamos de 200,793? Los millares ¿Cuántos millares hay en 200,793?

200 millares Escriba 200 millares en forma unitaria. ¿Cuánto es 1 millar menos?

199 millares

200 millares 199 millares

Escriba 199 millares.

269

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 ¿Cómo podemos usar la forma unitaria para hallar mil o 1 millar menos que un número? Puedo usar la forma unitaria para pensar sobre el número de millares en el número y, luego, sobre cuánto sería 1 millar menos. Es como pensar acerca de 1 menos que un número, pero incluyendo el millar. Sé que 1 menos que 200 es 199. Por eso, también sé que 1 millar menos que 200 millares es 199 millares. Muestre las ecuaciones que representen 100 millares, 10 millares y 1 millar menos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo determinar qué dígitos cambiarán cuando hallen 100 millares, 10 millares y 1 millar menos que un número.

31 310,793 – 100,000 = 21 210,793 210 200 210,793 – 10,000 = 200,793 200,793 – 1,000 = 199, 200, 199,793

Cuando no necesitamos descomponer una unidad, solo cambia el dígito en el valor posicional del que restamos 1. A veces, necesitamos descomponer para hallar 1 menos. Cuando descomponemos unidades, los dígitos que intervienen en la descomposición también cambian. Puedo saber qué dígitos cambiarán si me ayudo usando una unidad más grande, como el número total de millares.

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia que ayude a la clase a hacer conexiones entre la actividad de hallar más o menos que un número y las reglas de suma o resta de los patrones de números. 100 millares más

10 millares más

+ 100,000

+ 10,000

1 millar más + 1,000

794,582 + 100,000 = 894,582 79 89

894,582 89 + 10,000 = 904,582 90

904,582 04, + 1,000 = 905,582 05,

100 millares menos

10 millares menos

1 millar menos

- 100,000

- 10,000

- 1,000

31 210,793 310,793 - 100,000 = 21

210 210,793 - 10,000 = 200,793 200

200,793 200, - 1,000 = 199, 199,793

Patrones de números La clase determina reglas para patrones de números y las usa para hallar números desconocidos en un patrón.

Patrón A

721,015 711,015

681,015

Muestre los patrones A y B. ¿Qué patrón sigue la regla sumar 1,000? ¿Cómo lo saben? El patrón B, porque los números van de 25 mil a 26 mil y, luego, a 27 mil: el patrón aumenta de mil en mil.

270

Patrón B

25,617

26,617

27,617

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar los números desconocidos en el patrón B. ¿Cuáles son los números desconocidos en el patrón?

28,617 y 29,617 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden determinar la regla para el patrón A. Miramos los dígitos en los primeros dos números y observamos que el dígito en la posición de las decenas de millar es diferente. Cambia de 2 a 1. Entonces, pensamos que la regla es restar 1 decena de millar. La regla es restar 10,000 porque los números disminuyen de 1 en 1 decena de millar. La regla es restar 10,000 porque los números van de 72 decenas de millar a 71 decenas de millar. Es diez millares menos cada vez. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar los números desconocidos en el patrón A. ¿Cuáles son los dos números desconocidos en el patrón? ¿Cómo lo saben? Los números desconocidos son 701,015 y 691,015. Pensé en la forma unitaria. 1 decena de millar menos que 71 decenas de millar es 70 decenas de millar. 1 decena de millar menos que 70 decenas de millar es 69 decenas de millar. Los números desconocidos son 701,015 y 691,015. Usé el último número en el patrón y pensé en 1 decena de millar más en lugar de menos. 1 decena de millar más que 68 decenas de millar es 69 decenas de millar. 1 decena de millar más que 69 decenas de millar es 70 decenas de millar. Si hay tiempo suficiente, muestre los patrones C y D.

Cada estudiante entiende los problemas y persevera para resolverlos (MP1) cuando determina la regla para un patrón de números y la usa para completar el patrón. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pueden notar sobre la regla al observar la información dada en el patrón de números? • ¿La regla tiene sentido para ese patrón de números? Si no es así, ¿pueden probar con otra cosa?

Patrón C

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para identificar la regla para cada patrón y hallar los números desconocidos en cada uno de ellos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que se pueden usar para determinar la regla de un patrón de números y cómo pueden usarla para completar el patrón.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

605,263 705,263

905,263

Patrón D

300,741

298,741 297,741

271

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar 1,000, 10,000 y 100,000 más que y menos que un número dado Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de usar el valor posicional para hallar más o menos que un número y para hallar las reglas para patrones de números. ¿Cómo representamos y hallamos mil o 1 millar, 10 mil o 10 millares y 100 mil o 100 millares más o menos que un número? Usamos discos y dibujamos en la tabla de valor posicional. Escribimos un enunciado y una ecuación. Usamos la forma unitaria. A veces, pensamos solo en la unidad, y, otras veces, pensamos en varias unidades a la vez. ¿Cómo pueden usar el valor posicional para pensar acerca de qué dígitos cambian cuando hallan más o menos que un número? Cambiar el dígito en el valor posicional que estoy sumando o restando me ayuda a pensar acerca de qué dígitos cambian. A veces, solo cambia un dígito. Otras veces, cambia más de un dígito. Puedo saber qué dígitos cambian si me ayudo componiendo o descomponiendo unidades. Usar diferentes formas unitarias me ayuda a pensar sobre los dígitos que cambian.

272

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 ¿Cómo pueden determinar las reglas para los patrones de números y aplicarlas? Observo los números en el patrón y pienso qué dígitos se mantienen igual y cuáles cambian. Si los dígitos aumentan, sumo. Si los dígitos disminuyen, resto. Hallo las unidades que son diferentes en cada número del patrón y uso la forma unitaria para hallar la regla. A veces, leo el patrón comenzando desde el último número. Eso me sirve si la regla es restar y las unidades se descomponen.

273

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Completa cada enunciado y ecuación. 3. 1,000 más que 82,764 es

Dibuja o tacha discos en la tabla para que coincidan con el enunciado. Luego, completa el enunciado. 1.

10,000

1,000

100

10,000

1,000

100

10,000

1,000

10,000

1,000

10,000

1,000

1 millar más que 74,236 es

75,236

82,764 + 1,000 =

83,764

60,230 − 10,000 =

83,764

5. 10,000 menos que 60,230 es

50,230

61,093

es 10,000 más que 51,093.

61,093

= 51,093 + 10,000

479,018

es 100,000 menos que 579,018.

479,018

= 579,018 − 100,000

Usa la regla para completar el patrón de números. 2.

7. Regla: sumar 1,000 10,000

100

100,000

10,000

100

100,000

10,000

100,000

10,000

100,000

10,000

1 decena de millar menos que 850,314 es

274

100,000

68,381

69,381

70,381

71,381

72,381

811,049

801,049

791,049

781,049

8. Regla: restar 10,000

840,314

821,049

100

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Completa el patrón de números. 9.

14,293

15,293

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11

16,293

17,293

14. 359,286 personas asistieron a un festival de música este año. Esa cantidad es 100,000 personas más que el año pasado. ¿Cuántas personas asistieron al festival de música el año pasado?

18,293

359,286 − 100,000 = 259,286 259,286 personas asistieron al festival de música el año pasado.

10.

11.

850,187

750,187

650,187

550,187

450,187

6,405

7,405

8,405

9,405

10,405 15. Casey completa el patrón de abajo usando esta regla: restar 100,000. Explica el error de Casey.

392,201 12.

122,017

112,017

102,017

92,017

82,017

382,201

372,201

362,201

Casey usó la regla restar 10,000 en su patrón. El dígito que está en la posición de las decenas de millar disminuye en 1 decena de millar.

13. ¿Cuál es la regla del problema 12? Explica cómo hallaste la regla. La regla es restar 10,000. Observé los números 112,017 y 92,017. La diferencia entre las decenas de millar era 2 decenas de millar. Hay un número desconocido entre ellas, así que necesito restar 10,000.

GRUPO DE PROBLEMAS

101

102

GRUPO DE PROBLEMAS

275

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 11 ▸ Tabla de valor posicional hasta los millones

Millones

276

Centenas de millar

Decenas de millar

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Millares

Centenas

Decenas

Unidades

LECCIÓN 12

Redondear al millar más cercano

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Fecha

Redondea al millar más cercano. Traza una recta numérica vertical para mostrar tu razonamiento. 1. 6,215 ≈

7,000

6,000

2. 14,805 ≈

Preguntas clave

15,000

• ¿Qué información se necesita para redondear un número al millar más cercano?

14,500

• ¿De qué manera nos sirve pensar en un número en forma unitaria cuando redondeamos números?

6,215 6,000

La clase redondea números de cuatro, cinco y seis dígitos al millar más cercano usando una recta numérica. Para determinar cómo redondear, consideran si el número es más o menos que el punto medio entre dos millares o cuán cerca está de uno de los millares.

15,000

14,805 6,500

Vistazo a la lección

14,000

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA9 Redondean números enteros de varios dígitos. (NY-4.NBT.3)

109

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Usar el punto medio para redondear al millar más cercano

• ninguno

• Usar la proximidad a un millar para redondear al millar más cercano • Reagrupar a una nueva unidad para redondear • Grupo de problemas

Concluir 10 min

279

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar hasta el 1,000 La clase suma hasta el 1,000 como preparación para la suma de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional en el tema D. Muestre 314 + 263 =

Nota para la enseñanza

Completen la ecuación. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

314 + 263 =

577

Considere usar esta práctica de fluidez como oportunidad para evaluar formativamente la competencia de la clase para sumar hasta el 1,000. La enseñanza explícita sobre la suma y resta de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional comienza en el tema D.

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

476 + 356 = 832

280

473 + 329 = 802

127 + 399 = 526

298 + 524 = 822

Antes de que comiencen a sumar, anime a la clase a pensar con flexibilidad sobre qué estrategia puede ser la más eficiente según los números presentes en el problema.

609 + 293 = 902

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional La clase determina cuántos millares hay en un número y, luego, halla 1,000 más para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta 1,000,000. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 45,123. ¿Cuántos millares hay en la posición de los millares?

5 millares Muestre el 5 subrayado y, luego, quite el subrayado. ¿Cuántos millares hay en 45,123?

45 millares Muestre el 45 subrayado y, luego, quite el subrayado. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 1,000 más que 45,123.

45,123 45,123 + 1,000 = 46,123

Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

382,006

29,407

509,314

281

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Presentar

La clase analiza el propósito de redondear en una situación del mundo real. Muestre el mapa y el enunciado sobre un hombre que planea cruzar los Estados Unidos corriendo. ¿Qué observan?

Luke planea correr aproximadamente 3,000 millas de costa a costa.

Observo que dice aproximadamente 3,000 millas. No parece ser exacto. No dice exactamente dónde comenzará o terminará. Parece ser una distancia muy larga para correr. ¿Qué se preguntan? Me pregunto dónde comenzará o terminará. Quisiera saber cuántas millas correrá exactamente. Me pregunto cuánto tiempo le llevará. Señale los extremos de la ruta en el mapa mientras dice los siguientes enunciados y preguntas: Hay 2,909 millas entre San Francisco, California, y Nueva York, Nueva York. ¿Por qué creen que dice aproximadamente 3,000 millas en lugar de 2,909 millas? Es más fácil leer el número 3,000.

3,000 está cerca de 2,909. No se nombran las ciudades; entonces, no se puede saber el número exacto.

282

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere crear con sus estudiantes una lista de razones por las que los números se redondean y, luego, exhibirla en el salón para apoyar la comprensión de la clase de la palabra redondeo. Incluya las palabras aproximadamente y estimación como apoyo para cuando sus estudiantes encuentren estos términos en los problemas o las instrucciones. Redondeamos cuando: • necesitamos hallar cuánto es aproximadamente algo; • usamos una estimación en lugar de hallar el número exacto; • queremos crear un número más simple que esté cerca del número original.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 ¿Cómo saben que 2,909 está cerca de 3,000?

9 centenas está cerca del siguiente millar. Solo está a aproximadamente 90 de 3,000.

2,909 es un poco menos que 3,000. Se redondea la distancia a 3,000 millas, que es un número de referencia cercano a la distancia exacta. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, redondearemos números al millar más cercano.

Aprender

Usar el punto medio para redondear al millar más cercano La clase redondea números relacionados de cuatro, cinco y seis dígitos al millar más cercano usando el punto medio en una recta numérica. Muestre una recta numérica horizontal rotulada de 0 a 10,000, con intervalos de 1,000.

1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000

¿Cuántos millares hay en 2,909?

2 millares ¿Cuánto es 1,000 o 1 millar más que 2,000?

3 mil ¿Entre qué dos millares se ubica 2,909?

2 millares y 3 millares.

Nota para la enseñanza Aunque se puede pensar en 2,909 como un número que se encuentra entre muchos millares, cuando redondeamos solo nos referimos a los dos millares inmediatamente entre los cuales se ubica 2,909 (es decir, los dos millares más cercanos a 2,909). El mismo razonamiento se aplica a lo largo de la lección y del módulo.

Repita la secuencia con 8,258, 1,089 y 7,611.

283

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 Presten atención a la parte de la recta numérica que va desde 7,000 hasta 8,000 y marquen 7,611 como ayuda para redondear al millar más cercano. Usaremos una recta numérica vertical para poder alinear las unidades de valor posicional de los números. Trace una recta numérica vertical con 7,000 y 8,000 escritos en formas estándar y unitaria. Incluya una marca para el punto medio, pero no la rotule. Escriba 7,611 debajo de la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

8,000 = 8 millares

Considere reducir las exigencias de motricidad fina que puede implicar la tarea proporcionando una plantilla de recta numérica vertical. Incluya la primera marca de graduación, el punto medio y la última marca en la plantilla.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es el punto medio entre 7,000 y 8,000 y cómo lo saben. Sé que es 7 millares y 5 centenas porque 5 centenas es la mitad de 1 millar.

7,000 = 7 millares

Sé que es 75 centenas porque 7,000 es la misma cantidad que 70 centenas y 8,000 es lo mismo que 80 centenas. 75 centenas es el punto medio entre 70 centenas y 80 centenas.

7,611

Rotule la marca del punto medio en forma estándar y en forma unitaria. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale 7,000 en la recta numérica y, lentamente, suba con su dedo por la recta. Pida a la clase que le detenga cuando usted llegue al punto correspondiente a 7,611. Marque y rotule el punto. Me pidieron que me detenga justo por encima de la marca del punto medio, 7,500. ¿Cómo sabían que debíamos parar allí?

7,611 está justo pasando 7,500. Solo es 1 centena y un poquito más.

DUA: Acción y expresión

8,000 = 8 millares 7,611 7,500 = 7 millares y 5 centenas

7,000 = 7 millares

¿De cuál millar está más cerca 7,611? ¿Cómo lo saben?

8,000 7,611 se encuentra pasando la marca del punto medio de 7,500, entonces, está más cerca de 8,000.

7,611 ≈ 8,000

7,611 está solo a unos 400 de distancia de 8,000, pero está a unos 600 de distancia de 7,000. Como 8,000 es el millar más cercano a 7,611, decimos que 7,611 se redondea a 8,000. Escribamos un enunciado que muestre que 7,611 se redondea a 8,000.

284

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 Escriba el enunciado 7,611 ≈ 8,000. Señale el signo de aproximadamente igual y explique que es parecido al signo igual, solo que se usa para mostrar que dos números son casi iguales, pero no exactamente iguales. Pida a sus estudiantes que completen el enunciado.

Invite a la clase a trabajar en parejas para marcar 7,439 en la misma recta numérica y redondearlo al millar más cercano. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre redondear 7,611 y 7,439 al millar más cercano. Ambos números se ubican entre 7 millares y 8 millares.

7,439 está más cerca de 7,000. 7,611 está más cerca de 8,000. 7,439 es menos que el punto medio entre los dos millares. 7,611 es más que el punto medio entre los dos millares. Deje a la vista la recta numérica que va desde 7,000 hasta 8,000. Escriba 17,423 y diga el siguiente enunciado:

Apoyo para la comprensión del lenguaje El signo ≈ es conocido a partir de 3.er grado. A modo de referencia, use el signo junto a la forma escrita. Contraste el significado del signo ≈ con el significado del signo igual.

3,117 ≈ 3,000

3,117 es aproximadamente 3,000. 3,117 = 3,117 3,117 es igual a 3,117.

Vamos a redondear 17,423 al millar más cercano. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la recta numérica puede ayudarles a redondear 17,423 al millar más cercano.

17,423 tiene 7 millares. Podemos usar una recta numérica que vaya desde 17 millares hasta 18 millares en lugar de 7 millares a 8 millares. El punto medio es 17 millares y 5 centenas, en lugar de 7 millares y 5 centenas. Invite a la clase a trabajar en parejas para trazar una recta numérica, marcar 17,423 y redondear ese número al millar más cercano. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Haga las siguientes preguntas: • ¿Cuántos millares hay en 17,423? • ¿Cuánto es mil o un millar más que 17 mil? • ¿Cuál es el punto medio entre 17 mil y 18 mil? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo escribimos 17 mil y 18 mil en forma estándar? • ¿Cuál es el punto medio entre 17,000 y 18,000? ¿Cómo lo saben? • ¿Dónde ubicamos 17,423? • ¿De cuál millar está más cerca 17,423? • ¿Qué enunciado podemos escribir para mostrar 17,423 redondeado al millar más cercano?

285

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 ¿A qué millar se redondea 17,423? ¿Cómo les ayudó la marca del punto medio?

17,423 se redondea a 17,000 porque es menos que el punto medio hasta llegar a 18,000. La marca del punto medio es 17 millares y 5 centenas. El número solo tiene 4 centenas.

Escriba 7,439 ≈ 7,000 y 17,423 ≈ 17,000.

¿En qué se parece el redondeo de estos dos números? Pensamos en cuántos millares hay en los números y cuál es el siguiente millar. Hallamos el millar más cercano para cada número.

7,439 ≈ 7,000 17,423 ≈ 17,000

Redondeamos los dos números al millar más cercano. Ambos números se redondean al millar que coincide con el número de millares en ellos, porque no pasan el punto medio para llegar al siguiente millar. Escriba 317,500. ¿Cuántos millares hay en 317,500?

317 millares ¿Cuánto es mil o 1 millar más que 317,000?

318 millares ¿Entre qué dos millares se ubica 317,500?

317 millares y 318 millares. Invite a la clase a trabajar en parejas para trazar una recta numérica y marcar 317,500.

Nota para la enseñanza Redondear hacia arriba y redondear hacia abajo son expresiones que se asocian con redondear. A veces, hacen referencia a la dirección en la que se debe mover en la recta numérica (p. ej., 73 se redondea hacia abajo a 70). Otras veces, la expresión redondear hacia arriba se refiere al incremento del valor de la unidad redondeada (p. ej., el 7 en 78 se redondea hacia arriba a 8). Use estas expresiones con vocabulario de valor posicional como el siguiente: • ¿De cuál millar está más cerca 4,400? • 4,400 está más cerca de 4 millares que de 5 millares.

¿De cuál millar está más cerca 317,500? De ninguno; está en el medio. Use esta oportunidad para enseñar la norma para el redondeo de números que están en el punto medio entre los números de referencia; en este caso, los millares. Como 317,500 es el punto medio, es decir, está en la mitad, no está más cerca de 317,000 ni de 318,000. Cuando un número está en el punto medio entre dos números de referencia, usamos la regla de redondear al número más grande; entonces, 317,500 se redondea a 318,000.

Pida a sus estudiantes que escriban el enunciado: 317,500 ≈ 318,000.

286

Nota para la enseñanza Si bien hay diferentes normas sobre cómo redondear los números que se ubican exactamente en el punto medio entre los números de referencia, la norma que usamos es redondear a la siguiente unidad (p. ej., 317,500 se redondea a 318,000).

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 Muestre la imagen con las rectas numéricas y los enunciados completos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la marca del punto medio puede ayudarles a redondear cuando usan la recta numérica. 8,000 = 8 millares

18,000 = 18 millares

318,000 = 318 millares

7,611

7,500 = 7 millares y 5 centenas

17,500 = 17 millares y 5 centenas 17,423

317,500 = 317 millares y 5 centenas

7,000 = 7 millares

17,000 = 17 millares

317,000 = 317 millares

7,611 ≈ 8,000

17,423 ≈ 17,000

317,500 ≈ 318,000

Usar la proximidad a un millar para redondear al millar más cercano La clase redondea un número de cinco dígitos y un número de seis dígitos al millar más cercano usando la proximidad del número a la primera o la última marca de graduación de la recta numérica. Escriba 27,090. Invite a la clase a trabajar en parejas para trazar una recta numérica que les ayude a redondear 27,090 al millar más cercano. ¿Cómo rotularon las marcas? ¿Por qué? Comenzamos la recta numérica en 27,000 porque hay 27 millares en 27,090. Terminamos la recta numérica en 28,000 porque 1 millar más es 28 millares.

28,000 = 28 millares

27,500 = 27 millares y 5 centenas 27,090 27,000 = 27 millares

27,090 ≈ 27,000 © Great Minds PBC

287

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Invite a la clase a marcar 27,090. ¿Usaron la marca del punto medio para ubicar el número? ¿Por qué? No. El número no estaba cerca de la marca del punto medio. Me di cuenta de que el número estaba más cerca de 27,000 porque está solo a 90 de distancia de 27,000. A veces, usamos la marca del punto medio, pero otras veces podemos usar otras estrategias, por ejemplo, cuando el número que estamos redondeando está cerca del número de referencia. ¿Cómo saben que 27,090 está más cerca de 27,000? Solo es unos 100 más que 27,000, pero es unos 900 menos que 28,000. ¿Cuánto es 27,090 redondeado al millar más cercano?

27,000

Invite a la clase a escribir el enunciado: 27,090 ≈ 27,000.

Repita el proceso para redondear 465,910 al millar más cercano. Preste atención a que la clase reconozca que 465,910 está a menos de 100 de 466,000 y está más lejos de 465,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes maneras de determinar a qué millar deben redondear un número.

Reagrupar a una nueva unidad para redondear La clase reagrupa los millares como decenas de millar cuando redondean al millar más cercano. Presente el problema: Robin escribe un artículo para el periódico sobre su ciudad. La población de la ciudad es 739,625. Quiere redondear 739,625 al millar más cercano para que sea más fácil de leer. ¿A qué número debe redondear la población? ¿Qué nos pide hacer el problema? Redondear 739,625 al millar más cercano

288

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da importancia a la precisión (MP6) al reagrupar los millares como decenas de millar cuando redondea al millar más cercano. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Qué debemos tener en cuenta cuando redondeamos 739,625 al millar más cercano? • ¿Qué errores podemos cometer cuando redondeamos 739,625 al millar más cercano?

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para trazar una recta numérica que les ayude a redondear 739,625 al millar más cercano. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la forma unitaria de los números de referencia y el punto medio pueden ayudarles a redondear el número. Hay 739 millares en 739,625. 1 millar más es 740 millares. 739,625 es más que el punto medio; entonces, está más cerca de 740,000.

740,000 = 740 millares 739,625 739,500 = 739 millares y 5 centenas

739,000 = 739 millares

La forma unitaria me ayuda a ver si hay más o menos que 739 millares y 5 centenas. En 739,625, hay 739 millares y 6 centenas, lo que es 1 centena más que el punto medio.

739,625 ≈ 740,000

Escriba 99,387. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para trazar una recta numérica que les ayude a redondear 99,387 al millar más cercano. ¿Cómo decidieron rotular la primera y la última marca de graduación de la recta numérica? El número tiene 99 millares. El siguiente millar es 1 millar más o 100 millares. ¿Cuánto es 99,387 redondeado al millar más cercano? ¿Cómo lo saben? Es 99,000 porque el número es menos que 99,500, el punto medio. Es 99,000 porque está a solo 387 de distancia del 99,000. Está a unos 600 de distancia del 100,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la recta numérica puede ayudarles a redondear un número.

289

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Redondear al millar más cercano Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación con toda la clase. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. ¿Qué información necesitamos para redondear un número al millar más cercano? ¿Por qué? Necesitamos conocer el número de millares en el número, el número que es 1 millar más y a qué millar se acerca más el número. Cuando marcamos los números en la recta numérica, nos ayuda a ver si el número que estamos redondeando está más cerca de la primera o de la última marca de graduación. También es importante el número que está en punto medio entre ambos millares. Si el número se pasa del punto medio, sabemos que debemos redondear al siguiente millar. Si el número no pasa el punto medio, debemos redondear al número de millares que tiene el número. ¿De qué manera nos sirve pensar en un número en forma unitaria cuando redondeamos números? La forma unitaria nos ayuda a pensar en la unidad a la que estamos redondeado. Si redondeamos a los millares, podemos decir el número de millares en el número, y así sabremos cómo rotular la primera marca de graduación de la recta numérica. El punto medio es 5 de la unidad inmediatamente más pequeña; entonces, puedo marcar el punto medio entre los millares como esa cantidad de millares y 5 centenas. La forma unitaria me ayuda a descomponer el número que quiero redondear y los números de la recta numérica para poder determinar qué millar está más cerca.

290

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12 ¿Cómo saben cómo rotular la primera y la última marca de graduación de la recta numérica? Pienso en los dos millares entre los que está el número. Veo cuántos millares hay en el número. Eso se convierte en la primera marca de graduación y, luego, sumo 1 millar más para obtener la última marca de graduación.

291

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

5. 189,735 ≈ 190,000

190,000 = 190 millares

Redondea al millar más cercano. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. El primero ya está empezado como ejemplo. 1. 2,400 ≈

2,000 3,000 = 3 millares

2. 7,380 ≈

189,735

7,000 8,000 = 8 millares

2,500 = 2 millares y 5 centenas 2,400

7,500 = 7 millares y 5 centenas 7,380

2,000 = 2 millares

7,000 = 7 millares

EUREKA MATH2 New York Next Gen

6. 503,500 ≈ 504,000

504,000 = 504 millares

189,500 = 189 millares y 5 centenas

503,500 = 503 millares y 5 centenas

189,000 = 189 millares

503,000 = 503 millares

Redondea al millar más cercano. Traza una recta numérica para mostrar tu razonamiento. 3. 12,603 ≈

13,000

13,000 = 13 millares

292

4. 59,099 ≈

7. 99,631 ≈ 100,000

100,000 = 100 millares

59,000

60,000 = 60 millares

12,603 12,500 = 12 millares y 5 centenas

59,500 = 59 millares y 5 centenas

12,000 = 12 millares

59,099 59,000 = 59 millares

105

106

8. 475,582 ≈ 476,000

476,000 = 476 millares

99,631 99,500 = 99 millares y 5 centenas

475,582 475,500 = 475 millares y 5 centenas

99,000 = 99 millares

475,000 = 475 millares

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 12

9. La Compañía de Juguetes fabricó 344,499 juguetes el año pasado. Redondeando al millar más cercano, ¿cuántos juguetes se fabricaron aproximadamente?

344,499 ≈ 344,000

La Compañía de Juguetes fabricó unos 344,000 juguetes el año pasado.

10. El Sr. Davis compró 55,555 kilogramos de gravilla. Les pide a Shen y Zara que redondeen el peso al millar más cercano. Shen dice que es 60,000 kilogramos. Zara dice que es 56,000 kilogramos. ¿Quién está en lo correcto? Explica tu razonamiento. Zara está en lo correcto porque 55,555 ≈ 56,000. 55,555 se ubica pasando el punto medio de 55,500, entonces, redondeamos al siguiente millar. La respuesta es 56,000.

GRUPO DE PROBLEMAS

107

293

LECCIÓN 13

Redondear a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Fecha

Redondea a la decena de millar más cercana. Traza una recta numérica vertical para mostrar tu razonamiento. a. 51,578 ≈

50,000

60,000 = 6 decenas de millar

b. 35,124 ≈

51,578 50,000 = 5 decenas de millar

30,000 = 3 decenas de millar

• ¿Qué semejanza hay entre redondear a la decena de millar o la centena de millar más cercana y redondear a la decena o la centena más cercana?

40,000 = 4 decenas de millar

35,124 35,000 = 3 decenas de millar y 5 millares

La clase usa una recta numérica para redondear números de cinco y seis dígitos a la decena de millar más cercana. También redondean números de seis dígitos a la centena de millar más cercana.

Pregunta clave

40,000

55,000 = 5 decenas de millar y 5 millares

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA9 Redondean números enteros de varios dígitos. (NY-4.NBT.3)

115

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Redondear números de cinco dígitos a la decena de millar más cercana

• ninguno

• Redondear números de seis dígitos a la decena de millar más cercana • Redondear números de seis dígitos a la centena de millar más cercana • Grupo de problemas

Concluir 10 min

295

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Restar hasta el 1,000 La clase resta hasta el 1,000 como preparación para la resta de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional en el tema D. Muestre 859 − 218 =

Nota para la enseñanza

859 − 218 =

641

Considere usar esta práctica de fluidez como oportunidad para evaluar formativamente la competencia de la clase para restar hasta el 1,000.

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

904 − 533 = 371

804 − 355 = 449

673 − 199 = 474

635 − 198 = 437

700 − 366 = 334

Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional La clase determina cuántas decenas de millar hay en un número y, luego, halla 10,000 más para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

296

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Muestre 173,428. ¿Cuántas decenas de millar hay en la posición de las decenas de millar?

7 decenas de millar Muestre el 7 subrayado y, luego, quite el subrayado. ¿Cuántas decenas de millar hay en 173,428?

17 decenas de millar Muestre 17 subrayado y, luego, quite el subrayado. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 10,000 más que 173,428. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

173,428 173,428 + 10,000 = 183,428

Muestre la ecuación. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

209,251

499,106

1,652,004

297

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Presentar

La clase estima la capacidad de un estadio para relacionar el redondeo al millar más cercano con el redondeo a la decena de millar más cercana. Muestre la imagen del estadio de beisbol.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere activar los conocimientos previos conversando sobre las experiencias de la clase con los estadios antes de presentar la imagen del estadio de beisbol. Relacione esas experiencias con un estadio deportivo universitario o profesional cercano o con estadios que probablemente hayan visto en la televisión.

Hay 48,114 asientos en el estadio. Muestre ejemplos del trabajo de estudiantes. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a la clase a analizar las estimaciones. Jayla y Adam redondearon el número de asientos en el estadio.

Observar y preguntarse ¿Qué observan? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Usaron diferentes números en sus rectas numéricas. Me pregunto por qué Jayla usó millares y Adam usó decenas de millar.

Método de Jayla

49,000 = 49 millares

Método de Adam

50,000 = 5 decenas de millar

48,114

48,500 = 48 millares y 5 centenas

45,000 = 4 decenas de millar y 5 millares

48,114 48,000 = 48 millares

40,000 = 4 decenas de millar

48,114 ≈ 48,000

48,114 ≈ 50,000

En el método de Jayla, 48,114 es menor que el punto medio, pero en el de Adam es mayor que el punto medio. Me pregunto cómo el mismo número puede ser mayor y menor que el punto medio. El número redondeado de Jayla tiene decenas de millar y millares, pero el de Adam solo tiene decenas de millar. Me pregunto por qué el número redondeado de Jayla tiene millares y el de Adam no.

298

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Organizar ¿Cómo redondearon los números Jayla y Adam? ¿Cómo lo saben? Jayla redondeó al millar más cercano. La primera y la última marca de graduación están rotuladas con números escritos en millares. Creo que Adam redondeó a la decena de millar más cercana. La primera y la última marca de graduación están rotuladas con números escritos en decenas de millar. Guíe la conversación para que se centre en el razonamiento sobre la marca del punto medio y anime a la clase a pensar conexiones con el valor posicional al que se redondea el número.

Mostrar Centrémonos en usar la recta numérica para pensar en la marca del punto medio. ¿Dónde ven eso en este caso?

48,114 es menor que el punto medio entre 48 millares y 49 millares. Está más cerca de 48,000. 48,114 es mayor que el punto medio entre 40 millares y 50 millares. Está más cerca de 50,000.

Sintetizar ¿De qué manera el redondeo de un número a diferentes valores posicionales puede cambiar la forma de pensar en la marca del punto medio? Sin importar el valor posicional al que esté redondeando, sigo pensando en qué número es el punto medio entre los dos números de referencia, y si el número que estoy redondeando es mayor o menor que el punto medio. Redondear a un valor posicional diferente puede hacer que el número que estoy redondeando sea menor o mayor que el punto medio entre los números de referencia.

299

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Comprender ¿Cómo nos ayuda tener en cuenta la marca del punto medio a redondear números a diferentes valores posicionales? Tener en cuenta si el número es mayor o menor que el punto medio me ayuda a redondear, sin importar el valor posicional al que esté redondeando el número. Cada valor posicional al que hemos redondeado tiene 5 de una unidad como marca del punto medio. Sé que el punto medio es 5 de la siguiente unidad más pequeña, así que eso es útil para trabajar con estos números más grandes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, redondearemos a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas.

Aprender

Redondear números de cinco dígitos a la decena de millar más cercana La clase usa lo que sabe sobre el redondeo de números de dos dígitos a la decena más cercana para redondear números de cinco dígitos a la decena de millar más cercana. Escriba 72 y pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen una recta numérica para redondear 72 a la decena más cercana. ¿Por qué rotularon la primera marca de graduación con 70, o 7 decenas, y la última marca de graduación con 80, u 8 decenas? Hay 7 decenas en 72. 1 decena más es 8 decenas. Escriba 72,000. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las formas unitarias de 72 y 72,000. Hay 72 de una unidad de valor posicional en cada número, pero las unidades son diferentes. Hay 72 unidades en 72 y 72 millares en 72,000.

80 = 8 decenas 75 = 7 decenas y 5 unidades 72 70 = 7 decenas 72 ≈ 70

Hay 7 decenas y 2 unidades en 72 y 7 decenas de millar y 2 millares en 72,000.

300

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Escriba 72,114 y trace una recta numérica con la primera marca de graduación, el punto medio y la última marca de graduación. Vamos a redondear 72,114 a la decena de millar más cercana. ¿Cuántas decenas de millar hay en 72,114?

7 decenas de millar ¿Cuánto es 1 decena de millar más que 7 decenas de millar?

8 decenas de millar Rotule la primera y la última marca de graduación en forma estándar y en forma unitaria, y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué número está en el punto medio entre 70,000 y 80,000 y cómo lo saben. Como 75 está en el punto medio entre 70 y 80, 75 millares está en el punto medio entre 70 millares y 80 millares.

80,000 = 8 decenas de millar 75,000 = 7 decenas de millar y 5 millares 72,114 70,000 = 7 decenas de millar

7 decenas de millar y 5 millares, porque 5 millares es la mitad de 1 decena de millar

72,114 ≈ 70,000

Rotule la marca del punto medio en forma estándar y unitaria. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a alguien de cada pareja a que borre los rótulos de su recta numérica, trabaje con su pareja para marcar 72,114, y redondee 72,114 a la decena de millar más cercana. ¿Cómo ayuda la recta numérica al redondear 72,114 a la decena de millar más cercana? La recta numérica muestra que 72,114 está más cerca de 70,000 porque es menor que 75,000. ¿Cómo les ayudó pensar en las decenas de 72 a redondear 72,114? Pensé en 72 millares como 72. La decena más cercana a 72 es 7 decenas. Así que la decena de millar más cercana a 72,114 es 7 decenas de millar.

Escriba 72,114 ≈ 70,000 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

301

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar una recta numérica, marcar 86,045 y redondear ese número a la decena de millar más cercana. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Haga las siguientes preguntas: • ¿Cuántas decenas de millar hay en 86,045? • ¿Cuánto es 1 decena de millar más que 8 decenas de millar? • ¿Cuál es el punto medio entre 8 decenas de millar y 9 decenas de millar? • ¿Cómo escribimos 8 decenas de millar y 9 decenas de millar en forma estándar? • ¿Cuál es el punto medio entre 80,000 y 90,000? ¿Cómo lo saben? • ¿Dónde marcamos 86,045? • ¿De cuál decena de millar está más cerca 86,045? • ¿Qué enunciado escribimos para mostrar 86,045 redondeado a la decena de millar más cercana? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el redondeo a la decena más cercana y a la decena de millar más cercana.

DUA: Representación Considere presentar la recta numérica en otro formato. Invite a un grupo de estudiantes a formar una recta numérica humana para la clase. Pida a dos estudiantes que registren los números de referencia de las decenas de millar en sus pizarras blancas y que los muestren para representar la primera y la última marca de graduación de una recta numérica. Pida a alguien más que muestre en su pizarra blanca el valor que representa el punto medio. A continuación, invite a la clase a ayudar a ubicar a un o una estudiante más en la recta numérica que represente el número que se redondea.

Redondear números de seis dígitos a la decena de millar más cercana La clase usa la forma unitaria y la marca del punto medio de una recta numérica para redondear números de seis dígitos a la decena de millar más cercana.

80,000

85,000

86,045

90,000

Escriba 186,045 y trace una recta numérica con la primera marca de graduación, el punto medio y la última marca de graduación. Vamos a redondear 186,045 a la decena de millar más cercana. ¿Cuántas decenas de millar hay en 186,045?

18 decenas de millar ¿Cuánto es 18 decenas de millar en forma estándar? Rotule la primera marca de graduación con 180,000 y 18 decenas de millar. ¿Cuánto es 1 decena de millar más que 18 decenas de millar en forma unitaria? ¿Y en forma estándar?

19 decenas de millar

190,000 = 19 decenas de millar

Diferenciación: Apoyo

186,045 185,000 = 18 decenas de millar y 5 millares

Para ayudar a sus estudiantes a preparar la recta numérica para redondear números de seis dígitos a la decena de millar más cercana, empiece trazando una recta numérica para redondear un número a la decena más cercana. Por ejemplo, antes de redondear 186,045 a la decena de millar más cercana, redondee 186 a la decena más cercana. Céntrese en las relaciones de valor posicional.

180,000 = 18 decenas de millar 186,045 ≈ 190,000

190,000 302

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Rotule la última marca de graduación con 190,000 y 19 decenas de millar. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué número está en el punto medio entre 180,000 y 190,000 y cómo lo saben. Como 185 está en el punto medio entre 180 y 190, 185 millares está en el punto medio entre 180 millares y 190 millares.

18 decenas de millar y 5 millares, porque 5 millares es la mitad de 1 decena de millar El punto medio es siempre 5 de la siguiente unidad más pequeña. Como estamos redondeando a decenas de millar, es 5 millares. Así que el punto medio es 18 decenas de millar y 5 millares. Rotule la marca del punto medio con 185,000 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo, que trabajen en parejas para marcar 186,045 y que redondeen ese número a la decena de millar más cercana. ¿Cuánto es 186,045 redondeado a la decena de millar más cercana? ¿Cómo lo saben? Es 190,000, porque 186,045 es mayor que el punto medio. Está más cerca de 190,000.

Escriba 186,045 ≈ 190,000 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre redondear 86,045 y 186,045 a la decena de millar más cercana. Invite a la clase a trabajar en parejas para trazar una recta numérica, marcar 634,921 y redondear ese número a la decena de millar más cercana. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Haga las siguientes preguntas: • ¿Cuántas decenas de millar hay en 634,921?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

• ¿Cuánto es 1 decena de millar más que 63 decenas de millar? • ¿Cuál es el punto medio entre 63 decenas de millar y 64 decenas de millar? • ¿Cómo escribimos 63 decenas de millar y 64 decenas de millar en forma estándar? • ¿Cuál es el punto medio entre 630,000 y 640,000? ¿Cómo lo saben? • ¿Dónde marcamos 634,921? • ¿De cuál decena de millar está más cerca 634,921? • ¿Qué enunciado escribimos para mostrar 634,921 redondeado a la decena de millar más cercana? ¿Cuánto es 634,200 redondeado a la decena de millar más cercana? ¿Cómo lo saben? Es 630,000, porque 634,200 está más cerca de 630,000 que de 640,000. Es menor que 635,000.

Cada estudiante da importancia a la precisión (MP6) cuando redondea un número de seis dígitos a la decena de millar más cercana. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • Al redondear 634,921 a la decena de millar más cercana, ¿con qué pasos hay que tener más cuidado? • ¿Qué error podrían cometer al redondear 634,921 a la decena de millar más cercana?

303

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar entre qué 2 decenas de millar está el número que están redondeando.

Redondear números de seis dígitos a la centena de millar más cercana La clase usa una recta numérica para redondear números de seis dígitos a la centena de millar más cercana. Muestre los enunciados de redondeo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que observan.

546 redondeado a la centena más cercana es 500. 3,942 redondeado al millar más cercano es 4,000. 21,080 redondeado a la decena de millar más cercana es 20,000.

Cualquier valor posicional al que redondeemos tiene un dígito que no es 0. Los dígitos a la derecha del valor posicional al que redondeamos son todos 0. Cuando el valor posicional al que redondeamos es el mayor valor posicional del número, ese dígito no es 0 y el resto de los dígitos son 0. Muestre el enunciado final. Invite a sus estudiantes a usar los patrones que hayan observado para completar el enunciado y explicar su razonamiento.

634,243 redondeado a la centena de millar más cercana es

La posición de las centenas de millar es el mayor valor posicional en 634,243, por eso será la única posición que no tendrá un cero. Escriba 634,243. Invite a la clase a trabajar en parejas para redondear 634,243 a la centena de millar más cercana. Recorra el salón mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. ¿Cuánto es 634,243 redondeado a la centena de millar más cercana? ¿Cómo lo saben? Es 600,000 porque es menor que la marca del punto medio. Está más cerca de 600,000.

304

700,000 = 7 centenas de millar

650,000 = 6 centenas de millar y 5 decenas de millar 634,243 600,000 = 6 centenas de millar

634,243 ≈ 600,000 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13 Pida a sus estudiantes que redondeen 908,899 a la centena de millar más cercana. Brinde apoyo a la clase con preguntas similares a las utilizadas anteriormente en la lección. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo redondear un número de seis dígitos a la centena de millar más cercana.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Redondear a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación con toda la clase. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. ¿Qué semejanza hay entre redondear a la decena de millar o la centena de millar más cercana y redondear a la decena o la centena más cercana? Podemos usar la recta numérica para redondear los números más pequeños a la decena o centena más cercana como ayuda para rotular la recta numérica con los números más grandes. Hay un patrón de unidades, decenas y centenas en la tabla de valor posicional para cada agrupación de valores posicionales, como los millares y los millones. Así que puedo usar lo que sé sobre redondear a la centena más cercana como ayuda para redondear a la centena de millar más cercana. Para redondear un número de cinco dígitos a la decena de millar más cercana, pienso en el número en forma unitaria. Puedo usar lo que sé sobre redondear a la decena más cercana y aplicarlo a redondear a la decena de millar más cercana.

305

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2 New York Next Gen

¿Cómo nos ayuda una recta numérica a redondear números de cinco y seis dígitos a la decena de millar o centena de millar más cercana? Una recta numérica ayuda a mostrar si el número es mayor o menor que el número de la marca del punto medio o si está más cerca de la primera o de la última marca de graduación. La recta numérica nos ayuda a organizar la información que necesitamos para redondear, porque los números son muy grandes. Los valores posicionales de los dígitos y la forma unitaria se alinean cuando rotulamos la recta numérica y nos ayuda a ver la distancia a la que está el número de la primera o la última marca de graduación. ¿Por qué querríamos redondear un número de cinco o seis dígitos a la decena de millar o centena de millar más cercana en lugar de a la decena o centena más cercana? Si redondeamos un número de cinco o seis dígitos a las decenas o centenas, el número no cambia mucho, por lo que el redondeo no es muy útil. Cuando redondeamos a la decena de millar o a la centena de millar más cercana, obtenemos números más sencillos que tienen muchos ceros.

306

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

Fecha

60,000

70,000 = 7 decenas de millar 65,000 = 6 decenas de millar y 5 millares 62,012

60,000 = 6 decenas de millar 3. 155,401 ≈ 160,000

2. 37,159 ≈

400,000 = 4 centenas de millar

40,000

40,000 = 4 decenas de millar 37,159

35,000 = 3 decenas de millar y 5 millares 30,000 = 3 decenas de millar

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Redondea a la centena de millar más cercana. Usa la recta numérica para mostrar tu razonamiento. El primero ya está empezado como ejemplo. 5. 340,762 ≈ 300,000

Redondea a la decena de millar más cercana. Muestra tu razonamiento en la recta numérica. El primero ya está empezado como ejemplo. 1. 62,012 ≈

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

600,000 = 6 centenas de millar

350,000 = 3 centenas de millar y 5 decenas de millar 340,762

550,000 = 5 centenas de millar y 5 decenas de millar 549,999

300,000 = 3 centenas de millar

500,000 = 5 centenas de millar

7. 92,103 ≈ 100,000

100,000 = 1 centena de millar 92,103

4. 809,253 ≈ 810,000

6. 549,999 ≈ 500,000

8. 995,246 ≈ 1,000,000

1,000,000 = 10 centenas de millar 995,246

160,000 = 16 decenas de millar

810,000 = 81 decenas de millar 809,253

50,000 = 5 decenas de millar

950,000 = 9 centenas de millar y 5 decenas de millar

155,401 155,000 = 15 decenas de millar y 5 millares

805,000 = 80 decenas de millar y 5 millares

0 = 0 centenas de millar

900,000 = 9 centenas de millar

150,000 = 15 decenas de millar

800,000 = 80 decenas de millar

111

112

GRUPO DE PROBLEMAS

307

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 13

9. En Ciudad del Sol viven 899,604 personas. ¿Aproximadamente cuántas personas viven en Ciudad del Sol? Redondea a la decena de millar más cercana.

899,604 ≈ 900,000

En Ciudad del Sol viven aproximadamente 900,000 personas.

10. El maestro López escribe un número. Pide a tres estudiantes que lo redondeen a la centena de millar más cercana.

976,831

Liz

Adam

Carla

900,000

1,000,000

980,000

a. ¿Quién ha redondeado correctamente el número a la centena de millar más cercana? Explica cómo lo sabes. Adam redondeó el número de forma correcta. 976,831 está entre 9 centenas de millar y 10 centenas de millar. 976,831 es mayor que el punto medio 9 centenas de millar y 5 decenas de millar, por eso se redondea a 10 centenas de millar o 1,000,000.

b. Encierra en un círculo las respuestas con errores y explica qué hizo mal cada estudiante. Liz redondeó el número a 900,000 en lugar de a 1,000,000. Carla redondeó el número a la decena de millar más cercana y no a la centena de millar más cercana.

308

GRUPO DE PROBLEMAS

113

LECCIÓN 14

Redondear números de varios dígitos a cualquier posición

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

Redondea 764,903 a la posición dada.

Número

Redondeado al millar más cercano

Redondeado a la decena de millar más cercana

Redondeado a la centena de millar más cercana

764,903

765,000

760,000

800,000

Vistazo a la lección La clase usa sus experiencias con el redondeo en una recta numérica vertical para redondear un número de hasta seis dígitos a cualquier valor posicional. Razonan sobre cómo redondear sin usar una recta numérica valiéndose de las unidades de valor posicional, la forma unitaria y la distancia de un número a los números de referencia. Analizar la utilidad de redondear a cualquier posición prepara a la clase para aplicar el redondeo a contextos del mundo real.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos usar la lógica del valor posicional para redondear números sin usar una recta numérica? • ¿Por qué es útil redondear los números a diferentes valores posicionales?

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA9 Redondean números enteros de varios dígitos. (NY-4.NBT.3)

127

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• afiches preparados con antelación

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min

Estudiantes

• Redondear usando la comprensión del valor posicional • Redondear números de una manera útil

• Práctica veloz: 1, 10, 100 y 1,000 más o menos (en el libro para estudiantes)

• Prepare tres afiches: uno que diga Decena de millar más cercana, uno que diga Millar más cercano y uno que diga Centena más cercana. Cuelgue los afiches en tres lugares diferentes del salón de clases.

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

Práctica veloz: 1, 10, 100 y 1,000 más o menos 2 New York Next Gen EUREKA MATH Materiales: E) Práctica veloz: 1, 10, 100 y 1,000 más o menos 4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ 1, 10, 100 y 1,000 más o menos

La clase determina 1, 10, 100 o 1,000 más o menos para desarrollar la comprensión del valor posicional hasta 1,000,000.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe la suma o la diferencia. 1.

260 + 1 =

261

260 − 10 =

250

260 + 100 =

360

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea: No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

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EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué patrones observan en los problemas del 1 al 12? ¿Y en los problemas del 13 al 21? ¿Y del 1 al 21? • Dibujen un recuadro alrededor de los problemas 4, 7, 11, 17 y 19. ¿Qué observan?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de diez en diez desde el 149 hasta el 249 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de diez en diez desde el 254 hasta el 154 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

Presentar

La clase redondea un número a diferentes valores posicionales en una recta numérica e identifica situaciones del mundo real en las que puede ser útil redondear números. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Redondear en una recta numérica vertical. Use la actividad para redondear 28,173 a la decena de millar más cercana. ¿Cuánto es 28,173 redondeado a la decena de millar más cercana?

30,000 ¿Cómo se compara 28,173 con el valor del número redondeado?

28,173 es menor que 30,000. Es más pequeño por casi 2,000. Invite a la clase a registrar el número original y el número redondeado en sus pizarras blancas. Luego, pida que subrayen el valor posicional que se redondea tanto en el número original como en el redondeado. Repita el proceso para redondear 28,173 al millar, a la centena y a la decena más cercanos. Muestre las situaciones y los enunciados. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar a qué posición creen que tiene más sentido redondear para la situación dada y por qué.

28,173 ≈ 30,000 28,173 ≈ 28,000 28,173 ≈ 28,200 28,173 ≈ 28,170

2̲8,173 ≈ 3̲0,000

El número de libros de la biblioteca que se prestaron este año

El número de personas en un concierto

28̲,173 ≈ 28̲,000 28,1̲73 ≈ 28,2̲00

Redondear a la centena El número de galletas que vende una panadería cada mes más cercana tiene sentido 28,17̲3 ≈ 28,17̲0 para el número de libros de la biblioteca que se pidieron prestados este año. La bibliotecaria no necesita una respuesta exacta para decírsela a la directora, pero tiene que estar bastante cerca.

314

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14 Redondear a la decena de millar o al millar más cercanos tiene sentido para el número de personas en un concierto porque solo necesitamos una idea de cuántas personas había y no es necesario que sea muy exacta. Redondear a la centena más cercana tiene sentido para el número de galletas que una panadería vende cada mes, de manera que puedan planificar la compra de ingredientes el mes siguiente. Tener diferentes opciones para redondear los números puede ser útil a la hora de compartir información. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a redondear los números a muchos valores posicionales diferentes.

Aprender

Redondear usando la comprensión del valor posicional La clase piensa en una recta numérica para redondear un número de seis dígitos a diferentes valores posicionales. Forme parejas de estudiantes y prepárelas para redondear un número a diferentes valores posicionales sin usar una recta numérica. Vamos a redondear a la centena de millar más cercana sin usar una recta numérica. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo redondear un número a las centenas de millar. Destaque las siguientes estrategias, especialmente las que se centran en el valor posicional: • Identificar cuántas centenas de millar hay en el número. Luego, pensar en el número que es 1 centena de millar más. Marcar esos números como la primera marca de graduación y la última en una recta numérica. • Nombrar el número que está en el punto medio entre las 2 centenas de millar y hacerle una marca de graduación.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando redondea un número de seis dígitos a diferentes unidades de valor posicional. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿En qué se parecen las formas en que redondean 870,215 a la decena de millar y a la centena de millar más cercanas? • ¿Qué patrones observan al redondear 870,215 a cualquier posición más cercana? ¿Cómo les puede ayudar eso a redondear de manera eficaz?

DUA: Representación Si la clase necesita apoyo adicional como preparación para redondear mediante el uso del cálculo mental, permítales trazar una recta numérica y guíelos para que disminuyan de a poco la cantidad de información que marcan en ella. También puede resultar eficaz registrar los números verticalmente y alinear las unidades de valor posicional sin usar la recta numérica.

900,000

900,000 870,215

• Pensar en la posición del número y ubicarlo en la recta numérica. • Usar la primera marca de graduación, la marca del punto medio y la última marca de graduación para determinar si el número se encuentra más cerca del número de centenas de millar que hay en el número o de 1 centena de millar más. Escriba el número 870,215. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. © Great Minds PBC

800,000

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14 Piensen en una recta numérica. ¿Qué sabemos del número 870,215 para poder redondearlo a la centena de millar más cercana? Tiene 8 centenas de millar, y 1 centena de millar más es 9 centenas de millar.

870,215 está entre 800,000 y 900,000. 870,215 es mayor que la marca del punto medio 850,000, entonces está más cerca de 900,000. 870,215 está a unos 70,000 de 800,000 y a solo unos 30,000 de 900,000. ¿Cuánto es 870,215 redondeado a la centena de millar más cercana?

900,000 Invite a la clase a anotar en sus libros la respuesta al problema 1(a). Guíe a sus estudiantes para que completen los problemas 1(b) y 1(c) con una secuencia similar de razonamiento sobre la recta numérica y usando la comprensión del valor posicional. 1. Redondea 870,215 a cada valor posicional dado. a. Centena de millar más cercana

870,215 ≈

900,000

b. Decena de millar más cercana

870,215 ≈

870,000

c. Millar más cercano

870,215 ≈

870,000

¿Qué observan sobre el redondeo de 870,215 a la decena de millar y al millar más cercano? Es la misma respuesta las dos veces, 870,000. ¿Por qué? Es porque hay 0 millares. Cuando redondeamos a la decena de millar más cercana, se redondea a 870,000 y el número en la posición de los millares no cambia. Cuando redondeamos al millar más cercano, el número en la posición de los millares se queda en 0 porque 870,215 está más cerca de 870,000 que de 871,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pensar en una recta numérica puede ayudarles a redondear un número.

316

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar una tabla de valor posicional como apoyo para la práctica. Invite a sus estudiantes a escribir 870,215 en su tabla de valor posicional y a usarla para expresar el número en diferentes formas unitarias. Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

8 centenas de millar, 7 decenas de millar, 2 centenas, 1 decena y 5 unidades

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

87 decenas de millar, 2 centenas, 1 decena y 5 unidades

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

870

870 millares, 2 centenas, 1 decena y 5 unidades

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Redondear números de una manera útil Materiales: M) Afiches

La clase identifica y justifica su elección para redondear un número de cinco dígitos a un valor posicional en un contexto dado.

DUA: Acción y expresión

Pida a sus estudiantes que completen el problema 2 en parejas. 2. Redondea 97,513 a cada valor posicional dado. a. Decena de millar más cercana

97,513 ≈

100,000

b. Millar más cercano

97,513 ≈

98,000

c. Centena más cercana

97,513 ≈

97,500

Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de la clase a los afiches colgados en el salón que dicen Decena de millar más cercana, Millar más cercano y Centena más cercana (ver Preparación de la lección). Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3(a). Indíqueles que lean el problema y piensen cómo redondearían el número 97,513 para la situación dada. Pídales que se ubiquen junto al afiche que mejor describa su razonamiento. 3. Un estadio tiene 97,513 asientos. a. ¿Aproximadamente cuántos asientos tiene el estadio? Ejemplo: 97,500 b. ¿Qué unidad de valor posicional elegiste para el redondeo? Explica.

Ayude a sus estudiantes a autoevaluar su progreso animándoles a hacerse preguntas mientras redondean los números. Destaque la importancia de ajustar las estrategias o cambiar de rumbo si alguna no funciona. Demuestre cómo usar un razonamiento en voz alta mientras hace preguntas como las siguientes: • ¿Tengo que trazar una recta numérica o puedo imaginarla? • ¿Es eficiente mi estrategia? • ¿Debería hacer algo diferente?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a sus estudiantes que usen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a replantear los razonamientos de sus compañeras y compañeros y a formular preguntas.

Redondeé a la centena más cercana porque, si necesito saber cuántas personas pueden ir al partido, el número tiene que estar cerca del número real.

317

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

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Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. A continuación, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Anime a quienes cambien de opinión durante el debate a unirse a otro grupo. Invite a sus estudiantes a formar parejas dentro de su grupo para completar el problema 3(b). Pídales que vuelvan a sentarse. Reflexione con toda la clase sobre la elección de un valor posicional para el redondeo. Al redondear números, a veces tiene sentido redondear a un valor posicional mayor y a veces a uno menor. Depende del problema. Antes de decidir cómo redondear, pensamos en el problema. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué valor posicional elegirían para redondear 97,513 si se tratara del costo de un nuevo patio de juegos de la escuela y por qué.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Redondear números de varios dígitos a cualquier posición Reúna a la clase y pídales que tengan a mano sus Grupos de problemas. Guíe una conversación sobre el redondeo de números a diferentes valores posicionales sin usar una recta numérica. ¿Por qué es útil redondear los números a diferentes valores posicionales? Si se redondea a la unidad de valor posicional más grande, el número puede tener muchos ceros. Eso puede hacer que el número sea más fácil de leer o de pensar. Es útil redondear a diferentes valores posicionales y, luego, decidir qué número es más útil para la situación dada.

318

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Cómo podemos usar la lógica del valor posicional para redondear números sin usar una recta numérica? Podemos pensar en cómo usaríamos una recta numérica como ayuda para redondear y utilizar las mismas estrategias sin la recta numérica. Podemos imaginarnos la recta numérica en nuestra mente. Podemos pensar en el número de la unidad de valor posicional al que redondeamos y en el número que es 1 unidad más. También podemos imaginar la marca del punto medio en nuestra mente y usarla como ayuda para determinar si el número que estamos redondeando está a mayor o menor distancia del siguiente número de referencia que el punto medio. Podemos pensar en qué número de referencia está más cerca del número que estamos redondeando.

319

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4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ 1, 10, 100 y 1,000 más o menos

Número de respuestas correctas:

Progreso:

23.

499 + 1 =

500

4+1=

23.

399 + 1 =

400

5 + 10 =

24.

499 − 1 =

498

4 + 10 =

24.

399 − 1 =

398

5 + 100 =

105

25.

499 + 10 =

509

4 + 100 =

104

25.

399 + 10 =

409

59 + 1 =

26.

499 − 10 =

489

49 + 1 =

26.

399 − 10 =

389

59 + 10 =

27.

499 + 100 =

599

49 + 10 =

27.

399 + 100 =

499

59 + 100 =

159

28.

499 − 100 =

399

49 + 100 =

149

28.

399 − 100 =

299

509 + 1 =

510

29.

999 + 1 =

1,000

409 + 1 =

410

29.

999 + 1 =

1,000

509 + 10 =

519

30.

999 − 1 =

998

409 + 10 =

419

30.

999 − 1 =

998

509 + 100 =

609

31.

999 + 10 =

1,009

409 + 100 =

509

31.

999 + 10 =

1,009

10.

591 + 1 =

592

32.

999 − 10 =

989

10.

491 + 1 =

492

32.

999 − 10 =

989

11.

591 + 10 =

601

33.

999 + 100 =

1,099

11.

491 + 10 =

501

33.

999 + 100 =

1,099

12.

591 + 100 =

691

34.

999 − 100 =

899

12.

491 + 100 =

591

34.

999 − 100 =

899

13.

894 − 1 =

893

35.

25 + 1 =

13.

794 − 1 =

793

35.

24 + 1 =

14.

894 − 10 =

884

36.

25 − 1 =

14.

794 − 10 =

784

36.

24 − 1 =

15.

894 − 100 =

794

37.

7,938 + 100 =

8,038

15.

794 − 100 =

694

37.

6,938 + 100 =

7,038

16.

804 − 1 =

803

38.

7,938 − 100 =

7,838

16.

704 − 1 =

703

38.

6,938 − 100 =

6,838

17.

804 − 10 =

794

39.

7,938 + 1,000 =

8,938

17.

704 − 10 =

694

39.

6,938 + 1,000 =

7,938

18.

804 − 100 =

704

40.

7,938 − 1,000 =

6,938

18.

704 − 100 =

604

40.

6,938 − 1,000 =

5,938

19.

810 − 1 =

809

41.

9,999 + 1,000 =

10,999

19.

710 − 1 =

709

41.

9,999 + 1,000 =

10,999

20.

810 − 10 =

800

42.

9,999 − 1,000 =

8,999

20.

710 − 10 =

700

42.

9,999 − 1,000 =

8,999

21.

810 − 100 =

710

43.

29,999 + 1,000 =

30,999

21.

710 − 100 =

610

43.

19,999 + 1,000 =

20,999

22.

710 − 100 =

610

44.

29,999 − 1,000 =

28,999

22.

610 − 100 =

510

44.

19,999 − 1,000 =

18,999

118

320

5+1=

Número de respuestas correctas:

Escribe la suma o la diferencia.

Escribe la suma o la diferencia. 1.

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4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ 1, 10, 100 y 1,000 más o menos

120

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

Fecha

2. 262,048 a.

Millar más cercano

Redondea cada número a la posición dada. Muestra tu razonamiento en una recta numérica. 1. 123,400 a.

Centena de millar más cercana

200,000 = 2 centenas de millar

100,000 = 1 centena de millar

123,400 ≈ 100,000

270,000 = 27 decenas de millar

262,500 = 262 millares y 5 centenas

265,000 = 26 decenas de millar y 5 millares 262,048

260,000 = 26 decenas de millar 262,048 ≈ 260,000

3. 99,909 a.

Decena de millar más cercana

130,000 = 13 decenas de millar 125,000 = 12 decenas de millar y 5 millares 123,400

120,000 = 12 decenas de millar

Millar más cercano

123

124

Decena de millar más cercana

100,000 = 100 millares 99,909

100,000 = 10 decenas de millar 99,909

99,500 = 99 millares y 5 centenas

95,000 = 9 decenas de millar y 5 millares

99,000 = 99 millares

90,000 = 9 decenas de millar

99,909 ≈ 100,000

123,400 ≈ 120,000

Decena de millar más cercana

263,000 = 263 millares

262,048 ≈ 262,000

123,400

262,048 262,000 = 262 millares

150,000 = 1 centena de millar y 5 decenas de millar

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

GRUPO DE PROBLEMAS

99,909 ≈ 100,000

321

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

11. La maestra Díaz piensa en un número. Pide a cuatro estudiantes que determinen el número. Les dice que el número es el menor número posible de los que se redondean a 40,000.

Redondea los números a la posición dada. 4. 53,604

5. 489,025

Centena de millar más cercana 100,000

Decena de millar más cercana

50,000

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 14

Centena de millar más cercana 500,000

Decena de millar más cercana

María

David

Oka

Pablo

39,999

33,500

35,000

44,999

¿Quién está en lo correcto? Explica tu respuesta.

490,000

Oka está en lo correcto. 35,000 se redondea a 40,000. Su número es el más bajo posible que se redondea a 40,000 porque el anterior es 34,999, que se redondea a 30,000. El número de

54,000

Millar más cercano

489,000

David no se redondea a 40,000. María y Pablo eligieron números que se redondean a 40,000, pero sus números son mayores que el de Oka.

Escribe Verdadero o Falso para cada enunciado. Si eliges Falso, escribe el número redondeado correctamente. Verdadero o Falso

Número redondeado correctamente

6. 4,509 redondeado al millar más cercano es 4,000.

Falso

5,000

7. 17,360 redondeado al millar más cercano es 20,000.

Falso

17,000

8. 34,911 redondeado a la decena de millar más cercana es 30,000.

Verdadero

9. 628,903 redondeado a la decena de millar más cercana es 630,000.

Verdadero

10. 554,207 redondeado a la centena de millar más cercana es 500,000.

Falso

Enunciado

322

600,000

GRUPO DE PROBLEMAS

125

126

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 15

Aplicar la estimación a situaciones del mundo real usando el redondeo

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15

Fecha

El maestro López planea comprar refrigerios para sus estudiantes. Tiene 24 estudiantes en su primera clase, 18 en la segunda clase y 23 en la tercera. Estima cuántos refrigerios debe comprar el maestro López. Explica cómo hiciste la estimación y por qué.

30 + 20 + 30 = 80 El maestro López debe comprar unos 80 refrigerios. Estimé redondeando cada número a la siguiente decena. De este modo, habrá más refrigerios de los necesarios. Si el maestro López redondea a la decena más cercana, puede que no compre suficientes refrigerios como para que cada estudiante tenga uno.

Vistazo a la lección La clase hace estimaciones y obtiene diferentes soluciones a los problemas redondeando de más de una manera. Piensan en cómo, mediante el redondeo a diferentes valores posicionales o el redondeo de una manera no convencional, se obtienen estimaciones más o menos útiles según el contexto. En esta lección se presenta el término justificar.

Preguntas clave • ¿Por qué a veces se cambian las normas de redondeo? • ¿Cómo podemos justificar nuestra estrategia de estimación?

Criterios de logro académico 4.Mód1.CLA4 Evalúan si las estimaciones son razonables cuando se usa el redondeo como estrategia de estimación. (NY-4.OA.3b) 4.Mód1.CLA9 Redondean números enteros de varios dígitos. (NY-4.NBT.3)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Redondear para hacer estimaciones razonables

• ninguno

• Estimar redondeando de una manera diferente • Estimaciones útiles con dinero • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar y restar hasta el 1,000 La clase suma o resta hasta el 1,000 como preparación para sumar y restar números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional en el tema D. Muestre 357 + 261 =

357 + 261 =

618

Nota para la enseñanza Considere usar esta práctica de fluidez como oportunidad para evaluar formativamente la competencia de la clase para sumar y restar hasta el 1,000.

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

197+ 538 = 735

326

708 + 249 = 957

457 − 282 = 175

638 − 196 = 442

901 − 479 = 422

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Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional La clase determina cuántas centenas de millar hay en un número y, luego, halla 100,000 más para desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 1,173,428. ¿Cuántas centenas de millar hay en la posición de las centenas de millar?

1 centena de millar Muestre el 1 subrayado y, luego, quite el subrayado. ¿Cuántas centenas de millar hay en 1,173,428?

11 centenas de millar

1,173,428

Muestre 11 subrayado y, luego, quite el subrayado. Escriban una ecuación para mostrar cuánto es 100,000 más que 1,173,428.

1,173,428 + 100,000 = 1,273,428

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la ecuación. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1,209,251

2,008,364

1,949,106

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Presentar

La clase analiza una solución subestimada. Muestre y lea a coro el problema verbal.

DUA: Participación

La tía de María quiere comprar tres artículos en la tienda. Los precios de los artículos son $21, $44 y $62. María estima el costo de los tres artículos. Entonces, la tía de María lleva $120 a la tienda para realizar la compra.

Muestre la imagen del trabajo de María. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a la clase a analizar cómo María redondea para estimar la cantidad de dinero que su tía debe llevar a la tienda.

45 44

Observar y preguntarse

21 20

62 60

21 ≈ 20

44 ≈ 40

62 ≈ 60

¿Qué observan sobre el trabajo de María? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que redondea cada uno de los precios a la decena más cercana. Suma los precios redondeados para estimar el costo total.

Tenga en cuenta la posibilidad de fomentar el interés añadiendo al viaje de compras detalles con los que sus estudiantes se puedan identificar, aumentando así su participación en clase. Pida a sus estudiantes que aporten ideas sobre el motivo por el que la tía de María va de compras y los artículos que podría comprar.

20 + 40 + 60 = 120

El costo estimado es la cantidad de dinero que su tía lleva a la tienda. Me pregunto cuál es el costo real de los artículos. Me pregunto por qué no mostró los signos de dólar en su trabajo. Me pregunto por qué redondeó cada precio en lugar de sumarlos para hallar el costo real.

Organizar ¿Qué pasos siguió María? ¿Cómo lo saben? Trazó una recta numérica para redondear cada precio a la decena más cercana. Sumó las decenas para obtener $120.

328

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Guíe la conversación para enfocarse en las normas del redondeo y para fomentar un razonamiento de la clase que establezca conexiones con la subestimación del precio total.

Mostrar Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para determinar el costo real de los tres artículos. Centrémonos en lo que sabemos sobre el redondeo a la decena más cercana. ¿El redondeo a la decena más cercana le sirvió a María para determinar con precisión cuánto dinero necesitaba su tía para comprar los artículos? No, su tía necesita $7 más. No, María hizo una estimación demasiado baja porque todos los precios eran más altos que los números redondeados.

Sintetizar María redondeó cada precio a la decena más cercana, pero eso no le ayudó a determinar cuánto dinero necesitaba su tía para llevar a la tienda. ¿Cómo cambia esto la forma de pensar en las estimaciones? Me hace pensar que a veces el redondeo podría darnos información incorrecta. Me hace pensar que debió de haber otra forma para que María pensara el problema.

Comprender ¿En qué podemos pensar cuando redondeamos números para hallar una estimación? Podemos pensar si nuestra estimación es demasiado baja cuando redondeamos a cierta posición en los números. Podemos prestar atención a los números redondeados. Si ningún número se redondea a la siguiente decena, la estimación será menor que el total real. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a reflexionar sobre el uso de las normas de redondeo, o la forma en que solemos redondear, cuando redondeamos y estimamos en situaciones del mundo real.

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Aprender

Redondear para hacer estimaciones razonables La clase evalúa la utilidad de redondear a la decena y a la centena más cercana y justifica una estimación para un contexto determinado. Muestre el trabajo de María y pida a la clase que determine la estrategia. María revisa su estimación. ¿Qué cambió?

45 44

Aunque 44 está más cerca de 40, María redondea a la siguiente decena y cambia 40 a 50. Cuando suma los precios redondeados, esta vez muestra que quizá su tía debería haber llevado más dinero a la tienda para comprar los tres artículos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo María puede usar esta experiencia para que sus estimaciones sean más razonables en el futuro. María puede darse cuenta de que, si todos los precios redondeados son más bajos que los reales, entonces su tía tendrá que llevar más dinero.

21 20

62 60

21 ≈ 20

44 ≈ 40

62 ≈ 60

María podría redondear solo algunos de los precios para que el total sea más preciso.

20 + 40 + 60 = 120 20 + 50 + 60 = 130

Me pregunto qué hará María si algunos precios redondeados son más altos que los reales y otros son más bajos.

Nota para la enseñanza Apoye a sus estudiantes para que puedan diferenciar entre redondear a la decena más cercana y redondear a la siguiente decena señalando cada recta numérica en la imagen que muestra el trabajo corregido de María y haciendo un enunciado verbal. Por ejemplo, diga “44 redondeado a la decena más cercana es 40 y 44 redondeado a la siguiente decena es 50”.

A veces tenemos que examinar con cuidado nuestro trabajo cuando redondeamos números para hacer estimaciones. Es posible que tengamos que cambiar nuestra forma de redondear. María redondeó a la siguiente decena. Eso significa que no siguió nuestras reglas o normas habituales para el redondeo. Si bien 44 está más cerca de 40, María redondeó a la siguiente decena, 50, porque eso le ayudó en su estimación.

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EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Presente la situación: La Sra. Wong necesita colocar sillas en filas de 10 para 123 personas. Decide redondear 123 para estimar cuántas filas necesita. Muestre una recta numérica donde 123 esté redondeado a la centena más cercana. Si la Sra. Wong hace la estimación redondeando a la centena más cercana y coloca 100 sillas, ¿cómo podemos comparar esa cantidad con las 123 personas que las necesitan? Habrá menos sillas que personas.

23 personas no tendrán silla.

200 150 123 100

Muestre una recta numérica donde 123 esté redondeado a la siguiente centena. Si la Sra. Wong hace la estimación redondeando a la siguiente centena y coloca 200 sillas, ¿cómo podemos comparar esa cantidad con las 123 personas que las necesitan? Habrá 77 sillas de más. Habrá muchas más sillas de las que necesitan. Muestre una recta numérica donde 123 esté redondeado a la decena más cercana.

Nota para la enseñanza Considere usar la actividad digital interactiva de Redondear en una recta numérica vertical a lo largo de la lección para mostrar de manera rápida los resultados del redondeo cuando se debe decidir un valor posicional y una unidad a la que redondear.

200 150 123 100

Si la Sra. Wong hace la estimación redondeando a la decena más cercana y coloca 120 sillas, ¿cómo podemos comparar esa cantidad con las 123 personas que las necesitan? No habrá suficientes sillas porque todavía hay más personas que sillas. Habrá 3 sillas menos de las necesarias. La estimación se acercará más a lo que se necesita, pero sigue sin alcanzar.

130 125 123 120

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Muestre una recta numérica donde 123 esté redondeado a la siguiente decena. Si la Sra. Wong hace la estimación redondeando a la siguiente decena y coloca 130 sillas, ¿cómo podemos comparar esa cantidad con las 123 personas que las necesitan?

130

Habrá más sillas que personas.

125 123

Habrá 7 sillas de más.

120

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué, en esta situación, podría ser útil estimar más sillas de las que se necesitan. Puede que haya más personas que necesiten una silla de las que se esperaba. Todo el mundo necesita una silla. Está bien tener algunas sillas de más. Solo sobrarán 7 sillas si redondea a la siguiente decena. No sobran demasiadas sillas. Si redondea a la siguiente centena, sobrarán demasiadas sillas. Ahora que hemos examinado cuatro formas diferentes de redondear en esta situación, elijan si redondearían 123 a la decena o a la centena más cercana, o a la siguiente decena o centena. Luego, justifiquen, o defiendan, su elección. Invite a dos o tres estudiantes para que se turnen para compartir si redondearían el número de sillas a la decena o a la centena más cercana, o a la siguiente decena o centena, y por qué. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la situación afectó la forma en que eligieron redondear. El redondeo nos ayuda a hacer estimaciones. Las estimaciones no siempre son exactas. A veces las estimaciones son útiles; otras veces no. Dependiendo de la situación, podemos decidir la forma más útil de redondear.

Estimar redondeando de una manera diferente La clase redondea a unidades de valor posicional distintas de la unidad posicional más cercana para hacer una estimación útil para una situación dada del mundo real. Presente el problema:

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a pensar en una situación similar a la de colocar sillas, en la cual la elección de la unidad de valor posicional a la que redondean afecte el resultado del problema. Invite a sus estudiantes a compartir las situaciones y comentar cómo el redondeo a una unidad de valor posicional diferente afecta el resultado.

Apoyo para la comprensión del lenguaje En este segmento se presenta el término justificar. Considere adelantar el significado del término antes de que la clase comparta su razonamiento para redondear a la decena o a la centena más cercana. Use una situación imaginaria en la que la clase intente justificar que se le otorgue un beneficio, como más tiempo de recreo, para fomentar la participación de sus estudiantes. Pregúnteles qué harían para justificar el beneficio. Preste atención a las respuestas que incluyan razones detalladas, ejemplos y el uso de lenguaje persuasivo.

934,242 personas visitaron un museo el año pasado. ¿Redondear el número de visitantes del año pasado a la decena de millar más cercana dará una estimación útil del número de visitantes del año próximo? ¿Por qué?

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EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Invite a la clase a redondear el número a la decena de millar más cercana para estimar el número de visitantes del año próximo. Registre la solución de un o una estudiante. ¿La estimación es mayor o menor que el número real?

934,242 ≈ 930,000

La estimación es menor que el número real. ¿Creen que es útil para el museo estimar que el año que viene tendrán menos visitantes que este año? ¿Por qué? No creo que sea útil porque puede que no tengan la cantidad suficiente de algunas cosas, como boletos o mapas. Creo que es útil porque entonces podrían alegrarse de tener más visitantes de los que esperaban. Diga a la clase que cada año el museo ha tenido más visitantes que el año anterior. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si creen que redondear a la decena de millar más cercana aún sería una estimación útil si la asistencia al museo continúa en aumento. Si la asistencia sigue subiendo, deberíamos redondear a la siguiente decena de millar. Como vimos en el ejemplo de las sillas, en algunas situaciones, redondear al punto de referencia más cercano, como la decena de millar más cercana, no nos da una estimación útil. A veces, es necesario redondear a un número mayor o a un número menor.

Estimaciones útiles con dinero La clase revisa los redondeos para hacer estimaciones útiles con dinero. Presente el problema: Una escuela quiere recaudar $500 para plantar un jardín. Recaudan $176 la primera semana, $167 la segunda y $145 la tercera. Hagan una estimación para ver si han cumplido su objetivo.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante elabora argumentos viables y analiza el razonamiento de otras personas (MP3) cuando explora las situaciones en las que puede ser útil redondear a una unidad de valor posicional que no sea la unidad más cercana. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Por qué redondear 934,242 al millar más cercano o a la decena de millar más cercana no da una buena estimación del número de visitantes del año próximo? • ¿A qué unidad de valor posicional se podría redondear 934,242 para estimar mejor el número de visitantes del año próximo?

Nota para la enseñanza Cuando sus estudiantes lleguen a una estimación que no sea útil, ayúdeles a evitar la tendencia común de hallar primero la respuesta exacta y, luego, redondear. Ayude a la clase a redondear a un valor posicional diferente o a elegir una unidad de valor posicional distinta de la más cercana.

333

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4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Forme parejas de estudiantes y pídales que redondeen para estimar la cantidad total recaudada. Indique a la o el estudiante A que redondee la cantidad recaudada cada semana a la centena más cercana, y a la o el estudiante B que redondee la cantidad recaudada cada semana a la decena más cercana.

Estudiante A

Estudiante B

$176 ≈ $ 200 $167 ≈ $ 200 $145 ≈ $ 100 $200 + $ 200 + $ 100 = $ 500

$176 ≈ $ 180 $167 ≈ $ 170 $145 ≈ $ 150 $180 + $ 170 + $ 150 = $ 500

Según sus estimaciones, ¿la escuela cumplió su objetivo? Redondeé a la centena más cercana. El total estimado es $500. Según mi estimación, han cumplido su objetivo. Redondeé a la decena más cercana. El total estimado es $500. Según mi estimación, han cumplido su objetivo. Pida a sus estudiantes que comparen la cantidad real recaudada cada semana con las cantidades que determinaron mediante el redondeo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan. ¿Qué observan en las cantidades recaudadas cada semana y en las que hallaron al redondear? En la mayoría de los números, el redondeo es mayor de lo que realmente recaudaron. Para la cantidad de cada semana, la decena más cercana fue mayor que la cantidad real recaudada. Para la cantidad recaudada cada semana, la centena más cercana fue mayor que la cantidad real en dos de las semanas y menor en otra de ellas. ¿Qué les dice esto sobre la estimación total y sobre si la escuela cumplió su objetivo? Quizá no cumplieron su objetivo. Aunque mi total estimado era $500, la mayoría de las cantidades se redondearon a un número mayor que las cantidades reales, por eso lo que recaudaron podría ser menos de $500. Redondeé a la decena más cercana y cada cantidad estimada fue mayor que la real. Eso hace que parezca que recaudaron más de lo que recaudaron en realidad.

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EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 15 Invite a la clase a hallar la cantidad real de dinero recaudada. ¿Cumplió la escuela su objetivo? No. Solo recaudaron $488.

$1 7 6 $1 6 7 +$ 1 4 5 1 1 $488

Cuando redondeamos para hallar una estimación, tenemos que pensar en lo que pasa con los números cuando se redondean. Si todos los números se redondean a puntos de referencia menores que los números o todos se redondean a puntos de referencia mayores que los números, nuestra estimación se ve afectada. Si algunos números se redondean a un número menor y otros a uno mayor, nuestra estimación también se ve afectada. Justifiquen si su estimación es útil en esta situación.

Mi estimación no fue útil. Según mi estimación, la escuela cumplió su objetivo, pero en realidad no lo hizo. ¿Cómo podemos ser flexibles con el redondeo para asegurarnos de que nuestras estimaciones son útiles? Podemos tener en cuenta si siempre estamos redondeando las cantidades a números más altos o más bajos para ver si nuestra estimación será mayor o menor que el total real. Quizá podemos redondear algunos números a la decena más cercana y otros a la centena más cercana. Podemos redondear todos los números al mismo valor posicional, pero redondear algunos a un valor mayor y otros a uno menor para acercarnos más al número real. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar si sus estimaciones relacionadas con el dinero son mayores o menores que las cantidades reales y si sus estimaciones son útiles.

335

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Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Aplicar la estimación a situaciones del mundo real usando el redondeo Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre cómo redondear para hacer estimaciones útiles en contextos del mundo real. ¿Por qué la manera de estimar que resulta útil varía según las diferentes situaciones? A veces, una estimación es útil cuando es más alta que la cantidad real, así nos aseguramos de tener suficiente de algo, como sillas para las personas o dinero para las compras. A veces, una estimación es útil cuando es más baja que la cantidad real, como cuando se intenta calcular cuánto más hay que trabajar para llegar a un objetivo. ¿Por qué a veces se cambian las reglas o normas de redondeo? Podemos redondear de forma diferente para asegurarnos de que nuestra estimación sea útil. A veces, la estimación mediante el redondeo al punto de referencia más cercano no nos da la información que necesitamos, por lo que podemos optar por redondear de manera diferente. Según la situación, podemos necesitar cambiar nuestra forma de redondear para asegurarnos, por ejemplo, de que tenemos suficiente dinero en la tienda. ¿Cómo podemos justificar nuestra estrategia de estimación? Podemos explicar por qué tiene sentido estimar de más o de menos en función de la situación.

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Nombre

Fecha

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3. Gabe tiene $70. Quiere comprar una bolsa para libros que cuesta $34, un libro que cuesta $19 y una calculadora que cuesta $24. a. Gabe estima el costo total de los tres artículos redondeando el precio de cada uno a la decena más cercana. ¿Cuál es su estimación?

1. La empresa A necesita pedir computadoras para 7,165 personas. En la empresa, redondean 7,165 a la centena más cercana para estimar cuántas computadoras hay que pedir. ¿Habrá suficientes computadoras para que cada persona tenga 1? Explica.

30 + 20 + 20 = 70

7,165 ≈ 7,200

La estimación de Gabe es $70.

Habrá suficientes computadoras porque 7,165 redondeado a la centena más cercana es 7,200. Habrá computadoras de más porque la cantidad redondeada es mayor que la necesaria.

b. Gabe cree que tiene suficiente dinero. ¿Cuál es el costo total real de los tres artículos?

34 + 19 + 24 = 77 El costo total real de los tres artículos es $77.

2. La piscina de Eva tiene una capacidad de 9,327 galones. Sus padres redondean, cada cual por su parte, el número de galones necesarios para llenar la piscina.

c. ¿Tiene Gabe suficiente dinero? No, Gabe no tiene suficiente dinero.

Su padre redondea al millar más cercano y su madre redondea a la centena más cercana. ¿Quién hizo la estimación más precisa? Explica. El padre de Eva redondeó 9,327 a 9,000. Y su madre redondeó 9,327 a 9,300. La estimación de su madre es más precisa porque 9,327 es solo 27 más que 9,300, pero 327 más que 9,000.

d. Para asegurarse de que tiene suficiente dinero, ¿qué estrategia podría utilizar Gabe para estimar? Gabe podría redondear el precio de cada artículo a la siguiente decena para asegurarse de que tiene suficiente dinero para comprar los artículos. $34 es aproximadamente $40, $19 es aproximadamente $20 y $24 es aproximadamente $30. El costo total estimado es $90.

129

130

GRUPO DE PROBLEMAS

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4. Amy ganará un premio si vende 300 cajas de galletas. Vende 51 cajas en enero y 104 en febrero. ¿Amy debe redondear a la centena o a la decena más cercana para estimar cuántas cajas le falta vender? Explica. Redondear a la centena más cercana

51 ≈ 100

104 ≈ 100

100 + 100 = 200 300 − 200 = 100 Redondear a la decena más cercana

51 ≈ 50

104 ≈ 100

50 + 100 = 150 300 − 150 = 150 Amy debe redondear a la decena más cercana para que su estimación sea más precisa. Si redondea a la centena más cercana, obtendrá 200 como número estimado de cajas vendidas. 200 es mucho mayor que el número real, por lo que podría pensar que solo tiene que vender otras 100 cajas más, cuando en realidad aún debe vender unas 150 más.

338

GRUPO DE PROBLEMAS

131

Tema D Suma y resta de números enteros de varios dígitos En el tema D, la clase adquiere fluidez con la suma y la resta de números de varios dígitos al usar el algoritmo convencional, y resuelve problemas verbales de varios pasos. La clase conoce el algoritmo convencional para la suma y la resta por su trabajo con números de dos y tres dígitos en 2.o y 3.er grado. El tema D amplía ese aprendizaje a medida que cada estudiante generaliza el uso del algoritmo y adquiere fluidez para sumar y restar números hasta 1,000,000. El tema comienza con la suma. La clase desarrolla la comprensión conceptual usando discos de valor posicional concretos y representaciones pictóricas de los números en una tabla de valor posicional para sumar unidades semejantes, y reagrupan cuando es necesario. La clase usa la forma vertical para registrar el algoritmo. Suman unidades semejantes, expresan grupos de 10 como unidades más grandes y, luego, indican esas unidades escribiéndolas debajo de los sumandos. Antes de sumar, redondean cada sumando y hallan los totales para estimar los resultados. Se basan en estas estimaciones para comprobar si sus respuestas finales son razonables. También suman para resolver problemas verbales de dos pasos y de varios pasos. Se emplean discos de valor posicional concretos y representaciones pictóricas de los números en una tabla de valor posicional para desarrollar la comprensión conceptual de la resta. La clase comienza restando números de varios dígitos que requieren que las unidades de valor posicional se expresen con otro nombre una sola vez y, luego, pasan a problemas que requieren que se expresen con otro nombre más de una vez. La clase usa la forma vertical para registrar el algoritmo. Expresan las unidades de valor posicional con otro nombre en todo el número, según sea necesario, para preparar el total para la resta y, luego, restan las unidades semejantes. Continúan usando el redondeo para estimar y comprueban si sus respuestas son razonables. También usan la suma para comprobar sus respuestas, lo que les proporciona una nueva oportunidad de ver la relación entre la suma y la resta y de practicar el uso del algoritmo convencional.

340

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD El proceso Lee-Dibuja-Escribe se usa a lo largo de todo el tema. La clase resuelve problemas verbales de dos pasos y de varios pasos mediante la suma y la resta. Dibujan diagramas de cinta que les ayudan a interpretar y entender los problemas y a determinar qué operación u operaciones deben usar. Escriben ecuaciones con una letra para el número desconocido, hacen una estimación y, luego, resuelven y comprueban su respuesta. En el tema E, usan su comprensión del valor posicional para convertir unidades de medida métricas de unidades más grandes a unidades más pequeñas y para sumar y restar medidas de longitud, masa y volumen líquido.

341

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4 ▸ M1 ▸ TD

Progresión de las lecciones Lección 16

Lección 17

Lección 18

Sumar usando el algoritmo convencional

Resolver problemas verbales de suma de varios pasos usando el algoritmo convencional

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes una vez

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas de millar

218,050 De hombre

20 0 , 0 0 0 50,000 2 5 0 , 0 00

182,4 19 5 3 , 6 70 1 1 23 6 , 089

Puedo sumar números de hasta seis dígitos usando el algoritmo convencional para la suma. Herramientas como los discos de valor posicional y la tabla de valor posicional pueden ayudarme a entender cómo se suman los números. Sumo unidades semejantes en forma vertical y expreso 10 de una unidad de valor posicional más pequeña como 1 de la siguiente unidad más grande. Redondear para estimar el total antes de sumar me ayuda a determinar si mi respuesta es razonable.

342

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

83,960 p

De mujer

Decenas de millar

300,000 - 200,000 = 100,000

Infantiles

74,308 El proceso Lee-Dibuja-Escribe puede ayudarme a decidir una estrategia para hallar la solución de problemas verbales, incluso los de 2 o 3 pasos. Puedo dibujar un diagrama de cinta para entender lo que se conoce y desconoce en el problema. Escribo ecuaciones con una letra para el número desconocido, estimo la suma y, luego, compruebo si mi respuesta es razonable.

210

304, 6 3 7 - 1 82, 4 2 3 1 2 2, 2 1 4

1 82,423 214 + 122, 1 304,637

Puedo restar números de hasta 6 dígitos usando el algoritmo convencional para la resta. Antes de restar, hago una estimación. Luego, me aseguro de tener todo listo para restar en cada posición. Miro en todo el número y expreso 1 de una unidad de valor posicional más grande como 10 de una unidad más pequeña. Luego, resto. Comparo el resultado con mi estimación y lo compruebo con la suma. Herramientas como los discos de valor posicional y la tabla de valor posicional pueden ayudarme a entender cómo reagrupar y restar.

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Lección 19

Lección 20

Lección 21

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes hasta 3 veces

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes varias veces

Resolver problemas verbales de dos pasos usando la suma y la resta

140,000 - 70,000 = 70,000 13 0 3 10

2 12

1 4 0, 3 2 6 - 7 1 , 08 3

71,083 69,, 2 4 3 + 69

69, 2 4 3

140,, 3 2 6 140

1 1

A veces, tengo que expresar con otro nombre más de 1 unidad de valor posicional para poder comenzar a restar. Aún puedo usar el algoritmo convencional, y la tabla de valor posicional puede ayudarme a entender cómo expresar con otro nombre cuando uso la forma vertical. Comprobar mi respuesta comparándola con mi estimación y usando la suma es una forma útil de saber si he expresado con otro nombre y restado correctamente.

50,000

1,000,000 - 700,000 = 300,000 0 9 9 9 9 9 10

1,000,000 - 723,418 276,582

723,418

+ 1 276,582 1 11 1 1

1,000,000

Cuando resto, el algoritmo convencional funciona para cualquier número. Repito el proceso y expreso las unidades de valor posicional con otro nombre tantas veces como sea necesario. Hay más de una manera de mostrar cómo se expresa con otro nombre cuando resto pasando por los ceros. Puedo elegir la que me resulte más eficiente.

16,784

19,247

A veces, uso más de una operación para resolver problemas verbales. Representar problemas verbales de dos pasos con un diagrama de cinta puede ayudarme a ver qué parte debo resolver primero y qué operaciones debo usar. Escribo ecuaciones con una letra para el número desconocido, estimo y hallo la respuesta y, luego, compruebo si es razonable.

343

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4 ▸ M1 ▸ TD

Lección 22 Resolver problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta 10,650 Azul

Rojo

c ?

3,780

Verde ?

1,945

Hay más de una manera de resolver un problema verbal. Cuando dibujo diagramas de cinta para representar problemas verbales, puedo mirar el tamaño de las cintas y usar las relaciones entre ellas para resolver los problemas de forma más eficiente. Puede que halle una forma de resolver el problema que no hubiera visto si no dibujaba el diagrama de cinta. Estimo el número desconocido y, luego, decido qué operaciones usar y hallo la respuesta. Mi estimación me ayuda a comprobar la respuesta.

344

LECCIÓN 16

Sumar usando el algoritmo convencional

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

Fecha

Suma usando el algoritmo convencional. 1.

Vistazo a la lección La clase usa la comprensión del valor posicional para sumar números de hasta seis dígitos. Usan la forma vertical para registrar los pasos del algoritmo convencional, y evalúan si sus respuestas son razonables mediante la estimación.

Preguntas clave • ¿Qué modelos podemos usar para representar el algoritmo convencional? • ¿De qué manera nos ayuda el valor posicional a usar el algoritmo convencional?

+ 2

Criterios de logro académico 4.Mód1.CLA4 Evalúan si las estimaciones son razonables cuando se usa el redondeo como estrategia de estimación. (NY-4.OA.3b) 4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

3. 524,726 + 96,415

5 2 4,7 2 6 + 9 6,4 1 5 1 1 1 1 6 2 1,1 4 1

139

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de valor posicional

Aprender 30 min

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

• Sumar usando discos de valor posicional y la forma vertical

Estudiantes

• Sumar usando dibujos de valor posicional y la forma vertical • Resolver un problema verbal de suma • Grupo de problemas

• set de discos de valor posicional • Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

• Prepare al menos 1 disco de una decena de millar, 10 discos de un millar, 5 discos de una centena, 7 discos de una decena y 12 discos de una unidad para cada estudiante y usted.

Concluir 10 min

347

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe una ecuación para representar un diagrama de cinta con un total desconocido como preparación para resolver problemas verbales de suma.

Nota para la enseñanza

Muestre el diagrama de cinta.

A lo largo del tema, esta actividad se limita a pedir a la clase que interprete los diagramas de cinta escribiendo ecuaciones. No se espera que completen las ecuaciones.

¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.

1,398

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. El total es desconocido. Las partes son 1,398 y 524.

524

1,398 + 524 = a

Escriban una ecuación para representar el diagrama de cinta.

Valide todas las ecuaciones correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Puede haber estudiantes que hayan escrito el total y las partes en un orden diferente. Por ejemplo, a = 524 + 1,398 puede usarse para representar el primer diagrama de cinta de la secuencia.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

1,398 c 4,627

2,099

7,509

58,003

6,273

429

3,005

w w = 4,627 + 2,099

348

524

n 714 95,963

821,070 d

7,509 + 58,003 = c

6,273 + 429 + 3,005 = n

d = 714 + 95,963 + 821,070

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Intercambio con la pizarra blanca: Estimar sumas La clase hace una estimación de una suma hasta 1,000 como preparación para usar la estimación para evaluar si una respuesta es razonable. Muestre 469 + 228 = m. ¿Cómo podrían redondear cada sumando como ayuda para estimar la suma? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas. Podría redondear 469 a 500 y 228 a 200. Podría redondear 469 a 470 y 228 a 230.

469 + 228 = m 500 + 200 = 700

Escriban una ecuación que muestre una suma estimada y cómo redondearon ambos sumandos.

Nota para la enseñanza A lo largo del tema, esta actividad se limita a pedir a la clase que estime las sumas mediante el redondeo. No se espera que completen las ecuaciones. El objetivo de dar tiempo a sus estudiantes para que comenten en voz baja sus ideas es que puedan concentrarse en el redondeo. No es necesario pedirles que lo hagan en cada problema.

Nota para la enseñanza

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Se muestran ejemplos de estimaciones, pero deben aceptarse todas aquellas que sean válidas. Por ejemplo, en lugar de redondear 469 + 228 a 500 + 200, sus estudiantes pueden usar alguna de las siguientes ecuaciones.

470 + 230 = 700

187 + 686 = c

288 + 436 = f

176 + 589 = a

309 + 59 = k

45 + 768 = g

470 + 200 = 670 500 + 230 = 730 Anime a la clase a pensar con flexibilidad acerca de cómo deciden redondear los números en cada problema. Sus estudiantes pueden elegir redondear cada número a un valor posicional diferente.

349

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

Respuesta a coro: Sumar en forma unitaria La clase suma unidades, decenas o centenas en forma unitaria y dice 1 unidad de valor posicional más como preparación para sumar números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 6 unidades + 2 unidades =

Nota para la enseñanza

¿Cuánto es 6 unidades + 2 unidades?

8 unidades

6 unidades + 2 unidades =

8 unidades

Muestre la respuesta. Muestre 6 unidades + 2 unidades + 1 unidad =

6 unidades + 2 unidades + 1 unidad =

¿Cuánto es 1 más de una unidad?

9 unidades

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

350

3 decenas + 5 decenas

5 centenas + 2 centenas

5 centenas + 7 centenas

6 unidades + 5 unidades = 1 decena y 1 unidad.

Recuerde cambiar la pregunta “¿Cuánto es 1 unidad más de ?” al cambiar la unidad de valor posicional a decenas o centenas.

Muestre la respuesta.

6 unidades + 5 unidades

9 unidades

Considere pedir a sus estudiantes que expresen con otro nombre las unidades de valor posicional que superen 9. Por ejemplo,

3 decenas + 9 decenas

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Presentar

La clase examina soluciones estimadas de problemas verbales de suma. Presente este problema: El pasado mes de mayo, el comedor escolar sirvió 236 hamburguesas vegetarianas y 872 hamburguesas comunes. Iván dice que sirvieron más de 1,000 hamburguesas en total. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué? Pida a la clase que trabaje en parejas para responder las preguntas. Una persona debe responder las preguntas estimando el número total de hamburguesas servidas y la otra lo debe hacer hallando el total exacto. Invite a las parejas de estudiantes a comparar sus respuestas y a compartir su razonamiento. ¿Están de acuerdo con Iván o no? ¿Por qué? Estoy de acuerdo porque 236 + 872 = 1,108. 1,108 es más que 1,000. Estoy de acuerdo porque cuando redondeé a la centena más cercana y sumé 2 centenas y 9 centenas, obtuve 11 centenas. 11 centenas es más que 10 centenas, o 1 millar. Estoy de acuerdo. Hay 2 centenas en 236 y 8 centenas en 872. 2 centenas + 8 centenas = 10 centenas. Los números reales también tienen decenas y unidades, así que sé que el total es más que 1,000. Presente este problema: El año pasado, el comedor escolar sirvió 2,129 hamburguesas vegetarianas y 8,443 hamburguesas comunes. Iván dice que sirvieron más de 10,000 hamburguesas en total. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué? Invite a la clase a formar parejas de trabajo. Pida a cada estudiante de la pareja que use la estimación para responder las preguntas. Asegúrese de que sus estudiantes redondeen los números al millar más cercano y tengan en cuenta el valor posicional al sumar los números redondeados. ¿Están de acuerdo con Iván o no? ¿Por qué? Estoy de acuerdo porque cuando redondeo al millar más cercano y sumo 2 millares y 8 millares, obtengo 10 millares. Los números reales son mayores que los números redondeados, por lo que el total será más de 10 millares.

351

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 Muestre el ejemplo de trabajo. Iván sumó los números exactos. ¿Qué observan sobre su trabajo?

8,443 + 2,129 = 10,572 8,443 +

2,000

10,443 +

100

10,543 +

10,563 +

10,572

El total exacto es más que 10,000. Iván tenía razón; se prepararon más de 10,000 hamburguesas en total. Usó el método de flechas y sumó las unidades de valor posicional de una en una. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre la estrategia que usaron para sumar 236 y 872 y la estrategia de Iván para sumar 8,443 y 2,129. Usamos la forma vertical, pero Iván usó el método de flechas. Sumamos los números 1 unidad de valor posicional a la vez como lo hizo Iván, solo que él tenía más unidades para sumar. Cuando sumamos números con unidades de valor posicional más grandes, también necesitamos sumar unidades semejantes. ¿Cómo puede Iván evaluar si su respuesta es razonable para el número real de hamburguesas servidas usando la estimación? Puede comparar 10,000 con la respuesta real. Si los dos números están cerca, sabe que su respuesta es probablemente razonable y podría ser correcta. ¿Es razonable la respuesta de Iván? ¿Cómo lo saben? Sí. 10,572 está cerca de 10,000. Veamos cómo usar lo que sabemos acerca del valor posicional y la suma como ayuda para sumar números más grandes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, redondearemos para estimar una suma y sumaremos números enteros de varios dígitos usando la comprensión del valor posicional.

352

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Aprender

Sumar usando discos de valor posicional y la forma vertical Materiales: M) Discos

La clase usa discos de valor posicional para sumar números de cinco dígitos expresando las unidades de valor posicional con otro nombre dos veces. Invite a la clase a trabajar en parejas. El o la estudiante A debe dibujar en su escritorio una tabla de cinco columnas con un marcador de borrado en seco. El o la estudiante B debe preparar una pizarra blanca para registrar el trabajo. Presente la primera parte del problema de la sección Presentar: El año pasado, el comedor escolar sirvió 2,129 hamburguesas vegetarianas y 8,443 hamburguesas comunes. Represente el problema con discos de valor posicional y registre el trabajo mientras la clase hace lo mismo. Considere usar la siguiente secuencia. Usemos otra estrategia para hallar el número total de hamburguesas que sirvió el comedor. Primero, vamos a representar cada número con discos de valor posicional. ¿Qué discos deberíamos usar para representar el número de hamburguesas vegetarianas servidas? Use discos para representar 2,129.

Nota para la enseñanza Cada estudiante puede crear una tabla en su escritorio usando la parte de atrás de una regla de 12 pulgadas para mostrar las divisiones entre columnas.

Nota para la enseñanza Sumar y restar usando columnas de grupos de 5 y filas de grupos de 5 les resultará conocido de grados anteriores. El uso de estas agrupaciones al representar con discos de valor posicional y al representar números en la tabla ayuda a la organización y proporciona apoyo para el reconocimiento de los números. También permiten a la clase mostrar de manera eficiente las reagrupaciones, para ver cuántos más se necesitan para formar 10, y para ver si hay suficientes para restar.

Usemos más discos para representar el número de hamburguesas comunes servidas. ¿Qué discos debemos usar?

DUA: Acción y expresión

Coloque los discos para 8,443 debajo de los discos para 2,129. Escriban el problema de suma que hemos representado. Escriba 2,129 + 8,443 en forma vertical. Señale los discos de la columna de las unidades mientras dice la siguiente secuencia.

Considere ayudar a la clase a organizar los problemas en forma vertical. Proporcione a cada estudiante una pizarra blanca con una Tabla de valor posicional hasta los millones para preparar el problema de suma y para ayudarle a alinear los dígitos en los valores posicionales correctos.

353

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 Sumemos. ¿Cuánto es 9 unidades + 3 unidades?

Nota para la enseñanza

12 unidades ¿Podemos formar una nueva unidad de valor posicional? ¿Cómo? Sí. 12 unidades es 1 decena y 2 unidades. Vamos a cambiar discos. Retire 10 discos de una unidad y coloque 1 disco de una decena debajo de los otros discos de una decena. Veamos cómo escribimos esto en forma vertical. Escriba 1 decena en la línea en la posición de las decenas y 2 debajo de la línea en la posición de las unidades. Señale los discos de la columna de las decenas mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuánto es 2 decenas + 4 decenas + 1 decena?

2 ,129 + 8 ,4 4 3 1 2

Registre la suma en forma vertical. Repita la operación para la columna de las centenas.

Reagrupar en la línea, una estrategia conocida como bajar los grupos nuevos, en vez de reagrupar sobre los números apoya la comprensión conceptual. Por ejemplo, al hallar 2,129 + 8,443, la clase puede ver 12 unidades como 1 decena y 2 unidades, y escribir los dígitos en un movimiento fluido desde la unidad de valor posicional más grande hasta la más pequeña, colocando primero 1 decena en la línea y, luego, 2 unidades debajo de la línea en la posición de las unidades. Esta notación mantiene los dígitos en proximidad y ayuda a reducir la probabilidad de que alguien invierta el orden de los números al registrar la reagrupación, lo cual es un error común. Además, al sumar los dígitos de cada columna, la clase primero observa y suma los dígitos de los sumandos y, luego, suma el 1 reagrupado al final, en vez de sumar el 1 reagrupado a un sumando primero y tener que recordar mentalmente el resultado después, al momento de sumar el otro sumando.

Señale los discos de la columna de los millares mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cuánto es 2 millares + 8 millares?

10 millares ¿Podemos formar una nueva unidad de valor posicional? ¿Cómo? Sí. 10 millares es 1 decena de millar y 0 millares. Vamos a cambiar discos.

Nota para la enseñanza

Retire 10 discos de un millar y coloque 1 disco de una decena de millar en la columna a la izquierda de los discos de un millar. Ahora vamos a registrarlo en forma vertical. Escriba un 1 en la línea en la posición de las decenas de millar para representar 1 decena de millar y escriba 0 debajo de la línea en la posición de los millares. ¿Cuántas decenas de millar tenemos? Termine de registrar la suma.

354

2 ,129 + 8 ,4 4 3 1

10 ,5 7 2

Para ayudar a sus estudiantes a adquirir una comprensión conceptual de la suma, haga énfasis en el lenguaje de unidades de valor posicional durante todo el proceso. Esto les ayudará a comprender que cada columna tiene su propio valor posicional.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 Lean la ecuación completa.

2,129 + 8,443 = 10,572 ¿Cuántas hamburguesas sirvió el comedor en total? Antes, coincidimos con Iván, que estimó que se vendieron más de 10,000 hamburguesas. ¿El número real de hamburguesas es razonable comparado con nuestra estimación? Sí, nuestra respuesta es razonable. 10,572 está cerca de 10,000. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre la suma de las unidades y la suma de los millares. En ambos valores posicionales, expresamos un grupo de 10 como el siguiente valor posicional. Expresamos unidades como decenas y millares como decenas de millar. Agrupamos 10 discos y los cambiamos por 1 disco en el siguiente valor posicional. Registramos el nuevo grupo de manera similar con la forma vertical.

Sumar usando dibujos de valor posicional y la forma vertical Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase dibuja para representar discos de valor posicional y usa el algoritmo convencional para sumar números de cinco y seis dígitos con reagrupaciones múltiples. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas individuales. Escriba 182,419 + 53,670 de manera horizontal. Vamos a sumar 182,419 y 53,670. Esta vez, usaremos la tabla de valor posicional para representar cada sumando dibujando puntos para representar discos de valor posicional. Hagamos una estimación antes de sumar. ¿Qué observan sobre los valores de cada sumando? Un sumando tiene dígitos hasta la posición de las centenas de millar. El otro tiene dígitos hasta la posición de las decenas de millar.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Los términos cambiar, agrupar y expresar con otro nombre son términos conocidos de 2.o y 3.er grado. Se usan para describir la composición y la descomposición (o ambas) de una unidad de valor posicional en relación con otra. Si bien se pueden usar de manera flexible y a menudo es posible reemplazar uno por otro, cambiar suele usarse cuando la clase usa algo concreto, como discos de valor posicional, y se cambia físicamente 1 de una unidad más grande por 10 de una unidad más pequeña, o 10 de una unidad más pequeña por 1 de una unidad más grande. También se usa como una señal auditiva para recordar a la clase que se están quitando y colocando unidades. Los términos agrupar y desagrupar ayudan a la clase a pensar en el intercambio de unidades de valor posicional, pero se usan principalmente con otros materiales didácticos físicos, como los palitos de helado en 2.o grado. El término expresar con otro nombre se usa para indicar que parte de un número se describe con diferentes unidades de valor posicional. Considere escribir ejemplos con los rótulos cambiar y expresar con otro nombre para apoyar la comprensión de estos términos cuando aparezcan en la lección.

355

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 Guíe a sus estudiantes para que redondeen cada número a su mayor valor posicional. Escriba el problema de suma con los números redondeados mientras la clase escribe en el espacio debajo de la tabla de valor posicional. Para hallar 200 millares + 50 millares, podemos pensar en 200 + 50. ¿Cuánto es 200 + 50?

250 Entonces, ¿cuánto es 200 millares + 50 millares?

250 millares 250,000

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Escriba el problema en forma vertical en el espacio debajo de la tabla de valor posicional mientras la clase lo registra en sus pizarras blancas. Pida a sus estudiantes que representen 182,419 con puntos en la tabla de valor posicional. Luego, pídales que representen 53,670.

9 unidades + 0 unidades?

200,000 + 50,000 250,000

Si la clase necesita práctica adicional para sumar con los discos de valor posicional antes de pasar a dibujar representaciones de los discos en el siguiente segmento, considere repetir la secuencia con 24,092 + 57,135.

182,4 1 9 + 5 3 , 67 0

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Nota para la enseñanza Decenas

¿Cuánto es 1 decena + 7 decenas? ¿Cuánto es

4 centenas + 6 centenas? Vemos 10 centenas en la tabla de valor posicional. ¿Podemos formar una unidad más grande? ¿Cómo podemos expresar 10 centenas con otro nombre?

10 centenas es 1 millar y 0 centenas.

356

Si bien no es necesario mostrar la reagrupación en el valor posicional más grande cuando se registra la suma en forma vertical, la reagrupación se muestra inicialmente para reforzar que 10 de una unidad de valor posicional más pequeña forman una unidad de valor posicional más grande.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase a través de la suma usando la tabla de valor posicional y la forma vertical con la siguiente secuencia. Pídales que la registren en su tabla de valor posicional y en forma vertical mientras usted hace la demostración. Sumemos. ¿Cuánto es

Nota para la enseñanza

200,000 + 50,000 250,000

182,4 1 9 + 5 31 , 67 0 089

Unidades

La actividad digital interactiva de Sumar en la tabla de valor posicional permite a la clase representar la suma en dicha tabla junto a la forma vertical. Considere permitir que sus estudiantes experimenten con la herramienta de forma individual o demuestre su uso para representar la suma en la tabla de valor posicional en vez de dibujar los discos.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 En la tabla de valor posicional, agrupe 10 centenas encerrándolas en un círculo. Dibuje una flecha que apunte hacia la posición de los millares y dibuje allí 1 millar. Registre 1 en la línea en la columna de los millares y 0 debajo de la línea en la columna de las centenas en forma vertical. ¿Cuánto es 2 millares + 3 millares + 1 millar?

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

¿Cuánto es 8 decenas de millar + 5 decenas de millar? Vemos 13 decenas de millar en la tabla de valor posicional. ¿Cómo podemos expresar 13 decenas de millar con otro nombre?

200,000 1 82, 4 1 9 Agrupe 10 decenas de millar 50,000 + + 1 531 , 67 0 encerrándolas en un círculo. Dibuje una flecha que apunte hacia la posición 250,000 236 , 08 9 de las centenas de millar y dibuje allí 1 centena de millar. Registre 1 en la línea en la columna de las centenas de millar y 3 debajo de la línea en la columna de las decenas de millar en forma vertical. ¿Cuánto es 1 centena de millar + 1 centena de millar? Registre 2 debajo de la línea en la columna de las centenas de millar en forma vertical. Lean la ecuación completa.

182,419 + 53,670 = 236,089 Pida a sus estudiantes que comparen la respuesta exacta con sus estimaciones para evaluar si es razonable. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el uso de discos de valor posicional o los dibujos en una tabla de valor posicional y la agrupación para formar una unidad más grande se relacionan con los pasos del algoritmo convencional. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones entre las representaciones y anímeles a formular sus propias preguntas. ¿En qué se parecen la construcción con discos y los dibujos en la tabla de valor posicional? Ambos muestran los sumandos.

Nota para la enseñanza Si la clase necesita practicar más la suma dibujando en la tabla de valor posicional antes de pasar al problema verbal del siguiente segmento, considere repetir la secuencia con

217,096 + 695,426.

Se puede combinar cada unidad de valor posicional paso a paso para hallar la suma.

357

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 En ambos se pueden reagrupar 10 de 1 unidad de valor posicional. En uno, se intercambian discos y, en el otro, se dibuja para mostrar el cambio. Cuando escribimos el problema de suma de forma vertical y sumamos los dígitos de cada valor posicional un paso a la vez, estamos usando el algoritmo convencional. ¿En qué se parecen los pasos de la tabla de valor posicional y los del algoritmo convencional para la suma? Los dos empiezan con la unidad de valor posicional más pequeña y pasan a la más grande.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Antes de dibujar el diagrama de cinta, tenga en cuenta la posibilidad de dibujar y rotular una imagen que represente a Saturno y sus lunas para apoyar a la clase con el contexto.

En los dos hay que reagrupar 10 de una unidad de valor posicional.

Saturno Mimas

Los dos sirven para hallar la suma, uno como discos y otro como número.

Titán

Sumamos unidades del mismo valor posicional, como decenas y decenas o centenas y centenas.

Resolver un problema verbal de suma

115,277

643,933

La clase usa el algoritmo convencional para resolver un problema verbal que incluye sumandos de seis dígitos. Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Guíe a la clase a través del proceso Lee-Dibuja-Escribe para entender y resolver el siguiente problema. Mimas y Titán son dos lunas de Saturno. Mimas está a unas 115,277 millas de Saturno. Titán está a unas 643,933 millas más de Saturno que Mimas. ¿A qué distancia está Titán de Saturno? Mientras lee a coro y ayuda a la clase a entender el problema, dibuje un diagrama de cinta. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus pizarras blancas. Rotule los números conocidos y el número desconocido. Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar el problema. ¿Qué información conocemos? La distancia de Saturno a Mimas y la distancia de Mimas a Titán ¿Qué representa el número desconocido?

115,277

643,933

Cada estudiante hace modelos aplicando las matemáticas (MP4) cuando usa diagramas de cinta y ecuaciones para determinar a qué distancia se encuentra Titán de Saturno. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

115,277 + 643,933 = d d = 759,210

1 1 5,2 7 7 + 643,933 1 1 1 759,2 1 0

Titán está a 759,210 millas de Saturno.

• ¿Cómo representan en sus diagramas de cinta las ideas principales del problema de las lunas de Saturno? • ¿Cómo pueden simplificar el problema para estimar la distancia de Saturno a Titán?

El número desconocido es la distancia de Saturno a Titán.

358

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 Usemos la letra d para representar el número desconocido en el diagrama de cinta y en nuestra ecuación.

Nota para la enseñanza

¿Qué ecuación podemos escribir para representar el problema?

115,277 + 643,933 = d Dé a la clase 2 minutos para que trabajen en parejas y estimen la suma, registren el problema en forma vertical y hallen la suma usando los pasos del algoritmo convencional. ¿Qué valor hallaron para d, el número desconocido?

759,210

Si se necesita más apoyo con el proceso LeeDibuja-Escribe, considere una secuencia como la siguiente: • Lea el problema deteniéndose después de la distancia de Mimas a Saturno.

Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución.

• Cuando sus estudiantes deban dibujar y rotular la primera parte del diagrama de cinta, pregúnteles qué pueden dibujar para representar esa parte del problema.

Invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo saben que sus respuestas son razonables.

• Repita con la oración que proporciona la distancia de Titán a Saturno.

Grupo de problemas

• Lea la pregunta y, luego, pregunte a la clase dónde se encuentra representado eso en el diagrama de cinta y rotule el número desconocido con una letra.

Podemos registrarlo como d = 759,210.

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Nota para la enseñanza En la sección Grupo de problemas, varios problemas están escritos de manera horizontal para que la clase practique la alineación de dígitos según el valor posicional. Esto, junto con la suma de unidades semejantes columna por columna y la reagrupación según sea necesario, demuestra el dominio del algoritmo convencional para la suma. Dé tiempo a sus estudiantes para que desarrollen el dominio del algoritmo convencional con estas unidades más grandes y busquen el uso de estrategias de simplificación que puedan ser más efectivas que el algoritmo convencional.

359

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Sumar usando el algoritmo convencional Guíe una conversación que enfatice cómo el valor posicional ayuda a sumar números de varios dígitos usando el algoritmo convencional. ¿Qué modelos podemos usar para representar el algoritmo convencional? Podemos usar discos de valor posicional o una tabla de valor posicional. ¿Cómo se muestra la reagrupación con discos o en la tabla de valor posicional? Con los discos, cambiamos 10 de 1 unidad de valor posicional por 1 de la siguiente unidad de valor posicional. Con puntos, encerramos en un círculo un grupo de 10 y dibujamos 1 nueva unidad de valor posicional. En la tabla de valor posicional, mostramos la reagrupación encerrando en un círculo los grupos de 10 de una unidad de valor posicional, dibujando una flecha hacia el siguiente valor posicional y dibujando 1 nueva unidad en él. ¿Cómo se muestra la reagrupación en forma vertical? Mostramos la reagrupación escribiendo el dígito que representa la nueva unidad de valor posicional en la línea en la siguiente columna de valor posicional. Cuando tenemos 12 unidades, lo registramos como 1 decena en la línea de la posición de las decenas y 2 unidades debajo de la línea en la posición de las unidades. ¿De qué manera nos ayuda el valor posicional a usar el algoritmo convencional? El valor posicional nos indica qué dígitos debemos sumar. El valor posicional nos ayuda a formar nuevas unidades de valor posicional cuando necesitamos expresar un grupo de 10 con otro nombre.

360

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

Nombre

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16

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Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 13. En una feria, se vendieron 5,862 entradas el sábado. El domingo, se vendieron 3,977 entradas. ¿Cuántas entradas se vendieron los dos días en total?

Suma usando el algoritmo convencional. 1.

+ 1

5,862 + 3,977 = 9,839

+ 1

Se vendieron en total 9,839 entradas los dos días.

14. Deepa e Iván están jugando a un videojuego. Deepa obtiene 108,572 puntos e Iván obtiene 86,029 puntos. ¿Cuántos puntos obtienen entre los dos?

108,572 + 86,029 = 194,601 Entre los dos obtienen 194,601 puntos.

7. 73,097 + 5,047

7 3,0 9 7 + 5,0 4 7 1 1 7 8,1 4 4

8. 24,697 + 81,950

9. 633,912 + 267,334

2 4,6 9 7 + 8 1,9 5 0 1 1 1 0 6,6 4 7

6 3 3,9 1 2 + 2 6 7,3 3 4 1 1 1 9 0 1,2 4 6

11. 2,063 + 5,820 + 2,207

12. 47,194 + 5,265 + 531,576

15. Un parque nacional recibió 496,625 visitantes en junio. Recibió 220,837 visitantes más en julio que en junio. ¿Cuántos visitantes recibió el parque en julio?

10. 426 + 264 + 642

426 264 642 1 1 1,3 3 2

2,0 6 3 5,8 2 0 + 2,2 0 7 1 1 1 0,0 9 0

496,625 + 220,837 = 717,462 El parque recibió 717,462 visitantes en julio.

4 7,1 9 4 5,2 6 5 + 5 3 1,5 7 6 1 1 2 1 5 8 4,0 3 5

137

138

GRUPO DE PROBLEMAS

361

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 16 ▸ Tabla de valor posicional hasta los millones

Millones

362

Centenas de millar

Decenas de millar

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Millares

Centenas

Decenas

Unidades

LECCIÓN 17

Resolver problemas verbales de suma de varios pasos usando el algoritmo convencional

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Una heladería ganó dinero vendiendo sus productos. •

En enero ganó $7,228.

•

En febrero ganó $2,999 más que en enero.

•

En marzo ganó la misma cantidad que en febrero.

7,228

Febrero

7,228

• ¿De qué manera nos ayuda un diagrama de cinta a entender un problema de suma de varios pasos? • ¿Por qué es útil estimar el resultado antes de resolver un problema verbal?

2,999

Criterios de logro académico

4.Mód1.CLA5 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta, representan estos problemas usando ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables. (NY-4.OA.3, NY-4.OA.3a, NY-4.OA.3b)

Marzo 7,228 + 7,228 + 2,999 + 7,228 + 2,999 = d

4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

Estimación: 7,000 + 7,000 + 3,000 + 7,000 + 3,000 = 27,000

7,2 2 8 1 0,2 2 7 + 1 0,2 2 7 2 2 7,6 8 2

7,2 2 8 + 2,9 9 9 1 1 1 1 0,2 2 7

La clase dibuja y usa diagramas de cinta para entender los problemas verbales de suma de dos pasos y de varios pasos. Hacen estimaciones, escriben una ecuación usando una letra para representar el número desconocido, resuelven el problema y evalúan si su solución es razonable.

Preguntas clave

¿Cuánto dinero ganó la heladería en total? ¿Es razonable tu respuesta? Explica.

Enero

Vistazo a la lección

7,228 + 7,228 + 2,999 + 7,228 + 2,999 = 27,682 d = 27,682 La heladería ganó en total $27,682. Mi respuesta es razonable porque el total, $27,682, está cerca de mi estimación, $27,000.

147

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Problemas verbales de suma de dos pasos

• ninguno

• Problema verbal de suma de varios pasos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

365

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Fluidez

Conteo bip de millar en millar La clase completa un patrón para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el tema C de hallar 1 millar más y menos que un número dado. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención a medida que cuento hacia delante y hacia atrás de millar en millar. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 4,000, 5,000, bip.

4,000, 5,000, bip Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

4,000

5,000

6,000

6,000 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7,146 8,146 9,146

78 1,078 2,078

3 1,003 2,003

9,000 8,000 7,000

6,213 5,213 4,213

2,056 1,056 56

366

2,004 1,004 4

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe una ecuación para representar un diagrama de cinta con una parte desconocida como preparación para resolver problemas verbales de resta a partir de la lección 18.

1,398

Muestre el diagrama de cinta. ¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.

Nota para la enseñanza

524

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

1,398 – 524 = a

El total es 1,398. Una parte es desconocida y la otra es 524. Escriban una ecuación para representar el diagrama de cinta.

Valide todas las ecuaciones correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Es posible que haya estudiantes que elijan escribir una ecuación de suma con un sumando desconocido o una ecuación de resta con un total desconocido. Por ejemplo, 1,398 = 524 + a puede usarse para representar el primer diagrama de cinta de la secuencia.

Muestre la ecuación de ejemplo.

1,398

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

a 58,003 w

2,099

7,509

38,005

4,627 w = 4,627 − 2,099

524

69,273 95,963

d 821,070

7,509 + c = 58,003

n + 38,005 = 69,273

d = 821,070 − 95,963

367

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar en forma unitaria y en forma estándar La clase suma millares o decenas de millar en forma unitaria y en forma estándar para desarrollar fluidez con la suma de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Muestre 5 millares + 3 millares =

Cuando dé la señal, digan la suma en forma unitaria. ¿Comenzamos?

8 millares Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

5 millares + 3 millares = 8 millares 5,000 + 3,000 = 8,000

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 6 millares + 5 millares =

6,000 + 5,000 = 11,000

2 decenas de millar + 4 decenas de millar = 20,000 + 40,000 = 60,000

7 decenas de millar + 8 decenas de millar = 70,000 + 80,000 = 150,000

368

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Presentar

La clase interpreta un diagrama de cinta sin números. Muestre el diagrama de cinta que no tiene números. ¿Qué observan? Hay un diagrama de cinta que representa lirios y rosas. Hay una cinta que representa los lirios y otra que representa las rosas.

Lirios

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Una parte de la cinta de las rosas tiene la misma longitud que la cinta de los lirios.

Considere ayudar a sus estudiantes a comentar el diagrama de cinta proporcionándoles un banco de palabras y frases que se encuentran comúnmente en los problemas verbales de comparación. Considere dar a la clase frases como:

No está rotulado lo que conocemos y lo que no conocemos.

• más que, mayor que, más largo que;

¿Qué se preguntan?

• menor que, menos que, más corto que.

La cinta de las rosas es más larga que la de los lirios.

Rosas

¿Qué cantidades representan las cintas? ¿Cuántos lirios hay? ¿Cuántas rosas hay? ¿Qué estamos tratando de calcular? Si tuviéramos los números que necesitamos, ¿qué preguntas podríamos responder con este diagrama de cinta? ¿Cuántos lirios hay? ¿Cuántas rosas hay? ¿Cuántas rosas más que lirios hay? ¿Cuántos lirios menos que rosas hay? ¿Cuántas flores hay en total? Si conociéramos el número de lirios, ¿qué más necesitaríamos saber para hallar el número de rosas? Necesitaríamos saber cuántas rosas más que lirios hay. Necesitaríamos saber el número total de flores.

369

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 ¿Qué podríamos hacer para hallar el número total de flores? Podríamos sumar el número de lirios y rosas. Podríamos sumar el número de lirios dos veces y, luego, sumar cuántas rosas más que lirios hay. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos los diagramas de cinta como ayuda para resolver problemas verbales de varios pasos.

Aprender

Problemas verbales de suma de dos pasos La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de suma de dos pasos y evaluar si sus respuestas son razonables. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. Una florería vendió 14,976 lirios en un año. Ese año vendió 7,488 rosas más que lirios. ¿Cuántas flores vendió la tienda en total?

Lirios

Rosas 14,976 + 14,976 + 7,488 = 37,440 La tienda vendió 37,440 flores.

370

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 Vuelva a leer la primera oración y haga la pregunta.

DUA: Representación

¿Podemos rotular algo en el diagrama de cinta? ¿Qué podemos rotular? Podemos rotular la cinta de los lirios con 14,976. Rotule la cinta y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, vuelva a leer la segunda oración y formule las siguientes preguntas. ¿Podemos rotular algo? ¿Qué podemos rotular? Podemos rotular la parte de la cinta de las rosas que es más larga que la de los lirios. Podemos rotularla 7,488.

14,976 Lirios

f Rosas

Rotule el diagrama y pida a la clase que haga lo mismo. Señale la parte de la cinta de las rosas que está sin rotular.

Considere destacar la característica fundamental de un diagrama de cinta comparativo de suma, que es la parte que se repite en ambas cintas. Invite a sus estudiantes a trazar la parte de cada cinta que representa 14,976 (el número de lirios) con sus lápices o marcadores fluorescentes. Pregúnteles cómo saben que cada parte representa la misma cantidad. Anime a la clase a representar las partes iguales con el mismo tamaño cuando dibujen sus propios diagramas de cinta.

14,976

7,488

¿Cómo podemos rotular la otra parte de la cinta de las rosas? ¿Cómo lo saben? Podemos rotular la otra parte 14,976. Es la misma cantidad que el número de lirios vendidos. El número de rosas vendidas es el número de lirios vendidos más otro número. Rotule la parte que faltaba identificar y pida a la clase que haga lo mismo. A continuación, vuelva a leer la pregunta del problema y formule las siguientes preguntas.

Lirios

Rosas

14,976

7,488

¿Cuál es el número desconocido en este problema? La cantidad de flores que vendió la tienda en total ¿En qué parte del diagrama de cinta está representado el número desconocido? El total de ambas cintas juntas Dibuje una llave a la derecha de las dos cintas y rotúlela con una letra para el número desconocido.

371

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 Pida a sus estudiantes que rotulen el número desconocido con una letra. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que muestra el diagrama de cinta rotulado sobre cómo resolver el problema. Podemos sumar las dos partes para hallar el número de rosas y, luego, sumar el número de lirios. Podemos sumar el número de lirios dos veces y, luego, sumar las rosas adicionales. Podemos sumar los 3 sumandos a la vez: el número de lirios 2 veces y el número de rosas adicionales. Antes de resolver, vamos a redondear cada número al millar más cercano y a sumar las partes para estimar la suma. Dé un minuto para que la clase estime el número total de flores. ¿Cuál es su estimación? ¿Cómo lo saben? Mi estimación es de unas 37,000 flores. Redondeé cada número y hallé 15,000 + 15,000 + 7,000. Dé a las parejas 2 minutos para que escriban una o más ecuaciones con una letra para el número desconocido, resuelvan el problema y escriban un enunciado con la solución. En las ecuaciones que usaron para estimar y en la ecuación con una letra para el número desconocido, sumaron 3 sumandos en un solo paso. Pero resolvieron el problema en 2 pasos. ¿Pueden explicar su razonamiento?

15,000 + 7,000 + 15,000 = 37,000 1 4, 9 7 6 + 1 7,488 1 1 1 2 2,4 6 4

2 2, 4 6 4 + 1 41 , 91 71 6 3 7, 4 4 0

14,976 + 7,488 + 14,976 = f La tienda vendió 37,440 flores.

Diferenciación: Apoyo Es posible que haya estudiantes que tengan dificultades para conceptualizar los problemas de dos pasos y varios pasos. Considere presentar el problema con números más pequeños primero. Guíe a sus estudiantes para que puedan comprender el problema y lo representen con un diagrama de cinta. Luego, pídales que reemplacen los números más pequeños del problema por los más grandes. Considere un problema como el siguiente: Una florería vendió 290 lirios en un año. Ese año vendió 100 rosas más que lirios. ¿Cuántas flores vendió la tienda en total?

Nota para la enseñanza

Usé paréntesis para mostrar los sumandos de las rosas en la ecuación. Pero cuando resolví, lo dividí en 2 pasos para no tener que llevar la cuenta de 3 sumandos y reagrupaciones al mismo tiempo.

Cada ejemplo de trabajo de esta lección muestra una de las posibles formas de resolver un problema determinado. Por ejemplo, puede haber estudiantes que resuelvan el problema de las flores usando dos pasos como se muestra en el ejemplo de trabajo o usando un

¿Cuál es su enunciado con la solución?

paso como se muestra a continuación:

La tienda vendió 37,440 flores en un año.

1 5,0 0 0 + 1 5,0 0 0 + 7,0 0 0 = 37,0 0 0 14,976 + 14,976 + 7,488 = f f = 37,4 4 0 La t i e n d a ve n d i ó 37,4 4 0 f l o re s.

372

1 4,9 7 6 1 4,9 7 6 + 7 , 4 88 1 2

2 2

37 , 4 40

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 ¿Es razonable la respuesta? ¿Se acerca a la estimación? Es razonable. No está muy lejos de la estimación. La respuesta es aproximadamente 500 más que la estimación. Eso tiene sentido porque redondeamos el número de rosas adicionales a 7,000, que es alrededor de 500 menos que el número real. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta representa la solución del problema verbal. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Dé a las parejas 2 minutos para que lean el problema y dibujen y rotulen un diagrama de cinta para representar el problema. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 2. El sábado se entregaron 125,649 paquetes más que el domingo. El domingo se entregaron 293,848 paquetes. ¿Cuántos paquetes se entregaron los dos días en total?

293,848 + 125,649 + 293,848 = 713,345 Los dos días se entregaron 713,345 paquetes en total. Seleccione un diagrama de cinta de sus estudiantes para mostrarlo y comentarlo con una secuencia de preguntas como las siguientes. ¿Qué nos muestra este dibujo? Para hallar el número de paquetes entregados el sábado, tenemos que sumar las dos partes. Luego, tenemos que sumar el total del sábado a la cantidad del domingo para hallar el total combinado.

293,848

125,649

Sábado

Domingo 293,848

Podemos sumar las tres partes (las dos del sábado y también la del domingo) de una vez para hallar el total, p. ¿Cuál es la estimación del número total de paquetes entregados en los dos días combinados?

300,000 + 100,000 + 300,000 = 700,000

373

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 Dé a las parejas 2 minutos para que escriban una o más ecuaciones con una letra para el número desconocido, resuelvan el problema y escriban un enunciado con la solución. ¿Qué escribieron como enunciado con la solución? Los dos días se entregaron 713,345 paquetes en total.

300,000 + 100,000 + 300,000 = 700,000 (293,848 + 125,649) + 293,848 = p 2 9 3, 8 4 8 + 1 2 5,6 4 9 1

4 1 9 ,4 9 7

4 1 9 ,4 9 7 + 21 91 31 , 81 41 8 p = 7 1 3 ,3 4 5 7 1 3,3 4 5

Los dos días se entregaron 713,345 paquetes en total.

¿Es razonable su respuesta? ¿Por qué? La respuesta es razonable. Se redondearía a 700,000, que es lo mismo que mi estimación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ven la estrategia para hallar la solución en el diagrama de cinta.

Problema verbal de suma de varios pasos La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver un problema de varios pasos y evalúa si su respuesta es razonable. Reproduzca el video de la Fábrica de zapatos. Si es necesario, reproduzca el video una vez más y pida a la clase que tome nota de los detalles.

Nota para la enseñanza

Dé un minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Guíe la conversación hacia el problema 3. Considere la siguiente secuencia posible. ¿Qué observan? Veo una fábrica que hace zapatos. Veo 3 tipos de zapatos diferentes.

Esta es la primera vez que se usa un video contextual. Se muestra antes de un problema verbal con el que está relacionado, para generar familiaridad con el contexto y participación. Asimismo, permite que cada estudiante visualice y comente la situación antes de que se le pida interpretarla matemáticamente.

Veo muchas cajas de zapatos.

374

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 ¿Qué se preguntan? ¿Cuántos pares de cada tipo de zapatos hizo la fábrica? ¿Cuántos pares de zapatos hizo la fábrica en total? Hay muchas preguntas matemáticas que podemos hacer. Usemos lo que vimos en el video como ayuda para entender y resolver un problema verbal. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Lea el problema a coro con la clase. ¿En qué se diferencia este problema de los otros que hemos resuelto hoy? Hay 3 objetos diferentes: zapatos de hombre, de mujer e infantiles. Los otros problemas solo tenían 2 objetos diferentes. Hay 3 partes en lugar de solo 2. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 3. Una fábrica de zapatos hizo 218,050 pares de zapatos de hombre. La fábrica hizo 83,960 pares de zapatos de mujer más que de hombre. También hizo 74,308 pares de zapatos infantiles más que de hombre. ¿Cuántos pares de zapatos hizo la fábrica en total?

218,050 + 83,960 = 302,010 218,050 + 74,308 = 292,358 218,050 + 302,010 + 292,358 = 812,418 La fábrica hizo 812,418 pares de zapatos. Guíe a la clase para que relea el problema. Haga una pausa luego de cada dato y pídales que representen la nueva información en el diagrama de cinta. Repita este proceso hasta que todo el problema esté representado.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de manera abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa diagramas de cinta para representar la información sobre el número de pares de zapatos de hombre, de mujer e infantiles. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué representan los diagramas de cinta en el problema de los zapatos? • ¿Cómo muestran los diagramas de cinta la relación entre el número de pares de zapatos de mujer o infantiles y el número de pares de zapatos de hombre?

375

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17 ¿En qué se parece y en qué se diferencia este diagrama de cinta de los otros que hemos dibujado hoy?

218,050 De hombre

Hay tres cintas en vez de dos. La cinta para los zapatos de mujer y la cinta para los zapatos infantiles están divididas en dos partes. Una parte tiene la misma longitud que la cinta de los zapatos de hombre.

83,960 p

De mujer Infantiles 74,308

200,000 + 200,000 + 100,000 + 200,000 + 100,000 = 800,000 218,050 + (218,050 + 83,960) + (218,050 + 74,308) = p

Hay una longitud adicional en dos de las cintas.

2 1 8 , 05 0 + 8 3, 96 0

2 1 8 , 050 + 7 4 , 3 08

Todavía nos falta hallar el total de las cintas.

30 2, 01 0

2 9 2 , 3 58

Guíe a sus estudiantes para que hagan una estimación de la respuesta.

1 1 1

2 1 8 , 050 30 2 , 0 1 0 + 2 9 2 , 35 8 1 1

8 1 2 , 41 8

p = 8 1 2,4 1 8 La fábrica hizo 812,418 pares de zapatos.

Dé a las parejas 3 minutos para que escriban una o más ecuaciones con una letra para el número desconocido, resuelvan el problema y escriban un enunciado con la solución. Seleccione a alguien para que comparta su trabajo. Mientras lo comparte, use preguntas como las siguientes para ayudar a la clase a interpretar el trabajo: • ¿Cómo se representa cada parte del problema en el diagrama de cinta? • ¿Cómo muestra el diagrama de cinta los pasos de la estrategia para hallar la solución? • ¿Es razonable la respuesta? ¿Por qué? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el diagrama de cinta les ayudó a resolver un problema de varios pasos.

376

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Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de suma de varios pasos usando el algoritmo convencional Guíe una conversación que enfatice cómo los diagramas de cinta pueden representar problemas de suma de varios pasos. ¿De qué manera nos ayuda un diagrama de cinta a entender un problema de suma de varios pasos? Muestra lo que conocemos y lo que desconocemos. Muestra cómo se relacionan las partes del problema. Me ayuda a asegurarme de que toda la información del problema está representada en mi plan para hallar la solución. Muestra las partes que hay que sumar. Me permite ver si hay una manera de resolver el problema eficientemente. Los diagramas de cinta me ayudan a ver una estrategia para hallar la solución y cómo podría redondear cada parte para hallar una estimación. ¿Por qué es útil estimar el resultado antes de resolver un problema verbal? Puede haber muchas partes en un problema y la estimación puede ayudarnos a entenderlo. La estimación puede ayudarnos a ver si nos equivocamos en algo. Si nuestra respuesta y la estimación son muy diferentes, tenemos que volver atrás para hallar el error. El error puede estar en la estimación. Y a veces puede cometerse al hallar la respuesta al problema.

377

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

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2. Un museo tiene 273 sellos postales españoles. Tiene 829 sellos postales franceses más que españoles. Tiene 605 sellos postales italianos. a. ¿Aproximadamente cuántos sellos postales tiene el museo de los tres países en total?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Redondea cada número a la centena más cercana para hallar tu estimación.

1. Una pescadería vendió 1,618 atunes. Vendió 857 salmones más que atunes.

300 + (300 + 800) + 600 = 2,000

a. ¿Aproximadamente cuántos pescados vendió?

El museo tiene unos 2,000 sellos postales de los tres países.

Estima redondeando cada número a la centena más cercana antes de sumar.

1,600 + 900 = 2,500 1,600 + 2,500 = 4,100 La pescadería vendió unos 4,100 pescados.

b. ¿Exactamente cuántos sellos postales tiene el museo de los tres países en total?

273 + (273 + 829) + 605 = 1,980

b. ¿Exactamente cuántos pescados vendió la pescadería en total?

El museo tiene exactamente 1,980 sellos postales de los tres países.

1,618 + (1,618 + 857) = 4,093 La pescadería vendió exactamente 4,093 pescados.

c. ¿Es razonable tu respuesta? Compara tu estimación de la parte (a) con tu respuesta de la parte (b).

c. Determina si tu respuesta de la parte (b) es razonable. Usa tu estimación de la parte (a) para explicarla.

Explica tu razonamiento. Sí, mi respuesta es razonable. En la parte (a), estimé la respuesta redondeando cada número a la centena más cercana antes de sumar. Mi estimación fue 4,100 pescados. Al sumar las cantidades reales, mi respuesta fue 4,093 pescados. 4,093 está muy cerca de 4,100.

378

143

Sí, mi respuesta es razonable. En la parte (a), estimé la respuesta redondeando cada número a la centena más cercana antes de sumar. Mi estimación fue 2,000 sellos postales. Al sumar las cantidades reales, mi respuesta fue 1,980 sellos postales. 1,980 está muy cerca de 2,000.

144

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 17

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4. Casey tiene 3,746 tarjetas de beisbol. Jayla tiene 1,578 tarjetas de beisbol más que Casey.

3. Un parque nacional recibió 17,842 visitantes en diciembre de 2019. Recibió 9,002 visitantes más en diciembre de 2018 que en diciembre de 2019.

Zara tiene 1,096 tarjetas de beisbol más que Casey. ¿Cuántas tarjetas de beisbol tienen en total?

¿Cuántas personas visitaron el parque en diciembre de 2018 y 2019 en total? ¿Es razonable tu respuesta? Explica.

¿Es razonable tu respuesta? Explica.

4,000 + 2,000 = 6,000

20,000 + 10,000 = 30,000

4,000 + 1,000 = 5,000

20,000 + 30,000 = 50,000

4,000 + 6,000 + 5,000 = 15,000

17,842 + 9,002 = 26,844

3,746 + 1,578 = 5,324

17,842 + 26,844 = 44,686

3,746 + 1,096 = 4,842 3,746 + 5,324 + 4,842 = 13,912

En total, el parque recibió 44,686 visitantes en diciembre de 2018 y 2019. Sí, mi respuesta es razonable. Estimé la respuesta redondeando cada número a la decena de millar más cercana antes de sumar. Mi estimación fue 50,000 personas. Al sumar las cantidades reales, mi respuesta fue 44,686 personas. 44,686 está cerca de 50,000.

GRUPO DE PROBLEMAS

Tienen en total 13,912 tarjetas de beisbol. Sí, mi respuesta es razonable. Estimé la respuesta redondeando cada número al millar más cercano antes de sumar. Mi estimación fue 15,000 tarjetas de beisbol. Al sumar las cantidades reales, mi respuesta fue 13,912 tarjetas de beisbol. 13,912 está cerca de 15,000.

145

146

GRUPO DE PROBLEMAS

379

LECCIÓN 18

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes una vez

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Fecha

Resta usando el algoritmo convencional. 1

4, 2

−

–

Preguntas clave • ¿Cómo se aplica el valor posicional en el algoritmo convencional para la resta? • ¿Por qué son útiles la estimación y la suma cuando se restan números de varios dígitos?

La clase usa la comprensión del valor posicional para restar números con valores hasta las centenas de millar. Usan la forma vertical para registrar los pasos del algoritmo convencional. Para comprobar su trabajo, usan tanto la estimación como la suma.

Vistazo a la lección

Criterio de logro académico 4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

3. 73,658 − 8,052 6 13

7 3,6 5 8 – 8,0 5 2 6 5,6 0 6

153

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de valor posicional

• Prepare al menos 3 discos de un millar, 4 discos de una centena, 12 discos de una decena y 5 discos de una unidad para cada estudiante y usted.

Aprender 35 min

• Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar (en la edición para la enseñanza)

• Restar usando discos de valor posicional y el algoritmo convencional

Estudiantes

• Sumar para comprobar la resta

• set de discos de valor posicional

• Resolver un problema verbal de resta

• Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.

Concluir 10 min

381

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Fluidez

Conteo bip de decena de millar en decena de millar La clase completa un patrón para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el tema C de hallar 1 decena de millar más y menos que un número dado. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención a medida que cuento hacia delante y hacia atrás de decena de millar en decena de millar. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 47,000, 57,000, bip.

47,000, 57,000, bip Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

47,000

57,000

67,000

67,000 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

73,146 83,146 93,146

3,875 13,875 23,875

623 10,623 20,623

64,213 54,213 44,213

21,926 11,926 1,926

20,417 10,417 417

382

89,000 79,000 69,000

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar diferencias La clase hace una estimación de una diferencia hasta 1,000 para adquirir fluidez con el uso de las estimaciones y evaluar si una respuesta es razonable. Muestre 619 − 188 = d. ¿Cómo podrían redondear los dos números como ayuda para estimar la diferencia? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas. Podría redondear 619 a 600 y 188 a 200. Podría redondear 619 a 620 y 188 a 200.

619 ‒ 188 = d

Escriban una ecuación que muestre una diferencia estimada y cómo redondearon ambos números.

620 ‒ 200 = 420

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

862 − 575 = k

512 − 185 = h

854 − 477 = j

309 − 59 = a

768 − 43 = g

383

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Intercambio con la pizarra blanca: Restar en forma unitaria y en forma estándar La clase resta unidades, decenas o centenas en forma unitaria y en forma estándar como preparación para restar números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Muestre 6 unidades − 4 unidades =

Cuando dé la señal, digan la diferencia en forma unitaria. ¿Comenzamos?

2 unidades

6 unidades ‒ 4 unidades = 2 unidades 6‒4=2

Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16 unidades ‒ 9 unidades = 16 ‒ 9 = 7

384

4 decenas ‒ 2 decenas = 40 ‒ 20 = 20

5 centenas ‒ 3 centenas =

15 centenas ‒ 7 centenas =

500 ‒ 300 = 200

1,500 ‒ 700 = 800

14 decenas ‒ 8 decenas = 140 ‒ 80 = 60

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Presentar

La clase identifica las estrategias que deben usar para restar y determinan si se pueden aplicar estrategias similares al restar con números más grandes. Muestre la imagen de las expresiones de resta y use la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé a la clase 1 minuto para pensar en silencio y determinar cómo hallarían la diferencia en cada problema. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

A. 475 − 253 B. 900 − 490 C. 744 − 378 D. 840 − 599

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija ideas que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.

Nota para la enseñanza La intención es que la clase examine los números de cada expresión de resta para determinar qué estrategia podrían utilizar para restar. No se espera que hallen las diferencias. En 2.o y 3.er grado, la clase utiliza las siguientes estrategias de simplificación para la resta: • Restar unidades semejantes • Restar de una decena • Restar de una centena • Compensación

Para el problema A, yo restaría unidades semejantes. Yo restaría 90 de 100 y, luego, restaría 400 de 800 para el problema B. Yo contaría hacia arriba para el problema B. Yo usaría la forma vertical para expresar con otro nombre las decenas y unidades para el problema C. Yo sumaría 1 a cada número y, luego, restaría para el problema D. Yo restaría 600 en el problema D en lugar de 599 y, luego, sumaría 1 a la diferencia.

385

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 Muestre la imagen de las expresiones de resta originales, junto a expresiones similares con números más grandes. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si podrían utilizar estrategias similares para restar con los números más grandes. Señale los problemas W a Z. ¿Hay algún problema en el que usarían la forma vertical para restar? ¿Por qué? Sí, en el problema W porque hay demasiadas unidades semejantes para llevar la cuenta. Sí, en el problema Y porque no se me ocurre una estrategia que me ayude a restar mentalmente.

A. 475 − 253

W. 8,475 − 6,253

B. 900 − 490

X. 900,000 − 490,000

C. 744 − 378

Y. 60,744 − 23,378

D. 840 − 599

Z. 84,000 − 59,900

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos una tabla de valor posicional y la forma vertical para restar.

Aprender

Restar usando discos de valor posicional y el algoritmo convencional Materiales: M/E) Discos

La clase usa discos de valor posicional y el algoritmo convencional para restar. Invite a la clase a trabajar en parejas. El o la estudiante A debe dibujar en su escritorio una tabla de seis columnas con un marcador de borrado en seco. El o la estudiante B debe preparar una pizarra blanca para registrar el trabajo. Dibuje su propia tabla en un lugar que la clase pueda ver. Escriba 3,425 − 1,263 de manera horizontal. Vamos a usar los discos de valor posicional y la forma vertical para restar. Antes de empezar, hagamos una estimación de la diferencia.

386

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 Guíe a la clase para que determine una estimación razonable de la diferencia redondeando el total y la parte al millar más cercano.

3,000 - 1,000 = 2,000

Nota para la enseñanza

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen discos de valor posicional para representar 3,425 y escribir 3,425 − 1,263 en forma vertical en sus pizarras blancas. Guíe a la clase para restar con la siguiente secuencia. Vamos a preparar el problema para restar observando los números en cada valor posicional. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? Sí. 5 unidades es más que 3 unidades.

3,4 2 5 _ 1 ,2 6 3

¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las decenas? No. 2 decenas es menor que 6 decenas.

Es posible que haya estudiantes que intenten colocar discos tanto para el minuendo (el total) como para el sustraendo (el número que se resta) en sus tablas. Se están basando en el modelo de valor posicional que utilizaban para la suma. En la resta, es esencial que solo se coloque el minuendo en la tabla. Para evitar la idea errónea de que hay que representar tanto el minuendo como el sustraendo, haga un vínculo numérico y coloque el minuendo en el total y el sustraendo en la parte. Aclare que 1,263 es parte de 3,425 y que estamos hallando la parte desconocida al sacar 1,263 de 3,425. Si necesita brindar apoyo adicional, use 34 − 12 o 3 − 1 para representar el concepto.

¿Qué podemos cambiar por más decenas?

Podemos cambiar 1 centena por 10 decenas. Tomen 1 disco de una centena y cámbienlo por 10 discos de una decena. Coloquen las decenas en filas de grupos de 5.

3 1

Cambie 1 centena por 10 decenas. Tenemos que representar esto en forma vertical. ¿Cuántas centenas tenemos ahora? ¿Cuántas decenas? Muestre cómo se expresa con otro nombre en forma vertical.

3 12

3,4 2 5 _ 1,2 6 3

387

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué expresar 4 centenas y 2 decenas como 3 centenas y 12 decenas no modifica el total. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las decenas? Sí. 12 decenas es más que 6 decenas. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las centenas? Sí. 3 centenas es más que 2 centenas. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los millares? Sí. 3 millares es más que 1 millar. Ahora tenemos todo listo para restar. ¿Cuántas unidades restamos? Retiren 3 discos de una unidad. ¿Cuántas unidades quedan? Mostrémoslo en forma vertical. ¿Cuánto es 5 unidades − 3 unidades? Escriban 2 unidades. ¿Cuántas decenas restamos?

3 12

3,4 2 5 _ 1, 2 6 3 2, 1 6 2

Retiren 6 discos de una decena. ¿Cuántas decenas quedan? Mostrémoslo en forma vertical. ¿Cuánto es 12 decenas − 6 decenas? Escriban 6 decenas. Utilice una secuencia similar de preguntas y planteamientos para el resto de los valores posicionales.

Nota para la enseñanza

Lean la ecuación completa.

3,425 − 1,263 = 2,162 Compare la diferencia real con la estimación para evaluar si es razonable. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre restar en la tabla de valor posicional y registrar la resta usando la forma vertical.

388

Si la clase necesita práctica adicional para restar con los discos de valor posicional antes de pasar a dibujar representaciones de los discos en el siguiente segmento, considere repetir la secuencia con 32,524 − 19,012.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Sumar para comprobar la resta

Diferenciación: Apoyo

Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar

La clase dibuja para representar los discos de valor posicional en la tabla de valor posicional, registra la resta con la forma vertical y usa la suma para comprobar las respuestas. Pida a sus estudiantes que retiren de sus libros la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar y la inserten en sus pizarras blancas.

Considere proporcionar discos de valor posicional para que sus estudiantes continúen representando la resta. El uso de los discos de valor posicional puede ayudarles a establecer la conexión entre el modelo concreto y la representación abstracta de la forma vertical.

Presente 304,637 − 182,423 en forma horizontal. Invite a la clase a escribir el problema en forma vertical y a estimar la diferencia. Vamos a dibujar puntos en una tabla de valor posicional para representar discos de valor posicional. ¿Qué número tenemos que representar en la tabla de valor posicional?

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Nota para la enseñanza Decenas

Unidades

La actividad digital interactiva de Restar en la tabla de valor posicional permite a la clase representar la resta en la tabla de valor posicional junto a la forma vertical.

Invite a la clase a dibujar puntos para 300,000 - 200,000 = 100,000 representar 304,637 en sus tablas de valor posicional. Considere utilizar la siguiente 304, 6 3 7 secuencia para guiar a sus estudiantes - 1 8 2, 4 2 3 mientras reagrupan y expresan con otro nombre todas las unidades de valor posicional necesarias antes de restar. Pídales que completen el trabajo en sus tablas de valor posicional mientras usted hace la demostración. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? ¿En la posición de las decenas? ¿En la posición de las centenas? ¿En la posición de los millares? ¿En la posición de las decenas de millar? ¿Podemos expresar con otro nombre alguna unidad para tener más decenas de millar?

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Considere permitir que sus estudiantes experimenten con la herramienta de forma individual o demuestre su uso para representar la resta en la tabla de valor posicional en vez de dibujar los discos.

Unidades

300,000 - 200,000 = 100,000

Demuestre la reagrupación de 1 centena de millar en 10 decenas de millar en la tabla de valor posicional tachando 1 centena de millar, dibujando una flecha desde esa columna hacia la columna de las decenas de millar y dibujando allí 10 decenas de millar.

389

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 2 10

¿Cuántas centenas de millar tenemos ahora? ¿Cuántas decenas de millar?

304, 6 3 7 - 1 8 2, 4 2 3

Demuestre cómo escribir el proceso de expresar con otro nombre en forma vertical. Ahora tenemos todo listo para restar. Demuestre la resta de 3 unidades tachándolas en la tabla de valor posicional. Confirme que 7 unidades − 3 unidades = 4 unidades en forma vertical coincide con las unidades restantes en la tabla de valor posicional.

Centenas de millar

Decenas de millar

Continúe el proceso para restar 2 decenas, 2 10 4 centenas, 2 millares, 8 decenas de millar y 304, 6 3 7 1 centena de millar. Utilice la forma unitaria - 1 8 2, 4 2 3 para apoyar la comprensión de la clase 1 2 2, 2 1 4 del algoritmo convencional y su relación con el valor posicional. Luego, compare la diferencia real con la estimación para evaluar si es razonable. Muestre la imagen del ejemplo de trabajo para 304,637 − 182,423. Gabe cometió un error al restar. Trabajen en parejas para identificar el error de Gabe. Dé a las parejas 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas. Gabe expresó con otro nombre las unidades de valor posicional de forma incorrecta.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

300,000 - 200,000 = 100,000

Método de Gabe

DUA: Representación Considere pedir a la clase que escriba el número de unidades que quedan en cada posición después de restar. Esto les ayuda a establecer la conexión entre el trabajo en la tabla de valor posicional y la resta en forma vertical. Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

304,637 – 182,423 = 112,214 300,000 – 200,000 = 100,000 2 9

304,637 - 182,423 1 1 2,2 14

Gabe expresó 3 centenas de millar y 0 decenas de millar como 2 centenas de millar y 9 decenas de millar, y esto es incorrecto.

Gabe debería haber expresado 3 centenas de millar y 0 decenas de millar como 2 centenas de millar y 10 decenas de millar. ¿Le sirvió a Gabe su estimación para ver que su respuesta es incorrecta? ¿Por qué? No. No le sirvió porque su estimación es 100,000 y su respuesta real es 112,214, que está cerca de 100,000.

390

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 ¿Qué otra estrategia puede usar Gabe para comprobar su trabajo? Puede sumar 112,214 y 182,423. Si suma bien, se dará cuenta de que su respuesta es incorrecta porque el total no será 304,637. Después de determinar que nuestra respuesta es razonable, podemos usar la suma para comprobar nuestro trabajo. Muestre el siguiente ejemplo de trabajo para 304,637 − 182,423. Casey cometió un error al restar. Trabajen en parejas para identificar el error de Casey. Dé a las parejas 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas. Casey restó mal. 2 centenas de millar menos 1 centena de millar es 1 centena de millar.

Método de Casey

304,637 – 182,423 = 222,214 300,000 – 200,000 = 100,000 2 10

304,637 - 182,423 2 2 2,2 1 4

¿Le sirve a Casey su estimación para ver que su respuesta es incorrecta? ¿Por qué? Sí, porque su respuesta real es 222,214, que no está muy cerca de su estimación de 100,000.

Diferenciación: Desafío

¿Tiene todo listo Casey para comprobar su trabajo con la suma? ¿Por qué? No, porque su estimación y la respuesta real no están muy cerca. Pida a sus estudiantes que observen sus respuestas reales y las estimaciones para 304,637 − 182,423. ¿Tenemos todo listo para comprobar nuestro trabajo con la suma? ¿Cómo lo saben? Sí, porque nuestra respuesta real se acerca a nuestra estimación. Pida a sus estudiantes que hallen la suma de 182,423 y 122,214 para comprobar sus respuestas de 304,637 − 182,423.

182,423 + 11 2 2 , 2 14 304,637

Considere pedir a sus estudiantes que estimen la diferencia redondeando a diferentes valores posicionales. Pídales que determinen qué estimación se acerca más a la diferencia real. Pregúnteles por qué, cuando restan números en la posición de las centenas de millar, no suele ser eficiente redondear a valores posicionales más pequeños, como decenas, centenas y millares.

391

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 Invite a las parejas de estudiantes a utilizar el algoritmo convencional para hallar 732,489 − 508,231.

700,000 – 500,000 = 200,000 2 12

Pida a las parejas que: • redondeen para estimar la diferencia; • registren el algoritmo convencional en forma vertical;

7 3 2,4 89 - 5 08,2 3 1 2 2 4,2 5 8

5 0 8, 2 3 1

+ 2 21 4, 2 58

7 3 2, 489

• usen la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables y • sumen para comprobar su trabajo.

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar papel cuadriculado para que la clase registre la resta con la forma vertical. Los cuadrados de la cuadrícula les ayudarán a alinear los dígitos según el valor posicional.

2 12

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo se pueden usar la estimación y la suma para comprobar la resta.

7 3 2,48 9 – 5 0 8,2 3 1 2 2 4,2 5 8

Resolver un problema verbal de resta La clase dibuja para representar y usa el algoritmo convencional para resolver un problema verbal de resta. Presente el problema:

74,026 personas van a la feria estatal. Hay 53,814 personas adultas y el resto son niñas y niños. ¿Cuántos niños y niñas hay en la feria?

74,026

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático: • ¿Pueden dibujar algo que represente este problema? ¿Qué pueden dibujar? • ¿Qué más pueden dibujar?

392

53,814

74,026 - 53,814 = n

70,000 – 50,000 = 20,000 3 10

74,026 – 53,814 20,212

53,814 20,,21 2 + 20 1 74,026

n = 20,212

Hay 20,2 1 2 niños y niñas en la feria.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da importancia a la precisión (MP6) cuando halla 74,026 − 53,814 usando el algoritmo convencional. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Con qué hay que tener mucho cuidado cuando expresan unidades de valor posicional más grandes como unidades más pequeñas mientras usan el algoritmo convencional para hallar 74,026 − 53,814? ¿Por qué? • ¿Dónde podrían cometer un error al usar el algoritmo convencional para hallar 74,026 − 53,814?

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 • ¿Qué parte del diagrama de cinta representa el número desconocido? ¿Qué letra pueden usar para representar el número desconocido? • ¿Qué operación usarán para hallar la solución? ¿Por qué?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• ¿Cuál es una estimación razonable de la diferencia? • ¿Tienen todo listo para restar? ¿Necesitan expresar una unidad con otro nombre? ¿Dónde? • ¿Qué representa el número 74,026 en el problema? ¿Y el número 53,814? ¿Y 20,212? • ¿Qué enunciado con la solución pueden escribir? • Según sus estimaciones, ¿es razonable la diferencia real que hallaron?

Operación es un término conocido de 3.er grado. Considere ayudar a la clase en el uso del término enumerando las operaciones (es decir, suma, resta, multiplicación y división) cuando pregunte qué operación utilizarán para hallar la solución.

• ¿Cómo pueden comprobar su solución con la suma? Escoja estudiantes para que compartan su trabajo.

393

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Concluir

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes una vez Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso del algoritmo convencional para restar. ¿Cómo se aplica el valor posicional en el algoritmo convencional para la resta? Cuando restamos, pensamos en unidades de valor posicional. Restamos unidades semejantes: unidades de unidades, decenas de decenas y así sucesivamente. Seguimos usando ese proceso para todos los valores posicionales. Cuando no tenemos suficiente para restar, expresamos una unidad de valor posicional más grande como 10 de una más pequeña. ¿Por qué son útiles la estimación y la suma cuando se restan números? La estimación y la suma me ayudan a comprobar mi trabajo. Puedo estimar la diferencia y, luego, utilizar la estimación para ver si mi respuesta real es razonable. Si mi respuesta y la estimación se acercan, entonces puedo sumar las partes para asegurarme de que dan como resultado el total. Si mi estimación y la respuesta no se acercan, entonces compruebo si me equivoqué antes de utilizar la suma para comprobar mi respuesta. Puedo sumar mi respuesta a la parte que resté para ver si obtengo el total. Si no obtengo el total, sé que en alguna parte me equivoqué.

394

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 10. La suma de dos números es 25,286. Un número es 4,983. ¿Cuál es el otro número?

25,286 − 4,983 = 20,303

Resta usando el algoritmo convencional. 2.

–

El otro número es 20,303.

11. El monte Everest es la montaña más alta del mundo. Su altura es 29,029 pies. El monte Denali es la montaña más alta de los Estados Unidos. Su altura es 20,310 pies. ¿Cuántos pies más alto que el monte Denali es el monte Everest? 4.

5, – 5,

7. 34,750 − 25,740 2 14

3 4,7 5 0 – 2 5,7 4 0 9,0 1 0

–

8. 541,837 − 204,717 3 11

5 4 1,8 3 7 – 2 0 4,7 1 7 3 3 7,1 2 0

0 –

29,029 − 20,310 = 8,719 2

El monte Everest es 8,719 pies más alto que el monte Denali.

12. Hay 105,894 personas en un partido de futbol americano. 31,792 son niños y niñas, y el resto son personas adultas. ¿Cuántas personas adultas hay en el partido?

9. 319,926 − 222,506

105,894 − 31,792 = 74,102

2 11

3 1 9,9 2 6 – 2 2 2,5 0 6 9 7,4 2 0

Hay 74,102 personas adultas en el partido de futbol americano.

151

152

GRUPO DE PROBLEMAS

395

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 18 ▸ Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar

Centenas de millar

396

Decenas de millar

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Millares

Centenas

Decenas

Unidades

LECCIÓN 19

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes hasta 3 veces

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

Resta usando el algoritmo convencional.

– 1

12 2

14 4

2. 32,480 − 2,546

11 2 1 14 7 10

3 2,4 8 0 – 2,5 4 6 2 9,9 3 4

La clase hace un dibujo para representar discos de valor posicional en una tabla de valor posicional. Utilizan sus dibujos de valor posicional a fin de reagrupar hasta 3 veces para restar. Relacionan el trabajo de expresar unidades de valor posicional con otro nombre y restar utilizando el algoritmo convencional en la tabla de valor posicional con el trabajo de expresar unidades de valor posicional con otro nombre y restar utilizando el algoritmo convencional en forma vertical.

Preguntas clave • ¿Por qué podemos usar lo que sabemos acerca de restar con números más pequeños como ayuda para restar con números más grandes?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 3. Una tienda vendió 1,232 donas en un día. Del total, 876 donas se vendieron durante la mañana. ¿Cuántas donas se vendieron durante el resto del día?

876

Vistazo a la lección

• ¿Por qué es útil registrar la resta en forma vertical?

Criterio de logro académico

4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

1,232 Estimación: 1,200 − 900 = 300

d = 1,232 − 876 d = 356 11 12 0 1 2 12

1,2 3 2 – 876 356

La tienda vendió 356 donas durante el resto del día.

165

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestra o maestro

Presentar 5 min

• Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar (en la edición para la enseñanza)

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Restar usando dibujos de valor posicional y el algoritmo convencional • Restar usando el algoritmo convencional • Resolver un problema verbal de resta

Estudiantes • Práctica veloz: Sumar en forma estándar (en el libro para estudiantes) • Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

399

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Fluidez

Práctica veloz: Sumar en forma estándar 2 New York Next Gen EUREKA MATH Materiales: E) Práctica veloz: Sumar en forma estándar

4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar en forma estándar

La clase suma números hasta 1,000,000 en forma estándar para desarrollar fluidez con la suma de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe la suma. 1.

300 + 500

800

30,000 + 20,000

50,000

400

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? • Dibujen un recuadro alrededor de los problemas 3, 7, 11, 15 y 20. ¿Cómo se comparan estos problemas?

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

Nota para la enseñanza Cuente salteado hacia delante usando decenas de millar desde el 50,000 hasta el 150,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente salteado hacia atrás usando millares desde el 15,000 hasta el 5,000 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Presentar

La clase determina cómo el proceso utilizado para restar números de tres dígitos puede aplicarse a la resta con números más grandes. Escriba 612 − 437 de forma horizontal. Invite a la clase a trabajar en parejas y restar usando la forma vertical. Escoja estudiantes para que compartan su trabajo. ¿Qué unidades de valor posicional expresaron con otro nombre para prepararse para restar? Expresamos 1 decena como 10 unidades y 1 centena como 10 decenas.

10 5 0 12

61 2 –437

175

401

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 Muestre la imagen de la secuencia de problemas de resta. ¿Cómo ven nuestro problema original, 612 − 437, en cada nuevo problema?

6,1 2 8 – 4,3 7 5

6 1,2 8 9 – 4 3,7 5 6

6 1 2,8 9 4 – 4 3 7,5 6 0

En cada problema están los mismos dígitos, pero representan diferentes unidades de valor posicional. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué unidades de valor posicional deben expresar con otro nombre en los problemas A a C para poder comenzar con la resta. En el problema A, hay que expresar 1 centena como 10 decenas y 1 millar como 10 centenas. En el problema B, hay que expresar 1 millar como 10 centenas y 1 decena de millar como 10 millares. En el problema C, hay que expresar 1 decena de millar como 10 millares y 1 centena de millar como 10 decenas de millar. Dibuje un recuadro alrededor del 612 expresado como 5 centenas, 10 decenas y 12 unidades del problema original. Observen cómo registramos la expresión con otro nombre en 612 − 437. ¿Cómo quedaría registrada la expresión con otro nombre en los problemas A a C?

10 5 0 12

61 2 –437 175

Se vería parecida porque se está expresando 1 de una unidad de valor posicional más grande como 10 de una unidad más pequeña.

Se vería parecida porque son los mismos dígitos, pero representarían unidades de valor posicional diferentes. Muestre la imagen de los problemas A, B y C con la expresión con otro nombre encerrada en un recuadro. Podemos usar lo que 10 10 A. 5 0 12 B. 5 0 12 sabemos sobre cómo 6,1 2 8 6 1,2 8 9 expresar las unidades – – 4,3 7 5 4 3,7 5 6 de valor posicional con números más pequeños más de una vez como ayuda para hacer lo mismo con números más grandes.

10 5 0 12

6 1 2,8 9 4 – 4 3 7,5 6 0

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a expresar con otro nombre más de una vez para restar y usaremos la forma vertical para registrar nuestro razonamiento.

402

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Aprender

Restar usando dibujos de valor posicional y el algoritmo convencional Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar

Nota para la enseñanza

La clase dibuja para representar discos en la tabla de valor posicional y registra la resta con la forma vertical. Escriba 8,267 − 5,481 de manera horizontal. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar de sus libros y la inserten en sus pizarras blancas.

Centenas de millar

Invite a la clase a escribir el problema en forma vertical y a estimar la diferencia. Vamos a dibujar puntos en una tabla de valor posicional para representar discos de valor posicional. ¿Qué número tenemos que representar en la tabla de valor posicional?

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

8,000 - 5,000 = 3,000 8,2 67 - 5,4 8 1

Invite a la clase a dibujar puntos para representar 8,267 en sus tablas de valor posicional. Considere utilizar la siguiente secuencia para guiar a sus estudiantes mientras reagrupan y expresan con otro nombre todas las unidades de valor posicional necesarias antes de restar. Pídales que completen el trabajo en sus tablas de valor posicional mientras usted hace la demostración. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las decenas? ¿Cómo podemos expresar con otro nombre para tener más decenas?

La actividad digital interactiva de Restar en la tabla de valor posicional permite a la clase representar la resta en dicha tabla junto a la forma vertical. Considere permitir que sus estudiantes experimenten con la herramienta de forma individual o demuestre su uso para representar la resta en la tabla de valor posicional en vez de dibujar los discos.

DUA: Acción y expresión Considere imprimir la tabla de valor posicional en papel cuadriculado. Los cuadrados pueden servir de apoyo a sus estudiantes cuando dibujan puntos para representar discos de valor posicional. Centenas de millar

Decenas de millar

11 7 1 16

8,2 6 7 - 5,4 8 1 2 ,7 8 6

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

8,000 - 5,000 = 3,000 5,4 8 1 + 2, 7 8 6 1 1 8,2 6 7

403

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 Demuestre la reagrupación de 1 centena en 10 decenas en la tabla de valor posicional tachando 1 centena, trazando una flecha desde esa columna hacia la de las decenas y dibujando allí 10 decenas.

Centenas de millar

¿Cuántas centenas tenemos ahora? ¿Y decenas? Demuestre cómo escribir el proceso de expresar con otro nombre en forma vertical.

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

8,000 - 5,000 = 3,000 1 16

8 ,2 6 7 - 5,4 8 1

¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las centenas? ¿Cómo podemos expresar con otro nombre para tener más centenas? Demuestre la reagrupación de 1 millar en 10 centenas en la tabla de valor posicional tachando 1 millar, trazando una flecha desde esa columna hacia la de las centenas y dibujando allí 10 centenas.

Centenas de millar

¿Cuántos millares tenemos ahora? ¿Y centenas? Demuestre cómo escribir el proceso de expresar con otro nombre en forma vertical.

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

8,000 - 5,000 = 3,000 11 7 1 16

8 ,2 6 7 - 5,4 8 1

¿Tenemos todo listo para restar en la posición de los millares? Ahora tenemos todo listo para restar.

404

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 Demuestre la resta de 1 unidad tachándola en la tabla de valor posicional. Confirme que

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

7 unidades − 1 unidad = 6 unidades en forma vertical coincide con las unidades restantes en la tabla de valor posicional. Continúe el proceso para restar 8 decenas, 4 centenas y 5 millares. Utilice la forma unitaria para apoyar la comprensión de la clase del algoritmo convencional y su relación con el valor posicional. Luego, compare la diferencia con la estimación para evaluar si es razonable. Pida a sus estudiantes que comprueben su trabajo mediante la suma.

8,000 - 5,000 = 3,000 11 7 1 16

5,4 8 1 + 2,7 8 6 1 1 8 ,2 6 7

8 ,2 6 7 - 5,4 8 1 2, 7 8 6

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Use una secuencia similar para hallar 62,409 − 7,362. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional y la forma vertical muestran que han expresado unidades con otro nombre más de una vez.

60,000 - 10,000 = 50,000 5 12 3 10

6 2 ,4 0 9 - 7,3 62 55 ,047

55 ,047 7 , 3 62 1 1 62 , 4 09

405

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Restar usando el algoritmo convencional La clase utiliza la forma vertical para representar que se expresan las unidades de valor posicional con otro nombre 3 veces al restar con el algoritmo convencional. Escriba 803,415 − 461,973 de manera horizontal.

800,000 - 500,000 = 300,000

Invite a la clase a escribir el problema en forma vertical y a estimar la diferencia. Considere utilizar la siguiente secuencia para guiar a sus estudiantes mientras expresan con otro nombre todas las unidades de valor posicional necesarias antes de restar. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las decenas? ¿Cómo podemos expresar con otro nombre para tener más decenas?

13 2 3 11

803,415

Demuestre la expresión de 4 centenas y 1 decena como 3 centenas y 11 decenas.

- 461,973

¿Cuántas centenas tenemos ahora? ¿Y decenas?

¿Cómo podemos expresar con otro nombre para tener más centenas?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• ¿Tengo todo listo para restar en la posición de ?

Demuestre la expresión de 3 millares y 3 centenas como 2 millares y 13 centenas. Repita el proceso para las unidades de valor posicional restantes.

• ¿En qué posición puedo expresar con otro nombre para obtener más ?

Ahora tenemos todo listo para restar. 7 10 2

Dé a sus estudiantes la tabla de valor posicional para que puedan dibujar puntos para representar la resta. El objetivo es que adquieran fluidez en el uso del algoritmo convencional, pero primero deben desarrollar una comprensión conceptual de la reagrupación de unidades de valor posicional para restar. Cuando dibujen puntos en la tabla de valor posicional para restar, ayude a sus estudiantes a relacionar la representación pictórica y la forma vertical.

Muestre las siguientes preguntas para guiar a la clase mientras utilizan la forma vertical para registrar el algoritmo convencional:

¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las centenas?

Pida a sus estudiantes que completen el problema de resta, que usen sus estimaciones para evaluar si sus respuestas son razonables y que sumen para comprobar su trabajo. Escoja estudiantes para que compartan su trabajo.

Diferenciación: Apoyo

13 3 11

8 0 3, 4 1 5 - 4 6 1 ,9 7 3 3 4 1 ,4 4 2

• ¿Cuántos/as

4 6 1,9 973 + 3 4 1 ,4 4 42 1 1 1 8 0 3,4 1 5

tengo ahora?

Pídales que repitan estas preguntas para cada unidad de valor posicional mientras se preparan para restar con la forma vertical.

Si hay tiempo suficiente, utilice una secuencia similar para hallar 265,034 − 37,819 y 643,205 − 210,867.

Nota para la enseñanza

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de todas las veces que se expresan unidades con otro nombre antes de restar.

La clase conoce el proceso de expresar con otro nombre pasando por un cero de 3.er grado. Expresan con otro nombre pasando por varios ceros a partir de la lección 20.

406

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Resolver un problema verbal de resta La clase dibuja un diagrama de cinta y utiliza el algoritmo convencional para resolver un problema verbal de resta. Presente el problema: Adam registra 140,326 pasos en dos semanas. La primera semana, registra 71,083 pasos. ¿Cuántos pasos registra la segunda semana? Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y resuelvan el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático: • ¿Pueden dibujar algo que represente este problema? ¿Qué pueden dibujar? • ¿Qué más pueden dibujar? • ¿Qué parte del diagrama de cinta representa el número desconocido? ¿Qué letra pueden usar para representar el número desconocido?

140,326

71,083

140,326 - 71,083 = s

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante entiende los problemas y persevera para resolverlos (MP1) cuando resuelve problemas verbales de resta, estima para evaluar si sus respuestas son razonables y usa la suma para comprobar su trabajo. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pueden hacer para empezar a averiguar cuántos pasos registró Adam en la segunda semana? • ¿Tiene sentido su respuesta? ¿Por qué?

140,000 - 70,000 = 70,000 13 0 3 10 2 12

71,083 +1 61 9 , 2 4 3 1 1 4 0, 3 2 6

s = 6 9, 2 4 3

• ¿Qué operación usarán para hallar la solución? ¿Por qué?

140,326 - 7 1 , 0 83 69, 243

• ¿Cuál es una estimación razonable de la diferencia?

Adam registra 69,243 pasos la segunda semana.

• ¿Tienen todo listo para restar? ¿Necesitan expresar una unidad con otro nombre? ¿Dónde? • ¿Qué representa el número 140,326 en el problema? ¿Y el número 71,083? ¿Y 69,243? • ¿Qué enunciado con la solución pueden escribir? • Según sus estimaciones, ¿es razonable la diferencia real que hallaron? • ¿Cómo pueden comprobar su solución con la suma? Escoja estudiantes para que compartan su trabajo.

407

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes hasta 3 veces Utilice las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre el uso del valor posicional y el algoritmo convencional para expresar unidades de valor posicional con otro nombre más de una vez al restar. Muestre un problema de la lección de hoy y la forma vertical de un problema de la lección anterior. Observen los dos problemas. ¿En qué se parece el proceso de resta? ¿En qué se diferencia? En los dos problemas, podemos expresar con otro nombre las unidades de valor posicional cuando no son suficientes para restar.

3 12

3,4 2 5

- 1 ,2 6 3 2 ,1 6 2

13 7 10 2 3 11

8 0 3,4 1 5

-4 6 1 ,9 7 3 3 4 1 ,4 42

Cuando expresamos con otro nombre, expresamos 1 de una unidad más grande como 10 de una unidad más pequeña. Tenemos que hacer esto una vez en un problema y tres veces en el otro. ¿Por qué podemos usar lo que sabemos acerca de restar con números más pequeños como ayuda para restar con números más grandes? El proceso es el mismo; lo que cambia son las unidades de valor posicional. Expresamos con otro nombre las unidades de valor posicional de la misma manera. Una unidad de valor posicional más grande es la misma cantidad que 10 de una unidad más pequeña.

408

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 ¿Por qué es útil registrar la resta en forma vertical? Me ayuda a llevar la cuenta de las unidades de valor posicional que expreso con otro nombre. Puedo ver qué unidades de valor posicional necesitan expresarse con otro nombre y, luego, puedo ver cuántas tengo de cada unidad. Me ayuda a ver si tengo todo listo para restar. Puedo imaginarme cómo sería el problema en la tabla de valor posicional. Registrar en forma vertical es un proceso parecido. Usar dígitos es más eficiente que dibujar puntos.

409

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar en forma estándar

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe la suma.

Escribe la suma. 300

1+1

23.

1,000 + 4,000

5,000

2+3

24.

1,000 + 3,000

4,000

10,000 + 60,000

70,000

3+6

25.

10,000 + 50,000

60,000

100,000 + 800,000

900,000

4+6

26.

100,000 + 700,000

800,000

700 + 200

900

10 + 20

27.

600 + 200

800

5,000 + 2,000

7,000

20 + 40

28.

4,000 + 2,000

6,000

30,000 + 20,000

50,000

30 + 60

29.

20,000 + 20,000

40,000

600,000 + 200,000

800,000

40 + 60

100

30.

500,000 + 200,000

700,000

300 + 700

1,000

100 + 100

200

31.

700 + 300

1,000

7,000 + 3,000

10,000

10.

200 + 300

500

32.

3,000 + 7,000

10,000

30,000 + 70,000

100,000

11.

300 + 600

900

33.

70,000 + 30,000

100,000

700,000 + 300,000

1,000,000

12.

400 + 600

1,000

34.

300,000 + 700,000

1,000,000

10 + 20

13.

1,000 + 2,000

3,000

35.

10 + 10

36.

10 + 30

14.

2,000 + 4,000

6,000

36.

10 + 20

9,000

37.

90 + 10

100

15.

3,000 + 6,000

9,000

37.

90 + 10

100

10,000

38.

90 + 30

120

16.

4,000 + 6,000

10,000

38.

90 + 20

110

10,000

39.

200 + 800

1,000

17.

5,000 + 5,000

10,000

39.

200 + 800

1,000

30,000

40.

500 + 800

1,300

18.

10,000 + 10,000

20,000

40.

400 + 800

1,200

20,000 + 40,000

60,000

41.

6,000 + 4,000

10,000

19.

20,000 + 30,000

50,000

41.

6,000 + 4,000

10,000

30,000 + 60,000

90,000

42.

6,000 + 8,000

14,000

20.

30,000 + 60,000

90,000

42.

6,000 + 7,000

13,000

21.

40,000 + 60,000

100,000

43.

500,000 + 500,000

1,000,000

21.

40,000 + 60,000

100,000

43.

500,000 + 500,000

1,000,000

22.

50,000 + 50,000

100,000

44.

500,000 + 700,000

1,200,000

22.

50,000 + 50,000

100,000

44.

500,000 + 600,000

1,100,000

1+2

23.

2+4

24.

3+6

25.

4+6

26.

10 + 30

27.

20 + 50

28.

30 + 60

29.

40 + 60

100

30.

100 + 200

300

31.

10.

200 + 400

600

32.

11.

300 + 600

900

33.

12.

400 + 600

1,000

34.

13.

1,000 + 3,000

4,000

35.

14.

2,000 + 5,000

7,000

15.

3,000 + 6,000

16.

4,000 + 6,000

17.

5,000 + 5,000

18.

10,000 + 20,000

19. 20.

156

410

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ Sumar en forma estándar

100 + 200

158

100 + 100

200

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

19 #

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 10. ¿Qué número se debe sumar a 7,918 para que el resultado sea 14,739?

14,739 − 7,918 = 6,821

Resta usando el algoritmo convencional. 2.

–

Se debe sumar 6,821 a 7,918 para que el resultado sea 14,739.

15 8

9 – 9

–

11. El edificio A tiene 1,776 pies de altura. El edificio B tiene 2,717 pies de altura. ¿Cuántos pies más alto es el edificio B que el edificio A?

7. 135,070 − 41,118 0 13 4 10 6 10

1 3 5,0 7 0 – 4 1,1 1 8 9 3,9 5 2

8. 96,873 − 49,904 15 8 5 18 6 13

9 6,8 7 3 – 4 9,9 0 4 4 6,9 6 9

2,717 − 1,776 = 941

9. 135,007 − 131,118

El edificio B es 941 pies más alto que el edificio A.

9 9 4 1010 17

1 3 5,0 0 7 – 1 3 1,1 1 8 3,8 8 9

161

162

GRUPO DE PROBLEMAS

411

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19

12. La empresa del Sr. Endo ganó $79,075 en su primer año. Ganó $305,608 en su segundo año. ¿Cuánto dinero más ganó la empresa del Sr. Endo en el segundo año que en el primero?

$305,608 − $79,075 = $226,533 La empresa del Sr. Endo ganó $226,533 más en el segundo año que en el primero.

412

GRUPO DE PROBLEMAS

163

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 19 ▸ Tabla de valor posicional hasta las centenas de millar

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

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413

LECCIÓN 20

Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes varias veces

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

1. Resta.

956,204 − 780,169 8 15

9 1 10 14

Vistazo a la lección La clase usa dibujos de valor posicional y la forma vertical como ayuda para reagrupar y expresar con otro nombre las unidades de valor posicional varias veces para restar. También utilizan estrategias de simplificación para restar pasando por varios ceros.

Preguntas clave

9 5 6,2 0 4 – 7 8 0,1 6 9 1 7 6,0 3 5

• ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de expresar las unidades con otro nombre para restar números cuando hay muchos cambios de nombre?

176,035

• ¿Qué estrategias son eficientes para restar de un total que tiene muchos ceros?

Criterio de logro académico

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

2. Una compañía constructora está haciendo una escuela con ladrillos. Recibió 100,000 ladrillos. El primer día, la compañía usa 15,631 ladrillos. ¿Cuántos ladrillos quedan?

15,631

100,000 Estimación: 100,000 − 16,000 = 84,000

100,000 − 15,631 = n 84,369 = n –

0 9 9 9 9 10

1 0 0,0 0 0 1 5,6 3 1 8 4,3 6 9

Quedan 84,369 ladrillos.

173

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Restar usando dibujos de valor posicional y el algoritmo convencional • Expresar un número con otro nombre pasando por los ceros

Estudiantes • Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

415

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números La clase usa signos para comparar dos números de varios dígitos en forma estándar y adquirir fluidez con la comparación de números que iniciaron en el tema B. Muestre los números 7,685 y 8,162. Escriban una oración numérica usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los dos valores. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 7,685. ¿Comenzamos?

7,685 es menor que 8,162. Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 8,162. ¿Comenzamos?

Nota para la enseñanza

7,685 < 8,162

8,162 es mayor que 7,685. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

416

9,804 = 9,804

3,196 < 3,273

6,550 > 6,505

27,038 > 13,820

48,623 < 48,759

90,601 < 90,610

279,056 < 279,065

708,431 > 708,341

Es posible que haya estudiantes que duden al momento de decir la oración numérica comenzando por el número de la derecha. Considere señalar con el dedo el 8,162; luego, deslícelo hacia la izquierda mientras sus estudiantes dicen la desigualdad.

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Conteo bip de centena de millar en centena de millar La clase completa un patrón para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el tema C de hallar 1 centena de millar más y menos que un número dado. Invite a la clase a participar de la actividad Conteo bip. Escuchen con atención a medida que cuento hacia delante y hacia atrás de centena de millar en centena de millar. Voy a reemplazar uno de los números con la palabra bip. Levanten la mano cuando sepan el número bip. ¿Comenzamos? Muestre la secuencia 473,000, 573,000, bip.

473,000, 573,000, bip Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

473,000 573,000 673,000

673,000 Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

735,146 835,146 935,146

63,875 163,875 263,875

9.623 109,623 209,623

849,000 749,000 649,000

567,213 467,213 367,213

218,926 118,926 18,926

209,417 109,417 9,417

417

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Intercambio con la pizarra blanca: Restar en forma unitaria y en forma estándar La clase resta millares o decenas de millar en forma unitaria y en forma estándar para desarrollar fluidez con la resta de números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Muestre 5 millares − 3 millares =

Cuando dé la señal, digan la diferencia en forma unitaria. ¿Comenzamos?

2 millares Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar.

5 millares – 3 millares = 2 millares

5,000 – 3,000 = 2,000

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

15 millares – 6 millares 15,000 – 6,000 = 9,000

418

7 decenas de millar – 4 decenas de millar 17 decenas de millar – 8 decenas de millar 70,000 – 40,000 = 30,000

170,000 – 80,000 = 90,000

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Presentar

La clase examina problemas de resta para determinar qué problema requiere expresar más unidades de valor posicional con otro nombre. Muestre la imagen de los problemas de resta A, B y C.

4 6 2,5 8 1 – 1 3 4,2 6 7

4 6 2,5 8 1 – 7 8,6 9 4

4 6 2,5 8 1 2 – 0 6 ,9 8 0

¿Qué tienen en común estos tres problemas de resta? Todos comienzan con la misma cantidad. Todos tienen el mismo total. En todos hay que expresar unidades de valor posicional con otro nombre para poder comenzar a restar. ¿En qué se diferencian los tres problemas de resta? La parte que se resta es diferente. ¿Qué nos ayuda a determinar si necesitamos expresar unidades de valor posicional con otro nombre? Observar todos los dígitos de cada número y preguntarnos si tenemos todo listo para restar Observar los dígitos en cada unidad de valor posicional para ver si tenemos suficientes en cada una para restar Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál es el problema en el que hay que expresar más unidades de valor posicional con otro nombre para poder comenzar a restar.

419

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Muestre la imagen de los problemas de resta A, B y C con sus respectivas soluciones.

5 12

7 11

4 6 2,5 8 1 – 1 3 4,2 6 7 3 2 8,3 1 4

15 11 14 17 3 5 1 4 7 11

4 6 2,5 8 1 – 7 8,6 9 4 3 8 3,8 8 7

11 5 1 15

4 6 2,5 8 1 – 2 0 6,9 8 0 2 5 5,6 0 1

¿En qué problema hay que expresar más unidades de valor posicional con otro nombre para poder comenzar a restar? En el problema B, porque hay que expresar con otro nombre todas las unidades de valor posicional. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, restaremos usando el algoritmo convencional para expresar unidades de valor posicional con otro nombre en más de dos posiciones.

Aprender

Restar usando dibujos de valor posicional y el algoritmo convencional Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase dibuja para representar discos en la tabla de valor posicional y registra la resta en forma vertical. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Escriba 353,671 − 69,792 de manera horizontal. Invite a la clase a escribir el problema en forma vertical y a estimar la diferencia. Vamos a dibujar puntos en una tabla de valor posicional para representar discos de valor posicional. ¿Qué número tenemos que representar en la tabla de valor posicional?

420

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Pida a sus estudiantes que dibujen puntos para representar 353,671 en sus tablas de valor posicional. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Cómo podemos expresar con otro nombre para tener más unidades? Demuestre la reagrupación de 1 decena en 10 unidades en la tabla de valor posicional tachando 1 decena, trazando una flecha desde esa columna hacia la de las unidades y dibujando allí 10 unidades.

Millones

¿Cuántas decenas tenemos ahora? ¿Y unidades? Demuestre cómo escribir el proceso de expresar con otro nombre en forma vertical. Continúe con esta secuencia para guiar a sus estudiantes mientras reagrupan y expresan con otro nombre todas las unidades de valor posicional necesarias para comenzar a restar.

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

400,000 - 100,000 = 300,000 14 12 15 16 2 4 2 5 6 11

353,67 1

- 6 9 , 7 92

2 8 3 , 8 79

283 , 8 79 69 ,7 92 1 1 1 1 1 353 , 67 1

Considere proporcionar una plantilla con rótulos para la tabla de valor posicional, la estimación, la forma vertical y la comprobación mediante la suma. Esto ayudará a la clase a realizar la conexión entre las palabras dichas y las impresas, y a ver qué representación se conecta con ellas. Tabla de valor posicional: Millones

Centenas de millar

Estimación:

Decenas de millar

Millares

Centenas

Forma vertical:

Decenas

Unidades

Suma:

Ahora tenemos todo listo para restar. ¿Cuántas unidades restamos? Demuestre la resta de 2 unidades tachándolas en la tabla de valor posicional. Confirme que 11 unidades − 2 unidades = 9 unidades en forma vertical coincide con las unidades restantes en la tabla de valor posicional. Continúe el proceso para restar 9 decenas, 7 centenas, 9 millares y 6 decenas de millar. Utilice la forma unitaria para apoyar la comprensión de la clase del algoritmo convencional y su relación con el valor posicional. Luego, compare la diferencia con la estimación para evaluar si es razonable. Pida a sus estudiantes que comprueben su trabajo mediante la suma. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden reagrupar y expresar unidades de valor posicional con otro nombre varias veces en la tabla de valor posicional y usando la forma vertical.

421

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Invite a la clase a usar el algoritmo convencional y la forma vertical para hallar 427,020 − 268,152 y 201,631 − 2,758. Deben estimar cada diferencia y, luego, comprobar sus resultados mediante la suma.

400,000 - 300,000 = 100,000 11 16 9 11 3 1 6 10 1 10

42 7,0 2 0 - 2 68, 1 5 2 1 58, 86 8

26 8 , 1 5 2 8 , 86 8 + 11 5 1 1 1 1 42 7 , 0 2 0

200,000 - 3,000 = 197,000 9 10 15 12 1 10 0 5 2 11

201,631 2 , 7 58 1 98 , 8 7 3

198,87 3 8 + 1 1 21 , 71 5 1 20 1 , 6 3 1

Expresar un número con otro nombre pasando por los ceros La clase usa una tabla de valor posicional y el algoritmo convencional para expresar un número con otro nombre pasando por los ceros en varias unidades de valor posicional. Escriba 100,000 − 53,624 de manera horizontal. ¿En qué se diferencia este problema de resta de los que acaban de hacer? El total tiene muchos ceros. Invite a la clase a escribir el problema en forma vertical y a estimar la diferencia. Considere guiar a la clase mientras usan la forma unitaria para estimar la diferencia: 100 millares – 50 millares = 50 millares.

Diferenciación: Desafío Mientras sus estudiantes usan el algoritmo convencional para restar, considere pedirles que hagan una pausa en su trabajo e intercambien pizarras blancas con sus parejas de trabajo. Cada estudiante: • revisa el trabajo de su pareja; • corrige errores; • determina si está todo listo para restar; • reagrupa y expresa con otro nombre las demás unidades de valor posicional para poder comenzar a restar y • resta. Revisar y continuar el trabajo de su pareja de trabajo les permite demostrar una comprensión más profunda del algoritmo convencional. Considere pedir a sus estudiantes que se detengan e intercambien las pizarras blancas más de una vez mientras trabajan en el mismo problema. Cada pareja de trabajo puede elegir marcadores de diferentes colores para registrar su trabajo.

Vamos a dibujar puntos en una tabla de valor posicional para representar discos de valor posicional. ¿Qué número tenemos que representar en la tabla de valor posicional? Pida a sus estudiantes que dibujen 1 punto en la posición de las centenas de millar en sus tablas de valor posicional. Pídales que completen el trabajo en sus tablas de valor posicional mientras usted hace la demostración. ¿Tenemos todo listo para restar en la posición de las unidades? En general, reagrupamos y expresamos 1 decena como 10 unidades más. ¿Qué observan en la posición de las decenas? ¿En la posición de las centenas? ¿En la posición de los millares? ¿En la posición de las decenas de millar?

422

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Para tener más unidades, debemos reagrupar y expresar con otro nombre 1 centena de millar.

Millones

Demuestre la reagrupación de 1 centena de millar en 10 decenas de millar en la tabla de valor posicional. Demuestre cómo escribir el proceso de expresar con otro nombre en forma vertical. Continúe reagrupando en la tabla de valor posicional y expresando con otro nombre en forma vertical con las unidades de valor posicional restantes. Luego de reagrupar y expresar con otro nombre cada unidad de valor posicional, pregunte a la clase si tienen todo listo para restar.

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Si hay estudiantes que no están listos o listas para restar pasando por 5 ceros, considere usar la siguiente secuencia como soporte para expresar con otro nombre pasando por varios ceros. Invite a sus estudiantes a hacer conexiones entre cada problema para que puedan aplicar estrategias similares cuando trabajen con números más grandes. Elija con qué problema comenzar en función de las fortalezas y necesidades de sus estudiantes.

100,000 - 50,000 = 50,000 0 10

100,000

- 5 3 , 62 4

• 100 − 53 = • 1,000 − 536 =

Millones

Cuando tengan todo listo, pídales que resten en la tabla de valor posicional y en forma vertical. Lean la ecuación completa.

100,000 − 53,624 = 46,376 Pida a sus estudiantes que usen sus estimaciones para evaluar si sus respuestas son razonables y que sumen para comprobar su trabajo.

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

• 10,000 − 5,362 =

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

100,000 - 50,000 = 50,000

9 9 9 9 0 10 10 101010

100,000

- 5 3 , 62 4

46, 37 6

5 3 , 62 4

+46 , 376 1 1 1

1 1

1 00 ,000

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué patrón observan al registrar la expresión de unidades con otro nombre en forma vertical. Me pregunto si podríamos usar una estrategia de simplificación para hallar 100,000 − 53,624.

Diferenciación: Apoyo

Cada estudiante usa las estructuras en la lógica de la repetición (MP7) cuando usa el algoritmo convencional para expresar un número con otro nombre pasando por los ceros. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo les puede ayudar lo que saben sobre descomponer unidades más grandes en otras más pequeñas al momento de usar el algoritmo convencional para hallar 100,000 − 53,624? • ¿En qué se parece hallar 100,000 − 53,624 a otras diferencias que han hallado con el algoritmo convencional?

423

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Invite a la clase a trabajar en parejas y a usar una estrategia diferente para hallar 100,000 − 53,624. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan sus estrategias de simplificación. Elija trabajos que se enfoquen en varias estrategias de simplificación con el propósito de generar una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Mientras conversan, destaque razonamientos que expliquen por qué eligieron esas estrategias.

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos acerca de las estrategias de simplificación mostrando una tabla con el nombre de la estrategia junto con un ejemplo de 3.er grado. Compensación

800 - 342 =

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a formular sus propias preguntas. Estos ejemplos de trabajo demuestran algunas estrategias posibles para hallar la solución:

100,000 - 53,624 = 46,376 - 1

Expresar con otro nombre todas las unidades necesarias a la vez 0 9 9 9 9 10

100,000 53,624 ,624 - 53 46,376 46 ,376

424

+ 300

54,000

350

+ 50

+ 46,000

400

100,000

Razonamiento usando la forma unitaria: Expresar 10,000 decenas y 0 unidades como 9,999 decenas y 10 unidades 9 9 9 9 10

100,000 - 53,624 46,376

+ 400

800

Razonamiento usando la forma unitaria

7 9 10

100,000 - 53,624 = 46,376 53,700

Contar hacia delante desde un número usando el método de flechas

Expresar con otro nombre todas las unidades necesarias a la vez

Contar hacia delante desde un número usando el método de flechas

+ 76

7 99 - 341 = 458

342

99,999 - 53,623 = 46,376

53,624

458

-1

800 - 342 = 458

Compensación

- 1

-1

8 00 - 342 4 58

7 9 10

800

- 342

4 58

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra estrategias que la clase puede usar. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones sobre cada estrategia. Si sus estudiantes no producen trabajos similares, seleccione uno o dos de los ejemplos de la lección que mejor sirvan para incentivar el razonamiento de sus estudiantes. Considere presentar el trabajo diciendo “Esta es una estrategia de simplificación que usó alguien de la clase. ¿Qué fue lo que hizo?”.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 Escriba los problemas de resta Y y Z. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si se pueden usar estas mismas estrategias para restar en los problemas Y y Z. Pídales que usen el algoritmo convencional o una estrategia de simplificación para hallar las respuestas para los dos problemas. Deberían estimar cada diferencia y comprobar sus respuestas mediante la suma.

800,000 - 600,000 = 200,000 7 9 9 9 9 10

800,000 - 582,657 2 1 7 ,343

582 , 6 5 7 + 21 11 71 , 343 1 1 8 00,000

Y. 800,000 − 582,657 Z. 1,000,000 − 723,418

1,000,000 - 700,000 = 300,000 0 9 9 9 9 9 10

1,000,000 3,4 41 8 - 723, 276, 582

723,418

276 6 ,582 + 1 27 1 11 1 1

1,000,0 1,000, 000

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia prefieren para restar de un número con muchos ceros.

425

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Concluir

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Reflexión final 5 min Objetivo: Restar usando el algoritmo convencional, descomponiendo unidades más grandes varias veces Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de expresar las unidades de valor posicional con otro nombre al restar. ¿Cómo pueden usar lo que saben acerca de expresar las unidades con otro nombre para restar números cuando hay muchos cambios de nombre? Cuando expresamos con otro nombre una unidad más grande, expresamos 1 de la unidad más grande como 10 de una unidad más pequeña. Cuando hay muchos cambios de nombre, debemos usar el mismo proceso, pero más veces. Razonar acerca del valor posicional me ayuda a llevar la cuenta de las unidades que expreso con otro nombre. ¿Qué estrategias son eficientes para restar de un total que tiene muchos ceros? Podemos usar el algoritmo convencional y registrar las unidades de valor posicional que expresamos con otro nombre en forma vertical. Podemos expresar unidades de valor posicional con otro nombre hasta tener suficientes de cada una para comenzar a restar. Podemos usar la compensación para cambiar cada número, así no tenemos que expresar unidades de valor posicional con otro nombre. Podemos pensar en la forma unitaria para expresar las unidades de valor posicional con otro nombre. Por ejemplo, podemos pensar en 1 millón como 100,000 decenas. Luego, pensamos en 1 decena menos para expresar con otro nombre de forma más rápida. Podemos expresar con otro nombre todas las unidades de valor posicional necesarias a la vez. En vez de expresar los ceros como 10, podemos expresarlos como 9.

426

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

–

$35,106 − $17,852 = $17,254

–

La escuela recaudó $17,254 más en primavera que en otoño.

– 2

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

¿Cuánto dinero más recaudó la escuela en primavera que en otoño?

EUREKA MATH2 New York Next Gen

9. Una escuela recaudó $17,852 durante la colecta de otoño y $35,106 durante la colecta de primavera.

Resta usando el algoritmo convencional. 1.

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

– 2

10. El sitio web de Robin recibió 439,028 visitas. El sitio web de Luke recibió 500,903 visitas. 5.

–

¿Cuántas visitas más que el de Robin recibió el sitio web de Luke?

500,903 − 439,028 = 61,875

El sitio web de Luke recibió 61,875 visitas más que el de Robin.

7. 1,000,000 − 693,000

–

8. 1,000,000 − 693,600

9 9 0 10 10 10

–

1, 0 0 0,0 0 0 6 9 3,0 0 0 3 0 7,0 0 0

–

9 9 9 10

1, 0 0 0 ,0 0 0 6 9 3,6 0 0 3 0 6,4 0 0

169

170

GRUPO DE PROBLEMAS

427

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20

11. Una compañía editorial vende 306,428 ejemplares de un nuevo libro. El objetivo de la compañía es vender 1 millón de ejemplares. ¿Cuántos ejemplares más debe vender la compañía para alcanzar su objetivo?

1,000,000 − 306,428 = 693,572 Para alcanzar su objetivo, la compañía debe vender 693,572 libros más.

428

GRUPO DE PROBLEMAS

171

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 20 ▸ Tabla de valor posicional hasta los millones

Millones

Centenas de millar

Decenas de millar

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

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429

LECCIÓN 21

Resolver problemas verbales de dos pasos usando la suma y la resta

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Una compañía vendió 74,002 almohadas la última semana. Se vendieron 15,235 almohadas el lunes. Se vendieron 14,827 almohadas el martes. ¿Cuántas almohadas se vendieron el resto de la semana?

15,235

14,827

Vistazo a la lección La clase dibuja diagramas de cinta para representar problemas verbales de dos pasos. Utilizan la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables. Después de trabajar de manera independiente para resolver los problemas, la clase comparte el trabajo realizado, y comparan y relacionan las estrategias para hallar la solución.

Preguntas clave a

• ¿De qué manera les pueden ayudar los diagramas de cinta a determinar cómo resolver un problema verbal?

74,002

• ¿Cómo pueden usar una estimación para determinar si su respuesta es razonable cuando resuelven problemas verbales de dos pasos?

Estimación: 15,000 + 15,000 = 30,000

74,000 − 30,000 = 44,000 15,235 + 14,827 = 30,062

Criterios de logro académico

1 5,2 3 5 + 1 4,8 2 7 1 1 1 3 0,0 6 2

74,002 − 30,062 = a 9 3 10 10

7 4,0 0 2 – 3 0,0 6 2 4 3,9 4 0

4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

43,940 = a Se vendieron 43,940 almohadas el resto de la semana.

179

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Problema verbal de separar de dos pasos

• ninguno

• Problema verbal de comparación de dos pasos • Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

431

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números La clase usa signos para comparar dos números de varios dígitos de varias maneras y adquirir fluidez con la comparación de números que iniciaron en el tema B. Muestre los números 4,685 y cinco mil trescientos veintiuno. Escriban una oración numérica usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los dos valores. Escriban los dos números en forma estándar antes de compararlos. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 4,685. ¿Comenzamos?

4,685 es menor que 5,321.

4,685 < cinco mil trescientos veintiuno

Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 5,321. ¿Comenzamos?

5,321 es mayor que 4,685.

432

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7,840 = 7,000 + 800 + 40

6,000 + 500 + 50 > 6,505

tres mil doscientos treinta y siete < 3,273

48 millares y 623 unidades < 48,759

27,038 > 7 millares y 38 unidades

cincuenta mil seis < 50,000 + 6,000

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar sumas y diferencias La clase hace una estimación de una suma o una diferencia hasta 1,000,000 para desarrollar fluidez con el uso de las estimaciones y evaluar si una respuesta es razonable. Muestre 3,469 + 5,228 = m. ¿Cómo podrían redondear los dos números como ayuda para estimar la suma? Comenten su idea en voz baja con su pareja. Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas. Podría redondear 3,469 a 3,000 y 5,228 a 5,000. Podría redondear 3,469 a 3,500 y 5,228 a 5,200. Escriban una ecuación que muestre una suma estimada y cómo redondearon ambos números.

3,469 + 5,228 = m 3,000 + 5,000 = 8,000

433

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

92,187 + 47,686 = c

Presentar

6,288 + 38,436 = f

7,619 − 2,188 = d

88,512 − 42,185 = h

10,862 − 3,575 = k

La clase dibuja y usa un diagrama de cinta para determinar cuál es el número desconocido en un problema verbal. Diga a sus estudiantes que va a presentar un problema verbal una parte a la vez. Pídales que piensen acerca de la información que proporciona cada parte del problema. Muestre la primera oración del problema verbal. Luke ganó en total 50,000 puntos en 3 niveles de un juego. ¿Qué pueden dibujar para representar cuántos puntos ganó Luke en total? Un diagrama de cinta con el rótulo 50,000 Pida a la clase que dibuje y rotule el diagrama de cinta. Muestre la siguiente oración del problema verbal.

50,000

DUA: Representación Considere usar una recta numérica para ayudar a la clase a dibujar y rotular sus diagramas de cinta. La recta numérica puede ayudarles a ver la relación entre 50,000 y 16,784. Rotule 0 y 50,000. Luego, pida ayuda a sus estudiantes para hallar el número que está en el punto medio entre 0 millares y 50 millares. Deslice el dedo a través de la recta numérica y pida a la clase que le digan cuando su dedo se aproxime a donde está ubicado 16,784. Relacione la recta numérica con el diagrama de cinta.

Luke ganó 16,784 puntos en el nivel 1.

16,784

¿Qué pueden cambiar o agregar en el diagrama de cinta para representar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 1? Podemos dibujar una parte en el diagrama de cinta y rotularla con 16,784.

434

25,000

50,000

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 ¿Esa parte será aproximadamente la mitad, menos de la mitad o más de la mitad del total, 50,000? ¿Cómo lo saben? Será menos de la mitad porque 25,000 es la mitad de 50,000 y 16,784 es menor que 25,000.

50,000

Pida a la clase que dibuje y rotule la parte en sus diagramas de cinta. Muestre la siguiente oración del problema verbal. En el nivel 2, ganó 19,247 puntos.

16,784

¿Qué pueden cambiar o agregar en el diagrama de cinta para representar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 2? Podemos dibujar otra parte en el diagrama de cinta y rotularla con 19,247. ¿Cómo puede ayudarles la parte que dibujaron para representar 16,784 a dibujar la parte que representa 19,247?

50,000

La parte que representa 19,247 será un poco más grande que la que representa 16,784 porque 19,247 es mayor que 16,784. Pida a la clase que dibuje y rotule la parte en sus diagramas de cinta.

16,784

19,247

Observen sus diagramas de cinta. ¿Qué creen que estamos intentando determinar en este problema? ¿Cómo lo saben? Estamos intentando hallar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3. Sabemos que gana 50,000 puntos en los 3 niveles. Nuestro diagrama muestra que sabemos cuántos puntos ganó en el nivel 1 y en el 2. No sabemos cuántos puntos ganó en el nivel 3.

435

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Muestre la siguiente oración del problema verbal.

Nota para la enseñanza

¿Cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3?

50,000

Necesitamos hallar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3. Vamos a rotular eso con una letra.

La clase resolverá este problema en la sección Aprender. La conversación en la sección Presentar debe enfocarse en usar un diagrama de cinta para:

Pida a sus estudiantes que rotulen el número desconocido con la letra p. ¿Fue útil su diagrama de cinta para determinar cuál era el número desconocido en este problema? ¿Por qué?

16,784

19,247

Sí. Pude ver lo que conocía y eso me ayudó a pensar en lo que desconocía. Sí. Conocía el total y dos de las partes, pero mi diagrama mostraba que la tercera parte era desconocida.

• representar lo que es conocido; • identificar lo desconocido y • buscar una posible estrategia para hallar la solución y determinar el valor del número desconocido.

Sí. El total y dos de las partes estaban rotulados, pero la tercera parte no. Eso me ayudó a darme cuenta de que tratábamos de hallar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar los diagramas de cinta para determinar cómo hallar cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3. Sumaría las partes que conozco y, luego, las restaría del total. Restaría los puntos que Luke ganó en el nivel 1 del total. Luego, restaría los puntos que ganó en el nivel 2 de la diferencia entre el total y el nivel 1. Sus diagramas de cinta les ayudaron a pensar acerca del número desconocido y determinar cómo resolver el problema. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, dibujaremos diagramas de cinta para entender y resolver problemas verbales de dos pasos.

436

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Aprender

Nota para la enseñanza

Problema verbal de separar de dos pasos La clase resuelve un problema verbal de dos pasos y usa la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables. Estimemos cuántos puntos ganó Luke en el nivel 3. ¿Qué podemos hacer primero? Podemos estimar el número total de puntos que Luke ganó en los niveles 1 y 2. Invite a la clase a redondear el número de puntos ganados en los niveles 1 y 2 al millar más cercano y a sumarlos para determinar el total estimado. Escoja estudiantes para que compartan sus estimaciones.

17,000 + 19,000 = 36,000

En cualquier problema verbal dado, las estrategias de estimación variarán. Acepte todas las estimaciones razonables. Quienes elijan resolver el problema restando dos veces en vez de sumar y después restar usarán un proceso diferente para estimar la solución.

50,000 – 17,000 = 33,000 33,000 – 19,000 = 14,000

¿Qué debemos hallar ahora? La diferencia entre los puntos que ganó en los 3 niveles y el número total estimado de puntos que ganó en los niveles 1 y 2

50,000 – 36,000 = 14,000

¿Tenemos que redondear el número de puntos que ganó en los 3 niveles en total? ¿Por qué? No, porque es 50 millares, así que no se redondearía a un millar diferente. Ya es un número de referencia porque hay cero centenas, decenas o unidades en 50,000. Invite a la clase a restar para determinar la diferencia estimada. Escoja estudiantes para que compartan sus estimaciones.

Nota para la enseñanza A medida que sus estudiantes completan los problemas verbales, espere ver diferencias en sus dibujos, ecuaciones, estrategias para hallar la solución y enunciados con la solución. Los números desconocidos pueden representarse de diversas formas. Puede haber estudiantes que usen signos de interrogación, letras o una combinación de ambos para representar más de un número desconocido. Anime a la clase a usar ecuaciones razonables y paréntesis, si fuera necesario, para mostrar cómo se agrupan los números. Sus estudiantes aprenderán más acerca del orden de las operaciones en 5.° grado.

437

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

50,000

Dé a la clase 2 minutos para terminar de resolver el problema. Pida a sus estudiantes que: • escriban una ecuación usando la letra p para el número desconocido; • resuelvan el problema y

16,784

• escriban un enunciado con la solución. Considere invitar a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus estrategias para hallar la solución. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las estrategias de simplificación y el uso de la forma vertical para representar el algoritmo convencional. Los ejemplos de trabajo demuestran la compensación, así como la expresión con otro nombre de todas las unidades necesarias a la vez y una a la vez.

1 9,247

19,247

50,000 50,00 0 - 36,031 36,031 = p

+ 11 6,784 1 1 1 36,031

4 9 9 9 10

50,0 0 0 - 3 6, 03 1 1 3 , 9 69

p = 13,969

Luke ganó 13,969 puntos en el nivel 3.

Compensación

Expresar con otro nombre todas las unidades necesarias a la vez

Expresar con otro nombre una unidad a la vez

50,000 – 36,031

4 9 9 9 10

9 9 9 4 10 10 10 10

– 1

49 ,999 – 36,030

50,000 36 - ,0 31 1 3,9 69

50,000

- 36,0 31

13,969

4 9,9 99

–36,0 3 0

1 3,9 6 9

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, considere usar las siguientes preguntas para que explique su razonamiento y por qué eligió la estrategia que usó para restar: • ¿Qué estrategia usaron para restar? ¿Por qué? • ¿Cómo deciden qué estrategia usar cuando restan? • ¿Qué representa el número 13,969? • ¿Es una respuesta razonable según nuestra estimación? ¿Por qué? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus estrategias de resta y las de quienes compartieron su trabajo.

438

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Problema verbal de comparación de dos pasos Cada estudiante resuelve un problema verbal de dos pasos usando las representaciones y estrategias que eligió. Muestre el problema verbal y léalo a coro con la clase. Mía es conductora de autobús. Recorre 196,000 millas en dos años.

Diferenciación: Apoyo Considere dividir el problema en dos partes. Invite a sus estudiantes a dibujar diagramas de cinta para representar cada parte. • Parte (a): Hallar el número de millas que Mía recorre el 2.° año

196,000

El 1.er año, recorre 100,723 millas. ¿Cuántas millas menos recorre Mía el 2.° año? Invite a la clase a usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Pídales que estimen cuántas millas menos recorre Mía el 2.° año antes de que determinen la respuesta real. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:

• Parte (b): Hallar la diferencia entre el número de millas que Mía recorre en el 1.er y 2.° año 100,723

• ¿Qué pueden dibujar para representar el número de millas que recorre el 1.er año? ¿Y el 2.° año? • ¿Qué cinta debería ser más larga? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo pueden representar el número total de millas que recorre? • ¿En qué parte del diagrama de cinta está representado el número desconocido?

100,723

1.er año

2.o año

95,277

• ¿Qué letra pueden usar para representar el número desconocido? • ¿Qué operaciones usarán para hallar la solución? ¿Por qué? • ¿Qué enunciado con la solución pueden escribir? Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el uso de estrategias de resta eficientes y diferentes formas de usar el diagrama de cinta para hallar la solución. Los siguientes ejemplos de trabajo demuestran el uso de estrategias de simplificación para restar y de la relación entre las partes y el total para determinar la diferencia.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante hace modelos aplicando las matemáticas (MP4) cuando dibuja diagramas de cinta para representar la información sobre las millas que recorrió Mía. Pregunte para promover el estándar MP4: • ¿Qué ideas clave acerca de las millas que Mía ha recorrido necesitan asegurarse de incluir en sus diagramas de cinta? • ¿Cómo pueden simplificar el problema para estimar cuántas millas menos recorre Mía en el 2.° año?

439

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Hallar dos números desconocidos: Usar la compensación y expresar con otro nombre todas las unidades necesarias a la vez para restar

196,000 – 100,000 = 96,000

100,000 – 96,000 = 4,000

Hallar un número desconocido: Pensar en unidades del mismo tamaño y restar del total

100,000 + 100,000 = 200,000

100,723

200,000 – 196,000 = 4,000

100,723 1.er año

1.er año

196,000

196,000 2.o año

2.o año

? 196,000 – 100,723 = ? 196,000 100,77 2 3 – 100,

– 1 – 1

? = 95,277

m 100,723

m = 100,723 – 95,277

195,999 – 100,722 95,277

11 9 10 6 1 13

100,723 5,2777 – 9 5,27 5,446

m = 5,446

100,723 + 100,723 1 20 1,446

201,446 – 196,000 = m

1 9 11

201 ,446 – 1 96,000 5,446

m = 5,446

Nota para la enseñanza El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Mía recorre 5,446 millas menos el 2.o año.

Compartir, comparar y conectar La clase compara estrategias para hallar la solución y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y la estrategia que usó para restar. Haga preguntas para ayudar a la clase a establecer conexiones entre las soluciones que se mostraron y el trabajo de cada estudiante. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas.

440

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Hallar dos números desconocidos: Usar la compensación y expresar con otro nombre todas las unidades necesarias a la vez para restar (método de Pablo) Examinen el trabajo de Pablo. ¿Cómo representó el problema? Dibujó un diagrama de cinta comparativo en el que una cinta representa las millas recorridas el 1.er año y la otra representa las millas recorridas el 2.° año.

196,000 – 100,000 = 96,000 100,723 1.er año

196,000 2.o año

Pablo, ¿cómo elegiste tu primera ecuación? Miré el diagrama de cinta y vi que podía hallar las millas recorridas el 2.° año restando 100,723 de 196,000. ¿Qué estrategia usó Pablo para hallar la cantidad de millas que recorre Mía el 2.° año? Usó la compensación. Quitó 1 tanto de 196,000 como de 100,723 para obtener 195,999 − 100,722.

100,000 – 96,000 = 4,000

? 196,000 – 100,723 = ? 196,000 100,77 2 3 – 100,

– 1 – 1

? = 95,277

m = 100,723 – 95,277

195,999 – 100,722 95,277

11 9 10 6 1 13

100,723 5,2777 – 9 5,27 5,446

m = 5,446

Mía recorre 5,446 millas menos el 2.o año.

Pablo, ¿cómo elegiste tu segunda ecuación? Miré el diagrama de cinta y vi que podía hallar cuántas millas menos recorre el 2.° año restando las millas que recorre el 2.° año de las que recorre el 1.er año. m = 100,723 − 95,277 ¿Cómo averiguó Pablo la cantidad de millas menos que recorre Mía el 2.° año? Usó el algoritmo convencional para restar y registró su trabajo en forma vertical. Parece que expresó 10 decenas de millar como 9 decenas de millar y 10 millares de una vez. Expresó con otro nombre las unidades, las decenas y las centenas una a la vez.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere invitar a sus estudiantes a utilizar la Herramienta para la conversación mientras comparten su trabajo, realizan preguntas sobre el trabajo de la clase, y hacen comparaciones entre su trabajo y el de sus pares. • La sección Compartir tu razonamiento puede ayudar a la clase a compartir sus estrategias para hallar la solución y para la resta. • La sección Preguntar por el razonamiento puede ayudarles a hacer preguntas. • La sección Decirlo otra vez puede ayudarles cuando hacen preguntas para aclarar dudas acerca de las estrategias para hallar la solución y para la resta.

441

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 Pablo, ¿cómo sabes que tu respuesta es razonable? Mi estimación es 4,000 y mi respuesta real es 5,466. Están un poco lejos, pero creo que es razonable porque estamos trabajando con números grandes. Si hubiera redondeado a un valor posicional más pequeño, creo que la estimación y la respuesta real habrían estado aún más cerca. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Pablo. Hallar un número desconocido: Pensar en unidades del mismo tamaño y restar del total (método de Robin) Examinen el trabajo de Robin. ¿Cómo representó el problema? Dibujó un diagrama de cinta comparativo en el que una cinta representa las millas recorridas el 1.er año y la otra representa las millas recorridas el 2.° año. Dibujó una línea punteada como ayuda para mostrar la relación entre los dos años.

100,000 + 100,000 = 200,000 100,723 1.er año

196,000 2.o año

442

m 100,723

Robin, ¿cómo elegiste tu primera ecuación? Miré el diagrama de cinta y vi que podía pensar en las millas que Mía recorre los dos años en la misma unidad: 100,723. Entonces, sumé 100,723 y 100,723.

200,000 – 196,000 = 4,000

100,723 + 100,723 1 20 1,446

201,446 – 196,000 = m

1 9 11

201 ,446 – 1 96,000 5,446

m = 5,446

Mía recorre 5,446 millas menos el 2.o año.

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 ¿Qué representa 201,446 en el trabajo de Robin? Es la suma de 2 unidades de 100,723. Es el total de millas que Mía recorre en 2 años si hace la misma cantidad de millas cada año. Robin, explícanos cómo elegiste tu segunda ecuación. Sabía que si Mía recorriera el mismo número de millas en el 1.er y 2.° año, haría un total de 201,446 millas. El número real de millas totales que recorre es 196,000. Entonces, resté el total real del total que había calculado. El resultado me da la diferencia entre el número de millas que Mía recorre en el 1.er año y en el 2.° año. ¿Qué observan acerca de la estimación de Robin comparada con la de Pablo? Es el mismo número. Usaron estrategias diferentes, pero Robin y Pablo llegaron a la misma estimación, 4,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre sus trabajos, el trabajo de Pablo y el de Robin.

443

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de dos pasos usando la suma y la resta Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los diagramas de cinta y el uso de la estimación con el fin de evaluar si las respuestas son razonables. Muestre los diagramas de cinta de los problemas verbales acerca de los puntos de Luke y las millas de Mía.

50,000

¿De qué manera les ayudaron sus diagramas de cinta a determinar una estrategia para hallar la solución en el problema de los puntos de Luke? ¿Y en el de las millas de Mía? Usé mis diagramas de cinta para pensar acerca de la información conocida y desconocida de cada problema. En el caso de los puntos de Luke, la cinta muestra que conozco el total y dos partes. Puedo sumar las partes que conozco y, luego, restar del total para hallar la parte desconocida.

16,784

19,247

100,723 1.er año

196,000 2.o año

En el caso de las millas de Mía, m ? el diagrama de cinta muestra que conozco el total y una parte. Puedo restar la parte que conozco del total para calcular la parte desconocida. Luego, puedo restar una parte de la otra para calcular la diferencia desconocida entre ambas partes.

444

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21 ¿Cómo pueden usar una estimación para determinar si su respuesta es razonable cuando resuelven problemas verbales de dos pasos? Puedo usar la estimación en los dos pasos del problema verbal. Luego, cuando tengo la solución real, miro mi estimación para ver si están cerca. Si mi estimación y la respuesta real no se acercan mucho, puedo estimar de nuevo con un valor posicional más pequeño. Si mi estimación y la solución siguen sin estar cerca, puede que me haya equivocado y deba comprobar todo mi trabajo. En el problema de Luke, nuestra estimación y la respuesta real estaban cerca, así que supe que mi respuesta probablemente era correcta. En el problema de Mía, mi estimación y la respuesta real no estaban tan cerca, pero la respuesta seguía siendo razonable y probablemente fuera correcta. Considere utilizar el problema 2 del Grupo de problemas como otro ejemplo de cómo el valor posicional al que se redondea puede afectar cuán cerca está la estimación de la respuesta real y cuán razonable parece la respuesta.

445

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

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2. En junio, un granjero vendió 342,651 litros de leche. En julio, vendió 113,110 litros de leche menos que en junio. a. Estima el número total de litros de leche que el granjero vendió en junio y julio. Redondea cada valor a la centena de millar más cercana.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 1. Una agricultora vendió 16,308 libras de maíz el lunes.

300,000 − 100,000 = 200,000

El martes, vendió 27,062 libras de maíz.

300,000 + 200,000 = 500,000

El miércoles, vendió un poco más.

En junio y julio, el granjero vendió unos 500,000 litros de leche.

En total, vendió 73,940 libras de maíz. a. Estima el número de libras de maíz que vendió la agricultora el miércoles. Redondea cada valor al millar más cercano.

16,000 + 27,000 = 43,000 74,000 − 43,000 = 31,000

b. ¿Cuál es el total de litros de leche que vendió el granjero en junio y julio?

El miércoles, la agricultora vendió unas 31,000 libras de maíz.

342,651 − 113,110 = 229,541 342,651 + 229,541 = 572,192 En junio y julio, el granjero vendió 572,192 litros de leche.

b. Halla el número de libras de maíz que vendió la agricultora el miércoles.

16,308 + 27,062 = 43,370 73,940 − 43,370 = 30,570 El miércoles, la agricultora vendió 30,570 libras de maíz.

c. ¿Es razonable tu respuesta? Usa tu estimación de la parte (a) para explicarla. Mi respuesta de 572,192 litros de leche está un poco lejos de mi estimación de 500,000 litros, pero sé que si redondeara a una unidad más pequeña mi estimación sería más exacta y cercana a la respuesta real. Si redondeara a la decena de millar más cercana, obtendría 570,000 litros y eso está cerca de 572,192 litros.

c. ¿Es razonable tu respuesta? Usa tu estimación de la parte (a) para explicarla. Sí, mi respuesta es razonable porque 30,570 libras de maíz redondeadas al millar más cercano son 31,000 libras de maíz, que es mi estimación.

446

175

176

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 21

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4. Una compañía fabricó 300,000 camisetas el lunes y el martes.

3. El barco de una compañía que pesca atún cuesta $316,875. Cuesta $95,300 más que el barco de la compañía que pesca bagres.

El lunes, la compañía fabricó 141,284 camisetas.

¿Cuál es el costo total del barco para pescar atún y del barco para pescar bagres?

¿Cuántas camisetas más que el lunes se fabricaron el martes?

¿Es razonable tu respuesta? Explica.

$316,875 − $95,300 = $221,575

300,000 − 141,284 = 158,716

$316,875 + $221,575 = $538,450

158,716 − 141,284 = 17,432

El costo total de los dos barcos es $538,450.

El martes, la compañía fabricó 17,432 camisetas más que el lunes.

Mi respuesta es razonable porque mi estimación es $500,000, que está cerca de $538,450.

Mi respuesta es razonable porque mi estimación es 18,000, que está cerca de 17,432.

GRUPO DE PROBLEMAS

177

178

GRUPO DE PROBLEMAS

447

LECCIÓN 22

Resolver problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

El parque A es 1,954 kilómetros cuadrados más grande que el parque B.

• ¿De qué manera nos pueden ayudar los diagramas de cinta a organizar la información en problemas verbales de varios pasos?

El parque C es 2,108 kilómetros cuadrados más grande que el parque A. ¿Cuál es el área total de los tres parques? ¿Es razonable tu respuesta? Explica.

Parque B:

Parque C:

• ¿Qué cosas nos ayudan a resolver problemas verbales de manera eficiente?

3,837

Criterios de logro académico

1,954

3,837

La clase usa diagramas de cinta y resuelve problemas verbales con tres o más pasos. Analizan la eficiencia de las estrategias para hallar la solución y usan la estimación para determinar si sus respuestas son razonables.

Preguntas clave

El área del parque A es 3,837 kilómetros cuadrados.

Parque A:

Vistazo a la lección

2,108

4.Mód1.CLA10 Suman y restan números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (NY-4.NBT.4)

Estimación: 4,000 + 4,000 − 2,000 + 4,000 + 2,000 = 12,000

3,837 + 3,837 − 1,954 + 3,837 + 2,108 = k 11,665 = k Parque B

Parque C

17 2 7 13

3,8 3 7 + 2,1 0 8 1 5,9 4 5

3,8 3 7 – 1,9 5 4 1,8 8 3

3,8 3 7 1,8 8 3 + 5,9 4 5 2 1 1 1 1,6 6 5

El área total de los tres parques es 11,665 kilómetros cuadrados. Mi respuesta es razonable porque mi estimación es 12,000 kilómetros cuadrados, que está cerca de 11,665 kilómetros cuadrados, la respuesta real.

187

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Problema verbal de tres pasos

• ninguno

• Problema verbal con sumando desconocido • Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

449

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Fluidez

37,469 + 51,228 = m 40,000 + 50,000 = 90,000

Dé tiempo para que las parejas compartan sus ideas. Podría redondear 37,469 a 40,000 y 51,228 a 50,000. Podría redondear 37,469 a 37,000 y 51,228 a 51,000. Escriban una ecuación que muestre una suma estimada y cómo redondearon ambos números.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la ecuación de ejemplo. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

692,187 + 247,686 = c

450

86,288 + 538,436 = f

97,619 + 42,188 = d

718,512 + 152,185 = h

610,862 + 49,575 = k

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe una ecuación para representar un diagrama de cinta con una parte o total desconocido como preparación para resolver problemas verbales de suma y resta. Muestre el diagrama de cinta. ¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. La cinta A tiene dos partes, 1,398 y 524. El valor de la cinta B es 1,398, que es el mismo valor que la primera parte de la cinta A. Conocemos las dos partes de la cinta A, pero no su total. La letra que representa el número desconocido es el total de las dos cintas. Escriban una ecuación que represente el total de las cintas A y B.

1,398

524

Cinta A

h Cinta B

1,398 1,398 + 524 + 1,398 = h

451

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

38,530

67,509

Cinta A

Cinta A 2,099

38,530

58,003

Cinta B

Cinta B 67,509 + 67,509 + 58,003 = d

38,530 + 38,530 + 2,099 = f

821,070 Cinta A

12,597

95,963

23,601

Cinta B 13,005 Cinta C

40,000 40,000 = 12,597 + 23,601 + w

821,070 + 821,070 + 95,963 + 821,070 + 13,005 = g

452

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Presentar

La clase usa un diagrama de cinta de un problema verbal de dos pasos para representar un problema verbal de tres pasos. Muestre el diagrama con dos cintas. Diga a la clase que cada cinta representa el número de galones de agua de una piscina. 384,421

¿Qué información conocemos del diagrama de cinta? La piscina del parque municipal tiene 384,421 galones de agua. La piscina de la escuela secundaria tiene 12,672 galones de agua menos.

Parque municipal

g Escuela secundaria

12,672

Nota para la enseñanza Las situaciones en esta lección contienen más de un número desconocido. Para mantener la coherencia, se utiliza una letra para representar el número desconocido que responde a la pregunta del problema. Se utiliza un signo de interrogación para representar los otros números desconocidos que se hallen en el proceso de resolución del problema.

¿Qué información aún no conocemos? La cantidad de galones de agua que hay en la piscina de la escuela secundaria Desconocemos el número de galones de agua de las dos piscinas juntas. Está rotulado con la letra g. 384,421

Muestre el diagrama con la cinta adicional. ¿En qué se parece y en qué se diferencia este diagrama de cinta con respecto al anterior? Las cintas para el parque municipal y la escuela secundaria siguen rotuladas con la misma información. Hay otra cinta para un gimnasio, y es menor que las otras dos cintas. El número de galones de agua de la piscina del gimnasio también es desconocido.

DUA: Acción y expresión

Parque municipal

Escuela secundaria

g ?

12,672

Gimnasio

Considere apoyar y proveer soportes a la práctica de sus estudiantes mostrando el diagrama con tres cintas como ejemplo típico para el problema 1.

15,395

El total de todas las cintas sigue estando rotulado con una letra para el número desconocido.

453

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

EUREKA MATH2 New York Next Gen

Las cintas para el parque municipal y la escuela secundaria siguen siendo iguales. ¿Qué otra cosa conocemos en este diagrama de cinta? La cinta del gimnasio es 15,395 menor que la de la escuela secundaria. ¿Qué información se desconoce? La cantidad para la escuela secundaria y el gimnasio El total de las 3 piscinas ¿Qué podrían hacer para calcular los números desconocidos? Podemos restar 12,672 del parque municipal y así hallar la cantidad de la escuela secundaria. Una vez que lo conocemos, podemos restar 15,395 de la escuela secundaria para hallar la cantidad del gimnasio. Cuando conozcamos el número de galones de agua en cada piscina, podremos sumar los 3 números para hallar el total. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos diagramas de cinta para buscar estrategias para hallar la solución de problemas verbales de varios pasos y resolver los problemas usando la suma y la resta.

454

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Aprender

Problema verbal de tres pasos La clase resuelve un problema verbal de tres pasos dibujando un diagrama de cinta, estimando una respuesta y, luego, hallando la respuesta exacta. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léalo a coro con la clase. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 1. Una fábrica tiene rollos de cables. Tiene 10,650 pies de cable azul. Tiene 3,780 pies menos de cable rojo que de cable azul. También tiene 1,945 pies menos de cable verde que de cable rojo. ¿Cuánto cable tiene la fábrica en total?

10,650 − 3,780 = 6,870 6,870 − 1,945 = 4,925 10,650 + 6,870 + 4,925 = 22,445 La fábrica tiene 22,445 pies de cable. Invite a las parejas de estudiantes a colaborar para releer una oración a la vez y dibujar el diagrama de cinta correspondiente. Recorra el salón de clases y considere hacer preguntas como las siguientes para ayudar a sus estudiantes mientras trabajan: • ¿Qué pueden dibujar para representar la cantidad de cable azul? ¿Y la cantidad de cable rojo? ¿Y la cantidad de cable verde? • ¿Qué cinta debería ser más larga? ¿Cuál debería ser más corta? ¿Cómo lo saben? • ¿Cuál es la información que conocemos? ¿Cómo pueden rotularla? • ¿En qué parte del diagrama de cinta está representado el número desconocido? • ¿Qué pueden usar para representar el número desconocido? • ¿Qué observaron del diagrama de cinta de las piscinas que pueda ayudarles a dibujar este diagrama?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere reducir la cantidad de texto que sus estudiantes ven de una vez. Invíteles a cubrir el problema con la mano o un trozo de papel e ir develando una oración a la vez. Pueden develar la siguiente parte cuando hayan dibujado la representación de cada porción del problema.

455

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22 Pida a una pareja de estudiantes que comparta su diagrama de cinta con la clase. Anime a la clase a usar la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación para hacer preguntas sobre el trabajo de sus pares. Cuando dibujaron la cinta para el cable rojo, ¿la compararon con otra cinta? ¿Por qué? Sí, leí en el problema que la longitud del cable rojo es 3,780 pies menor que la del cable azul. Dibujé la cinta del cable rojo más corta que la del cable azul. Luego, rotulé la diferencia entre las dos cintas 3,780. Cuando dibujaron la cinta para el cable verde, ¿cómo lo compararon con otra cinta? ¿Por qué?

10,650 Azul

Rojo

c 3,780

? Verde

Observé en el problema que la longitud del cable verde era menor que la del cable rojo. Entonces dibujé la cinta del cable verde más corta que la del cable rojo. Rotulé la diferencia 1,945.

1,945

Estimemos la longitud total de cables que tiene la fábrica. Invite a sus estudiantes a registrar la estimación en sus libros mientras la clase comenta. Guíelos para que, mediante el redondeo, estimen la longitud del cable azul, el cable rojo y el cable verde. Pídales que hallen la suma para estimar la longitud total de cable. ¿Cuánto es nuestra estimación de la longitud total de cable? Unos 23,000 pies Dé a las parejas 2 minutos para terminar de resolver el problema. Guíe a sus estudiantes para que escriban ecuaciones con una letra para el número desconocido, usen estrategias de cálculo eficientes para hallar las sumas y diferencias y escriban un enunciado con la solución. ¿Cuál es la cantidad total de cable?

22,445 pies ¿Es una respuesta razonable según nuestra estimación? ¿Por qué? Es razonable. Habíamos estimado 23,000 y 22,445 se acerca a ese número.

456

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22 Pida a sus estudiantes que escriban un enunciado con la solución. Invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo sus diagramas de cinta les ayudaron a elegir la estrategia para hallar la solución, a hacer una estimación y a resolver el problema.

Problema verbal con sumando desconocido La clase resuelve un problema verbal de varios pasos con un sumando desconocido. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase. Pídales que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 2. Un parque acuático recibió 240,140 visitantes en la primavera. Hubo 81,394 visitantes más en verano que en primavera. El parque cierra en invierno. En total, hubo 708,488 visitantes todo el año. ¿Cuántos visitantes hubo en el otoño?

240,140 + 81,394 = 321,534 240,140 + 321,534 = 561,674 708,488 − 561,674 = ñ Hubo 146,814 visitantes en el otoño.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de manera abstracta y cuantitativa (MP2) cuando relaciona el diagrama de cinta con las ecuaciones que se usan para representar la información sobre el número de visitantes del parque acuático. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿De qué manera nos muestra el diagrama de cinta las relaciones entre el número de visitantes del parque en la primavera, el verano y el otoño? • ¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta a pensar en qué ecuaciones escribir?

Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca del uso de estrategias de suma y resta eficientes para hallar la solución. Los siguientes ejemplos de trabajo muestran representaciones del problema usando diagramas de cinta similares y diversas estrategias posibles para hallar el número de visitantes en el otoño.

457

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Sumando desconocido

Organizar números relacionados

240,140

240,140 Primavera

Primavera 240,140

240,140

81,394 708,488

Verano

708,488

Verano

Otoño

240,140 + 240,140 + 81,394 + ñ = 708,488 240,000 + 240,000 + 81,000 = 561,000 708,000 – 561,000 = 147,000

2 4 0,1 4 0 2 4 0,1 4 0 + 8 1,3 9 4 1

81,394

5 6 1, 6 7 4

240,000 + 81,000 = 321,000 240,000 + 321 ,000 = 561,000 708,000 – 561,000 = 147,000

6 10 7 14

7 0 8 ,4 8 8

– 5 6 1 ,6 7 4 1 4 6 ,8 1 4 ñ = 1 4 6 ,8 1 4

Hubo 146,814 visitantes en el otoño.

Verano

240, 1 40 240, 1 40 + 8 1 ,39 4 + 321 ,534 1 1 5 61 ,67 4 3 2 1, 534

708,488 – 561,674 = ñ 610 7 14

708,488 – 56 1 ,674 146 , 8 14 ñ = 146 , 8 14 Primavera Verano

Hubo 146,814 visitantes en el otoño.

Compartir, comparar y conectar La clase compara estrategias para hallar la solución del problema 2 y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y la estrategia que usó para representar el problema. Haga preguntas para ayudar a la clase a establecer conexiones entre las soluciones que se mostraron y el trabajo de cada estudiante. Anime a la clase a que haga preguntas.

458

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22 Sumando desconocido (método de Oka) Examinen el trabajo de Oka. ¿Cómo representó el problema? Dibujó cintas para representar cada estación en el orden dado en el problema. Oka, ¿cómo sabías el largo de la cinta que tenías que dibujar para representar a los visitantes que hubo en el otoño? Dibujé cintas para representar el número de visitantes en la primavera y el verano. Pude ver que el total de las dos cintas era más que 500,000. Eso significaba que la cinta del otoño era como mucho 200,000, así que sabía que debía ser más corta que las otras dos cintas. Después de dibujar las cintas y escribir la ecuación, hice una estimación más precisa. Oka, ¿cómo escribiste una ecuación con sumando desconocido?

240,140 Primavera

240,140

81,394 708,488

Verano

ñ Otoño

240,140 + 240,140 + 81,394 + ñ = 708,488 240,000 + 240,000 + 81,000 = 561,000 708,000 – 561,000 = 147,000

2 4 0,1 4 0 2 4 0,1 4 0 + 8 1,3 9 4 1

5 6 1, 6 7 4

6 10 7 14

7 0 8 ,4 8 8

– 5 6 1 ,6 7 4 1 4 6 ,8 1 4 ñ = 1 4 6 ,8 1 4

Hubo 146,814 visitantes en el otoño.

Sabía que el total del número de visitantes de cada estación era igual al total de visitantes de todo el año. Escribí una ecuación donde sumaba todas las partes que se mostraban en el diagrama de cinta y el resultado era igual a ese total. ¿Cómo halló Oka el sumando desconocido? Sumó todos los sumandos conocidos y restó ese resultado del total. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de Oka.

459

EUREKA MATH2 New York Next Gen

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22 Organizar números relacionados (método de James) Examinen el trabajo de James. ¿Cómo representó el problema? Dibujó cintas para representar cada estación en el orden dado en el problema. Su diagrama de cinta se parece al de Oka. James, ¿cómo decidiste sumar y restar para hallar el número total de visitantes? Conocía el número de visitantes que hubo en la primavera, así que hice una suma para hallar el número de visitantes que hubo en el verano. Luego, sumé el número de visitantes de la primavera y del verano. Después, resté el total de visitantes de la primavera y el verano del número total de visitantes de todo el año. James y Oka obtuvieron la misma estimación y hallaron la misma solución. ¿Es razonable su solución? ¿Cómo lo saben?

240,140 Primavera

240,140

81,394 708,488

Verano

ñ Otoño

240,000 + 81,000 = 321,000 240,000 + 321 ,000 = 561,000 708,000 – 561,000 = 147,000

Verano

240, 1 40 240, 1 40 + 8 1 ,39 4 + 321 ,534 1 1 5 61 ,67 4 3 2 1, 534

708,488 – 561,674 = ñ 610 7 14

708,488 – 56 1 ,674 146 , 8 14 ñ = 146 , 8 14 Primavera Verano

Hubo 146,814 visitantes en el otoño.

Sí. Lo sé porque 146,814 está cerca de la estimación de 147,000. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus métodos para resolver el problema y los que usaron James y Oka.

460

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos usando la suma y la resta Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de cómo resolver problemas de suma y resta de varios pasos. ¿De qué manera les ayudó el diagrama de cinta a entender uno de los problemas del Grupo de problemas? En el problema 1, comparar las cintas me ayudó a ver qué números necesitaba restar.

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo para que cada estudiante supervise y evalúe su propio progreso. Por ejemplo, pida a la clase que se haga las siguientes preguntas:

En el problema 2, cuando se mencionaban algunas partes juntas y otras por separado, el diagrama de cinta me ayudó a dibujar y entender una parte a la vez.

• ¿Representé la totalidad del problema en el diagrama de cinta?

¿De qué manera nos pueden ayudar los diagramas de cinta a organizar la información en problemas verbales de varios pasos?

• ¿Mostré mi razonamiento?

Podemos leer una parte del problema a la vez y dibujar un diagrama de cinta que represente las diferentes cantidades. Así no tenemos que llevar la cuenta mentalmente.

• ¿Usaré la misma estrategia para resolver un problema similar la próxima vez? ¿Por qué?

Dibujar una cinta para cada parte y rotularla nos ayuda a ver las relaciones entre las partes y el total. El diagrama de cinta nos ayuda a ver qué cantidad es mayor o menor que otra. ¿Qué cosas nos ayudan a resolver problemas verbales de manera eficiente? Podemos pensar en lo que conocemos y en lo que no, y hacer un plan para resolver el problema. Podemos usar el diagrama de cinta para hallar formas de agrupar números de manera eficiente.

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Nombre

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

Fecha

4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

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2. Una compañía vende 13,463 tarjetas de amistad y 8,029 tarjetas de buenos deseos. Vende 1,774 tarjetas de casamiento más que tarjetas de buenos deseos.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

Vende 868 tarjetas de agradecimiento más que tarjetas de amistad.

1. Una escuela usa 52,540 hojas de papel blanco.

¿Cuál es el número total de tarjetas vendidas?

8,029 + 1,774 = 9,803

Usa 9,680 hojas menos de papel azul que de papel blanco.

13,463 + 868 = 14,331

Usa 18,900 hojas menos de papel amarillo que de papel azul.

13,463 + 8,029 + 9,803 + 14,331 = 45,626

¿Cuántas hojas de papel usa la escuela en total?

El número total de tarjetas vendidas es 45,626.

52,540 − 9,680 = 42,860 42,860 − 18,900 = 23,960 52,540 + 42,860 + 23,960 = 119,360 La escuela usa 119,360 hojas de papel.

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GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

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4 ▸ M1 ▸ TD ▸ Lección 22

3. Una compañía tiene 3 oficinas. En la oficina A trabajan 29,785 personas. En la oficina B trabajan 2,089 personas menos que en la oficina A. La compañía tiene en total 81,802 personas empleadas. ¿Cuántas personas trabajan en la oficina C?

29,785 − 2,089 = 27,696 29,785 + 27,696 = 57,481 81,802 − 57,481 = 24,321 En la oficina C trabajan 24,321 personas.

GRUPO DE PROBLEMAS

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Tema E Tablas de conversión de medidas del sistema métrico En el tema E, la clase expresa unidades métricas de longitud, masa y volumen líquido en términos de unidades más pequeñas y resuelven problemas verbales que tienen contextos en los que se usan medidas. Al comienzo del tema, la clase identifica objetos que miden 1 centímetro, 1 metro y 1 kilómetro y usan la comparación multiplicativa para indicar los tamaños relativos de las unidades. Por ejemplo, describen la nueva unidad que se presenta, los kilómetros, entendiendo que 1 kilómetro es 1,000 veces tan largo como 1 metro, una unidad de longitud conocida, y que 1 metro es 100 veces tan largo como 1 centímetro, otra unidad de longitud conocida. La clase relaciona las unidades métricas con el trabajo con unidades de valor posicional, dado que las comparaciones incluyen los números 1,000 y 100. Convierten las unidades más grandes a unidades más pequeñas y completan tablas de conversión. También aplican estrategias de simplificación conocidas para sumar y restar unidades mixtas de medida. El tema finaliza con una lección en la que la clase se enfoca en el trabajo con las unidades métricas de masa y volumen líquido. Comparan los tamaños relativos de las unidades conocidas, los kilogramos y gramos, y los litros y mililitros, y usan la comparación multiplicativa para convertir unidades más grandes a unidades más pequeñas. Completan tablas de conversión y suman y restan unidades mixtas de medida. En los módulos 2 y 3, la clase amplía el trabajo con conversiones de medidas con la incorporación de las medidas del sistema inglés. Las unidades de medida del sistema métrico se utilizan en los contextos de problemas verbales durante todo el año.

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4 ▸ M1 ▸ TE

Progresión de las lecciones Lección 23

Lección 24

Expresar medidas de longitud del sistema métrico en términos de unidades más pequeñas

Expresar medidas de masa y de volumen líquido del sistema métrico en términos de unidades más pequeñas

m 1

cm 100

200

300

400

700

1 kilómetro es 1,000 veces tan largo como 1 metro, y 1 metro es 100 veces tan largo como 1 centímetro. Estas relaciones son parecidas a las que se ven entre las unidades de la tabla de valor posicional. Esto me ayuda a expresar medidas de unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas, completar tablas de conversión, sumar y restar unidades mixtas de medida y resolver problemas verbales.

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2,250 mL 1 L 750 mL

d 2,250 mL + 1 L 750 mL 1 L 750 mL = 1,750 mL 2, 2 5 0 + 1,7 5 0 1 1

4 ,0 0 0

La Sra. Smith tiene 4,000 mL. 1 litro es 1,000 veces 1 mililitro, y 1 kilogramo es 1,000 veces tan pesado como 1 gramo. Estas conversiones son parecidas a la relación que hay entre los millares y las unidades de la tabla de valor posicional. Las estrategias que usé para trabajar con las unidades de longitud del sistema métrico me ayudaron a trabajar con las unidades de masa y de volumen líquido del sistema métrico.

LECCIÓN 23

Expresar medidas de longitud del sistema métrico en términos de unidades más pequeñas

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4 ▸ M1 ▸ TE ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

1. Completa la tabla de conversión. Metros

Centímetros

100

300

600

800

900

Vistazo a la lección La clase identifica ejemplos del mundo real de objetos que tienen longitudes de 1 centímetro, 1 metro y 1 kilómetro y usan el lenguaje de comparación multiplicativa para describir el tamaño relativo de las unidades. Expresan las unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas, incluyendo unidades mixtas, y suman y restan. En esta lección se formalizan los términos kilómetro, convertir y unidades mixtas.

Preguntas clave • ¿Cómo se relacionan los centímetros y los metros? • ¿Cómo se relacionan los metros y los kilómetros? • ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del valor posicional como ayuda para trabajar con unidades métricas?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 2. Gabe camina por un sendero que tiene 4 kilómetros y 578 metros de largo. Al día siguiente, camina por un sendero que tiene 3 kilómetros y 154 metros de largo. En total, ¿qué distancia caminó Gabe? 4 km 578 m

Criterios de logro académico

3 km 154 m

4.Mód1.CLA11 Expresan, en una tabla, unidades más grandes del sistema métrico en términos de una unidad más pequeña. (NY-4.MD.1) c

4.Mód1.CLA12 Resuelven problemas verbales de suma y resta que requieren expresar medidas de unidades más grandes en términos de unidades dadas más pequeñas. (NY-4.MD.2, NY-4.MD.2a)

Estimación: 4,000 m + 600 m + 3,000 m + 200 m = 7,800 m

4 km 578 m + 3 km 154 m = c 4 km 578 m = 4,578 m 3 km 154 m = 3,154 m 4,578 m + 3,154 m = c 4,5 7 8 + 3,1 5 4 1 1 7,7 3 2 7,732 = c En total, Gabe caminó 7,732 metros. © Great Minds PBC

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EUREKA MATH2 New York Next Gen 4 ▸ M1 ▸ TE ▸ Lección 23

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• regla

Aprender 35 min

• regla de un metro

• Tamaño relativo de las unidades

Estudiantes

• Expresar la longitud en centímetros

• regla (1 por grupo de estudiantes)

• Expresar la longitud en kilómetros

• regla de un metro (1 por grupo de estudiantes)

• Sumar y restar unidades mixtas • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M1 ▸ TE ▸ Lección 23

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Tiempo transcurrido La clase dice la hora al minuto más cercano. Luego, determinan el tiempo transcurrido para conservar la fluidez que adquirieron en 3.er grado con la resolución de problemas que involucran intervalos de tiempo. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Muestre el reloj que muestra las 3:00. ¿Qué hora muestra el reloj? Las 3:00 Muestre la respuesta y, luego, el reloj que muestra las 5:00.

3:00

¿Qué hora muestra el reloj?

5:00 2 horas

Las 5:00 Muestre la respuesta. Escriban el tiempo que transcurrió entre las 3:00 y las 5:00.

Repita el proceso con la siguiente secuencia: