ENSEÑAR ▸ Módulo 3 ▸ Multiplicación y división de números de varios dígitos
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN.
Conceptos de valor posicional para la suma y la resta
2
Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división
3 Multiplicación y división de números de varios dígitos
4
5
Fundamentos para las operaciones con fracciones
6
Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales
Medidas angulares y figuras planas
Antes de este módulo
Módulo 2 de 4.° grado
Contenido general
Multiplicación y división de números de varios dígitos
Tema A
Multiplicación y división de múltiplos de decenas, centenas y millares
La clase multiplica y divide múltiplos de 10, 100 y 1000 enfocándose en las unidades de valor posicional. Usan discos de valor posicional y escriben ecuaciones en forma unitaria como ayuda para reconocer que pueden usar las operaciones de multiplicación y división conocidas para hallar productos y cocientes. La aplicación de la propiedad asociativa ayuda a sus estudiantes a reescribir las expresiones de multiplicación de dos factores como expresiones de tres factores para que, de nuevo, puedan multiplicar usando operaciones conocidas. Como preparación para la multiplicación de números de dos dígitos por números de dos dígitos, se usa un modelo de área con el fin de mostrar que la multiplicación de un múltiplo de 10 por un múltiplo de 10 da como resultado un número con centenas.
Tema B
División de millares, centenas, decenas y unidades
En el módulo 2, la clase multiplica números de dos dígitos por números de un dígito usando la propiedad distributiva y divide números de dos y tres dígitos entre números de un dígito usando la estrategia de separar y distribuir. Expresan el factor más grande o el total como decenas y unidades y, luego, multiplican o dividen cada parte, según corresponda. Usan una tabla de valor posicional, un modelo de área y ecuaciones para representar la multiplicación y la división. Expresan las unidades de longitud del sistema inglés simples y mixtas en términos de unidades más pequeñas. Muestran las conversiones usando diagramas de cinta, rectas numéricas y tablas de conversión, y suman o restan para hallar la suma o la diferencia de las medidas. También identifican factores y múltiplos de números hasta el 100. 2100 ÷ 3 = 21 centenas ÷ 3 = 7 centenas = 700 Centenas DecenasUnidades
La clase divide números de hasta cuatro dígitos entre números de un dígito. Dibujan un modelo de área, representan el divisor como la longitud de un lado y componen la longitud del lado desconocida para obtener el total. También representan la división en una tabla de valor posicional. Descomponen los totales en unidades de valor posicional, dividen cada unidad y registran la división larga en forma vertical junto a la tabla de valor posicional para reforzar la comprensión conceptual. Reconocen que, aunque el valor de la unidad de valor posicional es diferente, el proceso de división de cada unidad de valor posicional sigue siendo el mismo.
Tema C
Multiplicación de números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito
La clase aplica la propiedad distributiva para multiplicar números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito. Separan el factor más grande por valor posicional y multiplican el número de cada unidad de valor posicional por el factor de un dígito. Representan la multiplicación usando tablas de valor posicional, modelos de área y la forma vertical. Sus estudiantes registran los productos parciales en forma vertical. Para ello, registran cada producto parcial por separado y en forma conjunta en una línea.
Tema D
Multiplicación de números de dos dígitos por números de dos dígitos
La clase aplica las propiedades asociativa y distributiva para multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 y, luego, pasa a multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos. Se usan modelos de área para representar la multiplicación y para ayudar a la clase a reconocer cómo se separa en partes y se multiplica cada factor. Sus estudiantes ven que cada parte de un factor se multiplica por cada parte del otro factor. Registran cuatro productos parciales en el modelo de área y en forma vertical junto al modelo de área y, luego, hacen una transición hacia el registro de dos productos parciales de la misma manera. Suman los productos parciales para hallar el producto.
Después de este módulo
Módulos 1 y 2 de 5.° grado
En el módulo 1 de 5.° grado, la clase multiplica números enteros de varios dígitos y desarrolla fluidez con el algoritmo convencional de la multiplicación. También dividen con divisores de dos dígitos y continúan desarrollando la comprensión conceptual de la división de números enteros de varios dígitos. Hallan cocientes enteros y residuos. En el módulo 2, la clase hace la transición de hallar cocientes enteros y residuos a hallar cocientes fraccionarios.
Módulos
1, 3 y 4 de 5.° grado
En los módulos 1, 3 y 4 de 5.° grado, la clase usa relaciones multiplicativas para convertir unidades del sistema métrico y del sistema inglés que incluyen números enteros, fracciones y números decimales. Además de expresar unidades de medida más grandes en términos de unidades más pequeñas, expresan unidades de medida más pequeñas en términos de unidades más grandes.
Tema E
Resolver problemas usando la medición
La clase usa relaciones multiplicativas para convertir unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés a unidades más pequeñas. Usan tablas de conversión y rectas numéricas para expresar unidades de medida más grandes en términos de unidades más pequeñas, y reconocen que las unidades más pequeñas son todas múltiplos del mismo número. Sus estudiantes observan las relaciones en las tablas de conversión y usan las tablas para convertir otras cantidades. A lo largo del tema, suman y restan unidades mixtas usando diferentes métodos, entre los que se incluyen el método de expresar unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas antes de sumar o restar y el método de sumar o restar unidades semejantes, expresándolas con otro nombre según sea necesario.
Tema F
Residuos, estimación y resolución de problemas
La clase divide con números que dan como resultado cocientes enteros y residuos. Reconocen el residuo como la cantidad que queda después de hallar un cociente entero y resuelven problemas verbales que requieren la interpretación del cociente entero y del residuo. Estiman cocientes al hallar un múltiplo del divisor que está cerca del total y, luego, al dividir. Razonan sobre la relación entre su estimación y el cociente real y aplican su razonamiento para evaluar si sus respuestas a los problemas verbales de división son razonables. Usan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales de varios pasos. Dibujan diagramas de cinta que representan la información conocida y desconocida en el problema como ayuda para identificar una estrategia para hallar la solución. Después de resolver los problemas, evalúan si sus respuestas son razonables.
Contenido
Multiplicación y división de números de varios dígitos
¿Por qué?
Tema A
Multiplicación y división de múltiplos de decenas, centenas y millares
Lección 1 . .
Dividir múltiplos de 100 y 1000
Lección 2
Multiplicar por múltiplos de 100 y 1000
Lección 3
Multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos
Tema B
División de millares, centenas, decenas y unidades
Lección 4 .
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir centenas, decenas y unidades
Lección 5
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades
Lección 6
Relacionar representaciones pictóricas de división con la división larga
Lección 7
Representar la división mediante el uso de cocientes parciales
7
14
16
32
46
Lección 8
Elegir y aplicar un método para dividir números de varios dígitos
Tema C .
Multiplicación de números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito
Lección 9 . .
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito
Lección 10
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito
Lección 11
Representar la multiplicación mediante el uso de productos parciales
160
63
66
Lección 12
Multiplicar usando diferentes métodos de registro en forma vertical
Tema D
Multiplicación de números de dos dígitos por números de dos dígitos
178
86
102
122
Lección 13
Multiplicar números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos
Lección 14
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos
Lección 15
Multiplicar con cuatro productos parciales
194
214
Lección 16 .
Multiplicar con dos productos parciales
Lección 17
Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar
Tema E
Resolver problemas usando la medición
Lección 18 . .
Expresar unidades de tiempo en términos de unidades más pequeñas
Lección 19
Expresar medidas de peso del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Lección 20
Expresar medidas de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Tema F
Residuos, estimación y resolución de problemas
Lección 21
Hallar cocientes enteros y residuos
Lección 22
Representar, estimar y resolver problemas verbales de división
Lección 23
Resolver problemas verbales de varios pasos e interpretar residuos
Lección 24
Resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si las soluciones son razonables
Recursos
Estándares
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
Vocabulario
Las matemáticas en el pasado
Obras citadas
Agradecimientos
¿Por qué?
Multiplicación y división de números de varios dígitos
¿Por qué el trabajo con la división se presenta antes que la multiplicación en el módulo 3?
El trabajo del módulo 3 se desarrolla a partir del trabajo del módulo 2, en el que la clase multiplica y divide con decenas y unidades. La división sigue a la multiplicación y sus estudiantes relacionan los métodos usados para la división con los que usan para la multiplicación (p. ej., la propiedad distributiva, el modelo de área).
El módulo 2 finaliza con un enfoque en los factores y los múltiplos. Para continuar con la progresión del aprendizaje del módulo 2 y brindar la oportunidad de aplicar el trabajo con los factores y los múltiplos, la división precede a la multiplicación en el módulo 3. Sus estudiantes relacionan los métodos usados para dividir con decenas y unidades con la división de números de tres y cuatro dígitos. Aunque el trabajo se enfoca en la división, usan su fluidez con las operaciones de multiplicación como ayuda para dividir. A continuación, vuelven a la multiplicación. Multiplican primero números de tres y cuatro dígitos por números de un dígito y, luego, multiplican números de dos dígitos por números de dos dígitos.
¿Por qué los residuos se encuentran al final del módulo y no antes en el trabajo de la clase con la división?
La división que da como resultado cocientes enteros y residuos presenta una complejidad adicional en la división, tanto conceptual como de cálculo. Con el fin de proporcionar tiempo suficiente para perfeccionar las destrezas de la clase y la comprensión conceptual de la división y la multiplicación, los residuos se presentan al final del módulo. Sus estudiantes hallan los cocientes enteros y los residuos y, luego, tienen la oportunidad de aplicar lo que han aprendido a situaciones y problemas verbales en los que se interpretan los cocientes enteros y los residuos.
¿Cuál es el objetivo de usar la forma vertical para la multiplicación y la división?
En 4.o grado, sus estudiantes multiplican y dividen usando estrategias basadas en el valor posicional y las propiedades de las operaciones. En este módulo se usan las representaciones de las tablas de valor posicional, los modelos de área y la forma vertical porque se basan en la comprensión del valor posicional. El objetivo del uso de la forma vertical es proporcionar un método escrito para registrar el proceso de multiplicación y división usando productos y cocientes parciales. La forma vertical puede ser más eficiente que representar un problema con un modelo de área o una tabla de valor posicional. Dado que la clase progresa en su comprensión de la multiplicación y la división de varios dígitos en diferentes momentos, espere y acepte una variedad de representaciones. No se espera fluidez con el algoritmo de la multiplicación y la división hasta 5.o y 6.o grado, respectivamente.
¿Por qué se presenta la forma vertical junto con la tabla de valor posicional para la multiplicación y la división?
Del mismo modo que la clase experimenta con la suma y la resta, la forma vertical se presenta junto con la tabla de valor posicional para la multiplicación y la división con el fin de apoyar la comprensión conceptual y la transición de una representación pictórica a una representación escrita. Cada acción representada en la tabla de valor posicional (p. ej., expresar unidades de valor posicional con otro nombre, sumar o restar unidades semejantes, distribuir unidades de valor posicional, hallar la cantidad total de cada unidad de valor posicional) tiene una conexión directa con un registro en forma vertical. A medida que sus estudiantes se vuelven competentes en el registro en forma vertical, interiorizan el proceso y ya no necesitan dibujar en la tabla de valor posicional para hallar el número desconocido o explicar su trabajo.
Además, quienes aún no dominan las operaciones de multiplicación y división pueden hallar útil la tabla de valor posicional para llevar la cuenta de sus cálculos en forma vertical.
M illares Centenas DecenasUnidades
Criterios de logro académico: Contenido general
Multiplicación y división de números de varios dígitos
Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.
Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.
Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:
• observaciones informales en el salón de clases;
• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;
• Boletos de salida;
• Pruebas cortas de los temas y
• Evaluaciones de los módulos.
Este módulo contiene los cinco CLA que se indican.
4.Mód3.CLA1
Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables.
4.Mód3.CLA2
Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
4.Mód3.CLA3
Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito.
4.OA.A.3
4.Mód3.CLA5
Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña.
4.NBT.B.5
4.NBT.B.6
4.Mód3.CLA4
Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas.
4.MD.A.1
4.MD.A.2
La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.
Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:
• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo, y luego presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 4.o grado se codifica como 4.Mód1.CLA1.
• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.
• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.
• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.
Texto del CLA
EUREKA MATH2 4 ▸ M3
Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NBT.B.5 Multiplican un número entero de hasta cuatro dígitos por un número entero de un dígito, y multiplican dos números de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición y las propiedades de operaciones. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.
Completan o identifican una representación de un cálculo de multiplicación para números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y 2 números enteros de dos dígitos.
¿Qué modelo muestra 3 × 1,078?
A. 3 1,000 70 8
Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
Multiplica.
Identifican y explican un error en un cálculo de multiplicación para números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y 2 números enteros de dos dígitos.
Casey cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.
Indicadores del CLA
Tema A Multiplicación y división de múltiplos de decenas, centenas y millares
En el tema A, la clase usa representaciones, estrategias y métodos conocidos para multiplicar y dividir múltiplos de 10, 100 y 1000 por y entre números de un dígito. También multiplican un múltiplo de 10 por un múltiplo de 10 y obtienen un resultado en centenas. El trabajo de este tema extiende el del tema A del módulo 2, en el que la clase multiplica y divide múltiplos de 10 por y entre números de un dígito.
El tema comienza con la división. La clase divide múltiplos de 10, 100 y 1000 usando discos de valor posicional y la forma unitaria para representar el total. Usan operaciones conocidas para dividir y, luego, expresan el cociente en forma estándar. Al enfocarse en el valor posicional de las unidades que se dividen, la clase reconoce que, aunque las unidades de valor posicional cambian, la operación de división conocida sigue siendo la misma. Por ejemplo, 2100 ÷ 3 = 21 centenas ÷ 3 = 7 centenas = 700. Del mismo modo, la clase luego multiplica los múltiplos de 10, 100 y 1000 por un número de un dígito enfocándose en el valor posicional y usando los discos de valor posicional y la forma unitaria. La propiedad asociativa ayuda a sus estudiantes a conectar la multiplicación en forma unitaria con la multiplicación en forma estándar. Separan en partes y reagrupan los factores para hallar operaciones conocidas. Por ejemplo, al usar la propiedad asociativa, 4 × 6 centenas = 24 centenas se representa en forma estándar como 4 × 600 = 4 × (6 × 100) = (4 × 6) × 100 = 24 × 100 = 2400. Los números de cuatro dígitos se escriben sin coma para ayudar a sus estudiantes a pensar, por ejemplo, el número 2400 como 24 centenas.
El tema concluye con la multiplicación de un múltiplo de 10 por un múltiplo de 10. Se dibujan matrices para mostrar que, al multiplicar decenas por decenas, se obtiene una unidad de valor posicional diferente: las centenas. Este es un nuevo aprendizaje para sus estudiantes y les ayuda a prepararse para multiplicar un número de dos dígitos por otro de dos dígitos en el tema D. Inicialmente, las ecuaciones se escriben en forma unitaria. Sus estudiantes ven que, aunque cada factor se nombra por su unidad de valor posicional, pueden usar una operación de multiplicación conocida como ayuda para multiplicar. Por ejemplo, 60 × 50 = 6 decenas × 5 decenas = 30 centenas = 3000. Las ecuaciones se escriben entonces en forma estándar.
En el tema B, la clase aplica su conocimiento acerca de la división de múltiplos de 10, 100 y 1000 para dividir números de hasta cuatro dígitos entre números de un dígito.
Representar la multiplicación con discos de valor posicional o multiplicar usando la forma unitaria me ayuda a ver que, si sé que 2 × 6 = 12, entonces sé que 2 × 6 centenas = 12 centenas. Puedo usar la propiedad asociativa como ayuda para multiplicar cuando las ecuaciones están escritas en forma estándar. Por ejemplo, 4 × 500 = 4 × (5 × 100) = (4 × 5) × 100 = 2000.
Lección 3
Multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos
Las matrices, los modelos de área y las ecuaciones en forma unitaria me ayudan a ver que, al multiplicar un múltiplo de 10 por un múltiplo de 10, obtengo un múltiplo de 100 como resultado. Puedo multiplicar el número de decenas que hay en cada factor usando una operación de multiplicación conocida para hallar el número de centenas que hay en el total.
Representar la división con discos de valor posicional o dividir usando la forma unitaria me ayuda a ver que, si sé que 6 ÷ 2 = 3, entonces sé que 6 centenas ÷ 2 = 3 centenas.
Usa
Dividir múltiplos de 100 y 1000
Vistazo a la lección
La clase divide múltiplos de 100 y 1000 usando discos de valor posicional y la forma unitaria y haciendo conexiones con las operaciones de división. Seleccionan una estrategia y resuelven un problema de comparación multiplicativa con la división.
Pregunta clave
• ¿Por qué es útil pensar en las unidades de valor posicional para dividir múltiplos de 100 y 1000?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar la división con discos de valor posicional
• Usar la forma unitaria para dividir
• Dividir múltiplos de 100
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• set de discos de valor posicional
• computadora o dispositivo para la enseñanza*
• proyector*
• libro Enseñar*
Estudiantes
• set de discos de valor posicional
• marcador de borrado en seco*
• libro Aprender*
• lápiz*
• pizarra blanca individual*
• borrador para la pizarra blanca individual*
* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.
Preparación de la lección
Prepare al menos 12 discos de un millar, 12 discos de una centena, 12 discos de una decena y 12 discos de una unidad por estudiante y maestra o maestro.
Fluidez
Contar de centena en centena con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para familiarizarse con el Conteo feliz.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de centena en centena. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Nota para la enseñanza
Elija señales que le resulten cómodas, como pulgares hacia arriba y pulgares hacia abajo o abrir la mano. Muestre la señal y haga gestos según sea necesario para cada conteo. El objetivo es mantener la claridad y la precisión para que la clase cuente al unísono. Evite decir los números con la clase; en su lugar, preste atención a los errores y las dudas.
010020 030060 070070 08 6000 06 4000 050050 0
Continúen contando de centena en centena hasta el 2,500. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por un múltiplo de 1,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir en forma unitaria y en forma estándar
La clase divide unidades o decenas en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar como preparación para dividir múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Muestre 6 unidades ÷ 2 = unidades.
¿Cuánto es 6 unidades ÷ 2? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
3 unidades
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Continúe con 6 decenas ÷ 2 = decenas y muestre la respuesta después de cada pregunta o planteamiento.
¿Cuánto es 6 decenas ÷ 2?
Escriban la ecuación en forma estándar.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
15 unidades ÷ 3 = unidades 5
15 ÷ 3 = 5
15 decenas ÷ 3 = decenas 5
150 ÷ 3 = 50
24 unidades ÷ 4 = unidades 6
24 ÷ 4 = 6 240 ÷ 4 = 60
24 decenas ÷ 4 = decenas 6
Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional
La clase dice un número en forma estándar y, luego, expresa el número con otro nombre usando decenas o centenas como preparación para dividir entre múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 1 centena y 5 decenas.
¿Cuánto es 1 centena y 5 decenas en forma estándar?
150
Muestre la respuesta.
Cuando dé la señal, expresen 1 centena y 5 decenas usando solo decenas.
15 decenas
Muestre la respuesta.
Continúe con 1 millar y 5 centenas y muestre la respuesta después de cada pregunta o planteamiento.
¿Cuánto es 1 millar y 5 centenas en forma estándar?
1,500
Cuando dé la señal, expresen 1 millar y 5 centenas usando solo centenas.
15 centenas
Ahora, expresen 1 millar y 5 centenas usando solo decenas.
150 decenas
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
2 centenas y 7 decenas
2 millares y 7 centenas
4 centenas y 8 decenas
4 millares y 8 centenas
Presentar
La clase relaciona la división de billetes de uno, diez y cien dólares.
Presente la situación:
Liz participa de un juego de mesa con otras 2 personas. Tiene 6 billetes de un dólar, 6 billetes de diez dólares y 6 billetes de cien dólares para dividir en partes iguales entre las 3 personas.
Muestre la imagen de los billetes.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo puede Liz dividir los billetes de un dólar.
Puede darle 2 billetes de un dólar a cada persona porque 6 ÷ 3 = 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo puede Liz dividir los billetes de diez dólares.
Puede darle 2 billetes de diez dólares a cada persona.
¿Qué ecuación representa cómo se reparten los 6 billetes de diez dólares entre las 3 personas?
6 ÷ 3 = 2
Repita el proceso con los 6 billetes de cien dólares.
¿Qué sucedería si hubiera 6 billetes de mil dólares para repartir entre 3 personas? ¿Cuántos billetes recibirían?
Cada persona recibiría 2 billetes.
El valor de los billetes es diferente. ¿Cómo puede ser que la respuesta sea 2 cada vez?
Aunque los valores son diferentes, es el mismo número de billetes cada vez. Comenzamos con 6 y dividimos entre 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que las operaciones de división conocidas podrían ayudarles a dividir otras unidades de valor posicional, como las decenas, las centenas o los millares.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, dividiremos múltiplos de 10, 100 y 1000.
Nota para la enseñanza
Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.
• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.
• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.
Aprender
Representar la división con discos de valor posicional
Materiales: M/E) Discos
La clase representa una expresión de división en forma unitaria con discos de valor posicional.
Escriba la expresión 6 unidades ÷ 2.
Invite a la clase a usar discos de valor posicional para representar 6 unidades divididas en 2 grupos iguales y a escribir una ecuación en forma unitaria que se relacione.
¿Cómo representaron la expresión con los discos de valor posicional?
Dividí 6 discos de una unidad en 2 grupos iguales. Cada grupo tiene 3 unidades.
¿Cuánto es 6 unidades ÷ 2?
3 unidades
Dé a las parejas 1 minuto para que usen los discos de valor posicional para representar las siguientes expresiones y escribir una ecuación de división en forma unitaria para cada situación.
6 decenas ÷ 2
6 centenas ÷ 2
6 millares ÷ 2
Muestre la imagen de las representaciones completadas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las soluciones?
Cada problema está representado por 6 discos divididos en 2 grupos iguales con 3 discos en cada grupo.
decenas ÷ 2 = 3 decenas
centenas ÷ 2 = 3 centenas
El total en cada problema es 6 de algo, pero las unidades de valor posicional son diferentes. Son 6 unidades, 6 decenas, 6 centenas o 6 millares.
Cada cociente es 3 de algo. Es una unidad de valor posicional diferente cada vez: 3 unidades, 3 decenas, 3 centenas y 3 millares.
Repita el proceso e invite a la clase a representar las siguientes expresiones con discos de valor posicional y a escribir una ecuación de división en forma unitaria.
12 unidades ÷ 3
12 decenas ÷ 3
12 centenas ÷ 3
12 millares ÷ 3
Muestre la imagen de las tres representaciones.
Invite a la clase a escribir 12 centenas en forma estándar.
¿Por qué es útil pensar en este número como 12 centenas en lugar de 1 millar y 2 centenas al dividir?
Es útil porque entonces podríamos pensar en 12 ÷ 3 = 4. Eso nos ayuda a saber que 12 centenas ÷ 3 = 4 centenas.
Expresar 1 millar y 2 centenas como 12 centenas es útil porque entonces puedo usar una operación de división que conozco, 12 ÷ 3 = 4.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo indicar el total en cada expresión usando una unidad de valor posicional les ayudó a dividir múltiplos de 10, 100 y 1000.
Nota para la enseñanza
A lo largo de esta lección, los números de cuatro dígitos se representan sin comas para ayudar a la clase a pensar en los números en forma unitaria. Por ejemplo, 1,200 se escribe como 1200 para ayudar a la clase a pensar en el número como 12 centenas.
Usar la forma unitaria para dividir
La clase escribe múltiplos de 100 y 1000 en forma unitaria para dividir.
Muestre la imagen de las cuatro expresiones y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio para hallar los cuatro cocientes y escribir las ecuaciones en forma estándar que se relacionen. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
8 unidades ÷ 4
8 decenas ÷ 4
8 centenas ÷ 4
8 millares ÷ 4
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a quienes haya seleccionado que compartan su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que relacione las operaciones de división con la división de unidades de valor posicional más grandes.
Imaginé los discos. Imaginé 8 discos de una centena divididos en 4 grupos. Cada grupo tiene 2 centenas.
Sé que 8 ÷ 4 = 2, entonces sé que 8 millares ÷ 4 = 2 millares.
Todos los problemas se relacionan con 8 ÷ 4. Cada total es 8 de una unidad de valor posicional diferente, entonces el cociente es 2 de esa unidad de valor posicional.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo escribir expresiones de división en forma unitaria es semejante a representarlas con discos de valor posicional.
Escriba 20 ÷ 4.
Indiquen dos maneras de expresar 20 ÷ 4 en forma unitaria.
2 decenas ÷ 4
20 unidades ÷ 4
Nota para la enseñanza
El uso de la forma unitaria es un soporte intencional y una destreza conceptual en la preparación para la división de varios dígitos. Puede ayudar a prevenir errores comunes y conceptos erróneos cuando la clase comienza a registrar la división larga. Por ejemplo, si sus estudiantes piensan que dividir 1,284 es dividir 12 centenas, 8 decenas y 4 unidades, es posible que tengan más cuidado al momento de alinear el valor de los dígitos en el cociente con las unidades de valor posicional en el dividendo y es menos probable que se equivoquen al alinear los dígitos en el cociente.
Nota para la enseñanza
Considere usar discos de valor posicional para representar por qué pensar en 20 ÷ 4 en forma unitaria como 2 decenas ÷ 4 no es útil para hallar 20 ÷ 4. Invite a la clase a mostrar 2 discos de una decena y a dividir entre 4. Luego, invite a sus estudiantes a mostrar 20 discos de una unidad y a dividir entre 4.
Escriba 2 decenas ÷ 4 y 20 unidades ÷ 4.
Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué expresión usarían como ayuda para hallar 20 ÷ 4.
Usaría 20 unidades ÷ 4. No sé cómo dividir 2 decenas entre 4.
Para dividir 2 decenas entre 4, tendría que expresar 2 decenas como 20 unidades, entonces usaría 20 unidades ÷ 4.
¿Cuánto es 20 unidades ÷ 4?
5 unidades
Escriba 20 unidades ÷ 4 = 5 unidades.
Dé 1 minuto para que la clase se reúna y converse en parejas acerca de cómo 2000 ÷ 4 se puede escribir en forma unitaria de manera que sea útil para hallar el cociente.
¿En qué expresión pensaron como ayuda para hallar 2000 ÷ 4? ¿Por qué?
Pensamos en 20 centenas ÷ 4. Primero, pensamos en 2 millares ÷ 4. No fue útil porque no sabemos cómo dividir 2 entre 4. Cuando pensamos en 2000 como 20 centenas, sabíamos que 20 centenas ÷ 4 = 5 centenas.
Invite a la clase a escribir las ecuaciones 20 unidades ÷ 4 = 5 unidades y 20 centenas ÷ 4 = 5 centenas en formas estándar y unitaria.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las ecuaciones en forma unitaria y en forma estándar?
Veo 20 en cada total, pero tiene diferentes valores posicionales. El divisor, 4, es el mismo en forma unitaria y en forma estándar.
Veo 5 en cada cociente, pero 5 tiene diferentes valores posicionales, como unidades o centenas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo escribir los problemas en forma unitaria puede ayudarles a dividir.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando divide usando la forma unitaria y las operaciones de división básicas.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observan al dividir en forma unitaria? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 2000 ÷ 4 de forma más eficiente?
• ¿Se repite algo cuando se usa la forma unitaria para hallar 20 ÷ 4, 200 ÷ 4 y 2000 ÷ 4? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 4000 ÷ 8 de forma más eficiente?
Dividir múltiplos de 100
La clase divide múltiplos de 100 usando una estrategia de valor posicional.
Presente este enunciado: 7 veces ____ es 2100.
Dé a las parejas 1 minuto para completar el enunciado y mostrar su trabajo.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Identifique a dos estudiantes que hayan resuelto el problema de manera diferente para que compartan su trabajo. Busque estudiantes que expresen el total con otro nombre o usen operaciones de división básicas para apoyar su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a quienes haya seleccionado que compartan su razonamiento con todo el grupo.
Discos de valor posicional
Forma unitaria
21 ÷ 7 = 3
21 centenas ÷ 7 = 3 centenas
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar discos de valor posicional para que sus estudiantes los usen al dividir 2100 entre 7.
7 × = 2100
2100 ÷ 7 = 300
Haga preguntas que inviten a establecer conexiones entre las soluciones.
¿Dónde ven 21 centenas en los discos de valor posicional?
Veo 21 discos en total. Cada disco tiene un valor de 1 centena.
¿Dónde ven el cociente, 3 centenas, en los discos de valor posicional?
Hay 3 discos de una centena en cada grupo.
¿Qué operación de división les ayudó a hallar el cociente? ¿Dónde ven la operación de división en el trabajo?
21 ÷ 7 = 3. En los discos de valor posicional, hay 21 discos de una centena divididos en 7 grupos con 3 discos de una centena en cada uno.
21 ÷ 7 = 3 me ayudó a hallar el cociente. 21 centenas ÷ 7 = 3 centenas
Muestre la imagen de 2100 ÷ 3 representada en forma estándar y en forma unitaria.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar cómo se usan la forma estándar y la forma unitaria en la ecuación.
2100 ÷ 3 = 21 centenas ÷ 3
= 7 centenas
= 700
Veo 2100 ÷ 3 escrita como 21 centenas ÷ 3. Eso me ayuda a ver una operación de división conocida, 21 ÷ 3. 21 centenas ÷ 3 es 7 centenas. 7 centenas se escribe como 700 en forma estándar.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación parecida para hallar 4800 ÷ 6.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se representan las unidades de valor posicional en la ecuación, tanto en la forma estándar como en la forma unitaria.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Dividir múltiplos de 100 y 1000
Guíe una conversación que enfatice cómo el razonamiento sobre las unidades de valor posicional puede ayudar a dividir múltiplos de 100 y 1000.
¿Cómo usamos las operaciones de división para dividir múltiplos de 100 y 1000?
Representamos un problema con discos de una centena o de un millar. El número de discos que dividimos fue el mismo que las operaciones de división que conocemos.
Al escribir un problema en forma unitaria, pudimos ver que los dígitos mostraban una operación de división que conocemos. Entonces, pudimos pensar en las unidades de valor posicional correctas.
¿Por qué es útil pensar en las unidades de valor posicional para dividir múltiplos de 100 y 1000?
Cuando pienso en el número en forma unitaria, puedo usar una operación de división
que conozco.
Cuando veo problemas de división con múltiplos de centenas y millares, busco operaciones que conozco. La operación de división es la misma, pero la unidad de valor posicional cambia.
Boleto de salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Las matemáticas en el pasado
El recurso Las matemáticas en el pasado incluye información sobre la historia de los dispositivos de cálculo que condujeron a la calculadora moderna.
Es posible que sus estudiantes se interesen en examinar las imágenes de los distintos dispositivos y en relacionar las descripciones de sus funcionalidades con el dispositivo de la imagen.
Considere incorporar la información sobre uno o dos dispositivos a la vez a lo largo del módulo, según la finalidad o la funcionalidad del dispositivo se corresponda con el objetivo de la lección.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
14. Un auto usado cuesta 9 veces la cantidad que cuestan unas llantas nuevas. El auto usado cuesta $6300. ¿Cuánto cuestan las llantas?
6300 ÷ 9 = 700
Las llantas cuestan $700
2
Multiplicar por múltiplos de 100 y 1000
Descompón el factor más grande y, luego, multiplica.
a. 3 × 200 = 3 × 2 × 100
= 6 × 100
= 600
b. 4 × 5000 = 20,000
= 4 × 5 × 1000
= 20 × 1000
= 20,000
Vistazo a la lección
La clase representa la multiplicación por múltiplos de 100 y 1000 usando discos de valor posicional y dibujando en la tabla de valor posicional. Reconocen los patrones que continúan a partir de la multiplicación de unidades y decenas. La clase registra ecuaciones y halla productos en forma unitaria y en forma estándar.
Pregunta clave
• ¿Por qué es útil pensar en las unidades de valor posicional para multiplicar por múltiplos de 100 y 1000?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Representar la multiplicación con discos de valor posicional
• Usar la forma unitaria para multiplicar
• Usar la propiedad asociativa para multiplicar en forma estándar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• set de discos de valor posicional
Estudiantes
• set de discos de valor posicional
Preparación de la lección
Prepare al menos 6 discos de un millar, 6 discos de una centena, 6 discos de una decena y 6 discos de una unidad por estudiante y maestra o maestro.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase halla un producto descomponiendo un múltiplo de 10 y volviendo a escribir una expresión de dos factores como una expresión de tres factores como preparación para multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 2 × 30 = × ( × 10).
Descompongan el factor más grande para reescribir la expresión de dos factores como una expresión de tres factores.
Muestre la respuesta.
Usen la propiedad asociativa para agrupar los factores de manera diferente y hallar el producto.
Muestre los factores agrupados de manera diferente y, luego, la expresión de dos factores.
Escriban el producto.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
60 2 × 30 = 23 × (× 10 )
6 × 10
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. La clase puede elegir incorporar la propiedad conmutativa al agrupar los factores, especialmente cuando el factor más grande es el primero en la expresión. Por ejemplo, pueden escribir 30 × 6 = 3 × 6 × 10 en lugar de 30 × 6 = 10 × 3 × 6. = (2 × 3) × 10
Nota para la enseñanza
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar
La clase multiplica unidades o decenas en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar como preparación para multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Muestre 3 × 4 unidades = unidades.
¿Cuánto es 3 × 4 unidades? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
12 unidades
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Continúe con 3 × 4 decenas = decenas y muestre la respuesta después de cada pregunta o planteamiento.
La clase halla el valor de billetes que tienen diferentes denominaciones.
Muestre la imagen de los billetes y presente la situación.
Liz termina de participar de un juego de mesa y cuenta su dinero. Tiene 3 billetes de cinco dólares, 3 billetes de cincuenta dólares y 3 billetes de cien dólares.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo cuenta Liz su dinero.
Puede hallar el valor total de los billetes que son del mismo tipo y, luego, puede sumar esos totales.
Puede contar salteado de cien en cien, luego, de cincuenta en cincuenta y, luego, de cinco en cinco.
Pida a sus estudiantes que escriban ecuaciones de multiplicación para mostrar el valor total de cada tipo de billete.
¿Qué ecuación de multiplicación representa el valor total de los billetes de cinco dólares?
¿Y de los billetes de cincuenta dólares? ¿Y de los billetes de cien dólares?
3 × 5 = 15
3 × 50 = 150
3 × 100 = 300
¿En qué se parecen y en qué se diferencian las ecuaciones?
Hay 3 de cada billete, entonces 3 es un factor en cada ecuación.
150 es 10 veces 15. Puedo ver la operación de multiplicación 3 × 5 dentro de 3 × 50.
300 no es 10 veces los otros totales, pero es 2 veces 150 porque 100 es 2 veces 50.
3 × 100 = 300 es la única ecuación que usa la operación de multiplicación 3 × 1.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían hallar el total si Liz también tuviera 3 billetes de quinientos dólares.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, multiplicaremos múltiplos de 100 y 1000.
Aprender
Representar la multiplicación con discos de valor posicional
Materiales: M/E) Discos
La clase representa una expresión de multiplicación en forma unitaria con discos de valor posicional.
Invite a la clase a usar discos de valor posicional para representar 2 veces 3 unidades.
¿Cuántas unidades hay en total?
6 unidades
¿Qué ecuación representa que el valor de 2 veces 3 unidades es 6 unidades?
2 × 3 unidades = 6 unidades
Pida a la clase que registre la ecuación en forma unitaria.
Invite a la clase a representar 2 veces 3 decenas y 2 veces 3 centenas usando discos de valor posicional y escribiendo una ecuación de multiplicación en forma unitaria.
Nota para la enseñanza
A lo largo de esta lección, los números de cuatro dígitos se representan sin comas para ayudar a la clase a pensar en los números en forma unitaria. Los productos de cinco dígitos incluyen una coma para apoyar la lectura del número.
¿Qué observan acerca de su ecuación para 2 por 3 decenas en comparación con 2 por 3 centenas?
Ambas usan la operación de multiplicación 2 × 3.
Solo cambia la unidad de valor posicional en cada problema. Las centenas son una unidad más grande, entonces 2 × 3 centenas es más grande que 2 × 3 decenas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el producto de 2 veces 3 millares puede ser semejante a los problemas anteriores.
El producto será 6, pero 6 de una unidad de valor posicional diferente, los millares.
Invite a sus estudiantes a confirmar su razonamiento representando 2 veces 3 millares con discos de valor posicional y escribiendo una ecuación de multiplicación en forma unitaria.
Repita el proceso e invite a la clase a representar las siguientes expresiones con discos de valor posicional y a escribir una ecuación de multiplicación en forma unitaria:
• 3 × 4 unidades
• 3 × 4 decenas
• 3 × 4 centenas
• 3 × 4 millares
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del patrón que ven al multiplicar por diferentes unidades de valor posicional.
Usar la forma unitaria para multiplicar
La clase escribe múltiplos de 100 y 1000 en forma unitaria para multiplicar.
Escriba 6 × 2.
¿Cómo podrían representar 6 × 2 unidades usando discos de valor posicional?
Podría mostrar 6 filas de 2 discos de una unidad.
Escriba 6 × 2 = 6 × 2 unidades.
¿Es 6 × 2 igual a 6 × 2 unidades? ¿Por qué?
Sí, porque 2 y 2 unidades son maneras diferentes de escribir el mismo número.
Sí, porque cada expresión es igual a 12.
Usemos la forma unitaria para escribir con otro nombre expresiones que nos ayuden a multiplicar.
Escriba 6 × 2 unidades = 12 unidades.
Pida a sus estudiantes que usen la forma unitaria para hallar 6 × 20, 6 × 200 y 6 × 2000.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre lo que observan acerca de las ecuaciones.
Veo 6 × 2 en cada expresión de la forma unitaria y 12 en el producto de cada ecuación.
Saber que 6 × 2 unidades = 12 unidades me ayuda a saber que 6 × 2 decenas = 12 decenas, 6 × 2 centenas = 12 centenas y 6 × 2 millares = 12 millares. Solo cambia la unidad de valor posicional.
Repita el proceso para 4 × 5, 4 × 50, 4 × 500 y 4 × 5000.
Pida a sus estudiantes que presten atención a sus ecuaciones y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan acerca de las ecuaciones.
Es como lo que observamos en los primeros ejemplos. Vemos 4 × 5 en cada expresión y 20 en el producto de cada ecuación.
¿Cuál es la relación entre las ecuaciones que escribieron en forma unitaria y las escritas en forma estándar?
Ambas representan los mismos problemas, pero están escritas de diferentes formas.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir y completar las ecuaciones escritas en forma estándar usando las ecuaciones que escribieron en forma unitaria. Proporcione apoyo cuando sea necesario con preguntas como las siguientes:
• ¿Cómo pueden decir la ecuación en forma unitaria?
• En forma unitaria, ¿cuál es el producto?
• En forma estándar, ¿cuánto es 20 centenas?
DUA: Representación
Considere resaltar los patrones en las ecuaciones en forma unitaria usando un código de colores para las unidades de valor posicional en las ecuaciones.
6 × 2 unidades = 12 unidades
6 × 2 decenas = 12 decenas
6 × 2 centenas = 12 centenas
6 × 2 millares = 12 millares
Escriba la ecuación 4 × 500 = 4 × 5 centenas.
¿Es 4 × 500 igual a 4 × 5 centenas?
Sí, una expresión está escrita en forma estándar y la otra en forma unitaria.
Sí, ambas expresiones son iguales a 2000.
Escriba la ecuación completada.
Podemos escribir una ecuación usando tanto la forma unitaria como la estándar. Esto puede ayudarnos a asegurarnos de que el producto es correcto al multiplicar números más grandes.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pensar en las operaciones en forma unitaria les ayudó a completar las ecuaciones.
Usar la propiedad asociativa para multiplicar en forma estándar
La clase estudia un ejemplo que muestra cómo se puede aplicar la propiedad asociativa para multiplicar un número por un múltiplo de 1000.
Presente el trabajo que se estudiará.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el uso de la propiedad asociativa para multiplicar.
Observar y preguntarse
¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
En lugar de 6000, se escribió 1000 × 6. Se reescribió la expresión que tiene dos factores como una con tres factores.
Observo la operación de multiplicación 6 × 3.
Me pregunto por qué se decidió reescribir la expresión con tres factores.
Organizar
¿Qué pasos siguió este o esta estudiante? ¿Cómo lo saben?
Reescribió 6000 como 1000 × 6. Lo sé porque se mantuvo el × 3.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Antes de presentar el ejemplo de trabajo, considere activar los conocimientos previos de la clase sobre la propiedad asociativa. Proporcione un ejemplo que muestre cómo se aplica la propiedad para reescribir una expresión de dos factores como una expresión de tres factores y, luego, agrúpelos de manera diferente para hallar las operaciones conocidas.
7 × 60 = 7 × (6 × 10)
= (7 × 6) × 10
= 42 × 10
= 420
Halló el producto de 6 y 3. Lo sé porque se reemplaza 6 × 3 por 18 en la segunda línea.
Luego, halló el producto de 1000 y 18 porque la última línea solo muestra un número; no hay factores.
Guíe la conversación para enfocarse en el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la multiplicación por múltiplos de 10, 100 y 1000.
Mostrar
Enfoquémonos en la propiedad asociativa, agrupando los factores de maneras diferentes.
¿Dónde ven eso en este trabajo?
En lugar de agrupar 1000 × 6 en la primera línea de la ecuación, se agrupó 6 × 3.
Sintetizar
¿Qué diferencia hace la propiedad asociativa en este trabajo?
Al agrupar los factores de manera diferente, la expresión cambia a 1000 × 18. Puedo pensar en eso en forma unitaria, 18 × 1 millar. 18 × 1 es una operación que conozco.
Comprender
¿De qué manera la propiedad asociativa de la multiplicación es útil cuando se multiplica por múltiplos de 10, 100 y 1000?
Puede ayudarnos a reescribir la multiplicación para poder usar una operación conocida.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo reescribir 6000 como 1000 × 6 le ayudó a este o esta estudiante a multiplicar.
Presente el problema:
6 × 500
Dé a sus estudiantes 1 minuto para hallar el producto y mostrar su trabajo.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Identifique a dos estudiantes que hayan resuelto el problema de manera diferente para que compartan su trabajo. Busque estudiantes que hayan aplicado la propiedad asociativa.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a quienes haya seleccionado que compartan su razonamiento con todo el grupo.
Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre las estrategias.
¿Qué operación de multiplicación usó cada estudiante? ¿Cuándo?
Cada estudiante usó 6 × 5. En forma unitaria, expresó 500 como 5 centenas para poder multiplicar con los factores 6 y 5. En forma estándar, reescribir la expresión de dos factores como una expresión de tres factores hizo que 6 y 5 fueran dos de los factores para poder multiplicar.
¿Dónde están las 30 centenas en ambos ejemplos de trabajo?
El valor de la expresión en forma unitaria es 30 centenas. En el ejemplo de trabajo en el que se usó la propiedad asociativa, otra manera de pensar en 30 × 100 es 30 centenas.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite descomponer y reorganizar los factores y seguir obteniendo el mismo producto. Podemos mostrar eso en forma unitaria o en forma estándar.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus soluciones y una de las soluciones compartidas.
Pida a sus estudiantes que hallen 8 × 400 usando la propiedad asociativa.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando escribe una expresión de multiplicación de dos factores como una expresión de multiplicación de tres factores y usa la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar el producto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo se relacionan las expresiones 6 × 500 y 6 × 5 × 100? ¿Cómo puede esa relación ayudarles a hallar el producto?
• ¿Cómo les puede ayudar lo que saben acerca de los múltiplos de 100 a hallar 8 × 400?
DUA: Acción y expresión
Ayude a sus estudiantes a autoevaluar su progreso animándoles a hacerse preguntas mientras seleccionan una estrategia. Destaque la importancia de ajustar las estrategias o cambiar de rumbo si alguna no funciona. Para demostrar cómo hacerlo, razone en voz alta mientras hace preguntas como las siguientes:
• ¿Está funcionando mi estrategia?
• ¿Debería hacer algo diferente?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar por múltiplos de 100 y 1000
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y guíe una conversación sobre el uso del valor posicional para apoyar la multiplicación de múltiplos de 100 y 1000.
¿Qué estrategia usaron para hallar 4 × 7000 en el problema 10?
Sabía por el problema 9 que 4 × 700 = 2800. Entonces, 4 × 7000 = 28,000. En lugar de 28 centenas, el producto fue 28 millares.
Reescribí la expresión como 4 × 7 × 1000 y, luego, hallé 4 × 7 primero.
Pensé en 4 × 7 millares.
¿Por qué es útil pensar en las unidades de valor posicional para multiplicar por múltiplos de 100 y 1000?
Si pensamos en el múltiplo de 100 o 1000 como un número de unidades de valor posicional, ya sea centenas o millares, podemos usar una operación de multiplicación conocida y la unidad de valor posicional para hallar el producto.
Pensar en las unidades de valor posicional de un número me ayuda a hallar las operaciones de multiplicación que me resultan más fáciles.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Fecha
Multiplica. Usa la tabla de valor posicional como ayuda.
Multiplica. Usa la tabla de valor posicional para comprobar tu trabajo.
× 400 = 3 × 4 centenas
= 12 centenas
= 1200 Millares Centenas Decenas Unidades
Descompón el factor más grande y, luego, multiplica.
9. 4 × 700 = 2800 12. 700 × 8 = 5600
15. Jayla usa la propiedad asociativa para hallar 9 veces 8000 Explica cómo halla Jayla su respuesta. 9 × 8000 = 9 × 8 × 1 000 = 72 × 1 000 = 72,000
Jayla escribió 9 × 8000 para representar 9 veces 8000. Luego, escribió la expresión de dos factores como una expresión de tres factores pensando en 8000 como 8 × 1000. Agrupó 9 y 8 y obtuvo 9 × 8, que es 72. Veo 72 × 1000 y eso es igual a 72,000
Multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos
Vistazo a la lección
Multiplica. Usa la forma unitaria como ayuda.
a. 60 × 50 = 6 decenas × 5 decenas
= 30 centenas
= 3000
b. 40 × 70 = 2800
= 4 decenas × 7 decenas
= 28 centenas
= 2800
La clase usa una cuadrícula y un modelo de área para ver que, al multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos, se obtiene un resultado en centenas. Representan la multiplicación con ecuaciones en forma unitaria y en forma estándar.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca del valor posicional como ayuda para multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
(4.NBT.B.5)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar decenas en una cuadrícula
• Multiplicar decenas en forma unitaria
• Multiplicar decenas en forma estándar
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Cuadrículas de múltiplos de 10 (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Cuadrículas de múltiplos de 10 (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrículas de múltiplos de 10 del libro para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar
de centena en centena con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para familiarizarse con el Conteo feliz.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de centena en centena. Empiecen diciendo 500. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Nota para la enseñanza
Los errores o las dudas que muestran sus estudiantes cuando cuentan pueden indicar en qué partes de la secuencia necesitan práctica adicional. Considere alternar el sentido en estas partes de la secuencia. Termine la práctica cuando hayan logrado contar de forma correcta.
Continúen contando de centena en centena hasta el 2,500. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por un múltiplo de 1,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase halla un producto descomponiendo un múltiplo de 100 y volviendo a escribir una expresión de dos factores como una expresión de tres factores para desarrollar fluidez con la multiplicación por múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 2 × 300 = × ( × 100).
Descompongan el factor más grande para reescribir la expresión de dos factores como una expresión de tres factores.
Muestre la respuesta.
Usen la propiedad asociativa para agrupar los factores de manera diferente y hallar el producto.
Muestre los factores agrupados de manera diferente y, luego, la expresión de dos factores.
Escriban el producto.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional
La clase dice un número en forma estándar y, luego, expresa el número con otro nombre usando decenas o centenas para adquirir fluidez con las estrategias de multiplicación y división.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 1 centena y 8 decenas.
¿Cuánto es 1 centena y 8 decenas en forma estándar?
180
Muestre la respuesta.
Cuando dé la señal, expresen 1 centena y 8 decenas usando solo decenas.
18 decenas
Muestre la respuesta.
Continúe con 1 millar y 8 centenas y muestre la respuesta después de cada pregunta o planteamiento.
¿Cuánto es 1 millar y 8 centenas en forma estándar?
1,800
Cuando dé la señal, expresen 1 millar y 8 centenas usando solo centenas.
Ahora, expresen 1 millar y 8 centenas usando solo decenas.
180 decenas
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
3 centenas y 5 decenas
3 millares y 5 centenas
5 centenas y 6 decenas
5 millares y 6 centenas
7 centenas y 2 decenas 8 millares y 1 centena
Presentar
La clase analiza una lista de ecuaciones de multiplicación relacionadas que están en forma unitaria.
Muestre la imagen de las cuatro ecuaciones escritas en forma unitaria.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre las ecuaciones.
¿En qué se parecen las ecuaciones?
En cada una se multiplican un 4 y un 2.
2 × 4 unidades = 8 unidades
2 × 4 decenas = 8 decenas
2 × 4 centenas = 8 centenas
2 decenas × 4 decenas = 8 centenas
Todos los productos son 8 de una unidad de valor posicional.
En las tres primeras ecuaciones, uno de los factores es 2.
Las dos últimas ecuaciones tienen el mismo producto: 8 centenas.
¿En qué se diferencian las ecuaciones?
En las tres primeras ecuaciones, la multiplicación tiene diferentes unidades de valor posicional. La primera ecuación es de unidades, la segunda es de decenas y la tercera es de centenas.
En la última ecuación, ambos factores tienen decenas.
¿Les sorprende ver que las dos últimas ecuaciones tienen el mismo producto? Expliquen.
No esperaba que las dos últimas ecuaciones tuvieran el mismo producto porque observé que las unidades de valor posicional del producto aumentaban cada vez. Pensé que las unidades de valor posicional del producto podrían ser los millares.
No esperaba que los dos últimos productos fueran iguales porque las unidades de valor posicional de los factores en la última ecuación son diferentes de las de los otros factores, entonces pensé que el producto también sería diferente.
Pensé que la última ecuación también tendría decenas como unidad de valor posicional del producto. Me pregunto por qué son centenas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, hallaremos el producto de dos múltiplos de 10.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que vayan a la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a responder a sus compañeros y compañeras.
Aprender
Multiplicar decenas en una cuadrícula
Materiales: M/E) Cuadrículas de múltiplos de 10
La clase usa una cuadrícula para dibujar matrices compuestas de cuadrados de 10 por 10.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Cuadrículas de múltiplos de 10 de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Pida a sus estudiantes que remarquen el contorno del primer cuadrado marcado en la cuadrícula y que rotulen el número de filas y columnas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre el número de filas y columnas y el número total de cuadrados en la matriz que remarcaron. Hay 10 filas y 10 columnas. 10 filas con 10 cuadrados en cada una es 100.
Si multiplicamos el número de filas por el número de columnas, obtenemos el número total de cuadrados en la matriz.
¿Qué ecuación en forma estándar representa la matriz?
10 × 10 = 100
¿Qué ecuación en forma unitaria representa la matriz?
1 decena × 1 decena = 1 centena
Pida a sus estudiantes que registren 100 dentro del cuadrado de 10 por 10 y que escriban las ecuaciones en forma estándar y en forma unitaria a la derecha de la cuadrícula.
Pida a la clase que borre las marcas en la cuadrícula y conserve las ecuaciones. Pídales que remarquen los bordes exteriores de un rectángulo de 10 por 20.
¿Cuántas filas hay?
10
¿Cuántas columnas hay?
20
Pida a sus estudiantes que registren el ancho y la longitud en forma unitaria.
¿Cómo cambió el tamaño y la forma de la matriz que tenía un cuadrado de 10 por 10 con la inclusión de un segundo cuadrado de 10 por 10?
2 decenas
Nota para la enseñanza
Ahora, hay dos cuadrados con 10 filas y 10 columnas.
Hay 10 filas y 20 columnas.
Hay 100 cuadrados más que antes porque hicimos otra matriz de 10 cuadrados por 10 cuadrados.
¿Qué ecuación de multiplicación representa la matriz? Díganla en forma unitaria.
1 decena × 2 decenas = 2 centenas
Pida a sus estudiantes que registren 2 centenas dentro del rectángulo y que escriban la ecuación 1 decena × 2 decenas = 2 centenas. Pida a la clase que borre las marcas en la cuadrícula y conserve las ecuaciones.
Use un proceso similar para un rectángulo de 10 por 30:
• Remarque el contorno del rectángulo.
• Rotule el ancho y la longitud.
• Escriba una ecuación.
• Rotule el total en la cuadrícula.
2 centenas 1 decena 10 × 10 = 100
3 decenas
3 centenas 1 decena
1 decena × 1 decena = 1 centena
1 decena × 2 decenas = 2 centenas
1 decena × 3 decenas = 3 centenas
A fin de mantener la coherencia al usar un modelo de área para representar la multiplicación y la división, la longitud se refiere a la dimensión horizontal y el ancho a la dimensión vertical.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre el ancho, la longitud y el área en las ecuaciones de cada rectángulo.
Cuando la longitud aumenta en 1 decena, el área aumenta en 1 centena.
Veo una operación de multiplicación en cada una de las ecuaciones: 1 × 1 = 1, 1 × 2 = 2 y 1 × 3 = 3.
10 × 10 siempre es igual a 100. Y puedo ver eso en forma unitaria en cada ecuación.
Hagamos un rectángulo más grande haciendo que el ancho sea 2 veces tan ancho como es ahora.
Diferenciación: Desafío
Invite a sus estudiantes a relacionar lo que ven en el rectángulo de 10 por 30 con la propiedad asociativa. Pídales que escriban 10 × 30 como una expresión de tres factores para mostrar cómo forman el rectángulo los tres cuadrados. Luego, invite a sus estudiantes a multiplicar. 10 × 30 = 10 × 10 × 3 = 100 × 3 = 300
Pida a la clase que borre las marcas en la cuadrícula y conserve las ecuaciones. Guíe a sus estudiantes para que tracen los bordes exteriores de un rectángulo agregando una segunda fila de tres cuadrados de 10 por 10. Pídales que rotulen las longitudes de los lados.
¿Cuál es el ancho del rectángulo? ¿Cómo lo saben?
El ancho es 20. El ancho era 10 y, luego, agregamos otra fila de cuadrados de 10 por 10, que es 10 más.
El ancho era 1 decena y le agregamos otra decena. El ancho es 2 decenas.
¿Cuál es la longitud del rectángulo?
La longitud sigue siendo 30 o 3 decenas.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Cuadrículas de múltiplos de 10 de sus pizarras blancas y pídales que tracen líneas para dividir el rectángulo más grande en seis cuadrados con longitudes de los lados de 10 unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que ven.
¿Qué ecuación de multiplicación representa este modelo de área? Díganla en forma unitaria.
2 decenas × 3 decenas = 6 centenas
Pida a sus estudiantes que escriban la ecuación. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el hecho de saber que cada cuadrado de 10 por 10 es 100 se puede usar para hallar 20 × 30.
Multiplicar decenas en forma unitaria
La clase usa un modelo de área y ecuaciones en forma unitaria para multiplicar múltiplos de 10.
Muestre la imagen de los modelos de área y las ecuaciones en forma unitaria.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relacionan los rectángulos con las ecuaciones.
Los factores en las ecuaciones están escritos en forma unitaria y son iguales a las longitudes de los lados de los rectángulos, que están escritas en forma estándar.
Puedo dibujar 2 cuadrados, o 2 centenas, dentro del rectángulo de 10 por 20.
Muestre la imagen del rectángulo de 20 por 20.
Invite a la clase a dibujar el rectángulo y a rotular las longitudes de los lados.
¿Qué expresión de multiplicación, en forma unitaria, representa el área de este rectángulo?
2 decenas × 2 decenas
Escriba 2 decenas × 2 decenas e invite a la clase a hacer lo mismo.
Invite a la clase a trabajar en parejas para dividir el rectángulo y mostrar 4 cuadrados con longitudes de los lados de 10 unidades.
¿Qué operación de multiplicación representa el número total de cuadrados de 10 por 10?
2 × 2 = 4
Hay cuatro cuadrados de 10 por 10. ¿Qué valor representa cada cuadrado de 10 por 10? ¿Cómo lo saben?
Cada cuadrado representa 100. 1 decena × 1 decena = 1 centena.
¿Cuánto es 2 decenas × 2 decenas?
2 decenas × 2 decenas = 4 centenas
Nota para la enseñanza
Al igual que en el módulo 2, asegúrese de que la clase piense en el modelo de área en sentido amplio como una herramienta que les ayuda a multiplicar. Aunque el modelo de área puede representar a veces un problema de área, aquí se usa como soporte visual para apoyar la comprensión conceptual de que la multiplicación de decenas por decenas da como resultado centenas.
Escriba = 4 centenas. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Muestre la imagen del rectángulo de 40 por 20.
Dé a las parejas 1 minuto para dibujar y rotular el rectángulo y para escribir una ecuación en forma unitaria que represente el rectángulo.
¿Qué ecuación de multiplicación, en forma unitaria, representa el rectángulo?
4 decenas × 2 decenas = 8 centenas
¿Cómo lo saben?
1 decena × 1 decena = 1 centena. 4 × 2 = 8 representa el número de centenas. Entonces, 4 decenas × 2 decenas = 8 centenas.
Use un proceso similar para un rectángulo de 50 por 30.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron las operaciones de multiplicación conocidas y las unidades de valor posicional para multiplicar decenas.
Dé a las parejas 1 minuto para hallar 2 decenas × 6 decenas.
¿Cuánto es 2 decenas × 6 decenas?
2 decenas × 6 decenas = 12 centenas
¿Cómo lo saben?
1 decena × 1 decena = 1 centena. 2 × 6 = 12 representa el número de centenas. Entonces, 2 decenas × 6 decenas = 12 centenas.
¿Cuál es la ecuación en forma estándar?
20 × 60 = 1200
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pensar en los múltiplos de 10 en forma unitaria puede ayudarles a multiplicar.
Diferenciación: Apoyo
Considere continuar usando el trabajo que sus estudiantes hicieron con la cuadrícula como apoyo. Invite a sus estudiantes a imaginar cuántos cuadrados de 10 por 10 llenarían el rectángulo remarcado. Pídales que piensen en cada cuadrado de 10 por 10 como 1 centena y que imaginen cuántas centenas hay en el rectángulo.
Multiplicar decenas en forma estándar
La clase considera las unidades de valor posicional al multiplicar múltiplos de 10 en forma unitaria.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre la imagen del error de cálculo común.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
60 × 50 no es igual a 300.
60 × 50 = 6 decenas × 5 decenas = 30 decenas
= 300
Cuando multiplicamos decenas por decenas, obtenemos centenas, no decenas.
Dé a la clase 1 minuto para resolver el problema basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y seleccione dos o tres estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el error de cálculo común.
6 decenas × 5 decenas = 30 centenas
60 × 50 = 3 000
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su solución con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.
La ecuación en forma unitaria debería ser 6 decenas × 5 decenas = 30 centenas.
La ecuación en forma estándar debería ser 60 × 50 = 3000.
Dé a las parejas 1 minuto para seleccionar una manera de representar y hallar 50 × 20.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que muestren un modelo de área o en los que se use la forma unitaria.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando identifica y corrige un error en un ejemplo de trabajo y comparte su razonamiento sobre lo que hizo para corregirlo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué lo que hicieron corrigió el error? Convenzan a sus pares.
• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de comprender lo que hicieron?
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el uso de las operaciones de multiplicación conocidas y de las unidades de valor posicional.
Use un proceso similar y pida a las parejas que hallen 40 × 40.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usan el valor posicional al multiplicar múltiplos de 10.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la multiplicación con múltiplos de 10 de dos dígitos.
¿En qué se parece un modelo de área con múltiplos de 10 de dos dígitos como el ancho y la longitud a una matriz con factores de un dígito?
Puedo representar el ancho y la longitud en forma estándar o en forma unitaria. Cuando uso la forma estándar, puedo buscar las operaciones de multiplicación en los factores como ayuda para multiplicar.
¿Cómo les ayuda saber que 1 decena × 1 decena = 1 centena a multiplicar múltiplos de 10?
Sé que cuando multiplico dos múltiplos de 10, la unidad de valor posicional en mi respuesta serán las centenas, no las decenas.
Cuando pienso en el problema en forma unitaria, puedo multiplicar usando una operación de multiplicación conocida y, luego, pensar en el producto en centenas.
DUA: Participación
Considere brindar opciones al permitir a las parejas seleccionar dos múltiplos de 10 para multiplicar en lugar de hallar 40 × 40.
¿Cómo se usa el valor posicional cuando multiplicamos un múltiplo de 10 de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos?
Podemos usar el valor posicional para reescribir el problema en forma unitaria y pensar que al multiplicar decenas por decenas obtenemos centenas.
Usamos 10 × 10 = 100 para saber que podemos pensar en la unidad de valor posicional del producto en centenas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Great Minds PBC
Tema B
División de millares, centenas, decenas y unidades
En el tema B, la clase divide números de hasta cuatro dígitos entre números de un dígito.
En el módulo 2, la clase usa modelos de área, dibujos en tablas de valor posicional, ecuaciones y operaciones de división conocidas para dividir números de dos y tres dígitos entre números de un dígito. En este tema, usan las mismas representaciones y métodos similares para dividir números de tres y cuatro dígitos entre números de un dígito. Reconocen que el proceso de división sigue siendo el mismo cuando se aplica a números con unidades de valor posicional más grandes.
La división de números de tres dígitos en el módulo 2 estaba limitada a números en los que, previo a la división, se habían expresado las centenas como decenas. El tema B comienza con divisiones de números de tres dígitos en las que se dividen las centenas, las decenas y las unidades. Sus estudiantes dividen usando una tabla de valor posicional y un modelo de área. Para dividir usando un modelo de área, comienzan con el divisor y componen para hallar la longitud del lado desconocida, lo que difiere del uso previo del modelo de área en el que se descomponía el total para hallar la longitud del lado desconocida. Para componer la longitud del lado desconocida, aplican los conocimientos del tema A, en el que multiplicaban y dividían usando múltiplos de decenas y centenas. Componer la longitud del lado del modelo de área prepara a sus estudiantes para el razonamiento que usarán con la división larga. Dividen con números de cuatro dígitos usando los mismos métodos.
Más adelante en el tema, sus estudiantes comienzan una transición mediante la cual dejarán de usar representaciones pictóricas para pasar a registrar la división larga en forma vertical. Dividen números de dos y tres dígitos entre números de un dígito y, luego, aplican lo que aprendieron para dividir números de cuatro dígitos. Dibujan en la tabla de valor posicional y registran los cocientes parciales en forma vertical simultáneamente, lo que les ayuda a ver la conexión entre los dos métodos. Con el tiempo, usan la división larga sin la ayuda de la tabla de valor posicional y trabajan para que el registro sea eficiente.
En la última lección del tema, la clase considera y aplica los diferentes métodos que han usado para dividir. Los comparan, los contrastan y comentan su eficiencia.
En el tema C, la clase multiplica números de tres y cuatro dígitos por números de un dígito. En el tema F, repasan la división e interpretan los residuos.
Progresión de las lecciones
Lección 4
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir centenas, decenas y unidades
Centenas Decenas Unidades
÷
Puedo aplicar lo que ya sé sobre la división para dividir números de tres dígitos entre números de un dígito dibujando en una tabla de valor posicional y dibujando un modelo de área. Puedo representar el total y el número de grupos en la tabla de valor posicional y, luego, puedo distribuir cada unidad de valor posicional en partes iguales. A veces, necesito descomponer antes de distribuir. El número en cada grupo es el cociente.
Lección 5
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades
Lección 6
Relacionar representaciones pictóricas de división con la división larga
÷
Centenas DecenasUnidades
÷
Puedo dividir números de cuatro dígitos entre números de un dígito usando los mismos métodos que uso para dividir números de dos y tres dígitos. Al dibujar un modelo de área, pienso en cómo puedo componer la longitud del lado desconocida. Comienzo por la unidad de valor posicional más grande y uso las operaciones de multiplicación y división que conozco como ayuda para determinar cuántas hay de cada unidad de valor posicional. Una vez que determiné los cocientes parciales, puedo sumarlos para hallar el cociente.
Registrar la división larga en forma vertical es otro método que puedo usar para dividir. Representar el mismo problema de división en una tabla de valor posicional y en forma vertical me ayuda a ver cómo se relacionan los dos métodos. Distribuyo cada unidad de valor posicional para hallar los cocientes parciales. Luego, puedo sumarlos para hallar el cociente.
Lección 7
Representar la división mediante el uso de cocientes parciales
Lección 8
Elegir y aplicar un método para dividir números de varios dígitos
Si sé cómo registrar la división larga en forma vertical para dividir números de dos y tres dígitos entre números de un dígito, también sé cómo usar la división larga para dividir números de cuatro dígitos entre números de un dígito. Uso el mismo método. Usar la división larga puede ser una forma eficiente de dividir.
Hay muchos métodos que puedo usar para dividir. Uso los que son eficientes para mí. Es posible que no siempre use el mismo método dependiendo del número que estoy dividiendo. Pensar en el total y el divisor así como en las operaciones conocidas puede ayudarme a decidir qué método usar.
Millares Centenas DecenasUnidades
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir centenas, decenas y unidades
Vistazo a la lección
La clase dibuja en una tabla de valor posicional y usa un modelo de área para dividir centenas, decenas y unidades. Escriben ecuaciones para representar la división.
Preguntas clave
• ¿De qué manera puede ayudarles una tabla de valor posicional a dividir centenas, decenas y unidades?
• ¿De qué manera puede ayudarles un modelo de área a dividir centenas, decenas y unidades?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Dibujar en la tabla de valor posicional para dividir
• Dibujar un modelo de área para dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional hasta las centenas (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional hasta las centenas (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de millar en millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de millar en millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de millar en millar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de millar en millar hasta el 25,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Forma desarrollada y forma estándar
La clase escribe una expresión en forma desarrollada y en forma estándar como preparación para aplicar estrategias de valor posicional al dividir centenas, decenas y unidades.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4
La clase usa estrategias de valor posicional para dividir un número de dos dígitos como preparación para dividir centenas, decenas y unidades.
Muestre 84 ÷ 2 = .
Hallen el cociente. Muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Considere usar esta actividad como una oportunidad de evaluar formativamente la competencia de la clase para dividir un número entero de dos dígitos entre un número entero de un dígito. Observe qué estrategias y modelos de valor posicional eligen sus estudiantes.
Si sus estudiantes hallan el cociente rápidamente, considere pedirles que resuelvan usando una estrategia o modelo diferente.
Presentar
La clase examina expresiones de división y determina la utilidad de pensar en el total como decenas y unidades.
Escriba 129 ÷ 3.
¿Cómo podemos expresar 129 como decenas y unidades?
12 decenas y 9 unidades
Escriba = 12 decenas y 9 unidades ÷ 3.
¿Expresar 129 como 12 decenas y 9 unidades les ayuda a dividir? ¿Por qué?
Sí, porque puedo usar operaciones que conozco y el cálculo mental para dividir.
Sí, porque sé que 12 ÷ 3 = 4 y 9 ÷ 3 = 3. Eso me ayuda a calcular 12 decenas ÷ 3 = 4 decenas y 9 unidades ÷ 3 = 3 unidades.
Sí, porque puedo dividir las decenas y las unidades entre 3 y, luego, sumar los cocientes para hallar 129 ÷ 3.
Escriba 135 ÷ 3.
¿Cómo podemos expresar 135 como decenas y unidades?
13 decenas y 5 unidades
Escriba = 13 decenas y 5 unidades ÷ 3.
¿Expresar 135 como 13 decenas y 5 unidades les ayuda a dividir? ¿Por qué?
Sí, porque puedo pensar en 13 decenas ÷ 3. Sé que 13 no es un múltiplo de 3, pero 12 sí lo es. Puedo descomponer 1 decena en 10 unidades.
Sí, porque puedo ver que necesito descomponer 1 decena en 10 unidades. Ahora puedo pensar en 135 ÷ 3 como 12 decenas y 15 unidades ÷ 3.
Sí, porque puedo descomponer 1 decena en 10 unidades y, luego, dividir usando operaciones conocidas.
Escriba 654 ÷ 3.
¿Cómo podemos expresar 654 como decenas y unidades?
65 decenas y 4 unidades 5
Nota para la enseñanza
No se espera que la clase evalúe las expresiones. Las examinan para determinar si siempre es útil pensar en un número de tres dígitos como decenas y unidades al dividir.
Escriba = 65 decenas y 4 unidades ÷ 3.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si expresar 654 como 65 decenas y 4 unidades es una estrategia útil para dividir.
No lo sé. Tendría que calcular si 65 es un múltiplo de 3. Si no lo es, tendría que calcular qué múltiplo de 3 está cerca de 65. Luego, tendría que descomponer las decenas adicionales.
No creo que sea útil porque 65 decenas ÷ 3 no es un cálculo mental que pueda hacer.
No sería una estrategia útil si quisiera usar la tabla de valor posicional porque tendría que dibujar muchas decenas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otra manera de usar la forma unitaria como ayuda para dividir 654 entre 3.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos una tabla de valor posicional y el modelo de área como ayuda para dividir centenas, decenas y unidades.
Aprender
Dibujar en la tabla de valor posicional para dividir
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta las centenas
La clase dibuja en una tabla de valor posicional y escribe una ecuación para dividir centenas, decenas y unidades.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba 846 ÷ 2 = .
Vamos a usar una tabla de valor posicional como ayuda para dividir.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué unidades de valor posicional creen que deberían usar para representar 846 en la tabla de valor posicional.
No tiene sentido usar solo decenas y unidades porque tendríamos que dibujar 84 decenas. Son muchas decenas para dibujar y distribuir.
Podemos usar centenas, decenas y unidades. Se puede distribuir 8 centenas en 2 grupos.
Dibuje para representar 8 centenas, 4 decenas y 6 unidades en la tabla de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es el divisor?
2
¿Cómo podemos representar el divisor en la tabla de valor posicional?
Podemos trazar líneas en la tabla para representar cada grupo.
Trace una línea horizontal en la tabla de valor posicional para representar los 2 grupos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué unidad de valor posicional distribuimos primero?
La unidad de valor posicional más grande, las centenas
Centenas Decenas Unidades
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar discos de valor posicional y una tabla de tres columnas sin rotular según sea necesario. Sus estudiantes pueden usar materiales didácticos concretos para representar el total y distribuir las centenas, decenas y unidades en grupos iguales. Relacione la división con discos de valor posicional con los dibujos en la tabla de valor posicional.
¿Cuántas centenas habrá en cada grupo? ¿Cómo lo saben?
4 centenas porque 8 centenas ÷ 2 = 4 centenas
Distribuyamos 4 centenas en cada grupo de una vez, en lugar de hacerlo de una en una.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar ecuaciones con espacios en blanco para que usen sus estudiantes. Esto puede ayudar a reducir las exigencias de motricidad fina para la escritura.
÷ = centenas + decenas + unidades = =+ +
Dibuje para distribuir las centenas, 4 a la vez en cada grupo, y táchelas a medida que lo hace. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a continuar distribuyendo las decenas y las unidades.
¿Cuántas centenas, decenas y unidades hay en cada grupo?
4 centenas, 2 decenas y 3 unidades
¿Cuánto es 846 ÷ 2?
423
Escriba 423 junto a un grupo en la tabla de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Escribamos una ecuación para representar los cocientes parciales que vemos en la tabla de valor posicional.
Escriba 846 ÷ 2 debajo de la tabla de valor posicional y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale las 8 centenas en el total mientras hace la siguiente pregunta.
¿A cuántas centenas es igual 8 centenas ÷ 2?
4 centenas
Centenas Decenas Unidades
Nota para la enseñanza
La tabla de valor posicional sirve como una herramienta para separar el total en unidades de valor posicional y para distribuir cada una de esas unidades en un número dado de grupos. Puede haber estudiantes que distribuyan el número de cada unidad de valor posicional, en partes iguales, en cada grupo una a la vez (es decir, dando una a cada grupo y, luego, otra hasta que todas estén distribuidas) o que reconozcan cuántas recibirá cada grupo y distribuyan un número dado a un grupo y, luego, el mismo número a los otros grupos.
Como el objetivo de este módulo es fortalecer la comprensión de la clase sobre la división de un número de hasta cuatro dígitos entre un número de un dígito, se anima a la clase a distribuir las unidades de valor posicional en grupos en la tabla de valor posicional de una vez y a registrar la división usando la forma estándar como preparación para la división larga. Si sus estudiantes aún no tienen fluidez con las operaciones, pueden continuar distribuyendo el número de cada unidad de valor posicional una a la vez.
Escriba = 4 centenas +. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Repita el proceso con 4 decenas ÷ 2 y 6 unidades ÷ 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre los cocientes parciales representados en la ecuación y los representados en la tabla de valor posicional.
Pida a sus estudiantes que completen su trabajo en las ecuaciones escribiendo el cociente en forma estándar.
Use un proceso similar para hallar 672 ÷ 3 y 568 ÷ 4. Use las siguientes preguntas, según sea necesario, para guiar a sus estudiantes mientras usan la tabla de valor posicional y las ecuaciones para dividir:
• ¿Usarán decenas y unidades o centenas, decenas y unidades para representar el total en la tabla de valor posicional? ¿Por qué?
• ¿Cómo pueden representar el divisor en la tabla de valor posicional?
• ¿Qué unidad de valor posicional distribuirán en grupos iguales primero?
• ¿Sobran centenas? ¿Y decenas?
• ¿Qué podemos hacer con las centenas restantes? ¿Y con las decenas?
• ¿Cómo están representados los cocientes parciales en la tabla de valor posicional?
• ¿Cómo está representado el cociente en la tabla de valor posicional?
• ¿Cómo pueden usar una ecuación para representar los cocientes parciales y el cociente que ven en la tabla de valor posicional?
Centenas Decenas Unidades
Centenas Decenas Unidades
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una tabla de valor posicional para dividir centenas, decenas y unidades.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Use los siguientes enunciados al dividir 672 en la tabla de valor posicional para ayudar a sus estudiantes a diferenciar entre los términos distribuir y descomponer:
• Distribuyo 6 centenas en 3 grupos iguales.
• Luego, distribuyo 6 decenas en 3 grupos iguales.
• Hay 1 decena restante, entonces la descompongo en 10 unidades.
• Distribuyo 12 unidades en 3 grupos iguales.
Use las siguientes preguntas para comprobar la comprensión de la clase:
• ¿Cuándo distribuyen las unidades de valor posicional?
• ¿Cuándo descomponen las unidades de valor posicional?
Dibujar un modelo de área para dividir
La clase dibuja un modelo de área y escribe una ecuación para dividir.
Escriba 639 ÷ 3 = .
También podemos usar un modelo de área para dividir. Dibujemos un modelo de área como ayuda para dividir 639 entre 3.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas de sus pizarras blancas.
Dibuje un rectángulo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Dónde está representado el total en un modelo de área?
Es el espacio dentro del rectángulo, el área.
¿Dónde está representado el divisor en un modelo de área?
Es la longitud del lado conocida, el ancho.
¿Dónde está representado el cociente en un modelo de área?
Es la longitud del lado desconocida, la longitud.
Rotule el ancho del rectángulo como 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
En lugar de separar el total en partes para dividir, podemos pensar en la división como un problema de factor desconocido. Compondremos la longitud del modelo de área hasta llegar al área total.
¿Cuál es la relación entre el ancho y el área del rectángulo?
El ancho por la longitud es igual al área.
Vamos a componer para hallar la longitud del modelo de área. Comenzaremos por la unidad de valor posicional más grande del total.
¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande? ¿Cuántas centenas hay en 639?
Las centenas; 6
El ancho es 3. ¿Podemos componer una longitud de 1 centena? ¿Cómo lo saben?
Sí, porque 3 × 100 = 300, que es menos que 600.
Nota para la enseñanza
El modelo de área se puede usar de dos maneras para representar la división y hallar el cociente: comenzando por el total y descomponiéndolo para hallar la longitud del lado desconocida, o comenzando por el divisor y componiendo para hallar la longitud del lado desconocida. En el módulo 2, la clase comienza por el total. En esta lección, comienza por el divisor como preparación para la división larga.
¿Podemos componer una longitud de 2 centenas? ¿Cómo lo saben?
Sí, porque 3 × 200 = 600. Hay 6 centenas en el total.
¿Podemos componer una longitud de 3 centenas? ¿Cómo lo saben?
No, porque 3 × 300 = 900, que es más que 600. Es demasiado.
Trace una línea en el modelo de área para indicar el área parcial. Rotule la longitud como 200. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el modelo de área y haga la siguiente pregunta.
¿Cuál es el área de esta parte del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
600 porque 3 × 200 = 600.
Rotule el área como 600 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
El área total del rectángulo es 639. Vemos representado 600 del área total. ¿Cuánto falta representar del área?
39
Pensemos en la siguiente unidad de valor posicional. ¿Podemos componer una longitud de 1 decena? ¿Cómo lo saben?
Si, eso sería 30 porque 3 × 10 = 30.
¿Podemos componer una longitud de 2 decenas? ¿Cómo lo saben?
No, eso sería demasiado. 3 × 20 = 60.
Trace una línea en el modelo de área para indicar el área parcial.
Rotule la longitud como 10. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el modelo de área y haga la siguiente pregunta.
¿Cuál es el área de esta parte del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
30 porque 3 × 10 = 30.
Rotule el área como 30 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuánto queda por representar del área total.
Pensemos en la siguiente unidad de valor posicional. ¿Podemos componer una longitud de 1 unidad? ¿Y de 2 unidades? ¿Y de 3 unidades? ¿Y de 4 unidades? ¿Cómo lo saben?
Podemos componer una longitud de 3 unidades porque 3 × 3 = 9 y eso es la cantidad de área que nos falta representar.
Rotule la longitud como 3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el modelo de área y haga la siguiente pregunta.
¿Cuál es el área de esta parte del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
9 porque 3 × 3 = 9.
Rotule el área como 9 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la longitud total del rectángulo?
213
¿Cuánto es 639 ÷ 3?
213
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el modelo de área representa el total, el divisor, los cocientes parciales y el cociente.
Muestra el total porque si sumamos el área de cada parte del rectángulo, 600 + 30 + 9, es igual a 639.
Muestra el divisor porque el ancho es 3.
La longitud de cada parte del rectángulo es un cociente parcial. Sumamos los cocientes parciales para hallar el cociente.
Muestra el cociente porque la longitud es 200 + 10 + 3, que es igual a 213.
Escribamos una ecuación que represente nuestro trabajo con el modelo de área.
Escriba 639 ÷ 3 debajo del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale las partes del modelo de área completado mientras dice cada número de la ecuación.
639 ÷ 3 = 200 + 10 + 3. La longitud total es 213.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar un vínculo numérico o ecuaciones de resta mientras construye el modelo de área. Esto puede ayudar a sus estudiantes a llevar la cuenta del área del rectángulo en relación con el total de la ecuación de división.
DUA: Representación
Considere resaltar las relaciones usando un código de colores en el total, el divisor y el cociente en el modelo de área y en la ecuación. ÷
Complete la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre el modelo de área y la ecuación.
Escriba 498 ÷ 2 = .
Dibuje un rectángulo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es el ancho del rectángulo?
2
Rotule el ancho del rectángulo como 2 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total?
Las centenas
¿Cuántas centenas hay en 498?
4
¿Cuántas centenas componen la longitud del rectángulo? ¿Cómo lo saben?
2 centenas porque 2 × 200 = 400.
Trace una línea en el modelo de área para indicar el área parcial.
Rotule la longitud como 200. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el modelo de área y haga la siguiente pregunta.
¿Cuál es el área de esta parte del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
400 porque 2 × 200 = 400.
Rotule el área como 400 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto falta representar del área?
98
¿Cuántas decenas componen la longitud del rectángulo? ¿Cómo lo saben?
4 decenas porque 2 × 40 = 80. 5 decenas sería demasiado porque 2 × 50 = 100.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) al dibujar un modelo de área y escribir una ecuación para dividir.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cómo pueden explicar la expresión de división en términos de las medidas de un rectángulo?
• ¿Qué información necesitan para poder rotular el modelo de área?
Trace una línea en el modelo de área para indicar el área parcial.
Rotule la longitud como 40. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el modelo de área y haga la siguiente pregunta.
¿Cuál es el área de esta parte del rectángulo?
¿Cómo lo saben?
80 porque 2 × 40 = 80.
Rotule el área como 80 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto falta representar del área?
18
Repita el proceso con 18 unidades. Escriba una ecuación para relacionar el área con el ancho y la longitud del rectángulo. Luego, relacione la longitud del rectángulo con el cociente. Pida a la clase que sume el área de los rectángulos pequeños para verificar que el área del rectángulo sea igual a 498.
Use un proceso similar para hallar 568 ÷ 4.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar un modelo de área para dividir centenas, decenas y unidades.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias de valor posicional para dividir centenas, decenas y unidades
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de una tabla de valor posicional y un modelo de área para dividir centenas, decenas y unidades.
¿De qué manera puede ayudarles una tabla de valor posicional a dividir centenas, decenas y unidades?
Dibujar en la tabla de valor posicional me ayuda a llevar la cuenta de lo que estoy dividiendo.
Una tabla de valor posicional me ayuda a ver el total, el divisor y el cociente.
Muestre las tablas de valor posicional que muestran 136 ÷ 2 y 846 ÷ 2.
¿Cómo determinan si deben usar decenas y unidades o centenas, decenas y unidades para dividir números de tres dígitos?
Si no hay suficientes centenas para distribuirlas en grupos iguales, entonces uso decenas y unidades para dividir.
Si hay suficientes centenas en el total para distribuirlas en grupos iguales, entonces uso centenas, decenas y unidades para dividir.
¿De qué manera puede ayudarles un modelo de área a dividir centenas, decenas y unidades?
Un modelo de área me permite pensar en la división como un problema de factor desconocido.
Puedo formar el área componiendo la longitud del lado con diferentes unidades de valor posicional.
Un modelo de área es útil porque puedo mostrar cómo separar y distribuir el total en centenas, decenas y unidades.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
el modelo de área para dividir. Luego, completa los espacios.
Puedes dibujar un modelo como ayuda.
7. La maestra Díaz escribe dos expresiones de división. Pregunta a sus estudiantes qué modelo usarían para representar cada expresión.
÷ 3 595 ÷ 5
a. Zara elige representar 786 ÷ 3 con una tabla de valor posicional. Explica por qué crees que eligió ese modelo.
Creo que Zara eligió la tabla de valor posicional para 786 ÷ 3 porque podía dibujar en ella para representar 786 y, luego, podía distribuir el total, en partes iguales, en 3 grupos sin tener que reagrupar mucho.
b. David elige representar 595 ÷ 5 usando un modelo de área. Explica por qué crees que eligió ese modelo.
Creo que David eligió el modelo de área para 595 ÷ 5 porque quizás podía hallar las longitudes de los lados componiendo el área. Probablemente no quiso usar la tabla de valor posicional porque tendría que distribuir el total en 5 grupos y tendría que reagrupar mucho.
10. Un número multiplicado por 4 es igual a 968. ¿Qué número es?
Centenas
Decenas
Unidades
Aplicar estrategias de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades
Vistazo a la lección
La clase dibuja en una tabla de valor posicional y usa un modelo de área para dividir millares, centenas, decenas y unidades. Examinan el proceso de división usando estos modelos e identifican cómo se repite su razonamiento para cada valor posicional mientras dividen. También examinan las ecuaciones de división y determinan qué modelo usar.
Preguntas clave
• ¿En qué se parece la división de números más grandes a una serie de expresiones de división más pequeñas?
• ¿Cómo decidimos cuándo es mejor dibujar en una tabla de valor posicional y cuándo es mejor dibujar un modelo de área para dividir?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Dibujar en la tabla de valor posicional para dividir
• Dibujar un modelo de área para dividir
• Tabla de valor posicional o modelo de área
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional hasta los millares (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional hasta los millares (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millares de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de millar en millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de millar en millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de millar en millar. Empiecen diciendo 5,000. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo. 5,00 06,0007,0008,00011,00012 ,0 008,0009,00 110 ,0 009,00 9,0 00010,00010,0 00
Continúe contando de millar en millar hasta el 25,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Forma desarrollada y forma estándar
La clase escribe una expresión en forma desarrollada y en forma estándar como preparación para aplicar estrategias de valor posicional al dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4
La clase usa estrategias de valor posicional para dividir un número de tres dígitos como preparación para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Muestre 264 ÷ 2 = .
Hallen el cociente. Muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Antes de que comiencen a dividir, anime a sus estudiantes a pensar con flexibilidad sobre qué estrategia puede ser la más eficiente según los números presentes en el problema. En algunos casos, sus estudiantes pueden usar un modelo de área. En otros, pueden usar una estrategia de valor posicional.
Presentar
La clase examina el trabajo de división con totales de dos y tres dígitos y participa de una conversación acerca de aplicar estrategias parecidas para dividir números de cuatro dígitos.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional y el modelo de área.
La imagen muestra las estrategias que usa Liz para hallar dos cocientes.
¿Qué observan?
Liz dibujó en la tabla de valor posicional para hallar 48 ÷ 3.
Liz dibujó un modelo de área para hallar 568 ÷ 4.
Liz escribió ecuaciones para mostrar los cocientes parciales y el cociente.
Liz usó el valor posicional como ayuda para dividir. En la tabla de valor posicional, distribuyó las decenas y, luego, las unidades. En el modelo de área, usó centenas, decenas y unidades para componer la longitud del lado desconocida.
Decenas Unidades
Muestre la imagen en la que Liz piensa en una ecuación de división diferente.
¿En qué se diferencia este problema de los otros problemas de división?
El total está en los millares. Los otros problemas tenían totales en las decenas o las centenas.
Pida a sus estudiantes que, en parejas, lean el texto de la burbuja de pensamiento.
¿Qué piensa Liz sobre el problema de división?
Cree que puede usar lo que ya sabe sobre la división de centenas, decenas y unidades como ayuda para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
3,246 ÷ 2 =
Puedo usar lo que sé sobre dividir centenas, decenas y unidades como ayuda para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que Liz tiene razón y si dividir números en los millares es parecido a dividirlos en las decenas o las centenas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la tabla de valor posicional y el modelo de área como ayuda para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Aprender
Dibujar en la tabla de valor posicional para dividir
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millares
La clase dibuja en una tabla de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millares de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba 4, 862 ÷ 2 = .
Me pregunto si el razonamiento de Liz es correcto. Veamos si podemos usar el mismo proceso que usamos al dividir números de tres dígitos para dividir este número de cuatro dígitos.
Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar en la tabla de valor posicional y hallar el cociente.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Brinde apoyo cuando sea necesario y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Cómo pueden representar el total en la tabla de valor posicional?
• ¿Cómo pueden representar el divisor en la tabla de valor posicional?
• ¿Qué unidad de valor posicional distribuirán en grupos iguales primero?
• ¿Cómo pueden distribuir los millares? ¿Y las centenas? ¿Y las decenas? ¿Y las unidades?
• ¿Es necesario descomponer alguna de las unidades de valor posicional?
• ¿Cómo están representados los cocientes parciales en la tabla de valor posicional?
• ¿Cómo está representado el cociente en la tabla de valor posicional?
• ¿En qué se parece esta estrategia a la que usan cuando dividen números de tres dígitos?
Invite estudiantes a que compartan su trabajo.
Escribamos una ecuación para representar los cocientes parciales que vemos en la tabla de valor posicional.
Millares Centenas Decenas Unidades
Escriba 4,862 ÷ 2. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo y que señalen los 4 millares del total en sus tablas de valor posicional mientras hace la siguiente pregunta.
¿Cuánto es 4,000 ÷ 2?
2,000
Escriba = 2,000 +. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Repita el proceso con 800 ÷ 2, 60 ÷ 2 y 2 ÷ 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la tabla de valor posicional y la ecuación muestran la división usando unidades de valor posicional.
La tabla de valor posicional muestra 4 millares, 8 centenas, 6 decenas y 2 unidades distribuidas en 2 grupos iguales. Podemos ver los cocientes parciales de 2 millares, 4 centenas, 3 decenas y 1 unidad en cada grupo. La ecuación también muestra los cocientes parciales. Están escritos como 2,000 + 400 + 30 + 1.
¿Cuánto es 2,000 + 400 + 30 + 1?
2,431
¿Cuánto es 4,862 ÷ 2?
2,431
Escriba = 2,431. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Use un proceso similar para que las parejas trabajen y hallen 6,759 ÷ 3 y 5,248 ÷ 4. Busque que sus estudiantes:
• representen el total en la tabla de valor posicional;
• tracen líneas horizontales en la tabla de valor posicional para representar el divisor;
• distribuyan millares, centenas, decenas y unidades;
• descompongan las unidades de valor posicional restantes y
• escriban una ecuación para representar los cocientes parciales y el cociente que ven en la tabla de valor posicional.
DUA: Participación
Considere usar esta actividad en parejas para fomentar la colaboración asignando roles a cada estudiante. Estudiante A: Enumera los pasos a su pareja de trabajo. Estudiante B: Puede dibujar en la tabla de valor posicional para dividir como le indicó su pareja de trabajo. También puede hacer preguntas a su pareja de trabajo para aclarar dudas según sea necesario. Si la o el estudiante A tiene dudas sobre cómo proceder, su pareja de trabajo también puede responder sus preguntas. Pida a las parejas que intercambien roles para el siguiente problema.
Millares Centenas Decenas Unidades 2,253 3
6,759 759 ÷ 3 = 2,000 + 200 + 50 + 3 = 2,253
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional que representa 6,759 ÷ 3.
¿Qué muestra la tabla de valor posicional?
Muestra 6,759 como el total.
Muestra 3 grupos.
Muestra 6 millares distribuidos en 3 grupos iguales.
¿Cómo continuarían dividiendo en esta tabla de valor posicional?
Millares Centenas Decenas Unidades 1,312 2
÷ 4 = 1,000 + 300 + 10 + 2 = 1,312
Distribuiría las centenas. Quedaría 1 centena, así que la descompondría en 10 decenas. Luego, distribuiría las decenas, y después las unidades.
Mientras la clase describe el proceso de dibujar en la tabla de valor posicional para dividir, registre las palabras distribuir y descomponer debajo de la tabla y dibuje para mostrar cómo se distribuye cada unidad de valor posicional.
Millares Centenas Decenas Unidades
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si era correcto el razonamiento de Liz sobre usar lo que sabe acerca de la división de centenas, decenas y unidades para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Millares Centenas Decenas Unidades
A modo de conclusión, señale a sus estudiantes que pueden usar lo que saben acerca de la división de centenas, decenas y unidades para dividir millares, centenas, decenas y unidades porque siguen dividiendo de la misma manera (es decir, distribuyen en partes iguales cada unidad de valor posicional, según corresponda, comenzando por la unidad más grande; a veces descomponen antes de distribuir).
Dibujar un modelo de área para dividir
La clase dibuja un modelo de área para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
Me pregunto si el razonamiento de Liz también es correcto cuando dividimos usando un modelo de área. Si sabemos cómo dividir un número de tres dígitos usando un modelo de área, ¿sabemos también cómo dividir un número de cuatro dígitos?
Escriba 8,340 ÷ 2 = .
Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar un modelo de área, hallar 8,340 ÷ 2 y escribir una ecuación para mostrar los cocientes parciales y el cociente. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Brinde apoyo cuando sea necesario y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Cómo pueden representar el divisor en el modelo de área?
• ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total?
• ¿Cuántos millares componen la longitud del rectángulo? ¿Cuántas centenas? ¿Cuántas decenas? ¿Cuántas unidades?
• ¿Cuánto falta representar del área?
• ¿Qué representan las partes del área?
Diferenciación: Apoyo
Considere relacionar la división en la tabla de valor posicional con el modelo de área. Pida a sus estudiantes que dibujen un modelo de área para representar un problema en el que hayan usado una tabla de valor posicional para dividir. Esto puede ayudarles mientras piensan en cómo expresar las unidades de valor posicional restantes con otro nombre para dividir. Pueden consultar la tabla de valor posicional para ver la representación pictórica de la expresión de 1 unidad de valor posicional más grande como 10 de una unidad de valor posicional más pequeña. Anime a sus estudiantes a hacer conexiones entre ambas representaciones.
Diferenciación: Desafío
Considere proporcionar ecuaciones que requieran descomponer más unidades de valor posicional en el total que se debe dividir. Por ejemplo, en lugar de 8,340 ÷ 2 = , proporcione la ecuación 9,350 ÷ 2 = . Esta ecuación requiere descomponer 1 millar, 1 centena y 1 decena.
• ¿Qué representa la longitud del rectángulo?
• ¿Cómo está representada la longitud del rectángulo en su ecuación?
• ¿En qué se parece su estrategia a la que usaron cuando dibujaron el modelo de área para representar la división de centenas, decenas y unidades?
Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo.
Use un proceso similar para que las parejas hallen 5,692 ÷ 4. 4 5,692 ÷ 4 = 1,000 + 400 + 20 + 3 = 1,423 1,000 400 20 3 4,000 1,600 80 12
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional y el modelo de área.
Antes, vimos que pensamos en cada unidad de valor posicional cuando dibujamos en la tabla de valor posicional para dividir.
Millares Centenas Decenas Unidades
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo dibujar un modelo de área para dividir también muestra la división de cada unidad de valor posicional.
Componemos la longitud del lado pensando si podemos componer longitudes de millares. Luego, pensamos en las centenas, después en las decenas y, por último, en las unidades. Llevamos la cuenta del área mientras avanzamos. Eso es parecido a como representamos la división en la tabla de valor posicional porque estamos pensando en el valor posicional.
DUA: Representación
Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes a ver la relación entre las áreas en el modelo de área y el total en la ecuación:
• ¿Cuántos millares hay en el total? ¿Dónde ven 5 millares en el modelo de área?
• ¿Cuántas centenas hay en el total? ¿Dónde ven 6 centenas en el modelo de área?
• ¿Cuántas decenas hay en el total? ¿Dónde ven 9 decenas en el modelo de área?
• ¿Cuántas unidades hay en el total? ¿Dónde ven 2 unidades en el modelo de área?
Considere usar un código de colores para las relaciones entre las unidades de valor posicional en el total y aquellas en el modelo de área. Esto puede ayudar a sus estudiantes a ver el total en el modelo de área, en especial cuando necesitan expresar las unidades de valor posicional con otro nombre para dividir.
Tabla de valor posicional o modelo de área
La clase examina una ecuación de división y elige un método de su preferencia para representar la división.
Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
Muestre la ecuación.
9,256 ÷ 4 =
Dé a la clase 2 minutos para hallar el cociente en grupos, ya sea dibujando en una tabla de valor posicional o dibujando un modelo de área. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.
Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan qué modelo eligió su grupo, por qué lo eligieron y el cociente.
Elegimos dibujar en la tabla de valor posicional para dividir porque podemos distribuir los millares, las centenas, las decenas y las unidades en 4 grupos iguales. La tabla de valor posicional nos ayuda a ver cuándo necesitamos descomponer las unidades de valor posicional. 9,256 ÷ 4 = 2,314.
Elegimos dibujar un modelo de área para dividir porque no queríamos dibujar todos los millares, las centenas, las decenas y las unidades en la tabla de valor posicional. 9,256 ÷ 4 = 2,314.
Elegimos dibujar un modelo de área para dividir porque podíamos pensar en los múltiplos de 4. 9,256 ÷ 4 = 2,314.
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con 8,056 ÷ 2 y 7,845 ÷ 3.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinan si es mejor dibujar en la tabla de valor posicional o dibujar un modelo de área para dividir.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que usen la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación como ayuda para realizar preguntas aclaratorias sobre la elección de un modelo determinado para hallar el cociente.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona un modelo para representar la división.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de imagen o diagrama sería útil?
• ¿Por qué eligieron usar la tabla de valor posicional o usar el modelo de área? ¿Funcionó bien?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de aplicar estrategias de valor posicional para dividir millares, centenas, decenas y unidades.
¿En qué se parece la división de números más grandes a una serie de expresiones de división más pequeñas cuando dibujamos en la tabla de valor posicional o usamos un modelo de área para dividir?
Cuando dibujamos en la tabla de valor posicional para dividir, separamos el número en unidades de valor posicional y dividimos cada una. A veces tenemos que descomponer.
Con un modelo de área, pensamos en los múltiplos del divisor para hallar la longitud desconocida. Una vez que hallamos cuántos millares del divisor tenemos, hacemos lo mismo con las centenas, decenas y unidades.
¿Qué les ayuda a decidir si es mejor dibujar en una tabla de valor posicional o dibujar un modelo de área para dividir?
Pienso en el total y en el divisor. Si siento confianza porque conozco los múltiplos del divisor, dibujo un modelo de área.
Me gusta dibujar un modelo de área en lugar de dibujar en la tabla de valor posicional porque es más eficiente para mí.
Prefiero la tabla de valor posicional porque me ayuda a ver qué unidades de valor posicional se descomponen.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas. 10
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el modelo de área para dividir. Luego, completa los espacios.
Puedes dibujar un modelo como ayuda.
Relacionar representaciones pictóricas de división con la división larga
Divide. Dibuja en la tabla de valor posicional. Registra los cocientes parciales en forma vertical. Luego, completa la ecuación.
Vistazo a la lección
La clase dibuja en la tabla de valor posicional para dividir y usa la forma vertical para registrar la división. Hacen conexiones entre la división representada en la tabla de valor posicional y la división registrada en forma vertical. Comienzan a usar la forma vertical para registrar la división larga sin la representación en la tabla de valor posicional o en el modelo de área. En esta lección se formaliza el término división larga.
Preguntas clave
• ¿Qué relación hay entre dibujar en una tabla de valor posicional para dividir y la división en forma vertical?
• ¿Qué es la división larga?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tabla de valor posicional y forma vertical
• Hacer conexiones
• División larga y forma vertical
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos
La clase redondea un número al millar y a la decena de millar más cercanos para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 7,300 ≈ .
¿Cuánto es 7,300 redondeado al millar más cercano?
Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 7,300 ≈ .
¿Cuánto es 7,300 redondeado a la decena de millar más cercana?
Muestre el valor redondeado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de decena de millar en decena de millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de decena de millar en decena de millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de decena de millar en decena de millar. Empiecen diciendo 10,000. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de decena de millar en decena de millar hasta el 250,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 100,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales
La clase usa un vínculo numérico para descomponer un total de tres dígitos de una expresión de división para desarrollar fluidez con el uso de estrategias de valor posicional al dividir.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 264 ÷ 2.
Escriban la expresión.
¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
264
Usen un vínculo numérico para descomponer el total en 2 o 3 partes que sean útiles al dividir entre 2.
Muestre el total descompuesto en 3 partes.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase conversa sobre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y sobre representar esa división con una ecuación.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional y las ecuaciones que muestran 9,856 ÷ 8.
Invite a las parejas de estudiantes a reunirse y conversar acerca de cómo la tabla de valor posicional y las ecuaciones representan 9,856 ÷ 8.
Imaginen que alguien ha estado ausente en las últimas clases y que se les pide que le ayuden a aprender cómo dividir números más grandes. ¿Qué representación usarían para mostrar 9,856 ÷ 8, la tabla de valor posicional o las ecuaciones? ¿Por qué?
Usaría la tabla de valor posicional porque muestra cada grupo igual y qué cantidad de cada unidad descomponemos al dividir cada valor posicional.
Me gustaría usar las ecuaciones porque dibujar tantos discos y hacer todas las reagrupaciones lleva mucho tiempo. Pero no sé si podría llevar la cuenta de qué dividir usando solo ecuaciones.
Podemos usar la forma vertical para representar el proceso de división de manera parecida a como la usamos para representar los procesos de suma, resta y multiplicación.
Nota para la enseñanza
Se usa la tabla de valor posicional junto con la forma vertical en la división para ayudar a la clase a llevar la cuenta de los cocientes parciales. Considere presentar la forma vertical junto con el modelo de área para quienes prefieran o se beneficien de esa representación. Además, considere invitar a quienes les resulta eficiente la forma vertical para la división a representarla con un modelo de área para comprobar su trabajo y hacer conexiones entre todas las representaciones.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos un método escrito como ayuda para registrar nuestro trabajo de división.
Aprender
Tabla de valor posicional y forma vertical
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical
La clase relaciona dibujar en la tabla de valor posicional para dividir con la forma vertical.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba 74 ÷ 2 = y pida a la clase que haga lo mismo.
Pida a sus estudiantes que representen el total y el divisor en la tabla de valor posicional.
Escriba 74 ÷ 2 en la cuadrícula trazando una línea horizontal para separar el total del cociente y una línea vertical para separar el total del divisor. Señale la notación mientras dice lo siguiente.
Este signo representa la división.
Decimos 74 ÷ 2.
Centenas DecenasUnidades
Nota para la enseñanza
No se espera fluidez con el algoritmo convencional para la división hasta 6.° grado. En 4.° grado, se presenta la división larga a la clase. Primero, usan la forma vertical para representar cómo se dibuja en la tabla de valor posicional para dividir. Luego, usan la forma vertical para representar el proceso de la división larga. Esta manera de presentar el algoritmo convencional ayuda a la clase a ver el papel que desempeña el valor posicional en el algoritmo convencional. La clase puede usar modelos pictóricos para apoyar su comprensión de la división larga y la forma vertical.
Pida a sus estudiantes que usen la misma notación para escribir 74 ÷ 2 en sus cuadrículas. Luego, pídales que digan 74 ÷ 2, mientras señalan la notación.
¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total?
Las decenas
Invite a la clase a dibujar en la tabla de valor posicional para distribuir las decenas en 2 grupos iguales.
¿Cuántas decenas hay en cada grupo?
3 decenas
Usemos la forma vertical para representar nuestro trabajo en la tabla de valor posicional.
Registre 30 arriba del signo de división y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el cociente parcial mientras hace la siguiente pregunta.
Centenas DecenasUnidades
DUA: Representación
Considere activar los conocimientos previos de la clase sobre el uso de la forma vertical para representar cómo dibujar en la tabla de valor posicional para restar. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras comienzan a hacer conexiones entre la forma vertical y dibujar en la tabla de valor posicional para dividir.
¿Cómo está representado este cociente parcial en la tabla de valor posicional?
Hay 3 decenas en cada grupo.
Cada grupo tiene 30.
Señale el divisor y el cociente parcial mientras hace las siguientes preguntas.
Hay 2 grupos con 3 decenas en cada uno. ¿Cuántas decenas distribuyeron en total?
6 decenas
¿Qué ecuación de multiplicación representa el número de decenas que distribuyeron?
2 × 3 decenas = 6 decenas
Registre 60 debajo del total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué falta distribuir en 2 grupos en la tabla de valor posicional?
1 decena y 4 unidades
Reste 60 del total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el 14 en forma vertical y haga la siguiente pregunta.
Centenas DecenasUnidades
¿Qué observan acerca del 14 en forma vertical y qué falta distribuir en la tabla de valor posicional?
Es la misma cantidad. 1 decena y 4 unidades es la misma cantidad que 14.
Es la misma cantidad. Podemos descomponer 1 decena en 10 unidades. Entonces, habrá 14 unidades.
Invite a la clase a descomponer 1 decena en 10 unidades y a distribuir las unidades en 2 grupos iguales.
¿Cuántas unidades hay en cada grupo?
7 unidades
Registre 7 arriba del otro cociente parcial y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el cociente parcial.
¿Cómo está representado este cociente parcial en la tabla de valor posicional?
Hay 7 unidades en cada grupo.
Cada grupo tiene 7.
Señale el divisor y el cociente parcial.
Centenas DecenasUnidades
DUA: Representación
Considere hacer anotaciones en la forma vertical para ayudar a sus estudiantes a hacer conexiones con la tabla de valor posicional. Use un código de colores para ayudar a la clase a diferenciar entre la división y la multiplicación. Deje este recordatorio a la vista para que la clase pueda consultarlo a lo largo de la lección.
Hay 2 grupos con 7 unidades en cada uno. ¿Cuántas unidades distribuyeron en total?
14 unidades
¿Qué ecuación de multiplicación representa el número de unidades que distribuyeron?
2 × 7 unidades = 14 unidades
Registre 14 debajo del 14 que ya está escrito en forma vertical. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué falta distribuir en 2 grupos en la tabla de valor posicional?
Nada
Reste 14 unidades en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el 0 en forma vertical y haga la siguiente pregunta.
¿Dónde está representado el 0 en la tabla de valor posicional?
Quedan 0 decenas y unidades del total para distribuir.
¿Cuánto es 74 ÷ 2?
37
Centenas DecenasUnidades
¿Dónde ven 37 como el cociente en la tabla de valor posicional?
Cada grupo tiene 3 decenas y 7 unidades, que es 37.
¿Dónde ven 37 como el cociente en forma vertical?
Es el total de los cocientes parciales. 30 + 7 = 37.
Invite a la clase a completar la ecuación escribiendo 37 como el cociente.
Escriba 135 ÷ 3 = y pida a la clase que haga lo mismo.
¿Qué unidades de valor posicional usarían para representar el total en la tabla de valor posicional? ¿Por qué?
Las centenas, las decenas y las unidades porque son las unidades de valor posicional que hay en el total.
Usaría las decenas y las unidades porque puedo pensar en 135 como 13 decenas y 5 unidades.
¿Qué observan acerca del número de centenas y el divisor, o el número de grupos?
Centenas DecenasUnidades
No hay suficientes centenas para distribuirlas, en partes iguales, en 3 grupos.
¿Qué hacemos para poder dividir?
Descomponer 1 centena en 10 decenas.
Invite a sus estudiantes a dibujar en la tabla de valor posicional para representar el total y el divisor. Luego, pídales que representen 135 ÷ 3 en la cuadrícula como preparación para usar la forma vertical.
Pídales que dibujen para descomponer la centena, siempre que se pueda, y que distribuyan las decenas en la tabla de valor posicional. Luego, use las siguientes preguntas para guiar a sus estudiantes mientras usan la forma vertical para representar la división:
• ¿Cuántas decenas hay en cada grupo en la tabla de valor posicional? ¿Cómo podemos mostrar eso en forma vertical?
• ¿Cuántas decenas distribuyeron en total? ¿Cómo podemos mostrar eso en forma vertical?
• ¿Qué falta distribuir en la tabla de valor posicional? ¿Cómo podemos mostrar eso en forma vertical?
Use un proceso similar para dividir las decenas y unidades restantes en la tabla de valor posicional y en forma vertical.
¿Cuánto es 135 ÷ 3?
45
¿Dónde ven 45 como el cociente en la tabla de valor posicional?
Cada grupo tiene 4 decenas y 5 unidades, que es 45.
¿Dónde ven 45 como el cociente en forma vertical?
Es el total de los cocientes parciales: 40 + 5 = 45.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la manera en la que pueden usar la forma vertical para representar cómo dividen en la tabla de valor posicional.
Hacer conexiones
Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical
La clase hace conexiones entre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y usar la forma vertical para representar la división.
Escriba 568 ÷ 4 = y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el cociente. La o el estudiante A dibuja en la tabla de valor posicional para dividir y, al mismo tiempo, la o el estudiante B registra la división usando la forma vertical. Pida a las parejas que verbalicen lo que están haciendo para hacer conexiones entre sus trabajos.
Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y seleccione una para que comparta su trabajo.
Mientras comparten, considere usar las siguientes preguntas como ayuda para hacer conexiones entre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y usar la forma vertical para representar la división:
• ¿Dónde están representados el total y el divisor en la tabla de valor posicional?
¿Y en la forma vertical?
• ¿Cómo usaron la tabla de valor posicional para dividir las centenas? ¿Dónde pueden ver ese trabajo en la forma vertical?
Centenas DecenasUnidades
DUA: Acción y expresión
Considere representar el trabajo de las parejas en este segmento junto a un o una estudiante. Pida a quien haya seleccionado que dibuje en la tabla de valor posicional para dividir mientras usted usa la forma vertical. Piense en voz alta mientras usa la forma vertical para registrar el trabajo de su estudiante en la tabla de valor posicional.
• Distribuiste 1 centena en cada grupo. (Escriba 100 arriba del signo de división larga). Esto significa que distribuiste un total de 4 centenas. (Escriba 400 debajo del total).
• Faltan distribuir 1 centena, 6 decenas y 8 unidades en la tabla de valor posicional. (Reste 400 del total).
• Distribuiste 4 decenas en cada grupo. (Escriba 40 arriba de 100). Eso quiere decir que distribuiste un total de 16 decenas. (Escriba 160 debajo de 168).
• Faltan distribuir 8 unidades en la tabla de valor posicional. (Reste 160 de 168).
• Distribuiste 2 unidades en cada grupo. (Escriba 2 arriba de 40). Eso quiere decir que distribuiste un total de 8 unidades. (Escriba 8 debajo de 8).
• No queda nada por distribuir en la tabla de valor posicional. (Reste 8 de 8).
• ¿Cómo muestra la tabla de valor posicional el número de centenas que se distribuyeron?
¿Cómo representaron eso en la forma vertical?
• ¿Cómo muestra la tabla de valor posicional la decena restante? ¿Cómo representaron la decena restante en la forma vertical?
Use una secuencia similar de preguntas para comentar la división de las decenas y las unidades en la tabla de valor posicional y el uso de la división larga en la forma vertical. Luego, pregunte a sus estudiantes dónde ven el cociente en la tabla de valor posicional y en la forma vertical.
732 ÷ 3 =
Centenas DecenasUnidades
Invite a las parejas de estudiantes a usar un proceso similar para hallar 732 ÷ 3. Pídales que intercambien los roles para que la o el estudiante A registre la división usando la forma vertical y la o el estudiante B dibuje en la tabla de valor posicional para dividir.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y usar la forma vertical para representar la división.
División larga y forma vertical
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta las centenas y plantilla de forma vertical
La clase usa la división larga para dividir.
Muestre la imagen de la forma vertical que muestra 328 ÷ 2 = 164.
¿Qué observan?
Se usa la forma vertical para registrar cómo dividir 328 entre 2.
Los cocientes parciales son 100, 60 y 4.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto por qué no hay una tabla de valor posicional.
Me pregunto si se puede usar la forma vertical sin dibujar en la tabla de valor posicional para dividir.
La forma vertical representa el registro de un proceso que se usa para dividir. Este proceso se denomina división larga.
Señale el signo de división larga mientras dice el siguiente enunciado.
Esto se llama signo de división larga.
Escriba 642 ÷ 3 = .
Usemos la división larga para hallar el cociente.
Use el signo de división larga para representar 642 ÷ 3 en la cuadrícula y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Señale las 6 centenas y el divisor.
¿6 centenas ÷ 3 es igual a cuántas centenas?
2 centenas
Registre 200 arriba del signo de división larga y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale 200 y 3 mientras hace la siguiente pregunta.
¿3 × 2 centenas es igual a cuántas centenas?
6 centenas
Registre 600 debajo del total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el total y el 600 debajo del total mientras dice lo siguiente.
Dividimos las centenas. ¿Cuántas decenas y unidades necesitamos dividir?
4 decenas y 2 unidades
Reste 600 del total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Use un proceso similar para dividir las decenas y las unidades.
¿Cuánto es 642 ÷ 3?
214
Escriba la ecuación que muestre que 642 ÷ 3 = 214.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre la ecuación y la forma vertical.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere aclarar el uso de la palabra larga en el término división larga. Puede haber estudiantes que al oír la palabra larga hagan suposiciones sobre la división larga basándose en su comprensión del término en referencia al tiempo o la longitud. Aclare que la división larga es un proceso que podemos usar para dividir cuando el cálculo mental no es eficiente. Pregunte: “¿Usarían la división larga para hallar 40 ÷ 2? ¿Por qué?”.
Diferenciación: Apoyo
Invite a sus estudiantes a usar la tabla de valor posicional como apoyo para el trabajo con la división larga y la forma vertical según sea necesario. Si hay estudiantes que usan la tabla de valor posicional, anímeles a hacer conexiones entre la tabla, la división larga y la forma vertical.
Diferenciación: Desafío
Considere pedir a sus estudiantes que usen lo que saben acerca de la relación entre la multiplicación y la división para comprobar su trabajo. Pregúnteles cómo pueden usar los cocientes parciales y el divisor para hacerlo. Sus estudiantes pueden multiplicar los cocientes parciales por el divisor y, luego, sumar para comprobar su trabajo. Por ejemplo, (3 × 200) + (3 × 10) + (3 × 4) = 642.
¿Cuál de las dos representa de manera más completa el proceso que usamos para dividir, la ecuación o la forma vertical? ¿Por qué?
La forma vertical, porque muestra más que solo los cocientes parciales.
La forma vertical, porque muestra las unidades de valor posicional que quedan después de dividir cada unidad.
La forma vertical, porque se puede ver cómo se divide cada unidad de valor posicional. También se puede ver cómo se expresan con otro nombre las unidades de valor posicional que quedan después de dividir.
Repita el proceso para hallar 196 ÷ 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y usar la forma vertical para representar la división larga.
La forma vertical solo usa números para representar la división. En la tabla de valor posicional, dibujamos para representar los números y para distribuir las centenas, decenas y unidades.
Cuando usamos la forma vertical, en realidad, no distribuimos las centenas, decenas y unidades. Pensamos en cómo se pueden distribuir y usamos números para registrar ese razonamiento.
El proceso para dividir en la tabla de valor posicional y con la forma vertical es parecido. Con la forma vertical, solo usamos números para representar la división. Con la tabla de valor posicional, podemos usar los puntos como ayuda para hallar los cocientes parciales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) al usar la división larga para dividir y al registrar cocientes parciales en forma vertical. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿Qué significa el signo de división larga en este contexto?
• ¿En qué detalles es importante pensar cuando registramos la división larga en forma vertical?
• ¿Dónde podrían cometer un error al registrar la división larga en forma vertical?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Relacionar representaciones pictóricas de división con la división larga
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y representar la división larga con la forma vertical.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional y la forma vertical.
¿Qué relación hay entre dibujar en una tabla de valor posicional para dividir y la división en forma vertical?
Cuando dibujamos en la tabla de valor posicional, comenzamos distribuyendo la unidad de valor posicional más grande y avanzamos hacia las más pequeñas. Seguimos estos pasos cada vez que dividimos en la tabla de valor posicional, sin importar cuál es el total o el divisor. Con la división en forma vertical, seguimos el mismo proceso, pero representando la división con números.
Puedo ver la totalidad del proceso de la división larga en la tabla de valor posicional, como la distribución de unidades de valor posicional en grupos iguales, la descomposición en unidades de valor posicional más pequeñas para continuar dividiendo y los cocientes parciales.
¿Qué es la división larga?
La división larga es un proceso que usamos para dividir. Podemos usar la forma vertical para representar cómo dividimos en la tabla de valor posicional. Podemos dividir las centenas, decenas y unidades y escribir los cocientes parciales arriba del signo de división larga. Luego, podemos sumar los cocientes parciales para hallar el cociente.
La división larga es el proceso de dividir la unidad de valor posicional más grande primero y, luego, avanzar hacia la más pequeña hasta que no quede nada por dividir. Podemos usar ese proceso para cualquier problema de división en lugar de dibujar una tabla de valor posicional.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Divide. Dibuja en la tabla de valor posicional. Registra los cocientes parciales en forma vertical. Luego, completa la ecuación. El primero ya está resuelto como ejemplo.
Centenas DecenasUnidades
Representar la división mediante el uso de cocientes parciales
Vistazo a la lección
La clase usa la división larga para dividir números de tres y cuatro dígitos entre números de un dígito. Usan la forma vertical para registrar los pasos de la división larga y reconocen las ecuaciones de la forma vertical como una imagen de sus cálculos. También determinan la eficiencia de diversos métodos para dividir.
Pregunta clave
• ¿En qué casos la división larga es un método eficiente para dividir?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tabla de valor posicional y forma vertical
• División larga y forma vertical
• Métodos eficientes para dividir
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional hasta los millares y plantilla de forma vertical (en la edición para la enseñanza)
• Tarjetas de ecuaciones de división (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional hasta los millares y plantilla de forma vertical (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millares y plantilla de forma vertical de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Tarjetas de ecuaciones de división. Recorte pares de tarjetas, suficientes como para que haya una tarjeta por estudiante.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos
La clase redondea un número al millar y a la centena de millar más cercanos para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 61,700 ≈ .
¿Cuánto es 61,700 redondeado al millar más cercano?
Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 61,700 ≈ .
¿Cuánto es 61,700 redondeado a la centena de millar más cercana?
Muestre el valor redondeado.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
≈
≈ 100,000
Contar de decena de millar en decena de millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de decena de millar en decena de millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Cuando dé esta señal, cuenten hacia arriba. (Demuestre). Cuando dé esta señal, cuenten hacia abajo. (Demuestre). Cuando dé esta señal, deténganse. (Demuestre).
Contemos de decena de millar en decena de millar. Empiecen diciendo 50,000. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de decena de millar en decena de millar hasta el 250,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 100,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio
con la pizarra blanca: Descomponer totales
La clase usa un vínculo numérico para descomponer un total de tres dígitos de una expresión de división para desarrollar fluidez con el uso de estrategias de valor posicional al dividir.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 412 ÷ 2 .
Escriban la expresión.
¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
412
Usen un vínculo numérico para descomponer el total en 2 partes que sean útiles al dividir entre 2.
Muestre el total descompuesto en 2 partes.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
La clase hace conexiones entre el algoritmo convencional para la resta y el algoritmo convencional para la división.
Muestre la imagen de los tres problemas de resta.
¿Qué observan?
Son todos problemas de resta.
Todos usan la forma vertical para representar el algoritmo convencional para la resta.
3, 42 5 1, 26 3 2, 16 2 3 12
Cada problema requiere la descomposición de unidades de valor posicional para restar.
9, 83 5
0, 61 2
9, 22 3
El primer problema tiene millares. El siguiente tiene decenas de millar. El último problema tiene centenas de millar.
¿En qué se parece el uso del algoritmo convencional para restar con pocas o muchas unidades de valor posicional?
Restamos de cada unidad de valor posicional sin importar el número de unidades.
Descomponemos una unidad de valor posicional más grande cuando no hay suficientes de una unidad para restar.
Muestre la imagen de las expresiones de división.
¿En qué se parecen estas expresiones?
El divisor de ambas expresiones es 4.
El total en ambas expresiones incluye los dígitos 5, 4 y 8.
¿En qué se diferencian estas expresiones?
La unidad de valor posicional más grande de la primera expresión es la centena. En la segunda, la unidad de valor posicional más grande es el millar.
El total en 7,548 ÷ 4 es 7 millares más que el total en 548 ÷ 4.
¿Podemos usar la división larga para hallar el cociente de la primera expresión?
Sí.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si se puede usar la división larga para hallar el cociente de la segunda expresión.
Sí, podemos usar la división larga para dividir un total que tiene millares. Podemos usar el mismo proceso que usamos para dividir un total que tiene centenas.
En el caso de la resta, usamos operaciones de resta para cada unidad de valor posicional, sin importar cuántas unidades hay en el total. Entonces, sí, podemos usar el mismo proceso con la división larga para hallar 7,548 ÷ 4.
Sí, podemos usar la división larga para hallar 7,548 ÷ 4. Comenzamos por los millares y repetimos el mismo proceso para dividir números con centenas.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la división larga para dividir números de tres y cuatro dígitos entre números de un dígito.
Aprender
Tabla de valor posicional y forma vertical
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millares y plantilla de forma vertical
La clase usa la forma vertical para representar su trabajo de división en la tabla de valor posicional.
Escriba la ecuación 4,278 ÷ 3 = .
Pida a sus estudiantes que representen el total y el divisor en la tabla de valor posicional y en la cuadrícula con el signo de división larga.
¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total?
Los millares
Pida a sus estudiantes que dibujen en la tabla de valor posicional para distribuir los millares en 3 grupos iguales.
¿Cuántos millares hay en cada grupo?
1 millar
Millares Centenas DecenasUnidades
¿Cómo podemos representar eso con la forma vertical?
Podemos escribir 1,000 arriba del total como el primer cociente parcial.
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar una plantilla con el signo de división larga, los signos de resta y las líneas ya incorporados en la cuadrícula. Esto puede ayudar a sus estudiantes a organizar los números en forma vertical y a asegurar que tienen suficiente espacio para registrar todos los cocientes parciales.
Registre 1,000 arriba del signo de división larga y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Señale el divisor y el cociente parcial.
Tenemos 3 grupos con 1,000 en cada uno. ¿Qué ecuación de multiplicación representa el número que distribuyeron?
3 × 1,000 = 3,000
Registre 3,000 debajo del total y réstelo del total.
Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Millares Centenas DecenasUnidades
¿Qué falta distribuir en 3 grupos en la tabla de valor posicional?
1 millar, 2 centenas, 7 decenas, 8 unidades
Pida a sus estudiantes que descompongan el millar restante en 10 centenas.
Continúe el proceso para dividir las centenas, decenas y unidades.
¿Cuánto es 4,278 ÷ 3? 1,426
¿Dónde ven 1,426 como el cociente en la tabla de valor posicional?
Cada grupo tiene 1 millar, 4 centenas, 2 decenas y 6 unidades, que es 1,426.
¿Dónde ven 1,426 como el cociente en forma vertical?
Es el total de los cocientes parciales.
1,000 + 400 + 20 + 6 = 1,426
Millares Centenas DecenasUnidades
Escriba la ecuación 2,184 ÷ 6 = .
Pida a sus estudiantes que representen el total y el divisor en la tabla de valor posicional y en la cuadrícula con el signo de división larga.
¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande? ¿Qué cantidad podemos distribuir en cada grupo?
La unidad de valor posicional más grande es el millar. Hay solo 2 millares. No son suficientes para distribuirlos en cada grupo.
¿Qué podemos hacer con los 2 millares para que se puedan distribuir en cada grupo?
Podemos descomponer 2 millares en 20 centenas.
Nota
para la enseñanza
Considere invitar a la clase a comentar cómo pueden representar 2,184 ÷ 6 en la tabla de valor posicional. Puede haber estudiantes que quieran dibujar y, luego, descomponer 2 millares en 20 centenas. También puede haber estudiantes que elijan representar 2 millares y 1 centena como 21 centenas.
Pida a sus estudiantes que descompongan 2 millares en 20 centenas y, luego, que las distribuyan en 6 grupos iguales.
¿21 centenas es divisible entre 6? ¿Por qué?
No, no hay una operación de multiplicación para 6 que tenga un total de 21.
No, no podemos distribuir 21 centenas, en partes iguales, en 6 grupos de centenas.
Millares Centenas DecenasUnidades
Nota para la enseñanza
Considere invitar a la clase a dibujar un modelo de área para hallar 2,184 ÷ 6 después de dibujar en la tabla de valor posicional. Pregúnteles cómo se compara llevar la cuenta de las reagrupaciones en el modelo de área mentalmente con hacer lo mismo registrando la división larga en forma vertical. Guíe a sus estudiantes para que vean que registrar la división larga en forma vertical puede ser útil cuando hay muchas reagrupaciones en la división.
¿Cuántas centenas podemos distribuir en cada grupo? 3 centenas
¿Cómo podemos representar eso con la forma vertical?
Podemos escribir 300 arriba del total como el primer cociente parcial.
Registre 300 arriba del signo de división larga y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Observe a sus estudiantes mientras alinean las centenas del cociente parcial con las centenas del total. Señale el divisor y el cociente parcial.
Hay 6 grupos con 300 en cada uno. ¿Qué ecuación de multiplicación representa el número que distribuyeron?
6 × 300 = 1,800
Registre 1,800 debajo del total. Reste 1,800 del total, expresándolo con otro nombre para restar. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Pudimos distribuir todas las centenas? ¿Qué podemos hacer a continuación?
No, quedan 3 centenas. Podemos descomponerlas en 30 decenas.
Pida a sus estudiantes que descompongan 3 centenas en 30 decenas.
Haga una pausa cuando sus estudiantes tengan 38 decenas representadas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si la tabla de valor posicional representa el problema eficientemente.
Sí, puedo relacionar los puntos con el registro.
No, es difícil dibujar y llevar la cuenta de 6 grupos iguales.
Millares Centenas DecenasUnidades
No, se necesita mucho tiempo y mucha organización para dibujar 30 decenas.
A veces, los números en un problema hacen que dibujar en la tabla de valor posicional no sea eficiente. 38 decenas es demasiado para dibujar y distribuir. ¿Dónde ven 38 decenas en la forma vertical?
Veo 38 decenas en 384, la cantidad del total que queda después de restar.
Continuemos registrando en forma vertical.
Invite a la clase a imaginar cómo distribuir 38 decenas en 6 grupos.
¿Qué operación conocen que puede ayudarles a dividir 38 decenas en 6 grupos?
Sé que 6 × 6 = 36, entonces 6 × 60 = 360.
Sé que 36 decenas ÷ 6 = 6 decenas.
Registre el cociente parcial, 60, y reste 360. Pida a la clase que haga lo mismo.
¿Qué falta dividir? ¿Cómo lo saben?
Faltan dividir 24 unidades. Es la cantidad que queda después de restar 360.
Complete el registro en la forma vertical mientras sus estudiantes imaginan cómo dividir en la tabla de valor posicional y usan operaciones conocidas como ayuda para dividir.
¿Cuánto es 2,184 ÷ 6? ¿Dónde ven eso en la forma vertical?
Es 364. Puedo sumar los cocientes parciales, 300 + 60 + 4.
¿Cómo les ayudó el registro en forma vertical a completar el problema?
Pude simplemente pensar en distribuir las unidades de valor posicional en cada grupo en lugar de dibujar todas.
La resta me ayudó a llevar la cuenta del total, y pude usar operaciones conocidas para dividir.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del proceso que se repite al dibujar en la tabla de valor posicional para dividir y al usar la forma vertical.
División larga y forma vertical
Materiales: E) Tabla de valor posicional hasta los millares y plantilla de forma vertical, tarjetas de ecuaciones de división
La clase usa la división larga para dividir números de cuatro dígitos.
Distribuya una tarjeta de ecuaciones de división a cada estudiante. Pídales que busquen a alguien más que tenga una tarjeta con la misma ecuación. Invite a las parejas de estudiantes a usar la división larga para hallar el cociente de la ecuación de sus tarjetas. Deben usar la forma vertical para registrar la división larga.
Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• Cuando usan el signo de división larga, ¿dónde representan el total y el divisor?
• ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total? ¿Tienen que expresar la unidad de valor posicional más grande con otro nombre antes de dividir?
• ¿Cómo pueden representar el cociente parcial para cada unidad de valor posicional?
• ¿Cómo pueden representar con la forma vertical el número total de cada unidad de valor posicional que dividieron?
• Después de dividir cada unidad de valor posicional, ¿cómo pueden representar lo que todavía falta dividir?
• ¿Hay millares, centenas o decenas restantes? ¿Qué pueden hacer para dividir las unidades de valor posicional restantes?
• ¿Cómo pueden usar los cocientes parciales para hallar el cociente?
Nota para la enseñanza
Considere tener en cuenta la comprensión de cada estudiante de la división larga y la forma vertical cuando asigne las tarjetas de ecuaciones de división. Las expresiones están organizadas de simples a complejas. El tamaño del divisor, el número de dígitos en el total y en el cociente así como el número de reagrupaciones pueden contribuir a la complejidad de un problema.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas y comienzos de oración para brindar apoyo a sus estudiantes mientras trabajan en parejas usando la división larga y la forma vertical para dividir.
• Podemos dividir primero porque es la unidad de valor posicional más grande.
• Dividimos un total de millares.
• Faltan dividir millares, centenas, decenas y unidades.
• Los cocientes parciales son
• El cociente es .
Reúna las tarjetas de ecuaciones de división y distribuya una nueva tarjeta a cada estudiante. Pida a sus estudiantes que repitan el proceso con las nuevas tarjetas de ecuaciones de división.
Forme grupos de cuatro estudiantes uniendo dos parejas. Pida a las parejas que compartan su trabajo entre ellas.
¿En qué se parecían los procesos que usaron para hallar el cociente?
Usamos la forma vertical para registrar la división larga.
Repetimos el mismo proceso para dividir. Comenzamos por la unidad de valor posicional más grande, la dividimos y, luego, restamos para ver qué faltaba dividir. Continuamos repitiendo ese proceso para hallar los cocientes parciales.
Sumamos los cocientes parciales para hallar el cociente.
Métodos eficientes para dividir
La clase determina si los enunciados sobre los métodos para dividir son verdaderos siempre, a veces o nunca.
Presente el siguiente enunciado:
Dibujar en la tabla de valor posicional para dividir es un método eficiente.
Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas.
Dé 1 minuto para que sus estudiantes piensen en silencio y evalúen si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a quienes haya seleccionado que compartan su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación. Para concluir, llegue al consenso de que el enunciado es a veces verdadero porque la tabla de valor posicional ayuda a la clase a imaginar el proceso de división. No es eficiente cuando hay muchas reagrupaciones o si hay otro método más eficiente, como el cálculo mental.
Diferenciación: Desafío
Considere desafiar a sus estudiantes a proporcionar una pregunta o contexto que pueda representar las ecuaciones en las tarjetas de ecuaciones de división. Por ejemplo, una pregunta y un contexto para la tarjeta de ecuaciones de división C podrían ser los siguientes:
• ¿1,926 es 3 veces qué número?
• Carla tiene 1,926 manzanas. Las separa, en partes iguales, en 3 cestos. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando usa la división larga para hallar cocientes y lo registra en forma vertical. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué no cambia en la manera en la que usan la división larga para hallar los cocientes en estas ecuaciones?
• ¿Qué patrones observan al usar la división larga y al registrar en forma vertical? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 9,924 ÷ 6 de forma más eficiente?
Repita la rutina Siempre, a veces, nunca para los siguientes enunciados:
• Dibujar un modelo de área para dividir es más eficiente que dibujar en la tabla de valor posicional para dividir.
Esto es verdadero a veces. Cuando los dígitos en el total y en el divisor son operaciones conocidas, como 884 ÷ 4, puede ser eficiente para mí dibujar un modelo de área para dividir. Pero cuando las operaciones no son conocidas, como 1,884 ÷ 4, dividir en la tabla de valor posicional es eficiente para mí.
• La división larga es el método más eficiente para dividir.
Esto es verdadero a veces. Cuando puedo dividir usando el cálculo mental, entonces la división larga no sería el método más eficiente. Por ejemplo, puedo pensar en 824 ÷ 8 como 8 centenas ÷ 8 y 24 unidades ÷ 8 mentalmente.
¿Qué observan sobre todos los enunciados de división?
Todos son verdaderos a veces.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinan qué método usar para dividir.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar expresiones para ayudar a sus estudiantes a pensar mientras determinan si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Por ejemplo, presente la expresión 48 ÷ 2. Haga las siguientes preguntas:
• ¿La división larga es el método más eficiente para ayudarles a hallar el cociente? ¿Por qué?
• ¿De qué manera les ayuda pensar en esta expresión a determinar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar la división mediante el uso de cocientes parciales
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de usar la división larga para dividir números de tres y cuatro dígitos entre números de un dígito.
Muestre la imagen de la forma vertical para las expresiones analizadas en la sección Presentar, 548 ÷ 4 y 7,548 ÷ 4.
¿Cómo pueden usar la división larga y la forma vertical para dividir números de tres y cuatro dígitos entre números de un dígito?
Puedo usar las operaciones de división que conozco para dividir cada unidad de valor posicional. Puedo llevar la cuenta de lo que queda por dividir y registrar cada cociente parcial.
Puedo usar la forma vertical para registrar el proceso de división larga cuando uso una tabla de valor posicional.
¿En qué casos la división larga es un método eficiente para dividir?
La división larga es eficiente cuando no puedo usar el cálculo mental para dividir.
Cuando puedo hallar los cocientes parciales usando las operaciones de división que conozco y no necesito dibujar en la tabla de valor posicional para dividir, la división larga es eficiente.
Cuando hay muchas unidades de valor posicional para dividir, es más eficiente usar la división larga y la forma vertical que dibujar en la tabla de valor posicional para dividir.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Divide. Dibuja en la tabla de valor posicional. Registra los cocientes parciales en forma vertical. Luego, completa la ecuación. El primero ya está resuelto como ejemplo.
7. El Sr. Endo divide 712 tarjetas en 4 grupos iguales. ¿Cuántas tarjetas hay en cada grupo? 712 ÷ 4 = 178 Hay 178 tarjetas en cada grupo.
Millares Centenas Decenas Unidades
Great Minds
Elegir y aplicar un método para dividir números de varios dígitos
Vistazo a la lección
La clase divide números de tres y cuatro dígitos usando diferentes métodos. Comentan las semejanzas y diferencias entre los métodos. Usan su comprensión del valor posicional para dividir cuando el total o el cociente incluyen el dígito 0. La clase selecciona y aplica un método para dividir un número de cuatro dígitos.
Preguntas clave
• ¿Qué tienen en cuenta cuando eligen un método para dividir?
• ¿De qué manera entender el valor posicional les ayuda a dividir cuando el total o el cociente incluyen el dígito 0?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tres métodos
• Comparar y contrastar métodos
• Seleccionar un método
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• afiches preparados con antelación
Estudiantes
• Práctica veloz: Redondear al millar más cercano (en el libro para estudiantes)
• Página de registro de los métodos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• Prepare tres afiches: uno que diga Modelo de área, uno que diga División larga y otro que diga Otro. Cuelgue los afiches en tres lugares diferentes del salón de clases.
• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de los libros para estudiantes con antelación o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Redondear al millar más cercano
Materiales: E) Práctica veloz: Redondear al millar más cercano
EUREKA MATH2 4 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Redondear al millar más cercano
La clase redondea un número al millar más cercano para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Redondea al millar más cercano.
1. 4,795 ≈ 5,000
2. 62,308 ≈ 62,000
3. 136,824 ≈
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique a sus estudiantes que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 2 con los problemas 3 a 4? ¿Cómo se comparan los problemas 1 a 4 con los problemas 5 a 8?
• ¿Cambió su estrategia para los problemas 13 a 22? De ser así, ¿cómo cambió?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de millar en millar desde el 5,000 hasta el 15,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de millar en millar desde el 15,000 hasta el 5,000 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase piensa en varios métodos para dividir.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional que representa 8,168 ÷ 8.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del proceso que usó la o el estudiante para dividir.
¿Qué otros métodos para dividir podría haber usado?
Podría haber dibujado un modelo de área.
Podría haber registrado numéricamente, con ecuaciones o usando la división larga en forma vertical.
Podría usar el cálculo mental para pensar en 8 millares, 16 decenas y 8 unidades ÷ 8 usando las operaciones de división 16 ÷ 8 y 8 ÷ 8.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué método usarían para hallar 8,168 ÷ 8 y por qué.
Registraría la división larga en forma vertical. Me parece que es más eficiente que dibujar 8 grupos y todos los puntos en la tabla de valor posicional. La división larga tiene unos pocos pasos.
Registraría mi razonamiento con ecuaciones porque puedo ver cómo separar 8,168 en partes que puedo dividir entre 8, como 8 millares, 16 decenas y 8 unidades.
Los números en el problema pueden hacer la diferencia en el método que usamos para dividir.
Millares Centenas Decenas Unidades
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, elegiremos y aplicaremos diferentes métodos para dividir.
Aprender
Tres métodos
5 35
Materiales: E) Página de registro de los métodos
La clase usa varios métodos para hallar tres cocientes diferentes.
8,168 ÷ 8 = 1,021
1 millar
2 decenas enas
1 unidad
Invite a la clase a retirar la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de sus libros.
Escriba 912 ÷ 3, 5,296 ÷ 8 y 6,025 ÷ 5.
Forme grupos de tres estudiantes.
Cada estudiante A escribe 912 ÷ 3 en la parte de arriba de su hoja.
Cada estudiante B escribe 5,296 ÷ 8 en la parte de arriba de su hoja.
Cada estudiante C escribe 6,025 ÷ 5 en la parte de arriba de su hoja.
Dé 2 minutos para que cada estudiante elija un método y divida.
Pídales que muestren su trabajo en el espacio del método 1. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Qué método eligieron y por qué?
• ¿De qué manera podrían usar las unidades de valor posicional como ayuda para separar el número en partes?
• ¿Qué operaciones conocen que podrían ser de ayuda?
• ¿De qué manera podría ayudarles una tabla de valor posicional o un modelo de área?
Una vez que hayan terminado, pídales que pasen su hoja a alguien más en su grupo, de manera que cada estudiante tenga un problema nuevo.
Dé 1 minuto para que cada estudiante vea el trabajo completado en el espacio para el método 1 y piense en un método de división diferente para usar en el método 2.
Dé 2 minutos para que cada estudiante aplique el método elegido para dividir y registre su trabajo en el espacio para el método 2.
Repita el proceso para el método 3. Luego, pida a sus estudiantes que le devuelvan la hoja a la persona con la que originalmente la intercambiaron.
Dé 2 minutos para que cada estudiante vea el trabajo completado con los métodos 1, 2 y 3 en su hoja y realice preguntas aclaratorias a quienes integran el grupo sobre el trabajo que realizaron sus pares. Recorra el salón de clases mientras la clase conversa, e identifique a dos estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento.
DUA: Acción y expresión
Antes de formar grupos, pida a la clase que piense y se prepare para compartir los métodos que usaron para la división. Una vez que sus estudiantes hayan formado grupos, preste atención a quienes sugieren métodos tales como separar y distribuir, la tabla de valor posicional, un modelo de área o la división larga.
Considere comentar con la clase que pensar acerca de lo que conocen y crear un plan antes de comenzar una tarea es una estrategia útil.
Comparar y contrastar métodos
La clase compara y contrasta los métodos usados para dividir en diferentes problemas.
Reúna a la clase y pida a quien haya seleccionado que comparta el trabajo de su grupo para 912 ÷ 3. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre los métodos y a hacer sus propias preguntas.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos usados para hallar el cociente?
En cada uno, 912 se separa en 900 y 12. Luego, se divide cada parte.
En el método 1 se hallan los cocientes parciales usando la forma unitaria.
El modelo de área en el método 2 registra la menor cantidad de pasos.
En cada método se descompone 912 en 9 centenas y 12 unidades.
¿Por qué no se descompuso 12 en 1 decena y 2 unidades?
Cada parte se tiene que dividir entre 3. 1 decena no es divisible entre 3, y 2 unidades tampoco lo es. 12 unidades es divisible entre 3.
¿Por qué hay un 0 en la posición de las decenas del cociente?
Los cocientes parciales son 3 centenas y 4 unidades porque dividimos 9 centenas y 12 unidades. No dividimos ninguna decena, entonces hay un 0 en la posición de las decenas del cociente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferencias y semejanzas entre uno de los métodos y el que usó su grupo.
DUA: Representación
Considere resaltar las semejanzas entre los métodos. Use un color para resaltar cómo se separa el total en partes cada vez. Use un color diferente para resaltar los cocientes parciales.
Invite a alguien más a compartir con la clase el trabajo de su grupo para 6,025 ÷ 5.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos usados para hallar el cociente?
Los tres métodos muestran primero 5 millares divididos entre 5.
Cada método muestra cómo se dividen los millares, las centenas y las unidades, pero no las decenas.
Hay menos escritura en el método 1 que en los métodos 2 y 3. Es posible que lleve menos tiempo hallar la respuesta.
El total tiene 0 centenas. ¿Por qué el cociente tiene 2 centenas?
Se tuvo que descomponer 1 millar en 10 centenas para poder dividirlo entre 5. 10 centenas ÷ 5 = 2 centenas
¿Dónde ven 10 centenas divididas entre 5 en cada método?
En la forma vertical, las 10 centenas en 1,025 están divididas entre 5.
En la tabla de valor posicional, 1 millar se descompone en 10 centenas y se distribuyen en 5 grupos.
En forma unitaria, se descompone 6,025 y una de las partes es 10 centenas. Luego, se dividen 10 centenas entre 5.
Si esta vez eligieron un método diferente para dividir, ¿por qué lo hicieron?
Registré la división en forma vertical porque no podía llevar la cuenta de la resta mentalmente mientras dividía los millares y las centenas.
Dibujé una tabla de valor posicional porque tenía dudas sobre cómo dividir 6 millares y 0 centenas entre 5. Dibujar me ayudó a descomponer y a dividir las unidades de valor posicional.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando halla un cociente usando diferentes métodos, comparte su trabajo y compara y contrasta los diferentes métodos.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• Cuando usan la división larga para determinar un cociente y registran en forma vertical, ¿con qué pasos deben tener más cuidado? ¿Por qué?
• ¿En qué detalles es importante pensar al hacer conexiones entre los métodos?
Millares Centenas Decenas Unidades
Pida a los grupos que comenten qué métodos eligieron para hallar 5,296 ÷ 8 y por qué. Recorra el salón de clases mientras la clase conversa. Preste atención a aquellos estudiantes que identifiquen cómo un divisor más grande influyó en su elección del método.
La clase razona para seleccionar un método y hallar un cociente.
Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes hacia los afiches colgados en el salón de clases que dicen Modelo de área, División larga y Otro (ver la sección Preparación de la lección).
Presente el problema de la sección Presentar: 8,168 ÷ 8.
Invite a la clase a ubicarse junto al afiche que representa el método que usarían para hallar el cociente.
Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 minuto para que los grupos comenten por qué lo eligieron.
Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación.
Pídales que regresen a sus asientos. Dé a la clase 1 minuto para aplicar el método que eligieron para hallar el cociente.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo funcionó el método.
Elegí el modelo de área, y funcionó bien para mí porque pude descomponer casi todo el total mentalmente. Para mí, el modelo de área fue una forma eficiente de registrar la división de cada parte.
La división larga funcionó bien para mí porque me ayudó a llevar la cuenta de todas las partes del total mientras trabajaba.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar un esquema de oración para ayudar a la clase a compartir sus justificaciones durante la rutina Tomar una postura.
• Usaría para resolver el problema porque .
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Elegir y aplicar un método para dividir números de varios dígitos
Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras.
¿Qué tienen en cuenta cuando eligen un método para dividir?
Tengo en cuenta si puedo separar el total en partes mentalmente.
Tengo en cuenta si necesito dibujar algo como ayuda para visualizar el problema.
Tengo en cuenta las operaciones relacionadas que conozco.
¿De qué manera entender el valor posicional les ayuda a dividir cuando el total o el cociente incluyen el dígito 0?
Uso el valor posicional para expresar las unidades de valor posicional y dividirlas cuidadosamente cuando hay un 0. Uso el valor posicional para escribir los dígitos en el cociente de manera correcta.
Cuando hay un 0 en el total, como en el caso de las centenas, igualmente puedo dividirlas si usé el valor posicional para descomponer millares en centenas.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1.
Nombre Fecha
Divide. Muestra o explica tu método. 1.
Tema C
Multiplicación de números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito
En el tema C, la clase multiplica números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito.
En el módulo 2, la clase aplica la propiedad distributiva para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito. Usan tablas de valor posicional, modelos de área, ecuaciones y operaciones conocidas para separar el factor más grande por sus unidades de valor posicional. Identifican los productos parciales multiplicando el número de cada unidad de valor posicional por el factor más pequeño. Suman los productos parciales para hallar el producto final. En este tema, la clase usa las mismas representaciones y métodos similares para multiplicar números de tres y cuatro dígitos por números de un dígito. Reconocen que el proceso de separar el factor más grande en partes, basándose en el valor posicional, y de multiplicar cada parte por el factor más pequeño sigue siendo el mismo cuando se aplica a la multiplicación de números con unidades de valor posicional más grandes.
El tema C comienza con la multiplicación de números de tres dígitos por números de un dígito. La clase usa una tabla de valor posicional y un modelo de área para representar la multiplicación. Escriben ecuaciones para mostrar cómo las representaciones pictóricas demuestran la propiedad distributiva. Luego, usan los mismos métodos para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito. Reconocen que pueden elegir los métodos que usan para multiplicar.
A medida que el tema avanza, la clase hace una transición para registrar la multiplicación en forma vertical. Identifican dónde ven productos parciales dentro de la tabla de valor posicional y las representaciones del modelo de área y registran los productos parciales de forma vertical. Ven cómo se aplica la propiedad distributiva a medida que multiplican cada unidad de valor posicional, registran cada producto parcial de forma vertical y suman para hallar el producto final.
En la última lección del tema, la clase usa diferentes métodos para registrar los productos parciales de forma vertical. Esto incluye la combinación de productos parciales registrándolos en una línea como preparación para otra manera de registrar la multiplicación usando la forma vertical en el tema D.
En el tema D, la clase multiplica números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Progresión de las lecciones
Lección 9
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito
Centenas Decenas Unidades
Puedo aplicar lo que ya sé sobre la multiplicación para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito dibujando en una tabla de valor posicional y dibujando un modelo de área. Puedo representar el número de grupos y el número en cada grupo en la tabla de valor posicional. Eso me ayuda a ver los productos parciales. Puedo sumarlos para hallar el producto. La reagrupación en la tabla de valor posicional puede ayudarme a hallar el producto sin tener que sumar los productos parciales.
Lección 10
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito
Lección 11
Representar la multiplicación mediante el uso de productos parciales
Puedo multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito usando los mismos métodos que uso para multiplicar números de dos y tres dígitos por números de un dígito. Cuando dibujo un modelo de área, los factores representan las longitudes de los lados. Separo el factor más grande por valor posicional y, luego, multiplico el número de cada unidad de valor posicional por el otro factor para hallar los productos parciales. Sumo los productos parciales para hallar el producto.
El mismo proceso que uso cuando represento la multiplicación en una tabla de valor posicional o con un modelo de área se puede usar para hallar y registrar productos parciales en forma vertical. Separo un factor por valor posicional y multiplico el número de cada unidad de valor posicional por el otro factor para hallar los productos parciales. Sumo los productos parciales para hallar el producto.
Millares
Lección 12
Multiplicar usando diferentes métodos de registro en forma vertical
Puedo usar diferentes métodos para registrar los productos parciales cuando multiplico. Puedo registrar los productos parciales en líneas separadas o puedo registrarlos en una sola línea. Uso la manera que me resulta más eficiente.
Multiplica. Muestra tu método.
a. 3 × 283 = 849
Ejemplo:
200 80 3
600 3 240 9
600 + 240 + 9 = 849
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito
Vistazo a la lección
La clase aplica estrategias de valor posicional conocidas para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito. Multiplican usando una tabla de valor posicional y un modelo de área. En cada representación, escriben ecuaciones e identifican el valor posicional.
• ¿Cómo podemos usar las operaciones conocidas y lo que sabemos acerca del valor posicional como ayuda para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
(4.NBT.B.5)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicar en la tabla de valor posicional
• Multiplicar con un modelo de área
• Seleccionar un método
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional de cuatro columnas (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional de cuatro columnas (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional de cuatro columnas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de centena de millar en centena de millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de centena de millar en centena de millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de centena de millar en centena de millar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de centena de millar en centena de millar hasta 1,500,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por 1,000,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar dibujos de valor posicional
La clase escribe una expresión de multiplicación que represente un dibujo de valor posicional como preparación para multiplicar con números de tres dígitos.
Muestre el dibujo de valor posicional que representa 2 grupos de 13.
Escriban una expresión de multiplicación para representar el dibujo de valor posicional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de expresión.
Decenas Unidades
Nota para la enseñanza
Las expectativas en 4.° grado se limitan a los números enteros menores que o iguales a 1 millón. Extender la secuencia de conteo unas unidades de valor posicional más allá promueve la comprensión de que los patrones de valor posicional continúan aplicándose más allá de 1 millón.
2 × 13
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar
La clase multiplica unidades o decenas en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar para desarrollar la comprensión del valor posicional al multiplicar números de varios dígitos.
Muestre 2 × 1 unidad = unidades.
¿Cuánto es 2 × 1 unidad? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
2 unidades
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
2 × 1 unidad = 2 unidades
2 × 1 = 2
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
2 × 7 unidades = 14 unidades
2 × 7 = 14
5 × 6 unidades = 30 unidades
5 × 6 = 30
2 × 8 decenas = 16 decenas
2 × 80 = 160
3 × 9 unidades = 27 unidades
3 × 9 = 27
3 × 1 decena = 3 decenas
3 × 10 = 30
5 × 9 decenas = 45 decenas
5 × 90 = 450
4 × 8 unidades = 32 unidades
4 × 8 = 32
2 × 2 decenas = 4 decenas
2 × 20 = 40
8 × 8 decenas = 64 decenas
8 × 80 = 640
Presentar
La clase compara la multiplicación de números de dos y tres dígitos por números de un dígito en la tabla de valor posicional.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Tabla de valor posicional de 3 columnas.
Presente el problema:
Una tienda vende 4 libros. Cada libro cuesta $12. ¿Cuál es el costo total de los libros?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué expresión se puede usar para representar el problema. 5
Muestre la expresión 4 × 12 representada en la tabla de valor posicional.
¿Cuál es el costo total de los libros?
¿Cómo lo saben?
$48. Veo que 4 × 1 decena = 4 decenas y que 4 × 2 unidades = 8 unidades.
Presente el problema:
Centenas Decenas Unidades 4 12 ×
La tienda también vende 4 televisores. Cada televisor cuesta $212. ¿Cuál es el costo total de los televisores?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la expresión que representa el problema y las semejanzas y diferencias con la expresión que representa el problema del libro.
La expresión es 4 × 212. El primer factor es 4, al igual que en los libros. El segundo factor es diferente.
En ambos problemas, el segundo factor tiene 1 decena y 2 unidades.
El segundo problema tiene 2 centenas y el primer problema no tiene ninguna centena.
Muestre la expresión 4 × 212 representada en la tabla de valor posicional.
¿Cuál es el costo total de los televisores?
¿Cómo lo saben?
$848. Veo que 4 × 2 centenas = 8 centenas, que 4 × 1 decena = 4 decenas y que 4 × 2 unidades = 8 unidades.
Centenas Decenas Unidades
Apoyo para la comprensión del lenguaje
4 212 ×
¿En qué se parece multiplicar con un número de tres dígitos en la tabla de valor posicional a multiplicar con un número de dos dígitos?
Seguimos separando el factor más grande en unidades de valor posicional, pero en lugar de mostrar decenas y unidades, mostramos centenas, decenas y unidades.
Hallamos el producto parcial de cada unidad de valor posicional para hallar el total. Esta vez, hay tres productos parciales.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito.
Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre los términos que se formalizaron en la lección 5 del módulo 2. Propiedad distributiva y productos parciales son términos útiles para conversar sobre la multiplicación en este tema.
Muestre el afiche de referencia de la propiedad distributiva creado en la lección 5 del módulo 2 para que sus estudiantes lo consulten.
Use la actividad digital interactiva para mostrar las ecuaciones. Señale la suma de los productos parciales e invite a la clase a compartir por qué se denominan productos parciales.
Aprender
35
Multiplicar en la tabla de valor posicional
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional de cuatro columnas
La clase multiplica un número de tres dígitos por un número de un dígito en la tabla de valor posicional.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional de cuatro columnas de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba el siguiente problema: 3 veces 423.
Pida a sus estudiantes que dibujen puntos para representar el problema en la tabla de valor posicional mientras usted hace lo mismo.
¿Qué expresión de multiplicación representa el problema?
3 × 423
Escriba 3 × 423.
¿Cómo está representado el primer factor en la tabla de valor posicional? Hay 3 grupos horizontales.
¿Cómo está representado el segundo factor en la tabla de valor posicional?
El tamaño de cada grupo es 423.
¿Cómo usaron las unidades de valor posicional para descomponer 423?
Descompusimos 423 en 4 centenas, 2 decenas y 3 unidades.
Decenas Unidades Millares
Pida a las parejas de trabajo que escriban una ecuación para mostrar que 3 × 423 es la misma cantidad que 3 grupos de 4 centenas, 2 decenas y 3 unidades. Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar discos de valor posicional para que sus estudiantes representen la multiplicación en lugar de dibujar en la tabla de valor posicional. También considere guiar a sus estudiantes para que piensen y registren en forma unitaria. Una vez que sus estudiantes puedan sumar los productos parciales y hallar el total, pídales que conviertan los números de forma unitaria a forma estándar.
Reescribamos la expresión en forma estándar. ¿Cuánto es 4 centenas en forma estándar?
¿Y 2 decenas? ¿Y 3 unidades?
Escriba = 3 × (400 + 20 + 3).
Cuando usemos la propiedad distributiva de la multiplicación, ¿cuántos productos parciales tendremos? ¿Cómo lo saben?
Tendremos tres productos parciales porque separamos 423 en tres unidades de valor posicional. En el factor hay centenas, decenas y unidades, así que habrá tres productos parciales.
¿Qué tres expresiones representan cómo podemos usar la propiedad distributiva para obtener tres productos parciales?
3 × 400, 3 × 20, 3 × 3
Escriba = (3 × 400) + (3 × 20) + (3 × 3). Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la conexión entre
Dibujamos 3 grupos de 423. Eso es la misma cantidad que 3 grupos de 4 centenas, 2 decenas y 3 unidades, o 400 + 20 + 3. Tenemos 3 grupos de 400, 3 grupos de 20 y 3 grupos de 3.
Las tres expresiones tienen el mismo valor, pero están escritas de maneras diferentes. Hay 3 grupos de 400, 3 grupos de 20 y 3 grupos de 3.
Invite a las parejas de estudiantes a hallar los productos parciales en forma estándar.
¿Cuáles son los productos parciales?
1,200, 60 y 9
Escriba = 1,200 + 60 + 9. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo están representados los productos parciales en la tabla de valor posicional?
Hay 12 centenas en la posición de las centenas en la tabla. Podemos escribir el producto parcial de 12 centenas como 1,200.
Hay 6 decenas en la tabla y 60 es un producto parcial.
Hay 9 unidades en la tabla y 9 es un producto parcial.
Escriba 1,200 + 60 + 9 debajo de la tabla de valor posicional. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Dónde ven representado el producto en la tabla de valor posicional?
Si reagrupamos 10 centenas en 1 millar, habrá 1 millar, 2 centenas, 6 decenas y 9 unidades. Eso es 1,269. 12 centenas, 6 decenas y 9 unidades es 1,269.
Podemos reagrupar 10 centenas en 1 millar para que la tabla de valor posicional represente el producto, o podemos dejar que la tabla de valor posicional represente los productos parciales. De cualquier manera, las ecuaciones representan los productos parciales y estos representan el producto.
¿Cuánto es 3 × 423?
Escriba = 1,269 junto a 1,200 + 60 + 9.
Millares Centenas Decenas Unidades
Escriba = 1,269 debajo de 1,200 + 60 + 9 para completar la ecuación debajo de la tabla de valor posicional.
Pida a sus estudiantes que borren sus pizarras blancas. Dé a las parejas 2 minutos para repetir el proceso y hallar 3 × 135.
¿Cómo usaron el valor posicional para separar 3 × 135 en partes y hallar el resultado?
Dibujé 135 como 1 centena, 3 decenas y 5 unidades. Luego, multipliqué las centenas, decenas y unidades por 3. Sumé los productos parciales para hallar el producto.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar una tabla de valor posicional para multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Nota para la enseñanza
Pensar en forma unitaria ayuda a la clase a prestar atención al valor posicional cuando multiplican con factores más grandes. Continúe reforzando el razonamiento y el lenguaje unitario, pero haga la transición hacia el registro en forma estándar.
Multiplicar con un modelo de área
La clase analiza los modelos de área que representan la multiplicación de un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Presente el modelo de área y los ejemplos de soluciones para 5 × 218 y 5 × 208.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.
0 10 8
5 × 21 8 = 5 × (20 0 + 10 + 8)
= ( 5 × 20 0) + ( 5 × 10) + ( 5 × 8)
= 1,000 + 50 + 40
1, 000 5
= 1, 04 0 5 1,00 0 50 40
= 1,09 0
5 × 208 = 5 × (2 00 + 8) = (5 × 20 0) + (5 × 8)
= 1, 000 + 40
Observar y preguntarse
¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que dibujaron modelos de área.
Observo que hay tres partes en uno de los modelos de área y dos partes en el otro.
Observo que hay tres productos parciales en una ecuación y dos productos parciales en la otra.
Observo que un modelo de área representa 5 × 218 y el otro modelo de área representa 5 × 208.
Me pregunto por qué un número de tres dígitos se separó en tres partes y el otro número de tres dígitos se separó en dos partes.
Organizar
Veamos el trabajo para 5 × 218. ¿Qué pasos siguió este o esta estudiante? ¿Cómo lo saben?
Descompuso 218 en 200, 10 y 8. Puedo ver las tres partes rotuladas en el lado del modelo de área y en la ecuación como 200 + 10 + 8.
Multiplicó cada parte por 5 para hallar los productos parciales. Puedo ver eso en la ecuación como (5 × 200) + (5 × 10) + (5 × 8) y puedo ver los tres productos parciales en la ecuación y el modelo de área.
Sumó los productos parciales. Lo sé porque 1,000 + 50 + 40 = 1,090.
Ahora miremos el trabajo para 5 × 208. ¿Qué pasos siguió la o el estudiante para hallar este producto? ¿Cómo lo saben?
Separó 208 en 200 y 8. Puedo ver las dos partes rotuladas en el lado del modelo de área y en la ecuación como 200 + 8.
Multiplicó ambas partes por 5 para hallar los productos parciales. Puedo ver eso en la ecuación como (5 × 200) + (5 × 8) y puedo ver los dos productos parciales en la ecuación y el modelo de área.
Sumó los productos parciales. Lo sé porque 1,000 + 40 = 1,040.
Guíe la conversación para enfocarse en el valor posicional y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la multiplicación del número de tres dígitos por un número de un dígito.
Mostrar
Enfoquémonos en el valor posicional. ¿Cómo usó este o esta estudiante el valor posicional para separar 218 en partes?
Hay 2 centenas, 1 decena y 8 unidades en el número, así que lo separó en 200 + 10 + 8.
¿Cómo usó el valor posicional para separar 208 en partes?
Hay 2 centenas y 8 unidades en el número, así que lo separó en 200 + 8.
¿En qué se diferencian las unidades de valor posicional en 218 y 208?
208 no tiene ninguna decena en la posición de las decenas y 218 tiene 1 decena en la posición de las decenas.
Sintetizar
Ambos modelos de área representan la multiplicación de un número de tres dígitos por un número de un dígito. ¿Cómo puede el valor posicional explicar por qué hay tres partes en uno de los modelos de área pero solo dos partes en el otro?
Hay 0 decenas en la posición de las decenas en 208. Solo dos unidades de valor posicional tienen dígitos que no son 0. El modelo de área para 5 × 208 solo necesita dos partes. Ninguno de los tres dígitos en 218 es 0, así que el modelo de área para 5 × 218 necesita tres partes.
Comprender
¿Por qué es útil el valor posicional cuando multiplicamos un número de tres dígitos por un número de un dígito?
El valor posicional ayuda a separar el número de tres dígitos en partes para poder usar la propiedad distributiva.
Podemos usar las operaciones de multiplicación que conocemos para hallar el número de centenas en el producto, de la misma manera que podemos hacerlo con las decenas y las unidades. Solo la unidad de valor posicional es diferente.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo decidir la manera de separar un número de tres dígitos en partes para multiplicarlo por un número de un dígito.
Dé a las parejas 2 minutos para que usen un modelo de área y hallen 5 × 340.
¿Cómo usaron un modelo de área para hallar 5 × 340?
Dibujé un modelo de área con 2 partes y multipliqué 5 × 300 y 5 × 40. Luego, sumé los 2 productos parciales, 1,500 + 200 = 1,700.
Entonces, 5 × 340 = 1,700.
¿En qué se parece y en qué se diferencia dibujar un modelo de área para hallar 5 × 340 de dibujar un modelo de área para hallar 5 × 208?
Ambos modelos de área solo tienen dos partes aunque uno de los factores tiene tres dígitos. En 208, el dígito de las decenas es 0, así que no hay una parte en el modelo de área que represente las decenas. En 340, el dígito de las unidades es 0, así que no hay una parte en el modelo de área que represente las unidades.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar un modelo de área para multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Seleccionar un método
La clase selecciona un método para multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Escriba 4 × 462.
Dé a las parejas 2 minutos para seleccionar un método y hallar el producto.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja e identifique dos o tres estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a quienes haya seleccionado que compartan su trabajo con todo el grupo.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use el valor posicional para separar los números en partes y multiplicarlos, y que extienda las estrategias conocidas de multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito a multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito.
Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas. Considere hacer las siguientes preguntas:
• ¿Cómo se descompone 462?
• ¿Cómo usó cada estudiante el valor posicional para hallar los productos parciales?
• ¿Dónde ven aplicada la propiedad distributiva en el trabajo?
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar a sus estudiantes el ejemplo de trabajo para 5 × 218 del segmento anterior que separa la tarea en cada paso realizado. Resalte el primer factor en un color y las centenas, decenas y unidades del segundo factor en diferentes colores.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona un método para multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Por qué eligieron ese método? ¿Fue eficiente hallar 4 × 462 usando su método?
• ¿Qué estrategias de valor posicional pueden ayudarles a descomponer uno de los factores?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito se parece a multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito
Presente la siguiente situación a la clase.
Jayla quiere saber cómo hallar el producto de 3 y 423. Dice que sabe cómo multiplicar un número de un dígito por un número de un dígito, pero que no sabe cómo multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que le dirían a Jayla para ayudarla.
Le diría a Jayla que si sabe cómo multiplicar con números de un dígito, puede multiplicar un número de tres dígitos por un número de un dígito. Puede expresar 423 en forma unitaria para poder usar sus operaciones de multiplicación y multiplicar cada unidad de valor posicional por 3.
Le mostraría a Jayla cómo dibujar una tabla de valor posicional y cómo representar 3 × 423 en ella. Le diría que piense en dibujar 3 grupos iguales para cada valor posicional. Hay 3 grupos de 4 centenas, 3 grupos de 2 decenas y 3 grupos de 3 unidades.
Le mostraría a Jayla cómo separar el número en partes y usar un modelo de área como ayuda para multiplicar.
Guíe una conversación de toda la clase que enfatice cómo el valor posicional ayuda a multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito.
¿Cómo podemos usar las operaciones conocidas y lo que sabemos acerca del valor posicional como ayuda para multiplicar números de tres dígitos por números de un dígito?
Pensar en el valor posicional nos ayuda a separar el número de tres dígitos en partes. Luego, podemos usar las operaciones que conocemos para multiplicar cada parte por el número de un dígito.
Podemos usar las operaciones de multiplicación y las unidades de valor posicional para hallar los productos parciales y, luego, podemos sumar los productos parciales para hallar el producto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Halla 3 × 253 usando la tabla de valor posicional y el modelo de área.
a. Tabla de valor posicional
Modelo de área
8. Deepa halló 4 × 854 usando la tabla de valor posicional. Millares Centenas Decenas Unidades
Multiplica. Muestra tu método. 2. 2 × 423 = 846
2 × 436 = 872 4. 3 × 262 = 786
a. Explica el error de Deepa.
854 tiene 8 centenas, 5 decenas y 4 unidades. El error de Deepa es que separó 854 en 8 centenas, 4 decenas y 5 unidades.
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito
Vistazo a la lección
La clase multiplica números de cuatro dígitos por números de un dígito usando una tabla de valor posicional y un modelo de área. Aplican su comprensión del valor posicional al trabajo y lo relacionan con la multiplicación de números de dos y tres dígitos por números de un dígito.
4
4,000 300 10 2 16,000 1,200 40 8
16,000 + 1,200 + 40 + 8 = 17,248
b. 3 × 2,405 = 7,215
Ejemplo:
MillaresCentenas Decenas Unidades
Pregunta clave
• ¿En qué se parecen los métodos que usamos para multiplicar números de dos dígitos, tres dígitos y cuatro dígitos por números de un dígito?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
(4.NBT.B.5)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Multiplicación de varios dígitos en la tabla de valor posicional
• El valor posicional y el modelo de área
• Tres métodos
• Comparar y contrastar métodos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional de cinco columnas (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional de cinco columnas (en el libro para estudiantes)
• Página de registro de los métodos (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional de cinco columnas de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección.
Fluidez
Contar de centena de millar en centena de millar con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con el conteo de centena de millar en centena de millar.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de centena de millar en centena de millar. Empiecen diciendo 500,000. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba, hacia abajo o muestre la palma según corresponda para cada conteo.
Continúe contando de centena de millar en centena de millar hasta 1,500,000. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por 1,000,000, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar modelos de área
La clase escribe una expresión de multiplicación que represente un modelo de área como preparación para multiplicar con números de cuatro dígitos.
Muestre el modelo de área que representa 2 × 16.
Escriban una expresión de multiplicación para representar el modelo de área.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el ejemplo de expresión.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar
La clase multiplica decenas o centenas en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar para desarrollar la comprensión del valor posicional al multiplicar números de varios dígitos.
Muestre 4 × 1 decena = decenas.
¿Cuánto es 4 × 1 decena? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
4 decenas
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
La clase razona acerca del uso de estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos y tres dígitos por números de un dígito al multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Liz dice que si sabes cómo multiplicar números de dos y tres dígitos por números de un dígito, también sabes cómo multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si están de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado de Liz y por qué.
Estoy de acuerdo. Cuando multiplicamos números de dos y tres dígitos por números de un dígito, separamos los números más grandes por valor posicional y, luego, multiplicamos cada unidad de valor posicional por el número de un dígito. Probablemente también podemos hacer eso para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito. Tal vez eso es lo que piensa Liz.
Estoy de acuerdo. Podemos dibujar en la tabla de valor posicional para representar un número con cualquier número de dígitos y, luego, podemos dibujar el número de grupos que necesitamos para el factor de un dígito. Podemos usar nuestros dibujos como ayuda para multiplicar.
Estoy de acuerdo. Podemos usar un modelo de área como ayuda para multiplicar números de dos y tres dígitos por números de un dígito. Si dibujamos un modelo de área con una parte para los millares, entonces creo que podríamos multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Destaque el razonamiento que reconozca que el proceso para multiplicar cualquier número de varios dígitos por un número de un dígito es el mismo. El número de varios dígitos se puede separar por valor posicional y cada unidad se puede multiplicar por el número de un dígito.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos las estrategias de valor posicional para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Aprender
Multiplicación de varios dígitos en la tabla de valor posicional
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional de cinco columnas
La clase multiplica un número de cuatro dígitos por un número de un dígito en la tabla de valor posicional.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional de cinco columnas de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas. Invite a la clase a dibujar y representar 4 grupos de 5,213 en sus tablas de valor posicional.
¿Qué problema de multiplicación se representa en la tabla de valor posicional? ¿Cómo lo saben?
Se representa el problema 4 × 5,213. Dibujé 4 grupos iguales de 5,213.
Escriba 4 × 5,213.
¿Qué unidades de valor posicional se multiplican en el segundo factor?
Millares, centenas, decenas y unidades
Decenas de millar
Millares Centenas Decenas Unidades
¿Qué ecuación podemos escribir en forma estándar para representar cómo se separa 4 × 5,213 en partes en la tabla de valor posicional?
Escriba = 4 × (5,000 + 200 + 10 + 3).
Cuando usemos la propiedad distributiva de la multiplicación para hallar el producto de esta expresión, ¿cuántos productos parciales habrá? ¿Cómo lo saben?
4 porque separamos 5,213 en 4 unidades de valor posicional.
Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir las expresiones que representan los productos parciales. Elija estudiantes para que compartan sus expresiones.
Registre 20,000 como el primer producto parcial. Luego, dé a las parejas 1 minuto para completar los productos parciales y hallar el total. Permita que sus estudiantes reagrupen en la tabla de valor posicional según sea necesario.
DUA: Acción y expresión
Repase el razonamiento de Liz en la sección Presentar. Pregunte a sus estudiantes si, después de completar el trabajo en la tabla de valor posicional, pueden confirmar si el razonamiento de Liz era correcto. Después de que lleguen al consenso de que el razonamiento de Liz era correcto, ayúdeles a reflexionar planteando las siguientes preguntas:
• Si estaban de acuerdo con Liz, ¿qué se confirmó de su razonamiento?
• Si estaban en desacuerdo con Liz, ¿qué ha cambiado en su razonamiento?
¿Cuánto es 4 × 5,213? ¿Cómo se relaciona su trabajo con lo que se muestra en la tabla de valor posicional?
El producto es 20,852. Veo 4 grupos de cada unidad de valor posicional en la tabla de valor posicional. Los puntos en la tabla de valor posicional representan los productos parciales. Una vez que reagrupé en la tabla, cada unidad de valor posicional del producto se relaciona con cada unidad de valor posicional en la tabla.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que sucede cada vez que multiplican un número de dos, tres o cuatro dígitos por un número de un dígito en la tabla de valor posicional.
El número de varios dígitos se separa en unidades de valor posicional.
Cada unidad de valor posicional se multiplica por el factor de un dígito.
Se suman los productos parciales para hallar el producto.
El valor posicional y el modelo de área
La clase usa un modelo de área para multiplicar un número de cuatro dígitos por un número de un dígito.
Presente el problema: 3 × 6,803
Cuando multiplicamos en la tabla de valor posicional, separamos el número de cuatro dígitos en unidades de valor posicional y multiplicamos cada parte por el número de un dígito. ¿Cómo podemos mostrar un razonamiento parecido para multiplicar un número de cuatro dígitos por un número de un dígito con un modelo de área?
Podemos separar el número de cuatro dígitos en unidades de valor posicional y separar el área de un rectángulo en partes para cada unidad de valor posicional.
Invite a la clase a dibujar y rotular un modelo de área para representar 3 × 6,803.
¿Cuántas partes tiene su modelo de área? ¿Por qué?
Tiene tres partes porque uno de los dígitos en 6,803 es un 0.
Hay 0 decenas, entonces solo multiplicamos los millares, las centenas y las unidades por el número de un dígito. 3
6,000 800 3 3 × 6,803
Guíe a sus estudiantes para que hallen los productos parciales y los registren en el modelo de área.
Ahora tenemos que sumar los productos parciales. A menudo hemos podido usar el cálculo mental o estrategias de simplificación para sumar los productos parciales de manera eficiente. ¿En qué deberíamos pensar como ayuda para decidir cómo sumar estos productos parciales?
3 18,000 2,400 9 6,000 800 3 3 × 6,803 = 20,409
Hay 5 unidades de valor posicional para llevar la cuenta, entonces sumar usando el cálculo mental solo podría funcionar para algunos productos parciales.
El producto parcial más grande tiene 5 dígitos y es posible que tengamos que reagrupar, así que sumar usando el algoritmo convencional y registrar en forma vertical podría ser útil.
Invite a la clase a elegir la manera de sumar y hallar el producto final.
¿Cuánto es 3 × 6,803?
20,409
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se usa el valor posicional para multiplicar un número de cuatro dígitos por un número de un dígito con un modelo de área.
Tres métodos
Materiales: E) Página de registro de los métodos
La clase usa diversos métodos para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Invite a la clase a retirar la hoja extraíble de Página de registro de los métodos de sus libros.
Escriba 2 × 4,794, 5 × 3,016 y 4 × 2,351.
Forme grupos de tres estudiantes.
Estudiante A: escribe 2 × 4,794 en la parte de arriba de su hoja. Estudiante B: escribe 5 × 3,016 en la parte de arriba de su hoja. Estudiante C: escribe 4 × 2,351 en la parte de arriba de su hoja.
Dé 2 minutos para que cada estudiante elija un método y multiplique. Pídales que muestren su trabajo en el espacio del método 1. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y proporcione apoyo según sea necesario. Considere hacer preguntas como las siguientes:
• ¿Qué estrategia eligieron y por qué?
• ¿De qué manera podrían usar las unidades de valor posicional como ayuda para separar el número en partes?
• ¿Qué operaciones conocen que podrían ser de ayuda?
• ¿De qué manera podría ayudarles una tabla de valor posicional o un modelo de área?
Una vez que hayan terminado, pídales que pasen su hoja a alguien más en su grupo, de manera que cada estudiante tenga un problema nuevo.
Dé 1 minuto para que cada estudiante vea el trabajo completado en el recuadro para el método 1 y piense en un método de multiplicación diferente para usar en el método 2.
Dé 2 minutos para que cada estudiante aplique el método elegido para multiplicar y registre su trabajo en el espacio para el método 2.
Repita el proceso para el método 3. Luego, pida a sus estudiantes que le devuelvan la hoja a la persona con la que originalmente la intercambiaron.
Dé 2 minutos para que cada estudiante vea el trabajo completado con los métodos 1, 2 y 3 en su hoja y realice preguntas aclaratorias a quienes integran el grupo sobre el trabajo que realizaron sus pares. Recorra el salón de clases mientras la clase conversa, e identifique a dos estudiantes para que compartan su trabajo en el siguiente segmento.
Comparar y contrastar métodos
Materiales: E) Página de registro de los métodos
La clase compara y contrasta los métodos usados para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito.
Reúna a la clase y pida a quien haya seleccionado que comparta el trabajo de su grupo para 2 × 4,794. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre los métodos y a hacer sus propias preguntas.
DUA: Acción y expresión
Considere apoyar a sus estudiantes en la planificación de su método para multiplicar el número de cuatro dígitos. Pídales que se reúnan con alguien más del grupo y resuman los pasos de un método que puedan aplicar antes de comenzar.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Anime a la clase a usar la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación como ayuda para hacer preguntas aclaratorias a quienes conforman el grupo.
¿Cómo ven cada parte del número de cuatro dígitos en los diferentes métodos?
Veo los millares, las centenas, las decenas y las unidades en la tabla de valor posicional.
Veo cada unidad de valor posicional de 4,794 a lo largo del modelo de área.
Veo el factor separado en la ecuación como (4,000 + 700 + 90 + 4).
¿Cómo ven que se usa el valor posicional en el trabajo?
Veo el factor de cuatro dígitos separado en partes según el valor posicional.
Veo que se usa el valor posicional para hallar los productos parciales.
Multiplicamos el número de millares, centenas, decenas y unidades por el número de un dígito.
¿Qué método elegirían para resolver este problema? ¿Por qué?
Elegiría el modelo de área o las ecuaciones. Ya que se trata de multiplicar por 2, puedo multiplicar mentalmente en lugar de dibujar en la tabla de valor posicional como ayuda para multiplicar.
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para 5 × 3,016 y 4 × 2,351. Invite a alguien más a compartir los métodos de su grupo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre los métodos usados para multiplicar un número de cuatro dígitos por un número de un dígito.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa diferentes métodos para multiplicar un número de cuatro dígitos por un número de un dígito.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• Consideren las dos maneras en que representaron 2 × 4,794 con el modelo de área y la tabla de valor posicional. ¿Cómo se relacionan? ¿Cómo puede ayudarles esto a escribir una ecuación para hallar el producto?
• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre el valor posicional como ayuda para hallar 2 × 4,794?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de multiplicar números de hasta cuatro dígitos por números de un dígito.
¿Cómo usamos las estrategias de valor posicional que conocemos para multiplicar números de cuatro dígitos por números de un dígito?
Representamos la multiplicación en una tabla de valor posicional. Dibujamos grupos iguales de cada unidad de valor posicional del factor más grande.
Separamos el factor más grande por valor posicional y dibujamos un modelo de área con partes para cada unidad de valor posicional.
Separamos el factor más grande en partes y registramos usando la propiedad distributiva.
Usamos las operaciones de multiplicación para multiplicar el número de cada unidad de valor posicional por el factor de un dígito.
Muestre la imagen de los tres métodos de multiplicación.
¿En qué se parecen los métodos que usamos para multiplicar números de dos dígitos, tres dígitos y cuatro dígitos por números de un dígito?
Podemos usar la propiedad distributiva en todos los casos. Separamos el número más grande por valor posicional y multiplicamos cada unidad de valor posicional por el número de un dígito.
Usamos la misma estrategia de valor posicional sin importar el tamaño del factor más grande. Separamos el factor más grande en partes y multiplicamos cada unidad de valor posicional por el factor de un dígito.
Hallamos todos los productos parciales y los sumamos para hallar el producto.
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Multiplica. Muestra tu método.
1. Halla 3 × 2,543 usando la tabla de valor posicional y el modelo de área.
a. Tabla de valor posicional
6.
Decenas de millar
Millares Centenas
Decenas Unidades
Great Minds PBC
Representar la multiplicación mediante el uso de productos parciales
Vistazo a la lección
La clase hace conexiones entre las estrategias de multiplicación aprendidas previamente, los modelos y las notaciones escritas. Piensan en la eficiencia de usar modelos pictóricos, la propiedad distributiva y la forma vertical para registrar productos parciales. Asimismo, analizan un ejemplo de trabajo para comentar el papel que desempeña el valor posicional en la multiplicación de varios dígitos.
Pregunta clave
• ¿De qué maneras nos ayuda pensar en la multiplicación en una tabla de valor posicional o en un modelo de área a registrar los productos parciales en forma vertical?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Productos parciales en modelos pictóricos y en forma vertical
• Productos parciales en forma vertical
• Factores con 0
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta 1,000,000
La clase usa el algoritmo convencional para la suma o la resta con números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con las operaciones aprendidas en el módulo 1.
Muestre 57,581 + 34,253 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la respuesta y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Números primos y compuestos
La clase identifica un número dentro del rango del 1 al 50 como primo o compuesto para adquirir fluidez con los números primos y compuestos presentados en el módulo 2.
Muestre el número 3.
¿El 3 es un número primo o compuesto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Primo
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Multiplicar hasta el 100
La clase halla un producto para familiarizarse con formas alternativas de pensar en las ecuaciones.
Muestre la ecuación y la pregunta para 2 × 3.
¿Cuánto es 2 por 3? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Muestre la respuesta.
2 × 3 = 6
¿Cuánto es 2 por 3?
Nota para la enseñanza
Las siguientes preguntas se incluyen con las ecuaciones de multiplicación. Estas preguntas permiten a sus estudiantes reconocer diferentes formas de pensar en las ecuaciones.
• ¿Cuánto es por ?
• ¿Cuánto es grupos de ?
• ¿Cuál es el producto de y ?
• ¿Cuánto es veces ?
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
4 × 45 × 55 × 96 × 87 × 93 × 9
4 × 7
6 × 69 × 63 × 74 × 66 × 78 × 8
Presentar
La clase compara la eficiencia de la suma de productos parciales en forma horizontal y vertical.
Escriba 8 × 769.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para descomponer 769 y usar la propiedad distributiva para hallar el producto. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Cómo pueden usar las unidades de valor posicional para descomponer 769?
• ¿Cómo pueden mostrar que las centenas, decenas y unidades se multiplican por 8?
• ¿Cómo pueden usar los productos parciales para hallar el producto de 8 y 769?
Muestre la imagen de los productos parciales escritos en forma horizontal y vertical. 5
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar ecuaciones con espacios para ayudar a sus estudiantes con el uso de la propiedad distributiva. 8 × 769
Si necesitan más apoyo, considere proporcionarles una tabla de valor posicional o un modelo de área en blanco. + 72 480 5 600 11 6,1 52 , = 5,600 + 480 + 72 = 6,152
¿Qué observan sobre los productos parciales cuando se escriben en forma horizontal y vertical?
Cada forma muestra los mismos tres productos parciales y el producto.
Cuando los productos parciales se escriben en forma vertical, las unidades de valor posicional se alinean.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si es más eficiente sumar los productos parciales de forma horizontal o vertical.
La forma vertical es más eficiente con estos productos parciales, ya que es más fácil llevar la cuenta de las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre.
Para este problema, la forma vertical es más eficiente porque es un desafío para mí usar el cálculo mental para sumar estos productos parciales.
La forma vertical es más eficiente porque puedo alinear las unidades de valor posicional. Me resulta más fácil sumar las unidades, las decenas y las centenas.
A veces, escribir los productos parciales de forma horizontal puede ser más eficiente si solo hay unos pocos productos parciales y cuando puedo usar el cálculo mental para sumarlos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, multiplicaremos registrando los productos parciales en forma vertical.
Aprender
Productos
parciales en modelos pictóricos y en forma vertical
Materiales: M/E) Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical
La clase relaciona el uso de la forma vertical para registrar los productos parciales con el uso de la tabla de valor posicional y el modelo de área para representar la multiplicación.
Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.
Escriba 3 × 452.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar un tiempo a lo largo de la lección para que sus estudiantes se detengan y reflexionen sobre su comprensión del registro de los productos parciales. Por ejemplo, pídales que se hagan las siguientes preguntas:
• ¿Qué me ayuda a entender este método de multiplicación?
• ¿Qué parte me resulta confusa?
• ¿Cómo se relaciona este método con las otras formas de multiplicar?
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el producto. Pida a un o una integrante de la pareja que dibuje para multiplicar en la tabla de valor posicional, pero que no muestre la reagrupación. Pida a la otra o el otro integrante que use un modelo de área para multiplicar.
Centenas Millares Decenas Unidades
¿Cuánto es 3 × 452?
1,356
Usemos la forma vertical para registrar los productos parciales.
Escriba 3 × 452 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de con qué unidad de valor posicional comienzan a sumar y restar en forma vertical.
Comencemos con las unidades para hallar los productos parciales.
Use gestos y señale los números mientras hace las siguientes preguntas.
¿3 × 2 unidades es igual a cuántas unidades?
6 unidades
Escriba 6 unidades como 6 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Dónde se ubican las 6 unidades en la tabla de valor posicional?
¿Y en el modelo de área?
Hay 3 grupos de 2 unidades en la tabla de valor posicional, lo que es igual a 6 unidades.
El área del rectángulo con longitudes de los lados de 3 y 2 es 6. 6 es 6 unidades.
¿Qué expresión de multiplicación se usó para hallar este producto parcial?
3 × 2 unidades
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere rotular la hoja extraíble de Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical con el nombre de cada representación para ayudar a sus estudiantes a relacionar las palabras habladas con el registro visual.
Nota para la enseñanza
Dibujar una flecha y escribir una expresión en forma unitaria para mostrar lo que se multiplica es un soporte intencional que puede ayudar a sus estudiantes a separar el número por valor posicional y a aplicar la propiedad distributiva. La forma unitaria puede ayudarles a conectar las operaciones de multiplicación conocidas con las unidades de valor posicional que están multiplicando.
No se espera que sus estudiantes incluyan este registro en su trabajo.
Millares Centenas Decenas Unidades
Dibuje una flecha junto al 6 y escriba 3 × 2 unidades.
¿Qué unidad de valor posicional es la siguiente para multiplicar?
Las decenas
¿3 × 5 decenas es igual a cuántas decenas? 15 decenas
Escriba 15 decenas como 150 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Dónde se ubican las 15 decenas en la tabla de valor posicional? ¿Y en el modelo de área?
Hay 3 grupos de 5 decenas en la tabla de valor posicional, lo que es igual a 15 decenas.
El área del rectángulo con longitudes de los lados de 3 y 50 es 150. 150 es 15 decenas.
¿Qué expresión de multiplicación se usó para hallar este producto parcial?
3 × 5 decenas
Dibuje una flecha junto a 150 y escriba 3 × 5 decenas.
¿Qué unidad de valor posicional es la siguiente para multiplicar?
Las centenas
¿3 × 4 centenas es igual a cuántas centenas? 12 centenas
Escriba 1200 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Dónde se ubican las 12 centenas en la tabla de valor posicional? ¿Y en el modelo de área?
Hay 3 grupos de 4 centenas en la tabla de valor posicional, lo que es igual a 12 centenas.
El área del rectángulo con longitudes de los lados de 3 y 400 es 1,200. 1,200 es 12 centenas.
DUA: Representación
Considere resaltar las relaciones entre el factor, las expresiones de multiplicación y los productos parciales usando un código de colores para mostrar las unidades, las decenas y las centenas.
¿Qué expresión de multiplicación se usó para hallar este producto parcial?
3 × 4 centenas
Dibuje una flecha junto a 1200 y escriba 3 × 4 centenas.
¿Quedan unidades de valor posicional por multiplicar?
No, las centenas son la unidad de valor posicional más grande.
¿Qué podemos hacer con los productos parciales para hallar 3 × 452?
Podemos sumarlos.
Invite a la clase a sumar los productos parciales.
¿Cuál es la suma de los productos parciales?
1,356
¿Cómo se compara 1,356 con los productos que hallaron al usar la tabla de valor posicional y un modelo de área?
Los productos son todos iguales.
Muestre la imagen de los ejemplos de trabajo.
Nota para la enseñanza
Al usar la forma vertical para registrar los productos parciales, la clase puede trabajar de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Trabajar de derecha a izquierda y comenzar con la unidad de valor posicional más pequeña se relaciona con el trabajo que sus estudiantes realizan con el algoritmo convencional y la forma vertical en 5.° grado y grados posteriores.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas entre dibujar para multiplicar en la tabla de valor posicional, usar un modelo de área para multiplicar y usar la forma vertical para registrar los productos parciales. Son diferentes formas de mostrar los mismos productos parciales.
Podemos pensar en las unidades, las decenas y las centenas para hallar los productos parciales cuando usamos la tabla de valor posicional, un modelo de área y la forma vertical. Podemos sumar los productos parciales en la tabla de valor posicional, en un modelo de área y en forma vertical para hallar el producto.
Productos parciales en forma vertical
La clase usa la forma vertical para registrar los productos parciales.
Muestre la imagen del ejemplo de trabajo solo con la forma vertical visible.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si creen que pueden usar solo la forma vertical con los productos parciales para hallar el producto.
Sí. Acabamos de ver que es el mismo producto cuando se usa la forma vertical que cuando se dibuja para multiplicar en la tabla de valor posicional o se dibuja un modelo de área.
Sí. Seguimos multiplicando por las unidades de valor posicional, como lo hicimos en la tabla de valor posicional y en un modelo de área. La diferencia es que no tenemos que dibujar nada para multiplicar.
Escriba 4 × 86.
Usemos la forma vertical para registrar los productos parciales.
Escriba 4 × 86 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Use gestos y señale los números mientras hace las siguientes preguntas:
¿Qué expresión de multiplicación ayuda a hallar el producto parcial de las unidades?
Diferenciación: Apoyo
4 × 6 unidades 3 × 2 unidades
× 4 centenas
Considere pedir a sus estudiantes que dibujen en la tabla de valor posicional o que dibujen un modelo de área para comprobar sus productos parciales y su trabajo de forma vertical. Mientras dibujan para multiplicar, ayúdeles a hacer conexiones entre la representación pictórica y la forma vertical usando las siguientes preguntas:
• ¿Cómo muestra la tabla de valor posicional o el modelo de área la descomposición de un factor?
• ¿Cómo pueden pensar en esa misma descomposición al registrar los productos parciales con la forma vertical?
• ¿Dónde ven representados los productos parciales en la tabla de valor posicional o en el modelo de área?
• ¿Dónde ven representados los productos parciales en la forma vertical?
• ¿Cómo pueden hallar el producto en la tabla de valor posicional o en el modelo de área?
• ¿Cómo pueden hallar el producto con la forma vertical?
Dibuje una flecha junto al lugar donde se registrará el producto parcial de las unidades y escriba
4 × 6 unidades.
¿4 × 6 unidades es igual a cuántas unidades?
24 unidades
Escriba 24 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Qué unidad de valor posicional es la siguiente para multiplicar?
Las decenas
Use un proceso similar para hallar 4 × 8 decenas y registre el producto parcial.
¿Quedan unidades de valor posicional por multiplicar?
No, las decenas son la unidad de valor posicional más grande.
¿Qué podemos hacer con los productos parciales para hallar 4 × 86?
Podemos sumarlos.
Invite a la clase a sumar los productos parciales.
¿Cuánto es 4 × 86?
344
Use un proceso similar para hallar 273 × 5 y 3 × 4,128.
Muestre la imagen de dos formas de hallar 3 × 4,128.
3 × 4,128 = 3 × (4,000 + 100 + 20 + 8)
= (3 × 4,000) + (3 × 100) + (3 × 20) + (3 × 8)
= 12,000 + 300 + 60 + 24
= 12,384
Nota para la enseñanza
Al presentar la expresión 273 × 5, considere conversar acerca de la propiedad conmutativa para ayudar a sus estudiantes a pensar en la expresión como 5 × 273. Esto puede ayudarles a pensar en cómo representar esta expresión en forma vertical. Si es necesario, muestre ambas versiones de la forma vertical y comente la utilidad de escribir el factor más grande en la parte de arriba.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar las conexiones que ven entre las dos formas.
Ambas muestran los mismos productos parciales, pero en un orden diferente. En las ecuaciones, se multiplica y registra primero la unidad de valor posicional más grande. En la forma vertical, se multiplica y registra primero la unidad de valor posicional más pequeña.
Usamos el mismo proceso para multiplicar con ambas estrategias. Simplemente lo registramos de formas diferentes.
La propiedad distributiva muestra cómo descomponer 4,128 en unidades de valor posicional.
Cuando usamos la forma vertical para registrar los productos parciales, seguimos descomponiendo y usando las unidades de valor posicional para multiplicar. Simplemente no vemos las expresiones en forma vertical.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a trabajar de forma independiente o en parejas para hallar 273 × 5 y 3 × 4,128. Pídales que expresen los pasos del proceso de registro de productos parciales con la forma vertical.
Muestre la imagen de cuatro formas de hallar 3 × 452.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la eficiencia de cada método.
Factores con 0
La clase analiza la forma vertical y los productos parciales para un factor de cuatro dígitos con un 0 en la posición de las centenas.
Muestre la imagen del método de Zara.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando multiplica y usa la forma vertical para registrar los productos parciales.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:
• ¿Qué patrones observan al usar la forma vertical para registrar los productos parciales? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 3 × 4,128 de forma más eficiente?
• ¿En qué se parece su razonamiento cuando multiplican y usan la forma vertical para registrar los productos parciales y hallar 273 × 5 y 3 × 4,128?
Observar y preguntarse
¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que Zara usó la forma vertical para registrar los productos parciales de 4 × 3,065.
Observo que hay solo tres productos parciales.
Hay cuatro unidades de valor posicional en 3,065. Me pregunto por qué hay solo tres productos parciales.
Organizar
¿Qué hizo Zara? ¿Cómo lo saben?
Halló 4 × 5 porque puedo ver el producto parcial de 20.
Halló 4 × 60 porque puedo ver el producto parcial de 240.
Halló 4 × 3,000 porque puedo ver el producto parcial de 12,000.
Sumó los productos parciales para hallar 4 × 3,065 = 12,260.
Método de Zara
DUA: Representación
Considere mostrar imágenes de la tabla de valor posicional o un modelo de área para ayudar a sus estudiantes mientras analizan el método de Zara. Las representaciones pictóricas pueden servirles de apoyo cuando examinan los productos parciales en forma vertical.
Guíe la conversación para enfocarse en hacer conexiones entre el valor posicional en los factores y el registro de productos parciales en forma vertical.
Mostrar
Enfoquémonos en el valor posicional. ¿Cómo usó Zara las unidades de valor posicional como ayuda para multiplicar?
Multiplicó las unidades, las decenas y los millares por 4. Podemos ver eso en los productos parciales.
Sintetizar
¿Cómo podemos usar el razonamiento sobre las unidades de valor posicional si queremos explicar por qué hay solo tres productos parciales para un factor que tiene cuatro unidades de valor posicional?
Hay 0 centenas en 3,065. 4 × 0 centenas = 0 centenas. Zara no necesita registrar este producto parcial porque el total no cambiará.
Hay solo tres productos parciales porque hay 0 centenas en 3,065. Zara no necesita registrar el producto parcial de las centenas porque es 0. Entonces, hay productos parciales para las unidades, las decenas y los millares.
Comprender
¿Por qué es útil pensar en las unidades de valor posicional cuando se usan productos parciales para multiplicar?
Me ayuda a separar un número más grande en partes más pequeñas, lo que hace que multiplicar sea más fácil.
Me ayuda a pensar en los productos parciales de cada unidad de valor posicional. Luego, puedo sumar los productos parciales para hallar el producto.
Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar 2 × 8,709.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar la forma vertical para representar el proceso de multiplicación usando productos parciales.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar la multiplicación mediante el uso de productos parciales
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre el uso de la forma vertical para registrar productos parciales.
Muestre la imagen de la tabla de valor posicional, el modelo de área y la forma vertical.
¿De qué maneras nos ayuda pensar en la multiplicación en una tabla de valor posicional o en un modelo de área a registrar los productos parciales en forma vertical?
Pensar en la tabla de valor posicional me ayuda a registrar con precisión los productos parciales. Por ejemplo, puedo dibujar 3 × 5 decenas como puntos y asegurarme de registrar 150 como el producto parcial de las decenas.
Pensar en el modelo de área me ayuda a llevar la cuenta de cómo descomponer el factor en unidades de valor posicional. Si sé que las longitudes del modelo de área serían 400, 50 y 2, entonces sé que debo asegurarme de registrar tres productos parciales en forma vertical.
Registrar los productos parciales en forma vertical es muy parecido a usar la propiedad distributiva con la tabla de valor posicional y el modelo de área, excepto que no mostramos todos los pasos ni hacemos un dibujo. Seguimos separando el factor en unidades de valor posicional para multiplicar y usamos productos parciales para hallar el producto, pero solo mostramos los productos parciales. No mostramos las expresiones.
Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 y 8 del Grupo de problemas.
Ambos problemas tienen un 0 en uno de los factores. ¿Qué diferencia hay en los productos parciales que se muestran en estos problemas?
En el problema 5, se muestra un producto parcial para 0 decenas. En el problema 8, no se muestra un producto parcial para 0 centenas.
En el problema 5, el 0 está en un factor de tres dígitos y se muestran tres productos parciales. En el problema 8, el 0 está en un factor de cuatro dígitos y se muestran solo tres productos parciales.
Cuando no registramos un producto parcial para la unidad de valor posicional con el dígito 0, ¿cambia el producto? ¿Por qué?
No, no cambia el producto porque el producto parcial es 0. Si se incluye un 0 o no se incluye un 0 como un producto parcial, no cambia la suma de los productos parciales.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Multiplica. Usa la tabla de valor posicional para comprobar tu trabajo.
2. Multiplica. Usa el modelo de área para comprobar tu trabajo.
7. 3 veces 4,372
8. El producto de 2,054 y 4
3 × 2 unidades 3 × 7 decenas 3 × 3 centenas
× 5 decenas
× 2 millares +
Robin y Eva multiplicaron 8,603 por 7
Método de Eva Método de Robin
a. ¿En qué se diferencian sus trabajos?
Robin incluyó el producto parcial de 0 decenas en el trabajo que se muestra, pero Eva no registró ese producto parcial.
b. ¿Cómo pueden ser ambos correctos?
Hay 0 decenas en 8,603 7 × 0 decenas = 0 decenas Sumar 0 decenas no cambia el total, entonces tanto Robin como Eva hallaron el producto correcto.
10. Una computadora cuesta $759. ¿Cuánto cuestan 8 computadoras?
8 computadoras cuestan $6,072
Millares Centenas Decenas Unidades
Great Minds PBC
Multiplicar usando diferentes métodos de registro en forma vertical
Vistazo a la lección
La clase multiplica registrando los productos parciales de diferentes maneras en forma vertical. Registran los productos parciales desde la unidad de valor posicional más grande hasta la más pequeña y desde la unidad de valor posicional más pequeña hasta la más grande, y reconocen que ambos registros dan como resultado el mismo producto. Al reflexionar sobre el registro de la suma en forma vertical en una línea, la clase aplica una lógica similar a la usada para registrar la multiplicación en forma vertical en una línea. También seleccionan un método de registro y razonan sobre su elección.
Pregunta clave
• ¿Es útil tener diferentes maneras de registrar la multiplicación? ¿Por qué?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Registrar productos parciales
• Expresar unidades de valor posicional con otro nombre
• Elegir un método de multiplicación
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta 1,000,000
La clase usa el algoritmo convencional al sumar o restar números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con las operaciones aprendidas en el módulo 1.
Muestre 67,581 + 39,276 = .
Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la suma y el registro del algoritmo convencional en forma vertical.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Números primos y compuestos
La clase identifica un número hasta el 50 como primo o compuesto para adquirir fluidez con los números primos y compuestos presentados en el módulo 2.
Muestre el número 5.
¿El 5 es un número primo o compuesto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Primo
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Multiplicar hasta el 100
La clase halla un producto para familiarizarse con formas alternativas de pensar en las ecuaciones.
Muestre la ecuación y la pregunta para 2 × 5.
¿Cuánto es 2 por 5? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan 10
Muestre la respuesta.
2 × 5 = 10
¿Cuánto es 2 por 5?
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
3 × 33 × 54 × 95 × 65 × 82 × 6
3 × 8
5 × 76 × 93 × 64 × 87 × 78 × 9
Presentar
La clase examina los métodos para registrar los productos parciales.
Muestre la imagen de las tres maneras de hallar 3 × 312.
Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y observe las semejanzas y diferencias entre los tres métodos de registro. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento con todo el grupo. 5
× 3
Diferenciación: Apoyo
Considere presentar los tres métodos de registro junto con una tabla de valor posicional o un modelo de área que represente 3 × 312. Los modelos pictóricos pueden ayudar a sus estudiantes a entender los registros numéricos. 3 × 312 = 3 × (300 + 10 + 2) = (3 × 300) + (3 × 10) + (3 × 2) = 900 + 30 + 6 = 936
Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que reconoce el uso de la propiedad distributiva y el registro de los productos parciales en un orden diferente.
Todos los registros muestran cómo cada parte de 312 se multiplicó por 3.
Todos los registros muestran los productos parciales de 900, 30 y 6. En los registros en forma vertical, el producto parcial más grande se registra primero o último.
Una manera se escribe horizontalmente y las otras dos en forma vertical. Dos registros comienzan con la unidad de valor posicional más grande, las centenas, y otro comienza con la unidad de valor posicional más pequeña, las unidades.
Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas.
En todos los registros se usa el valor posicional para separar 312 en partes y hallar tres productos parciales. El orden y la manera en la que registramos esos productos parciales pueden ser diferentes, pero el total, o el producto, es siempre el mismo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos lo que sabemos sobre la propiedad distributiva para registrar los productos parciales de diferentes maneras.
Aprender
Registrar productos parciales
La clase usa la forma vertical para registrar los productos parciales.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros.
Pida a la clase que trabaje en parejas. Invite a las parejas de estudiantes a completar los problemas 1(a) y 1(b). Para el problema 1(a), pídales que usen la forma vertical para registrar los productos parciales comenzando por la unidad de valor posicional más grande, las centenas. Para el problema 1(b), pídales que comiencen con la unidad de valor posicional más pequeña, las unidades. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja y proporcione apoyo según sea necesario.
Halla el producto. Usa la forma vertical de tres maneras diferentes.
1. 3 × 86
DUA: Acción y expresión
Considere proporcionar la Tabla de valor posicional, modelo de área y forma vertical de la lección anterior. Sus estudiantes pueden usar la tabla de valor posicional o el modelo de área para apoyar su trabajo con el uso de la forma vertical.
Millares Centenas Decenas Unidades
Después de dar tiempo a la clase para que trabaje, use la siguiente secuencia posible para comentar los dos registros.
¿Cómo les ayuda el valor posicional a multiplicar? ¿Dónde ven eso en los registros?
Usamos el valor posicional para descomponer el factor más grande y así poder multiplicar cada parte por el otro factor. Los registros muestran los productos parciales que obtuvimos al multiplicar tanto las decenas como las unidades en 86 por 3.
El valor posicional nos ayuda a pensar en la forma unitaria. Luego, podemos usar operaciones de multiplicación conocidas para hallar el producto. Sabemos que 3 × 8 = 24, entonces 3 × 8 decenas = 24 decenas = 240.
Los productos parciales están alineados por unidades de valor posicional. Eso nos ayuda a sumar los productos parciales.
¿El orden de los productos parciales cambia el total? ¿Por qué?
No. Los productos parciales son iguales. La propiedad conmutativa nos permite sumarlos en cualquier orden para hallar el total.
Diga a sus estudiantes que completarán el problema 1(c) en el siguiente segmento.
Use un proceso similar con los problemas 2(a) y 2(b). Diga a sus estudiantes que completarán el problema 2(c) en el siguiente segmento.
2. 4 × 317
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que ambas maneras de registrar los productos parciales funcionarán siempre.
Expresar unidades de valor posicional con otro nombre
La clase usa la forma vertical para registrar los productos parciales en una línea, expresando las unidades de valor posicional más grandes con otro nombre según sea necesario.
Muestre la imagen de las dos versiones de la forma vertical para 265 + 127.
¿Qué observan sobre estas dos estrategias de suma?
Ambas muestran 265 + 127.
Ambas usan la forma vertical para registrar la suma.
Una manera muestra la suma de cada unidad de valor posicional y luego el total, casi como los productos parciales. La otra manera solo muestra el total y los números que se expresan con otro nombre en la línea.
Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué es útil conocer ambas maneras de registrar la suma.
Si se conocen ambas maneras, entonces se puede registrar la suma de cualquier forma. Se puede usar la manera que parezca más adecuada.
Si se quiere usar el cálculo mental, pero también registrar el razonamiento, puede ser útil registrar la suma de cada unidad de valor posicional. Pero si los sumandos son muy grandes, podría ser más eficiente registrar solo el total y expresar con otro nombre en la línea.
Si se está observando el trabajo de otra persona, es bueno conocer las diferentes maneras en que se puede registrar la suma.
Hemos aprendido cómo multiplicar registrando cada producto parcial en forma vertical. Ahora, usemos la forma vertical para mostrar cómo combinar los productos parciales y registrarlos en una línea.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1(c). Escriba 3 × 86 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Pueden expresarse las unidades de valor posicional de cualquiera de los productos parciales como unidades de valor posicional más grandes?
Sí. 18 unidades se pueden expresar como 1 decena y 8 unidades. 24 decenas se pueden expresar como 2 centenas y 4 decenas.
Nota para la enseñanza
En los niveles de grado anteriores, se describe el registro de las sumas parciales de cada valor posicional como bajar los totales y las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre en la línea como bajar los grupos nuevos. Pueden usar estas descripciones para identificar lo que observan sobre los registros de la suma.
Nota para la enseñanza
Al representar la suma con la forma vertical, las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre se registran en la línea. Al representar la multiplicación con la forma vertical, las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre se registran debajo de la línea. Este es solo un método de registro posible para la multiplicación.
3 × 6 unidades = 18 unidades. Podemos expresar 18 unidades como 1 decena y 8 unidades. Observen cómo registro 18 para dejar espacio y registrar el producto parcial de las decenas en la misma línea.
Escriba un 1 pequeño para representar 1 decena justo debajo de la línea en la posición de las decenas. Escriba 8 unidades más abajo de la línea en la posición de las unidades. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Ahora tenemos espacio para registrar el producto parcial de las decenas.
3 × 8 decenas = 24 decenas. No hay más unidades de valor posicional para multiplicar, entonces puedo registrar 24 decenas como 2 centenas y 4 decenas en una línea con las unidades.
Debajo de la línea en la posición de las centenas, escriba 2 para representar 2 centenas. Debajo de la línea en la posición de las decenas, escriba 4 para representar 4 decenas.
Ahora que hemos multiplicado cada parte de 86 por 3, podemos hallar el número total de cada unidad de valor posicional. Hay 2 centenas, 5 decenas y 8 unidades.
Trace una línea y combine las unidades semejantes para mostrar el total, 258.
¿Cómo se muestran con este registro los productos parciales 18 unidades y 24 decenas?
Se registran los productos parciales en la misma línea, excepto para la decena expresada con otro nombre. Al final, hallamos el número total de cada unidad de valor posicional.
Pida a las parejas que completen el problema 2(c) usando la forma vertical para registrar los productos parciales en una línea.
Muestre la imagen que representa la forma vertical para la suma y la multiplicación.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre en forma vertical para la suma y la multiplicación.
En ambas maneras se comienza con la unidad de valor posicional más pequeña, las unidades.
En ambas maneras se registran las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre en una fila separada. Para la suma, expresamos con otro nombre en la línea. Para la multiplicación, expresamos con otro nombre debajo de la línea.
Nota para la enseñanza
En esta lección se presenta a la clase el registro de los productos parciales en una línea. Sus estudiantes multiplican las unidades y las decenas del factor más grande por el factor más pequeño para hallar cada producto parcial. Las unidades de valor posicional que se expresan con otro nombre se escriben justo debajo de la línea en la posición que representa la unidad de valor posicional. Por ejemplo, en 3 × 86, al multiplicar 3 y 6 unidades, sus estudiantes expresan 18 como 1 decena y 8 unidades. Registran el 1 debajo de la línea en la posición de las decenas y registran el 8 en la posición de las unidades. Esto hace que los dígitos estén cerca y puede ayudar a la clase a reconocer la conexión entre los productos parciales en el modelo de área y los productos parciales en el registro de la forma vertical. Después de multiplicar cada unidad de valor posicional, se combinan las unidades semejantes para hallar el producto final.
El uso de la forma vertical para registrar los productos parciales combinados prepara a la clase para el trabajo en el tema D con la multiplicación de números de dos dígitos por números de dos dígitos.
No se espera fluidez con el algoritmo convencional para la multiplicación hasta 5.° grado.
Elegir un método de multiplicación
La clase examina los métodos de multiplicación y selecciona un método para multiplicar.
Muestre la imagen de las tres maneras de hallar 3 × 408.
Millares Centenas Decenas Unidades
3 × 408 = 1,224
¿En qué se parecen las maneras en que registramos hoy a estos tres métodos?
Estas maneras, y las que usamos hoy, usan la propiedad distributiva para separar uno de los factores en unidades de valor posicional como centenas, decenas y unidades. Luego, cada una de esas unidades de valor posicional se multiplica por el otro factor.
Presente la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.
Multiplica.
3. 3 × 647
DUA: Representación
Considere usar un código de colores en las unidades de valor posicional para ayudar a sus estudiantes a comprender el método de registro abreviado de los productos parciales. Este código de colores puede ayudarles a identificar los productos parciales y dónde se combinaron las unidades semejantes.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando halla un producto registrando los productos parciales mediante la expresión de unidades de valor posicional con otro nombre en forma vertical.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• Al hallar 3 × 647 y registrar los productos parciales con unidades de valor posicional expresadas con otro nombre en forma vertical, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?
• ¿Dónde podrían cometer un error al hallar un producto y registrar los productos parciales con unidades de valor posicional expresadas con otro nombre en forma vertical?
Dé a sus estudiantes 2 minutos para elegir un método y luego usarlo para multiplicar. Recuérdeles que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder.
Diga un número del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan qué método eligió su grupo, por qué lo eligieron y qué producto hallaron.
Elegimos la forma vertical y escribimos todos los productos parciales, comenzando por la unidad de valor posicional más grande. Imaginamos el modelo de área al registrar los productos parciales desde la unidad de valor posicional más grande hasta la más pequeña, entonces elegimos este método. 3 × 647 = 1,941
Elegimos usar la forma vertical y expresamos las unidades de valor posicional con otro nombre debajo de la línea. Queríamos intentar registrar los productos parciales de una manera diferente. Al final, combinamos las unidades semejantes. 3 × 647 = 1,941
Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para los problemas 4 y 5.
4. 5 × 708
5. 4 × 3,568 × 4 3, 568 22 3 12 04 2 1 4, 272
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo deciden qué método usar para multiplicar un número de varios dígitos por un número de un dígito.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar usando diferentes métodos de registro en forma vertical
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre las diferentes maneras de registrar la multiplicación.
¿Es útil tener diferentes maneras de registrar la multiplicación? ¿Por qué?
Sí. Es útil tener diferentes maneras de registrar la multiplicación porque podemos elegir un método que entendamos o que funcione bien con los números de un problema.
Sí. Cuando trabajo en pareja, es bueno conocer una manera de registrar que se pueda usar para poder hablar sobre nuestro trabajo.
No. Creo que a veces es útil que registremos la multiplicación de la misma manera para poder compartir y comprender nuestro trabajo.
¿Cómo podemos usar la forma vertical cuando multiplicamos para representar las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre?
En lugar de escribir cada dígito de cada producto parcial, podemos escribir el valor de la operación de multiplicación debajo de la línea, alineado con su valor posicional.
Podemos registrar las unidades de valor posicional expresadas con otro nombre debajo de la línea y combinar las unidades semejantes cuando terminamos de multiplicar.
Cuando expresamos unidades como decenas y unidades, podemos registrar las decenas justo debajo de la línea en la posición de las decenas. Registramos las unidades en la posición de las unidades debajo de la línea. Luego, registramos las siguientes unidades de valor posicional más grandes en la misma fila que las unidades. De esta manera, todas las unidades semejantes están alineadas. Podemos combinar las unidades semejantes para hallar el producto.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 del Grupo de problemas.
¿Qué estrategia usaron para hallar 5 veces 407? ¿Por qué?
Usé el cálculo mental. Pensé en 5 × 7 = 35 y 5 × 400 = 2,000. Luego, sumé para hallar el producto, 2,035.
Usé los productos parciales y los registré en forma vertical. Luego, sumé los productos parciales. Elegí esta estrategia porque solo hay dos productos parciales.
Registré los productos parciales en forma vertical en una línea. Combiné las unidades semejantes después de multiplicar. Elegí esta estrategia porque es eficiente para mí.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
9. Un mercado compra 2,580 libras de papas cada semana. ¿Cuántas libras de papas compra el mercado en 7 semanas?
7 × 2,580 = 18,060
El mercado compra 18,060 libras de papas en 7 semanas.
10. María multiplica 594 por 7
a. Explica el error de María.
María expresó 28 unidades como 8 decenas y 2 unidades. Cometió un error parecido cuando expresó 63 decenas como 3 centenas y 6 decenas.
b. Corrige el error de María y halla el producto.
7 × 594 = 4,158
Tema D
Multiplicación de números de dos dígitos por números de dos dígitos
En el tema D, sus estudiantes desarrollan los conocimientos previos (multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito, multiplicar con múltiplos de 10 y aplicar las propiedades asociativa y distributiva) para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos. Usan modelos de área y ecuaciones para representar la multiplicación y como apoyo para su trabajo.
El tema comienza con la multiplicación de números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos. Sus estudiantes separan uno de los factores en partes y aplican las propiedades asociativa y distributiva para usar operaciones de multiplicación y factores que conocen. Por ejemplo, usan la propiedad asociativa, 20 × 31 = 10 × (2 × 31) = 10 × 62 = 620, y la propiedad distributiva, 20 × 31 = 20 × (30 + 1) = (20 × 30) + (20 × 1) = 600 + 20 = 620.
A medida que el tema avanza, sus estudiantes multiplican números de dos dígitos por números de dos dígitos que no son múltiplos de 10 al separar cada factor en decenas y unidades. Dibujan un modelo de área y representan las decenas y unidades como las longitudes de los lados. Luego, hallan los cuatro productos parciales al multiplicar cada parte de un factor por cada parte del otro factor, registran los cuatro productos parciales en forma vertical y hallan la suma de los productos parciales. A medida que sus estudiantes tienen más confianza con la multiplicación, pasan de dibujar un modelo de área a usar solo la forma vertical para registrar los productos parciales. Calculan y registran los productos parciales en un orden que se corresponde con el uso de la forma vertical para registrar el algoritmo convencional en 5.° grado.
La clase hace una transición del uso de cuatro productos parciales al uso de dos productos parciales a fin de hallar el producto y usa el modelo de área como ayuda para hacer esa transición. En lugar de separar ambos factores en decenas y unidades, separan un factor en decenas y unidades y, luego, multiplican el otro factor por las decenas y las unidades. Por ejemplo, 41 × 23 = (40 × 23) + (1 × 23). Hallan cada producto parcial por separado y, luego, los suman. Por último, basándose en el trabajo de la lección 12, registran la multiplicación usando la forma vertical. Nuevamente, calculan y registran los productos parciales en un orden que se corresponde con el uso de la forma vertical para registrar el algoritmo convencional en 5.° grado.
El tema concluye con una oportunidad para que sus estudiantes repasen los métodos usados para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos. Reconocen cómo se aplica la propiedad distributiva a cada método y multiplican usando un método de su elección.
En el tema E, la clase usa sus destrezas con la multiplicación de varios dígitos para expresar con otro nombre las unidades del sistema inglés de medición en términos de unidades más pequeñas.
Progresión de las lecciones
Lección 13
Multiplicar números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos
Lección 14
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos
Lección 15
Multiplicar con cuatro productos parciales ×
Usando el valor posicional y lo que sé sobre multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito, puedo multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos. Puedo usar las propiedades asociativa y distributiva como ayuda para multiplicar.
Uso la propiedad distributiva para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos. Separo los factores en decenas y unidades para multiplicar. Represento cuatro productos parciales en un modelo de área, registro los productos parciales en forma vertical y los sumo para hallar el total. El modelo de área me ayuda a asegurarme de que multiplico cada parte de un factor por cada parte del otro factor.
Cuando registro la multiplicación de 2 números de dos dígitos en forma vertical, puedo usar el lenguaje de unidades como ayuda para llevar la cuenta de las unidades de valor posicional. Por ejemplo, primero hallo 3 unidades × 2 unidades y 3 unidades × 5 decenas. Luego, hallo 8 decenas × 2 unidades y 8 decenas × 5 decenas. Sumo los productos parciales para hallar el total.
Lección 16
Multiplicar con dos productos parciales
Lección 17
Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar
× × ×
El modelo de área me ayuda a ver que puedo registrar cuatro productos parciales como dos productos parciales cuando multiplico 2 números de dos dígitos. Puedo registrar la multiplicación por separado, o puedo registrar dos productos parciales en forma vertical.
Puedo usar diferentes métodos para multiplicar. Aplico la propiedad distributiva cuando multiplico 2 números de dos dígitos, ya sea dibujando un modelo de área, registrando en forma vertical, hallando cuatro productos parciales o hallando dos productos parciales. Cuando multiplico, veo que cada parte de un factor se multiplica por cada parte del otro factor.
Multiplicar números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos
Vistazo a la lección
1. Reescribe la expresión de dos factores como una expresión de tres factores. Usa la tabla de valor posicional como ayuda para hallar el producto. Luego, completa las ecuaciones.
40 × 21 = 10 × (4 × 21)
= 10 × 84
= 840 Millares Centenas Decenas
Unidades ×10 ×10
Dibujo 4 grupos de 21 Luego, multiplico por 10
2. Dibuja un modelo de área para representar 30 × 58. Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
La clase multiplica números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos usando las propiedades asociativa y distributiva. Escriben una expresión de dos factores como una expresión de tres factores y aplican la propiedad asociativa. Aplican la propiedad distributiva para reescribir una expresión de dos factores y registran los productos parciales en un modelo de área y en forma vertical.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de multiplicar un número por un número de un dígito como ayuda para multiplicar un número por un múltiplo de 10?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• 10 veces una cantidad
• Aplicar la propiedad distributiva
• Registrar productos parciales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• Tabla de valor posicional de cuatro columnas (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Cuadrícula de productos parciales (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrícula de productos parciales de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar
La clase multiplica múltiplos de 10 en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar como preparación para multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos.
Muestre 1 decena × 1 decena = centena.
¿Cuánto es 1 decena × 1 decena? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
1 centena
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
10 × 10 = 100 1 decena × 1 decena = centena 1
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase halla un producto descomponiendo el factor más grande y reescribiendo una expresión de dos factores como una expresión de tres factores como preparación para multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 2 × 400 = × ( × 100).
Descompongan el factor más grande para reescribir la expresión de dos factores como una expresión de tres factores.
Muestre la respuesta.
Usen la propiedad asociativa para agrupar los factores de manera diferente y hallar el producto. 2 × 400 = = (2 × 4) × 100 = 8 × 100 = 800 × (× 100) 24
Muestre los factores agrupados de manera diferente y, luego, la expresión de dos factores.
Escriban el producto.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Presentar
Se presenta a la clase un contexto en el que es necesario multiplicar números de dos dígitos.
Reproduzca la parte 1 del video Colección de marcadores. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles.
Dé un minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron.
Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Considere la siguiente secuencia posible de preguntas.
¿Qué observan?
Los paquetes de marcadores se vacían en 1 recipiente.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto cuántos marcadores hay en cada paquete.
Me pregunto cuántos paquetes de marcadores hay.
Me pregunto cuántos marcadores hay en el recipiente. 10
¿Tenemos la información que necesitamos para hallar el número total de marcadores que hay en el recipiente? De no ser así, ¿qué más necesitamos saber?
No tenemos suficiente información. Necesitamos saber cuántos paquetes de marcadores hay y cuántos marcadores hay en cada paquete.
Continuemos mirando el video. Mientras lo miran, piensen en la información desconocida.
Reproduzca la parte 2 del video Colección de marcadores. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles.
¿Qué observan?
Comienza con 24 paquetes de marcadores.
Cada paquete tiene 36 marcadores.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto si puedo usar grupos de 10 para hallar el número total de marcadores.
Me pregunto si puedo hallar el número total de marcadores contando salteado o multiplicando por 24.
¿Qué expresión podríamos usar para hallar el número de marcadores que hay en el recipiente? 24 × 36
Escriba 24 × 36.
No hemos multiplicado números de dos dígitos como estos anteriormente. ¿Qué destrezas de multiplicación tenemos que podríamos usar para multiplicar un número de dos dígitos por un número de dos dígitos?
Sabemos que podemos pensar en grupos iguales y dibujar o sumar un número de grupos iguales. A veces dibujamos grupos iguales en una tabla de valor posicional.
Sabemos que podemos usar la propiedad distributiva para separar y distribuir los factores. A veces usamos ecuaciones para registrar ese trabajo.
Podemos dibujar un modelo de área donde los dos factores sean la longitud y el ancho del rectángulo. Podemos separar las longitudes de los lados por valor posicional mientras dibujamos.
Podemos pensar en números en forma unitaria. Eso nos ayuda a usar operaciones de multiplicación que conocemos, tales como 2 × 3 unidades = 6 unidades y 2 decenas × 3 decenas = 6 centenas.
Nota para la enseñanza
El último segmento de la sección Aprender repasa el video Colección de marcadores para que la clase pueda estimar el número total de marcadores. En la lección 14, la clase ve la parte 3 del video y halla el número exacto de marcadores.
Considere crear un afiche con las destrezas de multiplicación que tienen sus estudiantes como ayuda para hallar el producto de un número de dos dígitos por un número de dos dígitos. Haga anotaciones en el afiche a medida que la clase adquiera nuevas destrezas.
Sigamos pensando en las destrezas de multiplicación que tenemos y veamos cómo se aplican a la multiplicación con números de dos dígitos.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aplicaremos nuestras destrezas de multiplicación para multiplicar números de dos dígitos por múltiplos de 10.
Aprender
10 veces una cantidad
Materiales: M) Tabla de valor posicional de cuatro columnas
La clase usa la propiedad asociativa para multiplicar por un múltiplo de 10 al expresarlo como 10 veces una cantidad que se multiplica por un solo dígito.
Muestre la Tabla de valor posicional de cuatro columnas y presente la expresión 20 × 13.
¿Cómo podemos usar la tabla de valor posicional para representar la multiplicación?
Podemos dibujar grupos iguales.
¿Cómo podemos dibujar grupos iguales para representar 20 × 13?
Podemos dibujar 20 filas de 1 decena y 3 unidades.
Podemos dibujar 20 filas de 1 decena y 3 unidades, pero serían muchas filas para dibujar. Agrupemos los factores de otra manera para que sea más eficiente representar esta expresión en la tabla de valor posicional.
Escriba: 20 × 13 = × ×
¿Qué factor es útil reescribir como dos factores? ¿Por qué?
Podría ser útil reescribir 20 como 10 × 2. Puedo representar la multiplicación por 10 en la tabla de valor posicional.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere usar un afiche de referencia para ayudar a sus estudiantes a diferenciar entre la propiedad distributiva y la propiedad asociativa, las cuales se usan en esta lección.
Incluya un ejemplo de cada propiedad en el afiche y comente cómo las raíces de las palabras pueden ayudar a diferenciar los significados. Por ejemplo, la propiedad distributiva se conoce en 3.er grado como la estrategia de separar y distribuir y la propiedad asociativa permite que los factores se asocien, o agrupen, entre sí de manera diferente.
Millares Centenas DecenasUnidades
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué reescribir 13 como dos factores no representaría de manera eficiente esta expresión.
Escriba 20 × 13 = 10 × 2 × 13 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Reescribimos la expresión de dos factores como una expresión de tres factores. Ahora, podemos usar la propiedad asociativa como ayuda para multiplicar al agrupar los factores.
Representemos los factores de 2 y 13. Podemos dibujar 2 grupos de 13.
Dibuje 2 filas de 1 decena y 3 unidades en la tabla de valor posicional y coloque paréntesis en la ecuación alrededor de 2 × 13.
¿Cuánto es 2 grupos de 13?
26
Escriba = 10 × 26 debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 10 veces 6 unidades?
6 decenas
¿Cuánto es 10 veces 2 decenas?
2 centenas
Dibuje flechas rotuladas con × 10 que muestren que 6 unidades se desplazan a 6 decenas y que 2 decenas se desplazan a 2 centenas.
¿Cuánto es 20 × 13?
260
Escriba = 260 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cómo nos ayudó 10 veces la cantidad a hallar 20 × 13?
Reescribimos el factor 20 como 10 × 2 para poder hallar 10 veces el producto de 2 y 13.
Primero, hallamos 2 × 13. Luego, hallamos 10 veces la cantidad porque 20 es 10 veces 2.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de en qué se parece y en qué se diferencia multiplicar 2 × 13 y 20 × 13.
Nota para la enseñanza
Reescribir las expresiones de dos factores como expresiones de tres factores es una estrategia de multiplicación conocida de 3.er grado.
Millares Centenas DecenasUnidades
Aplicar la propiedad distributiva
La clase aplica la propiedad distributiva para dibujar un modelo de área y registra ecuaciones para multiplicar por un múltiplo de 10.
Dibuje un modelo de área para representar 3 × 58 y escriba la expresión.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo cambiar el modelo de área para representar 30 × 58.
Podemos hacer que la longitud del lado de 3 sea más larga para que represente 30 en lugar de 3.
Invite a la clase a dibujar un modelo de área para representar 30 × 58 mientras usted hace lo mismo.
Todavía podemos separar 58 en decenas y unidades y mostrar eso como una longitud del modelo de área.
Podemos mostrar 30 como la otra longitud del modelo de área.
¿Cuántas veces tan larga como una longitud de 3 es una longitud de 30?
10 veces tan larga
¿Cuántas veces tan grande como 3 × 58 es 30 × 58?
10 veces tan grande
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar 30 × 58 usando el modelo de área. Pídales que registren su razonamiento. Recorra el salón de clases mientras trabajan e identifique a dos parejas para que compartan sus trabajos. Si es posible, seleccione parejas que demuestren el uso de la propiedad asociativa y la forma unitaria.
Cuando las parejas hayan terminado, reúna a la clase e invite a las parejas seleccionadas a compartir sus trabajos.
Nota para la enseñanza
Al dibujar modelos de área para representar la multiplicación de múltiplos de diez, dibuje las longitudes de los lados de manera proporcional. Las longitudes de los lados proporcionales apoyarán la comprensión de la clase sobre la magnitud de la multiplicación por decenas en contraste con la multiplicación por números de un dígito.
DUA: Representación
Considere registrar los productos parciales hallados con el modelo de área tanto en forma unitaria como en forma estándar. Escribir las ecuaciones en forma unitaria puede destacar las semejanzas entre multiplicar por un solo dígito y multiplicar por un múltiplo de 10.
Considere usar el mismo apoyo de la ecuación en forma unitaria al registrar los productos parciales en forma vertical más adelante en la lección.
30 30 × 8 = 240 50 8 3 d ecenas × 5 d ecenas = 15 ce ntenas 30 3 decenas × 8 = 24 decenas
¿En qué se parecen estas dos maneras de representación?
Ambas muestran 30 × 58 en dos partes: 30 × 50 y 30 × 8.
En ambas se hallaron los productos parciales 1,500 y 240: 30 × 58 = 1,740.
¿En qué se diferencian estas dos maneras de representación?
En una manera se usa la propiedad asociativa, pensando en 10 veces una cantidad. Se usan operaciones conocidas y la multiplicación que ya aprendimos, como 3 × 50 y 3 × 8, y, luego, se multiplica por 10.
En una manera se usa la forma unitaria. Sabemos que 1 decena × 1 decena = 1 centena, entonces 3 decenas × 5 decenas = 15 centenas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo compartido y su trabajo.
¿De qué forma ambas maneras muestran la multiplicación de números de dos dígitos al usar la propiedad distributiva?
Ambas maneras muestran el factor 58 separado en 50 y 8 y cada una de esas partes multiplicada por 30.
Se hallaron dos productos parciales y se sumaron al final para hallar el producto final.
30 × 58 = 30 × (50 + 8)
= (30 × 50) + (30 × 8)
= 1, 50 0 + 24 0 = 1,74 0
Dé a las parejas 1 minuto para registrar con ecuaciones cómo se separó 58 en partes y se multiplicó.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece usar la propiedad distributiva cuando se multiplica por un múltiplo de 10 a cuando se multiplica por un solo dígito.
Separamos un factor en partes y multiplicamos cada parte por el otro factor. Esta vez, el otro factor es un múltiplo de 10 en lugar de un número de un dígito.
Si pensamos en el múltiplo de 10 en forma unitaria, 3 decenas, entonces todavía podemos usar las operaciones de la tabla del tres mientras multiplicamos.
Registrar productos parciales
Materiales: E) Cuadrícula de productos parciales
La clase usa la propiedad distributiva para hallar productos parciales y registrarlos en forma vertical.
Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Cuadrícula de productos parciales de sus libros y a insertarla en sus pizarras blancas.
Vuelvan a pensar en el video de los marcadores. Quiero estimar el número total de marcadores. Hay 24 paquetes de 36 marcadores.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo estimar el número total de marcadores.
24 está muy cerca de 25. Podemos contar salteado de veinticinco en veinticinco 36 veces.
Podríamos redondear 36 marcadores a 40 marcadores y hallar 40 × 24.
Podemos redondear ambos factores a la decena más cercana y multiplicar para hallar 20 × 40.
Podemos redondear uno de los factores a la decena más cercana y multiplicar. Por ejemplo, podríamos hallar 20 × 36.
Estimemos el número de marcadores que hay en el video redondeando el número de paquetes a la decena más cercana. Hay 24 paquetes de 36 marcadores. Redondeado a la decena más cercana, ¿cuántos paquetes hay?
Escriba 20 × 36.
Invite a la clase a dibujar un modelo de área para representar cómo se puede separar el problema en partes y a registrar los productos parciales dentro de cada parte del modelo de área.
Escriba 20 × 36 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Registremos los productos parciales en forma vertical.
Señale el modelo de área y la forma vertical mientras hace las siguientes preguntas.
¿Cuánto es 20 × 6?
120
Escriba 120 en forma vertical y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
En forma unitaria, ¿qué expresión representa 120?
2 decenas × 6
2 decenas × 6 unidades
Escriba 2 decenas × 6 y 2 decenas × 6 unidades. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si las dos expresiones son equivalentes.
Son equivalentes porque si escribimos cada una de ellas en forma estándar, la expresión es la misma: 20 × 6.
2 decenas × 6 y 2 decenas × 6 unidades son dos maneras de expresar 20 × 6. 6 y 6 unidades son equivalentes. Vamos a incluir unidades de valor posicional para ambos factores cuando multipliquemos números de varios dígitos.
Escriba 2 decenas × 6 unidades en forma unitaria junto al producto parcial de 120.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven 2 decenas × 6 unidades en forma vertical.
Repita el proceso para hallar y registrar 2 decenas × 3 decenas.
Invite a la clase a hallar el producto final.
¿Cuánto es 20 × 36?
720
¿Aproximadamente cuántos marcadores hay en la colección?
Hay aproximadamente 720 marcadores en la colección.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian la multiplicación con el modelo de área y el registro de los productos parciales en forma vertical?
Ambas maneras muestran que los productos parciales se hallan al multiplicar cada parte de 36 por 20.
El modelo de área muestra 36 en dos partes y dos ecuaciones. El registro vertical no muestra dos ecuaciones, pero sí muestra dos productos parciales.
Muestre el error de cálculo común en 40 × 72.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para identificar el error.
El producto parcial, 280, es incorrecto. Debería ser 2,800 porque 7 decenas × 4 decenas = 28 centenas, no 28 decenas.
Pida a sus estudiantes que hallen 40 × 72 y que registren los productos parciales en forma vertical. Si es necesario, permítales usar una segunda representación para apoyar su razonamiento.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pensar en unidades de valor posicional les ayuda a hallar correctamente los productos parciales cuando multiplican por múltiplos de diez.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Nota para la enseñanza
Es posible que sus estudiantes apliquen el razonamiento de la lección 12 para registrar los productos parciales en una línea cuando registran en forma vertical. Si bien este método de registro es eficiente, puede impedir que se vea con claridad el razonamiento unitario que se enfatiza en esta lección. Si sus estudiantes registran los dos productos parciales en una línea, pídales que expliquen su notación usando el lenguaje de unidades: 4 decenas × 2 unidades = 8 decenas y 4 decenas × 7 decenas = 28 centenas
7 2 × 40 2,880
La aplicación de esta notación para multiplicar por números de dos dígitos se presenta más adelante en este tema.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes aplican la propiedad asociativa para multiplicar 40 y 72, es posible que necesiten apoyo para multiplicar el número de tres dígitos resultante de 288 por 10. Use una tabla de valor posicional para demostrar el desplazamiento de cada dígito un valor posicional hacia a la izquierda. Escriba el número 288 en los valores posicionales correspondientes. Luego, considere un dígito a la vez y muestre el desplazamiento con una flecha rotulada × 10.
• ¿Cuánto es 8 unidades × 10?
• ¿Cuánto es 8 decenas × 10?
• ¿Cuánto es 2 centenas × 10?
Concluir
10
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar números de dos dígitos por múltiplos de 10 de dos dígitos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos.
¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de multiplicar por un número de un dígito como ayuda para multiplicar por un múltiplo de 10?
Usamos el mismo proceso, pero multiplicamos por decenas en lugar de unidades. La unidad de valor posicional es diferente.
Si pienso en el múltiplo de 10 como 10 veces un número de un dígito, sé que el producto es 10 veces esa cantidad. Puedo multiplicar por el número de un dígito y, luego, multiplicar por 10.
¿Qué destrezas de multiplicación conocidas usamos hoy?
Multiplicamos por 10 en la tabla de valor posicional.
Dibujamos un modelo de área.
Registramos los productos parciales en forma vertical.
Usamos la propiedad distributiva y la propiedad asociativa.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando selecciona un método para hallar el producto de 2 números de dos dígitos y registra los productos parciales en forma vertical.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Por qué eligieron ese método? ¿Funcionó bien como ayuda para hallar 40 × 72?
• ¿Qué dibujo o diagrama les ayuda a escribir los productos parciales en forma vertical?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
a. Completa el modelo de área.
Reescribe cada expresión de dos factores como una expresión de tres factores. Usa la tabla de valor posicional como ayuda para hallar el producto. Luego, completa las ecuaciones.
1. 20 × 34 = 10 × (2 × 34)
= 10 × 68
= 680 Millares Centenas Decenas
Dibujo 2 grupos de 34 Luego, multiplico por 10 Unidades ×10 ×10
2. 30 × 42 = 10 × (3 × 42)
= 10 × 126
= 1,260 Millares Centenas Decenas
Dibujo 3 grupos de 42 Luego, multiplico por 10. Unidades ×10 ×10
b. Usa la propiedad distributiva para completar las ecuaciones.
30 × 32 = 30 × (30 + 2)
= (30 × 30 ) + (30 × 2 ) = 900 + 60 = 960
c. Multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
Nombre
a. Completa el modelo de área.
b. Usa la propiedad distributiva para completar las ecuaciones.
40 × 79 = 40 × (70 + 9) = ( 40 × 70) + ( 40 × 9)
c. Multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
Dibuja un modelo de área para representar la expresión. Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
8. El producto de 86 y 80
9. Casey, Amy y Luke hallan el producto de 40 y 35 usando diferentes estrategias. Cada estudiante comete un error en sus trabajos. Ayúdales a corregir sus errores.
Trabajo de Casey Trabajo de Amy Trabajo de Luke
40 × 35 = 10 × ( 4 × 35)
= 10 × 120 = 1,200
40 × 35 = 10 × (4 × 35)
= 10 ×
Millares Centenas Decenas Unidades
Great Minds PBC
Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos
Vistazo a la lección
Dibuja un modelo de área para representar 41 × 23 Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
La clase relaciona sus conocimientos previos de la propiedad distributiva con un modelo de área que representa la multiplicación de dos dígitos por dos dígitos. Usan un modelo de área como apoyo para el registro de productos parciales en forma vertical.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar la propiedad distributiva para multiplicar un número de dos dígitos por un número de dos dígitos?
• ¿Cómo nos puede ayudar un modelo de área a hallar y registrar los productos parciales?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
(4.NBT.B.5)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Propiedad distributiva y matrices
• Propiedad distributiva y modelos de área
• Forma vertical
• Número de marcadores en el recipiente
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar
La clase multiplica múltiplos de 10 en forma unitaria y escribe la ecuación en forma estándar como preparación para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Muestre 1 decena × 4 decenas = centenas.
¿Cuánto es 1 decena × 4 decenas? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
4 centenas
Muestre la respuesta.
Escriban la ecuación en forma estándar.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre la ecuación.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
1 decena × 7 decenas = 7 centenas
10 × 70 = 700
3 decenas × 4 decenas = 12 centenas
30 × 40 = 1200
4 decenas × 7 decenas = 28 centenas
40 × 70 = 2800
2 decenas × 2 decenas = 4 centenas
20 × 20 = 400
3 decenas × 8 decenas = 24 centenas
30 × 80 = 2400
6 decenas × 5 decenas = 30 centenas
60 × 50 = 3000
2 decenas × 7 decenas = 14 centenas
20 × 70 = 1400
4 decenas × 4 decenas = 16 centenas
40 × 40 = 1600
8 decenas × 5 decenas = 40 centenas
80 × 50 = 4000
Intercambio con la pizarra blanca: Propiedad asociativa
La clase halla un producto descomponiendo el factor más grande y reescribiendo una expresión de dos factores como una expresión de tres factores para adquirir fluidez con la multiplicación por múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre 2 × 3,000 = × ( × 1,000).
Descompongan el factor más grande para reescribir la expresión de dos factores como una expresión de tres factores.
Muestre la respuesta.
Usen la propiedad asociativa para agrupar los factores de manera diferente y hallar el producto.
Muestre los factores agrupados de manera diferente y, luego, la expresión de dos factores.
Escriban el producto.
Muestre el producto.
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 3 × 4,000 3 × 8,000 4 × 7,000 5 × 8,000 3,000 × 6 4,000 × 8 6,000 × 9 9,000 × 9
Presentar
La clase evalúa su preparación para resolver un problema de multiplicación de dos dígitos por dos dígitos.
Reproduzca nuevamente las partes 1 y 2 del video Colección de marcadores para restablecer el problema como 24 × 36.
¿Por qué estamos más cerca de hallar el número total de marcadores que hay en el recipiente?
Ahora sabemos cómo multiplicar por múltiplos de diez, como 20 × 36.
Multiplicamos 2 números de dos dígitos.
Tenemos una estimación para comprobar si nuestra respuesta es razonable.
¿Qué preguntas tienen todavía?
¿Cómo multiplicamos 2 números de dos dígitos cuando uno de ellos no es un múltiplo de diez?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían usar sus destrezas de multiplicación como ayuda para multiplicar dos números que tienen decenas y unidades.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos las estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Aprender
Propiedad distributiva y matrices
La clase relaciona sus conocimientos previos de la propiedad distributiva con la multiplicación de un número de dos dígitos por un número de dos dígitos usando una matriz y un modelo de área.
Muestre la imagen de la matriz que representa 2 × 15.
¿Qué observan acerca de la matriz?
Hay dos partes.
Las longitudes de los lados son 2 y 15.
¿Qué expresión de multiplicación representa la matriz? ¿Cómo lo saben?
2 × 15. Las longitudes de los lados son 2 y 15. Hay 2 filas de 15.
¿Cuántos productos parciales están representados? ¿Cómo lo saben?
Dos, porque hay dos partes.
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el número total de cuadrados que hay en la matriz usando la propiedad distributiva. Pídales que escriban una ecuación que represente cómo hallaron el total.
¿Qué ecuación podemos escribir para representar el número total de cuadrados usando la propiedad distributiva?
2 × 15 = (2 × 10) + (2 × 5)
¿Cuál es el número total de cuadrados?
30
Muestre la imagen de la matriz que representa 10 × 15.
¿Qué observan acerca de la matriz?
Hay dos partes.
Las longitudes de los lados son 10 y 15.
¿Qué expresión de multiplicación representa la matriz? ¿Cómo lo saben?
10 × 15. Las longitudes de los lados son 10 y 15. Hay 10 filas de 15.
¿Cuántos productos parciales están representados? dos
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el número total de cuadrados que hay en la matriz usando la propiedad distributiva. Pídales que escriban una ecuación que represente cómo hallaron el total.
¿Qué ecuación podemos escribir para representar el número total de cuadrados usando la propiedad distributiva?
10 × 15 = (10 × 10) + (10 × 5)
¿Cuál es el número total de cuadrados?
Muestre la imagen de la matriz que representa 12 × 15.
¿Qué observan acerca de la matriz?
Hay cuatro partes en lugar de dos.
Las longitudes de los lados son 12 y 15.
Las dos longitudes de los lados se muestran como decenas y unidades.
Se parece a las otras matrices que acabamos de ver, excepto que están combinadas para hacer una matriz más grande.
¿Qué expresión de multiplicación representa la matriz? ¿Cómo lo saben?
12 × 15. Hay 12 filas de 15.
¿Cuántos productos parciales están representados? ¿Cómo lo saben?
Hay cuatro productos parciales porque la matriz está separada en cuatro partes.
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar el número total de cuadrados que hay en la matriz usando los cuatro productos parciales. Pídales que escriban una ecuación que represente cómo hallaron el total. Muestre al menos dos ejemplos de trabajo que ubiquen los productos parciales en diferente orden.
12 × 15 = ( 10 × 10) + ( 10 × 5) + (
180
180
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre los productos parciales.
Los productos parciales son los mismos, pero están escritos en diferente orden. Podemos escribir y sumar los productos parciales en cualquier orden y aun así obtener el mismo total.
¿Cuánto es 12 × 15?
180
Nota para la enseñanza
Los factores en una expresión de multiplicación pueden estar representados por cualquiera de las dos longitudes de los lados de una matriz. Para apoyar a sus estudiantes mientras multiplican números de dos dígitos por números de dos dígitos y registran los productos parciales en forma vertical, el primer factor está representado sistemáticamente por la longitud del lado vertical y el segundo factor está representado sistemáticamente por la longitud del lado horizontal.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué el orden de los productos parciales no importa cuando se suman. Observe si sus estudiantes relacionan su razonamiento con la propiedad conmutativa.
Muestre la imagen de las tres matrices.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre la matriz más grande y las matrices más pequeñas, y las ecuaciones que las representan. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo preguntas como las siguientes:
• ¿Dónde ven las partes de las ecuaciones que representan las matrices más pequeñas en la ecuación que representa la matriz más grande?
• ¿Cómo se usa la propiedad distributiva para hallar 2 × 15?
• ¿Cómo se usa la propiedad distributiva para hallar 10 × 15?
• ¿Cómo se usa la propiedad distributiva para hallar 12 × 15?
En las matrices más pequeñas, usamos la propiedad distributiva al separar en partes uno de los factores. En las matrices más grandes, usamos la propiedad distributiva al separar en partes ambos factores.
Propiedad distributiva y modelos de área
Escriba la expresión 14 × 13.
¿Cómo podemos separar los factores en partes como ayuda para multiplicar?
Podemos separar 14 en 10 y 4. Podemos separar 13 en 10 y 3. 10 + 4 y 10 + 3
Dibuje y rotule las longitudes de los lados de un modelo de área. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar cada uno de los productos parciales. Si es necesario, apoye a sus estudiantes mientras identifican las longitudes de los lados de cada uno de los rectángulos.
Cuando sus estudiantes hayan terminado, señale cada una de las partes y pregúnteles qué producto parcial representa. Registre los productos parciales como ecuaciones en el modelo de área. Dé 1 minuto a sus estudiantes para hallar el producto de 14 y 13.
¿Cuánto es 14 × 13? ¿Cómo lo saben?
14 × 13 = 182. Lo sé porque sumé los cuatro productos parciales.
Usemos ecuaciones para mostrar cómo el modelo de área representa la propiedad distributiva.
Pídales que sigan trabajando en sus pizarras blancas mientras guía a sus estudiantes para que conecten la propiedad distributiva con el modelo de área.
Cuando aplicamos la propiedad distributiva, separamos en partes los factores. Comencemos separando 14 en partes.
Señale el modelo de área para mostrar 14 representado como 10 y 4. Escriba 14 × 13 = (10 + 4) × 13.
Después de separar un factor en partes, distribuimos la multiplicación. Multiplicamos cada parte del factor.
Registre la multiplicación de cada parte de 14.
¿Qué dos expresiones de multiplicación vemos ahora?
10 × 13 y 4 × 13
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Modelo de área apoya la creación de modelos de área y la presentación de los productos parciales.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Es posible que 10 × 13 y 4 × 13 les resulten más conocidas que la expresión 14 × 13. Sin embargo, ahora podemos separar 13 en partes y distribuir el 10 y el 4 para hacer expresiones que nos permitan usar las operaciones de multiplicación que pueden resultarnos incluso más conocidas.
Represente su razonamiento mientras registra la separación y la distribución de la multiplicación de cada parte de 13, por lo que se crean cuatro expresiones de multiplicación.
13 es igual a 10 + 3, o 1 decena y 3 unidades. Podemos multiplicar el 10 de 14 por 10 y 3, y podemos multiplicar el 4 de 14 por 10 y 3.
Cuando distribuimos el 10 y el 3 al 10 y al 4 de 14, da como resultado cuatro productos parciales que se corresponden con el modelo de área.
Muestre la imagen del modelo de área y las ecuaciones que representan la aplicación de la propiedad distributiva.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se representa la propiedad distributiva en las ecuaciones y en el modelo de área.
Separamos 14 en partes en la longitud de un lado y las ecuaciones muestran 14 como 10 + 4.
Separamos 13 en el otro lado y podemos ver 10 y 3 en las ecuaciones. El 10 y el 3 en 13 se multiplican por 10 y 4.
Multiplicamos cada parte de 13 por cada parte de 14. Eso forma cuatro productos parciales dentro del modelo de área y hay cuatro expresiones de multiplicación en la ecuación.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Para minimizar las exigencias del lenguaje al relacionar la propiedad distributiva con las ecuaciones y el modelo de área, anime a la clase a usar gestos y anotaciones como círculos, flechas o códigos de colores. Vuelva a expresar las relaciones que sus estudiantes muestran visualmente como apoyo para el desarrolo del lenguaje.
Forma vertical
La clase analiza un ejemplo de trabajo para relacionar el registro de cuatro productos parciales en forma vertical con un modelo de área.
Veamos otra manera en la que podemos registrar los productos parciales.
Muestre la imagen del ejemplo de trabajo que analizarán.
Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.
Observar y preguntarse
¿Qué observan sobre el trabajo?
¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
Observo que se usan dos métodos para el mismo problema de multiplicación.
Observo que se muestran los mismos cuatro productos parciales en cada método.
Observo que puedo ver los factores separados en el modelo de área, pero no en la forma vertical.
Me pregunto cómo se separaron los factores en partes en la forma vertical.
Me pregunto por qué los productos parciales en cada método parecen estar en diferente orden.
Organizar
¿Qué hizo este o esta estudiante para hallar 16 × 32 usando el modelo de área?
¿Cómo lo saben?
En el modelo de área, separó 16 y 32 en decenas y unidades, y dividió el modelo de área en cuatro partes. Puedo ver las partes rotuladas en las longitudes de los lados.
Multiplicó cada parte de 32 por cada parte de 16. Puedo ver cada producto parcial en las cuatro partes del modelo de área.
Guíe la conversación para enfocarse en los productos parciales en forma vertical y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con el valor posicional.
Mostrar
Enfoquémonos en los productos parciales. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los productos parciales en ambos métodos?
Cada método muestra los mismos cuatro productos parciales.
El modelo de área muestra ecuaciones de multiplicación que representan cómo se halló cada producto parcial.
Los productos parciales parecen estar enumerados en un orden diferente en el modelo de área que en la forma vertical.
¿Qué multiplicó primero la o el estudiante y qué multiplicó luego en la forma vertical?
Primero, multiplicó 6 unidades y 2 unidades.
Luego, multiplicó 6 unidades y 3 decenas.
Multiplicó cada parte de 32 por 6 unidades. ¿Qué multiplicó a continuación?
Multiplicó 1 decena y 2 unidades.
Por último, multiplicó 1 decena y 3 decenas.
Multiplicó cada parte de 32 por 1 decena.
Sintetizar
¿Qué diferencia hay cuando se registran los productos parciales en forma vertical en el trabajo?
Registrar los productos parciales en forma vertical parece ser más eficiente que usar el modelo de área. No hay nada para dibujar y no se necesita escribir cada expresión.
Los productos parciales están alineados y listos para sumarse al final para hallar el producto final.
Comprender
¿Cómo ayuda el valor posicional a hallar los productos parciales en forma vertical?
No vemos cómo están separados los factores en partes en forma vertical, entonces podemos pensar en el valor posicional mientras miramos los dígitos en los factores.
Tenemos que asegurarnos de que estamos usando la unidad de valor posicional correcta para el producto parcial al pensar en el valor posicional de cada factor.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo registrar los productos parciales en forma vertical se relaciona con el modelo de área.
Número de marcadores en el recipiente
La clase aplica métodos de multiplicación de dos dígitos por dos dígitos para hallar el número de marcadores en el recipiente.
Presente el problema 24 × 36 del video Colección de marcadores. Ayude a la clase a recordar que hay 24 paquetes de marcadores en el video y que cada uno tiene 36 marcadores.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo puede ayudarles lo que aprendieron a hallar el número total de marcadores.
Sabemos cómo multiplicar un número de dos dígitos por un número de dos dígitos usando un modelo de área para representar los productos parciales.
Sabemos cómo multiplicar usando productos parciales en forma vertical.
Invite a la clase a dibujar un modelo de área para representar el problema. Pídales que rotulen las longitudes de los lados del modelo de área y que registren el problema en forma vertical.
Dibuje un modelo de área que represente 24 × 36. Guíe a sus estudiantes para que hallen y registren los productos parciales usando el modelo de área.
Descomponemos 24 en 2 decenas y 4 unidades. ¿Qué dos expresiones representan cómo distribuimos el 4 a 36?
4 × 6 y 4 × 30
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando selecciona un método y aplica la propiedad distributiva para hallar un producto.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Qué representan la expresión de multiplicación 24 × 36 y los factores de 24 y 36 en el contexto de hallar el número total de marcadores?
• ¿Su respuesta tiene sentido en términos matemáticos?
Diferenciación: Apoyo
Para apoyar a sus estudiantes con la alineación del valor posicional en la forma vertical, considere proporcionar una cuadrícula para que muestren sus trabajos. ×
Pida a sus estudiantes que escriban ecuaciones para hallar y registrar los dos productos parciales en el modelo de área.
Guíe a sus estudiantes para que registren los productos parciales en forma vertical haciendo preguntas como las siguientes.
Cuando registramos en forma vertical, comenzamos con las unidades, en este caso, 4 unidades. Pensamos en los dígitos en forma unitaria como ayuda para llevar la cuenta de sus valores.
¿Cuánto es 4 unidades × 6 unidades?
24 unidades
¿Cómo saben que 4 unidades × 6 unidades = 24 unidades?
4 unidades × 6 unidades es otra manera de decir 4 × 6. Como 4 × 6 = 24, 4 unidades × 6 unidades también es 24. 24 es la misma cantidad que 24 unidades.
¿Cuánto es 4 unidades × 3 decenas?
12 decenas o 120
¿Cómo saben que 4 unidades × 3 decenas = 12 decenas?
4 unidades × 3 decenas es igual a 4 × 30. Como 4 × 30 = 120, 4 unidades × 3 decenas también debe ser 120, y eso es la misma cantidad que 12 decenas.
Pida a sus estudiantes que registren los dos productos parciales.
¿Qué partes de los factores multiplicamos hasta ahora? ¿Cómo lo saben?
Multiplicamos cada parte de 36 por las 4 unidades en 24. Puedo ver los dos productos parciales en el modelo de área y en la forma vertical.
¿Qué partes de los factores nos quedan por multiplicar? ¿Cómo lo saben?
Necesitamos multiplicar cada parte de 36 por las 2 decenas en 24. Puedo ver en el modelo de área que no multiplicamos 30 por 20 o 6 por 20.
Podemos ver que todavía necesitamos multiplicar para completar la parte de abajo del modelo de área, 20 × 30 y 20 × 6.
DUA: Representación
Considere usar bolígrafos de colores o marcadores fluorescentes para marcar con un código de colores los productos parciales correspondientes en el modelo de área y en la forma vertical.
Pida a sus estudiantes que escriban ecuaciones para hallar y registrar los dos productos parciales de 20 × 6 y 20 × 30 en el modelo de área.
Luego, guíe a sus estudiantes para que registren los dos productos parciales en forma vertical haciendo preguntas como las siguientes.
¿Dónde están las dos expresiones, 20 × 6 y 20 × 30, en la forma vertical?
20 está representado por las 2 decenas en 24. Necesitamos multiplicar cada parte de 36 por 20. Eso es 20 × 6 y 20 × 30.
Como generalmente comenzamos con las unidades cuando registramos de manera vertical, ¿cuánto es 2 decenas × 6 unidades?
12 decenas
¿Cuánto es 2 decenas × 3 decenas?
6 centenas
Invite a la clase a registrar los productos parciales y a hallar el producto final.
¿Cuánto es 24 × 36? ¿Cómo saben que terminaron?
24 × 36 = 864
Terminamos porque multiplicamos cada parte de 36 por cada parte de 24 y hallamos la suma de los productos parciales.
¿Qué representa el producto? 864 es el número total de marcadores.
Reproduzca la parte 3 del video Colección de marcadores.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron sus conocimientos previos de la multiplicación para multiplicar 2 números de dos dígitos.
Nota para la enseñanza
Considere agregar los métodos usados en esta lección al afiche de las destrezas de multiplicación de la lección 13.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar estrategias de valor posicional para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la multiplicación de 2 números de dos dígitos.
¿Cómo podemos usar la propiedad distributiva para multiplicar un número de dos dígitos por un número de dos dígitos?
En lugar de separar en partes solo un factor, separamos ambos factores y distribuimos la multiplicación.
Separamos ambos factores en partes y multiplicamos cada parte del primer factor por cada parte del segundo factor.
¿Cómo nos puede ayudar un modelo de área a hallar y registrar los productos parciales?
El modelo de área establece una manera de separar ambos factores en partes y de ver lo que necesitamos para multiplicar.
El modelo de área ayuda a llevar la cuenta de todos los productos parciales.
Podemos usar el modelo de área como ayuda para registrar en forma vertical.
Boleto de salida 5
min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
Los factores en una expresión de multiplicación se pueden escribir en cualquier orden cuando se usa la forma vertical. Para alinear los productos parciales del modelo de área y en la forma vertical, el primer factor se escribe sistemáticamente debajo del segundo factor cuando se usa la forma vertical en las lecciones. Ocasionalmente, los problemas del Grupo de problemas invierten ese orden, lo que brinda una oportunidad para que la clase piense de manera flexible sobre los factores y los métodos para multiplicar. Señale a sus estudiantes este cambio en el problema 6 del Grupo de problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. 13 × 12
a. Completa las expresiones.
b. Completa el modelo de área.
a. Completa el modelo de área y la ecuación.
Multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
d. Multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
Dibuja un modelo de área para representar la expresión. Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
a. Completa sus trabajos para hallar el producto.
b. ¿En qué se diferencian sus trabajos?
Liz y Gabe escribieron los factores en un orden diferente en sus expresiones de multiplicación. También separaron los factores en partes en un orden diferente. Liz comenzó separando 34 en 30 y 4. Gabe comenzó separando 25 en 20 y 5
c. ¿Cómo pueden ser ambos correctos?
Cambiar el orden de los factores en una expresión de multiplicación no altera el producto.
Liz y Gabe comenzaron separando en partes un factor diferente, pero ambos terminaron sumando los mismos cuatro productos parciales y hallaron la misma respuesta.
Multiplicar con cuatro productos parciales
Vistazo a la lección
La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de dos dígitos y registra los cuatro productos parciales en forma vertical. Hacen la transición de dibujar un modelo de área a usar la forma vertical para hallar y registrar los productos parciales. Usan el lenguaje de forma unitaria como apoyo para identificar las unidades de valor posicional en los productos parciales.
Pregunta clave
• ¿Qué cosa puede ser útil visualizar o en qué podemos pensar cuando queremos hallar y registrar los productos parciales en forma vertical?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Confirmar la forma vertical usando un modelo de área
• Valor posicional y forma vertical
• Explicar el cálculo
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000 (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
Fluidez
Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000
Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000
EUREKA MATH2 4 ▸ M3 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por múltiplos de 10, 100 y 1,000
La clase halla un producto para adquirir fluidez con la multiplicación por múltiplos de 10, 100 y 1,000.
Práctica veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.
Halla el producto.
1. 3 × 40 = 120
2. 5 × 500 = 2,500
3. 6 × 5,000 = 30,000
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué patrones observan en las ecuaciones de los problemas 1 a 12? ¿Hasta dónde continúan los patrones?
• ¿Qué patrones observan en los productos de los problemas 1 a 12? ¿Hasta dónde continúan los patrones?
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de cuatro en cuatro desde el 0 hasta el 40 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de cuatro en cuatro desde el 40 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Presentar
La clase identifica y corrige errores en los productos parciales de un ejemplo de trabajo.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre el error de cálculo.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
No se escribieron todos los productos parciales.
Solo hay dos productos parciales. A menos que uno de los números fuera un múltiplo de 10, hemos estado hallando cuatro productos parciales cuando multiplicamos un número de dos dígitos por un número de dos dígitos.
No se multiplicaron todas las partes de ambos números. Solo se halló 2 unidades × 3 unidades y 4 decenas × 5 decenas. No se halló 2 unidades × 5 decenas ni 4 decenas × 3 unidades.
Dé a la clase 1 minuto para resolver el problema basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el valor posicional y la propiedad distributiva.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir sus soluciones con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.
Dibujé un modelo de área. Separé cada factor por valor posicional y hallé todos los productos parciales. Luego, hallé la suma de los cuatro productos parciales. Los productos parciales de 100 y 120 se deberían haber incluido en la forma vertical.
Usé la forma vertical, pero visualicé el modelo de área. Pensé en separar cada factor en decenas y unidades y, luego, pensé en los cuatro productos parciales. Los registré en forma vertical y sumé.
Registré las ecuaciones usando la propiedad distributiva. Multipliqué cada parte de 53 por cada parte de 42.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, usaremos la forma vertical para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Aprender
Confirmar la forma vertical usando un modelo de área
La clase multiplica y registra los productos parciales en forma vertical y toma como referencia un modelo de área para confirmar su trabajo.
Dibuje y rotule las longitudes de los lados de un modelo de área para representar 23 × 72 y escriba el problema en forma vertical. Invite a la clase a hacer lo mismo.
Al usar un modelo de área, ¿qué producto parcial hallan primero?
Comienzo en la fila de arriba y, luego, paso a la segunda fila como cuando leo.
Comienzo con las unidades de valor posicional más grandes de la misma manera que cuando escribo ecuaciones para la propiedad distributiva.
Comienzo con las unidades porque empezamos con ellas cuando sumamos y restamos y cuando multiplicamos con un factor de un dígito.
Podemos hallar y sumar los productos parciales en cualquier orden cuando usamos un modelo de área porque la suma de los productos parciales sigue siendo la misma. También podemos registrar y sumar productos parciales en forma vertical en cualquier orden. Sin embargo, cuando usamos la forma vertical, es útil multiplicar en un orden específico como ayuda para llevar la cuenta de los productos parciales. 35
DUA: Representación
La actividad digital interactiva de Modelo de área apoya la creación de modelos de área y la presentación de los productos parciales.
Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.
Señale 3 setenta y doses y 20 setenta y doses tanto en el modelo de área como en la forma vertical.
En este problema, multiplicaremos cada parte de 72 por 3 unidades y, luego, multiplicaremos cada parte de 72 por 2 decenas.
Multipliquemos y registremos los productos parciales en forma vertical. Podemos usar el modelo de área como ayuda para comprobar nuestro trabajo a medida que avanzamos.
Señale 3 unidades × 2 unidades en forma vertical.
¿Cuánto es 3 unidades × 2 unidades?
6 unidades
Registre 6 en forma vertical. Pida a sus estudiantes que señalen el lugar donde ven representado
3 unidades × 2 unidades en el modelo de área y que registren el producto parcial de 6 tanto en el modelo de área como en la forma vertical. Registre 6 en el modelo de área.
Señale 3 unidades × 7 decenas en forma vertical.
¿Cuánto es 3 unidades × 7 decenas?
21 decenas
Registre 210 en forma vertical. Pida a sus estudiantes que señalen el lugar donde ven representado
3 unidades × 7 decenas en el modelo de área y que registren el producto parcial de 210 tanto en el modelo de área como en la forma vertical. Registre 210 en el modelo de área.
Repita el proceso para hallar 2 decenas × 2 unidades y 2 decenas × 7 decenas.
¿Hallamos todos los productos parciales? ¿Cómo lo saben?
Sí. Multiplicamos cada parte de 72 por cada parte de 23.
Sí. Sé que hallamos todos los productos parciales porque cada parte del modelo de área está completa.
Dé 1 minuto para que sus estudiantes sumen los productos parciales y hallen el producto final.
¿Cuánto es 23 × 72?
1,656
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil usar un determinado orden para hallar los productos parciales.
Valor posicional y forma vertical
La clase usa la forma unitaria para identificar las unidades de valor posicional mientras registra los productos parciales en forma vertical.
Escriba 21 × 37.
Esta vez, registremos los productos parciales en forma vertical sin dibujar un modelo de área. Todavía podemos usar un modelo de área, pero visualicémoslo en nuestras mentes en lugar de dibujarlo.
Pida a sus estudiantes que escriban 21 × 37 en forma vertical y que visualicen un modelo de área que represente 21 × 37. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se vería el modelo de área.
Usaremos la forma unitaria para decir las expresiones que representan los productos parciales y así asegurarnos de registrar de manera correcta las unidades de valor posicional. Registremos los productos parciales en forma vertical.
Use una secuencia como la siguiente para guiar a la clase a la hora de hallar los productos parciales.
Señale los números en forma vertical al referirse a ellos. Registre los productos parciales en forma vertical mientras sus estudiantes responden y pídales que muestren su trabajo en las pizarras blancas.
Visualicen la fila de arriba del modelo de área. Necesitamos multiplicar cada parte de 37 por 1 unidad.
¿Qué producto parcial hallamos primero?
1 unidad × 7 unidades
¿Cuánto es 1 unidad × 7 unidades?
7 unidades
¿Cómo escribimos 7 unidades?
7
¿Qué multiplicamos por 1 unidad a continuación?
3 decenas
Nota para la enseñanza
Según sea necesario, permita que sus estudiantes continúen dibujando un modelo de área para apoyar su razonamiento y su registro en forma vertical.
¿Cuánto es 1 unidad × 3 decenas?
3 decenas
¿Cómo escribimos 3 decenas?
30
Visualicen la fila de abajo del modelo de área. ¿Qué nos queda por multiplicar?
Necesitamos multiplicar cada parte de 37 por 2 decenas.
¿Qué producto parcial hallamos a continuación?
2 decenas × 7 unidades
¿Cuánto es 2 decenas × 7 unidades?
14 decenas
¿Cómo escribimos 14 decenas?
140
¿Qué ecuación representa el producto parcial final?
2 decenas × 3 decenas = 6 centenas
¿Cómo escribimos 6 centenas?
600
¿Cuánto es 21 × 37?
777
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo usaron el valor posicional mientras multiplicaban.
Usamos el valor posicional para expresar cada parte de los factores en forma unitaria mientras multiplicamos.
Para hallar los productos parciales, tuvimos que pensar en el valor posicional. Tuvimos que pensar si el producto eran unidades, decenas o centenas.
Forme parejas de estudiantes y pídales que hallen 62 × 23 calculando los productos parciales y registrándolos en forma vertical. Mientras las parejas trabajan, pídales que lleven la cuenta del valor posicional al decir cada paso en forma unitaria.
¿Cuánto es 62 × 23?
1,426
¿Cómo saben que hallaron todos los productos parciales?
Multiplicamos cada parte de 62 por cada parte de 23.
Comenzamos con 2 unidades y multiplicamos cada parte de 23 por 2 unidades. Luego, multiplicamos cada parte de 23 por 6 decenas.
Visualizamos el modelo de área y nos aseguramos de que nuestros productos parciales coincidieran con lo que hallaríamos si representáramos 62 × 23 con un modelo de área.
Cuando registramos los productos parciales en forma vertical, ¿todavía estamos usando la propiedad distributiva? ¿Cómo lo saben?
Sí, todavía estamos usando la propiedad distributiva porque separamos ambos factores en partes y multiplicamos cada parte de un factor por cada parte del otro factor.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar la forma unitaria les ayudó a registrar los productos parciales mientras multiplicaban.
Explicar el cálculo
La clase multiplica 2 números de dos dígitos y explica su trabajo.
Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de 3 y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3.
Presente el problema: 83 veces 52.
Dé 2 minutos a sus estudiantes para hallar el producto en grupo. Recuérdeles que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Los grupos deben prepararse para compartir la siguiente información:
• el procedimiento del grupo para hallar los productos parciales;
• el producto y
• cómo ayuda el valor posicional a determinar los productos parciales y el producto.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar esquemas de oración para apoyar a sus estudiantes mientras explican sus cálculos.
Primero, multiplicamos unidades por unidades.
A continuación, multiplicamos por .
Luego, multiplicamos por .
Por último, multiplicamos por .
los productos parciales y obtuvimos .
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando multiplica 2 números de dos dígitos, registra los productos parciales en forma vertical y explica su trabajo.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:
• ¿En qué detalles es importante pensar al hallar 83 veces 52 y al registrar los productos parciales en forma vertical?
• ¿Dónde podrían cometer un error al registrar los productos parciales en forma vertical?
Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.
Si hay tiempo suficiente, repita la rutina Cabezas numeradas con 35 × 54 y 34 × 28.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar con cuatro productos parciales
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la multiplicación con cuatro productos parciales.
¿Qué cosa puede ser útil visualizar o en qué podemos pensar cuando queremos hallar y registrar los productos parciales en forma vertical?
Es útil visualizar un modelo de área que represente el problema para que podamos llevar la cuenta de los productos parciales.
Es útil pensar en la forma unitaria para que nos ayude con el valor posicional de las unidades y los productos parciales.
Necesitamos pensar en multiplicar cada parte de un factor por cada parte del otro factor.
Observen su trabajo en los problemas 4 y 5 del Grupo de problemas. ¿Usaron estrategias parecidas para resolver ambos problemas? ¿Por qué?
Sí, pensé en un modelo de área para cada problema. Eso me ayudó a llevar la cuenta de los productos parciales.
Sí, usé estrategias parecidas. Dije cada producto parcial usando la forma unitaria para poder llevar la cuenta de si eran unidades, decenas o centenas.
No. Para el problema 5, dibujé un modelo de área porque era difícil para mí llevar la cuenta de los productos parciales. No dibujé un modelo de área para el problema 4 porque fue más fácil para mí visualizar los productos parciales en mi mente, ya que solo hay 1 decena en 17.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
a. Multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
b. Completa el modelo de área para comprobar tu trabajo.
unidades × 4 unidades
unidades × 3 decenas
Dibuja un modelo de área para representar la expresión. Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical.
Visualiza el modelo de área en tu mente. Luego, multiplica registrando los productos parciales en forma vertical. (Dibuja un modelo de área si te sirve de ayuda).
Nombre
25 × 18 = 450 Hay 450 huevos en 25 cartones.
×
6. Halla el producto de 62 y 38
7. Un cartón tiene 18 huevos. ¿Cuántos huevos hay en 25 cartones?
Multiplicar con dos productos parciales
Vistazo a la lección
La clase multiplica números de dos dígitos por números de dos dígitos y registra los productos parciales en forma vertical. Hacen la transición de registrar cuatro productos parciales a registrar dos productos parciales. Luego, multiplican y registran en forma vertical.
Preguntas clave
• ¿En qué se parece hallar dos productos parciales a hallar cuatro productos parciales y en qué se diferencia?
• ¿Cómo podemos representar la expresión con otro nombre en la forma vertical?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos. (4.NBT.B.5)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Separar en partes y registrar de otra manera
• Separar un factor en partes
• Forma vertical con dos productos parciales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Factores
La clase escribe los pares de factores de un número dado como expresiones de multiplicación y, luego, enumera los factores en orden de menor a mayor para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 2 de hallar pares de factores.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el número 3.
Escriban los pares de factores de 3 como expresiones de multiplicación.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban los factores de 3 en orden de menor a mayor.
Muestre los factores.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. La clase puede escribir las expresiones de multiplicación en cualquier orden u ordenar los factores de cada expresión de manera diferente.
Si hay tiempo suficiente, considere preguntar a la clase si el número que se muestra es primo o compuesto después de que escriban los factores en orden de menor a mayor.
Contar de dos en dos y de cuatro en cuatro con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con los múltiplos de 2 y 4.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de dos en dos. Empiecen diciendo 2. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
246468108101214121081012
Continúe contando de dos en dos hasta el 20. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por el 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Ahora contemos de cuatro en cuatro. Empiecen diciendo 4. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
48128121620162024283228242016
Continúe contando de cuatro en cuatro hasta el 40. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Nota para la enseñanza
Se ha quitado la señal de alto porque la clase ya está más familiarizada con la rutina Conteo feliz. Considere usar esa señal cuando sea necesario para manejar el ritmo o la precisión de la secuencia de conteo.
Respuesta a coro: Múltiplos
La clase formula y responde preguntas sobre los primeros diez múltiplos de 2 o 4 para adquirir fluidez con los múltiplos, vistos en el módulo 2.
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 2. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
La clase examina y compara el registro de sumas y productos en forma vertical.
Muestre la imagen de 4,326 + 2,986 registrada en forma vertical de dos maneras.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan.
Ambas maneras tienen las mismas partes y el mismo total.
Una manera registra sumas parciales en forma vertical y la otra manera usa el algoritmo de la suma.
Muestre la imagen de 6 × 237 registrada en forma vertical de dos maneras.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan.
Ambas maneras tienen los mismos factores y el mismo producto.
Una manera registra los productos parciales por separado y la otra manera registra los productos parciales juntos en la misma línea. 5
Muestre la imagen del modelo de área y la forma vertical que representa 62 × 23. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían representar 62 × 23 en forma vertical de otra manera.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, registraremos dos productos parciales en forma vertical al multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Aprender
Separar en partes y registrar de otra manera
La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de dos dígitos al separar un número en decenas y unidades y al multiplicar el otro número por las decenas y las unidades.
Escriba 22 × 43.
Dé a la clase 2 minutos para hallar 22 × 43 dibujando y completando un modelo de área que muestre cuatro productos parciales y registrándolos en forma vertical.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué hay cuatro productos parciales.
Separamos 22 en 20 y 2, y 43 en 40 y 3. Luego, usamos la propiedad distributiva. Eso nos dio cuatro productos parciales.
Separamos 22 y 43 en decenas y unidades y, luego, multiplicamos cada parte de 43 por cada parte de 22. Eso nos dio cuatro productos parciales.
Separamos ambos factores en decenas y unidades. Dibujamos un modelo de área. Podemos ver cuatro productos parciales representados en el modelo de área.
Observemos el modelo de área como ayuda para ver otra manera de separar los factores en partes y de registrar la multiplicación.
Dibuje un modelo de área para representar 22 × 43.
Resalte y sombree las partes del modelo de área que representan 2 × 43.
¿Qué expresión de multiplicación representa esta parte sombreada?
2 × 43
Invite a la clase a usar la forma vertical para registrar el producto de 2 y 43 en una línea mientras usted hace lo mismo.
Resalte y sombree las partes del modelo de área que representan 20 × 43.
¿Qué expresión de multiplicación representa esta parte sombreada?
20 × 43
Invite a la clase a seguir el procedimiento mientras usted usa la forma vertical para registrar el producto de 20 y 43 en una línea.
2 decenas × 3 unidades = 6 decenas. Puedo registrar 60 debajo de la línea.
2 decenas × 4 decenas = 8 centenas. Podría registrar el producto parcial de 800 debajo de 60, pero en su lugar puedo registrar 8 en la posición de las centenas junto al 60. 8 en la posición de las centenas representa 800.
Nota para la enseñanza
En la lección 12 se presentó a la clase el uso de una línea para registrar los productos parciales al multiplicar un número de varios dígitos por un número de un dígito.
Nota para la enseñanza
Considere apoyar la comprensión con respecto a por qué el 8 en 800 se puede escribir en la misma línea que 60. Como en la ecuación 2 decenas × 4 decenas = 8 centenas se multiplican decenas por decenas, el producto resultante tiene centenas (es decir, no hay decenas ni unidades). El 8 se puede escribir en la misma línea que 60 porque no hay decenas ni unidades en 800.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo se usa el valor posicional cuando se registran los productos parciales en una línea.
Pensamos en el valor posicional de los dígitos en cada producto parcial y, luego, registramos los dígitos en la columna correcta.
Si pensamos en la multiplicación en forma unitaria, entonces podemos registrar el número de cada unidad de valor posicional en la columna de valor posicional correspondiente.
Invite a la clase a hacer conexiones entre los cuatro productos parciales en forma vertical y en el modelo de área, y los dos productos parciales en forma vertical usando una secuencia como la siguiente:
¿Cuánto es 2 × 43?
86
¿Dónde está representado 86 en el modelo de área?
86 está representado por el área de las partes de arriba del modelo de área.
¿Dónde está representado 86 en los cuatro productos parciales?
86 está representado por los productos parciales de 80 y 6.
¿Cuánto es 20 × 43?
860
¿Dónde está representado 860 en el modelo de área?
860 está representado por el área de las partes de abajo del modelo de área.
¿Dónde está representado 860 en los cuatro productos parciales?
860 está representado por los productos parciales de 60 y 800.
Invite a la clase a sumar 86 y 860 para hallar el total.
¿Qué factor separamos en partes para multiplicar 43 por 22? ¿Cómo usamos cada parte?
Separamos 22 en 20 y 2. Hicimos dos problemas de multiplicación, 2 × 43 y 20 × 43. Hallamos los productos parciales y, luego, los sumamos para hallar el total. Obtuvimos el mismo producto que el producto representado por el modelo de área y por los cuatro productos parciales.
Repita el proceso con 29 × 62, haciendo énfasis en el registro de 20 × 62 en una línea usando la forma vertical.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre registrar productos parciales en una línea al multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito y al multiplicar un número de dos dígitos por un múltiplo de 10 de dos dígitos.
Separar un factor en partes
La clase separa un factor en partes y aplica la propiedad distributiva para registrar un problema de multiplicación de dos dígitos por dos dígitos como dos problemas de multiplicación en forma vertical.
Muestre la expresión 32 × 34.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden separar uno de los factores en partes como ayuda para multiplicar.
Podemos separar 32 en 30 y 2. Luego, podemos multiplicar 34 por 2 y 34 por 30.
Separemos 32 en 30 y 2 y, luego, multipliquemos 34 por cada parte de 32. ¿Cómo podemos dibujar un modelo de área para representar los dos productos parciales?
Podemos rotular la longitud de un lado como 34 y rotular la longitud del otro lado para mostrar 30 y 2.
Invite a la clase a dibujar un modelo de área para representar 32 × 34 como dos productos parciales, 2 × 34 y 30 × 34. Dibuje el modelo de área y use las siguientes preguntas para guiar la conversación.
¿Qué expresiones de multiplicación representan cada área?
2 × 34 y 30 × 34
Registre las dos expresiones junto al modelo de área.
Hallemos 2 treinta y cuatros y 30 treinta y cuatros registrando los productos parciales en una línea.
Invite a las parejas de estudiantes a hallar y registrar el producto de 2 y 34 en una línea en forma vertical.
¿Cuánto es 2 treinta y cuatros o 2 × 34?
68
Guíe a la clase para hallar y registrar el producto de 30 y 34 en una línea en forma vertical.
¿Cuánto es 3 decenas × 4 unidades?
12 decenas
¿Cuánto es 12 decenas en forma estándar?
120
Si miro lo que falta de la operación, sé que el siguiente producto parcial serán las centenas, entonces registro un 1 pequeño para 1 centena justo debajo de la línea en la posición de las centenas, un 2 para representar 2 decenas más abajo de la línea en la posición de las decenas y un 0 junto al 2 para representar 0 unidades.
Registre el producto parcial y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 3 decenas × 3 decenas?
9 centenas
Podemos registrar 9 para 9 centenas en una línea con las decenas.
Escriba 9 debajo de la línea en la posición de las centenas, alineado de manera horizontal con las 2 decenas y las 0 unidades.
Por último, podemos combinar 9 centenas y la centena que expresamos con otro nombre a partir de las 12 decenas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere continuar señalando y usando gestos para ayudar a la clase a llevar la cuenta de los factores que se multiplican en cada paso y a reconocer dónde registrar los dígitos en los productos parciales.
Diferenciación: Desafío
Desafíe a sus estudiantes a aplicar los métodos que usan en esta lección a factores más grandes. Por ejemplo, pídales que multipliquen números de tres dígitos por números de dos dígitos o números de tres dígitos por números de tres dígitos. Invite a sus estudiantes a dibujar un modelo de área para representar el problema, hallar los productos parciales y sumar para hallar el producto.
Trace una línea y combine las unidades semejantes para mostrar el total, 1,020.
¿Cuánto es 30 treinta y cuatros o 30 × 34?
1,020
¿Dónde ven los productos parciales de 120 y 900 en forma vertical?
Veo 120 como 1 centena y 2 decenas, y veo 900 como 9 centenas.
Registre los productos de cada parte en el modelo de área.
¿Hallamos 32 × 34?
No, todavía no lo hemos hallado. Necesitamos sumar 68 y 1,020 porque la suma de los productos parciales es el total.
Dé 1 minuto a sus estudiantes para que hallen el producto al sumar los productos parciales mientras usted hace lo mismo.
¿Cuánto es 32 × 34?
1,088
Señale el lugar donde está representado 32 en el modelo de área y en la forma vertical.
¿Es útil separar un factor de dos dígitos en partes cuando multiplicamos? ¿Por qué?
Sí, porque todavía puedo llevar la cuenta de los productos parciales, pero no tengo que sumar los cuatro productos parciales.
No, porque tengo que registrar tres problemas diferentes para hallar el producto: dos para multiplicar y hallar los productos parciales y uno para sumar los productos parciales.
Intentemos escribir los tres problemas diferentes en un registro de forma vertical.
Nota para la enseñanza
Al igual que en la lección 12, en esta lección se usa la suma de unidades expresadas con otro nombre después de multiplicar. Este registro permite a sus estudiantes ver los productos parciales antes de que se sumen para hallar el total.
Si sus estudiantes tienen confianza para sumar unidades expresadas con otro nombre mientras multiplican, puede considerar presentarles la suma de unidades expresadas con otro nombre mientras continúan multiplicando. No se espera fluidez con el algoritmo convencional para la multiplicación hasta 5.o grado.
Forma vertical con dos productos parciales
La clase separa un factor en partes y aplica la propiedad distributiva para registrar productos parciales en dos líneas en forma vertical.
Escriba 32 × 34 en forma vertical.
Guíe a sus estudiantes para que registren el producto parcial de 2 × 34 en la primera línea. Use las siguientes preguntas para establecer una secuencia de trabajo:
• ¿Cuánto es 2 unidades × 4 unidades?
• ¿Cuánto es 2 unidades × 3 decenas?
• ¿Qué expresión de multiplicación representa 68?
Registramos el producto parcial de 30 × 34 debajo del producto parcial que representa 2 × 34.
Guíe a sus estudiantes usando las siguientes preguntas para establecer una secuencia de trabajo:
• ¿Cuánto es 3 decenas × 4 unidades?
• ¿Dónde registramos los dígitos 1, 2 y 0 para representar 12 decenas?
• ¿Cuánto es 3 decenas × 3 decenas?
• ¿Dónde registramos el dígito 9 para representar 9 centenas?
Al registrar el producto parcial de 30 × 34 debajo del producto parcial de 2 × 34, podemos combinar las unidades semejantes y sumar los productos parciales para hallar el total.
Invite a las parejas de estudiantes a trazar una línea y a sumar en forma vertical.
¿Cuánto es 32 × 34?
1,088
Muestre el trabajo completo y un modelo de área con cuatro productos parciales.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se representan los cuatro productos parciales cuando se registran en dos líneas en forma vertical.
Puedo ver los productos parciales de 60 y 8 del modelo de área como 68 en forma vertical.
Puedo ver los productos parciales de 900 y 120 del modelo de área registrados debajo de 68. 900 está representado por el 9 en la posición de las centenas. 120 está representado por un 1 en la posición de las centenas, un 2 en la posición de las decenas y un 0 en la posición de las unidades.
Considere repetir el proceso para 62 × 23, esta vez pidiendo a las parejas que trabajen para hallar y registrar los productos parciales en dos líneas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando multiplica y registra con dos productos parciales en forma vertical con reagrupación en ambos productos parciales.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:
• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre la multiplicación de números de un solo dígito a hallar 62 × 23?
• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre el valor posicional como ayuda para hallar 62 × 23 registrando con dos productos parciales en forma vertical?
Nota para la enseñanza
El dígito 0 en la posición de las unidades del segundo producto parcial tiene un propósito porque representa la multiplicación por un múltiplo de diez, como 30 y no 3. Haga énfasis en el valor que tiene en el segundo producto parcial diciendo las expresiones en forma unitaria o en forma estándar (p. ej., 3 decenas × 4 unidades o 30 × 4) y no como expresiones de un solo dígito (p. ej., 3 × 4).
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Multiplicar con dos productos parciales
Guíe una conversación que enfatice las conexiones entre hallar cuatro productos parciales y hallar dos productos parciales para multiplicar 2 números de dos dígitos.
¿En qué se parece hallar dos productos parciales a hallar cuatro productos parciales y en qué se diferencia?
Se parece porque multiplicamos cada parte de un factor por cada parte del otro factor. Se diferencia porque solo separamos un factor en partes para hallar dos productos parciales en lugar de ambos factores.
Se parece porque separamos los factores por valor posicional y usamos las unidades de valor posicional para registrar de manera correcta cada producto.
Podemos dibujar un modelo de área y usar la forma vertical para mostrar dos productos parciales o cuatro productos parciales.
¿En qué es importante pensar mientras registramos dos productos parciales en forma vertical?
Debemos pensar en qué factor estamos separando en partes y cómo lo separamos.
Debemos pensar en la unidad de valor posicional de cada dígito y registrar el producto con las unidades de valor posicional correctas.
Quizás necesitemos expresar con otro nombre mientras multiplicamos.
¿Cómo podemos representar la expresión con otro nombre en la forma vertical?
Podemos registrar las unidades expresadas con otro nombre debajo de la línea y sumar las unidades semejantes cuando terminamos de multiplicar.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Nota para la enseñanza
En 4.o grado, la clase puede apoyar su trabajo en el Grupo de problemas con modelos pictóricos, según sea necesario, y continuar registrando cuatro productos parciales.
Ejemplos
de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
EUREKA MATH
Multiplica.
Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar
Vistazo a la lección
La clase relaciona la propiedad distributiva con métodos que usan cuatro productos parciales y dos productos parciales. Seleccionan un método, multiplican y comentan cómo usaron la propiedad distributiva en su trabajo.
Pregunta clave
• ¿Cuáles son algunas formas diferentes de mostrar cómo usamos la propiedad distributiva para multiplicar?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
(4.NBT.B.5)
Nombre
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• La propiedad distributiva
• Seleccionar un método
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Factores
La clase escribe los pares de factores de un número dado como expresiones de multiplicación y, luego, enumera los factores en orden de menor a mayor para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 2 de hallar pares de factores.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el número 5.
Escriban los pares de factores de 5 como expresiones de multiplicación.
Muestre el ejemplo de expresión.
Escriban los factores de 5 en orden de menor a mayor.
Muestre los factores.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de tres en tres y de seis en seis con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con múltiplos de 3 y 6.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de tres en tres. Empiecen diciendo 3. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
3691291215121518211821242730
Continúe contando de tres en tres hasta el 30. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Ahora contemos de seis en seis. Empiecen diciendo 6. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
6121824182430241824303642364248
Continúe contando de seis en seis hasta el 60. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Múltiplos
La clase formula y responde preguntas sobre los primeros diez múltiplos de 3 o 6 para adquirir fluidez con los múltiplos, vistos en el módulo 2.
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 3. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
¿Es 13 un múltiplo de 3?
No.
¿Es 18 un múltiplo de 3?
Sí.
¿Es 27 un múltiplo de 3? Sí.
¿Cuál es el tercer múltiplo de 3?
9
¿Cuál es el quinto múltiplo de 3?
15
Múltiplos de 3:
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 6. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
¿Es 24 un múltiplo de 6? Sí.
¿Es 21 un múltiplo de 6? No.
¿Es 42 un múltiplo de 6? Sí.
¿Cuál es el décimo múltiplo de 6? 60
¿Cuál es el séptimo múltiplo de 6? 42
Múltiplos de 6: 6 , 12 , 18 ,
Presentar
La clase selecciona una estrategia para hallar el número total de objetos dentro de una matriz.
Muestre la imagen del estacionamiento.
Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y halle el número de autos que hay en el estacionamiento. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre el uso del valor posicional y la propiedad distributiva.
Multipliqué para hallar el total de cada color de auto y, luego, sumé.
100 + 20 + 40 + 8 = 168
Conté 12 autos en cada fila. Luego, multipliqué para hallar el número de autos que hay en 10 filas y el número de autos que hay en 4 filas. Sumé esos totales. 120 + 48 = 168 5
Conté 14 autos en cada columna. Luego, multipliqué para hallar el número de autos que hay en 10 columnas y el número de autos que hay en 2 columnas. Sumé esos totales. 140 + 28 = 168
Conté 12 autos en cada fila y 14 autos en cada columna. Luego, multipliqué para hallar el total. 12 × 14 = 168
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas:
• ¿Cómo separó cada persona el número de filas y el número de columnas?
• ¿Cómo usó cada persona el valor posicional para descomponer la matriz de una manera que sea útil?
¿Cómo se relaciona la propiedad distributiva con la manera en que hallaron el número total de autos?
Cuando usamos la propiedad distributiva, separamos uno o ambos factores en partes, multiplicamos cada parte de un factor por cada parte del otro factor y sumamos los productos parciales. Usé ese proceso al separar en partes el número de filas y el número de columnas de autos para hacer grupos más pequeños de filas y de columnas que me resultaron más fáciles de multiplicar.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, relacionaremos la propiedad distributiva con los métodos de multiplicación que aprendimos y multiplicaremos números de dos dígitos por números de dos dígitos usando esos métodos.
Aprender
La propiedad distributiva
La clase relaciona la propiedad distributiva con el registro de dos productos parciales y cuatro productos parciales.
Presente el problema 26 × 53. Forme parejas de estudiantes.
Pida a la mitad de las parejas que multipliquen usando un modelo de área que represente cuatro productos parciales y que registren su trabajo en forma vertical.
Pida a la otra mitad de las parejas que multipliquen usando un modelo de área que represente dos productos parciales y que registren su trabajo en forma vertical.
Después de 2 minutos, forme grupos de cuatro con una pareja de estudiantes que haya usado cuatro productos parciales y una pareja que haya usado dos productos parciales.
Dé 1 minuto a los grupos para que comenten cómo hallaron el producto usando cuatro productos parciales y 1 minuto para que comenten cómo hallaron el producto usando dos productos parciales.
Pensemos cómo se relaciona cada método con la propiedad distributiva.
Guíe una conversación de toda la clase para relacionar la propiedad distributiva con cada método usando una secuencia como la siguiente. Invite a sus estudiantes a tomar como referencia los ejemplos de trabajo de su grupo en sus explicaciones a lo largo de la conversación.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) al multiplicar usando un modelo de área y al registrar su trabajo con los productos parciales en forma vertical.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿De qué manera multiplicar usando la forma vertical para registrar los productos parciales representa lo que muestra el modelo de área?
• ¿Cómo les ayuda usar unidades de valor posicional a hallar y registrar los productos parciales en forma vertical?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a las parejas de estudiantes que usen la Herramienta para la conversación como apoyo para compartir su trabajo con el grupo. Pídales que vayan a la sección Compartir tu razonamiento mientras comparten sus trabajos y a la sección Decirlo otra vez para responder y demostrar la comprensión.
Escriba 26 × 53 = (20 + 6) × 53.
¿Dónde está representado 26 × 53 = (20 + 6) × 53 en su trabajo?
La longitud del lado de 26 en el modelo de área de cuatro partes está separada en 20 y 6. La otra longitud del lado es 53.
En el modelo de área de dos partes, la longitud del lado de 26 está separada en 20 y 6. La otra longitud del lado es 53.
Escriba = (20 × 53) + (6 × 53).
¿Dónde está representado (20 × 53) + (6 × 53) en su trabajo?
Si juntamos las partes de abajo del modelo de área de cuatro partes, representan 20 × 53. Si juntamos las partes de arriba del modelo de área de cuatro partes, representan 6 × 53.
Las partes del modelo de área de dos partes representan 53 multiplicado por 6 y 20.
Los dos productos parciales en forma vertical son el resultado de la multiplicación de 53 por 6 y, luego, 53 por 20.
¿Dónde están representadas estas expresiones en su trabajo?
Puedo ver que 26 y 53 están separados en decenas y unidades en el modelo de área de cuatro partes. Cada parte del modelo de área y cada producto parcial en la forma vertical representa una de las expresiones.
Las expresiones muestran lo que pensábamos cuando multiplicamos usando la forma vertical. Pensamos en 6 unidades por 3 unidades y 5 decenas y registramos ese producto parcial en una línea en forma vertical. Luego, pensamos en 2 decenas multiplicadas por 3 unidades y 5 decenas y registramos ese producto parcial en otra línea en forma vertical.
Escriba = 1,000 + 60 + 300 + 18 y = 1,378.
¿Qué representan estos números?
Son los números que obtenemos cuando multiplicamos los números en cada expresión.
Son los cuatro productos parciales que vemos en el modelo de área y en la forma vertical.
¿Cómo se relacionan los cuatro productos parciales con los dos productos parciales que se muestran en algunos métodos?
1,000 + 60 se muestra como 1,060 en el modelo de área y cuando se registra en forma vertical. 300 + 18 se muestra como 318 en el modelo de área y cuando se registra en forma vertical.
¿Qué representa el producto final?
Representa el área total del modelo de área.
Representa el total de todos los productos parciales.
Representa el producto de 26 y 53.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué cada método da como resultado el mismo producto final.
Seleccionar un método
La clase selecciona un método para hallar un producto y comparar su trabajo.
Presente el problema: El producto de 45 y 26
Dé a la clase 2 minutos para seleccionar un método y hallar el producto. Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja. Identifique a dos estudiantes con métodos diferentes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre los métodos.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a cada estudiante que comparta su trabajo con todo el grupo. Haga preguntas para destacar el uso de la propiedad distributiva en cada método y para hacer conexiones. Anime a la clase a que haga preguntas.
Método de Eva
¿Cómo separó Eva los factores en partes y multiplicó?
Separó 26 en partes y multiplicó 45 por 6 y 20.
¿Cómo elegiste tu método, Eva?
Elegí usar dos productos parciales y multiplicar escribiendo los problemas en forma vertical porque eso fue lo más eficiente para mí. Dibujé un modelo de área como ayuda para ver qué números multiplicar.
DUA: Acción y expresión
Considere mostrar un ejemplo de trabajo de cada método usado para hallar 26 × 53. Pida a sus estudiantes que consulten el trabajo como ayuda para seleccionar un método de multiplicación y para usar el método al multiplicar.
Nota para la enseñanza
El método de Eva y el método de Adam demuestran la propiedad conmutativa de la multiplicación. Eva multiplicó 45 por 26 Adam multiplicó 26 por 45. Ambos métodos dan como resultado el mismo producto. Si sus estudiantes no realizan un trabajo parecido, considere compartir los ejemplos de trabajo como ayuda para reforzar la comprensión de que los factores se pueden multiplicar en cualquier orden. Presente el trabajo diciendo:
“Eva y Adam hallaron el producto de 45 y 26.
¿Cómo puede ser que el producto sea el mismo si los modelos de área y los productos parciales son diferentes?”.
Método de Adam
¿Cómo separó Adam los factores en partes y multiplicó?
Separó 45 en partes y multiplicó 26 por 5 y 40.
¿En qué se diferencia el trabajo de Adam del trabajo de Eva?
Adam separó en partes un factor diferente y halló productos parciales diferentes.
¿En qué se parecen el trabajo de Adam y el trabajo de Eva?
Cada uno separó un factor en partes y halló dos productos parciales.
Hallaron el mismo producto final, 1,170.
¿Cómo pueden Eva y Adam obtener el mismo producto a pesar de que separaron en partes un factor diferente?
Multiplicaron los mismos números de dos dígitos. Solo usaron un orden diferente. Pueden hacer eso y aun así obtener el mismo producto.
La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que podemos multiplicar números en un orden diferente y aun así obtener el mismo producto.
Repita el proceso y pida a sus estudiantes que hallen 41 veces 74.
Método de Shen
Shen, ¿qué factor separaste en partes y distribuiste?
¿Cuál fue tu estrategia?
Separé 41 en partes y multipliqué 74 por cada parte. Observé que si hallaba 1 × 74, no necesitaría separar 74 en partes. Sé que el producto es 74. Cuando hallé 40 × 74, separé 74 en 7 decenas y 4 unidades, y multipliqué cada parte por 40.
¿Por qué decidiste hallar el producto con dos productos parciales?
Cuando vi el 1 en 41, supe que podía multiplicar 74 por 1 mentalmente. Luego, solo tuve que multiplicar 74 por 40.
Método de Oka
Oka, ¿qué factor separaste en partes y distribuiste?
¿Cuál fue tu estrategia?
Separé ambos factores en partes. Dibujé un modelo de área para asegurarme de que multipliqué cada parte de un factor por cada parte del otro factor para hallar los cuatro productos parciales. Luego, sumé los cuatro productos parciales para hallar el total.
¿Dónde ven los dos productos parciales del trabajo de Shen en el trabajo de Oka?
Veo 74 en el lado derecho del modelo de área. Veo 2,960 en el lado izquierdo del modelo de área.
Veo 74 separado en 70 y 4 en forma vertical. Veo 2,960 separado en 2,800 y 160 en forma vertical.
Repita el proceso con 36 × 82.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué seleccionaron su método y cómo usaron la propiedad distributiva.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Aplicar la propiedad distributiva para multiplicar
Reúna a sus estudiantes, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y guíe una conversación sobre el uso de la propiedad distributiva y de diferentes estrategias para multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 del Grupo de problemas.
¿Cuáles son algunas formas diferentes de mostrar cómo usamos la propiedad distributiva para multiplicar?
Podemos escribir una ecuación usando expresiones para dos o cuatro productos parciales.
Podemos dibujar un modelo de área con dos o cuatro partes para representar los productos parciales y, luego, hallar los productos parciales y sumarlos.
Podemos usar la forma vertical para multiplicar cada parte de un factor por cada parte del otro factor.
Podemos hallar los productos parciales y, luego, sumarlos.
¿Qué método prefirieron para hallar 24 × 38?
Preferí hallar los dos productos parciales por separado usando un modelo de área y la forma vertical. Ese método me ayuda a llevar la cuenta de lo que estoy multiplicando y los problemas se parecen más a los que conozco.
Prefiero registrar los productos parciales multiplicando dentro de la forma vertical porque es el método más eficiente para mí. Hay menos para registrar.
Boleto
de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere dar a sus estudiantes la oportunidad de evaluar y aplicar lo que aprendieron.
• ¿Cómo cambió mi comprensión de la multiplicación de un número de dos dígitos por un número de dos dígitos en las últimas lecciones?
• ¿En qué estoy mejorando?
• ¿Qué sigue siendo un desafío para mí?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Completa las partes (a) a (d) para mostrar diferentes maneras de hallar 24 × 38. Luego, responde la parte (e).
e. Observa los métodos usados para multiplicar en las partes (a) a (d). ¿Qué método prefieres? Explica.
Ejemplo:
Prefiero el método usado en la parte (d) porque es más eficiente para mí. Puedo multiplicar y expresar con otro nombre si es necesario. Luego, puedo sumar todos los productos parciales al final.
Tema E
Resolver problemas usando la medición
En el tema E, la clase expresa las unidades de tiempo y las unidades de peso y de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas.
Así como en el trabajo con la conversión de unidades del sistema métrico en el tema E del módulo 1, la clase usa relaciones multiplicativas para convertir unidades más grandes a unidades más pequeñas, completar tablas de conversión y representar conversiones usando rectas numéricas.
También resuelven problemas que requieren la suma y la resta de unidades mixtas mediante el uso de estrategias flexibles que incluyen expresar unidades más grandes como unidades más pequeñas.
Al comienzo del tema, sus estudiantes describen la longitud de 1 segundo, 1 minuto y 1 hora.
Relacionan cada longitud de tiempo con ejemplos del mundo real y usan su conocimiento de la multiplicación por múltiplos de 10 para expresar horas en términos de minutos y minutos en términos de segundos. Reconocen que la relación entre las horas y los minutos y los minutos y los segundos es la misma (1 de cada unidad más grande es igual a 60 de la unidad más pequeña) y que los números de las unidades más pequeñas son todos múltiplos de 60.
A continuación, sus estudiantes examinan un intervalo de 1 libra en una balanza para determinar la relación entre las libras y las onzas: 1 libra es 16 veces tan pesada como 1 onza. Expresan las libras en términos de onzas, reconocen que todos los números de onzas son múltiplos de 16 y usan su conocimiento de la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito para realizar otras conversiones. Completan conversiones desconocidas en tablas de conversión y usan la información de las tablas para hallar otras conversiones que no están enumeradas en ellas. Por ejemplo, si saben el número de onzas que hay en 6 libras y el número de onzas que hay en 10 libras, pueden hallar el número de onzas que hay en 16 libras.
El tema finaliza con la conversión de unidades de volumen líquido del sistema inglés: galones, cuartos de galón, pintas y tazas. Sus estudiantes reconocen la relación multiplicativa entre la unidad más grande y la unidad más pequeña. Por ejemplo, cuando se expresan galones en términos de cuartos de galón, todos los números de cuartos de galón son múltiplos de 4. Expresan unidades más grandes en términos de la siguiente unidad más pequeña y otras unidades más pequeñas (p. ej., expresan cuartos de galón en términos de pintas y en términos de tazas).
En el tema F, la clase divide para hallar cocientes y residuos de números enteros y resuelve problemas verbales, algunos de los cuales requieren interpretar un residuo.
Progresión de las lecciones
Lección 18
Expresar unidades de tiempo en términos de unidades más pequeñas
Lección 19
Expresar medidas de peso del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Lección 20
Expresar medidas de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Hay 60 minutos en 1 hora y 60 segundos en 1 minuto. Puedo expresar las horas en términos de minutos y los minutos en términos de segundos multiplicando 60 por el número de la unidad más grande. Si pienso en 60 como 6 decenas, puedo usar operaciones conocidas como ayuda para multiplicar.
1 libra es igual a 16 onzas. Cuando convierto de libras a onzas, el número de onzas es un múltiplo de 16. Eso quiere decir que puedo multiplicar 16 por el número de libras para hallar el número de onzas. Una estrategia para sumar o restar con unidades mixtas es expresar la unidad más grande en términos de la unidad más pequeña antes de sumar o restar.
Conocer las relaciones entre galones, cuartos de galón, pintas y tazas me ayuda a expresar las unidades más grandes en términos de las unidades más pequeñas. Puedo expresar unidades mixtas en términos de la unidad más pequeña usando la multiplicación, la multiplicación y la suma o la multiplicación y la resta.
1. Completa la tabla de conversión.
Expresar unidades de tiempo en términos de unidades más pequeñas
Minutos Segundos
1 60 2 120 6 360
2. Iván duerme 6 horas y 30 minutos. ¿Cuántos minutos duerme en total?
6 × 60 = 360
360 + 30 = 390
6 hr 30 min = 390 min
Iván duerme 390 minutos.
Vistazo a la lección
La clase expresa las horas en términos de minutos, los minutos en términos de segundos y las horas y los minutos en términos de segundos. Usan estrategias basadas en rectas numéricas, tablas de conversión y la multiplicación. La clase también suma y resta con unidades mixtas.
Preguntas clave
• ¿Cómo se relacionan las horas, los minutos y los segundos?
• ¿Qué estrategias podemos usar para convertir los minutos a segundos y las horas a minutos?
Criterios de logro académico
4.Mód3.CLA4 Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas. (4.MD.A.1)
4.Mód3.CLA5 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tamaños relativos de las unidades
• Convertir horas y minutos
• Resolver un problema verbal con unidades mixtas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• cronómetro
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
Prepare un cronómetro que pueda mostrar minutos y segundos.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Factores
La clase escribe los pares de factores de un número dado como expresiones de multiplicación y, luego, enumera los factores en orden de menor a mayor para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 2 de hallar pares de factores.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el número 24.
Escriban los pares de factores de 24 como expresiones de multiplicación.
Muestre los ejemplos de expresiones.
Escriban los factores de 24 en orden de menor a mayor.
Muestre los factores.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Números primos y compuestos
La clase identifica un número dentro del rango del 50 al 100 como primo o compuesto para adquirir fluidez con los números primos y compuestos presentados en el módulo 2.
Muestre el número 50.
¿El 50 es un número primo o compuesto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Compuesto
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
50
Compuesto
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros
La clase multiplica un número de tres dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números de varios dígitos.
Muestre 2 × 143 = .
Hallen el producto y muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto.
2 × 143 = 286
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
512 × 3 = 1,536 4 × 206 = 824
471 × 5 = 2,355
Presentar
5
La clase lee tres veces un problema verbal para entenderlo.
Muestre el problema:
En un día de clases, Ray está despierto durante 14 horas y 15 minutos. Está en la escuela durante 6 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo está despierto Ray cuando no está en la escuela?
Guíe a la clase para completar Tres lecturas del problema.
Lea el problema a coro con la clase.
¿De qué trata el problema?
El problema trata sobre Ray y cómo pasa el tiempo que está despierto en un día de clases.
Lea el problema a coro con la clase una segunda vez.
¿Cuál es la información importante?
Ray está despierto durante 14 horas y 15 minutos. Ray está en la escuela durante 6 horas y 20 minutos.
Lea el problema a coro con la clase una tercera vez.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuánto tiempo está despierto Ray cuando no está en la escuela?
¿Qué podemos hacer para determinar cuánto tiempo está despierto Ray cuando no está en la escuela?
Podemos restar la cantidad de tiempo que está en la escuela de la cantidad de tiempo que está despierto.
Podríamos comenzar con la cantidad de tiempo que está en la escuela y sumar hasta llegar a la cantidad de tiempo que está despierto.
¿Qué necesitamos saber para hallar la solución?
Necesitamos saber cómo restar o contar hacia delante desde un número al usar horas y minutos.
Es posible que necesitemos saber cómo hallar el número de minutos que hay en 1 hora o más.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos sobre las unidades de medida de tiempo y cómo convertir las medidas de una unidad más grande a una unidad más pequeña.
Aprender
Tamaños relativos de las unidades
Materiales: M) Cronómetro
La clase determina la relación entre los segundos, los minutos y las horas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar cómo describirían la longitud de 1 segundo.
1 segundo es muy rápido, casi demasiado rápido como para contar.
Es el tiempo que me lleva aplaudir una vez.
Muestre el cronómetro mientras cuenta 1 segundo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuán precisas fueron sus descripciones de 1 segundo en comparación con lo que vieron en el cronómetro.
DUA: Representación
Si hay un reloj analógico en el salón de clases, pida a sus estudiantes que miren cómo el segundero pasa por las 60 marcas que hay en 1 minuto. Luego, pídales que imaginen el minutero pasando por las 60 marcas que hay en 1 hora.
Si no hay un reloj analógico en el salón de clases, muestre una imagen como apoyo para que cada estudiante visualice los 60 segundos que hay en 1 minuto y los 60 minutos que hay en 1 hora. Muestre la imagen del reloj con las marcas de los minutos y el minutero y el segundero. Pida a sus estudiantes que cuenten las marcas rotuladas de cinco en cinco alrededor del reloj para confirmar el total de 60. Luego, pídales que imaginen el minutero pasando por las 60 marcas que hay en 1 hora y el segundero pasando por las 60 marcas que hay en 1 minuto.
Invite a sus estudiantes a predecir cuán largo es 1 minuto completando la siguiente secuencia:
• Pídales que cierren los ojos.
• Dígales que usted les dará una señal de inicio y, luego, iniciará el cronómetro. Su trabajo es estimar cuándo ha pasado 1 minuto.
• Pídales que hagan una señal cuando crean que ha pasado un minuto mostrando los pulgares hacia arriba.
• Dé la señal e inicie el cronómetro.
• Cuando haya pasado 1 minuto, pida a sus estudiantes que abran los ojos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si pensaron que 1 minuto era más o menos tiempo que la duración real.
Registre la ecuación 1 minuto = 60 segundos.
Presente el enunciado.
1 minuto es veces tan largo como 1 segundo.
Hay 60 segundos en 1 minuto.
¿Cuántas veces tan largo como 1 segundo es 1 minuto?
60 veces tan largo
Complete el enunciado. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el enunciado. Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones.
Registre las ecuaciones debajo del enunciado.
Usamos las letras seg para abreviar segundos y min para abreviar minutos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuán larga es una hora.
¿Qué creen que podrían hacer en 1 hora?
En 1 hora, mi familia podría preparar y comer la cena.
Podría caminar hasta mi casa y, luego, volver a la escuela.
Podría leer dos capítulos de un libro.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear una tabla para ayudar a la clase a diferenciar entre los nombres de las unidades de medida, sus abreviaturas y los tamaños relativos de las unidades.
Registre la ecuación 1 hora = 60 minutos.
Presente el enunciado.
1 hora es veces tan larga como 1 minuto.
Hay 60 minutos en 1 hora. ¿Cuántas veces tan larga como 1 minuto es 1 hora?
60 veces tan larga
Complete el enunciado. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el enunciado. Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones.
Registre las ecuaciones debajo del enunciado.
Usamos las letras hr para abreviar horas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las horas, los minutos y los segundos.
Convertir horas y minutos
La clase usa una recta numérica y una tabla de conversión para representar las conversiones de tiempo.
Dibuje una recta numérica en blanco y rotule la marca de graduación inicial con 0 hr y 0 min. Invite a la clase a hacer lo mismo y a continuar dibujando y rotulando la recta numérica con usted.
Comencemos en 0 horas. En el tiempo en que pasó 1 hora, ¿cuántos minutos pasaron? 60 minutos
Dibuje la segunda marca de graduación y rotúlela con 1 hr y 60 min. Dibuje la tercera marca de graduación y rotúlela con 2 hr.
En el tiempo en que pasaron 2 horas, ¿cuántos minutos pasaron? ¿Cómo lo saben?
Pasaron 120 minutos porque otra hora son otros 60 minutos. 60 + 60 = 120.
1 hora es 60 minutos, entonces 2 horas es 2 × 60 = 120. Pasaron 120 minutos en el tiempo en que pasaron 2 horas.
Pida a las parejas que dibujen y rotulen dos marcas de graduación más para hallar el número de minutos que hay en 3 horas y en 4 horas.
¿Cómo hallaron el número de minutos que hay en 3 horas y en 4 horas?
Sumamos 60 cada vez. Obtuvimos 180 minutos y 240 minutos.
Pensamos en las decenas y contamos de 6 decenas en 6 decenas. 6 decenas, 12 decenas, 18 decenas, 24 decenas.
Multiplicamos el número de horas por 60.
¿Qué observan acerca de cada número de minutos en la recta numérica?
Son los números que decimos al contar salteado de sesenta en sesenta.
Veo múltiplos de 6 en los números: 0, 6, 12, 18 y 24.
Cada número de minutos es un múltiplo de 60.
Repita el proceso para dibujar y rotular una recta numérica y hallar el número de segundos que hay en 0, 1, 2, 3 y 4 minutos.
¿Qué observan acerca del número de minutos que hay en 4 horas y el número de segundos que hay en 4 minutos?
Es el mismo número. Hay 240 minutos en 4 horas y 240 segundos en 4 minutos.
Los dos son múltiplos de 60.
¿Por qué creen que los números son los mismos?
Cada unidad más grande es igual a 60 de la unidad más pequeña.
Hay 60 de la unidad más pequeña en cada unidad más grande. 1 minuto = 60 segundos y 1 hora = 60 minutos.
Dibuje la tabla de dos columnas e invite a sus estudiantes a dibujarla en sus pizarras blancas.
¿1 minuto es igual a cuántos segundos?
60 segundos
Escriba 60 en la primera fila y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar el número de segundos que hay en 5 minutos.
Podríamos contar de sesenta en sesenta o contar 6 decenas, 5 veces.
Podríamos hallar 5 × 60.
¿5 minutos es igual a cuántos segundos?
300 segundos
Escriba 300 en la segunda fila y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Dé a las parejas de estudiantes 2 minutos para hallar y registrar el número de segundos que hay en 7 minutos y el número de segundos que hay en 12 minutos.
¿Cómo hallaron el número de segundos que hay en 12 minutos?
Hallamos 12 × 60 = 720.
Sabemos que 7 + 5 = 12, entonces sumamos el número de segundos que hay en 7 minutos y el número de segundos que hay en 5 minutos. 420 + 300 = 720
¿Cuántos segundos hay en 12 minutos y 30 segundos? ¿Cómo lo saben?
Hay 750 segundos en 12 minutos y 30 segundos. Podemos sumar 30 segundos a 720 segundos.
Dé a las parejas de estudiantes 1 minuto para hallar y registrar el número de segundos que hay en 2 minutos y 15 segundos.
Pida a sus estudiantes que expliquen sus soluciones.
2 min 15 seg = 135 seg
120 + 15 = 135
Sé que hay 120 segundos en 2 minutos. Sumé 15 segundos a 120 segundos y hallé que hay 135 segundos en 2 minutos y 15 segundos.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hallar el número de segundos que hay en una cantidad dada de minutos.
Resolver un problema verbal con unidades mixtas
La clase selecciona una estrategia para resolver un problema verbal con unidades mixtas.
Muestre el problema:
En un día de clases, Ray está despierto durante 14 horas y 15 minutos. Está en la escuela durante 6 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo está despierto Ray cuando no está en la escuela?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué ecuación pueden usar para representar la situación. Sugiera el uso de la letra d para representar el número desconocido.
¿Qué ecuación podemos escribir para representar la situación?
14 hr 15 min − 6 hr 20 min = d
6 hr 20 min + d = 14 hr 15 min
Dé a las parejas de estudiantes 2 minutos para que resuelvan el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija dos estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que expresen un número de horas en minutos y den lugar a una conversación sobre las conexiones entre las estrategias.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo.
Mientras lo hacen, destaque el razonamiento que exprese horas como minutos y reste o cuente hacia delante desde un número de manera eficiente.
Nota para la enseñanza
La suma y resta con unidades mixtas es un tema conocido de las lecciones 23 y 24 del módulo 1 y la lección 17 del módulo 2. Proporcione apoyo, según sea necesario, para ayudar a la clase a hacer conexiones entre las estrategias para hallar la solución usadas en esas lecciones y el trabajo que hacen en esta lección. Entre las estrategias posibles para hallar la solución se encuentran las siguientes:
• Expresar las unidades mixtas en términos de la unidad más pequeña y, luego, restar
• Expresar 1 hora como 60 minutos en el minuendo y, luego, restar las unidades semejantes
• Contar hacia delante desde un número para hallar la diferencia usando el método de flechas
Ray está despierto tá despierto 7 hr y 55 min n cuando no está en la escuela. ando
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando usa la información dada en un problema verbal para escribir una ecuación que represente la situación y la usa para resolver el problema. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Cuáles son algunas estrategias que pueden usar para determinar cuánto tiempo está despierto Ray cuando no está en la escuela?
• ¿Qué información necesitan para escribir una ecuación que represente la situación?
• ¿Sus respuestas tienen sentido? ¿Por qué?
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anime a la clase a hacer sus propias preguntas:
• ¿Cómo decidieron si restar o contar hacia delante desde un número?
• ¿Por qué decidieron expresar las horas como minutos?
• ¿Cómo decidieron si usar unidades mixtas o expresar todo en minutos?
Repita el proceso para pedir a la clase que halle 28 min 15 seg + 13 min 56 seg.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre su estrategia y las estrategias compartidas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Expresar unidades de tiempo en términos de unidades más pequeñas
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de expresar horas en términos de minutos y minutos en términos de segundos.
¿Cómo pueden usar veces tan largo como para relacionar 1 minuto con 1 segundo?
1 minuto es 60 veces tan largo como 1 segundo.
¿Cómo pueden usar veces tan larga como para relacionar 1 hora con 1 minuto?
1 hora es 60 veces tan larga como 1 minuto.
¿Qué estrategias podemos usar para expresar los minutos en segundos y las horas en minutos?
Hay 60 segundos en 1 minuto, entonces podemos multiplicar 60 por el número de minutos o contar salteado de 6 decenas en 6 decenas o de sesenta en sesenta para expresar los minutos en segundos. Hay 60 minutos en 1 hora, entonces podemos usar las mismas estrategias para expresar minutos como segundos.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Completa las tablas de conversión.
1. 1 hora es 60 veces tan larga como 1 minuto.
1 hr = 60 × 1 min
1 hora = 60 minutos
Completa los enunciados y las ecuaciones. 3. ¿Cuántos minutos hay en 7 horas?
2. 1 minuto es 60 veces tan largo como 1 segundo. 1 min = 60 × 1 seg
1 minuto = 60 segundos
Convierte.
Hay 420 minutos en 7 horas.
4. ¿Cuántos segundos hay en 7 minutos?
11. 10 hr 38 min + 11 min = 649 min 12. 12 min 6 seg − 5 min 15 seg = 411 seg
15. ¿Cuántas horas hay en 5 días y 17 horas? (Pista: 1 día = 24 horas)
Hay 137 horas en 5 días y 17 horas.
13. Una película dura 2 horas y 47 minutos. ¿Cuántos minutos dura la película?
La película dura 167 minutos.
14. ¿Cuántos segundos hay en 13 minutos y 56 segundos?
Hay 836 segundos en 13 minutos y 56 segundos.
16. ¿Cuántos días hay en 3 años y 6 días? (Pista: 1 año = 365 días)
Hay 1,101 días en 3 años y 6 días.
17. ¿Cuántas horas hay en 3 semanas y 6 días? (Pista: 1 semana = 7 días)
Hay 648 horas en 3 semanas y 6 días.
EUREKA
EUREKA MATH
Expresar medidas de peso del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Vistazo a la lección
1. Completa la tabla de conversión.
Libras Onzas
1 16 4 64 8 128
2. Una gata pesa 8 libras y 14 onzas. ¿Cuántas onzas pesa la gata? 8 lb = 128 oz
La gata pesa 142 onzas.
La clase aplica su trabajo previo con la conversión de medidas para expresar libras en términos de onzas. Usan estrategias basadas en rectas numéricas, tablas de conversión y la multiplicación. La clase también suma y resta con unidades mixtas. En esta lección, se formalizan los términos libra y onza.
Preguntas clave
• ¿Cómo se relacionan las libras y las onzas?
• ¿Qué estrategias podemos usar para convertir las libras a onzas?
Criterios de logro académico
4.Mód3.CLA4 Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas. (4.MD.A.1)
4.Mód3.CLA5 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tamaños relativos de las unidades
• Convertir libras a onzas
• Análisis de errores con unidades mixtas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Factores
La clase escribe los pares de factores de un número dado como expresiones de multiplicación y, luego, enumera los factores en orden de menor a mayor para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 2 de hallar pares de factores.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el número 36.
Escriban los pares de factores de 36 como expresiones de multiplicación.
Muestre las ecuaciones de ejemplo.
Escriban los factores de 36 en orden de menor a mayor.
Muestre los factores.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Respuesta a coro: Números primos y compuestos
La clase identifica un número dentro del rango del 50 al 100 como primo o compuesto para adquirir fluidez con los números primos y compuestos presentados en el módulo 2.
Muestre el número 55.
¿El 55 es un número primo o compuesto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.
Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Compuesto
Muestre la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
55
Compuesto
Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros
La clase multiplica un número de cuatro dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números de varios dígitos.
Muestre 2 × 1,243 = .
Hallen el producto y muestren sus estrategias.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas.
Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el producto.
2 × 1,243 = 2,486
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
6,032 × 3 = 18,096
4 × 7,104 = 28,416
Presentar
La clase examina dos balanzas para identificar las semejanzas y diferencias entre las unidades de peso del sistema métrico y del sistema inglés.
Muestre la imagen de las balanzas.
¿Qué observan?
El intervalo entre cada una de las marcas más pequeñas de la balanza A representa 50 gramos y el intervalo entre cada una de las marcas más grandes representa 1 kilogramo. La balanza B tiene marcas pequeñas y grandes, pero representan diferentes unidades de aquellas en la balanza A.
Las dos balanzas miden el peso usando unidades más grandes y más pequeñas. El peso más grande que se puede medir en la balanza A es 5 kilogramos. El peso más grande que se puede medir en la balanza B es 10, pero no sabemos qué son las unidades lb y oz.
Nota para la enseñanza
Puede haber estudiantes que intenten nombrar las unidades en la balanza B mientras comentan las semejanzas y diferencias que hay entre las balanzas. Permita que la conversación fluya con naturalidad sin nombrar formalmente las unidades. La clase tendrá imágenes de objetos como ayuda para determinar el tamaño relativo de cada unidad más adelante en la lección.
¿Qué se preguntan?
¿Qué unidades usa la balanza B?
¿Qué representan las abreviaturas en la balanza B?
La balanza A se usa para medir el peso en las unidades métricas de gramos y kilogramos.
¿Cómo muestra la balanza A la relación entre kilogramos y gramos?
Muestra que los gramos son más pequeños que los kilogramos porque hay marcas de gramos entre cada kilogramo.
Muestra que hay 1,000 gramos en cada kilogramo.
La balanza B mide el peso en unidades del sistema inglés.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar si creen que las unidades más grandes de la balanza B se pueden convertir a unidades más pequeñas.
Parece que las unidades más grandes se pueden convertir a unidades más pequeñas. Hay marcas entre las unidades más grandes, lo que creemos que significa que podríamos expresar las unidades más grandes usando las unidades más pequeñas.
Podemos convertir las unidades de peso del sistema métrico. También sabemos que podemos convertir unidades de longitud del sistema inglés. Creemos que también podemos convertir unidades de peso del sistema inglés.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos sobre las unidades de peso del sistema inglés y cómo convertir las medidas de una unidad más grande a una unidad más pequeña.
Aprender
Tamaños relativos de las unidades
La clase determina la relación entre las libras y las onzas.
Muestre la imagen de la pelota de futbol y de la rebanada de pan.
Invite a sus estudiantes a cerrar los ojos e imaginar que tienen una pelota de futbol en una mano y una rebanada de pan en la otra. Pídales que se enfoquen en imaginar y comparar el peso de cada objeto.
Invite a sus estudiantes a abrir los ojos y a reunirse y conversar en parejas acerca de lo que saben sobre el peso de cada objeto.
La pelota de futbol pesa aproximadamente 1 libra. La rebanada de pan pesa aproximadamente 1 onza. Las libras y las onzas son unidades de peso del sistema inglés.
Muestre la imagen de la pelota de futbol y de la rebanada de pan con su peso rotulado.
Usamos las letras lb para abreviar libras y oz para abreviar onzas.
Pida a sus estudiantes que estimen cómo completarían el enunciado:
La pelota de futbol es aproximadamente veces tan pesada como la rebanada de pan.
Registre las estimaciones de tres a cinco estudiantes.
Averigüemos exactamente cuántas onzas hay en 1 libra.
Nota para la enseñanza
Considere proporcionar materiales físicos, tales como una rebanada de pan y una pelota de futbol, para que sus estudiantes sostengan mientras piensan en la relación entre las libras y las onzas. Si no consigue una rebanada de pan, considere usar un borrador rosa, un par de tijeras de sus estudiantes o una pila AA, ya que todos esos objetos pesan aproximadamente 1 onza. Si no consigue una pelota de futbol, considere usar una pelota de futbol americano, una lata de sopa o un libro de tapa dura, ya que todos esos objetos pesan aproximadamente 1 libra.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere crear una tabla que ayude a la clase a diferenciar entre los nombres de las unidades de medida, sus abreviaturas y el tamaño relativo de las unidades.
Muestre la imagen de la balanza con el intervalo ampliado de 0 libras a 1 libra.
¿Dónde ven las libras y las onzas rotuladas en esta balanza?
Las libras son las unidades más grandes que se muestran con las marcas más largas y la abreviatura lb.
Las onzas son las unidades más pequeñas que se muestran con las marcas más cortas y la abreviatura oz.
¿Cómo pueden usar la balanza para determinar cuántas onzas hay en 1 libra?
Podemos contar las onzas que hay entre 0 libras y 1 libra.
BParece que 8 oz es la marca del punto medio entre 0 lb y 1 lb. Quizás podríamos duplicar 8 oz para hallar cuántas onzas hay en 1 lb.
Invite a la clase a usar la imagen de la balanza para determinar cuántas onzas hay en 1 libra.
¿Cuántas onzas hay en 1 libra? 16 onzas
Registre la ecuación 1 libra = 16 onzas.
Presente el enunciado.
La pelota de futbol es aproximadamente veces tan pesada como la rebanada de pan.
Ahora que sabemos cuántas onzas hay en 1 libra, ¿cómo podemos completar el enunciado?
La pelota de futbol es aproximadamente 16 veces tan pesada como la rebanada de pan.
Nota para la enseñanza
Está disponible un video que demuestra que 1 libra es equivalente a 16 onzas en una balanza de equilibrio. Se puede usar para presentar a la clase la conversión de libras a onzas.
DUA: Representación
Considere presentar el intervalo de 0 libras a 1 libra en una recta numérica horizontal. Esto puede ayudar a sus estudiantes a ver con más facilidad la relación entre las libras y las onzas.
0 lb 1 lb
8 oz
Presente el enunciado.
1 libra es veces tan pesada como 1 onza.
¿Cómo podemos completar el enunciado?
1 libra es 16 veces tan pesada como 1 onza.
Complete el enunciado. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el enunciado.
Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones. Registre la ecuación debajo del enunciado.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las libras y las onzas.
Convertir libras a onzas
La clase usa una recta numérica y una tabla de conversión para representar las conversiones de peso.
Muestre la imagen de la balanza de equilibrio con la pesa de 4 libras.
¿Qué observan?
La balanza no está equilibrada.
Hay una pesa de 4 libras en un lado de la balanza y nada del otro lado.
¿Podemos usar pesas de 1 onza para equilibrar la balanza?
Sí, necesitamos calcular cuántas onzas hay en 4 libras.
4 lb
Usemos una recta numérica como ayuda para calcular cuántas onzas hay en 4 libras.
Dibuje una recta numérica con 4 marcas de graduación rotuladas como 1 lb, 2 lb, 3 lb y 4 lb. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Señale la primera marca de graduación mientras hace la siguiente pregunta.
¿Cuántas onzas hay en 1 libra?
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar una ecuación que incluya un espacio mientras sus estudiantes trabajan en parejas para escribir una ecuación que represente la relación entre las libras y las onzas.
1 lb = × 1 oz
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando aplica su comprensión de que 1 libra = 16 onzas para representar las conversiones de peso usando una recta numérica.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué idea clave en la conversión de libras a onzas necesitan asegurarse de incluir en su recta numérica?
• ¿Cómo se representa a lo largo de la recta numérica la relación entre las libras y las onzas que se expresa en la ecuación 1 libra = 16 onzas?
Rotule 16 oz debajo de la primera marca de graduación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale la marca de graduación rotulada 2 lb.
¿Cómo podemos calcular cuántas onzas hay en 2 libras?
Podemos sumar 16 y 16.
Podemos multiplicar 2 y 16.
Invite a la clase a trabajar en parejas para calcular cuántas onzas hay en 2 libras.
¿Cuántas onzas hay en 2 libras?
32 onzas
Rotule 32 oz debajo de la marca de graduación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para completar la recta numérica convirtiendo 3 lb y 4 lb a onzas.
¿Cuántas pesas de 1 onza equilibrarán la balanza?
64
¿Qué ecuación de multiplicación representa cómo convertir 4 libras a onzas?
4 × 16 = 64
Registre la ecuación de multiplicación. Señale cada factor y el producto mientras invita a la clase a identificar lo que representa cada número.
4 representa el número de libras.
16 representa el número de onzas que hay en 1 libra.
64 representa el número de onzas que hay en 4 libras.
DUA: Representación
Considere usar un código de colores para las libras y las onzas en la recta numérica. Esto puede ayudar a sus estudiantes mientras usan una recta numérica para representar ambas unidades.
Considere usar el mismo código de colores en la ecuación como ayuda para que sus estudiantes hagan conexiones entre la recta numérica y la ecuación.
Muestre la imagen de la tabla de conversión.
La tabla muestra otra manera de representar el número de onzas que son iguales a 1, 2, 3 y 4 libras.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre la recta numérica y la tabla de conversión.
¿Cómo pueden usar la palabra múltiplo para describir el número de onzas representadas en la recta numérica y en la tabla?
Todos los números de onzas son múltiplos de 16.
Muestre la imagen de las cuatro balanzas de equilibrio.
¿Podemos usar una recta numérica para calcular cuántas onzas se necesitan para equilibrar cada balanza?
Sí, pero necesitaría ir de 3 libras a 19 libras.
En lugar de usar una recta numérica, dibujemos una tabla como ayuda para registrar las conversiones de cada peso.
Dibuje una tabla de dos columnas con los encabezamientos libras y onzas. Registre 3, 6, 10 y 19 en la columna de las libras. Pida a sus estudiantes que creen una tabla similar.
¿Cómo pueden usar la multiplicación para convertir las libras a onzas?
Podemos multiplicar el número de libras por 16.
Nota para la enseñanza
Como una herramienta moderna, se usa la balanza de equilibrio de dos platillos para pesar pequeñas cantidades. Se pueden pesar objetos colocándolos en un lado de la balanza y poniendo pesas estándar del otro lado o colocando objetos en ambos lados de la balanza y ajustando las cantidades de los objetos hasta que los platillos estén equilibrados.
Las balanzas de equilibrio en esta lección refuerzan visualmente la igualdad del peso en libras y en onzas aunque, en general, en situaciones del mundo real, no se usaría esta herramienta con pesas tan pesadas.
DUA:
Acción y expresión
Como alternativa a que sus estudiantes dibujen una tabla, considere proporcionar una tabla de dos columnas en blanco para ayudarles a alinear las conversiones con precisión.
Libras Onzas
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre otras estrategias que podrían usar para completar la tabla.
Ya sabemos que 3 libras son 48 onzas. Podemos usar esa información para convertir 6 libras a onzas. Podemos simplemente duplicar las onzas para 3 libras porque 6 es dos veces 3.
Podemos sumar las onzas que obtenemos para 3, 6 y 10 libras si queremos convertir 19 libras a onzas. 3 + 6 + 10 = 19. 19 = 10 + 9. Podemos sumar las onzas que obtenemos para 3 libras y 6 libras si queremos convertir 9 libras. Luego, podemos sumar 16 onzas más al número de onzas que hay en 9 libras para convertir 10 libras.
Para convertir 19 libras a onzas, podemos duplicar las onzas que obtenemos para 10 libras y, luego, restar 16 onzas.
Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la tabla de conversión.
¿Cuántas pesas de 1 onza se necesitan para equilibrar la balanza con la pesa de 3 libras?
48
Registre 48 en la columna de las onzas.
Repita el proceso para las pesas en las otras balanzas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo muestra la tabla cuántas pesas de 1 onza se necesitan para equilibrar cada balanza.
Muestre la imagen de la balanza con 6 libras y 12 onzas en un lado.
¿En qué se diferencian las pesas en esta balanza?
Una pesa está rotulada con libras, pero las otras están rotuladas con onzas.
¿Cuánto peso hay en la balanza?
6 libras y 12 onzas
Escriba 6 libras y 12 onzas = onzas.
¿Cómo pueden usar la información de la tabla como ayuda para completar la ecuación?
La tabla muestra que 6 libras = 96 onzas. Podemos sumar 12 onzas más para completar la ecuación.
¿Cuánto es 96 + 12?
108
Escriba 108 en el espacio.
Escriba 19 libras y 6 onzas = onzas.
Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la ecuación.
¿Cuántas onzas hay en 19 libras y 6 onzas?
310
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para convertir las libras a onzas.
Análisis de errores con unidades mixtas
La clase identifica y corrige el error en un ejemplo de trabajo que muestra la resta de unidades mixtas.
Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre el trabajo de resta con el método de Iván.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
Iván se olvidó de sumar las 7 oz que son parte de las 23 lb 7 oz.
Iván convirtió las 23 libras a onzas, pero se olvidó de sumar las 7 onzas que son parte del total.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar las siguientes preguntas para guiar a sus estudiantes mientras identifican el error en el ejemplo de trabajo.
• ¿Qué estrategia usó Iván para convertir las libras a onzas? ¿Realizó ese trabajo de manera correcta?
• ¿Cuántas onzas necesita restar Iván? ¿Dónde ven eso en su trabajo? ¿Restó correctamente?
• ¿De qué total está restando Iván? ¿Qué hace con las 23 libras? ¿Qué hace con las 7 onzas?
Dé a la clase 1 minuto para resolver el problema basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo restar con unidades mixtas.
Nota para la enseñanza
La clase practica sus destrezas para la multiplicación de varios dígitos al convertir las libras a onzas. Estos ejemplos de soluciones destacan algunas de las posibles estrategias para hallar la solución.
Considere pedir a sus estudiantes que hallen la suma o la diferencia usando unidades mixtas u otras estrategias, tales como contar hacia delante o hacia atrás en una recta numérica.
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su solución con todo el grupo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.
Se pueden convertir las libras a onzas, sumar 7 onzas y, luego, restar 12 onzas.
Se pueden convertir las libras a onzas y restar 5 onzas, ya que 12 − 7 = 5.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar 32 lb 8 oz + 11 oz y 40 lb − 14 lb 10 oz.
+ 6 = 406
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que usaron para sumar y restar unidades mixtas.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Expresar medidas de peso del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la relación entre las libras y las onzas.
Muestre la imagen de la balanza.
Anteriormente, pregunté si pensaban que se podían convertir las unidades más grandes en la balanza B a unidades más pequeñas. ¿Cómo cambiaron sus pensamientos sobre esta pregunta?
Ahora sabemos que podemos convertir las unidades más grandes, las libras, a unidades más pequeñas, las onzas.
Sabemos que podemos convertir libras a onzas porque
1 libra = 16 onzas.
¿Cómo se relacionan las libras y las onzas?
Las dos son unidades de peso del sistema inglés.
Hay 16 onzas en 1 libra.
1 libra es 16 veces tan pesada como 1 onza.
¿Qué estrategias podemos usar para convertir las libras a onzas?
Podemos multiplicar el número de libras por 16.
Podemos dibujar una recta numérica para representar las conversiones.
Podemos dibujar una tabla como ayuda para llevar la cuenta de las conversiones.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su experiencia general al convertir medidas de una unidad más grande a una unidad más pequeña.
• ¿Qué estrategias funcionan bien para mí al convertir unidades de medida?
• ¿Qué métodos necesito practicar más para adquirir confianza?
• ¿Qué me resulta confuso todavía? ¿Qué puedo hacer para ayudarme?
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Usa la imagen como ayuda para completar el enunciado y las ecuaciones. 2. ¿Cuántas onzas hay en 7 libras?
10. Un perro pesa 48 libras y 13 onzas. ¿Cuántas onzas pesa el perro?
El perro pesa 781 onzas.
9. Carla colocó una pesa de 3 libras en un lado de la balanza. ¿Cuántas pesas de 1 onza equilibrarán la balanza?
48 pesas de 1 onza equilibrarán la balanza.
11. Usa las cestas de frutas para completar las partes (a) y (b).
a. Encierra en un círculo la cesta de frutas más pesada.
b. ¿Cuál es el peso total de las cestas de frutas? El peso total de las cestas de frutas es 316 onzas. 160 oz 9
EUREKA MATH
EUREKA MATH
7. 17 lb 8 oz + 8 lb = 408 oz
8. 34 lb 1 oz − 10 oz = 535 oz
1. Completa la tabla de conversión.
Expresar medidas de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Vistazo a la lección
La clase aplica el trabajo previo con las conversiones de medidas para expresar las medidas de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas. Usan estrategias basadas en rectas numéricas, tablas de conversión y la multiplicación. En esta lección, se formalizan los términos galón, cuarto de galón, pinta y taza.
Preguntas clave
• ¿Cómo se relacionan los galones, los cuartos de galón, las pintas y las tazas?
2. James tiene 7 cuartos de galón y 1 pinta de jugo. ¿Cuántas pintas de jugo tiene? (7 × 2) + 1 = 14 + 1 = 15
James tiene 15 pintas de jugo.
• ¿Qué estrategias podemos usar para convertir los galones, los cuartos de galón y las pintas a unidades más pequeñas?
Criterios de logro académico
4.Mód3.CLA4 Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas. (4.MD.A.1)
4.Mód3.CLA5 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.2)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Tamaños relativos de las unidades
• Convertir galones, cuartos de galón y pintas
• Práctica en parejas
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• papel de rotafolio
• Tarjetas de intercambio de volumen líquido (en la edición para la enseñanza)
Estudiantes
• Práctica veloz: Multiplicar números enteros (en el libro para estudiantes)
Preparación de la lección
• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.
• En una hoja de papel de rotafolio, dibuje una tabla de cuatro columnas con el título Unidades de volumen líquido del sistema inglés.
• Imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Tarjetas de intercambio de volumen líquido. Recorte una tarjeta por estudiante.
La clase multiplica números enteros de uno y varios dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números de varios dígitos.
Práctica
veloz
Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problemas.
Escribe el producto.
1. 1 × 4 = 4
2. 20 × 4 = 80
3. 100 × 4 = 400
4. 121 × 4 = 484
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea:
No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.
En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Nota para la enseñanza
Considere tener una conversación breve con la clase acerca de las relaciones que ven entre los cuatro ejemplos. Sus estudiantes deberían observar que los problemas 1 a 3 son los productos parciales relacionados con el problema 4. Necesitarán apoyarse en esta comprensión a lo largo de la práctica veloz.
Nota para la enseñanza
Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:
• ¿Qué observan en los problemas 1 a 3? ¿Y en los problemas 10 a 13?
• ¿Cambió su estrategia para el problema 22? De ser así, ¿cómo cambió?
Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.
Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.
Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.
Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.
Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.
En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!
Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.
¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.
Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.
Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.
Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.
Celebre el progreso de sus estudiantes.
La clase examina recipientes de leche y comenta las posibles relaciones entre la cantidad de leche que hay en ellos.
Reproduzca la parte 1 del video Recipientes de leche. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantse que tomen nota de los detalles.
Dé un minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron.
Nota para la enseñanza
Cuente hacia delante de seis en seis desde el 0 hasta el 60 para la actividad de conteo de ritmo rápido.
Cuente hacia atrás de tres en tres desde el 30 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.
Conversen brevemente acerca del video y los diferentes recipientes de leche. Considere usar una secuencia como la siguiente.
¿Qué observan?
La leche se vende en recipientes de diferentes tamaños.
Uno de los tamaños está agotado.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto qué recipientes tendrían la misma cantidad de leche que la que hay en la botella de 1 galón.
Me pregunto qué combinación de recipientes tendría una cantidad de leche igual a la cantidad que necesitan.
¿Qué pueden hacer para obtener la cantidad de leche que necesitan?
Pueden comprar algunos de los recipientes más pequeños.
Muestre la imagen de los diagramas de cinta.
Estos diagramas de cinta muestran la relación entre la cantidad de leche en dos recipientes de diferente tamaño que aparecen en el video.
¿Qué muestran los diagramas de cinta acerca de la relación entre la cantidad de leche en el recipiente
A y la cantidad de leche en el recipiente B?
El recipiente A tiene más leche que el recipiente B.
El recipiente A tiene 4 veces la cantidad de leche que tiene el recipiente B.
Se necesitaría 4 veces la cantidad de leche del recipiente B para igualar la cantidad de leche que tiene el recipiente A.
¿Muestran estos diagramas de cinta la relación entre 1 litro y 1 mililitro? ¿Cómo lo saben?
No, porque hay 1,000 mililitros en 1 litro.
No, porque 1 litro es 1,000 veces 1 mililitro.
La cantidad de leche en los recipientes del video está medida en unidades de volumen líquido del sistema inglés.
A B
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que saben sobre las unidades de volumen líquido del sistema inglés. Pídales que piensen en los recipientes de leche que se muestran en el video y en las unidades de volumen líquido que ya conocen.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, aprenderemos sobre las unidades de volumen líquido del sistema inglés y cómo convertir unidades más grandes a unidades más pequeñas.
Aprender
Tamaños relativos de las unidades
Materiales: M) Papel de rotafolio
La clase determina las relaciones entre las unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Abra la actividad digital interactiva de Planta de tratamiento de agua potable.
Señale 1 galón de agua.
Este recipiente tiene 1 galón de agua. El galón es una unidad de volumen líquido del sistema inglés. Podemos representarlo con la abreviatura gal.
Comience un afiche de referencia y escriba el término galón y su abreviatura, gal.
DUA: Representación
Considere usar recipientes reales de galones, cuartos de galón, pintas y tazas para demostrar las relaciones entre las unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Señale el recipiente de 1 cuarto de galón, pero no se lo nombre a la clase.
Vamos a representar cómo verter en partes iguales 1 galón de agua en recipientes de este tamaño.
¿Cuántos recipientes creen que necesitamos?
Comience a verter agua en los recipientes de 1 cuarto de galón. Continúe vertiendo agua en los recipientes hasta que el recipiente de 1 galón esté vacío.
¿Cuántos recipientes de este tamaño se llenan con 1 galón de agua?
Cada recipiente tiene 1 cuarto de galón de agua. El cuarto de galón es una unidad de volumen líquido del sistema inglés. Podemos representarlo con la abreviatura ct.
Escriba el término cuarto de galón y su abreviatura, ct, en el afiche de referencia.
Presente el enunciado.
1 galón es veces 1 cuarto de galón.
¿Cómo pueden completar el enunciado?
1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón.
Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el enunciado. Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones de multiplicación.
Presente la ecuación.
1 galón = cuartos de galón
¿Cómo pueden completar la ecuación?
1 galón = 4 cuartos de galón
Escriba el enunciado y las ecuaciones en el afiche de referencia.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre los galones y los cuartos de galón.
Establezca las relaciones entre los cuartos de galón y las pintas y entre las pintas y las tazas usando la siguiente secuencia y la actividad digital interactiva de Planta de tratamiento de agua potable:
• Muestre y nombre la unidad de volumen líquido.
• Muestre el recipiente que representa la unidad más pequeña y pida a sus estudiantes que predigan cuántos recipientes más pequeños se pueden llenar con la cantidad de agua del recipiente más grande.
• Vierta agua del recipiente más grande a los recipientes más pequeños hasta que el primero se vacíe. Nombre la unidad más pequeña, según corresponda, pinta o taza, como una unidad de volumen líquido del sistema inglés. Escriba el término y su abreviatura en el afiche de referencia.
• Invite a la clase a completar un enunciado que describa la relación entre la unidad más grande y la unidad más pequeña y a escribir una ecuación que represente el enunciado.
• Escriba el enunciado y las ecuaciones en el afiche de referencia.
• Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre las unidades más grandes y las unidades más pequeñas.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
El término taza tiene varios significados. En esta lección, taza se refiere a la unidad de volumen líquido del sistema inglés. Considere usar imágenes como ayuda para que la clase diferencie entre el uso diario de una taza y el uso específico de esta lección.
• El Sr. Endo bebe una taza de café.
• Oka mide 1 taza de agua.
Muestre la imagen de los diagramas de cinta que muestran las relaciones entre las unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo muestran los diagramas de cinta las relaciones entre las unidades.
Los primeros dos diagramas de cinta muestran que 1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón. Los dos diagramas de cinta del medio muestran que 1 cuarto de galón es 2 veces 1 pinta.
Los dos últimos diagramas de cinta muestran que 1 pinta es 2 veces 1 taza.
El primer diagrama de cinta y el último muestran que 1 galón es 16 veces 1 taza.
El primer diagrama de cinta y el tercero muestran que 1 galón es 8 veces 1 pinta.
El segundo diagrama de cinta y el último muestran que 1 cuarto de galón es 4 veces 1 taza.
Convertir galones, cuartos de galón y pintas
La clase usa rectas numéricas y tablas de conversión para representar las conversiones de volumen líquido.
Resalte la última ecuación en las columnas de galón, cuarto de galón y pinta del afiche de referencia.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas ecuaciones?
La relación entre los cuartos de galón y las pintas o las pintas y las tazas es parecida: 1 de la unidad más grande es igual a 2 de la unidad más pequeña. La relación entre los galones y los cuartos de galón es diferente porque se necesitan 4 cuartos de galón para igualar 1 galón.
DUA: Representación
Considere usar las letras G, C, P y T para representar las relaciones entre las unidades de volumen líquido del sistema inglés. Exhiba este apoyo visual para que cada estudiante pueda consultarlo al convertir galones, cuartos de galón y pintas. Puede haber estudiantes que disfruten dibujando sus propias versiones de la representación.
1 taza
galón 1 cuarto de galón 1 pinta
Usemos estas relaciones para convertir unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Escriba 3 galones = cuartos de galón.
Muestre la imagen de la recta numérica y la tabla de conversión.
¿Cómo podemos usar la recta numérica y la tabla como ayuda para completar la ecuación?
Podemos rotular la marca de graduación que representa 1 galón como 4 cuartos de galón.
Luego, podemos hallar 2 × 4 y 3 × 4 para rotular el número de cuartos de galón para 2 galones y 3 galones.
Cuartos de galón
Podemos usar la multiplicación para completar la tabla. Podemos multiplicar 4 por el número de galones para calcular el número de cuartos de galón.
Invite a la clase a trabajar en parejas para usar una recta numérica y una tabla de conversión que les ayude a completar la ecuación. Una persona puede dibujar y completar la recta numérica y la otra puede dibujar y completar una tabla de dos columnas.
¿Cuántos cuartos de galón hay en 3 galones?
12
Complete la ecuación.
¿Cómo pueden usar la palabra múltiplo para describir el número de cuartos de galón representados en la recta numérica y en la tabla?
Todos los números de cuartos de galón son múltiplos de 4.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué todos los números de cuartos de galón son múltiplos de 4.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar ecuaciones que tengan espacios y rótulos como ayuda para que sus estudiantes conviertan las unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Número de galones
Número de cuartos de galón
Número de cuartos de galón en 1 galón
Número total de cuartos de galón
Número de pintas
Número de pintas en 1 cuarto de galón
Número total de pintas
Número de tazas en 1 pinta
Número total de tazas
Use un proceso similar con las siguientes ecuaciones, rectas numéricas y tablas de conversión. Pida a las parejas que intercambien los roles para cada problema.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para convertir unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Práctica en parejas
Materiales: M) Tarjetas de intercambio de volumen líquido
La clase trabaja en parejas para convertir volúmenes líquidos y comparar estrategias.
Distribuya una Tarjeta de intercambio de volumen líquido a cada estudiante y presente los pasos de la actividad.
• Completen la ecuación convirtiendo el volumen líquido a la unidad más pequeña. Registren su trabajo en la pizarra blanca.
• Intercambien tarjetas con su pareja y conviertan el volumen líquido de esa nueva tarjeta a la unidad más pequeña. Comparen las soluciones con su pareja de trabajo.
• Si están en desacuerdo sobre la conversión, comenten sus estrategias y determinen dónde se cometió el error.
• Lleven la nueva tarjeta a una nueva pareja de trabajo, intercámbienlas, conviertan el volumen líquido y comparen las soluciones.
• Repitan la actividad.
Recorra el salón de clases mientras la clase trabaja. Asegúrese de que sus estudiantes acuerden una solución y usen estrategias eficientes.
Considere pedir a la clase que complete un número mínimo de tarjetas para fomentar la eficiencia y la responsabilidad.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Mientras las parejas comparan soluciones, considere pedir a la clase que use la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación como apoyo para una conversación respetuosa y productiva.
Nota para la enseñanza
La complejidad de las Tarjetas de intercambio de volumen líquido aumenta de la siguiente manera:
• Las tarjetas A a F requieren convertir galones a cuartos de galón, cuartos de galón a pintas y pintas a tazas.
• Las tarjetas G a L requieren convertir unidades mixtas de galones y cuartos de galón a cuartos de galón, cuartos de galón y pintas a pintas, y pintas y tazas a tazas.
• Las tarjetas M a R requieren convertir galones a pintas, galones a tazas y cuartos de galón a tazas.
• Las tarjetas S a X requieren convertir unidades mixtas de galones y pintas a pintas, galones y tazas a tazas, y cuartos de galón y tazas a tazas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar una estrategia interesante que hayan visto usar a una pareja durante la actividad.
Para convertir 9 cuartos de galón y 1 pinta a pintas, mi pareja de trabajo pensó en 10 cuartos de galón, que son 20 pintas y, luego, restó 1 pinta.
Para convertir 2 galones a pintas, mi pareja de trabajo multiplicó 8 por 2, en lugar de convertir a cuartos de galón y, luego, convertir a pintas.
Para convertir 7 cuartos de galón a tazas, mi pareja de trabajo usó la expresión 7 × 2 × 2 porque hay 2 pintas en cada cuarto de galón y 2 tazas en cada pinta.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Expresar medidas de volumen líquido del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de las relaciones entre las unidades de volumen líquido del sistema inglés.
Muestre los diagramas de cinta.
Anteriormente, les dije que los diagramas de cinta representan la relación entre la cantidad de leche que hay en dos recipientes de distinto tamaño en el video. ¿Cómo pueden usar lo que aprendieron acerca de las unidades de volumen líquido del sistema inglés para expresar las unidades representadas en los diagramas de cinta?
El diagrama de cinta A puede representar 1 galón y el diagrama de cinta B puede representar 1 cuarto de galón porque 1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón.
DUA: Participación
Considere facilitar el desarrollo personal de las estrategias y destrezas para afrontar los problemas mientras sus estudiantes participan en la actividad Práctica en parejas. Recuérdeles que si tienen dificultades convirtiendo volúmenes líquidos, pueden elegir un método diferente o realizar preguntas aclaratorias a su pareja de trabajo. Antes de comenzar la actividad, invíteles a compartir estrategias y, luego, muestre la lista.
• Dibujar una recta numérica
• Dibujar una tabla
• Usar la multiplicación
• Usar un vínculo numérico
• Usar la multiplicación y la suma con unidades mixtas
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre tablas de conversión, rectas numéricas, diagramas de cinta y ecuaciones para convertir unidades de volumen líquido.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:
• ¿Qué tipo de imagen o diagrama les sería útil? ¿Por qué?
• ¿Cómo pueden usar una recta numérica o un diagrama de cinta como ayuda para convertir unidades de volumen líquido?
El diagrama de cinta A puede representar 1 cuarto de galón y el diagrama de cinta B puede representar 1 taza porque 1 cuarto de galón es 4 veces 1 taza.
Reproduzca la parte 2 del video Recipientes de leche.
¿Cuál es el volumen líquido de la leche que necesitan?
1 galón
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo puede el personaje comprar la misma cantidad de leche que hay en 1 galón, a pesar de que ya no quedan botellas de 1 galón de leche.
Puede comprar cuatro cartones de 1 cuarto de galón.
¿Cómo se relacionan los galones, los cuartos de galón, las pintas y las tazas?
1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón.
1 cuarto de galón es 2 veces 1 pinta.
1 pinta es 2 veces 1 taza.
¿Qué estrategias podemos usar para convertir los galones, los cuartos de galón y las pintas a unidades más pequeñas?
Podemos multiplicar 4 por el número de galones para convertirlos a cuartos de galón.
Podemos multiplicar 2 por el número de cuartos de galón para convertirlos a pintas.
Podemos multiplicar 2 por el número de pintas para convertirlas a tazas.
Podemos usar la multiplicación y la suma o la resta para convertir unidades mixtas.
Podemos dibujar una recta numérica para representar las conversiones.
Podemos dibujar una tabla para llevar la cuenta de las conversiones.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Número de respuestas correctas:
Progreso:
Escribe el producto.
4,142 × 2 = 8,284
2 × 3 = 6 29. 10 × 3 = 30
30. 300 × 3 = 900 31. 6,000 × 3 = 18,000
32. 6,312 × 3 = 18,936
33. 2 × 5 = 10
34. 10 × 5 = 50
35. 12 × 5 = 60
36. 7 × 3 = 21 37. 900 × 3 = 2,700
38. 907 × 3 = 2,721
39. 80 × 4 = 320
40. 8,000 × 4 = 32,000 41. 8,080 × 4 = 32,320
42. 600 × 5 = 3,000
43. 80,000 × 5 = 400,000
44. 80,600 × 5 = 403,000
Completa las tablas de conversión.
1. Usa los diagramas de cinta para completar los enunciados y las ecuaciones.
1 galón
1 cuarto de galón
1 pinta
1 taza
1 galón es 4 veces 1 cuarto de galón.
1 gal = 4 × 1 ct
1 galón = 4 cuartos de galón
1 cuarto de galón es 2 veces 1 pinta.
1 ct = 2 × 1 pt
1 cuarto de galón = 2 pintas
1 pinta es 2 veces 1 taza.
1 pt = 2 × 1 tz
1 pinta = 2 tazas
Convierte.
2. ¿Cuántos cuartos de galón hay en 5 galones?
3. ¿Cuántas pintas hay en 8 cuartos de galón?
4. ¿Cuántas tazas hay en 12 pintas?
5gal
galct 416 20 312
2gal8ct
1gal4ct galct ct
Hay 20 cuartos de galón en 5 galones.
ct 5ct10pt 16pt
4ct8pt ctpt ctpt 7 8 14 612
Hay 16 pintas en 8 cuartos de galón.
9pt 12pt 18tz
8pt16tz pttz tz pttz 1122 24 1020
Hay 24 tazas en 12 pintas.
14. Robin tiene 5 pintas y 1 taza de agua. ¿Cuántas tazas de agua tiene?
Robin tiene 11 tazas de agua.
15. Pablo bebe 7 pintas de leche en una semana. ¿Cuántas tazas de leche bebe en 2 semanas?
Pablo bebe 28 tazas de leche en 2 semanas.
16. Iván necesita comprar 5 galones de leche. Compra 15 cuartos de galón de leche. ¿Compra suficiente leche? ¿Cómo lo sabes?
No, Iván no compra suficiente leche. 5 galones = 20 cuartos de galón. Necesita comprar
20 cuartos de galón, pero solo compra 15 cuartos de galón.
C. 15 pt = tz
F. 23 pt = tz
B. 12 ct = pt
E. 16 ct = pt
A. 9 gal = ct
D. 13 gal = ct
G. 2 gal 3 ct = ct H. 4 ct 1 pt = pt I. 7 pt 1 tz = tz
J. 17 gal 2 ct = ct K. 9 ct 1 pt = pt L. 18 pt 1 tz = tz M. 2 gal = pt N. 4 gal = tz O. 5 ct = tz
Q. 7 gal = tz R. 7 ct = tz
P. 5 gal = pt
S. 3 gal 5 pt = pt T. 1 gal 12 tz = tz U. 2 ct 3 tz = tz
V. 6 gal 7 pt = pt W. 4 gal 3 tz = tz X. 7 ct 2 tz = tz
Tema F Residuos, estimación y resolución de problemas
En el tema F, la clase divide con números que dan como resultado cocientes enteros y residuos, resuelve problemas verbales y evalúa si sus respuestas son razonables.
El tema comienza con una presentación formal del término residuo. Sus estudiantes aprenden que, en las expresiones de división, el residuo es la cantidad que queda después de hallar un cociente entero. Consideran la relación entre el total y los múltiplos del divisor para determinar si el total es divisible entre el divisor. Si el total no es un múltiplo del divisor, hay un residuo. Los contextos proporcionan a la clase ejemplos de situaciones del mundo real para interpretar y que incluyen cocientes enteros y residuos.
Las lecciones restantes del tema se enfocan en la resolución de problemas verbales. La clase comienza con problemas verbales de división. Usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe como ayuda para identificar lo que se conoce y lo que se desconoce, determinan una estrategia para hallar la solución y estiman el cociente. Para estimar, sus estudiantes usan un múltiplo del divisor que está cerca del total y, luego, dividen entre el divisor. Por ejemplo, para estimar 378 ÷ 6, hallan 360 ÷ 6, o 36 decenas ÷ 6. Dividen para hallar el cociente real y, luego, evalúan si su respuesta es razonable observando la proximidad y la relación del cociente real con el cociente estimado. Por ejemplo, 378 ÷ 6 = 63. 63 está cerca de la estimación de 60 y es un poco más que esa estimación. Esto tiene sentido porque se usó un total más pequeño para hallar la estimación, lo que dio como resultado una estimación menor que el cociente.
Mientras sus estudiantes continúan resolviendo problemas verbales de división, reconocen la necesidad de interpretar cada situación para determinar cómo se usan el cociente y el residuo y responder la pregunta. Ven que el residuo, el cociente entero o ambos se podrían usar como ayuda para determinar la respuesta dependiendo del contexto y de la pregunta. Por ejemplo, si se pregunta cuántas pizzas se necesitan para un número dado de personas, puede ser necesario aumentar el cociente en 1 para que haya suficientes pizzas y así cada persona obtenga una porción, y puede haber algunas porciones adicionales.
Para concluir el tema, sus estudiantes aplican sus conocimientos de las cuatro operaciones (es decir, suma, resta, multiplicación y división) y sus destrezas de estimación para resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si sus respuestas son razonables. Se dibujan diagramas de cinta para ayudar a la clase a ver las relaciones entre las diferentes partes del problema y a identificar una estrategia para hallar la solución.
En los módulos 4 y 5, sus estudiantes continúan resolviendo problemas con fracciones y números decimales. En el módulo 2 de 5.o grado, hacen la transición de hallar cocientes enteros y residuos a hallar cocientes fraccionarios.
Progresión de las lecciones
Lección 21
Hallar cocientes enteros y residuos
Lección 22
Representar, estimar y resolver problemas verbales de división
Lección 23
Resolver problemas verbales de varios pasos e interpretar residuos
4
A veces, cuando divido, no puedo dividir el total de manera uniforme. Hallo el cociente entero y el residuo, es decir, la cantidad que queda. Pensar en si el total es un múltiplo del divisor me puede ayudar a saber si habrá un residuo. Entonces, puedo escribir una ecuación con una multiplicación y una suma para representar el cociente y el residuo.
El florista puede hacer 293 ramos de flores.
Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para organizar cómo resuelvo los problemas verbales. Cuando divido, puedo estimar el cociente redondeando el total a un número que sea un múltiplo del divisor. Entonces, puedo usar una operación conocida para hallar mi estimación. Después de hallar el cociente real, comparo el cociente con mi estimación para determinar si mi cociente es razonable. También puedo pensar en si el cociente real debe ser más o menos que mi estimación.
Cuando divido y hay un residuo, pienso en el número desconocido, en el cociente entero y en el residuo para hallar la respuesta del problema. A veces, mi respuesta es el cociente. A veces, mi respuesta es el residuo. A veces, uso tanto el cociente como el residuo para determinar mi respuesta.
Lección 24
Resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si las soluciones son razonables
Representar un problema de varios pasos con un diagrama de cinta me puede ayudar a identificar una estrategia para hallar la solución y a determinar qué operaciones usar. Puedo estimar la respuesta y, luego, determinar si mi respuesta final es razonable.
Hallar cocientes enteros y residuos
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
La maestra Wong coloca 34 libros en grupos de 8.
¿Cuántos grupos iguales de 8 libros tiene la maestra Wong?
¿Cuántos libros no están en un grupo de 8?
34 8888
Residuo de 2
34 ÷ 8
Cociente: 4
Residuo: 2
34 = (4 × 8) + 2
La maestra Wong tiene 4 grupos iguales de 8 libros. 2 libros no están en un grupo de 8
Vistazo a la lección
La clase reconoce e identifica el residuo como la cantidad que queda después de hallar un cociente entero al dividir. Usan matrices, diagramas de cinta y ecuaciones para representar el cociente y el residuo. En esta lección se formaliza el término residuo.
Preguntas clave
• ¿Por qué algunos problemas de división tienen residuo?
• ¿Cómo pueden representar un residuo?
Criterios de logro académico
4.Mód3.CLA1 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables. (4.OA.A.3)
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Nombre Fecha
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Residuos
• Hallar un cociente y un residuo
• Divisores y residuos
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4
La clase usa estrategias de valor posicional para dividir un número de tres dígitos como preparación para hallar cocientes enteros y residuos.
Muestre 328 ÷ 2 = .
Hallen el cociente. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Contar de ocho en ocho con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con los múltiplos de 8.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de ocho en ocho. Empiecen diciendo 8. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
8162416243240322432404856485664
Continúe contando de ocho en ocho hasta el 80. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Múltiplos
La clase formula y responde preguntas sobre los primeros diez múltiplos de 4 u 8 para adquirir fluidez con los múltiplos, vistos en el módulo 2.
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 4. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
¿Es 8 un múltiplo de 4?
Sí.
Múltiplos de 4:
¿Es 24 un múltiplo de 4?
Sí.
¿Es 34 un múltiplo de 4?
No.
¿Cuál es el tercer múltiplo de 4?
12
¿Cuál es el noveno múltiplo de 4?
36
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 8. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
¿Es 24 un múltiplo de 8?
Sí.
¿Es 28 un múltiplo de 8?
No.
¿Es 48 un múltiplo de 8?
Sí.
¿Cuál es el cuarto múltiplo de 8?
32
¿Cuál es el octavo múltiplo de 8?
64
Múltiplos de 8:
Presentar
La clase considera situaciones en las que un total no se puede dividir de manera uniforme en grupos iguales.
Reúna 21 sillas de los escritorios y pida a sus estudiantes que las coloquen en 2 filas iguales. Dé tiempo para que lleguen a la conclusión de que no es posible.
¿Cómo saben que no se pueden hacer 2 filas iguales con 21 sillas?
21 es un número impar. No es un múltiplo de 2. Podríamos hacer 2 filas iguales con 10 sillas en cada una, pero sobraría 1.
Podríamos colocar 11 sillas en una fila y 10 en la otra. Eso es lo más cerca de la igualdad que pueden estar todas las sillas.
Reúna 7 sillas y pida a sus estudiantes que las coloquen de manera uniforme en 3 filas. Dé tiempo para que lleguen a la conclusión de que no es posible.
¿Cómo saben que no se pueden hacer 3 filas iguales con 7 sillas?
No puede haber 3 filas iguales porque 6 ÷ 3 = 2. 7 no se divide de manera uniforme entre 3.
Sé que 3 × 2 = 6. 6 es un múltiplo de 3, pero 7 no lo es.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras situaciones que se les ocurran en las que necesiten colocar un número de objetos en grupos iguales, pero que el número no se divida de manera uniforme para hacer grupos iguales.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, representaremos y resolveremos problemas con un total que no se puede dividir en partes iguales, o de manera uniforme.
Nota para la enseñanza
Ajuste el número de sillas según sea necesario para que se adapten a la situación. Sin embargo, mantenga el total con un número que no se divida de manera uniforme.
En lugar de las sillas, se pueden usar otros objetos que no sea posible separar en cantidades fraccionarias (p. ej., cubos, marcadores, libros).
Aprender
Residuos
La clase identifica un residuo con una matriz.
Abra y muestre la actividad digital interactiva de Cuadrícula de pares o impares.
Muestre una matriz de 20 cuadrados.
¿Cómo representa la matriz 20 sillas organizadas de manera uniforme en 2 filas?
Cada cuadrado representa 1 silla. Cada fila representa 1 fila de 10 sillas. Las 2 filas juntas representan 20 sillas.
Muestre una matriz de 21 cuadrados.
¿Cómo representa la matriz el intento de organizar 21 sillas de manera uniforme en 2 filas?
Sigue habiendo 2 filas de 10, pero 1 silla no cabe en esas filas.
Escriba la expresión 21 ÷ 2.
¿Cómo se relaciona la expresión de división con el contexto?
21 sillas se dividen en 2 filas.
Escriba Cociente: 10.
¿Qué representa el cociente en el contexto?
El cociente representa el número de sillas que hay en cada fila.
La silla que queda fuera de los grupos iguales representa el residuo. Después de hacer 2 grupos iguales con todas las sillas posibles, queda 1 silla.
Escriba Residuo: 1.
Nota para la enseñanza
Los cocientes y los residuos se registran por separado como Cociente: y Residuo: . Escribir el cociente y el residuo como parte de una ecuación de división puede dar lugar a conceptos erróneos.
Por ejemplo, escribir 13 ÷ 4 = 3 R1 y 7 ÷ 2 = 3 R1 sugiere que las dos expresiones de división son equivalentes. Sin embargo, 13 ÷ 4 ≠ 7 ÷ 2.
Cuando se consideran como fracciones, podemos ver que 13 ÷ 4 = 3 1 4 y 7 ÷ 2 = 3 1 2
Sus estudiantes desarrollan esta comprensión en 5.° grado.
Cuando nos queda un residuo después de dividir, registramos el cociente entero y el residuo por separado. Podemos decir que 21 ÷ 2 tiene un cociente de 10 con un residuo de 1.
Muestre una matriz de 17 cuadrados.
Se colocan 17 sillas en filas de 5. ¿Cuál es el mayor número de filas de 5 sillas que pueden hacer con 17 sillas?
¿Todas las sillas están en una fila de 5?
No. 2 sillas no están en ninguna fila.
Escriba 17 ÷ 5.
¿Cuál es el cociente? 3
Escriba Cociente: 3.
¿Cuál es el residuo? 2
Escriba Residuo: 2.
¿Cómo se relaciona lo que registramos con el contexto?
Se colocan 17 sillas en filas de 5. Hay 3 filas de 5 sillas y 2 sillas que no cabían en ninguna de las filas iguales de 5.
Señale la expresión, el cociente y el residuo para 21 ÷ 2 y 17 ÷ 5.
¿Es 21 un múltiplo de 2?
No.
¿Es 17 un múltiplo de 5?
No.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere rotular el residuo en distintas representaciones a lo largo de la lección y mostrar las representaciones para que sus estudiantes puedan consultarlas.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué los problemas de división con totales que no son múltiplos del divisor tienen residuos.
21 no es un múltiplo de 2, entonces tenemos un residuo. Podemos contar de dos en dos hasta 20 y, luego, falta 1 más para llegar a 21. Ese 1 adicional es el residuo.
17 no es un múltiplo de 5, entonces tenemos un residuo. Podemos contar de cinco en cinco hasta 15 y, luego, faltan 2 más para llegar a 17. Ese 2 adicional es el residuo.
Cuando el total no es un múltiplo del número entre el cual dividimos, habrá un residuo.
Hallar un cociente y un residuo
La clase representa un cociente y un residuo en una ecuación.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Invite a la clase a dibujar un diagrama de cinta y a escribir una expresión para representar el problema.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. La maestra Wong tiene 15 escritorios. Quiere que haya 7 escritorios en cada fila. ¿Cuántas filas completas de 7 escritorios puede hacer? ¿Cuántos escritorios quedan?
15 ÷ 7
Cociente: 2
Residuo: 1
15 = (2 × 7) + 1
La maestra Wong puede hacer 2 filas completas de 7 escritorios. Queda 1 escritorio.
Guíe a la clase en el proceso de dibujar una matriz y de escribir una ecuación para representar el cociente y el residuo.
Diferenciación: Desafío
Considere proporcionar expresiones de división que tengan totales más grandes. Desafíe a sus estudiantes a usar lo que saben sobre los factores y los múltiplos para determinar si habrá un residuo.
Diferenciación: Apoyo
Considere proporcionar objetos para contar, como discos de una unidad o cubos, para que sus estudiantes los usen al dividir.
¿Es 15 un múltiplo de 7? ¿Cómo lo saben?
No. Cuando cuento salteado de siete en siete, no digo 15.
No. No puedo multiplicar 7 por un número entero para obtener 15.
Dibujemos una matriz para representar 15 ÷ 7.
Pida a sus estudiantes que comiencen a hacer su propia matriz para resolver el problema dibujando 1 fila de 7 puntos.
¿Pueden dibujar otra fila de 7? ¿Cómo lo saben?
Sí. Puedo dibujar otra fila de 7 porque 2 sietes es 14.
Pida a sus estudiantes que dibujen una segunda fila de 7 puntos.
¿Pueden dibujar una tercera fila de 7? ¿Cómo lo saben?
No puedo dibujar otra fila de 7. 3 sietes es 21. El total solo es 15.
Pida a sus estudiantes que continúen dibujando para representar el número total de escritorios, que registren el cociente y el residuo, y que escriban un enunciado con la solución.
¿Qué representan el cociente y el residuo?
La maestra Wong puede hacer 2 filas completas de 7 escritorios. Hay 1 escritorio adicional que no cabe en una fila de 7.
¿Cómo se compara el residuo con el divisor?
El residuo es menor que el divisor.
1 es menor que 7.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo corregir el diagrama de cinta con la información conocida, el cociente y el residuo. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo.
Muestre la imagen de un diagrama de cinta corregido.
Podemos mostrar 2 grupos iguales de 7 y otra parte para representar el residuo. Sombreemos esa parte y rotulémosla residuo de 1 para mostrar con claridad que el residuo no forma parte de los grupos iguales.
DUA: Representación
Considere resaltar la ubicación del divisor, el cociente y el residuo en las distintas representaciones. ÷ 15 77
Residuo de 1
Pida a sus estudiantes que corrijan sus dibujos.
Podemos expresar nuestra solución en una ecuación. Comenzamos con un total de 15.
Registre 15 = .
Hicimos 2 grupos de 7. ¿Cómo podemos representar eso con la multiplicación?
2 × 7
Registre (2 × 7). Pida a sus estudiantes que señalen dónde ven la expresión en la matriz y en el diagrama de cinta.
Tenemos un residuo de 1. Hay 1 más.
Registre + 1. Pida a sus estudiantes que señalen dónde ven el residuo en la matriz y en el diagrama de cinta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se representan el total, el divisor, el cociente y el residuo en la ecuación.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema.
2. Hay 3 mesas y 14 sillas. Cada mesa necesita el mismo número de sillas. ¿Cuál es el mayor número de sillas que puede haber en cada mesa? ¿Cuántas sillas quedan?
14 ÷ 3
Cociente: 4
Residuo: 2
14 = (3 × 4) + 2
Puede haber 4 sillas en cada mesa. Quedan 2 sillas.
Residuo de 2
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando halla un cociente y un residuo y razona sobre cómo representar su solución.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:
• ¿Cómo representa su diagrama de cinta la situación del problema?
• ¿Qué les indica el cociente en la expresión de división 14 ÷ 3 sobre el número de sillas que hay en cada mesa? ¿Qué les indica el residuo?
Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Es 14 un múltiplo de 3?
• ¿Qué pueden dibujar para determinar si hay un residuo?
• ¿Cómo pueden representar el cociente y el residuo como una ecuación usando la multiplicación y la suma?
• ¿Cómo pueden comprobar que las mesas tengan tantas sillas como sea posible?
Escriba la ecuación 14 = (3 × 4) + 2.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo cada parte de la ecuación representa el problema.
El número total de sillas es 14. Sabemos que puede haber 4 sillas en cada una de las 3 mesas.
3 × 4 muestra que 12 sillas se distribuyen en partes iguales entre las mesas. Sumamos el residuo,
2, porque hay 2 sillas más que no están en ninguna mesa. 2 sillas no son suficientes para colocar
1 silla más en cada una de las 3 mesas. 12 + 2 = 14
¿Cómo se compara el residuo con el divisor?
El residuo es menor que el divisor.
2 es menor que 3.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué el residuo es menor que el divisor.
El residuo es menor que 3 en el problema de la mesa porque, si es igual a o mayor que 3, eso significa que se podría colocar otra silla en cada mesa.
El residuo es 2. Eso nos indica que no hay suficientes sillas para colocar una más en cada una de las 3 mesas.
Cuando dividimos y obtenemos un residuo, el residuo tiene que ser menor que el divisor. Si el residuo es igual al divisor o mayor que este y estamos hallando el número de grupos iguales, hacemos otro grupo. Si el residuo es igual al divisor o mayor que este y estamos hallando el número en cada grupo, podemos sumar más a cada grupo.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede representar un cociente y un residuo al resolver un problema.
Divisores y residuos
La clase analiza la relación entre el divisor y el residuo.
Muestre el problema y el ejemplo de trabajo.
Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.
Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y esté de acuerdo o en desacuerdo con el ejemplo de trabajo. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.
Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.
Zara tiene 26 naipes. Hace tantos grupos de 4 naipes como puede.
¿Cuántos grupos de 4 naipes hace?
26 ÷ 4
Cociente: 5
Residuo: 6
26 = ( 5 × 4) + 6
Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre las respuestas.
A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre que el residuo es demasiado grande comparado con el divisor y que se puede hacer otro grupo de 4.
Estoy en desacuerdo con el trabajo. El residuo significa que quedan 6 naipes, pero eso es suficiente para hacer otro grupo. El cociente debería ser 6 y el residuo debería ser 2.
Estoy en desacuerdo con el trabajo. 24 es el múltiplo de 4 que está más cerca de 26.
26 = (6 × 4) + 2. El cociente es 6. El residuo es 2.
Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que su solución tiene el cociente y el residuo correctos.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Hallar cocientes enteros y residuos
Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras.
¿Qué es un residuo?
Un residuo es la cantidad que queda después de dividir. La cantidad no es suficiente para repartir en partes iguales entre los grupos o no es suficiente para hacer otro grupo.
¿Por qué algunos problemas de división tienen residuo?
No siempre se pueden hacer grupos iguales. Por ejemplo, un número impar dividido entre 2 no hará grupos iguales.
Si el total no es un múltiplo del divisor, habrá un residuo.
¿Cómo pueden representar un residuo?
Si se dibuja una matriz para mostrar la división, el residuo es la cantidad que no está en una fila o columna igual a las otras.
En un diagrama de cinta, el residuo es la parte del total que no está en un grupo igual.
Se puede rotular la respuesta de un problema de división con cociente y residuo.
Si se usa la multiplicación para representar la solución, el residuo es una cantidad que se suma a la expresión de multiplicación.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
1. Jayla tiene 14 canicas. Las distribuye en partes iguales en 4 bolsas.
¿Cuántas canicas hay en cada bolsa?
¿Cuántas canicas no están en ninguna bolsa?
a. Dibuja una matriz para representar la situación.
b. Completa los enunciados.
Hay 3 canicas en cada bolsa.
Hay 2 canicas que no están en ninguna bolsa.
2. Ray tiene 14 canicas. Las coloca en bolsas de 4 canicas cada una.
¿Cuántas bolsas de canicas tiene Ray?
¿Cuántas canicas no están en ninguna bolsa?
a. Dibuja una matriz para representar la situación.
b. Completa los enunciados.
Ray tiene 3 bolsas de canicas.
Hay 2 canicas que no están en ninguna bolsa.
Dibuja una matriz para dividir. Luego, identifica el cociente y el residuo.
Cociente: 6
Residuo: 2
Cociente: 7
Residuo: 3
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
5. Adam compra una docena de rosas y 5 floreros. Coloca un número igual de rosas en cada florero.
(Pista: 1 docena = 12)
¿Cuántas rosas hay en cada florero?
¿Cuántas rosas no están en ningún florero?
12 ÷ 5
Cociente: 2
Residuo: 2
12 = (5 × 2) + 2
Hay 2 rosas en cada florero. Hay 2 rosas que no están en ningún florero.
6. La maestra Díaz coloca 45 vasos en pilas de 6
¿Cuántas pilas de 6 vasos hay?
¿Cuántos vasos no están en una pila de 6?
45 ÷ 6
Cociente: 7
Residuo: 3
45 = (7 × 6) + 3
Hay 7 pilas de 6 vasos. Hay 3 vasos que no están en una pila de 6
7. Shen tiene 68 metros de hilo. Necesita trozos de 7 metros de largo.
¿Cuántos trozos de 7 metros de largo puede hacer Shen?
¿Cuánto hilo queda?
68 ÷ 7
Cociente: 9
Residuo: 5
68 = (9 × 7) + 5
Shen puede hacer 9 trozos. Quedan 5 metros de hilo.
8. María dice que 49 dividido entre 8 es 5 con un residuo de 9. Dice que está en lo correcto porque (8 × 5) + 9 = 49
¿Qué error cometió María? Explica cómo puede corregir su trabajo.
El error de María es que el residuo es mayor que el divisor. Eso significa que puede hacer otro grupo de 8 En lugar de 5 grupos, puede hacer 6 49 dividido entre 8 es 6 con un residuo de 1
49 = (8 × 6) + 1
EUREKA MATH2
EUREKA MATH2
Representar, estimar y resolver problemas verbales de división
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Explica por qué tu cociente es razonable.
Una fábrica hace 1,912 juguetes en 4 días. Hace el mismo número de juguetes cada día. ¿Cuántos juguetes hace en 1 día?
1,912
1,912 ÷ 4 = f
Estimación: 2,000 ÷ 4 = 500 4 1, 912
1,912 ÷ 4 = 478 f = 478
La fábrica hace 478 juguetes en 1 día. Mi cociente es razonable porque está cerca de mi estimación. Estimé redondeando 1,912 a 2,000 20 centenas ÷ 4 = 5 centenas 478 está cerca de 500
La clase usa diagramas de cinta para representar problemas verbales de división e identifica el número desconocido en el problema. Usan su comprensión sobre los factores y los múltiplos para estimar el cociente. La clase determina si la estimación será mayor o menor que el cociente y evalúa si su respuesta es razonable. En esta lección se formaliza el término indicar.
Pregunta clave
• ¿Cómo podemos estimar el cociente para determinar si la respuesta de un problema verbal de división es razonable?
Criterios de logro académico
4.Mód3.CLA1 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables. (4.OA.A.3)
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. (4.NBT.B.6)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Estimar cocientes
• Estimar y resolver problemas verbales
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4
La clase usa estrategias de valor posicional al dividir un número de cuatro dígitos como preparación para estimar e interpretar cocientes y residuos.
Muestre 4,826 ÷ 2 = .
Hallen el cociente. Muestren su método.
Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el cociente.
4,826 ÷ 2 = 2,413
Repita el proceso con la siguiente secuencia: 6,390 ÷ 3 = 2,130 9,008 ÷ 4 = 2,252 2,508 ÷ 3 = 836
Contar de nueve en nueve con el Conteo feliz
La clase visualiza una recta numérica mientras cuenta en voz alta para adquirir fluidez con los múltiplos de 9.
Invite a la clase a participar de la actividad Conteo feliz.
Contemos de nueve en nueve. Empiecen diciendo 9. ¿Comenzamos?
Señale hacia arriba o hacia abajo según corresponda para cada conteo.
9182718273645362736455463546372
Continúe contando de nueve en nueve hasta el 90. Alterne el sentido ocasionalmente, haciendo énfasis cuando pasen por los múltiplos de 10, así como cuando la clase dude o cuente de manera incorrecta.
Respuesta a coro: Múltiplos
La clase formula y responde preguntas sobre los primeros diez múltiplos de 6 o 9 para adquirir fluidez con los múltiplos, vistos en el módulo 2.
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 6. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
¿Es 18 un múltiplo de 6?
Sí.
¿Es 26 un múltiplo de 6?
No.
¿Es 54 un múltiplo de 6?
Sí.
¿Cuál es el quinto múltiplo de 6?
30
¿Cuál es el décimo múltiplo de 6?
60
Múltiplos de 6:
Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 9. ¿Comenzamos?
Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
¿Es 12 un múltiplo de 9?
No.
¿Es 27 un múltiplo de 9?
Sí.
¿Es 63 un múltiplo de 9?
Sí.
¿Cuál es el segundo múltiplo de 9?
18
¿Cuál es el cuarto múltiplo de 9?
36
Múltiplos de
Presentar
La clase relaciona dos tipos de división con problemas verbales y diagramas de cinta.
Muestre una imagen de los diagramas de cinta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian los dos diagramas de cinta.
Los dos tienen un total de 150. Los dos tienen un número desconocido.
Un diagrama de cinta está dividido en 5 grupos. El otro diagrama de cinta muestra un grupo que está rotulado 5.
Deje los diagramas de cinta a la vista y presente el problema:
Jayla recoge 150 gemas. Coloca cantidades iguales de gemas en 5 cajas. ¿Cuántas gemas hay en cada caja?
. . . w grupos de 5
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta representa mejor el problema.
El diagrama de cinta con 5 grupos representa mejor el problema porque cada grupo es una caja.
El diagrama de cinta con el número desconocido que representa cuánto hay en cada grupo representa mejor el problema porque queremos saber cuántas gemas hay en cada caja.
Dé a las parejas 1 minuto para hallar el cociente.
¿Cuál es el cociente? ¿Qué representa?
El cociente es 30. Hay 30 gemas en cada caja.
Presente el problema:
Jayla recoge 150 gemas. Coloca todas las gemas en cajas. Cada caja tiene 5 gemas. ¿Cuántas cajas tienen gemas?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta representa mejor el problema.
El diagrama de cinta con el grupo rotulado con 5 representa mejor el problema. Sabemos que Jayla coloca 5 gemas en cada caja, pero no sabemos con seguridad cuántas cajas hay.
El diagrama de cinta con el número de grupos desconocido. No sabemos cuántas cajas hay, pero sí sabemos que hay 5 gemas en cada caja.
Dé a las parejas 1 minuto para hallar el cociente.
¿Cuál es el cociente? ¿Qué representa?
El cociente es 30. Representa las 30 cajas que tienen gemas.
¿Qué expresión de división está representada por los dos diagramas de cinta?
150 ÷ 5
¿En qué se diferencia lo que se conoce y lo que se desconoce en el segundo problema de lo que se conoce y lo que se desconoce en el primer problema?
En el primer problema, sabemos cuántas cajas hay, pero no sabemos el número de gemas que hay en cada caja. En el segundo problema, sabemos el número de gemas que hay en cada caja, pero no sabemos el número de cajas.
Leer con atención el problema verbal y dibujar un diagrama de cinta nos puede ayudar a pensar en lo que conocemos y a determinar lo que estamos intentando averiguar.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas verbales de división. Examinaremos lo que se conoce y lo que se desconoce, usaremos diagramas de cinta para representar los problemas, haremos estimaciones y resolveremos los problemas. Determinaremos si nuestras respuestas son razonables.
Aprender
Estimar cocientes
DUA: Acción y expresión
Considere usar Tres lecturas a lo largo de la lección para fomentar un enfoque estratégico en la resolución de problemas. Lea el problema tres veces. Después de cada lectura, haga una de las siguientes preguntas:
• ¿De qué trata el problema?
• ¿Cuál es la información importante?
• ¿Cuál es la pregunta?
La clase estima el cociente en un problema verbal redondeando el total a un múltiplo del divisor.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea a coro el problema con la clase. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta y escribir una ecuación que represente el problema. Pídales que rotulen el número desconocido con una letra.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
1. El pasillo de un supermercado tiene 378 latas de alimento. Las latas se distribuyen, en partes iguales, en 6 estantes. ¿Cuántas latas de alimento hay en cada estante?
378 ÷ 6 = l
36 decenas ÷ 6 = 6 decenas
l = 63
Hay 63 latas en cada estante. 35
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione estudiantes para que compartan su trabajo. Busque diagramas de cinta y ecuaciones que representen el número desconocido como el tamaño de cada grupo.
378 ÷ 6 = l = 378 l
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo el diagrama de cinta y la ecuación representan el problema.
El diagrama de cinta entero representa el número total de latas. Las 6 partes representan los estantes. La letra representa el número de latas que hay en cada estante.
El diagrama de cinta muestra que conocemos el número de grupos y el total. La letra representa el número desconocido, o el tamaño de cada grupo.
La ecuación muestra el total dividido entre el número de grupos para hallar el número en cada grupo, o el número de latas que hay en cada estante. 378 ÷ 6 = l
El diagrama de cinta muestra, o indica, lo que se conoce y lo que se desconoce en el problema.
Antes de dividir para hallar el número en cada grupo, estimemos un cociente razonable.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo podrían estimar el cociente.
Cuando sumamos o restamos, en general, redondeamos los números primero y, luego, sumamos o restamos los números redondeados para hacer nuestra estimación. Tal vez podríamos redondear los números y, luego, dividir.
Podríamos redondear ambos números a la decena más cercana y, luego, dividir.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para estimar el cociente redondeando el número de latas y el número de estantes a la decena más cercana y, luego, usar los números redondeados para dividir.
¿Cuánto es 378 redondeado a la decena más cercana?
380
¿Cuánto es 6 redondeado a la decena más cercana?
10
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere rotular un diagrama de cinta y una ecuación con los rótulos: Total, Número de grupos y Tamaño de cada grupo. Esto puede ayudar a la clase a hacer conexiones entre las palabras habladas, las palabras escritas y su representación en los diagramas de cinta y en las ecuaciones.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere pedir a sus estudiantes que practiquen el uso del término indicar. Invite a las parejas de estudiantes a explicar qué indica cada parte o rótulo de su diagrama de cinta. Por ejemplo, las 6 partes del diagrama de cinta indican que el total se divide entre 6.
Escriba 380 ÷ 10.
¿Cuánto es 380 ÷ 10? ¿Cómo lo saben?
Es 38. Sé que 380 ÷ 10 es la misma cantidad que 38 decenas ÷ 10. Eso es 38 porque 10 treinta y ochos es 380.
Escriba = 38.
¿Cuál es nuestra estimación?
Hay aproximadamente 38 latas en cada estante.
Invite a las parejas de estudiantes a hallar el cociente real y a escribir un enunciado con la solución.
¿Cuánto es 378 ÷ 6? ¿Qué representa el cociente?
63. Hay 63 latas en cada estante.
¿Parece razonable nuestro cociente? ¿Cómo lo saben?
El cociente no parece razonable porque 63 no está muy cerca de nuestra estimación, 38. Pero sabemos que nuestro cociente es correcto. Tal vez deberíamos haber estimado de otra manera.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué el cociente y la estimación no están cerca.
En lugar de dividir entre 6, dividimos entre 10. Eso es casi el doble de grupos, entonces la cantidad será menor en cada grupo porque hay más grupos para repartir el total.
Intentemos estimar el cociente de otra manera. Como estamos dividiendo entre un número pequeño, no redondearemos el divisor, 6. Solo redondearemos el total. ¿Cómo podemos redondear el total para estimar?
Podemos redondear el total a la decena o a la centena más cercana.
Invite a las parejas de estudiantes a redondear 378 a la decena o centena más cercana y a escribir la expresión que usarían para estimar el cociente.
Escriba las expresiones 380 ÷ 6 y 400 ÷ 6. Dé a la clase 1 minuto para comenzar a dividir.
¿Qué observan al intentar dividir 380 entre 6 o 400 entre 6?
Tenemos que usar la división larga porque las operaciones no son conocidas. No vemos una operación conocida que nos pueda ayudar a dividir.
¿Es eficiente usar la división larga para estimar el cociente?
No. Nuestra estimación nos debería ayudar a comprobar rápidamente si nuestro cociente es razonable. No es eficiente si tenemos que usar la división larga para la estimación y el cociente.
Cambiemos nuestra estrategia para estimar el cociente y hallemos un número que podamos dividir mentalmente entre 6. ¿Cuántas decenas hay en 378?
37 decenas
¿Es 37 decenas un múltiplo de 6?
No.
Invite a las parejas de estudiantes a hallar un múltiplo de 6 que esté cerca de 37 decenas.
¿Qué múltiplo de 6 está cerca de 37 decenas?
36 decenas
¿Cómo pueden 36 decenas ayudarnos a estimar el cociente?
Podemos dividir 36 decenas entre 6 usando el cálculo mental.
Escriba 36 decenas ÷ 6 = y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.
¿Cuánto es 36 decenas ÷ 6?
6 decenas
Complete la ecuación mientras sus estudiantes dicen la respuesta.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se compara la nueva estimación, 60, con el cociente real, 63.
¿Nuestra estimación es mayor o menor que el cociente real? ¿Por qué?
La estimación es menor que el cociente. Dividimos 360 entre 6 en lugar de 378 entre 6. Eso significa que la estimación es menor porque hay menos para dividir.
Diferenciación: Apoyo
Considere contar salteado de 6 decenas en 6 decenas para ayudar a sus estudiantes a determinar el múltiplo de 6 que está cerca de 37 decenas.
Esta ecuación muestra otra manera de estimar el cociente.
¿Esta estimación es mayor o menor que el cociente real?
¿Por qué?
La estimación es mayor que el cociente porque dividimos 420 entre 6, que es más que dividir 378 entre 6. Hay más para dividir.
Usar un múltiplo del divisor que esté cerca del total nos puede ayudar a hacer una estimación razonable para un problema de división. Cuando el total real es mayor que el total redondeado, el cociente real será más que el cociente estimado. Cuando el total real es menor que el total redondeado, el cociente real será menos que el cociente estimado.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea a coro el problema con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
2. Un florista tiene 1,174 flores. Hace ramos de 4 flores. ¿Cuántos ramos puede hacer?
1,174 ÷ 4 = f
12 centenas ÷ 4 = 3 centenas
Cociente: 293
Residuo: 2
El florista puede hacer 293 ramos de flores.
1,174 . . . 4 Residuo de 2 293 grupos de 4 4
DUA: Participación
Considere apoyar la participación de sus estudiantes organizando una conversación acerca de otras situaciones en las que podría ser útil estimar. Haga énfasis en las situaciones que sean relevantes para su comunidad y los intereses de sus estudiantes.
Invite a la clase a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta y escribir una ecuación para representar el problema mientras usted hace lo mismo.
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la información conocida y desconocida:
• ¿Cómo indica el diagrama de cinta la información conocida y la desconocida?
• ¿El número desconocido representa el número de grupos o el tamaño de cada grupo?
• ¿Cómo podemos usar la información conocida para hallar el número de grupos desconocido?
Para estimar el cociente, hallemos un múltiplo de 4 que esté cerca del total.
¿Cuántas centenas hay en 1,174?
11 centenas
¿Es 11 centenas un múltiplo de 4? No.
Invite a las parejas de estudiantes a hallar un múltiplo de 4 que esté cerca de 11 centenas.
¿Qué múltiplo de 4 está cerca de 11 centenas?
12 centenas
¿Cómo puede ayudarles eso a estimar el cociente?
Podemos dividir 12 centenas entre 4.
Invite a la clase a dividir 12 centenas entre 4 para estimar el cociente.
¿Cuál es el cociente estimado?
3 centenas
300
Pida a las parejas que hallen el cociente real.
Nota para la enseñanza
En 3.er grado, cuando sus estudiantes representan el número de grupos desconocido con un diagrama de cinta, vuelven al diagrama de cinta después de resolver el problema y dibujan los grupos. Pronto se dan cuenta de que esto no es necesario y que no suele ser eficiente cuando el número de grupos es grande. Considere usar las siguientes preguntas para ayudar a la clase a hacer conexiones entre su solución y el diagrama de cinta:
• ¿Qué representa el cociente?
• ¿Dónde ven representado el cociente en el diagrama de cinta?
• ¿Pueden imaginar el número de grupos en el diagrama de cinta?
Muestre la imagen de la forma vertical completada para 1,174 ÷ 4. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué completar la forma vertical en este problema fue diferente que en el problema 1, y para conversar sobre otras veces que han usado la forma vertical. Mientras las parejas conversan, recorra el salón de clases y preste atención a las respuestas que reconozcan que la resta de las unidades no da 0 como resultado. Seleccione parejas para que compartan su razonamiento.
Por lo general, cuando dividimos las unidades y luego restamos, obtenemos 0.
Para este problema, obtuvimos 2. 14 unidades no se dividen de manera uniforme entre 4. Quedan 2 unidades.
Eso no es suficiente para hacer otro grupo de 4.
Diferenciación: Apoyo
Si sus estudiantes no saben con seguridad lo que deben hacer al dividir las unidades, considere brindar apoyo con preguntas como las siguientes:
• ¿Cuántas unidades tenemos para dividir?
• ¿Cuántos grupos de 4 podemos hacer con 14?
• ¿Cuánto es 3 grupos de 4?
• ¿Cuántas unidades quedan?
Cuando dividimos usando la forma vertical, restamos cada unidad de valor posicional después de dividirla para ver si hay más para dividir. Si quedan unidades, eso indica que hay un residuo.
¿Cuál es el cociente?
293
¿Cuál es el residuo?
2
Corrijamos nuestros diagramas de cinta para representar el residuo. Quedan 2. Sombreemos esa parte y rotulémosla “Residuo de 2” para mostrar que el residuo no forma parte de un grupo. Podemos reemplazar la letra, f, con el número de grupos, 293.
Pida a sus estudiantes que corrijan sus dibujos y que escriban un enunciado con la solución.
Use preguntas como las siguientes para evaluar si el cociente es razonable.
• ¿Es razonable el cociente? ¿Cómo lo saben?
• ¿El cociente es mayor o menor que la estimación? ¿Por qué? 4 1, 174
Estimar y resolver problemas verbales
La clase resuelve problemas verbales de división y determina si sus respuestas exactas son razonables.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y lea a coro el problema con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
3. Un supermercado tiene 950 cajas de galletas saladas. Las cajas se dividen, en partes iguales, en 3 recipientes. ¿Cuántas cajas hay en cada recipiente?
950 ÷ 3 = g
9 centenas ÷ 3 = 3 centenas
Cociente: 316
Residuo: 2
Hay 316 cajas en cada recipiente.
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta y escribir una ecuación que represente el problema.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál podría ser una estimación del cociente y si la estimación es mayor o menor que el cociente real.
9 es un múltiplo de 3, entonces pensamos en 9 centenas ÷ 3 = 3 centenas.
Nuestra estimación de 300 es menor que el cociente porque 900 es menor que 948. Como 90 es un múltiplo de 3, sabemos que 96 también es un múltiplo de 3. 96 decenas está cerca de 948. 96 decenas ÷ 3 = 32 decenas.
Nuestra estimación de 320 es mayor que el cociente porque 960 es mayor que 948.
Diferenciación: Apoyo
Para ayudar a sus estudiantes a comprender la estimación y a determinar si su estimación es mayor o menor que el cociente real, considere dibujar diagramas de cinta rotulados con el total y el cociente estimados. Muestre los diagramas de cinta mientras comentan si la respuesta real es razonable.
Invite a las parejas de estudiantes a resolver el problema y a escribir un enunciado con la solución.
¿Cuántas cajas de galletas saladas hay en cada recipiente?
Hay 316 cajas de galletas saladas en cada recipiente.
Pida a sus estudiantes que corrijan sus diagramas de cinta para representar el residuo. Luego, guíe a sus estudiantes para que escriban una ecuación usando la multiplicación y la suma a fin de representar el problema y los dibujos.
¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Sí, es razonable porque 316 es un poco más que nuestra estimación de 300.
Sí, es razonable porque 316 es un poco menos que nuestra estimación de 320.
A veces, nuestras estimaciones están muy cerca de la respuesta real y, a veces, no lo están.
Puede ser útil saber si nuestras estimaciones serán mayores o menores que la respuesta real.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y lea a coro el problema con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Usa una letra para representar el número desconocido.
4. Un camión entrega 5,730 libras de papas a un supermercado. Las papas vienen en bolsas de 5 libras. ¿Cuántas bolsas se entregan?
5,730 ÷ 5 = p
55 centenas ÷ 5 = 11 centenas p = 1,146
Se entregan 1,146 bolsas de papas.
950 = (3 × 316) + 2 . . . 5
p grupos de 5
Invite a la clase a:
• representar el problema con un diagrama de cinta y una ecuación;
• estimar el cociente y
• resolver el problema.
Recorra el salón de clases y seleccione estudiantes para que compartan su trabajo. Considere seleccionar estrategias que usen 5 millares, 60 centenas o 55 centenas como el total para estimar el cociente.
Mientras comparten su trabajo, considere hacer preguntas como las siguientes para que la conversación se enfoque en evaluar si el cociente es razonable:
• ¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
• ¿Su estimación es mayor o menor que la respuesta real? ¿Por qué es útil saber eso?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo las estimaciones pueden ayudarles a decidir si su respuesta es razonable.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) al resolver problemas verbales de división representando la situación con un diagrama de cinta, escribiendo una ecuación de división relacionada y estimando el cociente como ayuda para determinar si sus respuestas son razonables.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:
• ¿Qué información necesitan para representar la situación con un diagrama de cinta?
• ¿Cómo puede el diagrama de cinta ayudarles a representar la situación con una ecuación de división?
• ¿Cómo pueden simplificar la situación para estimar el cociente?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Representar, estimar y resolver problemas verbales de división
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la estimación y los tipos de problemas verbales de división.
¿Por qué dibujar un diagrama de cinta para representar un problema verbal nos ayuda a pensar en el número desconocido como el número de grupos o el tamaño del grupo?
Cuando dibujo un diagrama de cinta, me ayuda a representar la información conocida y desconocida. Cuando puedo rotular el total y dibujar para representar el número de grupos, entonces sé que el tamaño de cada grupo es desconocido.
Cuando puedo rotular el total y el tamaño de un grupo, entonces sé que el número de grupos es desconocido.
¿Cómo podemos estimar el cociente para determinar si la respuesta de un problema verbal de división es razonable?
Podemos pensar en múltiplos del número entre el que estamos dividiendo que estén cerca del total. Entonces, podemos dividir para obtener una estimación.
Podemos usar lo que sabemos sobre los múltiplos para estimar los cocientes. Podemos hallar un múltiplo del número entre el que estamos dividiendo que esté cerca del total real y, luego, dividir. Cuanto más cerca esté el múltiplo del total, más cerca estará nuestra estimación del cociente real.
Boleto
de
salida
5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. Los diagramas de cinta ya están dibujados como ejemplo.
1. La maestra Wong tiene 318 libros. Coloca un número igual de libros en cada una de las 6 cajas. ¿Cuántos libros hay en cada caja?
a. ¿El número desconocido representa el número de grupos o el tamaño del grupo?
El número desconocido representa el tamaño del grupo.
b. ¿Aproximadamente cuántos libros hay en cada caja?
300 ÷ 6 = 50
Hay aproximadamente 50 libros en cada caja.
c. ¿Exactamente cuántos libros hay en cada caja?
318 ÷ 6 = 53
Hay exactamente 53 libros en cada caja.
d. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (c)? Explica.
Sí, mi respuesta es razonable. Mi respuesta es 53 y mi estimación es 50. Sé que mi respuesta debe ser más que mi estimación porque redondeé 318 a 300 para estimar. Eso significa que la estimación está cerca de mi cociente, pero es menor.
2. El maestro Davis tiene 322 libros. Coloca los libros en cajas. Cada caja tiene 6 libros. ¿Cuántas cajas de 6 libros hay?
a. ¿El número desconocido representa el número de grupos o el tamaño de los grupos?
El número desconocido representa el número de grupos.
b. ¿Aproximadamente cuántas cajas de 6 libros hay?
300 ÷ 6 = 50 Hay aproximadamente 50 cajas de 6 libros.
c. ¿Exactamente cuántas cajas de 6 libros hay?
322 ÷ 6
Cociente: 53
Residuo: 4 Hay exactamente 53 cajas de 6 libros.
d. ¿Cuántos libros no están en ninguna caja? 4 libros no están en ninguna caja.
e. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (c)? Explica.
Sí, mi estimación de 50 está cerca de 53, entonces mi respuesta es razonable. 322 6 ? grupos de 6
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. Explica por qué tu cociente es razonable.
3. Una fábrica tiene 1,532 yardas de tela para hacer abrigos. Se necesitan 4 yardas de tela para hacer cada uno. ¿Cuántos abrigos se pueden hacer?
1,532 ÷ 4 = 383
Se pueden hacer 383 abrigos.
Mi cociente es razonable. Para estimar el cociente, redondeé 1,532 a 16 centenas. 16 centenas ÷ 4 = 4 centenas. Sé que el cociente debe ser menor que mi estimación. 383 es menor que 400 y está cerca de este último.
4. La Sra. Smith tiene 7 listones de la misma longitud. La longitud total de sus listones es 9,485 centímetros. ¿Cuál es la longitud de cada listón?
9,485 ÷ 7 = 1,355
La longitud de cada listón es 1,355 centímetros.
Para estimar, redondeé 9,485 a 91 centenas. 91 centenas ÷ 7 = 13 centenas. 1,355 está cerca de 1,300, entonces mi cociente es razonable.
5. Una agricultora tiene 7,078 kilogramos de arroz para envasar en bolsas. Cada bolsa tiene 8 kilogramos de arroz. ¿En cuántas bolsas se envasa el arroz?
7,078 ÷ 8
Cociente: 884
Residuo: 6
Se envasa en 884 bolsas.
Para estimar el número de bolsas, pensé en 72 centenas. 72 centenas ÷ 8 = 9 centenas. Sé que el cociente es menor que mi estimación. 884 es menor que 900 y está cerca de este último. Mi cociente es razonable.
EUREKA MATH
Resolver problemas verbales de varios pasos e interpretar residuos
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Un grupo de estudiantes tiene un total de 765 dólares para comprar lápices y gorras para la tienda de la escuela. Usan 27 dólares para comprar lápices. Usan el resto del dinero para comprar gorras. Cada gorra cuesta 4 dólares. ¿Cuántas gorras compran?
La clase dibuja diagramas de cinta para representar problemas verbales de varios pasos. Usan el contexto de un problema verbal para determinar cómo usar el cociente, el residuo o ambos en la solución. También identifican y corrigen un error en un ejemplo de trabajo que representa una interpretación incorrecta del residuo después de dividir. En esta lección se presenta el término interpretar.
Pregunta clave
• ¿Cómo usamos el cociente y el residuo de diferentes maneras para resolver problemas verbales?
Criterio de logro académico
El grupo de estudiantes compra 184 gorras.
4.Mód3.CLA1 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables. (4.OA.A.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 5 min
Aprender 35 min
• Problemas verbales de varias partes
• Problemas verbales de varios pasos
• Análisis de errores
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la
lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un medio en un medio, de un tercio en un tercio y de un cuarto en un cuarto en diagramas de cinta
La clase cuenta de un medio en un medio, de un tercio en un tercio y de un cuarto en un cuarto en un diagrama de cinta e identifica la fracción sombreada como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones del módulo 4.
Muestre el diagrama de cinta dividido en medios.
Cuando dé la señal, usen el diagrama de cinta para contar de una mitad en una mitad, o de un medio en un medio, hasta 2 medios y, luego, hacia atrás hasta 0 medios. Empiecen diciendo 0 medios. ¿Comenzamos?
Muestre cada unidad sombreada o no sombreada, una a la vez, en el diagrama de cinta mientras la clase cuenta.
0 medios, 1 medio, 2 medios
2 medios, 1 medio, 0 medios
Repita el proceso con los tercios y, luego, con los cuartos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 1 medio sombreado.
¿Cuánto está sombreado?
1 medio, o 1 mitad
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 1 tercio 2 tercios 3 cuartos
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Si bien en grados anteriores sus estudiantes han usado la expresión “una mitad” para referirse a 1 2
ya en el módulo 5 de tercer grado se familiarizaron con el uso de “un medio”. Las actividades de fluidez de esta lección presentan una buena oportunidad para reforzar el uso de “un medio”.
Acepte el uso tanto de “medios” como “mitades”, pero refuerce el uso de “medios” cuando comparta respuestas o comentarios relacionados con fracciones.
Respuesta a coro: Partes iguales
La clase identifica el número de partes iguales, la unidad fraccionaria y la fracción unitaria como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones del módulo 4.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.
Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el círculo dividido en mitades.
¿En cuántas partes iguales está dividido el círculo?
2
¿Qué unidad fraccionaria muestra el círculo?
Medios
Muestre la respuesta: Medios.
¿Cómo se llama una unidad?
1 medio
Muestre 1 unidad sombreada y la respuesta.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Perímetro y área
La clase escribe ecuaciones y determina el perímetro y el área de un rectángulo a fin de adquirir fluidez para aplicar las fórmulas del área y del perímetro del rectángulo aprendidas en el módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el rectángulo.
Escriban una ecuación para hallar el perímetro del rectángulo. Escriban la letra P para representar el número desconocido.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Escriban el perímetro del rectángulo como una oración completa.
Muestre la respuesta.
Escriban una ecuación para hallar el área del rectángulo. Escriban la letra A para representar el número desconocido.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Escriban el área del rectángulo como una oración completa.
Muestre la respuesta.
El perímetro es 18 pulgadas.
El área es 20 pulgadas cuadradas.
Nota para la enseñanza
Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, la clase puede elegir escribir el perímetro como la suma de dos productos: P = (2 × 5) + (2 × 4). También pueden elegir ordenar los sumandos o factores de manera diferente.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
P = 9 + 9 + 3 + 3
A = 9 × 3 El perímetro es 24 centímetros. El área es 27 centímetros cuadrados.
área es 22 metros cuadrados.
Presentar
La clase usa el ejemplo que se presenta para responder diferentes preguntas sobre el mismo contexto de división.
Muestre la imagen que representa 167 ÷ 4 en forma vertical.
¿Qué observan?
Se muestra 167 dividido entre 4.
El cociente es 41 y el residuo es 3.
Muestre la imagen que representa la misma forma vertical y una situación relacionada.
Lea la situación a coro con la clase.
¿Cómo nos muestra este trabajo cuántos grupos de 4 hay?
El cociente muestra 41 grupos porque representa cuántos cuatros hay en 167.
¿Cómo muestra este trabajo si hay estudiantes que no están en un grupo de 4?
Después de restar las unidades, hay un residuo de 3. Eso significa que 3 estudiantes no están en un grupo de 4.
Sabiendo que hay un residuo, ¿cambia su respuesta para cuántos grupos de 4 se pueden hacer?
No, porque 3 estudiantes no pueden hacer un grupo de 4 estudiantes.
Un director ubic a a 167 estudiantes en gr upos de 4. 4 167
Si el director ubica en un grupo a los y las estudiantes que quedan, ¿qué preguntas se podrían hacer sobre esta situación?
¿Cuántos grupos hay en total?
¿Cuántos estudiantes hay en el grupo que no tiene 4 estudiantes?
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede usar el cociente y el residuo para responder las preguntas en los problemas verbales de división.
La pregunta en un problema verbal de división nos puede ayudar a determinar cómo hallar la respuesta a partir de nuestro trabajo.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas verbales usando el cociente y el residuo después de dividir.
Aprender
Problemas verbales de varias partes
La clase resuelve problemas verbales de varias partes y usa el cociente y el residuo en sus soluciones.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea el problema completo a coro con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. Carla tiene 375 cuentas. Usa las cuentas para hacer pulseras. Cada pulsera tiene 9 cuentas.
a. ¿Cuál es el mayor número de pulseras que puede hacer Carla? 9 375 – 360 15 – 9 6 40 1 375 c grupos de 9 . . . 9
El mayor número de pulseras que puede hacer Carla es 41.
b. Carla vende todas las pulseras que hace. Cada pulsera cuesta $4. ¿Cuánto dinero gana? 41 4 × 164
Carla gana $164.
Nota para la enseñanza
En 3.er grado, la clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de dos pasos que incluyen las cuatro operaciones y evalúa si sus respuestas son razonables. El aumento de la complejidad en 4.o grado incluye:
• multiplicar, dividir, sumar y restar con números más grandes;
• dividir e interpretar residuos y
• resolver problemas verbales de tres pasos.
¿Qué observan acerca de las partes (a) y (b) del problema?
Estamos calculando dos cosas diferentes: cuántas pulseras puede hacer y cuánto dinero gana.
No podemos calcular cuánto dinero gana Carla hasta que sepamos cuántas pulseras puede hacer.
Comencemos por determinar cuántas pulseras puede hacer Carla. ¿Cuál es la información que conocemos?
El número total de cuentas es 375 y el número de cuentas que hay en cada pulsera es 9.
Invite a la clase a trabajar en parejas para completar la parte (a).
Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que muestren cómo hallar el número de pulseras usando la división. Luego, guíe una conversación de toda la clase.
¿Cómo determinaron el número de pulseras que puede hacer Carla? Expliquen su método.
Dividimos 375 entre 9. Conocemos el número total de cuentas y el número de cuentas que hay en cada pulsera. Necesitamos saber cuántas pulseras puede hacer.
Dividimos para hallar cuántos grupos de 9 cuentas podemos hacer con 375 cuentas.
Eso nos indica el número de pulseras.
¿Cuánto es 375 ÷ 9?
El cociente es 41. El residuo es 6.
41 con un residuo de 6
¿Qué nos indica el cociente?
Representa el número de pulseras que puede hacer Carla. Puede hacer 41 pulseras.
¿Qué nos indica el residuo?
El residuo nos indica cuántas cuentas no están en un grupo de 9. 6 cuentas no son suficientes para hacer otra pulsera.
Diferenciación: Desafío
Considere invitar a sus estudiantes a usar su trabajo de división para responder la siguiente pregunta sobre el problema 1.
¿Cuántas cuentas más necesita Carla para poder hacer 42 pulseras?
Sus estudiantes deben comentar cómo usan el cociente, el residuo o ambos para responder la pregunta.
Nota para la enseñanza
Los diagramas de cinta ayudan a sus estudiantes a entender los problemas a través del proceso de dibujo. Un dibujo puede aclarar las relaciones dentro de un problema dado y ayudar a sus estudiantes a determinar una estrategia para hallar la solución.
El detalle en el dibujo de un diagrama de cinta puede variar en función del problema y de las necesidades de cada estudiante. Una regla general para representar con diagramas de cinta es dibujar solo lo necesario para entender la situación.
Por ejemplo, en la parte (b) del problema 1, sus estudiantes podrían dibujar 41 unidades de 4. Sin embargo, podrían comenzar a dibujar unidades de 4 y, luego, hacer una pausa para usar lo que han dibujado hasta ahora para pensar en cómo se relaciona la información conocida. Una vez que reconocen la relación como una situación de multiplicación, pueden resolver el problema sin dibujar las 41 unidades.
¿Cómo está representada la respuesta al problema en su trabajo?
La respuesta está representada por el cociente. 41 nos indica cuántos grupos de 9 cuentas podemos hacer con 375 cuentas. Entonces, el mayor número de pulseras que puede hacer Carla es 41.
Invite a las parejas de estudiantes a reunirse y conversar acerca de si su solución es razonable.
¿Es razonable su respuesta para el mayor número de pulseras que puede hacer Carla?
Expliquen.
Sí. Podemos redondear 375 a 360 para estimar el número de pulseras. 36 decenas ÷ 9 = 4 decenas. Carla puede hacer aproximadamente 40 pulseras. Sabemos que nuestra estimación es menor que la respuesta real porque dividimos un número que es menor que el total real. Entonces, Carla puede hacer más de 40 pulseras. Nuestra respuesta de 41 pulseras está cerca de nuestra estimación.
Ahora sabemos cuántas pulseras puede hacer Carla y que nuestra respuesta es razonable. Vamos a determinar cuánto dinero gana Carla cuando vende sus pulseras. ¿Cuál es la información que conocemos?
Hace 41 pulseras y vende cada una a $4.
Invite a las parejas de estudiantes a completar la parte (b).
¿Cuánto dinero gana Carla?
Carla gana $164.
Use un proceso similar para completar el problema 2. Guíe a sus estudiantes mientras:
• dibujan un diagrama de cinta para representar la información conocida y desconocida;
• determinan el número total de personas que hay en la fiesta;
4 1 4 1 64 ×
• determinan el menor número de pizzas que se necesitan para que cada persona tenga 1 porción;
• estiman para determinar si sus respuestas son razonables y
• explican cómo usaron el cociente y el residuo para determinar el menor número de pizzas que se necesitan.
Nota para la enseñanza
En la parte (a) del problema 2, 268 representa el número de personas que hay en la fiesta. En la parte (b), 268 representa el número total de porciones de pizza que se necesitan.
Considere proveer soportes al problema haciendo la siguiente pregunta antes de continuar con la parte (b) para asegurarse de que sus estudiantes comprenden la conexión entre el número de personas y el número de porciones de pizza que se necesitan:
Las personas comen pizza en la fiesta. Cada persona obtiene 1 porción. ¿Cuántas porciones de pizza se necesitan?
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
2. Hay 149 niños y niñas y 119 adultos en una fiesta.
a. ¿Cuántas personas hay en la fiesta en total? 149 + 119 268 1 p 149 119
En la fiesta hay 268 personas en total.
b. Las personas comen pizza en la fiesta. Cada pizza tiene 8 porciones. ¿Cuál es el menor número de pizzas que se necesitan para que cada persona tenga 1 porción?
8 268 – 240 28 – 24 4 30 3 268 p grupos de 8 . . . 8
El menor número de pizzas que se necesitan es 34.
Muestre la imagen de 375 ÷ 9 y 268 ÷ 8.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo usaron el cociente y el residuo en cada problema y cómo respondieron las preguntas de los problemas 1 y 2.
Para 375 ÷ 9, usamos el cociente de 41 al responder la pregunta. No necesitamos usar el residuo para responder la pregunta porque nos indica que quedan 6 cuentas, que no son suficientes para hacer otra pulsera.
DUA: Representación
Considere usar un código de colores y rotular el cociente y el residuo.
Use las siguientes preguntas para ayudar a sus estudiantes a comprender por qué la respuesta es 34 pizzas:
• Si tienen 33 pizzas, ¿cuántas personas no obtendrán una porción de pizza? ¿Dónde está representado eso?
• ¿Cuántas pizzas más necesitan para que todas las personas tengan 1 porción? ¿Cómo lo saben?
• Dado que el residuo es 4, ¿por qué solo necesitan 1 pizza más y no 4?
Para 268 ÷ 8, necesitamos pensar en el cociente y el residuo. Sabemos que cada persona necesita obtener 1 porción de pizza y el residuo nos indica que necesitan otras 4 porciones. Entonces, necesitan otra pizza. Sumamos 1 pizza más al cociente, 33, para responder la pregunta.
Problemas verbales de varios pasos
La clase resuelve problemas verbales de varios pasos que requieren la interpretación de residuos.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y lea el problema a coro con la clase. Pídales que trabajen en parejas para resolver el problema. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Cuál es la información que conocemos? ¿Y la que desconocemos?
• ¿Qué pueden dibujar para representar el problema?
• ¿Cómo pueden usar una letra para representar el número desconocido?
• ¿Qué operación usarán para hallar el valor del número desconocido? ¿Por qué?
• ¿Qué más se desconoce? ¿Cómo pueden determinar el número de latas que quedan?
• ¿Cómo están representadas las latas que quedan en su trabajo de división?
Nota para la enseñanza
Evaluar si las respuestas son razonables es una parte importante de la resolución de problemas. Continúe pidiendo a la clase que reflexione sobre sus soluciones o que estime antes de comenzar a resolver.
Nota para la enseñanza
Las situaciones en esta lección contienen más de un número desconocido y, a veces, la situación requiere la interpretación del cociente y el residuo. Sus estudiantes pueden usar letras o signos de interrogación para representar cualquier parte desconocida en sus dibujos y ecuaciones.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
3. Shen reúne 1,242 latas de alimento para mascotas. Le da 150 latas al veterinario. Luego, coloca 9 latas en cada caja para entregarlas al refugio de animales. ¿Cuántas latas de alimento para mascotas no están en ninguna caja?
Diferenciación: Apoyo
Considere presentar los problemas 3 y 4 como problemas de varias partes. Por ejemplo, el problema 3 se podría presentar de la siguiente manera:
Shen reúne 1,242 latas de alimento para mascotas. Le da 150 latas al veterinario. ¿Cuántas latas de alimento para mascotas tiene ahora?
Shen coloca 9 latas en cada caja para entregarlas al refugio de animales. ¿Cuántas latas de alimento para mascotas no están en ninguna caja?
Diferenciación: Desafío
Considere reformular los problemas 3 y 4 para que sean problemas verbales de tres pasos, pero que sigan haciendo la misma pregunta. Por ejemplo, el problema 3 se podría reformular de la siguiente manera:
3 latas de alimento para mascotas no están en ninguna caja.
Seleccione dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la representación del problema y la interpretación del residuo.
Los ejemplos de trabajo muestran el dibujo de un diagrama de cinta para representar el número desconocido de latas de alimento que quedan después de darle 150 latas de alimento al veterinario y el dibujo de un diagrama de cinta para representar el número desconocido de cajas de alimento.
Shen reúne 684 latas de alimento para mascotas en abril y 558 latas en mayo. Le da 150 latas al veterinario. Luego, coloca 9 latas en cada caja para entregarlas al refugio de animales. ¿Cuántas latas de alimento no están en ninguna caja?
Dibujar un diagrama de cinta para representar el número desconocido de latas de alimento que quedan después de darle 150 latas al veterinario: 1,242
Hay 3 latas de alimento que no están en ninguna caja. 14
Dibujar un diagrama de cinta para representar el número desconocido de cajas de alimento:
grupos de 9
Hay 3 latas de alimento que no están en ninguna caja.
A medida que cada estudiante comparte su trabajo, considere usar las siguientes preguntas para que explique su razonamiento y aclare su estrategia para hallar la solución:
• ¿Cómo representaron la información conocida y desconocida?
• ¿Cómo decidieron qué operación usar para hallar el valor de cada número desconocido?
• ¿Cómo están representadas las latas que quedan en su trabajo de división?
Apoyo para la comprensión del lenguaje
A medida que sus estudiantes comparten su trabajo, considere pedirles que usen la Herramienta para la conversación para apoyar el intercambio y la comprensión de las estrategias para hallar la solución.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de algo que hayan visto en el trabajo de sus pares y que les gustaría intentar realizar al usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos.
Use un proceso similar para que la clase trabaje en parejas para resolver el problema 4.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
4. La Sra. Wong tiene 18 huevos. Obtiene 76 huevos más de sus gallinas. Coloca los huevos en cartones. Cada cartón puede contener 6 huevos. ¿Cuál es el menor número de cartones que necesita para todos los huevos?
El menor número de cartones que necesita la Sra. Wong para todos los huevos es 16.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usa el residuo de diferentes maneras para responder las preguntas de los problemas 3 y 4.
En el problema 3, el residuo era la respuesta a la pregunta porque se pedía hallar cuántas latas de alimento no estaban en cajas.
En el problema 4, tuvimos que pensar en el residuo y el cociente para responder la pregunta. Si solo usáramos el cociente de 15 en la respuesta, los 4 huevos que quedan no estarían en un cartón.
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando usa diagramas de cinta para representar y entender los problemas verbales.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:
• ¿Qué pueden dibujar como ayuda para comprender el problema 4?
• ¿Cómo representan en su diagrama de cinta las ideas clave del problema 4?
En ambos problemas, tuvimos que pensar en lo que representa el residuo. En el problema 3, el residuo representa el número de latas que quedan, así que esa era la respuesta. En el problema 4, el residuo representa el número de huevos que quedan. Todos los huevos tienen que estar en cartones, entonces necesitamos sumar 1 al cociente.
En los problemas 3 y 4, necesitábamos interpretar el residuo. Determinaron que el residuo era la respuesta a la pregunta en el problema 3, pero en el problema 4, el residuo no era necesario para determinar la respuesta a la pregunta.
Análisis de errores
La clase identifica y corrige el error en un ejemplo de trabajo de un problema verbal de varios pasos.
Presente el problema y léalo a coro con la clase.
Hay 8 clases de estudiantes de cuarto grado en la cafetería. Cada clase tiene 24 estudiantes. Las mesas de la cafetería tienen 5 sillas cada una. ¿Cuál es el menor número de mesas que se necesitan para los y las estudiantes?
¿Cuál es la información que conocemos?
El número de clases
El número de estudiantes que hay en cada clase
El número de sillas que hay en cada mesa
¿Qué información desconocemos?
El número total de estudiantes
El número total de mesas que se necesitan
Apoyo para la comprensión del lenguaje
En este segmento se presenta el término interpretar. Considere enseñar el término por adelantado, anticipándose al momento en el que sus estudiantes deben interpretar el residuo. Relacione el término con hallar el cociente y el residuo, y con determinar cómo se pueden usar para responder el problema.
Presente el trabajo que muestra el método de Robin. Diga a la clase que la solución de Robin no es correcta.
Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.
Robin usó incorrectamente su trabajo de división para calcular el menor número de mesas que se necesitan. Robin multiplicó y dividió correctamente, pero no usó el cociente y el residuo de manera correcta para responder la pregunta.
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo Robin puede usar el cociente e interpretar el residuo para responder correctamente la pregunta.
Método de Robin
El menor número de mesas que se necesitan para los y las estudiantes es 38. p
El menor número de mesas que se necesitan es 39. El cociente es 38, pero hay un residuo de 2.
Eso indica que hay 2 estudiantes que también necesitan un lugar para sentarse.
Robin necesita pensar en lo que representan el cociente y el residuo. El cociente representa 38 mesas, pero el residuo significa que hay 2 estudiantes más que necesitan estar en una mesa. Como necesitan otra mesa, sumamos 1 al número de mesas. El menor número de mesas que se necesitan es 39.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Diferenciación: Apoyo
Considere presentar el método de Robin en dos partes para ayudar a sus estudiantes mientras identifican el error.
Parte 1: ×
Parte 2:
Use las siguientes preguntas para ayudarles mientras analizan cada parte:
• ¿El diagrama de cinta representa de manera correcta la información conocida y desconocida?
• ¿Qué operación usó Robin? ¿Tiene sentido eso?
• ¿Cómo usó Robin su trabajo de división para responder la pregunta? ¿Tiene sentido eso?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos e interpretar residuos
Reúna a la clase, pídales que tengan a mano su Grupo de problemas y use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la interpretación de las respuestas de división.
¿Cómo usaron su trabajo de división para determinar el menor número de autos en el problema 5?
Tuve que usar el cociente y el residuo. El cociente me indica el número de autos y el residuo me indica que todavía necesitan recaudar $6 para alcanzar su objetivo. Entonces, sumé 1 auto más al número de autos representado por el cociente.
¿Cómo pueden usar los cocientes y los residuos de diferentes maneras para responder problemas verbales de varios pasos?
Dependiendo de lo que se pida en el problema, tenemos que pensar si se necesita uno o ambos para resolverlo.
A veces, el cociente es la respuesta.
Cuando en el problema se pregunta cuántos quedan, el residuo puede ser la respuesta. Cuando en el problema se pregunta por el menor número que se necesita, tenemos que ver si hay un residuo. Si hay, lo interpretamos y tal vez sumamos 1 al cociente.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. La Sra. Smith coloca 136 manzanas en bolsas. Cada bolsa tiene 4 manzanas.
a. ¿Cuántas bolsas de manzanas tiene la Sra. Smith?
136 ÷ 4 = 34
La Sra. Smith tiene 34 bolsas de manzanas.
b. La Sra. Smith vende todas las bolsas de manzanas. Cada bolsa cuesta $3 ¿Cuánto dinero gana la Sra. Smith?
34 × 3 = 102
La Sra. Smith gana $102
2. Una escuela compra 8 cajas de lápices. Hay 72 lápices en cada caja.
a. ¿Cuántos lápices hay en total?
8 × 72 = 576 Hay 576 lápices en total.
b. La escuela da 5 lápices a cada estudiante. ¿Cuántos estudiantes reciben exactamente 5 lápices?
576 ÷ 5
Cociente: 115
Residuo: 1
115 estudiantes reciben exactamente 5 lápices.
EUREKA MATH
Nombre Fecha
3. Carla comienza a empaquetar 1,218 trenes de juguete en cajas. Coloca 6 trenes de juguete en cada una. Al final del día, le quedan 162 trenes de juguete. ¿Cuántas cajas de trenes de juguete empaquetó?
1,218 − 162 = 1,056
1,056 ÷ 6 = 176
Carla empaquetó 176 cajas de trenes de juguete.
5. Un grupo de estudiantes de una escuela lava vehículos. Su objetivo es recaudar $225. Obtienen $5 por cada motocicleta que lavan. Obtienen $8 por cada auto que lavan. Lavan 7 motocicletas y algunos autos. ¿Cuál es el menor número de autos que el grupo de estudiantes debe lavar para alcanzar su objetivo?
7 × 5 = 35
225 − 35 = 190
190 ÷ 8
Cociente: 23
Residuo: 6
El menor número de autos que el grupo de estudiantes debe lavar para alcanzar su objetivo es 24
4. Un bibliotecario coloca libros, en partes iguales, en 9 cajas. Tiene 791 libros de no ficción y 963 libros de ficción. ¿Cuántos libros hay en cada caja? ¿Cuántos libros quedan?
791 + 963 = 1,754
1,754 ÷ 9
Cociente: 194
Residuo: 8
Hay 194 libros en cada caja. Quedan 8 libros.
EUREKA MATH
EUREKA MATH
Resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si las soluciones son razonables
Vistazo a la lección
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Liz tiene 4 listones verdes que miden 157 pies de largo cada uno. Tiene un listón negro que mide 242 pies de largo. También tiene un listón morado. La longitud total de todos los listones es 1,500 pies. ¿Cuánto mide el listón morado de largo?
La clase dibuja diagramas de cinta para representar problemas verbales de varios pasos. Usan sus diagramas de cinta para determinar una estrategia para hallar la solución. Usan estimaciones y sus diagramas de cinta para evaluar si sus respuestas son razonables.
Preguntas clave
• ¿Cómo podemos usar diagramas de cinta para representar problemas verbales de varios pasos y determinar una estrategia para hallar la solución?
• ¿Por qué es importante pensar si la respuesta es razonable en los problemas verbales de varios pasos?
Criterio de logro académico
4.Mód3.CLA1 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables. (4.OA.A.3)
Agenda
Fluidez 10 min
Presentar 10 min
Aprender 30 min
• Resolver un problema verbal y evaluar si la solución es razonable
• Resolver un problema verbal y examinar estrategias para hallar la solución
• Grupo de problemas
Concluir 10 min
Materiales
Maestro o maestra
• ninguno
Estudiantes
• ninguno
Preparación de la lección
No se necesita.
Fluidez
Contar de un sexto en un sexto y de un octavo en un octavo en diagramas de cinta
La clase cuenta de un sexto en un sexto y de un octavo en un octavo en un diagrama de cinta e identifica la fracción sombreada como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones del módulo 4.
Muestre el diagrama de cinta dividido en sextos.
Cuando dé la señal, usen el diagrama de cinta para contar de un sexto en un sexto hasta 6 sextos y, luego, hacia atrás hasta 0 sextos. Empiecen diciendo 0 sextos. ¿Comenzamos?
Muestre cada unidad sombreada o no sombreada, una a la vez, en el diagrama de cinta mientras la clase cuenta.
0 sextos, 1 sexto…, 5 sextos, 6 sextos
6 sextos, 5 sextos…, 1 sexto, 0 sextos
Repita el proceso con los octavos.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre 1 sexto sombreado.
¿Cuánto está sombreado? Digan la respuesta como una fracción.
1 sexto
Muestre la respuesta.
Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 5 sextos 1 octavo 3 octavos 10
Respuesta a coro: Partes iguales
La clase identifica el número de partes iguales, la unidad fraccionaria y la fracción unitaria como preparación para la descomposición y equivalencia de fracciones del módulo 4.
Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.
Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.
Esperen mi señal para decir la respuesta.
Muestre el rectángulo dividido en mitades.
¿En cuántas partes iguales está dividido el rectángulo?
2
¿Qué unidad fraccionaria muestra el rectángulo?
Medios
Muestre la respuesta: Medios.
¿Cómo se llama 1 unidad?
1 medio
Muestre 1 unidad sombreada y la respuesta: 1 medio.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
Intercambio con la pizarra blanca: Perímetro y área
La clase escribe una ecuación y determina el perímetro y el área de un rectángulo a fin de adquirir fluidez para aplicar las fórmulas del área y del perímetro del rectángulo aprendidas en el módulo 2.
Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.
Muestre el rectángulo.
Escriban una ecuación para hallar el perímetro del rectángulo. Escriban la letra P para representar el número desconocido.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Escriban el perímetro del rectángulo como una oración completa.
Muestre la respuesta.
Escriban una ecuación para hallar el área del rectángulo. Escriban la letra A para representar el número desconocido.
Muestre el ejemplo de respuesta.
Escriban el área del rectángulo como una oración completa.
Muestre la respuesta.
5 pulg
7 pulg
P = 5 + 5 + 7 + 7
A = 5 × 7
El perímetro es 24 pulgadas.
El área es 35 pulgadas cuadradas.
Repita el proceso con la siguiente secuencia:
DUA: Representación
Considere usar las siguientes preguntas e imágenes para activar los conocimientos previos sobre el perímetro y la conversión de yardas a pies.
• ¿De qué manera representan las fórmulas las diferentes maneras de hallar el perímetro de un rectángulo?
P = 3 + 3 + 6 + 6
A = 3 × 6
Presentar
El perímetro es 18 centímetros.
El área es 18 centímetros cuadrados.
P = 5 + 5 + 12 + 12
= 5 × 12
El perímetro es 34 metros. El área es 60 metros cuadrados.
La clase observa cómo las estimaciones permiten tomar decisiones en el mundo real.
Reproduzca la parte 1 del video Estimar la longitud de una cerca. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles.
Dé un minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron.
• ¿Cómo muestra el diagrama de cinta la relación entre yardas y pies?
1 pie
1 yd
Converse brevemente con sus estudiantes acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes. Considere usar la siguiente secuencia posible:
¿Qué observaron?
El hombre midió su jardín. Las longitudes de los lados son 6 yardas y 9 yardas.
Redondeó cada longitud de los lados a 10 yardas.
Estimó el perímetro del jardín para comprar una cerca. Halló la suma de las dos longitudes de los lados redondeadas y, luego, la duplicó. 2 × (10 + 10) = 40
Convirtió el perímetro de 40 yardas a 120 pies. 40 × 3 = 120
¿Qué se preguntan?
Me pregunto por qué redondeó las dos longitudes de los lados a 10 yardas.
Me pregunto por qué convirtió el perímetro estimado de yardas a pies.
Sigamos viendo el video para saber cómo usa su estimación.
Reproduzca la parte 2 del video Estimar la longitud de una cerca. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a sus estudiantes que tomen nota de los detalles.
¿Qué observan?
Hay tres opciones de cerca, todas con diferentes longitudes y precios.
El hombre selecciona el rollo de cerca de 150 pies. Tal vez piensa que necesita más cerca en comparación con las otras dos opciones.
Parece que no está seguro de que esta cantidad de cerca sea su mejor opción.
¿Qué se preguntan?
Me pregunto por qué parece que no está seguro de si esta cantidad de cerca es la correcta.
Me pregunto si debería comprar menos cerca porque estimó longitudes que eran más largas que su jardín real.
Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar la cantidad real de cerca que se necesita para rodear el jardín.
Según sus cálculos, ¿es útil la estimación de 120 pies?
Sí. Sabemos que la estimación es más que la cantidad real porque las longitudes se redondearon a un número mayor que la longitud real. De esta manera, tendrá suficiente cerca.
No, porque sabemos que la estimación era demasiado alta. Solo necesita 90 pies de cerca y gastará más dinero del necesario si compra el rollo de 150 pies de cerca.
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían haber redondeado las longitudes de los lados del jardín para estimar el perímetro.
Pensar en la manera en que estimamos nos puede ayudar a determinar cómo se compara la estimación con la respuesta real. Por ejemplo, podemos determinar si nuestra estimación es más alta o más baja que la cantidad real.
Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.
Hoy, resolveremos problemas verbales y comprobaremos si nuestras respuestas son razonables.
Aprender
Resolver un problema verbal y evaluar si la solución es razonable
La clase dibuja un diagrama de cinta para representar un problema verbal de varios pasos y usa estimaciones para evaluar si sus respuestas son razonables.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea a coro el problema con la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
1. 5,184 personas asisten a un partido de basquetbol. Hay 5 veces la cantidad de adultos que de niños y niñas en el partido. El costo del boleto para niños y niñas es $9. ¿Cuál es el costo total de los boletos para niños y niñas?
El costo total de los boletos para niños y niñas es $7,776.
¿Cuál es la información que conocemos?
El número total de personas
Hay 5 veces la cantidad de adultos que de niños y niñas.
El costo de cada boleto para niños y niñas
Nota para la enseñanza
Busque estudiantes que representen el problema del partido de basquetbol de diferentes maneras. Por ejemplo, pueden representar el problema como un diagrama de cinta con 6 partes iguales o como un diagrama de cinta de comparación multiplicativa con dos cintas.
5,184 n 5,184 n
Considere mostrar varias representaciones del mismo problema y guiar una conversación sobre las semejanzas y diferencias entre los diagramas de cinta.
¿Qué información desconocemos?
El número de adultos
El número de niños y niñas
El costo total de los boletos para niños y niñas
Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente el número desconocido de niños y niñas que hay en el partido. Pídales que usen una letra para indicar el número desconocido.
¿Su diagrama de cinta les ayuda a determinar una estrategia para hallar la solución y a identificar el número de niños y niñas que hay en el partido? ¿Cómo?
Sí. El total es 5,184 y hay 6 partes iguales. Puedo dividir 5,184 entre 6 para hallar el número de niños y niñas porque este número está representado por 1 de las partes iguales.
¿Cómo pueden estimar el número de niños y niñas?
Podemos pensar en un múltiplo de 6 que esté cerca de 5,184. Luego, podemos dividir ese número entre 6.
Invite a las parejas de estudiantes a estimar cuántos niños y niñas hay en el partido.
¿Aproximadamente cuántos niños y niñas hay en el partido? ¿Cómo lo saben?
Hay aproximadamente 800 niños y niñas en el partido. 51 centenas no es un múltiplo de 6, pero 48 centenas sí lo es. Podemos usar 48 centenas ÷ 6 para hallar una estimación.
Hay aproximadamente 900 niños y niñas en el partido. 51 centenas no es divisible entre 6, pero 54 centenas sí lo es. Podemos usar 54 centenas ÷ 6 para hallar una estimación.
5,184 4
DUA: Representación
Considere crear un afiche de referencia para apoyar a sus estudiantes con el vocabulario usado durante el proceso de resolución de problemas.
¿Su estimación es más alta o más baja que el número real de niños y niñas que hay en el partido? ¿Por qué?
Nuestra estimación es más baja porque pensamos en 48 centenas, que es menos que 5,184.
Nuestra estimación es más alta porque pensamos en 54 centenas, que es más que 5,184.
Invite a las parejas de estudiantes a determinar exactamente cuántos niños y niñas hay en el partido.
¿Cuántos niños y niñas hay en el partido?
Hay 864 niños y niñas en el partido.
¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Sí. 864 está cerca de nuestra estimación de 800. Redondeamos 5,184 a 48 centenas, entonces sabemos que nuestra estimación es menor que la respuesta real.
Sí. 864 está cerca de nuestra estimación de 900. Redondeamos 5,184 a 54 centenas, entonces sabemos que nuestra estimación es mayor que la respuesta real.
Muestre la imagen de 6 × 864.
¿Por qué multiplicar 6 y 864 es otra manera de comprobar si su respuesta es razonable?
Acabamos de calcular que el número de niños y niñas que hay en el partido es 864.
Nuestro diagrama de cinta muestra que 6 unidades de 864 es igual al número total de personas que hay en el partido, 5,184. Multiplicar 6 y 864 muestra que nuestra respuesta es correcta porque el producto es igual al total, 5,184.
Invite a las parejas de estudiantes a releer el problema.
¿Es 864 niños y niñas la respuesta a la pregunta?
No. Todavía necesitamos calcular el costo total de los boletos para niños y niñas.
¿Qué sabemos acerca de los boletos para niños y niñas?
Hay 864 niños y niñas en el partido y cada boleto cuesta $9.
¿Cómo se vería un diagrama de cinta para representar la información conocida?
Tendría 864 unidades de 9.
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Múltiplo es un término conocido de 3.er grado y divisible es un término conocido del módulo 2 de 4.o grado. Anime a la clase a usar ambos términos de manera flexible cuando conversen acerca de las relaciones entre los números.
Considere apoyar a sus estudiantes con ejemplos de cada término como los siguientes:
Nota para la enseñanza
Multiplicar 864 por 6 es una manera de comprobar si la respuesta es razonable. El total debería ser 5,184 porque hay 6 unidades de 864 en el diagrama de cinta. Es posible que un grupo de estudiantes vea que, en este problema, también les ayuda a comprobar la precisión de su trabajo de división. Guíe una conversación acerca de la precisión de la división en comparación con determinar si una respuesta es razonable.
864 unidades de 9 son muchas unidades para dibujar.
Invite a las parejas de estudiantes a imaginarse el diagrama de cinta y a comentar cómo pueden usar la imagen que crean en sus mentes para pensar en una estrategia para hallar la solución.
¿Cómo pueden hallar el costo total de los boletos para niños y niñas? ¿Cómo lo saben?
Podemos multiplicar 864 y 9. Conocemos el número de grupos y el tamaño de cada grupo, pero no conocemos el total.
Invite a las parejas de estudiantes a estimar el costo total de los boletos para niños y niñas.
¿Aproximadamente cuánto cuestan los boletos para niños y niñas?
Aproximadamente $8,100. 864 está cerca de 900. 900 × 9 = 8,100.
¿Su estimación es más alta o más baja que el costo real de los boletos para niños y niñas? ¿Por qué?
Nuestra estimación es más alta porque redondeamos 864 a 900, que es más que 864.
Invite a las parejas de estudiantes a determinar el costo exacto de los boletos para niños y niñas y a escribir un enunciado para responder la pregunta.
¿Cuál es el costo total de los boletos para niños y niñas?
$7,776
¿Es razonable su respuesta? ¿Cómo lo saben?
Sí, porque $7,776 está cerca de nuestra estimación de $8,100, pero es menor.
Diferenciación: Apoyo
Considere usar números más pequeños y un diagrama de cinta para ayudar a sus estudiantes a determinar una estrategia para hallar la solución y hallar el costo total de los boletos para niños y niñas. Por ejemplo, muestre un diagrama de cinta con 8 unidades de $9.
$9 m
• ¿Cuál es la información que conocemos? ¿Y la que desconocemos?
• ¿Cómo pueden usar este diagrama de cinta para pensar en cómo determinar el costo total de 864 boletos? 864 × 9 72 46 7,77 6 3 5
Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar las estimaciones para comprobar si sus respuestas son razonables.
• ¿Cómo pueden determinar el costo total de 8 boletos para niños y niñas?
Resolver un problema verbal y examinar estrategias para hallar la solución
La clase resuelve problemas verbales de varios pasos y examina las estrategias para hallar la solución de sus pares.
Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea a coro el problema con la clase. Dé a las parejas 3 minutos para que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.
2. Un restaurante usa 161 galones de leche cada semana. Una escuela usa 483 galones de leche cada semana. ¿Cuántos galones de leche más usa la escuela que el restaurante en 4 semanas?
Diferenciación: Desafío
Considere reformular el problema de la leche de modo que sus estudiantes deban convertir los galones a cuartos de galón. Por ejemplo, el problema se puede reescribir de la siguiente manera:
Un restaurante usa 161 galones de leche cada semana. Una escuela usa 483 galones de leche cada semana. ¿Cuántos cuartos de galón de leche más usa la escuela en 4 semanas?
Sus estudiantes pueden determinar la diferencia en galones y, luego, convertir los galones a cuartos de galón.
4 × 200 = 800
4 × 500 = 2,000
2,000 − 800 = 1,200
4 × 161 = 644
4 × 483 = 1,932
1,932 − 644 = 1,288
g = 1,288
En 4 semanas, la escuela usa 1,288 galones de leche más que el restaurante.
Organice a las parejas de estudiantes en grupos de cuatro personas y use la rutina Cinco preguntas estructuradas. Invite a cada pareja a revisar las estrategias para hallar la solución de la otra pareja de estudiantes del grupo.
Hallar el total de leche usada en 4 semanas y, luego, comparar:
Comparar la leche usada en 1 semana y, luego, hallar la cantidad en 4 semanas:
Apoyo para la comprensión del lenguaje
Considere proporcionar comienzos y esquemas de oración en lugar de preguntas para que sus estudiantes los usen al comentar el trabajo de sus pares:
• Observo que y eso hace que me pregunte .
• Lo primero que hicieron fue Lo siguiente fue . Lo sé porque
200 × 4 = 800
500 × 4 = 2,000 2,000 – 800 = 1,200
En 4 semanas, la escu ela usa 1, 288 galones de lech e más qu e el restaurante.
• Veo que se usaron estimaciones para comprobar si la respuesta era razonable porque .
• Comprobar si las respuestas son razonables es importante porque .
• Comprobar si las respuestas son razonables al resolver problemas verbales de varios pasos es útil porque .
En 4 semanas, la escuela usa 1,288 galones de leche más que el restaurante.
Presente las siguientes preguntas para que la clase las use al comentar el trabajo de sus pares. Tenga las preguntas disponibles para que sus estudiantes las consulten mientras trabajan.
• ¿Qué observan sobre el trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?
• ¿Qué pasos siguieron estos o estas estudiantes? ¿Cómo lo saben?
• ¿Dónde ven que se usen estimaciones para comprobar si las respuestas son razonables?
• ¿Qué diferencia representa en este trabajo comprobar si las respuestas son razonables?
• ¿Por qué es útil comprobar si las respuestas son razonables al resolver problemas verbales de varios pasos?
Pida a una pareja de estudiantes que comente el trabajo de la otra durante 2 minutos. Luego, dé la señal para que las parejas intercambien los roles.
Guíe una conversación de toda la clase. Invite a la pareja de estudiantes a resumir brevemente el trabajo de la otra pareja. Luego, desafíe a la clase a relacionar el trabajo con la representación del problema usando un diagrama de cinta y comprobar si las respuestas son razonables. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:
• ¿Dónde ven en su diagrama de cinta el número de galones que el restaurante usa cada semana? ¿Y en 4 semanas?
• ¿Dónde ven en su diagrama de cinta el número de galones que la escuela usa cada semana? ¿Y en 4 semanas?
• ¿Dónde ven la diferencia entre el número de galones que usa la escuela y el número de galones que usa el restaurante en 4 semanas en su diagrama de cinta?
• ¿Cómo les ayuda su diagrama de cinta a determinar una estrategia para hallar la solución?
• ¿Cómo usaron las estimaciones para comprobar si su respuesta es razonable?
• ¿Tiene sentido su respuesta basándose en su diagrama de cinta? ¿Cómo lo saben?
Use un proceso similar con el siguiente problema:
María anota 7,176 puntos. Anota 4 veces la cantidad de puntos que anota James. James anota 187 puntos más que Ray. ¿Cuál es el número total de puntos que anotaron María, James y Ray?
Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas
Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando comparte su estrategia para hallar la solución y escucha y analiza las estrategias de sus pares para resolver un problema verbal.
Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:
• ¿Por qué funciona su método? Convenzan a la otra pareja de su grupo.
• ¿Qué preguntas pueden hacer a la otra pareja para asegurarse de que comprenden su método?
Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar diagramas de cinta para representar el problema, determinar una estrategia para hallar la solución y comprobar si sus respuestas son razonables.
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar la información conocida. Podemos usar letras para indicar los números desconocidos.
Podemos pensar en las partes y el total como ayuda para determinar una estrategia para hallar la solución. Cuando hay partes iguales, podemos dividir o multiplicar, dependiendo de cuál es el número desconocido. Cuando las partes no son iguales, podemos sumar o restar, dependiendo de cuál es el número desconocido.
Después de determinar el valor de un número desconocido, podemos mirar nuestro diagrama de cinta y preguntarnos si el valor que hallamos tiene sentido de acuerdo a nuestro diagrama de cinta.
Grupo de problemas
Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.
Estimación:
María María, James y Ray anotaron on 10,577 puntos en total.
Nota para la enseñanza
Considere invitar a la clase a usar las relaciones entre los puntos anotados por María, James y Ray para evaluar si sus respuestas son razonables.
• María anota 4 veces la cantidad de puntos que anota James. ¿Tiene sentido su respuesta sobre cuántos puntos anota James de acuerdo a esta relación?
• James anota 187 puntos más que Ray. ¿Tiene sentido su respuesta sobre cuántos puntos anota Ray de acuerdo a esta relación?
DUA: Acción y expresión
Considere reservar tiempo para que sus estudiantes participen de una reflexión antes de pasar al Grupo de problemas.
• ¿Qué les ayudó a entender los problemas?
• ¿Qué estrategias pueden usar para comprobar si su respuesta es razonable?
• ¿Cuál es su fortaleza a la hora de resolver problemas verbales?
• ¿En qué área pueden trabajar más para mejorar la resolución de problemas verbales?
• ¿Qué pueden hacer como ayuda para resolver los problemas verbales del Grupo de problemas?
Concluir
Reflexión final 5 min
Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si las soluciones son razonables
Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de resolver problemas verbales de varios pasos y evaluar si las respuestas son razonables.
¿Cómo podemos usar diagramas de cinta para representar problemas verbales de varios pasos y determinar una estrategia para hallar la solución?
Podemos dibujar un diagrama de cinta para representar la información conocida. Podemos usar letras para indicar los números desconocidos en nuestros diagramas de cinta.
A veces, podemos dibujar un diagrama de cinta para representar todos los números desconocidos en un problema verbal de varios pasos. Otras veces, necesitamos dibujar más de un diagrama de cinta o podemos imaginar cómo se vería un diagrama de cinta con muchas unidades.
Podemos usar diagramas de cinta para mostrar lo que se conoce y lo que se desconoce. Luego, podemos pensar en cómo identificar una estrategia para hallar la solución.
¿Por qué es importante pensar si la respuesta es razonable en los problemas verbales de varios pasos?
Al igual que con cualquier problema verbal, debemos preguntarnos si nuestra respuesta tiene sentido. Queremos asegurarnos de que nuestra respuesta a la pregunta sea correcta.
Cuando hay problemas verbales de varios pasos, es útil estimar todos los números desconocidos. Si el valor del primer número desconocido no tiene sentido, entonces el valor que determinemos para los otros números desconocidos también podría ser incorrecto.
Boleto de salida 5 min
Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.
Ejemplos de soluciones
Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.
Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.
1. La tabla muestra el costo de la ropa en una tienda. Cada cliente quiere comprar 1 camisa, 1 suéter y 1 abrigo.
Ropa Precio
Camisa $17
Suéter $23
Abrigo $36
a. ¿Aproximadamente cuánto es el costo total para 8 clientes?
20 + 20 + 40 = 80
8 × 80 = 640
El costo total para 8 clientes es aproximadamente $640
b. ¿Cuál es el costo total exacto para 8 clientes?
17 + 23 + 36 = 76
8 × 76 = 608
El costo total para 8 clientes es $608
c. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (b)? ¿Por qué?
Sí. Mi respuesta es razonable. Está cerca de mi estimación. Para hallar mi estimación, redondeé cada precio a la decena más cercana y, luego, sumé las cantidades redondeadas.
Sabía que a cada cliente le costaría aproximadamente $80 Eso significa que el costo para 8 clientes es aproximadamente $640 Mi respuesta de $608 está cerca de mi estimación de $640
2. 4 adultos y 28 estudiantes van a un museo. El costo total de los boletos es $320. El boleto de cada estudiante cuesta $9
a. ¿Aproximadamente cuánto cuesta el boleto de cada adulto?
30 × 9 = 270
320 − 270 = 50
48 ÷ 4 = 12
El boleto de cada adulto cuesta aproximadamente $12
b. ¿Cuál es el costo exacto del boleto de cada adulto?
28 × 9 = 252
320 − 252 = 68
68 ÷ 4 = 17
El boleto de cada adulto cuesta $17
c. ¿Es razonable tu respuesta para la parte (b)? ¿Por qué?
Sí, es razonable. Mi estimación de $12 está bastante cerca de mi respuesta de $17. Sabía
que el costo del boleto de cada adulto sería más que mi estimación porque cuando estimé el costo de los boletos de cada estudiante, hallé el costo de 30 boletos en lugar de 28. Eso significa que en la estimación se asignó más dinero a los boletos de estudiantes que a los boletos de adultos. Entonces, sabía que los boletos de adultos costarían más de lo que había estimado.
EUREKA MATH
EUREKA MATH2
3. Un cerdito pesa 9 libras en enero. En febrero, triplica su peso. Aumenta 21 libras más en marzo. En ese momento, la madre del cerdito pesa 9 veces lo que pesa el cerdito. ¿Cuál es el peso de la madre del cerdito?
3 × 9 = 27
27 + 21 = 48
9 × 48 = 432
El peso de la madre del cerdito es 432 libras.
4. Una agricultora tiene 40 cajas de piñas. Hay 27 piñas en cada caja. Tira 58 piñas podridas. Vende 988 del resto de las piñas. ¿Cuántas piñas le quedan?
40 × 27 = 1,080
1,080 − 58 = 1,022
1,022 − 988 = 34
A la agricultora le quedan 34 piñas.
Estándares
Estándares de contenido del módulo
Utilizan las cuatro operaciones con números enteros para resolver problemas.
4.OA.A.3 Resuelven problemas verbales de pasos múltiples con números enteros, cuyas respuestas son números enteros, usando las cuatro operaciones, incluyendo problemas en los que los residuos deben ser interpretados. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa la cantidad desconocida. Evalúan si las respuestas son razonables usando cálculos mentales y estrategias de estimación incluyendo el redondeo.
Utilizan la comprensión del valor de posición y de las propiedades de operaciones para efectuar aritmética con números de dígitos múltiples.
4.NBT.B.5 Multiplican un número entero de hasta cuatro dígitos por un número entero de un dígito, y multiplican dos números de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición y las propiedades de operaciones. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.
4.NBT.B.6 Hallan cocientes y residuos de números enteros, a partir de divisiones con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de un dígito, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.
Resuelven problemas relacionados a la medición y a la conversión de medidas de una unidad más grande a una más pequeña.
4.MD.A.1 Reconocen los tamaños relativos de las unidades de medición dentro de un sistema de unidades, incluyendo km, m, cm; kg, g; lb, oz.; L, mL; h, min, s. Dentro de un mismo sistema de medición, expresan las medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Anotan las medidas equivalentes en una tabla de dos columnas. Por ejemplo, saben que 1 pie es 12 veces más largo que 1 pulgada. Expresan la longitud de una culebra de 4 pies como 48 pulgadas. Generan una tabla de conversión para pies y pulgadas con una lista de pares de números (1, 12), (2, 24), (3, 36), ...
4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.
Estándares para la práctica de las matemáticas
MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.
MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.
MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.
MP4 Representan a través de las matemáticas.
MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.
MP6 Ponen atención a la precisión.
MP7 Reconocen y utilizan estructuras.
MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.
Criterios de logro académico: Indicadores de competencias
4.Mód3.CLA1 Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.OA.A.3 Resuelven problemas verbales de pasos múltiples con números enteros, cuyas respuestas son números enteros, usando las cuatro operaciones, incluyendo problemas en los que los residuos deben ser interpretados. Representan estos problemas usando ecuaciones con una letra que representa la cantidad desconocida. Evalúan si las respuestas son razonables usando cálculos mentales y estrategias de estimación incluyendo el redondeo.
Parcialmente competente
Competente
Resuelven problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones (incluyendo problemas que requieren interpretar residuos en contexto), representan estos problemas mediante ecuaciones y evalúan si las respuestas son razonables.
Hay 6 cuerdas en una guitarra. Una compañía que vende guitarras tiene 1,543 cuerdas. Luego, 26 de estas cuerdas se rompen. ¿Cuántas guitarras puede fabricar la compañía?
Parte A
Estima el número de guitarras que puede fabricar la compañía.
Parte B
Escribe ecuaciones y resuelve para hallar el número de guitarras que puede fabricar la compañía. Usa una letra para representar el número desconocido.
Parte C
¿Es razonable tu respuesta? Explica.
Altamente competente
4.Mód3.CLA2 Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NBT.B.5 Multiplican un número entero de hasta cuatro dígitos por un número entero de un dígito, y multiplican dos números de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición y las propiedades de operaciones. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.
Completan o identifican una representación de un cálculo de multiplicación para números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y 2 números enteros de dos dígitos.
¿Qué modelo muestra 3 × 1,078?
Multiplican números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y multiplican 2 números enteros de dos dígitos.
Multiplica.
3 × 1,078 =
Identifican y explican un error en un cálculo de multiplicación para números enteros de hasta cuatro dígitos por números enteros de un dígito y 2 números enteros de dos dígitos.
Casey halló 3 × 1,078. Se muestra su trabajo. 3
2,10 02 4
+ 2,10 0 + 24 = 5,12 4
Casey cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.
4.Mód3.CLA3 Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.NBT.B.6 Hallan cocientes y residuos de números enteros, a partir de divisiones con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de un dígito, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.
Parcialmente competente
Completan o identifican una representación de un cálculo de división para números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito.
Completa el modelo de área y la ecuación para hallar 2,344 ÷ 4
2,000 80 4 24 + 80 + =
Competente
Dividen números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito. Divide.
2,344 ÷ 4 =
Altamente competente
Identifican y explican un error en un cálculo de división para números enteros de hasta cuatro dígitos entre números enteros de un dígito.
Ray cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.
4.Mód3.CLA4 Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.MD.A.1 Reconocen los tamaños relativos de las unidades de medición dentro de un sistema de unidades, incluyendo km, m, cm; kg, g; lb, oz.; L, mL; h, min, s. Dentro de un mismo sistema de medición, expresan las medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Anotan las medidas equivalentes en una tabla de dos columnas. Por ejemplo, saben que 1 pie es 12 veces más largo que 1 pulgada. Expresan la longitud de una culebra de 4 pies como 48 pulgadas. Generan una tabla de conversión para pies y pulgadas con una lista de pares de números (1, 12), (2, 24), (3, 36), ...
Reconocen los tamaños relativos de las unidades de tiempo y las unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés.
1 libra es veces tan pesada como 1 onza.
Expresan unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña utilizando tablas.
Completa la tabla. 1 2 4
4.Mód3.CLA5 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña.
CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO
4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.
Parcialmente competente
Competente
Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de tiempo y unidades de peso y volumen líquido del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña.
Liz pasa 2 horas y 30 minutos en la práctica de futbol y 45 minutos en la práctica de basquetbol esta semana. ¿Cuántos minutos practica en total?
Altamente competente
Vocabulario
Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 3 de 4.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.
Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.
Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.
Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.
Nuevo
cuarto de galón
El cuarto de galón es una unidad para medir el volumen líquido. Hay 4 cuartos de galón en un galón. 1 cuarto de galón es un poco menos que 1 litro. La taza, la pinta, el cuarto de galón, el galón, la onza y la libra son todas unidades del sistema inglés. (Lección 20)
división larga
La división larga es un proceso que se usa para hallar el cociente de una expresión de división. La manera en la que se registra el proceso se conoce como forma vertical. (Lección 6)
galón
El galón es una unidad para medir el volumen líquido. Un recipiente de plástico grande de leche tiene una capacidad de aproximadamente 1 galón. (Lección 20)
libra
La libra es una unidad para medir el peso. Una pelota de futbol pesa aproximadamente 1 libra. (Lección 19)
onza
La onza es una unidad para medir el peso. Cinco quarters pesan aproximadamente 1 onza. (Lección 19)
pinta
La pinta es una unidad para medir el volumen líquido. Una pinta es igual a 2 tazas. Una botella de agua de tamaño promedio tiene una capacidad de aproximadamente 1 pinta. (Lección 20)
residuo
En las expresiones de división, el residuo es la cantidad que queda después de hallar un cociente entero. Por ejemplo, 17 ÷ 5 tiene un cociente entero de 3 y un residuo de 2. (Lección 21)
taza
La taza es una unidad para medir el volumen líquido. Un vaso de jugo tiene una capacidad de aproximadamente 1 taza. (Lección 20)
Conocido
algoritmo ancho
área cociente
cociente parcial comparar distribuir
dividir, división divisor
ecuación expresión
factor
filas, columnas
horas, minutos, segundos longitud
matriz
modelo de área
multiplicar, multiplicación
múltiplo
perímetro
producto
producto parcial
propiedad asociativa de la multiplicación
propiedad conmutativa de la multiplicación
propiedad distributiva reagrupar, expresar con otro nombre
total unidades del sistema inglés
unidades métricas
unidades mixtas
valor posicional yarda
Verbos académicos indicar
interpretar
Las matemáticas en el pasado
La historia de la calculadora
¿Cuáles fueron algunos de los primeros dispositivos de cálculo?
¿Cómo han evolucionado las calculadoras con el paso de los años?
¿Las calculadoras siempre han sido más rápidas y confiables que los seres humanos?
Pregunte a sus estudiantes si creen que a veces pueden calcular más rápido que una calculadora. Puede intentar hacer el siguiente experimento: pida a un o una estudiante que lea en voz alta los siguientes tres problemas. Pida a la mitad de la clase que use una calculadora para resolver los problemas y a la otra mitad que no use calculadora. En general, ¿quienes usan calculadoras realizan los cálculos con mayor rapidez y precisión?
1. 1000 ÷ 30
2. 450 × 5
Respire profundamente y pregunte si pueden resolver un cálculo más.
3. 1200 + 100 − 450 + 25 + 700 − 200
Es probable que sus estudiantes estén familiarizados con la velocidad, la precisión y la portabilidad de las calculadoras modernas y las aplicaciones en los dispositivos inteligentes. Pídales que imaginen cómo eran las calculadoras hace 100 años. ¿Creen que las calculadoras siempre han sido tan pequeñas, rápidas y precisas como las que usamos hoy?
Las calculadoras se usan para realizar todo tipo de cálculos aritméticos. Sin embargo, tuvieron que pasar siglos para que se convirtieran en los dispositivos pequeños y sofisticados que usamos hoy. Quizás el dispositivo de cálculo más antiguo sea el ábaco. Hace unos 5,000 años, se usaba una versión con piedritas que se colocaban sobre líneas trazadas en la arena
o en forma de cuentas colgadas de varillas, y una versión más sofisticada con cuentas se sigue usando hoy en día en muchas partes del mundo; por ejemplo, en Rusia y en partes de Europa del Este, China y Japón. En los Estados Unidos, a los niños y a las niñas también se les ofrece un ábaco básico. El número de cuentas en cada varilla representa un dígito de un número y las personas pueden calcular con destreza problemas aritméticos complejos simplemente deslizando las cuentas hacia un lado y hacia el otro de las varillas. Es posible que sus estudiantes conozcan un dispositivo de conteo parecido llamado ábaco rekenrek.
En 1617, un científico y experto en matemáticas escocés llamado John Napier inventó un dispositivo para ayudar a acelerar y a eliminar los errores del proceso de multiplicación. Napier sugirió el uso de barras rectangulares con los dígitos del 1 al 9 impresos en cada cara. Al alinear las varillas para formar una matriz rectangular de dígitos, con una décima varilla especial colocada a la izquierda, Napier sugirió usar un enfoque de modelo de área para realizar la multiplicación. Las varillas estaban hechas de muchos materiales, pero las mejores estaban hechas de marfil y parecían huesos, lo que inspiró el nombre del dispositivo, los huesos de Napier.
El primer dispositivo de cálculo mecánico se inventó en 1623. Se llamaba Rechenuhr, que en alemán significa reloj de cálculo, y lo inventó el astrónomo alemán Wilhelm Schickard. Su prototipo original se destruyó en un incendio, pero afortunadamente 300 años después se descubrieron unas cartas entre Schickard y su colega astrónomo Johannes Kepler en las que se detallaba el funcionamiento del reloj. Hoy en día sabemos que el reloj era capaz de sumar y restar números de seis dígitos, multiplicar y dividir números de dos dígitos y que posiblemente alivió a los astrónomos del siglo XVII a la hora de realizar
Desde el siglo XVII en adelante hubo un gran interés por crear dispositivos de cálculo mecánico. Unas décadas después de la invención del Rechenuhr, el experto en matemáticas francés Blaise Pascal creó un dispositivo que posteriormente se conoció como la Pascalina. Se cree que Pascal creó esta calculadora para ayudar a su padre, un asistente financiero en París, con los grandes cálculos de varios dígitos que realizaba.
Cada Pascalina se construía a mano y se basaba en discos giratorios que mostraban los dígitos del 0 al 9. El giro completo de un disco activaba el siguiente disco y llevaba el número de la suma de una unidad de valor posicional a la siguiente. A la inversa, se obtenía automáticamente la resta. Las tareas de multiplicación y división se podían llevar a cabo mediante sumas y restas repetidas. Pascal construyó más de 50 de estas
máquinas para calcular. Sin embargo, eran delicadas y, si se golpeaban, los discos podían deslizarse y dar resultados erróneos.
En 1694, Gottfried Leibniz, uno de los desarrolladores del cálculo, se enfrentó a problemas de producción similares con su dispositivo de cálculo. Su
Stepped Reckoner, conocida en español como la máquina de Leibniz, no usaba números expresados con los dígitos del 0 al 9 en el sistema en base diez que tan bien conocemos, sino que usaba números expresados en base dos, usando solo los dígitos 0 y 1. Las computadoras modernas usan la base dos, también conocida como binaria. Al igual que la Pascalina, las máquinas de Leibniz se construían a mano y eran difíciles de fabricar.
Afortunadamente, la Revolución Industrial de 1760 a 1840 tuvo un efecto importante en la producción en masa, lo que hizo posible la creación de artículos con una precisión y fiabilidad que no era posible con las técnicas artesanales.
En 1862, el inventor francés Charles de Colmar creó el aritmómetro, el primer dispositivo de cálculo producido en masa. Esta máquina podía multiplicar 2 números de ocho dígitos en 18 segundos, lo que se consideraba rápido para la época. La fiabilidad y rapidez de esta máquina hizo que se usara en oficinas, bancos y empresas de todo el mundo.
Las calculadoras se volvieron más pequeñas debido a las nuevas posibilidades que ofrecía la producción en masa y la precisión. Aunque las personas conocían el uso de las reglas graduadas con discos deslizantes
desde el siglo XVII, no fue hasta 1850 que el experto en matemáticas francés Amédée Mannheim diseñó una versión sencilla, precisa, pequeña, reproducible y económica de la regla de cálculo circular.
En la década de 1930, el ingeniero austriaco Curt Herzstark diseñó la Curta, una calculadora mecánica portátil. Este dispositivo podía sumar, restar, multiplicar y dividir, así como también hallar raíces cuadradas y realizar otras operaciones, lo que lo convertía en una herramienta útil para las personas que se dedicaban a la ingeniería y la topografía.
El éxito de la Curta se vio interrumpido con la invención de la primera calculadora de escritorio totalmente electrónica, ANITA (A New Inspiration to Accounting [Una nueva inspiración para la contabilidad]) por parte de Norbert Kitz. Este dispositivo pesaba 33 libras y usaba docenas de tubos de vacío. Debido a que la única parte móvil era el teclado, esta calculadora era silenciosa y realizaba los cálculos con rapidez.
Ahora que la tecnología podía crear calculadoras electrónicas, el siguiente gran paso era hacerlas más pequeñas. La calculadora
electrónica científica TI-35 salió al mercado en 1979. Funcionaba con pilas, tenía una pantalla de cristal líquido, solo cinco pulgadas y cuarto de alto y era portátil. Para ese entonces, ya existían calculadoras similares en el mercado que se vendían por cientos de dólares. Sin embargo, ¡la TI-35 se vendía por unos $20! La portabilidad, la precisión y el precio permitieron que se hiciera muy popular y que se use en las escuelas de los Estados Unidos hasta el día de hoy. Esta calculadora ha seguido evolucionando para dar lugar a los modelos elegantes, alimentados por energía solar, más capaces e incluso más económicos que usamos en la actualidad.
Cada dispositivo de cálculo era más confiable, automático y rápido que los dispositivos inventados con anterioridad. Actualmente, tenemos teléfonos inteligentes portátiles con calculadoras y dispositivos de reconocimiento de voz que pueden responder todas nuestras preguntas de cálculo habituales ¡y mucho más! ¿Será posible que sus estudiantes imaginen cómo los dispositivos de cálculo podrían ser aún más sofisticados dentro de 100 años?
Materiales
Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.
25 borradores para las pizarras blancas individuales
1 computadora o dispositivo para la enseñanza
1 cronómetro
25 lápices
1 libro Enseñar
24 libros Aprender
Visite http://eurmath.link/materials para saber más.
25 marcadores de borrado en seco
1 papel de rotafolio, hoja
25 pizarras blancas individuales
1 proyector
24 sets de discos de valor posicional Eureka Math2, unidades a millones
Obras citadas
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Créditos
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Exponencialmente mejor
Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.
Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.
Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más!
Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué era lo que les hizo enamorarse de ellas.
¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?
En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris.
Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado?
En la portada
Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969
Frank Stella, American, born 1936
Acrylic on canvas
Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA
