Spanish Teacher Edition | Level 4 Module 2 | EM2 National by General

Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ENSEÑAR ▸ Módulo 2 ▸ Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas? En esta pintura, el pintor abstracto Frank Stella usó un compás para crear figuras curvas muy brillantes. Cada parte de esta cuadrícula tiene un arco que es parte de un diseño de semicírculos que parecen arcoíris. Cuando Stella ubica estos patrones de arcoíris juntos, forman círculos. ¿Qué fracción de un círculo se muestra en cada cuadrado? En la portada Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969 Frank Stella, American, born 1936 Acrylic on canvas Minneapolis Institute of Art, Minneapolis, MN, USA Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York

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Una historia de unidades®

Unidades fraccionarias ▸ 4 ENSEÑAR

1 Módulo

2 3 4 5 6

Conceptos de valor posicional para la suma y la resta

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división

Multiplicación y división de números de varios dígitos

Fundamentos para las operaciones con fracciones

Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales

Medidas angulares y figuras planas

Antes de este módulo Módulos 1 y 3 de 3.er grado En 3. grado, la clase desarrolla una comprensión conceptual de la multiplicación y la división y adquiere fluidez con las operaciones de multiplicación y división hasta el 100. Multiplican múltiplos de 10 por números de un dígito, reconociendo que pueden usar operaciones conocidas en las que solo cambia la unidad. Los modelos y los métodos que se usan en 3.er grado incluyen los dibujos de grupos iguales y las matrices, el uso de la estrategia de separar y distribuir, la expresión de ecuaciones en formas unitaria y estándar y la aplicación de las propiedades conmutativa y asociativa. er

Módulo 4 de 3.er grado En 3.er grado, la clase halla el área y el perímetro de un rectángulo. Cubren rectángulos con fichas cuadradas y cuentan el número de unidades cuadradas para determinar el área. Finalmente, reconocen que el área se puede hallar multiplicando el número de unidades cuadradas en cada fila por el de cada columna. Hallan el perímetro mediante la suma y la multiplicación, enfocándose en la relación entre las longitudes de los lados de los rectángulos y otros polígonos.

Contenido general Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división Tema A Componer y descomponer decenas La clase comienza a multiplicar y dividir números de varios dígitos multiplicando y dividiendo múltiplos de 10 por y entre números de un dígito. Desarrollan una comprensión conceptual al representar la multiplicación y la 5 × r = 350 350 ÷ 5 = r división con discos de valor posicional o en una tabla de valor posicional y al 35 decenas ÷ 5 = 7 decenas 5 × 7 decenas = 35 decenas expresar los múltiplos de 10 en forma r = 70 r = 70 unitaria. Multiplican y dividen usando Ray tiene 70 pegatinas. Ray tiene 70 pegatinas. ecuaciones. Aplican la propiedad asociativa de la multiplicación, que les permite hacer uso de operaciones conocidas para multiplicar (p. ej., 5 × 60 = 5 × 6 × 10 = (5 × 6) × 10). Para dividir, expresan múltiplos de 10 de dos y tres dígitos como decenas para hacer uso de las operaciones de división conocidas y relacionan la división con un problema de factor desconocido. Multiplican y dividen para hallar el área o la longitud del lado desconocida de un rectángulo con la fórmula del área que se formalizó recientemente, A = l × a.

Tema B Multiplicación de decenas y unidades por números de un dígito La clase multiplica números de dos dígitos por números de un dígito usando la propiedad distributiva. Descomponen los números de dos dígitos en decenas y unidades y, luego, multiplican cada parte por el número de un dígito. Usan una tabla de valor posicional, un modelo de área y ecuaciones para representar la multiplicación. Para registrar la multiplicación representada en los modelos,

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 sus estudiantes expresan las ecuaciones tanto en forma unitaria como estándar. Al multiplicar usando ecuaciones, escriben o piensan sobre los números en forma unitaria y reconocen que, si bien las unidades de valor posicional cambian, las operaciones de multiplicación son conocidas. La clase aplica su aprendizaje para resolver problemas verbales de un paso. Una lección opcional al final del tema proporciona a sus estudiantes la oportunidad de usar estrategias de simplificación, tales como la compensación y la descomposición, para multiplicar.

Decenas

Unidades

Tema C

1 decena 6 unidades

División de decenas y unidades entre números de un dígito La clase divide números de dos y tres dígitos entre números de un dígito mediante el uso de la estrategia de separar y distribuir. Descomponen el total de dos o tres dígitos en decenas y unidades y, luego, dividen cada parte entre el número de un dígito. Usan una tabla de valor posicional, un modelo de área y ecuaciones para representar la división. Para registrar la división representada en los modelos, expresan las ecuaciones tanto en forma unitaria como estándar. Al dividir usando ecuaciones, sus estudiantes escriben o piensan los números en forma unitaria. Reconocen que, si bien las unidades de valor posicional cambian, las operaciones de división son conocidas. Aplican su aprendizaje para resolver problemas verbales de un paso. En este módulo, la división de números de tres dígitos está limitada a expresiones como 126 ÷ 3, donde el número de centenas es menor que el divisor.

Tema D Resolver problemas usando la medición La clase expresa unidades de longitud del sistema inglés más grandes (es decir, yardas y pies) en función de unidades más pequeñas (pies y pulgadas) mediante el uso de diagramas de cinta, rectas numéricas y tablas de conversión. Se enfocan en la relación entre las unidades y usan la suma repetida, el conteo salteado y la multiplicación para completar las conversiones. Además, convierten unidades mixtas a unidades más pequeñas (p. ej., yardas y pies a pies) y usan rectas numéricas, vínculos numéricos, el método de flechas y ecuaciones para sumar y restar con unidades mixtas. Las unidades de medida proporcionan un contexto para averiguar el perímetro de los rectángulos. Se formaliza la relación entre las longitudes de los lados y el perímetro de un rectángulo. La clase aplica su comprensión de las unidades de longitud del sistema inglés y las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas, incluyendo aquellos que tienen comparaciones multiplicativas y de suma.

48 ÷ 3 = (3 decenas + 18 unidades) ÷ 3 = (3 decenas ÷ 3) + (18 unidades ÷ 3) = (30 ÷ 3) + (18 ÷ 3) = 10 + 6 = 16 El área del rectángulo es 44 pies cuadrados. El perímetro es 30 pies. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo?

l pies a pies 2 × (l + a) = 30 30 ÷ 2 = 15 15 = 11 + 4 11 × 4 = 44 La longitud del rectángulo es 11 pies. El ancho del rectángulo es 4 pies.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

Después de este módulo Módulo 3 de 4.o grado En el módulo 3, la clase amplía el trabajo del módulo 2. Aplican su comprensión del valor posicional y de las propiedades de las operaciones para multiplicar y dividir números más grandes, de hasta cuatro dígitos, por y entre números de un dígito. También multiplican números de dos dígitos por números de dos dígitos. Desarrollan métodos para registrar productos, cocientes, productos parciales y cocientes parciales de forma vertical.

Tema E Factores y múltiplos La clase usa su conocimiento sobre la multiplicación y la división como ayuda para identificar factores, múltiplos, números primos y compuestos hasta el 100. Usan matrices, la división y la propiedad asociativa para enumerar pares de factores. Los vínculos numéricos y las ecuaciones ayudan a sus estudiantes a organizar su razonamiento. Cuentan salteado para hallar múltiplos y reconocen las relaciones entre los factores y los múltiplos: un número es un múltiplo de cada uno de sus factores y estos a su vez se pueden usar para hallar otros factores. Exploran las propiedades de los números primos y compuestos hasta el 100. La clase aplica su comprensión de los factores y los múltiplos para determinar si un número es divisible entre otro y para hallar un término desconocido en un patrón de figuras o de números.

Contenido Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división ¿Por qué?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Criterios de logro académico: Contenido general . . . . . . . 12 Tema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Componer y descomponer decenas Lección 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito usando la propiedad asociativa de la multiplicación

Lección 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Dividir múltiplos de 10 de dos y tres dígitos entre números de un dígito Lección 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Investigar y usar una fórmula para el área de un rectángulo

Tema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Multiplicación de decenas y unidades por números de un dígito Lección 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Multiplicar usando estrategias conocidas

Lección 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Multiplicar usando estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

Lección 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Multiplicar usando la reagrupación, y mediante el uso de estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

Lección 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Lección 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Multiplicar aplicando la propiedad distributiva y escribir ecuaciones

Lección 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Resolver problemas verbales de multiplicación

Lección 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Multiplicar aplicando estrategias de simplificación (opcional)

Tema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 División de decenas y unidades entre números de un dígito Lección 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Dividir usando estrategias conocidas

Lección 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

Lección 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

Lección 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

Lección 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

Lección 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Dividir usando la estrategia de separar y distribuir

Multiplicar usando un modelo de área y la propiedad distributiva

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4 ▸ M2

Tema D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Resolver problemas usando la medición Lección 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Expresar las medidas de longitud en términos de unidades más pequeñas

Lección 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Investigar y usar fórmulas para el perímetro de un rectángulo

Lección 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Lección 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 Reconocer que un número es un múltiplo de cada uno de sus factores

Lección 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 Explorar las propiedades de los números primos y compuestos hasta el 100 por medio de los múltiplos

Lección 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Usar las relaciones dentro de un patrón para hallar un término desconocido en la secuencia

Aplicar las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas

Recursos

Lección 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Estándares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

Resolver problemas verbales que involucran comparaciones multiplicativas y de suma

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias . . . . . . 494

Tema E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Factores y múltiplos Lección 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Hallar pares de factores para los números hasta el 100 y usar los factores para identificar los números como primos o compuestos

Lección 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Usar la división y la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores

Vocabulario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 Las matemáticas en el pasado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 Obras citadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 Créditos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

Lección 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Determinar si un número entero es un múltiplo de otro número

¿Por qué? Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división ¿Por qué se incluyen la multiplicación y la división juntas en los módulos 2 y 3 en lugar de dedicar un módulo a la multiplicación y otro a la división? Los módulos 2 y 3 de 4.o grado 60 8 tienen una estructura similar a la 3 180 24 presentación de la multiplicación y la división en los módulos 1 y 3 de 3.er grado: los módulos se 204 ÷ 3 = ((180 180 + 24 24)) ÷ 3 3 × 68 = 3 × (60 + 8) distinguen por los números = ((180 180 ÷ 3) + (24 ÷ 3) = (3 × 60 60)) + (3 × 8) utilizados en lugar de por operación, = 60 + 8 = 180 + 24 y en ellos se destaca la relación = 68 = 204 entre la multiplicación y la división. El módulo 2 se enfoca en la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito, expresando los números de dos dígitos como decenas y unidades, y en la división de números de dos y tres dígitos entre números de un dígito, expresando los números de dos y tres dígitos como decenas y unidades. En el módulo 3, la clase adquiere fluidez con la multiplicación y la división y extiende su trabajo a números de hasta cuatro dígitos: millares, centenas, decenas y unidades. En ambos módulos, sus estudiantes pueden usar su comprensión de la multiplicación para hallar cocientes pensando en la división como un problema de factor desconocido. Modelos, estrategias y métodos de registro similares proporcionan coherencia con cada operación para apoyar la comprensión conceptual de sus estudiantes de la multiplicación y la división.

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4 ▸ M2

¿Por qué se usan varios modelos para la multiplicación y la división? Se usan varios modelos para apoyar la comprensión de sus estudiantes de la multiplicación y la división. La clase usa discos de valor posicional, dibujos en una tabla de valor posicional, modelos de área y ecuaciones escritas en formas unitaria y estándar.

2 × 23 Decenas Unidades

2 × 23 = 2 × (2 decenas + 3 unidades unidades)) El uso de los discos de valor posicional, los dibujos en una tabla = (2 × 2 decenas decenas)) + (2 × 3 unidades unidades)) de valor posicional y las ecuaciones escritas en forma unitaria = ( 4 decenas) decenas ) + ( 6 unidades) unidades ) brindan apoyo a sus estudiantes para aislar las diferentes = 40 + 6 unidades de valor posicional en el total y en cada grupo igual. = 46 Cuando identifican un número de unidades de valor posicional, pueden usar operaciones de multiplicación y división conocidas para hallar el número de cada unidad en el producto o el cociente. Esto sienta las bases para que sus estudiantes comprendan el valor de cada dígito mientras registran la multiplicación y la división de forma vertical en el módulo 3.

La representación de la multiplicación y la división con modelos de área comienza en 3.er grado y continúa en 5.o grado y en grados posteriores. El modelo de área se usa tanto para la multiplicación como para la división y demuestra la relación entre las dos operaciones, así se use con números enteros, fracciones o de manera algebraica. Este modelo también es útil para llevar la cuenta de cómo se descompone un número, ya sea el total o un factor, y para garantizar que se multiplica o divide cada parte del número. A medida que los números se van haciendo más grandes, el modelo de área puede resultar más eficiente que otros modelos y puede proveer soporte cuando se pasa de representaciones pictóricas a registros abstractos. El hilo conductor entre los modelos y los métodos es la propiedad distributiva. Al multiplicar, sus estudiantes ven un factor de varios dígitos separado en partes y comprenden que cada parte se multiplica para hallar productos parciales. Al dividir, ven cómo se descompone el total y cómo se divide cada parte para hallar cocientes parciales.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

¿Por qué se usa la propiedad distributiva en referencia a la multiplicación y la estrategia de separar y distribuir en referencia a la división? En 3.er grado, la clase usa la estrategia de separar y distribuir con la multiplicación y la división. En 4.o grado, se presenta formalmente la propiedad distributiva y sus estudiantes comprenden que esta propiedad relaciona la multiplicación y la suma. Por ejemplo, 7 × 23 = 7 × (20 + 3) = (7 × 20) + (7 × 3). La propiedad distributiva se conoce de manera más formal como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Por lo tanto, esta propiedad no se aplica a la división, para la cual se sigue remitiendo a la estrategia de separar y distribuir, que describe cómo la clase aborda un problema de división. La clase separa el total en partes más pequeñas y, luego, divide cada parte entre el divisor. Por ejemplo, 72 ÷ 8 = (40 ÷ 8) + (32 ÷ 8).

_ 1  , por En 5.o grado, sus estudiantes aprenden que dividir entre n es equivalente a multiplicar por n

lo que se puede aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo, 72 ÷ 8 = 72 × 8__1   = (40 + 32) × 8_1   =

(40 × 8_1  ) + (32 × 8_1  )= (40 ÷ 8) + (32 ÷ 8).

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4 ▸ M2

¿Son lo mismo un diagrama de cinta y un modelo de área? ¿Por qué se puede dibujar uno u otro para resolver un problema? Los diagramas de cinta se usan para ayudar a la clase a entender problemas verbales y muestran la relación entre los elementos conocidos y desconocidos. Sus estudiantes los usan para encontrar estrategias para hallar la solución y, luego, usan otros medios para hallar la respuesta. Por ejemplo, pueden observar en un diagrama de cinta que necesitan multiplicar 75 por 4 para resolver un problema. El diagrama de cinta no les ayuda a multiplicar 4 y 75, pero un modelo de área sí puede hacerlo. Este modelo se usa para mostrar la relación entre los factores y el producto o la relación entre el total, el divisor y el cociente. Con la multiplicación, sus estudiantes usan el modelo de área para mostrar un factor separado en partes más pequeñas, por lo general mediante el valor posicional, que son más fáciles de multiplicar. Con la división, usan el modelo de área para mostrar el total separado en partes más pequeñas que son más fáciles de dividir.

a A

280

a = 4 × 75 a = 280 + 20 a = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

¿Por qué se considera opcional la lección 10? La lección 10 brinda a la clase la oportunidad de multiplicar usando estrategias de simplificación, como la compensación y la descomposición, en lugar de la descomposición mediante el valor posicional. En ocasiones, se pueden usar esas estrategias para hallar formas eficientes de multiplicar. Sus estudiantes razonan acerca de los números, piensan con flexibilidad y usan una estructura para hallar un producto. Por ejemplo, para hallar 3 × 79, se dan cuenta de que puede ser más eficiente multiplicar 3 y 80 primero y, luego, restar 3 en lugar de multiplicar 7 decenas y 9 unidades por 3. Para hallar 6 × 73, pueden descomponer 73 de otra forma que no sea mediante el valor posicional y que les resulte más fácil para multiplicar. Por ejemplo, pueden hallar 6 × 50, 6 × 20 y 6 × 3 y, luego, sumar los productos parciales. Esta lección se considera opcional porque no se espera que la clase adquiera el dominio de estas estrategias de simplificación. Considere incluir esta lección para ayudar a sus estudiantes a seguir desarrollando su sentido numérico y sus destrezas de razonamiento matemático y para que hagan la conexión entre las estrategias de simplificación para la suma y aquellas para la multiplicación.

Criterios de logro académico: Contenido general Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo. Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar. Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de: • observaciones informales en el salón de clases; • los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones; • Boletos de salida; • Pruebas cortas de los temas y • Evaluaciones de los módulos. Este módulo contiene los once CLA que se indican.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód2.CLA1

4.Mód2.CLA2

4.Mód2.CLA3

4.Mód2.CLA4

Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito, o dividiendo decenas y unidades entre números de un dígito.

Hallan pares de factores de números enteros dentro del rango del 1 al 100.

Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del rango del 1 al 100.

Determinan si un número entero hasta el 100 es primo o compuesto.

4.OA.A.2

4.OA.B.4

4.Mód2.CLA5

4.Mód2.CLA6

4.Mód2.CLA7

4.Mód2.CLA8

Crean un patrón que siga una regla dada e identifican las características adicionales de ese patrón.

Multiplican un número entero de dos dígitos por un número entero de un dígito.

Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas y unidades.

Expresan, en una tabla, unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña.

4.OA.C.5

4.NBT.B.5

4.NBT.B.6

4.Mód2.CLA9

4.Mód2.CLA10

4.Mód2.CLA11

Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña.

Representan las cantidades de las mediciones usando diagramas.

Resuelven problemas de área y perímetro.

4.MD.A.2

4.MD.A.1

4.MD.A.3

4 ▸ M2

EUREKA MATH2

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente. Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias. Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes: • Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo, y luego presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 2 de 4.o grado se codifica como 4.Mód2.CLA1. • Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará. • Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada. • Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

Texto del CLA

Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#

4 ▸ M2

EUREKA MATH2

4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas y unidades.

Estándar relacionado

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.NBT.B.6 Hallan cocientes y residuos de números enteros, a partir de divisiones con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de un dígito, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.

Parcialmente competente Completan o identifican un modelo de un cálculo de división que usa decenas y unidades para dividir entre un número de un dígito. Escribe un número en cada espacio para completar el modelo de área para 129 ÷ 3.

Competente Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas y unidades. Divide.

129 ÷ 3 =

Altamente competente Identifican y explican un error en un cálculo de división. Robin resolvió 129 ÷ 3. Se muestra su trabajo.

129 ÷ 3 = (12 ÷ 3) + (9 ÷ 3)

Indicadores del CLA

=4+3 =7

120 +

500

Robin cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.

Tema A Componer y descomponer decenas A lo largo del tema A, la clase repasa las operaciones de multiplicación y división de 3.er grado, representa la multiplicación y la división con modelos conocidos y continúa reforzando su comprensión de la relación entre la multiplicación y la división. Lo hace mientras adquiere la comprensión conceptual de la multiplicación y la división con múltiplos de 10 y números de un dígito. Esta comprensión conceptual es fundamental para el resto del módulo, ya que prepara a la clase para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito y para dividir números de dos dígitos entre números de un dígito. La clase comienza el tema usando la tabla de valor posicional, la forma unitaria y la propiedad asociativa para representar la multiplicación de un múltiplo de 10 por un número de un dígito. A través de cada representación, la clase ve que puede usar las operaciones de multiplicación para hallar el producto como un número de decenas. Por ejemplo, en la tabla de valor posicional y en forma unitaria, 3 × 50 = 3 × 5 decenas = 15 decenas, y usando la propiedad asociativa, 3 × 50 = 3 × 5 × 10 = 15 × 10 = 15 decenas. De forma similar, al dividir múltiplos de 10 entre números de un dígito, la clase ve que puede usar las operaciones de división para hallar el cociente como un número de decenas. Usan la tabla de valor posicional y la forma unitaria para representar la división. Por ejemplo, 150 ÷ 3 = 15 decenas ÷ 3 = 5 decenas. En 3.er grado, la clase halla las áreas de los rectángulos cubriéndolos con fichas cuadradas y, luego, relacionando el área con el número de filas y columnas de unidades cuadradas. Por ejemplo, un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas y 4 columnas (es decir, 3 filas de 4) y el área se puede hallar multiplicando las longitudes de los lados. En este tema, la clase formaliza la relación entre las longitudes de los lados y el área como una fórmula del área para un rectángulo: A = l × a. La clase aplica la fórmula para hallar las áreas de los rectángulos cuando se conocen las longitudes de ambos lados y para hallar una longitud del lado desconocida cuando se conocen el área y la longitud de un lado. Las longitudes de los lados y las áreas incluyen múltiplos de 10. En el tema B, la clase aplica la propiedad distributiva para descomponer números de dos dígitos en decenas y unidades y multiplicar las decenas y las unidades por números de un dígito.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA

Progresión de las lecciones Lección 1

Lección 2

Lección 3

Multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito usando la propiedad asociativa de la multiplicación

Dividir múltiplos de 10 de dos y tres dígitos entre números de un dígito

Investigar y usar una fórmula para el área de un rectángulo

Decenas

Unidades

Puedo multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito pensando en los múltiplos de 10 en forma unitaria y usando las operaciones de multiplicación que ya conozco. Dibujar en una tabla de valor posicional o escribir ecuaciones me ayuda a mostrar mi razonamiento.

÷ ÷ Cuando divido múltiplos de 10 entre números de un dígito, expresar los múltiplos de 10 en forma unitaria me ayuda a hallar las operaciones de división que ya conozco. Puedo usar las operaciones de división para hallar el cociente. También puedo hallar factores desconocidos usando lo que sé sobre la relación entre la división y la multiplicación. Por ejemplo, puedo hallar el factor desconocido en 3 × r = 240 pensando en 3 × r = 24 decenas o 24 decenas ÷ 3 = r.

pm 5m El área es 250 m cuad. Una fórmula para el área de un rectángulo es A = l × a. Puedo aplicar la fórmula para hallar el área de un rectángulo si conozco las longitudes de ambos lados o para hallar una longitud del lado desconocida si conozco el área y la longitud de un lado.

LECCIÓN 1

Multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito usando la propiedad asociativa de la multiplicación

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

Descompón y luego multiplica. a. 3 × 40 = 3 ×

120

b. 6 × 50 = 6 ×

300

Vistazo a la lección La clase usa las tablas de valor posicional, la forma unitaria y su comprensión de las operaciones de multiplicación para multiplicar con múltiplos de 10. Descomponen el múltiplo de 10 en una expresión de dos factores y, luego, usan la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar el producto. En esta lección se formaliza el término propiedad asociativa de la multiplicación.

Preguntas clave • ¿Cómo les ayuda conocer las operaciones de multiplicación a multiplicar con múltiplos de 10? • ¿Por qué la propiedad asociativa de la multiplicación es útil para multiplicar con múltiplos de 10?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• computadora o dispositivo*

Aprender 35 min • Multiplicar usando la forma unitaria

• proyector* • libro Enseñar*

• La propiedad asociativa de la multiplicación

Estudiantes

• Grupo de problemas

• marcador de borrado en seco*

Concluir 10 min

• libro Aprender* • lápiz* • pizarra blanca individual* • borrador para la pizarra blanca individual* *E stos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos La clase redondea un número al millar más cercano para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional. Muestre 3,200 ≈

Redondeen 3,200 al millar más cercano.

3,200 ≈

3,000

Muestre el número redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6,780

12,904

49,099

179,625

602,500

Contar de 2 decenas en 2 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 2 decenas en unidad de 2 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 100 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de dos en dos del 0 al 10. ¿Comenzamos?

0, 2, 4, 6, 8, 10 10, 8, 6, 4, 2, 0

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 2 decenas en 2 decenas, desde 0 decenas hasta 10 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 2 decenas…, 8 decenas, 10 decenas 10 decenas, 8 decenas…, 2 decenas, 0 decenas Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 2 decenas en 2 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos?

0 decenas 2 decenas 4 decenas 6 decenas 8 decenas 10 decenas

100

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 20, 40, 60, 80, 100 100, 80, 60, 40, 20, 0

Respuesta a coro: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar La clase multiplica unidades en forma unitaria y dice la ecuación en forma estándar para multiplicar números de varios dígitos al desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 2 × 6 unidades =

unidades.

¿Cuánto es 2 × 6 unidades en forma unitaria?

12 unidades Muestre la respuesta.

2 × 6 unidades =

unidades

2 × 6 = 12

Cuando dé la señal, digan la ecuación en forma estándar.

2 × 6 = 12 © Great Minds PBC

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 Muestre la ecuación en forma estándar. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3 × 5 unidades 4 × 6 unidades 5 × 7 unidades 6 × 8 unidades 7 × 7 unidades 8 × 9 unidades 9 × 9 unidades

Presentar

La clase compara y contrasta dos imágenes de dinero. Muestre la imagen de los pennies. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para identificar el valor del dinero que se muestra. Muestre la imagen de los dimes. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parece y en qué se diferencia el conjunto de dimes del conjunto de pennies.

Nota para la enseñanza Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo. • Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas. • Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.

Ambos conjuntos de monedas están organizados en una matriz de 2 por 3. Ambos muestran 6 monedas. Las monedas son diferentes: un conjunto muestra pennies y el otro, dimes. Ambas imágenes muestran 6 monedas. ¿Qué imagen representa una mayor cantidad de dinero? ¿Cómo lo saben? La imagen de los dimes representa una mayor cantidad de dinero. Sé que los dimes valen 10 centavos cada uno y los pennies valen 1 centavo cada uno. ¿Cuánto dinero se muestra en 1 fila de dimes?

30 centavos 22

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué expresión de multiplicación representa cuánto dinero hay en 2 y en 3 filas de dimes. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, multiplicaremos múltiplos de 10 por números de un dígito.

Aprender

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos. Antes de comenzar con el primer ejemplo, apoye a sus estudiantes para que recuerden cómo se ven 2 grupos de 3 en la tabla de valor posicional. Luego, invíteles a describir cómo pueden mostrar 10 veces esa cantidad en la tabla de valor posicional.

Multiplicar usando la forma unitaria La clase usa las tablas de valor posicional y la forma unitaria para multiplicar con múltiplos de 10.

Decenas

Muestre la imagen de la tabla de valor posicional con los puntos. ¿Qué unidad de valor posicional representa cada punto? Una decena Señale la primera fila de 3 puntos y haga las siguientes preguntas: ¿Cuántas decenas hay en esta fila?

3 decenas ¿Cuántos grupos de 3 decenas hay?

Unidades Nota para la enseñanza Al multiplicar con múltiplos de 10, evite enseñar métodos rápidos que no apoyen el valor posicional. Por ejemplo, el método rápido de agregar un cero al producto no se aplica para multiplicar 10 por un número decimal, por lo que no debe usarse para multiplicar 10 por un número entero.

9 × 10 = 90

2 grupos

0.9 × 10 = 9

¿Cómo podemos escribir 2 grupos de 3 decenas como una expresión de multiplicación en forma unitaria?

0.09 × 10 = 0.9

2 × 3 decenas Escriba 2 × 3 decenas. ¿Qué operación de multiplicación básica ven en esta expresión?

2×3

Además, si hay estudiantes que agregan un cero como un método rápido, es posible que no agreguen otro cero cuando el producto de 2 factores de un dígito termine en cero.

4 × 5 = 20 4 × 50 = 200, no 20

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 ¿Cuánto es 2 × 3?

6 ¿Cuánto es 2 × 3 decenas?

6 decenas Escriba = 6 decenas. ¿Cuánto es 6 decenas en forma estándar?

60 Escriba = 60 debajo de la ecuación. Digan la ecuación en forma estándar.

2 × 30 = 60 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional representa 2 × 3 decenas = 6 decenas y 2 × 30 = 60. Repita la secuencia para hallar 3 × 40 usando la forma unitaria.

Decenas

Unidades

Luego, pida a la clase que trabaje en parejas para dibujar una tabla de valor posicional que represente 6 × 30, escribir la expresión en forma unitaria y hallar el producto.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando representa 6 × 30 en una tabla de valor posicional y vuelve a escribir la expresión en forma unitaria como ayuda para hallar el producto.

¿Qué operación usaron como ayuda para hallar el producto?

6 × 3 = 18 Digan el producto de 6 y 30 en forma unitaria.

18 decenas ¿Cuánto es 18 decenas en forma estándar?

Decenas

Unidades

6 × 30 = 6 × 3 decenas = 18 decenas = 180

180 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la forma unitaria y las operaciones que conocen pueden ayudarles a multiplicar con múltiplos de 10.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo pueden usar lo que tienen en común la forma unitaria y la representación del valor posicional de 6 × 30 como ayuda para hallar el producto? • ¿Cómo pueden usar las operaciones de multiplicación que conocen como ayuda para hallar 6 × 30?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

La propiedad asociativa de la multiplicación La clase analiza ejemplos de trabajo que demuestran la propiedad asociativa de la multiplicación y usa la propiedad para hallar productos. Muestre la imagen del trabajo de Zara. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

Observar y preguntarse

7 × 60 = 7 × 6 × 10 = 42 × 10 = 420

Zara registró sus pasos para hallar el producto de 7 y 60. ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Veo que reescribió la expresión con 3 factores. Veo que escribió 60 como 6 × 10. Me pregunto por qué no hay paréntesis para agrupar los factores.

Organizar ¿Qué pasos siguió Zara? ¿Cómo lo saben? Primero, reescribió la expresión usando 3 factores. Luego, multiplicó 7 y 6. Lo sé porque de ahí se obtuvo 42. Por último, multiplicó 42 y 10 y obtuvo 420. Probablemente pensó en 42 decenas. Guíe la conversación para enfocarse en cómo se descompuso el factor 60 y anime el razonamiento que les permita a sus estudiantes hacer conexiones para expresar 60 en forma unitaria.

Mostrar Enfoquémonos en cómo Zara descompuso el factor 60. ¿En qué se parece descomponer 60 como 6 × 10 a escribir 60 como 6 decenas? Se parece porque 60, 6 decenas y 6 × 10 son diferentes maneras de expresar el mismo valor. Zara usó la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar el producto. La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite agrupar los factores de diferentes maneras y seguir obteniendo el mismo producto.

Nota para la enseñanza El término propiedad asociativa de la multiplicación es nuevo en esta lección, pero la clase usó la propiedad en 3.er grado para multiplicar con números más grandes. En 3.er grado, los paréntesis se usan para indicar cómo se agrupan los factores y para mostrar el paso intermedio de reescribir la expresión con una nueva agrupación de factores, como en el siguiente ejemplo:

4 × 20 = 4 × (2 × 10) = (4 × 2) × 10 = 8 × 10 = 80 La clase formalizó el término propiedad conmutativa de la multiplicación, multiplicando los factores en cualquier orden, en 3.er grado. Entonces, el uso de paréntesis ya no es necesario.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Este segmento presenta la propiedad asociativa de la multiplicación. Considere la posibilidad de ver con anticipación el significado de la palabra asociativa usando variaciones de la raíz: asociar (p. ej., asociación o asocia). Invite a la clase a compartir dónde la han escuchado antes y qué significa. Considere aclarar las respuestas de la clase para reforzar la idea de agrupar o formar grupos. Hacerlo puede ayudar a la clase a comprender por qué la propiedad asociativa de la multiplicación permite agrupar los factores de diferentes maneras y seguir obteniendo el mismo producto.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 ¿Qué factores multiplicó Zara primero? ¿Por qué creen que eligió multiplicarlos primero? Creo que multiplicó el 7 y el 6 primero porque es una operación que conoce.

Diferenciación: Apoyo

Si multiplicara el 6 y el 10 primero, volvería a la expresión original 7 y 60. Veo que Zara no usó paréntesis para mostrar cómo agrupó los factores. ¿Por qué creen que no lo hizo? Creo que no colocó paréntesis porque solo multiplicó los dos primeros factores que se muestran y resolvió primero la parte de 7 × 6.

Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional para ver cómo se usa la propiedad asociativa de la multiplicación, considere usar paréntesis para mostrar cómo se agrupan los factores.

Creo que Zara sabe que se puede usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para multiplicar los factores en cualquier orden y esto no cambiará el producto.

7 × 60 = 7 × (6 × 10) = (7 × 6) × 10 = 42 × 10

Sintetizar

= 420

¿Cómo ayudó la propiedad asociativa de la multiplicación a Zara a multiplicar? La propiedad asociativa le permitió a Zara multiplicar primero una operación que conoce y, luego, multiplicar por 10.

Diferenciación: Desafío

Comprender ¿De qué manera la propiedad asociativa de la multiplicación es útil cuando se multiplica con un múltiplo de 10? La propiedad asociativa es útil porque me permite multiplicar usando una operación que conozco en lugar de multiplicar por un número grande. La propiedad asociativa es útil porque puedo usar la forma unitaria y multiplicar con una operación que conozco, como 7 × 6 decenas. Muestre la expresión 5 × 60 e invite a la clase a trabajar en parejas y a usar la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar el producto. Considere dejar el trabajo de Zara a la vista para que la clase lo consulte mientras trabaja. ¿Cuál es el producto de 5 y 60?

300

5 × 60 = 5 × 6 × 10 = 30 × 10 = 300

Una vez que sus estudiantes demuestren que comprenden cómo usar la propiedad asociativa de la multiplicación para multiplicar múltiplos de 10, considere desafiarlos pidiéndoles que multipliquen múltiplos de 100 y 1,000. Presente una serie de problemas como los siguientes:

3×2 3 × 20 3 × 200 3 × 2,000

6×7 6 × 70 6 × 700 6 × 7,000

Pregúnteles cómo pueden usar la forma unitaria como ayuda para multiplicar con múltiplos de 100 y 1,000 usando el mismo proceso que usaron para multiplicar con múltiplos de 10. ¿Qué sería igual? ¿Qué cambiaría?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué este producto tiene dos ceros cuando los ejemplos anteriores solo tenían un cero.

5 × 6 = 30 ya tiene un cero en el producto. 5 × 60 es 10 veces 5 × 6. Uno de los ceros es de la operación de multiplicación básica y el otro es de 10 veces esa cantidad. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia (tabla de valor posicional, forma unitaria o la propiedad asociativa de la multiplicación) les resulta más útil cuando multiplican un múltiplo de 10 por un número de un dígito y por qué.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar múltiplos de 10 por números de un dígito usando la propiedad asociativa de la multiplicación Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación para multiplicar un múltiplo de 10 por un número de un dígito. ¿Cómo les ayuda conocer las operaciones de multiplicación a multiplicar con múltiplos de 10? Cuando pienso en un problema en forma unitaria, puedo usar una operación de multiplicación que conozco con unidades para hallar el número de decenas. La operación de multiplicación sigue siendo la misma. La unidad de valor posicional cambia de unidades a decenas. ¿Por qué la propiedad asociativa de la multiplicación es útil para multiplicar con múltiplos de 10? Puedo descomponer el múltiplo de 10 y, luego, multiplicar los 2 números de un dígito. Entonces, sé que el producto es 10 veces esa cantidad.

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

Pida a sus estudiantes que miren los problemas 13 y 15 del Grupo de problemas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencian los problemas de los otros que completaron y si cambió la manera en la que hallaron el producto. Se diferencian porque los factores se intercambiaron. El múltiplo de 10 era el primer factor. No cambió la manera en la que hallé el producto. Aún veía una operación que conocía y me aseguré de que el producto fuese 10 veces esa cantidad. Cambió un poco mi razonamiento. Usé la propiedad conmutativa de la multiplicación y volví a intercambiar los factores para que el número de un dígito fuera el primer factor.

Boleto de salida 5 min Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Ejemplos de soluciones Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase. EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Nombre

Fecha

Multiplica. Usa la tabla de valor posicional para comprobar tu trabajo. 5. 3 × 40 =

decenas

120

Completa las ecuaciones. 1.

Decenas

Unidades

Decenas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

Unidades

decenas

Decenas

Unidades

Descompón y luego multiplica.

2 × 4 = 2 × 4 unidades

unidades

Decenas

Unidades

6. 4 × 60 = 4 × 6 ×

2 × 40 = 2 × 4 decenas

Decenas

= 24 ×

decenas

Unidades

7. 7 × 30 =

210

240

9. 9 × 90 =

810

8. 5 × 80 =

400

10. 4 × 20 =

11. 6 × 30 =

180

12. 5 × 40 =

200

13. 40 × 8 =

320

14. 7 × 80 =

560

15. 70 × 9 =

630

Multiplica.

3 × 20 = 3 ×

decenas

2 × 50 =

decenas

100

decenas

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 1

16. Carla y Shen usan la propiedad asociativa para hallar 8 veces 60. ¿Carla o Shen piensan en 8 × 60 como 48 decenas? ¿Cómo lo sabes? Método de Carla

8 × 60 = 8 × 6 × 10 = 48 × 10

Método de Shen

8 × 60 = 8 × 10 × 6 = 80 × 6

Sé que Carla piensa en 8 × 60 como 48 decenas porque su trabajo muestra 48 × 1 decena. El trabajo de Shen muestra 8 decenas × 6.

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 2

Dividir múltiplos de 10 de dos y tres dígitos entre números de un dígito

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

Divide. Usa la forma unitaria como ayuda. a. 80 ÷ 2 = 8 decenas ÷

decenas

b. 60 ÷ 3 = 6 decenas ÷

Vistazo a la lección La clase usa las tablas de valor posicional, la forma unitaria y su comprensión de las operaciones de división para dividir múltiplos de 10. Aplican estas estrategias a los problemas de comparación multiplicativa.

Preguntas clave

decenas

• ¿Qué estrategias son útiles para dividir múltiplos de 10? • ¿Cómo podemos usar las operaciones de división que ya conocemos como ayuda para dividir múltiplos de 10?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de valor posicional

Prepare al menos 6 discos de una unidad y 8 discos de una decena por estudiante y maestra o maestro.

Aprender 35 min • Dividir unidades y decenas

Estudiantes • set de discos de valor posicional

• Dividir usando la forma unitaria • Comparación multiplicativa con factores desconocidos • Grupo de problemas

Concluir 10 min

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos La clase redondea un número a la decena de millar más cercana para adquirir fluidez con la destreza iniciada en el módulo 1 de redondear números de varios dígitos a cualquier valor posicional. Muestre 7,800 ≈

Redondeen 7,800 a la decena de millar más cercana.

7,800 ≈

10,000

Muestre el número redondeado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

42,000

29,157

98,601

253,491

609,572

Contar de 2 decenas en 2 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 2 decenas en unidad de 2 decenas, en formas unitaria y estándar, del 100 al 200 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de dos en dos del 10 al 20. ¿Comenzamos?

10, 12, 14, 16, 18, 20 20, 18, 16, 14, 12, 10 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 2 decenas en 2 decenas, desde 10 decenas hasta 20 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 10 decenas. ¿Comenzamos?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2 Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

10 decenas, 12 decenas…, 18 decenas, 20 decenas 20 decenas, 18 decenas…, 12 decenas, 10 decenas

10 decenas 12 decenas 14 decenas 16 decenas 18 decenas 20 decenas

100

120

140

160

180

200

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 2 decenas en 2 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 100. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

100, 120, 140, 160, 180, 200 200, 180, 160, 140, 120, 100

Respuesta a coro: Dividir en forma unitaria y en forma estándar La clase divide unidades en forma unitaria y dice la ecuación en forma estándar para dividir números de varios dígitos al desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 8 unidades ÷ 2 =

unidades.

¿Cuánto es 8 unidades ÷ 2 en forma unitaria?

4 unidades Muestre la respuesta.

8 unidades ÷ 2 =

unidades

8÷2=4

Cuando dé la señal, digan la ecuación en forma estándar.

8÷2=4 Muestre la ecuación en forma estándar.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16 unidades ÷ 2

18 unidades ÷ 3

27 unidades ÷ 3

20 unidades ÷ 4

40 unidades ÷ 5

42 unidades ÷ 6

63 unidades ÷ 7

64 unidades ÷ 8

Presentar

La clase usa un lenguaje preciso para comparar cuatro representaciones de la división. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre las ecuaciones y los discos de valor posicional e invite a la clase a analizarlos. Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca. Cuando se acabe el tiempo, invite a la clase a explicar las categorías que eligieron y a justificar por qué un elemento no pertenece al grupo.

12 ÷ 4 = 3

4×

= 120

150 ÷ 5 = 30

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2 Destaque las respuestas que enfatizan el razonamiento acerca de la relación entre la multiplicación y la división y cómo la división de múltiplos de diez está relacionada con las operaciones de división hasta el 100. Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas. Pregunta de ejemplo: ¿En qué se parece y en qué se diferencia cada ejemplo de los demás?

12 ÷ 4 = 3 no pertenece al grupo. Es el único elemento con un total de dos dígitos. 4× = 120 está escrito con un factor desconocido. Podemos ver ambos factores en los otros ejemplos. En cada ecuación, los factores están representados por el divisor y el cociente. En el ejemplo de los discos de valor posicional, los factores están representados por el número de grupos y el tamaño de cada grupo.

150 ÷ 5 = 30 tiene un total de 150. Los otros tienen totales de 12 o 120. Los discos de valor posicional no pertenecen al grupo. Los otros ejemplos tienen ecuaciones. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Anime a la clase a usar un lenguaje preciso como factor, factor desconocido y total al describir las categorías que identificaron. Parafrasee las respuestas de la clase según sea necesario para incluir el lenguaje preciso en la conversación.

Hoy, usaremos diferentes estrategias para dividir múltiplos de 10 entre números de un dígito.

Aprender

Dividir unidades y decenas Materiales: M/E) Discos

La clase representa la división con múltiplos de 10 usando discos de valor posicional. Escriba 6 ÷ 3. Invite a sus estudiantes a hacer lo mismo en la esquina superior izquierda de sus pizarras blancas. Luego, invíteles a que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que representa la expresión. Representemos la expresión usando discos de valor posicional. ¿Cuántos discos de una unidad representan el total?

6 unidades © Great Minds PBC

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2 Dibuje 3 círculos para representar el número de grupos iguales y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

6÷3

¿Cuántos grupos iguales deberíamos formar?

3 Use 6 discos de valor posicional de unidades para representar el total. Pida a sus estudiantes que dividan los 6 discos en los 3 grupos. ¿Cuántas unidades hay en cada grupo?

2 unidades ¿Cuánto es 6 unidades dividido entre 3?

2 unidades Repita el proceso para 60 ÷ 3 usando discos de una decena.

6÷3 60 ÷ 3

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que es parecido y diferente sobre las dos expresiones y las representaciones. En la primera expresión, el total era 6, pero ahora es 60. El total se sigue dividiendo entre 3. ¿De qué manera pensar en la división en forma unitaria les puede ayudar a dividir con decenas?

Diferenciación: Desafío

Sé que 6 ÷ 3 = 2, entonces también puedo hallar 60 ÷ 3 porque es 6 decenas ÷ 3 que es 2 decenas. La misma operación matemática, 6 ÷ 3, puede ayudarnos a hallar ambos cocientes. La unidad es diferente, pero podemos pensar en la misma operación. Pida a sus estudiantes que borren sus pizarras blancas. Escriba 80 ÷ 4 y pídales que hagan lo mismo. Invite a la clase a representar la expresión usando sus discos de una decena y círculos en sus pizarras blancas.

Considere proporcionar números más desafiantes. Invite a sus estudiantes a pensar si podrían usar una estrategia parecida para interpretar la expresión 600 ÷ 3 o 6,000 ÷ 3. ¿En qué se parece y en qué se diferencia cada uno de los cocientes? ¿Por qué?

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pensar en las expresiones en forma unitaria puede ayudarles a dividir. Cuando sé que 6 unidades ÷ 3 = 2 unidades, también puedo hallar 60 ÷ 3 porque eso sería igual a 2 decenas. Para hallar 80 ÷ 4, es difícil pensar en distribuir 80 unidades, pero ya sé que 8 ÷ 4 = 2, entonces puedo usar eso para pensar que 8 decenas se dividen en 4 grupos.

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Dividir usando la forma unitaria La clase razona sobre la división de cantidades usando la forma unitaria. Muestre el problema y la imagen de las bolsas de monedas.

3 personas tienen 2 bolsas de pennies. La primera bolsa tiene 24 pennies y la segunda bolsa tiene 240 pennies. Las personas se reparten los pennies de cada bolsa en partes iguales. ¿Cuántos pennies obtiene cada persona de cada bolsa?

DUA: Acción y expresión Apoye a sus estudiantes para que, de formas flexibles, expresen lo que aprendieron. Anime a sus estudiantes a contar salteado de decena en decena en lugar de usar discos de valor posicional para apoyar el uso del cálculo mental en este segmento.

Enfoquémonos en la primera bolsa, que tiene 24 pennies. ¿Cómo podemos usar una expresión de división para representar que las 3 personas se reparten los pennies en partes iguales?

24 ÷ 3 Escriba 24 ÷ 3 =

El total es 24 unidades. Escriba la ecuación usando la forma unitaria: 24 unidades ÷ 3 = .

÷ ÷

¿Cuánto es 24 unidades dividido entre 3?

8 unidades Complete las ecuaciones. Si las 3 personas se reparten los 24 pennies en partes iguales, ¿cuántos pennies obtiene cada persona? Cada persona obtiene 8 pennies.

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2 Enfoquémonos en la segunda bolsa, que tiene 240 pennies. ¿Cómo podemos usar una expresión de división para representar que las 3 personas se reparten los pennies en partes iguales?

240 ÷ 3 Escriba 240 ÷ 3 =

¿Cómo podemos usar la forma unitaria como ayuda para hallar el cociente?

Podemos expresar 240 como 24 decenas.

Como sabemos cuánto es 24 ÷ 3, deberíamos expresarla como 24 decenas ÷ 3. Escriba la ecuación usando la forma unitaria: 24 decenas ÷ 3 =

¿Cómo puede la ecuación 24 unidades ÷ 3 = 8 unidades ayudarnos a pensar en 24 decenas ÷ 3? Como 24 unidades ÷ 3 = 8 unidades, entonces 24 decenas ÷ 3 = 8 decenas. La operación de división, 24 ÷ 3, es la misma, pero la unidad de valor posicional es diferente. Ahora, tenemos decenas en lugar de unidades. Complete la ecuación: 24 decenas ÷ 3 = 8 decenas. Si las 3 personas se reparten los 240 pennies en partes iguales, ¿cuántos pennies obtiene cada persona? Cada persona obtiene 80 pennies. Complete la ecuación: 240 ÷ 3 = 80. Repita el proceso con el siguiente problema.

5 personas tienen 2 bolsas de pennies. La primera bolsa tiene 40 pennies y la segunda bolsa tiene 400 pennies. Las personas se reparten los pennies de cada bolsa en partes iguales. ¿Cuántos pennies obtiene cada persona de cada bolsa? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden usar la forma unitaria con las decenas como ayuda para dividir múltiplos de 10. Para hallar 240 ÷ 3, pensamos en 24 decenas ÷ 3 = 8 decenas.

400 ÷ 5 tiene el mismo valor que 40 decenas ÷ 5. Sabemos que 40 ÷ 5 = 8, entonces 40 decenas ÷ 5 = 8 decenas, que es otra manera de expresar 80.

Nota para la enseñanza Expresar los números en forma unitaria refuerza la comprensión del valor posicional y prepara a la clase para dividir números más grandes más adelante en este módulo. Observe a quienes expresan 400 como 4 centenas. Aunque es correcto, 4 centenas no es útil en este problema porque la operación conocida para apoyar la división es 40 ÷ 5. Anime a la clase a pensar de manera flexible cuando expresen con otro nombre (p. ej., 400 se puede expresar como 40 decenas o 4 centenas).

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Comparación multiplicativa con factores desconocidos La clase representa problemas de comparación multiplicativa con ecuaciones de división y multiplicación. Presente el problema. Liz tiene 5 veces la cantidad de pegatinas que tiene Ray. Liz tiene 350 pegatinas. ¿Cuántas pegatinas tiene Ray? Invite a la clase a representar el problema usando un diagrama de cinta.

350

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas escriban posibles ecuaciones matemáticas que se relacionen con el problema.

Liz

Dé a las parejas 1 minuto para comparar con otros grupos las ecuaciones que construyen.

Ray

Invite a las parejas a compartir las ecuaciones matemáticas que construyan. Pida a sus estudiantes que expliquen las relaciones entre la ecuación y las situaciones dadas.

DUA: Representación Considere hacer una pausa y proporcionar un tiempo adicional para pensar cuando sus estudiantes comiencen a representar el problema con un diagrama de cinta. Haga preguntas como las siguientes: • ¿Qué información se conoce? • ¿Qué información se desconoce? • ¿Qué letra podrían usar para representar la información desconocida? Hacer una pausa proporciona tiempo para procesar la información y es una muestra de su importancia.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Ejemplos de respuestas: El número de pegatinas que tiene Ray es el número desconocido, entonces lo representé con la letra r. La ecuación de multiplicación 5 × r = 350 representa la situación porque esta ecuación significa que un número multiplicado por 5 es igual a 350. La ecuación de división 350 ÷ 5 = r representa la situación porque esta ecuación significa que 350 es 5 veces el valor de r. Dé a la clase 2 minutos para trabajar en parejas y hallar el número desconocido usando la forma unitaria. Invite estudiantes a que compartan su razonamiento.

5 × r = 350

350 ÷ 5 = r

5 × 7 decenas = 35 decenas

35 decenas ÷ 5 = 7 decenas

r = 70 Ray tiene 70 pegatinas.

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando representa el problema de la pegatina con un diagrama de cinta y, luego, escribe y utiliza una ecuación de división o multiplicación para hallar el número de pegatinas que tiene Ray. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Cómo representan el diagrama de cinta y la ecuación de división la relación entre el número de pegatinas que tienen Liz y Ray? • ¿Su solución tiene sentido en términos matemáticos?

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5 × 7 = 35, entonces 5 × 7 decenas = 35 decenas. 35 ÷ 5 = 7, entonces podemos pensar en 350 ÷ 5 como 35 decenas ÷ 5 = 7 decenas. Invite a quien desee hacerlo a leer el enunciado de la solución. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar una ecuación de multiplicación o una ecuación de división para representar un problema de división.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir múltiplos de 10 de dos y tres dígitos entre números de un dígito Reúna a sus estudiantes y guíe una conversación sobre la división de múltiplos de 10 entre un número de un dígito. ¿Qué estrategias son útiles para dividir múltiplos de 10? Puedo pensar en dividir los discos de una decena en grupos iguales. Pensar en el total en forma unitaria me permite usar una operación que conozco para hallar el cociente. Puedo reescribir la ecuación de división como una ecuación de multiplicación con un factor desconocido. ¿Cómo podemos usar las operaciones de división que ya conocemos como ayuda para dividir múltiplos de 10? Puedo usar una operación de división que conozco para dividir un total que use esa operación.

DUA: Acción y expresión Considere la posibilidad de reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre sus experiencias generales al multiplicar números de un dígito por múltiplos de 10 y al dividir múltiplos de 10 de dos y tres dígitos entre un número de un dígito. • ¿Qué estrategias me resultan útiles? • ¿Qué métodos necesito practicar más para adquirir confianza? • ¿Qué es lo que todavía me resulta confuso? ¿Qué puedo hacer para ayudarme?

Dividir unidades se parece a dividir decenas, entonces puedo expresar la ecuación en forma unitaria.

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Nombre

Fecha

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Divide. Usa la forma unitaria como ayuda. 5. 60 ÷ 2 = 6 decenas ÷

Divide. Usa los discos de valor posicional como ayuda.

7. 180 ÷ 6 =

decenas ÷

decenas

8 ÷ 4 = 8 unidades ÷ 4 =

80 ÷ 4 = 8 decenas ÷ 4

unidades

9. 140 ÷ 2 =

2×

decenas ÷

decenas

8. 240 ÷ 4 =

decenas ÷

decenas

Divide. Usa la multiplicación con un factor desconocido como ayuda.

150 ÷ 5 =

decenas

Divide. Dibuja discos de valor posicional como ayuda. 3.

6. 90 ÷ 3 = 9 decenas ÷

120 ÷ 3 =

decenas ÷

decenas

× 10 = 140

10. 350 ÷ 5 =

5×

× 10 = 350

11. 270 ÷ 3 =

3×

× 10 = 270

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 2

Divide. 12. 250 ÷ 5 =

13. 280 ÷ 4 =

14. 400 ÷ 8 =

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 15. Deepa lee 9 veces la cantidad de páginas que lee James. Deepa lee 450 páginas. ¿Cuántas páginas lee James?

450 ÷ 9 = 50 James lee 50 páginas.

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 3

Investigar y usar una fórmula para el área de un rectángulo

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

1. Completa la ecuación y halla el área del rectángulo.

60 m

Vistazo a la lección La clase identifica varias maneras de hallar el área de un rectángulo en papel cuadriculado, incluyendo la multiplicación de las longitudes de los lados del rectángulo. Se les presenta una fórmula para el área de un rectángulo y la usan para hallar las áreas de los rectángulos y la longitud del lado desconocida. En esta lección se formaliza el término fórmula.

Pregunta clave

A=l×a A=

60 × 3

El área es

• ¿Por qué es útil tener una fórmula para el área de un rectángulo?

180 m cuad.

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. (4.MD.A.3)

2. Escribe una ecuación y halla la longitud del lado desconocida. El área es 280 cm cuad.

n cm

7 cm Ecuación:

280 = n × 7

La longitud del lado desconocida es

cm.

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Generar una fórmula para el área de un rectángulo

Estudiantes • Práctica veloz: Multiplicar y dividir hasta el 100 (en el libro para estudiantes)

• Longitud del lado desconocida • Comparación multiplicativa • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Fluidez

Respuesta a coro: Multiplicar y dividir hasta el 100 La clase multiplica o divide en forma estándar como preparación para multiplicar y dividir con números de varios dígitos. Muestre la ecuación 2 × 7 =

¿Cuál es el producto? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Nota para la enseñanza 2×7=

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Para las ecuaciones de división, pregunte a la clase: “¿Cuál es el cociente?”.

14 Muestre la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

3×8=

4×9=

6×6=

7×8=

9×9=

18 ÷ 2 =

21 ÷ 3 =

32 ÷ 4 =

45 ÷ 5 =

49 ÷ 7 =

72 ÷ 9 =

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Práctica veloz: Multiplicar y dividir hasta el 100 2 Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar y dividir hasta el 100 EUREKA MATH 4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar y dividir hasta el 100

La clase multiplica o divide en forma estándar como preparación para multiplicar y dividir con números de varios dígitos.

Práctica veloz Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. Completa las ecuaciones. 1.

3×5=

15 ÷ 3 =

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

• ¿Qué ecuaciones están relacionadas en los problemas 1 a 6? ¿Cómo se relacionan? • ¿Qué patrones observan en los problemas 1 a 6? ¿Y en los problemas 6 a 10? ¿Y en los problemas 1 a 10?

Nota para la enseñanza

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Cuente hacia delante de 20 en 20 desde el 0 hasta el 200 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 2 decenas en 2 decenas desde 20 decenas hasta 0 decenas para la actividad de conteo de ritmo lento.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Presentar

La clase identifica estrategias para hallar el número total de cuadrados de una matriz. Muestre la matriz e invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuántas fichas cuadradas hay en la matriz.

No sé muy bien cuántas hay. Sé que hay 4 filas, pero sigo perdiendo la cuenta cuando intento contar el número de cada fila. Definitivamente hay más de 40 porque hay más de 10 en cada fila. Muestre la matriz con las filas y columnas rotuladas e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuántas fichas cuadradas hay en la matriz.

¿Cuántas fichas cuadradas hay en la matriz?

80 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las estrategias que pueden usar para confirmar que hay un total de 80 fichas cuadradas. Sé que 4 × 2 es 8, entonces 4 × 20 debe ser 10 veces 8. Si se cuenta salteado de cuatro en cuatro 20 veces, se obtiene 80.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Si se cuenta salteado de veinte en veinte 4 veces, se obtiene 80. Sé que hay 40 en las primeras 10 columnas y otras 40 en las últimas 10 columnas. ¿Cómo les ayudó el hecho de tener rotulado el número de filas y columnas al momento de calcular el número total de fichas cuadradas? No necesité contar los cuadrados uno por uno. Me ayudó a pensar en cómo podía contar salteado o multiplicar las filas y columnas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la multiplicación para hallar las áreas de los rectángulos.

Aprender

Generar una fórmula para el área de un rectángulo La clase identifica varias formas de determinar el área de un rectángulo y crea una fórmula. Muestre la imagen del rectángulo e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan sobre el rectángulo. ¿Cuál es la longitud de cada lado corto del rectángulo?

4 unidades Repita la pregunta para el lado más largo del rectángulo y muestre la imagen del rectángulo con las longitudes de los lados rotuladas.

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar a sus estudiantes materiales y tiempo para manipular fichas cuadradas para que puedan confirmar las áreas de los rectángulos. Por ejemplo, invíteles a usar sus fichas cuadradas para construir un rectángulo que tenga 4 unidades de ancho y 7 unidades de largo. Luego de construir el rectángulo, pida a la clase que cuente salteado la cantidad que hay en cada fila o columna para hallar el área.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Hallemos el número de unidades cuadradas en el rectángulo. ¿Cómo llamamos al número de unidades cuadradas que ocupa un espacio plano sin espacios ni superposiciones?

DUA: Representación

4 unidades

Área Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las estrategias que pueden usar para hallar el área del rectángulo.

7 unidades

Puedo contar todos los cuadrados que hay dentro del rectángulo.

Considere activar los conocimientos previos. Invite a sus estudiantes a recordar sus conocimientos y experiencias de 3.er grado sobre el área de un rectángulo. Haga preguntas como las siguientes: • ¿En qué se parece hallar el área de un rectángulo a hallar el número total de cuadrados en una matriz?

Cada columna del rectángulo tiene 7 unidades cuadradas, por lo que puedo contar de siete en siete. Cada fila del rectángulo tiene 4 unidades cuadradas, por lo que puedo contar de cuatro en cuatro. Puedo multiplicar 4 y 7 para hallar el número de unidades cuadradas que hay en el rectángulo, como hicimos con la matriz. Pida a la clase que halle el área del rectángulo usando al menos dos estrategias.

• ¿De qué manera cubrir el rectángulo con fichas cuadradas apoyó su comprensión y sus experiencias con el área? • ¿Cómo pueden usar la multiplicación para hallar el área y las longitudes de los lados de un rectángulo?

¿Cuál es el área del rectángulo?

28 unidades cuadradas Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia les resulta más eficiente para hallar el área. Luego, muestre la imagen del rectángulo de 5 unidades por 3 unidades e invite a la clase a trabajar en parejas para determinar su área. ¿Cuál es el área de este rectángulo?

15 unidades cuadradas

3 unidades

¿Qué ecuación de multiplicación podemos usar para hallar el área?

3 × 5 = 15 5 × 3 = 15

5 unidades

Registre las dos ecuaciones y, luego, muestre la imagen del rectángulo de 8 unidades por 6 unidades.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Invite a la clase a hallar el área del rectángulo y a decir una ecuación de multiplicación que pueda usarse para hallar su área. Agregue las ecuaciones a la lista.

6 unidades

Nota para la enseñanza

Señale los factores en las ecuaciones y haga la siguiente pregunta.

8 unidades

¿Qué representan los factores? Las longitudes de los lados

En 3.er grado, se presentó a la clase el concepto de área, incluyendo la idea de que multiplicar las longitudes de los lados de un rectángulo es una forma eficiente de calcular el área. También aprendieron que el área no cambia cuando se rota una matriz y que los términos longitud y ancho pueden usarse indistintamente. La orientación de un rectángulo dibujado puede influir en qué medida se considera la longitud o el ancho. Por ejemplo, sus estudiantes pueden interpretar la primera medida que ven como la longitud y registrarla como tal en sus ecuaciones. Es aceptable registrar la ecuación como A = 6 × 2 o A = 2 × 6 debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Señale los productos en las ecuaciones y haga las siguientes preguntas. ¿Qué representan los productos? El área de cada rectángulo ¿Cambia el área el orden de los factores o las longitudes de los lados? ¿Por qué? No. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que podemos multiplicar en cualquier orden y obtener el mismo producto. Escriba A = l × a. Esta ecuación es una manera de representar cómo hallamos el área de cualquier rectángulo. La ecuación nos indica que siempre podemos hallar el área de un rectángulo multiplicando la longitud y el ancho.

La presentación de una fórmula para el área de un rectángulo es nueva en 4.o grado.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué representa cada letra de la ecuación. La A representa el área. La l representa la longitud. La a representa el ancho. Muestre la imagen del rectángulo de 2 m por 6 m. Escriba A = l × a. Guíe a la clase para que reescriba la ecuación usando 6 como el número de metros para la longitud y 2 como el número de metros para el ancho. Pida a sus estudiantes que digan el producto de 6 y 2 y registre el área como 12 metros cuadrados.

6m 2m

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Usaron una fórmula para hallar el área de este rectángulo. Una fórmula es una ecuación o una regla que podemos usar para determinar una respuesta. En este caso, la fórmula para el área de un rectángulo nos indica que la longitud por el ancho siempre es igual al área de un rectángulo.

Nota para la enseñanza Esta ecuación está escrita intencionadamente sin unidades (es decir, A = 6 × 2, no A = 6 metros × 2 metros). El producto de las longitudes de los lados, sin unidades, es el número total de cuadrados unitarios del rectángulo. El área, o el producto con la unidad, se escribe en el enunciado de la solución.

Muestre la imagen del rectángulo de 2 cm por 30 cm y pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para usar la fórmula para hallar el área. Invite a tres o cuatro parejas a compartir sus ecuaciones y las áreas de los rectángulos.

30 cm 2 cm

Escriba A = 2 × 30 y A = 30 × 2. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué se pueden usar ambas ecuaciones para escribir la fórmula para el área de un rectángulo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

2 × 30 y 30 × 2 son iguales a 60. El orden no importa porque podemos dibujar un rectángulo de 30 cm por 2 cm y el área seguirá teniendo el mismo número de centímetros cuadrados que el rectángulo de 2 cm por 30 cm. La fórmula tiene dos factores, y podemos multiplicarlos en cualquier orden y obtener el mismo producto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. Al usar la fórmula del área para un rectángulo, podemos escribir las longitudes de los lados en cualquier orden. El área es la misma. Muestre la imagen del cuadrado de 8 cm.

8 cm

¿Qué tipo de figura se muestra? ¿Cómo lo saben? Es un cuadrado porque todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos son rectos.

8 cm

¿Creen que podemos usar la fórmula del área para un rectángulo para hallar el área de este cuadrado? ¿Por qué? Sí. Un cuadrado también es un rectángulo, entonces la fórmula funcionará. ¿Cómo saben qué lado es la longitud y qué lado es el ancho? Todos los lados tienen la misma longitud, por lo que no importa cuál representa la longitud y cuál el ancho. La ecuación de multiplicación sería la misma sin importar el orden de los factores.

Este segmento presenta el término fórmula. Considere conversar sobre el significado del término luego de presentarlo. Guíe una conversación de toda la clase que se enfoque en la experiencia previa de sus estudiantes con el término. Considere volver a expresar las respuestas de la clase para que usen el término con más frecuencia. Por ejemplo, dígales que una científica puede usar una fórmula, o un conjunto de reglas, para realizar un experimento. Un chef puede tener una fórmula especial para condimentar una receta.

Nota para la enseñanza En los próximos grados, sus estudiantes aprenden otras fórmulas de área para una variedad de figuras. Anime a la clase a reconocer que A = l × a se aplica a los rectángulos y no es una fórmula que pueda aplicarse a todas las figuras geométricas.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 Pida a sus estudiantes que usen la fórmula para escribir una ecuación y hallar el área del cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado?

64 centímetros cuadrados Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo puede ser útil usar una fórmula para hallar el área de un rectángulo.

Longitud del lado desconocida La clase escribe una ecuación para hallar la longitud del lado desconocida de un rectángulo. Muestre la imagen del rectángulo de 5 m por p m e invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que es diferente en este rectángulo. ¿Qué información se da sobre este rectángulo? El área es 250 metros cuadrados.

pm 5m

La longitud del lado más corto es 5 metros.

El área es 250 m cuad.

La longitud del lado más largo es p metros. Escriba A = l × a y pídales que hagan lo mismo. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo usar la información dada para escribir una ecuación utilizando la fórmula del área. Podemos escribir 250 para A y 5 para a. La ecuación es 250 = p × 5. Escriba 250 = p × 5. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar la longitud del lado desconocida. ¿Cuál es el valor de p?

¿Cuál es la longitud del lado desconocida?

50 metros 56

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3 ¿Qué estrategia usaron para hallar la longitud del lado desconocida? Lo pensé como un problema de factor desconocido. Sé que 5 × 5 = 25. Entonces, 250 debe ser igual a 50 × 5 porque 5 × 5 decenas = 25 decenas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usar la fórmula del área para hallar las longitudes de los lados desconocidas.

Comparación multiplicativa La clase resuelve un problema del mundo real que involucra el área. Presente el problema y léalo a coro con la clase. Iván planta un jardín rectangular. El jardín tiene un ancho de 5 pies. La longitud del jardín es 6 veces tan larga como el ancho. ¿Cuál es el área del jardín de Iván? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo hallar la longitud del jardín. La longitud es 6 veces tan larga como el ancho, así que puedo multiplicar 6 y 5 para hallar la longitud. La longitud del jardín es 30 pies, que es 6 veces 5 pies. Pida a la clase que haga un boceto del jardín y, luego, trabajen en parejas para hallar su área.

30 pies

¿Cuál es el área del jardín de Iván?

150 pies cuadrados Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo una fórmula para hallar el área de un rectángulo puede ayudarles a resolver problemas del mundo real.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante da sentido a los problemas (MP1) cuando busca los puntos de partida y hace un boceto de un rectángulo para hallar el área del jardín de Iván. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Qué pasos pueden llevar a cabo para hallar el área del jardín de Iván? • ¿Qué pueden determinar acerca del jardín de Iván mirando el rectángulo que dibujaron?

5 pies

4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Investigar y usar una fórmula para el área de un rectángulo Guíe una conversación sobre el uso de una fórmula para hallar el área de un rectángulo. ¿Cómo escribimos la fórmula para el área de un rectángulo?

A=l×a ¿Qué significa esta fórmula para el área de un rectángulo? El área es igual al producto de la longitud y el ancho. ¿Cómo puede ayudarnos a resolver problemas una fórmula para hallar el área de un rectángulo? Podemos usar la fórmula para hallar el área de un rectángulo cuando conocemos la longitud de cada lado. Cuando conocemos el área de un rectángulo y una de las longitudes de los lados, podemos usar la fórmula para hallar la otra longitud del lado. ¿Por qué es útil tener una fórmula para el área de un rectángulo? Una fórmula siempre es verdadera. No tengo que desarrollar una nueva estrategia para nuevos problemas. Puedo usarla para resolver problemas sobre el área de cualquier rectángulo si tengo suficiente información. El rectángulo puede ser grande o pequeño o formar parte de una situación del mundo real y la fórmula seguirá funcionando.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar y dividir hasta el 100

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Completa las ecuaciones.

2×3=

23.

5×7=

6÷2=

24.

2×4=

25.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar y dividir hasta el 100

2×2=

23.

5×6=

4÷2=

24.

40 ÷ 5 =

2×3=

25.

6×6=

45 ÷ 5 =

6×7=

8÷2=

26.

54 ÷ 6 =

6÷2=

26.

48 ÷ 6 =

2×5=

27.

7×7=

2×4=

27.

7×6=

10 ÷ 2 =

28.

63 ÷ 7 =

8÷2=

28.

56 ÷ 7 =

2×6=

29.

8×7=

2×5=

29.

8×6=

14 ÷ 2 =

30.

72 ÷ 8 =

12 ÷ 2 =

30.

64 ÷ 8 =

2×8=

31.

9×7=

2×7=

31.

9×6=

10.

18 ÷ 2 =

32.

81 ÷ 9 =

10.

16 ÷ 2 =

32.

72 ÷ 9 =

11.

3×3=

33.

4×4=

11.

3×3=

33.

3×3=

12.

15 ÷ 3 =

34.

10 × 8 =

12.

12 ÷ 3 =

34.

10 × 7 =

13.

3×6=

35.

100 ÷ 10 =

13.

3×5=

35.

90 ÷ 10 =

14.

21 ÷ 3 =

36.

11 × 4 =

14.

18 ÷ 3 =

36.

11 × 3 =

15.

3×8=

37.

66 ÷ 11 =

15.

3×7=

37.

55 ÷ 11 =

16.

27 ÷ 3 =

38.

12 × 3 =

16.

24 ÷ 3 =

38.

12 × 2 =

17.

4×6=

39.

60 ÷ 12 =

17.

4×5=

39.

48 ÷ 12 =

18.

28 ÷ 4 =

40.

11 × 8 =

18.

24 ÷ 4 =

40.

11 × 7 =

19.

4×8=

41.

110 ÷ 11 =

19.

4×7=

41.

99 ÷ 11 =

20.

36 ÷ 4 =

42.

12 × 7 =

20.

32 ÷ 4 =

42.

12 × 6 =

21.

5×4=

43.

108 ÷ 12 =

21.

5×3=

43.

96 ÷ 12 =

22.

25 ÷ 5 =

44.

12 × 12 =

144

22.

20 ÷ 5 =

44.

12 × 11 =

132

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

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4 ▸ M2 ▸ TA ▸ Lección 3

Nombre

Fecha

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Escribe una ecuación para hallar cada longitud del lado desconocida. Luego, completa los espacios. 5. El área es 70 cm cuad.

6. El área es 450 m cuad.

p cm

Completa las ecuaciones de multiplicación para hallar el área de cada rectángulo.

dm 9m

4 cm 2 cm

A=l×a

4×2 8

El área es

cm cuad.

Ecuación:

7 cm

40 m

450 = d × 9

La longitud del lado desconocida es

Ecuación:

40 × 2

El área es

70 = p × 7

La longitud del lado desconocida es

m cuad.

cm.

7. Jayla dibuja un rectángulo que tiene un ancho de 4 centímetros y una longitud de 9 centímetros. 4.

a. ¿Cuál es el área del rectángulo de Jayla?

30 cm 5 cm

El área del rectángulo de Jayla es 36 centímetros cuadrados.

50 m 6m

A=l×a

30 × 5

El área es

150

cm cuad.

b. David dibuja un rectángulo que tiene la misma longitud pero es 2 veces tan ancho como el rectángulo de Jayla. ¿Cuál es el ancho del rectángulo de David?

50 × 6

El área es

300

El rectángulo de David mide 8 centímetros de ancho.

m cuad.

c. ¿Cuál es el área del rectángulo de David? El área del rectángulo de David es 72 centímetros cuadrados.

GRUPO DE PROBLEMAS

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8. Casey halla la longitud desconocida de un rectángulo. Explica su estrategia.

r cm 5 cm El área es 200 cm cuad.

l×a=A r × 5 = 200 r = 40

Casey usó la fórmula que indica que la longitud por el ancho es igual al área para hallar la longitud desconocida. Él sabe que r × 5 = 200. Entonces, r debe ser igual a 40 porque

40 × 5 = 200.

9. Un jardín rectangular tiene un área de 360 metros cuadrados. El ancho es 9 metros. ¿Cuál es la longitud del jardín? La longitud del jardín es 40 metros.

10. El rectángulo A tiene una longitud de 8 centímetros y un ancho de 3 centímetros. El rectángulo B es 5 veces tan largo y 2 veces tan ancho como el rectángulo A. a. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo B? La longitud del rectángulo B es 40 centímetros y el ancho es 6 centímetros.

b. ¿Cuál es el área del rectángulo B? El área del rectángulo B es 240 centímetros cuadrados.

GRUPO DE PROBLEMAS

Tema B Multiplicación de decenas y unidades por números de un dígito En el tema B, la clase aplica la propiedad distributiva para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. La primera lección del tema funciona como una evaluación formativa de la manera en que la clase usa los conceptos de multiplicación de 3.er grado para multiplicar números más grandes. Usan sus experiencias previas con la estrategia de separar y distribuir y la multiplicación por múltiplos de diez. Es posible que también usen otras estrategias que aprendieron anteriormente, como descomponer factores de uno y dos dígitos representándolos como las longitudes de los lados de un rectángulo y descomponiendo una longitud del lado. La clase formaliza la estrategia de separar y distribuir como la propiedad distributiva a medida que avanza el tema. Aprenden a descomponer un factor de dos dígitos en decenas y unidades y, luego, a distribuir la multiplicación de un factor de un dígito a cada unidad de valor posicional. Comienzan con un modelo conocido. Los discos de valor posicional se representan en una tabla de manera que el factor de dos dígitos sea el tamaño de los grupos y el factor de un dígito sea el número de grupos. A veces, los discos se reagrupan para mostrar 10 de una unidad más pequeña como 1 de la siguiente unidad más grande. De esta manera, la clase hace una transición hacia el uso de otro modelo conocido: el modelo de área. Dibujan un rectángulo donde las longitudes de los lados representan los factores. Los modelos pictóricos están acompañados de ecuaciones que son el registro escrito de la propiedad distributiva. Escribir ecuaciones en forma unitaria, p. ej., (3 × 6 decenas) + (3 × 4 unidades), anima a sus estudiantes a usar las operaciones de multiplicación que aprendieron en 3.er grado. La clase hace una transición desde los modelos pictóricos hacia el registro de ecuaciones en forma estándar que muestran cómo se descompone y multiplica un número de dos dígitos. Por último, aplican sus destrezas de multiplicación para resolver problemas verbales que incluyen un factor de dos dígitos y uno de un dígito. La última lección del tema es opcional. Ofrece a sus estudiantes la oportunidad de identificar y aplicar otras estrategias para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. Descomponer un factor de otra manera que no sea en decenas y unidades o usar un número de referencia y la compensación puede crear un problema más simple. Cada estudiante examina los factores de un problema para determinar la estrategia que le parece más apropiada. En el tema C, la clase aplica la estrategia de separar y distribuir para dividir un número de dos dígitos entre un número de un dígito. © Great Minds PBC

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4 ▸ M2 ▸ TB

Progresión de las lecciones Lección 4

Lección 5

Lección 6

Multiplicar usando estrategias conocidas

Multiplicar usando estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

Multiplicar usando la reagrupación, y mediante el uso de estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

Puedo usar lo que sé sobre separar un número en partes y sobre la multiplicación de cada parte para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito.

Descomponer un número en decenas y unidades me ayuda a usar la propiedad distributiva para hallar cada producto parcial. Luego, sumo los productos parciales para hallar el total. Cuando dibujo en la tabla de valor posicional y registro mi trabajo en forma unitaria, uso las operaciones de multiplicación que conozco.

A veces, cuando sumo los productos parciales, debo reagrupar 10 o más unidades. Puedo mostrar esa reagrupación en la tabla de valor posicional, de manera que el número representado coincida con el total en la ecuación escrita.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB

Lección 7

Lección 8

Lección 9

Multiplicar usando un modelo de área y la propiedad distributiva

Multiplicar aplicando la propiedad distributiva y escribir ecuaciones

Resolver problemas verbales de multiplicación

Puedo usar un modelo de área para representar cómo separar un factor en decenas y unidades y, luego, para multiplicar cada parte por el otro factor. Puedo hallar cada producto parcial y el total escribiendo ecuaciones con números escritos en forma estándar.

Para multiplicar un factor de dos dígitos por un factor de un dígito, puedo descomponer el factor de dos dígitos en decenas y unidades y multiplicar cada parte por el factor de un dígito. Puedo registrar mi trabajo con ecuaciones en forma estándar. Un diagrama de cinta es útil para representar grupos iguales o una relación de tantas veces una cantidad en un problema verbal. Puedo seleccionar una estrategia de multiplicación para hallar el producto.

4 ▸ M2 ▸ TB

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Lección 10 Multiplicar aplicando estrategias de simplificación (opcional)

La compensación, o descomponer de una manera diferente, puede hacer que un problema de multiplicación sea más simple que descomponer un factor de dos dígitos en decenas y unidades. Busco oportunidades para elegir una estrategia eficiente según los factores que presenta el problema.

LECCIÓN 4

Multiplicar usando estrategias conocidas

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra o explica tu estrategia.

Vistazo a la lección La clase usa su aprendizaje previo para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito. Analizan diferentes estrategias de multiplicación y las comparan con sus propias estrategias. Razonan acerca de la eficiencia de las estrategias elegidas.

4 × 32

Preguntas clave

32 30

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de la multiplicación para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito?

• ¿Es útil separar un factor en partes para multiplicar con eficiencia? ¿Por qué?

4 × 32 = (4 × 30) + (4 × 2) = 120 + 8 = 128

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Elegir una estrategia para multiplicar

Estudiantes • ninguno

• Compartir, comparar y conectar • Aplicar una estrategia nueva para multiplicar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar hasta 1,000,000 La clase usa el algoritmo convencional al sumar números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con los métodos de suma aprendidos en el módulo 1. Muestre 72,516 + 14,032 =

Usen el algoritmo convencional para hallar la suma. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

72,516 + 14,032 = 86,548 72,516 + 14,032 86,548

Muestre la suma y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16,372 + 21,355 =

37,727

331,809 + 285,170 = 616,979

650,946 + 127,581 = 778,527

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Contar de 3 decenas en 3 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 3 decenas en unidad de 3 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 150 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de tres en tres del 0 al 15. ¿Comenzamos?

0, 3, 6, 9, 12, 15 15, 12, 9, 6, 3, 0 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 3 decenas en 3 decenas, desde 0 decenas hasta 15 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 3 decenas..., 12 decenas, 15 decenas 15 decenas, 12 decenas..., 3 decenas, 0 decenas

0 decenas 3 decenas 6 decenas 9 decenas 12 decenas 15 decenas

120

150

Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 3 decenas en 3 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 30, 60, 90, 120, 150 150, 120, 90, 60, 30, 0

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

Respuesta a coro: Multiplicar en forma unitaria La clase multiplica unidades o decenas en forma unitaria para multiplicar números de varios dígitos al desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 2 × 4 unidades =

unidades.

¿Cuánto es 2 × 4 unidades?

8 unidades Muestre la respuesta. Luego, muestre 2 × 4 decenas =

decenas.

2 × 4 unidades =

unidades

2 × 4 decenas =

decenas

¿Cuánto es 2 × 4 decenas?

8 decenas Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 × 9 unidades =

unidades

4 × 7 unidades =

unidades

5 × 8 unidades =

unidades

2 × 9 decenas =

decenas

4 × 7 decenas =

decenas

5 × 8 decenas =

decenas

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

Presentar

La clase representa un número de tres dígitos de diversas maneras. Presente el número 384 y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y represente el valor del número de una o dos maneras. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a la clase que comente sus representaciones en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre el uso del valor posicional para expresar el número de diferentes maneras. Forma desarrollada

Forma desarrollada con multiplicación

300 + 80 + 4

(3 × 100) + (8 × 10) + (4 × 1)

Forma unitaria

3 centenas, 8 decenas y 4 unidades

Tabla de valor posicional

Centenas

Decenas

Unidades

Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y permita a sus estudiantes formular sus propias preguntas.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 ¿En qué se parecen las formas de descomponer 384 en cada ejemplo? Se descompuso según el valor posicional cada vez, el número de centenas, decenas y unidades. En cada representación, podemos ver el número de centenas, decenas y unidades. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a usar el valor posicional y lo que sabemos sobre la separación en partes, o descomposición, de números para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito.

Nota para la enseñanza Use esta lección como evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas de multiplicación. El propósito de esta lección no es presentar nuevos métodos para multiplicar.

Diferenciación: Apoyo

Aprender

Considere proporcionar discos de valor posicional o una tabla de valor posicional impresa para apoyar a sus estudiantes cuando muestran su trabajo.

Elegir una estrategia para multiplicar La clase elige una estrategia para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Multiplica. Muestra o explica tu estrategia. 1. 3 × 82

246 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el problema de multiplicación y otros problemas de multiplicación con los que hayan trabajado antes. Pídales que muestren sus estrategias para hallar el producto. Permita que seleccionen sus propias estrategias para hallar la solución usando lo que saben acerca de las estrategias de multiplicación y el valor posicional.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para apoyar a sus estudiantes en la conversación acerca de su trabajo y el de otros y otras, considere repasar la frase separar y distribuir con anticipación. Sus estudiantes usaron esta frase en 3.er grado para describir la propiedad distributiva de la multiplicación. También usaron diferentes representaciones para demostrarla. La definición de la propiedad distributiva de la multiplicación se formalizará en la lección 5.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan sus estrategias en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajos que contribuyan a promover el objetivo de la lección de usar la comprensión del valor posicional para descomponer números con el fin de multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo se descompone 82 en partes más pequeñas y cómo se multiplican esas partes. Los ejemplos de trabajo de sus estudiantes demuestran la aplicación de las estrategias de multiplicación aprendidas previamente a un número más grande. Tabla de valor posicional y forma unitaria

Decenas

Unidades

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige una estrategia y usa lo que sabe sobre la multiplicación y el valor posicional para hallar 3 × 82.

Modelo de área

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué tipo de imagen o diagrama podría ayudarles a hallar 3 × 82?

3 × 80 = 240 3×2=6 240 + 6 = 246

3 2

• ¿Por qué eligieron esa estrategia? ¿Funcionó la estrategia?

3 Separar y distribuir

3 × 82 = (3 (3 × 8 decenas) + (3 × 2 unidades) = 24 decenas + 6 unidades = 240 + 6 = 246

3 × (80 + 2) = (3 × 80) + (3 × 2) = 240 + 6 = 246

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

Compartir, comparar y conectar La clase comparte y compara las estrategias para hallar la solución y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos compartidos que muestran las diferentes estrategias para hallar la solución de la menos eficiente a las más eficiente. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y la estrategia que usó para hallar el producto. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre sus trabajos y las diferentes estrategias para hallar la solución. Anime a sus estudiantes a que hagan preguntas. El ejemplo de conversación demuestra preguntas que invitan a razonar y a conectar. Tabla de valor posicional y forma unitaria (Método de Robin) ¿Cuál fue tu estrategia, Robin? Separé 82 en 8 decenas y 2 unidades. Luego, usé una tabla de valor posicional para multiplicar.

Decenas

Unidades

¿Cómo mostraste cada parte de 82 multiplicada por 3? Mostré 3 grupos de 8decenas y 3 grupos de 2unidades en la tabla de valor posicional. Luego, multipliqué 8 decenas por 3 y 2 unidades por 3 en lugar de contar todos los puntos. Sumé las partes para hallar el producto. ¿Cómo te ayudó a multiplicar escribir 82 en forma unitaria? Puedo multiplicar cada unidad de valor posicional y expresar en forma estándar los números que están en forma unitaria.

DUA: Representación Considere destacar características importantes. Invite a sus estudiantes a que identifiquen dónde se muestran 3 grupos de 82 en cada ejemplo de trabajo.

3 × 82 = (3 (3 × 8 decenas) + (3 × 2 unidades) = 24 decenas + 6 unidades = 240 + 6 = 246

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Robin y sus propios trabajos.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 Modelo de área (Método de Jayla) ¿Cuál fue tu estrategia, Jayla?

Hice un modelo de área con cada parte de 82. Hice que las longitudes fueran 80 y 2.

¿Cómo mostraste cada parte de 82 multiplicada por 3?

3 × 80 = 240 3×2=6 240 + 6 = 246

Nota para la enseñanza Para el modelo de área, la clase también podría dibujar un rectángulo y separarlo en dos rectángulos más pequeños.

Hice que el ancho de cada rectángulo sea 3. Luego, escribí una ecuación de multiplicación para cada rectángulo y sumé los productos. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el trabajo de Jayla y el trabajo de Robin? Jayla no dibujó todos los puntos en la tabla de valor posicional. En su lugar, dibujó rectángulos. Robin escribió ecuaciones en forma unitaria y en forma estándar. Jayla solo escribió ecuaciones en forma estándar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Jayla y sus propios trabajos. Separar y distribuir (Método de Adam) ¿Cuál fue la estrategia de Adam?

Usó un vínculo numérico para separar 82 en 80 y 2. ¿Dónde vemos cada parte de 82 multiplicada por 3 en el trabajo de Adam?

3 × (80 + 2) = (3 × 80) + (3 × 2) = 240 + 6 = 246

Podemos ver que escribió dos expresiones de multiplicación, 3 × 80 y 3 × 2. Luego, sumó los productos.

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el trabajo de Adam y el trabajo de Jayla? Adam hizo un vínculo numérico. Jayla dibujó rectángulos. Adam empezó escribiendo una expresión para mostrar que 80 y 2 se multiplican por 3. Jayla escribió una ecuación para 3 × 80 y una ecuación para 3 × 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Adam y sus propios trabajos. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usó el valor posicional en cada estrategia. Se separó 82 en partes usando el valor posicional en cada caso. En cada estrategia, las decenas y las unidades se multiplicaron y, luego, se sumaron. Separar el número en partes usando el valor posicional y multiplicar cada parte ayudó a cada estudiante a multiplicar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la estrategia que les gustaría usar para el siguiente problema y por qué usar esa estrategia puede ayudarles a ser más eficientes.

Aplicar una estrategia nueva para multiplicar La clase elige una estrategia diferente para multiplicar y razona acerca de la eficiencia de su estrategia.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, sus estudiantes multiplicaban usando otras estrategias, como la suma repetida y los dibujos de matrices. Si bien esas estrategias pueden usarse para multiplicar con precisión, generalmente no son las más eficientes. Apoye a sus estudiantes para que mejoren sus estrategias. Pídales que identifiquen las semejanzas que hay entre sus estrategias y las que podrían resultar más eficientes.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. 2. 6 veces 37

222 Dé a la clase 3 minutos para representar el problema usando una estrategia diferente a la que usaron para el problema anterior. Pida a la clase que muestre su razonamiento. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Seleccione trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias usadas en este problema y el anterior.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas.

30 6 7

6 × 30 = 180 6 × 7 = 42 180 + 42 = 222

6 × (30 + 7) = (6 × 30) + (6 × 7) = 180 + 42 = 222

A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que muestre una mayor eficiencia con respecto al problema anterior. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a reflexionar acerca de la estrategia que eligieron y cómo influenció su trabajo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

¿Qué estrategias ven en este trabajo? Veo que ambas estrategias usan un apoyo visual para mostrar cómo separar 37 en partes. Una estrategia es escribir dos oraciones de multiplicación, una para cada parte de 37. ¿Qué diferencia produce separar el número en partes cuando multiplicamos?

Considere apoyar las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus estrategias.

Separar el número en partes hace que los problemas sean más simples y fáciles de multiplicar. ¿Qué estrategia que usamos hoy les pareció más eficiente? ¿Por qué fue eficiente? Separé 37 en 30 y 7 usando un vínculo numérico. Luego, multipliqué cada parte por 6. Separar 37 usando el vínculo numérico me ayudó a hallar más rápido la respuesta porque sé cómo multiplicar 30 por 6 y 7 por 6.

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4

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Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las estrategias usadas para 3 × 82 y 6 veces 37. Dibujé un modelo de área para el segundo problema. Hay que dibujar menos para hacer un modelo de área que para hacer una tabla de valor posicional. En ambos problemas, multipliqué las decenas y las unidades. Luego, sumé. En cada caso, pude ver el problema como si fueran dos expresiones de multiplicación que podían sumarse. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la manera en que separar un número en partes les ayudó a multiplicar con eficiencia.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar usando estrategias conocidas Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Organice una conversación acerca de las estrategias de multiplicación. ¿Qué estrategia les resultó más eficiente cuando hallaron el producto de 67 y 6 en el Grupo de problemas? ¿Por qué? El modelo de área me resultó la estrategia más eficiente. Pude ver fácilmente cuáles eran las dos partes que debía multiplicar. Fue más eficiente separar el problema en dos ecuaciones de multiplicación que hacer un dibujo.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 4 ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de la multiplicación para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito? Podemos probar todos los modelos que usamos con factores más pequeños, como dibujar un modelo de área, para trabajar con estos factores más grandes. Podemos expresar un número con otro nombre usando la forma unitaria para hacer que una ecuación sea más fácil de multiplicar. Puedo separar y distribuir para que el problema tenga operaciones que conozco. ¿Es útil separar un factor en partes para multiplicar con eficiencia? ¿Por qué? Sí. Es útil separar un factor en números con los que ya sé multiplicar con eficiencia. Sí, porque es más eficiente crear problemas de multiplicación más simples que dibujar modelos. Puedo separar el factor en decenas y unidades para hacer ecuaciones de multiplicación. Me resulta eficiente pensar en las ecuaciones en forma unitaria.

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Nombre

Fecha

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3. Halla 67 × 6 usando dos estrategias diferentes. Coloca una estrella junto a la estrategia que te resulta más eficiente.

Multiplica. Muestra o explica tu estrategia.

1. 3 veces 47 Decenas

Unidades

6 6 × 60 = 360

6 × (60 + 7) = (6 × 60) + (6 × 7)

6 × 7 = 42 360 + 42 = 402

= 360 + 42 = 402

3 × 4 decenas + 3 × 7 unidades = 12 decenas + 21 unidades = 120 + 21 = 141

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 4. Pablo tiene 35 veces la cantidad de canicas que tiene su hermano. Su hermano tiene 8 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Pablo?

8 × 35 = 280

2. 4 veces tan largo como 64 metros

Pablo tiene 280 canicas.

64 60

4 × (60 + 4) = (4 × 60) + (4 × 4) = 240 + 16 = 256

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 5

Multiplicar usando estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

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Nombre

Fecha

Dibuja en la tabla de valor posicional para representar la expresión 3 × 41. Completa las ecuaciones. Decenas

Unidades

3 × 41 = 3 × (

decenas +

decenas) + (3 ×

= (3 ×

decenas) + (

120

123

La clase dibuja en una tabla de valor posicional para representar la multiplicación de un número de dos dígitos por un número de un dígito. Descomponen un factor de dos dígitos en unidades de valor posicional para usar la propiedad distributiva y multiplicarlo por un número de un dígito. Usan también la forma unitaria en ecuaciones para representar la propiedad distributiva. En esta lección se formalizan los términos producto parcial y propiedad distributiva.

Preguntas clave

unidad) 1

Vistazo a la lección

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de multiplicar por unidades de valor posicional para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito?

unidad)

unidades)

• ¿Por qué usamos la propiedad distributiva para hallar productos parciales cuando multiplicamos un número de dos dígitos por un número de un dígito?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Usar la tabla de valor posicional para multiplicar

Estudiantes • ninguno

• Usar el valor posicional y la propiedad distributiva para multiplicar • Expresar productos parciales con otro nombre • Grupo de problemas

Concluir 10 min

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Fluidez

Respuesta a coro: Convertir unidades de longitud del sistema métrico La clase convierte metros a centímetros o kilómetros a metros para adquirir fluidez en la expresión de medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1. Muestre la tabla. ¿Cuántos centímetros equivalen a 1 metro? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Metros

Centímetros

100

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

100 centímetros Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Metros

Centímetros

Kilómetros

Metros

100

1,000

200

2,000

500

4,000

700

8,000

900

10,000

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Contar de 3 decenas en 3 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 3 decenas en unidad de 3 decenas, en formas unitaria y estándar, del 150 al 300 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de tres en tres del 15 al 30. ¿Comenzamos?

15, 18, 21, 24, 27, 30 30, 27, 24, 21, 18, 15 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 3 decenas en 3 decenas, desde 15 decenas hasta 30 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 15 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

15 decenas, 18 decenas..., 27 decenas, 30 decenas 30 decenas, 27 decenas..., 18 decenas, 15 decenas

15 decenas 18 decenas 21 decenas 24 decenas 27 decenas 30 decenas

150

180

210

240

270

300

Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 3 decenas en 3 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 150. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

150, 180, 210, 240, 270, 300 300, 270, 240, 210, 180, 150

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar y sumar La clase multiplica decenas y unidades en forma unitaria, escribe ecuaciones en forma estándar y suma dos productos para adquirir fluidez con las estrategias de valor posicional al multiplicar. Muestre 2 × 3 decenas =

¿Cuánto es 2 × 3 decenas en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 decenas © Great Minds PBC

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 Muestre la respuesta.

Nota para la enseñanza

Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta: 2 × 30 = 60.

2 × 3 decenas = 6 decenas

Repita el proceso con

2 × 4 unidades =

2 × 4 unidades = 8 unidades

2 × 30 = 60

Pida a sus estudiantes que no borren sus pizarras blancas hasta que hayan resuelto la ecuación final.

2×4=8

Muestre (2 × 30) + (2 × 4). Escriban el valor de la expresión.

(2 × 30) + (2 × 4)

Muestre el valor de cada parte y, luego, el valor total.

60 + 8 68

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

2 × 4 decenas = 8 decenas

3 × 3 decenas = 9 decenas

4 × 5 decenas = 20 decenas

2 × 6 unidades = 12 unidades

3 × 2 unidades = 6 unidades

4 × 4 unidades = 16 unidades

(2 × 40) + (2 × 6) 80 + 12 92

(3 × 30) + (3 × 2) 90 + 6 96

(4 × 50) + (4 × 4) 200 + 16 216

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Presentar

La clase participa de una conversación acerca de cómo descomponer un factor para multiplicar. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre las imágenes del vínculo numérico, el diagrama de cinta y las ecuaciones.

Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de las imágenes, pero una cuarta no pertenezca.

4 × 31

4 × 31 = (4 × 3 decenas) + (4 × 1 unidad)

4 × 25

4 × 31 30

4 × 30

4×6

1 1 1 1

4 × 31 = 4 × (30 + 1)

4×1

Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a explicar las categorías que eligieron y a justificar por qué una imagen no pertenece al grupo. Destaque respuestas que enfaticen el razonamiento sobre descomponer un factor para multiplicar. Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas. Considere hacer las siguientes preguntas para guiar la conversación. ¿Cuál no pertenece al grupo? La ecuación de la imagen A no pertenece al grupo porque es la única que usa la forma unitaria. El diagrama de cinta no pertenece al grupo porque es el único que muestra los grupos reales. Se pueden ver 4 grupos de 30 y 4 grupos de 1. La ecuación de la imagen D no pertenece al grupo porque es la única que muestra 31 como 30 + 1. El vínculo numérico no pertenece al grupo porque es el único que no muestra 31 descompuesto en 30 y 1. ¿Por qué piensan que 31 está descompuesto en las 4 imágenes? Para que multiplicar sea más fácil

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 ¿Qué observan acerca de la manera en que 31 se descompone en las imágenes A, C y D? Todas muestran 31 descompuesto en 30 y 1. Todas muestran 31 descompuesto en decenas y unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué piensan que la mayoría de las imágenes muestran 31 descompuesto en decenas y unidades. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

DUA: Acción y expresión

Hoy, usaremos las unidades de valor posicional para descomponer un factor y multiplicar.

Aprender

Considere proporcionar a sus estudiantes una tabla de valor posicional rotulada para que usen a lo largo de la lección. Esto puede reducir la exigencia de motricidad fina de tener que dibujar una tabla de valor posicional para cada problema.

Usar la tabla de valor posicional para multiplicar La clase dibuja en una tabla de valor posicional como ayuda para multiplicar e identificar los productos parciales. Escriba 4 × 12 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Dibujemos una tabla de valor posicional y representemos 12 usando decenas y unidades. Dibuje una tabla de valor posicional rotulada y puntos para representar 1 decena y 2 unidades. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale 4 × 12 mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántos grupos de 12 necesitamos representar en la tabla de valor posicional?

DUA: Representación Considere encerrar en un círculo los grupos de 12 en la tabla de valor posicional. Esto puede ayudar a que sus estudiantes vean 4 grupos de 12. También es necesario que sus estudiantes vean 4 grupos de 1 decena y 4 grupos de 2 unidades. Considere usar un color diferente para encerrar en un círculo los grupos. Luego, escriba las expresiones debajo de la tabla de valor posicional.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 Dibuje 3 filas más de 1 decena y 2 unidades en la tabla de valor posicional. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el primer factor de la expresión, 4, mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo ven representado el factor 4 en la tabla de valor posicional?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere rotular 40 y 8 como productos parciales.

Hay 4 grupos horizontales. Señale el segundo factor de la expresión, 12, mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo ven representado el factor 12 en la tabla de valor posicional? El tamaño de cada grupo es 12. Cada grupo tiene 1 decena y 2 unidades. ¿Cómo usamos las unidades de valor posicional para descomponer 12? Descompusimos 12 en 1 decena y 2 unidades. Cuando descomponemos un factor y lo multiplicamos por otro factor, obtenemos productos parciales. Sumamos los productos parciales para hallar el producto de los factores dados. En la posición de las decenas de la tabla de valor posicional, veo el producto parcial de 40. 4 grupos de 1 decena es 40. ¿Dónde ven otro producto parcial en la tabla de valor posicional? En la posición de las unidades, veo el producto parcial de 8 porque hay 4 grupos de 2 unidades. En la tabla de valor posicional, escriba 40 debajo de la columna de las decenas y 8 debajo de la columna de las unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar los productos parciales para hallar el producto de 4 y 12. ¿Cómo nos ayudan los productos parciales a hallar el producto de 4 y 12? Podemos sumar los productos parciales: 40 + 8 = 48. Ese es el número que se representa en la tabla de valor posicional.

En líneas generales, se puede definir producto y productos parciales como una expresión de multiplicación o el valor de una expresión de multiplicación, o se los puede definir en sentido estricto como el valor de una expresión de multiplicación. Según la definición general, tanto 4 × 1 decena como 40 serían considerados productos parciales. Según la definición más estricta, 40 se considera un producto parcial, pero 4 × 1 decena no. En general, se usa la definición más estricta en 4.o grado. Considere mostrar a sus estudiantes la definición más general como preparación para su uso en grados posteriores.

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 Escriba + e = 48 para completar la ecuación. ¿Cuánto es 4 × 12?

Nota para la enseñanza

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo ven los productos parciales cuando dibujan en la tabla de valor posicional para multiplicar.

La actividad digital interactiva de Multiplicación en la tabla de valor posicional de 2 columnas brinda apoyo a la comprensión de la clase de la descomposición de un factor en decenas y unidades de manera pictórica y algebraica.

Usar el valor posicional y la propiedad distributiva para multiplicar

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera independiente o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Use el mismo proceso para hallar 3 × 43.

La clase dibuja en una tabla de valor posicional y escribe ecuaciones para usar la propiedad distributiva y multiplicar. Escriba 2 × 34. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, pídales que dibujen en la tabla de valor posicional para representar la expresión. Haga lo mismo y, luego, use la siguiente secuencia para guiar a sus estudiantes a que escriban ecuaciones para representar los productos parciales. Señale el primer factor de la expresión, 2, mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo ven representado el factor en la tabla de valor posicional? Hay 2 grupos horizontales. Señale el segundo factor de la expresión, 34, mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cómo ven representado el factor en la tabla de valor posicional? El tamaño de cada grupo horizontal es 34. Cada grupo tiene 3 decenas y 4 unidades. ¿Cómo usamos las unidades de valor posicional para descomponer 34? Descompusimos 34 en 3 decenas y 4 unidades.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa la propiedad distributiva para multiplicar dibujando en una tabla de valor posicional y escribiendo las ecuaciones correspondientes. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿En qué les ayuda lo que saben acerca de representar 2 × 34 en la tabla de valor posicional a escribir una ecuación que muestre la descomposición del factor 34? • ¿En qué les ayuda lo que saben sobre multiplicar en forma unitaria a hallar el producto?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 Escribamos una ecuación que represente que 2 × 34 tiene el mismo valor que 2 grupos de 3 decenas y 4 unidades. Escriba 2 × 34 = 2 × (3 decenas + 4 unidades) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale las decenas en la tabla de valor posicional mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántos grupos de 3 decenas ven?

2 Escriba = (2 × 3 decenas) debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale las unidades en la tabla de valor posicional mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántos grupos de 4 unidades ven?

2 Escriba + (2 × 4 unidades) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación que hay entre 2 × (3 decenas + 4 unidades) y (2 × 3 decenas) + (2 × 4 unidades).

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere trabajar con sus estudiantes para crear un afiche de referencia que destaque la propiedad distributiva mostrando la descomposición de un factor en dos partes y la multiplicación de ambas partes por el otro factor, lo que da como resultado el producto.

En la tabla de valor posicional y en la ecuación, descompusimos un factor, 34, y multiplicamos cada parte por el otro factor, 2. Cuando descomponemos un factor y multiplicamos cada parte por el otro factor y, luego, sumamos, estamos usando la propiedad distributiva. Señale (2 × 3 decenas) + (2 × 4 unidades) mientras hace las siguientes dos preguntas. ¿Cuánto es 2 × 3 decenas en forma unitaria?

6 decenas Escriba = (6 decenas) debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto es 2 × 4 unidades en forma unitaria?

8 unidades

El nombre completo de la propiedad es propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma porque ambas operaciones deben estar presentes para aplicar la propiedad. En 4.o grado, es aceptable que la clase se refiera a la propiedad como propiedad distributiva.

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

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Escriba + (8 unidades) y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Dónde ven 6 decenas en la tabla de valor posicional? ¿Y 8 unidades? Hay un total de 6 decenas en la posición de las decenas. Hay un total de 8 unidades en la posición de las unidades. Señale 6 decenas + 8 unidades mientras hace las siguientes dos preguntas. ¿Cuál es el valor de 6 decenas?

60 Escriba = 60 debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuál es el valor de 8 unidades?

8 Escriba + 8 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto es 60 + 8?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere agregar el término productos parciales al afiche de referencia de la propiedad distributiva. Resalte y rotule los productos parciales.

Escriba = 68 debajo de la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuánto es 2 × 34?

68 ¿Qué dos productos parciales sumamos para hallar 2 × 34?

6 decenas y 8 unidades 60 y 8 Resalte 6 decenas, 8 unidades, 60 y 8 en las ecuaciones y, luego, pida a sus estudiantes que observen la tabla de valor posicional.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 Cuando usamos la propiedad distributiva para multiplicar, también obtenemos productos parciales. ¿Dónde ven los productos parciales en la tabla de valor posicional? En la posición de las decenas, veo el producto parcial de 60 porque hay 2 grupos de 3 decenas. En la posición de las unidades, veo el producto parcial de 8 porque hay 2 grupos de 4 unidades. Escriba 60 + 8 = 68 debajo de la tabla de valor posicional. ¿Cómo nos ayudan los productos parciales a hallar el producto de 2 × 34? Podemos hallar los dos productos más pequeños y sumarlos para hallar el producto de 2 × 34.

Use un proceso similar para hallar 3 × 23. Muestre la imagen de los vínculos numéricos donde se ven dos maneras diferentes de descomponer 23.

23 15

23 8

Los vínculos numéricos muestran dos maneras diferentes de descomponer 23. ¿Por qué piensan que usamos las unidades de valor posicional para descomponer 23?

× ×

Sabemos cómo multiplicar en forma unitaria usando decenas y unidades. Es más fácil usar el cálculo mental al multiplicar usando las unidades de valor posicional. Solo tenemos que pensar en dos productos parciales cuando descomponemos en decenas y en unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar las unidades de valor posicional para descomponer un factor y aplicar la propiedad distributiva para multiplicar.

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4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

Expresar productos parciales con otro nombre La clase usa la propiedad distributiva para multiplicar y expresa decenas en productos parciales como centenas y decenas. Escriba 3 × 42 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a trabajar en parejas para hacer un dibujo y representar 3 grupos de 42 en una tabla de valor posicional. Muestre una tabla de valor posicional donde se vea 3 × 42. ¿Cómo está representado el primer factor en la tabla de valor posicional? Hay 3 grupos. ¿Cómo está representado el segundo factor en la tabla de valor posicional? El tamaño de cada grupo es 42. Cada grupo tiene 4 decenas y 2 unidades.

Diferenciación: Desafío Considere pedir a sus estudiantes que usen las siguientes pautas al escribir sus propias expresiones de multiplicación: • La expresión debe ser un número de un dígito por un número de dos dígitos. • No es necesario expresar las unidades como decenas ni las decenas como centenas. • El factor de dos dígitos no puede expresarse solo como decenas (p. ej., 50). Luego de escribir la expresión, sus estudiantes pueden usar la propiedad distributiva para hallar el producto.

¿Cómo usaron las unidades de valor posicional para descomponer 42? Descompusimos 42 en 4 decenas y 2 unidades. Pida a las parejas que escriban una ecuación que represente que 3 × 42 tiene el mismo valor que 3 grupos de 4 decenas y 2 unidades. Invite a sus estudiantes a compartir las ecuaciones. ¿Qué dos expresiones representan cómo podemos usar la propiedad distributiva para obtener dos productos parciales?

3 × 4 decenas y 3 × 2 unidades Escriba = (3 × 4 decenas) + (3 × 2 unidades) debajo de la ecuación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a las parejas de estudiantes a hallar los productos parciales en forma unitaria. ¿Cuáles son los productos parciales?

12 decenas y 6 unidades Escriba = (12 decenas) + (6 unidades) debajo de la ecuación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a las parejas de estudiantes a que, para terminar el ejercicio, expresen cada sumando con otro nombre en forma estándar y sumen para hallar el total.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5 ¿Cuánto es 3 × 42?

126 Usemos la tabla de valor posicional para comprobar nuestra respuesta. ¿Dónde ven los productos parciales en la tabla de valor posicional? En la posición de las decenas, veo 12 decenas porque hay 3 grupos de 4 decenas. En la posición de las unidades, veo 6 unidades porque hay 3 grupos de 2 unidades. ¿Podemos componer una unidad de valor posicional más grande en alguno de los productos parciales? ¿Cómo? Sí. Podemos expresar 12 decenas como 1 centena y 2 decenas en nuestra ecuación. Sí. Podemos reagrupar 10 decenas para componer 1 centena en la tabla de valor posicional. Dibuje y rotule la columna de las centenas en la tabla de valor posicional. Luego, dibuje para reagrupar y escriba una ecuación usando el valor de cada posición para mostrar el total. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Revise la ecuación de la propiedad distributiva para que coincida. Considere pedir a sus estudiantes que hagan lo mismo. El producto no cambia si componemos una unidad de valor posicional más grande en la tabla de valor posicional o en la ecuación para los productos parciales. Invite a las parejas de estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre la tabla de valor posicional y las ecuaciones.

DUA: Representación Es posible que sus estudiantes quieran componer unidades de valor posicional más grandes en la tabla de valor posicional y en las ecuaciones para mostrar, por ejemplo, que 12 decenas es igual a 1 centena y 2 decenas. Considere mostrar un trabajo que reagrupe el producto parcial y, en paralelo, otro que no lo reagrupe. Invite a sus estudiantes a que observen la flexibilidad que hay para representar y escribir decenas y unidades o centenas, decenas y unidades. Brinde apoyo a sus estudiantes para que justifiquen cómo sus representaciones y notaciones de los productos parciales coinciden con el producto final.

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

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Tanto la tabla de valor posicional como las ecuaciones muestran cómo descompusimos 42 en decenas y unidades. Las ecuaciones muestran que multiplicamos las decenas y las unidades por 3. Reagrupamos en la tabla de valor posicional y expresamos los números de nuestras ecuaciones con otro nombre para obtener el mismo producto, 126. Podemos ver la propiedad distributiva y los productos parciales en la tabla de valor posicional y en nuestras ecuaciones. Muestran la misma cantidad, pero la tabla de valor posicional usa dibujos, mientras que las ecuaciones usan números. Use un proceso similar para hallar 4 × 51. Invite a las parejas de estudiantes a reunirse y conversar acerca de cómo saben cuándo usar unidades de valor posicional más grandes para expresar un producto parcial con otro nombre.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar usando estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la descomposición de un factor en unidades de valor posicional y el uso de la propiedad distributiva para multiplicar. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de multiplicar por unidades de valor posicional para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito? Podemos descomponer un factor en decenas y unidades. Sabemos cómo multiplicar por decenas y unidades, entonces podemos hallar esos productos parciales. Luego, podemos sumarlos. Sabemos cómo multiplicar por decenas y unidades. Podemos descomponer un factor en unidades de valor posicional y usar la forma unitaria como ayuda para multiplicar por decenas y unidades. ¿Por qué usamos la propiedad distributiva para hallar productos parciales cuando multiplicamos un número de dos dígitos por un número de un dígito? La propiedad distributiva nos ayuda a descomponer un factor en partes que nos resultan más fáciles de multiplicar por el otro factor. Se pueden sumar los productos parciales para hallar el producto. Nos ayuda a multiplicar números más grandes. Podemos descomponer un factor para hacer operaciones que conocemos y para hallar los productos parciales. Luego, podemos sumarlos para hallar el producto.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

Dibuja en la tabla de valor posicional para representar la expresión. Completa las ecuaciones. 3. 4 × 21

Dibuja en la tabla de valor posicional como ayuda para multiplicar. Luego, completa la ecuación. El problema 1 ya está empezado como ejemplo.

Decenas

Unidades

1. 3 × 32 Decenas

Unidades

4 × 21 = 4 × (2 decenas + 1 unidad) = (4 × 90

decenas) + (4 × decenas) + (

unidad)

unidades)

4. 5 × 41 Decenas

2. 4 × 32 Decenas

Unidades

5 × 41 = 5 × ( 4 decenas + 1 unidad ) 120

100

128

200

205

decenas) + (

decenas) + ( +

unidad)

unidades)

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 5

Usa la propiedad distributiva para multiplicar. 5. 2 × 22 = 2 × (20 + 2)

6. 4 × 22 = 4 × (

= (2 × 20) + (2 × 2)

= (4 ×

) + (4 ×

8. 5 × 81 =

×(

7. 4 × 62 = 4 × (

)

248

) 2

)

405

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 9. La maestra Wong compra 8 juegos para el recreo. Cada juego cuesta $41. ¿Cuál es el costo total de los juegos?

8 × 41 = 328 El costo total de los juegos es $328.

GRUPO DE PROBLEMAS

101

LECCIÓN 6

Multiplicar usando la reagrupación, y mediante el uso de estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

Dibuja en la tabla de valor posicional para representar la expresión 4 × 43. Completa las ecuaciones. Decenas

Unidades

Vistazo a la lección La clase usa la propiedad distributiva para multiplicar números de dos dígitos por números de un dígito. Representan la multiplicación en una tabla de valor posicional y con ecuaciones. Expresan con otro nombre o reagrupan decenas y unidades en productos parciales para hallar el producto final. También analizan trabajos que aplican la propiedad distributiva de diferentes maneras.

Pregunta clave 4 × 43 = 4 × (

decenas +

= (4 ×

decenas) + (4 ×

160

172

decenas) + ( +

unidades) 3

• ¿Por qué es útil el valor posicional cuando se aplica la propiedad distributiva para multiplicar?

unidades)

Criterio de logro académico

4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • La propiedad distributiva y la expresión de unidades con otro nombre

Estudiantes • ninguno

• La propiedad distributiva y la expresión de unidades y decenas con otro nombre • Sumar productos parciales en diferente orden • Grupo de problemas

Concluir 10 min

103

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Restar hasta 1,000,000 La clase usa el algoritmo convencional al restar números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con los métodos de resta aprendidos en el módulo 1. Muestre 82,516 − 12,405 =

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

82,516 − 12,405 = 70,111 82,516 − 12,405 70,111

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la diferencia y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

63,379 − 29,354 =

104

34,025

433,809 − 271,103 = 162,706

759,746 − 137,881 = 621,865

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Respuesta a coro: Convertir unidades de peso del sistema métrico La clase convierte kilogramos a gramos para adquirir fluidez en la expresión de medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1. Muestre la tabla. ¿Cuántos gramos equivalen a 1 kilogramo? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Kilogramos

Gramos

1,000

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1,000 gramos Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Kilogramos

Gramos

Kilogramos

Gramos

1,000

11,000

2,000

15,000

7,000

18,000

9,000

20,000

10,000

50,000

Contar de 4 decenas en 4 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 4 decenas en unidad de 4 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 200 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de cuatro en cuatro del 0 al 20. ¿Comenzamos?

0, 4, 8, 12, 16, 20 20, 16, 12, 8, 4, 0

105

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 4 decenas en 4 decenas, desde 0 decenas hasta 20 decenas en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 4 decenas..., 16 decenas, 20 decenas 20 decenas, 16 decenas..., 4 decenas, 0 decenas Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 4 decenas en 4 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 40, 80, 120, 160, 200 200, 160, 120, 80, 40, 0

0 decenas 4 decenas 8 decenas 12 decenas 16 decenas 20 decenas

Presentar

120

160

200

La clase analiza y expresa los números con otro nombre en forma unitaria con 10 o más decenas o unidades. Muestre la imagen de los números en forma unitaria. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los números. Todos los números tienen decenas y unidades.

9 decenas y 3 unidades 15 decenas y 6 unidades 12 decenas y 18 unidades

Algunos de los números de las unidades de valor posicional tienen 1 dígito y algunos, 2 dígitos. Todos los números de las unidades de valor posicional son múltiplos de 3: 3 × 3 = 9, 3 × 5 = 15.

106

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 Dé a sus estudiantes 1 minuto para que escriban cada número en forma estándar. Muestre los números en forma estándar. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los números en forma unitaria y en forma estándar? Tanto 93 como 156 tienen los mismos dígitos que en la forma unitaria.

9 decenas y 3 unidades = 93 15 decenas y 6 unidades = 156 12 decenas y 18 unidades = 138

93 es el único número de dos dígitos en forma estándar. 156 y 138 son números de tres dígitos. En el caso de 156 y de 138, expresamos 10 decenas como 1 centena. 12 decenas y 18 unidades es el único número en el que tuvimos que expresar las decenas y las unidades con otro nombre. Muestre la imagen de las ecuaciones en la que se ve cómo hallar 3 × 46. ¿Qué observan acerca de los productos parciales? Son los mismos números que los que acabamos de expresar con otro nombre en la forma estándar, 12 decenas y 18 unidades.

3 × 46 = (3 × 4 decenas) + (3 × 6 unidades) = 12 decenas + 18 unidades

Veamos si los productos parciales que tienen 10 o más decenas y 10 o más unidades cambian la manera en que usamos la propiedad distributiva. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos la propiedad distributiva para hallar productos con 10 o más decenas y 10 o más unidades.

107

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Aprender

La propiedad distributiva y la expresión de unidades con otro nombre La clase usa la propiedad distributiva para multiplicar y, luego, expresa las unidades con otro nombre en ecuaciones y las reagrupan en una tabla de valor posicional. Escriba 4 × 23 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que dibujen una tabla de valor posicional rotulada y representen 4 × 23. Haga lo mismo. ¿Cómo representaron 4 en la tabla de valor posicional? Dibujamos 4 grupos. ¿Cómo representaron 23 en la tabla de valor posicional? El tamaño de cada grupo es 23.

Nota para la enseñanza La actividad digital interactiva de Multiplicación en la tabla de valor posicional de 2 columnas brinda apoyo a la comprensión de la clase de la descomposición de un factor en decenas y unidades de manera pictórica y algebraica. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera independiente o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Cada grupo tiene 2 decenas y 3 unidades. ¿Cómo usaron las unidades de valor posicional para descomponer 23? Descompusimos 23 en 2 decenas y 3 unidades. Registre la ecuación mientras sus estudiantes comparten sus ideas y pídales que hagan lo mismo. ¿Qué expresión podemos escribir para hallar el producto parcial de las decenas?

4 × 2 decenas ¿Qué expresión podemos escribir para hallar el producto parcial de las unidades?

4 × 3 unidades Registre las expresiones mientras sus estudiantes comparten sus ideas y pídales que hagan lo mismo. ¿Cómo muestra la ecuación que estamos usando la propiedad distributiva para multiplicar? Muestra que descompusimos 23 en 2 decenas y 3 unidades. También muestra que estamos multiplicando cada parte por el otro factor, 4.

108

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 Invite a la clase a hallar los productos parciales en forma unitaria. ¿Cuáles son los productos parciales?

8 decenas y 12 unidades Escriba = (8 decenas) + (12 unidades) debajo de la ecuación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que terminen el ejercicio mostrando el valor de cada producto parcial y sumando para hallar el total. ¿Cuánto es 4 × 23?

92 Usemos la tabla de valor posicional para comprobar nuestra respuesta. ¿Dónde ven los productos parciales en la tabla de valor posicional?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Los términos expresar con otro nombre y reagrupar se usan a lo largo de la lección. Considere aclarar el significado de estos términos a sus estudiantes. • Expresamos los números con otro nombre. Se puede expresar 12 unidades como 1 decena y 2 unidades. • Reagrupamos en la tabla de valor posicional. Podemos reagrupar 10 unidades para componer 1 decena.

En la posición de las decenas, veo 8 decenas porque hay 4 grupos de 2 decenas. En la posición de las unidades, veo 12 unidades porque hay

4 grupos de 3 unidades.

¿Podemos reagrupar para componer una unidad de valor posicional más grande en la tabla de valor posicional? Sí, podemos reagrupar 10 unidades para componer 1 decena. Pida a sus estudiantes que dibujen para reagrupar 10 unidades como 1 decena y que escriban una ecuación debajo de la tabla de valor posicional usando el valor de cada posición para mostrar el total. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la representación en la tabla de valor posicional coincide con lo que se registró en forma estándar en la ecuación de la propiedad distributiva. Las 4 filas de 2 decenas muestran el producto parcial de 4 × 20, que es 80. Las 4 filas de 3 unidades muestran el producto parcial de 4 × 3, que es 12. Podemos ver los mismos productos parciales en la ecuación de la propiedad distributiva.

109

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 La tabla de valor posicional muestra un total de 9 decenas y 2 unidades, que es la misma cantidad que 92. La ecuación de la propiedad distributiva también muestra que el producto es 92. Reagrupamos 10 unidades como 1 decena en la tabla de valor posicional. Podemos verlo en la ecuación porque 80 + 12 = 92. Expresamos 12 unidades como 1 decena y 2 unidades para sumar los productos parciales. A veces, tenemos que reagrupar o expresar las unidades como decenas y unidades para escribir el producto en forma estándar. Use un proceso similar para hallar 3 × 26. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden expresar unidades como decenas y unidades en productos parciales para hallar el producto de los factores dados.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

La propiedad distributiva y la expresión de unidades y decenas con otro nombre La clase usa la propiedad distributiva para multiplicar y expresar decenas y unidades con otro nombre según sea necesario. Escriba 4 × 34 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que dibujen una tabla de valor posicional rotulada para representar 4 × 34. Use las siguientes preguntas para guiar a la clase a establecer conexiones entre la expresión y la tabla de valor posicional: • ¿Cómo representaron 4 en la tabla de valor posicional? • ¿Cómo representaron 34 en la tabla de valor posicional?

4 x 34

Decenas Unidades

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando representa una expresión de multiplicación en una tabla de valor posicional, reagrupa para componer una unidad más grande en la tabla y, luego, expresa el producto con otro nombre. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿En qué detalles es importante pensar al representar 4 × 34 en una tabla de valor posicional? • ¿Dónde podrían cometer un error al reagrupar para componer una unidad más grande y, luego, expresar el producto con otro nombre?

• ¿Cómo usaron las unidades de valor posicional para descomponer 34?

110

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 Invite a sus estudiantes a que trabajen en parejas para escribir una ecuación que represente los productos parciales, hallen los productos parciales y los sumen para hallar 4 × 34. ¿Cuánto es 4 × 34?

136

4 x 34 = 4 x (3 (3 decenas + 4 unidades)

= (4 ( 4 x 3 decenas) + (4 ( 4 x 4 unidades) = (12 ( 12 decenas + 16 unidades) = 120 + 16 = 136

Usemos la tabla de valor posicional para comprobar nuestra respuesta. ¿Dónde ven los productos parciales en la tabla de valor posicional? En la posición de las decenas, veo 12 decenas porque hay 4 grupos de 3 decenas. En la posición de las unidades, veo 16 unidades porque hay 4 grupos de 4 unidades. ¿Podemos reagrupar para componer una unidad de valor posicional más grande en la tabla de valor posicional? Sí, podemos reagrupar 10 unidades para componer 1 decena. Sí, podemos reagrupar 10 decenas para componer 1 centena.

4 x 34

Centenas Decenas Unidades

Pida a sus estudiantes que dibujen para reagrupar 10 unidades como 1 decena y 10 decenas como 1 centena y que escriban una ecuación debajo de la tabla de valor posicional usando el valor de cada posición para mostrar el total. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar cómo la representación en la tabla de valor posicional coincide con lo que se registró en forma estándar en la ecuación de la propiedad distributiva.

100

=136

La tabla de valor posicional muestra 12 decenas, que es la misma cantidad que 120. También muestra 16 unidades, que es la misma cantidad que 16. Los productos parciales de la ecuación de la propiedad distributiva también son 120 y 16. La tabla de valor posicional muestra un total de 1 centena, 3 decenas y 6 unidades, que es la misma cantidad que 136. La ecuación de la propiedad distributiva también muestra que el producto es 136.

DUA: Representación Considere presentar la ecuación en forma unitaria para ayudar a sus estudiantes a que identifiquen cómo expresar los productos parciales con otro nombre y sumarlos.

Reagrupamos 10 unidades como 1 decena en la tabla de valor posicional. También reagrupamos 10 decenas como 1 centena en la tabla de valor posicional. Podemos verlo en la ecuación de la propiedad distributiva porque 120 + 16 = 136. Expresamos 16 unidades como 1 decena y 6 unidades, y 12 decenas como 1 centena y 2 decenas para sumar los productos parciales.

111

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6 A veces, tenemos que reagrupar o expresar las unidades y las decenas con otro nombre para poder escribir el producto en forma estándar. Escriba 3 × 64. Dé a las parejas 2 minutos para: • representar el problema en la tabla de valor posicional;

3 × 64 Decenas Unidades

DUA: Acción y expresión Considere dejar el problema anterior a la vista de sus estudiantes para ayudarles mientras usan la propiedad distributiva para hallar 3 × 64.

• escribir una ecuación que represente cómo usar la propiedad distributiva para multiplicar; • hallar los productos parciales y • sumar los productos parciales para hallar 3 × 64. ¿Cuánto es 3 × 64?

192 ¿Qué estrategia usaron para sumar los productos parciales? Escribimos 180 y 12 en forma vertical y usamos el algoritmo convencional para sumar.

3 × 64 = 3 × ((6 6 decenas + 4 unidades) = (3 (3 × 6 decenas) + (3 × 4 unidades) = (18 (18 decenas + 12 unidades) = 192

Pensamos en 12 como 1 decena y 2 unidades. Luego, contamos desde el 180. Hallamos que 10 más que 180 es 190 y 2 más es 192. Pensamos en cada número en forma unitaria y sumamos las unidades semejantes. 1 centena y 8 decenas + 1 decena y 2 unidades = 1 centena, 9 decenas y 2 unidades.

Diferenciación: Apoyo Considere invitar a sus estudiantes a que dibujen para reagrupar en la tabla de valor posicional, según sea necesario.

Centenas

Decenas

Unidades

¿Cómo les ayuda la tabla de valor posicional a ver que el producto es 192? Muestra 18 decenas y 12 unidades. Podemos expresar 18 decenas y 12 unidades como 1 centena, 9 decenas y 2 unidades, que es la misma cantidad que 192. Si reagrupáramos las unidades y las decenas en la tabla de valor posicional, mostraría 1 centena,

9 decenas y 2 unidades, que es la misma cantidad que 192.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron el valor posicional cuando aplicaron la propiedad distributiva para multiplicar.

112

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Sumar productos parciales en diferente orden La clase analiza trabajos que aplican la propiedad distributiva descomponiendo un factor en diferente orden. Muestre la imagen del trabajo que analizarán. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el uso de la propiedad distributiva.

Método de Oka

3 x 45 = 3 x (40 (40 + 5) = (3 (3 x 40 40)) + (3 (3 x 5)

Método de James

3 x 45 = 3 x (5 + 40) = (3 x 5) + (3 x 40)

Observar y preguntarse ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que ni Oka ni James usaron la forma unitaria. Observo que Oka y James separaron 3 × 45 en dos problemas. Observo que una ecuación muestra 3 × 40 primero. La otra ecuación muestra 3 × 5 primero. Me pregunto si el producto es diferente cuando el orden es diferente.

DUA: Representación

Me pregunto si la propiedad distributiva nos permite multiplicar las unidades primero.

Organizar ¿Qué pasos siguieron Oka y James? ¿Cómo lo saben? Oka separó 45 en 40 y 5. Multiplicó cada parte por 3, comenzando con 40, o las decenas.

Considere destacar las características fundamentales de las ecuaciones. Use un código de colores para representar las partes de 45 y dirigir la atención de sus estudiantes al orden diferente de los factores.

James separó 45 en 40 y 5. Multiplicó cada parte por 3, comenzando con 5, o las unidades. Guíe la conversación para enfocarse en el orden en que están escritas las expresiones de los productos parciales y fomente el razonamiento que les permita a sus estudiantes hacer conexiones con la propiedad distributiva.

113

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

EUREKA MATH2

Mostrar Enfoquémonos en cómo están representados los productos parciales. ¿Cómo están representados los productos parciales en los dos ejemplos de trabajo? Veo que Oka y James escribieron las mismas expresiones para hallar los productos parciales, 3 × 40 y 3 × 5. Veo que Oka y James escribieron las expresiones en diferente orden. Oka halla el producto parcial de las decenas primero y, luego, el de las unidades. James halla el producto parcial de las unidades primero y, luego, el de las decenas.

Sintetizar ¿Qué productos parciales sumará Oka?

120 y 15 ¿Qué productos parciales sumará James?

15 y 120 En sus ecuaciones, los productos parciales tendrán un orden diferente. ¿Sumar los productos parciales en diferente orden cambia el producto final? No. Oka y James obtienen el mismo producto final. 120 + 15 y 15 + 120 tienen la misma respuesta como resultado, 135. No, pueden sumar los productos parciales en cualquier orden. ¿Qué propiedad nos indica que podemos sumar en cualquier orden sin que cambie el total? La propiedad conmutativa de la suma

114

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Comprender ¿Cómo se usa la propiedad distributiva en cada ejemplo de trabajo? En cada ejemplo, se separa 3 × 45 en dos expresiones en las que tanto las decenas como las unidades se multiplican por 3. Los dos productos parciales se suman para hallar la respuesta. Muestre la imagen con las ecuaciones A a D. Asigne parejas para cada una de las ecuaciones, A a D, y pídales que usen la propiedad distributiva para hallar 27 × 5 o 5 × 27.

A. 27 × 5 = (20 + 7) × 5

Para cada ecuación, invite a una pareja de estudiantes a que comparta su trabajo.

C. 5 × 27 = 5 × (20 + 7)

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian las ecuaciones, los productos parciales y los productos.

B. 27 × 5 = (7 + 20) × 5 D. 5 × 27 = 5 × (7 + 20)

5 × 27 y 27 × 5 tienen el mismo producto. Todos separamos 27 en partes, pero lo escribimos en algunos casos como el primer factor y, en otros, como el segundo factor. Hubo casos en que separamos 27 en 20 + 7 y otros casos en que separamos 27 en 7 + 20. Los productos parciales son 35 y 100 en los cuatro casos. El orden en el que multiplicamos y sumamos no cambió los productos parciales. La propiedad conmutativa de la suma nos indica que podemos sumar en cualquier orden sin que cambie el total. La propiedad conmutativa de la multiplicación nos indica que podemos multiplicar en cualquier orden sin alterar el producto. Podemos usar la propiedad distributiva para descomponer cualquier factor. Usar las tres propiedades juntas nos da la posibilidad de multiplicar dos números de muchas maneras.

Grupo de problemas

Nota para la enseñanza Descomponer cualquier factor usando la propiedad distributiva (estrategia de separar y distribuir) es una estrategia conocida a partir de 3.er grado.

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

115

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar usando la reagrupación, y mediante el uso de estrategias de valor posicional y la propiedad distributiva Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso del valor posicional y la propiedad distributiva para multiplicar. Muestre la imagen del ejemplo de trabajo.

(

Observemos la solución de un o una estudiante para el problema 4 del Grupo de problemas. ¿Cuál es el error que se ve en el trabajo?

unidades) = 4 × 35

decenas) + (

unidades) =

decenas) + ( (

120 +

Sumó los productos parciales de manera incorrecta. La respuesta debería ser 140.

122

¿De qué manera pensar en el valor posicional podría ayudar a la o el estudiante a corregir el error? Sumó 2 unidades en lugar de 2 decenas. Debe sumar 2 decenas y 2 decenas. ¿De qué manera usó el valor posicional correctamente en su trabajo? Multiplicó las decenas y las unidades correctamente.

4 × 3 decenas = 12 decenas o 120. 4 × 5 unidades = 20 unidades o 20. ¿Por qué es útil el valor posicional cuando se usa la propiedad distributiva para multiplicar? El valor posicional nos ayuda a separar uno de los factores que estamos multiplicando en decenas y unidades. El valor posicional nos ayuda a sumar las unidades de valor posicional correctas en los productos parciales. El valor posicional también nos ayuda a expresar las unidades de valor posicional con otro nombre. Podemos expresar 12 decenas como 1 centena y 2 decenas y podemos expresar 20 unidades como 2 decenas.

116

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

3. 4 × 24 Decenas

Unidades

Dibuja en la tabla de valor posicional para representar la expresión. Completa las ecuaciones. 1. 3 veces 42 Decenas

Unidades

(

× 2 decenas) + ( (

decenas) + (

× 4 unidades) = 4 × 24 16

unidades) =

3 × 42 = (3 × 4 decenas) + (3 × 2 unidades) =(

decenas) + (

unidades)

= 120 + =

126 4. 4 × 35 Decenas

2. 3 veces 24 Decenas

Unidades

(

decenas) + ( (

3 × 24 = (3 ×

decenas) + (3 × decenas) + (

Unidades

unidades)

unidades) = 4 × 35

decenas) + (

unidades) =

120

140

GRUPO DE PROBLEMAS

117

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 6

Usa la propiedad distributiva para multiplicar. 5. 3 × 51 = 3 × (50 + 1)

6. 4 × 23 = 4 × (

= (3 × 50) + (3 × 1)

= (4 ×

) + (4 ×

150

153

7. 19 × 5 = (

= (10 ×

) + (9 ×

)×5

) 3

)

8. 56 × 6 = (

)×

)+(

300

336

)

9. Se representa una expresión de multiplicación en la tabla de valor posicional. Tres estudiantes usan la propiedad distributiva para hallar el producto. ¿Quiénes cometieron errores? Explica sus errores.

Decenas

)

Unidades

Trabajo de Eva:

Trabajo de Gabe:

Trabajo de Ray:

53 × 3 = (3 × 30 30)) + (3 × 5) = 90 + 15 = 105

53 × 3 = (5 × 50 50)) + (5 × 3) = 250 + 15 = 265

53 × 3 = (3 × 3) + (3 × 50 50)) = 9 + 150 = 159

Eva y Gabe cometieron un error cada uno. Eva cometió un error al descomponer 53 en 30 y 5 en lugar de 50 y 3. La ecuación correcta debería ser 53 × 3 = (3 × 50) + (3 × 3). Gabe descompuso 53 en 50 y 3, pero multiplicó cada uno por 5 en lugar de hacerlo por 3.

118

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 7

Multiplicar usando un modelo de área y la propiedad distributiva

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

Piensa en 4 × 24. a. Completa el modelo de área.

Vistazo a la lección La clase dibuja y descompone un modelo de área para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un dígito. Hacen conexiones entre el modelo de área y la propiedad distributiva. Escriben ecuaciones que coinciden con la multiplicación representada en el modelo de área.

Preguntas clave • ¿Cómo podemos usar un modelo de área para representar la propiedad distributiva? • ¿Por qué podemos tener las mismas ecuaciones cuando dibujamos en una tabla de valor posicional o hacemos un modelo de área para multiplicar?

b. Completa las ecuaciones.

4 × 24 = 4 × (

)+(

)

Criterios de logro académico

)

4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5) 4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. (4.MD.A.3)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Cuadrícula en centímetros (en la edición para la enseñanza)

Considere si desea retirar la hoja extraíble de Cuadrícula en centímetros de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • El modelo de área • Relacionar la propiedad distributiva con el modelo de área

Estudiantes • Cuadrícula en centímetros (en el libro para estudiantes)

• Usar ecuaciones y la propiedad distributiva para multiplicar • Problema verbal de área • Grupo de problemas

Concluir 10 min

121

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Fluidez

Respuesta a coro: Convertir unidades de volumen líquido del sistema métrico La clase convierte litros a mililitros para adquirir fluidez en la expresión de medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1. Muestre la tabla. ¿Cuántos mililitros equivalen a 1 litro? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Litros

Mililitros

1,000

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1,000 mililitros Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

122

Litros

Mililitros

Litros

Mililitros

1,000

11,000

2,000

14,000

6,000

16,000

8,000

20,000

10,000

40,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Contar de 4 decenas en 4 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 4 decenas en unidad de 4 decenas, en formas unitaria y estándar, del 200 al 400 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de cuatro en cuatro del 20 al 40. ¿Comenzamos?

20, 24, 28, 32, 36, 40 40, 36, 32, 28, 24, 20 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 4 decenas en 4 decenas, desde 20 decenas hasta 40 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 20 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

20 decenas, 24 decenas..., 36 decenas, 40 decenas 40 decenas, 36 decenas..., 24 decenas, 20 decenas Ahora, cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 4 decenas en 4 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 200. ¿Comenzamos?

20 decenas 24 decenas 28 decenas 32 decenas 36 decenas 40 decenas

200

240

280

320

360

400

Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

200, 240, 280, 320, 360, 400 400, 360, 320, 280, 240, 200

123

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

¿Cuánto es 4 × 7 decenas en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

28 decenas Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta: 4 × 70 = 280. Repita el proceso con 4 × 3 unidades =

4 × 7 decenas = 28 decenas

4 × 3 unidades = 12 unidades

4 × 70 = 280

4 × 3 = 12

Muestre (4 × 70) + (4 × 3). Escriban el valor de la expresión.

(4 × 70) + (4 × 3)

Muestre el valor de cada parte y, luego, el valor total.

280 + 12

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

124

292

5 × 3 decenas = 15 decenas

6 × 5 decenas = 30 decenas

7 × 8 decenas = 56 decenas

5 × 7 unidades = 35 unidades

6 × 4 unidades = 24 unidades

7 × 3 unidades = 21 unidades

(5 × 30) + (5 × 7) 150 + 35 185

(6 × 50) + (6 × 4) 300 + 24 324

(7 × 80) + (7 × 3) 560 + 21 581

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Presentar

La clase comenta estrategias para hallar el número total de azulejos en una matriz. Muestre la imagen de Zara, Luke y los azulejos cuadrados. Zara y Luke quieren saber cuántos azulejos cuadrados hay en la pared. ¿Qué observan sobre sus estrategias?

Decenas Unidades

Zara piensa en representar 3 × 12 en una tabla de valor posicional.

Luke piensa en dibujar un rectángulo y rotular el ancho como 3 y la longitud como 12. Piensa en el área en la que la unidad es 1 azulejo cuadrado. ¿Cómo puede Zara usar su estrategia para hallar el número total de azulejos?

Zara

Luke

Puede hallar el número total de decenas y unidades. Su tabla de valor posicional muestra el total como 3 decenas y 6 unidades. ¿Cómo puede Luke usar su estrategia para hallar el número total de azulejos? Puede multiplicar 3 y 12 para hallar el área de su rectángulo, que representa el número total de azulejos cuadrados.

125

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la estrategia que usarían para hallar el número total de azulejos cuadrados y por qué. Muestre la imagen de los azulejos cuadrados. Zara y Luke encuentran otra pared con azulejos cuadrados. La pared tiene 9 filas de 28 azulejos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si dibujarían una tabla de valor posicional o un modelo de área para representar el problema. Una tabla de valor posicional puede ayudarnos a descomponer 28 en decenas y unidades. Luego, podemos representar 9 grupos de 2 decenas y 8 unidades. Eso nos ayudaría a ver el total. No dibujaríamos en una tabla de valor posicional para representar 9 × 28 porque habría que dibujar mucho. Podemos dibujar un modelo de área para representar los azulejos, pero no sabemos cómo nos ayudaría a hallar el total. No sabemos cuál es el producto de 9 y 28. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos un modelo de área para descomponer un factor en unidades de valor posicional y multiplicar.

126

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Aprender

El modelo de área Materiales: M/E) Cuadrícula en centímetros

La clase dibuja y descompone un modelo de área para hallar el producto de dos factores. 12 Invite a sus estudiantes a retirar la hoja extraíble de Cuadrícula en centímetros de sus libros y a insertarla en sus pizarras blancas individuales.

Dibuje un rectángulo que represente la matriz de azulejos que tiene un ancho de 3 y una longitud de 12. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Muestre la imagen de los azulejos y de la matriz.

12 3

¿En qué se parecen la matriz y la imagen de los azulejos? Hay el mismo número de cuadrados en la matriz que de azulejos. Las longitudes de los lados son 3 y 12 en ambas imágenes. Pida a sus estudiantes que retiren el papel cuadriculado de sus pizarras blancas sin borrar sus dibujos. ¿Qué observan?

Nota para la enseñanza El término área se presenta a la clase en 3.er grado. Hallan la cantidad de espacio que ocupa una figura plana, específicamente un rectángulo, multiplicando las longitudes de los lados. En 4.o grado, se formaliza el área de un rectángulo presentando la fórmula A = l × a, donde el producto indica el número de fichas cuadradas unitarias que hay en el rectángulo. La mayoría de los contextos que apoyan el aprendizaje relacionado con el área incluyen espacios planos, como un mural en una pared, el plano de planta de una casa y el tamaño de un jardín. Ahora, se anima a la clase a usar el modelo de área como una representación, un soporte visual, para multiplicar usando la propiedad distributiva. Los factores en la expresión o situación de multiplicación pueden o no representar unidades de medida para las longitudes de los lados de un rectángulo.

Hay un rectángulo con longitudes de los lados de 3 y 12.

127

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 Podemos usar el modelo de área para representar las 3 filas de 12 azulejos. ¿Cómo hallamos el área de un rectángulo?

Nota para la enseñanza

Podemos multiplicar las longitudes de los lados. Podemos multiplicar la longitud y el ancho.

En 3.er grado, la clase separa filas y columnas en matrices para hallar el área total de un rectángulo.

Señale la longitud de 12 mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo podemos descomponer 12 en unidades de valor posicional?

1 decena y 2 unidades

Dibujemos para descomponer la longitud del modelo de área.

Dibuje una línea vertical para descomponer la longitud de 12. Borre el rótulo de 12 y rotule las partes como 1 decena y 2 unidades. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuál es el valor de 1 decena? ¿Y de 2 unidades? Escriba el valor en forma estándar arriba de la forma unitaria. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden ver aún que la longitud del rectángulo es 12. Señale el rectángulo de 3 por 10 mientras hace la siguiente pregunta.

Nota para la enseñanza

¿Cuánto es 3 × 1 decena?

3 decenas Escriba la ecuación dentro del rectángulo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el rectángulo de 3 por 2 mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuánto es 3 × 2 unidades?

6 unidades

Escriba la ecuación dentro del rectángulo y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

128

El registro de las ecuaciones para hallar el área dentro de cada rectángulo más pequeño permite que la clase establezca conexiones entre el modelo y la notación escrita en el siguiente segmento. Cuando el espacio del modelo sea limitado, considere escribir la ecuación debajo de los rectángulos más pequeños y el producto dentro del rectángulo. Los modelos de área de este tema no están dibujados de manera proporcional para permitir que sus estudiantes escriban las ecuaciones a medida que se familiarizan con el modelo.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 Señale 3 decenas y 6 unidades mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cuál es la suma de estos productos parciales en forma estándar?

36 36 es el producto de 3 × 12. El modelo de área nos ayuda a visualizar los productos parciales

como si estuviéramos hallando el área de un rectángulo.

¿En qué les ayuda mostrar los factores como las longitudes de los lados de un rectángulo a hallar el producto de 3 y 12? Me ayuda a ver dos problemas de multiplicación más pequeños dentro de un problema más grande.

Decenas

Unidades

Es lo mismo que hacemos cuando separamos y distribuimos. Muestre la imagen de Zara, Luke y el modelo de área. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la tabla de valor posicional y el modelo de área representan el mismo producto.

10 1 decena

2 2 unidades

3 × 1 decena = 3 decenas

3 × 2 unidades = 6 unidades

Zara

Luke

Relacionar la propiedad distributiva con el modelo de área La clase usa el modelo de área como una herramienta para multiplicar y establecer una conexión con un método escrito.

Nota para la enseñanza

Escriba 4 × 23 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

La actividad digital interactiva de Modelo de área para multiplicaciones de un dígito por dos dígitos apoya la creación de modelos de área y la presentación de los productos parciales.

Dibujemos un modelo de área como ayuda para hallar el producto de 4 y 23. Dibuje un modelo de área y rotule el ancho como 4. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale el 23 en la expresión mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cómo podemos descomponer 23 en unidades de valor posicional?

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

2 decenas y 3 unidades

129

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 Dibujemos para descomponer el modelo de área. Dibuje una línea para descomponer la longitud de 23 y rotule las partes como 20 y 3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Pídales que hallen y escriban los productos parciales en forma estándar dentro de los rectángulos más pequeños. Usemos ecuaciones para mostrar cómo representamos los productos parciales. Escriba 4 × 23 = 4 × (2 decenas + 3 unidades) debajo del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo la ecuación representa la manera de hallar el área del rectángulo. Sabemos que podemos hallar el área multiplicando las longitudes de los lados. La ecuación muestra cómo multiplicar las longitudes de los lados. Descompusimos la longitud en unidades de valor posicional, entonces la ecuación muestra la longitud como unidades de valor posicional. Para hallar el área, se multiplica la longitud por el ancho, 4. La longitud, 23, se representa como 2 decenas + 3 unidades. Se multiplica la longitud por el ancho, 4. Pida a sus estudiantes que reescriban la ecuación como la suma del área de los rectángulos más pequeños. Elija a estudiantes para que compartan sus ecuaciones. Escriba = (4 × 2 decenas) + (4 × 3 unidades) a medida que sus estudiantes comparten su trabajo. ¿Cuáles son los productos parciales?

DUA: Representación Considere resaltar los números en el modelo de área y en las ecuaciones. Esto puede ayudar a sus estudiantes a ver la representación de la propiedad distributiva en el modelo de área y en las ecuaciones.

8 decenas y 12 unidades 80 y 12 Escriba = 80 + 12 debajo de las ecuaciones y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cuál es la suma de los productos parciales?

92 Escriba = 92 debajo de las ecuaciones y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

130

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 ¿Cuánto es 4 × 23?

92 ¿Dónde ven los productos parciales en el modelo de área y en las ecuaciones? En el modelo de área, veo 80 y 12 como el área de los rectángulos más pequeños. En las ecuaciones, veo 80 y 12 como los productos de 4 × 2 decenas y 4 × 3 unidades. ¿Cómo ven representada la propiedad distributiva en el modelo de área? El área del rectángulo grande es igual a la suma del área de los dos rectángulos más pequeños. Veo la longitud, 23, descompuesta en 20 y 3. Luego, se multiplica cada parte por el otro factor, 4, que es el ancho. ¿Cómo ven representada la propiedad distributiva en las ecuaciones? Veo 23 descompuesto en decenas y unidades. Entonces, las decenas y las unidades se multiplican por el otro factor, 4, para obtener los productos parciales. Se suman los productos parciales para hallar el producto final, 92. Use un proceso similar para hallar 2 × 43 escribiendo todas las ecuaciones en forma estándar en lugar de hacerlo en forma unitaria. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las conexiones que ven entre el modelo de área y la propiedad distributiva.

131

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Usar ecuaciones y la propiedad distributiva para multiplicar La clase escribe ecuaciones y usa la propiedad distributiva para multiplicar. Muestre la imagen de la tabla de valor posicional, el modelo de área y las ecuaciones.

4 x 23 Decenas

Unidades

4 x 23 4

4 x 23 = 4 x (2 (2 decenas + 3 unidades) = (4 (4 x 2 decenas) + (4 (4 x 3 unidades) = 80 + 12 = 92 4 x 23 = 4 x (2 decenas + 3 unidades) = (4 x 2 decenas) + (4 x 3 unidades) = (8 decenas) + (12 unidades) = 80 + 12 = 92

Diferenciación: Apoyo Considere invitar a sus estudiantes a escribir las ecuaciones en forma unitaria, según sea necesario. Presente las ecuaciones en forma estándar junto con las ecuaciones en forma unitaria para ayudarles a hacer conexiones entre las diferentes representaciones.

En una lección anterior, dibujamos en una tabla de valor posicional y escribimos ecuaciones para hallar 4 × 23. Hoy, dibujamos un modelo de área y escribimos ecuaciones para hallar 4 × 23. ¿Qué observan acerca de las ecuaciones? Son casi idénticas en el caso de la tabla de valor posicional y del modelo de área. Lo único que es diferente en las ecuaciones de la tabla de valor posicional es que escribimos los productos parciales también en forma unitaria. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué creen que las ecuaciones son similares a pesar de que los modelos son diferentes. Son similares porque ambas muestran cómo descomponer 23 en unidades de valor posicional y, luego, se multiplican las decenas y las unidades por el otro factor, 4.

132

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 Son similares porque, a pesar de que los modelos son diferentes, ambas muestran cómo descomponer 23 en unidades de valor posicional. Entonces, las decenas y las unidades se multiplican por 4 para obtener productos parciales. Luego, se suman los productos parciales para hallar 4 × 23. Son similares porque ambas muestran cómo usar la propiedad distributiva para hallar 4 × 23. Las ecuaciones muestran que podemos expresar 12 unidades como 1 decena y 2 unidades. Si bien los modelos son diferentes, ambos muestran los mismos productos parciales que las ecuaciones. Escriba 3 × 27. ¿Cómo pueden escribir ecuaciones en las que usen la propiedad distributiva para multiplicar? Podemos descomponer 27 en decenas y unidades. Luego, podemos multiplicar las decenas y las unidades por 3 para obtener productos parciales. Podemos sumar los productos parciales para hallar 3 × 27. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir ecuaciones y usar la propiedad distributiva con el fin de hallar el producto. Invite a algunas parejas a compartir sus ecuaciones. Use un proceso similar para hallar 18 × 4. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden escribir ecuaciones y usar la propiedad distributiva para multiplicar.

Problema verbal de área

3 × 27 = 3 × (20 + 7) = (3 × 20 20)) + (3 × 7) = 60 + 21 = 81 18 × 4 = (10 + 8) × 4 = (10 × 4) + (8 × 4) = 40 + 32 = 72

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando representa una expresión de multiplicación en una tabla de valor posicional o usa un modelo de área para representar la expresión de multiplicación y, luego, usa la representación para escribir una ecuación que muestre la propiedad distributiva. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo se relacionan las representaciones de 4 × 23 en la tabla de valor posicional y en el modelo de área? ¿Cómo les ayuda eso a escribir una ecuación y a usar la propiedad distributiva para hallar 4 × 23? • ¿Cómo les puede ayudar lo que saben sobre cómo se descompone 27 a escribir una ecuación y a usar la propiedad distributiva para hallar 3 × 27?

La clase usa la propiedad distributiva para resolver un problema de área. Muestre la imagen del jardín y presente el siguiente problema. Carla tiene un jardín de verduras y flores. ¿Cuál es el área del jardín?

133

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

5 yd

¿Qué observan acerca de la imagen del jardín de Carla? Se parece a un modelo de área.

DUA: Representación

Las longitudes de los lados están rotuladas. El jardín entero está descompuesto en dos partes más pequeñas.

10 yd

Verduras

Considere invitar a sus estudiantes a dibujar y descomponer un modelo de área para representar 3 × 27 y 18 × 4. Use las siguientes preguntas para ayudarles a hacer conexiones entre el modelo de área y las ecuaciones:

7 yd

Flores

• ¿Dónde ven un factor descompuesto en unidades de valor posicional en el modelo de área? ¿Y en la ecuación?

¿Qué expresión representa el área total que tiene el jardín de Carla?

5 × 17 o 17 × 5 Dé 2 minutos a las parejas para usar la propiedad distributiva y hallar el área total del jardín. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y use las siguientes preguntas para guiar su razonamiento: • ¿Cómo se descompone 17? • ¿Qué ecuación pueden escribir para representar el área total como la suma del área de las partes más pequeñas? • ¿Cuáles son los productos parciales? • ¿Cómo pueden usar los productos parciales para hallar el área total? Invite a una o dos parejas a compartir su trabajo. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase mientras las parejas comparten su trabajo:

5 × 17 = 5 × (10 + 7) = (5 × 10 10)) + (5 × 7) = 50 + 35 = 85 El área total del jardín de Carla es 85 yardas cuadradas.

• ¿Cómo les ayuda el modelo de área a hallar los productos parciales? ¿Qué expresiones representan los productos parciales en la ecuación? • ¿Cómo se relacionan los productos parciales con el área total en el modelo de área? ¿Cómo se relacionan los productos parciales con el producto de los factores dados?

• ¿Cuáles son los productos parciales? ¿Cómo los hallaron? • ¿Qué representan los productos parciales en el contexto del problema? • ¿Cómo usaron los productos parciales para hallar el área total del jardín de Carla?

134

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar usando un modelo de área y la propiedad distributiva Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de representar la multiplicación con un modelo de área. ¿Cómo podemos usar un modelo de área para representar la propiedad distributiva? Podemos dibujar un modelo de área y descomponer la longitud en unidades de valor posicional. Luego, podemos hallar las áreas más pequeñas y sumarlas para hallar el área total. Podemos descomponer un factor y multiplicar cada parte por el otro factor. Luego, podemos sumar los productos parciales para obtener el producto final. ¿Por qué podemos tener las mismas ecuaciones cuando dibujamos en una tabla de valor posicional o hacemos un modelo de área para multiplicar? Podemos tener las mismas ecuaciones porque podemos descomponer un factor en unidades de valor posicional en una tabla de valor posicional y en un modelo de área. Entonces, multiplicamos las partes por el otro factor para obtener los productos parciales. Sumamos los productos parciales para hallar el producto final. Podemos tener las mismas ecuaciones porque cuando dibujamos una tabla de valor posicional o hacemos un modelo de área, podemos usar la propiedad distributiva para multiplicar.

135

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

4. 3 × 21

Completa el modelo de área.

1. 20

2 decenas

3 unidades

3 × 2 decenas =

3 × 3 unidades =

decenas

40 4 decenas

unidades

6 6 unidades

3 × 21 = 3 × (2 decenas + 1 unidad )

2 × 4 decenas = 8

= (3 × 2 decenas ) + (3 × 1 unidad )

decenas

2 × 6 unidades = 12

unidades

5. 3 × 26

Completa el modelo de área y las ecuaciones.

3. 2 × 34

3 × 26 = 3 × (

)+(

) 3

)

= 60 + 18 =

2 × 34 = 2 × (3 decenas + 4 unidades) = (2 × 3 decenas) + (2 × =

136

unidades)

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7

9. 4 × 24 = 4 × (20 + 4)

6. 4 × 17

10. 18 × 5 = (10 + 8) × 5

= (4 × 20) + (4 × 4)

= (10 × 5) + (8 × 5)

= 80 + 16

= 50 + 40

= 96

= 90

4 × 17 = 4 × (10 + 7) = (4 × 10) + (4 × 7) = 40 + 28

11. Robin pinta un mural de naranja y azul. Escribe una expresión y halla el área total del mural.

= 68

Muestra tu trabajo usando la propiedad distributiva.

4 × (20 + 7) = (4 × 20) + (4 × 7) = 80 + 28 = 108

20 m

El área total del mural es 108 metros cuadrados. Usa la propiedad distributiva para multiplicar. Puedes dibujar un modelo de área como ayuda. 7. 3 × 23 = 3 × (20 + 3)

= (3 ×

= 60 +

8. 32 × 3 = (30 + 2) × 3

) + (3 ×

)

= (30 ×

) + (2 ×

)

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 12. El Sr. Endo compra 3 cajones de peras. Cada cajón tiene 28 peras. ¿Cuántas peras compra?

3 × 28 = 84 El Sr. Endo compra 84 peras.

GRUPO DE PROBLEMAS

137

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 7 ▸ Cuadrícula en centímetros

EUREKA MATH2

138

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LECCIÓN 8

Multiplicar aplicando la propiedad distributiva y escribir ecuaciones

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Fecha

Usa la propiedad distributiva para hallar 3 × 46.

Vistazo a la lección La clase halla el área de un modelo de área dado usando ecuaciones. Comienzan una transición mediante la cual dejarán de usar apoyos pictóricos, como el modelo de área. Aprenden a recurrir a las ecuaciones que registran, mientras usan la propiedad distributiva, como ayuda para multiplicar.

3 × 46 = 3 × (40 + 6)

Preguntas clave

= (3 × 40) + (3 × 6) = 120 + 18

• ¿Por qué a veces nos referimos a la propiedad distributiva de la multiplicación como estrategia de separar y distribuir?

= 138

• ¿Cómo podemos usar ecuaciones para mostrar la estrategia de separar y distribuir?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de modelos de área y ecuaciones (en la edición para la enseñanza)

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Relacionar modelos de área y ecuaciones • Registrar con ecuaciones • Cabezas numeradas para colaborar

Estudiantes

• Copie las Tarjetas de modelos de área y ecuaciones. Recorte una tarjeta por estudiante.

• Práctica veloz: Convertir unidades métricas (en el libro para estudiantes)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

141

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Fluidez

Práctica veloz: Convertir unidades métricas Materiales: E) Práctica veloz: Convertir unidades métricas EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Convertir unidades métricas

La clase convierte unidades métricas para adquirir fluidez en la expresión de medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, aprendida en el módulo 1.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe el número que completa cada ecuación. 1.

1m=

100

1 km =

1,000

1 kg =

1,000

1L=

1,000

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea: No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B.

142

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Cómo pueden usar el problema 1 para completar los problemas 2 a 5? • ¿Cómo pueden comparar los problemas 6 a 22?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 30 en 30 desde 0 hasta 300 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 3 decenas en 3 decenas desde 30 decenas hasta 0 decenas para la actividad de conteo de ritmo lento.

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

143

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

unidades.

¿Cuánto es 3 × 3 unidades? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 × 3 unidades =

unidades

decenas

9 unidades Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 × 9 unidades =

unidades

5 × 7 unidades =

unidades

6 × 6 decenas =

decenas

7 × 8 decenas =

decenas

144

8 × 5 decenas =

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Presentar

La clase escribe ecuaciones y halla un producto basándose en un modelo de área dado. Muestre la imagen del parque para perros.

Parque para perros

Iván diseña un parque para perros que tiene un área con grama y un área pavimentada. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el área total del parque para perros.

30 m

Después de dar tiempo a las parejas para que trabajen, comente las estrategias que usaron para determinar el área total del parque para perros. ¿Cuál es el área total del parque para perros? El área total es 288 metros cuadrados. ¿Cómo usaron las ecuaciones para hallar el área total del parque para perros? Escribimos las ecuaciones 8 × 30 = 240 y 8 × 6 = 48 para hallar las áreas del parque. Luego, sumamos el área con grama y el área pavimentada. Nuestra ecuación era 240 + 48 = 288. ¿Qué expresión representa el área total del parque para perros?

8 × 36 Escriba 8 × 36. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar el producto sin la ayuda de un modelo de área. Podemos descomponer 36 y pensar en dos expresiones de multiplicación más sencillas, 8 × 30 y 8 × 6. Podemos escribir ecuaciones para representar lo que se podría incluir en el modelo de área. Podemos usar la propiedad distributiva para hallar el producto descomponiendo 36, hallando los productos parciales y, luego, sumándolos. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos ecuaciones para multiplicar aplicando la propiedad distributiva.

145

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Aprender

Relacionar modelos de área y ecuaciones Materiales: M) Tarjetas de modelos de área y ecuaciones

La clase relaciona modelos de área con ecuaciones y comenta las conexiones que hay entre ambas representaciones. Distribuya una tarjeta de modelo de área o de ecuación a cada estudiante. Si sus estudiantes tienen una tarjeta de modelo de área, pídales que imaginen cómo serían las ecuaciones que representan el modelo de área dado. Si sus estudiantes tienen una tarjeta de ecuación, pídales que imaginen cómo sería el modelo de área que representa las ecuaciones. Pida a sus estudiantes que busquen a quien tenga la tarjeta de ecuación que se relacione con su tarjeta de modelo de área o a quien tenga la tarjeta de modelo de área que se relacione con su tarjeta de ecuación. Ejemplo de tarjetas de modelos de área y ecuaciones que se relacionan:

250

Nota para la enseñanza Las tarjetas de modelos de área y ecuaciones están organizadas de simples a complejas de la siguiente manera: • Modelos de área y ecuaciones en forma unitaria • Modelos de área en forma estándar y ecuaciones en forma unitaria • Modelos de área y ecuaciones en forma estándar

5 × 53 = 5 × (50 + 3) = (5 × 50) + (5 × 3)

Considere esta secuencia mientras distribuye una tarjeta a cada estudiante.

= 250 + 15 = 265

Luego de que sus estudiantes hallen las tarjetas que se relacionan, use las siguientes preguntas para que las parejas participen de una conversación en la que hagan conexiones entre el modelo de área y las ecuaciones: • ¿Cómo se descompone un factor en el modelo de área? ¿Dónde ven la misma descomposición en las ecuaciones? • ¿Cómo están representados los productos parciales en el modelo de área? ¿Dónde ven los mismos productos parciales en las ecuaciones? • ¿Cómo pueden usar los productos parciales para hallar el área total en el modelo de área? ¿Cómo pueden usar los productos parciales en las ecuaciones para hallar el producto de los factores dados?

146

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

3 × 64 = 3 × (60 + 4)

Muestre la imagen de las ecuaciones. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo sería la tarjeta de modelo de área que se relaciona con la ecuación.

= (3 × 60) + (3 × 4)

Registrar con ecuaciones

= 192

= 180 + 12

La clase aplica la propiedad distributiva para multiplicar expresiones de diferentes maneras. Escriba 83 × 5. Invite a sus estudiantes a que imaginen un modelo de área que represente la expresión. ¿Cómo podemos aplicar la propiedad distributiva para multiplicar distribuyendo el 5? Podemos multiplicar las dos partes de 83 por 5: 8 decenas y 3 unidades. Podemos sumar los productos parciales para hallar 83 × 5. Podemos descomponer 83 en 80 y 3 y multiplicar cada parte por 5. Luego, podemos sumar los productos parciales. Escriba 8 3×5=(

) × 5 y = (

× 5) + (

Dé a las parejas de estudiantes 1 minuto para completar las ecuaciones, hallar los productos parciales y sumarlos. ¿Cuáles son los productos parciales?

400 y 15 ¿Cuánto es 83 × 5?

415

DUA: Participación Considere promover el valor del trabajo y apoyar a sus estudiantes para que relacionen el trabajo con el modelo de área, agregando un contexto a los problemas. Para relacionar los números con un contexto en el que haya un área rectangular, hable acerca de un jardín, un mural o un patio de recreo.

× 5).

83 x 5 = (80 + 3) x 5 = (80 x 5) + (3 x 5) = 400 + 15 = 415

Nota para la enseñanza Es posible que sus estudiantes también separen 83 en partes mentalmente y, luego, registren el primer paso como (80 × 5) + (3 × 5). Es importante registrar (80 + 3) × 5 como la primera expresión para mostrar cómo uno de los factores se descompone en unidades de valor posicional antes de distribuir el otro factor. Este paso puede eliminarse a medida que la clase se vuelve competente en el uso de la propiedad distributiva de la multiplicación.

147

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 Escriba 3 veces 65. Lean el enunciado a coro. ¿Qué expresión de multiplicación representa el enunciado? Podemos escribir 3 × 65 porque hallar 3 veces una cantidad es lo mismo que multiplicar por 3. Escriba 3 × 65. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden distribuir el 3 para multiplicar. Escriba = 3×(

) y = (3 ×

) + (3 ×

Dé a las parejas 1 minuto para completar las ecuaciones, hallar los productos parciales y sumarlos. ¿Cuáles son los productos parciales?

180 y 15 ¿Cuánto es 3 × 65?

195

3 x 65 = 3 x (60 + 5) = (3 x 60) 60) + (3 x 5) 5) = 180 + 15 = 195

¿Cuánto es 3 veces 65?

195 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué deben buscar en las expresiones de multiplicación cuando usan la propiedad distributiva para multiplicar. Busco el factor que puedo separar en decenas y unidades. Busco el orden de los factores. A veces, prefiero reorganizar los factores y escribir primero el más pequeño. A veces, la expresión no está escrita porque es el enunciado de una comparación multiplicativa o un problema verbal. Entonces, tengo que escribir mi propia expresión que se relacione y decidir qué factor separar en partes.

148

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Cabezas numeradas para colaborar La clase aplica la propiedad distributiva para multiplicar y registra este proceso escribiendo ecuaciones. Use la rutina Cabezas numeradas. Organice a la clase en grupos de tres y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 3. Presente el siguiente problema: 74 × 4. Dé 2 minutos a sus estudiantes para hallar el producto en grupo. Recuerde a la clase que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para responder. Diga un número, del 1 al 3. Pida a quienes se les haya asignado ese número que compartan las conclusiones del grupo.

74 × 4 = (70 + 4) × 4 = (70 × 4) + ((4 4 × 4) = 280 + 16 = 296

Diferenciación: Apoyo Considere proporcionar ecuaciones con espacios para apoyar a sus estudiantes en la resolución del problema.

74 × 4 = (

= (

× 4) + (

) × 4 × 4)

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Los grupos deben prepararse para compartir la siguiente información: • Mostrar cómo distribuyeron el 4 en lo que registraron • Mostrar cómo supieron qué hacer a continuación • Mostrar cómo les ayudó usar una operación de multiplicación básica a multiplicar por decenas Repita la rutina Cabezas numeradas con 7 veces 36. Conserve los mismos grupos de estudiantes con los mismos números. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas que hay entre registrar su trabajo usando la propiedad distributiva y dibujar un modelo de área.

7 × 36 = 7 × (30 (30 + 6) = (7 × 30 30)) + ((77 × 6) = 210 + 42 = 252

Considere invitar a sus estudiantes a practicar cómo explicar las estrategias en sus grupos antes de que usted elija un número dentro del grupo para que comparta su trabajo con la clase.

La longitud y el ancho del modelo de área están escritos en mi ecuación. Separo los números según el valor posicional y multiplico por decenas y unidades usando la propiedad distributiva y el modelo de área. Seguimos registrando el mismo trabajo cuando escribimos las ecuaciones. Aún separamos uno de los factores según su valor posicional y multiplicamos cada parte. Dibujar un modelo de área me ayuda a ver cómo separar un número en partes, pero puedo hacerlo mentalmente al usar la propiedad distributiva para escribir las ecuaciones.

149

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Concluir

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando aplica la propiedad distributiva para hallar 74 × 4, explica de qué manera las ecuaciones que registra por escrito muestran la propiedad y escucha y analiza las explicaciones de sus pares. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar aplicando la propiedad distributiva y escribir ecuaciones Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la aplicación de la propiedad distributiva para multiplicar en diferentes representaciones.

Decenas

• ¿Sobre qué partes de la estrategia de separar 74 en partes y, luego, multiplicar por 4 tienen dudas? ¿Por qué? • ¿Qué pueden preguntarles a sus pares para asegurarse de que comprenden cómo su ecuación muestra la propiedad distributiva?

Unidades

Muestre la imagen de las cuatro representaciones de 42 × 6. ¿Cómo se usa la propiedad distributiva para multiplicar en cada representación? La tabla de valor posicional muestra la propiedad distributiva al expresar 42 como decenas y unidades, y hay 6 grupos de decenas y 6 grupos de unidades. Las ecuaciones en forma unitaria muestran 42 separado en decenas y unidades. Las decenas y las unidades se multiplican en forma unitaria. El modelo de área muestra la longitud del rectángulo, 42, separada en dos partes. Luego, cada parte de la longitud se multiplica por el ancho.

DUA: Acción y expresión

42 × 6 = (4 decenas + 2 unidades) × 6

= (4 decenas × 6) + (2 unidades × 6)

6 × 40

6×2

Las ecuaciones en forma estándar muestran

42 separado en 40 y 2, y cada parte se multiplica por 6.

150

Considere reservar tiempo de la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen sobre los modelos y las estrategias que se usaron al multiplicar. • ¿Con qué modelos y estrategias que usaron para multiplicar sienten más confianza? • ¿Qué modelos y estrategias necesitan practicar más para adquirir confianza? • ¿Hay algún modelo o alguna estrategia que prefieran usar? ¿Por qué?

42 × 6 = (40 + 2) × 6 = (40 × 6) + (2 × 6)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 ¿Por qué a veces nos referimos a la propiedad distributiva como estrategia de separar y distribuir? Cuando aplicamos la propiedad distributiva, tenemos que separar uno de los factores en partes. Antes, separamos un factor, como 8, en 5 y 3. Ahora, separamos factores más grandes, como 42, en decenas y unidades. La estrategia de separar y distribuir me recuerda las dos cosas que debemos hacer antes de comenzar a multiplicar: descomponer un número en dos partes y, luego, multiplicar esas dos partes por el otro factor. Distribuir suena parecido a distributiva. Ambas palabras me indican que hay que repartir el factor que está en las dos partes más pequeñas entre el otro factor. ¿Cómo podemos usar ecuaciones para mostrar la estrategia de separar y distribuir? Podemos usar una ecuación para mostrar cómo separamos un factor en dos expresiones de multiplicación que sumamos. Las ecuaciones pueden mostrar el paso a paso de cómo usamos las decenas y las unidades en un modelo para multiplicar. Podemos escribir dos problemas de multiplicación más simples y hallar los productos parciales. Luego, los sumamos.

151

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Convertir unidades métricas

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el número que completa cada ecuación.

Escribe el número que completa cada ecuación. cm

900

1m=

100

23.

9m=

10 km =

10,000

2m=

200

24.

10 kg =

10,000

4m=

400

25.

26.

10 L =

10,000

6m=

600

27.

10 m =

1,000

9m=

900

1,000

28.

13 km =

13,000

1 km =

3,000

29.

15 kg =

15,000

2 km =

6,000

30.

17 L =

17,000

5 km =

8,000

31.

11 m =

1,100

7 km =

9 km =

9,000

32.

19 km =

19,000

10.

1 kg =

1,000

33.

16 kg =

16,000

11.

12.

3 kg =

3,000

34.

20 L =

20,000

13.

7 kg =

7,000

35.

2m=

14.

5 kg =

5,000

36.

4m=

15.

9 kg =

9,000

37.

28 km =

16.

6 kg =

6,000

38.

40 L =

17.

1L=

1,000

39.

36 kg =

18.

3L=

3,000

40.

15 m =

19.

8L=

8,000

41.

50 L =

20.

4L=

4,000

42.

47 km =

21.

9L=

9,000

43.

29 m =

22.

7L=

7,000

44.

80 kg =

1m=

100

23.

9m=

3m=

300

24.

5m=

500

25.

7m=

700

9m=

900

1 km =

3 km =

6 km =

8 km =

10. 11.

152

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Convertir unidades métricas

900

10 km =

10,000

10 kg =

10,000

26.

10 L =

10,000

27.

10 m =

1,000

28.

12 km =

12,000

2,000

29.

14 kg =

14,000

5,000

30.

16 L =

16,000

7,000

31.

11 m =

1,100

9 km =

9,000

32.

18 km =

18,000

1 kg =

1,000

33.

15 kg =

15,000

12.

2 kg =

2,000

34.

20 L =

20,000

200

13.

6 kg =

6,000

35.

2m=

200

400

14.

4 kg =

4,000

36.

3m=

300

28,000

15.

9 kg =

9,000

37.

27 km =

27,000

40,000

16.

5 kg =

5,000

38.

30 L =

30,000

36,000

17.

1L=

1,000

39.

35 kg =

35,000

1,500

18.

2L=

2,000

40.

14 m =

1,400

50,000

19.

7L=

7,000

41.

40 L =

40,000

47,000

20.

3L=

3,000

42.

46 km =

46,000

2,900

21.

9L=

9,000

43.

28 m =

2,800

80,000

22.

6L=

6,000

44.

70 kg =

70,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Nombre

Fecha

3. 6 × 41 = 6 × (40 + 1)

Usa la propiedad distributiva para multiplicar. Puedes dibujar un modelo de área como ayuda. 1. 5 × 17 = 5 × (10 +

= (5 ×

= 50 +

)

) + (5 ×

4. 42 × 7 = (40 + 2) × 7

= (6 × 40) + (6 × 1)

= (40 × 7) + (2 × 7)

= 240 + 6

= 280 + 14

= 246

= 294

)

85 10

7 5. 3 veces 29 es

2. 31 × 5 = (30 +

= 150 + =

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

6. 52 veces 4 es

208 .

52 × 4 = (50 + 2) × 4

= (3 × 20) + (3 × 9)

= (50 × 4) + (2 × 4)

= 60 + 27

= 200 + 8

= 87

= 208

)×5

× 5) + (

× 5)

7. 7 veces 63 mL es 441 mL .

7 × 63 = 7 × (60 + 3) 30

3 × 29 = 3 × (20 + 9)

155

150

8. 48 veces tan largo como 8 km es 384 km .

48 × 8 = (40 + 8) × 8

= (7 × 60) + (7 × 3)

= (40 × 8) + (8 × 8)

= 420 + 21

= 320 + 64

= 441

= 384

GRUPO DE PROBLEMAS

153

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 9. El jardín rectangular del Sr. López mide 28 metros de largo y 9 metros de ancho. ¿Cuál es el área del jardín?

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8

EUREKA MATH2

11. Una lagartija pesa 86 gramos. Una serpiente es 7 veces tan pesada como la lagartija. ¿Cuánto pesa la serpiente?

7 × 86 = 602 La serpiente pesa 602 gramos.

9 × 28 = 252 El área del jardín es 252 metros cuadrados.

10. El Sr. Davis trabaja 8 horas por día. ¿Cuántas horas trabaja en 45 días?

8 × 45 = 360 El Sr. Davis trabaja 360 horas en 45 días.

154

GRUPO DE PROBLEMAS

4 × 4 unidades = 16 unidades

4 unidades

3 × 4 unidades = 12 unidades

4 unidades

150

4 × 3 decenas = 12 decenas

3 decenas

3 × 2 decenas = 6 decenas

2 decenas

= 180

= 150 + 30

= (5 × 30) + (5 × 6)

5 × 36 = 5 × (3 decenas + 6 unidades)

= 72

= 60 + 12

= (6 decenas) + (12 unidades)

= (2 × 3 decenas) + (2 × 6 unidades)

2 × 36 = 2 × (3 decenas + 6 unidades)

= 136

= 120 + 16

= (12 decenas) + (16 unidades)

= (4 × 3 decenas) + (4 × 4 unidades)

4 × 34 = 4 × (3 decenas + 4 unidades)

= 72

= 60 + 12

= (6 decenas) + (12 unidades)

= (3 × 2 decenas) + (3 × 4 unidades)

3 × 24 = 3 × (2 decenas + 4 unidades)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 ▸ Tarjetas de modelos de área y ecuaciones

2 × 3 decenas 3 decenas = 6 decenas

6 2 × 6 unidades 6 unidades = 12 unidades

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155

156

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21 3

7 8

120 200

40 50

240

= 84

= 60 + 24

= (3 × 20) + (3 × 8)

3 × 28 = 3 × (20 + 8)

= 208

= 200 + 8

= (4 × 50) + (4 × 2)

4 × 52 = 4 × (50 + 2)

= 141

= 120 + 21

= (40 × 3) + (7 × 3)

47 × 3 = (4 decenas + 7 unidades) × 3

= 252

= 240 + 12

= (6 × 40) + (6 × 2)

6 × 42 = 6 × (4 decenas + 2 unidades)

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 ▸ Tarjetas de modelos de área y ecuaciones EUREKA MATH2

250

240

20 100 40 160

3 15 3 12

= 172

= 160 + 12

= (40 × 4) + (3 × 4)

43 × 4 = (40 + 3) × 4

= 115

= 100 + 15

= (20 × 5) + (3 × 5)

23 × 5 = (20 + 3) × 5

= 265

= 250 + 15

= (5 × 50) + (5 × 3)

5 × 53 = 5 × (50 + 3)

= 252

= 240 + 12

= (4 × 60) + (4 × 3)

4 × 63 = 4 × (60 + 3)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 8 ▸ Tarjetas de modelos de área y ecuaciones

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157

LECCIÓN 9

Resolver problemas verbales de multiplicación

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Un cachorro pesa 18 libras. Jayla dice que su perro es 4 veces tan pesado como el cachorro. ¿Cuánto pesa el perro de Jayla?

Vistazo a la lección La clase resuelve problemas de comparación multiplicativa y de grupos iguales usando modelos y estrategias conocidas que han aprendido a lo largo del tema. Usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe para entender y representar cada problema y, luego, comentan de qué manera se conectan las diversas estrategias. Se hace una distinción entre las representaciones de la situación de un problema y los métodos usados para calcular el valor desconocido.

Preguntas clave

• ¿De qué manera los modelos, como un diagrama de cinta, les ayudan a representar problemas verbales?

p = 4 × 18 4 × 18 = 4 × (10 + 8)

• ¿Qué estrategias les ayudan a resolver los problemas de multiplicación?

= (4 × 10) + (4 × 8) = 40 + 32 = 72

Criterios de logro académico

p = 72 El perro de Jayla pesa 72 libras.

4.Mód2.CLA1 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación

multiplicativa usando la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito, o dividiendo decenas y unidades entre números de un dígito. (4.OA.A.2) 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 5 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Afiches de multiplicación para 5 × 37 (en la edición para la enseñanza)

Imprima o copie los Afiches de multiplicación para 5 × 37. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases.

Aprender 40 min • Problema de comparación multiplicativa • Comparación multiplicativa: Compartir, comparar y conectar

Estudiantes • ninguno

• Problema de grupos iguales • Grupos iguales: Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

159

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Sumar o restar hasta 1,000,000 La clase usa el algoritmo convencional al sumar o restar números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con las operaciones aprendidas en el módulo 1. Muestre 43,581 + 21,253 =

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

43,581 + 21,253 = 64,834 43,581 + 21,253 1 64,834

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la suma y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

196,813 + 276,104 = 472,917

160

87,279 − 42,953 =

44,326

753,468 − 186,262 = 567,206

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Presentar

Materiales: M) Afiches de multiplicación para 5 × 37

La clase elige el método que usarían como ayuda para resolver un problema y, luego, defienden la elección que hicieron. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes hacia los afiches colgados en el salón de clases (ver la sección Preparación de la lección). Presente la situación: Adam tiene 5 bolsas de galletas, y cada bolsa tiene 37 galletas. ¿Qué afiche coincide con el método que usarían como ayuda para hallar el número total de galletas? Pídales que se ubiquen junto al afiche que mejor describa su razonamiento. Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 minuto para que los grupos comenten por qué eligieron ese método. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección y lo que observan acerca del ejemplo de trabajo. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación. Pídales que vuelvan a sentarse. Reflexione junto con toda la clase acerca de los métodos que piensan que les ayudarían a hallar el producto de 5 y 37. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los afiches que contienen dibujos que les ayudan a ver una estrategia para hallar la solución. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, resolveremos problemas verbales de multiplicación usando modelos y estrategias conocidas.

161

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Aprender

Problema de comparación multiplicativa

DUA: Acción y expresión

La clase usa estrategias de multiplicación para resolver un problema de comparación multiplicativa. Presente el problema. El recipiente A tiene 4 veces la cantidad de agua que tiene el recipiente B. El recipiente B tiene 75 mililitros de agua. ¿Cuánta agua hay en el recipiente A?

Considere apoyar a sus estudiantes para que, de formas flexibles, expresen lo que aprendieron. Proporcione acceso a materiales didácticos, las operaciones de multiplicación básicas u otras herramientas apropiadas.

Invite a sus estudiantes a usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Anime a la clase a seleccionar el método para representar el problema y para hallar 4 × 75. Recorra el salón de clases y observe qué métodos usan sus estudiantes. Seleccione a tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajos que contribuyan a promover el uso de las estrategias de valor posicional para multiplicar. Los siguientes ejemplos de trabajo demuestran varias maneras de representar el problema y las estrategias para hallar el producto. Suma repetida

150 A

Tabla de valor posicional

150 75

a B

a 75 mL

Centenas Decenas Unidades

a = 75 + 75 + 75 + 75 = 150 + 150 = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

162

Modelo de área

a = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

280

Nota para la enseñanza Los ejemplos de trabajo y razonamiento de cada estudiante muestran respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, elija uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos muestran el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

a = 4 × 75 = 280 + 20 = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A. © Great Minds PBC

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Comparación multiplicativa: Compartir, comparar y conectar La clase comparte las soluciones del problema de comparación multiplicativa y razona acerca de sus conexiones.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos que se compartieron comenzando con los métodos basados en la suma repetida para hallar el producto hasta llegar a las estrategias basadas en la propiedad distributiva.

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando hace un dibujo para representar una situación de comparación multiplicativa y, luego, selecciona un método para multiplicar.

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y los métodos que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

Suma repetida (Método de David)

150

¿Qué muestra tu dibujo, David? Muestra dos cintas. Una de las cintas representa el recipiente A y la otra, el recipiente B. ¿Cómo representa el problema el dibujo de David? La cinta que representa el recipiente B tiene 1 unidad de 75. La cinta que representa el recipiente A tiene 4 unidades de 75. ¿Qué les resulta útil de este dibujo?

Sumó 75 cuatro veces y obtuvo 300.

• ¿Por qué eligieron ese método para hallar 4 × 75? ¿Les resultó útil usar ese método?

Hay que sumar 4 veces la cantidad de agua que hay en el recipiente B para hallar la cantidad de agua que hay en el recipiente A. ¿Cómo halló David la cantidad de agua que hay en el recipiente A?

150

• ¿Qué tipo de diagrama podríamos usar para mostrar la relación entre la cantidad de agua que hay en el recipiente A y en el recipiente B?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

a = 75 + 75 + 75 + 75 = 150 + 150 = 300

Durante la conversación, considere invitar a sus estudiantes a que usen la sección Preguntar por el razonamiento de la Herramienta para la conversación.

Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

¿Qué les resulta útil de esta estrategia? Puedo sumar 75 y 75 mentalmente y, luego, duplicar 150 para obtener la respuesta. ¿Qué ecuación de multiplicación representa el problema? ¿Por qué?

4 × 75 = 300 representa el problema porque estamos sumando 4 unidades de 75. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de David y sus propios trabajos.

163

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 Tabla de valor posicional (Método de Amy) ¿Qué hiciste para representar el problema, Amy? Dibujé dos recipientes. Mostré que hay 75 mililitros en un recipiente y 4 partes de ese tamaño en el otro recipiente. Esto representa que el recipiente A tiene 4 veces la cantidad de agua que tiene el recipiente B. ¿Cómo halló Amy la cantidad total de agua que hay en el recipiente A?

B 75 mL

Centenas Decenas Unidades

Amy dibujó una tabla de valor posicional que muestra 4 × 7 decenas y 4 × 5 unidades. Amy, si el recipiente A tuviera 9 veces la cantidad de agua que tiene el recipiente B, ¿también dibujarías una tabla de valor posicional para multiplicar? ¿Por qué? No, porque dibujar 9 filas de puntos que representen 75 no sería un método eficiente. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre los métodos que siguieron David y Amy para resolver el problema?

a = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

David y Amy hallaron la misma cantidad de agua. David usó una ecuación para mostrar la suma y Amy usó una tabla de valor posicional para mostrar la multiplicación. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Amy y sus propios trabajos.

164

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 Modelo de área (Método de Gabe)

¿Qué hiciste en tu dibujo, Gabe? Dibujé dos cintas, una para el recipiente B y otra para el recipiente A. La cinta del recipiente A es 4 veces tan larga como la cinta del recipiente B para mostrar que tiene 4 veces la cantidad de agua que tiene el recipiente B. ¿Qué estrategia usaste para multiplicar? Separé 75 en decenas y unidades usando un modelo de área. Luego, multipliqué cada una de las partes por 4 y sumé los productos parciales. Entonces, 280 + 20 = 300.

280

¿Por qué piensan que Gabe decidió usar el modelo de área? El modelo de área ayuda a separar una operación de multiplicación más grande en operaciones más pequeñas que conocemos. Gabe multiplicó de manera eficiente para hallar la cantidad de agua que tiene el recipiente A. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y el de David y Amy?

a = 4 × 75 = 280 + 20 = 300 Hay 300 mililitros de agua en el recipiente A.

Tanto Gabe como Amy multiplicaron usando unidades de valor posicional: decenas y unidades. David agrupó los sumandos de manera que le fuera más fácil hallar el total. Gabe separó 75 en decenas y unidades para hallar los productos parciales. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de Gabe y sus propios trabajos.

165

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Problema de grupos iguales La clase usa estrategias de multiplicación para resolver un problema de grupos iguales. Presente el problema. Hay 48 lápices en cada caja. El maestro López compra 7 cajas de lápices. ¿Cuántos lápices compra en total? Pida a sus estudiantes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Anime a la clase a seleccionar el método para representar el problema y para hallar 7 × 48. Recorra el salón de clases y observe qué métodos usan sus estudiantes. Seleccione a tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajos que contribuyan a promover el uso de estrategias de valor posicional para multiplicar. Los siguientes ejemplos de trabajo demuestran varias maneras de representar el problema y las estrategias para hallar el producto. Multiplicar decenas y unidades

48 48

Compensación

48 48

7 grupos de 48 l = 7 × 48 7 × 40 = 280 7 × 8 = 56 280 + 56 = 336 l = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

166

Propiedad distributiva

48 l = 7 × 48 = 7 × (40 (40 + 8) = (7 × 40 40)) + (7 × 8) = 280 + 56 = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

48 l = 7 × 48

50 – 2 = 48

7 × 50 = 350 7 × 2 = 14 350 – 14 = 336 l = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Grupos iguales: Compartir, comparar y conectar La clase comparte las soluciones del problema de grupos iguales y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos que se compartieron con toda la clase desde los menos abstractos hasta los más abstractos. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y el modelo que usó para representar el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas. Multiplicar decenas y unidades (Método de Casey) ¿Qué dibujó Casey? Dibujó 7 grupos de 48 para representar 7 grupos de 48 lápices. ¿Qué estrategia usó Casey?

48 48

Multiplicó 7 y 48 separando 48 en decenas y unidades. Luego, halló 7 × 40 y 7 × 8. Por último, sumó los productos parciales para obtener el producto final.

7 grupos de 48 l = 7 × 48

¿Cómo hallaste 7 × 40, Casey?

7 × 40 = 280 7 × 8 = 56

Lo pensé como 7 × 4 decenas = 28 decenas, que es la misma cantidad que 280. ¿Qué les resulta útil de esta estrategia? Podemos usar operaciones que conocemos para multiplicar números grandes. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Casey y sus propios trabajos.

48 48

280 + 56 = 336 l = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

167

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Propiedad distributiva (Método de Robin) ¿Qué mostraste en tu dibujo, Robin? Mostré un diagrama de cinta con 7 unidades para representar las 7 cajas de lápices. Rotulé una de las unidades como 48 porque hay 48 lápices en cada caja. Luego, dibujé una llave en la parte de arriba para mostrar que la cantidad total es un número desconocido. ¿Cómo se muestra en el diagrama de cinta la manera en la que podemos determinar el valor del número desconocido? Se muestran 7 grupos iguales de 48. Entonces, podemos multiplicar para hallar la respuesta. ¿Qué estrategia de multiplicación usó Robin?

48 l = 7 × 48 = 7 × (40 (40 + 8) = (7 × 40 40)) + (7 × 8) = 280 + 56 = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

Separó 48 en dos partes según el valor posicional. Escribió 7 × 48 = 7 × (40 + 8) y, luego, usó la propiedad distributiva para multiplicar cada parte por 7. Luego, sumó los productos parciales para obtener la respuesta. ¿Por qué piensan que Robin decidió usar esta estrategia para multiplicar? Pienso que usó esta estrategia porque tal vez le resulta más fácil hallar 7 × 40 y 7 × 8 que hallar 7 × 48 de otra manera. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre esta estrategia y las otras que vimos? En esta estrategia se separa 48 para hacer operaciones de multiplicación que conocemos. El problema se vuelve más simple. Las otras estrategias que vimos también hacen que el problema se vuelva más simple usando operaciones de multiplicación que conocemos. Esta estrategia es diferente de algunas de las que vimos porque no hay un modelo que la represente. En el diagrama de cinta se muestra lo que debemos hacer para resolver el problema, pero no es de ayuda para hacer la multiplicación como el modelo de área o para representar los números en la tabla de valor posicional. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Robin y sus propios trabajos.

168

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 Compensación (Método de Carla)

¿Qué hiciste para resolver este problema, Carla? Hice un diagrama de cinta para representar las 7 cajas de 48 lápices. Luego, usé la compensación para multiplicar. Pensé en que 50 − 2 = 48 y que 50 es un número que me resulta más fácil de multiplicar que 48. Multipliqué 50 por 7 y, luego, resté 14 para quitar los 2 lápices adicionales de cada caja. ¿Por qué es útil esta estrategia? Nos ayuda a usar operaciones que conocemos. Nos ayuda porque podemos hallar números que podemos multiplicar mentalmente. ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre esta estrategia y las otras que vimos? Carla usó números que le resultaron más simples de multiplicar, al igual que con las estrategias que separaron 48 en unidades de valor posicional.

Nota para la enseñanza

48 l = 7 × 48

50 – 2 = 48

7 × 50 = 350 7 × 2 = 14 350 – 14 = 336

Aunque el uso de estrategias de compensación para multiplicaciones de números de dos dígitos por números de un dígito no aparece hasta la lección 10, la clase ha usado esta estrategia en grados anteriores para resolver otro tipo de problemas. Es posible que haya estudiantes que usen la compensación para hallar 7 × 48.

l = 336 El maestro López compra 336 lápices en total.

La compensación se diferencia de las otras estrategias porque Carla primero multiplicó un número más grande y, luego, restó lo que sobraba. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Carla y sus propios trabajos.

169

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales de multiplicación Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre las maneras de representar y resolver problemas verbales. ¿De qué manera los modelos, como un diagrama de cinta, les ayudan a representar problemas verbales? Los modelos, como un diagrama de cinta, nos ayudan a ver cómo se relacionan los números del problema, de manera que podamos calcular qué operación usar para resolverlo. Los modelos nos ayudan a entender el problema para poder decidir qué estrategia usar para hallar la solución y así resolverlo. ¿Qué estrategias les ayudan a resolver los problemas de multiplicación? La propiedad distributiva es útil porque podemos separar el número más grande en partes y, luego, multiplicar las decenas y las unidades por separado. Multiplicar por un múltiplo de diez es eficiente porque podemos usar lo que sabemos sobre las operaciones de multiplicación básicas.

170

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

Fecha

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

EUREKA MATH2

3. Liz hace 25 flexiones por día. ¿Cuántas flexiones hace Liz en 7 días?

7 × 25 = 175 Liz hace 175 flexiones en 7 días.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 1. Un rectángulo es 3 veces tan largo como es de ancho. El ancho del rectángulo es 35 centímetros. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

3 × 35 = 105 La longitud del rectángulo es 105 centímetros.

2. Una lombriz mide 21 centímetros de largo. Una serpiente es 6 veces tan larga como la lombriz. ¿Cuánto mide la serpiente?

4. La perra de Luke pesa 24 kilogramos. Su poni es 9 veces tan pesado como su perra. ¿Cuánto pesa el poni de Luke?

9 × 24 = 216 El poni de Luke pesa 216 kilogramos.

6 × 21 = 126 La serpiente mide 126 centímetros de largo.

GRUPO DE PROBLEMAS

171

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9

5. Una cafetería sirve 94 litros de leche por día. ¿Cuántos litros de leche sirve la cafetería en 5 días?

5 × 94 = 470 La cafetería sirve 470 litros de leche en 5 días.

6. María compra uvas y manzanas. Las manzanas son 8 veces tan pesadas como las uvas. Las uvas pesan 98 gramos. ¿Cuánto pesan las manzanas?

8 × 98 = 784 Las manzanas pesan 784 gramos.

172

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 ▸ Afiches de multiplicación para 5 × 37

Centenas

Decenas

Unidades

150 + 35 = 185

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173

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 ▸ Afiches de multiplicación para 5 × 37

EUREKA MATH2

150

150 + 35 = 185

174

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EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 ▸ Afiches de multiplicación para 5 × 37

g 37

5 × 30 = 150 5 × 7 = 35 150 + 35 = 185

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175

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 9 ▸ Afiches de multiplicación para 5 × 37

EUREKA MATH2

g = 5 × 37 = 5 × (30 + 7) = (5 × 30) + (5 × 7) = 150 + 35 = 185 g = 185

176

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LECCIÓN 10

Multiplicar aplicando estrategias de simplificación (opcional)

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

Multiplica. Muestra tu estrategia. a. 7 × 40 =

280

7 × 40 = 7 × 4 decenas

b. 7 × 39 =

273

= 280 − 7

= 280

= 273

La clase usa estrategias de simplificación para multiplicar con eficiencia; las estrategias incluyen la descomposición de uno de los factores para usar operaciones conocidas y el uso de la compensación. Seleccionan deliberadamente una estrategia de multiplicación y explican su razonamiento.

Preguntas clave

7 × 39 = (7 × 40) − 7

= 28 decenas

Vistazo a la lección

• ¿Por qué las estrategias de simplificación son útiles para multiplicar? • ¿Cómo deciden qué estrategia usar para multiplicar?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número

entero de un dígito. (4.NBT.B.5)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestra o maestro

Presentar 5 min

• Afiches de multiplicación para 4 × 67 (en la edición para la enseñanza)

Imprima o copie los Afiches de multiplicación para 4 × 67. Cuelgue los afiches en diferentes lugares del salón de clases. Considere esperar al momento en que se presenta la rutina Tomar una postura al final de la sección Aprender para colgar los afiches.

Aprender 35 min • Descomponer factores para multiplicar • Usar la compensación para multiplicar

Estudiantes • ninguno

• Elegir una estrategia para multiplicar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

179

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

Fluidez

42,852 + 15,732 = 58,584

Escriban la ecuación y complétenla usando el algoritmo convencional.

42,852 + 15,732 1 58,584

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la suma y el registro del algoritmo convencional en forma vertical. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

186,801 + 371,695 = 558,496

180

83,954 − 58,624 =

25,330

654,457 − 261,293 = 393,164

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar en forma unitaria y en forma estándar y sumar La clase multiplica decenas y unidades en forma unitaria, escribe ecuaciones y expresiones en forma estándar y suma dos productos para adquirir fluidez con las estrategias de valor posicional al multiplicar. Muestre 6 × 7 decenas =

¿Cuánto es 6 × 7 decenas en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

42 decenas Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la respuesta: 6 × 70 = 420. Repita el proceso con

6 × 3 unidades =

6 × 7 decenas = 42 decenas

6 × 3 unidades = 18 unidades

6 × 70 = 420

6 × 3 = 18

Muestre (6 × 70) + (6 × 3). Escriban el valor de la expresión.

(6 × 70) + (6 × 3)

Muestre el valor de cada parte y, luego, el valor total.

420 + 18

438

181

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

7 × 9 decenas = 63 decenas

8 × 5 decenas = 40 decenas

9 × 6 decenas = 54 decenas

7 × 7 unidades = 49 unidades

8 × 9 unidades = 72 unidades

9 × 4 unidades = 36 unidades

(7 × 90) + (7 × 7) 630 + 49 679

(8 × 50) + (8 × 9) 400 + 72 472

(9 × 60) + (9 × 4) 540 + 36 576 DUA: Representación

Presentar

Considere activar los conocimientos previos acerca de las estrategias de simplificación mostrando un afiche con el nombre de la estrategia junto con un ejemplo de 3.er grado.

La clase halla el valor de 7 quarters y comparte las estrategias.

Muestre la imagen de 7 quarters, y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de la conversación matemática.

Dé a la clase 1 minuto para pensar en silencio y determinar el valor total, en centavos, de los quarters. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.

× ×

Luego, guíe una breve conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas. El valor de 8 quarters es 200¢. El valor de 7 quarters es 25¢ menos que 200¢, que es 175¢.

182

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 El valor de 4 quarters es 100¢ y el valor de 3 quarters es 75¢. Puedo sumar esas cantidades para hallar el valor de 7 quarters, que es 175¢. El valor de 2 quarters es 50¢. Hay 3 cincuentas y 1 veinticinco, que es igual a 175. Presente la siguiente expresión de multiplicación:

7 × 25 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si las estrategias que usaron para hallar el valor total de 7 quarters se pueden usar para hallar el producto de 7 y 25. Se pueden usar las mismas estrategias de simplificación con las que hallaron el valor de 7 quarters para hallar 7 × 25. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos estrategias de simplificación para multiplicar.

Aprender

Descomponer factores para multiplicar

Apoyo para la comprensión del lenguaje

La clase decide cómo descomponer factores para multiplicar. Presente la siguiente expresión:

4 × 73

70 4

Muestre la imagen del modelo de área y de la tabla de valor posicional. ¿Qué factor se descompone en cada modelo y cómo se lo descompone?

73 se descompone en 7 decenas y 3 unidades.

Decenas

Unidades

Considere proporcionar esquemas de oraciones para apoyar a sus estudiantes mientras conversan sobre las estrategias de simplificación en parejas. • Podemos descomponer .

porque

• Podemos descomponer en y . • Podemos usar un(a) cómo descompusimos.

para mostrar

183

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las otras maneras en las que pueden descomponer 73 que les servirían para multiplicar por 4.

Diferenciación: Apoyo

¿El 73 es el único factor que pueden descomponer para hallar el producto de 4 y 73? No, podemos descomponer 4. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para descomponer un factor y hallar 4 × 73. Pídales que:

• ¿Qué factor pueden descomponer para simplificar el problema?

• elijan qué factor quieren descomponer; • decidan cómo descomponer el factor que eligieron y • registren la descomposición y la multiplicación. Seleccione dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre la descomposición de factores de maneras que hacen que el problema sea más simple. Los ejemplos de trabajo que se muestran a continuación demuestran cómo descomponer 73 en tres números para multiplicar y cómo descomponer 4 para usar números repetidos y hallar el producto. Descomponer 73 en 50, 20 y 3

Descomponer 4 y duplicar

200

4 × 73 = 200 + 80 + 12 = 292

4 × 73 = (2 + 2) × 73 = (2 × 73) + (2 × 73) 2 2 73 + 73 146

146 + 146 1 292

4 × 73 = 292 Mientras la clase comparte su trabajo, considere usar las siguientes preguntas para que expliquen su razonamiento y cómo la manera en que descompusieron les ayudó a multiplicar. • ¿Qué factor descompusieron? ¿Por qué? • ¿Cómo descompusieron el factor? ¿Por qué?

Considere usar las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras deciden qué factor descomponer y cómo descomponer el factor elegido.

• ¿Cómo pueden descomponer el factor para hacer un problema más simple? ¿Qué operaciones que conocen pueden usar? • ¿Pueden registrar su trabajo con un vínculo numérico? ¿Y con ecuaciones?

Diferenciación: Desafío Considere pedir a quienes terminen primero que muestren diversas maneras de descomponer los factores dados. Pídales que examinen su trabajo y que determinen si algunas descomposiciones son más útiles que otras.

Nota para la enseñanza Las estrategias de simplificación o partes de las estrategias que usan sus estudiantes podrían ser cálculos mentales. Anime a la clase a intentar registrar o explicar sus estrategias. Esto permitirá que sus pares las comprendan mejor y las apliquen.

• ¿Cómo registraron la descomposición y la multiplicación?

184

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a que intente descomponer los factores de maneras diferentes para hallar 4 × 87 y 6 × 92. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden descomponer factores de maneras diferentes para multiplicar.

Usar la compensación para multiplicar La clase identifica y usa las relaciones entre los factores para multiplicar. Presente la siguiente expresión:

3 × 50 Invite a la clase a usar el cálculo mental para hallar el producto. ¿Cuánto es 3 × 50?

15 decenas 150 Presente las expresiones:

3 × 49 3 × 48 3 × 47

Nota para la enseñanza Al hallar los productos para la secuencia de expresiones dada, es posible que haya estudiantes que quieran restar 3 de cada producto. Por ejemplo, después de hallar 3 × 49 = 147, es posible que quieran hallar 3 × 48 restando 3 de 147. Es importante que la clase piense cuántos treses deben restar de 150 cada vez, en lugar de restar 1 tres de cada producto.

¿Cómo se relaciona cada expresión con 3 × 50? Todas tienen el factor 3 en común, pero el otro factor es diferente.

49 es 1 menos que 50. 48 es 2 menos que 50. 47 es 3 menos que 50. Invite a sus estudiantes a que trabajen en parejas para mostrar cómo pueden usar 3 × 50 = 150 como ayuda para hallar 3 × 49, 3 × 48 y 3 × 47. Seleccione dos o tres parejas para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo registraron las estrategias de compensación. Los ejemplos de trabajo que se incluyen a continuación muestran el registro de la compensación usando la forma unitaria, un diagrama de cinta y un vínculo numérico.

185

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 Forma unitaria

Diagrama de cinta

49 treses = 50 treses – 1 tres = 150 – 3 = 147 49 × 3 = 147

3 × 50 48

DUA: Representación

3 × 48

2 2 2 3×2

3 × 48 = (3 × 50) - (3 × 2) = 150 - 6 = 144

Considere apoyar a sus estudiantes mientras determinan cuánto deben restar de 150. Para mostrar la relación entre 3 × 50 y 3 × 48, dibuje 3 grupos iguales y escriba el número 50 en cada grupo. Luego, dibuje 3 grupos iguales más y escriba el número 48 en cada grupo. Use la resta para mostrar la relación entre 50 y 48 en cada grupo. Esto ayudará a que sus estudiantes vean que deben restar 3 doses de 150 para hallar 3 × 48.

Vínculo numérico

3 × 50 3 × 47

3×3

3 x 47 = (3 × 50) - (3 × 3) = 150 - 9 = 141 Mientras la clase comparte su trabajo, considere usar las siguientes preguntas para que expliquen su razonamiento sobre cómo usaron 3 × 50 = 150 como ayuda para multiplicar: • ¿Cómo usaron 3 × 50 = 150 para hallar el producto? • ¿Cómo supieron cuánto restar de 150? • ¿Cómo registraron la estrategia de compensación?

186

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 Presente las siguientes expresiones:

4 × 53 5 × 39 7 × 81 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si podrían hallar el producto de las expresiones dadas usando la compensación. No usaría la compensación para hallar 4 × 53 porque puedo pensar fácilmente en 53 como 50 y 3. Usaría la compensación para hallar 5 × 39 porque 39 está cerca de la siguiente decena, 40. No usaría la compensación para hallar 7 × 81 porque puedo pensar fácilmente en 81 como 80 y 1. Si hay tiempo suficiente, pida a la clase que use la compensación para hallar 7 × 69 y 8 × 78. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo y cómo pueden usar la compensación para multiplicar.

Elegir una estrategia para multiplicar Materiales: M) Afiches de multiplicación para 4 × 67

La clase multiplica usando las estrategias que eligió y explica su razonamiento. Escriba la expresión 4 × 67. Pida a sus estudiantes que hallen el producto y que registren su trabajo. Dé tiempo para trabajar. Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes hacia los afiches colgados en el salón de clases (ver la sección Preparación de la lección). Pídales que se ubiquen junto al afiche que mejor describa su estrategia. Indíqueles que deben llevar su trabajo. Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 1 o 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron. Luego, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones de su elección. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación. Pídales que vuelvan a sentarse. Reflexione junto con toda la clase acerca de las características de los factores que hacen que las diferentes estrategias sean una buena elección para resolver un problema. La conversación puede incluir descomponer factores en operaciones conocidas, elegir estrategias basadas en la eficiencia y comodidad, y pensar en la relación entre un factor dado y las operaciones más sencillas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando multiplica usando la estrategia que eligió y explica su razonamiento. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5: • ¿Qué tipo de diagrama o dibujo pueden hacer que les ayudaría a hallar 4 × 67? • ¿Por qué eligieron esa estrategia? ¿Funcionó la estrategia?

187

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Multiplicar aplicando estrategias de simplificación Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de estrategias de simplificación para multiplicar. ¿Por qué es útil descomponer factores de diferentes maneras cuando multiplicamos? Me ayuda a hallar las operaciones que conozco. Me ayuda a hallar expresiones con factores más pequeños que me resultan más simples de multiplicar. ¿De qué nos sirve la compensación cuando multiplicamos? Pienso en números de referencia que me resultan más simples de multiplicar. Puedo multiplicar los números de referencia mentalmente y, luego, restar. ¿Cómo deciden qué estrategia usar para multiplicar? Observo los factores y pienso cómo puedo usar las operaciones que conozco como ayuda para multiplicar. Uso las estrategias que me resultan eficientes y con las que puedo trabajar con comodidad.

188

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

Nombre

Fecha

7. 6 × 78 =

Multiplica. Muestra tu estrategia. 1. 4 × 76 =

304

4 × 76 = 4 × (50 + 20 + 6) = (4 × 50) + (4 × 20) + (4 × 6) = 200 + 80 + 24

2. 4 × 43 =

492

6 × 82 = 6 × (50 + 30 + 2) = (6 × 50) + (6 × 30) + (6 × 2) = 300 + 180 + 12 = 492

172

468

8. 8 × 67 =

536

6 × 78 = (6 × 80) − (6 × 2)

8 × 67 = (8 × 70) − (8 × 3)

= 480 − 12

= 560 − 24

= 468

= 536

4 × 43 = (2 + 2) × 43 = (2 × 43) + (2 × 43) = 86 + 86

= 304

3. 6 × 82 =

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

= 172

4. 8 × 72 =

576

8 × 72 = (4 + 4) × 72 = (4 × 72) + (4 × 72) = 288 + 288 = 576

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 9. Jayla tiene 4 veces la cantidad de pegatinas que tiene Iván. Iván tiene 63 pegatinas. ¿Cuántas pegatinas tiene Jayla?

4 × 63 = 252 Jayla tiene 252 pegatinas.

5. 3 × 60 =

180 3 × 60 = 3 × 6 decenas = 18 decenas = 180

6. 3 × 59 =

177

59 treses = 60 treses − 1 tres = 180 − 3 = 177

GRUPO DE PROBLEMAS

189

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10

10. El Sr. Endo compra 7 cajas de crayones. Cada caja tiene 48 crayones. ¿Cuántos crayones compra en total?

7 × 48 = 336 El Sr. Endo compra 336 crayones.

11. Oka y Ray usan una estrategia de compensación para hallar 6 × 37. Método de Oka

Método de Ray

6 x 37 = (6 (6 x 40 40)) - 6

6 x 37 = (6 x 40) - 18

= 240 - 6

= 240 - 18

= 234

= 222

¿Qué trabajo es correcto? ¿Cómo lo sabes? El trabajo de Ray es correcto. 37 seises tienen el mismo valor que 40 seises menos 3 seises.

6 × 37 = (6 × 40) − (6 × 3)

190

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Afiches de multiplicación para 4 × 67

4 × 67 = Decenas

268 Unidades

4 × 67 = 26 decenas y 8 unidades = 268 © Great Minds PBC

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191

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Afiches de multiplicación para 4 × 67

EUREKA MATH2

240

4 × 67 = (4 × 60) + (4 × 7) = 240 + 28 = 268

192

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EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Afiches de multiplicación para 4 × 67

4 × 67 = 4 × (60 + 7) = (4 × 60) + (4 × 7) = 240 + 28 = 268

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193

4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Afiches de multiplicación para 4 × 67

EUREKA MATH2

4 × 67 = (2 + 2) × 67 2 2

= (2 × 67) + (2 × 67) 67 + 67 1 134

1 34 + 1 34 268

4 × 67 = 268

194

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EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TB ▸ Lección 10 ▸ Afiches de multiplicación para 4 × 67

67 × 4 = 70 cuatros − 3 cuatros = 280 − 12 = 268

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195

Tema C División de decenas y unidades entre números de un dígito En el tema C, la clase divide números de dos y tres dígitos entre números de un dígito. En la primera lección del tema, se brinda a la clase la oportunidad de dividir números de dos y tres dígitos entre números de un dígito aplicando su experiencia con la división de múltiplos de diez, dividiendo un total (es decir, un dividendo) en grupos iguales y usando la estrategia de separar y distribuir. Esta lección inicial funciona como una evaluación formativa de la comprensión de la clase de cómo la estrategia de separar y distribuir, presentada en 3.er grado, puede usarse para dividir números más grandes. A medida que el tema avanza, la clase aprende a separar en partes, o descomponer, totales de dos y tres dígitos en un número de decenas y unidades. Comienzan representando esta estrategia con un vínculo numérico y un modelo de área, dos conceptos que ya conocen de 3.er grado, como una manera de representar la división. El vínculo numérico muestra el total y sus partes descompuestas. Por ejemplo, al dividir 56 entre 4, 56 es el total y 40 y 16 son las partes. En el modelo de área, el área está representada por las partes descompuestas, y las longitudes de los lados conocidas y desconocidas están rotuladas con el divisor y los cocientes parciales. Luego, la clase hace una transición hacia el uso de otro modelo ya conocido, la tabla de valor posicional, como una manera de representar la suma, la resta y la multiplicación de varios dígitos. Aprenden a dibujar el total como decenas y unidades y a distribuir de manera uniforme las decenas y las unidades en un número de grupos iguales. Las decenas se descomponen según sea necesario. La clase escribe ecuaciones en forma unitaria o en forma estándar para registrar la división como aparece representada en el modelo de área o la tabla de valor posicional. Independientemente de la representación usada, la estrategia de separar y distribuir es el elemento central de la manera en que sus estudiantes abordan un problema de división de varios dígitos. En la última lección del tema, la clase representa situaciones de división con diagramas de cinta e identifica si el número desconocido es el número de grupos o el tamaño del grupo. Luego, determinan el cociente al seleccionar una representación para la estrategia de separar y distribuir. En el tema D, la clase aplica su comprensión de la multiplicación y la división de varios dígitos para resolver problemas de medición, entre los que se encuentran problemas de área y de perímetro.

197

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC

Progresión de las lecciones Lección 11

Lección 12

Lección 13

Dividir usando estrategias conocidas

Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

Puedo dividir números de dos y tres dígitos entre números de un dígito usando lo que sé sobre representar la división como una multiplicación con un factor desconocido, formar grupos iguales o separar el total en partes para dividir.

Estimar un cociente primero me ayuda a pensar acerca de cómo separar un total de tres dígitos en partes para poder usar las operaciones que conozco para dividir. Uso un modelo de área y ecuaciones para registrar la división. Cuando uso el valor posicional y las operaciones de división que conozco, puedo separar el total en partes para crear dos problemas de división más simples. Los vínculos numéricos, los modelos de área y las ecuaciones me pueden ayudar a representar la manera en que separo el total en partes.

198

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC

Lección 14

Lección 15

Lección 16

Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

Dividir usando la estrategia de separar y distribuir

...

÷ ÷

Puedo dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando una tabla de valor posicional y registrando las ecuaciones. El divisor me indica qué número de grupos debo dibujar. Es posible que necesite descomponer una decena para seguir dividiendo.

Expresar un total de tres dígitos como decenas y unidades me puede ayudar a dividir de manera parecida a como divido números de dos dígitos. Puedo dibujar en la tabla de valor posicional y escribir ecuaciones para mostrar la estrategia de separar y distribuir.

Un diagrama de cinta es útil para representar si estoy dividiendo para hallar el número de grupos o el tamaño del grupo en un problema verbal. Puedo usar un modelo de área, una tabla de valor posicional o una ecuación para hallar el cociente.

199

LECCIÓN 11

Dividir usando estrategias conocidas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

La Sra. Smith compra 8 latas de pintura por un total de $120. Todas las latas son iguales. ¿Cuánto cuesta 1 lata de pintura? Muestra o explica tu estrategia.

120 ÷ 8 = (80 + 40) ÷ 8 = (80 ÷ 8) + (40 ÷ 8)

Vistazo a la lección La clase usa sus conocimientos previos para dividir números de dos dígitos entre números de un dígito. Analizan diferentes estrategias para dividir y las comparan con sus propias estrategias. Luego, dividen un número de tres dígitos entre un número de un dígito usando una estrategia conocida y comparan sus estrategias con las que usaron para el problema anterior.

Preguntas clave

= 10 + 5 = 15

• ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de la división para dividir con números más grandes?

1 lata de pintura cuesta $15.

• ¿Es útil separar un total en partes para dividir con eficiencia? ¿Por qué?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Elegir una estrategia para dividir

Estudiantes • ninguno

• Compartir, comparar y conectar • Aplicar una estrategia para dividir • Grupo de problemas

Concluir 10 min

201

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Fluidez

Contar de 5 decenas en 5 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 5 decenas en unidad de 5 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 250 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de cinco en cinco del 0 al 25. ¿Comenzamos?

0, 5, 10, 15, 20, 25 25, 20, 15, 10, 5, 0 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 5 decenas en 5 decenas, desde 0 decenas hasta 25 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 5 decenas…, 20 decenas, 25 decenas 25 decenas, 20 decenas…, 5 decenas, 0 decenas

0 decenas

5 decenas 10 decenas 15 decenas 20 decenas 25 decenas

100

150

200

250

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 5 decenas en 5 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 50, 100, 150, 200, 250 250, 200, 150, 100, 50, 0

202

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales La clase usa un vínculo numérico y una operación de la tabla del cinco para descomponer un total de dos dígitos de una expresión de división como preparación para usar estrategias de valor posicional al dividir. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 14 ÷ 2.

14 ÷ 2

Escriban la expresión. ¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, la clase aplica la estrategia de separar y distribuir a la división usando matrices y vínculos numéricos para representar cocientes parciales. En 4.o grado, se basan en las operaciones conocidas para descomponer el total en partes más pequeñas que son más fáciles de dividir entre el divisor. Es decir, sus estudiantes determinan cinco de una unidad dada (p. ej., el divisor) y usan ese número para descomponer el total.

Muestre las ramas del vínculo numérico. Usen una operación de la tabla del cinco para separar el total en dos partes y, luego, completen el vínculo numérico.

32 ÷ 4 = 5 + 3 = 8 20 12

Muestre el vínculo numérico completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

21 ÷ 3 15

56 ÷ 7 35

28 ÷ 4 20

64 ÷ 8 40

42 ÷ 6 30

Esta actividad de fluidez se continúa a lo largo de los temas C y D, en los que se amplía la estrategia a totales más grandes y se los descompone de diferentes maneras.

72 ÷ 9 45

203

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Respuesta a coro: Dividir en forma unitaria La clase divide unidades o decenas en forma unitaria para dividir números de varios dígitos al desarrollar la comprensión del valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 8 unidades ÷ 2 =

unidades.

¿Cuánto es 8 unidades ÷ 2?

4 unidades Muestre la respuesta y, luego, 8 decenas ÷ 2 =

decenas.

¿Cuánto es 8 decenas ÷ 2?

8 unidades ÷ 2 =

unidades

8 decenas ÷ 2 =

decenas

4 decenas Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16 unidades ÷ 2 =

unidades

28 unidades ÷ 4 =

unidades

40 unidades ÷ 5 =

unidades

16 decenas ÷ 2 =

decenas

28 decenas ÷ 4 =

decenas

40 decenas ÷ 5 =

decenas

204

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Presentar

La clase describe cómo repartir una cantidad de dinero en partes iguales.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

1 1

1 1 1 11 1 1 1 1

¿Qué se preguntan acerca de esta imagen?

Para apoyar el contexto de este problema, active los conocimientos previos mencionando juegos de mesa que sus estudiantes conozcan en los que se juegue con piezas y dinero de juguete.

10 10 10 10 1010 10 10 10 10

Observo que hay 3 piezas de un juego.

10 10 10 10 1010 10 10 10 10

10 10

1 1

10 10

1 1

10 10

10 10 10 10

1 1

10 10

Observo que hay 12 billetes de diez dólares y 6 billetes de un dólar.

Creo que tal vez hay 3 personas jugando.

10 10

¿Qué observan en esta imagen?

10 10

Muestre la imagen del dinero y las piezas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que observan en la imagen.

Me pregunto si cada jugador obtiene la misma cantidad de dinero. Me pregunto si los billetes se reparten entre los 3 jugadores. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en Parejas-Compartir para analizar cómo se pueden repartir los billetes en partes iguales entre los 3 jugadores. Primero, pueden repartirse los billetes de diez dólares y, luego, los de un dólar. Hay 12 billetes de diez dólares, entonces cada jugador recibe 4 billetes. Hay 6 billetes de un dólar, entonces cada jugador recibe 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían determinar cuánto dinero recibe cada jugador. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, representaremos y resolveremos problemas de división usando estrategias conocidas.

205

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Aprender

Nota para la enseñanza

Elegir una estrategia para dividir La clase elige una estrategia para dividir un número de dos dígitos entre un número de un dígito.

Use esta lección como evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas de división. El propósito de esta lección no es presentar nuevos métodos para dividir.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros. Lea el problema a coro con la clase. Halla el número desconocido. Muestra o explica tu estrategia. 1. 6 personas se reparten 78 dólares en partes iguales. ¿Cuánto dinero obtiene cada persona?

78 ÷ 6 = 13 Cada persona obtiene $13. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre este problema de división y otros problemas de división con los que hayan trabajado antes. Pida a la clase que muestre sus estrategias para hallar el número desconocido. Permita que seleccionen sus propias estrategias para hallar la solución usando lo que saben acerca de las estrategias de división y el valor posicional. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan su trabajo en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que muestren diferentes maneras de representar la división o que usen un problema de factor desconocido. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de cómo cada estrategia muestra la manera de separar 78 en partes. Los ejemplos de trabajo de sus estudiantes demuestran el uso de las estrategias de división que se aprendieron con anterioridad aplicadas a un número más grande.

Diferenciación: Apoyo Considere apoyar a sus estudiantes al brindar herramientas como discos de valor posicional, dinero de juguete y papel cuadriculado para resolver los problemas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando elige una estrategia y divide un número de dos dígitos entre un número de un dígito para resolver un problema verbal. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Cómo el contexto de 6 personas que se reparten 78 dólares en partes iguales les ayuda a decidir el modelo y la estrategia que van a usar? • ¿Su solución tiene sentido en términos matemáticos?

206

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11 Grupos iguales

6×

Valor posicional aplicado al dinero

= 78

78 ÷ 6 10 10

10 10

1 1

P2 10 1 1 1

P1 10 1 1 1

Cada persona obtiene $ $13. 13.

10 1 1

1 1

P3 10 1 1 1

1 1

1 1 P4 10 1 1 1

1 1

1 1 P5 10 1 1 1

P6 10 1 1 1

Cada persona obtiene $13. Descomponer el total

78 ÷ 6 60

3 13

Cada persona obtiene $13.

207

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Compartir, comparar y conectar La clase comparte y compara las estrategias para hallar la solución y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar los trabajos que compartieron sus estudiantes comenzando por aquellos con estrategias más concretas hasta llegar a los de estrategias más abstractas. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento, el modelo y la estrategia que usó para representar el problema. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas. El ejemplo de conversación demuestra preguntas que invitan a razonar y a conectar. Grupos iguales (Método de Casey) ¿Cómo representaste el problema, Casey? Pensé el problema como un problema de factor desconocido. Sabía que había 6 grupos iguales y que el total era 78. Tenía que hallar el número en cada grupo.

6×

= 78

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos estableciendo una conexión entre la división y la multiplicación para hallar grupos iguales. Pida a sus estudiantes que identifiquen dónde se muestran los 6 grupos de 13 en los ejemplos de trabajo de Casey y Carla.

¿Qué modelo usó Casey? Usó grupos iguales. Los 6 círculos representan a las 6 personas. ¿Cómo representaste cada dólar, Casey? Comencé dibujando 1 punto en cada círculo para representar cada dólar. Después de dibujar unos 12 puntos, recordé que 6 × 10 = 60. Entonces, dejé de dibujar puntos de a uno y dibujé 10 puntos en cada círculo. Cuando llegué a 60 puntos, dibujé puntos de a uno hasta llegar a 78.

Cada persona obtiene $ $13. 13.

¿Por qué elegiste el modelo de grupos iguales? No sabía qué operación de multiplicación o división realizar con seises cuando el total es 78, entonces dibujé un modelo conocido. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Casey y sus propios trabajos.

208

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11 Valor posicional aplicado al dinero (Método de Carla) ¿Cómo representaste el problema, Carla? Pensé el problema como una división. Sabía que el total era 78 y tenía que repartirlo en 6 partes iguales. Carla, háblanos de tu dibujo.

78 ÷ 6 10 10 P1

10 10

1 1

10 1 1

1 1

1 1 P5 10 1 1 1

Dibujé rectángulos para mostrar 10 10 10 10 los billetes de $10 y de $1. Comencé 1 1 1 1 con 7 decenas y 8 unidades. Al igual 1 1 1 1 que hicimos con los discos de valor 1 1 1 1 posicional, repartí 1 decena para cada persona. Me quedó 1 decena por Cada persona obtiene $13. repartir, entonces la descompuse en 10 unidades. Luego, repartí las 18 unidades en partes iguales. Encerré el primer grupo en un círculo para mostrar que cada persona obtiene $13.

P6 10 1 1 1

¿En qué se parecen el razonamiento de Casey y el de Carla? Ambos dibujos muestran los 78 billetes repartidos en 6 grupos iguales. Ambos dibujos muestran grupos de 10. Casey vio los grupos de 10 en los grupos iguales, y Carla mostró los grupos de 10 como 1 billete de diez dólares para cada persona. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Carla y sus propios trabajos. Descomponer el total (Método de James) ¿Cómo representó el problema James? Escribió una expresión de división y descompuso 78 en dos partes diferentes, 60 y 18. James, dinos por qué descompusiste 78 de esa manera. Pensé en los múltiplos de 10. Sé que 6 decenas se puede dividir entre 6. Entonces, quedaron 18 unidades. Sabía que podía dividir 18 entre 6.

78 ÷ 6 60

3 13

Cada persona obtiene $13.

209

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11 ¿Cómo determinaste tu respuesta? Dividí cada parte entre 6. Registré esos cocientes debajo de las partes y, luego, los sumé y obtuve 13. ¿Dónde pueden ver 60 y 18 en el trabajo de Casey? ¿Y en el trabajo de Carla? Casey mostró 60 dibujando una decena como dos grupos de 5 en cada uno de los 6 grupos iguales. Luego, hay 3 puntos más en cada uno de los grupos iguales que muestran 18. Carla primero repartió $60 distribuyendo 6 billetes de diez dólares. Al descomponer 1 billete de diez dólares en 10 billetes de un dólar, formó un total de 18 billetes de un dólar. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de James y sus propios trabajos. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se usó el valor posicional en cada estrategia. En lugar de descomponer 78 en 7 decenas y 8 unidades, eligieron descomponer 78 en 6 decenas y 18 unidades. Descomponer el total en partes que son más fáciles de dividir nos puede ayudar a dividir con totales más grandes. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategia les gustaría usar.

Aplicar una estrategia para dividir

Nota para la enseñanza Si bien las estrategias que se muestran son maneras válidas de representar problemas de división, sus estudiantes deben trabajar con representaciones más abstractas a medida que los números del tema se vuelven demasiado grandes para representarlos con objetos discretos. Apoye a la clase para que mejore sus estrategias. Pídales que identifiquen las semejanzas que hay entre sus estrategias y aquellas que podrían resultar más eficientes.

La clase elige una nueva estrategia para representar el problema y analiza su eficiencia. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Halla el número desconocido. Muestra o explica tu estrategia. 2. ¿7 grupos iguales de cuánto es 161?

161 ÷ 7 = 23 7 grupos de 23 es 161. Dé a la clase 3 minutos para resolver el problema usando una estrategia diferente a la que usaron para el problema anterior y mostrar su razonamiento.

210

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11 Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones entre las estrategias usadas en este problema y el anterior.

161 ÷ 7

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a cada estudiante que comparta su razonamiento con todo el grupo.

10 10 1

Nota para la enseñanza

161 ÷ 7 = 10 + 10 + 3 = 23

Es posible que sus estudiantes demuestren diferentes niveles de dominio al dividir con totales más grandes. El objetivo no es que hallen el cociente preciso sino que tomen decisiones conscientes acerca de cómo representar problemas de división cuando los totales son más grandes que los números de las operaciones conocidas.

70 70 21

A medida que se desarrolla la conversación, destaque 7 grupos de 23 es 161. 7 grupos de 23 es 16 1611 . el razonamiento que muestre una mayor eficiencia con respecto al problema anterior. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a reflexionar acerca de la estrategia que eligieron y cómo impactó en su trabajo. Considere hacer las siguientes preguntas: • ¿Qué estrategia eligieron? ¿Por qué? • ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las maneras en que resolvieron este problema y el anterior? • ¿Qué estrategia les pareció más eficiente hoy? ¿Por qué fue eficiente? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias que hay entre las estrategias que usaron para este problema y para el anterior. Formé grupos iguales en los dos casos. Para el primer problema dibujé puntos, pero 161 puntos eran demasiados para dibujar. Entonces, dibujé discos de valor posicional. Sabía que podía mostrar decenas y unidades. Para los dos problemas descompuse el número más grande pensando entre qué número se estaba dividiendo. Descompuse 161 en tres partes en lugar de dos. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que usaron y cuáles les parecieron más eficientes.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos. © Great Minds PBC

211

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir usando estrategias conocidas Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca de las estrategias para dividir. ¿Cuál de las estrategias que usaron en el Grupo de problemas les pareció más eficiente? ¿Por qué les pareció eficiente? Separé los totales en partes pensando en los múltiplos de diez. Eso me ayudó a separar el problema en pasos más simples. Pensé en reescribir la ecuación de división como una ecuación de multiplicación con un factor desconocido. ¿Cómo podemos usar lo que sabemos acerca de la división para dividir con números más grandes? Sé que la multiplicación y la división están relacionadas, entonces, mientras descompongo el total, puedo pensar en las operaciones de multiplicación que conozco. Podemos usar los modelos conocidos de cuando dividimos con números más pequeños para estos números más grandes. ¿Es útil separar un total en partes para dividir con eficiencia? ¿Por qué? Sí. Descomponer el total me ayuda a dividirlo mentalmente. Sí, porque me resulta más fácil dividir con operaciones que conozco.

212

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 11

3. ¿Cuántos grupos de 5 hay en 135?

135 ÷ 5 = 27 Hay 27 grupos de 5 en 135.

Halla el número desconocido. Muestra o explica tu estrategia. 1. 3 personas se reparten 48 peras en partes iguales. ¿Cuántas peras obtiene cada persona?

48 ÷ 3 = 16 Cada persona obtiene 16 peras.

4. Piensa en 210 ÷ 6. a. Usa dos estrategias diferentes para hallar el cociente.

210 ÷ 6 = (180 + 30) ÷ 6

210 60

2. ¿4 grupos iguales de cuánto es 68?

68 ÷ 4 = 17 4 grupos iguales de 17 es 68.

= (180 ÷ 6) + (30 ÷ 6)

= 30 + 5 = 35

210 = 60 + 60 + 60 + 30 60 ÷ 6 = 10 60 ÷ 6 = 10 60 ÷ 6 = 10 30 ÷ 6 = 5 10 + 10 + 10 + 5 = 35 b. Coloca una estrella junto a la estrategia más eficiente.

GRUPO DE PROBLEMAS

213

LECCIÓN 12

Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

Completa el modelo de área y las ecuaciones para hallar 72 ÷ 3.

72 ÷ 3 = (

)÷3

÷ 3) + (

Vistazo a la lección La clase usa un vínculo numérico para descomponer el total de una expresión de división y, luego, halla el cociente usando el razonamiento de valor posicional y operaciones de multiplicación. Consideran las maneras más útiles de separar y distribuir el total. También usan modelos de área y ecuaciones para representar una división y reconocen los cocientes como las longitudes de los lados desconocidas.

Preguntas clave • ¿Por qué es útil el valor posicional cuando descomponemos el total para dividir?

÷ 3)

• ¿Cómo pueden usar el modelo de área para hallar un cociente?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Separar el total en partes

Estudiantes • ninguno

• Dividir decenas y unidades • Usar un modelo de área y una ecuación para dividir • Grupo de problemas

Concluir 10 min

215

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Fluidez

Contar de 5 decenas en 5 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 5 decenas en unidad de 5 decenas, en formas unitaria y estándar, del 250 al 500 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de cinco en cinco del 25 al 50. ¿Comenzamos?

25, 30, 35, 40, 45, 50 50, 45, 40, 35, 30, 25 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 5 decenas en 5 decenas, desde 25 decenas hasta 50 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 25 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

25 decenas, 30 decenas…, 45 decenas, 50 decenas 50 decenas, 45 decenas…, 30 decenas, 25 decenas

25 decenas 30 decenas 35 decenas 40 decenas 45 decenas 50 decenas

250

300

350

400

450

500

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 5 decenas en 5 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 250. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

250, 300, 350, 400, 450, 500 500, 450, 400, 350, 300, 250

216

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Respuesta a coro: Grupos iguales o no iguales La clase determina si un grupo de unidades se puede dividir entre 2, 3 o 4 grupos iguales como preparación para representar la división con una tabla de valor posicional a partir de la lección 14. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre la imagen de los 4 discos de una unidad. ¿Cuántas unidades hay en total?

4 unidades ¿Podemos colocar los discos en 2 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas unidades habrá en cada grupo?

2 unidades Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

2 ¿Podemos colocar los discos en 3 grupos iguales? No. ¿Podemos colocar los discos en 4 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas unidades habrá en cada grupo?

1 unidad Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

1 Repita el proceso con 6 unidades y 8 unidades.

217

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales La clase usa un vínculo numérico y una operación de la tabla del diez para descomponer un total de dos dígitos de una expresión de división para desarrollar fluidez con el uso de estrategias de valor posicional al dividir. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 24 ÷ 2.

24 ÷ 2

Escriban la expresión. ¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

24 Muestre las ramas del vínculo numérico. Usen una operación de la tabla del diez para separar el total en dos partes y, luego, completen el vínculo numérico. Muestre el vínculo numérico completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

28 ÷ 2 20

48 ÷ 4 40

218

33 ÷ 3 30

55 ÷ 5 50

39 ÷ 3 30

44 ÷ 4 40

60 ÷ 5 50

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Presentar

La clase explora maneras de dividir. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de los cuatro ejemplos de división e invite a sus estudiantes a analizarlos. Dé a la clase 3 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no. Cuando se acabe el tiempo, pídales que expliquen las categorías elegidas y que justifiquen por qué un elemento no pertenece al grupo.

DUA: Representación

48 ÷ 6 = 8 5

¿Cuántas unidades de 6 hay en 48?

× 6 = 48 6

5 × 6 = 30 3 × 6 = 18

Antes de empezar la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo?, considere activar los conocimientos previos apoyando a sus estudiantes para que recuerden cómo usaron la estrategia de separar y distribuir para dividir en 3.er grado.

Hay 8 unidades de 6 en 48.

48 ÷ 6 = 8 48

48 ÷ 6 = 5 + 3 = 8 30

Destaque las respuestas que enfaticen el razonamiento acerca de separar 48 en partes para hallar la respuesta.

24 ÷ 6 = 4

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas. ¿Cuál no pertenece al grupo? A no pertenece al grupo porque usa un modelo de área para hallar las longitudes de los lados desconocidas. B no pertenece al grupo porque muestra una multiplicación, y no una división. C no pertenece al grupo porque muestra una división sin una imagen. D no pertenece al grupo porque descompone 48 en 24 y 24.

219

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas entre los ejemplos y acerca de cuál es el razonamiento que se usa en cada uno para hallar el cociente. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos a representar una división con un modelo de área para dividir números más grandes.

Aprender

Separar el total en partes La clase usa vínculos numéricos y operaciones de multiplicación para descomponer el total antes de dividir. Escriba la ecuación 6 ÷ 3 =

¿Cuántos treses hay en 6?

2 Escriba 2 como el cociente. Escriba la ecuación 60 ÷ 3 =

Nota para la enseñanza

¿Cuántos treses hay en 60?

El término dividendo no se presenta formalmente a la clase en 4.o grado. Esta lección usa la palabra total para representar el dividendo.

÷ ÷

20 Escriba 20 como el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué saber que 6 ÷ 3 = 2 les ayuda a determinar que 60 ÷ 3 = 20. Escriba 69 ÷ 3 =

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué saber que 60 ÷ 3 = 20 puede ayudarles a determinar cuántos treses hay en 69.

69 es más que 60, entonces hay más treses en 69 que en 60. 60 ÷ 3 = 20 y 9 ÷ 3 = 3, entonces 69 ÷ 3 = 23.

220

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12 Haga un vínculo numérico que muestre la descomposición de 69 en 60 y 9.

Diferenciación: Apoyo

Al dividir 69 entre 3, ¿es útil descomponer 69 en 60 y 9? ¿Por qué? Sí. Sé cuántos treses hay en 60 y en 9.

Considere apoyar a sus estudiantes para que identifiquen cómo descomponer el total pidiéndoles que cuenten salteado usando el divisor (p. ej., 3, 6, 9) y registren las cuentas a medida que las dicen. Luego, pida a la clase que repita las cuentas como decenas (p. ej., 3 decenas, 6 decenas, 9 decenas) y las registren en forma estándar (p. ej., 30, 60, 90).

Sí. Sé cómo dividir 60 entre 3 y 9 entre 3. ¿Cuántos treses hay en 60?

Debajo de la unidad de 60, escriba 60 ÷ 3 = 20. ¿Cuántos treses hay en 9?

3 Debajo de la unidad de 9, escriba 9 ÷ 3 = 3. ¿Cuántos treses hay en 69?

23 Arriba del total de 69, escriba 69 ÷ 3 = 23.

Escriba 126 ÷ 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué descomponer 126 les ayuda a dividir. Haga un vínculo numérico que muestre la descomposición de 126 en 100 y 26. ¿Es útil descomponer el total, 126, de esta manera? ¿Por qué? No. No sé cómo dividir 100 o 26 entre 3. No. Tenemos que descomponer 126 en partes que sepamos cómo dividir entre 3.

Nota para la enseñanza Es posible que alguien diga: “No podemos dividir 100 o 26 entre 3”. Esto es verdadero dada la experiencia de la clase, pero la afirmación es incorrecta porque sí es posible dividir tanto 100 como 26 entre 3. Sin embargo, los resultados no son números enteros. Guíe la conversación usando lenguaje preciso para que se enfoquen en separar el total en números más pequeños que sepan dividir. La clase aprende a dividir unidades entre unidades fraccionarias en 5.o grado.

221

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12 Muestre la imagen de las tres descomposiciones de 126.

126 3

123

126 30

126

120

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué descomposición es la más útil para dividir 126 entre 3. C me parece la más útil porque sé cuántos treses hay en 120 y en 6. A no me parece útil porque no sé cuántos treses hay en 123. B me parece más útil que A, pero 96 ÷ 3 me resulta difícil. No es una operación que conozca. Descomponer 126 en 120 y 6 es útil porque nos permite dividir algunas decenas y unidades entre 3. Pida a sus estudiantes que, en parejas, hagan un vínculo numérico para descomponer 126 en 120 y 6, y completen las dos ecuaciones de división.

126

¿Cuánto es 12 decenas ÷ 3?

4 decenas ¿Cuánto es 6 unidades ÷ 3?

2 unidades

120

120 ÷ 3 = 40

6÷3=2

¿Cuánto es 126 ÷ 3?

42 Pida a sus estudiantes que registren el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde observan que tanto las decenas como las unidades se dividen entre 3 en la ecuación anterior, 69 ÷ 3 = 23.

222

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Dividir decenas y unidades La clase representa la descomposición de un total en decenas y unidades para dividir usando un vínculo numérico y un modelo de área. Escriba 56 ÷ 4. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las maneras de descomponer 56 en decenas y unidades que resulten útiles para dividirlo entre 4. Puedo descomponer 56 en 4 decenas y 16 unidades porque puedo dividir los dos números entre 4. Pida a la clase que, en parejas, hagan un vínculo numérico para descomponer 56 y completar la división.

¿Cuánto es 56 ÷ 4?

14 Complete un vínculo numérico para 56 ÷ 4. Representemos la división usando un modelo de área. Dibuje un rectángulo. Pida a sus estudiantes que conversen en parejas sobre cómo usar la expresión 56 ÷ 4 y la fórmula del área de un rectángulo para escribir una ecuación de multiplicación. Pídales que compartan su razonamiento y usen el siguiente enunciado para aclararlo.

56 representa el total de unidades cuadradas, 4 representa la longitud de un lado y el cociente representa la longitud del otro lado del rectángulo. Rotule el ancho con el número 4. Señale el 40 y el 16 en el vínculo numérico. ¿Cómo podemos mostrar las dos partes, 40 y 16, en el modelo de área? Podemos separar el área de 56 en 40 y 16. Rotule las partes del modelo de área con 40 y 16. Señale las ecuaciones debajo del vínculo numérico mientras determina la longitud del lado del rectángulo.

Nota para la enseñanza Los modelos de área de este tema no están dibujados de manera proporcional. Esto les da espacio a sus estudiantes para registrar dimensiones y escribir ecuaciones a medida que se familiarizan con el modelo.

223

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

¿Cuántos cuatros hay en 40?

10 ¿Cuántos cuatros hay en 16?

4 Escriba 10 y 4 como las longitudes de los lados parciales arriba del modelo de área. Señale el 14 de la ecuación. ¿Dónde está representado el cociente, 14, en el modelo de área? Es la longitud del lado total del rectángulo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo descomponer el total en decenas y unidades les ayuda a dividir.

Usar un modelo de área y una ecuación para dividir La clase dibuja un modelo de área y representa una división usando una ecuación para resolver un problema. Reproduzca el video Venta de pan. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. Dé un minuto para que se reúnan y conversen en parejas acerca de lo que observaron. Conversen brevemente acerca del video. Comente las observaciones y las preguntas relevantes que hagan sus estudiantes. Guíe la conversación hacia cuántas barras de pan hay en cada estante. Considere usar la siguiente secuencia. ¿Qué observan? Hay 138 barras de pan. La vitrina tiene 6 estantes. La panadera coloca las barras de pan sobre los estantes, una junto a la otra. ¿Qué se preguntan? Me pregunto si tiene suficiente espacio para colocar todas las barras de pan. Me pregunto cuántas barras de pan entran en cada estante. Me pregunto si cada estante tiene el mismo número de barras de pan.

224

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12 Hay muchas preguntas de matemáticas que podemos hacer. Usemos lo que vimos en el video para poder comprender y resolver un problema.

Nota para la enseñanza

Presente el problema: Una vitrina tiene 6 estantes. Una panadera distribuye en partes iguales 138 barras de pan en los 6 estantes. ¿Cuántas barras de pan hay en cada estante? Pida a la clase que relea el problema para razonar acerca de la situación. Haga preguntas como las siguientes:

Es posible que parte de la clase se sienta más cómoda formando más de dos cocientes parciales al dividir, como se muestra en este ejemplo.

• ¿Qué información conocen? • ¿Qué intentan hallar? Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar un modelo de área y escribir una ecuación para representar la situación. Luego, pídales que descompongan 138 en dos áreas más pequeñas que les permitan dividir 138 entre 6 con mayor facilidad. Dibuje un modelo de área con una longitud del lado de 6 que descomponga el área de 138 en 120 y 18. Escriba la ecuación de división 138 ÷ 6 = (120 + 18) ÷ 6. ¿Por qué es útil descomponer 138 en dos partes más pequeñas?

Si bien esta estrategia es viable, requiere más pasos. Considere guiar a sus estudiantes para que reconozcan la ineficiencia de la estrategia y registren la descomposición en dos partes.

No sé cuántas unidades de 6 hay en 138, entonces descomponer 138 es útil. Podemos descomponer 138 en 120 y 18 porque podemos dividir los dos números entre 6. De esta manera obtengo dos operaciones de división que conozco. Sé que 12 unidades ÷ 6 = 2 unidades, entonces sé que 12 decenas ÷ 6 = 2 decenas.

¿Cómo representa la ecuación de división al modelo de área? El modelo de área muestra el total, 138, dividido en dos partes, y la ecuación muestra el total como dos partes dentro de los paréntesis.

225

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12 Escriba la siguiente línea de la ecuación. ¿Cuánto es 12 decenas ÷ 6?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

¿Cuánto es 18 unidades ÷ 6? Escriba las longitudes de los lados parciales y las ecuaciones restantes para mostrar el cociente, 23. Pida a sus estudiantes que compartan en parejas lo que representa el 23.

÷ ÷

Muestre la imagen de la ecuación en forma estándar junto a la ecuación en forma unitaria.

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando usa un modelo de área para representar un problema de división y escribe ecuaciones relacionadas que representen la división para determinar el cociente. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

138 ÷ 6 = (120 + 18) ÷ 6

138 ÷ 6 = (12 decenas + 18 unidades) ÷ 6

= (120 ÷ 6) + (18 ÷ 6)

= (12 decenas ÷ 6) + (18 unidades ÷ 6)

= 20 + 3

= 2 decenas + 3 unidades

= 23

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la utilidad que tienen la forma unitaria y la forma estándar. Las dos formas muestran las mismas cantidades. La forma estándar coincide con los números del modelo de área, lo que puede ser útil. La forma unitaria me recuerda que puedo descomponer el total en decenas y unidades. Al dividir, puedo representar en una ecuación la descomposición del total en partes más pequeñas. Podemos representar la ecuación en forma unitaria o estándar para ayudarnos a hallar el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo las ecuaciones son útiles para resolver problemas de división.

• ¿Cómo se relacionan el modelo de área y las ecuaciones que escribieron? ¿Cómo puede ayudarles a hallar 138 ÷ 6? • ¿Cómo les ayuda lo que saben acerca de la multiplicación por 6 a descomponer 138?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para apoyar a sus estudiantes con la notación escrita, use el modelo de área como referencia. Señale las partes del modelo de área para mostrar cómo los números del modelo dan significado a los números de las ecuaciones. Anime a sus estudiantes a consultar el modelo de área a medida que completan su propio trabajo.

226

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Como apoyo para la conversación, pida que miren su trabajo en el Grupo de problemas.

150

Muestre la imagen de un ejemplo de solución para 159 ÷ 3. Este es un ejemplo de trabajo para el problema 4 del Grupo de problemas. ¿Les sería más útil si el total estuviera descompuesto en 100 y 59? ¿Por qué? No, no sería útil. No sé cómo dividir 100 o 59 entre 3. ¿Por qué es útil el valor posicional cuando descomponemos el total para dividir? Uso operaciones que conozco. Por ejemplo, sé que 15 ÷ 3 = 5, entonces también sé que 15 decenas ÷ 3 = 5 decenas.

159 ÷ 3 = (15 decenas + 9 unidades ) ÷ 3 = (15 decenas ÷ 3) + ( 9 unidades ÷ 3) =

Pienso en el total como decenas y unidades en lugar de adivinar cómo separar el total en partes. Por ejemplo, si el divisor es 3, sé que 10 unidades de 3 es 30 y 50 unidades de 3 es 150. Puedo pensar una ecuación en forma unitaria y, luego, escribirla en forma estándar. ¿Cómo pueden usar el modelo de área para hallar un cociente? Puedo mostrar el total como el área y el divisor como una de las longitudes de los lados. Luego, descompongo el total en partes más pequeñas y uso la división para hallar las longitudes de los lados desconocidas.

227

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Completa el modelo de área como ayuda para dividir. Luego, completa las ecuaciones. 3. 96 ÷ 3

Completa el modelo de área como ayuda para dividir. Luego, escribe el cociente. 1. 64 ÷ 2 =

2. 136 ÷ 4 =

decenas

unidades

6 decenas 60

4 unidades 4

96 ÷ 3 = (9 decenas + 6 unidades) ÷ 3 = (9 decenas ÷ 3) + (6 unidades ÷ 3) =

4. 159 ÷ 3

34 3

decenas

unidades

12 decenas 120

150

4 3

16 unidades 16 159 ÷ 3 = (15 decenas + 9 unidades ) ÷ 3 = (15 decenas ÷ 3) + ( 9 unidades ÷ 3)

228

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

5. 52 ÷ 4

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 12

Separa y distribuye el total para dividir. Puedes dibujar un modelo de área como ayuda.

7. 86 ÷ 2 = (80 +

)÷2

= (80 ÷ 2 ) + ( 4

8. 168 ÷ 4 = (160 + 8) ÷ 4

÷ 2)

= (160 ÷ 4) + (8 ÷ 4) = 40 + 2

= 42

52 ÷ 4 = (40 + 12) ÷ 4 =(

÷ 4) + (

6. 148 ÷ 4

÷ 4)

120

148 ÷ 4 = (120 +

)÷4

= (120 ÷ 4) + (

9. 78 ÷ 3 = (60 +

)÷3

= (60 ÷ 3) + (

10. 185 ÷ 5 = (150 + 35) ÷ 5

÷ 3)

= (150 ÷ 5) + (35 ÷ 5) = 30 + 7 = 37

÷ 4)

GRUPO DE PROBLEMAS

229

LECCIÓN 13

Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

Completa el modelo de área y las ecuaciones para hallar 308 ÷ 7.

280

308 ÷ 7 = ( 280

)÷7

= ( 280

÷ 7) + (

Vistazo a la lección La clase continúa usando modelos de área y ecuaciones para dividir números de tres dígitos entre números de un dígito pensando en las decenas y las unidades. Estiman el cociente no solo como ayuda para determinar si el cociente es razonable, sino también para determinar cómo descomponer el total. Analizan e identifican el error en un ejemplo de trabajo para recordar que deben usar el razonamiento de valor posicional cuando dividen.

Preguntas clave • ¿Por qué es útil estimar un cociente antes de dividir? • ¿Por qué es útil descomponer el total cuando dividimos?

÷ 7)

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Descomponer el total

Estudiantes • ninguno

• Estimar y dividir • Análisis de errores • Grupo de problemas

Concluir 10 min

231

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Fluidez

Respuesta a coro: 10 veces una cantidad La clase determina el producto y, luego, dice la ecuación en forma estándar para adquirir fluidez con la relación de 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

10 × 1 unidad =

decena

10 × 1 = 10

Muestre 1 en la tabla de valor posicional. ¿Cuántas unidades hay en la tabla de valor posicional? Digan la respuesta en forma unitaria.

Centenas

1 unidad Muestre 10 × 1 unidad decena.

¿Cuánto es 10 × 1 unidad? Digan la respuesta en forma unitaria.

1 decena Muestre la multiplicación en la tabla de valor posicional.

Decenas

Nota para la enseñanza

Unidades

El apoyo de la tabla de valor posicional y el dibujo solo se incluye para las siguientes ecuaciones, cada una de las cuales representa 10 grupos de 1 unidad. • 10 × 1 unidad =

decena

• 10 × 1 decena =

centena

• 10 × 1 centena = • 10 × 1 millar =

millar decena de millar

Para las otras tres ecuaciones de la secuencia, omita la pregunta inicial y el planteamiento.

Cuando dé la señal, digan la ecuación en forma estándar.

10 × 1 = 10 Muestre la ecuación.

232

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

10 × 1 decena =

1 centena

10 × 3 decenas = 3 centenas

10 × 5 centenas =

5 millares

10 × 1 millar = 1 decena de millar

10 × 1 centena =

10 × 7 millares =

1 millar

7 decenas de millar

Respuesta a coro: Grupos iguales o no iguales La clase determina si un grupo de decenas se puede dividir entre 2, 3 o 4 grupos iguales como preparación para representar la división con una tabla de valor posicional a partir de la lección 14. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para responder.

233

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

Muestre la imagen de 4 discos de una decena. ¿Cuántas decenas hay en total?

4 decenas ¿Podemos colocar los discos en 2 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas decenas habrá en cada grupo?

2 decenas Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

20 ¿Podemos colocar los discos en 3 grupos iguales? No. ¿Podemos colocar los discos en 4 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas decenas habrá en cada grupo?

1 decena Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

10 Repita el proceso con 6 decenas.

234

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales La clase usa un vínculo numérico y una operación de la tabla del diez para descomponer un total de dos dígitos de una expresión de división y desarrollar fluidez con el uso de estrategias de valor posicional al dividir. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 32 ÷ 2.

32 ÷ 2

Escriban la expresión. ¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

32 Muestre las ramas del vínculo numérico. Usen una operación de la tabla del diez para separar el total en dos partes y, luego, completen el vínculo numérico. Muestre el vínculo numérico completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

36 ÷ 2 20

64 ÷ 4 40

45 ÷ 3 30

65 ÷ 5 50

48 ÷ 3 30

56 ÷ 4 40

80 ÷ 5 50

235

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Presentar

La clase compara maneras de descomponer el total para hallar un cociente. Muestre la imagen de los vínculos numéricos y las ecuaciones. Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

108 ÷ 3 = 36

108 90

108 18

108 ÷ 3 = (90 + 18) ÷ 3

18 30

108 ÷ 3 = (30 + 30 + 30 + 18) ÷ 3

= (90 ÷ 3) + (18 ÷ 3) = (30 ÷ 3) + (30 ÷ 3) + (30 ÷ 3) + (18 ÷ 3) Dé a la clase = 30 + 6 = 10 + 10 + 10 + 6 1 minuto para = 36 = 36 pensar en silencio y buscar en las estrategias semejanzas y diferencias en la manera en que se descompone el total. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija razonamientos que den lugar a conversaciones enriquecedoras sobre las soluciones. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. A medida que se desarrolla la conversación, resalte los razonamientos que muestren el papel que desempeña la descomposición del total en la división. En las dos maneras se halló un cociente de 36 al descomponer el total, 108, en partes que pueden dividirse entre 3. En A, 108 está descompuesto en dos partes: 9 decenas y 18 unidades. Las dos partes pueden dividirse entre 3 en solo dos pasos. En B, 108 está descompuesto en cuatro partes. Dado que 3 decenas es 30, esta estrategia sigue descomponiendo el total en partes de 30.

236

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13 Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre las estrategias y a hacer sus propias preguntas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a usar la estimación para descomponer el total en decenas y unidades para dividir.

Aprender

Descomponer el total La clase usa la estimación para razonar acerca de la descomposición del total al dividir. Escriba la expresión 176 ÷ 8. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo descomponer el total para dividir entre 8. Destaque las respuestas que usen el valor posicional. Haga un vínculo numérico con 176 como el total y 100 y 76 como las partes. ¿Es útil descomponer 176 en 10 decenas y 76 unidades cuando dividimos entre 8? ¿Por qué? No, porque no sé cómo dividir ninguno de esos números entre 8. No, porque 100 y 76 no son múltiplos de 8. Estimemos el cociente. Una estimación también nos puede ayudar a descomponer el total. Para hacerlo, debemos averiguar cuántos ochos hay en 176. ¿Hay más o menos que 10 ochos en 176? ¿Cómo lo saben? Sé que hay más porque 10 ochos es igual a 80. 80 es menor que 176.

Nota para la enseñanza El propósito de este segmento es que la clase identifique maneras útiles de descomponer el total para dividir. El propósito no es hallar el cociente. El siguiente segmento incluye oportunidades para que la clase complete la división.

Diferenciación: Apoyo Identificar ejemplos erróneos, o maneras de descomponer que no son útiles para dividir, es un soporte diseñado para apoyar a sus estudiantes a la hora de decidir qué hace que ciertas descomposiciones sean útiles. Si sus estudiantes necesitan apoyo adicional para descomponer el total, considere proporcionarles dos o tres vínculos numéricos completados. Invite a sus estudiantes a razonar acerca de cuál de los vínculos numéricos es el más útil para dividir y por qué.

¿Hay más o menos que 20 ochos en 176? ¿Cómo lo saben? Sé que hay más porque 20 ochos es igual a 160. 160 es menor que 176.

237

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13 ¿Hay más o menos que 30 ochos en 176? ¿Cómo lo saben? Sé que hay menos porque 30 ochos es igual a 240. 240 es mayor que 176. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál sería una estimación razonable para 176 ÷ 8. Destaque las respuestas en las que se razone que la estimación se encuentra entre 20 y 30, pero más cerca de 20. Corrija el vínculo numérico para mostrar partes de 160 y 16.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere escribir ecuaciones y enunciados de comparación para apoyar a sus estudiantes mientras estiman el cociente de 176 ÷ 8.

Podemos usar la estimación, 20, para ayudarnos a descomponer el total. 20 ochos es igual a 160. Si una parte es 160, entonces sabemos que la otra es 16. ¿Por qué?

160 y 16 es igual al total, 176. Escriba la expresión 204 ÷ 6. Pida a sus estudiantes que escriban la nueva expresión y hagan un nuevo vínculo numérico. ¿Cuál es el total en esta expresión?

204 Escriba 204 como el total en el vínculo numérico y pida a la clase que haga lo mismo. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál sería una estimación razonable para 204 ÷ 6 considerando cuántos seises hay en 204.

30 seises es igual a 180, entonces el cociente debe ser más de 30. 40 seises es igual a 240, entonces el cociente debe ser menos de 40.

Nota para la enseñanza

Pida a la clase que trabaje en parejas para descomponer 204 y completar el vínculo numérico.

204

¿Cómo descompusieron 204? Lo descompuse en 180 y 24. ¿Cómo les ayudó su estimación a descomponer? Como sabía que el cociente sería más de 30 pero menos de 40, usé 180 como una de las partes, porque es la misma cantidad que 30 seises.

180

De ser necesario, anime a sus estudiantes a usar operaciones de multiplicación para brindarles apoyo cuando intenten hacer estimaciones razonables. Incentive su razonamiento preguntando: “¿Cómo puede ayudarles su conocimiento de que 3 × 6 = 18 a determinar 30 × 6?”.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la estimación de un cociente es útil para descomponer un total.

238

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Estimar y dividir

DUA: Representación

La clase estima el cociente para determinar cómo aplicar la estrategia de separar y distribuir al dividir y para verificar si el cociente es razonable. Escriba la expresión 204 ÷ 3. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál sería una estimación razonable para 204 ÷ 3. El cociente debe ser más de 30 porque era más de 30 cuando estimamos el cociente para 204 ÷ 6, y 3 es más pequeño que 6.

Considere resaltar con un marcador fluorescente la relación entre el modelo de área y las ecuaciones. Marque con código de colores las partes correspondientes de cada modelo para enfatizar la relación entre las dos representaciones.

Sé que 60 treses es igual a 180, entonces el cociente será más de 60.

70 treses es demasiado porque 210 es más grande que nuestro total, 204. Una buena estimación está entre 60 y 70, pero más cerca de 70. Si 60 treses, o 180, es una parte, ¿cuál es la otra?

24 Haga un vínculo numérico para mostrar 204 descompuesto en 180 y 24. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar un modelo de área que represente 204 ÷ 3 descompuesto en dos partes. Luego, invite a una o dos parejas a compartir su trabajo y su razonamiento. Dibujamos un rectángulo y rotulamos la longitud de un lado con el número 3.

180

204 ÷ 3 = ( 180 + 24 24)) ÷ 3

Descompusimos el área en dos partes, 180 y 24, porque puedo dividir esas dos partes entre 3. Señale la expresión y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación que muestre que el área, 204, se descompuso en dos partes. Registre = (180 + 24) ÷ 3. Señale las longitudes de los lados desconocidas y haga la siguiente pregunta. ¿Qué expresión de división pueden escribir para representar cómo hallar la longitud del lado desconocida del rectángulo más grande? ¿Y del rectángulo más pequeño?

180 ÷ 3 24 ÷ 3

239

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13 Registre = (180 ÷ 3) + (24 ÷ 3). Señale la longitud del lado desconocida del rectángulo más grande y haga la siguiente pregunta. ¿Cuál es la longitud del lado desconocida?

68 ¿Cómo lo saben? Hay 60 treses en 180 y 8 treses más en 24. Puedo juntar las dos longitudes de los lados para formar 68. Lo pensé en forma unitaria. Sé que 18 decenas ÷ 3 = 6 decenas y que 24 unidades ÷ 3 = 8 unidades. 6 decenas y 8 unidades es igual a 68.

Puedo hallar el cociente de cada expresión y, luego, sumarlos: 60 + 8 = 68. ¿Cuánto es 204 ÷ 3?

68 Complete la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Rotule las longitudes de los lados de los rectángulos más pequeños como 60 y 8. ¿Es razonable un cociente de 68? ¿Cómo lo saben? Sí. Dijimos que el cociente sería más de 60 porque hay al menos 60 treses en 204. Sí. Sabemos que no hay 70 treses en 204. 70 treses está cerca del total, pero es un número más grande. 68 treses es un poco más pequeño que 70 treses. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar dos razones por las cuales es útil estimar el cociente al dividir. Puedo usar la estimación para asegurarme de que el cociente sea razonable y para determinar cómo descomponer el total en dos partes más pequeñas para dividir.

240

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Análisis de errores La clase analiza un ejemplo de trabajo basado en el uso de la estrategia de separar y distribuir para dividir y, luego, hallan y corrigen el error. Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y muestre la imagen del ejemplo de trabajo que presenta una manera incorrecta de hallar 238 ÷ 7. Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error. Invite a la clase a compartir sus respuestas.

238 ÷ 7 = (21 + 28 28)) ÷ 7 = (21 ÷ 7) + (28 ÷ 7) =3+4 =7

El cociente es incorrecto porque 49 ÷ 7 = 7, entonces 238 ÷ 7 no es 7.

238 está descompuesto de manera errónea. Las partes de 21 y 28 no suman el total, 238. La respuesta no es correcta porque escribieron 21 para la primera parte en lugar de 210. Dé a la clase 2 minutos para corregir el error basándose en su propia comprensión. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre el uso del razonamiento de valor posicional para dividir números más grandes. Se muestran dos ejemplos de soluciones.

30 3 decenas

4 4 unidades

21 decenas

28 unidades

238 ÷ 7 = (21 (21 decenas + 28 unidades) ÷ 7 = ((21 21 decenas ÷ 7) + (28 (28 unidades ÷ 7) = 3 decenas + 4 unidades = 34

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando utiliza la rutina Analizar una respuesta errónea para buscar un error en el ejemplo de trabajo y corregirlo. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Están suponiendo o saben dónde se encuentra el error? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad? • ¿Qué preguntas pueden hacerles a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su razonamiento acerca de cómo corregir el error?

238

210

238 ÷ 7 = (210 + 28) ÷ 7 = (210 ÷ 7) + (28 ÷ 7) = 30 + 4 = 34

241

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir sus soluciones con todo el grupo. Guíe a la clase para llegar a un acuerdo sobre cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.

238 se debió haber descompuesto en 21 decenas, o 210, y 28 unidades, en lugar de 21 y 28. Podemos escribir 210 como una de las partes y, luego, completar las ecuaciones. ¿Cómo el o la estudiante podría haber identificado el error con la ayuda de la estimación? Con la estimación, habría comprendido que un cociente de 7 no es razonable. Estimar primero puede ayudar a mostrar que el cociente debe ser más de 30 pero menos de 40, y no 7. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el razonamiento de valor posicional es importante para dividir números más grandes.

242

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando un modelo de área Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. ¿Por qué es útil estimar un cociente antes de dividir? Si estimamos primero, podemos calcular cómo descomponer el total en dos partes más pequeñas para dividir.

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo de la Reflexión final para que sus estudiantes reflexionen acerca de su experiencia con la división de números más grandes.

Cuando estimamos primero, podemos volver atrás y comprobar si nuestro cociente es razonable.

• ¿Qué estrategias me resultan útiles? ¿Qué cosas sigo necesitando practicar?

¿Por qué es útil descomponer el total cuando dividimos?

• ¿Hay operaciones de división básicas en la que me falte fluidez? ¿Cómo puedo mejorar?

Me ayuda porque puedo descomponer el total en partes más pequeñas y hacer que la división sea más simple.

• ¿Cómo han mejorado mis destrezas de división?

Me ayuda a darme cuenta de que puedo usar las operaciones de multiplicación básicas para dividir números más grandes.

• ¿Qué me resulta confuso? ¿Qué puedo hacer para ayudarme?

Puedo dividir algunos números mentalmente. Se qué 84 ÷ 2 puede pensarse como 8 decenas y 4 unidades ÷ 2.

243

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Nombre

Fecha

3. 172 ÷ 4 =

Completa el modelo de área. Luego, completa las ecuaciones. 1. 85 ÷ 5 =

= (50 ÷ 5) + (35 ÷ 5) 10

46 40

160

)÷4

= (160 ÷ 4) + (

120

53 50

100

18 106 ÷ 2 = ( 100

138 ÷ 3 = (120 + 18) ÷ 3 = (120 ÷ 3) + (18 ÷ 3)

244

÷ 4)

6 2

7 4. 106 ÷ 2 =

2. 138 ÷ 3 =

172 ÷ 4 = (160 +

85 ÷ 5 = (50 + 35) ÷ 5 =

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

÷ 2) + (6 ÷ 2)

= 50 +

+ 6) ÷ 2

= ( 100

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

5. 201 ÷ 3 =

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Separa y distribuye el total para dividir. Puedes dibujar un modelo de área como ayuda.

67 60

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

7. 430 ÷ 5 = (400 +

180

)÷5

= (400 ÷ 5) + (

8. 504 ÷ 6 = ( 480

)

+ 24) ÷ 6

= ( 480

) + (24 ÷ 6)

201 ÷ 3 = (180 + 21) ÷ 3 = (180 ÷ 3) + (21 ÷ 3) = 60 + 7 = 67

6. 304 ÷ 4 =

9. 406 ÷ 7 = (350 + 56) ÷ 7

280

10. 368 ÷ 8 = (320 + 48) ÷ 8

= (350 ÷ 7) + (56 ÷ 7)

= (320 ÷ 8) + (48 ÷ 8)

= 50 + 8

= 40 + 6

= 58

= 46

304 ÷ 4 = (280 + 24) ÷ 4 = (280 ÷ 4) + (24 ÷ 4) = 70 + 6 = 76

GRUPO DE PROBLEMAS

245

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 13

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. 11. Oka distribuye 474 libros en partes iguales en 6 cajas. ¿Cuántos libros hay en cada caja?

474 ÷ 6 = 79 Hay 79 libros en cada caja.

246

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 14

Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

Dibuja en la tabla de valor posicional y completa las ecuaciones para hallar 84 ÷ 4. Decenas

Unidades

Vistazo a la lección La clase usa discos de valor posicional para representar la división de números de dos dígitos como decenas y unidades. Dibujan en la tabla de valor posicional y reconocen que, a veces, una decena debe descomponerse en 10 unidades para continuar dividiendo. En esta lección se formaliza el término divisor.

Preguntas clave • ¿De qué manera usar la tabla de valor posicional les puede ayudar a dividir?

2 decenas 1 unidad

• ¿Cómo saben cuándo deben descomponer una decena para continuar dividiendo?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6) 84 ÷ 4 = (

decenas +

decenas ÷ 4) + ( +

unidades) ÷ 4 4

unidades ÷ 4)

101

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• set de discos de valor posicional

Prepare al menos 7 discos de una decena y 14 discos de una unidad por maestro o maestra y estudiante.

Aprender 35 min • Distribuir decenas y unidades en grupos iguales

Estudiantes • set de discos de valor posicional

• Dividir decenas y unidades en una tabla de valor posicional • Conectar un modelo pictórico con una ecuación escrita • Grupo de problemas

Concluir 10 min

249

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Fluidez

Respuesta a coro: 10 veces una cantidad La clase dice el producto y, luego, lee la ecuación para adquirir fluidez con la relación de 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1. Muestre 10 × 1 =

10 × 1 =

¿Cuánto es 10 × 1? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Centenas

Decenas

Unidades

10 Muestre la respuesta y la multiplicación en la tabla de valor posicional. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

10 × 10 =

100

10 × 40 =

400

10 × 100 =

1,000

10 × 600 =

6,000

10 × 1,000 =

10,000

10 × 8,000 =

80,000

10 × 10,000 =

100,000

10 × 90,000 =

900,000

250

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir en forma unitaria y en forma estándar y sumar La clase divide decenas y unidades en forma unitaria, escribe ecuaciones y expresiones en forma estándar y suma dos cocientes para adquirir fluidez con las estrategias de valor posicional al dividir. Muestre 2 decenas ÷ 2 =

¿Cuánto es 2 decenas ÷ 2 en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1 decena Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus 2 decenas ÷ 2 = 1 decena 4 unidades ÷ 2 = 2 unidades correcciones después. Muestre la respuesta: 20 ÷ 2 = 10. Repita el proceso con

4 unidades ÷ 2 =

Muestre (20 ÷ 2) + (4 ÷ 2). Escriban el valor de la expresión. Muestre el valor de cada parte y, luego, el valor total.

20 ÷ 2 = 10

4÷2=2

(20 ÷ 2) + (4 ÷ 2) 10 + 2 12

251

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

4 decenas ÷ 2 = 2 decenas

9 decenas ÷ 3 = 3 decenas

8 decenas ÷ 4 = 2 decenas

6 unidades ÷ 2 = 3 unidades

15 unidades ÷ 3 = 5 unidades

28 unidades ÷ 4 = 7 unidades

(40 ÷ 2) + (6 ÷ 2) 20 + 3 23

(90 ÷ 3) + (15 ÷ 3) 30 + 5 35

(80 ÷ 4) + (28 ÷ 4) 20 + 7 27

Respuesta a coro: Grupos iguales o no iguales La clase determina si un grupo de decenas y unidades se puede dividir entre 2, 3 o 4 grupos iguales como preparación para representar la división con una tabla de valor posicional. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para responder. Muestre la imagen de 4 discos de una decena y 8 discos de una unidad. ¿Cuántas decenas y unidades hay en total?

4 decenas y 8 unidades ¿Podemos colocar los discos en 2 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas decenas y unidades habrá en cada grupo?

2 decenas y 4 unidades Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

252

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Podemos colocar los discos en 3 grupos iguales? No. ¿Podemos colocar los discos en 4 grupos iguales? Sí. ¿Cuántas decenas y unidades habrá en cada grupo?

1 decena y 2 unidades Muestre los grupos encerrados en un círculo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?

12 Repita el proceso con 8 decenas y 6 unidades.

Presentar

La clase razona acerca de cómo distribuir un número de objetos en partes iguales. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Distribuir lápices. Presente el siguiente problema. La directora tiene 1 caja de lápices, 3 paquetes de lápices y 6 lápices individuales. Quiere distribuir los lápices en partes iguales a 4 maestras y maestros.

Cajas

Paquetes

Lápices

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la directora podría distribuir los lápices en partes iguales. Comencemos distribuyendo primero la unidad más grande. ¿Hay suficientes para que cada maestra o maestro obtenga 1 caja de lápices?

Maestra A

Maestro B

Maestra C

Maestro D

253

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 Descomponga la caja para mostrar 10 paquetes de lápices. ¿Cuántos paquetes de lápices había en la caja?

10 ¿Cuántos paquetes de lápices hay en total?

13 ¿Cuántos paquetes puede obtener cada maestra o maestro? ¿Sobrará algún paquete? Cada maestra o maestro puede obtener 3 paquetes y sobrará 1 paquete. Distribuya 3 paquetes de lápices a cada maestra o maestro, uno a la vez. Luego, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo continuar distribuyendo los lápices del paquete restante.

Cajas

Paquetes

Lápices

Abramos el paquete y desagrupemos los lápices. Descomponga el paquete para mostrar 10 lápices. ¿Cuántos lápices hay en el paquete?

Maestra A

Maestro B

Maestra C

Maestro D

¿Cuántos lápices hay en total?

16 ¿Cuántos lápices puede obtener cada maestra o maestro? ¿Sobrará algún lápiz?

Cajas

Paquetes

Lápices

Cada maestra o maestro puede obtener 4 lápices y no sobrará ninguno. Distribuya 4 lápices a cada maestra o maestro, uno a la vez. ¿Cuántos paquetes y lápices obtiene cada maestra o maestro en total?

3 paquetes y 4 lápices

254

Maestra A

Maestro B

Maestra C

Maestro D

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de otras situaciones en las que deben descomponer una unidad más grande de manera similar a cómo la directora podría descomponer una caja y un paquete de lápices para distribuir los lápices en partes iguales. Cuando representamos la división con un modelo de área, a veces expresamos algunas centenas como decenas y algunas decenas como unidades para dividir. También podemos expresar las unidades de valor posicional en el total con otro nombre cuando representamos la división en una tabla de valor posicional. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a dividir decenas y unidades en la tabla de valor posicional.

Nota para la enseñanza

Aprender

Distribuir decenas y unidades en grupos iguales Materiales: M/E) Discos

La clase usa discos de valor posicional para representar la división de decenas y unidades. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas. Pídales que organicen sus discos uno al lado del otro. Pida a un o una integrante de cada pareja que dibuje una tabla de dos columnas sin rotular en su escritorio con un marcador de borrado en seco. Pida a su compañera o compañero que prepare los discos de valor posicional para dividir. Dibuje una tabla para usted en un ÷ lugar que la clase pueda ver. Escriba la expresión 63 ÷ 3. ¿Cuántas decenas y unidades hay en el total? Muestre 63 con discos en la tabla y pida a la clase que haga lo mismo. ¿Entre qué número estamos dividiendo? Llamamos divisor al número entre el cual estamos dividiendo. ¿Cuál es el divisor en esta expresión?

La tabla de valor posicional apoya la división partitiva. En la división partitiva, se conocen el total y el número de grupos, el divisor. En la división partitiva se plantea la pregunta: “¿Qué número hay en cada grupo?”. Para 36 ÷ 4 preguntamos: “¿36 es 4 de cuántos?”. Luego, decimos: “36 es 4 nueves”. El modelo de área apoya la división cuotativa. En la división cuotativa, se conocen el total y el número en cada grupo. En la división cuotativa se plantea la pregunta: “¿Cuántos grupos hay?”. Para 36 ÷ 4, preguntamos: “¿Cuántos cuatros hay en 36?”. Luego, decimos: “Hay 9 cuatros en 36”. No se espera que la clase conozca los términos división partitiva y división cuotativa, pero sí que identifiquen qué número en una ecuación de división representa el número de grupos y cuál representa el número en cada grupo. Usar estas dos preguntas apoya a sus estudiantes al estimar y expresar el total con otro nombre para que haya la cantidad suficiente de una unidad de valor posicional para dividir.

255

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 El divisor representa el número de grupos o el tamaño de cada grupo. Digamos que el divisor, 3, es el número de grupos. Podemos dibujar líneas en la tabla de valor posicional para representar los 3 grupos. Dibuje dos líneas horizontales en la tabla para representar los 3 grupos y pida a la clase que haga lo mismo. Dividamos, o distribuyamos, la unidad de valor posicional más grande primero. ¿Cuál es la unidad de valor posicional más grande en el total? Las decenas

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere preparar un afiche de referencia para ayudar a la clase a recordar qué representa el término divisor.

¿Cuántas decenas hay?

6 decenas

Distribuya un disco de una decena a cada grupo, uno a la vez. Pida a la clase que haga lo mismo. ¿Sobra alguna decena? No.

El término cociente se presenta en 3.er grado. El término dividendo, para representar el total, se presenta en 5.o grado.

Dividimos 6 decenas en 3 grupos iguales. ¿Cuántas decenas hay en cada grupo?

2 decenas Registre 2 decenas a la derecha de un grupo igual en la tabla de valor posicional. Pida a la clase que haga lo mismo. A continuación, dividamos las unidades. Distribuya un disco de una unidad a cada grupo, uno a la vez. Pida a la clase que haga lo mismo.

Dividimos 3 unidades en 3 grupos iguales. ¿Cuántas unidades hay en cada grupo?

1 unidad Registre 1 unidad junto a las 2 decenas registradas. Pida a la clase que haga lo mismo. Ya terminamos de dividir porque distribuimos todas las decenas y unidades de manera uniforme en 3 grupos.

256

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 Señale uno de los grupos de decenas y haga las siguientes preguntas. ¿Cuántas decenas hay en cada grupo?

2 decenas ¿Cuántas unidades hay en cada grupo?

1 unidad ¿Cuánto es 2 decenas y 1 unidad en forma estándar?

21 ¿Cuánto es 63 ÷ 3?

21 Escriba = 21 junto a la expresión 63 ÷ 3 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en dónde ven el total, 63, el divisor, 3, y el cociente, 21, representados en el modelo de valor posicional. Puedo ver el total, 63, representado por el valor de todos los discos. Hay 6 decenas y 3 unidades. Veo el divisor, 3, como los 3 grupos iguales que formamos.

Nota para la enseñanza

El cociente, 21, es el tamaño de cada grupo. Hay 2 decenas y 1 unidad en cada grupo. Escriba 74 ÷ 2. Muestre 74 con discos en la tabla de valor posicional, dibuje líneas horizontales para representar los 2 grupos y pida a la clase que haga lo mismo. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuántas decenas habrá en cada grupo cuando 7 decenas se dividan en 2 grupos iguales. Podemos colocar 3 decenas en cada grupo. Sobrará 1 decena. No sé cuánto es 7 ÷ 2, pero sí sé que 6 ÷ 2 = 3. Sé que 6 decenas ÷ 2 = 3 decenas, entonces quizás habrá 3 decenas en cada grupo.

Ayude a sus estudiantes a anticipar que será necesario dejar espacio en la tabla para colocar o dibujar los discos de valor posicional. A veces, es necesario desagrupar una unidad de valor posicional en el total y distribuir más de 5 de una unidad de valor posicional en las filas para los grupos iguales. Las pizarras blancas individuales y los marcadores de borrado en seco son materiales convenientes que se usan en esta lección para animar a la clase a borrar según sea necesario.

257

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Distribuya un disco de una decena a cada grupo, uno a la vez, hasta que se distribuyan 6 decenas. Sobra 1 decena. Podemos cambiar 1 decena por 10 unidades. Cambie 1 decena por 10 unidades. Pida a la clase que distribuya 6 decenas y cambie 1 decena por 10 unidades. ¿Cuántas unidades hay ahora?

14 unidades Pida a sus estudiantes que distribuyan las 14 unidades en 2 grupos iguales. Recorra el salón de clases y observe cómo distribuyen las unidades. De ser posible, seleccione una pareja de estudiantes que haya distribuido 7 unidades de una vez para que comparta su estrategia. Si nadie aplica esta estrategia, use la siguiente secuencia al representar la distribución de 7 unidades de una vez a cada grupo. ¿Cómo distribuyeron las 14 unidades? Pensamos en la operación de división 14 ÷ 2 = 7. En lugar de colocar cada disco uno por uno, colocamos 7 unidades de una vez en cada grupo.

¿Cómo podemos usar las operaciones de multiplicación básicas para determinar que podemos colocar 7 unidades de una vez en cada grupo? Podemos preguntarnos qué número multiplicado por 2 es igual a 14. Usar las operaciones de división o multiplicación básicas nos puede ayudar a distribuir las decenas y las unidades. Si no conocemos la operación, podemos distribuir los discos uno por uno. Pida a la clase que registre el número de decenas y unidades a la derecha de uno de los grupos. ¿Cuánto es 74 ÷ 2? ¿Cómo lo saben? Sé que es 37 porque cada grupo tiene 3 decenas y 7 unidades. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben cuándo deben expresar una decena como unidades.

258

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Dividir decenas y unidades en una tabla de valor posicional La clase dibuja en una tabla de valor posicional para representar una expresión de división y hallar el cociente. Escriba 75 ÷ 3 y dibuje una tabla de valor posicional de dos columnas. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Dividamos 75 entre 3 usando la tabla de valor posicional. Podemos dibujar puntos para representar los discos de valor posicional. ¿Cuántas decenas y unidades hay en el total?

7 decenas y 5 unidades Dibuje 7 decenas y 5 unidades y, luego, dibuje una línea horizontal para separar el total de los grupos. Pida a la clase que haga lo mismo. ¿Cuál es el divisor?

3 Dibuje 2 líneas horizontales más para representar los 3 grupos y pida a la clase que haga lo mismo. ¿Qué unidad de valor posicional distribuimos primero?

Nota para la enseñanza Anime a sus estudiantes a organizar sus dibujos. Pídales que organicen los puntos en grupos de 5 cuando dibujen en la tabla de valor posicional. Los grupos de 5 les resultarán conocidos de grados anteriores. También considere dibujar con otro color la línea horizontal para separar el total de los grupos.

Las decenas Distribuya las decenas, una a la vez, y táchelas a medida que lo hace. Invite a la clase a hacer lo mismo. ¿Puedo distribuir la última decena? ¿Por qué? No. Si la distribuye, los grupos no serán iguales.

259

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo expresar la decena con otro nombre para continuar dividiendo. Podemos descomponer la decena en 10 unidades y, luego, distribuir las unidades.

1 decena es la misma cantidad que 10 unidades, entonces podemos desagrupar una decena y dividirla como unidades. Tache la decena restante y dibuje una flecha que señale la posición de las unidades. Muestre cómo la decena se descompone en 10 unidades dibujando 10 unidades. Pida a la clase que haga lo mismo. ¿Cuántas unidades hay en total?

15 unidades Distribuya las unidades, una a la vez, y táchelas a medida que lo hace. Invite a la clase a hacer lo mismo. ¿Cuántas decenas y unidades hay en cada grupo?

2 decenas y 5 unidades ¿Cuánto es 75 ÷ 3?

25 Escriba 2 decenas y 5 unidades junto a un grupo en la tabla de valor posicional y escriba = 25 junto a la expresión 75 ÷ 3. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre dibujar en una tabla de valor posicional y representar la división con discos de valor posicional.

260

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Conectar un modelo pictórico con una ecuación escrita La clase usa la estrategia de separar y distribuir para dividir y registrar con ecuaciones. Muestre la imagen de una tabla de valor posicional y las ecuaciones para 75 ÷ 3.

Decenas

Unidades

Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el ejemplo de trabajo.

2 decenas 5 unidades

Observar y preguntarse ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que hay ecuaciones que se parecen a cuando usamos la estrategia de separar y distribuir con el modelo de área. Observo que las ecuaciones comienzan en forma unitaria y, luego, cambian a la forma estándar. Observo que el registro del tamaño del grupo está representado en la ecuación como 20 + 5.

75 ÷ 3 = (6 (6 decenas + 15 unidades) ÷ 3 = (6 (6 decenas ÷ 3) + (15 (15 unidades ÷ 3) = (60 (60 ÷ 3) + (15 (15 ÷ 3) = 20 + 5 = 25

Veo la expresión 6 decenas ÷ 3, y en la tabla se muestra 6 decenas divididas en 3 grupos. Me pregunto si podemos usar el mismo razonamiento acerca del registro de la división para la tabla de valor posicional que usamos para el modelo de área. Me pregunto qué hicieron primero, el dibujo o la notación.

261

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

Organizar ¿Qué pasos siguió el o la estudiante? ¿Cómo lo saben? Usó la estrategia de separar y distribuir en las ecuaciones. Lo sé porque 7 decenas no se pueden dividir de manera uniforme en 3 grupos de decenas. Entonces, expresó 1 decena como 10 unidades para escribir una expresión equivalente: (6 decenas + 15 unidades) ÷ 3. Dividió primero las decenas y, luego, las unidades porque la ecuación muestra las expresiones para las decenas antes que las expresiones para las unidades. Sumó las decenas y unidades en 1 grupo para hallar el cociente. Lo sé porque la suma de 20 y 5 es igual a 2 decenas y 5 unidades. Guíe la conversación para enfocarse en la relación entre el modelo pictórico y la ecuación abstracta. Fomente el razonamiento que permita a la clase hacer conexiones para representar la división con ecuaciones cuando se usa un modelo de área o una tabla de valor posicional.

Mostrar Enfoquémonos en la ecuación. ¿En qué se parece a las ecuaciones que escribimos cuando representamos la división con el modelo de área? Es parecida. Descomponemos el total en decenas y unidades que podemos dividir y, luego, dividimos las decenas primero y las unidades después. Sumamos esas partes para hallar el cociente. Esta ecuación y algunas de las ecuaciones que usamos con el modelo de área usan la forma unitaria. Esto es útil porque puedo usar operaciones que conozco para ayudarme a dividir números más grandes.

Sintetizar ¿Podemos usar los mismos tipos de ecuaciones cuando el divisor es el tamaño de los grupos o el número de grupos? ¿Por qué? Sí. Usamos estos tipos de ecuaciones con el modelo de área cuando el divisor era el tamaño del grupo. En la tabla de valor posicional, el divisor es el número de grupos y el mismo tipo de ecuación funciona.

262

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Comprender Podemos representar la estrategia de separar y distribuir con el modelo de área o la tabla de valor posicional. ¿Cómo nos ayuda saber que los mismos tipos de ecuaciones se pueden usar con los dos modelos? Sé que puedo usar lo que sé acerca de la división de decenas y unidades para registrar mi trabajo sin importar qué modelo elija. Si bien hoy aprendimos cómo dividir en la tabla de valor posicional, probablemente ya sé cómo escribir la ecuación que se relaciona. Antes, comparaba la ecuación con el modelo de área para comprobar mi trabajo, pero ahora sé que puedo escribir una ecuación después de dibujar una tabla de valor posicional para representar y comprobar mi trabajo. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar 48 ÷ 3 y 54 ÷ 2. Considere pedir a alguien que represente la división en la tabla de valor posicional mientras que su pareja registra la ecuación y, luego, pídales que cambien los roles.

Decenas

Unidades

Decenas

1 decena 6 unidades

48 ÷ 3 = (3 decenas + 18 unidades) ÷ 3 = (3 decenas ÷ 3) + (18 unidades ÷ 3) = (30 ÷ 3) + (18 ÷ 3) = 10 + 6 = 16

Unidades

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando representa una división en una tabla de valor posicional y registra la división en ecuaciones usando la estrategia de separar y distribuir. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿En qué detalles es importante pensar al usar la estrategia de separar y distribuir para hallar 48 ÷ 3? • Al registrar 48 ÷ 3 en ecuaciones, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?

2 decenas 7 unidades

54 ÷ 2 = (4 decenas + 14 unidades) ÷ 2 = (4 decenas ÷ 2) + (14 unidades ÷ 2) = (40 ÷ 2) + (14 ÷ 2) = 20 + 7 = 27

263

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Concluir

DUA: Representación Considere presentar el Grupo de problemas en un formato diferente. Proporcione discos de valor posicional a sus estudiantes y pídales que representen los problemas de manera concreta.

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números de dos dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de la tabla de valor posicional como ayuda para dividir. ¿De qué manera usar la tabla de valor posicional les puede ayudar a dividir? Me ayuda a organizar las unidades de valor posicional. Me ayuda porque puedo ver la distribución de cada unidad de valor posicional. Si no sé cómo dividir algunas decenas en grupos iguales, puedo distribuir los discos uno por uno como ayuda. Poder ver el cociente en su propio grupo me resulta útil. En la ecuación del problema 4, ¿por qué el total, 56, está descompuesto en 40 y 16 en lugar de 50 y 6? Cuando se dividen 5 decenas entre 2, sobra una decena, entonces solo distribuimos 4 decenas y, luego, quedan 16 unidades para dividir. Se puede expresar 5 decenas y 6 unidades como 4 decenas y 16 unidades. No sé cómo dividir 5 decenas en 2 grupos iguales de decenas, pero puedo dividir 4 decenas en 2 grupos iguales de decenas.

264

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14 ¿Cómo saben cuándo deben descomponer una decena para continuar dividiendo? Distribuyo tantas decenas como puedo en los grupos iguales. Luego, si sobran decenas, descompongo una decena y la cambio por unidades para no formar grupos desiguales. Pienso en una operación de división que conozco. En 56 ÷ 2, no conozco una operación para 5 ÷ 2, pero sí conozco una para 4 ÷ 2. Sé que 4 decenas ÷ 2 = 2 decenas, entonces tendré que expresar 1 decena con otro nombre, ya que solo puedo distribuir 4 decenas de manera uniforme. Miren el problema 7 del Grupo de problemas. ¿Por qué piensan que Iván decidió representar 78 ÷ 3 en la tabla de valor posicional en lugar de otras ecuaciones de división? Las otras ecuaciones son operaciones que conoce, entonces Iván probablemente podía hacerlas mentalmente. Creo que mostró 78 ÷ 3 en la tabla de valor posicional porque le resultaba más difícil de resolver.

265

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Dibuja en la tabla de valor posicional para dividir. Luego, completa las ecuaciones. 3. 69 ÷ 3

Dibuja en la tabla de valor posicional para multiplicar. Luego, completa la ecuación. El problema 1 ya está empezado como ejemplo. 1. 46 ÷ 2 =

Unidades

Decenas

2. 72 ÷ 3 =

Decenas

Unidades

decenas

unidades

2 decenas 3 unidades

Decenas

Unidades

69 ÷ 3 = (6 decenas +

unidades ) ÷ 3

= ( 6 decenas ÷ 3) + ( 9 unidades ÷ 3)

2 decenas 4 unidades

266

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

5. 48 ÷ 3 =

4. 56 ÷ 2 Decenas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

Decenas

Unidades

1 decena 6 unidades

2 decenas 8 unidades

56 ÷ 2 = (4 decenas + 16 unidades ) ÷ 2

48 ÷ 3 = ( 3 decenas + 18 unidades ) ÷

= ( 4 decenas ÷ 2) + ( 16 unidades ÷ 2)

= ( 3 decenas ÷

GRUPO DE PROBLEMAS

) + ( 18 unidades ÷

)

GRUPO DE PROBLEMAS

267

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

6. 96 ÷ 4 =

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 14

7. La maestra Smith escribe tres ecuaciones de división. Les pregunta a sus estudiantes qué ecuación representarían en una tabla de valor posicional.

Decenas

Unidades

35 ÷ 5 =

78 ÷ 3 =

a. Iván elige 78 ÷ 3 =

. Explica por qué crees que eligió esa ecuación.

80 ÷ 8 =

Creo que Iván eligió esa ecuación porque quizás no puede usar el cálculo mental para dividir

78 entre 3, pero sí puede usar el cálculo mental para hallar 35 ÷ 5 y 80 ÷ 8.

2 decenas 4 unidades

b. Dibuja en la tabla de valor posicional para representar 78 ÷ 3. Luego, completa los espacios. Decenas

96 ÷ 4 = ( 8 decenas + 16 unidades ) ÷ = ( 8 decenas ÷ =

Unidades

) + ( 16 unidades ÷

)

2 decenas 6 unidades

= ( 6 decenas + 18 unidades ) ÷ = ( 6 decenas ÷

268

GRUPO DE PROBLEMAS

100

GRUPO DE PROBLEMAS

) + ( 18 unidades ÷

)

LECCIÓN 15

Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

Dibuja en la tabla de valor posicional para hallar 135 ÷ 3. Luego, completa las ecuaciones. Decenas

Vistazo a la lección La clase dibuja en la tabla de valor posicional para dividir números de tres dígitos entre números de un dígito y registran su trabajo usando ecuaciones. Para dividir, expresan números de tres dígitos como decenas y unidades.

Preguntas clave

Unidades

• ¿Por qué podríamos elegir expresar un número de tres dígitos como decenas y unidades antes de dividir? • ¿En qué se parece dividir un número de tres dígitos entre un número de un dígito a dividir un número de dos dígitos entre un número de un dígito?

4 decenas 5 unidades

Criterio de logro académico

135 ÷ 3 = ( 120

)÷

= ( 120

)+(

4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas ÷

y unidades. (4.NBT.B.6)

)

111

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Descomponer el total • Relacionar dibujos de valor posicional con ecuaciones

Estudiantes • Práctica veloz: 10 veces una cantidad (en el libro para estudiantes)

• Separar y distribuir • Grupo de problemas

Concluir 10 min

271

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Fluidez

Práctica veloz: 10 veces una cantidad 2 EUREKA MATH Materiales: E) Práctica veloz: 10 veces una cantidad

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ 10 veces una cantidad

La clase escribe el producto para adquirir fluidez con la relación de 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe el producto. 1.

10 × 4

10 × 60

600

10 × 200

2,000

272

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15 Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes. Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales. Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico. Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B. En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Nota para la enseñanza Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A: • ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? • Dibujen un recuadro alrededor de los problemas 13, 15 y 17. ¿Cómo se comparan los problemas 13, 15 y 17?

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 50 en 50 desde el 0 hasta el 500 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 5 decenas en 5 decenas desde 50 decenas hasta 0 decenas para la actividad de conteo de ritmo lento.

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

273

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

unidades.

¿Cuánto es 9 unidades ÷ 3? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

3 unidades

9 unidades ÷ 3 =

unidades

36 decenas ÷ 6 =

decenas

Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

32 unidades ÷ 4 =

unidades

45 unidades ÷ 5 =

unidades

35 decenas ÷ 7 =

decenas

56 decenas ÷ 8 =

decenas

274

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Presentar

La clase analiza diferentes maneras de representar el mismo número. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre la imagen de cuatro maneras de representar 135 y pida a la clase que analice cada representación. Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no.

120 + 15 C.

Decenas Unidades

Cuando se acabe el tiempo, invite a la clase a explicar las categorías que eligieron y a justificar por qué un elemento no pertenece al grupo.

13 decenas y 5 unidades

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas. ¿Cuál no pertenece al grupo? A no pertenece al grupo porque es la única expresión de suma. B no pertenece al grupo porque muestra 135 descompuesto en 3 unidades de valor posicional. C no pertenece al grupo porque no incluye ningún dígito. D no pertenece al grupo porque está en forma unitaria y es el único que muestra 13 decenas. ¿Qué tienen en común todas las representaciones? Todas son iguales al número 135. Todas representan 135. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo puede ser útil representar 135 de estas diferentes maneras. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a descomponer centenas en decenas para dividir números de tres dígitos entre números de un dígito.

275

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Aprender

Descomponer el total La clase analiza números en forma unitaria para determinar cuándo expresar y descomponer las centenas, las decenas y las unidades en decenas y unidades, y así dividir las unidades de valor posicional en partes iguales. Muestre la expresión 36 ÷ 4 y pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo representarían 36 en la tabla de valor posicional al dividir entre 4.

36 ÷ 4

3 decenas no es suficiente para repartir en 4 grupos iguales. Podría expresar 3 decenas como 30 unidades. Entonces, tendría 36 unidades. Podría repartir 36 unidades en 4 grupos iguales.

Nota para la enseñanza El objetivo de este segmento es que sus estudiantes identifiquen maneras útiles de descomponer el total para dividir. No es la intención que hallen el cociente. El siguiente segmento incluye oportunidades para que sus estudiantes hallen el cociente.

¿Cuántas decenas en total serían suficientes para repartirlas en 4 grupos iguales?

4 decenas 4 o más decenas Muestre las cuatro expresiones con el divisor 4. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si las decenas de cada total pueden dividirse en 4 grupos iguales. Recorra el salón de clases mientras las parejas conversan. Preste atención a expresiones como las siguientes:

48 ÷ 4

• Hay suficientes decenas en 48 para dividir todas las decenas en 4 grupos iguales.

96 ÷ 4

56 ÷ 4 72 ÷ 4

• En los otros totales, solo algunas de las decenas pueden distribuirse en grupos iguales, pero no todas. Muestre la expresión 128 ÷ 4.

128 ÷ 4

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para ayudar a sus estudiantes a compartir su razonamiento en parejas, pídales que observen la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación.

¿Hay suficientes centenas para repartirlas en 4 grupos iguales? No. 1 centena solo se puede repartir en grupos iguales si solo hay 1 grupo. Expresen 128 en forma unitaria como decenas y unidades.

12 decenas y 8 unidades ¿Hay ahora suficientes decenas para dividirlas en 4 grupos iguales? Sí. 12 decenas ÷ 4 = 3 decenas Podemos expresar algunos números de tres dígitos como decenas y unidades para dividir.

276

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Relacionar dibujos de valor posicional con ecuaciones La clase dibuja discos de valor posicional para expresar y descomponer las centenas, las decenas y las unidades en decenas y unidades, y representar una división usando una ecuación. Escriba 136 ÷ 4 y dibuje una tabla de valor posicional con columnas para decenas y unidades. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Digan el total en forma unitaria.

Diferenciación: Apoyo Para quienes necesiten apoyo más concreto, tenga disponibles discos de valor posicional. Anime a sus estudiantes a usar herramientas hasta que se acostumbren a representar una división dibujando en la tabla de valor posicional.

1 centena, 3 decenas y 6 unidades ¿Podemos dividir 1 centena en 4 grupos iguales? No. ¿Cómo pueden expresar 136 con otro nombre usando solo decenas y unidades?

13 decenas y 6 unidades ¿Qué pueden dibujar para representar el divisor? Puedo dibujar líneas para representar los 4 grupos. Dibuje puntos para representar 13 decenas y 6 unidades, y líneas horizontales para representar los 4 grupos en la tabla de valor posicional. Pida a la clase que haga lo mismo.

Nota para la enseñanza La actividad digital interactiva de Distribuir lápices apoya la comprensión de la expresión de 1 centena como 10 decenas. Considere permitir que sus estudiantes vuelvan a ver la herramienta de la lección anterior, o considere demostrar la actividad de nuevo para toda la clase.

¿Qué unidad de valor posicional deberíamos distribuir primero? Las decenas

277

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15 Distribuya 12 decenas, 1 a la vez, y táchelas a medida que lo hace. Invite a la clase a hacer lo mismo.

Nota para la enseñanza

¿Podemos dividir 1 decena en 4 grupos iguales? No. ¿Cómo puedo continuar dividiendo 1 decena? Puede expresar 1decena como 10unidades. Tache la decena restante y dibuje una flecha que señale la posición de las unidades. Muestre cómo se descompone la decena en 10 unidades dibujando 10 unidades. Pida a la clase que haga lo mismo. ¿Cuántas unidades hay en total?

16 unidades Distribuya las unidades, 1 a la vez, y táchelas a medida que lo hace. Invite a la clase a hacer lo mismo.

Considere apoyar a quienes tengan fluidez con las operaciones de división básicas distribuyendo las decenas y las unidades con más eficiencia. Invite a quienes sepan que 13 decenas dividido en 3 grupos es al menos 4 decenas en cada grupo a dibujar 4 decenas a la vez y a tacharlas del total en grupos de 4. También puede elegir representar este proceso para toda la clase. Permita que quienes no estén preparados aún para dividir sin el apoyo de la tabla de valor posicional continúen distribuyendo de a uno a medida que adquieren fluidez con las operaciones y dividen con totales más grandes.

¿Cuántas decenas y unidades hay en cada grupo?

3 decenas y 4 unidades Escriba 3 decenas y 4 unidades junto a un grupo en la tabla de valor posicional. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Señale los 4 grupos de 3 decenas y los 4 grupos de 4 unidades mientras hace las siguientes preguntas. ¿Cuántas decenas distribuimos?

12 decenas ¿Cuántas unidades distribuimos?

16 unidades

278

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15 Invite a la clase a observar que las 12 decenas y 16 unidades que distribuyeron se obtuvieron del total y ahora están tachadas. Registre las ecuaciones = (12 decenas + 16 unidades) ÷ 4 y = (120 ÷ 4) + (16 ÷ 4) para mostrar cómo se descompuso y se distribuyó el total. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo y que determinen el cociente.

÷ ÷

Considere pedir a sus estudiantes que usen las siguientes pautas al escribir su propia expresión de división: • El divisor debe ser un número de un dígito. • El total puede ser un número de dos o tres dígitos.

¿Cuánto es 136 ÷ 4?

• Si el total es un número de tres dígitos, se deben expresar las centenas y las decenas como decenas (es decir, el número de centenas debe ser menor que el divisor).

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la estrategia de separar y distribuir para dividir un número de tres dígitos entre un número de un dígito.

• Una vez que se usó la estrategia de separar y distribuir, tanto las decenas como las unidades deben dividirse de manera uniforme entre el divisor (es decir, no debe haber residuo).

Separar y distribuir La clase separa y distribuye el total usando ecuaciones para representar la división. Escriba la ecuación 108 ÷ 3 = (10 decenas + 8 unidades) ÷ 3.

Diferenciación: Desafío

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si separar

Luego de escribir la expresión, sus estudiantes pueden representarla con un modelo pictórico y una ecuación.

108 en 10 decenas y 8 unidades es la mejor manera de representar esta ecuación en la tabla de valor posicional. No es la mejor manera porque no sabemos cómo dividir 100 ni 8 entre 3. Al principio, pensamos que 10 decenas tenía sentido porque no podemos repartir 1 centena en partes iguales a menos que la expresemos como 10 decenas. Sin embargo, solo podemos distribuir 9 decenas en partes iguales sin descomponer, y no 10 decenas.

DUA: Acción y expresión

No es la mejor manera. Deberíamos representar 108 como 9 decenas y 18 unidades porque podemos dividir las dos unidades de valor posicional entre 3. Borre = (10 decenas + 8 unidades) ÷ 3. Escriba = (9 decenas + 18 unidades) ÷ 3.

Invite a la clase a trabajar en parejas y registrar ecuaciones para representar la división de decenas y unidades, y para determinar el cociente. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione dos parejas para que muestren su trabajo. Elija trabajos que muestren el uso de la forma unitaria y la forma estándar en las ecuaciones.

Considere proporcionar esquemas de la ecuación como apoyo para que sus estudiantes escriban las suyas.

= (

decenas +

unidades) ÷

= (

) + (

)

279

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15 Muestre dos soluciones, una en forma unitaria y otra en forma estándar. Invite a la clase a observar las semejanzas y diferencias que hay entre las ecuaciones. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones entre las estrategias y a hacer sus propias preguntas.

108 ÷ 3 = (9 decenas + 18 unidades) ÷ 3

108 ÷ 3 = (90 + 18) ÷ 3

= (9 decenas ÷ 3) + (18 unidades ÷ 3)

= (90 ÷ 3) + (18 ÷ 3)

= 3 decenas + 6 unidades

= 30 + 6

= 36

¿Dónde ven el total y el divisor en cada ecuación? El total está escrito como 9 decenas y 18 unidades, o como 90 y 18. El divisor es 3 y el total se separó y se distribuyó para que podamos dividir dos partes entre 3. ¿Cómo puede una ecuación escrita de dos maneras diferentes representar el mismo problema?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando representa la división mediante ecuaciones y la estrategia de separar y distribuir. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo puede ayudarles lo que saben acerca de descomponer el total a hallar 115 ÷ 5? • ¿Cómo se relacionan las ecuaciones escritas en forma unitaria y en forma estándar? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar 115 ÷ 5?

La forma unitaria es solo otra manera de expresar números. No cambia nuestra estrategia para hallar la solución ni la respuesta. ¿Por qué podríamos querer escribir una ecuación en forma unitaria o en forma estándar? La forma unitaria es útil porque puedo usar operaciones de división que conozco como ayuda para dividir el total más grande. La forma estándar coincide con la expresión original y solo puedo pensarla en forma unitaria. Invite a las parejas de estudiantes a hallar 115 ÷ 5 usando la estrategia de separar y distribuir, y a registrar una ecuación. Pueden elegir la forma unitaria o la forma estándar para hacerlo.

280

115 ÷ 5 = ((10 10 decenas + 15 unidades) ÷ 5 = ( 100 ÷ 5) + ((15 15 ÷ 5) = 20 + 3 = 23

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15 Muestre la imagen de la tabla de valor posicional para 115 ÷ 5 y pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de cómo representaron sus ecuaciones en la tabla de valor posicional.

115 ÷ 5 = 23 Decenas

Unidades

281

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir números de tres dígitos entre números de un dígito usando estrategias de valor posicional Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca del uso de la tabla de valor posicional para dividir. ¿Por qué podríamos elegir expresar un número de tres dígitos como decenas y unidades antes de dividir? Cuando no hay suficientes centenas para distribuir en grupos iguales, podemos expresar las centenas como decenas. ¿En qué se parece dividir un número de tres dígitos entre un número de un dígito a dividir un número de dos dígitos entre un número de un dígito? Se parece porque se distribuyen unidades de valor posicional en grupos. Podemos descomponer tanto un número de dos dígitos como uno de tres dígitos en decenas y unidades para dividir entre un número de un dígito. ¿Es necesario usar una tabla de valor posicional para dividir? Expliquen su razonamiento. No, no siempre. A veces, es una operación que conozco y puedo hacer la división mentalmente. No siempre hay que usar una tabla de valor posicional. Una ecuación también puede mostrar la descomposición de decenas y unidades. No, prefiero usar un modelo de área para ayudarme a separar y distribuir el divisor.

282

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ 10 veces una cantidad

Número de respuestas correctas:

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ 10 veces una cantidad

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el producto.

Escribe el producto. 1.

10 × 1

23.

10 × 3

24.

10 × 5

25.

10 × 10

100

26.

10 × 50

500

27.

300

10 × 1

23.

10 × 500

5,000

10 × 2

24.

10 × 400

4,000

10 × 7,000

70,000

10 × 4

25.

10 × 6,000

60,000

10 × 40,000

400,000

10 × 10

100

26.

10 × 30,000

300,000

60 × 10

600

10 × 40

400

27.

50 × 10

500

10 × 30

10 × 20

200

10 × 70

700

28.

300 × 10

3,000

10 × 60

600

28.

200 × 10

2,000

10 × 100

1,000

29.

5,000 × 10

50,000

10 × 100

1,000

29.

4,000 × 10

40,000

10 × 700

7,000

30.

70,000 × 10

700,000

10 × 600

6,000

30.

60,000 × 10

600,000

10 × 900

9,000

31.

10 × 80

800

10 × 800

8,000

31.

10 × 70

700

10.

10 × 1,000

10,000

32.

900 × 10

9,000

10.

10 × 1,000

10,000

32.

800 × 10

8,000

11.

10 × 8,000

80,000

33.

10 × 4,000

40,000

11.

10 × 7,000

70,000

33.

10 × 3,000

30,000

12.

10 × 4,000

40,000

34.

60,000 × 10

600,000

12.

10 × 3,000

30,000

34.

50,000 × 10

500,000

13.

10 × 4

35.

10 × 7

13.

10 × 3

35.

10 × 6

14.

10 × 8

36.

10 × 8

14.

10 × 7

36.

10 × 7

15.

10 × 40

400

37.

10 × 200

2,000

15.

10 × 30

300

37.

10 × 200

2,000

16.

10 × 90

900

38.

30,000 × 10

300,000

16.

10 × 80

800

38.

20,000 × 10

200,000

17.

10 × 400

4,000

39.

10 × 9,000

90,000

17.

10 × 300

3,000

39.

10 × 8,000

80,000

18.

10 × 600

6,000

40.

50,000 × 10

500,000

18.

10 × 500

5,000

40.

40,000 × 10

400,000

19.

10 × 800

8,000

41.

10 × 90,000

900,000

19.

10 × 700

7,000

41.

10 × 80,000

800,000

20.

10 × 3,000

30,000

42.

800,000 × 10

8,000,000

20.

10 × 2,000

20,000

42.

700,000 × 10

7,000,000

21.

10 × 6,000

60,000

43.

10 × 500,000

5,000,000

21.

10 × 5,000

50,000

43.

10 × 400,000

4,000,000

22.

10 × 9,000

90,000

44.

900,000 × 10

9,000,000

22.

10 × 8,000

80,000

44.

800,000 × 10

8,000,000

104

106

283

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

3. 108 ÷ 2

4. 165 ÷ 3

Decenas

Unidades

Decenas

Unidades

Dibuja en la tabla de valor posicional para dividir. Luego, completa las ecuaciones. 1. 148 ÷ 2

2. 129 ÷ 3

Decenas

Unidades

Decenas

Unidades 5 decenas 4 unidades

4 decenas 3 unidades

7 decenas 4 unidades

108 ÷ 2 = ( 10 decenas + 8 unidades ) ÷ 2 = ( 100 ÷ 2) + (

148 ÷ 2 = (14 decenas + 8 unidades) ÷ 2

284

129 ÷ 3 = ( 12 decenas +

unidades) ÷ 3

= ( 14 decenas ÷ 2) + ( 8 unidades ÷ 2)

= ( 12 decenas ÷ 3) + ( 9 unidades ÷ 3)

5 decenas 5 unidades

÷ 2)

165 ÷ 3 = (150 +

15 ) ÷

= ( 150 ÷

) + ( 15

)

107

108

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

5. 132 ÷ 4

6. 102 ÷ 3

Decenas

Unidades

Decenas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 15

7. Ray dibuja en una tabla de valor posicional para hallar 108 ÷ 3. Liz usa un vínculo numérico para separar el total en partes como ayuda para hallar 108 ÷ 3.

Unidades

Método de Liz

Método de Ray

Decenas

Unidades

108 ÷ 3 = 36 90

3 decenas 3 unidades

132 ÷ 4 = ( 120

)÷

3 decenas 4 unidades

102 ÷ 3 = (

)÷

= (90 ÷ 3) + (18 ÷ 3) = 30 + 6 = 36

3 decenas 6 unidades

108 ÷ 3 = 36

¿Cómo muestran las dos estrategias que 108 ÷ 3 puede hallarse separando 108 en 90 y 18?

= (120 ÷ 4) + (12 ÷ 4)

= (90 ÷ 3) + (12 ÷ 3)

= 30 + 3

= 30 + 4

La tabla de valor posicional de Ray muestra 108 descompuesto en 9 decenas y 18 unidades.

= 33

= 34

Podemos expresar 9 decenas y 18 unidades como 90 y 18. Ray dividió las decenas y las unidades en 3 grupos iguales. El trabajo de Liz usa el vínculo numérico para separar 108 en

90 y 18. Luego, usó la estrategia de separar y distribuir y dividió cada parte entre 3.

GRUPO DE PROBLEMAS

109

110

GRUPO DE PROBLEMAS

285

LECCIÓN 16

Dividir usando la estrategia de separar y distribuir

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Fecha

Halla 172 ÷ 4. Muestra o explica tu estrategia.

172 ÷ 4 = (160 + 12) ÷ 4 = (160 ÷ 4) + (12 ÷ 4) = 40 + 3 = 43

Vistazo a la lección La clase selecciona diferentes maneras de representar y resolver problemas verbales de división aplicando la estrategia de separar y distribuir. Después de trabajar de forma independiente para resolver los problemas, cada estudiante comparte su trabajo con el fin de comparar y relacionar las representaciones y las estrategias. En esta lección se presenta el término cociente parcial.

Preguntas clave • ¿Cómo deciden qué estrategia usar cuando dividen? • ¿Cuándo la estrategia de separar y distribuir es útil para dividir?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas

y unidades. (4.NBT.B.6)

117

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • El número en cada grupo es desconocido

Estudiantes • ninguno

• El número en cada grupo es desconocido: Compartir, comparar y conectar • El número de grupos es desconocido • El número de grupos es desconocido: Compartir, comparar y conectar • Grupo de problemas

Concluir 10 min

287

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase interpreta un diagrama de cinta que representa una división cuotativa o partitiva y escribe una ecuación como preparación para representar y resolver problemas verbales de división. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre el diagrama de cinta con un tamaño del grupo de 5 y un total de 40.

¿Cuál es el total?

40 Usemos el diagrama de cinta para hallar cuántos cincos hay en 40.

¿El diagrama de cinta muestra el número de grupos o el tamaño de cada grupo? El tamaño de cada grupo Escriban una ecuación de división para representar un diagrama de cinta en el que el cociente es el número de grupos. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

5 5 5 5 5 5 5 5 40 ÷ 5 = 8

Muestre la ecuación.

288

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

10 10 10 10 10 10 10 10 10

4 4 4 4 4 4 4 4 4

90 ÷ 10 = 9

36 ÷ 4 = 9

18 ÷ 2 = 9

24 ÷ 3 = 8

24 ÷ 4 = 6

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir en forma unitaria y en forma estándar y sumar

Nota para la enseñanza En la secuencia en la que el cociente es el tamaño de cada grupo (comenzando con 18 ÷ 2), omita la oración: Usemos el diagrama de cinta para hallar cuántos hay en . Las divisiones del diagrama de cinta ya mostrarán esto. Pida a la clase lo siguiente: “Escriban una ecuación de división para representar el diagrama de cinta en el que el cociente es el tamaño del grupo”.

La clase divide decenas y unidades en forma unitaria, escribe ecuaciones en forma estándar y suma dos cocientes para adquirir fluidez con las estrategias de valor posicional al dividir. Muestre 12 decenas ÷ 2 =

¿Cuánto es 12 decenas ÷ 2 en forma unitaria? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 decenas

289

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Muestre la respuesta. Escriban la ecuación en forma estándar. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

12 decenas ÷ 2 = 6 decenas

8 unidades ÷ 2 = 4 unidades 8÷2=4

120 ÷ 2 = 60

(120 ÷ 2) + (8 ÷ 2) 60 + 4 64

Muestre la respuesta: 120 ÷ 2 = 60. Repita el proceso con

8 unidades ÷ 2 =

Muestre (120 ÷ 2) + (8 ÷ 2). Escriban el valor de la expresión. Muestre el valor de cada parte y, luego, el valor total. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

16 decenas ÷ 2 = 8 decenas

18 decenas ÷ 3 = 6 decenas

20 decenas ÷ 4 = 5 decenas

12 unidades ÷ 2 = 6 unidades

15 unidades ÷ 3 = 5 unidades

28 unidades ÷ 4 = 7 unidades

(160 ÷ 2) + (12 ÷ 2) 80 + 6 86

(180 ÷ 3) + (15 ÷ 3) 60 + 5 65

(200 ÷ 4) + (28 ÷ 4) 50 + 7 57

290

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Presentar

La clase relaciona situaciones de división con diagramas de cinta. 176

Muestre la imagen de dos diagramas de cinta. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian los dos diagramas de cinta. Los dos diagramas de cinta tienen un total de 176.

El segundo diagrama de cinta tiene 1 parte rotulada con el número 8, pero no sabemos cuántos ochos hay.

Considere proporcionar imágenes u otros ejemplos del mundo real como apoyo para la comprensión de sus estudiantes del contexto de cada problema.

El primer diagrama de cinta está dividido en 8 grupos iguales, pero no sabemos cuántos hay en cada grupo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

176 8

El número desconocido, a, es el tamaño de 1 de los grupos. El número desconocido, b, es el número de ochos.

... b grupos

Asigne una señal silenciosa para el número desconocido en cada diagrama de cinta. Presente cada uno de los siguientes problemas. Luego de cada problema, pida a la clase que indique con la señal qué número desconocido representa el problema: el tamaño del grupo o el número de grupos. Invite a un par de estudiantes a justificar su elección y permita que el resto de la clase diga si está de acuerdo o en desacuerdo. • 176 marcadores se distribuyen en partes iguales en 8 contenedores. ¿Cuántos marcadores hay en cada contenedor? • 176 crayones se guardan en cajas de 8. ¿En cuántas cajas se guardan? • 176 onzas de agua se vierten en vasos. Cada vaso tiene 8 onzas de agua. ¿Cuántos vasos de agua hay? • Eva pasó 176 horas trabajando. Trabajó 8 horas por día. ¿Cuántos días trabajó? • 176 kilogramos de tierra se dividen de manera uniforme entre 8 carretillas. ¿Cuánta tierra hay en cada carretilla?

291

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la estrategia usada para hallar el valor del número desconocido en cada diagrama de cinta podría ser parecida o diferente. ¿Qué operación podría usarse para resolver cada problema? La división Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, vamos a elegir estrategias para resolver problemas verbales de división.

Aprender

El número en cada grupo es desconocido La clase razona, representa y resuelve un problema verbal en el que el número en cada grupo es desconocido. Muestre el problema y léalo a coro con la clase. Un florista tiene 144 rosas. Las organiza en grupos iguales en 6 floreros. ¿Cuántas rosas hay en cada florero? Pida a sus estudiantes que trabajen de forma independiente con el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Indíqueles que seleccionen las estrategias de su preferencia. Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que las compartan en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que contribuyan a promover el objetivo de la lección de aplicar la estrategia de separar y distribuir para situaciones de división usando una variedad de representaciones.

292

Nota para la enseñanza Se encuentra disponible un video de contexto para este problema verbal. Este video puede servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de presentar el problema, considere mostrar el video y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta ayuda a la clase a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Los ejemplos de trabajo demuestran el uso de la estrategia de separar y distribuir para dividir.

Nota para la enseñanza Vínculo numérico

Tabla de valor posicional

144

144 144 ÷ 6 = r

144 ÷ 6 = r r

144

Decenas

Unidades

Es posible que parte de la clase reconozca 144 como un múltiplo de 12 y que apliquen la propiedad asociativa como hacían en 3.er grado para hallar el factor desconocido. Reconozca que esta es una estrategia válida, pero anime a sus estudiantes a probar una estrategia de división que hayan practicado en lecciones recientes. La práctica con la propiedad asociativa se desarrolla más adelante en este módulo.

12 ×

= 144 12 × 12 = 144

6 × 2 × 12 = 144 6 × 24 = 144

24 ÷ 6 = 4 60 ÷ 6 = 10 60 ÷ 6 = 10 10 + 10 + 4 = 24

2 decenas 4 unidades

144 ÷ 6 = 24 r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

293

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Modelo de área

144 144 ÷ 6 = r r

120

r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

El número en cada grupo es desconocido: Compartir, comparar y conectar La clase comparte las soluciones y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y el modelo que usó al representar el problema y la estrategia de división. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.

294

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

144

Vínculo numérico (Método de Casey) ¿Qué se conoce en el problema? ¿Qué se desconoce: el número de grupos o el número en cada grupo? Sabemos que hay 144 rosas y 6 floreros. Estamos tratando de hallar el número de rosas en cada florero. Es decir, el número en cada grupo.

144 ÷ 6 = r r 144

¿Cómo muestra el diagrama de cinta la información que conocemos y la que desconocemos? Toda la cinta representa el total de 144 rosas. La cinta está dividida en 6 grupos para representar los 6 floreros. El número desconocido es el número de rosas en cada florero. Está rotulado con una letra r.

24 ÷ 6 = 4 60 ÷ 6 = 10 60 ÷ 6 = 10

¿Cómo sabías que tenías que dividir, Casey? Cuando conocemos el total y el número de grupos, pero necesitamos hallar el número en cada grupo, se trata de una división. ¿Cómo representaste el total de 144 al dividir? Mostré el total en el vínculo numérico y lo descompuse en partes más pequeñas. ¿Cómo mostraste el divisor, 6?

10 + 10 + 4 = 24 144 ÷ 6 = 24 r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

En las ecuaciones, dividí cada parte de 144 entre 6. ¿Cómo hallaste el número en cada grupo, o el número de rosas en cada florero?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere hacer anotaciones en el trabajo de sus estudiantes para rotular los cocientes parciales con el término. También considere invitar a la clase a describir en qué se parecen y en qué se diferencian los cocientes parciales y los productos parciales.

Hallé el cociente para cada parte y, luego, los sumé. Hay 24 rosas en cada florero.

295

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Hallaste los cocientes parciales. Cuando descomponemos un total en partes y luego dividimos esas partes entre el divisor, obtenemos los cocientes parciales. Podemos sumar los cocientes parciales para hallar el cociente del total dividido entre el divisor. ¿Cómo decidiste en cuántas partes descomponer 144? Usé el punto de referencia de 10 unidades de 6, que es 60. Usé 2 de esas unidades, que es 120. Así, me quedó 24 como la otra parte y sabía cómo dividirla entre 6.

144

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Casey y sus propios trabajos. Tabla de valor posicional (Método de Deepa) ¿Cómo se representa el total, 144 rosas, en el trabajo de Deepa?

144 ÷ 6 = r r Decenas

Unidades

Antes de que Deepa descompusiera las decenas en unidades, había 14 decenas y 4 unidades en la parte de arriba de la tabla. Eso es 144. Veo 12 decenas y 24 unidades en la parte de arriba de la tabla de valor posicional. Eso es 144 porque 120 + 24 = 144. Vemos 144 como 14 decenas y 4 unidades, y también lo vemos como 12 decenas y 24 unidades. ¿Cómo muestran las dos maneras el mismo total, 144?

2 decenas 4 unidades

Deepa comenzó con 144, pero luego 2 de las decenas en 14 decenas las descompuso en 20 unidades para poder dividir.

12 decenas y 24 unidades es el mismo total que 144. 120 + 24 = 144 ¿Cómo se representa el divisor, 6, en el trabajo de Deepa? En la tabla de valor posicional, hizo 6 filas para mostrar los 6 grupos. Dividió las decenas y las unidades en 6 grupos.

296

r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 ¿Dónde está representado el número desconocido? Es el número en cada uno de los 6 grupos. ¿Cómo sabías que el número desconocido era 24, Deepa? Vi que hay 2 decenas y 4 unidades, o 24, en cada grupo. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian la estrategia de Deepa y la de Casey? Deepa y Casey separaron 144 en partes y dividieron cada parte entre 6. Deepa usó una tabla de valor posicional para mostrar el proceso de división. Casey usó un vínculo numérico y descompuso el total en partes. Registró ecuaciones de división por separado para cada parte. Tanto Casey como Deepa hallaron los cocientes parciales y los sumaron para hallar el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Deepa y sus propios trabajos. Modelo de área (Método de Pablo)

144

¿Cómo está representado el total en tu trabajo, Pablo?

144 ÷ 6 = r

El total, 144, está representado en el área total del rectángulo del modelo de área.

¿Cómo decidiste separar el total? Descompuse 144 en 120 y 24. Lo hice porque sabía que 6 × 2 = 12, entonces 6 × 20 = 120 y 6 × 4 = 24. Pude dividir 120 y 24 entre 6.

120

¿Cómo está representado el divisor en tu trabajo? El divisor es una de las longitudes de los lados del rectángulo, 6.

r = 24 Hay 24 rosas en cada florero.

297

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos que usaron Deepa y Pablo para dividir cada parte de 144 entre 6? ¿Cómo se muestra eso en sus modelos? Deepa y Pablo descompusieron 144 en 120 y 24. Luego, hallaron los mismos cocientes parciales, 20 y 4. Deepa terminó con 120 y 24 luego de descomponer 2 decenas en 20 unidades. Pablo usó 120 y 24 al pensar en operaciones de multiplicación. La tabla de valor posicional de Deepa muestra las decenas divididas en 6 grupos. Muestra cada grupo y el número en cada grupo. El modelo de área de Pablo muestra el área de 120 y 24. Cada una está dividida entre 6 porque una de las longitudes de los lados es 6. El número en cada grupo está representado por la otra longitud del lado. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Pablo y sus propios trabajos.

El número de grupos es desconocido La clase razona, representa y resuelve un problema verbal en el que el número de grupos es desconocido. Muestre el problema y léalo a coro con la clase.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Una fábrica produce 304 patas para sillas. ¿Cuántas sillas puede producir la fábrica si cada silla tiene 4 patas?

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) al utilizar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales.

Pida a sus estudiantes que trabajen de forma independiente con el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Indíqueles que seleccionen las estrategias de su preferencia.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

Recorra el salón de clases y observe las estrategias de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que las compartan en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajo que muestren distintas maneras de aplicar la estrategia de separar y distribuir para dividir de diferentes maneras.

• ¿Cómo planean hallar cuántas sillas pueden producirse?

Los ejemplos de trabajo demuestran diferentes maneras de usar la estrategia de separar y distribuir para dividir.

• ¿Sus respuestas tienen sentido? ¿Por qué?

298

• ¿Están funcionando sus estrategias? ¿Podrían intentar hacerlo de otra manera?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Tabla de valor posicional

Modelo de área

304 ÷ 4 = s

304

s grupos Decenas

304 ÷ 4 = s

304

...

... s grupos

Unidades 4

DUA: Participación

280

Considere brindar retroalimentaciones orientadas al dominio que enfaticen la estrategia elegida por cada estudiante. Haga un reconocimiento a sus estudiantes por elegir una estrategia más eficiente o por usar operaciones de multiplicación conocidas mientras trabajan.

s = 76 La fábrica puede producir 76 sillas. 7 decenas 6 unidades

s = 76

La fábrica puede producir 76 sillas.

299

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

Ecuaciones

304 4

... s grupos 304 ÷ 4 = s

304 ÷ 4 = (280 + 24) ÷ 4 = (280 ÷ 4) + (24 ÷ 4) = 70 + 6 = 76 s = 76 La fábrica puede producir 76 sillas.

El número de grupos es desconocido: Compartir, comparar y conectar La clase comparte las soluciones y razona acerca de sus conexiones. Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y el modelo que usó para representar el problema y la estrategia de división. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que son diferentes. Anime a la clase a que haga preguntas.

300

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Tabla de valor posicional (Método de David) ¿Cómo usó David un diagrama de cinta para representar el problema? Rotuló el total con el número 304 para 304 patas de sillas. Como cada silla tiene 4 patas, formó 1 grupo de 4 dentro de la cinta. No sabía cuántas sillas hay, entonces dibujó una llave y la rotuló con s grupos para mostrar que el número de grupos es desconocido.

304 ÷ 4 = s

304 ...

El propósito del diagrama de cinta es mostrar una estrategia que se puede aplicar para hallar la respuesta. Una vez que cada estudiante ve que la respuesta puede hallarse dividiendo, se puede usar cualquier estrategia para dividir. En este ejemplo, la división en la tabla de valor posicional no coincide con el problema porque muestra 4 como el número de grupos y 76 como el número en cada grupo. Aun así, muestra una manera válida de hallar 304 ÷ 4. David sabía que era necesario dividir, entonces halló 304 ÷ 4 de una manera que tenía sentido para él. Luego, relacionó el cociente con el contexto del problema para escribir el enunciado con la solución.

s grupos Decenas

Nota para la enseñanza

Unidades

¿En qué se parece y en qué se diferencia este problema del anterior? En este problema, el número desconocido es el número de grupos y no el número en cada grupo.

7 decenas 6 unidades

Los dos problemas se pueden resolver con la división. ¿Cómo hallaste 304 ÷ 4, David? ¿Por qué elegiste esa estrategia? Usé una tabla de valor posicional para ayudarme a dividir. Sabía que podía usar una tabla de valor posicional para resolver cualquier problema de división. ¿Cómo representaste el total, el divisor y el cociente, David?

s = 76

Representé el total en la parte de arriba La fábrica puede producir 76 sillas. de la tabla de valor posicional con 30 decenas y 4 unidades. Luego, tuve que descomponer 2 decenas, entonces ahora muestra 28 decenas y 24 unidades. El divisor son las 4 filas que dibujé en la tabla de valor posicional. Cada fila de la tabla de valor posicional representa el cociente. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre el trabajo de David y sus propios trabajos.

301

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Modelo de área (Método de Robin) ¿Cómo representaste el total, el divisor y el cociente en tu trabajo, Robin? Representé el total con el área total del rectángulo, 280 + 24 = 304. Representé el divisor con la longitud de un lado del rectángulo. El cociente es la longitud total del otro lado.

¿Usaste una estrategia de división diferente para este problema? ¿Por qué? Esta vez, usé el modelo de área para dividir porque conocía las operaciones de la tabla del cuatro que podía usar para separar y dividir 304.

... s grupos

¿Dónde ven la respuesta al problema en el trabajo de Robin? Se muestra con los cocientes parciales, 70 y 6. 70 + 6 = 76

304 ÷ 4 = s

304

280

s = 76 La fábrica puede producir 76 sillas.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los métodos que usaron David y Robin para separar

304 en partes para dividir? David separó 304 en partes pensando en decenas y unidades. Mostró 30 decenas para comenzar y descompuso 2 decenas después de dividir las decenas, así que la tabla de valor posicional muestra 28 decenas y 24 unidades como el total. Robin descompuso 304 en 280 y 24 pensando en las operaciones con la tabla del cuatro.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de Robin y sus propios trabajos.

302

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16 Ecuaciones (Método de María) ¿Cómo representaste el total, el divisor y el cociente en tu trabajo, María? Mostré el total, 304, descompuesto en dos partes, 280 y 24. El divisor se muestra cuando divido las dos partes entre 4. El cociente, 76, es el total

304 4

de los cocientes más pequeños.

s grupos

¿Usaste una estrategia diferente para este problema? ¿Por qué? Esta vez, solo registré mi razonamiento con ecuaciones, en lugar de dibujar un modelo de área. Estimé cuántos cuatros hay en 304 para separar el total en partes y dividir cada parte entre 4. Usé ecuaciones para hallar y mostrar los cocientes parciales. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el método de María y las otras estrategias? María separó el total de la misma manera que quienes usaron otras estrategias, pero usó ecuaciones en lugar de dibujar un modelo.

...

304 ÷ 4 = s 304 ÷ 4 = (280 + 24) ÷ 4 = (280 ÷ 4) + (24 ÷ 4) = 70 + 6 = 76 s = 76 La fábrica puede producir 76 sillas.

María separó 304 en partes y dividió cada parte entre 4 de la misma manera que quienes usaron otras estrategias. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias que hay entre el trabajo de María y sus propios trabajos.

303

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Dividir usando la estrategia de separar y distribuir Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación acerca del uso de la estrategia de separar y distribuir para dividir. ¿Cómo deciden qué estrategia usar cuando dividen? Uso el modelo de área cuando sé que podría tener que dibujar muchos puntos en la tabla de valor posicional, como cuando sé que tendré que reagrupar más de 1 decena. Cuando puedo usar las operaciones de multiplicación o división que conozco, uso el cálculo mental, registro ecuaciones e imagino un modelo en mi mente. Uso la tabla de valor posicional cuando necesito ayuda para dividir el total. Puedo distribuir uno por uno, descomponer para obtener unidades más pequeñas y seguir toda la división en la tabla. Me gusta ver el número en cada grupo con claridad en cada fila. ¿Cuándo la estrategia de separar y distribuir es útil para dividir? Es útil cuando el total es más grande que cualquiera de las operaciones de división que conozco. Es útil cuando puedo usar operaciones que conozco para ayudarme a dividir decenas y unidades en forma unitaria.

304

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

5. Piensa en 308 ÷ 4.

Fecha

EUREKA MATH2

a. Usa dos estrategias diferentes para hallar el cociente. Divide. Muestra o explica tu estrategia. 1. 86 ÷ 2

2. 216 ÷ 4

86 ÷ 2 = (80 + 6) ÷ 2

308 ÷ 4 = (280 + 28) ÷ 4

216 ÷ 4 = (200 + 16) ÷ 4

= (80 ÷ 2) + (6 ÷ 2)

= (200 ÷ 4) + (16 ÷ 4)

= 40 + 3

= 50 + 4

= 43

= 54

= (280 ÷ 4) + (28 ÷ 4) = 70 + 7 = 77

28 308

40 40

40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 40 ÷ 4 = 10 3. 108 ÷ 3

28 ÷ 4 = 7

4. 324 ÷ 6

108 ÷ 3 = (90 + 18) ÷ 3

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 7 = 77

324 ÷ 6 = (300 + 24) ÷ 6

= (90 ÷ 3) + (18 ÷ 3)

= (300 ÷ 6) + (24 ÷ 6)

= 30 + 6

= 50 + 4

= 36

= 54

b. Dibuja una estrella junto a la estrategia que es más eficiente.

c. Explica por qué la estrategia que elegiste es más eficiente. La estrategia de separar y distribuir es más eficiente porque no necesité tantos pasos para obtener mi respuesta. Descompuse 308 en 280 y 28 y, luego, dividí los dos números entre

4 para hallar el cociente. Cuando usé el vínculo numérico, descompuse 308 en muchas partes y, luego, dividí cada parte entre 4, lo que me llevó más tiempo.

113

114

GRUPO DE PROBLEMAS

305

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TC ▸ Lección 16

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 6. Amy vierte un total de 460 mililitros de agua en partes iguales en 5 recipientes. ¿Cuántos mililitros de agua hay en cada recipiente?

460 ÷ 5 = 92 Hay 92 mililitros de agua en cada recipiente.

7. Un panadero vende 132 muffins. Hay 6 muffins en cada caja. ¿Cuántas cajas de muffins vende el panadero?

132 ÷ 6 = 22 El panadero vende 22 cajas de muffins.

306

GRUPO DE PROBLEMAS

115

Tema D Resolver problemas usando la medición En el tema D, la clase aplica las estrategias de multiplicación y división y las representaciones de los temas anteriores para convertir las unidades de longitud del sistema inglés, investigar el perímetro y el área de los rectángulos y resolver problemas verbales sobre medidas. Las unidades de medida incluyen yardas, pies y pulgadas. La clase expresa las medidas de longitud del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas usando su comprensión de las relaciones multiplicativas (p. ej., 1 pie es 12 veces tan largo como 1 pulgada, 1 yarda es 3 veces tan larga como 1 pie) y representa las relaciones usando rectas numéricas y tablas de conversión. Convierten medidas que tienen una unidad (p. ej., 2 pies a 24 pulgadas) y medidas que tienen unidades mixtas (p. ej., 2 pies y 3 pulgadas a 27 pulgadas). Suman y restan con unidades mixtas usando representaciones y estrategias similares a las usadas con los números enteros: la suma o resta de unidades semejantes y la representación de la suma o la resta mediante el uso de rectas numéricas, el método de flechas y los vínculos numéricos. Explorar la relación entre las unidades es fundamental para comprender la multiplicación en el contexto de usar escalas en 5.o grado y con el razonamiento proporcional en 6.o grado. Basándose en su experiencia para hallar el perímetro de los rectángulos en 3.er grado, sus estudiantes formalizan las relaciones entre los lados de los rectángulos en fórmulas para el perímetro: P = l + a + l + a, P = 2 × (l + a) y P = 2l + 2a. Resuelven problemas matemáticos y del mundo real seleccionando y usando fórmulas para el perímetro y el área con el objetivo de hallar el perímetro, el área o las longitudes de los lados desconocidas de los rectángulos. En algunos casos, convierten unidades de medida más grandes en unidades más pequeñas o usan comparaciones multiplicativas como parte de su estrategia para hallar la solución. Para concluir el tema, la clase aplica las fórmulas del área y del perímetro y las relaciones multiplicativas entre las unidades de medida de longitud para resolver problemas verbales. Se hace énfasis en distinguir entre los problemas verbales de comparaciones multiplicativas y de comparaciones de suma. La clase usa diagramas de cinta para distinguir entre los dos tipos de problemas y determinar una estrategia para hallar la solución. En el tema E, la clase aplica estrategias de multiplicación y división para identificar factores, múltiplos y números primos y compuestos.

307

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD

Progresión de las lecciones Lección 17

Lección 18

Lección 19

Expresar las medidas de longitud en términos de unidades más pequeñas

Investigar y usar fórmulas para el perímetro de un rectángulo

Aplicar las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas

Pies

Pulgadas

Puedo expresar un número de yardas como pies y un número de pies como pulgadas usando una recta numérica o una tabla de conversión para representar las unidades y sus relaciones. Cuando sumo o resto con unidades de medida mixtas, puedo usar la recta numérica, la tabla de conversión o la relación multiplicativa de las unidades de medida para ayudarme a convertir una unidad más grande a una más pequeña.

308

Usar una fórmula para el perímetro de un rectángulo me ayuda a hallar el perímetro de manera eficiente si conozco la longitud y el ancho. También puedo hallar la longitud del lado desconocida de un rectángulo si conozco el perímetro y la longitud de un lado.

Puedo reconocer el área y el perímetro en contextos del mundo real y, luego, usar una fórmula para hallar el área, el perímetro o la longitud del lado desconocida. Si es necesario, puedo convertir las unidades de longitud mientras trabajo.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD

Lección 20 Resolver problemas verbales que involucran comparaciones multiplicativas y de suma

En algunas situaciones de comparación, la relación entre las cantidades se representa con la suma y en otras, con la multiplicación. Un diagrama de cinta me ayuda a representar las relaciones entre las cantidades. Luego, puedo determinar si debo sumar, restar, multiplicar o dividir para hallar un número desconocido.

309

LECCIÓN 17

Expresar las medidas de longitud en términos de unidades más pequeñas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

Convierte. a. 5 pies =

pulgadas

b. 3 yardas 2 pies =

Vistazo a la lección La clase aplica el trabajo previo con las conversiones de medidas para expresar las medidas de longitud del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas. Determinan las relaciones entre las unidades de longitud del sistema inglés y representan sus estrategias usando diagramas de cinta, rectas numéricas, tablas de conversión y la multiplicación. La clase también suma y resta con unidades mixtas.

Preguntas clave

pies

• ¿Cómo se relacionan las yardas, los pies y las pulgadas? • ¿Cómo podemos convertir medidas con unidades de longitud más grandes a medidas con unidades de longitud más pequeñas?

Criterios de logro académico 4.Mód2.CLA8 Expresan, en una tabla, unidades de longitud más grandes del

sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.1) 4.Mód2.CLA9 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas

de unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.2) 4.Mód2.CLA10 Representan las cantidades de las mediciones usando

diagramas. (4.MD.A.2)

123

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• regla de un metro

Aprender 35 min • Tamaños relativos de las unidades • Estrategias de conversión

• tiras de papel, 1" × 12" (3) • regla

Estudiantes

• Unidades mixtas

• tira de papel, 1" × 12"

• Grupo de problemas

• regla

Concluir 10 min

311

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Fluidez

Respuesta a coro: Factor desconocido La clase determina el factor desconocido y, luego, dice la ecuación en forma estándar para adquirir fluidez con la relación de 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 10 ×

unidad = 1 decena.

¿Cuál es el factor desconocido? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 ×

unidad = 1 decena

10 × 1 = 10

1 unidad Muestre la respuesta. Cuando dé la señal, digan la ecuación en forma estándar. ¿Comenzamos?

10 × 1 = 10 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

312

10 × 4 unidades = 4 decenas

10 × 1 decena = 1 centena

10 × 1 centena = 1 millar

10 × 8 centenas = 8 millares

10 × 6 decenas = 6 centenas

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Contar de 6 decenas en 6 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 6 decenas en unidad de 6 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 300 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de seis en seis del 0 al 30. ¿Comenzamos?

0, 6, 12, 18, 24, 30 30, 24, 18, 12, 6, 0 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 6 decenas en 6 decenas, desde 0 decenas hasta 30 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 6 decenas…, 24 decenas, 30 decenas 30 decenas, 24 decenas…, 6 decenas, 0 decenas

0 decenas 6 decenas 12 decenas 18 decenas 24 decenas 30 decenas

120

180

240

300

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 6 decenas en 6 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 60, 120, 180, 240, 300 300, 240, 180, 120, 60, 0

313

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales La clase usa un vínculo numérico y un múltiplo de 10 para descomponer un total de dos dígitos de una expresión de división para desarrollar fluidez con las estrategias de valor posicional al dividir. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 46 ÷ 2.

Nota para la enseñanza

46 ÷ 2

Escriban la expresión. ¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, la clase puede invertir la posición de los números en el vínculo numérico o usar diferentes múltiplos de 10.

46 Muestre las ramas del vínculo numérico. Descompongan el total en dos partes que sean útiles al dividir entre 2 y completen el vínculo numérico. Muestre el vínculo numérico de ejemplo completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

68 ÷ 2 60

78 ÷ 3 60

314

54 ÷ 2 40

84 ÷ 4 80

63 ÷ 3 60

96 ÷ 3 90

96 ÷ 4 80

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Presentar

Materiales: M) Regla de un metro

La clase comenta si las medidas de longitud más grandes del sistema inglés se pueden convertir a medidas de longitud del sistema inglés más pequeñas. Muestre la imagen del listón. ¿Qué observan acerca de las unidades del carrete de listón?

Apoyo para la comprensión del lenguaje Listón

Hay unidades diferentes. Hay yardas y pies.

as 6 ya rd s 18 pie

Las yardas y los pies son unidades de longitud del sistema inglés. ¿Qué observan acerca de los números que aparecen junto a las unidades? Los números también son diferentes. El número junto a yardas es menor que el número junto a pies. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar por qué el carrete de listón está rotulado con dos medidas diferentes.

Considere asignar tiempo para que la clase practique las abreviaturas de las unidades de longitud. Muestre una medida con la unidad abreviada y demuestre cómo decir y escribir la medida. Luego, invite a sus estudiantes a decir y escribir la medida. Por ejemplo, escriba 1 pulg. Diga 1 pulgada y escriba 1 pulgada. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Repita el proceso con otras medidas de longitud.

Creemos que las diferentes medidas representan la longitud total del listón. Eso significa que el listón mide 6 yardas y 18 pies de largo. No sabemos con seguridad por qué hay diferentes unidades, pero observamos una relación entre los números. 6 × 3 = 18 Creemos que las diferentes medidas representan la longitud del listón usando diferentes unidades. Creemos que 6 yardas de listón tienen la misma longitud que 18 pies de listón.

315

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

Muestre la regla de un metro. ¿Qué unidades métricas de longitud se representan en la regla de un metro? Los metros y los centímetros ¿Qué unidad es más grande, los metros o los centímetros? Los metros ¿Cómo representa la regla de un metro la relación entre la unidad más grande, los metros, y la más pequeña, los centímetros? Muestra que 1 metro tiene la misma longitud que 100 centímetros. Muestra que 1 metro es 100 veces tan largo como 1 centímetro. Señale la imagen del listón. ¿Qué unidad del sistema inglés es más grande, las yardas o los pies? Las yardas Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que las unidades de longitud del sistema inglés tienen una relación parecida entre las unidades más grandes y las más pequeñas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos más sobre las unidades de longitud del sistema inglés y cómo convertir medidas con unidades de longitud más grandes a medidas con unidades de longitud más pequeñas.

316

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Aprender

Tamaños relativos de las unidades Materiales: M/E) Tira de papel, regla

La clase determina las relaciones entre las unidades de longitud del sistema inglés. Distribuya una tira de papel a cada estudiante. La tira de papel mide 1 pie de largo. Invite a la clase a usar sus reglas para medir la longitud de la tira de papel en pulgadas.

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia para representar las relaciones entre las unidades de longitud del sistema inglés.

¿Cuántas pulgadas de largo mide la tira de papel?

12 pulgadas ¿Qué significa eso acerca de la relación entre 1 pie y 12 pulgadas? Son iguales. Tienen la misma longitud. Escriba 1 pie = 12 pulgadas. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cómo podemos usar la frase veces tan largo como para describir la relación entre 1 pie y 1 pulgada? Como 1 pie tiene la misma longitud que 12 pulgadas, podemos decir que 1 pie es 12 veces tan largo como 1 pulgada. Escriba 1 pie es 12 veces tan largo como 1 pulgada. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a trabajar en parejas para escribir una ecuación de multiplicación que represente el enunciado de la comparación multiplicativa. Invite a algunas parejas a compartir sus ecuaciones.

Considere invitar a sus estudiantes a usar las reglas y las tiras de papel para hallar objetos en el salón de clases que puedan usar como puntos de referencia para 1 pulgada, 1 pie y 1 yarda. Escriba los nombres de los objetos de referencia en la columna correcta del afiche.

A medida que comparten, escriba 1 pie = 12 × 1 pulg.

317

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 Dibujemos un diagrama de cinta para representar la relación entre los pies y las pulgadas. Guíe a la clase en el proceso de dibujar una cinta con 1 unidad para representar 1 pulgada y una cinta con 12 unidades para representar 1 pie. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los diagramas de cinta, las ecuaciones y el enunciado de comparación multiplicativa representan la relación entre los pies y las pulgadas. Forme grupos de tres estudiantes y pídales que alineen sus tiras de papel de extremo a extremo sin espacios ni superposiciones. La longitud total de 3 tiras de papel es 1 yarda. ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre la longitud de cada tira para describir la longitud total en pies? Sabemos que cada tira mide 1 pie de largo. Como hay 3 tiras, eso significa que la longitud total es 3 pies. ¿Qué significa eso acerca de 1 yarda y 3 pies? Son iguales. Tienen la misma longitud. Use un proceso similar para guiar a sus estudiantes mientras: • escriben una ecuación para mostrar la equivalencia entre 1 yarda y 3 pies; • escriben un enunciado de comparación multiplicativa para representar la relación entre las yardas y los pies; • escriben una ecuación para representar el enunciado de la comparación multiplicativa y • dibujan un diagrama de cinta para representar la relación entre las yardas y los pies.

Diferenciación: Desafío Considere desafiar a sus estudiantes a mirar el diagrama de cinta y a razonar sobre la relación entre las yardas y las pulgadas. Haga la pregunta: “¿Cuántas pulgadas hay en 1 yarda?”.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las relaciones entre las unidades de longitud más grandes y más pequeñas del sistema inglés.

318

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Estrategias de conversión

Nota para la enseñanza

Materiales: M) Tiras de papel

La clase usa diagramas de cinta, rectas numéricas y tablas de conversión para representar las conversiones de longitud. Muestre 3 tiras de papel alineadas de extremo a extremo. ¿Cuántos pies representan mis tiras de papel?

3 pies Dibujemos un diagrama de cinta para representar mis tiras de papel. Guíe a la clase en el proceso de dibujar un diagrama de cinta con el total rotulado como 3 pies y 3 unidades iguales para representar las tiras de papel. Escriba 3 pies = pulgadas y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Cómo podemos usar una recta numérica y nuestro diagrama de cinta para calcular cuántas pulgadas hay en 2 pies? Podemos dibujar una recta numérica debajo del diagrama de cinta. Podemos dibujar marcas de graduación en la recta numérica que estén alineadas con 0 pies, 1 pie, 2 pies y 3 pies en el diagrama de cinta. Luego, podemos rotular las marcas de graduación en la recta numérica con pulgadas. Sabemos que 1 pie = 12 pulgadas. Podemos usar eso para ayudarnos a rotular las otras marcas de graduación.

Rotular una recta numérica con dos unidades relacionadas es un tema conocido de 3.er grado. Sus estudiantes usaron una recta numérica para mostrar las relaciones entre unidades relacionadas como los octavos y los cuartos al rotular una unidad por encima de la recta numérica y la otra unidad por debajo. Considere usar un código de colores para rotular cada unidad y distinguir mejor las diferentes unidades.

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

DUA: Representación Considere crear un afiche de referencia para representar las diversas estrategias que sus estudiantes usan para convertir pies a pulgadas. Nombre cada estrategia e incluya un ejemplo.

Dibuje una recta numérica debajo del diagrama de cinta. Dibuje marcas de graduación en la recta numérica alineadas con 0 pies, 1 pie, 2 pies y 3 pies en el diagrama de cinta. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

319

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 Invite a la clase a trabajar en parejas para rotular las pulgadas en la recta numérica. Comience en la primera marca de graduación y deslice el dedo por la recta numérica, haciendo una pausa en cada marca mientras hace la siguiente pregunta. ¿Cuántas pulgadas representa la marca de graduación? Rotule las marcas de graduación 0 pulgadas, 12 pulgadas, 24 pulgadas y 36 pulgadas mientras la clase comparte sus respuestas. ¿Qué estrategia usaron para rotular las marcas de graduación con pulgadas? Sumamos 12 cada vez porque cada unidad en el diagrama de cinta representa 1 pie, que es la misma longitud que 12 pulgadas. Contamos salteado de doce en doce: 0, 12, 24, 36. Usamos la multiplicación. Multiplicamos el número de pies por el número de pulgadas que hay en

1 pie. Para rotular la marca de graduación que representa 3 pies, pensamos en 3 × 12 = 36. ¿Cuántas pulgadas equivalen a 3 pies?

Diferenciación: Apoyo

36 pulgadas Complete la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Muestre la imagen de la recta numérica y la tabla de conversión. ¿De qué manera la recta numérica y la tabla de conversión también muestran que 3 pies = 36 pulgadas?

0 pies

1 pie

2 pies

3 pies

0 pulg 12 pulg 24 pulg 36 pulg

Pies

Pulgadas

La recta numérica muestra que 3 pies = 36 pulgadas porque están en la misma ubicación.

Considere hacer anotaciones en la recta numérica y en la tabla de conversión para apoyar a sus estudiantes en el uso de la multiplicación para convertir medidas.

0 pies

1 pie

2 pies

3 pies

0 pulg 12 pulg 24 pulg 36 pulg

0 × 12 = 0 1 × 12 = 12 2 × 12 = 24 3 × 12 = 36

La tabla de conversión muestra los pies y las pulgadas. Muestra que 1 pie = 12 pulgadas y, en la última fila, podemos ver que 3 pies = 36 pulgadas.

320

Pies

Pulgadas

1 × 12 = 12

2 × 12 = 24

3 × 12 = 36

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 ¿Pueden usar estrategias parecidas de suma repetida, contar salteado de doce en doce o multiplicar el número de pies por 12 al usar una recta numérica o una tabla de conversión para convertir pies a pulgadas? Sí, podemos usar las mismas estrategias porque no importa si usamos un diagrama de cinta, una recta numérica o una tabla de conversión. La relación entre los pies y las pulgadas no cambia. 1 pie = 12 pulgadas. Escriba 6 yardas =

pies.

Invite a la clase a trabajar en parejas para usar una recta numérica y una tabla de conversión que les ayude a completar la ecuación. Una persona puede dibujar y completar la recta numérica y la otra puede dibujar y completar una tabla de conversión.

6 yardas = 0 yd

1 yd

2 yd

3 yd

pies

4 yd

5 yd

6 yd

0 pies 3 pies 6 pies 9 pies 12 pies 15 pies 18 pies

Yardas

Pies

¿Cuántos pies hay en 6 yardas?

18 pies ¿Qué ecuación de multiplicación representa cómo convertir 6 yardas a pies?

6 × 3 = 18

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando determina las relaciones entre las unidades del sistema inglés. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8: • ¿En qué se parece su razonamiento al convertir pies a pulgadas y al convertir yardas a pies? • ¿Qué patrones observan al convertir pies a pulgadas o yardas a pies? ¿Cómo puede ayudarles eso a convertir de forma más eficiente?

Registre la ecuación de multiplicación. Señale cada factor y el producto mientras hace las siguientes preguntas. ¿Qué representa el 6? El número de yardas ¿Qué representa el 3? El número de pies que hay en 1 yarda ¿Qué representa el 18? El número de pies que hay en 6 yardas

321

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 Muestre la imagen del listón. ¿Cómo ha cambiado su razonamiento sobre las longitudes rotuladas en el carrete de listón?

Listón

Acabamos de convertir 6 yardas a 18 pies, entonces ahora sabemos que 6 yardas y 18 pies representan la misma longitud.

as 6 ya rd s 18 pie

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes estrategias que pueden usar para convertir las medidas de longitud del sistema inglés.

Unidades mixtas La clase convierte, suma y resta medidas de longitud del sistema inglés con unidades mixtas. Presente el problema: El collar de Deepa mide 1 pie y 3 pulgadas de largo. ¿Cuántas pulgadas de largo mide el collar de Deepa? Invite a la clase a leer el problema en parejas. ¿Qué observan acerca de la longitud del collar de Deepa? Las unidades son los pies y las pulgadas. ¿Qué necesitamos calcular? La longitud del collar en pulgadas Dibujemos una recta numérica para ayudarnos a convertir las unidades mixtas de pies y pulgadas a pulgadas.

322

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 Dibuje y rotule una recta numérica desde 0 pies hasta 2 pies. Rotule las pulgadas debajo de la recta numérica. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Nota para la enseñanza

¿Dónde está ubicado 1 pie y 3 pulgadas en la recta numérica? Está entre 1 pie y 2 pies. ¿Cómo podemos mostrar 1 pie y 3 pulgadas en la recta numérica? Podemos hacer marcas de graduación para mostrar las pulgadas que hay entre 1 pie y 2 pies. Dibuje marcas de graduación para dividir la recta numérica entre 1 pie y 2 pies para representar 12 pulgadas. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la recta numérica para calcular cuántas pulgadas hay en 1 pie y 3 pulgadas. Escriba 1 pie 3 pulgadas =

pulgadas. Invite a la clase a completar la ecuación.

¿Cuánto mide el collar de Deepa en pulgadas?

15 pulgadas

La división de un intervalo en la recta numérica en unidades más pequeñas es algo que se conoce de 3.er grado. Considere usar las siguientes estrategias para apoyar a sus estudiantes mientras dividen el intervalo de 1 pie a 2 pies en 12 partes iguales: • Represente cómo dividir el intervalo en 4 partes iguales. Luego, divida cada cuarto en 3 partes iguales. O viceversa: divida en tercios y, luego, cada uno en cuartos. • Invite a la clase a compartir cómo dividieron el intervalo. • Deslice el dedo por la recta numérica y cuente los espacios que hay entre las marcas de graduación para verificar que el intervalo de 1 pie a 2 pies representa 12 pulgadas.

Escriba (1 × 12) + 3 = 15. ¿Cómo representa la ecuación la conversión de la unidad mixta?

1 × 12 representa la conversión de 1 pie a pulgadas. Podemos multiplicar el número de pies por el número de pulgadas que hay en 1 pie para calcular el número de pulgadas. El + 3 representa la suma de las 3 pulgadas adicionales porque el collar mide 1 pie + 3 pulgadas de largo. Escriba 4 yardas 2 pies = pies. Invite a la clase a trabajar en parejas para convertir las unidades mixtas de yardas y pies a pies. La clase puede dibujar una recta numérica o escribir una ecuación. Seleccione algunas parejas para que compartan su trabajo con la clase. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para convertir unidades mixtas de medidas de longitud. Escriba 12 yardas 1 pie − 10 yardas 2 pies =

¿En qué se diferencia este problema de las conversiones de unidades mixtas que acabamos de hacer?

Nota para la enseñanza La recta numérica es un modelo flexible que la clase puede dibujar para convertir unidades de medida mixtas. Permítales usar la recta numérica tanto como necesiten para convertir las unidades mixtas de forma eficiente.

0 yd

1 yd

2 yd

3 yd

4 yd

5 yd

0 pies 3 pies 6 pies 9 pies 12 pies 15 pies

4 yd

5 yd

12 pies 15 pies

Hay unidades mixtas, pero también debemos restar. © Great Minds PBC

323

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17 Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar la diferencia. Pensamos en restar unidades semejantes, pero luego vimos que necesitamos más pies para restar

2 pies. Podemos expresar el total y la parte como pies y, luego, restar.

Podemos usar el método de flechas para restar o podemos comenzar con la parte y usar el método de flechas para contar hacia arriba hasta el total. Sabemos que 1 yarda = 3 pies, entonces podemos expresar 12 yardas y 1 pie como 11 yardas y 4 pies. Luego, podemos restar unidades semejantes. Invite a la clase a seleccionar una estrategia y a hallar la diferencia. ¿Cuánto es 12 yardas y 1 pie − 10 yardas y 2 pies? 1 yarda y 2 pies 5 pies

10 yd 2 pies

+ 1 pie

11 yd

+ 1 yd

12 yd

+ 1 pie

12 yd 1 pie

12 yardas 1 pie – 10 yardas 2 pies = 1 yarda 2 pies

Use un proceso similar para hallar 4 pies y 7 pulgadas + 3 pies y 8 pulgadas. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para sumar y restar unidades mixtas de medidas de longitud.

4 pies 7 pulgadas + 3 pies 8 pulgadas = 7 pies 15 pulgadas 1 pie 3 pulg = 8 pies 3 pulgadas

324

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Expresar las medidas de longitud en términos de unidades más pequeñas Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre la expresión de las medidas de longitud del sistema inglés en términos de unidades más pequeñas. ¿Cómo se relacionan las yardas, los pies y las pulgadas? Todas son unidades de longitud del sistema inglés.

1 yarda = 3 pies 1 pie = 12 pulgadas ¿Cómo podemos convertir medidas con unidades de longitud más grandes a medidas con unidades de longitud más pequeñas? Podemos dibujar una recta numérica para representar ambas unidades de medida. La recta numérica nos ayuda a convertir porque las medidas ubicadas en el mismo punto son iguales. Podemos dibujar tablas de conversión. Para completarlas, podemos sumar cada vez, contar salteado o multiplicar. Podemos multiplicar 3 por el número de yardas para calcular el número de pies. O podemos multiplicar 12 por el número de pies para calcular el número de pulgadas. Podemos multiplicar y sumar para convertir unidades de medida mixtas.

325

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

4. ¿Cuántas pulgadas hay en 3 pies?

3 pies Completa el enunciado y las ecuaciones. 1. 1 pulg

1 pie es

veces tan largo como 1 pulgada.

1 pie =

× 1 pulg

1 pie =

pulgadas

0 pulg Hay

1 pie

1 yarda es 1 yd =

3 3

1 yarda =

pulg

veces tan larga como 1 pie.

pies Hay

3. ¿Cuántos pies hay en 4 yardas?

4 yd Hay

3 pies

pies

6 yd

15 pies

18 pies

pies

pies en 9 yardas.

6. ¿Cuántas pulgadas hay en 8 pies?

Completa los espacios en la recta numérica. Luego, completa el enunciado.

0 pies

5 yd

× 1 pie

1 yd

326

pulg

5. ¿Cuántos pies hay en 9 yardas?

1 pie

Hay

12 pulg

pulgadas en 3 pies.

5 pies

6 pies

pies

60 pulg

72 pulg

pulg

pulgadas en 8 pies.

pies

pies en 4 yardas. 119

120

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

11. ¿Cuántas pulgadas hay en 2 pies y 7 pulgadas?

Completa las tablas de conversión. 7.

Pies

Pulgadas

108

Yardas

Pies

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 17

Hay

Convierte.

12. 2 yd 1 pie =

9. Un tren de juguete mide 3 pies de largo. Escribe la longitud del tren de juguete en pulgadas.

1 pie

pies

12 pulg

pulg

pulgadas en 2 pies y 7 pulgadas.

14. 3 pies 10 pulg =

36 pulgadas

pies

pulg

Suma o resta.

16. 13 yd 1 pie + 2 yd 1 pie = 15 yd 2 pies

Completa los espacios en la recta numérica. Luego, completa el enunciado.

13.

212

pies = 70 yd 2 pies

15.

125

pulg = 10 pies 5 pulg

17. 7 pies 4 pulg − 9 pulg = 6 pies 7 pulg

10. ¿Cuántos pies hay en 3 yardas y 2 pies?

Hay

0 yd

1 yd

0 pies

3 pies

pies

18. Una serpiente mide 3 pies y 2 pulgadas de largo. Un lagarto mide 2 pies y 10 pulgadas de largo. ¿Cuánto más larga es la serpiente que el lagarto?

pies en 3 yardas y 2 pies.

La serpiente es 4 pulgadas más larga que el lagarto.

GRUPO DE PROBLEMAS

121

122

GRUPO DE PROBLEMAS

327

LECCIÓN 18

Investigar y usar fórmulas para el perímetro de un rectángulo

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

Escribe una ecuación para hallar el perímetro del rectángulo.

8 pies

Vistazo a la lección La clase halla el perímetro de un rectángulo cuando se dan dos longitudes de los lados y genera e investiga fórmulas para el perímetro. Cuando se da el perímetro de un rectángulo y la longitud de un lado, hallan la longitud del lado desconocida. La clase resuelve problemas verbales sobre el perímetro.

Preguntas clave • ¿Qué medidas se necesitan para hallar el perímetro de un rectángulo?

6 pies

• ¿Por qué se pueden usar distintas fórmulas para hallar el perímetro de un rectángulo? P = 2 × (6 + 8) El perímetro es

Criterio de logro académico

pies.

4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. (4.MD.A.3)

129

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Tres fórmulas para hallar el perímetro

Estudiantes • ninguno

• Longitud del lado desconocida • Problema verbal sobre el perímetro • Grupo de problemas

Concluir 10 min

329

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Fluidez

Respuesta a coro: Factor desconocido La clase determina el factor desconocido y, luego, dice la ecuación para adquirir fluidez con la relación de 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 10 ×

= 10

¿Cuál es el factor desconocido?

1 Muestre la respuesta.

10 ×

= 10

10 ×

100

= 1,000

Cuando dé la señal, digan la ecuación completa. ¿Comenzamos?

10 × 1 = 10 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

330

10 ×

= 30

10 ×

= 100

10 ×

700

= 7,000

10 × 1,000 = 10,000

10 ×

= 500

10 × 8,000 = 80,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Contar de 6 decenas en 6 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 6 decenas en unidad de 6 decenas, en formas unitaria y estándar, del 300 al 600 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de seis en seis del 30 al 60. ¿Comenzamos?

30, 36, 42, 48, 54, 60 60, 54, 48, 42, 36, 30 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 6 decenas en 6 decenas, desde 30 decenas hasta 60 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 30 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

30 decenas, 36 decenas…, 54 decenas, 60 decenas 60 decenas, 54 decenas…, 36 decenas, 30 decenas

30 decenas 36 decenas 42 decenas 48 decenas 54 decenas 60 decenas

360

420

480

540

600

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 6 decenas en 6 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 300. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

300, 360, 420, 480, 540, 600 600, 540, 480, 420, 360, 300

Intercambio con la pizarra blanca: Hallar el perímetro y el área La clase halla el perímetro y el área de un rectángulo como preparación para generar e investigar fórmulas para el perímetro de un rectángulo. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el rectángulo de 2 por 2. Escriban el perímetro del rectángulo. © Great Minds PBC

331

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Muestre la respuesta. Escriban el área del rectángulo. Muestre la respuesta.

Perímetro: 8 unidades Área: 4 unidades cuadradas

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Perímetro: 10 unidades Área: 6 unidades cuadradas

Perímetro: 10 unidades Área: 4 unidades cuadradas

Presentar

Perímetro: 12 unidades Área: 9 unidades cuadradas

Perímetro: 16 unidades Perímetro: 16 unidades Área: 15 unidades cuadradas Área: 16 unidades cuadradas

La clase determina la distancia alrededor de un campo de futbol. Muestre la imagen del campo de futbol y presente el problema. Un equipo de futbol entra en calor dando vueltas alrededor del borde del campo de futbol. ¿Qué distancia corren en 1 vuelta alrededor del campo? Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar la distancia alrededor del campo de futbol. Recorra el salón de clases y seleccione estudiantes para que compartan su razonamiento con todo el grupo.

100 m

50 m

Podríamos sumar las longitudes de todos los lados. Podríamos hallar 50 + 50 y 100 + 100. Luego, podríamos sumar los resultados de las dos sumas.

332

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Pida a sus estudiantes que hallen la distancia alrededor del campo. ¿Cómo hallaron la distancia alrededor del campo con solo dos lados rotulados? Sabíamos que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud, entonces había dos lados que eran de 50 metros y dos lados que eran de 100 metros. ¿Cómo hallaron la distancia alrededor del campo? Hallamos 50 metros + 100 metros + 50 metros + 100 metros y obtuvimos 300 metros. Sabíamos que los dos lados más pequeños del campo sumaban 100 metros, entonces contamos

100 metros 3 veces y obtuvimos 300 metros.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las formas eficientes que podrían usar para hallar la distancia alrededor del campo. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos fórmulas para hallar el perímetro de un rectángulo.

Aprender

Tres fórmulas para hallar el perímetro La clase genera tres fórmulas diferentes para el perímetro de un rectángulo. Abra la actividad digital interactiva de Determinar las longitudes de los lados de los rectángulos. Muestre un rectángulo con longitudes de los lados de 7 unidades y 4 unidades.

4 unidades 7 unidades

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que saben acerca del rectángulo. Sé que la longitud del lado más corto es 4 unidades y el lado opuesto tiene la misma longitud, entonces también tendría 4 unidades. El lado más largo de la derecha es de 7 unidades porque tiene la misma longitud que el lado izquierdo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Perímetro es un término conocido de 3.er grado. En 3.er grado, la clase halla los perímetros de polígonos sumando las longitudes de los lados. Hallan los perímetros de círculos y figuras con curvas usando un hilo para trazar el contorno de la figura y, luego, midiendo el hilo con una regla. Considere repasar el término perímetro con la clase antes de usarlo en la lección. Trace los contornos de diferentes figuras y sume las longitudes de los lados dadas para hallar los perímetros.

333

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Señale la esquina superior derecha del rectángulo. Invite a la clase a sumar las longitudes de los lados y a decir el total a coro mientras usted recorre las longitudes de los lados con el dedo: 7, 11, 18, 22. La distancia alrededor de los lados del rectángulo es 22 unidades. ¿Cómo llamamos a la distancia alrededor de una figura? Perímetro ¿Cuál es el perímetro de este rectángulo?

22 unidades Muestre un conjunto de líneas de igual longitud que las longitudes de los lados del rectángulo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relacionan las líneas con los lados del rectángulo. Luego, organice las líneas conectándolas en orden de longitud, ancho, longitud, ancho. ¿Cómo se relaciona la línea que hicimos con el rectángulo? Son todas las longitudes de los lados juntas. Tiene la misma longitud que el perímetro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si podrían organizar los lados de cualquier rectángulo para formar una línea.

Nota para la enseñanza Para el propósito de esta actividad, los segmentos de recta se describen como líneas. La clase está familiarizada con el uso de líneas en grados anteriores. Las definiciones formales de geometría de recta y segmento de recta se presentan en el módulo 6.

¿Qué ecuación representa la longitud de la línea, o el perímetro? ¿Cómo lo saben?

4 + 7 + 4 + 7 = 22. El perímetro es longitud + ancho + longitud + ancho. Escriba 22 = 4 + 7 + 4 + 7 y debajo escriba P = l + a + l + a. De manera similar a cómo obtuvimos una fórmula para el área, tenemos una fórmula para el perímetro de un rectángulo. Podemos usar la fórmula P = l + a + l + a para el perímetro de cualquier rectángulo.

334

Nota para la enseñanza Cuando lea las fórmulas en voz alta, señale las letras mientras dice las palabras perímetro, longitud y ancho para ayudar a la clase a establecer la conexión entre la palabra hablada y la letra que representa la palabra.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Reorganice las líneas de manera que las longitudes estén una al lado de la otra y los anchos también. Deje un pequeño espacio entre las longitudes y los anchos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo están organizados los lados. Las longitudes están juntas y los anchos también. Hay 2 longitudes y 2 anchos. Cierre el espacio entre las líneas. ¿La línea larga representa el perímetro del rectángulo? ¿Cómo? Sí, muestra todas las longitudes de los lados del rectángulo, pero en un orden diferente. Escriba P = 2l + 2a. La multiplicación puede ser más eficiente que la suma. Podemos usar la multiplicación para hallar el perímetro de un rectángulo con la fórmula P = 2l + 2a. Invite a la clase a usar esta fórmula para hallar el perímetro del rectángulo de 4 unidades por 7 unidades. Invite a la clase a confirmar que el perímetro es el mismo cuando se usa esta fórmula.

Nota para la enseñanza En 4.o grado, la clase usa el signo de multiplicación, ×, para mostrar la multiplicación. Es posible que no reconozcan la fórmula P = 2l + 2a como una multiplicación. Refuerce el concepto de que la fórmula representa el perímetro como el total de 2 longitudes y 2 anchos o (2 × l) + (2 × a).

Escriba 22 = (2 × 4) + (2 × 7). Reorganice las líneas para hacer 2 pares de una longitud y un ancho. Deje un pequeño espacio entre los pares. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo están organizados los lados. Hay 2 grupos de longitud y ancho. Se muestran una longitud y un ancho y otra longitud y otro ancho.

335

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Coloque los pares de líneas uno al lado del otro sin que queden espacios.

Nota para la enseñanza

¿La línea larga aún representa el perímetro del rectángulo? ¿Cómo? Sí, muestra 2 grupos de la longitud y el ancho.

Considere hacer un afiche de referencia para las fórmulas del perímetro.

Escriba P = 2 × (l + a). Otra manera de usar la multiplicación para hallar el perímetro de un rectángulo es con la fórmula P = 2 × (l + a). Invite a la clase a usar la fórmula P = 2 × (l + a) para hallar el perímetro del rectángulo de 4 unidades por 7 unidades. Pida a la clase que confirme que el perímetro es el mismo cuando se usa esta fórmula. Escriba 22 = 2 × (4 + 7). Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre las tres fórmulas. Todas las fórmulas nos ayudan a hallar el total de los 4 lados del rectángulo. Nos ayudan a hallar el total de diferentes maneras. En una de las fórmulas, duplicamos la suma de la longitud y el ancho. En una de las fórmulas, duplicamos la longitud y el ancho y, luego, hallamos su suma. En la otra fórmula, hallamos la suma de todas las longitudes de los lados. Las fórmulas P = 2 × (l + a) y P = 2l + 2a me recuerdan a la propiedad distributiva, pero la fórmula P = l + a + l + a me recuerda a la suma repetida. Muestre la imagen del rectángulo de 12 cm por 23 cm e invite a la clase a escribir una ecuación basada en una de las fórmulas del perímetro y a hallar el perímetro del rectángulo. Invite a dos o tres estudiantes a compartir sus ecuaciones y perímetros. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden hallar el perímetro del rectángulo usando la multiplicación.

336

DUA: Representación Para ayudar a sus estudiantes a relacionar las medidas de los lados con la fórmula, considere usar un código de colores en el rectángulo y en cada fórmula.

23 cm 12 cm

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Longitud del lado desconocida La clase halla la longitud del lado desconocida de un rectángulo cuando se les da el perímetro y la longitud de un lado. El perímetro es 70 m. Muestre la imagen del rectángulo con la longitud del lado de 22 metros.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar lo que observan y se preguntan sobre el problema. Observo que se indica la longitud de un lado y el perímetro. Me pregunto cómo podremos hallar la longitud del lado desconocida.

Diferenciación: Apoyo

22 m

Invite a la clase a hallar la longitud del lado desconocida y a comprobar su trabajo. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las estrategias que cada estudiante seleccionó para hallar la longitud del lado desconocida y qué razonamiento hizo sobre la fórmula para el perímetro.

Es posible que haya estudiantes que necesiten más apoyo para hallar la longitud del lado desconocida. Mientras las parejas de estudiantes trabajan, considere guiar a sus estudiantes en la creación de un problema de sumando desconocido para hallar la suma de las longitudes de los lados desconocidas.

70 = 22 + 22 + ______

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas. Usar P = l + a + l + a (Método de James) ¿Qué hiciste para hallar la longitud del lado desconocida, James? Conocía la fórmula P = l + a + l + a y la longitud de un lado. Sumé 22 y 22 y obtuve 44 y, luego, resté 44 de 70 y obtuve 26. Sabía que 26 era el doble de la longitud del lado más corto, entonces dividí 26 entre 2 y obtuve 13.

El perímetro es 70 m. hm

22 m

h + 22 + h + 22 = 70 70 – 44 = 26 26 ÷ 2 = 13 h = 13 Comprobación: 13 + 22 + 13 + 22 = 70 35 + 35 = 70

337

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 ¿Dónde ven la fórmula que representa el perímetro en el trabajo de James? Escribió una oración de suma, que es la fórmula para el perímetro. Luego, usó la fórmula para comprobar su trabajo y halló longitud + ancho + longitud + ancho. Usar P = 2 × (l + a) (Método de Robin) ¿Por qué elegiste dividir 70 entre 2 al principio, Robin? Primero dividí 70 entre 2 porque sabía que la mitad del perímetro es 22 más un número desconocido. ¿Qué hay de diferente en que Robin haya dividido al principio de su trabajo? En lugar de pensar en 70, solo tenía que pensar en 35, que es 1 longitud más 1 ancho. Sabía que 1 longitud era 22, entonces pudo restar 22 de 35 para hallar la longitud del lado desconocida.

El perímetro es 70 m. hm

22 m

70 ÷ 2 = 35 35 – 22 = 13 h = 13 Comprobación: 70 = 2 × ( 13 + 22 22)) 70 = 2 × 35

¿Dónde ven la fórmula que representa el perímetro en el trabajo de Robin? Veo 70 = 2 × (13 + 22) en el trabajo de Robin. Robin sumó la longitud y el ancho, 13 y 22, y, luego, duplicó el resultado de la suma y obtuvo 70. Usó la fórmula del perímetro para comprobar su trabajo.

El perímetro es 62 yd.

Muestre la imagen del rectángulo con una longitud del lado de 17 yardas. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar la longitud del lado desconocida. Invite a las parejas a elegir una de las estrategias que comentaron para hallar la longitud del lado desconocida. Recorra el salón de clases y proporcione apoyo a las parejas mientras trabajan. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con todo el grupo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la fórmula del perímetro les ayuda a hallar una longitud del lado desconocida.

c yd

17 yd

DUA: Acción y expresión Para apoyar a sus estudiantes en la planificación y elaboración de estrategias, considere hacer preguntas como las siguientes: • ¿Qué longitudes de los lados conocen? • ¿Qué longitudes de los lados necesitan hallar? • ¿Cómo pueden usar la fórmula del perímetro para comprobar su trabajo?

338

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Problema verbal sobre el perímetro La clase resuelve un problema verbal sobre el perímetro. Muestre la imagen del corral y presente el problema. Un granjero quiere colocar una cerca alrededor de una sección rectangular del corral para su caballo. ¿Cuántos pies de cerca necesita?

105 pies 66 pies

Usemos un rectángulo para representar las longitudes de los lados en el problema. Invite a la clase a dibujar un rectángulo y a rotularlo para representar el problema. ¿Qué información queremos hallar? Queremos hallar la distancia alrededor de esta parte del corral. ¿Qué palabra describe lo que estamos intentando hallar?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando resuelve un problema verbal sobre el perímetro usando diagramas y una fórmula. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4: • ¿Qué tipo de diagrama o dibujo pueden hacer que les ayude a hallar la cantidad de cerca que necesita el granjero? • ¿Cómo pueden expresar matemáticamente la cantidad de cerca que necesita el granjero?

Perímetro Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre las fórmulas que pueden usar para hallar el perímetro. Podemos sumar todas las longitudes de los lados usando P = l + a + l + a. Podemos duplicar cada longitud del lado y, luego, sumar usando P = 2l + 2a. Podemos sumar las dos longitudes de los lados y, luego, duplicar el resultado de la suma usando

P = 2 × (l + a).

339

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18 Invite a las parejas a usar una de las fórmulas para hallar el perímetro de la sección del corral. Recorra el salón de clases y elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre cómo usar la fórmula para hallar el perímetro. Los números son demasiado grandes para multiplicarlos, entonces sumé los anchos y obtuve 132 y, luego, sumé las longitudes y obtuve 210. Luego, sumé el total de los anchos y el total de las longitudes. El perímetro total es 342 pies. Sumé la longitud y el ancho y obtuve 171. No sabía cómo multiplicar 171 por 2, entonces hallé

171 + 171. El perímetro es 342 pies.

Podemos usar la suma o la multiplicación para hallar el perímetro. ¿Qué cantidad de cerca necesita el granjero? El granjero necesita 342 pies de cerca. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los rectángulos que dibujaron les ayudaron a comprender las fórmulas para hallar el perímetro.

Grupo de problemas Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

340

Nota para la enseñanza Mientras sus estudiantes completan el Grupo de problemas, puede ser útil que consulten el afiche de referencia de las fórmulas del perímetro.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Investigar y usar fórmulas para el perímetro de un rectángulo Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo hallar el perímetro de un rectángulo. ¿Qué medidas se necesitan para hallar el perímetro de un rectángulo? Necesito saber la longitud y el ancho de un rectángulo para hallar el perímetro. Si la figura es un cuadrado, solo necesito saber la medida de un lado porque la longitud de cada lado de un cuadrado es la misma. ¿Por qué se pueden usar distintas fórmulas para hallar el perímetro de un rectángulo? En cada fórmula se halla la suma de las longitudes de los lados, pero de diferentes maneras, a veces sumando y a veces multiplicando.

341

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

Halla la longitud del lado desconocida. Muestra tu estrategia y completa el enunciado. 5. El perímetro es 40 pies.

Escribe una ecuación para hallar el perímetro del rectángulo. Completa el enunciado.

27 pulg

6. El perímetro es 72 pulgadas.

c pies

r pulg

8 pies

9 pulg 6 pies 2 pies

7 pulg

La longitud del lado desconocida es 12 pies.

P = 2 × (l + a) P=

La longitud del lado desconocida 9 pulgadas. es

P = 2 × (l + a)

2 × (6 + 2)

P = 2 × (9 + 7) 16

El perímetro es

pies.

El perímetro es

pulgadas.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

7. El ancho de un afiche cuadrado es 36 pulgadas. ¿Cuál es el perímetro del afiche?

20 pulg

15 yd

36 × 4 = 144 El perímetro del afiche es 144 pulgadas.

17 pulg

8 yd

P = 2 × (20 + 17)

P = 2 × (15 + 8) El perímetro es

342

yardas.

El perímetro es

pulgadas.

125

126

GRUPO DE PROBLEMAS

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

8. Una cancha de basquetbol rectangular mide 50 pies de ancho. El perímetro de la cancha es 288 pies.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 18

10. María y Gabe hallan el perímetro del mismo rectángulo. ¿Quién cometió un error? ¿Cómo lo sabes?

24 pies

¿Cuál es la longitud de la cancha de basquetbol?

50 + 50 = 100

8 pies

288 − 100 = 188 188 ÷ 2 = 94

Método de María

P = 2 × ( 24 + 8) = 2 × 32 = 64 El perímetro es 64 pies.

La longitud de la cancha de basquetbol es 94 pies.

Método de Gabe

P = 24 × 8 = (20 × 8) + (4 × 8) = 160 + 32 = 192 El perímetro es 192 pies.

Gabe cometió un error porque multiplicó la longitud por el ancho del rectángulo en lugar de sumar la longitud y el ancho del rectángulo y, luego, multiplicar la suma por 2.

9. Una escuela quiere colocar una cerca alrededor de un patio de recreo rectangular. El patio de recreo mide 12 yardas de ancho. El patio de recreo es 3 veces tan largo como es de ancho. a. ¿Cuál es la longitud del patio de recreo?

3 × 12 = 36 La longitud del patio de recreo es 36 yardas.

b. Para colocar una cerca alrededor del patio de recreo, ¿cuántas yardas de cerca necesita la escuela?

2 × (36 + 12) = 96 La escuela necesita 96 yardas de cerca.

GRUPO DE PROBLEMAS

127

128

GRUPO DE PROBLEMAS

343

LECCIÓN 19

Aplicar las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

Una hoja de papel rectangular tiene un área de 88 pulgadas cuadradas. La hoja mide 8 pulgadas de ancho. a. ¿Cuál es la longitud de la hoja?

Vistazo a la lección La clase usa la longitud y el ancho de un rectángulo para hallar el área y el perímetro. Usan el área y el ancho de un rectángulo para hallar la longitud y convierten las unidades en el proceso. La clase usa el área y el perímetro de un rectángulo dado para hallar la longitud y el ancho del rectángulo.

Pregunta clave

88 ÷ 8 = 11 La longitud de la hoja es 11 pulgadas.

• ¿Cómo pueden usar las fórmulas del área y del perímetro de un rectángulo para hallar las longitudes de los lados desconocidas?

Criterio de logro académico

b. ¿Cuál es el perímetro de la hoja?

4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. (4.MD.A.3)

2 × (8 + 11) = 38 El perímetro de la hoja es 38 pulgadas.

141

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • Hallar el área y el perímetro • Hallar la longitud de un rectángulo • Hallar la longitud y el ancho de un rectángulo a partir del área y el perímetro

Estudiantes

• Prepare 2 lápices de diferentes colores por estudiante.

• Práctica veloz: Factor desconocido (en el libro para estudiantes) • lápices de colores (2)

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

345

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Fluidez

Práctica veloz: Factor desconocido 2 Materiales: E) Práctica veloz: Factor desconocido EUREKA MATH

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Factor desconocido

La clase determina el factor desconocido para desarrollar la comprensión de la relación 10 veces una cantidad, aprendida en el módulo 1.

Práctica veloz Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. Escribe el factor desconocido. 1.

10 ×

= 40

10 ×

= 700

10 ×

= 3,000

300

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

346

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? • ¿Qué estrategia podrían usar para los problemas 22 a 28?

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 60 en 60 desde el 0 hasta el 600 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 6 decenas en 6 decenas desde 60 decenas hasta 0 decenas para la actividad de conteo de ritmo lento.

Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Celebre el progreso de sus estudiantes.

Intercambio con la pizarra blanca: Hallar el perímetro y el área La clase halla el perímetro y el área de un rectángulo como preparación para aplicar las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

347

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 Muestre el rectángulo de 1 por 3. Escriban el perímetro del rectángulo. Muestre la respuesta. Escriban el área del rectángulo. Muestre la respuesta.

Perímetro: 8 unidades Área: 3 unidades cuadradas

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Perímetro: 12 unidades Perímetro: 12 unidades Perímetro: 14 unidades Perímetro: 14 unidades Perímetro: 18 unidades Área: 8 unidades cuadradas Área: 9 unidades cuadradas Área: 10 unidades cuadradas Área: 12 unidades cuadradas Área: 18 unidades cuadradas

Presentar

La clase identifica las áreas y los perímetros de los rectángulos en imágenes de objetos del mundo real. Muestre la imagen del cantero de plantas. ¿Dónde ven un rectángulo en la imagen del cantero de plantas? El marco alrededor de la tierra y las plantas es un rectángulo. ¿Cómo pueden describir el perímetro del cantero de plantas? El perímetro está representado por el marco de madera.

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos de sus estudiantes sobre el cantero de plantas y el remolque volquete. Pregunte a sus estudiantes sobre sus experiencias trabajando en un jardín, viendo canteros o macetas y las figuras que observaron. Pregunte a sus estudiantes sobre los diferentes tipos de remolques que han visto y sus usos. Considere mostrar imágenes adicionales de canteros de plantas y remolques volquetes si la clase no está familiarizada con los contextos.

348

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 ¿Cómo pueden describir el área del cantero de plantas? El área está representada por la parte interior, donde está la tierra. ¿Qué necesitaríamos saber para hallar el perímetro del cantero de plantas? Necesitaríamos saber la longitud y el ancho de los bordes exteriores del marco. Muestre la imagen del remolque volquete. ¿Dónde ven un rectángulo en esta imagen de un remolque volquete? La parte inferior del remolque forma un rectángulo. Los lados del remolque forman un rectángulo. ¿Cómo está representado el perímetro del remolque volquete? El perímetro está representado por los lados del remolque. ¿Cómo está representada el área del remolque volquete? El área está representada por la parte inferior, o la base, del interior del remolque. ¿Qué necesitaríamos saber para hallar el área o el perímetro del remolque volquete? Necesitaríamos saber la longitud y el ancho de la base del remolque. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos las fórmulas del área y del perímetro para hallar el área, el perímetro, la longitud y el ancho de un rectángulo.

349

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Aprender

Hallar el área y el perímetro Materiales: E) Lápices de colores

La clase usa la longitud y el ancho de un rectángulo para hallar el área y el perímetro. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y lea a coro el problema con la clase. ¿Qué imagen de las que acabamos de ver está relacionada con este problema? La imagen del cantero de plantas en el jardín rectangular. Dé a las parejas 1 minuto para completar la parte (a). 1. Un cantero de plantas rectangular mide 4 pies de ancho. Es 3 veces tan largo como es de ancho. a. Dibuja un rectángulo para representar el cantero. Rotula las longitudes de los lados.

12 pies 4 pies b. ¿Son suficientes 40 pies de madera para construir un marco para el cantero de plantas? ¿Cómo lo sabes? Sí. 40 pies de madera son suficientes porque el perímetro es 32 pies. c. ¿Cuál es el área del cantero de plantas?

4 × 12 = 48

El área del cantero de plantas es 48 pies cuadrados.

350

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 ¿Qué longitudes de los lados rotularon en el rectángulo que dibujaron? ¿Por qué? Rotulé el ancho 4 pies y la longitud 12 pies. Rotulé la longitud 12 pies porque la longitud es 3 veces tan larga como el ancho de 4 pies. 3 × 4 = 12 Relean la parte (b). ¿En qué atributo del rectángulo tienen que pensar para responder la parte (b)? ¿Cómo lo saben? Tenemos que pensar en el perímetro porque el marco rodeará los lados del rectángulo. Si conocemos el perímetro, sabremos cuánta madera se necesita para el marco. Invite a la clase a usar un lápiz de color para trazar el perímetro del rectángulo que dibujaron y a usar un lápiz de otro color para sombrear el área del rectángulo. Dé a las parejas 3 minutos para completar las partes (b) y (c).

12 pies 4 pies

Nota para la enseñanza La clase puede reconocer que la madera que rodea el exterior del cantero de plantas tiene un perímetro más grande que el perímetro de la zona de tierra. Considere hacer un dibujo para mostrar cómo se une la madera y, luego, razone que, aunque se necesite más, hay suficiente para el marco del cantero de plantas, ya que hay 8 pies adicionales.

¿Son suficientes 40 pies de madera para construir un marco? ¿Cómo lo saben? Son suficientes porque el perímetro es 32 pies. Hay suficiente madera. La suma de la longitud y el ancho es 16 pies. Puedo duplicar eso para hallar el perímetro. Sé que el perímetro es menor que 40 pies porque 2 × 20 = 40 y 16 es menor que 20. ¿Cuál es el área del cantero de plantas?

48 pies cuadrados Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre hallar el área y el perímetro de un rectángulo. Usamos la longitud y el ancho del rectángulo para hallar el área y el perímetro. Para hallar el área, multiplicamos la longitud y el ancho del rectángulo. Para hallar el perímetro, sumamos las longitudes de los cuatro lados del rectángulo.

351

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Hallar la longitud de un rectángulo La clase convierte unidades y usa la fórmula del área para hallar la longitud desconocida de un rectángulo cuando se conocen el área y el ancho. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea a coro el problema con la clase. 2. La base rectangular de un remolque volquete tiene un área de 84 pies cuadrados. El ancho del remolque es 2 yardas. ¿Cuál es la longitud del remolque en pies?

6 pies

10 pies

4 pies

60 pies cuad.

24 pies cuad.

6 × l = 84 l = 14 La longitud del remolque es 14 pies. ¿Qué información conocemos del problema? Sabemos que la base del remolque tiene forma de rectángulo. El área de la base del remolque es 84 pies cuadrados. El ancho de la base del remolque es 2 yardas. ¿Qué información se desconoce en el problema? El número desconocido es la longitud de la base del remolque. ¿Qué observan acerca de las medidas dadas en el problema? La unidad del área es pies cuadrados. La unidad del ancho es yardas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que deben hacer con las medidas antes de resolver el problema. Las medidas están en unidades diferentes, entonces debemos expresarlas con otro nombre para que tengan la misma unidad. Podemos expresar las yardas como pies para poder hallar pies cuadrados.

352

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 Dé a las parejas 2 minutos para hallar la longitud de la base del remolque. ¿Cuál es la longitud de la base del remolque? ¿Cómo lo saben? La longitud de la base del remolque es 14 pies. Pensé en lo que podía multiplicar por 6 para obtener 84. Dibujé un modelo de área. Descompuse 84 en 60 y 24 y, luego, hallé las longitudes de los lados de los rectángulos más pequeños. 6 × 10 = 60 y 6 × 4 = 24. Luego, sumé las longitudes de los lados de los rectángulos más pequeños y obtuve 14 pies. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo tuvieron que pensar en las unidades de las medidas en el problema y por qué.

Hallar la longitud y el ancho de un rectángulo a partir del área y del perímetro La clase analiza un ejemplo de trabajo para identificar cómo, cuando se da el área y el perímetro de un rectángulo, se puede hallar la longitud y el ancho desconocidos del rectángulo. El área es 63 pies cuadrados. l × a = 63 7

Presente el problema: El área del rectángulo es 63 pies cuadrados. El perímetro es 48 pies. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estrategias podrían ayudarles a hallar la longitud y el ancho. Muestre la imagen del ejemplo de trabajo. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a analizar el trabajo.

3 × 21 = 63 9 × 7 = 63 El perímetro es 48 pies. 2 × (l (l + a) = 48 P = 2 × (9 (9 + 7) = 2 × 16 = 32 P = 32 32

P = 2 × (3 (3 + 21 21)) = 2 × 24 = 48 P = 48

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere pedir a la clase que use la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación para aclarar su comprensión del razonamiento de los demás.

La longitud es 3 pies. El ancho es 21 pies. © Great Minds PBC

353

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

Observar y preguntarse ¿Qué observan en este trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo las fórmulas del área y del perímetro en el trabajo. Observo que hay dos rectángulos diferentes con un área de 63 pies cuadrados. Observo que los perímetros de los dos rectángulos son diferentes. Me pregunto cómo pensó en la longitud y el ancho cuando el área es 63 pies cuadrados. Me pregunto por qué usó primero la fórmula del área, en lugar de usar la fórmula del perímetro, para hallar las longitudes de los lados.

Organizar ¿Qué pasos siguió el o la estudiante? ¿Cómo lo saben? Primero, usó una operación que conocía, 9 × 7, para hallar la posible longitud y ancho de un rectángulo con un área de 63 pies cuadrados y dibujó un rectángulo para representar esas longitudes de los lados. A continuación, puedo ver que usó la fórmula del perímetro con la longitud y el ancho de ese rectángulo. El perímetro no coincide con el problema, entonces lo intentó de nuevo con diferentes longitudes de los lados, 3 y 21. Eso funcionó. Puedo ver que encerró el perímetro en un círculo. Guíe la conversación para enfocarse en las fórmulas para hallar el área y el perímetro y anime a sus estudiantes a hacer conexiones que les permitan hallar las longitudes de los lados desconocidas.

Mostrar Enfoquémonos en las fórmulas para el área y el perímetro de un rectángulo. ¿Dónde ven las fórmulas en este trabajo? Veo la fórmula para el área que se usó con los dos rectángulos: se multiplica la longitud y el ancho. Veo la fórmula del perímetro que se usó en las ecuaciones: se suma la longitud y el ancho y, luego, se duplica la suma.

Sintetizar ¿Por qué son útiles las fórmulas del área y del perímetro en el ejemplo de trabajo? Las fórmulas son útiles porque ambas incluyen la longitud y el ancho de un rectángulo. Podemos usar ambas fórmulas como ayuda para hallar la medida de un lado. Las fórmulas nos ayudan a organizar el trabajo del problema y a mostrar el área o el perímetro.

354

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Comprender ¿Por qué deberíamos usar las fórmulas para el área y el perímetro cuando intentamos hallar las longitudes de los lados desconocidas? ¿Qué muestra el ejemplo de trabajo? Las fórmulas nos ayudan a usar la relación entre las longitudes de los lados y el perímetro y las longitudes de los lados y el área. Las fórmulas siempre funcionan. En el ejemplo de trabajo se muestra que la o el estudiante intentó hacer un rectángulo con un área de 63 y, luego, se dio cuenta de que la suma de las longitudes de los lados no era 48. Como la primera longitud y el ancho no coincidían con el perímetro, el o la estudiante lo intentó de nuevo usando las mismas fórmulas. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo que se describe en el problema? La longitud es 3 pies y el ancho es 21 pies. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para resolver el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. 3. El área del rectángulo es 44 pies cuadrados. El perímetro es 30 pies. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del rectángulo?

l pies a pies 2 × (l + a) = 30 30 ÷ 2 = 15 15 = 11 + 4 11 × 4 = 44 La longitud del rectángulo es 11 pies. El ancho del rectángulo es 4 pies.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando se le proporciona el área y el perímetro de un rectángulo y debe hallar la longitud y el ancho del rectángulo. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2: • ¿Qué les indica el área de un rectángulo sobre la longitud y el ancho de este? • ¿Su solución tiene sentido en términos matemáticos?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar las fórmulas del área y del perímetro de un rectángulo para hallar las longitudes de los lados desconocidas.

355

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Aplicar las fórmulas del área y del perímetro para resolver problemas Guíe una conversación acerca de las fórmulas para el área y el perímetro de un rectángulo. Muestre la pintura Composición en rojo, amarillo, negro, gris y azul (Composition with Large Red Plane, Yellow, Black, Gray and Blue), 1921, de Piet Mondrian. Esta pintura se llama Composición en rojo, amarillo, negro, gris y azul. El artista que la pintó se llama Piet Mondrian. Varias de sus pinturas más famosas, incluida esta, usan líneas rectas y negras para trazar el contorno de rectángulos y cuadrados coloreados en negro, blanco, gris y los colores primarios, rojo, azul y amarillo. Use las siguientes preguntas para que la clase se interese en la obra de arte: • ¿Qué observan acerca de la pintura? • ¿Qué se preguntan? El artista estaba interesado en pintar una versión simplificada de lo que veía en el mundo real. Para muchas de sus pinturas, observaba un paisaje y simplificaba lo que veía en figuras y colores básicos. ¿Qué aspecto podría haber tenido el paisaje que simplificó en esta pintura? Podría haber habido campos de flores de diferentes colores. Podría haber habido edificios de diferentes tamaños y colores.

356

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19 Guíe a sus estudiantes para que reflexionen acerca de la pintura en función de sus experiencias con el área y el perímetro. Sabemos que el artista usó rectángulos y cuadrados para simplificar el paisaje. Acordemos que la figura roja y la negra que hay debajo son cuadrados y las otras figuras que podemos ver son rectángulos. Acordemos también que la longitud del lado del cuadrado rojo es el doble de la longitud del lado del cuadrado negro. ¿Qué pensamientos sobre el área y el perímetro se les ocurren al ver esta obra de arte? El área del rectángulo amarillo parece tener el mismo tamaño que el área combinada de los dos rectángulos grises que tiene debajo. El cuadrado rojo tiene el perímetro más grande de todos los rectángulos y cuadrados. Los dos rectángulos azules probablemente tienen la misma área. Si conozco las longitudes de los lados superiores del cuadrado negro y del rectángulo azul que está debajo del cuadrado rojo, puedo hallar el perímetro del cuadrado rojo. ¿Cómo pueden usar las fórmulas del área y del perímetro de un rectángulo para hallar las longitudes de los lados desconocidas? Podemos hallar la longitud del lado desconocida si nos dan el área y el perímetro. Podemos usar las fórmulas juntas, ya que ambas usan la longitud y el ancho. Si conocemos el perímetro del rectángulo azul, podemos hallar el área y el perímetro del cuadrado negro. Si hay tiempo suficiente, use las siguientes preguntas para que la clase profundice la exploración de la obra de arte: • ¿Cómo se equilibran las figuras o los colores de las diferentes partes de la pintura? • ¿Qué figura ven primero cuando miran la pintura? ¿Qué miran a continuación? ¿Por qué creen que es así? • ¿Cómo podrían representar el patio de recreo de nuestra escuela (u otro paisaje conocido) con este estilo?

357

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Factor desconocido

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe el factor desconocido.

10 ×

= 10

23.

10 ×

= 30

24.

10 ×

= 50

25.

10 ×

= 10

23.

= 1,000

100

10 ×

= 20

24.

10 ×

= 1,000

100

= 10,000

1,000

10 ×

= 40

25.

10 ×

= 10,000

1,000

= 100

10 ×

= 100

10 ×

= 70

26.

× 10 = 300

10 ×

= 60

26.

× 10 = 200

10 ×

= 100

27.

× 10 = 4,000

400

10 ×

= 100

27.

× 10 = 3,000

300

10 ×

= 400

28.

× 10 = 50,000

5,000

10 ×

= 300

28.

× 10 = 40,000

4,000

10 ×

= 600

29.

= 600

10 ×

= 500

29.

= 500

10 ×

= 800

30.

10 ×

= 7,000

700

10 ×

= 700

30.

10 ×

= 6,000

600

10 ×

= 1,000

100

31.

10 ×

= 80,000

8,000

10 ×

= 1,000

100

31.

10 ×

= 70,000

7,000

10.

10 ×

= 5,000

500

32.

× 10 = 900

10.

10 ×

= 4,000

400

32.

× 10 = 800

11.

10 ×

= 7,000

700

33.

× 10 = 8,000

800

11.

10 ×

= 6,000

600

33.

× 10 = 7,000

700

12.

10 ×

= 9,000

900

34.

× 10 = 90,000

9,000

12.

10 ×

= 8,000

800

34.

× 10 = 80,000

8,000

13.

10 ×

= 20

35.

10 ×

= 40

13.

10 ×

= 20

35.

10 ×

= 30

14.

10 ×

= 40

36.

10 ×

= 30

14.

10 ×

= 30

36.

10 ×

= 20

× 10 = 800

15.

10 ×

= 50

37.

= 6,000

600

16.

10 ×

= 200

38.

15.

10 ×

= 60

37.

16.

10 ×

= 300

38.

17.

10 ×

= 500

39.

18.

10 ×

= 700

40.

19.

10 ×

= 2,000

200

41.

20.

10 ×

= 4,000

400

42.

21.

10 ×

= 6,000

600

43.

22.

10 ×

= 9,000

900

44.

132

358

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Factor desconocido

10 ×

× 10 = 40,000

4,000

17.

10 ×

= 400

39.

= 200,000

20,000

18.

10 ×

= 600

40.

× 10 = 30,000

3,000

19.

10 ×

= 2,000

200

41.

= 500,000

50,000

20.

10 ×

= 3,000

300

42.

× 10 = 70,000

7,000

21.

10 ×

= 5,000

500

43.

= 900,000

90,000

22.

10 ×

= 8,000

800

44.

134

10 ×

× 10 = 700

= 5,000

500

× 10 = 30,000

3,000

= 100,000

10,000

× 10 = 20,000

2,000

= 400,000

40,000

× 10 = 60,000

6,000

= 800,000

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

Nombre

Fecha

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

3. Pablo hace un dibujo que tiene un área de 108 pulgadas cuadradas. El dibujo mide 9 pulgadas de ancho. a. ¿Cuál es la longitud del dibujo?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

108 ÷ 9 = 12

1. Una alfombra rectangular tiene un ancho de 8 pies y una longitud de 14 pies.

La longitud del dibujo es 12 pulgadas.

14 pies 8 pies b. ¿Cuál es el perímetro del dibujo?

2 × (12 + 9) = 42

a. ¿Cuál es el área de la alfombra?

El perímetro del dibujo es 42 pulgadas.

14 × 8 = 112 El área de la alfombra es 112 pies cuadrados. b. ¿Cuál es el perímetro de la alfombra?

2 × (14 + 8) = 44 El perímetro de la alfombra es 44 pies.

4. Un pórtico rectangular mide 2 yardas y 1 pie de ancho y 3 yardas de largo. a. ¿Cuál es el área del pórtico en pies cuadrados?

2. Luke hace una manta rectangular que es 2 veces tan larga como es de ancha. La manta mide 4 pies de ancho.

2 yd 1 pie = 7 pies 3 yd = 9 pies

a. ¿Cuál es la longitud de la manta?

9 × 7 = 63

2×4=8

El área del pórtico es 63 pies cuadrados.

La longitud de la manta es 8 pies. b. ¿Cuál es el área de la manta?

8 × 4 = 32

b. ¿Cuál es el perímetro del pórtico en pies?

El área de la manta es 32 pies cuadrados.

2 × (9 + 7) = 32

c. ¿Cuál es el perímetro de la manta?

El perímetro del pórtico es 32 pies.

2 × (8 + 4) = 24 El perímetro de la manta es 24 pies.

137

138

GRUPO DE PROBLEMAS

359

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 19

5. Amy usa 38 yardas de hilo para marcar los bordes exteriores de su jardín rectangular. El jardín mide 6 yardas de ancho. a. ¿Cuál es la longitud del jardín?

6 + 6 = 12 38 − 12 = 26 26 ÷ 2 = 13 La longitud del jardín es 13 yardas.

b. ¿Cuál es el área del jardín?

13 × 6 = 78 El área del jardín es 78 yardas cuadradas.

6. Un rectángulo tiene un área de 168 pulgadas cuadradas. El perímetro del rectángulo es 62 pulgadas. ¿Puede el rectángulo tener una longitud de 21 pulgadas y un ancho de 8 pulgadas? ¿Cómo lo sabes? No, el rectángulo no puede tener una longitud de 21 pulgadas y un ancho de 8 pulgadas porque tendría un perímetro de 58 pulgadas, no de 62 pulgadas.

360

GRUPO DE PROBLEMAS

139

LECCIÓN 20

Resolver problemas verbales que involucran comparaciones multiplicativas y de suma

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Fecha

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema. 1. Una gorra cuesta $16. Una sudadera cuesta 3 veces la cantidad que cuesta la gorra. ¿Cuánto cuesta la sudadera?

16 × 3 = 48

Vistazo a la lección La clase crea un contexto para describir una comparación de suma y una comparación multiplicativa representadas por un diagrama de cinta. Resuelven problemas verbales que involucran una variedad de comparaciones multiplicativas y de suma, incluso aquellas en las cuales el número desconocido es menor que la cantidad conocida.

Preguntas clave

La sudadera cuesta $48.

• ¿De qué manera un diagrama de cinta que representa una comparación les ayuda a escribir una ecuación? • ¿Cómo saben qué tipo de comparación representa un problema verbal?

2. Una gorra cuesta $16. Una camiseta cuesta $3 más que la gorra. ¿Cuánto cuesta la camiseta?

16 + 3 = 19

Criterios de logro académico

La camiseta cuesta $19.

4.Mód2.CLA1 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación

multiplicativa usando la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito, o dividiendo decenas y unidades entre números de un dígito. (4.OA.A.2) 4.Mód2.CLA9 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas

de unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. (4.MD.A.2) 4.Mód2.CLA10 Representan las cantidades de las mediciones usando

diagramas. (4.MD.A.2) 4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. (4.MD.A.3)

147

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Crear y resolver un problema que involucra comparaciones multiplicativas y de suma

Estudiantes • ninguno

• Cantidad desconocida menor que la cantidad conocida • Comparaciones múltiples en un problema • Grupo de problemas

Concluir 10 min

363

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Descomponer totales La clase usa un vínculo numérico y un múltiplo de 10 para descomponer un total de tres dígitos de una expresión de división a fin de desarrollar fluidez con las estrategias de valor posicional al dividir. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre 124 ÷ 2.

124 ÷ 2

Escriban la expresión. ¿Cuál es el total? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

120

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

124 Muestre las ramas del vínculo numérico. Descompongan el total en dos partes que sean útiles al dividir entre 2 y completen el vínculo numérico. Muestre el vínculo numérico de ejemplo completado. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

168 ÷ 2 160

162 ÷ 3 150

364

154 ÷ 2 140

168 ÷ 4 160

159 ÷ 3 150

186 ÷ 3 180

136 ÷ 4 120

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta La clase escribe ecuaciones a fin de representar un diagrama de cinta como preparación para distinguir entre los problemas de comparación multiplicativa y de suma. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre el diagrama de cinta. ¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo. Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. La cinta A tiene una parte con un valor de 6. La cinta B tiene tres partes y cada una tiene el mismo valor que la cinta A. La letra que representa el número desconocido es el total de la cinta B. Escriban una ecuación para representar la cinta B. Usen w para representar el número desconocido.

6 Cinta A

Nota para la enseñanza

Cinta B

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, la clase puede elegir escribir 6 × 3 = w en lugar de registrar una ecuación de suma en el primer ejemplo.

6+6+6=w 18 = w

Muestre la ecuación de ejemplo. Hallen el valor del número desconocido. Muestre la respuesta.

365

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20 Repita el proceso con la siguiente secuencia: 5

d Cinta A

Cinta A Cinta B

Cinta B

Cinta A

72 9

...

Cinta B

15 ...

f grupos

c grupos

20 ÷ 4 = d 5=d

72 ÷ 9 = f 8=f

15 ÷ 5 = c 3=c

Presentar

La clase usa un diagrama de cinta para describir las longitudes de tres objetos. Muestre la imagen de los tres objetos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre cómo describirían y compararían las longitudes de los objetos. La piedra es la más corta. La concha es más larga que la piedra y casi tan larga como la piña de pino. La piña de pino es el objeto más largo. Es más larga que la piedra y la concha. Es solo un poco más larga que la concha. Muestre la imagen del diagrama de cinta con los objetos.

Piedra

Ahora, usen el diagrama de cinta para comparar la longitud de los objetos.

Concha

La longitud de la cinta de la concha es más larga que la de la cinta de la piedra. La cinta de la concha muestra dos partes; una parte es la

366

Piña de pino

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20 longitud de la cinta de la piedra y la otra parte muestra que la concha es más larga. Puedo ver la diferencia en sus longitudes. Parece que la piña de pino es 3 veces tan larga como la piedra. La cinta de la piña de pino muestra tres partes que son cada una igual a la longitud de la cinta de la piedra. La concha es más de 2 veces tan larga como la piedra, pero no llega a ser 3 veces tan larga. ¿Cómo puede la longitud de la piedra ayudarnos a comprender las longitudes de la concha y la piña de pino? Las longitudes de la concha y la piña de pino se pueden comparar con la longitud de la piedra. La cinta de la concha muestra que se agregó más longitud a la longitud de la cinta de la piedra. La cinta de la piña de pino muestra la longitud de la cinta de la piedra repetida 3 veces. ¿Cómo nos ayuda usar comparaciones cuando se describen las longitudes de los objetos? Comparar un objeto con otro nos da una forma diferente de comprender sus longitudes. Aunque no se conozca exactamente la longitud de algo, se lo puede comparar con otro objeto como ayuda para describir su longitud. Sin conocer la longitud exacta de cada objeto, ¿qué otra información les ayudaría a comparar las longitudes? Sería útil conocer la longitud de la piedra. Me gustaría saber cuánto más larga es la concha que la piedra. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos diagramas de cinta para representar diferentes tipos de comparaciones en problemas y resolverlos.

367

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Aprender

Crear y resolver un problema que involucra comparaciones multiplicativas y de suma La clase crea un contexto para representar un diagrama de cinta que muestre las relaciones multiplicativas y de suma y halla los valores desconocidos. Muestre la imagen del diagrama de cinta.

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen un contexto que puedan aplicar a los diagramas de cinta.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Dé a las parejas 2 minutos para comparar los contextos que construyen con los de otros grupos. Invite a sus estudiantes a compartir sus ideas con la clase y a explicar cómo se muestran sus contextos en el diagrama de cinta. En el contexto que creamos, usamos lápices, marcadores y crayones. La primera cinta muestra que hay 21 lápices. La segunda cinta muestra que hay 4 marcadores más que lápices. La tercera cinta muestra que la cantidad de crayones es 4 veces la cantidad de lápices.

Considere proporcionar esquemas de oración para ayudar a la clase a construir un contexto. Hay 21

Hay

más que

La cantidad de

cantidad de

. veces la

En el contexto que creamos, usamos el número de minutos que mi hermana, mi padre y yo pasamos leyendo. La primera cinta representa los minutos que leí yo. La segunda cinta representa que mi hermana leyó 4 minutos más que yo. La tercera cinta representa que mi padre leyó 4 veces la cantidad de minutos que leí yo.

368

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20 Seleccione un contexto creado por un o una estudiante y úselo a lo largo de la siguiente secuencia. Dibuje el diagrama de cinta. Rotule la primera cinta con el nombre Carla y la segunda con la palabra Hermana mientras dice lo siguiente. La primera cinta representa 21 minutos, el tiempo que leyó Carla. La segunda cinta representa el tiempo que leyó su hermana. Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación, con una letra para el número desconocido, para representar el tiempo que leyó la hermana de Carla. ¿Qué ecuación escribieron?

21 + 4 = l porque la cinta muestra 4 más que la cinta con una longitud de 21. La tercera cinta representa el tiempo que leyó el padre de Carla. Rotule la tercera cinta con la palabra Padre y pida a sus estudiantes que escriban una ecuación, con una letra para el número desconocido, para representar el tiempo que leyó el padre de Carla. ¿Qué ecuación escribieron?

4 × 21 = p porque la cinta con una longitud de 21 se usa 4 veces en la cinta del padre de Carla. Dé 2 minutos a la clase para hallar el tiempo que leyó cada persona. ¿Cuánto tiempo leyó la hermana de Carla? ¿Cómo saben que su respuesta es razonable? Leyó 25 minutos. La cinta es un poco más larga que la que representa 21 minutos. ¿Cuánto tiempo leyó el padre de Carla? ¿Cómo saben que su respuesta es razonable? Leyó 84 minutos. La cinta del padre de Carla es 4 veces tan larga como la cinta que representa 21 minutos. Eso significa que el tiempo es mucho mayor. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relacionan el contexto, las cintas y las ecuaciones.

369

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Cantidad desconocida menor que la cantidad conocida La clase dibuja un diagrama de cinta para representar una situación con una cantidad desconocida que es menor que la cantidad conocida y halla el número desconocido. Muestre el problema: El avión de papel de María recorre 15 yardas y 1 pie. Su avión de papel viaja una distancia 2 veces tan larga como la distancia del avión de papel de Shen. ¿Qué distancia recorrió el avión

DUA: Participación Considere dar más relevancia al problema cambiando los nombres por los de sus estudiantes.

de papel de Shen? Dé 1 minuto a las parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente la información conocida y desconocida del problema. ¿En qué se diferencia su diagrama de cinta de los otros diagramas de cinta que hemos visto hoy? El lanzamiento de María fue más largo, entonces tuvimos que acortar la cinta para el lanzamiento de Shen. La cinta de Shen mide la mitad de largo que la de María.

15 yd 1 pie María Shen

Conocemos la longitud de la cinta más larga. No conocemos la longitud de la cinta más corta.

La longitud del lanzamiento de María tiene unidades de medida mixtas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden hallar la longitud del lanzamiento de Shen. Necesitamos hallar la mitad de la longitud del lanzamiento de María. Tenemos que dividir la longitud del lanzamiento de María entre 2. Podemos convertir la longitud del lanzamiento de María a pies y, luego, dividir entre 2. Dé 2 minutos a las parejas para convertir la longitud del lanzamiento de María a pies y para hallar la longitud del lanzamiento de Shen. ¿Qué ecuación escribieron para hallar la longitud del lanzamiento de Shen?

46 ÷ 2 = g g × 2 = 46

370

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20 ¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Qué distancia recorrió el avión de papel de Shen?

g = 23 El avión de papel de Shen recorrió 23 pies. Pida a la clase que mantenga sus diagramas de cinta y ecuaciones a la vista, con un espacio para comenzar el siguiente problema. Muestre la siguiente parte del problema: El avión de papel de Jayla recorrió 8 pies menos que el de María. ¿Qué distancia recorrió el avión de papel de Jayla? Dé 1 minuto a las parejas para dibujar un diagrama de cinta que represente la información conocida y desconocida del problema. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian este diagrama de cinta y el anterior? El número desconocido vuelve a ser la cinta más corta. Aquí también se compara la cinta más corta con la más larga. Esta cinta es diferente porque ninguna se repite para crear la otra.

46 pies María Jayla j

8 pies

Dé 1 minuto a las parejas para que escriban una ecuación que represente el problema y averigüen la distancia que recorrió el avión de papel de Jayla. ¿Qué ecuación escribieron para hallar la distancia que recorrió el avión de papel de Jayla?

46 − 8 = j j + 8 = 46 ¿Cuál es el valor del número desconocido? ¿Qué distancia recorrió el avión de papel de Jayla?

j = 38 El avión de papel de Jayla recorrió 38 pies. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo representar y hallar una cantidad desconocida que es menor que una cantidad conocida.

371

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Comparaciones múltiples en un problema La clase representa y resuelve diversas comparaciones de un problema verbal. Forme grupos de tres estudiantes y muestre el problema:

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

El perímetro del rectángulo A es 42 metros. El perímetro del rectángulo A es 3 veces tan largo como el perímetro del rectángulo B. El perímetro del rectángulo C es 4 metros menor que el perímetro del rectángulo A. El perímetro del rectángulo D es 3 veces tan largo como el perímetro del rectángulo A. Hallen el perímetro de cada rectángulo. Dé 2 minutos a los grupos para que hallen el perímetro de los rectángulos. Pida a cada estudiante del grupo que halle el perímetro de un rectángulo diferente. Invite a sus estudiantes a compartir su trabajo con el grupo y a comentar las semejanzas y diferencias entre sus diagramas de cinta y las estrategias usadas para hallar cada perímetro. Recorra el salón de clases minetras sus estudiantes conversan y elija a un grupo para que comparta su trabajo. Guíe una conversación de toda la clase e invite al grupo a compartir su diagrama de cinta y sus ecuaciones.

372

42 m A

42 ÷ 3 = b b = 14

42 – 4 = c c = 38

3 × 42 = d d = 126

C c

Perímetros Rectángulo B 14 m Rectángulo C 38 m Rectángulo D 126 m

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve diversas comparaciones en un problema verbal. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1: • ¿Cómo piensan hallar los perímetros de los rectángulos B, C y D? • ¿Tienen sentido sus respuestas? ¿Por qué?

Diferenciación: Desafío Para desafiar a sus estudiantes, considere agregar otro paso al problema: • El perímetro del rectángulo E es 4 veces tan largo como el rectángulo C.

D 42 m d

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20 Haga preguntas que inviten a la clase a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas. ¿En qué se parece y en qué se diferencia hallar los perímetros del rectángulo B y del rectángulo D? El perímetro del rectángulo A se dividió entre 3 para hallar el perímetro del rectángulo B. El perímetro del rectángulo A se multiplicó por 3 para hallar el perímetro del rectángulo D. Se usó el 3 para hallar el perímetro de ambos rectángulos. ¿En qué se parece y en qué se diferencia hallar los perímetros de los rectángulos B y C? Los perímetros de los rectángulos B y C eran más cortos que el perímetro del rectángulo A. Usamos la división para hallar el perímetro del rectángulo B y la resta para hallar el perímetro del rectángulo C. De menor a mayor, ¿cómo ordenarían los rectángulos según sus perímetros? ¿Cómo les ayuda el diagrama de cinta? Rectángulos B, C, A, D En el diagrama de cinta, puedo ver las relaciones entre las longitudes de las cintas. Si hay tiempo suficiente, repita el proceso con un segundo problema. Una familia tiene 4 mascotas. El peso de su gata es 4 kilogramos. La gata es 2 veces tan pesada como su coneja. Su perro grande es 5 veces tan pesado como la gata. Su perro pequeño es 13 kilogramos más pesado que la gata. ¿Cuál es el peso de cada mascota? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo un diagrama de cinta puede ayudarles a interpretar y resolver un problema verbal de comparación.

373

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Resolver problemas verbales que involucran comparaciones multiplicativas y de suma Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los diferentes tipos de comparación en los problemas verbales. ¿De qué manera un diagrama de cinta que representa una comparación les ayuda a escribir una ecuación? Si el diagrama de cinta muestra partes iguales que se repiten, sé que es un problema de grupos iguales. Si el total se descompone en partes iguales, puedo usar la multiplicación o la división para hallar el número desconocido. Si una cinta es más larga o más corta que otra, y no parece haber partes iguales, sé que hay que usar la suma o la resta. Cuando se rotula la diferencia entre las dos cintas, sé que probablemente usaré la suma o la resta. ¿Cómo saben qué tipo de comparación representa un problema verbal? Tenemos que pensar en el problema, el contexto y las relaciones. Dibujar un diagrama de cinta puede ayudarnos a pensar y a ver las relaciones.

374

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

Nombre

Fecha

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

5. Usa los problemas 1 a 4 para responder las partes (a) y (b). a. ¿Qué problema representa 3 veces 18? El problema 2

Escribe una ecuación que represente el valor del número desconocido. Luego, halla el valor del número desconocido. 1.

b. ¿Qué problema representa 30 es 5 más que un número?

El problema 4

d c Ecuación:

18 + 3 = c

Ecuación:

3 × 18 = d Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

6. Un ratón pesa 34 gramos. a. Una gatita es 8 veces tan pesada como el ratón. ¿Cuánto pesa la gatita? 3.

8 × 34 = 272

La gatita pesa 272 gramos.

b. Un hámster pesa 8 gramos más que el ratón. ¿Cuánto pesa el hámster?

34 + 8 = 42 Ecuación:

30 ÷ 5 = w

Ecuación:

El hámster pesa 42 gramos.

30 − 5 = k

143

144

GRUPO DE PROBLEMAS

375

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TD ▸ Lección 20

7. El recipiente A tiene 84 mililitros de agua. a. El recipiente B tiene 27 mililitros más de agua que el recipiente A. ¿Cuántos mililitros de agua hay en el recipiente B?

84 + 27 = 111 Hay 111 mililitros de agua en el recipiente B.

b. El recipiente A tiene 6 veces la cantidad de agua que tiene el recipiente C. ¿Cuántos mililitros de agua hay en el recipiente C?

84 ÷ 6 = 14 Hay 14 mililitros de agua en el recipiente C.

8. Un escritorio mide 2 pies y 3 pulgadas de largo. a. El ancho del escritorio es 9 pulgadas menos que su longitud. ¿Cuál es el ancho del escritorio en pulgadas?

2 pies 3 pulg = 27 pulg 27 − 9 = 18 El ancho del escritorio es 18 pulgadas.

b. Una mesa es 3 veces tan larga como el escritorio. ¿Cuál es la longitud de la mesa en pulgadas?

3 × 27 = 81 La longitud de la mesa es 81 pulgadas.

376

GRUPO DE PROBLEMAS

145

Tema E Factores y múltiplos En el tema E, sus estudiantes identifican factores y múltiplos de números hasta el 100 y examinan las relaciones entre los factores y los múltiplos. Identifican factores usando operaciones de multiplicación y de división que ya conocen y la relación entre ellas. Hallan y enumeran factores de números dados e identifican pares de factores. La clase reconoce que cuando un número dado es divisible entre otro número, este es un factor del número dado. Ese conocimiento les ayuda a hallar factores de números más grandes usando la propiedad asociativa de la multiplicación para descomponer y reagrupar factores (p. ej., 3 es un factor de 48 porque 48 = 8 × 6 = 8 × (2 × 3), y 16 también es un factor porque 8 × (2 × 3) = (8 × 2) × 3 = 16 × 3). La clase usa los factores para identificar si un número es primo o compuesto. Al final del tema, luego de trabajar con múltiplos, se presenta la criba de Eratóstenes como una forma eficiente de identificar todos los números primos hasta el 100. En lugar de hallar números primos mediante la identificación de factores, la clase marca múltiplos en una tabla de cien. Los múltiplos de un número se hallan mediante el conteo salteado y el uso de la multiplicación. La clase los identifica y reconoce las relaciones entre ellos (p. ej., los múltiplos de 6 también son múltiplos de 3 y de 2). Además, determinan que un número dado es múltiplo de cada uno de sus factores. El conocimiento de los factores y los múltiplos es útil para dividir números de varios dígitos y apoya el sentido numérico de sus estudiantes en módulos posteriores; por ejemplo, cuando deben identificar fracciones equivalentes y, en grados posteriores, factorizar expresiones algebraicas. Para concluir el tema, la clase aplica lo aprendido sobre los factores y los múltiplos para hallar un término desconocido en un patrón de figuras o de números. Reconocen que pueden usar lo que saben sobre los términos anteriores en una secuencia para hallar uno posterior sin tener que enumerar todos los términos. En el módulo 3, la clase extiende el trabajo con la multiplicación y la división a números de hasta cuatro dígitos.

377

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4 ▸ M2 ▸ TE

Progresión de las lecciones Lección 21

Lección 22

Lección 23

Hallar pares de factores para los números hasta el 100 y usar los factores para identificar los números como primos o compuestos

Usar la división y la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores

Determinar si un número entero es un múltiplo de otro número

Puedo dibujar matrices como ayuda para hallar los factores de un número dado y puedo escribir los factores de menor a mayor. Identificar los pares de factores puede ayudarme a saber si encontré todos los factores. Un número primo tiene exactamente dos factores: 1 y sí mismo. Un número compuesto tiene más de dos factores. Pensando en los factores puedo determinar si un número es primo o compuesto y si una afirmación sobre estos números es verdadera o falsa.

378

Cuando se puede dividir un número dado de manera uniforme entre otro número, decimos que es divisible entre ese número y que ese número es un factor del número dado. Por ejemplo, 72 es divisible entre 8, y 8 es un factor de 72. Puedo usar las operaciones de multiplicación que conozco para hallar otros factores. Por ejemplo, 72 = 8 × 9. Puedo escribir 8 como 2 × 4 y 9 como 3 × 3. Eso me indica que 2, 3 y 4 también son factores de 72. Las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación me permiten agrupar los factores de diferentes maneras para hallar aún más factores.

Multiplicar o contar salteado por un número me ayuda a identificar múltiplos. Si un número dado es un múltiplo de otro número, este último es un factor del número dado. Por ejemplo, 15 es un múltiplo de 3, entonces 3 es un factor de 15. Puedo determinar si un número dado es un múltiplo de otro cuando, al descomponer el número dado en dos partes, ambas son múltiplos de ese número. Por ejemplo, 96 se puede descomponer en 80 y 16. Y tanto 80 como 16 son múltiplos de 8, entonces 96 también es un múltiplo de 8.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE

Lección 24

Lección 25

Lección 26

Reconocer que un número es un múltiplo de cada uno de sus factores

Explorar las propiedades de los números primos y compuestos hasta el 100 por medio de los múltiplos

Usar las relaciones dentro de un patrón para hallar un término desconocido en la secuencia

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Con mi conocimiento de múltiplos y factores, puedo explorar las relaciones entre ellos. Por ejemplo, puedo hacer una lista de números hasta el 24 y, luego, encerrar en un círculo todos aquellos que tengan a 24 como un múltiplo y darme cuenta de que todos estos números son factores de 24. Sombrear múltiplos en una tabla de cien me ayuda a hallar patrones. Puedo hallar otros factores escribiendo expresiones de dos factores como expresiones de tres factores y usando la propiedad asociativa.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Puedo identificar si cada número hasta el 100 es primo o compuesto eliminando múltiplos de una tabla de cien. Hace 2,000 años, un matemático desarrolló esta estrategia para identificar números primos y compuestos.

Parado

Suplicante

Sentado

Acostado

Los factores y los múltiplos pueden ayudarme a hallar un término desconocido en un patrón sin tener que enumerar toda la secuencia. Por ejemplo, para un patrón repetitivo que muestra a un perro parado, suplicante, sentado y acostado, sé que cada término que es un múltiplo de 4 mostrará al perro acostado y cada término que es 1 menos que un múltiplo de 4 mostrará al perro sentado. También puedo aplicar esta idea a patrones repetitivos con figuras y a secuencias de números.

379

LECCIÓN 21

Hallar pares de factores para los números hasta el 100 y usar los factores para identificar los números como primos o compuestos

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

Enumera los factores para cada número. Luego, selecciona si el número es primo o compuesto. Número

Factores

1, 7

1, 2, 3, 4, 6, 12

1, 5, 25

Primo o compuesto

Vistazo a la lección La clase halla los factores de un número creando matrices y enumerando pares de factores. Usan el número de factores para determinar si un número es primo o compuesto. En esta lección se formalizan los términos número primo y número compuesto y se presenta el término afirmar.

Preguntas clave

Primo

• ¿Cómo saben si han hallado todos los factores de un número?

Compuesto

• ¿Cómo determinan si un número es primo o compuesto?

Primo Compuesto

Criterios de logro académico

Primo Compuesto

4.Mód2.CLA2 Hallan pares de factores de números enteros dentro del rango

del 1 al 100. (4.OA.B.4)

4.Mód2.CLA4 Determinan si un número entero hasta el 100 es primo

o compuesto. (4.OA.B.4)

155

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Factores en matrices

Estudiantes • ninguno

• Números primos y compuestos • ¿Primo o compuesto? • Grupo de problemas

Concluir 10 min

381

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Multiplicar números enteros La clase multiplica un número de dos dígitos por un número de un dígito para adquirir fluidez con la multiplicación de números enteros iniciada en el tema B. Muestre 2 × 43 =

Hallen el producto y muestren sus estrategias. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

2 × 43 =

Muestre el producto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

51 × 3 = 153

3 × 26 = 78

74 × 4 = 296

Nota para la enseñanza Antes de que comiencen a trabajar, anime a la clase a pensar con flexibilidad sobre qué estrategia puede ser la más eficiente según los números presentes en el problema. Considere usar esta actividad como una oportunidad de evaluar formativamente la competencia de la clase para multiplicar un número entero de dos dígitos por un número entero de un dígito. Observe qué estrategias y modelos de valor posicional está usando la clase.

5 × 27 = 135

Respuesta a coro: Números pares e impares La clase identifica un número como par o impar como preparación para identificar pares de factores y números primos y compuestos. Muestre el número 2. ¿El 2 es un número par o impar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

382

2 Par

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Par Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 4, 1, 3, 8, 9, 10, 16, 15, 24, 27, 31.

Respuesta a coro: Factor desconocido La clase halla un factor desconocido como preparación para identificar pares de factores y números primos y compuestos. Muestre 6 = 1 ×

¿Cuál es el factor desconocido? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6=1×

6 Muestre la ecuación completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

6=2×

10 =

×1

10 =

×2

15 = 1 ×

15 = 3 ×

20 =

×1

20 =

×2

20 =

×4

383

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Presentar

Nota para la enseñanza

La clase hace matrices como ayuda para razonar acerca del número de factores para un número dado. Escriba la ecuación l × a = 24. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los números que hacen que la ecuación sea verdadera. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para dibujar tantas matrices con un área de 24 unidades cuadradas como les sea posible. Al crear cada matriz, pídales que hagan un boceto y registren la ecuación que representa el área.

La actividad digital interactiva de Cuadrícula de pares o impares permite a la clase intentar hacer matrices rectangulares con un número dado de cuadrados. Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Dé a las parejas 2 minutos para hallar todas las matrices posibles, hacer un boceto y registrar las ecuaciones.

Nota para la enseñanza

Una vez que hayan registrado las ecuaciones, pídales que trabajen con otro grupo para compararlas y comentar los factores de 24 basándose en las ecuaciones que registraron.

En 3.er grado, la clase halla todas las longitudes de los lados posibles de los rectángulos con un área dada. Comprueban estratégicamente para ver si hallaron todas las longitudes de los lados posibles (con números enteros). Aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación a expresiones de multiplicación que representan el área de los rectángulos y generan nuevas expresiones.

1 x 24 = 24

2 x 12 = 24

3 x 8 = 24

4 x 6 = 24

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben que hallaron todos los factores de 24. Comenzamos con 1 y pensamos si podíamos hacer una matriz con 1 fila. Luego, intentamos con 2 y con 3 filas. Continuamos así hasta que llegamos a 6 filas. Al llegar a 6 filas, nos dimos cuenta de que eran los mismos factores que ya habíamos enumerado. Pensamos en todas las operaciones de multiplicación que tienen un producto de 24. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían hallar todos los factores de un número como el 96.

384

DUA: Acción y expresión Considere apoyar a sus estudiantes para que, de formas flexibles, expresen lo que aprendieron. Proporcione acceso a materiales didácticos, como discos o fichas cuadradas, con el fin de que sus estudiantes los organicen en matrices o papel cuadriculado para dibujar matrices.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, identificaremos todos los pares de factores para un número dado y describiremos los números en base a cuántos factores tienen.

Aprender

Factores en matrices La clase identifica los factores y el producto representado en una matriz y comprueba si hallaron todas las combinaciones posibles de factores. Muestre la imagen de las matrices que representan 1 × 6 y 2 × 3. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las ecuaciones de multiplicación que representan las matrices.

1×6=6 2×3=6

Apoyo para la comprensión del lenguaje En esta lección se usan los términos conocidos factor, producto y matriz. Considere repasar cada término con la clase y crear un afiche como recordatorio visual de lo que significan los términos.

Escriba 1 × 6 = 6 y 2 × 3 = 6. ¿Qué producto representa cada matriz?

6 ¿Qué factores de 6 se muestran?

1y6 2y3 Para ayudarnos a organizar nuestros factores, podemos enumerarlos en orden. ¿Cuáles son los factores de 6 de menor a mayor?

1, 2, 3, 6

385

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

Escriba los factores en orden. Muestre la imagen de las matrices que representan 1 × 12 y 2 × 6.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las ecuaciones de multiplicación que representan las matrices. ¿Qué producto representa cada matriz?

12 ¿Qué factores de 12 se muestran?

1 y 12 2y6 Pida a sus estudiantes que dibujen una matriz que represente otro par de factores con un producto de 12 y que escriban una ecuación de multiplicación que represente la matriz. ¿Qué otros factores hallaron?

3y4 Pida a sus estudiantes que enumeren todos los factores de 12 de menor a mayor. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si 12 tiene otros factores. Escriba los factores de 12 en orden: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Debajo de los factores, dibuje una flecha del 1 al 12. Invite a la clase a hacer lo mismo. ¿Qué relación tienen el 1 y el 12 con el producto 12?

1 × 12 = 12 1 y 12 son lo que llamamos par de factores de 12 porque su producto es 12.

386

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Pida a sus estudiantes que hallen los otros pares de factores de 12 y que dibujen flechas para identificarlos.

Nota para la enseñanza

Invite a sus estudiantes a trabajar en parejas para hallar todos los factores de 15, enumerarlos de menor a mayor y hallar y conectar cada par de factores. ¿Cuáles son los factores de 15?

1, 3, 5, 15

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo enumerar los factores e identificar los pares de factores puede ayudarles a darse cuenta de si hallaron todos los factores.

Considere usar la actividad digital interactiva de Cuadrícula de pares o impares a lo largo de la lección para crear rectángulos que muestren los pares de factores de los números dados y números que no son factores debido a que no representan las longitudes de los lados de un rectángulo que cumpla con los requisitos.

El factor más pequeño es 1 y el más grande es 15. Los otros factores deben estar entre 1 y 15. Cada factor necesita su par. Sé que 2 no es un factor y que no hay factores de 15 entre 3 y 5, entonces debemos haber hallado todos los factores.

Números primos y compuestos La clase halla todos los factores de un número e identifica los números primos y compuestos. Escriba la ecuación 2 × 8 = 16. ¿Cuáles son los factores en esta ecuación?

2y8 ¿Qué otras ecuaciones tienen el mismo producto, pero diferentes factores?

1 × 16 = 16 4 × 4 = 16 ¿Cuáles son todos los factores de 16? Enumérenlos de menor a mayor.

1, 2, 4, 8, 16

387

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Pida a sus estudiantes que escriban los factores de 16 y que dibujen flechas para conectar los pares de factores. Luego, pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben que han enumerado todos los factores.

Sé que 2 × 8 = 16, entonces eso significa que no puede haber ningún factor entre 8 y 16. Cada factor es parte de un par de factores. 4 está en un par con sí mismo. Muestre la ecuación 1 × 5 = 5. ¿Cuáles son los factores de esta ecuación?

Nota para la enseñanza Es posible que sus estudiantes quieran enumerar el factor 4 dos veces en su lista de factores, o que les resulte confuso el hecho de que 4 no parece ser parte de un par de factores. Comente este caso particular con la clase. Pídales que piensen por qué no hay otro número con el que conectar a 4 (es decir, forma una pareja con sí mismo).

1y5 ¿Hay algún otro factor de 5? Ahora, piensen en el número 7. Nombren un par de factores que tengan un producto de 7.

1y7 ¿Hay algún otro par de factores que tengan un producto de 7? ¿Cuál es la diferencia entre el número de factores para 5 y 7 y el número de factores para los otros números, como 6, 12, 15 y 16?

Nota para la enseñanza Un número primo tiene exactamente dos factores, 1 y sí mismo. El número 0 no es ni primo ni compuesto. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

5 y 7 solo tienen dos factores. Los otros números tienen más. 5 y 7 tienen exactamente dos factores, 1 y sí mismo. 5 y 7 son ejemplos de números primos. ¿El 8 es un número primo? ¿El 9 es un número primo? Los números que tienen más de dos factores son números compuestos. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar otros dos ejemplos de números primos y otros dos ejemplos de números compuestos.

388

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere crear un afiche de referencia con modelos visuales de números primos y compuestos. Proporcione ejemplos de pares de factores para números primos y compuestos.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

¿Primo o compuesto? La clase halla factores de números para determinar si los números son primos o compuestos. Muestre el siguiente enunciado y léalo a coro con la clase. Oka dice que todos los números pares son números compuestos y que todos los números impares son números primos.

Nota para la enseñanza Considere usar la actividad digital interactiva de Cuadrícula de pares o impares para mostrar que solo hay un rectángulo que se puede hacer con un número primo de cuadrados y más de un rectángulo que se puede hacer con un número compuesto de cuadrados.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si están de acuerdo o en desacuerdo con Oka. Oka dijo algo que cree que es verdadero, pero no da razones para su enunciado. Aquí hay otra manera en la que se podría escribir el enunciado.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Muestre el siguiente enunciado debajo del primero y léalo a coro con la clase. Oka afirma que todos los números pares son números compuestos y que todos los números impares son números primos. Veamos algunos ejemplos de números compuestos y primos para determinar si Oka está en lo correcto.

En este segmento se presenta el término afirmar. Considere enseñar con anticipación el significado del término antes de que se le pida a la clase que razone acerca de lo que afirma una persona. Considere usar el verbo afirmar (p. ej., “David afirma que su hermano se llevó la última galleta”.) y el sustantivo afirmación (p. ej., “La afirmación de David fue que su hermano se llevó la última galleta”.) y comentar que el significado es el mismo.

Diferenciación: Desafío Pida a sus estudiantes que comiencen a pensar cómo podrían hallar todos los números primos entre 1 y 100. ¿Hay algún patrón en la secuencia de los números primos?

389

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 4 de sus libros y lean a coro los encabezamientos de la tabla.

Número

390

Expresiones de multiplicación

1×

5×

1 × 48 2 × 24 3 × 16 4 × 12 6×8

1×2

Lista de factores

1, 5, 7, 35

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

1, 2

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Impar o par

Primo o compuesto

Impar

Primo

Par

Compuesto

Impar

Primo

Par

Compuesto

• ¿En qué detalles es importante pensar al hallar los factores de un número?

Impar

Primo

• ¿Es exactamente correcto decir que todos los números pares son compuestos? ¿Qué podemos agregar para que la afirmación sea más precisa y correcta?

Par

Compuesto

Impar

Primo

Par

Compuesto

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando explora una afirmación acerca de un número primo o compuesto determinando sus factores y, luego, compartiendo su razonamiento. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21 Invite a la clase a trabajar en parejas para completar los problemas 1 a 4. Recorra el salón de clases y apoye su trabajo haciendo preguntas como las siguientes: • ¿Cuál es su estrategia para hallar las expresiones de multiplicación? • ¿Cómo saben que enumeraron todos los factores? • ¿Es un número impar o par? ¿Cómo lo saben? • ¿Cómo saben si el número es primo o compuesto? Cuando hayan terminado, pida a las parejas que comparen su trabajo con el de otra pareja. Luego, pida a sus estudiantes que vuelvan al enunciado de Oka. Oka afirma que todos los números pares son números compuestos y que todos los números impares son números primos. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si Oka está en lo correcto y cómo lo saben. Oka no está en lo correcto. Afirma que todos los números pares son números compuestos, pero 2 es un número par y un número primo. Oka afirma que todos los números impares son números primos, pero 35 es un número impar y un número compuesto. ¿Qué afirmarían si fueran Oka? Afirmaría que tanto los números primos como los compuestos pueden ser impares o pares. Afirmaría que todos los números primos son impares, excepto el número 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la diferencia entre los números primos y compuestos.

391

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Hallar pares de factores para los números hasta el 100 y usar los factores para identificar los números como primos o compuestos Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre los números primos y compuestos y sus factores. ¿Cómo pueden hallar los factores de un número? Puedo hacer todas las matrices posibles del número. Puedo escribir todas las expresiones de multiplicación que tienen ese número como producto. ¿Cómo saben si han hallado todos los factores de un número? Puedo enumerar los factores de menor a mayor y conectar los pares de factores. Me ayuda a organizar los factores y a pensar si hay más. ¿Cómo determinan si un número es primo o compuesto? Puedo determinar que un número es primo cuando tiene exactamente dos factores: 1 y sí mismo. Puedo determinar que un número es compuesto cuando tiene más de dos factores. Puedo determinar si un número es primo o compuesto calculando cuántos factores tiene. ¿Es necesario enumerar todos los factores de un número para determinar si es primo o compuesto? No. Solo necesitamos hallar más de dos factores para saber si es un número compuesto.

392

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4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Nombre

Fecha

Registra los pares de factores para los números dados como expresiones de multiplicación. Enumera los factores en orden de menor a mayor. Luego, encierra en un círculo la palabra primo o compuesto para cada número. El primero ya está resuelto como ejemplo.

Completa las ecuaciones. Usa las imágenes como ayuda. Luego, responde cada pregunta. 1.

Número

Expresiones de multiplicación

Factores

1×3

1, 3

1 × 10 2×5

1, 2, 5, 10

1 × 18 2×9 3×6

1, 2, 3, 6, 9, 18

1 × 19

1, 19

1×

2× ¿Cuáles son los factores de 5?

¿El 5 es un número primo o compuesto?

¿El 6 es un número primo o compuesto?

Completa las ecuaciones. Luego, responde cada pregunta. 3. 8 = 1 ×

8=2×

4. 11 = 1 ×

¿Cuáles son los factores de 8?

¿El 8 es un número primo o compuesto? Compuesto

2×

1, 2, 4

Primo Compuesto

Compuesto

Primo

1×

Primo o compuesto

¿Cuáles son los factores de 6?

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4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

Primo Compuesto

¿Cuáles son los factores de 11?

¿El 11 es un número primo o compuesto?

Primo Compuesto

Primo

151

152

GRUPO DE PROBLEMAS

393

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4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

13. David usa 24 tarjetas para jugar. Las coloca en filas iguales.

Halla todos los pares de factores para cada número escribiendo expresiones de multiplicación. Luego, encierra en un círculo la palabra primo o compuesto para cada número. 10. 40

Colorea los recuadros para mostrar dos maneras en las que puede colocar las tarjetas en filas iguales.

11. 41

1 × 40

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 21

1 × 41

Ejemplo:

2 × 20

Ejemplo:

4 × 10 5×8 Primo o compuesto

Primo o compuesto

12. Zara dice que los factores de 20 son 1, 2, 4, 5 y 10. a. ¿Zara está en lo correcto? Explica. No, Zara no está en lo correcto. A su lista de factores le falta el número 20.

b. Zara dice que el 20 es un número primo. ¿Está en lo correcto? Explica. No, Zara no está en lo correcto. Un número primo solo tiene dos factores y el 20 tiene más de dos factores, por lo que es un número compuesto.

394

GRUPO DE PROBLEMAS

153

154

GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 22

Usar la división y la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Fecha

Responde cada pregunta. Muestra o explica tu razonamiento. a. ¿Es 6 un factor de 84? Sí. 6 × 14 = 84

Vistazo a la lección La clase determina si un número es un factor de otro número mediante el uso de estrategias de división y su razonamiento. Estudian un ejemplo de cómo se puede usar la propiedad asociativa de la multiplicación con el fin de agrupar factores de diferentes maneras para hallar otros factores. En esta lección se formaliza el término divisible.

Preguntas clave • ¿Cómo pueden determinar si un número es un factor de otro número? b. ¿Es 4 un factor de 46?

• ¿Qué significa que un número sea divisible entre otro número?

No. 46 no es divisible entre 4.

Criterios de logro académico 4.Mód2.CLA2 Hallan pares de factores de números enteros dentro del rango del 1 al 100. (4.OA.B.4) 4.Mód2.CLA4 Determinan si un número entero hasta el 100 es primo o compuesto. (4.OA.B.4)

165

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Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Usar una matriz para hallar factores

Estudiantes • ninguno

• Usar el razonamiento para hallar factores • Usar la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores • Grupo de problemas

Concluir 10 min

397

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Fluidez

2 × 42 =

Muestre el producto. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

62 × 3 = 186

3 × 28 =

49 × 4 = 196

5 × 84 = 420

Respuesta a coro: Números pares e impares La clase identifica un número como par o impar como preparación para identificar pares de factores y números primos y compuestos. Muestre el número 6. ¿El 6 es un número par o impar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta. Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 Par

Par Muestre la respuesta. Repita el proceso con la siguiente secuencia: 5, 11, 27, 34, 43, 50, 62, 89, 78, 100, 101.

398

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Respuesta a coro: Factor desconocido La clase halla un factor desconocido e identifica los factores para desarrollar fluidez con los factores y los números primos y compuestos. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 8 = 1 ×

¿Cuál es el factor desconocido?

8 Muestre la respuesta y, luego, muestre 8 = 2 ×

8=1×

8=2×

¿Cuál es el factor desconocido?

4 Muestre la respuesta. Cuando dé la señal, digan los factores de 8 de menor a mayor. ¿Comenzamos?

1, 2, 4 y 8 Repita el proceso con la siguiente secuencia:

×1

×3

13 = 1 ×

18 =

×1

18 =

×2

18 =

×3

399

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Presentar

La clase razona acerca de cómo hallar algunos de los factores de un número más grande. Presente el siguiente enunciado y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Hallen tantos factores de 96 como puedan. Dé 2 minutos para que cada estudiante piense en silencio y halle algunos factores de 96. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las estrategias que usaron y el razonamiento que emplearon. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas. A medida que se desarrolla la conversación, destaque el razonamiento que use el conteo salteado, las operaciones de multiplicación y división conocidas y la descomposición de 96 para hallar factores. Sé que 1 y 96 son factores porque 1 y el número en sí siempre son factores. Creo que 6 es un factor porque puedo separar 96 en 60 y 36, y puedo dividir 60 y 36 entre 6.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) cuando halla todos los factores de un número dado y, luego, comparte su análisis y su razonamiento. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Hallaron todos los factores de 96? ¿Cómo pueden saberlo con seguridad? • ¿Por qué funcionan sus estrategias? Convenzan a su pareja de trabajo. • ¿Qué preguntas pueden hacer a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprenden su estrategia?

Sé que 2 es un factor porque si cuento salteado de dos en dos, en algún momento llegaré a 96. 96 es un número par. Sé que 12 × 8 es 96, entonces 12 y 8 son factores de 96. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos más estrategias para hallar factores de números.

400

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Aprender

Usar una matriz para hallar factores La clase usa un modelo pictórico para identificar factores de un número y números que no son factores de dicho número. Abra y muestre la actividad digital interactiva de Una matriz dentro de otra matriz. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léanlo a coro. Diga a la clase que la matriz de sus libros representa las 75 latas de sopa. 1. Luke cuenta un total de 75 latas de sopa.

30 de las latas son de sopa de tomate. Están organizadas en filas iguales para formar una matriz.

DUA: Acción y expresión Considere proporcionar un método alternativo de respuestas. Brinde acceso a fichas para contar u otros materiales didácticos para que sus estudiantes los organicen en filas iguales antes o en lugar de dibujar en sus libros. También puede permitir que experimenten con la actividad digital interactiva.

Dibuja un recuadro alrededor de las latas para mostrar una manera en la que se podrían organizar las latas de sopa de tomate.

401

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes maneras en las que se podrían organizar las latas de sopa de tomate. Luego, pídales que dibujen un recuadro alrededor de las latas para mostrar una manera de organizarlas. Invite a sus estudiantes a decir el número de filas y de columnas que encerraron en un recuadro. Mientras lo hacen, muestre la matriz y registre el número de filas y columnas en una tabla de dos columnas. ¿Qué observan acerca del número de filas y de columnas y cómo se relacionan con el número 30? Son factores de 30. Pida a sus estudiantes que escriban una ecuación de multiplicación que represente cómo organizaron las latas de sopa de tomate en filas iguales. Muestre 4 filas de 7 latas encerradas en un recuadro. ¿Se podrían organizar las latas de sopa de tomate en 4 filas iguales? Expliquen. No, porque 4 filas de 7 latas son solo 28 latas y sobrarían 2 latas. No son suficientes latas para colocar 1 más en cada fila. 4 filas de 8 latas son 32 latas, que son demasiadas. No, porque 4 no es un factor de 30. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo les ayuda una matriz a hallar los factores de un número.

402

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Usar el razonamiento para hallar factores La clase usa la descomposición, la división y los patrones para hallar factores. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. 2. Completa la ecuación.

42 ÷ 3 =

42 30

Haga un vínculo numérico que muestre 42 como el total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden descomponer 42 en decenas y unidades para hallar cuántas unidades de 3 hay en 42. Puedo descomponer 42 en 30 y 12. Escriba 30 y 12 como las partes en el vínculo numérico y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. ¿Por qué descomponemos 42 en 30 y 12 en lugar de 40 y 2?

Sabemos cómo dividir 30 y 12 entre 3, pero no sabemos cómo dividir 40 o 2 entre 3. Otra manera de decir que 30 y 12 se pueden dividir de manera uniforme entre 3 es decir que 30 y 12 son divisibles entre 3. Cuando un número es divisible entre otro número, quiere decir que se puede dividir de manera uniforme entre ese número. ¿Cuánto es 42 ÷ 3? ¿Cómo lo saben? Es 14. Sé que 30 ÷ 3 = 10 y que 12 ÷ 3 = 4. Y 10 + 4 = 14. Entonces, 42 ÷ 3 = 14. Escriba 14 como el cociente en la ecuación y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere reforzar el nuevo término, divisible, invitando a sus estudiantes a escribir enunciados sobre la divisibilidad junto con su trabajo. Sé que 30 es divisible entre 3 porque 10 × 3 = 30. Sé que 12 es divisible entre 3 porque 4 × 3 = 12. Sé que 18 es divisible entre 3 porque 6 × 3 = 18.

403

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22 ¿Cómo podemos escribir la ecuación de división como una ecuación de multiplicación relacionada?

14 × 3 = 42 Escriba 14 × 3 = 42. ¿Es 3 un factor de 42? ¿Cómo lo saben? Sí, porque 14 × 3 = 42. Sí, porque 42 es divisible entre 3. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Responde cada pregunta. Muestra o explica tu razonamiento. 3. ¿Es 3 un factor de 47?

47 30

Nota para la enseñanza

No, 3 no es un factor de 47 porque 30 es divisible entre 3, pero 17 no lo es.

Considere continuar usando la actividad digital interactiva de Una matriz dentro de otra matriz como ayuda visual para saber si un número es divisible entre otro número.

Haga un vínculo numérico que muestre 47 como el total y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que 3 es un factor de 47. ¿Podemos descomponer 47 en dos números divisibles entre 3? Expliquen su razonamiento. No. Puedo separar 47 en 30 y 17, pero 17 no es divisible entre 3. ¿Es 3 un factor de 47? No.

404

Apoyo para la comprensión del lenguaje Considere proporcionar esquemas de oración para la clase. es un factor de no es un factor de

porque porque

. .

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22 Pida a sus estudiantes que completen el problema 3. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si 3 es un factor de 48 y si 3 es un factor de 49. Pídales que expliquen su razonamiento.

3 es un factor de 48. Puedo descomponer 48 en 30 y 18 y los dos son divisibles entre 3. 3 no es un factor de 49. Sé que 30 es divisible entre 3, pero 19 no lo es. 3 no es un factor de 49 porque si cuento salteado de tres en tres, el número que le sigue a 48 que es divisible entre 3 es 51. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si 48 es divisible entre 2 y si 49 es divisible entre 2. Pídales que expliquen su razonamiento.

48 es divisible entre 2. Sé que 48 es un número par y que todos los números pares se pueden dividir entre 2. 49 no es divisible entre 2. Puedo descomponer 49 en 40 y 9, pero solo 40 es divisible entre 2. 49 no es divisible entre 2. Sé que 49 es un número impar y que los números impares no son divisibles entre 2. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden darse cuenta de si un número es divisible entre otro número. Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 4 a 7. 4. ¿Es 5 un factor de 85? Sí, 5 es un factor de 85. 5 es un factor de cualquier número que tenga un 0 o un 5 en la posición de las unidades. 5. ¿Es 7 un factor de 84? Sí, 7 es un factor de 84. Tanto 70 como 14 son divisibles entre 7.

84 70

405

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

6. ¿Es 4 un factor de 55? No, 4 no es un factor de 55. Si descompongo 55 en 40 y 15, 40 es divisible entre 4, pero 15 no lo es. 7. ¿Es 6 un factor de 73? No, 6 no es un factor de 73. Si descompongo 73 en 60 y 13, 60 es divisible entre 6, pero 13 no lo es. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar cada problema. Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases y observe las estrategias y el razonamiento que usan para determinar si un número es un factor de otro número. Brinde apoyo a sus estudiantes haciendo preguntas como las siguientes: • ¿Qué patrón observan cuando cuentan salteado de cinco en cinco? ¿Cómo puede eso ayudarles a determinar si 5 es un factor de 85? ¿Y de cualquier número dado? • ¿Qué estrategia pueden usar para determinar si 7 es un factor de otro número? ¿Pueden usar la misma estrategia con otros factores? • ¿Qué patrón observan cuando cuentan salteado de cuatro en cuatro? ¿Cómo podemos saber si 4 es un factor de 55 sin antes descomponer 55? ¿Podemos usar el mismo razonamiento para determinar si 6 es un factor de 73? Si hay tiempo suficiente, invite a la clase a trabajar en parejas para responder las siguientes preguntas y compartir su razonamiento. • Si 7 es un factor de 84, ¿es también un factor de 85? ¿Y de 89? ¿Cómo lo saben? • Si 6 es un factor de 66, ¿es también un factor de 70? ¿Y de 71? ¿Cómo lo saben? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo la división y los patrones pueden ayudarles a determinar si un número es un factor de otro número.

406

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Usar la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores La clase estudia el uso de la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar los factores de un número. 72 = 8 × 9 = (2 × 4) × (3 × 3) = (2 × 3) × (4 × 3) = 6 × 12

Muestre la imagen que detalla una estrategia para hallar los factores de 72.

Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a la clase a analizar cómo el ejemplo de trabajo les ayuda a hallar los factores de 72.

Observar y preguntarse

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 y 72 son algunos factores de 72 72..

Esta es la estrategia de Amy para hallar los factores de 72. ¿Qué observan sobre su trabajo? ¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones? Observo que descompuso 8 en 2 × 4 y 9 en 3 × 3. Observo que en la tercera línea cambia el orden de los factores. Me pregunto por qué Amy cambió el orden de los factores.

Nota para la enseñanza En 3.er grado, la clase aprende que, en una expresión que solo contiene multiplicación, los factores se pueden multiplicar en cualquier orden.

Organizar ¿Qué pasos siguió Amy? ¿Cómo lo saben? Escribió 72 como una expresión de multiplicación usando dos factores que ya conocía: 8 y 9.

Nota para la enseñanza

Separó 8 y 9 en partes y escribió cada uno como una expresión de multiplicación. Cambió el orden de los factores y los agrupó de otra manera para obtener 6 × 12. Guíe la conversación para enfocarse en cómo Amy usó 8 × 9 para hallar otros factores de 72 y fomente el razonamiento que permita a sus estudiantes hacer conexiones con la propiedad asociativa de la multiplicación.

Puede haber estudiantes que crean que un producto solo se puede expresar usando dos factores. Para ayudarles a reconocer que una expresión de multiplicación puede tener más de dos factores, pida a sus estudiantes que identifiquen los factores en la expresión (2 × 4) × (3 × 3) y que expliquen cómo saben que son factores. Busque estudiantes que digan que los factores son los números usados en una expresión de multiplicación.

407

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

Mostrar Enfoquémonos en cómo Amy calculó que 2, 4 y 3 también son factores de 72. ¿Dónde ven eso en este trabajo? En la segunda línea, Amy reescribió el factor 8 como 2 × 4 y el factor 9 como 3 × 3. ¿Y 6 y 12? ¿Cómo determinó que también eran factores de 72? Sabía que podía agrupar los factores de una manera diferente. Entonces, en la tercera línea, multiplicó 2 y 3 para obtener 6, y 4 y 3 para obtener 12. ¿Qué propiedades usó Amy como ayuda para hallar los factores de 72? Amy usó las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación.

Sintetizar ¿Cómo usó Amy la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar los factores 6 y 12? Agrupó los factores 2 y 3 para obtener 6 y agrupó 3 y 4 para obtener 12. Como el producto de cada línea en su ecuación es 72, Amy sabe que todos los números que se multiplican en cada línea son factores de 72. La lista de Amy incluye 1 como un factor de 72, pero 1 no es un factor en la ecuación. ¿Cómo sabía Amy que debía incluir 1 en su lista de factores?

1 es un factor de todos los números. 1 × 72 = 72, entonces 1 es un factor de 72.

Comprender ¿De qué manera la propiedad asociativa de la multiplicación es útil para hallar los factores de un número? Si comienzo con una operación que conozco, puedo separar los factores en partes y agruparlos de manera diferente. Es más eficiente que dividir continuamente entre diferentes números para ver cuáles son factores y cuáles no.

408

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22 ¿Creen que Amy podría haber hecho algo parecido si hubiera comenzado con 6 × 12 primero? Pida a sus estudiantes que vayan al problema 8. Invite a la clase a trabajar en parejas y a usar la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores de 72. 8. Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores de 72.

72 = 6 × 12 72 = 6 × 12 = (3 × 2) × (4 × 3) = (3 × 3) × (2 × 4) =9×8 Algunos factores de 72 son

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 72

Observe a las parejas para detectar a quienes descomponen 12 como 2 × 6 para identificar otro factor: 18. Comparta o registre su trabajo. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se puede usar la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar los factores de un número.

72 = 6 × 12 = (2 × 3) × (2 × 6) = (2 × 2) × (3 × 6) = 4 × 18

409

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Concluir

EUREKA MATH2

Reflexión final 5 min Objetivo: Usar la división y la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar factores Use las siguientes preguntas para iniciar una conversación con toda la clase. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares usando sus propias palabras. Escriba la pregunta: ¿Es 2 un factor de 56? ¿Qué diferentes estrategias pueden usar para determinar si 2 es un factor de 56? Puedo descomponer 56 en 40 y 16 y ver si ambos son divisibles entre 2. Sé que 56 = 7 × 8, entonces puedo separar el factor 8 en partes y mostrar que es igual a 4 × 2. Sé que 2 es un factor de todos los números pares, entonces 2 es un factor de 56. ¿Qué significa que un número sea divisible entre 4? Significa que el número se puede dividir de manera uniforme entre 4. Me indica que 4 es un factor de ese número.

410

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

Nombre

Fecha

Responde cada pregunta. Muestra o explica tu razonamiento. 5. ¿Es 2 un factor de 25?

Completa las ecuaciones. Usa la imagen como ayuda. Luego, responde cada pregunta. 1.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

No, porque 25 no es divisible entre 2.

6. ¿Es 3 un factor de 54? Sí, porque 3 × 18 = 54.

7=1×

10 = 1 ×

10 = 2 ×

¿Es 1 un factor de 7?

Sí.

¿Es 3 un factor de 10?

No.

¿Es 2 un factor de 7?

No.

¿Es 10 un factor de 10?

Sí.

7. ¿Es 4 un factor de 65? No, porque 65 no es divisible entre 4.

8. ¿Es 6 un factor de 78? Sí, porque 6 × 13 = 78.

Usa la propiedad asociativa para hallar los factores. Luego, responde la pregunta. 9. 36 = 4 × 9 Completa las ecuaciones. Luego, responde cada pregunta.

= 4 × (3 ×

4. 24 = 1 ×

24 = 2 ×

24 = 3 ×

24 = 4 ×

3. 18 = 1 ×

18 = 2 × 18 = 3 ×

Sí.

¿Es 10 un factor de 24?

No.

¿Es 8 un factor de 18?

No.

¿Es 12 un factor de 24?

Sí.

)

162

= (2 ×

) × (2 ×

× 3) × 3

= (2 × 2) × (3 × =4×

3, 4, 9, 12, 36

161

10. 48 = 6 ×

×3

¿Cuáles son algunos factores de 36?

¿Es 6 un factor de 18?

GRUPO DE PROBLEMAS

)

¿Cuáles son algunos factores de 48?

2, 3, 4, 6, 8, 12, 48

411

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 22

11. La maestra Díaz necesita 54 cajas de jugo. Estas se venden en paquetes de 8. ¿Puede comprar exactamente 54 cajas de jugo en paquetes de 8? ¿Por qué? No, la maestra Díaz no puede comprar exactamente 54 cajas de jugo porque 8 no es un factor de 54. Si compra 6 paquetes, tendrá 48 cajas de jugo y si compra 7 paquetes, tendrá 56 cajas de jugo.

12. Gabe y Deepa tienen 64 sellos postales para colocar en grupos iguales sin que les sobre ninguno. a. Gabe dice que se pueden formar grupos de 3. Deepa dice que se pueden formar grupos de 4. ¿Quién está en lo correcto? Explica. Deepa está en lo correcto porque 4 es un factor de 64, pero 3 no lo es.

b. Usa palabras o números para mostrar otra manera de colocar los 64 sellos en grupos iguales. Como 8 × 8 = 64, los sellos se pueden colocar en 8 grupos de 8.

412

GRUPO DE PROBLEMAS

163

LECCIÓN 23

Determinar si un número entero es un múltiplo de otro número

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

Piensa en los múltiplos de 4. a. Escribe los primeros 10 múltiplos de 4. Comienza con el 4.

Vistazo a la lección La clase cuenta salteado para hallar múltiplos de un número e identificar patrones en la secuencia de números. Usan una tabla de cien para examinar patrones y las relaciones entre los múltiplos. Una tabla de entrada y salida les proporciona otra manera de identificar si un número es un múltiplo de otro número.

Pregunta clave

b. ¿Cuál es el quinto múltiplo de 4?

• ¿En qué se diferencian un múltiplo y un factor?

c. ¿Es 14 un múltiplo de 4?

Criterio de logro académico

No.

4.Mód2.CLA3 Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del

rango del 1 al 100. (4.OA.B.4)

177

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min

Estudiantes

• Observar patrones

• Tabla horizontal de entrada y salida (en el libro para estudiantes)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla horizontal de entrada y salida de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

• Tabla de cien • Tablas de entrada y salida

• lápices de colores (3)

• Prepare un lápiz de color rojo, uno verde y uno azul por estudiante.

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

415

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números La clase compara dos números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con la comparación de números iniciada en el módulo 1. Muestre los números 2,684 y 3,165. Escriban una oración numérica usando los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los dos valores. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 2,684. ¿Comenzamos?

2,684 es menor que 3,165.

2,684 < 3,165

Cuando dé la señal, digan la oración numérica relacionada comenzando con 3,165. ¿Comenzamos?

3,165 es mayor que 2,684. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

416

8,013 > 7,910

5,074 < 5,407

3,615 < 3,651

10,002 > 9,999

68,013 < 68,103

17,209 > 17,200

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Intercambio con la pizarra blanca: Patrones aritméticos Materiales: E) Tabla horizontal de entrada y salida

La clase halla un patrón y completa una tabla como preparación para observar las relaciones entre los factores y los múltiplos. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Nota para la enseñanza

Muestre la tabla de entrada y salida. Completen su tabla de modo que coincida con la tabla que se muestra.

Patrón: multiplicar la entrada por 2

Escriban el patrón para la tabla. Muestre el ejemplo de patrón: multiplicar la entrada por 2. Usen el patrón para completar la tabla.

Entrada

Salida

Muestre la tabla completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Patrón: multiplicar la entrada por 5

El término patrón se usa en lugar del término regla para describir el cálculo necesario para completar la tabla. Esto brinda a la clase flexibilidad para interpretarla, ya que pueden pensar en el patrón en cualquier dirección: de entrada a salida o de salida a entrada. Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado. Por ejemplo, puede haber estudiantes que elijan expresar el patrón en función de la salida en lugar de la entrada. En el primer patrón, alguien puede elegir escribir lo siguiente: dividir la salida entre 2.

Patrón: dividir la entrada entre 3

Entrada

Salida

417

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Presentar

La clase razona acerca de la relación entre los números en un problema verbal. Muestre la imagen de la pizza y el problema verbal. Lea el problema a coro con la clase. La maestra Smith pide pizza para 27 estudiantes. Cada pizza tiene 8 porciones. ¿Cuántas pizzas debe pedir para que cada estudiante reciba al menos 1 porción? Invite a la clase a trabajar en parejas para resolver el problema. Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases e identifique un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Guíe una conversación de toda la clase. Considere incluir las siguientes preguntas. ¿Cuántas pizzas debe pedir la maestra Smith? ¿Cómo lo determinaron? Debe pedir 4 pizzas. Contamos salteado de ocho en ocho 4 veces. El número total de porciones que hay en 4 pizzas es 32. Multiplicamos. Como 4 × 8 = 32, debe pedir 4 pizzas. Si pide 3 pizzas, no habrá suficientes porque 3 × 8 = 24. Necesita pedir 4 pizzas para que cada estudiante reciba al menos 1 porción. ¿Qué número en el problema verbal representa un factor?

8 representa un factor. ¿Es 8 un factor del otro número en el problema verbal, 27? No.

27 no es un múltiplo de 8. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo enumerar los factores de 27. ¿Cómo podrían cambiar el problema verbal de manera que cada estudiante reciba exactamente 1 porción de pizza? Se podrían pedir 3 pizzas que tengan 9 porciones cada una. Se podría pedir 1 pizza que tenga 27 porciones.

418

Apoyo para la comprensión del lenguaje Múltiplo es un término conocido de 3.er grado. En 3.er grado, la clase aprende que los números que se dicen al contar salteado por un número dado son múltiplos de ese número (p. ej., los primeros tres múltiplos de 4 son 4, 8 y 12). Considere enseñar con anticipación el término para acceder a la experiencia previa de sus estudiantes antes de pedirles que enumeren los múltiplos de 3.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Esos cambios funcionarían porque 27 es un múltiplo de 1, de 3 y de 9. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo el conteo salteado o la multiplicación les ayudó a resolver el problema. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos diferentes estrategias para determinar si un número es un múltiplo de otro número.

Aprender

Observar patrones La clase halla patrones en una secuencia de múltiplos. Forme parejas de estudiantes y pídales que vayan al problema 1 en sus libros.

Nota para la enseñanza

1. Trabaja en pareja para completar las partes (a) y (b). a. Enumera los múltiplos de 3.

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

33 36 39 42 45 48 51 54

b. Escribe ecuaciones de multiplicación para representar los múltiplos de 3.

1×3=3 2×3=6 3×3=9 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 6 × 3 = 18 7 × 3 = 21 8 × 3 = 24 9 × 3 = 27 10 × 3 = 30

11 × 3 = 33 12 × 3 = 36 13 × 3 = 39 14 × 3 = 42 15 × 3 = 45 16 × 3 = 48 17 × 3 = 51 18 × 3 = 54

0 es un múltiplo de todos los números porque 0 × n = 0, donde n representa cualquier

número. Esta lección da por sentado que el primer múltiplo de cualquier número es ese número: 1 × n = n. Esto permite, por ejemplo, que el quinto múltiplo sea 5 × n = 5n. Se usa la frase múltiplo cero para 0 × n.

419

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 El o la estudiante A enumera los múltiplos de 3 del 3 al 30. La o el estudiante B escribe ecuaciones que representan las operaciones de la tabla del tres comenzando con 1 × 3 = 3 y finalizando con 10 × 3 = 30. Una vez que hayan terminado, pida a sus estudiantes que coloquen sus libros uno al lado del otro. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que observan. Luego, guíe una conversación acerca de la relación entre los múltiplos de 3 y las operaciones de la tabla del tres. Considere la siguiente secuencia. Encierren en un círculo la quinta ecuación. ¿Qué ecuación encerraron en un círculo?

5 × 3 = 15 Encierren en un círculo el quinto múltiplo de 3. ¿Cuál es el quinto múltiplo de 3?

15 Encierren en un círculo la octava ecuación. ¿Cuál es la octava ecuación?

8 × 3 = 24 Encierren en un círculo el octavo múltiplo de 3. ¿Cuál es el octavo múltiplo de 3?

24 Si el patrón continúa, ¿cuál sería la undécima ecuación?

11 × 3 = 33 ¿Cuál es el undécimo múltiplo de 3?

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54

1 × 3 = 3 2 × 3 = 6 3 × 3 = 9 4 × 3 = 12 5 × 3 = 15 6 × 3 = 18 7 × 3 = 21 8 × 3 = 24 9 × 3 = 27 10 × 3 = 30 1 1 × 3 = 33 12 × 3 = 36 1 3 × 3 = 39 1 4 × 3 = 42 15 × 3 = 45 1 6 × 3 = 48 17 × 3 = 51 1 8 × 3 = 54

33 Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál sería la decimoquinta ecuación y cómo les ayudaría a determinar el decimoquinto múltiplo de 3.

420

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Pida a las parejas de trabajo que intercambien sus libros. El o la estudiante A continúa la enumeración de múltiplos de 3 hasta el 54. El o la estudiante B escribe ecuaciones hasta 18 × 3 = 54. Si necesita ayuda adicional, la o el estudiante B puede usar la lista de múltiplos. Pida a la clase que encierre en un círculo la decimoquinta ecuación y el decimoquinto múltiplo para ver si coinciden. Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre las ecuaciones de multiplicación y los múltiplos. Los múltiplos son los mismos que los productos de las ecuaciones. Para hallar los múltiplos, podemos pensar en operaciones de multiplicación. Para hallar el sexto múltiplo de 3, podemos hallar 6 × 3. Usemos nuestra lista de múltiplos para determinar si un número es un múltiplo de 3. ¿Es 43 un múltiplo de 3? ¿Cómo lo saben?

43 no es un múltiplo de 3. No decimos 43 cuando contamos de tres en tres, entonces no está en la lista. 42 es un múltiplo de 3, pero 43 no lo es. 43 no es un múltiplo de 3 porque no hay otro número entero que multiplicado por 3 dé 43. Haga preguntas parecidas para determinar si 28 y 35 son múltiplos de 3. Si un número es un múltiplo de 3, ¿es también divisible entre 3? ¿Cómo lo saben? Sí. Si multiplicamos 3 por un número para obtener el múltiplo, entonces también podemos dividir el múltiplo entre 3. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden determinar si un número es un múltiplo de otro número. Decir que un número dado es un múltiplo de otro número quiere decir que el número dado es divisible entre el otro número. Por ejemplo, 12 es un múltiplo de 4. Eso significa que 12 también es divisible entre 4.

421

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Tabla de cien Materiales: E) Lápices de colores

La clase analiza una tabla de cien para observar patrones en los múltiplos de un número. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. 2. Sigue las instrucciones de las partes (a) a (c) para completar la tabla.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 a. Encierra en un círculo de color rojo los múltiplos de 2. b. Sombrea de color verde los múltiplos de 3. c. Encierra en un cuadrado azul los múltiplos de 6.

422

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Invite a las parejas de estudiantes a completar la parte (a). Cuando hayan terminado de trabajar, elija a alguien que quiera compartir con la clase su tabla de cien completada. Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si observan algún patrón para los múltiplos de 2. Todos los múltiplos de 2 son pares.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Un número está encerrado en un círculo y el siguiente no.

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

No hay números impares encerrados en un círculo.

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Todos los números encerrados en un círculo rojo están en columnas.

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Cuando un número es un múltiplo de 2, ¿cuáles son los valores posibles para el dígito de las unidades?

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0, 2, 4, 6 u 8 Cuando un número tiene un 0, 2, 4, 6 u 8 en la posición de las unidades, ¿entre qué número saben que es divisible?

Diferenciación: Apoyo En lugar de que sus estudiantes completen la tabla en su totalidad, considere pedirles que sigan las instrucciones usando los números del 1 al 60. Los patrones serán los mismos y, si hay tiempo suficiente, la clase puede completar el resto de la tabla para ver cómo continúan los patrones del 61 al 100.

Nota para la enseñanza La clase puede observar otros patrones en la tabla de cien. Valídelos, pero enfoque la conversación en los patrones que son útiles para comprender las relaciones entre los múltiplos.

2 ¿Qué les indica eso sobre los números con un 1, 3, 5, 7 o 9 en la posición de las unidades? No son múltiplos de 2. No son divisibles entre 2. Los múltiplos de 2 son números pares y tienen un 0, 2, 4, 6 u 8 en la posición de las unidades. Para pensarlo de otra manera, podríamos decir que 2 es un factor de los números pares.

423

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Pida a las parejas que completen la parte (b). Luego, elija a alguien que quiera compartir con la clase su tabla de cien completada. Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que observan en los múltiplos de 3. Los múltiplos de 3 cambian entre impar y par. Cada múltiplo par de 3 también es un múltiplo de 2. Pida a las parejas que completen la parte (c). Luego, elija a alguien que quiera compartir con la clase su tabla de cien completada. Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que observan en los múltiplos de 6. Todos los múltiplos de 6 son números pares. Los múltiplos de 6 también son múltiplos de 2 y de 3. Observo que, entre los múltiplos de 3, un múltiplo es múltiplo de 6 y el siguiente no. ¿Por qué creen que los múltiplos de 6 también son múltiplos de 2 y de 3?

6 es un múltiplo de 2 y de 3 porque 2 y 3 son factores de 6. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de los patrones que observan en los múltiplos de 5 y 10.

Considere crear una tabla para anotar las observaciones de la clase acerca de las reglas de divisibilidad. No se requiere que la clase memorice o conozca todas las reglas. Sin embargo, la experiencia con ellas apoya muchos conceptos, como el sentido numérico, el reconocimiento de patrones, la división de números de varios dígitos, la capacidad de hallar fracciones equivalentes y la resolución de problemas.

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

424

Nota para la enseñanza

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando reconoce patrones en los múltiplos de los números dados usando una tabla de cien y, luego, comparte lo que observa sobre los múltiplos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7: • ¿Cómo puede ayudarles lo que saben acerca de los múltiplos de 2 y 3 a determinar si un número es un múltiplo de 6? • ¿Cómo se relacionan los múltiplos de 2 y 5? ¿De qué manera puede ayudarles eso a hallar múltiplos de 10?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo los patrones de la tabla les ayudan a determinar si un número hasta el 100 es un múltiplo de otro número. Si es un número par, es un múltiplo de 2. Si es un número impar, no es un múltiplo de 2. Si es un múltiplo de 6, también es un múltiplo de 2 y de 3. Si es un múltiplo de 5, tiene un 5 o un 0 en la posición de las unidades. Si es un múltiplo de 10, tiene un 0 en la posición de las unidades. Si es un múltiplo de 10, también es un múltiplo de 2.

Tablas de entrada y salida La clase usa una tabla de entrada y salida para razonar acerca de los múltiplos. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Ayúdeles a identificar la estructura de la tabla. Luego, pídales que trabajen en parejas para completar la parte (a). Recorra el salón de clases y proporcione apoyo según sea necesario. 3. Completa la tabla de la parte (a). Luego, completa las partes (b) y (c). a. Regla: multiplicar la entrada por 8

Nota para la enseñanza

Entrada

Salida

En 3.er grado, la clase describe la relación entre la entrada y la salida en las tablas de entrada y salida y, luego, las completa. En esta lección, se les da la regla y la usan para completar una tabla.

425

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 b. ¿Cómo muestra la tabla completada que 96 es un múltiplo de 8? La tabla muestra que tanto 80 como 16 son múltiplos de 8. La suma de 16 y 80 es 96, entonces 96 debe ser un múltiplo de 8. c. ¿Es 92 un múltiplo de 8? ¿Cómo lo sabes? No, porque sé que 80 + 12 = 92. 80 es un múltiplo de 8, pero 12 no es un múltiplo de 8. Cuando la clase haya terminado, muestre la tabla completada.

Entrada

Salida

Los números representan las partes de una ecuación de multiplicación. La entrada es un factor. 8 es el otro factor. La salida es el producto.

¿Cómo podemos usar los números de la tabla para determinar el tercer múltiplo de 8?

¿Qué observan acerca de las entradas y las salidas de la tabla? Todas las salidas son múltiplos de 8. La entrada indica qué múltiplo es. Por ejemplo, 40 es el quinto múltiplo de 8.

DUA: Representación Considere pedir a sus estudiantes que usen un vínculo numérico como apoyo para descomponer un número.

La entrada es un factor y multiplicamos por 8 para obtener la salida, entonces podemos hallar 3 × 8 = 24.

Podemos ver que 1 ocho es 8 y 2 ochos es 16. Si los sumamos, tenemos 3 ochos, que es 24 porque 16 + 8 = 24. Invite a las parejas de estudiantes a usar un razonamiento parecido para hallar el duodécimo múltiplo de 8.

426

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23 Pida a sus estudiantes que completen las partes (b) y (c). Recorra el salón de clases e identifique a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento con todo el grupo. Busque estrategias como el conteo salteado y la descomposición del total. Considere guiar una conversación acerca de la descomposición del total usando preguntas como las siguientes: ¿De qué manera descompusieron 96 para determinar si es un múltiplo de 8? Descompuse 96 en 80 y 16 y sé que esos dos números son múltiplos de 8, entonces 96 debe ser un múltiplo de 8. Sumé 16 y 80 en la tabla para obtener 96. La tabla me ayuda a ver que 96 sería el duodécimo múltiplo de 8. ¿De qué manera descompusieron 92 para ver si es un múltiplo de 8? Descompuse 92 como 80 + 12. Sé que 80 es un múltiplo de 8. Pero 12 no lo es, entonces 92 no puede ser un múltiplo de 8. Cuando descomponen un número para ver si es un múltiplo, deben comenzar separando el número en una parte que sepan que es un múltiplo. Tengan cuidado de no separar el número en partes en las que ningún número sea múltiplo. Por ejemplo, no comiencen separando 92 en una parte que sea 70 porque 70 no es un múltiplo de 8. ¿Cómo podrían usar la tabla para elegir otra manera de descomponer 92 para ver si 8 es un múltiplo? Podría intentar con 40. 40 + 52 = 92. 40 es un múltiplo de 8, pero 52 no lo es. Eso me indica que 92 no es un múltiplo de 8. ¿Por qué descomponer los números es una estrategia útil para determinar si los números son múltiplos de 8? Como no sé las operaciones de multiplicación para 8 más allá del 10, puedo separar el número en partes más pequeñas y usar las operaciones que sí conozco. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pueden usar la tabla de entrada y salida para hallar otros múltiplos de 8.

427

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Determinar si un número entero es un múltiplo de otro número Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de hallar múltiplos. ¿En qué se diferencian un múltiplo y un factor? Un factor indica el número de grupos o el tamaño del grupo. Un múltiplo es el total. Los múltiplos se hallan contando salteado usando un factor un determinado número de veces. Para hallar los múltiplos, contamos salteado usando un factor. ¿Cómo se relacionan los múltiplos con los factores? Un múltiplo es el factor multiplicado por un número. ¿Cómo pueden determinar si un número es un múltiplo de un número dado? Se puede contar salteado usando el número dado hasta llegar al número. Por ejemplo, si quiero saber si 24 es un múltiplo de 3, puedo contar salteado de tres en tres hasta llegar a 24 o a un número mayor que 24.

DUA: Acción y expresión Considere reservar tiempo para que sus estudiantes reflexionen sobre su experiencia general con los múltiplos y los factores. • ¿Qué estrategias funcionan bien para averiguar si un número es un múltiplo de otro número? • ¿De qué manera estoy mejorando con mi aprendizaje? • ¿Qué es lo que todavía me resulta confuso? ¿Qué puedo hacer para ayudarme?

Se puede descomponer el número en otros más pequeños y ver si estos son múltiplos del número dado. Por ejemplo, para determinar si 56 es un múltiplo de 4, puedo descomponer 56 en 40 y 16. Tanto 40 como 16 son múltiplos de 4, entonces 56 también es un múltiplo de 4.

428

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Nombre

Fecha

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

4. Piensa en los múltiplos de 7. a. Escribe los primeros 10 múltiplos de 7. Comienza con el 7.

Completa los espacios. Usa las imágenes como ayuda.

b. ¿Cuál es el tercer múltiplo de 7?

21 c. ¿Cuál es el décimo múltiplo de 7?

70 a. El primer múltiplo de 3 es

b. El segundo múltiplo de 3 es c. El cuarto múltiplo de 3 es

d. ¿Es 40 un múltiplo de 7?

6 12

No. .

. 5. Completa la tabla de la parte (a) usando la regla. Luego, completa la parte (b). a. Regla: multiplicar la entrada por 6

Entrada

Los primeros cinco múltiplos de 5 son

Salida

b. Deepa dice que puede usar la tabla completada para saber que 96 es un múltiplo de 6. Explica su razonamiento. La tabla muestra que tanto 36 como 60 son múltiplos de 6, entonces 96 también debe ser un múltiplo de 6. 36 + 60 = 96

3. Cuenta salteado para completar el patrón de múltiplos de 6.

6, 12,

, 36,

173

174

GRUPO DE PROBLEMAS

429

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 23

Usa el cálculo mental, la división o la propiedad asociativa para completar los problemas 6 a 9. 6. ¿Es 15 un múltiplo de 4?

No.

7. ¿Es 70 un múltiplo de 10?

Sí.

8. ¿Es 56 un múltiplo de 9?

No.

9. ¿Es 81 un múltiplo de 3?

Sí.

10. El maestro López pregunta a sus estudiantes cuántos números tienen al número 28 como un múltiplo. Casey y Eva escriben sus respuestas. Casey

Eva

6, porque 28 tiene tres pares de factores

4 números

a. Escribe todos los números que tienen al número 28 como un múltiplo.

1, 2, 4, 7, 14, 28

b. Explica qué estudiante tiene la respuesta correcta. Casey tiene la respuesta correcta. 28 tiene tres pares de factores: 1 y 28, 2 y 14, y 4 y 7. Casey sabía que cada factor de 28 también tiene al número 28 como un múltiplo.

430

GRUPO DE PROBLEMAS

175

LECCIÓN 24

Reconocer que un número es un múltiplo de cada uno de sus factores

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Fecha

Decide si el enunciado es verdadero o falso. Explica tu razonamiento. a. Todo número que tiene a 8 como un factor también tiene a 2 como un factor. Verdadero. 2 es un factor de 8, entonces todo número que tiene a 8 como un factor también tiene a 2 como un factor.

Vistazo a la lección La clase enumera los factores de un número dado y reconoce que este también es un múltiplo de cada uno de sus factores. Identifican los factores de un número y usan operaciones de multiplicación y una tabla de cien para hallar factores incluidos en otros factores (p. ej., si 8 es un factor, entonces 4 y 2 también lo son porque son factores de 8). También usan operaciones de multiplicación conocidas y las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación para hallar otros factores de números más grandes.

Preguntas clave b. Si un número tiene a 5 como un factor, entonces también tiene a 10 como un factor. Falso. Solo algunos de los números que tienen a 5 como un factor también tienen a 10 como un factor. 15 es un ejemplo de un número que tiene a 5 como un factor, pero no a 10.

• ¿Qué relación hay entre los múltiplos y los factores? • ¿Por qué es útil identificar los factores y los múltiplos?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA3 Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del

rango del 1 al 100. (4.OA.B.4)

183

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

No se necesita.

Presentar 5 min

• ninguno

Aprender 35 min • Factores y múltiplos

Estudiantes • ninguno

• Relaciones entre factores • Hallar factores incluidos en otros factores • Grupo de problemas

Concluir 10 min

433

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Comparar números La clase compara dos números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con la comparación de números iniciada en el módulo 1. Muestre los números 30,001 y 29,999. Escriban una oración numérica y usen los signos mayor que, igual a o menor que para comparar los dos valores. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas individuales. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la oración numérica. Cuando dé la señal, digan la oración numérica comenzando con 30,001. ¿Comenzamos?

30,001 es mayor que 29,999.

30,001 > 29,999

Cuando dé la señal, digan la oración numérica relacionada comenzando con 29,999. ¿Comenzamos?

29,999 es menor que 30,001. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

434

56,094 < 56,409

73,107 > 72,071

100,738 > 98,783

500,462 < 501,009

340,390 < 340,930

638,140 > 638,090

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Contar de 7 decenas en 7 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 7 decenas en unidad de 7 decenas, en formas unitaria y estándar, del 0 al 350 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de siete en siete del 0 al 35. ¿Comenzamos?

0, 7, 14, 21, 28, 35 35, 28, 21, 14, 7, 0 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 7 decenas en 7 decenas, desde 0 decenas hasta 35 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 0 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0 decenas, 7 decenas…, 28 decenas, 35 decenas 35 decenas, 28 decenas…, 7 decenas, 0 decenas

0 decenas 7 decenas 14 decenas 21 decenas 28 decenas 35 decenas

140

210

280

350

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 7 decenas en 7 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 0. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

0, 70, 140, 210, 280, 350 350, 280, 210, 140, 70, 0

435

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Respuesta a coro: Factor desconocido La clase halla un factor desconocido, identifica los factores y determina si el producto es primo o compuesto para desarrollar fluidez con los factores y los números primos y compuestos. Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. Muestre 3 =

× 1.

¿Cuál es el factor desconocido?

Muestre la respuesta. Cuando dé la señal, digan los factores de 3 de menor a mayor. ¿Comenzamos?

El 3 es un número

×1 primo .

1y3 ¿El 3 es un número primo o compuesto? Un número primo Repita el proceso con la siguiente secuencia:

436

4=1×

12 =

×1

4=2×

12 =

×2

12 =

×3

17 = 1 ×

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Presentar

La clase usa múltiplos y factores para descomponer un número. Muestre la imagen de las tres cajas y el problema verbal. La directora encarga exactamente 37 relojes de pared para los salones de clases. Los relojes vienen en paquetes de 4, 5 y 8. ¿Qué combinación de paquetes podría haber encargado? Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar la combinación de paquetes que la directora podría haber encargado para recibir exactamente 37 relojes. Después de dar tiempo a las parejas para que trabajen, comente las estrategias que usaron para determinar la combinación de paquetes. Registre las combinaciones que comparten sus estudiantes.

8 5

¿Qué combinación de paquetes permite encargar exactamente 37 relojes? 1 paquete de 4 relojes, 5 paquetes de 5 relojes y 1 paquete de 8 relojes 6 paquetes con 4 relojes, 1 paquete con 5 relojes y 1 paquete con 8 relojes 4 paquetes con 8 relojes y 1 paquete con 5 relojes 4 paquetes de 4 relojes, 1 paquete de 5 relojes y 2 paquetes de 8 relojes ¿Qué estrategia usaron para hallar la combinación? Observamos que 37 es un número primo, entonces pensamos en separar 37 en 30 y 7. Eso no fue útil porque no había ninguna combinación de cajas para formar 7. Separar 37 en 20 y 17 sí fue útil porque observamos que había cincos en 20 y que 17 es 8 + 5 + 4. Observamos que 4 es un factor de 8 y que los dos son factores de 24. Entonces, comenzamos en 24 y fuimos agregando combinaciones de cajas hasta llegar a 37. Enumeramos los múltiplos del tamaño de paquete más grande, 8, sin pasarnos de 37. Pudimos llegar hasta 4 múltiplos de 8. Luego, agregamos una caja de 5 relojes.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Para ayudar a sus estudiantes a compartir su razonamiento, pídales que observen la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación.

437

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 Observamos que 32 + 5 = 37 y que 4 y 8 son factores de 32. Separamos 32 en partes para poder tener algunos paquetes de 4 relojes y algunos de 8 relojes. También agregamos 1 paquete de 5 relojes. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron los factores y los múltiplos para hallar combinaciones de 37. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, aprenderemos más sobre cómo hallar factores de números y cómo nos ayuda la relación entre los factores y los múltiplos.

Aprender

Factores y múltiplos La clase razona sobre la relación entre los factores y los múltiplos. Escriba los números del 1 al 24.

Presente el siguiente problema y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática. Identifiquen un número de la lista que tenga como múltiplo a 24. Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio e identifique el número de la lista que tiene como múltiplo a 24. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron. Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias. Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre las respuestas.

438

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 A medida que se desarrolla la conversación, encierre en un círculo los números que nombran sus estudiantes. Destaque el razonamiento y las estrategias que se relacionan con el conteo salteado, la multiplicación y la divisibilidad.

1 tiene a 24 como un múltiplo porque todos los números enteros son múltiplos de 1. 8 tiene a 24 como un múltiplo porque cuando cuento salteado de ocho en ocho digo 24. 12 tiene a 24 como un múltiplo porque el segundo múltiplo de 12 es 24. 3 tiene a 24 como un múltiplo porque sé que 8 treses, u 8 × 3, es 24. 24 es divisible entre 6, entonces 24 debe ser un múltiplo de 6. Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a hacer conexiones y anímeles a hacer sus propias preguntas. Pida a sus estudiantes que se enfoquen en los números que no están encerrados en un círculo y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué 24 no es un múltiplo de esos números.

5 no tiene a 24 como un múltiplo porque cada múltiplo de 5 termina en un 5 o un 0, y 24 no termina ni en 5 ni en 0. 7 no tiene a 24 como un múltiplo porque cuando cuento salteado de siete en siete, digo 21 y 28, pero no 24. Sé que 15 no tiene a 24 como un múltiplo porque el segundo múltiplo de 15 es 30, que es más que 24. Tachen todos los números que no tengan a 24 como un múltiplo.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y elijan una estrategia para enumerar los factores de 24. Cuando hayan terminado, pídales que comparen sus listas de factores con los números que tengan a 24 como un múltiplo. Pídales que se reúnan y conversen acerca de cuáles de los números encerrados en un círculo también son factores de 24. ¿Todos los factores de 24 también tienen a 24 como un múltiplo? Expliquen. Sí. Si un número es un factor de 24, quiere decir que cuando cuento salteado por ese factor, digo 24.

439

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 La multiplicación y la división están relacionadas. Si 24 es divisible entre un número, ese número es un factor. Entonces, puedo multiplicar por ese factor para llegar otra vez a 24. Los números que tienen a 24 como un múltiplo también son factores de 24. Veamos si eso es verdadero también para otros números. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para enumerar los factores de 12. Pídales que se reúnan y conversen acerca de qué factores de 12 también tienen a 12 como un múltiplo.

1, 22,, 3 3,, 4 4,, 6 6,, 12

¿Todos los factores de 12 también tienen a 12 como un múltiplo? Presente los siguientes enunciados, uno a la vez. Para cada uno de ellos, pida a sus estudiantes que determinen si el enunciado es verdadero o falso y que compartan su razonamiento. • 4 es un factor de 12. Verdadero. 3 × 4 = 12. Verdadero. 12 es divisible entre 4. • 12 es un factor de 4. Falso. 12 no puede ser un factor de 4 porque es mayor que 4.

4 es un factor de 12. 12 es un factor de 4. 4 es un múltiplo de 12. 12 es un múltiplo de 4.

Falso. Los únicos factores de 4 son 1, 2 y 4. • 4 es un múltiplo de 12. Falso. Cuando contamos salteado de doce en doce, no decimos 4.

DUA: Acción y expresión Considere apoyar a sus estudiantes para que compartan su razonamiento e ideas. Cuando respondan verdadero o falso a las afirmaciones, muestre esquemas de oración entre los que puedan elegir. • Este enunciado es verdadero porque . • Este enunciado es falso porque

• 12 es un múltiplo de 4. Verdadero. El tercer múltiplo de 4 es 12. Verdadero. 4 es un factor de 12, entonces 12 es un múltiplo de 4. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de la relación entre los factores y los múltiplos. Cuando un número es un múltiplo de un número más pequeño, este es uno de sus factores.

440

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Relaciones entre factores La clase usa la tabla de cien para identificar relaciones entre los factores y los múltiplos. Muestre la imagen de la tabla de cien con los múltiplos de 3 sombreados. ¿Qué observan acerca de todos los números sombreados de verde? Son los números que decimos al contar salteado de tres en tres. Son múltiplos de 3. Son divisibles entre 3. Dado que todos los números sombreados de verde son múltiplos de 3, ¿qué más sabemos acerca de estos números?

3 es un factor de todos los números.

Nota para la enseñanza

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Como alternativa para mostrar las imágenes de las tablas de cien y encerrar en un círculo los múltiplos en las imágenes que se muestran, imprima o haga una copia de la hoja extraíble de Múltiplos en la tabla de cien de la edición para la enseñanza y úsela para guiar este segmento de la sección Aprender.

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Pida a sus estudiantes que cuenten salteado y que digan los múltiplos de 9. Mientras lo hacen, encierre en un círculo cada múltiplo de 9 en la tabla. ¿Qué múltiplos de 9 están sombreados de verde? Todos Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo se relacionan los múltiplos de 3 y los de 9. Considere hacer las siguientes preguntas. ¿Todos los múltiplos de 9 tienen a 3 como un factor? Sí. ¿Todos los múltiplos de 3 tienen a 9 como un factor? No. Solo algunos múltiplos de 3 tienen a 9 como un factor. 6 y 15 son múltiplos de 3, pero no tienen a 9 como un factor.

441

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen acerca de ejemplos de números que tengan a 3, pero no a 9, como un factor.

Diferenciación: Desafío

Escriba 90 = 9 × 10. Si sé que tanto 9 como 10 son factores de 90, ¿qué otros números también son factores de 90?

2 es un factor porque 90 es par y los números pares tienen a 2 como un factor. 3 es un factor porque todo múltiplo de 9 tiene a 3 como un factor.

• Soy un número impar menor que 20. Tengo exactamente cuatro factores. ¿Qué número soy?

5 también es un factor. Lo sabemos porque 5 es un factor de 10. Si 10 es un factor de 90, entonces también lo es 5. Muestre la imagen de la tabla de cien con los múltiplos de 4 sombreados. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo describirían los números sombreados. Pídales que usen los términos múltiplo y factor en sus descripciones. Los números sombreados son múltiplos de 4. Cada número sombreado tiene a 4 como un factor.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

• Soy un número menor que 100. La suma de mis dígitos es 12. Tengo a 5 como un factor. ¿Qué número soy?

75 • 72 es uno de mis múltiplos. Tengo más de ocho factores. ¿Qué número soy?

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

¿Qué otro número es un factor de cada uno de los números sombreados? ¿Cómo lo saben?

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

2 es un factor de cada uno de los números

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

sombreados. Lo sé porque cada número es un número par.

Para desafiar a sus estudiantes, considere presentar acertijos como los siguientes:

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Pida a sus estudiantes que cuenten salteado y digan los múltiplos de 8. Mientras lo hacen, encierre en un círculo cada múltiplo de 8 en la tabla. ¿Cuáles de los múltiplos de 8 están sombreados de amarillo? Todos Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la relación entre los números que tienen un factor de 4 y los que tienen un factor de 8.

442

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 Cada número encerrado en un círculo es un múltiplo de 8, entonces 8 es un factor. Cada múltiplo de 8 está sombreado de amarillo, lo que quiere decir que 4 también es un factor. Todo número que tiene a 8 como un factor también tiene a 4 como un factor. Algunos números, como 12 y 76, tienen a 4 como un factor, pero no a 8. Piensen en el problema de los paquetes de relojes. ¿De qué manera les ayuda la comprensión de la relación entre los factores y los múltiplos a resolver ese problema? Nos ayuda a saber que podemos cambiar un paquete de 8 relojes por dos paquetes de 4 relojes.

Nos ayuda a hallar otras combinaciones de paquetes cuando sabemos cómo se relacionan los números entre sí. Si hay tiempo suficiente, considere pedir a sus estudiantes que estudien los números de la tabla que tienen a 10 como un factor y pregúnteles qué otros factores comparten. Preste atención a quienes identifiquen que, como todos son pares, 2 es un factor y, como todos terminan en 0, ese 5 también lo es.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo conocer un factor, por ejemplo 6, 8, 9 o 10, puede ayudarles a hallar otros factores.

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando separa un factor de una operación de multiplicación en partes y, luego, usa la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar otros factores.

Hallar factores incluidos en otros factores

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

La clase separa un factor de una operación de multiplicación en partes y usa la propiedad asociativa de la multiplicación para hallar otros factores.

• Cuando usan la estrategia de separar en partes, ¿hay algo que se repite? ¿Cómo les ayuda esto a hallar otros factores?

Usemos ecuaciones para ver cómo conocer un factor puede ayudarnos a hallar otro factor. Escriba 72 = 8 × 9. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo y que continúen escribiendo ecuaciones a medida que usted lo hace.

• ¿Funcionará siempre este método para ayudarles a hallar otros factores de 72? ¿Cómo lo saben?

443

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 Si 8 es un factor, ¿qué otros números también lo son? ¿Cómo lo saben?

2 y 4 son factores porque 8 es un múltiplo de 2 y de 4. Expresemos 8 como 2 × 4. Escriba = (2 × 4) × 9. Podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para agrupar los factores de otras maneras. ¿De qué maneras podemos agrupar los factores para hallar otros? Podemos mover los paréntesis para que 4 y 9 queden agrupados. Podemos escribir (4 × 2) × 9 y, luego, agrupar 2 y 9 para mostrar 4 × (2 × 9). Escriba = 2 × (4 × 9). ¿Qué factor vemos ahora?

36 porque 4 × 9 = 36 Pida a sus estudiantes que agrupen (2 × 4) × 9 de diferentes maneras para hallar otros factores de 72. ¿Qué factores de 72 hallaron? Nombren todos los que puedan.

2, 4, 8, 9, 18 y 36 Escriba 64 = 8 × 8. Si 8 es un factor de 64, ¿qué otros números también son factores de 64?

72 = 8 × 9 = ( 2 × 4) × 9 = ( 4 × 2) × 9 = 4 × ( 2 × 9) = 4 × 18

2y4 ¿Cómo podemos separar 8 en partes y escribirlo como una expresión de multiplicación?

4×2 Pida a la clase que registre las expresiones. Luego, pídales que trabajen en parejas y usen la propiedad asociativa de la multiplicación para agrupar los factores de diferentes maneras. ¿Es 16 un factor de 64? Sí.

444

Nota para la enseñanza Puede haber estudiantes que hallen otros factores separando el total o uno de los factores en partes de diferente manera. El objetivo es que razonen con flexibilidad sobre las relaciones entre los factores y los múltiplos para hallar otros factores, no que hallen todos los factores de un número dado.

= 4 × (2 × 8) = 4 × 16

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 ¿Qué otros números también son factores de 64?

2, 4, 8 y 32 1 y 64 también son factores. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo conocer una operación de multiplicación y cómo usar la propiedad asociativa de la multiplicación puede ayudarles a hallar los factores de un número.

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Reconocer que un número es un múltiplo de cada uno de sus factores Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los múltiplos y los factores. Usen los números 3 y 12 para explicar cómo se relacionan los múltiplos y los factores. Tanto los múltiplos como los factores se relacionan con la multiplicación. 3 × 4 = 12. Cuando un número más grande, como 12, es un múltiplo de uno más pequeño, como 3, también quiere decir que el número más pequeño es un factor del más grande. 3 es un factor de 12. ¿Cómo nos ayuda la propiedad asociativa de la multiplicación cuando hallamos factores? Nos ayuda porque sé que puedo agrupar los factores de diferentes maneras para hallar otros factores. Cuando solo conozco algunos de los factores de un número, puedo separarlos en partes y agruparlos de diferentes maneras en las expresiones para hallar más factores usando la propiedad asociativa de la multiplicación.

445

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

¿Por qué es útil identificar los factores y los múltiplos? Den un ejemplo del mundo real para apoyar su razonamiento. Conocer los factores y los múltiplos nos ayuda a separar los números en partes de diferentes maneras para hacer combinaciones, como las de las cajas en la sección Presentar. Conocer un factor me ayuda a hallar otro factor de un número. Eso me puede servir cuando quiero practicar algunas destrezas durante 1 hora. Puedo decidir si quiero separar 60 minutos en 6 segmentos de 10 minutos o 15 segmentos de 4 minutos o alguna otra combinación. Es útil para cuando quiero comprar algo. Puedo elegir diferentes combinaciones de monedas para usar al pagar. Conocer los factores de los números me ayuda a saber si puedo dividir algo en partes iguales, como cuando tengo un paquete de 12 gomas de mascar, pero lo quiero repartir entre 4 personas y yo.

446

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

Nombre

Fecha

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

3. Piensa en el número 16. a. ¿Qué números tienen a 16 como un múltiplo?

1, 2, 4, 8, 16

1. Usa la imagen para completar las partes (a) a (h).

b. ¿Cuáles son los factores de 16?

1, 2, 4, 8, 16 c. ¿Tus respuestas para las partes (a) y (b) son las mismas? Explica. a. Enumera los factores de 8.

1, 2, 4, 8 b. ¿Es 4 un factor de 8?

Sí.

c. ¿Es 5 un factor de 8?

No.

d. ¿Es 8 un factor de 8?

Sí.

Sí, los números que tienen a 16 como un múltiplo son los mismos que los factores de 16.

e. Enumera los primeros cinco múltiplos de 4.

4, 8, 12, 16, 20 ¿Es 4 un múltiplo de 4?

Sí.

g. ¿Es 5 un múltiplo de 4?

No.

h. ¿Es 8 un múltiplo de 4?

Sí.

4. Explica por qué el siguiente enunciado es verdadero. Todo número que tiene a 8 como un factor también tiene a 4 como un factor.

4 es un factor de 8, entonces todo número que tiene a 8 como un factor también tiene a 4 como un factor.

2. Completa la tabla de la parte (a) usando la regla. Luego, completa la parte (b). a. Regla: multiplicar la entrada por 7

Entrada

Salida

b. Decide si 7 es un factor de 91. Explica tu razonamiento. La tabla muestra que 7 es un factor tanto de 21 como de 70, por lo que 7 también es un factor de 91. 21 + 70 = 91

5. Explica por qué el siguiente enunciado es falso. Si un número tiene a 3 como un factor, entonces tiene a 6 como un factor. Solo algunos números que tienen a 3 como un factor tienen a 6 como un factor. 9 es un ejemplo de un número que tiene a 3 como un factor, pero no a 6.

179

180

GRUPO DE PROBLEMAS

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EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

6. Shen dice que, como 3 es un factor de 129, entonces 9 también debe ser un factor de 129.

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24

EUREKA MATH2

Escribe verdadero o falso para cada enunciado.

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación o una tabla de entrada y salida para decidir si Shen está en lo correcto.

9. 90 es un factor de 90.

129 = 1 × 129 = 1 × 3 × 43

Verdadero

= 3 × 43 Los factores de 129 son 1, 3, 43 y 129. Shen no está en lo correcto porque 9 no es un factor de 129.

10. 90 es un múltiplo de 90. Verdadero

7. Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para mostrar que el número dado es un factor de 90. a. 6

90 = 3 × 30

b. 10

90 = 2 × 45

c. 15

11. 45 es un múltiplo de 90. Falso

90 = 5 × 18

= 3 × 2 × 15

=2×5×9

=5×3×6

= 6 × 15

= 10 × 9

= 15 × 6

= 90

12. 45 es un factor de 90. Verdadero 13. 90 es un factor de 18. Falso 14. 90 es un múltiplo de 18. Verdadero

8. Enumera todos los factores de 90. Usa tus respuestas de los problemas 7(a) a (c) como ayuda.

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

448

GRUPO DE PROBLEMAS

181

182

GRUPO DE PROBLEMAS

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

1 11 21

31 41 51 61 71 81 91

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

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15 25

100

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 24 ▸ Múltiplos en la tabla de cien

449

LECCIÓN 25

Explorar las propiedades de los números primos y compuestos hasta el 100 por medio de los múltiplos

EUREKA MATH2

Nombre

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Fecha

1. Nombra un número compuesto. Explica cómo sabes que es compuesto. El 35 es un número compuesto. Lo sé porque 35 tiene más de 2 factores. Los factores de 35 son 1, 5, 7 y 35.

Vistazo a la lección La clase usa la criba de Eratóstenes para identificar todos los números primos y compuestos del 1 al 100. Usan lo que hallan para identificar las propiedades de los números primos y compuestos. En esta lección, no se incluye Grupo de problemas.

Pregunta clave • ¿Cómo pueden usar los múltiplos para identificar los números primos y compuestos?

2. Nombra un número primo. Explica cómo sabes que es primo. El 13 es un número primo. Lo sé porque no es un múltiplo de otro número además del 1 y sí mismo.

Criterios de logro académico 4.Mód2.CLA3 Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del

rango del 1 al 100. (4.OA.B.4)

4.Mód2.CLA4 Determinan si un número entero hasta el 100 es primo

o compuesto. (4.OA.B.4)

191

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 15 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tabla de cien (en la edición para la enseñanza)

• Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Aprender 30 min • La criba de Eratóstenes • Usar factores para identificar múltiplos • Propiedades de los números primos y compuestos

Concluir 10 min

• lápices de colores (2)

Estudiantes • Práctica veloz: Comparar números (en el libro para estudiantes)

• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la sección Presentar. • Prepare un lápiz de color rojo y uno de color azul por estudiante y maestra o maestro.

• lápices de colores (2)

451

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Fluidez

Práctica veloz: Comparar números 2 Materiales: E) Práctica veloz: Comparar números EUREKA MATH

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar números

La clase compara dos números enteros de varios dígitos para adquirir fluidez con la comparación de números iniciada en el módulo 1.

Práctica veloz Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problemas. Escribe >, = o < para comparar los dos números. 1.

2,375

1,735

45,162

45,189

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea. No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo. En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar! Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B. Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

452

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Nota para la enseñanza

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

• ¿Qué problemas les resultaron más fáciles de comparar? ¿Por qué? • ¿Qué valor posicional usaron para comparar en los problemas 1 a 4? ¿Y en los problemas 5 a 8?

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B. ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron. Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Determinen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Nota para la enseñanza Cuente hacia delante de 70 en 70 desde el 0 hasta el 700 para la actividad de conteo de ritmo rápido. Cuente hacia atrás de 7 decenas en 7 decenas desde 70 decenas hasta 0 decenas para la actividad de conteo de ritmo lento.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

453

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Respuesta a coro: Múltiplos La clase dice los primeros cinco múltiplos de 3 y 6 y, luego, responde preguntas usando las listas de múltiplos para desarrollar fluidez con los múltiplos. Cuando dé la señal, digan los primeros cinco múltiplos de 3. ¿Comenzamos? Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

Múltiplos de 3:

3 ,

Múltiplos de 6:

6 , 12 , 18 , 24 , 30

3, 6, 9, 12, 15 Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

6 ,

9 , 12 , 15

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Nota para la enseñanza Dado que cero multiplicado por cualquier número es cero, podríamos considerarlo el primer múltiplo de todos los números. Sin embargo, cuando contamos salteado, en general comenzamos por la unidad que estamos contando. Normalmente pensamos en la unidad en sí como el primer múltiplo en lugar de 0. Por ejemplo, cuando contamos salteado usando una unidad de 3, el primer múltiplo es 1 × 3, el segundo es 2 × 3, y así sucesivamente. El múltiplo cero es 0 × 3.

¿Es 9 un múltiplo de 3? Sí. ¿Es 10 un múltiplo de 3? No. ¿Es 15 un múltiplo de 3? Sí. Cuando dé la señal, digan los primeros cinco múltiplos de 6. ¿Comenzamos? Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

6, 12, 18, 24, 30 ¿Es 9 un múltiplo de 6? No. ¿Es 12 un múltiplo de 6? Sí. ¿Es 24 un múltiplo de 6? Sí. ¿Es 3 un múltiplo de 3, 6 o ambos? De 3 ¿Es 6 un múltiplo de 3, 6 o ambos? De ambos

454

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Presentar

La clase predice qué relación podría haber entre una criba y las matemáticas. Muestre la imagen de una criba. ¿Qué saben sobre el objeto? Lo usamos en la cocina. Filtra o cuela cosas. Las cosas que son más grandes que los agujeros quedan atrapadas y el resto de las cosas caen a través de los agujeros. ¿Alguna vez han usado este objeto o algo parecido? ¿Para qué lo usaron? Lo usé para tamizar harina y azúcar glasé al hornear. Lo usé para colar semillas y la pulpa de los jugos de frutas. Lo usé para escurrir la pasta después de cocinarla. Un nombre para este objeto es criba. Hoy, usaremos una criba matemática. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué creen que puede hacer una criba matemática o cómo pueden usarla.

Las matemáticas en el pasado El recurso Las matemáticas en el pasado incluye más información acerca de cribas y Eratóstenes. También proporciona más información acerca de cómo funciona la criba de Eratóstenes para identificar los números primos y compuestos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje Mostrar la imagen de una criba y activar el conocimiento previo de la clase sobre herramientas similares les puede ayudar a comprender mejor el funcionamiento de una criba. Este apoyo puede ayudarles también, mientras siguen el proceso de la criba de Eratóstenes, a comprender qué les sucede a los números en la tabla de cien.

Muestre la imagen de Eratóstenes. La criba matemática que usaremos hoy es un procedimiento creado por Eratóstenes, un matemático griego que nació hace más de 2,200 años. Eratóstenes también estudió muchos otros temas. Inventó el estudio de la geografía y estimó correctamente la distancia alrededor de la Tierra.

455

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, averiguaremos qué tipos de números nos puede ayudar a identificar la criba de Eratóstenes.

Aprender

La criba de Eratóstenes Materiales: M) Tabla de cien, lápices de colores; E) Lápices de colores

La clase usa el algoritmo de la criba de Eratóstenes para eliminar múltiplos en la tabla de cien. Pida a sus estudiantes que vayan a la tabla de cien en sus libros y muestre la tabla de cien. La criba de Eratóstenes usa múltiplos para identificar un cierto tipo de número. Usaremos una tabla de cien y lo que sabemos acerca de los múltiplos para mostrar el proceso que usó Eratóstenes. Luego, veremos qué tipo de número identificamos. Comencemos al principio de la tabla y tachemos los múltiplos de cada número mientras avanzamos.

456

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

457

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Señale el 1 en la tabla de cien. ¿Qué sucederá si tachamos todos los múltiplos de 1?

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Si tachamos los múltiplos de 1, entonces tacharemos todos los números.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Identificaremos al 1 como un tipo especial de número.

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Pida a sus estudiantes que sombreen el 1 con un lápiz de color rojo.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Encierre en un círculo el 2 en la tabla de cien y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Comencemos con el 2 y tachemos el resto de los múltiplos de 2. ¿Qué número tacharemos primero?

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

El 4 Dé a sus estudiantes 1 minuto para tachar el 4 y el resto de los múltiplos de 2 en sus tablas. Haga lo mismo en la tabla de cien. ¿Qué estrategia usaron para identificar y tachar los múltiplos de 2? Conté salteado de dos en dos. Taché todos los números pares porque sé que son todos múltiplos de 2.

DUA: Representación Considere activar los conocimientos previos invitando a la clase a pensar acerca de las tablas de cien que usaron en las lecciones 23 y 24 para identificar múltiplos. Pídales que visualicen mentalmente cómo eran las tablas de cien con los múltiplos de 2 encerrados en un círculo antes de empezar a tachar los múltiplos de 2. Use una estrategia parecida para los otros factores mientras avanza en la lección.

Después de mirar algunas filas, me di cuenta de que los múltiplos de 2 están en columnas, entonces taché todas las columnas de números pares. ¿Cuál es el siguiente número en la tabla de cien después de 2 que no está tachado?

El 3 Encierre en un círculo el 3 en la tabla de cien y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Tachemos los múltiplos de 3. ¿Cuál es el siguiente múltiplo de 3?

6, pero ya está tachado. ¿Por qué 6 ya está tachado?

6 es un múltiplo de 2.

458

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Dé a sus estudiantes 1 minuto para tachar los múltiplos de 3 que todavía no están tachados. Haga lo mismo en la tabla de cien. Para continuar eliminando múltiplos, usemos el siguiente número que todavía no está tachado y tachemos sus múltiplos. ¿Cuál es el siguiente número que todavía no está tachado?

El 5 Pida a sus estudiantes que encierren en un círculo el 5 y que tachen los múltiplos de 5 restantes. Haga lo mismo en la tabla de cien.

Dé a sus estudiantes 3 minutos para repetir el proceso, 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 continuando con los múltiplos de 6. Cuando la mayoría de la clase haya encerrado en un círculo al menos hasta el 13 y haya identificado sus múltiplos, haga la transición al siguiente segmento.

Usar factores para identificar múltiplos Materiales: M) Tabla de cien

La clase usa factores para reconocer que el múltiplo de un factor también es un múltiplo de otro factor. Muestre la tabla de cien con los múltiplos 2 a 13 tachados.

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

+ 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Todos los múltiplos ya estaban tachados.

2 × 11 = 22

+ 10

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Pensemos un poco más sobre los múltiplos de 11. ¿Cómo podemos usar la multiplicación para hallar el segundo múltiplo de 11?

Para quienes aún no puedan multiplicar o dividir de manera eficiente a fin de hallar múltiplos de números de dos dígitos, considere ayudarles con el uso del método de flechas para hallar el siguiente múltiplo. Por ejemplo, para hallar múltiplos de 13, pida a sus estudiantes que sumen 10 y, luego, 3 más. 13

¿Qué observaron acerca de los múltiplos de 11 y de 13? Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué creen que todos los múltiplos de 11 y de 13 ya estaban tachados.

Diferenciación: Apoyo

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 459

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Entonces, ¿22 es un múltiplo de 11 y de qué otro número?

2 ¿Cómo podemos usar la multiplicación para hallar el siguiente múltiplo de 11?

3 × 11 = 33 ¿33 también es un múltiplo de qué otro número?

3 ¿Cuál es el múltiplo de 11 más grande en la tabla?

99 ¿De qué otro número también es un múltiplo 99? ¿Cómo lo saben?

99 también es un múltiplo de 9 porque 9 × 11 = 99. ¿Por qué ya habíamos tachado todos los múltiplos de 11? Los habíamos tachado porque todos son múltiplos de números más pequeños. Los múltiplos de 11 en la tabla son múltiplos de 2, 3 y de todos los números hasta el 9. Esos ya estaban tachados.

DUA: Participación

¿Creen que todos los múltiplos de 13 ya están tachados? ¿Por qué?

Si hay estudiantes que se ven abrumados por el tamaño de la tabla de cien o los números de dos dígitos, considere facilitar el desarrollo personal de las estrategias y destrezas para afrontar los problemas. Recuérdeles que cuando necesitan apoyo, están aprendiendo. Comente estrategias para perseverar y afrontar la frustración, como las siguientes:

El múltiplo de 13 más grande en la tabla es 91. 7 × 13 = 91. Todos los múltiplos de factores más pequeños menores a 9 ya están tachados. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si creen que quedan más múltiplos en la tabla para tachar. Deles 2 minutos para continuar encerrando en un círculo el siguiente número y tachando todos los múltiplos hasta que todos los números estén encerrados en un círculo o tachados. ¿Qué observaron mientras completaban la tabla? No quedaban múltiplos por tachar. Ya estaba todo tachado. Encerramos en un círculo todos los números que quedaban.

• Practiquen el diálogo interno con enunciados como: “¡Puedo hacerlo!”. • Hagan una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar. • Elijan un enfoque diferente para hallar múltiplos. • Hagan una pregunta a sus parejas de trabajo o al maestro o la maestra para aclarar dudas.

No quedaban más múltiplos en la tabla porque los números eran demasiado grandes.

460

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 ¿Hasta qué número llegaron para darse cuenta de que no quedaban más múltiplos de ese número en la tabla? Llegué hasta el 53. El siguiente múltiplo de 53 es 106, y 106 no está en la tabla. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben cuando ya tacharon todos los múltiplos de un número.

Propiedades de los números primos y compuestos Materiales: M) Tabla de cien, lápices de colores; E) Lápices de colores

La clase identifica los números en la tabla como primos o compuestos y analiza sus propiedades. Una criba separa objetos más grandes de otros más pequeños, como las semillas del jugo de frutas. Pensemos en cómo la criba de Eratóstenes separó los números. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen todos los números que están encerrados en un círculo en la tabla. Los números encerrados en un círculo son números primos porque sus únicos factores son 1 y sí mismo. Los números encerrados en un círculo son números primos. No son múltiplos de ningún otro número. Todos los números encerrados en un círculo son números primos. ¿Qué tipo de número son todos los números tachados? ¿Cómo lo saben? Los números tachados son números compuestos porque tienen más de dos factores. Los números compuestos están tachados porque son múltiplos de otros números. Así es como sabemos que tienen más de dos factores. Pida a sus estudiantes que usen el lápiz de color azul para sombrear los recuadros que contienen números compuestos. ¿Por qué el 1 no está ni encerrado en un círculo ni tachado? ¿Qué hace que el 1 sea especial? El 1 no es un número primo ni compuesto. Solo tiene un factor.

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 Presente los siguientes enunciados, uno a la vez. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. • Un número par es un número compuesto.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

• Un número impar es un número primo. • El múltiplo de un número primo también es primo. • Un número primo solamente es múltiplo de dos números: 1 y sí mismo.

Considere apoyar la rutina Siempre, a veces, nunca con esquemas de oración para que sus estudiantes puedan consultar. siempre es verdadero

Dé 1 minuto para que cada estudiante piense en silencio y evalúe si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.

porque

Pida a la clase que comente su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento.

porque

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Anímeles a proporcionar ejemplos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación. Llegue al siguiente consenso para concluir:

. a veces es verdadero . nunca es verdadero

porque Por ejemplo,

. .

• Todos los números pares, excepto el 2, son compuestos. 2 es un número primo. • Algunos números impares son primos, pero no todos los números impares son primos. Por ejemplo, 15 es un número impar, pero es compuesto porque tiene más de dos factores. • Si un número es un múltiplo de otro número que no es 1 ni sí mismo, eso significa que tiene más de dos factores, entonces es un número compuesto. Por ejemplo, 2 es un número primo, pero todos los múltiplos de 2 son compuestos porque también tienen a 2 como un factor. • Un número primo tiene solo dos factores, 1 y sí mismo. Sabemos que un número es un múltiplo de sus factores. Eso significa que un número primo también es múltiplo solo de dos números.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando comenta si un enunciado sobre números primos y compuestos es siempre verdadero, es a veces verdadero o nunca es verdadero y cuando defiende su posición. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3: • ¿Es verdadero que todos los números pares son números compuestos? ¿Cómo lo saben? • ¿Qué le pueden preguntar a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprendieron su argumento de que un número primo es solamente múltiplo de 1 y de sí mismo?

462

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

Concluir

Reflexión final 5 min Objetivo: Explorar las propiedades de los números primos y compuestos hasta el 100 por medio de los múltiplos Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de usar múltiplos para identificar números primos y compuestos. Mencionen un número compuesto que hayan identificado hoy. ¿Cómo saben que es compuesto?

85 es un número compuesto porque es un múltiplo de 5. Si es un múltiplo de 5, entonces 5 es un factor de 85, por lo que 85 tiene más de dos factores. Mencionen un número primo que hayan identificado hoy. ¿Cómo saben que es primo?

53 es un número primo porque no es un múltiplo de otro número además del 1 y sí mismo. ¿Cómo podemos hallar los números primos entre el 1 y el 200? Podríamos extender la tabla de cien hasta el 200. Podríamos continuar el proceso de la criba de Eratóstenes tachando los múltiplos de cada número. Los números que quedan sin tachar son primos. ¿Cómo pueden usar los múltiplos para identificar los números primos y compuestos? Si un número solamente es múltiplo de 1 y de sí mismo, es un número primo. Si un número es un múltiplo de otro número además del 1 y de sí mismo, es un número compuesto.

463

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar números

Número de respuestas correctas:

Escribe >, = o < para comparar los dos números. 1.

Número de respuestas correctas: Progreso:

Escribe >, = o < para comparar los dos números.

1,000

23.

7,058

6,085

1,000

100

23.

6,085

7,058

1,000

199

24.

68,093

67,309

199

1,000

24.

67,309

68,093

2,573

1,573

25.

642,150

1,573

2,573

25.

642,150

1,365

26.

7,104

7,240

1,365

26.

7,240

7,104

2,936

2,836

27.

79,460

79,506

2,863

2,936

27.

79,506

79,460

2,521

2,612

28.

710,912

710,821

2,612

2,521

28.

710,821

710,912

2,494

29.

8,130

2,494

29.

8,130

2,258

2,184

30.

84,036

84,029

2,184

2,258

30.

84,029

84,036

3,887

3,891

31.

830,462

830,526

3,891

3,887

31.

830,526

830,462

10.

3,653

3,647

32.

9,205

9,206

10.

3,647

3,653

32.

9,206

9,205

11.

3,432

3,428

33.

95,202

95,203

11.

3,428

3,432

33.

95,203

95,202

12.

3,281

3,279

34.

960,637

960,638

12.

3,279

3,281

34.

960,638

960,637

13.

4,000

40,000

35.

3,000

2,000

13.

40,000

4,000

35.

2,000

1,000

14.

40,000

4,999

36.

4,000

5,000

14.

4,999

40,000

36.

3,000

4,000

15.

51,593

41,593

37.

1,300

1,000 + 300

15.

41,593

51,593

37.

1,000 + 300

1,300

16.

47,628

38.

2,000 + 70

2,700

16.

47,628

38.

2,700

2,000 + 70

17.

58,531

59,135

39.

30,050

30,000 + 5

17.

59,135

58,531

39.

30,000 + 5

30,050

18.

57,742

40.

40,000 + 600

40,600

18.

57,742

40.

40,600

40,000 + 600

19.

56,319

56,291

41.

51,000

50,000 + 1,000

19.

56,291

56,319

41.

50,000 + 1,000

51,000

20.

55,682

55,728

42.

60 + 60,000

60,600

20.

55,728

55,682

42.

60,600

60 + 60,000

21.

54,957

54,968

43.

70,700

7,000 + 70,000

21.

54,968

54,957

43.

7,000 + 70,000

70,700

22.

53,528

53,519

44.

900 + 900,000

909,000

22.

53,519

53,528

44.

909,000

900 + 900,000

186

464

100

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ Práctica veloz ▸ Comparar números

188

100

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 25 ▸ Tabla de cien

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465

LECCIÓN 26

Usar las relaciones dentro de un patrón para hallar un término desconocido en la secuencia

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

Completa el patrón de números de la parte (a) usando la regla. Luego, completa la parte (b). a. Regla: sumar 7

Vistazo a la lección La clase usa la multiplicación para hallar términos desconocidos en patrones de figuras y de números. Usan su conocimiento de los múltiplos para determinar un término dado en un patrón. Además, analizan patrones para identificar características que no se mencionan de manera explícita en la regla del patrón. En esta lección se presenta la palabra término.

Preguntas clave

b. ¿Qué observas sobre los números en el patrón?

• ¿Cómo podemos usar la multiplicación y los múltiplos para hallar términos desconocidos en un patrón?

Los números en el patrón alternan entre impar y par.

• Además de la regla, ¿qué más podrían descubrir en los patrones?

Criterio de logro académico 4.Mód2.CLA5 Crean un patrón que siga una regla dada e identifican las

características adicionales de ese patrón. (4.OA.C.5)

205

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Agenda

Materiales

Preparación de la lección

Fluidez 10 min

Maestro o maestra

Presentar 5 min

• Tarjetas de verdadero y falso (en la edición para la enseñanza)

• Considere si desea retirar la hoja extraíble de Tabla vertical de entrada y salida de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas individuales con antelación o si la preparará con la clase durante la lección.

Aprender 35 min • Patrón de figuras creciente • Patrón de figuras que se repiten • Patrón de suma de números • Verdadero o Falso • Grupo de problemas

Estudiantes • Tabla vertical de entrada y salida (en el libro para estudiantes)

• Imprima o copie las Tarjetas de verdadero y falso. Recorte suficientes tarjetas de manera que haya una tarjeta de verdadero y una de falso por pareja de estudiantes.

Concluir 10 min

467

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Fluidez

Contar de 7 decenas en 7 decenas en la recta numérica La clase cuenta de unidad de 7 decenas en unidad de 7 decenas, en formas unitaria y estándar, del 350 al 700 para desarrollar la comprensión del valor posicional y realizar operaciones con números de varios dígitos. Vamos a contar hacia delante y hacia atrás de siete en siete del 35 al 70. ¿Comenzamos?

35, 42, 49, 56, 63, 70 70, 63, 56, 49, 42, 35 Muestre la recta numérica. Usen la recta numérica para contar hacia delante y hacia atrás de 7 decenas en 7 decenas, desde 35 decenas hasta 70 decenas, en forma unitaria. Empiecen diciendo 35 decenas. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

35 decenas, 42 decenas…, 63 decenas, 70 decenas 70 decenas, 63 decenas…, 42 decenas, 35 decenas

35 decenas 42 decenas 49 decenas 56 decenas 63 decenas 70 decenas

350

420

490

560

630

700

Ahora cuenten hacia delante y hacia atrás nuevamente de 7 decenas en 7 decenas. Esta vez digan los números en forma estándar. Empiecen diciendo 350. ¿Comenzamos? Muestre los números en la recta numérica, uno a la vez, mientras la clase cuenta.

350, 420, 490, 560, 630, 700 700, 630, 560, 490, 420, 350

468

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Intercambio con la pizarra blanca: Patrones aritméticos Materiales: E) Tabla vertical de entrada y salida

La clase halla un patrón y completa una tabla como preparación para usar las relaciones dentro de la secuencia de un patrón a fin de hallar un término desconocido. Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después. Muestre la tabla de entrada y salida.

Patrón: multiplicar la entrada por 3

Completen su tabla de modo que coincida con la tabla que se muestra.

Entrada Salida

Escriban el patrón para la tabla. Muestre el ejemplo de patrón: multiplicar la entrada por 3. Usen el patrón para completar la tabla.

3 4

9 12

7 10

21 30

Muestre la tabla completada. Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Patrón: multiplicar la entrada por 8

Patrón: dividir la entrada entre 6

Entrada Salida

32 40

7 6

8 10

64 80

24 12

4 2

469

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Respuesta a coro: Múltiplos La clase dice los primeros cinco múltiplos de 4 y 8 y, luego, responde preguntas usando las listas de múltiplos para desarrollar fluidez con los múltiplos. Cuando dé la señal, digan los primeros cinco múltiplos de 4. ¿Comenzamos? Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

4, 8, 12, 16, 20 Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Múltiplos de 4:

4 ,

8 , 12 , 16 , 20

Múltiplos de 8:

8 , 16 , 24 , 32 , 40

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta. ¿Es 12 un múltiplo de 4? Sí. ¿Es 20 un múltiplo de 4? Sí. ¿Es 15 un múltiplo de 4? No. Cuando dé la señal, digan los primeros cinco múltiplos de 8. ¿Comenzamos? Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

8, 16, 24, 32, 40 ¿Es 8 un múltiplo de 8? Sí. ¿Es 20 un múltiplo de 8? No. ¿Es 32 un múltiplo de 8? Sí. ¿Es 16 un múltiplo de 4, 8 o ambos? De ambos ¿Es 4 un múltiplo de 4, 8 o ambos? De 4

470

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Presentar

La clase selecciona una estrategia de su preferencia para determinar un número desconocido en una secuencia de conteo salteado de cinco en cinco. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y léalo a coro con la clase. 1. La clase de la maestra Wong se forma en una fila y trabaja en equipo para contar salteado de cinco en cinco. Quien está en el primer lugar de la fila dice 5 y quien le sigue dice el número siguiente en el conteo salteado. Quien dice 100 debe sentarse. Deepa es la 18.a en la fila. ¿Deberá sentarse? ¿Cómo lo sabes? 5

Deepa

Deepa no deberá sentarse. Quien esté en el 20.o lugar de la fila dirá 100 porque 5 × 20 = 100. Dé a la clase 2 minutos para trabajar en parejas y completar el problema 1. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y considere hacer las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento: • ¿Cómo les ayuda la imagen a comprender el problema? • ¿Cómo pueden usar los números 5, 18 y 100 como ayuda para pensar en el problema? • ¿Pueden usar una ecuación como ayuda para explicar sus respuestas? Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Seleccione trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las diferentes estrategias. Los ejemplos de trabajo demuestran el conteo salteado de cinco en cinco hasta el 100 y el razonamiento sobre la multiplicación con un factor desconocido.

471

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 Conteo salteado de cinco en cinco hasta el 100 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Deepa

No, Deepa no deberá sentarse porque dice 90 90,, no 100 100.. Multiplicación con un factor desconocido

Deepa

5 × 20 = 100 20..º dice 100 20 19..º dice 95 19 18..º dice 90 18

Deepa

No, Deepa no deberá sentarse porque dice 90 90,, no 100 100.. Luego, facilite una conversación de toda la clase acerca de las diferentes estrategias. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo. Escriba la siguiente secuencia de números.

5, 10, 15, 20 ¿Cómo se relacionan estos números con el problema 1? Son los primeros cuatro números que dice la clase cuando cuenta salteado de cinco en cinco. Determinamos que el 18.o número en este patrón es 90. Si les pidiera que hallaran el 57.o número en el patrón, ¿querrían contar salteado de cinco en cinco 57 veces? ¿Por qué? No, eso llevaría mucho tiempo. No, no es una estrategia eficiente.

472

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición. Hoy, usaremos lo que sabemos acerca de la multiplicación y los múltiplos para hallar de manera eficiente números y figuras desconocidos en patrones.

Aprender

Patrón de figuras creciente La clase halla el número desconocido de círculos para las figuras de un patrón creciente. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y léalo a coro con la clase. 2. La regla para el patrón de figuras es sumar 3 círculos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

473

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 a. Completa la tabla. Figura

Número de círculos

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

b. ¿Cuántos círculos habrá en la figura 9?

27 ¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre el patrón para completar la tabla de la parte (a)? Podemos usar las imágenes como ayuda para hallar cuántos círculos hay en las figuras 2 y 3. Podemos sumar 3 cada vez para averiguar cuántos círculos hay en cada figura. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 2(a). Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2(b). Invíteles a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden determinar el número de círculos en la figura 9. Podemos seguir dibujando círculos en cada figura hasta llegar a la figura 9. Sabemos que hay 15 círculos en la figura 5. Podemos sumar 3 cuatro veces más para hallar cuántos círculos hay en la figura 9. Podemos sumar el número de círculos en las figuras 4 y 5 para hallar el número de círculos en la figura 9.

474

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 ¿Serían eficientes estas mismas estrategias si quisiéramos hallar el número de círculos en la figura 27? ¿Por qué? No, nos llevaría mucho tiempo sumar 3 o dibujar círculos para hallar el número de círculos en la figura 27. Muestre la tabla completada con el número de círculos en cada figura resaltado.

Figura

Número de círculos

Figura 1

Figura 2

Diferenciación: Apoyo

• ¿Cómo se relaciona cada número con el 3?

Figura 3

• ¿Pueden usar la palabra múltiplos para describir estos números? ¿Cómo?

Figura 4

• ¿Cómo se relaciona el número de círculos con el número de la figura y el 3?

Considere agregar a la tabla una columna para la ecuación de multiplicación para ayudar a la clase a hacer la conexión entre el número de la figura y el número de círculos en cada figura.

Figura 5

Dé 1 minuto a las parejas para que comenten qué observan acerca de los números resaltados. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes conversan y use las siguientes preguntas para guiar su razonamiento:

Invite a las parejas de estudiantes a compartir su razonamiento con la clase. El número de círculos aumenta en 3 cada vez. Son los números que decimos al contar salteado de tres en tres. Todos son múltiplos de 3. Los números resaltados son múltiplos de 3. ¿Qué ecuación de multiplicación pueden escribir para mostrar que 3, el primer número resaltado en la tabla, es un múltiplo de 3?

1×3=3 Observen la tabla. ¿Cómo se relaciona esta ecuación con el patrón? Hay 3 círculos en la figura 1. Podemos hallar el número de círculos en la figura 1 usando la misma ecuación, 1 × 3 = 3. Señale el 6 que está resaltado en la tabla. Pregunte qué ecuación representa 6 como un múltiplo de 3 y cómo se relaciona la ecuación con el patrón. Repita la secuencia con 15.

475

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 ¿Cómo podemos usar la multiplicación para hallar el número de círculos que habrá en la figura 9? Podemos multiplicar 9 y 3. Invite a sus estudiantes a completar el problema 2(b).

Diferenciación: Desafío

¿Cuántos círculos habrá en la figura 9? Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué pueden usar la multiplicación a fin de hallar el número de círculos en una figura dada en este patrón aunque la regla sea sumar 3. El número de círculos en la figura 1 es 3 y la regla es sumar 3. Comenzamos con 3 y sumamos 3 más cada vez, lo que es una suma repetida. La multiplicación es una forma más eficiente de mostrar una suma repetida.

Considere decir a sus estudiantes el número de círculos que hay en una figura y pedirles que determinen el número de la figura. Por ejemplo, ¿qué figura en el patrón tiene 24 círculos? Pueden usar la multiplicación con un factor desconocido o la división para determinar el número de la figura.

El patrón comenzaba con 3 círculos y se sumaba el mismo número de círculos cada vez. Es como los grupos iguales y la multiplicación. Podemos usar la multiplicación porque el número de círculos en cada figura es un múltiplo de 3. Muestre la imagen del patrón de figuras. La regla para este patrón de figuras es sumar 3 círculos. ¿Pueden multiplicar 4 y 3 para determinar cuántos círculos hay en la figura 4? ¿Por qué? No, porque el número de círculos en cada figura no es un múltiplo de 3.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

No, porque el número de círculos en la figura 1 es 2. Para poder usar 4 × 3 y así hallar el número de círculos en la figura 4, el número de círculos en la figura 1 tiene que ser 3.

No, porque cuando contamos salteado de tres en tres, comenzamos con 3. Este patrón comienza con 2 círculos. Sí, pero también necesitaré restar 1 después de multiplicar porque la fila inferior tiene

2 círculos en lugar de 3.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuándo pueden usar la multiplicación como ayuda para determinar el número de figuras en un patrón de figuras.

476

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Patrón de figuras que se repiten La clase usa lo que sabe sobre los múltiplos para hallar un término desconocido en un patrón de figuras que se repiten. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y léalo a coro con la clase. Muestre la imagen de los perros.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Señale cada término mientras hace las siguientes preguntas. El 1.er término, o imagen, en el patrón muestra un perro parado. ¿Qué muestra el 2.o término? ¿Y el 3.er término? ¿Y el 4.o término?

Parado

Suplicante

Sentado

Acostado

3. Los cuatro términos se repiten continuamente para hacer un patrón.

La palabra término tiene varios significados en matemáticas y en el uso cotidiano. En esta lección, término se refiere a una imagen, figura o número en un patrón. Considere destacar algunos de los diferentes significados de término: • Los términos A, B y C forman parte de un patrón de figuras.

• Término puede significar periodo de tiempo.

Parado

Suplicante

Sentado

Acostado

a. ¿Cómo estará el perro en el 5.o término del patrón?

• Los términos pueden ser palabras o frases usadas para describir algo.

El perro estará parado en el 5.o término. b. ¿Cómo estará el perro en el 99.o término? ¿Cómo lo sabes? El perro estará sentado en el 99. término. En el 100. término, el perro estará acostado porque 100 es un múltiplo de 4. El 99.o término es el anterior al 100.o término, entonces el perro estará sentado. o

Se elige al presidente de los Estados Unidos por un término de cuatro años.

Podemos usar los términos múltiplo y factores para describir la relación entre 3, 5 y 15.

477

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se diferencia este patrón del que se vio en el problema 2. En el problema 2, cada figura está numerada. Los términos en el problema 3 no están numerados. En el problema 2, el patrón está formado por figuras. Este patrón está formado por imágenes de perros. En el problema 2, el patrón se forma al sumar 3 círculos cada vez. Este patrón se forma repitiendo las mismas cuatro imágenes. Invite a sus estudiantes a completar el problema 3(a). Ya calcularon que el 5.o término es el mismo que el 1.er término. ¿Cuál es el siguiente término que será el mismo que el 4.o término? El 8.o término será el mismo porque hay cuatro imágenes que se repiten. Los términos que son múltiplos de 4 serán los mismos que el 4.o término. ¿Es 99 un múltiplo de 4? ¿Cómo lo saben? No. Lo sé porque 99 es impar y los múltiplos de 4 son pares. Invite a la clase a trabajar en parejas para hallar un múltiplo de 4 que esté cerca de 99. ¿Qué múltiplo de 4 está cerca de 99?

96 100 ¿De qué manera conocer estos múltiplos de 4 les ayuda a determinar cómo estará el perro en el 99.o término? Sabemos que el perro estará acostado en el 96.o término porque es un múltiplo de 4. Podemos pensar en los siguientes 3 términos para calcular cómo estará el perro en el 99.o término. Sabemos que el perro estará acostado en el 100.o término porque es un múltiplo de 4. Podemos pensar en el término que vendrá antes del 100.o término para calcular cómo estará el perro en el 99.o término. Pida a sus estudiantes que completen el problema 3(b). Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo pensar sobre los múltiplos puede ayudarles a hallar un término desconocido en un patrón repetitivo.

478

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Patrón de suma de números La clase halla un término desconocido en un patrón de números e identifica otras características de los números en el patrón. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y léalo a coro con la clase. 4. María hace un patrón de números usando la regla: sumar 9.

9, 18, 27, 36, 45

DUA: Representación Considere presentar la información en otro formato. Presente el patrón de números del problema 4 como una tabla para apoyar a la clase mientras piensan sobre cómo usar la multiplicación para hallar el 13.o término.

a. ¿Cuál es el 13.o término del patrón?

117 b. ¿Hay algún número primo en el patrón? ¿Cómo lo sabes? No, porque 9 tiene 1, 3 y 9 como factores. Los números son todos múltiplos de 9, entonces todos tienen más de dos factores. c. Escribe un enunciado para describir algo más que observes acerca de los números del patrón. Muestra cómo sabes que tu enunciado es verdadero. Ejemplo: Los números siguen un patrón de impar, par, impar, par.

Impar

Par

Impar

Par

Impar

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre este patrón y el patrón de figuras del problema 2. Este es un patrón de números y el del problema 2 tiene figuras. Los dos son patrones de suma. El patrón del problema 2 usa la regla sumar 3 y este patrón usa la regla sumar 9.

479

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

¿Cómo pueden hallar de manera eficiente el 13.o término en el patrón? Podemos multiplicar 13 y 9 para hallar el 13.o término. El patrón comienza con 9 y se forma sumando 9 cada vez. Es una suma repetida de 9, lo que nos da el mismo total que multiplicar por 9. Podemos multiplicar 13 y 9 para hallar el 13.o término porque cada término del patrón es un múltiplo de 9. Este patrón comienza con 9 y continúa con la suma repetida de 9. Eso quiere decir que este patrón es lo mismo que multiplicar por 9, entonces podemos multiplicar el número del término por 9 para hallar el término. Invite a la clase a trabajar en parejas para completar los problemas 4(a) y 4(b). Elija estudiantes para que compartan sus respuestas. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4(c) y léalo a coro con la clase. Sabemos que la regla del patrón es sumar 9, pero veamos si hay otras maneras de describir los términos del patrón. Con sus estudiantes, cree un afiche de referencia que enumere las palabras que pueden usar para describir otras características de los números del patrón. El afiche puede incluir las siguientes palabras: • Par e impar

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando explora un patrón de números a partir de una regla dada e identifica y comunica lo que observa acerca de las características del patrón. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6: • ¿Cómo están usando la palabra término para describir lo que observan en el patrón de números de María con la regla sumar 9? • ¿En qué detalles es importante pensar al describir lo que observan? • ¿Es exactamente correcto decir que los términos 9, 18, 27, 36, 45 en el patrón de María son pares e impares? ¿Qué pueden agregar o cambiar para decirlo con más precisión?

• Múltiplos • Factores • Primo y compuesto • Divisible • Dígitos en la posición de las unidades o de las decenas Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema 4(c). Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y elija dos o tres parejas para que compartan su razonamiento.

480

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 Los ejemplos de trabajo muestran el uso de la terminología múltiplo, factor y divisible para describir otras características del patrón. Múltiplo

Factor

9=3×3

9 , 1188 , 27 27,, 3 36 6 , 45 Un término sí, el otro no, tendrá a 2 como un factor porque un término es par y el otro no.

Los números son múltiplos de 3.

Sabemos que son múltiplos de 9 y 9 = 3 × 3.

Divisible

Considere cubrir algunos de los términos del patrón para ayudar a sus estudiantes mientras identifican otras características del patrón. Por ejemplo, cubra todos menos el 1.er y el 2.o término del patrón. Use las siguientes preguntas para guiar a sus estudiantes mientras identifican otras características en el patrón: • ¿Cómo pueden usar las palabras par e impar para describir 9 y 18? • ¿Qué números son factores tanto de 9 como de 18?

9, 18, 27, 36, 45 Un término sí, el otro no, es divisible entre 6. 9 × 2 = 18 3 × 3 × 2 = 18 3 × 6 = 18

Diferenciación: Apoyo

9 × 4 = 36 3 × 3 × 2 × 2 = 36 6 × 6 = 36

Luego, use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase acerca de las diferentes características que identificaron en el patrón:

• ¿De qué números son múltiplos 9 y 18? • ¿Entre qué números son divisibles 9 y 18? Luego de que la clase describa una característica de 9 y 18, además de la regla dada de sumar 9, descubra el resto de los términos en el patrón. Pregunte: “¿Lo que hallaron es verdadero para todos los términos en el patrón?”.

• ¿Cómo decidieron qué palabras de nuestro afiche usar para describir lo que observaron sobre los términos del patrón? • ¿Su enunciado es verdadero para todos los términos del patrón? ¿Cómo mostraron que era verdadero solo para algunos de los términos? • ¿Serían estos mismos enunciados verdaderos para todos los patrones de números? ¿Por qué? • ¿Pueden escribir enunciados parecidos para los patrones de figuras? Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo pueden variar sus observaciones y las reglas sobre los patrones. La regla nos ayuda a saber cómo se forma cada término del patrón. Los enunciados que hacemos acerca del patrón son cosas que observamos sobre los números en él.

481

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 La regla aplica para todos los términos, pero las otras cosas que observamos se pueden aplicar a un término y al otro no. Lo que observamos es en base a la regla. Si la regla fuera diferente, observaríamos diferentes cosas.

Verdadero o Falso Materiales: E) Tarjetas de verdadero y falso

La clase determina si un enunciado acerca de un patrón de números es verdadero o falso. Distribuya un juego de tarjetas de verdadero y falso a cada pareja de estudiantes. Muestre la imagen del patrón de multiplicar por 3 y el enunciado sobre el patrón.

Regla: multiplicar por 3

1, 3, 9, 27, 81 Los números en el patrón son impares.

Invite a las parejas de estudiantes a decidir si el enunciado es verdadero o falso. Pídales que elijan la tarjeta que representa su respuesta y la coloquen bocabajo. Use una señal para indicar cuándo las parejas deben dar vuelta a las tarjetas para mostrar sus elecciones. Elija estudiantes para que compartan su razonamiento. Elegimos la tarjeta de verdadero porque el primer número es impar y cada término se forma multiplicando por 3, que también es impar. Cuando se multiplica un número impar por otro número impar, el producto es impar. Repita el proceso con los siguientes enunciados. • 1 es el único número primo del patrón. • Cada término luego del 2.o término es divisible entre 9. • Se puede hallar el 4.o término del patrón multiplicando 4 y 3. • Ningún término es divisible entre 2. Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo determinar si un enunciado dado sobre un patrón es verdadero o falso. Hay que pensar en la regla y en los términos del patrón. En este patrón, la regla es multiplicar por 3 y el primer término es 1. Estos mismos enunciados podrían no ser verdaderos si el primer término fuera 2.

482

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 Depende de lo que establezca el enunciado. A veces, pensar en los múltiplos puede ayudarnos a determinar si el enunciado es verdadero o falso. Otras veces, para determinar si el enunciado es verdadero o falso, hay que pensar en cada término o en un término sí, el otro no. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las diferentes estrategias que usaron para completar los patrones.

Concluir

Nota para la enseñanza Considere mostrar el afiche de referencia creado durante la lección para que sus estudiantes lo consulten mientras trabajan en el Grupo de problemas.

Reflexión final 5 min Objetivo: Usar las relaciones dentro de un patrón para hallar un término desconocido en la secuencia Guíe una conversación sobre cómo hallar términos desconocidos en patrones y cómo identificar otras características de un patrón.

Deepa

Muestre la imagen de Deepa en la fila. ¿Cómo podemos usar la multiplicación de forma eficiente para determinar si Deepa, la 18.a persona en la fila, dirá 100 cuando la clase cuente salteado de cinco en cinco? Podemos multiplicar 18 y 5 para calcular qué número dice Deepa.

483

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

¿De qué manera pensar en múltiplos de 5 puede ayudarles a determinar si Deepa dice 100? Podríamos calcular que 100 es el 20.o múltiplo de 5, no el 18.o. Eso nos ayuda a ver que Deepa no dirá 100. ¿Cómo podemos usar la multiplicación y los múltiplos para hallar términos desconocidos en algunos patrones? Cuando la primera figura en el patrón es igual que el número que estamos sumando, podemos multiplicar el número de la figura por el número que sumamos cada vez. Si es un patrón de figuras que se repiten, podemos pensar en los múltiplos como ayuda para determinar un término desconocido en el patrón de figuras. Muestre la secuencia de conteo salteado de cinco en cinco.

5, 10, 15, 20, 25, 30 Estos son los números que dicen quienes están en los seis primeros lugares de la fila. ¿Qué observan sobre los números en este patrón? El dígito en la posición de las unidades alterna entre 0 y 5. Los números siguen el patrón impar, par, impar, par. Un término sí, el otro no, es un múltiplo de 10. El primer término es el único número primo del patrón. Además de la regla, ¿qué más podrían descubrir en los patrones? Podemos ver si los términos alternan entre números impares y pares. Podemos intentar observar si los términos son múltiplos del primer término. Podemos comprobar si todos los términos son divisibles entre el mismo número.

484

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

Nombre

Fecha

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

2. Observa el patrón de figuras que se muestra.

1. La regla para el patrón de figuras es sumar 7 triángulos. a. Si el patrón continúa, ¿cuál es la siguiente figura? Corazón Figura 1

Figura 2

Figura 3

b. ¿Qué figura estará en el 49.o término?

a. Completa la tabla.

Corazón

Figura

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Número de triángulos

b. ¿Cuántos triángulos habría en la figura 7?

3. Dibuja un patrón de figuras que siga la regla. Regla: alternar entre un polígono de 3 lados y uno de 5 lados.

c. ¿En qué figura el número de triángulos es un número primo? Figura 1 d. ¿El número de triángulos en la figura 9 es divisible entre 3? ¿Cómo lo sabes? Sí. La figura 9 tendrá 9 filas de 7 triángulos. El número total de triángulos será 9 × 7.

3 es un factor de 9, entonces 3 también es un factor de 9 × 7 porque 9 × 7 = (3 × 3) × 7.

199

200

GRUPO DE PROBLEMAS

485

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

4. Si el patrón de arriba, izquierda, derecha y abajo continúa, ¿en qué dirección apuntará el pulgar en el 101.er término?

EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

7. Completa el patrón de números de la parte (a) usando la regla. Luego, completa la parte (b). a. Regla: restar 9

90, Arriba Izquierda Derecha Abajo

b. ¿Qué observas sobre los números en el patrón? Los números en el patrón alternan entre par e impar.

El pulgar apuntará hacia arriba en el 101.er término. Como 100 es un múltiplo de 4, el pulgar apuntará hacia abajo en el 100.o término, entonces apuntará hacia arriba en el que le sigue.

8. Usa la regla para continuar el patrón de números. Luego, encierra en un círculo Verdadero o Falso para cada enunciado.

5. Adam crea un patrón de números usando la regla: sumar 10.

10, 20, 30, 40, 50 Si el patrón continúa, ¿cuál será el 20.o número?

Regla: multiplicar por 2

200

1, 2,

6. Escribe un patrón de números que tenga solo números impares y siga la regla: sumar 6.

El primer número en el patrón es el único número impar.

Verdadero

Falso

El 8.o número en el patrón será el producto de 8 × 2.

Verdadero

Falso

No hay múltiplos de 4 en el patrón.

Verdadero

Falso

Ejemplo:

486

GRUPO DE PROBLEMAS

201

202

GRUPO DE PROBLEMAS

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EUREKA MATH2

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26

9. Carla obtuvo 20 puntos en el nivel 1 de un juego. Luego, su puntuación se duplicó en cada nivel.

EUREKA MATH2

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10. El lunes, Liz hace 13 saltos de tijera. Cada día, hace 5 saltos de tijera más que el día anterior.

a. Completa la tabla.

a. Completa la tabla para mostrar el número de saltos de tijera que hace Liz.

Nivel del juego

Día

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Número de puntos

160

320

Número de saltos de tijera

b. Si el patrón continúa, ¿cuántos puntos obtendrá Carla en el nivel 7?

1,280

b. ¿Qué patrones observas en el número de saltos de tijera?

c. ¿Qué patrones observas en el número de puntos?

El número de saltos de tijera aumenta en 5 cada día. Los números alternan entre impar y par, y el dígito de las unidades alterna entre 3 y 8.

Se puede multiplicar el número de puntos de cada nivel por 2 para obtener el número de puntos del siguiente nivel. Todos los números del patrón son pares y en la posición de las unidades siempre hay un 0.

GRUPO DE PROBLEMAS

203

204

GRUPO DE PROBLEMAS

487

EUREKA MATH2

488

Falso

Verdadero

4 ▸ M2 ▸ TE ▸ Lección 26 ▸ Tarjetas de verdadero y falso

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Estándares Estándares de contenido del módulo Utilizan las cuatro operaciones con números enteros para resolver problemas. 4.OA.A.2

Multiplican o dividen para resolver problemas verbales que incluyen comparaciones multiplicativas, por ejemplo, para representar el problema usando dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido, distinguen una comparación multiplicativa de una comparación de suma.

Obtienen familiaridad con los factores y los múltiplos. 4.OA.B.4

Hallan todos los pares de factores de números enteros dentro del rango 1–100. Reconocen que un número entero es un múltiplo de cada uno de sus factores. Determinan si cierto número entero dentro del rango 1–100 es un múltiplo de cierto número de un solo dígito. Determinan si un número entero dentro del rango 1–100 es primo o compuesto.

Generan y analizan patrones. 4.OA.C.5

Generan un patrón de números o figuras que sigue una regla dada. Identifican las características aparentes del patrón que no eran explícitas en la regla misma. Por ejemplo, dada la regla “Añadir 3” y con el número 1 para comenzar, generan términos en la secuencia resultante y observan que los términos parecen alternarse entre números impares y pares. Explican informalmente por qué los números continuarán alternándose de esta manera.

Utilizan la comprensión del valor de posición y de las propiedades de operaciones para efectuar aritmética con números de dígitos múltiples. 4.NBT.B.5

490

Multiplican un número entero de hasta cuatro dígitos por un número entero de un dígito, y multiplican dos números de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición y las propiedades de operaciones. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 4.NBT.B.6

Hallan cocientes y residuos de números enteros, a partir de divisiones con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de un dígito, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.

Resuelven problemas relacionados a la medición y a la conversión de medidas de una unidad más grande a una más pequeña. 4.MD.A.1

Reconocen los tamaños relativos de las unidades de medición dentro de un sistema de unidades, incluyendo km, m, cm; kg, g; lb, oz.; L, mL; h, min, s. Dentro de un mismo sistema de medición, expresan las medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Anotan las medidas equivalentes en una tabla de dos columnas. Por ejemplo, saben que 1 pie es 12 veces más largo que 1 pulgada. Expresan la longitud de una culebra de 4 pies como 48 pulgadas. Generan una tabla de conversión para pies y pulgadas con una lista de pares de números (1, 12), (2, 24), (3, 36), ...

4.MD.A.2

Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.

4.MD.A.3

Aplican fórmulas de área y perímetro de rectángulos para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Por ejemplo, hallan el ancho de una habitación rectangular dadas el área y la longitud del piso, usando la fórmula del área como una ecuación de multiplicación con un factor desconocido.

491

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

Estándares para la práctica de las matemáticas MP1

Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2

Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3

Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4

Representan a través de las matemáticas.

MP5

Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6

Ponen atención a la precisión.

MP7

Reconocen y utilizan estructuras.

MP8

Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

492

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias 4.Mód2.CLA1 Resuelven problemas verbales que involucran la comparación multiplicativa usando la multiplicación de números de dos dígitos por números de un dígito, o dividiendo decenas y unidades entre números de un dígito. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.OA.A.2 Multiplican o dividen para resolver problemas verbales que incluyen comparaciones multiplicativas, por ejemplo, para representar el problema usando dibujos y ecuaciones con un símbolo para el número desconocido, distinguen una comparación multiplicativa de una comparación de suma.

Parcialmente competente

494

Competente

Altamente competente

Jayla tiene 32 pegatinas. Shen tiene 4 veces esa cantidad. ¿Cuántas pegatinas tiene Shen?

Jayla tiene 32 pegatinas. Shen tiene 4 veces esa cantidad. Ray tiene 12 pegatinas más que Shen. ¿Cuántas pegatinas tiene Ray?

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód.CLA2 Hallan pares de factores de números enteros dentro del rango del 1 al 100. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.OA.B.4 Hallan todos los pares de factores de números enteros dentro del rango 1–100. Reconocen que un número entero es un múltiplo de cada uno de sus factores. Determinan si cierto número entero dentro del rango 1–100 es un múltiplo de cierto número de un solo dígito. Determinan si un número entero dentro del rango 1–100 es primo o compuesto.

Parcialmente competente

Competente

Identifican factores de números enteros dentro del rango del 1 al 100.

Hallan pares de factores de números enteros dentro del rango del 1 al 100.

¿Qué números son factores de 30? Selecciona las dos respuestas correctas.

Enumera los factores de 30.

Altamente competente

A. 3 B. 9 C. 10 D. 60 E. 300

495

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

4.Mód2.CLA3 Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del rango del 1 al 100. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

496

Competente

Altamente competente

Identifican un múltiplo de un número entero dado dentro del rango del 1 al 100.

Identifican números dentro del rango del 1 al 100 que tienen un número dado como múltiplo.

¿Qué números son múltiplos de 3? Selecciona las dos respuestas correctas.

¿Qué números tienen a 24 como un múltiplo? Selecciona las tres respuestas correctas.

A. 5

A. 3

B. 13

B. 5

C. 27

C. 6

D. 35

D. 12

E. 60

E. 48

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód2.CLA4 Determinan si un número entero hasta el 100 es primo o compuesto. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Determinan si un número entero hasta el 100 es primo o compuesto. ¿Qué números son primos? Selecciona las dos respuestas correctas. A. 4 B. 9 C. 13 D. 27 E. 41

497

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

4.Mód2.CLA5 Crean un patrón que siga una regla dada e identifican las características adicionales de ese patrón. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.OA.C.5 Generan un patrón de números o figuras que sigue una regla dada. Identifican las características aparentes del patrón que no eran explícitas en la regla misma. Por ejemplo, dada la regla “Añadir 3” y con el número 1 para comenzar, generan términos en la secuencia resultante y observan que los términos parecen alternarse entre números impares y pares. Explican informalmente por qué los números continuarán alternándose de esta manera.

Parcialmente competente

Competente

Crean un patrón que siga una regla dada. Comenzando por el número 2, crea un patrón de números usando la regla: Sumar 5.

Altamente competente

Crean un patrón que siga una regla dada e identifican las características adicionales de ese patrón. Piensa en el número 2. Parte A Comenzando por el número 2, crea un patrón de números usando la regla: Sumar 5. Parte B Sin extender el patrón, determina si el 60.o término será par o impar. Explica.

498

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód2.CLA6 Multiplican un número entero de dos dígitos por un número entero de un dígito. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.NBT.B.5 Multiplican un número entero de hasta cuatro dígitos por un número entero de un dígito, y multiplican dos números de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición y las propiedades de operaciones. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares, y/o modelos de área.

Parcialmente competente Completan o identifican un modelo de un cálculo de multiplicación para un número entero de dos dígitos por un número entero de un dígito. Completa el modelo de área para hallar 4 × 28.

Competente

Altamente competente

Multiplican un número entero de dos dígitos por un número entero de un dígito.

Identifican y explican un error en un cálculo de multiplicación.

Multiplica.

Shen resolvió 4 × 28. Se muestra su trabajo.

4 × 28 =

8 4

4 +

32 8 + 32 = 40

Shen cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.

499

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

4.Mód2.CLA7 Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas y unidades. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Competente Dividen entre un número entero de un dígito usando decenas y unidades. Divide.

129 ÷ 3 =

Altamente competente Identifican y explican un error en un cálculo de división. Robin resolvió 129 ÷ 3. Se muestra su trabajo.

129 ÷ 3 = (12 ÷ 3) + (9 ÷ 3) =4+3 =7

120 +

500

Robin cometió un error. Explica el error y lo que debe hacer para corregirlo.

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód2.CLA8 Expresan, en una tabla, unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.MD.A.1 Reconocen los tamaños relativos de las unidades de medición dentro de un sistema de unidades, incluyendo km, m, cm; kg, g; lb, oz.; L, mL; h, min, s. Dentro de un mismo sistema de medición, expresan las medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Anotan las medidas equivalentes en una tabla de dos columnas. Por ejemplo, saben que 1 pie es 12 veces más largo que 1 pulgada. Expresan la longitud de una culebra de 4 pies como 48 pulgadas. Generan una tabla de conversión para pies y pulgadas con una lista de pares de números (1, 12), (2, 24), (3, 36), ...

Parcialmente competente Conocen los tamaños relativos de longitud dentro del sistema inglés.

1 yarda es

veces tan larga como 1 pie.

Competente

Altamente competente

Expresan, en una tabla, unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. Completa la tabla. Yardas

Pies

1 3 5 10

501

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

4.Mód2.CLA9 Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.MD.A.2 Utilizan las cuatro operaciones para resolver problemas verbales sobre distancias, intervalos de tiempo, volúmenes líquidos, masas de objetos y dinero, incluyendo problemas con fracciones simples o decimales, y problemas que requieren expresar las medidas dadas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña. Representan cantidades medidas utilizando diagramas tales como rectas numéricas con escalas de medición.

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Resuelven problemas verbales que requieren expresar medidas de unidades de longitud más grandes del sistema inglés en términos de una unidad más pequeña. Liz tiene 5 pies de hilo. Lo corta en 6 partes iguales. ¿Cuántas pulgadas de largo mide cada parte?

502

EUREKA MATH2 4 ▸ M2

4.Mód2.CLA10 Representan las cantidades de las mediciones usando diagramas. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

Parcialmente competente

Competente

Altamente competente

Representan las cantidades de las mediciones usando diagramas. Llena los espacios para completar la recta numérica y el enunciado.

4 pies

0 pulg

pulg 24 pulg Hay

pulg

pulgadas en 4 pies.

503

EUREKA MATH2

4 ▸ M2

4.Mód2.CLA11 Resuelven problemas de área y perímetro. CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

4.MD.A.3 Aplican fórmulas de área y perímetro de rectángulos para resolver problemas matemáticos y del mundo real. Por ejemplo, hallan el ancho de una habitación rectangular dadas el área y la longitud del piso, usando la fórmula del área como una ecuación de multiplicación con un factor desconocido.

Parcialmente competente Resuelven problemas de área y perímetro cuando se les proporciona un modelo. El ancho de un jardín rectangular es 5 pies. El área es 45 pies cuadrados. ¿Cuál es la longitud del jardín?

Competente

Altamente competente

Resuelven problemas de área y perímetro. El ancho de un jardín rectangular es 5 pies. El área es 45 pies cuadrados. ¿Cuál es la longitud del jardín?

x pies 5 pies El área es 45 pies cuad.

504

Vocabulario Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 2 de 4.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos. Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase. Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

divisor En una expresión de división, el divisor es el número entre el que se divide. Por ejemplo, en la expresión 18 ÷ 3, el divisor es 3. (Lección 14) fórmula Una fórmula es una regla o ecuación que se usa para determinar algo. Por ejemplo, si un rectángulo tiene las longitudes de los lados l y a, la fórmula para hallar su área es A = l × a, y la fórmula para hallar su perímetro es P = 2 × (l + a). (Lección 3) número compuesto Si un número entero es mayor que 1 y tiene más de dos factores, se dice que es un número compuesto. Por ejemplo, 9 y 15 son números compuestos. Los números enteros mayores que 1 que no son números compuestos son números primos. (Lección 21)

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

número primo Si un número entero es mayor que 1 y sus únicos factores son el 1 y sí mismo, se dice que es un número primo. Por ejemplo, 7 y 11 son números primos. Los números enteros mayores que 1 que no son números primos son números compuestos. (Lección 21)

Nuevo

producto parcial Cuando se descompone un factor de una expresión de multiplicación de dos factores para multiplicar cada parte por el otro factor, los productos resultantes se llaman productos parciales. Por ejemplo, en 2 × 34 = 2 × (30 + 4) = (2 × 30) + (2 × 4) = 60 + 8, las expresiones 2 × 30 y 2 × 4 o 60 y 8 son productos parciales. (Lección 5)

cociente parcial En una expresión de división, cuando se descompone el total en partes y se divide cada una de esas partes entre el divisor, los cocientes resultantes se llaman cocientes parciales. Por ejemplo, en 72 ÷ 4 = (60 ÷ 4) + (12 ÷ 4) = 15 + 3, las expresiones 60 ÷ 4 y 12 ÷ 4 o 15 y 3 son cocientes parciales. (Lección 16) divisible Un número es divisible entre un segundo número si el segundo número es un factor del número dado. Por ejemplo, 30 es divisible entre 3 porque 30 = 3 × 10. A veces, también se usa la frase dividir de manera uniforme (p. ej., 30 se puede dividir de manera uniforme entre 3). (Lección 22)

506

propiedad asociativa de la multiplicación La propiedad asociativa de la multiplicación indica que se pueden agrupar de diferentes maneras los factores de una expresión de multiplicación de tres factores sin que cambie el producto. Por ejemplo, 7 × (6 × 10) = (7 × 6) × 10. (Lección 1)

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 propiedad distributiva La propiedad distributiva indica que se puede descomponer uno de los factores de una expresión de multiplicación de dos factores y multiplicar cada parte por el otro factor sin que cambie el producto. Por ejemplo, 2 × (30 + 4) = (2 × 30) + (2 × 4). El nombre completo de esta propiedad es propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. En 4.o grado, es adecuado referirse a esta propiedad como propiedad distributiva. (Lección 5)

factor

término (en un patrón) Un patrón de números o de figuras es una lista ordenada de elementos (números, objetos o imágenes), y cualquiera de los elementos de esa lista es un término. Por ejemplo, en el patrón de números 1, 2, 4, 8, 16..., el cuarto término de la lista es el 8. (Lección 26)

producto

Conocido

yarda

ancho

Verbo académico

área cociente

longitud modelo de área múltiplo perímetro pie

propiedad conmutativa de la multiplicación pulgada total

afirmar

507

Las matemáticas en el pasado La criba de Eratóstenes ¿Qué tiene que ver una criba con las matemáticas? ¿Cómo hallaban las personas los números primos en la antigüedad? ¿Cuál es la diferencia entre un número primo y un número compuesto? Pregunte a sus estudiantes si alguna vez usaron una criba o si vieron a alguien hacerlo. ¡Lo más probable es que sí lo hayan hecho, pero que no lo sepan! Es posible que sus estudiantes estén más familiarizados con el término colador o tamiz. Muéstreles estas imágenes y pregúnteles si saben para qué se usan este tipo de cribas. Un colador de malla, también conocido como tamiz, es un tipo de criba. Estos están diseñados para separar elementos en una mezcla. Por ejemplo, un colador puede separar el jugo de un limón, que fluye a través de los agujeros, de las semillas, que no pueden hacerlo. Algunos tamices separan partículas más grandes de otras más pequeñas, como granos diminutos de harina de grumos de mayor tamaño. Un colador chino es una criba con forma cónica de malla extremadamente fina, que se puede usar para espolvorear azúcar en una golosina, como una dona glaseada. ¡Delicioso! Las cribas de prueba que se muestran aquí se usan mucho en las industrias alimenticia, farmacéutica, química y minera, y tienen muchos usos más. ¡Incluso se usaron modelos similares para buscar oro durante la Fiebre del oro!

508

A pesar de la variedad de diseños, todas las cribas cumplen una única función: separar una parte de algo apartándola del resto. ¿Pero qué tiene que ver escurrir un limón en un colador con las matemáticas? Mucho antes de los libros de Eureka Math y de la invención de las cribas, en una antigua ciudad griega llamada Cirene, cerca de la actual Libia, nació un hombre llamado Eratóstenes. Esto sucedió hace más de 2,200 años, en 276 a. e. c., durante el periodo helenístico (323 a. e. c.–30 a. e. c.). Este periodo se conoce por la expansión de la cultura, las ciencias, el arte y la filosofía griegas, entre otros campos del conocimiento, a través del mar Mediterráneo y el suroeste asiático. Esta expansión Eratóstenes 276 a. e. c.–194 a. e. c. de conocimiento incluye las ideas de Eratóstenes, un famoso matemático, geógrafo (¡él inventó el estudio de la geografía!), filósofo, poeta, astrónomo, teórico de la música, inventor e historiador. Incluso fue el director de la Biblioteca de Alejandría. Alrededor de 240 a. e. c., Eratóstenes creó un algoritmo que luego se denominó la criba de Eratóstenes, una criba usada para hallar números primos. Así como un colador nos ayuda a separar el jugo de limón de sus

EUREKA MATH2 4 ▸ M2 semillas, la criba de Eratóstenes nos ayuda a separar los números compuestos de los números primos. ¡Pero no necesitamos un colador de verdad para hacerlo! Solo necesitamos una cuadrícula numérica y una herramienta para escribir. Pida a sus estudiantes que enumeren algunos números primos. ¿Cómo saben que estos números son primos? Pídales que piensen de qué manera podrían usar una criba para separar un número primo de uno compuesto. Para ver cómo funciona la criba de Eratóstenes, usaremos una cuadrícula numérica. En este ejemplo, hallaremos los números primos que son menores que 100, por lo que usaremos una cuadrícula del 1 al 100. Comenzamos localizando el primer número primo. Tachen el 1 y comiencen con el número 2. Dato curioso: ¡el 2 es el único número primo que es par! A continuación, necesitamos eliminar los múltiplos de 2. Podemos hacerlo tachándolos, encerrándolos en un círculo o marcándolos de cualquier otra manera que les sirva. Tachemos los múltiplos de 2, como se muestra aquí en verde, hasta llegar al 100. Ahora, localizamos el siguiente número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 primo, 3. Repetimos el proceso tachando 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 los múltiplos de 3, como se muestra aquí 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 en naranja, comenzando con el múltiplo 9. 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Observen que algunos múltiplos de 3 ya están tachados porque también son múltiplos de 2. Pregunte a sus estudiantes los múltiplos de qué número primo deberían tachar a continuación. Pista: pueden contar ese

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

número con los dedos de una mano. El número es 5. ¿Cuáles son los múltiplos de ese número primo? Continúe este proceso hasta que todos los números compuestos de la cuadrícula estén tachados y solo queden los números primos. ¿La clase observa algún patrón en los números compuestos basándose en la ubicación de los colores? Pídales que busquen patrones en los números primos. ¿Qué características tienen en común los números primos? ¿Tienden a ser pares o impares? ¿Observan algo acerca de cuán seguido aparecen los números primos?

Pregunte a la clase por qué creen que este método de hallar números primos se denomina criba. Pregúnteles si lo llamarían de otra manera. En diciembre de 2018, se halló el número primo más grande de la historia. ¡Es una cifra enorme de 24,862,048 dígitos! Son más números de los que pueden entrar en esta página, y créanos, lo hemos intentado. De hecho, escribir este número nos llevaría más de 9,000 páginas. ¡Son más páginas que las que hay en todos los libros de Eureka Math en este salón de clases!

1488944457420413255478064584723979166030262739927953241852712894252132393610644753103099711321803371 7475283440142358756005197751832658564918429319597082295063433434510973136992053423106411405952647678 7674681933221178184937547710798621122653479278862994212447235816979464424673722699111566154688983498 7857788089927363336356512975433528625745217905541113567854803029538259231829040461918808066672007922 2244571059309881538873940476999622792071943193965077120657269659128778891780444893214525405268925811 0669721358726058130396831449510843981458542118442001484377016106429038958170829770594188899487932701 6081279727414348185908077459964865519006267229417152151375452828119103082446114401235115945685219674 7038826579037625519936415833523853151542818455868825953589547210298809847780883701686351419725240132 7722315344272257471813061476258153746558662691183810292607229227427415916778055409861935722047159366 1193199616071805842054109436528998477753168262245190870602541591290575551503401919575208699092280595 0586823483423433390222157805175447893152068114144372052179721953250909235527812846017542915009972903 3870135456952987981953203504807951420788208631813033014478934100499388094551112311017595127064751799 1089330547896847673884531152895629486541038996524011879432023043598227187273194539286223404354611551 9206647266152947365666491343980517913524133584754719822227043388948929318395674897931865702725164400 4792296222422957889684357333494123398142099075036345315840149923559051051520221447244402270625895675 5283134725913235915742776206998724622669436777020999055527719612027144197417225632701478887574667912 4199366714820470229716090665964657712569235389178681061603854163358405200016225195673967146876492494 8677464469032482867925945834481446378168583826791675523408467158005891307763572098339609970517538359 5984597239296163028175719794883298480139380579804561540575868773862545885197040817083334127761314027 9962436235669244277131822651023538185961839314606582745607505245516679921541267831030874556394034080 5399031655972717244664991017846982996394253076074807997138007845071460758977014622441026239236885491 9904036223905111503723976588447275492526195023383876899707216045472669036372826107563086839292255899 2198427292657169642094901339854872309371396098196888310182277160960191570936096818063132464630015801 5504854717539777024451699616765590139083210432522438732353244066633538619838088794516502956228204765 1893598037393966663116920034358749429609885427952755235685537512662324594439520299164600539999992380 1822624310208184982948769365533292206132647198294811169743683993355976987974930955023234966439599006 5640854230611034282445894395210754971603598225111289491292022318973271085559610694387817701316144416 8515785708105002368586839079599456925490453167386918736855286171869477177485400278433762800795677607 0022608536807517839650666870241788002131942049083021544260824154115722969256967502675661014023424641 1929630091908781922221357207971454759839979051535291200460618491306030317146278642533718959637244288

Una pequeña parte de los números que forman el 51.o número primo de Mersenne, hallado el 7 de diciembre de 2018

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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Materiales Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro. 25

borradores para las pizarras blancas individuales

papel de rotafolio, bloc

computadora o dispositivo para la enseñanza

pizarras blancas individuales

crayones (rojos, verdes y azules)

proyector

lápices

regla de un metro

lápices de colores (rojos y azules)

reglas

libro Enseñar

libros Aprender

25 sets de discos de valor posicional Eureka Math2™, unidades a millones

marcadores de borrado en seco

tiras de papel de 1ʺ × 12ʺ

Visite http://eurmath.link/materials para saber más.

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Obras citadas “51st Known Mersenne Prime Found!” Great Internet Mersenne Prime Search, updated January, 2020, https://www.mersenne.org/.

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Créditos Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module. Common Core State Standards Spanish Language Version © Copyright 2013. San Diego County Office of Education, San Diego, California. All rights reserved. All United States currency images Courtesy the United States Mint and the National Numismatic Collection, National Museum of American History. For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits. Cover, Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Arts, MN. Gift of Bruce B. Dayton/ Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS),

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New York; pages 125, 126, 127, Stefania Grasso/Shutterstock.com; pages 315, 322, photosync/Shutterstock.com; page 348, Elena Elisseeva/ Shutterstock.com; page 349, Ad Oculos/Shutterstock.com; page 356, Piet Mondrian (1872–1944), Composition with Large Red Plane, Yellow, Black, Gray and Blue, 1921. Oil on canvas. Kunstmuseum Den Haag, The Hague, Netherlands. Image copyright © Kunstmuseum Den Haag. Image credit: Bridgeman Images; pages 379, 477, Tartila/Shutterstock.com; page 455 (top), Andrii Atanov/iStock/Getty Images Plus, (bottom) Portrait of Eratosthenes (ca.284–192 BC) (engraving) (b/w photo), Bibliotheque Nationale, Paris, France; page 508 (left) Andrii Atanov/iStock/Getty Images Plus, Jayavardhan/Shutterstock.com, Claudio Caridi/iStock/Getty Images Plus, (right) Portrait of Eratosthenes (ca.284–192 BC) (engraving) (b/w photo), Bibliotheque Nationale, Paris, France.; All other images are the property of Great Minds.

Agradecimientos Kelly Alsup, Lisa Babcock, Adam Baker, Reshma P. Bell, Joseph T. Brennan, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Jill Diniz, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Eddie Hampton, Andrea Hart, Rachel Hylton, Travis Jones, Liz Krisher, Courtney Lowe, Bobbe Maier, Ben McCarty, Ashley Meyer, Bruce Myers, Marya Myers, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Marlene Pineda, Elizabeth Re, Jade Sanders, Deborah Schluben, Colleen Sheeron-Laurie, Jessica Sims, Tara Stewart, Mary Swanson, James Tanton, Julia Tessler, Jillian Utley, Saffron VanGalder, Rafael Velez, Jackie Wolford, Jim Wright, Jill Zintsmaster Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent,

Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe

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Exponencialmente mejor Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia. Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases. Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más! Sonrisas2

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Frank Stella (b. 1936), Tahkt-I-Sulayman Variation II, 1969, acrylic on canvas. Minneapolis Institute of Art, MN. Gift of Bruce B. Dayton/Bridgeman Images. © 2020 Frank Stella/Artists Rights Society (ARS), New York 9

781638 986799

Módulo 1 Conceptos de valor posicional para la suma y la resta Módulo 2 Conceptos de valor posicional para la multiplicación y la división Módulo 3 Multiplicación y división de números de varios dígitos Módulo 4 Fundamentos para las operaciones con fracciones Módulo 5 Conceptos de valor posicional para las fracciones decimales Módulo 6 Medidas angulares y figuras planas